COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN I BIMESTRE:
ORIGEN Y DESARROLLO Todo comenzó en Egipto El ser humano necesitó contar, y creó los números; quiso hacer cálculos, y definió las operaciones; hizo relaciones, y determinó las propiedades numéricas. Por medio de lo anterior, más el uso de la lógica, obtuvo los instrumentos adecuados para resolver las situaciones problemáticas surgidas a diario. Además de esos requerimientos prácticos, el hombre precisó admirar la belleza de la creación para satisfacer su espíritu. Con ese fin, observó la naturaleza y todo lo que le rodeaba. Así fue ideando conceptos de formas, figuras, cuerpos, líneas, los que dieron origen a la parte de la matemática que designamos con el nombre de geometría. El Río Nilo La palabra geometría está formada por las raíces griegas: "geo", tierra, y "metrón", medida, por lo tanto, su significado es "medida de la tierra".
Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto. Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas. El aporte griego Quienes dieron carácter científico a la geometría fueron los griegos, al incorporar demostraciones en base a razonamientos. Tales de Mileto (600 a.d.C.) inició esta tendencia, al concebir la posibilidad de explicar diferentes principios geométricos a partir de verdades simples y evidentes. Euclides (200 a.d.C.) le dio su máximo esplendor a esta corriente científica. Recogió los fundamentos de la geometría y de la matemática griega en su tratado Elementos Representamos los conceptos Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra mente a través S5GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
5to Año Secundaria
25
26
GEOMETRÍA
5to Año Secundaria
de la observación del entorno y solamente podemos hacer representaciones concretas de ellas. Las llamaremos términos primitivos o conceptos primarios y son: espacio, punto, recta y plano.
Una recta puede tener dirección:
Espacio Es el conjunto universo de la geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. Dentro de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas, esferas, etcétera.
Como la línea del horizonte.
Horizontal: R R
Vertical:
F
En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula y para reconocerlos usaremos o x. Por ejemplo: • A se lee punto A, x M se lee punto M. Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.
Como el hilo a plomo. Oblicua:
Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna, son representaciones de planos.
Cuando es distinta a las dos anteriores. Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo. Por ejemplo: AB, se lee recta AB. También se usa una L ó una R, especialmente en los casos en que deban distinguirse varias rectas.
D
Mixta
Puntos y rectas: a)
L
Poligonal
Hay planos horizontales, verticales y oblicuos. Cuando en una superficie no quedan rectas totalmente incluidas en ella, decimos que es curva. Una representación de esto sería una bandera flameando.
Tras conocer las ideas geométricas, las relacionaremos, para determinar aspectos que son muy importantes de analizar.
DE es una recta oblicua
L es una recta vertical
Curva
Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener figuras geométricas.
Relacionemos lo estudiado
Veamos:
E
Recta
T
Este dibujo será una representación del plano ART y lo simbolizaremos P ART.
Su símbolo es; E: Punto El punto tiene posición en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o en un granito de arena, pero debemos tener en cuenta que no tiene grosor.
Veamos este ejemplo:
Vamos a determinar un punto del espacio. ¿Cuántas rectas pueden pasar por él? o ¿a cuántas rectas pertenece ese punto?
Plano
Plano y Recta: Infinitos puntos La unión de infinitos puntos da origen a los otros dos principios básicos de la geometría: plano y recta.
Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo diferencia con ésta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor.
La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.
El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.
La identificaremos con el dibujo
El símbolo de plano es P y para nombrarlo debe estar acompañado de, por lo menos, tres puntos. S5GE31B
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
Como las rectas no tienen grosor, obtenemos un dato fundamental de la geometría: "por un punto del espacio pasan infinitas rectas". Determinemos un punto del plano y dibujemos rectas que pasen por él. Recordemos que la línea que hacemos es una representación, porque la recta no tiene grosor. Hemos obtenido este dibujo.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to Año Secundaria
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26
En nuestro ejemplo quedan CA y CB. C para el punto frontera y para el otro punto, que utilizamos para nombrarlas. Ahora, otro ejemplo:
b)
Ahora elegiremos dos puntos del espacio. ¿Cuántas rectas unen a esos dos puntos? Recordemos que ni puntos ni rectas tienen grosor.
A
B
a) 18 d) 30
O
Conclusión
M
j p c)
t
Veamos qué pasa con puntos que pertenecen a una recta del espacio o del plano. Observa este ejemplo: B ra te n o r F C
Si:
D
b) 15 e) N.a.
c) 20
2 AD +5 AB =21
a) 1 d) 4
A A
O
B
AB 4
2
a) 10 d) 5
+MA . MB = 81 m 2 b) 7 e) 27
c) 8
P
Q
R
Si: PR +QS =20
a) 7 d) 14
D
y QR =6
C
b) 9 e) 10
D y
C
a) 5 d) 3
a) 21 d) 24
D
c) 7
b) 10 e) 9
A
B
A
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
C
b) 22 e) 25
B
C
Si: AD = EF =
c) 6
C
B
D
c) 23
10.
D
E
F
BF . Hallar: BE 3
Además: AC +BD +CE +DF =24
06.
P
c) 5
Si: BC =2 AB y CD es 8 cm mayor que AC . Hallar CD , AD =45
c) 13
B
b) 4 e) 6
A
BD AC y Si: = AD =22 4 3
BD =17
S5GE31B
B
09.
a) 5 d) 8
D 11.
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
c) 7,5
7 AC =AD
a) 7 d) 14
S
“B” Punto medio de AC calcular AB .
02.
y
Hallar BC
AC =15 ,
b) 6 e) 9
b) 8 e) 6
A
04.
Hallar BC a) 5 d) 8
D
BD −6 AB =42
01.
AD =24 ,
C
08. a) 6 d) 9
A C
B
CD =5
05.
B
c) 3
M y N. Puntos medios de AC y BD Hallar: si MN AB =10
“O” Punto medio de AB Calcular OM si:
PRACTICA DE CLASE
A
b) 2 e) 5
07.
03.
M
calcular
AC
Hallar: PS
Un punto que pertenece a una recta forma subconjuntos en ella. Si el punto elegido, llamado origen, queda como frontera de los subconjuntos, es decir que C no pertenece a ninguno de ellos, estamos diciendo que se obtienen dos semirrectas que simbolizamos así:
S5GE31B
7 PC =2 PD +5 PB ,
Si:
El trazo se identifica con el símbolo . En nuestro caso se formó MJ. El trazo es el único elemento lineal que se puede medir, porque no es infinito; está limitado en sus dos extremos. En resumen, de una recta ubicada en el espacio o en el plano, hemos obtenido tres clases de subconjuntos: semirrectas, rayos y trazos.
A •
C
J
"Dos puntos del espacio determinan una sola recta". Lo mismo sucede en el plano: "Dos puntos del plano determinan una sola recta"
F B
E y F puntos medios de AB y CD Hallar EF, si: AC +BD =80
Q Si el punto elegido, origen, es tomado en cuenta para ambos subconjuntos, es decir que pertenece a ambos, es común, hablaremos de dos rayos. Su símbolo es en el dibujo serían DP y DQ (por eso denominamos rayos a los del Sol. Sabemos que el origen es el astro, pero no donde termina su luz). Las semirrectas y los rayos son infinitos hacia un extremo (el que lleva flecha); el otro extremo está limitado por un punto. Si en una recta determinamos dos puntos, se forma un subconjunto muy importante: el trazo, llamado también segmento. Por ejemplo:
5to Año Secundaria
E A
P
La conclusión es la misma: "Por un punto del plano pasan infinitas rectas".
GEOMETRÍA
b) 6 e) 9
c) 7
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN A
B
Si:
BE =
C
D
E
5to Año Secundaria
F
AC +BD +CE +DF =70
BE =
Si: y
b) 16 e) 20
3y + 2 A
a) 15 d) 50
b) 20 e) N.a.
M
C
D
E
F
G
H
1
AB ,
si
MB
=
AN BN
y
+
16.
13.
E
CB =
AH 2
y
F
G
Además:
AB
A1 A n −1 =K −1
a)
c) 5, 2, 4
K K −1 b) +1 3 2
c) K + 1
e) K - 1
e) N.a.
A
y
D
AA2 + A1 A 3 + A 2 A 4 +...... A n −2 A n = 2 K
19.
c) 11
C
b) 4, 3, 2
d) 4, 3, 5
c) 8
C
D
α β π . Hallar: α, β y π + = CD AC AB 1 AC
+
a) 6 d) 5
H
B
Si: AB . AD =8 BC . CD y
es
2 BC 2
Si:
AB
5 Z −13
d) 2K – 1
A B C D la media geométrica de AB y CD
B
=
3 xx −14
a) 1, 2, 3
b) 7 e) 10
d) 9
A
Si:
Hallar: x, y , z
1
a) 6=83 AC +AB +AE +CE +BD +EF +BH +DH +FH b) 33 e) 11,5
AH
1 + = 5 AM AN
Hallar AH si:
a) 66 d) 12
AC
N
A n-1 A n
AN n Hallar
B
B
A A1 A2 A3
y
c) 25
12.
A
c) 24
5to Año Secundaria
(2x - 3) ( AB ) ( CD ) =
AD . BC
15.
Hallar BE
GEOMETRÍA Si:
5 AF 8
a) 13 d) 39
5 AF 9
26
25
1 BD
=
1 . Hallar BC 18
b) 8 e) N.a.
a) 1, 4, 2 d) 3, 1, 4
c) 1, 2, 4 e) 3, 1, 2
c) 1, 4, 3
c) 4
17. AC +AB +AE +CE +BD +EF +EH +DH +FH + A
B
C
D
CE +EG =56
Si: AB . CD =2 BC . AD y
Hallar AH . a) 30 d) 16
1
b) 28 e) N.a.
1 + = . Hallar AC 3 AB AB
c) 32
a) 9 d) 6
14.
A
B
C
D
E
20.
2
F
b) 8 e) N.a.
A
AC +BD +CE +DF =26 .
C
c) 67
1 AD
+
K AB
=
7 AC
Hallar: (K + 1)2
A
B
C
D
a) 29 d) 64
Hallar: AF
b) 49 e) 36
21. S5GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
D
ÁNGULO
Si: AB . CD =K (QC )(AD) y
18. Tal que:
B
S5GE31B
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
c) 7
I.
OPERACIONES DE ÁNGULOS
1.
Suma
Hallar
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to Año Secundaria
A
α
GEOMETRÍA
A
•
CCα = ..................
B d)
β θ
5to Año Secundaria
∧ ∧ α +β = 180 °
B 0
26
25
C
β
D
β
PRACTICA DE CLASE
α 01.
α
α
0
C
a) 100° d) Absurdo
β
∧ ∧∧
∠ AOD = α + β + θ
∧
∧
α+β = 45 °
2.
Si, S : Suplemento y C : Complemento Calcular: T = SSCSSCS100°
02.
Resta
∧
∧
b) 80° e) 90°
c) 10°
Si: C : Complemento S : Suplemento
α= β
III.
A B 0
α
Además:
ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS Y PERPENDICULARES
a)
e)
β
N
M
C
a) 2° d) 15°
α
L
σ ∧ ∠ BOC = β − α
03.
P
β II.
PROPIEDADES
1.
Las bisectrices de los ángulos adyacentes forman un ángulo de 90°
∧
∧
f)
∧
σ= β
b)
α
04.
N
M
α α
α β
β
0
05.
C
∧
P
β M // L y N // P
COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO ( C )
∧ ∧ α= β
Las bisectrices de dos ángulos complementarios forman un ángulo de 45°
c)
M
SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO S(α S(α ) S (α 180 °− α ) =
α
β
Ejm: • • • • •
P M // N y L // P
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
06.
C (α α ) =90 °−
N L
S5GE31B
∧
α +β = 180 °
S5GE31B
C50 = .................... S60 = .................... S(α + β) = ............... C2x = .................... SSα = ...................
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
c) 10°
a) 45° b) 46° c) 54° d) 36° e) N.a. El suplemento del complemento de un ángulo “x” es igual al doble del complemento “x”. Hallar “x”. b) 30° e) 0°
c) 60°
De qué ángulo debe restarse los 2/3 de su complemento para obtener 52° a) 25° b) 38° c) 72° d) 54° e) 67,2° Si un ángulo se le resta su complemento resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Hallar la medida del ángulo. a) 135° d) 60°
07.
b) 8° e) 20°
Un ángulo es tal que la suma del complemento y del suplemento es igual al triple del ángulo. Hallar el valor del ángulo..
a) 45° d) 90°
β
L
∧ ∧ α+β = 90 °
2.
∧
α= β
M // N y L // P
B
A
SCα + SSCC2α + SSSCCC3α + SSSSCCCC4α = 200° Calcular: “ α° ”
b) 70° e) 90°
c) 80°
Si la medida de uno de dos ángulos complementarios se le disminuye 18° para agregándosele a la medida del otro, la medida de éste ultimo ángulo resulta ser ocho veces lo que queda de la medida del primero. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos?
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 88° d) 28° 08.
b) 62° e) 75°
13.
b) 50° e) 55°
→,
∩
BOE
10.
→ OD bisectriz del
c) 30°
Se tiene los ángulos consecutivos ∩
BOC
,
si:
suplementarios y
∩
AO C ∩
AO B
y
11.
12.
∩
∩
BOC
bisectrices
Hallar el
∩
c) 130°
S5GE31B
c) 50°
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
∩
y
∩
AO B
a) 70° d) 30° 15.
de
los
ángulos
AO B
b) 60° e) 75°
∧
y
Calcular a) 9° d) 20°
21.
y
OC . Calcular el ángulo formado por las S5GE31B
x° b
c) 180° ∧
AO B
=
a) 25° d) 31°
y 24.
∧
AO B
= 36
b) 30° e) N.a.
c) 64°
Siendo m // n determinar el valor de “α”
α
m
2α
22.
∧
3α
25.
b) 15° e) 27°
36°
n
c) 18°
∧
∧
Sea p // q y α + θ =164 ° Hallar “β” α p β
Si el triple de un ángulo se le disminuye 2/7 de su complemento; nos da el doble de dicho ángulo. Calcularlo. b) 30° e) N.a.
q
c) 40°
Calcular dos ángulos cuya suma es igual a 164° y que el suplemento de uno de ellos es igual al complemento del otro. a) 100° y 64° c) 120° y 44° e) N.a.
c) 17°
OB
32° 44°
BO Z
a) 20° d) 50°
OA ,
En la figura mostrada a // b. Hallar “x”.
a
∧ OY es la bisectriz de B O C ∧ OZ es la bisectriz de X O Y
y-x
Se tienen las semirectas
c) 36°
∧
x+y
17.
b) 18° e) N.a.
OX es la bisectriz de A O B
c) 40°
b) 16° e) N.a.
23.
= 80° y
siendo:
BOC
Del gráfico, hallar la suma de los valores de “y” cuando “x” toma su mínimo y máximo valor entero.
a) 15° d) 18°
AO C
b) 80° e) 60°
BO C
,
a) 88° b) 120° c) 96° d) 85 e) N.a. La diferencia de dos ángulos consecutivos AoC y BoC es 20° que ángulos forman la bisectriz del ángulo AoC con el lado ]OB.
∧
Si
Se tienen los ángulos consecutivos
. Halle la medida del ∩
c) 20
Se tiene 3 ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan las bisectrices OM de AoB
∧
20.
16.
a) 9° d) 72°
b) 19 e) N.a.
18°
son perpendiculares.
2x - y
a) 18 d) 21
a) 100° d) 120° 19.
c) 20°
5to Año Secundaria suplemento del suplemento del complemento de dicho ángulo.
∧ ∧ M O N =100°. Hallar B O D .
es 16°. b) 15° e) 30°
GEOMETRÍA bisectrices de los ángulos AoC y AoB sabiendo que estos se diferencian en 20°.
y ON de COD.
BOC COD ángulo BOD, si m ∠ AOC = 110°, además las
son
a) 10° b) 20° c) 30° d) 50° e) 70° Alrededor de un punto “O”, se trazan los rayos coplanares → , →, → , → y OA OB OC OD → determinandose 5 ángulos consecutivos, OE tal que el 2do. Ángulo es el doble del 1ro y la tercera parte del 5to, el 3ro es 10° menos que la suma de los 2 primeros ángulos y el 4to excede en 20° a la suma de los 3 primeros. Halle el mayor ángulo. b) 120° e) 40°
18.
OE
Se tiene dos ángulos consecutivos, ∩
y
Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD sabiendo que m ∠ BOC = 40° y m ∠ AOD = 100°.
a) 130° d) 160°
tienen igual medida y
el rayo
COD b) 120° e) 90°
,
→ y la bisectriz del ángulo
∩
∩
AO C a) 50° d) 180°
∩
COF
AO D
y la bisectriz del ángulo formado por
COD a) 10° d) 25° 14.
AO B
= 80°.
y
∩
∩
AO D
BOC
b) 20° e) 50°
→. Calcular m
OF
∩ mide 114° y la mitad d AO F la medida del ángulo formado por el rayo
ángulo AOC. a) 10° d) 40°
→y
OE
→,
OB
que el ángulo
La diferencia de las medidas de dos ángulos ∩ ∩ consecutivos y es 60°. Calcular m ∠ DOB. Si:
→,
OD
26
25
→,
OA
∠ COB sabiendo que los ángulos
c) 60°
AO B
Dados los rayos consecutivos
OC
Hallar el menor de dos triángulos suplementarios sabiendo que al disminuir 20° a uno de ellos para agregárselo a la medida del otro, este nuevo ángulo resulta ser cinco veces lo que queda del primero. a) 40 d) 30°
09.
5to Año Secundaria
c) 72°
b) 127° y 34° d) 150° y 14°
Si el suplemento del complemento del complemento del suplemento de un ángulo es igual a 18°. Calcular el complemento del
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
θ 26.
Siendo
L1 // L 2 // L 3 y el triángulo ABC
es equilátero. Hallar “x”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN B
5to Año Secundaria
26
25 1.
L1
GEOMETRÍA
Ceviana:
5to Año Secundaria H → Ortocentro
TRIÁNGULOS
AQ, PC y BH → Alturas
C → Cevacentro
BD; AM; CD → Cevianas
A
30°
L2 t C
27.
Definición: .......................................................
B
L3
P
............................................................................
M C
A
A
40°
140°
α1
a
θ2
c) 80°
2.
C
D
Mediana:
α3
C
5.
AN; BM; CQ → Medianas
Q
∼ G
OM, ON y OQ →Mediatrice s B Q
N
3.
M O
A C
M
∼
∼
∼ A
Bisectriz:
EXISTENCIA DE UN TRIANGULO Si: a > b > c B
I →Incentro
De acuerdo a sus lados
AD, PC y BM →Bi sec trices int eriores
T. Escaleno
α
T. Isósceles
B αα
60º 60º T. Equilátero
P
A
D
b-c< a <b+c
A
θ θ
M
β
β
a-c< b <a+c C
a-b< c <a+b Propiedades
T. Rectángulo T. Obtusángulo
4.
Altura:
LINEAS NOTABLES S5GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
b
I
II. De acuerdo a sus ángulos
T. Acutángulo
a
c
60º α
C
P
Clasificación de los Triángulos: I.
Q
Mediatriz:
B
Elementos: Lados : ............................................... Vértices : ............................................... Perímetro (2p) : ............................................... Angulos interiores : ............................................... Angulos exteriores : ............................................... Suma de ángulos interiores : ................................... Suma de ángulos exteriores : ..................................
C
H
O →Circuncent ro
G → Baricentro
θ3
b
A
x
b) 70° e) N.a.
Q H
B α 2 θ2 c
A
P
............................................................................
Hallar “x”
a) 60° d) 50°
B
S5GE31B
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
C
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to Año Secundaria
25
GEOMETRÍA
26
5to Año Secundaria B
01.
xº aº
xº
x°
xº = aº + bº+ cº
a) 50° d) 55°
cº
a) 30° d) 75° 02.
Lado - Angulo - Lado (L - A - L)
A
x
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1.
b) 60° e) 80°
06.
c) 70°
a) 60° d) 90° 03.
≅ αº
θº
07.
10.
b) 135° e) 540°
b) 56° e) 61°
a) 9° d) 15° 11.
04.
θ
b) 180° e) 90°
A
c) 150°
08.
D
110°
a) 1° d) 4°
En la figura, calcular “x”
α
05.
x b) 10° e) 18°
c) 12°
L1 // L 2 , PQ = 3 . Calcular “x” L1
θ
6θ
D
y° x°
x
B
b) 2° e) 5°
c) 3° a) 6 d) 8
40°
x
12. 3α 2θ
θ 3θ
a) 25° b) 40° c) 45° d) 50° e) 60° En la figura, calcular “x”, si el triángulo ABC es equilátero.
a) 80° d) 85° 09.
x
α 3α
b) 110° e) 95°
En la figura, calcular: x +y + z
PRACTICA DE CLASE “ el nuevo símbolo de una buen educación…”
Q
a) 4 d) 5
c) 75° 13.
b) 9 e) 5
c) 7
En un triángulo rectángulo ABC m∡ B = 90°) se traza BH altura y AR bisectriz interior. Si AB = 9 y AH = 7. Calcular la distancia de “R” a BH. b) 3 e) 1
c) 2
En un triángulo ABC se traza la altura BH, en ella se ubica el punto “E” tal que: m∠ EAH = m∠ CBH y BH = HC. Calcular la m∠ ECH. a) 45
S5GE31B
P
L2
En la figura, calcular “x”
80°
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
2α 3α
x
a) 100° d) 120°
c) 270°
Si AB = CD. Calcular “x”
c) 58°
C
c
α 7α
En la figura: AB = BD = CD. Calcular: y - x
αα
Lado - Lado - Lado (L - L - L)
≅
c) 100°
En la figura, calcular “x”
50°
S5GE31B
a) 100° d) 300°
Cuánto mide el menor ángulo de un
a) 60° d) 59°
b) 80° e) 120°
α
3.
c) 75°
forman una progresión aritmética de razón
x
θ
θº
b) 40° e) 60°
c c
a a
2.
Angulo - Lado - Angulo (A - L - A)
αº
a
C
triángulo escaleno, si con los otros dos
≅
2.
y x z
α
En la figura, hallar “x”
120°
θ
b bb
α
60°
bº bº
aº
Hallar x
xº = aº + bº
b) 30
c) 60
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 37 14.
5to Año Secundaria
e) 53
d) 60
En el gráfico mostrado mostrar EF, si: AB = BC, AE = 4m y CF = 7m
18.
25
26
GEOMETRÍA
e) 45
5to Año Secundaria
A
B
En el gráfico mostrado calcular x siendo los triángulos ABC y EFC equiláteros. B
E
C
C P
A
12°
15.
F
B
a) 7 m d) 12 m
A
b) 10 m e) 15 m
22.
Según el gráfico. Calcular x, si AB=BC y EM=AE+CF
C
F
a) 12 d) 48 19.
A
E
b) 24 e) 30
23.
A a) 120 d) 115
Los lados de un triángulo escaleno miden 4; 6 y 2x, si: x es un número entero. Calcular “x”. b) 2 e) 5
c) 3
27.
b) 130 e) 125
De la figura. Calcular
b) 60 e) 37
c) 53 20.
Si: EH + DM = 24. Calcular AC.
B
b) 90 e) 150
α°
120°
2 α° c) 110 24.
a +b c c°
b°
α° α° α°
a°
a) 10 d) 30 Calcular θ :
En el gráfico mostrado AB =BC. Calcular AN si BM = 4m. B
α°
b) 15 e) 40
b) 4 e) 1
c) 20 28.
Si
θ° θ° θ°
a°
a) 5 d) 2
b°
C
A
c) 110
Calcular “α”, si: a + b = 120
x°
a) 60 d) 120
D
c) 12
F
B
M
16.
b) 14 e) 11
a) 1 d) 4
c) 36
Calcular x si los triángulos AFB y BEC son equiláteros. E B F
x°
a) 45 d) 30
C
a) 15 d) 10
C
x°
c) 11 m
64°
B
E
E
66°
x°
Q
BC = CA =
c) 3
AD 2
, calcular " x"
B
3β° 2θ°
θ° x°
A
H
E a) 12 d) 28 17.
b) 18 e) 20
M
C
A
D
a) 4
c) 24
En la región interior de un triángulo equilátero se ubica un punto “P” tal que m∢ APB = 90, y la
4α° 3 θ°
M
21.
2 m
N b) 4 m
a) 10 d) 9
C
c) 3 m
25.
d) 3 2 m e) 5 m Si: BP = 4, PQ = 7 y QC = 4. Calcular AP.
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
β°
2θ c) 15
En un triángulo ABC se prolonga CA hasta “P” y AB hasta “Q” de modo que AP = AB, BQ = BC, m∠ APB = 24 y m∠ BQC = 32. Calcular la m∠PCQ.
región exterior relativa a AC se ubica el punto “M” tal que el triángulo APM es equilátero. Calcular la m∠ PMC. a) 15 b) 30 c) 22,5 S5GE31B
b) 12 e) 20
26.
S5GE31B
a) 86 b) 88 c) 94 d) 96 e) 100 En la figura AB > BC y CD > ED. Calcular x, si se sabe que es un número entero.
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
C θ°
A a) 100 d) 130
b) 110 e) 150
D c) 120
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 29.
Calcular el mínimo valor entero de (OA +OC +
5to Año Secundaria 33.
OE) si AC y CE toman el mínimo y el máximo valor entero, α es mayor que 90 y θ menor que 90, CD=AB=12; ED= 9, AE=15.
E
a) 40 d) 60
b) 45 e) 75
x°
B E 60°
b) 21 e) 41
c) 22
En un triángulo ABC; AB =1, m∠A= 3m∠C. Calcular m∠ C. Si se sabe que: BC es entero. a) 20 d) 30
b) 45 e) 15
c) 22,5
35.
A
F
a) 30 d) 45
b) 20 e) 40
32.
36. x°
b) 90 e) 72
α
a) 45° d) 37°
C
b) 30° e) 53°
03.
C
Q
P
b) 15 e) 30
c) 20
α 2α a) 20 d) 18
A
E b) 30 e) 18
40.
C
a) 23 d) 53 En
un
b) 14 e) 26,5 cuadrado
θ
c) 16 M∈
P
AM=4, CN =3, ,m∠
θ
ABCD,
MBN = 45. Calcular “MN”
S5GE31B
c) 22,5
En el gráfico AB = PC; PH = 3(BP). Calcular “x”
C
D
AD, N ∈ CD ;
c) 25
b) 15 e) 17,5
B
A
a) 4 d) 3
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
04.
E
α°
C
A
2θ
F c) 45
c) 12
D
θ
4α°
b) 9 e) 15
c) 60°
D B
C
Calcular “α”, si: 2AB = DC. B
B
En la figura calcular “α” si: AB =EC, AC = DE y
a) 36 d) 20
S5GE31B
A
β
E
B
45° M D
a) 8 d) 14
A
45°
a) 80 d) 120
x Si:
N
AB // ED .
E
PBQ.
α x° β
x°
a) 10 d) 22,5
45°
m∢
39. Calcular θ, si: BE = AD.
Calcular “x”
A
c) 10
c) 6
C
la
B
20°
c) 45
Si: AB = AC y ND =2AD. Calcular la m∢ ABD.
C
adjunto,
G
60°
A
b) 10 e) 5
60°
02.
b) 30 e) 70
B
Del gráfico AP=PQ=QC.
Calcular x; si: AB = EC. B
En un triángulo ABC, acutángulo AB = 6; BC=8. Calcular la diferencia entre el mayor y menor valor entero de AC. a) 3 d) 4
40°
38.
D
x°
A
α°
a) 20 d) 23
31.
P
Calcular “θ” en un ∆ABC, si al trazar la bisectriz interior AD, AC = AB +DC, m∠B=100, m∠C=θ. a) 20 d) 60
Q
d) 53 e) 75
C
B
30.
a) 45 b) 30 c) 60
c) 30
TAREA DOMICILIARIA 01.
B
Del gráfico mostrado, calcular x:
C
A
5to Año Secundaria
En el gráfico mostrado, AB = BC = AC y BP=QC. Calcular x.
AC de modo que los triángulos ABP y BQC son equiláteros. Calcular la m∢ CAQ.
34.
0
GEOMETRÍA
26 37.
AC y “Q” un punto exterior relativo al lado
D
θ°
25
Dado un triángulo ABC, sea “P” un punto de
A b) 6 e) 2
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
c) 7
05.
x° H
C
a) 15 b) 53/2 c) 37/2 d) 8 e) 16 Calcular PQ, si: BH = 12 y BF = 4
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to Año Secundaria
B F
a) 0,5 d) 2
Q 10.
A
H
a) 6 d) 9 06.
3θ
D
11.
x° a) 10 d) 25
b) 15 e) 30
Q
C
A
2
B
α α
θθ
E a) 10 d) 15 15.
H A a) 4 d) 4,5
c) 6 12.
Calcular m∠ BCD; si: AC = 2BD
D b) 6 e) 9
C c) 6
D
Dado un ∆ABC, recto en B; la bisectriz interior
a) 12 d) 20
b) 15 e) 30
c) 14
En un triángulo ABC, recto en B se traza la ceviana BD , m∠ ABD = 2m∠ C; BC=6, “C”
c) 18
a) 4 d) 3
b) 2 e) 1
09.
S5GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
19. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior BM y en el triángulo BMC se traza la bisectriz interior CN. Calcular la m∠CNM, si AB=AM Rpta: ................ 20. De la figura mostrada calcular el valor de x, si β-α=46°
θ θ
16. En la región interior de un triangulo ABC, se ubica el punto P, tal que: m∠PAB=m∠PCA. Calcular m∠APC, si m∠ABC=80° y AB=BC Rpta: ................
β α
x
Rpta: ................ 21. En un triángulo ABC, se traza la mediatriz de AC que intersecta a BC en P, tal que AB=PC. Calcular m∠BCA, si m∠BAC=5m∠BCA.
D a) 30 b) 45 c) 60 d) 37 e) 53 Los lados de un ∆ABC miden: AB = 4, BC= 7 y AC = 9. Calcular la distancia entre los pies de los
Rpta: ................ 18.En la región exterior y relativo al lado AC de un triángulo rectángulo ABC recto en B se ubica el punto P, tal que AB=BC=CP. Calcular m∠PAC, si m∠PCA=15°
c) 6
C
A
C
BD ?
del ángulo A y la mediatriz de BC se intersecan en “E”, tal que m∠ ECB = 2(m∠ BCA). Calcular: m ∠ BCA.
B
b) 13 e) 17
C
dista 2 cm de BD . ¿Cuánto dista “A” de 2
A
Rpta: ................
c) 20
L
c) 15
En la figura: AE=7 y DC=3. Calcular “AB”.
C
BM b) 5 e) 7
c) 6
P x
b) 12 e) 20
Si: m ∠ LBC = m∠ AHD =90, AD = DC; BC = 2BL y BH = 6. Calcular “HD”. B
En un triángulo ABC; AB = 2 y BC = 9. Calcular el mayor valor entero de la mediana
a) 4 d) 3
D b) 6 e) 12
Q
θ
a) 10 d) 18
C 14.
a) 4 d) 8
R
M
θ A θ
M
B
En el gráfico. Calcular BD, si: CD = 12
c) 8
5to Año Secundaria
B
B
R
P
GEOMETRÍA
c) 1,5
En el triángulo ABC; AP = PQ, MC =RM y AB=QC. Calcular “x”.
A
26
A
b) 7 e) 10
75°
08.
b) 1 e) 2,5
C
P
B
07.
25
perpendiculares trazadas desde “C” a las bisectrices interiores de “A” y el exterior de “B”.
13.
Si: BM =MC; AB =2DM. Calcular θ.
17.Según la figura Calcular el valor de x si BQ=BP y m∠QPR=40°
S5GE31B
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
Rpta: ................ 22. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) en AB,AC y BC se ubican los puntos M, T y N respectivamente, de modo que AM=TC, AT=NC y m∠ABC=100°. Calcular la m∠MNT
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Rpta: ................
5to Año Secundaria
2θ
θ
Q
01. En un cuadrado ABCD, M y N son puntos medios de CD y BC respectivamente. Cuanto dista Q de AM, si AQ=30, siendo Q la intersección de AN y BM.
P
Rpta: ................
θ 2α
P
x° 2θ
30°
5to Año Secundaria B
40°
23. Según el gráfico calcular el valor de x
Rpta: ................ 28. Se tiene un triángulo equilátero ABC; en la región exterior y relativo al lado AB se ubica el punto P tal que m∠PCA=10°. Calcular m∠PAB, si la mediatriz de PC contiene al punto B. Rpta: ................
α
C
A
GEOMETRÍA
26
60°
x°
B
25
Rpta: ................ 24. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AP, y en el triángulo APB, se traza la ceviana interior PQ, de modo que: AQ=AP=AC y BQ=QP. Calcular m∠BAP, si m∠ACB=84° Rpta: ................
29. En un triángulo ABC, se traza la altura AL, luego en la región exterior y relativo al lado BC se ubica el punto E de modo que: m∠BEC=90°, m∠LAC=20°, m∠BCE=50° y m∠ABC=40°. Calcular la m∠BLE.
3θ
Rpta: ................
B
E
X°
03. Del gráfico: AB=BC. Calcular el valor de x.
D
A
B
Rpta: ................
2θ
30. Se tiene un triángulo ABC en la cual se traza la bisectriz interior BD, m∠BAC=2m∠BCA, BC=m y AB=n calcular AD.
03. Se tiene el cuadrilátero ABCD, donde m∠BAD=60°, m∠ABC=150°, m∠ADC=30°, AD= 8 3 y AB= 3 . Calcular BC.
Rpta: ................
Rpta: ................
C 53°
02. En un triángulo ABC recto en B se traza la ceviana interior BM tal que: m∠BAC=2(m∠ABM) y AB=MC. Calcular la m∠ABM. Rpta: ................
Rpta: ................
25. Se tiene un triángulo ABC, tal que AB=6 y BC=8, luego se traza exteriormente el triángulo equilátero APC. Calcular el máximo perímetro entero de la región triangular APC.
02. Según el grafico ABCD es un romboide, AB=5, AD=10 y ED=DC. Calcular la m∠BAE.
C
A
Rpta: ................
x
26. En la figura calcular el valor de x, si AB=AC y AP=PB
A
β
β
C
B
04. Si AD=6, BC=10 y CD=8, AB=4AM. Calcular MN. B
θ
α α
Rpta: ................
C
Q
04. En un triángulo rectángulo ABC (m∠B=90°), se traza la ceviana interior AE tal que: BE=a, EC=b; m∠BAE=10°+2α y m∠EAC=30°-3α. Hallar AE. Rpta: ................
x
70° A
P
05. En un triángulo rectángulo ABC(m∠B=90°) cuya altura mide 6. calcular la longitud del segmento que une los pies de las perpendiculares trazados por H a las bisectrices de los ángulos ABH y HBC.
C
Rpta: ................
E
N
M
ω A
ω D
Rpta: ................
Rpta: ................ 27. Del gráfico mostrado, calcular el valor de x
CUADRILÁTE TAREA DOMICILIARIA
Rpta: ................
01. En la figura mostrada: BP=BA=BC=BQ. Calcular el valor de θ. S5GE31B
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
05. Se tiene un trapecio ABCD recto en A y B, BC=4 y AD=7, se traza CH⊥BD, H ∈ BD y m∠BCH=2m∠CDB. Calcule CH
S5GE31B
PRACTICA DE CLASE
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
06. En la figura mostrada DF= 2
3 . Calcule DE.
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to Año Secundaria
25
GEOMETRÍA
26
5to Año Secundaria P
C
B
C
x
3φ H
B
5φ
α
B
α
2φ F
O
y
M
BM=MC.
B
D P
11. En la figura AM=MB, calcular MP, si BP=4 y PC=6
07. ABCD es un romboide, y PB=1 Calcular MT
N
C
M
A
Rpta: ................
E
Rpta: ................
B
α D
A
α
B
θ°
β
A
C
20°
D
2β
2α
19. En la figura mostrada ABCD y MNPQ son cuadrados M es centro del cuadrado ABCD. Hallar el valor de θ°
C
P θ
θ
Rpta: ................
A
15. En la figura. AB=BC; AH=7. Hallar HD. P
M
Q
Rpta: ................
C
φ
34°
14. En un trapezoide ABCD: AB=2;BC=10 y CD=4, m∠B=143° y m∠C=127°. Hallar AD. Rpta: ................
D
20. En la figura ABCD es un rectángulo, EF=EC; BE=13 y DE=5. Hallar AF.
B
C
B
φ A
D
T
A
C
D
E
Rpta: ................ 08. En un paralelogramo ABCD se cumple que AC=AB+CD. Calcular m∠ACB, si la m∠BDA=45°. Rpta: ................ 09. En un paralelogramo ABCD, en la prolongación de AB se ubica el punto F tal que BFCD es un trapecio isósceles, si AF=BC, AB=4. Calcular la distancia de B a AD. Rpta: ................
Rpta: ................ 11. En un paralelogramo se traza la bisectriz exterior CE, E en a prolongación de AD. Calcular el segmento que une los puntos medios de BE y AC, sabiendo que AB=6 Rpta: ................ 12. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH, en los lados AB y BC se ubican los puntos Q y P respectivamente tal que AQPH es un rombo y HC=PQ+4. Calcular BQ. Rpta: ................
135° A
H
D F
Rpta: ................
Rpta: ................
Rpta: ................
13. En el gráfico BO=OD=OP, Calcular el valor de x
18. En un trapecio ABCD, BC//AD, AB=AC y CD=4. Hallar AM, siendo M punto medio de BD Rpta: ................
“El nuevo símbolo de una buena educación….”
S5GE31B
Rpta: ................
16. En un trapecio ABCD. BC//AD. Se traza la altura CH que intersecta a la diagonal BD en P. Calcular CM, si M es punto medio de AP, AB=BD; BP=10, PD=4
17. Sobre los lados AB, BC y CD de un romboide ABCD, se construyen exteriormente los cuadrados de centros P, Q y R respectivamente. Hallar m∠PQR.
10. Calcular AH, si BC//AD, BC=6 y HC=8
S5GE31B
D
A
“ el nuevo símbolo de una buen educación…”
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003