Matematica 2º 2b

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58

2do. Año Secundaria

2do. Año

57

Secundaria

Efectuar:

PRODUCTOS NOTABLES Y En la multiplicación así como en la potenciación existen expresiones que pueden escribirse directamente los resultados teniendo en cuenta ciertos principios. A éstas expresiones se llaman PRODUCTOS NOTABLES. 01.

MATEMATICA

(a + b) 2

= a 2 + 2 ab + b2

(a − b) 2

= a2 − 2 ab + b2

......................................................................

3 3   2  x −  

......................................................................

=

3 n  = x n −x 1 −    

03.

Binomio al cuadrado

(2 x +1) 3 =

......................................................................

Producto de la suma por diferencia Resulta una diferencia de cuadrados.

(a + b )(a − b) = a 2 − b2

Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto

Efectuar: Resulta un Trinomio Cuadrado Perfecto

(x+3)(x-3) =

(

Efectuar: (x 2 − y 3 ) 2 =

......................................................................

( 3 + 2 )2 =

......................................................................

2 x n −x 2 n     

......................................................................

=

2 b a  +  = a  b

......................................................................

)

5 + 3 ( 5 − 3 )=

x 2 −x x 2 +x =      

......................................................................

(a + b + c + d)(a + b – c – d) = 04.

......................................................................

......................................................................

Producto de dos binomios con un término común (x + a )(x + b) = x2 + (a + b )x + ab

......................................................................

Equivalencias de Stiven

Efectuar: 02.

Binomio al cubo Formas desarrolladas:

(a + b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3

(a + b)3 = a 3 + b 3 + 3 ab (a + b)

......................................................................

(2x-3)(2x+7) =

......................................................................

(y 3 +9 ) (y 3 −3 ) =

(a − b)3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3

Formas abreviadas:

(x+5)(x+8) =

(a+b+5)(a+b-3) = Equivalencias de Cauchy

05.

......................................................................

......................................................................

Producto de un binomio por un trinomio

(a − b)3 = a 3 − b 3 − 3 ab (a − b)

(a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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2do. Año Secundaria

MATEMATICA

2do. Año

57

Secundaria Efectuar: (x+2) (x 2 − 2 x + 4 ) =

......................................................................

3 3 3 3 3   5 − 2  25 + 10 + 4 =   

08.

Equivalencias de Legendre (a + b) 2 +(a − b) 2 = 2(a 2 + b 2 )

......................................................................

3 x +2 x 9 x −6 x +4 x =      

......................................................................

(xy+z) (x 2 y 2 −xyz + z 2 ) =

......................................................................

(a +b) 2 −(a −b) 2 = 4 ab

Ejemplos: (x +2) 2 −(x −2) 2 =

06.

(

Trinomio al cuadrado

5 + 2

)2

+

(

......................................................................

5 − 2

)2 =

......................................................................

Forma desarrollada: 09.

Equivalencia de Lagrange

(a + b + c) 2 = a 2 + b2 + c2 + 2 ab + 2 ac + 2 bc (a 2 + b 2 )(x 2 + y2) = (ax + by ) 2 + (ay − bx ) 2

Forma abreviada: Ejemplo: (a + b + c) 2 = a 2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc )

(m 2 + 4 )(n 2 +9 ) =

Efectuar: (2 x −y +3) 2 =

(2

3 + 2 − 5

......................................................................

)2 =

......................................................................

10.

......................................................................

Equivalencia condicional A) Si:

a + b + c = 0, se demuestra que:

⇒ a 2 + b 2 + c 2 =- 2(ab+bc+ac) 07.

Trinomio al cubo

⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc

Forma desarrollada:

⇒ (ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2

(a + b + c) 3 = a 3 + b3 + c3 + 3a 2 b + 3a 2 c + 3b 2a + 3b 2c + 3c 2 a + 3c 2 b + 6 abc

B) Si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac ∀ a; b; c ∈ R Forma abreviada:

Se demuestra que: a = b = c (a + b + c)3 = a 3 + b3 + c3 + 3(a + b )(a + c)(b + c)

Efectuar: (1 + 2 x + 3 x ) 3 =

......................................................................

EQUIVALENCIAS IMPORTANTES S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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MATEMATICA

2do. Año

57

Secundaria

09.

La suma de dos números es 5 y la suma de sus cubos es 95. Hallar la suma de sus cuadrados.

EJERCICIOS DE CLASE a) 21 01.

10. b) (a +b)(a −b) =a 2 +b 2

M =x

c) (a + b + c) 2 =a 2 + b 2 + c 2

d) (a − 2) 3 =a 3 −6 a +8

se obtiene:

b) 2

c) 3

d) 4

b) 2

a) 12

Reducir:

b) x+y 4

b) a 2

Efectuar:

a) a+b 08.

 [(  

b) 30  a  

Hallar: S = d)

x − y

x + y

b)

d) b 2

5 + 3 ) 2 −(

c) 15

b +b a

a b

a + b

e) xy

a) 21/95

5 + 3 ) 2 −(3

d) -15

13. e) ab

2

)(1 + x

3

+x

6

e) N.a.

14.

b) 12

c) 14

+x

18

)

e) x 27

ab

d) 4ab

e) a/b

c) 15

d) 36

a) 1

d) 16

e) 18

16.

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) 45

c) 21/17

d) 17/21

e) 19/21

d) 4

e) No se puede determinar

a 3 + b3 a 2 + b2

b) 95/21

b) 0

n3 +

1 n3

c) 2

b) 20

c) 81

∧ x + y + z = 9. d) 52

e) 16

d) 4

e) 5

Si: a + b = 5 ; a 2 + b 2 = 17. Hallar a – b; si a > b. b) 2

c) 3

Suponiendo que: x + y + z = 0, entonces el valor de: a) 3

S2MA32B

9

d) x 9

Calcular: E = xy + xz + yz. Si: x 2 + y 2 + z 2 = 29 a) 26

15.

b) 18

Si el producto de 2 números es igual a 1 y su suma es 4, hallar la suma de sus cuadrados. a) 10

)(1 + x

c) x 3

b) -1

2 1  Si: n +  = 3 . Hallar: n 

a) 1

15 )  

2    

c) 2

+(1 − x )(1 + x + x

Si: a + b = 5; ab = 2.

e) 5

?

c) b

Efectuar y simplificar: a) -40

07.

c)

d) 4

(a + b)(a 2 + b 2 )(a 4 + b 4 )(a − b) + b 8

a) a 06.

c) 3

(x −y) 2 + 4 xy

¿A qué es igual: a) x-y

05.

e) 12

(x 2 + x + 6 )(x 2 + 3 + x) − (9 + x + x 2 )(x 2 + x − 6 )

e) -1

12.

04.

d) 15

11. Efectuar:

Hallar: 5(2 + 2 ) 3 − 14 (1 + 2 ) 3 a) 1

27

a) 1

Efectuar: (x +2) 2 −2(x +1) 2 +x a) 1

03.

c) 18

Después de efectuar y simplificar:

a) (a +b) 2 =(a +b)(a −b) e) (a +1)(a 2 −a +1) = 1 +a 3 02.

b) 19

Indique la igualdad correcta:

S2MA32B

b) 2

c) 1

x2 y2 z2 + + yz xz xy

d) -2

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) N.A.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

Calcular : E =

2 a) (x − 1)

Simplificar:

c)

04.

x

d)

(x −1) 2

x x −1

b) a 2 + b 2

b) 0

c) 2

08. e) 3

b) x 4 n

c)

xn

2

+9

09. d) x 2 n + 9

02.

Simplificar: a)

13 −x 2

13 − 2 .

b) x 4

c) 4 - x 2

c) 16 873 951

d) 14 863 951

b) 12

c) 11

d) 0

e) 8

c) 0

d)

c) 2

d) -2

e) 6

c) 9

d) 27

e) 81

r 2 - 2 r – 2.

2 +1

b) -1

b) 1

b) 3

Evaluar: (m −3 n ) 2 − 4 n(2 n −m ) +8 a) 32

2

11.

b) 40

c) 72

, si sabemos que m – n = 8. d) 64

e) 90

El resultado de: (2 n +1)3 +3(2 n +1) 2 +3(2 n +1) +1 es equivalente a:

[(x +a )(x −b) +ab ] [(x +b)(x −a ) +ab ] +(ax −bx ) 2

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) -

e) N.A.

03. Simplificar:

S2MA32B

e) 26 873 951

Si: a + b = ab = 3. Obtener: a 3 + b 3 a) 0

 13 + 2 − x2  x2 + 3  −9    

d) x 4 −x 2

e) N.A.

e)N.A. 10.

  

d) 28

Si: ab = 4; a + b = 3.

Calcular: a 2 +b 2 a) -1

PROBLEMAS PROPUESTOS

a) 81

c) 30

b) 16 738 591

¿Cuál es el valor de: Si: r =

e) 27

2 2   2n + x n +3  −  6x n  −x 2 n  18    x         

e) N.A.

Simplificar:

a) 1

d) -2

d) x 4

Efectuar: A = 8436 976 2 −8436 975 2

a) 7 07.

5 −5 2

c) x 4 − b 2

3 3  3 3  1  49 + 1− 7   7 +   

m +9 x +25 es un

d) 16

Hallar: E = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4), para x =

Simplificar:

b) 36

e) a 2 b 2

d) abxy

c) 7

b) -1

a) 48

06.

c) ab

b) x 4 + a 2

Si: x + y = 6, el valor de:

a) 18 673 901

¿Cuánto vale “m” si se sabe que la siguiente expresión: mx 2 +8 trinomio cuadrado perfecto

a) 1

01.

2do. Año

M = 3 x 2 +3 y 2 +6 xy −12 x −12 y , es :

05.

(ax + by ) 2 + (ay − bx ) 2 x2 +y2

a) - 4 20.

a) x 4 + a 2 + b 2

1 1  −4 x +  +6 2 x  x

x x −1 e) x

a) a 19.

x2 +

2 b) (x + 1)

x

18.

MATEMATICA

57

Secundaria

17.

58

2do. Año Secundaria

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

2

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2do. Año Secundaria

2do. Año

57

Secundaria a) 2 n + 8

c) (2 n + 2) 3

b) 8 n + 8 e) N.A.

d) 6 n + 6

a) 5 20.

12.

MATEMATICA

b) 0

a) 6

Efectuar:

8

Luego de efectuar:

c) –3

d) -9

e) 13

d) 3

e) 2

d) 27

e) 216

2(4 )(10 )(82 ) +1

b) 5

c) 4

(n n − n −n ) 2 + (n n + n −n ) 2 − 2(n 2 n − n −2 n )

b) 2 n −n

a) 2 n n 13.

Si: a + b + c = 3

c) 4 n 2 n

d) - 4 n 2 n

TAREA DOMICILIARIA

e) 4 n −2 n 01.

a 2 +b 2 +c 2 = 9 .

,

a) 4

Calcular: E = (a + b) 2 + (a +c) 2 + (b +c) 2 02. a) 9 14.

b) 12

Efectuar:

c) 15

(1+

a) 1

d) 18

c) 3

d) 4

15.

16.

Calcular: a) 2

2 + 3 + 5

2

b) 2

)(

3

2 + 3 − 5

c) 2

03. e) 5

Si: a + b + c = 3 ; a 3 + b 3 + c 3 = 9 . Obtener: N = (a+b)(b+c)(a+c).

(

04.

18.

Dados: x + y = 3 a) 1

19.

b) 4

c) 5

d) 6

c) 2

S2MA32B

c) 3

d) -2

e) 1

c) 3

d) 1/3

e) 1/9

b) 2

Si: a + b + c = 0.

b) 1

Efectuar: (x 2 + x + 6 ) (x 2 + x − 3) − (x 2 + x + 9 ) (x 2 + x −6 )

05.

b) 18

d) -2

;y=

d) 36

e) 45

d) 24

e) 25

Conociendo que: ax + by = 8 ay – bx = 6

e) 7

e) 3

Calcule: a) 16

2 +1

c) 15

a 2 +b 2 = 5

Calcular el valor numérico de: N = 3 x 2 −5 xy + 3 y 2 . Si: x =

c) 81

a) – 1/4

; x 3 + y 3 =9 . Luego xy resulta. b) -1

es:

. ¿Cuál es el valor de P?

a) 12

Sabiendo que: a + b + c = 4; a 2 + b 2 + c 2 = 6. Hallar: ab + ac + bc. a) 3

2− 3

Si: x 2 −3 x + 2 ≡ (x −K) 2 + p

e)

6

2

17.

b) 64

a) 0

d) 2

+

3 3 3 Calcular: E = a + b + c 9 abc

)

5

2+ 3

e) 21

6 + 3 + 2 ) (1 + 6 − 3 − 2 )

b) 2

La sexta potencia de:

x2 + y2

b) 18

c) 20

2 − 1

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Si: a + b = 6

;

a) 54 07.

Efectuar:

a2 b2 . + b a

c) 48

b) 2

d) 36

c) 3

Si: a – b = b – c = 2, hallar el valor de:

Si se cumple que:

a) 1

2do. Año

e) 45

(x 2 +5 x +5 ) 2 +(x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4 )

a) 4 09.

a + b 2 = 30 . Hallar:

b) 52

a) 1

08.

MATEMATICA

57

Secundaria 06.

58

2do. Año Secundaria

b) 8

e) 5

a 2 + b 2 +c 2 −ab − bc −ac

c) 12

x 2y + = 2. Calcular: 2y x b) 256

d) 4

c) 1256

d) 16

LA DIVISIÓN

e) 20

8 x   y    

Es la operación que consiste en hallar una expresión llamada cociente dadas otras dos denominadas dividendo y divisor de modo tal que se cumpla: d) 2 16

e) 0

D(x) = d(x) . q(x) + r(x) De donde: D(x) : dividendo d(x) : divisor q(x) : cociente r(x) : resto o residuo I.

II.

Ley de Signos

(+) ÷ (+) = + (-) ÷ (-) = +

(+) ÷ (-) = -

(-) ÷ (+) = Ley de Exponentes Para dividir potencias de igual base, se coloca la base común y como exponente resultante la diferencia de los exponentes del dividendo y divisor. Ejemplo: am = a m −n an

x 10 = x 10 −2 = x 8 x2

III. Clases de División a) División exacta: Si: r(x) = 0 ⇒ D(x) = d(x) . Q(x) En este caso, también se afirma que D(x) es divisible por d(x). b) División inexacta: S2MA32B

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2do. Año Secundaria

58

MATEMATICA

2do. Año

57

Secundaria En este caso, el residuo no es nulo; r(x) ≠ 0 IV.

D I V I S O R

Métodos para dividir polinomios A. Método Clásico Pasos a seguir: 1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en forma descendente), en caso falte un término, este se completa con un cero.

COCIENTE

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniéndose el primer término del cociente. Luego éste se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se coloca con el signo cambiado, debajo de cada término del dividendo, sumando luego ordenadamente el producto obtenido con el dividendo.

5

4

-3x 3

3x 3 +7x 2+9x- 2

3 14x 4 -3x +38x 2 3 4 2

-14x +21x

Q(x)

-7x

3 18x - 31x 2 -22x -18x 3 +27x 2 -9x 2

-4x - 31x +6 4x2 +6x + 2 -37x + 8

Ejemplo: Dividir: 6 x 5 − 20 x 4 −13 x 3 + 25 x 2 −12 x + 7 entre

r(x)

Luego:

Q(x) = 3 x 3

+ 7x 2

RESIDUO

El procedimiento se detalla a continuación: 1. Se anotan los coeficientes del dividendo en la parte superior del cuadro en forma horizontal (ordenados y completos) 2. Se anotan los coeficientes del divisor en la parte izquierda del cuadro en forma vertical con los signos cambiados a excepción del primero.

3. La línea de trazos no continuos separa al cociente (Q) del residuo (r) y para su trazo se considera el grado del divisor: se cuentan tantos espacios como grado tenga el divisor, desde la columna final (extremo derecho).

4. El primer término del cociente (Q) se obtiene dividiendo el primer coeficiente de (D) entre el primer coeficiente de (d).

5. Este primer coeficiente de (Q), multiplica a los demás coeficientes de (d) que cambiaron de signo y los resultados se escriben en forma horizontal a partir de la siguiente columna hacia la derecha.

6. Las cantidades que se encuentran en la segunda columna se suman y el resultado se divide entre el primer coeficiente de (d), repitiéndose el procedimiento hasta coincidir con la última columna del dividendo.

7. Para acabar, se suman directamente las columnas correspondientes al residuo, lo que conformará los coeficientes del polinomio residuo.

3. Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más de un grado menos que el grado del divisor (resto de grado máximo) o en todo caso si la división es exacta, el resto será un polinomio idénticamente nulo.

Ejemplo: Dividir: 6 x 5 + 5 x 4 + 38 x 2 − 22 x + 6 entre 2 x 2 − 3 x + 1 .

Solución: 5 4 2x 2-3x+1 6x +5x +0x 3 +38x 2 -22x+6 -6x +9x

I V I D E N D O

÷

+ 9x − 2

r(x) = - 25x + 8 3

B. Método de Horner Se recomienda cuando el polinomio divisor es de segundo grado o más y se opera sólo con los coeficientes de los polinomios ordenados y completos. Dichos coeficientes se distribuyen en un cuadro como el siguiente:

dos columnas porque el divisor es de 2do grado.

-18 -21 24 6 -20 -13 +2

+1 -1

2

-6

25

3x 2 − x +1

-12

7

-7

+7 +8

-8

8

3

-1

-2 -6 +6

-7

Q(x) = 2 x 3 − 6 x 2 − 7 x + 8 r(x) = 3x - 1 S2MA32B

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2do. Año Secundaria

MATEMATICA

57

Secundaria C. Método de Ruffini

 ax + b = 

Se emplea para dividir polinomios entre divisores de la forma: ax ± b, o cualquier expresión transformable a ésta.

x=N

R E ST O

Ejemplo: Dividir:

2 x 2 − 7 x + 3 x 4 − 5 x 3 + 11

-2 x

3

-5

2

EJERCICIOS DE CLASE I.

entre x + 2.

-7

11

-6

22 -48

110

-11

24 -55

121

Q(x)

V.

Teorema del Resto Este teorema se emplea para hallar directamente el resto en la división, sin necesidad de efectuar toda la operación. El divisor debe ser de la forma ax + b o transformable a ella.

Efectuar por el método clásico 1.

r(x)

Q(x) = 3 x 3 − 11 x 2 + 24 x − 55 r(x) = 121

−b  a  

Ejemplo: Hallar el resto de dividir: P(x) = 3x2+ x + 1 entre 2x – 4.

Procedemos así: 1) Igualamos a cero el divisor: 2x – 4 = 0 ⇒ x = 2 2) Sustituimos x = 2 en el dividendo: r(x) = P(2).

R(x) = 3 (2) 2 + (2) + (1) = 15∴ El resto es 15

Solución: Ordenando el dividendo: 3 x 4 − 5 x 3 + 2 x 2 − 7 x + 11 Aplicando el método de Ruffini : x+2 =0 ⇒ x = -2 3

x=

 −b  r =D      a 

D I V I D E N D O C O C I E N T E

⇒

2) El valor hallado para la variable se reemplaza en el dividendo, obteniéndose así el residuo.

Pasos a seguir: 1. Se completan y ordenan los polinomios con respecto a una sola variable. En caso falte este se completa con cero.

2. En caso hubiesen dos o más variables se considera sólo a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior izquierdo del esquema.

3. Se baja el primer coeficiente del (D) siendo este el primero del (Q). Luego se multiplica por el valor despejado de la variable y el resultado se coloca debajo de la siguiente columna.

4. Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del (D). Llegado este momento se reduce la columna que falta y siempre se cumplirá que la última columna le va a pertenecer al resto, y éste siempre será un valor numérico.

Esquema Gráfico:

Luego:

2do. Año

II.

2 x 4 + x 3 − 5 x 2 + 21 x − 19 4x

+ 3x − 5

2.

6 x 4 − 5 x 3 + 7 x 2 − 18 x + 9 3x 2 + 2x + 5

3.

6 x 4 + x 3 + x 2 + 15 x + 18 3x 2 + 5 x + 2

4.

15 x 4 + 22 x 3 + 41 x 2 + 28 x + 8 3 x 2 + 2x + 6

Efectuar por el método de Horner 1.

2 x 4 + 13 x 3 + 29 x 2 + 44 x + 14 2x 2 + 3 x + 6

Pasos a seguir: 1) Se iguala a cero el divisor, encontrándose un valor para la variable.

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

MATEMATICA

2do. Año

57

Secundaria 2.

3 x 4 − 13 x 3 + 3 x 2 − 8 x + 13 x 2 − 5x + 3

3.

21 x 4 + 5 x 3 + 10 x 2 + 8 x + 5 7x 2 − 3x + 3

4.

8 x 4 + 32 x 3 + 40 x 2 + 13 x − 15 2x 2 + 4 x − 3

5.

58

2do. Año Secundaria

2. Calcular B - A , si la división:

6 x 4 − 20 x 2 + Ax + B es exacta.

3x 2 − 3x − 7

3. Calcular A . B , si la división:

20 x 4 + 3 x 3 + Ax 2 + B es exacta.

4 x 2 + 3x + 2

4. Calcular A - B , si la división:

6 x 4 − 10 x 3 − 5 x 2 + 9 x + 11 2x 2 − 6 x + 5

III. Efectuar por el método de Ruffini

20 x 4 + 7 x 3 + 4 Ax 2 − 10 x + B 4 x 2 + 3x − A

deja como resto 3x -

1.

1.

x 3 − 3x 2 + 7x − 9 x −1

2.

2x 4 − 5 x 2 + 9 x + 1 x +1

3.

5x 4 − 9x 3 + 7x 2 − 3 x−2

4.

x 4 − 3 x 3 + 4 x 2 − 5 x − 21 x −3

1.

x 3 + 7x 2 − 5x + 9 x −1

5.

4 x 3 − 4 x 2 + 3x + 9 2x + 1

2.

x 4 − 9x 3 + 8x 2 − 5x − 1 x +1

6.

15 x 4 − 6 x 3 − 5 x 2 + 7 x − 2 5x − 2

3.

x 28 + 2 x 27 + 3 x 2 − 7 x + 9 x+2

4.

x 5 + 2x 4 − x 3 + 7 x − 9 x x2 +1

6. Calcular A+B+C, si la división:

8 x 5 + 4 x 3 + Ax 2 + Bx + C deja como resto 5 x 2 2x 3 + x 2 + 3

+11x+7.

V.

Ejercicios aplicativos de los métodos estudiados.

1. Calcular A + B , si la división:

S2MA32B

deja como resto 4x +

5.

5. Calcular A . B , si la división:

IV.

12 x 4 − 12 x 3 + 13 x 2 + Ax − B 2x 2 − 3x + 5

6 x 4 + 16 x 3 + 25 x 2 + Ax + B 3x 2 + 2x + 1

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

es exacta.

Teorema del Resto.

Calcular el resto de dividir:

5.

S2MA32B

x 21 − 2 x 18 + 3 x 15 − x 4 + x + 1 x5 − 2

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

58

2do. Año Secundaria

7 6. Calcular “a” si la división x + (a + 1)x − 2 x +1

es exacta:

a) 10 07.

PROBLEMAS PROPUESTOS El resto de la división de un polinomio en x entre un binomio de la forma (x-a) se obtiene sustituyendo en el polinomio dado:

08.

a) la “x” por –a b) la “x” por a c) (x-a) por (x+a) d) “a” por 1 e) N.A. 02.

1 -2 1

6

b

12

e

a

-8

c

-4

4

5

d

0

09.

03.

d) 19

c) 13

b) a = b=-6

c) a = 1 b=-6

d) 14

b) 8

c) 1

Calcular a + b, si la división:

S2MA32B

d) 4

b) -40

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) - y

d) 5

c) 3

6

b

e) 6 sabiendo que la suma de

d) 42

e

f

g

2

-2

4

3

-3

c d 2

e) 44

3

1

h

j

6

1 -1

2

-4 -2

5

Determinar la suma de coeficientes del dividendo: a) -4

b) 2

e) N.A. 11.

x 4 − 3 x 3 + 5 x 2 + ax + b deja por residuo 7x + 8. x2 − x +1

d) –2y

En una división efectuada por el método de Horner se obtuvo este esquema:

e) 15

e) 2

e) 17

2 x 3 + 2 x 2 y − xy + r sea divisible por

c) 4

a

5 x 4 − 11 x 3 + 15 x 2 + ax + b 5x 2 − x − 2

d) a = 4 b=7

d) 13

3 2 Calcular el resto que resulta al dividir: 8 x + 4 x − 6 mx + 15 2x − 1 coeficientes del cociente es 37.

e) -15

Al dividir P(x) = x 29 + 8 x 28 + 16 a 27 entre (x - a) el residuo es cero (0). ¿Cuál es el valor de a? a) -4

06.

b) 3

Calcular “a” y “b” si la siguiente división es exacta: a) a = 1 b=5

05.

c) 18

b) 3

Al dividir: 6 x 5 + 5 x 4 − 26 x 3 + 33 x 2 − 24 x + 6 entre 2 x 3 − 3 x + 1 la suma de los coeficientes del cociente es: a) 11

04.

10.

b) 13

c) 14

2 Al dividir: 3 ax + bx − a ; b ≠ 0, se obtuvo de resto 7, y además el término independiente del x +b cociente es: (-2 ab). Calcular a + b.

a) 40

Hallar: a + b - c + d – e.

b) 12

¿Qué valor debe tomar “r” para que el polinomio: x+y? a) y 2 b) - y 2 c) 2y

a) 2

En una división por el método de Ruffini se conoce parte del esquema utilizado:

a) -11

2do. Año

57

Secundaria

01.

MATEMATICA

Calcular el residuo de dividir: a) 0

12.

b) -4

Calcular el residuo de dividir: a) 10

S2MA32B

b) 9

c) 3

d) 5

x 7 + 5 x 5 + 2x 4 −7 x 2 + 3 x + 4

c) 4

d) 2

e) 4 ÷ x

e) -2

x 5 + (3 2 − 2)x 3 + 2 2 + 6 x − 2 +1

c) 8

d) 7

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) 3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

Calcular m+n, si x 3 + mx 2 + nx + 1 es divisible entre x-1. a) 0

14.

15.

18.

c) –1

20.

d) 2

e) -2

b) 4x + 2

c) 5x + 20

a) -9

d) 6x - 3

b) 3

c) 4

b) 2

b) 13

c) 22

e) 7x – 1

d) 5

c) –2

el residuo no es de primer grado. Hallar

d) 18

e) 24

TAREA DOMICILIARIA

e) 10 01.

d) 1

a) 0

e) x+4

c) 2x+4

d) 2x-4

a) 1

e) 3/2 entre x 2 -

b) x-1

02.

03. m

a

1

b

9

d

f

e

g

h

p

4

-3

2 n

a) 5

b) 1

-2

c) –2

c

04.

d) 0

-1 a

a) -5

S2MA32B

b) -10

B

C

D

E

F

1

3

5

7

9

b

c

d

e

0

c) –25

d) -50

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

3 x 4 + 5 x 2 + Ax + B 3x 2 + 3x + 2

b) 1/2

es exacta:

c) 2

(x + a )7 − x 7 − a 7 x + 2a b) - 64 a 7

d) 2/3

e) 3/2

d) 128 a 7

e) - 126 a 7

:

c) 126 a 7

Dividir: x 20 + x 15 − x 10 − x 5 entre x 15 + x 10 − x 5 . Dar la suma de coeficientes del cociente. a) 0

b) 1

Determínese el resto en:

e) N.A.

Hallar la suma de coeficientes del dividendo de la siguiente división efectuada por la regla de Paolo Ruffini.

A

Calcular el resto en

a) 0

En el esquema de Horner mostrado determine el valor de: α = (m+n+p) – (a+b+c).

3

Calcular A/B si la división:

entre (x+2) es 1.

Hallar el residuo de la división: 2 x 5 + 7 x 4 − 50 x 3 −173 x 2 − 22 x + 60 2x+15.

1

19.

3 x 4 − x 3 + 2 x 2 + ax + a x2 + x −1

Si en la división siguiente: dicho residuo.

(x −1)(x − 2)(x − 3) + 25 x 2 − 5 x +1

Hallar m sabiendo que el resto de dividir: (m +1)x 3 + 2 x 2 − 4 x + m a) -1

17.

2do. Año

El residuo de dividir 3 x 3 + x 2 − 5 x + 20 entre x + 2 es: a) 2

16.

b) 1

Calcular el resto de dividir: a) 3x + 1

MATEMATICA

57

Secundaria 13.

58

2do. Año Secundaria

a) 36x-21

b) x-1

c) –1

d) 2

e) -2

d) 24x-5

e) N.A.

x 13 + 3 x 7 + 2 x 6 − x 5 + 4 x 2 + 3 x2 + 2

c) 12x+7

e) -100

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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2do. Año Secundaria

58

MATEMATICA

2do. Año

57

Secundaria

.

COCIENTES

Los exponentes que afectan a las bases en el dividendo deben ser iguales y nos indicará el número de términos que tendrá en su expresión el cociente notable.

2. ESTUDIO DE LA DIVISION NOTABLE Se presentan 4 formas o casos distintos de divisiones notables, que lo vamos a determinar combinando adecuadamente los signos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Identificar las divisiones que originan un cociente notable.

2. Proporcionar el desarrollo del cociente de una división notable.

3. Resolver ejercicios y/o problemas que involucran cocientes notables.

Primer Caso xn − an x −a

PROCEDIMIENTOS A. MOTIVACION En el estudio de la división algebraica, hemos logrado hallar el cociente y el residuo mediante la aplicación correcta de métodos, técnicas, procedimientos o algoritmos.

Ante una determinada estructura de las expresiones algebraicas denominados Dividendo y Divisor, ¡ahora! Nos asiste tratar con divisiones que por su forma o estructura las denominamos DIVISIONES NOTABLES, que originarán en su desarrollo COCIENTES NOTABLES o INMEDIATOS.

Aplicamos el Teorema del Resto:

x–a=0 ⇒

x=a

Reemplazamos en el Dividendo:

R = a n −a n

⇒

R=0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente notable exacto. Luego el cociente es: x n −a n = x n −1 + x n −2 a + x n −3 a 2 +.... +xa n −2 +a n −1 x −a

B. CONTENIDO TEORICO 1. COCIENTES NOTABLES Reciben este nombre aquellos cocientes que se originan de divisiones que adquieren la forma: Segundo Caso

xn ± an , n ∈Z + x ±a El desarrollo de estos cocientes se puede escribir correctamente sin necesidad de efectuar la división. Es importante hacer notar que los términos de su desarrollo se caracterizan por que obedecen a una misma ley de formación, de la forma general:

xn + an x −a

Exponente Común n x ± an x ± a

Aplicamos el Teorema del Resto:

x–a=0 ⇒

x=a

Reemplazamos en el Dividendo:

R = an +an

⇒

R = 2a n ≠ 0

Por tanto podemos afirmar que esta expresión origina un cociente completo o cociente mixto.

Luego el cociente es:

Bases x n +a n 2a n = x n −1 + x n −2 a + x n −3a 2 +... + xa n −2 +a n −1 + x −a x −a

Podemos extraer las siguientes características: . .

El Dividendo y el Divisor deben ser binomios, o cualquier otra expresión que se reduzca a ellos.

Las bases están indicadas en el divisor, debiéndose repetir en el dividendo.

Tercer Caso

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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2do. Año Secundaria

MATEMATICA

2do. Año

57

Secundaria xn − an x +a

Si n es un número par R=

x+a=0 ⇒

Aplicamos el Teorema del Resto:

x=-a

Luego el cociente obtenido es:

⇒

Si “n” es un número par

Si n es un número impar R = - 2a n ≠ 0 Origina un cociente completo.

x n +a n 2a n = x n −1 −x n −2 a + x n −3a 2 −x n −4 a 3 +.... + xa n −2 −a n −1 + x +a x +a

Luego el cociente obtenido es: Si “n” es un número par

Si “n” es un número impar

Ocupa lugar par

x n +a n = x n −1 −x n −2 a + x n −3a 2 −x n −4 a 3 +.... −xa n −2 +a n −1 x +a

xn − an = x n −1 − x n − 2 a + x n − 3a 2 − ..... + xa n − 2 − a n −1 x+a

OBSERVACIONES

Si “n” es un número impar Ocupa lugar impar

xn − an 2a n = x n −1 − x n − 2 a + x n − 3a 2 − ..... − xa n − 2 + a n −1 − x+a x+a

xn + an

-

-

x+ a

Aplicamos el Teorema del Resto: Reemplazamos en el Dividendo: S2MA32B

Por lo expuesto anteriormente podemos concluir:

-

Cuarto Caso

x+a=0 ⇒

⇒ Si n es un número impar R = 0 Origina un cociente exacto.

Si n es un número par R=0 Origina un cociente exacto.

R=

Los divisores de la forma (x – a) provocan un desarrollo cuyos signos son todos positivos.

Los divisores de la forma (x + a) provocan un desarrollo cuyos signos están en forma alternada, así: +, -, +, -, ....

El primer término del cociente notable se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose x n −1 A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de la primera base disminuye de 1 en 1, mientras que aparece la segunda, cuyos exponentes aumentan de 1 en 1 hasta (n – 1).

El desarrollo es un polinomio homogéneo.

x=-a

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

0

Origina un cociente completo.

R = ( −a ) n + a n

Reemplazamos en el Dividendo:

( −a ) n −a n

2a n ≠

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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2do. Año Secundaria

MATEMATICA

2do. Año

57

Secundaria

Tk = Signo x n −k a k −1

3. PRINCIPIO A CUMPLIRSE EN UNA DIVISION NOTABLE

El signo del término buscado dependerá de la forma del divisor y del lugar.

xm ± ap xq ± ar

* *

Es división notable o inmediata si y sólo si:

Cuando el divisor es de la forma (x – a) entonces, el signo del término buscado será positivo (+).

Cuando el divisor es de la forma (x + a) entonces, el signo del término buscado será : (-) Si el lugar que ocupa es PAR. (+) Si el lugar que ocupa es IMPAR.

m p = =n q r

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS Donde:

n = número de términos del cociente. m, p, q, r ∈ R ∧ n ∈ Z +

Ejemplo 1.

De la división notable expuesta podemos concluir: *

Los exponentes de “x” y “a” en el divisor nos indicará la forma como aumentan o disminuyen los exponentes de las variables mencionadas. * Si r > q, los grados absolutos del desarrollo aumentarán de acuerdo a la diferencia (r – q). * Si r < q, los grados absolutos del desarrollo disminuyen de acuerdo a la diferencia (q – r).

x3 − a5

G.A. x 24 − a18 x4 − a3

Tk = Signo x n −k a k −1

T8 = − ( x 5 )12 −8 ( y 6 ) 8 −1

→ 18 < 20 < 22 < 24 < 26 < 28 < 30

→

20 > 19 > 18 > 17 > 16 > 15

xn ± a n = x n −1 ± x n −2 a + x n −3 a 2 ± .... ± Tk +... ± xa n −2 ± a n −1 x ±a ↑ 2

↑ 3

↑ k

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

y 42

x 4 n + 4 − y 5n

Calcular el valor de “n” en:

x n +1 + y 2n −3

, para que sea un cociente notable.

Resolución:

4. FORMULA DEL TERMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LOS COCIENTES NOTABLES Es una fórmula que nos permite encontrar un término cualquiera en el desarrollo de los cocientes notables, sin necesidad de conocer los demás: Para una división de la forma:

↑ 1

T8 =−x 20

Ejemplo 2.

= x 20 + x16 a 3 + x12 a 6 + x 8 a 9 + x 4 a12 + a15 G.A.

S2MA32B

Resolución:

= x18 + x15 a 5 + x12 a10 + x 9 a15 + x 6 a 20 + x 3a 25 + a 30

Ejemplo No. 2

x 5 + y6

Cómo el divisor es de la forma (x+a) y el término ocupa lugar PAR, entonces el sino será negativo (-).

Para ser más objetivos veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo No. 1 x 21 − a 35

x 60 − y 72

Hallar el octavo término del desarrollo de:

↑ n-1

↑ n

4n + 4 5n = n +1 2n − 3

⇒

4( n +1) 5n = ( n +1) 2n − 3

⇒

8n – 12 = 5n

⇒

3n = 12

n = 4

Ejemplo 3.

Si el grado del octavo término del cociente notable: su desarrollo.

S2MA32B

x n −1 x 3 −1

, es 12, hallar el número de términos de

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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2do. Año Secundaria

MATEMATICA

2do. Año

57

Secundaria Resolución: Número de términos será: n/3

2. Hallar el término que se indica en cada uno de los desarrollos de las divisiones notables. n

3 3 T8 =  x    

Luego:

58

−8

x142 − y 213

a) T12 de :

(1) 8 −1 = x −24

n – 24 = 12. n = 36

b) T15 de :

x 2 − y3

3. Dado el cociente notable:

x 350 − y 280 x5 + y4

x m − yn x5 − y7

Luego, el número de términos será 12.

Determinar los valores de “m” y “n” sabiendo que su desarrollo tiene 8 términos.

Ejemplo 4. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente notable, el término cuyo grado absoluto es 252?

4. Encontrar el cociente de dividir el T5 entre el T10 del siguiente desarrollo:

x160 − y 280

a 51b119 − m −85 n −34

x 4 − y7

a 3 b 7 − m −5 n − 2

Resolución: Hallemos el término que ocupa el lugar “k” que cumpla la condición dada.

TK = ( x 4 ) 40 −k ( y 7 ) k −1

5. Indicar cuántos términos tiene el siguiente desarrollo:

G A Tk = 160 – 4k + 7k – 7 = 3k + 153.

6. Si la expresión:

G.A. Tk = 252 3k + 153 = 252

Por dato del problema:

x 4n −y 5n x 4 − y5

x 5n +3 − y 5( n +6) x n −1 − y n +2

Es un cociente notable. Indicar cuántos términos tiene su desarrollo. k = 33

7. En el desarrollo de: PRACTICA DE CLASE

x 8 −1 a) x 2 −1 d)

S2MA32B

x15 + 32 x3 − 2

b)

e)

x 5 + y5 x −1 x 21 +128 y14 x 3 + 2y 2

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

x 5 + y3

Existe un término cuyo grado absoluto es 122. Hallar la diferencia entre los exponentes de “x” e “y” en dicho término.

En su cuaderno de trabajo y con ayuda de sus compañeros de grupo efectúe los siguientes ejercicios.

1. Hallar los cocientes de las siguientes divisiones notables.

x 155 + y 93

8. Simplificar: c)

f)

16a 4 − 81b 4 2a − 3b

P=

x 357 + x 354 + x 351+..... + x 6 + x 3 +1 x 177 + x 174 + x 171+..... + x 6 + x 3 +1

x 25 y10 + z15 x 5y2 + z3

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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2do. Año Secundaria

PROBLEMAS PROPUESTOS 06.

Indique la división que dio origen al cociente notable: x4n – 2 - x4n – 4 + x4n – 6 - ....+ x2 - 1 a) 02.

x4 n + 1 x2 + 1

-1

b)

x4n − 1 x4 −1

c)

x4n − 1 x2 +1

x + y2

x α − yβ x3 − y4 d)

x 4n − 1 x2 +1

e)

x4n − 1 x2 +1

Si:

es –x4 y10

07.

x4 − y3

b) 200

∧

a) x 40 y 3

c) 300

d) 400

08.

x 75 − y b

x4 − y

xc − y2

b) x 20 y 6

c) x 30 y 9

d) x 20 y 12

09.

e) 27

b) 73

c) 91

d) 85

e) 89

Calcular el número de términos racionales enteros en el cociente notables.

x 75 − x −30 x 5 − y −2 b) 13

c) 14

d) 15

a) 5

e) 16 10.

Hallar el lugar que ocupa el término de grado 101 en el desarrollo de:

b) 10

3

x 9 − z4 b) 13

c) 15

d) 17

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) 19

c) 12

d) 13

e) 15

d) 1702

e) 2403

Hallar la suma de los términos naturales del desarrollo de:

3 22 / 3 − 4 2

x 180 − z 80

S2MA32B

d) 28

, el valor de a + b + c, es:

a) 49

e) − x 40 y 3

c) 21

Si: xa y24 es el término central del desarrollo del C.N:

x n − 8 − y n −9

a) 11

e) N.a

)

b) 22

x 56 − y 14

x 4 n +12 − y 4 n − 3

05.

d) 36

Hallar el número de términos del siguiente producto:

a) 31

e) 50

Calcular el número de términos de términos del cociente notable:

a) 12

c) 48

(

Calcular el término idéntico de los desarrollos:

x 48 − y 36

b) 84

K = x 20 m + x 19 m + ... + x m + 1 (x 20 m − x 19 m + x 18 ... − x m + 1

a) 100

04.

t6 • t9 = x 12 y 20 t7

a) 20

Calcular: ab

03.

Hallar α + β en el cociente notable:

Sabiendo que uno de los términos del desarrollo notable de:

xa + yb

2do. Año

57

Secundaria

01.

MATEMATICA

3 +42

a) 602

S2MA32B

22

b) 160

c) 1602

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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58

2do. Año Secundaria

MATEMATICA

57

Secundaria

x 5 n +3 − y 5 (n +6 ) x n −1 − y n + 2 11.

a) x20 y9

¿Cuál será el cociente de la división:

x 5 − 32 x−2

17.

a) x4 - 2x3 + 4x2 – 8x + 16 c) x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 e) N.a 12.

14.

;

a) 480 18.

x2 − y

15.

19. e) 4x4 + 2a3

d) 34

e) 54

c) 460

d) 450

e) 440

el término que tiene grado absoluto 34. término? b) 5to

c) 6to

d) 7mo

e) 8vo

x12 + x8 + x4 +1 es cociente de: a)

20.

c) - 34

e) x12 y20

x 16 − 1 x2 +1

b)

x 16 + 1 x −1

c)

x 16 − 1 x4 −1

d)

x 12 − 1 x4 −1

e)

x 16 − 1 x4 +1

Calcular el t21 en el cociente notable:

2a − a 2 1 − 20 a − 1

El número de términos de: a) a+1

xa

− yb

x3 − y5 16.

b) 470

a) 4to

32 x 5 + 243 y 5 2x + 3 y b) 52

d) x18 y8

¿Qué lugar ocupa el desarrollo del cociente notable:

x 40 − y 20

x4 − a 4 x+a d) x3 - a x +2

c) x9 y20

x 5 − y7

b) n es cualquier entero d)n es mayor que a + b

a) 2x3 + 2a2 x b) 2ax3 + 4a3 c) x3 + ax Hallar el coeficiente del cuarto término del desarrollo de:

a) 24

b) x8 y18

Hallar (m + n) si el T17 del cociente notable:

Hallar la suma de los polinomios que se obtienen al desarrollar estos cocientes:

x4 − a 4 x−a

origina un cociente notable

xm − yn

b) x4 + x3 + x2 + x + 2 d) x4 - 2x3 + 2x2 - 2x + 16

La expresión: an + bn es divisible exactamente entre a – b, cuando: a) n es impar c) n es par e) nunca es divisible

13.

2do. Año

c)

a −1

d)

a −1

es ocho. ¿Cuál es el quinto término?

a) x20 y9 b) x8 y18 Hallar "n" si la división:

S2MA32B

b) a - 1

c) x9 y20

d) x18 y8

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) x12 y20

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) (a – 1)20/21

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2do. Año Secundaria

MATEMATICA

2do. Año

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Secundaria

a 21 n −13 − b 20 m a n − bn Calcular n – m: a) 7

06.

TAREA DOMICILIARIA 01.

x3

+

Calcular la relación entre n y m.

a) 256

b) 428

c) 512

d) 1048

a) e) 864 07.

Si en el desarrollo del siguiente cociente notable:

x3 − y a) 12

b) 16

d) 25

e) 32

08.

c) x5 + 1

d) x7 + 1

e) x8 - 1

Hallar el número de términos de un cociente notable que tiene los siguientes términos consecutivos:

05.

Suponiendo que a

S2MA32B

d)

m 7 = n 2

e)

m = 14 n

b) 128

c) 1024

d) 1684

e) 343

d) 2

e) 1

La siguiente división:

4 − 2

a) 16 09.

x c) 16

d) 17

36

b se encuentra contenido en el desarrollo del cociente:

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) 18

b) 8

c) 4

En el cociente notable generado por la división:

.... + x 70 y 12 − x 63 y 15 b) 15

m =1 n

genera un cociente notable cuyo menor término racional es:

b) x6 + 1

169

c)

Hallar la suma de coeficientes del cociente al dividir:

3

x6 + x4 + x2 + 1

a) 4

n = 14 m

16 3 4 − 8 2

x 14 + y 12 + .... + x 2 + 1

04.

b)

a) 256 c) 18

Reducir:

a) x8 + 1

n 7 = m 2

(x + 3) 4 − 2 8 x−1

el término de lugar 8 contando a partir del extremo final tiene por grado absoluto 38.

El número de términos del desarrollo es:

03.

e) N.a

x n − x −n

+ y2

x 3n − y n

d) 19

Si el cuarto término es independiente de x; en el cociente notable:

y 3n

Calcular el valor numérico del término central para x = 1; y = 2

02.

c) 6

x 2 m − x −2n

El cociente notable:

x 3n+9

b) 13

35

−3x

35

x −3x ¿Cuántos términos son irracionales?

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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2do. Año Secundaria

a) 6

b) 30

c) 31

d) 7

e) 29

La suma de todos los exponentes de las variables del desarrollo de:

x 100 − y 100 x4 − y4

MATEMATICA

2do. Año

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Secundaria

10.

58

FACTORIZACION ALGEBRAICA Factorizar una expresión algebraica racional entera y de coeficientes racionales, es la transformación equivalente de la mencionada expresión en un producto indicado de potencias de sus factores primos también racionales enteros y de coeficientes racionales.

; es:

a) 2400

b) 2500

Ejemplo: Factorizar: 3 x 2 +x – 10 = (3x – 5)(x + 2) c) 2600

d) 2700

Términos del polinomio

e) 2800

Factores

Factor: Es una expresión que forma parte de una multiplicación y que nos conduce a la expresión dada inicialmente.

Ejemplos:

FACTORIZACIÓ

15 x 11 = 165 AxB=C 3 2 x 2 (x+5) = x + 5x Factor Primo

METODOS DEL FACTOR COMUN Y ASOCIACION OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. Comprender que la factorización algebraica es el proceso contrario a la multiplicación.

2. Aplicar el método del factor común en la factorización de polinomios.

3. Aplicar el método del factor común por asociación, en la factorización de polinomios.

4. Transformar polinomios racionales enteros en una multiplicación de factores (factorización) por medio de métodos sencillos o por una combinación de éstos.

15 y 11 son factores de 165 A y B son factores de C 3 2 x 2 y (x+5) son factores de x + 5x

Es aquel factor que no puede expresarse como la multiplicación de otros polinomios, diferentes de él mismo y la unidad.

Ejemplo: 4 x 7 Factor no primo

PROCEDIMIENTOS:

Factor primo

x (x+2)(y2 + 2y)

MOTIVACION Recordemos que en la multiplicación algebraica se aplica la propiedad distributiva, de la siguiente manera: x(x + y + z) = x 2 + xy - xz

Factor no primo Factor primo Factor primo

x 3 y 2 (x 2+ y)

Por medio de la factorización podremos restituir los factores de una expresión que se obtuvo de la ejecución de una multiplicación, veamos:

x 2 + xy – xz = x (x + y + z) De lo expuesto concluimos que la factorización es el procedimiento recíproco al establecido por la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

CONTENIDO TEORICO S2MA32B

→ → →

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

Factor primo Factor primo Factor primo

Los factores primos son: x ; y ; x 2 + y. Mientras que x 3 ; y 2 no son factores primos.

Observaciones: Se dice que las factorizaciones se llevan a cabo en expresiones algebraicas primitivas, que conducen a la obtención de factores primitivos (coeficientes de sus términos, primos entre si).

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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2do. Año

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Secundaria

La definición inicial de factorización se puede ampliar a otros campos de los números, pero dejando claramente establecido en qué campo estamos trabajando. Por ejemplo, si alguien me pide factorizar (x – y), la respuesta es no se puede, pero si alguien me pide expresar (x – y) como un producto de dos factores en el campo de las expresiones algebraicas irracionales, el resultado es: x–y =

(

x −

y

)(

x +

y

El polinomio expresado dentro del paréntesis no tiene factor común a todos sus términos; entonces para obtener factores comunes, debemos agrupar convenientemente sus términos.

Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así: x [( x 7 + x 6 y) +( x 5 y 2 + x 4 y 3 ) +( x 3 y 4 + x 2 y 5 ) +( xy 6 + y 7 )]

)

x[ x 6 ( x + y) + x 4 y 2 ( x + y) + x 2 y 4 ( x + y) + y 6 ( x + y)]

Podemos continuar.

x–y=

3 2 3 3  3 2 3  x − y  x + xy + y    

Ahora extraemos el factor común binomio: (x + y) x(x+y)[ x 6 + x 4 y 2 + x 2 y 4 + y 6 ] Volvemos a agrupar convenientemente: x(x+y) [ ( x 6 + x 4 y 2 ) + ( x 2 y 4 + y 6 ) ]

Podemos continuar.

En la factorización se presentan diversos grados de dificultad inherentes a cada expresión propuesta para tal fin, por lo que es necesario disponer de un conjunto de reglas, procedimientos o métodos que permitan la factorización en forma correcta, ordenada y sistemática.

PRINCIPALES METODOS DE FACTORIZACION Método del factor común Es posible utilizar este método cuando todos los términos del polinomio tienen un factor común.

El factor común puede ser un monomio o un polinomio.

x(x+y) [ x 4 ( x 2 + y 2 ) + y 4 ( x 2 + y 2 ) ] x(x + y )( x 2 + y 2 )( x 4 + y4 )

PRACTICA DE CLASE I. Factorice por el método del factor común.

12 x 2 yz 2 +4 xy 2 z 3 −8x 3 yz 2

Ejemplo 1.- Factorizar:

Factor Común Monomio: 4 xyz 2 . Luego:

Ejemplo 2.- Factorizar:

( x + y +z ) x 2 − ( x +y +z ) y 2 + ( x +y +z ) z 2

Factor Común Polinomio: (x+y+z),

Luego, la expresión factorizada es:

Método del factor común por asociación Consiste en agrupar convenientemente los términos que conforman el polinomio, de tal manera que se consiga los factores comunes.

Ejemplo: Factorizar: x 8 + x 7 y + x 6 y 2 + x 5 y 3 + x 4 y 4 + x 3 y 5 + x 2 y 6 + xy 7

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

5x10 y 5 −10 x 7 y 8 −25 x11 y 9

2.

x m +4 y n +2 − 5x m +6 y n −1 − 3x m +1y n +1

II. Factorice por el método del factor común por asociación 5. (ax +by) 2 + (ay −bx ) 2

(x+y+z)( x 2 − y 2 + z 2 )

Por simple inspección, vemos que el polinomio tiene un factor común monomio a todos sus términos; entonces para obtener factores comunes, debemos agrupar convenientemente sus términos. Como éste polinomio tiene 8 términos, podemos agruparlos de dos en dos, así: x ( x 7 + x 6 y + x 5 y 2 + x 4 y 3 + x 3 y 4 + x 2 y 5 + xy 6 + y 7 )

1.

3. ( x − y + z )a −( y −x −z) b 4. (a+b)(x+y+z) + (a+b)(x-2y-2z)

12 x 2 yz 2 +4 xy 2 z 3 −8x 3 yz 2 = 4 xyz 2 (3x +yz −2 x 2 )

S2MA32B

MATEMATICA

6.

x m +a − x m y b + x a y n − y n +b − x a z p + z p y b

7.

x 2n +1 + 3x n +1 + x n +3 − x n + 3x 3 − 3

Factorizar cada uno de los siguientes polinomios.

2. x n + 2 + x n + x 3 − x 2 + x − 1 4.

1.

x 4 − x 3 y − xy 3 + y 4

3.

36 x 5 + 36 x 4 − 25x 3 − 25x 2 + 4 x + 4 abx 3 + b 2 x 2 − a 2 x 2 − a 2 bx − a 2 bx + a 3

D. TAREA: Factorizar 1. x 2n +1 + 3x n +1 + x n +3 − x n + 3x 3 − 3 2. F(a,b,c,x,y,z) = ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bz S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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MATEMATICA

2do. Año

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Secundaria

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en un binomio al cuadrado.

Es necesario tener en cuenta que donde aparecen cuadrados perfectos, existe la posibilidad del trinomio cuadrado perfecto.

3. G(m,n) = mn 4 − 5m 2 n 3 + 4m 3 n 2 − 20 4 n 4. P(x,y,z) = x 3 + y 3 + z 3 + x 2 y + x 2 z + y 2 x + y 2 z + z 2 x + z 2 y 5. E (x,y,z,a) = x 3 y 3a 2 + xy 5 a 2 − x 2 y 4 a 2 + x 2 y 4 b 2 − xy 5 b 2 − x 3 y 3 b 2

Ejemplo: Factorizar

6. M(a,b,c) = a 2 b 2 c 2 + a 3c + b 3a + c 3 b + −a 2 c 3 − b 2 a 3 − c 2 b 3 − abc 7. R(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 b + a 2 x 2 c + a 2 x 2 d + abcx + abdx + acdx + bcd 8. N(x,y,z) =

9 x 2 − 12 xy 2 + 4 y 4 = (3x −2 y 2 ) 2

↓√

↑

↓√

3x 2(3x)(2

x (1 −y 2 )(1 −z 2 ) +y(1 −x 2 )(1 −z 2 ) +z (1 −y 2 )(1 −x 2 ) −4 xyz

y2

) 2 y2

Doble producto Diferencia de cuadrados

MÉTODO DE LAS

K K A 2K - B 2K = (A + B )(A K- BK)

Expresión factorizada

OBJETIVOS ESPECIFICOS

AK

Aplicar el método de las identidades en la factorización de polinomios.

Raíces cuadradas

PROCEDIMIENTOS

Ejemplo 01: Factorizar Solución:

MOTIVACION En el módulo anterior hemos tenido la oportunidad de estudiar los dos primeros métodos para la factorización de polinomios. El presente módulo nos va a permitir el estudio de otro método de factorización, el cual hace uso de identidades algebraicas conocidas (productos notables), tales como: trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, etc.

↓√ ↓√ x4

METODO DE LAS IDENTIDADES Consiste en dar la forma de un producto notables a la expresión propuesta; para luego factorizar en base a dicha identidad.

x2

y

Luego:

x 8 − y 4 = ( x 4 + y 2 ) ( x 2 + y) ( x 2 − y)

Ejemplo 02: Factorizar Solución:

x 2 + 2 xy + y 2 − z 6

↓√ (x+y)

A 2K +- 2AK B K + B2K = (A K +- B K) 2

K

↓√ ↓√

y2

x 2 + 2 xy + y 2 − z 6 = ( x +y) 2 − z 6 = [(x +y)+z3 ][(x+4) – z3 ]

Trinomio cuadrado perfecto

B

x 8 −y 4

x 8 −y 4 = (x 2 + y 2 ) (x 4 − y 2 )

CONTENIDO TEORICO

AK

B

K

Luego: x 2 + 2 xy + y 2 −z 6

↓√ z3 = ( x + y + z 3 )( x + y − z 3 )

Suma y diferencia de cubos

K

Raíces cuadradas

2A B K Doble producto de raíces

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S2MA32B

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Secundaria ( )

2

( )

2

K K A 3K + B 3K = (A + B )(A 2K - AKB K + B2K ) 3

3

AK

B

Expresión factorizada K

Raíces cúbicas ( )

2

( )

2

K K A 3K + B 3K = (A + B )(A 2K - AKB K + B2K ) 3

3

A

K

B

Expresión factorizada K

Raíces cúbicas

Ejemplo 01: Factorizar a12 − b 6 Solución: a12 − b 6 =

(a 6 ) 2 − ( b 3 ) 2

a12 − b 6 =

(a 6 + b 3 ) (a 6 − b 3 )

→ Diferencia de cuadrados → Suma y Diferencia de cubos

2 4 2 2 2 4 2 2 a12 − b 6 = (a + b )(a − a b + b )(a − b)(a + a b + b )

PRACTICA DE CLASE En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes ejercicios : Factorice cada uno de los siguientes polinomios: 1. x 4 − 4x 2 y + 4 y 2 2.

4 x 2 n +12x n y n + 9 y 2n

3.

x 8 −1

4.

(ax −5b) 2 − ( bx −5a ) 2

5.

x 8 + x 4 y 6 + 25y12

6.

4 x16 + y 8

7.

x12 −1

TAREA Utilizando sumas y rectas (método del pon y quita) Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios: Factorizar cada una de los siguientes polinomios:

Ejemplo 02: Factorizar x 4 + 4 y 4 Solución:

x 4 + 4 x 2 y 2 + 4 y 4 − 4x 2 y 2 ( x 2 + 2 y 2 ) 2 − 4x 2 y 2

→ Diferencia de cuadrados

( x 2 + 2 y 2 + 2 xy)( x 2 + 2 y 2 − 2 xy)

1. x 6 + y 4 + z 2 + 2x 3 y 2 − 2 x 3 z − 2 y 2 z 2. x 6 + 4x 3 + x 2 + 2x + 5 + 2( x 3 + 2)( x +1) 3. ( x 2 − y 2 −z 2 ) 2 − 4 y 2 z 2 4. ( x 2 + xy + y 2 ) 2 −x 2 y 2 −y 2 z 2 −x 2 z 2

Ejemplo 03: Factorizar x 4 + x 2 y 2 + y 4 Solución: x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 −x 2 y 2

(x 2 + y 2 ) 2 − x 2 y 2

→ Diferencia de cuadrados

5. x 4 + x 2 y 2 + y 4 6. x 6 + 4 x 4 + 3x 2 − 2 x −1 7. ( 2 x 6 +1) 3 + ( x +1) 3 ( x −1) 3 ( x 4 − x 2 +1) 3

( x 2 + y 2 + xy) ( x 2 + y 2 − xy)

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Secundaria

Resolución: 2

x - 7xy + 10y 2 x - 5y = - 5xy x - 2y = - 2xy - 7xy

MÉTODO DEL ASPA SIMPLE Y OBJETIVOS ESPECIFICOS 1. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa simple en la factorización de polinomios.

2. Aplicar el método del aspa simple en la factorización de polinomios.

3. Identificar en que casos es posible hacer uso del método del aspa doble en la factorización de polinomios.

4. Aplicar el método del aspa donde en la factorización de polinomios.

x 2 − 7 xy +10 y 2 =(x − 5 y) (x − 2 y)       

Luego:

Expresión Factorizada.

METODO DEL ASPA DOBLE Se utiliza para factorizar polinomios de la forma: Ax 2n + Bx n y m + Cy 2 m + Dx n + Ey m + F

PROCEDIMIENTOS MOTIVACION En el presente módulo, vamos a abordar tres de los métodos más conocidos para la factorización de polinomios, nos referimos al método del aspa simple, aspa doble y aspa doble especial, el primero de ellos bastante aplicado en la solución de ecuaciones de segundo grado o convertibles.

Nota: En caso de faltar algún término, se puede completar con cero.

Ejemplo 1.- Factorizar:

x 2 + 3xy + 2 y 2 + 5x + 7 y + 6

Resolución: Apliquemos aspa simple en los tres primeros términos.

CONTENIDO TEORICO

x 2 + 3xy x I x

METODO DEL ASPA SIMPLE Se utiliza para factorizar trinomios de la forma: Ax 2 n + Bx n + C

Ejemplo 1.- Factorizar:

Ax 2n + Bx n y m + Cy 2m

ó

Luego descomponemos el último término para formar otra aspa simple:

15x 2 + 14x – 8.

x 2 + 3xy

Resolución:

15x 5x 3x

Luego:

2

+ 14x

-8 - 2 = - 6x 4 = +20x +14x

S2MA32B

x 2 + 3xy + 2y 2 + 5x + 7y + 6 x 2y III 3 x y 2

(5x - 2) (3x + 4)

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

+ 2y 2 + 5x + 7y + 6 3 2y II y 2

Finalmente se forma otra aspa simple con los términos extremos (aspa simple auxiliar).

15 x 2 + 14x – 8 =       

Expresión Factorizada.

Ejemplo 2.- Factorizar: x 2 −7 xy +10 y 2

+ 2y 2 + 5x + 7y + 6 2y y

Luego los factores se toman en forma horizontal, así: S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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MATEMATICA

2do. Año

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Secundaria

Si sumamos los productos de multiplicar en aspa, se obtiene 3x 2 . Observe en el polinomio que necesitamos obtener 4 x 2 . Para obtener lo que se necesita sumamos x 2 , que es el término que desdoblado convenientemente se coloca en el centro de las dos aspas simples:

(x  + 2y  +  3  )(x  + y +  2) Expresión Factorizada

x4 + 2x 3 + 4x 2 + 3x - 28

OBSERVACION: Aparentemente el proceso anterior es largo, pues la explicación se realizó paso a paso; en la práctica, las tres aspas simples se pueden realizar en una misma figura (se superponen las aspas).

Ejemplo 2.- Factorizar: 15 x 4 +34x 2 y +15 y 2 +41x 2 +31y +14

x2

x

+7

x2

x

-4

Nótese que al multiplicar en aspa y sumarlos, se obtiene 2 x 3 y 3x , luego tomamos los factores en forma horizontal y obtenemos la expresión factorizada, así:

Resolución:

( x 2 + x +7) ( x 2 + x −4)

15x 4 + 34x2 y + 15y2 + 41x2 + 31y + 14 2 3y 5x 2 7 3x 2 5y

PRACTICA DE CLASE En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes expresiones polinómicas:

Luego de comprobar, el polinomio factorizado es: (5x 2 +3y + 2) (3x 2 +5 y +7)

1.

3x 2 +11x +10

2. 14 x 4 −29 x 2 −15 METODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL Se utiliza para factorizar polinomio de una sola variable, generalmente de grado cuatro, pero no necesariamente, puede tener la forma general: Ax 4 n + Bx 3n + Cx 2 n + Dx n + E

Nota: La forma de proceder es similar a la del aspa doble.

Resolución: En primer lugar descomponemos los términos extremos para formar un aspa simple, así: x4 + 2x 3 + 4x 2 + 3x - 28 x2

4.

26 x 2 −11xy −y 2 +75x +25

5. 10 x 2 +11xy −6 y 2 −x −11y −3 6.

5x 4 + 22 x 3 + 21x 2 +16 x + 6

7.

x 4 + 7 x 3 +17 x 2 + 26 x +12

TAREA Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios: Factorizar cada uno de los siguientes polinomios:

Ejemplo 1.- Factorizar: x 4 + 2 x 3 + 4 x 2 + 3x − 28

x2

3. 12 x 4 +32 x 2 y 3 +21y 6

+ 7 = 7x

2

- 4 = -4x 2 2 3x

1.

x 2 + x / 4 −3 / 8

2.

4 x 2 −29 xy −24 y 2

3.

64 x12 y 3 −68x 8 y 7 +4 x 4 y11

4.

6 x 4 + 5x 2 y 2 − 6 y 4 − x 2 + 5 y 2 −1

5. 12 x 2 + 2 xy 2 −2 y 4 +9 x −3y 2 6.

x 8 + 2 x 4 − 24x 2 + 72

7. 15x 4n + 9x 3n −14x 2n − x n +1

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“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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MATEMATICA

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57

Secundaria

Además, si para x = a, P(a) = 0, entonces; se dice que “a” es un cero de P(x).

El método se fundamenta en buscar los ceros racionales del polinomio; para lo cual, identificamos los posibles ceros de la siguiente manera:

MÉTODO DE EVALUACIÓN O OBJETIVOS ESPECIFICOS

Divisores término independiente Divisores Coef. término principal

Posibles ceros (x) =

Identificar en qué casos es posible hacer uso del método de evaluación o divisores binomios en la factorización de polinomios.

Aplicar el método de evaluación o divisores binomios en la factorización de polinomios.

Ejemplo 1.- Factorizar:

48x 4 − 4 x 3 − 36 x 2 + x + 6

PROCEDIMIENTOS

Posibles ceros =

MOTIVACION En el presente módulo, estudiaremos un método más para factorizar determinados polinomios, empezaremos nuestro estudio identificando cuáles son las características que debe reunir un polinomio para ser factorizado por este método y finalmente detallaremos el procedimiento a seguir para la factorización de dicho polinomio.

Divisores término independiente (6) Divis. coefic. término principal (48)

Posibles ceros = ±1 ; ±2 ; ±3; ±6 ± 1; ± 2 ; ± 3 ; ± 4 ; ± 6 ; ± 8 ; ± 11; ± 16 ; ± 24 ; ± 48

CONTENIDO TEORICO

1 1 2 3 ; ± ; ± ; ± ; .....

2 3 3 4

Posibles ceros = ± 1 ; ± 2 ; ± 3 ; ± 6 ; ±

METODO DE EVALUACION O DIVISORES BINOMIOS Se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, (de preferencia, el grado debe ser mayor que 2). Además debe aceptar por lo menos un factor de primer grado.

48

-4 24

-36 10

1 -13

1

20

-26

-12

-32 48 -12

8 -18

12 0

36 24

18 0

x = 1/2

FORMA GENERAL: x = -2/3

Ax n +Bx n −1 +Cx n −2 + .... Mx +N

x = 3/4

CONCEPTOS PREVIOS:

48

6 -6 0

TEOREMA DEL FACTOR Sea P(x) un polinomio, si para x = a se cumple que P(a) = 0; entonces (x-a) es factor de P(x).

Luego:

Finalmente:



P(x) =  x −



1  2  3  x +  x − ( 48x +24) 2  3  4

P( x ) = (2x − 1)(3x + 2)( 4 x − 3)(2 x + 1)

De esto se deduce que si P(a) = 0, entonces P(x) es divisible por (x - a).

Observación: En la práctica no se calcula el valor numérico de P(a), sino se divide usando el algoritmo de RUFFINI.

Ejemplo 2.- Factorizar: P(x) = x 4 + 3x 3 + x 2 − 3x − 2 Resolución:

Posibles ceros = Divisores término independiente Divis. coefic. término principal

CEROS RACIONALES DE P(X)

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MATEMATICA

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Secundaria Posibles ceros =

±1 ; ±2 ±1

P(x) = (x – 3) (x + 5) Finalmente regresamos a la variable original. Así: P (a ) = (a 2 + 4a + 5)(a 2 + 4a − 3)

Posibles ceros = ± 1 ; ± 2 Ahora debemos determinar cuál de estos cuatro valores son ceros de P(x); para lo cual evaluamos el polinomio para cada valor del conjunto de los posibles ceros, usando el algoritmo de RUFFINI. P(x) = x 4 + 3x 3 + x 2 − 3x − 2 3

1

1

1 4

-3 5

-2 2

4

5

2

0

-1

-3

3

2

-2 0

x=1 1 x = -1 1

P(1) = 0; (x-1) es un factor

Ejemplo 4.- Factorizar: P(x) = a 6 + 4a 4 + 3a 2 − 2a −1 Resolución: Cuando el grado es par, formaremos un trinomio cuadrado perfecto y como consecuencia de esta situación se formará una diferencia de cuadrados.

Para formar el trinomio cuadrado perfecto reemplazamos: 3a 2 por 4a 2 −a 2 . Luego: P(a) = a 6 + 4a 4 + 4a 2 − a 2 − 2a −1

P(-1) = 0; (x-1) es un factor

Trinomio Cuadrado Perfecto P(a) = (a 3 + 2a ) 2 − (a 2 + 2a +1)

P(x) = (x-1)(x+1)( x 2 +3x+2) Aplicamos aspa simple

Luego:

Trinomio Cuadrado Perfecto P(a) = (a 3 +2a ) 2 −(a +1) 2

P(x) = (x - 1) (x + 1) (x + 1) ( x + 2)

Diferencia de cuadrados

Finalmente:

P(a) = (a 3 + 2a +a +1)(a 3 + 2a −a −1)

P( x ) = (x − 1)( x + 1) 2 ( x + 2)

P (a ) = (a 3 + 3a + 1)( a 3 + a − 1)

Ejemplo 3.- Factorizar: P(a) = (a+1)(a+3) (a + 2) 2 – 5 a(a+4) - 27 PRACTICA DE CLASE Resolución: Efectuando las operaciones indicadas tenemos: P(a) = (a 2 + 4a + 3)(a 2 + 4a + 4) −5(a 2 + 4a ) - 27 Realizamos el siguiente cambio de variable: a 2 + 4a = x . Así: P(x) = (x + 3)(x + 4) – 5x - 27 P(x) = x 2 + 7x + 12 – 5x - 27 P(x) =

x 2 + 2x – 15 x x

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– 3 +5

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, factorice las siguientes expresiones polinómicas: 1.

x 3 + 6 x 2 + 3x −10

2.

x 3 + 2 x 2 − 5x − 6

3.

x 4 + 7 x 3 +17 x 2 + 26 x +12

4.

x 4 + 2 x 2 − 24 x + 72

5. 15x 4 + 9 x 3 −14 x 2 − x +1 6. 5x 4 + 22 x 3 + 21x 2 +16 x + 6 7. x12 – 1 S2MA32B

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58

TAREA Resuelva en casa y transfiera a su cuaderno de trabajo, los siguientes ejercicios: Factorizar cada uno de los siguientes polinomios: 1.

x 3 −19 x −30

2.

x 3 +11x 2 + 40 x + 48

3.

4.

x 4 + 2 x 3 −8x 2 −18x − 9 x 4 + 6 x 3 − 5x 2 − 42x + 40

5.

x 5 + 3x 4 −17 x 3 − 27 x 2 + 52 x + 60

4.

5.

6.

7.

8.

PRÁCTICA DE REFORZAMIENTO

2.1

2.2

I. Factorizar por el Método común

1.2

Factorización de un polinomio con factor común monomio.

Factorización de un polinomio con factor común polinomio.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

1.3

8a2 (x – 2)4 + 16a3 (x – 2)2 - 24a5 (x – 2)3 5x (2a – 7b) – 2a + 7b 5x2 (a + b – 3c) – 2x3 (3c – a- b) 9ab2 y3 (x2 – z2 ) – 5a2 by2 (x2 - z2 ) - 6x2 + 9y2 + 4w(2x2 – 3y2 ) (a + b) (5x – 2y – z) – (a – 2b) (2y + z – 5x) 3x (2a – b + 3c) – 5y (b – 2a – 3c)

Factorización por agrupación de términos.

2.3

2.4

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

16x2 – 36 0.64 – x8 16a2n - 25 (2x – y) 2 - (3x + z)2 (x + y) 2 - 4z2

6. x2 - (y – x)2 7. x4 – 16b2 8. x4 - y4 9. 9x3 - x2 - 9x + 11 10. 64x2 - z2 + 6z – 9

Factorización por suma de cubos 1.

2.

3.

4.

5.

8x3 – y6 27 + 125a3 0.001 + x9 27a3 + 64b3 125x3 + 1

6. 0.027x3 + y3 7. 8a6 + 1000b3 8. x3n + 1 9. (x + 2y)3 + 64z3 10. 64x6 + 216

Factorización por diferencia de cubos.

1.

2.

3.

4.

5.

8a3 - a6 27a3 – 64b3 1 – x3n 64x3 - (x – 1)3 (2x + y) 3 - 8x6

6. (x + y) 3 - (3 – y) 3 7. (x + y )3 - 27 y3 8. 8(x – 2)3 - (2x + 1)3 9. (x – 3y)3 - (2x + 1)3 11. 8x3n – 27y3n

III. Factorizar por el Método del aspa 3.1

Factorización por aspa simple 1.

2.

3.

4.

1. ac + ad + bc + bd 2. mx + m – x - 1 3. 2x2 + 2xc – 3bx – 3bc S2MA32B

Factorización por trinomio cuadrado perfecto.

1. x2 – 8x + 16 7. 49a2 x2 + 28a2 x + 4a2 2. x2 + 26x + 169 8. 0.36x4 - 1.2x2 y + y2 2 3. 121x + 132x + 26 9. 9x6 + 1.2x3 + 0.04 4. x2 - 12x + 36 10. 4x2 + 28x + 49 4 2 5. 49x - 14x + 1 11. 25a4 - 30ab + 9b2 6. 2x2 - 8xy + 8y2 12. 36x2 - 12x + 1 Factorización por diferencia de cuadrados.

1.

2.

3.

4.

5.

Haz uso de tu habilidad e ingenio en la solución de los siguientes ejercicios.

8x2 y + 6x3 yz – 10 xy2 w.

2.4ab2 – 1.8a3 b – 0.9 ab 12x3 y2 z3 - 15x3 yz3 – 6 x2 y3 z4 + 9x3 y5 z3 (2/ 6)x2 y2 + (4/ 9)x3 yz + (8/ 15) (xy w) - 48ab3 + 64a3 bx – 16 a2 b2 x2 0.8x2 y2 - 1.6x y3 + 0.4 xy 3xa + 2xa + 1 – xa + 2 3xa + 3 + 21x3a – 14 xa + 2

3y2 - 2ax + 3x – 2ay2 + 4 - 6 x2 +1/ 5x + 5x + 1 xn+2 + x3 + xn + x + x2 + 1 3by + az + cy + 3bz + ay + cz 6 ax – 5bx + 5by – 6ay + 6axy – 5bxy

II. Factorizar por el Método de identidades

6. 12 x 3 −8x 2 −17 x −5 7. 15 x 4 + 9 x 3 −14 x 2 − x +1

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

2do. Año

57

Secundaria

1.1

MATEMATICA

S2MA32B

x2 x2 x2 x2

- 9x + 14 + 11x + 24 - 14x - 32 + 15x - 16

6. 2x2 + 7x + 6 7. 3x2 - 10x - 8 8. 3x2 - 10x - 8 9. 5x2 - 17x – 12

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

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2do. Año Secundaria

2

11. 10x + 17x + 6 12. 6x2 + 19x + 3

a) 9

a) 2x + 1

6x2 + 3xy – 3y2 + 19x + 13y + 10 15x2 + 7xy – 2y2 + 41x - 3y + 14 8x2 + 4xy + 18x + 6y + 9 7x2 + 19xy – 6y2 + 35x - 10y 15x2 - 19xy + 6y2 - 11y + 19x - 10

b) 2x - 1

a) (a + b) b) (x + 4) 07.Uno de los factores de:

e) 18

c) x2 + 1

d) x – 1

e) 2x + 3

c) (ax + by)

d) (a – b)

e) (ax – by)

c) m - 4

d) m + 1

e) m + 4

c) 2

d) 4

e) 5

c) x

d) y + 1

e) x + y

c) b + c2

d) b + 5c

e) b – 5c

c) x + y

d) b) x - y

e) x + 1

2

3m3 – 20 + 12m2 - 5m es:

2

x + 2x - 5x - 6 x4 - 9x2 + 4x + 12 3x3 + x2 - 8x + 4 x3 - 8x2 + 17x - 10 2x3 – 5x2 + x + 2 12x5 – 8x4 – 13x3 + 9x2 + x – 1

a) m + 3

a) 1

x4 - 13x2 + 36 x6 - 64 x6 + 26x3 - 27 x2 + 2xy + y2 + 2x + 2y - 15 ax + az + bx + by + cy + cz + ay + bz + cx (x2 + y2 )2 - 4x2 y2 (a + x)2 - (ax + 1)2 2x2 – xy – y2 + x + 5y- 6

b) x2 + 3x + 1

c) x2 - x + 1

b) x2 + 3x + 1

c) x2 + x - 4

b) 2x2 - 6x + 7

c) 2x + 3

b) x + 2y

10. Dar uno de los factores primos de: ac (a + c) + ab (a – b) – bc ( b + c) a) b2 + c

b) b + c

11.Uno de los factores de: d) b) x2 + 1

e) N.a

x2 + 4xy + 4y + 2x + 4y2 es: a) x – 2y

d) b) x2 + 1

e) N.a

03. Señalar uno de los factores del polinomio: (x – 2)2 (x2 – 4x + 6) –8 y dar como respuesta la suma de ellos: a) 2x2 -8x + 10

09. Señale uno de los factores de:

a) x - y

02. Hallar los factores del polinomio (x – 1) (x + 3) (x2 - 4) + 4 a) x2 + x + 1

b) 3

x(y2 + z2 ) + y (z2 - x2 )

01. Calcular uno de los factores del polinomio: 1 +x(x+1)(x+2)(x+3) a) x2 + x + 1

b) m2 + 2

08.¿Cuántos factores primos tiene la expresión: mn (x2 – y2 ) + xy (m2 - n2 ) ?

PROBLEMAS PROPUESTOS

d) b) x2 + 4

04. Sabiendo que: x2 + y2 - 10x – 6y = - 18. Hallar R = (x – 5)2 + (y – 3)2 S2MA32B

d) 16 2

06. Señalar un factor primo de: E = ab (x2 + y2 ) + xy (a2 + b2 )

V. Aquí se presentan diversos casos, con los cuales tú tendrás que decidir que método aplicar.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

c) 35

05.Cuál es uno de los factores del polinomio: x - 2x + x

IV. Factorizar por el Método de Evaluación 1.

2.

3.

4.

5.

6.

b) 25

4

Factorización por aspa doble.

3

2do. Año

2

5. x - 128 – 8x 6. x2 + 9x + 14

1.

2.

3.

4.

5.

MATEMATICA

57

Secundaria

3.2

58

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) N.a

b) x + 2y

12. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos de: 9m2 + 12mn + 6m + 4n + 4n2 a) 1

b) 0

c) 3

d) 2

13.¿Cuántos factores primos lineales admite?

S2MA32B

“El nuevo símbolo de una buena educación…”

e) 5

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2do. Año Secundaria

58

MATEMATICA

2do. Año

57

Secundaria

SOLUCIONARIO

x5 - 4x3 + x2 - 4 a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

e) 3

14. ¿Cuántos factores lineales se obtiene al factorizar P(x)? Si:

Nº

P (x) = 18x4 + 25x2 - 3 a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

e) Ninguno

15.¿Cuántos factores primos lineales tiene P(x) si: P (x) = 3 x6 - 2x3 - 1? a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

16. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene P)x, y), si: 8

5

2

P (x, y) = 8x y + 63x y – 8x y a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

17. ¿Cuántos factores primos lineales tiene: P (x) = 2x4 - 3x2 - 20? a) Ninguno

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

18. ¿Cuántos factores primos se segundo grado tiene P (x)? Si: P (x) = 3x6 + 23x3 - 8? a) Ninguno

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

EJERCICIOS PROPUESTOS 01

01.

D

02.

B

03.

A

04.

D

05.

C

06.

B

07.

C

08.

E

09.

E

10.

E

11.

C

12.

E

13.

A

14.

E

15.

C

16.

A

17.

A

18.

B

19.

C

20.

19. Hallar la suma de los términos independientes de los factores primos en: P (x) = 4x4 - 3x2 - 1? a) 0

b) 1

c) 2

d) -2

e) 3

c) 5x - 1

d) 3x + 2

e) 3x - 7

20. Señalar uno de los factores de: P (x) = 18x4 + 55x2 - 28? a) 3x - 6

S2MA32B

b) 6x - 3

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