Pendulo Invertido Rotacional

1

PLANTA PENDULO INVERTIDO ROTACIONAL

ALEJANDRA BEJARANO ANDRES FELIPE HERRERA RAMIREZ CARLOS BERNAL

TECNICAS DE CONTROL AVANZADAS FRANCISCO JAVIER IBARGÜEN

UNIVERSIDAD DEL QUINDÍO FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA ARMENIA - QUINDÍO 2012

2

CONTENIDO

Pag.

1.

INTRODUCCIÓN 1.1 Objetivos 1.2 Descripción

3 3 3

2.

CONCEPTOS PARA EL MODELADO

4

2.1 2.2

6 7

Representación en Variables de Estado.

Linealizacion.

3.

METODOS E INSTRUMENTOS 3.1 Modelado.

3.2 Aparatos e Instrumentos Utilizados.

3.3 Rangos de Operación.

3.4 Puesta en Marcha.

3.5 Sensores y Actuadores

7 7 11 12 12 13

4.

RESULTADOS, PROCEDIMIENTOS Y DISCUSION 4.1 Estrategia de Control.

13 13

5.

CONCLUSIONES

18

6.

REFERENCIAS

19

3

1.

INTRODUCCIÓN

Se implementara un controlador LQR en la planta Péndulo rotacional 1.1

Objetivos  

1.2

Caracterizar la planta péndulo invertido rotacional para encontrar la dinámica aproximada del sistema.

Utilizar el controlador LQR y verificar que le comportamiento de la planta es igual al arrojado en las simulaciones.

Documentación Técnica[1]

La planta Péndulo Invertido Rotacional consiste en una varilla péndulo montada en el extremo de un brazo horizontal controlado por un servomotor DC. Esta estructura principal, incluido el motor DC, tiene un soporte vertical sobre una base metálica donde se encuentra todo el sistema eléctrico de la planta. Las señales medibles son el Angulo del péndulo y el ´ángulo del brazo horizontal, ambas obtenidas a partir de encoders incrementales. La planta cuenta con los conectores necesarios para hacer la adquisición de datos y manejar el servomotor DC. En la planta se incluye una fuente de alimentación auxiliar de 5V para el usuario final

Fig. 1 Planta péndulo invertido rotacional

4

La estructura principal de la planta (Figura 2.) se construye en aluminio debido a su bajo costo, bajo peso, alta resistencia y fácil maquinado. Consta de las siguientes partes:        

Acople Motor DC-Brazo Horizontal Brazo Acople Brazo-Encoger Incremental Acople Encoger Incremental-Péndulo Varilla Péndulo Además de las partes en aluminio, la estructura principal incluye Encoger Incremental TRD-S500-BD Servomotor DC Yaskawa Serie FB9M20E

Fig. 2 Estructura Principal

2.

ALGUNOS CONCEPTOS A TENER EN CUENTA PARA EL MODELADO .[1]

Los modelos matemáticos se pueden derivar de consideraciones de energía sin necesidad de aplicar las leyes de movimiento de Newton; un método más versátil para derivar modelos matemáticos es el debido a Lagrange. Para utilizar las ecuaciones Euler–Lagrange se deben calcular las energías del sistema a estudiar: la energía cinética y la energía potencial.

Para derivar las ecuaciones de movimiento de Lagrange, es necesario definir Las coordenadas generalizadas y el Lagrangiano, para establecer el principio de Hamilton.

Coordenadas generalizadas. Las coordenadas generalizadas de un sistema son un conjunto de coordenadas independientes que se necesitan para describir completamente

5 el movimiento de un sistema. La cantidad mínima de coordenadas independientes, para especificar las posiciones de todos los elementos, se denomina grados de libertad. El número de grados de libertadad se puede determinar en términos de la cantidad de ecuaciones de movimiento y de restricción: Grados de Libertad = (Numero ecuaciones de Movimiento) - (Numero ecuaciones de restricción)

Lagrangiano. El lagrangiano L de un sistema esta definido por L=T–U Donde T es la energía cinética y U es la energía potencial del sistema.

Principio de Hamilton. Establece que el movimiento de un punto del sistema en el espacio n–dimensional de t = t1 a t = t2 es tal que la integral ̇

∫

Es un extremo (máximo o mínimo) de la trayectoria del movimiento.

La ecuación (3.2) es una ecuación fundamental en la Teoría de Variaciones, donde J es un valor estacionario si se satisface la ecuación ( ̇

)

Esta ecuación diferencial es llamada la ecuación de Euler–Lagrange; también se le conoce como ecuación de movimiento de Lagrange para el sistema conservativo.

Si el lagrangiano L es función de n coordenadas generalizadas, n velocidades generalizadas y el tiempo t, ecuaciones correspondientes de Euler–Lagrange Son ( ̇

)

Sistemas no Conservativos. Si un sistema se somete a una fuerza de entrada (Fuerza generalizada), entonces las ecuaciones de Lagrange son

( ̇

)

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Función de Disipación de Rayleigh. En los sistemas reales siempre existe disipación de energía, por lo tanto, Rayleigh desarrolla una función derivada de la fuerza de amortiguación (amortiguadores viscosos)

2.1 REPRESENTACION EN ESPACIOS DE ESTADOS. [1] La representación en el espacio de estados es la forma de describir un conjunto de ecuaciones diferenciales en variables llamadas estados, cuya solución se considera como una trayectoria en el espacio. Mediante esta representación se obtiene una descripción completa (interna) del sistema, con las posibles inestabilidades, que suelen estar implícitas en la descripción de la función de transferencia. El conjunto de ecuaciones de la forma ̇ = Ax + Bu y = Cx + Du Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de orden n (estados independientes) de la forma

y(n) + a1y(n-1) + : : : + a

y˙+ any = u (1)

Es determinado por el comportamiento de y(0), y˙(0), . . . , y(n-1)(0) y u(t) para t ¸ 0, donde y(t), y˙(t), . . . , y t) se puede tomar como un juego de n Variables de estado [Ogata 1993]. Si se define x1 = y x 2 = y˙ ... xn = Por lo tanto (1) se puede escribir como:

x˙ 1 = x2 x˙ 2 = x3

en el caso no lineal. ̇ = f (x; u)

(2)

... x˙ n-1 = xn x˙ n = -anx1 - : : : - a1xn + u

7 es el vector de funciones que forman las ecuaciones.

2.2

Linealización. [1]

La mayoría de los sistemas físicos son no lineales y variantes en el tiempo, los cuales pueden ser aproximados por ecuaciones lineales bajo ciertas condiciones.

La linealizacion se realiza alrededor de un punto o trayectoria de operación, llamado punto de equilibrio. Por lo tanto, la solución de equilibrio es x0 y u0, de modo que (2) se convierte en ̇

= f (x0; u0)

Si la entrada y el estado inicial son ligeramente perturbados, la solución también Será perturbada ligeramente. Si se supone que (2) es diferenciable, se puede usar la serie de Taylor alrededor de las perturbaciones ̅ ̅

y quedarnos solo con los términos de primer orden que resulten.

Así, la variación lineal resultante de la ecuación de estado son las llamadas Matrices Jacobianas. En general, ellas son funciones de t. Los jacobianos para hallar A y B son:

3.

MÉTODOS E INSTRUMENTOS

3.1

MODELADO

La planta Péndulo Invertido Rotacional es un sistema que posee dos coordenadas generalizadas,  y 

8

Figura 3. Sistema de coordenadas Péndulo

Para hallar el modelo matemático de la planta péndulo invertido rotacional se procede en el siguiente orden:

Energía Cinética y Potencial: Se encuentran las energías cinéticas debidas a cada parte del sistema y la energía potencial debida al péndulo.

Lagrangiano: Se calcula el lagrangiano del sistema haciendo L = T – U Disipación de Rayleigh: Se halla la función de disipación debida a la fricción o fuerza de amortiguación que afecta al sistema.

Ecuaciones Euler–Lagrange: Se calculan las ecuaciones para cada coordenada generalizada.

Modelo Motor DC: Se resuelve la ecuación diferencial del circuito eléctrico del motor DC para hallar el torque F, que es la fuerza generalizada del sistema.

Solución Ecuaciones: Se soluciona el sistema de ecuaciones de movimiento de Lagrange para las variables ̈

̈

Las ecuaciones de movimiento se transforman para obtener La Ecuación de

Estado y esto se realiza manteniendo el siguiente orden.

Representación en Variables de Estado: Se realiza la transformación de las ecuaciones de movimiento de Lagrange en Variables de Estado x1, x2, x3 y x4.

Puntos de Equilibrio: Se encuentran los puntos de equilibrio para las variables de ̈ estado x1, x2, x3, x4 al solucionar las ecuaciones de movimiento de lagrange con ̈

Linealización. Se calculan las matrices Jacobianas, se evalúan alrededor de los puntos de equilibrio, dando como resultado las matrices A y B de la ecuación de estado.

9 Los jacobianos para hallar A y B son:

Luego de obtener las energías potenciales y cinéticas debidas al brazo y al péndulo, de haber hallado la función de disipación de Raleigh, el lagrangiano el modelado del motor de DC entonces se pasa a la representación en variables de estado.

Se definen las variables de estado x1, x2, x3 y x4 como

Las ecuaciones en forma de estado son:

Donde se han introducido las variables

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Puntos de Equilibrio Aplicar la ecuación de estado tal que ̇ = f (x; 0) = 0

Despejando se tiene que: sin(x3) = 0 Por lo tanto, resolviendo para x3 se obtienen los puntos de equilibrio

Linealización: Aplicando las Ecuaciones.

Se evalúan alrededor de los puntos de equilibrio x0

11 Por lo tanto,

Evaluando las constantes introducidas anteriormente.

La representación del péndulo rotacional invertido en espacios de estados.

3.2

Aparatos e Instrumentos Utilizados:

Planta Péndulo invertido Rotacional: utilizada para el proceso de caracterización y diseño de control LQR.     

Tarjeta de adquisiciónPCI-DAS6014 Tarjeta de Adquisición National Instruments

Cables para conectar al Panel.

MATLAB versión 7 o superior, con SIMULINK, y herramienta de tiempo Real.

LABVIEW versión 8 o superior.[2]

12

3.3 

Rangos de Operación

El nivel de voltaje de las salidas del encoder incremental para el péndulo es 12V

Péndulo.   

Resolución 1000 Pulsos/ revolución Ancho de Pulso 6microsegundos Dirección 0 contra horario 1sentido Horario

Brazo   

Resolución 288 pulso/ revolución Ancho de Pulso 56microsegundos Dirección 0 contra horario 1sentido Horario

La selección del periodo de la señal PWM esta relacionado con el Tiempo de la Constante Eléctrica del servomotor DC, torquemotor = 620microS, o un múltiplo de ella.

3.4

Puesta En Marcha.

Diagrama de Conexiones

13

3.5

Sensores y Actuadores.

Servomotor DC. Se compone de Motor DC y Encoder óptico

Motor DC:   

Voltaje Estimado: 27VDC Corriente Estimada: 2.33A Pico de Corriente: 8.5A

Encoder Óptico:     

Voltaje de Entrada: 5VDC Corriente Máxima: 100mA Señal de Salida: TTL, Onda Cuadrada por canal con desfase de 90± Resolución: 72 Pulsos/Rev. Rango de Frecuencia: 10kHz

Encoder Incremental.        

4

Voltaje de Operación: 10.8–26.4VDC Max. Rizo Permitido: 3% Consumo de Corriente: 50mA Configuración de Salida: Colector Abierto Forma de Señal: Salida en Quadratura con desfase de 90± Voltaje de Salida: Depende del Voltaje de Alimentación Resolución: 500 Pulsos/Rev. Max. Respuesta frecuencia: 200kHz

Resultados y Discusión 4.1

Estrategia de Control

La implementación de la estrategia de control esta basada en la realimentación de estado usando un control lineal ´optimo para lograr la estabilidad del péndulo en la posición vertical superior, en las vecindades del punto de equilibrio inestable, punto en el cual el sistema fue linealizado.

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Figura 4 controlador por realimentación de estado

Se implementa un sistema regulador, donde se supone que el vector de control realimentado es de la forma u = -Kx, y se determina la matriz de ganancia de retroalimentación K, tal que minimice el índice de desempeño cuadrático.

Denominado sistema regulador optimo cuadrático.

Los parámetros de diseño disponibles para un controlador LQR son las matrices de peso Q y R, las cuales determinan la importancia relativa del minimizado de los estados y la señal de entrada. La selección de las matrices de peso es la parte más dificultosa en el diseño del controlador. Generalmente, la estrategıa propuesta para la elección de matrices es un simple ensayo y error: empezar con unos valores iniciales, evaluar las prestaciones, cambio de parámetro y evaluar, cambiar otro parámetro y evaluar, y seguir así en una ardua labor.

Considere las matrices Q y R, Q = diag {q1; : : : ; qng} R = diag {r1; : : : ; rmg} Sea el vector de estados ̇ deben ser calculados a partir de Donde ̇ que son medibles. Estos estados no medibles pueden ser encontrados implementando un observador de estado o usando la ecuación en diferencias:

Las máximas desviaciones permisibles para la matriz Q son:

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Los valores

corresponden a la resoluci贸n de los encoders Incrementales se realiza una lectura sobre el sistema real calculando las velocidades y seleccionando las m谩ximas obtenidas. Los elementos de la diagonal son:

Por lo tanto,

Y R= 132.82

Se utiliza el comando lqr de Matlab para calcular la matriz de ganancias K,

C贸digo implementado en matlab.

clc close all clear format long A=[0 1 0 0; 0 -17.94193841 -3.63592383 0; 0 0 0 1; 0 9.50437818 8.54767857 0] B=[0;25.01250212;0;-13.24986599] C=[1 0 0 0; 0 0 1 0] D=[0;0] p=poly(A) [VecP,VrP]=eig(A) q11=2100.996064; q22=0.05252489963; q33=25330.29590;

16 q44=0.6332571220; Q=[q11 0 0 0; 0 q22 0 0; 0 0 q33 0; 0 0 0 q44]; R = 132.82 K=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(A-B*K)] pK=eig(Ac) Bc=[B]; Cc=[C]; Dc=[D]; En simulink

Figura 5. Representaci贸n en Diagrama de Bloques

Figura 6. Posici贸n de Brazo y P茅ndulo en Simulink

17

Figura 7. Muestra todos los estados del sistema

Figura 8. Implementaci贸n del controlador en LabView

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5. CONCLUSIONES



Trabajar con el modelo no lineal crea destrezas para controlar sistemas no lineales con menor o mayor complejidad que un péndulo invertido, permitiendo ganar experiencia para el futuro.



Determinar la Posición angular del péndulo fue sumamente importante para empezar a entender el problema de control



Es importante conocer las características de funcionamiento claves de una planta para empezar a implementar un controlador, características como rangos de operación, actuadores, sensores, y puesta en marcha de la planta.



Luego de tener las matrices es posible ahora sintonizar el LQR para esto se hacen variaciones para R y asi obtener un valor adecuado para el control.



Del “mundo de la Simulación” al mundo real hay una brecha muy grande, gracias a estas practicas se puede aprender acerca de la cantidad de factores que puede influir para el correcto funcionamiento del controlador en las plantas.



La linealización del modelo no lineal restringe su validez a puntos cercanos al punto de equilibrio.



El LQR a pesar de que es un controlador relativamente fácil de implementar es muy adecuado para el control óptimo.



Las plantas pueden llegar a ser muy inestables, por lo que sino se tiene cuidado con la implementación de los controladores estas liberan esta inestabilidad en forma de energía y puede causar daños.

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6. REFERENCIAS [1] Carlos Enrique Posso Sabogal Trabajo de Grado Péndulo Invertido Rotacional. Armenia 2005. Universidad del Quindío Facultad de Ingeniería. Programa electrónica [2] Carlos Enrique Posso Sabogal Presentación de Sustentación Péndulo Invertido Rotacional. Armenia 2008. Universidad del Quindío Facultad de Ingeniería. Programa electrónica [3]