COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria 3 4
VI
No hay 1, 2, 3, 4 Total = Triángulos
TÉCNICAS DE
29
La resolución de problemas de conteo no necesita un conocimiento previo ni fórmulas, pues lo más importante es el orden que tengas al interpretar los ejercicios propuestos. 1.1 CONTEO DE FIGURAS
Se debe comenzar numerando cada zona en la que queda dividida la figura y contar lo que nos piden.
8
En un campeonato de fulbito intervienen 4 equipos. Si todos deben jugar entre sí un partido, ¿Cuántos deberán programarse?
PRÁCTICA DE CLASE 01. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
Cada equipo juega contra los otros 3, lo cual podemos graficarlo de la siguiente manera : A
Ejemplo:
a) 6 d) 16
¿Cuántos caminos existen para ir de A hacia B, sin pasar dos veces por un mismo punto? D
C
C
B
b) 7 e) N.A.
c) 12
02. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?
Donde :
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
A
E
A jugo 3 partidos. B jugo 3 partidos. C jugo 3 partidos. D jugo 3 partidos.
B D
Solución : Veamos que hay tres rutas posibles, por C,E o D.
Solución : Numeramos cada zona, sea ésta triángulo o no:
1 4
* Por E : 4) AEB 5) AECB 6) AEDB * Por D : 7) ADB 8) ADEB 9) ADECB
# Triángulos 1/2/3 1,2 / 1,4 / 2,3 / 3,4
De este modo estamos considerando A vs B un partido y B vs A otro , lo cual es incorrecto por lo tanto:
# partidos =
* Por C : 1) ACB 2) ACEB 3) ACEDB
2 3
A continuación ubicamos la figura pedida, juntando zonas de manera ordenada y ascendente.
S4RM34B
4to Año Secundaria
Solución:
Debemos tener mucho cuidado con estos problemas, pues es muy fácil olvidar algún camino si es que no trabajamos con orden.
Ejemplo:
# Zonas 1 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Ejemplo:
1.2 CONTEO DE CAMINOS 1. CONTEO
30
Existen 9 caminos posibles. 1.3 CONTEO POR AGRUPACION Este tipo de problemas presenta un grupo de elementos que deben relacionarse todos entre si.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a) 50 d) 55
b) 52 c) 54 e) Menos de 50
03. ¿Cuántos trapecios hay en la siguiente figura?
4 (3) =6 2
1.3.1Principios de Adición y Multiplicación Principio de Adición Si un evento A puede realizarse de m maneras y otro evento B puede hacerse de n maneras, entonces el número de maneras en que puede realizarse A o B es :
a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) N.A. 04. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
# = (m + n) maneras Principio de Multiplicación Si un evento A puede realizarse de m maneras y otro evento B puede realizarse de n maneras, entonces el número de maneras en que puede realizarse A y B es : # = (m n) maneras S4RM34B
a) 5 “El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 6
c) 7
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 8
4to Año Secundaria
29
A
e) N.A.
05. ¿Cuántos caminos posibles existen para ir de A hasta B, sin pasar dos veces por un mismo punto? C
b) 5 e) N.A.
c) 4
A
09.¿Cuántos caminos diferentes hay para ir de A hacia B, sin pasar por M ni N , y sin tocar dos veces un mismo punto?
B D
E
B
a) 6 d) 7
b) 7 c) 8 e) Menos de 6
A
D
B
a) 3 d) 6
E G
A
C
a) 4 d) 7
F
b) 5 e) N.A.
c) 6
07. ¿De cuantas maneras se puede ir de M a L sin pasar dos veces por un mismo punto?
b) 5 e) N.A.
c) 6
08. ¿De cuantas maneras se puede ir de A hasta B, si todos los recorridos deben ser de igual longitud y ésta, la menor posible?
S4RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 28 e) Más de 30
14. Pedro construye un juguete que tiene 3 partes. Para la primera parte dispone de 4 máquinas, para la segunda tiene 3 máquinas y para la tercera tiene 6 máquinas. ¿De cuántas formas puede programarse la construcción? b) 10 e) N.A.
c) 11
B
A
a) 60 b) 64 c) 72 d) 90 e) N.A. 16. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia B, sin retroceder en algún momento? A
c) 29
18. Cuatro amigos desean sentarse alrededor de una mesa en la que hay cuatro sillas. ¿ De cuántas maneras diferentes podrán hacerlo? a) 4 d) 24
b) 6 e) N.A.
c) 12
19. Un testigo del robo del banco, informo a la policía que el auto utilizado por los ladrones para la fuga tenia placa de 6 símbolos, que los 2 primeros eran vocales, que los 4 últimos eran dígitos mayores que 4, y que no había 2 símbolos iguales . ¿cuántos autos deberá investigar la policía? a) 3000 d) 1500
b) 2400 e) N.A.
c) 1800
20. ¿Cuántos números mayores que 999 y menores que 10 000 son múltiplos de 5? a) 900 e) 1000
b) 2000 e) 1800
c) 1900
1.4 CONTEO DE NÚMEROS PRÁCTICA DE CLASE 01. Sea la sucesión:
1 2 3 4 ; ; ; ; .......... ..... 2 3 4 5 1000 términos
c) 11
12. A una reunión asistieron x personas, que se saludaron entre sí con un apretón de manos. Si al finalizar los saludos se contabilizaron 435 de ellos, ¿Cuántas personas asistieron a dicha reunión? a) 25 d) 30
c) 24
c) 5
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 11. En un campeonato de fútbol se intercambiaron 264 banderines al cabo de la rueda de revanchas. Si jugaron todos contra todos, ¿Cuántos equipos participaron? b) 10 e) N.A.
b) 16 e) N.A.
15. ¿De cuantas maneras diferentes se puede ir de A hacia B, sin retroceder en algún momento?
10. En un edificio se tiende un cable telefónico para que 2 oficinas puedan comunicarse entre sí. Si los técnicos han colocado un total de 28 cables , ¿cuántas oficinas pueden comunicarse entre sí?
a) 9 d) 12
a) 4 d) 7
N b) 4 e) N.A.
a) 13 d) 48
a) 9 d) 12
M
06. ¿De cuántas formas distintas se puede ir de A a G, sin hacer más de 3 paradas intermedias?
4to Año Secundaria
13. María desea comprar un producto, y sabe que lo venden en tres mercados distintos. En el primero lo tienen 8 tiendas, en el segundo 3 y en el tercero 2. ¿En cuántas tiendas distintas puede adquirirse el producto?
B
a) 6 d) 3
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
30
¿Cuántas cifras se han empleado para su escritura?
B
a) 11 d) 21
b) 18 e) N.A.
c) 19
17. Cuatro personas se van a sentar en una banca en el cine que tiene cuatro asientos libres. ¿ De cuántas maneras diferentes pueden ellos sentarse? a) 4 d) 32 S4RM34B
b) 16 e) 64
c) 24
a) 3018 d) 4849
b) 5782 e) 6000
c) 5789
02. En el calendario de un año no bisiesto se observó que desde el 1° de Enero hasta el onomástico de una persona se empleó 264 cifras para enumerar los días transcurridos. ¿Qué día y mes nació dicha persona? a) 14 de Abril
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 20 de Mayo
c) 7 de Junio
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 2 de Julio
4to Año Secundaria
e) N.A.
03. Si se escribe la serie de los números naturales a partir del 1, ¿cuál es en esta serie la cifra que ocupa el 1992° lugar? a) 0 d) 5
b) 1 e) N.A.
c) 2
04. Al enumerar las 200 últimas páginas de un libro se emplearon 715 cifras. ¿Cuántas páginas tiene dicho libro? Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 5 d) 8
09. Para enumerar un libro de 1000 páginas se dispone de 234 cifras de 5. ¿Cuántas sobran o faltan? a) Sobran 36 d) Faltan 66
b) 6 e) N.A.
180
, 25
179
, 25
a) 15 d) 18
c) 7
b) 121 e) N.A.
178
1
1
b) 1008 e) N.A.
la
c) 220
c) 948
08. Cuántas cifras se emplean al escribir la siguiente serie: 30, 33, 36, 39, ..............., 2238 a) 2600 d) 2478
b) 2321 e) N.A.
c) 2315
;2
2
;3
3
;4
4
;......... .......... .......... .....; abc
25
a) 70 b) 72 c) 86 d) 84 e) N.A. 12. De un libro de 300 páginas se arrancan cierto número de páginas del principio, notándose que en las páginas que quedan se han utilizado 625 tipos de imprenta. ¿Cuántas hojas se arrancaron? a) 89 d) 44
b) 84 e) N.A.
c) 88
13. En la enumeración de las páginas de un libro de ab páginas se han utilizado 506 cifras menos que en la enumeración de otro de 2 ba páginas. Hallar a − b a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
14. Al enumerar las entradas de las 3 funciones de un cine en forma separada se observa que se emplean 852 cifras menos que si numerasen en forma continuada los boletos de las 3 funciones. Determinar la capacidad del cine si es más de 500 y menos de 1000. a) 510 d) 645
S4RM34B
a) 27 d) 24
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 545 e) N.A.
c) 610
b) 26 e) 23
c) 25
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01.En la serie natural : 1,2,3,4, …… 4444 ¿ Cuántas cifras hay escritas ?
c) 17
, se emplearon 1860 cifras. Hallar el valor de a × b × c
,......... ........., 25
07. Hallar la cantidad de páginas que tiene un libro sabiendo que para enumerar sus últimas 36 páginas se emplearon la misma cantidad de cifras que se empleó en las primeras 63 páginas: a) 1002 d) 998
b) 16 e) 19
4to Año Secundaria 06.Para numerar las 22 últimas páginas de un libro se utilizarán 71 tipos. ¿ Cuántos tipos en total se utilizaron ?
c) Sobran 66
11. Al escribir la siguiente secuencia:
a) 701 b) 702 c) 703 d) 704 e) 705 06. ¿Cuántas cifras 5 se utilizan en enumeración desde 1 a 600? a) 120 d) 123
15. En la siguiente P.A.: 32, 38, 44.......... Calcular el mayor término de 3 cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
10. Al escribir la secuencia: 1, 2, 3, 4, ........ abc ; se han empleado 2130 tipos de imprenta. Hallar a + b + c
05. Calcular cuántas cifras se emplean al escribir la siguiente serie: 25
b) Faltan 36 e) N.A.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
30
29
abc
a) 16569 d) 16589
b) 16669 e) N.a.
c) 17669
02.Si en la serie natural de los números se han empleado 1341 cifras. Hallar el último número escrito. a) 516
b) 483
d) 482
e) N.a.
c) 515
b) 7494
d) 8494
e) 7484
c) 6484
04.Al escribir la serie natural de los números a partir del número 71. ¿ Cuál es la cifra que ocupa el lugar 8418 ? a) 3 d) 6
b) 4 e) N.a.
c) 5
05.¿Cuántas cifras se emplean en la escritura de todos los números enteros desde el máximo número de dos cifras distintas hasta el menor número de 4 cifras distintas? a) 2700 d) 2900 S4RM34B
b) 2750 e) N.a.
c) 2800
b) 2709 e) N.a.
c) 2909
07.Si en la numeración de las páginas impares de un libro se han utilizado 440 tipos , ¿ cuántas hojas tendrá dicho libro ? a) 330 b) 360 c) 165 d) 180 e) N.a. 08.¿Cuántos tipos de imprenta se emplearon para imprimir la siguiente secuencia : 10077 , 10078, 10079, ….. 100300 a) 941 d) 1584
b) 1321 e) 2403
c) 1426
09.En la numeración de las 1mnp páginas de un libro se han empleado 4mnp Cifras de imprenta. Hallar : m+n+p a) 14 d) 17
03.Se escribe la serie natural de los números desde 1 hasta el 2493. ¿ Cuántas cifras serán necesarias usar para escribir los 2000 últimos números ? a) 7444
a) 2809 d) 3009
b) 15 e) 20
c) 18
10.Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta se han utilizado en la numeración ha disminuido en 361. ¿ Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedan? a) 2700 d) 2772
b) 2720 e) 2870
c) 2746
11.¿Cuántos números enteros se expresan con 3 cifras significativas distintas en el sistema decimal? a) 900 d) 504
b) 729 e) N.a.
c) 648
12.¿Cuántos números de 3 cifras en el sistema quinario se expresan con numerales que tienen por lo menos una cifra o dos? a) 48 d) 51
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 49 e) 52
c) 50
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
13.¿Cuántos números de 8 cifras poseen 7 cifras siete? a) 70 d) 80
b) 72 e) N.a.
a) 402 b) 448 c) 450 d) 452 e) 454 15.¿En qué sistema de numeración existen 648 números de la forma : a(a+2)b(b-2)c(c+1)(c-1) b) 16 e) 9
c) 52
a) 11 d) 8
*
a) 448 b) 400 c) 52 d) 48 e) 120 20.¿Cuántas rectas se debe añadir para formar 10 triángulos?
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
a) 1 d) 4
b) 3 e) 0
c) 2
18.¿Cuántos triángulos tienen por lo menos una “*”?
b) 3 e) 8
03. En un campeonato intervienen 241 equipos, siendo el sistema de clasificación el siguiente: se sortea un equipo en la primer vuelta y se enfrentan los otros , quedando 121 equipos clasificados; se sortea un equipo en la segunda vuelta y se enfrentan los otros 120 quedando 61 equipos y así sucesivamente hasta el final del campeonato. ¿ Cuántos partidos se jugarán hasta determinar al campeón? b) 241 d) N.A.
01. En un partido de básquet existen diversas puntuaciones cuando se logra encestar, así el encestar fuera de la zona contraria se recompensa con 3 puntos, hacerlo desde la zona 2 puntos, y de un tiro libre se otorgar 1 punto. Si en un partido Pepe logra anotar 7 puntos para su equipo, ¿De cuántas maneras diferentes pudo lograrlo? a) 6 d) 9
b) 7 e) N.A.
04. María desea pintar una tabla como la de la figura de modo que 2 zonas adyacentes no sean del mismo color. Si ella cuenta con 3 colores distintos, ¿ de cuántas maneras podrá pintar la tabla?
a) 9 d) 24
b) 12 e) N.A.
C representa una camisa y P un pantalón; entonces :
S4RM34B
c) 10
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
P1
P1
P1
P2
P2
P2
P3
C2
C3
4 formas
P3 P4
P4
P4 4 formas
P3
4 formas
∴ Tendemos 3 x 4 = 12 formas diferentes.
c) 18
S4RM34B
*
b) 9 e) 7
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN Supongamos que tengo 3 camisas de vestir y 4 pantalones . ¿Cuáles y cuántas serán las diferentes formas que tendré para vestirme con dichas prendas? Veamos :
Si un proceso (A) se puede efectuar de n maneras y otro proceso (B) se puede efectuar de m maneras diferentes, entonces ambos procesos juntos se pueden efectuar de (mxn) maneras diferentes.
19.¿Cuántos cuadriláteros no contienen a la *?
a) 8 d) 12
TÉCNICA DE CONTEO
En general :
05. Tres parejas de esposos : los Mejía, los Vidal y los Medina llegan a la orilla de un río con intensión de cruzarlo, pero se encuentran con un bote que solo tiene cabida para 2 personas. Siendo los señores muy celosos y para evitar cualquier situación embarazosa, nunca una mujer debe encontrarse sin su esposo en un grupo (en las orillas o en el bote) donde haya
*
c) 9
ANÁLISIS
c) 308
c) 8
02. En la figura, ¿cuántos cubitos están en contacto con otros 3?
*
b) 10 e) Más de 11
c) 4
C1
TAREA DOMICILIARIA
a) 1 d) 6
a) 240 d) 350
17.¿Cuántos “” hay en rectángulo y círculo pero no en él triángulo?
4to Año Secundaria hombres, pero pueden estar en grupo sin la presencia de ellos. Si todos saben remar, ¿Cuántas veces habrá de cruzar el bote el río?
c) 10
b) 400 e) 120
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
*
16.¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos una cifra 3 y una cifra 5 en su escritura ? a) 448 d) 48
30
c) 71
14.¿Cuántos números de 3 cifras del sistema decimal utilizan al menos una cifra 2 o al menos una cifra 3 en su escritura?
a) 12 d) 11
29
PRINCIPIOS DE LA ADICIÓN Si tengo 4 maneras diferentes para ir al Cusco y otras 3 formas para viajar a Arequipa, entonces tengo (4+3) formas diferentes para ir al Cusco o Arequipa. Entonces :
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Si un proceso (A) se puede efectuar de n maneras y otro proceso (B) se puede efectuar de m maneras, entonces A o B se pueden efectuar de ( m + n ) maneras.
4to Año Secundaria
{A;B};{A;C};{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E}, {C,D},{C,E},{D,E} Luego el número de combinaciones de 5 elementos tomado de 2 en 2 es 10.
VARIACIONES Supongamos que Alberto (A), Beatriz (B), Carlos (C) y Daniel (D) se quieren sentar en dos sillas disponibles. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar?
En general :
Veamos :
5! 120 Ejemplo : C 25 = = =10 3! x 2! 6x2
Silla Silla
C kn =
n!
(n −k )!k !
Es decir, el número de arreglos diferentes que se pueden hacer con 4 elementos diferentes, tomados de a 2, es igual a 12. Luego, el número de variaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2 será :
En general :
= 12 Vkn =
n!
(n −k )!
Ckn
=
Vkn Pk
b) 30 e) 28
COMBINACIONES Si tenemos 5 textos de diferentes cursos, ¿cuántos grupos diferentes de 2 textos cada grupo se pueden formar? Si los textos son A,B,C,D,E, entonces las parejas serán : S4RM34B
02. ¿Cuántos diccionarios billingües se deben editar si tomamos en consideración los siguientes idiomas: español, inglés, francés, alemán y japonés?
c) 350
Solución : Se puede observar que de los 5 CDs debe elegir sólo 2, y de los 7 casetes debe seleccionar 3. Veamos : *
*
*
1x 2 x 3 x 4 x 5 5! = = = 10 3!2! 1 x 2 x 3 x 1 x 2
Para calcular el número de formas diferentes de seleccionar 3 casetes de 7 se aplica :
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 24 e) 32
*
a) 5040 d) 72
b) 820 e) 620
*
*
El número de formas diferentes de verificación a los 7 promotores de venta está
S4RM34B
c) 7000
Si los niños los consideramos como uno, se tendrá : 1
2 A
3
4
5 6
B C
D
Los cuatro se pueden ubicar de P4 = 4! = 24 formas diferentes. *
Pero los 3 que deben estar siempre juntos se pueden acomodar de P3 =3! = 6 formas diferentes.
*
Luego por el principio de la multiplicación; el número total de posibilidades de ubicación es :
c) 720
Solución : En la verificación de lo trabajos de su equipo, el orden determinará las diferentes formas que lo pueda realizar.
5040
Solución : Como de los 6 niños 3 deben estar siempre juntos, entonces se pueden considerar como uno sólo; de está manera planteamos lo siguiente :
Clave “C”
a) 920 d) 5040
tendrá
b) 4050 e) 144
diccionarios bilingües. 03. Un supervisor, responsable de 7 promotores de venta debe verificar el trabajo de su equipo. Con el fin de no despertar suspicacias, varía permanentemente el orden de verificación. ¿De cuántas formas diferentes puede efectuar su trabajo?
supervisor
04. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 6 niños en fila, a condición de que tres de ellos en particular, estén siempre juntos?
c) 10
El número de parejas que se pueden formar
Luego el posibilidades.
Clave “D”
5x4 con los 5 idiomas es : C 25 = =10∴10 1x 2
Para calcular el número de formas diferentes de seleccionar 2 CDs de 5 se aplica :
C 25
P7 =7! =1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 =5040
Solución : En este caso debemos observar que habrán tantos diccionarios como parejas se pueden formar con los idiomas indicados, no importando el orden.
Ejemplo :
4! 24 = = 12 2! 2
dado por el número de permutaciones de 7 elementos, es decir :
Luego el número de formas diferentes para efectuar su pedido es :
a) 60 d) 5
01. Pablito va con su papá a una tienda de discos. Luego de una detallada búsqueda se decide por 5 CDs y 7 casetes; sin embargo su padre le indica que solo puede escoger 2 CDs y 3 casetes. Calcular el número de formas diferentes que puede efectuar su pedido considerando la sugerencia de su padre. a) 300 d) 45
4to Año Secundaria
7x6x5 = = 35 1x 2x 3
7 = 10 x 35 = 350 C 25 x C 3 Clave “C”
PROBLEMAS RESUELTOS
Donde n ∧ k ∈ Z+
V24 =
*
PROPIEDAD IMPORTANTE
12 maneras diferentes
V24
7 C3
n ∧ k ∈ Z+
A A A B B B C C C D D D B C D A C D A B D A B C
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
30
29
Total = 6 x 24 = 144 Clave “E” PRACTICA DE CLASE
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN NIVEL I 01. Con las cifras 8; 5; 1; 2; 6, ¿cuántos números mayores de 10 y menores de 99, se pueden formar? a) 10 d) 30
b) 60 e) 20
c) 120
02. Con las letras de la palabra “EDITOR”, ¿cuántas palabras de 6 letras que terminen en “E” se pueden formar? a) 60 d) 120
b) 720 e) 24
c) 360
03. Un padre va al cine con sus 4 hijos. ¿De cuantas maneras podrán sentarse en una fila, si el padre siempre se sienta al centro? a) 24 d) 60
b) 48 e) 30
c) 120
04. Noemí tiene por su casa 6 amigos, uno de los cuales se llama Jorge. ¿De cuantas maneras podrá invitar a 3 de ellos a su casa, si Jorge siempre debe estar entre los invitados? a) 20 d) 40
b) 10 e) 120
c) 60
05. ¿De cuantas maneras se pueden disponer 5 personas en una fila, si una de ellas siempre va en un extremo? a) 24 d) 240
b) 48 e) 20
c) 120
06. ¿De cuantas maneras se podrá formar una comisión de por lo menos 4 personas, con 6 personas disponibles? a) 15 b) 21 c) 42 d) 28 e) 22 07. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa circular? a) 125 d) 24 S4RM34B
b) 25 e) 48
c) 20
4to Año Secundaria
29
08. Martín tiene 12 amigos y 15 amigas. ¿De cuántas maneras podrá elegir a 6 amigos y 8 amigas para invitarlos a su casa? a) 924 d) 5 945 940
b) 6 435 e) 5 945 490
c) 7 359
09. Un entrenador de fútbol tiene 16 jugadores. ¿De cuántas maneras podrá formar su equipo, si cualquiera de los jugadores puede desempeñarse en cualquier puesto?; además se sabe que un jugador no puede jugar por estar lesionado. a) 1 356 d) 3 003
b) 1 365 e) 1 615
c) 1 500
10. ¿de cuantas formas diferentes se pueden ordenar todas las letras de la palabra: identificación? a)875 030 215 d)908 701 020
b)360 925 000 e)908 107 200
b) 560 e) 96
c) 48
12. En el problema anterior, ¿de cuantas maneras diferentes, al señora podrá comprar 3 tipos diferentes de fruta o 2 tipos diferentes de verdura? a) 48 b) 96 c) 280 d) 140 e) 560 13. En un grupo de 15 personas hay 4 que se llaman Luis, 6 Pedro y el resto Jorge. ¿De cuántas maneras se podrán elegir a 2 Luises, 4 Pedros y 3 Jorges? a) 900 d) 300
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 600 e) 1 200
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
14. En un plano hay 10 puntos, ¿cuántos segmentos se pueden determinar, que tengan como extremos a dichos puntos? a) 45 d) 5
b) 90 e) 50
c) 20
15. Se tienen 15 puntos coplanarios, donde 3 o más de ellos no son colineales. ¿Cuántos triángulos se pueden determinar, que tengan como vértices a dichos puntos? a) 165 d) 150
b) 910 e) 455
c) 250
16. Un muchacho visita a su enamorada 3 veces a la semana. ¿De cuantas maneras podrá elegir dichos días de visita, si uno de esos días debe ser sábado? a) 21 d) 42
b) 30 e) 45
c) 15
c)960 360 000
11. En un mercado venden 6 tipos diferentes de frutas y 8 tipos diferentes de verdura. ¿De cuantas maneras una señora podrá comprar 3 tipos diferentes de verdura? a) 280 d) 140
30
c) 750
17. Un barco lleva 5 banderas de color diferente. ¿Cuántas señales diferentes se podrán hacer, izando en un mástil, por lo menos 3 banderas? a) 520 d) 246
b) 430 e) 150
c) 864 000
18. En el problema anterior, ¿cuántas señales podrán hacerse, pudiendo izarse cualquier número de banderas? a) 405 d) 350
b) 210 e) 180
c) 325
19. Con 10 marineros, ¿cuántas tripulaciones de 4 marineros se pueden formar? a) 180 d) 420
b) 210 e) 270
c) 220
20. En el problema anterior, si los marineros deben ocupar puestos determinados, ¿de cuántas maneras se formará la tripulación? a) 2 500 d) 5 040 S4RM34B
b) 240 e) 1 800
c) 5 400
4to Año Secundaria
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 NIVEL II 01. Suponiendo que deben ir a un mismo lado, con pesas de 1; 2; 3; 4 y 5 kg. respectivamente, ¿cuántas pesadas diferentes pueden realizarse? a) 5 d) 36
b) 31 e) 42
c) 6
02. Usando las cifras 1; 7; 8 y 9, ¿cuántos números de dos cifras diferentes pueden formarse? a) 12 d) 8
b) 24 e) 4
c) 6
03. Un marcador manual sólo tiene útiles los dígitos 3; 6; 7; 8 y 9. ¿Cuántos carnés de 5 cifras se pueden marcar con ellos? a) 720 d) 60
b) 240 e) 120
c) 360
04. Usando las letras J, K, L y los dígitos 2; 4; 6; 8, ¿cuántas placas que usen dos letras y tres dígitos podrán obtenerse, si las dos primeras cifras han de ser letras y las restantes dígitos? a) 144 b) 3 204 c) 4 302 d) 4 203 e) 2 304 05. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos 1; 2; 3; 4 y 5? a) 60 d) 48
b) 120 e) 90
c) 30
06. Se tienen placas rectangulares con los dígitos escritos 2; 7; 8 y 9; uno en cada placa y uno de cada dígito. Con dichas placas, tomadas de a 2, una persona hace señales a otra, distante 300 metros. ¿Cuántas señales diferentes podrá hacer la primera a la segunda? a) 24
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 12
c) 6
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d) 48
e) 10
07. En la formula E = ab, a y b solo pueden formar valores impares positivos menores que 15, pero diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden obtenerse? a) 49 d) 21
b) 42 e) 84
c) 36
08. Se crea un juego de lotería Skaninka, el cual consiste en elegir seis números diferentes de entre los que se proponen. 20; 21; 22; 23; .....; 55 ¿Cuántos boletos distintos, como máximo, pueden venderse? a) 36! d)
36 ! 6!
36 ! b) 30 !
c) 1 947 972
e) 1 947 792
09. En la formula F = x, y, los valores de x e y sólo pueden ser números primos menores que 20. ¿Cuántos resultados diferentes pueden obtenerse? a) 14 b) 56 c) 28 d) 64 e) 112 10. Un entrenador de fútbol tiene que elegir los jugadores que han de conformar la delantera de su equipo. Si debe escoger a tres, de cinco candidatos polifuncionales, ¿cuántas posibilidades tiene? a) 10 d) 20
b) 60 e) 15
c) 30
11. En una competencia de natación compiten 7 nadadores. ¿De cuántas formas pueden ser ocupados los tres primeros lugares? a) 35 d) 21
b) 70 e) 210
c) 140
12. Se debe formar una comisión de tres profesionales: un abogado, un ingeniero y un S4RM34B
4to Año Secundaria
29
contador. ¿Cuántas posibilidades de formar dicha comisión hay si se cuentan con tres abogados, cuatro ingenieros y seis contadores? a) 13 d) 36
b) 72 e) 18
c) 48
13. En los casilleros en blanco que a continuación se muestran deben colocarse los números: : + {2; 5; 7; 19; 31; 37} Si no se pueden repetirse el mismo número en cada prueba, ¿cuántos posibles resultados se obtendrán?
a) 720 d) 180
b) 15 e) 30
c) 360
14. Jesús, Wilfredo y Marco van un día al cine y encuentran cuatro asientos consecutivos vacíos. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse? a) 24 d) 7
b) 48 e) 9
b) 6 e) 5
c) 10
16. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden formarse con los dígitos 2; 3; 5; 6; 9? a) 5 d) 10
b) 20 e) 120
c) 60
17. En el problema anterior, ¿cuántos de dichos números son menores que 6 000? a) 36 d) 144
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 96 e) 81
c) 72
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
18. ¿Cuántos números de tres cifras distintas, todas significativas, tienen un cinco en su escritura? a) 56 d) 243
b) 192 e) 168
c) 147
19. ¿Cuántos números de cuatro cifras impares diferentes, pero que no llevan el dígito 7 en su escritura, existen? a) 20 d) 24
b) 10 e) 6
c) 12
20. ¿Cuántos números de tres cifras, que no llevan un dígito cuadrado perfecto, existen? a) 294 d) 180
b) 216 e) 120
c) 252
4to Año Secundaria La palabra aleatorio significa “depende del azar”, textualmente se puede escribir: “experimentos que dependen del azar” cuyo significado nos dá una idea de tales experimentos. En estos experimentos no se puede señalar con precisión el resultado que se obtendrá a pesar de que no se cambien las condiciones en que se realiza el experimento, lo que sí se puede señalar es la variedad de resultados posibles a obtener. Por ejemplo: E1: Lanzar una moneda y observar el resultado. Puede obtenerse cara ( C ) o sello ( S ) , pero no se puede afirmar que en este lanzamiento se obtendrá cara (Sello). E2 : Lanzar los dados y sumar los puntajes. Resultados posibles: 2;34;;5;....;10;11;12.
TEORIA DE LA
c) 12
15. Desde la primera cuadra de la avenida Arequipa puedo trasladarme hasta la cuadra 50 en combi, microbús o taxi - colectivo. ¿De cuántas formas podré viajar ida y vuelta si al regresar debo hacerlo en un medio de locomoción distinto al que usé en la ida? a) 3 d) 12
30
2.- ESPACIO MUESTRAL ( ) Es un conjunto asociado a un experimento aleatorio, cuyos elementos son todos los posibles resultados del experimento señalado. Así por ejemplo, de los experimentos anteriores:
Las diferentes aplicaciones de la probabilidad, hacen que tome singular importancia en el estudio de la matemática. Útil no sólo en la ingeniería o ciencias sino también en otras áreas como la agricultura, la administración, la medicina, etc. La teoría de la probabilidad comenzó en el siglo VII con el estudio realizado por Blas Pascal y Pierre de Fermat, a los juegos de azar ( Juego de dados, de cartas, etc.), señalando la forma apropiada de realizar las apuestas a los jugadores. Pero también el estudio de la probabilidad se desarrolla con el análisis de los registros de mortalidad conservados en Londres a fines del siglo XVI, es quizás por ellos que a la probabilidad se le presenta con interpretaciones diferentes. I. EL CALCULO DE PROBABILIDADES
E1: su espacio muestral: { c,s} E2:suespaciomuestral { 2;3;4;5;6;7;8;9;10’11’12}
3.- EVENTO Se llama así a cualquier subconjunto de un espacio muestral. Se representa por una letra mayúscula. Ejemplo: Sea el siguiente experimento aleatorio E: E: lanzar una moneda y un dado juntos. Se tendrá los siguientes eventos A y B: Evento A: “se obtenga cara y cualquier valor del dado”
1.- EXPERIMENTO ALEATORIO ( ) A = { (c;1);(c;2);(c;3);(c;4);(c;5);(c;6)} S4RM34B
es
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Evento B: “se contenga sello y un valor par”
4to Año Secundaria a) 1/6 d) 1/216
b) 1/12 e) N.A
29
c) 1/36
B= {(S;2);(s;4);(s;6) } II. DEFINICION DE PROBABILDAD. La teoría clásica de la probabilidad, formulada por Laplace, considera que ella mide el grado de creencia, así, cuando se está seguro de que ocurre algo se puede asignar el valor de 1 y si se está seguro de que no ocurrirá puede asignarse el valor de0. En el caso que no se esté seguro, el grado de su creencia estará entre 0 y 1. En general si un experimento aleatorio tiene n resultados posible, lo sus elementos del espacio muestra tendrá la misma posibilidad de salir. En consecuencia la probabilidad que salga cualquiera de ellos es 1/n. La probabilidad de un evento A, denotado por P{A}, está dado por la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. P[A] = n(A)/ n( )
05. Al arrojar un dado ¿Cuál es la probabilidad de no obtener un número impar no mayor a 3? a) 2/3 b) 1/2 c) 1/3 d) 1/6 e) 5/6 06. Al lanzar dos dados ¿ Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos menor a cinco ? a) 1/4 d) 1/6
b) 1/9 e) N.A
c) 1/18
07. Al efectuar el lanzamiento de un dado ) Cuál será la probabilidad de obtener un número impar? a) 2/3 d) 1/4
b) 1/3 e) 1/6
c) ½
08. Si se efectúa el lanzamiento de una moneda ¿Cuál será la probabilidad de no obtener sello?
PRÁCTICA DE CLASE 01. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva mañana? a) 0,2 d) 0,9
b) 0,4 e) 1
c) 0,5
02. Al arrojar dos dados ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4 y un 6? a) 1/18 d) 1/12
b) 1/36 e) N.A
b) 1/18 e) N.A
c) ¼
04. Al arrojar tres dados ¿ Cuál es la probabilidad de obtener un 3 un 4 y un 5 ? S4RM34B
b) 2/3 e) N.A
c) ½
09. En cierto depósito se tienen 5 bolas azules, tres bolas blancas y dos bolas negras. ¿ Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola al azar, esta sea blanca o negra ? a) 2/5 d) 7/10
b) 3/10 e) N.A
c) 4/5
c) 1/12
03. Al arrojar dos dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma de 8 ó 9? a) 1/6 d) 1/12
a) 1/3 d) 1/6
10. Se tienen 10 fichas numeradas del cero al nueve, calcular la probabilidad de que al extraer dos fichas al azar, los dígitos en éstas sumen un número par? a) 2/9 d) 4/9
b) 1/2 e) N.A
c) 1/4
30
01. Al efectuar el lanzamiento de dos dados en forma simultánea, determinar que suma de puntos es más probable de obtener ? a) 2 b) 11 c) 6 d) 7 e) N.A 02. Se efectúan tres lanzamientos consecutivos de una misma moneda determinar la probabilidad de obtener sello, cara y sello; en ese orden: a) 1/2 d) 3/4
b) 1/3 e) 2/5
c) 1/8
03. En una caja, se han depositado cinco bolas rojas, ocho bolas blancas y cuatro bolas negras ; se extraen tres al azar. Determinar la probabilidad de obtener 2 bolas blancas y una negra a) 42/85 d) 14/85
b) 5/17 e) N.A
c) 5/18
04. En el lanzamiento simultáneo de dos dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4, en sólo uno de ellos a) 1/12 d) 5/18
b) 1/6 e) 1/2
c) 2/9
05. Juan juega a la ruleta con Jorge, la probabilidad que tiene de ganar una partida es de 1/3 ) Cuál es la probabilidad que tiene Juan de ganar cuando menos una de tres partidas consecutivas? a) 2/3 d)19/27
b) 1/9 e) 13/25
c) 3/13
06. En cierta urna se tiene 2 fichas azules y seis fichas rojas; otra urna contiene 4 fichas rojas y 4 fichas azules. Se extraen dos fichas, una de cada urna ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean del mismo color? a) 7/8 d) 1/3
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 03
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
S4RM34B
b) 1/2 e) 3/4
c) 5/8
4to Año Secundaria 07. Se lanza un dado dos veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener por lo menos un tres en uno de los lanzamientos a) 11/36 b) 5/6 c) 19/27 d) 5/36 e) 1/4 08. De un mazo de 52 cartas se extraen tres veces consecutivas una carta, con reposición, calcular la, probabilidad de obtener una figura de trebol, en cada caso? a) 1/8 d) ½
b) 1/64 e) 3/16
c) ¾
09. En una bolsa se depositan 2 bolas verdes y 5 bolas negras; en una segunda bolsa se tienen 4 bolas negras y 3 bolas verdes; se extraen dos bolas, una de cada bolsa. Calcular la probabilidad de que la primera sea negra y la segunda sea verde a) 8/7 d) 7/49
b) 7/8 e) 4/7
c) 15/49
10. ¿Cuál es la probabilidad de que dos naipes distintos cualesquiera de una baraja de 52 cartas, estén juntos sin tener en cuenta el palo a) 5/36 d) 1/26
b) 6/13 e) 7/26
c) 8/13
11. De un total de 52 cartas, se extraen dos a la vez ¿Cuál es la probabilidad de que dichas cartas sean de espadas? a) ¼ d) 2/5
b) 1/17 e) 5/52
c) 3/27
12. Para una rifa se venden 20 cupones Luis compra dos cupones. Si se ofrecen dos premios. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga sólo uno de los premios? a) 19/20 d) 3/4
b) 18/95 e) N.A
c) 7/36
13. Tres caballos "A","B" y "C" intervienen una carrera "A" tiene doble probabilidad ganar que "B" y "B" doble probabilidad ganar que "C" ¿ Cuál es la probabilidad ganar que tiene "C"
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
en de de de
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 1/7 b) 2/7 c) 4/7 d) 3/7 e) 5/7 14. Seis parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen 2 personas al azar. Hallar la probabilidad de que uno sea hombre y otro mujer sin ser esposos a) 0,5
b) 0,46
d) 0,45
e) 0,90
c) 0,83
15. Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas (x,y) una y otra vez sin sustitución. ¿ Cuál es la probabilidad de que x + y = 10 ? a) 1/2
b) 4/15
d) 15/28
e) N.A
c) 4/45
16. La probabilidad de que Koral ingrese a la UNI es 0,4; que ingrese a la UNT es 0,7; si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0,12. Hallar la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez ? a) 0,42
b) 0,22
d) 0,48
e) 0,58
c) 0,24
b) 0,208
d) 0,5240
e) 0,6250
c) 0,4666
18. Al arrojar 3 monedas al aire ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y un sello? a) 1/4
b) 3/8
c) ¾
d) 1/8 e) N.A 19. Un estudiante diariamente toma su ómnibus a la 7a.m para ir a su centro de estudios. Los S4RM34B
29
días que el ómnibus pasa lleno, llega tarde; en caso contrario llega temprano. Los Domingos no tiene problemas. Durante la semana siempre llega tarde 2 veces. Si un día laborable, espera su ómnibus. ¿Cuál es la probabilidad que no pase lleno?. a) 1/2 d) 2/3
b) 1/6 e) 4/5
a) 1/3 d) 1/4
b) 1/6 e) 3/4
c) 1/8
01. Un grupo de 10 amigos (4 amigos y 6 mujeres), fueron de paseo. en el grupo se encuentra Andrés y Ana que son muy amigos. Si en un momento, se escoge una pareja al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la pareja esté constituida por Andrés y Ana?. c) 1/21
02. En una fiesta donde asistieron 80 personas, resulta que 60 beben, 40 fuman y 10 no fuman ni beben. Si de estas personas se escoge, una de ellas al azar. ¿ Cuál es la probabilidad que solo fume?. a) 1/5 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/80 03. Del problema anterior. ¿Cuál es probabilidad que beba y fume?. a) 3/5 d) 1/8
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 3/8 e) 3/4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
4to Año Secundaria
04. Del problema 02. ¿Cuál es la probabilidad de que beba pero no fume?. a) 6/8 d) 5/9
a) 3/5 d) 3/8
b) 3/8 e) 1/4
b) 3/8 e) 3/4
b) 4 e) 41
c) 2/3
c) 40
07. Hay 12 maneras en las cuales un artículo manufacturado puede tener un pequeño defecto y 10 maneras en las cuáles pueden tener un defecto mayor. ¿ De cuántas maneras puede ocurrir un defecto mayor y un defecto menor?. a) 22 d) 40
b) 120 e) 240
c) 60
08. En el problema anterior, ¿ de cuántas maneras puede ocurrir 2 defectos menores y 2 mayores?. a) 2390 d) 2400
b) 1200 e) 2970
SISTEMA DE
c) 2/7
06. Una urna contiene 80 esferas numeradas del 1 al 80; ¿ cuántas extracciones como mínimo, debo realizar para obtener con seguridad dos esferas cuyos números sean pares?. a) 2 d) 42
TAREA DOMICILIARIA
b) 1/8 e) 1/10
30
05. Del problema 02. se escoge una persona al azar y resulta que no fuma. ¿ Cuál es la probabilidad de que beba?.
c) 1/3
20. En una academia preuniversitaria hay 3 profesores de Razonamiento Matemático A, B y C; los cuales deben enseñar en una Maratón de R.M. Si los alumnos, caben exactamente en las aulas 1 y 2. ¿ Cuál es la probabilidad que el profesor que el profesor C se quede sin enseñar en la Maratón.?.
a) 1/20 d) 1/24
17. Seis marathonistas (A,B,C,D,E,F) compiten en la marathon de los andes ¿ Cuál es la probabilidad de que "A" llegue antes que B? a) 0,5000
4to Año Secundaria
c) 2800
ÁREAS SOMBREADAS 1.- INTRODUCCION.- El estudio de las coordenadas es fundamental tanto en las ciencias como en matemática aplicada. Nosotros no vamos a ir más ala, como es el caso de la “Geometría analítica” que es la fusión de la Geometría y el Algebra; pero si nos interesa conocer cómo se específica la posición de un punto en una superficie dada. El porque un alumno debe saber asociar puntos con números, es justamente para poder ubicar un punto sobre un plano. Al unir estos puntos se obtiene una recta. Cualquier conjunto de puntos en la recta es la gráfica del conjunto de números que corresponden a los números. La utilidad de los gráficos es muy grande. En matemática, en física, estadística, industria, comercio, etc. 2.- PAR ORDENADO.- Cuando el orden en que se nombra un par de números tiene alguna significación se dice que esa pareja de números es un par ordenado. Ejms: 1
(5,8)
1ra comp.
2
(a,9)
4
(log 100, 1 - 31)
2da com.
la 3
(cos x , tg x)
c) 2/5 2.1 IGUALDAD DE PARES ORDENADOS. S4RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN Dos pares ordenados son iguales entre sí, si y sólo si, las primeras componentes son iguales entre sí y las segundas componentes también son iguales entre sí. Es decir: (a,b) = (c,d) ⇔ a=c∧b=d
4to Año Secundaria d=
30
29
5.- APLICACIONES PRACTICAS
Q (x , y ) 2 1
P (x , y ) 1 1 1
d=
(3) Hallar (m – n), si se sabe que: 3 + n
3.- SISTEMA DE COORDENADAS. 3.1 ORIGEN DE COORDENADAS: (0,0) 3.2 EJE DE LAS ABCISAS: EJE X 3.3 EJE DE LAS COORDENADAS: EJE Y
II cuadrante
)
Ejms. (1) Las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A = (18, 16) y B = (14 , 24) serán:
I cuadrante
Sol.
III cuadrante
B M
IV cuadrante
A
eje de las coordenadas (y)
4.- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. La distancia entre dos puntos (x1 , y1) y (x2 , y2) está dado por:
40
*
18 + 14 16 + 24 M = , 2 2
80
120
S/.
Extendiendo la tabla, obtenemos una gráfica que nos da el valor para cualquier número de metros. Para saber el precio sólo basta leer el valor de la abscisa.
80
81 82
75 76
77
78
79
82
Millones A
120'
c) En que año cada empresa llegó a vender 95 millones de dólares?
B
90' 80' 70' 60' 50'
a) En que año la empresa A mantuvo un nivel de ingresos?
S4RM34B
81
b) Para contestar a estas preguntas y dado que ambos gráficos están en las mismas unidades y escala, lo mejor y más rápido es unirlos en uno sólo así:
(2) En los siguientes gráficos, se muestran los ingresos por ventas de dos empresas durante los años 1975 – 1982.
M = (16 , 20)
80
(años)
110' 100'
(2) Las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
79
a) En el año 1977
1
A = (-6, -14) y B = (16, 22) S4RM34B
A
2
40' 30'
b) Qué empresa y durante cuántos años obtuvo mayores ingresos?
origen de coordenadas
eje de las abcisas (x)
3
=5
4.1 PUNTO MEDIO Sean los puntos A = (x,y) , B = (x1 , y1), las coordenadas del punto medio del segmento que une a ambos puntos son:
x + x 1 y + y1 M = , 2 2
4
78
77
Muchas veces habrá de encontrarse con que va a tener que sacar conclusiones a través del análisis de un gráfico estadístico, como en este caso; interpretemos:
B
6 5
(1) Sea A el punto (4,-1) y B el punto (8,2) Sol.
76
Solución:
C
7
(
40'
(años)
8
+ 2 −− 1
50'
75
Ejemplos :
(8 −4 ) 2
60'
m
9
2
90' 80' 70'
30'
Sol.
10
(3x + 2y . 8x – 3y) = (5,6)
110' 100'
(1) Construir una gráfica que permita hallar el costo de cualquier número de metros de tela (hasta 10m) sabiendo que 3m. cuestan S/. 40.
(2) Hallar (x + y), si se sabe que:
Empresa B
millones
Millones 120'
(1) Hallar x é y, si se sabe que: (3x + 5 , 2y – 3) = (8,5) Sol. Por igualdad de pares ordenados: • 3x + 5 = 0 → x = 1 • 2y – 3 = 5 → y = 4
4to Año Secundaria Empresa A
serán: M = ( 5 ; 4 )
( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 P (x , y ) 2 2 2
EJERCICIOS DEMOSTRATIVOS.
= 3, 2 + m ,4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
75
76
77
78
79
80
81
82
(años)
*
podemos ver que hasta el año 79 en que ambos gráficos se cruzan, la empresa B tenía mayor nivel de ingresos; y que a partir de ese año hasta 1982 la empresa A la que paso a tener mayor nivel de ingresos. La empresa A a partir del año 1979. c) Empresa A llegó a los 95 millones en 1980 y la empresa B lo hizo en 1981.
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
29
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
30
a
Ejemplo. AREA DE UN POLIGONO EN FUNCION DE LAS COORDENADAS DE SUS VERTICES. ANALICE:
As = As
Hallar el área de un triángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadas (2;3) ; (5,7) ; (-3;4)
A (5;7) C (-3;4)
Al unir estos puntos en forma consecutiva se obtiene un triángulo de vértices P1 ; P2 y P3
Resolución: El área del cuadrilátero formado al unir los puntos medios es la mitad del cuadrilátero original.
a2 2S = 2
S S
S=
23 15 7 1 Area = = [(14 + 20 9) −− (15 − 21 + 8)] 2− 3 4 2 23
El cálculo del área de este polígono en función de las coordenadas de los vértices se realiza aplicando determinantes, así: (-) y1
x2
y2
(-)
(-) Area =
1 2
x3
y3
(+)
Area =
1 ( 25 − 2 ) =11,5 u 2 2
a a
a
a s
a
s
s
6a
s
s s
s
s s
s s
s s
s
a
a a
Resolución: 4a
a
(+) x1
y1 (+)
CALCULOS DE AREAS METODOS 1) METODO DIRECTO Ejm. Hallar el área de la región sombreada.
24 S = 6 ∆ equiláteros
6a
a 2
Area=
3a
1 [ ( x 1 .y 2 + x 2 .y 3 + x 3 .y 1 ) − ( x 2 .y 1 + x 3 .y 2 + x 1 .y 3 ) ] 2 S4RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
s
s s
s s
s s
s
a s s
a
a
24 S = 6
6a S4RM34B
−18 a 2 2
Ejm. Hallar el área de la región sombreada.
Resolución II) METODO INDIRECTO A) DIFERENCIA DE REGIONES: A la figura mayor se le resta la figura menor. Ejm. Hallar el área de la región sombreada.
2
As = 21a2 B) PARTICION DE REGIONES Toda figura se parte realizando trazos auxiliares (diagonales, diámetros, verticales, horizontales, etc)
a2 4
P (x 1 ; y ) 1 1
x1
6 a (3 a ) 60 a = 2
−
A (2;3)
P (x 2 ; y ) 2 2
P (x ; y ) 3 3 3
=
2
P1 (x2 ; y2) P3 (x3 ; y3)
-
( 6 a + 4 a )6 a )
1º Graficamos los puntos dados en el plano cartesiano.
Sean los puntos P1(x1 ; y1)
4to Año Secundaria
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
3 4
a
a a
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN S=
4to Año Secundaria
a2 3 16
a 2 3 As = 15 S = 15 16
29
30
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
02. Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto P(x,y) equidista de los puntos: A(-3, 5) , B(7,-9)
Rpta: un paralelogramo
Rpta. 5x – 7y – 24 = 0
08. Se dan los puntos A(-1,0) , B(0,-1), C(2,0), AD = 2 y CD =3 2 , al unir los puntos la figura que se obtiene es:
Rpta. 6(3+ a
3 ) y 18
3
Rpta: absurdo
09. Calcular la distancia entre los puntos medios de las distancias de (0,0) a los puntos (12,8) y (-4,6) Rpta:
04. Los puntos (2,3) (2,6) y (5,3) son tres vértices de un cuadrado. Encontrar las coordenadas del cuarto vértice:
a
Rpta: (5,6)
Resolución 05. La base mayor de un trapecio isósceles los puntos (-3,-2) y (7,-2). Uno de extremos de la base menor tiene coordenadas (-1,4). Encontrar coordenadas del otro punto extremo.
a
une los por las
10. Calcular el área del cuadrilátero ABCD, si: A = (1,2), B = (4,6), C = (7,3) y D = (5,0)
y
06. En la siguiente figura: A(-2,4) , B(-2,-2) , C(6,-2). Calcular el ángulo BED.
(-2,-3/2),(2,-3/2),(2,3/2) y (-3 ).
3 /2 , 2
3
15. Los vértices consecutivos del lado de un rombo son (1,3) y (2,0); si el punto donde se cortan perpendicularmente las diagonales es el punto (2,3). Hallar el área del rombo. Rpta: 6u2
16. El gráfico indica el número de pacientes atendidos por un médico en los 4 primeros días de la semana. Cuántos pacientes ha atendido el tercer día. S
y
Nº de pacientes
X
O
150
A E
90
T (5,-2)
Rpta: 6,25
D
PRÁCTICA DE CLASE
60
3
20
X
01. Calcular el perímetro de la figura que se obtiene al unir los puntos:
B
Rpta. 18 + 4
C
1O
12.Hallar el área del cuadrilátero: A=(1,1), B=(4,6), C = (7,7), D = (9,3)
Rpta: 63,5º
A = (2,1) , B = (5,5) , C = (8,5) , D = (12,1)
Rpta: 4,5u
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
1
2
3
4 (días)
Rpta. 30
2
07. Uniendo los puntos A(3,1) , B(2,2) , C(0,1), D(1,0), ¿qué figura se obtiene? S4RM34B
14. Hallar el área del cuadrilátero que une los puntos:
11. Cuál es el área del triángulo equilátero RST en la siguiente figura?
R (2,2)
πa 2 As = 4
Rpta. 42
Rpta. 16,81.u2
Rpta: (5,4)
As = As = π.a2 . 90º 360º
Si una base mide 8, el área será:
65
Rpta: 18,5u2
a
13. Los vértices de un trapecio isósceles son : (-1,4), (-3,-3), (5,-3) y (a,b).
03. Los puntos P=(-4,0) , Q=(5, 3 3 ) y R=(x,0) son vértices de un triángulo rectángulo en Q. Hallar el perímetro y el área.
C) TRASLACION DE REGIONES Ejm. Hallar el área de la región sombreada.
4to Año Secundaria
2
17. En el siguiente gráfico se representa la velocidad de un móvil que 11 horas ha S4RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
4to Año Secundaria
29
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
30
4to Año Secundaria d) πm /4
recorrido un total de 518km. Hallar la velocidad final (vf) de dicho móvil.
2
e) N.a.
Q(0,m)
05. Hallar el área sombreada en:
V(km/h) 90
a
a
80 70 60
R
50
P(m,0)
2
a) a (
vf
40
a2 b) (π2
3 -π)
3m
3 )
30 20 10
a) m2
75
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b) 2m2
c)
T(horas)
Rpta. 36 km/h
18. En el siguiente gráfico se muestra las relaciones entre la velocidad y el tiempo de 2 móviles que parten simultáneamente en el mismo sentido.
d)
3 πm 2 4
2 m ( π − 2 ) e) m ( π − 2 ) 2 4
V(km/h) 100
a
a
80
Móvil B
d)
a
Móvil A
b) 9 m2 e) N.a.
c) 6 m2
06. Hallar el área sombreada en:
π 3 − 3 e) N.a.
m
a)
2
b)
3 /2
d)
3 /2
e) N.a.
c)
a) m2(π -1)
2 /2
c) m2(π -3) e) N.a.
03. ¿Qué porcentaje de área sombreada se ha extraído del círculo?
70 60
3 )
a) 4,5 m2 d) 4 m2
2
02. En un cubo de arista unitaria, hallar el área del triángulo formado por la diagonal principal y la diagonal de una de sus caras.
20. En la figura mostrada:
90
a2 c) (π4
π b) m 2 2 −1 d) m2
07. Hallar el área sombreada en:
el 50% del área sombreada es:
50
6m
40
75
1
2
3
4
5
6
7
8
T(horas)
a) Quién habrá recorrido una mayor distancia 5 horas después de la partida?
a) a2(4 - π) d)
2 2 a π 3
b) 4πa2
c) 2a2 (4-π)
e) N.a.
b) Quién llegará primero a Cartavio que se encuentra a 260km. Del punto de partida?
m
a) 20%
b) 25%
d) 45%
e) N.a.
a) 3(π -2) d) 3 π
c) 75% 08.
b) 3(6 - π) e) N.a.
c) 3(π - 3)
Hallar el área sombreada en:
04. Hallar el área sombreada en:
c) Aqué hora pasará el móvil B por Lima, que se encuentra a 200km del punto de partida? m
19. En la siguiente figura: calcular el área sombreada.
S4RM34B
4m
EJERCICIOS PROPUESTOS 04 01. Hallar el valor del área sombreada en la figura:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a) m2 S4RM34B
b) m2/2
c) m2/4
a) 0,2 m2 d) 0,6 m2
“El nuevo símbolo de una buena educación...."
b) 0,4 m2 e) N.a.
c) m2
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 09. En la siguiente sombreada.
figura
hallar el área
4to Año Secundaria
29
e) N.a.
30 d)
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO −2
e) N.a. Nº
13. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB donde A(- 4; 3) y B(2; 9) a) y = - x + 5 c) y = - x - 5 e) N.a.
4m
a) 0,8 m2 d) 2m2
b) 0,6 m2 e) N.a.
c) m2
a) ( 5 c) ( 6
10. Hallar el área sombreada en:
) 5 / 6)
5/6
b) ( 4 d) ( 6
) 5 /6) 5/6
e) N.a. 15. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3; 6); B( -1; 3) y C(2; - 1). Calcular la longitud de la altura trazada desde C.
2a
a) 2a2(π-2)
b) 2a2(π-3)
d) 2a2(π-2)
e) N.a.
c) 2a2(π-1)
A
2m
(
a) 2 2 2
(
B
2m
)
2 −1 m 2
)
3 − πm
b)
2
( 3 )m 8 ( 2 − 1) πm
c) 3 π −
2
d)
2
12. Hallar las coordenadas del circuncentro del triángulo ABC, si A (0 ; 0 ) , B (3 ; 8) y C (7; 5)
S4RM34B
b) 6 e) 1
03
04
01.
B
B
D
D
TAREA DOMICILIARIA
02.
B
A
C
C
01.Uniendo los puntos A (3; 1); B (2; 2), C(0 ; 1) y D (1; 0), que figura se obtiene
03.
B
E
D
B
04.
B
A
D
E
05.
C
A
D
A
06.
C
C
B
B
07.
C
B
A
B
08.
B
C
B
D
09.
C
D
C
A
10.
D
A
D
A
c) 5
11.
D
E
B
D
12.
E
B
E
A
13.
C
C
A
A
14.
D
A
C
C
15.
C
B
E
C
16.
C
E
B
B
17.
C
C
A
B
18.
C
D
B
D
19.
E
D
D
20.
B
D
A
02.Calcular la distancia entre los puntos medios de las distancias de (0; 0) a los puntos (12; 8) y (4; 6) 03.Calcular el área de la figura que se forma uniendo los puntos A (2; 3); B (3; 1) y C (0; 4) 04.Calcular el área de las figura que se forma uniendo los puntos (0, 0); 1; 2) y (0; 5) 05. Hallar el área del cuadrilátero: A (1 ; 1), B (4, 1); C (7; 7) y D (9; 3)
a) 14x +9y + 49= 0 b) 13x - 9y - 49 = 0 c) 13x + 9y + 49 = 0 d) 14x - 9y - 49 = 0 e) N.a. 17. Los vértices de un cuadrado son: A ( 0; -3), B (b1; b2), C(3; 4); y D(d1; d2). Hallar el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos , P, D, Q donde P = (d1; d2) y Q(b1; b2) a) 22u2 d) 19u2
e) N.a.
a) (227/82 ; 289/82) c) (225/82 ; 285/82)
02
16. Hallar la ecuación de la recta bisectriz del ángulo agudo que forman las rectas L1: 2x - 4y +6 = 0 L2: 24x - 7y - 177 = 0
11. Hallar el área sombreada en:
O
a) 4 d) 3
b) (225/81 ; 286/81) d) (227/81 ; 289/81)
b) 21u2 e) 18u2
Ejercicios Propuestos 01
b) y = x +5 d) y = x - 5
14. Hallar la distancia del punto (- 4; 3) a la recta L: y = 2x + 5
4to Año Secundaria
c) 20u2 GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003
18. La ecuación x2 + 6x + y2 - 9 = 0, es la ecuación de un circunferencia de centro (h; k) y radio r. Hallar E = r/ (h+k) a)
2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) −2
2
c)
SOLUCIONARIO
2 -2 S4RM34B
“El nuevo símbolo de una buena educación...."