Planeacion segundo 2015 2016 by CARLOS RODRIGUEZ

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN DE TAMAULIPAS SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN BÁSICA DEPARTAMENTO DE SECUNDARIAS GENERALES SUPERVISION GENERAL ZONA N° 7, CD. MADERO JEFATURA DE ENSEÑANZA DE MATEMÁTICAS CICLO ESCOLAR 2015 - 2016 ESC. SEC. GRAL. SEC. GRAL. N° 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS” C.C.T. 28 DES0044T ZONA N° 7 DE CD. MADERO. PLANEACIÓN DE MATEMÁTICAS PROFESOR

SEGUNDO GRADO

BLOQUE I

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D”, “H”

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados

Comunicar información matemática Manejar técnicas eficientemente APRENDIZAJES ESPERADOS

   

Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos recursivos. Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.

EJE Sentido numérico y pensamiento algebraico EJE

TEMA

Problemas multiplicativos

TEMA

CONTENIDO  

Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros. Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo

CONTENIDO



Figuras y cuerpos Forma espacio y medida Medida



Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

 Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a Proporcionalidad y funciones



Manejo de la información

una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

Nociones de probabilidad



Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”.

Análisis y representación de datos



Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

CARLOS RODRIGUEZ ROMERO Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos 8.1.1 Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

GRUPO:

“D” “H”

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS

ACTIVIDADES

EVALUACIÓN

Integrados en equipos, realicen la siguiente actividad. 1.

Completen las siguientes tablas utilizando la tecla (+/-) de la calculadora. En la tabla de la división, los números de la columna vertical corresponden al dividendo.

(X)

2.3

-3/4

()

-1

-4

-1.2

-3/5

-4.1

-3

-9

1/2 2.

+3/8

+9/4

+1/2

-5/6

Con base en las operaciones que han realizado completen los siguientes enunciados. a) Siempre que se multiplican o dividen dos números del mismo signo el resultado tiene signo:____________________________________________________________ b) Siempre que se multiplican o dividen dos números de distinto signo el resultado tiene signo: ____________________________________________________________ c) Siempre que se multiplica o divide un número por menos uno el resultado es: ___________________________________

Integrados en equipos, resuelvan las siguientes multiplicaciones aplicando las reglas de los signos obtenidas en la sesión anterior.

 11 0 

3  8

( 5)( 6) 

( 7 )( 1) 

( 6)( 6) 

( 5)( 4)( 8) 

1 7 ( )( )(3)  3 6

( 1)( 2) 

( 8.5)(5)  ( 2)(5)(1)(3) 

2 3 ( ) * ( ) 5 4 3 (6)(3)( )(0.2)(1)  4

Probablemente algunos alumnos tendrán dificultad en el manejo de la calculadora, en cuyo caso el maestro indicará que para escribir números negativos primero debe teclear el número y después la tecla (+/). Si en la puesta en común los resultados obtenidos por algunos alumnos fueron diferentes, ellos validarán el procedimiento adecuado. Es importante analizar detenidamente cada enunciado hasta que todos los alumnos estén de acuerdo. Es necesario informar a los alumnos que hay varias formas de representar la multiplicación, además de la que ellos conocen. Una vez que hayan resuelto las operaciones, se les plantean las siguientes preguntas. ¿Qué sucede con el signo del producto cuando la multiplicación tiene más de dos factores? ¿Se puede formular una regla? ¿Cuál?

Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos 8.1.1 Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros. ACTIVIDADES

Reunidos en equipos, encuentren los números que faltan, realizando las operaciones correspondientes.

( 9)( 7) 

( )  ( 7 )  9

( )( 3)  24

( )  ( 3) 

( )( 6)  30

( 30)  ( ) 

( 2)( )  8

( 8)  ( 2) 

5 4 (  )( )  3 7

4 5 ( )  ( )   7 3

( 8.2)( ) 

( )  ( 1)  8.2

( 7 )( ) 

( 7 )  ( )  7

( 12)( 1) 

( 12)  ( )  1

( )( 2.7)  0

( )  (  2 .7 ) 

GRUPO:

“D” “H”

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS El maestro algunas interesantes siguientes:

cuestionará situaciones como los

¿En qué casos el cociente es igual a 1?, ¿En qué casos el cociente es igual a 0? Una vez que hayan resuelto las operaciones, el maestro puede proponer problemas como los siguientes: a) Pensé un número. Al multiplicarlo por -7 y enseguida restar 49 obtengo cero. ¿De qué número se trata? b) ¿Qué números sumados dan -5 y multiplicados resulta +6?

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

CONTENIDO FECHA

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

ACTIVIDADES Integrados en equipos resuelvan lo siguiente: 1. Expresen las siguientes cantidades como productos de factores iguales, como se muestra en el ejemplo. 8 = (2) (2) (2)

“D” “H”

243 =

32 =

625 =

64 =

343 =

128 =

2. Expresen en forma de potencias los siguientes productos de factores iguales: (2)(2)( 2) = (10)(10)(10)(10) = (4 x 4 x 4) + (5 x 5 x 5)= (3 x 3 x 3) (3 x 3 x 3 x 3) =

27 =

(7 x 7 x 7)

 ( 7 x 7) =

Después de dar tiempo suficiente para que los equipos realicen las actividades, algunos alumnos pasarán al pizarrón a escribir sus respuestas, mismas que serán analizadas por todo el grupo.

EVALUACIÓN

5 Ejercicios de consignas Participación Actitud

3. Completen la siguiente tabla: x

21 2

Es importante contrastar multiplicaciones de factores iguales con sumas de sumandos iguales .Por ejemplo

26 3

2  2  2  2  4( 2) 4 con 2222  2 , ya

que es muy común que los estudiantes confundan estas dos operaciones.

4. De acuerdo con lo anterior, elaboren una regla general para simplificar una multiplicación de potencias de la misma base.

Para consolidar lo aprendido, es recomendable que se deje de tarea algunos ejercicios como por ejemplo: Escriban el resultado de cada una de las siguientes operaciones como una potencia. a) 2 8  2 3  e) 7 7  7 3 

b) 3 2  3 2  f) 10 3  10 5 

i) (5 )  (5  5  5) 

j) (10  10  10)  (10  10) 

c) 4 2  4 7  g) 10 4  10 3 

d) 5 3  5 2  h) ( 2  2  2)  ( 2  2) 

El punto medular de este plan de clase es la resolución de la tabla, a partir de la cual se espera que los alumnos descubran la siguiente regularidad: un producto de dos potencias de la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes. Si lo logran, podrán llenar la última columna y el último renglón de la tabla, en caso contrario habrá que ayudarlos.

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

SESIONES

: En equipos, encuentren el resultado de las siguientes expresiones y exprésenlo en forma exponencial. Noten que en todos los casos se trata de una potencia elevada a otra potencia.

b) ( 21 )4 = c) ( 25 )2 = d) ( 52 )2 = e) ( 43 )4 = f)

( 35 )2 =

g) ( 102 )3 = h) ( 6n )3 = i)

( 7n )m =

“D” “H”

8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. ACTIVIDADES

a) ( 22 )4 =

GRUPO:

CONSIDERACIONES PREVIAS Es importante que al resolver cada una de las expresiones anteriores los alumnos encuentren el significado de las mismas y con base en eso calculen los resultados. Por ejemplo, en el primer caso, es probable que calculen primero lo que hay dentro del paréntesis y luego lo eleven a la cuarta. Sin embargo también podrían primero elevar a la cuarta: 22 x 22 x 22 x 22 = y después calcular este producto de potencias de la misma base que se trabajó en la sesión anterior. Es muy importante ayudar a los alumnos a analizar los resultados que obtienen y sobre todo cómo los obtienen.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

8.1.2 Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

CONTENIDO FECHA

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

ACTIVIDADES En equipos, calculen el resultado de los siguientes cocientes de potencias de la misma base. Luego, formulen una regla general para simplificar cocientes de potencias de la misma base.

25  22

26  25

37  35

55  51

45  45

108  10 3

2n  22

2n  2m

Consigna 2: Efectúen los siguientes cocientes de potencias de la misma base como se muestra en el ejemplo.

22 2 2 1  2 2 5  2 3   3 5 2 2 2 2 2 2 2

26  25

35  37

51  55

42  43

CONSIDERACIONES PREVIAS CONTINUACION Por lo tanto,

1  50

y en general, a0= 1

Finalmente, hay que guiar la discusión para que puedan llegar a la siguiente regla general:

am  a mn n a

Para afianzar lo aprendido, se pueden proponer ejercicios como por ejemplo: 1. Completa las siguientes expresiones:

35  ( ) 5 2  ( ) 3 2 3

62  6( 5 6

) (

)

 6(

)

10 5  10 ( 5 10

) ( )

 10 (

)

1

2. Realiza las siguientes operaciones:

53  53

“D” “H”

x4  x6

42  40

35  36

10 8  1015

10 4 

10 3  108

Esta actividad es una extensión de la anterior que tiene la particularidad de que el resultado es una expresión exponencial con exponente negativo. La finalidad de plantear por separado estos casos es la de ayudar a los alumnos a tener claro de dónde surge una expresión con exponente negativo y cómo ésta se puede convertir en una expresión con exponente positivo. Es importante analizar primero lo que se plantea en la consigna uno y después pasar a los casos de la consigna dos. En el caso de la consigna 1, es importante destacar cómo se obtiene un exponente uno o un exponente cero y a qué equivalen. También es importante aclarar que cuando se tiene la misma cantidad en el numerador y denominador, la fracción es igual a la unidad; por ejemplo:

1

54  5 4 4  5 0 4 5

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

GRUPO:

“D” “H”

8.1.3 Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. SESIONES

ACTIVIDADES

En equipo, resuelvan el siguiente problema. Un carpintero hizo una puerta de 1.8 metros de alto, por 1 metro de ancho. En la parte media colocó un vitral transversal; el diseño es el siguiente:

1. Identifiquen todos los ángulos que se forman con las paralelas del vitral y la línea transversal. Encuentren las medidas. Encuentren la relación entre los ángulos

CONSIDERACIONES PREVIAS Los alumnos tendrán que encontrar todos los ángulos y las medidas. En plenaria revisarán si falta alguno. No olvidar que el alumno tiene que encontrar todos. El docente podrá dar los nombres de los ángulos, conforme vayan encontrando la relación. Los alumnos tendrán que encontrar los ángulos opuestos por el vértice, los internos, los externos, los colaterales (internos y externos), los alternos (internos y externos) y los correspondientes. Si los alumnos no alcanzan a identificar lo anterior, puede solicitarles que dividan una hoja en tres partes de forma paralela (no importa si son iguales o no); posteriormente, desde cualquier esquina de la hoja, doblar de manera que se corten las dos paralelas marcadas anteriormente, que identifiquen los ocho ángulos que se forman y los marquen como a, b, c, d, e, f, g, h. Cortar de manera horizontal a la mitad entre las dos paralelas y colocar los ángulos a, b, c, d sobre los ángulos e, f, g, h; verlos a contra luz, de manera que el vértice de los primeros coincida con el de los segundos. El docente podrá dar los nombres de los ángulos, conforme vayan encontrando la relación.

EVALUACIÓN

8 Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

ACTIVIDADES

En binas, desarrollen la siguiente actividad: Recorten un triángulo en una hoja de papel y realicen los cortes de dos ángulos, después colóquenlos consecutivamente junto al ángulo que no se cortó. a) b) c) d)

GRUPO:

¿Qué observan?____________________________________________________ ¿Qué tipo de ángulo forman?________________________________________ ¿Siempre sucederá lo mismo?________________________________________ Enuncien con palabras la propiedad anterior_______________________________

En equipo, resuelvan los siguientes problemas. 1. En el ∆ABC el <A = 60°, <B = 45°, ¿Cuál es el valor del <C? 2. En el ∆PQR, <P = x, <Q = 2x, <R = 3x, ¿Cuál es el valor de x, del <P, <Q, <R? 3. En el ∆DEF, <D = 2x+10°, <E = 2x - 50°, <F = x + 40°, calcular los valores de los ángulos D, E y F. 4. De la siguiente figura, si L  M, encuentra la medida del ángulo marcado con x. M

40° x

100°

CONSIDERACIONES PREVIAS Después de hacer la puesta en común de la consigna 1, y para avanzar a la formalización y generalización de esta propiedad de los triángulos, se recomienda que el profesor demuestre en el pizarrón que efectivamente en cualquier triángulo la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°. Una manera de aplicar y comprobar rápidamente esta propiedad es que el profesor les plantee a los alumnos preguntas como las siguientes: ¿Cuánto miden cada uno de los ángulos interiores de un triángulo equilátero? En un triángulo rectángulo un ángulo mide 30°, ¿Cuál es el valor del otro ángulo agudo? En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide 40° ¿Cuál es el valor de los ángulos iguales? Con el propósito de avanzar en el estudio de las ecuaciones de primer grado se plantean los problemas 2 y 3.

EVALUACIÓN

9 Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

CONTENIDO FECHA

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

En equipos, realicen las siguientes actividades. 1. Observen un paralelogramo y respondan: ¿Cuál será la suma de los ángulos interiores de un paralelogramo? Argumenten su respuesta. Por cierto, ¿qué paralelogramos conocen? ¿La suma de sus ángulos interiores es la misma para todos? Observen los siguientes paralelogramos y contesten: 5

4 3

6 1

 

“D” “H”

GRUPO:

¿Cuál es la suma de los ángulos 1 al 6 en este paralelogramo? ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del paralelogramo? B

C b) 75° A

Tenga en cuenta que los alumnos vienen trabajando desde el apartado 1.4 con la Medición de ángulos; en el 1.5, con el estudio de las rectas en el plano paralelas, perpendiculares y oblicuas; ángulos opuestos por el vértice- y que los conocimientos de este apartado servirán como antecedente del apartado 3.4. Establecer una fórmula para calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Prepare algunos paralelogramos para que cada equipo tenga uno para observarlo; en su defecto, pídales que los tracen. Si el grupo no ha aprovechado los conocimientos anteriores, oriente con preguntas para que también justifiquen la medida de los ángulos a través del paralelismo y la transversalidad.

Dado el valor de uno de los ángulos del paralelogramo, calculen el valor de los tres restantes.

EVALUACIÓN

10 Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

GRUPO:

“D” “H”

8.1.4 Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. SESIONES

ACTIVIDADES

En equipo, resuelvan el siguiente problema. Dadas las siguientes medidas: 5 cm, 6 cm y 7 cm, que corresponden a los lados de un triángulo, construyan todos los triángulos diferentes que sea posible y escriban por qué son diferentes los triángulos dibujados. Organizados en los mismos equipos, pero en forma individual, resuelvan el siguiente ejercicio. Con la medida de los segmentos AB = 6 cm y BC = 9 cm, tracen un triángulo y digan cuál es la medida del tercer lado. Al finalizar el trazo comparen el triángulo con el de sus compañeros de equipo y digan si todos los triángulos trazados son iguales y por qué.

CONSIDERACIONES PREVIAS Es probable que los alumnos consideren que dos o más triángulos son diferentes porque tienen distinta posición. Aquí el maestro puede sugerir que recorten los triángulos y los sobrepongan para que observen que se trata de triángulos iguales y que no importa la posición. Aquí es importante que los alumnos observen que con sólo esos datos no se puede obtener un triángulo único, puesto que la medida del tercer lado dependerá del ángulo que formen los dos segmentos dados.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

8.1.4 Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

ACTIVIDADES

En equipo, resuelvan el siguiente problema. Dados los siguientes segmentos, ¿cuántos triángulos diferentes se pueden construir en cada caso? Escriban sus conclusiones. a)

“D” “H”

Con su mismo equipo, construyan un triángulo cuyo perímetro sea de 11 cm y las medidas de cada uno de sus lados sean números enteros. a) ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir que cumplan con la condición anterior? ¿Podrá tener un triángulo un perímetro de 4 cm y que la medida de sus lados sea un número entero? ¿Por qué?

Es probable que después de construir los dos primeros triángulos, al ver que uno es equilátero y el otro es isósceles, digan – sin realizar el trazo– que el tercero también se puede construir y que es escaleno. Será importante insistirles en que deben construirlo y con base en ello responder. Además, si no llegan a la conclusión de comparar las medidas de los lados el maestro puede sugerirlo, a fin de que concluyan que la suma de dos lados debe ser mayor que el tercero para que se forme el triángulo. Con relación a la segunda consigna, hay que animar a los alumnos para que prueben y por un lado encuentren todos los triángulos que se pueden construir, pero también vean que no siempre es posible construir un triángulo con cualesquiera tres medidas. Un buen apoyo para resolver este problema consiste en utilizar palillos, en este caso 11, para tratar de distribuirlos entre los lados del triángulo.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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GRUPO:

“D” “H”

Forma espacio y medida Medida 8.1.5. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

En equipos de tres integrantes, resuelvan los siguientes problemas: Probablemente la 1. Se dispone de una tabla de madera de forma cuadrada, como se muestra en la figura, a la cual se le pretende dar una forma circular para que sirva de tapa de un recipiente que tiene forma mayoría de los alumnos no Cilíndrica. recuerden la fórmula del área del círculo, el maestro podrá solicitar si alguien del grupo la recuerda, si es así, que la dé a conocer. Por otra a) ¿Qué área de la madera se va a usar? parte se b) ¿Cuál es el área de la madera que no se va a utilizar? permitirá el uso de 2. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la siguiente figura, si el radio del círculo mide un la calculadora, metro? Justifiquen su respuesta. usando valor de pi con dos cifras decimales (3.14).

OBSERVACIONES GENERALES:

EVALUACIÓN

13 Ejercicios de consignas Participación Actitud

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GRUPO:

“D” “H”

Forma espacio y medida Medida 8.1.5. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

En equipos de tres integrantes, resuelvan el siguiente problema: La siguiente figura representa el vitral de una ventana cuadrada que está formada por varios cuadrados Se espera que los más pequeños. La parte del vitral que tiene forma triangular es de color rojo y se quebró el vidrio de la equipos parte sombreada… encuentren al menos una de las formas posibles para encontrar el área solicitada (cálculo directo del área del triángulo sombreado, deducción que es la cuarta parte y diferencia de áreas). Se debe Al tratar de reparar el vitral: tener cuidado si se presenta la 2 1. ¿Cuántos cm de vidrio rojo deberá utilizar quien la repare?______________________________ confusión sobre la 2 2. ¿Cuántos cm de vidrio rojo usa este vitral?__________________________________________ altura del triángulo 3. ¿Qué fracción del área total representa el triángulo rojo?________________________________ sombreado con respecto a la altura del cuadrado o de los otros triángulos.

OBSERVACIONES GENERALES:

EVALUACIÓN

14 Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

Forma espacio y medida Medida 8.1.5. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides. ACTIVIDADES

En esta actividad el maestro les entregará un cuerpo geométrico. Organicen equipos y tracen en cartulina el desarrollo plano del cuerpo que les toque. Después, calculen la cantidad de cartulina que ocupa dicho desarrollo…

OBSERVACIONES GENERALES:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Se sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas y pirámides diferentes (cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. Conviene incluir un cubo. También es importante que los equipos cuenten con un juego de geometría, cartulina, tijeras y pegamento, por lo que se recomienda pedirlo con anticipación. En esta ocasión no se pretende armar el juego geométrico, sino calcular la cantidad de cartulina que se utiliza para construirlo a partir del desarrollo plano. Si algunos alumnos incluyen las pestañas en este cálculo, conviene analizar como lo hicieron y determinar si el resultado es aceptable. En esta actividad cada equipo recibirá cuerpos geométricos diferentes (prismas y pirámides), por lo que no podrán comparar los resultados; sin embargo, podrán explicar los procedimientos que siguieron y los posibles errores cometidos. Quizás los alumnos ya no tengan problemas en el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos. El caso de los triángulos que forman las caras laterales de las pirámides puede ser distinto, ya que la altura de los triángulos no coincide con la altura de la pirámide. Si el docente nota que los alumnos están midiendo mal la altura de los triángulos, puede auxiliarlos recordándoles que es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

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GRUPO:

“D” “H”

Forma espacio y medida Medida 8.1.5. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides. ACTIVIDADES

En esta actividad el maestro les entregará un cuerpo geométrico. Organicen equipos y tomen las medidas que necesiten para calcular su área total. No se vale desarmar el cuerpo…

OBSERVACIONES GENERALES:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Se sugiere organizar al grupo en equipos. El maestro armará o conseguirá cajas en forma de prismas y pirámides iguales (cuyas bases sean cuadrados, rectángulos o triángulos) en cantidad suficiente para entregar una a cada equipo. En esta ocasión no se pretende trazar un desarrollo plano, más bien se intenta que los alumnos calculen la cantidad de cartulina que se utilizó para construir un cuerpo geométrico. La sugerencia de que todos los equipos trabajen con el mismo cuerpo geométrico facilita La comparación de resultados para descubrir errores. Es importante tener presente que los resultados no necesariamente serán iguales, pero el tamaño de las diferencias puede indicar posibles errores. En la sesión anterior los alumnos calcularon áreas de prismas y pirámides a partir del patrón de estos cuerpos, de tal manera que este cálculo se reduce a obtener el área de figuras geométricas en un plano. La intención de esta sesión es diferente, porque calcularán el área de las figuras sin tenerlas en el plano, sino como caras de un cuerpo geométrico de tres dimensiones. Es probable que los alumnos ya no tengan problemas en el cálculo de áreas de cuadrados y rectángulos. El caso de los triángulos que forman las caras laterales de las pirámides es distinto, ya que la altura de los triángulos no coincide con la altura de la pirámide. Si el docente nota que los alumnos están midiendo mal la altura de los triángulos, puede auxiliarlos recordándoles que es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Además en una pirámide puede mostrar cual es la altura de los triángulos que forman las caras laterales y su diferencia con la altura del cuerpo geométrico.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

Forma espacio y medida Medida 8.1.5. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Primero en forma individual y luego organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas: 1. Un industrial fabrica cajas cúbicas de 10 cm de arista. ¿Qué cantidad mínima de cartón ocupa para construir 100 cajas? _________________________________________________________________________________________

Se sugiere que en un primer momento los alumnos resuelvan individualmente los problemas, para que los comprendan y encuentren una solución a su ritmo. Cuando el profesor note que la mayoría de los alumnos ha terminado, puede organizarlos en grupos para comparar sus resultados. La intención es que se pongan de acuerdo en caso de haber distintos resultados. La diferencia con las actividades de las sesiones anteriores radica en que ya no se cuenta con un modelo concreto del cuerpo para calcula el área. No obstantes los alumnos que así lo deseen, podrán dibujar los desarrollos planos o trazar por separado las caras que forman el cuerpo.

2. Las siguientes cajas tienen la misma capacidad pero una de ellas requiere menos cartón para ser construida. ¿Cuál de las dos necesita menos cartón? __________________________________________________________________ ¿Qué cantidad de cartón se ahorraría el fabricante al construir 100 cajas?____________________________________

3. Carlos va a forrar los triángulos de la siguiente pirámide con papel de colores, ¿qué cantidad de papel requiere?_______________________________________________________________________________________

OBSERVACIONES GENERALES:

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

Manejo de la información Proporcionalidad y funciones 8.1.6. Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa. SESIONES

ACTIVIDADES

Reunidos en equipos, completen las tablas siguientes:

OBSERVACIONES GENERALES:

CONSIDERACIONES PREVIAS Es posible que algunos alumnos obtengan el 50% considerando la mitad de la cantidad, el 25% considerando la cuarta parte, etcétera. Si esto no ocurre, el maestro puede proponer estas relaciones como procedimientos directos para aplicar un porcentaje a una cantidad. También es conveniente identificar que el 200% es dos veces la cantidad, el 300% es tres veces la cantidad, etcétera; y que en general al aplicar un porcentaje mayor del 100, se obtiene una cantidad mayor a la propuesta.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

Reunidos en equipos resuelvan el siguiente problema: En un grupo hay 25 alumnos. Si un día asistieron únicamente 17, ¿qué porcentaje faltó a clase ese día?

OBSERVACIONES GENERALES:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS En el análisis del problema debe quedar claro que lo que se busca es qué porcentaje representa 8 respecto a 25 y no qué porcentaje representa 17 respecto a 25, error muy común en los estudiantes. Si los alumnos tienen dificultades para abordar el problema, una sugerencia podría ser el establecimiento de una relación de proporcionalidad: 25 es a 100 como 8 es a x; contenido trabajado con anterioridad. Una vez que los alumnos se familiarizan con un procedimiento conviene que prueben su funcionalidad con otros problemas similares.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA ACTIVIDADES

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO GRUPO: “D” “H” Manejo de la información Proporcionalidad y funciones 8.1.6. Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa. SESIONES CONSIDERACIONES EVALUACIÓN PREVIAS

Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema: Luis compra mazapanes a $0.80 y los vende a $2.00 cada uno, ¿en qué porcentaje se incrementa el precio?

OBSERVACIONES GENERALES:

Es probable que los alumnos intenten resolver el problema utilizando las propiedades de una relación de proporcionalidad, lo cual es correcto, sin embargo, conviene promover también el uso de las ecuaciones, para este caso: 0.80 + 0.80x = 2 o bien 0.80x = 1.20, en donde x representa el tanto por ciento buscado, expresado en decimal. Una confusión posible es que los alumnos consideren como incremento a dos pesos, en cuyo caso obtendrán como resultado 250%, pero en realidad el incremento es $1.20

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema: En la compra de un televisor se pagó $3220.00, incluido el 15% de IVA. ¿Cuál es el precio del televisor sin IVA?

Si los alumnos tienen dificultades para abordar el problema, una sugerencia podría ser el establecimiento de una ecuación: x + 0.15x = 3220 o bien 1.15x = 3220; contenido trabajado con anterioridad. El asunto es entender que 3220 representa el 115% y se quiere saber el 100%.

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OBSERVACIONES GENERALES:

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

Manejo de la información Proporcionalidad y funciones 8.1.7. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos. ACTIVIDADES

En equipo, resuelvan el siguiente problema: Un grupo de tercer grado está organizando su fiesta de graduación. Les faltan $25000 para todos los gastos previstos y para obtener ese dinero tienen dos opciones, el banco PIERDEMEX les presta esa cantidad con un interés simple del 9% bimestral, mientras que el banco ATRACOMER les ofrece la misma cantidad con un interés compuesto del 8% bimestral. Si tienen planeado pagar el préstamo junto con los intereses al término de 12 bimestres, completen la siguiente tabla y contesten lo que se pide:

a) ¿En cuál banco les conviene pedir el préstamo?________________________________________________________ b) ¿Cuánto más tendrían que pagar de intereses en el Banco que no les conviene, al término del plazo fijado? _________________________________________________________________________________________________

OBSERVACIONES GENERALES:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Una vez que se discutan las respuestas es importante concluir que en el caso del interés simple, a tiempos iguales corresponden crecimientos iguales ($2250 cada bimestre) mientras que en el caso del interés compuesto los intereses pasan a formar parte del adeudo total, el cual vuelve a generar nuevos intereses. Es importante señalar que el interés simple puede acumularse cada bimestre o bien al final de los 12 bimestres, en la tabla se va aumentando cada bimestre, sin embargo, podría calcularse el total de los intereses (12 x $2250) y al resultado sumarle el importe del préstamo ($25000), esto no es factible con el interés compuesto, con él se necesita conocer el adeudo total al final de cada bimestre porque a partir de él se calculan los intereses del siguiente bimestre y así sucesivamente, ésta es una característica de los procedimientos recursivos. Es muy probable que para calcular las cantidades que corresponden al banco ATRACOMER los alumnos hagan lo siguiente: calculen el 8% de $25000 y sumen este resultado (2000) con $25000. Para el siguiente renglón calcularán el 8% de $27000 y así sucesivamente. Si a ningún equipo se le ocurre, habrá que explicarles que una manera abreviada de calcular el 8% de $25000 y a la vez sumar el porcentaje con $25000, consiste en efectuar el siguiente producto: 25000 x 1.08 = 27000, esta última cantidad se vuelve a multiplicar por 1.08 y así sucesivamente. La razón es que en 1.08 está incluido el 100% más el 8%.

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema: En el año 2010 la población mundial de la Tierra era de 6 854 millones de habitantes. Suponiendo que la tasa de crecimiento durante una década es de 13% y ésta se mantiene constante, ¿cuál será la población en los años 2020, 2030 y 2040?

OBSERVACIONES GENERALES:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Hay un antecedente importante en el plan anterior, en donde se utilizaron procedimientos Recursivos para calcular el interés compuesto. Aquí, la clave para resolver el problema y relacionarlo con la recursividad, es identificar que para obtener la población en 2040 es necesario conocer la población de la década anterior, que para conocer la población en 2030 es necesario saber la población en 2020, etcétera. Es importante seguir practicando los cálculos mayores al 100% de una manera directa, en este caso, para obtener el 113% basta multiplicar por 1.13, así, para calcular el 13% de 6 854 millones, población de 2010, y sumarlo con el 100%, basta con encontrar el resultado de 6 854 x 1.13, expresado en millones. Una vez encontrada la población en 2020 (7 745.02 millones), se repite el proceso para encontrar la población mundial para 2030 y así sucesivamente. Una tabla y una calculadora, son dos recursos importantes que permiten ordenar, controlar y calcular los datos del problema.

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

Manejo de la información Nociones de probabilidad 8.1.8. Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que…”, “es menos probable que…”. ACTIVIDADES

Organízate con once compañeros más para jugar dos veces “Carrera de autos”: Posteriormente contesten lo que se pide…  Preparen el tablero del Anexo, dos dados de diferente color, y 12 fichas o Piedritas.  Cada jugador toma una ficha y la coloca en la casilla del auto con el que desea competir. Si dos o más participantes seleccionan el mismo auto, pueden decidir quién escoge primero mediante un volado. A cada jugador le corresponde un carro diferente.  Por turnos, cada integrante del equipo irá lanzando los dados y el auto que tenga el mismo número que la suma de los puntos del tiro, avanza una casilla rumbo a la meta.  Gana el auto que llegue primero a la meta. 1. ¿Qué autos ganaron en las dos rondas?____________________________________________________ 2. Si jugaran una tercera ronda, ¿qué auto convendría seleccionar?________________________________ ¿Por qué?______________________________________________________________________________

OBSERVACIONES GENERALES:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Es necesario preparar para cada equipo un tablero como el del Anexo, dos dados de puntos de distinto color (con puntos que representen los números del uno al seis) y fichas o cualquier material que sirva para marcar el avance de cada jugador. Para desarrollar la actividad es conveniente que se formen equipos de 12 integrantes, de tal manera que cada uno participe con un auto diferente; sin embargo, si el número de alumnos del grupo no es múltiplo de 12, los equipos pueden integrarse con menos jugadores, sin llegar a ser menos de ocho, con la finalidad de que se presenten las diferentes tendencias de resultados. Mediante el juego se espera que los alumnos identifiquen que algunos autos tienen mayores oportunidades de ganar que otros, es decir, que al lanzar dos dados, las diferentes sumas que pueden obtenerse (del 2 al 12) tienen diferentes posibilidades.

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

Organízate en tríos para resolver los problemas. En un juego de la feria se encuentra este cartel:

1.- Observen el contenido de las tres bolsas y respondan las preguntas:

Si se saca una paleta de la bolsa 1, ¿qué sabor es menos probable de obtener? ___________ ¿Por qué? _________________________________________________ b) Si se desea una paleta de limón, ¿de cuál bolsa es más probable sacarla?________________ ¿Por qué?______________________________________ 2.- Ahora observen el contenido de las bolsas 4 y 5 y escriban en las líneas “es más probable que”, “es menos probable que” o “es igualmente probable a” según corresponda:

a) En la bolsa 4, sacar una paleta de piña _____________________ sacar una paleta de limón. b) En la bolsa 5, sacar una paleta de piña _____________________ sacar una paleta de limón. c) Sacar una paleta de limón de la bolsa 4 ____________________ sacar una paleta de piña de la bolsa 5. OBSERVACIONES GENERALES:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Para el primer problema se presentan tres bolsas con diez paletas cada una; seguramente los alumnos observarán que en la primera bolsa hay más paletas de limón, en la segunda hay más paletas de piña y en la tercera bolsa hay la misma cantidad de paletas de un sabor y del otro. Dadas estas condiciones, se espera que los alumnos deduzcan que: Si se saca una paleta de la bolsa 1 es menos probable que sea de piña, ya que de este sabor sólo hay tres, en cambio, de limón hay siete. Conviene más elegir la primera bolsa si se quiere sacar una paleta de limón, porque hay siete de ese sabor, mientras que en la segunda hay cuatro y en la tercera cinco. El segundo problema representa un reto diferente para los alumnos pues las bolsas 4 y 5 no contienen la misma cantidad de paletas, la bolsa 4 tiene seis paletas, de las cuales dos son de piña y el resto de limón, y en la bolsa 5, de cuatro paletas dos son de piña y dos de limón. Con este problema se pretende que los alumnos utilicen las expresiones “es más probable que…”, “es menos probable que…” o “es igualmente probable a…” al comparar dos eventos; para lograr lo anterior pueden apoyarse con expresiones como “la mitad”, “más de la mitad” o “menos de la mitad”, con relación al número posible de ocurrencia. Si este recurso no surgiera del grupo, el docente podría proponerlo.

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la información Análisis y representación de datos 8.1.9. Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos. ACTIVIDADES

En parejas, resuelvan los siguientes problemas: 1. Los representantes de una comunidad desean estimar el número promedio de niños de ese lugar. Para ello, dividen el número total de niños entre 50, que es el número total de familias y obtienen como resultado 2.2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? ___________ ¿Por qué? _____________________ a) La mitad de las familias de la comunidad tiene más de 2 niños. b) En la comunidad hay más familias con 3 niños que familias con 2 niños. c) Hay un total de 110 niños en la ciudad. d) En la comunidad hay 2.2 niños por cada adulto. 2. El maestro de Educación física pidió a sus alumnos que para la próxima clase llevaran pelotas. En el equipo 1, Andrés lleva 5, María 8, José 6, Carmen 1 y Daniel no lleva ninguna. ¿Cómo repartir las pelotas de forma equitativa entre los integrantes del equipo? _____________________________________________ 3. Como parte de un proyecto, los integrantes de un grupo de basquetbolistas entregan su número de calzado, obteniéndose los siguientes datos: 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 31 32 32 33 ¿Cuál sería el mejor número para representar este conjunto de datos? _______ 4. Un objeto pequeño se pesa con un mismo instrumento por nueve estudiantes de una clase, obteniéndose los siguientes valores en gramos: 6.2, 6.0, 6.0, 15.3, 6.3, 6.1, 6.23, 6.15, 6.2 ¿Cuál sería la mejor estimación del peso del objeto? _____________________

OBSERVACIONES GENERALES:

“D” “H”

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Como se sabe la media es un valor "representativo" de un conjunto de datos; debido a ello, se tiende situar la media en el centro del recorrido de la distribución, propiedad que es cierta para distribuciones simétricas. Pero cuando la distribución es muy asimétrica la media se desplaza hacia uno de los extremos y la moda o la mediana serían un valor más representativo del conjunto de datos. Esto no es siempre comprendido por algunos alumnos quienes invariablemente eligen la media como la mejor representante de los datos sin tener en cuenta la simetría de la distribución o la existencia de valores atípicos. Respecto a la comprensión de la mediana, generalmente los alumnos entienden que es el centro de "algo" pero no siempre comprenden a qué se refiere ese "algo". Por ejemplo, si se les da los datos en forma desordenada no entienden por qué hay que ordenarlos para calcular la mediana, no comprenden que la mediana es un dato estadístico que se refiere a un conjunto de datos ordenados. La intención del primer problema es que los alumnos recuerden qué representa la media, tema que fue estudiado en la primaria; por lo que se espera que los alumnos no tengan dificultades en señalar como respuesta el inciso c). Con respecto al segundo problema, se espera que los alumnos usen el promedio como recurso para realizar el reparto equitativo. En este caso, sumar las cantidades de pelotas y dividir entre los cinco integrantes del equipo, con lo que resulta 4 pelotas para cada quien. El problema 4 es un ejemplo de estimación de una cantidad desconocida, en presencia de errores de medición. El problema consiste en determinar, a partir de un conjunto de medidas, la mejor estimación posible del verdadero peso del objeto. Es muy probable que algunos alumnos digan que la mejor estimación del peso es 7.164 gramos (promedio) y pocos tomen en cuenta la mediana (6.2 gramos), ante esta situación se sugiere que justifiquen y discutan ampliamente sus decisiones, la idea es que puedan identificar cómo un valor atípico (15.3) puede influir en el promedio y que éste no sea representativo de la situación, por la tanto, la mediana refleja mejor la estimación del peso del objeto.

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la información Análisis y representación de datos 8.1.9. Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos. ACTIVIDADES

Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Se midieron 12 bloques de aluminio de dos marcas diferentes: Las longitudes de los bloques de la marca “A” fueron: 10, 20, 30, 40, 50 y 60 cm, y las longitudes de los bloques de la marca “B” fueron: 10, 10, 10, 60, 60 y 60 cm. ¿Cuál de los dos conjuntos presenta mayor variabilidad de las longitudes?________________________________________________________ 2. Se ha decidido dar un premio al equipo que haya tenido mejor aprovechamiento académico en matemáticas de acuerdo a sus calificaciones. El equipo de Luis consta de tres estudiantes y sus calificaciones son: 9, 9 y 10. Las calificaciones del equipo de Carlos son: 6, 6, 6, 6 y 6. ¿Cuál es el equipo de mejor aprovechamiento? ____________________________________________ ¿Por qué? _______________________________________________________ 3. Al medir la altura en centímetros que pueden saltar un grupo de alumnas, antes y después de haber efectuado un cierto entrenamiento deportivo, se obtuvieron los valores siguientes:

¿Piensas que el entrenamiento es efectivo? _____________________________ ¿Por qué?________________________________________________________ ¿Qué medida de tendencia central, la media o la mediana, es útil para resolver lo anterior?_________________________________________________________ OBSERVACIONES GENERALES:

“D” “H”

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS En el primer problema, es muy probable que la mayoría de los alumnos digan que la marca “A” es la más variable, otros tal vez digan que las dos marcas presentan igual variabilidad. Para esta segunda afirmación, es probable que los alumnos basen su afirmación a partir de calcular las medias y las medianas de los dos conjuntos de datos y las comparen. En este caso, la media y la mediana en ambos conjuntos son iguales entre sí (media = 35, mediana = 35). Aquí vale la pena plantear preguntas de reflexión como por ejemplo: ¿En un mismo conjunto, cuánto varían los valores entre sí? ¿Cuánto varían los valores respecto a un punto fijo, por ejemplo la media o la mediana? En este sentido, para la primera pregunta, el conjunto A debe ser considerado más variable que el conjunto B, aunque la desviación típica es mayor en el conjunto B. Con respecto a la segunda pregunta, con los cálculos de las medias y las medianas arrojan que tienen igual variabilidad. El estudio de una distribución de frecuencias no puede reducirse al de sus promedios, ya que distribuciones con medias o medianas iguales pueden tener distintos grados de variabilidad. Un error frecuente es ignorar la dispersión de los datos cuando se efectúan comparaciones entre dos o más muestras o poblaciones. En el segundo problema, lo más probable es que la mayoría de los alumnos sumen las calificaciones de cada equipo y las comparen para que digan que el equipo con mejor aprovechamiento es el de Carlos. Si esto sucede, hay que plantearles la pregunta. ¿Es justo que el equipo de Luis tenga menor aprovechamiento por tener menor número de integrantes que el equipo de Carlos? En este caso, la medida de tendencia central que resulta más útil para comparar el aprovechamiento de los dos equipos es la media. La media del equipo de Luis es 9.33 y la media del equipo de Carlos es 6. Para contestar la primera pregunta del tercer problema, es probable que los alumnos hagan una comparación rápida de los valores de ambos conjuntos de datos, y dado que hay 6 alumnas que saltan más después del entrenamiento, dos que saltan lo mismo y dos que disminuyen ligeramente su salto, es evidente que el entrenamiento es efectivo. Sin embargo, con la tercer pregunta, se verán obligados a calcular la media y la mediana en ambos conjuntos; la media del primero es 115.6 y su mediana es 115, mientras que la media del segundo es 119.5 y su mediana es 115. Después de analizar las medidas de ambos conjuntos y de contrastar sus conjeturas con la primera anticipación, se espera que concluyan que la mediana no es útil para comparar la efectividad del entrenamiento, en cambio el promedio, que es mayor en el segundo grupo sí lo es.

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SEGUNDO GRADO

BLOQUE II

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D”, “H”

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados

Comunicar información matemática Manejar técnicas eficientemente APRENDIZAJES ESPERADOS

 

Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios. Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmulas para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Establece relaciones de variación entre dichos términos.

EJE

TEMA

CONTENIDO

Problemas Aditivos

 

Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios. Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios.

Problemas multiplicativos



Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

EJE

TEMA

CONTENIDO

Forma espacio y medida

Medida

 

Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.

29 Proporcionalidad y funciones



Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

Nociones de probabilidad



Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.

Manejo de la información

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Aditivos

8.2.1 Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios.

“D” “H”

SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. En la imagen se señalan tres terrenos (H, R y S), R y S son cuadrados y sus lados miden lo mismo. Con base en esta información contesta las preguntas.

Es probable que para los alumnos resulte extraño que las medidas de un terreno se indiquen con literales o con números y literales. Tendrían razón al expresar esta inquietud, sin embargo hay que comentarles que el uso de literales da la posibilidad de asignar distintos valores, como sucede en el caso de las fórmulas. Así, un rectángulo cuyos largo y ancho miden a y b, respectivamente, tiene un perímetro de 2a + 2b. Si a = 5 m y b = 3 m, el perímetro del rectángulo sería 2 x 5 + 2 x 3 = 16 m. Al revisar los resultados es importante distinguir cuáles son términos semejantes, como x, 3x, 10x, es decir, tienen la misma parte literal, con los mismos exponentes y sólo difieren en el coeficiente. Como tales, se pueden reducir o extender. Por ejemplo, x + 3x – 10x se puede reducir a -6x. Pero 3x también se puede expresar como x + x + x. Hay que estar atentos a procedimientos erróneos, como el hecho de considerar que x+x= x2, o que 2a + 2b = 4ab. Ambos resultados provienen de la multiplicación, no de la suma.

¿Cuál es el perímetro de cada terreno? Anótalos. Terreno H: ________ Terreno R: __________ Terreno S: _________ b) ¿Cuál es el perímetro de los terrenos R y H juntos? ___________ c) ¿Cuál es la diferencia entre los perímetros de los terrenos H y S? ______________ d) ¿Cuál es la suma de los perímetros de los tres terrenos? ____________ En el esquema se indican las cantidades de tubo que se necesitan para hacer una instalación eléctrica en dos salas.

y y

a) b)

2y 2y

Sala A

2 y

2 2 y y

Sala B

Anota la cantidad de tubo que se necesita para cada sala. Sala A: _____________ Sala B: ______________ ¿Cuánto más tubo se requiere en la sala A que en la sala B? ____________

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Aditivos

8.2.1 Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios. ACTIVIDADES

¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de cada polígono que se muestra?

4.44z

1 3 z 2

3.21z

1 4 z 3

2.91z 3.58z

1 3 z 4

4.31z

1 z 5

1 z 10

3.43z

Un decágono regular y un rectángulo tienen igual perímetro. Tracen ambas figuras y anoten las medidas de los lados sabiendo que el perímetro de cada figura es 10x.

3w 2

w 1.3w 4

1.3w Un problema adicional que puede plantearse es: ¿Cuál es el perímetro de la siguiente figura?

De este problema, es posible que los alumnos tengan dificultad para interpretar que

0.25w, similar a esto con

3w 2

es lo mismo que

3 w 2

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1.

“D” “H”

ó también 1.5w.

w 4

es lo mismo que

1 w 4

ó bien,

Con el problema 1 se intenta hacer notar que los coeficientes también pueden ser fracciones o decimales y que hay que operar con estos números para poder reducir términos semejantes. Si al hacer la puesta en común hay varios resultados diferentes, esto es un indicador de que la suma y la resta con fracciones y decimales no están suficientemente sólidas. En el segundo problema seguramente no habrá mucha dificultad para el decágono, por el hecho de que se trata de 10 lados iguales cuya suma es 10x. Conviene comentar que en este caso no es importante la precisión del trazo, basta con aceptar que se trata de un decágono regular y, por tanto, los lados miden lo mismo. En el caso del rectángulo la reflexión no es tan simple, hay que considerar que se trata de dos lados desiguales cuya suma es la mitad de 10x. A menos que, consideren que el cuadrado es un rectángulo, lo cual es cierto, y consideren cuatro lados iguales cuya suma es 10x.

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GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Aditivos

8.2.2 Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios.

ACTIVIDADES Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas:

Es conveniente aclarar a qué se le llama números consecutivos e insistir en que se trata de expresar cada situación en forma general, porque tal vez haya alumnos que utilicen que planteen casos concretos como 4+5+6=15

m n

P = ________

n n P = ________

2. Expresen de manera general y simplificada, cada una de las siguientes situaciones: a) La suma de tres números consecutivos _______________________________ b) La suma de cuatro números consecutivos ______________________________ c) La suma de cinco números consecutivos _______________________________

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(8.5m  4.3n  7)  (1.5m  6.4n  1.8) 

4 3 6 5 7 2 ( x2  y  )  ( x2  y  )  3 2 5 3 2 5

1. ¿Cuál es el perímetro de cada una de las siguientes figuras?

3a + 5 5x - 2

2x – 1 3x + 2

Es probable que los alumnos pretendan sumar todos los términos, en este caso se deberá aclarar que solo se podrán sumar los términos semejantes. Para reforzar la suma de términos semejantes se pueden realizar ejercicios como los siguientes:

(12 a  15b  3c )  (8a  6b  3c ) 

Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas:

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS

1) ¿Cuál es el perímetro de las siguientes figuras? x

“D” “H”

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

8.2.2 Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios.

ACTIVIDADES Organizados en parejas, resuelvan los siguientes problemas: Pedro compró 8 cuadernos a n pesos cada uno, si al pagar le descontaron el precio de 2 cuadernos ¿Cuánto pagó?

Rosa y Tere fueron al supermercado, Rosa compró 3 kg de manzanas y Tere compró 2 kg de manzanas y 3 kg de uvas. Cada una pagó con un billete de $100.00. Si el kilogramo de manzanas cuesta n pesos, y el de uvas m pesos, ¿Cuánto recibió de cambio cada una?

Organizados en equipos, realicen lo que se indica a continuación. En el siguiente cuadrado mágico la suma de las líneas horizontales, verticales y diagonales, es igual a 12a – 18b. Encuentra los binomios faltantes y verifica que efectivamente cada línea suma 12a – 18b.

2a – 3b

12a -18b

“D” “H”

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS

GRUPO:

10a – 15b

4a – 6b

Se trata de que los alumnos representen con expresiones algebraicas la cantidad de dinero que recibirá cada una de cambio, llegando a la representación algebraica, en el caso de Rosa, como 100  3n ; y en el caso de Tere, como

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100  ( 2n  3m)

Una vez que la mayoría de los alumnos termine de llenar el cuadrado mágico hay que comparar los resultados y si hay diferencias, averiguar quienes tienen razón. Probablemente algunos tengan dificultad para efectuar las restas, en cuyo caso habrá que aclarar todas las dudas que se presenten. Para consolidar se pueden realizar ejercicios utilizando números decimales y fraccionarios como los siguientes:

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(3.6 x  1.5 y  7c )  (1.2 x  1.3 y  5c )  -2a + 3b

6a – 9b

(8a  10b  4)  (3a  6b  2)  2 5 7 2 ( x  3)  ( x  y  4)  4 6y 4 6

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

8.2.3 Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

En equipos encuentren la expresión algebraica que representa el área de las El alumno aplicará los siguientes figuras: conocimientos adquiridos para el cálculo de áreas. Habría que insistir que expresiones como n m  m , se puede escribir como m m n m 2 . En caso de que el n m problema resulte muy fácil, habrá una puesta en común A = __________ A=___________ A=___________ En equipos representen algebraicamente las áreas de las siguientes figuras tomando breve y enseguida se planteará la siguiente consigna. como base las anteriores: a)

A = ___________________________

m m

b) m

A = ___________________________ m

( m)( m  m  n) ( m)( m)  ( m)( m)  ( m)( n)

m n

m c)

En la puesta en común de las respuestas, es importante reflexionar sobre expresiones equivalentes tales como en el a), donde es probable que los alumnos lleguen a escribir como respuesta cualquiera de las siguientes expresiones equivalentes:

A = ___________________________

m 2  m 2  mn ( m)(2m  n) 2m 2  mn

n m

Tratar de justificarlas con los modelos geométricos planteados en la primera consigna.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

8.2.3 Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

En equipos resuelvan el siguiente problema y contesten lo que se pide. 1. Una fábrica produce azulejos de tres tamaños diferentes. Las dimensiones de los azulejos son como las que se muestran enseguida:

a 1 a)

“D” “H”

Representen algebraicamente las áreas de las siguientes figuras formadas con azulejos:

Figura 1

Figura 2



4 a A= ________________

a + 1 A= ______________ Figura 3 2 2

 a

Figura 4 2 2

+ 1

A= _______________

Figura 5 a

A= _________________

Figura 6

 a

+ 2 A= __________________

A= ____________________

¿Qué relación observaron entre las áreas de cada par de figuras?

¿Se puede afirmar, entonces, lo mismo para sus respectivas expresiones algebraicas?

Si se sustituye la literal “a” en cada figura por un valor determinado (2, 3 ó 4) ¿cómo son los resultados en cada caso?

Al analizar los resultados de cada pareja de figuras es importante comparar tanto las áreas como las expresiones que representan dichas áreas, utilizando el término equivalentes, porque representan el mismo valor, cuando la literal se sustituye por un número. Si se cree necesario, se puede utilizar como material didáctico los patrones de las figuras geométricas hechas en cartoncillo.

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

8.2.3 Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES En equipos, dados los siguientes patrones de figuras; construir para cada A diferencia de la sesión anterior, expresión algebraica, dos modelos diferentes de figuras geométricas y expresar en ésta se parte de la expresión algebraica que modela el área y se algebraicamente sus áreas. trata de construir dos figuras diferentes, encontrar la expresión que le corresponde a cada una y Figura 2 Figura 3 Figura 1 compararlas. También en este caso se puede utilizar como material didáctico los patrones de las figuras geométricas hechas en cartoncillo. m m n m

3m 2  2mn

2m 2  2n 2  mn

Para reforzar esta parte, sería conveniente proponer que los alumnos encuentren expresiones equivalentes. Ejemplos:

n(n  4)  4x 2  2x  2x 2  x  2a 2  ab 

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Forma Espacio y Medida Medida

8.2.4 Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. ACTIVIDADES

3cm 3cm 3cm

15 12 3cm 10 3a

V= 4cm 2cm

V= V=

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en parejas, expresen el volumen de los siguientes cuerpos.

“D” “H”

a a

Las dos consignas se entregarán por separado. En la primera consigna se permitirá que los alumnos obtengan el volumen con sus propios procedimientos, ya sea contando los cubos pequeños o bien observando las dimensiones y aplicando las fórmulas. En la segunda consigna, se espera que los alumnos analicen las características de los cuerpos geométricos, sus dimensiones y argumenten la relación de éstas con sus fórmulas.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Forma Espacio y Medida Medida

8.2.4 Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. ACTIVIDADES

“D” “H”

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

c 7

V= V=

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

Ahora comenten si se puede obtener el volumen de estos cuerpos geométricos empleando las fórmulas que aparecen abajo y digan por qué. 3

Cubo

V= l

Prismas

V= ABh

(lado al cubo) (Área de la base x altura)

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Forma Espacio y Medida Medida

8.2.4 Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

ACTIVIDADES Organizados en equipos de tres compañeros armen los desarrollos planos de los prismas que se encuentran abajo. Cuiden dejar una cara del prisma cuadrangular sin pegar.

Una vez armados los cuerpos, calculen su volumen. Expliquen su procedimiento.

GRUPO:

“D” “H”

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS Lo importante en esta actividad es que los alumnos lleguen a la conclusión de que sigue siendo válida la fórmula: V = Bach y que argumenten su conclusión. Además, es probable que surjan problemas en cuanto a la obtención del área de la base en los prismas triangulares, porque tomen como altura del triángulo alguno de sus lados. En este caso, habrá que recordar que la altura de un triángulo es la perpendicular a la base, trazada desde el vértice opuesto y que todo triángulo tiene tres alturas. Incluso, si el maestro lo considera necesario, se les podría solicitar de tarea que realicen el cálculo con base en cada una de las alturas y comparen los resultados. Aunque éstos no sean exactamente iguales, se observará que la diferencia en el cálculo es mínima y que se debe, con toda seguridad, a las diferencias (errores) en la medición. Será necesario pedir a los alumnos que lleven tijeras y pegamento para papel.

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8.2.4 Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. ACTIVIDADES

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en equipos de tres alumnos, realicen las siguientes actividades. a)

Recorten el desarrollo plano de la pirámide que está enseguida y peguen sus caras cuidando dejar la base sin pegar.

Comparen la pirámide que acaban de armar y el prisma cuadrangular que armaron antes y señalen semejanzas y diferencias.

Llenen la pirámide con sal y vacíen el contenido en el prisma cuadrangular anterior, háganlo tantas veces como sea necesario para llenar el prisma. Al terminar de hacer esto contesten las siguientes preguntas.

◊ ¿Cuántas veces vaciaron el contenido completo de la pirámide en el prisma? ¿Qué relación habrá entre lo que hicieron y la fórmula para calcular el volumen de una pirámide (V = ABh o

“D” “H”

V = 1/3 ABh )?

Es necesario que para esta sesión se encargue a los alumnos tijeras, pegamento y sal o algún material que se pueda verter fácilmente. Cuando los alumnos estén realizando la actividad de recortado y armado deberá asegurarse que los cuerpos geométricos queden armados tal y como se sugiere. El experimento permite establecer la relación existente entre los volúmenes de un prisma y una pirámide cuyas bases y alturas son las mismas: tres veces el volumen de la pirámide equivale al volumen del prisma, o bien, el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma cuya base y altura es igual a la de la pirámide. Es importante que el docente encamine la discusión para que los alumnos observen que esta relación nos permite construir la fórmula para obtener el volumen de una pirámide. Se les puede dejar como tarea que construyan una pirámide con la misma base y altura que tiene alguno de los prismas construidos en la clase anterior y comprueben la equivalencia entre sus volúmenes.

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“D” “H”

8.2.5 Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: En este caso, aunque una forma de 3 A un cubo le caben 3 375 cm de agua, ¿cuánto miden las aristas del cubo? resolver el problema consiste en Ejercicios de obtener la raíz cúbica del volumen, no consignas Si se duplica la medida de las aristas del cubo: se espera que los alumnos recurran Participación Actitud a) ¿Qué cantidad de agua le cabría? necesariamente a este procedimiento, b) ¿También la cantidad de agua que se tenía inicialmente se duplicó? sino que pueden hacerlo por tanteo; lo importante en este caso es que reflexionen sobre la relación entre la medida de la arista y el volumen del cubo. Así que, si lo considera conveniente, puede proponer otras cantidades más sencillas como 1 000 3 3 cm , 125 cm , etc., o cantidades más 3 3 grandes como: 5 832 cm , 74 088 cm , etc. RECURSOS DIDÁCTICOS Tal vez los alumnos supongan que si se duplica la longitud de las aristas de un cubo, el volumen de agua que le Calculadora Cuaderno cabe también será el doble. Si ningún alumno o equipo cuestiona esto, será necesario que el maestro lo haga y les plantee algunos otros problemas con cantidades más pequeñas para que puedan “ver” cómo cambia el volumen en función de los cambios que sufre la longitud de la arista. CONTENIDO

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“D” “H”

: En equipos, resuelvan el siguiente problema: Un tanque de almacenamiento de agua instalado en una comunidad tiene forma de prisma rectangular y una capacidad de 8 000 litros, su base mide 2.5 m por 2 m. a) ¿Qué altura tiene este tanque? ¿Qué cantidad de agua contendría si sólo llegara el agua a una altura de 75 cm?

Este problema se vincula con la resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita, una vez que se sustituyen algunas literales por sus valores. Se espera que los alumnos sepan utilizar este conocimiento, pero si es necesario hay que recordarlo. Otra dificultad radica en la equivalencia de m3, dm3 y litros (l), por lo que se recomienda que si los alumnos no tienen claridad sobre estas equivalencias, se ilustren con dibujos. VOLUMEN y CAPACIDAD m3 (metro cúbico)

Ejercicios de consignas Participación Actitud

1 = 1000 dm3 3 m = 1000 l (litros) 1 = 1000 000 cm3 m3

dm3 (decímetro cúbico)

1 dm = 1000 cm3 = 1 l 3

1 dm = 1000 000 mm3 3

cm3 1 (centímetro cm = 1 000 mm3 3 cúbico) Si el problema anterior no ofrece dificultad a los alumnos, se puede plantear la siguiente pregunta: Si el tanque tuviese la misma capacidad (8 000 l), pero fuese de forma cúbica, ¿cuáles serían sus dimensiones?

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8.2.5 Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN : Organizados en equipos, contesten las siguientes preguntas: Los alumnos ya comprobaron que el volumen de una pirámide es la tercera Ejercicios de En un envase con forma de prisma cuadrangular cuya base mide 5 cm por parte del volumen de un prisma cuya consignas lado caben 250 cm3 de aceite. base y altura son iguales a los de la Participación Actitud pirámide, así que ahora tendrán que a) ¿Cuál es la altura de la caja? analizar qué sucede cuando algunas de esas dimensiones se mantienen b) ¿Cabría la misma cantidad de aceite en un envase forma de pirámide cuya base y constantes y sólo varía una de ellas. Si altura sean iguales que en el envase anterior? Justifica tu respuesta. las condiciones del grupo lo permiten, se puede cambiar las dimensiones de c) ¿Qué condiciones deben cumplirse para que un envase con forma de prisma y otro la base y dejar la misma altura y el con forma de pirámide que tienen la misma base, tengan la misma capacidad? ¿Por mismo volumen, o bien, sólo mantener qué? constante el volumen y preguntar qué sucede con la base y con la altura de los dos cuerpos. RECURSOS DIDÁCTICOS CONTENIDO

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“D” “H”

8.2.5 Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN En equipos, completen la tabla siguiente. Pueden usar calculadora. Se espera que la primera tabla sea resuelta fácil y Ejercicios de Datos de la base Altura del Volumen rápidamente, pues sólo se consignas Cuerpo 3 Largo cuerpo (cm) (cm ) Ancho (cm) trata de hacer operaciones Participación (cm) Actitud con la calculadora para Prisma cuadrangular 10 360 obtener uno de los datos Prisma cuadrangular 3 360 faltantes, para lo cual se puede solamente pedir que Prisma cuadrangular 4 240 lean los resultados Prisma cuadrangular 9.6 240 obtenidos. En el caso de la Prisma rectangular 8 2 160 segunda y tercera tablas, habrá que observar si Prisma rectangular 5 10 160 pueden calcular las medidas Prisma rectangular 2 20 180 faltantes con base en la Prisma rectangular 5 3 180 relación prisma-pirámide con RECURSOS algunas dimensiones Organizados en los mismos equipos, hagan una tabla como la anterior y con las mismas dimensiones de la base y altura de los prismas, calculen DIDÁCTICOS iguales. el volumen de las pirámides. Pueden usar calculadora. CONTENIDO

Datos de la base Cuerpo Largo (cm)

Ancho (cm)

Pirámide cuadrangular

9.6

Pirámide rectangular

Pirámide rectangular Pirámide rectangular

Altura del cuerpo (cm)

2 10 2

Volumen (cm3)

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“D” “H”

Cuerpo Pirámide cuadrangular Pirámide cuadrangular Pirámide cuadrangular Pirámide cuadrangular Pirámide rectangular Pirámide rectangular Pirámide rectangular Pirámide rectangular

Datos de la base Largo (cm) Ancho (cm)

Altura del cuerpo (cm)

Volumen 3 (cm )

360 360 240 240 160 160 180 180

3 4 9.6 8 5 5

2 2 3

10 20

consignas Participación Actitud

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Manejo de la Información Análisis y Representación de Datos

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8.2.6 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

ACTIVIDADES Organizados en binas, resuelvan los siguientes problemas. 1.- En la tienda de Don José se venden 5 kg de naranjas en $16.00. ¿Cuál sería el costo de 9 kg?, ¿y de 6 kg?, ¿y de un kilogramo?, ¿y de 3 kg? Con los datos anteriores y sus respuestas, completen la siguiente tabla: Kilogramos Costo ¿Qué sucede con el costo al aumentar la cantidad de kilogramos de naranja que se compren? ______________ ¿Qué sucede con el costo al disminuir la cantidad de kilogramos de naranja que se compren? ______________ 2.- Una empresa elaboradora de alimentos para animales envasan su producción en bolsas de 3kg, 5kg, 10kg, 15 kg y 20 kg. Si dispone de 15 toneladas a granel, ¿cuántas bolsas utilizaría en cada caso?. Completa la tabla siguiente con los datos que obtuvieron. Kilogramos No. Bolsas ¿Qué sucede con el No. de bolsas al aumentar la cantidad de kilogramos en cada una? ______________ ¿Qué sucede con el No. de bolsas al disminuir la cantidad de kilogramos en cada una? ______________ ¿Qué observan entre el comportamiento de los datos de la primera tabla con respecto a los de la segunda tabla? ______________________________________________

“D” “H”

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

El alumno ya ha trabajado con proporcionalidad directa. Si el profesor lo considera necesario aprovechará la situación para cuestionar a sus alumnos acerca del factor constante y la expresión algebraica que relaciona las dos variables. En caso de que los alumnos tengan dificultad para contestar la última pregunta, el profesor los puede orientar con preguntas como: ¿Varían de igual forma los datos en ambas tablas? , ¿En qué son diferentes?, etc. El profesor concluirá que al segundo tipo de variación se le denomina “Variación Proporcional Inversa”.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Manejo de la Información Análisis y Representación de Datos

8.2.6 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos. ACTIVIDADES

1. La tabla siguiente muestra el perímetro (P) de un cuadrado de longitud l por lado, para distintos valores de l. Hacen falta algunos datos complétenla: 2 16

6 24

8 40

¿Qué tipo de variación observan en esta tabla? ______________ ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ______________ ¿Cómo determinaron la constante de proporcionalidad? _________________________ 2. En la siguiente tabla se muestran algunos valores de la base y la altura de un rectángulo cuya área es constante. Anoten los datos que faltan. Base (b) Altura (h)

2 24

3 8

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

El grupo se organiza en binas.

l P

“D” “H”

4 4

¿Cuál es el área del rectángulo? _____________ ¿Qué tipo de variación observan en esta tabla? ______________ ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ______________ ¿Cómo determinaron la constante de proporcionalidad? __________________________________________

Se espera que para la primera tabla no presenten dificultad puesto que ya han trabajado con proporcionalidad directa. Si tuvieran dificultades el profesor aprovechará para hacer un repaso de la constante de proporcionalidad y la forma de determinarla. Con respecto al segundo problema, si los alumnos presentan dificultad en completar la tabla, recordar la forma de obtener el área de un rectángulo y señalar que el área de dicho rectángulo es constante.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Manejo de la Información Análisis y Representación de Datos

GRUPO:

8.2.6 Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

ACTIVIDADES En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Pueden usar la calculadora. 1. Una persona da 420 pasos de 0.75 m cada uno para recorrer cierta distancia, ¿cuántos pasos de 0.70 m cada uno necesitaría para recorrer la misma distancia?

2. Un coche tarda 9 horas en recorrer un trayecto siendo su velocidad de 85 km por hora. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto a 70 km por hora? 3. En una fábrica de chocolates se necesitan 3 600 cajas con capacidad de ½ kg para envasar su producción diaria. ¿Cuántas cajas con capacidad de ¼ de kg se necesitarán para envasar la producción de todo un día? ¿Y si se quiere envasar la producción diaria en cajas cuya capacidad es de 300 g?

“D” “H”

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Se puede presentar el caso de que los alumnos interpreten los problemas como variación directa, en este caso el profesor deberá dirigir la atención al comportamiento de las variables involucradas en cada problema, en el sentido de que si una aumenta la otra disminuye y viceversa para establecer que se trata de una variación proporcional inversa, además de aprovechar para cuestionar a los alumnos sobre la propiedad de productos constantes.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Manejo de la Información Nociones de Probabilidad

8.2.7 Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados, para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN El verdadero reto de los problemas de este plan es que los alumnos expresen numéricamente la probabilidad teórica de diferentes eventos. Para el problema 1, se espera que los alumnos puedan advertir que sol y águila tiene la misma probabilidad de obtenerse, ya que son los únicos posibles resultados y están en igualdad de circunstancias. Para expresar la probabilidad de obtener águila, es posible que escriban la mitad o 1 de 2, será

Organizados en parejas respondan lo que se solicita.

En el lanzamiento de una moneda al aire: a. ¿Qué es más probable, que se obtenga sol o águila? ______________________ b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila? _____________________¿Cuál es la probabilidad de obtener sol? ________________________

importante verificar si algunos utilizan

En el lanzamiento de un dado al aire: a. ¿Qué es más probable, que se obtenga 1 o 4? ___________________________ b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1? _______________________ ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4? __________________________ c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor a 4? ________________ d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cualquier número del dado? ____________ En el lanzamiento simultáneo de una moneda y un dado al aire: a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener águila y el número 3? _________________ b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener sol y un número par? _________________ En el lanzamiento simultáneo de dos dados al aire: a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números impares? ________________ b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y uno impar? ____________

1 2

1 2 3 4 5 6

Posibles resultados de lanzar dos dados Dado 1 1 2 3 4 1,1 3,1

5 5,1

3,3

5,3

1,5

3,5

5,5

La tabla sólo contiene los resultados de obtener dos números impares, así, de los 36 posibles resultados, 9 son favorables, por lo tanto, la probabilidad de

9 36

o bien

1 . 4

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1,3

obtener dos números impares es

Ejercicios de consignas Participación Actitud

y discutir ampliamente el

significado de dicha expresión, si a nadie se le ocurre escribir 1 el profesor 2 puede proponerlo y analizar junto con los alumnos el significado de sus elementos, el 2 es el total de resultados posibles (espacio muestral) y el 1 los resultados favorables. En el problema 2, a diferencia del 1, es que el número de resultados posibles del experimento es mayor, hay 6 posibles resultados (1, 2, 3, 4, 5, 6). A partir del tercer problema, una tarea fundamental, nada simple, es que los alumnos traten de determinar el total de los resultados posibles de cada experimento e identificar los casos favorables, para lograrlo se pueden utilizar diversas herramientas como un diagrama de árbol o una tabla de doble entrada, si a los alumnos no se les ocurre utilizar estos recursos, el profesor puede sugerirlos. Por ejemplo, en el problema 4 pueden utilizar una tabla como la siguiente, la cual permite apreciar el espacio muestral del lanzamiento de dos dados y a partir de él identificar los casos favorables de cada evento.

Dado 2

“D” “H”

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Manejo de la Información Nociones de Probabilidad

El juego de los volados consiste en lanzar una moneda al aire y predecir el resultado (águila o sol). ¿Cuál es la probabilidad de que caiga águila? ______________ ¿Y de que caiga sol? ____________________________

Ahora lancen 20 veces una moneda y registren sus resultados en la siguiente tabla.

¿Cuántas águilas cayeron? ______________________

b) c) 3.

Escriban el cociente del número de águilas entre el total de volados. _____________ ¿Qué relación observan entre el cociente que escribieron y la probabilidad de caer águila que obtuvieron sin hacer el volado en la actividad 1? ________________ En el pizarrón, con ayuda de su maestro, hagan una tabla para registrar los resultados de todas las parejas del grupo. Escriban también los resultados en la siguiente tabla.

¿Cuántas águilas cayeron en total? __________________

Escriban el cociente del número de águilas entre el total de volados. _________

¿Qué relación observan entre el cociente que obtuvieron en pareja y en el grupo, respecto a la probabilidad que escribieron en la actividad 1 sin hacer el volado? _________________________________________________________

“D” “H”

Organizados en parejas realicen las siguientes actividades. 1.

GRUPO:

Si lanzaran la moneda 1 000 veces, ¿cuántas veces creen que se obtenga águila? ________ ¿Por qué? _________________________________________________

Para realizar las actividades de la consigna hay que prever que cada pareja cuente con una moneda. En la actividad 1 se trata de que los alumnos encuentren la probabilidad teórica de obtener águila en un volado. Los resultados posibles de un volado son dos (águila y sol) y la probabilidad de obtener águila es 1 de 2, lo cual también puede escribirse como 1/2. En la actividad 2 se trata de obtener la probabilidad frecuencial de que caiga águila al lanzar 20 veces la moneda; es decir, echar 20 volados y ver cuántas veces cayó águila. La probabilidad frecuencial puede escribirse como el cociente del número de veces que cayó águila entre 20, por ejemplo, si caen 8 águilas, la probabilidad frecuencial se escribe con 8/20. Además de obtener la probabilidad frecuencial, en la pregunta c se pretende que los alumnos comparen ambas y que adviertan, aunque de manera incipiente, en este momento, cierto acercamiento de la probabilidad frecuencial respecto a la teórica. La actividad tres es muy semejante a la anterior, con la importante diferencia de que ahora se contabilizan los resultados de todas las parejas del grupo. Resulta evidente que la probabilidad frecuencial sea más cercana a la probabilidad teórica y que los alumnos puedan advertir que en la medida en que aumentan los experimentos, la probabilidad frecuencial cada vez se aproxima más a la teórica. Así la respuesta a la pregunta d tendría que ser un número muy cercano a 500. Como puede advertirse, el resultado utilizado en todas las actividades fue águila; de modo que una pregunta interesante, si es que no la plantean los alumnos, sería: ¿qué sucede con la probabilidad frecuencial de obtener sol?, ¿es la misma que en el caso del águila? Dado que la probabilidad teórica de obtener águila o sol es la misma (1/2), sus probabilidades frecuenciales tienen el mismo comportamiento: cada vez más se aproximarán a 1/2 conforme se repita un mayor número de veces el experimento.

Ejercicios de consignas Participación Actitud

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GRUPO:

“D” “H”

8.2.7 Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados, para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN . Organizados en equipos realicen las siguientes actividades Para llevar a cabo las actividades de la consigna hay que Ejercicios de prever que cada equipo cuente con un dado. 1. La maestra de primero grado de secundaria realizó un concurso de conocimientos por consignas A diferencia del plan anterior, en este experimento hay 6 equipos y dijo que el equipo ganador obtendría de regalo un balón. Después los Participación posibles resultados en tanto que en el otro eran únicamente Actitud miembros de ese equipo deberían elegir la forma de asignar el premio entre ellos. Ganó 2. Se trata de comprobar que la probabilidad frecuencial de el equipo formado por Daniela, Verónica, Lulú, Manuel, Rodrigo y Luis. un evento se aproxima cada vez más a la probabilidad Para seleccionar al alumno que se llevará el balón, Daniela propuso que fuera mediante teórica siempre y cuando se realice más veces el el lanzamiento de un dado. Cada quien elegiría un número y luego se lanzaría 60 veces el experimento. dado; el alumno que haya seleccionado el número que haya salido más veces, sería el Para el primer problema, en donde se trata de predecir lo que ganador. ocurrirá en 60 lanzamientos de un dado, el único referente a) ¿Quién tiene más posibilidades de ganar, Rodrigo o Verónica? ____________ que tienen los niños es la probabilidad teórica; es decir, que cada uno de los 6 posibles resultados tiene 1 de 6 o 1/6 de ¿Por qué? ____________________________________________________ b) ¿Cuál es la probabilidad de que Daniela resulte ganadora? ______________ probabilidad de aparecer. Por lo anterior, todos tienen la ¿Por qué? ____________________________________________________ misma probabilidad de ganar, así que la probabilidad frecuencial puede ser cualquier cociente x /60, el cual será 2. Ahora realicen el experimento para obtener un posible ganador. Tiren un dado 60 veces y RECURSOS cercano a 1/6. registren sus resultados en la siguiente tabla de frecuencias. DIDÁCTICOS Una vez que realicen el experimento 60 veces, se espera que puedan identificar que las probabilidades frecuenciales de Calculadora cada resultado se aproximan a 1/6 y que concluyan que en Cuaderno 600 lanzamientos se acercarán aún más. CONTENIDO

De acuerdo con los resultados de su experimento, ¿quién ganaría el balón? _______________ ¿Cuál es la probabilidad de que Manuel se lleve el balón? __________________ Si el experimento se repitiera 600 veces, ¿a qué valor se aproximaría la probabilidad frecuencial de que resulte ganador Manuel? _____________________

ESC. SEC. GRAL. SEC. GRAL. N° 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS” C.C.T. 28 DES0044T ZONA N° 7 DE CD. MADERO. PLANEACIÓN DE MATEMÁTICAS PROFESOR

SEGUNDO GRADO

BLOQUE III

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GRUPO:

“D”, “H”

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados

Comunicar información matemática Manejar técnicas eficientemente

APRENDIZAJES ESPERADOS    

Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas. Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas. Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad. Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales.

EJE

Sentido numérico y pensamiento algebraico

TEMA

CONTENIDO



Problemas multiplicativos 

Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios. Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

EJE

TEMA

Figuras y Cuerpos

CONTENIDO

 

Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

Forma espacio y medida 

Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.



Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.



Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan. Análisis de propiedades de la media y mediana.

Medida

Proporcionalidad y funciones Manejo de la información

Nociones de probabilidad 

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

8.3.1 Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN En equipo, resuelvan las siguientes operaciones. Pueden utilizar una Es probable que los alumnos lleguen a diferentes calculadora para verificar sus resultados. Al terminar, compartan sus resultados, por lo que es importante que en la puesta Ejercicios de respuestas con el resto del grupo. en común, discutan cuál es el resultado correcto de consignas Participación cada uno de los casos que se presentan. Actitud a) 20 + 5 x 38 = El uso de la calculadora para verificar los resultados también puede ser un elemento de controversia que b) 240 – 68 4 = se debe aprovechar, ya que las calculadoras sencillas conocidas como de bolsillo, generalmente no emplean c) 250  5 x 25 = la jerarquía de operaciones, mientras que calculadoras d) 120 + 84 – 3 x 10 = conocidas como científicas, sí la emplean. Por 2 ejemplo, para el primer caso, en una calculadora e) 230 – 4 x 5 + 14 = sencilla, el resultado es 950, mientras que en una científica es 210. Es necesario aclarar que mientras un tipo de calculadora efectúa las operaciones en el orden en RECURSOS que aparecen, la otra realiza primero las DIDÁCTICOS multiplicaciones o divisiones y después las sumas o restas. Para tener más materia de discusión se puede pedir a Calculadora Cuaderno los alumnos que resuelvan las siguientes operaciones: CONTENIDO

a) 0.42 x 5 -7 = b) -25 +34 x 6/3 = c) -17/8 + 3 x 6 = d) -3/5 x 8 + 5.25 = e) -28 + 35 + 2.5  1.5 =

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

a) 20 + 5 x 38 = b) 240 – 68 4 = c) 250  5 x 25 = d) 120 + 84 – 3 x 10 = 2

e) 230 – 4 x 5 + 14 =

En equipos resuelvan lo siguiente. Pueden utilizar la calculadora. ¿En qué orden se deben efectuar los cálculos en las siguientes expresiones para obtener los resultados que se indican? Pongan paréntesis a los cálculos que se hacen primero. a) 25 + 40 x 4 – 10  2 = 180 b) 8 – 2 ÷ 3 + 4 x 5 = 22 c) 15 ÷ 3 – 7 – 2 = 0 d) 18 + 4 x 3 ÷ 3 x 2 = 26 e) 21 – 14 ÷ 2 + 7 x 2 = 28

ser un elemento de controversia que se debe aprovechar, ya que las calculadoras sencillas conocidas como de bolsillo, generalmente no emplean la jerarquía de operaciones, mientras que calculadoras conocidas como científicas, sí la emplean. Por ejemplo, para el primer caso, en una calculadora sencilla, el resultado es 950, mientras que en una científica es 210. Es necesario aclarar que mientras un tipo de calculadora efectúa las operaciones en el orden en que aparecen, la otra realiza primero las multiplicaciones o divisiones y después las sumas o restas. Para tener más materia de discusión se puede pedir a los alumnos que resuelvan las siguientes operaciones: a)

0.42 x 5 -7 =

-25 +34 x 6/3 =

-17/8 + 3 x 6 =

-3/5 x 8 + 5.25 =

-28 + 35 + 2.5  1.5 =

Una vez que la mayoría de los equipos termine de colocar paréntesis en las expresiones anteriores hay que ayudarlos a comparar los resultados de los equipos. Conviene que las expresiones se analicen de una en una para ver si todos los equipos colocaron los paréntesis que se necesitan, si sobran o faltan, hay que animarlos para que aporten argumentos. Es importante que los alumnos reflexionen sobre el papel de los paréntesis presentes en una expresión en la que se combinan varias operaciones y aclarar que son necesarios para agrupar términos, con el fin de obtener un resultado deseado. Si hay varios paréntesis, uno dentro de otro, se realizan las operaciones de adentro hacia fuera. Si hay tiempo, se les puede pedir que cada equipo invente una expresión como las anteriores y la proponga al resto de los equipos.

Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

20 . 20%  100

Todos los cuadernos de la marca x, 20 % de descuento.

En la búsqueda del orden correcto de las operaciones, probablemente algunos alumnos intenten efectuar las operaciones para ver cuál de ellas resulta 60, y de esta manera elijan la expresión que corresponde a la situación; sin embargo, en la puesta en común, hay que analizar el papel de los paréntesis para verificar que efectivamente la expresión que eligieron es la correcta.

El precio de un cuaderno, sin descuento, era de $25.00. El pagó con un billete de $100.00 y le dieron de cambio $60.00. De acuerdo con esta información, ¿cuál de las siguientes operaciones representa la situación anterior? a) b) c) d) 20 20 20 100  2  25  50 

100



100  (( 2  25)  (50 

100

100  ( 2  25)  (50 

)) 

100

)

(100  ( 2  25))  (50 

20 ) 100

Reúnte con un compañero y juntos resuelvan el siguiente problema: Un terreno tiene la siguiente forma:

12.5

Actitud

24 a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área del terreno? b) Si el valor de n es 6 metros, ¿cuántos metros cuadrados tiene el terreno? ¿Cuál es el perímetro del terreno?

Es probable que algunos alumnos no utilicen paréntesis y escriban la expresión como por ejemplo: 24 x 17 – 12.5 x n En este caso al hacer la sustitución de n por 6 y hacer las operaciones en el orden que aparecen obtendrán 2 como resultado 2373 m . Este resultado los llevará a la necesidad de utilizar paréntesis para agrupar los cálculos.

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Es probable que algunos alumnos tengan dificultad en Analicen la siguiente figura; luego respondan lo que se pide: determinar la medida del largo del rectángulo blanco, 12 pero hay que darles tiempo para que ellos solos lleguen a deducir dicha medida. También es probable que algunos alumnos expresen 4 el área del rectángulo blanco como A  12  2 x  4 . Aquí hay que inducir los alumnos a que reflexionen si 2x 12  2 x  4 es equivalente a (12  2 x)(4) a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo blanco? b) ¿Cuál es el perímetro y el área del rectángulo blanco? c) ¿Cuál es el perímetro y el área de la parte sombreada? Al terminar, comparen sus respuestas con las de otros equipos.

Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Se está armando una plataforma con piezas de madera como las siguientes:

x x

Es muy probable que entre los equipos lleguen a resultados equivalentes; sin embargo, vale la pena aprovechar esta parte, para reflexionar sobre lo que sucede con los coeficientes y exponentes. En este momento es pertinente abrir un espacio para formalizar estos conocimientos sobre la multiplicación de un monomio por un monomio y, de un monomio por un polinomio. Luego, se puede pedir a los alumnos que resuelvan algunos ejercicios como por ejemplo:

(13 x)(12 y )  De acuerdo con las dimensiones que se indican en los modelos:

Plataforma ¿Cuáles son las dimensiones (largo y ancho) de la plataforma? ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la plataforma? ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el perímetro de la plataforma? Si x es igual a 50 cm, ¿cuál es el perímetro y área de la plataforma?

4 a ( 7b  2 a ) 

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

6m(15m  3n)   2 x 2 y 3 (3 x 2 y  5 x  6 y  2) 

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES

Organizados en equipos, los alumnos resolverán el siguiente problema. ¿Cuánto mide el largo del siguiente rectángulo?

Para resolver este problema los alumnos pueden optar por dos vías, una, que es poco probable, consiste en dividir el área entre la medida del ancho y la otra, que piensen por cuánto tienen que multiplicar el ancho para obtener el área. En caso de que ningún equipo utilice la primera vía conviene que el profesor la proponga, con el fin de mostrar cómo se puede dividir un polinomio entre un monomio. En caso de tener tiempo, se puede plantear la realización de otro problema y algunos ejercicios como por ejemplo:

3 a

A = 6a + 15a

Con las siguientes figuras (Fig. ? A, Fig. B y Fig. C) se pueden formar cuadrados cada vez más grandes, ver por ejemplo el cuadrado 1, el cuadrado 2 y el cuadrado 3. Con base en esta información completen la tabla que aparece enseguida. Trabajen en equipos.

Fig. A

Fig. B

1 1

Fig. C 1

x x

18a 2  6ab  3a

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

64 x 2 y  12 xy  2 xy

Antes de que los alumnos empiecen a llenar la tabla es necesario aclarar que lo que hay en ella se deriva de lo que pasa con las figuras. Conviene por ejemplo, preguntar por las medidas de cada figura y su área, para después ver cómo se forma el primer cuadrado, determinar su perímetro, su área y ver cómo eso se refleja en el primer renglón de la tabla. Después de estas aclaraciones hay que dejarlos solos para que completen la tabla. Cuando la mayoría de los equipos haya terminado de completar la tabla, hay que revisarla en colectivo y aclarar todas las dudas que pudieran surgir. Después, hay que analizar el párrafo que aparece en seguida de la tabla. Conviene que todos estén claros de que cuando se eleva al cuadrado un binomio el resultado final son tres términos, de los cuales: El primero es el primer término del binomio, elevado al cuadrado El segundo es el producto de los dos términos del binomio, multiplicado por dos El tercero es el segundo término del binomio, elevado al cuadrado.

Si los alumnos no encuentran solos esta relación, hay que ayudarles. Finalmente hay que decirles que esta expresión que resulta de elevar al Núm. de cuadrado Medida de un lado Perímetro Área Cuadrado 1 Cuadrado 2 Cuadrado 3 2 2 2cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto. 1 x+1 4(x+1)= (x+1) =(x+1)(x+1)=x +x+x+1=x +2x+1 2 Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros ejercicios para 3 resolver en el salón y de tarea, entre ellos, algunos en los que hagan uso de 4 la regla de un binomio al cuadrado; por ejemplo: 5 3052 = (300+ 5)2 =3002 + 2 x 5 x 300 + 52 6 a x+a (x + a)2 = (x + a)(x + a) = Para calcular el área de cada cuadrado, en todos los casos se elevó al cuadrado una suma de dos números y en todos los casos el resultado final, después de simplificar términos semejantes, son tres términos. ¿Cómo se obtienen esos tres términos sin hacer la multiplicación?___________________

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES El problema planteado se presta para ser resuelto de En equipos, resuelvan el siguiente problema: De un cuadrado cuyo lado mide x, (Fig. A), se recortan algunas partes y queda un cuadrado más pequeño, como se muestra en la figura B. ¿Cuál es el área de la parte sombreada de la Fig. B? Fig. A

Fig. B 5

diversas maneras, por ejemplo: -Darse cuenta de que un lado de la parte sombreada mide x5 y entonces multiplicar (x-5)(x-5) para encontrar el resultado. 2 -Del área total de la figura original que es x , restar las áreas de las partes que se quitan, lo que puede llevar a realizar los siguientes cálculos: 2 2 x -5(x-5)-5(x-5)-25, o bien, x -5x-5(x-5). -Sumar primero las áreas de las partes que se quitan y el 2 resultado restarlo al área total que es x . Como resultado de la confrontación es importante dejar claro que, cualquiera que sea el camino que se siga (calcular directamente el área de la parte sombreada o restar del área total las partes que se quitan) el resultado es el mismo. Después de aclarar lo anterior hay que hacer notar que en este caso, igual que cuando se trata de la suma de dos números elevada al cuadrado, el resultado es un trinomio cuadrado perfecto, sólo que, el segundo término es negativo. Para consolidar lo aprendido hay que plantearles otros ejercicios para resolver en el salón y de tarea. Por ejemplo: 2 a) (x + 9) = 2 b) (x – 10) = 2 c) (2x +y) = d) (x + m)(x + m) = e) (x - 6)(x -6 ) = También se pueden proponer otros ejercicios en los que hagan uso de la regla para calcular el resultado de elevar al cuadrado un binomio; por ejemplo: 2

(1996) = (2000 – 4) =2000 - 2 x 4 x 200 + 4

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO GRUPO: “D” “H” Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. SESIONES ACTIVIDADES CONSIDERACIONES PREVIAS EVALUACIÓN En equipos, resuelvan el siguiente problema: La figura A está dividida en Hay que estar pendiente de que los alumnos no Ejercicios de cuatro partes, un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos confundan la figura completa (formada por cuatro 2 iguales. Si el área de la figura completa es x +16x+64, partes) con el cuadrado grande, que es una parte de la consignas Participación figura completa. Como resultado de esta actividad se Actitud ¿Cuánto mide un lado de la figura completa? ______________ espera que los alumnos caigan en cuenta de que el ¿Cuánto mide un lado del cuadrado grande?____________ cuadrado de un binomio da como resultado un ¿Cuánto mide un lado del cuadrado chico?_____________ trinomio cuadrado perfecto y que un trinomio cuadrado Anoten dentro de la figura el área de cada parte. perfecto se puede expresar como el cuadrado de un 2 La expresión x +16x+64 es un trinomio cuadrado perfecto. Escríbanlo como binomio o como el producto de dos factores iguales. un producto de dos factores: _________________________ Hay que decirles que este último proceso se llama factorización. Fig. A

Después de analizar el trabajo realizado por los alumnos es necesario plantearles varios ejercicios, en primer lugar para que determinen si se trata de trinomios cuadrados perfectos y en segundo lugar para factorizarlos.

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

“D” “H”

8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES 2 2 En equipos resuelvan el siguiente problema: La figura 1 le da significado a la expresión x – y , De un cuadrado de lado x, se corta un cuadrado más pequeño de lado y, como se muestra en mientras que la figura 2 le da significado a la expresión la figura 1. Después, con las partes que quedan de la figura 1, se forma el rectángulo de la (x+y)(x-y), y, dado que las áreas son iguales, se puede figura 2. Con base en esta información contesten: concluir que las expresiones que las representan son a) ¿Cuál es el área de la figura 1, después de cortar el cuadrado pequeño? equivalentes. Sin embargo, como en los casos ________________________ anteriores, es necesario que los alumnos resuelvan varios ejercicios, tanto para encontrar la diferencia de b) Anoten las medidas del rectángulo de la figura 2 cuadrados como el producto de los binomios Largo:___________ ancho:_____________ conjugados. Por ejemplo: c)

Expresen el área de la figura 2.

Escriban al menos una razón por la que se puede asegurar que la diferencia de dos cuadrados, por ejemplo, x2 – y2, es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces, en este caso, (x+y)(x-y).______ ______________________________________________________________

(3m + 2n)(3m - 2n) =

b) (4xy – 2x)(4xy + 2x) = 2

a) a – b = Fig. 2 y

RECURSOS DIDÁCTICOS

b) x – 4n = 2

c) ____ – 16y = ( ___ + 4y )(5x - ____ ) x

d) x – 400 = 2

e) 25x – 64 =

Ejercicios de consignas Participación Actitud

A=_______________

Fig. 1

EVALUACIÓN

También se puede proponer a los alumnos ejercicios numéricos como por ejemplo: 2 2 (101)(99) = (100 + 1) (100 – 1) = 100 – 1 = 10 000 – 1 = 9 999

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Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Problemas Multiplicativos

8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES

En equipo, resuelvan el siguiente problema: Con las figuras A, B, C y D se formó un rectángulo (Fig. E). Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica. a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido? Base:_________ altura:_____________ b)

¿Cuál es el área del rectángulo formado? __________________

Fig. A

Fig. B

Fig. C

5 7

“D” “H”

Fig. D

x Fig. E

Se espera que los alumnos encuentren que las dimensiones 2 del rectángulo son: (x +7) y (x+5) y que el área es x + 12x + 35 Cuando la mayoría de los equipos haya terminado, hay que hacer una puesta en común de los resultados y aclarar todas las dudas que pudieran surgir. Es conveniente aclarar que los dos binomios que representan las dimensiones del rectángulo, son dos binomios con un término común (en este caso x). Luego analizar la regla que hayan escrito para factorizar el trinomio. Hay que tomar en cuenta que ésta es una tarea compleja, pero quizá algunos alumnos se den cuenta que para encontrar los términos no comunes basta con descomponer el tercer término en dos factores tales que, sumados den el coeficiente del segundo término y multiplicados den como resultado el tercer término del trinomio. Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros ejercicios para resolver en el salón y de tarea; por ejemplo: Completa de manera que se cumpla la igualdad en cada caso:

Si el área de un rectángulo similar al de la figura E, es x +8x+15, ¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo? Base:_______________ altura:________________

m² – 3m – 10 = (m -5 )(m + ___ )

c² + 7c + 12 = (c + ___ )(c + ___ )

Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+8x+15

x² - 22x + 120 = ( ___ - ___ )(x - 12)

Escriban una regla para determinar los dos binomios a partir de un trinomio que no es cuadrado perfecto. ___________________________________

x² + 11x + 18 = (

(4x +2y)( 4x – 2y)=

)(

)

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Forma espacio y medida Figuras y Cuerpos

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“D” “H”

8.3.3 Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES Es probable que algunos alumnos tracen triángulos al Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades. realizar la primera actividad, así que se procurará que 1. Dibujen un polígono convexo de cualquier número de lados (uno diferente reflexionen acerca del concepto de diagonal, para darse cuenta que en el triángulo no se pueden trazar diagonales. cada integrante del equipo) y tracen las diagonales del polígono desde un También es importante señalar que los polígonos no sean mismo vértice. ¿Qué figuras se forman al interior del forzosamente regulares, pues la regla de los triángulos que polígono?___________________ se forman al interior de la figura se cumple para los polígonos regulares e irregulares. Se espera que con el 2. Completen la siguiente tabla. llenado de la tabla los alumnos descubran la regularidad de que el número de triángulos que se forman dentro del Polígono Número de lados Cuántos triángulos hay polígono es igual al número de lados menos dos y que la triángulo puedan expresar algebraicamente. Es probable que haya cuadrilátero necesidad de aclarar conceptos tales como polígono pentágono convexo, diagonal, ángulo. hexágono heptágono octágono eneágono decágono Polígono de n lados

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Forma espacio y medida Figuras y Cuerpos

GRUPO:

“D” “H”

8.3.3 Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES La siguiente tabla es similar a la de la sesión anterior pero se le agregó una Es probable que haya necesidad de aclarar cuáles son columna. Organizados en equipos, anoten los datos que faltan. los ángulos internos de los polígonos para completar la tabla. Se espera que los alumnos puedan descubrir que la suma de los ángulos internos del polígono Suma de los Cuántos equivale a la suma de los ángulos internos de los Número ángulos Polígono triángulos triángulos que se forman, de manera que, en un de lados internos del hay polígono de n lados, se forman n-2 triángulos y la polígono suma de los ángulos internos es n-2 por 180 grados, triángulo es decir, 180 (n-2). Si es necesario, hay que apoyar a cuadrilátero los alumnos a través de preguntas para que lleguen a esta expresión, por ejemplo, ¿cuál es la relación entre pentágono el número de lados del polígono y el número de hexágono triángulos que se forman? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier triángulo? heptágono Se sugiere plantear como actividad complementaria octágono “La suma de los ángulos interiores de un triángulo”, en EMAT, México, Sep, 2000, pp. 46, 47. eneágono decágono Polígono de n lados

¿Cuál es la expresión que permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono?_______________________________________________

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Forma espacio y medida Figuras y Cuerpos

“D” “H”

8.3.3 Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES Organizados en equipos, respondan las siguientes preguntas y justifiquen sus respuestas. Es necesario que se dé tiempo suficiente para que los alumnos resuelvan cada problema y para la puesta en 1. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un dodecágono regular?___________ común de cada uno de ellos, con el fin de que los ¿Por qué?_______________________________________________________ 2. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 1620°, ¿Cuántos lados tienen estudiantes comuniquen los diferentes procedimientos el polígono?______ ¿Cómo se llama?______________ y resultados obtenidos, así como los argumentos que 3. La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular. ¿De qué polígono se respalden sus procedimientos. Se puede cambiar de trata?_______________ ¿Por qué?_________________________ forma de kiosco; pentágono, hexágono, heptágono.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

140 140 140

4. En el centro de la plaza de mi pueblo hay un kiosco de forma octagonal donde se presentan artistas y diversos eventos. Quieren colocar en cada esquina un adorno y para que la base del adorno quede justa, necesitan saber cuánto miden los ángulos internos del piso del kiosco, que tiene forma de octágono. ¿Cuál es la expresión que permite calcular la medida de un ángulo interno del piso del kiosco?__________________________

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Forma espacio y medida Figuras y Cuerpos

GRUPO:

8.3.4 Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

ACTIVIDADES Organizados en equipos, determinen si las figuras que tienen les permiten cubrir el plano sin dejar huecos, para cada caso se deben utilizar exclusivamente figuras de una sola forma. Busquen una superficie plana (el piso o una mesa) para que puedan probar. Después contesten las siguientes preguntas:

“D” “H”

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Es necesario organizar al grupo con anterioridad para que tracen y recorten los polígonos que van a utilizar (cuadrados, triángulos equiláteros, pentágonos, hexágonos y octágonos regulares). Pedir dos formas diferentes por equipo, 20 figuras congruentes de cada forma.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

¿Con cuáles de las figuras pudieron cubrir el plano? ¿Qué característica tienen los polígonos que permiten cubrir el plano? ¿Cuáles son los polígonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a qué creen que se deba?

También se les puede pedir que busquen, en revistas o libros, imágenes de mosaicos con diversas figuras geométricas para mostrar a sus compañeros al inicio de la sesión. Además se harán comentarios acerca de lugares donde hayan observado recubrimientos de diversas superficies, como en plazas, iglesias, tiendas, zócalos, etc. Se pueden utilizar además polígonos regulares de siete, ocho, nueve lados, etc. Es importante que después de la primera consigna todos los alumnos lleguen a la conclusión de que solamente se puede cubrir el plano con los cuadrados, hexágonos regulares y triángulos equiláteros, debido a que la medida de sus ángulos interiores es divisor de 360. Para complementar, se puede plantear la actividad 1 de la pág. 76 del Fichero de Actividades Didácticas.

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Forma espacio y medida Figuras y Cuerpos

GRUPO:

8.3.4 Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

ACTIVIDADES Organizados en equipos, diseñen y recorten un modelo de polígono irregular en cartulina o cartoncillo, que les permita cubrir el plano. El polígono irregular que diseñen puede ser de tres, cuatro o cinco lados. Una vez que diseñen el modelo, tracen y recorten varias figuras iguales para que puedan mostrar que se puede cubrir el plano. Enseguida contesten la siguiente pregunta: ¿Qué características tiene el polígono que diseñaron para cubrir el plano? En binas, utilizando polígonos regulares e irregulares cubran un plano, y contesten las siguientes preguntas: 1. ¿Cómo son los polígonos que utilizaron? 2. ¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano? 3. ¿Qué medida tiene cada ángulo en esas figuras? ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en ese vértice? Haz, individualmente, un mosaico con las figuras que desees y coloréalo a tu gusto.

“D” “H”

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Es necesario organizar al grupo con anterioridad para que cuente con los materiales requeridos en el momento de la clase (cartoncillo o cartulina, tijeras, etc.). Mientras que los alumnos hacen sus trazos conviene insistir en que se trata de polígonos irregulares (no tienen todos sus lados y ángulos iguales) y durante la confrontación es importante plantear las siguientes preguntas: ¿Cómo se pasa de una pieza a una pieza contigua a través de uno de los lados? ¿Por qué un cuadrilátero cualquiera (convexo) siempre permite cubrir el plano? Se espera que los alumnos se den cuenta de la propiedad de la rotación y de la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero. Se sugiere pedir a los alumnos que investiguen acerca de los teselados elaborados por Escher, o bien, que el profesor presente algunos de sus trabajos (al final de este plan de clase se presentan imágenes de algunos teselados elaborados por Escher, se pueden agrandar para que las imágenes sean más claras para los alumnos). Es conveniente auxiliarse de la ficha “Geometría y azulejos” que se encuentra en las páginas 76 y 77 del Fichero de Actividades Didácticas y del tema “Recubrimiento del plano por polígonos regulares” del Libro del Maestro, páginas 284 y 285. Al término de la tarea encomendada en la consigna 2, se puede realizar una exposición de los trabajos realizados e, incluso, usar algunos de ellos como elementos decorativos del salón de clases. De ser posible, se recomienda realizar como actividad complementaria la siguiente: “Recubrimiento del plano con polígonos regulares”, en Geometría dinámica. EMAT, México, SEP, 2000, pp. 106-109

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Forma espacio y medida Medida

“D” “H”

8.3.5 Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN En equipos utilicen un decímetro cúbico hueco de plástico, madera, acrílico Es importante considerar que el decímetro cúbico que u otro material donde puedan vaciar agua. Indaguen qué cantidad de agua utilicen los alumnos tenga las caras lo más delgadas Ejercicios de consignas le cabe. posibles, de tal manera que el volumen no varíe por CONTENIDO

este factor.

1dm³ tiene una capacidad de: ______________________

A partir del resultado obtenido, completen las siguientes equivalencias. 1 cm³ de agua equivale a: ___________ ml 1 m³ de agua equivale a: _____________ l

En caso de no contar con el decímetro cúbico que se propone en la consigna, se puede utilizar un envase en forma de prisma, de leche o jugo, cuya capacidad sea de un litro; el alumno calculará su volumen y comprobará que el valor es aproximado a los 1 000 cm³ o, lo que es lo mismo, a un decímetro cúbico. Si utilizan el decímetro cúbico hueco, esta actividad puede realizarse para verificar que el volumen de un litro de agua equivale a un decímetro cúbico. Una vez que los alumnos obtienen de manera experimental que el decímetro cúbico tiene una capacidad de un litro, si continúan teniendo dificultades para deducir las equivalencias que se piden posteriormente, se pueden plantear preguntas como las siguientes: ¿Un cm³ es más grande o más pequeño que un dm³? ¿Cuántas veces cabe un cm³ en un dm³?

Participación Actitud

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Forma espacio y medida Medida

GRUPO:

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8.3.5 Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN En equipos analicen la información que contienen las siguientes Si es posible, se recomienda usar una Ejercicios de ilustraciones. Posteriormente, respondan a los cuestionamientos que se báscula para verificar la primera equivalencia: consignas plantean. CONTENIDO

a) ¿Cuál es el peso de un litro de agua? _________________ b) ¿Cuál es el peso de 1 cm³ de agua? __________________________

que un litro de agua pesa un kilogramo. Se trata de que los alumnos lleguen a comprender que el peso de un litro de agua equivale a un kilogramo y, a partir de ello, deducir que un centímetro cúbico pesa un gramo. Esta situación no se da para otros materiales con diferente densidad que el agua. Se sugiere que los alumnos verifiquen lo anterior en distintos productos como pasta dental, desodorantes, aerosoles, cremas, etc., que contengan la información necesaria. El contexto es favorable para investigar y comentar sobre los beneficios de tomar agua en cantidad suficiente durante el día.

Participación Actitud

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GRUPO:

Forma espacio y medida Medida

“D” “H”

En parejas analicen la información de cada una de las situaciones siguientes. Posteriormente, respondan las preguntas. Situación 1:

¿Cuál fue la producción de petróleo en el año 2000? _________________________________ ¿Cuál es la unidad de medida de la producción de petróleo? __________________________ Situación 2:

En general, la intención de este plan es que los alumnos adviertan la existencia de otras unidades de medida usuales, como los barriles para el petróleo, los metros cúbicos por segundo para el caudal de agua, etcétera. Algunas probables dificultades, en las cuales hay que centrar la atención, son las siguientes: 



Las cataratas de Iguazú presentan un espectáculo pocas veces visto. La sequía que se está viviendo en la zona es la peor en 20 años, por lo que el caudal de agua se redujo de manera notoria. En la actualidad, las cataratas poseen un caudal de 300 metros cúbicos por segundo, cuando la cantidad normal es de 1 300 y 1 500 metros cúbicos. Los saltos tienen una altura promedio de 70 metros. Consideradas una de las maravillas naturales del mundo, las cataratas superan a las del Niágara, y rivalizan en tamaño con las de Victoria, en el río Zambezi, en el sur de África. Alimentadas por el río Iguazú, están formadas por más de 270 saltos, con una altura media de 70 metros, y se localizan en el estado brasileño de Paraná y la provincia argentina de Misiones. ¿Cuál es la unidad de medida del caudal del agua? _________________________________ ¿Cuál es el caudal del agua actual en litros? ______________________________________

Ejercicios de consignas Participación Actitud

En el caso de la gráfica, para conocer la producción del año 2000, es muy importante que se fijen en la escala vertical pues cada valor representa miles de barriles diarios.

En el segundo caso, para conocer el caudal en litros actual, es necesario convertir metros cúbicos a litros. Respecto a la representación de los siglos y los años correspondientes, se trata de que los alumnos identifiquen que las centenas de los años contienen una unidad menor que el siglo que corresponde, los años del siglo XVI contienen 15 centenas (los años 1547, 1568, etcétera).

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GRUPO:

Manejo de la Información Probabilidad y Funciones

8.3.6. Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y= kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

ACTIVIDADES Organizados en equipos, lean la información y hagan lo que se pide. 1. Consideren una cisterna A y una cisterna B, que tienen la misma capacidad. La cisterna A tiene 500 litros de agua, mientras que la cisterna B esta vacía. Se abren al mismo tiempo las llaves para llenar ambas cisternas y caen, en cada una, 10.5 litros de agua por minuto. a) Anoten las cantidades que hacen falta en las tablas. Cisterna B

Cisterna A Tiempo (min)

0 1 2 3 4 5 6 7

“D” “H”

Cantidad de agua (litros)

Tiempo (min)

Cantidad de agua (litros)

0 1 2 3 4 5 6 7

b) Representen con la letra x el número de minutos y con la letra y la cantidad de agua contenida en cada cisterna y expresen algebraicamente la relación entre las dos columnas de cantidades de cada tabla. Cisterna A: ____________________ Cisterna B: _________________ c) ¿Cuántos litros de agua tendrá la cisterna A los 20 minutos de abierta la llave de llenado? _______________________ ¿Cuántos litros tendrá la cisterna B en el mismo tiempo? _________________ d) Si ambas cisternas tienen una capacidad de 2 000 litros de agua, ¿en cuanto tiempo se llenarán? Cisterna A: _____________________ Cistern B: ________________________

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Es probable que algunos alumnos pasen por alto que, en el minuto cero, antes de que se abran las llaves, la cisterna A ya tiene 500 litros, este posible error será señalado fácilmente por otros alumnos durante la puesta en común. Es importante que al analizar las expresiones algebraicas todos los alumnos tengan claro el significado de cada literal, de las operaciones que se indican y de las posibles maneras de representarlas. Por ejemplo, para la cisterna B puede surgir algo como y = 10.5x; 10.5x = y, o bien, 10.5 (x) = y; son maneras diferentes de expresar lo mismo. Para el caso de la cisterna A, es posible que los alumnos obtengan expresiones equivalentes como por ejemplo: y= 10.5x + 500

o bien

x = (y-500)/10.5

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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Manejo de la Información Probabilidad y Funciones

GRUPO:

“D” “H”

8.3.6. Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y= kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

ACTIVIDADES En equipos, resuelvan los problemas. Pueden utilizar calculadora.

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Para el primer problema, es de esperarse que los alumnos expresen la relación entre las 1. Completen la tabla y expresen algebraicamente cómo cambia y (longitud de la cantidades de la tabla con y = 3.14 x y que circunferencia) en función del valor de x (longitud del diámetro). logren identificar a 3.14 como el valor 2. constante k. Al comparar las expresiones y = X Y Expresión algebraica kx y la fórmula C =  x D es importante (longitud del diámetro) (longitud de la determinar que los valores de y y C dependen circunferencia) de los valores que tomen x y D 3 cm 9.42 respectivamente, y que  es un valor constante. 4.5 cm

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

10 cm 15.2 cm 24 cm

En el segundo problema es posible que contesten con la expresión y = 6x, lo cual es un error, pero hay que procurar que ellos lo a) Consideren la expresión y = kx, ¿cuál es el valor de k en la expresión que detecten. Se puede preguntar: ¿la cantidad de encontraron? ________ litros (y), es igual a la cantidad de metros b) La fórmula C =  x D es la misma que y = kx, solo que con otras literales. ¿Qué cuadrados (x) multiplicada por seis? Hay que valores pueden tomar C, π, D, de acuerdo con la información de la tabla? probar la expresión con algunos valores para C = ____________ π = ___________D = ___________ que se den cuenta de que no funciona. 3. Para pintar un edificio de departamentos, se necesita comprar pintura de diferentes 2 También puede pedírseles que encuentren la colores, si con el tipo de pintura seleccionada se cubren 24 m por cada 4 litros: expresión que relaciona los metros cuadrados a) Anoten las cantidades que faltan en la tabla. en función de los litros de pintura, es decir, y = 2 6x. La expresión que contesta el problema es y m 30 48 72 120 180 240 = 1/6 x. litros ¿Qué expresión algebraica permite conocer la cantidad de litros cuando se conoce el número de metros cuadrados por cubrir? ________________

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GRUPO:

“D” “H”

8.3.6. Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y= kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

ACTIVIDADES En equipos, resuelvan los problemas. Pueden utilizar calculadora.

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Para el primer problema, es de esperarse que los alumnos expresen la relación entre las 4. Completen la tabla y expresen algebraicamente cómo cambia y (longitud de la cantidades de la tabla con y = 3.14 x y que circunferencia) en función del valor de x (longitud del diámetro). logren identificar a 3.14 como el valor 5. constante k. Al comparar las expresiones y = X Y Expresión algebraica kx y la fórmula C =  x D es importante (longitud del diámetro) (longitud de la determinar que los valores de y y C dependen circunferencia) de los valores que tomen x y D 3 cm 9.42 respectivamente, y que  es un valor constante. 4.5 cm

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

10 cm 15.2 cm 24 cm

En el segundo problema es posible que contesten con la expresión y = 6x, lo cual es un error, pero hay que procurar que ellos lo c) Consideren la expresión y = kx, ¿cuál es el valor de k en la expresión que detecten. Se puede preguntar: ¿la cantidad de encontraron? ________ litros (y), es igual a la cantidad de metros d) La fórmula C =  x D es la misma que y = kx, solo que con otras literales. ¿Qué cuadrados (x) multiplicada por seis? Hay que valores pueden tomar C, π, D, de acuerdo con la información de la tabla? probar la expresión con algunos valores para C = ____________ π = ___________D = ___________ que se den cuenta de que no funciona. 6. Para pintar un edificio de departamentos, se necesita comprar pintura de diferentes 2 También puede pedírseles que encuentren la colores, si con el tipo de pintura seleccionada se cubren 24 m por cada 4 litros: expresión que relaciona los metros cuadrados b) Anoten las cantidades que faltan en la tabla. en función de los litros de pintura, es decir, y = 2 6x. La expresión que contesta el problema es y m 30 48 72 120 180 240 = 1/6 x. litros ¿Qué expresión algebraica permite conocer la cantidad de litros cuando se conoce el número de metros cuadrados por cubrir? ________________

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“D” “H”

8.3.6. Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y= kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

En equipos, resuelvan el siguiente problema.

En caso de que los alumnos tengan dificultad para determinar la regla general que representa 1. Se sabe que la distancia que necesita un automóvil para frenar completamente es la relación entre las dos columnas de la tabla, directamente proporcional a la velocidad que lleva. Al probar uno de sus nuevos se sugiere plantear preguntas como las modelos de autos, una compañía determinó que para una velocidad de 60 km/h el siguientes: auto necesita una distancia de frenado de 12 metros. ¿Qué operación se le tiene que hacer a un a) Elaboren una tabla que exprese la relación entre los dos conjuntos de cantidades, número de la columna que representa las velocidad y distancia de frenado. La distancia de frenado debe ir desde 12 metros velocidades para obtener el número que hasta un metro. corresponde a la comuna de distancias de frenado? o ¿qué operación se le tiene que hacer b) Expresen con palabras la regla general que permite obtener las distancias de a un número de la columna que representa las frenado a partir de las velocidades. distancias de frenado para obtener el número ____________________________________________________________ que corresponde a la columna de velocidades? c) Expresen algebraicamente la __________________________

regla

general

que

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participacion Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS

encontraron. Dependiendo de las literales que vayan a usar, pueden llegar a expresiones equivalentes Calculadora Cuaderno como: d) Utilicen la regla general para encontrar las cantidades que faltan en la siguiente x o x  5y y tabla.

Si esto sucede, vale la pena analizarlas con todo el grupo, sustituyendo los datos de la tabla en cualquiera de las dos expresiones generales, para comprobar que se obtiene el mismo resultado, dado que son expresiones e) ¿Cuál es la velocidad que corresponde a una distancia de frenado de 20 metros? equivalentes. ___________ Velocidad km/h Distancia de frenado

100

120

150

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Manejo de la Información Análisis y Representación de Datos

GRUPO:

“D” “H”

Organizados en equipos, analicen la información y hagan lo que se indica. En un laboratorio se tomó una muestra de 120 paquetes de leche en polvo cuya etiqueta dice: Contenido neto 250 g. Se trataba de averiguar el peso real de cada paquete y se obtuvieron los siguientes datos, ya ordenados de menor a mayor. 243, 243, 243, 244, 244, 245, 245, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 246, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 247, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 248, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 249, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 250, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 251, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 252, 253, 253, 253, 253, 253, 253, 254, 254, 254, 254, 254, 255, 255, 255, 255, 255, 256, 256,256, 257, 257, 257, 258 En virtud de que son muchos datos, conviene organizarlos en una tabla de distribución de frecuencias agrupadas, complétenla con base en los datos registrados y después contesten lo que se pregunta. Tabla de distribución de frecuencias agrupadas Clases Límites de Recuento Frecuencia Marca de clase clase 1 241 – 244 5 242.5 2 245 – 248 3 4 5 Total 120 Cada grupo de datos es una clase, ¿en cuántas clases se organizaron los 120 datos? _____________ Cada clase tiene un límite inferior y un límite superior, ¿cuál es el límite inferior de la tercera clase? _____ Un criterio básico para establecer las clases es que cada uno de los datos pertenezca exactamente a una clase. Verifiquen que este criterio se cumple en la tabla que completaron. Verifiquen que la suma de frecuencias absolutas es igual al total de datos de la muestra. La marca de clase es el promedio entre el límite inferior y el límite superior de cada clase. ¿Cuál es la marca de clase de la cuarta clase? ___________ Representen los datos de la tabla en un histograma. Para ello hagan lo siguiente: Anoten el título de la gráfica. Anoten los encabezados de los ejes, en el eje vertical van las frecuencias. ¿Qué va en este caso en el eje horizontal? ________________________________ La escala horizontal puede construirse con la fronteras de clase: 240.5, 244.5, 248.5, así sucesivamente hasta 260.5. Otra opción es construir la escala horizontal con las marcas de clase.

En un histograma el número de barras coincide con el número de intervalos de clase. Para poder agrupar los datos en intervalos de clase, hay que determinar un número de clases (entre 5 y 12) que sea conveniente. En este caso se decidió hacer 5 intervalos con un ancho de clase igual a 4. El ancho de clase es la distancia entre el límite inferior de una clase y el límite inferior de la siguiente clase. De esta manera, 5 x 4 = 20, mientras que el rango (258 – 243) de los datos es igual a 15, se garantiza que todos los datos quedan incluidos. Finalmente, se espera que los alumnos lleguen a una gráfica como la siguiente:

RECURSOS DIDÁCTICOS Con la finalidad de practicar lo que se ha estudiado en esta sesión se puede proponer la siguiente actividad. El director de una escuela secundaria, preocupado por el rendimiento académico de los alumnos, decide averiguar cuántas horas estudian por semana. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y mediante una encuesta, obtiene los siguientes datos. 15.0, 23.7, 19.7, 15.4, 18.3, 23.0, 14.2, 20.8, 13.5, 20.7, 17.4, 18.6, 12.9, 20.3, 13.7, 21.4, 18.3, 29.8, 17.1, 18.9, 10.3, 26.1, 15.7, 14.0, 17.8, 33.8, 23.2, 12.9, 27.1, 16.6. a) Ordena los datos de menor a mayor y organízalos en una tabla de distribución de frecuencias.

Elaboren tres preguntas que se puedan responder con la información contenida en su gráfica. Primera pregunta: ___________________________________________________ Segunda pregunta: __________________________________________________ Tercera pregunta: ___________________________________________________

Ejercicios de consignas Participación Actitud

b) Representa la información en un histograma y elabora tres preguntas que se puedan responder a partir de la gráfica.

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CONTENIDO FECHA

Organizados en parejas, analicen el histograma, después, hagan lo que se indica.

Se espera que a partir de la gráfica los alumnos puedan completar la tabla sin problemas; sin embargo, es probable que algunos cuestionen sobre el significado de términos como fronteras de clase, que no es otra cosa que ajustar los intervalos de clase para que haya continuidad de un intervalo a otro. Esto se logra al restar 0.5 al límite inferior y sumar 0.5 al límite superior; con lo cual se va determinando lo que se conoce como fronteras de clase o límites reales.

1. De acuerdo con la información contenida en la gráfica, completen la siguiente tabla; luego respondan lo que se cuestiona: Clase

Límites de clase 17.5 - 20.5 21.5 - 24.5 25.5 – 28.5 29.5 – 32.5 33.5 – 36.5

1 2 3 4 5 a)

Fronteras de clase

Marca de clase

Frecuencia

17 – 21 21 - 25 25 – 29

19 23

¿Cuál es la marca de clase del intervalo de temperaturas máximas de los Estados de la Republica?__________________

¿Cuántos

Estados

alcanzan

esas

temperaturas?

________________ b)

¿Cuál es la marca de clase del intervalo moda? ____________________ ¿Cuántos Estados alcanzan esas temperaturas? ______________________

¿Cuál

“D” “H”

rango

temperaturas

___________________________

que

alcanza

mayoría

los

Estados?

En el caso del inciso a, la marca de clase del intervalo de temperaturas máximas de los estados de la república es de 35°C y 1 estado es el que alcanza esta temperatura. En el caso del inciso b, se espera que los alumnos identifiquen la barra que corresponde a la moda de los datos y determinen que la marca de clase es 31°C; 11 estados de la república alcanzan dicha temperatura. Para que los alumnos puedan familiarizarse con este tipo de gráficas vale la pena pedirles que comenten sobre las diferencias que hay entre un histograma y una gráfica de barras como las que han estudiado. Podrán apreciar y concluir que el histograma es un tipo de gráfica de barras en el que éstas aparecen unidas y cada barra representa un conjunto de datos en vez de un solo dato. El Histograma es especialmente útil cuando se tiene un amplio número de datos (más de 30) cuantitativos correspondientes a una variable continua, que es preciso agrupar para simplificar el análisis y la presentación de la información.

Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CONTENIDO

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

grupo A

a) b) c) d) e) 2.

7 8 9 calificaciones

¿Cuál es la calificación que más se repite en el grupo A? ____________ ¿En cuál grupo hay mayor número de reprobados? ___________ ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo? Grupo A: __________ Grupo B: ____________ ¿En cuál grupo existe mayor cantidad de alumnos con calificaciones mayores o iguales que 8? ____________ ¿Cuál grupo tiene mejor aprovechamiento? _______ ¿Por qué? _____________

En una investigación sobre el peso de un cierto número de niños recién nacidos, se obtuvieron los siguientes datos: Clase 1 2 3 4

Límites de clase 2.5 – 3.0 3.0 – 3.5 3.5 – 4.0 4.0 – 4.5

Marca de clase 2.75 3.25 3.75 4.25

Frecuencia 6 23 12 9

Con respecto a la segunda gráfica, es importante que los alumnos comenten sobre las diferencias que aprecian entre un histograma y un polígono de frecuencias. La idea es que reconozcan que el polígono de frecuencias es una gráfica que se construye a través de la unión de los puntos que corresponden a las marcas de clase de un histograma. Los alumnos ya saben que una marca de clase es el promedio entre el límite inferior y superior de un intervalo de clase. La marca de clase representa a todos los datos pertenecientes al intervalo de clase correspondiente. Un polígono de frecuencias se utiliza para representar la tendencia de los datos de una variable numérica continua.

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“D” “H”

RECURSOS DIDÁCTICOS Determinen cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas: a)

En la investigación, el número de bebés recién nacidos es 45. ___________

La mayoría de los recién nacidos tienen un peso promedio de 3.25 kg. ______

Los niños con menor peso son muy pocos, solo 6 de 50 niños tuvieron un peso entre 2.5 y 3 kg. _________________

Lo que señala la gráfica poligonal es que el rango de pesos de los recién nacidos va de 2.5 kg a 4.5 kg. _________________

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“D” “H”

8.3.7 Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia) según el caso y análisis de la información que proporcionan. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN Organizados en parejas, hagan lo que se indica. Con respecto al primer caso, es posible que los alumnos tengan dificultades para representar la Ejercicios de 1. Mediante una gráfica poligonal, representen la información que hay en las tablas, relacionada con escala de la temperatura, al intentar colocar todas consignas la variación de la temperatura de dos pacientes. Después escriban tres preguntas que se puedan las temperaturas menores que 39.5° C; comente y Participación responder con la información presentada en la gráfica. Actitud proponga la nomenclatura adecuada para representar únicamente el rango necesario, de 36 a Paciente A 40° C. Hora 6 A. 8 A. 10 A. 12 A. 2 P. 4 P. M. 6 P. M. 8 P. M. Una vez que se han discutido los procedimientos M. M. M. M. M. para la construcción de la gráfica, sería conveniente Temperatura 39.5 38.5 38 37 37 36.5 36.5 36.5 analizar con detenimiento su contenido y las (° C) preguntas con sus respectivas respuestas. CONTENIDO

Paciente B Hora Temperatura (° C) 2.

6 A. M. 38.5

8 A. M. 38.5

10 M. 37

12 M. 37

2 P. M. 37

4 P. M.

6 P. M.

8 P. M.

38.5

Una agencia de viajes ofrece precios especiales para excursiones por el Caribe. Planea ofrecer varios de estos paseos durante la próxima temporada invernal en el hemisferio norte y desea enviar folletos a posibles clientes. A fin de obtener el mayor provecho por lo que se gaste en publicidad, necesita la distribución de las edades de los pasajeros en temporadas anteriores. La cantidad de folletos enviados dependería de la cantidad de personas en cada grupo de edad. La agencia seleccionó de sus archivos una muestra de 40 clientes cuyas edades son:

77, 18, 63, 84, 38, 54, 50, 59, 54, 56, 36, 50, 50, 34, 44, 41, 58, 58, 53, 62, 62, 43, 52, 53, 63, 62, 62, 61, 61, 52, 60, 60, 45, 66, 83, 63, 63, 58, 61, 71. a) b) c)

Ordenen los datos y organícenlos en una tabla de distribución de frecuencias. Con los datos de la tabla, elaboren un polígono de frecuencias. ¿Cuál grupo de edad presenta la mayor frecuencia relativa? _________¿Cuál la menor frecuencia relativa? ______________ Formulen conclusiones que puedan ayudar a la agencia de viajes a planear la campaña de publicidad.

Con respecto a la segunda actividad, los alumnos tendrán que construir una tabla con intervalos de clase, marcas de clase, frecuencias absolutas y relativas.

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8.3.8 Análisis de propiedades de la media y mediana.

ACTIVIDADES En equipo, analicen y resuelvan los siguientes problemas. 1.

A una fiesta asisten 10 amigos de la escuela incluyendo al anfitrión. Cada uno coopera con cierta cantidad de dinero de manera voluntaria. El que coopera con más dinero fue Juan, el anfitrión, quien puso 90 pesos. El que puso menos fue Pedro con 70 pesos. Al final Juan dijo que en promedio los miembros del grupo habían colaborado con 100 pesos.

¿Qué piensan de la afirmación de Juan?

Si en realidad en promedio los asistentes a la fiesta dieron 80 pesos, ¿qué cantidad de dinero dio cada uno? Consideren lo que aportaron Juan y Pedro.

Considerando la respuesta anterior. Si a la fiesta llega un integrante más, Raúl, y éste no aporta nada, ¿el promedio sigue siendo el mismo? ¿por qué?

En el periódico se afirma que en promedio cada familia mexicana tiene 2.3 hijos. ¿Qué significa este número en términos de los hijos de las familias mexicanas?

GRUPO:

“D” “H”

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS Del problema 1, se espera que los alumnos puedan identificar varias de las propiedades de la media. Para la primera pregunta se espera que los alumnos concluyan que el promedio no puede ser 100 pesos, pues la aportación mínima es 70 pesos y la máxima es 90 pesos y por ello el promedio tiene que estar entre estos valores por ser los extremos de los datos que se tienen, esto permite identificar una las propiedades de la media. La segunda pregunta tiene muchas respuestas, los alumnos tienen que determinar ocho cantidades, que junto a los 70 y 90 pesos de Pedro y Juan, resulte un promedio de 80 pesos, aquí la reflexión importante es que las sumas de las desviaciones respecto a la media tiene que ser cero, así al ir determinando las cantidades hay que controlar esta condición, por ejemplo, si una cantidad es cinco pesos mayor al promedio, otra puede ser cinco pesos menor al promedio. Esta es otra propiedad de la media. Una posible respuesta es la siguiente: 70, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 80, 90 Se puede observar que el promedio de la cantidad menor (70 pesos) y la mayor (90 pesos) es de 80 pesos, por lo que es posible que los alumnos mantengan el mismo valor (80 pesos) para los demás asistentes. Si esto ocurre puede plantearse la siguiente pregunta: ¿necesariamente el promedio tiene que ser alguno de los valores promediados? La finalidad es que infieran que no necesariamente esto debe ocurrir, algunos ejemplos que respaldan lo anterior son los siguientes: 70, 72, 73, 75, 78, 88, 87, 85, 82, 90 y 70, 75, 75, 75, 75, 75, 89, 88, 88, 90; en donde se puede observar que ningún valor corresponde a la media. De la pregunta 3, la propiedad que se espera que identifiquen los alumnos es que al aumentar un valor, el promedio se modifica aunque el valor adicional sea cero. La suma de todos los valores es la misma, pero ahora se divide entre 11 y no entre 10, por lo tanto el promedio cambia. Del segundo problema, se espera que los alumnos interpreten la media de 2.3 como un valor representativo de todo el conjunto de datos, sin embargo, no tiene contraparte en la realidad física, es decir, ninguna familia tiene 2.3 hijos. Una situación que permite constatar esta propiedad es obteniendo el promedio de hijos en las familias del grupo, ya que es muy probable que se obtenga un número decimal. Además, puede servir para verificar otras propiedades estudiadas.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la Información Análisis y Representación de Datos

8.3.8 Análisis de propiedades de la media y mediana.

SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

En equipo resuelvan el siguiente problema. En una sucursal de minisúper hay siete empleados que se han quejado con la gerencia asegurando que el salario semanal es de $900.00. La gerencia responde que el salario correcto es de $1313.63 semanal. La siguiente tabla contiene los salarios semanales de todos los empleados. CARGO

NÚMERO DE EMPLEADOS

SALARIO

“D” “H”

Gerente

$3,500.00

Subgerente

$2,600.00

Cajero

$1,500.00

Abarrotero

$950.00

Auxiliar de venta

$900.00

Mantenimiento

$800.00

¿Qué medida utilizaron los empleados para manifestar su inconformidad? ______________ ¿Por qué? ____________________________________ _______________________________________________________________

¿Qué medida utilizó la gerencia para contestar a los empleados? ________________ ¿Por qué? ____________________________________ _________________________________________________________________

¿Cuál de las dos medidas es más representativa del salario de todos los empleados de la tienda? ______________ ¿Por qué? _____________________ _________________________________________________________________

Para cumplir con la intención didáctica de este plan es necesario que los alumnos resuelvan la consigna y que el profesor proponga las actividades señaladas más adelante. En relación con la consigna se espera que los estudiantes identifiquen que los empleados utilizaron la mediana ($900) y la gerencia el promedio ($1313.63) y que concluyan que la primera refleja mejor el salario de los empleados de la tienda. El siguiente trabajo se sugiere realizarlo en plenaria: A partir de los salarios ordenados e identificada la mediana (se pueden escribir en el pizarrón), plantear y discutir las siguientes preguntas: 800, 800, 800, 800, 900, 900, 900, 950, 1500, 2600, 3500. mediana ¿La mediana puede ser un valor menor a 800 o mayor a 3500, es decir, puede estar fuera de los valores extremos?  ¿Cuántos valores son mayores o iguales que la mediana y cuántos son menores o iguales?  Si el salario del gerente estuviera equivocado y en lugar de $3500, fuera de $5400, ¿el valor de la mediana se modificaría? La finalidad de estas preguntas es que los estudiantes identifiquen las siguientes propiedades de la mediana: 1. La mediana se localiza entre los valores extremos. 2. Dado que el número de datos es impar, la mediana es uno de los datos de la lista y sin considerarla, la mitad son iguales o mayores que la mediana y la otra mitad son iguales o menores. 3. La mediana no se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños. Un problema adicional que se sugiere plantear es el siguiente: Alberto vive en una ciudad y su maestra le ha dejado realizar una encuesta a 30 personas sobre la cantidad de focos que tienen en casa. La siguiente lista son las respuestas que obtuvo. 4, 50, 4, 6, 30, 6, 14, 8, 38, 9, 10, 33, 7, 42, 11, 9, 4,12, 10, 20, 7, 13, 25, 38, 19, 5, 40, 45, 5, 4. Con base en la información que reunió Alberto, ¿qué medida describe mejor la cantidad de focos que tienen las personas entrevistadas, la media o la mediana? ¿Por qué? El profesor puede plantear preguntas semejantes que en el problema anterior para verificar las propiedades identificadas, subrayando las diferencias entre los dos, aquel tenía un número de datos impar y en éste es par.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud



RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

82 ESC. SEC. GRAL. SEC. GRAL. N° 3 “VALENTÍN GÓMEZ FARÍAS” C.C.T. 28 DES0044T ZONA N° 7 DE CD. MADERO. PLANEACIÓN DE MATEMÁTICAS PROFESOR

SEGUNDO GRADO

BLOQUE IV

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D”, “H”

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados

Comunicar información matemática Manejar técnicas eficientemente APRENDIZAJES ESPERADOS

   

Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d, donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas. Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.

EJE

TEMA

CONTENIDO



Sentido numérico y pensamiento algebraico

Patrones y Ecuaciones

EJE

TEMA

Forma espacio y medida

Medida

Proporcionalidad y funciones



CONTENIDO



Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones.



Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano. Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

 

Manejo de la información Análisis y Representación de Datos

Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.



Resolución de situaciones de medias ponderadas.

PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

La siguiente expresión algebraica: ( 2 n  30) , es la regla general de una sucesión, en la que n representa el número de posición de un término cualquiera de la sucesión. a)

Encuentren los primeros cinco términos de la sucesión.

b) Encuentren los términos de la sucesión que ocupan los lugares 20, 30, 40, 50, respectivamente. c)

Determinen si el número 85 pertenece o no a esta sucesión.

En equipo, realicen lo que se indica a continuación: A partir de la sucesión: -3, -6, -9, -12, -15, … a) ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 20? b) ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 150? c) ¿Cuál es la regla general de la sucesión? d) ¿Cuál es el número que se localiza en la posición 528?

actividad anterior para que todos los alumnos tengan claro el significado de “una regla general que genera una sucesión de números”, al darle valores a n, empezando con el uno que es la primera posición. En el inciso c no es suficiente con que los alumnos digan sí o no, es muy importante que justifiquen por qué sí o por qué no pertenece a la sucesión el número 85. Una vez que se haya discutido ampliamente este caso, se les pedirá que resuelvan las mismas cuestiones para las siguientes reglas generales: n  10.5,  2n  3,  3n  5 Es probable que para encontrar el número que se localiza en la posición número 20 los alumnos no sientan la necesidad de usar la regla general, pero sí para la posición 150. Durante la confrontación hay que ver si los resultados coinciden y analizar los procedimientos que se utilizaron. La pregunta del inciso c es directa sobre la regla general, si hay propuestas diferentes hay que probarlas y ver si funcionan. La pregunta del inciso d es para que todos prueben la o las reglas que se ve que funcionan. Una vez que los alumnos hayan resuelto el caso anterior se les puede sugerir que construyan una tabla como la siguiente para que puedan analizar la sucesión. Posición del término de la sucesión Sucesión 1 -3 2 -6 3 -9 4 -12 5 -15 . n Una vez que tengan esta tabla conviene plantearles la siguiente pregunta: ¿Qué operación u operaciones se deben efectuar con el número de la posición del término de la sucesión (n) para obtener el término correspondiente de la sucesión? Con esta pregunta se pretende que los alumnos: 1. Reconozcan el patrón que sigue la sucesión; es decir, la relación entre el lugar que ocupa un término y el término mismo. 2. Deducir la regla general distinguiendo entre lo que varía y lo que permanece constante. En este caso, darse cuenta de que los números de la sucesión, se obtienen multiplicando el número -3 (lo que no varía) por el lugar que ocupa en la lista (lo que varía). 3. De este modo se espera que los alumnos lleguen a la conclusión de que la regla

 3n

general de la sucesión planteada es: Después del análisis anterior hay que proponer a los alumnos que encuentren la regla general de las siguientes sucesiones: a) -30, -60, -90, -120, … b) -5, -10, -15, -20, … c) -2, -1, 0, +1, +2, …

Ejercicios de consignas Participación Actitud

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PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN Organizados en equipos, obtengan la regla general que corresponde a cada Una vez que la mayoría de los equipos haya terminado, conviene Ejercicios de una de las siguientes sucesiones: analizar con detenimiento la regla o reglas generadas en cada consignas a) 0, -2, -4, -6, -8, … sucesión y probarlas para que todos los alumnos estén seguros de Participación b) 0, -3, -6, -9, -12, … que funcionan. Si es necesario, hay que insistir en la conveniencia Actitud c) +1, -1, -3, -5, -7, … de utilizar tablas de dos columnas, para apreciar con mayor claridad d) 0, -30, -60, -90, -120, … la relación entre los números que indican la posición y sus 0, -20, -40. -60, -80, … correspondientes números de la sucesión. CONTENIDO

Las reglas generales de las sucesiones anteriores son las siguientes: a) -2n+2 b)  3n  3 c)  2n  3

d)  30n  30 e)  20n  20

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

La siguiente balanza está en equilibrio. 1. ¿Cuáles de las siguientes acciones la mantendrían en equilibrio? a) b) c) d) e) f)

Pasar 3 kg del platillo izquierdo al platillo derecho. Añadir 4 kg a cada platillo. Quitar 5 kg a cada platillo. Pasar un bote del platillo derecho al platillo izquierdo. Quitar dos botes del platillo izquierdo y un bote del derecho. Quitar un bote de cada platillo. 3 kg 5 kg 3 kg

5 kg

todo si éstas son diferentes. Para encontrar el peso de un bote es probable que se utilicen diversos razonamientos y vale la pena que se expliciten. Para concluir esta primera parte se explicará a los alumnos que la situación de la balanza puede expresarse simbólicamente mediante la siguiente igualdad o ecuación: 2b+5k+3k=b+5k+5k+3k, se les recuerda que lo que está a la izquierda es el primer miembro y lo que está a la derecha es el segundo miembro. Después se les plantean las siguientes preguntas: a) ¿Cómo queda la igualdad si se suman los kilos en ambos miembros? b) ¿Cómo queda la igualdad si se quitan 8 kilos en cada miembro? c) ¿Cómo queda la igualdad si se quitan 8 kilos y un bote en cada miembro?

5 kg Al responder estas preguntas se espera que los alumnos verifiquen que el peso de un bote es igual a 5kg. Después de esta actividad se plantea el siguiente problema y se discuten los resultados. Los ladrillos de esta balanza en equilibrio pesan todos lo mismo. Escriban en símbolos esta situación; luego averigüen cuánto pesa un ladrillo.

2. Averigüen cuánto pesa un bote. 5 kg

22 kg

Ejercicios de consignas Participacion Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

GRUPO:

“D” “H”

8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN En equipos, analicen la siguiente situación y encuentren el valor de x. Esta situación tiene un nivel de abstracción mayor que la de la sesión anterior, puesto que ya no hay objetos, sólo Ejercicios de números y letras. Con ayuda de la representación gráfica consignas x x x x x hay que pedir que los alumnos expliquen cómo se pasa de Participación Actitud x x x x x x una ecuación a otra hasta llegar a x=5, que es la solución de la ecuación. Conviene explicar que se trata de la misma ecuación pero cada vez más simplificada. Después de analizar esta parte se planteará resolver las siguientes ecuaciones: Ecuación: 4x+3= 2x+5 3x+1=x+5 x+10=5x+2 7 x  1  4 x  16 CONTENIDO

RECURSOS DIDÁCTICOS

x x x x x x x

Calculadora Cuaderno

x x x

Ecuación:

6 x  3x  15

PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ex + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN La dificultad principal de este problema consiste en establecer el perímetro Integrados en equipos resuelvan el siguiente problema: de cada figura con los datos que se tienen y luego relacionar dichos Ejercicios de Considerando que las siguientes figuras tienen igual perímetro, ¿cuál perímetros mediante una igualdad. Es importante orientarlos para que consignas es el valor de x? tomen en cuenta estas dos fases en el procedimiento. Es probable que aún CONTENIDO

6 x

Integrados en equipos resuelvan el siguiente problema: Un avión que vuela a una velocidad de 1 040 kilómetros por hora, va a alcanzar a otro que lleva una delantera de 5 horas y está volando a 640 kilómetros por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar al segundo?

considerando estas dos fases surjan ecuaciones escritas de manera distinta, en cuyo caso hay que preguntar si son la misma ecuación y pedir que den argumentos que lo muestren. Después de analizar con detenimiento el problema anterior se planteará el siguiente: Por su asistencia y puntualidad, dos empleadas de una fábrica textil recibieron como estímulo vales de despensa y dinero en efectivo. A Sandra le dieron 8 vales y $60.00 en efectivo; a Bertha le entregaron seis vales más $160.00. Si los vales son de la misma denominación y ambas reciben la misma cantidad de dinero, ¿qué valor tiene cada vale y cuál fue el monto total del estímulo que recibió cada una? Es probable que la mayoría de los equipos no utilicen una ecuación para resolver este problema y es válido que así lo hagan, sin embargo, vale la pena proponer, como un procedimiento más, la formulación de una ecuación que requiere el uso de paréntesis. Para ello se puede ayudar a los alumnos a reflexionar en lo siguiente: en el momento en que el primer avión alcance al segundo las distancias recorridas van a ser iguales, por lo tanto se puede formular una ecuación que exprese la igualdad de las distancias recorridas. Dado que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo, para el primer avión es 1040t y para el segundo es 640(t+5), entonces la ecuación es: 1040t=640(t+5). A partir de aquí habrá que explicar cómo se quita el paréntesis. Para consolidar la resolución de este tipo de ecuaciones, se pueden proponer ejercicios como los siguientes:

3( x  4)  5 x  36,

5( r  6)  5( r  4),

Participación Actitud

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9( z  6)  4( z  4)

PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN Integrados en equipos resuelvan el siguiente problema: Si después de unos minutos los alumnos no encuentran una forma para resolver el problema, se les apoyará para que Ejercicios de consignas La edad actual de José es 3/8 de la de su hermano, y dentro de 4 representen los datos como sigue: Participación años tendrá 1/2 de la que entonces tenga su hermano. ¿Cuál es a Hermano de José José Actitud edad actual del hermano? CONTENIDO

Edad actual Dentro de 4 años

x x+4

3/8x 3/8x + 4

Según el problema dentro de 4 años la mitad de la edad del hermano de José será igual a la que tenga José, entonces la ecuación es: 1/2(x + 4) = 3/8x + 4. Esta ecuación agrega, a las de la sesión anterior, el hecho de que se trata de coeficientes fraccionarios, de manera que es una oportunidad para que los alumnos usen este conocimiento. Para consolidar la resolución de este tipo de ecuaciones, se puede proponer ejercicios como los siguientes:

2 4 3 2 2 3 ( y  )  ( y  ), 3 5 6 3 4 5

x x 2 , 3 9

5 3 x  6 x 2 2

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PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

O CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Forma Espacio y Medida Medida

90,0°° 90,0

8.4.3 Caracterización de ángulos inscritosOy centrales en un círculo y análisis de sus relaciones. O

SESIONES

O O O CONSIDERACIONES PREVIAS O ACTIVIDADES Con base en las figuras que se muestran a continuación, contesten las preguntas que Es necesario que una vez concluida la aparecen después. Trabajen en parejas. 90,0 ° realice la puesta en común para comparar 90,0 ° A) B) C) D) E) O

1. ¿Qué ángulos tienen su vértice en el centro del círculo?_______________________ 2. ¿Cuáles son los ángulos cuyo vértice se encuentra en la circunferencia?__________

Completen las siguientes expresiones utilizando las palabras del recuadro. O Centro,

vértice,

radios, O circunferencia,

Central,

“D” “H”

inscrito, cuerdas

a) Los lados de los ángulos de los círculos A y D están formados por dos _______________________________________ b) Los lados de los ángulos que se muestran en las figuras OB , C O y E, están formados por dos _______________________ c) Cuando su vértice se encuentra en el ______________de la circunferencia recibe el nombre de ángulo _____________. d) Si su __________________ se encuentra en algún punto de la ____________________ se trata de un ángulo ___________________. 2. Organizados en tríos, comenten y contesten las siguientes preguntas. a) ¿En cuál figura el diámetro forma parte del ángulo? _______ b) ¿Habrá un ángulo que esté formado por dos diámetros? ____Justifiquen su respuesta __________________________ c) ¿El vértice del ángulo central podrá ubicarse en otro punto del círculo? _____Justifiquen su respuesta _______________

consigna dos se las respuestas de los estudiantes y consolidar los conceptos de ángulo inscrito y ángulo central; así como las diferencias entre ellos. Si fuese necesario se deberá establecer la diferencia entre círculo y circunferencia. Es importante reafirmar que el diámetro es la mayor de las 90,0 ° cuerdas del círculo, por lo que sí puede formar parte de un ángulo inscrito. Sin embargo, si son dos diámetros, se pueden dar los siguientes casos: que uno esté sobrepuesto con el otro, de manera que se formaría un ángulo de 0 grados, o bien, que dos diámetros se corten y por tanto formen cuatro ángulos centrales, donde los opuestos por el vértice son iguales.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Forma Espacio y Medida Medida

8.4.3 Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones.

ACTIVIDADES De manera individual traza 3 círculos, con radios de diferente medida y en cada uno de ellos traza un ángulo central y uno inscrito, de manera que sus lados coincidan en el mismo arco. Después, recorta de un círculo los ángulos que formaste y sobreponlos para compararlos. Haz lo mismo con los otros dos círculos. ¿Encuentras alguna relación entre sus medidas? _______ ¿Cuál? _________________________________________ Ahora, reúnete con otros dos compañeros, comenta tus observaciones y juntos elaboren una tabla con la medida de los ángulos centrales e inscritos que obtuvo cada uno. ALUMNO

Medida del ángulo central

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Medida del ángulo inscrito

“D” “H”

SESIONES

EVALUACIÓN

CONSIDERACIONES PREVIAS

Para la consigna 1 es necesario que los alumnos cuenten con hojas blancas, tijeras, transportador, compás, regla y colores. Se sugiere que tracen los círculos en una hoja blanca para que puedan recortarlos y comparar la medida del ángulo central e inscrito mediante la superposición. Los alumnos deberán detectar que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central, de no ser así, el maestro deberá animar a presentar sus conclusiones a aquellos alumnos que sí encontraron la relación. El conocimiento se concretará en la consigna dos al llenar la tabla. Es importante que en la puesta en común se concluya que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central cuando sus lados comprenden el mismo arco.

Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS A DIDÁCTICOS

Calculadora B

69,9 °

70,1 °

139,8 °

Cuaderno 69,9 °

139,8 ° O

140,2 ° 84,9 °

84,9 °

AOC De acuerdo con los resultados de la tabla, digan qué relación existe <ABC = 2 entre la medida del ángulo central y la medida del ángulo inscrito. B

140,2 ° C B

89,8 ° Para reforzar el estudio de este aspecto se sugiere trabajar O en Geometría dinámica. EMAT. México p.p.138-139 “ 179,8 °

89,7 °

A 89,8 °

89,7 °

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO 84,9 ° FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Forma Espacio y Medida 140,2 ° Medida

139,8 °

8.4.3 Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo yCanálisis de sus relaciones.

ACTIVIDADES De manera individual realiza lo que se indica. a) Traza cinco ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central AOC, como se muestra en la figura.

GRUPO:

b) Colorea los triángulos que se formaron A a partir de los diferentes trazos que realizaste. c) ¿Qué tipo de triángulos se formaron?_______________________ 89,7 °

“D” “H”

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Los alumnos trazarán ángulos inscritos que comprendan el mismo arco que el ángulo central AOC, de manera arbitraria B y se darán cuenta que en todos los casos se forman triángulos rectángulos. Si los alumnos no detectaran que son triángulos rectángulos, el maestro podrá recurrir al conocimiento generado en la clase anterior, en la que se concluyó que la medida del ángulo inscrito es la mitad del 89,8 ° ángulo central y al ser este de 180° entonces el ángulo O inscrito mide 90°, razón por la cual los triángulos que se 179,8 ° formaron son triángulos rectángulos.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

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PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

GRUPO:

“D” “H”

8.4.4 Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES En equipos, resuelvan la siguiente actividad. Los alumnos ya han manejado el plano cartesiano en otros cursos, es conveniente que se use la terminología A partir de la siguiente figura dibujada en el primer cuadrante del correspondiente; par ordenado, abscisa, ordenada, eje de plano cartesiano, construyan la figura simétrica A’B’C’D’ con respecto las abscisas, eje de las ordenadas, origen del plano al eje vertical. Posteriormente contesten lo que se pide. cartesiano, cuadrantes. Ordenad ay 5

-5 -4 -3 -21 -1 5 1

Ejercicios de consignas Participación Actitud

Si la actividad resulta fácil y el tiempo lo permite, conviene agregar las siguientes: A

4 3 2

EVALUACIÓN

D 1 2 3 Abscis 4 ax

2 a) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B, C y D? 3 b) ¿Cómo se llama a la - primera componente de cada par ordenado? 4 c) ¿Cómo se llama a5la segunda componente de cada par ordenado? d) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A’, B’, C’ y D’?

a) Si a la primera coordenada de cada vértice del cuadrado ABCD le sumamos dos unidades. ¿Qué transformación sufriría la figura? ¿Cuáles serían las nuevas coordenadas de los vértices? b) Si a la segunda coordenada de cada vértice del cuadrado ABCD le restamos cinco unidades. ¿Qué transformación sufriría la figura? ¿Cuáles serían las nuevas coordenadas de los vértices?

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PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

“D” “H”

8.4.4 Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES En equipos, resuelvan la siguiente actividad. Si los alumnos tienen dificultad para identificar las gráficas Con la finalidad de ahorrar agua, en cierta localidad únicamente hay suministro de este que representan una relación de proporcionalidad, una líquido 5 horas al día. Las siguientes gráficas representan la relación tiempo (horas) y la cantidad de agua (litros) que hay en la cisterna de una unidad habitacional en cuatro herramienta que ayuda es presentar algunos valores en tablas y analizar su comportamiento. días diferentes. Analícenlas y posteriormente contesten lo que se pide. Día 1

Día 2

Horas

Día 4

550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

Horas

Agua en la cisterna (litros)

550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

a) b) c) d)

Horas

Día 3

Ejercicios de consignas Participación Actitud

Es probable que los alumnos digan que la gráfica del día 1 representa una relación de proporcionalidad, ya que durante cada una de las cinco horas se recibió la misma cantidad de agua (50 litros por cada hora), en este caso hay que distinguir que las variables de las gráficas son tiempo de suministro y cantidad de agua en la cisterna y no cantidad de agua que se recibe. Un argumento en contra es que al doble de tiempo no le corresponde el doble de la cantidad de agua; en 1 hora hay 100 litros y en 2 hay 150.

550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

Agua en la cisterna (litros)

550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

EVALUACIÓN

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno 0

Horas

¿En qué días la cisterna tenía agua cuando inició el suministro? ¿En qué día salió el agua con más presión? ¿Cómo se manifiesta esto en la gráfica? ¿En qué día el suministro no fue constante durante las 5 horas? ¿En qué días la cantidad de agua en la cisterna es directamente proporcional al tiempo de suministro? ¿Qué características tienen las gráficas que representan una relación de proporcionalidad directa entre la cantidad de agua en la cisterna y el tiempo del servicio? Escriban las expresiones algebraicas de las relaciones que son de proporcionalidad. ¿En qué son diferentes? ¿Qué representan esas diferencias?

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

“D” “H”

Distancia (km)

8.4.4 Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES En equipos, analicen la siguiente gráfica que representa la relación Si los alumnos tuvieran dificultad para relacionar la velocidad entre tiempo y distancia recorrida en una caminata que realizó con la inclinación de la recta, se les podría solicitar que Ernesto. Posteriormente contesten lo que se pide. representen en el mismo plano cartesiano la recta resultante si Ernesto se hubiera desplazado 5 km por cada hora.

Tiempo (h)

b) c) d) e)

Si la velocidad de Ernesto hubiera sido mayor, ¿qué diferencia habría tenido la gráfica respecto a ésta? ¿Podría cortar la recta al eje vertical por un punto diferente al origen? ¿Por qué? Si la velocidad de Ernesto no hubiera sido constante, ¿cómo se reflejaría este hecho en la gráfica? ¿A qué velocidad se desplazó Ernesto? Registra en la siguiente tabla los valores que faltan:

Tiempo (h) Distancia (km) f)

Ejercicios de consignas Participación Actitud

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0

EVALUACIÓN

0.5

3 6

7.5

10.5

Si x es el tiempo y y la distancia recorrida, ¿qué expresión algebraica representa esta situación?

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

GRUPO:

“D” “H”

8.4.4 Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES De forma individual planteen una situación de proporcionalidad directa Es importante solicitar a los alumnos que cuando terminen y construyan la gráfica correspondiente. de elaborar su gráfica, verifiquen si cumple con todas las características de una gráfica que representa una relación de proporcionalidad.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

Si el tiempo lo permite, los alumnos podrían intercambiar su trabajo para: a) Verificar que sea una relación de proporcionalidad directa. b) Revisar que la gráfica corresponda con la situación planteada. c) Representar algebraicamente la situación. Algunos alumnos podrían presentar ante el grupo la interpretación y juicio del trabajo revisado. Otra variante es que cada alumno analice únicamente la gráfica de otro compañero e intente describir la situación y/o escriba la expresión algebraica que la representa.

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PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

“D” “H”

8.4.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN En equipo analicen la siguiente situación, luego realicen lo que se pide. Si es necesario, aclarar a los alumnos que la distancia de Una compañía de automóviles, al probar la distancia de frenado en uno de frenado corresponde al desplazamiento del automóvil Ejercicios de consignas sus nuevos modelos obtuvo los siguientes resultados: posterior a la acción de frenar. CONTENIDO

Velocidad ( km/h) Distancia de frenado (m)

20 2

40 4

60 6

80 8

100 10

¿A qué velocidad debe ir el automóvil para que la distancia de frenado sea menor a 2 metros? b) ¿Cuál es la distancia de frenado que se necesita para una velocidad de 125 km/h? Escriban una expresión algebraica que permita obtener la velocidad del automóvil, en función de la distancia de frenado. Organizados en equipos analicen el siguiente experimento, luego realicen lo que se pide. De un resorte de 13 centímetros de longitud, se han suspendido varios pesos y se han medido las respectivas longitudes del resorte, registrándose en la siguiente tabla:

Peso (kg) Longitud del resorte (cm)

a) b) c)

0 13

1 15

2 17

3 19

3.5 20

¿De qué depende la longitud del resorte? ¿Cuál es la elongación del resorte por cada kilogramo de peso? Encuentren una expresión algebraica que modele esta situación.

Es importante hacer notar a los alumnos que la expresión algebraica que se obtiene en el inciso c, es del tipo y = ax, que es un caso particular de la forma general y = ax+ b con b= 0.

Hay que aclarar que la elongación se refiere al alargamiento del resorte, independientemente de su longitud original. Es importante que el maestro propicie una reflexión respecto al significado de los términos de la expresión algebraica en el contexto de la situación planteada. Por ejemplo, si la expresión obtenida fuera y = 2x + 13, el coeficiente de x (2), representa la elongación del resorte por cada kilogramo de peso; mientras que y representa la longitud total del resorte, etc.

Participación Actitud

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

GRUPO:

“D” “H”

8.4.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b. FECHA SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES EVALUACIÓN Organizados en equipos analicen la siguiente situación, luego En el caso del inciso b, es probable que algunos equipos Ejercicios de contesten lo que se pregunta. lleguen a diferentes expresiones equivalentes tales como: consignas y  500  5 x , y  5 x  500 , y  500  5( x ) , Participación Una compañía arrendadora de autos ofrece la siguiente tarifa: una Actitud y  500  5  x cuota fija de $500.00, más $5.00 por cada kilómetro recorrido. CONTENIDO

a) ¿Cuánto habría que pagar si se recorren 800 kilómetros? ¿Y si se recorren 1720 kilómetros? b) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular el costo para cualquier cantidad de kilómetros recorridos? c) Si una persona pagó $5 075.00, ¿cuántos kilómetros recorrió? Otra compañía arrendadora de autos ofrece la siguiente tarifa: $6.00 por kilómetro recorrido, sin cuota fija. Una persona quiere rentar un auto para hacer un viaje de 300 kilómetros. ¿Cuál de las dos tarifas le conviene? ¿Por qué?

Esto se puede aprovechar para reflexionar sobre las expresiones equivalentes. Es importante que en el inciso d los alumnos justifiquen las soluciones que encuentren y de ser posible que grafiquen las expresiones para que vean lo que sucede.

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la Información Análisis y Representación de Datos

8.4.6 Resolución de situaciones de medias ponderadas.

ACTIVIDADES En binas, resuelvan los siguientes problemas, pueden hacer uso de la calculadora. 1. En un elevador viajan siete personas cuyos pesos son: 70, 65, 75, 68, 72, 77 y 63 kilogramos. ¿Cuál es el peso promedio de las siete personas?__________ Argumenten su respuesta. _______________ 2. En un elevador viajan 10 personas, 6 hombres y 4 mujeres. La media del peso de los hombres es de 80 kg y la media del peso de las mujeres es de 60 kg. ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas? ______________ Argumenten su respuesta.____________________

“D” “H”

SESIONES

EVALUACIÓN

CONSIDERACIONES PREVIAS Los alumnos ya tienen conocimiento de la media aritmética como un valor "típico" o "representativo" de un conjunto de datos, saben que para calcular su valor suman los valores individuales y dividen el resultado entre el número de valores involucrados. La media aritmética o promedio simple es pertinente para resolver el primer problema, el cual es probable que resuelvan sin mucha dificultad. Para el segundo problema, es muy probable que los alumnos contesten que el peso medio de las 10 personas sea 70 kg, resultado de promediar los pesos medios de hombres y mujeres, 80 y 60 kg, sin tomar en cuenta que cada uno de los valores involucrados tiene cierta ponderación; esto no es tan fácil de comprender por los alumnos, quienes invariablemente eligen el promedio simple como la mejor medida de tendencia central representativa de los datos, sin tener en cuenta que a veces la contribución de cada valor al promedio es diferente, como en este caso. En el segundo problema, se aplica una ponderación del 60% para el valor de 80 kg y una ponderación de 40% para los 60 kg. Si los alumnos advierten esta diferencia es muy probable y deseable que realicen el siguiente procedimiento:

80+80+80+80+80+80+60+60+60+60 = 720= 72 10 10

En el cual se puede apreciar que el valor de 80 kg contribuye con 6/10 al promedio y 60 kg con 4/10. A partir de esta expresión, se les puede solicitar a los alumnos otras equivalentes pero más simples, algunas alternativas son las siguientes:

Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

x 80 +

x 60 =

= 48 + 24= 72

.60 (80)+.40 (60) = 48+24 = .60+.40 1

= 48 + 24 = 72

d) (0.6 x 80) + (0.4 x 60) = 48 + 24 = 72 Así, la respuesta al problema es 72 kg. Al realizar la puesta en común, se sugiere caracterizar y diferenciar el promedio simple y la media ponderada, así como las formas de cálculo.

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la Información Análisis y Representación de Datos

8.4.6 Resolución de situaciones de medias ponderadas.

ACTIVIDADES En parejas, resuelvan los siguientes problemas. Pueden auxiliarse de una calculadora. 1. En un elevador viajan 12 personas, 3 hombres y 9 mujeres. La media del peso de los hombres es de 74 kg y la media del peso de las mujeres es de 66 kg. ¿Cuál es el peso medio de las 15 personas? _____________ 2. El maestro de matemáticas informa a sus alumnos que para la evaluación final del bimestre tomará en cuenta los siguientes aspectos: examen individual, examen en equipo, participación individual, trabajo en equipo y cuaderno. Jorge obtiene un promedio de 8 en el examen individual y el cuaderno, y un promedio de 7 en los aspectos restantes. El maestro le anota en el registro de calificaciones un promedio general de 7.4, que al redondearlo se transforma en 7, a lo que Jorge le reclama ya que considera que su promedio general es de 7.5 y al redondearlo finalmente se obtiene 8. ¿Quién de los dos tiene la razón?_________________ ¿Por qué? ______________________________

“D” “H”

SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS

En este plan, la expectativa es que los estudiantes identifiquen claramente que se trata de resolver problemas de media ponderada y no de promedios simples. Se sugiere analizar detalladamente las expresiones utilizadas para realizar los cálculos e identificar su relación. Para el caso del primer problema, algunas expresiones equivalentes que permiten obtener la media ponderada son las siguientes: 74+74+74+66+66+66+66+66+66+66+66+66 = 816= 68 12 12 74+74+74+66+66+66+66+66+66+66+66+66 = 816= 68 12 12 74(3)+66(9) = 816= 68 3+9 12 74(0.25)+66(0.75) =18.5 + 49.5 = 68 Cualquiera que sea la expresión utilizada es importante que los estudiantes describan su significado. Para el segundo problema podrán emplear la siguiente: 8(0.4)+7(0.6) =3.2 + 4.2 = 7.4 Debido a que dos de las cinco evaluaciones (40%), les corresponde un promedio de 8 y a tres de cinco (60%), les corresponde un promedio de 7.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

100

SEGUNDO GRADO

101

BLOQUE V

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D”, “H”

COMPETENCIAS Resolver problemas de manera autónoma Validar procedimientos y resultados

Comunicar información matemática Manejar técnicas eficientemente

APRENDIZAJES ESPERADOS    

Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las propiedades de la figura original que se conservan. Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo, como: ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares. Explica la relación que existe entre la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.

EJE

TEMA 

Sentido numérico y pensamiento algebraico



Patrones y Ecuaciones

CONTENIDO

Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

EJE

TEMA

Figuras y Cuerpos

CONTENIDO 

Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Forma espacio y medida

102 Medida



Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

Proporcionalidad y funciones

 

Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos. Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.

Nociones de Probabilidad



Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

Manejo de la información

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). ACTIVIDADES

Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas: 1. Una bolsa contiene en total 21 frutas, de las cuales algunas son peras y otras son duraznos. ¿Cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa? Si la cantidad de peras que hay en la bolsa es 11 unidades más que la cantidad de duraznos, ¿cuántas peras y cuántos duraznos hay en la bolsa?

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Seguramente en el primer problema los alumnos encontrarán, sin mucha dificultad, varias soluciones diferentes que sean correctas, pero, hay dos preguntas adicionales que pueden favorecer la reflexión y discusión. La primera pregunta es: ¿cuántas soluciones diferentes, que sean correctas, puede haber? La segunda pregunta: ¿Cómo se podría expresar la solución, de manera que incluya a todas las respuestas correctas? La primera pregunta lleva a los alumnos a buscar pares de números naturales que sumen 21, mientras que la segunda los lleva a buscar una expresión del tipo x + y = 21, en la que x y y representen, respectivamente la cantidad de duraznos o de peras. Finalmente hay que pedirles que representen gráficamente esta ecuación. Se supone que esto es algo que ya saben hacer. En contraste con el primer problema, en el segundo la solución es única. Dado que los alumnos no saben usar las ecuaciones simultáneas, se espera que encuentren la solución con procedimientos aritméticos. Es muy importante que se analicen los resultados y procedimientos encontrados, antes de decirles que con la información que ofrece este problema se pueden formular dos ecuaciones, a diferencia del primero, en el que sólo se pudo formular una ecuación. Si es necesario, hay que ayudar a los alumnos a formular la segunda ecuación y pedir que la representen gráficamente en el mismo plano donde representaron la ecuación del primer problema. Finalmente hay que hacerles notar que las coordenadas del punto donde se cruzan las dos rectas son la solución del problema.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

103

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

Reunidos en equipos, resuelvan el siguiente problema:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Con base en el trabajo realizado en la sesión anterior, en ésta hay que centrar la reflexión de los alumnos directamente en la formulación de las ecuaciones. Hay que ayudarlos a identificar los datos que se quieren conocer y representarlos con literales. A partir de aquí, hay que animarlos a que formulen una ecuación y luego la otra. Conviene que una vez más se apoyen en el método gráfico para encontrar la solución.

Alejandra y Erica fueron al cine y compraron dos helados sencillos de chocolate y un refresco en vaso grande por $ 35.00. Si se sabe que el precio del refresco en vaso grande vale la mitad del precio de un helado sencillo de chocolate, ¿cuál es el precio de un helado de Una vez que la solución se analice y se compruebe que cumple con las chocolate y cuál el de un refresco en vaso grande? condiciones del problema, hay que explicar un segundo método para

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

resolver el sistema de ecuaciones. Dado que muy probablemente la segunda ecuación quede formulada así x = 2y, o así,

x y 2

el método

que más se presta es el de sustitución. Como parte de la explicación hay que decir que un paso importante de este método consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación. Para que los alumnos ejerciten conviene plantear un problema más y algunos sistemas fuera de contexto.

RECURSOS DIDÁCTICOS

Problema: En la cooperativa escolar se vendieron 296 refrescos en total. Si los refrescos chicos vendidos fueron el triple de los medianos. ¿Cuántos se vendieron de cada uno? Sistemas fuera de contexto:

Calculadora Cuaderno

2 x  y  14 x  y 1 2 x  y  15 x  2y

2 x  2 y  160 x  3y

104

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones 8.5.1 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución).

FECHA

SESIONES ACTIVIDADES

Organizados en equipos, planteen el sistema de ecuaciones con el que se puede resolver el siguiente problema. Encontrar dos números tales que, el triple del primero más el segundo es igual a 820. El doble del primero menos el segundo es igual 340.

CONSIDERACIONES PREVIAS Es importante centrar la reflexión de los alumnos primero en la formulación de las ecuaciones que, en este caso, se espera que no haya dificultad. Hay que verificar, en cada equipo, que el sistema de ecuaciones esté correctamente planteado; en este caso el sistema es: 3x + y = 820 2x – y = 340 Es probable que los alumnos despejen una de las incógnitas para resolverlo por el método de sustitución, dado que en este momento los alumnos ya tienen los conocimientos sobre este proceso de simplificación algebraica.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

En la puesta en común el profesor debe revisar los diferentes procedimientos usados por los alumnos y cuestionarlos sobre el más adecuado para encontrar la solución del sistema y seguidamente su comprobación. Después de esto, hay que explicarles que ante un sistema como éste, en el que una de las incógnitas (y) tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, lo que conviene es sumar o restar término a término para que quede una sola ecuación con una incógnita, en este caso, 5x = 1160. A partir de aquí, se espera que los alumnos sepan encontrar los números que se buscan. Finalmente hay que decirles que este método se llama de suma o resta. Para consolidar el uso del método explicado se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos. 1. Resolver por el método de suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones. a) a + b = 135 a - b = 59 2.

b) 2m + 12n = -22 8m – 12n = 32

Resolver el siguiente problema:

Para el día del estudiante los alumnos del grupo A compraron hamburguesas y refrescos. Un equipo compró 5 hamburguesas y 3 refrescos y pagaron $285. Otro equipo compró, a los mismos precios, 2 hamburguesas y 3 refrescos y pagaron $150. ¿Cuánto les costó cada hamburguesa y cada refresco?

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

105

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

Organizados en equipos, planteen y resuelvan el sistema de ecuaciones que resuelve el siguiente problema. Diego y Claudia fueron a una tienda de discos compactos. Diego fue al departamento de discos de música y vio que todos estaban al mismo precio. Claudia fue al departamento de películas y vio que todas estaban al mismo precio. Diego pagó $240 por dos discos de música y una película; mientras que Claudia pagó $255 por un disco de música y dos películas. ¿Cuál es el precio unitario de cada mercancía?

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Primero hay que verificar que el sistema de ecuaciones esté correctamente planteado: 2x + y = 240 x + 2y = 255

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

En seguida se plantea la siguiente reflexión: Dado que en este caso tanto los coeficientes de x como los de y no son iguales, ¿qué se podría hacer para usar el método de suma o resta? Se espera que este cuestionamiento lleve a los alumnos a la necesidad de encontrar una ecuación equivalente a la primera o a la segunda, para igualar los coeficientes de alguna de las incógnitas. Si no surge de los alumnos, hay que explicarlo. Para consolidar este aprendizaje se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos. 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: a)

x  y  5 3 x  2 y  15

2a  b  9 a  2b  8

Resolver los siguientes problemas. a)

Por cinco boletos para un concierto de rock y tres boletos para un partido de fútbol se pagaron $720 y por dos boletos para el mismo concierto y seis para el mismo partido de fútbol se pagaron $480 ¿Cuál es el valor del boleto para cada uno de los eventos?

A un baile asistieron 270 personas. Si los boletos de caballero costaban $100 y los de dama $80 y se recaudaron $24 800 por todas las entradas, ¿cuántas mujeres y cuántos hombres asistieron al baile?

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

106

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

Organizados en equipos de tres resuelvan el siguiente problema:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Es muy probable que los alumnos tengan dificultades para plantear el sistema de ecuaciones que relaciona los datos del problema; por lo que si es necesario, hay que ayudarlos. Dicho sistema es el siguiente, si se considera que x es el precio de una blusa e y el precio de una falda:

Elena compró blusas y faldas, sabemos que el costo de dos blusas equivale a 300 pesos menos el costo de 3 faldas y por otra parte cada blusa cuesta veinticinco pesos más que cada falda ¿Cuánto cuesta cada 2x = 300 – 3y x = y + 25 prenda?

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

Una vez que todos estén de acuerdo en el sistema de ecuaciones y pedirles que lo resuelvan, es probable que los alumnos utilicen algún método que ya conocen, después de lo cual, hay que proponer el método de igualación como otra alternativa de solución. Conviene invitar a los alumnos a que planteen diferencias, ventajas y desventajas de este método con respecto a los otros. Para consolidar este aprendizaje se recomienda plantear ejercicios como los siguientes, o bien seleccionar los adecuados del libro de texto de los alumnos.

RECURSOS DIDÁCTICOS

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

10  y x 2 6 y x 2 m2n

m  4  3n

7b  4 a 8 3b  6 a 6

Calculadora Cuaderno

107

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

“D” “H”

FECHA

SESIONES ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en equipos, revisen los métodos de resolución de los problemas planteados y contesten las preguntas argumentando sus respuestas. Problema 1: La suma de dos números es 195. Si el doble del primer número menos el segundo es 60, ¿cuáles son esos números? Sistema: x + y = 195 2x – y = 60 Simplificación: x + y = 195 2x – y = 60 ----------------3x = 255 x = 255 / 3 x = 85 x + y = 195 85 + y = 195 y = 195 – 85 y = 110 a) ¿Por qué creen que se eligió este método para resolver el sistema? b) Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado. Problema 2. Dos hermanos ganan juntos $ 7,500.00 al mes. ¿Cuánto gana cada quien si uno de ellos percibe $1,800.00 más que el otro? Sistema: a + b = 7500 b = a + 1800 Simplificación: a + b = 7500 a + (a + 1800) = 7500 2a + 1800 = 7500 2a = 7500 – 1800 2a = 5700 a = 5700 / 2 a = 2850 b = a + 1800 b = 2850 + 1800 b = 4650 a) ¿Qué método se utilizó al resolver este sistema de ecuaciones? b) ¿Por qué creen que se eligió este método? Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado.

El maestro debe tener la certeza de que los alumnos trabajaron los métodos de sustitución, suma o resta e igualación en las clases anteriores de tal forma que puedan encontrar las ventajas de cada uno de ellos. En el momento de la confrontación, la discusión debe orientarse a reconocer las diferencias entre los métodos y la conveniencia de la selección de uno de ellos según como queda formulado el sistema, para esto el profesor puede resolver alguno de los sistemas por otro u otros métodos y analizar junto con los alumnos las dificultades que surgen por no seleccionar el método idóneo. Así mismo hay que dejar claro que el fin de los tres métodos estudiados, diferentes al método gráfico, es simplificar el sistema a una sola ecuación con una incógnita, lo que facilita la resolución. Es importante que el docente haga uso del lenguaje matemático al explicar (coeficiente, incógnita, sistema, ecuación, etc.) de tal forma que el alumno vaya apropiándose de él.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

108

PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

CONTENIDO FECHA

ACTIVIDADES

Venta Una sandía y cuatro melones; cobró $ 49.00 Una sandía y siete melones; cobró $ 73.00

Martes

“D” “H”

Problema 3: Un vendedor de frutas no recuerda el precio al que cobró las sandías y los melones; sólo sabe lo siguiente: Día Lunes

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

Conclusión La sandía cuesta 49 menos el precio de cuatro melones La sandía cuesta 73 menos el precio de siete melones.

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

Según lo establecido en la tabla ¿Cuál es el precio de cada una de las frutas? Sistema: s = 49 – 4m s = 73 – 7m 49 – 4m = 73 – 7m -4m + 7m = 73 – 49 3m = 24 m = 24 / 3 m=8 s + 4m = 49 s + 4(8) = 49 s + 32 = 49 s = 49 – 32 s = 17 a)

¿Qué método se utilizó al resolver este sistema de ecuaciones?

¿Por qué creen que se eligió este método?

Expliquen con sus palabras en qué consiste el método utilizado.

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

109

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

Organizados en equipos planteen un sistema de ecuaciones para cada uno de los problemas siguientes y resuélvanlos utilizando el método algebraico que consideren conveniente. 1. En la cooperativa escolar se vendieron 296 refrescos en total. Si los refrescos chicos vendidos fueron el triple de los medianos. ¿Cuántos se vendieron de cada uno? 2.

GRUPO:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS Probablemente los alumnos tengan dificultad para elegir el método más adecuado para la resolución y la idea es que lo resuelvan por el método de su preferencia. Se sugiere al profesor que aproveche la puesta en común para que los equipos argumenten el por qué eligieron ese método, de tal manera, que nuevamente los alumnos puedan valorar los distintos métodos utilizados. Además el profesor deberá propiciar que sean los mismos alumnos quienes validen los métodos más directos de acuerdo a los problemas planteados.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

La suma de dos números es 72 y su diferencia es 48. ¿Cuáles Para consolidar lo aprendido se pueden plantear problemas como los siguientes: son dichos números? a)

3. Patricia compró 10 estampillas de correos, unas de $3.00 y otras de $1.00. Si pago $18.00 en total, ¿cuantos pagó por cada una?

El perímetro del primer triangulo es 21 y el del segundo 23 ¿Cuánto valen “x” y “y”?

x+2

Al trabajar en un restaurante, Pedro ganó $37.00 más que Juan, pero si a lo que ganó Juan se le restan $23.00, la cantidad que se obtiene es $ 734.00. ¿Cuanto le corresponde a cada uno?

y-x

RECURSOS DIDÁCTICOS

2x x b)

En un rectángulo, el doble del largo menos el triple del ancho es 8 cm y el triple del largo más el doble del ancho es 25cm. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo? Dentro de cinco años, mi abuelito tendrá el cuádruplo de mi edad. Hace cinco años tenía siete veces mi edad. ¿Qué edad tenemos él y yo?

Calculadora Cuaderno

110

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

8.5.2 Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

En equipos, resuelvan algebraicamente el siguiente problema: Hallar dos números cuya suma sea 12 y su diferencia 2. Grafiquen en el Plano Cartesiano, las dos ecuaciones que utilizaron para resolver el problema anterior. Pero antes, contesten las siguientes preguntas. a) b) c)

“D” “H”

¿Cuáles son las coordenadas del punto donde se cruzarán las rectas que corresponden a las ecuaciones? ____________________ ¿Cómo lo averiguaron? ________________________________________________ Tracen las rectas y verifiquen que, efectivamente, se cruzan en el punto que ustedes anticiparon. y

Es probable que en la primera consigna los alumnos encuentren la respuesta del problema sin plantear las dos ecuaciones que lo modelan, en tal caso es necesario insistir en que se utilice el procedimiento algebraico, ya que las ecuaciones planteadas son necesarias para realizar la actividad de la consigna 2.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

En la consigna 2 que los alumnos contesten las dos primeras preguntas antes de graficar, que se anoten las respuestas en el pizarrón y después se verifique al trazar las rectas. Lo importante es que relacionen el punto de intersección con la solución del sistema.

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno x

111

PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

8.5.2 Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

CONTENIDO FECHA

SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en equipo, formulen el sistema de ecuaciones que permite resolver el siguiente problema y resuélvanlo gráficamente.

Lo que permite formular un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para resolver el problema, es el hecho de que tanto x como y tienen el mismo valor en ambas figuras. Si es necesario, hay que aclararlo.

Dos terrenos tienen las formas y dimensiones que se muestran en las figuras. Si el perímetro del terreno rectangular es de 60 metros y el del triangular de 100 metros, ¿Cuánto miden los lados de cada terreno?

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

Una vez que se obtengan gráficamente los valores de las incógnitas, es necesario que se verifique su validez sustituyéndolos en el sistema. También es importante que los resultados satisfagan las

3 x

condiciones del problema, es decir que las medidas de los lados del

rectángulo sumen 60 metros y las medidas de los lados del triángulo sumen 100 metros.

2 y

RECURSOS DIDÁCTICOS

Hay que estar atento cuando los alumnos construyan las gráficas, pues la solución del problema es x = 10, y = 20; tal vez algunos alumnos no utilicen la escala adecuada para observar la intersección de las rectas. Cada división de los ejes puede representar 5 unidades. Con la finalidad de consolidar el procedimiento estudiado, se sugiere resolver gráficamente algunos problemas de los planes del contenido 5.1

Calculadora Cuaderno

112

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico Patrones y Ecuaciones

“D” “H”

8.5.2 Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros. Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

En parejas utilicen el método gráfico para resolver el siguiente problema. Hallar dos números tales que, tres veces el segundo menos seis veces el primero, el resultado es nueve; al mismo tiempo que, doce veces el primero menos seis veces el segundo el resultado es dieciocho. Posteriormente contesten lo que se pide. y

Con respecto a la primera consigna, se espera que las gráficas obtenidas por los alumnos sean dos rectas paralelas y por consiguiente lleguen a la conclusión de que no existe un punto de intersección. Sin embargo, de acuerdo con la intención didáctica, hay que centrar la reflexión de los alumnos en el análisis de la pendiente y ordenada al origen, para concluir que cuando las pendientes son iguales las rectas son paralelas y, si no se cruzan, el sistema no tiene solución. A continuación se muestran las gráficas y las ecuaciones escritas en forma explícita:

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

y = 2x+3 y = 2x-3

a) b) c) d)

Escriban el sistema de ecuaciones con el que se resuelve el problema ___________________________________________________________________ ¿Qué características tienen las rectas que se generaron?_____________________ ___________________________________________________________________ ¿En qué punto se intersecan las rectas?___________________________________ ¿Cuál es la solución del problema?____________________ ¿Por qué?__________ ___________________________________________________________________

Resuelvan el siguiente problema también por el método gráfico. Pueden utilizar su cuaderno o el plano cartesiano que utilizaron en la consigna 1, modificando la escala de los ejes. Juan y María son esposos y trabajan en la misma fábrica, si juntan los salarios de ambos obtienen $250.00 al día. Juntaron el salario de los seis días en que trabajaron la semana pasada y lograron acumular $1,500.00. De acuerdo con la información que les presenta la gráfica determinen: a) ¿Cuál es el salario de cada uno de ellos?________________________________ ¿Es la única solución?_________ ¿por qué?______________________________

Con respecto a la segunda consigna, se espera que en esta situación los alumnos identifiquen que al graficar el sistema se obtiene dos rectas sobrepuestas, de manera que los puntos de coincidencia de éstas serán infinitos, por lo que el problema y el sistema tienen infinidad de soluciones. Es recomendable que el profesor propicie la observación y el análisis de las ecuaciones como se sugiere en la consigna anterior, haciendo notar que en este caso la pendiente y ordenada al origen es igual en ambas ecuaciones. A continuación se muestran las gráficas (sobrepuestas) de las dos rectas del sistema:

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

113

PROFESOR EJE TEMA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Forma Espacio y Medida Figuras y Cuerpos

CONTENIDO FECHA

“D” “H”

8.5.3 Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en equipo, realicen lo que se solicita. Completen las siguientes figuras de manera que la recta m sea eje de simetría de cada figura y contesten las preguntas. A

Los alumnos ya han realizado ejercicios en la primaria acerca de obtener la figura simétrica o de trazar todos los ejes de simetría de una figura dada, pero no se ha formalizado el concepto de que los lados de una figura conservan su longitud y su ángulo al trazar la figura simétrica. Es conveniente ir formalizando el lenguaje geométrico.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

m B

m m

a) ¿Qué figura se formará en el tercer dibujo? b) ¿A qué distancia de m estará el punto B’ en la primera figura? c) ¿Cuál va a ser la medida de los lados simétricos en cada figura? d) ¿Cuánto medirá el ángulo B’? e) ¿Cuál va a ser la medida de los ángulos O’ y P’ en la segunda figura? f) ¿Qué figura se formó en cada caso? g) Las figuras anteriores ¿tienen otros ejes de simetría, además de m? Trázalos. h) ¿Con qué otras figuras que tú conozcas sucede algo semejante?

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

114

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Forma Espacio y Medida Figuras y Cuerpos

“D” “H”

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Tracen la figura simétrica a la dibujada. Consideren la línea q como eje de simetría. Al terminar los trazos, respondan las preguntas. q

EVALUACIÓN

En los casos donde el eje de simetría es diagonal, se les hará reflexionar en la perpendicularidad de las líneas auxiliares y Ejercicios de consignas el eje de simetría, así como la medida de su longitud. Participación Actitud

q RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

a) Describe el procedimiento que seguiste para trazar las figuras anteriores. b) ¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto de la original?

115

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Forma Espacio y Medida Figuras y Cuerpos

8.5.4 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en parejas resuelvan el problema siguiente: Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esquinas exteriores de un corral de forma cuadrada, de 5 m de lado. El corral está rodeado por un campo de hierba. a) b)

“D” “H”

¿En qué área puede pastar la cabra? ¿Cuál es la longitud total del arco que describe el desplazamiento de la cabra cuando la cuerda está a su máxima longitud?

Un aspecto importante a considerar en el desarrollo de estos planes de clase es el hecho de que el alumno realice conjeturas y estimaciones con respecto a los problemas planteados, antes de aplicarse fórmulas y algoritmos establecidos. Para la resolución de este problema, se propone dar un tiempo máximo de 15 minutos; esto dependerá de las observaciones realizadas por el profesor al interior de los equipos y de las dificultades que surjan en la resolución.

Ejercicios de consignas Participación Actitud

Es importante propiciar en el alumno el análisis del proceso de resolución que siguió, para5lo cual se recomienda iniciar la puesta en común a partir de que surjan soluciones de dos o más parejas. Con base en los procedimientos utilizados por los alumnos, se sugiere favorecer la reflexión a partir de las siguientes preguntas: 

Si la cuerda que ata a la cabra, permanece tirante, ¿qué trayectoria describirá en su movimiento sobre la zona en que pasta, con respecto de la esquina donde se encuentra atada?



¿Tiene alguna relación la medida del ángulo del cuadrado con la circunferencia trazada por el movimiento de la cabra alrededor del poste?



¿Qué parte de la circunferencia comprende el sector circular, donde la cabra puede moverse libremente? (Es posible que el alumno conteste ¾ del círculo o la medida en grados del arco que corresponde a 270°); o bien, ¿qué parte de la circunferencia corresponde al sector en que la cabra no puede pastar?

cabra 3m

EVALUACIÓN



¿Cómo se obtiene la cuarta parte del área del circulo?; o bien, ¿cómo calculas las 3 cuartas partes del área circular?

Estas preguntas también pueden servir de orientación para la resolución del problema; esto en caso de que los alumnos no encuentren la forma de resolverlo. Si el problema es resuelto rápidamente por los alumnos, se pueden variar las condiciones: ¿Qué área de pastoreo tendrá la cabra si el corral tiene forma de hexágono regular de 5 m por lado y la cuerda atada al poste en uno de sus vértices es de 3 m de longitud? (Modificar el tamaño de la cuerda o cambiar el punto del corral en que la cabra está atada; por ejemplo en el centro de uno de los lados del corral).

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

116

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Forma Espacio y Medida Medida

8.5.4 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en parejas resuelvan los problemas siguientes: 1. A partir de los datos que se presentan en la figura, calcular la medida del <B, sabiendo que “O” es el centro de la circunferencia. Redacten el procedimiento que utilizaron para encontrarlo. PROCEDIMIENTO UTILIZADO: _________________________________ _________________________________ _________________________________ 2. Observen el diseño que se usará para el emblema del grupo de 3º, donde 0 es el centro del círculo. Si el ángulo que se señala en el dibujo, formado por las rectas 2 y 4, mide 100°, calculen la medida del ángulo formado por las rectas 1 y 3 (<A).

Un aspecto importante a considerar es el hecho de que el alumno realice conjeturas y estimaciones con respecto a los problemas planteados, antes de aplicar fórmulas y algoritmos. A manera de reafirmación de los contenidos manejados en el apartado 1.4 se pretende que el alumno reconozca las propiedades y relaciones del ángulo central con el ángulo inscrito, además de reconocer que la medida del ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto; asimismo, que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180°.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

Son variados los procedimientos de resolución, por lo tanto se recomienda dar un máximo de 15 minutos para que los alumnos resuelvan el problema 1 y a partir de éste se haga la puesta en común. Se recomienda estar atento en todo momento a la redacción y argumentación escrita por parte de ellos, de tal forma que se registren los contenidos relevantes que les permitieron resolver el problema. Si el tiempo lo permite, efectuar el mismo análisis con los problemas 2 y 3. De no ser así se puede continuar en la siguiente clase con la puesta en común y la discusión. A partir de las siguientes preguntas, podemos llevar al alumno a recordar los conceptos manejados anteriormente:  ¿Qué tipo de ángulo es el <BOC?  ¿Qué tipo de triángulo es BOC? ¿Por qué?  ¿Cuánto suman los ángulos internos de cualquier triángulo?

3. Tracen un segmento que mida 8 cm. Llamen “A” a uno de los extremos del segmento y “B” al otro. Tracen 10 rectas que pasen por el punto A. Tracen líneas perpendiculares a cada una de las 10 rectas, las cuales deben pasar por el punto B. Si unen los vértices de los ángulos rectos trazados ¿qué figura geométrica formarán? A

“D” “H”

Las preguntas anteriores llevarían al alumno a concluir que si el ángulo BOC es central está formado por dos radios; entonces el triángulo BOC es isósceles: si BOC mide 70° y <B = <C, entonces 2(<B) + 70° = 180°. Despejando se obtiene que <B = 55°. De igual manera se puede preguntar:  ¿Qué tipo de ángulo es <BAC? ¿Por qué?  ¿Cuál es la medida de <BCA? ¿Por qué? De aquí se desprende que si <BAC es ángulo inscrito mide (35°), es decir, la mitad del ángulo central, pues subtienden el mismo arco. Asimismo, el triángulo BCA es rectángulo en C por estar inscrito en una semicircunferencia (el segmento AB es diámetro). Entonces, 90° + 35° + <B = 180°; <B = 180° - 125°; por tanto: <B = 55°

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

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PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Forma Espacio y Medida Medida ACTIVIDADES

La siguiente figura corresponde a un juego de tiro al blanco. Los puntos O, A, B, C y D están alineados y O es el centro de todos los círculos. La distancia del punto O al punto A es de 20 cm y las distancias entre los demás puntos es de 10 cm. Con estos datos calculen:

b) c) d)

“D” “H”

8.5.4 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.

Organizados en parejas resuelvan el siguiente problema:

GRUPO:

El área del círculo central.___________ El área del sector B._______________ El área del sector C._______________ El área del sector D._______________

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Es probable que los alumnos no tengan problema para resolver el inciso a) aplicando la fórmula del área del círculo; sin embargo, es importante que el maestro observe los procedimientos empleados al resolver los demás incisos y detecte los casos en que los alumnos hayan recurrido a obtener la diferencia de los radios multiplicada por π: π (R2  r2) y confrontar ambos procedimientos para que los propios alumnos elijan la forma más directa de obtener el área de una corona circular.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

Si el tiempo lo permite, podría presentarles el siguiente problema, o bien, dejarlo de tarea: Has sido elegido para presenciar un eclipse solar por unos cuantos instantes; la circunferencia de la luna y la del sol compartirán el mismo centro. Por motivos astronómicos es necesario que calcules el área aparente de la corona solar. El departamento de astronomía de la UNAM te proporciona los siguientes datos:  Diámetro aparente del sol 5 000 km. Diámetro real de la luna 3 476 km.

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

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GRUPO:

Forma Espacio y Medida Medida

“D” “H”

8.5.4 Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona. ACTIVIDADES

Organizados en parejas y, si es posible, usando Cabri Géomètre, resuelvan el problema siguiente: Un perro está atado a una cadena que le permite un alcance máximo de 2m. Unida a una argolla que se desplaza en una barra en forma de ángulo recto cuyos lados miden 2m y 4m. ¿Cuál es el área de la región en la que puede desplazarse el perro?

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Es opcional para el profesor hacer uso de la tecnología que puede encontrarse en su escuela –en este caso el software de Cabri Géomètre y que favorece el hecho de que el alumno centre su atención en la resolución del problema y no tanto en la construcción de la figura (cuando esto último no es el propósito). El problema anterior implica que los estudiantes delimiten las regiones que recorre el perro (dos semicírculos, dos rectángulos, un cuadrado y la cuarta parte de un círculo).

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

En parejas, utilizando Cabri Geometre, propongan y resuelvan un problema que implique el cálculo de longitudes de arcos, áreas de sectores circulares o coronas. RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

119

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

“D” “H”

8.5.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema.

Comenten lo que cada una de las siguientes gráficas ofrece como información y contesten las preguntas en cada caso.

a) Consumo de gasolina de cierto automóvil en carretera.

b) Precio de pastel en una base de madera.

Litros

Precio ($)

150

30 15 60 90

Kilómetros

Al hacer la puesta en común, es importante que los alumnos verifiquen las respuestas con el apoyo de las gráficas e invitarlos a que formulen y contesten otras preguntas.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

Además de interpretar la información contenida en las gráficas, hay que pedir que se formule la expresión algebraica que representa cada situación, señalando la diferencia entre una relación de proporcionalidad y otra que no es de proporcionalidad.

RECURSOS DIDÁCTICOS

kilogramos 1. ¿Cuántos km recorre por litro? 2. ¿Cuántos litros requiere para recorrer 120 km?

1. ¿Cuánto cuesta un kg de pastel? 2. ¿Cuánto cuesta la base de madera?

Calculadora Cuaderno

120

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GRUPO:

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

“D” “H”

8.5.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos. ACTIVIDADES

Organizados en parejas, tracen en su cuaderno la gráfica que corresponda a la siguiente situación y respondan a las preguntas.

No todos los países utilizan la misma escala para medir la temperatura. En México se utilizan los grados Centígrados (°C); en el país vecino del Norte utilizan los grados Fahrenheit (°F). Cuando el termómetro de los grados Centígrados marca 0°, el de la escala Fahrenheit marca 32°; cuando éste último marca 0°, el de la escala Centígrada marca aproximadamente -18°. ¿Cuál es la gráfica que modela esta situación?

De acuerdo con la gráfica que trazaron:

SESIONES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Si los alumnos tienen dificultad para iniciar el trazo de la gráfica se puede sugerir que en cada eje representen una escala y que representen un grado en ambas escalas con un milímetro. Es muy probable que las respuestas a las preguntas a y b sean aproximadas, ya que las obtendrán a partir de la gráfica. Para la puesta en común sería conveniente tener a la mano un plano cartesiano (dibujado en el pizarrón, en una hoja bond para rotafolio, en perfocel o cualquier otro material) para que todo el grupo observe la construcción de la gráfica y participe de su lectura, haciendo referencia a las características de las gráficas lineales de la forma y=mx+b, priorizando las coordenadas del punto de intersección con el eje y.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

a) ¿Cuál es la temperatura en grados Centígrados cuando el termómetro marca 20°F?

RECURSOS DIDÁCTICOS

b) ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit cuando el termómetro marca 20°C?

Calculadora Cuaderno

c) ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima pronosticadas para el día de hoy en su comunidad? Escríbanlas en las escalas Centígrada y Fahrenheit.

121

PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

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GRUPO:

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

“D” “H”

8.5.6 Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en parejas grafiquen en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones. Posteriormente contesten lo que se pide. y = 2x+1

y = 2x -1

y = 2x + 3

y = 2x - 4

En caso necesario, hay que apoyar a los alumnos en la representación gráfica de las funciones: tabulación, representación de valores en los ejes, ubicación de puntos en y = 2x + 1/2 el plano, etc.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

Si los alumnos tienen dificultad para identificar el comportamiento de b en las gráficas, se les puede apoyar con otros cuestionamientos como los siguientes:  

¿Qué tienen en común todas las rectas y qué tienen en común todas las expresiones algebraicas? ¿Qué es lo que varía en las expresiones algebraicas? ¿En qué valor intersecan las rectas al eje vertical? RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

¿Qué relación hay entre las gráficas y las expresiones algebraicas? _________________________________________________________ _________________________________________________________

122

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GRUPO:

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

8.5.6 Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Dadas las gráficas siguientes, completen las funciones correspondientes. Trabajen en parejas.

A -

- - - - - - - - -

Para A: y = x ___ y = x ____

“D” “H”

Para B:

Ejercicios de consignas Participación Actitud

Si el profesor tiene la oportunidad de utilizar una calculadora graficadora, este es un recurso que permite apreciar de manera dinámica como cambian las rectas de posición cuando se modifica cualquiera de los parámetros.

B x

C RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

Para C: y = x ____

Si el tiempo lo permite, puede utilizarse el mismo plano cartesiano para representar funciones como y = x + 1, y = x – 8, y = x + 9, y = x – 6, y = x + 7/2, etc., observando únicamente los valores de b.

EVALUACIÓN

Para D y = x ___

¿Expliquen cómo determinaron los valores de b? ______________________________________________________________________________ ____________________________________

123

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GRUPO:

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

8.5.6 Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente. SESIONES

ACTIVIDADES

Organizados en equipos grafiquen en el mismo plano cartesiano las siguientes funciones. Posteriormente contesten lo que se pide.

y = x +20

“D” “H”

y = 2x + 20

y = 4x + 20

y = 5x + 20

y = 6x + 20

CONSIDERACIONES PREVIAS En caso necesario hay que apoyar a los alumnos en la representación gráfica de las funciones: tabulación, representación de valores en los ejes, ubicación de puntos en el plano, etc. Los alumnos, al graficar (dependiendo de las escalas que hayan elegido), encontrarán gráficas como las siguientes:

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Es conveniente aprovechar la ocasión para mencionar a los alumnos que las gráficas construidas constituyen una familia de rectas que pasan por un mismo punto. Una recta está determinada por dos valores (en este caso se habla de la pendiente y la ordenada al origen), cuando uno de esos valores varía mientras el otro se mantiene constante se dice que se tiene una familia de rectas.

¿Qué relación hay entre las gráficas y las expresiones algebraicas? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

En este caso, las rectas obtenidas son concurrentes. Tienen en común la ordenada al origen (20) y varía su pendiente (inclinación). Es recomendable que el maestro haga la observación de que el tipo de expresiones algebraicas como las trabajadas anteriormente, pertenecen a la forma general: y= mx + b, en donde m es la pendiente de la recta y b la ordenada al origen.

Calculadora Cuaderno

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GRUPO:

Manejo de la Información Proporcionalidad y Funciones

“D” “H”

8.5.6 Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente. SESIONES

ACTIVIDADES

CONSIDERACIONES PREVIAS

Organizados en equipos completen la siguiente tabla, para el caso de la R5 obtengan los datos de su gráfica. Posteriormente grafiquen en el mismo plano las funciones faltantes y contesten lo que se pide.

En caso necesario, apoyar a los alumnos en la representación gráfica de las funciones: tabulación, representación de valores en los ejes, ubicación de puntos en el plano, etc.

Gráfica

Función

y=x+2

Pendiente

Y = –x + 2

Y = 2x + 2

y = –3x + 2

Ordenada al origen

R5 y

8 7 6 5

4 3 2 1

-12 -11 -10 -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

10 11 12 13

-1 -2

En el caso de la expresión algebraica faltante (R5), los alumnos intentarán probando diferentes expresiones y sustituyendo algunos valores conocidos de “x” e “y” para ver si se ajustan a ellas. Otros más observarán que en todos los casos la ordenada al origen es la misma y por lo tanto sólo queda determinar la pendiente, la cual se puede obtener observando que por cada unidad aumentada en “x” los valores de “y” sólo se incrementan ½ unidad, así que la expresión buscada es y = ½x + 2. Una forma más que pudieran usar los alumnos es sustituir en la expresión y = mx + 2, las coordenadas de un punto de la recta y resolver la ecuación obtenida. Por ejemplo: usando las coordenadas del punto (2,3) se obtiene la ecuación 3 = m(2) + 2.

-3 -4 -5 -6 -7 -8

¿Qué tienen en común las gráficas construidas? _______________________________________________________________________ ¿Qué sucede con la gráfica cuando la pendiente es positiva? ____________________________________________________________________ ¿Qué sucede con la gráfica cuando la pendiente es negativa? ____________________________________________________________________

Es importante que el maestro aproveche las dudas surgidas en el grupo y las respuestas dadas por los alumnos para precisar ciertas convenciones relacionadas con la graficación de puntos en el plano cartesiano: abscisa, ordenada, pendiente, ordenada al origen, familia de rectas, etc.

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

RECURSOS DIDÁCTICOS Calculadora Cuaderno

125

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CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la Información Nociones de Probabilidad

8.5.7. Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencia y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES

Organizados en equipos de cinco integrantes, realicen o contesten lo que se pide. 1. Lance cada uno, una moneda al aire 10 veces, registren en la siguiente tabla cuántos soles y cuántas águilas obtiene cada uno y los porcentajes en relación con los 50 lanzamientos. Completen la tabla escribiendo los totales y con base en estos resultados, construyan una gráfica de barras. Pueden utilizar calculadora. LANZAMIENTOS

ÁGUILA

FRACCIÓN

DECIMAL

SOL

FRACCIÓN

1-10

EVALUACIÓN

En el punto 1 se espera que los alumnos completen una tabla similar a la que se muestra: NOMBRE Fernando

LANZAMIENTOS

ÁGUILA

FRACCIÓN

DECIMAL

SOL

FRACCIÓN

Ejercicios de DECIMAL consignas Participación .08 Actitud .14

1-10

6/50

.12

4/50

Enrique

11-20

3/50

.06

7/50

Memo

21-30

5/50

.10

5/50

.10

Laura

31-40

7/50

.14

3/50

.06

Tere

41-50

8/50

.16

2/50

.04

TOTALES

29/50

.58

21/50

.42

DECIMAL

11-20 21-30 31-40 41-50 TOTALES

Resultados de lanzar una moneda 50 veces

Al ser un experimento aleatorio, los resultados de los números de águilas y soles en los diferentes equipos pueden variar; se espera que no tengan dificultades para completarla pues en primer grado se estudió la frecuencia relativa. Para el punto 2, se espera que después de presentar todos los equipos sus gráficas, detecten que posiblemente la mayoría de estas se asemejan y a partir de los resultados de cada equipo construir una gráfica de probabilidad frecuencial que considere los resultados de todo el grupo.

Frecuencia

NOMBRE

“D” “H”

Para el punto 3 y 4, se espera que los alumnos puedan responder 0.5, 50% o la mitad en la probabilidad y la gráfica que construyan sea como alguna de las siguientes:

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PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

Manejo de la Información Nociones de Probabilidad

GRUPO:

8.5.7. Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES

¿En qué creen que vayan a coincidir y a diferir su gráfica con las de los demás equipos? ________________________________________________________________________________ 2. Reproduzcan su gráfica en papel o cartulina y péguenla en un lugar visible para todos los compañeros del grupo. a)

¿Son iguales todas las gráficas? __________________________________

¿En qué se asemejan? _______________________________________________________ ¿por qué? ___________________________________________________________________

¿En qué difieren? _____________________________________________________________ ¿por qué? ___________________________________________________________________

“D” “H”

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

3. Al lanzar al aire una moneda, ¿cuál es la probabilidad de que caiga águila? ______________ ¿y la probabilidad de que sea sol? ________________________________

4. Construyan la gráfica que represente las probabilidades de los posibles resultados del lanzamiento de una moneda.

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PROFESOR EJE TEMA CONTENIDO FECHA

CARLOS RODRÍGUEZ ROMERO

GRUPO:

Manejo de la Información Nociones de Probabilidad

8.5.7. Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio. SESIONES CONSIDERACIONES PREVIAS ACTIVIDADES

En equipos realicen lo que se solicita. 1.

Construyan una gráfica que represente la probabilidad teórica del lanzamiento de un dado.

Tomen un dado con sus seis caras numeradas del 1 al 6, efectúen 90 lanzamientos y registren en la siguiente tabla las frecuencias con que cae cada número.

Resultados 1 2 3 4 5 6 TOTAL 3.

“D” “H”

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Es importante prever que los alumnos cuenten con un dado para poder realizar la actividad 2. Respecto a la actividad 1, se espera que los alumnos construyan una gráfica similar a la siguiente: Los dados tienen seis caras, y la probabilidad de que caiga cada cara es la misma (1/6). Si no llegan a representar esta gráfica, algunas preguntas que pueden ayudar a orientar a los alumnos son:  ¿Cuál es la cara que tiene mayor probabilidad de caer y por qué?  ¿Cuál es la probabilidad de que caiga esa cara?  ¿Cuál es la probabilidad de las demás caras? Para la actividad 2, es importante cuidar que se realicen los 90 experimentos, ya que al ser demasiados, quizás algunos alumnos no los realicen todos e inventen los resultados faltantes. Algunos ejemplos de las gráficas de frecuencias y de probabilidad frecuencial son las siguientes:

EVALUACIÓN Ejercicios de consignas Participación Actitud

Construyan la gráfica de frecuencias absolutas y la de probabilidad frecuencial, que resultan de los lanzamientos que ustedes realizaron.

4. Con base en la gráfica de la probabilidad teórica que construyeron en el punto 1 y la gráfica de la probabilidad frecuencial que acaban de construir en el punto anterior, contesten lo siguiente: a)

¿Qué coincidencias hay entre la gráfica de la probabilidad teórica y la que ustedes trazaron de acuerdo a los resultados que obtuvieron? ________________________________________________________________

¿Si aumentarán a 300 lanzamientos qué creen que pase? ________________________________________________________________ Argumenten su respuesta. _____________________________________________________________________

RECURSOS DIDÁCTICOS En caso de que ningún equipo represente la probabilidad frecuencial con una gráfica circular, el profesor puede proponerla como una herramienta adicional que permite visualizar la distribución porcentual de los eventos. Para verificar que la probabilidad frecuencial se aproxima cada vez más a la probabilidad teórica, en la medida que se repita cada vez más el experimento, se puede proponer a los alumnos que obtengan el total de los lanzamientos donde cayó 1 en todos los equipos, y así sucesivamente con 2, 3, 4, 5 y 6; para que elaboren una nueva gráfica de probabilidad frecuencial, posteriormente compararla con la gráfica de la probabilidad teórica. Si el profesor lo considera pertinente se puede proponer que los estudiantes grafiquen la probabilidad teórica de todos los resultados posibles del lanzamiento simultáneo de dos dados numerados del 1 al 6 y sumar los puntos obtenidos. Posteriormente realizar el experimento 36 veces y hacer la gráfica de la probabilidad frecuencial, comparar las gráficas. Enseguida se pueden reunir los resultados de 10 personas y hacer la gráfica de la probabilidad frecuencial de los 360 lanzamientos. Finalmente, se les puede preguntar, ¿qué sucedería con la gráfica si se realizará el experimento 3600 veces?

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