10 MATRICIAL FT FUNDAMENTOS

Fundamentos TeĂłricos

1

CONCEPTOS DE TEORĂ?A DE LA ELASTICIDAD Y ANĂ LISIS MATRICIAL

2.1.

ECUACIONES BĂ SICAS EN LA ELASTICIDAD LINEAL (RELACIONES).-

las variables del elemento que representan el sistema fĂ­sico son: â–Ş

Tensiones,

â–Ş

Deformaciones,

â–Ş

Y los Desplazamientos

Estas variables estĂĄn relacionadas entre sĂ­ mediante las siguientes relaciones: 1. Relaciones de Equilibrio;Ecuaciones de Navier:Relacionan las tensiones entre sĂ­ 2. Relaciones FĂ­sicas; Ley de Hooke: Relaciona tensiĂłn con deformaciĂłn ď ł ⎯ ⎯→ ď Ľ 3. Relaciones GeomĂŠtricas; Ecuaciones de Cauchy: Relaciona deformaciĂłn con desplazamiento ď Ľ ⎯ ⎯→ u .

4. Relaciones de Compatibilidad: Relacionan las deformaciones entre sĂ­ f(ď Ľ) 2.2.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO (Navier).-

2.2.1.

EQUILIBRIO EN EL INTERIOR DEL CUERPO (DOMINIO)

Cualquier punto del cuerpo puede ser representado por un sĂłlido infinitesimal, (ver figura 2.2), al cual converge un sistema de fuerzas que deben cumplir con las ecuaciones de equilibro de la estĂĄtica, es decir: ∑đ??š = 0đ?‘Śâˆ‘đ?‘€ = 0

(2.4)

En base a estas consideraciones se desarrollan las ecuaciones de equilibrio en el interior del cuerpo.

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Fundamentos Teóricos

2

Xz

Xy  zy +

 yz z

 yz +

 yz y

dz

dy

 yy +

  zz + zz dz z

  zx + zx dz z   xz + xz dx x

σxx σxy

z

y

σxz σzx σzy

σyy

x

 xy +

 xx +

σyx

dz

 yx +

σyz

 xy x

 yy y

 yx y

dy

dy

dx

 xx dx x

Xx

dy

σzz

dx

Figura 2.1: Tensiones que actúan en el sólido infinitesimal

a) Equilibrio de Fuerzas: ∑𝐹 = 0 (2.5)

En la dirección x (2.6)

∑ 𝐹𝑥 = 0 −𝜎𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 − 𝜎𝑧𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 − 𝜎𝑦𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 + (𝜎𝑥𝑥 + (𝜎𝑧𝑥 + 𝜕𝜎𝑥𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝜎𝑧𝑥 𝜕𝑥

∙ 𝑑𝑧) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 + (𝜎𝑦𝑥 +

∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 +

𝜕𝜎𝑧𝑥 𝜕𝑥

𝜕𝜎𝑦𝑥 𝜕𝑥

∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 +

𝜕𝜎𝑥𝑥 ∙ 𝑑𝑥) ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 + 𝜕𝑥

∙ 𝑑𝑦) ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 + 𝑋𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 = 0 (2.7)

𝜕𝜎𝑦𝑥 𝜕𝑥

∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑧 = −𝑋𝑥 ∙ 𝑑𝑥 ∙ 𝑑𝑦 ∙ 𝑑𝑧 (2.8)

De donde:

 xx  yx  zx + + = − Xx x y z

(2.9)

Análogamente para las otras direcciones:

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Fundamentos TeĂłricos

ď‚śď ł xy

ď ›Xx

ď‚śď ł yy

(2.10)

ď‚śď ł xz ď‚śď ł yz ď‚śď ł zz + + = − Xz ď‚śx ď‚śy ď‚śz

(2.11)

Xy

+

ď‚śy

+

ď‚śď ł zy

= − Xy

ď‚śx

Siendo

3

ď‚śz

Xz ď ? las componentes de fuerzas de masa por unidad de volumen.

T

b) Equilibrio de Momentos: Pasando un plano XZ por el centro de gravedad del sĂłlido; ver figura 2.3, y considerando el equilibrio de momentos con respecto al centro de gravedad del sĂłlido infinitesimal: ∑ đ?‘€0 = 0 (2.12)

Xz

z ď ł zz +

ď‚śď ł zz dz ď‚śz

ď ł zx +

ď‚śď ł zx dz ď‚śz

ď ł xz + dz

Ďƒxx

0

ď‚śď ł xz dx ď‚śx

ď ł xx +

Ďƒxz

ď‚śď ł xx dx ď‚śx

x

Xx

Ďƒzx Ďƒzz dx

Figura 2.2: Esquema de fuerzas en el plano XZ

Al pasar las fuerzas de masa Xz y Xx por el centro de gravedad del sĂłlido infinitesimal, estas no generan momentos, por tanto no son consideradas en anĂĄlisis. đ?œŽđ?‘Ľđ?‘§ ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§ ∙

đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œ•đ?œŽđ?‘Ľđ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘§ + (đ?œŽđ?‘Ľđ?‘§ + ∙ đ?‘‘đ?‘Ľ) ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§ ∙ − đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ ∙ đ?‘‘đ?‘Ľ ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ − 2 đ?œ•đ?‘Ľ 2 2

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(đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ +

đ?œ•đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

4

∙ đ?‘‘đ?‘§) ∙ đ?‘‘đ?‘Ľ ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙

�� 2

=0 (2.13)

đ?œŽđ?‘Ľđ?‘§ ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§ + đ?œŽđ?‘Ľđ?‘§ ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§ + đ?œ•đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?œŽđ?‘Ľđ?‘§ ∙ đ?‘‘đ?‘Ľ ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§ − đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§ − đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§ − đ?œ•đ?‘Ľ

∙ đ?‘‘đ?‘§ 2 ∙ đ?‘‘đ?‘Ś = 0 (2.14)

Simplificando los tĂŠrminos:

đ?œ•đ?œŽđ?‘Ľđ?‘§ đ?œ•đ?‘Ľ

∙ đ?‘‘đ?‘Ľ ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§đ?‘Ś

đ?œ•đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

∙ đ?‘‘đ?‘§ 2 ∙ đ?‘‘đ?‘Ś, por ser de tercer orden,

tenemos: đ?œŽđ?‘Ľđ?‘§ ∙ 2 ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§ = đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ ∙ 2 ∙ đ?‘‘đ?‘Ś ∙ đ?‘‘đ?‘§

(2.15)

đ?œŽđ?‘Ľđ?‘§ = đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ (2.16)

Generalizando:

ď ł ij = ď ł

ji

(2.17)

2.3.

RELACIONES Cauchy)

GEOMÉTRICAS:

DEFORMACIĂ“N

–DESPLAZAMIENTO(Ecuación

de

El elemento infinitesimal en estudio, al ser sometido a un estado de tensiones, se deforma. Este cambio de forma estĂĄ representado por cambios de longitud en cada direcciĂłn (deformaciones normales) y por cambios de ĂĄngulo entre los planos que conforman el paralelepĂ­pedo (distorsiones angulares), generando 3 deformaciones normales y 3 distorsiones angulares.

Al deformarse los puntos de la estructura, esta sufre un desplazamiento, para encontrar la relaciĂłn entre las deformaciones y desplazamientos (ver figura 2.5)por facilidad, se realiza un anĂĄlisis en el Plano XY.

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Figura 2.3: Relaciones GeomĂŠtricas

Las ecuaciones que ligan los desplazamientos con deformaciĂłn son: 2.3.1. Deformaciones normales: La deformaciĂłn normal es la variaciĂłn de la longitud respecto a su longitud original, esta variaciĂłn estĂĄ dada por: đ?œ€đ?‘Ľđ?‘Ľ=

đ?œ•đ?‘˘đ?‘Ľ ∙đ?‘‘đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ

=

đ?œ•đ?‘˘đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ

(2.26)

En forma anĂĄloga para las otras direcciones:

ď Ľ xx = 2.3.2.

ď‚śu y ď‚śu x ď‚śu ď Ľ yy = ď Ľ zz = z ď‚śx ď‚śz ď‚śy

(2.27)

Distorsiones angulares

La distorsiĂłn angular es la variaciĂłn angular total en la arista, esta variaciĂłn estĂĄ dada por: đ?œ€đ?‘Ľđ?‘Ś = đ?›ž1 + đ?›ž2 (2.28)

Con:

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6

�1 = �� (

đ???đ?’–đ?’š ∙đ?’…đ?’™ đ???đ?’™ đ???đ?’–đ?’™ ∙đ?’…đ?’™+đ?’…đ?’™ đ???đ?’™

)

(2.29)

Siendo la distorsiĂłn

1 muy

pequeĂąa, se asimila la tangente igual al ĂĄngulo, entonces: đ???đ?’–đ?’š

đ?›ž1 ≈ đ???đ?’–đ?’™đ???đ?’™ đ???đ?’™

∙đ?’…đ?’™

∙đ?’…đ?’™+đ?’…đ?’™

≈

đ???đ?’–đ?’š ∙đ?’…đ?’™ đ???đ?’™ đ???đ?’–đ?’™ ( +đ?&#x;?)đ?’…đ?’™ đ???đ?’™

≈

đ???đ?’–đ?’š đ???đ?’™

(2.30)

De la misma manera para ď §ď€˛: đ?›ž2 ≈

đ???đ?’–đ?’™ đ???đ?’š

(2.31)

Y por lo tanto:

ď Ľ xy =

ď‚śu y ď‚śx

+

ď‚śu x ď‚śy

(2.32)

En forma anĂĄloga para las otras direcciones:

ď Ľ xy =

2.4.

ď‚śu y ď‚śx

+

ď‚śu y ď‚śu z ď‚śu x ď‚śu ď‚śu ď Ľ yz = + ď Ľ zx = z + x ď‚śy ď‚śz ď‚śy ď‚śx ď‚śz

(2.33)

RELACIONES F�SICAS: TENSIÓN – DEFORMACIÓN (Ley de Hooke).-

Cada elemento del cuerpo, al deformarse, para mantener su continuidad, genera fuerzas internas elĂĄsticas.

A continuaciĂłn se plantearĂĄn las relaciones existentes entre las tensiones y deformaciones, que se conocen como la Ley de Hooke.

Ley generalizada de Hooke: La Ley de Hooke establece la proporcionalidad entre las tensiones y las deformaciones elĂĄsticas, considerando que se cumple la linealidad mecĂĄnica (del material), definiendo ademĂĄs parĂĄmetros conocidos como los coeficientes de elasticidad o de LamĂŠ.

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2.4.1. Materiales AnisotrĂłpicos Asumiendo una variaciĂłn lineal de las deformaciones y considerando que el material es anisotrĂłpico se tiene: đ?œ€đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ?›ź11 ∙ đ?œŽđ?‘Ľ + đ?›ź12 ∙ đ?œŽđ?‘Ś + đ?›ź13 ∙ đ?œŽđ?‘§ + đ?›ź14 ∙ đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?›ź15 ∙ đ?œŽđ?‘Śđ?‘§ + đ?›ź16 ∙ đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ đ?œ€đ?‘Śđ?‘Ś = đ?›ź21 ∙ đ?œŽđ?‘Ľ + đ?›ź22 ∙ đ?œŽđ?‘Ś + đ?›ź23 ∙ đ?œŽđ?‘§ + đ?›ź24 ∙ đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?›ź25 ∙ đ?œŽđ?‘Śđ?‘§ + đ?›ź26 ∙ đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ đ?œ€đ?‘§đ?‘§ = đ?›ź31 ∙ đ?œŽđ?‘Ľ + đ?›ź32 ∙ đ?œŽđ?‘Ś + đ?›ź33 ∙ đ?œŽđ?‘§ + đ?›ź34 ∙ đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?›ź35 ∙ đ?œŽđ?‘Śđ?‘§ + đ?›ź36 ∙ đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ đ?œ€đ?‘Ľđ?‘Ś = đ?›ź41 ∙ đ?œŽđ?‘Ľ + đ?›ź42 ∙ đ?œŽđ?‘Ś + đ?›ź43 ∙ đ?œŽđ?‘§ + đ?›ź44 ∙ đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?›ź45 ∙ đ?œŽđ?‘Śđ?‘§ + đ?›ź46 ∙ đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ

(2.34)

đ?œ€đ?‘Śđ?‘§ = đ?›ź51 ∙ đ?œŽđ?‘Ľ + đ?›ź52 ∙ đ?œŽđ?‘Ś + đ?›ź53 ∙ đ?œŽđ?‘§ + đ?›ź54 ∙ đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?›ź55 ∙ đ?œŽđ?‘Śđ?‘§ + đ?›ź56 ∙ đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ đ?œ€đ?‘§đ?‘Ľ = đ?›ź61 ∙ đ?œŽđ?‘Ľ + đ?›ź62 ∙ đ?œŽđ?‘Ś + đ?›ź63 ∙ đ?œŽđ?‘§ + đ?›ź64 ∙ đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ś + đ?›ź65 ∙ đ?œŽđ?‘Śđ?‘§ + đ?›ź66 ∙ đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ 2.4.2. Materiales OrtotrĂłpicos El caso mĂĄs comĂşn de anisotropĂ­a de un material es aquel en el que las tensiones tangenciales actuando en los tres planos de referencia no generan distorsiones angulares y en forma recĂ­proca las tensiones tangenciales no producen deformaciones normales.

En materiales ortotrĂłpicossus propiedades estĂĄn caracterizadas por tres direcciones mutuamente perpendiculares.

Para materiales ortotrópicos podemos realizar las siguientes simplificaciones: a) Los esfuerzos normales no producen distorsiones �41 = �42 = �43 = 0 �51 = �52 = �53 = 0

(2.35)

�61 = �62 = �63 = 0

b) Las tensiones tangenciales no generan deformaciones longitudinales, por lo tanto: �14 = �15 = �16 = 0 �24 = �25 = �26 = 0

(2.36)

�34 = �35 = �36 = 0 c) La distorsión en una cara no produce distorsiones en los otros sentidos. �64 = �46 = 0

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�54 = �56 = 0 (2.37)

đ?›ź64 = đ?›ź66 = 0 Con las anteriores consideraciones: đ?œ€đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ?›ź11 ∙ đ?œŽđ?‘Ľ + đ?›ź12 ∙ đ?œŽđ?‘Ś + đ?›ź13 ∙ đ?œŽđ?‘§ đ?œ€đ?‘Śđ?‘Ś = đ?›ź21 ∙ đ?œŽđ?‘Ľ + đ?›ź22 ∙ đ?œŽđ?‘Ś + đ?›ź23 ∙ đ?œŽđ?‘§ (2.38)

đ?œ€đ?‘§đ?‘§ = đ?›ź31 ∙ đ?œŽđ?‘Ľ + đ?›ź32 ∙ đ?œŽđ?‘Ś + đ?›ź33 ∙ đ?œŽđ?‘§ đ?œ€đ?‘Ľđ?‘Ś = đ?›ź44 ∙ đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ś đ?œ€đ?‘Śđ?‘§ = đ?›ź55 ∙ đ?œŽđ?‘Śđ?‘§ đ?œ€đ?‘§đ?‘Ľ = đ?›ź66 ∙ đ?œŽđ?‘§đ?‘Ľ DeterminaciĂłn de las constantes elĂĄstica a) Constantes de las deformaciones normales Considerando una tensiĂłn aplicada en la direcciĂłn x, se tiene:

ď łxx

ď łxx

ď Ľxx

ď Ľxx

Figura 2.4: Relaciones GeomĂŠtricas

La deformaciĂłn siguiente expresiĂłn:

xx,

es proporcional a la tensiĂłn

đ?œ€đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ?›ź11 ∙ đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ľ

xx,

y se relacionan mediante la

(2.39)

El cuerpo al deformarse, mantiene sus ĂĄngulos rectos, sin generar distorsiones angulares y por ende, no se generan tensiones tangenciales.

El coeficiente 11, que relaciona xx y xx se lo expresa mediante el valor del mĂłdulo de elasticidad longitudinal (mĂłdulo de Young): 1

đ?›ź11 = đ??¸

đ?‘Ľđ?‘Ľ

(2.40)

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Finalmente: 1

đ?œ€đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ??¸ đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘Ľđ?‘Ľ

(2.41)

AnĂĄlogamente para las otras direcciones, se tiene: 1

đ?œ€đ?‘Śđ?‘Ś = đ??¸ đ?œŽđ?‘Śđ?‘Ś đ?‘Śđ?‘Ś

(2.42) 1

đ?œ€đ?‘§đ?‘§ = đ??¸ đ?œŽđ?‘§đ?‘§ đ?‘§đ?‘§

(2.43)

Aplicando una tensiĂłn deformaciĂłn xx se tiene:

yy

a este mismo elemento, y analizando su influencia en la

ď łyy ď Ľy y

ď Ľy ď Ľx

ď Ľx

x

x

y

ď łyy

Figura 2.5: Relaciones GeomĂŠtricas

Analizando en la misma forma que en la direcciĂłn x; la deformaciĂłn por:

ď Ľ yy =

yy

estĂĄ dada

1 ď ł yy E yy

(2.44)

Considerando:

ď Ž xy = −

ď Ľ xx ď Ľ yy

(2.45)

Tenemos: Îľxx = âˆ’Î˝xy Îľyy

(2.46)

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Reemplazando:

ď Ľ yy =

− ď Ž xy

ď ł yy

E yy

por tanto:

ď Ą12 =

(2.47)

− ď Ž xy

(2.48)

E yy

En la direcciĂłn z:

ď Ą13 =

− ď Ž xz E zz

(2.49)

De manera anĂĄloga para las otras direcciones:

ď Ą 21 =

ď Ą 31 =

− ď Ž yx

ď Ą 23 =

E xx ,

− ď Ž zx E xx ,

ď Ą 32 =

− ď Ž yz

(2.50)

E zz − ď Ž zy

(2.51)

E yy

b) Constantes de las distorsiones angulares Las distorsiones angulares sĂłlo dependen de las tensiones tangenciales y por lo tanto los esfuerzos normales no producen deformaciones tangenciales.

xy

xy

Figura 2.6: Distorsiones Angulares

ď Ľ xy = ď Ą 44ď ł xy ďƒž ď Ą 44 =

1 Gxy

(2.52)

G es el modulo de elasticidad transversal, relaciona las distorsiones con las tensiones tangenciales: 1

đ?œ€đ?‘Ľđ?‘Ś = đ??ş đ?œŽđ?‘Ľđ?‘Ś đ?‘Ľđ?‘Ś

(2.53)

La relaciĂłn entre las constantes de elasticidad viene dada por:

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Gxy =

11

E 2(1 +  xy )

(2.54)

Por tanto:

 44 =

1 Gxy

(2.55)

De manera análoga para las otras direcciones:

 55 =

1 G yz

(2.56)

 66 =

1 Gzx

(2.57)

Finalmente , las relaciones entre tensiones y deformaciones para un material ortotrópico vienen dadas por:  1   E xx   yx  xx   − E xx     yy    zx  zz   − E xx  =  xy   0  yz       zx   0    0 

−

 xy

E yy 1 E yy

−

 zy

E yy

− −

 xz E zz

 yz

E zz 1 E zz

0

0

0

0

0

0

0

0

1 G xy

0

0

0

0

1 G yz

0

0

0

0

 0    0   xx       yy  0    zz     xy  0      yz  0   zx   1   G zx 

(2.58)

2.4.3. Materiales Isotrópicos Un material isotrópico es aquel que tiene las mismas propiedades en todas las direcciones.

Por tanto:

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đ??¸đ?‘Ľđ?‘Ľ = đ??¸đ?‘Śđ?‘Ś = đ??¸đ?‘§đ?‘§ = đ??¸

(2.59)

đ??şđ?‘Ľđ?‘Ś = đ??şđ?‘Śđ?‘§ = đ??şđ?‘§đ?‘Ľ = đ??ş

(2.60)

La relaciĂłn entre tensiones y deformaciones viene dado por: ďƒŠ 1 ďƒŞ E ďƒŞ ďƒŠď Ľ xx ďƒš ďƒŞâˆ’ ď Ž ďƒŞď Ľ ďƒş ďƒŞ E ďƒŞ yy ďƒş ďƒŞ ď Ž ďƒŞď Ľ zz ďƒş ďƒŞâˆ’ E ďƒŞ ďƒş=ďƒŞ ďƒŞď Ľ xy ďƒş ďƒŞ 0 ďƒŞď Ľ yz ďƒş ďƒŞ ďƒŞ ďƒş ďƒŞ ďƒŤďƒŞď Ľ zx ďƒťďƒş ďƒŞ 0 ďƒŞ ďƒŞ 0 ďƒŤ (2.61)

2.5.

−

ď Ž

E 1 E

− −

ď Ž E

ď Ž

0

0

0

0

0

0

E

E 1 E

0

0

1 G

0

0

0

0

1 G

0

0

0

0

−

ď Ž

ďƒš 0 ďƒş ďƒşď ł 0 ďƒş ďƒŠ xx ďƒš ďƒş ďƒŞď ł yy ďƒş ďƒŞ ďƒş 0 ďƒş ďƒŞď ł ďƒş ďƒş zz ďƒş ďƒŞď ł ďƒş 0 ďƒş ďƒŞ xy ďƒş ďƒş ďƒŞď ł yz ďƒş ďƒŞ ďƒş 0 ďƒş ďƒŞď ł ďƒş ďƒş ďƒŤ zx ďƒť 1 ďƒş ďƒş G ďƒť

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD.-

Considerando las relaciones geomĂŠtricas, que relacionan los 3 desplazamientos con las 6 deformaciones, estas 6 componentes de la deformaciĂłn no pueden ser especificadas arbitrariamente, por lo que existen relaciones entre sĂ­.

Desde un punto de vista geomĂŠtrico, las componentes de deformaciĂłn deben cumplir ciertas relaciones que garanticen la continuidad en el sĂłlido, para este efecto consideremos que el cuerpo elĂĄstico estĂĄ cortado en pequeĂąos paralelepĂ­pedos donde cada uno de ellos posee las 6 deformaciones, es fĂĄcil concebir que si las deformaciones de cada paralelepĂ­pedo no cumplen ciertas condiciones es imposible que uniendo estos paralelepĂ­pedos, luego de la deformaciĂłn, puedan conformar un cuerpo continuo deformado.

Si no se consideran estas relaciones ocurrirĂĄn discontinuidades infinitesimales en cada punto. Estas ecuaciones que relacionan las deformaciones entre sĂ­ son la ecuaciones de compatibilidad de deformaciones.

2 2 ď‚ś 2 ď Ľ xx ď‚ś ď Ľ yy ď‚ś ď Ľ xy + = ď‚śxď‚śy ď‚śy 2 ď‚śx 2

ď‚ś 2 ď Ľ yy ď‚śz 2

+

2 ď‚ś 2 ď Ľ zz ď‚ś ď Ľ yz = ď‚śzď‚śy ď‚śy 2

(2.64)

(2.65)

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13

 2  zz  2  xx  2  xz + = xz x 2 z 2

(2.66)

 2  xx 1    yz  zx  xy − = + + yz 2 x  x y z

 2  yy xz

=

  

(2.67)

1    zy  xy  yz  −  + + 2 y  y z x 

(2.68)

 2  zz 1    xy  yz zx  −  = + + xy 2 z  z x y 

(2.69)

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