INSTITUO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA BUAP CICLO ESCOLAR 2013-2014 CALCULO PORTAFOLIO DIGITAL
ALUMNA: Luna Morales Paola Milintza
MAESTRAOFELIA MERCEDES IZQUIERDO VALLADARES
MATERIA:CALCULO
GRADO GRUPO: 3° “B”
NUMERO DE LISTA : 21
PORTAFOLIO DIGITAL
INDICE
RELACIONES Y FUNCIONES
FUNCION POR PARTES
GUIA DEL EXMANE
INDICE
EVALUACION DE FUNCIONES
CASOS DE LIMITES
APLICACION DE LA DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION Y SUS PROPIEDADES
LIMITES EN INIFITNITO
GUIA DE DEXAMEN 2
INDICE
LIMITES DE FUNCIONES EXPONENCIALES
RAZON DE CAMBIO PROMEDIO
RAZON DE CAMBIO ISNTANTANEA
GUIA DE EXAMEN 3
4ยบ CUARTO PARCIAL INTRODUCCION AL CALCULO DIFERENCIAL
(DERIVADAS)
INDICE
TRABAJO ESPECIAL MAXIMOS Y MINIMOS
INSTITUO DE INVESTIGACION Y ENSEÑANZA IBEROAMERICANO A.C BACHILLERATO INCORPORADO A LA BUAP CICLO ESCOLAR 2013-2014 CALCULO TRABAJO ESPECIAL
ALUMNA: Luna Morales Paola Milintza
MAESTRAOFELIA MERCEDES IZQUIERDO VALLADARES
MATERIACALCULO
GRADO GRUPO: 3° “B”
NUMERO DE LISTA : 21
Los Máximos y Mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores más grandes(máximos) o más pequeños (mínimos) que toma un función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad. REGLA PARA ENCONTRAR MAXIMOS Y MINIMOS
Se encuentra la primera derivada de la función. Se iguala a cero la primera derivada se encuentran las raíces de la ecuación resultante. Se consideran los valores críticos uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menos que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que el crítico. Si el singo de la derivada es primerante + y después – la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable, en caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia la función no tiene ni máximo ni mínimo para el valor crítico considerado.
La determinación de los valores máximos y mínimos de una función, es uno de los logros de la gran potencia que tiene el Cálculo. Tomemos f(x) como una función de x. El valor de x para el cual la derivada de f(x) con respecto a x es igual a cero, corresponden a los puntos de inflexión de la función f(x) donde sus valores son máximo y mínimo. Por ejemplo, la altura de un proyectil que se dispara en línea recta, está dada por las ecuaciones del movimiento: Abajo se muestra la gráfica de la altura y(t), tomando y 0 = 0.
La derivada de una función puede ser interpretada geométricamente como la pendiente de la curva de la función matemática y(t), representada la derivada en función de t. La derivada es positiva cuando una función es creciente hacia un máximo, cero (horizontal) en el máximo, y negativa justo después del máximo. La segunda derivada es la tasa de cambio de la primera derivada y es negativa en el proceso que se acaba de describir, puesto que la primera derivada (la pendiente), siempre es cada vez mas pequeña. La segunda derivada es siempre negativa en la "joroba" de una función, que corresponde a un máximo de la función. En la función simple que se ha mostrado en el ejemplo solo hay un máximo. Las funciones mas complejas pueden tener múltiples máximos y mínimos y la segunda derivada, nos proporciona la manera de distinguirlos.
Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
a=0 Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.
b=0 Máximo y mínimo relativo Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a. Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.
a = 3.08
b = -3.08
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución. Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos. Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo. Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo. Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos. Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos
Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal. En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno. En un punto critico maximo relativo, al pasar la funcion de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa. En un punto critico minimo relativo, la funcion deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.
METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos: CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.
El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función. y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo. Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados. hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico. CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva. Este procedimiento consiste en:
y resolver la ecuación.
Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo. coordenadas de los puntos máximo y mínimo. APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial. Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener. Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente. Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas. En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo. Es conveniente construir la grafica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos.
Calcular los má ximos y míni mos de las funciones:
1
3
f(x) = x − 3 x + 2 f'(x) = 3x 2 − 3 = 0
x = − 1
Candidatos a extremos: − 1 y 1.
f''(x) = 6x f''(−1) = −6 < 0 f''(1) = 6 > 0
Máximo Mínimo
f(−1) = (−1) 3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1) 3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)
2
Candidatos a extremos: − 1 y 1.
f"( − 1) = 6 > 0
Mínimo
f"(1) = − 6 < 0
Máximo
f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2
x = 1
f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2 Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)
3
Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.
f(−2) = (−2) 4 − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13 f(0) = 0 4 − 8 · 0² + 3 = 3 f(2) = 2
4
− 8 · 2² + 3 = − 13
Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)Mínimo(0, 3)
4
Candidato a extremo: 7/5.
5
Candidatos a extremos: 1 y â&#x2C6;&#x2019; 7/2.
Concavidad y puntos de inflexión
Una funcion en cóncava o presenta concavidad hacia abajo cuando dado dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva. Una funcion es convexa o presenta concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva del segmento que los une cuando una queda por debajo de la curva. La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:
Definición de concavidad Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada
la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.
En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo cóncava hacia abajo en el intervalo
y
Teorema 5 Si f es una función tal que cóncava
cuando
hacia
, entonces la gráfica de f es arriba
sobre
.
Demostración:
Si sobre
y como
, entonces se tiene que
es creciente
por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función,
se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre
.
Teorema 6 Si f es una función tal que cóncava
cuando
hacia
, entonces la gráfica de f es abajo
sobre
.
Demostración:
De la hipótesis:
, y como
, se obtiene que
es
decreciente sobre
por lo que según la definición dada sobre concavidad, la
gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre
.
Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación
Si
entonces
Luego,
si
Como ellos
, y,
, entonces es positiva. Además
y, si
es creciente en los intervalos es decreciente en el intervalo
Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo intervalo
.
.
La representación gráfica de la función
Representación gráfica de la función
es la siguiente:
pues en el
, pues en es negativa.
y cóncava hacia abajo en el
Observe
que
es
creciente
en
y
y
decreciente
en
.
Representación gráfica de la función f:
Representación gráfica de la función f
Note que f es cóncava hacia arriba en los intervalos intervalo
y cóncava hacia abajo en el
.
Damos ahora la definición de punto de inflexión
Definición Se dice que
es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si
existe un intervalo
tal que
sobre
, y la gráfica de f es cóncava hacia arriba
, y cóncava hacia abajo sobre
, o viceversa.
Podemos representar lo anterior en forma gráfica como sigue:
Ejemplos: 1. El punto
es un punto de inflexiรณn de la curva con ecuaciรณn
pues para
es positiva si ,
y
Grรกficamente se tiene:
, y negativa si cรณncava
,
, de donde f es cรณncava hacia arriba hacia
abajo
para
.
2.
Determinemos los puntos de inflexiรณn de la funciรณn f con ecuaciรณn
Se
tiene
que
por
lo
que
Resolvamos las desigualdades
Como esos
si
entonces la grรกfica de f es cรณncava hacia arriba en intervalos.
La gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo
Luego los puntos son
y puntos
pues en él
.
son puntos en los que cambia la concavidad y por tanto de inflexión.
La gráfica de la función f es la siguiente:
Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo. En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Gráficamente:
Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.
Teorema 7 Si
es un punto de inflexión de la gráfica de f y si
existe,
entonces Demostración: Al final del capítulo.
Ejemplo: Considere
la
La
segunda
Note
cóncava
tiene
hacia
entonces
ecuación
derivada
que
Luego, f es
Se
función f con
arriba
si
,
para
,
que
Evaluando la segunda derivada de f en expresado en
.
de f es
y,
y
cóncava
hacia
un
punto
es
resulta que el
teorema
si
abajo
de
Teorema 8 Si: i. f es una función continua sobre un intervalo I, ii. ,ó
para
inflexión.
con lo que se verifica lo anterior.
En el siguiente teorema se dan las condiciones para que un punto sea punto de inflexión.
es un punto interior de I tal que
.
existe, y
iii. Si existe un intervalo
1.
con
cuando
,
y
tal que:
cuando
,
entonces
,
entonces
,
o
es un punto de inflexión de la gráfica de f. 2.
cuando
y
cuando
es un punto de inflexión de la gráfica de f. 3.
cuando bien,
y
cuando
cuando no
es
un
Demostración: Es sustituyendo f por
y punto
similar ,y
por
cuando
de
a
inflexión
la
dada
entonces
de
la
gráfica
de f.
para
el
Teorema
4,
.
Ejemplos:
1. Sea f una función con ecuación con . Note quef es una función continua en todo su dominio por ser una función polinomial. La segunda derivada de f es
,
que
es
igual
a
cero
si
y
solo
si
ó
.
Así Observemos la solución de las desigualdades siguiente tabla:
, y
por medio de la
2. Como punto
de
para inflexión
De
acuerdo
con
y según el
punto
el
para punto 2
como para y para de inflexión. 3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:
de
l
entonces del ese
Teorema
mismo
, entonces
es un 8.
teorema, es un punto
, con
Como se tiene que
Además
es mayor que cero para
arriba en su dominio, y por lo tanto
nunca se hace cero y que
no existe.
, por lo que f siempre es cóncava hacia no es punto de inflexión.
Puntos de inflexión
En los puntos de inflexión hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.
Cálculo de los puntos de inflexión f(x) = x 3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0.
2. Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si: f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
3. Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión.
f(0) = (0) 3 − 3(0) + 2 = 2
Punto de inflexión: (0, 2)
Cálculo de los puntos de inflexión conociendo los intervalos de concavidad y convexidad
Los puntos de inflexión son los puntos de la función en que ésta pasa de cóncava a convexa o vicecersa. Ejercicios
Tenemos un punto de inflexi贸n en x = 0 , ya que la funci贸n pasa de convexa a concava.
Punto de inflexi贸n (0, 0)
Dominio
Problemas Obtener la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) = 2x 3 − 6x
2
+ 4 en
su punto de inflexión. f′(x) = 6x 2 − 12xf′′(x) = 12x − 121 2 x − 12 = 0x = 1 f′′′(x) = 12 f′′′(1) ≠ 0 f(1) = 0
Punto de inflexión: (1, 0) f′(1) = 6 − 12= − 6 = m y − 0 = −6(x − 1) y = −6x + 6
La curva f(x) = x
3
+ a x 2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y
tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.
Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
f′ (x) = 3 x
2
− 6x+ 7
f′′ (x) =6 x − 6 6 x − 6 = 0 x= 1 f′′′(x) =12 f′′′(1) ≠ 0 f(1)= 6
Punto de inflexión: (1, 6) m t = f′(1) = 4 m
n
= −1/4
Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0 Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0
Sea f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 7. Hallar a y b de manera que la gráfica de la función f(x) tenga para x= 1 un punto de inflexión, y cuya recta tangente en ese punto forme un ángulo de 45° con el eje OX. 2
f'(x) = 3 x + 2 ax + b f′′(x) = 6x + 2a
f′(1) = 1 3 + 2a + b = 1 f′′(1) = 0 6 + 2a = 0 a = − 3 b = 4
Sea f una función cuyo dominio es el conjunto R de los números reales y tal que:
> para todo x e y. Además, f(0)=1 y
que f ’(x) existe para todo x y
existe. Probar
.
Solución De acuerdo a la definición de la derivada, se tiene para f:
(Hipótesis) (factor común) (1) Ahora,
y como por hipótesis, , se tiene que:
(2).
De la igualdad (2) se deduce también que Sustituyendo (2) en (1) se concluye que: y además f ’(x) existe.
3. Considere la función f definida por:
existe.
Determine el valor de las constantes a y b para que f ’(1) exista.
Solución En primer lugar si f ’(1) existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo al teorema 1 (sección 9.3.), f es continua en x = 1. O equivalentemente, .
Esto es,
(1)
Ahora, decir que f ’(1) existe, equivale a afirmar que f ’+(1) y f ’- (1) (las derivadas laterales) existen y son iguales.
Pero,
Asi que:
(Porqué?)
(2)
Igualmente,
(3) (Porqué?) Sustituyendo (1) en (3), se tiene:
Es decir,
(4)
De (2) y (4) puesto que las derivadas laterales son iguales, se concluye que a = 2 y en consecuencia, b = -1. Con los valores de a y b asi encontrados, la función f puede escribirse asi:
4. Use las reglas de derivaci贸n para calcular la derivada de las siguientes funciones:
a.
b.
c.
d.
Soluci贸n a) Por la regla de la cadena:
Pero,
(R.D.7 )
Luego, b) Antes de usar las reglas de derivaci贸n se debe expresar la funci贸n g (t) con exponentes racionales. Asi:
Entonces:
(Se usaron las reglas: R.D.5. y R.D.8.).
c.
Pero,
Luego,
d. En primer lugar note que:
Asi que:
Pero,
Luego,
5. De dos funciones f y g se sabe que: ;
;
y
¿En que valor de x es posible calcular
? ¿A que es igual?
¿En que valor de x es posible calcular
? ¿A que es igual?
Solución La regla de la cadena (R.D.8.) establece que : Existen de acuerdo a la información inicial solo dos valores de x para evaluar, esto es x = 3 y x = 5. Si x = 3,
pero no tenemos información acerca
de los valores g(3) ni g ’(3). Asi que no es posible calcular Si x = 5, Pero,
en x = 3.
. y
Luego, Se puede verificar y se deja como ejercicio que la información dada es insuficiente para calcular
y
. (¡Verifique!).
6. Si las variables x e y están ligadas implícitamente por la fórmula:
, hallar
Solución
ó y’.
La ecuación:
puede escribirse en las formas equivalentes:
(1) Derivando implícitamente la igualdad (1) se tiene:
, de donde, 7. Suponga que y (x) es una función diferenciable de la variable x; y además las variables x e y están ligadas por la fórmula: (1) Suponga que y(1)=1. Hallar
siguiendo estos pasos:
a) Demuestre que: b) Use la parte a. para calcular y’(1). c) Derive la ecuación obtenida en a. para demostrar que:
d) Use la ecuación obtenida en c. para calcular conocen
y
(Nota: Se
).
Solución a. Derivando implícitamente en (1) se obtiene:
(2) b. Teniendo en cuenta que y (x): y depende de x, se puede escribir (2) así:
Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene:
Esto es,
De donde, c. Derivando implícitamente en (2) se obtiene:
(3) d. Como y depende de x (es decir y (x)): Se puede escribir (3) así:
Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene:
Pero,
y
.
Luego,
Esto es,
De donde,
8. Determine las ecuaciones de la recta tangente
y de la recta normal (recta
perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación: punto P(3, 1).
, en el
Solución Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (fig. 1.)
fig. 1. La pendiente de
, viene dada por:
Pero,
Asi que, Usando ahora la forma: punto – pendiente de la ecuación de la recta, se tiene entonces para tangente.
:
, es la ecuación de la recta
Ahora, como , se deduce que . Usando nuevamente la forma: punto – pendiente de la ecuación de la recta, se tiene
para
:
es la ecuación de la recta normal.
9. Encontrar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación
, que es paralela a la recta de ecuación: x+12y-6=0
Solución En la fig. 2. aparece la gráfica de la curva y de la recta dada.
fig. 2. Si se denota por LN la recta normal, como
que
es paralela a
, se tiene
(sección 4.5.).
Para determinar la ecuación de tangencia.
, hace falta conocer el punto P(x1, y1) de
Para ello, se usa el hecho de que
(
: pendiente de la tangente).
De otro lado,
Asi que Este último resultado, indica que existen dos puntos de tangencia a saber: P1 (2, 9) y P2 (-2, -7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema.
Una de ellas, pasa por P1 (2, 9) y pendiente
Su ecuación viene dada por:
.
La otra, pasa por P2 (-2, -7) y pendiente
.
Su ecuación viene dada por:
10. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva:
en el punto (3, 1).
Solución En primer lugar note que: punto (3, 1) pertenece a la curva.
, indicando con esto que el
Ahora,
Para determinar
se usa derivación implícita en la
ecuación: Esto es,
De donde,
Luego,
Es decir, Asi que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1), viene dada por:
11. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 mts/seg. Hallar: a. La velocidad cuando han transcurrido 1 y 3 seg. b. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. c. La altura máxima alcanzada. d. La rapidez al llegar de nuevo al suelo.
Solución
Partiendo de la ecuación del movimiento conocida en física:
, en
donde: m/seg (velocidad inicial); g es la aceleración (gravedad), que se toma aproximadamente en 10 m/seg2 y cuya dirección positiva es hacia abajo, se puede escribir: S = f(t) = 20t– 5t2 (1) a. La velocidad en cualquier instante t, viene dada por: Esto es,
(2)
(Velocidad cuando ha transcurrido 1 seg.)
(Velocidad cuando han transcurrido 3 seg.)
b. Del enunciado inicial y de la parte a) puede notarse que: Cuando t = 0, V = 20 m/seg. Cuando t = 1, V = 10 m/seg. Cuando t = 3, V = -10 m/seg. Estos resultados indican que hubo un instante en el cual la velocidad fue V = 0, es en ese instante cuando la pelota alcanza su altura máxima. pero máxima).
seg. (tiempo que tarda en alcanzar la altura
Ahora, como en la ecuación (1), S indica la posición (distancia) en cada instante t, se tiene en particular para t = 2, S = 20(2) – 5(2)2 = 20 m. (altura máxima). d. Para determinar la rapidez al llegar de nuevo al suelo, debe determinarse primero, el tiempo que tarda en hacerlo y luego sustituir este valor de t en (2). Para ello se hace S = 0 en (1): 0 = 20 t – 5 t 2
t = 0 (momento del lanzamiento) al suelo)
t = 4 (momento en que regresa
Ahora
la rapidez es 12. Determine, si existen los extremos absolutos (máx. y mín.) de la función:
en el intervalo [-3,2]
Solución Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto esta garantizada por el teorema 2 de la sección 9.9.3. Para determinarlos, se aplica la regla práctica dada en la observación del mismo teorema. Considere los puntos críticos por medio de la derivada.
son los únicos puntos críticos. Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: .
MĂĄximo absoluto de f en
es
MĂnimo absoluto de f en
es