바 빠
나혼
선생님 도움 없이 혼자 풀기 딱! 좋은 책
자
프로젝트 완성
리
바
즈
쁜중2 른중학연산 빠
중학 수학 시
스쿨피아 연구소 임미연 지음
를 위한
2권•2학년 1학기 부등식, 일차함수 영역
과정
스쿨피아 연구소의 대표 저자 소개
임미연 선생님은 대치동 학원가의 소문난 명강사로, 10년이 넘게 중고등학생에게 수학을 지도하고 있다. 명강사로 이름을 날리기 전에는 두산동아와 디딤돌에서 중고등 참고서와 교과서를 기획, 개발 했으며 대표적인 참여 프로젝트로는 <투탑 시리즈>가 있다. 이론과 현장을 모두 아우르는 저자로, 학 생들이 어려워하는 부분을 잘 알고 학생에 맞는 수준별 맞춤형 수업을 하는 것으로도 유명하다. 그동 안의 경험을 집대성해, <바빠 중학연산> 시리즈와 <바빠 중학도형>을 집필하였다.
대표 도서 《바쁜 중1을 위한 빠른 중학연산 ①》 ― 소인수분해, 정수와 유리수 영역 《바쁜 중1을 위한 빠른 중학연산 ②》 ― 일차방정식, 함수 영역 《바쁜 중1을 위한 빠른 중학도형》 ― 통계, 기본 도형과 작도, 평면도형, 입체도형 《바쁜 중2를 위한 빠른 중학연산 ①》 ― 수와 식의 계산, 연립방정식 영역 《바쁜 중2를 위한 빠른 중학연산 ②》 ― 부등식, 일차함수 영역
‘바빠 중학 수학’시리즈
바쁜 중2를 위한 빠른 중학연산 2권 ― 부등식, 일차함수 영역 초판 1쇄 인쇄 2016년 8월 5일 초판 1쇄 발행 2016년 8월 12일 지은이 스쿨피아 연구소 임미연 발행인 이지연 펴낸곳 이지스퍼블리싱(주) 출판사 등록번호 제313-2010-123호 주소 서울시 영등포구 당산로 41길 11. SK V1센터 323호 대표전화 02-325-1722
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기획 및 책임 편집 조은미, 정지연
교정 교열 서은아
일러스트 김학수
표지 및 내지 디자인 트인글터 전산편집 다우 인쇄 보광문화사 독자 관리 김유미 영업 및 문의 이주동(nlrose@easyspub.co.kr) 잘못된 책은 구입한 서점에서 바꿔 드립니다. 이 책에 실린 모든 내용, 디자인, 이미지, 편집 구성의 저작권은 이지스퍼블리싱(주)과 지은이에게 있습니다. 허락 없이 복제할 수 없습니다. ISBN 979-11-87370-31-4 53410 가격 12,000원
•
는 이지스퍼블리싱의 교육 브랜드입니다.
추천의 글
“전국의 명강사들이 추천합니다!” 나 혼자 풀어도 문제가 풀리는 중학 수학 입문서! ‘바쁜 중2를 위한 빠른 중학연산’
<바빠 중학연산>은 쉽게 해결할 수 있는 연산 문제부터 배치하여 아이들에게 성취감을 줍니다. 또한 명강사에게만 들을 수 있는 꿀팁 이 책 안에 담겨 있어서, 수학에 자신이 없는 학생도 혼자 충분히 풀 수 있겠어요. 수학을 어려워하는 친구들에게 자신감을 느끼게 해 줄 교재가 출간되어 기쁩니다. 송낙천 원장(강남, 서초 최상위에듀학원/최상위 수학 저자)
특목·자사고에서 요구하는 심화 수학 능력도 빠르고 정확한 연산 실력이 뒷받침되어야 합니다. <바빠 중학연산>은 명강사의 비법을 책 속에 담아 개념을 이해하기 쉽고, 연산 속도와 정확성을 높일 수 있도록 문제가 잘 구성되어 있습니다. 이 책을 통해 심화 수학의 기 초가 되는 연산 실력을 완벽하게 쌓을 수 있을 것입니다.
김종명 원장(분당 GTG사고력수학 본원)
<바쁜 중2를 위한 빠른 중학연산>의 출간을 축하합니다! 수학을 어 려워하는 아이도 1학년용 <바빠 중학연산>은 술술 풀어내는 모습 을 보고, 2학년용 출간을 기다려 왔습니다. 아이들이 이해하기 쉽게 체계적으로 잘 구성되어, 중학 수학을 처음 만나는 아이에게 강력 추천합니다!
연산 과정을 제대로 밟지 않은 학생은 학년이 올라갈수록 어려움을 겪습니다. 어려운 문제를 풀 수 있다 하더라도, 계산 속도가 느리거 나 연산 실수로 문제를 틀리면 아무 소용이 없지요. 이 책은 영역별 로 연산 문제를 해결할 수 있어, 바쁜 중학생들에게 큰 도움이 될 것 입니다.
정경이 원장(영등포 하늘교육문래학원)
송근호 원장(용인 송근호수학학원)
처음부터 너무 어려운 문제를 접하면 아이들의 뇌는 움츠러들 대 로 움츠러들어, 공부 의욕을 잃게 됩니다. <바빠 중학연산>은 중학 생이라면 충분히 해결할 수 있는 문제들이 체계적으로 잘 배치되어 있네요. 이 책으로 공부한다면 아이들이 수학에 움츠러들지 않고, 성취감을 느끼게 될 것 같아 ‘강추’합니다!
수학은 놓쳐서는 안 될 중요한 과목입니다. 수학이 약하다면, 이 책 으로 ‘중학 수학 나 혼자 완성 프로젝트’에 도전해 보세요. <바빠 중학연산>은 문제를 무작정 외워서 푸는 것이 아니라, 스스로 머리 를 써서 해결해 나가며 실력을 쌓기에 딱 좋은 교재입니다.
김재헌 본부장(일산 명문학원)
김완석 원장(대구 DM영재학원)
연산을 어려워하는 학생일수록 수학을 싫어하게 되고 결국 수학을 포기하는 경우도 많죠. <바빠 중학연산>은 ‘앗! 실수’ 코너를 통해 학생들이 자주 틀리는 실수 포인트를 짚어 주고, 실수 유형의 문제 를 직접 풀도록 설계한 점이 돋보이네요. 이 책으로 훈련한다면 연 산 실수를 확 줄일 수 있을 것입니다.
대부분의 문제집은 훈련할 문제 수가 많이 부족합니다. <바빠 중학 연산>은 영역별 최다 문제가 수록되어, 아이들이 문제를 풀면서 스 스로 개념을 잡을 수 있겠네요. 예비중학생부터 중학생까지, 자습용 이나 학원 선생님들이 숙제로 내주기에 최적화된 교재입니다.
이혜선 원장(인천 에스엠에듀학원)
김승태 원장(부산 JBM수학학원/수학자가 들려주는 수학 이야기 저자)
바빠 중학연산 3
바쁜 중학 2학년 친구들에게
나 혼자 푼다! 수포자의 갈림길, 중학교 2학년! 중학 수학을 포기하지 않으려면 어떻게 해야 할까? 수학을 포기하는 일명 ‘수포자’는 중학교 2학년에 절정에 이릅니다! ‘수포자 없는 입시 플랜’의 조 사 결과, 전체 수포자 중 33%가 중학교 2학년 초에 수학을 포기했다고 응답했습니다. 또한 전체 수포자의 무려 74%가 중2 때까지 발생했다고 합니다. 이때, 수학을 포기하게 만드는 환경 중 하나가 바로 ‘어려운 문제집’입니다. 대부분의 중학 수학 문제집은 개념을 공부한 후, 기본 문제도 익숙해지지 않았는데 바로 어려운 심화 문제까지 풀도록 구성되어 있습니다. 문제가 풀리는 재미를 느끼며 한 단계 한 단계 차근차근 올라가야 하는데, 갑 자기 계단이 훌쩍 높아지는 것이지요. 그 때문에 학생들이 그 높은 계단을 숨차게 오르다 결국엔 그 자리에 털썩 주저앉고 마는 것입니다. 대치동에서 10년이 넘게 중고생을 지도하고 있는 이 책의 저자, 임미연 선생님은 “요즘 시중의 중학 문제집에는, 학생들이 잘 이해할 수 있을까 의문이 드는 문제가 많이 수록되어 있다.”고 말합니다. 기본 개념도 정리하지 못했는데 심화 문제를 푸는 것은 모래 위에 성을 쌓는 것입니다. 어려운 문 제를 푸는 것이 곧 수준 높은 교육이라는 생각은 허상일 뿐입니다. 그런데 생각보다 많은 학생이 어려운 문제집의 희생양이 됩니다.
수학을 잘하려면 쉬운 문제부터 차근차근 풀면서 개념을 잡는 것이 중요! 물론 수학을 아주 잘하는 학생이라면 어려운 문제집 먼저 선택해도 괜찮습니다. 하지만 보통의 중학생이라면 쉬운 문 제부터 차근차근 풀면서 개념을 잡을 수 있는 책을 먼저 선 택하세요! 처음 만나는 중학 수학 교재는 개념 이해와 연산 으로 기초 체력을 키워야, 나중에 어려운 문제까지 풀어낼 근력을 키울 수 있습니다! 어려운 문제에 도전하는 건 좋지만, 처음 배우는 단원이라면 먼저 <바빠 중학연산>을 푼 다음 어려운 문제집으로 넘어가세요! 어려운 문제를 암기해 기계처럼 풀어내는 방법이 아닌, 스스로 개념을 정리하고 문제 해결 방법을 터득해야 합니다! 그것이 바로 수학을 잘하는 지름길입니다.
4 바쁜 중2를 위한 책
이 책은 허세 없는 기본 문제 모음 훈련서입니다.
<바빠 중학연산>은 수학의 기초 체력이 되는 연산과 쉬운 문제부터 풀 수 있는 책으로, 현재 시중 에 나온 책 중 선생님 없이 혼자 풀 수 있도록 설계된 독보적인 책입니다. 문제가 풀려야 공부가 재미있고 해볼 만한 일이 됩니다. 이 책은 영역별로 최다 문제가 수록됐지 만, 막힘없이 술술 풀려서 시간이 절약되고, 수학에 재미를 느끼게 해줍니다. 이 책을 먼저 풀고 나면 중학 수학의 기초가 탄탄해지고, 어려운 문제에 도전할 수 있는 자신감도 생길 것입니다!
명강사의 바빠 꿀팁! 얼굴을 맞대고 듣는 것 같다. 기존의 책들은 한 권의 책에 지식을 모아 놓기만 할 뿐, 그것을 공부할 방법은 알려 주지 않았습니 다. 그래서 선생님께 의존하는 경우가 많았죠. 그러나 이 책은 선생님이 얼굴을 맞대고 알려 주시 는 것처럼 세세한 공부 팁까지 책 속에 담았습니다. 각 단계의 개념마다 친절한 설명과 함께 명강 사의 노하우가 담긴 ‘바빠 꿀팁’을 수록, 혼자 공부해도 개념을 이해할 수 있습니다.
유형별 최다 문제 수록! 쉬운 문제부터 체계적인 배치 개념을 이해했다면 이제 개념이 익숙해질 때까지 문제를 충분히 풀어 봐야 합니다. 《바쁜 중2를 위 한 빠른 중학연산》은 충분한 연산 훈련을 위해, 쉬운 문제부터 학교 시험 유형까지 영역별로 최다 문제를 수록했습니다. 그래서 2학년 1학기 영역을 2권으로 나누어 구성했습니다. 이 책의 문제를 풀다 보면 머릿속에 유형별 문제풀이 회로가 저절로 그려질 것입니다.
아는 건 틀리지 말자! 중2 학생 70%가 틀리는 문제, ‘앗! 실수’ 코너로 해결! 수학을 잘하는 친구도 연산 실수로 점수가 깎이는 경우가 많습니다. 이 책에서는 연산 실수로 본 인 실력보다 낮은 점수를 받지 않도록 특별한 장치를 마련했습니다. 개념 페이지에 있는 ‘앗! 실 수’ 코너를 통해, 중2 학생의 70%가 자주 틀리는 실수 포인트를 정리했습니다. 또한 ‘앗! 실수’ 유 형의 문제를 직접 풀며 확인하도록 설계해, 연산 실수를 획기적으로 줄이는 데 도움을 줍니다. 또한, 매 단계의 마지막에는 ‘거저먹는 시험 문제’를 넣어, 이 책에서 연습한 것만으로도 풀 수 있는 중학교 내신 문제를 제시했습니다. 이 책에 나온 문제만 다 풀어도 맞을 수 있는
이젠 나도 혼자 공부할 수 있다고~!
학교 시험 문제는 많습니다. 중학생이라면, 스스로 개념을 정리하고 문제 해결 방법을 터득해야 할 때! ‘바빠 중학연산’이 바쁜 여러분을 도와드리겠습니다. 이 책으로 중학 수학의 기초를 튼튼하게 다져 보세요!
바빠 중학연산 5
대소 관계를 나타낸 식
바빠 꿀팁!
① 좌변 : 부등호의 왼쪽 부분
어떤 식이 부등식인지 아닌지를 알 아볼 때는 부등호가 있는지 없는지 만 보면 돼. 부등호만 있으면 부등 식이야. 3<1과 같이 옳지 않은 식이라도 부등식이지.
② 우변 : 부등호의 오른쪽 부분 ③ 양변 : 좌변과 우변을 통틀어 양변이라 한다.
● 부등식의 ‘바빠표현중학연산’ a >b
구성과 특징 a ¾b
a Éb
a는 b보다 크거나 같다. a는 b보다 작지 않다. a는 b 이상이다.
a는 b보다 작거나 같다. a는 b보다 크지 않다. a는 b 이하이다.
a <b
01
a는 b보다 크다.
a는 b보다 작다.
a는 b 미만이다. 초과한다. 1단계a는 |b를개념을 먼저 이해하자!―단계마다 친절한 핵심 개념 설명이 있어요!
a는 3보다 크거나 같다. ⇨ a¾3 부등식의 뜻과 해 a는 3보다 작거나 같다. ⇨ aÉ3
01
부등식의 뜻과 해
● 부등식의 해
>, <, ¾, É)를 사용하여 부등식 수①또는 식의 부등식의 해사용하여 : 미지수가 : 부등호(>, <, ¾, É)를 수 또는 식의 x인 부등식에서 부등식을 참이 되게 하는 x의 값 ● 부등식
대소 관계를 나타낸 식
낸식
바빠 꿀팁!
② 부등식을 푼다. : 부등식의 해를 모두 바빠 구하는 꿀팁!것
① 좌변 : 부등호의 왼쪽 부분
어떤 식이 부등식인지 아닌지를 알 아볼 때는 부등호가 있는지 없는지 만 보면 돼. 부등호만 있으면 부등 식이야. 3<1과 같이 옳지 않은 식이라도 부등식이지.
② 우변 : 부등호의 오른쪽 부분
의 왼쪽 부분
명강사에게서만 들을 수 있는 공부 팁이 꿀팁’에 담겨 있어요.
x의 값이 자연수일 때, 부등식 3x+1<8의 1, 2, 3, 4, 를 대 어떤 식이 x에 부등식인지 아닌지를 알 차례로 ‘바빠
③ 양변 : 좌변과 우변을 통틀어 양변이라 한다.
의 오른쪽 부분
입하면 다음과 같다.
아볼 때는 부등호가 있는지 없는지 만 보면 돼. 부등호만 있으면 부등 부등호 참 또는 거짓 식이야. 우변(8) 3<1과 같이 옳지 않은 식이라도참 < 8 부등식이지. 8 < 참
● 부등식의 표현
a<b
a ¾b
a Éb
a는 b보다 작다. x a는 b 미만이다.
a는 b보다 크거나 같다. a는 b보다 작지 않다. a는 b 이상이다.
a는 b보다 작거나 같다. a는 b보다 크지 않다. a는 b 이하이다.
a >b
우변을 통틀어 양변이라 한다.
a는 b보다 크다. a는 b를 초과한다.
1
좌변(3x+1) 3_1+1=4
a는 3보다 크거나 같다. ⇨ a¾3 a는 3보다 작거나 같다. ⇨ aÉ3
2
3_2+1=7
3
3_3+1=10 > 8 거짓 ① 부등식의 해 : 미지수가 x인 부등식에서 부등식을 참이 되게 하는 x의 값 a¾b aÉb 3_4+1=13 > 8 ② 부등식을 푼다. :4 부등식의 해를 모두 구하는 것 거짓 x의 값이 자연수일 때, 부등식 1, 2, 3, 4, 를 차례로 대 a는 b보다 크거나 a는3x+1<8의 b보다x에 같다. 작거나 같다. ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 입하면 다음과 같다. a는 b보다 작지x 않다. a는 b보다 크지 않다. 좌변(3x+1) 부등호 우변(8) 참 또는 거짓 1 3_1+1=4 a는 b< 이하이다. 8 a는 b 이상이다. 참 따라서 x의 값이 자연수일 때, 부등식 3x+1<8의 해는 1, 2이다. ● 부등식의 해
a<b a는 b보다 작다. a는 b 미만이다.
같다. ⇨ a¾3
같다. ⇨ aÉ3
2
3_2+1=7
<
8
참
3
3_3+1=10
>
8
거짓
4
3_4+1=13
>
8
거짓
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
중학생 70%가 자주 틀리는 실수들을 ‘앗! 실수’ 코너에서 짚어 줍니다.
따라서 x의 값이 자연수일 때, 부등식 3x+1<8의 해는 1, 2이다.
앗! 실수 앗! 실수
부등호를 사용할 때 가장 주의해야 하는 것은 다음 두 가지야. •작지 않다. : 작지만 않으면 되니까 같아도 되고 커도 된다는 뜻이지. a가 b참이 a가 값 b보다 크거나 같다. ⇨ a¾b 보다 작지 미지수가 x인 부등식에서 부등식을 되게않다. 하는⇨x의 •크지 않다. : 크지만 않으면 되니까 같아도 되고 작아도 된다는 뜻이지. : 부등식의 해를 모두 구하는 것 a가 b보다 크지 않다. ⇨ a가 b보다 작거나 같다. ⇨ aÉb 부등호를 사용할 때 가장 주의해야 하는 것은 다음 두 가지야. •작지 않다. : 작지만 않으면 되니까 같아도 되고 커도 된다는 뜻이지. a가 b보다 작지 않다. ⇨ a가 b보다 크거나 같다. ⇨ a¾b •크지 않다. : 크지만 않으면 되니까 같아도 되고 작아도 된다는 뜻이지. a가 b보다 크지 않다. ⇨ a가 b보다 작거나 같다. ⇨ aÉb
12
수일 때, 부등식 3x+1<8의 x에 1, 2, 3, 4, ③ x¾a 를 차례로 대 ① x>a ② x<a ④ xÉa
타내기
같다.
좌변(3x+1) 3_1+1=4
a
3_2+1=7
_3+1=10
맞은 수를 써넣
_4+1=13
a
a
a
부등호 12 <
a
a
a
우변(8) 8
a
a
a
a
a
a
a
a
2단계 | 체계적인 참연산 훈련!―쉬운 문제부터 유형별로 풀다 보면 개념이 잡혀요. <
8
참
8 거짓 ◼>다음 일차부등식을 풀고 수직선에 위에 나타내어라. >
E
8
거짓
① x>a
부등식의 해를 수직선 위에 나타내기
E 이 자연수일 때, 부등식 3x+1<8의 해는 1, 2이다. ⋮
a
참 또는 거짓
⋮10x-1¾6x-13 부등식의5.해를 수직선⋮위에 나타내기⋮ a
a
◼ 다음 일차부등식을 풀고, □ 안에 알맞은 수를 써넣 어라.
a
a
② x<a a
a
a
③ x¾a a
① x>a
a
a
④ xÉa a
a
a
a
a
② x<a
a
a◼ 다음a일차부등식을 a 풀고 a 수직선에 위에 a 나타내어라. a a
③ x¾a a
a
a
5. 10x-1¾6x-13 1. x+5>-x-3
Help
¾, É이면 수직선 위의 점을
a¾b 않다. ⇨ a가 b보다 크거나 같다. ⇨-2x+4<-3x-1 2. 만 않으면 되니까 같아도 되고 작아도 된다는 뜻이지. 1. x+5>-x-3 않다. ⇨ a가 b보다 작거나 같다. ⇨ aÉb
¾, É이면
수직선 위의 점을 로 나타낸다. Help
◼주의해야 다음 일차부등식을 □ 안에 알맞은 수를 써넣 가장 하는 것은 다음풀고, 두 가지야. 어라. 만 않으면 되니까 같아도 되고 커도 된다는 뜻이지.
a
a
a
로 나타낸다.
>, <이면 수직선 위의 점을 ◦로 나타낸다.
Help
¾, É이면 수직선 위의 점을
로 나타낸다.
7. 7x-11<-x+5
새로운 유형이 나올 때마다 ‘Help’가 나와,
>, <이면 수직선 위의 점을 ◦로 나타낸다.
문제를 잘 풀 수 있게 도와줘요.
4. -6x+1¾-3x-8 8. 2x-5¾5x+7
6. 3x-2>x+12
29
7. 7x-11<-x+5 6 바쁜 중2를 위한 책
a
‘문제 풀이 요령’이 담겨 있어요.
5. 10x-1¾6x-13
앗! 실수
2. -2x+4<-3x-1
a
◼ 다음 일차부등식을 풀고 수직선에 위에 나타내어라.
6. 3x-2>x+12
Help
선생님이 바로 옆에서 알려 주는 것 같은
a
6. 3x-2>x+12
Help
3. 3x-2É5x+10
④ xÉa
Help
>, <이면 수직선 위의 점을 ◦로 나타낸다.
3단계 | 시험에 자주 나오는 문제로 마무리!―이 책만 다 풀어도 학교 시험 문제없어요! 아싸!~
시험 문제 거저먹는아싸!~
아싸!~
‘거저먹는 시험 문제’는 이 책에서 연습한 것만으로도 충분히 풀 수 있는 중학교 내신 문제들이에요.
거저먹는 시험 문제
거저먹는 시험 문제
[1~3] [1~3] 일차부등식의 일차부등식의풀이 풀이 앗! 실수
[4~5 부등식의 해를 수직선 [4~5] 부등식의 해를] 수직선 위에 나타내기
앗! 실수
① x¾-7
② xÉ-7
① x¾-7 ④ x¾7
xÉ-7 ② ⑤ x¾-4
④ x¾7
⑤ x¾-4
③ xÉ7
③ xÉ7
①
[1~3] 일차부등식의 풀이
③
_8 _8
_8 _8 직선 위에 바르게 나타낸 것은? ②
_8 _8 _8
①
_8 _8
_8 _8
앗! 실수
⑤
앗! 실수
2. 다음은 일차부등식 -5x+8>13의 풀이 과정이
_8 _8 _8
③
_8 _8
서 찾아 차례로 나열한 것은?
-5x+8>13 의 풀이 과정이 2. 다음은 일차부등식 ① x¾-7 ② xÉ-7
㈎
⑤
②
④
88
㈏
⑤ x¾-4
_8 _8
4~5 _8 [_8 ] 부등식의 해를 수직선 위에 나타내기 8
88 6-2x>-10-4x의 해를 수 4. 다음 중 일차부등식 _8 _8
_8 _8 _8 _8 _8
88
직선 위에 바르게 나타낸 것은? ①
_8 _8 _8 _8
ㄱ. a>b이면 a+c>b+c, a-c>b-c
_8 _8 8
③ xÉ7
_8 _8
-5x+8>13 1Ú -5x>5 1Ú x<-1 다. 이때 ㈎, ㈏에서 이용된 부등식의 성질을 보기에
④ x¾7 서 찾아 차례로 나열한 것은? |보기|
④ _8 _8 _8
88
다. 이때 ㈎, ㈏에서 이용된 부등식의 성질을 보기에 1. 일차부등식 6-3xÉ20-x를 풀면?
앗! 실수
위에 나타내기
4. 다음 중 일차부등식 6-2x>-10-4x의 해를 수 _8 _8 6-2x>-10-4x 4. 다음 중 일차부등식 의 해를 수 _8 _8 직선 위에 바르게 나타낸 것은?
1. 일차부등식 6-3xÉ20-x를 풀면?
1. 일차부등식 6-3xÉ20-x를 풀면?
a b ㈏ ㄴ. a>b, c>0이면 ac>bc, ㈎ >
c c -5x+8>13 1Ú -5x>5 1Ú x<-1 a b ㄷ. a>b, c<0이면 ac<bc, c < c
| 보① ㄱ, ㄴ 기|
② ㄱ, ㄷ
③
5. 다음 일차부등식 중 그 해를 수 5
직선 위에 나타내었을 때, 오른
ㄱ. a>b 이면 a+c>b+c , a-c>b-c ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄷ, ㄱ ① -x-6¾x+4 ② -7+2xÉ9 앗! 실수 a b ③ 3x+4É19 ④ 2x-9¾1 ㄴ. a>b, c>0이면 ac>bc, c > c ⑤ -5x-10¾-x+2 2. 다음은 일차부등식 -5x+8>13 의 풀이 과정이 a b 5. 다음 일차부등식 중 그 해를 수 ㄷ. a>b, c<0이면 ac<bc, c < c 다. 이때 ㈎, ㈏에서 이용된 부등식의 성질을 보기에 3. 일차부등식 10x+7<5x-8을 만족하는 x의 값 중 직선 위에 나타내었을 때, 오른 가장 큰 정수는?
⑤
5
① ㄱ, ㄴ 서 찾아 차례로 나열한 것은? ② ㄱ, ㄷ ③ ㄴ, ㄱ
쪽 그림과 같은 것은?
④ ㄴ, ㄷ ④ 1
① -x-6¾x+4
② -7+2xÉ9
③ 3x+4É19
④ 2x-9¾1
① -5
② -4
③ -2
⑤ ㄷ, ㄱ ⑤ 4
㈎
㈏
-5x+8>13 1Ú -5x>5 1Ú x<-1
_8 _8 _8
②
④
_8 _8
쪽 그림과 같은 것은?
③ ㄴ, ㄱ
_8 _8
_8 _8 _8
_8 _8 _8 _8 8 88
‘앗! 실수’ 유형의 문제 8 8 예요. 실수를 최대한 줄일 수 있어요.
_8 _8 _8 _8
⑤ -5x-10¾-x+2
10x+7<5x-8을 만족하는 x의 값 중 3. 일차부등식 30
|보기| a>b a+c>b+c, a-c>b-c ㄱ. ① -5 ② -4 이면 ③ -2 ④ 1 ⑤ 4 a b ㄴ. a>b, c>0이면 ac>bc, c > c a b ♥ ㄷ. 체크해 보세요! a>b, c<0 이면 ac<bc, c < c
가장 큰 정수는?
5. 다음 일차부등식 중 그 해를 수
나는 어떤 학생인가?
30
① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄷ, ㄱ
5
직선 위에 나타내었을 때, 오른
③ ㄴ, ㄱ
쪽 그림과 같은 것은? ① -x-6¾x+4
② -7+2xÉ9
③ 3x+4É19
④ 2x-9¾1
⑤ -5x-10¾-x+2
□ 연산 실수가 잦은 학생 3. 일차부등식 10x+7<5x-8을 만족하는 x의 값 중
□ 수학 문제만 보면 급격히 피곤해지는 학생
가장 큰 정수는? ① -5
② -4
④ 1
⑤ 4
③ -2
□ 문제 하나 푸는 데 시간이 오래 걸리는 학생
□ 쉬운 문제로 기초부터 탄탄히 다지고 싶은 학생
□ 중2 수학을 처음 공부하는 학생
30
위 항목 중 하나라도 체크했다면 중학연산 훈련이 꼭 필요합니다. 바빠 중학연산은 쉬운 문제부터 차근차근 유형별로 풀면서 스스로 깨우치도록 설계되었습니다.
바빠 중학연산 7
‘바빠 중학연산’ 시리즈로 공부하는 방법
《바쁜 중2를 위한 빠른 중학연산》을 효과적으로 보는 방법 <바빠 중학연산> 시리즈는 중학 수학 2-1 과정 중 연산 영역을 두 권으로 구성, 시중 교재 중 가장 많은 연산 문제를 훈련할 수 있습니다. 따라서 수학의 기초가 부족한 친구라도, 영역별 집중 훈련을 통해 연산의 속도와 정확성을 높일 수 있습니다.
1권 — 2학년 1학기 과정 <수와 식의 계산, 연립방정식 영역>
2권 —2학년 1학기 과정 <부등식, 일차함수 영역>
1. 취약한 영역만 보강하려면? ― 두 권 중 한 권만 선택하세요! 중2 과정 중에서도 수와 식의 계산이나 연립방정식이 어렵다면 1권 <수와 식의 계산, 연립방정식 영 역>을, 부등식과 일차함수가 어렵다면 2권 <부등식, 일차함수 영역>을 선택하여 정리해 보세요. 중2 뿐 아니라 중3이라도 자신이 취약한 영역을 집중적으로 공부하여 학습 결손을 빠르게 보충하세요.
2. 중2이지만 연산이 약하거나, 중2 수학을 준비하는 중1이라면? 중학 수학 2-1 진도에 맞게 1권 <수와 식의 계산, 연립방정식 영역> → 2권 <부등식, 일차함수 영역> 순서로 공부하세요.
3. 학원이나 공부방 선생님이라면? 이 책은 선생님의 수고로움을 덜어 주는 책입니다. 1) 계산력이 더 필요한 학생들에게 30~40분 일찍 와서 이 책을 풀게 하세요. 선생님이 애써 설명하 지 않아도 책만 있으면 학생들은 충분히 풀 수 있으니까요. 2) 가벼운 선행 학습과 학습 결손을 보강하기 위한 방학용 초단기 교재로 적합합니다. 1권은 25단계, 2권은 23단계로 구성되어 있고, 단계마다 1시간 안에 풀 수 있습니다.
8 바쁜 중2를 위한 책
차례
바쁜 중2를 위한 빠른 중학연산 2권 ― 부등식, 일차함수 영역 첫째 마당
01 부등식의 뜻과 해
12
부등식
02 부등식의 기본 성질
18
03 일차부등식
24
04 복잡한 일차부등식
31
05 일차부등식의 응용
37
06 연립부등식
44
07 해가 특수한 연립부등식
51
08 일차부등식의 활용 1
58
09 일차부등식의 활용 2
65
10 연립부등식의 활용
72
둘째 마당
11 일차함수의 뜻
80
일차함수
12 일차함수의 그래프 위의 점
87
13 일차함수의 그래프의 평행이동
93
14 일차함수의 그래프의 x절편, y절편
100
15 일차함수의 그래프의 기울기
107
16 일차함수의 그래프 그리기
114
17 일차함수 y=ax+b의 그래프
121
18 일차함수의 식 구하기
128
19 일차함수의 활용
135
20 일차함수와 일차방정식
142
21 좌표축에 평행한 직선의 방정식
149
22 연립방정식의 해와 그래프
155
23 직선의 방정식의 응용
163
바빠 중학연산 9
나만의 공부 계획을 세워 보자
나의 권장 진도
일
권장 진도
나는 어떤 학생인가? ∨ 중학 2학년이지만, 수학이 어렵고 자신감이 부족하다. ∨ 한 문제 푸는 데 시간이 오래 걸린다.
23일 진도 권장
∨ 예비 중학생 또는 중학 1학년이지만, 도전하고 싶다.
∨ 중학 2학년으로, 수학 실력이 보통이다.
20일 진도 권장
∨ 어려운 문제도 잘 푸는데, 연산 실수로 점수가 깎이곤 한다. 14일 진도 권장
∨ 수학을 잘하는 편이지만, 속도와 정확성을 높여 기본기를 완벽하게 쌓고 싶다.
권장 진도표
*23일 진도는 하루에 1과씩 공부하면 됩니다.
날짜
□ 1일차
□ 2일차
□ 3일차
□ 4일차
□ 5일차
□ 6일차
□ 7일차
14일 진도
1~2과
3~4과
5과
6과
7~8과
9~10과
11~12과
20일 진도
1~2과
3과
4과
5과
6과
7과
8과
날짜
□ 8일차
□ 9일차
□ 10일차
□ 11일차
□ 12일차
□ 13일차
□ 14일차
14일 진도
13~14과
15~16과
17~18과
19과
20~21과
22과
23과
20일 진도
9~10과
11~12과
13과
14과
15과
16과
17과
날짜
□ 15일차
□ 16일차
□ 17일차
□ 18일차
□ 19일차
□ 20일차
20일 진도
18과
19과
20과
21과
22과
23과
5과
6~7과
8~9과
10과
끝!
나 혼자 푼다!
10 바쁜 중2를 위한 책
끝!
첫째 마당
부등식 첫째 마당에서는 부등식에 대해 공부할 거야. 부등식은 방정식을 푸는 방법과 아주 비 슷한데, 방정식과 다른 점은 부등호(>, <, ¾, É)를 이용하여 식을 푼다는 거야. 부등 식을 풀 때 가장 중요한 건 부등호의 방향이야. 시험에서도 부등호의 방향에 관한 문제 가 많이 출제돼. 그중에서도 x의 계수가 미지수인 부등식은 특히 실수하기 쉬우니, 주의 해야 해! 부등식은 중학교 2학년에서 배우고 고등학교 1학년에서 다시 배우게 되니, 잘 익혀 두자.
14일 진도
공부할 내용!
20일 진도 월
일
월
일
2일차
월
일
3일차
월
일
01. 부등식의 뜻과 해
1일차
1일차
02. 부등식의 기본 성질
03. 일차부등식
스스로 계획을 세워 봐!
2일차 04. 복잡한 일차부등식
05. 일차부등식의 응용
3일차
4일차
월
일
06. 연립부등식
4일차
5일차
월
일
6일차
월
일
7일차
월
일
월
일
월
일
07. 해가 특수한 연립부등식
5일차 08. 일차부등식의 활용 1
09. 일차부등식의 활용 2
6일차 10. 연립부등식의 활용
8일차
01 부등식의 뜻과 해 ●●부등식 부등식 : 부등호(>, <, ¾, É)를 사용하여 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식
바빠 꿀팁!
① 좌변 : 부등호의 왼쪽 부분
어떤 식이 부등식인지 아닌지를 알 아볼 때는 부등호가 있는지 없는지 만 보면 돼. 부등호만 있으면 부등 식이야. 3<1과 같이 옳지 않은 식이라도 부등식이지.
② 우변 : 부등호의 오른쪽 부분 ③ 양변 : 좌변과 우변을 통틀어 양변이라 한다.
●●부등식의 표현 a>b
a<b
a¾b
a Éb
a는 b보다 크다. a는 b를 초과한다.
a는 b보다 작다. a는 b 미만이다.
a는 b보다 크거나 같다. a는 b보다 작지 않다. a는 b 이상이다.
a는 b보다 작거나 같다. a는 b보다 크지 않다. a는 b 이하이다.
a는 3보다 크거나 같다. ⇨ a¾3 a는 3보다 작거나 같다. ⇨ aÉ3
●●부등식의 해 ① 부등식의 해 : 미지수가 x인 부등식에서 부등식을 참이 되게 하는 x의 값 ② 부등식을 푼다. : 부등식의 해를 모두 구하는 것 x의 값이 자연수일 때, 부등식 3x+1<8의 x에 1, 2, 3, 4, 를 차례로 대 입하면 다음과 같다. x
부등호 <
우변(8) 8
참 또는 거짓
1
좌변(3x+1) 3_1+1=4
2
3_2+1=7
<
8
참
3
3_3+1=10
>
8
거짓
4
3_4+1=13
>
8
거짓
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
참
따라서 x의 값이 자연수일 때, 부등식 3x+1<8의 해는 1, 2이다.
앗! 실수 부등호를 사용할 때 가장 주의해야 하는 것은 다음 두 가지야. •작지 않다. : 작지만 않으면 되니까 같아도 되고 커도 된다는 뜻이지. a가 b보다 작지 않다. ⇨ a가 b보다 크거나 같다. ⇨ a¾b •크지 않다. : 크지만 않으면 되니까 같아도 되고 작아도 된다는 뜻이지. a가 b보다 크지 않다. ⇨ a가 b보다 작거나 같다. ⇨ aÉb
12
A
부등식의 뜻
◼◼ 다음 중 부등식인 것은 ○를, 부등식이 아닌 것은 × 를 하여라. 1. x=2
=가 있으면 등식이고, >, <, ¾, É 중 하나가 있으면 무조건 부등 식이야. 아하! 그렇구나~
6. 10<3
Help
옳지 않은 식이라도 부등호만 있으면 부등식이다.
7. -5x+1¾0 2. x+5<10
8. 4_7-20>10 3. -5<0
4. 4x-3(x-2)
5. 3xÉ1-x
9. 2xÛ`-3x+1
10. 3x+2=x-1`
13
B
문장을 부등식으로 나타내기
◼◼ 다음 문장을 부등식으로 나타내어라. 1. x의 3배에 5를 더하면 10보다 크다.
2. 놀이 기구를 탑승할 수 있는 사람의 키 x cm 는 110 cm 이상이다.
x는 a보다 •크다. (초과이다.) ⇨ x>a •작다. (미만이다.) ⇨ x<a •크거나 같다. (이상이다. 작지 않다.) ⇨ x¾a •작거나 같다. (이하이다. 크지 않다.) ⇨ xÉa
6. x의 4배에서 7을 뺀 값은 x의 5배에 10을 더한 값보 다 크지 않다.
7. x의 2배에 9를 더한 값은 x의 7배에서 2를 뺀 값보 다 작지 않다.
8. 한 개에 800원인 음료수 x개와 한 개에 2000원인 3. 한 권에 x원인 공책 6권의 값은 5800원 미만이다.
과자 y개의 값은 10000원을 초과한다.
앗! 실수
4. 한 개에 x원인 아이스크림 10개의 가격은 6000원보 다 작지 않다.
Help
9. 2000원짜리 장미꽃 x송이와 3000원짜리 백합꽃 y 송이의 값은 30000원 이하이다.
‘작지 않다.’=‘크거나 같다.’
앗! 실수
10. 무게가 700 g인 가방에 한 권에 x g인 책 8권을 넣 5. x에 6을 더하면 11보다 크지 않다.
Help
14
‘크지 않다.’=‘작거나 같다.’
었더니 전체 무게가 5 kg을 넘었다.
Help
5 kg=5000 g
C
부등식의 참과 거짓
x=a를 주어진 부등식에 대입했을 때 부등식이 성립하면 그 부등식은 x=a일 때 참인 부등식이야. 잊지 말자. 꼬~옥!
◼◼ 다음 부등식 중 x=2일 때 참인 것은 ○를, 거짓인 것은 ×를 하여라.
◼◼ 다음 부등식 중 x=-3일 때 참인 것은 ○를, 거짓 인 것은 ×를 하여라.
1. x>2
6. x>3x+10
2. x-5>-5
7. -x+7Éx+1
3. 2+x>5
8. -2x+1>x+4
4. 5+3xÉ-4
9. x+8¾-5x-10
앗! 실수
5. -4x+6¾-2
10. -2x+10<x+5
15
D
부등식의 해
부등식의 해를 구할 때 • x의 값이 주어져 있을 때는 주어진 x의 값을 차례로 대입하여 부등 식을 참이 되게 하는 x의 값을 구하면 되고, • x의 값이 자연수일 때는 x에 1, 2, 3, … 을 차례로 대입하여 부등식 을 참이 되게 하는 자연수를 구하면 돼.
◼◼ x의 값이 -1, 0, 1일 때, 다음 부등식의 해의 개수 를 구하여라.
◼◼ x의 값이 자연수일 때, 다음 부등식의 해의 개수를 구하여라.
1. x>0`
6. x-1<2`
Help
x에 1, 2, 3, …을 차례로 대입하여 부등식을 참이 되게 하는 자연수의 개수를 구한다.
2. xÉ-1` 7. -2x+1¾3`
3. x+1¾0 8. x+4É7`
4. -2x+1<3`
5. 5-x¾3`
16
9. 4+3x<10`
10. x+10É14`
아싸!~
거저먹는 시험 문제 [1~2] 부등식의 뜻
4. ‘전체가 280쪽인 책을 하루에 x쪽씩 10일 동안 읽었
앗! 실수
더니 25쪽 이하가 남았다.’를 부등식으로 나타내어라.
1. 다음 중 부등식이 아닌 것은? ① 1>2
② x+2É-5
③ 2x-3
④ 3x+6>-1
⑤ 10-4x¾0
[5~6] 부등식의 해 2. 다음 보기에서 부등식인 것은 모두 몇 개인가?
5. 다음 부등식 중 [ ] 안의 수가 해인 것은? ① -4x+5>0
|보기| ㄱ. x-3>2
ㄴ. 2x+9<2x-1
② 3x-5>6
ㄷ. 4-x
ㄹ. 3x+1=8
③ 10-6x>7
② 2개
④ 4개
⑤ 5개
③ 3개
[3~4] 문장을 부등식으로 나타내기 3. ‘한 개에 x원인 사과 5개와 한 개에 y원인 배 3개의 값은 10000원을 넘지 않는다.’를 부등식으로 나타내 어라.
[2] [-3]
④ -x+5>3x-4
ㅁ. -7(x+1)¾2 ① 1개
[3]
[4]
⑤ -9-2x>-3x+1
[1]
6. x의 값이 -2, -1, 0, 1, 2일 때, 다음 중 부등식 -4x+1>x-9의 해가 아닌 것은? ① -2
② -1
④ 1
⑤2
③0
17
02 부등식의 기본 성질 ●●부등식의 성질 ① 부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 양변에서 같은 수를 빼어도 부등호의 방향은 바뀌지 않는다.
바빠 꿀팁!
⇨ a>b이면 a+c>b+c, a-c>b-c ② 부등식의 양변에 같은 양수를 곱하거나 양변을 같은 양수로 나누어도 부등 호의 방향은 바뀌지 않는다. a b ⇨ a>b, c>0이면 ac>bc, > c c ③ 부등식의 양변에 같은 음수를 곱하거나 양변을 같은 음수로 나누면 부등호 의 방향이 바뀐다.
바빠 꿀팁 • 부등식의 성질을 간단히 ‘부등 식의 양변에 음수를 곱하거나 나 눌 때에만 부등호의 방향이 바뀌 고 그 외에는 그대로!’라고 기억 해. • 부등식의 성질은 ‘>’일 때뿐만 아니라 ‘<’, ‘É’, ‘¾’일 때도 성립해.
a b ⇨ a>b, c<0이면 ac<bc, < c c
●● 부등식의 성질을 이용하여 식의 값의 범위 구하기 ① -2Éa<1일 때, 3a+1의 값의 범위 구하기 먼저 문자의 계수를 같게 한 다음 상수항을 같게 한다. -2Éa<1
각 변에 3을 곱한다.
-6É3a<3
▼
-5É3a+1<4
▼
각 변에 1을 더한다.
② -4<-3a+2<5일 때, a의 값의 범위 구하기 먼저 상수항을 없앤 다음 문자의 계수를 1로 만든다. -4<-3a+2<5
각 변에서 2를 뺀다. ▼
-6<-3a<3
▼
-1<a<2
▼
각 변을 -3으로 나눈다.
2>a>-1
식의 형태를 바꾼다. 바꾸지 않아도 상관없지만 b<a<c로 나타내는 것이 일반적인 방법이다.
앗! 실수 등식의 성질에서는 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누어도 등식이 성립하지만 부등식의 성질에서는 부등호 방향이 바뀌는 것에 주의해야 해. 부등식 시험 문제는 거의 부등호 방향을 바꾸는 것에서 나오거든. 부등식의 성질을 이용해서 아래와 같이 식을 여 러 가지 형태로 바꿀 수 있지만 처음 문자 사이의 대소 관계는 변하지 않아. a+2>b+2 a+2<b+2<c+2 a-2>b-2 a-b<b-2<c-2 •a>b ⇨ •a<b<c ⇨ 2a>2b 2a<2b<2c -2a<-2b -2a>-2b>-2c
18
A
부등식의 기본 성질 1
•a>b이면 a+c>b+c, a-c>b-c a b •a>b, c>0이면 ac>bc, c > c a b •a>b, c<0이면 ac<bc, c < c
◼◼ a<b일 때, 다음 □ 안에 알맞은 부등호를 써넣어 라.
◼◼ a¾b일 때, 다음 □ 안에 알맞은 부등호를 써넣어 라.
1. a+1
b+1
6. -10a
2. a-3
b-3
a 7. 4
-10b
b 4
앗! 실수
3. -3a Help
-3b
부등식의 양변에 음수를 곱하면 부등호의 방향이 바뀐다.
a 4. 2
a 9. - 8
b 2
앗! 실수
a 5. - 5
8. a-(-3)
-
b 5
10. a-7
b-(-3)
-
b 8
b-7
19
B
부등식의 기본 성질 2
◼◼ a>b일 때, 다음 □ 안에 알맞은 부등호를 써넣어 라. 1. 2a-1 Help
◼◼다음 □ 안에 알맞은 부등호를 써넣어라. 6. a-5<b-5 ⇨ a
b
7. -6a¾-6b ⇨ a
b
2b-1
a>b의 양변에 2를 곱하고 1을 뺀 것이다.
2. -3a+1 Help
더하거나 빼는 수가 양수이든지 음수이든지 부등호 방향에는 영향을 주지 않아. 곱하거나 나눌 때만 양수인지 음수인지를 잘 살펴보면 돼. 부등호 방향을 바꿀 때는 ¾을 <로 É을 >로 바꾸는 학생들이 많은 데 밑에 있는 -를 빼먹지 않도록 주의해야 해.
-3b+1
Help
부등식의 양변을 -6으로 나눈 것이다.
a>b의 양변에 -3을 곱하고 1을 더한 것이다.
8. 3a+5É3b+5 ⇨ a 3. ;2#;a-4
a 4. - 5 +9
;2#;b-4
b - +9 5
Help
b
부등식의 양변에서 5를 빼고 3으로 나눈 것이다.
9. -;2!;a+4<-;2!;b+4 ⇨ a
b
앗! 실수
5.
20
1-7a 4
1-7b 4
a b 10. 3 -11> 3 -11 ⇨ a
b
C
부등식의 성질을 이용하여 식의 값의 범위 구하기 1
◼◼ 다음에서 A의 값의 범위를 구하여라. 1. 1<x<2일 때, A=4x
Help
-3<x<2일 때, 3x+2의 값의 범위를 구하려면 먼저 x의 계수인 3 을 각 변에 곱한 후 2를 더해야 해. 2를 더한 후 3을 곱하게 되면 3(x+2)가 되어 다른 값이 구해져. 잊지 말자. 꼬~옥!
6. -1<xÉ3일 때, A=2x+1
Help
부등식의 각 변에 2를 먼저 곱하고 1을 더한다.
부등식의 각 변에 4를 곱한다.
앗! 실수
7. -5<x<1일 때, A=4x-1
2. -3Éx<2일 때, A=-3x
앗! 실수
3. 1<x<6일 때, A=-5x
8. 2ÉxÉ5일 때, A=-3x+2
x 4. -4<x<4일 때, A= 2
x 9. -4<x<8일 때, A=- 4 -3
x 5. -6ÉxÉ3일 때, A=- 3
10. -6Éx<2일 때, A=;2!;x+10
21
D
부등식의 성질을 이용하여 식의 값의 범위 구하기 2
◼◼ 부등식의 성질을 이용하여 x의 값의 범위를 구하여 라.
• -3<5x-1<2일 때, x의 값의 범위를 구하려면 먼저 1을 각 변 에 더한 후 5로 나누어야 해. a<x<b • , c<y<d일 때, a+c<x+y<b+d c<y<d 또, 에서 -d<-y<-c이므로 a-d<x-y<b-c
◼◼ 다음 식의 값의 범위를 구하여라. 6. 1<x<4, 2<y<8일 때, x+y
1. -4<2x<2 Help
2. -10É-2x<8 Help
각 변을 더한다.
앗! 실수
7. 5<x<13, 3<y<8일 때, x-y
각 변을 -2로 나눈다. Help
5<x<13, -8<-y<-3의 각 변을 더한다.
3. -2<3x+1<4 8. 3ÉxÉ10, 1ÉyÉ4일 때, x-2y Help
각 변에서 1을 먼저 빼고 3으로 나눈다.
x 4. 1É- 4 +3É5
9. 2ÉxÉ3, 5ÉyÉ12일 때, 3x+2y
x 5. ;2#;< 5 -;2!;<;2(;
10. 6ÉxÉ11, 1ÉyÉ3일 때, 2x-3y
22
아싸!~
거저먹는 시험 문제 [1~3] 부등식의 성질
[4~6] 식의 값의 범위
앗! 실수
1. a>b일 때, 다음 중 옳지 않은 것은? ① a-1>b-1 a b ③ 4 -2< 4 -2 a b ⑤ - 5 <- 5
4. -2<x<3이고 A=-5x+1일 때, A의 값의 범
② -2a+3<-2b+3
위는?
④ 9a+;4!;>9b+;4!;
① 11<A<14
② -15<A<10
③ -14<A<16
④ -16<A<11
⑤ -14<A<11
2. 2a+1<2b+1일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르 면? (정답 2개) ① a>b
② ;5@;a<;5@;b
a b ③ 2- 3 >2- 3
④ 7a-3>7b-3
x 5. -5É6- 3 <2일 때, x의 값의 범위를 구하여라.
⑤ 11-4a<11-4b
3. 다음 중 □ 안에 들어갈 부등호의 방향이 나머지 넷 과 다른 것은? b ① -a>-b이면 a a b ② 4 -7> 4 -7이면 a
6. -2ÉxÉ3, -5ÉyÉ1일 때, 4x-2y의 값의 범 b
③ -a-;2!;>-b-;2!;이면 a ④ 12-a>12-b이면 a
b
⑤ 8+6a<8+6b이면 a
b
위를 구하여라. b
23
03 일차부등식 ●●일차부등식 ① 이항 : 부등식의 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것
바빠 꿀팁!
② 일차부등식 : 부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여
부등식의 해를 수직선에 표시할 때 • 부등호가 ¾, É이면 경계의 값 이 부등식의 해에 포함되므로 ‘⦁’로 나타내고 • 부등호가 >, <이면 경계의 값 이 부등식의 해에 포함되지 않으 므로 ‘◦’로 나타내.
정리한 식이 다음 중 어느 하나의 꼴로 나타내어지는 부등식 (일차식)>0, (일차식)<0, (일차식)¾0, (일차식)É0
2x+3>1
2x+3>2x
2x+3-1>0
2x+3-2x>0
2x+2>0
3>0
⇨ 일차부등식이다.
⇨ 일차부등식이 아니다.
●●일차부등식의 풀이 ① 일차부등식의 해 : 일차부등식의 해는 이항과 부등식의 성질을 이용하여 주 어진 부등식을 다음 중 어느 하나의 꼴로 변형하여 나타낸다. x>(수), x<(수), x¾(수), xÉ(수) ② 부등식의 해를 수직선 위에 나타내기
x>a
aaa a
x<a
x¾a
aaa a
aaa a
xÉa aaa a
③ 일차부등식의 풀이 •미지수 x를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항한다. •양변을 정리하여 ax>b, ax<b, ax¾b, axÉb(a+0)의 꼴로 고친다. •양변을 x의 계수 a로 나눈다. 이때 a가 음수이면 부등호의 방향이 바뀐다. 3x+4>5x+10
5x는 좌변, 4는 우변으로 이항한다. ▼
3x-5x>10-4
▼
x<-3
▼
동류항끼리 계산한다.
-2x>6
-2로 양변을 나눈다.
x<-3을 수직선에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
앗! 실수
_3
부등식의 해가 xÉ3이면 많은 학생이 해가 1, 2, 3이라 생각하고 답을 써. 하지만 3 이하인 수는 무수히 많아. 1.5, -1, 도 이 범위에 포함되는 수거든. 따라서 문제의 조건에 자연수나 정수라는 말이 없다면 답은 xÉ3과 같이 범위로 나타내야만 해.
24
A
일차부등식의 뜻
부등식은 부등호 중 하나만 있으면 되지만 일차부등식은 부등식 중 제 일 높은 차수인 x의 계수가 0이 아니어야 해. 이때 이차식인 것처럼 보여도 이항하면 일차식이 되는 식도 있으니 주 의해야 해. 아하! 그렇구나~
앗! 실수
◼◼ 다음 중 일차부등식인 것은 ○를, 일차부등식이 아닌 것은 ×를 하여라. 1. 2x+3>7
6. 5xÛ`-2x+1<5xÛ`+x-7
Help
우변의 5xÛ`을 좌변으로 이항하여 정리한다.
7. 2(x+1)-10É-3x+4 2. x>-9
3. 3É9
8. -4x+;5#;>-4x-;3!;
앗! 실수
1 4. - x -2¾;3@; Help
9. -xÛ`+3x+2<xÛ`-x-5
x 가 분모에 있으면 일차식이 아니다.
5. -3x+7>2x-4
10. 0.3x-;2!;É4`
25
B
일차부등식의 풀이 1
◼◼ 다음 일차부등식을 풀어라.
일차부등식은 다음과 같은 순서로 풀어야 해. ① x항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항 ② ax>b, ax<b, ax¾b, axÉb의 꼴로 정리 ③ 양변을 x의 계수 a로 나누어 부등식의 해를 구해.
6. 5x-1>2x-7
1. 2x<8
7. 3x+8<-5x+12 2. 5x¾30
3. 2x-1¾13
Help
좌변의 -1을 우변으로 이항한다.
4. -7+3x<2
5. 4x+9É13
26
8. 6x-13É3x+5
9. -2x+9>-4x+1
10. -x+4¾-5x-3
C
일차부등식의 풀이 2
◼◼ 다음 일차부등식을 풀어라.
양변을 x의 계수 a로 나누어 부등식의 해를 구할 때는 x의 계수 a가 음수일 때 부등호의 방향이 바뀜에 주의해야 해. 잊지 말자. 꼬~옥!
6. -x-6<x-4
1. -x<5
Help
양변을 -1로 나누고 부등호 방향을 바꾼다.
7. -4x+2>-x+8 2. -2x¾-4
8. 2x-5É6x+7 3. -x+8É15
4. -3x-7>+2
5. -9x+20É-16
9. 3x+10>4x+5
10. 7-5x¾-2x-11
27
D
일차부등식의 풀이 3
◼◼ 다음 일차부등식을 풀어라.
일차부등식을 푸는 것은 앞으로 나오는 복잡한 일차부등식과 연립부 등식을 풀 때 기본이 되므로 정확하게 풀 수 있도록 많이 연습해야 해. 아하! 그렇구나~
6. 9-3x¾x-15
1. x+3<2x-6
Help
2 x항은 좌변으로, 3은 우변으로 이항한다.
7. 5x-2<-x+10 2. 4x-10Éx+5
8. -3x+9É4x+9 3. 8+6x>x-7
4. -5x+2É-3x+18
5. -3x+15É-x+9
28
9. -15-2x¾4x+3
10. -7-2x<2x-3
E
① x>a
부등식의 해를 수직선 위에 나타내기 a
◼◼ 다음 일차부등식을 풀고, □ 안에 알맞은 수를 써넣 어라.
a
a
a
② x<a a
a
a
③ x¾a a
a
a
④ xÉa a
a
a
a
a
◼◼ 다음 일차부등식을 풀고 수직선에 위에 나타내어라. 5. 10x-1¾6x-13
1. x+5>-x-3
Help
2. -2x+4<-3x-1
¾, É이면 수직선 위의 점을 로 나타낸다.
6. 3x-2>x+12
Help
>, <이면 수직선 위의 점을 ◦로 나타낸다.
앗! 실수
3. 3x-2É5x+10
7. 7x-11<-x+5
4. -6x+1¾-3x-8 8. 2x-5¾5x+7
29
a
아싸!~
거저먹는 시험 문제 [1~3] 일차부등식의 풀이
[4~5] 부등식의 해를 수직선 위에 나타내기
앗! 실수
1. 일차부등식 6-3xÉ20-x를 풀면? ① x¾-7
② xÉ-7
④ x¾7
⑤ x¾-4
③ xÉ7
6-2x>-10-4x의 해를 수 4. 다음 중 일차부등식 _8 _8 직선 위에 바르게 나타낸 것은? ① ③ ⑤
앗! 실수
2. 다음은 일차부등식 -5x+8>13 의 풀이 과정이 다. 이때 ㈎, ㈏에서 이용된 부등식의 성질을 보기에 서 찾아 차례로 나열한 것은?
_8 _8 _8 _8 _8
② ④
_8 _8 _8 _8 8
_8 _8
88
_8 _8 _8
88
_8 _8 _8 _8
㈎
㈏
-5x+8>13 1Ú -5x>5 1Ú x<-1
|보기| ㄱ. a>b이면 a+c>b+c, a-c>b-c a b ㄴ. a>b, c>0이면 ac>bc, c > c a b ㄷ. a>b, c<0이면 ac<bc, c < c ① ㄱ, ㄴ
② ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄷ, ㄱ
③ ㄴ, ㄱ
5. 다음 일차부등식 중 그 해를 수 직선 위에 나타내었을 때, 오른 쪽 그림과 같은 것은? ① -x-6¾x+4
② -7+2xÉ9
③ 3x+4É19
④ 2x-9¾1
⑤ -5x-10¾-x+2
3. 일차부등식 10x+7<5x-8을 만족하는 x의 값 중 가장 큰 정수는?
30
① -5
② -4
④1
⑤4
③ -2
5
04 복잡한 일차부등식 ●●괄호가 있는 일차부등식 분배법칙을 이용하여 괄호를 풀고 부등식을 간단히 정리한다. -4(-x+2)É5(2x-1) ▼
4x-8É10x-5
괄호를 푼다. x항은 좌변, 상수항은 우변으로 이항한다. ▼
-6xÉ3
양변을 -6으로 나누고 부등호 방향을 바꾼다. ▼
∴ x¾-;2!;
●●계수가 소수인 일차부등식 ① 소수점 아래 한 자리 수만 있으면 각 항에 10을 곱하여 계수를 정수로 고친다. 0.5x+1>0.3x ▼
2x>-10
▼
각 항에 10을 곱한다.
5x+10>3x
바빠 꿀팁!
0.5x<;4#;x+0.2와 같이 분수와 소수가 같이 있을 때는 소수를 정 수로 만드는 10과 분수를 정수로 만드는 4의 최소공배수인 20을 곱 하면 쉽게 모든 항을 정수로 만들 수 있어. 물론 10과 4를 곱하여 40 을 곱해도 되지만 숫자가 커질수록 계산을 실수할 확률이 높아지니 간 단한 수로 바꾸는 것이 좋아.
x항은 좌변, 상수항은 우변으로 이항한다. 양변을 2로 나눈다. ▼
∴ x>-5
② 소수점 아래 한 자리 수와 두 자리 수가 함께 있으면 각 항에 100을 곱하여 계수를 정수로 고친다. 0.08x+3>0.2x-0.6 ▼
-12x>-360
▼
각 항에 100을 곱한다.
8x+300>20x-60
x항은 좌변, 상수항은 우변으로 이항한다. 양변을 -12로 나누고 부등호 방향을 바꾼다. ▼
∴ x<30
●●계수가 분수인 일차부등식 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 고친다. ;2!;x+1É;4#;x-1
양변을 -1로 나누고 부등호 방향을 바꾼다. ▼
∴ x¾8
x항은 좌변, 상수항은 우변으로 이항한다. ▼
-xÉ-8
▼
2x+4É3x-4
각 변에 4를 곱한다.
앗! 실수 •괄호를 풀 때는 괄호 안의 모든 항에 똑같이 수를 곱해야 해. 5x+1<3(x-2) ⇨ 5x+1<3x-2 (×) 5x+1<3x-6 (○) •계수가 소수일 때는 모든 항에 10, 100, 1000, 을 곱하는데, 특히 정수인 항을 빼먹지 말고 곱해야 해. 0.6x+2<0.1x+0.5 ⇨ 6x+2<x+5 (×) 6x+20<x+5 (○) •계수가 분수일 때는 분자가 다항식이면 괄호로 묶어서 수를 곱해야 해. x-2 x > ⇨ -2x-2>3x (×) -2(x-2)>3x (○) 3 2
31
A
괄호가 있는 일차부등식
◼◼ 다음 일차부등식을 풀어라.
괄호가 있는 일차부등식은 분배법칙을 이용하여 괄호를 먼저 풀어야 해. 분배법칙 : a(b+c)=ab+ac 아하! 그렇구나~
6. 2(x+3)<3(x+4)
1. 2(x-1)>5
7. 5(x-2)+4É-(x-8) 2. -3(x+2)>-8
Help
-3(x+2)=-3x-6
8. -4+5(x+7)>3(x-1) 3. 4xÉ-6(x-1)
4. 4-5(x-8)¾-x
5. -7(x+3)+10>2x+4
32
9. 6(x+2)-5<9-(x-5)
10. 3(x-4)-2É-(x+8)+2
B
계수가 소수인 일차부등식
계수가 소수일 때는 모든 항에 10, 100, 1000, 을 곱해야 하는데 만 약 0.04x+0.8>0.02x+1과 같이 소수점 아래의 수가 여러 가지일 때는 소수를 정수로 만들 수 있는 가장 큰 수를 곱해야 하므로 100을 곱해야 모든 항이 정수가 돼. 아하! 그렇구나~
앗! 실수
◼◼ 다음 일차부등식을 풀어라. 1. 0.3x<0.2x+1
2. 1.2x+0.7¾0.8x-0.5
3. 0.5x+1.7Éx+0.7
6. 0.03x+0.9>0.05x+1 Help
양변에 100을 곱하여 계수를 정수로 고친다.
7. 0.09-0.1x<0.8x+0.72
8. 0.06x+1.4É0.1x-3
4. -0.3+0.7x<0.9+0.4x
9. -0.2x+0.38>-0.18x+0.54
5. 1.8x+2¾0.6x-0.4
10. 0.28+0.8x¾0.12x-0.4
33
C
계수가 분수인 일차부등식
◼◼ 다음 일차부등식을 풀어라.
계수가 분수인 일차부등식을 풀 때는 분모의 최소공배수를 각 항에 곱 해야 하는데 정수로 되어 있는 항에도 반드시 곱해야 옳은 답을 구할 수 있어. 잊지 말자. 꼬~옥!
6.
x-1 1. 2+ 3 É1 Help
-2x+5 3x-1 + <1 4 2
Help
양변에 3을 곱한다.
앗! 실수
2.
5x+2 -7>-8 4
3. -2+
-2x+1 É-3 5
-6x+1 -4 4. 7¾ 2
5.
34
양변에 4와 2의 최소공배수 □를 곱한다.
3x-4 -1>3 8
7. 2-
8.
2x+5 3x+1 >3 4
2x+1 x-5 + ¾-2 3 6
9. ;2¦0;-
10.
2x+7 x+3 >5 4
-3x+1 -x+4 ¾ -:Á6Á: 2 8
D
여러 가지 일차부등식
◼◼ 다음 일차부등식을 풀어라.
분수와 소수가 섞여 있는 일차부등식을 풀 때는 분수의 분모와 소수에 곱해질 10, 100, … 의 최소공배수를 곱하면 가장 간단한 식으로 고칠 수 있어. 아하! 그렇구나~
6. ;8&;x-0.1<x+;4!;
1. 1+0.5x<;2#;x+4
Help
양변에 2와 10의 최소공배수인 □을 곱한다.
7. ;2!;+1.5x<;4%;x+0.2 2. ;5&;x+6É1.2x+5.6
앗! 실수
3. ;4!;x-1.7>0.3x-2
Help
8. -0.3(4+2x)>-;5@;x+1
양변에 4와 10의 최소공배수인 □을 곱한다.
x 4. 3 +0.5Éx-;6%;
5. ;2!;x+0.1¾-0.1x+;5@;
9. 3(1-0.2x)¾0.1x+:Á6Á:
10. 0.7x-;3@;É0.4(x-1)
35
아싸!~
거저먹는 시험 문제 [1~3] 일차부등식의 풀이
[4~5] 부등식의 해를 수직선 위에 나타내기
앗! 실수
1. 일차부등식
x+1 2x+1 É;4!;을 풀면? 2 3
① x¾-;2!;
② xÉ-;2!;
④ x¾;2!;
⑤ x¾-;4!;
③ xÉ;4!;
4. 다음 중 일차부등식 ;4!;x-0.3É0.1x+;5#;의 해를 5
10
수직선 위에 바르게 나타낸 것은? ① ③ ⑤
55 55 6
② ④
1010 1010 5
66
55
66 _5
55
_5 _5 _5 _5
2. 일차부등식 -0.36x+0.1<-0.4x+0.22를 만족 하는 자연수 x의 개수는? ①1
② 2
④4
⑤5
③3
5. 다음 중 일차부등식 0.5x-2>;3@;(x-6)의 해를 10
수직선 위에 바르게 나타낸 것은? ①
3. 일차부등식 ;4!;(x-7)>0.3x-2를 만족하는 x의
① -5
② -4
④5
⑤6
③ ⑤
값 중 가장 큰 정수는? ③4
1010 1010 _12
② ④
1212 1212 _12
_12 _12
_12 _12
_12 _12 12
_12 _12
1212 1212
36
12