matemáticas El objetivo de esta obra es
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proporcionar al lector, tanto para el
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escolar como para el que realiza
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una consulta esporádica, un
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completo y atractivo panorama de los campos fundamentales de la matemática, con ilustraciones acompañadas de unas breves notas que explican de una forma lógica y sencilla las teorías matemáticas, así como muchas de las aplicaciones que hoy día se encuentran en los campos más diversos y que han contribuido al colosal progreso de la humanidad. Una introducción acerca de los aspectos generales de la matemática, y un detallado índice alfabético de materias, incrementan el valor práctico y didáctico de este volumen.
ISBN 978-84-342-2491-9
,!7II4D4-ccejbj!
www.parramon.com
Otros títulos: ■ Anatomía ■ Zoología ■ Astronomía ■ Tecnología ■ Biología ■ Geografía física ■ Botánica ■ Fósiles y minerales ■ Física y química ■ Ecología ■ Fisiología ■ Gramática ■ Ortografía ■ Historia Universal ■ Religiones ■ Historia del Arte ■ Exploraciones y descubrimientos ■ Filosofía ■ Inglés ■ Música ■ Agua ■ Literatura ■ Mamíferos ■ Política ■ Economía
atlas básico de matemáticas
atlas básico de
a
atlas básico de
matemáticas
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SUMARIO Introducción ................................................................ 6 Sistemas de numeración ............................................ 10 El sistema decimal .................................................. 10 Los números romanos ............................................ 10 El sistema binario.................................................... 11 El sistema sexagesimal .......................................... 11 Números naturales........................................................12 Suma de números naturales.................................... 12 Resta ...................................................................... 12 Multiplicación .......................................................... 13 División .................................................................. 13 Potenciación............................................................ 13 Radicación .............................................................. 13 Divisibilidad.................................................................. 14 Factores primos ...................................................... 14 Máximo común divisor ............................................ 15 Mínimo común múltiplo .......................................... 15 Números enteros.......................................................... 16 El origen del número cero ...................................... 16 Los negativos .......................................................... 16 Suma de enteros .................................................... 17 Resta de enteros .................................................... 17 Multiplicación de enteros ........................................ 18 División de números enteros .................................. 19 Potencias de base natural con exponente entero .... 19 Potencias de base entera ........................................ 19 Números racionales .................................................... 20 Las fracciones ........................................................ 20 Suma y resta de fracciones .................................... 20 Multiplicación y división de fracciones .................... 21 Representación gráfica de fracciones ...................... 21 Números reales ............................................................ 22 Fracciones decimales .............................................. 22 Suma y resta de números decimales ...................... 23 Multiplicación .......................................................... 23 División .................................................................. 23 Números decimales periódicos................................ 24 Fracción generatriz de un número decimal.............. 24 Números irracionales .............................................. 25
SUMARIO
Un sistema de medida casi universal ........................ 26 Unidades de longitud .............................................. 26 Unidades de superficie ............................................ 27 Unidades de volumen, capacidad y masa ................ 27
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Ecuaciones .................................................................. 28 La búsqueda de las incógnitas ................................ 28 Planteamiento ........................................................ 28 Resolución .............................................................. 29
¿Qué es una ecuación? .......................................... 30 La ecuación de segundo grado................................ 30 Resolución de la ecuación de segundo grado .......... 31 Sistemas de ecuaciones .............................................. 32 Planteamiento ........................................................ 32 Método de Cramer .................................................. 32 Método de reducción .............................................. 33 Método de sustitución ............................................ 34 Método de igualación .............................................. 35 La regla de tres y sus aplicaciones ............................ 36 Proporcionalidad directa.......................................... 36 Proporcionalidad inversa ........................................ 37 Repartos proporcionales .......................................... 37 Regla de tres compuesta ........................................ 38 Tanto por ciento ...................................................... 38 Porcentaje de aumento............................................ 39 Porcentaje de disminución ...................................... 39 Créditos e hipotecas .................................................... 40 Interés compuesto .................................................. 40 Planes de inversión ................................................ 41 Hipotecas ................................................................ 41 Funciones y gráficas.................................................... 42 Variables y fórmulas ................................................ 42 Tablas de valores .................................................... 43 La función lineal .......................................................... 44 Gráfica de la función lineal ...................................... 44 La función afín ........................................................ 45 La función cuadrática.................................................. 46 Gráfica de la función cuadrática .............................. 46 El problema del almacenamiento ............................ 47 La función exponencial................................................ 48 Una función que crece rápidamente ........................ 48 El crecimiento continuo .......................................... 48 Logaritmos .............................................................. 49 Elementos de la geometría plana................................ 50 Ángulos .................................................................. 50 Polígonos ................................................................ 51 Cuadriláteros................................................................ 52 Triángulos .................................................................... 54 Los triángulos según sus ángulos............................ 54 Los triángulos según sus lados................................ 55 Baricentro................................................................ 55 Ortocentro .............................................................. 55 Circuncentro............................................................ 55 Incentro .................................................................. 55
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La circunferencia ........................................................ 56 Longitud de la circunferencia .................................. 56 Partes de un círculo ................................................ 57 Transformaciones geométricas .................................. 58 Traslaciones ............................................................ 58 Giros ...................................................................... 58 Simetría axial .......................................................... 58 Simetría central ...................................................... 59 Homotecias ............................................................ 59 Semejanzas ............................................................ 59 Teorema de Tales .................................................... 59 Las razones trigonométricas ...................................... 60 El seno de un ángulo .............................................. 60 Otras razones trigonométricas ................................ 60 Cálculo de longitudes aplicando las razones trigonométricas .................................... 62
Parámetros estadísticos ............................................ 78 Media aritmética .................................................... 78 Media y dispersión .................................................. 79 Varianza y desviación típica .................................... 80 Valores agrupados en intervalos.............................. 81 Uso de la calculadora .............................................. 81 Probabilidad ................................................................ 82 Sucesos .................................................................. 82 Diagramas .............................................................. 83 Probabilidad condicionada.......................................... 84 Influencias entre sucesos ........................................ 84 Realización de un diagrama de Venn ...................... 85 Tablas de doble entrada .......................................... 85 El modelo binomial ...................................................... 86 Utilización de modelo binomial ................................ 86 Números combinatorios .......................................... 87
Funciones trigonométricas.......................................... 64 Poliedros ...................................................................... 66 Prismas y pirámides .................................................... 68 Área y volumen del ortoedro.................................... 69 Área y volumen de la pirámide ................................ 69 Cuerpos de revolución ................................................ 70 Superficie y volumen del cilindro ............................ 70 Superficie y volumen del cono ................................ 71 La esfera ...................................................................... 72 Partes de la superficie esférica................................ 72 Partes del volumen esférico .................................... 73
La campana de Gauss ................................................ 88 La distribución normal ............................................ 88 Las tablas de la distribución normal estándar.......... 89 El problema inverso ................................................ 89 Ajuste de la binomial mediante la normal................ 90 Nuevos retos de la matemática actual ...................... 92 La lógica borrosa .................................................... 92 Geometría fractal .................................................... 93 La teoría del caos.................................................... 93 Índice alfabético de materias...................................... 94
SUMARIO
Gráficos estadísticos .................................................. 74 Conceptos básicos .................................................. 74 Tablas de frecuencias.............................................. 75 Datos agrupados en intervalos ................................ 76 Pirámides de población .......................................... 77
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UN SISTEMA DE MEDIDA CASI UNIVERSAL ¿Te imaginas que en cada país, en cada región incluso, utilizásemos unidades de medida diferentes? ¡Vaya lío! Pues así sucedía hasta hace un poco más de doscientos años. En unas comarcas se medía en palmos; en otras, en varas; en otras, en pies, etc., hasta que en 1792 la Academia de Cien-
cias de París encargó a los científicos Delambre y Mechain la elaboración de un sistema único de medidas. Así nació el sistema métrico decimal, cuya unidad fundamental es el metro y que hoy se utiliza prácticamente en todo el mundo.
UNIDADES DE LONGITUD Adela practica el atletismo. El próximo domingo correrá una carrera de 12,3 km. Si en cada zancada recorre 80 cm por término medio, ¿cuántas zancadas dará a lo largo de la carrera? Para responder a esta pregunta transformaremos en primer lugar los kilómetros a centímetros: 12,3 km = 12,3 · 100.000 cm =1.230.000 cm. Por tanto, el número de zancadas será: 1.230.000 = 15.375 zancadas. 80 Antes de la implantación del sistema métrico decimal existía una gran diversidad de unidades y elementos para efectuar mediciones. Derecha, media fanega, medida castellana de capacidad para granos o legumbres; abajo, arroba de Girona, un peso de unas 25 libras, esto es, unos 11,502 kilogramos.
¿QUÉ ES MEDIR?
UN SISTEMA DE MEDIDA CASI UNIVERSAL
Para medir algo, lo primero que tenemos que hacer es definir una cantidad inicial que llamaremos unidad. Posteriormente, ya podremos medir una magnitud, comparándola con la unidad y viendo cuántas veces la contiene.
26
En el sistema métrico decimal se emplean los prefijos deca-, hectoy kilo- para los múltiplos de la unidad.
➜
➜
En el sistema métrico decimal se emplean los prefijos deci-, centi- y mili- para los submúltiplos de la unidad.
MULTIPLICAMOS POR 100 DIVIDIMOS POR 100 Múltiplos
Unidad
Submúltiplos
Nombre kilómetro hectómetro decámetro metro
decímetro centímetro
milímetro
Símbolo km
dm
mm
hm
dam
m
cm
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Introducción
MULTIPLICAMOS POR 100
UNIDADES DE SUPERFICIE
DIVIDIMOS POR 100 Múltiplos
Unidad
Submúltiplos
Nombre kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado
milímetro cuadrado
Símbolo km2
hm2
dam2
m2
mm2
Nombre
hectárea
área
centiárea
Símbolo
ha
a
ca
dm2
cm2
La magia de los números
Lucía y Juan trabajaban en una finca de 27,3 ha, pero han decidido venderla a una constructora que dedicará 5 ha a zonas comunes y dividirá el resto en parcelas de 500 m2 destinadas a chalets. ¿Cuántos se edificarán? La zona edificable mide: 27,3 – 5 = = 22,3 ha. Esta superficie equivale a: 22,3 · 10.000 = 223.000 m2. Se podrán hacer: 223.000 = 446 parcelas. 500
UNIDADES DE VOLUMEN, CAPACIDAD Y MASA A Lorenzo le encanta hacer comparaciones y se pasa el día calculando cosas mentalmente. Mientras tomaba el sol relajadamente al borde de una piscina de 813 m3 de capacidad, le han venido dos preguntas a la cabeza: ¿cuántas veces es mayor la capacidad de la piscina que la de una botella de vino de 75 cl? ¿Cuántas toneladas pesaría el agua de la piscina?
➜
VOLUMEN Símbolo km
CAPACIDAD Nombre
Símbolo
MASA Nombre
El sistema métrico
Ecuaciones
La regla de tres
Funciones
Símbolo
3
Trigonometría
hectómetro hm3 cúbico decámetro cúbico
Números racionales
Geometría
(de agua destilada)
dam3
metro cúbico
m3
kilolitro hectolitro decalitro
kl hl dal
tonelada quintal
decímetro cúbico
dm3
litro decilitro centilitro
l dl cl
kilogramo kg hectogramo hg decagramo dag
centímetro cúbico
cm3
mililitro
ml
g gramo decigramo dg centígramo cg
milímetro cúbico
mm3
miligramo
t q
mg
MULTIPLICAMOS POR 10 DIVIDIMOS POR 10
Para medir grandes magnitudes se utilizan los prefijos mega (M), que equivale a un millón, giga (G), que equivale a mil millones, y tera (T), equivalente a un billón. La informática ha popularizado estos múltiplos de la unidad. Así, por ejemplo, hablamos de megahercios o gigabytes.
MULTIPLICAMOS POR 1.000 DIVIDIMOS POR 1.000
kilómetro cúbico
Números enteros
Números reales
Las ha contestado fácilmente: 813 m3 = 813 · 1.000 dm3 = = 813.000 dm3 = 813.000 l = 813.000 · 100 cl = 81.300.000 cl Como 81.300.000 = 1.084.000 75 concluimos que la capacidad de la piscina es 1.084.000 veces mayor que la capacidad de la botella. Por otra parte, un litro de agua destilada pesa un kilo. Un litro de agua de piscina pesa un poco más, ya que, además de agua, contiene otras cosas, como sales, cloro, etc., pero podemos afirmar que pesaría aproximadamente 813.000 kg, es decir, Como en el terreno informático se emplea la base dos y la potencia de dos 813.000 = 813 t. 1.000 más cercana a mil es 210 = 1.024, un kilobyte no equivale a 1.000 bytes, sino a 1.024 bytes, un megabyte a 1.024 · 1024 = 1.048.576 bytes y así sucesivamente.
Nombre
Números naturales
Estadística
Probabilidad
Retos de la matemática
Índice alfabético de materias
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LA FUNCIÓN EXPONENCIAL En un determinado país el número de usuarios de Internet se ha duplicado cada año. En este momento un millón de personas utilizan la red. Si continúa
produciéndose este fenómeno, ¿cuántos usuarios habrá dentro de tres años?
UNA FUNCIÓN QUE CRECE RÁPIDAMENTE Si llamamos x al tiempo en años, siendo x = 0 el momento actual, e y a la cantidad de personas que utilizan los servicios de Internet, expresada en millones, tenemos que: • El año que viene habrá: 1 · 2 = 2 millones. • El año siguiente: 2 · 2 = 2 2 = 4 millones. • Dentro de tres años: 4 · 2 = 2 3 = 8 millones y así sucesivamente. Por tanto, el número de usuarios se puede expresar en función x del tiempo mediante la fórmula: y = 2 . Este tipo de funciones en las que la variable independiente está en el exponente se llaman funciones exponenciales. Si construimos una tabla de valores y unimos los puntos obtenidos, podremos dibujar la gráfica de la función.
Internet ya está en las escuelas, en los hogares, en las oficinas... en todas partes, conectando nuestro planeta.
y si la x es positiva, los valores de y van creciendo rápidamente
6
•
5 4 3
el punto de corte (0, 1) indica que en el momento actual la red tiene un millón de usuarios
•
–6
–5 –4
–3
–2
2
•1 –1
1
LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
–1
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–2
2
3
4
5
6
a medida que la x es más negativa, la y es menor
–3 –4 –5 –6
➜
La diferencia entre las funciones y = 1,03 e y = e 0,03x sólo es apreciable para valores grandes de x.
x
x
EL CRECIMIENTO CONTINUO El índice de precios al consumo es un indicador del aumento de los precios en su conjunto. Supongamos que en un país determinado se ha mantenido constante en los últimos años alrededor del 3%. De seguir así, si tomamos como uno el índice de precios del año en curso, el año próximo valdrá: 1 + 1 · 0,03 = = 1,03. Sabemos que para aumentar una cantidad un 3%, basta con multiplicarla por 1,03. Por tanto, dentro de dos años será 1,03 2 x y en general el índice se expresará mediante la función y = 1,03 . Ahora bien, los precios no crecen de golpe al final del año, sino que van creciendo de forma continua a lo largo del mismo, por lo que en este caso será más adecuado utilizar la función exponencial y = e 0,03x, que se emplea para estudiar fenómenos con un crecimiento continuo del 3 %. Podemos dar valores y hacer una tabla comparativa de las dos funciones exponenciales.
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Introducción
LOGARITMOS
EL NÚMERO e Al igual que el número π , que expresa la relación existente entre la longitud de una circunferencia y la de su diámetro, el número e es un número irracional con infinitas cifras decimales no periódicas que tiene una gran importancia matemática. Su valor aproximado es: 2,7182818...
x
1
10
20
100
200
y = e 0,03x
1,03
1,34
1,81
19,22
369,36
y = 1,03 x
1,03
1,35
1,82
20,01
403,43
Volvamos al asunto de los usuarios de Internet. Si queremos calcular, por ejemplo, en qué fecha se alcanzará la cifra de 5.656.854 usuarios, tenemos que resolver la ecuación: 2 x = 5,656854 millones. En este tipo de problemas a los exponentes se les llama logaritmos. La frase: «x es el exponente al que hay que elevar la base 2 para obtener el número 5,656854» se traduce pues al lenguaje matemático mediante la expresión: «cuál es el logaritmo en base dos de 5,656854», que se escribe abreviadamente x = log2 5,656854.
In
SCIENTIFIC CALCULATOR ON
OFF
INV
+/–
X/
,,,
X2
Xy
hyp
a–X–
X–Y·M
Σx2
Σx
7
√
8
log
ln
cos –1
tan –1
Min NORM
MR ENG
σn
σn–1
FIX [(· · · 6 · · ·)]
n
SCI
x
9
Xvy
sin –1
C
AC
Números naturales
Números enteros
Números racionales
Números reales
MODE
1/X
La magia de los números
El sistema métrico ON
SAC
4
5
6
1
2
3
·· —
x R
P
+
P
R
–
log
Ecuaciones
M
RND
Los logaritmos se emplean para calcular el pH con el que medimos el grado de acidez de una disolución.
·
EXP
RAN
π
=
M+ X DEL
Las calculadoras sólo disponen de la tecla ln, con la que se calculan los logaritmos en base e, llamados neperianos, y la tecla log, con la que se calculan los logaritmos en base 10, llamados decimales. Pero podemos calcular el logaritmo en base 2 de la siguiente forma: log2 5,656854 = ln 5,656854 = 1,7328679 = 2,5. ln 2 0,6931471 Es decir, se alcanzará la cifra de 5.656.854 usuarios dentro de dos años y medio.
La magnitud de los terremotos se mide utilizando la escala de Richter, que depende del logaritmo de la energía liberada por el terremoto.
La regla de tres
Funciones
Geometría
Trigonometría
Estadística
Probabilidad
Retos de la matemática
Índice alfabético de materias
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CUERPOS DE REVOLUCIÓN Se llaman cuerpos de revolución a las figuras tridimensionales que se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje. Entre ellos destacan la esfera, el cono y el cilindro. A nuestro alrededor podemos encontrar numerosos ejemplos de cuerpos
de revolución: una pelota de tenis tiene forma esférica, un neumático tiene forma toroidal, un balón de rugby se aproxima bastante a un elipsoide y en un molino de viento podemos apreciar un cilindro y un cono.
SUPERFICIE Y VOLUMEN DEL CILINDRO Un depósito de forma cilíndrica y diez metros de altura tiene una capacidad de setecientos ochenta y cinco mil litros. Calculemos su superficie lateral. En primer lugar tenemos que: 785.000 l = = 785.000 dm3 = 785 m3. De forma que: π · r 2 · 10 = 785 ⇒ r 2 = = 785 ⇒ π = 785 ≈ 5 m. 10 · π 10 · π Por consiguiente, la superficie lateral será: S L = 2 · π · 5 · 10 ≈ 314 m2.
____
√
•
generatriz altura
• h
El cuerpo del molino es un cilindro y su cubierta, un cono. r
r •
CUERPOS DE REVOLUCIÓN
•
70
h 2 πr
Desarrollo del cilindro. La superficie lateral se convierte en un rectángulo cuyos lados son la longitud de la circunferencia de la base del cilindro y la altura del mismo. Por consiguiente: SL = 2 · π · r · h Para obtener la superficie total, sumamos el área de las bases que son dos círculos iguales: ST = 2 · π · r · h + 2 · π · r 2
➜
radio de la base base
Cuando un rectángulo gira alrededor de uno de sus lados se genera un cilindro recto. Su volumen se obtiene multiplicando el área de la base por la altura: V = π · r 2 · h.
¿Pueden construirse un cilindro y un cubo que tengan la misma altura y exactamente el mismo volumen? Las bases tienen que tener la misma área. Se trata, por tanto de una nueva versión del problema de la cuadratura del círculo. El lado del cubo tendría que medir: l 2 = π r 2 l=rπ √ . Pero, como π tiene infinitos decimales, sólo se podrían construir dichos cuerpos con volúmenes aproximadamente iguales.
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Introducción
SUPERFICIE Y VOLUMEN DEL CONO Queremos hacer un envase de cartón con forma de cono recto que tenga cuatro decímetros de altura y de modo que el radio de su base mida tres decímetros. Calculemos la cantidad de cartón que necesitaremos. En primer lugar hallamos la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras:
La magia de los números
la hipotenusa da lugar a la generatriz
•
__
Números naturales
g 2 = 42 + 32 = 25; g = √ 25 = 5 dm. Por tanto, la superficie de cartón será:
h
g
ST = π · 3 · 5 + π · 32 ≈ 75,40 dm2. La capacidad del recipiente cónico será: V = 1 · π · 32 · 4 ≈ 37,70 dm3. 3
la altura une el vértice del cono con el centro de su base
•
Números enteros
Números racionales
radio de la base
• r
base
•
El cono recto se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Su volumen se calcula hallando la tercera parte del área de la base por la altura: V = 1 · π · r 2 · h. 3
Números reales
El sistema métrico
g Ecuaciones
La regla de tres
El neumático de un automóvil tiene forma toroidal. Funciones
2 πr Geometría
r
Trigonometría
Estadística
Desarrollo del cono. La superficie lateral se obtiene mediante la expresión: S L = π · r · g, donde g es la generatriz del cono; mientras que la superficie total se halla sumando a la superficie lateral el área de la base: ST = π · r · g + π · r 2
Probabilidad
Retos de la matemática
Índice alfabético de materias
Las rosquillas y los donetes también tienen forma toroidal.
El balón de rugby recuerda un elipsoide.
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proporcionar al lector, tanto para el
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escolar como para el que realiza
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una consulta esporádica, un
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completo y atractivo panorama de los campos fundamentales de la matemática, con ilustraciones acompañadas de unas breves notas que explican de una forma lógica y sencilla las teorías matemáticas, así como muchas de las aplicaciones que hoy día se encuentran en los campos más diversos y que han contribuido al colosal progreso de la humanidad. Una introducción acerca de los aspectos generales de la matemática, y un detallado índice alfabético de materias, incrementan el valor práctico y didáctico de este volumen.
ISBN 978-84-342-2491-9
,!7II4D4-ccejbj!
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Otros títulos: ■ Anatomía ■ Zoología ■ Astronomía ■ Tecnología ■ Biología ■ Geografía física ■ Botánica ■ Fósiles y minerales ■ Física y química ■ Ecología ■ Fisiología ■ Gramática ■ Ortografía ■ Historia Universal ■ Religiones ■ Historia del Arte ■ Exploraciones y descubrimientos ■ Filosofía ■ Inglés ■ Música ■ Agua ■ Literatura ■ Mamíferos ■ Política ■ Economía
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