Matematica 2° 3b by juan guerrero

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

2do Año Secundaria 35

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE EXPRESIONES OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 1. Comprender la definición y propiedades del M.C.D Y M.C.M. de dos o más expresiones algebraicas. 2. Emplear los conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, para determinar el M.C.D y el M.C.M de dos o mas expresiones algebraicas. PROCEDIMIENTOS A MOTIVACIÓN: Así como en la aritmética hemos podido determinar el máximo común divisor y el Mínimo común múltiplo de dos o mas cantidades, es también posible determinar, aplicando los mismos principios el Máximo común divisor y Mínimo común múltiplo de dos o mas expresiones algebraicas. Para determinar el M.C.D y el M.C.M de dos expresiones algebraicas, vamos a utilizar nuestros conocimientos adquiridos en la factorización de polinomios, tal como podremos observar en los ejemplos planteados. B. CONTENIDO TEÓRICO :

2do Año Secundaria

* Se llama Múltiplo Común de dos o más expresiones algebraicas, a toda expresión algebraica es divisible entre cada una de las expresiones dadas inicialmente Definición: El mínimo común múltiplo de dos o mas expresiones algebraicas enteras, es la expresión algebraicas entera de menor grado que es divisible entre cada una de las expresiones dadas. Ejemplo: Múltiplos Algebraicos x4 – 1

→ (x4 – 1) ; (x4 – 1) (x – 1) ; (x4 – 1) (x – 1) ( x2 + x + 1) ...

x3 – 1

→

(x – 1)2

(x3 – 1); (x3 – 1) (x + 1); (x3 – 1) (x + 1) (x – 1); (x3 – 1) (x + 1) (x – 1) (x2+1) .....

→ (x –1)2; (x – 1)2 (x+1); (x – 1)2 (x+1) (x2+1); (x – 1)2 (x+1) (x2+1) (x2+x+1) .... El M.C.M es :

(x – 1)2 (x + 1) (x2 +1) (x2+ x + 1)

PROPIEDADES :

1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( M. C .D ) Antes de dar la definición es necesario enfatizar lo siguiente:

MATEMÁTICA

* El múltiplo de una expresión algebraica entera, es otra expresión algebraica que se divisible entre la expresión dada inicialmente

III

El Factor o Divisor de una expresión algebraica entera es otra expresión algebraica entera que la divide exactamente. El divisor común de dos o mas expresiones algebraicas enteras es otra expresión algebraica entera que divide exactamente a cada una de ellas.

DEFINICIÓN : El máximo común divisor de dos o mas expresiones algebraicas es la expresión algebraica entera de mayor grado que divide exactamente a cada una de ellas

Si dos o mas expresiones algebraicas son primos entre si, entonces su M.C.D es la unidad y su M.C.M. es el producto de ellos. Sean A y B dos expresiones algebraicas primas entre si : M.C.D.( A ; B ) = 1 M.C.M.( A ; B ) = A . B Si A y B son dos expresiones algebraicas enteras ,se cumple : M.C.D.( A ; B ) . M.C.M.( A ; B ) = A . B

Ejemplo : Divisores Algebraicos x4 – 1

→ ( x2+1) ; ( x+1) ; (x – 1) ( x2+1) ( x+1); ( x2+1) (x – 1) ; ( x+1) (x – 1); (x4 – 1)

x3 – 1

→

(x – 1)2

( x – 1) ; ( x2 + x + 1) ; ( x3 – 1)

→

(x – 1) ; ( x – 1)2

El M.C.D. es : ( x – 1) 2. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO ( M. C. M ) S2MA33B

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4. PROCEDIMIENTO PARA HALLAR DESCOMPOSICION DE FACTORES

M.C.D.

M.C.M.

POR

Para calcular el M.C.D. y el M.C.M. de expresiones algebraicas enteras por el método de la descomposición en factores, es importante que se utilice correctamente las definiciones expuestas anteriormente y según el siguiente procedimiento: a) Se descomponen las expresiones dadas en sus factores primos (se factorizan) b) El M.C.D. se determina multiplicando los factores comunes afectados con su menor exponente. S2MA33B

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c) El M.C.M. se determina multiplicando los factores comunes y no comunes, afectados con su mayor exponente.

de donde:

24 = 23. 3 216 = 23. 33 480 = 25. 3 . 5

M.C.D. = (23) (3) x2y = 24x2y M.C.M. = (25) (33) (5) x4y2z7 = 4320x4y2z7

Entonces:

Ejemplo 2.- Dadas las expresiones algebraicas P(x) = (x+2)3 (x – 5) (x – 3)3 Q(x) = (x+4) (x – 5) (x – 3)2 R(x) = (x+2) (x – 5) (x – 3)2

de donde: Factores Comunes (x – 3); (x – 5) Factores no Comunes (x + 2); (x + 4)

IMPORTANTE: Recuerdes el esquema adjunto para A y B Polinomios enteros: Q1

A (x,y) = 16x3 +36x2y – 12xy2 – 18y3

1°)

R 1 Q1

Rn-1

−12

R2 Q2

Se factorizan los polinomios aplicando el método de factorizacion que estime conveniente de acuerdo a la forma de la expresión.

−3

4xy - 3y 3

Multiplicando por y 2 tendremos 2 2

- 8x2 y2 + 6xy 3 4xy3 - 3y 4 3

- 4xy + 3y

Para los coeficientes M.C.D. = 23 = 8 M.C.M. = 25. 3 = 96

8x -2xy -3y 2

8x y - 2xy3 - 3y

P(x) = 32 x2 – 64 x – 256 = 32 (x2 - 2x – 8) =32 (x – 4) (x+2) Q(x) = 48 x2 – 48 x – 576 = 48 (x2 – x – 12) = 48 (x – 4) (x+3) R(x) = 24 x3 – 216 x2 + 480 x = 24x (x2 – 9x + 20) =24x (x – 4) (x – 5)

2°)

R1 = 4x y - 3y 3

Q = 2x + 5y

RESOLUCION

4xy - 3y 3 2x + y

0 2

Luego: 4xy - 3y = y ( 4x -3y ) Entonces el M.C.D. sera : 4x - 3y

M.C.D. = 8 (x-4) M.C.M.. = 96 (x-4) (x-5) (x+2) (x+3) 5. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR EL M.C.D. DE DOS O MAS POLINOMIOS POR EL METODO DE LA DIVISION SUCESIVAS.

Entonces:

Cuando en la factorización polinomios se presentan dificultades, se utiliza como alternativa el método o algoritmo de las divisiones sucesivas. Teniendo dos polinomios únicamente, se procede así: S2MA33B

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PRÁCTICA DE CLASE Hallar el MCD y el mcm de los siguientes polinomios: 1) 2) S2MA33B

−18 6

P(x) = 32 x – 64 x – 256 Q(x) = 48 x2 – 48 x – 576 R(x) = 24 x3 – 216 x2 + 480 x

32 = 2 48 = 24. 3 24 = 23. 3

Rn-2

B (x,y) = 8x2- 2xy – 3y2

Donde:

Qn+1

Ejemplo: Hallar el M.C.M. y M.C.D. de los polinomios:

Ejemplo 3.- Calcular el M.C.D. y el M.C.M. de los polinomios

Ejemplo 1.- Hallar el M.C.D y M.C.M. de los polinomios

M.C.D. = (x – 3)2 (x – 5) M.C.M = (x – 3)3 (x – 5)3 (x + 2)3 (x + 4)

Entonces:

2do Año Secundaria

Se divide los polinomios. Si la división resultante es exacta, M.C.D. es el polinomio que hace de divisor. Si la división no es exacta, se divide el primer divisor entre el primer residuo; se continuara sucesivamente hasta llegar a una división exacta siendo el ultimo divisor el M.C.D. de los dos polinomios dados en el inicio.

Ejemplo 1.- Sean los monomios : A = 24x2y z5 B = 216x3y z7 C = 480x4y2

MATEMÁTICA

x; y (x + 1); (x – 1) “El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12)

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(x – y); (x + y) xy; xz; xz x (x + y); x (2x – y) x2 – 4x – 12; x2 – 5x – 6 a2 + a – 2 ; a2 – a – 6 ; a2 + 9a + 14 x2 – 2x – 3 ; x – 3 ; x3 – 7x2 + 15x – 9 y2 + 7y ; y2 – y – 56 ; y2 + 14y + 49 x3 – 2x2 – 39x – 72 ; x3 + 2x2 – 5x – 6 x2 + 5x + 6 ; x2 + 6x + 8 c3 – c2 – 8c + 12 ; c3 + 2c2 – 5c – 6

a) –150

a) 2b) 1/3

c) -180

a) 3x3 – 6

c) x2 - xy + y2

c) 1/4

d) 1/2

d) x2 + y2

b) 3x2 + 8

c) 3x2 – 6

a) 1b) 2

c) 3

d) 4

A (x) = x – x

P = x3 + 5x2 + 3x – 9

Q = x3 – 3x + 2

a) 1b) 5

d) 0

e) 3x3 – 8

e) 6

c) –3

e) 4

TAREA DOMICILIARIA

B (x) = x – x b) 4

d) 3x3 + 8

e) x + y

C (x) = x – x 01. a3 – 2a2 – 4a – 16 ;

a) 3

e) 1

10. El MCD de P y Q es de la forma ax 2 + bx + x, según esto, calcular el valor de a + b + c, si se sabe que:

02. ¿Cuantos factores primos tiene el M.C.M. de los polinomios? 5

e) –100

09. Hallar ab, si se sabe que el MCD factorizado de P y Q es: (x – a) (x – b) P = x3 – 7x + 6 Q = x3 – 2x2 – x + 2

(x,y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + 2y3 (x,y) = 2x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

d) 140 2

08. Al multiplicar el MCD y el mcm de dos polinomios P(x) y Q(x) resulta: 3x5 + 3x4 – 3x3 – 8x2 – 8x + 8 Hallar el polinomio P (x), sabiendo que Q (x) es x2 + x – 1

01. Indicar el M.C.D. de los polinomios

b) x2 – y2

b) 120

07. El término independiente del mcm de: x – 5x + 6; 4x – 12x – 16; 3x – 2k es 96. Hallar "k"

En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, resuelva cada uno de los siguientes ejercicios.

a) x2 + xy + y2

2do Año Secundaria

PROBLEMAS PROPUESTOS N° 01

P Q

MATEMÁTICA

c) 5

d) 6

a3 + a2 – 14a – 24

e) 7 02. p2 – 7p + 10 ; 2p3 – 5p2 – 4p + 12

03. Hallar el numero de factores primos en que se descompone el M.C.M. de los polinomios: P (x) = x2 – 3x + 2 Q (x) = x2 – 5x +6 a) 1

b) 2

c) 3

04. El M.C.D. de: x4 + 2x3 – Px2 + Qx +R Hallar P. Q . R .

d) 4

b) 2 4

c) 3 3

e) 5

04. a2 (a + c)2 ; a (a + c)3 ; (a + c) b2

x3 + 7x2 – Qx + 20 es: x2 + 3x +5

a) –340 b) 340 c) 680 d) –680 05. Hallar la suma de los coeficientes del M.C.M. de : x3 – 9x2 + 26x – 24 y x3+ 2x2 – 13x +10 a) 1

03. m2+ ; mp2 ; m2 +p2

R (x) = x2 – 4x +3

d) 4

06. El M.C.D de P (x) = 2x + 4x +mx +nx + p

FRACCIONES

e) 170 OBJETIVOS ESPECÍFICOS e) 0

1. Aprender a manejar correctamente las operaciones entre fracciones algebraicas, esto es; simplificar y efectuar operaciones combinadas con dichas fracciones.

y Q (x) = x3 + 9x2 – mx – 21 es x2 +2x – 3

PROCEDIMIENTOS

Hallar n . p

A. MOTIVACIÓN:

S2MA33B

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S2MA33B

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MATEMÁTICA

Antes de iniciar el desarrollo del presente módulo, es necesario recordar el campo numérico que sirve como referencia. Cuando hablamos de fracciones algebraicas, los términos que lo constituyen (numerador y denominador) deben ser racionales. Además, las variables que participan deben admitir solo valores adecuados de tal forma que la fracción no tenga denominador nulo y tenga sentido en el conjunto de los números reales. Por ejemplo:

2do Año Secundaria x 3 − 2x 2 + x + 77 3x 2 − 5x + 2

2.3 Fracción Algebraica Compleja. Se caracteriza por que el numerador y el denominador, son expresiones racionales fraccionarias. Ejemplo:

x x−3 3x 2 − x +1 x + 2 5+

7 4 +x 2 P( x ) = + 5 −x 3x + 2 Para que la expresión tenga sentido, la variable “x” puede admitir cualquier número real excepto x=5 ; x =–2/3, es decir:

x ∈ R = {5;2 / 3}

;

x x x x

+y x −y + −y x +y +y x −y − −y x +y

3. Signos de una Fracción Algebraica. Observación: El signo de una fracción afecta a toda ella, y su tratamiento es análogo al de un signo de colección. Ejemplo:

B. CONTENIDO TEÓRICO: 1. Definición. Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas racionales, de los cuales el denominador no debe ser una constante.

− F=−

Ejemplo

5 x −3

;

3x x +y

;

x 2 − 5x + 7 ; 3x 2 − 5x + 2

x + 10 x − 3 x −1 x +1 x 2 −1

+N −N +N −N =+ =+ =− −D −D +D +D

Por lo expuesto podemos ampliar: a) Cuando se cambia de signo a un número impar de factores, el signo de la fracción cambia. Esto es:

xyz w.a

Ahora identificamos los términos de una fracción: Numerador

N F = D 2. Clases de Fracciones. 2.1 Fracción Algebraica Propia. Es la fracción que se caracteriza por que el numerador es de menor grado que el denominador. Ejemplo:

(−x) (y)(−z) (−w) (a )

(x − y) (z − y) (x − y)(y − z) = (x + 3)(x −1) (x + 3) (1 − x) 4. Simplificación de Fracciones Algebraicas. Simplificar una fracción algebraica es transformarla a otra fracción equivalente e irreductible.

2x − 7

Observaciones: * Para simplificar una fracción, lo primero que se hace es factorizar el numerador y el denominador, después de lo cual se eliminan (simplifican) los factores comunes. * Los factores comunes a simplificarse nos muestran el M.C.D. de los términos de la fracción. * Dos fracciones son equivalentes por que presentan el mismo valor numérico, para un conjunto de valores admitidos por la(s) variable(s) * Una fracción se considera irreductible cuando sus términos son expresiones algebraicas primas entre sí.

x 2 − x +1 2.2 Fracción Algebraica Simple. Es la fracción que se caracteriza por que el numerador es de mayor grado que el denominador. Ejemplo:

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

b) Cuando se cambia de signo a un número par de factores, el signo no cambia. Esto es:

Denominador

S2MA33B

a +b a b =− − x x x

S2MA33B

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MATEMÁTICA

A C E A×C ×E × × = B D F B ×D ×F

Ejemplo. Simplificar:

(x 2 − x − 20)(x 2 − 2x − 99)(x + 6) (x 2 − 81)(x 2 + x − 30)(x 2 − 7 x − 44)

– Verificar si existen factores comunes en los términos de la fracción – Realizadas las simplificaciones se multiplican lo que queda del numerador y denominador.

Solución Factoricemos todas las expresiones posibles:

División

(x − 5)(x + 4)(x − 11)(x + 9)(x + 6) (x + 9)(x − 9)(x + 6)(x − 5)(x − 11)(x + 4)

Para dividir fracciones se procede así:

A C A D A×D ÷ = × = B D B C B×C

Efectuamos las simplificaciones: M.C.D. = (x-5) (x-11) (x+4) (x+9) (x+6) Por tanto la fracción original es equivalente a :

(x 2 − x − 20)(x 2 − 2x − 99)(x + 6) (x 2 − 81)(x 2 + x − 30)(x 2 − 7 x − 44)

≡

– Se invierte la fracción que hace de divisor y el operador de la división es cambiado por el operador de la multiplicación. – Luego se procede como en el caso anterior.

1 x −9

¡Importante!. Las Fracciones equivalentes tienen el mismo valor sí: x ∈ R = {5 ; 11 ; -4 ; -9 ; -6 ; 9} 5. Operaciones con Fracciones Algebraicas.

Ejemplo 1. Efectuar.

x +y x −y 2y 2 − + 2(x − y) 2(x + y) x2 −y2

a) Fracciones homogéneas.

A ±B ±C A B C ± ± = D D D D

Dando común denominador tenemos:

(x + y)2 − (x − y) 2 + 4 y 2 2(x + y)(x − y)

b) Fracciones Heterogéneas.

ADF ± CBF ± EBD A C E ± ± = B D F BDF Para sumar y/o restar fracciones heterogéneas se procede así:

4xy + 4y 4 y(x − y) 2y = = 2(x + y)(x − y) 2(x + y)(x − y) x +y Ejemplo 2: Simplificar

– Se factorizan los denominadores de cada una de las fracciones. – Se halla el M.C.M. de los denominadores, es decir, se da un común denominador a las fracciones. – Se efectúan operaciones y luego se simplifican. Multiplicación Para multiplicar fracciones se procede así:

S2MA33B

x +y x −y 2y 2 − + 2(x − y) 2(x + y) x2 −y2

Solución. Factorizando los denominadores tenemos:

Adición y Sustracción

•

2do Año Secundaria

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x −1 x +1 ÷ 1 1 1− 2− 1 x −1 1+ x x

Solución. Trabajemos primero en los denominadores

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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x −1 x +1 ÷ 1 x 1− 2− x +1 x −1 x (x − 1)(x + 1) (x − 1)(x + 1) ÷ (x + 1 − x) (x − 2)

x −1 x +1 ÷ x 2x − 2 − x 1− x +1 x −1 (x − 1)(x + 1) (x − 2) × 1 (x − 1)(x + 1)

10)

2do Año Secundaria

x2 + x x 2 + 2x + 1 2x 2 − x − 3

xy − y

mna − a m 2n 2

x 2 − 3x + 2 x 3 − 8 x 2 + 17 − 10

6) −

x 2 − 2x + 1

− 2ax + a

x2 −1

2x 3 − 5 x 2 − x + 6

ax 2

ab 2 − 5 ab bc − 5 c

− 10 mn + 9

xy 2 − 2 xy 2 z − yz

xy − x − y + 1 x 2 + 9 x − 10

x 2 + 3x + 2 x2 + 4x + 4 PROBLEMAS PROPUESTOS N° 02

x −1 x +1 ÷ x +1 − x x −2 x +1

MATEMÁTICA

Repuesta

En su cuaderno de trabajo y con la ayuda de sus compañeros de grupo, resuelva cada una de las siguientes ejercicios.

x-2

x −1

01. Simplificar:

(x 2 − 1)(x 2 + 2x − 3) (2x − x 2 − 1)(x 2 + 4x + 3)

PRÁCTICA DE CLASE a) x + 1 I. Simplificar las siguientes fracciones considerado sólo cambios de signos en sus términos: 1)

a −1 1 −a

4) −

10)

3x 2 − x − 1 x − 3x 2 + 1

x −1 1−x + 1−x x −1

2) −

− (x 2

− 8)

(8 − x 2 )

3) −

3 (x − 2) − (2 − x)

6) −

(2 a − b) (3 b − c) (5 b − 1) (b − 2 a )

(x − 3) (x 3 − 3)

− 7m 2

7m 2 − 1 − m − (y −10 ) − (10 − y)

(x −1) (1 − y) (1 − x) (y −1)

02. Efectuar: a) 3x 2 +1 03. Efectuar: a) x+1 04. Efectuar:

(3 − x 3 ) (3 − x) a) x / (x+1)

II. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

05. Simplificar:

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

b) x – 1

x −1

x2 − 4

c) 1

x−2 x2 − x − 6

b) 3x 2 +19 x2 − 4 x3 +1

d) –1

x+6 x 2 − 5x + 6

Indicar su numerador:

c) 3x 2 −1

b) x-1

1 3 + x +1 x 2 − x +1 c) 2x-3

2 x + x2 b) x / (x-1)

−

1 x − x2

−

e) 1 – x

d) 3x 2 − 5

e) 3x 2 + 2

y señalar el numerador d) 2x

e) x+3

d) 1 / (x-1)

e) 0

1 − 3x x − x3

c) 1 / (x+1)

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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MATEMÁTICA

2do Año Secundaria

(x 4 − 1)(x 4 − x 2 + 1)(x 4 + x 2 + 1)

(x 2 − 1)(x 2 − x + 1)(x 2 + x + 1) a) x 4 − x 3 + 1

b) x 6 −1

c) x 6 + 1

d) x 3 + x 3 + 1

x 4 −1 1+

e) 1 a) 1

06. Luego de simplificar la fracción:

b) x

x 3 −1 1 1− x

c) x 2

d) x 3

x 4 − x 2 + 2x − 1 x 4 − 3x 2 + 1 TAREA DOMICILIARIA

Indique la diferencia del numerador menos el denominador. a) 1

b) 2

c) 4

d) 5

e) 6

07. Efectuar:

1 2 x − − 2 1−x 1−x 1+ x a) x

b) –x

c) 1

Simplificar:

d) –1

e) 2x

− (7 − y) y −7

3) −

− (a − 3) a −2 + 2 −a 3 −a

m2 − m +1 m − m2 −1 x + y +1 bx + by + b

08. Efectuar:

1 2 1 2 − + − 3 x −1 x x +1 x −x a) x

b) –x

c) 1

d) –1

e) 0

d) x 2 + 1

e) x 2 −1

x 2 − nx − mx + mn ax 2 − am 2

x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3

09. Simplificar:

2 x−2 + 1

x −1

x −1 − x a) x + 1

b) x – 1

c) x

x +1

x −1 + x

10. Reducir :

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x4 − y4

e) x 2 + 1

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OBJETIVOS ESPECÍFICOS Dado un conjunto de Ecuaciones de Primer Grado, resolverlos aplicando correctamente las propiedades que corresponden

Ecuaciones Consistentes o Compatibles. Son aquellas que tienen o aceptan por lo menos una solución. A su vez se dividen en: – Determinadas. Son aquellas que tienen un número limitado de soluciones. – Indeterminadas. Son aquellas que tienen un número ilimitado de soluciones.

PROCEDIMIENTOS

Ecuaciones Inconsistentes o Incompatibles. Son aquellas que no tienen solución también se les denomina absurdas o imposibles.

4. Ecuaciones de Primer Grado o Lineales en una Variable. Son aquellas ecuaciones que tienen la forma:

ax + b = 0

B CONTENIDO TEORICO:

Donde a, b son los coeficientes, “x” es la incógnita. Para obtener la única raíz o solución de la ecuación, basta con despejar la incógnita, así tendremos: x = - b/a Discusión de la raíz x= -b/a

1. Igualdad Es la relación matemática donde nos indica que dos cantidades tienen el mismo valor. Se denota por el signo = que se lee igual. A =B

2. Ecuación Es todo enunciado abierto en que aparece el signo “=” y cuyo valor de verdad se determina mediante su correspondiente conjunto de valores admisibles para la variable (conjunto solución) Observación Enunciado Abierto; es toda expresión que contiene por lo menos una variable que para determinados valores se convierte en un enunciado verdadero o falso. Variable; Es el símbolo que puede tomar un valor cualquiera de un determinado conjunto llamado dominio. El conjunto solución de una ecuación es el conjunto de valores que permiten que la ecuación sea una proposición verdadera. Ejemplo. La ecuación 3x – 5 = 0 , tiene como raíz o solución a : x = 5/3. Luego, su conjunto solución es:

5  C.S. =   3  3. Clasificación de las Ecuaciones.

S2MA33B

2do Año Secundaria

Cuando se plantea una ecuación, nos interesa saber si dicha ecuación tiene solución o no, si tiene solución se debe conocer si existe un número finito de soluciones o existen infinitas soluciones. Considerando lo antes mencionado, la siguiente clasificación está dada en función de las soluciones.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

A MOTIVACIÓN: Una de las mayores aportaciones a la teoría de las ecuaciones se debe al matemático Joseph Luis Lagrange (1736 - 1813). Lagrange fue uno de los mayores analistas de su época. Su mayor aportación al algebra es su famosa memoria “sobre la resolución de las ecuaciones numéricas”, escrita en 1767. La interpretación de los fenómenos físicos de la naturaleza se realiza en general mediante modelos matemáticos, los cuales se expresan por ecuaciones algebraicas. De ahí la gran importancia del estudio de la teoría de ecuaciones.

MATEMÁTICA

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

Si a ≠ 0 la ecuación es determinada. Si a = 0, b=0 la ecuación es indeterminada. Si a = 0, b ≠ 0 la ecuación es incompatible. Para resolver una ecuación de primer grado es fácil, bastará con aplicar algunas propiedades básicas de los números reales hasta determinar el valor de la incógnita. Se debe tener cuidado, cuando la variable aparece en el denominador o, cuando se presenta un término radical, es justamente en estos casos que aparece una raíz extraña en algunas ecuaciones. Luego, para resolver ecuaciones en general y de primer grado en particular es necesario tener en cuenta lo siguiente. a) Si se divide ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se perderán soluciones. Esto se puede evitar si la expresión que se divide (simplifica) se iguala a cero. Ejemplo. Resolver: (x+3) (x-2) = 4(x-2) Solución: Simplificando: (x-2) →x–2=0 Para no perder solución x=2 Luego, tendremos : x + 3 = 4 → x=1 La ecuación tiene 2 soluciones x=2 y x=1 (de no haber igualado a cero, hubiéramos perdido la solución x=2).

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“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

2do Año Secundaria 35

b) Si se multiplica ambos miembros de una ecuación por una misma expresión que contenga a la incógnita, entonces se puede introducir soluciones extrañas. Esto se puede evitar si previamente se simplifica por separado cada miembro de la ecuación. Ejemplo. Resolver .

(x + 3)(x − 2) =4 x −2

MATEMÁTICA

a) 6

2do Año Secundaria b) –6

c) 6y – 6

02. Resolver: x −4 +2 5 −x =8 −x +

a) 6

Solución Primero simplificamos (x-2) y tendremos x+3=4 → x =1

b) –6

c) Si se eleva ambos miembros de una ecuación a un mismo exponente, entonces se pueden introducir soluciones extrañas. Ejemplo: Resolver x 2 +7 = x −7

c) 6y – 6

d) Indeterminado e) Incompatible

x −3 x2 −9 = x +2 x2 + x −2 Marca lo correcto: a) Tiene una raíz d) Indeterminado

b) Tiene dos raíces e) Incompatible

c) Tiene tres raíces

04. Resolver:

x −4 x 2 − 16 = x +1 2x 2 − x − 3

Solución Elevando al cuadrado: 2

20 − 4x

03. Resolver:

Observación. Si hubiésemos trasladado (x-2) a multiplicar, tendríamos que una solución sería x=2 que es una solución extraña, pues no verifica la igualdad.

 2 +7     x   

d) Indeterminado e) Incompatible

=(x −7 )2

Indique el número de sus raíces.

x 2 + 7 = x 2 − 14x + 49

14x = 42 → x=3 Pero si reemplazamos; x=3 en la ecuación dada tendremos . 3 2 +7 = 3 −7 →

16 = −4

→ 4 = −4

(No cumple), luego : x=3 es una solución extraña, y la ecuación es incompatible, pues no tiene solución. Observación. Siempre que se potencie los dos miembros de una ecuación. El valor o los valores obtenidos para “x” deben comprobarse en la ecuación original pues pueden no ser solucionados verdaderos.

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

05. Resolver: (1 −x ) 2 = 9 −x

a) Incompatible

b) 0

c) 5

d) 5; – 5

06. Resolver: 3x −1 + 5x = 16 +1

Indique la suma de sus raíces. a) 0b) 5

c) 6

d) 7

e) 9

07. Resolver: 6 −x +

PRACTICA DE CLASE

a) 1b) 2

c) 3

x +7 ...

d) 4

12 x +1 = 0

e) 5

01. Resolver:

x−5+ S2MA33B

4 4 =7−x+ x−6 x−6

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) Incompatible

08. Resolver: S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) Indeterminado

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x + 6 x + 7 x + 3 x + 10 + = + x + 2 x + 3 x −1 x + 6

03.

Indique (7 + 2x)3 −x a) 4b) 2

MATEMÁTICA

2do Año Secundaria

x 2 1 + = x −1 5 x −1

04.

x +5 + 2 x −3 = 7 − x +

d) 3 3

c) –27

Encierra en una circunferencia cada una de las respuestas correctas.

e) 3

05. Resolver. 09. Resolver: x −1 +

a) 0b) 3

x +2 =

c) 4

a) 10/9

34 + x − 7 + x

d) 2

a) 11

14 + x +

b) 12

d) 10

e) 14

b)FVFVF

e) Incompatible

b) No tiene solución d) Tiene un número infinito de soluciones

b) 2 soluciones

c) 3 soluciones

a) Ecuación algebraica racional entera c) Ecuación trascendente e) N.a.

4) 4 soluciones

e) N.a.

b) Ecuación algebraica racional fraccionaria d) Ecuación irracional

09. Una ecuación se llama incompatible si:

La ecuación dada es lineal. La ecuación tiene infinitas soluciones La ecuación tiene una solución única. x = 2 + 3 es solución de la ecuación La ecuación dada es ecuación polinomial.

a) FVFVV

d) Indeterminado

08. Se llama ecuación polinomial a la:

x + 1 x + 2 5x + 7 + = 2 3 6

Dar el valor de verdad: I. II. III. IV. V.

c) 0

07. Toda ecuación lineal presenta. a) 1 solución

11. Dada la ecuación en x:

b) 10/9 ; -10/9

a) Tiene 2 incógnitas c) Tiene un número finito de soluciones e) c y d.

14 − x = 4

c) 13

8x − 9 = 1 − x

06. Una ecuación compatible:

e) 5

10. Resolver: 3

4x −12

a) Tiene infinitas soluciones c) Tiene un número finito de soluciones

b) Tiene 3 incógnitas d) Es irracional

e) No admite solución.

10. Resolver:

c) VVVFF

d) FFVVV

e) VFVFV

x 2 + 3x − 28 a) 4

b) –3

−

1 x 2 + 12x + 35

c) 3

3 x 2 + x − 20

d) 1

e) –4

TAREA DOMICILIARIA Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: 01.

ax a ax b − = 1+ − a+b a−b a−b a+b

02.

SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

5x − 6 = 3x − 4

Son las que se satisfacen para iguales valores de las incógnitas S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S2MA33B

Son sistema de ecuaciones porque con los valores de: “El nuevo símbolo de una buena educación...” x = 3 y y = 2, se satisfacen ambas ecuaciones

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MATEMÁTICA

Reemplazando y = 4 en la ecuación ( 2 )

x+ y = 5 Ejm:  x− y = 1

8 x + 3 ( 4 ) = 28 → 8 x = 28 - 12 → x = 2 CS = { 2, 4 } Rpta.

RESOLUCION DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES. Existen 4 métodos. El de Sustitución, el de Igualación, el de Reducción y por Determinantes.

C. METODO DE REDUCCION.- Consiste en igualar el valor absoluto de los coeficientes de la misma variable en las 2 ecuaciones, por medio de la multiplicación, y luego sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones obtenidas, para de esa manera eliminar dicha variable.

A. METODO DE SUSTITUCIÓN.- Consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones del sistema (de preferencia la que tenga el menor coeficiente), luego sustituir su valor en la otra ecuación y por último resolver la ecuación de 1er grado con una variable que resulta. Así.

Ejm : Resolver :

2do Año Secundaria

Ejm. Resolver :

 5 x + y = 41 ....(1)   2x + 3 y = 32 ....( 2)

 4 x + 3 y = 34.....(1)   6 x − 2 y = 12.....(2)

Solución.-

Solución.- Despejando ¨y ¨ en la ecuación ( 1 ) y = 41 – 5 x

Eliminaremos a ¨y ¨ y multiplicamos a la ecuación ( 1 ) por 2 y a la ecuación ( 2 ) por 3. Así:

Reemplazando este valor en la ecuación ( 2 )

2 ( 4 x + 3 y ) = ( 3 4 ) 2 → 8 x + 6y = 68 3 ( 6 x – 2 y ) = ( 12 ) 3 → 18 x – 6y = 36 26 x = 104

2 x + 3 ( 41 – 5x ) = 32 .... Luego x = 7

Sustituyendo x = 7 en la ecuación ( 1 ) 5x + y = 41 ⇒ 5 ( 7 ) + y = 41 .... Luego y = 6 CS = { 7, 6 } Rpta B. METODO DE IGUALACION.- Consiste en despejar la misma variable en cada una de las 2 ecuaciones e igualar, luego las 2 expresiones que representan el valor de la variable despejaba.

Ejm : Resolver :

 13x − 5 y = 6.....(1)   8x + 3 y = 28....(2) 6 + 5y 13

Sustituyendo x = 4 en ( 1 ) 4 ( 4 ) + 3 y = 34 → 16 + 3 y = 34 3 y = 34 - 16 3 y = 18

CS = { 4, 6 } Rpta.

28 − 3 y 8

6 + 5 y 28 − 3 y Igualando estos valores: = 13 8 8 ( 6 + 5y ) = 13 ( 28 – 3y )

x =4

y =6

Solución.Despejando x en cada uno de las ecuaciones dadas.

Sumando miembro a miembro

EXISTE UN CUARTO METODO LLAMADO: D. METODO POR DETERMINANTES.- Consiste en aplicar el concepto de MATRIZ

→ 48 + 40 y = 364 – 39 y 40 y + 39 y = 364 – 48

Ejm. Resolver:

y =4

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“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

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 x + 3y = 6   5x − 2 y = 13

MATEMÁTICA

(SI)

5 13

a) Hallamos el determinante del sistema ¨D¨, usamos la matriz ¨2 x 2¨, colocamos los coeficientes de x y de y.

1 +3

(NO)

= D(y) 13−= (6)5 13 0 ⇒−= D(y)= 17

Solución.-

(SI)

2do Año Secundaria

Para hallar

(NO)

(1) 2)−−= (3)5 = 2) 15⇒−− D= − 17 Para hallar

5 −2

D(x) −51 = =3 D − 17

⇒

x=3

D( y ) 17 = = −1 ⇒ D − 17

y = −1

CS= {3, -1} Rpta

b) Hallando el determinante de x: D ( x ), reemplazamos los coeficientes de x por los términos independientes, respetándose los coeficientes de y. Así :

6 +3

(SI)

PRÁCTICA DE CLASE (NO)

Por el Método de Sustitución, Resolver:

(6) 2)−−= (3)13)⇒ D(x)= 12 39 ⇒−− D(x)= − 51 13 − 2

01.

 x + 3y = 6   5x − 2 y = 13 a) ( - 3, -1 )

b) ( 1, 3 )

c) ( -1, 3 )

d) ( 3, 1 )

c) Hallando D ( y ), así :reemplazamos los coeficientes de y por los términos idependientes, respetándose los coeficientes de x. Así:

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) N.a.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

02.

 x − 5y = 8   − 7 x + 8 y = 25 a) ( - 7, - 3 )

03.

2do Año Secundaria 35

07.

b) ( 3, 7 )

c) ( -3, - 7 )

d) ( -3, 7 )

e) N.a.

 4x + 5 y = 5   − 10 y − 4 x = − 7 a) ( 4/3, - 5/2 )

c) ( - 3/4, 5 )

d) ( - 3, - 5 )

e) N.a.

 15x + 11y = 32 04.   7 y − 9x = 8 a) ( - 2/3, - 3 )

05.

b) ( 2/3, 4 )

c) ( 2/3, 2 )

d) ( 3, - 2 )

e) N.a.

a) (– 4, – 5 )

10.

b) ( 1/2, 1/3 )

c) ( 2,- 3 )

d) ( - 1/2, - 1/3 )

e) N.a.

S2MA33B

e) N.a.

b) (– 2/3, 9 )

c) (– 2/3, 1 )

d) (– 2/3, 7 )

e) N.a.

b) (–5, – 4 )

c) ( 4, 5 )

d) ( 5, 4 )

e) N.a.

c) (–12, 14)

d) (–14, 12 )

e) N.a.

c) ( 3, - 4 )

d) (– 3, 1 )

e) N.a.

 7 x + 9 y = 42   12 x + 10 y = − 4 a) ( 12, 14 )

11.

b) ( -3, 4 )

d) ( 3, 1/4 )

b) ( 14, 12 )

Por el Método de Reducción, Resolver:

 x + 6 y = 27   7x − 3y = 9 a) ( 3, 4 )

c) ( 1, 1/2 )

 15x − 11y = − 87   − 12 x − 5 y = − 27 a) ( 2/3, 8 )

Por el Método de Igualación, Resolver :

06.

b) ( 2, 1/3 )

 3x − 2 y = − 2 09.   5x + 8 y = − 60

 10 x + 18 y = − 11   16 x − 9 y = − 5 a) ( 1/3, 1/2)

2do Año Secundaria

 7x − 4 y = 5   9 x + 8 y = 13 a) ( 1/2, 1 )

08.

b) ( 3/4, 2/5 )

MATEMÁTICA

d) ( - 3, 4 )

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) N.a.

 6x − 5 y = − 9   4 x + 3 y = 13 a) (3, 1 )

S2MA33B

b) ( 1, 3 )

c) (–1, 3 )

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

2do Año Secundaria 35

 18x + 5 y = − 11 12.   12 x + 11y = 31 a) (–2, 5 )

13.

a) 2b) 1

b) ( 5, 2 )

c) (–2, 3 )

d) (–2, –6 )

e) N.a.

b) ( 4, – 18 )

c) ( 4, 4 )

d) ( 4, 20 )

e) N.a.

d) 3

2y   3x Señale luego el valor de:  +  b a  

e) 9

b) 9

c) 49

d) 1

e) N.a.

(a + b) x + by = a2 x+y=a Señale el valor de: ab – xy a) bb) b2

c) a2

05. Después de resolver el sistema:

b) (–1, –2 )

c) ( 2, 1 )

d) ( 0, 3 )

e) N.a.

d) ab

e) 1

y+b x −a = 2; x + y = 2a + b a

tendremos que:

M = x2 + y2 + 2 (a2 – b2), resulta:

a) 3a2

b) 4a2

c) a2

d) 2a2

e) N.a.

06. La tercera parte de la edad de Juan excede a la quinta parte de la edad de Pedro en 2; además dentro de 4 años la relación de ambas edades será de 8 a 7. ¿Cuál es la edad de Juan?

b) (–1, –2)

c) ( 2, 1 )

d) (–2, –3 )

e) N.a.

b) 9

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) N.a. 07. Quique le dice a José: "la relación de nuestras edades hace 3 años era de 3 a 2 y dentro de 13 años será de 7 a 6". ¿Cuál es la suma de las edades actuales? a) 20

b) 30

c) 18

e) 26

e) 19

08. Si sumamos 5 a ambos términos de una fracción obtenemos 4/5, y si en cambio restamos 2 a ambos miembros, resulta 5/8. Indicar la suma de los términos de la fracción original.

01. Luego de resolver el sistema: 3 (x + y) + 2 (x – y) = 17 5 (x + y) + 4 (x – y) = 29 Señale el valor de: 3x + 4y – xy

a) 16 c) 31

d) 7

02. Resolver el sistema: 4 (2x + y) + 5 (2x – y) = 17 3 (2x + y) – ("x – y) = 8 S2MA33B

c) 0

04. Luego de resolver el sistema:

PROBLEMAS PROPUESTOS N° 03

a) 11

03. Resolver el sistema literal: ax + by = 2ab ................. (1) bx + ay = a2 + b2 ........... (2)

a) 25

 36 x − 11y = − 14 15.   24 x − 17 y = − 10 a) (1, 2 )

2do Año Secundaria

Indicar luego el valor de x – y

 7 x − 15 y = 1 14.   − x − 6y = 8 a) (–2, –1 )

MATEMÁTICA 2

 15x − y = 40   19 x + 8 y = 236 a) (– 4 , – 20)

e) 41

b) 17

c) 21

d) 13

09. Miguel puede hacer una obra en 12 días, mientras que junto con Oscar pueden hacer la obra en 8 días. ¿En cuánto tiempo haría Oscar solo la obra? a) 24

b) 20

c) 16

d) 32

10. Si la relación: ax + by + cz = d, está sujeta a la tabla de valores: “El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 6

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) N.a.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a 1 1 0

2do Año Secundaria 35 b 1 0 1

c 0 1 1

c) 2

e) 6

a) 4b) 5

11. Se da la relación: mx + ny = p y la tabla siguiente: n a–b 2b

c) 7

p 2(a2 – b2) 2(a2 + b2)

c) 2a

b) a – b

d) 2b

c) 2a

e) ab

d) 2b

c) 11

a) 1b) 8

a) 6b) 7 c) 9 d) 1 14. ¿Para qué valor de m el sistema mostrado a continuación; mx + (m – 2) y = 6 es compatible determinado?

b) –1/4

e) 6

e) 17

−1

0 1

x −1 0

3 2

d) 12

0 7 5

b) Para todo valor d) Para todo valor mayor que 6

= 33

e) 4

e) –1/3

0 x2 y2

0 1 2

= x+y

x–y=3 a) –1/2

d) –1/6

−1

d) 13

c) 10

(m + 3) x + my = 12

c) –1/5

20. Hallar el valor de y en el siguiente sistema:

e) 2

15. Indique la suma de valores de m que hacen que el sistema: (m + 1) x + 4y = 7 (m + 2) x + 6my = 9 sea compatible. a) –1/2

d) 3

b) –3/2

c) 1/2

d) 3/2

TAREA DOMICILIARIA Resolver:

16. Si la siguientes tabla de valores satisface a y = 5x + a + b; calcular x, cuando y = 12

S2MA33B

e) 9

19. Calcular x en:

e) ab

13. Calcular m sabiendo que el sistema: (m – 2) x + 2y = 3 (m + 3) x + 4y = m – 1 es compatible indeterminado.

a) Para m = 6 solamente c) Para cualquier valor diferente de 6 e) Para todo valor menor que 6

d) 3

12. Del problema anterior calcular y: a) a + b

c) 6

x+3

a) 2b) 7 b) a – b

b) 1/3

18. Hallar el valor de x para que el determinante sea igual a – 20

Calcule "x" a) a + b

2do Año Secundaria

17. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: 3x + 5y + z = 28 4x – 2y – 3z = 7 x + 3y + 4z = 11 Hallar: x + y + z

d) –2

m a+b 2a

MATEMÁTICA

a) 13

d 7 8 9

Calcule: 2x + 3y – 5z a) 7b) –7

–1

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 1

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

2do Año Secundaria 35

 3x  2 + y = 11 16.  x+ y = 7  2 a) ( 6, 2)

MATEMÁTICA

2do Año Secundaria

 2x + 1 y =  20.  5 4  2 x − 3 y = − 8 a) ( 2, 2 ) b) ( 2, 2 )

c) ( 6, 6 )

d) ( 0, 0 )

b) ( 3, 3 )

c) ( 4, 4)

e) N.a.

 2x + 1 y =  17.  5 4  2 x − 3 y = − 8 a) ( 0, 3 )

ECUACIONES

MÉTODOS DE SOLUCIÓN:

b) ( 4, 0 )

c) (–2, –4 )

d) ( 2, 4 )

e) N.a.

A) Por Factorización: Ejm: Factorizar: x 2 −5x +4 =0

-4

-1

(x-4) (x-1) = 0 x – 4 = 0 ⇒ x´= 4 x – 1 = 0 ⇒ x´´= 1 Cs = { 4, 1} b) (– 6, – 8 )

c) ( 7, - 8 )

d) ( 8, 7 )

e) N.a.

B) Por la Fórmula General:

2 3  3 x − 4 y = 1 19.  1 y− 5 x= 2  8 6 a) ( 3, 4 )

e) (2; 4)

Ecuaciones de 2do Grado: Llamadas ecuaciones cuadráticas, porque tienen como máximo exponente el número 2.

x y  7 + 8 = 0 18.  1 x− 3 y= 7  7 4 a) ( 1, –2 )

d) ( 5, 5 )

− b ± b 2 − 4 ac 2a

La expresión D =b 2 −4 ac se llama DISCRIMINANTE

Ejm: Resolver: x 2 − 5x + 4 Solución:

a = 1 ; b = -5 ; c = 4

Reemplazando: b) (– 3, – 4 )

c) ( 2, 4 )

d) (– 3, 0 )

e) N.a.

−b ±

b 2 − 4 ac 2a

5±3 ⇒ 2

x´ =

⇒ x=

5+3 =4 2

5±

25 − 4 (1)(4 ) 2(1)

x´´ =

5± 9 2

5−3 =1 2

NATURALEZA DE LAS RAÍCES: Se presentan 3 casos del valor del DISCRIMINANTE: S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

2do Año Secundaria 35

MATEMÁTICA

1°) Si D > 0 Discriminante positivo. Entonces las raíces son reales y diferentes.

Luego: x

2°) Si D = 0 Discriminante nulo. Entonces las raíces son iguales y reales.

2do Año Secundaria ENTONCES:

PRATICA DE CLASE

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Dada la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 , podemos hallar la suma, diferencia, producto y suma de inversas de las raíces SIN RESOLVER dicha ecuación empleando las siguientes propiedades:

x1 + x 2 = −

b a

x1 • x 2 =

c a

3°

2°

4°

x1 − x 2 =

D a

I. ¿Cuáles de los siguientes pares de ecuaciones son equivalentes, o sea que tienen el mismo valor? 1) 2)

1 1 b + =− x1 x 2 c 3)

FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Dadas las soluciones X1 y X2 , para formar una ecuación cuadrática aplicamos la fórmula siguiente:

x 2 − Sx + P = 0

donde S = suma

y P = producto

4) 5)

Ejm: Dadas las raíces 7 y –3, hallar la ecuación cuadrática. Solución: S=7–3=4

Luego:

P = (7) (-3) = 21

bx 2

x 40 2 + 8 ; 5 x − 1 = 29 =x 11) x + 10 = 15 x − 2(x + 15 ); 2 13 − x x + x1 4 x + 1 = 7 x − 2; =x 12) 2 1 1 x 2 − 9 = 0 ; x(x − 1) + = 9 −x + x+3 x+3 x + 1 5x + 1 1 = ; +1 = 0 13) x(x 2 −4 ) = 0 ; (x 2 +2 x)(2 −x) = 0 2 8 x−4 5x + 1 4 x + 1 x+2 1 x +1 x 5 + = 0; = + = ; (x − 1)(x + 2) = 0 14) 4 5 x−2 9 x x +1 2 x+4 x−2 3 =9; = 15) x−4 x+2 7 3x x x +1 x + 2 x + 3 + =4; + + = x +1 x +1 x −1 3 4 5 2x − 1 =

6) 3 x 2 = 3 x ; x 2 = 9

−4 x −21 =0

es la ecuación cuadrática

ECUACIONES BICUADRÁTICAS: Son aquellas que se pueden transformar a ecuaciones de la forma: ax 2 +bx + c = 0 , y tienen la siguiente forma general:

ax 4

− 13 y + 36 = 0 y´= 9 y´´ = 4

x2 = 9 ⇒ x1 = 3 ; x2 = – 3 x2 = 4 ⇒ x3 = 2 ; x4 = – 2

Luego:

3°) Si D < 0 Discriminante negativo. Entonces las raíces no son reales (Imaginarias y Conjugadas)

1°

+c=0

Para resolverlas sólo se hace el siguiente cambio de variable: x 2 = y , con lo cual la ecuación queda convertida en una ecuación cuadrática.

(x +1)

7) x 8)

16)

=(x +3)(x −1) ; x(x +1)2 = x(x 2 +1) +2 x 2

+ x = 20 ;

x 4 = 5 1+x

x(x +1) = 0 ; x 2 = −x

1 1 1 1 = 1 + ; x3 + =1+ x x x −1 x −1

17) x

18)

x +2 = x ; x(x −1) −2 = 0

x +1 x x +1 x −1 + =2; + =2 9) x x +1 x −1 x +1 x 4 + x = ; x(3 x + 5 ) = 8 10) 20) x+2 3

19)

x +2 + 2x − 1

x +5 + x = 5 ; x 2 +16 = 8 x

2x −1 5 5 = ; 14 x + 51 = x +2 2 4

Ejm: RESOLVER:

x 4 − 13 x 2 + 36 = 0

Escribimos

Solución: Cambiamos a (x 2 ) 2 − 13 (x 2 ) + 36 = 0 S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x 4 = (x 2 )2

II. Resolver las siguientes ecuaciones: 1) x 2 −x =0 S2MA33B

14) 4 x 2 −9 =0 “El nuevo símbolo de una buena educación...”

27) 5 x 2 + 3 x =0

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2) x 2 −16 =0 3) x

4) x

15) 4 x 2 −9 x =0

=16 −5 x =0

5) 2 x 2 −1 = x 2 + 24 6) 3 x 2 8 x = 5 x 2 −x 7) x 2 +2 x =5( x 2 +1) x

8) 3 x

+2 x =( x +1) +5 x =7( x

2do Año Secundaria 35

−9 x

16) 2 x

17) 2 x

28) 25 x 2 −9 =0 29) 3 x

+50 =0

30) 20 x

+50x =0

+300x =100x 2

−50 =40

18) 3 x 2 24 x =0

31) 33x 2 −1 =24 x 2

19) 3 x 2 + 24 =0

32) 49x 2 =24 x 2 +49

20) ( x +2)( x −2) =5

33)

21) ( 3 x −1)( 3 x +1) =x 2

+x )

22) ( 5 x +1) x =x +2

9) 2 x 2 +9 =3( x 2 +3) ( 3 x +2)

2do Año Secundaria

5) x 2 + x −2 =0

15) 4 x 2 +12x +9 =0

25) 5 x 2 −7 x + 2 =0

6) x 2 + 6 x + 2 =0

16) x 2 −8 x +16 =0

26) 3 x 2 −28 x +27 =0

7) 2 x 2 + 9 x +1 =0

17) 3 x 2 −6 x + 3 =0

27) 5 x 2 +10x −15 =0

8) 3 x 2 + 7 x + 2 = 0

18) 4 x 2 −20 x +25 =0

28) ax 2 +( a +1) x +1 =0

9) x 2 + x + 5 = 0

19) x 2 +10 x +25 =0

29)

34)

( a −1) x

( 5 x +1) 2 =(1 +x )(1 −x ) 2

MATEMÁTICA

23) ( 2 x +3) 2 =( 9 +x )

+( 2a) x +( a +1) =0

35)

10) x 2 + 5 x + 7 =0

36)

30) ( a −b) x 2 +( a 2 −b 2 +c 2 ) x +( a +b)c 2 =0

=( 2 +2 x )( 2 −2 x )

10) 2( x 2 +1) =5( x 2 −2)

20) 5 x 2 −20 x +20 =0

( 3 x +1) 2 −( x +3) 2 =0

11) 5( 2 x 2 +1) =3( 4 x 2 +1) 24) ( 3 x +1) 2 =( 2 x +1) 37) ( x +a) 2 −( ax +1) 2 =0

12) 7( x 2 +x ) =2( 3 x 2 +4 x )

25) ( 5 x +2) 2 =4( 5 x +1)

38) (bx +a) 2 +( ax −b) 2 =0 13) 6 x( x +1) =5( x 2 +x ) ( 5 +x )

+(1 +5 x )

26) ( 3 x −2) 2 =5 −12x 39)

=( 5 x )

TAREA DOMICILIARIA I. Dadas las siguientes ecuaciones, calcular el discriminante de cada una de ellas y resolverlas empleando la FÓRMULA GENERAL. 1) x 2 + 5 x + 2 =0 2) x

+ 7x + 5 =0

11) 3 x 2 +2 x −1 =0 12) 2 x

+ 3 x +1 =0

21) 25 x 2 −10x +2 =0 22) 36 x

+36 x +36 =0

PRÁCTICA DE CLASE II I. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones. 1) x 2 + 3 x + 2 =0

19) 5x 2 + x −6 =0

2) 3 x 2 + x − 4 =0

20) 5 x 2 + x − 4 =0

3) x 2 −8 x −9 =0

21) 7 x 2 +8 x =16

4) 2 x 2 −5 x +2 =0

22) 4 x 2 + x =18

5) 5 x 2 + 4 x −1 =0

23) 5 x 2 +2 x =24

6) 9x 2 +6x +1 =0

24) 3 x 2 −2 =21

7) 25 x 2 −10x +1 =0

25) 7 x 2 −5 x =2

8) 4 x 2 −12x +9 =0

26) 4 x 2 +6 =25x

9) 30x 2 +x −1 =0

27) 3 x 2 +14 =13 x

3) x 2 + 4 x −1 =0

13) 2 x 2 +3 x −1 =0

23) 9 x 2 −9 x +9 =0

10) 20 x 2 −x −1 =0

28) x 2 +9 =10 x

4) x 2 + 8 x + 9 = 0

14) 3 x 2 + 7 x + 5 = 0

24) 100x 2 +200x +100 =0

11) 15x 2 +8 x +1 =0

29) 5 x 2 +1 =6 x

12) 15x 2 +2 x −1 =0

30) 9 x 2 = x + 8

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

2do Año Secundaria 35

13) 5 x 2 −12 x +4 =0

31) 6 x 2 =5 x +14

14) 6x 2 +13x +6 =0

32) 3 x 2 =8x + 3

15) 2 x 2 +17 x +21 =0

33) 25x 2 =10x −1

16) 2 x 2 −17 x +21 =0

34) 36x 2 =−60 x −25

17) 3 x 2 +19 x +6 =0

35) x 2 =−20 x +21

18) 4 x 2 −21x +5 =0

36) 7 x 2 =50x −7

MATEMÁTICA

2do Año Secundaria

12 + x 2 −5 x =0

ax 2 +( 2a −1) x +( a −1) =0

( a +b) x 2 +2ax +( a −b) =0

PROBLEMAS PROPUESTOS N° 04 01. Calcular la suma de raíces reales en la siguiente ecuación: 3x2 = – 2 (x + 4) a) 5b) –3

a) 89

ECUACIÓN

SUMA DE RAÍCES

x1 + x 2 1

x 2 + 3 x + 2 =0

x 2 + 9x + 8 =0

x 2 −5 x + 6 = 0

x 2 + 5 x −6 =0

3 x 2 + 4 x +1 =0

6x 2 + x −2 =0

4 x 2 + 4 x +1 =0

15x 2 +2 x −1 =0

9 10 11 12

+ 5 x +1 =0

+2 x −1 =0

+ x −22 =0

x1 − x 2

PRODUCTO DE RAÍCES

7x 2 +1 +8x =0

5 x + 3 x 2 −8 =0

∃ /

e) 1/3

x1 x 2

SUMA DE INVERSAS DE RAÍCES

1 1 + x1 x 2

b) –89

c) 1 309

d) –109

e) 106

03. Con el solo cálculo del discriminante en el problema anterior. ¿Qué puedes afirmar acerca de las raíces de dicha ecuación? a) Son reales e iguales d) Son complejas e iguales

b) Son reales y diferentes e) No se puede afirmar nada.

c) Son complejas

04. Hallar el valor de m para el cual la ecuación siguiente tiene raíces de la ecuación: x2 + 8x + m = 0 a) 2b) 16

c) –2

d) 8

e) 6

05. Hallar el valor de P para el cual la diferencia de las raíces de la ecuación: 4x2 + 8x + P = 1 es nula. a) 5b) 3/2

c) 1/2

d) 1/5

e) –5

06. Si se cumple que: x ∆ y = x2 + 2y2 – 4xy + 4x + 4 ¿Cuál es la naturaleza de las raíces de la ecuación: z ∆ (2z) = 0? a) Raíces reales e iguales d) Raíces complejas e iguales

3x + 5x + 3 =0 9x

S2MA33B

DIFERENCIA DE RAÍCES

02. Calcular el discriminante correspondiente a la siguiente ecuación: 7x (x + 5) = 3

II. Completar el siguiente cuadro:

N°

c) –1/3

b) raíces reales y diferentes e) La ecuación no tiene raíces

c) raíces no reales

07. Hallar la suma de raíces de la siguiente ecuación (sin resolverla)

+18x +3 =0

3x + a) –2 “El nuevo símbolo de una buena educación...”

S2MA33B

b) 1/2

5 =6 x

c) – 1/2

d) 5/3

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

e) 2

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

2do Año Secundaria 35

08. ¿Cuál es el producto de las raíces de la siguiente ecuación (encontrar la respuesta sin resolver la ecuación)?

b) 2/7

c) – 3

a) 12

2do Año Secundaria b) – 6

c) 8

d) 10

e) – 8

18. Formar la ecuación cuyas raíces sean las inversas de las raíces de la ecuación: 3x 2 + 8 = – 5x

3  7 x +  = 2 x  a) – 2/7

MATEMÁTICA

a) 6x2 + 8x + 5 = 0 d) x2 – 5x – 3 = 0 d) 3

b) 8x2 + 5x + 3 = 0 e) 8x2 – 5x – 3 = 0

c) x2 + 5x + 3 = 0

e) 0 19. ¿Qué valor debe tomar m para que una raíz de 2x2+ mx + 2 = 0 sea igual a – 2.

09. ¿Qué valor debe tener m para que una raíz sea la inversa de la otra en:

x +

a) – 1 b) 2 c) – 2 10. Si b es una raíz de la ecuación: x2 + bx – 2 = 0 Hallar la suma de las raíces de: b2 x2 + 7x – 8 = 0 a) – 7

b) 7

a) 3b) 4 c) 5 20. Hallar la ecuación cuyas raíces sean:

m 7 = 2x 2

c) – 8

d) 6

e) 4

a) x2 – 6 2

d) x + 6 d) 8

2 2

x+6=0 x–6=0

c) – 4

d) 5

e) – 5

12. En la siguiente ecuación: 5x2 = x + 1, calcular la suma de las inversas de sus raíces. a) 1b) 0 13. x2 + 12x – 3k = 0. a) 6b) 9

c) – 1

d) 1/2

e) – 2

c) 12

d) 18

e) N.a.

b) – 12

c) 15

d) – 15

e) 20

15. Se debía repartir 1 800 soles entre cierto número de personas; cuatro de ellas renunciaron a su parte con lo cual a cada una de las restantes le tocó 15 soles más. ¿Cuántas personas eran originalmente? a) 30

3) y

2 −2

b) x2 + 6x + 6 = 0 2

e) x – 6

c) x2 + 6

b) 24

c) 20

d) 18

b) 2a + b

c) a + 2b

17. Hallar m de tal modo que en la ecuación: raíces es 24. S2MA33B

d) 2a – b

ECUACIÓN

-2

-3

-1

1− 7

1+ 7

1/3

1/4

1/3

-8

-1/7

-2/3

0,2

0,3

e) 36

e) a + b

x2 – 3 (m – 2) x + 1 = 0 la suma de inversas de las

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x+6=0

TAREA DOMICILIARIA

1/2

5+ 3

5− 3

− 3

16. Resolver en x: x2 – 7ax + 12a2 – ab – b2 = 0 y encontrar la diferencia de las raíces. a) a – 2b

x–6=0

Si la ecuación anterior, tiene raíces iguales, K es igual a:

14. Dada la ecuación: 3x2 + 23x – 36 = 0, hallar el producto de sus raíces. a) 12

2 +2

e) 6

e) 1

11. Hallar q, sabiendo que el producto de raíces de la ecuación 2x 2 + 3x + q = 0, es igual a la suma de las raíces de la ecuación: 3x2 – 6x + 7 = 0 a) 6b) 4

d) – 5

2 +1

1 3 S2MA33B

2 −1

−

-6

5m – n

1 3

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

ECUACIÓN

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a+1

2do Año Secundaria 35

a-1

1 a +b

2a + 3b

MATEMÁTICA

Así: - 3 x < 18

a – 4b

x >

1 a −b

6+ 5

2do Año Secundaria

6− 5

18 −3

x>-6

-6 -5 -4 -3 -2 -1

+∞

] – 6, +∞ [

PRÁCTICA DE CLASE

INECUACIONES DE

01. Hallar el conjunto solución que satisface a la siguiente inecuación: 8x < x + 56 02. Resolver:

Es una desigualdad formada por 2 miembros unidos por el signo > ó < Así:

5  x − 7 1er . miembro

03. ¿Cuántos números enteros y positivos satisfacen la siguiente inecuación? 1 ≥ (x + 5) (x – 2) – (x – 1) (x + 3)

< 3 x − ( x + 1)    

↑

2 do . miembro

Signo Desigual

04. Resolver:

(x + 2) (x2 – 2x + 4) < 11x + x3 + 1

05. Hallar el conjunto solución que satisface a la siguiente inecuación: 0 < x + (2x + 1) – (3x + 2)

Solución.- Para resolver inecuaciones de 1er. grado se procede así: 1°.2°.3°.4°.-

x + (x + 5) ≤ (x + 7)

Se suprimen los signos de colección. Se reducen los términos semejantes Transposición de términos Volvemos a reducir los T.S y despejamos la incógnita.

06. ¿Cuál es el conjunto de valores de x que permiten que la siguiente desigualdad sea cierta? 1 > 7x2 – (3x2 + 1) – 4x (x + 1) + 4x 07. Resolver:

Ejm. Resolver: 5x – 7 < 3x –( x + 1 )

x x+5 > 3 2

08. Hallar la suma de números enteros y positivos que satisfacen a la siguiente desigualdad:

x−2 3 + x <1 5 2

Solución .Suprimimos los signos de colección Se reducen T.S. en cada miembro Transponemos los términos Se reducen T.S. nuevamente Despejando la incógnita

→ → → → →

5x – 7 < 5x – 7 < 5x – 2x < 3x < x <

3x–x–1 2x–1 -1+7 6 6/3

x<2

09. Resolver la siguiente inecuación: ] -∞, 2 [

10. Resolver la siguiente inecuación:

−∞

-2

-1

Observación: Cuando la variable cambia de signo, la inecuación cambia de sentido S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

x −4 1 x +7 x +1 + < − 7 3 3 7

5 (x + 1) x + 2 x + < 4 3 2

11. Dados los intervalos: A = ] –2; 9] ; B = [ 2; 12[ ; C = [0; 7] ; D = ] 3 ; 9 [ Calcular: S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN • (A ∪ B) – C • (A ∪ C) – D

2do Año Secundaria 35

• (D ∩ A) – B • (C ∪ D) – A

• (B ∪ C) – D • (B ∪ D) – C

MATEMÁTICA

a) x > – 4

2do Año Secundaria b) x < 4

c) x < – 7

• (A ∩ D) – (B ∩ C) • (B ∩ D) – (C ∩ D)

• (B ∩ C) – (B – C) • (A ∩ C) – (A ∩ D)

x −1 x−2 1 + < 4 5 2 a) 4b) 7

c) – 2

01. ¿Cuántos números enteros y positivos menores que 5, satisfacen a la siguiente inecuación?

b) x ≤ 2

d) 4

c) x > – 1

e) 5

c) 5

10. Hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación: 4x + 4x – 11 < 0

[

1 ; 2

1 2

5 x −1 x +7

 c) x ∈  − 

3 −

1 ; 2

3 −

1  2  

d) 2

03. ¿Cuántos números enteros permiten que en la fracción denominador, si x ∈ [2; 7] ? a) 1b) 3

c) 5

  − 

e) Ninguno

3x + 5 , el numerador sea menor que el 5x − 3 e) 2

x +2 , el 7x +1

d) 2

e) 4

05. El triple de la cantidad de manzanas disminuido en uno que compró Fernando, es menor que dicha cantidad de manzanas aumentadas en 3, ¿cuántas manzanas compró Fernando? a) 2b) 1

c) 3



e) x ∈ 



a) ] 0; 1[

denominador sea menor que el numerador? c) 1

3 −

1 ; 2

3−

3 −

1 ; − 2

 b) x ∈  

d) 4

e) 5

06. Encontrar el conjunto de valores de x, que satisfacen a la siguiente desigualdad? “El nuevo símbolo de una buena educación...”

1 ; 2

3 − x

1  2  

1 2 

b) ] –2 ; 5 [

c) ] – 5; 3 [

x – 3 < 2x + 2 < x + 5

d) ] – 4; 2 [

e) ] – 1; 1 [

12. ¿Cuántos números enteros satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones? 11 – 6x ≤ 1 – x < 7 – 2x a) 1b) 4

c) 5

d) 3

e) 6

13. Hallar la suma de valores enteros de x que satisfagan el siguiente sistema de inecuaciones: – 17 – x ≤ 7 x – 1 ≤ x + 11 a) 4b) – 5

c) 5

d) 0

e) – 3

14. ¿Cuál es el conjunto solución de la siguiente inecuación? 12x – 11 < 7 a) ] – 3; 4 [

b) [–3; 4]

c) [– 3; 4 [

d) ] – 3; 4 ]

e) [– 1; 5 ]

15. Calcular la suma de los números enteros que satisfacen a la siguiente inecuación:

5x – 1 < 6x + 7 S2MA33B

3 +

11. Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones: d) 4

04. ¿Cuántos valores de x enteros no negativos, hacen que en la siguiente fracción

a) 0b) 3

e) 1 2

 a) x ∈  − 

c) 5

e) x < 4

– (x + 3) < 3x + 5 < x + 13

d) 3

02. ¿Para cuántos valore enteros de x, menores de 7, se cumple que en la siguiente fracción, el numerador es mayor que el denominador?

a) 4b) 3

7 x −1 permiten que el 3x + 3

d) x < – 2

09. Hallar la suma de los valores enteros de x que satisfacen: a) 4b) – 5

c) 3

e) 3

numerador sea mayor que el denominador. a) x > 1

1 x −1 x < + 3 1/5 3 a) 1b) 2

d) 6

08. Hallar el conjunto de valores de x, que reemplazados en la fracción:

PROBLEMAS PROPUESTOS N° 05

e) x < – 8

07. Hallar la suma de números enteros positivos que satisfacen a la siguiente inecuación:

Calcular también los intervalos equivalentes a: • (A ∩ B) – (A – B) • (A ∩ D) – (B ∪ C)

d) x > – 8

S2MA33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...”

1  2   ∈

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

2do Año Secundaria 35

x+ a) – 1

b) – 6

5 3

c) – 3

b) x ∈ 〈 – 1; 3 〉

d) – 4

¿Cuál es el mínimo valor para x?, ¿cuál es el máximo valor de x?

e) – 5

04. Dar el intervalo que cumple simultáneamente las inecuaciones mostradas:

c) x ∈ 〈 –3; 5 〉

d) x ∈ 〈 – 3; ∞〉

2 (x – 4) + 3 (x – 5) ≤ 2

e) N.a.

17. Si x es un número real tal que – 1 < x < 3, entonces x2 satisface la relación: a) 0 ≤ x < 1 2

18. Resolver:

a) ] – 4; + ∞ [

b) 1 ≤ x < 9

c) 0 ≤ x < 9

19. Determinar el conjunto solución de: a) ] 3 ; + ∞ [

d) 1 < x < 9

b) ] –3 ; – 1/2[

c) ] – 1; 4 [

5 (x + 1) + 3 < 4 (x + 3) + 5 7 (x – 2) + 1 ≤ 9 (x – 6) + 1 06. ¿Cuántos valores enteros cumplen simultáneamente las inecuaciones:

e) 0 < x < 9

1   d)  −∞; −  4  

x +1 x −1 x+3 + + ≥ 3 4 2 6

20. Hallar la suma de valores de x (x ∈ Z) tales que:

d) ] 1/2 ; 3 [

SOLUCIONARIO e) ] –1/2 ; 3 [

x +1 x −1 x + 3 + + ≤ 10 4 2 6

N° y

01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

2x − 1 3x − 1 + ≥ 2 5 8 a) 57

b) 52

c) 58

d) 59

e) 55

TAREA DOMICILIARIA 01. Luego de resolver la inecuación:

3x − 1 4 x + 1 + > x Indicar el mínimo valor entero que 5 9

la verifica. 02. Luego de resolver la inecuación:

2x + 1 5 x + 1 x + 11 + ≤ +2 3 2 6

Señalar el mayor valor

que puede tomar x. 03. Resolviendo la inecuación:

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2x − 1 3x −1 + ≥ x 4 8

e) ] – ∞ ; – 4 [

x−3 x +1 < x < 2 3 c) ] –3; 1/2 [

3 (x – 2) + 2 (x – 1) ≥ 2

05. Resolver el sistema de inecuaciones: 2

5 x + 3 2x + 1 + > 1 2 4 b) ] – 1/4 ; + ∞ [

2do Año Secundaria

5x −1 3x −1 4 x −1 ≤ 1 + − 9 5 7

≤ 1

16. Resolver la inecuación: x2 + 2x – 15 < 0 a) x ∈ 〈–5 ; 3 〉

MATEMÁTICA

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01 A D C B E A D E B D

Ejercicios Propuestos 02 03 04 D A D B C C D A C E B B C B A B C A D D E E B D A A B B B A B B A C B E C B E B D C E D B B “El nuevo símbolo de una buena educación...”

05 C A B C B D E A C C C B D A C A B C

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 19. 20.

2do Año Secundaria 35 E B

C A

MATEMÁTICA

2do Año Secundaria

C A

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