COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
2do Año Secundaria 35
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. Comprender la definición y propiedades del M.C.D Y M.C.M. de dos o más expresiones algebraicas. 2. Emplear los conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, para determinar el M.C.D y el M.C.M de dos o mas expresiones algebraicas. PROCEDIMIENTOS A MOTIVACIÓN: Así como en la aritmética hemos podido determinar el máximo común divisor y el Mínimo común múltiplo de dos o mas cantidades, es también posible determinar, aplicando los mismos principios el Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo de dos o mas expresiones algebraicas. Para determinar el M.C.D y el M.C.M de dos expresiones algebraicas, vamos a utilizar nuestros conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, tal como podremos observar en los ejemplos planteados. B. CONTENIDO TEÓRICO :
2do Año Secundaria
* Se llama Múltiplo Común de dos o más expresiones algebraicas, a toda expresión algebraica es divisible entre cada una de las expresiones dadas inicialmente Definición: El mínimo común múltiplo de dos o mas expresiones algebraicas enteras, es la expresión algebraicas entera de menor grado que es divisible entre cada una de las expresiones dadas. Ejemplo: Múltiplos Algebraicos x4 – 1
→ (x4 – 1) ; (x4 – 1) (x – 1) ; (x4 – 1) (x – 1) ( x2 + x + 1) ...
x3 – 1
→
(x – 1)2
(x3 – 1); (x3 – 1) (x + 1); (x3 – 1) (x + 1) (x – 1); (x3 – 1) (x + 1) (x – 1) (x2+1) .....
→ (x –1)2; (x – 1)2 (x+1); (x – 1)2 (x+1) (x2+1); (x – 1)2 (x+1) (x2+1) (x2+x+1) .... El M.C.M es :
(x – 1)2 (x + 1) (x2 +1) (x2+ x + 1)
PROPIEDADES :
1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( M. C .D ) Antes de dar la definición es necesario enfatizar lo siguiente:
*
MATEMÁTICA
* El múltiplo de una expresión algebraica entera, es otra expresión algebraica que se divisible entre la expresión dada inicialmente
III
*
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El Factor o Divisor de una expresión algebraica entera es otra expresión algebraica entera que la divide exactamente. El divisor común de dos o mas expresiones algebraicas enteras es otra expresión algebraica entera que divide exactamente a cada una de ellas.
DEFINICIÓN : El máximo común divisor de dos o mas expresiones algebraicas es la expresión algebraica entera de mayor grado que divide exactamente a cada una de ellas
Si dos o mas expresiones algebraicas son primos entre si, entonces su M.C.D es la unidad y su M.C.M. es el producto de ellos. Sean A y B dos expresiones algebraicas primas entre si : M.C.D.( A ; B ) = 1 M.C.M.( A ; B ) = A . B Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras ,se cumple : M.C.D.( A ; B ) . M.C.M.( A ; B ) = A . B
Ejemplo : Divisores Algebraicos x4 – 1
→ ( x2+1) ; ( x+1) ; (x – 1) ( x2+1) ( x+1); ( x2+1) (x – 1) ; ( x+1) (x – 1); (x4 – 1)
x3 – 1
→
(x – 1)2
( x – 1) ; ( x2 + x + 1) ; ( x3 – 1)
→
(x – 1) ; ( x – 1)2
El M.C.D. es : ( x – 1) 2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( M. C. M ) S2MA33B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”
4. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR DESCOMPOSICION DE FACTORES
EL
M.C.D.
Y
EL
M.C.M.
POR
Para calcular el M.C.D. y el M.C.M. de expresiones algebraicas enteras por el método de la descomposición en factores, es importante que se utilice correctamente las definiciones expuestas anteriormente y según el siguiente procedimiento: a) Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos (se factorizan) b) El M.C.D. se determina multiplicando los factores comunes afectados con su menor exponente. S2MA33B
“El nuevo símbolo de una buena educación...”