Geometriki pithanotita

ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ Σνπ Γεκεηξίνπ Δκκ. Καιπθάθε Περίλευε ΢ην λέν Αλαιπηηθό Πξόγξακκα ΢πνπδώλ ηνπ καζήκαηνο ησλ Μαζεκαηηθώλ ζην Γπκλάζην, πνπ πξσηνεθαξκόδεηαη ηελ ηξέρνπζα ζρνιηθή ρξνληά 2007-2008, νη Πηζαλόηεηεο γηα πξώηε θνξά παξνπζηάδνληαη κε ηε κνξθή θεθαιαίνπ σο απηόλνκε ελόηεηα. ΢ηόρνο ηεο εξγαζίαο απηήο είλαη λα παξνπζηάζεη κηα ζπκπιεξσκαηηθή πξόηαζε δηδαζθαιίαο, κέζα από πέληε ελδεηθηηθέο εθαξκνγέο/δξαζηεξηόηεηεο, κε ηελ νπνία εηζάγεηαη ε έλλνηα ηεο γεσκεηξηθήο πηζαλόηεηαο πνπ επεθηείλεη ηελ θιαζηθή έλλνηα ηεο πηζαλόηεηαο θαη γηα πεηξάκαηα κε δεηγκαηηθό ρώξν πνπ δελ είλαη πεπεξαζκέλνο αιιά έρεη ηε δύλακε ηνπ ζπλερνύο. Η πξόηαζε απηή είλαη ζπκπιεξσκαηηθή ηεο ύιεο ηεο Γ΄ Γπκλαζίνπ όζν αθνξά ην 5ν θεθάιαην ηεο Άιγεβξαο θαη είλαη πξνζαξκνζκέλε ζην γλσζηηθό ππόβαζξν θαη ζην επίπεδν ησλ καζεηώλ ηεο ηάμεο απηήο, κε ζθνπό ηελ επνπηηθή αληηκεηώπηζε πξνβιεκάησλ πηζαλόηεηαο, ηελ θηλεηνπνίεζε ηνπ ελδηαθέξνληνο ησλ καζεηώλ θαη ηελ ελεξγή ζπκκέηνρή ηνπο ζην κάζεκα.

1. ΕΙ΢ΑΓΩΓΗ Οη Πηζαλόηεηεο είλαη έλαο ζρεηηθά πξόζθαηνο θιάδνο ζηελ ηζηνξία ησλ Μαζεκαηηθώλ. Γύν Γάιινη καζεκαηηθνί, ν Blaise Pascal (1623-1662) θαη ν Pierre de Fermat (1601-1665) έζεζαλ ηα ζεκέιηα ηεο ζεσξίαο ησλ πηζαλνηήησλ ζηα κέζα ηνπ 17νπ αηώλα, κειεηώληαο αξρηθά παηρλίδηα ηύρεο κε δάξηα θαη ηξαπνπιόραξηα. Από ηόηε κέρξη ζήκεξα, ε ζεσξία ησλ πηζαλνηήησλ αλαπηύρζεθε ζε κηα κνληέξλα ζεσξία, θπξίσο κεηά ηε ζπκβνιή ηνπ Ρώζνπ καζεκαηηθνύ Andrey Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987). Δθηόο από παηγλίδηα ηύρεο κε δάξηα θαη ηξαπνπιόραξηα, ε ζύγρξνλε ζεσξία ησλ πηζαλνηήησλ κπνξεί λα εθαξκνζηεί ζε κηα κεγάιε πνηθηιία πεξηπηώζεσλ αθόκα θαη αλ ν δεηγκαηηθόο ρώξνο δελ είλαη πεπεξαζκέλνο, αιιά έρεη ηε δύλακε ηνπ ζπλερνύο. Μεξηθέο από απηέο ηηο πεξηπηώζεηο είλαη εμαηξεηηθά ελδηαθέξνπζεο θαη ζπλάκα πνιύ απιέο ζηε δηαρείξηζή ηνπο ρξεζηκνπνηώληαο κάιηζηα γεσκεηξηθά αληί γηα αιγεβξηθά επηρεηξήκαηα. Κάπνηα επηινγή από πξνβιήκαηα ηνπ είδνπο απηνύ παξνπζηάδνπκε ζηελ εξγαζία καο απηή. ΢πγθεθξηκέλα, ζηελ ελόηεηα 3 ζα παξνπζηάζνπκε πέληε εθαξκνγέο ηεο γεσκεηξηθήο πηζαλόηεηαο: δύν πξνβιήκαηα ξίςεο ζε ζηόρν, έλα πξόβιεκα από ηελ Δπθιείδεηα γεσκεηξία, έλα πξόβιεκα «μπινθνπηηθήο» θαη ην πξόβιεκα ηνπ «ξαληεβνύ». Οη ππνινγηζκνί ησλ πηζαλνηήησλ ζα γίλνπλ ρξεζηκνπνηώληαο, όρη αιγεβξηθέο ζρέζεηο θαη ηύπνπο, αιιά εκβαδά γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ θαη κάιηζηα νηθείσλ όπσο ηξηγώλσλ, ηεηξαγώλσλ θαη θύθισλ. Σν πιενλέθηεκα ησλ γεσκεηξηθώλ ζρεκάησλ ζηνλ ππνινγηζκό ηεο πηζαλόηεηαο είλαη αθξηβώο ε επνπηεία πνπ παξέρνπλ, ε νπνία επηηξέπεη ζπρλά ηελ αλάπηπμε κηαο δηαίζζεζεο ηεο ιύζεο πξηλ από θάζε ινγαξηαζκό. Οη πέληε ελδεηθηηθέο εθαξκνγέο πνπ παξνπζηάδνπκε ζηελ ελόηεηα 3, κπνξνύλ λα δνζνύλ ζηνπο καζεηέο σο δξαζηεξηόηεηα γηα ην ζπίηη κεηά ηε ζπκπιήξσζε ηνπ θεθαιαίνπ 5 (Πηζαλόηεηεο) ηεο Άιγεβξαο ζηε Γ΄ ηάμε Γπκλαζίνπ. Σα νθέιε πνπ αλακέλεηαη λα απνθνκίζεη ν καζεηήο από ηελ εξγαζία ηνπ απηή είλαη πνιιαπιά: α) ζα αληηιεθζεί όηη ε έλλνηα ηεο πηζαλόηεηαο νξίδεηαη θαη ζε πεξηπηώζεηο πεηξακάησλ πνπ δελ έρνπλ θαη αλάγθε πεπεξαζκέλν δεηγκαηηθό ρώξν, β) ζα αληηιεθζεί όηη δελ ππάξρεη δηαρσξηζηηθή γξακκή κεηαμύ Άιγεβξαο θαη Γεσκεηξίαο, όπσο ίζσο λα λόκηδε από ηνλ θαηλνκεληθό δηαρσξηζκό πνπ επηρεηξείηαη κέζα

από ηε δηδαζθαιία ηνπ καζήκαηνο (Η πξώηε θνξά πνπ ζπλεηδεηνπνηεί ηελ έιιεηςε κηαο ηέηνηαο δηαρσξηζηηθήο γξακκήο ν καζεηήο είλαη ίζσο ζηε Β΄ Γπκλαζίνπ, ζηελ εηζαγσγή ησλ άξξεησλ αξηζκώλ πνπ ζπζρεηίδνληαη κε ην Ππζαγόξεην ζεώξεκα. Σν μαλαβιέπεη βέβαηα ζηε ηξηγσλνκεηξία θαη ζηηο εθαξκνγέο ησλ εμηζώζεσλ α΄ θαη β΄ βαζκνύ, πηζηεύνπκε όκσο όηη ζα απνηεινύζε κεγάιε έθπιεμε γη απηόλ αλ ηνπ δηλόηαλ ε επθαηξία λα ην μαλαδεί θαη ζηηο Πηζαλόηεηεο) θαη γ) ε εκπινθή ηνπ ζηε ιύζε πξνβιεκάησλ από ηελ θαζεκεξηλή δσή εμαηξεηηθνύ ελδηαθέξνληνο, ζα ηνπ δώζεη θίλεηξα γηα πεξαηηέξσ κειέηε θαη εκβάζπλζε ζηα Μαζεκαηηθά.

2. Ο ΟΡΙ΢ΜΟ΢ ΣΗ΢ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ΢ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ΢ Α. Κιαζηθή Πηζαλόηεηα Ο θιαζηθόο νξηζκόο ηεο πηζαλόηεηαο δηαηππώζεθε αξρηθά από ηνλ De Moivre (1711). Η ζεκειίσζε ηεο ζεσξίαο ησλ πηζαλνηήησλ κε βάζε ηνλ θιαζηθό νξηζκό ηεο πηζαλόηεηαο απνδίδεηαη ζηνλ Laplace (1812). ΟΡΙ΢ΜΟ΢: Αλ Ω είλαη έλαο πεπεξαζκέλνο δεηγκαηηθόο ρώξνο ηνπ νπνίνπ ηα ζηνηρεία είλαη εμίζνπ πηζαλά, ηόηε ε πηζαλόηεηα ελόο ελδερνκέλνπ , ζπκβνινδόκελε Ρ(Α), δίδεηαη από ηε ζρέζε

όπνπ, Ν(Α) είλαη ν αξηζκόο ησλ ζηνηρείσλ ηνπ ελδερόκελνπ Α θαη Ν(Ω) είλαη ν αξηζκόο ησλ ζηνηρείσλ ηνπ δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω. i) ii) iii)

Οη ηξεηο βαζηθέο ηδηόηεηεο ηεο πηζαλόηεηαο είλαη νη εμήο: γηα θάζε ελδερόκελν Α, γηα νπνηαδήπνηε δύν ελδερόκελα Α, Β κε

Β. Γεσκεηξηθή Πηζαλόηεηα Η γεσκεηξηθή πηζαλόηεηα είλαη επέθηαζε ηεο θιαζηθήο πηζαλόηεηαο ζηε πεξίπησζε πνπ ν δεηγκαηηθόο ρώξνο δελ είλαη πεπεξαζκέλνο (όηαλ είλαη, γηα παξάδεηγκα, έλα ππνζύλνιν ηνπ επηπέδνπ κε ζεηηθό εκβαδόλ). ΟΡΙ΢ΜΟ΢: Αλ Ω είλαη έλαο δεηγκαηηθόο ρώξνο, πνπ σο ζύλνιν είλαη ππνζύλνιν ηνπ επηπέδνπ κε ζεηηθό εκβαδόλ, θαη νπνηεζδήπνηε ζηνηρεηώδεηο πεξηνρέο ηνπ είλαη εμίζνπ πηζαλέο, ηόηε ε πηζαλόηεηα ελόο ελδερνκέλνπ , ζπκβνινδόκελε Ρ(Α), δίδεηαη από ηε ζρέζε

Ω

Α

Η γεσκεηξηθή πηζαλόηεηα, όπσο νξίδεηαη από ηελ παξαπάλσ ζρέζε, έρεη ηδηόηεηεο αληίζηνηρεο κε ηηο ηδηόηεηεο ηεο θιαζηθήο πηζαλόηεηαο. Γηα παξάδεηγκα, ηθαλνπνηεί ηεο ηδηόηεηεο i), ii), iii).

3. ΕΦΑΡΜΟΓΕ΢ ΣΗ΢ ΓΕΩΜΕΣΡΙΚΗ΢ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΑ΢ Αθνινπζνύλ πέληε ελδεηθηηθέο εθαξκνγέο ηεο γεσκεηξηθήο πηζαλόηεηαο.

Δθαξκνγή 1: Ρίυε βέλοσς ζε ζηότο Σην παξαθάησ ζρήκα απεηθνλίδεηαη έλαο θπθιηθόο ζηόρνο αθηίλαο 100cm, ζηνλ νπνίν έρνπλ ζρεδηαζηεί ηξεηο νκόθεληξνη θύθινη ζε απόζηαζε 25cm, 50cm θαη 75cm αληίζηνηρα, από ην θέληξν ηνπ. Έηζη ν θπθιηθόο ζηόρνο δηακεξίδεηαη ζε ηέζζεξεηο πεξηνρέο: α) ηνλ θπθιηθό δίζθν Α κε θέληξν ην θέληξν ηνπ ζηόρνπ θαη αθηίλα 25cm, β) ην δαθηύιην Β κε εζσηεξηθή αθηίλα 50cm, γ) ηνλ δαθηύιην Γ κε εζσηεξηθή αθηίλα 50cm θαη εμσηεξηθή αθηίλα 75cm θαη δ) ηνλ δαθηύιην κε εζσηεξηθή αθηίλα 75cm θαη εμσηεξηθή αθηίλα 100cm.

Α

Β

Γ

Γ

Δάλ ξίςνπκε, κε ηπραίν ηξόπν, έλα βέινο κέζα ζηνλ θπθιηθό ζηόρν αθηίλαο 100cm, πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ην βέινο λα θαξθώζεη ζε θαζεκηά από ηηο παξαπάλσ ηέζζεξεηο πεξηνρέο; Λύζε ΢ε θάζε πεξίπησζε, ν δεηγκαηηθόο ρώξνο Ω είλαη ν θπθιηθόο δίζθνο αθηίλαο 100cm, ελώ ε επλντθή πεξηνρή είλαη ε πεξηνρή Α, Β, Γ ή Γ, αληίζηνηρα . ΢πλεπώο,

Παξαηεξείζηε όηη όιεο νη παξαπάλσ πηζαλόηεηεο αζξνίδνληαη ζηε κνλάδα, όπσο άιισζηε είλαη αλακελόκελν.

Δθαξκνγή 2: Σο δσμάρι ηοσ ζεθ Ο δεμηνηέρλεο ζεθ κηαο πηηζαξίαο, κεηά από ηηο γλσζηέο ηαρπδαθηπινπξγηθέο θηλήζεηο, πεηάεη κε ηξόπν ηπραίν ην θπθιηθό δπκάξη ηεο πίηζαο, πνπ έρεη αθηίλα 20cm, πάλσ ζε έλα θπθιηθό ηξαπέδη αθηίλαο 1 m ζην νπνίν θάζεηαη (ην δπκάξη). Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα όιν ην δπκάξη λα βξεζεί πάλσ ζην ηξαπέδη. Λύζε Ρπζκηζηηθόο παξάγνληαο ζηελ ππόζεζε απηή είλαη ην θέληξν βάξνπο ηνπ δπκαξηνύ. Αθνύ ην δπκάξη θάζεηαη ηειηθά ζην ηξαπέδη, έπεηαη όηη ην θέληξν βάξνπο ηνπ, βξίζθεηαη εληόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ αθηίλαο 1m. ΢πλεπώο, ν δεηγκαηηθόο ρώξνο ηνπ πεηξάκαηνο είλαη ν θπθιηθόο δίζθνο αθηίλαο 1m.

Αδύλαηε έθβαζε

Με-επλντθή έθβαζε (αιιά δπλαηή)

Οξηαθά επλντθή έθβαζε Δπλντθή έθβαζε

Γηα λα βξεζεί ην δπκάξη νιόθιεξν πάλσ ζην ηξαπέδη, πξέπεη θαη αξθεί ην θέληξν βάξνπο ηνπ λα βξεζεί ζε απόζηαζε ην πνιύ 100-20=80cm από ην θέληξν ηνπ ηξαπεδηνύ. Άξα, δεηνύκελε πηζαλόηεηα =

= 0,64

δειαδή, ε πηζαλόηεηα ην δπκάξη λα βξεζεί όιν πάλσ ζην ηξαπέδη, είλαη 64%.

Δθαξκνγή 3: Από ηεν Εσκλείδεια γεφμεηρία Αο είλαη ΑΒΓ έλα δεδνκέλν ηξίγσλν θαη Μ έλα ηπραία επηιεγκέλν ζεκείν εληόο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΜΒΓ λα είλαη κεγαιύηεξν ή ίζν από ην κηζό ηνπ εκβαδνύ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ; Λύζε Δδώ ν δεηγκαηηθόο ρώξνο είλαη ην ηξίγσλν (ηξηγσληθή πεξηνρή) ΑΒΓ. Α

Μ Β

Γ

Δ

Αλ Μ είλαη έλα ηπραίν ζεκείν εληόο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ, ηόηε

Γ

αλ θαη κόλν αλ,

ή ηζνδύλακα,

δειαδή, ην πςόκεηξν ηνπ ζεκείνπ Μ νθείιεη λα είλαη ηνπιάρηζηνλ ην κηζό ηνπ ύςνπο ΑΓ. ΢πλεπώο, ηα επλντθά ζεκεία είλαη ηα ζεκεία ηεο παξαθάησ γξακκνζθηαζκέλεο πεξηνρήο: A

Όκσο, πηζαλόηεηα είλαη ίζε κε

B Γ νπόηε, ιόγσ νκνηόηεηαο,

Γ Άξα, ε δεηνύκελε

Δθαξκνγή 4: Σο πρόβλεμα ηες καηαζκεσής ηριγφνικού πλαιζίοσ Κόβνπκε ηπραία κηα (επζύγξακκε) βέξγα ζε ηξία θνκκάηηα. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα, κε ηα ηξία απηά θνκκάηηα, λα κπνξέζνπκε λα θαηαζθεπάζνπκε έλα ηξηγσληθό πιαίζην; Λύζε Έζησ ΟΑ ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ αληηπξνζσπεύεη ηε βέξγα θαη Υ, Τ ηα δύν δηαθνξεηηθά εζσηεξηθά ζεκεία πνπ έρεη γίλεη ε (ηπραία) θνπή, κε ην ζεκείν Υ λα είλαη αξηζηεξά ηνπ ζεκείνπ Τ. Τπνζέηνκε επίζεο όηη ην επζύγξακκν ηκήκα ΟΑ έρεη κήθνο . Ο Υ Y A

Σα επζύγξακκα ηκήκαηα ΟΥ, ΥΤ θαη ΤΑ απνηεινύλ πιεπξέο ηξηγώλνπ αλ θαη κόλν αλ ηθαλνπνηνύλ ηελ ηξηγσληθή αληζόηεηα, δειαδή θαη Η ζρέζε

θαη

γξάθεηαη ηζνδύλακα , άξα

ή

΢πλεπώο, ε ζπλζήθε ηεο ηξηπιήο ηξηγσληθήο αληζόηεηαο γξάθεηαη ηζνδύλακα, θαη

θαη

.

Αλ x είλαη ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Υ από ην Ο θαη y ε απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Τ από ην Ο, ηόηε Άξα, ν δεηγκαηηθόο ρώξνο είλαη όια εθείλα ηα ζεκεία ηνπ Καξηεζηαλνύ επηπέδνπ γηα ηα νπνία Πξόθεηηαη δειαδή, γηα ηελ παξαθάησ ηξηγσληθή πεξηνρή. y y=x α

0

α

x

Η επλντθή πεξηνρή θαζνξίδεηαη από ηελ ηξηπιή ηξηγσληθή αληζόηεηα, ε νπνία πιένλ (κε ρξήζε ησλ κεηαβιεηώλ x, y) παίξλεη ηελ αθόινπζε κνξθή: θαη θαη ή ηζνδύλακα,

θαη

θαη

Σν ηειεπηαίν ζύζηεκα αληζνηήησλ νξίδεη ηελ αθόινπζε ηξηγσληθή πεξηνρή

y y=x+α/2 y=x α

α/2

0

y=α/2

x=α/2

α

x

πνπ είλαη ην ¼ ηνπ δεηγκαηηθνύ ρώξνπ. Άξα, ε πηζαλόηεηα ηα ηξία επζύγξακκα ηκήκαηα λα απνηεινύλ πιεπξέο ηξηγώλνπ είλαη 25%.

Δθαξκνγή 4: Σο πρόβλεμα ηες ζσνάνηεζες Γύν θίιεο ε Μαξία θαη ε Διέλε θαηέβεθαλ γηα ςώληα ζην θέληξν ηεο πόιεο. Σπκθώλεζαλ λα ρσξίζνπλ γηα ιίγν θαη λα μαλαζπλαληεζνύλ ην κεζεκέξη κπξνζηά ζην Γεκαξρείν θάπνηα ζηηγκή κεηαμύ 12:00 θαη 13:00. Σπγθεθξηκέλα, ζπκθώλεζαλ όπνηα θηάζεη πξώηε λα πεξηκέλεη 15 ιεπηά ηελ άιιε. Σε πεξίπησζε όκσο πνπ δελ έξζεη ζε 15 ιεπηά, λα θύγεη θαη λα ζπλερίζεη ηα ςώληα. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα νη δύν θίιεο λα ζπλαληεζνύλ θάπνηα ζηηγκή κεηαμύ 12:00 θαη 13:00; Λύζε Αλ ε Μαξία θηάζεη ζην Γεκαξρείν x ιεπηά κεηά ηηο 12:00 θαη ε Διέλε y ιεπηά κεηά ηηο 12:00, ηόηε ην δήηεκα πνπ καο απαζρνιεί κπνξεί λα αλαπαξαζηαζεί ζε έλα Καξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ σο εμήο:

Διέλε (y) 60 (40,30)

0

60

Μαξία (x)

Σν ζεκείν π.ρ. (40,30) δειώλεη όηη ε Μαξία έθηαζε ζην Γεκαξρείν ζηηο 12:40, ελώ ε Διέλε ζηηο 12:30. Σν ηεηξάγσλν απηό είλαη ν δεηγκαηηθόο ρώξνο ηνπ πξνβιήκαηνο, ν νπνίνο έρεη εκβαδόλ 60 60 3600 κνλάδεο. Μέλεη ηώξα λα πξνζδηνξηζηεί ε επλντθή πεξηνρή ηνπ πξνβιήκαηνο. Η επλντθή πεξηνρή ζα πξνζδηνξηζηεί από ηελ πεξίνδν ησλ 15 ιεπηώλ αλακνλήο. Απνηειείηαη από δύν επηκέξνπο πεξηνρέο: α) απηή πνπ αληηπξνζσπεύεη ηελ πεξίπησζε πνπ ε Μαξία θηάλεη πξώηε θαη β) εθείλε πνπ αληηπξνζσπεύεη ηελ πεξίπησζε πνπ Διέλε θηάλεη πξώηε. Καη νη δύν απηέο πεξηνρέο θείληαη εθαηέξσζελ ηεο επζείαο y x , ηα ζεκεία ηεο νπνίαο αληηπξνζσπεύνπλ ηελ πεξίπησζε πνπ νη δύν θίιεο θηάλνπλ ζην Γεκαξρείν ηαπηόρξνλα. Αλ ε Μαξία(x) θηάζεη πξώηε, ηόηε ζα ζπλαληεζεί κε ηελ Διέλε(y), εάλ y x 15 . Αλ ε Διέλε(y) θηάζεη πξώηε, ηόηε ζα ζπλαληεζεί κε ηε Μαξία(x), εάλ x y 15 . ΢πλεπώο, ε επλντθή πεξηνρή είλαη ε γξακκνζθηαζκέλε πεξηνρή ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο

y y-x=15 60

0

y=x x-y=15

60

x

ηνπ εκβαδόλ ηεο νπνίαο είλαη ίζν κε απηό ηνπ ηεηξαγώλνπ κείνλ ηα δύν γσληαθά ηξίγσλα, δειαδή κνλάδεο. Άξα, δεηνύκελε πηζαλόηεηα. Η πηζαλόηεηα νη δύν θίιεο λα ζπλαληεζνύλ ζην Γεκαξρείν θάπνηα ζηηγκή κεηαμύ 12:00 θαη 13:00, εάλ ε κία πεξηκέλεη ηελ άιιε 15 ιεπηά, είλαη πεξίπνπ 44%.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. A. N. Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, Chelsea, 1956 2. H. Solomon, Geometric Probability, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, No. 28 3. Υ. Α. Υαξαιακπίδε, Θεσξία Πηζαλνηήησλ θαη Δθαξκνγέο, Δθδόζεηο ΢πκκεηξία, Αζήλα 1990

Γεκήηξηνο Καιπθάθεο, Αηιαληίδνο 1, Σ.Κ. 71305, Ηξάθιεην Κξήηεο