COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria
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3ero. Año Secundaria34
GEOMETRÍA En todo polígono convexo se cumple:
POLÍGONOS Definición: Es la porción del plano limitado por una región poligonal cerrada.
B β
x A
y C
θ
α ω E
δ
z D
Elementos: - Lados: AB, BC, CD - Vértices: A, B, C - Ángulos Internos: α, β, θ - Ángulos externos: x, y, z - Diagonal: AC, AD, BD
Lados 3 4 5 6 7 8
Lados 9 10 11 12 15 20
Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono
Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
S i =180 °(n −2) 2.Suma de Ángulos Externos (Se )
S e =360 °
III. Por sus Lados y Ángulos a) Polígono Equiángulo: Es aquel polígono que tiene ángulos iguales. Ejemplo: EL RECTÁNGULO
B
3.Número de Diagonales (ND)
Nd =
C
A
D
4.Medida del Ángulo Interior (i)
i=
B
e=
α=
c) Polígono Regular: Es aquel polígono que tiene lados y ángulos iguales. b) Polígono Cóncavo: Son aquellos polígonos en los que el trazar una recta a su perímetro ésta corta en mas de 2 puntos.
60° 60°
Por el número de sus lados:
S4GE31B
360 n
6.Medida del Ángulo Central. (α)
D
II.
180 (n − 2) n
5.Medida del Ángulo Exterior (e)
C
A
n(n −3) 2
Si el polígono es regular se cumple además:
b) Polígono Equilátero: Es aquel polígono que tiene sus lados iguales. Ejemplo: EL ROMBO
Clasificación: II. Por su forma de su contenido: a) Polígono Convexo: Son aquellos polígonos en los que al trazar una recta secante a su perímetro ésta lo corta en 2 puntos.
360 n
Notas: a) El número de diagonales que se puede trazar desde un solo vértice es igual a n - 3. b) El número de triángulos en que se puede dividir el polígono desde un solo vértice igual n - 2. c) El número de diagonales medias (Dm) es igual a:
60°
Dm =
n(n −1) 2
01. La suma de los ángulos internos de un polígono es 1080°, dicho polígono es un: a) Hexágono c) Octógono e) Pentágono
S4GE31B
b) Heptágono d) Nonágono
02. Hallar la suma de los ángulos internos de un Icoságono. a) 3240° d) 1800°
b) 3400° e) N.a.
c) 3420°
03. Un polígono tiene 20 lados, entonces es un: a) Octógono c) Decágono e) N.a.
b) Nonágono d) Heptágono
04. ¿Cuántas diagonales tiene un Nonágono? a) 27 d) 36
b) 30 e) N.a.
c) 18
05. ¿Cuánto mide el ángulo exterior de un Nonágono regular? a) 40° d) 60°
b) 36° e) N.a.
c) 45°
06. El ángulo externo de un polígono regular mide 72°, hallar el número de lados: a) 9 d) 5
b) 8 e) N.a.
c) 7
07. El ángulo interno del pentágono regular mide: a) 109° d) 54°
b) 72° e) 120°
c) 108°
08. ¿Cómo se llama el polígono regular cuyo ángulo interno mide 120° a) Pentágono c) Hexágono
d) Propiedades:
“El nuevo símbolo de una buena educación ...”
PRÁCTICA DE CLASE
1.Suma de Ángulos Internos (Si )
”El nuevo símbolo de una buena educación ...”
b) Nonágono d) Decágono
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3ero. Año Secundaria e) N.a.
d) 5
09. El ángulo central de un polígono convexo mide 60°, dicho polígono es un: a) Octógono c) Icoságono e) Pentágono
b) Nonágono d) Exágono
10. Calcular el ángulo central de un polígono regular de 36 lados. a) 20° d) 60°
b) 15° e) 10°
c) 30°
11. Si el número de diagonales medias de un polígono convexo es 15°, dicho polígono es: a) Exágono c) Decágono e) Nonágono
b) Icoságono d) Pentágono
12. Hallar el número de diagonales medias de un polígono convexo de 20 lados: a) 180 d) 210
b) 190 e) 220
c) 200
13. Un polígono convexo de 73 lados calcular el número total de diagonales trazadas desde dos vértices consecutivos. a) 140 d) 144
b) 142 e) 141
c) 138
14. Un polígono convexo cuyo número de diagonales se multiplica por 7 al duplicar el número de lados. ¿Cómo se llama el polígono? a) Eneágono c) Hexágono e) Heptágono
b) Pentágono d) Decágono
15. Hallar el número de lados de un polígono regular en el que si se aumentará 12° a un ángulo interno, resultaría de un polígono de un lado más. a) 10 S4GE31B
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b) 18
e) 6
b) 200 e) 202
c) 205
17. Se tiene un polígono convexo de “n” lados cuyo número de diagonales se encuentra entre 22 y 34. Hallar n. a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 18. En cierto polígono al aumentar el número de lados en “K”, el número de diagonales aumenta en 6K. ¿Cuántos polígonos cumplen estas condiciones? a) 2 d) 15
b) 6 e) 14
c) 5
19. Dado un hexágono convexo ABCDEF tal que: m B = 40°; m E = 150° y mC +m D = 330°. Calcular la medida del ángulo que forman las rectas AB y FE al intersectarse. a) 60° d) 20°
b) 70° e) 100°
c) 80°
20. El perímetro de un octógono equiángulo ABCDEFGH es 4 (1 + 2 ) dicho polígono tiene dos tipos diferentes de lados de los cuales se presentan en forma alternada. AF + BG . Calcular a)
2 − 1
b) 3 + 2
2 + 1
d) 3 − 2
c) 4
“El nuevo símbolo de una buena educación ...”
e)
GEOMETRÍA
PROBLEMAS PROPUESTOS
16. En un polígono de “n” lados la suma del número de diagonales medias y el triple del número de lados es 1650. Calcular la diferencia entre el número de diagonales trazadas desde 5 vértices consecutivos y de un vértice. a) 198 d) 203
3ero. Año Secundaria34
3 + 1
c)
01. Hallar el número de lados de un polígono si se cumple que el número de diagonales de dicho polígono es igual al doble de su número de lados. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
02. El número de diagonales de un polígono es 20. Hallar 2x, donde x representa el número de lados del polígono a) 16 d) 14
b) 20 e) 15
b) 5 e) 8
c) 6
04. Hallar el número de lados de un polígono regular, sabiendo que el triple de la suma de sus externos es igual a la suma de sus ángulos internos. a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
05. ¿En qué polígono regular, el ángulo interior y exterior están en razón de 5:2 a) Exágono c) Heptágono e) Decágono
b) Icoságono d) Cuadrado
06. Calcular el número de lados de un polígono convexo, si se cumple que la suma de su ángulo interno más 4 veces su ángulo externo es igual a 360° a) 5 d) 6
b) 6 e) 10
c) 9
07. Calcular el número de diagonales medias de un polígono, si se cumple que el número de S4GE31B
a) 10 d) 17
b) 12 e) 20
c) 15
08. Hallar el número de lados de un polígono convexo, sabiendo que el número de sus diagonales medias es el doble de su número de diagonales. a) 4 c) 7
b) 5 e) 8
c) 6
c) 30
03. Calcular el número de lados de un polígono regular si se cumple que la suma de sus ángulos externos mas la suma de sus ángulos internos es igual a 990°. a) 4 d) 8
diagonales es a su ángulo central como 3 es a 20.
09. ¿Cuál es el número de lados de un polígono en el cual al aumentaren uno el número de lados, el número de diagonales aumenta en 2? a) 6 d) 3
b) 5 e) 10
c) 4
10. Si se disminuye en 2 el número de lados de un polígono, el número de diagonales disminuye en 19. Hallar el polígono a) Icoságono c) Decágono e) Dodecágono
b) Octógono d) Nonágono
11. La suma entre el número de lados de dos polígonos regulares es 13 y la suma entre sus ángulos exteriores es 117°. Hallar el número de lados del mayor polígono a) 5 b) 8 c) 13 d) 3 e) 10 12. El producto entre el número de lados de 2 polígonos regulares es 36 y la diferencia entre los ángulos exteriores es 50°. Hallar la suma del número de lados de ambos polígonos: a) 10 d) 16
b) 12 e) 13
c) 14
13. Calcular el perímetro de un exágono equiángulo ABCDEF si AB = 8; BC = 4; CD = 5 y EF = 7. a) 20
”El nuevo símbolo de una buena educación ...”
b) 24
c) 27
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e) 26
14. Calcular el número de lados de un polígono equiángulo sabiendo que la suma de 5 ángulos internos es 800° a) 15 d) 18
b) 16 e) 19
05. En dos polígonos regulares cuya suma de las medidas de los ángulos internos difieren en 2160°. Y las medidas de los ángulos centrales difieren 5°. Hallar el número de lados del mayor de ellos.
c) 17 a) 36 lados d) 38 lados
15. En el exágono regular anterior ¿Qué ángulo forman las diagonales AD y CF? a) 30 d) 150
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b) 60 c) 120 e) Más de una es correcta
b) 24 lados e) 20 lados
3ero. Año Secundaria34
GEOMETRÍA
10. En un polígono regular de n lados, desde (n 5) lados consecutivos se trazan (n + 4) diagonales medias. Hallar la suma de los ángulos interiores de dicho polígono. a) 1440° d) 900°
b) 720° e) 540°
c) 1080°
c) 30 lados
06. Al triplicar el número de lados de un polígono regular la medida de del ángulo central es (n - 2)°, siendo “n” el número de lados del polígono. Hallar la medida del ángulo interno de dicho polígono.
TAREA DOMICILIARIA 01. En que polígono en número de diagonales medias es el doble del número de diagonales de dicho número? a) Exágono c) Octágono e) Nonágono
b) Pentágono d) Icasógono
02. En un polígono regular desde 4 vértices consecutivos se trazan 105 diagonales. Hallar la medida del ángulo central de dicho polígono. a) 10° b) 8° c) 15° d) 12° e) 18° 03. En un polígono convexo desde (n - 6) vértices consecutivos se trazan 25 diagonales. Hallar la suma de las medidas de los ángulos internos de dicho polígono. a) 1800° d) 720°
b) 1440° e) 540°
c) 1080°
04. Un polígono regular tiene 2 lados mas que otro, pero su ángulo central mide 30° menos que la medida del otro, luego el polígono es: a) Pentágono c) Exágono e) Triángulo S4GE31B
b) Heptágono d) Octágono
a) 144° d) 150°
b) 120° e) 162°
c) 135°
07. Si el número de lados de un polígono regular aumenta e 10, la medida de cada ángulo interno del nuevo polígono es 3° mayor, que la medida de cada ángulo interno el polígono original. Hallar el número de diagonales del polígono. a) 405 d) 260
b) 410 e) 180
c) 305
08. Hallar el menor número de ángulos internos obtusos que puede tener un polígono convexo de “n” lados, siendo n mayor que 5. a) n d) n - 3
b) n - 1 e) 3
c) n - 2
09. Si la medida de cada ángulo exterior de un polígono regular se aumenta en 15°, resulta otro polígono regular cuyo número de diagonales es 11 menos que el número de diagonales del polígono original. Hallar el número de diagonales medias de dicho polígono. a) 28 d) 55
“El nuevo símbolo de una buena educación ...”
b) 45 e) N.a.
c) 15
S4GE31B
”El nuevo símbolo de una buena educación ...”