Construcción de triángulos En esta actividad construirás triángulos cambiando la medida de dos lados y el ángulo entre ellos. 1. Abre con Geogebra el archivo “Triangulos”; verás un triángulo y un deslizador para cambiar la medida del ángulo verde. Los puntos rojos (A y B) pueden moverse para modificar las medidas de dos lados.
2. Mueve los puntos rojos y el deslizador para cambiar las medidas de los lados y el ángulo entre ellos. Observa que siempre se forma un triángulo. a) Traza un triángulo de lados 8 y 3 con un ángulo entre ellos de 100°. b) ¿Cuánto mide el otro lado? ___________________. 3. Construye un triángulo con lados AC y AB que midan 8 cm y 6 cm, respectivamente. a) ¿Cuál es la medida del lado CB? __________________ b) ¿Cuál es la medida del ángulo verde? __________________ c) ¿Obtuviste las mismas medidas que las de tus compañeros? ______________________________ d) ¿Se pueden trazar triángulos distintos si se conoce la medida de dos de sus lados? Justifica tu respuesta. ________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 4. Construye dos triángulos distintos, cada uno con lados AC y AB de 6 cm y 4 cm, respectivamente y que tengan un ángulo en C de 32°. a) Anota las dos medidas que encontraste para el lado BC. ____________ y _______________ b) ¿Existe alguna otra medida posible para el lado BC? _______________________________
Conversión de fracciones Un mismo número se puede representar en forma de fracción, en notación decimal o en porcentaje; en esta actividad aprenderás a cambiar de una representación a otra con una hoja de cálculo. 1. Abre el archivo “Tareasdiarias” y rellena la columna B con el tiempo que dediques a cada actividad. Mide el tiempo en horas completas, no escribas fracciones. Observa, en la columna C, qué parte del día dedicas a cada actividad.
a) ¿Cómo están escritos los números de la columna C? ____________ b) Haz clic en la celda C2 y observa, en la barra de fórmulas, la fórmula de esa celda.
c) Anota la fórmula: ________________ 2. Haz lo siguiente para cambiar los números de la columna C al formato de fracción. a) Coloca el mouse sobre la celda C2 y presiona el botón izquierdo del mouse; sin dejar de presionar, arrastra el cursor hasta la celda C10.
b) Presiona, sobre el recuadro, el botón derecho del mouse y selecciona Formato de celdas.
c) Haz clic en la pestaña Número y selecciona Fracción Hasta dos dígitos Aceptar. Verifica que los números queden expresados en forma de fracción. d) Selecciona otra vez Formato de celdas. Elige la pestaña Número y haz clic en Porcentaje Posiciones decimales 2Aceptar. Verifica que los números queden expresados en porcentaje.
Efectividad goleadora Ahora utilizarás lo aprendido para contestar algunas preguntas sobre el mundial de futbol 2010. 1. Abre el archivo “Mundial2010” y observa los datos de la tabla. En la columna D aparece el término efectividad, este se refiere al número de goles anotados entre el número de tiros efectuados. Por ejemplo, un jugador que mete 4 goles en 5 intentos tiene una efectividad de 4/5 = 0.8; uno que anota 2 goles de 4 intentos tiene una efectividad de 2/4 = 0.5; uno que mete 1 gol en 10 intentos tiene una efectividad de 1/10 = 0.1 a) ¿Cuál es la mayor efectividad posible? _______________________________ b) ¿Cuál es la menor efectividad posible? _______________________________ 2. Haz clic sobre la celda D2 y escribe, en la barra de fórmulas, una fórmula para calcular la efectividad de Álvaro Pereira en función de las celdas B2 y C2. No olvides empezar con el = antes de escribir la fórmula. a) Si escribiste bien la formula, en la efectividad de Álvaro Pereira aparecerá 0.14285714… Verifícalo. b) Escribe la efectividad del jugador en fracción. ________ c) Escribe la efectividad del jugador en porcentaje. ________ 3. Para calcular la efectividad de todos los jugadores haz clic en la esquina inferior derecha de la celda D2 y, sin soltar el botón, arrastra el cursor hasta la celda D96. a) Si lo hiciste bien, en la efectividad de Andrés Iniesta aparecerá 0.18181818… Verifícalo. b) Escribe la efectividad de otros tres jugadores _____________________________ ____________________________________________________________________
4. Para ordenar los datos de efectividad, selecciona la columna D, presiona la tecla Shift y, sin soltarla, haz clic izquierdo sobre las otras tres columnas (A, B y C).
Haz clic en la pestaña Datos y selecciona el botón Ordenar.
Elige Ordenar por Efectividad Ordenar según Valores De mayor a menor Aceptar.
a) ¿Qué jugadores tuvieron la máxima y la mínima efectividad del torneo? ______________________________________________________________________ b) ¿Qué jugadores metieron más de un gol y además tuvieron efectividad de 1/3 (1 gol de cada 3 tiros)? __________________________________________________________ c) ¿Qué jugadores tuvieron 0.22 de efectividad? _______________________________ d) ¿Qué jugadores tuvieron 50% de efectividad? _______________________________ 5. Ordena la tabla según el número de goles y luego según el número de tiros. Responde las preguntas. a) ¿Qué jugadores metieron más goles? _____________________________________ b) ¿Qué jugadores hicieron más tiros? _______________________________________
Perímetro y área de polígonos regulares con Geogebra 1. Abre, mediante el programa Geogebra, el archivo “Perimetroarea”. a) Además del lugar donde normalmente se muestran las figuras (Vista Gráfica), observarás una hoja de cálculo en la parte derecha de la pantalla.
b) Explora los elementos del archivo; mueve el punto azul para cambiar la posición del polígono, y los deslizadores de color para cambiar el número de lados o la medida de estos. Al mover los deslizadores, los valores en la hoja de cálculo cambian automáticamente. 2. Contesta las siguientes preguntas y haz lo que se pide. a) ¿Qué ocurre en la celda B1 al mover el deslizador morado? _______________ b) Haz clic en la celda B1 para ver la fórmula escrita en esa celda; se encontrará el = seguido del nombre del deslizador morado. Esto significa que el valor de la celda en B1 está asociado al valor del deslizador; por ello, al moverlo, el número en B1 cambia automáticamente. c) Toma como ejemplo el inciso anterior; escribe en la celda B2 una fórmula para que se muestre ahí la medida del lado al mover el deslizador verde. No olvides comenzar la fórmula con el =. d) Escribe, en la celda B4, una fórmula para calcular el perímetro del polígono dibujado. Asegúrate de escribir la fórmula en función de las celdas B1, B2 y B3 para que, cuando cambien los números en esas celdas, el perímetro y el área se calculen automáticamente. e) Escribe, en la celda B5, una fórmula para calcular el área del polígono en función de B1, B2 y B3.
3. Completa la tabla; manipula los elementos necesarios para calcular el área y el perímetro de cada polígono. Polígono
Medida del lado
pentágono
2.4
hexágono
3.2
heptágono
2.3
Perímetro
Área
Resolución de problemas con hojas de cálculo En esta actividad utilizarás una hoja de cálculo para plantear y resolver ecuaciones. 1. Lee el siguiente problema. En una granja hay 67 animales entre gallinas y conejos. Si hay 19 conejos más que gallinas, ¿cuántos animales hay de cada tipo? 2. Abre el archivo “Gallinasconejos”, contesta las siguientes preguntas y haz lo que se pide. a) ¿Cuántos conejos debe haber en las filas 2, 3 y 4 para que se cumpla la segunda condición del problema, es decir, que haya 19 conejos más que gallinas? _____________________ b) ¿Cómo obtuviste los números anteriores? _____________________________________ 3. Escribe, en la celda B2, una fórmula para calcular el número de conejos a partir del número de gallinas (celda A2); ten en cuenta que siempre hay 19 conejos más que gallinas. No olvides empezar tu fórmula con el =. a) Copia la fórmula de B2 en las demás celdas de la columna B como lo has hecho anteriormente. b) Escribe una fórmula en C2 para calcular el total de animales a partir de las celdas A2 y B2. c) Copia la fórmula en las demás celdas de la columna C. d) ¿Qué celda de la columna C muestra el total de animales que pide el problema? _________ e) ¿Cuántos animales de cada tipo hay? ___________________________________________ 4. En la celda D2 escribe la fórmula =2*A2+19. Copia la fórmula de D2 en las demás celdas de la columna D. Observa que ahora las columnas C y D son idénticas, ¿por qué sucedió esto? _____________ ____________________________________________________________________________
Sucesiones numéricas 1. Abre una hoja de cálculo, anota en la celda B3 el número 1 y oprime la tecla Enter; verás una pantalla como la de la derecha.
a) Si en la celda B4 anotas =B3+2, ¿qué aparecerá al oprimir la tecla Enter? _______________
Hazlo y verifica tu respuesta. 2. Coloca el mouse en la celda B4 y presiona el botón izquierdo para seleccionarla. Pon el cursor sobre la esquina inferior derecha de la celda hasta que aparezca una cruz negra, presiona el botón izquierdo y, sin dejar de presionar, arrastra hacia abajo el cursor, hasta la celda B20. La pantalla aparecerá como la de la derecha. Lo que hiciste fue copiar la expresión =B3+2 en las celdas de abajo. Para llenar las celdas, la hoja de cálculo suma 2 al número anterior y así se genera una sucesión de números Guarda el archivo con un nombre conveniente.
3. Sigue las instrucciones. Al final, la hoja de cálculo se verá como la de la derecha. a) Escribe, en la celda D3, el número 6 y oprime Enter. b) Escribe, en la celda D4, la fórmula =D3+6 y oprime Enter. c) Selecciona la celda D4 y arrástrala hacia abajo hasta la fila 20 como hiciste en el inciso 2.
4. Genera las siguientes sucesiones con la hoja de cálculo. Para identificarlas, escribe en la fila 1 el nombre de cada secuencia.
Escribe la fórmula que utilizaste para cada secuencia. Secuencia 1: ____________________
Secuencia 2: ____________________
Secuencia 3: ____________________
Secuencia 4: ____________________
Secuencia 5: ____________________
Secuencia 6: ____________________
Sucesiones cuadráticas En esta actividad usarás la hoja de cálculo para estudiar algunas características de las sucesiones cuadráticas. 1. Abre el archivo “Sucesiones”; verás en pantalla una sucesión cuadrática (columna M) que puede modificarse al cambiar los números de las celdas anaranjadas (D5, G5 y J5).
a) Escribe, en la celda N1, la fórmula =M1-M2 y cópiala en las demás celdas de la columna N. Describe, con tus palabras qué hace la fórmula. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ b) Escribe, en la celda O1, la fórmula =N1-N2 y cópiala en las demás celdas de la columna O. Verifica que todos los valores de la columna sean iguales. 2. Usa los elementos de la hoja de cálculo para completar la siguiente tabla. Sucesión 6, 11, 18, 27, ... –3, –4, –3, 0, …
a 1 1 2
b 2 –4 0
c 3 0 3
Expresión 2
n + 2n + 3
4
2a
Valor en columna O
6
6
2
2
–3
2
n – 4n 2
5
2
3
2n + n 3
1 término
2
2n + 3
–1
er
a+b+c
4 6
5, 13, 27, 47, …
6
5 2
4n – 2n – 5
6 8
5, 17, 37, 65, …
a) ¿Qué relación hay entre el coeficiente a (número que multiplica a n2) y las segundas diferencias (columna O) de una sucesión cuadrática? _____________________________
b) ¿Cómo son el primer término de una sucesión cuadrática y la suma de los coeficientes respectivos (a + b + c)? ____________________________________________________ c) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Redacten, entre todos y tomando como ejemplo la última sucesión de la tabla, un método para encontrar la expresión general de una sucesión cuadrática a partir de sus primeros términos. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ d) Cambien los valores en las celdas anaranjadas para generar las sucesiones de la siguiente tabla. Anoten en cada caso los valores utilizados de a, b y c. Sucesión 2, 8, 18, 32, 50, … 4, 12, 24, 40, 60, … 7, 15, 27, 43, 63, …
a
b
c