Tema 03 grafico de funciones en ir 3° 4b

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

Tercer Año Secundaria

IV IV BIMESTRE BIMESTRE

TEMA 04: GRÁFICO DE FUNCIONES EN IR I. PROCEDIMIENTO BÁSICO: Para empezar, se sugiere las siguientes pautas:

c)

función

es

c) Determinar el dominio y rango de la función para luego tabular algunos valores particulares y ubicarlos en un plano cartesiano. d) Finalmente bastará con unir dichos puntos para obtener la gráfica de la función.

Ejemplo: Para

f(x) =x

2

la

 Regla de correspondencia f ( x ) = ax ;

y -1 -1

a ≠0

[

Luego : y - 1 ≥0 ⇒y ≥1 ⇒Rf =1; +∞

previa

 Dom (f) = IR  Ran (f) = IR  Gráfico: Recta inclinada que pasa por el origen. y

y

x y=F(x) :. :.

5 1 2 0 -1 1 2 -2 -3 5 :. :.

(-3;5)

(-2;2) (-1;1)

+ 2x + 2

a) Buscamos los puntos que intersecan a los ejes coordenados: x = 0 ⇒y = 0 2 + 2(0 ) + 2 ⇒y = 2

De acuerdo a este paso, la gráfica corta al eje “y” en el punto cuyas coordenadas son (0; 2).

x

de

de

[ 0; +∞ [ 0; +∞ semejante

Regla de correspondencia f(x) = x Dom (f) = IR Ran (f) = IR Gráfico: Recta que pasa por el origen y forma un ángulo de 45° con el semieje positivo de las x.

correspondencia x F(x) :. :.

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 :. :.

y

x F(x) 0 0 1 0 2 2 3 3 4 2 9 3 :. :.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

una

y

y= x

x

y=x 45°

05. Función Cuadrática x

 Regla

de

S1RM31B

Correspondencia:

f(x) = ax 2 + bx + c ; a ≠ 0

 Dom (f) = IR

y = 0 ⇒0 = x 2 + 2 x + 2 ⇒0 = (x + 1)2 + 1 S1RM31B

a

02. Función Identidad    

 Dom (f) = IR  Ran (f) = IR  Gráfico: Recta inclinada que no pasa por el origen, y cuya ordenada en el origen es b.

correspondencia:

x

 Ran (f) =  Gráfico: Curva semiparábola.

Caso Especial: (cuando a = 1)

f ( x ) = ax + b ; a ≠ 0 ∧ b ≠ 0

x

y=c

c

 Dom (f) =

x

eje

y

f (x) =

x

(0;2)

al

04. Función Raíz Cuadrada

y = ax

(1;5)

01. Función Lineal

función:

x F(x) :. :.

-2 c -1 c 0 c 1 c c 2 :. :.

 Regla

II. FUNCIONES NOTABLES

 Regla graficar

Nota: Si f(x) = ax + b, a ≠ 0 ∧ b = 0

TCP

d) Finalmente unimos los puntos, tabulación de algunos valores:

c ∈ IR

 Dom (f) = IR  Ran (f) = {c}  Gráfico: Recta paralela desplazada en “c” unidades.

x

0

+ 2 x + 2 ⇒Df =IR

⇒y - 1 =(x +1) 2 ⇒ x =

 Regla de correspondencia f(x) =c ;

b

2 2 y=x  +2 x +  1 + 1 ⇒ y = (x + 1) + 1

simétrica,

 Si la función no se altera al sustituir “x” por “-x”, dicha función será simétrica respecto al eje “y”  Si la función no se altera al sustituir “y” por “-y”, dicha gráfica será simétrica respecto al eje “x”.  Si la función no varía al sustituir “x” por "−x" , e “y” por "−y" , dicha gráfica es simétrica con respecto al origen.

f(x) =x

03. Función Constante

y=ax+b

b) No es simétrica con respecto a ningún eje ni respecto al origen.

2

Tercer Año Secundaria

y

Dado que esta ecuación no tiene solución real para “x”, diremos que la gráfica no intercepta al eje “x”.

a) Determinar los puntos en los que la gráfica intercepta a los ejes coordenados, de este modo: La intersección con el eje “x” se logra haciendo y = 0, y para el eje “y”, haciendo x = 0. b) Averiguar si la procediendo así:

ÁLGEBRA

02

01

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN  Ran

(f)

Tercer Año Secundaria

    y ∈  F  − b  ; + ∞ ; a > 0    2a       - b    ; a < 0  y ∈ − ∞ ; F  2a       Gráfico: Parábola con  − b  − b   V ; f  2a    2a   

vértice

A) Cómo hallar el vértice de una Parábola: Cualquiera de los siguientes métodos: * Graficando la parábola a través del procedimiento básico y tabulaciones. * Aplicando la fórmula:

∆ = b 2 = 4 ac o la mostrada al inicio:  − b  - b   V = ; f  2a    2a    B) Cómo hallar el máximo o mínimo valor de una función Cuadrática

Vértice Si: a < 0 La parábola se abre hacia abajo.

Elige cualquiera de las siguientes formas: *

Hallando el vértice y graficando por cualquiera de las dos formas antes enumeradas.

*

Completando cuadrados en la función y analizar luego su valor máximo o mínimo.

*

Aplicando la DERIVADA a la función, luego igualamos a cero y despejamos x. El valor obtenido se reemplaza en la función inicial obteniéndose así el máximo o mínimo valor dependiendo del caso.

y Vértice

x y =ax 2 +bx +c

El gráfico de la POTENCIA ELEMENTAL: f(x) =x 2 es el que se muestra a continuación:

y=x

x x

En general podemos extender las definiciones previas y definir la FUNCIÓN POTENCIA ELEMENTAL: A) Si: F(x) =x n ; n es par → Dom (F) = IR Ran (F) = 0

[

07. Función Valor Absoluto  Regla de correspondencia: f(x ) = x y se define como:

;+ ∞

y

y =x6 y =x 4 y =x 2

 x ; x ≥ 0 y= x =   − x ; x < 0 x

B) Si: F(x) =x n ; n es impar → Dom (F) = IR Ran (F) = IR

 Dom (f) = IR  Ran (f) = 0 ; +∞  Gráfico: Se muestra a continuación (tiene forma de V) con el vértice en el origen.

[

x F(x) :. :.

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 :. :.

y

08. Función Signo  Regla de f(x) =sgn( x) ,

06. Función Cúbica  Regla de correspondencia: f(x ) =x 3  Dom (f) = IR

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

y=x

y=x 7 y=x 5 y=x 2

√

 −b ∆  V =  2 a ; 4a   donde  

y = ax 2 +bx +c

y

y

x F(x) :. :.

-2 8 -1 -1 0 0 1 1 2 8 :. :.

y =x 2

Observaciones:

Si: a > 0 La parábola se abre hacia arriba.

S1RM31B

y

x

en

Tercer Año Secundaria

 Ran (f) = IR  Gráfico: Se muestra a continuación:

= x F(x) :. :.

-2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 :. :.

ÁLGEBRA

02

01

S1RM31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

y=|x| x

correspondencia:

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN y

se

define

Tercer Año Secundaria

como:

*

}

* * *

y y=sgn(x)

=0 ; ya que :

{

2 <π

5 2

....-6

Ejemplos:

2 x2 + 3

* U 2(3) = 1 ; pues : 3 ≥ 2

x2

7

x

1 ≤ 1 →0 < 2 ≤ 2 +3 3 x2 + 3 3 2 →0 ≤ 0 < ≤ 2 <1 x2 + 3 3

x

10. Función Máximo Entero Regla de correspondencia: f(x) =

x

Se define el MÁXIMO ENTERO de x como el mayor de todos lo números enteros menores o iguales que x y se denota por x es decir:

[

2 0 ; ⊂ 0 ;1 3 

* * Luego la función MÁXIMO ENTERO se define así:

F(x) =

=

 :  . -2  - 1   0   1   2  :. 

Con lo cual: Dom(

) =IR; Ran (

2. ∀ x ∈ IR : x ≤ x < x + 1 0 ≤ x - x <1 x +n ; ∀ n ∈ Z

3.

x+n

4.

x = x ↔ x∈Z

5.

x

=

=

x

; ∀ x ∈ IR

x+ 1 2 1 x + x+ 3

2x = x + 3x =

+

11. Función Mantisa I;R Ran = Z

* * * *

S1RM31B

x+ 2 3

En general ; ∀n ∈Z ∧n ≥2 : 1 2 n-1 nx = x + x + n + x + n +... + x + n

Regla

de

f(x) = man (x) = x − x

correspondencia

Dom (f) = IR Ran (f) = 0 ; 1 Gráfico: Se muestra a continuación:

[

Ejemplos:

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

) =Z

1. ∀ x ∈ IR : x ∈ Z

6.

 =

x

Propiedades

x

:. ;- 2 ≤ x < -1 ;-1 ≤ x < 0 ; 0 ≤ x <1 ; 1≤ x < 2 ; 2 ≤ x < 3 :.

 con lo cual: Dom 

3

...

5 + 2< 4

= 7 pues: 7 ≤7 < 8

a

2

1

-1

= 0 pues, ∀ x ∈ IR : x 2 ≥ 0 → x 2 + 3 ≥ 3 →0<

x = n ↔ n ≤ x < n +1 ∧ n∈Z

* U1(1) = 0 ; pues : 1 < 4

3 2

-4 −π -3 -2

= 3 porque : 3 ≤

U(x) = Ua (x +a ) ; Ua(x) = U(x −a )

 1 ; x ≥ a Y se define como: y = U = a (x)   0 ; x < a

1

= 2 pues : 2 ≤ 5 < 3 2

Propiedad:

*

-5

Esto significa que:

1

correspondencia:

0

-1

-3 -2 -1

=-4

}

-1

de

−π

5 + 2

y = Ua (x)

0

....-2

Mayor entero ≤ −π

Dom (f) = IR Ran (f) = 0 ; 1 Gráfico: Se muestra a continuación:

x

0

f(x) = Ua (x )

S1RM31B

3 =1

y

09. Función Escalón Unitario Regla

2)

1

Propiedad: | x | =x ⋅ sgn(x) ; ∀x ∈IR

*

π (

...

y

 1 ; x ≥ 0 * U 0(x) = U(x) =   0 ; x < 0

Pues: x 2 +1 >0 , ∀x ∈IR  Gráfico: Se muestra a continuación: x F(x) :. :.

-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 1 :.

3 :.

U

Tercer Año Secundaria Mayor entero ≤ 3

* U −5(−1) = 1 ; ya que : - 1 ≥ - 5

 Dom (f) = IR  Ran (f) = −1 ; 0 ; 1 Ejemplos: * sgn 7 = 1 * sgn 0 = 0 * sgn (-4) = -1 * sgn (x 2 +1) =1

ÁLGEBRA

02

 1 ; x ≥ 3 * U 3(x) =   0 ; x < 3

- 1 ; x < 0  y = sgn(x) =  0 ; x = 0  1;x > 0 

{

01

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

Tercer Año Secundaria

y

*

D 2  = 1    

-3

* D(2 − 5 ) = 0

...

-2

-1 0

1

3

2

x

12. Función Hiperbólica

1 * Regla de correspondencia: f(x) = x

{ } { }

*

Dom (f) = IR − 0

* *

Ran (f) = IR − 0 Gráfico: Se muestra a continuación: y y= 1 x

D

( 3)

* * *

g(x)

1

*

* D(π) = 0 * D(−13 ) = 1 Dom (f) = IR Ran (f) = {1 ; 0} Gráfico: Se muestra a continuación:

*

y

h(x)

y = bx 1 x

0

x

Regla de correspondencia:

F( x ) = a 0 x + a1x

 1 ; x ∈ Q Y se define como: Dx =   0 ; x ∈ IR - Q

n −1

+ ... + a n

Donde “n” es un número entero no negativo y a 0 ; a 1 ; ...; a n son constantes, siendo *

13. Función Dirichlet correspondencia

x

h

1

n

Observación: La función hiperbólica es una FUNCIÓN RACIONAL (caso especial) en donde el numerador es una constante.

Es necesario para graficar este tipo de funciones hallar las RECTAS ASÍNTOTAS (verticales y horizontales) igualando a cero a cada denominador luego de despejar cada variable.

x0

y = D(x)

*

a0 ≠ 0 .

Notar que las funciones: constante, lineal y cuadrática, son casos particulares de esta función y ocurren para n = 0, n = 1 y n = 2, respectivamente.

* * * *

III. PROPIEDADES PARA LA ELABORACIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Conociendo la gráfica cartesiana de una función, es posible elaborara la gráfica de otra función con características similares a la primera. Por lo general, a partir de la gráfica de una función elemental, puede obtenerse la de otra función, mediante propiedades de desplazamientos, simetrización, estiramiento (dilatación), encogimiento (contracción), etc.

La gráfica original de f se desplaza “h” unidades hacia la derecha.

Ejemplos: y y = x 2 y = (x − 5)2

y = (x + 3)2

  -3 h=-3 0 h=5

1. Desplazamientos Horizontales

y y=|x|

y F

Regla de correspondencia: F(x) =b x ;

y=|x+4|

y=|x- 2|

b > 0 ∧b ≠1

Dom (f) = IR Ran (f) = 0

 ;+ ∞

La gráfica de: y = b

x

x

5

F(x)

15. Función Exponencial

-4

con: 0 < b < 1 es:

Ejemplos: S1RM31B

h

La gráfica original de f se desplaza “h” unidades hacia la izquierda H(x) = f(x-h)

y

14. Función Polinómica

Regla de F(x) =D(x)

La gráfica de: y = b x con: b >1 es: y

x

x0

x

=0

x

*

y

y = bx

 9    

1

Tercer Año Secundaria y

*

5 

D(0,777 ...) = D 7  = 1 ...

ÁLGEBRA

02

01

x0

g(x) = f(x + h) “El nuevo símbolo de una buena educación....”

S1RM31B

x

 0

2

2. Desplazamientos Verticales f(x)

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

x

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

Tercer Año Secundaria

01

ÁLGEBRA

02

y

y

y

y

y0

y=x+2 k=2

f

x

y=x-6 k=-6

Podemos observar que el eje x se comporta como un espejo al anteponer el signo (-) a la regla de correspondencia de la función. Esto significa que dada una función f(x), la función: f(x) resulta ser le giro de f(x) con relación al eje x.

h

Realizando una combinación de ambos desplazamientos (horizontal y vertical) es posible obtener la gráfica de: y = f (x - h1 ) + h 2

g(x) x

La gráfica original de f se encuentra desplazada “h” unidades hacia abajo. y

h(x) h

-4  x

y = x2 + 3 k=3 y

y=|x|+3

y=|x|

3

 -4

y

k=-4

−4

x

Ejemplos: y

y

y=|x-4|

y = | x 2 − 1|

y

0



0 1

= x2

y = x3

Zonas negativas

4. Simetrización con respecto al Eje y (Giros) En estos casos se puede apreciar que la gráfica de f(x) luego del giro, aparece invertida con relación al eje x.

g(x)=f(-x)

f(x)





x

y = x2

y=|x-1|+3 

3



y = x −2 −3



y

= x2



x

 -3

y = x3

y = x −3

2

Zonas positivas

y=F(x) x

y= x

0

La gráfica original de f se encuentra desplazada “h” unidades hacia arriba.

Ejemplos: y

y = x2

x

2



y0

y

y = x +4 +2 y = x +4

x

y

y y

y=x

5. Giros originados por Valor Absoluto Reconocemos que el efecto principal que tiene el valor absoluto es el de hacer positiva toda expresión: lo que provoca un gráfico siempre ubicado sobre el eje x.

Veamos:

Ejemplos:

Ejemplos:

h(x) =f(x)+h



x

g(x)=-f(x)

x

-6

y0

y= x

x

x



y

y = −x

y=-x



0

g(x)=f(x)- h

y

y

f(x)

y=x



2

S1RM31B

Tercer Año Secundaria



4

-3

x

3. Simetrización con respecto al Eje x (Giros) En estos casos se puede apreciar la gráfica de F(x) , luego del giro, aparece invertida con respecto al eje x.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x

y=|x-4|-3

y = x2 − 1

x

Podemos observar que el eje y se comporta como un espejo al anteponer el signo menos (-) a la variable de la función. Esto significa que dada una función f(x), la función: f(-x) resulta ser el giro de f(x) con relación al eje y.

Ejemplos: S1RM31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

x

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

y =| x 3 −x|

y =x 3 −x

01

b) La función identidad tiene la particularidad de ser bisectriz del I y III cuadrante c) La función constante es una recta paralela al eje “x” d) f(x) = x – 1, es una función lineal e) La función lineal es una recta que necesariamente pasa por el origen de las coordenadas.

y

0

Tercer Año Secundaria

x

03. Sea f(x) una función constante con dominio en los números reales, tal que:

02

ÁLGEBRA

Tercer Año Secundaria IV.

 0 ; si x < 3 c) f(x) =   5 ; si x ≥ 3  − 5 ; si x > 3 d) f(x) =   − 3 ; si x ≤ 3

El vértice es (0; - c)

Son verdaderas: a) I y Iv d) I y III

b) II y III e) N.A.

09. Sea: f(x) = ax2 + bx + c f(x) 2

1

e) N.A.

f(3) + f(2) =8 f(5 ) − 3 Calcular: E = f(1997) + f(1998) + 3

PRÁCTICA DE CLASE

a) 5 d) 21

01. Sea la función: f: R → R

04. Se da la gráfica de la función:

f(x) = 2x – 1 Indique su gráfica aproximada: a)

b)

(y)

b) 11 c) 17 e) Faltan datos

5

(x)

(x)

(x)

3

Establecer la regla de correspondencia: c)

d)

(y) (x)

e)

(y) (x)

(y) (x)

 3 ; si x < a) f(x) =   5 ; si x ≥  5 ; si x < b) f(x) =   0 ; si x ≥

0 0

a) (-1 ; 2) d) (1; 2)

b) (2; -1) e) N.A.

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

Hallar a x b a) 4 d) 2

b) 8 e) – 8

c) – 4

10. Una liebre coja describe la trayectoria y = x2; un perro que recorre la recta y = x la distingue y la logra capturar. Hallar el punto donde ocurre la captura, si sus coordenadas son positivas. a) (1; 1) d) (2; 2)

b) (1; 2) e) (1/2; 1/2)

c) (2; 1)

11. Halle el máximo valor de la función: f(x) = 12 + 2x – x2 a) 12 b) 13 c) 10 d) 9 e) 7 12. Hallar el valor mínimo de la función dada por: g(x) = x2 + 8x a) – 12 d) 16

b) – 14 e) 14

c) – 16

f(x)

3

a) f(x) = 2x + 3, es una función lineal

(x)

c) (-1; -2)

07. El punto P(-1; 4) pertenece a la función cuadrática: f(x) = 3kx2 + (n – 2)x – 3k Hallar el valor de 2n” a) 6 b) –2 c) 1 d) faltan datos e) N.A. 08. Según la gráfica de la función cuadrática de la ecuación: f(x) = ax2 + bx + c; a ≠ 0

3

02. Señale la alternativa falsa:

S1RM31B

b) (19; 1) c) (17; 2) e) No llega a destruirlo

06. Determina el vértice de la parábola que resulta después de graficar: f(x) = x2 – 4x +3

(y)

(y)

05. Un cañón situado en el punto (3, 0) dispara una bala con una trayectoria y = x − 3 . Si un avión viaja por la recta y = 4, y la bala lo destruye. Hallar el punto sobre el que fue el impacto. a) (4 ; 18) d) (19; 4)

c) II y IV

(x)

Se afirma: I. a<0∧c<0 II. a > 0 ∧ c < 0 III. El vértice es (0; c) S1RM31B

13. Un fabricante puede producir radios a un costo de $10 cada uno y estima que son vendidos por $x cada uno. Los usuarios compran aproximadamente (80 – x) radios cada mes. Halle el precio al cual debe vender cada radio para obtener la máxima ganancia, y cuál es ésta. a) p = $ 45 ∧ Gmáx = 1225 b) p = $ 40 ∧ Gmáx = $ 1250

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN

Tercer Año Secundaria

c) p = $ 35 ∧ Gmáx = $ 2400 d) p = $ 30 ∧ Gmáx = $ 1655 e) N.a

y

a) 3 /2 /4 d) 3/8

a b

3 /4

c) -

3

e) 2

b) 20 e) 50

-2

c) 80

-1

x

3

17. La función polinomial; y = f(x) de grado mínimo tiene una gráfica aproximada.

d)

y

-1

e)

02. Proporcionar el dominio de la siguiente función:

1 1

b) 16 e) 14

x

x

-1

y (a ; b)

y

(x ; -x 2+ 10x + 75)

1

c) 48

-1

18. Representar gráficamente la función: y = | x – 2| a)

(y)

b)

F

x

b)

y

y

x 2

c)

d)

2

c)

d)

y

(y)

x

e)

-2

y

b) [0 ; 15> e) N.A.

c) [0 ; 12]

03. Las gráficas de las funciones F(x)=x2 ∧ G(x)= x tienen dos puntos en común, luego el segmento que une estos puntos mide: a) 2 b) 2 2 c) 2 d) 3 2

y

x (x)

(x)

x

(x)

-2

(y)

a) [0;15] d) [0 ; 12>

21. Graficar la función: F(x) = x | x | a)

x

(p ; q)

(y)

(x)

e) i

04. Al graficar la función F: y = x 2 + 10x + 21 podemos observar que el menor valor de su rango es: a) 21 d) -4

b) 4 e) -5

c) 5

x

e) N.A.

05. A continuación se muestra la gráfica de F(x):

19. La gráfica de la función: f(x) = x + 1 + |x -1| con x ∈ [-3; 3], ¿en qué punto corta al eje “y”? a) No lo corta d) (0; ½)

b) (0; 2) e) (0; -2)

c) (0; 3)

y

PROBLEMAS PROPUESTOS

y

y

b)

1 1

x

1 -1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x

a) F(x) = |x|+ sen x b) F(x) = x + sen x c) F(x) = -x + |sen x| d) F(x) = x + |sen x| e) F(x) = |x| + |sen x| S1RM31B

x

¿Cuál de las siguientes gráficas representa a la función: -F(-x)? x

y

F(x)

01. Si F(x) es una función donde solamente intervienen x y senx; entonces el gráfico siguiente representa a:

20. Graficar: y = | x – 1 | + x a)

S1RM31B

y

(m ; n)

16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) El rango de la función constante es un conjunto binario b) La función cúbica tiene como rango los números reales no negativos c) Si: f(x) = |x-a| , a ∈ R ∀ x ∈ R entonces: Ran (f) = <0 ; + ∞> d) Para f(x) = x Dom (f) = Ran (f) e) Dado f(x) = ax2 + bx +c ; {a, b, c} ⊂ R ∧ a ≠ 0 ; si: b2 – 4ac < 0 ; f(x) intercepta al eje “x” en 2 puntos.

Tercer Año Secundaria

1

a) 49 d) 64

15. Un obrero con 160 metros de alambrón desea cercar una superficie de forma rectangular. Si uno de los lados no necesita cerco, ¿cuáles deben ser las dimensiones para que el área sea máxima?. Dar como respuesta uno de los lados. a) 60 d) 32

c)

ÁLGEBRA

Si: (- 4; b) ∈ F. Encuentre al valor de “b”

es: b)

02

y = f(x)

14. El valor mínimo de la función: f(x) = x 2 + x + 1 es “a”; y el valor máximo de la función g(x) = – 3x2 + 6x – 1 es “b”.Entonces

01

a)

b)

y

y x

x

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN c)

d)

y

Tercer Año Secundaria

01

02

ÁLGEBRA

e)

y N(n,p)

Tercer Año Secundaria a)

y

F

1

1

x

x

G

a)

06. La sucesión de Fibonacci se puede definir como una función en N mediante la siguiente regla:

a) 21 d) 61

b) 34 e) 93

c) 59

3

b)

y

y=F(x)

d)

y

4

x

4

d)

y

y

b) –12 e) N.A.

09. Sean las funciones: F(x) = 2x2 + 4x – 30 G(x) = -3x2 –6x + 24 Donde: b = min (F) p = máx (G) Hallar la distancia de M a N.

2

x2 + x

13. Graficar: F(x) =

y=F(x)

f(x) = 3 + 2x – x2

a) –10 d) -9

a)

x

-4

x

x

-4

a)

b)

y

c)

x2

y

x

d)

y

x

y

y

x

2

e) N.A. 11. Graficar la función: f(x) = |x| - 1

x

x

e)

y

-2 a)

b)

y

y

c) –13

c) x -1

y

x

x -1

c)

d)

y

16. Hallar el área de la figura formada por el eje “x” y la función: F(x) = |2x - 1|- 5.

y

a) 10 d) 20

e) N.A. 1

x

1

2

x

1

d)

y

x

x -1

14. Graficar: F(x) = sgn (x + 2)

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S1RM31B

b) 12,5 e) 25

c) 15

17. Calcular el área del triángulo que resulta de interceptar las funciones: F(x) = 4

S1RM31B

b)

y

x

e) N.A. c)

08. Hallar el mínimo valor que toma la función: g(x)= 3x2 + 12x - 1

-2

x

c) 11

c) –1

x

15. Graficar: x |x|

y

x

y=F(x)

b) 1 e) 4

x -1

x

3

4

y 2

e) N.A.

y=F(x)

07. Hallar el máximo valor de la función:

a) 0 d) 1/2

2

y

x

Según esto, hallar: F(9)

-2

x

d)

y

y

x

-1

1

3 2

c) a)

b)

y

10. La gráfica de la siguiente función: F(x) = x −4 es:

0 ; si : n = 1   F(n ) =  1 ; si : n = 2  F(n − 1) + F(n − 2) ; si : n ≥ 3 

c)

12. Graficar: y = |x - 2| + 3

M(a,b)

b) 10 e) 13

2

x -1

e) N.A.

y 1

x

a) 9 d) 12

b)

y

;

G(x) = |x - 1| + 3

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a) 2 d) 5

b) 3 e) 1

Tercer Año Secundaria 20. Graficar la función: f(x) = 4x(x + m) + m2 ; m < 0

c) 4

a)

b)

y

b)

y

18. Graficar: F(x) = ||x – 2| - 2| a)

01

y

x

y

x

ÁLGEBRA

02

Tercer Año Secundaria

Ranf = <- ∞; -2> ∪ {-1; 1} c) Dom f= R – {-1} Ran f=<- ∞; -2> ∪ [1; +∞> d) Dom f= R – {-1} Ran f =<-∞; -1> ∪<1 ; +∞> e) N.A

II.- La función escalón unitario tiene como dominio a los números reales (R) III.- La función máximo entero tiene como rango a los números enteros (Z) IV.- La función mantisa tiene como rango al intervalo [0; 1> V.- El rango de la función Dirichlet es un conjunto binario

03. Sea la función F cuya gráfica es: y x

c)

c)

d)

y

¿Cuál de ellas es falsa?

x b)

y

y

1

x

y

-1

-2

x

-1

1

a) I d) V 05. Graficar:

x

2

 x −1   x +2

x

Grafique: M(x) = | F(x) | ; x ∈ Dom (F)

e) N.A.

a)

y

CLAVES e)

01 04 07 10 13 16 19

x

19. Graficar: f(x) = 7 - |x - 2| a)

b)

y

y

x

-2

d d e a b b b

02 05 08 11 14 17 20

x

d)

y

2

x

y

a) <- ∞ ; 0 > d) [-2 ; 2] 2

x

y

-2 S1RM31B

x

x

+

x

a)

c e c b c c

-2 -1

1 2

-1

1 2

x

x

-2

-1

y

-2 -1

c)

d)

y 1 -2

d)

x

x

1 2

c) R

-2 -1

y 1

1

x

-1 1

+x

y

1

2

x

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

 x +1    x −1 

+ x +1

x +1

E indicar como respuesta su domino y su rango a) Dom f = R – {1} Ran f = < -2; 1 > b) Domf = R

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

 F(x) = 1 + U2 

e) N.A.

Donde U(x) → función escalón unitario 04. Dadas las siguientes premisas: I.- La función signo tiene como rango el conjunto; {-1; 0; 1} S1RM31B

x

e) N.A.

07. Reconocer la gráfica de la función: 2

x

06. Hallar la suma de los elementos del rango de la siguiente función: F(x) = sgn (x2 – 1) + Sgn ( x + 1 )

1

x

1 -1

1

b) < 0 ; + ∞ > e) < -2 ; 2 > 3

y

x

-2 c)

1

-2

x

-1

b)

y

y

02. Graficar la función: f(x ) =

e)

03 06 09 12 15 18

01. Hallar el rango de: F(x) =

c)

a c c d c e b

TAREA DOMICILIARIA 2

b)

1

y

c) IV

F(x) = Sgn 

-2 x

b) II y III e) N.A.

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN a)

y

1 c)

3

1 d)

2 1

y

3

c)

x e)

y

2

x

x

1

x

11. Determina cuántas asíntotas verticales tiene la función:

2 1 x

3

F(x) = a) 1

5 2

λ=

+

a) 0 d) 2

b) 1 e) –3

09. Al resolver:

3x + 1 2

c) –1

= −5

se obtiene como conjunto solución: < a ; b> Calcule: ab a) – 11 d) – 11/2

b) 11 e) –9/11

c) 3

a) x = 0 ; y = 4 c) x = - 4 ; y = 0 e) N.A.

y = F(x)

∧ Dom (F) = [0; 2> Identifique la gráfica cartesiana aproximada de la función: y = F(x) y

b)

a) 2/3 d) 7/4

c)

y

b)

-1

x

2 y

d)

x

1

-3

x

x

1

e) N.A.

y

18. Sea la función “F” descrita por el gráfico adjunto:

x

y

F(x)

16. Graficar: y = (x + 1)2 – 2 a)

a)

y x

2 2

S1RM31B

x

-1

x

Indicar el gráfico que describe: F (2 – x)

y

b)

y

1

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

x

-3

x x

1 y

x

y

b)

y

d)

2

c) 5/4

2

-2

x

-3

x c)

y

-3

b) 8 e) 14/3

y

x

2

14. La gráfica de la función: f(x) = | x – 3 | + 2 es: a)

x

b

y

a)

3

e)

a

G(x) = | | x + 1 | - 2 | y

b)

2

16

c

2x

x −2 - 3

y

a)

b) x = 4 ; y = 0 d) x = 0 ; y = - 4

G(x) H(x) y F(x)

10. Dada la función

17. Graficar la función “G” definida así:

e) 0

13. De las gráficas: F(x) = 8X ; G(x) = 4X ; H(x) = 2X Hallar: a – c + b

c) 13

15. Indicar la gráfica de: f(x) =

d) 4

x

2

x 2 −4

1 12. Determinar las asíntotas de: y = x −4

+ -π

5+ 2

b) 2

2

-2

y

e)

y

x

-1

x

1

x

y

d)

y

c)

y

x

3

d)

y

e) 1

Tercer Año Secundaria

x

2 1

08. Calcular:

S1RM31B

ÁLGEBRA

02

y

1

a)

01

y

d)

x

y

x

3

c)

2 1

x

y

1 e)

y

b)

2 1

Tercer Año Secundaria

x

y 2

b)

x

“El nuevo símbolo de una buena educación...."

y

2

x

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN d)

y

c)

2 x

-2 e)

Tercer Año Secundaria

01

02

ÁLGEBRA

Tercer Año Secundaria

y

x

y

x

2

20. Hallar la gráfica de la función: y = |x2 - 2|x| | , x ∈ R a)

y

y

b)

x y

c)

d)

x

e)

x y

x

y

x

S1RM31B

“El nuevo símbolo de una buena educación....”

S1RM31B

“El nuevo símbolo de una buena educación...."