바 빠
바빠
허세 없는 기본 문제집! 나 혼자 푼다!
학 중
수학 시리즈
프
중학
로젝
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쁜중3 른중학도형 수
학 기 완성 초
스쿨피아 연구소 임미연 지음
을 위한
2학기 기본 문제를 한 권으로!
3학년 2학기 과정 통계, 피타고라스 정리 삼각비, 원의 성질
스쿨피아 연구소의 대표 저자 소개
임미연 선생님은 대치동 학원가의 소문난 명강사로, 10년 넘게 중고등학생에게 수학을 지도하고 있 다. 명강사로 이름을 날리기 전에는 두산동아와 디딤돌에서 중고등 참고서와 교과서를 기획, 개발했 으며 대표적인 참여 프로젝트로는 <투탑 시리즈>가 있다. 이론과 현장을 모두 아우르는 저자로, 학생 들이 어려워하는 부분을 잘 알고 학생에 맞는 수준별 맞춤형 수업을 하는 것으로도 유명하다. 그동안 의 경험을 집대성해, <바빠 중학연산> 시리즈와 <바빠 중학도형> 시리즈를 집필하였다.
대표 도서 《바쁜 중1을 위한 빠른 중학연산 ①》 ― 소인수분해, 정수와 유리수 영역 《바쁜 중1을 위한 빠른 중학연산 ②》 ― 일차방정식, 함수 영역 《바쁜 중1을 위한 빠른 중학도형》 ― 통계, 기본 도형과 작도, 평면도형, 입체도형 《바쁜 중2를 위한 빠른 중학연산 ①》 ― 수와 식의 계산, 연립방정식 영역 《바쁜 중2를 위한 빠른 중학연산 ②》 ― 부등식, 일차함수 영역 《바쁜 중2를 위한 빠른 중학도형》 ― 확률, 도형의 성질, 도형의 닮음 《바쁜 중3을 위한 빠른 중학연산 ①》 ― 제곱근과 실수, 인수분해 영역 《바쁜 중3을 위한 빠른 중학연산 ②》 ― 이차방정식, 이차함수 영역 《바쁜 중3을 위한 빠른 중학도형》 ― 통계, 피타고라스 정리, 삼각비, 원의 성질
‘바빠 중학 수학’시리즈
바쁜 중3을 위한 빠른 중학도형 초판 1쇄 인쇄 2017년 7월 14일 초판 1쇄 발행 2017년 7월 20일 지은이 스쿨피아 연구소 임미연 발행인 이지연 펴낸곳 이지스퍼블리싱(주) 출판사 등록번호 제313-2010-123호 주소 서울시 영등포구 당산로 41길 11. SK V1센터 323호 대표전화 02-325-1722
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기획 및 책임 편집 박지연, 조은미, 정지연
교정 교열 서은아
문제풀이 서포터즈 이지우
일러스트 김학수 디자인 트인글터 전산편집 다우 인쇄 보광문화사 제본 정성제책 영업 및 문의 이주동(nlrose@easyspub.co.kr) 온라인 마케팅 플로드 잘못된 책은 구입한 서점에서 바꿔 드립니다. 이 책에 실린 모든 내용, 디자인, 이미지, 편집 구성의 저작권은 이지스퍼블리싱(주)과 지은이에게 있습니다. 허락 없이 복제할 수 없습니다. ISBN 979-11-87370-92-5 54410 ISBN 979-11-87370-62-8(세트) 가격 12,000원
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추천의 글
“전국의 명강사들이 추천합니다!” 기본부터 튼튼히 다지는 중학 수학 입문서! ‘바쁜 중3을 위한 빠른 중학도형’
저자의 실전 내공이 느껴지는 책이네요. 중학도형은 연산보다 개념 이 중요합니다. 그래서 개념의 정확한 이해와 적용을 묻는 문제가 많이 출제됩니다. <바빠 중학도형>은 문제를 풀면서 생길 수 있는 오개념을 잡아 주고, 개념을 문제에 적용하는 기초를 다져 줍니다.
논리적 사고력을 키우기에 도형 학습만 한 것이 없습니다. 학년이 올라갈수록 많은 도형 문제를 접하게 되는데, 문제를 해결하지 못해 쩔쩔매는 모습을 볼 때마다 안타깝습니다. 기본에 충실한 <바빠 중 학도형>을 순서대로 공부하면 도형 공부에 자신감을 갖게 될 것입 니다!
김종명 원장(분당 GTG사고력수학 본원)
송근호 원장(용인 송근호수학학원)
<바빠 중학도형>은 쉽게 해결할 수 있는 문제부터 배치하여 아이들 에게 성취감을 줍니다. 또한 명강사에게만 들을 수 있는 꿀팁이 책 안에 담겨 있어서, 수학에 자신이 없는 학생도 혼자 충분히 풀 수 있 겠어요.
<바빠 중학도형>은 일단 보기 편하고, 그림을 최대한 활용해 어려 운 내용도 쉽게 이해할 수 있네요. 곳곳에 들어 있는 ‘꿀팁’과 주의 할 점을 콕 짚어 주는 ‘앗! 실수’는 ‘맞아, 진짜 그래’라고 감탄할 만 큼 실질적인 도움을 주는 내용이네요. 가려운 부분을 시원하게 긁어 주는 ‘바빠 중학 수학’을 응원합니다.
송낙천 원장(강남, 서초 최상위에듀학원/최상위 수학 저자)
최정규 원장(성균관대 수학경시 대상 학생 지도/GTG사고력수학 수내점)
수학은 곧 도형이며, 도형의 궁금증으로부터 수학은 시작되고 발전 되었음에도 아이들이 특히 기피하는 영역 중 하나이기도 합니다. 도 형의 기본인 궁금증과 설렘을 바탕으로 기본 원리에 충실하게 구성 한 바빠 중학도형은 아르키메데스와 같은 사고력과 창의력이 충만 한 아이들로 거듭나게 해줄 것입니다!
수학은 놓쳐서는 안 될 중요한 과목입니다. 수학이 약하다면, 이 책 으로 ‘중학 수학 나 혼자 완성 프로젝트’에 도전해 보세요. <바빠 중학도형>은 문제를 무작정 외워서 푸는 것이 아니라, 스스로 머리 를 써서 해결해 나가며 실력을 쌓기에 딱 좋은 교재입니다.
김재헌 본부장(일산 명문학원)
김완석 원장(대구 DM영재학원)
중학도형의 기본 지식은 고등 수학 과정에서 매우 중요합니다. 특 히 중3에서 배우는 피타고라스 정리는 고등 과정에서 많이 응용되 는 기본 개념입니다. 바빠 중학도형은 도형의 정의와 기본 성질을 쉽게 습득하도록 구성, 기본기를 탄탄히 다질 수 있어 강력 추천합 니다.
<바빠 중학도형>은 기본 문제만 한 권에 모아, 아이들이 문제를 풀 면서 스스로 개념을 잡을 수 있겠네요. 예비중학생부터 중학생까 지, 자습용이나 학원 선생님들이 숙제로 내주기에 최적화된 교재입 니다.
김종찬 원장(용인 죽전 김종찬수학전문학원)
김승태 원장(부산 JBM수학학원/수학자가 들려주는 수학 이야기 저자)
바빠 중학도형 3
바쁜 중학 3학년 친구들에게
중3 수학은 고등 수학의 기초! 어떻게 공부해야 할까? 중학 수학의 기초가 튼튼해야 고등 수학이 문제없다! 수학은 계통성이 강한 과목으로, 중학 수학부터 고등 수학 과정까지 단원이 연계되어 있습니다. 그런데 고등 수학은 배우는 범위가 넓고 학습량이 많기 때문에, 학습 결손이 발생할 때마다 중학 수학을 다시 복습할 시간이 부족합니다. 수학은 기본을 잘 다져야 앞으로 나아갈 수 있는 과목이 기 때문에, 중학 수학의 기초를 잘 닦아 놓아야만 고등 수학을 공부하는 데 무리가 없습니다.
어려운 문제집부터 풀면 수포자가 된다. 수학을 포기하게 만드는 환경 중 하나가 바로 ‘어려운 문제집’입니다. 대부분의 중학 수학 문제집은 개념을 공부한 후, 기본 문제도 익숙해지지 않았는데 바로 어려운 심화 문제까지 풀도록 구성되어 있 습니다. 대치동에서 10년이 넘게 중고생을 지도하고 있는 이 책의 저자, 임미연 선생님은 “요즘 시중의 중학 문제집에는, 학생들이 잘 이해할 수 있을까 의문이 드는 문제가 많이 수록되어 있다.”고 말합니다. 기 본 개념도 정리하지 못했는데 심화 문제를 푸는 것은 모래 위에 성을 쌓는 것입니다. 그런데 생각보 다 많은 학생이 어려운 문제집의 희생양이 됩니다. 문제가 풀려야 공부가 재미있고 해볼 만한 일이 됩니다. 중학 수학을 포기하지 않으려면 어려운 문제집이 아닌, 혼자 풀 수 있을 만큼 쉬운 책으로 기 초 먼저 탄탄하게 쌓는 것이 좋습니다.
중학 3학년 2학기는 약간의 ‘통계’와 대부분 ‘도형’ 영역으로 이루어져…. 중학교 2학기 수학 과정은 1, 2, 3학년 모두 도형(기하) 파트로, 중1부터 중3까지 내용이 연계됩니다. 그리고 중학교 3학년 과정은 통계와 도형으로 이루어져 있는데, 그 중 도형 파트인 피타고라스 정리, 삼각비, 원의 성질은 고1 수학의 기하 파트인 도형의 방정식의 기본을 다루는 단원입니다. 따라서 내용을 잘 익혀두면 고등 수학 을 공부하는 데에도 큰 도움이 됩니다. 이 책은 중학도형의 기초 개념과 공식을 이용한 쉬운 문제부터 차근차근 풀 수 있는 책으로, 현재 시중에 나온 중학 3학년 2학기 수학 문제집 중 선생님 없이 혼자 풀 수 있도록 설계된 독보적인 책 입니다. 이 책은 허세 없는 기본 문제 모음 훈련서입니다. 4 바쁜 중3을 위한 책
혼자 봐도 이해된다! 얼굴을 맞대고 듣는 것 같다. 기존의 책들은 한 권의 책에 방대한 지식을 모아 놓기만 할 뿐, 그것을 공부할 방법은 알려주지 않 았습니다. 그래서 선생님께 의존하는 경우가 많았죠. 그러나 이 책은 선생님이 얼굴을 맞대고 알 려주시던 공부 팁까지 책 속에 담았습니다. 각 단계의 개념에 친절한 설명과 함께 명강사의 노하우가 담긴 ‘바빠 꿀팁’을 수록, 혼자 공부해도 이해할 수 있습니다.
3학년 2학기의 기본 문제만 한 권으로 모아 놓았다. 이 책에서는 도형뿐만 아니라 3학년 2학기에 배우는 모든 수학 내용을 담고 있습니다. 도형은 물론 이고 통계까지, 3학년 2학기 수학의 기본 문제만 한 권에 모아, 기초를 탄탄하게 다질 수 있습니다. 이 책으로 훈련하여 기초를 먼저 탄탄히 다진다면, 이후 어떤 유형의 심화 문제가 나와도 도전할 수 있는 힘이 생길 것입니다.
아는 것을 틀리지 말자! 중학생 70%가 틀리는 문제, ‘앗! 실수’ 코너로 해결! 수학을 잘하는 친구도 실수로 점수가 깎이는 경우가 많습니다. 이 책에서는 실수로 본인 실력보다 낮은 점수를 받지 않도록 특별한 장치를 마련했습니다. 개념 페이지에 ‘앗! 실수’ 코너를 통해, 중학생 70%가 자주 틀리는 실수 포인트를 정리했습니다. 또한 ‘앗! 실수’ 유형의 도형 문제를 직접 풀며 확인하도록 설계해, 실수를 획기적으로 줄이는 데 도움을 줍니다. 또한, 매 단계의 마지막 페이지에 나오는 ‘거저먹는 시험
이젠 나도 혼자 공부할 수 있다고~!
문제’를 통해 이 책에서 연습한 훈련만으로도 충분히 풀 수 있는 중학교 내신 문제를 제시했습니다. 이 책 에 나온 문제만 다 풀어도 학교 시험에서 맞을 수 있 는 시험 문제는 많습니다. 중학생이라면, 스스로 개념을 정리하고 문제 해결 방법을 터득해야 할 때! ‘바빠 중학도형’이 여러분을 도와드리겠습니다. 이 책으로 중학 수학의 기초를 튼튼하게 다져 보세요!
바빠 중학도형 5
a
오른쪽 직각삼각형에서 x의 값을 구해 보자. xÛ`=3Û`+4Û`=5Û`
x
3
∴ x=5 4
● 직각삼각형에서 변의 길이 구하기
‘바빠 중학도형’ 구성과 특징
피타고라스 정리를 이용하면 직각삼각형에서 두 변의 길이를 알 때, 나머지 한
03
변의 길이를 구할 수 있다. 아래 그림과 같이 ∠C=90ù인 직각삼각형 ABC에서
자연수의 쌍 (a, b, c)로 나타낼 때, (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17) 이 가장 많이 나오는 수야. 이 수 들을 외워 두면 매번 계산하지 않아도 되니 편리해. •피타고라스 정리는 제곱수가 많 이 나오기 때문에 아래 제곱수를 외우고 있으면 계산이 빨라져. 11Û`=121, 12Û`=144, 13Û`=169, 14Û`=196, 15Û`=225, 16Û`=256
1단계① | 개념을A 먼저 이해하자! ―③ 단계마다A친절한 핵심 개념 설명이 있어요! ② A
피타고라스 정리 a2+b2
B
b
c2_a2
03
B
C
a
c
c
B
C
a
피타고라스 정리
c2_b2
b C
① 밑변의 길이 a와 높이 b를 알 때: ABÓ Û`=aÛ`+bÛ` ⇨ ABÓ="ÃaÛ`+bÛ` ● 피타고라스 정리 각을 낀 두 변의 길이를 a,직각삼각형에서 b라 하고, 직각을 낀빗 두 변의 길이를 a, b라 하고, 빗 Û`=cÛ 2개`-aÛ` A ② 밑변의 길이 a와 빗변의 길이 c를 알 같은 때: ACÓ ⇨ ACÓ="ÃcÛ`-aÛ` 오른쪽 그림과 직각이 c 변의 길이를 c라고 하면 A D b 사각형의 하면 aÛ`+bÛ`=cÛ` 포함된 변의 길이는 꿀팁! 바빠 Û 사각형에서 피타고라스 정리의 명강사에게서만 ③ 높이 b와 빗변의 길이 c를 알 때: BCÓ `=cÛ`-bÛ` ⇨ BCÓ="ÃcÛ`-bÛ` c
E
b
바빠 꿀팁!
•직각삼각형의 세 변의 길이를 세 자연수의 쌍 (a, b, c)로 나타낼
a
들을 수 있는 공부 팁이
대각선 또는 수선을 그어 직각 B D 때, x 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), 세 변의 길이를 세 3 (3, 4,직각삼각형의 이용 ‘바빠 꿀팁’에 담겨 있어요. 12, 15), (8, 15, 17) 삼각형을 찾고 • 피타고라스 정리 (9, ∴ x=5 a 이 가장 많이 나오는 수야. 이 수 4 자연수의 쌍 (a, b, c)로 나타낼 들을 외워 두면 매번 계산하지 에서 x의 값을 구해 보자. B 를 이용하여 구해. C H C 않아도 되니 편리해. 변의 길이 구하기 ● 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용하여 변의 길이•피타고라스 구하기 ● 때, 정리는 제곱수가 많 x 이 나오기 때문에 아래 제곱수를 피타고라스 정리를 이용하면 직각삼각형에서 두 변의 길이를 알 때, 나머지 한 3 4 5 6 8 10 5 12 13 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ), 외우고 있으면 계산이 빨라져. 변의오른쪽 길이를 구할 수그림에서 있다. D F 11Û`=121, 12Û`=144, BFÓ의 길이를 구해 보자. A (9, 12 , 15), (8, 15, 17) 13Û`=169, 14Û`=196, 아래 그림과 같이 ∠C=90ù인 직각삼각형 ABC에서 15Û`=225, 16Û`=256 A ① BDÓ=A"Ã1②Û`+1Û`='2 ③ A ◼ 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. 5. A이 가장5많이 나오는 D 수야. 이 수 4 c c a +b b 1 b c _a 들을 외워 두면 매번 계산하지 를 반지름으로 하는 원을 그리면 BDÓ B C B B C C c _b a a 않아도 되니 편리해. D . 길이 x 의 구하기 2»3 ① 밑변의 길이 a와 높이 b를 알 때: ABÓ Û`=aÛ`+bÛ` ⇨ ABÓ="ÃaÛ`+bÛ` 6 •피타고라스 정리는 제곱수가 BEÓ=BDÓ='2 많 B E C ② 밑변의 길이 a와 빗변의 길이 c를 알 때: ACÓ `Û =cÛ`-aÛ` ⇨ ACÓ="ÃcÛ`-aÛ` 1 A 이 나오기 때문에 아래 제곱수를 Û`=cÛ`때, 이용하면 직각삼각형에서③ 높이 두b와변의 길이를 알 빗변의 길이 c를 알 때: BCÓ -bÛ` ⇨나머지 BCÓ="ÃcÛ`-bÛ` 한 Û`=BEÓ Û`+FEÓ Û`=2+1=3 삼각형 FBE에서 BFÓ x 외우고 있으면 계산이 빨라져. 수 4있다. ● 피타고라스 정리를 이용하여 변의 길이 구하기 B C 11Û`=121 , 12Û`=144 , 7 ∴ BFÓ='3 D F 오른쪽 그림에서 BFÓ의 길이를 구해 보자. A 13Û ` =169 14Û ` =196 , , BDÓ="Ã1Û`+1Û`='2 ∠C=90ù인 직각삼각형 ABC에서 Help 점 A에서 BCÓ 1 에 수선을 내려 높이를 구한다. C BDÓ를 반지름으로 하는 원을 그리면 B 중학생 70%가 자주 틀리는 15Û`=225, 16Û`=256 4»2 오른쪽 직각삼각형에서 x의 값을 구해 보자. xÛ`=3Û`+4Û`=5Û`
2
2
2
2
②
Help
A
③
BEÓ=BDÓ='2
A
c
b
2
B
c _a 2
2
c
E
C
1
삼각형 FBE에서 BFÓ Û`=BEÓ Û`+FEÓ Û`=2+1=3
점 A와 점 C를 잇는다. ∴ BFÓ='3 앗! 실수
실수들을
‘앗! 실수’ 코너에서 짚어 줍니다.
b
피타고라스 정리를 배우고 나면 직각삼각형인지 확인하지 않고 모든 삼각형에 피타고라스 정리를 이용하여 변의 길이를 구하는 경우가B있어. 피타고라스C정리는 직각삼각형에서만 성립한다는 것을 잊지 말자.
앗! 실수
B
C
.
2
C
a
피타고라스 정리를 배우고 나면 직각삼각형인지 확인하지 않고 모든 삼각형에 피타고라스 정리를 이용하여 변의 길이를 구하는 2 2 성립한다는 것을 잊지 말자. 경우가 있어. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만
c _b
6. 높이 b를 알 때: ABÓ Û`=aÛ`+bÛ` ⇨ ABÓ="ÃaÛ`+bÛ` Û 빗변의 길이 c를 알 때: ACÓ `=cÛ`-aÛ` ⇨ ACÓ="ÃcÛ`-aÛ` A
D 10
8
26 바쁜 중3을 위한 책
길이 c를 알 때: 2»5BCÓ Û`=cÛ`-bÛ` ⇨ BCÓ="ÃcÛ`-bÛ` D
x
6
A
26 바쁜 중3을 위한 책
x C
B
2 2단계 | 체계적인 도형 훈련! ― 쉬운 문제부터 유형별로 풀다 보면 개념이 잡혀요. 이용하여 변의 길이 구하기 B
C
6
FÓ의 길이를 구해 보자.
A
2
피타고라스 정리의 E 사각형에서 이용 1 하는 원을 그리면 사각형에서 피타고라스 정리의 B 이용 ◼ 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. 1
E
1. BFÓ Û`=BEÓ Û`+FEÓ Û`=2+1=3 6 . A D
D
2»3
B
B Help
C
4»2
B 1.
2»310
D
4
8
5. 6
A
D 10
8
5
A
B
6. A
2.
C
7
점 A와 점 C를 잇는다.
C
D
A
점 A에서 BCÓ에 수선을 내려 높이를 구한다.
◼ 다음 그림에서 x의x값을 구하여라. Help
A
오른쪽 그림과 같은 직각이 2개 A D A D 포함된 사각형의 변의 길이는 B C H C B 대각선 또는 수선을 그어 직각 D ABCD 선생님이 바로 옆에서 알려주는 것 같은 ◼ 다음 사각형 의 넓이를 구하여라. A D E 5 C5. 삼각형을 찾고 피타고라스 정리 ‘문제 풀이 요령’이 담겨 있어요. x B 6 를 이용하여 구해. C A H C
x
4
F
7.
A
8
D
오른쪽 그림과 같은 직각이 2개 포함된 사각형의 변의 길이는 대각선 또는 수선을 그어 직각 B 삼각형을 찾고 피타고라스 정리 를 이용하여 구해.
D D 2»2 C
x
6
배우고 나면 A 직각삼각형인지 확인하지 않고 모든 삼각형에 피타고라스 정리를 이용하여 변의 길이를 구하는 Help 점 A에서 BCÓ에 수선을 내린다. 라스 정리는 직각삼각형에서만 성립한다는 것을 잊지 말자. x 2»5
D
x
x
C
B
2
B
4
B
B
Help 점 A에서 ◼ 다음 사각형 ABCD의 넓이를 구하여라. 3.
점 A와 점 C를 잇는다.
6
A
8
B
A
4
8
D 2»2 C
x
D
Help
10
C
A
3
D
4.
8
A 3
2»5
B
12
C
2 6
B Help
D
x
5
x
C
A 12
B 6.
8. 사각형 ABCD는 등변사다리꼴
8
B
2
D
6 8
D
앗! 실수
A B 2.
A
5
점 A에서 BCÓ에 수선을 내린다.
x
BCÓ에 수선을 내려 높이를 구한다.
8. 사각형 ABCD는 등변사다리꼴
7.
D
B
.
C
7
앗! 실수
C
4»2
Help
C
6
2
D
Help 8
A
C
두 점 A, D에서 각각 BCÓ에 수선을 내려 높이를유형이 새로운 10 8 구한다. C
B
바빠 중학도형 31
나올 때마다 ‘Help’가 나와,
문제를 잘 풀 수 있게 도와줘요.
x
두 점 A, D에서 각각 BCÓ에 수선을 내려 높이를 구한다.
C 바빠 중학도형 31
C
6 바쁜 중3을 위한 책 ◼ 다음 사각형 ABCD의 넓이를 구하여라.
아싸!~
거저먹는 시험 문제 AB='2`cm 4. 다음 그림에서문제로 , 3단계 | 시험에 자주 나오는 마무리! ― 이 책만 다 풀어도 학교 시험 문제없어요!
[1~4] 삼각형에서 피타고라스 정리의 이용
삼각형 AGF의 넓이를 구하여라.
12`cm
직각삼각형 ABC 에 서 ABÓ=12`cm이고
BCÓ=CDÓ=DEÓ=EFÓ=FGÓ=2`cm일 때,
A
1. 오른쪽 그림과 같은 아싸!~
B
D
거저먹는C시험 문제
아싸!~
△ABC=30`cmÛ`일 때, BCÓ의 길이는? 거저먹는 시험 문제 ① 13`cm
② 14`cm1~4
④ 16`cm
⑤ 17`cm
[
③ 15`cm
서
BCÓ=CDÓ=DEÓ=EFÓ=FGÓ=2`cm일 때,
BCÓ=CDÓ=DEÓ=EFÓ=FGÓ=2`cm일 때,
A 삼각형 AGF의 넓이를 구하여라.
12`cm
직각삼각형 ABC에
삼각형 AGF의 넓이를 구하여라.
12`cm
B
D
C
B
② 14`cm ⑤ 17`cm
C
»2 A
⑤ 17`cm
④ 16`cm
D
F
2
C
△ABC=30`cmÛ`일 때, BCÓ의 길이는? ① 13`cm
E
C
`일 때, BCÓ의 길이는? ABÓ△ABC=30`cmÛ =12`cm이고 B ① 13`cm ② 14`cm ③ 15`cm ④ 16`cm
G
B
AB='2`cm, AB='2`cm, 4. 다음 그림에서 4. 다음 그림에서 »2 A
A
1. 오른쪽 그림과 같은
직각삼각형 에 12`cm이고 서 ABÓ=ABC
‘거저먹는 시험 문제’는 이 책에서 연습한 것만으로도 충분히 풀 수 있는 중학교 내신 문제들이에요.
F
2
] [1~4] 삼각형에서 피타고라스 정리의 삼각형에서 피타고라스 정리의 이용 이용
1. 오른쪽 그림과 같은
E
C
E F
G
2
③ 15`cm
B
G
»2 A
[5~6] 사각형에서 피타고라스 정리의 이용 [5~6] 사각형에서 피타고라스 정리의 이용
‘앗! 실수’ 유형의 문제예요. 실수를 최대한
앗! 실수 앗! 실수 2. 오른쪽 그림에서
2. 오른쪽 그림에서
A
A
5. 오른쪽 그림의 사각형 ABCD
ABÓ=9`cm, BCÓ=3`cm,
∠ABC=∠ACD=90ù,
A D
C 3`cm
∠ABC=∠ACD=90ù,
구하여라.
3`cm
3`cm A
10»2
의 중점이고 ABÓ = 10'2, ACÓ=10일 때, AÕMÓ의 길이 B
C
M
는?
D 6. 오른쪽 그림과 같은 등변 C 3`cm ① 2'3 사다리꼴 ABCD에서
① 2'3
10
2»3
2»3
BCÓ=2'5일 때, ADÓ의 길이
는?
DB
A
에서 ∠B=∠D=90ù이고 ⑤ 5'2
BCÓ=2'5 ADÓ 때,, ABÓ 의,길이 ADÓ일 =DCÓ =2'3
9`cm
각형 ABC에서 점 M은 BCÓ
C
2»5
는?
ABCD 5. 오른쪽ABÓ 그림의 ADÓ =사각형 2'3 4'2 , ① 2'3=DCÓ ② ,4 ③ ④6
3. 오른쪽 그림과 같은 직각삼 C 3`cm
를 구하여라.
피타고라스 정리의 이용
B
CDÓ=3`cmB 일 때, ADÓ의 길이를
D
줄일 수 있어요.
A
D=90ù이고 BCÓ=2'5일 에서 ∠앗!B= ∠ 때, ADÓ의 길이 실수
B 3`cm
구하여라.
오른쪽 그림에서 9`cm
CDÓ=3`cm일 때, ADÓ의 길이를 ABÓ=9`cm, BCÓ=3`cm, 구하여라.
A
2»3 ADÓ=DCÓ , ABÓ=]2'3, [5~6 사각형에서
9`cm
CDÓ=3`cm일 때, ADÓ의 길이를
ABÓ=9`cm, BCÓ=3`cm,2.
D
5. 오른쪽 그림의 사각형 ABCD 에서 ∠B=∠D=90ù이고
∠ABC=∠ACD=90ù,
ABÓ=DCÓ=2'1 ④06이고
④ADÓ6=5, BCÓ=9일 때,
사각형 ABCD의 넓이를
5
②②44 A
2 10 B
⑤
9
B
B
D
5'2 ⑤ 5'2
D
C
2»5 C
2»5
③ ③ 4'2
4'2
C
구하여라.
A
3. 오른쪽 그림과 같은 직각삼 각형 ABC에서 점 M은 BCÓ 의 중점이고 ABÓ = 10'2 ,
3. 오른쪽 그림과 같은 직각삼 ACÓ=10일 때, AÕM의 Ó 길이 32 바쁜 중3을 위한 책
각형 ABC에서 점 M은 BCÓ 를 구하여라. 의 중점이고 ABÓ = 10'2 , ACÓ=10일 때, AÕM의 Ó 길이 를 구하여라.
B
10»2
A B
10»2
10
6. 오른쪽 그림과 같은 등변 사다리꼴 ABCD에서
10
ABÓ=DCÓ=2'1 0이고
6. 오른쪽 그림과 같은 등변 ADÓ=5, BCÓ =9일 때, M
C
ABCD에서 의 넓이를 ABCD 사다리꼴사각형 구하여라.
ABÓ=DCÓ=2'1 0이고
♥ 체크해 보세요!ADÓ=5, BCÓ=9일 때, M
C
A
5
D
2 10
A
B
5
9
C
D
2 10 B
사각형 ABCD의 넓이를
9
C
나는 어떤 학생인가? 구하여라. 32 바쁜 중3을 위한 책
□ 도형 문제는 아무리 들여다봐도 잘 모르겠는 학생
32 바쁜 중3을 위한 책
□ 수학 문제만 보면 급격히 피곤해지는 학생
□ 문제 하나 푸는 데 시간이 오래 걸리는 학생
□ 쉬운 문제로 기초부터 탄탄히 다지고 싶은 학생
□ 3학년 2학기 수학을 미리 공부하고 싶은 학생
위 항목 중 하나라도 체크했다면 중학도형 훈련이 꼭 필요합니다. 바빠 중학도형은 쉬운 문제부터 차근차근 유형별로 풀면서 스스로 깨우치도록 설계되었습니다.
바빠 중학도형 7
‘바빠 중학 수학’ 시리즈로 공부하는 방법
«바쁜 중3을 위한 빠른 중학 수학»을 효과적으로 보는 방법
3학년 1학기 과정 <바빠 중학연산> 1권 <제곱근과 실수, 인수분해 영역> 2권 <이차방정식, 이차함수 영역>
3학년 2학기 과정 <바빠 중학도형> <통계, 피타고라스 정리, 삼각비, 원의 성질>
<바빠 중학 수학>은 1학기 과정이 <바빠 중학연산> 두 권으로, 2학기 과정이 <바빠 중학도형> 한 권으로 구성되어 있습니다.
1. 취약한 영역만 보강하려면? ― 3권 중 한 권만 선택하세요! 중3 과정 중에서도 제곱근이나 인수분해가 어렵다면 중학연산 1권 <제곱근과 실수, 인수분해 영역> 을, 이차방정식이나 이차함수가 어렵다면 중학연산 2권 <이차방정식, 이차함수 영역>을, 도형이 어 렵다면 중학도형 <통계, 피타고라스 정리, 삼각비, 원의 성질>을 선택하여 정리해 보세요. 중3뿐 아 니라 고1이라도 자신이 취약한 영역을 집중적으로 공부하여 학습 결손을 빠르게 보충하세요.
2. 중3이지만 수학이 약하거나, 중3 수학을 준비하는 중2이라면? 중학 수학 진도에 맞게 중학연산 1권 <제곱근과 실수, 인수분해 영역> → 중학연산 2권 <이차방정 식, 이차함수 영역> → 중학도형 <통계, 피타고라스 정리, 삼각비, 원의 성질> 순서로 공부하세요.
3. 학원이나 공부방 선생님이라면? 이 책은 선생님의 수고로움을 덜어 주는 책입니다. 1) 기초가 부족한 학생들에게 30~40분 일찍 와서 이 책을 풀게 하세요. 선생님이 애써 설명하지 않 아도 책만 있으면 학생들은 충분히 풀 수 있으니까요. 2) 가벼운 선행 학습과 학습 결손을 보강하기 위한 방학용 초단기 교재로 적합합니다. 바빠 중학연산 1권은 24단계, 2권은 23단계, 중학도형은 25단계로 구성되어 있습니다. 8 바쁜 중3을 위한 책
차례
바쁜 중3을 위한 빠른 중학도형 첫째 마당
01 대푯값
12
통계
02 분산과 표준편차
18
둘째 마당
03 피타고라스 정리
26
피타고라스 정리
04 피타고라스 정리의 확인
33
05 피타고라스 정리와 도형 1
39
06 피타고라스 정리와 도형 2
45
07 사각형의 대각선, 정삼각형의 높이와 넓이
52
08 특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비
58
09 두 점 사이의 거리
64
10 입체도형에서 피타고라스 정리의 활용 1
70
11 입체도형에서 피타고라스 정리의 활용 2
77
셋째 마당
12 삼각비의 값
84
삼각비
13 삼각비의 값의 활용
91
14 30ù, 45ù, 60ù의 삼각비의 값
97
15 여러 가지 삼각비의 값
103
16 삼각비를 이용한 변의 길이 구하기
110
17 삼각비를 이용한 도형의 넓이 구하기
117
넷째 마당
18 원의 중심과 현
124
원의 성질
19 원의 접선의 활용
131
20 원주각의 크기
138
21 원주각의 크기와 호의 길이
144
22 원에 내접하는 다각형
150
23 접선과 현이 이루는 각
157
24 원에서의 비례 관계
163
25 원의 할선과 접선의 길이 사이의 관계
170
바빠 중학도형 9
나만의 공부 계획을 세워 보자!
나의 권장 진도
일
권장 진도
나는 어떤 학생인가? ∨ 중학 3학년이지만, 수학이 어렵고 자신감이 부족하다. ∨ 통계나 도형 문제만 보면 막막해진다.
25일 진도 권장
∨ 중학 2학년 또는 중학 1학년이지만, 도전하고 싶다.
∨ 중학 3학년으로, 수학 실력이 보통이다.
20일 진도 권장
∨ 도형 영역이 연산 영역보다 쉽다.
14일 진도 권장
∨ 수학에 자신이 있지만, 실수를 줄이고 싶다.
권장 진도표
*25일 진도는 하루에 1과씩 공부하면 됩니다.
날짜
□ 1일차
□ 2일차
□ 3일차
□ 4일차
□ 5일차
□ 6일차
□ 7일차
14일 진도
1~2과
3~4과
5~6과
7~8과
9~10과
11과
12~13과
20일 진도
1과
2과
3과
4과
5~6과
7과
8과
날짜
□ 8일차
□ 9일차
□ 10일차
□ 11일차
□ 12일차
□ 13일차
□ 14일차
14일 진도
14~15과
16~17과
18~19과
20과
21~22과
23과
24~25과
20일 진도
9과
10과
11과
12~13과
14~15과
16과
17과
날짜
□ 15일차
□ 16일차
□ 17일차
□ 18일차
□ 19일차
□ 20일차
20일 진도
18~19과
20과
21과
22과
23과
24~25과
나 혼자 푼다!
10 바쁜 중3을 위한 책
끝!
끝!
첫째 마당
통계 첫째 마당에서는 통계의 기초인 대푯값과 산포도를 배울 거야. 자료를 대표하는 대푯값 에는 평균 이외에도 중앙값과 최빈값이 있어. 각각의 대푯값을 잘 구하는 것도 중요하 지만, 자료에 따라 어떤 대푯값이 적절한지를 이해하는 것이 중요해. 또한 자료가 흩어 져 있는 정도를 수치로 나타내는 산포도 중 하나인 표준편차는 구하는 과정이 복잡하므 로 익숙해질 때까지 연습하고 넘어가자.
14일 진도
공부할 내용!
01. 대푯값
스스로 계획을 세워 봐!
20일 진도 1일차
월
일
2일차
월
일
1일차 02. 분산과 표준편차
01 대푯값 ●●대푯값 자료의 중심 경향을 하나의 수로 나타내어 전체 자료를 대표하는 값이다. 대푯 값에는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다.
바빠 꿀팁!
① 평균 : (평균)= (전체 자료의 합) (자료의 개수) ② 중앙값 : 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열할 때, 중앙에 위치한 값 •자료의 개수가 홀수이면 가운데 위치한 값이 중앙값 자료가 5, 9, 3, 2, 8, 1, 6일 때, 작은 값부터 순서대로 나열하면 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9 중앙에 있는 5가 중앙값
•자료의 개수가 짝수이면 가운데 위치한 두 값의 평균이 중앙값 자료가 3, 1, 5, 9, 2, 7, 1, 6일 때, 작은 값부터 순서대로 나열하면 1, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9 중앙에 있는 3, 5의 평균인
• 어느 동아리 회원의 수학 점수가 80점, 85점, 90점, 20점, 85점이 라 하면 평균 점수는 20점을 받 은 회원 때문에 크게 낮아져서 80+85+90+20+85 =72(점) 5 이 돼. 이렇게 극단적으로 낮은 수학 점수가 섞여 있으면 대부분 의 수학 점수는 높은데도 평균에 는 제대로 나타나지 않아. 그렇지만 이와 같은 경우에는 중 앙값은 85 점이 되고 최빈값도 85점이 되어 평균보다도 집단의 특성을 잘 나타낼 수 있어.
3+5 =4가 중앙값 2
③ 최빈값 : 자료의 값 중에서 가장 많이 나타난 값, 즉 도수가 가장 큰 값 자료의 개수
• 자료가 5, 4, 4, 4, 5, 7, 6일 때, ⇨ 4의 도수가 3으로 가장 크므로 최빈값은 4이다. •최빈값은 2개 이상일 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있다. 자료가 5, 4, 8, 5, 7, 6, 4일 때, ⇨ 4의 도수가 2이고 5의 도수가 2이므로 최빈값은 4, 5이다. 자료가 5, 5, 4, 4, 6, 6, 7, 7일 때, ⇨ 자료의 도수가 모두 2이므로 최빈값은 없다. • 자료의 개수가 많거나 자료가 수치로 표현되지 못하는 경우, 즉 문자 또는 기호인 경우에도 자료의 중심 경향을 잘 나타낼 수 있다. • 자료의 개수가 적은 경우에는 자료의 중심 경향을 잘 나타내지 못할 수 있 다.
앗! 실수 자료가 3, 7, 5, 2, 5, 1, 5일 때, 중앙값을 구하기 위해 작은 값부터 크기순으로 나열해 보자. 중복된 수를 한 번만 쓰면 1, 2, 3, 5, 7이 되어 중앙값이 3이 되지만 중복된 수를 모두 쓰면 1, 2, 3, 5, 5, 5, 7이 되어 중앙값은 5가 돼. 이와 같이 중앙값을 구할 때는 반드시 중복된 것을 모두 나열해야 틀리지 않아. 그리고 평균, 중앙값, 최빈값 등의 대푯값을 답으로 쓸 때는 단위를 꼭 써야 하는 것에 주의 해.
12 바쁜 중3을 위한 책
A
자료 전체의 특징을 나타내는 대푯값으로 평균을 가장 많이 이용하지 만 자료 중 다른 자료보다 너무 큰 값이나 너무 작은 값이 포함되어 있 으면 자료를 잘 대표하지 못하는 것이 단점이야.
평균
아하 그렇구나!
◼◼다음 자료의 평균을 구하여라.
◼◼다음을 구하여라.
1.
5. 2개의 변량 a, b의 평균이 6일 때, 3개의 변량 `a, b,
2, 5, 4, 3, 1
3의 평균 Help
2.
3, 6, 4, 9, 8
a+b 2 =6 ∴ a+b=12
6. 2개의 변량 a, b의 평균이 7일 때, 3개의 변량 4, a, b의 평균
3.
9, 6, 2, 7, 10, 8
7. 2개의 변량 a, b의 평균이 9일 때, 4개의 변량 5, a, b, 13의 평균
4.
7, 10, 9, 8, 11, 9
8. 3개의 변량 a, b, c의 평균이 22일 때, 5개의 변량 21, a, b, c, 28의 평균
바빠 중학도형 13
B
중앙값과 최빈값 1
◼◼다음 자료의 중앙값과 최빈값을 구하여라. 1.
• 중앙값은 자료를 작은 값부터 순서대로 나열한 후 중앙에 오는 값을 찾으면 돼. 자료의 개수가 홀수이면 중앙에 있는 값이 중앙값이고, 짝수이면 중앙에 있는 두 값의 평균이 중앙값이야. •최빈값은 자료 중에서 도수가 가장 큰 값이야.
5.
8, 3, 1, 2, 7, 3, 2, 2
6, 5, 4, 3, 2, 1, 4
중앙값 최빈값
중앙값
Help
최빈값 Help
자료의 개수가 짝수이므로 중앙값은 중앙에 있는 두 값의 평균이다.
자료를 작은 값부터 순서대로 나열한다.
앗! 실수
2.
1, 6, 2, 2, 7, 1, 4
Help
3.
6.
중앙값
중앙값
최빈값
최빈값
최빈값은 2개 이상일 수 있다.
7. 2, 5, 9, 9, 8, 3, 3, 1, 3
최빈값
최빈값
4, 4, 7, 9, 3, 7, 6, 2, 7
14 바쁜 중3을 위한 책
1, 3, 4, 6, 9, 3, 3, 1, 2, 7 중앙값
중앙값
4.
2, 1, 4, 7, 8, 3, 3, 5
8.
11, 7, 4, 6, 10, 14, 7, 16, 11, 8
중앙값
중앙값
최빈값
최빈값
C
• 줄기와 잎 그림에서는 자료들을 작은 값부터 크기순으로 나열하여 중앙값과 최빈값을 구하면 돼. •도수분포표에서는 계급에 속하는 자료의 값을 (계급의 양 끝값의 합) }으로 생각하여 나열하면 돼. 계급값{= 2
중앙값과 최빈값 2
◼◼ 다음 줄기와 잎 그림에서 중앙값과 최빈값을 구하 여라.
4. 일주일 동안 학교 매점 방문 횟수 매점 방문 횟수(회) 0 1 2 3 4 5 합계
1. 블로그 회원의 나이 (1`|`5는 15세)
줄기 1 2 3 4
잎 5 2 1 0
8 5 6 1 5 8 9 4 7
학생 수(명) 2 3 9 6 4 1 25
중앙값
중앙값
최빈값
최빈값 Help
료가 모두 13개이므로 7번째 값이 중앙값이다. 자
앗! 실수
5. 수학 점수 수학 점수(점) 40이상 ~ 50미만 50 ~ 60 60 ~ 70 70 ~ 80 80 ~ 90 90 ~ 100 합계
2. 한 달 동안 운동 시간 (1`|`0은 10시간)
줄기 1 2 3 4 5
잎 0 1 2 1 0
2 3 4 2 5
5 6 4 4 6 8 5 6 9 7
학생 수(명) 1 2 6 5 4 2 20
중앙값
중앙값
최빈값
최빈값
◼◼ 다음 도수분포표에서 중앙값과 최빈값을 구하여라.
Help
중앙값은 10번째와 11번째의 계급값의 평균이고, 최빈값은 도수가 가장 많은 계급의 계급값이다.
계급값은
(계급의 양 끝값의 합) 으로 구한다. 2
앗! 실수
6. 일주일 동안 TV 시청 시간
3. 일 년 동안 봉사 활동 시간 봉사 활동 시간(시간) 10 11 12 13 14 15 합계
학생 수(명) 3 5 6 8 2 1 25
TV 시청 시간(시간) 0이상 ~ 5미만 5 ~ 10 10 ~ 15 15 ~ 20 20 ~ 25 25 ~ 30 합계
학생 수(명) 2 5 9 10 3 1 30
중앙값
중앙값
최빈값
최빈값
바빠 중학도형 15
D
대푯값이 주어질 때 변량 구하기
◼◼다음 자료에서 x의 값을 구하여라.
미지수 x가 포함된 변량에서 • 중앙값이 주어질 때, 자료의 개수가 홀수일 때와 짝수일 때를 나누어 미지수 x의 값을 정해야 해. • 평균과 최빈값이 같을 때, 자료 중 최빈값을 먼저 찾고 평균을 이용 하여 x의 값을 구하면 돼 .
6. 5, 9, 5, x, 5, 1, 2, 8의 평균과 최빈값이 같다. Help
1. 10, x, 13, 19의 평균이 15 Help
x 의 값에 상관없이 도수가 3개인 변량이 최빈값 이다.
10+x+13+19 =15 4
2. 15, 21, 18, x, 16의 평균이 18 7. 8, 3, 5, 8, 15, 8, 11, x의 평균과 최빈값이 같다.
3. 8, 12, 19, x, 25의 중앙값이 15
◼◼다음 자료에서 중앙값을 구하여라. 8. 14, 20, 13, x, 10, 11의 평균이 13
앗! 실수
4. 4, 11, 7, x의 중앙값이 8 Help
앙값이 8이므로 자료를 작은 값부터 순서대로 중 나열하면 4, 7, x, 11이고 7과 x의 평균이 8이다.
5. 16, 20, 15, x의 중앙값이 17
16 바쁜 중3을 위한 책
9. 17, 32, 24, x, 15, 18의 평균이 22
아싸!~
거저먹는 시험 문제 [1~3] 평균
[4~6] 중앙값과 최빈값
1. 4개의 변량 a, b, c, d의 평균이 12일 때, 6개의 변량
4. 의현이는 네 번의 과학 시험에서 각각 85점, 95점, 88점, x점을 받았다. 시험 점수의 중앙값이 90점일
6, a, b, c, d, 18의 평균은? ① 10
② 11
④ 13
⑤ 14
때, x의 값은?
③ 12
① 88
② 89
④ 91
⑤ 92
③ 90
앗! 실수
2. 다음 표는 일주일 동안 근영이의 블로그에 방문한
5. 오른쪽 도수분포표
사람의 수를 조사하여 나타낸 것이다. 방문한 사람
는 학생 20명의 일
수의 평균이 11일 때, x의 값은?
주일 동안 컴퓨터
요일 방문자 수 (명)
월
화
수
목
금
토
일
사용 시간을 조사
10
8
x
15
13
9
12
하여 나타낸 것이
① 9
② 10
④ 12
⑤ 13
다. 이 자료의 중앙
③ 11
계급(시간) 0이상 ~ 4미만 4~8 8 ~ 12 12 ~ 16 16 ~ 20 20 ~ 24 합계
학생 수(명) 2 3 4 5 4 2 20
값을 a시간, 최빈값을 b시간이라 할 때, a+b의 값은? ① 22
② 24
④ 28
⑤ 30
③ 26
앗! 실수
3. 오른쪽 표는 A, B 두 반의 학생 수와 수학
반 학생 수(명) 평균 (점)
A 5 70
B 10 73
점수의 평균을 각각
6. 다음 자료의 평균과 최빈값이 같을 때, x의 값을 구 하여라.
나타낸 것이다. 이 두 반 전체의 수학 점수의 평균을 구하여라.
8, `4, `7, `x, `6, `7, `10, `5, `7``
바빠 중학도형 17
02 분산과 표준편차 ●●산포도 자료가 흩어져 있는 정도를 하나의 수로 나타낸 값 ① 편차 : 어떤 자료의 각 변량에서 평균을 뺀 값 자료를 수량으로 나타낸 값
(편차)=(변량)-(평균)
•편차의 합은 항상 0이다. •변량이 평균보다 크면 편차는 양수이고, 평균보다 작으면 편차는 음수이다. • 편차의 절댓값이 클수록 변량은 평균에서 멀리 떨어져 있고, 편차의 절댓 값이 작을수록 변량은 평균 가까이에 있다. ② 분산 : 편차의 제곱의 평균
바빠 꿀팁!
• 산포도는 한자로 散布度인데 흩 어질 산, 퍼질 포, 정도 도로 자 료가 퍼져 있는 정도를 나타내. 따라서 산포도가 크면 자료가 많 이 퍼져 있다는 뜻이지. • 분산과 표준편차가 작을수록 자 료는 평균 가까이에 모여 있고, 분산과 표준편차가 클수록 자료 는 평균에서 멀리 흩어져 있어.
Û` (분산)= {(편차) 의 총합} (변량의 개수) ③ 표준편차 : 분산의 음이 아닌 제곱근 (표준편차)="Ã(분산) 학생들의 윗몸 일으키기 횟수를 조사하였더니 38, 42, 41, 43, 36일 때, 윗몸일 으키기 횟수의 분산과 표준편차를 구해 보자. 38+42+41+43+36 =40(회) 5 (38-40)Û`+(42-40)Û`+(41-40)Û`+(43-40)Û`+(36-40)Û` (분산)= 5 =6.8 (평균)=
(표준편차)='¶6.8(회)
●●도수분포표에서의 평균, 분산, 표준편차 ① 도수분포표에서의 평균 {(계급값)_(도수)}의 총합 (도수의 총합) ② 분산과 표준편차 (평균)=
(분산)=
{(편차)Û`_(도수)}의 총합 , (표준편차)="Ã(분산) (도수의 총합)
앗! 실수 • 편차의 합은 항상 0이므로 편차의 평균도 0이어서 산포도로 사용할 수 없어. 그렇지만 편차를 제곱하면 그 값은 모두 양수가 되므로 편차의 제곱의 평균을 산포도로 사용하는 거야. • 산포도는 분산만 구하면 될 것 같은데 표준편차까지 구하는 이유는 무얼까? 산포도를 자료의 단위와 같게 맞추기 위해서야. 분산은 편차들을 제곱한 것이므로 자료의 단위를 쓸 수 없지만 분산의 제곱근인 표준편차는 자료의 단위와 같아.
18 바쁜 중3을 위한 책
A
•(편차)=(변량)-(평균) •편차의 합은 항상 0이야. •편차의 부호 : 평균보다 큰 변량은 +, 평균보다 작은 변량은 이 정도는 암기해야 해 암암!
편차의 성질 이용하기
◼◼ 아래 표는 편차를 나타낸 것이다. 다음 표의 빈칸에 알맞은 수를 써넣어라.
A -2
Help
앗! 실수
5. 5명의 학생의 봉사 활동 시간의 평균이 20시간일
1. 5명의 학생의 키의 편차 학생 편차(cm)
◼◼아래 표는 편차를 나타낸 것이다. 다음을 구하여라.
B 3
C
D -5
E 4
편차의 합은 0이다.
때, 학생 E의 봉사 활동 시간 A 2
학생 편차(시간) Help
B -3
C 1
D -1
E
차를 먼저 구한 후 (편차)=(변량)-(평균)임 편 을 이용하여 학생 E의 봉사 활동 시간을 구한다.
6. 6명의 학생의 일주일 동안 컴퓨터 사용 시간의 평균 이 7시간일 때, 학생 B의 컴퓨터 사용 시간
2. 6명의 학생의 수학 점수의 편차 A 4
학생 편차(점)
B -1
C -4
D 6
E
F -2
학생 편차 (시간)
A
B
4
D
C
E
F
-3
3
-1
-5
◼◼ 다음 표는 변량과 편차를 나타낸 것이다. a, b, c의 값을 각각 구하여라. 7. 5명의 학생의 영어 점수와 편차
3. 6명의 학생의 몸무게의 편차 A -1
학생 편차(kg)
B 2
C -2
D 5
E -3
F
학생 영어 점수 (점) 편차(점) Help
A
B
C
D
E
77
a
b
78
76
1
-2
c
2
0
편차가 0인 학생 E의 점수가 평균이다.
8. 한 편의점에서 팔고 있는 6 종류의 음료수의 판매 4. 7명의 학생의 앉은 키의 편차 학생 편차 (cm)
개수와 편차
A
B
C
D
E
4
-3
-2
1
4
F
G 0
학생 음료수(개) 편차(개)
A 37 -3
B a c
C 40 0
D b -7
E 45 5
바빠 중학도형 19
B
{(편차)Û`의 총합} (변량의 개수) ="Ã (분산) •(표준편차) •(분산)=
분산과 표준편차 구하기
이 정도는 암기해야 해 암암!
◼◼ 아래 자료는 남자 중학생 5명의 일주일 동안 운동 시간을 조사하여 나타낸 것이다. 다음을 구하여라.
◼◼ 아래 자료는 축구 동아리 회원 6명이 지난해에 넣은 골 수를 조사하여 나타낸 것이다. 다음을 구하여라.
7, 8, 3, 2, 5
4, 7, 9, 13, 12, 9 (단위 : 시간)
(단위 : 골)
앗! 실수
1. 평균
6. 평균
2. 각 변량에 대한 편차
7. 각 변량에 대한 편차
3. (편차)Û`의 총합
8. (편차)Û`의 총합
4. 분산
9. 분산
5. 표준편차
10. 표준편차
20 바쁜 중3을 위한 책
C
분산과 표준편차의 활용
◼◼ 3 개의 변량 a , b , c 의 평균이 6 이고, 표준편차가 3일 때, 다음 변량의 평균과 표준편차를 구하여라.
n개의 변량 xÁ, xª, , xn의 평균이 m이고 표준편차가 s일 때 •xÁ+b, xª+b, , xn+b의 평균은 m+b, 표준편차는 s •axÁ, axª, , axn의 평균은 am, 표준편차는 |a|s •axÁ+b, axª+b, , axn+b의 평균은 am+b, 표준편차는 |a|s
◼◼ 3 개의 변량 a , b , c 의 평균이 5 이고, 표준편차가 2일 때, 다음 변량의 평균과 표준편차를 구하여라. 앗! 실수
1. a+1, b+1, c+1
5. 2a-1, 2b-1, 2c-1 평균
평균
표준편차 Help
a, b, c의 평균이 m, 표준편차가 s일 때, a+1, b+1, c+1의 평균은 m+1, 표준편차는 s
표준편차 a , b, c의 평균이 m, 표준편차가 s일 때, 2a-1, 2b-1, 2c-1의 평균은 2m-1, 표준편차 는 2s Help
2. a-3, b-3, c-3 평균
6. 3a+1, 3b+1, 3c+1
표준편차
평균 표준편차
3. 2a, 2b, 2c 평균
7. 4a+3, 4b+3, 4c+3
표준편차 Help
평균
a, b, c의 평균이 m, 표준편차가 s일 때, 2a, 2b, 2c의 평균은 2m, 표준편차는 2s
표준편차
8. 5a-4, 5b-4, 5c-4
4. 3a, 3b, 3c 평균
평균
표준편차
표준편차
바빠 중학도형 21
D
도수분포표, 히스토그램에서 분산과 표준편차 구하기
{(계급값)_(도수)}의 총합 (도수의``총합) {(편차)Û`_(도수)}의 총합 •(분산)= (도수의 총합) •(표준편차)="Ã(분산) •(평균)=
◼◼ 다음 도수분포표를 완성하고 평균, 분산, 표준편차 를 각각 구하여라.
◼◼ 다음 히스토그램에서 자료의 평균, 분산, 표준편차 를 각각 구하여라.
1. 수민이네 반 학생들이 한 달 동안 읽은 책 수
3. 재아네 반 학생들의 주말 동안 TV 시청 시간
계급(권) 0이상 ~ 2미만 2 ~4 4 ~6 합계
도수 (명) 5 10 5 20
(명)
계급값 (계급값) 편차 (편차)Û` (권) _(도수) (권) _(도수)
8 6
4 2
평균
0
분산
2
4
6
8
10 (시간)
평균
표준편차
분산 표준편차
4. 승아네 반 학생들의 100 m 달리기 기록 2. 민우네 반 학생들의 한 달 동안 매점 방문 횟수 계급(회) 0이상 ~ 10미만 10 ~ 20 20 ~ 30 30 ~ 40 합계
22 바쁜 중3을 위한 책
도수 (명) 1 4 3 2 10
(명) 8
계급값 (계급값) 편차 (편차)Û` (회) _(도수) (회) _(도수)
6
4 2 0
11 13 15 17 19 21 (초)
평균
평균
분산
분산
표준편차
표준편차
E
자료의 분석
•각 자료의 값이 평균 가까이에 모여 있어야 표준편차가 작아. •자료의 분포 상태가 고른 반은 표준편차가 작은 반이야. 잊지 말자. 꼬~옥!
◼◼ 다음 표에서 A, B 두 학생 중 표준편차가 작은 학생 을 골라라. 1. 일주일 동안의 방과 후 학습량 요일 A (시간) B (시간) Help
월
화
수
목
금
토
일
3.3
4.6
3.2
3.5
2.6
4.3
3
1
5.4
3.5
10
1.3
3.1
1.2
4. 5회에 걸쳐 치러진 과학 수행 평가 점수의 평균 1반(점) 2반(점) 3반(점)
1회 33 40 38
2회 48 44 37
3회 39 42 42
4회 46 41 44
5회 36 43 49
학습량의 차이가 작은 학생을 고른다.
◼◼다음을 구하여라. 5. 5개 학급 중 영어 성적이 가장 고른 반
2. 일주일 동안 문자를 받은 개수 요일 A(개) B(개)
월 10 18
화 12 17
수 15 16
목 20 16
금 30 15
토 27 10
일 5 12
학급 평균(점) 표준편차 (점) Help
A 75
B 77
C 79
D 73
E 76
1.5
2
3
1
1.2
표준편차가 작은 반이 성적이 고른반이다.
◼◼ 다음 표에서 1반, 2반, 3반 중 표준편차가 가장 작은 반을 골라라. 3. 5회에 걸쳐 치러진 수학 점수의 평균 1반(점) 2반(점) 3반(점)
1회 75 64 72
2회 71 77 65
3회 70 70 69
6. 5개 학급의 몸무게의 차이가 가장 작은 반 4회 74 75 78
5회 75 85 81
학급 평균(kg) 표준편차 (kg)
A 53
B 56
C 54
D 52
E 57
3.5
4
3
2.3
4.2
바빠 중학도형 23
아싸!~
거저먹는 시험 문제 [1~6] 분산과 표준편차
4. 오른쪽 도수분포표는
1. 다음 중 옳지 않은 것을 모두 고르면? (정답 2개) ① 표준편차가 작을수록 자료는 고르게 분포되어 있다.
어느 도시의 9월의 15 일 동안의 최저 기온을 조사하여 나타낸 것이 다. 이 자료의 분산을
② 편차의 합은 항상 0이다.
최저 기온(¾) 2이상 ~ 4미만 4 ~6 6 ~8 8 ~ 10 10 ~ 12 합계
날수(일) 1 5 4 3 2 15
구하여라.
③ 평균이 높으면 표준편차가 크다. ④ 편차의 제곱의 평균이 분산이다. ⑤ 분산이 크면 표준편차는 작다.
앗! 실수
5. 아래 표는 5개 지역 학생들의 국어 점수의 평균과 표 준편차를 나타낸 것이다. 다음 중 이 자료에 대한 설 명으로 옳은 것을 모두 고르면? (정답 2개) (단, 5개 지역의 학생 수의 총합은 같다.)
2. 다음 표는 지윤이의 5회에 걸친 윗몸일으키기 횟수 의 편차를 나타낸 것일 때, 분산은? 회차 편차(회)
1 2
2 -4
① 4.2
② 5
④ 6.8
⑤ 7.2
3 3
4 -2
5 1
③ 5.7
지역 평균(점) 표준편차 (점)
A 78
B 69
C 72
D 75
E 77
5.3
6
3
8.5
3.2
① 국어 점수가 가장 높은 학생은 A지역에 있다.
② 국어 점수에 대한 (편차)Û`의 총합이 가장 큰 지 역은 D지역이다.
③ 국어 점수가 가장 고르지 않은 지역은 B지역이다. ④ B지역에 국어 점수가 가장 낮은 학생이 있다. ⑤ 국어 점수가 가장 고른 지역은 C지역이다.
3. 4개의 변량 a, b, c, d의 평균을 m, 표준편차를 s라 할 때, 2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3의 평균과 표준 편차를 각각 구하여라.
6. 다음 자료들 중에서 표준편차가 가장 큰 것은? ① 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3 ② 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ③ 2, 5, 2, 5, 2, 5, 2, 5, 2, 5 ④ 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3, 7, 3 ⑤ 4, 2, 4, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 2
24 바쁜 중3을 위한 책
둘째 마당
피타고라스 정리 둘째 마당에서는 피타고라스 정리에 대해 배울 거야. 피타고라스 정리는 고대 그리스의 수학자인 피타고라스의 이름을 따서 만들어졌는데, 이 정리를 이용하면 직각삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계를 알 수 있어. 따라서 직각삼각형에 관한 문제는 대부분 피타 고라스 정리를 이용하면 해결할 수 있어. 그 외에도 평면도형, 입체도형에서 피타고라스 정리를 활용하는 방법도 배우니, 잘 익혀 두자.
14일 진도
공부할 내용!
03. 피타고라스 정리
스스로 계획을 세워 봐!
20일 진도 3일차
월
일
4일차
월
일
월
일
월
일
6일차
월
일
7일차
월
일
8일차
월
일
9일차
월
일
10일차
월
일
2일차 04. 피타고라스 정리의 확인
05. 피타고라스 정리와 도형 1
3일차
5일차
06. 피타고라스 정리와 도형 2 07. 사각형의 대각선, 정삼각형의 높이와 넓이
4일차
08. 특수한 직각삼각형의 세 변의 길이의 비 09. 두 점 사이의 거리
5일차 10. 입체도형에서 피타고라스 정리의 활용 1 11. 입체도형에서 피타고라스 정리의 활용 2
6일차
03 피타고라스 정리 ●●피타고라스 정리 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 a, b라 하고, 빗
c
변의 길이를 c라고 하면 aÛ`+bÛ`=cÛ`
b
a
오른쪽 직각삼각형에서 x의 값을 구해 보자. xÛ`=3Û`+4Û`=5Û`
x
3
∴ x=5 4
●●직각삼각형에서 변의 길이 구하기 피타고라스 정리를 이용하면 직각삼각형에서 두 변의 길이를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 아래 그림과 같이 ∠C=90ù인 직각삼각형 ABC에서 ①
②
A a2+b2 B
a
C
c
c
b B
a
A
③
A
B
• 직각삼각형의 세 변의 길이를 세 자연수의 쌍 (a, b, c)로 나타낼 때, (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17) 이 가장 많이 나오는 수야. 이 수 들을 외워 두면 매번 계산하지 않아도 되니 편리해. • 피타고라스 정리는 제곱수가 많 이 나오기 때문에 아래 제곱수를 외우고 있으면 계산이 빨라져. 11Û`=121, 12Û`=144, 13Û`=169, 14Û`=196, 15Û`=225, 16Û`=256
b
c2_a2 C
바빠 꿀팁!
C
c2_b2
① 밑변의 길이 a와 높이 b를 알 때 : ABÓ Û`=aÛ`+bÛ` ⇨ ABÓ="ÃaÛ`+bÛ` ② 밑변의 길이 a와 빗변의 길이 c를 알 때 : ACÓ `Û =cÛ`-aÛ` ⇨ ACÓ="ÃcÛ`-aÛ` ③ 높이 b와 빗변의 길이 c를 알 때 : BCÓ Û`=cÛ`-bÛ` ⇨ BCÓ="ÃcÛ`-bÛ`
●●피타고라스 정리를 이용하여 변의 길이 구하기 오른쪽 그림에서 BFÓ의 길이를 구해 보자. BDÓ="Ã1Û`+1Û`='2
BDÓ를 반지름으로 하는 원을 그리면 BEÓ=BDÓ='2
삼각형 FBE에서 BFÓ Û`=BEÓ Û`+FEÓ Û`=2+1=3
A
D
F
C
E
1 B
1
∴ BFÓ='3
앗! 실수 피타고라스 정리를 배우고 나면 직각삼각형인지 확인하지 않고 모든 삼각형에 피타고라스 정리를 이용하여 변의 길이를 구하는 경우가 있어. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서만 성립한다는 것을 잊지 말자.
26 바쁜 중3을 위한 책
•c="ÃaÛ`+bÛ
A
변의 길이 구하기 1
c
•b="ÃcÛ`-aÛ •a="ÃcÛ`-bÛ
a
잊지 말자. 꼬~옥!
◼◼ 다음 그림의 직각삼각형에서 x의 값을 구하여라. 1.
x
5.
b
x
2
1
2»5
2
x
6. 2. x
2
3
3»2
2
3.
7. 10
x
6
3 x 2
8.
4. x
3
4
x
15
12
바빠 중학도형 27
B
변의 길이 구하기 2
◼◼ 다음과 같은 삼각형 ABC에서 나머지 한 변의 길이 를 구하여라.
오른쪽 그림에서 x의 값을 구해 보자. xÛ`+3Û`=(x+1)Û xÛ`+9=xÛ`+2x+1 ∴ x=4
◼◼ 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. 5.
x+2
1. ∠A=90ù, ABÓ=5`cm, ACÓ=2`cm Help
각삼각형을 그려서 각의 크기가 90ù인 꼭짓점 직 에 A를, 나머지 꼭짓점에 B, C를 쓴다.
x
4
Help
x `Û +4Û`=(x+2)Û
6. 12
x
2. ∠C=90ù, ABÓ=6`cm, ACÓ=4`cm x
7.
x+5
x+2
3. ∠B=90ù, BCÓ=2'3`cm, ACÓ=4`cm 3»3
앗! 실수
8. 4. ∠A=90ù, ABÓ=5`cm, BCÓ=4'2`cm
28 바쁜 중3을 위한 책
x+7
x 13
x+1
x 3
C
삼각형에서 피타고라스 정리의 이용 1
◼◼ 다음 그림에서 x, y의 값을 각각 구하여라.
오른쪽 그림에서 x, y의 값을 각각 구해 보자. x="Ã10Û`-8Û`='3 6=6
B
y
x
3
D
B
4
A
B
3»2
A y
4
A 4
x
B
y
C 6
2»7 D
x
C
C
D 2
7.
5
D 3
B
6
x 8
y x
3»2
A y
C
C
2
2.
3.
C
y
x
6.
B
x D 6
D
12
4 5
B
y
A
A
1.
8 10
y="Ã8Û`+(6+6)Û`=4'1 3
5.
A
C
5
D
앗! 실수
y
B
6
7
D 3
A
8.
A
4.
10
x C
B
D
y
x
6 C
바빠 중학도형 29
D
삼각형에서 피타고라스 정리의 이용 2
AÕÁCÓ="ÃaÛ`+aÛ`='2a AÕªCÓ="ÃAÕÁCÓ Û`+aÛ`='3a
A1
AÕ£CÓ="ÃAÕªCÓ Û`+aÛ`=2a
a
아하 그렇구나!
◼◼ 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. 1.
E
D
5.
B Help
2.
B x
Help
A
1
A CÓ="Ã1Û`+1Û`='2 ADÓ="Ã('2)Û`+1Û`='3
E
D
F
H
C
E
G
1
A
6.
A 2 B
E
D
F
H
C
E
G
D
F
H
J
E
G
I
x 2
D
F
C x
2 A
B
앗! 실수
E
4.
2
D
F
7. C
x
»2 A
30 바쁜 중3을 위한 책
»2
B
A 3 B
a
BDÓ="Ã1Û`+1Û`='2 BEÓ=BDÓ='2이므로 삼각형 BEF에서 BFÓ="Ã('2)Û`+1Û`='3
x 1
»2a
x
G
1
3.
D
F
C
B
A 1
F
C 1
B
a
A2
x 3
C
a »3a
C
A3
2a
E
사각형에서 피타고라스 정리의 이용
◼◼ 다음 그림에서 x의 값을 구하여라. 1.
오른쪽 그림과 같은 직각이 2개 포함된 사각형의 변의 길이는 대각선 또는 수선을 그어 직각 B 삼각형을 찾고 피타고라스 정리 를 이용하여 구해.
5.
D
2»3
x
B Help
B Help
C
4»2
A
D
D C
B
H
C
D
x
6
A 4
5
A
A
C
7
점 A에서 BCÓ에 수선을 내려 높이를 구한다.
점 A와 점 C를 잇는다.
6. A
2.
D 10
8
2»5 D
x
6
A
x C
B
2 B
C
6
◼◼ 다음 사각형 ABCD의 넓이를 구하여라. 3.
6
A 8
A
7.
D
4
8
D 2»2 C
x B
B Help
10
C
점 A에서 BCÓ에 수선을 내린다.
앗! 실수
8. 사각형 ABCD는 등변사다리꼴 A D
4.
2
D
5
x 8
A 3 B
B Help
12
C
8
C
점 A, D에서 각각 BCÓ에 수선을 내려 높이를 두 구한다.
바빠 중학도형 31
아싸!~
거저먹는 시험 문제 4. 다음 그림에서 ABÓ='2`cm,
[1~4] 삼각형에서 피타고라스 정리의 이용
12`cm
직각삼각형 ABC 에 서 ABÓ=12`cm이고
BCÓ=CDÓ=DEÓ=EFÓ=FGÓ=2`cm일 때,
A
1. 오 른쪽 그림과 같은
삼각형 AGF의 넓이를 구하여라. D
B
C
C
△ABC=30`cmÛ`일 때, BCÓ의 길이는? ① 13`cm
② 14`cm
④ 16`cm
⑤ 17`cm
E F
2
③ 15`cm
B
G
»2 A
[5~6] 사각형에서 피타고라스 정리의 이용 앗! 실수
A
2. 오른쪽 그림에서
5. 오른쪽 그림의 사각형 ABCD
∠ABC=∠ACD=90ù,
에서 ∠B=∠D=90ù이고
ABÓ=9`cm, BCÓ=3`cm,
BCÓ=2'5일 때, ADÓ의 길이 B 3`cm
구하여라.
D
C 3`cm
A
3. 오른쪽 그림과 같은 직각삼 각형 ABC에서 점 M은 BCÓ
10»2
의 중점이고 ABÓ = 10'2 ,
10
M
C
① 2'3
② 4
④ 6
⑤ 5'2
ABÓ=DCÓ=2'1 0이고 ADÓ=5, BCÓ=9일 때, 사각형 ABCD의 넓이를
C
2»5
③ 4'2
6. 오른쪽 그림과 같은 등변
구하여라.
32 바쁜 중3을 위한 책
B
는?
사다리꼴 ABCD에서
ACÓ=10일 때, AÕM의 Ó 길이 B
2»3
ADÓ=DCÓ, ABÓ=2'3,
9`cm
CDÓ=3`cm일 때, ADÓ의 길이를
를 구하여라.
D
A
A
5
D
2 10 B
9
C
04 피타고라스 정리의 확인 ●●유클리드의 방법 D
직각삼각형 ABC의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형 AFGB, ACDE, BHIC를 그리고 꼭짓점 C에서 ABÓ에
I
C
E
H
내린 수선의 발을 L, 그 연장선과 FGÓ가 만나는 점을 M이
A
다음 그림의 4개의 삼각형의 넓이 는 같아.
L B
라 하면 ① □ACDE=□AFML, □BHIC=□LMGB F ② □ACDE+□BHIC=□AFGB이므로 ACÓ `Û +BCÓ Û`=ABÓ Û`
●●피타고라스의 방법 직각삼각형 ABC에서 두 변 AC, B C 를 연장하여 한 변의 길이가
A c
a+b인 정사각형 CDFH를 그리면
B
① △ABC ª△EADª△GEF
b b
a
E b
a
F
a
C
ª△BGH (SAS 합동)
D
A
c
H b
G C
A
B
F
G C
A
③ □CDFH=4△ABC+□AEGB
F
(a+b)Û`=4_;2!;ab+cÛ` ∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`
A E
직각삼각형 ABC와 합동인 삼
D H
C
각형 4개를 맞추어 정사각형
a
b A
c
C a_b B
a-b인 정사각형이다.
b
G a F b
a
A
c
L B M
G
C
E
●●바스카라의 방법
① □CFGH는 한 변의 길이가
F
E
C
② □AEGB는 한 변의 길이가 c인 정사각형이다.
ABDE를 만들면
B
b a
B
A
E
a
G
C
E
G
M
바빠 꿀팁!
F
L B M
G
△ACE =△ABE=△AFC =△AFL
B
c
② □ABDE=4△ABC+□CFGH cÛ`=4_;2!;ab+(a-b)Û` ∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`
●●가필드의 방법 직각삼각형 ABC와 합동인 삼각형 EAD를 세 점 A, C, D가 한 직선 위에 있도록 붙여 놓으면 ① △AEB는 ∠BAE=90ù인 직각삼각형이다. ② □BCDE=△ABC+△EAD+△AEB
B a C
c b A
c a
E b D
;2!;(a+b)(a+b)=;2!;ab+;2!;ab+;2!;cÛ` ∴ aÛ`+bÛ`=cÛ`
바빠 중학도형 33
A
오른쪽 그림에서 •△EBA=△EBC=△ABF=△BFL •□DEBA+□ACHI=□BFGC
피타고라스 정리의 확인 - 유클리드의 방법
이 정도는 암기해야 해 암암!
D A
E
I
B
LC
F
M G
H
앗! 실수
◼◼ 다음 그림은 ∠A=90ù인 직각삼각형 ABC의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것이다. 다음 중 삼각형 EBA와 넓이가 같은 것은 ○를, 넓 이가 같지 않은 것은 ×를 하여라.
◼◼ 다음 그림은 ∠A=90ù인 직각삼각형 ABC의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것이다. 색칠한 부분의 넓이를 구하여라. D
6.
D
E
I A
E
H B
F
1. 삼각형 EBC
I A
9`cm2
L
M
5`cm2 H
B
C
F
G
C
G I
7. D E
C
B 20`cm
2
F
2. 삼각형 ABF
H
16`cm2
A
G
앗! 실수
D
8.
I A
E
3`cm
3. 삼각형 AEC
Help
B
5`cm C
F
G
H
△ABF=;2!; □EBAD
4. 삼각형 ABC D
9. E
I A
H
4»5`cm B
12`cm
C
5. 삼각형 BFL F
34 바쁜 중3을 위한 책
G
B
△ABC에서 두 변을 연장하여 한 변이 a+b인 정사각형을 그리면 •△ABCª△EADª△GEFª△BGH •□ CDFH=4△ABC+□AEGB ⇨ aÛ`+bÛ`=cÛ`
피타고라스 정리의 확인 - 피타고라스의 방법
◼◼ 오른쪽 그림과 같은 정사각 형 ABCD에서 다음을 구 하여라.
A
H
6`cm
D
b G a
a c c
H b B
E b D c c a
a A b C
◼◼ 다음 그림에서 사각형 EFGH의 넓이가 주어질 때, 정사각형 ABCD의 넓이를 구하여라.
G
5. □EFGH=45`cmÛ`
E B
F
F 10`cm
C
A
H
D
6`cm
1. AHÓ의 길이
G
E B Help
F
C
E HÓ='4 5=3'5(cm)
6. □EFGH=80`cmÛ` A
H
D G
2. EHÓ의 길이
E 4`cm B
F
C
◼◼ 다음 그림에서 정사각형 ABCD의 넓이가 주어질 때, 사각형 EFGH의 넓이를 구하여라. 7. □ABCD=81`cmÛ` H
A
3. □EFGH의 둘레의 길이
D
5`cm G
E B
C
F
8. □ABCD=100`cmÛ` A
H
D G
4. □EFGH의 넓이
E 3`cm B
F
C
바빠 중학도형 35
C
피타고라스 정리의 확인 - 바스카라, 가필드의 방법
◼◼ 다 음 그림과 같은 정사각형 ABCD 에서 사각형 EFGH의 넓이를 구하여라. 1.
5`cm
A
c A 직각삼각형 ABC와 합동인 삼각형 4개를 맞추어 B F b a 정사각형 ABDE를 만들면 C G •△ABCª△BDFª△DEGª△EAH •□ABDE=4△ABC+□ CFGH H D E ⇨ aÛ`+bÛ`=cÛ`
◼◼ 다 음 그림에서 △ ABCª △ CDE 일 때, 삼각형 ACE의 넓이를 구하여라.
3`cm E
F
E
5.
D
A
H
B
G B Help
Help
C
E HÓ=AHÓ-AEÓ
A
2.
13`cm
6`cm
4`cm
D
C
ABCª△CDE이므로 BCÓ=6`cm, CDÓ=4`cm △ 이고 삼각형 ACE는 ACÓ=CEÓ인 직각이등변삼 각형이다.
D
E
A
6.
E
H 7`cm
F 5`cm
B
G
5`cm
B
C
D
C
◼◼ 다 음 그림과 같은 정사각형 ABCD 에서 사각형 EFGH의 넓이가 주어질 때, 사각형 ABCD의 넓 이를 구하여라.
◼◼ 다 음 그림에서 △ ABCª △ CDE 이고, 삼각형 ACE의 넓이가 주어질 때, 사각형 ABDE의 넓이 를 구하여라.
3. □EFGH=4`cmÛ`
7. △ACE=10`cmÛ
A
8`cm F
D
E
E A
H G
B Help
C
EFGH=4`cmÛ`이므로 □ EHÓ=2`cm, AEÓ=6`cm
4. □EFGH=49`cmÛ` A E
D
15`cm
B
4`cm
Help
C
△ACE는 직각이등변삼각형이므로 ACÓ Û`=2_10
8. △ACE=45`cmÛ B
3`cm A
H
F
C
G B
36 바쁜 중3을 위한 책
C
D
D
E
D
직각삼각형이 되기 위한 조건
세 변의 길이가 각각 a, b, c인 삼각형 ABC에서 aÛ`+bÛ`=cÛ`이면 삼 각형 ABC는 ∠C=90ù인 직각삼각형이야. 아하 그렇구나!
◼◼ 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼 각형인 것은 ○를, 직각삼각형이 아닌 것은 ×를 하 여라. 1. 2, 2, 2'2
2. 3, 5, 6
3. 3'2, 4, '3
4. 5, 2, '2 1
◼◼ 세 변의 길이가 각각 다음과 같은 삼각형이 직각삼 각형이 되기 위한 x의 값을 구하여라. 6. x-1, x+1, x Help
빗변의 길이는 x+1이다.
7. x+1, x+3, 2x (단, 2x가 가장 긴 변)
8. 2x+1, x-1, 2x
앗! 실수
9. x-1, x, x-8
5. 6, 5'3, 4 10. x-3, x, x+3
바빠 중학도형 37
아싸!~
거저먹는 시험 문제 [1~6] 피타고라스 정리의 확인
4. 오른쪽 그림에서 4개의 직각
∠A=90ù인 직각삼각형
A
E
ABC의 세 변을 각각 한
B
변으로 하는 정사각형을
9`cm H
15`cm C
H
F
사각형 ABCD의 넓이는
I
36`cmÛ`이다. AEÓ=3`cm일 때, 사각형 EFGH의 둘레의
D
3`cm E
삼각형은 모두 합동이고
D
1. 오른쪽 그림은
A
G B
C
길이는?
그린 것이다. ACÓ=9`cm, F
BCÓ=15`cm일 때, 삼각형
G
ABF의 넓이를 구하여라.
① 7('3-2)cm
② 8('3-2)cm
③ 9('3-1)cm
④ 10(3-'2)cm
⑤ 12('3-1)cm
앗! 실수
D
2. 오른쪽 그림은 ∠A=90ù인 직각삼각형
I E
A
ABC의 세 변을 각각
3`cm B
한 변으로 정사각형을
H
5. 오른쪽 그림에서
C
L
ACÓ=3`cm,
F
삼각형 BCE의 넓이를 구하여라.
C D
중 옳지 않은 것은? ① △LBF=8`cmÛ`
② △EBCª△ABF
③ △EBC=△ABC
④ △EBC=8`cmÛ
B
ABÓ=6`cm, DEÓ=8`cm일 때,
G
M
CGÓ=5`cm일 때, 다음
6`cm
△ACBª△DEC이다.
5`cm
그린 것이다.
A
8`cm
⑤ □LMGC=9`cmÛ
3. 오른쪽 그림에서 xÛ`+yÛ`=30
일 때, 사각형 ABCD의 넓이 는? ① 26 ③ 32 ⑤ 40
38 바쁜 중3을 위한 책
② 30 ④ 38
6. 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼 y
E
D x
H
x A
y
y
C x
F
x
B
y
G
각형을 모두 고르면? (정답 2개) ① '7, '5, '2
③ 2'3, 4, 7 ⑤ 3'3, 5, '2
② 2, 8, 7 ④ 5, 2'5, 9
E