APPUNTI DI LOGICA PROPOSIZIONALE
1. DEFINIZIONI: 1.1. La logica proposizionale studia le proposizioni e le operazioni sulle proposizioni. 1.2. Si definisce proposizione una frase di cui possiamo affermare con certezza se è vera o se è falsa. 1.3. La logica non si interessa dell’aspetto semantico della proposizione, cioè del suo significato, ma solo della sua verità o falsità. 1.4. Anche per questo, invece di pensare a una proposizione, ricorriamo alle variabili proposizionali, cioè a lettere dell’alfabeto latino maiuscole: 1.4.1. A = “Oggi è lunedì”; 1.4.2. B = “Due più tre è uguale a otto”. 1.5. Per indicare che una proposizione è vera o falsa, usiamo i valori di verità: V per il vero e F per il falso. Così, risulta che: 1.5.1. A: V 1.5.2. B: F 1.5.3. Invece la frase “La matematica è interessante” non è una proposizione, perché per alcuni è vera, mentre per altri è falsa. 1.6. Una proposizione sempre vera è detta tautologia; quella sempre falsa contraddizione. 2. OPERAZIONI: 2.1. Per studiare le operazioni sulle proposizioni, ricorriamo a tabelle, dette tabelle di verità. La costruzione di una tabella si dice tabellazione. 2.2. Nella tabella, dobbiamo inserire tutti i possibili valori di verità di una proposizione e, nel caso di più proposizioni, anche tutte le possibili combinazioni. Per esempio, immaginiamo di voler studiare un’operazione che riguarda due proposizioni A e B: dobbiamo costruire una tabella in cui sia A che B possano essere alternativamente V e F e in cui rientrino tutte le possibilità: A V V F F
B V F V F
Si vede che il numero delle righe (eccettuata la riga di intestazione) è uguale a quattro (cioè a due elevato al numero delle proposizioni: 22) e che la prima colonna è composta da metà V e metà F, la seconda da metà della metà V e metà della metà F.
Appunti di Logica proposizionale
2.3. NEGAZIONE: è la prima operazione ed è un’operazione unaria (cioè opera su una sola proposizione). È facile capire che la negazione inverte il valore di verità, cioè che, se la proposizione A è V, la sua negazione è F. I simboli della negazione possono essere: ̅; ¬A o NOT A (questi simboli si dicono connettivi logici). Questa è la sua tabella di verità: A NOT A V F F V 2.4. CONGIUNZIONE: è un’operazione binaria (cioè opera su due proposizioni), che risulta vera solo se le due proposizioni di partenza (dette atomiche) sono tutte vere. I simboli che si usano di solito sono tre: Λ oppure et oppure AND; perciò scriveremo A Λ B oppure A AND B. Questa è la sua tabella di verità: A V V F F
B AΛB V V F F V F F F
Anche se non è proprio corretto, facciamo un esempio e definiamo: A = “Ieri ho studiato” B = “Ieri ho giocato” Se io ieri ho sia studiato che giocato, allora posso affermare che ieri ho studiato e giocato, cioè se A è V e B è V, allora A AND B è V. Ma se io ieri non ho studiato (o non ho giocato), allora non posso affermare che ieri ho studiato e giocato, per cui la congiunzione è falsa. È facile verificare che l’operazione di congiunzione gode della proprietà commutativa, cioè che: A AND B = B AND A Prova a verificare se gode della proprietà associativa, facendo attenzione al fatto che ti servono tre proposizioni (A, B e C) e che la tabella avrà 23 righe, oltre all’intestazione, e che la prima colonna sarà composta da quattro valori V e quattro F, la seconda da due V e due F che si ripetono e la terza da un V e un F che si ripetono.
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2.5. DISGIUNZIONE INCLUSIVA: è anche questa un’operazione binaria. La disgiunzione risulta vera se almeno una delle proposizioni atomiche è vera. I suoi simboli sono V oppure OR oppure vel. Questa è la sua tabella di verità: A V V F F
B AVB V V F V V V F F
Anche la disgiunzione inclusiva gode delle proprietà commutativa e associativa. In italiano, si può paragonare all’esempio: “La prossima estate andrò al mare o andrò in montagna”, senza escludere che io possa andare solo al mare, solo in montagna o in tutti e due i posti (per questo si chiama inclusiva). 2.6. DISGIUNZIONE ESCLUSIVA: questa operazione ha come simbolo XOR oppure aut. Questa è la sua tabella di verità: A V V F F
B A XOR B V F F V V V F F
Si vede dalla tabella che risulta vera solo se le due proposizioni atomiche hanno valore di verità diverso. In italiano, si può paragonare all’esempio: “La prossima estate andrò al mare oppure andrò in montagna”, con l’esclusione che io possa andare in tutti e due i posti. 2.7. IMPLICAZIONE: è un’operazione che ricorda l’espressione italiana SE … ALLORA; i suoi simboli sono → oppure IMP: A → B o A IMP B. Questa è la sua tabella di verità: A V V F F
B A IMP B V V F F V V F V
Analizzando la tabella, si nota che la proprietà commutativa NON è valida. 2.8. COIMPLICAZIONE: si può immaginare come una doppia implicazione: se A IMP B e B IMP A, allora A coimplica B. I simboli sono: ↔ oppure EQV: A ↔ B, oppure A EQV B. La sua tabella di verità e: A V V F F
B A EQV B V V F F V F F V Pagina 3