APPUNTI DI LOGICA PROPOSIZIONALE
1. DEFINIZIONI: 1.1. La logica proposizionale studia le proposizioni e le operazioni sulle proposizioni. 1.2. Si definisce proposizione una frase di cui possiamo affermare con certezza se è vera o se è falsa. 1.3. La logica non si interessa dell’aspetto semantico della proposizione, cioè del suo significato, ma solo della sua verità o falsità. 1.4. Anche per questo, invece di pensare a una proposizione, ricorriamo alle variabili proposizionali, cioè a lettere dell’alfabeto latino maiuscole: 1.4.1. A = “Oggi è lunedì”; 1.4.2. B = “Due più tre è uguale a otto”. 1.5. Per indicare che una proposizione è vera o falsa, usiamo i valori di verità: V per il vero e F per il falso. Così, risulta che: 1.5.1. A: V 1.5.2. B: F 1.5.3. Invece la frase “La matematica è interessante” non è una proposizione, perché per alcuni è vera, mentre per altri è falsa. 1.6. Una proposizione sempre vera è detta tautologia; quella sempre falsa contraddizione. 2. OPERAZIONI: 2.1. Per studiare le operazioni sulle proposizioni, ricorriamo a tabelle, dette tabelle di verità. La costruzione di una tabella si dice tabellazione. 2.2. Nella tabella, dobbiamo inserire tutti i possibili valori di verità di una proposizione e, nel caso di più proposizioni, anche tutte le possibili combinazioni. Per esempio, immaginiamo di voler studiare un’operazione che riguarda due proposizioni A e B: dobbiamo costruire una tabella in cui sia A che B possano essere alternativamente V e F e in cui rientrino tutte le possibilità: A V V F F
B V F V F
Si vede che il numero delle righe (eccettuata la riga di intestazione) è uguale a quattro (cioè a due elevato al numero delle proposizioni: 22) e che la prima colonna è composta da metà V e metà F, la seconda da metà della metà V e metà della metà F.