COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to. Año Secundaria 21
SUCESIONES Al principio, el género humano no conocía la actividad de contar. Quizá no la necesitaba o, al menos, no tenía que hacerlo para cazar los animales y, así sobrevivir. Como no conocía las horas, las semanas y los meses, no tenía porque hacer conteos. Sin embargo podía distinguir que existía una diferencia entre uno, pocos y muchos, ya sea al momento de la recolección de alimentos, al llevar a cabo la cacería o al memento de enfrentarse a una situación de peligro que entrañaba la lucha por la supervivencia. El ser humano aprendió a contar por necesidad y con el transcurrir del tiempo lo fue haciendo cada vez mejor. Primero con los dedos, que fueron los primeros símbolos usados como números, y luego usando piedras, haciendo marcas en el tronco de un árbol, en la tierra o arena del suelo. ¿Cuál es el origen del número? Siendo el número un concepto de redacción se sabe que el número surgió de la comparación entre un grupo de objetos y uno de esos objetos aislados. Caminando por el desierto, el beduino ve una caravana de camellos. ¿Cuántos son? Para definir ese “cuántos”, debe emplear los números. El número será la pluralidad definida bajo la forma de una palabra o de un símbolo. Para llegar a ese resultado, el hombre precisa poner, en ejercicio, cierta actividad. Necesito contar. Al contar relaciona cada conjunto con un determinado símbolo: uno, dos, tres,..; es decir, establece una correspondencia entre los números y los objetos del conjunto que desea contar. Nacía así, la noción de sucesión. Ahora, para la representación de un número cualesquiera con pocos signos era necesario inventar un sistema de numeración. El más antiguo sistema de numeración es el Quinario, en el cual las unidades se agrupan de cinco en cinco.
S5RM32B
En el primitivo sistema quinario el número de discos indicados sería 32 Una vez contadas cinco unidades obtendremos una colección llamada quina. Si 8 unidades sería una quina mas 3 y escribiríamos 13, entonces en el esquema mostrado tendríamos 3 quinas y 2 unidades y escribiríamos 32 (en notación utilizada actualmente e 32(5)). Es importante decir que en este sistema el segundo guarismo de la izquierda valía 5 veces mas que si estuviese en el primer lugar. Po consiguiente, los matemáticos dicen, que la base de este sistema es 5. Surgió después el sistema de base 10 que se prestaba para expresar grandes cantidades. El origen de este sistema se explica por el número de dedos de la mano. Algunos pueblos, sin embargo, demostraban preferencia por un sistema que tenía por base 12 (una docena). La docena presenta sobre la decena una ventaja: el número 12 tiene más divisores que 10. El sistema decimal fue universalmente adoptado. Desde el Tuareg, que cuenta con los dedos, hasta el matemático, que maneja instrumentos de cálculo, todos contamos de 10 en 10. Dadas las divergencias profundas entre los pueblos, semejante universalidad es sorprendente; no puede; no puede jactarse de los mismo ninguna religión, código moral, forma de gobierno, sistema económico, principio filosófico o artístico, lenguaje, ni alfabeto alguno. Contar es uno de los pocos en torno del cual los hombres no divergen, pues lo consideran lógico y natural. NOCIÓN DE SUCESIÓN En matemática la palabra sucesión se emplea casi con igual sentido que en e lenguaje común. Por ejemplo, supongamos que pedimos a un grupo de niños formarse en fila india(alineados uno detrás de otro). Empezamos a repartir caramelos; al
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
22
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
primero le damos dos; al segundo, 5; al tercero, 8; al cuarto, 11; y así sucesivamente hasta haber entregado lo que corresponde al último niño de la fila. Es claro que tenemos que disponer de una cantidad suficiente de caramelos para poder llevar a cabo el reparto. Si se asume que dicha cantidad es finita, es posible determinarla, porque el número de alumnos que integran el grupo (Sea grande o pequeño) es finito. Cabe señalar que los números los cuales indican la cantidad de caramelos entregado a cada niño, están ordenados de manera creciente; es decir forman una sucesión cuyo número de términos va a ser limitado y dependiente del número de niños. Estamos frente a una sucesión finita. Si en una noche clara, mirando el oscuro cielo tachonado de estrellas, empezamos a contarlas de dos, cuatro, ocho, diez, doce..... y no llegáramos a contarlas todas, aun teniendo un poderoso telescopio, su número seria infinito y como estamos enumerando, los términos de dicho infinito será denominado infinito numerable. Por ello, cuando la sucesión tiene un número finito de términos, se denomina sucesión finita y cuando tiene un número infinito numerable de términos se denomina sucesión infinita.
5to. Año Secundaria
tn =
De los números tetraédricos
1, 4, 10, 20, 35, ......
tn =
Números pentagonales
1, 5, 12, 22, ........
tn =
Números hexagonales
1, 6, 15, 28, ....
t n = n ( 2n − 1 )
De los números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, .....
tn =n 2
De los cubos perfectos
1, 8, 27, 64, 125,....
tn =n 3
De los números primos
2, 3, 5, 7, 11, 13, .....
De Fobonacci
1, 1.2, 3.5, 8, 13, .....
De Feinberg1 (Tribonacci)
1.1, 2, 4, 7, 13, 24,..
S E S P E C I A L
S U C E S I O N E S
E S P E C I A L E S
Nombre
S U C E S I O N E S5RM32B
Sucesión
Regla de información o término enésimo
De los números naturales
1, 2, 3, 4, 5 .....
tn = n
De los números pares
2, 4, 6, 8, 10, ........
t n = 2n
De los números impares
1, 3, 5, 7, 9, .........
t n = 2n −1
2 n ( n +1 )( n + 2 ) 6 n ( 3 n −1 ) 2
No tiene término enésimo pero sí criterio de orden
t1 = 1
t2 =1
t n = t n −1 + t n −2 ∀ n ≥ 3 t1 = 1
t2 =1
t n = t n −1 + t n −2 + t n −3
1, 3, 4, 7, 11, .........
t1 =1 t 2 = 3 t n = t n −1 + t n −2 ∀ n ≥ 3
PRÁCTICA DE CLASE A continuación detallamos los tipos de sucesión de mas frecuencia en el examen de admisión a la UNT. SUCESIONES LITERALES Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Estos criterios son diversos y los más considerados son: - Lugar que ocupa la letra del alfabeto - Iniciales de palabras desconocidas - Formación de palabras
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
t3 = 2
∀ n ≥4 De Lucas
SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y ESPECIALES A continuación mostraremos, en el siguiente cuadro, algunas sucesiones importantes:
n ( n +1 )
De los números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, ............ ...
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Ejemplo 1. Indique que letra continúa en cada caso: a) A, Z, B, Y, C, ................ b) R; O; M; J; .................... c) T; S; N; D; …………….. d) E; F; M; A; …………….. e) B; A; F, C; J; E; ............. f) A; E; H; ........................ SUCESIÓN NUMÉRICA Es un conjunto ordenado de elementos numéricos en el cual cada uno de ellos tienen un orden designado, es decir, a cada uno le corresponde un número ordinal, de tal manera que puede distinguirse a uno como el primero, otro con el segundo, otro con el tercero y así sucesivamente de acuerdo a cierta ley de formación. Ejemplo 1. La sucesión cuyo término enésimo es: tn =
n
3
+1
; sus cuatro primeros términos 3 n +2 son: ............................................................... Ejemplo 2. La sucesión, la cual t n =
1 2n
, está
integrado por los siguientes términos: ................................................................ ....... Ejemplo 3: Escribe los primeros 4 términos de la sucesión en la cual:
T1 =16
y
Tn +1 =
1 2
. tn
5to. Año Secundaria 21 Ejemplo 5: Calcula el término general en cada caso: a) 9; 16; 23; 30; 37;....................... b) 33; 21; 9; -3; -15; ...................... c) -3; 2; 7; 12; ............................... Ejemplo 6: En la siguiente sucesión: 127; 123; 119; 115; .............; -269. Calcular: a) Tn .................................................... b) La cantidad de términos ................... c) El segundo término negativo de la sucesión................................................ Ejemplo 7: Dada la sucesión: -147; -139; -131; .....; 1045. Calcular: a) Tn .................................................... b) Cantidad de términos de la sucesión:................................................ c) El primer término positivo: ................... Ejemplo 8: Escribe el término enésimo de la sucesión: 2; 7; 13; 20; 28; ................... Ejemplo 9: Dada la sucesión: -5; -9; -9; -5; 3; ............ Hallar su enésimo término ....................... Ejemplo 10: Calcule el término 12 de la sucesión: 2; 5; 12; 23; 28; .......................
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
22
segundo es media armónica del término que le precede y el término que le continúa. Ejemplo 14: Hallar el término que continúa
1;
en:
1
;
2
1
1
;
3
4
;
1 5
; .......... ..
Ejemplo 15: Hallar el término que continúa en:
2 3
;
2 9
;
2
;
15
2 21
son:
y
13
1 17
Ejemplo 17: Hallar la ley de formación de la siguiente sucesión:
q =
6
;
.
.
.
13 .
10 ;
9 15
11 17
15 ;
19 .
.
.
.
.
21 ; .............
Calcule la diferencia entre el número de lados de una figura 2k +4 y el valor numérico comprendido en el interior de esta, si la diferencia en la figura anterior es 300.
Tn
Tn −1
n ≥3 ..............................................................
Ejemplo 13: En la siguiente sucesión: 7; 19; 37; 61; 91;....................... Halle la diferencia entre el penúltimo término de 3 cifras y el cuarto término de cuatro cifras.
a) 80; 20; 5;
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
F
02.
5
7
03. Ángela se encuentra en una huerta de cerezas donde comienza a comer de ellas de la 2 2 2 2 siguiente manera. El primer día come 4, el ; ; ; ; .......... .......... .......... ........ segundo 7, el tercer día 11, el cuarto día 16; y 7 13 19 25 así sucesivamente, hasta que cierto día se da cuenta de que el # de cerezas que comió ese 3) SUCESIÓN GEOMÉTRICA: día era 10 cerezas menos que el triple de La razón entre sus términos se halla cerezas que comió el décimo día. ¿Cuántos dividiendo: días han transcurrido hasta ese cierto día?
Ejemplo 18: Hallar el término enésimo en cada sucesión:
S5RM32B
3
respectivamente,
Ejemplo 12: Hallar el término 20 de la sucesión: 14; 17; 22; 29; 38; ....................
r =Tn −Tn −1
1
F F
.
construya la sucesión: ............................... .................................................................
Ejemplo 11: Halle el término de lugar 15 de la sucesión: 2; 5; 10; 17; 26; ................
2) SUCESIÓN ARMÓNICA: Se denomina así a la sucesión numérica en la cual se cumple que cada término a partir del
01. En el siguiente arreglo numérico, halle la suma del primero y el último término de la fila 25:
; .......... .......... ..
Ejemplo 16: si sabemos que los términos tercero y cuarto de una progresión armónica
1
PRACTICA DE CLASE
F
........
Ejemplo 4: Escribe los 5 primeros de la sucesión, si: t 1 =1 ; t 2 =1 ; t n = t n −1 + t n − 2 ;
SUCESIONES NUMÉRICAS IMPORTANTES. 1) SUCESIONES ARITMÉTICAS: La razón entre sus términos se halla restando:
5to. Año Secundaria
b) 36; 12; 4;
5 4 4 3
; .................................... ; ....................................
Ejemplo 19: Hallar el término central de la sucesión: 3; 6; 12; ..............; 192
S5RM32B
05. La siguiente sucesión es una armónica:
1 2 x +3
;
1 x +8
;
1 3 x +1
;
1 y
; .......... ......
Calcule el valor de (x + y). 06. En la siguiente sucesión: 8; 15; 22; 29;....... ¿cuántos de sus términos de 3 cifras terminan en 5? PROBLEMAS PROPUESTOS 02
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to. Año Secundaria 21 d) 165
01.Indique el término o letra que continúa en cada sucesión: a) A; C; F; J; ............... b) B; D; H; N; ............. c) A; B; E; F; I; J; ……. d) D; C; S; O; D; …….. e) E; F; M; A; N; ……... f) AB; BD; DG; GK; ........... g) h) 2; 3; 8; 17; 30; ………… i) 1; 2; 4; 7; 28; ………….. j) A; C; F; J; Ñ; ………….. 02. Calcule el término enésimo de cada una de las sucesiones siguientes a) 6; 10; 14; 18; 22; ................ b) 9; 14; 19; 24; 29; ................ c) -4; -7; -10; -13; ...................
2
d)
5
;
4 7
;
6 9
;
8 11
;......... .....
........ e) 5; 7; 11; 17; 25; ................. 03. Calcule el valor de K + A. Si: - (2K + 1), 3K, (8K + 11) es una sucesión de primer orden, y - (2A + 1), (4A + 2), (7A + 5) es una progresión geométrica, donde A ∈ N a) -2 d) -3
b) 1 e) -1
c) 3
04. Calcule x si: 3a
75
,7 a
a) 26 d) 33
72
,11 a
69
,15 a
b) 30 e) 31
66
, .....,
(
c) 34
S5RM32B
b) 140
b) 73 e) 76
c) 74
07. Se tiene una sucesión de primer orden cuya razón es 7. Dicha sucesión consta de 41 términos de lugar 21 es 145. Si la diferencia entre el último y el primero es 280, calcule la diferencia entre los términos de lugares 32 y 10. a) 100 d) 137
b) 140 e) 156
c) 154
08. Las sucesiones: 124, 120, 112, ......... y -2; 1; 4; 7; ........... Tienen igual cantidad de términos y además sus últimos términos son iguales. El penúltimo término de la primera sucesión es: a)56 b) 59 c) 40 d) 60 e) 45 09. ¿Cuántos términos de tres cifras hay en la siguiente sucesión: 3; 4; 11; 30; 67; 128; ................. a) 8b) 5 d) 10
c) 4 e) 6
a) 10 d) 16
b) 12 e) 14
c) 136
a) 140 d) 123
b) 120 e) 133
11. Dadas las siguientes sucesiones: S1: 11; 18; 25; 32; .......; 844 S2: 4; 13; 22; 31; .......; 1165
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
c) 13
12. Dada la siguiente de 21 términos calcule cuántos términos terminan en la cifra 5? 5; 11; 21; 35; 53; ..... a) 7b) 10 d) 8
c) 11 e) 9
13. En las 100 últimas páginas de un libro, se ha utilizado 350 cifras. ¿Cuántas páginas tiene el libro? a) 1049 d) 1048
b) 1050 e) 1047
c) 1051
14. En la siguiente sucesión: 9; 14; 19; 24; ............ ¿cuántos de sus términos tiene 3 cifras? a) 170 d) 160
b) 190 e) 180
c) 1800
15. en el triángulo de Pascal, calcule la suma de cifras del vigésimo término de la sucesión de términos tetraédricos. a) 1420 d) 1540
b) 1450 e) 1550
c) 1520
5to. Año Secundaria d) 702
1 3 7 13 15
c) 121 .
.
.
21 23 .
a) 900 S5RM32B
9
−
17 19
F4 F5
b) 450
.
2
, +1; −4 ; +25 ; 216 ; .......... ....... c) 3n
18. Cuántos términos de tres cifras que terminan en 5 presenta la siguiente sucesión. 13, 22, 31, 40, ........, 904 19. El primer día ahorró 3 soles, el segundo día, 6 soles, el tercer día, 3 soles mas que el segundo día, el cuarto día, 15 soles, el quinto día, 9 soles más que el día anterior y así sucesivamente. ¿cuántos soles ahorró el octavo día? a) 80 b) 99 c) 100 d) 98 e) 102 20. Si: ab , a 7, b 9, es una sucesión lineal, calcule el término número (a+b) a) 11 d) 12
F2 F3
25 27 29 . .
1
a) n −1 b) n n d) 4n - n e) n ( −1 ) . ( n +1 ) n −2
F1 5 11
e) 800
17. Calcule el término enésimo en la siguiente sucesión.
16. En el siguiente triángulo numérico, halle la suma del primer y el último término de la fila veinte.
10. Para imprimir un libro se emplean 255 cifras; luego se elimina el último capítulo que tenía 28−xpáginas y se suplanta por otro de 40 ( 49 ) x +49 ) a páginas. ¿Cuántas páginas tiene el nuevo libro?
05. Calcule el tercer término de 3 cifras en la siguiente sucesión: 3; 6; 11; 18; ........ a) 146
Halle cuántos términos son comunes a ambos?
06. Dadas las siguientes sucesiones: 5; 8; 11; 14; ......... 166; 162; 158; 154; .......... ¿Cuál será el término común a ambas sabiendo que ocupan el mismo lugar? a) 70 d) 80
A ; B; I ; FO ; .......... .........
e) 153
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
22
.
c) 801
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 10 e) 15
c) 13
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to. Año Secundaria 21
22 +
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO S = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + 97 + .... + 2 + 1
5to. Año Secundaria +
2S = 101 + 101 + 101 + 101 + .... + 101 + 101 2S = 100 (101) S = 50 (101) S = 5050
Iniciamos con esta nota curiosa el estudio de un capítulo sumamente importante por ser la base para proseguir estudios de cálculo integral, ecuaciones diferenciales y otros temas de nivel superior. Se recomienda revisar los fundamentos teóricos planteados en el capítulo de sucesiones, para abordar mejor el presente tema. Una de las aplicaciones prácticas de este capítulo en el curso de razonamiento matemático se verá cuando estudiemos el capítulo sobre conteos de figuras.
SERIES Y Habiendo estudiado las principales sucesiones numéricas nos interesa, ahora, conocer la suma de los términos de las mismas y, para ello, desarrollaremos el presente capítulo que será de gran utilidad para seguir estudios de matemática superior. El matemático alemán Karl Fiedrich Gauss (1777 - 1855) fue llamado “el príncipe de las matemáticas” por su dominio en el siglo XIX, de esta rama del saber. Desde niño demostró una poderosa habilidad con los números y la potencia de su genio lindó con lo increíble. Según la leyenda, a los 3 años de edad corrigió un error que su padre había hecho en el cálculo de los salarios de unos albañiles que trabajaban para él. A los 6 años su maestro de escuela, que reclamaba paz en clase, ordenó a todos los alumnos que sumaran los números del 1 al 100. Gauss inmediatamente escribió el resultado en su pizarra 5050 y se los mostró al profesor. Impresionado por la proeza del niño y desconfiado, quizá, de su habilidad le preguntó por el proceso que había seguido para llegar al resultado. Karl Fiedrich le indicó entonces, muy cortésmente, a su maestro lo que mentalmente había realizado. S5RM32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
Ejemplo 1: Hallar el valor de la serie: S= 4+7+10+....64 Ejemplo 2: Calcular: A = 17+21+25+.......+”40 sumandos” Ejemplo 3: Calcular el valor de la serie aritmética de 10 términos cuyo término central es 25. Ejemplo 4: Calcular: B = 3+6+12+24+...+1536 Ejemplo 5: Hallar: I = 1+2+4+8+16+...+220 Ejemplo 6: Dada la P.G. de 10 términos: 2; .........; -1024. Calcular la suma de dichos términos. Ejemplo 7: Calcular: N= 9+99+999+.......+999.........999 40 cifras Ejemplo 8: Hallar la suma: N= 3+33+333+.......+333.........333 30 cifras Ejemplo 9: Se contrata a un vendedor para la venta de autos, prometiéndosele pagar una comisión por el primer auto que venda y luego se le ira duplicando dicha suma por cada nuevo auto S5RM32B
vendido. Si se vende 12 autos y recibe por ellos S/. 12 285. ¿Cuánto le pagaron por el quinto auto vendido? Ejemplo
3 5
;
10:
−9
;
20
Dada
27 80
;
la
−81 320
P.G
infinita:
;..... . Calcular el
valor de la suma límite de sus términos. Ejemplo 11: Dejamos caer una pelota, desde una altura de 96 m y en cada rebote se eleva hasta los
2 3
desde la cual cae. Calcular el recorrido total
de la pelota hasta que se detiene. Ejemplo 12: Un frutero está apilando naranjas con la intención de formar dos pirámides tetraédricas iguales. Si desea que cada pirámide tenga 20 niveles. ¿Cuántas naranjas debe tener como mínimo? Ejemplo 13: angélica camina cinco pasos hacia delante y dos hacia atrás, luego da 10 hacia delante y cuatro hacia atrás; y así sucesivamente en P.A. ¿Cuántos pasos habrá dado en total hasta el momento en que por primera se encuentra a 1105 pasos del punto de partida? PROBLEMAS PROPUESTOS 03 01. De un libro se arrancan 61 hojas de la parte final. Si se sabe que en la numeración de éstas (hojas arrancadas) se han usado 365 tipos. Hallar la cantidad total de dicho libro. a) 120 d) 240
b) 110 e) 180
c) 210
02. Hallar el valor de “S”
S= a) 1 d) 1/5
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
1 9
+
1 27
+
1 81
b) 1/2 e) 1/6
+
1 243
+.......... ... c) 1/3
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 03. Hallar la suma de los 15 términos de la serie: S =1 +7 +17 +31 +.......... ..
5to. Año Secundaria 21 09. En el siguiente arreglo numérico hallar la suma de los términos de la fila veinte.
F :1
1 a) 1250 b) 940 c) 3500 F2 : 3 5 d) 2360 e) 435 04. Calcular “S” en: F : 7 9 11 S =3 +5 + 20 +50 +95 +....( 20 sumandos 3)
22
d) 38 e) 41 14. Calcular la suma de todos los términos unidos por línea demarcada hasta la fila 20.
F4 : 13 15 17 19
a) 15400 d) 3540
b) 24350 e) 44320
c) 17200
05. La suma de los terceros términos de dos P.A. cuyas razones se diferencian en 2 es 33. hallar la suma de los 10 primeros términos de una nueva P.A. que se forma al sumar términos correspondientes de las dos P.A. antes mencionadas sabiendo además que la suma de los términos anteriores al primero de las primeras P.A. es -3. a) 550 d) 630
b) 620 e) 610
c) 580
b) 1/5 e) 5/9
c) 1/2
07. Calcular el valor de “S”: S =9 +12 +17 +24 +..... +177 a) 814 d) 913
b) 910 e) 923
b) 8000 e) 3560
c) 1250
10. Calcular la suma de:
S =7 × 31 + 9 × 29 +11 × 27 +13 × 25 +.... + 31 ×7
a) 3955 d) 3975
b) 3965 e) 3985
c) 3945
c) 873
08. Se deben almacenar 810 postes cilíndricos en un espacio abierto, formando así el primer lecho horizontal de 50 postes y cada lecho sucesivo debe contener un poste menos que el precedente para no derrumbarse ¿Cuántos lechos pueden formarse?
40 sumandos
a) 3280 d) 3500
b) 1570 e) -3280
c) 1250
12. Se tiene la siguiente sucesión. 1, 5, 15, 34, 65, 111, .............. Hallar: a. El término de número ordinal 20. b. La suma de los 20 primeros términos. a) 4010; 22155 c) 315; 1510 e) 3290; 35710
b) 2050; 21215 d) 7050; 180
13. Si: 1ab +2ab +3 ab + ...... +9 ab = 4 cd 7; a ≠b n1n +n 2 n +n 3 n +...... +n 9 n =xyz4
a) 81 d) 44
b) 27 e) 20
c) 35
Calcular: c+d+a+b+x+y+z a) 29
S5RM32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
1
1 f1 1 1 f2 1 2 1 f3 1 3 3 1 f4 1 4 6 4 1 f5 1 5 10 10 5 1 f6 1 6 15 20 15 6 1 f7 7 21 35 35 21 7 1 . . . . a) 1320 d) 4270
b) 3150 e) 7250
c) 2985
b) 73
c) 45
a) 3215 d) 8250
b) 6108 e) 1308
c) 4320
16. Ana va al cine durante tres días alternadamente en una semana, y lo hace al mes en tres semanas consecutivas. Si el segundo día de un cierto mes es jueves y la suma de las fechas de los días que fue al cine en ese mes es 198. ¿Qué fecha y día será la séptima vez que fue al cine en dicho mes, si asiste siempre los mismos días? a) lunes 27 c) jueves 7 e) lunes 8
5to. Año Secundaria d) 57
a) 5 d) 1
a) 72
c) 9
b) 8 h. e) 3,5 h.
c) 5 h.
20. La suma de los “n” primeros términos de una serie geométrica en donde los términos son números entero es 31. Luego de calcular el primer término y “n” dar el número de soluciones: a) 1 d) 4
b) martes 12 d) sábado 15
b) 28
b) 7 e) 3
19. Anita llega al colegio con cierto retrazo diariamente. El primer día llegó 1 minuto tarde, el segundo día 2 minutos tarde, el tercer día 3 minutos tarde y así sucesivamente; al cabo de 20 días de asistencia. ¿Cuánto tiempo ha perdido por las tardanzas?
17. En un torneo de fútbol de dos ruedas participaron 14 equipos. Al final del mismo se observó que cada equipo tenía un punto de menos que el que le antecedía en la tabla de puntuaciones, excepto con el último que hizo cero puntos. ¿Cuántos puntos hizo el campeón, si la puntuación por partido ganado es 2 puntos?
S5RM32B
e) 43
18. En una canasta hay 60 duraznos. Evelyn los va colocando por fila de la siguiente manera en la primera fila pone un durazno; luego toma 2 duraznos de la canasta y los pone en la segunda fila y así sucesivamente. ¿Cuántos duraznos sobrarán en la canasta?.
a) 2,5 h. d) 1 h.
15. Calcular el valor de “S”: S = 3+10+29+66+..........+1730
11. Hallar la suma de: S = 1 x 3 - 3 x 5 + 5 x 7 - 7 x 9 + ............
06. Cuando la suma de los 10 primeros términos de una P.A. es igual a cuatro veces la suma de las cinco primeros. ¿Cuál es la razón geométrica entre el primer término y la diferencia común? a) 2/3 d) 2/7
F5 : 21 23 25 27 29 a) 7000 d) 4320
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
c) 34 “El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 2 e) 5
c) 3
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
OPERADORES Y OPERACIÓ Los matemáticos del siglo XX llevan una actividad intelectual muy sofisticada que no resulta fácil de definir, pero una gran parte de los que hoy se conoce como matemática es el resultado de un pensamiento que originalmente se S5RM32B
5to. Año Secundaria 21 centró en los conceptos de número, magnitud y forma. Las nociones primitivas relacionadas con estos conceptos se remontan a los primeros días de la raza humana e incluso pueden encontrarse ya indicios de conceptos matemáticos en formas de vida que, probablemente han precedido en muchos millones de años al género humano. Charles Darwin en el libro titulado “El origen del hombre” (1871), hace notar que algunos de los animales superiores tienen facultades como memoria e imaginación y actualmente resulta mas claro que la capacidad de distinguir número, tamaño, orden y forma, no son propiedad exclusiva del género humano. Está totalmente claro, no obstante que la matemática apareció originalmente como parte de la vida diaria del hombre y cómo es válido el principio biológico de la “supervivencia de los más aptos” entonces la supervivencia de la raza humana no deja de estar relacionada con el desarrollo de conceptos matemáticos realizado por el hombre. En un principio las nociones primitivas debieron estar relacionadas más bien con diferencias y contrastes que con semejanzas, tales como son la diferencia entre un lobo y muchos, la desigualdad en tamaño entre un pececillo y una ballena, el contraste entre la redondez de la Luna y la forma lineal de una palmera. Después, y de una manera gradual, debe haber surgido, a partir de la función de un gran número de experiencias desordenadas, la constatación de que hay ciertas igualdades o semejanzas; y de esto conciencia de las semejanzas, tanto en número como en la forma, nacieron la matemática y la ciencia en general. Las diferencias mismas parecen estar apuntando ya a las semejanzas, puesta que el contraste que se observa entre un lobo y una manada de lobos, entre una oveja y un rebaño, entre un árbol y un bosque, viene a sugerir que un lobo, una oveja y un árbol tiene en común: su unidad. De la misma manera puede llegar a darse cuenta de que algunos otros grupos como son los pares, pueden ponerse en correspondencia biunívoca: las manos pueden emparejarse con los pies, con los ojos, con las orejas o con los agujeros de la nariz. Este reconocimiento de una propiedad abstracta que tiene en común ciertos grupos, y a la que nosotros llamamos número, representa ya una importante
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
22
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
etapa en el camino de entender la belleza y majestuosidad de la matemática. Así pues la idea de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar. Inicialmente se contaba con la ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, conos de abetos, etc. Prueba de esto lo constituye, por ejemplo, el origen de la palabra cálculo pues “calculus”, en su traducción al latín, significa “cuenta con piedras”. Posteriormente se desarrolla el intercambio de los productos del trabajo y surge el hecho de agregar o disminuir objetos en cada transacción, lo que da un origen incipiente a las operaciones matemáticas. La reserva de números era, al principio, muy limitada; la reunión de los números naturales conocidos y utilizados era finita y se fue extendiendo sólo gradualmente, en forma lenta. Por este motivo la conciencia de la prolongación ilimitada de la sucesión natural constituye un síntoma de haber alcanzado un alto nivel de conocimiento y cultura, así la conciencia de número se hizo al fin lo suficientemente extendida y clara como para que se llegase a sentir la necesidad de expresar esta propiedad e alguna manera, al principio con lenguajes simbólicos ( los dedos de la mano) y más adelante con símbolos que pudieran expresar ideas numéricas. Y el relacionar estas ideas numéricas a través de la comparación, agrupación y cuantificación daría origen, en su forma más primitiva, a las operaciones matemáticas, pero es la acumulación de conocimiento en base a la experiencia, tanto de carácter cuantitativo (numérico-aritmético) como de forma (geométrico), la que genera las premisas para la formación de esquemas matemáticoestructurados. Ahora cuando el hombre comienza a utilizar los números tuvo que buscar una forma de representarlos. El modo más rudimentario consistió en hacer rayitas o signos en un tronco de árbol, en la arena del piso o en una tablilla de arcilla. Inicialmente cada marca representaba la unidad, mientras que el conjunto de signos daba la cantidad total de elementos que estaban siendo contados. De seguro fue así como el pastor de la antigüedad controlaba, al anochecer, cuando regresaba del pastoreo, que no se le hubiera S5RM32B
5to. Año Secundaria extraviado ninguna oveja. Para asegurarse de que todas las ovejas estaban en el redil, hacia corresponder una marca o signo a cada cabeza de ganado: al final había pues tantos animales como signos marcados. Este fue el primer paso dado hacia el nacimiento de representación simbólica de los números para llegar a la representación actual. Nacía también, así la matemática, siendo, probablemente, la ciencia mas antigua. En realidad nuestra vida diaria está marcada por los números y mediante su aplicación damos funcionamiento a todos los aparatos y las máquinas que utilizamos a lo largo del día, tales como computadoras, calculadoras, televisores, videos, etc. Éste es un capítulo que basa su importancia en la grana aplicación que tiene sobre los procesos condicionales y reglamentados, que permite medir l capacidad para captar relaciones u operaciones matemáticas (definidas a partir de las ya conocidas), su definición y el modo de aplicarlas bajo las condiciones o restricciones en las cuales ha sido definida. Para tal efecto, debemos entender lo que es una operación matemática y lo que es un operador matemático. Veamos: Imaginemos que tenemos una máquina procesadora de algodón, tal como se muestra en la figura:
Hilo delgado
:
Hilo grueso
:
Tela
:
Esta máquina recibe la materia prima que es el algodón y la transforma en un producto terminado, después de un determinado proceso, dependiendo del botón que se haya escogido. Igual ocurre con una operación matemática (representada por la máquina), ya que ella se encarga de obtener resultados, después de un conjunto de procesos que se efectúan sobre
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN determinadas cantidades; estos procesos son diferenciados por el operador que se emplee (representado por los botones).
5to. Año Secundaria 21 División
22
÷
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Radicación
3
e)
Máximo entero
[ ]
Integración
∫
Productoria
π
Sumatoria
∑
. . .
. . .
a * b = 2a + 3 b
A continuación veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Definimos en R una operación Matemática representada por * de la siguiente manera: a * b =a 2 +2 b +5
2
Regla de definición
Calcular:
n ∑ = 1 + 2 + 3 + 4 + ..... + n i =1
2
* 1 2 3 4
n 3 n 2 =3 b −27
Calcular: 27 16
Ejemplo 10: Se define en A ={ 1; 3; 5; 7 } la operación mediante la siguiente tabla:
x y θ y x =18 y −11 x
θ 1 3 5 7
Calcular: M = ( 1 θ 2 ) θ ( 8 θ 9 ) + 20
Ejemplo 5: Se define en R. m ∗ n =m ( n ∗ m
)2 ; ( 3
∗3
)
b=
2
(b
a) 4
Regla de definición
Ejemplo 2: Se define en N: Operador matemático
x
En el siguiente cuadro mencionamos algunas operaciones matemáticas y los símbolos que las representan.
Calcular:
Operador Matemático
a)
2
Adición
+
7
Sustracción
b)
c)
-5
Operación
Multiplicación S5RM32B
X
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
=
x(x+1) 2
[5
De las afirmaciones:
Son ciertas:
Calcule:
3
(6
7)
(8
9) ]
Ejemplo 11: Se define en N una operación representada por ∗, mediante la siguiente tabla:
Ejemplo 7: Dado: 23 % 42 = 16 35 % 16 = 23 64 % 71 = 34 Calcular: A = 59 ∗ 86
* 2 3 4 5 2 10 12 14 16 3 13 15 17 19 4 16 18 20 22 5 19 21 23 25
Ejemplo 8: Se tiene:
72 48 100 S5RM32B
5 7 1 3 7 1 3 5 1 3 5 7 3 5 7 1
1. “θ” es conmutativo 2. “θ” es asociativo 3. “θ” es un operador externo 4. El elemento identidad externo 5. El elemento inverso de 5 es 1.
Ejemplo 6: Se define, en R, la operación:
d) m n * nm
1 3 5 7
OPERACIONES MATEMÁTICAS CON REGLA DE DEFINICIÓN IMPLÍCITA
a
1 2 3 4 3 5 7 9 7 9 11 13 11 13 15 17 15 17 19 21
Calcular: 21 ∗ 20
Ejemplo 4: Definimos en N:
2
40
Ejemplo 9: Se define una operación mediante la tabla:
27
Calcule: ( 8 ∗ 1 ) + ( 3 ∗ 3 )
a) 2 * 3 b) 6 * -1 c) a 3 * b 2
Operador matemático
M = 12
Ejemplo 3: Se define en R:
PRACTICA DE CLASE ¿QUÉ ES UN OPERADOR MATEMÁTICO? Es aquel símbolo que representa una operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva regla de definición. Como por ejemplos de operadores tenemos:
Calcule:
d) 1/3
Valor absoluto ¿QUÉ ES UNA OPERACIÓN MATEMÁTICA? Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en una cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en la cual se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica llamado operador matemático. Como ejemplos de operaciones matemáticas tenemos: adición, sustracción, la multiplicación, etc.
5to. Año Secundaria
10 = 56 15 = 54 1 = 52
De las afirmaciones: 1. El elemento Neutro es 4
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2. ∗, es conmutativo. 3. 9 ∗ 8 es igual a 43 4. El inverso de 2 es 3.
5to. Año Secundaria 21
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
22
Ejemplo 16: Se define: n
=(n-1)
a ∆ b2 = 2
2
, hallar “x” en.
4
Ejemplo 12: Sabemos que: a θb 2 =2
Calcule: 4
(
b θa 2
) −ab
3 θ2
)
−1
(
θ 6 −1 θ8
)
y
x
y
2
- x
2
- y
= y = x
(
a) 8 d) 4
4 3
3 =(
5
m
) + 10
Ejemplo 19: El 2-1 para dicha operación es de la
n
forma
+
m
,
donde
n m
es
una
b) 1 e) 5
2x
x-1
=
fracción
Ejemplo 20: En el conjunto: +x-1
x
= 2 x+5 - x + 3
Definimos la operación, representado por mediante la siguiente tabla:
12
0 8 6 4 2
Ejemplo 15: Si: 3 x + 1 = 14x
Calcule “a” en:
Calcule: 2a + 1 = 42
(
0 4 2 0 8 6
2 6 4 2 0 8
1 1 M = 2 − ∆6 −
,
m n
∗
p q
=
n −1 A = n
∆8
)
− 1
1 ∆4 −
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a) 2 d) 7
S5RM32B
c) 1
e) 3 2
x
y
= x
x
y
= y2 - x
- y
Además: m
3 = -( 5
a) 3 d) -1
1
b) 1 e) 5
n ; n ≠0 ; q ≠0 1 06. Si:
q
n −1 ∗ n b) 1 e) 4
03. Si: ( b ∗a )2 =a Halle: L = 24 ∗ 3 − 1
6
m
) + 10
m ∅n =
( n ∅m ) 2 5
c) -2
; m ∅n >0
Halle: 2 ∅ 3
04. Sabemos que: S5RM32B
m+ p+
a) 0 d) 3
4 6 8 8 0 2 6 8 0 4 6 8 2 4 6 0 2 4
) ∆ (6
c) 3
Calcule:
= { 0; 2; 4; 6; 8 }
Calcule:
))
3 ∆2
Calcule “m”, si m ∈ Z+
irreductible. Entonces “nm” es igual a:
Ejemplo 14: Se define:
(
02. Si:
Donde “a-1” es elemento neutro de “a”
Calcule “m” en:
b ∆ a 2 −ab
b) 0
2
d) 2 05. Si:
Calcule: 6 ∆ 6 ∆ 6 ∆.....
Ejemplo 18: Se define en R:
a b =a +b −
1
x 2 −xy x ∆y = −1; x ≠y; xy ≠0 x −y
−1
Donde “a-1” es elemento neutro de “a”
x
Si: m ∈ Z
(
a)
PROBLEMAS PROPUESTOS 04 01. Si:
M = 2 −1 θ4
Ejemplo 13: Si:
, si: x ∈ Z+
Ejemplo 17: Se define: a θ b = a + b - 4 Hallar:
6
F=
= 64
x
)
(
Calcule:
No son falsas:
m
5to. Año Secundaria
n ∗ n −1 c) 2
( a ∗b ) ; a
b) 4 e) 9
a) 1 d) 9
b) 5 e) N.a.
c) 7
07. Sabiendo que: 24 15 =3 49 26 =24 18 23 =2 A5 3 B =8
∗b >0
Calcule : a + b c) 6
a) 12 d) 13 08. Se define:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 15 e) 16
c) 18
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a
b
=
. ( a -b ) x
( - b-a ) ; Si: a < b
. ( a -a ) x
( - b -b ) ; Si: a ≥ b
5to. Año Secundaria 21 m ∆n =n
Calcule:
1 D = 3 ∆ ( 102 % 38
Halle: R = ( 2 -2 ) - ( -2 2 )
a) 0 d) 1
b) -1 e) 4
a) 4 d) -2
c) -2
b) 2 e) N.a.
x 13. Si: P y =P ( x Calcule:
09. Se define: a % b =a b −1 , halle " x"
Si:
a) 1
b) 0
d) 3
e)
1
a) 1
2
d)
10. Para todo número real, definimos x = x2 - 1 ¿Cuál es el resultado de a) 119 d) 12
b) 120 e) 111
m
11. Si:
4 Calcule:
θn =
d)
1
c) 60
mn
F( a ) =
) −P ( y )
P ( P( y
6 θ 5 c) 1,5
15. Si:
[x]:
a +[ 0,95 ] −[ − 3,4 ] −1 b) -2 e) -6
1
* 2 4 1 3
3
)) =42
a%b=
a 3 −b 3 a 2 +ab + b 2
P(a ) =
1 4 2 3 1
2 1 3 4 2
3 4 2 3 4 1 1 2 3 4
]
máximo entero de “x”, hallar
(
R = 2 −1 θ 4
a) VVV d) FVF
b) VVF e) FFF
0 2 4 6
−[ 2, 5 ] +[ − 2, 5 ] −[−0, 1 ] +a 2
]
0 2 4 6 0
2 4 6 0 2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S5RM32B
3
)
−1
θ
(6
−1
θ8
)
−1
donde a es el elemento inverso de “a” a) 1 d) 4
c) VFF
4 6 6 0 0 2 2 4 4 6
Además: S5RM32B
a .b
-1
18. Se define en el conjunto: A = { 0; 2; 4; 6 } la operación ( ∆ ) mediante la tabla. Hallar el elemento neutro.
a +[ −1, 08
c) 4
a) 1,5 b) 2 c) 5,5 d) 1 e) 4,2 20. Se define: a θb =a +b −4 , hallar:
1. La operación es cerrada. 2. La operación es conmutativa 3. Tiene elemento neutro
c) 0
P( 2 ) en:
12. Dado que:
b) 2 e) No tiene
Halle: S =3 −1 +6 −1 −9 −1 ; donde a-1 es el elemento neutro inverso de a.
De las afirmaciones, señale su valor de verdad:
e) N.a.
4
c) -4
17. Consideremos la operación ∗ definida en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, mediante la siguiente tabla:
c) 3
b) 4 e) -1
a) 0 d) 6
a ∆b =
a) -1 d) -5
Hallar: “y” Además:
c) 4
a 2 +[ 3,2 ] +[ − 2,8 ] +[ − 8,01
14. Dado: P ( x +1 ) =x 2 +3 x +2
a) 2 d) 1
b) 3, 4
2 3
?
; como
m −4 n
6 1 E = 3 θ 5 a)
x
4
x
e)
2
b) 2 e) 1
5to. Año Secundaria
Hallar F ( - 3) en:
c) 1
b) 2
1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
16. Si: 19. Se define, en Q, la operación representada por A, mediante: [ x ] =n ⇔n ≤x <n +1 ; ∀x ∈R ; n ∈Z
) P( 2 )
c) 2
3
)
P( 4
x% x = 2 % 3
22
a) 0 d) -1
m
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 0 e) N.a.
c) -2
,
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to. Año Secundaria 21
17.
A
E
C
A
18.
A
D
A
D
19.
C
B
E
C
20.
D
B
A
B
22
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003
SOLUCIONARIO Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS 01
02
03
04
01.
E
B
E
02.
D
E
B
03.
D
A
D
C
04.
E
C
C
C
05.
A
A
D
A
06.
D
C
C
B
07.
C
C
E
E
08.
C
A
E
C
09.
D
B
B
C
10.
D
E
B
B
11.
A
C
E
C
12.
C
E
A
A
13.
D
A
D
B
14.
D
E
C
A
15.
C
D
B
C
16.
A
E
A
E
S5RM32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S5RM32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
5to. Año Secundaria