COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
SUCESIONES Y SER
3ro. Año Secundaria 09 SUCESIÓN ARITMÉTICA: Para calcular la ley de formación, fórmula de recurrencia; término general o término “n-ésimo” de una sucesión aritmética aplicaremos el sgte. Método. “Método de las diferencias finitas”
La teoría de las series infinitas es una rama importante del análisis matemático elemental. Para entenderla por completo es preciso que el estudiante tenga algún conocimiento de ciertos temas e ideas fundamentales, tales como: Relaciones, funciones, cotas, extremos, límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones, etc.; la mayoría de los cuáles se estudia a nivel universitario en nuestro país. Debido a las limitaciones indicadas y para el objeto de este texto, no podemos realizar un estudio completo de las sucesiones y series, pero sin embargo se dará los conceptos básicos de este tema, teniendo en cuenta los diversos tipos de ejercicios planteados en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional de Trujillo. SUCESIÓN: Es el conjunto de términos, donde cada término tiene un orden designado, es decir, cada uno de ellos tiene un número ordinal, de tal manera que uno de los términos designado como el primero, otro como segundo, otro como tercero, y así sucesivamente. Se define también como una función donde el Dominio de los Z+ y el Rango son los términos de las sucesión. F
Z 1. 2. 3. . . . n. Dominio
T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; ......; Tn Hallando las razones entre cada una de estos términos, luego las razones de las razones, y así sucesivamente hasta obtener razones iguales o llegar a tener una sola razón.
T1 ; T2 ; T3 ; a1
T T . 2 T . 3
. 1
. . .
. n T
Rango
a2 b1
T4 ; ........... ; Tn
a3
razones diferentes razones diferentes
b2
Tn = T1 + a 1
( n − 1 ) + b ( n − 1 )( n − 2 ) 1
1!
( n − 1 )( n − 2 )( n − 3 ) ;....... 3!
Ejemplos: 1) 2; 6; 18; 54; ...........Tn = 2. 3n-1 2) n −1
1 1 1 1 ; ; ; ....... Tn = 2 4 8 2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
3) n −1
4 1 36 ; 12 ; 4 ; ; ...... Tn =36 3 3
a1 =
2a 1 . a 3 a 1 +a 3
; a2 =
2a 2 . a 4 a 2 +a 4
;a 3 =
01. Hallar el término que sigue en la sucesión: -2; -1; 2; 7; 14 Resolución:
SUCESIÓN ARMÓNICA: Se llama sucesión armónica, en la que a partir del segundo término, es media armónica del término que le antecede y del término que le sigue. En general si: a 1 ; a 2 ; a 3 ; .....; a n Es una sucesión armónica, entonces:
-2; -1; 2; 7; 14 1
3 2
5 2
7 2
Para calcular el término que sigue empleamos la fórmula:
2a 3 . a 5
; ...... a 3 +a 5 a ( n −1 ) a 2 ( n −1 )( n − 2 Tn = T1 + 1 + 1! 2!
1) Para hallar el número de términos de una sucesión aritmética se aplica:
con n = 6 Reemplazando valores:
Último term . − term . anterior al 1 ° 1 ( 6 −1 ) 2 ( 6 −1 N °de Térm . = + Razón T6 = − 2 + 2) Para calcular el término “n-ésimo” de una sucesión geométrica (razón constante) se aplica:
t n =t 1 q
2!
SUCESIONES GEOMÉTRICAS: Para calcular el término que continúa se halla multiplicando la razón por el término anterior.
1;
3ro. Año Secundaria
1
Para hallar el término “n-ésimo”aplique las siguientes fórmulas:
+ c1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
*Importante:
c1
Sn
A continuación estudiaremos los tipos especiales de sucesiones que se proponen en exámenes de admisión a la UNT. S3RM32B
Sea la sucesión:
10
n
T6 =23
n
Resolución: 4; 7; 12; 19; .....
n
S n =T1 C 1 +a 1 C 2 +b 1 C 3 +c 1 C 4 +........ SERIE GEOMÉTRICA: Para calcular la serie de una sucesión geométrica de razón constante, se aplica: q n −1 S n =t 1 q −1 Analicemos algunos ejemplos:
3
5 2
7 2
Ojo: Por tener razón de razón, se deduce que es una sucesión cuadrática y que la fórmula general es de segundo grado. Empleando la fórmula:
Tn = T1 + S3RM32B
2
02. Cuál es la fórmula general de la sucesión: 4, 7; 12; 19; ...............
n −1
SERIE ARITMÉTICA: Para calcular la serie de una sucesión aritmética, se aplica: n
)( 6 − 2 )
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a 1 ( n −1 ) 1!
+
b 1 ( n − 1 )( n − 2 2!
)
)