Planeación tercero 2015 2016 by CARLOS RODRIGUEZ

Estándares Curriculares 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la información 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas

Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autónoma Comunicar información matemática Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente

Aprendizajes esperados Explicar la diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO EJE SENTIDO NUMERICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

BLOQUE I CICLO ESCOLAR 2015-2016

TEMA PATRONES Y ECUACIONES FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.1.1 Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

ACTIVIDADES En equipos resuelvan la siguiente situación: Una inmobiliaria vende lotes en un fraccionamiento de nueva creación. Ricardo comprará el lote N° 3, de forma cuadrada, con una extensión 225 m2 de área y desea conocer la medida del lado del terreno.

Para encontrar el valor del lado del lote, modela el problema a través de un cuadrado de 225m2 de área, intenta hacer una representación algebraica, para deducir el valor de la incógnita “x”. ¿Cuál es el número que multiplicado dos veces es igual a 225? ¿Cuánto mide el lado del cuadrado si su área es de 225 cm2? Si la fórmula para obtener el área de un rectángulo es base por altura, ¿Cómo representarían el área del cuadrado anterior? ¿Cómo se representa el cuadrado de un número? ¿Cuál sería la representación algebraica del modelo? ¿Cuál sería la representación del cuadrado si su área es igual a 225? ¿Cuánto es el valor de la incógnita “x”? Los representantes de la inmobiliaria le venden un excedente de 150m2 situado junto al lote 4, del que se conoce únicamente la longitud de 10 m que se encuentra sobre la calle Benito Juárez. Se desea conocer la medida del lado faltante. Para ello, lo representa a través de un modelo que le permita encontrar la representación algebraica. ¿Cuánto es el área de ambos lotes más el excedente? Si el ancho de la figura anterior mide “x”, ¿cuánto mediría el largo? Si, para obtener el área de un rectángulo la fórmula es base por altura, ¿cómo representarías el área del rectángulo anterior? ¿Cómo se representa el doble del rectángulo de un número más el área de la región excedente?

ACTIVIDADES ¿Cuánto es el valor de la incógnita “x”? Organizados en parejas, inventen un problema que se pueda resolver con cada una de las ecuaciones presentadas. Resuelvan y comprueben resultados. Pueden utilizar calculadora. x ( x +3) = 270 a2 +a = 132 3n2-n=102 LOS ALUMNOS DE MANERA INDIVIDUAL REALIZA LA SIGUIENTE ACTIVIDAD: Materiales: Una hoja de foamy o cartulina de color oscuro Una hoja de foamy o cartulina de color claro Tijeras o navaja de corte La x2 se representará con un cuadrado de 2 cm de lado, la x con un rectángulo de 2 cm por 1 cm de lado y la unidad con un cuadrado de 1 cm de lado, donde el color oscuro representará a los negativos y el claro a los positivos.

Para representar que tres veces x2 es igual a 75, se puede hacer de la siguiente forma.

Si son tres veces x2, ¿cómo obtendrías el área de cada cuadrado? x2 = ¿Cuánto sería el valor de x, si el área del cuadrado es 25cm2? Por lo tanto, x tiene dos valores x1= 5 , x2 = 5 Utilizando la fórmula para obtener el área de un rectángulo, ¿qué operaciones harías, y cómo las realizarías para obtener el valor de x? Realiza tus operaciones:

ACTIVIDADES En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora y traten de justificar sus respuestas. 1.

El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata?

El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. ¿Cuál es ese número?

El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. ¿Cuál es ese número?

En equipo resuelvan los siguientes problemas. Para ello, planteen y resuelvan una ecuación para cada caso. Si consideran necesario, utilicen su calculadora. 1. El parque de una colonia está ubicado en un terreno cuadrado. Una parte cuadrada del terreno de 50 m por lado se ocupa como estacionamiento y el resto es el jardín con un área de 14 400 m2. Calculen cuánto mide por lado todo el terreno. 50 50

Ecuación: x

x 2. A una pieza de cartón de forma cuadrada (Fig. B), se le recortan cuadrados en las esquinas para hacer una caja sin tapa, con las siguientes medidas: Altura = 10 cm; Volumen =1 000 cm3. Calculen la medida por lado del cartón que se necesita para hacer la caja. Fig. A Fig. B

Volume : ________________ 3.En parejas. Lean las siguientes preguntas, planteen una ecuación y encuentren la solución. Algunas preguntas pueden tener más de una respuesta, así que al terminar la actividad verifiquen con su profesor o profesora que las respuestas estén completas.

ACTIVIDADES a)

El cuadrado de un número es 121, ¿cuál es este número? Ecuación: __________ Solución: ___________

El cuadrado de un número es 2, ¿cuál es este número? Ecuación: ____________________ Solución: _____________________

El cuadrado de un número más 4 es 53, ¿cuál es este número? Ecuación: ___________________ Solución: ____________________

Resuelvan en parejas los siguientes problemas: 

El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m2,



¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?



El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro,



¿Cuáles son los números?



Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es 270,

¿Qué edad tiene cada uno? Reúnete con tus compañeros de equipo y discutan lo siguiente: El producto del antecesor y el sucesor de un número es 8, ¿cuál es el número? Si x es el número desconocido, ¿cómo se representa a su antecesor? ¿Y a su sucesor? ¿Y al producto de ambos? ¿Hay más de un número que satisfaga esta condición? Discute las respuestas de tu equipo con las del resto del grupo. Si duplicas un número, al resultado le sumas 3 y este último número lo elevas al cuadrado, obtienes 625. ¿Cuál es el número original? Llama x al número desconocido (incógnita) y plantea una ecuación. ¿Hay más de un número cuyo cuadrado sea 625? ¿Hay un único número que satisfaga la ecuación que planteaste? Argumenta tus respuestas y discútelas con tus demás compañeros. ____________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________

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EJE FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

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TEMA FIGURAS Y CUERPOS FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.1.2 Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

ACTIVIDADES Para realizar esta actividad debes integrarte en equipo de dos o tres integrantes. Usen una regla para medir la longitud de los lados de las figuras A, B, C, y D; con esos datos calculen el área de cada una de ellas.

Escriban sus resultados y compárenlos con los de sus compañeros. Área de la figura A: ___________________ Área de la figura C: __________________

Área de la figura B: ___________________ Área de la figura D: ___________________

Discute con tus compañeros si hay alguna relación entre las dos formas descritas, esto es, entre la forma de calcular el área de un rectángulo y la manera de calcular el área de un cuadrado. Anoten sus conclusiones: _______________________________________________________________________

ACTIVIDADES En equipos resuelvan los siguientes problemas. 1.

Cada integrante del equipos construya los triángulos cuyos ángulos midan:

a) b) c)

60º, 60º y 60º 90º, 45º y 45º 90º, 60º y 30º

2. Agrupen sus triángulos, de acuerdo con las medidas de sus ángulos. Después contesten: ¿Por qué creen que los triángulos de cada grupo tienen la misma forma? __________ 3.

Elijan dos triángulos que tengan la misma forma y hagan lo siguiente:

a) b) c)

Nombren uno de los triángulos con las letras ABC y al otro con A’B’C’ Nombren los lados de uno de los triángulos con las letras abc y los lados del otro con a’b’c’. Midan los lados de ambos triángulos y anoten los datos que se piden en la siguiente tabla.

Triángulo ABC

a/a’=

b/b’=

Triángulo A’B’C’

a’=

b’=

c’=

a/b=

a’/b’=

c/c’=

¿Por qué se puede asegurar que los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ son proporcionales? ___________________________________________________________________________ En parejas lean el siguiente texto y resuelvan las cuestiones: Camilo, Ernesto y Fidel han salido de campamento a la reserva ecológica de La Marquesa, en el Estado de México. Se han pasado dos días, sábado y domingo, estupendos. Han acampado, paseado en caballo, aprendido a reconocer la vegetación y los animales del entorno y han cuidado la ecología del lugar. Por supuesto, han tomado muchas fotografías. Una vez que han regresado, y después de salir de la escuela, Camilo llevó a revelar el rollo. El tamaño normal es del formato 4 x 6. Él ha pedido que le amplíen, además, tres fotografías que le han gustado especialmente. Las quiere a formato doble y una más en formato de 6 de ancho por lo que dé de largo, pues tiene un marco de madera sin ocupar que quiere utilizar. Ernesto aparece en una de las fotos apoyado en un bastón de 0.95 m de longitud y que, en la fotografía de formato 4 x 6 aparece de 4.5 cm de altura. ¿En qué unidades se consideran los formatos de fotografía? ¿Qué es el formato 4 x 6? Si Ernesto aparece en el formato 4 x 6 de una estatura de 8 cm, ¿de qué estatura será en el formato 8 x 12? El formato que pide Ernesto de 6 de ancho, ¿cuánto debe tener de largo? ¿Cambia la forma de los objetos en los tres formatos?

ACTIVIDADES En equipos resuelvan el siguiente problema. Tracen los rectángulos que muestran el tamaño de las fotografías de la sesión anterior sobre el siguiente plano cartesiano, ubicando uno de sus vértices en el origen de éste y tracen otros dos rectángulos semejantes a los dos primeros, de manera que coincidan con el punto (0,0). Expliquen cómo pueden saber que los dos últimos rectángulos son semejantes a los primeros.

En equipos, construyan un pentágono regular semejante al que aparece abajo, pero cuyos lados midan el doble; tomen como referencia el punto E”.

Comparen los lados homólogos de ambos polígonos y escriban el factor de proporcionalidad entre ellos. Después digan cómo son los ángulos correspondientes entre ambos polígonos Nuevamente los alumnos deberán concluir que el factor de proporcionalidad de los lados homólogos es constante y que los ángulos correspondientes entre ambos polígonos son iguales.

ACTIVIDADES ACTIVIDAD EN EQUIPO Formar equipos de 5 personas y construir un tangrama. Materiales: Placa de unicel de 50 cm x 50 cm Papel lustrina de colores diversos Cinta o pegamento Cúter Trazar el tangrama en el unicel de 50cm x 50 cm recortarlo y forrarlo con el papel lustrina, ahora construir figuras semejantes utilizando las piezas del tangrama. A manera de concurso armar diversas figuras con las piezas del tangrama anotar las propiedades de los cuadriláteros y triángulos que forman las 7 piezas del tangrama. Concluir la actividad exponiendo las figuras en la pared del salón de clase.

Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema. Se quiere ampliar una fotografía cuyas medidas son 4 cm de largo por 2 cm de ancho, de tal manera que el homólogo del lado que mide 4 cm, mida 7 cm en la fotografía ampliada, ¿cuánto deberá medir el otro lado? Es necesario que durante la puesta en común los alumnos expliquen cómo determinaron la medida faltante. Un procedimiento posible es la regla de tres. Otro es buscar la constante de proporcionalidad entre 4 y 7, que es 7/4 y la multipliquen por 2.

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EJE FORMA, SEPACIO Y MEDIDA GRUPOS: A, B, C, D, E, F

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TEMA FIGURAS Y CUERPOS FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.1.3 Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

ACTIVIDADES Realizar la siguiente actividad en equipo. Construye con tu regla dos triángulos en los cuales un lado mida 6 cm y otro 8 cm. CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS Compara tus triángulos con los de algún compañero. ¿Qué observas? ¿Cuántos triángulos diferentes puedes construir si te dan dos longitudes? ¿Por qué? Usa una regla y un compás para construir en tu cuaderno triángulos cuyas longitudes de los lados sean: a) 9 cm, 7 cm, 5 cm c) 8 cm, 8 cm, 8 cm e) 7 cm, 12 cm, 11 cm

b) 7 cm, 7 cm, 10 cm d) 6 cm, 5 cm, 12 cm f) 10 cm, 6 cm, 4 cm

¿Con qué medidas pudiste hacer un triángulo? Explicar qué relación hay entre la suma de las longitudes de los dos lados más cortos y la medida del otro lado. Escribir 3 ternas de longitudes de lados que se pueden usar para construir un triángulo. No pienses en ternas con longitudes iguales. ¿Qué puedes concluir sobre la longitud de los lados de un triángulo? ¿Escribe los tres criterios de congruencia de triángulos? ¿Qué significa congruencia? ¿Cuál es el símbolo de congruencia? ¿Cuál es la diferencia entre congruencia y semejanza?

ACTIVIDADES Ahora, proponer a un compañero dos conjuntos de 3 medidas que formen un triángulo, constrúyanlos cada uno en el cuaderno y compárenlos. ¿Qué observas? ¿Cuántos triángulos únicos (diferentes entre sí) podrías construir en una cuadricula de 3 por 3, con los vértices en puntos de la cuadricula? Construye todos los que puedas, clasifícalos y compara tus construcciones con las de otro compañero. Puede que en cada retícula tengas ¿Es cierto que si los tres lados de un triángulo son iguales a los de otro, entonces esos triángulos son iguales? Realizar el ejercicio en sus cuadernos y luego comparen sus respuestas con las de otros equipos. Usen una regla y un transportador para construir un triángulo que tenga dos ángulos con las medidas que se dan a continuación y registren los resultados en la tabla siguiente. a) 30°, 50° b) 40°, 50° c) 90°, 95° d) 60°, 60° e) 110°, 70° f) 80°, 80°

Explica por qué en algunos casos no pudiste construir un triángulo. En caso de poder construir un triángulo, ¿cuánto vale la suma de la medida de sus tres ángulos? ¿Qué observaste al comparar tus triángulos con los de tus compañeros? ¿Cómo deben ser los ángulos para que 2 triángulos sean congruentes? Tracen cada uno de los triángulos en su cuaderno, un triángulo cuyas partes vienen dadas en cada inciso (y lados). Utilicen regla y compás.

a) Triángulo ACE A

TRABAJO EN EQUIPO

En cada uno de los ejercicios anteriores, ¿cómo se relacionan los lados y el ángulo del triángulo dado? Compara cada uno de los triángulos que construiste con los de tus compañeros. ¿Qué observas? ¿Qué puedes concluir de la respuesta y de tus observaciones? ¿Qué puedes decir de dos triángulos que tienen dos lados correspondientes iguales y el ángulo entre ellos igual?

ACTIVIDADES En la siguiente actividad usa una regla y un compás. Primero recuerda cómo copiar con regla y compás un ángulo. Construye a la derecha un triángulo con los datos que se indican. Denota por Z al tercer vértice del triángulo.

En cada uno de los ejercicios anteriores, ¿cómo se relacionan los lados y los ángulos del triángulo? Compara cada uno de los triángulos que construiste con los de algún compañero. ¿Qué observas? ¿Qué puedes concluir de lo que acabas de observar? ¿Qué puedes decir de dos triángulos que tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado entre ellos igual? Resuelve en tu cuaderno, utiliza regla y transportador para construir un triángulo BAD en el cual AB=6 cm, < A=40° y D = 80°. Primero indica cómo están los ángulos y el lado relacionados. Luego, describe paso a paso cómo hiciste la construcción del triángulo. Compara el triángulo que construiste con los de otros compañeros. ¿Qué concluyes sobre esta actividad?

ACTIVIDADES Construye en tu cuaderno, usa una regla, compás y transportador. a) TO = 5 cm OP = 8 cm T = 30°

b) AH =10 cm AT = 6 cm H = 37°

c) TI = 9 cm IE = 4 cm T = 40°

¿Cómo se relacionan los lados de los triángulos que acabas de construir con el ángulo indicado? ¿En alguno de los casos anteriores no pudiste construir el triángulo? ¿En alguno de los ejercicios anteriores obtuviste más de un triángulo? ¿Qué concluyes de esta actividad? INDIVIDUALMENTE DIBUJA, SI ES POSIBLE, EL TRIÁNGULO DEF CON LAS MEDIDAS INDICADAS EN CADA INCISO. AL TERMINAR CONTESTA LAS PREGUNTAS. a) b) c) d)

DE = 3 cm; DE = 4 cm; DE = 5 cm; DE = 8 cm;

EF = 4 cm EF = 5 cm EF = 7 cm EF = 3 cm

y y y y

FD = 5 cm FD = 10 cm FD = 5 cm FD = 4 cm

a) ¿En cuáles casos no pudiste construir el triángulo solicitado? ¿A qué crees que se debe? b) Da dos ejemplos diferentes donde no se pueda construir un triángulo y explica por qué. ORGANIZADOS EN EQUIPOS, CONSTRUYA CADA UNO UN TRIÁNGULO CON LA MEDIDA DE LOS SEGMENTOS QUE SE DAN ENSEGUIDA, RECORTEN SUS TRIÁNGULOS Y COMPÁRENLOS CON LOS DE SUS COMPAÑEROS DE EQUIPO. DESPUÉS CONTESTEN LAS PREGUNTAS.

a) ¿Los triángulos dibujados por cada uno de ustedes fue igual al de sus compañeros de equipo? Si hubo diferencias, analicen sus trazos y digan a qué se debieron. b) ¿Serán iguales los triángulos que ustedes trazaron con los trazados por el resto de sus compañeros de grupo? _________ ¿Por qué? __________________ c) Dada la medida de los tres lados es suficiente para obtener triángulos iguales?

ACTIVIDADES Organizados en equipos, cada uno construya un triángulo con los segmentos que aparecen enseguida de manera que entre ellos formen un ángulo de 60°. Comparen sus triángulos y digan qué sucedió.

Con los mismos datos dibujen un triángulo diferente al anterior. Comenten con sus compañeros de equipo qué sucedió y por qué. Que los alumnos, con base en las actividades realizadas, enuncien de manera precisa la congruencia de triángulos a partir de la medida de dos ángulos y el segmento entre ellos (ALA). Organizados en parejas, construyan un triángulo con el segmento AC y los ángulos que se indican. Al terminar, compárenlo con el de otras parejas poniéndolos a contraluz. A_______________________C

A = 40°

C = 70°

Cada integrante de la pareja dibuje un triángulo cualquiera. Después, cada uno anote en un papelito tres medidas del triángulo que construyó para que con esta información la pareja pueda construir un triángulo igual. Comparen los triángulos para ver si efectivamente son iguales. Que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones y la discusión acerca de la existencia y la unicidad. De manera individual traza, sobre una hoja blanca, un triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que se indica más abajo. a) Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verifiquen que, aunque sean de distintos tamaños, todos son semejantes porque tienen la misma forma. ¿A qué creen que se debe que todos son semejantes? ______________________ Cada integrante de la pareja dibuje un triángulo cualquiera. Después, cada uno anote en un papelito tres medidas del triángulo que construyó para que con esta información la pareja pueda construir un triángulo igual. Comparen los triángulos para ver si efectivamente son iguales. Que los alumnos enuncien los criterios de semejanza de triángulos a partir de las construcciones y la discusión acerca de la existencia y la unicidad. De manera individual traza, sobre una hoja blanca, un triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que se indica más abajo. a) Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verifiquen que, aunque sean de distintos tamaños, todos son semejantes porque tienen la misma forma. ¿A qué creen que se debe que todos son semejantes? ______________________

ACTIVIDADES a) Tomen dos de los triángulos que construyeron y contesten las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la razón entre los lados de esos triángulos? ______________ b) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ___________ c) ¿Cuál es la razón entre sus áreas? _____________ b) Construya cada quien un cuadrado, procurando que sean de distintos tamaños, después contesten las siguientes preguntas: ¿Por qué creen que todos los cuadrados que construyeron son semejantes? Consideren solamente dos cuadrados para contestar lo siguiente: a) ¿Cuál es la razón entre sus lados? ________________ b) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ______________ c) ¿Cuál es la razón entre sus áreas? ________________ Que los alumnos analicen la relación que existe entre las medidas de los lados homólogos de dos triángulos semejantes. De manera individual traza, en una hoja blanca, un triángulo escaleno (tres lados desiguales) cuyos ángulos midan respectivamente 80°, 60° y 40°. Cuando termines tu trazo, haz y contesta lo que se indica en seguida. a) Reúnete con tu equipo y comparen sus triángulos. b) ¿Por qué creen que resultaron semejantes? ____________________________ c) Tomen dos triángulos cualesquiera de los que construyeron, identifiquen los lados correspondientes d) y márquenlos como se indica en el siguiente dibujo. e) Calculen las razones expresadas con letras.

a) ¿Cuál es la razón entre los lados correspondientes de los triángulos que trazaron? b) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? _______________________________ c) ¿Cuál es la razón entre las áreas? ___________________________________

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EJE MANEJO DE LA INFORMACION

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TEMA PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

ACTIVIDADES Que los alumnos calculen el valor faltante en una gráfica cartesiana y logren identificar la variación directa en diversas representaciones. Reunidos en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1)

Con base en la gráfica de la travesía de una moto de carreras que va a una velocidad constante y se encuentra en determinado momento en el punto A (abscisa 20, ordenada 50) contesten las siguientes preguntas:

¿Cuál de las siguientes situaciones puede asociarse con la representación anterior?

Luis tiene 50 años de edad y su hija Diana 20 ¿Qué edad tenía Luis cuando su hija tenía 1 año?

En una librería hay una pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de ¿De qué grosor es cada libro?

50 cm.

ACTIVIDADES Que los alumnos calculen el valor faltante en tabulaciones y a partir de expresiones algebraicas; asimismo, logren identificar la variación directa en diversas representaciones. En equipos resuelvan el siguiente problema: Un automóvil viaja a una velocidad constante, algunas distancias y tiempos de recorrido se muestran en la tabla. Completa los datos que hacen falta en ella y contesta las preguntas. Tiempo (h) Distancia (km)

1.5

240

720

¿Cuál es la constante de proporcional? ¿Cuál de las siguientes expresiones d = 40t; d= 80t; d= 120t es la que corresponde? ___________________________________________________________________________ Argumenten su respuesta ______________________________________________________ ____________________________________________________________________________ Con base en la expresión algebraica identificada, calculen la distancia recorrida por el automóvil en: a) b)

10 horas ________________________________ 12 horas y media __________________________

Dadas las siguientes situaciones identifiquen las que son variación proporcional directa y argumenten sus respuestas. a)

En la taquería de la esquina tienen esta tabla para calcular el precio de los tacos:

El número de obreros que se necesitan para la construcción de una casa en un tiempo flexible se muestra en la siguiente gráfica:

tacos

Precio ($)

La fórmula para calcular el 30% de descuento en una tienda está dada por la expresión y = 0.30x

De manera individual formula dos problemas de variación proporcional directa y dos de variación proporcional inversa.

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TEMA PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.

ACTIVIDADES Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación cuadrática e identifiquen la expresión que modela dicha relación. En equipos resuelvan el siguiente problema: Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Algunos datos que se registraron son los siguientes:

De acuerdo con la información, completen la siguiente tabla:

a) ¿Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? ___________ b) ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en función del tiempo transcurrido (t)? ________ Justifiquen su respuesta. d = 5t d = 5t2 d = 25t d = 5 + t2

ACTIVIDADES Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuación.

a) Escriban la expresión algebraica que muestre la relación entre las distancias y las áreas. b) Anoten los datos que hacen falta en la siguiente tabla. Distancia entre el proyector y la pantalla (m) 1.5 2.5 3.5 4.5 Área de la imagen (m2) c) Utilicen la expresión anterior para encontrar a qué distancia se debe colocar el proyector de manera que el área de la imagen sea de 24.01 m2. d = ______________ Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1) Se tiene un cuadrado que tiene por lado x cm, ¿cuál es la expresión algebraica que permite determinar el área (y)? _____________________ Si al cuadrado se le aumentan 2 cm en una de las dimensiones y 3 cm en la otra dimensión, ¿cuál es la expresión que determina el área (y) del rectángulo que se ha formado? ___________________________________________ 2) En la escuela se organizó un torneo de Voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a todos los elementos del equipo contrario. a) ¿Cuántos saludos se realizan en total? ____________________________________ b) Si uno de los equipos tiene nueve integrantes, c) ¿Cuántos saludos se realizaran en total? ________________________________________ d) ¿Qué expresión algebraica permite obtener el total de saludos (y), si uno de los equipos tiene x cantidad de integrantes y otro tiene un jugador menos? _________________________

ACTIVIDADES 2.

Se tiene un rectángulo que tiene un perímetro de 20 metros, el cual tiene un lado de longitud x metros.

P = 20 m

Escriban una expresión algebraica que represente la variación del área (y) en función de x. Para el primer problema, una tabla como la siguiente permite deducir más fácilmente la relación de las variables.

Para el tercer problema un dibujo como el siguiente permite comprender mejor el problema y empezar a deducir la expresión del otro lado del rectángulo en función de x. El otro lado puede escribirse como 10 - x.

Es importante subrayar que las expresiones que se piden en los problemas pueden escribirse de formas diferentes (x) (x) o bien x2 (x + 2) (x + 3) o bien x2 + 5x + 6 x (x – 1) o bien x2 – x x (10 – x) o bien 10x – x2

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TEMA NOCIONES DE LA PROBALIDAD FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.1.6 Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

ACTIVIDADES Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: Si se realiza el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo. ¿Cuántos resultados puede haber? _____________ Represéntenlos de tal manera que puedan verse todos. Con base en los resultados de lanzar tres monedas al mismo tiempo, contesten lo siguiente:

1  0.125 8 3 La probabilidad del evento “Obtener 1 águila” es  _____ 8 La probabilidad del evento “Obtener 0 águilas” es

La probabilidad de evento “Obtener 2 águilas” es La probabilidad del evento “Obtener 3 águilas” es

 _______  ______

De los cuatro eventos anteriores, ¿cuál tiene mayor probabilidad? ________ ¿Por qué? ___________________________________________________ 3.

Completen las siguientes afirmaciones:

a) b) c) d)

Probabilidad del evento “Obtener 0 águilas”: 12.5 %. Probabilidad del evento “Obtener 1 águila”: ______% Probabilidad del evento “Obtener 2 águilas”: ______% Probabilidad del evento “Obtener 3 águilas”: ______%

ACTIVIDADES 4.- En el experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo, ¿puede haber un evento cuya probabilidad sea? ___________ ¿Por qué? _________________________ El primer reto de este plan es que los alumnos determinen el espacio muestral del experimento de lanzar tres monedas al mismo tiempo y de representarlo de tal manera que se visualicen todos sus elementos. Algunas posibles representaciones son las siguientes:

Con respecto a los problemas 2 y 3, la intención es que los alumnos reconozcan que la probabilidad de un evento puede escribirse con una fracción común, con una expresión decimal o con un porcentaje. Con el problema 4, se espera que los alumnos deduzcan que la máxima probabilidad de un evento es 1 o el 100%. Este momento es pertinente para plantear preguntas de reflexión que lleven a los estudiantes a definir un evento seguro y un evento imposible y relacionarlos con su probabilidad, 1 y 0. Se sugiere seguir construyendo y utilizando las siguientes nociones: La medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento o suceso A cuando se realiza un experimento aleatorio se llama probabilidad del evento o suceso A y se representa con P(A). La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que: • Al evento o suceso imposible le corresponde el valor 0 • Al evento o suceso seguro le corresponde el valor 1.

ACTIVIDADES Espacio Muestral. Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, al conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento. Ejemplo: 

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale águila, sale sol} o E = {A, S}.



Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6} o E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}



Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es E = {(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)}.

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo: En el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos: •Obtener un número primo, A = {2, 3, 5} •Obtener un número primo y par, B = {2} •Obtener un número mayor o igual a 5, C = {5, 6} Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1 .Analicen el siguiente experimento e identifiquen las características de los eventos B y C y M y N.  Experimento: Lanzar un dado.  Espacio muestral: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  Evento B: “Cae un número menor que tres”. B = {1, 2}  Evento C: “Cae un número mayor que cuatro”. C = {5, 6}  Características de los eventos B y C: __________________________________________  Evento M: “Cae el número tres”. B = {3}  Evento N: “Cae un número distinto de tres”. C = {1, 2, 4, 5, 6} Características de los eventos M y N: ____________________________________

ACTIVIDADES 2. Contesten las preguntas siguientes: a) Se lanzan cuatro volados consecutivos y en todos ellos ha caído águila. ¿Cuál es la probabilidad de que en el quinto volado también caiga águila? b) En una caja hay cinco pelotas, una verde, una amarilla, una azul, una negra y una roja. Se realizan extracciones de una pelota al azar y se devuelve la misma a la caja. Si en la primera extracción resulta la pelota roja, en una segunda la verde y en una tercera nuevamente la roja, ¿qué probabilidad hay de sacar la pelota azul en una cuarta extracción? _____________________________ Con respecto a los eventos B y C, se espera que los alumnos se den cuenta que los dos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea cuando se lanza el dado; es decir, el evento “Cae un número menor que tres” no ocurre en forma simultánea con el evento “Cae un número mayor que cuatro”, porque ningún elemento del evento B = {1, 2} aparece en los elementos del evento C = {5, 6} y viceversa. Posteriormente, el profesor puede comentar que este tipo de eventos reciben el nombre de “mutuamente excluyentes” y que su característica fundamental es que no pueden ocurrir en forma simultánea. Es muy probable que adviertan que los eventos M y N tampoco pueden ocurrir simultáneamente, por lo tanto, ahora la tarea, es que los estudiantes adviertan la diferencia entre los eventos B y C y los eventos M y N. La diferencia es que la suma de las probabilidades de M y N es igual al 100%, mientras que esto no sucede necesariamente con los eventos B y C. El profesor puede comentar que los eventos que cumplen con las características de M y N se les llaman “eventos complementarios”. El complemento de M es N (Mc = N) y el complemento de N es M (Nc = M) En el caso de las dos preguntas del problema 2, es muy probable que dados los resultados anteriores, los estudiantes contesten que sea más probable que caiga águila y que la pelota azul tenga menos posibilidades de salir respecto a la roja y la verde. Si fuera necesario los alumnos pueden simular los experimentos, la idea es que deduzcan que cada vez que se realiza un volado o se extrae una pelota, los espacios muestrales son iguales, por lo tanto, siempre que se lanza un nuevo volado, la probabilidad de que caiga águila siempre es igual a ½ o al 50%; en el caso de las pelotas, en cada extracción cada una de las cinco tiene el 20% de salir. Finalmente el profesor puede recapitular diciendo que cuando la probabilidad de un evento no es afectada por el resultado del otro, estos eventos se les llaman “eventos independientes”. Una vez que los alumnos han discutido ampliamente las características de los eventos mutuamente excluyentes, complementarios e independientes; se les puede solicitar que ellos busquen algunos ejemplos más de cada tipo. También se pueden plantear actividades como las siguientes: •

Señala en cada caso qué tipo de eventos corresponden y por qué.

a) Experimento: Lanzamiento de un dado” Evento B = {2} Evento C = {5, 6} Los eventos son: _______________________ porque _________________ c) Experimento: Lanzamiento de un dado” Evento B = {1, 3, 5}

Evento C = {2, 4, 6}

Los eventos son: _______________________ porque ________________

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE MANEJO DE LA INFORMACION

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

BLOQUE I CICLO ESCOLAR 2015 - 2016

TEMA ANALISIS Y REPRESENTACION DE DATOS FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.1.7 Diseño de una encuesta o un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.

ACTIVIDADES: ¿Cuánto tiempo dedicas a los videojuegos? Realiza una encuesta entre diez de tus compañeros de grupo, o con tus familiares y amigos y plantéales esta pregunta. Con la información que obtengas, realiza una gráfica de las horas que invierten las personas encuestadas frente a un aparato de videojuegos. (Menos de 1 hora, 1 hora, 2 horas, 3 horas, 4 horas, más de 4 horas). ¿Cuál gráfica consideras que es mejor para organizar este tipo de información? ¿Cuál fue la opción que tuvo mayor puntuación? Escribe una pregunta de acuerdo a los resultados obtenidos. 2. Los siguientes son datos de cinco películas presentadas en el año 2002. Construye con ellos una gráfica circular.

ACTIVIDADES: a) ¿De cuánto fue el ingreso por las cinco películas? b) ¿Por cuánto ganó la película “Hombres de negro II” a “La era de hielo”? c) ¿Qué películas, entre sí, tienen una diferencia de 38 millones de dólares? d) ¿Qué pregunta se realizó para obtener esta información? Compara la respuesta en grupo. 3.- ¿Qué otro tipo de encuestas podrías realizar? Escribe tres propuestas. Organizados en equipos, planifiquen y lleven a cabo las actividades necesarias para contestar la siguiente pregunta: ¿Cuáles son los deportes preferidos por los estudiantes de tu escuela? En equipos de cinco integrantes elaboren una encuesta tipo chismografo con 20 preguntas de opción múltiple Las preguntas serán sobre dominio público de acuerdo a los gustos y preferencias de los alumnos de la secundaria, por ejemplo, tipo de música que les agrada, películas, videos musicales, artistas equipos de futbol etc. El cuestionario se aplicará a un grupo de la escuela como mínimo 30 alumnos, por cada pregunta deberás llenar una tabla de frecuencias, calcular la moda y porcentajes obtener una conclusión de cada pregunta y elaborar gráficas de barras, histograma, poligonal y circular.

REVISÓN

Vo.Bo. Profra. Mónica Dora Delgado Delgado Directora

Vo.Bo. Profr. Víctor Figuero Martínez Jefe de Enseñanza

Profr. Carlos Rodríguez Romero Titular

Estándares Curriculares 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la información 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas

Competencias que se favorecen: • • • •

Resolver problemas de manera autónoma Comunicar información matemática Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente

Aprendizajes esperados • Explica el tipo de transformación (reflexión, rotación o traslación) que se aplica a una figura para obtener la figura transformada. Identifica las propiedades que se conservan. Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras.

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO EJE SENTIDO NUMERICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

BLOQUE II CICLO ESCOLAR 2015-2016

TEMA PATRONES Y ECUACIONES FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.2.1 • Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización..

ACTIVIDADES La figura A es un rectángulo, traten de averiguar cuanto mide cada lado. No olviden verificar que, efectivamente, con las medidas que encontraron, el área es 84 cm2 y el perímetro 38 cm.

Revisen los resultados que encontraron y determinen cuáles son correctos. Comenten sobre los procedimientos y vean cuáles sí y cuáles no llevaron al resultado correcto. En la siguiente tabla se anotaron los pasos de un razonamiento para encontrar las medidas de los lados de la figura A. Completen la tabla. Si, para obtener el área de un rectángulo la fórmula es base por altura, ¿cómo representarías el área del rectángulo anterior? ¿Cómo se representa el doble del rectángulo de un número más el área de la región excedente?

ACTIVIDADES En los casos en los que el simétrico no es solución de la ecuación, prueben con otros números para encontrar la otra solución. Una manera de resolver las ecuaciones de segundo grado consiste en buscar, por ensayo y error, números que satisfagan la ecuación. Así por ejemplo, para resolver la ecuación x2 + 3x = 28, se puede usar una tabla como la siguiente

En la tabla anterior, se ve que cuando x vale 1, x2 + 3x es igual a 4. Cuando x vale 2, x2 + 3x es igual a 10. Prueben con otros valores de x hasta que encuentren que x2 + 3x es igual a 28. Hay un número negativo que también satisface la ecuación x2 + 3x = 28. Usen la misma tabla para encontrarlo. Según lo que encontraron, la ecuación x2 +3x = 28 tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa. Anótenlas. Encuentren las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones. a)

5x2 = 45

b) 4x2 = 1

c) x2 + x = 56

d) x2 + 6x + 8 = 0

3. Algunos productores de fresas utilizan recipientes de forma cúbica para la congelación de éstas; el volumen que ocupa cada recipiente es de 1 728 cm3. a) ¿Cuánto mide la arista del recipiente de las fresas? Escribe el procedimiento que utilizaste para obtener la medida. b) Si representas con x la arista del cubo, ¿cuál sería la expresión general de su volumen? c) ¿Cuánto mediría la arista si el volumen que ocupa el recipiente fuera de 8 000 cm3?, ¿y si fuera de 10 000 cm3? Compara tus respuestas con las de tu grupo.

ACTIVIDADES Anoten la información que falta en la siguiente tabla.

Con ayuda de su profesor o profesora, hagan lo siguiente:  Revisen la primera columna para ver si el problema que ustedes escribieron corresponde a la ecuación ya escrita.  Revisen la segunda columna para ver si las ecuaciones que escribieron coinciden.  Revisen las soluciones y verifiquen que los valores encontrados satisfacen las condiciones de cada problema. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. El área de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado? 2.El triple del área de un cuadrado menos seis veces la medida de su lado es igual a cero. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado? En el primer caso se espera que los alumnos escriban la ecuación; luego, es muy probable que vayan probando con diferentes números hasta encontrar el valor de x que cumple con las condiciones del problema, que en este caso sería 8. Quizás algunos intenten despejar y lleguen a lo siguiente: Si esto sucede, ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la ecuación como x(x – 8) y que como este producto es igual a cero, uno de los factores, o los dos, debe ser cero. De manera que, o bien x = 0, o x-8=0. De esta última ecuación se desprende que x =8. De estas dos soluciones, x1 = 0 y x2 = 8, claramente la que cumple con las condiciones del problema es 8.

ACTIVIDADES Puede ocurrir que en la ecuación , algunos alumnos hagan lo siguiente:

x 2  8x x 2 8x  x x x8 Esta es otra manera de encontrar una de las soluciones de la ecuación. En el segundo problema la ecuación que se espera que planteen los alumnos es: Una vez que han planteado la ecuación correctamente, pedirles que expresen a 3x2 -6x como el producto de dos factores. En esta parte es muy probable que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones equivalentes: x(3x -6)=0; 3x(x -2)=0; luego, que encuentren que los valores de x son 0 y 2. En equipo resuelvan el siguiente problema: La edad de Luis multiplicada por la de su hermano, que es un año mayor, da como resultado cinco veces la edad del primero. ¿Cuáles son las edades de Luis y de su hermano? Se espera que los alumnos planteen la ecuación: x(x+1) = 5x Una vez que hayan planteado la ecuación y traten de despejar x, es probable que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones: x2 – 4x = 0 o x2 = 4x En este caso, conviene retomar el primer caso y ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la ecuación, transformándose la expresión en x(x – 4) = 0, y que los valores para x son 0 y 4. En el segundo caso, es conveniente pedirles que igualen a cero la ecuación. Una vez que hayan logrado determinar los valores de x, es necesario que verifiquen cuál de ellos es la solución del problema. Con la finalidad de que los alumnos se familiaricen con esta técnica que consiste en factorizar la ecuación para encontrar las soluciones, hay que plantearles muchos otros problemas como los siguientes: Calcular el lado de un cuadrado, sabiendo que el triple de su área es igual a 21 veces la longitud del lado. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo número. ¿Cuáles es ese número? También se les puede pedir que resuelvan algunas ecuaciones como las siguientes: a) b) c)

x(x+2)=4x 2x(x+1)=0 2x2-4x=0

En equipo, resuelvan los siguientes problemas: A un cuadrado (Fig. A) se le aumenta 7 cm de largo y 3 cm de ancho, con lo que se forma un rectángulo (Fig. B) cuya área es x2+10x+21. Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica

ACTIVIDADES Puede ocurrir que en la ecuación , algunos alumnos hagan lo siguiente:

x(x+2)=4x 2x(x+1)=0 2x2-4x=0

ACTIVIDADES a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido (Fig. B)? Base: _________

altura: _____________

b) Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+10x+21 b) Si el área de un rectángulo similar al de la figura B, es x2+9x+18, ¿cuántos centímetros se le aumentó de largo y cuántos de ancho? c) Si el área x2+9x+18 es igual a 40 cm2, ¿cuántos centímetros mide de largo y cuántos centímetros mide de ancho el rectángulo? Aunque en el primer apartado del bloque 1 se haya trabajado la factorización, hay que tomar en cuenta que factorizar es una tarea compleja, por lo que en el caso del inciso c, hay que ayudarles a que se den cuenta que para encontrar los términos no comunes basta con descomponer el tercer término en dos factores tales que, sumados den el coeficiente del segundo término y multiplicados den como resultado el tercer término del trinomio. Con ello, se espera que los alumnos factoricen al trinomio como y determinen que se le aumentó 6cm de largo y 3cm de ancho. En el caso del inciso d, se espera que los alumnos primero establezcan la igualdad, luego igualen a cero y después factoricen; sin embargo es muy probable que algunos alumnos hagan lo siguiente: y luego por ensayo y error determinen el valor de x. Si esto sucede hay que decirles que un camino es igualar a cero y luego factorizar, es decir, obtener la ecuación: y luego factorizar la para obtener Al llegar a esta forma hay que ayudarles a ver que cada uno de los binomios se puede igualar a cero y se despejan las incógnitas, con lo cual se obtienen las dos soluciones de la ecuación: x1= -11 y x2= 2. Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son 8cm de largo por 5cm de ancho. Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros problemas para resolver en el salón y de tarea. Por ejemplo: a) ¿Cuántos metros mide por lado el siguiente cuadrado?

b) ¿Cuántos centímetros mide la base y cuántos centímetros mide la altura del siguiente paralelogramo?

ACTIVIDADES c) ¿Cuáles son las dimensiones del siguiente rectángulo?

Una forma de resolver una ecuación cuadrática completa de la forma x2 + bx + c= 0 es factorizando el trinomio de segundo grado. Ejemplo: x2+ 2x – 8 = 0

b=2

c=-8

Ahora se iguala cada uno de los factores anteriores con cero y se resuelven las ecuaciones. x+4=0 x=0–4 x=–4

x–2=0 x=0+2 x=2

• ¿Qué instrucciones debes introducir en la celda de una hoja de cálculo para que puedas obtener la raíz o las raíces de una ecuación cuadrática, mediante la factorización, cuando el coeficiente del término cuadrático es 1 y cuando es diferente de 1? Comparte tus resultados con tus compañeros. Utilizando una hoja electrónica de cálculo y con la ayuda de tus compañeros, resuelvan el siguiente problema. Una empresa produce moldes de lámina en forma de prisma con base cuadrada sin tapa. Si se necesita que el total de material empleado para cada molde, sin tomar en cuenta el desperdicio, sea de 76 cm2 y que cada pieza tenga una altura de 5 cm, ¿cuál debe ser la medida de los lados de la base del molde? a) Escriban una expresión que represente el área de la base del molde. b) Escriban una expresión que represente el área total del molde.

ACTIVIDADES Que los alumnos usen la factorización para resolver problemas y ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0. En equipo resuelvan el siguiente problema: Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografía y colocarlas alineadamente, como se muestra en el dibujo, se forma un rectángulo cuya área es 72 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que se forma?

Al relacionar los datos del problema, se espera que los alumnos formulen la ecuación x(28+4x)=72 y después a su equivalente: Después, plantearles la siguiente pregunta. ¿Qué se puede hacer para simplificar la ecuación? La idea de es que dividan entre 4 para llegar a lo siguiente: Una vez que los alumnos lleguen a la ecuación anterior hay que pedirles que la igualen a cero y que la expresen como producto de dos factores que tienen un término común. Esta expresión escrita en su forma general es la siguiente: (x+a)(x+b)=0, misma que es equivalente a: x2+ax+bx+ab= x2+(a+b)x+ab, es decir, se trata de encontrar dos números que sumados den el coeficiente de x y multiplicados den el término independiente. Para la ecuación x2+7x-18=0 esos números son: (x+9)(x-2)=0. A partir de aquí, las soluciones están a la vista: x1=-9 x2=2 Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo que se forma con las ocho piezas es 36 cm de largo por 2 cm de ancho. Una variante del problema consiste en plantearles que el área de todo el rectángulo, formado por la foto y su marco es (2x + 6)(2x + 8)= 48 + 72. Pedirles que resuelvan esta ecuación para hallar el ancho y el largo del marco armado. Para consolidar esta técnica se puede proponer que resuelvan por factorización ecuaciones como las siguientes: a) 4x2 + 6x = 0 b) 5x2 + 10x = 0 c) x2 + 4x = 7x d) x2 + 6x +8 = 0 e) m2 + 10m + 21 = 0 f) n2 – 6 = - n g) x2 - 10x + 25 = 0 h) x2 = - 6x - 9 i) 12x +36 = - x2 o que encuentren una ecuación cuyas soluciones sean por ejemplo: a) x1 = 3, x2= -1 b) x1 = 5, x2= 7 c) x1 = -4, x2= -1 d) x1 = -4, x2= 3

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EJE FORMA, ESPACIO Y MEDIDA GRUPOS: A, B, C, D, E, F

BLOQUE II CICLO ESCOLAR 2015-2016

TEMA FIGURAS Y CUERPOS FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.2.2 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras.

ACTIVIDADES Traza la figura simétrica al triángulo ABC con respecto a la recta l,nombra los puntos de la figura resultante A’, B’ y C’ respectivamente. Después traza otra figura simétrica al triángulo A’B’C’ pero con respecto a m, llama los puntos de la figura resultante A’’, B’’ y C’’ respectivamente.

2. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Qué semejanzas y qué diferencias hay entre los triángulos ABC y A’B’C’ ? b) ¿Qué semejanzas y qué diferencias hay entre los triángulos ABC y A’’B’’C’’? c) ¿Cuáles de los tres triángulos tiene la misma orientación? d) ¿Cómo son entre sí las distancias de A a l?, ¿y la de B a l y de l a B? e) ¿Qué procedimiento realizarías para obtener la tercera figura a partir de la primera, pero sin tener que trazar la segunda?

Compara tus respuestas con las de tu grupo.

ACTIVIDADES Organizados en equipo, completen las siguientes figuras de manera que la recta m sea eje de simetría de cada figura y contesten las preguntas.

a) b) c) d) e) f) g) h)

¿Qué figura se formará en el tercer dibujo? ¿A qué distancia de m estará el punto B’ en la primera figura? ¿Cuál va a ser la medida de los lados simétricos en cada figura? ¿Cuánto medirá el ángulo B’? ¿Cuál va a ser la medida de los ángulos O’ y P’ en la segunda figura? ¿Qué figura se formó en cada caso? Las figuras anteriores ¿tienen otros ejes de simetría, además de m? Trázalos. ¿Con qué otras figuras que tú conozcas sucede algo semejante?

Los alumnos ya han realizado ejercicios en la primaria acerca de obtener la figura simétrica o de trazar todos los ejes de simetría de una figura dada, pero no se ha formalizado el concepto de que los lados de una figura conservan su longitud y su ángulo al trazar la figura simétrica. Es conveniente ir formalizando el lenguaje geométrico. Tracen la figura simétrica a la dibujada. Consideren la línea q como eje de simetría. Al terminar los trazos, respondan las preguntas.

 

Describe el procedimiento que seguiste para trazar las figuras anteriores. ¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto de la original?

En los casos donde el eje de simetría es diagonal, se les hará reflexionar en la perpendicularidad de las líneas auxiliares y el eje de simetría, así como la medida de su longitud.

ACTIVIDADES La traslación es el desplazamiento de una figura a lo largo de una misma dirección. Cada uno de sus puntos se desplaza en la misma distancia y en la misma dirección. La figura ABCDE se trasladó respecto a la longitud y dirección del vector m. Para ello, se trazan rectas paralelas al vector por cada vértice de la figura y se considera la longitud del vector a partir de cada vértice de la figura, el resultado son los vértices de la figura trasladada A’, B’, C’, D’ y E’.

El resultado de aplicar una doble reflexión a una figura respecto a dos ejes paralelos, es una traslación. Si a una figura se le aplica una doble reflexión, la figura original se traslada el doble de la distancia entre los dos ejes. La rotación es la acción de desplazar una figura cierta cantidad de grados alrededor de un punto que sirve como centro de giro. Para la rotación de una figura se une cada vértice de la misma con el centro de giro O. Después se trazan arcos con centro en O tomando como radios las distancias de O a cada vértice. Luego se forman ángulos de la misma medida que el ángulo de giro.

ACTIVIDADES Para celebrar las fiestas tradicionales en nuestro país, como el día de la Independencia, el Día de muertos o las Posadas, entre otras, comúnmente se realizan decoraciones con papel picado que sirve de adorno. • Investiga la técnica con que los artesanos elaboran estos diseños y menciona qué clase de transformaciones geométricas utilizan para realizar las figuras en el papel picado. • Elabora un diseño en papel picado en el que se observen distintos tipos de transformaciones geométricas. 2. Realiza en tu cuaderno lo que se pide a continuación. a) Realiza una rotación de 60° en el sentido de las manecillas del reloj, del triángulo ABC respecto al punto O.

CONCLUIR CON LOS ALUMNOS: La traslación es el movimiento es el movimiento que sufre una figura, de manera que permite que todos los puntos describan una trayectoria paralela en una dirección dada. La directriz es un vector que define la dirección y el sentido. Esta se conoce también con el nombre de traslación rectilínea. PROPIEDADES DE LA TRASLACION: a) Todos los puntos de la figura que será trasladada deberán estar en el mismo plano. b) En el plano debe existir una recta que permanezca fija, la cual será la directriz. c) Todos los puntos que vayan a ser llevados de un punto a otro mediante el movimiento de traslación deben describir trayectorias paralelas a la directriz. d) Al ser indicada la directriz, es posible indicar también la distancia que será trasladada, con la unidad adecuada. PROPIEDADES DE LA ROTACIÓN La rotación está considerada como un giro, y es el movimiento que realiza una figura geométrica en todos sus puntos al girar en base a un punto fijo llamado centro de rotación.

ACTIVIDADES 1) Este centro o punto de rotación puede estar dentro o fuera de la figura. 2) El giro se realiza mediante la amplitud de un ángulo medido en grados. 3) La rotación puede tener varias tendencias como giro a la derecha o izquierda. ACTIVIDAD INDIVIDUAL 1. Consigue una cartulina, hojas de papel de tus colores favoritos y un alfiler. • Traza sobre una cartulina un triángulo equilátero, un cuadrado, un rectángulo, un hexágono regular y recorta cada uno. 2. Coloca el cuadrado sobre una hoja y úsalo como molde para dibujar en la hoja su contorno; fija el cuadrado a la hoja colocando un alfiler en uno de sus vértices. • Sujeta el alfiler para mantener fijo el centro de giro y gira el cuadrado, ¿cuántos grados debes de girar el cuadrado para que éste vuelva a estar dentro del contorno que has dibujado? • Localiza el centro del cuadrado y márcalo claramente. Coloca de nuevo el cuadrado dentro del contorno que le has trazado y fíjalo a la hoja colocando un alfiler en su centro, ¿cuántos grados debes de girar el cuadrado para que éste vuelva a estar dentro del contorno que has dibujado? 3. Repite la actividad anterior, pero usando en cada ocasión tu rectángulo, tu triángulo y tu hexágono. • Describe en tu cuaderno las diferencias y las coincidencias que ocurren cuando realizas la actividad usando en cada ocasión una figura diferente. Una de estas dos imágenes es una puerta corrediza de la Cruz Roja. La otra es un juguete que compró Teresa, el cual consta de una mariposa movida por un hilo. Contesta las preguntas con base en la información que te proporcionan los dibujos. Argumenta todas tus respuestas.

1) Cuando se abre la puerta corrediza, la figura de la Cruz Roja de la izquierda se sobrepone con la de la derecha. ¿La figura siguió un movimiento de traslación o de rotación? 2) ¿Cuál es la medida del movimiento que realizó? 3) Al moverse la figura de la Cruz Roja de izquierda a derecha, ¿cambian sus medidas originales? 4) Cuando Teresa juega, la mariposa sigue un movimiento. ¿Cómo se llama este movimiento? 5) ¿Cuál es la unidad de medida del movimiento que realizó? 6) Cuando la mariposa cambia de posición, ¿se modifica su tamaño?

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EJE FORMA ESPACIO Y MEDIDA

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

BLOQUE II CICLO ESCOLAR 2015-2016

TEMA FIGURAS Y CUERPOS FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.2.3 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

ACTIVIDADES Organizados en parejas, averigüen cuáles transformaciones se realizaron para pasar de la figura original a la final. En cada uno de los casos, señalen con líneas punteadas las transformaciones que identificaron.

ACTIVIDADES En cada caso, escribe qué tipo o tipos de transformaciones sufrió la primera figura para obtener la segunda. •

Trapecio isósceles: ________________________________________________

•

Cuadrilátero PQRS: __________________________________________________

•

Pentágono ABCDE: __________________________________________________

Con respecto al primer caso, es probable que surjan diferentes respuestas, por ejemplo, algunas de ellas podrían ser: - primero se realiza una simetría axial con relación al eje x, luego una simetría central con centro de simetría sobre el eje y. - primero una simetría axial con relación al eje y, luego una traslación con dirección vertical y sentido hacia abajo. - una traslación con dirección oblicua y sentido hacia abajo. - Dos traslaciones, una con dirección horizontal y sentido a la derecha y otra con dirección vertical y sentido hacia abajo. Cualquiera de estas respuestas es válida, siempre y cuando se indiquen con líneas punteadas las transformaciones realizadas, como se muestra en la siguiente figura.

Con respecto al caso 2, también pueden surgir diferentes respuestas, por ejemplo, aplicar dos simetrías axiales como se muestra en la siguiente figura.

ACTIVIDADES En el caso 3, no está marcado ningún eje de simetría, esto es con la finalidad de que los alumnos tracen los que consideren necesarios. Seguramente la mayoría de los alumnos identificarán una simetría axial y una traslación, pero puede haber otras respuestas válidas, como se muestra en la siguiente figura.

Durante el análisis colectivo de los tres casos, hay que tratar de que los alumnos se familiaricen con el lenguaje convencional, como lados homólogos, la imagen de un punto, dirección, sentido, etcétera, así como con la idea de que en este tipo de transformaciones las medidas de lados y ángulos se conservan. Organizados en parejas describan el proceso más corto para construir los siguientes logos, empleando traslación, rotación y simetrías.

ACTIVIDADES Se espera que los alumnos puedan reconocer varios tipos de procesos de construcción que pueden deducir a partir del análisis de sus formas y relaciones da cada uno de los logos. Por ejemplo, para el primer logo, a partir de dos simetrías axiales de un rombo se forma el logo. E el caso del segundo logo, puede ser una simetría central o dos traslaciones. Para reafirmar los conocimientos, se puede proponer que analicen los siguientes mosaicos e identifiquen un patrón que a partir de la combinación de diferentes movimientos giros o simetrías se puede cubrir el plano.

ACTIVIDADES De manera individual, elije cualquiera de las siguientes figuras y construye mosaicos por traslaciones, por rotaciones o por simetrías.

Se espera que a partir de realizar rotaciones, simetrías o traslaciones puedan generar mosaicos. Por ejemplo, para el primer caso, podrán llegar a lo siguiente: En el caso del inciso c) podrían generar mosaicos como por ejemplo:

ACTIVIDADES En los casos de los incisos d) y f), podrían formar mosaico como por ejemplo:

Los mosaicos que podrían generar, depende del tipo de transformaciones que vayan haciendo los alumnos con las figuras. Para profundizar en el estudio de mosaicos generados por simetrías o por rotaciones, se les puede sugerir que consulten la siguiente página electrónica, donde podrán ver algunos ejemplos de cómo se generan mosaicos a partir de una figura llamada motivo; es decir, una pieza teórica, lo más pequeña posible de un mosaico. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/mosaicos /mosaicos.htm Luego, se les puede pedir que inventen un motivo y generen mosaicos combinando varios tipos de transformaciones. ELABORAR LA SIGUIENTE ACTIVIDAD Creación de un hilograma MATERIALES: Tabla de madera de 30 cm de lado en forma de cuadrado Estambre, hilo o hilaza de colores llamativos Clavitos de ½ pulgada. El hilorama es una técnica que se caracteriza por la utilización de hilos de colores, cuerdas o alambres tensados que se enrollan alrededor de un conjunto de clavos para formar figuras geométricas, abstractas u otros tipos de representaciones. Este procedimiento se suele llevar a cabo sobre una base de madera pintada o tapizada, y con él se puede reproducir cualquier idea imaginable.

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EJE FORMA ESPACIO Y MEDIDA

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

BLOQUE II CICLO ESCOLAR 2015-2016

TEMA MEDIDA FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

ACTIVIDADES Organizados en equipos, construyan en una hoja dos cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del siguiente triángulo. Después tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron, recorten las figuras resultantes y con éstas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor.

¿Con las figuras recortadas lograron cubrir toda la superficie del cuadrado mayor? ¿Por qué crees que sucede esto? ¿Qué clase de triángulo es el que está sombreado? En los mismos equipos, resuelvan el siguiente problema: Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los límites de un jardín, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las medidas de sus lados.

ACTIVIDADES ¿Cuánto mide el área de cada una de las plazas? Encuentren qué relaciones hay entre las áreas de las tres plazas. ¿Qué figura geométrica representa el jardín? Para realizar la actividad de la primera consigna se requieren tijeras, hojas de colores o de foami. Esta forma de comprobar la relación entre las áreas de los cuadrados es válida para el triángulo rectángulo isósceles. El armado de la figura de la primera consigna puede quedar así:

Se espera que los alumnos digan que es un triángulo rectángulo isósceles y que determinen que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados iguales es equivalente al área del cuadrado del lado mayor. En la segunda consigna, mediante el cálculo de las áreas de las plazas, se espera que los estudiantes se den cuenta que al sumar las áreas de los cuadrados menores el resultado es igual al área del cuadrado mayor. Es importante que los alumnos adviertan que no es la única relación, sino que determinen que hay otras relaciones, el área de un cuadrado menor es igual al área del cuadrado mayor menos el área del otro cuadrado menor . Reunidos en binas, comparen las superficies de las figuras siguientes y determinen qué relación hay entre el cuadrado interior de la figura 2 y los cuadrados interiores de la figura 1.

ACTIVIDADES Con base en la relaciรณn que encontraron y considerando la figura 3, elaboren una conclusiรณn.

En la misma bina, analicen las siguientes figuras y comprueben algebraicamente que la suma de las รกreas sombreadas de la figura A es igual al รกrea sombreada en la figura B.

Con base en la equivalencia que encontraron y considerando la figura C, elabora una conclusiรณn:

ACTIVIDADES Para efecto de cálculos, en la consigna 1 cada cuadrado de la cuadrícula representa una unidad de medida. La expectativa es que los alumnos adviertan que los cuatro triángulos de la figura 1 son iguales entre sí y con los cuatro triángulos de la figura 2, por lo tanto, la suma de las áreas de los dos cuadrados interiores de la figura 1 equivale al área del cuadrado interior de la figura 2. A partir de la equivalencia anterior y considerando la figura 3, se trata que los estudiantes verifiquen que se cumplen las relaciones entre los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Esta actividad puede realizarse utilizando el recurso tecnológico llamado “geogebra”, con la ventaja que al mover un vértice de la figura para cambiar sus dimensiones se puede apreciar que la relación entre las áreas de los cuadrados se conserva.

Geogebra lo podrá descargar en: http://www.supervision12sectec.com.mx/Documentos/matematicas/plan%20de%20clase%20para%203%b0%20 pagina%20web.ggb En la segunda consigna se trata que los alumnos recurran a sus conocimientos de álgebra para comparar las áreas de las figuras A y B y determinar que la suma de las áreas de los cuadrados internos de la figura A es equivalente al área del cuadrado interno de la figura B. Una forma de proceder es la siguiente:

Que al contrastar dichos cuadrados con la figura C, puedan verificar una vez más las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. También se les puede solicitar que representen algebraicamente el área de uno de los cuadrados menores, si se conoce el área del cuadrado mayor y la del otro menor, para lo cual tendrán que despejar en.

¿En qué triángulos se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados construidos con la medida de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor? Escriban una conclusión acerca de la relación que encontraron Después que los alumnos analizan diferentes triángulos, la expectativa es que determinen que sólo en los triángulos rectángulos la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor. Después de todas las experiencias relacionadas con este contenido, el profesor puede comentar que en un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado mayor) y los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos (lados menores) y que la propiedad estudiada “la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor”, la cual es exclusiva de los triángulos rectángulos, recibe el nombre de “Teorema de Pitágoras”. Esta propiedad se puede enunciar de manera sintética así, “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. En internet hay muchas opciones para consolidar este conocimiento, algunas de ellas se muestran a continuación:   

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html En matemáticas 3°, Forma espacio y medida. Reactivo 38, teorema de Pitágoras /demostración/sumar áreas. www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html. http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm

Videos:  http://www.youtube.com/watch?v=9wexfpHMDCk  http:/www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE FORMA ESPACIO Y MEDIDA

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

BLOQUE II CICLO ESCOLAR 2015-2016

TEMA MEDIDA FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.2.5 Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras

ACTIVIDADES: En la siguiente malla se dibujaron triángulos rectángulos, y sobre los lados de cada uno se han construido cuadrados. .

A los lados que forman el ángulo recto de cada triángulo se les llama catetos (a y b) y al lado opuesto de dicho ángulo se le llama hipotenusa. Con base en los dibujos anteriores, relaciona cada triángulo con las longitudes de los lados y completa la siguiente tabla.

ACTIVIDADES Organizados en equipos calculen el área de los cuadrados que se pueden construir con las medidas de los lados de cada triángulo, posteriormente completen la tabla y contesten lo que se pide. a) ¿Cómo obtienes la longitud de la hipotenusa en cada uno de los triángulos? b) ¿Qué relación observan entre las áreas de los tres cuadrados construidos sobre cada triángulo? c) Dibujen un triángulo rectángulo con longitudes diferentes a las de la tabla, úsenlo para verificar las conjeturas que elaboraron en el inciso a). Comenten con otros compañeros sus conclusiones. El teorema de Pitágoras En todo triángulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

El teorema de Pitágoras puede usarse en situaciones en las que se necesita encontrar, en un triángulo rectángulo, la longitud de uno de sus lados. 4. Daniel es el catcher de un equipo de beisbol. El jugador que está en la primera base intentará robarse la segunda base cuando el pitcher lance la pelota a Daniel. a) Si la distancia de home a primera base y de ésta a segunda es de 90 pies (27.43 m), ¿qué distancia debe recorrer la pelota desde home hasta la segunda base? b) Si uno de los jugadores está situado justo en medio de la segunda y tercera base, ¿qué distancia hay entre él y el catcher?

ACTIVIDADES Reunidos con dos compañeros, realicen lo que se indica enseguida: 1. Expresen algebraicamente los valores solicitados en función de las otras dos variables.

2. En cada figura, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la siguiente afirmación conocida como Teorema de Pitágoras? Escríbanla en cada espacio correspondiente. “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Figura 1: _____________ Figura 2: _____________

Figura 3: _____________

En los planes de clase del contenido 9.2.4, los alumnos realizaron varias actividades que implicaron determinar las relaciones entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo y concluyeron que “la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor”, esta propiedad es exclusiva de los triángulos rectángulos y recibe el nombre de Teorema de Pitágoras. Ahora se trata de simbolizar esta propiedad y las relaciones que se desprenden de ella. Con respecto a la primera actividad, es probable que algunos alumnos se les dificulte escribir las expresiones algebraicas solicitadas; si esto ocurre, se les puede plantear preguntas de reflexión sobre los significados de cada expresión, por ejemplo, para el primer caso, se les puede plantear las siguientes preguntas:

ACTIVIDADES Si se construye un cuadrado que tenga por lado la hipotenusa representada como z, ¿qué representa z2? ¿Qué representa x2? ¿Y y2? ¿A qué equivale z2? Con ello, se espera que los alumnos puedan reconocer que z2 representa el área del cuadrado sobre la hipotenusa; por lo que z2 equivale a x2 + y2. Una vez que los alumnos logren establecer la igualdad z 2 = x2 + y2, se espera que no haya dificultad en escribir las relaciones restantes, ya que sólo implica realizar despejes de la relación z2 = x2 + y2. Con respecto a la segunda actividad, es probable que para la figura 2, los alumnos digan que hay un error, es decir, que un cateto del triángulo rectángulo isósceles debe asignarse con otra letra. Si esto ocurre, aclarar que se usa la misma letra o literal “a” porque los dos catetos son iguales. En este caso, se espera que los alumnos escriban cualquiera de las dos expresiones algebraicas siguientes: c 2 = a2 + a2

c2 = 2a2

Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora. 1.Un albañil apoya una escalera de 5 m de largo contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2 m del muro. Calculen a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera. 2.En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta diagonalmente, ¿cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48 m y 64 m. 3.¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en una pista de patinaje en forma de rombo, si cada lado mide 26 m y la diagonal menor 40 m? 4.El pueblo B está, en línea recta, 40 km al norte del pueblo A y el pueblo C está, en línea recta, 30 km al este de B. ¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C? En los problemas anteriores será muy común encontrar que los alumnos dibujen la situación para ayudarse a comprenderla, sin embargo, en la puesta en común se pueden compartir las diversas estrategias aplicadas. En todos los casos, es pertinente utilizar el teorema Pitágoras para encontrar la respuesta. Con respecto al problema 4, es probable que los alumnos no sepan interpretar adecuadamente el problema. Si sucediera que nadie en el grupo hace una clara interpretación de las posiciones de A, B y C, será necesario orientarlos al respecto a través de preguntas como: ¿cuál es el primer punto que debemos ubicar? ¿Dónde está el siguiente pueblo (B)?, etc., incluso se les puede pedir que justifiquen sus respuestas. Una vez hecho un dibujo semejante al de abajo, se les dejará buscar la manera de responder la pregunta del problema.

ACTIVIDADES Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Individualmente, calculen el perímetro de cada uno.

Para resolver este problema no basta aplicar el teorema de Pitágoras, sino que es necesario recordar y aplicar las propiedades de los triángulos semejantes.. Para llegar a la respuesta, existen varios caminos, por ejemplo, es probable que algunos alumnos se les ocurra primero determinar el valor de x por teorema de Pitágoras, luego, por semejanza determinar el valor de z, para finalmente determinar por semejanza o por Pitágoras el valor de y. Es importante que mientras los alumnos trabajan, observar si han quedado claros los dos conceptos o si hay dificultad en alguno de ellos. Si el tiempo lo permite se puede pedir al grupo que resuelva los siguientes problemas, si no, se pueden dejar de tarea y revisar sus procedimientos en una puesta en común en la siguiente clase. 1. En la siguiente figura los triángulos son semejantes. Calcula la longitud x y determina la distancia entre los puntos A y B.

2. Calcular el área de un hexágono regular si se sabe que la longitud de cada uno de sus lados mide 4 m.

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EJE MANEJO DE LA INFORMACION

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

BLOQUE II CICLO ESCOLAR 2015-2016

TEMA NOCIONES DE PROBABILIDAD FECHA:

SESIONES:

CONTENIDO 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).

ACTIVIDADES: Las siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus resultados con tres de tus compañeros más cercanos.

Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en… a) b) c) d) e) f)

el número 5? _____________ un número menor que 4? _____________ un múltiplo de 2? _______________ un número impar? _________________ un número que no sea impar? un número impar o par? _____________

Si se lanza el tetraedro, ¿cuál es la probabilidad de que la cara que quede sobre la superficie plana, … a) b) c) d)

sea color rojo? ___________ no sea de color rojo? sea color verde o rojo? ___________ sea color verde o blanco o rojo? __________

ACTIVIDADES Es conveniente plantear primero el problema uno y hacer una puesta en común para analizar los resultados de los seis incisos. Debe quedar claro que el espacio muestra en el experimento de la ruleta es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y que a cada elemento le corresponde una probabilidad de 1/8. Con base en esto se podrán contestar las primeras seis preguntas. Si los alumnos preguntan cuáles son los múltiplos de dos hay que decirles que son todos los resultados de la tabla del dos. El evento “que se detenga en un número que no sea impar” es complementario del evento “que se detenga en un número impar”. Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestra y su intersección es vacía. Dicho de otra manera, el complemento de un evento A son todos los elementos del espacio muestra (E) que no se encuentran en A. La probabilidad de un evento complementario Ac es: Así, la probabilidad de que la ruleta se detenga en un número impar es 4/8 o bien ½. La probabilidad de su complemento “que se detenga la ruleta en un número que no sea impar” es 1 – ½ = ½. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1. Por lo que la probabilidad de que se detenga la ruleta en un número impar o par, es la suma de las probabilidades: “La probabilidad de que se detenga en un número par” más “la probabilidad de que se detenga en un número impar”, es decir, 4/8 + 4/8 = 1 En el segundo problema también conviene destacar el espacio muestra y enfatizar el hecho de que en los incisos c y d, se trata de eventos compuestos y que los conectivos “o” indican que se trata de la probabilidad de que suceda cualquiera de los dos o de los tres eventos, a diferencia del conectivo “y”, que se refiere a la probabilidad de que sucedan dos o más eventos a la vez. Por lo tanto, la probabilidad en el inciso c) es ¼ + ¼, mientras que en d) es ¼ + ¼ + ¼. Resuelvan en equipos los siguientes problemas. Se hace referencia a la ruleta de la sesión anterior. 1. A. B.

Si se tienen los eventos: Que la ruleta se detenga en un número menor que cuatro. Que se detenga en un número múltiplo de cuatro.

a) ¿Cuál es la probabilidad del evento A? p(A) = ___________ b) ¿Cuál es la probabilidad del evento B? p(B) = ___________ c) ¿Qué significa que ocurra A o B?___________________________________ d) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? p(A o B) = ______________ Expliquen su respuesta. 2. Ahora se tienen los eventos siguientes: C. Que la ruleta se detenga en un número mayor que cuatro. D. Que la ruleta se detenga en un múltiplo de cuatro. a) Obtengan: p(C) = __________

p(D) = __________

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = ____________ 3. Comparen los resultados de d) del ejercicio 1 y de b) del ejercicio 2 y comenten las formas de obtenerlos. ¿Existe alguna diferencia en estos eventos? ¿Cuál? Es conveniente que siempre que los alumnos calculen la probabilidad de un evento compuesto obtengan primero el espacio muestra y la probabilidad particular de cada evento, esto les permitirá apreciar si hay elementos comunes o si no los hay. Si no los hay ya saben que el resultado es la suma de las probabilidades particulares, si los hay, es probable que por sí solos concluyan que no se puede contar dos veces el mismo elemento del espacio muestra

ACTIVIDADES Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Se tienen dos dados, uno azul y otro rojo, que tienen sus caras marcadas con puntos del uno al seis. El experimento consiste en lanzar simultáneamente los dos dados. Los resultados posibles del experimento son parejas de números en los cuales el primero es el número de puntos del dado rojo y el segundo del azul. Completen la tabla.

a) b) c)

¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento? ________________ ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos? ____________ Anoten los resultados que hacen falta en la siguiente tabla.

d) e) f) g)

¿Qué evento tiene mayor probabilidad? _______________ ¿Qué evento tiene menor probabilidad? _______________ Formulen un evento compuesto por dos eventos que sean mutuamente excluyentes. Formulen un evento compuesto por dos eventos que NO sean mutuamente excluyentes.

REVISIÓN Vo.Bo. Profra. Mónica Dora Delgado Delgado Directora

Vo.Bo. Profr. Víctor Figuero Martínez Jefe de Enseñanza

Profr. Carlos Rodríguez Romero Titular

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Esc. Sec. Gral. N° 3 “Valentín Gómez Farías” Bloque PLAN DEIII CLASE

Matemáticas Tercer Grado

Profr. Carlos odríguez Romero

BLOQUE 3 Estándares Curriculares 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la información 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas

Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autónoma Comunicar información matemática Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente

Aprendizajes esperados 

Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.



Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura.

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE SN Y PA APARTADO: 3.1

TEMA Sentido numérico y pensamiento algebraico

BLOQUE III

SUBTEMAS Patrones y ecuaciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones..

INTENCIONES DIDÁCTICAS: 2 Que los alumnos formulen ecuaciones cuadráticas de la forma ax  bx  c  0 y que las resuelvan mediante procedimientos ya conocidos.

CONSIGNA: Organizados parejas, encuentren las ecuaciones que modelan los siguientes problemas y resuélvanlos. a) Un terreno rectangular mide 2 m más de largo que de ancho y su área es de 80 m2 ¿Cuáles son sus dimensiones? b) Erick es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es 340, ¿cuántos años tiene?

CONSIDERACIONES PREVIAS: En el caso del primer problema se espera que los alumnos asignen valores a los lados del rectángulo, tales como x y x+2 y que planteen la ecuación x(x+2)=80. Esta ecuación permite probar con distintos valores y encontrar la solución. Sin 2

embargo, hay que pedir que se hagan las operaciones necesarias para llegar a la expresión x  2 x  80  0 y pedir que la resuelvan por factorización. El problema del inciso b implica un camino más largo para formular la ecuación, ya que primero hay que representar las edades, por ejemplo x y x+2. Después plantear las relaciones que se establecen en el texto del problema: x2+(x+2)2=340 y 2

finalmente efectuar las operaciones y simplificar para llegar a la expresión 2 x  4 x  336  0 o x  2 x  168  0 . Aunque es posible resolver esta ecuación por factorización, los números se prestan para proponer el uso de la fórmula general, misma que deberá ser explicada y puesta en práctica con muchos otros ejemplos. Para ello, plantearles que la forma de las ecuaciones cuadráticas que se han estudiado es ax2 + bx + c = 0, donde a 0 y a, b y c son los coeficientes de la ecuación cuadrática. Luego, formalizar los términos de la ecuación de segundo grado, que se nombran como se indica en la siguiente tabla: ax2 Término de segundo grado o cuadrático

bx Término de primer grado o lineal

C Término independiente

Esto llevará a los alumnos a identificar los valores a, b y c; que usarán en la aplicación de la x

 b  b 2  4ac 2a general que es:

fórmula Para reafirmar lo anterior se pude dejar de tarea lo siguiente:

Ecuación 2x2 + 2x + 3 = 0 5x2 + 2x = 0 36x – x2 = 62

Determina los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la fórmula general. En la siguiente clase conviene retomar el trabajo que hayan hecho los alumnos porque es muy probable que cometan errores en las sustituciones de los valores de a, b y c en la fórmula, por lo que es importante estar al pendiente de apoyarlos y guiarlos haciendo las aclaraciones que sean necesarias. Por ejemplo, el significado del +/- y el hecho de que el valor del discriminante indica si la ecuación tiene una solución, dos soluciones o ninguna, en los números reales. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO TEMA Significado y uso de las literales

EJE SN Y PA APARTADO: 3.1

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Ecuaciones SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones..

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos asocien el valor del discriminante, que forma parte de la fórmula general, con el tipo de solución de la ecuación CONSIGNA: Organizados en binas calculen el valor numérico de b² - 4ac (discriminante) y las soluciones de cada ecuación. Luego contesten lo que se pide:

ECUACIÓN 3x² - 7x + 2 = 0 4x² + 4x + 1 = 0 3x2 -7x +5 = 0

VALOR DEL DISCRIMINANTE b² - 4ac

SOLUCIONES x1= _____, x2 = _____ x1= _____, x2 = _____ x1= _____, x2 = _____

Si el valor del discriminante es mayor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ___________

Si el valor del discriminante es igual a cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ______________

Si el valor del discriminante es menor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ___________

CONSIDERACIONES PREVIAS: Es muy probable que algunos alumnos calculen la raíz negativa sin considerar el signo; en ese caso, el maestro pedirá que hagan la comprobación con la calculadora, que marcará como error; entonces se aprovechará esto para explicar que la raíz cuadrada de un número negativo pertenece a otro campo de números llamados imaginarios. La discusión generada acerca de la relación que los alumnos encuentren entre el discriminante y las soluciones deben encauzarse a determinar tres tipos de soluciones: Discriminante b2 -4ac 0 b2 -4ac =0 b2 -4ac 0

Tipo de solución Dos raíces reales, por ejemplo: (3, 7), (-5, 3.2), (√5, 0), (4, -4) etc. Solución única (dos raíces iguales). Por ejemplo: (3, 3), (-2, -2), etc. Sin solución dentro del conjunto R de los números reales, es decir, su solución es imaginaria i). Por ejemplo ((5 + 4 i) /6, (5 – 4 i)/6)

Se sugiere realizar la actividad complementaria “Funciones Cuadráticas”, en Hoja electrónica de cálculo. EMAT, México, SEP, 2000,pp. 129-130. También se pueden platear otros problemas retomados del libro de texto para que los alumnos reafirmen lo aprendido. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE SN Y PA APARTADO: 3.2

TEMA Significado y uso de las literales GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Ecuaciones SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones..

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos usen la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, al resolver problemas.

CONSIGNA: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m2, ¿cuáles son sus dimensiones?

CONSIDERACIONES PREVIAS: Se espera que las alumnos encuentren la ecuación cuadrática que resuelve el problema: 3x2 + 8x - 203 = 0 y utilicen la fórmula general para encontrar las soluciones a dicho problema. En la confrontación se deberá hacer la observación de que sólo una de las raíces cumple con las condiciones del problema. Con el fin de consolidar el uso de la fórmula general se puede plantear, como tarea, la resolución de las siguientes ecuaciones: a) 3x2-5x+2=0 b) x2+11x+24=0 c) 9x2-12x+4=0 d) 6x2 = x +22 e) 28x+5 = 36x2

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE FEM APARTADO: 3.3

TEMA Formas Geométricas GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Semejanza SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos determinen el teorema de Tales mediante el análisis de las relaciones entre segmentos.

CONSIGNA:

Trabajen en equipo con el problema siguiente: El dibujo corresponde a un portón hecho por un herrero. Su ayudante dice que existe relación entre los segmentos (ED’, D’C’, C’B’, B’A’) de la barra reforzadora (EA’) y la medida del ancho de cada lámina (ED, DC, CB, BA) que forma el portón. ¿Cuánto deben medir de ancho las láminas que hay en los extremos? ________________________

a) Describan en forma breve qué relación existe entre esas medidas. Observen y comenten qué otras relaciones encuentran, además de las que señala el ayudante del herrero. Justifícalas:

CONSIDERACIONES PREVIAS: Se espera que los alumnos logren expresar la proporcionalidad entre los segmentos que se forman entre las paralelas

AB A' B ' atravesadas por las transversales ( BC = B ' C ' , etc.). Pero que también observen que los segmentos paralelos entre las A' A B ' B transversales son proporcionales ( B ' B = C ' C , etc.). También es importante que se den cuenta que los triángulos A’AE, B’BE, C’CE, D’DE son semejantes y el porqué de dicha afirmación. Con esta idea el docente puede mencionar que esta relación se cumple cuando dos o más paralelas son cortadas por transversales (secantes) y esta condición fue descubierta hace muchos años por el sabio matemático griego Tales de Mileto y en su honor recibe el nombre de “Teorema de Tales”. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE FEM APARTADO: 3.3

TEMA Formas Geométricas GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Semejanza SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos justifiquen, a partir del teorema de Tales por qué funciona una hoja rayada para dividir un segmento en partes iguales y dividan cualquier segmento en partes iguales.

CONSIGNA:

Consigna 1. Organizados en parejas señalen los puntos donde el segmento corta a las rayas de la hoja de un cuaderno.

a) b) c)

¿Cuántos puntos obtuvieron? ________________________________ ¿En cuántas partes quedó dividido el segmento? _________________ ¿Por qué se puede asegurar que todas esas partes son iguales? ____

Consigna 2. Enseguida, dividan el segmento que aparece abajo en 7 partes iguales; pueden usar escuadras y compás. Describan el procedimiento utilizado y justifíquenlo: ______________________ CONSIDERACIONES PREVIAS: Se espera que la consigna 1 no represente dificultades para los alumnos. En la consigna 3 es probable que algunos midan el segmento y dividan la longitud entre 7, obteniendo una segmentación aproximada; sin embargo, será importante observar si se les ocurre el uso de un segmento auxiliar y el trazo de paralelas, o bien una hoja rayada, basándose en el teorema de Tales. Si son necesarios más ejercicios, se sugiere resolver los del libro de texto del alumno. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE FEM APARTADO: 3.3

TEMA Formas Geométricas GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Semejanza SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Determinar el teorema de Tales mediante construcciones con segmentos. Aplicar el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Qué los alumnos apliquen el teorema de Tales en diversos problemas geométricos.

CONSIGNA:

Reunidos en equipos, realicen las siguientes actividades: a) Dividan el segmento AB en dos partes, de tal forma que la razón entre las medidas de las dos partes sea 2:3 B A b) Dividan los segmentos en partes cuya razón sea la indicada.

Consigna 2: La siguiente fotografía, es un homenaje a Escher. Las líneas negras se colocaron para resaltar las dos alturas que se observan de la construcción. Digan qué relación existe entre dichas alturas y los segmentos que las unen. Justifiquen su respuesta. CONSIDERACIONES PREVIAS: En la consigna uno, es probable que los alumnos se auxilien del juego de geometría o de las hojas rayadas de la libreta para dividir cada segmento en partes iguales. Es muy probable que la dificultad principal no sea la división de los segmentos en partes iguales, sino la división en una razón dada. Por ejemplo, ¿qué quiere decir dividir un segmento en una razón de 2 a 3? Si es necesario, hay que volver a explicar que en este caso se requiere dividir el segmento en 5 partes iguales, de las cuales una parte tendrá dos y la otra tendrá tres. En la consigna dos se les puede pedir que consulten acerca de Maurits Escher y su obra, también acerca de las proyecciones o el concepto de punto de fuga que se usa en pintura. Si son necesarios más ejercicios se pueden resolver los del libro de texto del alumno. Si se tienen los medios se puede usar la propuesta del Teorema de Tales de Geometría Dinámica.EMAT sugerido en el programa (se anexa la lección). Se les podría presentar también la siguiente fotografía y dejarlos en libertad de que la analicen y encuentren relaciones.

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE FEM APARTADO: 3.4

TEMA Transformaciones GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Movimientos en el plano SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Determinar los resultados de una homotecia cuando la razón es igual, menor o mayor que 1 o -1. Determinar las propiedades que permanecen invariantes al aplicar una homotecia de una figura. Comprobar que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de las razones.

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que el alumno, a través de la observación de un experimento, tenga un primer acercamiento hacia la homotecia.

CONSIGNA:

Organizados en equipos realicen el siguiente experimento: 1. Utilizando la pared como pantalla o fondo, coloquen un objeto (por ejemplo: un vaso, el borrador, un lápiz, una vela, un CD o una de tus manos) a 1 m de distancia de ella. Después, iluminen dicho objeto con una lámpara de mano a 50 cm de distancia de él en línea recta, de tal forma que se proyecte la sombra del objeto en la pared. 2. Enseguida, acerquen y alejen la lámpara del objeto, y observen qué sucede en ambos casos. 3. Dejen fija la lámpara a 1 m de la pared, acerquen y alejen el objeto de ella. Expliquen lo que sucede en ambos casos. 4. Midan las distancias entre la lámpara y el objeto y entre éste y la sombra. También midan la longitud del objeto y la de la sombra. Verifiquen que la razón entre las distancias es igual a la razón entre las longitudes. CONSIDERACIONES PREVIAS: En función del espacio y del material con que cuente el grupo, el maestro determinará la pertinencia de usar una pantalla o algún otro recurso disponible (cartulina, fólder, entre otros). El objeto que se proyectará deberá ser de dimensiones que faciliten su manejo por los alumnos. La lámpara podrá ser sustituida por otro dispositivo que emane luz directa (foco, vela, retroproyector, etc.). El propósito es que los alumnos verifiquen que la razón entre m y n es la misma que hay entre a y b, como se muestra en el siguiente dibujo.

También se puede coordinar con el profesor de física para realizar el experimento de la formación de imágenes en la caja negra.

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EJE FEM APARTADO: 3.4

TEMA Transformaciones GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Movimientos en el plano SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos identifiquen y sepan calcular la razón de homotecia. CONSIGNA:

En equipos, analicen la siguiente figura y contesten las preguntas planteadas. El foco alumbra un pino y éste proyecta una sombra de mayor tamaño sobre la pared. Los segmentos de recta unen todos los vértices del arbolito con los de su sombra y la prolongación de éstos hacia la izquierda coincide en un punto O.

a) ¿Cuál es la razón entre OA’ y OA?__________ b) Elijan otro par de segmentos, sobre una misma recta, y verifiquen que guardan la misma razón que OA’ y OA. c) Comparen la altura de la sombra con la del pino y anoten la relación entre ambas medidas._______ CONSIDERACIONES PREVIAS: Es importante que los alumnos verifiquen que todas las razones del tipo: punto de convergencia-sombra sobre punto de convergencia-objeto, son constantes y que éstas coinciden con las razones que se pueden establecer entre una longitud de la sombra y su correspondiente en el objeto. Por otra parte, este es el momento adecuado para decir a los alumnos que a las razones del tipo OA’/OA se les llama razón de homotecia, mientras que al punto O donde convergen los segmentos, se le llama centro de homotecia. Además, la sombra proyectada lleva el nombre de figura homotética. Los alumnos han estudiado con profundidad la proporcionalidad, por lo que se espera que le encuentren sentido a la razón de homotecia. Asimismo, es importante que concluyan que dos figuras homotéticas son semejantes, basándose en la razón entre las medidas de sus lados.

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EJE FEM APARTADO: 3.4

TEMA Transformaciones GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Movimientos en el plano SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos determinen la razón de homotecia, las características que permanecen invariables y las que cambian en las figuras homotéticas. CONSIGNA:

Organizados en equipos, realicen la siguiente actividad. Tomen el punto O como centro de homotecia y únanlo con el punto A, prolónguenlo una distancia igual a OA para ubicar el punto A’; hagan lo mismo con los puntos: B, C, y D para encontrar los puntos B’, C’ y D’, Después, unan los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A’B’C’D’ y contesten las preguntas.

a) b) c) d) e)

¿Qué relación existe entre la medida de los lados de ambos polígonos?_____________ ¿Cómo son los ángulos de las dos figuras?_______________________ ¿Qué relación existe entre los perímetros de ambas figuras?________ ¿Qué relación existe entre las áreas de ambas figuras?_____________ ¿Cuál es la razón de homotecia? _____________________________ CONSIDERACIONES PREVIAS:

Con esta actividad se pretende que los alumnos construyan una figura homotética y encuentren la razón de homotecia. También deberán analizar las características que varían en una homotecia y las que se conservan (la medida de los ángulos permanece invariante, mientras que, en este caso, la medida de los lados y por tanto el perímetro en la imagen se duplican; el área se cuadruplica). Es importante que en la puesta en común, los alumnos concluyan que es lo mismo decir que los lados de ABCD miden la mitad que los de A’B’C’D’, o bien, que los lados de A’B’C’D’ miden el doble que los de ABCD y que esta relación se conserva en el perímetro de las figuras.

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EJE FEM APARTADO: 3.4

TEMA Transformaciones GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Movimientos en el plano SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos construyan una figura homotética con razón igual a -1 e identifiquen las características que permanecen y las que cambian. CONSIGNA:

Organizados en equipo realicen la siguiente actividad: Tomen como centro de homotecia el punto O, tracen los segmentos AO, BO, CO y prolónguenlos hacia la izquierda la misma distancia. Ubiquen los puntos A’, B’, C’ y únanlos para formar un nuevo triángulo.

a) b) c) d) e)

¿En qué posición está el nuevo triángulo con respecto al original?______________ ¿Dónde quedó el punto de homotecia con respecto de las dos figuras?_________ ¿Cuál es la distancia OA?_____________________ ¿ Y cuál la de OA’?______________________ Si consideran el punto de homotecia O, como origen en una recta numérica, ¿cuál es el sentido que tiene la distancia OA?________________ ¿Y el sentido de OA’?______ f) ¿Cuál es la razón de homotecia? ___________¿Cuál es el perímetro de ambas figuras?_____________ ¿Cuál es su área?_________________________ CONSIDERACIONES PREVIAS: En este caso, los alumnos van a observar que la figura homotética se encuentra al otro extremo del centro de homotecia, está invertida con respecto a la original y probablemente consideren que hay cambios en los ángulos y lados, por lo que conviene pedirles que los analicen y obtengan como conclusión que la medida de los ángulos se conserva y cuando la distancia al punto de homotecia es la misma, también la medida de los lados de la figura se conserva. Es probable que los alumnos no relacionen el sentido positivo y negativo de los segmentos y puntos resultantes, por lo que es necesario tomar como referencia la recta numérica, teniendo el centro de homotecia como origen, el punto A positivo y el punto A’ negativo; posteriormente se les puede pedir que realicen la división del valor negativo OA’ entre el valor positivo OA, haciendo hincapié en que la razón resultante es negativa (k = -1) Actividad complementaria: Si el tiempo lo permite y el profesor lo considera conveniente puede plantear a los alumnos una homotecia con razón igual a 1/2, o bien, dejarlo como tarea para que hagan el análisis correspondiente.

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EJE FEM APARTADO: 3.4

TEMA Transformaciones GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Movimientos en el plano SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos comprueben que una composición de homotecias con el mismo centro es igual al producto de sus razones CONSIGNA:

Organizados en parejas, analicen el siguiente dibujo y contesten las preguntas. La figura 1 es la original, la figura 2 es la primera figura homotética (sombra 1) y la figura 3 es la segunda figura homotética (sombra 2). Se sabe que OP = 4 cm, OP’ = 8 cm, P’P’’ = 8 cm y QR = 3cm.

1. 2. 3. 4.

¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 2 con respecto de la 1?_______ ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 2?________ ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 1?________ Si el segmento QR mide 2.6cm, ¿Cuánto mide el segmento Q’’R’’?_______ CONSIDERACIONES PREVIAS:

Es necesario resaltar el hecho de que las dos imágenes proyectadas tienen un mismo centro de homotecia. Hay que decirles que a esto se le conoce como composición de homotecias con un mismo centro. Se espera que los alumnos concluyan que la distancia Q’’R’’puede calcularse considerando tanto la razón homotética de 3 a 1 por la distancia QR, como la razón homotetica de 3 a 2 por la distancia Q’R’. De igual modo se espera que se den cuenta de que el producto de las razones homotéticas de las figuras 2 a 1 por 3 a 2 es igual a la razón de homotecia de las figuras 3 a 1. Actividades complementarias: Con el apoyo del software CabriGeometre, se pueden efectuar ejercicios de homotecia positiva y negativa. En la siguiente página web se puede analizar con mayor detenimiento las relaciones de homotecia entre figuras: http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Semejanza_y_homotecia/Homote1.htm

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EJE MI APARTADO: 3.5

TEMA Representación de la información GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Gráficas SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD

Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos. .

Que los alumnos construyan gráficas de relaciones lineales y no lineales y analicen sus características. CONSIGNA: Reunidos en equipos tracen las gráficas que se indican, posteriormente contesten lo que se pide. Para el primer caso consideren (g = 9.81 m/s2). Pueden utilizar su calculadora.

  

¿Qué fenómeno representa cada gráfica?___________________________________________ ¿Qué diferencias y semejanzas tienen las gráficas?___________________________________ ¿Qué relación encuentran entre las expresiones algebraicas y sus gráficas?_______________

CONSIDERACIONES PREVIAS: Se espera que los alumnos tengan claramente definido el concepto de caída libre (movimiento uniformemente acelerado) de un objeto, empleando la constante de aceleración (g = 9.81m/s2), para el segundo caso se trata de la distancia recorrida por un móvil que va a una velocidad constante durante un tiempo determinado. Sin embargo no es obstáculo para analizar los tipos de gráfica que resultan, sin perder de vista las líneas (rectas o curvas) que son generadas por una función lineal y por otra no lineal. Es importante también que se reconozca en la función no lineal que la variable está elevada a alguna potencia mayor que 1; y que el crecimiento o decrecimiento de la variable dependiente es mucho mas rápido que en las funciones lineales. Si se tiene al alcance algún software graficador como Excel, Geogebra, y FW 3.2 de Windows, u otro, se sugiere utilizarlo para realizar análisis mas profundos sobre las situaciones que se presentan en el manejo de funciones lineales y no lineales.

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EJE MI APARTADO: 3.5

TEMA Representación de la información GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Gráficas SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD

Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos. .

Que los alumnos interpreten gráficas de funciones no lineales, cuyo comportamiento responde a una fórmula geométrica. CONSIGNA:

Organizados en equipos analicen la siguiente gráfica, la cual representa el área de un rectángulo en función de la medida de la base, cuando el perímetro es constante (10 cm). Posteriormente contesten lo que se pide

a) b) c) d) e)

¿Por qué la curva no inicia en el origen del plano? ¿Cuántos rectángulos de 10 cm de perímetro pueden formarse? ¿Por qué? ¿Cuánto puede medir la base cuando el área es igual a 4 cm2? ¿Entre qué valores enteros de la base se encuentra el rectángulo de área máxima? ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima? CONSIDERACIONES PREVIAS:

Es importante que los alumnos identifiquen claramente que las magnitudes representadas en los ejes son el largo y el área de rectángulos cuyo perímetro siempre es igual a 10 cm. Razón suficiente para afirmar que la curva no pude pasar por el origen, ya que el rectángulo no pude tener de base 0 cm, ni su área puede ser igual a 0 cm 2. Sería conveniente que cuando los alumnos comenten sus respuestas, tengan a la vista una imagen grande de la gráfica, la cual apoye sus comentarios. Se espera que los alumnos no tengan dificultad en interpretar la gráfica y logren identificar las longitudes enteras de la base (2 y 3 cm), entre las cuales se ubica el área máxima. Sugerir si es necesario localizar en la gráfica puntos entre estas abscisas para observar la variación del área del rectángulo. A partir de esta observación será fácil para los alumnos llegar a la conclusión de que el área máxima del rectángulo se obtiene cuando se convierte en un cuadrado, es decir; su largo y ancho son iguales; en este caso el largo y el ancho miden 2.5 cm y el área máxima será de 6.25 cm2.

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EJE MI APARTADO: 3.5

TEMA Representación de la información GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Gráficas SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD

Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos. .

Que los alumnos interpreten gráficas de funciones no lineales y que expresen algebraicamente la dependencia entre las magnitudes. CONSIGNA:

Organizados en equipos analicen la siguiente gráfica, la cual representa la relación entre el área de la imagen proyectada sobre la pantalla y la distancia a la que se coloca el proyector. Posteriormente contesten lo que se pide a) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m? b) ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la imagen tenga un área de 4 m2? c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el proyecto? d) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 m? CONSIDERACIONES PREVIAS: En este plan, a diferencia del anterior, además de interpretar la grafica de la función no lineal, se pide que los alumnos encuentren la expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las magnitudes; para lograrlo son fundamentales las respuestas de las dos primeras preguntas, mismas que pueden escribirse en una tabla como la siguiente: Distancia (m) 5 10

Área (m2) 1 4

La expresión algebraica que modela la relación de dependencia entre las magnitudes es: área = 1/25 (distancia)2 Para contestar la última pregunta, los alumnos podrán hacer una estimación utilizando la gráfica, en tal caso se sugiere pedirles que verifiquen el resultado empleando la expresión algebraica encontrada o en su defecto utilizar ésta de manera directa. A una distancia de 5.5 m, el área de la imagen es 1.21 m2.

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EJE MI APARTADO: 3.6

TEMA Representación de la información GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Gráficas SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD

Establecer la relación que existe entre la forma y la posición de la curva de funciones no lineales y los valores de las literales de las expresiones algebraicas que definen a estas funciones.. .

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos analicen gráficas de funciones de segundo grado del tipo y = ax2 y adviertan la relación entre la forma y los valores de a, así como del tipo y = x2+b para establecer la relación entre la posición y los valores de b.. CONSIGNA:

Organizados en parejas, comenten sobre las diferencias que hay en las expresiones algebraicas de las siguientes funciones y cómo se manifiestan esas diferencias en sus gráficas. Posteriormente contesten lo que se pide

1. ¿Qué diferencia hay entre la primera y segunda gráfica? ¿Cómo afecta el valor de a en las gráficas de estas funciones? 2. ¿Qué diferencia hay entre la primera y la tercera gráfica? ¿Cómo afecta el valor de b a las gráficas de estas funciones? Consigna 2: En el siguiente plano cartesiano se ubican las tres gráficas de la consigna anterior, relacionen cada gráfica con su respectiva expresión algebraica. Después contesten lo que se indica. ¿Qué relación encuentran entre las expresiones algebraicas y el vértice de las gráficas? CONSIDERACIONES PREVIAS: En la función de la forma y = ax2, si a = 1, queda la función y = x2; esta aclaración es conveniente al revisar la pregunta 1 de la primera consigna, sobre todo porque suele pensarse que en la expresión y = x2 el valor de a es cero. En la función de la forma y = ax2 + b, si b = 0, queda la función y = ax2; esta aclaración puede ser pertinente al revisar la pregunta 2 de la primera consigna. Es posible que para contestar la pregunta de la consigna 2, los alumnos no sepan cuales son los vértices de las gráficas, en cuyo caso hay que decirles.

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO TEMA Representación de la información

EJE MI APARTADO: 3.7

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

BLOQUE III

SUBTEMAS Gráficas SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD

Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etc..

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los estudiantes interpreten gráficas con secciones rectas y curvas y argumenten sus respuestas. CONSIGNA:

La gráfica que aparece a continuación representa el comportamiento de la temperatura de cierta solución (compuesto químico) en diferentes instantes. Organizados en parejas, hagan lo que se indica. Describan y argumenten: Qué ocurriò al inicio de 5 min De los 5 a los 8 minutos De los 8 a los 9 minutos

Consigna 2. Las siguientes gráficas representan el llenado de recipientes conforme varía la altura que va alcanzando el líquido en relación con el tiempo. Asocien cada uno de los 4 recipientes con su respectiva gráfica. Justifiquen sus respuestas

CONSIDERACIONES PREVIAS:

La primera consigna es muy acotada y se espera que los alumnos no encuentren mucha dificultad para explicar lo que pasa en diferentes periodos de tiempo, con base en lo que se puede leer en la gráfica. Básicamente se trata de que puedan interpretar cuando la temperatura sube, baja o se mantiene estable y si el aumento o disminución sucede de manera rápida o lenta.

REVISÓN

Vo.Bo. Profra. Mónica Dora Delgado Delgado Directora

Vo.Bo. Profr. Víctor Figuero Martínez Jefe de Enseñanza

Profr. Carlos Rodríguez Romero Titular

Esc. Sec. Gral. N° 3 “Valentín Gómez Farías” PLAN DE CLASE IV BLOQUE

MATEMATICAS TERCER GRADO

PROFR. CARLOS RODRIGUEZ ROMERO

BLOQUE 4 Estándares Curriculares 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la información 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas

Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autónoma  Comunicar información matemática  Validar procedimientos y resultados  Manejar técnicas eficientemente 

Aprendizajes esperados 



Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión. Resuelve problemas que implican el uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Calcula y explica el significado del rango y la desviación media.

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico APARTADO: 9.4.1

BLOQUE IV

TEMA Patrones y ecuaciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma y = x2 que represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales. . CONSIGNA: Organizados en equipos, analicen la siguiente sucesión de figuras y respondan lo que se cuestiona. Si lo desean pueden utilizar su calculadora.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

a) Si la sucesión continúa en la misma forma, ¿cuántos cubos se necesitan para formar la figura 5? ¿Y para la figura 10? ¿Y para la figura 100? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión? c) Se sabe que una de las figuras que forman la sucesión tiene 2 704 cubos, ¿qué número corresponde a esa figura en la sucesión? d) Una figura con 2 346 cubos, ¿pertenece a la sucesión? ¿Por qué?

CONSIDERACIONES PREVIAS: Para las preguntas a) y b) tal vez sea necesario dar a los alumnos alguna orientación, por ejemplo, indicarles que elaboren una tabla de dos columnas y pedirles que en ella anoten el número de cubos que tienen las primeras figuras de la sucesión. Luego pedirles que analicen la tabla y que traten de buscar la relación que existe entre el número de la posición de la figura y el número de cubos con los que está formada. Esto les permitirá ver que el número de cubos de la sucesión es: 1, 4, 9, 16, 25, …; y que se trata de los cuadrados de los números que expresan el orden de las figuras. Por consiguiente, la expresión algebraica que permite conocer el número de cubos de cualquier figura que esté en la sucesión es n2

En el caso del inciso c, es probable que algunos alumnos recurran al ensayo y error, otros tal vez planteen una 2

ecuación como: n  2 704 y a partir de ella determinen que la figura 52 es la que estaría formada por 2 704 cubos. En el caso del inciso d, se espera que los alumnos digan que una figura con 2 346 cubos no pertenece a la sucesión porque no cumple con la regla general. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico APARTADO: 9.4.1

TEMA Patrones y ecuaciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

OBSERVACIONES

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Obtención de una expresión general cuadrática para definir el enésimo término de una sucesión.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos encuentren una expresión general cuadrática de la forma y = ax2 que represente el enésimo término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales. CONSIGNA: En equipos, con base en la siguiente sucesión de figuras, contesten las preguntas que se plantean.

Fig 1

Fig 2

Fig 3

Fig 4

a) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 7, 10 y 13, respectivamente? b) ¿Cuántos cuadritos tendrá la figura 100? c) Encuentren una expresión algebraica que permita determinar la cantidad de cuadritos de cualquier figura que corresponda a la sucesión anterior.

CONSIDERACIONES PREVIAS: En el primer inciso se espera que los alumnos no tengan dificultad en encontrar el número de cuadritos de las figuras solicitadas. Sin embargo, en el caso del b) y c), tal vez sea necesario ayudarlos. Por ejemplo, se les puede sugerir que encuentren la relación que existe entre el número de la posición de la figura, el número cuadritos de la base y el número de cuadritos de la altura; esto es con la finalidad de que se den cuenta que el número de cuadritos de la altura es el doble del número de cuadritos de la base y que el número de la posición de la figura es el mismo número de cuadritos de la base. Con la determinación de estas relaciones se puede establecer la regla general de la sucesión que se pide en el c). Por ejemplo, como la altura de cada figura es el doble de la base, entonces si la base es n, la altura es 2n; por lo que el número de cuadritos de cualquier figura es n(2n) que es lo mismo que 2n2.

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

EJE Forma, espacio y medida APARTADO: 9.4.2

TEMA Figuras y cuerpos

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

OBSERVACIONES

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo, un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos anticipen las características de algunos cuerpos de revolución. CONSIGNA: Consigna 1: Organizados en equipos utilicen tres popotes como eje y peguen a cada uno de éstos un triángulo rectángulo, un rectángulo y un semicírculo. Anticipen qué cuerpo geométrico se describe al girar cada figura. Escriban las características de cada cuerpo generado. a) Comenten sus resultados y anoten las conclusiones acerca de la relación que existe entre el área de los cuadrados de los catetos y el área del cuadrado de la hipotenusa. b) Escriban una expresión algebraica que represente dicha relación.

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Es importante prever que los alumnos cuenten con los materiales necesarios (pueden ser otros similares a los propuestos) para realizar esta actividad y alentarlos para que con sus propias palabras describan las características de cada uno de los cuerpos generados: base(s), cara(s) curva(s) y plana(s), altura, generatriz (que corresponde a la hipotenusa del triángulo que lo genera y que no es la altura), cúspide o vértice, radio y diámetro, entre otras. Que concluyan por qué estos cuerpos se conocen como sólidos de revolución.

EJE Forma, espacio y medida APARTADO: 9.4.2

TEMA Figuras y cuerpos

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos anticipen las características de algunos cuerpos de revolución. CONSIGNA:

Consigna 2: Comenten con sus compañeros de equipo: ¿qué cuerpo geométrico se genera al trasladar un círculo de un plano a otro paralelo? CONSIDERACIONES PREVIAS:

Consideraciones previas: Es importante que los alumnos analicen y comenten sus estrategias para realizar la traslación de un círculo. Es probable que algunos digan que basta con trasladar el radio y trazar el nuevo círculo, respuesta que es correcta si la traslación se efectúa en un plano, pero el propósito de esta actividad es que imaginen el cuerpo que se describe (cilindro) al trasladar el círculo de un plano a otro paralelo.

EJE Forma, espacio y medida APARTADO: 9.4.2

TEMA Figuras y cuerpos

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos establezcan la relación entre las medidas de un cilindro y su desarrollo plano. CONSIGNA:

Consigna: Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades:  Usen un tubo de cartón, de los que trae el papel sanitario, para trazar los círculos que puedan servir de tapa superior e inferior del tubo y recórtenlos.  Corten longitudinalmente el tubo y, completamente aplanado, péguenlo en un pliego de cartoncillo.  Peguen donde corresponda las dos tapas para formar el desarrollo plano del cilindro.  Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas: a) Altura del cilindro b) Radio del cilindro c) Perímetro de la base del cilindro.  A partir del modelo pegado en el cartoncillo, construyan el desarrollo plano de un cilindro cuyas medidas sean 4 cm de radio y 10 cm de altura. Recórtenlo y armen el cilindro.

CONSIDERACIONES PREVIAS:

Consideraciones previas: Es necesario solicitar con anticipación el material que usarán los alumnos para garantizar que sea el adecuado, ya que puede darse el caso de que los tubos sean de cartón muy grueso o de metal, con lo que no sería posible realizar la actividad. Es importante analizar la relación entre las medidas del cilindro y las del desarrollo plano y enfatizar el hecho de que la cara curva del cilindro es un rectángulo tal, que uno de sus lados coincide con la altura del cilindro y el otro coincide con el perímetro de la base.

EJE Forma, espacio y medida APARTADO: 9.4.2

TEMA Figuras y cuerpos

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos establezcan la relación entre las medidas de un cono y su desarrollo plano. CONSIGNA: Consigna: Organizados en equipos, usen un cono de papel para tomar agua y realicen las siguientes actividades:  Tracen el círculo que puede servir de tapa al vaso.  Identifiquen y midan la altura del cono; asimismo, determinen el diámetro de la base.  Corten longitudinalmente el cono, desde la base hasta el vértice y extiéndanlo. Peguen el desarrollo plano del cono sobre un pliego de cartoncillo.

 a) b) c) d) e)

Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas: Radio del cono Altura del cono Generatriz del cono Perímetro de la base del cono Ángulo del sector circular que permite formar el cono. 

Construyan el desarrollo plano para hacer un vasito en forma de cono que mida 4

cm de radio y 10 cm de altura. Armen el vaso y verifiquen que tiene las medidas indicadas.

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Es importante que se distingan la altura del cono y la generatriz, pues es muy común que los alumnos las confundan. También se debe tomar en cuenta que los alumnos han estudiado el teorema de Pitágoras anteriormente y se espera que lo puedan usar para calcular la altura del cono. De igual forma, para calcular la medida del ángulo que determina el arco de circunferencia que se necesita para que éste corresponda a la medida del perímetro de la circunferencia de la base, el alumno puede establecer una relación de proporcionalidad.

Por ejemplo, si la base del cono mide 8 cm de diámetro, su perímetro es: πd = 25.1 cm (aprox.). Si la generatriz a utilizar es de 12 cm, los 360º de la circunferencia cubrirían una longitud de 75.4 cm (aprox.), por lo tanto; si 360º : 75.4 :: x : 25.1, entonces x es el número de grados de amplitud buscada. 24 (π) ÷ 360° : : 8 (π) : x

x = 1/3(360°)

x = 120°

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO TEMA Medida

EJE Forma espacio y medida APARTADO: 9.4.3

BLOQUE IV

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los estudiantes, a partir de la gráfica de una recta, identifiquen a la pendiente como la razón de los catetos de los triángulos rectángulos construidos con la recta y el eje de las abscisas. CONSIGNA: Organizados en binas, y a partir de la gráfica de la recta y = 0.5 x + 1, realicen lo que se pide:

a) Determinen la medida del ángulo “A” que se forma con la recta y el eje x. 26°33’ b) Construyan tres triángulos rectángulos, considerando la recta y el eje de las abscisas o una paralela a ésta.

c) Identifiquen y midan los catetos opuestos y adyacentes al ángulo “A” en cada triángulo. (2, 1) ( 4, 2) (6, 3) d) Obtengan los cocientes de las razones formadas por el cateto opuesto entre el adyacente. 0.5, 0.5, 0.5 e) Verifiquen que los cocientes obtenidos son iguales y expliquen por qué. f) Contesten: ¿Qué relación existe entre la pendiente de la recta y los cocientes de los catetos? Argumenten su respu g) esta. La pendiente de la recta es de 26°33’ para cada uno de los cocientes

CONSIDERACIONES PREVIAS: Con respecto a la primera pregunta, seguramente los alumnos se auxiliarán de transportador para determinar la medida del ángulo, sin embargo, después de que hayan concluido que la razón entre los catetos de los triángulos formados entre la recta y el eje de las abscisas o una paralela a esta, es la pendiente de la recta o ángulo de inclinación, se podrá explicar que esta razón (cateto opuesto entre cateto adyacente) se le llama tangente y que en una tabla de funciones trigonométricas o en una calculadora se puede ver que el ángulo cuya Tangente es 0.5 vale 26.6° aproximadamente. La idea principal de la actividad es que los alumnos determinen que el valor de la pendiente de la recta (0.5) es el cociente de la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente de cualquier triángulo rectángulo que se forma con la recta. En este caso, se espera que los alumnos puedan determinar que los cocientes de las razones formadas por el cateto opuesto entre el cateto adyacente es 0.5 de cualquier triángulo rectángulo formado entre la recta y el eje de las abscisas. Es muy probable que los alumnos dibujen diferentes triángulos semejantes, por ejemplo:

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

TEMA Medida

EJE Forma espacio y medida APARTADO: 9.4.3

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los estudiantes analicen la relación entre la medida del ángulo y el valor de la pendiente en diferentes rectas. CONSIGNA: Organizados en equipos realicen la siguiente actividad: Consideren las rectas de la siguiente ilustración, las cuales forman con el eje horizontal un ángulo de 30°, uno de 45° y otro de 60°; para formar tres triángulos rectángulos, uno para cada ángulo, posteriormente completen la tabla y contesten las preguntas. Pueden utilizar un juego de geometría y una calculadora.

Ángulo

Medida del cateto opuesto

Medida del cateto adyacente

30º 45º 60º

4 5 7

7 5 4

Razón (

) 4/7 5/5 7/4

Cociente (decimal)

Pendiente

0.571 1 1.75

30° 45° 60°

Comparen los resultados de su tabla con la elaborada por otro equipo, verifiquen que aunque los datos de las tres primeras columnas fueran diferentes, los de las dos últimas coinciden y expliquen por qué. ¿Sucederá lo mismo con otros ángulos? Compruébenlo y concluyan. No, deben ser múltiplos para que pueda ocurrir lo anterior

CONSIDERACIONES PREVIAS: Si a algunos estudiantes les pareciera mejor trazar cada recta en un plano cartesiano, permítales que lo hagan para que tengan más claridad en los procedimientos. Es posible que al construir los triángulos rectángulos algunos equipos no consideren las medidas de los catetos con números enteros, permita que lo hagan para comparar libremente los cocientes, identifiquen que están tratando con triángulos semejantes y puedan llegar de manera más natural a la generalización. Priorice la atención a las dudas que surjan y aproveche el trabajo de los equipos para que ellos mismos puedan identificar y aclarar sus diferencias. Observe que las conclusiones se dirijan a identificar la relación entre el valor de la pendiente de una recta, el valor del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente de los catetos (opuesto/adyacente). METODOS Y TECNICAS

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Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE Forma y Espacio APARTADO: 9. 4.4

BLOQUE IV

TEMA Medida

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos adviertan la constante de dividir el cateto opuesto o adyacente entre la hipotenusa en triángulos rectángulos semejantes y la relacionen con la medida del ángulo agudo de referencia. CONSIGNA: Consigna: Organizados en parejas, y a partir de la gráfica de la recta y = 1.5x + 1, realicen lo que se pide:

Tomen los datos necesarios de la gráfica y completen la siguiente tabla. Utilicen su calculadora y consideren hasta diezmilésimos en los cálculos y resultados. Luego, respondan lo que se cuestiona.

Triángulo

Medida del ángulo A

Medida del cateto opuesto

Medida del cateto adyacente

Medida de la hipotenusa

ABC ADE AFG AHI

56°18’ 56°18’ 56°18’ 56°18’

3 6 9 12

2 4 6 8

3.6055 7.2111 10.8166 14.4222

Razón Seno

Razón Coseno

C. opuesto ( ) hipotenusa

(

C. adyacente ) hipotenusa

3/3.6055 = 0.8320

2/3.6055 = 0.5547

6/7.2111 = 0.8320

4/7.2111 = 0.5547

9/10.8166 = 0.8320

6/10.8166 = 0.5547

12/14.4222 = 0.8320

8/14.4222 =0.5547

a) b) c) d)

¿Cómo es el resultado de la razón seno en los cuatro triángulos? EL MISMO 0.8320 ¿Y el de la razón coseno? EL MISMO 0.5547 ¿A qué creen que se deba esto? PORQUE SE TRATA DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES Con una calculadora científica, obtengan el seno y el coseno de los cocientes obtenidos. ¿Los resultados coinciden con la medida del ángulo A? si ¿Por qué? POR SER TRIANGULOS SEMEJANTES

CONSIDERACIONES PREVIAS: La idea central es que los alumnos concluyan que todos los cocientes que resultan de dividir, por ejemplo, el cateto opuesto entre la hipotenusa son constantes. Este cociente constante, con ayuda de una calculadora, puede servir para obtener el valor del ángulo de la recta y a la inversa, conociendo el valor del ángulo se puede obtener el valor del cociente constante. Prever que los estudiantes lleven calculadora científica a la clase y el profesor las tablas con los valores de las razones trigonométricas de seno y coseno. En ambos casos, se sugiere que el profesor explique su uso para obtener la medida del ángulo a partir del cociente del cateto opuesto o adyacente y la hipotenusa. La discusión de las respuestas al inciso a es muy importante y se espera que los alumnos se den cuenta de que se trata de triángulos semejantes y a eso se debe que todos los cocientes que resultan de dividir, por ejemplo, el cateto opuesto entre la hipotenusa son constantes. Esto mismo sucede con las otras razones. Con respecto al inciso b, se espera que puedan determinar que sen(0.8320) es aproximadamente 56° y lo mismo que para el cos(0.5547) es aproximadamente 56°. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

EJE Forma y Espacio APARTADO: 9. 4.4

TEMA Medida

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo.

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos reflexionen acerca de la relación que existe entre las razones trigonométricas de un ángulo y las de su complemento. CONSIGNA: Consigna: Organizados en equipos, contesten lo que se plantea enseguida. 1.

¿Cuánto suman los ángulos M y N en el triángulo rectángulo que aparece abajo? 90°

¿Qué nombre reciben esos ángulos?

Calculen los valores de las razones de los ángulos M y N.

RECTÁNGULOS

sen M = 6/10 = 0.6 cos M = 8/10 = 0.8 10

tan M = 6/8 = 0.75 sen N = 8/10 = 0.8 cos N = 6/10 = 0.6

tan N = 8/6 = 1.333

4. ¿Qué relación existe entre el seno de un ángulo y el coseno de sus complemento? TIENEN EL MISMO VALOR 5. Si el seno de un ángulo de 30 grados es igual a 0.5, ¿a qué es igual el coseno de un ángulo de 60 grados? A 0.5 porque es complemento 6. ¿A qué es igual el producto de la tangente de un ángulo de 30 grados por la tangente de un ángulo de 60 grados? LA TANGENTE DE UN ÁNGULO ES RECÍPROCO O INVERSO MULTIPLICATIVO A LA TANGENTE DE SU COMPLEMENTO.

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: En este momento es importante que los alumnos recuerden que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre son complementarios (suman 90º) y dejarlos que exploren con diferentes triángulos rectángulos para responder la última pregunta. También es importante que concluyan que: el seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento y que la tangente de un ángulo es recíproco o inverso multiplicativo a la tangente de su complemento. Se les puede dejar como tarea el problema que se enuncia más abajo. La finalidad es que indaguen la manera de obtener la medida que falta. Al revisarla es importante que vean la necesidad de recurrir al teorema de Pitágoras para obtenerla.

Escriban las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) para el siguiente triángulo rectángulo.

sen B = 16/20 = 0.8 b 2 = c2 – a 2 b2 = (20cm)2 – (12cm)2 b2 = 400cm2 – 144 cm2 b2 = 256cm2 b = 256 cm2 b = 16

cos B = 12/20 = 0.6 tan B = 16/12 = 1.33 sen C = 12/20 = 0.6 cos C = 16/20 = 0.8 tan C = 12/16 = 0.75

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO EJE Forma Espacio y Medida APARTADO: 9.4.5

BLOQUE IV

TEMA Medida

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos utilicen el círculo unitario para identificar la variación de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, a medida que crece o disminuye el ángulo agudo asociado. CONSIGNA: Consigna. En parejas, abran el archivo G9B4C5.ggb. En él aparece un círculo con radio igual a 1 como se muestra enseguida.

1. Den clic en el ícono , luego, muevan el punto B sobre la circunferencia de manera que el ángulo θ crezca o disminuya. Analicen con detalle qué es lo que sucede con cada una de las razones trigonométricas. 2. ¿Es verdad que el seno del ángulo θ es igual a y? SI ¿por qué? La función seno en el círculo unitario queda entonces como y/h (cateto opuesto entre hipotenusa) pero como h = 1, entonces el seno es igual a y. 3. ¿Es verdad que el coseno del ángulo θ es igual a x? SI ¿por qué? El coseno queda como x/h, pero como h = 1, el coseno es igual a x. 3. ¿Es verdad que la tangente del ángulo θ es igual a KL ? SI ¿por qué? la tangente es igual a y/x. Si se traza un triángulo ALK, semejante a ABE, con la prolongación de h y la tangente KL, entonces puede establecerse la siguiente igualdad: BE/AE = KL/AK, pero como AK = 1, entonces, BE/AE = KL

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas Para realizar esta actividad es necesario contar equipo de cómputo y con el programa Geogebra instalado. Si no hay suficientes equipos para que los alumnos los utilicen individual o en grupos pequeños, el profesor puede utilizar un equipo y un proyector, de tal manera que todos los alumnos puedan ver los efectos al manipular la construcción geométrica. La idea central de esta actividad es que los alumnos analicen qué sucede cuando varía el ángulo θ. Para ello, será necesario hacerles alguna preguntas, como por ejemplo, ¿cuál es el valor de seno, coseno y tangente cuando el ángulo θ mide 30°, 45°, 60° y 90°? El círculo unitario se llama así porque el radio mide una unidad, el centro del círculo está en el origen del plano cartesiano, los ángulos se generan de derecha a izquierda. Cuando se marca un ángulo se hace con el giro del radio que mide uno. Si se traza una perpendicular del punto que forma el radio con la circunferencia hacia el eje de las X se forma un triángulo rectángulo. La función seno en el círculo unitario queda entonces como y/h (cateto opuesto entre hipotenusa) pero como h = 1, entonces el seno es igual a y. El coseno queda como x/h, pero como h = 1, el coseno es igual a x. En el triángulo ABE, la tangente es igual a y/x. Si se traza un triángulo ALK, semejante a ABE, con la prolongación de h y la tangente KL, entonces puede establecerse la siguiente igualdad: BE/AE = KL/AK, pero como AK = 1, entonces, BE/AE = KL Se puede concluir que la tangente de θ (BE/AE) es igual a KL o bien al valor de la ordenada del punto L. En caso de que no se pueda realizar la actividad con el Software propuesto, se podría realizar con lápiz y papel. Para ello se puede proporcionar a los alumnos el siguiente círculo unitario y pedirles que determinen los triángulos rectángulos, para lograrlo tendrán que trazar las perpendiculares al eje X y que pasen por los puntos C; D; E y F. Posteriormente los alumnos tendrán que hacer las mediciones necesarias para concluir que el seno, coseno y tangente del ángulo θ es igual a y, x y BK, respectivamente. Será necesario ayudar a los alumnos para el trazo de los triángulos semejantes ABK

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

EJE Forma Espacio y Medida APARTADO: 9.4.5

TEMA Medida

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Explicitación y uso de las razones trigonométricas, seno, coseno y tangente

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos usen las razones trigonométricas para resolver problemas.

CONSIGNA: Consigna. Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas. Para ello, usen su calculadora científica o la tabla de razones trigonométricas. 1. ¿Cuál es la altura del asta bandera, si a cierta hora del día el ángulo que forma el extremo de su sombra con la punta del asta mide 37º?

Tan 37° = x(1) = (Tan 37°)(20) x = (.7536)(20) x = 15.072 La altura del asta bandera es de 15.072 m 2. ¿Cuál es la altura de la torre y la longitud del tirante que la sostiene?

Cos 65° = Tan 65° = y(1) = (Tan 65°)(30) y = (2.145)(30) y = 64.35

(Cos 65°)(x) = (30)(1) x= x= x = 70.98 La altura de la torres es de 64.35 m y la longitud del tirante de 70.98m

3. Un puente de 18 m de largo atraviesa por una barranca como se muestra en el siguiente esquema. ¿Cuál es la profundidad de la barranca?

Tan 45° = x(1) = (Tan 45°)(9) y = (1.000)(9) y=9

La profundidad del puente es de 9m

4. Se desea construir un puente sobre un río que mide 10 m de ancho, de manera que quede a una altura de 2 m sobre el agua y que las rampas de acceso tengan una inclinación de 20° a) ¿Cuál debe barandal?

ser la

longitud

del

Tan 20° =

b) ¿A qué distancia del cauce se situará el comienzo de la rampa?

5.84 + 10 + 5.84 = 21.68 Sen 20° = (Sen 20°)h = (2)(1) x= x= x = 5.84 5. Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde los puntos A y B. Con los datos de la figura, ¿cuál es la altura de la torre?

Tan 20° x = (2)(1) x= x= x = 5.49

La longitud del barandal es 21.68 m aproximadamente La distancia del comienzo de la rampa será a 5.49 m

Se establecer un sistema de ecuaciones y despejar h en cada ecuación para luego resolver el sistema por igualación.

tan 35 

h 10  x

tan 63 

h x

 h  (10  x)(tan 35)

 h  ( x)(tan 63)

(x)(Tan 63°) = (10 + x)(Tan 35°) (x)(1.962) = (10 + x)(0.7002) 1.962x = 7.002 + 0.7002x 1.962x – 0.7002x = 7.002 + 0.7002x 1.2618x = 7.002 x = 7.002/1.2618

x = 15.5492

x = 5.5492 Tan 35° = (h)(1) = (Tan 35°)(15.5492) (h)(1) = (.7002)(15.5492) h = 10.88 m CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Es importante asegurar que los alumnos cuenten con una calculadora científica o la tabla de razones trigonométricas que va como anexo 1 en este plan. En el caso del problema 1, sólo existe un camino para resolverlo, que es usando la razón tangente. En el problema 2, es probable que surjan diversos caminos, por ejemplo, con la razón tangente se puede calcular la altura de la torre. Luego, con este dato se podría aplicar el Teorema de Pitágoras para determinar la hipotenusa, que en este caso, representa la longitud del tirante que sostiene a la torre. Otros alumnos, quizá no se les ocurra usar el Teorema de Pitágoras, por lo que para resolver el problema usen la razón coseno para calcular la longitud del tirante, luego, con la razón seno, obtengan la altura de la torre. Con respecto al problema 3, se espera que los alumnos reconozcan que el esquema del puente representa un triángulo isósceles, por lo que se puede dividir en dos triángulos rectángulos, donde uno de los catetos mide 9 m. Por lo que haciendo uso de la razón tangente se determina que la profundidad de la barranca es de 9 metros porque: (tan 45°)(9 m) = (1) (9 m) = 9 m

En el caso del problema 4, para responder el inciso a, se debe calcular h con la razón seno y que resulta 5.84 m; sin embargo, hay que considerar que es un cálculo aproximado. Finalmente, se espera que puedan determinar que la longitud total del barandal es de aproximadamente 21.6 metros y la distancia del cauce al comienzo de la rampa es de aproximadamente 5.5 metros. En el caso del problema 5, una forma de resolverlo es a partir de establecer un sistema de ecuaciones y despejar h en cada ecuación para luego resolver el sistema por igualación.

tan 35 

h 10  x

tan 63 

h x

 h  (10  x)(tan 35)

 h  ( x)(tan 63)

Finalmente, resulta que la altura de la torres es de aproximadamente 10.88 metros. En la puesta en común es importante que los alumnos expongan y argumenten claramente a sus compañeros sus procedimientos y cálculos, para que concluyan que dependerá de la situación que plantee el problema y los datos que contenga, la elección de la razón trigonométrica. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos utilicen las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para calcular valores de ángulos y lados de triángulos rectángulos. CONSIGNA: Consigna: Individualmente, calculen los valores que se piden en cada caso. Usen su calculadora científica o la tabla de razones trigonométricas.

b = 30.52 c = 38.21  B = 53° _________ Tan 37° = Tan 37° (b) = (23)(1) b=

a = 26.564 c = 43.14  B = __________

Tan 38° = (a)(1) = (Tan 38°)(34) (h)(1) = (.7813)(34) h = 26.564

b= b = 30.52

Cos 38° = (Cos 38°)(c)= (34)(1)

Sen 37° = (Sen 37°)(c)= (23)(1) c=

c= c= c = 43.14

c= c = 38.21 <A + <B +<C = 180° 37° + <B + 90° = 180° <B + 127° = 180° <B = 180° - 127° <B = 53°

<A + <B +<C = 180° 38° + <B + 90° = 180° <B + 128° = 180° <B = 180° - 128° <B = 52°

c = 50  A = 36° 52’  B = 53° 8’

a = 43.61  A = 65° 22’  B = 24° 38’

Tan A =

Cos A = Cos A = 0.4166 arco Cos A = 0.4166 <A = 65.3756 <A = 65° 22’

Tan A = 0.75 arco Tan =0 .75 <A = 36.8698 <A = 36° 52’

Tan 65°22’ =

Cos 36° 52’ =

(a)(1) = (Tan 65°22’)(20)

(Cos 36° 52’)(c)= (40)(1)

a = (2.120)(20) a = 43.61

c= c= c = 50

<A + <B +<C = 180° 36°52’ + <B + 90° = 180° <B + 136°52’ = 180° <B = 180° - 126°52’ <B = 53°8’

<A + <B +<C = 180° 65°22’ + <B + 90° = 180° <B + 155°22’ = 180° <B = 180° - 155°22’ <B = 24°38’

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Ahora se tienen triángulos rectángulos con algunas medidas de lados y ángulos y se trata de calcular las medidas faltantes. Algunas herramientas que pueden utilizar los alumnos son el teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas y la relación entre las medidas de los ángulos interiores de un triángulo. La expectativa es que puedan ser utilizadas de manera flexible y que los estudiantes argumentan sus decisiones.

Por ejemplo, para encontrar los elementos faltantes de la figura B, los alumnos pueden seguir alguno de los siguientes procedimientos: a) Utilizar la razón tangente para encontrar la medida de a, después la razón seno para obtener c y finalmente la medida del ángulo B con la razón coseno. b) Calcular la medida de c con la razón coseno, después obtener la medida de a con el teorema de Pitágoras y finalmente la medida del ángulo B con la razón seno. c) Obtener la medida del ángulo B (52°), a sabiendas que los tres ángulos interiores deben sumar 180° y ya se tiene uno de 38° y otro de 90°, después utilizar el seno de B para calcular c y finalmente usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de a. Dado que varios valores se pueden obtener con diferentes herramientas, se sugiere que los estudiantes validen sus resultados utilizando más de una, por ejemplo, si obtienen el valor del ángulo B con alguna razón trigonométrica, que verifiquen que al sumar los tres ángulos interiores obtengan 180 °; si la longitud de c la obtienen utilizando el teorema de Pitágoras, que comprueben que se obtiene el mismo resultado utilizando alguna razón trigonométrica.

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO EJE Manejo de la Información APARTADO: 9.4.6

BLOQUE IV

TEMA Proporcionalidad y Funciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Cálculo y análisis de la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal. Identificación de la relación entre dicha razón y la inclinación o pendiente de la recta que la representa.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: A partir de cierta información, que los alumnos construyan tablas y gráficas y que a partir de éstas, relacionen cantidades y obtengan nueva información. CONSIGNA: Consigna: Organizados en binas, resuelvan el siguiente problema. 1.- Los tres hermanos Pérez asistieron al cine. El boleto de entrada cuesta $40.00: a) ¿Cuánto pagaron por las tres entradas? ________________ b) Si cada uno llevó un invitado, ¿cuánto se pagó en total para que todos entraran? _________ c) Si además asistieron los padres de los hermanos Pérez, ¿cuánto se pagó por todos? ______ A partir de la información anterior, completen la siguiente tabla: Personas Costo ($)

160

480

Con los datos obtenidos en la tabla anterior, tracen la gráfica correspondiente.

Observen la gráfica y contesten: a) ¿Cuánto se pagará por cinco personas? b) ¿Cuánto se pagará por nueve personas?

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Si el tiempo lo permite, los alumnos pueden formular otras preguntas para ser analizadas y contestadas por el grupo. Por ejemplo: 1) ¿Cuánto se pagará por dos personas? 2) Si se cuenta con $350.00 ¿cuál es el mayor número de personas que pueden ser invitadas? Antes de pasar a otra actividad, es importante que el profesor verifique que los alumnos alcancen soltura en el manejo de la información que proporcionan la tabla y la gráfica.

EJE Manejo de la Información APARTADO: 9.4.5

TEMA Proporcionalidad y Funciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos obtengan, a partir de la gráfica de una función lineal, las razones de cambio del fenómeno que representa.

CONSIGNA: Consigna: Organizados en binas, analicen la siguiente gráfica que muestra los cambios en el precio de un artículo durante los primeros meses del año, posteriormente den respuesta a las preguntas.

Variación del precio de un $ 2200 18 140 10 6 2 0 1 2 3 4

6 7

8 9 10 11

mese

a) ¿Cuánto varió el precio del primero al tercer mes? __________________________ b) ¿Cuánto varió el precio del primero al cuarto mes? _________________________ c) Suponiendo que el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuánto varió el precio del tercero al sexto mes? _____________________________ d) ¿Cuál es el incremento mensual del precio del artículo? _________________________ e) Si el primer mes corresponde a enero, ¿cuál es el precio del artículo en marzo? __________ f) Si el incremento fue el mismo cada mes, ¿cuál será el precio del artículo en diciembre? ________________________ g) Respecto al inciso a, encuentren el cociente del incremento en el precio entre el número de meses, es decir la “razón de cambio”. Encuentren la razón de cambio en los incisos b y c y compárenla con la del inciso a. ¿Cómo son? ________________________________________ h) ¿Qué relación tienen las razones de cambio que encontraron en el inciso g y la respuesta del inciso d? ____________________________________________________________________

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Es posible que los alumnos confundan el precio del artículo y el incremento del mismo, en tal caso es preciso distinguir dichos valores. Por ejemplo, en el quinto mes el precio del artículo es de $1800.00 y el incremento respecto al tercer mes es de $600.00. También puede ser que los estudiantes tengan dificultad para interpretar la tarea o para establecer las razones que se piden en el inciso g, en tal sentido convendría analizar detenidamente la consigna, que en otras palabras, se trata en cada caso de determinar la razón entre el incremento del precio del artículo respecto al tiempo. Por ejemplo, la razón de cambio del inciso a es la siguiente: Incremento en el precio 1200 – 600 600 Razón de cambio = ----------------------------------- = ----------------------- = ---------= 300 Tiempo transcurrido 3–1 2

Lo cual significa que el precio del artículo se incremento $300.00 por mes, respuesta de la pregunta del inciso d. Es importante que los alumnos busquen algunos ejemplos de cantidades que cambian de manera proporcional con el tiempo, permitiendo la razón de cambio saber cuánto aumentan o disminuyen, por ejemplo: la distancia recorrida cuando la velocidad es constante, el costo de una llamada de larga distancia, el interés que se paga por un préstamo de dinero, etcétera. Hay que poner especial atención a las respuestas que den los alumnos al inciso (d), ya que la razón de cambio que se obtiene en este inciso permitirá establecer la generalización correspondiente. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

EJE Manejo de la Información APARTADO: 9.4.6

TEMA Proporcionalidad y Funciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos relacionen diferentes razones de cambio con la inclinación o pendiente de las rectas que las representan.

CONSIGNA: Consigna: La siguiente gráfica muestra el costo del servicio telefónico de dos compañías, con base en la información que proporciona, respondan lo que se pide.

a) ¿Cuál es la razón de cambio (incremento en el costo por llamada) en cada compañía? _______________________________________________________________________ b) ¿Cuál es la relación entre las razones de cambio y la pendiente o inclinación de las rectas?__________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ c) ¿Por qué el costo de las 100 primeras llamadas telefónicas es el mismo en las dos compañías?_______________________________________________________________ _____________________________________________________________________ d) ¿Cuál es el incremento en el costo de 50 a 100 llamadas en la Compañía A? ____________________________¿Y en la B?__________________________________ e) En la Compañía A, ¿el incremento en el costo de 1 a 50 llamadas es el mismo que de 51 a 100 llamadas? ___________________¿Y en la B?____________________________

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Al igual que en el plan anterior es importante no confundir “incremento en el costo” y el “costo del servicio” En la compañía A el incremento en el costo de 1 a 50 llamadas es de $75.00 y el costo de las primeras 50 llamadas es de $225.00. Si los alumnos tienen dificultades para identificar y obtener costos e incrementos, puede proponérseles el llenado de una tabla como la siguiente para cada compañía:

Llamadas Costo total ($) Incremento ($)

0 150 0

Compañía A 1 151.50 1.50

10 165.00 15.00

100

Una vez que quede aclarado el significado de incremento o razón de cambio, se puede plantear la siguiente pregunta: Si la razón de cambio en la compañía A fuera la misma que en la compañía B, ¿cómo serían las rectas que representan a ambos fenómenos? ¿Cómo serían sus pendientes? METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO EJE Manejo de la Información APARTADO: 9.4.7

BLOQUE IV

TEMA Análisis y Representación de datos

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Medición de la dispersión de un conjunto de datos mediante el promedio de las distancias de cada dato a la media (desviación media). Análisis de las diferencias de la “desviación media” con el “rango” como medidas de la dispersión.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos reconozcan el “rango” y la “desviación media” como medidas que cuantifican la separación o dispersión de los datos de un conjunto, tomando como referencia la media aritmética o promedio CONSIGNA: Consigna. Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema. Una organización civil realizó una encuesta sobre 10 temas específicos. Cada tema tiene 10 preguntas. A continuación se muestra el número de aciertos en cada tema de tres personas.

a) ¿Cuál es el promedio de aciertos de cada uno de los encuestados? CARLOS 5, PEDRO 5 Y JUAN 5 ¿Quién obtuvo el mejor promedio? LOS TRES TIENEN EL MISMO PROMEDIO b) Describan cómo es la separación o dispersión de los números de aciertos respecto al promedio en cada encuestado. Carlos: Están muy alejados del promedio Pedro:Están un poco más separados de la media Juan: Sus resultados están muy cercanos a la media c) ¿Cómo medirían la dispersión o separación de los datos de cada lista, tomando como referencia la media? Algunas posibilidades pueden ser, contando el número de datos que no coincide con la media o sumando las desviaciones de cada dato respecto a la media

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Se espera que los alumnos no tengan dificultades para el cálculo de la media aritmética o promedio de aciertos para cada uno de los encuestados, el cual, aunque no parezca a simple vista es el mismo (5 aciertos) ¿Qué diferencias notan en las tres listas de datos?, ésta podría ser una pregunta para que los alumnos analicen con más detalle la información de la tabla, la idea es que perciban la mayor o menor variabilidad de los datos en cada lista. La segunda pregunta es más precisa, tomando como referencia la media, qué tanto están alejados o dispersos los datos de cada lista. La expectativa es que los alumnos noten que en el caso de Juan, sus resultados están muy cercanos a la media (5), los resultados de Pedro están un poco más separados de la media y finalmente, los resultados de Carlos son los más alejados a la media, es decir, son los más dispersos. Una conclusión importante es que aunque las tres listan tienen el mismo promedio o media aritmética, sus elementos tienen diferente separación o dispersión respecto a la media. Con la tercera pregunta se trata de que los alumnos construyan una forma de medir la dispersión de los datos de un conjunto. Algunas posibilidades pueden ser, contando el número de datos que no coincide con la media o sumando las desviaciones de cada dato respecto a la media. Si a ningún equipo se le ocurre obtener el promedio de las desviaciones de cada dato respecto a la media, el profesor puede comentar esta forma, cuyo resultado recibe el nombre de “desviación media”. Para el caso de Carlos: a) Se sabe que el promedio es 5. b) Se obtiene el valor absoluto de la diferencia de cada dato y el promedio y se suman los resultados:

2  5  9  5  10  5  2  5  3  5  1  5  9  5  9  5  1  5  4  5  34 c) El resultado anterior se divide entre 10, así la desviación media (DM) de los aciertos obtenidos por Carlos es 3.4. Se puede solicitar que los alumnos obtengan la desviación media de los aciertos de Pedro y Juan y contrastar la relación de sus resultados y las descripciones hechas en el inciso b. Otra medida de dispersión es el “rango”, que se define como la diferencia entre el mayor y el menor dato. Se sugiere pedir a los alumnos que obtengan el rango de las tres listas y posteriormente que comparen el rango y la desviación media y que traten de identificar las diferencias, por ejemplo, el rango únicamente considera dos datos, el mayor y el menor, la desviación media considera todos los datos. Otro problema que podría plantearse es: A partir de las siguientes listas de números, ¿cuál de ellas tiene menor rango y si ésta también tiene la menor desviación media?

Lista 1 Lista 2 Lista 3

5 12 13

1 9 8

7 5 3

8 3 13

10 7 3

9 10 4

7 11 13

11 8 3

9 2 7

EJE Manejo de la Información APARTADO: 9.4.7

TEMA Análisis y Representación de datos

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos relacionen la forma de la gráfica de una lista de datos y la magnitud de la desviación media. CONSIGNA:

Consigna. Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema. Observen y analicen las tres listas de datos y sus respectivas gráficas, posteriormente contesten lo que se pide.

¿Cómo se relaciona en términos generales la magnitud de la desviación media (DM) con la forma de las gráficas de frecuencia? Consideren forma de “V invertida” (gráfica A), forma de “V” (gráfica B) y forma uniforme (gráfica C). La gráfica de “V invertida” corresponde a la menor desviación media y que en la medida que aumenta, se transforma en una “V”, pasando por la “uniforme”, en la cual los tres valores tienen la misma frecuencia.

CONSIDERACIONES PREVIAS: Una vez que los alumnos han trabajado en pequeños grupos, se sugiere dividir la puesta en común en dos partes, en la primera para que los alumnos discutan la relación entre las listas de datos y sus respectivas gráficas y para validar la información del gráfico. En la segunda parte los alumnos compartirían y argumentarían sus respuestas a la pregunta planteada en la consigna. En la primera parte debe quedar claro cuáles son los elementos de cada lista de datos, se les puede solicitar que verifiquen que la media aritmética y la desviación media que aparecen son correctas. Por ejemplo, la lista A consta de los siguientes elementos: 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3. La media aritmética o promedio de estos datos es 2 y la desviación media es 0.44.

En relación con las gráficas es importante que adviertan que los valores de los datos aparecen en el eje horizontal (1, 2 y 3) y que la frecuencia de cada valor es representado con la altura de la correspondiente barra, considerando la escala del eje vertical. La línea que parte verticalmente las barras del valor 2, representa el promedio o media aritmética de las listas, que por cierto, es el mismo para las tres. En relación con la pregunta es importante discutir ampliamente las conjeturas que hagan los alumnos y los argumentos que presenten, entre ellos pueden ser otras listas o gráficas. Para elaborar la respuesta es importante identificar que en la gráfica con menor desviación media (A), la mayoría de los datos (5) coinciden con la media, y por eso la barra que corresponde al valor dos es la más alta, en contraparte, la gráfica con mayor desviación media (B), la mayoría de los datos no coinciden con la media, sino con los valores adyacentes (1 y 3), por consiguiente la barra que corresponde al valor dos es menos alta y las de junto crecieron; puede verse gráficamente, que a menor desviación media los datos se acercan más al promedio o coinciden con él. Señalado lo anterior puede afirmarse que la gráfica de “V invertida” corresponde a la menor desviación media y que en la medida que aumenta, se transforma en una “V”, pasando por la “uniforme”, en la cual los tres valores tienen la misma frecuencia. Una pregunta adicional que puede plantearse es la siguiente. Utilizando los mismos valores (1, 2 y 3) y manteniendo constante la media (2), ¿cómo sería la gráfica con menor desviación media a la “A” y cuáles serían los elementos de la lista? METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

REVISÓN

Vo.Bo. Profra. Mónica Dora Delgado Delgado Directora

Vo.Bo. Profr. Víctor Figueroa Martínez Jefe de Enseñanza

Profr. Carlos Rodríguez Romero Titular

Esc. Sec. Gral. N° 3 “Valentín Gómez Farías” PLAN DE CLASE V BLOQUE

MATEMATICAS TERCER GRADO

PROFR. CARLOS RODRIGUEZ ROMERO

BLOQUE 5 Estándares Curriculares 1. Sentido numérico y pensamiento algebraico 2. Forma, espacio y medida 3. Manejo de la información 4. Actitud hacia el estudio de las matemáticas

Competencias que se favorecen: Resolver problemas de manera autónoma  Comunicar información matemática  Validar procedimientos y resultados  Manejar técnicas eficientemente 

Aprendizajes esperados 



  

Resuelve y plantea problemas que involucran ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo grado. Resuelve problemas que implican calcular el volumen de cilindros y conos o cualquiera de las variables que intervienen en las fórmulas que se utilicen. Anticipa cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones. Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas. Resuelve problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO EJE Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico APARTADO: 9.5.1

BLOQUE V

TEMA Patrones y Ecuaciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos usen ecuaciones al resolver problemas CONSIGNA: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas. 1. Un estudiante obtuvo 6.4 y 7.8 en dos exámenes respectivamente. ¿Cuánto debe obtener en un tercer examen para tener un promedio de 8? 2. La superficie de un terreno rectangular mide 396 m2, si el lado más largo mide 4 m más que el otro lado, ¿cuáles son las dimensiones del terreno? 3. El rendimiento de un automóvil es de 8 km por litro de gasolina en la ciudad y de 12 km por litro de gasolina en autopista. Si este automóvil recorrió en total 399 km y consumió 36 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se recorrieron en la ciudad y cuántos en la autopista?

CONSIDERACIONES PREVIAS: x  6.4  6.7 8 3 En el primer problema, se espera que los alumnos planteen la siguiente ecuación: o algo equivalente.

En el segundo problema se espera una ecuación de segundo grado y en el tercero un sistema de ecuaciones. Sin embargo, puede suceder que en algún caso no les de confianza plantear una ecuación y prefieran utilizar un procedimiento aritmético. En todo caso lo que se espera es poder confrontar diversos procedimientos y a partir de eso resaltar que el uso de ecuaciones es más eficiente. Si a los alumnos, por la razón que sea les pareció más eficiente un procedimiento aritmético, no conviene forzar el uso de las ecuaciones, más bien habría que modificar el problema para que el procedimiento aritmético resulte más complicado. El primer problema se puede complejizar agregando más calificaciones. El segundo problema se hace más difícil si en vez de dar la relación entre los lados se da el perímetro y el tercer problema seguramente no habrá necesidad de hacerlo más complejo.

Como en otros casos, si ningún alumno o alumna formuló una ecuación en un problema es válido que el profesor la sugiera como un recurso más, pero también es importante averiguar las causas por las cuales los alumnos no formularon una ecuación y atenderlas. Como tarea para la casa se puede plantear el siguiente problema: Un garrafón lleno con 18 litros de agua cuesta $70.00, si el envase cuesta 1.5 veces lo que cuesta el líquido, ¿cuánto cuesta el envase y cuánto el líquido? METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

EJE Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico APARTADO: 9.5.1

TEMA Patrones y Ecuaciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

OBSERVACIONES

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos inventen problemas, con sentido, que correspondan a ecuaciones dadas. CONSIGNA: Organizados en equipos, analicen las siguientes ecuaciones y redacten un problema que se pueda resolver con cada una de ellas. a)

x + 0.2x = 60

x + y = 170 x – y = 20

x ( x + 5) = 150

CONSIDERACIONES PREVIAS: La forma más simple de inventar un problema que responda a una ecuación dada es pensar en números, por ejemplo, para la primera ecuación podría ser algo así: La suma de un número más dos décimos de ese mismo número, es 60. ¿De qué número se trata? Es probable que muchos la mayoría de los equipos planteen problemas similares y en principio está bien, pero hay que sugerirles que busquen otras opciones. Es conveniente analizar todos los problemas diferentes que se hayan formulado para la primera ecuación y después pasar a la siguiente. En cada caso, es necesario establecer si el problema es claro, si tiene sentido, si está completo, si

es necesario corregirle algo. A continuación se sugieren otras ecuaciones que se pueden plantear en la misma sesión o como tarea para la casa. a) 5 x  5  4 x  20 ,

2 y  100  2 x , 2 x  y  250

c) x 2  3x  1  0

d) 3( x  2)( x  3)  60

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

EJE Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico APARTADO: 9.5.1

TEMA Patrones y Ecuaciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

OBSERVACIONES

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones lineales, cuadráticas o sistemas de ecuaciones. Formulación de problemas a partir de una ecuación dada.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos, a partir de un modelo algebraico resuelvan diferentes problemas.

CONSIGNA: Organizados en equipos, formulen una ecuación que permita resolver el siguiente problema. Posteriormente contesten las preguntas. Pueden usar calculadora. 1. Se va a fabricar una caja sin tapa con una hoja cuadrada de cartón. Para ello, en cada esquina de la hoja cuadrada hay que cortar un cuadrado de 3 pulgadas por lado y después doblar las partes restantes para formar la caja. Si la caja tendrá un volumen de 108 pulgadas cúbicas, ¿cuánto deberá medir por lado la hoja cuadrada? ______________

2. Supongamos que se quiere obtener un volumen menor que 108 pulgadas cúbicas. ¿Cuánto podrían medir por lado los cuadrados que se recortan en la esquinas? _____________ 3. ¿Cuánto deberían medir por lado los cuadrados que se recortan en las esquinas si se quiere obtener el mayor volumen posible?________¿Cuál es el mayor volumen posible?__________

CONSIDERACIONES PREVIAS: Este problema no es trivial, de manera que hay que estar pendiente por si los alumnos requieren apoyo para poder resolverlo. Parte de ese apoyo puede consistir en plantearles las siguientes preguntas: ¿Qué forma tendrá la caja? ¿Cuánto mide un lado de la hoja de cartón? Ante esta pregunta es probable que algunos establezcan una medida “a ojo”, considerando las medidas de los cuadraditos que se recortan. Habrá que hacerles ver que con la información disponible no hay una medida concreta y precisamente el problema consiste en encontrar esa medida. En principio se puede representar con x o cualquier otra letra. A partir de esta medida hipotética ya se pueden expresar otras medidas, por ejemplo, un lado de la base de la caja mide x-6 ¿por qué? El área de la base de la caja, que es cuadrada, mide (x - 6) (x - 6) ¿Cuánto mide la altura de la caja? Y entonces, ¿cómo se expresa el volumen de la caja? 3 (x - 6) (x - 6) = v, pero como v vale 108, la expresión final es 3 (x - 6) (x - 6) = 108. Al resolver esta ecuación se contesta el primer problema.

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

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OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE Forma Espacio y Medida

BLOQUE V

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD

TEMA Medida

APARTADO: 9.5.2 GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

Análisis de las secciones que se obtienen al realizar cortes a un cilindro o a un cono recto. Cálculo de las medidas de los radios de los círculos que se obtienen al hacer cortes paralelos en un cono recto.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos identifiquen las figuras que se obtienen al hacer cortes rectos a un cilindro o a un cono. CONSIGNA: Consigna: En forma individual, anota debajo de cada cilindro o cono el nombre de la figura que se obtiene al hacer el corte que se indica. Al terminar compara con tus compañeros tus anotaciones y si no coinciden traten de ponerse de acuerdo. Estos son algunos cortes que pueden hacerse en un cilindro: Paralelo a la base

Perpendicular a la base

Oblicuo a la base (1)

CIRCULO

RECTANGULO

TRIÁNGULO

Oblicuo a la base (2)

TRAPECIOS

Algunos cortes que se pueden hacer al cono: Oblicuos a la base

ELIPSE

Perpendiculares a la base

HIPÉRBOLE

Paralelos a la generatriz

PARÁBOLA

Paralelo a la base

CÍRCUNFERENCIA

CONSIDERACIONES PREVIAS Consideraciones previas: La finalidad de realizar individualmente este trabajo es que todos los alumnos tengan la oportunidad de analizar los cortes y las figuras que resultan. Es probable que no todos identifiquen las mismas figuras y los mismos nombres, de manera que éste será un buen punto para discutir y obtener conclusiones. Es deseable que los alumnos (por equipo) cuenten con los sólidos indicados, para que hagan los cortes y verifiquen lo que se ve en los dibujos. El cilindro y el cono pueden ser de unicel y adquirirse en papelerías o mercerías o bien hacerlos con plastilina o barro. Pueden utilizar para los cortes un cúter, teniendo en cuenta las medidas de seguridad pertinentes. Los cortes pueden ser verticales, horizontales o inclinados con respecto a la base o al eje de revolución. Es importante que los alumnos obtengan una descripción clara de las figuras que se observan al realizar los cortes: rectángulos, círculos, elipses y parábolas y conviene cuestionar si son las únicas figuras que se pueden obtener.

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

EJE Forma Espacio y Medida APARTADO: 9.5.2

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD

TEMA Medida

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos calculen la medida del radio del círculo que se obtiene al hacer un corte paralelo a la base de un cono. Que determinen la relación entre el radio y la altura del cono al realizar varios cortes. CONSIGNA: Consigna: Organizados en equipos, realicen lo que se pide. 1. El cono que aparece abajo mide 10 cm de altura y 2 cm de radio en la base. Si se hacen cortes paralelos a la base, ¿cuánto medirá el radio de cada círculo formado por los cortes por cada centímetro de altura? Completen la tabla. h (altura del cono en cm) r (radio de la base en cm)

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0. 2

2. Tracen la gráfica que representa la relación entre las diferentes alturas del cono que se obtienen al hacer cortes paralelos a su base y el radio de los círculos que se forman.

3. ¿Qué tipo de relación hay entre la altura y el radio?

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Continuando con el trabajo del plan anterior, es importante que al inicio los alumnos verifiquen que efectivamente al realizar cortes paralelos a la base del cono se obtienen círculos de dimensiones cada vez menores. Obtener el valor del radio cuando la altura mide 10 cm no tiene ningún problema, es un dato que viene en el texto del problema (2 cm), el asunto se vuelve interesante cuando intenten obtener un segundo valor para el radio, se sugiere dar un tiempo suficiente para que los alumnos averigüen

distintas forma de llegar a él. Algunos posibles procedimientos son los siguientes:  En primer lugar que adviertan que se forma un triángulo rectángulo con la altura del cono, el radio de la base y la generatriz. El radio mide 2 cm y la altura 10 cm. Al disminuir la altura con un corte, por ejemplo a 9 cm, se forman 2 triángulos semejantes, ya que tienen sus tres ángulos iguales, por lo tanto sus lados son proporcionales y se puede establecer la siguiente igualdad para obtener la medida del nuevo radio.

10 9  , 2 x

de donde x = 1.8 Así, cuando la altura es de 9 cm, el radio mide 1.8 cm. De manera semejante pueden obtenerse las demás medidas de los radios. Otra herramienta que puede utilizarse son las razones trigonométricas, una vez identificado el triángulo rectángulo formado por la altura, el radio y la generatriz

Con los valores del radio y la altura se obtiene el valor del ángulo formado por la generatriz y el radio (aproximadamente 79°). Al disminuir la altura, por ejemplo a 9 cm, se aplica la razón tangente para obtener el valor del nuevo radio (x).

Así, cuando la altura es de 9 cm, el radio mide 1.8 cm. De manera semejante pueden obtenerse las demás medidas de los radios.

x

9 tan 79

Otra herramienta que puede utilizarse son las razones trigonométricas, una vez identificado el triángulo rectángulo formado por la altura, el radio y la generatriz

Independientemente del proceso que utilicen, es probable que obtenidos dos o tres valores del radio, identifiquen el patrón del comportamiento y lo apliquen para encontrar los valores restantes (2, 1.8, 1.6, 1.4, …). Otra posibilidad es que adviertan que se trata de una relación de proporcionalidad entre la altura y el radio y como tal, apliquen algún procedimiento como la regla de tres o el valor unitario para calcular los valores faltantes. Lo anterior no es incorrecto, al contrario es deseable que vinculen la actividad con otros contenidos, así que, si esto ocurre, se sugiere pedirles que verifiquen algunos valores empleando otra herramienta, como la semejanza de triángulos o las razones trigonométricas. Si el profesor lo considera pertinente, para verificar las medidas de los radios resultantes, los alumnos pueden modelar con plastilina el cono, realizar los cortes y hacer las mediciones correspondientes. En relación con la gráfica y la pregunta del punto 3 es importante que los alumnos adviertan que se trata de una relación de proporcionalidad entre la medida de la altura del cono y la medida del radio de la base, razón por la cual, la gráfica es una recta que pasa por el origen del plano cartesiano.

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE Forma Espacio y Medida APARTADO: 9. 5.3

BLOQUE V

TEMA Medida

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides.

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos construyan la fórmula para calcular el volumen de un cilindro. CONSIGNA: Organizados en equipos, usen un cono de papel para tomar agua y realicen las siguientes actividades: Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1.- Elijan al menos dos de los cuerpos dibujados abajo y calculen su volumen.

Prisma triangular

a 2 = c2 – b 2 a2 = 42 – 22 a2 = 16 + 4 a2 = 20 a =20 a = 4.47 V = (4cm)(4.47)(10cm)/2 V = 188cm2/2 V = 89.4 cm3

Prisma cuadrangular

a = (3cm)2 a = 9 cm2

V = (9cm2)(10 cm) 3

V = 90 cm

Prisma pentagonal

Tan 54° = a/1.2 (a)(1)= (Tan 54°)(1.2) a = (1.376)(1.2) a = 1.65 V = [(5)(2.4)(1.65)/2)](10cm) V = [(12cm)(1.65cm)/2)](10cm) V = (19.8cm2/2)(10cm) V = (9.9 cm2)(10cm) V = 99 cm3

Prisma hexagonal Lado de la base = 2

Tan 60° = a/1 (a)(1)= (Tan 60°)(1) a = (1.732)(1) a = 1.73

Prisma decagonal Lado de la base = 1.2

Cilindro Radio de la base = 2 cm

Tan 72° = a/0.6 (a)(1)= (Tan 72°)(0.6) a = (3.077)(0.6) a = 1.84

V = (3.14)(2cm)2(10cm) V = (3.14)(4cm2)(10cm) V = (12.56cm2)(10cm) V = 125.6 cm3

V = [(6)(2)(1.73)/2)](10cm)

V = [(10)(0.6)(1.84)/2)](10cm)

V = [(12cm)(1.73cm)/2)](10cm)

V = [(6cm)(1.84cm)/2)](10cm)

V = (20.76cm /2)(10cm)

V = (11.04cm2/2)(10cm)

V = (10.38 cm2)(10cm)

V = (5.52 cm2)(10cm)

V = 103.8 cm3

V = 55.2 cm3

1. Con base en el procedimiento que utilizaron para calcular el volumen de los prismas que eligieron, calculen el volumen del cilindro. SE DEBE CALCULAR AREA DE LA BASE Y MULTIPLICARLO POR LA ALTURA COMO EN EL CILINDRO LA BASE ES UN CIRCULO TENEMOS: A = r2H

CONSIDERACIONES PREVIAS: Anteriormente los alumnos calcularon y justificaron el volumen de prismas por lo que se espera que sepan usar ese conocimiento, no sólo para calcular el volumen de los prismas elegidos, sino para inferir el procedimiento para calcular el volumen del cilindro. En los casos en los que se necesita la medida de la apotema, tendrán que recurrir al teorema de Pitágoras o a las razones trigonométricas para obtenerla. Si los alumnos tienen claro que el volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura, es muy posible que vinculen este procedimiento con el volumen del cilindro. Una vez que haya quedado claro el procedimiento para calcular el volumen del cilindro conviene plantear las siguientes preguntas: ¿En cuál de los cuerpos dibujados se usa menos material para construirlo? ¿Cuál de los cuerpos dibujados tiene mayor volumen?

EJE Forma Espacio y Medida APARTADO: 9.5.3

TEMA Medida

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Construcción de las fórmulas para calcular el volumen de cilindros y conos tomando como referencia las fórmulas de prismas y pirámides.

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos construyan la fórmula para calcular el volumen del cono. CONSIGNA: Organizados en equipos, hagan lo siguiente: a) Elijan al menos tres de las pirámides dibujadas y calculen su volumen

Con base en el procedimiento que utilizaron para calcular el volumen de las pirámides elegidas, calculen el volumen del cono. CONSIDERACIONES PREVIAS: En las clases anteriores debió haber quedado clara la diferencia entre la generatriz y la altura en un cono, así como el hecho de que su base es un círculo. Con este trabajo también se espera que infieran la fórmula para calcular el volumen del cono, en el entendido de que el área de la base es πr2. Además, se puede recurrir al proceso de vaciado para lo que se requiere tener algunos materiales, tales como arroz, lentejas, arena, etc., usando el cilindro y el cono que construyeron en el apartado anterior para comprobar la relación que existe entre los volúmenes de dichos sólidos. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE Forma Espacio y Medida APARTADO: 9.5.4

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

BLOQUE III

TEMA Medida FECHA:

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos estimen, calculen y relacionen el volumen de conos y cilindros

CONSIGNA:

Consigna 1: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas, sin hacer operaciones escritas. a) Se tiene un garrafón con 4 litros de agua, que se va a repartir en vasitos cónicos de 8 cm de diámetro por 10 cm de altura. ¿Cuántos vasitos creen que podrían llenarse? __________________________ b) Si los vasitos fueran cilíndricos en vez de cónicos, pero con las mismas medidas, ¿cuántos creen que podrían llenarse? __________________________________ Consigna 2: Un tráiler llega con un contenedor de forma cilíndrica lleno de granos de maíz y se desea depositarlo en un silo con forma de cono con las medidas que aparecen en la imagen siguiente: ¿Tendrá el silo la capacidad suficiente para recibir el contenido del contenedor cilíndrico? Argumenten su respuesta.

CONSIDERACIONES PREVIAS: La condición de no permitir operaciones escritas es para que los alumnos usen el cálculo mental y obtengan una aproximación en el primer problema, pero además, se espera que con base en esa aproximación puedan resolver el segundo problema. Una estimación posible es la siguiente: el volumen del cono es 42 por pi entre tres, aproximadamente igual a (42 x 3)/3 = 16 cm3. Esta cantidad cabe aproximadamente 6 veces en 100; 60 veces en 1000 y 240 veces en 4000 cm3, que es el equivalente de los cuatro litros. Si los vasos fueran cilíndricos, la cantidad de vasos que se podrían llenar sería 240 entre 3, es decir 80 vasos. Es conveniente que, habiendo encontrado los resultados estimados de los dos primeros problemas, los alumnos usen la calculadora y vean qué tan cercanos (o lejanos) son los resultados obtenidos por

ambos medios. Habrá que dejar que los alumnos discutan en su equipo cuáles son las mejores estrategias para dar respuesta a los problemas, sin esperar una respuesta exacta. También habrá que dejar que discutan acerca de la equivalencia entre las unidades de capacidad y las de volumen que ya fueron estudiadas anteriormente. Es importante verificar que los alumnos, más allá de la precisión en los cálculos, manejan son soltura los procedimientos para calcular volúmenes de cilindros y conos, la relación que existe entre ambos y la vinculación entre unidades de capacidad y volumen. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

EJE Forma Espacio y Medida APARTADO: 9.5.4

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

TEMA Medida FECHA:

SESIONES:

OBSERVACIONES

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.

INTENCIONES DIDÁCTICAS:

Que los alumnos realicen despejes al utilizar fórmulas CONSIGNA: 1. Don Melquiades quiere colocar una cisterna cilíndrica con una capacidad de 2500 l y un diámetro de 1.50 m. ¿Cuánto deberá excavar para que el depósito quede al nivel del piso? Hay que considerar que el depósito se colocará sobre una base de concreto de 10 cm de espesor. a) Una capacidad de 2500L equivale a un volumen de 2.5 m³. De otro lado se sabe que el volumen V de un cilindro de radio r y altura h es: V = πr²h => h = V/(πr²) = 2.5/(π*(0.75)²) = 1.41 m (altura de la cisterna) La altura total H del hueco debe ser entonces: H = 1.41 + 0.1 = 1.51 m (Esta es la profundidad a la que debe excavar don Melquiades)

2. Un vecino de Don Melquíades que pretendía hacer lo mismo, encontró piedra a 1.20 m de profundidad y no fue posible colocar el mismo tipo de depósito. ¿De qué medida deberá ser el diámetro de otro depósito para que, conservando la misma capacidad de 2500 l se pueda instalar ahí?

b) La altura h del depósito debe ser: h = 1.2 - 0.1 = 1.1m r² = V/(πh) = 2.5/(π*1.1) = 2.5/3.46 = 0.72 m² => r = 0.85 m El diámetro d del depósito deberá ser: d = 2r = 1.7 m

CONSIDERACIONES PREVIAS: Se sugiere discutir los resultados y argumentaciones del primer problema, antes de pasar a la resolución del segundo. Los alumnos pueden tener dificultad para hacer el despeje de la altura y el radio, en este caso se puede sugerir que sustituyan en la fórmula los valores conocidos y que encuentren la relación numérica que se establece. Otra dificultad puede generarse de la confusión en uso del radio y el diámetro. Como tarea para la casa se puede plantear el siguiente problema. En algunas zonas rurales acostumbran almacenar forrajes, granos o semillas en depósitos de forma cónica llamados silos. El papá de Mariana va a construir un silo para almacenar 120m3 de semilla que cosecha anualmente. ¿Cuál deberá ser la altura del silo, considerando que el diámetro medirá 8 metros? METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

EJE Forma Espacio y Medida APARTADO: 9.5.4

GRUPOS: A, B, C, D, E, F

TEMA Medida FECHA:

SESIONES:

OBSERVACIONES

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Estimación y cálculo del volumen de cilindros y conos o de cualquiera de las variables implicadas en las fórmulas.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos analicen la relación entre la altura y el volumen de cilindros y conos cuando el área de la base se mantiene constante.

CONSIGNA:

Consigna: En equipos, realicen las siguientes actividades. Pueden usar calculadora: Se tienen cinco barras de chocolate en forma cilíndrica, como los que se observan en el dibujo de abajo. Llenen la tabla con los datos que faltan y contesten la pregunta.

¿Cómo varían la altura y el volumen del cilindro cuando el radio permanece constante? Varia

proporcionalmente al doble o en razón 2 a 1 1. Con las mismas dimensiones indicadas en la actividad anterior, ahora calculen el volumen de los rellenos cónicos señalados en el interior de cada barra de chocolate, completen la tabla y contesten la pregunta.

¿Cómo varían la altura y el volumen del cono cuando el radio permanece constante?

Varían proporcionalmente

CONSIDERACIONES PREVIAS: Al realizar ambas actividades se espera que los alumnos concluyan que la altura y el volumen tanto del cono como del cilindro varían proporcionalmente, cuando el radio permanece constante. Se sugiere que con los valores de las tablas se elaboren las gráficas correspondientes y puedan, los alumnos, observar la variación que se da entre volumen y altura. Se recomienda plantear situaciones en las que permanezca constante la altura y se haga variar el radio de la base para analizar lo que sucede con el volumen y verificar que no es el mismo comportamiento. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

PLAN DE CLASE ESC. SEC. GRAL. Nº 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS PROFR. CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO TERCER GRADO

EJE Manejo de la información APARTADO: 9.5.5

BLOQUE V

TEMA Proporcionalidad y Funciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal o cuadrática entre dos conjuntos de cantidades.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos relacionen dos conjuntos de datos que guardan una relación lineal o cuadrática y determinen la expresión algebraica que modela dicha relación. CONSIGNA: Consigna: Individualmente resuelvan los siguientes problemas. 1. Una persona tiene la presión arterial alta y el médico se la quiere nivelar. El médico sabe que 1 mg de cierta medicina disminuye 1.5 unidades de presión. Si y representa la disminución en la presión y x el número de miligramos que se receta, escribe algebraicamente la relación entre x y y. y = 1.5x 2. Cristina tiene 3 años menos que Andrés. Si representamos por y la edad de Cristina y por x la edad de Andrés, escribe algebraicamente la relación entre x y y. y=x–3 3. Se deja caer una pelota desde la parte alta de un edificio, si en el primer segundo recorre 4.9 m, en el segundo 19.6 y en tercero 44.1, ¿qué expresión algebraica permite calcular la distancia (d), en función del tiempo (t)? d = 4.9 t2. 4. Tres empresas rentan fotocopiadoras. Por el alquiler de un equipo, la empresa 1 cobra $ 3 000.00 al mes y $ 50.00 por hora de uso; la empresa 2 cobra $ 75.00 por cada hora de uso y la empresa 3 cobra $ 2 500.00 al mes y $ 65.00 por hora de uso. Escribe una expresión algebraica para cada caso, en la que se relacione el cobro mensual (C) de cada empresa en función del número de horas (h) de uso. Empresa 1 3000 + (50)x C = 3000 +

Empresa 2 0 + 75(x) C = 75(h)

Empresa 3 2500 + 65(x) C = 2500 + 65(h)

CONSIDERACIONES PREVIAS: Las situaciones de este plan están escritas en lenguaje común. Se trata de analizarlas para identificar las magnitudes involucradas y el tipo de variación entre ellas (lineal o cuadrática), con la finalidad de escribirlas algebraicamente. Una vez que se han identificado las variables de una situación, si los alumnos tienen problemas para buscar la relación entre ellas, se les puede sugerir que construyan con ellas una tabla, ésta facilita la búsqueda de su relación. Por ejemplo, para el problema 3 se puede elaborar la siguiente tabla:

Tiempo en segundos. (t) 1 2 3

Distancia recorrida en metros. (d) 4.9 19.6 44.1

Con la finalidad de focalizar aún más la atención puede plantearse la siguiente pregunta: ¿qué operaciones tiene que hacerse a la magnitud tiempo para obtener la correspondiente distancia recorrida? El propósito es que llegan a identificar que la distancia es igual al cuadrado del tiempo por la constante 4.9. La expresión algebraica de esta variación cuadrática es d = 4.9 t2. Una de las finalidades de obtener la fórmula es que a partir de ella se pueden calcular otros valores, por lo tanto, se sugiere plantear otras preguntas, como por ejemplo, ¿cuál es la distancia recorrida después de 7 segundos? ¿en qué tiempo tardaría en caer al suelo la pelota si la altura del edificio fuera 122.5 m? A excepción de la situación 3, las demás se tratan de variaciones lineales, vale la pena distinguir entre ellas las que representan una relación de proporcionalidad, la que hace referencia a la presión arterial y la que se refiere al cobro de la empresa 2, e identificar las diferencias en la escritura de sus expresiones algebraicas. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

EJE Manejo de la información APARTADO: 9.5.5

TEMA Proporcionalidad y Funciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos analicen variaciones lineales y cuadráticas representadas mediante una expresión algebraica, una tabla o en lenguaje común y representen dichas relaciones gráficamente. CONSIGNA: Consigna: Individualmente resuelve los siguientes problemas. Utiliza tu cuaderno para hacer las gráficas. 1. Una piscina se está vaciando a fin de limpiarla. Por el desagüe se desalojan 60 litros cada minuto. Tiene 1800 litros de contenido en el momento en que comienza el vaciado. Haz una gráfica que represente la relación tiempo (minutos) y la cantidad de agua (litros) contenida en la piscina. 2. Dada la expresión y = 2x2 + 3, dibuja la gráfica que represente la relación entre x y y. 3. Un autobús se desplaza a una velocidad constante. En la siguiente tabla se registran algunas distancias recorridas y sus correspondientes tiempos. Tiempo (h)

0.5

2.0

3.5

6.0

7.0

Distancia (km)

160

280

480

560

800

Calcula los valores faltantes de la tabla y elabora una gráfica que represente la relación entre el tiempo (x) y la distancia (y) de esta situación.

CONSIDERACIONES PREVIAS: Consideraciones previas: Es recomendable vincular las diferentes representaciones de una variación lineal o cuadrática, de ahí que las situaciones de este plan se presentan de diversas maneras; mediante una expresión algebraica, mediante una tabla o bien en lenguaje común. Se sugiere aprovechar las gráficas que elaboren los alumnos para plantear algunas preguntas; por ejemplo, en la primera situación se

puede preguntar, ¿cuántos litros de agua se desalojaron en un cuarto de hora? ¿en cuánto tiempo se termina de vaciar la piscina? Para contestar pueden utilizar la gráfica o bien manipular la expresión y = 1800 – 60x, en donde y representa la cantidad de agua en la piscina y x el número de minutos transcurridos. También se les puede solicitar a los alumnos que elaboren otras preguntas que puedan contestarse con la información de la gráfica. Es recomendable que desde el análisis del texto, la expresión algebraica o la tabla de valores, y antes de realizar las gráficas, los alumnos anticipen algunas características de las mismas, por ejemplo, ¿se trata de una recta o de una parábola? ¿pasa por el origen del plano cartesiano? Si se tiene una calculadora graficadora vale la pena utilizarla. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

EJE Manejo de la información APARTADO: 9.5.5

TEMA Proporcionalidad y Funciones

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

OBSERVACIONES

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos relacionen gráficas de variaciones lineales y cuadráticas con sus respectivas representaciones algebraicas. CONSIGNA: Consigna: De manera individual identifica la gráfica que corresponda a cada una de las funciones señaladas en la tabla, escribe el número de gráfica en la segunda columna

Función

1 y x 2 y  2x  3

y  3x

Gráfica Recta que pasa por el origen Recta pasa por 3 Parábola

CONSIDERACIONES PREVIAS: La expectativa es que los alumnos identifiquen los dos tipos de representaciones, la gráfica y la algebraica, que corresponden a la misma relación; para ello, es deseable que los alumnos recurran al análisis de las características de dichas representaciones. Algunas características que posiblemente los alumnos pueden analizar son: a) para el caso de una relación de proporcionalidad, su gráfica es una recta que necesariamente pasa por el origen del plano cartesiano y su expresión algebraica es de la forma y = kx; b) para las funciones lineales que no representan una relación de proporcionalidad, son de la forma y=kx + b donde b es la ordenada al origen y c) para las variaciones cuadráticas, sus gráficas son parábolas. Para los tres casos, la pendiente es otro aspecto que se puede analizar pues entre mayor sea, se aleja más del eje de las abscisas. No se descartan otras posibles estrategias:  Averiguar las coordenadas de un punto de la gráfica y sustituirlas en la expresión algebraica, si la satisface, entonces representan la misma relación y se corresponden.  A partir de la expresión algebraica, determinar algunas parejas de valores (x, y) y ubicarlas en el plano cartesiano, si coinciden con el punto de una gráfica, entonces ésta y la expresión algebraica se corresponden. Será importante que si los alumnos no recurren al análisis de las características de las representaciones algebraicas y gráficas, sea el profesor quien proponga dicho análisis. METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

EJE Manejo de la Información APARTADO: 9.5.6

TEMA Nociones de Probabilidad

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

OBSERVACIONES

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos expliquen las razones por las cuales un juego de azar es justo o no. CONSIGNA:

Consigna: Organizados en equipos de tres integrantes analicen la siguiente situación y realicen lo que se indica. En la clase de matemáticas se realizó un “juego de carreras”, para ello se utilizaron dos monedas, en las que una de sus caras tenía el número uno y en la otra cara el cero. Para llevar a cabo el “juego” se utilizó como pista el tablero que se presenta a continuación:

Cada integrante escogió un carril (0,1 ó 2) y un objeto como contraseña personal para indicar su avance en el carril; se procede a lanzar las fichas, dependiendo de lo que marquen las caras superiores sus resultados se suman; si el resultado es uno avanza ese carril y si la suma es dos avanza el dos y así sucesivamente. Ganando el primero que llegue a la meta. 1. Comenten en equipo y den respuesta a las siguientes preguntas:  ¿Consideran que en cualquier carril se tiene la misma probabilidad de ganar? SI  ¿Por qué? Existe la misma probabilidad de caer en 0 o en 1 al lanzar las monedas  ¿Habrá algún carril que siempre le gane a los demás? Argumenten su respuesta. No las probabilidades son las mismas al lanzar las monedas  ¿Cuál es la probabilidad de que gane el carril 0? 1/3 ¿Por qué? Tiene las mismas posibilidades que sus dos compañeros  ¿Cuál es la probabilidad de que gane el carril 1? 1/3 ¿Por qué? Porque son tres jugadores y los tres tienen la misma posibilidad 1/3 juntos da 1  Y, ¿del carril 2? 1/3 ¿Por qué? Porque son tres jugadores y los tres tienen la misma posibilidad 1/3 juntos da 1 2. Ahora reproduzcan el juego de acuerdo a las instrucciones, cuando alguno de los tres llegue a la meta terminan el juego. Revisen si sus predicciones fueron correctas, y en caso de no ser así, argumenten lo sucedido para comentar posteriormente con los demás equipos.  ¿Tienen los tres carriles la misma probabilidad de ganar? SI Argumenten su respuesta. Existe la misma probabilidad de caer en 0 o en 1 al lanzar las monedas 

¿Tienen algunos carriles la misma probabilidad de ganar? SI ¿Cuáles? Los tres carriles

 ¿Cuál(es) carril(es) tiene(n) mayor probabilidad de obtener la victoria? Los tres carriles¿Por qué? Porque existe la misma probabilidad de caer en 0 o en 1 al lanzar las monedas

 ¿El juego es justo para los tres competidores? Es justo ¿Por qué? Los tres competidores tiene la misma probabilidad CONSIDERACIONES PREVIAS: Es recomendable que se propicie el análisis de las predicciones y compararlas con los resultados del juego; de ser posible aclarar las confusiones a partir del espacio muestral del experimento “la suma de las caras superiores al lanzar dos monedas al aire”, que se puede representar mediante un diagrama de árbol o arreglo rectangular. Variante del juego: Si el tiempo lo permite, puede cuestionar a los equipos respecto a qué pasa si se cambian las condiciones del juego, (multiplicar las caras en lugar de sumarlas); algunos ejemplos de preguntas serían las siguientes: a) ¿Tienen en los tres carriles la misma probabilidad de llegar a la meta? si b) ¿En qué carril se llegará primero a la meta? En cualquiera de los tres c) ¿En algún carril se está en desventaja con respecto a los demás? No, los tres tinen la misma probabilidad de ganar METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

EJE Manejo de la Información APARTADO: 9.5.6

TEMA Nociones de Probabilidad

GRUPOS: A, B, C, FECHA: D, E, F

SESIONES:

OBSERVACIONES

CONOCIMIENTO Y HABILIDAD Análisis de las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

INTENCIONES DIDÁCTICAS: Que los alumnos expliquen las razones por las cuales un juego de azar es justo o no. Si no es justo, que propongan las condiciones necesarias para que lo sea. CONSIGNA: Consigna: En parejas jueguen a lanzar dos dados, las reglas son las siguientes: En cada lanzamiento se calcula la diferencia entre los puntos de ambos dados, si es 0, 1 o 2, el jugador número uno gana una ficha. Si la diferencia es 3, 4 o 5, el jugador número dos gana una ficha. El juego se inicia con un total de 20 fichas, de las que se toma una cada vez que gana un jugador. El juego termina cuando no quedan más fichas. Repitan el juego tres veces, luego contesten:



¿Consideran justas las reglas del juego? NO ¿Por qué?

 ¿Consideran que ambos jugadores tienen la misma probabilidad de ganar? NO  ¿Por qué? De los 36 posibles resultados, en 24 es probable obtener una diferencia de 0, 1 o 2; mientras que únicamente hay 12 posibles resultados donde la diferencia sea 3, 4 o 5. El juego no es justo. ¿En qué condiciones creen que se deba jugar para que los dos jugadores tengan la misma probabilidad de ganar? Para lograr que el juego sea justo, los alumnos deben modificar las reglas originales. Algunas posibles propuestas son las siguientes:  Combinar las diferencias, de tal manera que cada jugador tenga las mismas probabilidades de ganar Consideraciones previas: Con este plan, se trata no únicamente en determinar si el juego es justo o no, sino que en caso de que no lo sea, proponer condiciones para que sea justo. Si a los alumnos se les complica determinar si el juego es justo o no, se les puede sugerir que averigüen las diferencias y sus frecuencias, una tabla como la siguiente permite registrar los posibles resultados.

Con base en la tabla anterior puede elaborarse otra con las frecuencias.

Diferencia de puntos 0 1 2 3 4 5

Frecuencia 6 10 8 6 4 2

Por lo tanto, de los 36 posibles resultados, en 24 es probable obtener una diferencia de 0, 1 o 2; mientras que únicamente hay 12 posibles resultados donde la diferencia sea 3, 4 o 5. El juego no es justo. Para lograr que el juego sea justo, los alumnos deben modificar las reglas originales. Algunas posibles propuestas son las siguientes: 

Combinar las diferencias, de tal manera que cada jugador tenga las mismas

probabilidades de ganar, por ejemplo: 

Jugador 1 gana si la diferencia es 0, 1 o 5; Jugador 2 gana si la diferencia es 2, 3 o 4.



Jugador 1 gana si la diferencia es 0, 3, 4 o 5; Jugador 2 gana si la diferencia es 1 o 2.



Jugador 1 gana si la diferencia es 0, 2 o 4; Jugador 2 gana si la diferencia es 1, 3 o 5.

 Que en lugar de obtener la diferencia de los puntos, se calcule la suma y que el jugador 1 gane si la suma es par y el jugador 2 si es impar. Sea cualquiera la propuesta de condiciones, es necesario que los estudiantes expliquen y muestren que los dos jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar y por lo tanto es un juego justo, para lograr dicho fin podrán hacer uso de diversas herramientas, tanto gráficos como operatorios.

METODOS Y TECNICAS

RECURSOS DIDACTICOS

Método activo Demostrativo Inductivo Deductivo

Cuaderno de apuntes Calculadora Libro de texto Juego de geometría

OBSERVACIONES

REVISÓN

Vo.Bo. Profra. Mónica Dora Delgado Delgado Directora

Vo.Bo. Profr. Víctor Figueroa Martínez Jefe de Enseñanza

Profr. Carlos Rodríguez Romero Titular