Geometria 5° 2b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

04.Del gráfico adjunto M, N, Q y T son puntos de tangencia. Calcular: AD. Si AB=7m, BC=4m y CD=10m.

II

CIRCUNFERE

01. Del gráfico adjunto, “T” es un punto de tangencia. Calcular x.

T 2xº 3xº

N

B

A

P

a) 11m d) 14m

a) 9m d) 11m

S5GE32B

T

a) 21m d) 24m

b) 10m e) 9,5m

M

A

a) 45 d) 180

a) 6m d) 3m

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

100º

b) 45 e) 37

c) 50

12. Del gráfico adjunto AQ = 5m y HC = 2m.

Calcular: BC. B C O H

zº

a) 13m d) 14m

a) 7m d) 6,5m C

A

M

B D

N

E

b) 23m e) 22m

c) 33m

T

c) 160

A 12m

Q

B

N

C

xº

I

c) 8m

13. Del gráfico adjunto M, N y Q son puntos de tangencia. Calcular el perímetro del triángulo formado al unir los centros de las tres circunferencias.

F

Q

b) 6m e) 7,5m

M

B

C

C1

A

10.Del gráfico adjunto P, Q y T son puntos de tangencia. Calcular: c, si MC =DC.

I

b) 5m e) 2m

Q

c) 39m

N

b) 90 e) 100

a) 40 d) 60

N

T O

yº

Q

c) 2m

09.Del gráfico adjunto M, N, Q y T son puntos de tangencia. El perímetro del triángulo ABC es 64m, el perímetro del triángulo ADE es 20m. Calcular: EC.

18m

a) 12m d) 27m

M

b) 24m e) 28m

c) 36m

C

07.Se tiene una circunferencia inscrita en un triángulo ABC la cual es tangente a BC en Q. Calcular BQ, si: AB = 8, BC = 7m y AC = 11m. c) 15m

b) 7m e) 4m

C

06.Del gráfico adjunto M, N y Q son puntos de tangencia. Calcular: x+y+z.

xº

a) 5m d) 3m

A

A

Q

b) 42m e) 48m

c) 20m

P

c) 13m

I 3m

B

O

xº C

C

Q

A

03.Del gráfico adjunto el centro de la circunferencia dista 6m de la cuerda AB . ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia, si AB = 16m?

B A

100º Q

M

B

05.Del gráfico adjunto P, Q y T son puntos de tangencia. Calcular el perímetro del triangulo rectángulo ABC.

3x - 35m

b) 45m e) 35m

M

D

T b) 12m e) 12,5m

c) 18

A

11. Del gráfico adjunto calcular: x, si: M, N y Q son puntos de tangencia.

B

B

02.Del gráfico adjunto, P y T son puntos de tangencia. Calcular x.

T x +10m

5to Año Secundaria

08.Del gráfico adjunto M, P y Q son puntos de tangencia. Calcular: BQ. Si: AB = 7, BC=9 y AC = 12.

Q

P

b) 15 e) 12

GEOMETRÍA

Q

O

a) 10 d) 20

34

C

M

EJERCICIOS PROPUESTOS

a) 22,5m d) 25m

33

A

a) 30 d) 45

P

b) 60 e) 75

D

c) 40

c) 4m

S5GE32B

CIRCUNFERENCI

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

01.En la figura calcular “x”, si “O” es centro.

5to Año Secundaria

05.En la figura m AED = 240 y BC = 20 , calcular la suma de las medidas de los ángulos indicados.

yº

a) 20 d) 50

06.Si: CBD = 130 calcular “x”

R

b) 35 e) 60

c) 53

03.En una circunferencia, cuyo radio mide 12, se ) A=70 y inscribe el triángulo ABC. Si m ∠

C

a) 10 d) 12

c) 70

10.Se tiene el cuadrante AOB, O es centro, cuyo radio mide 4. En el arco AB se ubica el punto “C”, tal que la mAC=30. Calcular la ditancia de “B” a AC.

b) 9 e) 18

a)2 d) 4

xº

E

b) 2 e) 8

c) 4

2

2

∩=50, calcular m ∠ ) .ADC 11.m AE C

b) 30 c) 25 e) 15 ∩ +m ∩ =140, calcular la m 07.Si; m AC DT AT

O

b) 11 e) 19

c) 14

a) 24m d) 44m

b) 36m e) 42m

A

D

a) 50 d) 34,5

B

a) 100 d) 130

b) 110 c) 120 e) 140 ∩, si α+β=124.

08.Calcular la m AF

C B

A

20º

B

b) 53 e) 45

c) 30

16.Del gráfico adjunto “T” es punto de tangencia.

D F

a) 94 d) 152 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

Q

b) 114 e) 138

O

40º

yº xº

B

θ

D

20º

50º

A

C

c) 124

A

c) 35

12.De la figura BC=CD, calcular: θ; “A” es punto de tangencia.

P

αº

βº

c) 120

b) 30 e) 25

P

c) 48m

15. AB es el diámetro de una semicircunferencia, tal que se prolonga AB hasta el punto C. Luego se traza la tangente CT a la semicircunferencia en la cual se

C T

c) 12

Q

14.En un trapecio isósceles ABCD ( AB // se encuentra inscrita una AD ) circunferencia, donde AB=12m. Calcular el perímetro del trapecio.

a) 37 d) 60

E

∩

C

) ACT. tiene que AB=2BC. Calcular: m ∠

A

D

04.Calcular “x”, si “O” es centro.

S5GE32B

,

A

N

R

b) 40 e) 110

a) 20 d) 35

) C=80m, calcular “AC” m∠

b) 110 e) 135

diámetro

B D

B

a) 90 d) 130

AB es

;

O

A

O

O

T

C

A

A

a) 55 d) 80

c) 40

c) 60

02.Si: AB=R, calcular: m AB .

a) 6 d) 15

M

D

A

b) 30 e) 60

B

) C. tangencia. Calcular m ∠

A

xº

b) 37 e) 45

a) 50 d) 74

) B=70 y “T” es punto de 09.En la figura m ∠

E

xº

B

O

5to Año Secundaria

B

C

C

a) 30 d) 90

GEOMETRÍA

D

B

A

34

33

a) 100 d) 120

T

b) 140 e) 130

c) 110

17.Calcular: m AB , si m EDC = 150

a) 100 b) 120 c) 130 d) 110 e) 150 13.Del gráfico adjunto M, N y Q son puntos de tangencia, AB=6m y BC=8. Calcular: R S5GE32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

33

GEOMETRÍA

34

E

D

E

F

60º

48º

A

C

B

b) 60 e) 75

D

a) 48 d) 36

c) 70

) BAC=80, 18. B A y CA son tangentes, m ∠ calcular “x”.

G

C

b) 42 e) 72

c) 24

a) 80 d) 50

b) 40 e) 60

A

a) 20 d) 30

xº T

a) 20 d) 50

B

a) 110 d) 120

b) 100 e) 130

c) 140

b) 30 e) 40

A

C D

20.Calcular “α”, si “P” y “T” son puntos de tangencia.

P

α

a) 120 d) 150

c) 90

24.Calcular “x” si “O“: centro.

T r

a) 10 d) 25 25.Calcular “x”

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 15 e) 7,5

2

O

a) 35 d) 70

a) 12 d) 6,5

S

O

b) 45 e) 40

O

a) 90 d) 110 S5GE32B

A b) 45 e) 75

C

O'

b) 13 e) 26

c) 6

06.El perímetro del triángulo ABF es 8. Calcular el perímetro del triángulo ACF; D, E y F son puntos de tangencia. c) 55 D

B

c) 20

B

D

B

02.En el gráfico “O” es centro y BP // AQ , además “A” y “B” son puntos de tangencia.

Calcular “x”.

50º xº

c) 8

E

B

O

a) 100 b) 120 c) 135 d) 150 e) 143 21.En la figura AE es bisectriz del ángulo BAC; E, F y G son puntos de tangencia.

Calcular x.

S5GE32B

R

b) 60 e) 30

3 -1

05.De la figura adjunta AC – CE =26. Calcular BD.

) ROT = 110. si m ∠ A

70º r

c) 25

T

A

c)

3 3

b) 6 e) 6

01. En el gráfico adjunto “O” es centro y “S” es ) TSA, punto de tangencia. Calcular la m ∠

120º

xº

e)

04. El perímetro de un triángulo rectángulo ABC, recto en B es 12. Calcular la distancia de B al centro de la circunferencia ex inscrita al triángulo rectángulo y referente a AC .

b) 40 e) 80

xº

B

b) 3-

TAREA DOMICILIARIA

c) 25

23.Si: AB es diámetro, calcular “x”

19.Si: ABCD es un romboide, calcular x.

3

a) 12 d) 4 3

xº

O

a) 2d) 1

xº 50º

20º C

c) 70

26.Calcular “x”

22. Del gráfico calcular “x”, si “T” es punto de tangencia.

A

03.Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30 y el lado mayor mide4. Calcular la medida del radio de la circunferencia inscrita en este triángulo.

xº

Xº

A

a) 80 d) 90

5to Año Secundaria

B

30º

F A

P xº

Q

c) 100

C

E

a) 4 b) 8 c) 12 d) 10 e) 16 07.Una circunferencia está inscrita en un trapecio isósceles ABCD ( BC // AD ). Si AB = 48, calcular la medida de la mediana del trapecio.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 24 d) 98

b) 36 e) 72

5to Año Secundaria

b) 4 e) 2

34

GEOMETRÍA

5to Año Secundaria B

c) 48

B

A

08. En un triángulo ABC: AB = 8, BC=10 y AC=12. Si la circunferencia inscrita es tangente a AC en “M”, calcular AM. a) 3 d) 6

33

c) 5

DEFINICIONES PRELIMINARES: RELACION MÉTRICA:- Relación métrica entre varios segmentos es la relación entre los números que expresan el valor de esos segmentos, con la misma unidad.

PROYECCIÓN ORTOGONAL: a) Proyección ortogonal de un punto sobre una recta: es el pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. La perpendicular se llama “proyectante” y la recta se llama “eje de proyección”. Ejm.: Proyección de P sobre la recta XY es P’.

P

x

P'

y

x

A'

y

B'

A A'

x

(1)

(2) B

x A' A

(3)

y

B'

B'

x

y

A

B

A'

B' (4)

A B y A' B' (5) PROYECCIONES ORTOGONALES EN EL TRIÁNGULO x

a) En un triángulo acutángulo; si se traza la altura de uno de sus vértices, las proyecciones de los otros dos lados son: A

b) Proyección ortogonal de un segmento sobre una recta: es la parte de la recta comprendida entre los pies de la perpendiculares trazadas desde los extremos del segmento. Pueden presentarse los siguientes casos: sea el segmento AB y su proyección A’B’.

Nótese los dos casos especiales: (4) cuando el segmento es paralelo a la recta, proyección es igual al segmento y (5) cuando el segmento es perpendicular a la recta, la proyección es un punto.

c B

m

b C

n

H

Proyección de “C” sobre BC es “m”y de “b” sobre BC es “n”. b) En un triángulo obtusángulo: la proyección de uno de los lados está en la prolongación del otro, así; A b c H

S5GE32B

RELACIONES “El nuevo símbolo de una buena educación....”

METRICAS EN LOS

B

a

C

Proyección de “C” sobre BC es BH. S5GE32B

y

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN A) RELACIONES METRICAS EN EL TRIANGULO Si en un triángulo rectángulo ABC (recto en A), se traza la altura AH desde el ángulo recto, se tiene que el segmento “m” es proyección del cateto “c”y el segmento “n” es proyección del cateto “b”.  Obsérvese que la proyección ortogonal de la hipotenusa sobre un cateto es el mismo cateto.

A

5to Año Secundaria b 2 =a.n

33

34

GEOMETRÍA A

c 2 =a.m

B

b

c2

=

m

a

H

n

C

 Elementos del triángulo rectángulo: b,c : Catetos a : Hipotenusa h : Altura relativa a la hipotenusa m : Proyección de “c” sobre la hipotenusa n : Proyección de “b” sobre la hipotenusa.

n m

b

M m

r

r

r o m p

N r

CONJUGADAS ISOGONALES

A

TEOREMA: En un triángulo rectángulo si se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, se verifica:

α C

Si: B

2) La altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

PROPIEDAD Si AM y AP son conjugadas isogonales se cumple:

A

M=N

^

A

o' a

n

B

b + c = 2R + 2r

H: Sea el triángulo rectángulo ABC y los círculos circunscrito e inscrito de radios R y r respectivamente.

C, entonces:

AM y AN son isogonales.

α

3) Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

S5GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

α α

α

D

C

Llamado α los ángulos determinados por la bisectriz, se tiene:

Mirando la figura: b=m+r c=n+r

El triángulo BAE es isósceles por tener dos ángulos iguales.

Ssumando miembro a miembro: b + c = m + n +2r

B^

E

m + n = 2R; luego: b + c = 2R + 2r 1q.q.d.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR.

S5GE32B

A

B

b.c = AM.AP

h 2 =m .n

AB BD = AC DC

E

CM = CP = m BN = BP = n

Pero:

C

DEMOSTRACION: Por B se traza una paralela a la bisectriz AD, cortando a la prolongación CA en E

DEMOSTRACIÓN: Por propiedad de tangentes:

N

1) Los triángulos rectángulos parciales son semejantes entre sí y semejantes al triángulo dado.

^

n

D

H: Sean AB y AC los lados que forman el ángulo A y AD su bisectriz interior, y sean BD y DC los segmentos determinados en el lado opuesto al ángulo A.

T: b+c=2R+2r

B M

c

B

T: Se va a demostrar que:

Son dos rectas que partiendo de un mismo vértice. De un triángulo, el ángulo que forma una de ellas con un lado es igual al ángulo que forma la otra recta con el otro lado del triángulo.

α

α α

TEOREMA En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias, circunscrita e inscrita.

C B

A

P

5) En todo triángulo rectángulo, los cuadrados de los catetos son proporcionales a sus proyecciones sobre la hipotenusa.

b

h

C

M

c.b = a.h

2

1) En todo triángulo la bisectriz de un ángulo interior, divide al lado opuesto en dos segmentos directamente proporcionales a los lados que forman dicho ángulo.

c α αb

4) El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por la altura correspondiente a ella.

A c

5to Año Secundaria

A = D ^ C = α, por correspondientes

A

A ^ E = B ^ D = α, por alterno internos

B

Luego:

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

A

AE = AB

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN En todo triángulo EBC, AD es paralelo a EB, luego los triángulos EBC y ADC son semejantes, entonces aplicando el teorema de Thales:

5to Año Secundaria RELACIONES MÉTRICAS CIRCUNFERENCIA :

EN

33

34

GEOMETRÍA

LA

5to Año Secundaria a) 1 d) 4

h

b) 2 e) 5

c) 3

08.Del gráfico calcular “AB”, si PQ = 12.

∴

EA BD = ; AC DC AB BD = AC DC

pero AE = AB 1.q.q.d

2) En todo triángulo, el cuadrado de la bisectriz de un ángulo interior es igual al producto de los lados que forman el ángulo, menos el producto de los segmentos determinados por la bisectriz del tercer lado.

TEOREMA DE LAS CUERDAS:

a

n b m

TEOREMA SECANTE:

DE

LA

TANGENTE

t2 = m . n

n

α α m

AD

2

C

= AB × AC − BD × DC

T: AD 2 =AB x AC – BD x DC

b) 6 e) 20

Y

a) 10 d) 15

TEOREMA DE LAS SECANTES a a.b=m.n

n

b) 4,2 e) 5

b) 9

2

d) 8

e) 3

c) 6 2

06. Del gráfico, calcular “PQ”, si: R = 9 y r = 4.

EJERCICIOS PROPUESTOS P

a

Q

D

β

C

a) 12 d) 15 02 Calcular “h”

E

RELACIONES MÉTRICAS

S5GE32B

16

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 13 e) 16

c) 14

a) 13 d) 18

b) 15 e) 20

B A C

H

S5GE32B

D

a) 4

5

b) 5

5

5

e) 8

5

c) 6

5

10. Las dos medianas relativas a los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8. Calcular la medida de la hipotenusa de dicho triángulo.

d)

a) 6 b) 6 2 c) 12 d) 13 e) 8 07.En un ∆ABC, recto en “B”, se trazan la altura BH ; HE ⊥ AB y HF ⊥ BC (E en AB y F en BC ). Si: AE = 1 y FC = 8, calcular “EB”.

c) 16

09.Si AH = 2 y HC = 8, calcular “CD”

a) 2

R

9

β

Q

P

d) 7

α α B

B1

c) 4,6

r

A

6

05 En un ∆ABC, recto en B, se traza la ceviana interior BR , tal que AB = BR. Calcular “AB”, si: AC . AR = 72 a) 6

m

c) 14

04 Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita e un rombo cuyas diagonales miden 12 y 16 respectivamente.

01.Calcular “a”

DEMOSTRACIÓN

A

c) 12

b) 12 e) 16

a) 4 d) 4,8

b

H: Sean AB y AC los lados del ángulo A, sea AD la bisectriz del mismo ángulo y sean BD y DC, los segmentos determinados en el tercer lado.

25

03 E, F y T son puntos de tangencia r = 3 y AE = 5 . Calcula “EC”

t

D

a) 10 d) 18

a .b = n . m

A

B

9

b) 3

5

c) 4

2

e) 10

5

11.Calcular “MQ . QN”, si “O” es centro.

P M

Q

A

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

N 2 3 O

B

5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 6 d) 12

b) 8 e) 16

c) 9

5to Año Secundaria

33

F

C

T

T A

a) 4 a) 4 d) 12

b) 6 e) 16

c) 8

13.Calcular “AC”, si AP=8 y CQ=6.

d) 4

a) 2,5 d) 4,5

c) 2 2

D B

C

b) 12 e) 11

c) 10

14. En la figura BD // AE , AB=4, BC=8 y CD=6. Calcular “EF” B

A

c) 4

18. En la figura “P”, “Q” y “T” son puntos de tangencia, CQ=12, AP=4 y BP=6. Calcular “PT” B T P A Q

C D E

F

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 15. En la figura “T” y “Q” son puntos de tangencia, AT = 6 y AB = 4. Calcular “QC”.

T

C a) 12 b) 18 c) 15 d) 24 e) 30 19. Si ABCD es un paralelogramo calcular “x”

8

A B

a) 1 d) 4 S5GE32B

b) 2 e) 6

A Q

C

c) 3

a) 8 d) 12

12

2

b) 17 e) 20

H b) 4

d) 5

e) 3

d) 4

c) 18

2

2

Q

2

O'

B

O

b) 3

2

e) 2

3

A T

B C c) 4

3

2 03. Calcular AP, si AB=12; BC=16,

diámetros AC son semicircunferencias.

de

AB y las

a) 24 b) 36 c) 18 d) 32 e) 16 2 07. Si ABCD es un cuadrado, AD=5 y PB=7, calcular “MD” A

B

C

c) 10

a) 2,8 d) 6,2

C

P

b) 2,2 e) 8,2

c) 7,2

60 13

a) 5

b)

d) 12

e) 13

D

c)

13 60

08.Calcular “BP”, si AM=MC, AC=5 y AB=3.

04.De la figura, calcular O’Q, si QB =200.

S5GE32B

D M

P A

c) 4

06.Del gráfico calcular “PQ + PT”, si PA = 8 y AB = 10.

P Q

Q

a) 4

2

P

a) 3

02. De la figura, calcular BQ, si AH=4, HC=9 y HQ=2.

B

A

c) 4

2

B

20. En la figura: AB=7 y EF = 3. Calcular “FB” “El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) 16 d) 19

D

b) 9 e) 6

e) 6

A

H

E

x

B

b) 10

d) 5

B

05. De la figura: AP=6, calcular AQ.

C

A

b) 3 e) 8

a) 10

Q

A

a) 2 d) 6

O Q

01. De la figura AB=15, BQ=8 y AH=HC. Calcular “QC”.

B

F

E

A

c) 4

TAREA DOMICILIARIA

2

17. Si BF=1, FC=2, AF=16 y BC // AD , calcular “EF” B C

P Q

a) 7 d) 9

e) 6

b) 3,5 e) 5

B

O

b) 8 2

O' A

F

E

A P

B

E

Q M

5to Año Secundaria

A

16.Calcular “CT”, si AB = AC y EF = 4.

12. En la figura “T”, “Q” y “M” son puntos de tangencia, PQ=QT y PA =2. Calcular “PB”

B

GEOMETRÍA

34

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN B

d) 4

b) 2

2

e) 3

2

c) 2

4 D

a) 2 d) 2/3

b) 1/2 e) 1

B

B

c) 3 M

A

P

A

Q

PROPORCIONALI

B

a) 2,5 d) 3

b) 3,5 e) 5

c) 4 EJERCICIOS PROPUESTOS 01.Completar: Para que se cumpla en teorema de Thales basta un mínimo de ………. y ………. a) Dos paralelas y una secante b) Una paralela y una secante c) Tres paralelas y una secante d) Tres paralelas y dos secantes e) Dos paralelas y dos secantes 02. La razón de dos segmentos es 3/5. Si uno de ellos mide 8cm más que el otro, ¿Cuánto mide el segmento menor? a) 11cm

S5GE32B

a) 10 d) 12

b) 19 e) 15

c) 14

08.Del gráfico adjunto, calcular: x.

B x+2 2a 3a

x A

b

a) 6 d) 3

C

2b

b) 5 e) 8

c) 7

09.Del gráfico indicando, calcular «x».

2a B P

b

5a

10. En la figura: PT=6 y AQ=2. Calcular “QB”.

T

07. En un triángulo ABC, BD es bisectriz interior y «P» es el incentro. Si: 5BP=7(PD) y AB+BC=21, calcular AC.

c) 3

MN 04. Según el gráfico, calcular , si MN BM BN 3 = . // AC y NC 4

Q

b) 2 e) 5

e) 13cm

A

M

N

5to Año Secundaria

22

C

a) 1 d) 4

GEOMETRÍA

03. A partir el gráfico mostrado se pide calcular « x », si PQ // BC // AD .

C B 2 x P Q

09. Si AB es diámetro, “M” es centro y PQ=4. calcular “QM”

A

34

d) 8cm

C

M

2

33

P

A

a) 4

5to Año Secundaria

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 9cm

5 a) 4 3 d) 2

N

α° α°

3 b) 4 4 e) 3

05. En el triángulo ABC donde:

b

A C

2 c) 3

x

b) 1,5 e) 2

A

AB 7 = se BC 5

a) 5 d) 6

b) 2 e) 8

B D N

M

a) 5 d) 2

b) 4 e) 3

11.En la figura, Calcular “α”

c) 4

c) 12cm S5GE32B

L

E C

c) 3

06. En un triángulo ABC; AB=4; BC=8 y AC=6.

Se traza la bisectriz exterior BE (E en la prolongación de CA ). Calcular: EA

x-3

C

a) 4 b) 8 c) 9 d) 5 e) 7 10. En el gráfico mostrado AB // CD // MN , 3(AE)=6(ED)=2(DN). Si CM=6, calcular EB.

traza la bisectriz interior BC .

Si: AD=3,5, ¿Cuánto mide DC ? a) 2,5 d) 3,5

Q

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 6

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

34

GEOMETRÍA x

10 9

10

C 3 E

α°

a) 53 d) 60

b) 37 e) 45

c) 30

12.En la figura, calcular “x”.

6

b) 37 e) 30

α° α° 8

x°

b) 4 e) 5

c) 2

α° α° 5

b) 10 e) 12

c) 08

2

3x

37° 53°

b) 18 e) 16

c) 90

a) 53 d) 60

x+4 D

a) 6 d) 3

b) 3 e) 5

c) 2

b) 22,5 e) 15

x

α° α°

x

15. Si: EF // AB // CD , calcular “x”.

23. Calcular “x”

S5GE32B

S5GE32B

b) 9 e) 6

x

Q

3 C

D

a) 6 b) 5 d) 7 e) 9 26. En la figura, calcular “α”

c) 8

10

24 α°

18

a) 10 d) 8

4

P

x

c) 60

c) 18,5

25. Si: AB // CD // PQ , calcular “x”.

B A

3 α° 8

19. En la figura, AB // CD , calcular “x”.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) 26,5 d) 30

c) 4

22. Calcular “x”

D

b) 37 e) 30

c) 30

b) 2 e) 5

2

α°

L1 x-1 L2 x+2 L3

x

c) 5

1

2a

b) 37 e) 53

x

a) 53 d) 90

b) 7 e) 5,5

24. Calcular “α”

21. Si: L1 // L2 // L3’ calcular “x”.

3a

C

a) 6 d) 8

12

α°

5 α°

L2

3 α° 2x B A 5

c) 12

x

3a

8

2α°

x

D

a) 10 d) 15

α°

9

10

a) 60 b) 53 c) 30 d) 18,5 e) 26,5 18. En la figura, AB // CD , calcular “α”.

14. En la figura, calcular “x”

2a

α°

α°

x B

A

L1

b) 60 e) 45

C x

6

a) 15 d) 10

a) 53 d) 30

4

9

20. En la figura, calcular “α”.

17. Si: AB // CD , calcular “α”.

A B 2 2a

13. En la figura, calcular “x”.

7

c) 74

4

7

a) 1 d) 3

C

16.Si: L1 // L2, calcular “x”.

x

a) 4 d) 1

D 5 x° 5 F G

a) 53 d) 90

5to Año Secundaria

B

A

4

33

c) 12

a) 30 d) 37

b) 53 e) 55

27. En la figura, calcular “x”

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 45

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

a) 4 d) 6

4 α°

a) 53 d) 30 a° a°

8

2

10

a) 3 d) 6 b) 30 e) 26,5

30. En la figura DF // AE y DE // AC .

Calcular “x” B 1 F 2 D E x

a) 45 d) 60

01. En la figura BN=6 y NH=9. Si AC=20, calcular “PQ”.

B

α° x

P

b) 5 e) 1

c) 15

60° 60°

a) 4 d) 2

b) 5 e) 6

c) 3

a) 3 d) 6/5 39. Calcular “x”

α°

a) 26 d) 46

b) 5 e) 7/2

c) 4

C

S5GE32B

b) 34 e) 51

c) 38

03. En un trapecio las bases miden 4 y 8, además la altura mide 9. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base menor. a) 4

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

H

a) 6 b) 7,5 c) 10 d) 8 e) 9 02.Los lados de un triángulo miden 17,19 y 23.

Calcular la medida del menor lado de otro triángulo semejante a él cuyo perímetro es 177.

8

35. En la figura, calcular x.

S5GE32B

Q

x

12

x

c) 9

A

α° 6

N

c) 2

38. En la figura, calcular “x”

34. En la figura, calcular “x”

C

31. En la figura, calcular “α”

b) 30 e) 37

c) 53

TAREA DOMICILIARIA

y

x

6

b) 30 e) 37

2x

a) 4 d) 3

3

c) 5

α°

2y

c) 45

a) 60 d) 45

3

6

1

2

37. En la figura, calcular “x”

α° α°

b) 30 e) 37

b) 4 e) 6

c) 60

c) 30

x° x° x°

b) 4 e) 8

33. En la figura calcular “α”

3

b) 60 e) 53

40. Calcular “x”

x

a) 53 d) 18,5

a) 40 d) 45

α° 2

x

3

4 90°+ α

c) 8

α°

c) 6

A

b) 4 e) 5

36. En la figura, calcular x.

α°

6

29. En la figura, calcular “α”.

a) 3 d) 8

a) 3 d) 6 c) 45

x°

x

32. En la figura, calcular “α” x

b) 3 e) 2

a

b) 37 e) 60

α°

a) 53 d) 60

x°

a

4

c) 5

28.Calcular “x”

α°

5to Año Secundaria

4

10

b) 7 e) 8

a) 4 d) 5

GEOMETRÍA

4a

x

x

34

2a

3 3

33

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 2

c) 3,5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 3

e) 4,5

d) 9

04. En un triángulo ABC se traza MN // AC (“M” en AB y “N” en BC ), tal que AM=2-x, MB=x+1, BN=x+3 y NC=3, calcular “AC” a) 1,5 d) 4,5

5to Año Secundaria

b) 2,5 e) 5,4

33

e) 14

d) 6

08. Del gráfico, calcular «x».

c) 3

37° 37°

a

e) 8

a) 2 d) 5

b

b) 3 e) 6

a) 0,8 d) 1,4 C D

O

a) 2,5 d) 5

b) 0,9 e) 1,6

c) 1,0

B

α° θ°

a) 6 d) 2

b) 1 e) 4

c) 3

07. En la figura « G » es baricentro del triángulo ABC. Calcular «x».

B

α°

G

b) 2 e) 5

c) 3

b) 4 e) 5

c) 2

C

B N P

x-5

N

α° C

A

S5GE32B

b) 8

c) 12

A

a) 2

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 45

b) 12 e) 7,5

c) 10

AC 4

18. Del gráfico mostrado ID=

y el

perímetro del triángulo ABC es 20m (I es incentro). Calcular BD. B

D

b) 3

a) 3/5 d) 4/3

I A α° α° α°

b) 5/3 e) 3/4

C

c) 1

15.En un triángulo ABC se traza la ceviana tal que: 3AD=2DCy BD ,

m∠ m∠ ) BDA ) BAC ) B = =M ∠ 5 3 CA.

11. Si ABCD es un romboide, 4BP = 3BD y AB=12, calcular “NC”

x+4

b) 30 e) 37

A 3 P 2 Q X B

D

a) 3 d) 6

C

E

F

14. De la figura adjunta, calcular BQ

10. En un triángulo ABC, se traza la mediana ) BM . Calcular BM, si AB=8 y m ∠ ) A+m ∠ ) C MBC=m ∠

4

M

C

x

3

a) 1 d) 4 2

a) 53 d) 60

8

c) 4

A

x

D

a) 15 d) 6

P

09. Calcular «x»,si ABCD: romboide.

06. En la figura, calcular «x».

θ°

B

A

E A

E

b) 3 e) 3,5

α°

C

c) 4

α° α°

A

e) 26

17. De la figura adjunta: BC=4; AB=9: BD=8, BM // CF y AM=ME. Calcular DE .

B

B

a) 10

d) 22

13. En la figura BE=2 y BC=8, calcular “BP” x

05. Calcular “EC”, si AB=10 y CD=2.

M

5to Año Secundaria

12. En el triángulo ABC se trazan las alturas AD y CE , tal que AE=12, BE=3 y BD=5. Calcular “CD”

1 1 + =1,6 a b

Si:

GEOMETRÍA

34

c) 4

a) 4 d) 8

b) 5 e) 9

c) 6

16.En un ∆ABC: AB=8, BC=6 y AC=7. Las bisectrices interior y exterior del ángulo B intersecan a AC y a su prolongación en los puntos E y F, respectivamente. Calcular «EF». a) 20 S5GE32B

b) 24

c) 18

D

C

a) 3m b) 5m c) 7m d) 6m e) 4m 19. En un triángulo ABC una recta paralela a AC interseca a AB y BC en los puntos “P” y “Q” respectivamente. Calcular “PQ” si AP=6, PB=2 y AC=12. a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

20. En la figura: AP y CP son tangentes, AB=9 y BC=4. Calcular PB. P A C B

a) 6 d) 3

2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 7,5 e) 8

c) 6,5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 21. En la prolongación del lado Andel cuadrilátero ABCD se ubica el punto E, tal que BD es bisectriz del ángulo “B” y m ∠ ) CDE; AB=18 y BC=8.

Calcular: BD . a) 6 d) 12

b) 8 e) 15

D

y

BE=6,

B E

x

a) 24 d) 32

b) 25 e) 36

d) 6

3

a) 6 d) 12

b) 8 e) 15

c) 10

B P

b) 4 e) 12

3

c) 3

3

3

b) 2 e) 4,5

c) 3,5

C

M

A

C

a) 4

3

b) 4

2

d) 6

2

e) 6

3

c) 8

SEMEJANZAS DE Dos triángulos serán semejantes si tienen la misma forma, pero diferente tamaño.

Si dos triángulos son semejantes entonces se cumple que todos sus elementos homólogos a los elementos de uno y otro triángulo semejante que se encuentran en relación directa.

28. Los lados AB y BC del triángulo ABC miden 4 y 6; siendo el ángulo ABC de 120.

Calcular la bisectriz BD (D en AC ). a) 2,5 d) 3,6

b) 1,2 e) 2,4

c) 1,8

Para que dos triángulos tengan la misma forma será necesario que tengan congruentes sus tres ángulos.

24. En un cuadrado ABCD en BC se ubica el punto “P” y en la región triangular APD se ubica su baricentro “G”. Luego trazamos , tal que AH=4. Calcular el perímetro del cuadrado. a) 36 d) 40

b) 44 e) 48

B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

N

∼

c) 32

A

αº

θº H

Si ∆ABC ∼ ∆MNL

) 25. En un trapecio rectángulo ABCD: m ∠ ) B=90, A=m ∠ y se AC BD S5GE32B

5to Año Secundaria

27. En la figura BM es mediana; AP=2 y PB=4. Calcular “AC”

23. En un trapecio las bases miden 4 y 8, además la altura mide 9. Calcular la distancia del punto de intersección de las diagonales a la base menor. a) 4 d) 3

GEOMETRÍA

c) 30

F

A

3

34

intersecan perpendicularmente, BC=18 y AD=50. Calcular AB.

30º

a) 2

33

26. La mediatriz del lado AC de un triángulo ABC interseca a BC y a la prolongación de AB en “M” y “N” respectivamente. Si 4BM=3MC y AB=4, calcular “BN”.

c) 10

22. Si EF // AC ,3(BF)=2(CF) Calcular “AD”.

5to Año Secundaria

⇒ S5GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

C M

αº Q

θº

L

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

AB MN

=

BC NL

=

AC ML

=

2 p ∆ABC 2 p ∆MNL

5to Año Secundaria

=

BH

=

NQ

AH a MQ

b

bk

ak

∼

GEOMETRÍA

34

P

2. Sobre el lado AC de un triángulo ABC se toma el punto “D” tal que AD = 1, DC = 8 y AB = 3.

Si BC = 10, calcular “BD”

1er. Caso: Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

∼

θº

αº

A A

αº H

Del gráfico: AHB ∼

90º - αº

BHC ∼

ABC

C

Si :

BC // PQ // AD

⇒ PQ =

ak

ωº

a

ωº

3er. Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

x =

b

ab a +b

B

M

N

TEOREMA DE MENELAO

B

AQ, BQ, CL = PB, QC, AL

N C A

A

B

C

L Si

MN // AC

⇒ ∆ MBN ∼ ∆ ABC

P Q

2.

B

A Q

P A

C TEOREMA DE CEVA

S5GE32B

y PO = OQ

x

b

∼

a +b

1.

M

bk

2ab

a

Observaciones 2do. Caso : Dos triángulos serán semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y congruente el ángulo comprendido.

D

b

Observación: Del gráfico se cumple

3. Se tiene un cuadrilátero bicéntrico ABCD, tal que las prolongaciones de AB y DC se intersecan en “E”. Si AE = 8, ED = 10 y AD = 9, calcular “BC”

θº

Q

αº

= m∡ C, BD = 4 y DC = 5. Calcular “ AB ”.

Dos triángulos serán semejantes si cumplen con cualquiera de los siguientes casos:

C

O

B

1. En un triángulo ABC, sobre BC se toma el punto “ D ”, tal que la m ∡ BAD

CASOS DE SEMEJANZA

a

B

Aplicación:

Dados dos triángulos semejantes. Llamaremos lados homólogos, uno en cada triángulo, a aquéllos opuestos a ángulos congruentes.

Propiedad

3.

c

k : Razón de semejanza.

5to Año Secundaria

Si : AQ y CP son alturas ⇒ ∆ PBQ ∼ ∆ ABC

ck

El símbolo ∼ , se lee “ es semejante a”

αº

= ... = k

33

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

L C

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN “Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo, determinan sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no consecutiva es igual al producto de los tres restantes”.

Sean

las

cevianas concurrentes trazadas en el ∆ ABC. Entonces se verificará la siguiente relación: AN , BL y CM

AM . BN . CL = BM . NC . AL

5to Año Secundaria EJERCICIOS PROPUESTOS 01.Del gráfico calcular “x”

9

x βº

αº

a) 3b) 4 d) 6 02. Si

MN // AC

M

D

C

x-2 A a) 5 d) 10

DC

B

C

θº θº C

C

b) 7 c) 9 e) 12

o

a) 3 d) 6 n

x

AE

a) 3

2

b) 4 c) 6

CE

d) 2

3

e) 2

a) 24 d) 32

C

A 2n

b) 4 c) 5 e) 7

b) 4, 5 e) 7, 5

c) 5

b) 28 e) 20

c) 30

11. En la figura mostrada BC = 8 y AD = 18.

Calcular AB

07. En la figura mostrada si AD = 8 ; DC = 10, calcular AB B

6

D

10. Los lados de un triángulo miden 4, 7 y 10. Si otro triángulo semejante al primero tiene un perímetro de 147, calcular la medida de su lado menor.

R

T

θº

A a) 4 d) 5, 5

B

5k

b) 8 c) 10 e) 16

b) 8 c) 9 e) 15

N

45º

=

θº

06. En la figura TO = 2 y AO . OR = 12. Calcular : OC

Se cumple:

AD

C

B

09. Si AB = 8 y BD = 6 , Calcular “ BC ”.

a) 7 d) 10

, calcular “x”

18

E

N

M

03. Calcular “x”

C

A

a) 6 d) 12

θº

A

3k

Propiedad :

A

T

05. Si : MN // AC , AM = 7 , AB = 10 y CN = MN + 12. Calcular MN

c) 4, 5 e) 8

x+2

B θ θ α α

5to Año Secundaria

x

B

L

GEOMETRÍA

βº 4

αº

N

A

34

B

B M

33

C

B

αº

04. Calcular “x”.

B

A

6C

x

D

12 A a) 5 d) 10 S5GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

15 b) 7, 5 e) 12, 5

αº D

C

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 08. Calcular “ AT ”, si “ T ”es punto de tangencia, AB = 4 y TC = 3TB

E c) 9

S5GE32B

A a) 10 d) 13

b) 11 e) 14

D c) 12

12. En un triángulo ABC : AB = 3, BC = 6 y m ∡ ABC = 120. Si BD es bisectriz interior, calcular “ BD ”.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1

b)

d) 2

5to Año Secundaria

e) 3

3

13. En la figura, si AT = 2 y MC = 8, Calcular R, “ T ” y “ M ” puntos de tangencia B

B

O

a) 3 d) 6

b) 4 c) 5 e) 7

E

A b) 5, 4 e) 7, 2

c) 6

17. En la figura el diámetro AC mide 8, AB = 2BM. Calcular MN B

M

D b) 9 c) 10 e) 12

A

OF =

T b) 12, 5 e) 18

c) 12

C

H b) 7, 5 e) 9

a) 6 d) 8

c) 10

06. ABCD : cuadrado; cuyo perímetro es 24 calcular HP; si : BM = MC

x

15 b) 7, 5 e) 12, 5

Q

N

H M

C

D P E

A

c) 9

a) 1 d) 2, 5 AB

D b) 1, 5 e) 3

c) 2

07. Calcular “DE”, si AB = 14, BC = 6 y = 5.

E D b) 3 c) 4 e) 7, 5

19. En la figura mostrada calcular “x”

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

C

a) 5 d) 10

αº

αº α

D A

αº

D

º C

E

A B a) 2, 5 b) 2, 55 c) 2, 65 d) 2, 75 e) 2, 85 04. En el triángulo ABC se trazan las alturas AD y CE tal que : AE = 12; BE = 3; BD = 5.

Calcular “CD” S5GE32B

AG

B

C

C

16. En la figura : CD = 3BE, AE = 7, AD = 4.

Calcular BE

S5GE32B

a) 2 d) 6

A

12

E

F

c) 38

03. En la figura se cumple : 2 (ED) = CB ; = 5 y AD = 6. Calcular “ED”.

αº αº

E

P

B

A

B

A a) 8 d) 15

6

c) 4

3

18. En la figura AE = 2 y EB = 4. Calcular “BC”.

O

b) 34 e) 51

B

e) 6

3

B

01.Los ángulos de un triángulo miden 17; 19 y 23 . Calcular la medida del menor lado de otro triángulo semejante a él; cuyo perímetro es 177.

C b) 2

d) 4

15. En la figura “ O ” es centro, OE = 9 y 16. Calcular “ OA ”

C

TAREA DOMICILIARIA

M A

a) 8 d) 11

05. En la figura BN = 6 y NH = 9. SI AC = 20, calcular “PQ”

02. Calcular “x”

N

a) 2

6

b) 3 c) 4 e) 6

b) 2 c) 2, 5 e) 3, 5

a) 26 d) 46

C

A

a) 2 d) 5

x

A a) 1, 5 d) 3

14. En la figura mostrada BM = MA, si BC = 4 y AD = 9, calcular AB. B

F

2

a) 5 d) 6, 6

C

D B

D

R

A

5to Año Secundaria

θº

θº

M

T

GEOMETRÍA

34

C

c) 2

3

33

G a) 1 b) 4 c) 2 d) 1, 5 e) 3 08. Si MN // BC , AB = 18, AC = 27 y BC = 36. Calcular AM para que el perímetro del triángulo AMN sea igual al perímetro del trapecio BMNC.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

5to Año Secundaria

33

34

GEOMETRÍA

5to Año Secundaria

B

A

A

H

M

N

B a) 14, 25 d) 18, 2

b) 16, 2 e) 19, 25

c) 12, 5

09. En un trapecio, el punto de intersección de las diagonales dista 3 de la base menor y 4 de la base mayor. ¿A qué distancia de la base menor se encuentra el punto de intersección de los lados no paralelos? a) 7 d) 12

b) 14 e) 18

D C A a) 4 d) 13/ 3

E b) 11/ 3 e) 14/ 3

c) 10/ 3

11. En un trapecio ABC; BC = 18, la mediana BM y la bisectriz interior AD son perpendiculares; calcular “ BD ”. a) 4, 5 d) 8

A

C

P b) 1 c) 1, 5 e) 3

a) 0, 5 d) 2

13. Si : PQ = 2, PS = 5 y AD = 7; calcular BC B C

Q P

B

b) 6 c) 7, 8 e) 9

12. En la figura : AH = 3 y BC = 9. Calcular “PQ”.

E

A

A a) 3, 5 d) 7, 5

S D

b) 6 e) 8

c) 7

14. Por el baricentro de una región triangular se traza una paralela a un lado, determinándose un triángulo parcial cuyo perímetro es 4.

Calcular el perímetro del triángulo inicial. a) 5 d) 12

b) 6 c) 8 e) 9

15. En un trapecio rectángulo las bases miden 4 y 9. Calcular la medida de la altura del trapecio si las diagonales son perpendiculares entre sí. a) 5 d) 6

N P b) 10 e) 8

a) 9 d) 15

M c) 12

17. En un triángulo ABC, m ∡ A = 2 m ∡ C ; AB = 4 y AC = 5. Calcular BC. a) 3

2

b) 5, 5

d) 4

3

e) 7

a) 7 u d) 5 u

b) 6 u e) 5, 5

b) 9 c) 8 e) 12

16. Del gráfico, “ P ” es un punto de tangencia, AM = 18 y NB = 8 . Calcular : “ PQ ”.

a) 3 d) 6

b) 3 c) 3 e) 9

c) 6

A

T

a) 1,5 cm. d) 4 cm.

19. Dado el romboide ABCD : AB = 9 y AD = 12, en AC se ubica el punto “P” cuya distancia a AB es 6. Calcular la distancia de “ P ” a AD a) 4, 5 d) 8

N L

3

b) 5 c) 3 e) 7, 5

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 18 21. En el gráfico mostrado, 3 (CD) = 4 (DE) y BC = 8u. Calcular AB; siendo C punto de tangencia.

B

C

b) 2 cm. e) 3, 5 cm.

S2 = 3 m 2 Calcular S 3

A

βº

αº α β º º S3 S2 S1 D C

a) 10 m 2 d) 5 m 2

b) 21 m 2 e) 15 m 2

24. De la figura adjunta se cumple:

S5GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5GE32B

C) 3 cm.

23. Del gráfico S1 = 4 m 2

B

20. Las bases de un trapecio miden 10 y 20. Se traza una paralela a las bases que dividen a los lados no paralelos e segmentos proporcionales a 2 y 3. Calcular la longitud de dicha paralela.

c) 6, 5 u

22. Si L es mediatriz de AB , CB = 3 (TC) y AN = 8 cm, calcular NC.

18. En un triángulo ABC ( AB = BC ) se trazan las alturas BH y AQ que se intersecan en “O”.

Si : OH = 1 y OB = 8, calcular “AC”

c) 21

10. Si “ C ” es punto de tangencia , AC = 9 ; BC = 6 ; CD = 5; calcular CE.

D

B

Q C

C

B

Q

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

E c) 7 m 2

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

AO 2

=

OB

Calcular

BC

=

3

5to Año Secundaria

si

MP

=

M

15,

O

M

L1

L

B

L2

a) 6 d) 4, 5

N P

C

a) 1 d) 10/3

L3

b) 1, 5 e) 2, 5

A b) 3 2 e) 12

c) 3

PQ // AC

53º 53º x

A

D

a) 8 d) 3

; si AL =

a

+

1 c

=

1 5

.

a) 1 d) 4

C

a

C c) 10 AE

C

B

A

E O D b) 2 e) 4, 5

c) 3

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

c) 12

27. De la figura adjunta : AL = 2; AU = 1.

Calcular UP. S5GE32B

1

29. En la figura “O” es centro, AB = 3BE y = 6. Calcular “EC”

Q

b) 6 e) 4, 5

P

b) 6 e) 9

B

L

c) 1

c) 2

c

a) 7 d) 12

D

A

b) 5 e) 4

B

C

P

P

5to Año Secundaria

Calcular BD.

M

26. De la figura adjunta 6, calcular LC

U

b) 3 e) 9

MN =

N

a) 8 d) 4

A

28. De la figura adjunta :

c) 5

25. Si ABCD es un romboide, PM = 2 y 16, calcular AP.

B

a) 2 d) 3

N

L1 // L 2 // L 3 A

GEOMETRÍA

entero de ID, siendo I: incentro del triángulo ABC y IB = 4

T

4

MO,

34

33

30. Se tiene un triángulo ABC de bisectriz interior BD . Calcular el máximo valor

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5GE32B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."