Parámetros estadísticos Vamos a calcular los principales parámetros estadísticos de los datos obtenidos al realizar una encuesta. El cálculo se realizará para un conjunto pequeño de valores, que no se agrupen en intervalos. Hay que organizar los datos en una tabla como la siguiente: Valores de la variable (xi)
Frecuencia absoluta (ni)
Frecuencia absoluta acumulada
·
− ̅
− ̅
− ̅ ·
A partir de esta tabla vamos a obtener los principales parámetros estadísticos: 1. 2. 3. 4. 5. •
Media aritmética Moda Mediana Varianza Desviación típica
Valores de la variable: escribimos los diferentes valores que puede tomar la variable sobre la que se hace la encuesta. Los valores se escriben de menor a mayor. Ejemplo A un grupo de alumnos se le pregunta por la nota obtenida en una prueba obteniéndose los siguientes valores: 3, 5, 6, 3, 5, 3, 3, 6, 5, … Variable: Calificación obtenida en la prueba Valores que puede tomar la variable: 0, 1, 2, 3,…., 10
•
Frecuencia absoluta: números de veces que aparece cada valor de la variable. Ejemplo 3, 5, 6, 3, 5, 3, 3, 6, 5 3 aparece 4 veces; 5 aparece 3 veces; 6 aparece 2 veces
•
Frecuencia absoluta acumulada: Número de valores menores o iguales a uno dado Ejemplo En el caso anterior 3 acumula 3 valores; 5 acumula 6 valores (los del 3 y los suyos); 6 acumula 8 valores (los del 3, los del 5 y los suyos)
•
· Se obtiene multiplicando la primera y segunda columna.
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ParĂĄmetros estadĂsticos • • •
Se obtiene restando a cada valor de la variable el valor obtenido de la media
−
aritmĂŠtica. −
Es el resultado de elevar al cuadrado, multiplicar por sĂ mismo, los valores obtenidos en la columna − Ě… −
¡ Se obtiene al multiplicar los valores de la columna − Ě… por la frecuencia absoluta: ni
Ejemplo Vamos a calcular los principales parĂĄmetros estadĂsticos para los valores obtenidos en una encuesta donde se pregunta la edad de un grupo de personas: Variable: Edades Valores: 12, 16, 18, 13, 15, 13, 16, 14, 18, 13, 12, 15, 16, 16, 13, 18, 18, 12, 14, 16, 14, 12, 18, 16 Valores de la variable (xi) 12 13 14 15 16 17 18
Frecuencia absoluta (ni)
Frecuencia absoluta acumulada
4 4 3 2 6 0 5
¡
− Ě…
− Ě…
− Ě… ¡
48 52 42 30 96 0 90
Media aritmĂŠtica:
1. Se suma la columna ¡ = 358 2. Se suma la columna ni = 24. Coincide con el número de personas encuestadas. 3. Se divide el primer valor obtenido entre el segundo: 358/24 = 14,9 Por tanto ̅ = 14,9 aùos
Mediana 1. Se obtiene la columna de la Frecuencia Absoluta Acumulada 2. Se divide entre dos el nĂşmero de personas encuestadas: 24/2 = 12 3. Se toma el valor de la variable cuya Frecuencia Absoluta Acumulada supere al valor obtenido en el punto 2. En el ejemplo el 13 es el primer valor que supera a 12. Al 13 le corresponde el valor de la variable 15 aĂąos.
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Parámetros estadísticos Valores de la variable (xi) 12 13 14 15 16 17 18
Frecuencia absoluta (ni) 4 4 3 2 6 0 5
Frecuencia absoluta acumulada 4 4+4 = 8 4+4+3 = 11 4+4+3+2 = 13 4+…+6 = 19 4 + … + 0 = 19 4 + … + 5 = 24
·
− ̅
− ̅
− ̅ ·
Mediana = 15 años Cuidado: En el caso de que el valor N/2 coincida con un valor de la Frecuencia Absoluta Acumulada, se toma como mediana el punto medio entre el valor de la variable de dicha Frecuencia Absoluta Acumulada y el consecutivo. Valores de la variable (xi)
Frecuencia absoluta (ni)
1 2 3 4 5
2 3 1 2 2
Frecuencia absoluta acumulada 2 5 6 8 10
·
− ̅
− ̅
− ̅ ·
N/2 = 10/2 = 5, que coincide con la Frecuencia Absoluta Acumulada de xi = 2 Por tanto Mediana =
= 2,5
Moda Es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. En el ejemplo Moda = 18 años, pues tiene la mayor frecuencia absoluta: 5.
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Parámetros estadísticos Varianza Es necesario obtener el resto de columnas de la tabla. Valores de la variable (xi) 12 13 14 15 16 17 18
Frecuencia absoluta (ni) 4 4 3 2 6 0 5
Frecuencia absoluta acumulada 4 8 11 13 19 19 24
·
− ̅
− ̅
− ̅ ·
48 52 42 30 96 0 90
− 2,9 − 1,9 − 0,9 0,1 1,1 2,1 3,1
8,41 3,61 0,81 0,01 1,21 4,41 9,61
33,64 14,44 2,43 0,02 7,26 0 48,05
Para obtener la varianza se siguen los siguientes pasos: 1. Se suma la columna − ̅ · = 105,84 2. Se divide entre el número de personas encuestadas: 105,84 / 24 = 4,41 Este valor se define como la varianza: Var = 4,41
Desviación típica Es la raíz cuadrada de la varianza: DT = √4,41 = 2,1
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