Geometria 5° 3b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29

III

B

SEMEJANZA Y TEOREMA DE THALES

A

α°

β°

α°

D E

B

AB DE = BC EF

L2 F

C

AB

L1

A' B'

=

L3

BC B' C '

=

C'

H'

AC A' C '

=

BH B' H '

L3

a) 3 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

07.De la figura hallar m/n. Si L1 // L2 // L3.

L1 n

3

m

=

L3

a) 1/3 d) 1/4

4x+1

b) 3/2 e) 3/4

c) 4/1

08.Hallar AC, si AB = 15, BC = 20 y AD = 6.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

3x2 +1

α α

A

04. Hallar el área del triángulo: α

c

B

α

m SEMEJANZA DE TRIANGULO

11.En un triángulo ABC, AB = 16, se traza la mediana BM. Hallar BM, si m MBC = m BAC + m ACB. a) 12 d) 8 2

H

R

Q

c) 3 d) 4 A

e) 5

P

A

S5GE33B

S

C

B

C

M

θ

a) 2 d) 3 C

b) 42

N

A

B 16

a) 10 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

B

b) 2

θ

9

c) 16 3

09.Hallar CE, si AB = 20, BC = 10 y AC = 21.

B

A

b) 8 e) 8

13.Hallar MN, si AB = 9 , BC = 6 , MC = 2 y AB // MN.

D

a n

c) 15

B

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 6

5x+2

x+3

b) 12 e) 30

a) 1

a n

25 α

x

9

03. Hallar “x” en la figura: c

9

12.Hallar el lado del cuadrado PQRS. Si AP = 1, SC = 9.

L2

a n

10.Hallar x.

a) 10 d) 25

x+2

4x

x+2

m

la

x+6

9

m

c

a

e) 28

α

x

=K

01. El Perímetro de un ∆ rectángulo es 132 y la suma de los cuadrados de los 3 lados es 6050.

Hallar los lados.

α α

S5GE33B

relativa

L1

02. Hallar “x” en la figura:

B

altura

d) 20

x

PRACTICA DE CLASE

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

la

3 y3

β°

L2 A

GEOMETRÍA

06.Si L1 // L2 // L3. Hallar x.

A'

C

H

2 . Hallar hipotenusa.

θ°

~

5to Secundaria

05.Los catetos de un triángulo miden: 2

B'

θ°

30

b) 6 e) 5

C

c) 4

E

c) 21

14.Hallar EF. Si BF = 3; AB = 9, AC = 6.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29

5to Secundaria

30

B

B

B

E

B

5

α

P

F C

b) 6 e) 5

12

a) 7,5 d) 6 c) 4

ε

Q 3

A

α

A

a) 2 d) 3

θ

C

b) 6,5 e) N.A.

c) 7

19.Calcular “x”. Si AB = 12 y CD = 6.

A

B

α

b) 3 e) 1

B

b) 6 e) 7

c) 5

20. Si MN // AC ; AC=10 MN=4 ; BC=12.

Hallar BN.

b) 18 e) 15

c) 25

B

M

a) 2a+b d) 0

b) a + b e) N.A

a) 10º d) 40º

b) 20º e) N.A

C

a) 3,8 d) 4,8

b) 3,5 e) 3,5

A

c) 4

P

21. Hallar el lado del cuadrado MNPQ. Si: AC=10 y la altura del triángulo es 12.

C

Q

E

R A

D

b) 8 e) 8,5

18.Hallar PQ, si PQ // AC.

c) 9

a) d)

6 , 15

5 , 18

Q

b) e)

Q 6 , 05

5 , 45

22. Si: BE=3 ; EC=5 . Hallar HC “El nuevo símbolo de una buena educación....”

C

c)

a) 1 d) 7

b) 3 e) N.A

24o

O

a) 20º d) 25º

b) 21º e) N.A

C

c) 24º

B

Q

N

M

c) 5

P A

03. En la figura mostrada BE = a y EC = b. Hallar "AE".

S5GE33B

36o

C

A 5 , 38

A

06. El triángulo MNP. Se llama : ("p" un punto

N

6 A

c) 3

B

M

M

C

02. Calcular QC si : BN = 8 y BC = 17

P

M

53°

N

b) 2 e) N.A.

B

X

B

a) 1 d) 4

c) 30º

05. Calcular "x" si BC = 2 PB ; Q = Punto medio AC ; M = Punto medio BC .

M

θ θ

c) a + 2b

04. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH y la mediana CM , Calcular el ∠MCA si BH = MC

N

A

6

S5GE33B

C

30 - 3 α

T

17.Si ABCD es un cuadrado. Hallar FE.

a) 6 d) 10

c) 10

01. Hallar "MC" si : AB = 8 , TN = 2 B

B

16. En un triángulo ABC, AB = 27, por el baricentro G, se traza EF paralelo a AC (E sobre AB y F en BC). Hallar BE.

F

b) 9 e) 9,52

EJERCICIOS PROPUESTOS 01

c) 4

A

c) 16

D

a) 2 d) 5

α

a) 9 d) 24

C

H

b) 12 e) 19

a) 8,75 d) 9,05

x

C

a) 9 d) 4

θ

C O

N

A a) 10 d) 17

E

10+2α

23. Hallar AB, Si: BN=7 ; MC=5 ; AC=8

15.Hallar BC si AN = 3NB = 9

A

GEOMETRÍA

P

a) Triángulo Podar b) Triángulo Mediano

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

C

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29

c) Triángulo A y B d) Triángulo Ortico e) N.A

b) 8

Q

A

c) 18

3

A

N

M P

a) 3 d) 0,5 C A

b) 2√2 e) N.A

E

D

B

a) 0 d) 15º

b) 5º e) N.A

b) 1/3 e) 1

a) 12,5 d) 9

c) 10º

S5GE33B

y a la

b) 4 e) 7

c) 8

13. Calcular el perímetro de un triángulo, si sus lados miden 12; 2x+5; x-2, además " x " es un número entero b) 27 e) 31

c) 30

AC que corta a AB en E. Hallar AB, si

C

DE = 3 y BE = AB/3

b) 81º e) N.A

c) 71º

hallar

6

c) 18

B

A

4 3

a) 3√3 d) 6√2

D

b) 4√3 e) 8√2

C

c) 4√2

PQ

a) 5 d) 3 ;

b) 4,5 e) 6

c) 4

15. Los triángulos ABC y CDE son equiláteros,

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

A

a) 4 d) 4√3

C

b) 8 e) 2√2

c) 2√3

17.Calcular uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si la distancia de su ortocentro a su circuncentro es igual a uno de sus catetos. a) 15° d) 75°

b) 20° e) 45°

c) 30°

18.En un triángulo equilátero ABC de 8 cm de

interior AD , por D se traza una paralela a

F

M

X

N

14. En un triángulo ABC se traza la bisectriz

8α

gráfico

a) 3 d) 5

a) 20 d) 35

M

H

b) 10 e) 12

16. En la figura, el triángulo ABC es equilátero de 8 cm de lado. Hallar MN, si BN = NC

c) 0,25

prolongación de AB en "E". Hallar BE , si AB = 16 y CN = 5 BN

B α

12

12. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC

09. En la figura , MF es mediatriz de BC;BH es altura. Calcular el valor del ángulo A.

el

B

D

c) 8

interseca en N al lado BC

10. En

E

b) 2 c) 3 e) Ningún punto

20. Determinar el valor de "x" en la sgte figura

C

C

11. Los lados de un triángulo cuiden 8 m, 10 m y 9 m hallar la longitud del segmento que une el incentro con el baricentro

a) 9º d) 18º

a) 1 d) 4

e) 12 a) √2 d) 4

equidistan de sus lados?

B

B

08. Calcular BD si AE = 30º

A

GEOMETRÍA

calcular AD, si BE = 9

07. En un triángulo ABC, los ángulos B y C miden 45º y 60º . ¿ Qué longitud tiene la altura bajada de A sobre el lado "a" , si el lado "b" mide 10 3 ? a) 5 2 d) 15

5to Secundaria

30

lado, por el punto medio D del lado AB se traza DE perpendicular a BC . Hallar la distancia de E al lado BC . a) 2√3 cm d) √3 cm

b) 3√3 cm e) 4 cm

c) 4√3 cm

19. ¿Cuántos puntos del plano de un triángulo S5GE33B

TAREA DOMICILIARIA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29 B

01. En la figura mostrada ABCD es un paralelogramo. A ′A = 4 , C ′C = 2 .

Hallar BB

d) 10

, B

D

a) 4 d) 8

a) 10° d) 25°

b) 2 e) 10

¿Cuál será el valor de x ? a) 2 d) 12/9

b) 4 e) N.A

c) 5

06. En la figura AB // CD , BC // DE si OA = 12 , OE = 48. Hallar CE

B

D

C

E

a) 12 d) 5

F

G

T

6 a +7 b e) N.a.

d)

Q

ab 6 a +7 b

C

b 7 a +6 b

a) d)

09. Hallar : PQ

R

A

α α

2 P

c) 5/12

a) 24 d) 14

E

C

b) 26 e) N.A

c) 28

07.Hallar PQ si PR = 7

P α α

b) 80 y 100 m d) 68 y 102 m

R

Q

a) 7 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) 4 d) 6

b) 8

c) 9

b) 5 e) N.A

a2 a +b b

b)

a2 a −b

2

a +b

e)

b

b) H = L2 √3 e) N.A

ab a +b

2

a −b

B

N

M

D

C

a) 6 d) 10

b) 8 e) 12

c) 9

c) H = R

11. La base de un triángulo mide 4 m, calcular la paralela a la base que divide al triángulo en S5GE33B

c)

13. Si : AB // DC // MN ; AM/MD = 1/4 AB = 7, DC = 17, Hallar MN

Q c) 3

10. Si por el centro de un cuadrado de 40 cm de perímetro, se traza una perpendicular al centro de dicho cuadrado, hallar la longitud de dicha perpendicular (H) para que al unir el punto exterior con los vértices de dicho cuadrado formen 4 triángulos congruentes.

H = perpendicular ; L = lado; R = radio a) H = L d) H = 2πR

04. Hallar " x " si AB = BC y BE = BD

S5GE33B

c)

a

b)

M a N

A

03. Los lados del rectángulo miden 20 y 30m respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de 360 m de perímetro semejante al dado ? a) 72 y 108 m c) 75 y 150 m e) 96 y 144 m

b

5

H O

b) 12/5 e) 6

ab 7 a +6 b

D B

b

F 1

6

a)

12

B

P

c) 6

02. Hallar la longitud de DH si AE = 5 ; BF = 4 y CG = 3

A

E

c) 20°

x

c) 2√2

A

a

b) 15° e) N.A

b) √5 - 2 e) N.A

a) 3(√3 - 1) d) 4(√3 - 1)

C

05. Si las áreas de los siguientes triángulos semejantes están en razón de 9 : 1

,, C

dos partes equivalentes.

12. Hallar NC si AB // MP // NQ; AM // PN

D

A

, A

e) N.A

E x

C

GEOMETRÍA

08. Hallar EF en función de a y b

20

B A

5to Secundaria

30

RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29

30

5to Secundaria

GEOMETRÍA

Hallar “EG” a

E

b

3 5

a c

1. TEOREMA DE EUCLIDES (I)

b

a m c

B

TEOREMA DE HERÓN:

a

b

H

x25 = 72 8

b2 = a2 + c2 − 2c . m

X=

4

a2 = b2 + c2 − 2c . n

82 = 42 + (4 8

x=

10

Aplicando Euclides:

x

2 ) (x)

2 x

a +b +c 2

Aplicación: Hallar “x” c

6

2 x a 2 + b 2 = 2x 2 +

2

TEOREMA DE STEWART (CEVIANA)

(10)2 = (10)2 + (8)2 – 2(10)x

Ceviana

100 = 100 + 64 – 20x

a

20x = 64

Aplicando Herón:

A 8

P=

x

c x

2

c

Aplicación: “El nuevo símbolo de una buena educación....”

= b

2

2

5

n

x = 3,2

7

x

c2

Aplicación: Hallar AM

b

x m

2. TEOREMA DE EUCLIDES (II)

p (p −a ) (p −b ) (p −c )

c

b

a

2 2 ) + 2(4

64 = 16 + 32 + 8 16 = 8

x

H =

2

Desde: P =

Aplicando Euclides:

10

5

x

4 2

Hallar “x”

c

6 10

TEOREMA DE LA MEDIANA

Aplicación:

S5GE33B

G

x25 = 12 + 90 – 30

Hallar “x”

2

46

Aplicando el T de la Ceviana x25 = 22 . 3 + (3 5 )2 . 2 – (2) (3) (5)

Aplicación:

n

x=

2 144

2

A

= b2 + c2 + 2 cm

64 + 100 = 2x2 +

2

x

m

3 a2

12 2

82 + 102 = 2x2 +

m 12

2

m + a n − mnc

Aplicando T. De la Mediana S5GE33B

10

6 +7 + 5 2

=9

∴P = 9

x=

2

9 (9 − 5 ) (9 − 6 ) (9 −7 )

5

∴ x=

12 5

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

6

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29 cumple que los productos entre cada secante entero y la respectiva parte externa son iguales.

En la Circunferencia: P

T

P

B

30

5to Secundaria

GEOMETRÍA

Solución:

Solución:

12 . 4 = (2x) (x) x=2

A

K

6

5

A

A

5

Aplicación:

C

T

Hallar “x”

x

D

C B

D

T : punto de tangencia

AP

.

O

PB

= PD .

PC

03. TEOREMA DE LA TANGENTE: Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante se cumple que tangente al cuadrado es igual al producto de la secante por su parte externa.

CD y AB : cuerdas PB : secante AP : parte externa de la secante BP PROPIEDADES: 01. TEOREMA DE LAS CUERDAS: Si por un punto del interior de una circunferencia se trazan dos cuerdas, se cumple que los productos de los segmentos determinados en cada cuerda son iguales.

5 2

- Por propiedad: KT = TB =

4

- Por teorema de cuerdas: Solución:

5.x=

8=2+x x=6

C a P

x

A

y

TP 2

b

PB

Hallar “x” = PA .

PB

A

Aplicación: Hallar “x”

D .

Aplicación:

B

B

= PC .

5

4

PD

8

T

x

También: x . y = a . b 02. TEOREMA DE LA SECANTE:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x N

x

30º O

Si por un punto extensor de una circunferencia se trazan las secantes, se S5GE33B

5 .

x=1 42 = (2 + x) 2

A

B

5

- En el triángulo rectángulo OTB : TB =

P

T

2

x

PT : tangente

AP

N

5 30º

S5GE33B

2

5

B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

5

5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria PRACTICA DE CLASE

29 d) 12m

01. Hallar "x" :

e) 16m

05. En el sgte gráfico calcular el ángulo AED si : CD = tangente; AB=diámetro; DCA=20º E

X

D

A

C

B

5to Secundaria

30

GEOMETRÍA

09. Dado un triángulo ABC recto en A, tomando como diámetro AC se describe una circunferencia que corta en M a la hipotenusa y a la prolongación de la mediana relativa a dicha hipotenusa en N Hallar MN si AB = 4m y BM = 2m. a) 3 m d) 2m

b) (3 3 /2)m c) 2 e) 4m

3 m

B

P M A

a) R(

2 -1)

d) R(1-

2 )

b) R

a) 160º d) 125º

c) R

2

e) N.A

r x

a) 16 d) 17 a)

3 /2

d)

2

c) 135º

B

b)

3 /4 e) N.A

c)

3

b) 16,5 e) N.A

c) 16,66

 07. En la figura BAC = 10º, arcoDE = 32º.

Hallar arcoFG

03. Hallar "x" si OA = OB =R

A

figura

c) 15º

hallar

el

radio

si

H

C

C

b) 42º e) N.A

F

A

c) 45º

11. Hallar "x" . I1 y I2 son incentros de los triángulos rectángulos ABH y BHC B

a) 3√2 d) 5

B

O

R

b) 4 e) 6

c) 12

D

F

R

a) 26º d) 48º

x

c) R

04. Sea un triángulo ABC, inscrito en una circunferencia, la bisectriz exterior del ángulo β corta a la prolongación del lado AC en D y el arco AB en E. Hallar BD si AE = 8m y EB = 4m. a) 5m b) 6m c) 8m S5GE33B

la

E

a) 40º d) 50º

14. En la figura, calcular la longitud de FM

G

b) R/9 e) N.A

b) 10º e) N.A

AC . AF + BC .BE = 144. Además "O" es el centro de la circunferencia.

Q x

P

E

a) 2/9R d) 2R

a) 5º d) 20º 13. En

06. Se tiene un triángulo isósceles ABC (AB = AC), tomándose AC como diámetro se traza una circunferencia que corta el lado BC en D de modo que BD = 10 m ; luego se traza DE perpendicular a AC de modo que DE = 8 m .

Calcular AC.

02. Calcular x si r = 2

r

b) 145º e) 150º

C

H

R

10. Hallar "x" . P y Q incentros de los triángulos rectángulos ABH y BHC.

N

Q

B

b) 42º e) 52º

l

A

l2

R

M

C

c) 32º

08. dadas dos circunferencias secantes en B y D de radios 2,5 y 6 mts , la perpendicular trazada por D a la cuerda común corta a la circunferencia menor y mayor en A y C respectivamente, la prolongación de AB corta a la mayor en E. Hallar EB si AC = 14 m. a) 1 m b) 0,8 m c) 1,7 m d) 2,5 m e) 2,7 m

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x 1

A

a) 85º d) 90º

O

C

H

b) 86º e) N.A

c) 88º

12. Hallar el perímetro del ∆ PQH. P y Q incentros de los triángulos rectángulos ABH y BHC, además MN = 20

a) 3R/5 d) 3R 15. En

b) R

5 /5 la

F

R B R

5 /5

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

5

e) N.A

figura

:

Hallar ED si : AB = 2BC

S5GE33B

c) 3R

ED / / BC

,

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria A Centro O

8

a) 13 d) 16

B

b) 15 e) N.A

1 2

L

a)

21 /7 21 /3

d)

17. Hallar

AO =

A

b) 2

AF OB = BC =

D

O

21 /3 .R c) 2R 21 e) R/2 . 21

a) a2 d) 2a2/3 20.

b) 3a2/2 e) a2

C

E

C

B

a) 2,5 d) 5

2,5 F

b) 2 e) 4,5

C

c) 4

Q P

a) 8 d) 2,5

a) 7(√2-1) d) (√2-1)/2

b) 7 e) 7,2

c) 8,2

03. Calcular el perímetro del triángulo ABC si PQ = 16.

B

d) R/3

d) 5

P

O

Q

a) 16 d) 19

b) 17 e) 20

c) 18

b) (√2-1) e) N.A

c) 7(√2+1)

06. En un triángulo ABC donde AB = 6, BC = 8 y AC = 9 se traza una circunferencia interior a dicho triángulo que es tangente a los lados y en "P" y "Q" BC AC respectivamente. calcular OM("O" es centro de la circunferencia de radio igual a 2 y "M" punto medio de AB ). a) 7

A

S5GE33B

B

O

B

21 /3R

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) R/4

A

P

O D

b) 3R/5 e) 3R/8

A

E x

B

05. Si : AO = OB = 7 además PH = HB = QH. Calcular OP

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 02. En la figura : O y B. son centros. Los radios mide 6 y 10 . Hallar PE.

A

R

r O

a) 3R/4 d) 2R/5

AB = 10 , DC = 2,5 . Calcular EF

18. En la figura : Calcular : M O

S5GE33B

B

A

c) a2/2

10

b)

A

Q

T

J

R

Si r = 3 y AC = 9 . Calcular AQ

En el semicírculo mostrado: AB , CD , AD son tangentes. Siendo

F B

y

01.

B

E F

.

E a) 7

A

21

EJERCICIOS PROPUESTOS 02

r L

2

21 /7 c) 2 21 /3

e) 2

C

c) 3,5

M

L 3

B

D

19. En la figura : ME = LJ = a M L = EF . Calcular M A.M B

L 1

M 60 60

AD = BC. Hallar "r"

b) 3 e) 5

16. Sean las rectas L1 // L2 // L3 Calcular la longitud de BC A

04. En el gráfico si : AO = OB = R y

2 C

O R

a) 2,5 d) 4 c) 14

GEOMETRÍA

B

A

F D C

E Tangente

M x

5to Secundaria

30

29

30 /2 30 /2

b) 9 e) 3

30 /2 c) 30 /2

30 /2

07. El apotema de un triángulo equilátero inscrito mide 8 cm. Hallar el perímetro del hexágono regular inscrito en la misma circunferencia. a) 96 cm d) 80 cm

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 90 cm e) N.A

c) 86 cm

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29

5to Secundaria

30

GEOMETRÍA

TAREA DOMICILIARIA 08. En la figura adjunta hallar el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo unixtilíneo AMD. B

a

a

x

D

c) 8a

09. Hallar EF

60 2 3 a) 4√3 d) 12

A F

E B 24

o 12

m

B 5

C

A

F

b) 7 e) N.A

c) 8

30 o R

c) 6

r B

A

b) 9 e) N.A

a) 3 d) 8

b) 4 e) N.A

c) 12

c) 6

04. En un triángulo rectángulo la suma de los catetos es 20m. La suma del inradio con el circunradio es: a) 20m d) 5m

b) 15m e) N.A

10

c) 10m

05. Se tiene dos circunferencias O y O' secantes en A y B; se trazan los diámetros AOC y AO'D. Calcular la longitud del segmento que

8

α α x

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

a) 1m d) 4m

b) 2m e) 5m

a) 2m d) 1,5m

b) 1m e) 0 m

c) 3m

c) 1,4m

07. En un triángulo ABC se traza la circunferencia ex-inscrita relativa a BC, la prolongación de AB es tangente a la circunferencia en "M". Hallar el perímetro del triángulo ACB, si AM = 28. b) 56 e) N.A

c) 14

08. El área del cuadrado inscrito en un semicírculo es al área del cuadrado inscrito en el círculo completo como: a) 1:2 d) 3:5

b) 2:5 e) 6:4

c) 2:3

09. En una circunferencia se traza una cuerda

AB cuyo punto medio es M, por M se traza la cuerda CD tal que CM = 4 y MD = 2.

Hallar AB. a) 8 d) 3√2

b) 4 e) √6

c) 4√2

10. Calcular AF, si DC = CB = BA, FC = 6, CE = 2 A E B

D

C

O ′B

06. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6m y 8m tomando como diámetros dichos S5GE33B

catetos se trazan semicircunferencias las cuales determinan los puntos 'E" y "F" sobre la hipotenusa. ¿ Cuál es la longitud de EF?

a) 28 d) 42

une los puntos medios de OB y si CD = 8m

11.Hallar "x"

S5GE33B

02. Hallar : AB si R = 12 ; r = 3

traza la altura BH y la mediana BM. Hallar el inradio del triángulo BHM si AC = 12 c) 10

E

b) 6√3 e) 12√3

c) 4√3

  03. En un triángulo ABC ( A =75°; B =90°) se

b) 9 e) N.A

4

o

b) 3√3 e) 6

a) 6 d) 15

C

10. Hallar AB. m // AC

a) 6 d) 9

01. Calcular el lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de diámetro 6m. a) 6√3 d) 3

b) 8/3.a e) N.A

a) 8 d) 11

c) 18

C x

a) 3/8.a d) 3a

b) 12 e) N.A

12. Hallar "x"

M

A

a) 9 d) 24

F a) 4 d) 10

b) 5 e) 8

c) 6

11. Por un punto exterior a una circunferencia se traza una secante cuya parte externa mide 4 y su parte interna mide 8, por el mismo punto se traza otra secante cuya parte externa mide

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29

3. calcular la parte interna de la última secante trazada. a) 16 d) 15

b) 10 e) 6

x

c) 12

d)

b) 6

11

c) 8

13. El radio de la circunferencia mide √2, además AB = L3 , AC = L4. Hallar BC

M

O

A

B

6

b) 7,1 e) 4,1

c) 8,1

16. De la figura : calcular "AC" CF = 6; ED = 5

a) 1 d) 4 19.

A

D

A

E

T

B C

14.

AB y CD son dos diámetros perpendiculares de un circulo de centro O. AM es cualquier cuerda que pase por A. Dicha cuerda intersecta a CD en el punto

a) 6 d) 8

b) 10 e) 9

CP . CD d) CP . PD e) CO . PO 15. Hallar "x" (O centro)

c)

B

C

a) 5 d) 8

c) 7 20.

17. De la figura, ABCD es un cuadrado, calcular MD, si AD = 5 , PB = 7.

P. Entonces AP . AM es igual a: a) AO . OB b) AO . AB

P

C

b) 6 e) 9

c) 7

La intersección de las mediatrices de tres cuerdas cualquiera no es el centro de una circunferencia PORQUE El punto de intersección varía de acuerdo a las longitudes de las cuerdas

M D

a) 60/13 d) 17/60

A

b) 13/60 e) N.A

c) 60/17

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

18. Si : R/r = 5/3 Hallar : AM Si : MB = 4 S5GE33B

c) 3

α α

C

A

c) √3+1

b) 2 e) 6

Hallar "BT" si AB = 4 y BC = 9

F

b) √2+√6 e) N.A

r

B

B

a) √2+√6 d) √3+2

R

A

8

a) 9,1 d) 5,1

e) 11

GEOMETRÍA B

12. Un rectángulo se inscribe en una circunferencia de radio 5, si uno de sus lados mide 6. Hallar su otro lado desigual. a) 7

5to Secundaria

30

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5GE33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29

30

5to Secundaria

GEOMETRÍA A

Solución:

8

En el triángulo ABC

b B 3

b

a

Aplicación: Hallar “x”

H

m

10

4

Rpta: ............................................................

b2 = (7) (4) b=2 7

n C

a y b : catetos c : hipotenusa m: proyección de a sobre C n: proyección de b sobre C h: altura relativa a la hipotenusa C

x

2

02. El producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa y su altura relativa a ella.

a

03. La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo al cuadrado es igual al producto de las proyecciones de los catetos.

b

a

Propiedades: H2

01. Un cateto elevado al cuadrado es igual al producto de la hipotenusa por su proyección.

13

5

=ab

Aplicación: Hallar “x”

C ab

Solución: 22 + 32 = x2 4 + 9 = x2 x = 13 Aplicación: Halla “x”

H

b

H

3

x

Rpta: ...........................................................

= CH

a x

Aplicación: 2

Halla “x”

m C a2

4

= m .c

3

x

Solución: X2 = (3) (2) X= 6 2

b

a 3

4

Solución: Según el gráfico la hipotenusa mide 5 luego por propiedad se cumple.

(3) (4) = (5) (x) ∴ x = 12/5 Aplicación: Hallar AB

a2 = (7) (3) a = 21 “El nuevo símbolo de una buena educación....”

H

6

x

1 H2

Rpta: ..........................................................

04. En todo triángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Solución: ¬

b

a

Aplicación: Hallar “x”

Aplicación: Hallar “a”

S5GE33B

05. En todo triángulo rectángulo se cumple que la inversa del cuadrado de la altura es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos.

3

S5GE33B

=

1 a2

+

1 b2

PRÁCTICA DE CLASE 01. Hallar "MC" si : AB = 8 , TN = 2

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria B

29

T

A

el incentro con el baricentro a) 3 b) 1/3 d) 0,5 e) 1

P

53o

N

a) 1 d) 4

A

A

36o

24o

O

C

02. Calcular QC si : BN = 8 y BC = 17 a) 20º d) 25º

B

C b) 3 e) N.A

E

a) 2a+b d) 0

C b) a + b e) N.A

c) a + 2b

04. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH y la mediana CM , Calcular el ∠MCA si BH = MC a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) N.A

a) Triángulo Podar b) Triángulo Mediano c) Triángulo A y B d) Triángulo Ortico e) N.A

a) 9º d) 18º 10. En

a) 5 2 d) 15

b) 8 3 e) 12

08. Calcular BD si AE = 30º

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) 8

13. Calcular el perímetro de un triángulo, si sus lados miden 12; 2x+5; x-2, además " x " es un número entero b) 27 e) 31

c) 30

interior AD , por D se traza una paralela a

AC que corta a AB en E. Hallar AB, si DE = 3 y BE = AB/3

C

F

gráfico

b) 4 e) 7

14. En un triángulo ABC se traza la bisectriz

b) 81º e) N.A el

c) 71º

PQ

hallar

a) 5 d) 3 ;

b) 4,5 e) 6

c) 4

15. Los triángulos ABC y CDE son equiláteros, calcular AD, si BE = 9

B

07. En un triángulo ABC, los ángulos B y C miden 45º y 60º . ¿ Qué longitud tiene la altura bajada de A sobre el lado "a" , si el lado "b" mide 10 3 ?

05. Calcular "x" si BC = 2 PB ; Q = Punto S5GE33B

C

a) 3 d) 5

a) 20 d) 35

M

H

A

A

c) 10º

8α

P P

03. En la figura mostrada BE = a y EC = b. Hallar "AE".

B

A

α

y a la

prolongación de AB en "E". Hallar BE , si AB = 16 y CN = 5 BN

B

N

M

c) 5

interseca en N al lado BC

09. En la figura , MF es mediatriz de BC;BH es altura. Calcular el valor del ángulo A.

Q

A

2α 10+ 30 - 3

c) 24º

b) 5º e) N.A

B

R

a) 1 d) 7

b) 21º e) N.A

a) 0 d) 15º

06. El triángulo MNP. Se llama : ("p" un punto

N

E

D

B

M

c) 3

c) 0,25

12. En un triángulo ABC, la mediatriz de AC

C

X

B

C

b) 2 e) N.A.

M

GEOMETRÍA

medio AC ; M = Punto medio BC .

M

θ θ

5to Secundaria

30

B

Q

c) 18

A

a) √2 d) 4

A

N

M P

b) 2√2 e) N.A

C

c) 8

11. Los lados de un triángulo cuiden 8 m, 10 m y 9 m hallar la longitud del segmento que une S5GE33B

C

E

a) 12,5 d) 9

b) 10 e) 12

c) 18

16. En la figura, el triángulo ABC es equilátero

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria de 8 cm de lado. Hallar MN, si BN = NC

29 d) 6√2

GEOMETRÍA

dos rectas paralelas a la base, dividiendo en tres superficies equivalentes. calcular la longitud del segmento paralelo más cercano a la base

e) 8√2

B

M

5to Secundaria

30

EJERCICIOS PROPUESTOS 03 N

A

01. En un triángulo dos lado miden 9 cm y 7 cm.

Hallar el perímetro (2p) del triángulo sabiendo que el tercer lado es el doble de uno de los otros dos.

C

a) 4 d) 4√3

b) 8 e) 2√2

c) 2√3

b) 20° e) 45°

C

c) 30° b) 25 cm e) N.A

c) 30 cm

18.En un triángulo equilátero ABC de 8 cm de lado, por el punto medio D del lado AB se traza DE perpendicular a BC . Hallar la distancia de E al lado BC . a) 2√3 cm d) √3 cm

b) 3√3 cm e) 4 cm

19. ¿Cuántos puntos del plano de un triángulo equidistan de sus lados? a) 1 d) 4

02. Los lados de un triángulo ABC miden AB = 4, BC = 5, AC = 6. Hallar el mayor segmento que determina la altura BH sobre el lado

AC c) 4√3 cm

a) 3 d) 3,75

b) 3,8 e) 3,85

30

A

a) 3√3 S5GE33B

4 3

D

b) 4√3

A

6

c) 4√2

c) 6m

06. La diferencia de 2 lados de un triángulo es de 3 cm.; la bisectriz trazada del vértice del ángulo formado por estos lados determina en el lado opuesto, segmentos de 12 y 14 cm.

Hallar los lados que forman el ángulo. a) 18 y 21 cm d) 16 y 19

a) √3 d) 6

o 2 3 b) 3 e) 7

a) 24m d) 22m

b) 20m e)N.A

c) 17m

10. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 48. Hallar la distancia del punto medio de la median relativa a la hipotenusa al baricentro del triángulo rectángulo. a) 8 d) 2

b) 10 e) N.A

c) 4

11. Hallar "x" α

α 4

07. Si : PB = 11, CB = 7, BA 8. Hallar :

x

AP

a) 4 d) 7

P

b) 5 e) N.A

c) 6

12. Por el vértice " B " de un triángulo ABC se trazan perpendiculares, BP y BQ a las bisectrices interiores de los ángulos C y A respectivamente.

C x

C

a) 16

B c) 4

04. La base de un triángulo mide 15 m, se trazan

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) Isósceles c) Equilátero e) N.A

09. Dos lados diferentes de un triángulo isósceles miden 12 y 5 metros. Hallar su perímetro .

b) 19 y 20 cm c) 20 y 23 e) N.A

7

B

C

c) 3,9

b) 8m e) 7m

D

20. Determinar el valor de "x" en la sgte figura

X

12m, se toma un punto M y se traza M N

03. Del gráfico mostrado; hallar x

b) 2 c) 3 e) Ningún punto

12

05. En un triángulo ABC cuyo lado AB mide

a) 10m d) 4m

a) 35 cm d) 34 cm

c) 5m

es a 3. Calcular la longitud de AM .

9cm

7cm

B

a) 15° d) 75°

b) 4°2 m e) 7,5 m

paralela a BC de tal manera que el triángulo quede dividido en la relación de 1

A

17.Calcular uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si la distancia de su ortocentro a su circuncentro es igual a uno de sus catetos.

a) 3°3 m d) 5°6 m

a) Rectángulo d) Equiángulo

d)

295

B

b) 17,8

A

c)

297

e) 19,5

08. Si los lados de un triángulo miden: 3, 3 y 7 cm respectivamente. ¿ Qué tipo de triángulo es : S5GE33B

Calcular PQ AC =10° a) 2 d) 5

si AB + BC =14 y

b) 3 e) N.A

13. Si BH = 2. Hallar AD

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

c) 4

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria D

B

en la relación de 3 a 4. Hallar la hipotenusa si el área de dicho triángulo es 48.

α

A

29

a) 20º d) 45º

α C

H

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

B d)

α α

A

C

e) N.A 15. La relación correcta es: (Ver figura) n

B

c) 45º

18. Hallar el mínimo perímetro de un triángulo, sabiendo que sus lados son tres números pares consecutivos y que el mayor ángulo es el doble del menor.

a

a) 10√3 d) 30√3

A

a a

C

E

a) 4 d) 4/3

b) 20√3 e) N.A

a) 0,2 d) 0,8

b) 0,4 e) 1,2

c) 3/4

B

B

a) 9 d) 6

b) 12 e) 8

c) 19

03.Hallar AB, si AH = 3 y AC = 12.

A

a) 15 d) 12,5

B

C c) 17º

TAREA DOMICILIARIA

16. En un triángulo rectángulo los catetos están S5GE33B

b) 19º e) N.A

b) 12 e) 20

c) 11

08.Calcular “r”, si P y Q son puntos de tangencia.

H

A

C

b) 5 e) 8

c) 6

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

P

r

B

a) 6 d) 12 A

H

C

05.Hallar AH, si AB = 2 y AC = 5.

S5GE33B

Q

r

b) 8 e) 16

c) 10

09.Si AB = 6; PQ = 8; OF = 2. Hallar OH.

01. Hallar PQ , si PE = EC , AC = 8,

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

C

D

2

P

a) 18º d) 20º

c) 16

B

b) 18 e) 21

a) 4 d) 7

x

a) m + a + z = n + b + k b) abz = mnk c) maz = nbk d) maz = kzn e) mna = kzb

C

07.Hallar: BC, si AD = 18; DC = 7, AB = BD.

C

a) 17 d) 20

20. En la figura hallar "x" si AP = PB y PC = 2AB

A

H

A

04.Hallar BH. Si AH = 1, HC = 4. z

c) 0,6

02.Hallar: AC, si AB = 8 y BC = 15.

c) 25√3

6

k

C

06.Hallar BH, si AB = 15, BC = 20.

b) 3 e) 2

A

B

m

Q

H

A

b) 30 unidades d) 60 unidades

19. En un triángulo ABC, escaleno se construyen los triángulos equiláteros ABR y BCQ. Hallar : AQ si CR = 10√3

α α

B

P

c) 40º

b) 15º e) 20º

a) 18 unidades c) 48 unidades e) 120 unidades

C

c)

a) 30º d) 25º

GEOMETRÍA

BC = 6 y CQ es bisectriz

17. En un triángulo recto ABC, recto en B, la mediatriz de AC corta BC en "P". ˆ .

Si PC = 2 AB . Hallar C

14. En un triángulo ABC la bisectriz del ángulo B y la mediatriz de AC se intersectan. ¿Cuál de los gráficos es correcto ?

B b) a) α α

A

b) 30º e) N.A

5to Secundaria

30

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Secundaria

29

30

5to Secundaria

P

N° A H

B

a) d)

r

F

O

2

b)

10

13

e)

15

a

a

Q

c)

11

a) 8 d) 8,5

b) 9 e) 9,5

c) 10

10.Hallar R.

R

2 6

a) 8 d) 12

b) 9 e) 3

c) 10 2

11.Se pide x.

10

Ejercicios Propuestos

01

D

A

C

01

02

C

C

D

03

A

A

B

04

C

E

D

05

C

A

C

06

A

C

A

07

D

B

C

08

C

A

E

09

B

A

E

10

B

D

C

11

B

D

A

12

B

A

13

B

A

14

B

C

15

D

C

16

D

A

17

C

C

18

B

B

19

D

A

20

B

A

02

03

17

x

a) 5

GEOMETRÍA

15

b) 7

c) 11

d) 6

e) 10

12. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la mediana BM, tal que AB=BM=6.

Hallar la altura relativa a la hipotenusa. a) 3

b) 6

3

c) 3

3

d) 2 e)

2

3

13.Hallar “r” si el lado del cuadrado ABCD es 32.

S5GE33B

SOLUCIONARIO

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S5GE33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."