COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
OPERADORES MATEMÁTI OPERADORES OP. NO CONVENCIONALES
OP. CONVENCIONALES
+
_
× ÷
n
d'
∫
()
log
∅
∆
%
*
# ..... ∑
OPERADOR MATEMÁTICO: Es un símbolo determinado que sirve para representar a una determinada operación matemática. Las operaciones no convencionales se definen en función a las operaciones convencionales, relacionando un par de valores (variables) mediante una ley de formación, que se obtienen combinando, según requiera el caso las operaciones convencionales.
3ro. Año Secundaria 19
A= ( 2 *+ 5 * ) *+ 3 *
3
−3 b . Hallar
* Importante, así como las operaciones combinadas con operadores convencionales tiene su regla de operación (tiene un orden de operación), esta regla también se aplica a los operadores no convencionales. Entonces se desarrollará siguiendo el orden señalado por los números romanos.
En este ejemplo se define el operador “ * ” 3
mediante la ley “ a −3 b ”, donde se relacionan los valores a y b, mediante las operaciones convencionales: n .
)
y ×
3*5; es lo que se tiene que calcular: 02. Si: a ∫ b = a
2
+3 b −a .
Hallar: 5 ∫ 3 De la definición:
a ∫b = a
2
B C
5∫3 = ( 5
) 2 + 3 ( 3 ) −5 ; operando
∴5 ∫ 3 =29
Resolvemos:
B
2 3 4
II : 5* = como “5” es impar, aplicamos:
2
=
2 3 17 + = = 3 4 12
05. Si: 2
a *b =a −b 3
2
a ∆ b =( a − b )
Reemplazamos valores en A:
A =( 6 +10 ) * +6
a# b= S3RM32B
1 1 * x = −( x 2 2
)2 = 1 4
−x
2
2
2
1 1 1 1 1 1 ∆ = − = = 2 3 2 3 36 6
A= 3 ; B= 3 y C= 4
1
2* = 3 ( 2 ) => 2* = 6
=1
2)
C
Estos valores reemplazamos en la ley de formación:
I : 2*, como “2” es par, aplicamos:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
+
Resolución: Identificando el valor de cada letra según la figura:
03. Se define: S3RM32B
A B
2
Ojo 1: El operador “*” tiene dos leyes de formación que dependen del valor a operar.
3* = 2 ( 3 ) => 3* = 6
=
3 4
V
1 3
Resolución: Calcular por partes 1)
A
III: 3*, como “3” es impar, aplicamos:
+3 b −a , se calcula:
1 *x 2 1 1 1 ∆ # 2 3 2
2
04. Dado:
III
5* = 2 ( 5 ) => 5* = 10
Calcular “x” en:
par,
Hallar:
A=( 2 *+5 * ) *+ 3 *
3*5
es
Ojo 2: Como hemos visto, en los operadores no convencionales se utilizan cualquier símbolo, las figuras geométricas también se emplean para representar operadores.
IV
01.Dado: a ∗b =a
“16”
∴A =54
Resolución:
II
como
3ro. Año Secundaria
A =3 ( 16 ) + 6
Calcular:
Ejemplo:
−; (
A =16 * +6 ; aplicamos
a* = 3a; si “a” es número par a* = 2a; si “a” es número impar
I
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
20
a +b a −b
2
5
1 12
3)
1 1 5 + 1 1 2 3 # = = 6 =5 1 2 3 1 1 − 2 3 6
Reemplazamos éstos valores en la ecuación:
1 2 −x 4 =1 1 ( 5 ) 36
1 2 −x 4 =1 5 36 Despejando :
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
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3ro. Año Secundaria 19
1 5 2 −x = 4 36
.1x1
36
∴
2
−
=1
.2x2 =1 . 3 x 3 -1 = 1 . . . . . .
2
=x → x = +
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
20
-1
9 5 2 − =x 36 36 4
-1
1
∴
9
1 3
.3 # 4
= 4 # 3
1
Inverso
Neutro
(2#3) #1 = 2#(3#1)
De la tabla
3
# 1 = 2 # =
2
2
#
1
2
3
4
1
4
1
2
3
#
2
1
2
3
4
1
1
3
2
3
4
1
2
2
4
3
4
1
2
3
3
4
4
1
2
3
Calcular: 2#8
Entonces: 2 # 2 -1 = 2 De la tabla: 2 # 2
= 2
∴ 2 = 2 -1
PRACTICA DE CLASE 01. Si: a*b = 2a + 5b
1
a%b = 5p - 2b
2
x * y = 16
I
x * y = 11
II
S3RM32B
8
1
2
3
4
5
6
1
-2
-1
0
1
2
3
2
-1
0
1
2
3
4
3
0
1
2
3
4
5
4
1
2
3
4
5
6
5
2
3
4
5
6
7
6
3
4
5
6
7
8
4
e) cierto; de “d)”, el elemento neutro es 2
a) Cierto; porque los valores que representan a los resultados pertenece al conjunto en donde se define el operador.
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
a*c
p * q = p2 - q2
Concluimos que el elemento neutro o elemento Identidad. Es el “2”
Resolución:
b) Cierto; comprobando:
(a%b)*c
03. Sea la operación “∆” definida mediante la siguiente tabla:
d) Cierto; observemos la tabla:
Son ciertas: .....................................
- Tiene elemento inverso para cada número:
c=
Además:
06. Se define el operado #, en A={1; 2; 3; 4}; según la tabla.
a) #, es un operador abierto b) #, es un operador conmutativo c) #, es un operador asociado d) #, tiene como elemento neutro al 2 e) Según la tabla 2 # 2-1 = 2 Elemento Identidad
a#b
1
a % b = a2 + ab
De las afirmaciones:
∴ .nx1=n
02. Dado:
c) cierto; comprobando:
Elemento
- Es Clausurativa. - Es Conmutativa. - Es Asociativa. - Tiene elemento neutro (es el 1 ) .0x1=0 .1x1=1 .2x1=2 .3x1=3 . . . . . .
Hallar ( x + y ).
. n x n -1 = 1
Elemento
En la multiplicación por ejemplo:
S3RM32B
= 2 # 1 1
2
Ojo 3: Algunas operaciones tiene sus propias leyes y propiedades.
Elemento Identidad
.1 # 2 1
3ro. Año Secundaria
y las afirmaciones: 1. 2. 3. 4. 5.
3∆5=4 (3 ∆ 3) ∆ 5 = 2 (4 ∆ 2) ∆ (5 ∆ 4) = 3 El elemento neutro es el “3” Es un operador cerrado:
Son ciertas: a) 1 y 2 d) 1 y 3
b) 2 y 3 e) 2 y 5
c) 3 y 5
04. Se define al operador “θ”, para el R, mediante la tabla siguiente:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 19 Hallar “x” en:
θ
2
4
5
2
6
8
9
4
10 12 13
5
12 14 15
( 2 * x ) ∆( 3 ∆4 ) =−4
5
8
2
11 14
“x” está definida por a * b = Ma + Nb. Calcular: 3 * 4 06. Sea “a” un entero, si x > -2 x
= x3 + 1
x
= x2 + 3x
0
1
2
3
4
0
0
2
4
6
8
1
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10 12
3
6
8
10 12 14
8
−1 −1 1 −1 1 4 ∆ ∆ 50 25 25
n 1
Logb
= -7
= ( n + 1). n
+ Log
donde: b =10
10 12 14 16
, calcular:
+ ........... + Logb
2
b
-1
4
Halla el resultado de 1204 * 1413 y da como respuesta la suma de sus cifras.
*
a
b
c
d
3 x+1 =
(x+1) -1
x-1
a
c
d
a
b
3
;
x-3
=
7
b
d
a
b
c
c
a
b
c
d
d
b
c
d
a
Calcular:
07. Definimos las operaciones, mediante: 68 b*a; b ≤ a a*b; a < b 2
a*b=a -b
S3RM32B
a) 31 d) 33
b) 62 e) 360
1 2 1 e) 3
a) 3 99
c) 27
;
b)
d) -3
c)
−1 3
03. Si:
E=a+5
b
; es:
7
15. Se define la operación “ * ” en A = { a; b; c }, mediante la tabla:
Calcular:
a
x
4 1 3
02. Si: a * b =a +b +ab ; ∀ a , b ∈ R , además: ( 2 * x ) * 3 =7 , entonces el valor de “x” es:
14. Si:
2
a
5 3 2
x
inverso de m. Calcular:
10. Sabiendo que:
Además:
x+2
5 ab −1 a ∆b = ; m es el elemento 2
*
4
Si:
-
13. Si:
09. Se define una operación cuyo operador es * , de acuerdo a la sgte. Tabla:
2
x
M=
2
x+1 =x -1
05. Se tiene la tabla:
= 4a - 3b
Calcular el valor del producto:
E= 3
1
a b
Efectuar:
3
2
2
= (x -1) +n
x
08. Sea :
Calcular: 0,5 θ 3
1
3ro. Año Secundaria
12. Si:
Hallar:
θ
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
20
11. Si:
− 1
*b
− 1
=( x * c ) * a
n * m= m # n = 2 ( n # m ) + m + n EJERCICIOS PROPUESTOS 03
Calcular:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
( 10 * 10 ) + ( 10 # 10 )
01. Si: S3RM32B
= K1a - K2 a + 1
a
=2
b
y
El valor de
3
a) 10 d) 14
;y
=6
es: b) 12 e) N.a.
c) 13
04. Si tenemos que:
Hallar “x” en: a
2
a
x
2
= 2x - x + 1 , y además:
324 ( 5 ) =abc ( 6 ) ; entonces el valor de:
a+b+c
a) 280 “El nuevo símbolo de una buena educación....”
es: b) 145
c) 154
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN c) 208
e) N.a.
3ro. Año Secundaria 19
x*y =
05. Si: = 4a - 3b
2*x =
Hallar:
x
5 3 2
7 6
4 *( 4 *4
1 6 3 d) 2 a)
06. Si: 2a, si "a" es par a=
a
∑( ∆ a ) = b) 15 e) N.a.
Hallar:
c) 6
+
e) N.a.
3
a) 9 d) 18 09. Defina:
A* B = π
y
i=1 3
3
j =1
i =1
A @ B = ∑ ∑( i . j )
=?
b) 3 e) 27
c) 12
a) 0,1 d) 0,4
b) 0,2 e) 0,5
c) 0,3
12. Si a y b son dos números reales para los cuales se define la operación: “El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) 2 y 3 e) N.a.
c) 3 y 4
m ∆n =
m +n 2
2 (5 ∆X ) =−3 X +9 ; es: b) 5
c) 7
17. Se define la operación “∆”, mediante la siguiente tabla: a
b
c
a
c
b
a
b
c
b
b
c
b
a
a
a
a
c
a
b
c
b
a
b
c
c
a
c
b
b) 1; 2 y 4 e) 2; 3 y 4
2
El valor que satisface la ecuación:
a
De las afirmaciones: 1. 2. 3. 4.
x ∆ x = c, ∀ x ∈ {a; b; c } ∆ es conmutativo. a∆(b∆c)=(a∆b)∆c a∆(c∆b)=(a∆b)∆b
Son ciertas: a) Sólo 1 c) Sólo 1; 2 y 3 e) T.a.
Son ciertas, solamente:
S3RM32B
c) 0
%
x % x = b; ∀ x ∈ { a; b; c } x % x = x, ∀ x ∈ { a; b; c } % es conmutativa. a%(b%c)=(a%b)%c
a) 1 y 2 d) 1 y 4
; es:
16. Si “∆” es una operación definida en R por:
De las siguientes afirmaciones: 1. 2. 3. 4
8 + 12
b) 64 e) 6
14. En el conjunto { a; b; c }, se define la operación %, mediante la siguiente tabla:
A* B Entonces el valor de : es: A@ B
.
12 8
a) -3 d) 1e) 4
a) 1 y 4 d) 1 y 2
11. Si:
Entonces:
.
c) 1
= ab
El valor de la siguiente expresión:
a) 20 d) 10
Son ciertas:
d) 0
=9
c) 3,444....
1. ∆ es conmutativa 2. “0” es el elemento neutro para la operación ∆. 3. a ∆ a = a 4. ∆ es asociativa.
Es igual a:
3p - 5; si p > 3
representa un número tal que:
b) 1,333.... e) N.a.
Afirmamos que:
(3*2)
p2 - 1; si p ≤ 3
c) 38
a+b a-b
es:
13. En el conjunto de los números reales, al definir la operación ∆. Mediante :
a+b 2
5 b) 2
b) 164 e) 30
−1 6
3ro. Año Secundaria 15. Se define Z en la operación:
a ∆b =a −3 b +ab ;
−5 a) 2
2( 3* )*
a) 19 d) 15
b=
(2*3)
07. Si: P* =
c)
Entonces:
a =1
a) 30 d) 12
2 3
e) N.a.
0, si "a" es impar
Si “a” es par:
+
b)
)
a) 2,333..... d) 1,666.....
10. Si: a * b = 2a - b a
5
S3RM32B
ab b +a Entonces el valor numérico de: a *b =
Hallar el valor de: (-1 * x ). 4 1 3
08.
x +y x −y − 2 3
Si:
a b
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
20
c) 3 y 4
18. Si:
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
b) Sólo 2 y 3 d) Sólo 1 y 3
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
(
x * y* z= x
−1
+y
−1
+z
−1
). 3
3ro. Año Secundaria 19
−1
1 1 1 E = * * * ( 0,1 ) * ( 0,5 ) 2 5 3 Es:
81 10 10 d) 3
b)
3 10
c)
10 41
Son ciertas: a) Sólo 1 d) 2 y 3
b) Sólo 2 e) N.a.
c) 1 y 2
20. Si: = 3x + 6
Además: = 3x - 6
Calcular: 10
a) 31 d)28 S3RM32B
E
C
15.
C
16.
D
17.
E
18.
C
19.
A
20.
D
SOLUCIONARIO Nº
1. * , es cerrado 2. * , es asociativo 3. * , es conmutativo
x+1
D
e) N.a.
19. Si en el conjunto de los números reales definimos una operación mediante: a * b =2 a +b , entonces:
x
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
14.
−1
Entonces el valor de:
a)
20
b) 30 e) N.a.
c) 29
EJERCICIOS PROPUESTOS 01
02
03
01.
B
E
B
02.
A
C
C
03.
E
C
C
04.
C
B
C
05.
B
A
E
06.
D
E
D
07.
C
E
C
08.
D
B
E
09.
A
E
B
10.
D
C
A
11.
D
B
B
12.
B
B
B
13.
D
D
E
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
04
S3RM32B
“El nuevo símbolo de una buena educación....”
3ro. Año Secundaria
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN
3ro. Año Secundaria 19
20
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2002
S3RM32B
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“El nuevo símbolo de una buena educación....”
3ro. Año Secundaria