Aritmetica 5° 2b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 35

II

CUATRO OPERACIONES COMBINADAS PRACTICA CLASE Nº 1 01. El ingreso de 20 familias se presenta en el siguiente cuadro. Determina el ingreso promedio de las familias.

Número de familias 8 6 3 2 1 a) 196 d) 202

Ingreso(dólares) 180 190 200 240 260

b) 172 e) 210

c) 195

02. La edad de un padre y su hijo suman 35 años.

Si el padre tuviera 17 años menos y el hijo 8 años más los dos tendrían la misma edad.

Determina Cuantos años tiene el padre. a) 30 años d) 32 años

b) 25 años

c) 28 años

03. Las pruebas de las compañías Ford Motor Company muestran que uno de sus modelos pueden viajar 480 millas con un tanque de gasolina. Si el tanque tiene 13, 6 galones. ¿Cuál es el promedio de millas por galón? a) 17, 18 d) 36, 21

b) 30 e) 41, 45

c) 35, 29

04. La receta de un panqueque dice que deben utilizarse dos huevos por cada 6 tazas de harina preparada. El departamento de bomberos planea una fiesta para la comunidad. ¿Cuántos huevos se necesitan, si van a utilizar 120 tazas de harina preparada? a) 60 S5AR32B

5to Año Secundaria

b) 55

01

e) 40

05. Si la longitud y el ancho de un rectángulo de 6 cm y 10 cm se aumenta en la misma cantidad, el área del nuevo rectángulo excede en 20 cm2 al doble del área original. ¿En cuanto se incremento las dimensiones originales? a) 4 cm d) 5 cm

b) 2 cm e) 2, 5 cm

c) 1 cm

06. Manolo reparte su dinero de la siguiente manera: a Fernando le da la cuarta parte, a Ricardo la tercera parte y a Juana la sexta parte, quedándole aún 3600 soles. ¿Cuántos le tocó a Fernando? a) S/. 1600 d) S/. 1500

b) S/. 600 e) S/. 1000

c) S/. 1200

07. En tres días Manuel ganó 185 dólares. Si cada día ganó los 3/4 de lo que ganó el día anterior. ¿Cuánto ganó el primer día? a) $ 80 d) $ 40

b) $ 81 e) $ 45

c) $ 60

08. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque, cuando el número de hojas arrancadas excede en 8 a los 4/47 del número de hojas que quedan? a) 5 de Febrero b) 6 de Febrero c) 7 de Febrero d) 4 de Febrero e) Ninguna de las anteriores 09. El lunes gasté la mitad de lo que tenía y S/. 2 más, el martes la mitad de lo que me quedaba y S/. 2 más, el miércoles la mitad de lo que me quedaba y S/. 2 más, el miércoles la mitad de lo que me quedaba y S/. 2 más y me quedé sin nada. ¿Cuánto tenía el lunes antes de gastar nada? a) S/. 22 d) S/. 28

c) 20 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) S/. 24 e) S/. 30

c) S/.26

02

ARITMETICA

5to Año Secundaria

10. Una persona debe viajar 120 Km en un auto.

Si aumenta la velocidad en 10 Km/h, llegará a su destino 2 horas antes. Si se decide por esta opción, ¿A qué velocidad viajo?

a) 7 h d) 9 h

b) 5, 3 h e) 7, 5 h

c) 8, 5 h

TAREA DOMICILIARIA Nº 1 a) 15 Km/h d) 35 Km/h

b) 30 Km/ h e) 18 Km/h

c) 25 Km/h

11. Halla dos números positivos consecutivos tales que la diferencia de sus cuadrados exceda en 43 a 1/11 del número menor. Da como respuesta el número menor. a) 22 d) 19

b) 23 e) 24

c) 20

12. Los pesos de dos vagones son iguales. El primer vagón se carga con 9000 Kg y el segundo con 1500 Kg. Resultando que el peso total del primer vagón es el doble que el segundo. ¿Cuál es el peso de cada vagón? a) 3000 Kg d) 6000 Kg

b) 4500 Kg e) 7500 Kg

c) 5000 Kg

13. La edad de Diana dentro de 4 años será un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de ese cuadrado perfecto. ¿Qué edad tendrá Diana dentro de 8 años? a) 15 años d) 14 años

b) 18 años e) 25 años

c) 20 años

14. Dos embarcaciones parten con direcciones Norte y Oeste, respectivamente, al mismo tiempo y del mimo embarcadero. Una hora después se ha separado 20 millas. Si una de ellas viaja 4 millas/h más rápidamente que la otra. ¿Cuál es la velocidad de cada una? a) 16 y 16 millas/ h c) 12 y 18 millas/h e) 10 y 14 millas/h

b) 13 y 17 millas/h d) 1 y 15 millas/h

15. Un estacionamiento del centro de la ciudad de Lima cobra S/. 3 por la primera media hora y S/. 2,50 por cada hora adicional. ¿Cuál es el tiempo máximo que puede estacionar su auto, si no desea pagar más de S/. 15,00?

S5AR32B

01. Bob maneja desde columbus, hacia chicago, una distancia de 903 millas. Al mismo tiempo, Mickey comienza a manejar desde chicago hacia columbus. Si se encuentran después de 7 horas y la velocidad promedio de Mickey es de 15 millas por hora más que la velocidad de Bod, determina la velocidad de cada auto. a) 50 y 65 millas/h c) 4 0y 45 millas/h e) 57 y 72 millas/h

b) 45 y 60 millas/h d) 55 y 70 millas/h

02. Cuando empiezan a jugar A y B, la relación de lo que tiene A y lo que tiene B es de 10 a 13. Después de que A le ha ganado 10 soles a B, la relación entre lo que tiene A y B es de 12 a 11. Da como respuesta la suma de cifras de la cantidad de dinero con que empezó a jugar B. a) 10 d) 12

b) 9 e) 13

c) 11

03. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo es 4, y si 5 veces el menor se divide entre el mayor, el cociente es 2 el residuo es 17. Da como respuesta la diferencia de dichos números. a) 25 d) 29

b) 26 e) 28

c) 27

04. Las dos terceras partes de la edad del Alberto excede en 6 años a la edad de Bruno y hace 6 años la edad de Bruno era los 2/9 de la edad de Alberto. ¿Qué edad tiene Alberto? a) 20 años d) 22 años

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 24 años e) 26 años

c) 16 años

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 05. ¿Cuál es el número que multiplicado por 10/3 de un producto igual al noveno de su cuadrado más 25? a) 5 d) 35

b) 15 e) 45

c) 25

06. Un vagón lleno de cal pesa 27 toneladas.

Lleno solo hasta 3/5 pesa los 7/4 del vagón vacío. Halla el peso de la carga (Cuando esta lleno el vagón de cal) y el peso del vagón vació en toneladas. a) 7 y 20 d) 18 y 19

b) 14 y 13 e) 15 y 12

c) 10 y 17

07. Para la rifa de un cuadrado se pusieron a la venta 1890 boletos y se calculo que si se vendían todos, se lograría una ganancia de $ 10680, pero solo se vendieron 980 boletos, originándose una perdida de $240. Halla el precio del cuadrado. a) $ 8400 d) $ 10000

b) $ 9600 e) $ 12000

5to Año Secundaria a) 23 d) 52

b) S/. 164,8 e) S/. 210, 5

a) 10 d) 30

b) 49 e) 31

b) 20 e) 24

c) 18

12. Se compro un objeto que se vendió por 5789, obteniéndose una ganancia igual al doble del precio de compra más 497. Da como respuesta la suma de las cifras de compra de dicho objeto. a) 14 d) 18

b) 15 e) 17

c) 16

02

ARITMETICA

5to Año Secundaria

13. Un avión puede viajar a 540 millas por hora a favor del viento y 480 en contra del viento.

Determina la velocidad del avión sin viento y la velocidad del viento, en millas por hora. a) 510 y 30 d) 510 y 25

b) 500 y 25 e) 525 y 40

c) 450 y 22

14. Robin colecciona monedas de dólar de 1 onza de oro. Su colección consta de 14 monedas, que son águilas de Estados Unidos u hojas de maple de Canadá. El valor total de su colección es de $ 6560. si las águilas tiene un valor de $ 480 cada una y las hojas de maple valen $ 460, determina el número de águilas y hojas de maple que tiene Robin. a) 11 y 3 d) 6 y 8

b) 5 y 9 e) 7 y 7

c) 10 y 4

15. Cuando yo nací, mi padre tenía 38 años. ¿Qué edad tiene mi padre, si actualmente nuestras edades suman 80 años?

c) $11000 a) 55 años d) 60 años

b) 59 años e) 61 años

c) 53 años

16. La compañía Creyel planea incrementar la cantidad de empleados en 25 por año. Si actualmente tiene 427 empleados. ¿Cuánto tiempo pasará para que tenga 627?

c) S/. 195,3 a) 6 años d) 2 años

09. La diferencia de los cuadrados de las edades de Juan y José es 31.Si se sabe que nacieron en años consecutivos, halla la suma de dos veces la edad del menor más la edad del mayor. a) 46 d) 43

c) 32

11. Una compañía de 180 hombres está dispuesta en filas. El número de soldados de cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay?

08. Todos los días Carmen va a la bodega a comprar queso y jamón. En ambos productos gasta $ 2 diarios. Si un dólar equivale a S/. 3, 5. ¿Cuántos soles gasto el mes pasado? a) S/. 190,5 d) S/. 217

b) 55 e) 25

01

c) 52

b) 4 años e) 10 años

c) 8 años

17. Una persona compró por S/. 180 cierto número de libro. Si hubiera comprado 6 litros menos con el mismo dinero, cada libro habría costado S/. 1 más. ¿Cuántos libros compró? a) 36 d) 34

b) 18 e) 25

c) 32

10. Si el mayor de dos números se divide por el menor, el cociente es 2 y el residuo, 9 y si 3 veces el menor se divide por el mayor, el cociente es 1 y el residuo 14. Halla el mayor número.

18. A un alambre de 37 m de longitud se le hizo tres cortes, de manera que la longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior, más 1/3 de dicha longitud. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande?

S5AR32B

S5AR32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) 7 m d) 32 m

b) 12 m e) N.a

c) 16 m

19. Pancho compra 10 decenas de chocolate a S/.

2 cada uno y recibe 13 chocolates por docena.

En la factura le hacen un descuento de S/.

15,50. Si vende cada uno en S/. 3. ¿Cuánto ganará al vender todos los chocolates? a) S/. 155 d) S/. 145

b) S/. 165 e) s/. 160

c) S/. 165,5

20. Un estante de libros tiene capacidad para 36 litros de aritmética y 40 de álgebra o para 48 litros de aritmética y 35 de álgebra. ¿Cuántos libros de aritmética entrarán en el estante? a) 68 d) 120

b) 125 e) 132

c) 100

21. Un carpintero vendió 3 sillas más que mesas, pero tanto en las sillas como en las mesas obtuvo lo mismo. ¿Cuántos muebles vendió, si las mesas cuestan S/. 360 más que las sillas y recaudó S/. 96000 en total? a) 10 d) 13

b) 11 e) 15

c) 12

22. Una bandera de 4 x 3 pies tiene una cruz blanca de ancho uniforme sobre fondo rojo.

Encuentra el ancho de la cruz, si esta se extiende de orilla a orilla sobre la bandera y es exactamente la mitad de la superficie total de la bandera. a) 1,3 pies b) 1,4 pies c) 1,5 pies d) 1 pie c) 2 pies 23. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos. Si se compran 9 litros de leche adulterada que pesa 9210 gramos. ¿Cuántos litros de agua contiene? (1 L de agua pesa 1000 gramos). a) 1 d) 7

b) 3 e) 2

c) 5

24. A un alambre de 104 m se le hizo tres cortes.

Si cada parte resultante es igual a la anterior

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

DIVISIBILI COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

01

aumentada en su mitad. ¿Cuánto mide el pedazo de alambre más pequeño?

02

ARITMETICA

5to Año Secundaria

Tambien se dice que 3 es factor de 66

4. Estructura de los múltiplos de un número Todos múltiplos de un número se pueden generalizar. Así por ejemplo, los múltiplos de 5.

3. Observación: a) 28,8 m d) 43,2 m

b) 19,2 m e) 15,8 m

c) 21,8 m

25. Se tienen S/. 12 en 33 monedas de S/.

0,50 y de a S/. 0,20. halla el número de monedas de a S/ 0, 20 que se tiene. a) 15 d) 19

b) 17 e) 14

c) 18

I. Definición de Divisor: Se dice que B es divisor de A, cuando lo divide en forma entera y exacta.

Es decir: Si: A -

3.1. Cero es múltiplo de todos los números naturales.

Ejm:

A es número entero.

B es número natural.

K es número entero.

B K

0 -

5 16

2. Definición de Múltiplos: Se dice que A es múltiplo de B, cuando lo contiene un número entero y exacto de veces.

Donde Es decir Si: A es número entero.

B es número natural.

K es número entero.

B K

A = B(K) A es múltiplo de B º Notación: A = B Tambien se dice que B es factor de A

5 = 5(K) Es número entero

Ejm:

5 es divisor de 80 ú 80 es divisible por 5.

12 -

1 12

3.3. Un número natural múltiplos negativos.

5. Número No Divisible: Sabemos que un número es divisible por otro cuando la división es entera y exacta. Pero cuando dicha división tiene un residuo, diremos que el dividendo es múltiplo del divisor más el residuo.

Así: 43 1

1 es divisible de 12 puede

tener

7 6

43 6

43 = 7(6) + 1 º +1 43 = 7

43 = 7(7) - 6 º -6 43 = 7

- 35

5 -7

- 35 es divisibilidad por 5 - 35 es múltiplo de 5 º - 35 = 5

º +1= 7 º -6 • Nótese: 7

Suman 7 º +3 = 4 º -1; 14 º • También 4 º +9 14

Suman 4 6. Operaciones con Múltiplos:

66 -

3 22

66 = 3(22) 66 es múltiplo de 3 Notación: 66 = º 3 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AR32B

7 7

(División por defecto) (División por exceso)

Ejm:

Ejm:

S5AR32B

Es decir:

3.2. La unidad es divisor (o factor) de cualquier número entero 80 -

A -

Nótese que los múltiplos de 5 pueden escribirse como el producto de 5 por un número entero.

7 0

0 = 7 (0) 0 es múltiplo de 7

B es divisor de A ó A es divisible por B. Ejm:

…- 15, - 10, - 5, 0, 5, 10, 15, 20, 25,…. …- 5(-3), 5(-2), 5(-1), 5(0), 5(1), 5(2), 5(3).

6.1.

º + n º = n º n

6.2.

º - n º = n º n

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

-5=

Suman 14

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN º - n º = n º n

6.3. º n

5to Año Secundaria

º + r) = n º +r 6.6. ( n

º + r ; m = # par n

º n º n

=??(no se puede predecir el resultado)

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Llamamos criterios de divisibilidad a ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo.

Un numeral es divisible entre 3 (o entre 90) si y sólo si la suma de sus cifras es divisible entre 3 (o entre 9). º a+b+c+d= 3 º a+b+c+d= 9

Ejercicios: -

Calcular el valor de «x» sabiendo que 67 x 414 es divisible entre 9.

Resolución: º 67 x 414 = 9

Entonces: S5AR32B

a–b+c+d+e=

º 11

Ejercicio: ¿Cuál es el valor que debe tomar “y” para que el numeral 14 y 17 sea divisible entre 11?

Resolución: 14 y 17 = +-+-+

Resolución: Como 8 = 23

Criterios de divisibilidad entre Potencias de 2 • Un numeral es divisible entre 2(2 1) si y sólo si, su ultimo cifra es cero ó par.

• Un numeral es divisible entre 8(2 2) si y sólo si el numeral formado por sus 2 últimas cifras son cero o es múltiplo de 4.

• Un numeral es divisible entre 8(2 3) si y sólo si el numeral formado por su 3 última cifras son ceros o forman un múltiplo de 8.

abcde =

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

º 2

e= º 2

-

+

Ejercicio: ¿Cuál es el valor de «a» si el numeral 13 a 372 es divisible entre 7?

º 11443 z = 8 º 43 z = 8

Resolución:

• Un numeral es divisible entre 25 y si y sólo si el numeral formado por sus 2 últimas cifras son ceros ó múltiplos de 25.

• Un numeral es divisible entre 125 si y sólo si el numeral formado por sus 3 últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 125. º abcde = 5 º abcde = 25 º abcde = 125

e=0ó5 º de = 5 cde =

º 125

º 13 a 372 = 7

231231

Entonces:

+ º -2 – 9 – a + 6 + 21 + 2 = 7 º 18 – a = 7 a=4

Criterio de Divisibilidad entre 13 Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; -3; -4; -1; 3; 4; 1; -3; -4… y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 13. a b d c e f

Ejercicios: ¿Cuál es el valor de la suma de los valores que deben reemplazar a «M» y «N» en el numeral 87653 MN para que sea divisible entre 125?

Resolución: 87653 MN = º 125

Como 125 = 53

⇒ -2a -3b –c+2d + 3e+ f=0 ó

231231

Criterios de Divisibilidad entre Productos de 5 • Un numeral es divisible entre 5 si y sólo si su ultima cifra es 0 ó 5.

º 11

º 1 – 4 + y + 1 + 7 = 11 º 3 + y = 11 y=8

a b c de f º 7

¿Qué valor debe asignársele a «z» para que el numeral 11443 z sea divisible entre 8?

Entonces:

Criterios de divisibilidad entre 3 ó 9

º abcd = 3 º abcd = 9

º de = 4 º = cde 8

z=2 º = 11

+-+-+

m

º - rm ; m = # impar n Nota:

Un numeral es divisible entre 11 si y sólo si la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11. +-+-+ abcde

m

m

n + r)

º abcde = 4 º = abcde 8

Ejercicio:

º + r1)( n º + r2)( n º + r3)…= n º 6.5. ( n + r1 r2 r3…

(

5to Año Secundaria

Criterio de Divisibilidad entre 11

Siendo “E” un exponente natural

º

ARITMETICA

02

º 6 + 7 +x +4 +1 + 4 = 9 º 22 + x = 9 x=5

º .K= n

º )E = n º 6.4. ( n

m

01

º = 3 MN = 125

375 Luego: M = 7 ⋀ N=5 Criterio de Divisibilidad entre 7

º

= 13

⇒ 4a+

3e+ f 4 31431 ++- - -+

º = 0 ó 13

Ejercicio: ¿Qué valor debe tomar º ?

128 b 3 0 6 = 13

“b” en el numeral

Resolución: 1 2 8 b30 6 º 13

1 33143 1 Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3… y llego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 7.

S5AR32B

3b– c –4d–

Entonces:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

=

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN º 1 + 8 +24 – b – 12 – 0 + 6 = 13 º 27 – b = 13 b= 1

º A = q

A =

A= º r Ejm:

• Un numeral es divisible entre 33 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; 10; 1; 10; 1;... y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 33.

• Un numeral es divisible entre 99 si al multiplicar a cada una sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; 10; 1; 10; 1;… y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 99. º 33

a +10b +c + 10d+e =

º 99

a +10b +c + 10d+e =

º 33

abcde =

01

º mcm (p, q , r)

Criterios de Divisibilidad entre 33 ó 99

abcde =

5to Año Secundaria

A =

º mcm (p, q , r)

8.3. Si:

A=

º 24

º P

A= +r º A= Q +r º +r A= R

A = mcm (P, Q, R) + r

Ejm:

º 7

+2 º + 2 8

A = mcm (5; 7; 8) + 2 º A = 280 +2

º 99

Ejercicios:

PRACTICA DE CLASE Nº 2

Calcular (d+e) si el numeral divisible entre 99.

56 d 01 e es

Resolución:

56 d 01 e = 99 º 10(5) + 1(6) + 10d + 1(0)+ 10(1) + e = 99 º 66 + de = 99 de = 33 Luego: d = 3 ∧ e = 3 d+e=6

8.1. Si: N =

º =

⇒N =

º a

a) 9 d) 12 y N

b º Ejm: Si N = 15

º 3

8.2. Si S5AR32B

A=

º p

⇒N =

º 5

b) 7 e) N.a

c) 15

02. ¿Cuántos números de la siguiente sucesión: 47; 53; 59;…; 809 son múltiplos de 11 más 2?

8. Propiedades: º a x b

01. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 12 y terminan en la misma cifra 6? a) 8 d) 12

yN=

b) 10 e) 8

c) 4

03. Si el número abcd es divisible entre 13 y se cumple que cd = 3. ( ab + 2). Calcular: “a + d”. a) 16 d) 4

a) 1 d) 7

a) 5 d) 13

b) 2 e) N.a 2

- cba

c) 3

2 siempre está divisible

b) 2 e) 11

a) 10 d) 8

b) 12 e) 20

b) 12 e) 15

c) 8

a) 3 d) 7

b) 4 e) 10

c) 7

c) 6

c) 5

08. Sabiendo que 481129 + 5 + 5 + 5 + 5 “n” veces +….+ 5 = º 7 . Hallar el menor valor de “n”. a) 6 d) 8

b) 5 e) 9

c) 7

09. La suma de los números de tres cifras diferentes, que se pueden formar con las cifras a, b y c, siempre será divisible entre: a) 74 d) 18

b) 78 e) 42

c) 12

10. Si: 357 a 2 al ser dividido entre 9, el resto obtenido es 4. Hallar “a”. a) 1 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

11. Si N = a 5(a + 4 ) 2 a es múltiplo de 8.

Hallar “a” a) 2 d) 6

S5AR32B

b) 3 e) 0

º , º , cba = 5 12. Sabiendo que: abc = 8 º = .

Hallar el valor de “a + b + c” ab 17

a) 5 d) 8

b) 9 e) 10

c) 11

13. Si 8xyx5y es divisible entre 88. Dar como respuesta el valor de “x + y”

06. Calcular la suma de los valores de “a” de modo que el capicúa a 55 a al ser dividido entre 4 la división sea exacta.

º 04. Si 2 a 84 = 19 . Hallar a.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

5to Año Secundaria

07. Cuantas cifras 8 es necesario aumentar a 43752 para que el resultado sea múltiplo de 9.

º +2 A= 5

A= A=

ARITMETICA

05. abc entre:

º A= 3 º A = 8

º A = 12

02

c) 4

a) 6 d) 2

b) 3 e) 15

c) 4

14. ¿Cuántos números divisibles por 99 pueden formarse al cambiar por cifras las letras “a” y “b” en el número 7 a 5 b 63 ? a) 2 d) 5

b) 3 e) Más de 5

c) 4

15. En un congreso participaron 600 personas. De los asistentes varones, se ha podido observar que los 3/7 eran abogados, los 4/9 eran médicos y los 2/5 eran economistas. ¿Cuántas damas asistieron al congreso? a) 265 d) 295

b) 275 e) 305

c) 285

16. Si el cuadrado de un número de los dígitos se le quita el cuadrado el número formado por los dos dígitos en orden invertido, entonces el resultado no es siempre divisible por: a) 9 b) El producto de los dígitos. c) La suma de los dígitos. d) La diferencia de los dígitos. e) 11 17. Al convertir N, al sistema de bases 8. ¿Cuál es su cifra de unidades?. Sabiendo que: N = 52 + 94 + 136 + … + 120p1206 a) 3 d) 5

b) 2 e) N.a

c) 1

18. Sabiendo “p” un número no múltiplo de 5, la expresión: E = 32p32 + 36p36 + …. + 120p120; es: a) 5 + 1 d) 5 + 4

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 5 + 2 e) 5

c) 5 + 3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

01 652

24. ¿Cuál es la última cifra en base 9 de: 256 ?

19. Si “n” no es divisible entre 3, entonces cuando H = n2 + n4 + n6 + … + n20, se divide entre 3 el resto es: a) 0 d) n – 3

b) 1 e) n

c) 2

20. Hallar el residuo de dividir el número: H = 13 + 23 + 33 + … + 803 entre 19. a) 11 d) 5

b) 9 e) N.a

c) 7

21. Hallar el resto de dividir 7421 entre 9. a) 7 d) 3

b) 8 e) 5

c) 1

b) 2 e) 5

c) 3

23. En el sistema de base 8, la cifra de las unidades del número 436543. 793767 es: a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

b) 2 e) 5

c) 3

25. Si 343343 se convierte a base 2. ¿Cuáles son sus tres últimas cifras? a) 101 d) 111

b) 011 e) N.a

c) 110

EJERCIOS PROPUESTOS Nº 1 º pero no º º 01. Cuantos 2 y 7 15 entre 45,000 y 120,000?

a) 1000 d) 4000

b) 2000 e) 5000

02. A

hay

c) 3000

partir

de:

15 x 16 x 17 x .......... .......... .=            

22. Hallar el resto de dividir 2200 entre 7. a) 1 d) 4

a) 1 d) 4

"n " factores

º 13

6. Hallar “n”

a) 4 d) 15

b) 7 e) N.a

02

06. Determinar el valor x para que al dividir el número 90 x 1738 por 11 tenga el mismo resto que el número:

03. En

la

siguiente

serie:

23 , 31, 39 , 47 .......... ..          200 tér min os

c) 3

¿Cuántos términos

º 17

b) 10 e) N.a

+ 2 existen? c) 12

a) 0 c) 3

b) 1 e) 4

c) 2

08. Hallar el mayor resto de dividir: 2 abc + 4 abc +…+ 256 abc entre 3. b) 5 e) N.a

c) 6

09. Si el 25 se convierte a base 9. ¿En que cifra termina? a) 6 e) 2 10. Si:

º 04. ¿Cuántos 13 + 10 hay en la serie: 29; 37; 45; 53;…; 4 517?

a) 43 d) 23

b) 48 e) N.a

c) 50

05. Se compran panetones y tortas a $4 y $7 respectivamente. Si el gasto fue de $123 en total. Determinar la suma de los números de panetones más los de tortas, si el producto de estos números es lo máximo posible. a) 22 b) 28

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 24 e) 30

TAREA DOMICILIARIA Nº 2

01. En el hospital hay 180 internos. De los que son dados de alta, se sabe que: 2/5 tienen 123123123. .......... .....123 dividido por 9 cardiacos, 3/7 son casados y 2/3                 problemas  padecen de artritis. ¿Cuántos pacientes 300 Cifras seguirán en el hospital? a) 5 b) 3 c) 8 a) 108 b) 105 c) 210 d) 2 e) N.a d) 75 e) 95 07. En que cifra termina: 02. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 18?

(2727)49 + (4753)21 x (12 729)15 en base siete

a) 3 d) 2

c) 11

5to Año Secundaria

234

a) 8 d) 14

S5AR32B

ARITMETICA

b) 4 e) 1

c) 8

a) 50 d) 48

c) 36

03. ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos de 3 ó 5, pero no de 12? a) 324 d) 345

b) 275 e) N.a

c) 245

04. De la serie: 20; 32; 44; 56;…..

Hallar el mayor número de tres cifras que sea º + 2. Dar la suma la sus cifras.

9 a) 20 d) 22 05. El

º -3 ab = 7 º ab = 7 + 2 º +1 ef = 7

b) 45 e) 72

b) 18 e) N.a número

c) 16 de

la

forma:

º + 2 aaa ........ = 9     . Hallar “a” 40 Cifras

abcdefabcd ef Luego:        al dividirlo entre

a) 8 d) 3

b) 4 e) 2

c) 5

20 Cifras

7. ¿Cuánto dará de residuo? a) 4 d) 12

b) 8 e) N.a

c) 10

06. Todo número de la forma (2 a ) a (2 b )b es siempre divisible por: a) 7 d) 11

c) 26

S5AR32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 8 e) 5

c) 9

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 07. Hallar la suma de valores de x, para los cuales: 52 x 3 x1 = º3 a) 18 d) 15

b) 12 e) N.a

c) 9

08. Podría ahorrar 20 soles diarios pero cada mañana de sol, gasto 9 soles en helados y cada mañana de frió gasto 6 soles en café. Si ya tengo ahorrado 258. ¿Cuántos días ahorré? a) 19 b) 22

b) 21 e) 23

10. Si aaaa a) 2 d) 5

b) 10 e) 8

c) 11

c) 4

11. Si a la derecha de un número de 3 cifras se repite el mismo número, el número de 6 cifras formado no siempre es múltiplo. a) 7 d) 13

b) 11 e) 77

c) 9

12. ¿Cuántos números enteros de 4 cifras existen, tales que sean divisibles por 11 y terminen en 17? a) 2 d) 8

b) 4 e) N.a

a) 7 d) 10

b) 8 e) 11

c) 7

a) 9 d) 5

b) 6 e) 4

c) 9

b) 8 e) 5

b) 3 e) 6

c) 7

c) 4

b) 9 e) 6

c) 12

º II. Ni 2

a) 0 d) n – 3

c) 15

21. Si a > c, la diferencia abc - cba múltiplo de:

es

b) Faltan datos c) 11 e) 5

a) 7 b) El producto de los dígitos c) La suma de los cuadrados de los dígitos d) La diferencia de los dígitos e) 13 23. ¿Cuántos números entre 200 y 1800 son divisibles entre 3 y 5 pero no entre 8? b) 96 e) N.a

ó

c) 93

24. ¿Cuántos valores puede tomar ab sabiendo que el número de la forma: 4 a 2 baa 2 es divisible entre 56? b) 2 e) Más de 4

2a +

c) 20; 30

a) 6 d) 5

a) 11 d) 5

S5AR32B

b) 9 e) N.a

c) 7

28. ¿Cuántos números de dos cifras son múltiplos de 2 ó 3? a) 60 d) 15

b) 45 e) 75

c) 30

29. ¿Cuántos términos de la siguiente serie son múltiplos de 38?

18.1; 18.2; 18.3;….18.100 a) 48 d) 51

b) 49 e) 52

c) 50

30. Hallar el residuo de dividir: E = 12 + 22 + 32 +….+ 802 entre 6. a) 0 d) 3

c) 4

º 3 a + ...... + 10 a = 9

b) 7 e) 8

c) 2

H = 13 + 23 + 33 +…..+ 803 entre 19?

Hallar “a”. b) 60; 30 e) 30; 90

b) 1 e) n

27. Hallar el residuo de dividir el número:

25. Si: 1a +

º 3

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 18 e) 9

a) 1 d) 3

19. ¿Cuántos de 2 cifras, son?: º ó 3 º I. 2

a) 20 d) 12

a) 106 d) 90

18. La expresión n3 – n, donde “n” es entero positivo, siempre será divisible entre: a) 4 d) 5

26. Si “n” no es divisible entre 3, entonces cuando H = n2 + n4 + n6 +…+ n20, se divide 3 el resto es:

22. Si el cuadrado de un número de 2 dígitos diferentes, se le resta el cuadrado del número formado por los 2 dígitos en orden invertido, el resultado es divisible por:

c) 8

17. Calcular “a”, si el número 7 a 5 es divisible por 17. a) 2 e) 5

20. Hallar x +y + z

a) 7 d) 2

16. Para qué valor de “a”, el número 16 a 6 al ser dividido entre 41 su resto sea 5. a) 9 d) 5

5to Año Secundaria

º Si 4 x 4 yz = 1125

c) 19

14. ¿Cuántos números de la forma 7 a 361 b , son divisibles entre 11?

a) 60; 20 d) 30; 50

S5AR32B

b) 18 e) 16

15. Si: nqp = 88. (n – p + q) hallar “q”.

º = 37 + 5. Hallar a.

b) 3 e) 6

13. Al dividir 242424…(325 cifras) entre 32, el resto que se obtiene es: a) 17 d) 20

ARITMETICA

02

01

c) 20

º º 09. Si ab = 13 + 5; cd = 13 + 6. ¿Qué residuo se obtendrá al vivir abcd entre 13?

a) 9 d) 2

5to Año Secundaria

c) 9

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 1 e) 5

c) 2

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

01

NÚMEROS I. NÚMEROS PRIMOS: Número primo o primo absoluto, es aquel que admite únicamente dos divisores, siendo estos divisores: la unidad y él mismo.

02

ARITMETICA

5to Año Secundaria

III. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI): Dado un Conjunto de dos o más números, diremos que son primos entre sí (PESI), si es que el único divisor común que comparten es la unidad.

Ejemplo: Sean los números 4. 6. 15

PN =

d) Suma de inversa de divisores (IN): IN =

Div 4 ⇒ 1: 2: 4 Div 6 ⇒ 1: 2: 3: 6 ∴ 4: 6 y 15 son PESI

Ejemplo:

2

3

5

7

…

269

…

Divisores

1 2

1 3

1 5

1 7

…

1 269

…

LA UNIDAD: Es un número especial que sólo tiene un divisor.

Nota: • La serie de los números primos es ilimitada; no existe aún fórmula que determine totalmente a los números primos.

•

La unidad (1) no es un número primo porque admite sólo un divisor.

II. NÚMERO COMPUESTO: Se denomina así a todos aquellos números que tiene más de dos divisores.

Ejemplo: 4: 6: 8: 10: 12…………….: etc.

Dado el numeral 30 tenemos lo siguientes: Número 30

Divisores 1 2: 3: 5 6:10:15:30

Único divisor

Si: N = a . b . c

común

Factores primos diferentes

IV. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA: Todo número entero positivo se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre si, elevados a ciertos exponentes. Esta descomposición es única y recibe el nombre de descomposición canónica.

Ejemplo: Sea N un número compuesto, tal que: N = aα . bβ . cγ Donde: Divisores primos: a; b; c Exponentes positivas:

Luego, la cantidad de números que son menores y PESI con N está dado por: ∅(N)

⇒ Div. Compuestos

a) 858 d) 429

a) 16 d) 22

  c γ+1 −1 .   c −1   

    

a) 2 d) 8

c) Producto de divisores (PN): S5AR32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AR32B

b) 364 e) N.a

c) 728

b) 18 e) 24

c) 20

03. ¿Cuántos ceros debe tener el número 200…00 para que admita 56 divisores?

=   b β+1 −1 .  b −1     

   

º 02. De los divisores de 43200. ¿Cuántos son 2 º pero no son 3 ?

b) Suma de divisores (SN):

 a α+1 −1    a −10 

 1 . 1 −  c 

01. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 2020?

DN = (α + 1) . (β + 2) . (γ + 1)

SN

 1 . 1 −  b 

PRACTICA DE CLASE Nº 3

a) Cantidad de divisores de (DN):

⇒ Divisores Primos

=

 1 =N  1 − a 

V. FORMULAS IMPORTANTES: Sea el numeral N = a. b. c son factores primos y (?) son exponentes de dichos factores.

⇒ Divisor Unidad

SN N

VI. FUNCIÓN DE EULER: ∅(N) Llamado también indicador de un número y nos dice cuantos enteros positivos menores que N son PESI con N.

Div 15⇒ 1: 3: 5: 15 Número

DN N 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 4 e) 10

c) 6

N=

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN n

04. Si: N = 72 . Hallar “n” para que N tenga 117 divisores. a) 3 d) 7

b) 4 e) 8

c) 5

05. Si M = 36.36……….36 (“n” factores) Hallar “n” para que M tenga 169 divisores. a) 3 d) 12

b) 6 e) 13

b) 2 e) 10

c) 6

07. El número 6n + 2. 4n tiene 141 divisores compuestos. Calcular “n”. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

08. ¿Cuál es el menor número entero que tiene 20 divisores? a) 120 d) 130

b) 240 e) 278

c) 280

09. ¿Cuántos números son menores y primos entre si con 100? a) 12 d) 40

b) 16 e) N.a

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 2 01. Cuántos términos deben tener el siguiente producto para el resultado sea un número que tenga 961 divisores.

P = 36 x 362 x … x 36n a) 5 d) 10

b) 6 e) N.a

c) 8

c) 32

02. Hallar el número de la forma aabb tal que posea 21 divisores y uno de sus dos factores primos es 2; dar la suma de sus cifras. a) 22 d) 28

b) 24 e) 30

c) 26

03. Determinar el número amigo de 2924 a) 2 620 d) 6 426

b) 5 544 e) 4 356

c) 4 362

04. Sabiendo que 10m x 25n tiene 33 divisores, hallar m + n. a) 5 d) 9

b) 8 e) 6

c) 4

05. Cuántos divisores primos como máximo puede tener.

3 551 x a (a<10) a) 4 d) 15

b) 32 e) 18

c) 16

10. Sabiendo que el número aaa tiene 8 divisores. Dar la suma de todos los valores de “a” b) 7 e) 23

c) 14

06. El número P = 2 – 1 es primo ¿Cuál de los siguientes números contiene a un número primo mayor que P? a) P! d) (P+1)!

b) (P-1)! e) P!! + 1

ARITMETICA

02

07. Determinar la suma de todos los divisores comunes a los números: 19 456; 17 408 y 13 312. a) 1 d) 2 047

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 4 095 e) N.a

c) 255

08. El sistema de factores primos de N es: N = 27 x a x b y la suma de sus divisiones es

85 de N. Determinar a + b 28 a) 8 d) 14

b) 10 e) 16

c) 12

a) 1.60 d) 2.80

b) 2.40 e) 3.20

c) 2.60

10. Cuál es la mayor potencia de 11 que divide a factorial de 1000 a) 90 d) 98

b) 92 e) 99

c) 12

11. Hallar cuantos divisores tiene: N = 18 a x 12b x 3a SN tiene 187 divisores. a) 143 d) 136

b) 154 e) N.a

c) 156

C) P2

o

12. Si el número: N = 10 b x 2 tiene 63 º divisores 50 . Determinar cuantos º divisores 36 tiene. a) 30 d) 28

b) 42 e) 36

c) 24

13. Hallar la suma de los divisores que tiene el mayor capicúa de cuatro cifras que es múltiplo de siete.

S5AR32B

b) 6144 e) N.a

14. Si “m” y “n” son dos números cuya diferencia es 3. Hallar m + n si 3 m + 3n tiene 36 divisores. a) 9 d) 15

b) 11 e) 16

c) 3072

c) 13

15. Si el producto de los divisores de un número es 518 x 712. Determinar la suma de las inversas de los divisores de dicho número. a) 1

2565 6125

d) 1.5

09. Un número tiene dos divisores primos y en total 15 divisores. Si la suma de sus divisores es 403. Determinar la suma de las inversas de todos sus divisores.

a) 1288 d) 24576

S5AR32B

5to Año Secundaria

a x 5

21 701

a) 2 d) 12

01

c) 9

06. Al multiplicar por 33 al numeral A = 21x11n se duplica su cantidad de divisores. a) 1 d) 7

5to Año Secundaria

b) 2

4 5

c) 1

e) N.a

TAREA DOMICILIARIA Nº 3 01. ¿Cuántos divisores 820 son divisores entre 4? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

02. ¿Cuántos divisores compuestos? a) 8 d) 4

b) 7 e) 6

c) 3 de

14399

no

son

c) 5

03. Sean: A = 3.21 n y B = 98 n. Hallar “n”, Si el número de divisores de A y B están en la relación de 2 a 3. a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

04. Si el número de divisores de los números 300 n y 16x90 n son iguales. Hallar “n” a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

05. Si el número 40 x 15 m tiene 116 divisores compuestos. Hallar “m” a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 9 06. Hallar “K”, si N = 12x6 k es un número que tiene la mitad del número de divisores de 43200.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

5to Año Secundaria

b) 3 e) 6 n

º 14. ¿Cuál es el menor número que es 15 y tiene 15 divisores? Indica la suma de cifras.

a) 9 e) 19

c) 4

3

08. Si N = 2 x 3 se le multiplica por 10 su cantidad de divisores aumenta en 20 calcular la suma de cifras de N. a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

b) 36 e) 35

b) 5 e) 8

son

b) 7 e) 8

c) 6

c) 10

12. ¿Cuántos rectángulos de 3024 cm2 de área existe, tale que tenga sus lados número enteros de centímetros? a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 24 13. Si M = 2x3x6 n x 5 n tiene 48 divisores. º Determina, cuantos son 5 pero no múltiplos de 25. a) 12 d) 18 S5AR32B

b) 14 e) 20

b) 11 e) 20

MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO

c) 13

4. Si un número es múltiplo de otro, entonces el MCD, los cocientes obtenidos son PESI. Ejemplo: 20 y 4 ⇒ MCD (20, 4) = 4 5. Si se dividen varios números entre su MCD, los cocientes obtenidos son PESI.

I. MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD): Es el mayor de los divisores comunes que tienen un conjunto de números dados.

Ejemplo: 8 12

Divisores

1 2 4 8

c) 48

11. Sabiendo que P = 2a x 33 x 5b; tiene 50 º divisores cuya suma de cifras es 9 y 80 divisores cuya cifra de menor orden es par.

Determinar: a + b a) 11 d) 9

5to Año Secundaria

Ejemplo:

8 y 12 ⇒ MCD (8, 12) = 4

8 12 = 2; = 3 Luego: 2 y 3 son 4 4 PESI

10. Si al número: N = 2a x 7b se le multiplica por 8, su número de divisores aumenta en 12 y si se le multiplica por 49 aumentan en 10.

Hallar: a + b a) 4 d) 7

ARITMETICA

c) 8

09. ¿Cuántos números de la forma ab primos relativos con 15? a) 40 d) 42

02

c) 3

07. Si se sabe que el número 18 x 30 n , tiene el doble cantidad de divisores de 18 n x 30.

Calcular el valor de “n”. a) 2 d) 5

01

1 2 3 4 6 12

divisores comunes

MCD (8, 12) = 4 PROPIEDADES FUNDAMENTALES 1. Todos los divisores comunes de un conjunto de números, son los divisores del MCD.

1, 2 y 4 En el ejemplo Divisores comunes de 8 y 12 son los divisores de

4 MCD

METODOS PARA EL CÁLCULO DEL MCD 1. Descomposición en Factores Primos: Consiste en descomponer los números dados en sus factores primos en el MCD será el producto de los factores primos comunes elevados a sus menores exponentes.

Ejemplo: 35280 = 24 x ; 32 x 5 x 42 693000 = 23 x 32 x 53 x 7 x11 218400 = 25 x 3 x 52 x 7 x 13

⇒ MDC = 23 x 3 x 5 x 7 = 840 2. Descomposición simultánea: Consiste en extraer a los números todos los factores comunes posibles. El MCD será el producto de ellos.

Ejemplo:

2. Para un conjunto de números dados, se cumple que cada uno de ellos se múltiplo de su MCD. En el Ejemplo: 8 = m (4) 12 = m (4) donde 4 es el MCD

⇒ MCD = (360, 144, 600) = 23 x 3 = 24

3. Si dos números son PESI, entonces su MCD es la unidad.

Ejemplo: 4 y 5 son PESI Entonces: MCD (4, 5) = 1

c) 16 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AR32B

360 144 600 2 180 72 300 2 90 36 150 2 45 18 75 3 15 6 25

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3. Por el “Logaritmo de Euclides”: o divisiones sucesivas.

5to Año Secundaria

01

¿Cuántos divisores comunes admiten los números: A = 184x813; B = 275x723; C= 483x 842?

Ejemplo: Hallar el MCD de 168 y 126 1

3

168 126

Cociente

42

42

Resolución: Los divisores comunes son divisores del MCD (A; B; C)

todos

los

MCD

0

A = 24 . 320 B = 29 . 321 C = 216 . 35 . 72

Residuos

MCD (168, 126) = 42 MCD (A; B; C) = 24 . 35 Ejemplo 1: El MCD de los números: 36K, 54K y 90K es 1620. Hallar el menor de los números. ∴

Resolución: MCD (36K; 90K) = 18 K 18K = 1620 K = 90 ∴El menor número: 36. 90 = 3240 Ejemplo 2: La suma de dos números e 2028 y los cocientes obtenidos al calcular el MCD por el algoritmo de Euclides fueron: 2; 3; 5 y 3 Hallar dichos números.

2

3

B

16K

3K

K

-

16 3K B = 51K A = 118K

5

∃ 30 divisores comunes

Ejemplo: Cuatro barras de longitudes 260, 280, 420 y 480 cms; se quieren dividir en pequeños trozos de igual longitud ¿Cuál es el menor número de trozos que se pueden obtener?

Resolución: Sea «/» la longitud de cada trozo para encontrar el menor número de trozos, la longitud será: / = MCD (260; 280; 420; 480) = 20

Resolución: Sean los números A y B (A > B)

A

DMCD = 5 . 6 = 30

El número de trozos:

K

MCD

51K + 118K = 2028 K = 12

A = 118.12 = 1416 B = 51.12 = 612

5to Año Secundaria

340 Sea «/» el lado de cada cuadrado. «/» es divisor de 180 y 340.

Para hallar el número de cuadrados / = MCD (260; 340) = 20 #cuadrados

=

A TOTAL 180 . 340 = = 153 A1 cuadrado 20 .20 II. MINIMO COMUN MULTIPLO (MCM): Es el menor número múltiplo común (positivo) de un conjunto de números dados.

Ejemplo: 4 6

4 8 12 16 20 24 . 36…48….

6 12

18 24……36…48 …

Múltiplos comunes

El menor múltiplo común de 4 y 6 es 12 MCM (4, 6) =12 PROPIEDADES FUNDAMENTALES: 1. Todos los múltiplos comunes de un conjunto de números, son múltiples del MCM. En el ejemplo:

260 280 420 480 + + + = 72 20 20 20 20 ∴ Se obtienen 72 trozos.

Ejemplo 5: Hallar el menor número de cuadrados iguales en que se puede dividir un terreno rectangular cuyas dimensiones son 180 y 340 m.

Resolución:

Múltiplos comunes de 4 y 6

En el Ejemplo: MCD (4, 6) = 2 MCM (4, 6) = 12 Se cumple que 4 x 6 = 2 x 12 3. Si dos son PESI, el MCM de ellos es su producto.

Ejemplo: 4 y 5 son PESI MCM (4,5) = 4 x 5 = 20

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

MCM

2. El producto de dos números es igual al de su MCD por su MCM.

Ejemplo 3: S5AR32B

ARITMETICA

12, 24, 36, 48,…son múltiplos de 12

3

Los números serán:

02

S5AR32B

4. Si un número es múltiplo de otro, el MCM de ellos es el número mayor.

Ejemplo: 20 y 4 MCM (20, 4) = 20 METODOS PARA EL CÁLCULO DEL MCM 1. Descomposición en factores Primos: Consiste en descomponer a los números dados en sus factores primos y el MCM será el producto de todos los factores primos (Comunes y no comunes) elevados a sus mayores exponentes.

Ejemplo: 35280 = 24 x ; 32 x 5 x 42 693000 = 23 x 32 x 53 x 7 x11 218400 = 25 x 3 x 52 x 7 x 13 MCM = 25 x 32 x 53 x 72 x 1 x 13 = 252252000 2. Descomposición simultánea: Consiste en extraer todos los factores posibles a los números (comunes y no comunes).

Hasta que dichos números queden reducidos a la unidad.

El MCM será el producto de todos los factores extraídos.

Ejemplo: 360 144 600 2 180 72 300 2 90 36 150 2 45 18 75 3 15 6 25 2 15 3 25 5 3 3 5 3 1 1 5 5 1 1 1 MCM = 2 4 x 32 x 52 = 3600 PROPIEDAD: Si se multiplica o dividen varios números por una misma cantidad, su MCD ó MCM también quedan multiplicados o divididos por dicha cantidad respectivamente.

Ejemplo1: ¿Cuál es el número que dividido entre 5, 6, 7 y 17 arroja 3 de residuo?

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Resolución:

5to Año Secundaria

02. César, Martín y Aldo visitan a Nathaly y cada 8, 9 y 12 días respectivamente. Si la visitaron juntos al 25 de Julio. ¿Cuál será la fecha más próxima en que volverán visitarla?

N = MCM (5; 6; 7; 17) + 3 N = m 3570 + 3 El menor número es: 3573 Ejemplo 2: Se forma un paralelepípedo de dimensiones 216 cm, 126 cm 72 cm con ladrillos cúbicos que tengan el mayor volumen posible. ¿Cuántos ladrillos son necesarios?

Resolución:

a) 6 Octubre d) 4 Octubre

P = MCD (216; 126; 72) = 18

216 . 126 . 27 = 336 18 . 18 . 18

Ejemplo 3: Hay las tres campanas de una iglesia han sido tocadas simultáneamente; si en adelante la primera será tocada cada 7 días, la segunda cada 4 días y la tercera cada 10 días, ¿Después de cuantos días se volverá a tocar nuevamente juntas?

Resolución: Sea t el tiempo en que volvería a tocar simultáneamente.

T = MCM (7; 4; 10) t = 140 ∴ A los 140 días PRACTICA CLASE Nº 4 01. Se tiene una superficie rectangular cuyas dimensiones son 528 y 288 m. Se les desea cerca con alambre sujeto a postes equidistantes. ¿Cuál será el mínimo número de poste a utilizar? a) 68 d) 136 S5AR32B

b) 34 e) 96

c) 17

c) 5 Octubre e) N.a

c) 4 Octubre

03. N es el mayor número natural tal que al dividir 3999, 5585 y 6378 4entre N deja un mismo residuo. Calcula la suma de las cifras de N. a) 17 d) 22

# Ladrillos =

01

b) 19 e) N.a

c) 21

04. Hallar “X” si: MCD (A, B) = x MCD (B, C) = x/2 MCD (C, D) = x/4 MCD (A, B, C) = 12 a) 96 d) 24

b) 72 e) N.a

c) 48

b) 135 e) 191

c) 140

06. Hallar: n (n>1) si: A = 18.30n, B = 45.20n Si: MCM = 19440. MCM a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.a 07. Tres reglas de 24000 mm. Cada una están divididas en 300, 200 y 96 partes iguales. Se hace coincidir los extremos de las tres reglas. ¿En cuántas divisiones coinciden (además de los extremos)? a) 1 parte d) 4

b) 2 e) 9

c) 3

08. El número de libros de una biblioteca es tal que si se encuentra de 11 en 11, sobren 9; de 15 en 15 sobran 13; de 18 en 18 sobran 16 y de 20 en 20 sobran 18. ¿Cuántos son los

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

5to Año Secundaria

libros si dicho número está comprendido entre 2000 y 4000? a) 3958 d) 3858

b) 2588 c) 3388

c) 2598

09. En la finca de doña Paquita hay más de 700 árboles y menos de 1300. Si se cuentan de 6 en 6, de 10 en 10 ó de 12 en 12 sobran 5, pero si se cuenta de 11 en 11 no sobra ninguno. ¿Cuántos árboles hay? a) 1262 d) 1265

b) 1263 e) 1266

c) 1264

10. Hallar el valor de K, sabiendo que: MCD (210K; 300K; 420K) = 1200 a) 6 d) 40

05. Calcular A, B sabiendo que: MCD(35A;5B)=70 y MCM(42A;6B) = 504 a) 126 d) 168

ARITMETICA

02

b) 15 e) 90

c) 30

11. La diferencia de los cuadrados de dos números es 37044, hallar dichos números; si su MCD es 42. Dar como respuesta la suma de ellos. a) 882 d) 884

b) 880 e) 892

c) 883

12. La diferencia de dos números es 44 y la diferencia de su MCM y su MCD es 500 uno de ellos es: a) 32 b) 120 c) 68 d) 57 e) 28 14. Al calcular el MCM de 2 cantidades mediante el algoritmo de Euclides se obtuvo como cocientes sucesivos los números 1; 3; 2; 3, si la diferencia de los mismos es 84, calcular la suma. a) 660 b) 840

b) 760 e) N.a

c) 720

15. Si MCD ( x 48 y ; 5 bb 5 ) = 33 Hallar: (x + y+ b) sabiendo que es par. a) 22 d) 16

b) 14 e) 18

c) 20

EJERCICOS PROPUESTOS Nº 4 S5AR32B

01. Se aplica el algoritmo de Euclides para obtener el M.C.D. de dos números obteniéndose como cocientes sucesivos: 1; 2; 2; 3; 2. Si el M.C.D. es 30 ¿Cuántos es la diferencia de los 2 números? a) 280 d) 480

b) 560 e) 240

c) 420

02. Al calcular el M.C.D. de mnmn y momo mediante el algoritmo de Euclides, los dos únicos cocientes sucesivos fueron 1 y 12. Hallar la suma de las M.C.D. a) 12 d) 15

b) 10 e) 16

c) 18

03. Para hallar el M.C.D. de 2 números se utilizó el Algoritmo de Euclides hallándose 2 cocientes que son número iguales. Si la suma de dichos números es 341. Hallar el menor de ellos. a) 55 d) 62

b) 93 e) 52

c) 77

04. Al calcular el M.C.D. de los números 5529 y 6441 por divisores sucesivos. ¿Cuál fue la suma de los cocientes? a) 15 b) 18 c) 21 d) 22 e) 23 05. El M.C.M. de dos números es 252888 y los cocientes obtenidos para calcular el M.C.D. de dichos números por divisores sucesivos fueron: 3, 7, 2 y 5 respectivamente. Hallar el mayor de los números. a) 984 d) 3,084

b) 4,074 e) N.a

c) 2,542

06. Se tiene un terreno en forma de triangulo rectángulo y cuyos catetos miden 540 mts. Y 288 mts. Se desea cercado con alambre sujeto a postes equidistante de tal manera que haya por lo menos un poste en cada lado vértice y uno de los puntos medios de los lados. ¿Cuántos postes como mínimo se necesitarán?

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 80 d) 96

b) 160 e) N.a

c) 240

07. Tres aviones de una campaña comercial salen de un mismo aeropuerto: El 1ro. Cada 8 días, el 2do. Cada 15 días y el 3ero. Cada 2 días. Si los aviones salieron juntos el 2.1.85. ¿Dígase cuál será la fecha más próxima en que volverán a hacerlo juntos? a) 23.4.87 d) 25.4.87

b) 22.4.87 e) 26.4.87

c) 21.4.87

08. Se desea construir un patio rectangular para depositar cajones de 3 clases.

1ra : Base 22 x 24 m2 , Altura 15 m 2da : Base 21 x 33 m2 , Altura 15 m 3ra : Base 18 x 28 m2 , Altura 15 m ¿Cuáles son las dimensiones mínimas que debe tener el patio para cuando se coloque cajones de una misma clase, no quede espacio libre alguno?. Dar como respuesta el lado mayor del patio construido.

5to Año Secundaria

¿Cuántos días debe transcurrir para que le toque descansar el domingo?. ¿Cuántos días trabajo hasta ese momento? a) 84 y 76 días c) 82 y 77 días e) 83 y 77 días

b) 4 e) 6

b) 83 y 76 días d) 84 y 77 días

01. Se tienen 3 obras literarias con 660, 780 y 900 páginas, las cuales se quieren editar en fascículos. Todos iguales estando el número de páginas. Comprendido entre 10 y 20. A razón de un fascículo semanal ¿en cuántas semanas como mínimo se terminará de publicar las 3 obras? a) 1565 d) 204

b) 144 e) 156

c) 196

02. El número de divisores comunes de los números 1760913 y 83853 es: a) 20 d) 27

c) 8

10. Un empleado trabaja 11 días seguidos y descansa el duodécimo. Si empezó a trabajar en lunes; hallar:

02

ARITMETICA

5to Año Secundaria

03. ¿Cuántos múltiplos comunes de 4 cifras tienen los números 45; 48 y 108? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

04. Hallar dos números pesi: a y b, tales que el M.C.M de a y b es 330 y a – b = 7

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

a) 168 b) 1386 c) 1748 d) 585 e) 198 09. En un pueblo se realizó un censo por 2 compañías de estadísticas diferentes, la primera contó en base 6 y la otra en base 5, y se dieron con la sorpresa de que el número de habitantes para las dos compañías terminaba en dos ceros. Hallar el número de habitantes de dicho pueblo si es un número comprendido entre 3000 y 4000. Dar como respuesta la cifra de 3er. Orden de dicho número hallado. a) 9 d) 3

01

b) 23 e) 28

c) 24

a) 22 ; 29 d) 22 ; 15

b) 55 ; 52 e) 14 ; 21

c) 18 ; 25

05. Un número es múltiplo de 30. La mitad del número tiene 6 divisores menos y la tercera parte del número tiene 8 divisores menos. ¿Cuál es dicho número? a) 300 d) 720

b) 420 e) 720

b) 13 e) 16

c) 14

07. La suma de dos números a y b es 651; el cociente entre su M.C.M y M.C.D es 108.

Luego “a – b” es: a) 11 d) 436

b) 77 e) N.a

c) 483

08. Hallar el mayor de 2 números tales que su M.C.D sea 36 y su M.C.M sea 5148. a) 468 d) 396

b) 486 e) 639

c) 369

09. Dado 3 números A, B y C se sabe que: MCD (A, B) = 30 y MCD (B, C) = 198, ¿Cuál es el M.C.D? a) 3 d) 15

b) 6 e) 30

a) 852 d) 912

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5AR32B

c) 396

11. Sabiendo que el máximo común divisor de 2 números es 6 y su producto es 7560. ¿Cuántas parejas de números cumplen ello? a) 4 d) 8

b) 32 e) N.a

c) 16

12. Si 199 y 369 se dividen entre “n”, se obtienen por residuos a 7 y 9 respectivamente. ¿Cuántos valores pueden tomar “n”? a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

13. Se divide un número N en 2 partes tales que su diferencia es 80 y que su MCM es 1056. ¿Cuál es el valor de N? a) 304 d) 272

b) 384 e) 253

c) 234

14. Si: N = (a + b) a (a + 5 ) y MCM (N; 24)= MCM (N; 264). Hallar N. a) 649 d) 316

b) 538 e) 209

c) 427

15. Si el MCM de A y B es 4A y el MCD es A/7.

Hallar el valor de “A” sabiendo que: A– B =156. a) 231 d) 364

c) 12

10. La suma de 2 números pares es 1248. Si los cocientes sucesivos obtenidos al hallar su S5AR32B

b) 398 e) 456

b) 360

06. La suma del M.C.D. y M.C.D. de dos números es 4960. Si el menor es la tercera parte del mayor. Dar como respuesta la suma de cifras del número mayor. a) 12 d) 15

MCD fueron 2; 6; 4; 1; 1 y 2. Hallar la diferencia de dichos números.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 624 e) 468

c) 1056

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 16. Si se cuenta de 2 en 2 las carpetas de un aula sobra 1 y se cuentan de 11 en 11 sobran 10.

Si el número de carpetas termina en 9 y es el menor posible. ¿Cuántas carpetas tiene dicha aula? a) 209 d) 109

b) 89 e) 129

c) 119

17. ¿Cuál es el mayor número tal que al dividir 1828 y 2456 entre dicho número, se obtienen como residuos 19 y 26, respectivamente? a) 21 d) 27

b) 36 e) 23

b) 192 e) 144

d) 240

19. El cociente de dos números es m y el MCD es f. Determinar el mayor de los números a) f + 2m d) f + m

b) f(f + m) e) f – m

c) fm

20. ¿Cuántos número de tres y cuatro cifras que sean múltiplos de 3, 7 y 8 existen? a) 134 d) 59

b) 168 e) 58

22. ¿Cuántos divisores números 336 y 528? a) 5 d) 10

comunes

b) 6 e) 12

01

02

c) 8 Nº

23. Si MCD (A, B) = 14 m MCD (C, D) = 21 m MCD (A, B, C, D) = 42 Hallar m. a) 7 d) 21

b) 6 e) 14

c) 12

24. En una reunión se observa que el número de asistentes está entre 643 y 672, de tal manera que si se cuentan de 3 en 3, de 5 en 5 y de 11 en 11, siempre sobran 2. ¿Cuál es el número de asistentes? a) 648 d) 668

b) 658 e) 670

c) 662

25. El número de páginas de un libro está comprendido entre 600 y 800. Calcular este número sabiendo que si se cuentan de 5 en 5 sobran 2, de 7 en 7 quedan 4 y de 11 en 11 sobran 8. Dar como respuesta la cifra de las decenas del número pedido. a) 6 d) 9

b) 7 e) 0

ARITMETICA

5to Año Secundaria

SOLUCIONARIO

tienen los

c) 15

18. Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48 y su suma es 288. a) 96 d) 288

5to Año Secundaria

Ejercicios Propuestos 01

02

03

01.

E

C

D

02.

B

D

C

03.

C

A

B

04.

A

A

B

05.

B

C

C

06.

C

B

A

07.

E

C

E

08.

D

A

D

09.

E

E

B

10.

A

B

B

11.

A

12.

C

13.

B

14.

D

15.

B

c) 8

c) 60

21. Si el MCD de dos números es 9 y su producto es 1620. ¿Cuál es el MCM de dichos números?. Dar como respuesta la suma de las cifras del número pedido. a) 9 d) 3

b) 18 e) 6

c) 11

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S5AR32B

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