Rm 4° 3b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN III

PLANTEAMIENTO DE

Plantear una ecuación es traducir un problema del lenguaje escrito u oral al lenguaje matemático (Ecuaciones).

Lenguaje Escrito

4 to Año Secundaria * * * *

nos da Es, a, como, entre Cantidad de veces Mayor, excede a Menor, excedido

: : : : :

37

Igualdad(=) cociente (:) Producto (x) Un número tiene más que otro Un número tiene menos que otro

Lenguaje matemático (Ecuación)

Lenguaje e Interpretación

PRÁCTICA DE CLASE Procedimiento básico para plantear una ecuación 1°: Leer detenidamente el enunciado del problema, las veces que sean necesarios hasta comprender el problema.

2°: Extraer los datos.

3°: Ubicar la (s) incógnita (s) y representarla mediante (s) variables (s).

4°: Relacionar los datos construyendo una igualdad lógica.

5°: Resolver la (s) ecuación (es) planteadas en el paso anterior.

6°: Volver a leer la pregunta para responderla.

Forma escrita(verbal)

Forma Simbólica

A es tres veces más que B El triple de un número, disminuido en 6 A 8 se le resta un número Se resta un número a 18 Se resta de un número 18 El número de naranjas excede al número de plátanos Cuatro menos tres veces un número equivale al doble de, el mismo número disminuido en 8 Importante: Aumentado, agregado De, del, de , los Es, como, será, tendrá,

S4RM33B

: :

a) 600 d) 170

b) 640 e) 820

c) 720

02. El dinero que tiene Paco, aumentado en sus 7/12 es igual a 760. ¿Cuánto tenía Paco? a) 480 d) 600

b) 420 e) 720

c) 400

03. ¿Cuál es e número, cuyos 3/4 exceden en 420 a su sexta parte?

Traducción y representación

* * *

01. Hallar un número, que disminuido en 5/8 de él nos da 240.

a) 720 d) 840

b) 180 e) 960

c) 600

04. ¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre 2/5 y 1/8 del número? a) 300 d) 320

b)700 e) N.a.

c) 400

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

05. La diferencia de dos números mas 80 unidades es igual al cuádruple del número menor, menos 60 unidades. Hallar los dos números, si el mayor es el triple del menor. a) 120 y 80 d) 180 y 120

b) 70 y 210 e) 240 y 340

c) 180 y 240

06. La suma de dos números es 74 y su cociente es 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es número menor? a) 3 d) 12

b) 7 e) 9

c) 10

07. La suma de dos números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división el mayor posible. Hallar el producto de dichos números. a) 4724 d) 72444

b) 10674 e) N.a.

b) 54 e) 96

c) 72

09. Hallar el menor de tres números enteros consecutivos; si sabemos que los 4/5 del mayor exceden a los 3/4 del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor disminuida en 1/5. a) 10 d) 12

b) 8 e) 15

c) 9

10. Tu tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es 180 soles más de lo que tu tendrás. ¿Cuánto tenías?

Suma (+) Producto (x) “El nuevo símbolo de una buena educación....”

si se les coloca en bancas de 4 alumnos se necesitaran 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay? a) 24 d) 90

c) 42

12. Un tren al final de su trayecto llega con 40 adultos y 30 niños, con una recaudación de S/.200. Cada adulto y cada niño pagan pasajes únicos de S/.2 y S/.1 respectivamente. ¿Con cuántos pasajeros salió de su paradero inicial si en cada paradero por cada 3 adultos que subían, también subían 2 niños y bajaban 2 adultos junto con 5 niños? a) 80 d) 82

b) 60 e) 120

c) 90

13. Lo que cobra y gasta un profesor suma S/.600, lo que gasta y lo que cobra está en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? a) 12 d) 30

b) 36 e) 24

c) 28

14. En un pueblo correspondía a cada habitante 60 l de agua por día.

Hoy ha aumentado la población en 40 habitantes y corresponde a cada uno 3 l menos. El menor número de habitantes del pueblo es: a) 800 d) 960

a) 100 b) 110 c) 80 d) 120 e) 140 11. En una aula los alumnos están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada una, S4RM33B

b) 36 e) 120

c) 12494

08. Ana tiene 2 veces lo que tiene María, si Ana le da S/.18 a María, entonces tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre las dos? a) 108 d) 80

4 to Año Secundaria

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 600 e) 1000

c) 720

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 15. Se desea repartir naranjas equitativamente entre cierto número equitativamente entre cierto número de días sobrando 3 naranjas; pero si les da 2 naranjas más a cada uno faltarían 7 naranjas. ¿Cuántos niños eran? a) 15 d) 18

b) 5 e) 70

b) S/.400 e) S/.3600

b) S/.500 e) S/.420

c) S/.7200

c) S/.480

18. Si por 2 soles me dieron 6 naranjas más de los que dan, la docena costaría S/.0,90 menos.

Hallar el número de naranjas que me dan. a) 10 d) 40

b)8 e) 12

c) 16

19. Una persona puede comprar 24 manzanas y 20 naranjas o 36 manzanas y 15 naranjas. Si compara sólo naranjas. ¿Cuál es el máximo número que podría comprar? a) 20 d) 30

b)15 e) 22

c) 18

20. Se debía repartir S/.1800 entre cierto número de personas, 4 de ellas renunciaron a su parte, con la cual a cada uno de los asistentes le tocó S4RM33B

¿Cuántas

eran

b)22 e) 44

personas c) 40

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01

17. Dos comerciantes que han adquirido 8 y 5 docenas de pantalones tienen que pagar por dicha compra; como no poseen dinero, el primero paga con 6 pantalones y le dan S/.300 de vuelto, el segundo paga con 4 camisas y recibe S/.320 de vuelto.

Sabiendo que los pantalones en pago no se les ha cobrado impuestos determinar el costo de cada pantalón. a) S/.600 d) S/.720

a) 24 d) 32

37

c) 10

16. Dos socios han contribuido a formar un capital. El 1° recibió 20% de intereses por el capital que invirtió durante 18 meses. Si la ganancia total fue de S/.1320. ¿Qué monto invirtió el 2° si la suma de los capitales invertidos fue de S/.7600? a) S/.4000 d) S/.4200

S/.15 más. inicialmente?

4 to Año Secundaria

01. La suma de tres números consecutivos es igual a 111. ¿Cuál es el mayor? a) 36 d) 37

b) 39 e) 35

b) 40 e) 80

b) 17 e) 15

b) 22 años e) 28 años

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

c) p – 3

08. Un número multiplicado por 5; sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es le número? a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

14. Si un niño tiene de la edad que tenía hace 6 años. ¿Cuántos años tiene en la actualidad? a) 3 años d) 12 años

b) 6 años e) 18 años

c) 9 años

15.Un poste está enterrado 2/ 5 de su longitud, 2/ 7 del resto está bajo agua y sobresalen 3 m. ¿Cuál es la longitud del poste?

09. La edad de Pedro excede a la de su hermano Luis en 10 años. Si la suma de dichas edades es de 50 años. Hallar la edad de Luis. a) 30 años d) 50 años

b) 20 años e) 40 años

c) 10 años

a) 6 m. d) 9, 5 m.

b) 7 m. e) 10 m.

c) 9 m.

16. El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del suceso de éste es 147. Hallar el número.

10. Obtener un número que sumado al numerador y al denominador de la fracción 11/ 13; produzca la fracción 18/ 9. a) 24 d) 26

b) 25 e) 28

c) 35

a) 19 d) 30

b) 20 e) 40

c) 22

17. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuál es el mayor?

11. El cuádruple de la edad de Manuel aumentado en 3 años es igual al triple de su edad, aumentado en 28 años. ¿Cuál será la edad de Manuel dentro de 6 años? a) 24 años d) 22 años

b) 18 años e) 26 años

a) 50 d) 53

c) 28 años

12. Un número sumado con su quinta es 12. La ecuación que representa esta situación es:

a) 19 b) 22 c) 18 d) 17 e) 20 06. Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuál es el menor? b) 25 e) 24

b) p + 3 e) p + 7

c) 24 años

05. El doble de un número, aumentado en 12 es igual a su triple, disminuido en 5. ¿Cuál es el número?

a) 21 d) 28

a) p + 2 d) p – 4

d) n + n + 1 = 106 e) 2n + 1 = 106

c) 12

04. La edad de Pedro es el doble de la edad de María. SI en cinco años más la suma de sus edades será 43 años. ¿Qué edad tiene actualmente Pedro? a) 11 años d) 26 años

07. ¿Qué número debe restarse de “p + 2” para obtener 5?

4 to Año Secundaria

c) 60

03. En un gallinero hay 5 pavos más que gallinas y 3 patos más que pavos. Si en total hay 49 aves. ¿Cuántas gallinas hay? a) 20 d) 13

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

c) 38

02. Las dos quintas partes de un número, más 5 es igual a la mitad de dicho número ¿Cuál es le número? a) 30 d) 50

38

c) 27

a) x + 12 = x / 5 b) x + x/ 5 = 12 c) 12 + x/ 5 = x d) x – x /5 = 12 e) x – 12 = x/ 5 13. “La suma de dos números pares consecutivos es 106”. Esta se presenta mediante la ecuación. a) 2n + (2n + 1) = 6 b) 4n + 1 = 106 c) 4n + 2 = 106 S4RM33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 51 e) 55

c) 52

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 18. En el triángulo ABC los lados AB = 3BC y BC = 1/2 CA. Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto mide el lado mayor? a) 14 m. d) 28 m.

b) 18 m. e) 24 m.

c) 42 m.

19. Un padre tiene 20 años más que su hijo.

Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene el padre? a) 24 años d) 32 años

b) 28 años e) 40 años

c) 26 años

20. Las dimensiones de un rectángulo están en la razón de 3 a 5 y su perímetro es 80 m.

Calcular cuanto mide de largo. a) 15 m. d) 30 m.

b) 20 m. e) 35 m.

c) 25 m.

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01. La suma de dos múltiplos consecutivos de 6 es igual a 66. Hallar uno de los números? a) 24 d) 56

b) 42 e) N.a.

c) 36

02. Iván ha resuelto (2x + 3) problemas de ecuaciones. Alberto (4x – 5) problemas y Jaime (3x + 4) problemas. Si en total se han resuelto 47 problemas. ¿Cuántos resolvió Iván? a) 13 d) 21

b) 15 e) 17

c) 19

4 to Año Secundaria

04. El denominador de una fracción es 14 más que el numerador, si al numerador y al denominador se aumentan en 5, la nueva fracción es 11 / 18. Determinar la fracción original. a) 11/ 25 d) 17/ 31

b) 13/ 27 e) 19/ 33

c) 15/ 29

05. La suma de tres números enteros consecutivos es igual a la unidad aumentada en el doble del mayor. Calcular el menor de dichos números. a) 4 d) 8

b) 6 e) 3

c) 2

06. Al preguntársele a María por su edad responde: Si al quíntuple de mi edad; le quitas 4 años, obtendrás lo que me falta para tener 80 años . ¿Qué edad tuvo hace 5 años ? a) 6 años d) 9 años

b) 7 años e) 10 años

c) 8 años

B

C

A

D

Calcular : CD a) 4, 5 d) 4

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 2, 5 e) 3, 5

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

08. Una persona gasta la mitad de su jornal diario en alimentarse y la tercera parte en otros gastos. Al cabo de 40 días ha ahorrado 600 soles. ¿Cuál es su jornal? a) S/. 60 d) S/. 50

b) S/. 80 e) S/. 70

c) S/. 90

09. Lucila tiene “x” hermanos, Cecilia tiene “2x” hermanos; Patricia tiene “3x – 6” hermanos y Carolina tiene “2x + 1” hermanos. El único dato que te dan es que una de ellas es hija única. ¿Cuántos hermanos tiene Carolina?. a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

c) 6, 5

4 to Año Secundaria 13. A que hora del día se cumple de las horas transcurridas y las horas que faltan son dos números enteros impares consecutivos. a) 10 a.m. d) 9 a.m.

14. Una señora tuvo a los 28 años dos hijos mellizos, hoy las edades de los tres suman 73 años. ¿Qué edad tienen los mellizos? a) 12 años d) 15 años

c) 11 años

B

C

A C

Hallar la longitud de la diagonal DB b) 38 e) 42

c) 34

11. Si las edades de Nataly, Vanessa y Karina están representados por tres números, pares consecutivos, siendo la suma de dichas edades 78 años. ¿Qué edad tiene la mayor? b) 27 años e) 25 años

c) 28 años

a) 3 d) 6

b) 4 e) 8

c) 5

16. Un señor distribuye su capital de la forma siguiente: 1/ 3 para sus herederos, 3/5 del resto para un hospital y 1/ 2 del nuevo resto para los pobres, quedándole todavía 200 dólares. ¿Cuál era su capital? a) 1200 dólares b) 1400 dólares c) 1500 dólares d) 1800 dólares e) 1600 dólares

12. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida de lado del cuadrado. a) 8 m. b) 9 m. c) 10 m. d) 12 m. e) 11 m.

S4RM33B

b) 16 años e) 18 años

15. En la figura mostrada:

O

a) 26 años d) 29 años

c) 11 a.m.

B

D

a) 36 d) 40

b) 11 p.m. e) 10 p.m.

• AB = α + 1 • AC = x • BC = x + 2 • Calcula la longitud de la hipotenusa

10. En la figura mostrada: • DB = 5x + 3 • DO = 2x + 5 • AO = 3y – 1 • OC = y + 9 A

07. En la figura mostrada; ABCD es un rectángulo: AB = (8 / 5) x – 5 , 5 CD = 0, 4 x + 1/ 2

03. El numerador de una cierta fracción es 8 menos que el denominador. Si los dos términos de dicha fracción se aumenta en 9 la fracción resultante es 2/3. Hallar la fracción original. a) 5 / 13 b) 3 / 11 c) 7/ 15 d) 9 / 17 e) 11 / 19

S4RM33B

37

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

EDADE COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 17. Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado? a) 6 u d) 12 u

b) 8 u e) 5 u

c) 4 u

18. Las edades de un matrimonio suman 62 años.

Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tiene actualmente ella? a) 34 años d) 26 años

b) 30 años e) 24 años

c) 28 años

19. El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3, la fracción queda equivalente a 4/3. Hallar la fracción. a) 13 / 11 d) 17 / 15

b) 19 / 17 e) 21 / 19

c) 15 / 13

20. Antonio tiene el doble de dinero que Gladys y el triple de María. Si Antonio regala 14 soles a Gladys y 35 soles a María los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene Gladys? a) S/. 126 d) S/. 48

b) S/. 63 e) S/. 76

c) S/. 42

4 to Año Secundaria

02. Una piscina tiene una capacidad total de 100 litros; un cierto día tenía agua sólo hasta sus 3/4 partes. Si ese día extraemos con una cubeta la quinta parte de lo que había. ¿Cuántos litros de agua serían necesarios ahora para llenar la piscina? a) 75 l d) 25 l

b) 60 l e) 30 l

c) 40 l

03.Al preguntársele a un postulante que parte del examen ha resuelto, éste responde: “He contestado los 4/5 de lo que contesté”, ¿Qué parte del examen ha contestado? a) 4/ 9 d) 3/ 5

b) 1/ 4 e) 5/9

a) 1/ 3 d) 3/ 4

b) 2/ 3 e) 2/ 5

c) 1/ 4

05. En una aula de 30 alumnos , las 2/3 partes tienen buzos deportivos. ¿Qué facción de los que tienen buzos, no tienen buzos? a) 1/ 5 d) 1/ 2

01. Un hambriento caminante, encuentra a dos pastores que se disponen a compartir con él los pares que iban a comer. Uno de los pastores tenía 5 panes y el otro 3. Todos comieron por igual. Al partir, el caminante les dejó 8 monedas para que se repartan. ¿Cuántas monedas les tocó a cada uno? a) 5 y 3 respectivamente b) 4 a c/u c) 7 y 1 respectivamente d) 6 y 4 respectivamente e) N.a.

b) 1/ 4 e) 3/ 2

38

c) 1/ 3

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Resuelve la ecuación es:_____________ El arte de plantear ecuaciones: El idioma del álgebra es la ecuación. “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta traducir dicho problema, de cualquier idioma al idioma “Algebraico “, escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado ARITMÉTICA UNIVERSAL. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción .

He aquí uno de los más notables problemas.

“LA VIDA DE DIOFANTO” La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Aquí reproducimos.

En la lengua vernácula ¡Caminante!

Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto.

Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuan larga fue su vida, Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia.

En el idioma del álgebra

x 6

Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrió su barbilla. y la séptima parte de su existencia transcurrió en un mercado estéril

x 12

Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre.

Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.

5

S4RM33B

y

la

respuesta

Cada vez que se presente un problema donde intervengan edades, vamos a tener la posibilidad de resolverlo de dos maneras: Primero: Si el problema lo permite, tan sólo planteamos la ecuación dada, de lo contrario, Segundo: Aplicaremos un cuadro donde se plantearán las condiciones del problema.

Usted se dará cuenta de esto cuando haya practicado lo suficiente.

Ejemplo 01: Actualmente una persona tiene 28 años, ¿Cuántos años tendrá dentro de 11 años?

RESOLUCION: +11 Ahora

Dentro de 11

años 28

39

Rpta. Tendrá 39 años. x

x 7

x 2 4

Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

4 to Año Secundaria Formuló la ecuación:_____________________

c) 1/5

04. De un depósito se ha extraído dos veces 1/4 de su contenido, si al final tengo 3/8 del depósito. ¿Qué fracción del depósito estaba lleno al principio?

TAREA DOMICILIARIA

S4RM33B

37

Ejemplo 02: Dentro de “x + y” años Panfilo tendrá “3x – y” años. ¿Cuántos años tuvo hace “y – 2z” años.

RESOLUCIÓN: Hace “y – 2z” -(y-2z) (2x-3y+2z)

Actual

Dentro de “x+y” -(x+y)

(2x-2y)

(3x-y)

Rpta. Tuvo “2x – 3y – 2z” años.

Ejemplo 03: Pompeyo le pregunta a Pinpoyo por la edad de su loro, éste le responde: “Hace 4 meses que tendrá la cuarta parte de los meses que tendrá dentro de 8 meses”. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el cuádruple de los meses que tenía hace 3 meses?

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4 to Año Secundaria

* Hallaremos primero la edad actual del loro:

* Completamos las edades

Hace 4 meses meses

Presente Juan 3x Manuel X

Actual

-4

Dentro de 8

+8

(x - 4)

x

(x + 8)

De: “-----------------------------------tenía la cuarta parte de--------------------------”

(x + 8 ) (x − 4 ) = 4 4x – 16 = x + 8 →

5

Dentro de x años +x

8

Del esquema: x + 8 = 20

4(5)=20

→

x =12

Rpta. Dentro de 12 meses.

Ejemplo 04: Juan le dice a Manuel: Actualmente tengo el triple de tu edad; pero dentro de 12 años tendré sólo el doble. ¿Qué edad tengo?

RESOLUCIÓN: Elaboramos un cuadro teniendo en cuanta , el número de personas que intervienen, la cantidad de expresiones que indican tiempos y las condiciones (relaciones entre las edades), éstas generarán las ecuaciones que permitirán resolver el problema.

Presente Juan 3x Manuel X S4RM33B

* De la condición (futuro): J = 2M ; reemplazamos las respectivas. x =12 (3x + 12) = 2(x + 12) →

edades

Dentro de 12 años -----------------------------------

Ejemplo 05: Jorge le dice a María: “Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la edad que tengo y sabes que cuando tenía 10 años; tú tenías la edad que tengo. ¿Cuánto suman las edades actuales de Jorge y de María?

RESOLUCIÓN: *Elaboramos un cuadro adecuado, teniendo en cuenta que las edades que tenemos como datos no son numéricos, son valores desconocidos y tendremos que representarlas por variables adecuadamente.

Pasado

Presente

Rpta: ______________________________

NOTA IMPORTANTE: El tiempo que transcurre para una persona, transcurre también para las demás personas. * Entonces, planteamos las siguientes ecuaciones:

* Resolvemos estas ecuaciones:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

08. Las edades de 3 hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que : 3, 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como: 5, 6 y 7 ¿Qué edad tiene el mayor?

06. Manuel tiene el triple de la edad de Sara que tiene 12 años ¿Cuántos años pasaran para que la edad de Manuel sea el doble de la edad de Sara?

RESOLUCIÓN

S M

Actual 12 36

Dentro x años 12 + x 36 + x M = 25

De la condición: M = 2S

Actual 3x + 2 4x + 2 5x + 2

Dentro de 2 años 3x + 4 4x + 4 5x + 4

A 5

=

5

RESOLUCIÓN :

Yo P

A B C

Hace 2 años 3x 4x 5x

3x + 4

07. Cuando nací, mi padre tenía 38 años. ¿Qué edad tiene mi padre si actualmente nuestras edades suman 80 ?

Hace x años 0 38

RESOLUCIÓN

De la condición:

36 + x = 2 (12 + x) 36 + x = 24 + 2x 36 – 24 = -x + 2x 12 = x Rpta.: Dentro de 12 años

Futuro

Jorge Manuel

4 to Año Secundaria Rpta.: Mi padre tiene 59 años.

x =8

Actual

-3

Dentro de 12 años (3x + 12) (x + 12) J =2M ← condición

Rpta. Juan: Tengo 36 años.

Entonces, hace 3 meses tenía 8 - 3 = 5 meses.

Hace 3 meses

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

J =2M ← condición

RESOLUCIÓN:

*

37

=

x + 38 21 + 38 = 59 S4RM33B

6

=

C 7

A

B = 5 6 4x + 4 6

18x + 24 = 20x + 20 4 = 2x 2=x Reemplazo:

5x+2 5 (2) + 2 = 12

Rpta.: 12 años tiene el mayor.

Actual x x + 38 P + H = 80

09. Cuando Luis nació. Su padre tenía “P”años cuando su padre murió el contaba con “Q” años. ¿Cuánto tiempo vivió su padre?

RESOLUCIÓN :

De la condición : P + H = 80 x + 38 + x = 80 x + x = 80 – 38 2x = 42 x = 21

B

L

O

Q

P

P

x

Aplicando la propiedad: P–O=x–Q P+Q=x “El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4 to Año Secundaria

37

Rpta.: Su padre vivió “ P +Q ” años

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

Reemplazando ( 2 ) en ( 1 )

13. Supongamos que yo tenga 10 años más que tú ¿Qué edad tendrás tu ahora, si dentro de 5 años yo tuviera los 4/ 3 de la edad que tu tuvieses?

Entonces: 10. Dentro de 4 años la suma de las edades de 2 hermanos será K años la edad del mayor era el triple de la edad del menor. Hallar la edad actual del mayor RESOLUCIÓN:

Mayor Menor

Hace 4 años x–4 y–4 Mayor = 3(menor)

P H

2a–x a–x P + H = 48

Del cuadro: Actual x y

Dentro de 4 años x+4 y+4 Mayor + menor = K

1) P +H = 48 ( 2 a – x ) + ( a – x ) = 48 3 a – 2x = 48 ………………. ( 1 ) 2) 2 a = 8 ( a – x ) 8x=6a

4x

De las condiciones:

3

= a …………………….. ( 2 )

1) Mayor = 3 (menor) x – 4 = 3 (y – 4) x – 4 = 3y – 12 x = 3y – 8 ………………. ( 1 ) 2) Mayor más menor = K x+4+y+4=K x = K – y – 8 …………. ( 2 ) De ( 1 ) = ( 2 )

4x  3   3   − 2 x = 48  

2 a = 8 (a – x ) a

RESOLUCIÓN x = 24 y a = 32 2a–x 2 ( 32 ) – 24 = 40

Del enunciado:

Rpta.: el padre tiene 40 años.

12. José le dice a Walter: hace 21 años mi edad era la mitad de la edad que tendrás dentro de 4 años . Cuando yo tenga el doble de ka edad que tu tienes. ¿Qué edad tienes?

2) x = y + 10 ……………. ( 2 )

J W

J W

4

Rpta.: El mayor tiene :

3 K − 32 8

11. La suma de las edades de un padre y un hijo da 48 años. Dentro de algunos años el padre tendrá el doble de la edad del hijo; y la edad del padre será entonces 8 veces la edad que el hijo tiene ahora. ¿Cuántos años tiene el padre?

1) x + 5 = 4/ 3 ( y + 5) 3x + 3 = 4 (y + 5) 3x + 15 = 4y + 20 3x – 4y = 5 ……………. ( 1 )

RESOLUCIÓN :

3y–8=k–y–8

y =

Yo tengo “x” años Tu tienes “y” años

Hace 21 años x+2 2x

Dentro de 4 años 4x 2x + 4

Luego:

K

4 to Año Secundaria

Hace 21 años x+2

( x + 23 ) 2x

Del cuadro : 4 x = x + 27 x=9 Por lo tanto: Walter tiene: 2x = 2 (9) = 18 años

Dentro de 4 años 4x = x + 27 2x + 4

3) Reemplazando (2) en (1): 3 (y + 10) – 4y = 5 - y = - 25 y = 25 Rpta.: 10 años.

14. En el año 1984 ha sido declarado en el Perú : “Año del sequicentenario del Natalicio del Altamirante Miguel Grau”. Si Grau murio el 8 de octubre de 1879 ¿A que edad murió Grau?

RESOLUCIÓN : Murió a los “x” años Nació el año : 1984 – 150 = 1934 Luego : 1934 + x = 1879 X = 1879 – 1934 X = 45 Rpta.: Murió cuando tenía 45 años.

Dentro de “x” años P H P + H = 48 S4RM33B

P = 2H “El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4RM33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN PRÁCTICA DE CLASE 01. La suma de las edades de Aída y Fara es 48 años, al acercarse Orlando, Aída le dice cuando Fara nació tenías 2 años. ¿ Cuál es la edad de Orlando ? a) 24 d) 22

b) 21 e) N.a.

c) 25

02. Un padre dice a su hijo: "Ahora tu edad es la tercera parte de la mía pero, hace 10 años no era más que un quinto". ¿ Qué edad tiene el hijo ? a) 13 d) 24

b) 20 e) N.a.

c) 16

03. Cuando César nació, Julio tenía 30 años, ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Pablo, que tiene 50 años. ¿ Qué edad tiene Guillermo que nació cuando César tenía 11 años? a) 13 d) 18

b) 16 e) N.a.

a) 5 de Noviembre b) 19 de Noviembre c) 17 de Noviembre d) 20 de Noviembre e) N.a.

05. Un alumno de la Academia nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a+b) años. ¿ En qué año tendrá (2a+b) años ? b) 1988 e) N.a.

c) 1984

06. Un padre tiene 3 veces la edad de su hijo. ¿ Cuántas veces la edad del hijo debe

transcurrir, para que la edad del padre sea sólo el doble de la de su hijo ? a) 1 d) 2 1/3

b) 3 e) N.a.

c) 2

07. La relación de la edad de un padre con la de su hijo es 9:5. ¿ Qué edad tiene el hijo, si el padre es mayor por 28 años ? a) 25 d) 27

b) 18 e) N.a.

a) 75 d) 81

b) 84 e) N.a.

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

d) 70

c) 78

09. La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de ese cuadrado. ¿ Qué edad tendrá dentro de 8 años ? b) 24 e) N.a.

a) 17 d) 19

c) 23

13. La suma de las edades de un padre y su hijo, es 50 años. Dentro de 5 años estarán en la proporción de 1:2. Hallar en qué proporción están actualmente. a) 1:2 d) 2:5

b) 1:3 e) N.a.

c) 3:7

14. En 1909 decía un padre a su hijo, mi edad es el quíntuplo de la tuya, pero en 1930, sólo será el duplo. ¿ Qué edad tenía el padre en 1930 ? b) 39 e) N.a.

c) 56

15. Supongamos que yo tengo 10 años más que tú. ¿ Qué edad tendrías tu ahora, si dentro de 5 años yo tuviera los 4/3 de la edad que tu tuvieses ? a) 18 d) 25

a) 1931 b) 1940 c) 1934 d) 1946 e) N.a.

11. En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuple de la de su hijo. ¿ Cuál fue la edad del padre en 1940 ? b) 72

b) 13 e) N.a.

a) 18 años d) 28 años

b) 20 años e) N.a.

c) 24 años

18. Coco le dice a Kiko, la suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenias cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. La edad actual de Kiko en años es: a) 26 d) 20

b) 35 e) N.a.

b) 28 e) Ninguna

a) 4 años d) 12 años

c) 20

c) 32

17. Mariela le dice a Elisa: "Tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tengas las 13/10 partes

c) 67 S4RM33B

c) 22

20. La suma y el producto de las edades de 3 hermanitos es 14 y 36 años respectivamente. calcular la edad del mayor de ellos.

16. Patricia le dice a Rosa : tengo 4 veces la edad que tu tenías, cuando yo tenía el doble de la edad que tú tienes. Cuando tengas los 3/4 partes de mi edad, nuestras edades sumarán 75 años. ¿ Qué edad tiene Patricia ? a) 36 d) 30

b) 24 e) 18

19. Cierta vez se cumplió que la diferencia de las edades de Antonio y Miguel, que sabía tocar piano era igual a la suma de la cifras del año en que estaban. Si el mayor, Antonio nació en 1934. ¿ Qué edad tenía Miguel cuando se cumplió aquello?. a) 8 b) 15 c) 19 d) 21 e) N.a.

c) 26

10. Juan nació 6 años antes que Carlos. En 1984 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1963. ¿ En qué año nació Juan ?

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

de mi edad nuestras edades sumarán 57 años. ¿ Qué edad tiene Mariela?.

12. La edad de dos hermanas se pueden representar por 2 números primos absolutos y se sabe que la suma de dichas edades es 36 y si al producto de dichos números primos se le agrega una unidad, el número resultante tiene 15 divisores. ¿Qué edad tiene la mayor ?

a) 48 d) 52

a) 28 d) 20

e) N.a.

4 to Año Secundaria

c) 35

08. Al preguntársele su edad a un abuelo, contestó: "No soy tan joven que pueda tener menos de 70 años, ni tan viejo que se me pueda llamar noventón". Cada uno de mis hijos me han dado tantos nietos como hermanos tienen, mi edad es justo el triple de hijos y nietos que tengo". ¿ Cuál era su edad ?

a) 66 S4RM33B

37

c) 11

04. Un niño nació en Noviembre y el 9 de Diciembre tenía una edad igual al número de días transcurridos del 1° de Noviembre al día de su nacimiento. Hallar la fecha de su nacimiento.

a) 1982 d) 1986

4 to Año Secundaria

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 9 años e) N.a.

c) 8 años

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 01. Un padre tiene 32 años y su hijo 8. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era siete veces la del hijo? a) 6 d) 3

b) 4 e) 5

b) 15 e) N.a.

b) 13 e) 10

c) 17

b) 28 e) 25

b) 21 e) 25

c) 29

c) 24

06. En torno a una mesa hay 12 personas, José suma los años de nacimiento de todos ellos y Carlos suma las edades de las 12 personas; a continuación se suma los 2 resultados obteniéndose finalmente 23780. Si la suma se hizo en Agosto del año 1982. ¿Cuántos ya habían cumplido años?

S4RM33B

a) 28 d) 16

b) 24 e) N.a.

4 to Año Secundaria

c) 8 a) 6 d) 15

c) 23

08. Katty tiene 32 años y su edad es el doble de la edad que tenía Mily, cuando Katty tenía la edad que ahora tiene Mily. ¿Cuántos años tiene Mily?

b) 10 e) Ninguna.

c) 9

13. Eduardo le dice a César: “Tengo tres hermanas, determina sus edades sabiendo que su producto es 40 y que su suma es igual a tu edad”. César después de analizar las probabilidades responde: ¡ Falta un dato ! y Eduardo contesta ¡ Ah si: mi hermana menor tiene ojos azules !

Determinar la suma de la edad de César y de la hermana mayor de Eduardo. a) 24 d) 21

b) 22 e) Ninguna

c) 23

b) 16 e) Ninguna

c) 24

10. Una persona nació en el año 19 ba y en el año 19 ab tiene (a + b) años. ¿En qué año tuvo (a . b) años? a) 1963 d) 1959

b) 1960 e) Ninguna

c) 1965

11. Julio nació 6 años que Víctor. En 1948 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1963. ¿En qué año nació Julio? a) 1934 b) 1940 c) 1931 d) 1937 e) Ninguna 12. Cierta vez se cumplió que la diferencia de las edades de Antonio y Miguel, que sabía tocar piano era igual a la suma de las cifras del año en que estaban. Si el mayor, Antonio, nació en 1934. ¿Qué edad tenía Miguel cuando se cumplió aquello?

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

17. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 20 años. ¿Qué edad tenía cuando las edades de los 3 sumaban 70 años? a) 5 d) 20

b) 10 e) 18

c) 15

18. Si 3 veces la edad de mi hermano es 2 veces mi edad, y hace 3 años; 3 veces su edad era la mía. ¿Cuántos años tengo? a) 6 d) 12

b) 9 e) 15

c) 3

c) 20

09. Pepe le dice a Eduardo: “Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tenga la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 63 años.” ¿Cuántos años tiene Pepe? a) 28 d) 21

05. Determinar la edad que cumplió Miguel en 1922 sabiendo que es igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento. a) 22 años d) 23

b) 24 e) N.a.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

14. La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años? a) 28 d) 20

b) 24 e) Ninguna

c) 26

c) 20

04. Los 5/7 de la edad de una persona menos 4 años, dan la edad que tenía hace 12 años. ¿Cuál es esta? a) 30 d) 23

b) 10 e) N.a.

07. La edad de un padre con la de su hijo suman 76 años y hace 13 años la edad del padre era el cuádruple de la edad del hijo. Hallar la edad del hijo dentro de 5 años. a) 28 años d) 19

03. Un padre dice a su hijo : “Ahora tu edad es la quinta parte de la mía pero, hace 5 años no era más que un séptimo”. ¿Qué edad tiene el hijo? a) 15 años d) 16

a) 7 d) 9

37

c) 7

02. Cuando Mario nació, Walter tenía 30 años ambas edades suman hoy 32 años más que la edad de Tito, que tiene 46 años. ¿Qué edad tiene Aldo que nació cuando Mario tenía 9 años? a) 13 años d) 16

4 to Año Secundaria

15. En 1977 la edad de Julio era aunque con el orden cambiado igual a la dos últimas cifras del año de su nacimiento, lo mismo sucede con su abuelo. Si la diferencia de sus edades es 45, y la edad del abuelo en 1977 era, con el orden cambiado de sus cifras igual a la edad de Julio. ¿Cuántos años tendrá el abuelo en 1985? a) 83 d) 69

b) 71 e) Ninguna

19. Charo es hija de Angela y Luciana es hija de Charo. Cuando Luciana nació, la edad de Charo, hoy durante la reunión del décimo cumpleaños de Luciana, Angela dice tener 45 años y Charo dice tener 27 años. Si la suma de las edades de Angela, Charo y Luciana es de 90 años. ¿Cuántos años oculta cada una de las señoras? a) Angela = 5 b) Angela = 4 c) Angela = 5 d) Angela = 3 e) Angela = 4

c) 75

16. Si Carmen tiene “a” años más que su hijo, calcular la edad de Carmen, sabiendo que dentro de “ab” años la suma de sus edades será (a + b ) 2 a) 2a 2 + b

(

c) 2a a

2

2

+b

+b

2

)/ 4

(

)

b) a 2 + b 2 / 2 d)

2

e) N.a.

S4RM33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

y y y y y

Charo = 5 Charo = 4 Charo = 3 Charo = 4 Charo = 3

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 20. La edad de Javier es los 3/2 de la edad de Luis. Si Javier hubiera nacido 10 años antes y Luis 5 años después, entonces la razón de ambas edades sería 16/5 de la razón que habría si Javier hubiera nacido 5 años después y Luis 10 años antes. ¿Qué edad tuvo uno de ellos, cuando nació el otro? a) 10 d) 16

b) 20 e) 5

01. Angela le dice a Betty: Cuando yo nací, tú tenías 6 años. Cuando César tenía el doble de lo que tú tenias cuando yo nací, pero cuando nació David, César tenía el doble de lo que yo tenía cuando César nació, pero cuando David tenga un año menos de lo que yo tenía cuando David nació. ¿Qué edad tendrá César en ese momento? b) 17 e) 6

c) 9

02. Cuando a Pilar se le pregunta por la edad de su hermano responde: “Cuando yo tenía 14 años, mi hermano, tenía la mitad de lo que tenía mi padre: actualmente sucede igual con mi edad y la edad actual de mi padre; en cambio hace 16 años mi edad era la mitad de la edad que tenía mi hermano”. ¿Cuántos años tiene el hermano de Pilar? a) 20 d) 16

b) 19 e) 17

c) 18

b) 8 e) 21

c) 7

04. Karina le dice a Manuel: “Dentro de algunos años, tu edad será mi edad, como 5 es a 4”. A S4RM33B

lo que Manuel le responde: hace la misma cantidad de años que tu mencionas, nuestras edades estaban en la relación de 8 es a 5. Si la edad de Karina no pasa de 20 años. ¿Qué edad tendrá ella dentro de 6 años? a) 20 años d) 24 años

b) 28 años e) 30 años

c) 18 años

05. Dentro de 8 años la edad de Pedro será la que Juan tiene. Dentro de 15 años, Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Juan y Pedro cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? a) 26 años d) 24 años

b) 28 años e) 30 años

c) 18 años

38

b) 21 e) 32

b) 40 e) 45

MÓVILE INTRODUCCIÓN

a) 11 d) 14

b) 8 e) Absurdo

c) 12

10. Víctor le dice a Andrés : “Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendrás lo que Julio tenía, que es el triple de lo que tienes y yo tenía los 3/ 5 de lo que él tiene, que es 10 años menos de los que tendré, cuando tengas lo que ya te dije”. ¿Qué edad tuve yo cuando naciste? a) 24 d) 16

b) 12 e) 17

Este capítulo trata del estudio del movimiento de los cuerpos, y de sus características fundamentales como son el espacio, tiempo y velocidad.

ECUACIÓN FUNDAMENTAL V t

c) 8

A

e

Se cumple:

V=

e e =V. t

t

b) 14 e) 20

c) 24 t=

e V

Observación : Es importante verificar que todas las variables tengan unidades compatibles.

Nota: para poder simplificar estas fórmulas, usamos el triángulo siguiente:

c) 30

e t

TIEMPO DE ENCUENTRO (Te) Se refiere al tiempo que demoran dos móviles en encontrarse, viajando en sentidos contrarios. Así dados dos móviles que se mueven en sentidos contrarios, como indica la figura.

c) 16

09. Mi edad actual es 4 años menos de lo que exactamente representa el triple de la edad

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Donde : e: espacio t: tiempo v: velocidad

08. Pilar le dice a Gustavo: Tu edad es el doble de aquella que tenías cuando yo tuve el doble de la que tuviste cuando cumplí 4 años, si suman nuestras edades actuales da 32 años. ¿Qué edad tengo? a) 12 d) 18

B

Dado un cuerpo que se mueve desde un punto “A” hasta “B”, como indica la figura.

07. El le dice a ella: “Yo tengo el doble de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo en ese momento nuestras edades sumarán 90 años”. ¿Cuántos años tiene él? a) 20 d) 55

4 to Año Secundaria

que tenías cuando yo tenía el triple de lo que tienes hoy. Pero cuando tengas mi edad; la suma de nuestras edades será 37 años. ¿Qué edad tengo?

06. Laura le dice a Pamela: Yo tengo el doble de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades sería 8. Hallar la edad de Pamela. a) 18 d) 28

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

v

03. Hace 12 años la edad de 2 hermanos estaban en relación de 4 es a 3, actualmente sus edades suman 59 años. Dentro de cuántos años sus edades estarán en relación de 8 es a 7? a) 9 d) 20

37

c) 15

TAREA DOMICILIARIA

a) 11 d) 5

4 to Año Secundaria

S4RM33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4 to Año Secundaria

37

VB

VA

VA

t A

VB

B

te

d

Para calcular después de cuanto tiempo se encuentran, se aplica la siguiente fórmula :

A

B d

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

Cuando un móvil cambia la velocidad con el tiempo, se desea conocer una velocidad que reemplace a todas las anteriores, y que desarrolle el mismo espacio en el mismo tiempo, esta velocidad es llamada “Velocidad Promedio” y se calcula como la razón entre el espacio total y el tiempo total empleados.

Así tenemos:

Observación: VA>VB sino lo podría alcanzar te =

d VA + VB

........... I

ta =

Aplicación : Dos móviles están separados, 40Km. y van uno al encuentro del otro, con velocidades de 3 Km/h y 2 Km/h. ¿Después de cuánto tiempo se encontrarán?

Resolución.- Graficando: 2 km/h

3 km/h te A

B

d VA − VB

Donde : d : distancia inicial de separación VA: velocidad del móvil que partió de A VB: velocidad del móvil que partió de B

Luego aplicando la fórmula (I) tenemos: te =

3+2

V2

Aplicación:

t1

t2

t3

t4

e 1

e 2

e 3

e 4

Vp =

eT TT

Resolución:

Aplicación:

Para cualquier problema de trenes se utiliza como fórmula básica la ecuación fundamental del movimiento (Ecuación I)

.

Aplicación: A. Un tren viaja a 20 m/s, demora 4 segundos en pasar delante de un observador ¿Cuál es la longitud del tren?

Resolución.-

V

L

Un automóvil partió con una velocidad de 30 Km/h y luego de dos horas aumentó su velocidad en 10 Km/h, recorriendo con esta, tres horas más ¿Cuál es la velocidad promedio del recorrido hecho?

Graficando:

20 km/h

(30+10) km/h 2h

e 1

Luego, aplicando la fórmula (II) tenemos :

50 30 − 20

Donde : L: longitud del tren Aplicando la ecuación fundamental :

50 km

ta =

Vp = 36 Km / h

e = espacio T = tiempos v = velocidad

30 km/h

Se refiere al tiempo que demora un automóvil en alcanzar a otro que se mueve en el mismo sentido, como indica la figura:

e 1 + e 2 + e 3 + e 4 + ...... t1 + t 2 + t 3 + t 4 + ..........

e + e2 30.2 + 40.3 Vp = 1 = t1 + t 2 2+3

Graficando:

Dos móviles se encuentran separados 50 Km. y se desplazan en un mismo sentido con velocidades de 30 Km/h y 20 Km/h. ¿Después de cuanto tiempo el más rápido alcanzará al otro?

te = 8

Tiempo de Alcance (ta)

=

Luego, aplicando la fórmula III, tenemos:

CRITERIOS DE TRENES

V4

Luego la velocidad Promedio, se calcula con la siguiente fórmula.

Donde:

30 km/h

V3

.... (III)

40

40

V1

Para calcular después de que tiempo, uno alcanza al otro, se aplica la siguiente fórmula:

donde: d : distancia de separación VA: velocidad del móvil que está en A VA: velocidad del móvil que está en B

4 to Año Secundaria

e =v. t

3h

e 2

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

ta = 5

S4RM33B

L =80 m

B. Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un observador y 10 segundos en pasar totalmente por un túnel de 400 metros de longitud ¿Cuál es la longitud del tren?

Velocidad Promedio (Vp) S4RM33B

L = 20 .4

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

4 to Año Secundaria

37

Resolución.-

Aplicación:

Graficando cada caso:

Cuando un barco navega a favor de la corriente demora 2 horas en recorrer 12 Km. ¿Cuál es la velocidad del barco?

I.

CASO (II) Pasa delante de una persona.

"8s"

Resolución : Graficamos cada caso: CASO I: Navegamos a favor de la corriente

e = V.t

12 = ( VB − VC ). 6 .. (β) Resolviendo las ecuaciones tenemos:

VB VC

L

Aplicando:

e = v. t

....... ( α)

L =V. 8

V

12 km

A

B

Aplicando:

e = v. t = V. 10

(β)

VB = 4

VC = 2

PRACTICA DE CLASE

12 = ( VB + VC ). 2 VB +VC =6

..... ( α)

De ( α) en (β) : L = 200 . 8

...... ( α)

II. CASO II : Navegando en contra de la corriente.

L = 1600 m

VB

Criterios de Corrientes

VC

6h

Para problemas de corrientes, solo hay que considerar que cuando se navega A FAVOR de la corriente las velocidades del barco y la corriente, se SUMAN y cuando se navega EN CONTRA de la corriente, las velocidades se RESTAN.

01. Un alumno parte de su casa y avanza 28 m. al este y luego 30 m. al norte y por último 12 m. al este, encontrando un tienda. Determinar la distancia que hay de la casa a la tienda. a) 10 m. d) 80 m.

b) 50 m. e) N.a.

c) 60 m.

02. Dos móviles parten de un punto común en direcciones que forman 120º con velocidades de 6 m/s y 10 m/s. Determinar la distancia que están separados al cabo de 3 segundos.

12 km

Donde: VB: velocidad del barco VC: velocidad de la corriente

a) 42 m. d) 15 m.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 50 m. e) 18 m.

c) 60 m.

03. Un móvil marcha con una velocidad de 72 km/h durante 30 minutos. La distancia recorrida en este lapso de tiempo es: a) 3600 m d) 40 km.

S4RM33B

y

Aplicando:

400 m

L = 400

( α)

Luego:

e = V. t

L

....

2 VB = 8

Vb: velocidad del barco Vc: velocidad de la corriente

" 10 s "

4 to Año Secundaria

VB +VC =2

VB + VC = 6  + VB − VC = 2 

2h

Donde: II. CASO (II) Pasa por un túnel

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Aplicando:

V

I.

38

S4RM33B

b) 36 km e) N.a.

c) 80 km.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 04. Un auto se desplaza con una velocidad constante de “V” m/s recorriendo un determinado espacio en 4 segundos. Si aumenta su velocidad en 4 m/s recorre el mismo espacio en 3,5 segundos. Hallar “V” en m/s. a) 28 m/s d) 10 m/s

b) 14 m/s e) N.a.

c) 12 m/s

05. Un móvil B parte a 15 km/h en una dirección a Arequipa otro móvil A que se encontraba a 30 km/h de tras el, parte a una velocidad de 20 km/h.

Hallar la distancia que recorre cada uno hasta encontrarse. a) 100 ; 80 b) 120 ; 90 d) 120 ; 90 e) 120 ; 100

c) 110 ; 100

06. Un niño estaba caminando durante 14 horas.

Si hubiera caminado una hora menos, con una velocidad mayor en 5 km/h, habría recorrido 5 km. menos. ¿Cuál es su velocidad? a) 60 km/h b) 70 km/h d) 50 km/ he) 65 km/h

c) 80 km/h

07. Un ciclista calculo que si viajaba a 20 km/h; llegaría a la meta a las 5:00 p.m. y si viajaba a 30 km/h llegaría a la meta a las 3:00 p.m. ¿Qué velocidad debe tener para llegar a las 4:00? a) 25 km/h d) 26 km/h

b) 24 km/h e) N.a.

c) 28 km/h

08. En el instante que se muestra los coches parten en velocidades constantes. Si “A” alcanza a “B” en 25 segundos y 50 segundos después alcanza a “C” hallar la velocidad “u” a) 70 m/s b) 60 m/s c) 75 m/s d) 80 m/s e) N.a.

09. Los 2/3 de un camino se recorrieron en bicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón de 4 km/h tardando en total 7,5 h. ¿Cuál fue la longitud total recorrida en km.?

S4RM33B

4 to Año Secundaria a) 120 d) 96

b) 240 e) 80

37

b) 100 km. e) 120 km.

c) 1000 km.

11. Pedro recorre el tramo AB de 20 km en 2 horas. ¿Cuál debe ser su velocidad de retorno para llegar en la mitad del tiempo? a) 10 km/h d) 20 km/h

b) 15 km/h c) N.a.

c) 12 km/h

12.César recorre el tramo AB en 20 horas, si quisiera hacerlo en 25 horas; tendrá que disminuir su velocidad en 8 km/h. ¿Cuánto mide el tramo AB? a) 650 km d) 850 km

b) 700 km e) 900 km

c) 800 km

13. Dos móviles A y B separados una distancia “x” parten al encuentro ¿Con cuanto tiempo de anticipación debe partir A para encontrarse justo a la mitad del trayecto, si sus velocidades son “r” y “2r” respectivamente? a) d)

x r x 8r

b)

x 2r

c)

x 4r

e) N.a.

14. Si la velocidad del sonido en el agua de mar es 1250 m/s y en el aire 340 m/s. Determinar a que distancia de tiempo entre el sonido transmitido por el, agua y el aire es de 45,5 seg. a) 2500 m d) 18 725 m

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 29520 m e) 21 250 m

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

c) 72

10. Una liebre y una tortuga parten simultáneamente de un mismo punto, la tortuga recorre en cada minuto 10 m. y la liebre 100 m. si ambos se dirigen a un mismo punto, además la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hasta la meta y así sucesivamente hasta que la tortuga llega a la meta. Si la tortuga recorría 1 km. ¿Cuántos recorrío la liebre? a) 10 km. d) 1 km.

38

c) 8230 m

4 to Año Secundaria d) 6 min

15. Dos móviles parten de dos puntos de una recta, con velocidades constantes y se dirigen uno hacia el otro. El primero ha recorrido 30 m. mas que el segundo, cuando se cruzaron, y el resto lo hace en 4 minutos. El segundo demora 9 minutos después del cruce, para llegar al punto inicial del primero. ¿Qué distancia los separaba? a) 10 m. d) 170 m.

b) 130 m. e) N.a.

c) 150 m.

e) 12 min

20. Dos corredores A y B parten simultáneamente en viaje de una ciudad a otra, distantes 60 km. La velocidad de A es 74 km/h menos que la de B, luego de llegar B a la segunda ciudad y regresar inmediatamente se encuentra con A a 12 km. La velocidad de A era en km/h. a) 4 d) 20

b) 6 e) N.a.

c) 8

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04 16. En una carrera donde participaron 3 caballos, el ganador corrió a una velocidad de 33 m/s y llego 12 s antes que el ultimo, a su vez este llego 8 s después que el segundo caballo. Si los tiempos empleados por los dos primeros suman 24 s ¿Qué velocidad en m/s empleo el ultimo caballo? a) 12 d) 20

b) 18 e) N.a.

c) 15

17. Un viajero recorre los 2/3 de un camino en automóvil a la velocidad de 40 km/h y el resto en motocicleta a 80 km/h. Si en total tardo 6 h 15 min. ¿Cuántas horras estuvo viajando en automóvil? a) 5 d) 4, 2

b) 4, 5 e) N.a.

c) 6

18. Un alumno razona diciendo. Si voy a 80 m/ min llegare al examen 1 hora después; pero si lo hago a 120 m/min llegare una hora antes ¿A que velocidad debe ir para llegar a la hora exacta? a) 90 m/min c) 100 m/min e) 102 m/min

b) 96 m/min d) 110 m/min

19. Dos móviles parten de un punto y se alejan en direcciones perpendiculares, con velocidades constantes de 40 y 30 m/s. ¿En que tiempo estarán separados 24 km? a) 10 min S4RM33B

b) 9 min

01.Dos trenes marchan en sentido contrario y sobre vías paralelas, con velocidades de 18 y 30 km/h. respectivamente; un pasajero en el segundo tren calculó que el primero demoró en pasar 9 segundos ¿Cuál es la longitud de éste último tren? a) 80 m d) 180 m

b) 480 m e) 120 m

c) 100 m

02. Un motociclista ha recorrido los 4/9 del camino que une la ciudad de Lima y Huacho; si aún le falta recorrer 80 km. y ya lleva corriendo 28800 segundos ¿Cuál es su velocidad en m/min? a) 133 , 3 b) 250 c) 300 d) 380 e) 480 03. Carlín recorre 240 km. en 2 horas a favor de la corriente y en contra de la corriente 190 km. menos en 1 hora menos. ¿Cuál es la velocidad de la corriente? a) 80 km/h d) 45km/h

b) 35 km/h e) 85 km/h

c) 85 km/h

04. Boby dispone de 51 segundos para ir a traer un hueso. Si la ida la hace con una velocidad de 12 m/s al regreso a 7 m/s menos que la ida. ¿Qué tiempo demora en el movimiento de ida? a) 38 s d) 15 s

c) 8 min “El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 12 s e) 20 s

c) 25 s

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 05. Dos personas deben hacer un mismo recorrido de 28 km; la primera está a pie y hace 5 km; la segunda a caballo y hace 12 km; si la primera parte a las 05: 00 horas. ¿A qué hora deberá partir la segunda para llegar al mismo tiempo a su destino?

b) 1088 c) 888 e) Imposible calcular

07. Claudico debe realizar un viaje de 820 km. en 7 horas. Si realiza parte del viaje en avión a 200 km/h. y el resto en auto a razón de 55 km/h. ¿Cuál es la distancia recorrida en avión?. b) 500 km. e) 800 km.

c) 600 km.

08. Un automóvil debe hacer un cierto trayecto en 4 h. Una hora después de la partida, el piloto acelera la velocidad a fin de llegar a media hora antes y hace entonces 16 km. más por hora. ¿Cuál fue la distancia recorrida? a) 290 km. d) 320 km.

b) 300 km. e) 350 km.

c) 310 km.

09. Un ciclista recorre 80 km. en 3 horas. Llegó a la mitad del camino y se observó que su velocidad media fue 2 km/h. inferior a la que debió llevar. ¿Cuál fue la velocidad media en km/h durante el tiempo que le resto, si llegó a la hora fijada. a) 22,5 d) 20,5 S4RM33B

b) 21,5 e) 22

10. Niseforo parte de A a B con una velocidad de 200 km/h., cuando aún le faltaba recorrer 4/5 de su camino duplica su velocidad lo que le permite llegar a su destino con 2h. de anticipación. ¿Qué longitud tiene su camino? a) 2000 km. d) 4000 km.

06. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90m. de circunferencia y en el mismo sentido. El primero, que tiene 18m. de adelanto corre con una velocidad de 2,90 m/s y el ptro 2,54 m/s.

Calcular la suma de las distancias recorridas hasta su encuentro.

a) 240 km. d) 700 km.

37

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4 to Año Secundaria

cruzan por tercera vez. ¿Cuál es la velocidad del más rápido en m/min.

detiene 20 minutos cada 20km. andados. ¿A que hora encontrará al peatón?

a) 450 d) 540

a) 13h 32’ 18” c) 13h 33’ 18” e) 14h 30’ 17”

b) 600 e) N.a.

c) 480

b) 12h 32’ 18” d) 13h 32’ 15”

TAREA DOMICILIARIA

a) 08h. 20 min. b) 07h. 14 min. c) 08h. 10 min. d) 08h. 18 min. e) 07h. 20 min.

a) 1188 d) 9080

4 to Año Secundaria

c) 21

b) 1800 km. e) N.A.

c) 1000 km.

11. Un peatón recorre 23 km. en 7 horas; los 8 primeros con una velocidad superior en 1 km. a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer trayecto. a) 2 km/h. d) 5 km/h.

b) 3 km/h. e) 6 km/h.

c) 4 km/h.

12. Pity se dirige a depositar una carta a una velocidad de 12 km/h. regresa a 3 km/h. Si usa 20 horas en total. ¿Qué distancia a recorrido? a) 46 km. b) 48 km. c) 36 km. d) 24 km. e) N.a.

13. Viajando a 100 km/h. un piloto llegaría a su destino a las 19 horas. Viajando a 150 km/h llegaría a las 17 horas. ¿Con qué velocidad debe viajar su desea llegar a las 18 horas? a) 125 km/h. d) 135 km/h.

b) 120 km/h. e) N.a.

c) 130 km/h.

14 Yancha, el primer día, fue al colegio a 6 km/h. y llegó 15 minutos retrasada. El segundo día fue a 12 km/h. llegando 15 minutos adelantada. ¿A qué velocidad debe viajar para que saliendo a la misma hora llegue puntualmente? a) 7 km/h. b) 8 km/h. c) 9 km/h. d) 9 1/2 km/h. e) 8 1/2 km/h.

15. Dos automóviles parten desde un mismo punto, en un circuito de 6000 m. en sentidos contrarios. Si cuando el primero ha completado una vuelta al cabo de 20 min., se

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

01. Las velocidades de dos autos son como 6 a 5.

El primero recorre 720 km. en 6 horas. ¿Cuánto recorre el segundo en 7 horas? a) 740 d) 760

b) 680 e) 640

c) 700

02. Un ciclista se dirige de A hacia B con una velocidad de 20 Km/h. Después de haber

1 recorrido 8 km. es alcanzado por un auto 3 que recorre la distancia entre A y B con velocidad constante y que salió de A ¼ de hora después que él. Después de recorrer de nuevo 25 km. encuentra de nuevo al auto que vuelve de B donde ha estado media hora ¿Cuál es la distancia entre A y B? a) 39,58 d) 38,98

b) 39 e)39,85

c) 38,52

03. Pedro y Juan hacen un recorrido de 100 km. así: Pedro y Carlos parten en un automóvil a una velocidad de 25 km/h, al mismo tiempo que Juan sale, a pie, a 5 km/h. A cierta distancia, Carlos se baja del carro y continua caminando a 5 km/h. Pedro regresa, recoge a Juan y continua la marcha llegando al lugar de destino al mismo tiempo que Carlos. ¿Cuántas horas duró el viaje? a) 6 d)9

b) 7 e)10

c) 8

04.Un peatón parte de A a las 8 de la mañana anda 1 km. cada 9 minutos y descansa ¼ de hora cada vez que anda 45 minutos. Un coche sale también de A a las 10 de la mañana en la misma dirección, recorre 9Km. por hora y se S4RM33B

05.Del embarcadero “A” partieron al mismo tiempo río abajo un bote y una balsa. El bote después de pasar 96 km. río abajo, vuelve hacia atrás y regresa a A al cabo de 14 horas. Hallar la velocidad del bote en agua muerta y la velocidad de la corriente, si se sabe que en su camino de regreso el bote encontró a la balsa a la distancia de 24 km. de A. a) 12 y 4 km/h b) 14 y 2 km/h c) 16 y 3 km/h d) 42 y 12 km/h e) 17 y 7 km/h 06.Para los ensayos de motocicletas de diferentes de diferentes tipos, los motociclistas parten al mismo tiempo del punto “A” a “B” y de el punto “”B” a “A”. La velocidad de los dos motociclistas es constante y al llegar al punto final vuelven inmediatamente hacia atrás. La primera vez se encontraron a la distancia de “p” kilómetros de “B” y la segunda a “q” kilómetros “A”, “t” horas después del primer encuentro, hallar la distancia en A y B. a) 3p – q d) 2p – pq

b) 3q – p e) 5p – 3q

c) 2p + 3q

07.Dos automóviles partieron al mismo tiempo de un mismo punto en un mismo sentido. La velocidad del primero es 50Km/h y la del segundo de 40km/h. Después de media hora, del mismo punto y en el mismo sentido parte un tercer automóvil que alcanza al primero 1,5 horas más tarde que al segundo. Hallar la velocidad del tercer automóvil. a) 70Km/h d) 68Km/h

b) 60Km/h e) 75 Km/h

c) 65Km/h

08.Dos ciclistas salen simultáneamente al encuentro, el primero sale de “A” con una velocidad de 7 km/h y el segundo sale de “B” con una velocidad de 3 km/h. Al segundo lo

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

RELOJE COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN acompaña su perro, que corre una velocidad de 5 km/h, el perro sigue la ruta encuentra al otro ciclista y vuelve al encuentro de su amo, y así sucesivamente sigue corriendo hasta que los dos ciclistas se encuentran. que distancia ha recorrido el perro si de A a B hay 40 kilometros. a) 20 km d) 32 km

b) 25 km e) 40 km

c) 30 km

09. Un automóvil parte de Piura a las 17:00 y llega a Lima al día siguiente a las 14:00. Otro sale de Piura a las 15:00 y llega a Lima al día siguiente a las 9:00. ¿A qué hora el segundo auto alcanzó al primero? a) 11:00 d) 04:00

b) 02:00 e) 05:00

c) 03:00

10. En 100 metros un corredor “A” vence a otro “B” por 1/5 de segundo, pero si “A” le da 3 metros de ventaja a “B” este vence a “A” por 14/13 de segundo. ¿Cuánto tarda “B” en recorrer 100 metros? a) 40,56 s d) 43,56 s

b) 41,56 s e) 38,56 s

c) 42,56 s

4 to Año Secundaria

37

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

4 to Año Secundaria

e) 3 segundos

Del medio día, a las 8:00 a.m. del otro día han transcurrido 20 horas.

En 5 horas se atrasa 4 minutos.

En 20 horas se atrasará “x” minutos.

Resolución Dato:

Tipo (I)

1 seg

01.Un reloj que da la hora mediante campanadas, se demora 1 segundo para dar las 2. ¿Cuántos segundos se demorará en dar las 4, si las campanadas están igualmente espaciadas? a) 1 segundo c) 3 segundos e) 5 segundos

1° campanada

2° campanada 1 segundo

Nótese que el tiempo que se considera, no es el que demoran en sonar las dos campanadas, sino el tiempo transcurrido entre una y otra campanada.

3°

2° 1 seg

1 seg

4° 1 seg

Total: 3 segundos.

02.Un reloj de campanadas se demora 1 segundo en dar las 3 horas. ¿Cuánto tardará en dar las 5 horas? a) 1 segundo c) 2 segundos “El nuevo símbolo de una buena educación....”

b) 1.5 segundo d) 2.5 segundos

1/2 seg

4° 1/2 seg

5° 1/2 seg

Total: 4 (1/2) = 2 seg.

03.Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj, a razón de 5 minutos por cada hora. ¿Qué hora estará marcando este reloj, cuando en realidad sean las 10 p.m. del mismo día? b) 10:50 pm. e) 11:20 pm.

c) 11:00 pm.

De las 8 a.m. hasta las 10 p.m. han transcurrido 14 horas.

En 1 hora se adelanta 5 minutos.

En 14 horas se adelantará “x” minutos. x = 14 x 5 = 70 min ó 1 hora 10 min.

Luego: a las 10 p.m. tendrá un adelantado de 1 hora 10 min, entonces marcará 11.10 p.m.

04.Un reloj que se atrasa 4 minutos cada 5 horas, se pone a la hora al medio día. Se desea poner nuevamente a la hora a las 8:00 a.m. ¿Cuántos minutos se debe adelantar para ponerlo a la hora?

Resolución S4RM33B

b) 16 min. e) 24 min.

b) 9:00 a.m. e) 10:00 a.m.

c) 9:30 a.m.

Resolución Como son las 4:00 p.m.; un reloj marca las 3:40 p.m., entonces tiene un retraso de 20 minutos.

En 3 horas se retrasa 2 minutos.

En “x” horas se habrá retrasado 20 minutos.

Resolución

a) 15 min. d) 20 min.

= 16 minutos

05. Cuando son exactamente las 4:00 p.m.; un reloj marca las 3:40 p.m. Se sabe que el reloj sufre un retraso constante de 2 minutos cada 3 horas. Determinar a que hora marcó la hora correcta por última vez? a) 8:00 a.m. d) 9:40 a.m.

Tipo (II)

a) 10:10 pm. d) 11:10 pm.

5

Luego, para ponerlo a la hora, hay que adelantarlo en 16 minutos.

1/2 seg

3°

2°

20 x 4

3°

∴Para dar las 5 horas:

1/2 seg

Si se demora 1 segundo en dar las 2, implica que se demora en dar 2 campanadas, quiere decir que de la primera campanada a la segunda ha transcurrido 1 segundo.

x=

2° 1/2 seg

1°

Resolución

1°

1°

b) 2 segundos d) 4 segundos

Luego para dar las 4 (es decir para dar 4 campanadas) de la 1ra a la 2da campanada habrá 1 segundo; de la 2da a la 3ra otro segundo y de la 3ra a la 4ta un segundo más, vale decir, tardará tres segundos.

S4RM33B

38

c) 18 min.

x=

20 x 3 2

= 39 horas

Luego, para retrasarse 20 minutos se ha demorado 30 horas, por lo que se deduce que hace 30 horas marcó la hora correcta por última vez, es decir, a las 10:00 a.m.

06.Siendo las 12 del día, un reloj empezó a adelantarse a razón de 10 minutos por hora. ¿Dentro de cuántas horas volverá a marcar la hora correcta por primera vez? a) Dentro de 12 horas b) Dentro de 36 horas c) Dentro de 2 días d) Dentro de 1 día e) Dentro de 3 días

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Resolución Para que un reloj que se adelanta vuelva a marcar la hora correcta por primera vez, tiene que adelantarse en 12 horas como mínimo.

Por ejemplo, supóngase que en estos momentos son las 10:00 a.m.; tenemos un reloj que marca la hora correcta y adelantemos en 12 horas, notaremos que a pesar de estar adelantado en 12 horas, estará marcando la hora correcta, es decir, las 10:00.

Es por ello, que en este problema, tendríamos que esperar que el reloj se adelante en 12 oras = 12 x 60 = 720 minutos, para que vuelva a marcar la hora correcta.

Luego: En 1 hora se adelanta 10 minutos.

En “x” horas se adelantará 720 minutos. x=

720 10

4 to Año Secundaria

37

Por otro lado, toda la circunferencia del reloj tiene 360°.

De lo anterior tenemos las siguientes equivalencias.

60 div < > 60 min < > 360° 1 div < > 1 min < > 6° Lo anterior indica, que si el minutero de un reloj recorre 1 división, transcurre 1 minuto de tiempo y ha barrido un ángulo de 6°.

2. Relación de los corridos del horario y el minutero

38

Entre las 4 y las 5, la hora de referencia será las 4 en punto.

Los problemas que analizaremos en este caso, son los que se derivan de la relación existente entre la hora que marca el reloj y el ángulo formado por las manecillas del reloj en ese momento.

Hora de Referencia 12

H

a) Cuando el horario adelanta al minutero Partamos de la hora de referencia, que en este caso será las “H” en punto. A partir de ese momento el minutero ha recorrido “m” divisiones, en tanto que el horario la recorrido m/12 divisiones.

A las “H” con “m” min.

12 5Hdiv m div H

En una hora la aguja minutera da una vuelta entera, es decir, recorre 60 divisiones, mientras que el horario recorre solamente 5 divisiones (la doceava parte de lo que recorre el minutero).

Minutero recorre 60 divisiones 12 divisiones m divisiones

5Hdiv

Resolución:

⇒

1 div. < > 6°

= 72 horas = 3 días.

Tipo (III)

4 to Año Secundaria

Problema General: Hallar el ángulo que forman las manecillas de un reloj, a las “H” con “m” minutos.

Cuando: Las 12 divisiones mayores tiene 5.

Volverá a marcar la hora correcta por primera vez dentro de 3 días.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

α = 30 H −

⇒ Horario recorre 5 divisiones 1 división m/12 divisiones

36 12

Hora de Referencia 12

5Hdiv

H

= 3 divisiones.

Algunas Consideraciones 1. Divisiones de un reloj Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones mayores que indican las horas, cada una de éstas está dividida en cinco divisiones menores, las cuales hacen un total de 12 x 5 = 60 divisiones menores en toda la circunferencia que indican los minutos.

En adelante como divisiones nos referimos a las divisiones menores.

S4RM33B

3. Hora de referencia A las “H” con “m” min.

Dada una hora cualquiera, la hora de referencia será la hora exacta anterior a dicha hora.

12

Ejemplo:

α

A las 7 hrs 25 min, la hora de referencia será las 7 en punto.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2

b) Cuando el minutero adelanta el horario Nuevamente partiendo de la hora de referencia, el minutero ha recorrido “m” divisiones, mientras que el horario m/12.

Por ejemplo: cuando el minutero haya recorrido 36 divisiones (36 minutos), en ese tiempo, el horario habrá recorrido

11 m

5Hdiv

m div m div 12

S4RM33B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

 m     div α = m −  5 H + 12      1 div < > 6° ⇒

α≡

11 m 2

4 to Año Secundaria

37

Ejemplo 1: ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 7:24 a.m.?

Resolución: 12

− 30 H

Resumen:

α

La hora que señala el reloj y el ángulo que forman sus manecillas están relacionados de la siguiente manera:

11 m  α = 30 H − 2  11(24 )  m = 24  α = 30 (7 ) − 2  α = 78 °  α=? 

H =7

Cuando horario adelanta al minutero α=30 H −

11 m 2

Cuando el minutero adelanta al horario α=

11 m 2

−30 H

4 to Año Secundaria 12

Resolución:

11 m α= − 30 H H=4  2  11(36 )  m = 36  α = − 30 (4 ) 2  α = 78 ° α=?   Ejemplo 4: Determinar el ángulo que forman manecillas de un reloj a las 12 con 18 minutos.

¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj, a las 9:10 p.m.?

11 m α = 30 H − H =9  2  11(10 )  m = 10  α = 30 (9) − 2  α = 215 ° α=?   Nota: Cuando se pregunta por el ángulo que forman las manecillas del reloj, se entiende por el menor ángulo. En este ejemplo, el ángulo mide 215° que es mayor de 180°; luego, el ángulo pedido no es éste si no su ángulo revolucionario, es decir 360° - 215° = 145°.

4 5

11 m H = 4  α = 30 H − 2  11 m  m = ?? 65 = 30 (4 ) − 2  m = 10 °  α = 65 ° 

Resolución: Cuando son las 12 y tantos, las horas de referencia se toma como cero (H = 0).

Luego:

11 m α= − 30 H  H =0 2  11(18 )  m = 18  α = − 30 (0) 2  α = 99 ° α=?   Ejemplo 5: ¿A qué horas, entre las 4 y las 5, las manecillas de un reloj, forman un ángulo de 65° por primera vez?

Resolución:

Ejemplo 3: ¿Cuál es el ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 4 y 36 minutos?

S4RM33B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S4RM33B

1 65°

Ejemplo 2:

Donde: H: Hora de referencia (0 ≤ H < 12) M: # de minutos transcurridos a partir de la hora de referencia. α: Medida del ángulo que forman las manecillas del reloj en grados sexagesimales.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

38

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Nota: Cuando se dice “por primera vez” significa que el horario está adelantado con respecto del minutero y cuando se dice “por segunda vez” ocurre la viceversa.

Ejemplo 6: ¿A qué horas entre las 2 y las 3, las manecillas de un reloj formarán un ángulo de 145° por segunda vez?

Resolución: El ángulo que forman las manecillas del reloj, se mide en sentido horario a partir de horario si el minutero adelanta al horario y a partir del minutero si el horario adelanta al minutero.

Por lo anterior, en este ejemplo: α = 360° - 145° = 215° A las 2 con 50 minutos.

10

145°

2

11 m

− 30 H

01. Un reloj se adelanta 5 segundos cada 10 minutos. Hace 18 horas que se viene adelantando. ¿ Qué hora marcará si son en realidad 3 h 24 min. ?

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a) 5h 48' d) 6h 32'

b) 6h 48' e) N.a.

c) 6h 12'

03. Un reloj se adelanta 3 min. cada 6 horas si a las 8 p.m. está marcando la hora exacta. ¿ Qué tiempo transcurrirá para la que vuelva a marcar la hora exacta ? a) 100 días d) 45 días

b) 90 días e) N.a.

c) 60 días

04. ¿Cuál es el ángulo que forma las manecillas de un reloj a las 8h 50 min ? a) 30° d) 60°

b) 35° e) N.a.

c) 45°

b) 175° e) N.a.

a) 4h 51 2/11 min c) 4h 54 6/11 min e) N.a.

c) 150°

b) 4h 52 5/11 min d) 4h 55 3/11 min

07. Antes que el minutero pase sobre el horario. ¿ A qué hora entre las 5 y las 6, las agujas de un reloj forman un ángulo recto ? a) 5h 11 5/11 min b) 5h 11 9/11 min c) 5h 10 10/11 min d) 5h 11 2/11 min e) N.a.

c) 9h 32'

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

38

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

08. Mirando un reloj se observa que la mitad de la parte transcurrida del día es igual a la tercera parte de lo que falta transcurrir. ¿ Qué hora es en el momento que se miró el reloj ? a) 9h 30' d) 9h 24'

b) 9h 36' e) N.a.

c) 9h 48'

09. En un determinado mes existen 5 miércoles, 5 jueves y 5 viernes. Se pide hallar que día es el 30 del siguiente mes. a) Miércoles d) Martes

b) Jueves e) Domingo

c) Lunes

10. Un trabajador puede realizar un trabajo en 5 horas. ¿ Qué parte de la obra hará desde las 9 h. 55 a.m. hasta las 10 h. 05 a.m. ? a) 1/15 b) 1/4 c) 1/30 d) 1/8 e) N.a.

06. ¿A qué hora entre las 4 y las 5 están opuestas las agujas del reloj?

PRÁCTICA DE CLASE

b) 9h 31' e) N.a.

02. Un reloj se atrasa 4 min cada 5 horas. Hace 10 días que se viene atrasando. ¿ Qué hora marcara, si en realidad son las 9 ?.

a) 215° d) 145°

3

H=2  2  11 m  m = ?? 215 = − 30 (2) 2  m = 50 α = 215 ° 

a) 9h 30' d) 9h 33'

37

05. Hallar el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 9 h. 10 min. ?

215°

α=

4 to Año Secundaria

11. Francisco comienza un viaje cuando las manecillas del reloj están superpuestas entre los 8 y los 9 a.m. Llega a su destino entre las 2 y las 3 pm. cuando las manecillas del reloj forman un ángulo de 180 grados. ¿ Qué tiempo demoró el viaje? a) 6 hrs. d) 6 hrs. 20'

b) 6 hrs. 30' e) N.a.

c) 5 hrs. 20'

12. Dos relojes dan las horas y las medias horas.

Sus marchas son iguales, pero uno de ellos dá la hora cambiada, a la 1 dá las 3, a las 2 dá las 4, etc. Si se ponen en marcha a las 11:59. ¿ Qué hora será cuando hayan dado el mismo número de campanadas ? a) 6 d) 5

b) 4 e) N.a.

c) 7

13. En un momento dado, 2 relojes marcan las 12 hrs.; uno de ellos se retrasa 7 seg. por hora y el otro se adelanta 5 seg. por hora . ¿Qué tiempo mínimo tendría que transcurrir para que los 2 relojes vuelvan a marcar una misma hora y que hora es esa?

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4 to Año Secundaria a) 120 días a las 14 hrs. b) 150 días a las 12 hrs. c) 120 días a las 8 hrs. d) 150 días a las 17 hrs. e) N.a.

14. En un mes el primer día cayó Lunes y el último Lunes. ¿ Qué día cayó el 16 de Setiembre del mismo año ? a) Viernes d) Lunes

b) Martes e) N.a.

c) Jueves

15. ¿ A qué día y hora del mes de Abril de 1976, se verificó que la fracción transcurrido del mes fue igual a la fracción transcurrida del año ? a) 8 Abril a las 3 a.m. b) 9 Abril a las 3 a.m. c) 13 Abril a las 6 p.m. d) 15 Abril a las 10 p.m. e) N.a.

16. Juan sale de su casa según su reloj a las 7.5 hrs. (a.m) y llega a la oficina a las 8.20 hrs. (a.m), luego se entera que su reloj estaba atrazado 12 mint. y el de la oficina tenía un adelanto de 5 mint. exactamente. ¿ Cuántos minutos demoró en llegar a su oficina?. a) 53 min b) 59 min. d) 1 hr. 83 min.

c)1 hr, 1 min. e) N.a.

17. ¿ Cuál es el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 10 hrs. 30 minutos?. a) 135° d) 140°

b) 105° e) N.a.

c) 120°

18. Es la 3 de la tarde. ¿ Cuántos minutos deben transcurrir para que las agujas estén superpuestas? a) 1 4/11 min. c) 15 4/11 min.

b) 16 4/11 min. d) 16 min. e) N.a.

19. Es medio día, qué hora las agujas de un reloj estarán opuestas.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

20. A las 8 horas 24 minutos. ¿ Cuántos divisores (arco menor) abarcan las manecillas del reloj? b) 18 e) 16

c) 14

EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 05 01. Un reloj da 6 campanadas en 5 seg. ¿En cuántos segundos dará 12 campanadas? a) 12 d) 9

b) 10 e) 13

c) 11

02. Se hacen funcionar dos relojes a las 00 horas.

Si uno de ellos se retrasa 10 minutos cada hora con respecto al otro. ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que ambos relojes coincidan a las 12? a) 8 días d) 3 días

b) 5 días e) 2 días

c) 75 horas

03. Una secretaria sale de su casa a las 9:45 a.m.. según su reloj y llega a su trabajo a las 10:45 a.m., según el reloj de la oficina. Se entera entonces que su reloj estaba atrasado 12 minutos y el de la oficina un adelanto de 8 minutos. ¿Cuánto demoró en llegar a su trabajo? a) 30 min. b) 40 min. c) 60 min. d) 54 min. e) 65 min.

04. ¿A qué hora, después de las 3 p.m., las agujas de un reloj determinan un ángulo de 130o?. a) 3:45’ d) 3:40’

b) 3:35’ e) 3:50’

c) 3:30’

05. Un reloj se atrasa un minuto en cada hora. Si marca la hora correcta el 4 de enero a las

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12m. ¿Qué día y a qué hora marcará nuevamente la hora exacta?

a) 12 hrs. 30 min. b) 12 hrs. 32 min. c) 12 hrs. 32 8/11 min. d) 4 hrs. 21 9/11 min. e) N.a.

a) 12 d) 15

4 to Año Secundaria

a) 28 de enero; 12 m. b) 02 de febrero; 7:30 p.m. c) 31 de enero; 1 p.m. d) 5 de febrero; 10 a.m. e) 3 de febrero; 12 m.

1 b) 7:49 11 3 e) 7:49 11

1 c) 7:51 11

07. ¿A qué hora entre las 4 y las 5 el minutero y el horario formarán un ángulo que sea la quinta parte del ángulo externo?

10 a) 4h 12 min.

11

10 b) 4h 10 11

min. c) 4h 20min. 6

2 seg.

11

d) 4h 10min. 20seg.

e) N.a.

08. Un reloj se adelanta 2 min. cada 8 minutos . ¿Qué hora será realmente cuando este reloj marque las 2 h. 15 min. y desde hace 3 horas que se adelanta?. a) 1h 30’ b) 1h 25’ c) 2h 30’ d) 2 h 20’ e) 3 h 40’ 09. ¿A qué hora después de las 4, el minutero equidista del horario y de las 12 por segunda vez? a) 4: 40’ 40 c) 4: 41’ 44

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

2

''

b) 4: 41’ 45

23 8 23

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

e) 4: 42’ 20

''

10 23

10. Cuando son las 8:00 a.m., un reloj marca 8:10 a.m., pero a las 9:00 a.m., del otro día marca 8:45 a.m. ¿Qué hora marcará a las 6 de la tarde del mismo día?

06. ¿A qué hora entre las 7 y 8 las agujas de un reloj determinan un ángulo de 60o por segunda vez?

2 a) 7:50 11 2 d) 7:49 11

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''

d) 4: 42’

1 23

2 23

''

''

4 to Año Secundaria 15. La hora que falta para terminar el día y las horas que pasaron desde que inició, están en relación de 3 : 5 . ¿Cuántas horas han transcurrido desde el mediodía? a) 5h d) 2h

a) 5: 51’ 10’’ b) 5: 50’ 36’’ c) 5: 47’ 36’’ d) 6: 00’ 00’’ e) 5: 30’ 24’’ 11. Siendo las 2:00 p.m., se ponen a la hora 2 relojes A y B. El primero se adelanta 7 minutos cada hora y B se atrasa 8 minutos cada hora. A las 10 de la noche del mismo día; ¿Cuánto tiempo estará adelantado A respecto a B? a) 20 min. d) 1,5 hora

b) 40 min. e) 2 horas

c) 1 hora

12. ¿Cuántas veces las manecillas de un reloj se superponen exactamente en una semana? a) 150 d) 168

b) 152 e) 161

c) 154

b) 4h e) 6h

TAREA DOMICILIARIA 01. Un reloj demora 5 segundos en dar las 6, empezando exactamente a las 6:00. Si los tic tac están uniformemente espaciados. ¿Cuántos segundos tarda en dar las 12:00? a) 11 s d) 20 s

b) 27–12–65 e) N.a.

a) 9h 36’ a.m. c) 9h 20’ p.m.

c) 26–04–65

14. Dos relojes marcan las 8 a.m., si en ese instante el primero comienza a adelantarse 5 min. por hora y el segundo a atrasarse 200 seg., por hora. Hallar a qué hora habrá una diferencia de 31 min., entre dichos relojes. a) 11h 39’ 36 a.m. c) 11h 43’ 12’’ a.m.

N.A. S4RM33B

b) 9 s e) N.A.

c) 12 s

02. ¿A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido?

13. Al ver que ninguno de sus relojes marchaba bien, pues uno se adelanta 2 minutos por día y el otro se atrasaba 2 minutos por día, el 1 ro de enero de 1965, a horas 12 m el dueño de los relojes les puso a la misma hora, para ver cuando volverían a marcar la hora correcta. ¿Cuándo volvieron a marcar la hora exacta? a) 26–04–66 d) 01–01–66

c) 3h

b) 3h 27’ 30’’ a.m. d) 4h 20’ 20’’ a.m. e)

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

b) 8h 20’ p.m. d) 8h 15’ p.m.

e) N.A.

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 03. Los 2/3 de lo que falta transcurrir de un día equivale al doble de lo transcurrido. ¿Cuántas horas faltan para el medio día? a) 4 d) 18

b) 6 e) 20

c) 12

4 to Año Secundaria

b) 6 p.m. e) N.a.

a) 5h 51 2/11’ c) 5h 10 10/11’ e) N.a.

c) 9 a.m.

05. La hora que falta para terminar el día y las horas que pasaron desde que inició, están en relación de 3:5. ¿Cuántas horas han transcurrido desde el mediodía? a) 5h d) 2h

b) 4h e) 6h

c) 3h

06. ¿Qué hora es, si falta del día, la tercera parte de lo que faltaba hace 6 horas? a) 8:00 a.m. d) 8:00 p.m.

b) 9:00 a.m. e) 9:00 p.m.

c) 10:00 a.m.

07. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 4h 40’? a) 110° d) 124°

b) 130° e) N.A.

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10. Antes que el minutero pase sobre el horario. ¿A qué hora entre las 5 y las 6, las agujas de un reloj forman un ángulo recto?

04. Mirando un reloj se observa que la parte transcurrida del día es igual a los 3/5 de lo que falta por transcurrir. ¿Qué hora es en el momento que se miró el reloj? a) 8 a.m. d) 8 p.m.

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c) 100°

b) 4h 54 6/11’ d) 5h 11 2/11’

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SOLUCIONARIO Nº 01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08 09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 03 04 05 C C B E C D A B A D C C A B B B D B D D D C E E E B D C B B C B A A B A C B D A B D A A C B B C C D D C B C E B C B E C C C B B D C D D B C B C D B D B C E C C B C C A B D C C B A

08. ¿A qué hora entre las 6 y las 7 las agujas del reloj estarán superpuestas? a) 6h 30’ c) 6h 31 7/11 min. e) N.a.

b) 6h 31’ d) 6h 32 8/11’

09. Son las 8 de la noche, a que hora las agujas del reloj forman primera vez un ángulo de 70° ? a) 8h 30 10/11’ c) 8h 35 1/11’ e) N.a.

b) 8h 31 2/11’ d) 8h 31 5/11’ GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003

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“El nuevo símbolo de una buena educación....”

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“El nuevo símbolo de una buena educación...."

4 to Año Secundaria