COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
5to. Año Secundaria 21
SUCESIONES Al principio, el género humano no conocía la actividad de contar. Quizá no la necesitaba o, al menos, no tenía que hacerlo para cazar los animales y, así sobrevivir. Como no conocía las horas, las semanas y los meses, no tenía porque hacer conteos. Sin embargo podía distinguir que existía una diferencia entre uno, pocos y muchos, ya sea al momento de la recolección de alimentos, al llevar a cabo la cacería o al memento de enfrentarse a una situación de peligro que entrañaba la lucha por la supervivencia. El ser humano aprendió a contar por necesidad y con el transcurrir del tiempo lo fue haciendo cada vez mejor. Primero con los dedos, que fueron los primeros símbolos usados como números, y luego usando piedras, haciendo marcas en el tronco de un árbol, en la tierra o arena del suelo. ¿Cuál es el origen del número? Siendo el número un concepto de redacción se sabe que el número surgió de la comparación entre un grupo de objetos y uno de esos objetos aislados. Caminando por el desierto, el beduino ve una caravana de camellos. ¿Cuántos son? Para definir ese “cuántos”, debe emplear los números. El número será la pluralidad definida bajo la forma de una palabra o de un símbolo. Para llegar a ese resultado, el hombre precisa poner, en ejercicio, cierta actividad. Necesito contar. Al contar relaciona cada conjunto con un determinado símbolo: uno, dos, tres,..; es decir, establece una correspondencia entre los números y los objetos del conjunto que desea contar. Nacía así, la noción de sucesión. Ahora, para la representación de un número cualesquiera con pocos signos era necesario inventar un sistema de numeración. El más antiguo sistema de numeración es el Quinario, en el cual las unidades se agrupan de cinco en cinco.
S5RM32B
En el primitivo sistema quinario el número de discos indicados sería 32 Una vez contadas cinco unidades obtendremos una colección llamada quina. Si 8 unidades sería una quina mas 3 y escribiríamos 13, entonces en el esquema mostrado tendríamos 3 quinas y 2 unidades y escribiríamos 32 (en notación utilizada actualmente e 32(5)). Es importante decir que en este sistema el segundo guarismo de la izquierda valía 5 veces mas que si estuviese en el primer lugar. Po consiguiente, los matemáticos dicen, que la base de este sistema es 5. Surgió después el sistema de base 10 que se prestaba para expresar grandes cantidades. El origen de este sistema se explica por el número de dedos de la mano. Algunos pueblos, sin embargo, demostraban preferencia por un sistema que tenía por base 12 (una docena). La docena presenta sobre la decena una ventaja: el número 12 tiene más divisores que 10. El sistema decimal fue universalmente adoptado. Desde el Tuareg, que cuenta con los dedos, hasta el matemático, que maneja instrumentos de cálculo, todos contamos de 10 en 10. Dadas las divergencias profundas entre los pueblos, semejante universalidad es sorprendente; no puede; no puede jactarse de los mismo ninguna religión, código moral, forma de gobierno, sistema económico, principio filosófico o artístico, lenguaje, ni alfabeto alguno. Contar es uno de los pocos en torno del cual los hombres no divergen, pues lo consideran lógico y natural. NOCIÓN DE SUCESIÓN En matemática la palabra sucesión se emplea casi con igual sentido que en e lenguaje común. Por ejemplo, supongamos que pedimos a un grupo de niños formarse en fila india(alineados uno detrás de otro). Empezamos a repartir caramelos; al
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
primero le damos dos; al segundo, 5; al tercero, 8; al cuarto, 11; y así sucesivamente hasta haber entregado lo que corresponde al último niño de la fila. Es claro que tenemos que disponer de una cantidad suficiente de caramelos para poder llevar a cabo el reparto. Si se asume que dicha cantidad es finita, es posible determinarla, porque el número de alumnos que integran el grupo (Sea grande o pequeño) es finito. Cabe señalar que los números los cuales indican la cantidad de caramelos entregado a cada niño, están ordenados de manera creciente; es decir forman una sucesión cuyo número de términos va a ser limitado y dependiente del número de niños. Estamos frente a una sucesión finita. Si en una noche clara, mirando el oscuro cielo tachonado de estrellas, empezamos a contarlas de dos, cuatro, ocho, diez, doce..... y no llegáramos a contarlas todas, aun teniendo un poderoso telescopio, su número seria infinito y como estamos enumerando, los términos de dicho infinito será denominado infinito numerable. Por ello, cuando la sucesión tiene un número finito de términos, se denomina sucesión finita y cuando tiene un número infinito numerable de términos se denomina sucesión infinita.
5to. Año Secundaria
tn =
De los números tetraédricos
1, 4, 10, 20, 35, ......
tn =
Números pentagonales
1, 5, 12, 22, ........
tn =
Números hexagonales
1, 6, 15, 28, ....
t n = n ( 2n − 1 )
De los números cuadrados
1, 4, 9, 16, 25, .....
tn =n 2
De los cubos perfectos
1, 8, 27, 64, 125,....
tn =n 3
De los números primos
2, 3, 5, 7, 11, 13, .....
De Fobonacci
1, 1.2, 3.5, 8, 13, .....
De Feinberg1 (Tribonacci)
1.1, 2, 4, 7, 13, 24,..
S E S P E C I A L
S U C E S I O N E S
E S P E C I A L E S
Nombre
S U C E S I O N E S5RM32B
Sucesión
Regla de información o término enésimo
De los números naturales
1, 2, 3, 4, 5 .....
tn = n
De los números pares
2, 4, 6, 8, 10, ........
t n = 2n
De los números impares
1, 3, 5, 7, 9, .........
t n = 2n −1
2 n ( n +1 )( n + 2 ) 6 n ( 3 n −1 ) 2
No tiene término enésimo pero sí criterio de orden
t1 = 1
t2 =1
t n = t n −1 + t n −2 ∀ n ≥ 3 t1 = 1
t2 =1
t n = t n −1 + t n −2 + t n −3
1, 3, 4, 7, 11, .........
t1 =1 t 2 = 3 t n = t n −1 + t n −2 ∀ n ≥ 3
PRÁCTICA DE CLASE A continuación detallamos los tipos de sucesión de mas frecuencia en el examen de admisión a la UNT. SUCESIONES LITERALES Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Estos criterios son diversos y los más considerados son: - Lugar que ocupa la letra del alfabeto - Iniciales de palabras desconocidas - Formación de palabras
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
t3 = 2
∀ n ≥4 De Lucas
SUCESIONES NUMÉRICAS NOTABLES Y ESPECIALES A continuación mostraremos, en el siguiente cuadro, algunas sucesiones importantes:
n ( n +1 )
De los números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, ............ ...