COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
SUCESIONES Y SER
3ro. Año Secundaria 09 SUCESIÓN ARITMÉTICA: Para calcular la ley de formación, fórmula de recurrencia; término general o término “n-ésimo” de una sucesión aritmética aplicaremos el sgte. Método. “Método de las diferencias finitas”
La teoría de las series infinitas es una rama importante del análisis matemático elemental. Para entenderla por completo es preciso que el estudiante tenga algún conocimiento de ciertos temas e ideas fundamentales, tales como: Relaciones, funciones, cotas, extremos, límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones, etc.; la mayoría de los cuáles se estudia a nivel universitario en nuestro país. Debido a las limitaciones indicadas y para el objeto de este texto, no podemos realizar un estudio completo de las sucesiones y series, pero sin embargo se dará los conceptos básicos de este tema, teniendo en cuenta los diversos tipos de ejercicios planteados en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional de Trujillo. SUCESIÓN: Es el conjunto de términos, donde cada término tiene un orden designado, es decir, cada uno de ellos tiene un número ordinal, de tal manera que uno de los términos designado como el primero, otro como segundo, otro como tercero, y así sucesivamente. Se define también como una función donde el Dominio de los Z+ y el Rango son los términos de las sucesión. F
Z 1. 2. 3. . . . n. Dominio
T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; ......; Tn Hallando las razones entre cada una de estos términos, luego las razones de las razones, y así sucesivamente hasta obtener razones iguales o llegar a tener una sola razón.
T1 ; T2 ; T3 ; a1
T T . 2 T . 3
. 1
. . .
. n T
Rango
a2 b1
T4 ; ........... ; Tn
a3
razones diferentes razones diferentes
b2
Tn = T1 + a 1
( n − 1 ) + b ( n − 1 )( n − 2 ) 1
1!
( n − 1 )( n − 2 )( n − 3 ) ;....... 3!
Ejemplos: 1) 2; 6; 18; 54; ...........Tn = 2. 3n-1 2) n −1
1 1 1 1 ; ; ; ....... Tn = 2 4 8 2
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
3) n −1
4 1 36 ; 12 ; 4 ; ; ...... Tn =36 3 3
a1 =
2a 1 . a 3 a 1 +a 3
; a2 =
2a 2 . a 4 a 2 +a 4
;a 3 =
01. Hallar el término que sigue en la sucesión: -2; -1; 2; 7; 14 Resolución:
SUCESIÓN ARMÓNICA: Se llama sucesión armónica, en la que a partir del segundo término, es media armónica del término que le antecede y del término que le sigue. En general si: a 1 ; a 2 ; a 3 ; .....; a n Es una sucesión armónica, entonces:
-2; -1; 2; 7; 14 1
3 2
5 2
7 2
Para calcular el término que sigue empleamos la fórmula:
2a 3 . a 5
; ...... a 3 +a 5 a ( n −1 ) a 2 ( n −1 )( n − 2 Tn = T1 + 1 + 1! 2!
1) Para hallar el número de términos de una sucesión aritmética se aplica:
con n = 6 Reemplazando valores:
Último term . − term . anterior al 1 ° 1 ( 6 −1 ) 2 ( 6 −1 N °de Térm . = + Razón T6 = − 2 + 2) Para calcular el término “n-ésimo” de una sucesión geométrica (razón constante) se aplica:
t n =t 1 q
2!
SUCESIONES GEOMÉTRICAS: Para calcular el término que continúa se halla multiplicando la razón por el término anterior.
1;
3ro. Año Secundaria
1
Para hallar el término “n-ésimo”aplique las siguientes fórmulas:
+ c1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
*Importante:
c1
Sn
A continuación estudiaremos los tipos especiales de sucesiones que se proponen en exámenes de admisión a la UNT. S3RM32B
Sea la sucesión:
10
n
T6 =23
n
Resolución: 4; 7; 12; 19; .....
n
S n =T1 C 1 +a 1 C 2 +b 1 C 3 +c 1 C 4 +........ SERIE GEOMÉTRICA: Para calcular la serie de una sucesión geométrica de razón constante, se aplica: q n −1 S n =t 1 q −1 Analicemos algunos ejemplos:
3
5 2
7 2
Ojo: Por tener razón de razón, se deduce que es una sucesión cuadrática y que la fórmula general es de segundo grado. Empleando la fórmula:
Tn = T1 + S3RM32B
2
02. Cuál es la fórmula general de la sucesión: 4, 7; 12; 19; ...............
n −1
SERIE ARITMÉTICA: Para calcular la serie de una sucesión aritmética, se aplica: n
)( 6 − 2 )
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a 1 ( n −1 ) 1!
+
b 1 ( n − 1 )( n − 2 2!
)
)
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 09
Reemplazando valores:
Tn =4 +
3 ( n −1 ) 2 ( n −1 )( n − 2 + 1 2
)
Redacciones términos semejantes: 2
10
04. ¿Cuántos términos tiene la sucesión? 1; 4; 7; 16; ..........; 2227
0
3 3
3
3
6 3
03. ¿Cuál es el término que ocupa el lugar 20 en la sucesión: -1; 1; 3; 17; .............?
0
2
9 3
n
S =1 .
6
3 ( n − 1 ) 0 ( n − 1 )( n − 2 ) Tn = 1 + + 1! 2!
-1; 1; 3; 17; .......... 2
2 14
+
0 12
La fórmula general es: n(n+3)(n+8)
Tn = − 1 + 2 ( n − 1 ) + 2 ( n − 1 )( n − 2
(
2
2227 =n n −6 n +14
)( n − 3 )
Segundo, para hallar el término de lugar 20. se reemplaza n=20
(
15 ×149 =n n
2
como
)
−6 n +14
20
20
n =1
n =1
)
20
3
20
2
20
R = ∑ n + 11 ∑ n + 24 ∑ n n =1
La sucesión tiene 15 términos.
S =1 + 1 + 4 + 10 + 19 + .... ( 20 sumandos
(
3
2
2
)
Aplicamos:
)
n =1
n =1
)
PRÁCTICA DE CLASE
01. Hallar la suma de los 30 primeros términos de la sucesión, cuya fórmula de resurrección es:
Aplicamos propiedad de sumatorias:
∴ n =15
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
2
R = 75 880
R = ∑ [ n ( n + 3 )( n + 8 ) ] = ∑ n + 11 n + 24 n
05.)(Calcular T20 = − 1 + 2 ( 20 − 1 ) + 2 ( 20 − 1 )( 20 − 2 20 − 3“S” ) en:
T20 =11 665
2
+ 2 + 3 + .... + 20 +
Aplicamos sumatoria:
n
)
2
)+
2
2 ( n − 1 ) 0 ( n − 1 )( n − 2 ) T =n 3 −6 n 2 +14 n ; + n 1! 2! T = 2227
12 ( n − 1 )( n − 2 )( n − 3 3!
(1
3
20 .21 2
...... + 20 × 23 × 28
Reduciendo:
Tn = − 1 +
3
2
R = 1 × 4 × 9 + 2 × 5 × 10 + 3 × 6 × 11 +
Tn =1 +3 n −3 +n −6 n +11 n −6
12 Entonces:
3
20 ( 21 ) 20 ( 21 )( 41 ) R = + 11 + 2 6
Resolución: 3
2
( 1 + 2 + 3 + .......... .. + 20 )
06. Calcular “R” en:
6 ( n − 1 )( n − 2 )( n − 3 ) 3!
3
20 ( 20 )( 19 ) + 3 . ( 20 )( 19 )( 18 ) +0 . 1 ( 1 )( 2 ) ( 1 )( 2 )( 3 )11
La fórmula general es:
Primero hallamos la fórmula general:
2
R = 1 + 2 + 3 + ......... + 20
S = 3440
Resolución:
2
(
n
S =T1 C 1 +a 1 C 2 +b 1 C 3 ; n = 20
6
n ( n +1 ) = 2
3
Reemplazamos: n
9
3
2) 1 + 2 + 3 + ......... + n =
Entonces: 1; 4; 7; 16; .....
3
Tn = 4 n − 3 02. Hallar la serie: S =2 +11 +20 +29 +.......... .... +902
03. Hallar la suma de los 100 primeros términos de la sucesión S =1 +5 +9 +13 +.......... ....
S3RM32B
2
n ( n + 1 )( 2 n − 1 6 n ( n +1 ) 3)1 + 2 + 3 +....... + n = 2
S = 1 + 1 + 4 + 10 + 19 + ........
Tn =n +3
S3RM32B
3
1) 1 + 2 + 3 +........ + n
Resolución: Para determinar el número de términos de la sucesión, primero debemos encontrar su fórmula general y luego hallar “n”, para Tn = 2227.
2
+
3ro. Año Secundaria
Resolución:
Entonces:
Tn =4 +3 n −3 +n −3 n +2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 09
04. Hallar el término 100 de la sucesión:
a)
Son verdaderas: 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 23 ; ..........
05. Hallar el término que sigue en: 1; 2; 3 ; 4 ; 29 ; .......... .......
06. La Ley de formación de la sucesión: 3; 6 ;13 ; 24 ; 39 ; 58 ; ......; es :
EJERCICIOS PROPUESTOS 02 01. ¿Cuál es el término que armoniza con la serie incompleta siguiente 46; 30; 10; 6 ? a) 20 d) 16
b) 22 e) 18
c) 12
02. El término general de la sucesión: 2; 5; 8; 11; ..... es:
07. Para que se cumpla: 24 +22 +20 +....... =150
¿Cuántos términos debe tener la serie? 08. Se afirma que la ley de formación que corresponde a la sucesión:
a) 2n + 1 d) n2 + 1
b) 3n - 2 e) N.a.
c) 3n - 1
03. La letra que corresponde al número que sigue en la sucesión siguiente es:
0 ; 10 ; 24 ; 42 ; 64 ; 90 ; .......; es :
1 1 −2 −4 − ; 2 ; − ; 2 ; .......... ...... 2 8
09. El término que ocupa el lugar 31 en la sucesión:
a)
20 ; 30 ; 43 ; 59 ; 78 ; ........; t 31 , es : 10. Referente a la sucesión cuyo término general es:
(
2n . De las afirmaciones 3 n +1 )
siguientes: a) Los 3 primeros términos en las posiciones impares suman: 1
29 . 40
b) Los 2 primeros términos en las posiciones pares suman:
108 . 91
c) El término general de la sucesión que incluye sólo a los términos en las proposiciones pares e:
S3RM32B
(
4n . 6 n +1 )
5
1 2
d)
−1 128
b) − 2 −6
c) − 2 −5
−1 2
e)
b) 2 n 2 e) N.a.
70 6
b)
d) 40
82 6
c) 36
e) 42.
3ro. Año Secundaria a)
10
10
n
n +1
07. De las siguientes sucesiones: 1.
5 5 45 45 ; ; ; ; ......... 6 2 6 2
2. 2;12 ; 48 ; 96 ; .......... ........ 3. 3; 9 ; 27 ; 81; .........
a) Sólo 1 d) 1 y 2
b) Sólo 2 e) 1 y 3.
c) Sólo 3
08. En la sucesión: 2; 10; 30; 68; ....; el número que sigue es: a)98 d) 136
c)
10
10
n
−9 n −10 b) 27 −9 n −10 27
n −1
−9 n +10 27
b) 130 e) 148
c) 134
−9 n +10 27
e) N.a.
S =1 + 2 + 5 +10 +17 +......... +122
a) 580 d) 530
c) 3 n 2
a) 1065 b) 1660 c) 1060 d) 1000 e) 1050 06. Hallar el trigésimo quinto término de la sucesión:
−1 1 3 10 35 ; ; ; ; ; .......... ..; es : 6 3 2 3 6
b) 518 e) 524
13. Si:
S n =1 + 2 + 3 +.......... . + ( n +1 ) S =S 1 + S 2 + S 3 +......... + S 30
b) 4544 ( 3 +k −2 ); ( 5 +k −3 ); ( 7 +k −4 ); ( 9a)+45k −5 ); .......
c) 5445
e) 5545
14. La serie:
b) 163 + k - 81 d) 161 + k - 79
10. Hallar el término general de la sucesión: 4; 9; 18; 31; 48; ..................... a) 2 n
2
−n
b) 2 n
c) 2 n e) N.a.
2
−n +3
d) n
2
2
+n −3
+2 n −3
11. Si “n” es un entero positivo, el valor de “A” es: A = 3+ 33+ 333+ ....... +33.........3; es
1 1 1 1 + + + .......... + ; es : 1 ×2 2 ×3 3 ×4 50 × 51 51 49 50 a) b) c) 50 50 49 1 50 d) e) 50 51 15. Hallar la serie:
1 1 1 1 + + + ........ 2 x 4 x 6 4 x 6 x 8 6 x 8 x10 40 x 42 x 44 a)
4 115
“n” cifras S3RM32B
c) 528
Hallar:
09. En la sucesión:
a) 178 + k - 81 c) 163 + k - 79 e) 161 + k - 81
d)
12. Hallar la suma:
Son progresiones geométricas:
El término de lugar 80 es:
05. El término 20 de la sucesión: 1; 3; 11; 25; 45; .........; es:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
d) 5455
6
04. Sean los términos: 2; 8; 18; 32; ...... Hallar el término general de esta serie: a) n 2 d) 4 n 2
10
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b)
115 3696
c)
230 924
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d)
115 7392
S3RM32B
e)
3ro. Año Secundaria 09
10
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
230 7690
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
S3RM32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
3ro. Año Secundaria