ESTADISTICA II by Paola Mendoza

L e e e

o n

r i

~ !

4.1 Prueba de hipótesis A La Prueba de Hipótesis, se le llama también ensayo de hipótesis o docimasia de hipótesis, que son procedimientos que se usan para determinar si es razonable o correcto, aceptar el estadístico obtenido de la muestra. Como resultado de una prueba de hipótesis, se acepta o se rechaza lo planteado como Hipótesis Nula (Ha); si se acepta, convenimos en que el error de muestreo (azar) por si solo puede dar lugar al valor al estadístico que origina la diferencia entre este y el parámetro; si se rechaza, convenimos que la diferencia es tan grande, que no es fruto del error de muestreo (el azar) y se concluye que el estadístico de la muestra no proviene de una población que tenga el parámetro estudiado. Es importante recordar que las hipótesis son siempre enunciados relativos a la población o distribución bajo estudio, que a menudo involucran una o más características de la distribución, no son enunciados en torno a la muestra. El valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis suele determinarse de una de tres maneras:

11451

ESTADíSTICA

1 ° Puede resultar de la experiencia o conocimientos pasados del proceso, o incluso de experimentación previa. El objetivo entonces de la prueba de hipótesis suele ser entonces determinar si la situación experimental ha cambiado. 2° Este valor puede determinarse a partir de alguna teoría o modelo con respecto al objeto que se estudia. Aquí el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo. 3° Surge cuando el valor del parámetro de la población es resultado de consideraciones experimentales, tales como especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones contractuales. En esta situación, el objetivo de la prueba de hipótesis es la prueba de conform idad.

4.1.1 Formulación de las hipótesis En la práctica es necesaria la formulación de dos hipótesis estadísticas, una afirmativa sobre una característica determinada, llamada Hipótesis Nula y la otra complementaria llamada Hipótesis Alternativa.

4.1.1.1 Hipótesis nula (Ho) Es un planteamiento que se formula respecto a una característica poblacional y que se desea probar si es verdadera o es falsa, respecto a una población determinada; por lo tanto en adelante esta hipótesis será aceptada o rechazada y siempre se formula por "igual a", aunque algunos investigadores prefieren: "igual a", "mayor igual a" y "menor igual a", dependiendo de la hipótesis Alternativa que es el complemento. En la práctica existe la intención de rechazar esta hipótesis

4.1.1.2 Hipótesis alternativa (H1) Expresa lo que realmente se cree que es lo factible porque se constituye como la hipótesis de investigación a contrastar (probar). Es un planteamiento complementario a la Hipótesis Nula, porque toda prueba estadística solo acepta dos hipótesis y se formula con el objeto de determinar el tipo de ensayo o prueba.

4.1.2 Tipos de ensayos o pruebas En la investigación estadística, la prueba a realizar, puede estar orientada a cualquiera de los extremos de la distribución muestral de datos o a ambos; por esta razón existen tres tipos de ensayos estadísticos, que son:

4.1.2.1 Ensayo bilateral Una prueba estadística es bilateral si se realiza a dos colas, es decir, que el resultado de la muestra puede ir al extremo de la derecha o al extremo de la izquierda, que son las regiones de rechazo y se encuentran medidas por el nivel de significación (a), en este tipo de ensayo la Hipótesis Nula se formula por igual y la Hipótesis Alternativa se formula por no igual.

111461

W AL TER

e É s P E D E S RA M í R E Z

Por ejemplo:

640

4.1.2.2 Ensayo unilateral derecha Una prueba estadística es unilateral derecha cuando el ensayo está orientado hacia la derecha; es decir, que el resultado de la muestra va hacia la cola de la derecha. En este tipo de ensayo la Hipótesis Alternativa se formula por mayor y como es complementaria a la Hipótesis Nula, esta última debe formularse en términos literales por menor igual; sin embargo es suficiente con plantear la Hipótesis nula por igual ya que si se acepta, se dice que el estadístico si es igual pero no se dirá que el estadístico es menor igual. En caso de que la hipótesis nula sea rechazada, en lugar de decir que el estadístico no es igual, se dirá que el estadístico es mayor. Por ejemplo:

IJ = 640

IJ > 640

4.1.2.3 Ensayo unilateral izquierda Una prueba estadística es unilateral izquierda cuando el resultado de la muestra va hacia la cola de la izquierda. En este tipo de ensayo la Hipótesis Alternativa se formula por menor y como es complementaria a la Hipótesis Nula, esta última debe formularse en términos literales por mayor igual; sin embargo, es suficiente con plantear la Hipótesis nula por igual. En caso de que la hipótesis nula sea rechazada, en lugar de decir que el estadístico no es igual, se dice que el estadístico es menor. Por ejemplo:

11471

IJ = 640

IJ < 640

ESTADíSTICA

4.1.3 Tipos de errores Al tomar una decisión ya sea de aceptación o de rechazo, es posible cometer algún tipo de error, en estadística los tipos de errores de decisión son los siguientes:

4.1.3.1 Error de Tipo I Es un error que se comete cuando el investigador rechaza la Hipótesis Nula, siendo esta verdadera en la población; en este caso, se llega a la conclusión de que hay una diferencia que no existe, entre el estadístico a probar y el parámetro respectivo. Este error conocido como "Error Tipo Alfa" por que es alfa la probabilidad de que se cometa este tipo de error. Por ejemplo, si a es igual a 0,05; entonces existe una probabilidad del 5% de cometer error de tipo 1.

4.1.3.2 Error de Tipo 11 Es un error que se comete cuando el investigador acepta la Hipótesis Nula, siendo esta falsa en la población; en este caso, se llega a la conclusión de que no hay una diferencia que si existe, entre el estadístico a probar y el parámetro respectivo. Este error conocido como "Error Tipo Beta" por que es beta la probabilidad de que se cometa este tipo de error. Por ejemplo, si 13 es igual a 0,05; entonces existe una probabilidad del 5% de cometer error de tipo n. Decisión

Verdadera

Falsa

ACEPTAR

decisión correcta

error de tipo 11

RECHAZAR

error de tipo 1

decisión correcta

Distribución muestral

Distribución poblacional

Al realizar el contraste de la prueba de hipótesis, se nota que si la línea perpendicular se mueve hacia un lado alfa aumenta y beta disminuye o viceversa.

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L e e e

o n

4.2 Procedimiento para una prueba de hipótesis Este procedimiento incluye los siguientes pasos: 1° Formulación de las hipótesis. 2° Determinar el tipo de ensayo. 3° Asumir la significación de la prueba. 4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente. 5° Diseñar el esquema de la prueba. 6° Calcular el estadístico. 7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba. En la unidad anterior, se ha visto que existen diferentes tipos de distribuciones muestrales dependiendo del estadístico que se ha extraído de cada una de las muestras. A continuación se tomarán decisiones sobre cada uno de estos tipos de distribuciones, tales como: Media, Proporciones, Diferencias, Varianzas, etc.

11491

ESTADfsTICA

4.2.1 Prueba de hipótesis para la media Consiste en realizar la prueba bajo el procedimiento arriba indicado para analizar el estadístico Media Aritmética. Para determinar los puntos críticos según el nivel de significación "a"; primero se tiene que conocer si la desviación estándar es poblacional para darle dará tratamiento conforme al modelo de Probabilidad Normal (Z), en caso de que la desviación estándar es muestral y si el tamaño es 30 o más, también se le dará tratamiento conforme al modelo de Probabilidad Normal (Z), en caso contrario, se le dará tratamiento conforme a al modelo de probabilidad T-Studen (t). Valores críticos de Z Nivel de Sig.(a)

0,10

0,05

0,02

0,01

Z para una cola

1,28

1,645

2,05

2,33

Z para dos colas

1,645

1,96

2,33

2,58

Los valores críticos de t-student, Manual Auto Instructivo.

el alumno los puede encontrar en tabla anexa al

Las fórmulas estadísticas que se dan a continuación, pueden ser utilizadas en la prueba de hipótesis para la media, corresponden al modelo "Z" o al modelo "t", dependiendo del tamaño de la muestra: Uso de "z"

Error de la Media con reemplazo

Z = X-Ji G'-x Uso de "t"

X-Ji

G'-x

a[~:

=..¡;;

a: = ..¡;;

G'-x

Error de la Media con reemplazo

G'-=x

Error de la Media sin reemplazo

..¡;;

N -1

s[~]

=..¡;;

N -1

En los casos con muestras grandes (n ~ 30), si no se conoce la Desviación Estándar Poblacional (a), se puede estimar la varianza de la muestra y después sacarle la raíz cuadrada a la siguiente fórmula:

¿ (Xi-X)2 (n -1)

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WAL TER

CÉS PE D ES RAM fREZ

Ejercicios resueltos 1) Una marca de azúcar es embolsada en bolsas de papel con una capacidad de Skg c/u y desviación típica de 3 kg; se toma una muestra de 100 bolsas para verificar el peso correcto y se determina que el promedio muestral difiere significativamente d.e 5 kg: además se considera que el proceso de empaque está funcionando en forma inadecuada. Si la muestra dio un promedio de 4.5 kg; se desea determinar si el proceso de empaque está funcionando adecuadamente a una significación del 5%. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha O = 5 kg

0**

5 kg

2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será bilateral 3° Asumir la significación de la prueba: : por lo tanto su punto crítico es Z = ±1,96 (sabiendo que n = 100)

a = 0,05

4° Definir el estadístico de la clistribución muestral correspondiente: Z =

X-fl (J'x

5° Diseñar el esquema de la prueba:

-1,96

1,96

6° Calcular el estadístico: _

os= Mo

= O3

Z = (4,5 - 5) / 0,3

- 1,67

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: Z = - 1,67, es mayor que el punto crítico de la izquierda (Z = - 1,96), por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, no es verdad que el funcionamiento de empaque sea inadecuado.

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ESTADíSTICA

2) De una muestra de tamaño 25 extraída de una población de 5000 productos vendido por un supermercado, se encontró un promedio de 478 gr. Si se afirma que el producto pesa en promedio 500 gr, con una desviación estándar muestral de 30,84 gr, probar la hipótesis al 99% de confianza de que el promedio es menor. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha O = 500 gr

o =F< 500 gr 2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda 3° Asumir la significación de la prueba: a = 0,01 : por lo tanto su punto crítico es t = - 2,492 (sabiendo que n < 30) V = 25 - 1 = 24 grados de libertad

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:

X-f-L

(J"x =

~] Fns [~N-1

(J"x 5° Diseñar el esquema de la prueba:

- 2,492 6° Calcular el estadístico:

_ = 30,84[ 5000-25]

= 6,153

= (478 - 500) / 6,153 = - 3,58

5000-1

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: "t" = - 3,58, es menor que el punto crítico de la izquierda (t = - 2,492), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); es decir, es verdad que el promedio es menor de 500 gr.

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WAL TER

CÉSPED

ES RAM íREZ

3) El ingreso promedio familiar de un pueblo joven es de 865 soles al mes con una varianza 1482,25 soles. Al seleccionar una muestra de 45 familias, el promedio muestral fue de 875 soles; probar al 5% de significación, que el ingreso promedio familiar es mayor. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha O = 865

o > *865 2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: a = 0,05 : por lo tanto su punto crítico es Z = 1,645 (sabiendo que n > 30) 4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: X-j.l Z

(J"-X S° Diseñar el esquema de la prueba:

,Lk 1,645

6° Calcular el estadístico: (J -x = ~1482,25 /.J45 = 5,739 Z = (875 - 865) / 5,739

1,74

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: Z = 1,74, es mayor que el punto crítico de la izquierda (Z = 1,645), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); es decir, que el promedio familiar del pueblo joven es mayor a 865 soles. 4) Generalmente en una prueba evaluativa a los escolares de una región, el promedio es de 65 puntos de un total de 100 puntos. Al seleccionar una muestra de 22 estudiantes de

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ESTADíSTICA"

dicha región, se detectó un promedio de 58 puntos y una desviación estándar muestral de 36 puntos; probar al 90% de confianza, que el promedio de la región es menor. Solución: 10 Formulación de las Hipótesis: Ho O = 65

o < *65 20 Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda 30 Asumir la significación de la prueba: (J. = 0,10 : por lo tanto su punto crítico es t = - 1,323 (sabiendo que n < 30) V = 22 - 1 = 21 grados de libertad

40 Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: t

X-f.1

(J"x =

(J"x

¡;;

50 Diseñar el esquema de la prueba:

- 1,323 60 Calcular el estadístico: cr;¡=36/m

= 7,675

Z = (58 - 65) / 7,675

= - 0,91

70 Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: "t" = - 0,91, es mayor que el punto crítico de la izquierda (t = - 1,323), por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ho); es decir, que el promedio de evaluación de la región es 65 puntos.

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WAL TER

CÉSPED

ES RAM íREZ

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis para la Media. 1) El promedio de ventas de una gran tienda es de 65000 soles diarios. Al seleccionar una muestra de 22 días, se detectó un promedio de 64000 y una desviación estándar muestral de 3600 soles; probar al 95% de confianza, que el promedio es menor. Resp: t - 1,30; se acepta Ho. 2) Se afirma que la talla promedio estudiantil en el Perú es 155 centímetros con desviación estándar de 32 centímetros por talla. Al seleccionar una muestra de 45 estudiantes, la media muestral fue de 168 centímetros; probar al 2% de significación, que la talla es mayor. Resp: Z = 2,73; se rechaza Ho. 3) De la empresa Alimentos S.A., se extrae una muestra de 49 de 5000 y se encontró un consumo promedio de 498 soles. Si se afirma que el consumo promedio es de 505 soles con una desviación estándar de 30,80 soles, probar la hipótesis al 99% de confianza de que el consumo promedio difiere de 505 soles. Resp: Z =- 1.60; se acepta Ho. 4) El promedio de ventas de una distribuidora es 12500 diarios, con desviación estándar de 1250 soles, si se toma una muestra de 115 ventas extraídas de una población de 80000 y se encontró un promedio de ventas de 12343. Probar la hipótesis al 90% de confianza que el promedio de ventas es menor. Resp: Z = - 1,35; se rechaza Ho. 5) Si una muestra de 19 productos elegidos al azar de una fábrica dio un promedio de 67,45kg y una desviación estándar de 5,68 kg. Probar la hipótesis al 95% de confianza de que la media poblacional difiere de la media muestral ya que la fábrica asegura que sus productos pesan en promedio 70 kg. Resp: t = - 1,96; se acepta Ho 6) Suponga que los 5500 estudiantes de una universidad están normalmente distribuidos con una media de 1,70 metros. Si se toma una muestra de 24 estudiantes y el promedio de talla fue 1,62 metros y la desviación estándar fue 0,32 metros, ése puede afirmar al 99% de confianza que la talla es inferior? Resp: t = - 1,23; se acepta Ho. 7) De una muestra de tamaño 49 extraída de una población de 250 estudiantes se observó que el peso promedio de la muestra fue de 54,5 kg. Se sabe que la media poblacional es de 56 kg con una desviación estándar es de 5 kg. Se puede afirmar al 90% de confianza que el peso promedio muestral difiere del peso poblacional? Resp: Z = - 2,34; se rechaza Ho. é

8) Una muestra de 16 maestros extraída de una población de 2500, se detectó un sueldo promedio de 985 soles y una desviación estándar de 45 soles. Si se afirma que los

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ESTADíSTICA

maestros ganan en promedio 1000 soles, ¿al 95% de confianza se arriesga usted a decir que la paga promedio es inferior? Resp: t = -1,34; (No es inferior) 9) La edad promedio de 50 profesores es 50 años. Se conoce que la edad media poblacional es de 45 años con una desviación estándar de 19,5 años. Determine al 98% de confianza si la edad promedio muestral es mayor que la poblacional. Resp: Z = 1,81; se rechaza Ho. 10) Una muestra de 30 libros contables hecha por un analista en Lima, encontró un promedio muestral de activos de 38000 soles. Si se sabe que el promedio es de 36500 con una desviación estándar de 7500 soles. Determine al 90% de confianza si el valor promedio de los activos de la muestra es mayor al valor poblacional. Resp: Z = 1,10; se acepta Ho. 4.2.2.- Prueba de Hipótesis para las Proporciones: Cuando se utiliza el estadístico relacionado con las proporciones, se dice que el ensayo es una prueba de hipótesis para proporciones; además, dicha prueba puede ser empleada por el modelo "t" o por el modelo "Z", dependiendo del tamaño de la muestra. Los puntos críticos que se utilizan en este tipo de ensayo, son los mismos que los de la Media dependiendo del nivel de significación "a" Las fórmulas estadísticas que se dan a continuación, pueden ser utilizadas en la prueba de hipótesis para las proporciones, corresponden al modelo "Z" o al modelo "t", dependiendo del tamaño de la muestra:

Z =

p-p

Donde: el error de las proporciones ( () p ), es: con reemplazo

(J ~ ~P q p

sin reemplazo

=~[~l ~7~(N=I)

11561

WAL TER

CÉSP E D ES RAM fREZ

Ejercicios resueltos 1) Un laboratorio afirma que sus productos tienen 90% de efectividad para curar una enfermedad, se tomó una muestra de 200 pacientes y solo se aliviaron 160. Determinar que la afirmación no sea cierta: es decir que la medicina cura menos del 90% a una significación de 5%. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha p = 0.90 p < 0.90 2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda 3° Asumir la significación de la prueba: a = 0,05 : por lo tanto su punto crítico es Z = - 1,645 (sabiendo que n = 200) 4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: Z

p-p

=~pq

(J"

LJp

5° Diseñar el esquema de la prueba:

- 1,645

6° Calcular el estadístico:

160 / 200

(J p = .jO,9xO,l/

0.80

200

Z = (0,8 - 0,9) / 0,012

= 0,0212

- 4,72

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: Z = - 4,72, es menor que el punto crítico de la izquierda (Z = - 1,645), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); es decir, no es verdad que la medicina es efectiva para curar el 90% de casos.

11571

ESTADíSTICA

2) En una encuesta a una comunidad de 80 familias, el 42% señaló que la necesidad más urgente para dicha comunidad son los servicios de agua. Si se afirma que 70% de las familias ya cuentan con el servicio de agua. Al 90% de confianza determinar hay diferencia en la carencia del servicio de agua en la proporción muestral y la proporción verdadera que necesita el servicio de agua. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha p = 0.30

P =1= 0.30 2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será bilateral 3° Asumir la significación de la prueba: a = 0,10 : por lo tanto su punto crítico es Z = ± 1,645 (sabiendo que n = 80) 4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: Z

= p-p

=~pq

(J"

l..J'p

S° Diseñar el esquema de la prueba:

- 1,645

1,645

6° Calcular el estadístico:

cr = -JO,3xO,7 / 80 = 0,051234753 p

Z = (0,42 - 0,3) / 0,051234753

2,34

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: .Z = 2,34, es mayor que el punto crítico de la derecha (Z = 1,645), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ho); es decir, si hay diferencia por lo que se puede afirmar que una proporción mayor al 30% necesita de los servicios de agua.

11581

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---

--~ -

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-~-~

------

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WAL TER

CÉSPEDES

RAMíREZ

3) El 4% de las partes de fabricadas por una compañía son defectuosas. En una muestra aleatoria de 25 partes, 2 estaban defectuosas, probar la hipótesis a un nivel de significación del 2,5% de que la producción de partes defectuosas es mayor al 4%. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha p = 0,04

p> 0,04 2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: a = 0,025 : por lo tanto su punto crítico es t = 2,064 (sabiendo que n = 25)

v = 25 - 1 = 24 grados de libertad 4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: t =

P-P

=~pq

(J"

5° Diseñar el esquema de la prueba:

~~ 2,064 6° Calcular el estadístico:

p = 2 / 25 = 0,08 ()

= -jO,04xO,96 /25 = 0,039191835

t = (0,08 - 0,04) / 0,039191835

1,02

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: t = 1,02, es menor que el punto crítico de la derecha (t = 2,064), por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, que no se puede afirmar de que la producción de partes defectuosa sea mayor del 4%.

11591

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ESTADíSTICA

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis para las Proporciones. 1) Al examinar una muestra de 220 estudiantes universitarios, se encontró que el 18% tenía dificultad en el aprendizaje. Si se afirma que el 15% de la población tienen esa dificultad. Al 10% de significación determinar si hay diferencia sobre lo afirmado con el aprendizaje. Resp: Z = 1,25 se acepta la Ha' no hay diferencia. 2) Si en una muestra de 300 repuestos de un embarque de 4000 repuestos, se encontró que el 7% es defectuoso. Si se sabe que la producción defectuosa alcanza 4,5%, éhav razón suficiente para afirmar que la proporción poblacional defectuosa ha aumentado al 5% se significación? Resp: Z = 2,17 se rechaza la Ha' si ha aumentado.

3) En una muestra de 120 mujeres, se encontró que el 22% habían tenido su primer bebé antes de los 17 años de edad. Si se sabe que la proporción de mujeres con bebe antes de cumplir 17 años de edad es del 26%, zhav razón suficiente para afirmar que la proporción poblacional de mujeres con bebé ha disminuido al 1% de significación? Resp: Z = - 1,00 se acepta la Ha' no ha disminuido. 4) Si en una muestra de 28 personas próximo a jubilarse de un total de 3000, se encontró que el 27% deseaba realizar su propio trámite de jubilación. Si el Estado pone el personal suficiente para cubrir el trámite del 70% de personas que van a jubilarse, é.aun nivel del 95% es correcta la decisión del Estado al considerar que el 30% realiza su propio trámite? Resp: t = - 0,35 se acepta la Ha' si es correcta. 5) Al seleccionar una muestra de 125 estudiantes universitarios, se encontró que el 88% estaba conforme con la metodología de enseñanza. Si la escuela dice que el 95% de los estudiantes están conformes con la metodología de enseñanza, al 98% probar la hipótesis de que ha disminuido la proporción de alumnos conformes con la metodología de enseñanza. Resp: Z = - 3,59 se rechaza la Ha' si ha disminuido. 6) Si en una muestra de 22 trabajadores de una empresa de 450 trabajadores, se encontró que el 40% no estaban conforme con su sueldo. Si la empresa dice que el 35% de los trabajadores no están conformes con su sueldo, al 90% probar la hipótesis de que ha aumentado la proporción de disconformidad respecto al sueldo. Resp: t = 0,50 se acepta la Ha' no ha aumentado. 7) Al investigar una muestra de 235 escolares, se encontró que el 15% tenía deseos de estudiar Administración. Si se afirma que el 20% de los escolares quieren ser administradores, probar la hipótesis de que la proporción ha disminuido con una significación de 0,01. Resp: Z = - 1,92 se acepta la Ha' no ha disminuido. 11601

WALTER

CÉSPEDES

RAMfREZ

8) Si en una muestra de 358 personas pertenecientes a la población económicamente activa de un total de 40000, se encontró que el 21% estaba desempleado. Si según informes oficiales se sabe que solo el 18% está desempleado, probar la hipótesis de que la proporción ha aumentado con una significación de 0,1. Resp: Z = 1,48 se rechaza la Ha' si ha aumentado.

9) Al examinar una muestra de 270 pequeñas empresas de Lima, se encontró que el 36%, no tributa a la Sunat por carecer de utilidades: Si según informes oficiales de la Sunat se sabe que solo el 32% no tributa, probar la hipótesis de que la proporción ha aumentado con una significación de 0,02. Resp: Z = 1,41 se acepta la Ha' no ha aumentado. 10) Si en una muestra a 26 jóvenes de una localidad, se encontró que el 41% está de acuerdo con la actual política económica. Si el Gobierno afirma que el 45% esta conforme, probar la hipótesis de que la proporción ha disminuido con una significación de 0,01. Resp: t = - 0,41 se acepta la Ha' no ha disminuido.

4.2.3 Prueba de hipótesis para las diferencias Son pruebas o ensayos donde intervienen: la Diferencia de Medias y la Diferencia de Proporciones y las fórmulas estadísticas que se dan a continuación, pueden ser utilizadas también para "Z" para "t", dependiendo del tamaño de la muestra; igualmente, los puntos críticos serán los mismos según el nivel de significación "a". ó

Las fórmulas estadísticas que se dan a continuación, pueden ser utilizadas en la prueba de hipótesis para la Diferencia, corresponden al modelo "Z" al modelo "t", dependiendo del tamaño de la muestra: ó

Diferencia de Media

XA-XB

Diferencia de Proporciones

t=XA-XB

O"XA -O"XB

- P

A B Z = _---"--___=__ (J PA-(J

Error de Diferencia de Medias y de Proporciones Diferencia de Media

Diferencia de Proporciones

PAqA

PBqB

.1---+---

ESTADíSTICA

Ejercicios resueltos 1) En un estudio de mercado sobre el gasto diario que realizan las amas de casa se realizo encuestas y se obtuvo los siguientes datos. Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 5% para verificar si el gasto de Breña es mayor al de San Juan. MUESTRA

PROMEDIO

DESVIACIÓN

Breña

129

SI. 17,93

SI. 7,65

San Juan

111

SI. 14,19

SI. 8,00

DISTRITOS

Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha XBreña = Xsan Juan; no hay diferencia en el gasto XBreña>

Xsan Juan;

Breña gasta más que San Juan

2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: ex = 0,05 : por lo tanto su punto crítico es Z = 1,645 (sabiendo que n > 30) 4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: ,.,..2 (J2 v A B --+--

»»

5° Diseñar el esquema de la prueba:

1,645

6° Calcular el estadístico:

0,36 (0,64) + 0,42 (0,58) 225 230

11621

= 1,015

Z =

0,42 - 0.36 = 3,68 0,045641323

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: Z = 3,68, es mayor que el punto crítico de la derecha (Z = 1,645), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (He); es decir, es verdad los gastos de Breña son mayores a los de San Juan. 2) Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 2% para verificar si la academia Beta es mejor que la Academia Alfa con el test evaluativo que se realizó para determinar el nivel de preparación en ambas academias:

Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: He XBETA = XALFA; no hay diferencia en el aprendizaje XBETA> XALFA; Beta es mejor que Alfa. 2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: a = 0,02 : por lo tanto su punto crítico es Z = 2,05 (sabiendo que n > 30)

¡ ~'

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: Z=

5° Diseñar el esquema de la prueba:

2,05

6° Calcular el estadístico:

0,36 (0,64) + 0,42 (0,58) 225 230

= 0,045641323

11631

Z -

0,42-0.36 0,045641323

= 1,31

ESTADíSTICA

70 Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: Z = 1,31, es menor que el punto crítico de la derecha (Z = 2,05), por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, Beta no es mejor que Alfa al 98% de confianza. 3) En un estudio sobre las remuneraciones que se pagan en las regiones, se realizo una encuesta y se obtuvo los siguientes datos: DESVIACIÓN

MEDIO SI. 1198

SI. 270

SI. 1306

SI. 480

Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 5% para verificar si el sueldo promedio de Arequipa es menor que el de Trujillo. Solución: 10 Formulación de las Hipótesis: Ha XAreqUiPa = XTrUjiIlO; no hay diferencia en el sueldo XAreqUiPa

< XTrujillO;

El sueldo de Arequipa es menor

20 Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda 30 Asumir la significación de la prueba: a = 0,05 : por lo tanto su punto crítico es Z = - 1,645 (sabiendo que n > 30) 40 Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: Z=

0'2

--+--

50 Diseñar el esquema de la prueba:

- 1,645 60 Calcular el estadístico:

Z = 1198-1306_ 34,831

11641

- 3,10

WAL TER

CtSPED

ES RAM íREZ

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: Z = - 3,10, es menor que el punto crítico de la derecha (Z = - 1,645), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); es decir, el sueldo de Arequipa es menor. 4) Para conocer el nivel de consumo de un determinado combustible por el parque automotor de 2 ciudades, se realizó un muestreo y se encontró el siguiente resultado:

CILJI),AD Santa María Bellavista Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 2% para verificar existe diferencia entre las dos ciudades. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha Xsanta María = XBellavista; Xsanta

María

XBellavista;

no hay diferencia en el consumo si hay diferencia en el consumo.

2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será bilateral 3° Asumir la significación de la prueba: a = 0,02 : por lo tanto su punto crítico es t = ± 2,423 (sabiendo que n < 30) V = [ (22 - 1) + (20 - 1) ] = 40 grados de libertad

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: t=

P A - PB

5° Diseñar el esquema de la prueba:

- 2,423

2,423

11651

ESTADíSTICA"

6° Calcular el estadístico: _

cr P A cr P B

0,44 (0,56) + 0,48 (0,52) = 0,153883 22 20

t = 0,44-0.48 0,153883

= - 0,26

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: t = - 0,26, es mayor que el punto crítico de la izquierda (t = - 2,423), por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, no hay diferencia en los consumos. Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis para la Diferencia: 1) Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 5% para verificar la diferencia de sueldos que existe en los dos poblados. Empresa Salina Alta Salina Baja

Promedio

Varianza

Tamaño

1008

821

996

935

Resp: Z = 1,77 se acepta Ha' no hay diferencia. 2) Al 90% de confianza verificar si el costo promedio de producción unitaria del primer turno es menor que el del segundo. Turno de producción

Promedio

Varianza

Tamaño

Primer turno

230

125

Segundo turno

242

215

Resp: t = - 2,62 se rechaza Ha' el costo si es menor. 3)

Realizar la prueba de hipótesis a una significación del 2% para verificar entre dos muestras, la diferencia de promedios de ingresos de personas con deseo de estudiar fuera del país. Muestra

Promedio

Varianza

Tamaño

Primera

1820

621

Segunda

1809

735

Resp: Z = 1,82 se acepta Ha' no hay diferencia. 4) Dos compañías comercializan sus productos en un mismo mercado, si de cada compañía se toma una muestra de 20 artículos y se observa que cubren el 48% y el 65% del mercado; probar al 99% de confianza para determinar si hay diferencia de ventas en el mismo mercado. Resp: t = 1,10 se acepta Ha' no hay diferencia.

11661

WAL TER

CÉS PE DES

RAM íREZ

5) Al obtener una muestra de 45 personas la población económicamente activa de la ciudad Luz y 35 personas de la ciudad Buenaventura, el 16% y el 25% respectivamente están desempleados; probar al 5% de significación de que la proporción de desempleados de la ciudad Luz es menor a la proporción de la ciudad Buenaventura. Resp: Z = 0,99 se acepta Ho, no es menor.

4.2.4 Prueba de hipótesis para las varianzas Son pruebas o ensayos donde intervienen las varianzas. Este estadístico es ampliamente utilizado en la Inferencia Estadística y como tiene múltiples aplicaciones, se verá más adelante con el nombre Análisis de la Varianza.

4.2.5 Prueba de hipótesis para variables cualitativas Es un tipo de ensayo considerado como una prueba no paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución observada y otra teórica (bondad de ajuste), indicando en qué medida existe diferencia entre ambas. El contraste de hipótesis o prueba de hipótesis determinará si existe o no existe diferencia entre ambos tipos de valores, uno real y otro totalmente al azar. También se utiliza para probar la independencia de dos variables entre sí, mediante la presentación de los datos en tablas de contingencia. Este ensayo utiliza el modelo de probabilidad Ji-Cuadrado y cuanto mayor sea el valor de X2, menos verosímil es que la hipótesis sea correcta; de la misma forma, cuanto más se aproxima a cero el valor de ji-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones. Los grados de libertad (V) vienen dados por: 10 Si los datos están en una sola fila:

= n -1

20 Si los datos están contenidos en tablas de contingencias o tablas de doble entradas: V = (n -1) (k -1). Donde "n" es el número de filas y "k" el de columnas. La fórmula que se utiliza en este tipo de ensayos es la siguiente:

¿ (o - e)2 e

Donde: O = Valor observado o valor real e = Valor esperado (al azar) o valor probable. Los valores críticos de li-Cuadrado, el alumno los puede encontrar en tabla anexa al Manual Auto Instructivo.

11671

ESTADíSTICA

Criterio de decisión para variables cualitativas: Si el valor calculado X2 es menor al punto crítico, se acepta la Hipótesis Nula Ha' en caso contrario se rechaza ya que este tipo de prueba solo utiliza un ensayo unilateral derecho. Ejercicios resueltos 1) Para conocer el equilibrio de confección de dos monedas, se realizo el experimento de lanzarlas 200 veces. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 97.5% de confianza de que ambas monedas son sesgadas (no equilibradas): Monedas

Total

Resultados

200

Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha Las dos monedas están equilibradas Las dos monedas no están equilibradas. 2° Determinar el tipo de ensayo: Este tipo de ensayo siempre es unilateral derecha (pese que la hipótesis alternativa se exprese por no igualo no equilibrada) 3° Asumir la significación de la prueba: Para <X= 0,025; el lado derecho de X2 es 1 - <x(1 - 0,025 = 0,975) X2a,975

= 9,35

(V = 4 - 1 = 3 grados de libertad)

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: X2 =

L (o _e)2 e

5° Diseñar el esquema de la prueba:

X 0,975

11681

= 9,35

WAL TER

CÉSP ED ES RAMfREZ

6° Calcular el estadístico: Valores Observados (o)

Valores Esperados (e)

Monedas

ee es se ss

Total

Monedas

ee es se ss Total

Resultados

200

Resultados

200

El cálculo del valor esperado es 0,5 x 05 x 200 = 50 (como se sabe la p(c) = 0,5) Valores X2 = ¿ (o - e)2 / e Monedas

Resultados

2,88

8,82

8,00

3,38

23,08

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: X2 = 23,08, es mayor que el punto crítico (X20,975 = .9,35), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ho); es decir, las monedas no están equilibradas. 2) Para conocer si el género (sexo) de una persona es un factor preponderante para que ésta fume, se realizó una encuesta a 150 personas. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 95% de confianza de que si es determinante: Hombre

Mujer

Total

No fuma

total

150

Si Fuma

Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ho El sexo no determina que una persona fume El sexo si determina que una persona fume. 2° Determinar el tipo de ensayo: Este tipo de ensayo siempre es unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: Para IX = 0,05; el lado derecho de X2 es 1 - IX (1 - 0,05 = 0,95) = 3,84 V = (n -1) (k -1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 (grado de libertad)

X20,95

11691

--------

---

".'

.....

ESTADíSTICA

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: X2 =

¿(o-e)2 e

5° Diseñar el esquema de la prueba:

6° Calcular el estadístico: Valores esperados (e)

Valores observados (o)

Hombre

Mujer

Total

Si fuma

No fuma

150

Total

150

Hombre

Mujer

Total

Si fuma

No fuma

Total

El valor esperado de cada celda se obtiene multiplicando el total de la fila por el total de la columna de la misma celda, luego se divide entre el total de datos. Ejemplo: para la primera celda 80 x 90 / 150 = 48, igualmente para las demás celdas. Valores X2 = L (o - e)? / e Hombre

Mujer

Si Fuma

0,083

0,095

0,178

No fuma

0,125

0,143

0,268

0,208

0,238

0,446

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: X2 = 0,446, es menor que el punto crítico (X20,95 = 3,84), por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ho); es decir, el sexo no determina que una persona fume.

11701

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

3) Para conocer si el turno de trabajo es un factor preponderante para que una persona llegue tarde a sus labores, se observó la asistencia a sus labores de 100 personas. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 99% de confianza de que si es determinante: 1° T.

2° T.

3° T.

Total

Con tardanza

Sin tardanza

total

100

Solución:

1° Formulación de las Hipótesis: El turno no determina que una persona llegue tarde

El turno si determina que una persona llegue tarde. 2° Determinar el tipo de ensayo: Este tipo de ensayo siempre es unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: Para a = 0,01; el lado derecho de X2 es 1 - a (1 - 0,01 = 0,99) X2a.99 = 9,21

V = (n -1) (k -1) = (2 - 1) (3 - 1) = 2 (grado de libertad)

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: X2 =

L (o _e)2 e

5° Diseñar el esquema de la prueba:

11711

ESTADíSTICA

6° Calcular el estadístico: Valores observados (o)

Valores esperados (e)

1° T.

2° T.

3° T.

Total

1° T.

2° T.

3° T. Total

Con tardo

Con Tard.

7,5

Sin tardo

22,S

total

100

Total

100

Valores X2 = L (o - e)2 / e 1° T.

2° T.

3° T.

Con tardanza

0,90

0,03

0,83

1,76

Sin tardanza

0,30

0,01

0,28

0,59

1,20

0,04

1,11

2,35

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: X2 = 2,35, es menor que el punto crítico (X2a,99 = 9,21), por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, el turno de trabajo no determina que una persona llegue tarde. 4) Para conocer si las respuestas de opinión tipo LIKERT fueron respondidas de una manera diferenciada, se realizó una encuesta a 300 alumnos. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 97.5% de confianza de que las respuestas son diferentes (Hay una opinión clara): OPINIÓN

Total

zCree Ud. que el método de enseñanza es eficiente?

100

300

Donde:

CF = Concuerda fuertemente DF = Discrepa fuertemente

C = Concuerda D = Discrepa.

NO = No opina

Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha No hay diferencia entre las respuestas Si hay diferencias por que existe una opinión clara. 2° Determinar el tipo de ensayo: Este tipo de ensayo siempre es unilateral derecha

~ 1721

~---

WAL TE R CÉSPEDES

RAMfREZ

3° Asumir la significación de la prueba: Para a = 0,025; el lado derecho de X2 es 1 - a (1 - 0,025 = 0,975) X20,975

11,1

(V = 5 - 1 = 4 grados de libertad),

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:

5° Diseñar el esquema de la prueba:

X~975

= 11,1

6° Calcular el estadístico: Valores Observados (o) OPINIÓN

Total

é.Cree Ud. que el método de

100

300

enseñanza es eficiente?

Valores Esperados (e) OPINIÓN

Total

z.Cree Ud. que el método de enseñanza es eficiente?

300

El cálculo del valor esperado es 1/ 5 x 300 = 60 (como se sabe la p(e) = 0,2) Valores X2 = ¿ (o - e)? / e OPINIÓN

é.Cree Ud. que el método de e. es eficiente?

1,67

26,67

8,07

13,07

49,48

11731

ESTADíSTICA

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: X2 = 49,48, es mayor que el punto crítico (X\975 = 11,1), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); es decir, existe una opinión clara respecto al método de enseñanza. 5) Para conocer si las respuestas de opinión tipo LIKERT de dos preguntas diferentes, son de la misma opinión, realizó una encuesta a 100 alumnos. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 90% de confianza de que la opinión de ambas preguntas, es diferente: OPINIÓN

Total

é.Cree Ud. que el método de enseñanza es eficiente?

100

OPINIÓN

Total

Cree Ud. que el joven obtiene mejores calificaciones?

100

Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha No hay diferencia entre las preguntas Si hay diferencia entre las preguntas. 2° Determinar el tipo de ensayo: Este tipo de ensayo siempre es unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: Para CL = 0,10; el lado derecho de X2 es 1 - CL (1 - 0,10 = 0,90) X\9a = 7,78 (V = 5 - 1 = 4 grados de libertad) 4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: X2 =

¿ (o - e)2 e

5° Diseñar el esquema de la prueba:

X;,975 = 11,1

11741

-------------------_

~._ .. _

WALTER

CÉSPEDES

RAMfREZ

60 Calcular el estadístico: En estos casos como el ensayo Ji-Cuadrado compara valores observados contra valores esperado, hay que decidir cuál de las preguntas es "o" (observada) y cual es "e" (esperada); entiéndase que la respuesta al contraste de hipótesis es en base a la pregunta considerada como esperada. La solución que se dará a continuación

será en base al método de enseñanza.

Valores observados (o) OPINIÓN

Total

é.Cree Ud. que el joven obtiene mejores calificaciones?

100

Valores esperados (e) OPINIÓN

Total

é.Cree Ud. que el método de

100

enseñanza es eficiente?

Valores X2 = L (o - e)2 / e OPINIÓN

Contraste mejores calif./ Método de enseñanza

2,13

5,76

0,69

14,08

6,72

29,38

70 Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: X2 = 29,38, es mayor que el punto crítico (X2090 = 7,78), por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza lá Hipótesis Nula (Ha); es decir, que los resultados de las calificaciones si son diferentes por ello no dependen de las calificaciones del joven. Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis para la Variable cualitativa: 1) Para conocer si el método de enseñanza es un factor preponderante para aprobar una asignatura, se observó las calificaciones de 100 alumnos. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 99% de confianza de que si es determinante: Método A

Método B Método C

Total

Aprobados

Desaprobados

total

100

Resp: X2 = 0,073; se acepta Ho, es decir que el método no determina

11751

la aprobación.

ESTADíSTICA

2) Para conocer si las respuestas de opinión tipo LIKERT de dos preguntas diferentes, son de la misma opinión, realizó una encuesta a 100 trabajadores. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 90% de confianza de que la opinión de ambas preguntas, es diferente (relación: trabajo/eficiencia): OPINIÓN

Total

Cree Ud. que su sueldo concuerda con su trabajo?

100

OPINIÓN

Total

é.Cree Ud. que su sueldo depende de su eficiencia?

100

Resp: X2 = 1,493; se acepta Ha' es decir que si hay relación entre el trabajo y la eficiencia. 3) Para conocer si un dado ha sido confeccionado en forma equilibrada, se realizó el experimento de lanzarlo 60 veces. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 97.5% de que el dado es sesgado (no equilibrado): Dado

Total

Resultados

Resp: X2 = 2,6; se acepta Ha; es decir, no hay diferencia el dado está equilibrado. 4) Para conocer si el género (sexo) de una persona es un factor preponderante para que acepte a determinado candidato político, se realizo una encuesta a 80 personas. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 95% de confianza de que si es determinante: Candidato

Hombre

Mujer

Total

Si acepta

No acepta

total

Resp: X2 = 0,223; se acepta Ha' es decir que el sexo no es determinante. 5) Para conocer si el método de enseñanza es un factor preponderante para su aceptación, se realizó una encuesta a 200 alumnos con diferentes métodos de enseñanza. Con el siguiente resultado, probar la hipótesis al 99% de confianza de que si es determinante:

Resp: X2

Método A

Método B

Método C

Total

Si acepta

128

No acepta

total

122

200

= 15,629;

se rechaza Ha' es decir que el método si determina su aceptación.

11761

L e e e

o n

4.3 Análisis de la varianza Es una colección de modelos estadísticos y sus procedimientos asociados, en el cual la varianza esta particionada en ciertos componentes debidos a diferentes variables explicativas. Las técnicas iniciales del análisis de varianza fueron desarrolladas por el estadístico y genetista R. A. Fisher en los años 1920 y 1930s y es algunas veces conocido como Anova de Fisher o análisis de varianza de Fisher, debido al uso de la distribución F de Fisher como parte del contraste de hipótesis'ü. El análisis de varianza sirve para comparar si los valores de un conjunto de datos numéricos son significativa mente distintos a los valores de otro o más conjuntos de datos. El procedimiento para comparar estos valores está basado en la varianza global observada en los grupos de datos numéricos a comparar. Típicamente, el análisis de varianza se utiliza para asociar una probabilidad a la conclusión de que la media de un grupo de puntuaciones es distinta de la media de otro grupo de puntuaciones. Es un procedimiento estadístico por el cual a través de las varianzas se puede determinar si existen diferencias entre las muestras, diferencia entre dos poblaciones o si una varianza muestral pertenece o no a determinada población. En el análisis de la varianza se contrastará el análisis a una sola vía y a doble vía.

11771

ESTADíSTICA

4.3.1 Análisis de la varianza a una sola vía Es cuando se comparan las varianzas entre muestras o entre poblaciones, para estos casos se utiliza el estadístico F de Fisher y el ensayo es solamente unilateral derecha. El análisis a una vía también permite comparar las varianzas de una muestra y de una población, en este último caso el estadístico a utilizar es el estadístico Ji-Cuadrado y el ensayo puede ser unilateral o bilateral.

4.3.1.1 Análisis de dos varianzas poblacionales Es cuando se comparan las varianzas de dos poblaciones, y el contraste o prueba de hipótesis determina si ambas poblaciones tienen la misma variabilidad o son iguales. 2

O"A

Donde:

CíA > CíB

O"B (1) http://es.wikipedia.org/wikijAn%C3%A1Iisis_de_la_varianza,

pp 1.

Ejercicios resueltos 1) Al 90% de confianza probar la población "A" de 121 datos con varianza de 98,36, no es igual a la población "B" de 61 datos con varianza de 45,18 Solución: 1° Formulación de las hipótesis: Ha No hay diferencia entre las Varianzas Si hay diferencia entre las Varianzas. 2° Determinar el tipo de ensayo: Este tipo de ensayos siempre es unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: F (a, N, D)

0.=

0,10;

N = 121 - 1 = 120

D = 61 - 1 = 60

F (0,10, 120, 60) = 1,35 (punto crítico) 4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: 2

F = O"A 2

O"B

11781

WALTER

CÉSPEDES

RAMfREZ

5° Diseñar el esquema de la prueba

1,35

6° Calcular el estadístico: F = 98,36/45,18

= 2,18

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: F = 2,18, es mayor que el punto crítico [ F(0,10, 120, 60) = 1,35 ], por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ha); es decir, que las varianzas son diferentes. 2) Al 95% de confianza probar la población "A" de 25 datos con una desviación estándar de 125,56, no es igual a la población "B" de 41 datos con una desviación estándar de 116,78. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha No hay diferencia entre las Desviaciones estándares Si hay diferencia entre las Desviaciones estándares. 2° Determinar el tipo de ensayo: Este tipo de ensayos siempre es unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: F (a, N, D)

a = 0,05;

N = 25 - 1

F (0,05, 24,40)

= 1,79 (punto crítico)

D = 41 - 1 = 40

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: 2

F= (J A 2

(JB

11791

ESTADíSTICA

5° Diseñar el esquema de la prueba:

1,79

6° Calcular el estadístico: F = 125,562/116,782

= 1,16

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: F = 1,16, es menor que el punto crítico [F(0,05, 24, 40) = 1,79], por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, que las desviaciones estándares son iguales. Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de hipótesis para el análisis de dos varianzas poblacionales: 1) Al 95% de confianza probar la población "A" de 25 datos con varianza de 198, no es igual a la población "6" de 28 datos con varianza de 85. Resp: 2,33, se rechaza Ha. 2) Al 90% de confianza probar la población "A" de 31 datos con desviación estándar de 45, no es igual a la población "6" de 16 datos con desviación estándar de 112. Resp: 6,19, se rechaza Ha. 3) Al 99% de confianza probar la población "A" de 16 datos con varianza de 182, no es igual a la población "6" de 21 datos con varianza de 225 Resp: 1,24, se acepta Ha. 4) Al 90% de confianza probar la población "A" de 121 datos con desviación estándar de 9836, no es igual a la población "6" de 61 datos con desviación estándar de 4518 . Resp: 4,74, se rechaza Ha. 5) Al 95% de confianza probar la población "A" de 11 datos con varianza de 749, no es igual a la población "6" de 11 datos con varianza de 418. Resp: 1,79, se acepta Ha.

11801

-------

-----

-------

WAL TER

CÉS PED ES RAM fREZ

4.3.1.2 Análisis de dos varianzas muestra les Es cuando se comparan las varianzas de dos muestras, y el contraste o prueba de hipótesis determina si ambas muestras tienen la misma variabilidad o si pertenecen a la misma población. F =

Donde:

2 A

> S2B

Ejercicios resueltos 1) Al 99% de confianza probar la muestra "A" de 13 datos con varianza de 123,68, no es igual a la muestra "B" de 16 datos con varianza de 36,12: Solución: 10 Formulación de las Hipótesis: Ha No hay diferencia entre las varianzas Si hay diferencia entre las varianzas. 20 Determinar el tipo de ensayo: Este tipo de ensayos siempre es unilateral derecha. 30 Asumir la significación de la prueba: F (a, N, D)

0.=

0,01;

= 13 - 1 = 12

D = 16 - 1 = 15

F (0,01, 12, 15) = 3,67 (punto crítico) 40 Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: F =

S~ S~

50 Diseñar el esquema de la prueba:

3,67 60 Calcular el estadístico: F = 123,68/

36,12 = 3,42

11811

ESTADíSTICA

70 Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: F = 3,42, es menor que el punto crítico [F(O,Ol, 12, 15) = 3,67], por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, que las varianzas pueden pertenecer a la misma población o no son diferentes. 2) Al 95% de confianza probar las varianzas de las siguientes muestras: Muestra A

Muestra B

28.

Solución:

10 Formulación de las Hipótesis: Ha

No hay diferencia entre las Varianzas Si hay diferencia entre las Varianzas.

20 Determinar el tipo de ensayo: Este tipo de ensayos siempre es unilateral derecha 30 Asumir la significación de la prueba: F (a, N, D)

a = 0,05;

N=9-1

D=9-1=8

F (0,05, 8, 8) = 3,44 (punto crítico)

40 Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: F =

S~ 50 Diseñar el esquema de la prueba:

3,44

60 Calcular el estadístico:

x = (4 + 8 + 8 + 11 + 16 + 16 + 19 + 22 + 22) / 9 = 126/9

= 14 $2 = [(4-14)2+(8-14)2+(8-14)2+(11-14)2+ (16-14)2+(16-14)2+(19-14)2+ (22-14)2+(22-14)2]/9 $2 = 342 / 9 = 38

11821

WAL TER

CÉSP ED ES RAM íREZ

x = (14 + 15 + 18 + 22 + 22 + 25 + 28 + 30 + 33) / 9 = 207/9

=23 52= [( 14-23)2+(15-23)2+(18-23)2+(22-23)2+(22-23)2+(25-23)2+(28-23)2+(3023)2+(33-23)2]/9 52 = 350/9 = 38,89 2 F = 38,89/ 38 = 1,02 (la Ss por ser mayor que la S:, va como numerador) 7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: F = 1,02, es menor que el punto crítico [F(0,05, ~, 8) = 3,44], por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, que las varianzas pueden pertenecer a la misma población o no son diferentes.

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de hipótesis para el análisis de dos varianzas muestra les. 1) Al 95% de confianza probar la muestra "A" de 21 datos con varianza de 128, no es igual a la muestra "B" de 16 datos con varianza de 382. Resp: 2,98, se rechaza Ha' 2) Al 99% de confianza probar las desviaciones estándares de las siguientes muestras: Muestra A

Muestra B

Resp: 1,01, se acepta Ha' 3) Al 95% de confianza probar la muestra "A" de 11 datos con varianza de 426, no es igual a la muestra "B" de 16 datos con varianza de 145. Resp: 2,94, se rechaza Ha' ••

4) Al 90% de confianza probar la muestra "A" de 31 datos con varianza de 1028, no es igual a la muestra "B" de 13 datos con varianza de 1382. Resp: 1,34, se acepta Ha' 5) Al 95% de confianza probar la muestra "A" de 10 datos con desviación estándar de 924, no es igual a la muestra "B" de 10 datos con desviación estándar de 1256 Resp: 1,85, se rechaza Ha. 4.3.1.3

Análisis de una varianza

muestral y otra poblacional

Es cuando se comparan una varianza muestral contra otra varianza poblacional, y el contraste o prueba de hipótesis que determina si la muestra pertenece a la población de referencia, puede ser de tipo bilateral o unilateral. X2

(n -1)S2 =

11831

ESTADíSTICA

Ejercicios resueltos 1) Una compañía que envasa alimentos dice que sus productos tienen una varianza de llenado de 14,5 gr. Al extraer una muestra de de 10 artículos, se encontró una varianza de 16,44. Probar al 97.5% de confianza que la varianza ha aumentado. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ho 02 = 14,5 02

> 14,5

2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral derecha. 3° Asumir la significación de la prueba: Para a = 0,025; el lado derecho de X2 es 1 - a(l - 0;025 = 0,975) X\975

= 19,0

(V = 10 - 1 = 9 grados de libertad)

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:

(n -1)S2 =

S° Diseñar el esquema de la prueba:

X 0,975 = 19,0 6° Calcular el estadístico:

X 2 =(10-1)

16,44= 10 ,2

14,5

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: 2 %2 = 10,2, es menor que el punto crítico (X 0,975 = 19,0), por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ho); es decir, que la varianza no ha aumentado, 2) Una compañía que produce alambres galvanizados asegura que la desviación estándar a la resistencia a la rotura es de 5240 lb, al tomar una muestra de 12 alambres

11841

WALTER

CÉSPEDES

RAMfREZ

se encontró una desviación estándar de 4105 lb. Probar al 90% de confianza que la resistencia a la rotura es menor. Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ho a = 5240lb a < 52401b. 2° Determinar el tipo de ensayo: Observando la hipótesis alternativa, la prueba será unilateral izquierda. 3° Asumir la significación de la prueba: (V = 12 - 1 = 11 grados de libertad)

Para a = 0,10

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:

S° Diseñar el esquema de la prueba:

X2 0,95 = 5,58 6° Calcular el estadístico: X2

=(12 -1) 4105

= 6,75

52402 7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: X2 = 6,75, es mayor que el punto crítico (X20,lO = 5,58), por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ho); es decir, que la resistencia a la rotura no es menor.

11851

ESTADíSTICA

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis para el Análisis de una Varianza Muestral y otra Poblacional. 1) Las bombillas eléctricas de una compañía tienen una desviación estándar de 1640 horas de duración, al tomar una muestra de 14 bombillas se encontró una desviación estándar de 1574horas. Probar al 97,5% de confianza que la desviación estándar ha disminuido. Resp: 11,97, se acepta Ha' 2) Una compañía que produce bebidas gaseosas afirma que la varianza de sus ventas mensuales alcanza los 148 254 soles, al tomar una muestra de un año se detectó una varianza mensual de 168 221 soles. Probar al 90% de confianza que no es verdad lo que afirma la compañía. Resp: 12,48, se acepta Ha. 3) Una compañía que produce bolsas plásticas asegura que la desviación estándar a la resistencia a la rotura es de 651b, al tomar una muestra de 22 bolsas se encontró una desviación estándar de 401b. Probar al 95% de confianza que la desviación estándar es menor. Resp: 7,95, se rechaza Ha' 4) Una refinería afirma que la varianza de kilometrajes de recorrido de un nuevo combustible alcanza los 1857 kilómetros, al tomar una muestra para de 18 vehículos se encontró una varianza de 2570 kilómetros. Probar al 99% de confianza que es verdad lo que afirma la refinería. Resp: 23,53, se acepta Ha' 5) Una empresa postal realiza sus entregas con una varianza de 582 horas. Al tomar una muestra de 15 entregas, la varianza fue de 756 horas. Probar al 95% de confianza que es verdad lo que afirma la empresa postal. Resp: 18,19, se acepta Ha'

4.3.2 Análisis de la varianza a doble vía Este análisis se conoce como cuadrado latino y permite comparar dentro de una muestra, la variabilidad existente, entre cada procedimiento o métodos incluidos en la muestra que se encuentran dentro de cada columna. En la prueba de hipótesis o contraste de hipótesis para el análisis de la varianza a doble vía, se utiliza el estadístico de F de Fisher y el ensayo siempre es unilateral derecha como son todos los ensayos del modelo Fisher.

11861

WAL TE R e És PED ES RAM fREZ

El estadístico a utilizar es el siguiente:

Varianza entre las Medias

F =

Varianza dentro de las columnas

Varianza entre las Medias

Varianza dentro de las columnas = ¿(Xi-XI)' + ¿(Xi-X,)'

nt-k

El número de sumatorias de esta varianza, depende de k) Donde:

nt = número total de datos. n = tamaño de la muestra. Xi= variable (representa cada uno de los datos). k = número de columnas. X = media aritmética de la muestra. X = media aritmética del total de datos (gran media).

Ejercicios resueltos 1) Una cadena de tienda seleccionó 4 de sus tiendas para comparar el número de quejas anuales de sus clientes, probar la hipótesis al 95% de confianza que hay diferencia entre las tiendas. A continuación se dan los datos: Tienda 1: Tienda 2: Tienda 3: Tienda 4:

74, 78, 73, 73, 72 84, 77, 79, 81, 79 83, 85, 86, 87, 89 70, 68, 71, 74, 72

Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: Ha : No hay diferencia entre las tiendas con relación a las quejas H¡

: Si hay diferencia entre las tiendas con relación a las quejas.

2° Determinar el tipo de ensayo: Los ensayos de Fisher siempre son unilateral derecha. 3° Asumir la significación de la prueba: a

= 0,05;

F (a, N, D)

N = (k - 1) = (4 - 1) = 3; F (0,05,

3, 16)

= 3,24

1i187!

D = (nt - k)

(20 - 4) = 16

ESTADíSTICA

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente: F

Varianza entre las Medias Varianza dentro de las columnas

5° Diseñar el esquema de la prueba:

3,24

6° Calcular el estadístico:

Medias muestrales

Varianza dentro de las columnas

TIENDAS

Varianza entre las medias

(x, -X)2

T.l

T.2

T.3

T.4

T.l

T.2 T.3

T.4

TIENDAS

T.l

70,3125

T.2

25,3125

T.3

340,3125

T.4

227,8125

370

400

430

355

n(X-X)2

663,7500

= 90

= (370 + 400 + 430 + 355) / (5 x 4) =

Varianza entre las Medias = 663,75/ Varianza dentro de las columnas F = 221,25 / 5,625

11881

(4 - 1) = 221,25

= 90/

= 39,33

1555/

(20 - 4) = 5,625

77,75

WAL TER

CÉSP ED ES RAM fREZ

7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: F = 39,33, es mayor que el punto crítico F(0,05 3 16) = 3,24; por lo tanto al estar este valor en la región de rechazo, se rechaza la Hipótesis Nula (Ho); es decir, si hay diferencia entre las tiendas con relación a las quejas. 2) Probar la hipótesis a195% de confianza que hay diferencia entre 4 métodos de enseñanza en la capacitación de 32 maestros distribuidos en grupos del mismo tamaño, los que fueron evaluados sobre 100 puntos y obtuvieron los siguientes calificativos: Método 1: Método 2: Método 3: Método 4:

75,63,65,72,82,73,72,66 64, 57, 79, 71, 69, 64, 72, 68 73, 75, 73, 77, 69, 68, 70, 71 70, 68, 71, 74, 72, 72, 71, 70

Solución: 1° Formulación de las Hipótesis: No hay diferencia entre los métodos de enseñanza Si hay diferencia entre los métodos de enseñanza. 2° Determinar el tipo de ensayo: Los ensayos de Fisher siempre son unilateral derecha 3° Asumir la significación de la prueba: N = (k - 1) = (4 - 1) = 3;

a = 0,05;

F (a, N, D)

F (0,05,

D = (nt - k)

(32 - 4) = 28

3, 28) = 2,95

4° Definir el estadístico de la distribución muestral correspondiente:

F =

Varianza entre las Medias Varianza dentro de las columnas

5° Diseñar el esquema de la prueba:

3,24

11891

ESTADíSTICA

6° Calcular el estadístico: Varianza dentro de las columnas Varianza entre las Medias

Medias Muestrales TIENDAS

tx, -X)2

TIENDAS

n (X -X)2

T.l

T.2

121

T.3

T.4

121

568

544

576

568

268

300

T.l

T.2

T.3

T.4

T.l

T.2

T.3

T.4

121

= 656

x = (568 + 544 + 576 + 568) / (8 x 4) = 2256 = 32

70,S

Varianza entre las Medias = 72 / (4 - 1) = 24 Varianza dentro de las columnas

= 656/

(32 - 4)

23,43

F = 24 / 23,43 = 1,02 7° Tomar la decisión acorde con los resultados de la prueba: F = 1,02, es menor que el punto crítico F(O,05 3 28) = 2,95; por lo tanto al no estar este valor en la región de rechazo, se acepta la Hipótesis Nula (Ha); es decir, no hay diferencia entre los métodos de enseñanza.

11901

WAL TER

CÉSP ED ES RAM íREZ

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre prueba de Hipótesis para el Análisis de la Varianza a doble vía: 1) Probar la hipótesis al 90% de confianza que hay diferencia entre 3 métodos de control para evitar robos en un supermercado. Durante 4 días se probaron los métodos y se evitaron los siguientes robos: Método 1: Método 2: Método 3:

7, S, 3, 1 6, 7, 9, 6

7, 5, 3, 5

Resp: F = 2,47; se acepta la Ho'

2) Durante los meses de Enero, Febrero y Marzo, se investiga el número de contratos que realizaron 5 vendedores. Probar la hipótesis al 95% de confianza que hay diferencia según los meses de ventas, si el número de contratos que realizaron fueron: Enero: 5, 6, 3, 8, 8 Febrero: 6, 8, 9, 9, 8 Marzo: 1, 3, 3, 2, 1

Resp: F = 22,0; se rechaza la Ho'

3) Probar la hipótesis al 90% de confianza que hay diferencia respecto a la duración en horas de uso de 4 marcas de baterías. Si se muestrearon 4 baterías de cada marca y las duraciones fueron como sigue: Marca A: Marca B: Marca C: Marca D:

17, 16, 15, 15,

15, 17, 15, 17,

14, 18, 12, 19,

10 17 10 17

Resp: F = 3,78; se rechaza la Ho'

4) Durante los meses de: Abril, Mayo y Junio, se investiga el número de trabajadores que llegaron tarde a laborar en una compañía; si se muestrearon 5 días, probar la hipótesis al 95% de confianza que hay diferencia entre los meses, respecto al número tardanzas que se dan a continuación: Abril: Mayo: Junio:

1, 4, 3, O, 2 6, 7, 7, 8, 7

1, 2, 3, 2, 7

Resp: F = 12,35; se rechaza la Ho'

5) Probar la hipótesis al 95% de confianza que hay diferencia entre los tipos de promoción de una distribuidora. Si durante 3 meses se aplicaron 4 Promociones distintas, respecto al número de clientes nuevos conseguidos que se dan a continuación: Promoción R: Promoción S: Promoción T: Promoción U:

12, 15, 18 10, 11, 12 16, 25, 31 25, 15, 20

Resp: F = 4,22; se rechaza la Ho'

11911

ESTADíSTICA

AUTOEVALUACIÓN N° 4 1) De una población de 5000 se extrajo una muestra de 49 fumadores, se encontró un consumo promedio de 498 soles en cigarros. Si se afirma que el consumo promedio es de 505 soles con una desviación estándar de 30,80 soles. Hallar el estadístico. A) -1,48

B) -1,60

C) -2,16

D) -2,08

E) -1,22

2) El promedio de ventas de una distribuidora es 12500 diarios, con desviación estándar de 1250 soles, si se toma una muestra de 115 ventas extraídas de una población de 80000 y se encontró un promedio de ventas de 12343. Hallar el estadístico. A) -1,96

B) -1,44

D) -2,44

C) -2,05

E) -1,35

3) Si en una muestra de 22 secretarias, se encontró que el 40% no estaban conforme con su trabajo. Si la empresa dice que el 35% de las secretarias no están conformes con su trabajo, hallar el estadístico. A) 0,49

B) 1,06

D) 0,72

C) 0,95

E) 1,22

4) Al investigar una muestra de 235 escolares, se encontró que el 15% no tenía deseos de continuar sus estudios escolares. Si se afirma que el 20% de los escolares no quieren estudiar, hallar el estadístico. A) -1,27

B) -2,01

C) -1,92

D) -0,08

E) -1,37

5) Hallar el estadístico de la diferencia de las dos muestras.

A) 2,42 6)

Muestra

Promedio

Varianza

Tamaño

1820

621

1809

735

B) 1,82

C) 2,67

D) 3,16

E) 1,40

Dos compañías comercializan sus productos en un mismo mercado, si de cada compañía se toma una muestra de 20 artículos y se observa que cubren el 48% y el 65% del mercado; hallar el estadístico de la diferencia. A) 1,48

B) 1,61

C) 1,10

11921

D) 2,08

E) 1,22

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

7) Hallar el estadístico X2 de la siguiente muestra: Nuevo Producto

Hombre

Mujer

Total

Si compra

No compra

total

A) 0,348

C) 0,451

B) 0,161

D) 0,224

E) 0,122

8) Hallar el estadístico X2 de la siguiente muestra: Método A

Método B

Método e

Total

Mejora su rendimiento

128

No mejora su rendimiento

total

122

200

D) 19,4

E) 10,5

A) 15,6

B) 12,9

C) 35,6

9) Hallar el estadístico Fisher de: la población "A" compuesta de 121 datos con desviación estándar de 9836, y la población "B" de 61 datos con desviación estándar de 4518. A) 3,41

B) 4,74

C) 2,55

D) 4,08

E) 2,27

10) Hallar el estadístico Fisher de dos poblaciones; la población "A" de 11 datos con varianza de 749, y la población "B" de 11 datos con varianza de 418. A) 2,77

B) 2,12

C) 1,16

D) 1,79

E) 2,15

11) Hallar el estadístico Fisher de dos muestras; la muestra "A" de 11 datos con varianza de 426, no es igual a la muestra "B" de 16 datos con varianza de 145. A) 2,94

B) 2,67

C) 2,35

D) 2,21

E) 3,28

12) Hallar el estadístico Fisher de dos muestras; la muestra "A" de 31 datos con varianza de 1028, no es igual a la muestra "B" de 13 datos con varianza de 1382. A) 1,85

B) 1,67

C) 1,46

D) 2,04

E) 1,34

13) Una compañía que produce cervezas afirma que la varianza de sus ventas mensuales alcanza los 148 254 soles, al tomar una muestra de un año se detectó una varianza mensual de 168 221 soles. Hallar el estadístico X2. A) 12,48

B) 14,5

C) 10,7

11931

D) 8,19

E) 5,18

ESTADíSTICA

14) Una compañía que produce fibras sintéticas asegura que la desviación estándar a la resistencia a la rotura es de 651b, al tomar una muestra de 22 fibras se encontró una desviación estándar de 401b. Hallar el estadístico X2. A) 4,40

B) 10,1

C) 7,95

D) 5,02

E) 4,18

15) Hallar el estadístico Fisher de 4 marcas diferentes de pila, si se muestrean 5 pilas de cada marca y la duración en horas fueron: Marca R2: Marca R1: 3, 5, 6, 8, 8 6,53, 8, 9, 9 Marca R4: 6, 8, 7, 7, 7 Marca R3: 6, 7, 7, 7, 8 A) 5,24

B) 2,59

D) 1,90

C) 3,56

Respuestas

I.B.2.E,3.A.4.C,5.B,6.C,7.0,8.A.9.B,

E) 1,08

control

10.0, II.A, 12.E, 13.A, 14.C, 15.0

11941

L e e e

o n

5.1 Diagrama de dispersión

.•

La representación gráfica más útil para describir el comportamiento conjunto de dos variables es el diagrama de dispersión o nube de puntos, donde cada caso aparece representado como un punto en el plano definido por la variable "X", que es generalmente independiente y por la variable "Y" que es dependiente de X. Cuando el diagrama recoge un gran número de observaciones, algunos puntos representan a más de un caso ya que estos se superponen. La representación gráfica mediante el Diagrama de Dispersión, permite comprobar la existencia de relación lineal entre las dos variables; y la medida analítica adecuada, la da el coeficiente de correlación lineal. Ejemplo 1: Si en la ordenada o eje "Y", se grafica la variable peso y en la abscisa o eje "X", se grafica la variable Est (Estatura), se obtiene:

11991

ESTADíSTICA

110

100

lID

60 Q

U tl

a !I

mel..

30 180

160

140

190

200

EST Como se observa en el gráfico ambas variables presentan una relación lineal positiva; es decir, a medida que aumenta el valor de la variable Est aumenta también el valor de la variable Peso. Ejemplo 2: Si en la ordenada o eje "Y", se grafica la variable Tiempo de Servicios y en la abscisa o eje "X", se grafica la variable Edad, se obtiene:

DIAGRAMA DE ESPARCIMIENTO DE LA EDAD YTIEMPO DE SERVICIOS DE 15 TRABAJADORES 30

• •• •

U 25

s c:: 20 w

ti)

w 15

e O

••

o o

•• • • • • ••• 30 EDAD

12001

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

Se aprecia que la nube de puntos resultante tiene una forma alargada, con una relación positiva en donde es posible ajustar o representar por una línea recta. Los Diagramas de Dispersión además de describir el comportamiento de la información; con la nube de datos, usted puede tener una idea sobre cual será la función matemática que describa mejor dicho comportamiento. Figura: Diferentes nubes de puntos y modelos de regresión para ellas, Modelo lineal Buen ajuste

•

Modelo no lineal

• /

Buen ajuste

y. / •

Cuando x crece, y crece

\"~'j. . .. •

Modele no lineal

Variables JJCl relacionadas Ninguna curva de regresiOlL esadecuada

Cuando x crece,

y decrece

••

•

• • • •• • • • •

,'t I

Cuando interviene una determinada función matemática sobre una dispersión datos, el diagrama se transforma en algún modelo de Regresión.

~201.

L e e e

o n

5.2 Regresión Las técnicas de regresión es un proceso que permite hacer predicciones sobre los valores de cierta variable Y (dependiente), a partir de los de otra X (independiente), entre las que se intuye que existe una relación. Para ilustrar mejor al lector por ejemplo si se compara la estatura media en centímetros en el eje X y la estatura media en metros en el eje Y al observar a un grupo de personas, no es necesario hacer grandes esfuerzos para saber que la relación que hay entre ambas es: y = X / 100 En cambio esta relación sencilla puede ser más compleja, si por ejemplo se comparan estas mismas personas colocando en el eje X a la estatura media en centímetros y en el eje Y el peso en kilogramos. Esta relación requiere de un análisis y solo después del mismo se puede concluir: y = X - 110 ± error La razón es que no es cierto que conocida la altura de un individuo, no puede determinar su peso exacto, si dos personas que miden 170 cm pueden tener pesos de 60 y 65 kilos. Sin embargo, alguna relación entre ellas debe existir, pues parece mucho más

1203111

ESTADíSTICA

probable que un individuo de 200 cm pese más que otro que mida 120 cm. Es más, de acuerdo a lo mencionado, la conclusión Y = X - 110 ± error, parece acertada. A la relación entre dos o más variable a partir de una serie de datos, se le denomina Regresión. Cuando la relación esta dada por: Y = f(x) Se le denomina Relación Funcional y el criterio para construir Y, es que la diferencia entre Y e Y sea pequeña; es decir, que el error de estimación sea pequeño. y = f(x),

y - y = error

La Relación Funcional puede también ser a la inversa, es decir que X están en función de Y; pero este tipo de relación no se verá en este Manual Auto Instructivo. Cuando se utilizan solamente dos variables, la Regresión es denominada SIMPLE; en cambio, cuando se utilizan más de dos variables, la Regresión es MULTIPLE.

5.2.1 Ajuste en una función de regresión simple Significa buscar o definir la función que exprese con mayor precisión la relación entre variables. Gráficamente será aquella función que mejor se adecué a la nube de puntos. En este sentido, es recomendable como primer paso construir el "diagrama o nube de puntos", luego analizar su forma y decidir el tipo de función matemática para la línea de regresión. Analíticamente, la relación Y = f(x). permite obtener valores estimados Y a partir de los valores reales de X, entonces el problema del ajuste de una función es que la diferencia o sesgo (e.) entre los valores reales de Y y los estimados Y sea mínimo, para cada valor se tendría: ~ = Y-Y. Entonces se trata de un problema de minimización, el mismo que se resuelve con el Método de los Mínimos Cuadrados. El ajuste de funciones de regresión simple, se pueden utilizar diversas funciones matemáticas conocidas, tales como:

• • • • • •

•

La Línea Recta La Parábola La Curva Potencial La Curva Exponencial La Hipérbola Equilátera : La Curva Logística La Curva Gompertz

Y= a + bX Y= a + bX + CX2 Y = exY= abX Y = a/X l/y = a + bcx Y = ab=

Cada una de estas funciones tiene una forma particular para un conjunto determinado de valores (X, Y), Y definido por el valor de los parámetros o coeficientes de la respectiva ecuación. Por una nube de puntos pueden pesar una infinidad de líneas o funciones, de esta familia habrá una que es la función que mejor se ajusta a la nube de puntos. 12041

W A L TE R

e É s P E D E S RA M í R E Z

La operación para determinar la función de regresión óptima, se conoce como "Ajuste de una función de regresión", En este Manual se tratará solamente de Regresión simple para la recta y para la parábola, que son las más usadas por tener mayor aplicación estadística en los negocios, El problema de ajuste de una función de regresión a un conjunto de n valores (X, Y), comprende tres pasos: 1° Graficar el diagrama de esparcimiento o una nube de puntos (X, Y). 2° Definir la forma de la función de regresión (recta, parábola, exporiencial, etc.). 3° Determinar el valor numérico de los parámetros de la función elegida. Los parámetros de la función de regresión se obtienen a partir de las Ecuaciones Normales obtenidas por el Método de los Mínimos Cuadrados.

5.2.2 El método de Los mínimos cuadrados Establece que la mejor recta o curva posible es aquella que minimiza la suma de los cuadra~os de las desviaciones entre los puntos dados V¡ y los correspondientes a dicha curva Y.

I e¡2 = I (V¡ -\IV

= Error Mínimo

Donde Y = f(X), es la ecuación elegida para la función de regresión; sin embargo, no es suficiente con elegir la función de regresión, por que en la nube de datos se pueden trazar en diferentes formas la misma función con el mismo error de cálculo. Por esta razón se busca a aquel trazo de la función que al ser elevado el error al cuadrado, dé el mínimo error. Con el método de Mínimos cuadrados se logra calcular los parámetros de la ecuación elegida (Recta, Parábola, etc.). También con los mismos parámetros, se pueden hallar los coeficientes de correlación respectivos.

5.2.3 Regresión lineal simple A la regresión lineal se le conoce como Regresión de la Recta, la que se define de la siguiente manera:

v = a + b (X) ± e A partir de esta definición; se puede estimar el valor de "Y", no considerando el error:

y = a + b (X)

a20S.

ESTADíSTICA

En la ecuación, los parámetros

son:

a = Origen (Es el valor de Y, cuando X = O) b = Pendiente (Es la variación constante positiva o negativa de Y , por cada valor que cambie X) Tales parámetros, como ya se ha mencionado en el ítem anterior, se calcularán utilizando el método por Mínimos Cuadrados, que se define basado en la ecuación de la recta, de la siguiente manera: I Y

= a (n) + b IX

IXY

= a IX + b IX2

Para hallar los parámetros respectivos (a y b), basados en el método de cálculo por Mínimos Cuadrados, el alumno puede utilizar cualquiera de las siguientes soluciones: a) Solución por eliminación de uno de los parámetros para encontrar el otro: Para este caso utilizan las ecuaciones simultaneas, en donde con un valor artificial negativo se iguala el coeficiente de una de las incógnitas de la ecuación para eliminarlo. Operación que se repite hasta quedarse con una incógnita, que es fácil de despejar en una ecuación. b) Solución a través de matrices y determinantes,

a = L: y¿;x2 - L:XYL:X_ 2

nL:X -L:XL:X

que concluyen en:

b = nL:XY

- L:XL:Y nL:X 2 - L:XL:X

e) Solución a través de las medias, que concluye en:

= y - b X

b = [ (í:XY -

12061

n X Y ) / (íX

n X 2) ]

WAL TER

CÉSPED

ES RAM íREZ

Ejercicios resueltos 1) Hallar la ecuación de la recta con las variables: X (número de vendedores) (valor de ventas realizadas al mes en miles).

e Y

La información que se tiene es la siguiente: Número de vendedores (X)

Ventas en miles (Y)

6,4

8,5

9,3

16,4

18,6

20,2

25,2

Solución: Con el método por Mínimos cuadrados, se primero correspondientes a la ecuación de la recta:

l·

11:

se calculan las sumatorias X2

6,4

12,8

8,5

34,0

9,3

46,S

16,4

164,0

100

18,6

223,2

144

20,2

303,0

225

25,2

403,2

256

104,6

1186,7

770

Con estos datos para hallar los parámetros "a" y "b", el alumno puede escoger cualquiera de las soluciones planteadas por el método por Mínimos Cuadrados: a) Solución por eliminación: 1o Se reemplazan las sumatorias halladas en las ecuaciones simultáneas definidas por el método Mínimos Cuadrados: 1: V

= a(n)

+ b 1:X

1:XV = a 1:X + b 1:X2

+ 64b

(1)

64a

+ 770b

(2)

104,6 = 1186

20 Se elimina "a" multiplicando la ecuación (1) por - 64 Y la ecuación (2) por 7 ( 104,6 =

+ 64b) - 64 7 (1186,7 = 64a + 770b)

Entonces:

1612,S / 1294

- 6694,4

8306,9

= ~-4096b = .448 + 5390b

1612,S

1,25

12071

1294b

(3) (4)

ESTADíSTICA

3° Hallado "b" se reemplaza este valor en la ecuación (1): 104,6 = 7a + 64 (1,25) Entonces: a = 24,6 /7

104,6 3,5

= 7a + 80

104,6

80 = 7a

Y = 3,5 + 1,25X

4° La ecuación de la recta será: b) Solución por determinantes:

Aquí se reemplazan las sumatorias en las fórmulas siguientes halladas formando matrices con las ecuaciones por mínimos cuadrados y resueltas por determinantes: :¿TI:X2_~

= n2:Xl' - 2:X2:Y

n2:X -2:XLX

104,6(770) -1186,7(64)

4593,2

7(770) - 64(64)

1294,0

b = 7(1186,7)-64(104,6)

n2:X 2 - 2:XLX

7(770)-64(64)

La ecuación de la recta será:

Y = 3,5 + 1,25X

= 3,5

__1612,5 1294,0

= 1,25

e) Solución por promedios:

x = LX / n = 64/7 b

= 9,14

7 = 14,94

= [ (LXY - n X Y ) / (LX2 - n X 2) ]

b = [(1186,7

- (7 x 9,14 x 14(94))

b = [(1186,7

- 955(86) / (770 - 584(78)]

LY / n = 104,6/

= y - bX

14,94

La ecuación de la recta será:

/ (770

1,25(9,14)

- (7 x 9(142))] b = [230,84/

14,94

- 11,43

185,22]

1,25

3,5

Y = 3,5 + 1,25X

El alumno puede ver que por cualquiera de los métodos de solución expuestos, la respuesta es la misma; pues puede escoger el método que sea más fácil para usted o el que más le agrade. 2) Hallar la ecuación de la recta con las variables: X (número de gastos por inversión) e y (utilidades anuales en miles). La información

que se tiene es la siguiente:

Número de gastos por inversión (X)

Utilidades anuales en miles (Y)

111208&

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

Solución: Con el método por Mínimos cuadrados, correspondientes a la ecuación de la recta:

se primero

se calculan

155

440

121

120

170

180

1000

200

las sumatorias

Para hallar los parámetros "a" y "b", se ha escogido la solución por determinantes.

a = L:YL:X2 -~ 2

nL:X -L:XLX" b

nL:XY - L:XL Y = n:L:X L:XLX 2

La ecuación de la recta será:

a =180(200)-1000(30) 6(200) - 30(30) b = 6(1000)-30(180) 6(200) - 30(30)

Y = 20 + 2X

12091

6000 300 = 600=

300

= 20

ESTADíSTICA

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Regresión Lineal Simple: 1) Hallar la ecuación de la recta con las variables: X (número de desaprobados) e Y (número de matriculados). La información que se tiene es la siguiente: Número de desaprobados (X)

Número de matriculados (Y)

Resp: Y

= 8,94 + 2,71X

2) Hallar la ecuación de la recta con las variables: X (número de gastos por inversión) e Y (utilidades anuales en miles). La información que se tiene es la siguiente: Número de gastos por inversión (X) Utilidades anuales en miles (Y)

48,S

95,2

88,3

110,4

115,6

Resp: Y

= 43,33 + 8,04X

5.2.4 Regresión de la parábola Se conoce a la regresión de la parábola como Regresión Parabólica, de la siguiente manera: y = a + b (X)

la que se define

+ e (X2) ± e

A partir de esta definición; se puede estimar el valor de "Y", no considerando el error:

y = a + b (X)

+ e (X2)

En la ecuación, los parámetros son: a = Origen (Es el valor de Y, cuando X = O) b = Pendiente (Es la variación constante positiva (hacia arriba) o negativa (hacia abajo) de Y, por cada valor que cambie X) e = Curvatura (es el arco que determina la curva; si es negativo, la curva es convexa,

y si es positivo, la curva es cóncava. Tales parámetros, se calcularán utilizando el método por Mínimos Cuadrados, que se define basado en la ecuación de la parábola, de la siguiente manera: :E Y

= a (n) + b:EX

:E XV :E X2Y

= a :EX2 + b :EX3 + e :EX4

e :EX2

= a:EX + b :EX2 + e :EX3

12101

WAL TER

CÉSPED

ES RAMfREZ

Para hallar los parámetros respectivos (a, b y c)), basados en el método de cálculo por Mínimos Cuadrados, el alumno puede encontrar la solución por eliminación de los parámetros en las ecuaciones simultaneas. Ejercicios resueltos 1) Hallar la ecuación de la parábola con las variables: X (número de vendedores) e Y (valor de ventas realizadas al mes en miles). La información que se tiene es la siguiente: Número de vendedores (X)

Valor de ventas realizadas al mes en miles (Y)

6,4

8,5

9,3

16,4

18,6

20,2

25,2

Solución: Con el método por Mínimos cuadrados, se primero se calculan las sumatorias correspondientes a la ecuación de la recta, de la siguiente manera:

11:

6,4

12,8

25,6

8,5

34,0

256

136,0

9,3

46,5

125

625

232,5

16,4

164,0

100

1000

10000

1640,0

18,6

223,2

144

1728

20736

2678,4

20,2

303,0

225

3375

50625

4545,0

25,2

403,2

256

4096

65536

6451,2

104,6

1186,7

770

10396

147794

15708,7

X2y

Con estos datos para hallar los parámetros "a", "b" y "c", por el método por Mínimos Cuadrados, se reemplazan las sumatorias respectiva en las fórmulas: 1: Y = a (n) + b 1:X + e 1:X2 1:XY = a 1:X + b 1:X2 + e 1:X3 1: X2Y a 1:X2 + b 1:X3 + e 1:X4

104,6 = 7a + 64b + 770c (1) 1186,7 = 64a + 770b + 10396c (2) 1 5708,7 = 770a + 10396b + 147794c (3)

121 11

ESTADíSTICA

1° Se elimina "a" de las ecuaciones (1) y (2) 104,6 = 7a + 64b + 770c (- 64) 1186,7 = 64a + 770b + 10396c (7)

- 6694,4 = -448a 8306,9 = 448a 1612,5

- 4096b

- 49280c

+ 5390b + 72772c 1294b + 23492c (4)

2° Se elimina "a" de las ecuaciones (1) y (3) 104,6 = 7a + 64b + 770c (- 64)

- 6694,4

1186,7 = 64a + 770b + 10396c (7)

8306,9

=~8a = 44

- 4096b

- 49280c

+ 5390b ,+ 72772c 1294b + 23492c

612,5

(4)

3° Se elimina "b" de las ecuaciones (4) Y (5) 1612,5 =

1294b

+ 23492c (-3356)

-5411550,0

4202,7 =

3356b

+ 63094c ( 1294)

5438293,8 =

= -~664b 4342~

26743,8 =

e 4°

= 26743,8

/ 2804484

- 78839152c

+ 81643636c 2804484c

= 0,0095

Se reemplaza "c" en la ecuación (4) 1612,5 = 1294b + 223,174 1294b = 1389,326

1612,5 = 1294b + 23492 (0,0095) 1294b = 1612,5 - 223,174 b

= 1389,326 / 1294 = 1,07

5° Se reemplaza "b" y "c" en la ecuación (1) 104,6 = 7a + 64(1,07) + 770(0,0095) 7a = 104,6 - 68,48 - 7,315 = 28,805

a = 28,805/

104,6 = 7a + 38,48 + 7,315

= 4,115

La ecuación de la parábola será:

Y = 4,115 + 1,07X + 0,0095X2

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Regresión de la Parábola: 1) Hallar la ecuación de la parábola con las variables: X (número de desaprobados) e y (número de matriculados).

La información que se tiene es la siguiente: Número de desaprobados (X)

12121

WAL TER

Número de matriculados

CÉSPED

ES RAMíREZ

(Y)

2) Hallar la ecuación de la parábola con las variables: inversión) e Y (utilidades anuales en miles). La información

X (número

de gastos por

que se tiene es la siguiente:

Número de gastos por inversión Utilidades anuales en miles (Y)

(X)

48,S

95,2

88,3

110,4

115,6

Resp: Y

12131

= 9,28 + 22,15X - 1,16X2

L e e e

o n

5.3 Correlación "

Es la relación existente entre las variables que se investigan. Cuando se utilizan solamente dos variables, la Correlación de Pearson es denominada SIMPLE; en cambio, cuando se utilizan más de dos variables, la Correlación es MULTIPLE. El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1, +1]: 1° Si r = O, no existe relación entre las variables. Pero esto no necesariamente implica una independencia total entre las dos variables, es decir, que la variación de una de ellas puede influir en el valor que pueda tomar la otra. 2° Si r = 1, existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa; cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en idéntica proporción. Si < r < 1, existe una correlación positiva.

3° Si r = -1, existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables llamada relación inversa; cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en idéntica proporción. Si -1 < r < O, existe una correlación negativa.

12151

ESTADíSTICA

El signo de la correlación depende del signo de la pendiente "b": es decir, si la pendiente es positiva, la correlación es positiva; y si la pendiente es negativa, la correlación es negativa. Suponiendo que se esta investigando dos variables mediante la ecuación de la recta, pero no se esta conforme con los resultados, entonces decide utilizar la función de la parábola. Para determinar cual de las dos funciones matemática se ajusta mejor a los datos que se investiga, se calcula el índice de correlación para ambas ecuaciones y el valor más cercano a 1, determina cual de las dos ecuaciones se ajusta mejor a los datos.

5.3.1 Esquema de una correlación de Pearson y y

~ y

r-------~--------------------y

L--------------+------------_x L (Y - Y)2

L (Y _y)2

+ L (Y - y )2

Donde: L (Y - Y)2 L (Y -y )2

: Variación total : Variación no explicada

L (y -Y)2

: Variación explicada

Al correlacionar

dos o más variable, se generan dos tipos de coeficientes que son:

5.3.1.1 Coeficiente de determinación (r2) r2

= Variación Explicada _ ¿(Y - y)2 Variación Total - ¿(Y - Y)2

O también:

= 1- Variación No Explicada = 1- ¿(Y - y)2 Variación Total ¿(Y - Y)2

12161

WAL TER

CÉSP ED ES RAM íREZ

El coeficiente de determinación es un indicador que nos señala en que proporción la variación de la variable dependiente (Y), puede explicarse por la variación de la variable independiente eX). Por ejemplo:

Y = Ventas

X = Publicidad

r2 = 82,16%;

Significa que el 82,16% de las ventas se deben a la publicidad

5.3.1.2 Coeficiente de correlación (r) Variación Explicada

Variación Total r

Variación

No Explicada

Variación

= 1-

L:(Y - ~)2 L:(Y _ y)2

Total

Como habrá observado, el coeficiente de correlación es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación y es un indicador que nos señala: 10 En que proporción se asemejan los valores reales que se investigan con los valores calculados por la función matemática empleando la misma variable independiente. 20 Cuando se utilizan las funciones de la recta y de la parábola a la vez, nos dice que función tiene mejor ajuste a los datos. Por ejemplo:

Y = Ventas

X = Publicidad

r = 94,64%;

Significa que existe una relación directa del 94,64% entre las ventas y la publicidad

.•

5.3.2 Correlación simple Se refiere a la correlación existente solamente entre dos variables. En esta unidad, únicamente se verá la correlación lineal y la correlación de la parábola tal como se hiciera con la regresión.

5.3.2.1 Correlación lineal simple Los coeficientes de la correlación lineal simple con el método por Mínimos Cuadrados, se definen en forma abreviada de la siguiente manera:

Coeficientes de determinación de la recta

= aL:Y + bL:XY - ny2 L:y2 _ ny2

12171

ESTADíSTICA

Coeficientes de correlación de la recta

a¿Y + bLXY - ny2 ¿y2 _ny2

Ejercicios resueltos 1) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la recta, con las variables: X (número de vendedores) e Y (valor de ventas realizadas al mes en miles). La información que se tiene es la siguiente: Número de vendedores (X)

Valor de venta en miles (Y)

6,4

8,5

9,3

16,4

18,6

20,2

25,2

Solución: Con el método por Mínimos cuadrados, se primero se calculan las sumatorias correspondientes a la ecuación de la recta:

6,4

12,8

41,0

8,5

34,0

72,3

9,3

46,5

86,5

16,4

164,0

100

269,0

18,6

223,2

144

346,0

20,2

303,0

225

408,0

25,2

403,2

256

635,0

104,6

1186,7

770

1857,8

Con las sumatorias se hallan los parámetros "a" y "b" (solución por determinantes).

a = ¿lLX2 -LXYLX nU2-LX'LX

= n:LXY - LXLY n¿X2

-LXLX

a = 104,6(770)-1186,7(64) 7(770) - 64(64)

4593,2= 1294,0

3,5

b = 7(1186,7)- 64(104,6) _ 1612,5 = 1,25 7(770)-64(64) 1294,0

12181

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

a) Cálculo del coeficiente de determinación:

= a2:Y + bLXY - ny2 = 3,5(104,6) + 1,25(1186,7) -7(104,6/7)2

2:y2 _ ny2

= 291,68

0,9898

294,68

1857,8 -7(104,6/7)2

b) Cálculo del coeficiente de correlación:

~O,9898

= 0,9949

2) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la recta, con las variables: X (número de gastos por inversión) e Y (utilidades anuales en miles). La información que se tiene es la siguiente: Número de gastos por inversión (X)

Utilidades anuales en miles

(Y)

Solución: Con el método por Mínimos cuadrados, se primero se calculan las sumatorias correspondientes a la ecuación de la recta:

155

961

440

121

1600

120

900

170

1156

625

400

180

1000

200

5642

Con las sumatorias se hallan los parámetros "a" y "b" (se utilizará la solución por determinantes). 2 a = LITX - LXYLX nLX2-LXLX

a = 180(200) -1000 (30) 6(200) - 30(30)

b = nLXY -LXLY nLX2 -LXLX

b = 6(1000) - 30(180) = 600 = 2 6(200) - 30(30) 300

1219;

6000= 20 300

ESTADíSTICA

a) Cálculo del coeficiente de determinación r2 _aLY

+bLXY _ny2 2 Ly - ny2

_20(180)+2(1000)-6(180/6)2 5642 - 6(180/6)2

200 =: 0,8264 242

b) Cálculo del coeficiente de correlación r =: .J0,8264

=: 0,9091·

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre correlación lineal simple: 1) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la recta, con las variables: X (número de desaprobados) e Y (número de matriculados). La información que se tiene es la siguiente: Número de desaprobados (X)

Número de matriculados

(Y)

Resp: r2 =: 0,5849,

r =: 0,7648

48,5

95,2

88,3

110,4

115,6

Resp: r2 =: 0,8695,

r =: 0,9325

5.3.2.2 Correlación de la parábola Los coeficientes de la correlación de la parábola con el método por Mínimos Cuadrados, se definen en forma abreviada de la siguiente manera: a) Coeficientes de determinación

de la parábola

r2 =: aLY + bLXY + cX2y

- ny2 Ly2 _ ny2 b) Coeficientes de correlación de la parábola

aLY +bLXY +cX2y Ly2 _ ny2

_ny2

12201

e s PED ES RAM íREZ

WA.L TER

Ejercicio resuelto Hallar la ecuación de la parábola con las variables: X (número de vendedores) (valor de ventas realizadas al mes en miles). Número de vendedores (X)

Valor de ventas en miles (Y)

6,4

8,5

9,3

16,4

18,6

20,2

25,2

Solución: Con el método por Mínimos cuadrados, se primero se calculan 'las sumatorias correspondientes a la ecuación de la recta:

Il:

6,4

12,8

X2V

25,6

41,0

8,5

34,0

256

136,0

72,3

9,3

46,S

125

625

232,5

86,5 269,0

16,4

164,0

100

1000

10000

1640,0

18,6

223,2

144

1728

20736

2678,4

346,0

20,2

303,0

225

3375

50625

4545,0

408,0

25,2

403,2

256

4096

65536

6451,2

635,0

104,6

1186,7

770

10396

147794

15708,7

1857,8

Los parámetros "a", "b" y ":c:", fueron hallados en el ejercicio 1 del ítem 5.2.4 correspondiente a la regresión de la parábola y estos son: a = 4,l15;b = 1,07 Y c = 0,0095. a) Coeficientes de determinación

(r2):

r2 = aL:Y + bLXY + cX2y - ny2 L:y2

ny2

r2 _4,115(104,6) + 1,07(1186,7) + 0,0095(15708) -7(104,6/7)2 1857,8 - 7(104,6/7)2

b) Cálculo del coeficiente de, correlación: r =

~O,9719 = 0,9858

~221.

_ 286,41 = 0,9719 294,68

ESTADíSTICA

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre correlación de la parábola: 1) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la parábola, con las variables: X (número de desaprobados) e Y (número de matriculados). Número de desaprobados (X)

(Y)

Número de matriculados

Resp: r2 = 0,7462,

r ~ 0,8638

2) Hallar los coeficientes de determinación y de correlación de la parábola, con las variables: X (número de gastos por inversión) e Y (utilidades anuales en miles). Número de gastos por inversión Utilidades anuales en miles (Y)

(X)

48,5

95,2

88,3

110,4

115,6

Resp: r2 = 0,9904,

r = 0,9952

5.3.3 Correlación de Spearman (p) .Este modelo de correlación asocia dos variables, es un modelo No Paramétrico que no trabaja con la información directa, sino que la trasforma en orden creciente a partir del 1 En estadística, el coeficiente de correlación de Spearman, p (rho), es una medida de la correlación (la asociación o interdependencia) entre dos variables aleatorias continuas. La interpretación de coeficiente de Spearman es igual que la del coeficiente de correlación de Pearson. Oscila entre -1 y +1, indicándonos asociaciones negativas o positivas respectivamente. O (cero), significa que no hay correlación pero no necesariamente que no hay independencia. Para calcular p, los datos son ordenados y reemplazados por su respectivo orden. El estadístico p viene dado por la expresión:

61:,d2 1----n (n2 -1) Donde: d: es la diferencia de comparar el ordenen que quedaron ambas variables n: es el número de parejas entre las dos variables. En caso de existencia de datos iguales, se les da el orden que les corresponde ignorando que son iguales; es decir, como si fueran datos diferentes, luego se saca el promedio del orden asignado a todos los datos iguales y se les reasigna este promedio a todos ellos.

E2221

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

Ejercicio resuelto Se tiene el Coeficiente de Inteligencia (C.I.) de 10 niños y el número de horas que ven televisión a la semana (Tv.), mediante la correlación de Spearman, determine si hay influencia de la televisión en la inteligencia de los niños: Coeficiente de Inteligencia

106

100

103

113

110

Número de horas de Tv.

Solución:

° Se ordenan los datos de la primera columna generalmente en forma creciente.

2° Se crean dos columnas más donde se cambia el valor respectivo por el número de orden que les tocó. i

~ ~

3° Finalmente se diferencia el orden de ambas columnas dando lugar a "d", la misma que es elevada al cuadrado. Nótese que al c.I. = 100 le toca el orden 4 y también el 5; como este dato está repetido, se le reasigna el promedio de ambos (4 + 5) / 2 = 4,5.

C.I.

Tv.

Orden C.I

Orden Tv.

100

4,5

3,5

12,25

100

4,5

5,5

30,25

103

106

2,5

4,5

20,25

9 49 30,25

110

113

9,5

2,5

113

9,5

5,5

6'L.d = 1- 6 (196) 1----n (n2 -1) 10 (100 -1)

196,00

12231

1 - 1,1879

= - 0,1879

ESTADíSTICA

Interpretación

de los resultados:

Existe una correlación no significativa inversa (-18,79%) entre el coeficiente de inteligencia de los niños y las horas que le dedican a la televisión; es decir que más horas de televisión puede afectar la Inteligencia de los niños. Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Correlación de Spearman: 1) Hallar el coeficiente de de Spearman comparando las edades con ~valuación: Edades

Evaluación

Resp:

- 0,2

2) Hallar el coeficiente de de Spearman comparando el número de vendedores con el volumen de ventas, que se da a continuación: Número de vendedores

Volumen de ventas (miles)

650

240

Resp:

0,9375.

3) Hallar el coeficiente de de Spearman comparando las tallas con pesos: Tallas (cm)

125

145

198

180

174

152

166

182

180

173

162

171

Peso (kg)

Resp:

0,7850

12241

L e e e

o n

5.4 Análisis de series cronológicas El análisis de las series cronológicas o series de tiempo, se utiliza para descubrir los patrones de cambio en la información estadística durante intervalos regulares de tiempo. Estos patrones se proyectan para llegar a una estimación del futuro. Así pues, el análisis de series de tiempo nos ayuda a sortear la incertidumbre ante el porvenir. Es característica en este tipo de análisis que la variable independiente (X) es necesariamente el tiempo y la información a analizar necesariamente debe estar en términos: mensuales, trimestrales, etc.; es decir antes del año, por que la información anual contiene en promedio la influencia de los componentes de la variable dependiente (Y).

5.4.1 Componentes de una serie de tiempo Existen cuatro componentes en la variable dependiente de una serie de tiempo o serie cronológica, que son:

5.4.1.1 Variaciones cíclicas (e) Son aquellos movimientos repetitivos a largo plazo (más de un año). La variación cíclica es el componente de una serie de tiempo que tiende a oscilar por encima y por

12251

ESTADíSTICA

debajo de la línea de tendencias secular durante periodos mayores que un año. Cuando se analiza series de tiempo con pocos años, esta variación casi no se percibe.

5.4.1.2 Variaciones estaciona les (S) Son aquellos movimientos o cambios repetitivos a corto plazo (dentro de un año). A fin de detectar la variación estacional, hay que medir los intervalos de tiempo en unidades pequeñas, digamos en días, semanas, meses, o trimestres. En una serie de tiempo la influencia estacional es muy fuerte en el corto plazo, de allí la preocupación del investigador hallar el índice estacional de cada: día; mes, trimestre, etc., para proyectar los datos con mayor exactitud, al incluir en la estimación el valor estacional.

5.4.1.3 Variaciones irregulares (1) Son aquellos cambios intempestivos y están relacionados generalmente con: paros, catástrofes naturales, guerras, etc. este tipo de variaciones no obedecen patrones y se pueden presentar en cualquier momento afectando 'directamente a la influencia estacional en el corto plazo.

5.4.1.4 Tendencia (T) Representa una orientación de los datos que en una función matemática, se encuentra medida por la pendiente. Si Y = f(X), donde "X" es el tiempo "Y" es: y

= (T, e, s, 1)

5.4.2 Promedios móviles en una serie de tiempo (PM) El promedio móvil consiste en tomar un grupo definido de datos y obtener el promedio de los mismos; luego se deja el primer dato del grupo y se completa con el dato siguiente, de tal manera que el tamaño del grupo siempre sea el mismo, luego se deja el primer dato de este último grupo y se completa con el dato siguiente; así sucesivamente, hasta tomar el último dato de toda la serie de tiempo. El nombre de promedios móviles obedece a que el grupo se mueve dato por dato que se van agregando al grupo. En una serie de tiempo el promedio móvil tiene la particularidad de conservar en cada promedio la tendencia y las variaciones cíclicas. Si usted divide el valor de la variable dependiente (Y) con sus cuatro componente, entre el promedio móvil correspondiente en el tiempo, el cociente resultante contiene las variacionesestacionales y las variaciones irregulares. ~=TCSI=SI PM TC

12261

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

Como en una serie de tiempo estos datos se repiten para un mismo periodo que puede ser: día, mes, trimestre, etc., se puede separar la Variación Estacional de la Variación Irregular escogiendo el valor MEDIANA entre todos los valores del mismo periodo. Ejercicios resueltos 1) Hallar los promedios móviles de cinco en cinco de la siguiente serie: Tallas (cm) Solución: (125 + 145 + 198 + 180 + 174) / 5 (145 + 198 + 180 + 174 + 152)/5 (198 + 180 + 174 + 152 + 166) /5 (180 + 174 + 152 + 166 + 182) / 5 (174 + 152 + 166 + 182 + 180)/5 (152 + 166 + 182 + 180 + 173) / 5 (166 + 182 + 180 + 173 + 162) / 5 (182 + 180 + 173 + 162 + 171)/5

Primer grupo: Segundo grupo: Tercer grupo: Cuarto grupo: Quinto grupo: Sexto grupo: Séptimo grupo: Octavo grupo: Tallas 125 (cm)

145

Prom. Móvil

164,4 169,8 154,0 170,8 170,8 170,6 = 172,6 173,6

822/5 849/5 870/5 854/5 854/5 853/5 863/5 868/5

198

180

174

152

166

182

180

173

164,4

169,8

154,0

170,8

170,6

172,6

173,6

162

171

El alumno debe observar que el Promedio Móvil cae siempre en el centro del grupo 2) Hallar los promedios móviles de tres en tres de la siguiente serie:

Solución: Peso 38

55,67

72,67

84,67

63,67

67,33

76,67

75,33

(kg)

Prom. Móvil

12271

ESTADíSTICA

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre promedios móviles. 1) Hallar los promedios móviles de tres en tres de la siguiente serie:

Respuesta:

Edades

23,67

26,33

Prom. Móvil

2) Hallar los promedios móviles de tres en tres de la siguiente serie:

Respuesta:

Evaluación

Prom. Móvil

66,67

3) Hallar los promedios móviles de cinco en cinco de la' siguiente serie:

I Número de vendedores ~ Respuesta:

Número de vendedores

Promedio Móvil

4,2

6,8

7,6

4) Hallar los promedios móviles de cinco en cinco de la siguiente serie:

IVolumen de ventas (miles) Respuesta:

Volumen de ventas (miles)

I~ 45

240

Promedio Móvil

37,8

158,8

190,4

650

240

5.4.3 Índice estacional en una serie de tiempo Para hallar el índice estacional por medio de los promedios móviles, se debe analizar toda la información de la serie de tiempo y cuando más datos se tienen es mejor. En la elección de los grupos para el promedio móvil, depende a que nivel se va a obtener el Índice Estacional; por ejemplo: si el índice es mensual, el grupo será por doce meses, si el índice es trimestral, el grupo se tomará por cuatro trimestres, etc. El grupo de datos que conforme el promedio móvil utilizado en una serie de tiempo debe ser anual, para obtener el índice estacional que esta dentro del año.

12281

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

Ejercicio resuelto Hallar el índice estacional de la siguiente serie de tiempo con la producción mensual en miles que a continuación se da: Producción en miles de soles Mes! Años Enero

2005 4,4

Febrero

8,3

Marzo

7,5 2,7 1,4

Abril Mayo Junio Julio Agosto

Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

0,8 1,8 15,0 33,1 17,0 8,5 7,7

2006 5,0 6,8

2007 5,9 7,1

2008 8,3 4,9

7,8 7,0

5,3 3,6 3,2 2,2 1,4

5,2 3,5 2,3 1,4 1,1 7,0

5,5 4,1 4,3 12,0 32,8 15,1 7,1 7,2

9,5 23,3 13,4 7,3 9,3

25,6 19,3 9,6 6,5

2009 5,4 3,9 6,2 3,6 2,3 1,8 1,8 9,0 28,8 15,5 6,7 7,4

Solución: Para hallar el índice estacional, se deben realizar varios pasos que para ordenarlos mejor, se definen las siguientes columnas que se dan a continuación: Columna (1):

Contiene los años dados en el ejercicio.

Columna (2):

Contiene los meses dados en el ejercicio.

Columna (3):

Contiene la producción mensual del ejercicio.

Columna (4): Contiene las sumas móvil de 12 en 12, (nótese que la suma centro de los doce datos y por ser grupo par, esta descentrado).

esta al

Columna (5):

Contiene la suma móvil de dos en dos datos descentrados (Columna 4) con el objeto de centrarlos a un determinado periodo (mes).

Columna (6):

Contiene el valor de la columna contiene doble grupo de 12.

Columna (7):

Contiene S. l.; es decir, las variaciones estaciona les junto a las variaciones irregulares.

12291

(5) entre 24 por que dicha columna

ESTADíSTICA

Anos

Meses

(1)

(2)

Produccion (en miles) (3)

Suma de 12 meses (4)

Dos grupos de 12 De la col, anterior (5)

Prom. IS.l Móvil/ 24 Pr aducción (3) (6) Promedio Móvil (6) (7)

2005

Enero Febrero Marzo ¡A0nl Mayo uuruo

4,4 t¡,3 7,5 2,7 1,4 U,t¡

pullo

1,S

108,2 217,U

9,0

0,2000

216,1

9,0

1,6667

214,9

9,0

3,6778

219,5

9,1

1,8681

227,9

9,5

0,8947

235,3

9,8

0,7857

241,1

1u,U

0,5UUU

L40,0

1U,U

U,Ot¡UU

L37,3

9,9

0,7t¡79

L35,1

9,t¡

0,7143

L31,t¡

9,/

U,507U

2L9,9

9,0

U,4L71

230,3

9,0

U,4479

L31,5

9,0

1,L5UU

L29,3

9,6

3,4167

223,4

9,3

1,6237

L17,7

9,1

O,7S02

108,8 ¡Agosto

15,0 107,3

Septiembre

33,1 1U7,0

Octubre

17,0 111,9

INovlembre

8,5 110,U

DIciembre

7,7 119,3

2006

Enero

5,0 1L1,8

Febrero

6,8 l1S,S

Marzo

7,8 i is.s

¡Aoril

7,0 116,6

Mayo

5,5 115,2

uuruo

4,1 114,7

uuuo

4,3 115,6

Agosto

1L,U 115,9

septiembre

3L,8 113,4

Octubre

15,1 110,0

NOViembre

7,1 107,7

12301

WAL TE R CÉS PEDES

Diciembre

7,2

RAM íREZ

213,5

8,9

0,8090

208,7

8,7

0,6782

203,3

8,5

0,8353

191,3

8,0

0,6675

180,1

7,5

-U,4--SUU

178,6

7,4

-U,4324

180,9

7;5

0,2933

185,3

7,7

0,1818

185,6

7,7

1,2338

183,3

7,6

3,0658

183,1

7,6

1,7632

182,1

7,6

0,9605

180,4

7,5

1,2400

179,3

7,5

1,1067

176,5

7,4

lJ~652L

176,3

7,4

W1J27

184,5

7,7

0,4545

192,7

8~-O

0,2B75

192,2

-a-;u

l),I75lJ

186,5

7,8

-U,14m

182,6

7,6

0,9211

182,6

7,6

3,3684

183,7

7,6

2,5395

183,8

7,7

1,2468

105,8 12007

Enero

5,9 102,9

Febrero

7,1 100,4

Marzo

5,3 90,9

f,bnl

3,6

Mayo

3,2

89,2 89,4 [lunio

2,2 91,5

~ulio

1,4 93,9

f,gosto

9,5 91,7

Septiembre

23,3 91,6

Octubre

13,4 91,5

Noviembre

7,3 90,0

Diciembre

9,3 89,8

2008

Enero

8,3 89,5

Febrero

4,9 87,0

Marzo

5,2 89,3

¡Abril

3,5 95,2

Mayo

2,3 97,5

IJUnlO

1,4 94,7

lJulio

1,1 91,8

¡Agosto

7,0 90,8

Iseptlembre

25,6 91,8

Octubre

19,3 91,9

Noviembre

9,6

12311

ESTADíSTICA

Sl1,SI Diciembre

6,5

184,2

7,7

0,8442.

185,3

7,7

O,7U13

ies.o

7,8

0,5000

193,2

8,0

O,775U

1Y2.,O

~,O

U,45UU

185,Y

7,8

0,2949

183,9

7,7

0,2338

Y2.,3 2009

Enero

5,4 93,0

Febrero

J,Y 95,0

Marzo

6,2 98,2

~bril

3,0 94,4

Mayo

2,3 91,S

puruo

1,8 92.,4

pulio

1,8

~gosto

9,0

Septiembre

28,8

¡octUbre

15,5

Noviembre

0,7

Diciembre

7,4

En la serie de datos, cada vez que se agrupen siempre quedan descentrados.

una cantidad

par de datos, éstos

Para hallar los Índices Estacionales tal como se observa en la siguiente tabla, se toman los valores 5.1. (columna 7 de la serie anterior) y después de ordenarlos en forma correlativa, se procede a sacar la mediana por mes; finalmente se determina el índice estacional a partir de las medianas, con la condición de la suma de todos lo índices sea igual a 12 (12 meses). Si exactamente no es doce, entonces hay que hacer los ajustes respectivos igualando los totales, con la regla de tres simples.

12321

WAL TER

CÉSPE D ES RAMíREZ

Mes/ Años

2005

2006

2007

2008

2009

Mediana

Índice Estacional

Enero

0,5000

0,6782

1,1067

0,7013

0,6898

0,7142

Febrero

0,6800

0,8353

0,6622

0,5000

0,6711

0,6949

Marzo

0,7879

0,6625

0,7027

0,7750

0,7389

0,7650

Abril

0,7143

0,4800

0,4545

0,4500

0,4673

0,4838

Mayo

0,5670

0,4324

0,2875

0,2949

0,3637

0,3768

Junio

0,4271

0,2933

0,1750

0,2338

0,2636

0,2728

~ f,

Julio

0,2000

0,4479

0,1818

0,1410

0,1909

0,1977

Agosto

1,6667

1,2500

1,2338

0,9211

1,2419

1,2859

Septiembre

3,6778

3,4167

3,0658

3,3684

3,3926

3,5127

Octubre

1,8681

1,6237

1,7632

2,5395

1,8157

1,8800

Noviembre

0,8947

0,7802

0,9605

1,2468

0,9276

0,9604

Diciembre

0,7857

0,8090

1,2400

0,8442

0,8266

0,8558

11,5897

12,0000

TOTAL

Si se supone ausencia de estacionalidad entre los datos, valor real sería igual al promedio móvil, por lo tanto al dividirse ambos valores, el índice estacional para cada mes seria 1, por lo tanto la suma de los 12 meses, tiene que ser igual a 12; como las medianas suman 11,5897, se hace necesario hacer el ajuste correspondiente mediante la regla de tres simples a las medianas, para convertirlos en Índices Estacionales, con suma igual a 12. Ejemplo, para ajustar Enero = 0,6898 x 12/ 11,5897 = 0,7142. El procedimiento de ajuste es necesario hacerla hasta el último mes y necesariamente la suma debe dar exactamente 12 cuando se trabaja con meses.

5.4.4 Ecuación de la recta por mínimos cuadrados cuando IX = O En la serie de tiempo, como la variable independiente es el tiempo (X) y éste siempre es correlativo, entonces se puede simular valores correlativos positivos y negativos, de tal manera que la suma de X sea cero (~X O).

12331

ESTADíSTICA

Si se toma como referencia las ecuaciones por mínimos cuadrados: L Y = a (n) + b LX LXY = a LX + b LX2

( 1) (2)

Al reemplazar la suma de X por cero en la ecuación (1) desaparece "b": LY

,;" a(n)

+ b (O)

Entonces:

= I Y/n

= IXY / IX2

En la ecuación (2) desaparece "a": LXY

= a(O)

+ bLX2

Entonces:

Como habrá observado usted, es muy fácil despejar "a" y "b", cuando la suma de X es cero; pero esto no siempre es posible, sobre todo si X no tiene un valor correlativo como lo tiene una serie de tiempo. Ejercicios resueltos 1) Hallar la ecuación de la recta por Mínimos cuadrados con la L X = O Meses del 2009

Ene Feb

Mar

Abr

May Jun

Jul

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic

Ventas (millones)

5,4

6,2

3,6

2,3

1,8

3,0

28,8

15,5

6,7

7,4

3,9

1,8

Solución: X

ENERO

Y 5.4

-5.5

-29.70

30.25

FEBRERO

3.9

-4.5

-17.55

20.25 12.25

Meses del 2009

MARZO

6.2

-3.5

-21. 70

ABRIL

3.6

-9.00

6.25

MAYO

-3.45

2.25

JUNIO

2.3 1.8

-2.5 -1.5 -0.5

-0.90

0.25

JULIO

1.8

0.25

3.0

0.5 1.5

0.90

AGOSTO

13.50

2.25

SETIEMBRE

28.8

2.5

72.00

6.25

OCTUBRE

15.5

3.5

54.25

12.25

NOVIEMBRE

6.7 7.4

4.5

30.15

20.25

5.5

40.70

30.25

92.4

129.20

143.0

DICIEMBRE I

12341

WALTER

Cuando: b

CÉSPEDES

~X = O

= LXY / LX2 =

RAMíREZ

129,2/

143

L Y/n

12 = 7,7

92,4/

= 0,9

+ 0.9 (X).

7.7

2) Hallar la ecuación de la recta por Mínimos cuadrados con la L X = O Días Ventas (miles)

domingo

lunes

martes

miércoles

jueves

viernes

sábado

15,7

8,3

5,7

5,1

8,6

10,3

16,3

Solución:

Cuando:

Días

domingo

15,7

-3

- 47,1

lunes

8,3

-2

-16,6

-5,7

martes

5,7

-1

miércoles

5,1

jueves

8,6

viernes

10,3

20,6

sábado

16,3

48,9

70,0

8,7

= L Y/n

= LXY / LX2 = 8,7/28

~X = O

y =

70 / 7

= 0,31

+ 0.31 (X).

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre la ecuación de la recta con ~ X = O: 1) Hallar la ecuación de la recta por Mínimos cuadrados con la LX

Días Producción (Unid.)

= O

lunes

martes

miércoles

jueves

viernes

sábado

Resp:

12351

14,17 - 0,71 (X)

ESTADíSTICA

2) Hallar la ecuación de la recta por mínimos cuadrados con la ¿ X = O Años

2005

2006

2007

2008

2009

Producción (Unid.)

1500

1700

2000

5000

6000

Resp:

3240 + 1230 (X)

3) Hallar la ecuación de la recta por mínimos cuadrados con la ¿ X = O Trimestres

Producción (Unid.)

150

III

170

200

Resp:

= 172,5 + 15 (X)

5.4.5 Proyección de los datos con aplicación del índice estacional En esta parte del análisis, se utiliza la ecuación de la recta definida anteriormente y se hace la proyección para los periodos siguientes tomando como base la continuación del último valor de X. Ejemplo: Proyectar esta serie de datos para el año siguiente aplicando el índice estacional obtenido anteriormente: Meses del 2009

Ene

Feb. Mar

Abr

May

Jun

Jul

Ago

Sep

Oct

Nov

Dic

Ventas (millones)

5,4

3,9

6,2

3,6

2,3

1,8

3,0

28,8

15,5

6,7

7,4

-5,5

-4,5

-3,5

-2,5

-1,5

-0,5

0,5

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

Solución: Este ejercicio fue resuelto en párrafo anterior y se dieron valores a X que representan a los meses, desde Enero (-5,5) hasta Diciembre (5,5), para hacer que la ¿ X = O, con ello se obtuvo la siguiente ecuación: y = 7,7

+ 0,9X

Para proyectar Enero, el valor de X es 6,5; por que el último fue 5,5 (Diciembre). Valor que se reemplazará a X en la ecuación Y = 7,7 + 0,9X, luego el resultado de Y, será multiplicado por el Índice Estacional, de la siguiente manera: Proyección de Enero: Febrero:

7,7 + (0,9 x 6,5) 7,7 + (0,9 x 7,5)

13,55 x 0,7142 14,45 x 0,6949

Todos los cálculos están contenidos en la siguiente tabla.

1236~

9,68 10,04

WAL TER

CÉSP E D ES RAM íREZ

Y =a + bX Y = 7,7 + 0,9 X

ÍNDICE ESTACIONAL

6,5

13,55

0,7142

9,68

FEBRERO

7,5

14,45

0,6949

10,04

MARZO

8,5

15,35

0,7650

11,74

ABRIL

9,5

16,25

0,4838

7,86

MAYO

10,5

17,15

0,3768

6,46

JUNIO

11,5

18,05

0,2728

4,92

MESES para el 2010 ENERO

PROYECCIÓN

JULIO

12,5

18,95

0,1977

. 3,75

AGOSTO

13,5

19,85

1,2859

25,53

SETIEMBRE

14,5

20,75

3,5127

72,89

OCTUBRE

15,5

21,65

1,8800

40,70

NOVIEMBRE

16,5

22,55

0,9604

21,66

DICIEMBRE

17,5

23,45

0,8558

20,07

El alumno habrá observado que a pesar de utilizar la ecuación de la recta, la proyección no es una recta, por la fuerte influencia estacional. En los datos del año anterior, se ve que los valores más altos corresponden a Septiembre y a Octubre, y usted puede ver que eso mismo ocurre con la proyección.

12371

ESTADíSTICA

AU EVALUACION N° 5 Tabla 1 Años (X)

Ventas en miles

106

(Y)

1) Hallar "a" y "b" de la Regresión Lineal Simple con los datos de la tabla 1. A) -18,7 Y 24,9

B) 18,7 Y -22,7

C) -18,7 Y 22,7

D) 22,7 Y 18,7

E) -18,7 Y -22,7

2) Hallar "a", "b" y "e" de la Regresión de la Parábola con los datos de la tabla 1. A) 21,83

-12,04 Y 5,79

D) 24,37 -12,04

Y 1,87

B) 18,76

-10,36

Y -2,17

C) 21,83

E) -1,57

-21,16

Y 5,79

-18,7 Y 0,27

3) Hallar el Coeficiente de Determinación de la Regresión Lineal con los datos de la tabla 1. A) 0,8352

B) 0,8159

C) 0,8956

D) 0,9211

E) 0,9326

4) Hallar el Coeficiente de Correlación de la Regresión Lineal con los datos de la tabla 1. A) 0,9814

B) 0,9657

C) 0,8989

5) Hallar el Coeficiente de Determinación A) 0,8952

B) 0,8152

D) 0,9216

E) 0,9513

de la Parábola con los datos de la tabla 1.

C) 0,8959

D) 0,9831

E) 0,9344

6) Hallar el Coeficiente de Correlación de la Parábola con los datos de la tabla 1. A) 0,9414

B) 0,9650

7) Hallar el coeficiente siguientes datos:

A) - 0,2000

C) 0,8984

de de Spearman

comparando

D) 0,9915

E) 0,9597

el jornal

con producción

Jornal diario

125

116

130

133

145

118

Producción

B) - 0,1650

C) 0,0028

11238R

D) -0,3991

de los

E) 0,2000

W A L TE R

e É s P E D E S RA M í R E Z

8) Hallar el coeficiente de de Spearman comparando los días trabajados con el volumen de ventas, que se da a continuación: Número de días trabajados

Volumen de ventas (miles)

145

182

116

126

120

650

240

A) 0,1957

C) 0,9375

B) 0,8521

D) 0,8833

E) 0,5672

9) Hallar los promedios móviles de tres en tres de la siguiente serie:

166,00

D) 162,26

166,67

166,00 169,00

E) 162,26

166,67 166,67

A) 162,26

166,67 166,33

B) 161,00

166,67

C) 161,00

166,00 167,33

167,67 168,16 169,00

168,00

10) Hallar los promedios móviles de cinco en cinco con los siguientes datos:

A) 45,2

70,8

77,6

C) 46,9

70,2

78,6

B) 46,2

70,8

78,6

D) 44,7

70,8

78,2

E) 46,2

11) Hallar la ecuación de la Regresión Lineal Simple con ¿ X datos:

70,4

o de los siguientes

Años

2005

2006

2007

2008

2009

Producción

106

Y = 50,4 + 21,7 (X)

Y = 48,4 + 21,7 (X)

Y = 43,4 + 22,7 (X)

Y = 47,4 + 22,9 (X)

78,0

E) Y = 49,4 + 22,7 (X)

12) Con la ecuación de la pregunta 11, proyecte la producción después de 2 años. A) 140,2

B) 159,7

C) 117,5

D) 211 ,2

E) 186,2

13) Con la ecuación de la pregunta 11, proyecte la producción después de 10 años. A) 276,4

B) 321,8

C) 344,8

12391

D) 298 ,7

E) 482,4

ESTADíSTICA

14) Dado: Índice Estacional = 0,6852 Y la Recta proyección para X = 2? A) 19,70

B) 17,26

C) 13,50

23,5 - 1,9X. Cuál deberá ser la é

D) 18,71

E) 11,38

15) Dado: Índice Estacional = 0,8527 Y la Recta = - 3,5 + 3,86X. é.Cuál proyección para X = 4? A) 16,15

B) 10,99

D) 10,18

C) 13,56

Respuestas

deberá ser la

E) 18,22

control

l. C, 2. A, 3. E, 4. S, 5. D, 6. D, 7. A, 8. C, 9. S, 10. S, 11. E, 12. A, 13. S, 14. C, 15. D

~2401

W A L TE R

e É s P E D E S RA M í R E Z

EXPLORACiÓN ON LINE http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3 %B3n_lineal http://www.eumed.net/cursecon/medir/estima.htm http://apuntes.rincondelvago.com/regresion-y-correlacion .html http://www.monografias.com/trabajos27 /regresion-simple/regresion-simple.shtml

GLOSARIO ecuaciones simultáneas.

Ecuaciones que tienen incógnitas con el mismo valor en todas ellas. El término simultánea obedece a que para hallar tales incógnitas, se resuelve en forma simultánea, entre otros métodos de solución. Se utiliza en la regresión y correlación.

función matemática.

Ecuación con dos o más variables, donde una de ellas llamada generalmente "Y", es dependiente de la o las otras variables independientes, llamadas generalmente "X" o "Xi". Se utiliza en la regresión y correlación.

mejor ajuste.

Función matemática que representa mejor los datos estimados (regresión), con relación a sus correspondientes datos reales tomando como base la variable independiente "X". Se utiliza en la regresión y correlación.

no paramétrico.

Término utilizado estadística mente en una investigación, cuando se analiza una variable no numérica. La utiliza la Estadística Descriptiva como resultado de un censo y también la Estadística Inferencial como resultado de una estimación.

variable independiente.

Término utilizado en una función matemática, en donde esta variable puede asumir cualquier valor, y como consecuencia, la otra variable que la acompaña en la misma función queda representada dependiendo de dicho valor. Se utiliza en la regresión.

12411

L e e e

o n

6.1 Número índice El número índice es una medida estadística diseñada para poner de relieve cambios en una variable o en un grupo de variables relacionadas con respecto a: el tiempo, la situación geográfica, el ingreso o cualquier otra característica. Este tipo de número puede definirse también como un valor relativo en tanto porciento, que permite medir en que proporción una variable ha cambiado con el tiempo. El Número Índice es el cociente del valor actual entre un valor base, luego se multiplica el número resultante por 100 para expresar el índice como un porcentaje. El índice correspondiente al periodo base siempre es 100%, no interesando el tipo de información o el método de cálculo. También se puede decir que un Número Índice es una medida estadística que tiene como finalidad medir el tamaño o magnitud de una variable de interés en un determinado momento con relación a otro momento pasado, para comparar su variación en el tiempo.

6.1.1 Nociones sobre números índices Los Índices son aplicable a cualquier actividad, ya sea: económica, administrativa, social, cultural, médica, financiera, etc. Pero en esta unidad solo se tocará la actividad económica por tener múltiples aplicaciones.

12451

ESTADIsTICA

Los tipos de índices a tratar en la unidad son: 1° Índices de precios (P) 2° Índices de cantidad o de Quantum (Q) 3° Índice de Valor (V) Tales indicadores utilizan: Po p¡ qo q¡

: Precio de un bien en el periodo base : Precio de un bien en el periodo dado ( i = 1, 2, 3, ..... ) : Cantidad de un bien en el periodo base : Cantidad de un bien en el periodo dado ( i = 1, 2, 3, .....)

6.1.2 Clasificación de los Números Índices por su contenido Según su contenido los números índices son de dos naturalezas: índices simples e índices compuestos.

6.1.2.1 índice simple Son indicadores que contienen una unidad de información; es decir, un solo dato o un solo artículo llamado dado, entre otro dato o artículo llamado base, por 100. Este tipo de índice nos permite analizar la variación de los datos en forma individual. P =

p. _1

Q =

(100)

q. _1

r.« (100)

V = _1_1

(100)

Poqo

Ejercicio resuelto: 1) Tomando como año base el 2006, hallar los Índices Simples de: Precio, Cantidad y de Valor; con los siguientes datos: Precio

Cantidad

Años

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Artículo A

2,50

2,80

3,20

2,90

124611

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

Solución: a) Cálculo de los Índices de Precio:

p. _1_

(100)

P2006

P(2006)

---

= 2,50 (100)= 100,0% 2,50

(l00)

P2006

P2OO7

P(200?)

(l00)

= 2,80 (100) = 112,0% 2,50

(l00)

= 3,20 (100)= 128,0% 2,50

(l00)

= 2,90 (100)= 116,0% 2,50

P2OO6

P2OO8

P(2008)

P2OO6

P(2009)

P2OO9 P2OO6

b) Cálculo de los Índices de Cantidad:

••

q. _1

(l00)

Q(2006)

q2006

(l00)

2 (l00) = 100,0%

q2006

Q(200?)

= Q2007

(l00)

= - (l00) = 160,0% 5

(l00)

140,0%

(l00)

= ~ (100) 5

120,0%

Q2006

Q(2008)

= Q2008

Q2006

Q(2009)

Q2009 Q2006

12471

ESTADíSTICA

e) Cálculo de los Índices de Valor:

r,«, (100)

V(2DD6)

poqo

V(2DD7)

2,8x8

P2007Q2007

(100)

---

2,5x5 3,2x7

= P2008Q2008

(100)

P2006Q2006

V(2DD9)

(100)

---

2,5x5 2,9x6

= P2009Q2009

(100)

P2006Q2006

= --

2,5x5

25x5

= -'-

P2006q2006

P2006Q2006

V(2DDB)

P2006q2006

2,5x5

(100)

179,2%

(100)

179,2%

(100)

139,2%

(100)

100,0%

Como debe haber observado el alumno, todas las operaciones hechas son iguales; es decir, dividir una cifra dada entre otra cifra base, por cien. El índice del año base generalmente no se calcula por que siempre la cifra dada es igual a la cifra base, por 100. En adelante como las operaciones son sencillas, con la ayuda de la calculadora, se realizarán tales operaciones en la misma calculadora, y solo se escribirá la respuesta final ampliando la tabla de datos, donde se incluirá el índice ya calculado, tal como se observa en las siguientes tablas: Precio Años

2006

2007

2008

2009

Artículo A

2,50

2,80

3,20

2,90

Índice de Precios

100,0

112,0

128,0

116,0

Cantidad Años

2006

2007

2008

2009

Artículo A

Índice de Cantidad

100,0

160,0

140,0

120,0

Valor

= Precio x Cantidad

Años

2006

2007

2008

2009

Artículo A

12,5

22,4

17,4

Índice de Valor

100,0

179,2

139,2

De esta manera se ahorra tiempo y esfuerzo en el cálculo de los Números Índices. 12481

WAL TER

CÉS PED ES RAM íREZ

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Índices simples: 1) Hallar el índice del día martes con relación al lunes: Días

lunes

Martes

Producción (Unid.)

17 Resp:

113,3%

2) Hallar el índice del día viernes con relación al sábado: Días

viernes

sábado

Producción (Unid.)

10 Resp:

160,0%

3) Hallar el índice del 2009 con relación al 2007: Años

2007

2008

2009

Arroz

2,80

3,20

2,90 Resp:

103,6%

4) Hallar el índice del 2008 con relación al 2009: Años

2007

2008

2009

Arroz

2,80

3,20

2,90 Resp:

110,3%

6.1.2.2 índice compuesto Son indicadores que contienen un conjunto de datos; para calcular estos índices, es conveniente primero dar un tratamiento a los datos, dependiendo de la modalidad de cálculo. Este tipo de índice nos permite analizar la variación de los datos en forma conjunta y por sus características muy marcadas, estos índices se verán en la siguiente lección.

12491

L e e e

o n

6.2 Métodos para calcular índices compuestos Existen diferentes manera de cómo calcular un índice compuesto, en esta unidad se verán los más importantes

6.2.1 Índices de agregados no ponderados Son indicadores que contienen la suma de una determinada variable; es decir, cuando se tienen varios datos de una misma variable, se juntan los datos correspondientes al periodo dado, luego se dividen entre la suma de los datos del periodo señalado como base, por 100. Este tipo de índice nos permite analizar la variación de los datos en su conjunto, donde la variación individual no tiene importancia; por lo tanto, es útil para conocer: el consumo familiar, el consumo en materias primas, el gasto diario o mensual de una persona, etc. Pero tiene la desventaja de que una variación en los artículos de costos bajos no afectan tanto al índice como lo hace una variación de los artículos de costos altos. Otra desventaja de este índice es que, cuando las cantidades tienen unidades diferentes, no se puede calcular el índice de cantidad; por ejemplo, córno sumar 4 litros de leche con 6 kilos de arroz y 20 panes? é

'L.q.

L'..p. P

L'..po

(100)

Q = __

(100)

'L.qo

12511

ESTADíSTICA

Ejercicio resuelto 1) Tomando como año base el 2006, hallar los Índices de Agregados no ponderados de: Precio, Cantidad y de Valor; con las siguientes marcas de un mismo artículo adquirido en el tiempo: Precio

Cantidad

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

12,20

12,80

19,20

20,90

Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

Artículos \ Años

Solución: a) Cálculo de los Índices de Precios: PreCio Artículos

2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

12,20

12,80

19,20

20,90

Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

Años

~ Índice de Precios

37,50

38,50

46,50

50,50

100,0

102,7

124,0

134,7

El índice de precios se ha hallado, dividiendo las sumas como si fueran índices simples de cada uno de los años dados entre la suma del año base (37,50), por cien b) Cálculo de los Índices de Cantidad: Cantidad 2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

Marca Loly

Marca Tito

Artículos

Años

~ Índice de Cantidad

100,0

183,3

150,0

200,0

12521

¡ 1-

WAL TER

e ÉS PEO ES RAM íREZ

e) Cálculo de los Índices de Valor:

= Precio x Cantidad

Valor Artículos

2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

61,00

102,40

115,20

125,40

Marca Loly

42,30

72,00

31,60

114,80

Marca Tito

44,80

101,70

115,00

145,20

148,10

276,10

261,80

385,40

100,0

186,4

176,8

260,2

Años

I Índice de Valor

Para el cálculo del índice de valor, primero se debe multiplicar cada precio por su respectiva cantidad (del mismo periodo o año), luego sumar todos valores de cada año; finalmente, el índice se obtiene dividiendo las sumas de los productos de cada año entre la suma de los productos del año base (148,10), como si fueran índices simples, por cien.

Resolver los ejercicios propuestos sobre Índices de agregados No Ponderados: 1) Hallar el índice de agregados no ponderados tomando como base el 2007:

Gastos

alimentos

Vestidos

2007

161,00

102,40

2008

142,30

122,00

salud

educación

45,20

125,40 163,80

31,60 Resp: 105,9%

2) Hallar el índice de agregados no ponderados tomando como base el 2008:

Gastos

alimentos

Vestidos

2007

161,00

102,40

2008

142,30

122,00

salud

educación

45,20

163,80 31,60 Resp: 94,4%

12531

125,40

ESTADíSTICA"

3) Hallar el índice de agregados no ponderados tomando como base el 2006:

Insumos

telas

Botones

hilos

2006

2161,00

103,80

25,20

2009

3142,30

129,00

27,60 Resp: 144,1%

4) Hallar el índice de agregados no ponderados tomando como base el' 2007:

Compras

papel

cuadernos

lapiceros

folder

2007

105,00

32,40

45,20

145,40

2009

140,80

22,00

61,60

157,80

Resp: 116,5%

6.2.2 Índices de promedios relativos no ponderados Son indicadores que contienen la suma de los índices simples de una determinada variable periodo tras periodo; es decir, cuando se tienen varios datos de una misma variable en distintos periodos, se calculan los índices individuales tal como se calculan los índices simples multiplicados por 100, luego se suman estos índices simples y se dividen entre el número datos de la variable de cada periodo, para obtener así el promedio. Este tipo de índice nos permite analizar la variación de los datos en forma individual y a la vez, nos indica como han variado en conjunto. Aquí todos los artículos tienen la misma importancia, es decir que no interesa si ha variado un artículo de menor costo o un artículo de mayor costo, simplemente analiza la variabilidad entre los artículos.

¿_l p

Po n

¿_l (100)

(100)

qo n

12541

¿ p¡q¡ (100) V=

Poqo n

WAL TER

CÉSP EDES

RAMfREZ

Ejercicio resuelto 1) Tomando como año base el 2006, hallar los Índices de Promedios Relativos No Ponderados de: Precio, Cantidad y de Valor; con las siguientes marcas de ropa: Precio Artículos

Años

Marca Alfa

Cantidad

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

12,20

12,80

19,20

20,90

Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

Solución: a) Cálculo de los Índices de Precios: Precio Artículos

Años

Índices Simples

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

12,20

12,80

19,20

20,90

100,0

104,9

157,4

171,3

Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

100,0

102,1

112,1

116,3

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

100,0

100,9

102,7

117,9

300,0

307,9

372,2

405,5

¿_l P =

(100)

Po n

372,2 P(2008)

300 P(2006)

124,1%

100,0%

405,5 P(2009)

12551

307,9 P(2007)

135,2%

102,6%

ESTADíSTICA

b) Cálculo de los Índices de Cantidad: Cantidad Artículos

Años

Índices Simples

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

100,0

160,0

120,0

Marca Noly

100,0

166,7

66,7

233,3

Marca Tito

100,0

225,0

250,0

275,0

300,0

551,7

436,7

628,3

¿_l

(100)

qo n

Q (2006)

Q(2008)

300

100,0%

Q(2007)

3 436,7 = 145,6 3

Q(2009)

551,7

= 183,9%

628,3

209,4%

e) Cálculo de los Índices de Valor: Valor = Precio x Cantidad

Índices Simples

Artículos \ Años

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

61,00

102,40

115,20

125,40

100,0

167,9

188,9

205,6

Marca Noly

42,30

72,00

31,60

114,80

100,0

170,2

74,7

271,4

Marca Tito

44,80

101,70

115,00

145,20

100,0

227,0

256,7

324,1

300,0

565,1

520,3

801,1

(100)

300 V (2006)

565,1

V(2007)=

520,3 V(2008)

100,0%

12561

-3- = 188,4%

801,1 173,4%

V(2009)

267,0%

WAL TER

CÉSPE DES

RAM fREZ

Resolver los ejercicios propuestos sobre Índices de promedios relativos No Ponderados: 1) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2006: Insumos

telas

Botones

hilos

2006

2161,00

103,80

25,20

2009

3142,30

129,00

27,60 Resp: 1?6,4%

2) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2007: vestidos

camisas

pantalones

2007

1964,00

489,00

693,00

2009

2245,00

588,00

784,00

Ventas

Resp: 115,9%

3) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2008 cine

discoteca

concierto

2008

108,00

496,00

215,00

2009

126,00

288,00

198,00

Recreación

Resp: 89,0%

4) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2009 Compras

cortinas

arto decorativos

pinturas

2008

1108,00

4096,00

1215,00

2009

1026,00

2988,00

2198,00 Resp: 100,1%

6.2.3 Índices de agregados ponderados Son indicadores de tipo compuesto porque contienen un valor producto de la multiplicación de precio por cantidad. Estos índices a pesar de contener valores no son índices de valor, por que uno de los componentes es una ponderación o factor del otro; es decir, que multiplica por igual al numerador que está en el periodo dado y al denominador que está en el periodo base, sin variar.

12571

ESTADíSTICA

Como los índices trabajan con dos periodos, uno llamado dado y el otro llamado base; los Índices de Agregados Ponderados tienen también dos tipos de ponderaciones, que son:

6.2.3.1 índice de agregados ponderados por el método de Laspeyres Este índice utiliza como ponderación al periodo base, nos permite analizar la variación de los datos en su conjunto, suponiendo que el elemento utilizado como ponderación se mantiene constante con relación al periodo base. En el Perú se utiliza el índice de precios por este método, para calcular el Índice de Precios del Consumidor conocido como "Costo de Vida".

El alumno habrá observado en la fórmula, que el índice de precios tiene como ponderación a la cantidad en el periodo base, por que son iguales arriba y abajo; y, el índice de cantidad tiene como ponderación al precio, por la misma razón. Ejercicio resuelto Tomando como año base el 2006, hallar los Índices de Agregados ponderados por el método de Laspeyres de Precio y de Cantidad; con las siguientes marcas de ropa: Precio Artículos

\ Años

Cantidad

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

12,20

12,80

19,20

20,90

Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

Solución: Datos del ejercicio con el indicador, que son necesarios para hallar el índice de precio. Precio

Cantidad

Años

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Artículos \ Indicador

Po 12,20

Pl 12,80

P2 19,20

P3 20,90

qo 5

q3 6

Marca Alfa Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

12581

W A L TE R

e É s P E D E S RA M í R E Z

a) Cálculo de los Índices de Precios: Precio variable por qo Años

2006

2007

2008

2009

\ Indicador

Poqo 61,00

P1 q¿

Marca Alfa

64,00

P2 qo 96,00

P3qo 104,50

Marca Noly

42,30

43,20

47,40

49,20

Marca Tito

44,80

45,20

46,00

5~,80

148,10

152,40

189,40

206,50

Artículos

Lp¡qo

(100)

LPoqo

P(2006)

148,1 (100) = 100,0% 148,1

P(2007)

152,4 (100) 148,1

102,9%

P(2008)

189,4 (100) = 127,9% 148,1

P(2009)

206,5 (100) 148,1

139,4%

Datos del ejercicio cantidad.

con el indicador,

que son necesarios

para hallar el índice de

Precio

Cantidad

Años

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

\ Indicador

Marca Alfa

Po 12,20

P1 12,80

P2 19,20

P3 20,90

qo 5

ql 8

q2 6

q3 6

Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

Artículos

12591

ESTADfsTICA

b) Cálculo de los Índices

de Cantidad: Cantidad

Años

variable

por Po

2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

Po qo 61,00

Poql 97,60

Poq2 73,20

Poq3 73,20

Marca Noly

42,30

70,50

28,20

98,70

Artículos

Indicador

Marca Tito I

'L.Poq¡ 'L.Poqo

Q(2008)

6.2.3.2

100,80

112,0

123,20

268,90

213,40

295,10

(100)

148,1 (100) 148,1

Q (2006)

44,80 148,10

100,0%

213,4 (100) = 144,1% 148,1

índice de agregados

Q(2007)

268,9 (100) 148,1

Q(2009)

295,1 (100) = 199,3% 148,1

181,6%

ponderados por el método de Paasche

Este índice utiliza como ponderación al periodo dado, nos permite analizar la variación de los datos en su conjunto, suponiendo que el elemento utilizado como ponderación varía según el periodo dado (consumo real).

El alumno habrá observado en la fórmula, que el índice de precios tiene como ponderación a la cantidad en el periodo dado, por que son iguales arriba y abajo; y, el índice de cantidad tiene como ponderación al precio, por la misma razón. Ejercicios

resueltos

Tomando como año base el 2006, hallar los Índices de Agregados ponderados por el método de Paasche de Precio y de Cantidad; con las siguientes marcas de ropa:

12601

WAL TER CÉS PEDES RAM íREZ

Precio Artículos

\ Años

Cantidad

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Marca Alfa

12,20

12,80

19,20

20,90

Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

Solución: Datos del ejercicio con el indicador, que son necesarios para hallar el ín9ice de precio. Precio

Cantidad

Años

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Indicador

Marca Alfa

Po 12,20

P2 P1 12,80 . 19,20

P3 20,90

qo 5

ql 8

q2 6

q3 6

Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

Artículos

a) Cálculo de los Índices de Precios: Precio variable por Cantidad varo Años

2006

2007

2008

2009

Artíc.\ Indicad.

Poqo

P1 ql

P2 q2

P3q3

Marca Alfa

61,00

102,40

115,20

125,40

Marca Noly

42,30

72,00

31,60

114,80

Marca Tito

44,80

101,70

115,00

145,20

148,10

276,10

261,80

385,40

148,10

Cantidad variable por Po

2006

2007

2008

Poql

Poq2

61,00

97,60

73,20

42,30

70,50

28,20

44,80

100,80

112,0

268,90

213,40

'i:.p¡q¡ (100) 'i:.Poq¡

P(2006)

148,1 (100) 148,1

P(2OO8)

261,8 (100) 213,4

100,0%

122,7%

12611

P(2007)

276,1 (100) 268,9

P(2OO9)

385,4 (100) = 130,6% 295,1

102,7%

ESTADfsTICA

Datos del ejercicio con el indicador, que son necesarios para hallar el índice de cantidad. Precio

Cantidad

Años

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Indicador

p¡

P3 20,90

q¡

12,80

P2 19,20

Marca Alfa

Po 12,20

q2 6

q3 6

Marca Noly

14,10

14,40

15,80

16,40

Marca Tito

11,20

11,30

11,50

13,20

Artículos

b) Cálculo de los Índices de Cantidad: Precio variable por qo

Precio variable por Cantidad varo Años

2006

2007

2008

2009

2006

2007

2008

2009

Artíc.\ Indicad.

Po qo

p¡ q¡

Pz qz

P3 q3

Po qo

,p¡ qo

Pz qo

P3 qo

Marca Alfa

61,00

102,40

115,20

125,40

61,00

64,00

96,00

104,50

Marca Noly

42,30

72,00

31,60

114,80

42,30

43,20

47,40

49,20

Marca Tito

44,80

101,70

115,00

145,20

44,80

45,20

46,00

52,80

148,10

152,40

189,40

206,50

148,10

276,10

'LPiqi 'Lp¡qo

(100)

261,80

Q (2006)

148,1 (l00) 148,1

Q(2008)

261,8 (100) = 138,2% 189,4

385,40

100,0%

Q(2007)

= 276,1 (100)

Q(2009)

= 385,4 (l00) = 186,6%

181,2%

152,4

206,5

Nota importante: El hecho de haber utilizado el mismo ejemplo para casi todos los métodos de cálculo de los índices, obedece únicamente a que solo de esta manera, el alumno puede sacar sus propias conclusiones sobre las características de cada método.

12621

WALTER

Resolver los siguientes Ponderados:

CÉSPEDES

ejercicios

RAMíREZ

propuestos sobre Índices

de Agregados

1) Hallar el índice de precios de Laspeyres con los siguientes datos: Precio Artículos

base

Cantidad

actual

base

actual

5,20

8,80

14,10

12,40

89,20

91,30

'90

Resp: 105,0 2) Hallar el índice de cantidad de Laspeyres con los siguientes datos: Precio Artículos

base

Cantidad base

actual

5,20

actual 8,80

14,10

12,40

89,20

91,30

Resp: 215,2 3) Hallar el índice de precios de Paasche con los siguientes datos: Precio Artículos

Cantidad base

actual

5,20

actual 8,80

14,10

12,40

89,20

91,30

base

Resp: 104,3 4) Hallar el índice de cantidad de Paasche con los siguientes datos:

Precio Artículos

base

Cantidad base

actual

8,80

14,10

12,40

89,20

91,30

5,20

actual

Resp: 213,7

12631

~ II

L e e e

~ f

o n

6.3 Cambio de base del índice Suponiendo que se han elaborados los índices por cualquier método de cálculo y se nos dice que el periodo base utilizado no es el más representativo y se tiene que cambiar de base; cuando se presenta este tipo de situación, no es necesario volver a calcular el índice utilizando otra base, por que se puede utilizar el índice calculado como dato y luego se le da el mismo tratamiento como si fuera un índice simple.

p =

p. _1

(100)

Q =

q. _1

(100)

v· (100)

V = _1_

12651

ESTADíSTICA

Ejercicios resueltos 1) Cambiar

la base del Índice de Precio para el 2008: Precio Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

102,7

124,0

134,7

Solución: Todos los índices serán divididos

entre

124,0 que es la nueva base.

P(2006)

100,0 (l00) 124,0

80,6%

P(2007)

102,7 (l00) 124,0

82,8%

P(2008)

124,0 (l00) 124,0

100,0%

P(2009)

134,7 (100) 124,0

108,6%

2) Cambiar

la base del Índice de Cantidad

para el 2008: Cantidad

Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

183,3

150,0

200,0

Q (2006)

100,0 (l00) 150,0

66,7%

Q(2007) =

183,3 (l00) 150,0

122,2%

Q(2008)

150,0 (l00) 150,0

100,0%

Q(2009)

200,0 (100) 150,0

133,3%

3) Cambiar

la base del Índice de Valor para el 2008. Valor = Precio x Cantidad Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

186,4

176,8

260,2

12661

WALTER

CÉSPEDES

RAMfREZ

V (2006)

100,0 (100) 176,8

56,6%

V(2007)

V(2008)

176,8 (100) 176,8

100,0%

V(2009)

186,4 (100) 176,8

105,4%

260,2 (100) 176,8

147,2%

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Cambio de Base. 1) é.Cuál es el índice del 2007 con base al 2008? Cantidad Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

183,3

150,0

200,0

2) z.Cuál es el índice del 2009 con base al 20077 Cantidad Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

183,3

150,0

200,0

3) Cambiar la base del índice del martes con relación al jueves: Valor Días

lunes

martes

miércoles

jueves

Índice

100,0

186,4

176,8

260,2

4) Cambiar la base del índice del lunes con relación al miércoles: Valor Días

lunes

martes

miércoles

jueves

Índice

100,0

186,4

176,8

260,2

12671

l t i

L e e e

o n

6.4 Variaciones dellndice .•

Cuando no se conoce sobre la composición de los Números Índices, es muy fácil engañar al lector. Por ejemplo si se quiere mostrar indicadores o índices con magnitud alta, se utiliza como periodo base, el periodo de menor cuantía; en caso contrario, se utiliza como periodo base el de mayor cuantía; por un lado el lector ve índices bastantes altos y por el otro lado ve índices bajos, sin saber que han sido calculados con la misma información. La única manera de saber que dos índices de magnitudes diferentes, realmente son iguales por que fueron calculados con la misma información, es mostrando las variaciones que han tenido en el tiempo. Por consiguiente dos índices distintos por su magnitud, son iguales; si tienen las mismas variaciones.

12691

ESTADíSTICA

Tales variaciones pueden ser de dos tipos:

6.4.1 Variaciones con relación a un periodo de referencia Este tipo de variación, se calcula igual como si fuera un cambio de base con la diferencia de que el divisor es el índice que corresponde al periodo de referencia, menos 100%. Al restar 100 al índice calculado, nos queda la variación con relación a un periodo de referencia.

Varo P

(100)-100

Varo Q

V·

q. _1

Varo V = _1_'

(100)-100

Ejercicios resueltos 1) Hallar las variaciones del índice con relación al 2006. Precio Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

102,7

124,0

134,7

Solución: Todos los índices serán divididos entre 100,0 (índice del 2006) y el resultado multiplicado por 100, para luego restarle 100.

Var(2006)

100,0 (100) -100 100,0

Var(2008) =

124 O --' (100) -100 100,0

= 0,0%

Var(2007)

102,7 (100) -100 100,0

24,0%

Var(2009)=

1347 -'(100) -100 100,0

será

2J%

= 34,7%

Obsérvese que si usted solo hubiera restando 100 a cada uno de los índices, los resultados serían los mismos; recuerde que esto solo sucede cuando se toma como referencia el año base, en caso contrario es necesario hacer todo el proceso completo. 2) Hallar las variaciones del índice con relación al 2006. Precio Años

2006

2007

2008

2009

Índice

80,6

82,8

100,0

108,6

12701

WAL TE R CÉSP E D ES RAM fREZ

Solución: Todos los índices serán divididos entre 80,6 (índice del 2006) y el resultado multiplicado por 100, para luego restarle 100.

será

Var(2006)

80,6 (100) -100 = 0,0% 80,6

Var(2007)= 82,8

(100) -100 = 2,7%

Var(2008)

= 100,0 (100) -100 = 24,0%

Var(2009)= 108,6

(100) -100 = 34,7%

80,6

Si usted compara estas varracrones con las obtenidas en el ejercicio anterior, inmediatamente se da cuenta de que se tratan de los mismos índices, pese a que nominalmente son distintos.

6.4.2 Variaciones con relación al periodo anterior Este tipo de variación, se calcula igual como si fuera un cambio de base con la diferencia de que el divisor es el índice que corresponde al periodo anterior, menos 100%. Al restar 100 al índice calculado, nos queda la variación con relación al periodo anterior.

p. Varo P

q. (100) -100

Varo Q

Varo V =

(100)-100

Vi V

(100) -100

El alumno habrá notado que el cálculo de las variaciones con el año anterior, es la misma fórmula que se utilizó para ver las variaciones con relación a un periodo de referencia; es decir, que la fórmula no ha cambiado, con la salvedad de que ya no se divide entre el índice de un mismo periodo, sino que se divide entre el índice del periodo anterior. Ejercicios resueltos: 1) Hallar las variaciones del índice con relación al año anterior. Cantidad Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

183,3

150,0

200,0

q. Varo Q

Var(2007)=

(100)-100

12711

183,3

100,0

(100) -100 = 83 3% '

ESTADíSTICA

Var(2008) =

150,0 (100) -100 = - 18,2% 183,3

Las variaciones índice del periodo La variación

con relación anterior.

2) Hallar las variaciones

Var(2009) =

al 2006 no se puede

2008 es negativa, al 2007.

del

18,2% con relación

200,0 (100) -100 = 33,3% 150,0

determinar,

lo que significa

del índice con relación

por que se desconoce

que el índice

ha disminuido

al año anterior.

Valor = Precio x Cantidad

Varo V

Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

186,4

176,8

260,2

V· (100) -100 i:s:

Var(2007)

186,4 (100) -100 = 86,4% 100,0

176,8 -(100)-100=-52% 186,4 '

Var(2009)

260,2 (100) -100 = 47,2% 176,8

Var(2008) =

3) Hallar las variaciones

del índice con relación

al año anterior.

Precio Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

102,7

124,0

134,7

Solución: Varo P

p. _1

(100) -100

Var(2007) =

102,7 (100) -100 = 100,0

Var(2009)

134,7 (100)-100 124,0

Po Var(2008)

124,0 (100) -100 102,7

= 20,7%

12721

2,7%

= 8,6%

WAL TE R CÉSP E DES

RAM íREZ

Resolver los siguientes ejercicios propuestos sobre Variaciones de los Índices: 1) Hallar la variación del índice del 2009 con relación al 2007. Cantidad Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

114,3

128,0

243,0 Resp: 112,6 %

2) Hallar la variación del índice del 2009 con relación al 2008. Cantidad Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

152,4

140,0

156,0 . Resp: 11,4 %

3) Hallar la variación del índice del miércoles con relación al martes. -

Valor Días

lunes

martes

miércoles

jueves

Índice

100,0

135,4

126,8

167,2

Resp: - 6,4% 4) Hallar la variación del índice del jueves con relación al miércoles. Valor Días

lunes

martes

miércoles

jueves

Índice

100,0

106,2

117,1

126,0 Resp: 7,6 %.

5) Hallar la variación del índice de octubre con relación a agosto. Valor Meses

julio

agosto

septiembre

octubre

Índice

100,0

134,2

145,5

161,4

Resp: 20,3 %.

12731

ESTADíSTICA

6) Hallar la variación del índice de agosto con relación a septiembre. Valor Meses

julio

agosto

septiembre

octubre

Índice

100,0

134,2

145,5

161,4

Resp: - 7,8 %.

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

AUTOEVALUACIÓN N°S 1) Hallar el índice simple del café.

A) 166,1%

Año

base

actual

Café

2800

3250

B) 109,9%

D) 116,1%

C) 113,5%

E) 118,2%

2) Hallar el índice del azúcar del 2009 con relación al 2007.

A) 164,6%

Años

2007

2008

2009

Azúcar

1,40

2,40

2,50

B) 179,4%

C) 183,5%

D) 186,5%

E) 178,6%

3) Hallar el índice de agregados no ponderados. Gastos

alimentos

recreación

bebidas

transporte

Actual

145,50

48,40

14,60

25,50

Base

140,10

66,7

22,50

22,70

A) 107,6%

B) 92,9%

C) 113,5%

D) 116,8%

E) 118,1%

4) Hallar el índice de agregados no ponderados. Ventas

verduras

frutas

legumbres

hortalizas

Base

141,00

131,40

55,20

25,40

Actual

148,60

122,00

81,60

63,80

A) 117,8%

B) 199,4%

C) 113,2%

D) 84,9%

E) 111,4%

5) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2007. Gastos

alimentos

recreación

bebidas

transporte

2007

145,50

48,40

14,60

25,50

2008

140,10

66,70

22,50

22,70

B) 137,8%

C) 119,3%

A) 96,6%

12751

D) 116,1 %

E) 107,4%

ESTADIsTICA

6) Hallar el índice de promedios relativos no ponderados tomando como base el 2007. hortalizas

Ventas

verduras

frutas

legumbres

2007

141,00

131,40

55,20

25,40

2008

148,60

122,00

81,60

63,80

A) 122,9%

B) 205,4%

C) 149,3%

D) 184,7%

E) 154,3%

7) Hallar el índice de precios por el método de Laspeyres, tomando como base el 2008. Precios (promedio)

Cantidades (prom.)

Años

2008

2009

2008

2009

Alimentos

15,80

16,40

Transporte

3,50

3,80

Educación

6,10

5,50

Otros

16,30

16,80

A) 102,2%

B) 99,9%

C) 103,3%

D) 114,2%

E) 88,7%

8) Hallar el índice de cantidad por el método de Laspeyres, tomando como base el 2008. Precios (promedio)

Cantidades (prom.)

Años

2008

2009

2008

2009

Alimentos

15,80

16,40

Transporte

3,50

3,80

Educación

6,10

5,50

Otros

16,30

16,80

A) 103,3%

B) 104,1%

C) 109,5%

D) 111,1%

E) 102,7%

9) Hallar el índice de precios por el método de Paasche, tomando como base el 2008. Precios (promedio) Años

2008

2009

Cantidades (prom.) 2008

2009

Alimentos

15,80

16,40

Transporte

3,50

3,80

Educación

6,10

5,50

Otros

16,30

16,80

A) 105,5%

B) 99,4%

C) 107,7% 12761

D) 104,2%

E) 102,0%

[ I

WAL TER

CÉS PED ES RAMíREZ

I f

10) Hallar el índice de cantidad por el método de Paasche, tomando como base el 2008. Precios (promedio)

Cantidades (prom.)

Años

2008

2009

2008

2009

Alimentos

15,80

16,40

Transporte

3,50

3,80

Educación

6,10

5,50

Otros

16,30

16,80

A) 102,0%

B) 105,5%

C) 101,3%

D) 114,3%

E) 117,0%

11) ¿Cuál es el índice del 2009 con base al 20077

Cantidad

A) 100,0%

Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

113,0

122,7

145,3

B) 117,8%

C) 129,3%

E) 127,4%

D) 128,6%

12) Cuál es el índice del 2006 con base al 2008? é

Cantidad

A) 100,0%

Años

2006

2007

2008

2009

Índice

100,0

113,0

122,7

145,3

B) 97,6%

C) 81,5%

D) 108,6%

E) 122,7%

13) Hallar la variación del índice del 2009 con relación al 2006.

A) 32,2%

Años

2006

2007

2008

2009

Índice

108,4

114,3

128,0

140,6

B) 29,7%

C) 19,3%

D) 28,6%

E) 12,9%

14) Hallar la variación del índice del 2009 con relación al año anterior.

A) 12,6%

Años

2006

2007

2008

2009

Índice

108,4

114,3

128,0

140,6

D) 8,5%

E) 9,8%

B) 10,7%

C) 11,7%

12771

ESTADíSTICA"

15) ¿En qué se asemejan

los índices de Laspeyres

con los índices de Paasche?

A) No hay semejanza entre ambos índices. B) Ambos métodos utilizan la misma ponderación. C) Ambos son índices compuestos no ponderados. D) Ambos utilizan el mismo periodo base en la ponderación. E) Ambos son índices ponderados

Respuestas

compuestos.

control

l. D, 2. E , 3. B, 4. A, 5. C, 6. C, 7. B, 8. A, 9. E, 10. B, 1l. D, 12. C, 13. B, 14. E, 15. E

12781

WALTER

CÉSPEDES

RAMíREZ

EXPLORACiÓN ON LINE

http://es,wikipedia,org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%ADndice http://www.eumed.net/cursecon~ibreria/drm/li.htm http:/ ~uscador. rincondelvago. com/numeros + indices http://www.monografias.com/trabajos I l/rurmind/nurnind.shtml

GLOSARIO indicador.

Es una medida de resumen de preferencia estadística, referente a: la cantidad, magnitud o símbolo de un conjunto de parámetros o atributos. Elemento o dato que es utilizado como referencia para conocer el estado de las unidades de análisis (personas, naciones, sociedades, bienes, etc.). Se utiliza mayormente el los números índices ..

periodo base.

Unidad de tiempo en: horas, días, meses, trimestres, años, etc., que se utiliza en el cálculo del número índice como divisor de otro periodo, generando un valor relativo con relación al periodo divisor. Se utiliza en el cálculo del número índice.

periodo dado.

Unidadde tiempo en: horas, días, meses, trimestres, años, etc., que el número índice lo utiliza como dividendo entre otro periodo llamado base. Se utiliza en el cálculo del número índice.

ponderación.

Término utilizado estadísticamente para agregar valores adicionales en magnitudes diferentes a una misma variable, de tal manera que exista diferencia dentro de ella. La utiliza la Estadística cada vez que asigne mayor o menor importancia o peso a un dato con relación a otros.

12791

! f

ANEXOS

f ~ ~.

i~ f

Tabla 1: Tabla área bajo la curva normal Tabla 2: Tabla t-student Tabla 3: Tabla ji-cuadrado Tabla 4: Tabla de distribución de Fisher

WALTER

,r i

CÉSPEDES

RAMíREZ

Tabla 1

, l

TABLA ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL -~

r ~

I r

-L

Z O 0,0 0.0000 0,1 0.0398 O) 0.0793 0,3 0.1179 0,4 0.1554 0,5 0.1915 0,6 0,2257 OJ 0.2580 0,8 0.2881 09 0.3159 1,0 0.3413 1,1 0.3643 1,2 0.3849 1,3 0.4032 14 0.4192 1,5 0.4332 1,6 0.4452 1,7 0.4554 1,8 0.4641 19 0.4713 2,0 0.4772 2,1 0.4821 2) 0.4861 2) 0.4893 24 0.4918 2,5 0.4938 2,6 0.4953 2J 0.4965 2,8 0.4974 29 0.4981 3,0 0.4987 3,1 0.4990 3,2 0.4993 3,3 0.4995 34 0.4997 3,5 0.4998 3,6 0.4998 3J 0.4999 3,8 0.4999 39 0.5000

IZ 2

Valores de probabilidad según el área sombreada De O a Z

1 0,0040 0.0438 0.0832 0.1217 0.1591 0.1950 0,2291 0.2611 0.2910 0.3186 0.3438 0.3665 0.3869 0.4049 0.4207 0.4345 0.4463 0.4564 0.4649 0.4719 0.4778 0.4826 0.4864 0.4896 0.4920 0.4940 0.4955 0.4966 0.4975 0.4982 0.4987 0.4991 0.4993 0.4995 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.5000

2 0.0080 0.0478 0,0871 0.1255 0.1628 0.1985 0.2324 0.2642 0.2939 0.3212 0.3461 0.3686 0.3888 0.4066 0.4222 0.4357 0,4474 0.4573 0.4656 0.4726 0.4783 0.4830 0.4868 0.4898 0.4922 0.4941 0.4956 0.4967 0.4976 0.4982 0.4987 0.4991 0.4994 0.4995 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

3 0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.1664 0,2019 0,2357 0,2673 0.2967 0.3238 0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.4236 0.4370 0.4484 0.4582 0.4664 0.4732 0.4788 0.4834 0.4871 0.4901 0.4925 0.4943 0.4957 0.4968 0.4977 0.4983 0.4988 0.4991 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0,5000

4 0.0160 0.0557 0.0948 0.1331 0,1700 0,2054 0.2389 0.2704 0.2995 0.3264 0.3508 0.3729 0.3925 0.4099 0.4251 0.4382 0.4495 0.4591 0.4671 0.4738 0.4793 0.4838 0.4875 0.4904 0.4927 0.4945 0.4959 0.4969 0.4977 0.4984 0.4988 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

12851

5 0.0199 0.0596 0,0987 0.1368 0.1736 0.2088 0.2422 0,2734 0.3023 0.3289 0.3531 0.3749 0.3944 0.4115 0.4265 0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744 0.4798 0.4842 0.4878 0.4906 0.4929 0.4946 0.4960 0.4970 0.4978 0.4984 0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

'6 0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.1772 0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3315 0.3554 0.3770 0.3962 0.4131 0.4279 0.4406 0.4515 0.4608 0.4686 0.4750 0.4803 0.4846 0.4881 0.4909 0.4931 0.4948 0.4961 0.4971 0.4979 0.4985 0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

7 0.0279 0,0675 0.1064 0.1443 0.1808 0.2157 0.2486 0.2794 0.3078 0.3340 0.3577 0.3790 0.3980 0.4147 0.4292 0.4418 0.4525 0.4616 0.4693 0.4756 0.4808 0.4850 0.4884 0.4911 0.4932 0.4949 0.4962 0.4972 0.4979 0.4985 0.4989 0.4992 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

8 0.0319 0:0714 0.1103 0.1480 0.1844 0.2190 0.2517 0.2823 0.3106 0.3365 0.3599 0.3810 0.3997 0.4162 0.4306 0.4429 0.4535 0.4625 0.4699 0.4761 0.4812 0.4854 0.4887 0.4913 0.4934 0.4951 0.4963 0.4973 0.4980 0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

9 0.0359 0,0753 0,1141 0.1517 0.1879 0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389 0.3621 0.3830 0.4015 0.4177 0.4319 0.4441 0.4545 0.4633 0.4706 0.4767 0.4817 0.4857 0.4890 0.4916 0.4936 0.4952 0.4964 0.4974 0.4981 0.4986 0.4990 0.4993 0,4995 0.4997 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.5000

ESTADíSTICA"

Tabla 2

TABLA t-STUDENT

(Valores "1", según el área sombreada a una o a dos colas)

11\ / ' ,

_o=<

(NIVEL DE SIGNIFICACiÓN

/i" .J~

0,20

0,10

PARA UNA PRUEBA DE DOS COLAS) 0,05

0,02

0,01.

0,001

// ---_/

(NIVEL DE SIGNIFICACiÓN

~(,.

0,10

0,05

PARA UNA PRUEBA DE UNA COLA)

0,025

0,01

0,005

0,0005

Grados de Libertad (al) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

Lea usted el cruce de: la columna según nivel de significación 3,078 1,886 1,638 1,533 1476 1,440 1,415 1,397 1,383 1372 1,363 1,356 1,350 1,345 1341 1,337 1,333 1,330 1,328 1325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289

6,314 2,920 2,353 2,132 2015 1,913 1,895 1,860 1,833 1812 1,796 1,782 1,771 1,761 1753 1,746 1,740 1,734 1,729 1725 1,721 1,717 1,714 1,711 1708 1,706 1,703 1,701 1,699 1697 1,684 1,671 1658

12,706 4,303 3,182 2,776 2571 2,447 2,365 2,306 2,262 2228 2,201 2,179 2,160 2,145 2131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980

12861

con la fila según el grado de libertad 31,821 6,965 4,541 3,747 3365 3,143 2,998 2,896 2,821 2764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2528 2,518 2,508 2,500 2,492 2485 2,479 2,473 2,467 2,462 2457 2,423 2,390 2358

63,657 9,925 5,841 4,604 4032 3,707 3,499 3,355 3,250 3169 3,106 3,055 3,012 2,977 2947 2,921 2,898 2,878 2,861 2845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2750 2,704 2,660 2617

636,619 31,598 12,941 8,610 6859 5,959 5,405 5,041 4,781 4587 4,437 4,318 4,221 4,140 4103 4,015 3,965 3,892 3,883 3850 3,819 3,792 3,767 3,745 3725 3,707 3,690 3,674 3,659 3646 3,551 3,460 3373

W A L TE R

l ! r

Tabla 3

'i", según el área sombreada)

(Valores

Lea Usted el cruce de la columna según el área con la fila según los grados de libertad

X 0,995

1 2 3 4 5

7,88 10,6 12,8 14,9 167

6 7 8 9 10

TABLA JI-CUADRADO

I~ i

0,975

X 095

X 0,90

X 0,75

X 0,50

X 0,25

X 0,01

io,oos

6,63 9,21 11,3 13,3 15,1

5,02 7,38 9,35 11,1 128

3,84 5,99 7,81 9,49 111

2,71 4,61 6,25 7,78 924

1,32 2,77 4,11 5,39 663

0,455 1,39 2,37 3,36 4,35

0,102 0,016 0,004 0,001 0,0002 0,575 0,211 0,103 0,051 0,0201 1,21 0,584 0,352 0,216 0,115 1,92 1,06 0,711 0,484 0,297 267 1,61 115 0,831 0554

0,000 0,010 0,072 0,207 0412

18,5 20,3 22,0 23,6 252

16,8 18,5 20,1 21,7 23,2

14,4 16,0 17,5 19,0 205

12,6 14,1 15,5 16,9 18,3

10,6 12,0 13,4 14,7

7,84 9,04 10,2 11,4 125

5,35 6,35 7,34 8,34 9,34

3,45 4,25 5,07 5,90 6,74

2,20 2,83 3,49 4,17 4,87

1,64 2,17 2,73 3,33 394

1,24 1,69 2,18 2,70 325

0,872 0,676 1,24 0,989 1,65 1,34 2,09 1,73 256 216

11 12 13 14 15

26,8 28,3 29,8 31,3 328

24,7 26,2 27,7 29,1 306

21,9 23,3 24,7 26,1 275

19,7 17,3 21,0 18,5 22,4 19,8 23,7 21,1 25 O 223

13,7 14,8 16,0 17,1 182

10,3 11,3 12,3 13,3 143

7,58 8,44 9,30 10,2 110

5,58 6,30 7,04 7,79 855

4,57 5,23 5,89 6,57 726

3,82 4,40 5,01 5,63 626

3,05 3,57 4,11 4,66 523

2,60 3,07 3,57 4,07 460

16 17 18 19 20

34,3 35,7 37,2 38,6 40 O

32,0 33,4 34,8 36,2 37,6

28,8 30,2 31,5 32,9 342

26,3 27,6 28,9 30,1 31,4

23,5 24,8 26,0 27,2 284

19,4 20,5 21,6 22,7 238

15,3 16,3 17,3 18,3 19,3

11,9 12,8 13,7 14,6 15,5

9,31 10,1 10,9 11,7 12,4

7,96 8,67 9,39 10,1 109

6,91 7,56 8,23 8,91 9,59

5,81 6,41 7,01 7,63 826

5,14 5,70 6,26 6,84 7,43

21 22 23 24 25

41,4 42,8 44,2 45,6 469

38,9 40,3 41,6 43,0 443

35,5 36,8 38,1 39,4 406

32,7 33,9 35,2 36,4 377

29,6 30,8 32,0 33,2 344

24,9 26,0 27,1 28,2 293

20,3 21,3 22,3 23,3 243

16,3 17,2 18,1 19,0 199

13,2 14,0 14,8 15,7 165

11,6 12,3 13,1 13,8 146

10,3 11,0 11,7 12,4 131

8,90 9,54 10,2 10,9 115

8,03 8,64 9,26 9,89 105

26 27 28 29 30

48,3 49,6 51,0 52,3 537

45,6 47,0 48,3 49,6 50,9

41,9 43,2 44,5 45,7 47 O

38,9 40,1 41,3 42,6 43,8

35,6 36,7 37,9 39,1 403

30,4 31,5 32,6 33,7 34,8

25,3 26,3 27,3 28,3 293

20,8 21,7 22,7 23,6 245

17,3 18,1 18,9 19,8 20,6

15,4 16,2 16,9 17,7 185

13,8 14,6 15,3 16,0 16,8

12,2 12,9 13,6 14,3 15 O

11,2 11,8 12,5 13,1 13,8

40 50 60 70 80

66,8 79,5 92,0 104,2 1163

63,7 59,3 55,8 76,2 71,4 67,5 88,4 83,3 79,1 100,4 95,0 90,5 1123 1066 1019

51,8 63,2 74,4 85,5 966

45,6 56,3 67,0 77,6 881

39,3 49,3 59,3 69,3 793

33,7 42,9 52,3 61,7 711

29,1 37,7 46,5 55,3 643

26,5 34,8 43,2 51,7 604

24,4 32,4 40,5 48,8 572

22,2 29,7 37,5 45,4 535

20,7 28,0 35,5 43,3 512

90 100

128,3 1402

124,1 118,1 113,1 107,6 98,6 135,8 1296 124,3 1185 1091

89,3 99,3

80,6 901

73,3 82,4

69,1 779

65,6 74,2

61,8 701

59,2 673

e É s P E D E S RA M í R E Z

0,99

12871

X 0,10

X 0,05

-/0:025

~ ....••..

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Puntos "F" al 5% Superior

-IV

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