Raz matematico 3° 1b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

I

REGLA DEL TANTO

3er Año Secundaria El 15% de 60 =

15 x 60 = 9 100

El 25% de 40 =

25 x 40 = 10 100

01

unidad < > 100 partes iguales

TANTO POR CIENTO (%)

Ejemplo: De 100 personas que viajan en un ómnibus; 40 son blancos.

1 100

1 100

1 100

⇒

40 (N° personas son blancas) 100

.................

1 100

1 100

3 = 3% 100

a% =

A) Conversión de tanto por ciento a fracción o decimal

1 = 0,01 100 2 1 = = 0,02 2% = 100 50 15 3 = = 0,15 15% = 100 20 40 2 = = 0,4 40% = 100 5 60 3 = = 0 ,6 60% = 100 5 80 4 = = 0 ,8 80% = 100 5 120 6 = = 1, 2 120% = 100 5 200 =2 200% = 100

3er Año Secundaria

2 2 = x 100 % = 40 % 5 5 0,06 = 0,06 x 100% = 6% 5 = 5 x 100% = 500% OPERACIONES CON PORCENTAJE: 20% a + 50% a = 70% a 80% b - 60% b = 20% b

EQUIVALENTES NOTABLES:

a + 20% a = 120% a

100% = 1 (total)

b - 35% b = 65% b 3(20% a) = (3 x 20)% a = 60% a

3 75% = (tres cuartas partes) 4

En general:

Luego : 40 por cada 100 personas son blancas 40 por cada ciento de personas son blancas 40 por ciento de personas son blancas 40 % del N° de personas son blancas

1 100

0,6 = 0,006 100 2 2 1 2 = = 0,004  % = 5 = 5 100 500 250   11 3 11  11  2 % =  % = 4 = = 0,0275 4 100 400  4 

0,6% =

Gráficamente:

Es el número de centésimas partes de una cantidad.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02

20% (a + b) = 20% a + 20% b 80% b ÷ 20% b =

1 50% = (mitad) 2 25% =

1 (cuarta parte) 4

20% =

1 (quinta parte) 5

10% =

1 10

80 % b 20 % b

=4

60% a ÷ 2 = (60 ÷ 2)% a = 30% a

 40 (40 %) 2 = (40 %) (40 %) =   100

  40 % = 16 % 

1% =

En general: 100 < > N a <> P de donde: P =

a x N 100

P = El “a” por ciento de “N” P = a% de N a% : tanto por ciento N : cantidad P : porcentaje Ejemplos: El 28% de 50 =

28 x 50 = 14 100

36 % =

(décima parte)

36 6 3 = = 100 10 5

PROBLEMAS RESUELTOS 01. ¿Cuál es el 20% de 400?

200% = 2 (doble)

Solución: Luego :

(+) 400 x

100 % a = a “Toda cantidad representa el 100% de sí misma” B) Conversión de fracción o decimal a tanto por ciento

x=

-

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

S3RM31B

R.T. D.

(400 )(20 ) = 80 100

A toda cantidad menor que la referencial le corresponde un porcentaje inferior al 100%.

02. Hallar el 10% de 240.

S3RM31B

(-) 100 % 20 %

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

01

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02

3er Año Secundaria

Solución: Una cantidad cuando no sufre ninguna variación esta representada por su 100%, según el ejercicio.

240 es el 100%, entonces formando una regla de tres:

1 3 06. Calcular el % de los del triple de 3 4 120 Solución: =

100% ......... 240 10% ......... x

1 360 3 9 x x 3 x 120 = = 300 4 400 10

x = (240 x 10)/100 = 24

Hallar un número cuando se conoce un tanto por ciento de él.

Asumimos, que x es el porcentaje buscado.

Luego: 1250 esta representado por el 100% y 75 por el x %.

Formando la regla de tres correspondiente:

15. Un futbolista dispara 17 penales, acertando todos ellos. ¿Cuántos debe tirar luego, fallando, para tener una eficiencia del 85%?

De donde:

42 ........... 100% x ........... 16 2/3% x = (42)(50/3)/100 x = ( 42 x 50/3)/100 x=7

Solución: 378 ......... x ......... x=

45 % 100 %

(378 )(100 ) 45

05. Calcular el 25% del 4% de 300 veces 1,333...

512 ....…… 100% 0,64 ........... x% x=

Solución:

= 840

20% ........ 75 100% ........ x

25

x = (100% x 75)/20% = 375.

x

72 = 0 . 72 100

=

Solución: 480 ........

695 ........

Solución: 12,5% .......… 200 100% ……... x

100 % x%

Recordar que, en los negocios: Precio Venta (PV) = Precio de compra(PC) + Ganancia (G) PV = PC + G

x%

1 3   . . 800 . 100 %  2 4 =   2400    

12,5%.

14. ¿Qué porcentaje es 695 de 480?

10. De que número es 200 el 12,5%?.

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

.......… 100%

1 3 . . 800 .......…

2 4

Solución:

4 12 = x x 300 x 100 100 9 1 4 1 = x x 300 x 4 25 3 300 4 4 = x =3x = 4.

100 3 3

(17 )(15 ) = 3 tiros 85

0,64 x100 % 64 1 = = % 512 512 8

2400

PRACTICA DE CLASE Hallar : 01. El 33 1/3% de 100. a) 32 d) 33 1/3

b) 40% e) 35%

c) 25%

02. ¿El 10% de que número es 32?. a) 320

S3RM31B

85 % 15 %

Decir por ejemplo el 72% equivale a:

13. Qué porcentaje es la mitad de los tres cuartos de 800, de 2400?.

09. De que número es 75 el 20%?.

Solución:

x=

08. ¿De qué cantidad es 378 su 45%?

De donde:

S3RM31B

Solución;

x = (100% x 40)/25% = 160.

Solución:

17 ......... x .........

12. Qué porcentaje de 512 es 0,64?.

25% ......... 40 100% ......... x

x = ( 50 x 12)/100 = 6 04. Hallar el 16 2/3% de 42.

100 % = 85 % + 15 %

x = (75 x 100%)/1250 = 6%.

Asumimos que el número es x, luego el 100% de ese número es x, y según la pregunta su 25% es 40. Entonces formamos la regla de tres:

50 .......... 100% x ........... 12%

Solución:

1250 ...…… 100% 75 ……... x %

Solución: Solución:

(100 )(695 ) = 145 % 480

Solución:

07. De qué número es 40 el 25%?.

03. Hallar el 12% de 50.

x=

Si la cantidad referencial se descompone en otras varias, entonces la suma de los porcentajes correspondientes a las partes deberá ser siempre 100%.

11. Qué porcentaje es 75 de 1250?.

.

De donde:

x = (100% x 200)/12,5% = 1600 Dados dos números, averiguar que tanto por ciento es uno del otro.

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

b) 310

c) 420

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 240

b) 1400 e) 1536

c) 1120

b) 108 e) 600

c) 320

05. ¿De qué número es 48 el 3 1/5%?. a) 2200 d) 1324

b) 1040 e) 1500

c) 1200

06. ¿De qué número es 82 el 5 1/8%?. a) 1234 d) 1600

b) 1345 e) 1500

a) 32% d) 24%

b) 10% e) 45%

b) 810 e) 715

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 01

13. ¿Qué porcentaje de 1320 es 3.3? a) 2,5% d) 2,4%

b) 0,25% e) 25%

c) 2%

14. ¿Qué porcentaje de 1950 es 156? a) 2% d) 8%

b) 1% e) 5%

c) 12%

15.¿La mitad de los 2/5 de 2400, qué porcentaje es de los ¾ de 3600? a) 22% d) 14%

b) 17.78% e) 15%

c) 20%

c) 1220 16. ¿Los 3/5 de los 4/3 de 800,qué porcentaje es del 20% de la mitad de 100 000? c) 800

a) 2,8% d) 2,5%

b) 7,0% e) 6,5%

c) 6,4%

17. ¿Qué porcentaje de 18 es 0,045?

08. ¿De qué número es 70 el 3 ½%? a) 2000 d) 2400

b) 1000 e) 1500

c) 2010

09. ¿De qué número es 150 el 7 ½%?. a) 2120 d) 1240

b) 1070 e) 1450

c) 2000

10. ¿El 20% del 25% de 500 de qué número es 400?. a) 12 d) 24

b) 10 e) 16

c) 20

11. ¿De qué número es el 25% de 6000, el 10%?. a) 15000 b) 10000 c) 20000 d) 12400 e) 15890 12. ¿Qué porcentaje de 95 es 30,4?

S3RM31B

3er Año Secundaria

a) 0,2% d) 0,24%

b) 0,10% e) 0,25%

c) 2%

18. ¿Qué porcentaje de los ¾ del 60% de 400,es la mitad de 60?. a) 21% d) 24%

b) 10,67% e) 15%

c) 16,67%

b) 10% e) 15%

c) 20%

20. ¿En una canasta tenia 240 manzanas he comido 60 manzanas, que porcentaje me sobra? a) 52% d) 24%

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

b) 75% e) 65%

Hallar : 01. El 20% de 900. a) 210 d) 240

b) 180 e) 150

c) 200

b) 810 e) 500

c) 200

a) 720 d) 924

b) 810 e) 715

c) 920

04. El 12,5% del 10% de 2000. a) 28 d) 24

b) 50 e) 25

c) 20

b) 1000 e) 1500

c) 2090

b) 1000 e) 1235

c) 12%

a) 33,3 d) 55,6

b) 66,67 e) 65,67

c) 1120

b) 640 e) 615

c) 27

c) 620

09. ¿El 25% de que número es 700?. a) 2800 S3RM31B

b) 1210

b) 10 e) 15

c) 20

13. ¿De qué número es el 50% de 12000, el 10%?. a) 60000 d) 24000

b) 10000 e) 15000

c) 20000

a) 2% d) 4%

b) 1% e) 5%

c) 3%

a) 32% d) 24%

b) 23% e) 15%

c) 20%

16. ¿Qué porcentaje de 2640 es 6,6?

08. ¿El 10% de que número es 64?. a) 200 d) 624

c) 200

15. ¿Qué porcentaje de 190 es 60,8?

06. 3/4 % de 200 000. a) 1200 d) 1500

b) 710 e) 150

14. ¿Qué porcentaje de 1200 es 12?

05. El 40% de la mitad de 12000. a) 2000 d) 2400

c) 2000

12. ¿El 20% del 25% de 1 000 de qué número es 400?. a) 8 d) 24

03. El 15% de 4800.

b) 1000 e) 1500

11. De qué número es 40 el 20% de 50%?. a) 820 d) 400

02. El 12,5% de 4000. a) 280 d) 240

10. ¿De qué número es 164 el 10 1/4%?. a) 1200 d) 1600

07. El 33 1/3% de 200.

19. ¿La mitad de uno qué porcentaje es del doble de uno?. a) 25% d) 24%

e) 1500

c) 20%

07. ¿De qué número es 20 el 10% de 25%?. a) 200 d) 624

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02

d) 1240

04. ¿El 75% de que número es 450?. a) 677 d) 249

01

e) 150

03. ¿El 25% de que número es 350?. a) 1200 d) 2470

3er Año Secundaria

c) 1200

a) 0,2% b) 0,10% c) 20% d) 0,24% e) 0,25% 17. ¿Qué porcentaje de 3900 es 312? a) 8% d) 4%

b) 10% e) 5%

c) 2%

18.¿La mitad de los 2/5 de 4800, qué porcentaje es de los ¾ de 7200? a) 2,78% d) 24%

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

b) 10,78% e) 17,78%

c) 20%

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 19. ¿La mitad de uno qué porcentaje es del triple de uno?. a) 20,67% d) 16,67%

b) 10,67% e) 15,67%

c) 20%

20. ¿En una canasta tenia 480 naranjas he comido 120 naranjas, que porcentaje me sobra? a) 75% d) 74%

b) 70% e) 65%

c) 90%

TAREA DOMICILIARIA 01. El 25% de 450. a) 72,5 d) 52,8

b) 125,8 e) N.a.

c) 112,5

02. El 6,25% de 2000. a) 172 d) 148

b) 125 e) N.a.

c) 168

b) 128 e) N.a.

01

07. Si el 40% de los que votan a favor de una moción es el 60% de los que votan en contra. ¿Qué parte de los votantes aprueban la moción?. a) 4/5 d) 1/2

b) 3/5 e) 1/10

c) 2/3

b) 20000 e) 35000

c) 25000

09. Una persona gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo 33600 unidades monetarias. ¿Cuánto tenía al principio? a) 85 000 d) 96 000

b) 87 000 e) 100 000

1. X

c) 186

a) 60% d) 20%

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

120% de X = 2. X

c) 89 500

b) 80% e) 125%

3. M disminuido en su

S3RM31B

100

Observe que la cantidad resultante

80 100

Descuento único equivalente = 44%

.M

Forma Práctica:

4. M disminuido en su 15% es igual a: 85% de M =

85 100

c) 40%

DESCUENTOS Y AUMENTOS

c) 20%

Idea de Incremento o Disminución porcentual El incremento o disminución porcentual de una determinada cantidad, siempre se dará sobre el 100% de la misma.

= (100 - 20)% . (100 - 30)% . N = 80% .

70% . N

.M

80 70 . .N 100 100 56 = .N 100 =

5. La expresión 150%.Y representa incremento de Y en su 50%.

un

6. La expresión 70%.K representa una disminución de K en su 30%.

01. Calcular el porcentaje de descuento único, equivalente a dos descuentos sucesivos del 20% más 30%.

Si asumimos que N es la cantidad (100% de N), sobre la cual se aplica el descuento del 20%; obtendremos:

80 .N 100

Aplicando sobre la cantidad resultante, el descuento del 30% se obtendrá el 70% de la misma; así: = 70% del 80% de N =

Ejemplos:

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

56 .N 100

también se puede representar como 56%.N, que es una expresión que implica una disminución (descuento) del 44% de N. Por lo tanto:

.X

20% es igual a:

80% de M =

c) 25%

06. ¿Qué porcentaje del doble del 60% de un número es el 30% del 20% de los 2/5 del mismo número?. b) 10% e) 15%

115

.N

100

.X

incrementado en su 15% es igual a:

80% de N =

a) 2% d) 24%

100

56

=

Solución:

a) 72 b) 128 c) 1680 d) 528 e) N.a.

05. En una reunión el 40% del total de personas son hombres. Si se retira la mitad de estos. ¿Cuál es el nuevo porcentaje de hombres?. b) 30% e) 10%

120

PROBLEMAS RESUELTOS

04. Hallar el 56% de 3000.

a) 20% d) 15%

3er Año Secundaria

incrementado en su 20% es igual a:

115% de X =

08. Si gastara el 40% del dinero que tengo y ganara el 38% de lo que quedaría, perdería S/.

5160. ¿Cuánto tengo?. a) 45000 d) 30000

02

10. ¿Qué porcentaje de 1/4 es 1/5 ?.

03. El 7,5% de 2400. a) 180 d) 370

3er Año Secundaria

S3RM31B

70 100

.

80 100

.N

= 56% . N Descuento único = (100 - 56)% . N = 44%. N 02. Calcular el porcentaje de descuento único, equivalente a dos descuentos sucesivos del 10% más 20%.

Solución: Del enunciado del problema tenemos: = (100 - 10)% . (100 - 20)% . N = 90% . 80% . N = = =

90 100 72 100

.

80 100

.N

.N

72% . N

Descuento único = (100 - 72)% . N = 28%. N

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 03. Calcular el porcentaje de incremento único, equivalente a dos aumentos sucesivos del 10% más 20%.

Solución: Del enunciado del problema: =(100+10)% . (100+20)% . N = 110% . 120% . N =

110 100

120 132 . .N= .N 100 100

= 132% . N

3er Año Secundaria Ganancia = PV – PC Ganancia = 594 – 600 = - 6

06. Dos descuentos sucesivos de 40% y 20% equivale a un único descuento de: Solución: Sea 100 la cantidad de la que se descuenta el 40% Luego queda 60 de la cantidad original.

Solución:

= =

110 100

.

80 100

.N=

88 100

.N

88% . N

Como la expresión resultante es menor del 100% se deduce, que N ha disminuido (Descuento).

Descuento único = (100-88)% . N Descuento único = 12%. N 05.Dos artefactos se han vendido en 297 cada uno. Si en el primero se ganó el 10% y en el segundo se perdió el 10%. ¿Se perdió o se ganó?

Solución: En el primero 297 – 110% x – 100% ⇒ x = 270

En el segundo 297 – 90% y – 100% ⇒ y = 330

Costo total = x + y = 270 + 330 = 600 Venta total = (297) (2) = 594 S3RM31B

(60 )(20 ) = 12 100

07. Si la longitud del radio de una circunferencia aumenta en 40%. ¿En qué porcentaje aumenta el área del círculo?

Solución: Área original: Nueva área:

A = π (r + 0.40r) ⇒ A = π (1.40r)2 ⇒ A = π (1.96)r2

2

∴ el área aumenta en un 96% 08. Si las dimensiones de una caja rectangular son: largo = 3x, ancho= 2x y alto = x; ¿En qué porcentaje debe disminuir su alto para que el volumen no se altere, sabiendo que su largo aumenta en 550% y el ancho en 40%?.

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

Recordando que el volumen se calcula así:

Entonces el alto debe disminuir en: 100% - 47,6 % = 52,3%.

09. Un comerciante compra cierta mercadería y vende 1/3 ganando el 14%, la mitad ganando el 13% y para que la ganancia total sea el 14,5% vende el resto a S/. 2 800. ¿Cuánto le costó la mercadería?.

A = π r2

Aumento del área: 1.96π r2 - πr2 = 0.96π r2

Solución:

Entonces analizamos que: Su nuevo largo será el 150%.

Su nuevo ancho será el 140%.

Su volumen sigue siendo el 100%.

(100%) =(150%)(140%)(alto); reduciendo 100 % = (150/ 100) (140/100) ( alto) 100% = 2,1 (alto) 47,6% = alto

Luego queda 60 – 12 = 48 Si por 100 queda 48 lo descontado es de 100 – 48=52, por lo tanto el descuento es de 52%.

Del enunciado del problema: = (100+10)% . (100 - 20)% . N = 110% . 80% . N

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

V = (largo)(ancho) (alto); reemplazando:

60 – 100 % x – 20 % x=

02

Para este tipo de problemas, tenemos que tener en cuenta que en un momento inicial cuando sus elementos no varían tampoco varía su volumen; es decir están representados por su 100%.

∴ Luego pierde 6

Aumento único = (132-100)% . N = 32%. N 04. Calcular el porcentaje de incremento o descuento único, equivalente a un aumento del 10% seguido de un descuento del 20%.

01

PC = S/. 14 000.

PRACTICA DE CLASE 01. Incrementar N en 30% y al resultado quitarle su 20%. Al final tendríamos: a) 180%N d) 100%N

Vende: Cantidad Ganancia 1/3 14% (PC /3) 1/2 13% (PC /2) [1- (1/3+1/2)] X% (PC /6) Sumando: (PC/2)+x%(PC/6)=14,5%

Entonces: x = 20.

Luego tenemos que:

a) 100%.N d) 96%.N

c) 102%N

b) 104%.N e) No varia.

c) 102%.N

03. Dos descuentos sucesivos de 40% y 10% equivalen a un único del: a) 154% d) 46%

b) 41% e) 48%

c)50%

04. Dos descuentos sucesivos de 25% y 12% equivalen a un único del: a) 47% b) 46% c) 45% d) 44% e) 43% 05. Tres descuentos sucesivos de 10%, 40% y 20% equivalen a un único del: b) 56,8% e) 65%

c) 60%

06. ¿A qué porcentaje único de aumento equivalen tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25%? a) 50% d) 65%

b) 55% e) 70%

c) 60%

07. ¿A qué porcentaje único de aumento equivalen tres aumentos sucesivos del 10%, 10% y 30%? a) 60% d) 157%

120%( PC /6) = 2800 S3RM31B

b) 104%N e) N. a.

02. Disminuir N en 20% y al resultado incrementarlo en su 20%. Al final tendríamos.

a) 70% d) 67%

Solución:

14%(PC/3)+13% PC

3er Año Secundaria

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

b) 55% e) 57,3%

c) 60%

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 08. Un incremento del 15%, seguido por un descuento del 15%. ¿A qué único descuento o incremento equivale? a) No varía d) 30%

b) 97,5% e) N. a.

c) 2,5%

b) 5% e) 43%

c) 87,5%

10. En una tienda se ofrecen 3 tipos de descuentos para escoger, uno del 30%, otro equivalente a dos descuentos sucesivos del 10% y 22% ó el equivalente a tres descuentos sucesivos del 5%, 20% y 10%. ¿Cuál es el más conveniente? a) Son iguales c) el segundo e) N. a.

b) el primero d) El tercero

b) 35% e) 10%

c) 32%

12. El largo de un rectángulo se disminuye en un 20% de su longitud. ¿En cuánto tendrá que aumentarse el valor de la longitud del ancho, para que el área permanezca invariable? a) 40% d) 30%

b) 50% e) 25%

c) 35%

13. El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, entonces el área del rectángulo varía en 160 m 2. ¿Cuál era el área inicial?.

2

a) 200 m d) 1600 m2

2

b) 4000 m e) 2000 m2

c) 400 m

2

14. Un círculo disminuye en 36% de su área. ¿En qué porcentaje habrá disminuido su radio?.

S3RM31B

b) 40% e) N.a.

a) No gana ni pierde b) Ganó 90 d) Perdió 90

c) 20%

c) Perdió 45 e) Ganó 45

16. Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%. ¿Cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario?. a) 20% d) 22%

b) 25% e) 27,5%

c) 30%

17. Tres descuentos sucesivos del 30%, 40% y 10% equivalen a un descuento único de: a) 37,8% d) 62,2%

11. Hallar el descuento único que reemplace a dos descuentos sucesivos de 15% y 20%?. a) 30% d) 15%

a) 60% d) 80%

01

15. Pinocho vendió 2 bicicletas en S/. 540, cada una. En la primera ganó el 20% y en la otra perdió el 20%. ¿Ganó o perdió y cuánto?.

09. Un incremento del 25%, seguido por un descuento del 30%. ¿A qué único descuento o incremento equivale? a) 55% d) 12,5%

3er Año Secundaria

b) 42,6% c) 57,4% e) N.a.

18. ¿Cómo varía el área de un rectángulo, si su largo se aumenta en un 60% y el ancho disminuye en 40%? a) Aumenta en 10% b) Disminuye en 4% c) Aumenta en 12% d) Disminuye en 8% e) N.a.

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 02 01. Hallar el descuento único equivalente a los descuentos sucesivos de 20%, 25%, 40% y 10% a) 95% d) 67,6%

b) 75% e) N.a.

c) 64,8%

b) 100,7012% d) 0,7012%

b) El segundo

3er Año Secundaria d) 62,2%

e) N.a.

07. ¿Cuánto es el 20% más del 20% menos de 60? a) 62 d) 80

b) 64 e) 2,4

c) 57,6

08. Si el 125% de x es igual al 80% de (x+a) ¿Qué porcentaje de x es a? a) 11,25% d) 56,25%

b) 45% e) 67,5%

c) 22,5%

09. Una sortija se vende en 250 soles; ganando el 25% del costo.¿Cuál es el costo?

02. El precio de lista de un artefacto eléctrico es S/. 400000 si se le hace 3 descuentos sucesivos del 10%, 40% y 60% ¿Con qué precio sale a la venta? a) S/. 240000 c) S/. 216000 e) N.a.

b) S/. 172800 d) S/. 172800

03. El precio de costo de un artículo es el 75% del precio de venta. ¿Qué porcentaje de la ganancia es el precio de venta? b) 75% e) 500%

c) 2005

04.Dos aumentos sucesivos de 0,3% más 0,4% equivalen a uno solo de:

20. En una tienda se ofrecen 3 tipos de descuento: un descuento del 30%, dos descuentos sucesivos del 10 y 22%, ó 3 descuentos sucesivos del 5, 20 y 10%. ¿Cuál es el más conveniente? a) El primero

c) El tercero d) Los 3 son iguales e)El primero y el tercero son igualmente convenientes.

a) 25% d) 400%

19. Dos aumentos sucesivos de 0,3% más 0,4% equivalen a uno solo de: a) 0,7% c) 7,012 % e) 107,01 %

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02

a) 0,7 % c) 7,012 % e) 107,01 %

b) 10,7012 % d) 0,7012 %

05. Hallar el descuento único que reemplace a dos descuentos sucesivos de 15% y 20% a) 30 % d) 15 %

b) 35 % e) 10 %

c) 32 %

06.Tres descuentos sucesivos de 30%, 40% y 10% equivalen a un descuento único de: a) 37,8% S3RM31B

b) 42,6%

a) 200 d) 205

b) 204 e) 202

c) 207

10. Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la nueva cantidad se le disminuye también su 20%. Se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial que: a) Aumenta 10% c) Disminuye 4% e) Disminuye 8%

b) Disminuye 10% d) No varía

11. Si gasto el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería S/.156. ¿Qué cantidad de dinero tengo? a) 3500 d) 1560

b) 2000 e) 1800

c) 1500

12. Si el lado de un triángulo equilátero disminuye en un 50%. ¿En cuánto disminuye su área? a) 25% d) 85%

b) 50% e) 65%

c) 75%

13. Si el radio de un círculo disminuye en su 10%. ¿En cuánto disminuye su área? a) 81% d) 19%

c) 57,4% “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

b) 21% e) 39%

c) 29%

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 14. La base de un rectángulo disminuye en su 30% y la altura aumenta en su mitad. ¿Qué pasó con el área? a) Aumenta 5%b) Disminuye 5% c) Aumenta 10% d) Disminuye 10% e) Aumento 105%

15. Para fijar el precio de un artículo se aumento su costo en el 50% del 40% de dicho precio.

Si al venderse se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado. ¿Qué tanto por ciento del costo se ganó? a) 10% d) 8%

b) 12% e) 16%

b) 87 00 e) 100 00

b) S/. 12 250 d) S/. 13 350

c) 89 50

c) S/. 13 000

18. Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la nueva cantidad se le disminuye también su 20% se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial que: a) Aumenta 10% c) No varía e) Disminuye 8%

b) Disminuye 10% d) Disminuye 4%

19. Si a una cantidad se le aumenta su 40% y a la nueva cantidad se le disminuye también su 40%. Se puede afirmar con respecto a la cantidad inicial que: S3RM31B

b)Disminuye 16% d) No varía

20. Si el largo y el ancho de un rectángulo aumenta en 20% y 25% respectivamente. Su área aumenta en 2400 m2. Hallar el área inicial del rectángulo. a) 3600 m2 c) 3200 m2 e) 7200 m2

b) 4800 m2 d) 4500 m2

TAREA DOMICILIARIA

17. Un comerciante compra un artículo de 8 000 ¿Cuál debe ser el precio a qué debe fijarlo para qué rebajando el 20% de este precio aún gane el 30% del precio de costo? a) S/. 11 100 c) S/. 13 400

a) Aumenta 10% c) Disminuye 4% e) Disminuye 8%

01

c) 16%

16. Una persona gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo 33 60 u.m. ¿Cuánto tenía al principio? a) 85 00 d) 96 00

3er Año Secundaria

01. Al sueldo de un empleado se le hace un aumento del 20% al comenzar el año, y en el mes de Julio un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje de su sueldo del año anterior recibirá en agosto?. a) 128% d) 125%

b) 130% e) 132%

c) 103%

02. Dos aumentos sucesivos del 20% y 20% respectivamente, equivalen a uno solo de: a) 40% d) 38%

c) 20% e) N.a.

c) 36%

03. Dos Descuentos sucesivos del 20% y 80% respectivamente, equivale a uno solo de: a) 100% d) 84%

c) 60% e) N.a.

c) 40%

04. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría perdería S/. 156. ¿Qué cantidad de dinero tengo?. a) 3500 d) 1560

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

b) 2000 e) 1800

c) 1500

02

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

3er Año Secundaria

05. Un objeto se ofrece con el 20% de recargo y luego se descuenta el 20% por factura. El descuento es: a) 0% b) 5 c) 6 d) 4 e) 10 06. Se estima que una mezcladora de concreto sufre una depreciación de 10% por cada año de uso, respecto al precio que tuvo al comenzar cada año. Si al cabo de 4 años su precio es de S/. 131 220, entonces el costo original de la mezcladora fue de: a) S/. 200 000 c) S/. 250 000 e) S/. 170 000

b) S/. 150 000 d) S/. 300 000

07. Un comerciante vende dos artículos a S/. 480 cada uno. Si en uno de ellos ganó el 25% del costo y en el otro perdió el 20% de su costo.

Al final, ¿el comerciante ganó o perdió y cuánto?. a) Ganó S/. 24 b) Perdió S/. 24 c) Ganó S/. 36 d) Perdió S/. 36 e) No se gana ni se pierde.

08. Si una parte de una mercancía se vende con un 8% de pérdida y el resto se vende ganando un 7%. ¿Qué parte del total se vendió en la primera venta si el total se ganó 4%? a) 2/5 d) 2/3

b) 1/5 e) 1/8

c) 1/4

09. Rocío tiene un artículo que vale 1 000 soles y se lo vende a Liz con una ganancia de 10%.

Liz revende el artículo a Rocío con una pérdida del 10% siendo así:

a) 36,6% d) 45,5

b) 38,8 e) 49,9

TEORÍA DE La teoría de Exponentes se basa fundamentalmente en las propiedades de la Potenciación y de la Radiación, por lo tanto, para una mejor comprensión definiremos las operaciones de potenciación y luego explicaremos cada una de sus propiedades.

LA POTENCIACIÓN: Es una operación que abrevia la multiplicación: n (a )(  a )(  a )...(  a ) = a n veces

Donde :

a es la base n es el exponente an es la potencia o resultado.

Ejemplos: a) 32 = 3 x 3 = 9 4

2  2   2   2   2  16 b)   3  =  3   3   3   3  = 81        c) ( 0,1 )3 = ( 0,1 ) ( 0,1 ) ( 0,1 ) = 0,001 LA RADICACIÓN: Es una operación inversa a la potenciación:

a) Rocío no gana nada. b) Rocío gana 110 soles. c) Rocío pierde 90 soles. d) Rocío gana 100 soles. e) Rocío pierde 100 soles 10. ¿Cuál es el porcentaje único de descuento que equivale a tres descuentos sucesivos de 10, 15 y 20%?

S3RM31B

c) 42,2

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria

raíz enésima

am

signo radical

indice del radical

a = b

a) radicando o cantidad sub radical n

5

52

4

 3   = b) 

=5

4−2

 11   

2

= 5 = 25 c)

b)

a = b ⇔ bn = a

Ejemplos :

= (−12 )7

(−12 ) 4

a) 25 = 5 ⇔ 5 5 = 25 b) 3 512 = 8 ⇔ 8 3 = 512 c) 4 0 . 0016 = 0 . 2 ⇔ (0 . 2)4 = 0 . 0016 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y LA RADICACIÓN 1. Producto de bases iguales Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de sumar los exponentes iniciales. Su forma general es:

c)

0, 25

5

0,25 8

−4

= (−12 ) 3 = −1728

   

4

3. Potencia de un producto Es igual al producto de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es: n

n

( a.b) = a . b

a) 23 . 25 = 2 3+ 5 = 28 2

4

b) ( - 5 ) ( - 5 ) = ( - 5 ) 4

6

1 1 1 c)     =   5 5 5

4 +6

2+ 4

= 5

6

10

1 =  5

2. Cociente de bases iguales Es igual a otra potencia de la misma base, cuyo exponente resulta de restar ambos exponentes. Su forma general es:

La solución de este caso especial, se efectúa en forma progresiva de arriba hacia abajo tal como indica la flecha.

(2,5 )2

( 9) 3

2

Ejemplos:

(3 5 ) (11 2 )

0

4

=

4

=

4

3 ( 5)

2  c)  8 .  5  d)

(0,25 x 3

3

4

=

5

( 8)

)

2

4

11 4 ( 2 )4 a)

2   5 

3

5

)

2

4. Potencia de un cociente Es igual al cociente de sus factores, cada uno afectados con el mismo exponente. Su forma general es: a    b

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

n

=

an

=

2

2

b)

5

2

2

5

4

2

=

2

2

=

2

2

=

2

16

-1 1/2

2

=

2

2 =

-1 4

=

5

4

=

5

4

= 5

2

= 25

c) Hallar "E":

E =aa

[(7,2 ) ]

2 3

= ( 7, 2 ) 2 x 3 = (7, 2)6

3

E = aa

1

4    

3

      

−2 .

 7   =  2   

1 4

. 3

   

[a ] n

x

  

y

   

2

[ ]

. aa

= aa

aa

= 22 = 4 ⇒ E = 4

7. Exponente nulo Todo término con exponente cero, es igual a la unidad, tal que la base sea diferente de cero. Su forma general es: a0 = 1 Ejemplos : a) 70 = 1 b) ( 3

5

)0 = 1

z

6. Potencia de exponentes: S3RM31B

−3

 7   =  2   

NOTA: Cuando se presentan varios exponentes, esta propiedad recibe el nombre de cadena de potencia, cuya forma general se representa así:

bn

, si aa = 2

Transformamos la expresión así:



 −2   7     2    

a +1

15

c)

(

2

2 4

2

( a m ) n = a m.n



=(0, 25 )2 . 3

M=2

2

1

2

2

 1   1  b)    =    3   3

4

8

2

Ejemplos:

3 5 )

0

8

4

n

a)

3 3 5 ) = 7 (

Ejemplos: S3RM31B

n a

4

5. Potencia de potencias Es igual a una potencia de la misma base, cuyos exponentes se multiplican. Su forma general es:

Ejemplos:

b) ( 7 .

y x

11 4

=

 3 5     11 2   

5

Ejemplos:

Presenta la siguiente forma:

= 0,25 5 − 8 = 0, 25 − 3 = 64

a) ( 5 x 3 )2 = 52 x 32

am . a n = a m + n

 2,5  3 9 

( 3)

2

d)

(−12 )7

3er Año Secundaria

3

Ejemplos: 4

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02

73 343 7  a)   = = 3 8 512 8  

= a m −n

an n

01

=a n

x yz

0

3 3  c)  2  =1  2  d) Comprobando esta propiedad se tiene:

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

am

a)

= am − m

am

8. Exponente negativo Toda base con exponente negativo es igual a su recíproco o inverso con exponente positivo. Su forma general es:

3

5 2 = 53

−n

b =  a 

n

b)

3 −2 =

1 3

6

6

6

= 64 1 = 6 64 = 2 6 = 2 6 = 2

c)

5

a5 = a 5 = a

5 2 7 0 .2 = 7 10

1 =75

4  c)   5 

1 9

5 125 5  =  = = 3 64 4 4 

a)

a0 a

n

= a0 −n

↓

1 a

n

= a −n ⇒ a −n =

1 an

9. Exponentes fraccionarios Todo término con exponente fraccionario es equivalente a un radical de la siguiente forma:

a .b =

Ejemplo :

S3RM31B

n

n

a .

4x7 =

b) c)

5 2 x 7 =5 2

12 x 5 =

3

25

n

b

b

13. Potencia de un radical Esta propiedad es una aplicación del exponente fraccionario cuya forma general es: m n n   = am  a    

3

12 x

3

3

7

5

x 5

7 25

1 n a . b = (a . b) n

5

c)

5

3 81

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

n

b

a) b)

por

exponente

3 3

7

3   2  =   5

m

n   a    

10 3 1 =5 81 27

=5

m

2 3 5  = 3 5 2    

n

p

5 =  

32 4

0,16 0, 25

=

a

  =a  

1 n

m

    

=

n

0, 4 0,5

m

a m →a

3 2 −m :

=m . n . p

n

n

=

am

3m

Solución Aplicando las propiedades tenemos por la raíz de un cociente.

M=

a

3 2 +m 3m

Luego aplicamos la propiedad del exponente

a) 5

p

=

a

3.5.2

8 =

30

8 también

1 fraccionario: 8 30

2+m

M=

b)

2

3

m

1

c)  41 / 2  

S3RM31B

=16

01. Simplifica la siguiente expresión:

Ejemplos :

(

2

4  25  = 2 4  

PROBLEMAS RESUELTOS

5 = 2 . 2 .2 .2 5 = 16 5 también 5 16

fraccionario

2 3 =2

Comprobando esta propiedad tenemos:

3

0,16 = 0 , 25

1 1 a n . bn

Finalmente tenemos:

a

12. Raíz de Raíz Es igual al radicando cuyo índice del radical resultante es el producto de los índices dados.

Su forma general es:

3

Luego por potencia de un producto, se transforma en:

n

n

Ejemplos :

2

7 = 10

b) 3

d)

Comprobando esta propiedad, en su forma general tenemos:

= am

a = b

2 = 3

a)

7 =2

4 x

3

m

a

a .

c)

Ejemplo :

Comprobando esta propiedad tenemos:

3er Año Secundaria n

Ejemplos :

2 1 0, 2 = = ⇒ 7 0.2 = 5 7 10 5

m5 3

a .b =

n

Es igual al cociente de cada término bajo el mismo radical cuya forma general es:

=57

sabemos que:

n

3

⇒

b

n

10. Raíz de un producto Es igual al producto de cada factor bajo el mismo radical siendo su forma general la siguiente:

1

m−5 = −3

=

2

a .

n

11. Raíz de un cociente

Ejemplos: a)

n

6

64

d)

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02 n

1

a  también :   b

01

b)

1 = a0 ⇒ a0 = 1

1 a −n = an

3er Año Secundaria

)1 / 3 

1/5

1

=

5 3 2

3

2

Finalmente aplicamos la Cociente de bases iguales.

4 = 5 .3 .2 4 = 30 4 = 4 30

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

propiedad

de

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2 +m

M=3

2

−

m

2 +m −m

2

2

=32 =3

=3

2

3er Año Secundaria

4 1 3 + + 12 2 M=36

02. Halla el doble de E, si:

Aplicando la propiedad del exponente fraccionario al primer factor, se tiene: m + n −1

2  1  m + n −1 E= ⇒ E= 2 m +n 2m +n 2 

Luego, por el cociente de bases iguales y simplificando los exponentes se obtiene: E = 2m + n – 1 – m – n E = 2 -1

Finalmente, como se trata de obtener el doble de esta expresión:

1  E = 2  = 1 2

M =

3

34

3 .

33

Resolviendo el primer factor según la propiedad 11 (raíz de raíz) y 8 (exponente fraccionario) tenemos: M=

6

6

34

34 4

.

3 .

12

1

33

33

3 .

3

M = 3 6 . 3 12 . 3 2 S3RM31B

ab 3

5

  =a  

a6 b3 a

1

2

b2

15

7

3

9

2

2

2

2

a

b

a 1

15 2

3

b

10    

7 2

  a   

b

ab 3 a

=

10

a

1

3

2

b2

15

7

2

2

b

4

b

9 2

a

3

9

2

2

b

4    

7

3

9

8

b8

20

3

7

3

9

=a

4

20

8

b8

b 20 . a

b

 4 P = 8    5 

07. Determinar el resultado de simplificar: n+3 n+4 a n+2 a n+3 S = a aa . a

Solución: Teniendo en cuenta que:

.a

=a

9

59

8

40

b

−2

   

2 − 3 

−3

   

33

−3     

 

3

1

5  3  9  =8   −  −  4  2 8 

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

(2)

am = a m −n n a

m n m +n (3) a .a =a

S=

a

a n +4

a n+3

a n+3

. a a n+2

Obsérvese que tenemos una división de dos potencias de la misma base. n +4 −n −3

S = a a .a a

Teniendo en cuenta que:

S = a 2a

am

P=

n +3 −n −2

x

3

x

x

x

Solución:

En el numerador efectuamos la potencia de potencia: x 15 n +10 .y 8 n − 4 x 15 n + 8 .y 8 n − 6

Tenemos potencia de la misma base en el numerador y denominador.

R = x 15 n +10 −15 n −8 .y 8 n −4 −8 n +6 R = x 2 .y 2 S3RM31B

.a a

08. Calcular el resultado de simplificar:

= a m −n

an

n

(1) m a n =a m n

Solución:

R=

Resolviendo primeramente las operaciones que se encuentran en la base (corchete) tenemos:

a n =a m

En primer lugar eliminamos los radicales

1) (a m ) n = a m.n

 3  −1  3    9

m

9 1 = = .... (2) 27 3

06. Determinar el resultado de simplificar (x 3 n + 2 )5 (y 2 n −1 )4 R= x 15 n + 8 . y 8 n − 6

Solución:

2

3

P 2 = =1 2 2

2)

8 − 9    

3

S = aa

Aplicando la potencia de potencia, resulta: =a

( 9) =

−3

Finalmente, la mitad de P es:

1

3 2

   

Por lo tanto la expresión P queda reducida según ( 1 ) y ( 2 ) a: 1 (8) 3 = 3 8 = 2

05. Halla la mitad de la expresión P, si:

Solución:

M=

5

15

03. Calcula el valor de M, si:

ab 3

Este ejercicio a diferencia del anterior empezaremos eliminando los radicales y agrupando bases iguales, tenemos:

=

Por el exponente negativo resulta: E = 2 – 1 = 1/2

a 3b .

 3  3  9

Solución:

=

3er Año Secundaria

Luego simplificamos el exponente:

a 6b3

Solución:

)

9 M=34

⇒

04. Simplifica:

E = ( 2 m + n )- 1 ( 2 m + n – 1 )

(

9  25  27 =8  − − 8 8  16  25 27 9 64 = − − = = 8 ....( 1) 2 8 8 8

Luego por el producto de bases iguales, resulta:

⇒ M=3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02

01

Recordando que: a2

3

b

3

=

a6b

Vamos a introducir la “x” al siguiente radical.

P= P=

3

6

x 3 .x

x4

x

x

x

x

Nuevamente repetimos la misma operación.

P=

6

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

x 8 .x

x

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN P = 12 24

P=

x9

=

x

12

3er Año Secundaria

x 18 .x

7 2 a +1 5 a E = a −2 b . .

35 2 b 7a

x 19

09. Determinar el resultado de simplificar:

03.

7 ab −1 7 ab +1

1    −2 − −2 −3   . 16 −9  = 64 −9        

Recordando que 7 2 a +1 5 a .

7 2 b. 5 2 b 7 a

a −2 b

7 ab −1 7 ab +1

E =

1 2) 2 −1 = 2

Efectuando las operaciones con las potencias de la misma base:

a −2 b

−4 −1 / 3 −1

)

7

a −2 b

Transformando punteada:

2) 9 −1 / 2 =

(

S =

S =

−1 / 3

1 1 64 3

S =

1

−2 b −a ⋅

7

a −2 b +1

5 a −2 b

1 = 1 9 /2

1

). (16

4

)

9

=

06.

3n

m

.5

a −2 b

7

.7

4n .

= ..................................

3n

4n .

−1

4 m +1

= ..................................

n

2  3   x  x        

 (x 3 y − 2 ) 3   (x 2 y − 3 ) 4 

a) 11. Cuál es el resultado de simplificar:

b) 1/2 e) 1/8

1 x

5

y

3

a) 21 d) 7

b) 18 e) –1/14

16

2

01.

(3) . (−2) (−4 )

4 n    

2

= ..................................

a) x+1 1/3

( − 16 )1 / 3 .  1 

02.

2

d)

x x

3n

b) x e)

c)

x x

x a) a

4

d) n a 17. Simplifica:

S3RM31B

xy

c)

6

   

x y3

5

   

16. Cual es el equivalente de la expresión

    

n

= ..................................

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

1

(− 2)n

2) x (−

 (x − 2 y 3 ) 4 .   (x − 3 y 2 ) 3 

 1 e)   xy 5 

13. Marcar el resultado de efectuar: S3RM31B

−3

c)49

12. Indicar el resultado de simplificar:

3

   

b)

10

 1  d)   xy    

7 n + 2 − 7 n +1 2 . 7n

c) 1/4

15. Determinar el resultado de simplificar:

= ..................................

Indicar el resultado de efectuar:

10. Calcular el resultado de simplificar, 31 a > 2b.

e) 1

2

2(2 n +3 )

= ..................................

n 10. 3 x 3 n +1

c) 2 n

2

2 n +4 − 2(2 n )

6

09.

PRACTICA DE CLASE

S = 1

d) n

2

64 n + 16 n 32 n + 8 n

b)

a) 1 d) 7/8

(9 n ) 2

−1 / 2 −1

1 . 4 4

a) 1/4

= ..................................

2 m +2

1 3

64

n

14. Calcular el resultado de simplificar:

(3 n + 1 )n

− 2

1 = 2

. 16 1 / 2

1 3

1 = 4 1/2

4 n 2     

07.

E = 35

1) 4 −1 / 2 =

S = 64

E=

lo que está con línea

n −1

05.

08.

2a + 1

= .................................. = ..................................

92

m

E= ).(16

n

3er Año Secundaria

= ...................................

−n = 1 1) 4 4n

S = (64

(3 ) (9 )

n −m

m 2n

04. n

Expresando 35 2 b = 7 2 b . 5 2 b , además teniendo en cuenta que tenemos a la vista la división de 2 radicales del mismo índice:

Solución:

−9 −1 / 3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02

Solución:

− 1

S

01

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

a 4n n +2

2 a n + 2n

b) a 2 e) 1

c) a n

2

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN   

{( 3) }

a) 3 d) - 3

5

−1 / 2

3er Año Secundaria

4 /5

  

b) 1/3 e) N.a.

Q=

a) 3 d) 8

3 5

b) - 2 e) N.a.

03. Indicar el valor que se obtiene al efectuar: a

c) 4

−1 / 2

b) b4

d) a3b6

e) N.a.

20 a +1

a) 0 d) 5

2

− 15 n

b) 15a e) N.a.

a) 1/9 d) 4

−2 2 / 3 3 2    R = 0,125   

a) 2 d) 125

b) 64 e) N.a.

b) 2 e) 1/3

a) 24 d) 3e) N.a.

c) - 3

a) 4 d) 1/2

-2

-4

A=

n

n a) n d) n

n

n4a

1 2a 6

S= a) 8b) 4 d) 2e) N.a.

n c) n2

b) 2n e) N.a.

64 9

−4

c) 4

E=

2

b) 2 e) 1/4

a) 5b) 10 d) 20

c) 1

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03

a) 15 d) 18

+ 27 −9

b) 21 e) N.a.

16 −2 −1

+ 64 −9

c) 5/6

x2 .

26

x 3 ...

b) x4 e) N.a.

26

c) x3

−2 −1

(

)

a) 8b)−14 −2 N.a.

−4 + 0 . 2 16 d) 2e)

07. Simplificar:

1/3

-6

E = 16

c)

2

a) 1/2 d) – 2

c) 4

4

−5

0

−6

c) 15 e) N.a.

- 16

-8

- 27

b) - 1/2 e) 1

12. Hallar el valor de E, si:

x 12

 1  −1  1  −1  1 −1   3  −1 M =  + −            2  8  2 4     

a) 2 d) 12

11. Hallar: -3

-6

0

16. Si

b) 4 e) N.a. xx

x

= 2 , calcula:

M=

c) 2

c) 6

a) 2b) 4 d) 16

X

x

x+x

x+x

c) 8 e) N.a.

17. Calcula el valor de : -3

02. Simplificar: S3RM31B

26

5

E=

01. Calcular el valor de “k” −1

x .

06. Efectuar: 1/2

b) 16

15. Halla el valor de la expresión:

a) x5 d) x2

-1/40

−2 k = 125 −9

26

3n + 3 −3  3 n     n − 1   3 3   

M = 5(16 )

10. Reducir:

− 2 −1

c) 4

14. Efectúa:

P = 64

05. Calcular el valor de “S”:

E = 16

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

S3RM31B

−6

0

20. Calcular el valor de A: 2a

b) 2

P =

- 16

-9

c) 5

7    5 

13. Calcular la octava parte de la expresión P, si sabemos que:

-1

09. Efectúa:

04. Calcular el valor de “R”, si:

c) b6

a) 1 d) 8e) N.a.

c) 2

- 32

M = 81

2

 5  −3  E =       7    

08. Calcular:

51 −a + 31 −a

c) 20

3er Año Secundaria

2

b) 1 e) 2/5

5 a −1 +3 a −1

+ a −1

4 a +2 +2 2 a +2

a) 10 d) 1

{ (a 6 b 9 ) 4 }−1 / 3 

a) ab

2 − 6n

-5

19. Simplifica la expresión: M = a8  

25 n

b) an + bn + cn d) abc

2

10 n

n2

a −n + b −n + c −n

a) a + b + c c) 1 e) N.a.

  1 −1 8     2 

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02

a ncn + a n bn + bncn

c) - 1/3

18. Halla el valor de E, si: 0 . 2 E=  

n

01

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

-4

-1 -2

x

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 64 d) 4

b) 32 e) N.a.

 x .   4 x . 

c) 16

18. Resuelve la expresión:

b) 3 e) N.a.

2   

d)

c) 6

3

 1     64  

19. Calcula el valor de M, si:

a) 32 d) 64

b) 48 e) N.a.

a) 1 d) 1/4

   

2

para que el resultado sea

a)

3

b)

5

d) 5

5 3

   

0

     

P=16

5

16

- 32

-125

c) −

5 3

c) 9

b) 2/3 e) 27/8

-9

a) 3 d) 10

−0, 2

c) 4/9

09. Operar:

-2

-1

a) 1 d) 4 c) 1

b) 5 e) 12

-2

1

-1

(-27)

-3

-1

64

b) 2 e) N.a.

c) 1/2

10.Señalar el resultado que se obtiene al simplificar  125   

2 m + 7 . 16 m + 8 4 m + 9 .8 m + 6

a) 2 d) 4/5

9 −4

1 −2 −

− 1

    

1  −2 −  − 9 −4 . 2 8  

b) 2/3 e) N.a.

− 1/2

    

c) 2/5

c) 8

06. Reducir:

18 5 . 12 10 .(0 . 5 ) 4 E = 8 5 . 54 6 . 81 2

2m +2

R =

a) 1 d) 2

m

2m

2 +2 m

b) 3 e) 7

c) 5

07. Reducir: a − b

S3RM31B

2   E = (−27 )− 2 / 3 + (−27 )− 5 / 3 +  81  

05. Efectuar:

3

c) xy

c) 1/3

-4

3er Año Secundaria

08. Reducir:

a) 3/2 d) 9/4

3

b) 3 e) 4

01. Simplifica:

02. Efectúa:

1

b) y e) x

S=

a) 2 d) 5

TAREA DOMICILIARIA

b) 81 e) 1/729

−

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

04. Calcular:

e) N.a.

a) 729 d) 3

    

− 2 −1

c) 60

− 3 −5

c) 12 x

b) 1/2 e) N.a.

20. ¿Cuánto se debe aumentar a la expresión:   3    5  

6

02

a) x2 d) y2

e) N.a.

x5

03. Reduce:

4 n + 3 − 4 (4 n ) M= 4 (4 n − 1 )

x    x  

3

01

0 .2

b) 12 x 5

a) x12

1

3 n −1. 2   1 E =   n    3  8

a) 1 d) 18

3er Año Secundaria

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

xa

−b

+ ya

xb

−a

+ yb

− b −a S3RM31B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

ECUACIONES

3er Año Secundaria

01

3° Existen casos en los que la ecuación se consigue una igualdad en el exponente. x

a

= bx ⇒ a = b

Ejemplo: Resolver: Se deduce:

TÉCNICAS DE CONVERTIBILIDAD: Las ecuaciones exponenciales se convierten en ecuaciones algebraicas aplicando ciertas técnicas que enseguida se enuncian y describen.

IMPORTANTE:

1° Conseguir una ecuación donde queden igualadas dos potencias que tengan la misma base. a

x

= a

y

x

Ejemplo: Resolver:

9

x−2

=3

x = n , si "n"es impar

= n〈

n

n

2x – 4 = x +1 x=5

n

E =

A

a) 1 d) 4

∞ n

⇒E =n

n

A

Ejemplo: Resolver: 2x + 2 x+2 = 40 2x + 2 x.22 = 40 y + 4y = 40 y = 8 ↓ 2x = 23 Entonces: x=3

S3RM31B

E =

n

A:

n

a

n +8

=1

c) 4

n− 1

A

a) 3 d) 8

A:

A : ... ∞ ⇒E =

n +1

A

n(n +1) + n(n +1) + ... ∞

PRACTICA DE CLASE

c) 3

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

3 x + 5 = 81

a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

c) 4

3 b +3 b −1 +3 b −3 = 111 c) 6

a) 2 d) 1

b) 4 e) 8

c) 6

14. Efectuar: 16 2 x +1 =64 x −1

=3

b) 2 e) 5

c) 3

a) 5 d) –3

b) -5 e) 8

c) 3

15. Resolver:

16 x = 8 8 11 5

3x

5 = 11 

a) 1 b) 2 d) 4 e) 5 09. C alcular el valor de “x” S3RM31B

c) 3

13. Calcular el valor de “b” en:

08. Efectuar:

01.Efectuar: x −4

b) 2 e) 5

07. Calcular el valor de “m”

a) 1 d) 4

a 5 n +2 = 1

1

b) 5 e) 10

94

E=n+1

a) 1 d) 4

3

4 a −4 + 4 a −3 + 4 a −1 = 69

x

− m −1

c) 2,5

12. Calcular el valor de “a” en:

b) 2 e) 5

5° Reducir: E =

a −2 n .

06. Efectuar:

A ... ∞ ⇒E =

n

b) 2 e) 4

11. Determinar el valor de “n” en:

8 x −10 = 0, 25 x

n

a) 1 d) 3

c) 5

b) 2 e) N.a.

1  

4° Reducir: 2° En aquellos casos en conde existan términos de la forma kx, se hace un cambio de variable del tipo kx = y, para obtener una ecuación algebraica respecto a y.

a) 1 d) 8

.

3

c) 3

5 2 x −1 = 625

44  = 2 2

3° Reducir:

3 2x − 4 = 3 x +1

a

x = ± n , si"n"es par

n

n

b) 2 e) 5

04. Calcular el valor de “n” −n

a x +1 = 1

10. Resolver:

05. Calcular el valor de “x”

2° Reducir: E =

a) 1 d) 4

4

c) 3

b) 4 e) N.a.

n

n

3

a −x . a x −1 .

b) 2 e) N.a.

a) 1 d) 6

n

x +1

↓ (3 2 )x − 2 = 3 x +1 Entonces:

 xx

c) 4

2 x + 2 x −1 + 2 x − 2 = 56

n = 3

xn

3er Año Secundaria

03. Hallar el valor de “x”:

Es necesario recordar estructuras que caracterizan a cierto tipo de ejercicios, donde se aplican criterios de la teoría exponencial y ecuaciones exponenciales.

1° Si:

⇒ x = y

a) 6 b) 5 d) 7 e) N.a.

02. Calcular el valor de “x”:

a) 1 d) 4

(2n)x = (3 + n)x 2n = 3 + n

Entonces:

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

2 x + 1 + 2 x + 3 = 80

En este caso se admitirá x=0, cuando a ≠b Son igualdades relativas cuyas incógnitas aparecen como exponentes.

Se entiende por igualdad relativa a aquella que se verifica para algunos valores que se le asigne a sus incógnitas.

02

6

125

  

c) 3

a) 5 d) 8 16. Hallar “x”:

b) 3 e) 6

c) 2

5x+1 + 5 x+2 + 5x+3 + 5 x+4 = 780 “Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 0 d) -2

b) -1 e) -3

c) 1

3er Año Secundaria

xx x 2 +2

=4

a) 3 d) 4

17. Hallar “a”: a) 2 d) a) 4 d) 8

b) 7 e) 3

4

c) 6

b)

a

.

3

=

27

a 23

a) 3 d)

a) 1 d) 1/2

b) 3 e) 1/3

c) 2

a) 1/2 d) 2/3

5 = 45

c) 5/2

c)

3

3

2 x +1 − 2 x − 3 − 2 x − 2 = 52

05. Efectuar:

a) 3 3

b)

d)

e) N.a.

5

=x

xx

b) 4 e) 5

c) -6

01. Resolver: x

x =

9

b) 1 e) 1/2

b) 9 e) 1/3

25 −8

c) -1

a) 4 d) 2 S3RM31B

a2

b) 2 e) 16

−2

a) 0,25 d) 0,28

a) 9 d) 2 c) 8

−x

=

09. Resolver:

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

− 27

−x −4

b) 6 e) 12

32 x

8

64 x

a) 20 d) 8

a) 2 d) 1/2

c) 0,50

a) 9 d) 9/8

a) 1 d) 1/2 14. Hallar “x” n −5

− 2 −1

9

−x

x

−1

=2

c) – 1/2

c) 5

a) 1,3 d) 1,5

5

12 − x

= 32

2 n −5 + 3 n −5 5 −n

+3

2 =4

2

c) 8/9

x

−16

−1

=

1 256

b) 2 -4 e) N.a.

a) 2 d) 2 -8

5 −n

b) 2,5 e) 2,7

5

59 + 5n 5n + 53

x+ 2

c) 2

a) 1 d) 6 05. Efectuar:

c) 2 -16

28 = 36 x −1

=5

b) 2 e) N.a.

a) 1 d) 3

c) 1,2

15. Hallar “n”

S3RM31B

2

04. Calcular el valor de “n”:

b) 3 e) 2/3

2

=4

c) 16

b) 8 e) N.a.

3

2

c) 6

= 1024

03. Efectuar:

b) 3 e) -2

5x

= 0, 2

c) 10

b) 25 e) N.a.

2 x.

1 3

b) 0,20 e) 0,35

8

08. Efectuar:

=2

c) 4

4

−1

b) 3 e) N.a.

16 −8

aa

−x

c) 3

02. Hallar “a”

a 2 −a

13. Hallar “x”:

a) 1 d) 9

3

b) 8 e) 9

(

=2 3

02. Resolver:

3 x + 3 x +1 + 3 x +2 + 3 x +3 = 40 3

EJERCICIOS PROPUESTOS N° 04

a) 12 d) 16

12. Resolver:

a) 2 d) - 2

 a   

a .

01.Resolver:

 81  =     16 

b) 6 e) 5

243 c) 4 3

3

2n− 8

a

TAREA DOMICILIARIA

1−a

a) 1 d) 8

x3

07. Calcular:

a) 27 d) 16

3

3er Año Secundaria   a  

c) 1/2

2 .    3 

06. Efectuar:

20. Hallar “x”:

1 2

11. Hallar “x” x 3 −x

b) 3/4 e) 3/2

a) 6 d) 8

=3

 xx  x    n

 8       27 

e) N.a.

5

19. Hallar “n”: 135

x3

b)

=

10. Hallar el mayor valor de “a”:

04. Calcular “x”:

a. a 2

0 ,5

b) 2 e) 8

1−a 2

x

2 3

c)4

2

e) 1/2

2

18. Hallar “x”: x

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

02

03. Hallar “x”: xx

(2 a − 7 )(2 a −7 ) = 3125

01

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

x−2

= 44

b) 2 e) N.a.

c) 3 x +1

c) 9

)4

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

3er Año Secundaria 06.

D

D

01

C

E

07.

B

C

E

D

08.

B

D

E

A

09.

A

A

E

C

10.

D

C

C

C

11.

D

C

A

B A

12.

A

C

A

13.

A

D

A

B

14.

B

A

B

D

15.

A

D

B

C

16.

E

E

D

--

17.

A

C

A

--

18.

E

D

E

--

19.

D

B

C

--

20.

A

B

E

--

02

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

SOLUCIONARIO Nº

Ejercicios Propuestos 01

02

03

04

01.

B

D

C

A

02.

E

C

D

A

03.

A

A

C

B

04.

D

D

B

C

05.

D

C

B

A

S3RM31B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

S3RM31B

“Los más grandes hombres crecen con nosotros...”

3er Año Secundaria