COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4 to Año Secundaria
IV
Dado un conjunto de números, diremos que son primos entre sí, cuando tienen como único divisor común a la unidad.
NÚMEROS CONJUNTO NUMÉRICO APLICACIÓN: Z+
DE
UNIDAD SIMPLES PRIMOS CLASIFICACIÓN DE Z+ COMPUESTOS
1;2;4;8
Divisores de 15:
1 ; 3 ; 5 ; 15
REGLA PARA AVERIGUAR NÚMERO ES PRIMO.
SI
UN
-
Se extrae la raíz cuadrada del número, si a raíz cuadrada es exacta, entonces el número no es primo, en caso contrario se sigue el siguiente paso.
-
Se divide al número entre todos los números primos menores a la raíz cuadrada aproximada.
-
Si todas las divisiones son inexactas el número será primo, pero si al menos una división es exacta entonces el número no será primo.
N =Aa . B b . C c
Descomposi ción canónica de N
1. Cantidad de divisores de
(
N CD ( N )
)
CD (N ) =(a +1 ) (b +1 ) (c +1 )
Ejemplo: 320 = 2 3 . 3 2 . 51
Ejemplo: Sea el número 131. Divisores de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
Como la unidad es el único divisor común 10; 12 y 15 son primos entre sí (PESI) PROPIEDADES
1; 2 1; 3
1. La serie de los números primos es limitada. 2. Todo número primo es mayor que 3, siempre º ±1 ; lo contrario no es de la forma 6 siempre se cumple.
• •
NÚMERO COMPUESTO
º 5 =6
º 18 =6
Son aquellos números que poseen más de dos divisores. Ejemplo : 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14
−1
º 11 =6
•
−1
+1
•
+1
3. Todo número consecutivos siempre son primos entre sí. Ejemplo:
1; 2; 4 1; 2; 3; 6
º 7 =6
• 8 y 9 son PESI • 14 ; 15 y 16 son PESI
º 131 ≠2
º ; 3
º ; 5
º ; 7
º ; 11
Como todas las divisiones so inexactas 131 es primo. TEOREMA FUNDAMENTAL ARITMÉTICA.
DE
LA
Todo número compuesto se puede expresar como un producto de factores primos diferentes elevados a ciertos exponentes; esta expresión es única y se llama “descomposición canónica”. Ejemplo: Sea el número 360 360 180 90 45 15 5 1
2 2 2 3 3 5
C D ( 360 ) = 24 2. Suma de divisores
Para el número 18, la suma de sus divisores es:
18 = 21 x 3 2 D.C
( )
( )
SD18 = SD 21 x SD 3 2 2 1
360 = 2 3 . 3 . 5
(
)
= (1 + 2 ) x 1 + 3 + 3 2 Descomposi ción canónica 22 − 1 33 − 1
SD18
S4AR34B
( SD N )
Ejemplo 1:
Sea:
O
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
C D ( 360 ) = ( 3 + 1) ( 2 + 1) (1 + 1)
131 =11, 4 1º 2º Primos menores que 11; 4; 2; 3; 5; 7; 11
Divisores de 15 : 1 ; 3 ; 5 : 15
Ejemplos:
NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS PRIMOS ENTRE SI (PESI)
4 to Año Secundaria
Divisores de 10 : 1 ; 2 ; 5 ; 10
Ejemplo: 2; 3; 5; 7; 11; 11; 13; …..
S4AR34B
Divisores de 8:
Ejemplo 2: Sean los números 10 , 12 y 15
Son aquellos números que poseen solamente dos divisores que son : la unidad y él mismo.
Divisores de 2: Divisores de 6:
los números 8 y 15
Como la unidad es el único divisor común, 8 15 son primos entre sí (PESI).
NÚMERO PRIMO ABSOLUTO
Divisores de 2: Divisores de 3:
Ejemplo 1: Sean
ARITMÉTICA
20
19
x = 2 −1 3 −1 1 + 1 2 + 1 2 −1 −1 x 3 = 2 −1 3 −1
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN En general: Sea
3. Suma
N = a α x bβ x c γ x ...... D.C
de
( SIDN )
inversas
de
los
β+1
ARITMÉTICA
20
19
divisores
PD (18 ) = 18
4 to Año Secundaria
3
φ (p ) =p −1
= 18 6 / 2
Ejemplo:
=
Calcule la suma de las inversas de los divisores de 30. Analizando sus divisores γ+1
2. Si p es número primo y α es un entero positivo entonces:
18 6
Donde 6 es la cantidad de divisores de 18
a −1 −1 −1 a a x ..... = a −1 b −1 c −1 α−1
SD N
4 to Año Secundaria
PD (18 ) =
18
φ
α p
CD (18 )
81 = 1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81
Divisores
Divisores
SID30 = 1 +
2
1
+
3
+
1 5
+
1 6
+
1 10
+
1 15
+
1
30
SID30 =
PD ( 81 ) = 81
( PD N )
2
18 = 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 Divisores
PD (18) = 1 x 2 x 3 x 6 x 9 x 18 18 18
N . φ( N )
PRÁCTICA DE CLASE
81 5
PD ( 81 ) =
81
CD ( 81 )
PD ( N ) =
N
a) 17 d) 20
(φ( N ) )
Se define para todos los enteros positivos N y representa la cantidad de números enteros positivos menores que N y que son primos relativos (PESI) con N. Algunas veces la función es llamada “Indicador de N”
18
c) 9
b) 18 e) 21
c) 19
03. ¿Cuántos divisores compuestos hay entre 30 y 55? a) 18 d) 30
b) 21 e) 36
c) 24
04. Hallar la suma de los divisores primos de 3 500. a) 10
S4AR34B
b) 8 e) 12
02. ¿Cuánto s números compuestos hay entre 30 y 55?
CD ( N )
1. Si N es primo entonces:
01. ¿Cuántos números primos absolutos hay entre 60 y 90? a) 7 d) 10
En general: para N
5. Función de Euler
Sea el número 18:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
1
2
Donde 5 es la cantidad de divisores de 81
Ejemplo I.
S4AR34B
1
5
=
SD ( N ) N
4. Producto de divisores
2 +
= 81 2
En general : para N
(a −1) . b β−1 (b −1) . c γ−1 (c
Si : N > 1 entonces la suma de los enteros positivos menores o iguales a N y PESI con N es;
81
SD ( 30 ) 30
SID( N ) =
φ(N ) = a α−1
81
30
81
= 30 + 15 + 10 + 6 + 5 + 2 + 1
N = a α . b β . c γ .....
Entonces:
PD (81) = 1 x 3 x 9 x 27 x 81
1
α−1(p −1 )
En general: Sea N descompuesto canónicamente:
Ejemplo 2
30 : 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30
=p
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 12
c) 14
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 15
4 to Año Secundaria
e) 18
a
05. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 000?
12
a) 35 b) 40 c) 44 d) 48 e) 30 06. Calcular "K", si el número : 72 . 5 K tiene 60 divisores. a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
07. ¿Cuántos divisores simples tiene el número 330? a) 4 d) 7
b) 5 e) 8
c) 6
08. Calcular "n", si N = 16 n . 35 n tiene 81 divisores. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
09. Hallar el valor de "n" para que el número divisores de N = 30 n sea el doble del número de divisores de M =15 . 18 n . a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
10. ¿Cuántos divisores tiene: 14 a) 99 d) 1448
b) 72 e) 729
− 14
8
?
c) 648
b) 232 e) 294
a) 10 b) 32 d) 24 e) 35 13. Si se cumple que:
c) 275
c) 20 B = 14 . 30 n
además CD (A) + CD (B) = 96; hallar el valor de "n" a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
b) 36 e) 64
c) 54
b) 3 e) 9
a) 8 d) 6
tiene
c) 7
K
divisores tendrá 6 561 a) 2K + 1 d) 2K – 1
b) K – 1 e) K + 2
divisores, n
¿cuántos
? c) K + 1
18. Si N = 5 2K + 5 2K +1 + 5 2 K +2 + 5 2 K +3
tiene 156 divisores, calcular K 2 .
S4AR34B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
19. ¿Cuántos
c) 36
divisores
debe
tener
M = 6 n . 3 4 para que su raíz cuadrada
a) 18 d) 21 20. El
b) 16 e) 24 área
de
un
rectángulo
a) 15 d) 41
terrenos
es
b) 32 e) 50
de
b) 15 e) 21
a) 9 d) 5
b) 6 e) 15
forma
c) 27
c) 9
c) 3
23. Entre los números 180; 756 y 900; ¿cuál es el que tiene tantos divisores como 360? a) 900 d) Todos
b) 180 e) Ninguno
c) 756
24. Si 10 . 10 2 . 10 3 . 10 4 ... 10 n tiene 1 369 divisores, ¿cuántos términos tiene la serie? a) 8 d) 13
b) 12 e) 15
c) 14
N = 321 . 10 3 , 25. Sabiendo que ¿cuántos números no múltiplos de 6 están contenidos exactamente en N? S4AR34B
15 n
b) 40 c) 10 e) 5 el valor de "n" sabiendo que . 75 tiene (17n + 34) divisores. b) 12 e) 15
c) 13
de
21. Hallar un número N =12 n . 15 n sabiendo que tiene 75 divisores. Dar como respuesta la suma de las cifras de N. a) 18 d) 27
a) 30 d) 12 26. Hallar
a) 11 d)14
c) 20
22. ¿Cuántas veces habrá que multiplicar por 8 al número 300 para que el producto resultante tenga 126 divisores?
c) 8
b) 9 e) 10
81 n
b) 25 e) 64
enteros, ¿cuántos rectangular existen?
15. Si se tiene que : N = 9000 ... 0; ¿cuántos ceros se debe considerar en N para que tenga 239 divisores compuestos? a) 5 d) 4
a) 16 d) 49
4 to Año Secundaria
44 100 m 2 ; si sus lados son números
14. Si el número N = 90 n tiene 84 divisores pares, ¿cuántos divisores múltiplos de 5 tiene N? a) 51 d) 84
ARITMÉTICA
20
tenga 8 divisores?
A = 21 . 15 n
17. Si
11. Si se sabe que: 35 n tiene a 4 divisores. ¿cuántos divisores tendrá : E = 33 n − 33 a ? a) 153 d) 141
12. El número N = 2 . 3 . 7 tiene 40 divisores múltiplos de 9 y 30 divisores múltiplos de 2. Hallar a . b
16. Si N = 21; ¿cuántas veces es necesario multiplicar a N por 22 para que el producto tenga 395 divisores compuestos?
c) 7 10
19
b
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. Si abaaba 0 es producto de n primos consecutivos. Hallar n. a) 2b) 4 d) 8
c) 6 e) 10
02. Hallar la suma de las cifras del menor número abc , sabiendo que es múltiplo del número
(a
− 2 ) (b − 1) (c − 3 )
a) 8 d) 15
b) 10 e) 14
c) 12
N = 2 x x 3 y x 48 x n , tiene ° 64 divisores y es 7 , ¿Cuántos de sus
03. Si
°? divisores no son 12
a) 28 d) 40
b) 36 e) 64
c) 32
04. Si 60 a tiene 1374 divisores enteros no primos. Hallar la suma de os divisores no compuestos de mn n a) 10 d) 14
b) 12 e)17
c) 15
05. Si ab es un número primo absoluto, mayor que 40. ¿Cuántos divisores tiene el número ababab 00 ? a) 288 d) 240
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 250 e) 100
c) 260
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4 to Año Secundaria
20
19
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
ARITMÉTICA
4 to Año Secundaria
MÉTODOS PARA DETERMINAR EL MCD. TAREA DOMICILIARIA 01. Si 9 n . 15 tiene 32 divisores, hallar el valor de "n". a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
02. ¿Cuántos divisores de 1 440 son divisibles por 15? a) 10 d) 21
b) 12 e) 36
c) 18
03. ¿En que cifra termina el producto de los 87 primeros números primos? a) 1 d) 0
b) 2 e) 7
c)3
b) 14 e) 20
c) 16
05. ¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene el número 1 440 000? a) 22 d) 25
b) 23 e) 30
b) 10 e) 13
b) 4 e) 2
a) 10 d) 16
b) 12 e) 18
c) 14
a) 2 d) 5 11. Si
b) 3 e) 6
4 0000 ... 00 . 5 n ,
(2n
+ 1 ) cifras
Ejemplo : Sean los números 540 ; 630 y 810 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Conjunto numérico de aplicación : Ζ+ Máximo Común Divisor (MCD)
10. Si M = 21 a . 51 b tiene 105 divisores, hallar "a + b"
c) 24
a) 2 d) 6
El máximo común divisor de un conjunto de dos o más números es aquel número que cumple dos condiciones :
b) 4 e) 3
a) 5 d) 3
c) 5
a) 8 b) 10 c) 12 d) 9 e) 6 08. Si 4 K + 2 − 4 K tiene 92 divisores, hallar el valor de "K – 1". “El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 7 e) 1
540 – 630 – 810 270 315 405 90 105 135 30 35 45 6 7 9
2 3 3 5
MCD
630
(540
;
;
810)
=
2 . 3 2 . 5 = 90
c) 4 tiene
90
Es divisor común de los números. Es el mayor posible.
Ejemplo:
c) 5
Sean los números 18 y 24 Divisiones comunes: 1 ; 2 ; 3 y 6 ↓ Mayor ∴ MCD (18 ; 24) = 6
12. ¿Cuántos rectángulos existen cuya superficie es 3 , 6 m 2 y sus lados están expresados en cantidades enteras de decímetros?
07. Si el número N = 42 . 3 K tiene 3 divisores menos que 900; ¿cuál es la suma de cifras de N?
S4AR34B
1. Por descomposición simultánea:
09. Hallar el número total de divisores que tiene el producto de los 3 primeros números capicúas de 2 cifras.
06. Si N = 15 m . 10 m + 1 tiene 156 divisores compuestos, hallar el valor de "m" a) 3 d) 6
c) 11
divisores , hallar "n"
04. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 1 575? a) 12 d) 18
a) 3 d) 12
c) 4
Asimismo: MCD (60 ; 40) = 20 ; MCD (32 ; 40) = 8 PROPIEDADES 1. Todos los divisores comunes de varios números, son también divisores de su MCD. 2. Si A y B son PESI, se cumple:
2. Por descomposición canónica: Cuando los números están descompuestos canónicamente, el MCD está determinado por el producto de los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes. Ejemplo : Sean los números: A = 2 4 . 3 6 . 5 4 . 11 3 B = 23 . 38 . 5 2 . 7 2
Se cumple: MCD (A ; B) = 2 3 . 3 6 . 5 2 3. Por divisores sucesivas o Algoritmo de Euclides: Sean los números A y B (A > B)
MCD (A ; B) = 1 Ejemplo : MCD (8 ; 15) = 1 3. Si
º A = B
; se cumple:
MCD (A ; B) = B Ejemplo: MCD (60 ; 15) = 15
S4AR34B
A
q1
q2
q3
q4
B
r1
r
r
r1
r
r
2
2 3
3
MCD
o
∴ MCD (A ; B) = r3 Ejemplo : Hallar el MCD de 391 y 323
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
391
1
4
1
3
323
68
51
17
68
51
17
o
ARITMÉTICA
4 to Año Secundaria El MCD será siempre la unidad y el MCM será el producto de los menores.
1. Por descomposición simultánea El MCM de un conjunto de números es le menor de los múltiplos comunes de varios números. Sean los números:
1. Sean los números A y B Donde : MCD (A ; B) = d Se cumple:
•
12: 12, 24, 36 , 48, 60, 72 , 84, 96, 108 , 120 …
•
18: 18, 36 , 54, 72 , 90 , 108 , 126, 144 …
Múltiplos
B = dp
∴ El MCM (12 ; 18) = 36 Obs.: Múltiplos comunes : 36 , 72 , 108 …
p y q son PESI
Múltiplos de …
2. Si MCD (A ; B) = d
Propiedad:
MCD (An ; Bn) = dn Entonces MCD A ; B = d n n n Ejemplo : Si MCD (14A ; 21B) = 350 ÷ 7 MCD (2A ; 3B) = 50 x 4 MCD (8 A ; 12B) = 200
Los múltiplos comunes de varios números son múltiplos de su MCM. Problema: Si el MCM (A , B) = 36, ¿Cuántos múltiplos comunes positivos menores que 180 tienen A y B? Solución:
3. Se cumple: MCD (AK ; BK) = MCD (A ; B) . K Ejemplo:
20
Cálculo del MCM:
PROPIEDADES
•
19
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
∴ MCD (391 ; 323) = 17
A = dp
4 to Año Secundaria
MCD (8 K ; 12 K) = 4 K MCD (15 K ; 35 K) = 5 K MCD (8 K ; 15 K) = K
Para 2 números A y B, P.E.S.I. EL MCD (A , B) = 1 El MCM (A , B) = A . B
Sean los números 360; 300 y 200 360 - 300 - 200 180 150 100 90 75 50 45 75 25 15 25 25 5 25 25 1 5 5 1 1 1
2 2 2 3 3 5 5
∴MCM :
23 3 2 5 2 1 800
(d 1 ; d 2 )
S4AR34B
Para 2 números A y B MCD (A , B) . MCM (A , B) = A . B 3. Si al conjunto de números se le multiplica o divide por cierto factor su MCM también queda multiplicado o dividido por el mismo factor.
2. Por descomposición canónica Pasos: - Se descomponen los números canónicamente, en factores primos. - El MCM estará dado por los factores primos comunes y no comunes elevados sus mayores exponentes.
Si MCM (A , B) = P MCM (kA , kB) = kP B P A MCM k ; k = k
Ejemplo: Sean los números 360; 300 y 200 4. Si el MCM de 2 números es “n” y el MCM de otros 2 números es “m” entonces el MCM de los números será el MCM de n y m.
• 360 = 2 3 3 2 5 • 300 = 2 2 . 3 . 5 2 • 200 = 2 3 . 5 2 El MCM : 2 3 3 2 5 2 = 1 800 Problema : ¿Cuántos divisores 20 5 y 30 4 ?
tiene el
MCM de
Si MCM (A , B) = n ; y MCM (C , D) = m ⇒ MCM (A , B , C , D) = MCM (n,m) 5. Para 2 números A y B Si MCD (A , B) = n MCM (A , B) = m Se cumple : A = np B = nq ⇒
Solución:
4. Sean los números A ; B ; C y D Donde : MCD (A ; B) = d 1 MCD (C ; D) = d 2 Entonces : MCD (A; B; C; D) = MCD
2. Para 2 números A y B se cumple siempre que el producto del MCD será igual al producto de los números.
PRÁCTICA DE CLASE 01. ¿Cuántos divisores tiene el MCM de 1 008 y 2 100?
Propiedades: 1. Para 2 números A y B que sean P.E.S.I.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
m = npq A . B = nm
S4AR34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 45 d) 80
b) 90 e) 60
c) 135
02. Hallar el MCD de 1 147 y 713 a) 31 d) 37
b) 21 e) 41
c) 23
03. Sean A y B dos números primos entre sí. ¿cuál será su MCD y cual su MCM? a) No se puede saber c) 1; A . B e) A + B; A – B
b) A – B; A + B d) AB ; 1
b) 1 881 e) 2 673
c) 948
05. Dar la suma de los residuos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides de 1 245 y 540. a) 315 d) 165
b) 255 e) 265
c) 145
06. En la determinación del MCD de 2 números mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvieron los siguientes cocientes sucesivos: 1; 3; 2 y 4; si el MCD es 7, dar el mayor. a) 280 d) 217
b) 308 e) 252
c) 140
19
07. La suma de 2 números es 12 000. Determinar el mayor de ellos sabiendo que los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides son: 3; 1; 4 y 5 a) 9 180 d) 9 486
b) 9 846 e) 9 504
c) 9 882
08. Se desea dividir 3 barras de acero de longitudes 165; 225 y 345 cm; en trozos de igual longitud. ¿cuál es el menor número de trozos que se puede obtener? a) 147 d) 40
04. ¿Cuál es el número de divisores del MCD e1 120 32 y 84 40 ? a) 1 216 d) 2 560
4 to Año Secundaria
b) 44 e) 55
c) N.a.
09. En un patio de forma cuadrada se desean acomodar losetas de 15 x 24 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio. El menor número de losetas que se requieren es: a) 41 d) 60
b) 120 e) N.a.
c) 90
10. Tres móviles parten juntos del mismo punto de partida de un círculo cerrado de 3 600 m de longitud. Si las velocidades de ellos son 60; 36 y 20 m/s respectivamente, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que vuelvan a pasar juntos por el punto de partida ? a) 18 min. d) 12 min.
b) 10 min. e) N.a.
c) 15 min.
11. Hallar el mayor valor de "p" que cumple con la condición: ° − 53 753 = p
y
° −13 421 = p
. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 6 d) 10
b) 7 e) 9
c) 8
20
ARITMÉTICA
12. Si tenemos que llenar 4 cilindros de capacidades: 72; 24; 56 120 galones respectivamente, ¿cuál es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si está comprendido entre 2 y 8 galones? a) 7 d) 4
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 3 e) 5
c) 6
13. Un terreno de forma rectangular cuyos lados miden 144 m y 252 m está sembrado con árboles equidistantes y separados lo más posible. Si se observa que hay un árbol en cada vértice y uno en el centro del terreno, ¿cuántos árboles hay en total? a) 135 d) 112
b) 120 e) 40
c) 56
14. "N" es el mayor número natural tal que al dividir 1 572 y 670 entre "N" deja como residuo 36 y 30 respectivamente . Calcular la suma de las cifras de "N" a) 14 d) 11
b) 10 e) 12
c) 16
15. A un terreno de forma rectangular de 1 848 m de largo y 1 056 m de ancho se quiere cercar con alambres sujetos a postes equidistantes, de manera que disten de 20 y 30 m y que corresponda un poste a cada vértice y otro en cada uno de los puntos medios de los lados del rectángulo. Calcular el distanciamiento entre dos postes consecutivos y el número de postes que necesitan. a) 33 y 88 d) 22 y 264
b) 22 y 132 e) N.a.
c) 33 y 178
S4AR34B
b) 320 e) 672
17. Hallar el valor de "N" si el MCM de los A =12 n . 45 números: y B = 12 . 45 n tiene 450 divisores.
a) 2 d) 4
b) 6 e) 5
c) 84
c) 3
18. ¿Cuántas parejas de números cumplen que su MCD sea 9 y su suma ea 126? a) 4 d) 1 19. Si :
b) 5 e) 2
c) 3
abc −5 mn =cba
(
MCD abc ; cba a) 5 d) 8
) =18
b) 6 e) 9
, dar "b" si el
c) 7
20. Hallar el producto de 2 números, cuya suma es 325, tal que la suma de su MCM y su MCD sea 5 225. a) 20 600 d) 28 900
b) 26 100 e) 19 600
c) 18 000
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01. El MCM de dos números es 15120 y los cocientes sucesivos obtenidos por el algoritmo de Euclides en el cálculo del MCD son 1 , 1, 6 y 2. El mayor de los números es: a) 540 d) 1008 02. Si
16. Se trata de llenar una caja de divisiones: 2, 16 x 1; 26 x 0, 72 m con cubitos que tengan el mayor volumen posible. Hallar cuántos cubitos son necesarios. a) 45 d) 336
S4AR34B
4 to Año Secundaria
(ab , (a
b) 460 e) 1260
+ 1 ) ( b + 1)
c) 860 MCM
) = 32 ,
calcular a + b a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
03. Una señora va al mercado y compra chirimoyas, al contar de 3 en 3, le sobran 2, al “El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4 to Año Secundaria
contar de 5 en 5 le sobran 4; y al contar de 6 en 6 le sobran 5 ¿cuál es el mínimo número de chirimoyas? a) 59 d) 14
b) 89 e) 29
a) 20 d) 80
b) 40 e) 100
b) 84 e) 140
c) 96
TAREA DOMICILIARIA 01. Se trata de llenar 3 cilindros de capacidades 120; 210 y 105 litros respectivamente. ¿Cuál es la capacidad del balde que puede usarse para llenarlos exactamente si está comprendido entre 4 y 12? a) 8 d) 5
b) 6 e) 9
b) 864 e) 108
c) 486
04. Hallar "n", si el MCD (A ; B) = 6 000, siendo : A = 20 n . 30
B = 20 . 30 n
c) 60
05. Tres obreros tienen que colocar losetas en un área de 535 m 2 y demoran 30; 36 y 42 minutos por metro cuadrado respectivamente. ¿Cuántas horas como mínimo tardarán en culminar el trabajo, cubriendo cada uno un número exacto de metros cuadrados? a) 42 d) 105
a) 648 d) 468
c = 18
a
c
c) 7
02. ¿Cuál es le menor número de losetas de 39 x 18 cm necesarios para construir un cuadrado?
a) 5 d) 2
b) 4 e) 1
c) 3
05. Hallar "n", si MCM (A ; B) = 30 375 siendo: A = 15 . 45 n
a) 3 d) 1
y
B = 45 . 15 n
b) 2 e) 4
B =3
a) 24 d) 52
b) 37 e) 29
divisores 4
. 2
5
comunes
poseen: y
a) 3 078 d) 3 004
c) 5
NÚMEROS FRACCIONARIOS
. 14 ?
b) 70 e) 48
c) 36 NÚMEROS FRACCIONARIOS
10. El número de páginas de un libro está comprendido entre 2 000 y 5 000; si se cuentan sus páginas de 5 en 5 sobran 3, si de 7 en 7 sobran 5, si de 8 en 8 sobran 6, pero si se cuentan de 9 en 9 no sobra ninguna. Hallar el número de páginas del libro.
06. Hallar el MCD de 1 517 y 481. a) 81 d) 31
4 to Año Secundaria
A = 23 . 64 . 7
b=6
b
ARITMÉTICA
20
09. ¿Cuántos
a=4
c) 119
04. Se tiene ladrillos de dimensiones 2,0 ; 3,0 y 0,6 unidades. ¿Cuántos ladrillos son necesarios para formar un cubo del menor volumen posible?
19
b) 4 398 e) 3 6 18
c) 3 062
FRACCIÓN Se denomina fracción a todo par de números enteros dados en un cierto orden, de manera que el primero se llama (numerador) el segundo (denominador) y éste sea distinto de cero. Sea la fracción a/b que también se puede "b" el denominador. En otras palabras, una fracción nos indica una parte que se toma de un todo dividido en partes iguales. Así por ejemplo la fracción 5/12 nos indica que se han considerado 5 partes de un total de 12 partes iguales en las que se ha dividido el total. Ejemplo:
c) 23
Si dividimos un total en 25 partes iguales, ¿qué fracción representan las partes sombreadas?
07. Hallar dos números, sabiendo que su producto es igual a 8 veces su MCM y qe su suma es igual a 6 veces su MCD. a) 6 y 30 d) 6 y 48
b) 8 y 30 e) 8 y 20
c) 8 y 40 CLASIFICACIÓN
08. ¿Cuántos números de 3 cifras al dividirlos entre 6; 7 ó 15 no dejan residuo? a) 6 d) 3
b) 5 e) 1
I. De acuerdo a la relación entre sus términos a) Propia Toda fracción cuyo valor es menor que la unidad y mayor que cero. Esto sucede cuando el numerador es menor que el denominador.
c) 4
a) 78 b) 148 c) 153 d) 184 e) 189 03. Para formar un cubo compacto, ¿cuántos ladrillos como el mostrado se necesitan como mínimo?
Ejemplos: 4/7 ; 6/13 ; 89/ 237 ; 127 / 32544 b) Impropia
S4AR34B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4AR34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Toda fracción cuyo valor es mayor que uno (1). Esto sucede cuando el numerador es mayor que el denominador.
4 to Año Secundaria
19
ARITMÉTICA
20
4 to Año Secundaria
b) Fracciones heterogéneas NÚMEROS DECIMALES Es aquel grupo de fracciones denominadores son diferentes.
cuyos
Ejemplos: Ejemplos: 15/8 ; 13/5 ; 65 / 27 ; 3 227 /119
Número decimal Es la expresión que se obtiene al dividir el numerador de la fracción entre el correspondiente denominador.
9 / 15 ; 65 / 128 ; 31 / 11 ; 3 / 4 II. De acuerdo al denominador de la fracción
Ejemplo: OTRAS FRACCIONES
a) Fracción ordinaria o común Toda fracción cuyo denominador es diferente a una potencia de 10. Ejemplos:
a) Fracción equivalente: Una fracción equivalente es aquella fracción que tiene el mismo valor que otra más sus términos son diferentes.
17/23; 34/97; 11/56; 457/ 129
4 35 25 29
b) Fracción decimal Toda fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Ejemplos: 77/ 100; 000
13
43/1 000; 21/ 10 000;
1/100
9
b) Fracción reductible: Toda fracción cuyos términos comparten divisores y permiten por lo tanto un proceso de simplificación.
96 III. De acuerdo a los denominadores de un grupo de fracciones a) Fracciones homogéneas Es aquel grupo de fracciones que poseen el mismo denominador. Ejemplos:
180
=
48 90
=
24 45
=
8 15
c) Fracción irreductible: Toda fracción cuyos términos son primos entre sí, es decir el único factor común entre los términos, es la unidad.
35 71
donde 35 y 71 son PESI
= 3,25 = 1,4
PRÁCTICA DE CLASE 01. La cantidad de fracciones propias irreductibles de denominador 25 es:
= 3,2222 ...
Número decimal exacto Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2, por factores 5 ó por ambos. Ejemplo:
15 8 19 16
= 1,875 = 1,1875
Número decimal inexacto periódico puro Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz no contiene factores 2 ni 5. Ejemplo:
7
6 / 17 ; 25 / 17 ; 11 / 17 ; 3 456 / 11
11 23 9
Número decimal inexacto periódico mixto Se origina cuando el denominador de la fracción generatriz está compuesta por factores 2 y/o 5 y al menos un factor primo distinto a estos. Ejemplo: ∩ 19 = 3, 16 6 ∩ 28 = 0, 62 45 ∩ 43 = 1, 43 30
∩
= 0, 63 = 2,5
a) 18 d) 21
b) 9 e) 22
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S4AR34B
c) 20
02. ¿cuántas fracciones de denominador 80 están comprendidas entre 1/3 y 7/4? a) 111 d) 114
b) 112 e) 115
c) 113
03. Renato ingresó al hipódromo y al apostar por primera vez pierde 1/3 de su dinero; al apostar por segunda vez, gana 3/4 de lo que le quedaba y finalmente decide apostar el dinero que le quedaba y pierde 1/2. Si se retiró a su casa con $ 42, el dinero con el que inicialmente jugó es: a) 70 d) 73
b) 71 e) 74
c) 72
04. Si
E =
2 7
+
3 5
+
2 49
+
2 25
+
3 343
, tiene 11 sumandos, el resultado es: a) 1 d) 1, 1
S4AR34B
e
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 1, 09 e) 1, 087
c) 1, 083
+
3 125
+ ..
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 05. Si:
1
1
4 to Año Secundaria ab
110. Si:
1
=0 ,
efghi
y
+ + +.... + = 0 cd 1x 2 2x3 3x4 15 x16ab +cd =58 , entonces (a + b + c + d , abcd. Hallar a + b + c + d: + e) es : a) 24 d) 14
b) 18 e) 21
c) 29
06. Si la fracción a / b es irreductible, entonces algún divisor común del numerador y denominador de la fracción (2 a + b) / a (a + b) es: a) 1 y 2 d) sólo 2
b) 2 y 3 e) sólo 1
c) 11 y 1
07. Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ∀ a ≠ b exista un X ∈ Z, que pertenece al intervalo [a, b] II. La suma de dos números es otro número irracional. III. a = 3, 25251252253 ........ es racional. I.
a) FFF d) FFV
b) FVF e) VVV
c) FVV
08. La suma de las cifras del denominador de la fracción equivalente a 29/ 41, cuyo cuadrado de la suma de sus términos es 240100, es: a) 19 d) 21
b) 15 e) 20
c) 17
09. ¿Cuántas fracciones irreductible de denominador 36 están entre 2/ 21 y 5/ 21? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
a) 16 d) 19
b) 17 e) 20
c) 18
12. ¿Cuántas cifras no periódicas y periódicas tiene la expresión decimal de la fracción 14 f = ? 5 2 x 13 x 5 6 x 11 a) 6, 6 d) 6, 10
b) 4, 6 e) 6, 12
c) 4, 5
13. ¿Cuantas cifras tiene la parte periódica del número decimal originado por la fracción k irreductible f = 3 3 x 11 x 271 x ? a) 5 d) 18
b) 10 e) 30
c) 12
14. Hallar la suma las de cifras del periodo generado por la fracción:
E =
36 148148 ...... 148148 3 k cifras
a) 1 d) 6
b) 2 e) 9
1+
a) entonces
c) 3
1 1
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
2
+
1 2
+
2
2001
b)
1 +
2002
2002 2003 2001 2002 2003 2002 d) 2002 2003 2002 2001 2003
1 2
2
+
1 32
+
19. ¿Cuántas fracciones propias de términos impares consecutivos menores que 0, 95 existen? 1 1 1 1 1+ + + ...... + 1 + + 2 2 2 b) 19 c) 20 3 a) 184 2002 2003 2 d) 21 e) 17 20. El numerador de dos fracciones irreductibles es 4 y el MCD de sus denominadores es 3, se sabe también que la suma de dichas fracciones es 32/ 45. Hallar el producto de dichas fracciones.
c)
e)
a) 18 / 89 d) 18 / 145
b) 16 / 115 e) 18 / 125
c) 16 / 135
EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03 16. El sistema de numeración en el que se cumple 5 0 , 41 = 7 , es: que : a) quinario c) octal
01. Convertir
∩ 221 , 5 (16 )
a la base 6. La
suma de las cifras de la conversión, es:
b) hexadecimal d) nomario e) senario
a) 9 d) 12
b) 10 e) 13
c) 11
17. Determinar la suma de:
23
= 0, x y z ........ 321 . abc 1 El resultado + de ....... ( Hallar a + b + c), es: E = + + + + + 2 4 3x2 3x4 3x6 3 x 12 a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 a) 9 / 8 b) 8 / 9 c) 3 / 8 d) 5 / 7 e) 13 / 5 03. Halla la suma de cifras de la parte periódica del número decimal que genera de fracción : 18. Se tiene una fracción irreductible f tal que 71 11 5 f ∈ 7 , 14 . Si dividimos el 37037037 .......... ... 02. Si :
1
intervalo
1
5 7
1
,
11 14
1
S4AR34B
b) 6 e) 25
1
56 cifras
en siete partes
iguales, f está en el punto medio del cuartos intervalo. La suma de los términos de f es: a) 5 d) 12
S4AR34B
4 to Año Secundaria
15. Hallar el valor exacto de la suma:
c) 17
0, a b c d e 6 = 0, 8 7 6 9 , 11. Si: (a + b + c + d + e) es:
ARITMÉTICA
20
19
c) 7
a) 14 d) 17
b) 15 e) 18
c) 16
04. Si a, b y c son los enteros que satisfacen la igualdad
a . c
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b
=
a b
+ c . La suma de
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN los primeros 20 enteros positivos de la forma (a – b) , es: a) 420 d) 315
b) 210 e) 525
c) 105
4 to Año Secundaria
2
05. Si
5 x
= 0 , abcdef
x
def −abc =429
05. Si
y
= 0 , defabc
∩ 02. Si: 0 , 5 a
=
a) 1 d) 4
m 11
a) 8 d) 7
11
+
b 3
calcule : m – a
a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
a
08. Se tiene la fracción manera a +2 c) 11
04. ¿cuál es la última cifra de período de ( 3 ) −83 ? a) 3 d) 9
S4AR34B
b) 5 e) 1
fracción:
b
b +2 2 = e + f.
que
c) 7 d)
10 !
? c) 3
SOLUCIONARIO 01
02
03
D
D
D
02.
C
B
C
03.
A
C
E
04.
D
D
B
05.
A
E
B
01.
= 0 ,∩ a de tal
Ejercicios Propuestos
cumpla:
= 0 , ef , conociendo que a +
a
Calcule la fracción a)
2 10
b) 2 e) 5
Nº
se
c) 3
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
a) 1 d) 4
c) 9
c) 3
= 0, 96 b) 9 e) 15
b) 2 e) 5
10. ¿Cuántas cifras tiene en la parte no periódica la
a + 1 0, 2 (a + 1) a
b) 2 e) 5
a
a) 1 d) 4
c) 13
03. Calcule : a + b, si :
0 , abc
∩ = 4 ,1
M = 0, abc + 0, cab + 0, bca
}
b) 12 e) 15
0 , ab + 0 , bc + 0 , ca calcule el máximo valor de:
. Calcule x.
{
4 to Año Secundaria
09. Si:
y
a) 3 b) 5 c) 7 A = a / b / a / b = 0, 925 ; a + b = 33 k < 1000 , donde k ∈ Z + d) 9 e) 4 El cardinal de A es: 1 a) 5 b) 4 c) 3 06. Si la fracción generatriz genera el ab d) 2 e) 6 número decimal 0, 0 (a – 1) b, ¿cuál es el valor de a + b? TAREA DOMICILIARIA a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 5 abc 01. Si es equivalente a . El valor de 17 07. Calcule un número que divido entre 37 cba (a + b + c) es: origina el decimal : a) 10 d) 14
ARITMÉTICA
20
19
4 9 7 2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) e)
b 3 5 2
c)
7 9
9
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