Il primo colpo del ciclope matematico

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DI ARRIVO:4

luglio 2007 25 luglio 2007 PUBBLICAZIONE: 10 agosto 2007 ACCETTAZIONE:

Il primo colpo del ciclope matematico Anna Maria Aloisi IPSIA “A. Meucci”, Cagliari

Pier Franco Nali Servizio per l'Innovazione Tecnologica e per la Tecnologia dell'Informazione Regione Sardegna E-mail: ampf@interfree.it

ABSTRACT: Quest’anno ricorre il terzo centenario della nascita di Leonhard Euler (Basilea, 15 aprile 1707 – San Pietroburgo, 18 settembre 1783), il più grande matematico del Settecento e uno dei tre o quattro più grandi mai esistiti. Noto col nome latinizzato di Eulero, questo matematico è stato anche uno dei più fecondi, come dimostrano innumerevoli teoremi e formule che portano il suo nome.

PAROLE CHIAVE: Storia e personaggi della matematica, analisi matematica.

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Il primo colpo del ciclope matematico

Quest’anno ricorre il terzo centenario della nascita di Leonhard Euler (Basilea, 15 aprile 1707 – San Pietroburgo, 18 settembre 1783), il più grande matematico del Settecento e uno dei tre o quattro più grandi mai esistiti.1 Noto col nome latinizzato di Eulero, questo matematico è stato anche uno dei più fecondi, come dimostrano innumerevoli teoremi e formule che portano il suo nome. Nonostante la perdita della vista dall’occhio destro che lo colpì all’età di trent’anni – il suo insensibile mecenate Federico II di Prussia (17121786) lo soprannominò per questo “il mio ciclope” – e una cataratta che lo rese completamente cieco poco dopo i sessanta, Eulero mantenne nel corso di tutta la sua vita una straordinaria produttività scientifica.2 È fuor di dubbio che ciò fu reso possibile da una memoria fotografica non comune: conosceva l’Eneide a memoria ed era in grado di dire il primo e l’ultimo verso di ogni pagina dell’edizione su cui lo aveva imparato. Poteva allo stesso modo ricordare lunghe sequenze di calcoli che poi trascriveva con l’aiuto di un amanuense. La debolezza della vista fisica era in lui ampiamente compensata dall’acume dell’occhio intellettuale, questo sì davvero ciclopico. Alla sterminata produzione matematica riuscì ad assommare importanti contributi in altri campi della scienza, di cui fu un grande comunicatore: le sue Lettere a una principessa tedesca (1768-1772) sono considerate uno dei primi bestseller di divulgazione scientifica. Profondamente credente in un’epoca dominata dall’illuminismo ateo dei “liberi pensatori” fu anche un uomo che talvolta seppe andare controcorrente.3 Eulero ottenne grande fama nel 1735, quando riuscì a determinare la somma della serie infinita dei reciproci dei quadrati perfetti

1

+

1

2

+

1

2

+

1

+L 1 2 3 42 risolvendo il cosiddetto problema di Basilea, che per decenni aveva frustrato i tentativi dei matematici.

2

Presentato per la prima volta nel 1644 da Pietro Mengoli (1625-1686) e riproposto nel 1673 in una lettera dell’allora segretario della Royal Society Henry Oldenburg (c. 1615-1677) a G. W. Leibnitz (1646 – 1716), questo problema assunse grande notorietà nel 1689 quando su di esso scrisse Jacques Bernouilli (1654 - 1705).4 Rimasto irrisolto fino ai tempi di Eulero, il problema di Basilea si era cinto di un’aura mistica che ricorda lo status dell’Ultimo Teorema di Fermat prima del 1993.5 Nel De summis serierum reciprocarum (1735) Eulero presentò ben quattro distinte soluzioni del problema di Basilea. Quella che gli valse la fama è la terza, rimasta celebre per la sua eleganza e bellezza. L’idea guida della dimostrazione è di trasformare una somma infinita di potenze in un prodotto infinito e questo di nuovo in una somma infinita. Il confronto dei coefficienti delle potenze consente infine di ricavare il risultato voluto. Eulero avrebbe applicato ancora questo trucco più avanti nella sua carriera. In breve il ragionamento si svolge come segue.

La funzione sin x

x

ha radici (o zeri) a ±π , ±2π , ±3π , ±4π K e ha come sviluppo in serie il polinomio

x 2 x 4 x6 + − +L . Estendendo una regola valida per i polinomi finiti, Eulero assunse di poter 3! 5! 7! scomporre un polinomio infinito in un prodotto infinito, in questo caso

infinito 1 −

x  x  x  x  x  x  1 − π  1 + π  1 − 2π  1 + 2π  1 − 3π  1 + 3π       1

 x2  L = 1 −    π2  

 x2  1 − 2   4π

 x2  1 − 2   9π

 L. 

Piergiorgio Odifreddi, Buon compleanno, Eulero!, in «Le Scienze», n. 464, aprile 2007, p. 105 John Derbyshire, L’ossessione dei numeri primi, Bollati Boringhieri, Torino 2006, p. 77 3 come testimonia uno scritto del 1747, Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (Difesa delle rivelazioni Divine contro le obiezioni dei liberi pensatori).

4 Carl Boyer, Storia della Matematica, Mondatori, Milano 1980, p. 514 5 Ed Sandifer, Euler’s Solution of the Basel Problem – The Longer Story (2003) 2

1

Il primo colpo del ciclope matematico

Si tratta di un prodotto infinito molto complicato, ma ci si rende subito conto che se lo si esegue si ottiene nuovamente un polinomio infinito, con un termine costante uguale a 1 e con il termine in x 2 che raccoglie i corrispondenti coefficienti che compaiono nel prodotto infinito, vale a dire 1 1  1  1 −  2 + 2 + 2 + L x2 + L 4π 9π π 

Dal confronto con il polinomio di partenza 1−

si ricava −

x 2 x 4 x6 1 1  1  + − + L = 1 −  2 + 2 + 2 + L x2 + L 3! 5! 7!

4π 9π π 

1 1 1 1  1  = − 2 + 2 + 2 + L  e da questo infine l’agognato risultato 3!

4π 9π 16π 2  π 1+

1 1 1 π2 + + +L = 4 9 16 6

Continuando a lavorare sui coefficienti delle potenze successive ( x 4 , x 6 ,K ) Eulero fu in grado di calcolare le seguenti somme di serie infinite: 1+ 1+ 1+ 1+ 1+

1 24 1 26 1 28 1 210 1 212

+ + +

1

+

34 1

+

36 1 38

+ +

+

1 310 1 312

1 44 1 46 1 48

+ +

+ ..... = + ..... = + ..... = 1

410 1 412

π4

,

90

π6 945

,

π8 9450

+ ..... = + ..... =

,

π 10 93555

,

691π 12 , 6825 ⋅ 93555

e, circa dieci anni più tardi (1744), anche la somma della serie 1 +

1 2

26

+

1 26

3

+

1 4

26

+ ..... =

224 76977927π 26 6 .

27!

La soluzione del problema di Basilea suscitò l’ammirazione dei contemporanei e procurò a Eulero grande notorietà, ma il metodo impiegato dipendeva da alcune assunzioni piuttosto difficili da giustificare. Eulero era

6

Questo risultato può essere generalizzato a ogni serie di reciproci delle potenze pari degli interi:

ζ ( 2k ) = 1 +

22 k −1 ( −1) B2 k π 2 k 1 1 1 + 2 k + 2 k + ..... = 2k 2 3 4 ( 2k ) ! k −1

,

dove Bk sono i cosiddetti numeri di Bernoulli e ζ è la funzione zeta di Riemann. I numeri di Bernoulli si possono calcolare in svariatissimi modi; sono notevoli le espressioni in forma di determinante:

B2 k

1 2!

1 = ( 2k ) ! 3!

L   

1 2k +1! 

1

0

L 0

1 2!

1

L 0

L

L

L L

  

1 2k ! 

  

1 2k −1! 

Di nessuna serie di reciproci di potenze dispari è invece nota la somma in forma chiusa.

2

L

1 2!

.

Il primo colpo del ciclope matematico

partito dalla constatazione che la funzione x  x  1 − 3π  1 + 3π  

sin x x  x  x  x   e il prodotto infinito 1 −   1 + 1 − 1+    x  π   π  2π   2π 

 L hanno esattamente le stesse radici, e inoltre hanno lo stesso valore in x = 0 . Da ciò aveva 

asserito che le due funzioni dovevano essere uguali. In effetti è così, ma si tratta di una semplice coincidenza: l’uguaglianza delle radici e di alcuni valori sono condizioni necessarie, ma non sufficienti, per l’uguaglianza di due funzioni. Si potrebbe far notare, ad esempio, che anche e x

sin x sin x ha le stesse radici di e lo stesso x x

valore in x = 0 ma non è la stessa funzione. Benché ai suoi tempi non sembra siano state sollevate obiezioni di questo tipo pare certo che Eulero si rendesse conto che c’era qualcosa di misterioso e di incompiuto nella spiegazione di questo passaggio cruciale. Lo prova il fatto che ritornò più volte sull’argomento tentando, invero senza molto successo, di trovare una giustificazione rigorosa della tecnica del prodotto infinito. Nel 1741 elaborò una nuova soluzione con un metodo completamente differente, indipendente dalle oscure proprietà del prodotto infinito. Si tratta della prima soluzione di un certo rigore, ma non ancora secondo gli standard moderni.7 Ben conscio della debolezza del suo metodo Eulero confidava tuttavia nella correttezza del risultato cui era pervenuto. La sua convinzione si poggiava su un’accurata stima numerica intrapresa alcuni anni prima, mentre lavorava al problema dell’interpolazione delle serie, la cui esposizione si trova nel De summatione innumerabilium progressionum (1730).

Consideriamo ad esempio la somma della serie armonica 1+

1 1 1 + + +L 2 3 4

La prima somma parziale è 1, la seconda 3/2, la terza 11/6, e così via. Eulero si pose la seguente domanda: ha qualche significato parlare di somme parziali di ordine non intero, per esempio la 1 esima o la 3 esima ?

2 2 Ricordiamo che la somma di una serie geometrica finita di n termini è 1 + x + x 2 + x3 + L + x n −1 =

1 − xn . La 1− x

formula può essere applicata per ogni valore di n e quindi ha significato anche se n non è un numero intero.

Integrandone entrambi i membri si ricava x+

x 2 x3 x 4 xn 1 − xn + + +L + = dx . 8 n 2 3 4 1− x

∫

(1)

Dalla (1), ponendo x = 1 nella somma a sinistra del segno di uguale e ponendo uguale a 1 il limite superiore d’integrazione nell’integrale a destra, si ottiene a sinistra la somma dei primi n termini della serie armonica, vale a dire 1 +

7

1 1 1 1 + + + L + e a destra l’integrale definito 2 3 4 n

∫

11−

0

xn dx . 9 1− x

8

Oggi sono note almeno quattordici diverse soluzioni del problema di Basilea.

In questa e nelle successive integrazioni viene omessa, come fece Eulero, la costante d’integrazione. Ciò equivale a porre uguale a zero il limite inferiore d’integrazione.

9

Eulero non usava la notazione moderna di integrale definito ∫ f ( x )dx ma scriveva l’integrale indefinito ∫ f ( x )dx aggiungendo la postilla 1

0

” fiat=0 si x=0 positoque x=1…” (sia=0 se x=0 e posto x=1…).

3

Il primo colpo del ciclope matematico

Così Eulero usò il valore di un integrale definito per definire la somma dei primi n termini della serie armonica anche se n non è intero. Per molti valori non interi di n si tratta di un integrale piuttosto difficile da calcolare,

ma

nel

caso

n=1/2

l’integrazione

è

abbastanza

agevole:

∫

11−

0

(

x dx = 1− x

1

1

∫ 1+ 0

x

dx =

)

1  2 x − 2 ln 1 + x  = 2 − 2 ln 2 , e definisce la somma parziale di ordine 1 . Consideriamo ora la serie delle  0 2

somme dei primi termini della serie armonica: s1 = 1, 1 s2 = 1 + , 2 1 1 s3 = 1 + + , 2 3 1 1 1 s4 = 1 + + + , L .

2 3 4

Il termine n+1-esimo è uguale al termine n-esimo più la frazione

1 1 , cioè sn +1 = sn + . Usando il n +1 n +1

metodo di Eulero possiamo allora calcolare il termine di ordine 1 12 1

(

2

)

2

2

( 12 ) + 1 + 1 = ( 2 − 2 ln 2 ) + 3 = 2 + 3 − 2 ln 2 , 2

s 1+ 1 = s

il termine di ordine 2 12 s 2 + 1 = s 1+ 3 = s

(

2

)

(

2

)



1

2



2

2

2

( 32 ) + 3 + 1 =  2 + 3 − 2 ln 2  + 5 = 2 + 3 + 5 − 2 ln 2 , 2

e in generale il termine di ordine n 12 s n+ 1 = 2 +

(

2

)

2 2 2 + +L + − 2 ln 2 .

3 5 2n + 1

La serie delle somme parziali della serie armonica, interpolata con le somme intermedie di ordine non intero che abbiamo appena calcolato è dunque n =1 1

n=2 1

n= 2 2 2 n=2 n =1 64748 644744 8 } 6 474 8 } 2 1 2 2 sn = 2 − 2 ln 2 1 2 + 3 − 2 ln 2 1 + 2 2 + 3 + 5 − 2 ln 2 L .

1

Osserviamo che integrando nuovamente la (1) si ottiene

x2 x3 x4 x5 x n +1 + + + +L + = 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 n ⋅ ( n + 1)

 1 − yn  dy  dx , che non è ancora la somma della serie dei quadrati reciproci ma la ricorda molto da vicino.    1− y 

∫∫

Eulero notò a questo punto che se prima di integrare si divide per x si ottiene x+

x2 x3 xn + +L + = 2 ⋅ 2 3⋅3 n⋅n

∫

1 x 2 x3 xn  + +L +  x +  dx = x 2 3 n 

1  1 − yn  dy  dx . L’integrale di destra è ancora intrattabile, ma per n molto   x  1 − y 

∫ ∫

4

Il primo colpo del ciclope matematico

grande (al limite infinito) si può approssimare a

1

variabile z = 1 − x si trasforma nel più accessibile Ricordando z+

z 2 z3 + +L = 2 3

∫

z

1

=

lo ∞

∑ 1

 1

∑  n

2

−

1

in

serie

1

dx ,10 che con il cambiamento di

ln z dz .11 1− z 1 di = 1 + z + z 2 + z3 + L 1− z 1

)

n

3

∞

∞

z  n

 1

∑ n  ln z = ∑  n

4

1

2

−

1

5

∞

∑∫

n

∞

z

1

1

x x x x x + + + +L + 2 +L = 4 9 16 25 n

= x+

x

z

∫

1 + z + z 2 + z 3 + L ln zdz =

z   + n 2  

2

ln (1 − x )

e

di

− ln (1 − z ) = − ln x =

zn il calcolo così prosegue: n

∫( z

ln z dz = 1− z ∞

sviluppo

dy 

∫ x  ∫ 1 − y  dx = ∫ −

z n −1 ln zdz =

∞

 1

∑  n

2

−

1

zn n

2

+

z n ln z  = n 

z   + ( − ln x ) ln z = n 2  n

xn

∑n

2

,

1

fino a ottenere ∞

∞

xn

∞

zn

∑n ∑n ∑n 1

2

=

1

2

1

+

2

+ ln x ln z =

∞

∑

1

1

xn + z n n2

+ ln x ln z .

Ora, poiché z = 1 − x , vale a dire x + z = 1 , è facile vedere che la somma della serie

∞

∑ 1

massima rapidità quando x = z =

xn + z n n2

converge con la

1 . Eulero giunse così a stabilire che 2 ∞

∞

∑n ∑2 1

2

1

=

1

1

+ ( ln 2 ) .

2

n −1 2

n

(2) ∞

∑2

1 1 = 1+ + + L a destra del 8 36 n 1 segno di uguale converge molto più rapidamente della somma della serie dei quadrati reciproci L’importanza della (2) risiede nel fatto che la somma della serie

∞

∑n

1 2

= 1+

1

1

n −1 2

1 1 1 + + + L che compare a sinistra, così da rendere praticabile, attraverso la prima, una stima 4 9 16

numerica di precisione della seconda.

Eulero fornì una prima stima con sei decimali nel 1730, indicando per la somma della serie 1 1 2 1+ + +L un valore prossimo a 1,164481 e per ( ln 2 ) il valore 0,480453. Da questi due valori e dalla (2) 8 36

ricavò che 1 +

1 1 + +L =1,164481+0,480453=1,644934. Il saggio del 1730 si chiude appunto con 4 9

l’esposizione di questa stima e con l’importante osservazione che per ottenere lo stesso risultato con un calcolo

10

lim

∫

x 1−

n →∞ 0 11

yn dy = 1− y

∫

x

0

dy = − ln (1 − x ) .

1− y

In questo integrale e nei successivi compaiono esplicitamente i limiti d’integrazione per evitare ambiguità nella definizione delle costanti d’integrazione. Il limite inferiore viene posto uguale a 1 in conseguenza del cambiamento di variabile da x a z.

5

Il primo colpo del ciclope matematico

diretto di 1 +

1 1 + +L si sarebbero dovuti calcolare e sommare più di mille termini,12 e non a caso il 4 9

fondamentale saggio del 1735 si apre con la presentazione di una nuova stima con diciannove decimali: 1+

1 1 + +L =1,6449340668482264364. Moltiplicando questo numero per 6 ed estraendo la radice quadrata – 4 9

fa notare Eulero - si ottiene il valore con diciotto cifre decimali di π =3,141592653589793238. Simili coincidenze numeriche si verificano anche con altre somme.

L’elegante soluzione di Eulero del problema di Basilea

1+

1 1 1 π2 + + +L = 4 9 16 6

è un’eloquente

testimonianza della genialità del suo autore, ma essa fu anche frutto di un duro e oscuro lavoro di calcolo numerico, condotto nel corso di alcuni anni in modo paziente e meticoloso. Le sorprendenti concordanze che via via emergevano dai calcoli furono di fondamentale incoraggiamento per Eulero, inducendolo a impiegare gli strumenti dell’indagine analitica nella ricerca di dipendenze – prima di allora insospettate - tra somme di serie dei reciproci di quadrati e potenze, funzioni circolari e π .

Appendice La stima numerica del problema di Basilea La stima della somma di una serie numerica si fonda sul calcolo dell’errore che si commette sostituendo la somma della serie con la somma dei suoi primi n termini.

Data una serie an e detta sn = a1 + a2 + L + an la somma dei suoi primi n termini, ai fini del calcolo 1 1 + +L della serie dei quadrati 4 9 1 + + L . Per rn valgono le 2 ( n + 3)

dell’errore si introduce il resto rn = an +1 + an + 2 + an + 3 +L . Per la somma 1 + reciproci abbiamo sn =

1 1 1 1 + + +L + 2 12 22 32 n

e rn =

1

( n + 1)

2

+

1

( n + 2)

2

disuguaglianze: 1 1 1 1 + + L < rn < + +L , n + 1 n + 2 n + 2 n + 3 n n + 1 n + 1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( n + 2 ) 1   1 1  1   1 1   1 1  n + 1 − n + 2  +  n + 2 − n + 3  + L < rn <  n − n + 1  +  n + 1 − n + 2  + L ,         1 1 < rn < , n +1 n 1 1 1 1 1  1 , sn + < 1 + + + L < sn + + − n +1 4 9 n + 1  n n + 1  0 < 1+

1 1 1  1 1   + + L −  sn + < − .  4 9 n + 1   n n + 1  

1 1 1 + +L con la somma dei primi n termini più 4 9 n +1 1 1 1 1 < 0, 000001 , cioè l’errore è dopo la = si commette un errore en < − . Per n = 1000 en < n n + 1 n ( n + 1) 1001000

L’ultima disuguaglianza indica che sostituendo 1 +

12

vedi Appendice per i dettagli di questa stima.

6

Il primo colpo del ciclope matematico

sesta cifra decimale. Questo spiega l’affermazione di Eulero che per ottenere il valore di 1 +

1 1 + +L con sei 4 9

cifre decimali esatte si sarebbero dovuti calcolare e sommare più di 1000 termini. ∞

Si noti che anche lim ln (1 + x ) = ln 2 = ∑ ( −1) x →1

n −1 ha una convergenza molto lenta. Il resto

1

( −1) ( −1) + + + L è a segni alterni e perciò si può scrivere n +1 n+2 n+3 1   1 1   1 1   1 rn =  − + − + −    + L . Per rn valgono le disuguaglianze:  n +1 n + 2   n + 3 n + 4   n + 5 n + 6 

rn =

( −1)

n −1

n +1

n

n+2

nella

forma

1   1 1   1 1  1  1 rn <  −  +  n + 2 − n + 3  +  n + 3 − n + 4  +L = n +1 , n n + 1 + 2       1 . rn < n +1 1 L’errore è rn < , vale a dire che la somma dei primi n termini differisce da ln 2 di meno dell’n+1n +1 esimo termine.

1 1 1 Concludiamo con il resto rn = + + + L della somma della serie 2 2 2 n n +1 n+2 2 ( n + 1) 2 ( n + 2) 2 ( n + 3) 1 1 1+ + + L . Per esso valgono le seguenti disuguaglianze: 8 36 1 1 1 1 1 1 1 1 + ⋅ + L < 2n rn < + ⋅ + L, n ( n + 1) 2 ( n + 1)( n + 2 ) 4 ( n + 1)( n + 2 ) 2 ( n + 2 )( n + 3) 4

1  1 1 1  1  1 1 1   1 1 n  n + 1 − n + 2  + 2  n + 2 − n + 3  + L < 2 rn <  n − n + 1  + 2  n + 1 − n + 2  + L ,         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − ⋅ − ⋅ − ⋅ L < 2n rn < − ⋅ − ⋅ − ⋅ L, n +1 2 n + 2 4 n + 3 8 n + 4 n 2 n +1 4 n + 2 8 n + 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1 − ⋅ − ⋅ − ⋅ L= −  + + + L = n +1 2 n + 2 4 n + 2 8 n + 2 n +1  2 4 8 n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − < − ⋅ − ⋅ − ⋅ L < 2n rn n +1 n + 2 n +1 2 n + 2 4 n + 3 8 n + 4 1 1 1 + + + L =1, 2 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 2n rn < − ⋅ − ⋅ − ⋅ L< , n 2 n +1 4 n + 2 8 n + 3 n 1 1 1 n − < 2 rn < , n +1 n + 2 n

dove si è tenuto conto che

1 2n

1  1  1  n + 1 − n + 2  < rn < 2n n ,  

sn +

1  1 1  1 1 1 − < 1+ + + L < sn + n ,  n  8 36 2  n +1 n + 2  2 n

 1 1 1  1 1  1  1 1 1  1 0 < 1+ + + L −  sn + n  −   < 2n  n − n + 1 + n + 2  < 2n n . n + n + 8 36 2 1 2      

L’ultima disuguaglianza indica che l’errore che si commette sommando i primi n termini e aggiungendo 1  1 1  1 1 − = n è en < n . Per n ≥ 16 en < 0, 000001 , cioè l’errore è dopo la sesta cifra  n  2  n + 1 n + 2  2 ( n + 1)( n + 2 ) 2 n

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Il primo colpo del ciclope matematico

decimale. Questo significa che per ottenere la stima di Eulero del problema di Basilea è sufficiente fermarsi 1 1 + L contro gli oltre mille necessari, come abbiamo visto, per dopo i primi sedici termini della serie 1 + + 8 36 1 1 una stima diretta della serie 1 + + + L con la stessa precisione.

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