Οδηγός Σπουδων ΔΠΜΣ, ΣΕΜΦΕ, Αθήνα 2012

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ Ε Π Ι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ Σ Τ Η Μ Ε ΣΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ

Δ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑ Μ ΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ Σ ΠΟΥΔΩΝ

ΑΘΗΝΑ 2012

1

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ

Δ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ Π ΡΟΓΡΑΜΜΑ Μ ΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ Σ ΠΟΥΔΩΝ Εγκρίθηκε και λειτουργεί σύμφωνα με την Απόφαση της Συγκλήτου Ε.Σ. του ΕΜΠ (Συνεδρία 15.4.2005) και την Υπουργική Απόφαση (ΦΕΚ 1058/27-7-2005, Τεύχος Β)

Αθήνα 2012

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΟΙ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟ Δ.Π.Μ.Σ.: «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ» 1.

Αντικείμενο, Σκοπός και Περιεχόμενο του Δ.Π.Μ.Σ.

8

1.1. Ειδικά για την Ροή «Ανάλυση και Διαφορικές Εξισώσεις» 1.2. Ειδικά για την Ροή «Υπολογιστικά Μαθηματικά» 1.3. Ειδικά για την Ροή «Στατιστική - Πιθανότητες»

8 9

2.

Συμμετέχουσες Σχολές - Διπλώματα

9

2.1. Χρονική Διάρκεια Φοίτησης για την Απόκτηση του ΜΔΕ

9

9

3.

Διοίκηση του Δ.Π.Μ.Σ.

10

4.

Τα Βασικά Χαρακτηριστικά Λειτουργίας του Δ.Π.Μ.Σ.

10

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

Γλώσσα του Προγράμματος Πτυχιούχοι που γίνονται δεκτοί Τρόπος Επιλογής των Φοιτητών Υποτροφίες Ο Σύμβουλος των Μεταπτυχιακών Φοιτητών Ακαδημαϊκό Ημερολόγιο Παρακολούθηση Εκπαιδευτικών Διαδικασιών Οργάνωση των Μαθημάτων Μέθοδοι Διδασκαλίας Τρόπος Εξέτασης και Βαθμολογία Μαθημάτων Μεταπτυχιακή Εργασία Σεμινάριο Επιστημονικών Διαλέξεων του Τομέα Μαθηματικών 4.13. Πηγές Χρηματοδότησης του Δ.Π.Μ.Σ.

4.14. Υποχρεώσεις Μεταπτυχιακών Φοιτητών

10 10 10 11 11 11 13 13 13 14 14 14 14 15

5.

Δομή του Δ.Π.Μ.Σ.

15

6.

Κατανομή Μαθημάτων

16

7.

Μεταπτυχιακή Εργασία - Απονομή και Βαθμός ΜΔΕ

19

Περιεχόμενα Μαθημάτων και Διδάσκοντες

20

8.

8.1. ΜΑΘHΜΑΤΑ ΚΟΡΜΟY Συναρτησιακή Ανάλυση Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Αριθμητική Ανάλυση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Στοχαστικές Ανελίξεις Θεωρία Μέτρου Πιθανότητες

21 21 21 22 22 23 23 23

8.2. ΡΟH Α: ΑΝAΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚEΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ασυμπτωτική Ανάλυση και Θεωρία Διαταραχών Συνδυαστικές Μέθοδοι στην Ανάλυση Μη Γραμμικά Συστήματα και Έλεγχος Δυναμικά Συστήματα C*-Άλγεβρες και Θεωρία Τελεστών Διατεταγμένοι Χώροι Οικονομικά Μαθηματικά Ειδικά Θέματα Διαφορικών και Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (α) Ολοκληρωτικές Εξισώσεις (β) Μη Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Στοχαστικές Δ.Ε. και Εφαρμογές στα Χρηματοοικονομικά Άλγεβρες Lie και Ομάδες Lie

24 24 24 24 25 26 26 27 27 27 28 29 29

8

Μαθηματική Προτυποποίηση Αρμονική Ανάλυση Θέματα Μαθηματικής Ανάλυσης (α) Μη Γραμμική Συναρτησιακή Ανάλυση (β) Συναρτησιακή Ανάλυση και Αθροισιμότητα (γ) Διατεταγμένοι γραμμικοί χώροι (δ) Συναρτησιακές Εξισώσεις και Ανισότητες (ε) Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πιθανοτήτων (στ) Μη γραμμική Συναρτησιακή Ανάλυση ΙΙ Αναλυτικές Ανισότητες Συνδυαστικές Μέθοδοι στην Ανάλυση Ανάλυση Πινάκων Διαφορική Γεωμετρία Μαθηματική Ανάλυση και Εφαρμογές στη Μηχανική των Ρευστών Θεωρία Ευρώστου Ελέγχου Γραμμικών Αβέβαιων Συστημάτων Στοιχεία Θεωρίας Εκτίμησης Σημάτων, Ταυτοποίησης Συστημάτων και Προσαρμοστικού Ελέγχου Στοχαστική Προτυποποίηση Μακροσκοπικών Φαινομένων & Διαδικασιών Κυματιδιακή Ανάλυση, Ανάλυση Χρόνου συχνότητας και Εφαρμογές 8.3. ΡΟΗ Β: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμητικές Μέθοδοι Συνήθων και Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (α) Προβλήματα Αρχικών και Συνοριακών Τιμών (β) Πεπερασμένα Στοιχεία, Wavelets, Βελτιστοποίηση και Βέλτιστη Αριθμητική Ολοκλήρωση Βελτιστοποίηση και Εφαρμογές Απεικόνιση Γραφημάτων Γεωμετρική Προσομοίωση-Καμπύλες-Επιφάνειες

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

29 30 30 30 31 32 32 32 31 32 33 33 34 34 34 35 36 37 39 39 39 40 40 41 41

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Ειδικά Θέματα Θεωρητικής Πληροφορικής (α1) Θεωρητική Πληροφορική ΙΙ: Παράλληλοι Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (α2) Θεωρητική Πληροφορική ΙΙ: Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων (β) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (γ1) Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία (γ2) Προχωρημένες Δομές Δεδομένων (δ) Υπολογιστική Γεωμετρία Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Κρυπτογραφία Ειδικά Θέματα Λογικής (α) Θεωρία Αποδείξεων (β) Θεωρία Κατηγοριών και Εφαρμογές (γ) λ- Λογισμός (δ) Μαθηματική Λογική Εφαρμογές της Άλγεβρας στην Πληροφορική Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Ειδικά Θέματα Αλγορίθμων Θέματα Διακριτών Εφαρμοσμένων Μαθηματικών (α) Θεωρία Κόμβων και Εφαρμογές στη Θεωρία Γραφημάτων, στη Φυσική, στη Βιολογία και στη Χημεία (β) Ειδικά θέματα Αριθμών και κρυπτογραφίας (γ1) Λογισμός Μεταβολών (γ2) Λογισμός Μεταβολών ΙΙ Μέθοδοι Αιτιοκρατικής και Στοχαστικής Βελτιστοποίησης και Εφαρμογές Αριθμιτικές και Υπολογιστικές μέθοδοι Προσομοίωσης Μηχανολογικών Κατασκευών Γεωμετρική Σχεδίαση

42 42 43 43 43 43 43 44 44 45 45 45 46 46 47 47 47 48 48

48 48 49 49 49 50 51

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

8.4.

ΡΟΗ Γ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ανάλυση Χρονοσειρών Στατιστικοί Σχεδιασμοί Ανάλυση Επιβίωσης και Αξιοπιστίας Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Στατιστική Θεωρία Πληροφορίας και Κωδικοποίησης Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Υπολογιστική Στατιστική και Στοχαστική Βελτιστοποίηση Βιοστατιστική Διοίκηση Ολικής Ποιότητας Διοίκηση Ολικής Ποιότητας ΙΙ (Αξιολόγηση Βιοιατρικών Τεχνολογιών) Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας Στατιστικές Μέθοδοι Αξιολόγησης Τεχνολογιών

53 53 53 54 54 55 55 56 56 56 57 57 57 58 58 59

Για την πληρέστερη ενημέρωση σας σχετικά με το πρόγραμμα σπουδών μπορείτε να επισκεφτείτε το σχετικό site: http://www.apms.math.ntua.gr

9

10

ΟΙ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΟ Δ.Π.Μ.Σ.: «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ» 1. Αντικείμενο, Σκοπός και Περιεχόμενο Είναι κοινά αποδεκτό ότι η Μαθηματική Επιστήμη αποτελεί βασικό εργαλείο για τη θεμελίωση, μελέτη και επίλυση προβλημάτων και μοντέλων στους διάφορους κλάδους των επιστημών. Την τελευταία τριακονταετία τόσο διεθνώς όσο και στην Ελλάδα έχει αναπτυχθεί μια έντονη ερευνητική δραστηριότητα στη μελέτη φυσικών, τεχνολογικών, οικονομικών, βιολογικών και κοινωνικών προβλημάτων, με χαρακτηριστικό στην έρευνα αυτή, τη χρήση της σύγχρονης Μαθηματικής Επιστήμης. Η Μαθηματική Ανάλυση και οι Διαφορικές Εξισώσεις, τα Υπολογιστικά και Διακριτά Μαθηματικά (Αριθμητική Ανάλυση Πληροφορική - Γραφήματα) και η Στοχαστική Ανάλυση (Στατιστική - Πιθανότητες) αποτελούν τη βάση μελέτης της ολοένα αυξανόμενης πολυπλοκότητας των σύγχρονων τεχνολογικών διαδικασιών και δραστηριοτήτων. Η Μοντελοποίηση και Προσομοίωση αντικαθιστούν με απόλυτη επιτυχία μακροχρόνια πειράματα και συμβάλλουν ουσιαστικά στην ανάπτυξη νέων μεθόδων και διαδικασιών για την καλύτερη κατανόηση και οικονομικότερη και καταλληλότερη επίλυση τεχνολογικών προβλημάτων. Τα μέχρι πρότινος όρια μεταξύ των διαφόρων κλάδων των Επιστημών, σήμερα έχουν σχεδόν καταργηθεί και τεχνικές και μέθοδοι της μιας επιστήμης μεταφράζονται και εφαρμόζονται στη γλώσσα μιας άλλης επιστήμης με θεαματικά αποτελέσματα, όπως επίλυση προβλημάτων που για πολλά χρόνια παρέμειναν άλυτα. Αυτό φυσικά απαιτεί συνδυασμό γνώσεων ευρέως φάσματος τόσο από διαφόρους κλάδους των Μαθηματικών όσο και άλλων εφαρμοσμένων θετικών και τεχνολογικών επιστημών, για την κατανόηση και επίλυση συστημάτων φυσικών, τεχνολογικών, βιολογικών, οικονομικών και κοινωνικών προβλημάτων. Αντικείμενο του Δ.Π.Μ.Σ. είναι η ενίσχυση της Επιστημονικής και Τεχνολογικής Έρευνας και η καλλιέργεια, σε μεταπτυχιακό επίπεδο, των Μαθηματικών και Τεχνολογικών τους Εφαρμογών που θεραπεύονται από τους συνεργαζόμενους Τομείς των Σχολών Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών,

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Μηχανολόγων Μηχανικών και Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών του Ε.Μ.Π. Σκοπός του Δ.Π.Μ.Σ. είναι η εμβάθυνση, εξειδίκευση και η εκπαίδευση υψηλού επιπέδου επιστημόνων θετικής κατεύθυνσης και μηχανικών στα θέματα των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Επιστημών και των Τεχνολογικών τους Εφαρμογών και η απονομή Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης (Μ.Δ.Ε.), οι κάτοχοι του οποίου θα είναι κατάλληλοι να εργαστούν στην έρευνα και ανάπτυξη, στην πλαισίωση ερευνητικών κέντρων, ακδημαϊκών μονάδων, ως στελέχη Δημοσίων και Ιδιωτικών Επιχειρήσεων και Οργανισμών και ως στελέχη στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση (Α.Ε.Ι, Τ.Ε.Ι.). Στόχος επίσης του Δ.Π.Μ.Σ. είναι ο συνδυασμός γνώσεων και η δυνατότητα αλληλεπίδρασης και ανταλλαγής μεθόδων και διαδικασιών μεταξύ των Μαθηματικών και των Επιστημών του Μηχανολόγου Μηχανικού και του Ναυπηγού Μηχανολόγου Μηχανικού σε μια κοινή βάση, όπου τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά κυριαρχούν στην επίλυση τεχνολογικών προβλημάτων.

Το Δ.Π.Μ.Σ. περιλαμβάνει τρείς ροές: • Ανάλυση και Διαφορικές Εξισώσεις • Υπολογιστικά Μαθηματικά (Αριθμητική Ανάλυση Πληροφορική) • Στατιστική - Πιθανότητες Στόχος κάθε ροής είναι να δημιουργήσει αντίστοιχα Επιστήμονες και Ερευνητές υψηλού επιπέδου και κύρους οι οποίοι θα έχουν τη δυνατότητα να εργαστούν σε Ερευνητικά Κέντρα και Διεθνείς Oργανισμούς, σε Ελληνικά και Ξένα Πανεπιστήμια, να εργαστούν ως στελέχη σε Επιχειρήσεις, σε Οργανισμούς και στη Βιομηχανία και ως Αναλυτές και Επιστημονικοί Σύμβουλοι. Το πλήθος των προσφερόμενων ανά ροή μαθημάτων, η ποιότητά τους, το κατάλληλο περιεχόμενό τους και η οργάνωσή τους δίνουν την δυνατότητα ενός μεγάλου αριθμού συνδυασμών και επιλογών, που καλύπτουν σχεδόν κάθε πιθανή επιθυμητή προτίμηση του φοιτητή.

1.1. Ειδικά για την Ροή «Ανάλυση και Διαφορικές Εξισώσεις» Οι Μεταπτυχιακοί Φοιτητές που θα επιλέξουν τη ροή Ανάλυσης και Διαφορικών Εξισώσεων εκπαιδεύονται στις έννοιες και τις μεθόδους της σύγχρονης Ανάλυσης και των Διαφορικών

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Εξισώσεων (Συνήθων και Μερικών) και αποκτούν ένα ευρύ και βαθύ υπόβαθρο για την διαμόρφωση, μελέτη και επίλυση ενός ευρέος φάσματος προβλημάτων της Τεχνολογίας και των Εφαρμογών. Εφοδιάζονται με δεξιότητες και γνώσεις που θα τους καταστήσουν ικανούς να χειρίζονται και να εφαρμόζουν σε βάθος τις μεθόδους της Ανάλυσης και των Διαφορικών εξισώσεων, ιδιαίτερα στις Εφαρμοσμένες Θετικές και Τεχνολογικές Επιστήμες.

στον Τομέα Υπηρεσιών κ.α. και απαιτούν την λήψη αποφάσεων με στόχο την βελτιστοποίηση. Τα περισσότερα μοντέλα σύγχρονων προβλημάτων είναι στοχαστικά και η δυνατότητα επέμβασης σ΄ αυτά ώστε να υποχρεωθούν να συμπεριφερθούν κατά ένα επιθυμητό τρόπο, απαιτεί προχωρημένες γνώσεις Στατιστικής και Θεωρίας Ελέγχου. Οι γνώσεις αυτές παρέχονται επίσης από τη δομή αυτής της ροής.

1.2. Ειδικά για την Ροή «Υπολογιστικά Μαθηματικά»

2. Συμμετέχουσες Σχολές - Διπλώματα

Στόχος του Δ.Π.Μ.Σ. είναι να δώσει μια πολύ υψηλού επιπέδου εκπαίδευση στη μαθηματική πλευρά της επιστήμης των υπολογιστών η οποία, σε συνδυασμό με τα Διακριτά Μαθηματικά και τις αριθμητικές μεθόδους της Αριθμητικής Ανάλυσης, να αντιμετωπίζει προβλήματα, που απαιτούν προχωρημένες γνώσεις της επιστήμης αυτής. Η μαθηματική πλευρά της επιστήμης των υπολογιστών (Computer Science) αποτελεί ένα σημαντικό μεθοδολογικό εργαλείο για μια πληθώρα εφαρμογών της επιστήμης αυτής διεθνώς. Τα Μαθηματικά πληροφορικής αφορούν την αμφίδρομη σχέση Μαθηματικών και Επιστήμης των Υπολογιστών καθώς και το σύνολο των εφαρμογών τους σε άλλες επιστήμες και την τεχνολογία. Μεταξύ των θεματικών ενοτήτων που αναπτύσσονται είναι οι εφαρμογές της Λογικής και της Άλγεβρας στην πληροφορική, η Θεωρία Αριθμών με εφαρμογές στην Κρυπτογραφία, ο Σχεδιασμός και η Ανάλυση Αλγορίθμων και Εφαρμογών τους, τα Υπολογιστικά Μαθηματικά και η Μαθηματική Προτυποποίηση. Ο Φοιτητής της ροής αυτής θα είναι σε θέση, όχι μόνο να γνωρίζει και να χειρίζεται τις ιδιαιτερότητες της τεχνικής που χρησιμοποιεί ο υπολογιστής, αλλά και να μπορεί να επαναδιατυπώνει με οικονομικό και αποτελεσματικό τρόπο τα διάφορα προβλήματα και να παίρνει σύντομα και ταχύτατα τις επιθυμητές λύσεις.

Η Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, ως συντονίζουσα, με επισπεύδοντα Τομέα, τον Τομέα Mαθηματικών και οι Σχολές Μηχανολόγων Μηχανικών και Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών του Ε.Μ.Π. οργανώνουν και λειτουργούν το παρόν Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών, το οποίο οδηγεί στην απόκτηση ενός Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης (Μ.Δ.Ε.), (ισοδύναμου με Master of Science (MSc) ) με τίτλο: «Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες» Η μετάφραση του τίτλου του Δ.Π.Μ.Σ. στα Αγγλικά είναι: «Applied Mathematical Sciences». Επίσης συμμετέχουν, ως ανεξάρτητοι Διδάσκοντες, μέλη ΔΕΠ και ερευνητές από τη Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Ε.Μ.Π. αλλά και από άλλα Πανεπιστήμια.

1.3. Ειδικά για την Ροή «Στατιστική - Πιθανότητες» Στη ροή αυτή ο Φοιτητής θα αποκτήσει τις υψηλού επιπέδου γνώσεις κυρίως στο γνωστικό πεδίο των Πειραματικών Επιστημών, όπου το κυρίαρχο στοιχείο τους είναι η συλλογή και η ανάλυση πληροφοριών και δεδομένων. Θα αποκτήσει το απαραίτητο προχωρημένο υπόβαθρο για την επίλυση προβλημάτων με αβεβαιότητα και για την εξαγωγή συμπερασμάτων. Θα έχει την ικανότητα να αναλύει και σχεδιάζει Μαθηματικά Μοντέλα που αφορούν π.χ. στην Οικονομία, στη Βιομηχανία, στη Βιολογία,

11

2.1. Χρονική Διάρκεια Φοίτησης για την Απόκτηση του Μ.Δ.Ε. Η χρονική διάρκεια για την απόκτηση του Μ.Δ.Ε. ορίζεται κατ’ ελάχιστο σε δύο διδακτικά εξάμηνα παρακολούθησης μαθημάτων και ένα διδακτικό εξάμηνο για την εκπόνηση μεταπτυχιακής εργασίας. Ο μέγιστος χρόνος παραμονής των φοιτητών στο Δ.Π.Μ.Σ. είναι δύο ημερολογιακά έτη. Παράταση των προθεσμιών αυτών γενικώς δεν επιτρέπεται. Η ΕΔΕ, σύμφωνα με τον ν. 3685/15-7-2008, που δημοσιεύθηκε στο ΦΕΚ 148/16-7-2008, έχει τη δυνατότητα να αποφασίζει κατά περίπτωση τις διαδικασίες αναστολής, παράτασης και επανέναρξης των μεταπτυχιακών σπουδών. Το Δ.Π.Μ.Σ. προσφέρει επίσης στους αποφοίτους του τη δυνατότητα συνέχισης των σπουδών τους προς απόκτηση Διδακτορικού Διπλώματος (Δ.Δ.). Η χρονική διάρκεια λήψης του Δ.Δ. ορίζεται σε δύο τουλάχιστον έτη μετά την λήψη του Μ.Δ.Ε.

12

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

3. Διοίκηση του Δ.Π.Μ.Σ.

4.1. Γλώσσα του Προγράμματος

Το Δ.Π.Μ.Σ. διοικείται από εννεαμελή Ειδική Διατμηματική Επιτροπή (Ε.Δ.Ε.), που απαρτίζεται από μέλη ΔΕΠ των συνεργαζόμενων Σχολών. Η Ε.Δ.Ε. καθορίζει το πρόγραμμα σπουδών, τις διαδικασίες και τα κριτήρια εισαγωγής των εισακτέων και τις λεπτομέρειες των εκπαιδευτικών διαδικασιών με βάση την υφιστάμενη νομοθεσία, την ιδρυτική Υπουργική Απόφαση, τον Εσωτερικό Κανονισμό του Ιδρύματος και τις αποφάσεις των συνεργαζομένων Σχολών, της ΣΕ-ΜΣ και της Συγκλήτου του Ε.Μ.Π.. Η Ειδική Διατμηματική Επιτροπή (Ε.Δ.Ε.) αποτελείται σήμερα από τα εξής μέλη:

Γλώσσα διδασκαλίας είναι η Ελληνική. Σε ειδικές περιπτώσεις μπορεί να προβλεφθεί για αλλοδαπούς Μ.Φ. και ξενόγλωσση διδασκαλία. Πάντως αν υπάρξουν αλλοδαποί φοιτητές, είναι δυνατόν άμεσα να γίνονται κάποιες παραδόσεις στην Αγγλική γλώσσα.

• Κοκολάκης Γεώργιος, Καθηγητής ΣΕΜΦΕ, (Διευθυντής Προγράμματος).

• Αθανασούλης Γεράσιμος, Καθηγητής ΣΝΜΜ.

• Καρανάσιος Σωτήρης, Καθηγητής ΣΕΜΦΕ.

• Τζανετής Δημήτριος, Καθηγητής ΣΕΜΦΕ.

• Ψαρράκος Παναγιώτης, Αναπληρωτής Καθηγητής ΣΕΜΦΕ.

• Βουτσινάς Σπύρος, Αναπληρωτής Καθηγητής ΣΜΜ.

• Λεώπουλος Βρασίδας, Αναπληρωτής Καθηγητής ΣΜΜ.

• Γιαννακάκης Νικόλαος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΕΜΦΕ.

• Χρυσαφίνος Κωνσαντίνος, Επίκουρος Καθηγητής ΣΕΜΦΕ.

4. Τα Βασικά Χαρακτηριστικά Λειτουργίας του Δ.Π.Μ.Σ. Το πρόγραμμα όσον αφορά στη λειτουργία του αναφέρεται στα εξής χαρακτηριστικά: • • • • • • • • • • • • • •

Γλώσσα του Προγράμματος. Πτυχιούχοι που γίνονται Δεκτοί. Τρόπος Επιλογής των Υποψηφίων. Υποτροφίες. Σύμβουλος των Μεταπτυχιακών Φοιτητών. Ακαδημαϊκό Ημερολόγιο. Παρακολούθηση των Εκπαιδευτικών Διαδικασιών. Οργάνωση των Μαθημάτων. Σύστημα Διδασκαλίας. Τρόπος Εξέτασης και Βαθμολόγησης των Μαθημάτων. Μεταπτυχιακή Εργασία. Σεμινάριο "Επιστημονικών Διαλέξεων" του Τομέα Μαθηματικών. Πηγές Χρηματοδότησής του. Υποχρεώσεις των Μεταπτυχιακών Φοιτητών (Μ.Φ.).

4.2. Πτυχιούχοι που γίνονται Δεκτοί Στο Δ.Π.Μ.Σ γίνονται δεκτοί ως υποψήφιοι πτυχιούχοι των Σχολών του Ε.Μ. Πολυτεχνείου, των Σχολών και Τμημάτων Θετικών Επιστημών και των Πολυτεχνικών Σχολών των ΑΕΙ της ημεδαπής ή άλλων αντίστοιχων Πανεπιστημιακών Σχολών της χώρας ή ισότιμων Σχολών Α.Ε.Ι της αλλοδαπής. Επίσης γίνονται δεκτοί και απόφοιτοι ακαδημαϊκά ισότιμων Σχολών συγγενούς γνωστικού αντικειμένου της ημεδαπής ή της αλλοδαπής από θετικές ή τεχνολογικές κατευθύνσεις, για τους οποίους η απόκτηση του Μ.Δ.Ε ή και του Δ.Δ. δεν συνεπάγεται και την απόκτηση του βασικού Διπλώματος του Ε.Μ.Π.. Με τον ίδιο ως άνω περιορισμό, γίνονται κατ’ αρχήν δεκτές προς εξέταση και αιτήσεις υποψηφιότητας κατόχων τίτλων σπουδών λοιπών Σχολών, σύμφωνα με τα προβλεπόμενα στις ισχύουσες διατάξεις. Οι Έλληνες πτυχιούχοι θα πρέπει να γνωρίζουν αποδεδειγμένα μια ξένη γλώσσα, οι δε αλλοδαποί επαρκώς την ελληνική γλώσσα. Τελειόφοιτοι των παραπάνω κατηγοριών θα γίνουν δεκτοί ως υποψήφιοι εφόσον η απόκτηση του διπλώματος ή πτυχίου έχει προηγηθεί της έναρξης του Μεταπτυχιακού Προγράμματος. Οι υποψήφιοι οφείλουν να καταθέσουν αίτηση συμμετοχής στο πρόγραμμα τις ημερομηνίες, που ορίζει η προκήρυξη.

4.3. Τρόπος Επιλογής των Φοιτητών Η επιλογή γίνεται με βάση: • Το Βαθμό Διπλώματος ή Πτυχίου (και του έτους απόκτησής του).

• Τη Βαθμολογία σε προπτυχιακά μαθήματα που είναι σχετικά με το Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών και αποτελούν τις ελάχιστες προαπαιτούμενες γνώσεις για την άμεση ένταξή τους στο πρόγραμμα.

• Την επίδοση σε διπλωματική εργασία, όπου προβλέπεται σε προπτυχιακό επίπεδο.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

• Την τυχόν ερευνητική δραστηριότητα.

• Το Υπόμνημα Σταδιοδρομίας (ερευνητικά-επαγγελματικά ενδιαφέροντα ή/και εμπειρία).

• Το Βιογραφικό Σημείωμα.

• Την Τεκμηριωμένη γνώση μιας ξένης γλώσσας.

• Συστατικές επιστολές (δύο τουλάχιστον).

• Συνέντευξη.

• Η Ε.Δ.Ε. έχει τη δυνατότητα να συστήσει σ΄ έναν αριθμό υποψηφίων εξετάσεις σε συγκεκριμένη ύλη ή να υποδείξει σε υποψηφίους με μη επαρκές υπόβαθρο προπτυχιακών σπουδών Μαθηματικών, την υποχρεωτική παρακολούθηση επιπλέον προπτυχιακών μαθημάτων Μαθηματικών, ως προαπαιτούμενων, για την έναρξη των μεταπτυχιακών τους σπουδών προς απόκτηση Μ.Δ.Ε.. Τα προαπαιτούμενα μαθήματα που θα ορίζονται κατά περίπτωση δεν θα μπορεί να υπερβαίνουν τα δύο εξάμηνα προπαρασκευαστικών σπουδών, άλλως οι υποψηφιότητες θα απορρίπτονται από κάθε περαιτέρω κρίση.

• Η Ε.Δ.Ε. του Δ.Π.Μ.Σ. έχει την ευχέρεια να κάνει δεκτούς, εκτός διαδικασίας επιλογής, υποτρόφους του ΙΚΥ κατεύθυνσης Μαθηματικών Επιστημών.

4.5. Ο Σύμβουλος των Μεταπτυχιακών Φοιτητών

4.4. Υποτροφίες Θα ληφθεί μέριμνα για τη χορήγηση υποτροφιών σε Μ.Φ., σύμφωνα με τον κανονισμό υποτροφιών του Ε.Μ.Π.. Επίσης θα ληφθεί μέριμνα για τη χορήγηση υποτροφιών σε Μ.Φ., σύμφωνα με τα άρθρα 15 N 2327/95 και 41 παρ 5 του Ν 2413/96. Οι υποτροφίες αυτές χορηγούνται με πρώτο κριτήριο την οικονομική κατάσταση του ίδιου του φοιτητή και των γονέων του και δεύτερο κριτήριο την επίδοσή του κατ’ απόλυτη σειρά επιτυχίας στις προαγωγικές εξετάσεις των δύο πρώτων εξαμήνων. Για να αξιολογηθεί ένας φοιτητής με βάση την επίδοσή του θα πρέπει στο τέλος του 2ου ακαδημαϊκού εξαμήνου να έχει εξασφαλίσει τουλάχιστον 27 δ.μ. Στην περίπτωση που χρειαστεί να γίνει αξιολόγηση στο τέλος του 1ου ακαδημαϊκού εξαμήνου, στην αξιολόγηση λαμβάνουν μέρος οι φοιτητές που έχουν εξασφαλίσει τουλάχιστον 14 δ.μ.

13

Μετά την επιλογή των υποψηφίων, η Ε.Δ.Ε. ορίζει για κάθε Μ.Φ. ένα μέλος ΔΕΠ ως Σύμβουλο, ανάλογα με την ειδικότερη γνωστική περιοχή στην οποία εντάσσεται ο Μ.Φ.. Κατά τη διάρκεια των σπουδών για το Μ.Δ.Ε. ο σύμβουλος συνεργάζεται και κατευθύνει τον Μ.Φ. στην επιλογή των καταλληλότερων μαθημάτων, σύμφωνα με τα ενδιαφέροντα και τους στόχους του. Επίσης παρακολουθεί την εν γένει πορεία του Μ.Φ. στο Δ.Π.Μ.Σ., συμπεριλαμβανομένης της κάλυψης των προαπαιτήσεων, όπου χρειάζεται. Ο σύμβουλος δεν ταυτίζεται κατ΄ ανάγκη με τον επιβλέποντα της μεταπτυχιακής εργασίας. Ως σύμβουλοι μπορούν να οριστούν κατ΄ αρχήν όλα τα μέλη ΔΕΠ, που διδάσκουν στο Δ.Π.Μ.Σ.

4.6. Ακαδημαϊκό Ημερολόγιο Το πρόγραμμα διαρκεί τρία ακαδημαϊκά εξάμηνα: 1ο εξάμηνο, Οκτωβρίου - Ιανουαρίου: 13 διδακτικές εβδομάδες, διακοπές Χριστουγέννων δύο εβδομάδες και περίοδος ειδικών εκπαιδευτικών αναγκών και εξετάσεων δύο εβδομάδες. Το σύνολο των διδακτικών μονάδων δεν μπορεί να υπερβαίνει τις 28 (είκοσι οκτώ), εκτός και αν η Ε.Δ.Ε. εγκρίνει την υπέρβασή τους, μετά από αίτηση του ενδιαφερόμενου φοιτητή.

2ο εξάμηνο, Φεβρουαρίου-Μαΐου: 13 διδακτικές εβδομάδες, δύο εβδομάδες ειδικών εκπαιδευτικών αναγκών και εξετάσεων και δύο εβδομά­δες διακοπών Πάσχα. Το σύνολο των διδακτικών μονάδων δεν μπορεί να υπερβαίνει τις 28 (είκοσι οκτώ), εκτός και αν η ΕΔΕ εγκρίνει την υπέρβασή τους, μετά από αίτηση του ενδιαφερόμενου φοιτητή.

3ο εξάμηνο, Οκτωβρίου - Ιανουαρίου: 13 διδακτικές εβδομάδες, διακοπές Χριστουγέννων δύο εβδομάδες και περίοδος ειδικών εκπαιδευτικών αναγκών και εξετάσεων δύο εβδομάδες. Εκπόνησης Μεταπτυχιακής Εργασίας.

• Όλα τα εξάμηνα έχουν δεκαπενθήμερη ανοχή στην ολοκλήρωση του εξεταστικού αντικειμένου τους, π.χ. οι εξετάσεις πρώτου ή δευτέρου εξαμήνου ή μεταπτυχιακής εργασίας μπορεί να διεξάγονται το πρώτο δεκαπενθήμερο του Φεβρουαρίου ή του Ιουνίου, αντίστοιχα. Το ίδιο ισχύει και για την ανάθεση της μεταπτυχιακής εργασίας. Ειδικότερα η μεταπτυχιακή εργασία μπορεί επίσης να εξεταστεί και στο πρώτο δεκαπενθήμερο του Σεπτεμβρίου, όπως προβλέπεται και από τον Ε.Κ.Λ. του Ε.Μ.Π.

14

• Κατά τη διάρκεια του προγράμματος, για την απόκτηση του Μ.Δ.Ε. απαιτείται η παρακολούθηση και επιτυχής εξέταση σε μεταπτυχιακά μαθήματα συνόλου τουλάχιστον 40 (σαράντα) δ.μ. Τα μαθήματα διακρίνονται σε Μαθήματα Κορμού (υποχρεωτικά μαθήματα) και Μαθήματα Ειδίκευσης (μαθήματα επιλογής). Από τις 40 δ.μ., υποχρωτικά 12 (δώδεκα) δ.μ. τουλάχιστον θα πρέπει να αντιστοιχούν σε Μαθήματα Κορμού και 12 (δώδεκα) δ.μ. τουλάχιστον σε Μαθήματα Ειδίκευσης της αντίστοιχης ροής που έχει επιλεγεί. Στην Μεταπτυχιακή Εργασία αντιστοιχούν 12 (δώδεκα) δ.μ. Η ελάχιστη χρονική διάρκεια εκπόνησης της Μεταπτυχιακής Εργασίας ορίζεται σε ένα διδακτικό εξάμηνο. Το αντικείμενο της Μεταπτυχιακής Εργασίας θα πρέπει να ανήκει στην ροή που έχει επιλέξει ο φοιτητής. Οι μεταπτυχιακοί φοιτητές οφείλουν να δηλώσουν τη ροή που θα ακολουθήσουν μετά το πέρας του πρώτου ακαδημαϊκού εξαμήνου.

• Αλλαγή Ροής επιτρέπεται να γίνει μόνο μία φορά, κατά τη διάρκεια των σπουδών, με δήλωση του ενδιαφερόμενου Μεταπτυχιακού Φοιτητή. Όσα μαθήματα, από τα δύο υποχρεωτικά μαθήματα και τα μαθήματα ειδίκευσης της προηγούμενης ροής, ο μεταπτυχιακός φοιτητής έχει παρακολουθήσει και εξεταστεί επιτυχώς, θα θεωρούνται ως μαθήματα ελεύθερης επιλογής για τη νέα ροή.

• Κοινά μαθήματα μπορούν να συνδιδάσκονται σε συνεργασία με άλλα Δ.Π.Μ.Σ. του Ε.Μ.Π.

• Κάθε Μ.Φ. μπορεί να δηλώνει το πολύ μέχρι έξι (6) μαθήματα ανά εξάμηνο.

• Μπορεί μεταπτυχιακός φοιτητής, με αίτησή του προς την Ε.Δ.Ε., να ζητήσει να παρακολουθήσει μέχρι δύο το πολύ μαθήματα από άλλο Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών (Π.Μ.Σ.), τα οποία εμπίπτουν στο περιεχόμενο του παρόντος Δ.Π.Μ.Σ. και είναι συμβατά με αυτό. Στην αίτησή του θα πρέπει να αναφέρει τη Σχολή ή το Τμήμα στο οποίο ανήκει το Π.Μ.Σ., τον τίτλο του κάθε μαθήματος, την ύλη, τον διδάσκοντα και τις ώρες διδασκαλίας/εβδομάδα.

• Σε περίπτωση έγκρισης η Ε.Δ.Ε καθορίζει τον αριθμό των δ.μ. κάθε μαθήματος. Το δελτίο βαθμολογίας μετά την εξέταση θα πρέπει να σταλεί επίσημα από την Γραμματεία του Π.Μ.Σ., που προσφέρει τα μαθήματα, στην Γραμματεία του παρόντος Δ.Π.Μ.Σ.. Τα μαθήματα αυτά λογίζονται μόνο ως μαθήματα ελεύθερης επιλογής.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες • Μπορεί μεταπτυχιακός φοιτητής, με αίτησή του προς την Ε.Δ.Ε., να ζητήσει την αναγνώριση το πολύ δύο μαθημάτων από άλλο μεταπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών, που έχει παρακολουθήσει επιτυχώς. Τα μαθήματα αυτά, αφενός μεν δεν πρέπει να ανήκουν στην κατηγορία των υποχρεωτικών μαθημάτων του προγράμματος σπουδών του ΔΠΜΣ και αφετέρου να σχετίζονται άμεσα με το γνωστικό περιεχόμενο του ΔΠΜΣ. Τα μαθήματα αυτά λογίζονται μόνο ως μαθήματα ελεύθερης επιλογής, εκτός και αν η Ε.Δ.Ε. αντιστοιχίσει τα μαθήματα αυτά με συγκεκριμένα μαθήματα του Δ.Π.Μ.Σ.

• Μεταπτυχιακός φοιτητής που δεν έχει επιτύχει σε τρία τουλάχιστον μαθήματα σε δύο συνεχή εξάμηνα θα καλείται για εξηγήσεις από την Ε.Δ.Ε, η οποία μπορεί να αποφασίσει τη διαγραφή του εάν δεν υπάρχει επαρκής αιτιολόγηση.

• Εγγραφή των επιτυχόντων υποψηφίων ως Μ.Φ. στο Δ.Π.Μ.Σ., γίνεται το πρώτο δεκαήμερο μηνός Οκτωβρίου, εκτός αν η Ε.Δ.Ε. ή η Γραμματεία του Δ.Π.Μ.Σ. αποφασίσει διαφορετικά.

• Εγγραφή των Μ.Φ. σε μαθήματα των εξαμήνων και σε προαπαι­ τούμενα προπτυχιακά μαθήματα (σε ιδιαίτερο κατάλογο): Μία εβδομάδα πριν από την πρώτη εβδομάδα διεξαγωγής των μαθημάτων.

• Μέχρι τέλους της δεύτερης εβδομάδας των μαθημάτων είναι δυνατή η αλλαγή δύο το πολύ μαθημάτων ή και η παραίτηση από μά­θημα ή μαθήματα.

• Εντός της τρίτης εβδομάδας από την έναρξη των μαθημάτων κάθε εξαμήνου, η Γραμματεία εκδίδει κατάλογο εγγεγραμμένων σε κάθε μάθημα και τον αποστέλλει στους αντίστοιχους Διδάσκοντες και στην Ε.Δ.Ε. του Δ.Π.Μ.Σ. Εκδίδει επίσης χωριστό κατάλογο με τα προαπαιτούμενα (προπτυχιακά ή μεταπτυχιακά) μαθή­ματα των Μ.Φ. και τον διαβιβάζει στις αντίστοιχες Γραμματείες των Σχολών.

• Εφόσον ο Μ.Φ. έχει ολοκληρώσει τις λοιπές υποχρεώσεις, η εξέταση της Μεταπτυχιακής εργασίας μπορεί επίσης να γίνει και κατά την εβδομάδα, που ακολουθεί την έκδοση των αποτελεσμάτων των μαθημάτων των 3 εξαμήνων.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

4.7. Παρακολούθηση Εκπαιδευτικών Διαδικασιών

την παρακολούθηση του αντίστοιχου μεταπτυχιακού μαθήματος «Πιθανότητες» του Δ.Π.Μ.Σ. Επομένως όσοι φοιτητές προτίθενται να παρακολουθήσουν το παραπάνω μεταπτυχιακό μάθημα οφείλουν να παρακολουθήσουν παράλληλα και να εξεταστούν επιτυχώς στο αντίστοιχο προπτυχιακό μάθημα της Σ.Ε.Μ.Φ.Ε., εκτός και αν έχουν εξεταστεί επιτυχώς σε αντίστοιχο μάθημα Τμήματος άλλου Α.Ε.Ι.

Η παρακολούθηση των μαθημάτων και η συμμετοχή στις συναφείς εκπαιδευτικές δραστηριότητες και εργασίες είναι υποχρεωτική. Σε περίπτωση που συντρέχουν εξαιρετικά σοβαροί και τεκμηριωμένοι λόγοι αδυναμίας παρουσίας του Μ.Φ., η Ε.Δ.Ε. μπορεί να δικαιολογήσει ορισμένες απουσίες, ο μέγιστος αριθμός των οποίων δεν μπορεί να υπερβεί το 1/3 των διαλέξεων. Ο Μ.Φ. έχει το δικαίωμα να επαναλάβει το μάθημα (ή άλλο αντίστοιχο που του ορίζει η Ε.Δ.Ε.) στην αντίστοιχη διδακτική περίοδο.

4.8. Οργάνωση των Μαθημάτων Κατά τη διάρκεια του προγράμματος, συνολικά, κάθε σπουδαστής υποχρεούται να παρακολουθήσει και εξετασθεί επιτυχώς σε εννέα (9) τουλάχιστον μαθήματα (είναι ο ελάχιστος αριθμός μαθημάτων που απαιτείται για την κάλυψη των 40 διδακτικών μονάδων). Τα μαθήματα, που περιέχει το πρόγραμμα, αναλύονται σε μαθήματα κορμού, μαθήματα ειδίκευσης και μαθήματα ελεύθερης επιλογής. Τα μαθήματα κορμού ή άλλως Υποχρεωτικά Μαθήματα είναι συνολικά επτά. Όλοι οι σπουδαστές για την ολοκλήρωση των σπουδών τους υποχρεούνται να περάσουν επιτυχώς τρία (3) τουλάχιστον από τα μαθήματα κορμού. Δύο μαθήματα της ροής που επιλέγουν και ένα από τα υπόλοιπα. Τα μαθήματα ειδίκευσης (επιλογής) είναι κατανεμημένα ανά ροή. Όλοι οι σπουδαστές για την ολοκλήρωση των σπουδών τους υποχρεούνται να περάσουν επιτυχώς τρία (3) τουλάχιστον από τα μαθήματα ειδίκευσης της ροής που έχουν επιλέξει. Τα μαθήματα ελεύθερης επιλογής δεν συνδέονται υποχρεωτικά με τη ροή, που έχει επιλεγεί. Όλοι οι σπουδαστές για την ολοκλήρωση των σπουδών τους υποχρεούνται να περάσουν επιτυχώς τρία (3) τουλάχιστον μαθήματα ελεύθερης επιλογής τα οποία μπορούν να επιλεγούν ελεύθερα από τα μαθήματα όλων των ροών. Όλοι οι σπουδαστές για την ολοκλήρωση των σπουδών τους υποχρεούνται επίσης να εξεταστούν επιτυχώς σε ένα τουλάχιστον μάθημα από τα μαθήματα που προσφέρονται από τις συνεργαζόμενες Σχολές Μηχανολόγων Μηχανικών και Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών. Σημειώνεται ότι το προπτυχιακό μάθημα «Πιθανότητες» του 5ου εξαμήνου της Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. θεωρείται προαπαιτούμενο για

15

Τα υποχρεωτικά μαθήματα ανά ροή είναι:

Ροή Α: Ανάλυση και Διαφορικές Εξισώσεις 1. Συναρτησιακή Ανάλυση 2. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Ροή Β: Υπολογιστικά Μαθηματικά 1. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 2. Αριθμητική Ανάλυση

Ροή Γ: Στατιστική και Πιθανότητες 1. Πιθανότητες 2. Στοχαστικές Ανελίξεις Υπάρχει ακόμη το υποχρεωτικό μάθημα «Θεωρία Μέτρου» που είναι ελεύθερο. Περισσότερα αναφέρονται στη Δομή του Προγράμματος στη συνέχεια.

4.9. Μέθοδοι Διδασκαλίας Η μέθοδος διδασκαλίας είναι κατά βάση η από καθ’ έδρας διδασκαλία, αλλά έχει συμπεριληφθεί στην διδακτική διαδικασία και η χρήση σύγχρονων εποπτικών μέσων (χρήση υπολογιστών και προβολικών). Σε πολλά μαθήματα και σε μαθήματα που έχουν και εργαστήριο γίνεται ευρύτατη χρήση υπολογιστικών πακέτων (Mathematica, Maple, Matlab, MathStat, StatGraph, etc). Στην αρχή κάθε εξαμήνου δίνεται εκτενής βιβλιογραφία (ελληνική και ξένη), που προσφέρει στους σπουδαστές τις τελευταίες εξελίξεις στο αντίστοιχο αντικείμενο. Ας σημειωθεί, ότι σε αρκετά από τα μαθήματα του Δ.Π.Μ.Σ., η Βιβλιοθήκη του Ε.Μ.Π. είναι αρκετά πλήρης, μέσω του προγράμματος πολλαπλής βιβλιογραφίας από χρηματοδοτήσεις του ΕΠΕΑΕΚ. Επίσης πριν την έναρξη κάθε εξαμήνου ορίζεται συνάντηση των

16

καθηγητών με τους φοιτητές και γίνεται συζήτηση και παρουσίαση της ύλης κάθε μαθήματος από τους διδάσκοντες, για ενημέρωση των φοιτητών και για διευκόλυνσή τους στην επιλογή και δήλωση των μαθημάτων.

4.10. Τρόπος Εξέτασης και Βαθμολογία Μαθημάτων Η βαθμολογία των μαθημάτων γίνεται στην κλίμακα 0-10, και επιτυχής θεωρείται η βαθμολογία από 5 έως 10. Η τελική βαθμολογία σε κάθε μάθημα αποτελεί τη συνισταμένη της απόδοσης, που επιτυγχάνει ο φοιτητής: (α) στις ασκήσεις και/ή εργαστήρια, (β) στην ενδιάμεση εξέταση (Mid-Term Exams), όπου υπάρχει, και (γ) στην τελική γραπτή και/ή προφορική εξέταση. Υπάρχει μια εξεταστική περίοδος ανά εξάμηνο μαθημάτων, η οποία γίνεται τις δύο πρώτες εβδομάδες μετά τη λήξη των μαθημάτων του κάθε εξαμήνου. Τα αποτελέσματα εκδίδονται από τους Διδάσκοντες εντός μιας εβδομάδας από τη διεξαγωγή της τελικής εξέτασης. Οποιαδήποτε άλλα θέματα σχετικά με την εξεταστική διαδικασία επιλύονται από την Ε.Δ.Ε.. Οι αποτυχόντες σε μαθήματα μπορούν να επανεγγραφούν τον επόμενο χρόνο στα ίδια (ή και σε διαφορετικά, αν πρόκειται για επιλογής) μαθήματα. Αν ο Μ.Φ. έχει παρακολουθήσει μαθήματα άλλου αναγνωρισμένου μεταπτυχιακού κύκλου σπουδών και έχει εξεταστεί επιτυχώς σε αυτά, μπορεί να του αναγνωριστούν δύο το πολύ αντίστοιχα μαθήματα του Δ.Π.Μ.Σ. με τις αντίστοιχες διδακτικές μονάδες, μετά από αίτησή του, εισήγηση του Διδάσκοντα και απόφαση της Ε.Δ.Ε. Στους μεταπτυχιακούς φοιτητές 5-ετούς φοίτησης προπτυχιακών σπουδών με διπλωματική εργασία, δίνεται η δυνατότητα, κατόπιν αιτήσεώς τους στην Ε.Δ.Ε., να τους αναγνωριστεί ένα μεταπτυχιακό μάθημα με τις αντίστοιχες διδακτικές μονάδες, υπό την προϋπόθεση ότι το μάθημα αυτό θα έχει άμεση συνάφεια με την διπλωματική τους εργασία. Στα μαθήματα αυτά, που αναγνωρίζονται, δεν ορίζεται βαθμός και δεν λαμβάνονται υπόψη για τον υπολογισμό του βαθμού του Μ.Δ.Ε. Η αντιστοίχιση διδακτικών μονάδων σε κάθε ένα από τα μαθήματα του Προγράμματος Σπουδών γίνεται με τον ακόλουθο κανόνα: Σε καθένα από τα υποχρεωτικά μαθήματα θα αντιστοιχούν 5 διδακτικές μονάδες. Στα μαθήματα με 3 ώρες διδασκαλίας/εβδομάδα θα αντιστοιχούν 4 διδακτικές μονάδες και στα μαθήματα με 4 ώρες διδασκαλίας/εβδομάδα θα αντιστοιχούν 4,5 διδακτικές μονάδες.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

4.11. Μεταπτυχιακή Εργασία Μεταπτυχιακός φοιτητής που έχει εξεταστεί επιτυχώς τουλάχιστον σε έξι (6) μεταπτυχιακά μαθήματα του Δ.Π.Μ.Σ. εκ των οποίων τα δύο τουλάχιστον πρέπει να είναι από τα υποχρεωτικά ή έχει συμπληρώσει τουλάχιστον 27 διδακτικές μονάδες, εκ των οποίων οι 10 τουλάχιστον διδακτικές μονάδες να αντιστοιχούν σε υποχρεωτικά μαθήματα, έχει τη δυνατότητα να ζητήσει να του ορισθεί τριμελής εξεταστική επιτροπή και το θέμα της διπλωματικής εργασίας. Η κατάθεση και υποστήριξη της Μεταπτυχιακής Εργασίας θα γίνεται, αφού έχει ολοκληρωθεί επιτυχώς η διαδικασία εξέτασης των εννέα (9) μαθημάτων ή ισοδύναμα έχει επιτευχθεί η κάλυψη 40 τουλάχιστον δ.μ. με τις ανάλογες πρϋποθέσεις. Το αντικείμενο της Μεταπτυχιακής Εργασίας θα πρέπει να ανήκει στην ροή που έχει επιλέξει ο φοιτητής.

4.12. Σεμινάριο Επιστημονικών Διαλέξεων του Τομέα Μαθηματικών Στον Τομέα Μαθηματικών οργανώνεται σειρά Επιστημονικών Διαλέξεων σε σύγχρονα ερευνητικά θέματα σε διάφορα μαθηματικού περιεχομένου γνωστικά αντικείμενα, καθόλη την διάρκεια του ακαδημαϊκού έτους. Τις διαλέξεις αυτές θα πρέπει υποχρεωτικά να παρακολουθούν όλοι οι μεταπτυχιακοί φοιτητές.

4.13. Πηγές Χρηματοδότησης του Δ.Π.Μ.Σ. Η φοίτηση είναι χωρίς δίδακτρα. Οι πόροι του Δ.Π.Μ.Σ. προέρχονται από: Προβλεπόμενους πόρους του Ε.Μ.Π. για χρηματοδότηση των Δ.Π.Μ.Σ. του. Πόρους του Τομέα Μαθηματικών της Σχολής Ε.Μ.Φ.Ε. Συμμετοχή του Δ.Π.Μ.Σ. σε προγράμματα της Ευρωπαϊκής Ένωσης. Ερευνητικές πρόσοδοι στη γνωστική περιοχή του Δ.Π.Μ.Σ. με βάση τους κανόνες λειτουργίας του Ειδικού Λογαριασμού Έρευνας του Ε.Μ.Π. Χρηματοδότηση του Ε.Μ.Π. από φορείς του ευρύτερου Δημοσίου (Υπουργεία, ΝΠΔΔ κλπ) ή και του ιδιωτικού τομέα, υπό τους όρους και τις προϋποθέσεις, που θέτει το Ε.Μ.Π.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Κάθε άλλη συμβατή με τους σκοπούς του Δ.Π.Μ.Σ., την ακαδημαϊκή δεοντολογία και τις αποφάσεις της Συγκλήτου, άσκηση επιστημονικών δραστηριοτήτων που θα αποφασίζει η Ε.Δ.Ε..

4.14. Υποχρεώσεις Μεταπτυχιακών Φοιτητών Οι μεταπτυχιακοί φοιτητές του Δ.Π.Μ.Σ. υποχρεούνται να προσφέρουν επικουρικό έργο σε επιτηρήσεις προπτυχιακών μαθημάτων στις περιόδους των εξετάσεων, σε επίβλεψη εργαστηριακών ασκήσεων και σε διόρθωση φυλλαδίων ασκήσεων. Η μη συνέπεια σε αυτή την υποχρέωση, μπορεί να οδηγήσει, μετά από εισήγηση του Διευθυντή του Τομέα Μαθηματικών και απόφαση της Ε.Δ.Ε., σε κυρώσεις που μπορεί να φθάσουν μέχρι και την οριστική διαγραφή από το πρόγραμμα. Η Ε.Δ.Ε., σε συνεργασία με τον Τομέα Μαθηματικών και τη Σχολή ΕΜΦΕ, υποχρεούται να φροντίζει για την εξασφάλιση οικονομικής αποζημίωσης προς τους φοιτητές για το προσφερόμενο επικουρικό έργο, στα πλαίσια που καθορίζονται από τη Διοίκηση του Ε.Μ.Π..

5. Δομή του Δ.Π.Μ.Σ. Σε σχέση με τη δομή του Δ.Π.Μ.Σ., το πρόγραμμα περιλαμβάνει τρείς ροές: • Ανάλυση και Διαφορικές Εξισώσεις.

• Υπολογιστικά Μαθηματικά (Αριθμητική Ανάλυση, Πληροφορική).

• Στατιστική και Πιθανότητες. Η παραπάνω δομή, με βάση τα λειτουργικά στοιχεία του προγράμματος (χρονική διάρκεια, αριθμός μαθημάτων, εκπόνηση διπλωματικής εργασίας), αναλύεται χρονικά σε τρία ακαδημαϊκά εξάμηνα (χειμερινό - εαρινό - χειμερινό).

17

18

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

6. Κατανομή Μαθημάτων

Τίτλος Μαθήματος

Διδ. Μον. Εξάμ.

Ροή

ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Συναρτησιακή Ανάλυση Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Αριθμητική Ανάλυση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Πιθανότητες Στοχαστικές Ανελίξεις Θεωρία Μέτρου

5 5 5 5 5 5 5

Ι ΙΙ Ι Ι Ι ΙΙ ΙΙ

Α’ Α’ Β’ Β’ Γ’ Γ’ Α’,Β’,Γ’

ΡΟΗ Α: ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μαθήματα Ειδίκευσης 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

Άλγεβρες Lie και Ομάδες Lie 4 Ασυμπτωτική Ανάλυση και Θεωρία Διαταραχών 4,5 C*-Άλγεβρες και Θεωρία Τελεστών 4,5 Μαθηματική Προτυποποίηση 4,5 Δυναμικά Συστήματα 4,5 Διατεταγμένοι Χώροι 4,5 Οικονομικά Μαθηματικά 4,5 Συνδυαστικές Μέθοδοι στην Ανάλυση 4,5 Ειδικά Θέματα Διαφορικών και Μερικών διαφορικών Εξισώσεων (α) Ολοκληρωτικές εξισώσεις 4,5 (β) Μη Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις 4,5 (Λογισμός Μεταβολών-Θεωρία Διακλαδώσεων) Αρμονική Ανάλυση και Εφαρμογές 4,5 Στοχαστικές Δ.Ε. και Εφαρμογές στα 4,5 Χρηματοοικονομικά Θέματα Μαθηματικής Ανάλυσης (α) Μη Γραμμική Συναρτησιακή Ανάλυση

4,5

ΙΙ Ι ΙΙ ΙΙ Ι ΙΙ Ι ΙΙ II ΙΙ ΙΙ ΙΙ

ΙΙ

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

13 14 15 16

(β) Συναρτησιακή Ανάλυση και Αθροισιμότητα (γ) Διατεταγμένοι Γραμμικοί Χώροι (δ) Συναρτησιακές Εξισώσεις και Ανισότητες (ε) Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πιθανοτήτων (στ) Μη Γραμμική Συναρτησιακή Ανάλυση ΙΙ Αναλυτικές Ανισότητες Ανάλυση Πινάκων Διαφορική Γεωμετρία και Εφαρμογές Μαθηματική Ανάλυση και Εφαρμογές στη Μηχανική των Ρευστών

4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4

ΙΙ ΙΙ ΙΙ

4

ΙΙ

4,5

Ι

Ι ΙΙ ΙΙ

17

Κυματιδιακή Ανάλυση, Ανάλυση Χρόνου Συχνότητας και Εφαρμογές

18

Στοχαστική Μοντελοποίηση και Πρόβλεψη Μακροσκοπικών Φαινομένων Θεωρία Ευρώστου Ελέγχου Γραμμικών Αβέβαιων Συστημάτων

4,5

ΙΙ

4,5

ΙΙ

Στοιχεία Θεωρίας Εκτίμησης Σημάτων, Ταυτοποίησης Συστημάτων και Προσαρμοστικού Ελέγχου Μη Γραμμικά Συστήματα και Έλεγχος

4,5

ΙΙ

4,5

ΙΙ

19 20 21

ΡΟΗ Β: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αριθμητική Ανάλυση, Μαθηματικά Πληροφορικής) Μαθήματα Ειδίκευσης 1 2

3 4 5

Βελτιστοποίηση και Εφαρμογές Αριθμητικές Μέθοδοι Συνήθων και Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων

4,5

ΙΙ

(α) Προβλήματα Αρχικών και Συνοριακών Τιμών (β) Πεπερασμένα Στοιχεία, Wavelets, Βελτιστοποίηση και Βέλτιστη Αριθμητική Ολοκλήρωση Γεωμετρική Προσομοίωση - Καμπύλες - Επιφάνειες Απεικόνιση Γραφημάτων Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

4,5

ΙΙ

4,5

Ι

4 4,5 4,5

ΙΙ Ι Ι

19

20

6 Ειδικά Θέματα Θεωρητικής Πληροφορικής (α1) Θεωρητική Πληροφορική ΙΙ: Παράλληλοι Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ή (α2) Θεωρητική Πληροφορική ΙΙ: Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων (β) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (γ1) Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία ή (γ2) Προχωρημένες Δομές Δεδομένων (δ) Υπολογιστική Γεωμετρία 7 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 8 Κρυπτογραφία 9 Ειδικά Θέματα Λογικής (α) Θεωρία Αποδείξεων ή (β) Θεωρία κατηγοριών και Εφαρμογές (γ) λ-Λογισμός (δ) Μαθηματική Λογική 10 Εφαρμογές της Άλγεβρας στην Πληροφορική 11 Πιθανοτικοί Α λγόριθμοι 12 Ειδικά Θέματα Αλγορίθμων 13 Θέματα Εφαρμοσμένων Διακριτών Μαθηματικών (α) Θεωρία Κόμβων και Εφαρμογές στη Θεωρία Γραφημάτων, στη Φυσική, στη Βιολογία και στη Χημεία (β) Εδικά Θέματα Αριθμών και Κρυπτογραφίας (γ1) Λογισμός Μεταβολών (γ2) Λογισμός Μεταβολών ΙΙ 14 Μέθοδοι Αιτιοκρατικής και Στοχαστικής Βελτιστοποίησης και Εφαρμογές 15 Αριθμιτικές και Υπολογιστικές Μέθοδοι Προσομοίωσης Μηχανολογικών Κατασκευών 16 Γεωμετρική Σχεδίαση

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

4,5

ΙΙ

4

ΙΙ

4,5

ΙΙ

4,5 4,5 4,5

ΙΙ ΙΙ ΙΙ

4

Ι

4 4 4 4

ΙΙ ΙΙ Ι Ι

4

ΙΙ

4 4 4

ΙΙ Ι ΙΙ

4

ΙΙ

4

Ι

4,5

ΙΙ

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

21

ΡΟΗ Γ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Μαθήματα Ειδίκευσης Ανάλυση Χρονοσειρών Στατιστικοί Σχεδιασμοί Ανάλυση Επιβίωσης και Αξιοπιστίας Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα Στατιστική Θεωρία Πληροφορίας και Κωδικοποίησης

4,5 4,5 4,5 4 4,5

ΙΙ Ι ΙΙ ΙΙ ΙΙ

4,5

ΙΙ

7 Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC 8 Βιοστατιστική 9 Υπολογιστική Στατιστική και Στοχαστική Βελτιστοποίηση

4,5 4

Ι Ι

4,5

ΙΙ

4 4 4,5 4

Ι ΙΙ ΙΙ Ι

4

ΙΙ

4,5 4,5 4 4

Ι ΙΙ ΙΙ ΙΙ

1 2 3 4 5 6

10 11 12 13 14 15 16 17 18

Δειγματοληψία Ασυμπτωτική Θεωρία Στατιστικής Πολυμεταβλητή Ανάλυση Διοίκηση Ολικής Ποιότητας Διοίκηση Ολικής Ποιότητας ΙΙ (Αξιολόγηση Βιοιατρικών Τεχνολογιών) Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας Στατιστικές Μέθοδοι Αξιολόγησης Τεχνολογιών

7. Μεταπτυχιακή Εργασία - Απονομή και Βαθμός Μ.Δ.Ε. Η ανάθεση μεταπτυχιακής εργασίας μπορεί να γίνει μετά το τέλος του 2ου εξαμήνου του πρώτου έτους σπουδών, με την προϋπόθεση ότι ο Μ.Φ. έχει ως τότε εξεταστεί επιτυχώς τουλάχιστον σε έξι (6) μεταπτυχιακά μαθήματα του Δ.Π.Μ.Σ. εκ των οποίων τα δύο τουλάχιστον πρέπει να είναι από τα υποχρεωτικά ή έχει συμπληρώσει τουλάχιστον 27 διδακτικές μονάδες, εκ των οποίων οι 10 τουλάχιστον διδακτικές μονάδες να αντιστοιχούν σε υποχρεωτικά μαθήματα.

Η εξέταση και βαθμολόγηση της μεταπτυχιακής εργασίας γίνεται μετά την επιτυχή ολοκλήρωση όλων των μαθημάτων, από τριμελή επιτροπή, που περιλαμβάνει τον επιβλέποντα και δύο μέλη ΔΕΠ και ορίζεται από την Ε.Δ.Ε. Βαθμός προαγωγής: 5,5. Η μεταπτυχιακή εργασία υποβάλλεται σε 5 τουλάχιστον αντίτυπα, και περιλαμβάνει οπωσδήποτε περίληψη 1-2 σελίδων στην ελληνική και την αγγλική γλώσσα.

22

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Αν η μεταπτυχιακή εργασία δεν ολοκληρωθεί επιτυχώς εντός του 3ου εξαμήνου, μπορεί να συνεχιστεί κατά το επόμενο έτος. Η μέγιστη διάρκεια φοίτησης για το ΜΔΕ είναι, κατά κανόνα, 2 ημερολογιακά έτη, και υπολογίζεται από την κανονική εγγραφή στο Δ.Π.Μ.Σ. Σε κάθε περίπτωση για την απονομή του Μ.Δ.Ε. απαιτείται ο προαγωγικός βαθμός στα μεταπτυχιακά μαθήματα και στη μεταπτυχιακή εργασία. Αν τούτο δεν επιτευχθεί εντός της διετίας και η Ε.Δ.Ε. δεν έχει αποφασίσει διαφορετικά (ενότητα 2.1.), ο Μ.Φ. παίρνει απλό πιστοποιητικό παρακολούθησης των συγκεκριμένων μαθημάτων και αποχωρεί. Μια φορά το χρόνο και συγκεκριμένα τον Οκτώβριο καταρτίζεται από την συντονίζουσα Σχολή, πίνακας αποφοιτούντων, που περιλαμβάνει όσους ολοκλήρωσαν επιτυχώς κατά το λήξαν ακαδημαϊκό έτος τις συνολικές υποχρεώσεις του Δ.Π.Μ.Σ. για το Μ.Δ.Ε., στους οποίους και απονέμεται ο σχετικός τίτλος σπουδών. Ο γενικός βαθμός του Μ.Δ.Ε. προκύπτει ως ο σταθμισμένος μέσος όρος των βαθμών των μεταπτυχιακών μαθημάτων και της μεταπτυχιακής εργασίας, όπου η τελευταία αντιστοιχεί σε 12 διδακτικές μονάδες. Συγκεκριμένα ο τύπος βάσει του οποίου προσδιορίζεται ο βαθμός του Μ.Δ.Ε. είναι: k

Βαθμός Μ.Δ.Ε. =

Σ Δ Β + 12 B (Σ Δ ) + 12 i =1

i

•

i

•

δ

k

i= 1

i

όπου Βi o βαθμός του i-μαθήματος, Δi οι αντίστοιχες διδακτικές μονάδες του i-μαθήματος, Βδ ο βαθμός της διπλωματικής εργασίας, και k o αριθμός μαθημάτων που απαιτείται για την κάλυψη τουλάχιστον 40 διδακτικών μονάδων. Γενικά ο αριθμός k των μαθημάτων είναι ίσος ή μεγαλύτερος του εννέα. Αν σε κάποιον φοιτητή έχουν αναγνωριστεί, για διάφορους λόγους, μαθήματα (χωρίς βαθμό) στα οποία αντιστοιχούν Χ διδακτικές μονάδες, τότε ο αριθμός θα είναι ίσος με τον ελάχιστο αριθμό μαθημάτων που απαιτούνται για την κάλυψη των υπολοίπων (40-Χ) διδακτικών μονάδων, που απαιτούνται για να αποκτήσει ο φοιτητής το Μ.Δ.Ε.

Επίσης, αν κάποιος φοιτητής έχει εξεταστεί επιτυχώς σε περισσότερα από k μαθήματα (όπου ο ελάχιστος αριθμός μαθημάτων που αντιστοιχεί σε τουλάχιστον 40 διδακτικές μονάδες) μπορεί ο ίδιος να καθορίσει τα k, από τα μαθήματα αυτά, τα οποία θα ληφθούν υπόψη για τον υπολογισμό του βαθμού του Μ.Δ.Ε. Τα μαθήματα αυτά φυσικά πρέπει να καλύπτουν όλες τις προβλεπόμενες υποχρεώσεις για την απόκτηση του Μ.Δ.Ε., ήτοι να συμπεριλαμβάνονται σε αυτά τα δύο υποχρεωτικά μαθήματα της ροής που έχει επιλέξει και ένα ακόμη υποχρεωτικό, τα τρία κατ΄ επιλογήν υποχρεωτικά μαθήματα της ροής του και το ένα κατ΄ επιλογήν μάθημα, από τα μαθήματα των συνεργαζόμενων Σχολών. Ο τελικός βαθμός θα προκύπτει με στρογγυλοποίηση η οποία θα γίνεται στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο. Αν το τρίτο δεκαδικό ψηφίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5, τότε το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο αυξάνει κατά μία μονάδα (π.χ. το 8.625 γίνεται 8.63).

8. Περιεχόμενα Μαθημάτων και Διδάσκοντες Στην ενότητα αυτή δίδονται αναλυτικά ο τίτλος, οι διδάσκοντες, η ύλη κι η βιβλιογραφία όλων των μαθημάτων.Οι ώρες διδασκαλίας του κάθε μαθήματος είναι 4 εβδομαδιαία εκτός από τις περιπτώσεις που αναφέρεται διαφορετικά.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

8.1. Μαθήματα Κορμού Συναρτησιακή Ανάλυση Διδάσκοντες: Σ. A. Αργυρός, Δ. Κραββαρίτης, Ν. Παπαγεωργίου, Β. Κανελλόπουλος, ΣΕΜΦΕ.

6. Hewitt E. and Stromberg, K. (1982).

Real and Abstract Analysis. Springer Verlag.

7. Phelps, R.R. (1987). Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability. Springer Verlag.

23

πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών. Προβλήματα αρχικών τιμών 2ης τάξης γενικής μορφής (μέθοδος πεπερασμένων διαφορών, ύπαρξη λύσεων). Βιβλιογραφία:

Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

1. Barton, G. (1989). Elements of Green’s Functions and Propagation. Potentials, Diffussion and Waves. Oxford University Press. Oxford.

Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, ενδιάμεση εξέταση, και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

Διδάσκοντες: Κ. Κυριάκη, Δ. Τζανετής, ΣΕΜΦΕ.

2. Colton, D. (1989). Partial Differential Equations. Random House. New York.

Περιεχόμενα:

Περιεχόμενα: Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι, τοπικά κυρτοί χώροι, χώροι με νόρμα, χώροι Banach (παραδείγματα), το Θεώρημα Hahn-Banach, διαχωρισμοί κυρτών συνόλων σε χώρους Banach, Θεώρημα Baire και εφαρμογές (Θεωρήματα Steinhaus και ανοιχτής απεικονίσεως), ασθενείς και ασθενείς* τοπολογίες (ιδιότητες), Θεώρημα Krein-Milman, Θεώρημα Bishop-Phelps. p Χώροι Hilbert, χώροι L (ιδιότητες και ανακλαστικότητα για 1<p<∞), χώροι Sobolev.

Διαφορικές Εξισώσεις1ης τάξης: Γραμμικές, σχεδόν γραμμικές, πρόβλημα Cauchy, μη γραμμικές (μέθοδος Monge).

3. Folland, G.B. (1976). Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press, Princeton.

Προαπαιτούμενα: Γραμμική Άλγεβρα, Πραγματική Ανάλυση (προπτυχιακά).

Βιβλιογραφία: 1. Brezis, H. (1997). Συναρτησιακή Ανάλυση. Παν. Εκδ. ΕΜΠ.

2. Day, M. (1961). Normed Linear Spaces, Springer Verlag.

3. Dunford N. & Schwartz, J. (1959).

Linear Operators I, Wiley.

4. Aliprantis C.D. & Border, K.C. (2001).

Infinite Dimensional Analysis.

Springer Verlag.

5. Rudin, W. (1973). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill.

Διαφορικές Εξισώσεις m-τάξης: Ταξινόμηση και κανονικές μορφές, θεωρία χαρακτηριστικών, πρόβλημα Cauchy, θεώρημα Cauchy-Kowalewsky, ταυτότητα Lagrange-Green, θεώρημα Holmgren, ασθενείς λύσεις, κατανομές. Η εξίσωση Laplace: Αρμονικές συναρτήσεις, αρχή μεγίστου, θεώρημα Harnack, συνάρτηση Green, ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις λύσεων, πρόβλημα Dirichlet, τύπος Poisson. Υποαρμονικές λύσεις (μέθοδος Perron για το πρόβλημα Dirichlet). Η εξίσωση κύματος: Η μέθοδος των σφαιρικών μέσων, μέθοδος Hadamard αρχή Duhamel και το γενικό πρόβλημα Cauchy, προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών. Λύση με χρήση μετασχηματισμού Fourier. Η εξίσωση θερμότητος: Το πρόβλημα αρχικών τιμών, αρχή μεγίστου, μοναδικότητα και ομαλοποίηση λύσης, ολοκληρωτική αναπαράσταση λύσης, ασυμπτωτική συμπεριφορά λύσεων,

4. Friedman, A. (1969). Partial Differential Equations. Holt-Rinehart-Winston.

New York.

5. John, F. (1982). Partial Differential Equations. Springer Verlag, New York.

6. Pinsky M.A. (1991). Partial Differential Equation and Boundary-Value Problems with Applications. Mc Graw-Hill Int. Editions.

7. Roach, G.F. (1970). Green’s Functions.

Van Nostrand. London.

8. Stakgold, I. (1967, 1968). Boundary Value Problems of Mathematical Physics I, II. Macmillan. New York.

9. Strauss, W.A. (1992). Partial Differential Equations, An Introduction.

John Wiley, New York.

10. Wider, D.V. (1975). The Heat Equation.

Academic Press, New York.

11. Zachmanoglou, E.C. & Thoe, D.W. (1976). Introduction to Partial Differential Equations with Applications.

Williams-Wilkins, Baltimore.

24

12. Zauderer, E. (1983). Partial Differential Equations of Applied Mathematics.

John Wiley, New York.

13. Renardy, M. and Rogers, R. An Introduction to P.D.E.’s. Springer-Verlag.

14. Σ. Τερσένοβ, Σ. Δ.Ε. με Μερικές Παραγώγους. Εκδόσεις Συμμετρία.

15. Evans L.C. (1998). Partial Differential Equations. AMS. 16. McOwen R. (1996). Partial Differential Equations Methods and Applications.

Pearson.

Αριθμητική Ανάλυση Διδάσκων: Ι. Χρυσοβέργης, Κ. Χρυσαφίνος, ΣΕΜΦΕ. Τρόπος εξέτασης και βαθμολογία: Συνυπολογίζονται: Βαθμός τελικής γραπτής εξέτασης και Βαθμός εργασίας εξαμήνου. Περιεχόμενα: Γραμμικά Συστήματα: Νόρμες διανυσμάτων και πινάκων, Μέθοδοι Gauss, LU και Choleski. Εκτιμήσεις σφάλματος αποκοπής. Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων. Γενική επαναληπτική μέθοδος σταθερού σημείου. Μέθοδοι Jacobi. Gauss-Seidel και Χαλάρωσης. Μέθοδοι υπολογισμού ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων: Μέθοδοι των Δυνάμεων, QR και Givens. Μέθοδοι των Ελαχίστων Τετραγώνων. Μη Γραμμικά Συστήματα: Γενική επαναληπτική μέθοδος σταθερού σημείου. Θεωρήματα τοπικής και περιορισμένης σύγκλισης. Μέθοδοι Newton και Quasi-Newton. Παρεμβολή και Προσέγγιση: Παρεμβολή Lagrange, Hemite και spline, με κατά τμήματα

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες πολυωνυμικές συναρτήσεις. Εισαγωγή στη Θεωρία Προσέγγισης Συναρτήσεων: Θεώρημα Weierstrass, Προσέγγιση με τα Ελάχιστα Τετράγωνα, Προσέγγιση Chebychev. Ολοκλήρωση: Μέθοδος ολοκλήρωσης Gauss. Μέθοδοι πολλαπλής ολοκλήρωσης. Βιβλιογραφία: 1. Cheney, E.W. (1966). Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill.

2. Ciarlet, P.G. (1989). Introduction to Numerical Linear Algebra and Optimization. Cambridge University Press.

3. Dahlquist, G. and Bjorck, A. (1974).

Numerical Methods. Prentice-Hall.

4. Davis, P.J. and Rabinowitz, P. (1984).

Methods of Numerical Integration.

Academic Press.

5. Dennis, J. and Schnabel, R. (1983).

Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations.

Prentice-Hall.

6. Wilkinson, J.H. (1965). The Algebraic Eigenvalue Problem. Clarendon Press, Oxford.

7. Stoer, J. and Bulirsch, R. (1993).

Introduction to Numerical Analysis.

Springer.

8. Μπακόπουλος, A. και Χρυσοβέργης, I. (1994). Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση. Αθήνα.

9. Παπαγεωργίου, Γ. και Τσίτουρας Χ. (2004). Αριθμητική Ανάλυση με Εφαρμογές σε MATLAB και MATHEMATICA. Αθήνα.

10. Χρυσοβέργης, Ι. Συμπληρωματικές Σημειώσεις.

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διδάσκοντες: Ε. Ζάχος, ΣΗΜΜΥ, Α. Συμβώνης, ΣΕΜΦΕ. Προαπαιτούμενα: Δομές Δεδομένων. Περιεχόμενα: Μελέτη διαφόρων αλγορίθμων και της πολυπλοκότητάς τους. Σχεδιασμός, αναγνώριση, ανάλυση, αξιολόγηση αποδοτικότητας, σύγκριση και ταξινόμηση αλγορίθμων, Θεωρία Πολυπλοκότητας, κλάσεις πολυπλοκότητας πολυωνυμικού χρόνου.

1) Συμβολισμοί Ο, Ω, Θ. 2) Υπολογιστικά Μοντέλα (π.χ. μηχανή Turing). 3) Άνω και κάτω φράγμα κόστους επίλυσης προβλημάτων. 4) Union-Find.

5) Στρατηγική Divide and Conquer.

6) Επίλυση αναδρομικών σχέσεων.

7) Στρατηγική Greedy. 8) Στρατηγική Δυναμικού Προγραμματισμού.

9) Αναζήτηση σε δέντρα, γράφους, backtracking. 10) Μη ντετερμινιστικοί, πιθανοτικοί και παράλληλοι αλγόριθμοι.

11) ΝΡ - πληρότητα, αναγωγές προβλημάτων.12) ΝΡ - πλήρη προβλήματα.13) Κλάσεις πολυπλοκότητας πολυωνυμικού χρόνου και χώρου.

14)Μαντεία και ιεραρχίες. Βιβλιογραφία: 1. Cormen, Leiserson, Rivest and Stein.

Introduction to Algorithms. MIT Press.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Στοχαστικές Ανελίξεις

Θεωρία Μέτρου

Πιθανότητες

Διδάσκων: Γ. Κοκολάκης, ΣΕΜΦΕ.

Διδάσκοντες: Σ. Αργυρός, Ι. Σαραντόπουλος, Θ. Ρασσιάς, Α. Αρβανιτάκης, ΣΕΜΦΕ.

Διδάσκοντες: Β. Παπανικολάου, I. Σπηλιώτης, ΣΕΜΦΕ.

Περιεχόμενα: Προκαταρκτικές έννοιες και ορισμοί. Απείρως διαιρετές κατανομές. Ανελίξεις ανεξάρτητων προσαυξήσεων. Μαρκοβιανές ανελίξεις. Martingales. Κίνηση Brown και ανελίξεις Levy. Τυχαίος περίπατος. Η ταυτότητα του Wald. Συμμετρικός τυχαίος περίπατος και νόμοι Arc Sine. Αλυσίδες Markov. Ταξινόμηση καταστάσεων. Χρόνος διακοπής και ισχυρή Μαρκοβιανή ιδιότητα. Η ανανεωτική εξίσωση. Συμμετρικός τυχαίος περίπατος n στον IR . Κατανομή ισορροπίας και εργοδικό θεώρημα. Μαρκοβιανές αλυσίδες σε συνεχή χρόνο. Οι πίνακες Q και τα εκθετικά αυτών. Ανελίξεις Poisson. Κλαδωτές ανελίξεις. Εφαρμογές: Συστήματα εξυπηρέτησης και διαχείριση αποθεμάτων. Βιβλιογραφία.

1. Billinsgley, P. (1995). Probability and Measure Wiley, N.Y. 2. Grimmett, G.R. and Stirzaker, D.R. (2001). Probability and Random Processes. Oxford University Press, Oxford.

3. Norris, J.R. (2004). Markov Chains.

Cambridge Univ. Press.

4. Ross, S. (1996). Stochastic Processes.

Wiley. N.Y. 5. Κοκολάκης, Γ. (2006). Σημειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων. Ε.Μ.Π. Αθήνα.

Περιεχόμενα: Άλγεβρες, σ-άλγεβρες, κλάσεις Dynkin, μονότονες κλάσεις. Μέτρα και βασικές ιδιότητές τους, πλήρωση μέτρων. Εξωτερικά μέτρα, Θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή. Ιδιότητες του n μέτρου Lebesgue στον IR (κανονικότητα, Θεώρημα Steinhauss, σύνολα Vitali κ.λ.π.). Μετρήσιμες συναρτήσεις και ολοκλήρωση κατά Lebesgue. Ιδιότητες του ολοκληρώματος Lebesgue (Θεώρημα μονότονης σύγκλισης, Λήμμα Fatou, Θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης). Σύγκλιση ακολουθιών μετρησίμων συναρτήσεων (σύγκλιση κατά μέτρο, σχεδόν παντού και σχεδόν ομοιόμορφα). Θεώρημα Egoroff και Θεώρημα Riesz. Θεώρημα Fubini και μέτρα γινόμενα. Προσημασμένα μέτρα (ανάλυση Hahn και ανάλυση Jordan). Θεώρημα Radon-Nikodym. Χώροι Lp. Συναρτησιακές επιπτώσεις του Θεωρήματος Radon-Nikodym (περιγραφή των δυϊκών και αυτο-πάθεια των χώρων Lp για 1<p<∞). Βιβλιογραφία: 1. Billingsley, P. (1997). Probability and Measure. John Wiley. New York.

2. Kolmogorov, A.N. and Fomin, S.V. (1970). Introductory Real Analysis.

Dover Publications, N.Y. 3. Lang, S. (1969). Real Analysis. Addison Wesley Publishing Co. 4. Rudin, W. (1966). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. New York.

5. Κουμουλής Γ. και Νεγρεπόντης Σ.

(1991). Θεωρία Μέτρου. Εκδόσεις Συμμετρία. Αθήνα.

25

Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Προαπαιτούμενα: Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Η πιθανότητα ως μέτρο. Ανεξαρτησία. Λήμματα Borel-Cantelli. Μέση τιμή τυχαίας μεταβλητής ως ολοκλήρωμα Lebesgue. Τυχαία διανύσματα, συνδιακύμανση, πίνακας διασποράς, πολυδιάστατη Κανονική κατανομή. Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών: σύγκλιση σχεδόν βέβαιη, κατά πιθανότητα, κατά Νόμον και κατά μέσον τετραγώνου. Νόμοι των Μεγάλων Αριθμών. Κεντρικό οριακό θεώρημα. Δεσμευμένη μέση τιμή. Μαrtingales. Βιβλιογραφία: 1. Βillingsley, P. (1979). Probability and Measure. Wiley.

2. Chung, K.L. (1974). A Course in Probability Theory. Academic Press.

3. Dudley, R.M. (1989). Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks.

26

8.2. Ροή Α΄: Ανάλυση και Διαφορικές Εξισώσεις Ασυμπτωτική Ανάλυση και Θεωρία Διαταραχών Διδάσκοντες: Δ. Τζανετής, Β. Παπανικολάου, ΣΕΜΦΕ.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες (Matching). Αλλαγή Κλίμακος, Μέθοδος Πολλαπλών Κλιμάκων. Μέθοδοι Άθροισης Σειρών. Βιβλιογραφία: 1. Kevorkian, J. Cole, J.D. (1980).

Perturbation Methods in Applied Mathematics. Springer Verlag.

2. Hinch, E.J. (1994). Perturbation Methods. Cambridge University Press.

3. Erdelyi, A. (1956). Asymptotic Expansions. Dover Publications, INC. New York.

4. Bender, C.M. and Orszag. S.A. (1999).

Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Springer Verlag.

5. Nayfeh, A.H. (1993). Introduction to Perturbation Techniques.

Εισαγωγικό Σημείωμα: Πολλά μαθηματικά προβλήματα δεν είναι δυνατόν να λυθούν ακριβώς με χρήση αναλυτικών μεθόδων. Έτσι συχνά καταφεύγουμε στη χρήση προσεγγιστικών μεθόδων. Υπάρχουν δύο κατηγορίες προσεγγιστικών μεθόδων, οι αριθμητικές και οι «αναλυτικές» (ασυμπτωτικές). Η Ασυμπτωτική Ανάλυση προσεγγίζει, εκτιμάει, ή βρίσκει πού τείνει κάποια μαθηματική ποσότητα, ή η λύση κάποιας εξίσωσης, για μικρές παραμέτρους. Αντίθετα η Αριθμητική Ανάλυση προσεγγίζει ή εκτιμάει ποσότητες όταν όλες οι παράμετροι είναι της ίδιας τάξης ή τάξης ένα. Εξέχουσα θέση ανάμεσα στις Ασυμπτωτικές μεθόδους κατέχουν οι λεγόμενες μέθοδοι Διαταραχών και ιδιαίτερα οι ανώμαλες διαταραχές, τα συνοριακά στρώματα και οι μέθοδοι συναρμογής. Αυτές οι μέθοδοι αντιμετωπίζουν προβλήματα που διαταράσσονται κατά μικρή ποσότητα. Οι μέθοδοι διαταραχών συχνά συμβαδίζουν με τις φυσικές ιδιότητες των προβλημάτων.

Συνδυαστικές Μέθοδοι στην Ανάλυση

Περιεχόμενα: Ασυμπτωτικά Αναπτύγματα. Ασυμπτωτικά Αναπτύγματα Ολοκληρωμάτων. (Προβλήματα) Μέθοδοι Διαταραχών. Εφαρμογές Ασυμπτωτικών Αναπτυγμάτων, Μέθοδος Συναρμογής

Βιβλιογραφία:

Διδάσκοντες: Σ.A. Αργυρός, Β. Κανελλόπουλος, ΣΕΜΦΕ. Περιεχόμενα: Το θεώρημα Ramsey, το θεώρημα Halpern-Lauchli, το θεώρημα Hindman, Υπερφίλτρα, Συμπαγείς ημιομάδες, το θεώρημα Hales-Jewett, το θεώρημα Gowers, Αφηρημένη θεωρία Ramsey, Χώροι Ramsey και εφαρμογές, το θεώρημα Ellentuck, τα θεωρήματα Milliken, το θεώρημα Bergelson-Blass-Hindman, το θεώρημα Rosenthal, το παιχνίδι του Gowers.

1. Argyros, S.A. and Todorcevic, S. (2005).Ramsey Methods in Analysis,

Advanced Courses in Mathematics CRM Barcelona.

2. Graham, R.L., Rothchild, B.J. and Spencer, J. (1980). Ramsey Theory. J. Willey & Sons, New York, N.Y. 1980.

Μη Γραμμικά Συστήματα και Έλεγχος Διδάσκων: Ι. Τσινιάς ΣΕΜΦΕ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Εργαστήριο:1 ώρα/εβδ. Περιεχόμενα: Η ύλη περιλαμβάνει αποτελέσματα από την θεωρία των μη γραμμικών ντετερμινιστικών συστημάτων πεπερασμένης διάστασης: 1- Εισαγωγή στη θεωρία διαφορικών πολλαπλοτήτων, γεωμετρικές ιδιότητες μη γραμμικών συστημάτων, σχετικός βαθμός, γραμμικοποιηση, ελεγξιμοτητα.

2- Ευστάθεια εισόδου - κατάστασης, Lyapunov χαρακτηρισμοί, ευστάθεια σύνθετων συστημάτων.

3- Σταθεροποίηση με ανάδραση, χρήση Lyapunov συναρτήσεων και θεωρήματος Κεντρικής Πολλαπλότητας. Ολική Σταθεροποίηση. Degree Theory και αναγκαίες συνθήκες. Βιβλιογραφία: 1. Isidori, A. Nonlinear Control Systems I, II. Springer-Verlag.

2. Khalil, H. Nonlinear Systems. PrenticeHall.

3. Nijmeijer, H. and Van der Schaft, A.V. Nonlinear Dynamical Control Systems.

Springer-Verlag.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Δυναμικά Συστήματα Διδάσκοντες: Ν. Μ. Σταυρακάκης, ΣΕΜΦΕ. Προαπαιτούμενα: Λογισμός Μιας & Πολλών Μεταβλητών, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (προπτυχιακά), Γραμμική Άλγεβρα. Σκοπός του Μαθήματος: Η μελέτη γραμμικών και μη γραμμικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων με αναλυτικές, γεωμετρικές και αριθμητικές μεθόδους.

Eπίσης θα γίνει εξάσκηση των σπουδαστών στους υπολογιστές σε σχετικά προγράμματα. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων (20%), ενδιάμεση εξέταση (20%), και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου (60%). Περιεχόμενα: Αναλυτική Ποιοτική Θεωρία: (Από Βιβλίο [ST]: Κεφάλαιο 3) Ύπαρξη και Μονοσήμαντο Λύσης Διαφορικών Εξισώσεων. Επεκτασιμότητα Λύσης. Εξάρτηση από Αρχικές Συνθήκες και Παραμέτρους. Διαφορισιμότητα Λύσης. Ανίσωση Gronwall. Γεωμετρική Θεωρία - Ευστάθεια: (Από Βιβλίο [ST]: Κεφ. 8 και [HK]: Κεφ. 7,8) Εισαγωγή: Χώρος Φάσεων. Κρίσιμα Σημεία. Περιοδικές Λύσεις. Ευστάθεια. α-(ω-) οριακά σύνολα. Αναλλοίωτα Σύνολα. Ελκυστές. Ευστάθεια. Γραμμικά Συστήματα: Γενική Θεωρία. Επίπεδα Αυτόνομα Συστήματα, Κανονικές Μορφές. Ποιοτική Ισοδυναμία Γραμμικών Συστημάτων. Ταξινόμηση Εικόνων Φάσεων. Σχεδόν Γραμμικά Συστήματα: Εισαγωγή. Ισοδυναμία Ροών στη μία διάσταση. Ποιοτική Ισοδυναμία Γραμμικών

Συστημάτων στο Επίπεδο (Γραμμική, Τοπολογική - Διαφορίσιμη Ισοδυναμία). Ισοδυναμία Μη Γραμμικών Ροών. Γραμμικοποίηση: Τοπική και Ολική Συμπεριφορά. Γραμμικοποίηση γύρω από Σταθερό Σημείο. Θεώρημα Γραμμικοποίησης (Hartman-Grobman). Μέθοδος Lyapunov: Συναρτησιακό Lyapunov. Θεωρήματα Ευστάθειας & Αστάθειας του Lyapunov. Πεδίο Έλξης. Αρχή του Αναλλοιώτου. Θεωρία Διακλάδωσης και Εφαρμογές: (Από Βιβλίο [HK]: Κεφάλαια 2,7,8,10,11,12, 13). Στοιχειώδεις Διακλαδώσεις στη 1-Διάσταση (Saddle-Node, Transcritical, Hysteresis, Pitchfork, Fold & Cusp). Τοπικές Διαταραχές κοντά σε Στάσιμα Σημεία (Υπερβολικά Στάσιμα Σημεία, Στάσιμα Σημεία με Τετραγωνικό και Κυβικό Εκφυλισμό). Στοιχειώδεις Διακλαδώσεις στις 2-Διαστάσεις (Saddle-Node, Pitchfork, Vertical, Poincaré-Andronov-Hopf, Homoclinic or Saddle-Loop). Παρουσία Μηδενικής Ιδιοτιμής: Ευστάθεια, Διακλαδώσεις, Ευσταθείς & Ασταθείς Πολλαπλότητες, Κεντρική Πολλαπλότητα. Θεωρία Βαθμωτών Απεικονίσεων: Εισαγωγικά, Ευστάθεια,Διακλαδώσεις Μονότονων Απεικονίσεων, Διακλάδωση Διπλασιασμού Περιόδου. Βαθμωτές Μη-Αυτόνομες Εξισώσεις: Θεωρία Floquet: Εισαγωγή - Βασική Θεωρία - Εξίσωση Mathieu, Εισαγωγικά για τις Μη-Αυτόνομες Εξισώσεις, Γεωμετρική Θεωρία Περιοδικών Λύσεων, Περιοδικές Εξισώσεις σ’ ένα Κύλινδρο, Παραδείγματα Περιοδικών Εξισώσεων, Ευστάθεια Περιοδικών Λύσεων, Ευστάθεια & Διακλαδώσεις Περιοδικών Εξισώσεων.

27

Σύστημα Γινόμενο - Πρώτα ΟλοκληρώματαΣυντηρητικά Συστήματα. Παρουσία Καθαρά Φανταστικών Ιδιοτιμών: Ευστάθεια, Διακλαδώσεις Poincaré Andronov - Hopf. Θεωρία Χάους: Επαναλήψεις Απεικονίσεων. Συμβολική Δυναμική. Θεώρημα Sarkovskii. Παράγωγος Schwarz. Ευστάθεια Περιοδικών Σημείων. Ομοκλινείς Τροχιές. Πέταλο Smale. Εφαρμογές: Εξισώσεις Van der Pol - Duffing - Lorenz. Βιβλιογραφία: 1. Chow, S.N. and Hale J.K. [CH], (1982). Methods of Bifurcation Theory.

Springer Verlag, New York.

2. Cronin, J. [CR], (1980). Differential Equations. Introduction and Qualitative Theory. Marcel Dekker Inc. New York.

3. Devaney, R.L. [DE], (1986). An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.

Springer Verlag, New York.

4. Guckenheim, J. and Holmes, Ph. [GH], (1983). Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer Verlag, New York.

5. Hale, J.K. and Kocak, H. [HK], (1992).

Dynamics and Bifurcation. Springer Verlag, New York.

6. Humi, M. and Miller, W. [HM], (1983).

Second Course in Ordinary Differential Equations for Scientists and Engineers.

Springer Verlag, New York.

7. Jordan, D.W and Smith, P. [JS], (1987).

Nonlinear Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford.

8. Kelley, W. and Peterson, A. [KP], (2004). The Theory of Differential Equations: Classical and Qualitative,

28

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, NJ. Kielhöer, H. [KI], (2003). Bifurcation Theory: An Introduction with Applications to PDEs, Series: Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag.

Lynch, S. [LY], (2004). Dynamical Systems with Applications using MATLAB. Birkhäuser.

Perko, L. [PE], (1991). Differential Equations and Dynamical Systems.

Springer Verlag, New York.

Stavrakakis, N. M. [ST], (1997).

Ordinary Differential Equations. Linear and Nonlinear Theory. With Applications from Nature and Life (in Greek).

Papasotiriou Publ., Athens.

Wiggins, S. [WS1], (1988). Global Bifurcation and Chaos: Analytical Methods. Springer Verlag, New York.

Wiggins, S. [WS2], (2003). Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Texts in Applied Mathematics. Springer Verlag, New York.

Zhao, X.-Q. [ZHA] (2003).

Dynamical Systems in Population Biology, Series: CMS Books in Mathematics.

C*-Άλγεβρες και Θεωρία Τελεστών Διδάσκoντες: Σ. Καρανάσιος, ΣΕΜΦΕ, Δ. Δριβαλιάρης, Παν/μιο Αιγαίου. Προαπαιτούμενα: Το μάθημα είναι αυτοδύναμο. (Επιθυμητό, όχι απαραίτητο: Γνώσεις Γραμμικής Άλγεβρας,

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Συναρτησιακής Ανάλυσης, Θεωρίας Μέτρου και Θεωρίας Τελεστών). Μέθοδος εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος εξαμήνου. Στόχος του μαθήματος: Εισαγωγή και μελέτη Banach αλγεβρών και C*-αλγεβρών με τις ιδιότητες τους και τις εφαρμογές τους. Περιεχόμενα: Banach άλγεβρες, ενέλιξη, C*-άλγεβρες με ή χωρίς μονάδα, ιδιότητες παραδείγματα, φάσμα, Συναρτησιακός Λογισμός, φασματική ακτίνα, αντιστρεψιμότητα. Αντιμεταθετικές C*-άλγεβρες, ιδεώδη, φορέας, μετασχηματισμός Gelfand, απεικόνιση Gelfand, θεώρημα Gelfand-Naimark για αντιμεταθετικές C*-άλγεβρες. Εφαρμογή, Φασματικό θεώρημα για φυσιολογικούς τελεστές. Αναπαραστάσεις, πιστή αναπαράσταση, θετικά συναρτησοειδή, καταστάσεις, GNS construction. Θετικά στοιχεία μιας C*άλγεβρας, ιδιότητες, θεώρημα GelfandNaimark. Κληρονομικές C*-υπάλγεβρες, ανάγωγες αναπαραστάσεις και καθαρές καταστάσεις μιας C*-άλγεβρας. Βιβλιογραφία: 1. Conway, J.B. (1985). A Course in Functional Analysis. Springer Verlag.

2. Conway, J.B. (1999). A Course in Operator Theory, Graduate studies in Mathematics. American Mathematical Society. Murphy, G. J. (1990).

C*-Algebras and Operator Theory.

Academic Press.

3. Davidson, K.R. (1996). C* - Algebras by Examples, Fields Institute Monographs. American Mathematical Society.

4. Douglas, R.G. (1998). Banach Algebras Techniques In Operator Theory.

Springer.

5. Erdos, J.A. C*-Algebras, Notes, Department of Mathematics. King’s College London. England.

6. Kadison, R.V. Ringrose, J.R. (1983, 1986). Fundamental of the Theory of Operator Algebras. Academic P ress, vol. 1, vol. 2 (1986).

7. Lin, H. (2001). An Introductionto the Classification of Amenable C*-Algebras. World Scientific.

Διατεταγμένοι Χώροι Διδάσκοντες: Ι. Πολυράκης, ΣΕΜΦΕ. Περιεχόμενα: Κεφάλαιο Ι (Γραμμική Διάταξη). Κώνοι και μερική διάταξη. Γραμμικοί σύνδεσμοι (linear lattices). H ιδιότητα διάσπασης του Riesz. Θετικά γραμμικά συναρτησιακά. Βάσεις κώνων και το θεώρημα των Chocqet-Kentall. Κεφάλαιο ΙΙ (Διάταξη και Τοπολογία) Δυϊκοί κώνοι. Συνεχή γραμμικά συναρτησιακά και τελεστές. Διατεταγμένα δυϊκά συστήματα και τοπολογίες. Banach Lattices. AΜ-χώροι και ΑL-χώροι. Θεωρηματα αναπαράστασης του Kakutani.

Lattice-Subspaces. Θετικές Βάσεις. Κεφάλαιο ΙΙΙ (Οικονομικές Εφαρμογές) Σχέσεις προτίμησης. Θεωρήματα ευημερίας. Ισορροπία σε απειροδιάστατες οικονομίες. Πλήρωση χρηματοϊκονομικών αγορών. Βιβλιογραφία: 1. Aliprantis, C.D. and Burkinsaw, O.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

2.

3.

4.

5.

6.

(1985). Positive Operators. Academic press.

Fremlin, D.H. (1974). Topological Riesz Spaces and Measure Theory.

Cambridge University Press.

Jameson, G.J.O. (1970). Ordered Linear Spaces, Lecture Notes in Mathematics 141.

Luxempurg, W.J.A. and Zaanen, A.C. (1971). Riesz Spaces. North Holland.

Mayer, P. and Nierberg (1991).

Banach Lattices. Springer.

Peressini, A.L. (1967). Ordered Topological Vector Spaces. Harper and Row.

Οικονομικά Μαθηματικά Διδάσκοντες: Ι. Πολυράκης ΣΕΜΦΕ. Περιεχόμενα: ΚΕΦ. Ι. Πεπερασμένες Οικονομίες. Χώρος αγαθών-χώρος τιμών, σχέσεις προτίμησης και συναρτήσεις χρησιμότητας (συνέχεια, κυρτότητα). Σύνολο προϋπολογισμού, μεγιστοποίηση χρησιμότητας, συνάρτηση ζήτησης. Οικονομία ανταλλαγής: Συνάρτηση υπερβάλλουσας ζήτησης. Η έννοια της κατανομής (ατομικά λογική, άριστη κατά Pareto, κατανομή πυρήνα). Κατανομή ισορροπίας (κατά Walras).

To κουτί του Edgeworth, θεωρήματα ισορροπίας, ύπαρξη ισορροπίας (ArrowDebreu). Οικονομίες παραγωγής: Σύνολο παραγωγής, συνάρτηση εφοδιασμού, η έννοια της κατανομής και ύπαρξη ισορροπίας. ΚΕΦ ΙΙ: Απειροδιάστατες οικονομίες. Μερικά διατεταγμένοι γραμμικοί χώροι,

κώνοι και βάσεις κώνων, γραμμικοί σύνδεσμοι, το θεώρημα Chocqet - Kentall, Banach σύνδεσμοι. Χώρος αγαθών, χώρος τιμών, σχέσεις προτίμησης, ομοιόμορφα κανονικές σχέσεις προτίμησης, σύνολα προϋπολογισμού και συναρτήσεις ζήτησης. Οικονομίες ανταλλαγής. Ισορροπία. Βιβλιογραφία: 1. Aliprantis, C.D., Brown, D.J. and Bourkinshaw, O. (1990). Existense and Optimality of Competitive Equilibria.

Springer Verlag.

2. Aliprantis, C.D. and Border K.C. (1999).

Infinite Dimensional Analysis. Springer Verlag.

3. Jameson, G.J.O. (1970). Ordered Linear Spaces. Lecture Notes in Mathematics 142. Springer.

4. Mawcolell, A., Winshtone, M.D. and Green, J.R. (1997). Microeconomic Theory. Oxford University Press.

Cambridge.

5. Mayer-Nierberg, P. (1991). Banach Lattices. Springer.

6. McKenzie, L.W. (2002). Classical General Equilibrium Theory. M.I.T Press.

7. Peresin, A.L. (1967). Ordered Topological Vectar Spaces. Harberal & Row. 8. Takayama, A. (1997). Mathematical Economics. Cambridge University Press.

9. Varian, H.R. (1990). Intermediate Microeconomics - A Modern Approach.

Northon.

10. Varian, H.R. (1992). Microeconomic Analysis. Northon International Student Edition.

29

Ειδικά Θέματα Διαφορικών και Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (α) Ολοκληρωτικές Εξισώσεις Διδάσκοντες: Δρόσος Γκιντίδης, ΣΕΜΦΕ. Περιεχόμενα: Ταξινόμηση ολοκληρωτικών εξισώσεων και παρα-δείγματα. Φραγμένοι και συμπαγείς τελεστές. Ολοκληρωτικοί τελεστές με εκφυλισμένο πυρήνα. Θεωρία Fredholm για ολοκληρωτικούς τελεστές με εκφυλισμένους πυρήνες. Ολοκληρωτικοί τελεστές με συνεχή και ασθενώς ανώμαλο πυρήνα. Θεωρία Riesz. Εφαρμογή σε ολοκληρωτικές εξισώσεις τύπoυ Volterra. Δυικά συστήματα και θεωρία Fredholm. Εφαρμογή σε ολοκληρωτικές εξισώσεις δευτέρου είδους. Γενική θεωρία προσέγγισης ολοκληρωτικών τελεστών. Προσέγγιση με εκφυλισμένους πυρήνες. Διακριτοποίηση ολοκληρωτικών εξισώσεων. Μέθοδος Nystrom. Μέθοδος συνδιάταξης (collocation). Προβολικές μέθοδοι. Μέθοδοι Galerkin και Bubnov-Galerkin. Ολοκληρωτικές εξισώσεις πρώτου είδους. Μη καλά τοποθετημένα προβλήματα και ομαλοποίησή τους. Βιβλιογραφία: 1. Gohberg, I., Gohberg S. and Kaashoek, M. A. (2003). Basic Classes of Linear Operators. Birkhauser.

2. Hackbusch, W. (1999). Integral Equations Theory and Numerical Treatment. Birkhauser.

3. Kanwal, R.P. (1971). Linear Integral

30

Equations. Academic Press.

4. Kondo, J. (1991). Integral Equations.

Kobansha-Oxford University Press.

5. Kress, R. (1999). Linear Integral Equations. Springer-Verlag.

6. Porter, D. and Stirling, D.S.G. (1990).

Integral Equations. Campridze University Press.

(β) Μη Γραμμικές Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Διδάσκοντες: Ν.Μ. Σταυρακάκης, ΣΕΜΦΕ. Προαπαιτούμενα: Συνήθεις & Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (προπτυχιακά), Δυναμικά Συστήματα (μεταπτυχιακό), Συναρτησιακή Ανάλυση (μεταπτυχιακό). Σκοπός του Μαθήματος: Η μελέτη Γραμμικών και Μη-Γραμμικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων της Μαθηματικής Φυσικής με μεθόδους Συναρτησιακής Ανάλυσης. Η μελέτη θα γίνει τόσο με κλασικές μεθόδους εκτιμήσεων καθώς και με σύγχρονες μεθόδους του Λογισμού των Μεταβολών και της Θεωρίας των Διακλαδώσεων. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων (20%), ενδιάμεση εξέταση (20%), και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου (60%). Περιεχόμενα: Εισαγωγή: Κατανομές - Χώροι Lebesgue Ασθενής και Ασθενής-*Σύγκλιση - Χώροι Sobolev - Ανισώσεις και Εμφυτεύσεις. Ελλειπτικές Εξισώσεις: Ορισμοί - Τύποι Λύσεων - Θεωρήματα Lax-Milgram και Stampaccia - Ανίσωση Gärding - Ύπαρξη

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες και Μονοσήμαντο Λύσεων - Ομαλότητα Αρχή Μεγίστου - Προβλήματα Ιδιοτιμών. Παραβολικές Εξισώσεις: Συναρτήσεις με Τιμές σε Χώρους Banach - Ύπαρξη και Μονοσήμαντο Λύσεων - Ομαλότητα - Αρχή Μεγίστου, Εφαρμογές. Υπερβολικές Εξισώσεις: Ύπαρξη και Μονοσήμαντο Λύσεων - Ομαλότητα - Αρχή Μεγίστου - Εφαρμογές. Θεωρία Διακλάδωσης: Τοπική Θεωρία Διακλάδωσης [Θεωρία Αναγωγής Lyapunov-Schmidt, Θεώρημα CrandallRabinowitz, Εναλλαγή Ευστάθειας (Exchange of Stability)]. Θεωρία Ολικής Διακλάδωσης (Θεωρία Βαθμού, Θεωρήματα Ολικής Διακλάδωσης των Rabinowitz και Dancer) Γενικεύσεις - Εφαρμογές. Μεταβολικές Μέθοδοι: Εισαγωγικά Ελαχιστοποίηση Ενέργειας - Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού Μεταβολών Συνθήκη Palais-Smale - Λήμμα Ορεινής Διάβασης, Λήμμα Συγκέντρωσης - Συμπάγειας του Lion (Lion’s Concentration - Compactness Lemma) - Εφαρμογές. Βιβλιογραφία: 1. Adams, R.A. [AD], (1975). Sobolev Spaces. Academic Press. New York.

2. Brezis, H., [BR], (1987). Analyse Functionelle: Theorie et Applications.

Masson. Paris.

3. Buffoni, B. and Tolland, J. [BUF], (2003).

Analytic Theory of Global Bifurcation, Princeton Series in Applied Mathematics.

4. Evans Lawrence C., [E], (1998). Partial Differential Equations. AMS. 5. Evans, L.,Gariepy, R.F. [EG], (1992).

Measure Theory and Fine Properties of

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Functions. CRC Press, BocaRaton.

Gilbarg D. and Trudinger, N.S. [GT], (1983). Elliptic Partial Differential Equations of Second Order.

Springer-Verlag. Berlin.

Harold Levine, [LE], (1997). Partial Differential Equations. AMS/INP. Kielhöfer Hansjörg. [KI], (2003). Bifurcation Theory: An Introduction with Applications to PDE’s, Series: Applied Mathematical Sciences.

Springer Verlag.

Ladyzhenskaya, O.A. [L], (1985). The Boundary Value Problems of Mathematical Physics. Springer Verlag, New York.

Protter, M.H. and Weinberger, H.F. [PW], (1984). Maximum Principles in Differential Equations. Springer Verlag, Berlin.

Renardy M. and Rogers R.C. [RR], (1993).An Introduction to Partial Differential Equations. Springer Verlag, New York.

Stavrakakis, N. [STA], (2002). Partial Differential Equations for Science and Technology (in Greek), Athens.

Struwe, M. [STR], (1990). Variational Methods. Springer-Verlag, Berlin.

Tanabe, H. [TA], (1996). Functional Analytic Methods for Partial Differential Equations. Marcel Dekker.

Zeidler, E. [ZE], (1990). Functional Analysis and its Applications (Vol. I, IIa, IIb, III). Springer Verlag, Berlin.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις και Εφαρμογές στα Χρηματοοικονομικά Διδάσκων: Ι. Σπηλιώτης, ΣΕΜΦΕ. Προαπαιτούμενα: Μετροθεωρητική Θεωρία Πιθανοτήτων. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Στοχαστικές ανελίξεις, Διυλίσεις, Χρόνοι διακοπής, συνεχή martingales. Κίνηση Brown. Στοχαστική ολοκλήρωση Ito. Στοχαστικές ανελίξεις Ito, formula του Ito. Θεώρημα αναπαράστασης martingale, Θεώρημα Girsanov. Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις. Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας ισχυρών λύσεων. Ασθενείς λύσεις. Θεώρημα Feynman-Kac. Μοντέλο Black-Scholes. Αποτίμηση δικαιωμάτων Ευρωπαϊκού τύπου. Εξίσωση Black-Scholes.

European options. Black-Scholes formula. Βιβλιογραφία: 1. Friedman, A. (1975). Stochastic Differential Equations and Applications, Vol.1. Academic Press.

2. Karatzas, I. and Shreve, S.E. (1991).

Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag.

3. Oksendal, B. (2000). Stochastic Differential Equations. Springer.

4. Σπηλιώτης, Ι. (2004). Στοχαστικές Διαφορικές Eξισώσεις και Eφαρμογές στα Xρηματοοικονομικά. Eκδόσεις Συμεών, Αθήνα.

Άλγεβρες Lie και Ομάδες Lie Διδάσκων: Α. Φελλούρης, ΣΕΜΦΕ. Περιεχόμενα: Οι βασικοί ορισμοί των αλγεβρών Lie, Ιδεώδη και ομομορφισμοί, Επιλύσιμες και μηδενοδύναμες άλγεβρες Lie. Τα θεωρήματα Lie και Cartan. Η μορφή Killing. Πλήρης αναγωγισιμότητα των αναπαραστάσεων, Αναπαραστάσεις της άλγεβρας sl (2,F ), ανάλυση σε χώρους ριζών, συστήματα ριζών και η ταξινόμηση των απλών αλγεβρών Lie. Η καθολική περιβάλλουσα άλγεβρα. Εισαγωγή στις διαφορίσιμες πολλαπλότητες. Εισαγωγή στις τοπολογικές ομάδες. Οι βασικοί ορισμοί των ομάδων Lie, η άλγεβρα Lie μιας ομάδας Lie. Η εκθετική απεικόνιση. Βιβλιογραφία: 1. Bauerle, G.G.A. and de Kerf, E.A. (1990). Lie Algebras, Part 1. NorthHolland.

2. Humphreys J. (1970). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory.

Springer Verlag.

3. Varadarajan, V.S. (1974). Lie Groups, Lie Algebras and their Representations.

Prentice, Hall.

Μαθηματική Προτυποποίηση Διδάσκοντες: Κ. Κυριάκη, Δ. Τζανετής, Β. Παπανικολάου, ΣΕΜΦΕ. Περιεχόμενα: Διαστατική Ανάλυση, Κλιμακοποίηση, Μαθηματικά Πρότυπα (ΜΠ) από τη Δυναμική των Πληθυσμών: Μ.Π. ενός είδους, Συνεχή, Διακριτά, με Υστέρηση, Ανταγωνιστικά (θηρευτής-θήραμα). Μ.Π. Βιολογικά, Χημικών Αντιδράσεων.

31

Μ.Π. Μηχανικά, Συνεχών Μέσων, Δυναμικής Αερίων, Κίνησης Ρευστών. Μ.Π. Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Μ.Π. Ροής Οχημάτων. Μ.Π. Περιοδικών Φυσικών Φαινομένων. Μ.Π. από τη Σκέδαση Κυμάτων: ευθύ και αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης, ιατρικές εφαρμογές. Βιβλιογραφία: 1. Burghes, D.N. and Borrie M.S. (1981).

Modelling with Differential Equations.

Ellis Horwood Series, Mathematics and its Applications. Great Britain.

2. Cakoni, F. and Colton, D. (2006).

Qualitative Methods in Inverse Scattering Theory. An Introduction. Springer.

3. Eastham M.S.P. (1973). Spectral Theory of Periodic Differential Equations.

Scottish Academic Press Ltd. 4. Giordano, F., Weir, M. and Fox, W. (2003). A First Course in Mathematical Modelling. Brooks/Cole, USA. 5. Gurney, W. and Nisbet, R. (1998). Ecological Dynamics. Oxford Univ. Press.

6. Haberman, R. (1998). Mathematical Models: Mechanical Vibrations, Population Dynamics and Traffic Flow, Classics in Applied Mathematics. Philadelphia.

7. Kuchment, P. (1993). Floquet Theory for Partial Differential Equations.

Birkhauser. Verlag, Basel.

8. Murray, J.D. Mathematical Biology I, II, An Introduction. Springer Verlag. New York.

9. Pelesko, J., Bernstein D. (2003).

Modeling MEMS & NEMS. Chapman & Hall.

10. Senda, T. and Suzuki, T. (2004). Applied Analysis (Mathematical Methods in Natural Science). Imperial College Press.

32

Αρμονική Ανάλυση Διδάσκων: Ι. Σαραντόπουλος, ΣΕΜΦΕ. Περιεχόμενα: Χώροι Hilbert: Παραδείγματα, βέλτιστη προσέγγιση, θεώρημα προβολής, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz. Ορθοκανονικά συστήματα, ορθοκανονικές βάσεις και παραδείγματα (πολυώνυμα Legendre, Hermite και Laguerre, το τριγωνομετρικό σύστημα, ορθοκανονικά συστήματα των Rademacher, Walsh και Haar). Θεώρημα Riesz-Fischer και χαρακτηρισμός των ορθοκανονικών βάσεων. Σειρές Fourier: Λήμμα των RiemannLebesgue, πυρήνες αθροιστικότητας των Dirichlet, Fejer και Poisson. Σημειακή σύγκλιση σειρών Fourier (θεωρήματα των Fejer, Fejer-Lebesgue και Dirichlet-Jordan). Φαινόμενο Gibbs και εφαρμογές. Lacunary series και εφαρμογές. Μετασχηματισμός Fourier στον L1(IR), μετασχηματισμός συνέλιξης δύο συναρτήσεων, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier. Μετασχηματισμός Fourier στoν L2(IR), θεωρήματα Plancherel και Shannon. Εισαγωγή στη θεωρία των χώρων και τελεστές Hankel. Εισαγωγή στην κυματιδιακή ανάλυση (wavelets): Τύποι αντιστροφής και δυαδικά συστήματα, ο συνεχής μετασχηματισμός wavelet, η πολυδιακριτή ανάλυση (multiresolution analysis). Θεωρία πλαισίων (frames). Βιβλιογραφία 1. Bary, N.K. (1964). A Treatise on Trigonometric Series. Macmillan.

2. Daubechies, I. (1995). Ten Lectures on Wavelets. SIAM. 3. Duren, P.L. (2000). Theory of Spaces.

Dovel Publications, Inc.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες 4. Igari, S. (1998). Real Analysis - With an Introduction to Wavelet Theory, American Mathematical Society (Translations of Mathematical Monographs, vol. 177).

5. Jones, F. (2001). Lebesgue Integration on Euclidean Space (revised edition), Jones and Bartlett Publishers International.

6. Kolmogorov A.N. and Fomin, S.V. (1975). Introductory Real Analysis.

Dover Publications, Inc. 7. Katznelson, Y. (2004). An introduction to Harmonic Analysis. Cambridge University Press.

8. Kolmogorov A.N. and Fomin, S.V. (1975). Introductory Real Analysis.

Dover Publications, Inc. 9. Loomis, L. (1953). Abstract Harmonic Analysis. Van Nostrand.

10. Natanson, I.P. (1974). Theory of Functions of a Real Variable, vol. II (translated from the Russian by Leo F. Boron, fourth printing), Frederick Ungar Publishing Co. 11. Partington, J.R. (1988). An introduction to Hankel Operators. Cambridge University Press.

12. Rudin, W. (1987). Real and Complex Analysis. McGraw-Hill.

13. Wojtaszczyk, P. (1997). A Mathematical Introduction to Wavelets.

Cambridge University Press.

14. Zygmound, Α. (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press.

Θέματα Μαθηματικής Ανάλυσης (α) Μη Γραμμική Συναρτησιακή Ανάλυση Διδάσκοντες: Δ. Κραββαρίτης, Ν. Παπαγεωργίου, ΣΕΜΦΕ. Περιεχόμενα: Μη γραμμικοί τελεστές σε χώρους Banach. Μονότονοι και maximal μονότονοι τελεστές. Υποδιαφορικά κυρτών συναρτήσεων. Χώροι Sobolev. Ορισμός και βασικές ιδιότητες. Θεωρήματα ενσφήνωσης. Θεωρήματα συμπάγειας. Ασθενείς λύσεις ελλειπτικών προβλημάτων συνοριακών τιμών. Εισαγωγή στις ημιομάδες και εφαρμογές. Το θεώρημα Hille-Yosida. Ημιομάδες συστολών σε χώρους Hilbert. Η εξίσωση θερμότητας. Η κυματική εξίσωση. Η εξίσωση Schrödinger. Βασικά θεωρήματα σταθερού σημείου. Βιβλιογραφία: 1. Aubin, J.P. and Cellina, A. (1984). Differential Inclusions. Springer Verlag.

2. Barbu, V. (1976). Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces. Noordhoff International Publishing.

3. Brezis, H. (1973). Operateurs Maximaux Monotones et Semi Groups de Contractions dans les Espaces de Hilbert, North, Holland. Elsevier.

4. Brezis, H. (1997). Συναρτησιακή Ανάλυση, Θεωρία και Eφαρμογές. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Ε.Μ.Π.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες 5. Hu, S. and Papageorgiou, N.S. (1997).

Handbook of Mathematical Analysis.

Volume I. Kluwer,.

6. Pascali D. and Sburlan, S. (1978).

Nonlinear Mappings of Monotone Type. Noordhoff International Publishing.

7. Zeidler, H. (1990). Nonlinear Functional Analysis and its Applications II, Springer Verlag. New York.

(β) Συναρτησιακή Ανάλυση και Αθροισιμότητα Διδάσκων: Κ. Λασκαρίδης, ΣΕΜΦΕ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Προαπαιτούμενα: Καλή γνώση του Λογισμού, της Γραμμικής Αλγεβρας και της Βασικής Ανάλυσης καθώς και της βασικής Θεωρίας των Μιγαδικών Συναρτήσεων. Γενικά: Με τον όρο Αθροισιμότητα (ακριβέστερα Θεωρία Αθροισιμότητας) εννοούμε τη θεωρία η οποία εξετάζει τις διάφορες μεθόδους με τις οποίες μπορούμε να αντιστοιχίσουμε ένα (μοναδικό) “όριο” σε μια “ακολουθία” και επομένως και ένα (μοναδικό) “άθροισμα” σε μια “σειρά”. Είναι γνωστό ότι μια τέτοια αντιστοίχηση είναι κεφαλαιώδους σημασίας για την Ανάλυση, τη Θεωρία Συναρτήσεων, τη Θεωρία Αριθμών, την Τοπολογία, τη Συναρτησιακή Ανάλυση, τις Διαφορικές Εξισώσεις, την Αρμονική Ανάλυση κλπ. Η κλασική Θεωρία Αθροισιμότητας (Θ.Α.) εμφανίζεται για πρώτη φορά σε μια οργανωμένη μορφή γύρω στο 1840, μολονότι οι αρχικές ιδέες της σύγκλισης και της απόκλισης ξεκινώντας από τον

Αρχιμήδη φαίνεται ότι είναι τελείως κατανοητές στους μαθηματικούς ακόμα και πριν τον Newton και τον Leibniz που είναι και οι πρώτοι που χρησιμοποιούν συστηματικά τις σειρές (απείρων όρων). Η Θεωρία Αθροισιμότητας αναπτύσσεται στη συνέχεια με τη βοήθεια των κλασικών μεθόδων της Ανάλυσης, της Αλγεβρας της Θεωρίας Αριθμών κλπ. μέχρι την εμφάνιση στο κλασικό πλέον βιβλίο του Stefan Banach (“Operations Lineaires”, Chelsea 1932), μιας νέας κομψής απόδειξης του “αναγκαίου” ενός κλασικού θεωρήματος της Αθροισιμότητας (Θεώρημα Silverman -Toeplitz) με τη βοήθεια μεθόδων της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Από το σημείο αυτό η τελευταία αρχίζει να υπεισέρχεται όλο και περισσότερο στη μελέτη των προβλημάτων της Αθροισιμότητας. Η εφαρμογή των μεθόδων της Συναρτησιακής Ανάλυσης στη Θεωρία Αθροισιμότητας διευκόλυνε σημαντικά την εξαγωγή των συμπερασμάτων της θεωρίας αυτής και διεύρυνε τόσο το πεδίο εφαρμογών της όσο και τον τρόπο θεώρησης των διαφόρων θεμάτων της. Περιγραφή του μαθήματος: Στο μάθημα αυτό θα ορισθούν καταρχήν οι διάφορες κλασικές μέθοδοι της Θ.Α. και θα αναπτυχθούν τα βασικά στοιχεία της Αθροισιμότητας με τη χρήση απειροπινάκων. Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν οι βασικές ειδικές μέθοδοι αθροισιμότητας (Cesaro, Riesz, Norlund κλπ). Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος θα διδαχθούν οι αναγκαίες για το αντικείμενο βασικές γνώσεις από τη Συναρτησιακή Ανάλυση (Σ.Α.) και θα αναπτυχθεί η θεωρία των FK-χώρων και οι εφαρμογές της στην Θ.Α.

33

Περιεχόμενα: Γενική Θεωρία Αθροισιμότητας. Απειροπίνακες και Αθροισιμότητα. Βασικές Μέθοδοι Αθροισιμότητας μέσω απειροπινάκων. Abelian και Tauberian Θεωρήματα. Εφαρμογές των μεθόδων απειροπινάκων (Σειρές Fourier, Αναλυτική Συνέχεια, Γραμμικά Συστήματα Δ.Ε. κ.α.). Στοιχεία βασικής γραμμικής Συναρτησιακής Ανάλυσης. Γραμμικοί τοπολογικοί χώροι ακολουθιών: (Κ- και FΚ-χώροι). Οι μέθοδοι της Σ.Α. και της κλασικής Θ.Α. σε συνδυασμό. Εφαρμογές. Βιβλιογραφία: (α) Κλασική Θεωρία Αθροισιμότητας

1. Cooke, R.G. (1958). Infinite Matrices and Sequence Spaces. Macmillan.

2. Hardy, G.H. (1963). Divergent Series.

Oxford Univ. Press.

3. Petersen, G.M. (1966). Regular Matrix Transformations. McGraw-Hill.

4. Powell, R.E. and Shah, S.M. (1972).

Summability Theory and its Applications. Van Nostrand.

5. Zygmund, A. Trigonometric Series (I,II), Cambridge Univ. Press. (β) Συναρτησιακή Ανάλυση και μέθοδοί της στη Θ.Α.

1. Boos, J. and Cass, P. (2000). Classical and Modern Methods in Summability.

Oxford Univ. Press.

2. Maddox, I.J. (1970). Elements of Functional Analysis. Cambridge Univ. Press.

3. Wilansky, A. (1984). Summability Through Functional Analysis. North Holland.

34

(γ) Διατεταγμένοι Γραμμικοί Χώροι Διδάσκων: ΣΕΜΦΕ Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Διατεταγμένοι Γραμμικοί χώροι. Σφήνες (wedges), κώνοι και γραμμικές διατάξεις. δ-κυρτότητα, διατακτικές μονάδες, Αρχιμήδειες διατάξεις, γραμμικές απεικονίσεις και γραμμικά συναρτησιακά. Θετικές επεκτάσεις γραμμικών συναρτησιακών, διάσπαση γραμμικών συναρτησιακών σε διαφορά θετικών γραμμικών συναρτησιακών, ακραία (extremal) σημεία του δυϊκού κώνου. Κώνοι με βάσεις. Χώροι Riesz, γραμμικοί σύνδεσμοι (linear lattices), γραμμικοί υποσύνδεσμοι, θετικό, αρνητικό μέρος και μέτρο στοιχείων γραμμικών συνδέσμων. Στερεά (solid) σύνολα, δ-ξένα στοιχεία, δέσμες (bands). δ-πλήρεις και δ-σ-πλήρεις γραμμικοί σύνδεσμοι. Θεώρημα Stone. Θεώρημα διάσπασης του Riesz. Συνδεμικοί ομομορφοσμοί, διακριτά και ακραία γραμμικά συναρτησιακά. Διατεταγμένοι τοπολογικοί γραμμικοί χώροι. Ανοικτές και φραγμένες διασπάσεις κώνων. α-κανονικοί (α-normal) και α-παράγοντες (α-generating) κώνοι. Ημινόρμες δ-μονάδων, κώνοι με καλές βάσεις και ημινόρμες καλών βάσεων. Δυϊκότητα αυτών. Τοπολογικοί γραμμικοί σύνδεσμοι. Τοπικά στερεοί χώροι. Ομοιόμορφη συνέχεια των συνδεσμικών πράξεων. Σύνδεσμοι Banach. ΑΜ-χώροι, ΑL-χώροι και δυϊκότητα αυτών.

ALp-χώροι και ο χώρος c0(Ω).

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Βιβλιογραφία:

Βιβλιογραφία:

1. Aliprantis, C. and Burcinshaw, O. (1978). Locally Solid Riesz Spaces.

Pure and Applied Mathematics Series, No 76. Academic Press. New York and London.

1. Craioveanu, M., Puta M. and Rassias, Th.M. (2001). Old and New Aspects in Spectral Geometry. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London.

2. Czerwik, S. (2002). Functional Equations and Inequalities in Several Variables. World Scientific Publ. Co., Singapore, New Jersey, London.

3. Hyers, D.H., Isac G. and Rassias, Th.M. (1997). Topics in Nonlinear Analysis & Applications. World Scientific Publishing Co. Singapore, New Jersey, London.

4. Rassias Th.M. and Simsa, J. (1995).

Finite Sums Decompositions in Mathematical Analysis. John Wiley & Sons, Chichester. New York, Toronto.

2. Aliprantis, C. and Burcinshaw, O. (1985). Positive Operators. Academic Press. New York and London.

3. Fremlin, D.H. (1974). Topological Riesz Spaces and Measure Theory.

Cambridge Univ. Press, London.

4. Jameson, G. (1970). Ordered Linear Spaces. Lecture Notes in Mathematics.

Springer Verlag.

5. Peresini, A.I. (1967). Ordered Topological Vector Spaces.

Harper and Row. New York.

6. Schaefer, H.H. (1974). Banach Lattices and Positive Operators. Springer Verlag. Berlin and New York.

ε) Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πιθανοτήτων

Διδάσκοντες: Α. Αργυρός, Β. Κανελλόπουλος, ΣΕΜΦΕ.

δ) Συναρτησιακές Εξισώσεις και Ανισώσεις Διδάσκων: Θ. Ρασσιάς, ΣΕΜΦΕ. Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Στοιχεία διαφορικής τοπολογίας και εφαρμογές. Προβλήματα στον λογισμό. των μεταβολών. Ανισότητες Morse. Ανισότητες Witten. Συναρτησιακές εξισώσεις πολλών μεταβλητών. Προβλήματα Smale και Αrnold. Προβλήματα Hilbert αναφορικά με την Μαθηματική Ανάλυση.

στ) Μη Γραμμική Συναρτησιακή Ανάλυση ΙΙ Διδάσκων: Δ. Κραββαρίτης, ΣΕΜΦΕ.

Αναλυτικές Ανισόστητες Διδάσκων: Θ. Ρασσιάς, ΣΕΜΦΕ. Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Περιεχόμενα: Αλγεβρικές ανισότητες, τριγωνομετρικές ανισότητες, γεωμετρικές ανισότητες, διαφορικές ανισότητες, ολοκληρωτικές ανισότητες και εφαρμογές τους. Έμφαση θα δοθεί στις ανισότητες των: Bernoulli, Cauchy, Hölder, Minkowski, τριγωνική, Cauchy-Schwarz-Buniakowsky, Bellman, Aczél, ισοπεριμετρική ανισότητα, ανισότητα Αρχιμήδη, Schur, Ostrowski, Chebyshev, Gruss, Lyapunov, Hardy, Carleman, Hardy-Littlewood, Shannon, Hyers-Ulam, Markov, Markov-Bernstein, Turan, Callahan, Abel, Cartan, Fejer, Jordan, Laguerre, Landau, Hilbert, Poincaré, Morse, Witten, Garding, Hile-Protter, Morse-Smale, Grothendieck.

Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Κλασική θεωρία Ramsey. Θεώρημα Nash-Williams. Άπειρη θεωρία Ramsey, τοπολογία Ellentuck. Το Θεώρημα Hindman. Το Θεώρημα Milliken. Το παιχνίδι του W.T. Gowers και εφαρμογές του. Τα Θεωρήματα Hales-Jewett και Van-Der -Waerden. Θεωρία Υπερφίλτρων, idempodents. Απόδειξη των Θεωρημάτων Hindman, Hales-Jewett με υπερφίλτρα. Το c0-Θεώρημα του W.T. Gowers. Το Θεώρημα Halpern-Lauchli και θεωρία Ramsey σε δέντρα.

Βιβλιογραφία:

Ανάλυση Πινάκων

1. Hyers, D.H., Isac G., Rassias and Th.M. (1998). Stability of Functional Equations in Several Variables. Birkhauser, Boston, Basel, Berlin.

2. Milavanovi, G.V., Mitrinovi D.S. and Rassias, Th.M. (1994). Topics in Polynomials: Extrernal Problems, Inequalities, Zeros. World Scientic Publising Company, Singapore, New Jersey, London.

3. Rassias, Th.M. and Srivastava, H.M. (1999).Analytic and Geometric Inequalities and Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London.

Διδάσκοντες: Ι. Μαρουλάς, Π. Ψαρράκος, ΣΕΜΦΕ.

Συνδυαστικές μέθοδοι στην Ανάλυση Διδάσκοντες: Α. Αργυρός, Β. Κανελλόπουλος, ΣΕΜΦΕ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ.

35

Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ.

τετραγωνικών γραμμικών συστημάτων. Γενικευμένοι αντίστροφοι πίνακες, MoorePenrose αντίστροφος, Drazin αντίστροφος και αντίστροφος ομάδας πινάκων. Νόρμες διανυσμάτων και πινάκων. Διαταραχές ιδιοτιμών, Θεώρημα BauerFike, δίσκοι Gerschgorin, απόσταση από την κανονικότητα και πηλίκο Rayleigh. Ψευδοφάσμα πίνακα, βασικές ιδιότητες, σύνορο του ψευδοφάσματος και αριθμητική προσέγγιση. Aριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού ιδιοτιμών. Θεωρία πολυωνυμικών πινάκων, φασματική ανάλυση, γραμμικοποιητές, διαίρεση και παραγοντοποίηση. Ανάλυση μη αρνητικών πινάκων, θεωρία Perron-Frobenius και ασυμπτωτική συμπεριφορά γραμμικών μη αρνητικών μοντέλων. Αριθμητικό πεδίο πίνακα και αριθμητική ακτίνα του, βασικές ιδιότητες, κυρτότητα, σύνορο του αριθμητικού πεδίου και αριθμητική προσέγγιση.

Προαπαιτούμενα: Γραμμική Άλγεβρα.

Βιβλιογραφία:

Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου

1. Bhatia, R. (1994). Matrix Analysis.

Springer.

2. Cambell, C.L. and Meyer, C.D. (1991).

Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover.

3. Golub, G.H. and Van Loan, C.F. (1996).

Matrix Computations. The Johns Hopkins Univ. Press.

4. Horn R.A. and Johnson, C.R. (1985).

Matrix Analysis. Cambridge Univ.

Press.

5. Horn R.A. and Johnson, C.R. Topics in Matrix Analysis. Cambridge Univ.

Press.

6. Lancaster P. and Tismenetsky, M. (1985). The Theory of Matrices.

Περιεχόμενα: Προχωρημένος λογισμός σύνθετων πινάκων. Δυϊκές γραμμικές απεικονίσεις. Αναλλοίωτοι υπόχωροι. Ανισοτικές σχέσεις βαθμού πίνακα. Παραγοντοποίηση URV. Παραγοντοποίηση LU, στοιχειώδεις πίνακες Gauss και παραγοντοποίηση Cholesky. Παραγοντοποίηση QR, πίνακες Householder, παραγοντοποίηση Schur και αδράνεια πίνακα. Φασματική ανάλυση πίνακα, γενικευμένοι ιδιόχωροι, αντιμεταθετικοί πίνακες και κανονικοί πίνακες. Ιδιάζουσα παραγοντοποίηση πίνακα (SVD), πολική παραγοντοποίηση πίνακα, προσεγγίσεις χαμηλού βαθμού και ευστάθεια

36

7.

8.

9.

10.

Academic Press.

Meyer, C.D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM. Stewart G.W. and Sun, J.G. (1990).

Matrix Perturbation Theory. Academic Press.

Trefethen, L.N., Bau, D. (1997).

Numerical Linear Algebra. SIAM. Trefethen L.N. and Embree, M. (2005).

Spectra and Pseudospectra: the Behavior of Nonnormal Matrices and Operators. Princeton Univ. Press.

Διαφορική Γεωμετρία

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Μηχανική σε πολλαπλότητες Riemann. Ειδική και Γενική θεωρία της σχετικότητας. Βιβλιογραφία: 1. Crampin, M. and Pirani, F.A.E. (1986).

Applicable Differential Geometry.

Cambrige Univ. Press.

2. Do Carmo, M. (1992). Riemannian Geometry. Birkhauser.

3. Gurtin, M. (1981). Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press.

4. Marsden, J. and Hughes, T. (1993).

Mathematical Foundations of Elasticity.

Dover.

5. O’ Neil, B. (1983). Semi-Riemannian Geometry. Academic Press.

Διδάσκων: Ν. Καδιανάκης, ΣΕΜΦΕ. Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Άλγεβρα Τανυστών: Τανυστές σε ένα διανυσματικό χώρο. Τανυστές σε Ευκλείδειους χώρους. Άλγεβρα αντισυμμετρικών τανυστών. Τανυστές 2ας τάξης και γεωμετρία των γραμμικών απεικονίσεων. Εφαρμογές στη θεωρία παραμόρφωσης συνεχών μέσων. Διαφορικές πολλαπλότητες: Διαφορικός λογισμός στον IRn, γενικά συστήματα συντεταγμένων. Διαφορικές πολλαπλότητες. Παράγωγος Lie, Συναλλοίωτη παράγωγος. Εφαρμογές στις χρονικές παραγώγους της Μηχανικής. Διαφορικές πολλαπλότητες Riemann. Ειδικά θέματα από τη θεωρία επιφανειών. Εφαρμογές: Μηχανική συνεχών μέσων.

Μαθηματκή Ανάλυση και Εφαρμογές στη Μηχανική των Ρευστών Διδάσκων: Σ. Βουτσινάς, ΣΜΜ.

(Υπολογισμός της δύναμης και της ροπής που ασκείται σε στερεό συναρτήσει του W). Μετασχηματισμός Joukowski. Θεώρημα Kutta-Joukowski. Θεώρημα Schwarz- Christoffel. Πηγές και δίνες κατά τη σύμμορφη απεικόνιση. Μέθοδος των ειδώλων. Κίνηση συστήματος δινών. Δίνες και κύλινδρος. Πίεση ένεκα κυκλικής δίνης. Δίνη σε πεδίο βαρύτητας. Ελεύθερες γραμμές ροής. Βιβλιογραφία: 1. Milne, L.M. and Thomson, C.B.E. Theoretical Hydrodynamics.

2. Αθανασιάδη, Ν.Α. Μηχανική Ρευστών.

3. Αθανασιάδη, Ν.Α. ΑεροδυναμικήΑεριοδυναμική.

4. Τσαγγάρης, Σ. Μηχανική των Ρευστών.

Θεωρία Ευρώστου Ελέγχου Γραμμικών Αβέβαιων Συστημάτων

Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ.

Διδάσκων: Ορίζεται από ΣΝΜΜ.

Περιεχόμενα: Γενικά περί διανυσμάτων, μιγαδικών μεταβλητών και μιγαδικών συναρτήσεων. Συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί και συζυγείς μιγαδικές συναρτήσεις. Ολόμορφες συναρτήσεις. Εξίσωση Laplace. Αρχή του κατοπτρισμού. Απεικόνιση. Σύμμορφη απεικόνιση. Θεωρήματα Euler, Stokes, Cauchy. Ιδιόμορφα σημεία. Θεώρημα υπολοίπων. Ορισμός των συναρτήσεων Φ, Ψ, W, της μιγαδικής ταχύτητας, της κυκλοφορίας, της συστροφής, της διαχωριστικής γραμμής ροής, του σημείου ανακοπής. Γενικές αρχές της μηχανικής των ρευστών. Δίνες, Πηγές. Θεώρημα του κύκλου. Θεώρημα του Blasius

Ώρες Διδασκαλίας: 4 ώρες/εβδ. (3 θεωρία + 1 ασκήσεις). Περιεχόμενα: Εισαγωγή, προαπαιτούμενες μαθηματικές γνώσεις, το γενικό πρόβλημα του ελέγχου. Ανασκόπηση κλασσικού ελέγχου ανατροφοδοτήσεως: ευστάθεια κλειστού βρόχου, επίδοση κλειστού βρόχου, σχεδίαση ελεγκτών, μορφοποίηση κλειστού βρόχου. Συστήματα ΜΙΜΟ και συναρτήσεις μεταφοράς αυτών, ανάλυση συχνότητας. Πολυμεταβλητά μηδενικά, Πίνακας Σχετικών Κερδών και ευρωστία πολυμεταβλητών συστημάτων. Στοιχεία θεωρίας γραμμικών πολυμεταβλητών

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες συστημάτων: Εσωτερική ευστάθεια, ελεγκτές εξασφαλίζοντες ευστάθεια, νόρμες συστημάτων. Περιορισμοί επίδοσης σε συστήματα SISO: Τέλειος έλεγχος και αντιστροφή εγκατάστασης, Ευαισθησία και Συμπληρωματική Ευαισθησία, ασταθείς πόλοι και μηδενικά, νεκρός χρόνος, μηαιτιατοί ελεγκτές, απαιτήσεις επίδοσης απόκρισης σε σήματα αναφοράς και θορύβου, καθυστέρηση φάσης, αβεβαιότητα. Περιορισμοί επίδοσης σε συστήματα ΜΙΜΟ: Ευαισθησία και Συμπληρωματική Ευαισθησία, ασταθή πόλοι και μηδενικά, νεκρός χρόνος, αβεβαιότητα. Αβεβαιότητα και ευρωστία συστημάτων SISO: παραμετρική αβεβαιότητα, αβεβαιότητα στο πεδίο της συχνότητας, κριτήρια εύρωστης ευστάθειας και επίδοσης για συστήματα SISO. Εύρωστη ευστάθεια και επίδοση πολυμεταβλητών συστημάτων: Γραμμικός Ρητός Μετασχηματισμός, εύρωστη ευστάθεια και επίδοση της δομής Μ-Δ, δομημένη ανώμαλη τιμή (μ), μ-σύνθεση, DK-επανάληψη. Σύνθεση ελεγκτών: Θεωρία βέλτιστου γραμμικού σερβομηχανισμού (LQG regulator), αλγεβρική και διαφορική εξίσωση Ricatti. Έλεγχος Η2 και Η∞. Η∞ μορφοποίηση κλειστού βρόχου. Στοιχεία σχεδίασης δομής ελεγκτή. Μείωση μοντέλου: Αποκοπή, ισορροπημένες πραγματοποιήσεις, ισορροπημένη αποκοπή, βέλτιστη προσέγγιση κατά νόρμα Hankel. Πρακτικά παραδείγματα με ηλεκτρικά, μηχανικά, ηλεκτρομηχανικά, ηλεκτροϋδραυλικά συστήματα και ναυτικά/αεροδιαστημικά οχήματα.

Βιβλιογραφία: 1. Dullerud, G.E. and Paganini, F. (2005).

A Course in Robust Control Theory.

Springer.

2. Skogestad, S. and Postlethwaite, I. (2005). Multivariable Feedback Control: Analysis and Design. WileyInterscience.

3. Zhou, K., Doyle, J.C. (1997). Essentials of Robust Control. Prentice Hall.

Στοιχεία Θεωρίας Εκτίμησης Σημάτων, Ταυτοποίησης Συστημάτων και Προσαρμοστικού Ελέγχου Διδάσκων: Ορίζεται από ΣΝΜΜ. Ώρες Διδασκαλίας: 5 ώρες/εβδ.

(4 θεωρία +1 ασκήσεις) Περιεχόμενα: Ανασκόπηση θεωρίας γραμμικών συστημάτων και στοχαστικών ανελίξεων με έμφαση στο διακριτό χρόνο. Μετασχηματισμοί Ζ, Laplace και Fourier. Μοντελοποίηση συστημάτων: Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων, αποσύνθεση ανώμαλων τιμών. Παραμετρική εκτίμηση σημάτων και ταυτοποίηση συστημάτων. Προσέγγιση Pade, μέθοδος Prony. Εκτίμηση στοχαστικών σημάτων, μοντέλα ARMA, αναδρομή Levinson-Durbin. Χρονικά αμετάβλητα φίλτρα: φίλτρο Wiener, FIR και ΙΙR, ιδανικό και αιτιατό. Γραμμικός προβλέπτης, αποσυνέλιξη. Φίλτρο Kalman, επέκταση φίλτρου Kalman. Μη παραμετρική εκτίμηση φάσματος: περιοδόγραμμα με και χωρίς παράθυρο, μέθοδοι Bartlett, Welch, Blackman-Tukey, ελάχιστης μεταβλητότητας,

37

μεγίστης εντροπίας. Παραμετρική εκτίμηση φάσματος: μοντέλα AR, εξισώσεις Yule-Walker, μέθοδοι Burg, κριτήριο Akaike, φειδωλή τάξη. Χρήση φίλτρων MA και ARMA και αρμονικών μεθόδων στην παραμετρική εκτίμηση φάσματος. Προσαρμοζόμενα φίλτρα FIR: προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων ως βέλτιστη λύση Wiener, αναδρομικά ελάχιστα τετράγωνα, ο αναδρομικός αλγόριθμος ελαχίστων τετραγώνων ως φίλτρο Kalman. Προσαρμοζόμενα φίλτρα στο πεδίο της συχνότητας. Προσαρμοζόμενα φίλτρα Volterra: Εισαγωγή στη μοντελοποίηση και ταυτοποίηση μη-γραμμικών συστημάτων με χρήση της θεωρίας Volterra, ανάπτυγμα σε σειρά Volterra. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων και αναδρομικός αλγόριθμος ελαχίστων τετραγώνων για δευτεροτάξια, προσαρμοζόμενα φίλτρα Volterra. Προσαρμοστικός έλεγχος αναφοράς σε πρότυπο: Μέθοδος κλίσης, εκτίμηση ελαχίστων τετραγώνων, θεωρία ευστάθειας Lyapunov. Αυτοσυντονιζόμενος έλεγχος με έμφαση στον έλεγχο PID. Μοντέρνα προσαρμοζόμενα συστήματα: 1) Νευρωνικά δίκτυα: Μηχανή Perceptron πολλών βαθμίδων, εκπαίδευση νευρωνικών δικτύων, μέθοδος όπισθεν διάδοσης, αποτύπωση συναρτήσεων.

2) Ασαφή συστήματα: Ασαφής λογική και σύνολα, συστήματα ασαφούς ελέγχου.

3) Γενετικοί αλγόριθμοι: τελεστές γενετικών αλγορίθμων, γενετικός προγραμματισμός. Πρακτικά παραδείγματα σε τηλεπικοινωνιακά συστήματα (εξισορρόπηση διαύλου, απαλοιφή ηχούς και διαφωνίας), ακουστικές και υδροακουστικές εφαρμογές, εντοπισμός, πλοήγηση και έλεγχος ναυτικών/ αεροδιαστημικών οχημάτων, προγνωστικήδιαγνωστική βλαβών μηχανημάτων.

38

Βιβλιογραφία: 1. Astrom, K.J. and Wittenmark, B. (1994).

Adaptive Control. Addison-Wesley.

2. Ιοannou P. and Sun, J. (1996). Robust Adaptive Control. Prentice Hall.

3. Lennart Ljung (1999). System Identification-Theory for the User. PTR Prentice Hall, N.J. 4. Manolakis, D.G., Ingle, V.K. and Kogon, S.M. (2000). Statistical and Adaptive Signal Processing: Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering and Array Processing. McGraw-Hill.

Στοχαστική Προτυποποίηση Μακροσκοπικών Φαινομένων & Διαδικασιών Διδάσκοντες: Γεράσιμος Αθανασούλης, Π. Γαβριλιάδης, ΣΝΜΜ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Προαπαιτούμενα: Θεωρία Πιθανοτήτων, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, Μελέτη και παρουσίαση θεμάτων σχετικών με τα ζητήματα που θα αναπτυχθούν στο μάθημα, και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Φαινομενολογία: Περιβαλλοντικά φαινόμενα στα οποία υπεισέρχεται τυχαιότητα: Άνεμος (τυρβώδης ροή). Θαλάσσιοι κυματισμοί. Σεισμικά κύματα. Γρήγορες και αργές κλίμακες χώρου-χρόνου. Τυχαιότητα στις αργές

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες κλίμακες. Κλιματικές μεταβολές, Σεισμική δραστηριότητα. Μαθηματική προτυποποίηση: Ντετερμινιστικά και στοχαστικά πειράματα. Στοχαστικές μεταβλητές, στοχαστικές συναρτήσεις, στοχαστικά πεδία. Στοχαστικές διαδικασίες δευτέρας τάξεως. Κανονικές στοχαστικές διαδικασίες. Μέσος τετραγωνικός λογισμός (διαφόριση, ολοκλήρωση). Εργοδικότητα κατά μέση τετραγωνική έννοια. Διαδικασίες ανεξαρτήτων προσαυξήσεων. Φασματική αναπαράσταση στοχαστικών διαδικασιών δευτέρας τάξεως. Πηγές στοχαστικότητας στα μαθηματικά πρότυπα μακροσκοπικών φυσικών φαινομένων. Στοχαστικές αρχικές συνθήκες. Στοχαστική διέγερση. Στοχαστικοί συντελεστές. Εισαγωγή στις στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ). Αναλυτικές ιδιότητες δειγματικών συναρτήσεων. Προβλήματα τομών και μεγίστων τιμών. Διαδικασίες Markov. Εξισώσεις Master. Εξισώσεις Fokker-Planck και Langevin. Εξισώσεις και διαδικασίες διάχυσης. Ασταθή συστήματα. Διακυμάνσεις σε συνεχή συστήματα. Στατιστική των αλμάτων σε απλά και μη γραμμικά συστήματα. Εφαρμογές: Στοχαστική δυναμική. Στοχαστικά κύματα. Στοχαστική μοντελοποίηση της τύρβης και των θαλάσσιων κυματισμών. Στοχαστικά μοντέλα σεισμικής φόρτισης. Στοχαστική μοντελοποίηση σε δύο κλίμακες (αργή και γρήγορη).

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Βιβλιογραφία: 1. Grigoriu, M. (2000). Stochastic Mechanics. Intern. J. Solids and Stuctures.

2. Grigoriu, M. (1995). Applied NonGaussian Processes: Examples, Theory,

13.

Simulation, Linear Random Vibration, and MATLAB Solutions. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ. Adler, R.J., Mueller, P. and Rozovskii, B. (1996). Stochastic Modelling in Physical Oceanography. Birkauser Boston.

Solnes, J. (1997). Stochastic Processes and Random Vibrations. John Wiley & Sons.

Lin, Y.K. and Cai, G.Q. (1995). Probabilistic Structural Dynamics. McGrawHill.

Sobczyk, K. (1991). Stochastic Differential Equations. Kluwer Academic Publishers. 1991.

Klyatskin, V.I. (1985). Ondes et Equations Stochastiques dans les Milieux Aleatoirement non Homogenes. Editions de Physique (CNRS).

Stanisic, M.M. (1992). The Mathematical Theory of Turbulence. Springer Verlag.

Pugachev, V.S. and Sinitsyn, I.N. (1987). Stochastic Differential Systems.

John Wiley & Sons.

Yaglom, A.M. (1987). Correlation Theory of Stationary and Related Random Functions. Vol. I: Basic Results, Vol. II: Supplementary Notes and References. Springer-Verlag, Berlin.

Loeve, M. (1978). Probability Theory.

Springer-Verlag, New York.

Cramer, H. and Leadbetter, M.R. (1967). Stationary and Related Stochastic Processes. John Wiley and Sons Inc., New York.

Monin, A.S. and Yaglom, A.M., (1971).

Statistical Fuid Mechanics: Mechanics of Turbulence. Vol. 1. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες 14. Monin, A.S. and Yaglom, A.M. (1975).

Statistical Fluid Mechanics: Mechanics of Turbulence. Vol. 2. The MIT Press, Cambridge.

Κυματιδιακή Ανάλυση Χρόνου Συχνότητας και Εφαρμογές Διδάσκων: Γεράσιμος Αθανασούλης ΣΝΜΜ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Προαπαιτούμενα: Συναρτησιακή Ανάλυση (προπτυχιακό ή μεταπτυχιακό). Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, Μελέτη και παρουσίαση θεμάτων σχετικών με τα ζητήματα που θα αναπτυχθούν στο μάθημα, και γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Χώροι Hilbert: Παραδείγματα, βέλτιστη προσέγγιση, θεώρημα προβολής, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz. Ορθοκανονικά συστήματα, ορθοκανονικές βάσεις και παραδείγματα (πολυώνυμα Legendre, Hermite και Laguerre, το τριγωνομετρικό σύστημα, ορθοκανονικά συστήματα των Rademacher, Walsh και Haar). Θεώρημα Riesz-Fischer και χαρακτηρισμός των ορθοκανονικών βάσεων. Διορθογώνια συστήματα. Θεωρία πλαισίων (Frame theory), δυϊκά πλαίσια, αντιστροφή. Σειρές Fourier: Λήμμα των Riemann- Lebesgue, πυρήνες αθροιστικότητας των Dirichlet, Fejér και Poisson. Σημειακή σύγκλιση σειρών Fourier (θεωρήματα των Fejér, Fejér-Lebesgue και Dirichlet-Jordan). Φαινόμενο Gibbs και εφαρμογές.

Μετασχηματισμός Fourier: Μετασχηματισμός Fourier στον L1(IR) μετασχηματισμός συνέλιξης δύο συναρτήσεων, ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier. Μετασχηματισμός Fourier στον L2(IR):, θεωρήματα Plancherel και Shannon. Τοπικός (windowed) μετασχηματισμός Fourier (μετασχηματισμός Gabor). Θεώρημα αντιστροφής. Εισαγωγή στην κυματιδιακή ανάλυση (wavelets): Ο συνεχής μετασχηματισμός wavelet, θεώρημα αντιστροφής. Παραδείγματα κυματιδίων (Haar, Meyer, Mexican hat, Morlet). Ορθογώνια και μη ορθογώνια wavelets. Λειότητα, συμμετρία. Διακριτός μετασχηματισμός wavelet. Πολυδιακριτική ανάλυση (multiresolution analysis). Ταχύς μετασχηματισμός wavelet (FWT, αλγόριθμος του Mallat). Παραγώγιση και wavelets. Εφαρμογές στην ανάλυση σήματος. Εφαρμογές στην επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. Βιβλιογραφία: 1. Addison, P.S. (2002). The Illustrated Wavelet Transform Handbook. Institute of Physics Publishing. Bristol and Philadelphia.

2. Bachman, G., Narici, L. and Beckenstein, E. (2000). Fourier and Wavelet Analysis. Springer-Verlag, New York.

3. Benedetto, J. and Frazier, M. (1994).

Wavelets: Mathematics and Applications. CRC Press.

4. Daubechies, I. (1992). Ten Lectures on Wavelets. SIAM Press. Philadelphia PA. 5. Mallat, S. A Wavelet Tour of Signal Processing. Academic Press, 1998.

39

6. Louis, A.K., Maaß, P., Rieder, A.: “Wavelets: Theory and Applications”, John Wiley & Sons, West Sussex, 1997.

7. Meyer, Y. (1992). Wavelets and Operators. Cambridge University Press.

8. Resnikoff, H. and Wells, R. (1998).

Wavelet Analysis: The Scalable Structure of Information. Springer-Verlag, New York.

9. Strang, G. and Nguyen, T. Wavelets and Filter Banks. Wellesley MA: Cambridge University Press, 1996.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

8.3. Ροή Β: Υπολογιστικά Μαθηματικά Αριθμητικές Μέθοδοι Συνήθων και Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (α) Προβλήματα Αρχικών και Συνοριακών Τιμών Διδάσκοντες: Ίων Χρυσοβέργης ΣΕΜΦΕ, Σ. Βουτσινάς ΣΜΜ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: 0.5xΒαθμό τελικής γραπτής εξέτασης 1ου Μέρους + 0.5xΒαθμό τελικής γραπτής εξέτασης 2ου μέρους. Περιεχόμενα: Μέρος Α. ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Εισαγωγικά: Εισαγωγή στις διαφορικές εξισώσεις. Διαφορικά συστήματα. Ύπαρξη και μοναδικότητα των λύσεων. Πρόβλημα αρχικών τιμών 1ης τάξης. Πρόβλημα αρχικών τιμών ανώτερης τάξης. Θεωρία διαφορών. Εξισώσεις διαφορών. Αριθμητικές μέθοδοι. Σφάλματα των αριθμητικών μεθόδων. Μονοβηματικές Μέθοδοι: Γενικές μέθοδοι απλού βήματος. Μέθοδος σειράς Taylor. Μέθοδοι Runge-Kutta. Τοπικό σφάλμα αποκοπής των μεθόδων Taylor και RungeKutta. Ανάπτυξη των μεθόδων Runge-Kutta. Μέθοδοι 3ης και 4ης τάξης. Μέθοδοι ανώτερης τάξης. Εκτίμηση σφάλματος.

Έλεγχος του βήματος ολοκλήρωσης. Συνεχείς μέθοδοι. Κατασκευή συνεχών μεθόδων. Ευστάθεια αριθμητικών μεθόδων. Απόλυτη ευστάθεια. Άκαμπτα προβλήματα. Πολυβηματικές Μέθοδοι: Εισαγωγή στις πολυβηματικές μεθόδους. Επιλογή των παραμέτρων. Μέθοδοι ΠρόβλεψηςΔιόρθωσης. Εκτίμηση σφάλματος. Μέθοδοι τύπου Adams-Bashforth. Μέθοδοι τύπου Adams-Moulton. Ευστάθεια πολυβηματικών μεθόδων. Μηδενική ευστάθεια. Θεωρία ασθενούς ευστάθειας. Ιδιότητες ευστάθειας μερικών μεθόδων. Ευστάθεια μεθόδων Πρόβλεψης-Διόρθωσης. Μέθοδοι για άκαμπτα προβλήματα. Διαφορικές Εξισώσεις 2ης τάξης: Εισαγωγή. Προβλήματα 2ης τάξης. Μέθοδοι RungeKutta-Nystrom. Συνεχείς μέθοδοι για μεθόδους Runge-Kutta-Nystrom. Προβλήματα Συνοριακών Τιμών: Εισαγωγή στα συνοριακά προβλήματα. Βασική θεωρία. Προσέγγιση παραγώγων. Μέθοδος σκόπευσης. Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών. Γραμμικά προβλήματα. Μη γραμμικά προβλήματα. Εκτίμηση σφάλματος. Ευστάθεια μεθόδων. Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων. Μέρος Β. ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Προβλήματα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ)- Γενική Μέθοδος Galerkin: Γενική διατύπωση των ΠΣΤ σε ασθενή μορφή. Θεώρημα LaxMilgram. Μέθοδος Galerkin. Εκτίμηση σφάλματος. Μεταβολική μορφή. Μέθοδος Rayleigh-Ritz-Galerkin. Κατανομές. Χώροι Sobolev. Θεωρήματα πυκνότητας, ίχνους, συμπάγειας και εγκλεισμού Sobolev. Τύποι Green. Ανισότητες Poincaré, Friedrichs και Korn. Ελλειπτικά ΠΣΤ. Ύπαρξη και μοναδικότητα. Μεικτές συνοριακές συνθήκες.

41

Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Ελλειπτικά ΠΣΤ: Μονοδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία. Συναρτήσεις βάσης κατά τμήματα πολυωνυμικές. Κυβικές συναρτήσεις Hermite και splines. Πεπερασμένα στοιχεία μεγαλύτερης διάστασης. Συναρτήσεις βάσης κατά στοιχεία πολυωνυμικές. Συναρτήσεις τανυστικά γινόμενα. Κατασκευή καταλλήλων τριγωνισμών. Εκτιμήσεις σφάλματος παρεμβολής και των μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων. Εφαρμογές σε διάφορα προβλήματα της Τεχνολογίας. Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων για Παραβολικά και Υπερβολικά ΠΣΤ: Παραβολικά και υπερβολικά ΠΣΤ. Ύπαρξη και μοναδικότητα. Θ-Μέθοδοι. Μέθοδοι Euler και Crank-Nicolson. Εκτιμήσεις σφάλματος. Μέθοδοι για μη γραμμικά εξελικτικά ΠΣΤ. Εφαρμογές. Συμπλήρωμα: Μέθοδοι Gauss, LU, και Choleski. Επαναληπτικές Μέθοδοι. Τύποι πολλαπλής αριθμητικής ολοκλήρωσης. Βιβλιογραφία: Μέρος Α΄ 1. Butcher, J.C. (1987). The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. Runge-Kutta and General Linear Methods. John Wiley.

2. Dormand, J. (1996). Numerical Methods for Differential Equations. A Computational Approach. CRC Press.

3. Hairer, E., Norsett, S.P. and Wanner, G. (1993). Solving Ordinary Differential Equations. Springer.

4. Iserles, A. (1996). A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations. Cambridge University Press.

42

Μέρος Β΄ 1. Brenner S.C. and Ridgway, S.L. (1996).

The Mathematical Theory of Finite Element Methods. Springer.

2. Ciarlet, P.G. (1978). The Finite Element Method for Elliptic Problems.

North-Holland.

3. Johnson, C. (1987). Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method. Cambridge University Press.

4. Strang G. and Fix, G. (1973). An Analysis of the Finite Element Method.

Wellesley-Cambridge Press. MA Prentice-Hall.

5. Thomee, V. (1997). Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems.

Springer.

6. Zienkiewicz, O.C., and Taylor, R.L. (1991,1994). The Finite Element Method, McGraw-Hill. Vol. 1, Vol. 2.

(β) Πεπερασμένα Στοιχεία, Wavelets, Βελτιστοποίηση και Βέλτιστη Αριθμητική Ολοκλήρωση Διδάσκοντες: Α. Μπακόπουλος, ΣΕΜΦΕ. Περιεχόμενα: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (Πεπερασμένα Στοιχεία και Διαφορές. Ευστάθεια. Βέλτιστα σφάλματα σε χώρους Sobolev και σε χώρους με νόρμα supremum. Ταχύτητες Συγκλίσεως. Συγκριτικά αλγοριθμικά πλεονεκτήματα). Στοιχεία Βέλτιστου Ελέγχου και υπολογιστική τους υλοποίηση. Βέλτιστη Αριθμητική Ολοκλήρωση (επιλεκτικοί

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες τύποι αριθμητικής ολοκλήρωσης σε 1,2 και 3 διαστάσεις. Υπολογισμός κόμβων. Σύγκλιση. Ολοκλήρωση κατά Gauss). Γενικευμένη Ορθογωνιότητα. Συναρτήσεις Spline (καλή προσομοίωση με splines σε αντιπαράθεση με αρνητικά αποτελέσματα γενικών πολυωνυμικών παρεμβολών). Θεώρημα Faber. Αποτελεσματικοί υπολογισμοί).

Wavelets (βασική θεωρία, ψηφιακές εφαρμογές). Φράκταλς (βασική θεωρία, εφαρμογές με υπολογιστή).

Lagrange. Τετραγωνικά συναρτησιακά. Β. Μέθοδοι: Μέθοδοι Χρυσής Τομής, Newton, Κλίσης, Συζυγών Κλίσεων, FrankWolfe, Προβεβλημένης Κλίσης, Ποινών, Κλίσης-Ποινών. Γ. Εφαρμογές στο Βέλτιστο Έλεγχο: Βέλτιστος έλεγχος διαφορικών εξισώσεων. Θεωρία ύπαρξης. Αναγκαίες συνθήκες βελτιστότητας. Διακριτός βέλτιστος έλεγχος. Εφαρμογή αλγορίθμων βελτιστοποίησης.

Βελτιστοποίηση και Εφαρμογές

Διατιθέμενο Λογισμικό: Ι. Χρυσοβέργης, Βιβλιοθήκη Προγραμμάτων Αριθμητικής Ανάλυσης σε FORTRAN, Ι (Βασικές Μέθοδοι Αριθμητικής Ανάλυσης). MATLAB compiler. FORTRAN compiler, με Βιβλιοθήκη Προγραμμάτων IMSL.

Διδάσκοντες: Ι. Χρυσοβέργης, ΣΕΜΦΕ.

Βιβλιογραφία:

Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ.

1. Bazaraa, M.S., Sherali, H.D. and Shetty, C.M. (1993). Nonlinear Programming, Theory and Algorithms. Wiley.

2. Ciarlet, P.G. (1989). Introduction to Numerical Linear Algebra and Optimization. Cambridge University Press.

3. Dennis, J. and Schnabel, R. (1983).

Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations, Prentice-Hall.

4. Lee, E.B. and Markus, L., (1967).

Foundations of Optimal Control Theory.

John Wiley.

5. Luenberger, D.G. (1969). Optimization

by Vector Space Methods. Wiley.

6. Polak, E. (1971). Computational Methods in Optimization - A Unified Approach. Academic Press.

7. Polak, E. (1997). Optimization - Algorithms and Consistent Approximations.

Βιβλιογραφία: Επιλογή κεφαλαίων από την διεθνή βιβλιογραφία και σημειώσεις

Εργασία εξαμήνου: Μελέτη θεωρητικών θεμάτων Αριθμητικής Ανάλυσης. Μελέτη υπολογιστικών θεμάτων Αριθμητικής Ανάλυσης. Ανάπτυξη προγραμμάτων για πολογιστή με τη βοήθεια του διατιθέμενου λογισμικού. Τρόπος εξέτασης και βαθμολογία: Συνυπολογίζονται: Βαθμός τελικής γραπτής εξέτασης και Βαθμός ενδεχόμενης εργασίας εξαμήνου. Περιεχόμενα: Α. Θεωρία: Παράγωγοι Fréchet και κατά κατεύθυνση σε διανυσματικούς χώρους με νόρμα. Κυρτότητα. Ακρότατα. Θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας. Βασικές αναγκαίες και ικανές συνθήκες βελτιστότητας. Θεωρήματα πολλαπλασιαστών Lagrange και Kuhn-Tucker-

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Springer.

8. Warga, J. (1972). Optimal Control of Differential and Functional Equations.

Academic Press.

9. Χρυσοβέργης, Ι. (2005). Βελτιστοποίηση, Σημειώσεις. ΣΕΜΦΕ.

Απεικόνιση Γραφημάτων Διδάσκων: Α. Συμβώνης, ΣΕΜΦΕ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ.

γραφημάτων. Δυναμική απεικόνιση γραφημάτων. Πακέτα λογισμικού. Βιβλιογραφία: 1. Di Battista G., Eades P., Tamassia R. and Tollis I., (1999). Graph Drawings - Algorithms for the Visualization of Graphs. Prentice Hall, 1999.

2. Kaufmann M. and Wagner D. (Eds.) (2001). Drawing Graphs - Methods and Models. Lecture Notes in Computer Science 2025. Springer.

Προαπαιτούμενα: Προγραμματισμός, Ανάλυση και Σχεδίαση Αλγορίθμων (προπτυχιακά).

Γεωμετρική ΠροσομοίωσηΚαμπύλες-Επιφάνειες

Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

Διδάσκων: Β. Βλασσόπουλος, ΣΕΜΦΕ.

Περιεχόμενα: Η απεικόνιση σύνθετων δομών είναι ένα βασικό συστατικό εργαλείων που χρησιμοποιούνται σε πολλές επιστημονικές και βιομηχανικές εφαρμογές. Ένα γράφημα είναι μια αφηρημένη δομή που χρησιμοποιείται για την μοντελοποίηση πληροφοριών. Έτσι πολλά πληροφοριακά συστήματα απαιτούν την απεικόνιση γραφημάτων με τέτοιο τρόπο ώστε να διευκολύνεται η ανάγνωση και η ερμηνεία τους. Στο μάθημα αυτό περιγράφονται εναλλακτικοί τρόποι απεικόνισης γραφημάτων καθώς και αλγόριθμοι για την αυτόματη παραγωγή απεικονίσεων. Απεικόνιση γραφημάτων και εφαρμογές. Απεικόνιση επιπέδων γραφημάτων. Απεικόνιση δένδρων και Series-Parallel γραφημάτων. Απεικόνιση βασιζόμενη σε νόμους της φυσικής. Ιεραρχική απεικόνιση γραφημάτων. Ορθογώνια απεικόνιση γραφημάτων. Τρισδιάστατη απεικόνιση

Προαπαιτούμενα: Αναλυτική Γεωμετρία και η Διαφορική Γεωμετρία που διδάσκεται στο Μάθημα «Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών» των πρώτων εξαμήνων. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση εργαστηριακών ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: 1. Πολυωνυμικές Παραμετρικές (Π.Π.) Καμπύλες και Επιφάνειες. Αλλαγή της βάσεως των πολυωνύμων ώστε οι συντελεστές των (Π.Π.) καμπύλων και (Π.Π.) επιφανειών να έχουν γεωμετρική έννοια. Στοιχεία Διαφορικής Γεωμετρίας για σύνθετες (Π.Π.) καμπύλες και (Π.Π.) επιφάνειες. Μελέτη των καμπύλων splines.

2. Καμπύλες και επιφάνειες Bézier (Βιομηχανία αυτοκινήτων Renault). Σημεία ελέγχου και πολυγωνική γραμμή ελέγχου. Ο γεωμετρικός αλγόριθμος του de Casteljau (Βιομηχανία αυτοκινήτων Citroen) για

43

τον υπολογισμό σημείου μιας καμπύλης (αντίστοιχα επιφάνειας). Ιδιότητες των καμπύλων και επιφανειών Bézier. Ρητές πολυωνυμικές παραμετρικές (Ρ.Π.Π.) Καμπύλες και Επιφάνειες.

3. Καμπύλες και επιφάνειες B-spline. Σημεία ελέγχου και πολυγωνική γραμμή ελέγχου Ο γεωμετρικός αλγόριθμος των Cox και de Boor για τον υπολογισμό σημείου μιάς καμπύλης (αντίστοιχα επιφάνειας) B-spline. Ιδιότητες των καμπύλων και επιφανειών B-spline. Ρητές πολυωνυμικές παραμετρικές (Ρ.Π.Π.) Καμπύλες και Επιφάνειες (NURBS).

4. Παραμετρική επιφάνεια ορισμένη πάνω σε τριγωνικά χωρία και o γεωμετρικός αλγόριθμος του de Casteljau για τον υπολογισμό σημείου της. Οι επιφάνειες Coons και οι ιδιότητές τους. Τομές καμπύλων και τομές επιφανειών. Μέθοδοι ορατότητας σκίασης και ανάκλασης. Παρατηρήσεις: Πριν από πενήντα χρόνια άρχισαν να πιστεύουν ότι η καλύτερη περιγραφή ενός σχήματος (επιφάνειας) στο χώρο συμβατή με τον υπολογιστή θα ήταν αυτή με την βοήθεια των παραμετρικών επιφανειών. Η θεωρία των παραμετρικών επιφανειών από την σκοπιά της Διαφορικής Γεωμετρίας ήταν γνωστή. Η χρησιμότητα τους όμως σε ένα Computer Aided Design (CAD) σύστημα δεν ήταν γνωστή. Οι έρευνες για την χρήση των παραμετρικών καμπύλων και επιφανειών μπορούν να θεωρηθούν η αιτία της δημιουργίας του επιστημονικού κλάδου Computer Aided Geometric Design (CAGD).Οι καμπύλες Bézier παρουσιάζουν την πιο μεγάλη αριθμητική ευστάθεια από τις πολυωνιμικές παραμετρικές καμπύλες με άλλη πολυωνυ-μική βάση που χρησιμοποιούνται στα CAD συστήματα.

44

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Βιβλιογραφία:

αλγόριθμοι. Παράλληλοι υπολογισμοί.

1. Farin (2002). Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design.

Morgan Kaufmann.

2. Gallier (2001). Geometric Methods and Applications: for Computer Science and Engineering. Springer.

3. Hoschek and Lasser (1993). Fundamentals of Computer Aided Geometric Design.

A.K. Peters.

4. Pottmann and Wallner (2001). Computational Line Geometry. Springer.

5. Prautzsch, Boehm and Paluszny (2002).

Bezier and B-Spline Techniques.

Springer.

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Θέματα: Σχέσεις μεταξύ κλάσεων πολυπλοκότητας. Ιεραρχίες, Αναγωγές και Πληρότητα, ΝΡ-πλήρη προβλήματα, Co-NP και κλάσεις συναρτήσεων. Το πρόβλημα του ελέγχου αν ένας αριθμός είναι πρώτος, Πιθανοτικοί υπολογισμοί και πολυπλοκότητα κυκλωμάτων, Κρυπτογραφία. Μονόδρομες συναρτήσεις. Πρωτόκολλα, Προσεγγισιμότητα και μη προσεγγισιμότητα, P vs. NP. Ισομορφισμός, μαντεία, μονότονα κυκλώματα, Παράλληλοι υπολογισμοί. Μοντέλα. Κλάσεις NC και RNC. Λογαριθμικός χώρος. Το πρόβλημα LBA. Εναλλαξιμότητα. Η πολυωνυμική ιεραρχία. Προβλήματα βελτιστοποίησης. Μετρητικές κλάσεις. #P και ⨁P. Πολυωνυμικός χώρος. Παιχνίδια και διαλογικά πρωτόκολλα, Εκθετικός χρόνος κ.α.

Διδάσκοντες: Ε. Ζάχος, ΣΗΜΜΥ.

Βιβλιογραφία:

Προαπαιτούμενα: Μαθήματα σε Λογική, Θεωρία Υπολογισιμότητας και Αλγόριθμους και Πολυπλοκότητα.

1. Bovet, Η. and Crescenzi, P. (1994).

Introduction to the Theory of Complexity.

Prentice Hall.

2. Garey M.R. and Johnson, D.S. (1979).

Computers and Intractability - A guide to the theory of NP-completeness.

3. Hemaspaandra L.A. and Ogihara, M. (2002). The Complexity Theory Companion. Springer.

4. Homer S. and Selman, A.L. (2001).

Computability and Complexity Theory.

Springer.

5. Papadimitriou, C.H. (1994). Computational Complexity. Addison Wesley Freeman.

Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Ορίζονται διάφορες κλάσεις πολυπλοκότητας με βάση τις ακόλουθες παραμέτρους: α) Το υπολογιστικό μοντέλο (προγράμματα σε γλώσσα υψηλής βαθμίδος, μηχανές Turing κτλ.). β) Τον τρόπο υπολογισμού (ντερμινιστικό, μη ντετερμινιστικό, πιθανοτικό κτλ.). γ) Τον περιορισμό των πόρων (πολυωνυμικός χρόνος, λογαριθμικός χώρος, σταθερός αριθμός επεξεργαστών, κτλ.). Μελέτη κλάσεων πολυπλοκότητας και των μεταξύ τους σχέσεων. Προσεγγιστικοί

Ειδικά Θέματα Πληροφορικής (α1) Θεωρητική Πληροφορική ΙΙ: Παράλληλοι Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διδάσκων: Ε. Ζαχος, ΣΗΜΜΥ. Προαπαιτούμενα: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Μελέτη διάφορων παράλληλων αλγορίθμων και της πολυπλοκότητάς τους. Σχεδιασμός, αναγνώριση, ανάλυση, αξιολόγηση αποδοτικότητας, σύγκριση και ταξινόμηση διάφορων παράλληλων αλγορίθμων. Η τεχνική της απόδειξης κάτω φράγματος για την πολυπλοκότητα επίλυσης προβλημάτων με παράλληλες μεθόδους. Τοπολογίες παράλληλων αλγορίθμων: πίνακες, δέντρα, meshes of trees, hypercubes. Κλάσεις πολυπλοκότητας NC, κ.λ.π. Επίσης εφαρμογές παράλληλων μεθόδων σε διάφορα προβλήματα: 1) Ταξινόμηση.

2) Αριθμητικές πράξεις. 3) Πράξεις σε πίνακες. 4) Γραφοθεωρητικά προβλήματα.

5) Packet Routing. Βιβλιογραφία: 1. Leighton, F.T. (1992). Introduction to Parallel Algorithms and Architectures: Arrays, Trees, Hypercubes. Morgan Kaufman Publishers, San Mateo, Californiα.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες 2. Miller R. and Boxer, L. (2000). Algorithms Sequential and Parallel: A Unified Apprach. Prentice-Hall.

3. Parberry, I. (1987). Parallel Complexity Theory, Research Notes in Theoretical Computer Science, R.V. Book (Ed.). John Wiley and Sons. New York.

4. Quinn, M.J. (1987). Desingning Efficient Algorithms for Parallel Computers.

McGraw-Hill.

(α2) Θεωρητική Πληροφορική ΙΙ: Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Ζαχος, ΣΗΜΜΥ. Προαπαιτούμενα: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Η ύλη ανανεώνεται περιοδικά.

(β) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Διδάσκοντες: Α. Παγουρτζής, Ε. Ζαχος, ΣΗΜΜΥ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Προαπαιτούμενα: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Το αντικείμενο του μαθήματος είναι η θεωρητική μελέτη υπολογιστικών προβλημάτων που σχετίζονται με δίκτυα,

κυρίως υπολογιστών και επικοινωνιών. Θα καλυφθούν τα εξής θέματα: Υπολογιστική πολυπλοκότητα και προσεγγισιμότητα γραφοθεωρητικών προβλημάτων που περιγράφουν προβλήματα δικτύων: Vertex Cover, Traveling Salesman Problem, Steiner tree, Maximum Flow, Maximum Edge-Disjoint Paths, Facility Location, Clustering. Οπτικά δίκτυα: δρομολόγηση και ανάθεση συχνοτήτων, δίκτυα πολλαπλών ινών. Πρωτόκολλα επικοινωνίας σε ασύρματα/μεταβαλλόμενα δίκτυα. Παράλληλοι/κατανεμημένοι υπολογισμoί με χρήση μηνυμάτων (message passsing). Το μοντέλο BSP. Πρωτόκολλα δρομολόγησης TCP/IP και BGP. Εγωιστική δρομολόγηση, “κόστος της αναρχίας”, ισορροπίες Nash, ηλεκτρονικές δημοπρασίες. Εξερεύνηση γράφων, αλγόριθμοι πλοήγησης, προγραμματισμός δρομολογίων οχημάτων. Βιβλιογραφία: 1. Ahuja, R.K., Magnanti, T.L. and Orlin, J.B. Network flows. Theory, Algorithms, and Applications. Prentice-Hall.

2. Cormen, T.H., Leiserson, C.E., Rivest, R.L. and Stein, C. (2001). Introduction to Algorithms. The MIT Press.

3. Hochbaum, D.S. (1997). Approximation Algorithms for NP-Hard Problems. PWS Publishing Company.

4. Tarjan, R.E. (1983). Data Structures and Network Algorithms. SIAM. 5. Vazirani, V. (2001). Approximation Algorithms. Springer.

45

(γ1) Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Διδάσκοντες: Ε. Ζαχος, Α. Παγουρτζής, ΣΗΜΜΥ. Προαπαιτούμενα: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Εισαγωγή στην Αριθμοθεωρία: Αριθμητική modulo n, Διακριτοί Λογάριθμοι. Αλγόριθμοι αναγνωρίσεως πρώτων αριθμών, παραγοντοποίηση. Κλασσική κρυπτογραφία, DES. Κρυπτογραφία με δημόσια κλειδιά, RSA, PGP. Αλγεβρική θεωρία κωδικοποίησης. Ψηφιακές Υπογραφές. Ψηφιακή χρονική πιστοποίηση. Πιθανοτική κρυπτογράφηση. Διαλογικά συστήματα αποδείξεων μηδενικής γνώσης. Ασφάλεια συστημάτων κρυπτογράφησης. Πιθανοτικά συστήματα ελέγχου αποδείξεων. Βιβλιογραφία: 1. Menezes, A.J., van Oorschot P.C. and Vanstone, S.A. (1996). Handbook of Applied Cryptography. CRC Press.

2. Stinson, D.R. (1995). Cryptography: Theory and Practice. CRC Press.

(γ2) Προχωρημένες Δομές Δεδομένων Διδάσκοντες: Ε. Ζαχος, Α. Παγουρτζής, ΣΗΜΜΥ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

46

Περιεχόμενα: Βασικές δομές δεδομένων εξωτερικής μνήμης: B+-tree, Linear Hashing, Extensible Hashing. Χωρικές δομές δεδομένων εξωτερικής μνήμης: R-tree, R+-tree, R*-tree, Grid file. Βασικές δομές δεδομένων κύριας μνήμης: splay trees, γεωμετρικές δομές (kd-trees, Quadtrees, Range trees, Interval trees), Priority R-trees. Πιθανοκρατικές δομές δεδομένων και αλγόριθμοι. Εμφυτεύσεις (embeddings). Δομές δεδομένων για ταίριασμα συμβολοσειρών: suffix trees, Tries, Patricia trees. Γράφοι: διαμερίσεις (treewidth, pathwidth, cliquewidth), δυναμικοί γράφοι, small world graphs, γράφος διαδικτύου, αλγόριθμος PageRank. Δομές δεδομένων για εξόρυξη δεδομένων και μηχανική μάθηση: κανόνες συσχέτισης (association rules), ομαδοποίηση (clustering), κατηγοριοποίηση (classification). Βιβλιογραφία: 1. Cormen, T., Leiserson, C., Rivest R. and Stein, C. (2001). Introduction to Algorithms. MIT Press.

2. de Berg, M., van Kreveld, M., Overmars M.H. and Schwarzkopf, O. (2000). Computational Geometry, Algorithms and Applications. Springer Verlag.

3. Electronic notes available at: • www.theory.csail.mit.edu/classes/6.897/spring05 • www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15859-f05/www • www.cs.bu.edu/faculty/gkollios/ ada05/lectnotes.html

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

(δ) Υπολογιστική Γεωμετρία Διδάσκων: Ε. Ζαχος, ΣΗΜΜΥ. Προαπαιτούμενα: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Ιστορική αναδρομή και αναφορά σε στοιχεία κλασικής γεωμετρίας. Βασικές έννοιες: αλγόριθμοι, δομές δεδομένων, μοντέλα υπολογισμού και πολυπλοκότητα. Αλγόριθμοι ελέγχου διαφόρων ιδιοτήτων σχημάτων (και σωμάτων π.χ. με προβολές) όπως κυρτότητα κ.α. Το πρόβλημα εύρεσης ελάχιστου περιέχοντος κυρτού συνόλου (convex hull). Προβλήματα εγγύτητας (proximity). Τομές γεωμετρικών σχημάτων και σωμάτων. Εφαρμογές αλγορίθμων στην ειδική περίπτωση των παραλληλόγραμμων και εφαρμογές σε σχεδίαση VLSI. Θέματα: Προβλήματα εύρεσης θέσης σημείου. Προβλήματα καταμέτρησης σημείων κάποιας περιοχής. Βασικοί αλγόριθμοι επίλυσης του προβλήματος convex hull. Γενικεύσεις του προβλήματος convex hull και εφαρμογές. Διάφορα προβλήματα εγγύτητας (proximity), όπως εύρεση πλησιέστερου σημείου, ελάχιστο δέντρου σκελετού (minimum spanning tree), τριγωνοποίηση κ.α. Αλγόριθμοι εγγύτητας βασισμένοι σε διαγράμματα Voronoi. Τομές διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων και σωμάτων. Εφαρμογές. Βιβλιογραφία: 1. Ausiello, G., Crescenzi, P., Gambosi, G., Kann, V., Marchetti-Spaccamela, A. and Protasi, M. (1999). Complexity and Ap-

2.

3.

4.

5.

proximation: Combinatorial Optimization Problems and their Approximability Properties. Springer Verlag.

Boissonat, J. and Yvinec, M. (1998).

Algorithmic Geometry. Cambridge University Press.

Hochbaum, D.S. (1997). Approximation Algorithms for NP-hard Problems. PWS Publishing Company.

Preparata, F.P. and Shamos, M.I. (1985). Computational Geometry.

Springer Verlag.

Vazirani, V.V. (2001). Approximation Algorithms. Springer Verlag.

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Διδάσκων: Π. Ψαρράκος, ΣΕΜΦΕ. Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Εισαγωγικά στοιχεία της θεωρίας προσεγγίσεων. Εισαγωγικά στοιχεία γραμμικής άλγεβρας. Συνδυαστικοί αλγόριθμοι. Αλγόριθμοι βασιζόμενοι σε γραμμικό προγραμματισμό. Βιβλιογραφία: 1. Hochbaum, D. (1996). Approximation Algorithms for NP-Hard Problems.

2. Vazirzni, V.V. (2003). Approximation Algorithms. 2003.

3. Papadimitriou, C. (1998). Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Κρυπτογραφία Διδάσκων: Α. Παπαϊωάννου, ΣΕΜΦΕ. Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: 1. Το πρόβλημα της πιστοποίησης πρώτου και της παραγοντοποίησης, κλασικά κριτήρια (Fermat-Euler-τετραγωνικό κόσκινο), νεώτερα κριτήρια: Miller, Rabin-Solovay, Strassen, αλγόριθμοι παραγοντοποίησης του Pollard (p-1, rho), αλγόριθμος AKS. 2. Ελλειπτικές καμπύλες (συνέχεια από το μάθημα του 9ου εξαμήνου), το ανάλογο της ανταλλαγής κλειδιού Diffie-Hellman, το ανάλογο του κρυπτοσυστήματος MasseyOmura, το ανάλογο του κρυπτοσυτήματος Εlgamal.

3. Το κρυπτοσύστημα Rijndael.

4 Μέθοδοι πλέγματος.

5. Ψηφιακές υπογραφές (συνέχεια από μάθημα 9ου εξαμήνου), συναρτήσεις συμπύκνωσης, σχήμα υπογραφής Standard (DSS), υπογραφές μίας χρήσης (one time signature), τυφλές υπογραφές (Blind signature schemes), αδιαμφισβήτητα σχήματα υπογραφής, υπογραφές Fail-stop.

6. Οπτική κρυπτογραφία.

7. Συνδυαστικοί σχεδιασμοί και κρυπτογραφία. Παράρτημα. Παραδείγματα με Mathematica - Maple - MATLAB Βιβλιογραφία: 1. Mao, W. (2004). Modern Cryptography: Theory and Practice. Prentice Hall.

2. Smart, N. (2003). Cryptography.

An Introduction. Mac Graw Hill.

3. Stinson, D. (2002). Cryptography.

Chapman and Hall.

4. Trappe W. and Washinghon, L. (2002).

Cryptography. Person.

5. Ζάχος, Ε. Κρυπτογραφία. Ε.Μ.Π.

6. Κουκουβίνος, Χ. και Παπαϊωάννου, Α. Εισαγωγή στην Κρυπτογραφία. Ε.Μ.Π.

7. Λουλακής, Δ. Κρυπτογραφία. Ζήτης.

Ειδικά Θέματα Λογικής α) Θεωρία Αποδείξεων Διδάσκοντες: Γ. Κολέτσος, ΣΗΜΜΥ, Γ. Σταυρινός, ΜΠΛΑ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Εισαγωγή: Το μάθημα δίνεται στα πλαίσια του Διαπανεπιστημιακού Μεταπτυχιακού Προγράμματος στη Λογική και Θεωρία Αλγορίθμων και Υπολογισμού (ΜΠΛΑ) στο οποίο συμμετέχει η Σχολή Hλεκτρολόγων Mηχανικών και Mηχανικών Yπολογιστών (ΣHMMY) και ο Tομέας Mαθηματικών της Σχολής Eφαρμοσμένων Mαθηματικών και Φυσικών Eπιστημών (ΣEMΦE) του EMΠ, και προσφέρεται στο ΔΠΜΣ «Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες». Πρόκειται για εισαγωγικό μάθημα στη Θεωρία Αποδείξεων με έμφαση στη Δομική Θεωρία Aποδείξεων (δομή των μαθηματικών αποδείξεων, απαλοιφή των τομών και κανονικοποίηση) καθώς και τη σύνδεση που έχει με την πληροφορική (λ-λογισμός με τύπους) μέσω της

47

ισοδυναμίας Curry-Howard. Παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον για τους Μαθηματικούς και τους θεωρητικούς Πληροφορικούς καθώς η μελέτη της απόδειξης ενός μαθηματικού τύπου μπορεί να θεωρηθεί ως μελέτη του προγράμματος υπολογισμού ενός τύπου δεδομένων. Ενδιαφέρει όμως και τους ασχολούμενους με τα θεμέλια των μαθηματικών και την Επιστημολογία αφού το αρχικό έναυσμα της δημιουργίας της θεωρίας αποδείξεων ήταν η προσπάθεια του Hilbert να θεμελιώσει αυστηρά τα Μαθηματικά προσπαθώντας με περατοκρατικές μεθόδους να αποδείξει τη συνέπειά τους. Θα επιδιωχθεί, με εμβόλιμες σεμιναριακές ώρες, η ανάπτυξη και άλλων ζητημάτων σχετιζομένων με τη Θεωρία Αποδείξεων. Μικρό ιστορικό: Η ανακάλυψη, πριν από έναν αιώνα, των αντινομιών στη θεωρία συνόλων και η συνακόλουθη αμφιβολία και αβεβαιότητα σε σχέση με τη χρήση αφαιρετικών μεθόδων στα Μαθηματικά οδήγησε τον D. Hilbert στη διατύπωση του περίφημου προγράμματός του: να περισώσει τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται στα κλασικά μαθηματικά αποδεικνύοντας τη συνέπεια των μαθηματικών θεωριών με μεθόδους που έχουν στοιχειώδη συνδυαστικό (περατοκρατικό) χαρακτήρα και ως εκ τούτου διαφανείς και ασφαλείς. Παρ’ όλο που ο K. Goedel απέδειξε με το θεώρημα της μη πληρότητας ότι το πρόγραμμα του Hilbert δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί, σύμφωνα με τον αρχικό του σχεδιασμό, η ιδέα του Hilbert παρέμεινε η κινούσα δύναμη για την ανάπτυξη της θεωρίας αποδείξεων για πολλά χρόνια. Και επειδή αυτό το πρόγραμμα απαιτούσε την αξιωματικοποίηση-τυποποίηση των διαφόρων μαθηματικών θεωριών,

48

αυτό οδήγησε στη μελέτη per se των τυποποιημένων μαθηματικών αποδείξεων. Σήμερα υπάρχουν πολύ περισσότεροι λόγοι για τη μελέτη των αποδείξεων από αυτούς που επιβάλλει το πρόγραμμα Hilbert. Για παράδειγμα, η Aυτόματη Aπόδειξη Θεωρημάτων, μέρος της μελέτης στην Τεχνητή Νοημοσύνη, οδηγεί στη μελέτη των αποδείξεων ως συνδυαστικές δομές. Στο Λογικό Προγραμματισμό οι τυπικές απαγωγές χρησιμοποιούνται στους υπολογισμούς κλπ. Περιεχόμενα: Αποδεικτικά συστήματα: φυσική απαγωγή, συστήματα Hilbert, συστήματα ακολουθητών του Gentzen. Η έννοια της τομής, θεωρήματα απαλοιφής των τομών και εφαρμογές. Κανονικοποίηση και αριθμητικά φράγματα στην απαλοιφή των τομών, δομή των αποδείξεων χωρίς τομές. Ισοδυναμία Curry-Howard-de Bruijn.

Kανονικοποίηση στη φυσική απαγωγή. Αριθμητική του Peano και ανάλυση των αποδείξεων με διατακτικούς αριθμούς. Εισαγωγή στη Γραμμική Λογική. Βιβλιογραφία: 1. Branislav Boricic, (1995). Λογική και Απόδειξη. Εκδ. Ζήτη.

2. Girard, J.Y. (1989). Proofs and Types.

Cambridge Univ. Press.

3. Girard, J.Y. (1987). Proof Theory and Logical Complexity. Bibliopolis.

4. Goubault-Larrecq, J. and Mackie, I. (1997). Proof Theory and Automated Deduction. Kluwer Ac. Publ.

5. Negri, S. and von Plato, J. (2001).

Structural Proof Theory. Cambridge Univ. Press, 2001.

6. Szabo, M.E. (1969). The Collected Papers of G. Gentzen. North Holland.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες 7. Troelstra, A.S. and Schwichtenberg, H. (2000). Basic Proof Τheory. Cambridge Univ. Press.

(γ) λ-Λογισμός

(β) Θεωρία Κατηγοριών και Εφαρμογές

Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

Διδάσκοντες: Γ. Κολέτσος, ΣΗΜΜΥ, Γ. Σταυρινός, ΜΠΛΑ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Bασικές έννοιες της κατηγορίας, του συναρτητή και του φυσικού μετασχηματισμού. Kαθολικές ιδιότητες. Όρια, συνόρια. Kαρτεσιανές κλειστές κατηγορίες. Συζυγίες. Αναδρομικές εξισώσεις. Βιβλιογραφία: 1. Pierce, B.C. (1991). Basic Category Theory for Computer Scientists. MIT Press.

2. Mac Lane, S. (1971). Categories for the Working Mathematician. Spinger Verlag.

3. Asperti, A. and Longo, G. (1991).

Categories, Types, and Structures. MIT Press. (διαθέσιμο σε pdf: -www.math. ntua.gr/logic/categories/) 4. Barr, M. and Wells, C. (1995) Category Theory for Computing Science. Prentice Hall.

Διδάσκοντες: Γ. Κολέτσος, ΣΗΜΜΥ, Γ. Σταυρινός, ΜΠΛΑ.

Περιεχόμενα: Πρόκειται για μάθημα στο λ-λογισμό με κάποια έμφαση σε ζητήματα όπως ο καθαρός λ-λογισμός, τα μαθηματικά μοντέλα του, η συνδυαστική λογική, καθώς και ο λ-λογισμός με τύπους και η σχέση που έχει με τη λογική. Παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον για τους θεωρητικούς Πληροφορικούς και τους Μαθηματικούς καθώς έχει στενή σχέση με τις γλώσσες προγραμματισμού αλλά και για τη σύνδεση που εγκαθιστά μεταξύ της έννοιας του προγράμματος και της έννοιας της λογικής απόδειξης. Θα μπορούσε όμως να ενδιαφέρει και τους ασχολούμενους με τα θεμέλια των Μαθηματικών και την Επιστημολογία αφού αρχικά χρησιμοποιήθηκε για τη λογική θεμελίωση των Μαθηματικών. Καθαρός λ-λογισμός. β-αναγωγή, η-αναγωγή, θεώρημα Church-Rosser. Αναπαράσταση των μερικών αναδρομικών συναρτήσεων στο λ-λογισμό, θεωρήματα σταθερού σημείου, θεώρημα αναποκρισιμότητας Scott-Curry. λ-λογισμός με τύπους. Τυποποίηση των όρων του λ-λογισμού, το σύστημα Coppo-Dezani. Θεωρήματα της κανονικοποίησης, τυποποίηση κανονικοποιήσιμων όρων, πεπερασμένες αναπτύξεις, standard αναγωγή. Θεώρημα του Bοhm, δέντρα του Bohm (αν υπάρχει χρόνος). Συνδυαστική Λογική, ισοδυναμία με λ-λογισμό. Μοντέλα του λ-λογισμού (κατασκευή του μοντέλου D_\infty του Scott). Το σύστημα F του Girard. Ρητές αντικαταστάσεις

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Βιβλιογραφία: 1. Barendregt, H. (1984). The Lambda Calculus. North Holland.

2. Hankin, C. (1994). Lambda Calculi.

Clarendon Press.

3. Hindley, J.R. and Seldin, J.P. (1986).

Introduction to Combinators and λ calculus. Cambridge University Press.

4. Hindley, J.R. (1997). Basic Simple Type Theory. Cambridge University Press.

5. Krivine, J.L. (1990). Lambda - calcul, Types et Modeles. Masson. (Αγγλική μετάφραση: Εllis Horwood, 1993.)

6. Rose, K.H. (1996). Explicit Substitution - Tutorial & Survey. BRICS Lecture Series.

7. Χαρτώνας, Χ. (2000). Λογισμοί λ. Εκδόσεις Ζήτη.

Αλγοριθμικότητα και μη-Πληρότητα: Αλγοριθμικές συναρτήσεις και αλγοριθμικά σύνολα. Η θέση του Church, μηχανές Turing. Κωδικοποίηση, Θεώρημα μη πληρότητας. Βιβλιογραφία: 1. Hamilton, A.G. (1987). Logic for Mathematicians. Cambridge University Press.

2. Mendelson, E. (1964). Introduction to Mathematical Logic. D. Van Nostrand Company.

Εφαρμογές της Άλγεβρας στην Πληροφορική Διδάσκοντες: Γ. Κολέτσος, ΣΗΜΜΥ, Π. Στεφανέας, ΣΕΜΦΕ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

(δ) Μαθηματική Λογική Διδάσκοντες: Α. Αρβανιτάκης, ΣΕΜΦΕ. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Προτασιακός λογισμός: Γλώσσα του προτασιακού λογισμού, Τιμές αλήθειας, λογικά συμπεράσματα. Επάρκεια συνδέσμων. Αξιωματικοποίηση του Προτασιακού λογισμού, Πληρότητα. Κατηγορηματικός λογισμός: Πρωτοβάθμιες γλώσσες. Δομές μοντέλα, αλήθεια. Αξιωματικοποίηση του πρωτοβάθμιου Κατηγορηματικού λογισμού, Πληρότητα.

Προαπαιτούμενα: Εισαγωγικές γνώσεις άλγεβρας και γνώσεις προγραμματισμού.

49

Μαθηματική θεμελίωση: συστήματα εξισωτικής λογικής και αφηρημένη θεωρία μοντέλων. Αλγεβρική σημασιολογία του δηλωτικού προγραμματισμού και αλγεβρικά προγραμματιστικά παραδείγματα. Αλγεβρική σύνθεση προγραμματιστικών παραδειγμάτων. Σαν γλώσσα εφαρμογών και παραδειγμάτων προτυποποίησης θα χρησιμοποιηθεί η CafeOBJ, μια προηγμένη γλώσσα αλγεβρικών προδιαγραφών που αναπτύσσεται στην Ιαπωνία και έχει βρει πολλές εφαρμογές στη βιομηχανία. Βιβλιογραφία: 1. Diaconescu, R. and Futatsugi, K. (1998).

CafeOBJ: The Language, Proof Techniques, and Methodologies for Object Oriented Algebraic Specification.Vol. 6 AMAST series in Computing. World Scientific.

2. Goguen, J.A. and Malcolm, G. (1996).

Algebraic Semantics of Imperative Programs, Foundations of Computing Series. MIT Press.

3. Σειρά ερευνητικών άρθρων και δημοσιεύσεων που θα μοιραστούν στο μάθημα.

Στόχος: Να προσφέρει μια θεωρητική και πρακτική εισαγωγή στη μοντελοποίηση πληροφοριακών συστημάτων μέσω αλγεβρικών προδιαγραφών (algebraic specifications). Πρόκειται για μια μεθοδολογία που αποσκοπεί στο σχεδιασμό αξιόπιστου λογισμικού και ως αντικείμενο ανήκει στην ευρύτερη περιοχή της τεχνολογίας λογισμικού.

Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι

Περιεχόμενα: Εισαγωγή στις εξισωτικές αλγεβρικές προδιαγραφές (equational algebraic specifications) και εφαρμογές στον δομημένο προγραμματισμό (structured programming) και τις προδιαγραφές συστημάτων (systems specifications).

Περιεχόμενα: Ποικίλουν ανάλογα με τον διδάσκοντα.

Διδάσκοντες: Ορίζονται κατά περίπτωση. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

50

Ειδικά Θέματα Αλγορίθμων Διδάσκοντες: Ορίζονται ανά έτος. Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Ποικίλουν ανάλογα με τον διδάσκοντα.

Θέματα Διακριτών Εφαρμοσμένων Μαθηματικών (α) Θεωρία Κόμβων και Εφαρμογές στη Θεωρία Γραφημάτων, στη Φυσική, στη Βιολογία, και στη Χημεία. Διδάσκοντες: Σ. Λαμπροπούλου, ΣΕΜΦΕ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Η έννοια της ισοτοπίας κόμβων, το Θεώρημα Reidemeister, κλασσικές αναλλοίωτες κόμβων. Η θεμελιώδης ομάδα τοπολογικού χώρου και η πρώτη ομάδα ομολογίας. Η θεμελιώδης ομάδα του κύκλου και εφαρμογές στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Αλγεβρας και στο Θεώρημα Brouwer σταθερού σημείου. Η παράσταση Wirtinger για το τοπολογικό συμπλήρωμα κόμβου. Το Θεώρημα van Kampen και εφαρμογή στην κατάταξη επιφανειών και σε θεμελιώδεις ομάδες

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες κόμβων. Η επιφάνεια Seifert και το γένος κόμβου. Ρητές πεδικλώσεις και η ταξινόμησή τους από τους ρητούς αριθμούς. Οι ρητοί κόμβοι, η ταξινόμησή τους (Θεώρημα Schubert), εφαρμογή στην αναδιάταξη του DNA. Το πολυώνυμο Kauffman bracket, το πολυώνυμο Jones, το πολυώνυμο Alexander, το πολυώνυμο HOMFLYPT: συγκρίσεις και ιδιότητες. Κόμβοι και επίπεδα γραφήματα, η ηλεκτρική αγωγιμότητα, σύνδεση με Στατιστική Μηχανική. Κόμβοι και εμφυτευμένα γραφήματα (Θεώρημα Conway-Gordon), εφαρμογές σε πολυμερή. Κόμβοι και κοτσίδες, τα Θεωρήματα Alexander και Markov, άλγεβρες Hecke και το ίχνος Ocneanu. Κατασκευή τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων με χειρουργική σε κόμβους. Η αναλλοίωτη Witten (κατά Lickorish) τρισδιάστατων πολλαπλοτήτων. Βιβλιογραφία: 1. Adams, C.C. The Knot Book. Freeman.

2. Hatcher, A. Algebraic Topology.

Cambridge.

3. Kauffman, L.H. Knots and Physics.

World Scientific.

4. Kawauchi, A. (1996). A Survay of Knot Theory. Birkhäuser.

5. Lickorish, W.B.R. An Introduction to Knot Theory. Springer.

6. Prasolov, V.V. (1997). Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, An Introduction to the New Invariants in Low-Dimensional Topology. AMS. 7. Rolfsen, D. Knots and Links.

Publish or Perish.

β) Ειδικά θέματα Αριθμών και Κρυπτογραφίας Διδάσκοντες: Α. Παπαϊωάννου, ΣΕΜΦΕ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Θεωρία Αριθμών: Ο Εκτεταμένος Αλγόριθμος του Ευκλείδη (Ε.Ε.Α). Το Κινέζικο Θεώρημα Υπολοίπων (Κ.Θ.Υ). Το Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής (Θ.Θ.Α). Η πυκνότητα των πρώτων. Το θεώρημα των πρώτων αριθμών (ΡΝΤ). Άλγεβρα: Κυκλικές ομάδες. Δακτύλιοι και Σώματα. Πεπερασμένα σώματα και γενήτορες τους. Το Θεώρημα του Galois στα πεπερασμένα σώματα (με απόδειξη). Ανάγωγα πολυώνυμα και παραγοντοποίηση. Ρίζες πολυωνύμων. Ρίζες του πολυωνύμου Χ r -1. Ο Αλγόριθμος του Agrawal Kayal Saxena: (ΑΚS). Ντετερμινιτικοί αλγόριθμοι. Η βασική ιδέα του αλγόριθμου A..S. Τα προκαταρκτικά λήμματα. Το κυρίως θεώρημα και η απόδειξη του. Απλή αναφορά σε θέματα complexity του AKS. Βιβλιογραφία: 1. Biggs, N. (1987). Discrete Mathematics.

Oxford.

2. Dietzfelbinger, Μ. (2004). From Randomized Algorithms to Primes is in P. Springer.

3. Shoup, V. (2005). A Computational Introluction to Number Theory and Algebra.

4. Ζάχος, Ε. (2004). Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα. Ε.Μ.Π.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες 5. Ζάχος, Ε. (2004). Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία. Ε.Μ.Π.

6. Κουκουβίνος, X. και Παπαϊωάννου, Α.

(2007). Κρυπτογραφία.

7. Παπαϊωάννου, Α. και Ρασσιάς, Μ.

(2008).Θεωρία Αριθμών. Συμεών.

8. Παπαϊωάννου, Α. και Ραυτοπούλου, Χ. Σημειώσεις του μεταπτυχιακού μαθήματος. Ε.Μ.Π.

9. Πουλάκης, Δ. (2004). Κρυπτογραφία. Ζήτης.

(γ1) Λογισμός Μεταβολών Διδάσκοντες: Γ. Φλέσσας, Παν/μιο Αιγαίου. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Εισαγωγή και απλά προβλήματα του Λογισμού Μεταβολών. Θεμελιώδες πρόβλημα του Λογισμού Μεταβολών. Διαφορική εξίσωση Euler, παραδείγματα. Περισσότερες της μιας εξηρτημένες μεταβλητές (μία ανεξάρτητη μεταβλητή). Eπέκταση για παραγώγους n ≥ 2 .w Μερικές περιπτώσεις επίλυσης της εξισώσεως Euler. Παραμετρική μορφή της εξισώσεως Euler. Προβλήματα εφοδιασμένα με περιορισμούς. Eπί πλέον συνθήκες για τα ακρότατα. Eπέκταση για συναρτήσεις περισσοτέρων μεταβλητών. Συνοριακές συνθήκες. Eιδικές περιπτώσεις συναρτησιοειδών. Μεταβλητές περιοχές. Το Θεώρημα Noether.

(γ2) Λογισμός Μεταβολών ΙΙ Διδάσκοντες: Γ. Φλέσσας, Παν/μιο Αιγαίου. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Περαιτέρω προβλήματα και εφαρμογές του Λογισμού Μεταβολών. Ταυτοτικός μηδενισμός της εξίσωσης Euler-Lagrange. Πεπερασμένες Συνθήκες. Αναλλοίωτος χαρακτήρας της εξίσωσης Euler-Lagrange. Λογισμός Μεταβολών και οι εξισώσεις της Μαθηματικής Φυσικής.

Μέθοδοι Αιτιοκρατικής και Στοχαστικής Βελτιστοποίησης και Εφαρμογές Διδάσκων: Κ. Γιαννάκογλου, ΣΜΜ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Η βελτιστοποίηση ως βασική ανάγκη σε πραγματικά προβλήματα (μηχανικού) - ανάγκες σε μεθόδους και λογισμικό, δυνατότητες και περιορισμοί. Το ευθύ και το αντίστροφο πρόβλημα. Σημασία, στόχοι, αντικειμενικές συναρτήσεις και επιδιώξεις. Προβλήματα βέλτιστης σχεδίασης μορφών (shape optimization). Θέματα παραμετροποίησης μορφών. Επίδειξη πραγματικών εφαρμογών και συζήτηση. Αριθμητική βελτιστοποίηση: μαθηματική θεμελίωση του προβλήματος, βελτιστοποίηση με ή χωρίς περιορισμούς, βελτιστοποίηση μιας ή πολλών μεταβλητών, βελτιστοποίηση ενός ή πολλαπλών στόχων,

51

επαναληπτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης, περί της ύπαρξης και της μοναδικότητας της βέλτιστης λύσης, πλεονεκτήματα και περιορισμοί των τεχνικών αριθμητικής βελτιστοποίησης. Εφαρμογές κυρίως από την περιοχή της μηχανικής των ρευστών, υδροδυναμικής και αεροδυναμικής, με σύντομη κάλυψη-επανάληψη του βασικού γνωστικού υπόβαθρου που απαιτείται για την αντιμετώπιση των παραπάνω προβλημάτων. Μέθοδοι αιτιοκρατικής βελτιστοποίησης. Μέθοδοι βασισμένες στην κλίση της αντικειμενικής συνάρτησης. Μέθοδος απότομης καθόδου, μέθοδος Newton και η προσεγγιστική μέθοδος Newton, μέθοδος των συζυγών κατευθύνσεων και αυτή των συζυγών κλίσεων. Η συζυγής μέθοδος (adjoint method) για τον υπολογισμό της κλίσης της αντικειμενικής συνάρτησης σε γενικά προβλήματα που διέπονται από μ.δ.ε. Εξειδίκευση σε προβλήματα σχεδίασηςβελτιστοποίησης που διέπονται από τις εξισώσεις ροής. Εφαρμογές. Μέθοδοι στοχαστικής βελτιστοποίησης βασισμένες σε εξελικτικές τεχνικές και την τεχνητή νοημοσύνη: πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Επέκταση σε προβλήματα πολλών στόχων. Η μέθοδος Simplex, μέθοδος της προσομοιούμενης ανόπτησης και αυτή της ανίχνευσης με απαγορεύσεις. και Εφαρμογές. Διαχείριση περιορισμών σε προβλήματα βελτιστοποίησης. Βιβλιογραφία: 1. Gill, P.E., Murray, W. and Wright, M.H. (1981). Practical Optimization.

Academic Press.

52

2. Goldberg, D. (1989). Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley.

3. Miettinen, K. (1999). Nonlinear Multiobjective Optimization. Kluwer Academic Publishers.

4. Michalewicz, Z. (1992). Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs. Springer-Verlag.

5. Michalewicz, Z. and Fogel, D.B. (2000) How to Solve it: Modern Heuristics.

Springer.

6. Nocedal, J. and Wright, M.H. (1999).

Numerical Optimizatio. Springer.

7. Vanderplaats, G.N. (1984). Numerical Optimization Techniques for Engineering Design With Application. McGrawHill.

8. Γιαννάκογλου, Κ. (2006). Μέθοδοι Βελτιστοποίησης στην Αεροδυναμική. Παν. Εκδ. ΕΜΠ.

Αριθμητικές και Υπολογιστικές Μέθοδοι Προσομοίωσης Μηχανολογικών Κατασκευών Διδάσκοντες: Χ. Προβατίδης, ΣΜΜ. Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων εκπονούμενων κατ’ οίκον (30%). Γραπτή τελική εξέταση χωρίς βοηθήματα (70%). Περιεχόμενα: Διατύπωση ορισμένων ουσιωδών διαφορικών εξισώσεων μερικών παραγώγων, χρήσιμων στην Επιστήμη του Μηχανολόγου Μηχανικού. Ελαστοδυναμική συμπεριφορά ράβδων, δοκών, διδιάστατων φορέων, πλακών σε κάμψη, τριδιάστατου

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες συνεχούς μέσου. Μεταβατικά θερμικά φαινόμενα. Ακουστικά φαινόμενα. Η μέθοδος των σταθμισμένων υπολοίπων (weighted residual method). Ειδικές περιπτώσεις: πεπερασμένα στοιχεία, συνοριακά στοιχεία, μέθοδος ταξιθεσίας (collocation). Συνήθεις συναρτησιακές βάσεις: τρίγωνο του Pascal, ανάπτυγμα σε σειρές Taylor και Fourier. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων σαν ειδική περίπτωση της μεθόδου Galerkin/Ritz. Εξαγωγή μητρώων μάζας και δυσκαμψίας. Χρονική ολοκλήρωση (ιδιοανυσματική ανάλυση, μέθοδος κεντρικών διαφορών, έμμεσες μέθοδοι: Newmark, θ-Wilson, Houbolt). Δομή τυπικού προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων. Εφαρμογές χρήσης λογισμικού. Αύξηση της ακρίβειας υπολογισμού κατασκευών κατά τη χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Αύξηση πυκνότητας πλέγματος (h-version), αύξηση πολυωνυμικού βαθμού παρεμβολής (p-version). Καθολική προσέγγιση (global approximation) υψηλού βαθμού. Πολυώνυμα Lagrange, Legendre και Chebyshev. Δυνατότητες χρήσης παρεμβολών προερχόμενων από την Υπολογιστική Γεωμετρία. Παρεμβολή Coons-Gordon και δημιουργία ισοπαραμετρικών πεπερασμένων στοιχείων (τύπων Serendipity και Lagrange). Καμπύλη Bezier και πολυώνυμα Bernstein. Σύντομη αναφορά στην παρεμβολή NURBS (non uniform rational B-splines). Ισογεωμετρική παρεμβολή. Προοπτικές εφαρμογής των γεωμετρικών παρεμβολών σε συνδυασμό με τις διατυπώσεις Galerkin/Ritz και global collocation.

Βιβλιογραφία: 1. Bathe, K.J. (1982). Finite Element Procedures in Engineering Analysis.

Prentice-Hall. New Jersey.

2. Beer, G. and Watson, J.O. (1992).

Introduction to Finite and Boundary Element Methods for Engineers. John Wiley & Sons, Chichester.

3. Cavendish, J.C., Gordon, W.J. and Hall, C.A. (1976). Ritz-Galerkin Approximations in Blending Function Spaces, Numerische Mathematik.

4. Cook, R.D., Malkus, D.S. and Plesha, M.E. (1989). Concepts and Applications of Finite Element Analysis. John Wiley & Sons. New York.

5. Finlayson, B.A. (1972). The Method of Weighted Residuals and Variational Principles. Academic Press. New York.

6. Hughes, T.J.R., Cottrell, J.A. and Bazilevs, Y., (2005). Isogeometric Analysis: CAD, Finite Elements, NURBS, Exact Geometry and Mesh Refinement. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. Vol. 194, 4135-4195.

7. Gordon, W.J. Blending Functions Method of Bivariate Multivariate Interpolation and Approximation. SIAM J. Numer. Anal. 8 (1971), 158-177.

8. Gordon, W.J. and Hall, C.A. (1973).

Transfinite Element Methods Blending Function Interpolation over Arbitrary Curved Element Domains. Numer.

Math. 21. 109-112.

9. Lapidus, L. and Pinder, G.F. (1999).

Numerical Solution of Partial Differential Equations in Science and Engineering. John Wiley & Sons. New York.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες 10. Piegl, L. and Tiller, W. (1997). The NURBS Book. Springer. Berlin.

11. Provatidis, C.G. (2006). Coons-Patch Macroelements in Two-Dimensional Parabolic Problems. Applied Mathematical Modelling. 30. 319-351.

12. Szabo, B. and Babuska, I. (1991). Finite Element Analysis. John Wiley & Sons, Inc. New York.

13. Zienkiewicz, O.C. (1977). The Finite Element Method. McGraw-Hill. London.

14. Κανάραχος, Α. και Προβατίδης, Χ.

(2000). Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων στη Μηχανολογία. Εκδόσεις Παπασωτηρίου. Αθήνα.

Γεωμετρική Σχεδίαση Διδάσκοντες: Π.Δ. Κακλής, Α.Ι. Γκίνης ΣΝΜΜ-ΕΜΠ. Προαπαιτούμενα: Στοιχεία διαφορικής και προβολικής γεωμετρίας, πολυώνυμα και συναρτήσεις splines. Μέθοδος Εξέτασης: Εργαστηριακή άσκηση (χρήση περιβάλλοντος CAD για την επίλυση απλού σχεδιαστικού προβλήματος, συνεισφορά στον τελικό βαθμό κατά 50%) και γραπτή εξέταση. Σκοπός του Μαθήματος: Εισαγωγή στην περιοχή του CAGD (Computer Aided Geometric Design). Περιεχόμενα: Καμπύλες/επιφάνειες Bézier, Β-spline, NURBS, εναλλακτικές έννοιες λειότητας: παραμετρική, γεωμετρική, παρεμβολή σημείων/καμπυλών/πλεγμάτων, εξομάλυνση υπό σχεδιαστικούς περιορισμούς.

Βιβλιογραφία: 1. Boehm, W. and Prautsch, H. (1994).

Geometric Concepts for Geometric Design. A.K. Peters. Wellesley.

Massachusetts.

2. Farin, G. (1997). Curves & Surfaces for CAGD, A Practical Guide. Academic Press. London.

3. Hoschek, J. and Lasser, D. (1993).

Computer Aided Geometric Design.

A.K. Peters. Wellesley. Massachusetts.

4. Prautsch, H., Boehm, W. and Paluszny, M. (1994). Bézier & B-spline Techniques.

53

54

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

8.4. Ροή Γ: Στατιστική και Πιθανότητες Ανάλυση Χρονοσειρών Διδάσκων: Γ. Κοκολάκης, ΣΕΜΦΕ. Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Αυστηρή και υπό ευρεία έννοια στασιμότητα. Η συνάρτηση αυτοσυνδιασποράς μιας στάσιμης χρονοσειράς. Η πρόβλεψη ως προβολή σε χώρους Hilbert. Δεσμευμένη μέση τιμή και βέλτιστη γραμμική πρόβλεψη στον L2(Ω,F,P). Στάσιμη χρονοσειρά ARMA(p,q). Η αυτοπαλινδρομική χρονοσειρά AR(p). Η χρονοσειρά κινητού μέσου MA(q). Η έννοια της αιτιατότητας και της αντιστρεψιμότητας. Το μοντέλο κινητού μέσου απείρου τάξεως. Υπολογισμός των συναρτήσεων αυτοσυσχέτισης και μερικής αυτοσυσχέτισης. Προβλεπτικές εξισώσεις. Αλγόριθμοι προσδιορισμού βέλτιστων γραμμικών προβλεπτών. Αναδρομική μέθοδος πρόβλεψης της χρονοσειράς ARMA(p,q). Εκτίμηση του μέσου και της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης. Εκτίμηση παραμέτρων στα μοντέλα AR(p) και MA(q). Εκτίμηση παραμέτρων στο μοντέλο ARMA(p,q). Κριτήρια επιλογής μοντέλου, διαγνωστικοί έλεγχοι και πρόβλεψη. Φασματική ανάλυση χρονοσειρών. Φασματική πυκνότητα και περιοδόγραμμα. Η φασματική πυκνότητα της ανέλιξης ARMA. Ο αλγόριθμος FFT. Πολυμεταβλητές

χρονοσειρές. Μοντέλα χώρων καταστάσεων. Το φίλτρο του Kalman και Μπεϋζιανή πρόβλεψη. Βιβλιογραφία: 1. Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. (1970).

Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day.San Francisco.

2. Brockwell, P.J. and Davis, R.A. (1991).

Time Series: Theory and Methods.

Springer. N.Y. 3. Chan, N.H. (2002). Probability and Measure. Wiley. N.Y. 4. Enders, W. (1995). Applied Econometric Time Series. Wiley. N.Y. 5. Hamilton, J.D. (1994). Applied Time Series Analysis. Princeton University Press.

6. Κοκολάκης, Γ. (2006). Σημειώσεις Χρονοσειρών. E.Μ.Π. Αθήνα.

Στατιστικοί Σχεδιασμοί Διδάσκων: Χ. Κουκουβίνος, ΣΕΜΦΕ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Μοντέλα ANOVA σταθερών και τυχαίων επιδράσεων. Ορθογώνιες αντιθέσεις. Προσέγγιση με παλινδρόμηση. Έλεγχος Kruskal-Wallis. Έλεγχος Friedman. Επισκόπηση 2κ παραγοντικών σχεδιασμών. Ανάμειξη στον 2κ παραγοντικό σχεδιασμό. Κλασματικοί παραγοντικοί σχεδιασμοί σε δύο στάθμες. Κριτήρια ταξινόμησης κλασματικών παραγοντικών σχεδιασμών.

3κ παραγοντικοί σχεδιασμοί. Ανάμειξη στον 3κ παραγοντικό σχεδιασμό. Κλασματική επανάληψη του 3κ παραγοντικού

55

σχεδιασμού. Σχεδιασμοί μικτών στάθμεων. Υπερκορεσμένοι σχεδιασμοί δύο στάθμεων. Κριτήρια βελτιστοποίησης και μέθοδοι κατασκευής υπερκορεσμένων σχεδιασμών. Στατιστική ανάλυση υπερκορεσμένων σχεδιασμών με γραφική μέθοδο και παλινδρόμηση κατά βήματα. Εγκλωβισμένοι και split-plot σχεδιασμοί. Μεθοδολογία αποκριτικών επιφανειών. Ανάλυση του μοντέλου δεύτερης τάξης. Βέλτιστοι σχεδιασμοί. Βιβλιογραφία: 1. Box, G.E.P. and Draper, N.R. (1987).

Empirical Model Building and Response Surfaces. Wiley. New York.

2. Box, G.E.P., Hunter W.G. and Hunter, J.S. (1987). Statistics for Experimenters.

Wiley. New York.

3. Dean, A.M. and Lewis, S. (2006).

Screening: Methods for Experimentation in Industry, drug Discovery, and Genetics. Springer.

4. Dean A.M. and Voss, D.T. (1999).

Design and Analysis of Experiments.

Springer Verlang. New York.

5. Dey, A. and Mukerjee, R. (1999).

Fractional Factorial Plans. Wiley. New York.

6. Hedayat, A.S., Sloane N.J.A. and Stufken, J. (1999). Orthogonal Arrays Theory and Applications. Springer Verlang. New York.

7. Montgomery, D.C. (2005). Design and Analysis of Experiments. Wiley. New York.

8. Montgomery D.C. and Myers, R.H. (1995). Response Surface Methodology. Wiley. New York.

56

9. Mukerjee, R., Wu, C.F.J. (2006).

A Modern Theory of Factorial Design.

Springer Verlang. New York.

10. Wu C.F.J., Hamada, M. (2000). Experiments: Planning, Analysis and Parameter Design Optimization. Wiley. New York.

Ανάλυση Επιβίωσης και Αξιοπιστίας Διδάσκων: Χ. Καρώνη, ΣΕΜΦΕ. Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων και εργασιών, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Δεδομένα διάρκειας ζωής. Αποκομμένες παρατηρήσεις. Συναρτήσεις επιβίωσης και αξιοπιστίας. Συνάρτηση διακινδύνευσης. Βασικά μοντέλα (Εκθετική, Γάμμα, Weibull, Λογαριθμο-λογιστική, Γενικευμένη Γάμμα, Γενικευμένη F και άλλες κατανομές). Μη-παραμετρική εκτίμηση. Εκτιμήτρια Kaplan - Meier. Εκτιμήτρια Nelson-Aalen. Συγκρίσεις κατανομών επιβίωσης. Ελεγχος logrank. Προσαρμογή μοντέλων. Ελεγχοι καλής προσαρμογής. Μοντέλα παλινδρόμησης. Mοντέλα αναλογικής διακινδύνευσης (proportional hazards). Το ημιπαραμετρικό μοντέλο του Cox: στρωματοποιημένο μοντέλο και άλλες επεκτάσεις. Μοντέλα επιταχυνόμενης διακοπής (accelerated failure time). Προσαρμογή και ανάπτυξη μοντέλου. Διαγνωστικές μέθοδοι. Μελέτες επιβίωσης και αξιοπιστίας. Κλινικές δοκιμές. Επιταχυνόμενες δοκιμές. Καθορισμός

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες μεγέθους δείγματος. Μοντέλα ευπάθειας (frailty). Επιδιορθώσιμα συστήματα, επαναλαμβανόμενα γεγονότα. Eφαρμογές με χρήση στατιστικών προγραμμάτων. Βιβλιογραφία 1. Crowder, M.J., Kimber, A.C., Smith, R.L. and Sweeting T.J., (1991). Statistical Analysis of Reliability Data. Chapman and Hall.

2. Hosmer D.W. and Lemeshow S., (1999). Applied Survival Analysis.

Wiley.

3. Kalbfleisch, J.D. and Prentice R., (2002).

The Statistical Analysis of Failure Time Data. Wiley.

4. Lawless, J.F. (2002). Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Wiley.

5. Meeker W.Q. and Escobar L.A., (1998). Statistical Methods for Reliability Data. Wiley.

6. Machin, D., Cheung, Y.B., Parmar M., (2006). Survival Analysis. Wiley.

Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας Διδάσκων: Χ. Κουκουβίνος, ΣΕΜΦΕ. Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ. διδασκαλία και 1 ώρα/εβδ. εργαστήριο. Μέθοδος Εξέτασης: Επίδοση Εργαστηριακών Ασκήσεων και Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Εξέλιξη και εφαρμογές του στατιστικού ελέγχου ποιότητας. Στατιστικός έλεγχος διεργασιών. Διαγράμματα Shewhart, Pareto. Το καρτεσιανό διάγραμμα. Το διάγραμμα αιτίαςαποτελέσματος. Δειγματοσκοπική εξέταση.

Μέθοδοι επιλογής δειγματοσκοπικών σχεδίων. Μέθοδος της χαρακτηριστικής καμπύλης. Μέθοδος των Dodge-Roming. Όρια προδιαγραφών και ανοχής της διαδικασίας. Διαγράμματα ελέγχου για συνεχή και ποιοτικά χαρακτηριστικά. Χάρτες ελέγχου. Αποκριτικές επιφάνειες. Το μοντέλο πρώτης και δεύτερης τάξης. Σχεδιασμοί δεύτερης τάξης. Περιστρέψιμοι σχεδιασμοί. Κεντρικοί σύνθετοι σχεδιασμοί. Σχεδιασμοί Box-Behnken. Βελτιστοποίηση διαδικασίας για μεθοδολογία αποκριτικών επιφανειών. Εισαγωγή στους παραμετρικούς σχεδιασμούς. Εύρωστοι παραμετρικοί σχεδιασμοί.. Η μεθοδολογία του Taguchi. Εναλλακτικοί σχεδιασμοί για τον έλεγχο ποιότητας. Ο διασταυρωμένος σχεδιασμός. Ο συνδυασμένος σχεδιασμός. Κατασκευή των συνδυασμένων σχηματισμών από βέλτιστους σχεδιασμούς. Κριτήρια βελτιστοποίησης. Βιβλιογραφία: 1. Cowden, D.J. (1957). Statistical Methods in Quality Control. Prentice-Hall.

Englewood Cliffs. NJ. 2. Duncan, A.J. (1986). Quality Control and Industrial Statistics. Irwin. Homewood. IL. 3. Grant, E.L. and Leavenworth, R.S. (1980). Statistical Quality Control.

McGraw-Hill, New York.

4. Hawkins, D.M. and Olwell, D.H. (1998). Cumulative Sum Charts and Charting for Quality Improving.

Springer Verlang. New York.

5. Montgomery, D.C. (2005). Introduction to Statistical Quality Control. Wiley.

New York.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες 6. Oakland, J.S. (1986). Statistical Process Control. Heinemann. London.

7. Taguchi, G. (1986). Introduction to Quality Engineering. Asian Productivity Organization. UNIPUB. White Plains, NY. 8. Taguchi, G. and Wu, Y. (1980). Introduction to Off-Line Quality Control.

Japan Quality Control Organization.

Nagoya. Japan.

9. H. M. Wadsworth, Stephens K.S. and Godfrey, A.B. (2002). Modern Methods for Quality Control and Improvement. Wiley. New York.

10. Wetherill, G.B. and Brown, D.W. (1991). Statistical Process Control: Theory and Practice. Chapman and Hall. New York.

Γενικευμένα Γραμμικά Μοντέλα

άλλα μοντέλα (Γάμμα, Αρνητική Διωνυμική, probit, complementary log-log). Έλεγχοι υποθέσεων, διαγνωστικές μέθοδοι, γραφικές παραστάσεις και εξέταση των υπολοίπων. Επιλογή μεταβλητών, ανάπτυξη μοντέλου, διαγράμματα μερικών υπολοίπων. Επιρροή, απόσταση Cook. Υπερμεταβλητότητα. Ειδικές εφαρμογές. Εφαρμογές με χρήση στατιστικών πακέτων. Βιβλιογραφία: 1. Collett, D. (2000). Modelling Binary Data. Chapman and Hall.

2. Cook, R.D. and Weisberg, S. (1982).

Residuals and Influence in Regression.

Chapman& Hall.

3. Hosmer, D.W. and Lemenshow, S. (1989). Applied Logistic Regression.

4. McCullagh, P. and Nelder, J.A. (1989).

Generalized Linear Models. Chapman and Hall.

Ώρες διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ.

5. McCullagh, P. and Searle, S.R. (2001).

Generalized, Linear and Mixed Models. John Wiley.

Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση ασκήσεων και εργασιών, γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

6. Myers, R.H., Montgomery, D.C. and Vining, G. (2002). Generalized Linear Models. John Wiley.

Διδάσκοντες: Χ. Καρώνη ΣΕΜΦΕ.

Περιεχόμενα: Εισαγωγή στο γενικευμένο γραμμικό μοντέλο. Ορισμοί, συναρτήσεις σύνδεσης (link functions). Ειδική περίπτωση: Το γενικό γραμμικό μοντέλο. Εκτίμηση παραμέτρων, ιδιότητες εκτιμητριών, θεώρημα Gauss-Markov, πρόβλεψη. Παραβίαση προϋποθέσεων του μοντέλου. Σταθμισμένη παλινδρόμηση. Μη-γραμμικό μοντέλο. Γενική περίπτωση των γενικευμένων γραμμικών μοντέλων. Εκτίμηση παραμέτρων. Quasi-likelihood. Λογιστική παλινδρόμηση, παλινδρόμηση Poisson και

Στατιστική Θεωρία Πληροφορίας και Κωδικοποίησης Διδάσκων: Χ. Κουκουβίνος, ΣΕΜΦΕ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Μέτρα πληροφορίας του Shannon. Η διακριτή πηγή πληροφορίας

57

χωρίς μνήμη. Μέθοδοι κωδικοποίησης. Η διακριτή πηγή πληροφορίας με μνήμη. Προσέγγιση με διαδικασίες Markov. Ο διακριτός δίαυλος επικοινωνίας. Η συνεχής πηγή πληροφορίας. Μέτρα πληροφορίας και πηγές με μνήμη. Κώδικες διόρθωσης σφαλμάτων. Βασικά φράγματα. Κώδικες Hadamard, Reed-Muller και Golay. Γραμμικοί κώδικες. Δυϊκοί κώδικες. Κώδικες Hamming. Τέλειοι κώδικες. Κυκλικοί κώδικες. Απαριθμητές βάρους. Κώδικες και λατινικά τετράγωνα. Το πρόβλημα της θεωρίας γραμμικής κωδικοποίησης.

MDS κώδικες. Συνελικτικοί κώδικες. Κώδικες BCH. Κώδικες Reed-Solomon. Ο αλγόριθμος των Berlekamp-Massey. Εφαρμογές στην κρυπτογραφία. Βιβλιογραφία 1. Abramson, N.M. (1963). Information Theory and Coding. McGraw-Hill. NY. 2. Adamek, J. (1991). Foundations of Coding: Theory and Applications of ErrorCorrecting Codes with an Introduction to Cryptography and Information Theory.

Wiley. New York.

3. Ash, R.B. (1965). Information Theory.

Interscience. New York.

4. Cover, T.M. and Thomas, J.A. (1991).

Elements of Information Theory. Wiley.

New York.

5. Gallager, R.G. (1968). Information Theory and Reliable Communication.

Wiley. New York.

6. Jelinek, F. (1968). Probabilistic Information Theory. McGraw-Hill. New York.

7. Kullback. S. (1959). Information Theory and Statistics. Wiley, New York.

8. MacWilliams, F.J. and Sloane, N.J.A. (1997). The Theory of Error-Correcting

58

9.

10.

11.

12.

13.

Codes. North Holland.

Mc Eliece, R.J. (1977). The Theory of Information and Coding. AddisonWesley.

Peterson, W.W., Weldon, E.J.Jr. (1972).Error-Correcting Codes. MIT. Press.

Pless, V. (1982). Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes.

Wiley. New York.

Reza, F.M. (1982). An Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes.

Wiley. New York.

Roman, S. (1998). Introduction to Coding and Information Theory.

Springer.

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Διδάσκοντες: Γ. Κοκολάκης, Δ. Φουσκάκης, ΣΕΜΦΕ. Μέθοδος Εξέτασης: Για το πρώτο μέρος “Μπεϋζιανή Στατιστική” γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου, για το δεύτερο μέρος “MCMC” η εξέταση θα γίνει με εργασία ή εργασίες. Περιεχόμενα: Α) Tο Μπεϋζιανό μοντέλο στην εξελικτική διαδικασία της γνώσης. Πληροφοριακές και μη-πληροφοριακές αρχικές (prior) κατανομές. Στατιστική μοντελοποίηση και συμβατότητα των prior κατανομών. Εναλλαξιμότητα και επάρκεια Συζυγείς prior κατανομές. Ύστερες (posterior) κατανομές. Μπεϋζιανή εκτίμηση παραμέτρων. Συνάρτηση ωφέλειας/ζημίας.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Συνέπεια των Μπεϋζιανών εκτιμητριών. Ασυμπτωτική κανονικότητα των posterior κατανομών. Μπεϋζιανά διαστήματα εμπιστοσύνης και έλεγχοι. Β) Εισαγωγή στους αλγορίθμους MCMC. Προσομοίωση από την posterior κατανομή. Ο αλγόριθμος Metropolis-Hastings. Ο δειγματολήπτης Gibbs. Χρήση του πακέτου WinBugs. Μέθοδοι Επιλογής Μοντέλων. Βιβλιογραφία 1. Carlin, B.P. and Louis T.A. (1996).

Bayes and Empirical Bayes Methods for Data Analysis. Chapman and Hall, New York.

2. Chen, M., Shao, Q. and Ibrahim, J.G. (2000). Monte Carlo Methods in Bayesian Computation. Springer Verlag.

New York.

3. DeGroot, M.H. (1970). Optimal Statistical Decisions. McGraw-Hill, New York.

4. Gamerman, D. and Lopes, H.F. (2006).

Markov Chain Monte Carlo: Stochastic Simulation for Bayesian Inference.

Chapman and Hall. New York.

5. Gilks, W.R., Richardson, S. and Spiegelhalter. (1995). Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman and Hall.

New York.

6. Robert, C.P. (1996). The Bayesian Choice - A Decision Theoretic Motivation. Springer Verlag. New York.

Υπολογιστική Στατιστική και Στοχαστική Βελτιστοποίηση Διδάσκων: Δ. Φουσκάκης, ΣΕΜΦΕ. Μέθοδος Εξέτασης: Παράδοση εργασίας ή εργασιών. Περιεχόμενα: Μέθοδοι Προσομοίωσης. Μέθοδοι απαναδειγματοληψείας: Jacknife, Bootstrap, Cross-Validation. Ο αλγόριθμος ΕΜ, ως μέθοδος μεταχείρισης ελλιπών δεδομένων: παραδείγματα, σύγκλιση, ιδιότητες και σύγκριση με γενικούς αλγορίθμους μεγιστοποίησης. Χρήση του πακέτου R στην υλοποίηση των μεθόδων. Εισαγωγή στους στοχαστικούς αλγορίθμους μεγιστοποίησης: Γενετικός αλγόριθμος, Simulated Annealing, Tabu Search. Βιβλιογραφία: 1. Efron, B. and Tibshirani, J.R. (1993). An Introduction to the Bootstrap. Chapman and Hall, New York.

2. Givens, G.H. and Hoeting, J.A. (2005).

Computational Statistics. John Wiley & Sons. New Jersey.

3. Reeves, C.R. (1995). Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems.

McGraw-Hill. London.

4. Ripley, B.D. (1987). Stochastic Simulation. John Wiley & Sons. New Jersey.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Βιοστατιστική

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας I

Διδάσκων: Ι. Βόντα, ΣΕΜΦΕ.

Διδάσκων: Β. Λεώπουλος, ΣΜΜ.

Ώρες δασκαλίας: 3 ώρες/εβδ.

Ώρες Διδασκαλίας: 3 ώρες/εβδ.

Περιεχόμενα: Επιδημιολογία: εισαγωγή, βασικές έννοιες, κατηγορίες μελετών. Διαδικασίες απαρίθμησης: βασική θεωρία, εφαρμογή στην ανάλυση επιβίωσης. Ανάλυση επιβίωσης: μερική συνάρτηση πιθανοφάνειας, μοντέλα με όρους ποινής (penalized models), συμμεταβλητές που εξαρτώνται από το χρόνο, μοντέλα μη αναλογικών συναρτήσεων διακινδύνευσης, μοντέλα ευπάθειας και μοντέλα penalized Cox, συμπλήρωση δεδομένων (imputation), μέθοδοι bootstrap, στατιστική μοντελοποίηση (AIC κ.λπ.). Αποκομμένα δεδομένα στη γραμμική παλινδρόμηση (μέθοδος BuckleyJames). Εισαγωγή στην S-plus.

Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου.

Βιβλιογραφία: 1. Andersen, P.K., Borgan O., Gill R.D. and Keiding N. (1997). Statistical Models Based on Counting Processes. Springer.

2. Fleming, T. and Harrington D. (1991).

Counting Processes and Survival Analysis. Wiley.

3. Klein, J.P. and Moeschberger M.L. (1997). Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data.

Springer.

4. Selvin, S. (1996). Statistical Analysis of Epidemiological Data. Oxford University Press.

5. Tableman, M. and Kim J.S. (2004).

Survival Analysis Using S. Chapman and Hall.

6. Therneau M. and Grambsch M. (2001).

Modeling Survival Data. Springer.

Περιεχόμενα: Συστήματα διαχείρισης της ποιότητας. Τεκμηρίωση, έλεγχος εντύπων-αρχείων. Ευθύνη της Διοίκησης, διαχείριση των πόρων, σχεδιασμός, αγορές, παραγωγή, απόδοση ταυτότητας και ιχνηλασιμότητα, ιδιοκτησία του πελάτη, έλεγχος συσκευών παρακολούθησης και μέτρησης, παρακολούθηση και μέτρηση του προϊόντος, έλεγχος του μη συμμορφούμενου προϊόντος, εσωτερική επιθεώρηση, χορήγηση και διατήρηση του Πιστοποιητικού Συστήματος Ποιότητας. Βιβλιογραφία: 1. Λεώπουλος, Β. Σύστημα Διαχείρισης Ποιότητας.

2. Σημειώσεις που διανέμονται στο μάθημα.

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας ΙΙ-Αξιολόγηση Βιοιατρικών Τεχνολογιών Διδάσκοντες: Γ. Κοκολάκης, ΣΕΜΦΕ, Β. Καραγιάννη, Εξωτ. Συνεργάτις. Περιεχόμενα: Μέθοδοι οικονομικής αξιολόγησης. Ανάλυση κόστους-οφέλους. Ανάλυση κόστους-αποτελεσματικότητας. Η κατά Pareto κατάταξη. Η κατάταξη ελαχιστοποίησης κόστους. Η κατάταξη οριακού κόστους-αποτελεσματικότητας.

59

Ανάλυση κόστους χρησιμότητας. Ο δείκτης QUALY. Η χρησιμότητα πολλαπλών χαρακτηριστικών. Οι πειραματικές μέθοδοι αποκάλυψης των προτιμήσεων. Στατιστικά μοντέλα στις οικονομικές αξιολογήσεις: Το μοντέλο Poisson, Longitudinal μοντέλα, Probit και Logit μοντέλα, νευρωνικά δίκτυα. Εκτιμητές Kaplan-Meier, Lyn-Carides και μοντέλα αναλογικών κινδύνων. Δένδρα αποφάσεων, μοντέλα Markov και μεταανάλυση. Διαχείριση της αβεβαιότητας: Η κλασική μέθοδος ανάλυσης ευαισθησίας. Πιθανοθεωρητικές μέθοδοι ανάλυσης ευαισθησίας. Μικρο-προσομοίωση και μακρο-προσομοίωση. Μέθοδοι εναλλακτικών αποφάσεων. Η μέθοδος του καθαρού οφέλους και η μέθοδος των καμπυλών αποδοχής. Βιβλιογραφία: 1. Briggs, A. (2003). Statistical Methods for Cost-Effectiveness Research: A Guide to Current Issues and Future Developments. Office of Health Economics, (UN).

2. Drummond M. and Mc Guire A. (2001).

Economic Evaluation in Health Care.

Office of Health Economics. (UN).

Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Διδάσκων: Ι. Κολέτσος, ΣΕΜΦΕ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Βασική Περιγραφή: Εισάγεται η θεμελιώδης θεωρία, οι τεχνικές και οι αλγόριθμοι για το γραμμικό προγραμματισμό, το μη γραμμικό προγραμματισμό και τα στατιστικά προβλήματα υπολογισμού.

60

Προαπαιτούμενα: Απαιτούνται τα μαθηματικά, η στατιστική και η θεωρία πιθανοτήτων στο επίπεδο μιας εισαγωγικής σειράς μαθημάτων. Ειδικότερα, οι σπουδαστές πρέπει να έχουν καλύψει τη στοιχειώδη θεωρία κατανομών και τη κατανομή Poisson, και να έχουν επαρκή γνώση της γραμμικής άλγεβρας για να χειριστούν την αντιστροφή πινάκων. Οι σπουδαστές πρέπει να είναι προετοιμασμένοι να χρησιμοποιήσουν τα πακέτα υπολογιστών σε περίπτωση ανάγκης. Σκοπός: Εισάγεται η θεμελιώδης θεωρία, οι τεχνικές και οι αλγόριθμοι για το γραμμικό προγραμματισμό, το μη γραμμικό προγραμματισμό και τα στατιστικά προβλήματα υπολογισμού. Εξετάζονται τα βασικά καθώς επίσης και προηγμένα θέματα στο γραμμικό προγραμματισμό και το μη γραμμικό προγραμματισμό. Πολυάριθμα παραδείγματα θα υιοθετηθούν για να καταδείξουν τη χρήση των διάφορων αλγορίθμων και των σχετικών τεχνικών. Η έμφαση είναι όχι μόνο στην κατοχή αυτών των αλγορίθμων και τεχνικών αλλά και στις εφαρμογές τους στα διάφορα πρακτικά προβλήματα. Περιεχόμενα: Γραμμικός προγραμματισμός: Γραμμικά μοντέλα προγραμματισμού. Μέθοδος Simplex. Μ- Μέθοδος. Γενικευμένη μέθοδος Simplex. Θεωρία δυϊκότητας. Μέθοδοι εσωτερικού σημείου για το γραμμικό προγραμματισμό. Συνθήκες Βελτιστότητας: Βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς. Βελτιστοποίηση με περιορισμούς. Κυρτός προγραμματισμός. Μέθοδοι με Περιορισμούς και χωρίς Περιορισμούς: Αριθμητικές μέθοδοι

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες για προβλήματα χωρίς περιορισμούς. Αριθμητικές μέθοδοι για τα περιορισμένα προβλήματα. Μέθοδοι ποινών. Δικτυωτή Ανάλυση: Το πρόβλημα του ελάχιστου Ζευγνύοντος Δένδρου. Το πρόβλημα της Ελάχιστης Διαδρομής. Το πρόβλημα της Μέγιστης Ροής. Βιβλιογραφία: 1. Fletcher, R. (1987). Practical Methods of Optimization. John Wiley & Sons.

2. Hillier, F.S. and Lieberman, G.J. (2005). ntroduction to Operations Research.

McGraw Hill.

3. Luenberger, D.G. (1984). Linear and Nonlinear Programming.

Addison-Wesley, 1984.

4. Taha, H.A. (2003). Operations Research, an Introduction. Prentice Hall.

5. Winston, W.L. (2004). Operations Research: Αpplications and Αlgorithms.

Thomson Brooks/Cole.

6. Υψηλάντης, Π. (2006).Επιχειρησιακή Έρευνα, Εφαρμογές στη Σημερινή Eπιχείρηση. Εκδόσεις ΠΡΟΠΟΜΠΟΣ.

Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ Διδάσκων: Ι. Κολέτσος, ΣΕΜΦΕ. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Βασική Περιγραφή: Εισάγονται οι βασικές τεχνικές και οι αλγόριθμοι για το δυναμικό προγραμματισμό, τον έλεγχο αποθεμάτων και τη θεωρία ουρών αναμονής. Προαπαιτούμενα: Επιχειρησιακή Έρευνα Ι Σκοπός: Εισάγονται οι βασικές τεχνικές

και οι αλγόριθμοι για το δυναμικό προγραμματισμό, τον έλεγχο αποθεμάτων και τη θεωρία ουρών αναμονής. Εξετάζονται τόσο αιτιοκρατικά όσο και στοχαστικά μοντέλα αποθεμάτων. Περιεχόμενα: Δυναμικός προγραμματισμός. Δυναμικά μοντέλα προγραμματισμού. Χαρακτηριστικά του δυναμικού προγραμματισμού. Αρχή βελτιστοποίησης. Έλεγχος Αποθεμάτων. Αιτιοκρατικό βέλτιστο μέγεθος παραγγελίας. Στοχαστικό βέλτιστο μέγεθος. Παραγγελίας. Έλεγχος αποθεμάτων μιας περιόδου. Έλεγχος αποθεμάτων πολλαπλών περιόδων. Θεωρία ουρών αναμονής. Γενικευμένο μοντέλο Poisson, εκθετικά μοντέλα. Markovian δίκτυα αναμονής. Βιβλιογραφία: 1. Denardo, E.V. (1982). Dynamic Programming: Models and Applications.

Prentice Hall.

2. Hillier, F.S. and Lieberman, G.J. (2005).

Introduction to Operations Research.

McGraw Hill.

3. Taha, H.A. (2003). Operations Research, an Introduction. Prentice Hall.

4. Winston, W.L. (2004). Operations Research: Applications and Algorithms.

Thomson Brooks/Cole.

5. Υψηλάντης, Π. (2006). Επιχειρησιακή Έρευνα, Εφαρμογές στη Σημερινή Eπιχείρηση. Εκδόσεις ΠΡΟΠΟΜΠΟΣ.

Οδηγός του Δ.Π.Μ.Σ.: Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες

Αλγόριθμοι Εξόρυξης Πληροφορίας

του Σημασιολογικού Ιστού. Βασικές αρχές λειτουργίας του λογισμικού επιχειρησιακής ευφυίας SAP Business Warehouse (SAP BW).

Διδάσκοντες: Η. Τατσιόπουλος, Ν. Παναγιώτου, ΣΜΜ.

Βιβλιογραφία:

Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Εισαγωγικοί ορισμοί, συναφείς περιοχές, αντικείμενο και μέθοδοι, σπουδαιότητα & χρήσεις, η σημασία εξόρυξης γνώσης για τη σύγχρονη επιχείρηση. Συνιστώσες δεδομένων (έννοιες, στιγμιότυπα & χαρακτηριστικά), οπτικοποίηση & εξερεύνηση. Προεπεξεργασία δεδομένων (αλγόριθμοι διήθησης με ή χωρίς επίβλεψη, αλγόριθμοι μετασχηματισμού, αλγόριθμοι καθαρισμού, επιλογή χαρακτηριστικών με μεθόδους αξιολόγησης και αναζήτησης). Απεικόνιση γνώσης (δένδρα αποφάσεων, κανόνες ταξινόμησης, κανόνες συσχέτισης, ομάδες). Αλγόριθμοι μάθησης γενικά (βασικά χαρακτηριστικά, ταξινόμηση και παλινδρόμηση, υπερπροσαρμογή). Αλγόριθμοι μάθησης (ταξινομητές Bayes, δένδρα αποφάσεων, αλγόριθμοι ομαδοποίησης, κανόνες συσχέτισης, νευρωνικά δίκτυα, μεταμαθησιακοί αλγόριθμοι, ενδυνάμωση, μάθηση εξαρτώμενη από κόστος, συνδυασμός ταξινομητών). Αξιοπιστία & αποτίμηση αποδοτικότητας (κριτήρια αποδοτικότητας, εκπαίδευση & έλεγχος, διασταυρωμένη επικύρωση, σύγκριση, αποτίμηση αριθμητικής πρόγνωσης). Λογισμική υλοποίηση του συνόλου των περιγραφόμενων αλγορίθμων. Η έννοια των μεταδεδομένων. Εισαγωγή στις Οντολογίες. Εισαγωγή στις Βασικές Αρχές

1. Daconta, M.C., Obrst, L.J. and Smith, K.T. (2003). The Semantic Web: A Guide to the Future of XML, Web Services and Knowledge Management.

Wiley Publishing Inc. 2. Hand, D., Mannila H. and Smyth P. (2001). Principles of Data Mining. MIT Press.

3. Witten, I. and Frank, E. (2005). Data Mining: Practical Machine Learning Tools & Techniques. Morgan Kaufmann.

Στατιστικές Μέθοδοι Αξιολόγησης Τεχνολογιών Διδάσκων: Ορίζεται κατά περίπτωση. Μέθοδος Εξέτασης: Γραπτή εξέταση στο τέλος του εξαμήνου. Περιεχόμενα: Ποικίλουν ανάλογα με τον διδάσκοντα.

61