Estrategia didáctica de matemáticas para docente de secundaria by Portal Educativo Nicaraguaeduca

Comisi贸n Matem谩tica CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-Le贸n y MINED

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Comisión de matemática encargados de elaborar el documento

Carlos Sánchez Hernández (Coordinador) -UNI Iván Cisneros Díaz - UNAN-Managua Francisco Emilio Díaz Vega -MINED Humberto Jarquín- MINED Héctor Flores Guido -UNAN-León Luisa Mercedes Barrera Delgado- UNAN-León Carlos José Medina Prado -UNAN-León José Manuel Siles Huerta -UNI Elías Martínez Rayo -UNI Marco Antonio López González -UNAN-León

Comisión Matemática CNU, UNI, UNAN-Managua, UNAN-León y MINED

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Unidad I: ARITMÉTICA 1.1 Operaciones con fracciones aritméticas  Suma  Resta  Multiplicación  División  Potenciación 1.2 Notación Científica.  Definición  Operaciones con expresiones numéricas en notación científica 1.3 Razones y Proporciones  Porcentajes  Interés simple  Interés compuesto 1.4 Regla de tres simple y compuesta (Directa e Inversa) 1.5 Conversión de los diferentes sistemas de Medidas  Longitud  Superficie  Volumen  Capacidad  Peso  Angulares  Temperatura  Tiempo

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Unidad 1: Aritmética 1.1.- Operaciones aritméticas con fracciones (“quebrados”) Definición: Las fracciones son porciones de la unidad. Es decir, la unidad se divide en partes y se toman algunas de ellas. Normalmente usamos las fracciones cuando hablamos, refiriéndonos a ellas, de distintas maneras. Decimos, por ejemplo: "Dividiremos lo que cueste la cena entre los tres". Estamos refiriéndonos a la fracción como una división. El «todo» lo dividimos en tres partes. Otras veces comentamos o leemos: "De cada 10 personas que fuman 8 mueren de cáncer". Nos referimos a la proporción o fracción , la proporción entre las personas que mueren de cáncer y las personas que son fumadores. También solemos decir: "Gano C$ 4,200 y las partes del sueldo lo necesito para pagar una deuda". Estamos usando la fracción como un operador. La deuda nos cuesta los de C$ 4200 , es decir C$ 1,680. Las partes de una fracción son: Numerador

Denominador

2 5

Para sumar fracciones (“quebrados”): 1.- Se obtiene el m.c.m. de los denominadores, ese el mínimo común denominador (m.c.d.), se anota luego del igual:

2.- Se divide el común denominador entre el primer denominador y se multiplica por su numerador, luego se escribe sobre el m.c.d., se hace lo mismo con el segundo ( indica: “puesto que” o “porque”):

3.- Los numeradores se suman y el m.c.d. se queda igual, se simplifica el resultado, si es posible:

2 8 4  8 12 6      1.2 5 10 10 10 5

[1.03]

Para restar fracciones (“quebrados”): 1.- Se obtiene el m.c.m. de los denominadores, es el mínimo común denominador (m.c.d.):

2.- Se divide el común denominador entre el primer denominador y se multiplica por su numerador, luego se escribe sobre el m.c.d., se hace lo mismo con el segundo (si son signos mixtos, se respetan las leyes de los signos):

3.- Los numeradores se restan y el m.c.d. se queda igual, se simplifica el resultado, si es posible:

2 8 48 4 2        0.4 5 10 10 10 5

[1.06]

Para multiplicar fracciones (“quebrados”): 1.- Se multiplica de manera “lineal” (numerador por numerador y denominador por denominador) (si son signos mixtos, se respetan las leyes de los signos):

2.- Se simplifica el resultado, de ser posible:

2 8 2  8 16 8      0.32 5 10 5  10 50 25

[1.08]

Para dividir fracciones (“quebrados”): → Leyes de los signos: 1.- En suma algebraica (ambos signos sumados y agrupados): si son 2 sumandos y hay signos diferentes se restan y se pone el signo del número mayor; si hay más sumandos, se agrupan de acuerdo al signo, se reducen o simplifican y se procede de la manera descrita anteriormente. 2.- En multiplicación y división: signos iguales dan positivo y signos diferentes dan negativo, si hay más de dos factores o dos cocientes se resuelven las operaciones en el orden escrito y luego se agrupan los signos positivos y negativos. 3.- Para potencias: números negativos a potencia par dan positivo y números negativos elevados a potencia “non” dan negativo. 4.- Para raíces: radicando negativo con índice “non” da negativo, radicando negativo con índice par da imaginario negativo (se escribe ±i). 1.- Se multiplica de manera “cruzada” (numerador por denominador (queda como numerador) y denominador por numerador (queda como denominador) (si son signos mixtos, se respetan las leyes de los signos):

2.- Se simplifica el resultado, de ser posible:

2 8 2  10 20 1 :     0.5 5 10 5  8 40 2

[1.10]

Para potenciar fracciones (“quebrados”): 1.- Se elevan a la potencia (se “potencian”) de manera “lineal” (numerador a la potencia y denominador a la misma potencia) (si son signos mixtos, se respetan las leyes de los signos). Se simplifica el resultado, se ser posible:

2.- Si se tienen superíndices diferentes, se elevan respectivamente de la misma forma “lineal” (numerador a una potencia y el denominador a la otra potencia indicada) (si son signos mixtos, se respetan las leyes de los signos) y se simplifica, de ser posible:

Para radicar fracciones (“quebrados”): 1.- Se extraen las raíces (se “radican”) de manera “lineal”, de acuerdo al índice de la raíz (radicando numerador a un índice y radicando denominador al mismo índice) (si son signos mixtos, se respetan las leyes de los signos). Se simplifica el resultado, se ser posible:

2.- Si se tienen índices de raíz diferentes, se radican respectivamente de la misma forma “lineal” (radicando numerador a un índice y el denominador al otro índice indicado) (si son signos mixtos, se respetan las leyes de los signos) y se simplifica, de ser posible:

Conversiones de fracciones (“quebrados”): 1.- Para pasar de mixta a impropia se multiplica el denominador por el entero y se le suma el numerador (queda como numerador) el denominador se deja igual. Se simplifica el resultado, si es posible:

1.2.- Notación científica La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez. Para expresar un número en notación científica identificamos el punto decimal (si lo hay) y lo desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero punto) lo desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda del punto esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha del punto decimal.

Es más fácil entender con ejemplos: 732.5051 = 7.325051 • 102 (movimos el punto decimal 2 lugares hacia la izquierda) −0.005612 = −5.612 • 10−3 (movimos el punto decimal 3 lugares hacia la derecha). El punto antes de la potencia de 10, denota multiplicación. Nótese que la cantidad de lugares que movimos el coma (ya sea a izquierda o derecha) nos indica el exponente que tendrá la base 10 (si el punto la movemos dos lugares, el exponente es 2, si lo hacemos por 3 lugares, el exponente es 3, y así sucesivamente. Nota importante: Siempre que movemos el punto decimal hacia la izquierda el exponente de la potencia de 10 será positivo. Siempre que movemos el punto decimal hacia la derecha el exponente de la potencia de 10 será negativo. Otro ejemplo, representar en notación científica: 7.856,1 1. Se desplaza la coma decimal hacia la izquierda, de tal manera que antes de ella sólo quede un dígito entero diferente de cero (entre 1 y 9), en este caso el 7. 7,8561 El punto se desplazó 3 lugares. 2. El número de cifras desplazada indica el exponente de la potencia de diez; como las cifras desplazadas son 3, la potencia es de 103. 3. El signo del exponente es positivo si la coma decimal se desplaza a la izquierda, y es negativo si se desplaza a la derecha. Recuerda que el signo positivo en el caso de los exponentes no se anota; se sobreentiende. Por lo tanto, la notación científica de la cantidad 7.856,1 es: 7.8561 • 103 Operaciones con expresiones numéricas en notación científica Multiplicar Para multiplicar se multiplican las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica producto de potencias para las potencias de base 10. Ejemplo: (5.24 • 106) • (6.3 • 108) = 5.24 • 6.3 • 106 + 8 = 33.012 • 1014 = 3,301215 Veamos el procedimiento en la solución de un problema: 5

Un tren viaja a una velocidad de 26.83 m/s, ¿qué distancia recorrerá en 1,300 s? 1. Convierte las cantidades a notación científica. 26.83 m/s = 2.683 • 101 m/s 1,300 s = 1.3 • 103 s 2. La fórmula para calcular la distancia indica una multiplicación: distancia (d) = velocidad (V) x tiempo (t). d = Vt Reemplazamos los valores por los que tenemos en notación científica d = (2.683 • 101 m/s) • (1.3 • 103 s) 3. Se realiza la multiplicación de los valores numéricos de la notación exponencial, (2.683 m/s) x 1.3 s = 3.4879 m. 4. Ahora multiplicamos las potencias de base 10. Cuando se realiza una multiplicación de potencias que tienen igual base (en este caso ambas son base 10) se suman los exponentes. (101) • (103) = 101+3 = 104 5. Del procedimiento anterior se obtiene: 3.4879 • 104 Por lo tanto, la distancia que recorrería el ferrocarril sería de 3.4879 • 104 m La cifra 3.4879 • 10 elevado a 4 es igual a 34,879 metros. Dividir Se dividen las expresiones decimales de las notaciones científicas y se aplica división de potencias para las potencias de 10. Si es necesario, se ajusta luego el resultado como nueva notación científica. Hagamos una división: (5.24 • 107) = (6.3 • 104)

(5.24 ÷ 6,3) • 107−4 = 0.831746 • 103 = 8.31746 • 10−1 • 103 = 8.31746 • 102

Suma y resta Si tenemos una suma o resta (o ambas) con expresiones en notación científica, como en este ejemplo: 5.83 • 109 – 7.5 • 1010 + 6.932 • 1012 = lo primero que debemos hacer es factorizar, usando como factor la más pequeña de las potencias de 10, en este caso el factor será 10 9 (la potencia más pequeña), y factorizamos: 6

109 (5.83 − 7.5 • 101 + 6.932 • 103) = 109 (5.83 − 75 + 6932) = 6,862.83 • 109 Arreglamos de nuevo el resultado para ponerlo en notación científica y nos queda: 6.86283 • 1012, si eventualmente queremos redondear el número con solo dos decimales, este quedará 6.86 • 1012. Potenciación Si tenemos alguna notación científica elevada a un exponente, como por ejemplo (3 • 106)2 ¿qué hacemos? Primero elevamos (potenciamos) el 3, que está al cuadrado (3 2) y en seguida multiplicamos los exponentes pues la potencia es (106)2, para quedar todo: 9 • 1012 1.3.- Razones y Proporciones RAZÓN: Es una comparación de dos cantidades mediante una división. Ejemplo: Juan tiene $5 y María tiene $15. Así decimos: La razón del dinero de Juan con el de María es 5 a 15 = 5 : 15 = 5/15 = 1/3. Esto quiere decir que Juan tiene una tercera parte de lo que tiene María. La razón del dinero de María con el de Juan es 15 a 5 = 15 : 5 = 15/5 = 3. En este sentido, la comparación nos dice que María tiene el triple (tres veces) lo que tiene Juan. RAZONES EQUIVALENTES: Son como dos fracciones equivalentes. Ejemplo: 3 de 10 = 6 de 20, de otra forma 3/10 = 6/20; 2 de 5 = 6 de 15, ó 2/5 = 6/15 PROPORCIÓN: Dos razones equivalentes forman una proporción. Ejemplo: 3/4 = 6/83 : 4 : : 6 : 8 (esto se lee: 3 es a 4 como 6 es a 8). PROPIEDAD DE LAS PROPORCIONES: Es igual que la de las fracciones:

3 x 8 = 6 x 4, 3 : 4 :: 6 : 8

En toda proporción, el producto de los extremos (3 y 8) es igual al producto de los medios (4 y 6). 7

APLICACIÓN: En una proporción, en la que desconocemos uno de los cuatro términos que la componen, podemos calcular el término desconocido, usando la propiedad de las proporciones, aprovechando los tres términos conocidos. A este procedimiento se le conoce como Regla de tres Ejemplo:

5 x X = 15 x 8, 5X = 120, X = 120/5, X = 24 3 manzanas cuestan $8. ¿Cuánto cuestan 12 manzanas?

3 x 12 = 8 x X, 3 x X = 96, X = 96/3, X = 32 Es importante en el planteamiento, cuidar el orden de los términos de la proporción, así, cuando los multipliquemos en diagonal (cruzados) obtendremos los resultados deseados. REGLA DE TRES INVERSA Cuando en una relación entre dos cantidades, al aumentar una, la otra disminuye inversamente en la misma proporción, es decir, si una aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad o al triple la otra disminuye a la tercera parte, etcétera, se dice que son cantidades que varían en forma inversamente proporcional. Ejemplo: 5 trabajadores tardan 14 días en abrir una zanja. ¿Cuánto tardarán 10 trabajadores? Si se aumentan los trabajadores al doble, el tiempo disminuye a la mitad. Es decir al aumentar una cantidad, la otra disminuye en forma inversamente proporcional. APLICACIÓN Un automóvil con una velocidad de 110 km/h recorre una distancia en 5 horas. ¿Cuánto tardará en recorrer la misma distancia si disminuye la velocidad a 100 km/h?

110 km/h = 5 h 100 km/h = X 8

100 : 5 = 110 : X, (110)•5 = 100X, 550/100 = X, X = 5.5 Horas.

Regla de tres compuesta La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes, de modo que a partir de las relaciones establecidas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida. Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta: Regla de tres compuesta directa

Ejemplo: Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias han consumido una cantidad de agua por valor de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos 12 horas durante los mismos días. A más grifos, más €

Directa.

A más horas, más €

Directa.

9 grifos 15 grifos

10 horas 12 horas

20 € x€

Regla de tres compuesta inversa

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias? A menos obreros, más días

Inversa.

A más horas, menos días

Inversa.

5 obreros

6 horas

2 días

4 obreros

7 horas

x días

Regla de tres compuesta mixta

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a razón de 6 horas por día un muro de 30 m. ¿Cuántos días necesitarán 10 obreros trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro que faltan? A más obreros, menos días A más horas, menos días

Inversa. Inversa.

A más metros, más días

Directa.

8 obreros 10 obreros

6 horas 8 horas

9 días x días

30 m 50 m

PORCENTAJES 100% representa siempre el total de algo: dinero, personas, herramientas, cosas, etc. POR CIENTO (%). Esta expresión significa tanto de 100. 3% significa 3 de 100 = 3/100 = 0.03 10% significa 10 de 100 = 10/100 = 0.10 25% significa 25 de 100 = 25/100 = 0.25 (cuarta parte) 50% significa 50 de 100 = 50/100 = 0.50 = 0.5 (mitad) 75% significa 75 de 100 = 75/100 = 0.75 (tres cuartas partes) 100% significa todo de 100 = 100/100 = 1 (el total) El porcentaje es una relación entre dos cantidades. Por ejemplo “Entre los 3 000 alumnos de un municipio y los 510 de esos alumnos que están becados se establece la relación y se calcula el porcentaje aplicando la propiedad de las proporciones:

X = 17 %, esto es, 510 es el 17 porciento de 3000.

El interés simple El interés simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Dicho interés no se reinvierte y cada vez se calcula sobre la misma base. En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los cálculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una regla de tres simple. Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto: El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i): esto se presenta bajo la fórmula: I=C·i·t donde i está expresado en tanto por uno y t está expresado en años, meses o días. 11

Tanto por uno es lo mismo que

Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda: si la tasa anual se aplica por años. si la tasa anual se aplica por meses si la tasa anual se aplica por días Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin más datos, se subentiende que es anual. Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la misma unidad de tiempo. Ejemplo: Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25.000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Resolución: Aplicamos la fórmula pues

tasa

aplica

por

años.

Que es igual a I = C • i • t En la cual se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06 I = 25.000 • 0,06 • 4 = 6.000 Respuesta A una tasa de interés simple de 6% anual, al cabo de 4 años los $ 25.000 han ganado $ 6.000 en intereses.

Ejemplo:

Calcular el interés simple producido por 30.000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %. Resolución: 12

Aplicamos la fórmula

pues la tasa se aplica por días. Que es igual a I = C • i • t En la cual se ha de expresar el 5 % en tanto por uno, y se obtiene 0,05

Respuesta El interés simple producido al cabo de 90 días es de 369,86 pesos

Interés Compuesto:

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (Cf). Para un período determinado sería Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses. Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo: Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual). Depósito inicial

Año 0 (inicio)

$1.000.000

$1.100.000

$1.210.000

$1.331.000

Interés ($1.000.000 x 10% = ) $100.000 ($1.100.000 × 10% = ) $110.000 ($1.210.000× 10% = ) $121.000 ($1.331.000 × 10% = ) 13

Saldo final $1.100.000 $1.210.000 $1.331.000 $1.464.100

$1.464.100

$1.610.510

$133.100 ($1.464.100 × 10% = ) $146.410

$1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final. Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general: En inversiones a interés compuesto, el capital final (Cf), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a . Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda. Como corolario a esta fórmula: A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i):

Sacamos factor común C:

También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de Cf:

En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo. Periodos de interés compuesto El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral, trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse! Así, si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante t años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., solo hay que convertir éstos a años. Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés compuesto se valida en forma mensual, en ese caso i

debe dividirse por 12

. En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años). Si los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 2 ya que el año tiene dos semestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 2 (el número de semestres de un año): Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo: será igual a

Si los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 4 ya que el año tiene 4 trimestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 4 (el número de trimestres que hay en un año). Del siguiente modo: será igual a

En general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o días el 100 de la fórmula que es igual a . La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo valor de n, en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%: será igual a

Ejemplo: Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %. Resolución: Aplicando la fórmula Reemplazamos con los valores conocidos: En tasa de interés compuesto Capital inicial Tiempo en años (t) = 5

Respuesta: El capital final es de 1.763.194 pesos. Ejemplo: Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1.583.945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente. Resolución: Aplicando la fórmula Reemplazamos con los valores conocidos: Capital final (Cf) = 1.583.945 En tasa de interés compuesto Tiempo en años (t) = 7

Despejando C:

Respuesta: Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 800.000 pesos. I.5 SISTEMA METRICO DECIMAL El propósito de este contenido será de gran ayuda a docentes y alumnos en el aprendizaje de las Medidas de Longitud y conversiones en los distintos sistemas. Medidas de Superficie. Medidas de Volumen. Medidas de Capacidad, Angulares, Temperatura y Tiempo el cual será un excelente material didáctico para la enseñanza de dicho contenido. Antecedentes históricos de los sistemas de medidas Este sistema moderno y científico de pesas y medidas de carácter universal tuvo su origen en Francia a fines del siglo XVIII. A diferencia de los antiguos sistemas de medidas, que sueles tomar como 17

base partes del cuerpo humano y otros elementos variables, siendo distintos en cada región, el Sistema métrico decimal se basa en la medida del Globo terráqueo y es uniforme para todo el mundo. Esta medición se llevó a cabo hallando la longitud del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por Paris y tomando de esa longitud la diezmillonésima parte, a la que se le llama metro. Definición. Sistema métrico decimal es el conjunto de pesas y medidas que se derivan del metro. El metro representa una medida invariable y universal. La relación que guardan entre sí las pesas y medidas siguen las mismas leyes de nuestro sistema de numeración decimal. Las palabras que designan las unidades, múltiplos y submúltiplos han sido tomadas de lenguas sabias, como el latín y el griego, para evitar rivalidades nacionales. Por la universalidad de su carácter reciben grandes beneficios las ciencias, las artes, la agricultura, la industria, los transportes y el comercio. Como las unidades fundamentales escogidas a veces resultan demasiado pequeñas y otras demasiado grandes lo que permitió crear unidades secundarias, llamadas múltiplos y submúltiplos. Los múltiplos se expresan por medio de las siguientes voces griegas ante estas a la unidad principal: deca, que significa diez así decámetro = 10 metros hecto, que significa cien así hectolitro 100 litros que significa significa significa -= kilo, así kilogramo =1,000 gramos cien; diez; que significa mil 10 metros miria, que que significa diez mil así miriámetro = 10,000 metros significa 1 000 gramos 100 litros diez miriámetro = 10 000 metros mil; mil; Los submúltiplos se expresan por medio de las siguientes voces latinas antepuestas a la unidad principal: deci, que significa la décima parte; centi, que significa la centésima parte; litro mili, que significa la milésima parte;

así decímetro = 0.1 metro así centilitro = 0.01 así rniligramo = 0.001 gramo

1.5.1 Medidas de longitud Para construir la presa de un pantano el ingeniero anota en un plano la largura, la altura y los diversos espesores de la presa. Todas estas dimensiones tienen longitud. Para expresarlas se las compara con otra longitud que se toma por unidad. 18

La operación de medir. Para que la medida que se realiza con ellos sea lo más exacta posible, estos instrumentos deben ser constantes, es decir, guardar la misma longitud, no dilatarse ni contraerse. Por ese motivo en todas partes las medidas que llevan el mismo nombre tienen la misma longitud. Un metro comprado en Tegucigalpa es tan largo como un metro comprado en Managua o en San José. Principio. Cada unidad de longitud es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior. Cambio de unidad. Para cambiar de unidad a un número que expresa una longitud basta colocar el punto decimal a la derecha de la unidad escogida. Si faltan cifras, se completan con ceros. Ejercicios a. Observación y reflexión   

b. 8.

¿Puedes saltar un metro de altura o un metro de distancia? ¿Dar un paso de un metro? ¿Apagar una candela de un soplo a un metro? ¿Se emplean todavía medidas antiguas de longitud en su lugar? ¿Qué relación tienen con el metro? ¿Con cuales es más fácil calcular y porque? ¿Cómo se indican las distancias en las carreteras? ¿Qué significan las inscripciones que llevan? ¿Cómo se llaman estas piedras? ¿Qué llevan escrito en cada cara? ¿Dibuja una del modo más completo? Orales y escrito

§ Lee los siguientes números. 1) 4 Km. 3 hm. dm.

2) 6 hm. 3 dam. 5 mm.

3) 9 km. 7 hm. 3 dam. 2

4) Si en el numero 123456789 la cifra 6 expresa metros. ¿Que expresan el 3, el 8, el 5 y el 9? R: El 3 representa kilómetro. § ¿Cuantos: 5) dam hay 6) m hay. 7) cm hay. 8) m hay. en 2,500 dm? en 7,300 dm? en 72 m? en 3 cm de hm? 250,000 dm. _________ _________ __________. § Indica el resultado cambiando en nombre de la unidad. 9) 4 dam x 10 = 40 m 1,000=______.

10) 27 cm x 10,000 = ______.

Otras medidas de longitud antiguas y utilizadas hoy en día. 19

11)87.5mx

Antiguas

De origen ingles

Legua

Cuadra Vara

= =

Pie

Pulgada

Milla

Yarda

5 kilómetros. 80 metros 0.836 metros 0.305 metros 0.025 metros 1,609 metros 0.91 metro

12 pulgadas

1.5.2 Medidas de superficie Unidad principal. La unidad principal es el metro cuadrado (m 2). Es la superficie de un cuadrado de un metro de lado, además, son cuadrados que tienen de lado la unidad de longitud correspondiente. Múltiplos El decámetro cuadrado (dam2) = 100 m2. El hectómetro cuadrado (hm2) = 10,000m2. El kilómetro cuadrado (km2) = 100,000 m2. Submúltiplos El decímetro cuadrado (dm2) = 0.01 m2. El centímetro cuadrado (cm2) = 0.0001m2. El milímetro cuadrado (mm2) = 0.000001 m2. Principio. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior. Cambio de unidad. Para cambiar de unidad se divide el número en grupos de dos cifras a partir del punto y se la traslada a la derecha del grupo que representa la unidad escogida. Si faltan cifras se suplen con ceros. Así, el número 40,500.25 m2 se escribirá en: dm2: 40,550.25 dm2 y en hm2: 0.04050025 hm2. Observación. No hay que confundir un decímetro cuadrado con una décima de metro cuadrado, un centímetro cuadrado con una centésima de metro cuadrado ni un milímetro cuadrado con una de metro cuadrado. Si ABCD representa un metro cuadrado, la banda ABFE representa una décima de metro cuadrado, y cada uno de los cuadritos comprendidos en ABFE 20

representa un decímetro cuadrado. La décima parte de un metro cuadrado contiene 10 decímetros cuadrados. De otro modo: el metro cuadrado tiene sólo 10 décimas de metro cuadrado, mientras que tiene 100 decímetros cuadrados.  Medidas agrarias. Las medidas de superficie también reciben el nombre de medidas agrarias cuando se emplean para calcular las superficies de los campos, bosques, cañaverales, etc. La unidad se medida es el dam2, que recibe el nombre de área (a). El área tiene también múltiplo que es la hectárea (ha) = 100 áreas = 1 hm 2.y un submúltiplo que es la centiárea (ca) = 0.01 a = 1 m2. Medición de superficies. No hay medidas efectivas de superficies ni agrarias. Para calcular una superficie se miden sus dimensiones por medio de las unidades de longitud y luego se aplican las reglas que indica la geometría. 1 mam2 (miriámetro)

1 ha (hectárea)

1 a (área)

1 hm2 1 dm2

1 ca (centiárea)

1,000,000 m2 10,000 m2

100 m2

1 m2

a. Observación y reflexión.  

Traza en el piso 1 m2. ¿Cuántos alumnos caben de pie en él? ¿Cuál es el medio metro cuadrado o la mitad del m2?

b. Orales y escritos. § ¿Cuantos: 12) m2 hay 13) cm2 hay 14) km2 hay 2 2 en 8 dam ? 0.08 en 84,000 mm ?____. en 45, 000,000 m2?___. c. Suma o resta tomando como unidad primero el m2 y después el hm2. 15) 75 km2 29 dam2 6 m2 + 45 km2 7 dam2 1 m2 + 746 dam2 2 m2. = 16) 18 km2 9 hm2 67 dam2 3 m2 – 8 km2 62 hm2 87 m2 = § ¿Cuantos: 17) m2 hay hay en 1 ha? 10,000 m2 __________

18) dam2 hay en 90 ha? __________

19) en 340000 a?

km2

Principio. Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior. Cambio de unidad. Para cambiar de unidad se divide el número en grupos de dos cifras a partir del punto y se le traslada a la derecha del grupo que representa la unidad escogida. Si faltan cifras se suplen con ceros. 1.5.3 Medidas de volumen Unidad principal es el metro cúbico. Metro cúbico (m3). Es el volumen de un cubo de un metro de lado. Unidades secundarias. Son cubos que tienen de arista la unidad de longitud correspondiente.

Figura 1. La figura 1 representa 1 m3.

La base del cubo es 1 m2, que tiene 100 dm2. Sobre cada uno de estos dm2 podemos levantar una torre AB, formada por 10 cubitos de 1 dm de lado, es decir, por 10 dm3. Luego en total tendremos: 100 x 10 = 1 000 dm 3. Principio. Cada unidad de volumen es 1000 veces mayor que la unidad inmediata inferior. Así, 1 m3 vale 1000 dm3 Múltiplos. Son de poco uso. Submúltiplos: El decímetro cúbico (dm3)= 0.001 m3 El centímetro cúbico (cm3) = 0.000001 m3 El milímetro cúbico (mm3) = 0.000000 001 m3 Observación. No hay que confundir 1 dm 3 con una décima de m3, 1 cm3 con una centésima de m3 ni 1 mm3 con una milésima de m3. En conclusión se necesita tener tres cifras para representar cada unidad de volumen. Nota aclaratoria. De todo lo anterior se infiere que si un número, la unidad es el metro cúbico, el decímetro cúbico ocupa el orden de las milésimas, el centímetro el de las millonésimas, etc. 22

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 1,000 más que la anterior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos tríos de ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplos ilustrativos.

20) Pasar 1.36 hm3 a m3: Tenemos que multiplicar (porque el hm3 es mayor que el m3) por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay dos lugares entre ambos. 1.36

1 000 000 = 1 360 000m3

a. Orales y de reflexión 21) Si se corre la coma dos lugares hacia la derecha o hacia abajo, ¿Qué cambio sufren: a) los metros cúbicos; b) los centímetros cúbicos; c) las decenas de los decímetros cúbicos. 22) ¿Cuántos decímetros cúbicos hay en 2 metros cúbicos y medio? b) Escritos § ¿Cuántos: 23) m3 hay

24) dam3 hay

en 1,000 dm3? 1.8 dm3? 100 m3 __________

en 12 m3?

25) cm3 hay en

__________

1 decalitro es igual a 10 litros: 1 dal = 10 l. 1 hectolitro es igual a 100 litros: 1 hl = 100 l. 1 kilolitro es igual a 1000 litros: 1 kl = 1000 l. 1 mirialitro es igual a 10000 litros: 1 mal = 10000 l. 1.5.4 Medidas de capacidad Las medidas de capacidad son las que sirven para medir líquidos. La unidad es el litro que es la capacidad de un decímetro cúbico. En el dibujo vemos que el líquido de un recipiente de 1 litro cabe en una 23

caja que tiene un decímetro por cada lado. El litro se escribe abreviadamente l. Medida Símbolo Equivalencia kilolitro kl 1000 l hectolitro hl 100 l Múlti plo decalitro dcl 10 l Litro 1l decilitro dl 0.1 l centilitro cl 0.01 l Submúlt mililitro ml 0.001 l iplo Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. Ejemplos

Ejemplos ilustrativos de conversión de medidas 1. Pasar 50 hectolitros a centilitros d c l

d l

Tenemos que multiplicar (porque el hectolitro es mayor que el centilitro) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entre ambos. 50 · 10 000 = 500 000 cl 2. Pasar 2587 centilitros a litros: ÷ =

Tenemos que dividir (porque el centilitro es menor que el litro) por la unidad seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos. 24

2587 l ÷ 100 = 25.87 l a. Ejercicios escritos de conversiones. 26) 5 kl 5 hl 7 dcl→ 5000 l + 500 l + 70 l = 5,570 l 27) 3l2 cl 3 ml → 3 l + 0.02 l + 0.003 l = 3.023 l A como se puede observar en el ejercicio 27) que para convertir una unidad determinada en otra pedida, situada a su izquierda (mayor), tenemos que dividirla por la unidad seguida de tantos ceros como posiciones hay, en la tabla, entre la unidad determinada y la pedida. Recuerda que dividir por la unidad seguida de ceros equivale a "correr la coma de los decimales" hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañan a la unidad. Además si utilizamos el siguiente

observamos el procedimiento.

1.5.5

peso

Medidas de

La unidad de estas medidas de peso diez y sus múltiplos y

Tonelada métrica Quintal métrico Kilógramo Hectogramo Decagramo gramo decigramo centigramo miligramo

ejerció

26)

medidas es el gramo. Así, las aumentan y disminuyen de diez en submúltiplos del gramo son:

tm qm kg. hg. dg. g. dg. cg. mg.

1,000,000 g 100,000 g. 1,000 g. 100 g. 10 g. 1 g. 0.1 g. 0.01 g. 0,001 g.

Ejemplos ilustrativos Si nos dan una medida en decigramos (dg) y la multiplicamos por 0,1 tendremos los dg convertidos en gramos (g). 25

En sentido inverso, si nos dan una medida en gramos (g) y la dividimos por 0,1, tendremos los gramos convertidos en decigramos (dg). Nota aclaratoria. Este juego de multiplicar por los valores de la tabla en sentido horizontal y dividir por los valores en sentido vertical se aplica a cualquiera de las medidas. Apliquemos lo estudiado 28) Convertir 4.000 cg a hectogramos (Hg), a decagramos (Dg) y a milígramos (mg) a) 4.000 • 0,0001 = 0,4 Hg

d )

b) 4.000 • 0,001 = 4 Dg c) 4.000 • 10 = 40.000 mg e )

f )

Para no que no se preste a confusión, debemos señalar que, como norma, se aconseja lo siguiente:  

Para convertir una magnitud grande a otra más pequeña, se haga una multiplicación. Para convertir una magnitud pequeña a otra más grande, se haga una división. § Convierta las siguientes magnitudes. 29) 6 _________

= g

30)

31) 3 547 g = ____ kg 32) 2 kg 64 g = _________ g 33)

1 kg = _________ g

_______

2,1 kg = ___________ g

Otro ejemplo ¿Cuál es el peso de la carga de un depósito que contiene 8 dam 3 de agua? Resolución y Solución Un litro de agua pesa un kilogramo. Un metro cúbico de agua (1 000 l) pesa una tonelada (1 000 kg). 8 dam3 =8,000 m3 de agua pesan 8 000 t. Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa 26

Capacidad 1 kl

Volumen

Masa (de agua)

1 m³

1t 3

1 dm

1 ml

1 cm³

1 kg 1g

1.5.6 Medidas de tiempo o cronométrico Todas las medidas de tiempo se basan en el que necesita la Tierra para dar una vuelta sobre su eje, esto es, en el tiempo que tarda en dar una vuelta completa en su movimiento de rotación. Unidades de medida. Las fundamentales son el día y el año basado en calendario Gregoriano y en función de ella se tiene:

1 año Día

Siglo Década lustro Doce meses

52 semanas

= = = =

100 años 10 años 5 años 365 días

24 horas (h) 60 minutos (´) Segundos (´´ )

Hora

Minuto

Los segundos, los minutos y las horas se pueden considerar como las unidades de primer orden, de segundo orden y tercer orden, respectivamente, de un sistema sexagesimal. En este sistema cada unidad es 60 veces mayor que la inmediata inferior. En el sistema sexagesimal sesenta unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior. § Orales y de reflexión. ¿Cuánto tiempo hay desde las 8 de la mañana hasta las 5 de la tarde? Cuantos días han transcurrido desde el 22 de agosto de 1980 has el 22 de agosto de de 2013. 33) ¿Cuántas horas hay en un año bisiesto? Recuérdese si los años son bisiesto si sus dos últimas cifras son divisible por cuatro. De esta regla se exceptúan los años que terminan en dos ceros, cuyo 27

número de centenas no se a divisibles por 4. 34) ¿Cuántas horas hay? 8,760 horas. 8,784 horas. 8,640 horas 1.5.7 Unidades de Temperatura Es la medida de la intensidad de calor, esta medida se basa en la intensidad de calor necesaria para congelar o hervir agua pura bajo presión correspondiente a la de la atmósfera al nivel medio del mar. Hay dos sistemas corrientes para medir la temperatura, el sistema inglés (punto de congelación 100° C) farengehit y (180° F)el centígrado algunas veces recibe el nombre de Celsius. Ecuaciones de los mismos: (

(

)

35) Dada las siguientes proposiciones, indicar lo incorrecto. a. La temperatura es una medida relativa del grado de agitación que posee las partículas que componen un cuerpo. b. El cero absoluto es la temperatura a la cual teóricamente debe cesar todo movimiento. c. La temperatura y el calor es lo mismo. Resolución a. Verdadero: La temperatura es la medida relativa de la energía cinética relacionada con el grupo de agitación molecular de un cuerpo. b. Verdadero: El cero absoluto es la temperatura termodinámica mas baja en lo que teóricamente cesa todo movimiento molecular. c. Falso: La temperatura mide el grado de agitación molecular, mientras que el calor es una forma de energía originado por el movimiento molecular. 1.5.8 Sistemas de medidas angulares Su unidad angular es el grado sexagesimal (1°) el cual equivale a la 360 ava parte del ángulo de una vuelta. Sus unidades. 1 minuto sexagesimal →1´ 1 segundo sexagesimal → 1´´ Equivalencia 28

1° = 60´ 1´= 60´´ Esto es 1° = 3600´´ Sistema centesimal ( francés) Su unidad angular es el grado centesimal (1°); el cual es equivalente a la 400 ava parte del ángulo en una vuelta.

Sus unidades 1 minuto centesimal → 1m 1 segundo centesimal → 1s Equivalencia 1g = 100m 1m = 100s Esto es 1g = 10,000s Sistema radial o circular Es aquel que tien como unidad a un radian (1 rad). Un radian se define a la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud equivalente al radio de la circunferencia respectiva.

Existen muchos sistemas para medir ángulos, pero los más usuales conocidos son tres: Sistema sexagesimal (ingles) Sistema centesimal

Sistema radial Ejemplo

Algebra II UNIDAD: ALGEBRA Introducción. El álgebra es la parte de las matemáticas que tiene por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades, el concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, las cantidades no se representan solamente por números que expresan valores determinados, sino que las cantidades se representan mediante letras que pueden expresar cualquier valor que se les asigne. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.

2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operación. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje cotidiano. Ejemplos: √ 2.1 Clasificación de expresiones algebraicas:

Ejemplos: Expresión algebraica racional

)

Expresión algebraica irracional ) Expresión algebraica racional entera ) Expresión algebraica racional fraccionaria )

)

) √ )

√

) )

√

2.2 Término algebraico y Grado de una expresión algebraica.

2.3Tipos de expresiones algebraicas.

Ejemplos: Monomios. √ Ejemplos: Polinomios. Binomios 32

Trinomios 2.4 Términos semejantes. Tienen las mismas variables con los mismos exponentes, y términos semejantes, no son términos semejantes.

son

2.4.1Ordenamiento de una expresión algebraica. El polinomio está ordenado en orden ascendente con respecto a la letra y, y está ordenado en orden descendente con respecto a la letra x. 2.4.2 Evaluación de expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas aparecen en diversas áreas del conocimiento humano: economía, física, química, biología, medicina, geometría, industria, agricultura, educación, etc. El evaluar expresiones algebraicas es una actividad que realizamos a cada momento, generalmente sin darnos cuenta.

Ejemplos: ( ) ) La superficie de una persona se calcula usando , con en libras y en pulgadas ¿Cuánto vale para una persona que mide 5 pies y pesa 180 libras? Solución ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ) ¿Cuál es el volumen de agua que cabe dentro de un barril para guardar agua potable. El barril tiene forma cilíndrica de 2 metros de altura y radio de la base 0.5 ms? Solución ( ) ( ) = ) El interés que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial , al tiempo , y a la tasa de interés , donde , está expresado en tanto por ciento y en años. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del anual. Solución =25000( )( ) Córdobas

2.5 OPERACIONES ALGEBRAICAS

2.5.1 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS EJEMP LOS

(8x2 – 4x – 2) y (2x2 + 5x – 3)

1. Encontrar la suma de

(8x2 – 4x – 2) + (2x2 + 5x – 3) =

i) Planteamos la suma:

8x2 – 4x – 2 + 2x2 + 5 x – 3 =

ii) Eliminamos los paréntesis:

iii) Identificamos los términos semejantes y los reordenamos: 8x 2  2x 2 4x  5x  2  3 =

iv) Reducimos los términos semejantes sumando o restando según sea el caso, los coeficientes numéricos y rescribiendo la(s) variable(s) con igual exponente: 2

8x 2  2x 2 4x  5x  2  3 = 10x + x – 5

Conclusión:

2. Restar

(8x2 – 4x – 2) + (2x2 + 5x – 3) = 10x2 + x – 5 – 4(5ab + 6 a 2 ) de – 6 (2ab – b2)

i). Planteamos la resta en el orden indicado – 6 (2ab – b2) – [– 4( 5ab + 6a2)] = [–12ab + 6 b2] – [–20 ab – 24a2] =

ii). Aplicamos la ley distributiva:

iii) Eliminamos los corchetes, observando que el segundo está precedido de signo menos: = –12ab + 6b2 + 20ab + 24a2 iv)

Reducimos términos semejantes y reordenamos:

Conclusión:

3. Simplificar

= 24 a 2 + 8ab + 6b2

– 6(2ab – b2) – [– 4 (5ab + 6a2 ] = 24 a2 + 8ab + 6b2 9x –  (2y – 3x) – (x + 4y)  +  y – (2y – x ) –  2y + (4y – 3x) 

 34

Tenemos dos opciones: eliminar los símbolos de agrupación de afuera hacia adentro o bien de adentro hacia afuera. Ambas vías deben conducirnos al mismo resultado. Optemos por la eliminación de adentro hacia fuera. Siempre hemos de considerar el signo que precede a cada símbolo de agrupación, tenemos: = 9x –  2y – 3x – x – 4y  + {y – 2y + x –  2y + 4y – 3x  }  Podemos ir reduciendo términos semejantes antes de eliminar el siguiente símbolo de agrupación. = 9x –  – 2y – 4x  + {– y + x –  6y – 3x  } = 9x + 2y + 4x + {– y + x –6y – 3x} = 13x + 2y + {– 7y + 4x } = 13x + 2y – 7y + 4x = 17x – 5y 4. Si P(x) = 3x4  5x3  3x  2 y Q(x) =

2x3  6x2  5x  3 ,

obtenga P(x) + Q(x) y

P(x) – Q(x) P(x) = Q(x) P(x)

P(x)

= Q(x)

– P(x) – Q(x) =

Q(x)

2.5.2 MULTIPLICACIÓN EJEMP LOS

(2ab) (– 3a2c) (5a4b3c2) =  (2) (– 3) (5)  (a· a2· a4) (b· b3) (c· c2) = –

30a7b4c3. Teniendo el cuidado pertinente podemos obviar el paso intermedio. 6.

(2xy) (4ax2 – 5y2z2) = (2xy) (4ax2) + (2xy) (– 5y2z2) = 8ax3y – 10 xy3z2

(7ab) (– 3abc – 5ab2c3) = (7ab) (– 3abc) + (7ab) (– 5ab2c3) = – 21a2b2c –

35a2b3c3 8.

(x – 2) (x + 3) = x (x + 3) – 2 (x + 3) = x2 + 3x – 2x – 6 = x2 + x – 6 35

9. (xa – yb) (xb + ya) = xa (xb + ya) – yb (xb + ya) = xa+b + xa ya – yb xb – ya+b 10.

(a2 – 2ab – b2) (a2 + 3ab + 5b2 ) Solución :  Multiplicando  Multiplicador er a 2  3ab  5b 2  (resultado del 1 término del multiplicador por el multiplicando) a 4  2a 3 b  a 2 b 2 do  (resultado del 2 término del multiplicador por 3 2 2 3  3a b  6a b  3ab multiplicando). er 4  Resultado del 3 término del  5a 2 b 2  10ab3  5b multiplicador por el multiplicando 4 3 2 2 3 4  producto a  a b  2a b  13ab  5b

a 2  2ab  b 2

2.5.3 PRODUCTOS NOTABLES a ( x + y ) = ax + ay ( x + y )2 = x2 + 2xy + y2

( x – y )3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 ( x + y ) ( x2 – xy + y2 ) = x3 + y3

( x – y )2 = x2 – 2xy + y2

( x – y ) ( x2 + xy + y2 ) = x3 – y3

( x – y ) ( x + y ) = x2 – y2

( x + y + z )2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a+ b )x + ab

x  (a  b  c) x  (ab  ac  bc) x  abc ( ax + b ) ( cx + d ) = acx2 + ( ad + bc )x +bd

(x + a) (x + b) (x + c) (x + d) =

x 4  (a  b  c  d) x 3  (ab  ac  ad  bc  bd  cd) x 2  (a

( x + y )3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 EJEMP LOS

11. (x + 4) ( x + 5) = x2 + (4 + 5) x + (4) (5) = x2 + 9x + 20 12. (3x + 7)2 = (3x)2 + 2 (3x) (7) + 72 = 9 x2 + 42 x + 49 13. (7x – 8y) (7x + 8y) = (7x)2 – (8y)2 = 49 x2 – 64 y2 14. (x + 1) ( 6x – 5) = (1) (6) x2 + [ (1) (– 5) + (1) (6) ] x + (1) (– 5) = 6 x2 + x – 5 15. ( x2 y – 5xy3) ( x2 y + 5xy3) = ( x2 y)2 – ( 5xy3)2 = x4 y2 – 25x2 y6 16. (2x + 3)( 4 x2 – 6x + 9)(x – 1)( x2 + x + 1) =[(2x + 3)( 4 x2 – 6x + 9)] [ (x – 1)( x2 + x + 1) ]

= (8 x3 + 27) (x3 – 1) = 8 x6 + 19 x3 – 27 17. (5y – 3)3 = (5y)3 – 3 (5y)2 (3) + 3 (5y) (3)2 – (3)3 = 125 y 3 – 225 y2 + 135 y – 27 (

(

)

(

) (

(

)

)(

)

(

)

19. (x – 2)(x + 3)(x – 5)(x + 9) = Se tiene a = – 2, b = 3, c = – 5, d = 9; a + b + c + d = – 2 + 3 – 5 + 9 = 5; ab + ac + ad + bc + bd + cd = – 6 + 10 – 18 – 15 + 27 – 45 = – 47 ; abc + abd + acd + bcd = 30 – 54 + 90 – 135 = – 69 ; abcd = 270 Luego (x – 2)(x + 3)(x – 5)(x + 9) = x 4  5x 3  47x 2  69x  270 2.5.4 DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: EJEMP LOS

19.

21.

25 a 3 b 6 5 ab 2

6 x 3 yz  4 x 2 y 2 z  3 xy3 z 3 2 x 2 yz 3

 8 x 3 y2 z 2

20.

 5 a 2b 4



6 x 3 yz 2 x 2 yz 3



4 x 2 y2 z 2 x 2 yz 3

6 xy2 z 4 

3 xy3 z 3 2 x 2 yz 3



 4x 2



3 z2

3x z2



2y z2



3 y2 2x

22. Dividir 6a3 – a2b –11ab2 + 6b3 entre 2a + 3b Observamos que los polinomios están ordenados

según las potencias

descendentes de “a”. Una forma de disponer los polinomios para efectuar la división es el que sigue. Siguiendo los pasos señalados anteriormente tenemos: Dividendo



6a3 – a2b – 11ab2 + 6b3

–6a3 – 9a2b

 Divisor

2a + 3b

3a2 – 5ab + 2b2

–10a2b – 11ab2 + 6b3 10a2b + 15ab2

 cociente

4ab2 + 6b3 – 4ab2 – 6b3 0 37

 Residuo

Luego (6a3 – a2b – 11ab2 + 6b3)  (2a+ 3b) = 3a2 – 5ab + 2b2 2.5.5 DIVISIÓN SINTÉTICA: P(x)  (x – a) 23. Dividir x3 – x – 10 entre x – 3 1er. Paso: Escribimos los coeficientes del dividendo con su respectivos signos y a su derec a el valor de “a” que en este caso es a = 3. Si en el dividendo no aparece una potencia intermedia de x, interpretamos que su coeficiente es cero y también lo escribimos en su lugar correspondiente. (En el ejemplo no aparece x2)

Tenemos entonces: 1

–1

–10

2do. Paso: “bajamos” el primer coeficiente y lo escribimos bajo la línea trazada. Este valor lo multiplicamos por “a”

y el producto lo escribimos debajo del

segundo coeficiente. A continuación efectuamos la suma de estos valores y lo escribimos bajo la línea trazada. 3er Paso: Reiteramos el paso anterior hasta llegar al último coeficiente. En este caso obtenemos.

1 4to

–1

–10

Paso: Interpretamos el resultado. En el ejemplo el dividendo es de grado

3, luego el cociente será de grado 2, y sus coeficientes en orden descendentes son los que resultaron en la parte inferior o sea q(x) = x2 + 3x + 8. El último número es el residuo, que en este caso es r = 14.



Este método ligeramente modificado podemos usarlo también cuando el

divisor es de la forma ax – b. Para ello rescribimos ax – b como a  x  b  

dos partes: primeramente dividimos entre x –

a

b a

y la división la hacemos en

y luego el cociente encontrado

entre el valor de “a” para allar el cociente definitivo. El residuo encontrado en la primera parte permanece igual

3x4 – 4x3 + 4x2 – 10x + 8  3x – 1

24. Efectuar

Tenemos 3x – 1 = 3(x – –4 4

–10 –1

1 –3

1 ) luego escribimos 3

8 –3

1 3

1/3

–9

Resulta el cociente

q(x)= 1/3 (3x3 – 3x2 + 3x – 9) = x3 – x2 + x – 3 y el residuo r = 5

2.6

FACTORIZACIÓN

2.6.1 FACTOR COMÚN MONOMIO: ax + ay = a (x + y ) EJEMP LOS

1. 5x – 15 = En este caso notamos que los coeficientes numéricos tienen como máximo común divisor a 5, luego dividimos cada término entre este valor y obtenemos: 5x – 15 = 5 (x – 3) 2.

6a2b3c – 3a3b2c2 d + 9 a4b2c3 – 3abc = 39

Primero buscamos el máximo común divisor de los coeficientes numéricos, que en este caso es 3. Luego buscamos las literales que sean comunes a cada término, tomándolas a la menor potencia que aparecen y finalmente dividimos cada término entre el factor común encontrado: 6a2b3c – 3a3b2c2d + 9 a4b2c3 – 3abc = 3abc (2ab2 – a2bcd + 3a3 bc2 – 1)

2.6.2 FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN 3.

x3 + x2 – 4x – 4

(x3 + x2) + (– 4x – 4) =

( x + 1 ) ( x2 – 4 ) =

x2 ( x + 1 ) – 4 ( x + 1 )

(x+1)(x–2)(x+2)



(Posteriormente veremos que x2 – 4 = (x – 2) (x + 2) ) 4.

2y – y2 + 12y3 – 6y4

y (2 – y + 12y2 – 6y 3)

y [( 2 – y ) + 6y 2( 2 – y )]

y (2 – y) (1 + 6 y2 )

4xz – y w + 2yz – 2xw = (4xz + 2yz) + ( – y w – 2xw ) = 2z (2x + y) – w ( y + 2x) = ( 2x + y) (2z – w )

2.6.3 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 6.

Factorizar 9x2 – 6x + 1

Primero notamos que ya está ordenado. Tenemos que la raíz cuadrada del primer término y el último son 3x y 1, y que el segundo término corresponde al doble de ellas. Notamos además que es negativo, luego 9x2 – 6x + 1 = (3x – 1)2. 7.

Factorizar 36x2 + 60xy + 25y2

Observamos que el primero y el último término tienen raíz cuadrada exacta, estas son 6x y 5y. Comprobamos que el segundo término corresponde al doble del producto de las raíces y por tanto es un trinomio cuadrado perfecto. Como el segundo término es positivo, se trata de una suma. Luego 36x2 + 60xy + 25y2 = (6x + 5y )2

Factorizar – 4a6 – 9b4 + 12a3 b2

Primeramente notamos que no está ordenado de acuerdo a las potencias de las literales. Además notamos que los términos cuadráticos aparecen negativos. Nos conviene entonces ordenarlos y encerrarlos entre paréntesis precedido del signo menos. Luego verificamos que corresponde a un trinomio cuadrado perfecto. – 4a6 – 9b4 + 12a3 b2 = – 4a6 + 12a3 b2 – 9b4 = – ( 4a6 – 12a3 b2 + 9b4 ) = – ( 2a3 – 3 b2 )2 9.

Factorizar

x  8 x  16

Considerando que (

)2 = x , verificamos que es un trinomio cuadrado

perfecto, luego x  8 x  16 

(

+ 4 )2

2.6.4 DIFERENCIA DE CUADRADOS. 10. 4x2 – 9 = ( 2x – 3 ) ( 2x + 3 ) 11. 16x4 – 25y6 = ( 4x2 – 5 y3 ) (4x2 + 5 y3 ) u2 – v = (u –

12.

49 x 4

13.



) (u +

16 z 2  7 x 2 4 z     y3 25 5   

)

 7 x2 4 z      y3 5   

2.6.5 TRINOMIO DE LA FORMA x2 + B x + C 14.

Factorizar x2 + 5x + 6.

Notemos que los coeficientes del término lineal y el término independiente son positivos, luego los valores de a y b también deben ser positivos. Los factores de 6 son  (1, 2, 3 y 6). La pareja que satisface la condición indicada son 2 y 3, luego x2 + 5x + 6 = ( x + 2 ) ( x + 3 ). 15.

Factorizar y2 – 7y – 8

Notamos que el término independiente es negativo, luego uno de los valores a encontrar debe ser negativo y el otro positivo. Dado que el coeficiente del término lineal es negativo, el mayor de los valores encontrados debe ser negativo. Los factores de 8 son  (1, 2, 4, 8) y la pareja que satisface las ecuaciones son – 8 y 1, luego y2 – 7y – 8 = ( y – 8 ) ( y + 1 ) 16.

Factorizar z2 + 5z – 14. 41

Similar al caso anterior, pero en este caso al mayor de los valores le corresponde signo positivo. Se tiene z2 + 5z – 14 = ( z + 7 ) ( z – 2 ) 17.

Factorizar x2 + 10xy + 24y2

Ahora notamos que aparecen dos variables, pero que tiene la forma que estamos considerando. A los valores a y b encontrados, le añadimos la segunda variable. x2 + 10xy + 24y2 = ( x + 6 y ) ( x + 4y ) 2.6.6 TRINOMIO DE LA FORMA Ax2 + B x + C 18. Factorizar las siguientes expresiones 1.

2x2 + 11x + 5

Primera forma:

2 2x2 + 11x + 5 = 2 x 

 112 x   10 2 x  10 2 x  1   2 2

2x  5 2 x  1  2

= (x + 5) (2x +1) Segunda forma: Multiplicamos ac: (2)(5) = 10 y buscamos dos factores de 10 cuya suma sea b =11, que en este caso son 1 y 10. Luego descomponemos 11x como x + 10x y factorizamos por agrupación. 2x2 + 11x + 5 = 2x2 + x + 10x + 5 = x ( 2x + 1 ) + 5 ( 2x + 1 ) = +5)

19.

10x2 – 7xy – 12y2 =



10 10 x 2 - 7 xy - 12 y 2 10

  10 x2  710 x y 120 y2

10 x 15 y 10 x 8 y 10

( 2x + 1) ( x



52 x 3 y  25 x  4 y 10

= (2x–3y) (5x +4y) 20. 15x2 – 2x – 8 = 15x2 – 12x + 10x – 8 = ( 15x2 – 12x ) + ( 10x – 8 ) = 3x ( 5x – 4 ) + 2 ( 5x – 4 ) = ( 5x – 4 ) ( 3x + 2 ) 2

21. 50 a – 45 a b – 18 b4 = 50 a2 – 60 a b2 + 15 a b2 – 18 b4 = (50 a2 – 60 a b2 ) + (15 a b2 – 18 b4 ) = 10 a ( 5 a – 6 b2 ) + 3 b2 ( 5 a – 6 b2 ) 42

= (10 a + 3 b2 ) (5 a – 6 b2 ) 22. 6x2 – 11x + 4 =

6 ( 6x 2  11x  4) (6x) 2  11(6x)  24  6 6

(6x  8) (6x  3) 2(3x  4) 3(2x  1)   (3x  4) (2x  1) 6 6

2.6.7 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS 23. 8a3 – 27 b6 = (2a – 3b2) (4a2 + 6ab2 + 9b4) 24. 64x3y3 + 125 = (4xy + 5 ) (16x2y2  20 xy + 25)

2.6.8 FACTORIZACIÓN POR EVALUACIÓN 25. Factorizar x3 – 2x2 – 5x + 6 Solución:

Los factores del término independiente son ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.

Evaluemos P (– 1) = (– 1)3 – 2(– 1)2 – 5 (– 1) + 6 = –1– 2+5 +6= 8≠0 P (1) = (1)3 – 2(1)2 – 5 (1) + 6

No nos sirve

= 1 – 2 – 5 + 6 = 0 luego x – 1 es

un factor Buscamos el otro factor, usando división sintética: 1 –2 –5 1 –1 –1 –6

6 –6

Luego x3 – 2x2 – 5x + 6 = (x – 1) (x2 – x – 6) Notamos que

x2– x – 6 es un trinomio del tipo x2 + bx + c, fácilmente

factorizable: x2 – x – 6 =(x – 3)(x + 2) x3 – 2x2 – 5x + 6 = (x – 1) (x – 3) (x + 2)

finalmente tenemos: 26.

x4 – x3 – 7x2 + x + 6

Factorizar

Solución: Los factores del término independiente son: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Evaluamos: P (1) = (1)4 – (1)3 – 7 (1)2 + 1 + 6 1 6 1 0

– 1 1 0

– 7

0 – 7 –7 –6

= 1–1–7 +1+6 = 0



– 1 es un factor. Buscamos el otro factor: Luego x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = (x – 1) (x3– 7x – 6) Intentamos factorizar x 3 – 7x – 6 por el mismo método. El término independiente tiene los mismos factores: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Evaluamos

P (1) = (1)3 – 7(1) – 6 = 1 – 7 – 6 = – 12

No nos sirve

P (– 1) = (– 1)3 – 7(– 1) – 6 = – 1 +7 – 6 = 0

x + 1 es un factor



Aplicamos la división sintética

1 6 1 0

0 – 1 – 1

–7

–

–1

1 – 6

Tenemos entonces x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = (x – 1) (x + 1) (x2 – x – 6) o sea

x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = (x – 1) (x + 1) (x – 3) (x + 2)

2.6.9 COMBINACIÓN DE DIVERSOS CASOS 27. KD2 – 4Kr2 = K(D2 – 4r2 ) = K (D – 2r ) (D + 2 r ) 28. x4 + x2y2 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – x2y2 = (x2 + y2) 2 – x2y2 = (x2 + y2 – xy ) (x2 + y2 + xy ) 29. 9x 2– 64y2 + 112y – 49 = 9x 2 – (64y2 – 112y + 49 ) = 9x 2 – (8y – 7)2 =  3x – (8y – 7)  3x + (8y – 7) =

(3x – 8y + 7) (3x + 8y – 7)

30. 9x2 + y2 + 6xy – 1 = (9x2 + 6xy + y2) – 1 = ( 3x + y) 2 – 1 = [ (3x + y) – 1 ] [ ( 3x + y) + 1] = ( 3x + y – 1 ) ( 3x + y + 1) 31. 3 x3 + 2 x2 – 12x – 8 = (3 x3 + 2 x2 ) + (– 12x – 8 ) = x2 ( 3x + 2 ) – 4 ( 3x + 2) = ( x2 – 4 ) ( 3x + 2) = ( x – 2 ) ( x + 2 ) ( 3x + 2 ) 44

32. 8 x6 + 19 x3 – 27 = ( 8 x3 + 27 ) ( x3 – 1 ) = ( 2x + 3 ) ( 4 x2 – 6 x + 9) (x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) 33. 4 x3 + 6 x2 – 4 x y2 – 6 y3 = 2x2 ( 2x + 3y ) – 2 y2 ( 2x + 3y ) = (2 x2 – 2 y2 ) ( 2x + 3y ) = 2 ( x2 – y2 ) ( 2x + 3y ) = 2 ( x – y ) ( x + y ) ( 2x + 3y ) 34. x8 + 5x4 – 6 = (x4 + 6) (x4 – 1) = (x4 + 6) (x2 + 1) (x2 – 1) = (x4 + 6) (x2 + 1) (x + 1)(x – 1) 2.7 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS 2.6.7 SIMPLIFICACIÓN: EJEMP LOS

SIMPLIFICACIÓN 15 x2 y5

35 x y

4 x 2  12 x  9 2

4x  9



2 3 3  5  x2  y  y 

7  5  x 2  x 3  y2

2 x  32  2 x  32 x  3

3 y3

7 x3

2 x 3 2 x 3

2.6.8 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN:

Efectuar 3.

x 2 y2 z



x

z2 2

 4y





x 2 y2 z 2 3



z x  4y







x 2 y2 z 2

z x 2 y

x 2 y 

x 2 y z (x  2 y)

x 2 y xz 2 yz

4. x3  2 x2  3 x x3  1



x 2  x 1 x3  x2  6 x



x 1 x 2  x 2



xx  3x  1

x 2  x 1 x 1  x 1 x 2  x  1 xx  3x  2 x  2x 1

= =1 2.6.9 SUMA Y RESTA: 45





xx  3x  1



x  1x 2  x  1



x  2x  1 x2  x  1  x  1 xx  3x  2

Efectuar las siguientes operaciones: 5x 3x + 4 4

Dado que los denominadores son iguales procedemos a sumar los denominadores

simplificamos

resultado.

Tenemos:

5x 3x 8x    2x 4 4 4 3 x 1

x  x 2

–

x 3 2

2 x  5 x 2

Dado que los denominadores son distintos, buscamos el M.C.D. Para eso factorizamos cada denominador. El M.C.D. está formado por cada uno de los factores distintos con la máxima potencia que aparezcan. En este caso tenemos x2 – x – 2 = (x – 2) (x + 1) ; 2x2 – 5x + 2 = ( 2x – 1) ( x – 2)  MCD = (2x – 1 ) (x – 2) (x + 1) Dividiendo el MCD entre cada denominador y multiplicando el resultado por el respectivo numerador se obtiene 3 x 1 2

x  x 2

–

x 3 2

2 x  5 x 2

(3 x  1) (2 x  1)  (x  3) (x  1) = (2 x  1) (x  2)(x  1)

(6 x 2  5 x  1)  (x 2  4 x  3 ) = (2 x  1) (x  2)(x  1)

= 5 x2  9 x  2 = (2 x  1)(x  2)(x  1)

= 7.

(5 x  1) (x  2) (2 x  1)(x  2) (x  1)

5 x 1 (2 x  1)(x  1)

2 x 1 x² 2x   12 x  8 6 x ²  x  2 16 x  8

Como en el ejemplo anterior, los denominadores son distintos. Buscamos el M.C.D., factorizando cada denominador. El M.C.D. está formado por cada uno de los factores distintos con la máxima potencia que aparezcan. En este caso tenemos: 12x + 8 = 4 (3x + 2); 6x² + x – 2 = (3x + 2) (2x – 1) ; 16x – 8 = 8 (2x – 1)  MCD = 8(3x + 2) (2x – 1) 46

Procedemos a dividir el MCD entre cada denominador y multiplicarlo por el respectivo numerador. 2 x 1 x² 2x   12 x  8 6 x ²  x  2 16 x  8

2 x 1 x2 2x    = 4 ( 3 x  2 ) ( 3 x  2 ) ( 2 x  1) 8 ( 2 x  1)

2(2 x  1) (2 x  1)  8 x2  (3 x  2)(2 x) 2(4 x ²  1)  8 x ²  6 x ²  4 x  8(3 x  2)(2 x  1) 8(3 x  2)(2 x  1)

8 x2  2  8 x2  6 x2  4 x = 8 (3 x  2) (2 x  1)

= 6 x2  4 x  2 8 (3 x  2) (2 x  1)

8. 9.

2 x 2 y 15 x 3 y 1z x 5 2

2x  2





6 w x2 y 3 x 5 y 6



9 y2 z 5 w 2 x 3

2 y2 15 x 5 z



2 (3 x 2  2 x  1) 2

8 (6 x  x  2)

6 w x7 y3



5 x3 9 y2 z w 2

3 x 2  2 x 1 24 x 2  4 x  8

4 x5 9 y3 z 2 w

x 3  2 x 2 x 1

Buscamos el m.c.m. de los denominadores: 2x2 – 2 = 2 (x2 – 1) = 2 ( x – 1) (x + 1);

2x + 2 = 2 ( x + 1) ;

1) luego el MCD es 2 ( x – 1) (x + 1) x 5 2

2x  2



x 3  2 x 2 x 1

(x  5)  x (x  1)  3 [ 2 (x  1)] 2 (x  1) (x  1)

2 x  5  x2  x  6 x  6 = x  6 x 1 2(x  1) (x  1) 2 x2  2

2.7 EXPONENTES Y RADICALES A. CONCEPTOS BASICOS SOBRE LOS RADICALES

x + 1 = (x +

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Si una potencia es entonces la radicación es √ . Se llama raíz igual a Donde: √

de un número real

es el radical,

a otro número real

√ es el índice,

cuya potencia

es el radicando y

es la raíz.

Por las leyes sobre los signos de las potencias de exponente natural y base negativa tenemos que:  Toda raíz de índice impar de un número tiene el mismo signo que el radicando. √  Toda raíz de índice par de un número positivo tiene doble signo. ( ) √  Toda raíz de índice par y radicando negativo no es real. √ TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA RADICACIÓN. Si se multiplica o divide el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número entero, el valor aritmético del radical no varía. √ Ejemplos: √( )√

)

√

)√

(

)

√

(

)

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES. Para simplificar un radical se divide el índice del radical y el exponente del radicando por sus factores comunes. Ejemplos: ) √

) √

√

(

)

√( ( √ (

√

) ) )

√[

]

REDUCCIÓN DE RADICALES A ÍNDICE COMÚN. Se opera de manera similar a la de reducción a común denominador en fracciones:  El índice común será el máximo común múltiplo (mcm) de los índices.  Se divide el índice común por cada índice y el cociente se multiplica por el exponente del radicando. Ejemplos: 48

) √ ) √ ( El mcm de (2,6,4) es 12

√

Luego √( ) )] ) √[ ( √( Desarrollando las potencias, tenemos: √ ) √ √ ( POTENCIACIÓN DE EXPONENTE FRACCIONARIO. Una potencia de exponente fraccionario es equivalente a un radical cuyo índice es el denominador del exponente, y cuyo radicando es la base elevada al numerador del exponente. √ Ejemplos: ) √

⁄

√

) (

)

√(

)

√

)

PRODUCTO DE RADICALES.

El producto de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo índice y por radicando el producto de los radicandos de los factores. Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común. Ejemplos: ) (√ ) ( √ )( √ ) mcm de (2,36)=6 ) ) (√ (√ ) ( √ ) ( √ ) ( √( ) ) ( √( √(

) (

)

√

)

Extracción de factores fuera del signo radical.  Se divide el exponente del radicando por el índice de la raíz.  El cociente se escribe como exponente del factor fuera del signo radical.  El resto de la división se escribe como exponente del factor dentro del radical. Ejemplo: ) √ Hacemos la división y obtenemos de cociente y de resto Separamos en dos factores, de tal forma que uno ellos sea el múltiplo del índice más próximo al exponente del radicando. √ √ Aplicamos la descomposición. √ √ Simplificamos el primer radical. √

√ 49

INTRODUCIR FACTORES DENTRO DEL SIGNO RADICAL. Para introducir dentro del signo radical un factor que multiplica a una raíz, se multiplica el exponente del factor por el índice de la raíz y se escribe el producto como exponente del factor dentro de la raíz. Ejemplos: ) √ √

)

√

√(

√

)

√

√(

√

)

√

COCIENTE DE RADICALES. El cociente de radicales de igual índice es otro radical que tiene el mismo índice y por radicando el cociente de los radicandos. Si los radicales no tienen igual índice se reducen previamente a índice común. Ejemplos: )

√

) √

√ √(

√

)

√

√( ) Para extraer factores de un radical con radicando en forma de fracción se realiza primero el cociente de radicales y después se extraen independientemente los factores del numerador y del denominador. Ejemplos: )√

√

) √

√

POTENCIA DE UN RADICAL. Otra forma de obtener esta expresión es desarrollando la potencia ( √ ) y aplicando la regla del producto de radicales: (√ ) ( √ )( √ )( √ ) ( √ )( √ ) √ √ Para elevar una raíz a una potencia se eleva el radicando a esa potencia. Ejemplos: ) (√

)

√(√

)

√

RAÍZ DE UN RADICAL. La raíz m-ésima de la raíz n-ésima de un número es la raíz mn-ésima de dicho número. 50

√√ Ejemplos: ) √√

√

Los ejercicios siguientes se empiezan a resolver desde el radical más interior. ) √

√

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES. La racionalización de denominadores es la operación que elimina las expresiones radicales que pueden aparecer en los denominadores. Para eliminar el radical se multiplican numerador y denominador por la raíz que aparece en el denominador. √ √

√ ( )

√ √

√

Es conveniente extraer todos los factores posibles del radical antes de racionalizar.

Ejemplos: ) √

)

√

√ √

√

√ √ √

√

√ √ √ (√ ) Si el exponente del radicando es m, se multiplica numerador y denominador por la raíz n-ésima del radicando elevado a n-m. √ √ √ √ √ √

√

Ejemplos: √ ) √ √ √ )

√

√( )

√

)

√(

√

√ √ ) √( RACIONALIZACIÓN DE BINOMIOS. Si el denominador es un binomio con radical de índice dos, se eliminan los radicales del denominador multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador. Los pares ( ) ( ) son expresiones conjugadas y su producto es igual . Si o son radicales de índice dos, las raíces desaparecerán al realizar el producto: ( )( ) Ejemplos: a) Si el denominador es ( √ ) , su conjugado es ( √ ) y el producto de conjugados dará como resultado ( (√ ) √ )( √ ) , con lo que desaparece el radical. b) Si el denominador es (√ ) , su conjugado es (√ de conjugados dará como resultado (√ )(√ .

) y el producto ) (√ )

c) Si el denominador es (√

√ ) y el producto

de conjugados: (√

√ ), su conjugado es (√

√ )(√

d) Si el denominador es ( √ producto de conjugados: ( √ . Ejemplos: Racionalizando el numerador. (√ √ √ √ )(√ √ ) ) ( √ √ )(√ √ ) Racionalizando el denominador. (√ √ )( √ √ √ ) ) √ √

√ )

(√ )

√ ), su conjugado es ( √ √ )( √ √ ) ( √ )

(√ ) (

(√

(√ )

√ )(√

√ )( (√ )

√ ) y el ( √ )

√ )

(

(√

√ )(√

√ )(

√ )

B. EJEMPLOS SOBRE LOS CONCEPTOS BASICOS DE LA POTENCIACION Y LA

RADICACION

2.7.1 EJEMPLOS OPERACIONES CON RADICALES EJEMP LOS

SIMPLIFICACIÓN Simplificar las siguientes expresiones, eliminando exponentes negativos 2

 4 x 1     y3   

 2 b 1     c 5   



3

 4   xy3 

2

5   2c   b 



3. r1  

   

1 r2 r11 r21

   

 xy3   4  3

   

 b    2 c5



x 2 y6 16

 b3   8 c 15 

 1 1   r1 r2      r1 r2  

1

  r 2  r1    = r1  r2   r1r2      

1

 r2  r2  2 1  r r  1 2

   

1

r1 r2 r2 2  r12

Simplificar las siguientes expresiones: 4.

81x 6 y3

81 = 34 ,

Tenemos

x6  x4  x2 .

En el denominador aparece y3. En vista de

que no debe aparecer una fracción bajo el signo radical y dado que en el ejemplo se tiene raíz cuarta, rescribimos

1 y

Luego

81x 6 y

34 x 4 x 2 y y



3x y

x2 y



y y4

1 1  25 4

Las propiedades de radicales no contemplan sumas ni restas, sólo productos o cocientes. Por tanto hemos de realizar primero la suma de las fracciones que aparecen bajo el signo radical. 1 1 4  25 29    luego 25 4 100 100

1 1  25 4

29 100

1 29 10



a 2b 2  b 2 c 2

Factorizamos la expresión sub-radical y aplicamos las propiedades



a 2b 2  b 2 c 2 =

b2 a2  c2



b a2  c2



2.7.2 SUMA Y RESTA DE RADICALES: 7. 3 2  8 2 9.

 11 2

mn2  3 mn2  5 mn2

x  63 x   53 x

3 mn2



10. 2 27  4 12  3 48  2 ( 3 3 )  4 (2 3 )  3 (4 3 ) = 6 3  8 3  12 3  10 3

2.7.3 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES 11. 21

13.

21 3



2 ( 3 10  4 2 ) .= 3 20  4 4 = 3 22  5  4 22 = 6

–8

13. ( 3 x  6 y ) (2 6 x  3 y)  6 x 2  15 xy  3 y 2 2.7.4 RACIONALIZACIÓN: Racionalizar el denominador de 14. 5 3

16.

3 2 

xy 4



5 3



3





53 2

x3 x

3 2

xy 

3 2 2

15.

53 2 2



x 2 y2  x



x 5 y2 x

 4 xy2



Usando el hecho que

 a  b  a  b 

 a  b podemos eliminar

a  b , bastando para ello multiplicar el

radicales en las expresiones de la forma

numerador y el denominador por el respectivo conjugado. Decimos que a 

a 

son conjugados.

17. Racionalizar el denominador de El conjugado del denominador es 3 5 

3 5 

3 5 

3 5 

5 3

•3

3 5 3

3 5 

3 5 3



18. Racionalizar el denominador de

3

, luego

2 3 5 2   3 2

95  23 5  3  3 95 3

3 5 

5 3

48  6 15 8  15  42 7

3x  6y 2 6x  3y

El conjugado del denominador es 2 6 x  3 y . Multiplicando numerador

denominador por esta expresión obtenemos: 3x  6y 2 6x  3y

3x  6y 2 6x  3y

•

2 6x  3y

= 6x

2 6x  3y

19. Racionalizar el denominador de

2  15 xy  3 y 2 24 x  3 y

2 5 2  5  10

Si escribimos ( 2  5 )  10 su conjugado será ( 2  5 )  10 , luego 2 5

 2  5 

2 5

 2  5 





 2  5   2  5 

10 10

El conjugado del nuevo denominador es 32 5 5 2  3  2 10



 3  2 10  3  2 10



32 5 5 2

 2  5   10 2



32 5 5 2  3  2 10

 3  2 10

9  6 10  14 5  5 2  31

2.8 ECUACIONES LINEALES Una ecuación es una igualdad que contiene cantidades conocidas llamadas 55

coeficientes y cantidades desconocidas llamadas variables o incógnitas (se designan por cualquier letra del alfabeto, y en particular por: ). En el caso de las ecuaciones con una variable, se catalogan según el exponente más alto de la variable. Ejemplos: Ecuación lineal de primer grado , ecuación cuadrática o de segundo grado , ecuación de tercer grado – .

2.8.1 ECUACIÓN LINEAL CON UNA VARIABLE. Sean constantes reales con . Se llama ecuación lineal o de primer grado con una variable a toda ecuación de la forma Ejemplos: ) ) ) ( Si dos ecuaciones lineales con una variable tienen el mismo conjunto solución, decimos que son equivalentes entre sí. y son { } equivalentes, tienen el mismo conjunto solución Para resolver ecuaciones lineales usaremos el concepto de ecuaciones equivalentes. Para esto "transformaremos" la ecuación original en otras equivalentes a ella, hasta obtener una ecuación de la forma , donde es una incógnita y es una constante real. Las siguientes son algunas "transformaciones" que se pueden usar para obtener ecuaciones equivalentes entre sí: 1. Permutar miembros de la ecuación. Es equivalente a 2. Sumar el mismo número a ambos miembros de la igualdad. Es equivalente a 3. Multiplicar ambos miembros de la igualdad por un mismo número diferente de cero. ) Es equivalente a ( con

2.8.2 PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE: 1. Elimine todas las fracciones multiplicando cada lado por el mínimo común denominador. 2. Quitar paréntesis. 3. Simplifique los términos semejantes, usando la propiedad aditiva de la igualdad para lograr que la ecuación tenga la forma: 4. Despeje la variable mediante la propiedad multiplicativa de la igualdad 5. Verifique el resultado con la ecuación original EJEMP LOS

Resolver las siguientes ecuaciones: 1. 4x – 3 = 5

4x = 8

Sumamos 3 a cada

lado x=2

Dividimos

entre

cada lado 2.

1 1 x 5  x 2 3 4

4x– 60 = 3x – 24

Multiplicamos

cada lado

por 12, que es el

m.c.m.

los

denominadores x – 60 = – 24

Restamos 3x a cada

lado  x = 36 3.

y y 3   5 2 10

2y + 5y = 3

Sumamos 60 a cada lado Multiplicamos por 10 cada lado

7y = 3 y = 4.

5 7  2 x 6 6  x

Reducimos términos semejantes

3 7

5 7  2 x 6 6  x

Dividimos entre 7 cada lado Multiplicamos el numerador y el denominador de la segunda fracción por –1

2 2 x 6

Efectuamos la resta de fracciones Multiplicamos por x – 6, x  6

– 2 = 2(x-6) 57

–2 10 2x x 5.

= 2x-12 = 2x = 10 =5

Efectuamos la operación indicada Trasladamos y reducimos Simplificamos cada lado

2x 3  x 2  x 1    10 14 5 2

Buscamos el mcm de los denominadores. En este caso es 70. Multiplicamos cada miembro por este valor para eliminar los denominadores y luego procedemos como en los ejemplos anteriores: 70  (

2x 3  x 2x 1  )  70  (  ) 10 14 5 2

14x – 5 (3 – x) = 14 (2 +x ) – 35 14x – 15 + 5x = 28 + 14x – 35 5x = 8 6. Despejar m de

8 5

 x=

1 1 1   m n p

1 1 1 n p    m p n pn

Restamos

1 n

cada lado y

reducimos el lado derecho pn m n p

Escribimos el inverso multiplicativo de cada lado

2.9 ECUACIONES CUADRÁTICAS Sean y constantes reales con . Se llama ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado con una incógnita a toda ecuación de la forma:

Ejemplos: )

)

Resolver una ecuación cuadrática es hallar los valores de la variable que satisfacen la ecuación. Teorema Sean y

constantes reales con

1. Si entonces números reales, es decir 2. Si entonces

tal que

no tiene solución en el conjunto de los . tiene solución única, es decir 58

{ 3. Si

entonces {

√

}

tiene dos soluciones, es decir √ }

2.9.1 ALGORITMO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA.

EJEMP LOS

x2 + 8x – 20 = 0

1. Resolver usando factorización la ecuación Solución: x2 + 8x – 20 = ( x + 10) (x – 2) = 0 x + 10 = 0



x = – 10

(Factorizamos)

x–2=0 

(Igualamos cada factor a cero )

x=2

(Despejamos la variable)

 El conjunto solución es: x   – 10, 2  2. Resolver completando cuadrados la ecuación

4x2 + 16x +15 = 0

Solución: 4x2 + 16x +15 = 0  4x2 + 16x = –15 

x2 + 4x = 

15  x2 + 4x + 4 4

= 

15 +4 4

1 4 1 5  x1   2    2 2 5 x  { ,  2

 (x + 2)2 =

1 1 , x = – 2 2 2 1 3 2  2 2

 x+2 =  

x2 

3 } 2

3. Resolver usando la fórmula general la ecuación 6x2 +11x – 10 = 0 Solución: Identificamos que a = 6, b = 11 y c = –10. Sustituimos en la fórmula general 2

x

 b b  4 ac 2a

 x1 =

 11  121 240  11  19  12 12

11  19 30 5   12 12 2



x2 =

11  19 8 2   12 12 3

5 3 } 2 2

x{  ,

4. Despejar x de y = x2 – x + 4 Solución: Reacomodando tenemos

x2 – x + 4 – y = 0, lo que representa una ecuación

cuadrática para x. Luego aplicamos la fórmula general, teniendo a = 1, b = – 1 y c = 4 – y, resulta x=

 (1) 

(1)2  4 (1) (4  y) 2 (1)

1  4 y 15 2

5. Si x2 + x + k = 0, hallar el valor de k de manera que una raíz sea x = 2 Tenemos a = 1, b = 1 y c = k y r1+ r2 = 

b , a

luego r1 + r2 = – 1  r2 = – 1 –

2=–3 De r1 r2 = c/a, a = 1 y c = k resulta k = r1 r2 = (2) (– 3) = – 6 6. Si una de las raíces de la ecuación x2 + 8x + k = 0 es el triple de la otra, halle el valor de k. Tenemos r1 = 3 r2, r1 + r2 = – 8 luego 3 r2 + r2 = 4r2 = – 8  r2 = – 2  r1 = – 6 Además r1  r2 = k, por tanto k = (– 2) (– 6) = 12. ) 60

No podemos factorizar, no es posible hallar dos números reales que multiplicados resulten y sumados 1. Si queremos aplicar la formula cuadrática, ( )( ) observamos que , entonces no hay solución real,

2.10 ECUACIONES IRRACIONALES Y ECUACIONES DIVERSAS Resolver las siguientes ecuaciones 1. 2 x 3 x 2  6

3 x 2  6  2 x

Aislamos el radical: Elevamos al cuadrado

3x – 2 = (6 – 2x) 2

para eliminar el radical:

3x – 2 = 36 – 24x + 4x2

Resolvemos la ecuación resultante: x

4x2 – 27x + 38 = 0

27  729  608 27  11  8 8

x1 = 19 y x2 = 2.

Se obtiene inicialmente:

Verificamos las raíces

en la ecuación original: x1 =

19 4



 19  2   4 

19  19  3  2  2  4 

49 19 7    13  6 4 2 2

No satisface la ecuación, por tanto se descarta. x2 = 2  22  32  2  4  4  4  2  6 Luego la solución de la ecuación es 2.

satisface la ecuación

x=2

x 5  x  4 x 9

Elevemos al cuadrado ambos lados:

( x 5  x )2  ( 4 x 9 )2 =

x 5  2

x x 5  x  4 x 9

Aislamos (despejamos) el término que quedó con

radical, realizando las

operaciones indicadas: 2 x2  5 x  4 x  9  2 x  5  2 x  4

x 2  5 x  x 2 2 2 Elevamos de nuevo al cuadrado cada lado, se obtiene: x  5x  x  4x  4 ,

luego al simplificar resulta x = 4

45  4

Verificamos :

44  9





9

4 

3 + 2 = 5, se

cumple, luego la solución es

x=4

9  4 x  11  8 x  1

Rescribimos la ecuación de manera que queden separados los radicales

9  4x

 1  11  8 x

Elevamos al cuadrado cada lado y simplificamos

9  4 x  1  2 11  8 x  (11  8 x)  12  8 x 2 11  8 x Separamos el radical y luego elevamos al cuadrado

9  4 x 12  8 x  2 11  8 x

 3  4 x 2



2

11  8 x

2

9 + 24x +16x2 = 4(11 + 8x) = 44 + 32x Al simplificar y reordenar obtenemos la ecuación cuadrática

16x2 – 8x – 35

=0 Resolviendo esta ecuación resulta: x= 7 4

y x2  

8

64  41635 216

8  48 . 32

obtiene

5 4

Verificamos estas raíces en la ecuación original para descartar posibles raíces extrañas, resultando que sólo x = – 5/4 satisface la ecuación y por tanto es la raíz buscada. 4.

Resolver x  x  x  x 

3 x 2 x x

Solución: 62

x x  x x 

Multiplicando

3 x 3 x = 2 x x 2 x x

por

x x  x 2  x 

denominador

derecha

ambos

lados:

3 x 2

Transponiendo términos y simplificando: x  Elevando al cuadrado cada lado: x 2  x x  Simplificando:

x  2

x2  x

x  x2  x 4

5 5 25 x x x  0  x (  x )  0  x  0  x  4 4 16

Descartamos x = 0, ya que hace cero el denominador del lado izquierdo de la ecuación.

 ECUACIONES

DIVERSAS Y ECUACIONES REDUCIBLES A

ECUACIONES CUADRATICAS Resolver cada una de las ecuaciones. 5.

1 1  x x3

Notemos que x  0, ya que aparece en el denominador x3 = x  x3 – x = 0  x (x2 – 1) = 0

x=0 

x2 – 1 = 0, x = 0



x=1 Descartamos la solución x = 0 y por tanto la solución es: x =  1 6. x 4 + 5x 3 + 5x 2 – 5x – 6 = 0 Factorizamos este polinomio usando el método de evaluación y la división sintética. Factores de 6: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6 1+5+5–5–6=0

Para a = 1

Luego es divisible entre x – 1. Haciendo la división sintética resulta: 1 6

Tenemos

5 –5 –

1 6 11 1 6 11 6 0 entonces que la ecuación

es equivalente a (x – 1) (x3 + 6x2 + 11x +

6) = 0 63

Factorizando el segundo factor: para a = – 1, se tiene:

– 1 + 6 – 11 + 6 = 0

Luego es divisible entre x + 1. Haciendo la división sintética resulta: 1

–1

6 1

–1 –5 – 5 6

0 Tenemos entonces

(x – 1) (x + 1) ( x 2 + 5x + 6) = 0

lo que equivale a

(x – 1) (x + 1) (x + 2) ( x + 3) = 0

Igualando cada factor a cero, se obtiene: x = 1, – 1, – 2, – 3 7. 3x – 19

+ 20 = 0

Consideramos inicialmente como incógnita a 3x –15 (3

x x

– 4

– 4) (



– 5) = 0



= 4/3



+ 20 = 0

=5 

(

– 5) – 4(

– 4=0

x = 16/9

2x  x   15  0   x 1  x 1

y factorizando se obtiene:



– 5) = 0

–5=0

x = 25

 Tomamos como incógnita inicialmente a

8. 



x x 1

Observemos que x ≠ – 1

 x   x     2   15  0  x 1  x 1  x  x   5   3  0  x  1 x  1   



x 50 x 1

x = – 5 ( x +1 ) x = – 5x – 5 6x = – 5  2x = – 3



x 3 0 x 1

 

x = 3 ( x +1)



x = 3x + 3

x = – 5/6



x = – 3/2

9. 6u-1/2 – 17u-1/4+5 = 0 Tomamos como incógnita inicial a u-1/4 y factorizamos: 6u-1/2 – 15u-1/4 – 2u-1/4+5 = 0 

 3u-1/4 – 1=0

(3u-1/4 – 1)(2u-1/4–5) = 0 u 1/ 4  u

1 3



u 1/ 4 

3u-1/4 (2u-1/4 – 5) – (2u-1/4 – 5) = 0

5 2



u1/ 4  3

16 625

 

2u-1/4 – 5 = 0 u1/ 4 

2 5



u = 81 

10. 2y4 + 3y2 – 5 = 0  y2 ( 2y2 + 5 ) – ( 2y2 + 5 ) = 0

2y4 + 5y2 –2y2 – 5 = 0

Factorizando:

 (y2 – 1) = 0

( y2 – 1) (2y2 + 5) = 0 

 2y2 + 5 = 0

 y =  5/2 i

y=1

Otra forma: Usando la fórmula general, tomando inicialmente como variable y2 ( 2y2 )2 + 3y2 – 5 = 0 y2 =

 3  9  40 4

37 4



3  7 1 4

2  y1 =



3  7 5  4 2

y=1 y = 5/2 i

11. 3x2/3 + 8x1/3 – 3 = 0 Factorizando: (3x1/3 – 1) (x1/3 + 3) = 0 3x1/3 – 1 = 0 

x1/3 + 3 = 0 

x = 1/27 

x1/3 = 1/3  x1/3 = – 3

x = – 27

1/ 2  13 12. 6 x  5 x

6x + 13

x 5  0

(multiplicamos cada lado por

6x + 15 x  2 x  5  0



 



3 x 2 x 5  2 x 5 0

x  5 / 2

y transponemos )

(factorizamos) 

3





x 1 2 x  5  0

se descarta porque

x 0.



x  1/ 3

 x = 1/9

2.11. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE ORDEN EN DOS Y TRES VARIABLES. DEFINICION Y METODOS DE SOLUCION EJEMPLO S

Resuelva usando el método de eliminación por sustitución De (1)

x=3+y,

sustituyendo en (2)

 y = – 2 . Al sustituir en (1)

( 3 + y) + 2y = – 3  3y = – 6

x = 3 + (– 2) = 1.

El conjunto solución es (x , y ) = ( 1, – 2 ) 65

 x y  3  x  2y  3

(1) (2)

(Verificamos en cada ecuación y vemos que se satisfacen) 2.

x1  x 2  12

Resuelva usando el método de eliminación por igualación   x 1  2x 2  0 De (1) y (2) despejemos x1 :

x1 = 12 – x2

(3)

x1 = 2x2

(4)

(1) (2)

Igualamos (3) y (4) : 2x2 = 12 – x2  3x2 = 12  x2 = 4 Sustituimos en (3) o (4) y obtenemos x1 = 8. Luego 3.

(x1, x2 ) = ( 8 ,4 ).

Resuelva usando el método de reducción por suma y resta

 4x  3y  6  2x  4y   5

Dejamos igual la (1) y multiplicamos por –2 la (2) : 4x – 3y = 6 – 4x – 8y = 10 – 11y = 16

16 11

 y=

Multiplicamos por 4 la (1) y por 3 la (2): 16x  12y  24 6x  12y   15

22x

Resolver

 x=

= 9

9 22

Luego ( x , y ) = (

16 9 , ) 11 22

 x  y  z  25 (1)   x  2y  3z  5 9 (2) 2x  2y  z  5 (3) 

1) Eliminemos z en (1) y (2) 3x + 3y + 3z = 75 – x – 2y – 3z = – 59 2x + y

= 16

(4)

Multiplicando por 3 la (1) y por –1 la (2): 2) Eliminemos z en (1) y (3)

x + y + z = 25

2x + 2y – z = 5 3x + 3y

= 30

(3)  x + y = 10

3) Resolvamos (4) y (5)

2x  y  16   x  y  10

4) Sustituyamos en (1)

6 + 4 + z = 25 

5) Verificando en (1)

6 + 4 + 15 = 25 66

 x=6  y=4 z = 15

(5)

(1) (2)

6) Verificando en (2)

6 + 2(4) + 3(15) = 6 + 8 + 45 = 59 2(6) + 2(4) – 15 = 12 +8 – 15 = 5

7) Verificando en (3)

Solución (x, y, z) = (6, 4, 15)

Resolver

De (1) y (2)

2x + y =3

De (4) y (3)

2x  y  3   x y 1

De (2)

z=x–1

Verificación en (1)

2 + (–1 ) + 1 = 2

(2) (3)



 x  y  z  2 (1)    z  1 (2) x   xy  1 (3) 

(4)  x=2; y=–1  z=1

2–1=1  Solución (x, y, z) = (2, –1, 1)

2 + ( –1 ) = 1

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE

REGLA DE CRAMER. EJEMP LO

7. Resolver usando el la regla de Cramer

 x  4y  z  4   x  3y  z  8  x  6y  2z  13 

Solución: Calculamos los determinantes. 1 4 1  1

1 1

luego

x

x 3  3,  1

4 4 1

1 4 1

x  8

1 3

2 2 1

;

y

y 



y  1

1 13 z

z 1   1  1

(3, 2, –1)

1 2 2

1 4 4 z  1 1

= –1

6 13

 Conjunto solución: (x, y, z) =

2.12. SISTEMAS FORMADOS POR UNA ECUACIÓN LINEAL Y UNA CUADRÁTICA O DOS CUADRÁTICAS EJEMPLO S

Resolver

 y  2x  10  0  2 2  x  y  25

(1) (2)

y = 10 – 2x

Solución: De ( 1 ) despejamos y sustituyendo en ( 2 )

x2 + (10 – 2x)2 = 25  x2 + 100 – 40x + 4x2 = 25  5x2 – 40x + 75 = 0 

x2 – 8x + 15 = 0

 x1 = 5 

( x – 5 )( x – 3) = 0

=3 para x1 = 5, y1 = 10 – 2( 5 ) = 0

para x2 = 3, y2 = 10 – 2( 3 ) = 4

por tanto (x, y)  { (5,0) , (3,4) }

Resolver

3x  2y  7 ( 1)  ( 2)  xy  20

Solución: De (1) x 

7  2y sustituyendo en ( 2 ) 3

7  2y    y  20  3 

 2y2 + 7y – 60 = 0

 ( 2y + 15) (y  4) = 0  y2  



= 4

15 2

para y1 = 4 

7  2(4) x1  5 3

15 para y 2    2

Luego (x, y)  { (5 , 4 ) ,

3. Resolver

15   4x  3y 1  } 2  2  12xy  13y  25

Solución :

(

 8   3

 15  7  2   8  2  x2   3 3

(1) (2)

x

1 3 y . 4

Sustituyendo

(

)

 1 3 y  12  y  13y 2  25 4  

Se obtiene (3 + 9y) y + 13 y2 = 25  3y + 9y2 +13y2 = 25  22y2 + 3y – 25 =0  ( y – 1 ) (22y + 25 ) = 0 para

resulta x1 

y1 = 1

1  3(1) 1 4

 y1 = 1 y2  

para

 25 22

y2  

25 22

resulta

 25  1  3   53  22  x2   4 88  53   88

luego (x, y)  { ( 1 , 1 ) ,

 5x  y  3  2 2 y  6x  25

4. Resolver



25   22 

}

(1) (2)

Solución : De ( 1)

y = 5x – 3

(3) . Sustituyendo en ( 2 )

( 5x – 3 )2 – 6x2 = 25

25x2 – 30x + 9 – 6x2 =25  19x2 – 30x – 16 = 0  ( x – 2 ) ( 19x + 8 ) = 0  x1 = 2

x2  

8 19

Sustituyendo en ( 3 ) x1 = 2  y1 = 5 ( 2 ) – 3 =7 x2  

8  y 2  5  8   3   97 19 19  19 

luego (x, y)  { (2 , 7 ) ,

Resolver

 8 ,  97   19   19

xy 4 1 1   1  x y

El sistema es equivalente a De ( 1 ) y = 4 – x

}

(1) (2) xy4  x  y  xy

 4 = xy

Sustituyendo en ( 3 )

(3)

4 = x ( 4 – x )  x2 – 4x + 4 = 0

 ( x – 2 )2 = 0



x=2  y=4–x=2

(x, y) = (2, 2)

y  x 2  2x  15 (1)   x  2y  10 (2)

6. Resolver

Solución: Sustituyendo ( 1 ) en ( 2 ) x – 2( x2 + 2x – 15 ) = 10 x – 2x2 – 4 x + 30 = 10  2x2 + 3 x – 20 = 0  ( 2x – 5 ) ( x + 4 ) = 0  x1 

5 , x2 = – 4 2

sustituyendo en (1) se obtiene (x, y)  {  3x 2  5y 2  7

(1)

3xy  4y  2

(2)

7. 

5  2



15   4 

, (– 4, – 7) }

Solución: Veamos un método alternativo, que puede usarse cuando los términos con variables tienen igual grado: Haciendo y = mx , m2x2 = 7 ( 2’)

6 – 10m2 = 21m – 28m2  18m2 – 21m + 6 = 0 ( 2m – 1)( 3m – 2) = 0  m1  m1 

1 2

para

m2 

2 3

3x2 – 5

3mx2 – 4m2x2 = 2

 x 2 (3  5m2 )  7 (3) . Al dividir miembro a miembro se obtiene  2 2 x (3m  4m )  2 (4)

para

( 1’ )

de (1’) :

x2 

1 2

x2 

m2 

3 m 4 m



7 2

 6m2 – 7m +2 = 0 

2 3

7 7 28    4x 2 5 7 3  5m 3 4

7 63  9 7  4 3  5  9

3  5 m2

x=3

=  2  y = mx =  1

y = mx =  2

luego (x, y)  { ( 2 , 1 ), ( -2 , -1 ), ( 3 , 2 ) , ( -3 , -2 ) }

2.13. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MODELADOS POR

Las ciencias matemáticas, así como el ejercicio de su enseñanza siempre han tenido, como principal medio y fin, la resolución de problemas matemáticos. P. Halmos expresó su convencimiento de que "los problemas son el corazón de la Matemática". Desde esta 70

perspectiva, en vista de que el contenido determina el método, esto nos conduce a afirmar que los problemas también son el "corazón" de la Didáctica de la Matemática. Al respecto, otros matemáticos han aseverado que una clase de matemática debe estar siempre centrada en resolver problemas, y el papel del profesor debe ser el de ‘buscador’ de situaciones reflexivas y significativas para el estudiante. Este hecho, por su parte, supone la concepción del maestro como un profesional de la educación innovador y creativo. La resolución de problemas es considerada en la actualidad la parte más esencial de la educación matemática ya que permite combinar elementos de conocimiento, reglas, técnicas destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar una solución a una situación nueva. Es una actitud cognitiva compleja que caracteriza una de las actividades humanas más inteligentes. Es a partir de la publicación de George Polya en 1945 de su obra "How to solve it" que se ilustra por primera vez un camino didáctico hacia la enseñanza de la resolución de problemas. Redescubre y desarrolla la heurística, y precisa una serie de estrategias que deben constituir una herramienta fundamental en la enseñanza de la resolución de problemas. Con su propuesta de las cuatro etapas abrió el camino de una didáctica de la resolución de problemas: (comprensión del problema, concebir el plan de solución, ejecutar el plan de solución y evaluar la solución). Polya, también propone los siguientes “mandamientos” para profesores: 1. Interésese en su materia. 2. Conozca su materia. 3. Trate de leer las caras de sus estudiantes, trate de ver sus expectativas y dificultades, póngase usted mismo en el lugar de ellos. 4. Dese cuenta que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo uno mismo. 5. Dé a sus estudiantes no solo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo, promueva actitudes mentales y el habito de trabajo metódico. 6. Permítales aprender a conjeturar. 7. Permítales aprender a comprobar. 8. Adviértales que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la presente situación concreta. 9. No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas antes, déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible. 10. Sugiérales, no haga que lo entiendan a la fuerza. En el marco de las situaciones escolares, si uno quiere acercarse a una 71

situación didáctica que pueda ser utilizada como vía para enseñar a resolver problemas, es necesario incluir problemas procedimientos de solución no rutinarios, logrando que los alumnos aprendan a resolverlos. Otros científicos, como Alan Schöenfeld, consideran las dimensiones que influyen en el proceso de resolver problemas:

siguientes

 El dominio del conocimiento representa un inventario de lo que un individuo sabe y de las formas que adquiere ese conocimiento. (los conocimientos informales e intuitivos de la disciplina en cuestión, hechos y definiciones, los procedimientos rutinarios, y otros recursos útiles para la solución).  Los métodos heurísticos como estrategias generales que pueden ser útiles en la resolución de un problema.  Las estrategias meta cognitivas o monitoreo del proceso utilizado al resolver un problema.  El sistema de creencias en la cual se ubica la concepción que tenga el individuo acerca de las matemáticas. 

ALGUNAS IDEAS PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS. 1. Si el problema se expresa por escrito, léalo con cuidado varias veces y considere los datos junto con la cantidad desconocida que ha de encontrarse. 2. Introduzca variables para denotar las cantidades desconocidas. Este es uno de los pasos más importantes en la solución. 3. Si es necesario haga un dibujo para darse una idea. 4. Liste los datos conocidos y sus relaciones con la cantidad desconocida. 5. Formule una ecuación que describa con precisión lo que se expresa en palabras. 6. Resuelva la ecuación formulada. 7. Compruebe las soluciones obtenidas consultando el enunciado original del problema. Ejemplos: ) Un maestro muy ingenioso, actuando de mago propone a sus alumnos lo siguiente: Piensen un numero, auméntenlo en 15, 72

multipliquen por 3 el resultado obtenido y a esta cifra réstenle 9, luego dividan entre 3 y resten 8. ¿Díganme el resultado final?, y yo les daré el numero que pensaron. Una alumna le dice 32, y el maestro le responde instantáneamente; El numero que pensaste fue 28. ¿Cómo consigue el maestro adivinar de prisa?

Comprobación Sea el número que piensa la alumna: Aumentado en 15 Se multiplica por 3 el resultado obtenido ( ) A esta cantidad se le resta 9 ( ) Se divide por 3 ( ) Y se le resta 8 (

)

La expresión anterior simboliza el procedimiento planteado por el maestro, ahora vamos a realizar algunas operaciones indicadas para simplificar dicha expresión. (

)

[( (

)

]

(

)

Interpretación La expresión representa el número pensado por la alumna, más cuatro. ), en Por tanto el maestro “adivina” el numero pensado, restando 4 a ( otras palabras ¡¡ !! ) Sobre la vida de Diofante (250 d. de C.) aparece en los siglos V o VI un epigrama algebraico que constituye una ecuación lineal y dice: “Transeúnte, ésta es la tumba de Diofante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. 73

Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años. De todo esto, deduce su edad". Comprobación Sea la edad que vivió Diofante. Su juventud ocupo una sexta parte de su vida. Después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió de vello. (

)

Pasó una séptima parte de su vida antes de tomar esposa. (

)

Cinco años después, tuvo un precioso niño. (

)

Una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. [(

)

]

Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años. [(

)

]

De todo esto, deduce su edad. La expresión anterior representa en suma la vida de Diofante, luego: [(

)

]

Interpretación: Ochenta y cuatro años fue la edad de Diofante. Su juventud ocupo una sexta parte de su vida. a os Después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió de vello. a os Pasó una séptima parte de su vida antes de tomar esposa.

a os Cinco años después, tuvo un precioso niño. a os Una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. a os Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años. a os ) En un tratado del álgebra escrito por célebre matemático Leonhard Euler, publicado en 1770 aparece el siguiente problema: “En un otel se alojan 20 personas entre hombres y mujeres. Cada hombre paga 8 monedas por su hospedaje y cada mujer 7, del mismo valor, ascendiendo el total de la cuenta 144 monedas. Se pregunta cuántos ombres y cuántas mujeres son”

Comprobación Sea el número de hombres alojados en el hotel y ( ) el número de mujeres Tal que se cumple: ( ) Según el valor del hospedaje, tenemos que: ( ) ( ) Interpretación: 4 hombres a 8 monedas resulta 32 monedas, 16 mujeres a 7 monedas resulta 112 monedas, entonces 32 +112 =144 monedas. ) Al preguntársele a Pitágoras por el número de sus alumnos, dio la siguiente respuesta: “La mitad de mis alumnos estudia Matemática, la cuarta parte estudia Física, la séptima parte aprende Filosofía y aparte de éstos ay tres ancianos” ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego? Comprobación Sea el número total de alumnos que tiene Pitágoras. La mitad de sus alumnos estudia 75

Matemática, esto lo expresamos por ⁄ . La cuarta parte estudia Física implica ⁄ . La séptima parte estudia Filosofía seria ⁄ y tendríamos que añadir a los tres ancianos.

Interpretación: Estudian Matemática. , estudian Física Filosofía. . Sumando tenemos: 14+7+4+3=28 alumnos.

, estudian

Además las siguientes sugerencias podrían ser de utilidad en el planteamiento y solución de diversos problemas: 1) Leer el problema con mucho cuidado, varias veces si es necesario, hasta que estemos claro, de que se trata. 2) Escribir los datos y hechos importantes y sus relaciones. Si el problema está bien redactado cada palabra, verbo, adjetivo, etc. tiene relevancia. 3) Identificar las cantidades desconocidas en términos de una variable, si es posible. Si es necesario habrá que utilizar más de una variable. 4) Escribir la ecuación que relacione las cantidades desconocidas y los hechos en el problema o bien las relaciones en caso de varias incógnitas. En muchas ocasiones un gráfico o diagrama ayuda a visualizar las relaciones. Salvo casos muy especiales, debe tenerse al menos la misma cantidad de ecuaciones como incógnitas hayan en el problema. 5) Resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones que surja en el planteo del problema y verificar la o las soluciones. 6) Responder a las preguntas establecidas en el problema (original). Muchas veces no basta con resolver la ecuación o el sistema de ecuaciones aunque si sea necesario. EJEMPLO: “Traduciendo” al lenguaje algebraico: Exprese como una ecuación algebraica las siguientes proposiciones. Considere “x” al primer número, “y” al segundo y “z” al tercero: a) La suma de tres números es 4: Se tiene x + y + z = 4 b) El segundo número más el tercero es igual al primero: y + z = x 76

c) La suma del tercer número y cuatro veces el segundo es igual al primer número: z + 4y = x d) La suma del doble del primer número y tres veces el tercer número es 1 más que el segundo número: 2x + 3z = y + 1 e) El segundo número es igual a la suma del primer y tercer número: y = x + z f) Dos veces el primer número es 11 más que la suma de los otros dos números: 2x – 11 = y + z PROBLEMAS RESUELTOS

1. Las edades de un padre y su hijo difieren en 30 años y dentro de 5 años la edad del padre será el triple de la del hijo. ¿Qué edad tienen en la actualidad? SOLUCIÓN Sea x la edad del padre y sea y la edad del hijo. A partir de la información formamos las ecuaciones: - Las edades difieren en 30 años: x = y + 30 (1) - Dentro de 5 años la edad del padre será el triple de la del hijo: x + 5 = 3 (y + 5) (2) Resolvemos el sistema formado por (1) y (2): Sustituyendo (1) en (2): (y + 30) + 5 = 3 (y + 5) = 3y + 15  3y – y = 35 – 15

2y = 20  y = 10

Sustituyendo este valor en (1) se obtiene x = y + 30 = 40 Por tanto la edad del padre es 40 años y la edad del hijo es 10 años.

2. Un padre tiene 44 años y su hijo 20 ¿cuánto tiempo ha pasado desde que la edad del padre fue el cuádruplo de la del hijo? Sea x el tiempo transcurrido, luego 44 – x = 4 (20 – x) = 80 – 4x 4x – x = 80 – 44 = 36  x = 12 años. 3. “A” puede realizar cierta tarea en 6 días y “B” puede realizarla en 10 días ¿En cuánto tiempo podrán realizarla trabajando juntos? Sea x el número de días que necesitan para completar la tarea. 1 de la obra y como B 6 1 1 4 1 tarda 10 días, cada día avanza . Trabajando juntos avanzan   de la 6 10 15 10

Dado que A realiza la tarea en 6 días, cada día avanza

obra. La obra completa, dado que estamos considerando fracciones, será la unidad: 1. Luego se tiene

15 4  3.75 días. x  1 x = 4 15

4. “A” puede acer un trabajo en 8 días y trabajando junto con “B” pueden hacerlo en 4 días ¿cuánto tiempo tardaría “B” en realizarlo por si solo? Como A lo realiza en 8 días, cada día avanza tarda B, luego cada día avanza cada día avanzan

1 . Sea x el número de días que 8

1 . Dado que juntos lo hacen en cuatro días, x

1 , es decir 4

1 1 1 + = , al despejar x, se obtiene x = 8 días. 8 x 4

5. A y B trabajando juntos realizan cierta tarea en 6 días. A puede realizarla en 5 días menos que B. ¿Cuál es el tiempo que requiere cada uno para realizar el trabajo por si solo? Sea x el tiempo que tarda A y sea y el tiempo que tarda B. Luego se forma el siguiente sistema: 1 1 1    x y 6  x  y  5

(1) (2)

Sustituyendo (2) en (1) 1 1 1   y5 y 6



2y  5 1  y ( y  5) 6



12y – 30 = y2 – 5y

y2 – 17y + 30 = 0  (y – 15) (y – 2) = 0 y = 2  y = 15. Si y = 2, resultaría x = – 3, lo cual carece de sentido en el contexto del problema, por tanto descartamos este valor. Si y = 15, resulta x = 10. Es decir A tarda 10 días y B tarda 15 días.

6. Se tiene una solución de ácido al 75%, ¿cuántos litros de ácido puro hay que agregar a 48 litros de esta solución para que la solución resultante sea una solución al 76%? La solución inicial tiene (0.75) (48 litros) = 36 litros de ácido puro y 12 litros de otra sustancia. Sea x la cantidad de litros de ácido puro que se añade, luego el volumen final será (x + 48) litros, de los cuales (x + 36) corresponderán al ácido puro. Dado que la solución final es una solución al 76%, se tiene: 78

x  36  0.76  x  36  0.76 (x  48)  0.76x  36.48 x  48

x – 0.76x = 36.48 – 36 0.24x =0.48  x = 2 litros

7. Un automóvil recorre 120 km con velocidad constante. Si hubiera aumentado su velocidad en 10 km/hora, habría realizado el recorrido en 2 horas menos. ¿Con qué velocidad hizo el recorrido? Sea v la velocidad del auto, t el tiempo en horas utilizado en este recorrido, luego t 

120 . v

(1)

Al interpretar los datos se tiene: “si ubiera aumentado su velocidad en 10 km/ ”, es decir v + 10, “ abría realizado el recorrido en 2 oras menos”, o sea en t – 2 horas, luego t2 

20 v  10

(2)

De (1) y (2) se tiene vt = (t – 2) (v + 10) = vt – 2v + 10t – 20 2v = 10t – 20 v = 5t – 10 (3) Sustituyendo (3) en (1): t (5t – 10 ) = 120 5t2 – 10t – 120 = 0 (t – 6) ( t + 4 ) = 0 t=6  t=–4 Descartamos t = – 4, por carecer de sentido, luego el tiempo utilizado es 6 horas. Al sustituir este valor en (3), resulta una velocidad de v = 5 (6) – 10 = 20 km / hora. 8. En un jardín de 6 x 12 metros, se desea construir una acera que bordeando el jardín, deje un área de 40 m2. La acera debe ser de anchura constante. ¿Cuál debe ser esta anchura? Sea x el ancho de la acera; como ésta bordea el jardín, 1 2 el rectángulo interior que se forma tiene dimensiones (6 – 2x) y (12 – 2x) metros. 6 (6 – Como el área debe ser 40 m2, se tiene: m 2x) m (12 – 2x) (6 – 2x)(12 – 2x) = 40 72 – 30x + 4x2 = 40 4x2 – m 36x + 32 = 0 x2 – 9x + 8 = 0 (x – 1) (x – 8) = 0  x = 1  x = 8. Descartamos x = 8, ya que en el contexto del problema nos conduce a un absurdo, ya que no podemos construir una acera de 8 m. de ancho cuando sólo se dispone de un jardín de 6 m. de ancho, luego la anchura es x = 1 m.

Para cercar una finca ganadera que tiene forma rectangular de 750 m 2 de superficie, se han utilizado 110 m de valla metálica. Calcule las dimensiones de la finca. Solución Razonemos de la siguiente manera: Si el perímetro tiene 110 mts de longitud, entonces la mitad del perímetro mide 55 mts. Vamos a considerar que la base ) mts. y altura del rectángulo miden mts y (

La superficie rectangular es: ( ) Factorizando. ( )( Interpretación ( ) Conjunto solución es:

(

)

( {

) }

10. Hallar un número entero sabiendo que la suma con su inverso es Solución Sea el número y su inverso, entonces:

(

)

√(

) ( )

( )( )

√

Interpretación De las respuestas observamos que la solución entera que satisface las condiciones del problema, es 5.

Hallar dos números reales que sumados resulten 18 y restados 4 Solución Como no conocemos los números, vamos a asignarle algunos símbolos, sean 80

estos: el primer número y el segundo numero La suma resulta 18, entonces . La diferencia resulta 4, entonces . La modelación del problema la expresamos por el SEL ( ) { ( ) Vamos a utilizar el método de reducción para resolverlo

Sustituyendo

en ( )

{( ) } El conjunto solución es Interpretación: Sumando 11 y 7 obtenemos 18. Quitándole 7 a 11 obtenemos 4 Por tanto los números buscados son 11 y 4. ) Si Luis tiene el triple de dinero que tiene José y entre ambos tienen 200 córdobas. ¿Cuánto tiene cada uno? Solución Sean e la cantidad de dinero en córdobas que tienen José y Luis. Dado que el segundo tiene el triplo de la cantidad que tiene el primero, entonces . Entre ambos suman 200 córdobas, luego . El problema se ajusta al siguiente modelo lineal: ( ) ( ) Utilizando el método de sustitución, reemplazamos la ecuación (1) en ( ) .

( ) Sustituyendo en (1) obtenemos . {( ) } El conjunto solución es Interpretación: José tiene 50 córdobas y Luis el triple de esta cantidad, o sea 150 córdobas. ) La suma de los dígitos de un número entero de dos cifras es 9. Si se invierte el orden de las cifras el número queda aumentado en 27. Solución 81

Sea el dígito de las unidades, el dígito de las decenas. Se tiene Porque la suma de los dígitos es 9 El número, escrito de forma decimal, es: Al invertir los dígitos, el nuevo número es: Invirtiendo la diferencia entre el último y el primero obtenemos:

Luego, las ecuaciones que modelan el problema son:

Resolvemos el modelo, usando el método de reducción

Reemplazamos en ( ): {( ) El conjunto solución es Interpretación: ( )( ) El número buscado es Si invertimos los dígitos tenemos 63 Luego hacemos la resta 63-36=27g

}

) En una elección para presidentes de sección ante el consejo estudiantil en un instituto público de secundaria. El candidato Juan, obtuvo 25 votos más que Jorge y entre los dos obtuvieron 187 votos. ¿Cuántos votaron por Juan? Solución Sea y los votos depositados por Juan y Pedro. Como Juan obtuvo 25 votos más que Pedro, entonces: La suma de los votos por ambos candidatos es: El modelo lineal lo constituyen el par de ecuaciones ( ) y ( ). Sumando se tiene:

Luego:

Sustituyendo

en (1) o (2), obtenemos:

Los candidatos Juan y Pedro obtuvieron 106 y 81 votos respectivamente.

) Se desea repartir 500 córdobas entre tres personas, con las siguientes condiciones: a. La primera persona debe recibir el doble de la segunda. b. La segunda persona debe recibir el triple de la tercera. ¿Cuánto deberá entregárseles a cada persona? Solución Sea la cantidad de dinero que recibe la primera persona. Sea la cantidad de dinero que recibe la segunda persona. Sea la cantidad de dinero que recibe la tercera persona. La cantidad de dinero que reciben las tres juntas es el total de 500 córdobas.

, que a su vez, cubre

Luego: ( ) La primera persona debe de recibir el doble de la segunda. Luego: ( ) La segunda recibe el triple de la tercera. Luego: ( ) El problema se ajusta al siguiente modelo lineal ( ) ( ) ( ) La ecuación ( ) y ( ) han sido transformadas. Resolvamos el sistema, por la regla de Cramer. El determinante de sistema es:

( )|

- |

( )|

El numerador de , en la solución es: |

(

( )|

El numerador de , en la solución es: |

| -

0 |

( )|

El numerador de , es: 1 1 500 2 |1 2 0 | =(1) | 1 0 1 0 La solución del modelo es:

1 0 1 | (1) | | +500 | 0 0 0 0

{(

El conjunto solución es

2 | =0 0+500=500 1

)

}

Interpretación: La primera persona recibe 300 córdobas; la segunda recibe 150 córdobas y la tercera recibe 50 córdobas. ) Una persona va al mercado con 400 córdobas y ocurre lo siguiente: a. Gasta el total de su dinero en compras. b. En verduras y carne gasta 300 córdobas. c. En verduras y en artículos de higiene 280 córdobas. ¿Cómo gastó su dinero? Solución Sea la cantidad gastada en verduras. Sea la cantidad gastada en carne. Sea la cantidad gastada en artículos de higiene. La condición que gasto todo su dinero implica que En verduras y carne gasta 300 córdobas. Luego: ( ) En verduras y en artículos de higiene gasta 280 córdobas. Luego: ( ) El problema lo hemos modelado mediante el sistema: ( ) ( ) ( ) Resolviéndolo por el método de Gauss: Transformaciones elementales: Pivote: Escribimos igual fila 1, multiplicamos fila 1 por -1 y sumamos con fila 2 Escribimos igual fila 1, multiplicamos fila 1 por -1 y sumamos con fila 3 Dividimos la fila2 y fila 3 por -1 (

)

(

)

(

De la última matriz transformada obtenemos el sistema equivalente: 84

)

( ) ( ) ( )

Reemplazando ( ) y ( ) en (1) se tiene:

{(

El conjunto solución es

)

}

Interpretación: En verduras se gasto la cantidad de 180 córdobas, en carne 120 córdobas y en artículos de higiene 100 córdobas. ) En tres islas vive una población estable de 35,000 aves. Cada año, el 10% de la población de la isla A emigra a la isla B, el 20% de la población de la isla B emigra a la isla C, y el 5% de la población de la isla C emigra a la isla A. Calcule el numero de aves en cada isla, si no varía la población total de cada isla de un año al siguiente. Solución En la grafica siguiente se ilustran las islas A, B y C. Sean  el número de pájaros que emigran de A a B  el número de pájaros que emigran de B a C  el número de pájaros que emigran de C a A

Al ser la población de estable la población de pájaros: La población total de pájaros no varía de un año a otro, entonces son iguales los porcentajes de aves que emigran de una isla a otra:

El problema lo modelamos con el SEL siguiente: ( ) ( ) ( )

{ 85

Vamos a utilizar reducción para resolver el SEL Multiplicamos la ecuación (2) por -1 y le sumamos la ecuación (1) ( ) ( ) Ahora resolvemos el sistema en dos variables formados por la ecuación (3) y (4) ( ) { ( ) Sumando (3) y (4) obtenemos: Sustituyendo y en (3)

Como ya conocemos

(

y , las sustituimos en (1) para conocer

El conjunto solución es Interpretación: De emigran a De emigran a De emigran a

)

{(

)

}

el 10% de 10,000 o sea 1000 aves el 20% de 5,000 o sea 1000 aves el 5% de 20,000 o sea 1000 aves

2.14. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

Una gran cantidad de propiedades se desprenden de los axiomas de campo de los números reales, sin embargo el álgebra de los números reales no queda reducida a dichos axiomas, éstos se complementan con un orden que nos permite, además de tener una estructura más completa, poder hacer analogías y aplicaciones más complejas. Por ejemplo, se podrá construir un modelo para el movimiento, o también obtener el área y volumen de figuras geométricas, analizar variables que cambian continuamente con respecto al tiempo y muchas otras aplicaciones físicas. La idea medular del orden en los números reales es que se pueden dividir los números en tres conjuntos, positivos, negativos y cero. Y que es posible establecer un orden total en los números reales. Esto se puede resumir en tres propiedades. 2.14.1 AXIOMAS DE ORDEN: 86

El conjunto de los números reales tiene un subconjunto, llamado conjunto de números reales positivos el cual satisface los siguientes axiomas. Axioma 1 Axioma 2

o (

)

Axioma 3 en Si un número no es positivo ni cero se dice que es negativo, o sea que un número es negativo si es positivo. Existe otra forma muy popular en nuestros días de presentar el orden en los números reales por medio de desigualdades directamente sin hacer mención a los axiomas anteriores, se toma como una relación entre dos números que satisface ciertas propiedades y que por razones heurísticas es mejor considerar las propiedades de orden de esta manera. 2.14.2 DESIGUALDAD. Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b si b-a es positivo. Similarmente, decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a > b significa que a > b ó a = b. Por lo tanto, un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0. 2.14.3 PROPIEDADES BÁSICAS DE DESIGUALDADES. 1. Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: 2. Propiedad aditiva 3. Primera propiedad multiplicativa 4. Segunda propiedad multiplicativa: 5. 6. 1 > 0 7. 8. 9. 10. 11. 12.

entonces ambos son positivos ó ambos son negativos entonces un numero es positivos y el otro negativo

2.14.4 DESIGUALDADES LINEALES. Si una proposición numérica abierta con una variable se puede expresar utilizando alguno de los cuatro símbolos siguientes o , le llamamos desigualdad abierta o simplemente desigualdad. Resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores para la cual la proposición resulta 87

verdadera. Ejemplos: ) 2x -1 > 5. Solución: El conjunto solución es {

}

Para poder expresar mejor la solución de una desigualdad numérica es conveniente asociar cada número real con un punto sobre una recta, llamada recta numérica. Escogemos como un punto cualquiera de la recta y los enteros equidistantes a la derecha del 0 los positivos y los negativos a la izquierda, los racionales en forma proporcional de manera que un número mayor que otro esté siempre a la derecha; como se puede ver en la figura siguiente:

También es conveniente definir los conjuntos de números entre dos números dados, los cuales jugarán un papel importante en la solución de desigualdades

)

(

{

)

}

(

)

Algunas veces cuando se trabaja con dos desigualdades se pueden combinar de tal forma que uno de los términos sea común y se puede usar una notación que simplifica su manejo. y ) (

) varia en [ (

] )

que intervalo pertenece [ ]

[

]

Luego, {

}

[

]

[

]

) Jaime tiene dos calificaciones de 71 y 82 sobre 100. ¿Cuánto debe sacar en el tercer examen para tener un promedio de 80 o más? Solución

Aplicamos la definici贸n de valor absoluto | | Hacemos transformaciones equivalentes | | { Comprobaci贸n | | | | | | | | | | | |

o o

}

| ) | Despejemos el valor absoluto |

Aplicamos la definici贸n de valor absoluto | | Hacemos transformaciones equivalentes |

o o

{

}

Comprobaci贸n |

| ( )

| (

| )

) | | Aplicamos la primera propiedad de valor absoluto | | ( ) (

)

{

}

| ) | Aplicamos la segunda propiedad de valor absoluto | | ( )o o (

)

(

)

EJEMPLOS VARIADOS DESIGUALDADES LINEALES CON UNA VARIABLE EJEMP LOS

Resolver las siguientes desigualdades. Indicar el conjunto solución usando la notación de intervalos: 1)

x–3 0 Sumando a cada lado 3:

(x–3) + 3  0 + 3  x  3 o sea x  (3, )

5x + 6  0 5x  – 6 x  – 6/5

Sumando (– 6) a cada lado Dividimos cada lado por 5. Se conserva el

sentido  x  (– ,– 6/5) 3)

de la desigualdad ya que 5 > 0

6x – 1  9x + 5 6x – 9x  5 + 1 –3x  6 x  – 6/3 x–2

Restamos 9x y sumamos 1 a cada lado. Reducimos términos semejantes. Dividimos por (– 3) cada lado. El sentido de la desigualdad cambia porque –3<

0 (propiedad vii).  x (– , – 2) 4)

– 4  3x + 5  8 Esta expresión contiene dos desigualdades: – 4  3x + 5

3x + 5  8

Ambas desigualdades pueden resolverse al mismo tiempo: – 4  3x + 5  8 – 4 – 5  3x  8 – 5

Restamos 5 a cada miembro

– 9  3x  3 –9/3  x  3/3

Dividimos por 3 cada miembro, el sentido de la

desigualdad 91

se conserva porque 3>0 –3  x  1

–2 

 x(– 3,1) 5  3x 1  4 2

Similar a la anterior

– 8  5 –3x  2

Multiplicamos por 4 cada miembro.

– 8 –5  –3x  2 – 5

Restamos 5 a cada miembro

– 13  – 3x  –3 –13/–3  x  –-3/–3

Dividimos entre –3 y cambiamos el sentido

de la desigualdad, ya que – 3 < 0 13/3  x  1 6)

o sea

1  x  13/3

 x  [1, 13/3]

1 0 x 1

Aplicando la propiedad: 1/a > 0  a > 0

Se tiene x + 1 > 0 x–1

Restamos 1 a cada miembro

 x  (–1,) 7)

4 2 x

Antes de multiplicar por x cada lado, hemos de diferenciar dos posibilidades: i) x  0,

ii) x  0

i) Si x  0, resulta al multiplicar por x cada lado, 4  2x ya que x  0 o sea 2x  4 Dividiendo entre 2 resulta: Se tiene entonces x  0 y x  2 luego

x2 x  (0, 2)

ii) Si x  0, resulta 4  2x, cambia el sentido de la desigualdad porque x  0. 4  2x o sea 2x  4. Al dividir entre 2, tenemos x  2. Dado que no hay número real negativo que cumpla x  2, se descarta esta posibilidad. Luego el conjunto solución es el obtenido en la primera parte:

x  (0, 2) 92

2 x 3 1  x 2 3

Diferenciamos dos posibilidades: i) x + 2  o ii) x + 2  0 i) Si x + 2  0 o sea x  – 2

(1)

Al multiplicar cada miembro por 3 (x + 2) se conserva el sentido de la desigualdad y se obtiene. 3(2x– 3)  1(x + 2) 11/5



6x – 9  x + 2

 6x – x < 2 + 9 

5x < 11, x <

(2)

Luego se tiene de (1) y (2): ii) Si x + 2 < 0 o sea

x > – 2 y x < 11/5 o sea x  (– 2, 11/5)

x < – 2

(3)

Multiplicamos por 3(x + 2) cada miembro y cambiamos el sentido de la desigualdad, ya que 3(x + 2) es negativo 3 (2x – 3) > 1 (x + 2)  6x – 9 > x + 2  5x > 11



x > 11/5

(4)

Se tiene ( x < –2  x > 11/5 ) =  ya que no hay número real que satisfaga ambas expresiones. De (i) y (ii) tenemos: x  (–2, 11/5)



DESIGUALDADES CUADRÁTICAS 2.14.5 DESIGUALDADES CUADRÁTICAS Una desigualdad en la variable se llama cuadrática cuando la podemos escribir en la forma: Donde y son constantes con . Para resolver esta desigualdad, es decir, encontrar el conjunto de valores que la satisfacen, escribimos el lado izquierdo como el producto de dos expresiones lineales, esto es, factorizamos (de ser posible) y examinamos el signo de los factores en los intervalos 93

definidos por las raíces de los factores. Observe que resolver

( )( ) Se puede interpretar para que valores de , este producto es estrictamente positivo.

Ejemplos ) Solución: Tenemos la desigualdad en su forma canoníca, procedemos a factorizarla (

)(

Las raíces de los factores son los números partición de la recta real en tres intervalos: ( ) ( ) y (

) y . Con ellos hacemos una )

Encima de cada intervalo ponemos dos pares de paréntesis, en cada uno ira el signo de cada factor y usaremos valores de prueba para determinar el signo de cada factor en cada intervalo. ( ) y Los signos resultantes para cada factor son (– ) y (– )

De igual forma seleccionamos valores de prueba para los otros intervalos: ( ) y Los signos resultantes para cada factor son ( ) y (– ) ( ) y Los signos resultantes para cada factor son ( ) y ( ) Luego, vamos a colocar un par de paréntesis debajo de cada intervalo y dentro del mismo, el signo resultante de la multiplicación de signos del intervalo 94

respectivo.

El conjunto solución será la unión de intervalos que tengan un producto estrictamente positivo, así concluimos que: ( ) ( ) PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER DESIGUALDADES CUADRÁTICAS 1. Escribir la desigualdad en su forma canoníca: 2. Factorizar el lado izquierdo, sino se puede la solución es trivial:

3. Colocar las raíces de los factores en la recta real y dos pares de paréntesis encima de cada intervalo establecido por las raíces. 4. Tomar valores de prueba, evaluar los factores en los valores de prueba y colocar el signo resultante en el paréntesis respectivo del factor. 5. Debajo de cada intervalo definido por los factores colocar un par de paréntesis, realizar la multiplicación de signo de arriba y colocar el resultado en el paréntesis de abajo. 6. El conjunto solución será la unión de todos los intervalos con signo positivos ) Paso 1) Paso 2)

(

)(

)

Paso 3) aíces 1 y

Paso 4) Valores de prueba [ ( )] ( ) Los signos resultantes para cada factor son ( ) y (– ) 95

[ ( )] ( ) Los signos resultantes para cada factor son ( ) y ( ) [ ( )] ( ) Los signos resultantes para cada factor son ( ) y ( )

Paso 5)

Paso 6) [

]

Observe que en la soluci贸n agregamos los extremos, esto se debe a que la desigualdad que estamos resolviendo es del tipo mayor o igual. ) En esta desigualdad No se puede factorizar el lado izquierdo, la soluci贸n es o , es evidente que no puede ser , ya que la suma de dos n煤meros estrictamente positivos no es menor o igual que cero, entonces Se desprende que: ) Paso 1) (

Paso 2)

(

)

)(

Paso 3) a铆ces 2 y 2 96

)

Paso 4) Valores de prueba ( ) ( ) Los signos resultantes para cada factor son ( ) y (– ) ( ) ( ) Los signos resultantes para cada factor son ( ) y ( ) ( ) ( ) Los signos resultantes para cada factor son ( ) y ( ) Paso 5)

Paso 6) Como la desigualdad es del tipo menor o igual, entonces nos interesan los intervalos que tengan signo negativo [ ] ) Para que un fármaco tenga efectos benéficos, su concentración en la sangre debe ser mayor que determinado valor, al cual se le llama concentración terapéutica mínima. Supóngase que la concentración, en mg/L, de determinado fármaco a las t horas después de haberla ingerido oralmente es

Determine cuando se rebasa la concentración terapéutica mínima de 4 mg/L. Solución El denominador , eso nos permite multiplicar por esta expresión ambos lados de la desigualdad para obtener: ( ) Como la concentración terapéutica mínima es 4, entonces: (

)

( Las raíces son

)(

)

Usamos los valores de prueba ( ) ( ) Los signos resultantes para cada factor son ( ) y (– ) ( ) ( ) Los signos resultantes para cada factor son ( ) y ( ) ( ) ( ) Los signos resultantes para cada factor son ( ) y ( )

La desigualdad es del tipo menor, entonces nos interesan los intervalos que tengan signo negativo [ ] Dentro del contexto del problema, la concentración terapéutica mínima se rebasa cuando EJEMPLOS VARIADOS SOBRE DESIGUALDADES CUADRATICAS UTILIZANDO OTRO PROCEDIMIENTO DE SOLUCION EJEMP LOS

Resolver las siguientes desigualdades 9. x² – 5x – 24  0 Solución: Las raíces de x² – 5x –24 = 0 son x = 8 y x = – 3 x² – 5x – 24 = (x – 8) (x + 3) Se tiene entonces:

(x – 8) (x + 3)  0

Para que el producto sea positivo hay dos posibilidades: ambos factores son positivos o ambos son negativos, luego [ x – 8  0  x + 3  0 ]   x– 8 <0



x + 3<0]

lo cual equivale a:

(x  8  x  – 3 )  ( x < 8  x < –3 ) (1)

(2) 98

(8, )  (–3, ) =

La parte (1) es una intersección de dos intervalos abiertos (8,) De manera similar la parte (2): (–, –3)  (– ,8) = (–,–3). El conjunto solución es la unión de estas intersecciones:

x  (– , –3)  (8,

) x² – x – 6  0

10.

Solución: Factorizamos la expresión x² – x – 6 y obtenemos (x– 3) (x + 2)  0 Para que el producto sea negativo, los factores deben tener signos diferentes, luego. [ x– 3  0  x + 2  0 ]  [ x – 3  0  x + 2  0] ( x  3  x  – 2)  (x  3  x  – 2)

o sea



(1)

x  3  x  – 2  – 2  x 3  [–2,3 ]

(2)

tenemos:

x3

 x–2 

  [– 2,3] = [– 2, 3].

La unión de las partes ( 1 ) y ( 2 ) :

El conjunto

solución es : x  [– 2, 3] x² – 2x – 4  0

11.

Solución: Dado que no hay números enteros cuyo producto sea – 4 y su suma – 2, usamos la fórmula general para hallar las raíces: a = 1, b = – 2 , c = – 4 x=

2

4  16 2  20   1 5 2 2

luego las raíces son: x1 = 1 +

y x2 = 1–

x  (1  5)  x  (1  5)   0 Se tiene entonces: x  (1  5)  0  x  (1  5)  0  x  (1  5 )  0  x  (1  x  1  5  x  1  5   x  1  5)  x  1  5  conclusión: x   ,1  5   1  5, 

5)  0



DESIGUALDADES

GRADO



DESIGUALDADES

CON

FUNCIONES RACIONALES. EJEMPL OS

Resolver x² – 3x – 10  0

12. i)

Hallamos las raíces, es decir resolvemos x² – 3x – 10 = 0, resultando x1 = –

2 y x2 = 5 ii)

Formamos los intervalos (– , – 2) , (– 2, 5) y (5, )

iii)

Escogemos un valor de prueba k en cada intervalo y determinamos el signo

de x² – 3x –10 = (x – 5) (x + 2)  0

Intervalos Valor de K

(–,–

(–2,

(5,

)

–3

(–)

(+)

(– )

(+)

–

Signo de cada factor Signo

P(x)

Dado que en este caso la desigualdad planteada es P(X)  0, formamos el

iv)

conjunto solución con la unión de los intervalos que resultaron +. Por ser estrictamente mayor que cero, los extremos del intervalo son abiertos, luego x² – 3x –10  0

13.

 x  (–  ,2)  (5, )

Resolver x3 – x² – 6x  0

Raíces:

x3 – x² – 6x = x (x² – x – 6) = x (x – 3) (x + 2) = 0  x = 0, x = 3, x

=–2 Ordenamos las raíces de menor a mayor: x1= – 2 100

x2 = 0 y x3 = 3

Formamos los intervalos (– , – 2), (–2, 0), (0, 3) y (3, ). Escogemos los valores de pruebas y determinamos el signo de P(x)

Intervalos

(-,–2)

(–2,0)

(0,3)

(3, ).

Valor de K

–3

–1

Signos

(-) (-) (-)

(-) (-) (+)

(+) (-) (+)

(+) (+) (+)

Signos de P(x)

–

El conjunto solución de x3 – x2 – 6x  0 será x  (– , –2]  [0, 3] Notemos que los intervalos son cerrados en –2, 0 y 3, ya que el conjunto solución contiene las raíces de polinomio por ser del tipo  . 14.

x  22 x  3  0 4x

Raíces del numerador: x = 2 y x = – 3. Raíces del denominador: x = 4 Ordenando las raíces de menor a mayor: – 3, 2, 4 Intervalos  ,3,  3, 2, 2, 4, 4,  Intervalos

Valor de K Signos de cada factor Signos

(– ,– 3) -4

(– 3, 2)

(2, 4)

(4, )

()( ) 

()( ) 

()( ) 

–

P(x)/Q(x) Dado que la desigualdad es de la forma

P(x)  0, Q(x)

el conjunto solución está

formado por los intervalos que han resultado (–) en unión con las raíces del numerador. En este caso: x  (–  , – 3 )  ( 4,  )  { 2, – 3 } , lo que es equivalente a x  (–  , – 3 ] U { 2 } U ( 4, ) (Hemos de notar que x = 4 no pertenece al conjunto solución dado que es una 101

raíz del denominador)

xx  5   0 Raíces del numerador : x 3

15 .

denominador : x = 3

x = 0

x = – 5; Raíces del

raíces ordenadas de menor a mayor: – 5, 0, 3

Intervalos

(– ,– 5) –6

(– 5, 0)

(0, 3)

Valor de K –1 1 Signo de cada ( )(  ) ( )(  ) ( )(  ) Factor    Signos de – + – P(x) / Q(x) Conjunto solución : x   5, 0  3,   0,  5   5, 0  3, 

(3, )

4 ( )(  ) ( )

 ECUACIONES Y DESIGUALDADES CON VALORES ABSOLUTOS.

PROPIEDADES EJEMP LOS

Hallar el conjunto solución de: 16. | 4x – 5 | = 3 De acuerdo a la definición de valor absoluto hay dos posibilidades: 4x – 5 = 3 ⋁ 4x – 5 = – 3 4x = 3 + 5 ⋁ 4x = – 3 + 5 4x = 8 ⋁ 4x = 2 ⋁

x=2

3 x 42

8

Esta ecuación es equivalente a | 3x + 4 | = 8 luego,

x= 18. | x | < 5

1 2

1  x   , 2 2 

por tanto 17.

3x + 4 = 8



3x+ 4 = – 8

3x = 4



3x = –12

4 3

 x = –4

4   x   ,4 3  

De acuerdo a la propiedad #7, del valor absoluto

| x | < 5  – 5 < x < 5 , luego el conjunto solución esta dado por x  (– 5, 5 ) 19. | x | > 2

Usando la propiedad #8, se tiene: 102

|x|>2

x2



x   ,2  2,   R

por tanto

x  2

\ – 2, 2

20. | x – 1 |  2 Usando la propiedad #9, se tiene: | x – 1 |  2  1 2  x  1 2 ,

–1x3

por tanto:

x [–1 ,

3] 21.

1 2 x 2

Intercambiando de posición  x – 2  y el 2, y dado que para x

 2, ambos son positivos, se tiene por la propiedad # 9 : x  2 

1 2

x 2  

por tanto el conjunto solución es :

1 , con x ≠ 2 2

x  2

1 2

o sea

 5 3  x    ,    ,    R 2   2

x

5 2



x

3 2

3 5  ,  2 2

Debemos asegurarnos que la raíz del denominador esté fuera del conjunto solución. En este caso se cumple.

22.

5 1  2 x 1 x 2

5 | x – 2 |  | 2x – 1 | ,

x  2 y x  1/2

25 (x2 – 4x +4 )  4x2 – 4x + 1 , 21x2 – 96x + 99  0 ,

25x2 – 100x +100  4x2 – 4x + 1

7x2 – 32x +33  0  x  (–  ,11 7   3 ,  )  {x  1/2  x 

( x – 3) (7x – 11 ) 0 2}

x  (– , 1/2 )  ( 1/2, 11/7]  [ 3,  ) 23.

x2 +x – 4   2 x2 +x –4  2



x2 + x – 4  – 2

x2 + x – 6  0



x2 + x – 2  0

(x+3)(x–2)0 x  (– , – 3 )  (2 ,  )

 

(x+2)(x–1)0 x  (– 2 , 1 )

 x  ( - , - 3 )  ( - 2 , 1 )  ( 2 ,  )

103

III. GEOMETRÍA EUCLIDIANA CONTENIDO 3.1 Conceptos generales: puntos, rectas, plano, relación “estar entre”, segmento, rayo, semirrecta, ángulo, perpendicularidad, paralelismo, rectas paralelas cortadas por una secante, polígonos regulares e irregulares. 3.2 Puntos y rectas notables de un triángulo 3.3 Congruencia de triángulos 3.4 Teorema fundamental de la proporcionalidad y teorema de Thales 3.5 Semejanza de triángulos y teoremas fundamentales 3.6 Relaciones métricas en un triángulo rectángulo (Teoremas: Pitágoras, Altura y del Cateto) 3.7 Circunferencia: Radio, diámetro, cuerda, arco, rectas tangentes y secantes, ángulos (Central, Inscritos, circunscritos, interiores y exteriores) 3.8 Relaciones métricas en una circunferencia. 3.9 Área de regiones planas: triángulo, cuadrilátero, círculo y polígono regular. 3.10 Área de sectores circulares y sectores sombreados. 3.11 Definición y propiedades de cuerpos sólidos: Prisma, cono, cilindro, pirámides y esferas. 3.12 Áreas laterales, totales y volúmenes de cuerpos sólidos (Prisma, cono, cilindro, pirámides y esferas). Nota: Desarrollar problemas de aplicación al tratar cada uno de los contenidos.

UNIDAD 3: GEOMETRIA EUCLIDIANA 3.1 Conceptos generales 104

Los conceptos de Punto, Recta y Plano no tienen definición, pero se pueden citar muchos ejemplos de ellos. Algunas nociones de Punto son: Partícula geométrica más elemental, todo lo que tiene posición pero no dimensión. A, B, C, … , P, Q, .. Denotaran puntos. Por Recta se tiene la idea de una sucesión de puntos en la misma dirección. Se simbolizan por letras minúsculas o dos letras mayúsculas con flecha de doble punta. 

. B

A Se simboliza por ⃡

⃡

Puntos Colineales: Son puntos que pertenecen a la misma recta. De un Plano se tiene la idea de una superficie indefinida que no presenta dobleces. Se acostumbra nombrarle con letras del alfabeto Griego o con tres letras de puntos no colineales. .

Espacio: Es el conjunto de todos los puntos. Segmento de recta: Si A y B son puntos colineales en la recta l, la porción de puntos entre A y B incluidos éstos, se llama Segmento de recta y se denota por ̅̅̅̅. Segmentos Congruentes: Los segmentos AB y CD son congruentes si tienen la ̅̅̅̅ si y solo sus medidas son iguales, o sea, misma longitud es decir, ̅̅̅̅ . Rayo: Sean A y B puntos de la recta l. El rayo es el conjunto de puntos formados por el punto A y los puntos C de la recta tal que A no está entre C y B.  El punto A se llama extremo del rayo. Se denota por AB l 

Angulo: Es la figura compuesta por dos rayos no Colineales con el mismo extremo el cual se llama Vértice del ángulo. Notación: B

105

m BAC 

Medida de un Angulo: A todo ángulo le corresponde un número real entre 0 y 180 (grados en el sistema Sexagesimal) denominado medida del ángulo y denotado por ( ). Angulo Agudo: Angulo cuya medida es menor de 900. Angulo Recto: Angulo cuya medida es igual a 900. Angulo Obtuso: Angulo cuya medida es mayor que 900. Ángulos Congruentes: Ángulos que tiene la misma medida. Rectas Coplanares: Rectas que están en el mismo plano. Rectas Paralelas: Rectas Coplanares que no se cortan. Se denota por ⃡

⃡.

Rectas Perpendiculares: Rectas Coplanares que se cortan formando un ángulo cuya medida es 900,  l  9 l 1 0 2

Recta Secante: Es la recta que corta a otras dos en dos puntos distintos.  ⃡ ⃡ ⃡  m

P  Q

Ángulos entre dos rectas y una secante. 1

2 3

Ángulos correspondientes: 1 y 5, 3 y 7 Alternos Internos: 3 y 6, 4 y 5 106

6 7

Alternos Externos: 1 y 8, 2 y 7 Opuestos por el vértice> 6 y 7, 2 y 3

Postulados de las Paralelas: Toda secante a dos paralelas forma: ángulos correspondientes congruentes, ángulos alternos internos congruentes, ángulos alternos externos congruentes. Teorema. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Teorema. Si dos rectas cualesquiera son cortadas por una secante y dos ángulos alternos internos son congruentes, entonces el otro par también son congruentes. Bisectriz de un ángulo: Es el rayo cuyo extremo es el vértice del ángulo y divide a este en dos ángulos congruentes. B D 

AD es bisectriz de

, asi que



C Ángulos Adyacentes: Son los que están en un mismo plano y tienen un lado en común de modo que los lados no comunes están en semiplanos diferentes determinados por la recta que contiene al rayo común. Par Lineal: Si y son rayos opuestos y forman un par lineal.

es otro rayo, entonces,

C 



 l

Ángulos Suplementarios y Complementarios  A y  B son Complementarios si m  A + m  B = 900  A y  B son Suplementarios si m  A + m  B = 1800 Mediatriz de un segmento: Sea ̅̅̅̅ un segmento de la recta l y sea P el punto medio de dicho segmento, se llama Mediatriz del segmento ̅̅̅̅ a la recta m que pasa por P y es perpendicular a l. AP  PB

 m

 A

 B

 l

107

3.2 Triángulos. Sean A, B y C tres puntos no colineales, al conjunto ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ se le denomina triangulo y se denota por . Los puntos A, B y C se denominan ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ vértices, los segmentos se denominan lados del triángulo y los se denominan ángulos interiores. A es un angulo exterior.

Los triángulos se clasifican según sus lados en: Equilátero, si tiene los tres lados congruentes, Isósceles, si tiene al menos dos lados congruentes y escaleno si los tres lados son no congruentes. De acuerdo a sus ángulos interiores se clasifican en: Acutángulo si tiene sus tres ángulos interiores agudos, rectángulo si uno de sus ángulos interiores es recto y obtusángulo si uno de sus ángulos interiores es obtuso. En todo triangulo, la suma de las medidas de los tres ángulos interiores es 1800. En todo triangulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los dos no adyacentes. Rectas y Puntos notables de un triángulo: Mediana: Recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuestos a ese vértice. Las tres medianas de un triángulo concurren en un punto llamada Baricentro. Altura: recta que pasa por un vértice y es perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto a ese vértice. Las tres alturas se intersecan en un punto denominado Ortocentro. Bisectriz: Recta que divide cada ángulo interior de un triángulo en dos ángulos congruentes. Las tres bisectrices se cortan en un punto denominado Incentro. Mediatriz: Recta perpendicular en el punto medio de cada lado. El punto de intersección de las tres mediatrices se denomina Cicuncentro. 108

En todo triangulo equiláteros, las medianas, alturas, bisectrices y mediatrices coinciden.

3.3 Congruencia de Triángulos. Figuras congruentes: Son aquellas que tienen la misma forma y el mismo tamaño, o sea, que si una de ellas se superpone sobre la otra sus partes coinciden o calzan. Ejemplos:

Dos triángulos son congruentes si y solo si tienen la misma forma y el mismo tamaño, dados dos triángulos cualesquiera, se puede definir una correspondencia entre sus vértices, lados y ángulos interiores de la forma . Dada la correspondencia si ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , la correspondencia también ̅̅̅̅̅ congruencia o bien los triángulos son congruentes y escribimos

y una .

Sin embargo, no es necesario comprobar la congruencia de los seis pares correspondientes, bastara solamente con tres de ellas a como lo afirman los siguientes teoremas de congruencia. Postulados de Congruencia de Triángulos. ALA: (Angulo- Lado-Angulo). Si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes y los segmentos adyacentes a ellos son congruentes, la correspondencia es una congruencia.

E ̅̅̅̅

F ̅̅̅̅

109

LAL (Lado-Angulo-Lado). Si dos pares de lados correspondientes son congruentes y los ángulos correspondientes entre dichos lados también son congruentes, la correspondencia es una congruencia. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Es decir, si ̅̅̅̅ . LLL (Lado-Lado-Lado). Si los tres pares de lados correspondientes son ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ congruentes, la correspondencia es una congruencia. ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . Teorema del Triángulo Isósceles. Si dos lados de un triángulo son congruentes entonces los ángulos opuestos a ellos son congruentes. B ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , entonces,

A C Corolario: Si dos ángulos de un triángulo son congruentes entonces los lados opuestos a ellos son congruentes. Teorema: Un triángulo es Equilátero si y solo si es Equiangular. CONGRUENCIA DE TRIANGULOS RECTANGULOS: Dos triángulos Rectángulos son congruentes: 1) (Hipotenusa – Angulo) Si tienen respectivamente las hipotenusas y un par de ángulos agudos correspondiente congruentes. 2) (Hipotenusa – Cateto) Si tienen respectivamente las hipotenusas y un par de catetos correspondientes congruentes. 3) ( Cateto – Angulo) Si tienen un par de catetos y el par de ángulos agudos adyacentes correspondientes congruentes. 4) ( Cateto – Cateto) congruentes.

Si los pares de catetos correspondientes son

3.4 Teoremas sobre proporcionalidad. Segmentos Proporcionales. Los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ son proporcionales si solo si

, por ejemplo: 

A 



B 2



G 110



D 6



AB EF AB EF  ya que  CD GH CD GH



1 2  3 6

Teorema Fundamental de la Proporcionalidad: Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos proporcionales a dicho lados. C E

CD CE , ó  DA EB

DE || AB 

CA CB  CD CE

B A Recíproco: Si una recta interseca a dos lados de un triángulo en puntos distintos y determina sobre dichos lados segmentos proporcionales, entonces paralela al tercer lado del triángulo. Teorema de Thales: Si tres o más rectas paralelas son cortadas cada una por dos transversales, los segmentos correspondientes en las transversales son proporcionales.  s1 A

 s2



B C



 l



E F

1  l

AB DE AB BC AC ó   EF DE EF DF

2   l BC 3

Teorema de la Bisectriz: La bisectriz de un ángulo interno de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados contiguos. C ̅̅̅̅ es bisectriz de

B 111

entonces,

Ejemplos. 1) El perímetro de un triángulo es 50 cm y sus lados son proporcionales a 7, 9, 10. ¿Cuánto mide cada lado? y

x y z    k , x = 7k 7 9 10

y = 9k, z = 10k

z 26k = 50

xyz x y z 50     7 9 10 7  9  10 26

k = 50/26 = 25/13 ó

x = 13. 46,

y = 17. 31, z = 19. 2

2) Cuatro paralelas determinan sobre una transversal segmentos de 3, 5, 8 cm ¿Qué longitud tienen los segmentos que las cuarto paralelas determinan sobre otra transversal si las rectas de los extremos determinan un segmento de 60.

A

Se tiene BH = 60

B

3 C

5 E

AC CE EG y  

8 G

BD z

3 5 8 16 , x = 11. 25, y = 18. 75, z = 30.    x y z 60 3) Dos lados de un triángulo miden AB =24 y AC = 32, si toma sobre ̅̅̅̅ un segmento tal que AD = 16. ¿Qué segmento AE habrá que tomar sobre AC para que DE || BC? A 1 6 2 D 4 8 B

DE || BC  x

16 x  8 32  x

3 16(32 – x) = 8x 2E 64 – 2x = x 3 2 112

3x = 64, x 

64 , o sea, x = 21.36 3

3.5 Semejanza de Triángulos. Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.

De otro modo, una de ellas es un modelo a escala de la otra.

8 4 Definición. Sea una correspondencia ABC  DEF entre los vértices de los triángulos  ABC y  DEF. Si

entonces la correspondencia es una semejanza y los triángulos se dice que son semejantes. E B A

Notación:  ABC   DEF TEOREMA DE SEMEJANZAS. Sean los triángulos  ABC y  DEF, y sea ABC E  DEF una correspondencia entre ellos. Los triángulos son semejantes si tienen: B 1) Angulo - Angulo - Angulo ( A A A ) A C D

Los tres pares de ángulos correspondientes congruentes. 2) Angulo–Angulo ( A A): Dos pares de ángulos correspondientes congruentes. E B A 113

3) Lado – Angulo – Lado ( L A L ). Dos pares de lados correspondientes proporcionales y el par de ángulos entre ellos congruentes. E B

AB BC  ABC   DEF y  DE EF A

4) Lado – Lado – Lado ( L L L ). Los tres pares de lados correspondientes E proporcionales. B A

Otros Teoremas de Semejanzas Teorema: Si dos triángulos son congruentes entonces son semejantes. Nota: El recíproco no es válido. Teorema: Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados en puntos distintos entonces determina otro triángulo semejante al primero. B DE || AC   ABC  DBE D

E C

A Teorema: Las alturas correspondientes de dos triángulos semejantes son proporcionales a los lados sobre las que se trazan.

E B

 ABC   DEF  AC  BP

EH A

P Semejanza de Triángulos Rectángulos .Dos triángulos Rectángulos son semejantes si tienen: a)

Los dos pares de catetos correspondientes proporcionales. 114

D H

Un par de ángulos agudos correspondientes congruentes.

Las hipotenusas y un par de catetos correspondientes proporcionales.

3.6 Relaciones métricas en un Triángulo Rectángulo Los elementos de un triángulo Rectángulo son: Hipotenusa y Catetos. B Lados CAB

Ángulos

Hipotenusa AC

Cateto

 A y  B son Agudos  C es Recto

Recordemos que la altura de un triángulo es la recta que parte de uno de los vértices y es perpendicular al lado opuesto. Sea el  ABC y sea BD la altura sobre la hipotenusa AC

B h A

Proyecciones AD es la proyección de AB sobre la hipotenusa. DC es la proyección de BC sobre la hipotenusa

En un triángulo rectángulo; la altura sobre la hipotenusa determina triángulos semejantes entre si y al triángulo dado. B

dos

̅̅̅̅  ̅̅̅̅   ABD   ACD  ABD   BCD  ACD   BCD C

Teorema de la Altura: En todo triángulo Rectángulo, la altura sobre la hipotenusa establece una media proporcional entre las longitudes de las proyecciones . C D √ A

115

Teorema del Cateto: En un triángulo Rectángulo, un cateto establece una media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto, sobre la hipotenusa. O sea,

√

Ejemplo: La hipotenusa de un  ABC mide 12 cm. y uno de sus catetos 8cm. Calcular las proyecciones. B

Se buscan las longitudes de los segmentos AD y DC

8 A

c m1

AB  AC  AD , entonces: D

8 

12  AD

64 = 12 AD →

2 Además, AC = AD + DC c 16 36  16 20 DC mAC  AD 12    cm 3 3 3 Teorema de Pitágoras: En cualquier triángulo Rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. C D b h (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 A c B b 2 = c2 + a 2 Recíproco del Teorema de Pitágoras: Sea un triángulo dado. Si la suma de los cuadrados de las longitudes de dos de sus lados es igual al cuadrado de la longitud del tercer lado, entonces triángulo es un triángulo Rectángulo. Teorema: En un triángulo Rectángulo con ángulos agudos hipotenusa mide el doble de la longitud del cateto menor.

de 30 0 y 600, la

Teorema: En un triángulo rectángulo con ángulos agudos de 45 0, los catetos son congruentes.

3.7 Relaciones Métricas en la Circunferencia. El conjunto de todos los puntos P de un plano que equidistan de otro Punto O fijo del mismo plano llamado Centro, se llama Circunferencia. 116

Se llama Radio al segmento que une todo punto dela circunferencia con el centro. También se le llama Radio a la longitud de dicho segmento. Al conjunto de todos los puntos de la circunferencia y de los puntos interiores de la misma se llama Círculo. E l 

 



O 

Circunferencia

D t

Círculo Circunferencia con sus elementos

Elementos de la Circunferencia Cuerda: es un segmento cuyos extremos son puntos de la circunferencia. ̅̅̅̅ Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia ( ̅̅̅̅ ). En medida, una cuerda equivale a dos radios. Recta Secante: es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos, ⃡ Recta Tangente: es una recta que toca a la circunferencia solamente en un punto ⃡, este punto de contacto P, se denomina punto de tangencia. Toda tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Dos circunferencias coplanarias que tienen el mismo centro pero radios no congruentes se denominan circunferencias concéntricas. Circunferencia circunscrita a un polígono es aquella que contiene todos los vértices del polígono. El polígono se dice inscrito en la circunferencia. Circunferencia inscrita en un polígono es aquella en que todos los lados del polígono son tangentes a la circunferencia. En este caso se dice que el polígono está circunscrito a la circunferencia. Si los puntos A, B y C están en una circunferencia con centro en O pero no son extremos de un diámetro, entonces: Arco Menor es la unión de los puntos A, B y todos los puntos de la circunferencia que están en el interior de  AOB. (arco ̂ ) 117

Arco Mayor es la unión de los puntos A, B y todos los puntos de la circunferencia que están en el exterior de  AOB. (arco ̂ ) R B A  Q

A B



P

O 

 PAQ es Inscrito  QAR es Semi - Inscrito

Ángulos en la Circunferencia: Angulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados están determinados por dos radios. ( ). La medida de un ángulo central es igual a la medida en grados del arco menor que lo subtiende. Nota: No debe confundirse la medida en grados de un arco ) con la longitud del arco. ( ( ̂) Angulo Inscrito: Es un ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes. Su medida es igual a la mitad del arco que lo subtiende, ( ) ( ̂ ). Todos los ángulos inscritos subtendidos por el mismo arco son congruentes. Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Angulo semi inscrito: tiene su vértice en la circunferencia y un lado es tangente y el otro es secante. Su medida es igual a la mitad del arco que lo subtiende, ( ) (̂) Un ángulo interior a una circunferencia es un ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de la Circunferencia. Su medida es igual a la semisuma de las medidas de los arcos interceptados por él y por su ángulo opuesto por el vértice Un ángulo exterior puede estar formado por dos Secantes que se cortan en el exterior de una Circunferencia, su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos interceptados. Otro tipo de ángulo exterior a la circunferencia es el ángulo formado por una tangente y una secante que se cortan en el exterior de una Circunferencia, su medida es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos interceptados. 118

Relaciones de segmentos en la circunferencia. Todo diámetro perpendicular a una cuerda divide a esta y a los arcos subtendidos en partes congruentes.( También vale el recíproco) En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes corresponden cuerdas congruentes y congruentes, a mayor arco corresponde mayor cuerda

congruentes, a arcos si dos arcos no son

En una circunferencia o en circunferencias congruentes, a cuerdas congruentes corresponden arcos congruentes y si dos cuerdas no son congruentes, a la cuerda mayor corresponde mayor arco. La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia. (También vale el recíproco. Si dos cuerdas de una circunferencia se cortan el producto de los dos segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos determinados por la otra. En una Circunferencia o en Circunferencias congruentes, cuerdas congruentes son equidistantes del centro y recíprocamente. Si por un punto exterior de una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual al producto de la otra por su segmento exterior. Si por un punto exterior de una circunferencia se traza una tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secante y el segmento exterior. Dos segmentos tangentes a una circunferencia trazada desde un punto exterior, son congruentes y determinan ángulos congruentes con el segmento que une el punto exterior con el centro. Si por uno de los extremos de un diámetro de una Circunferencia se traza una cuerda, el cuadrado de la medida de esta cuerda es igual a la medida de su proyección sobre el diámetro multiplicado por la medida del diámetro.

3.8 Regiones poligonales y circulares. Un polígono es una figura plana formada por la reunión de n, n 3, segmentos de manera que no se crucen y solo se toquen en los extremos

119

Las figuras anteriores, todos son polígonos, excepto las dos últimas. Se deduce que: 1) Dos segmentos no se intersecan excepto en sus extremos, 2) Ningún par de segmentos con un extremo común colineales.

Definición: La unión de los segmentos P1P2 , P2 P3 , . . . , Pn 1Pn , Pn P1 , cumplen con las condiciones 1 y 2 Se llama Polígono.

que

Los puntos Pk , k = 1, . . ., n se llaman Vértices del Polígono y los segmentos P k 1P k se llaman Lados del Polígono. Los Ángulos del polígono son los determinados por los pares de lados intersecados en los extremos. P Con 2 n=3 P P 1

La suma de los lados de un polígono se denomina perímetro. De acuerdo al número de lados los polígonos reciben el nombre de: n =3. Triangulo, n0 4, cuadrilátero, n= 5, Pentágono, n = 6, Hexágono, n = 7, Heptágono, n=8, octágono, etc. Diagonal de un Polígono es el segmento que une dos de sus vértices no consecutivos. B

C En el  ADCD, BD y AC son diagonales y en el D Pentágono, AD , BE , AC , CE y BD son diagonales

El número de diagonales de un polígono es

(

C B

)

Región Poligonal: Es la unión de los puntos del Polígono con sus punto Interiores. 120

El área de una región poligonal es el número que indica cuantas veces una unidad de área está contenida en la región. Area de regiones Poligonales. Triángulo

B c A

x C

, b: base, h: altura, forma general del área √ (

)(

)

, Fórmula de Herón, a,b,c son los lados

y p semi perímetro. √

, Area del triangulo equilátero de la lado l , Area del triángulo rectángulo de catetos x e y

Cuadriláteros: Polígonos de cuatro lados.

b) C

D Tipos de Cuadriláteros Trapecio: Cuadrilátero que tiene dos de sus lados opuestos paralelos. b1

(

)

b Paralelogramo: Cuadrilátero en el que ambos pares de lados opuestos son Paralelos A=b h h b Rectángulo: Paralelogramo con cuatro ángulos rectos. Cuadrado: Rectángulo con lados congruentes. h

121

b Rombo: Paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre sí. Su área es el semi producto de sus diagonales. ,

donde D es la diagonal mayor, d es la diagonal menor Teorema sobre Cuadriláteros En un rectángulo las diagonales son congruentes. En un Rombo las diagonales son perpendiculares entre sí. En un Cuadrado las diagonales son perpendiculares entre sí y congruentes. En un Paralelogramo se cumple que: a) lados opuestos son congruentes. b) Ángulos opuestos son congruentes c) Ángulos adyacentes son suplementarios d) Cualquier diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. e) Las diagonales se bisecan entre sí.

Polígono Convexo: Un polígono es convexo si ningún par de puntos están en lados opuestos de una recta que contenga uno de sus lados.

Convexos

No Convexos o Cóncavos

Un polígono es Regular si es Convexo y si todo sus lados son congruentes y todos sus ángulos congruentes. Ejemplo: Triángulo Equilátero, Cuadrado. Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia y el centro del polígono es el centro de la circunferencia P

e O 

P 1

Áreas de Polígonos regulares.

122 P

Sea un polígono Regular de n (6) lados inscrito en una circunferencia de centro O. Se tiene n (6) triángulos Isósceles de base e . Sea a la altura trazada del centro de cada polígono a cada uno de sus lados, la cual se llama Apotema . Si p es el perímetro de un polígono regular de n(6) lados, entonces,

n veces Por el teorema de congruencia LLL los n (6) triángulos de base e y altura a, son congruentes , siendo el área

AT de cada uno,

. Dado que en el

Polígono Regular están contenidos n(6) de estos triángulos, su área A P es ,

como el perímetro p = ne, se tiene n = p/e, luego,

Regiones Circulares. Círculo: A =  r2 Sector Circular: Región Circular limitada por dos radios y el arco comprendido  entre ellos r 1  r 2 no ó O nP A   r2 A  o 2 r 360 o Corona Circular: Región plana limitada por dos circunferencias concéntricas A =  ( R2 – r2 )

Trapecio circular: Región de una corona Circular Limitada por dos radios

A =  n° ( R2 – r2 ) / 360° Segmento Circular: Región Circular limitada por una cuerda y un arco de Círculo. A = Area del Sector circular – Area de triángulo 123

r O n  o r

3.9 Áreas y Volúmenes de Sólidos. Prisma: Es el sólido formado por varias caras que son paralelogramos y dos bases que son polígonos regulares. Los polígonos congruentes paralelos se llaman Bases del Prima. Los paralelogramos se llaman Caras Laterales y la suma de sus áreas forman la Superficie Lateral. La superficie total es la suma de la superficie lateral y las bases. Los segmentos de intersección de las caras laterales se llaman Aristas Laterales y los de las caras laterales con los lados de las bases se llaman Aristas de las Base. La Altura de un prisma es la distancia entre los planos de sus bases. Una Sección Transversal o Recta de un Prisma en la intersección del Prisma con un plano paralelo al plano de las bases. Todas las secciones rectas de un Prisma son congruentes con las bases y por ende tienen la misma área.

Prisma Recto

Prisma Oblicuo

Un prisma puede ser Recto u Oblicuo. Prisma Recto es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. En el Prisma Recto, la altura y las aristas laterales son congruentes. Las caras son rectángulos. Prisma Oblicuo es aquel en que las aristas laterales no son perpendiculares a los planos de las bases. Solo estudiaremos los Prismas Rectos.

Area de un Prisma: Si se suponen las caras laterales de un Prisma Recto estirado sobre un plano, se tienen n rectángulos de altura h y cuya suma de los lados es el perímetro p. Entonces el Area Lateral (A L ) de un Prisma Recto es igual al 124

producto de su perímetro por su altura y su Area total (AT) es AL más dos veces el área de sus bases. Su volumen es el producto del área de su base por su altura

. .

AL = p . h AT = p. h +

2Ab

V = Ab h

Paralelepípedo: Es el prisma cuyas bases son paralelogramos. Si las caras y bases son rectángulos se llama Paralelepípedo Rectangular, para el cual se tienen las siguientes fórmulas.

L 2

Cubo: Es un paralelepípedo cuyas bases son cuadradas y cuyas aristas son congruentes. Si el cubo tiene arista de longitud L, se tiene V= L3 y AT = 6 L2

Pirámide: Es el sólido que tiene una cara llamada base, que es un polígono cualquiera, y las otras llamadas caras laterales son triángulos que tienen vértices común, llamada vértice o cúspide de la pirámide. Altura de una pirámide es la perpendicular trazada desde el vértice al plano de la base. Según la base pueden haber Pirámides triangulares, cuadradas, etc.

Pirámide

125

Pirámide Regular

Pirámide Regular: Es la que tiene como base un polígono Regular y el pie de la altura coincide con el centro del polígono. Las caras son triángulos Isósceles. La altura de ella se llama Apotema de la pirámide. Area una Piramide Regular: Sea una Piramide regular y su desarrollo, las caras son triángulos Isóseles de altura ap y base

.

. .

Las áreas laterales y total de la pirámide están dadas por: , y donde

es la apotema de la base. El volumen de la pirámide Regular es

Pirámide Truncada: Se llama así a la parte inferior que resulta cuando la pirámide es cortada por un plano paralelo a la base. Sus caras laterales son trapezoides. Si P1, P2 son los perímetros de las bases mayor y menor respectivamente y a la apotema de las caras laterales, se tiene: (

√

h g h r Pirámide Truncada

Cono Circular Recto

Cono: Es el sólido que resulta de hacer girar alrededor de una recta, un segmento con un extremo sobre ésta o el sólido que resulta de girar un triángulo rectángulo 126

sobre uno de sus catetos. Para un cono se tiene:

Cilindro: Es el sólido que se genera al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Esfera: Es el sólido que genera un semicírculo al girar alrededor de su diámetro como eje.

Vh = r



V = 4/3

AL = 2  r h

 r3

A = 4  r2

AT = 2  r h + 2  r2 Se llama superficie esférica al lugar geométrico de todos los puntos del espacio que equidistan de uno interior llamado centro. Si cortamos una esfera por un plano secante se obtienen dos porciones de superficie esférica, la mayor llamada Segmento esférico. Si el plano secante pasa por el centro los Segmentos se llaman hemisferios. Si se consideran dos semicírculos, la porción entre ellas se llama huso esférico y la porción de esfera se llama cuña esférica. Para el Segmento esférico, se tienen las siguientes fórmulas: (

)

127

UNIDAD IV: FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL Concepto y definición de Función En la vida real muchos problemas expresan la variación de una cantidad en dependencia de la variación de otra. Así, es común plantear situaciones como:

  

El precio de un producto depende del costo de producción. La demanda de cierto artículo es según su calidad.

La mortalidad infantil depende entre otras cosas de las condiciones de higiene del lugar en que vive.

 

A mayor radio mayor área del círculo correspondiente.

La producción de granos básicos depende del financiamiento a los productores, calidad de la semilla, el invierno etc.

Estas y muchas otras ideas conceptualizan lo que es una función, sin embargo en forma rigurosa no toda dependencia significa una función. Aunque la variación de una cantidad puede deberse a una o muchas otras cantidades, por ahora solo discutiremos aquellas cosas que dependen solo de una cantidad. Si y es la cantidad que depende de la variación de la cantidad x mediante la regla de dependencia f, para denotar esta dependencia se usa la expresión y = f(x)

x se llama variable independiente y se llama variable dependiente o función

Definición: Dados los conjuntos no vacíos A y B, el Producto cartesiano entre A y B es el conjunto denotado por A x B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento A y b un elemento de B. Simbólicamente:

A x B =  (a, b) / a  A ۸ b  B  Definición: Una Relación f es cualquier subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos no vacíos A y B. El conjunto A se llama Dominio y el conjunto B, Rango de la relación. Simbólicamente:

f =  (x, y)  A x B / x  A ۸ y  B 

Ejemplo: Sean los conjuntos A= {-1, 0,2, 3} y B= {5, 7,9}. El producto cartesiano de A y B es: AXB = {(-1,5),(-1,7),(-1,9), (0,5),(0,7),(0,9), (2,5),(2,7),(2,9),(3,5),(3,7),(3,9) } Son relaciones: f = {(-1,7), (3,5), (0,9), (2,7)}

128

Domf = {-1, 3, 0,2} Ranf = {7, 5, 9} g= {(2,5), (3,7), (3,9)} Domg= {2,3} Rang= {5, 7,9} Definición: Una función es una regla f que asocia a todo elemento xA un único elemento y B. El conjunto A se llama Dominio y el conjunto B, Rango de la función. Los siguientes diagramas ayudan a comprender la definición:

x 

x x



f ( f (f



x x x

(

f no es función, solo relación

También se define una función como una relación que no contiene pares ordenados donde se repite la primera componente. Ejemplo: Los siguientes conjuntos representan funciones: f = {(1, 1 ), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (-2, 4), (0, 0)}

h = {(0, 1), (1, 2), (-3, -2), (2, 3)}

129

f (

f ( f (  

f no es función, solo relación

( f ( f

f ( f (  f (  f 

f es función



f es función c)

f ( f( x3 f (

x 2

(

g = {(7, 0), (-2, 4), (0, 3), (-5, 2)} Domg: {7, -2, 0, -5} Rang g: {0, 4, 3, 2}

Domf : {1, 2, 3, 4, -2, 0} Rang f: {1, 4, 9, 16, 0}

Domh: {0, 1, -3, 2} Rangh: {1, 2, -2, 3}

Usando la notación y = f(x), observe que las funciones g y h se pueden escribir así, y = f(x) = x2, y = h(x) = x + 1. Se debe diferenciar entre la notación f para una función y su valor f(x), para un valor arbitrario del dominio. Investigación del dominio Se estudiarán las funciones reales de una variable real, es decir aquellas que tienen como Dominio y Rango a todos los números reales R o una parte de R, estas se denotan por f: R  R ó f: A  R  B  R. El dominio de una función puede ser dado explícitamente aunque en la gran mayoría de los casos viene dado en forma implícita. Ejemplo: En la función f definida por f(x) = x2+ 4x – 6, x -2, -1, 0, 1, 2 , el dominio es explícito, mientras que en g (x) = 4x – 3, el dominio está implícito. Cuando el dominio viene dado implícitamente, se determina a partir de las restricciones que pueda tener la variable independiente. Ejemplo: En el caso g(x) = 4x – 3 la variable x no tiene restricción por lo cual su Dominio es R, sin embargo en f(x) = 2x  1 la expresión dentro del radical, 2x – 1, debe ser no negativa, es decir 2x – 1  0 de lo cual resulta que el dominio de f es Ejemplo: En la función f(x)



1 ,   . 2

, x debe ser tal que x2 – 4 ≠ 0, por lo que Dom f = R - -2,

2 Investigación del Rango El rango es el conjunto de valores posibles que toma la variable dependiente o función. Este se puede hallar: *Analizando restricciones la variable dependiente en la expresión dada y = f(x). *En algunos casos se puede despejar x en función de y. *En base a un modelo dado. *Cuando se conoce la gráfica de la función. Ejemplo: Para f(x) = x2 + 4 es evidente que para todo valor de x, y = f(x)  4, entonces, Rangf = 4, +).

130

Ejemplo: En y = 2x – 5 se puede despejar x, obteniendo

, de donde se ve

que y є R, por lo cual Rangf = R. Evaluación de funciones Para evaluar funciones simplemente se sustituye en la expresión funcional el valor asignado a la variable independiente para obtener el valor de la variable dependiente. Ejemplo: Si f(x) = – x2 – x – 4, hallar f(– 2), f(4) , f(x3), f(x + 3) f(– 2) = – (–2)2 – (–2) – 4 = – 4 + 2 – 4 = – 6 f(4) = –(4)2 –(4) – 4 = –16 – 4 – 4 = – 24 f(x3) = –(x3)2 – (x3) – 4 = – x6 – x3 – 4 f(x + 3) = – (x + 3)2 – (x + 3) – 4 = – (x2 + 6x + 9) – x – 3 –4 = – x2 – 6x – 9 – x – 3 – 4 = – x2 – 7x – 16

EJERCICIO 1 1) Escriba el producto cartesiano de los conjuntos dados. a) b)

A = -2, -1, 0, 1, 2, B = 3, 5, 7 A = a, e, i, o, u, B = c, d, h

2) En los productos cartesianos del ejercicio 1 defina 2 relaciones y 2 funciones. 3) Determine cuales relaciones representan funciones y cuáles no. a) b) c) d) e) f) g) h)

f = (2, 6), (-3, 6), (4, 9), (2, 10) g = (a, 2), (b, 3), (c, 5), (a, 7) h = (a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 2) i = (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1) y = 5x – 3 y2 = –x2 – 1 f(x) = x2 + x – 6 y=√

4) Hallar el dominio y rango de cada función. a) b) c) d)

f = (0,-1), (3, -2), (1,0), (-3, 5), (2,6) f(x) = 2x – 6 y = 3x2 + 5x – 1 g(x) = √

e) y =

131

5) Efectuar las evaluaciones indicadas para cada función. a) f(x) = 2x2 + 5x – 3, f(0), f (-1), f(x2 – 3), f(x + h) b) g(x) = √ c)

, g(7), g(-5), g(x+9), g(x4 – 2) , y(2), y(0), y(-3), y(h+3)

REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES y

Definición: Por gráfica de una función real de una variable real se entiende el conjunto de puntos P(x, y) del plano cuyas coordenadas satisfacen o hacen verdadera la ecuación y = f(x) .

y = f(x) y

 P(x, y)

Las gráficas de funciones algebraicas elementales se logran a partir de conocer sus características analíticas (ecuación) y geométricas.

La gráfica de y = f(x) es una curva plana

Función Constante y = f(x) = C C es constante. Dominio: R Rango: {C}. Gráfica: Recta paralela al eje x.

C y = f (x) =  C x

Función Lineal y = f(x) = mx+b, a, b  R, a  0. Dominio: R Rango: R Gráfica: Recta de Pendiente m que pasa siempre por el punto (0, b) y queda determinada buscando otro punto (x1, y1).

y y = mx + b, m>0

(0,  b)

θ< 90

132 Crecie nte

(x1,

( 0

y1)

 y 1

x 1

y = mx + b, m<0

(x1, y1) x 1 Decrecien te

θ> 90

Función Valor Absoluto

y = a | x – b | + c, a, b, c  R, a  0. Dominio: R, Rango: (-, c] si a < o y [c, + ) si a > 0. Gráfica es un par de Rectas de que forma una “ ” ó una “ ” siendo el vértice el punto (b, c).

 (b,

a >

a <

 (b, c) b

Función Cuadrática y = a(x – b)2 + c*, a, b, c  R, a  0. Dominio: R Rango: (-, c] si a < 0 y [c +) si a > 0. Gráfica: Parábola con vértice (b, c). También puede aparecer en la forma f(x) = ax2 + bx + c, entonces se puede completar cuadrado para llevarla a la forma .

y (b, c)

a < x

b Cóncava abierta hacia abajo

a >



(b ,

Cóncava o abierta hacia arriba

Función Cúbica f(x) = a(x – b)3 + c, a, b, c  R, a  0. Dominio: R Rango: R Gráfica: Como se muestra en las figuras.

c (b , 

a >

( b

133 0 0

a <

a >

Función Raíz Cuadrada

, a, b, c  R, a  0. √ Dominio: [b,+) Rango: [c, +) si a > 0 y (-, c] si a < 0. Gráfica: Como se muestra en la figura.

(b, c)



También se considera el caso √ Dominio: (-, b] Rango [c, +) si a > 0 y (-, c] si a < 0 .

a <

a > c

a < 0

( b b

Función Seccionada o por partes Las funciones seccionadas son todas aquellas que están compuestas por varias funciones individuales. Es decir, cuando se agrupan distintas funciones individuales en una sola función. Ejemplo:

x 2 ,x  2  y  5 ,x  2  x  6 , x  2 

Nota: Los Dominios y los Rangos especificados son válidos siempre que no se indiquen otras condiciones.

134

EJERCICIO 2 Hallar dominio, rango y trazar gráfica de cada función. 1) f(x) = 3x - 2

11) h(x) = x2 + 6x - 2

2) g (x) = 4

12) g (x) = -5x + 1

3) y = - (x + 5)2 + 1

13)

,x2  2 x h( x )   2  x  4 x 1, x  2

  x 2 , x  2 h( x)   2  , x  2  x

4) h( x)  3 x  1  8

14)

5) g (x) = 2 | x + 6 |

15) y = - (x + 2)3 + 5

6) y = x3 - 1

16)

 3 , x   3  h( x)   x ,  3  x  3  3 , x  3 

y 

4 x

| x  2 |  3 , x  0 f ( x)   ,x0 x  5 17)

18)

  25  x 2 ,  5  x  5 y    , x  5  x  5

2 10) y   4  x , x  1  2

 x

x 2 , x  2  y  5 , x  2  x  6 , x  2 

x 2  3 , x   2  h( x )  0 , x   2  2  x  1 , x   2 19)

20)

 2 , x 1

f ( x) 

16  3x 2

x 2 , x   1   g( x )  x 3 , | x |  1 2 x , x  1 

FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS Muchos problemas en los que el valor de una variable depende de la variación de otra aparecen en las diferentes áreas: economía, medicina, física, química, las ingenierías y otras. Se abordarán aquí, aplicaciones donde estas dependencias representan alguna de las funciones conocidas hasta ese momento.

135

Ejemplos: 1) En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. exprese la altura de la planta en función del tiempo y representarla gráficamente. Si y es la altura en cm. y t representa el tiempo en semanas, la función buscada es de la forma y = mt + b, donde m es la constante de proporcionalidad. Para t=0, y = 2, de donde 2 = m(0) + b, así b= 2

Para t = 1, y = 2.5, entonces 2.5 = m(1) + 2, luego m = 2.5 – 2 = 0.5 y = 0.5t + 2, t >0

Por la tanto la función buscada es y = 0.5 t + 2

 (2

3

2 0

2) Se tiene una pieza rectangular de cartón, cuyo largo es el triplo del ancho disminuido en 5. Con esta pieza se desea elaborar una caja sin tapa cortando en las esquinas cuadrados idénticos de área 4, y doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V de la caja, como función del ancho x. En la figura 1 se muestra la pieza rectangular descrita, x es el ancho, 3x – 5 es el largo.

2 2

La figura 2 muestra la caja y sus dimensiones. Geométricamente la caja es un paralelepípedo cuyo volumen es V(x) = Ab ∙ h = (3x – 5 – 4)(x – 4) 2 = (3x – 9)(2x – 8)

x 2

= 6x2 – 42x + 72

2 3x - 5 Figura 1

2 x– 4 (3x – 5) – 4 Figura 2

136

EJERCICIO 3 Resolver los siguientes problemas. 1)

Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza rectangular de cartón, cuyas dimensiones son 20 x 30 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados idénticos de área x 2, y doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V, de la caja, como función de x.

2) La tasa de crecimiento y, de un niño, en libras por mes, se relaciona con su peso actual x, en Libras, mediante la fórmula y = cx(21 - x), donde c es una constante positiva, y, 0 < x <21. ¿A qué peso se tiene la tasa máxima de crecimiento? 3) Hace 5 años se compró una casa en $16,000, este año fue valorada en $19,000. Suponiendo que el valor de la casa está relacionado linealmente con el tiempo: a) hallar una fórmula que Indique el valor de la casa en cualquier tiempo t (en años) después de la fecha de compra, b) ¿hace cuántos años la casa valía $17,800?, c) ¿dentro de cuántos años la casa valdrá $22,000? 4) Para niños cuyas edades están entre 6 y 10 años, la altura en pulgadas, y, en promedio, es función lineal de la edad en años t. La altura de un niño es 48 pulg. a la edad de 6, y de 50.5 pulg. a la edad de 7. a) Expresar y en función de t. b) Predecir la altura del niño cuando cumpla 10 años. 5) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edificio, con velocidad inicial de 144 pies/s. Su distancia s(t) en pies sobre el piso a los t segundos está dada por s(t) = -16t2 + 144t + 100. a) Hallar su altura máxima sobre el piso. b) Calcule la altura del edificio. 6) El pago diario de una cuadrilla de trabajadores es directamente proporcional al número de trabajadores. Si una cuadrilla de 12 trabajadores gana C$ 5,400 diario: a) exprese el pago diario en función de del número de trabajadores, b) hallar el pago diario para una cuadrilla de 18 trabajadores. 7) Una fábrica de lámparas tiene costos fijos de $3,000y el costo de la mano de obra y de materiales es de $15 por lámpara, encuentre la función de costo total del número de lámparas producidas. Si cada lámpara se vende a $25, hallar la función de ingreso y de utilidad. 8) Una empresa de TV por cable da servicio actualmente a 5000 usuarios, y cobra $20 al mes. Un estudio de mercado indica que cada disminución de 1$ en la tarifa mensual dará como resultado 500 clientes nuevos. Sea I(x) el ingreso total en dólares cuando la tarifa sea x dólares. a) Hallar la función de ingreso I. b) Hallar el valor de x que dé el ingreso máximo mensual. c) Grafique la función I.

137

OPERACIONES CON FUNCIONES Definición: Dadas las funciones de variable real f y g tales que el Dom f  Dom g   se definen las siguientes operaciones entre funciones. i)

Suma: (f + g)(x) = f(x) + g (x); Dom (f + g): Dom f  Dom g.

ii)

Diferencia: (f - g) (x) = f (x) – g (x); Dom (f – g ): Dom f  Dom g.

iii)

Producto: (f

iv)

Cociente: (f / g) (x) = f (x) / g(x), g(x)  0; Dom (f / g): Dom f  Domg. excepto los valores de x para los cuales g(x) = 0

 g) (x) = f(x) g(x); Dom f

g: Dom f  Domg.

De la definición se desprende lo siguiente: -

Las cuatro operaciones entre funciones se definen similarmente que la suma, resta, multiplicación y cociente algebraico. Para que estas operaciones puedan realizarse debe cumplirse que haya intersección entre los dominios de las funciones que se operan. En caso contrario no se pueden operar. El resultado de operar dos funciones es una nueva función cuyo dominio es el dominio común de ambas funciones.

Composición de funciones Además de las cuatro operaciones entre funciones definidas anteriormente, existe otra operación de gran importancia porque conduce, de ser posible, a una función mediante la aplicación sucesiva de una función a otra. La función resultante se llama Función Compuesta. Definición: Sean las funciones f y g tales que f: A  B, g: B  C y rang f  Domg, y sea x  Dom f, la función Compuesta de f y g denotada por g o f se define como (g o f)(x) = g [f (x)] Esta definición se ilustra en la siguiente figura.

B  f(

x

(g o f ) f(x)] 138

(x)

= g[

C g [ f  (x)]

El diagrama ilustra como la función compuesta asocia a un elemento x  A, un elemento del conjunto c, mediante una aplicación sucesiva de dos funciones (primero f y luego g). Evidentemente la composición puede darse entre más de dos funciones. De la definición dada se deduce lo siguiente: 1)

La operación composición se denota por el símbolo “ o ”. Así, g o f se lee “g operado con f ” o bien “ g compuesta con f ”, también ” compuesta de g y f ”, lo que significa que f es la primera función aplicada y g la segunda.

Para que la compuesta de las funciones f y g exista debe cumplirse que Rang f  Dom g, es decir, el rango de la primera función aplicada debe ser subconjunto del Dominio de la segunda, lo cual debe verificarse previamente. Si esta condición no se cumple, algunas veces puede hacerse una restricción en los dominios y rangos respectivos para hallar g o f, de lo contrario se concluye que g o f no existe.

El Dominio de la función compuesta g o f son todos los valores x del dominio de f para los cuales f (x) es un elemento del Dominio de g. O sea Dom g o f

= {x  Domf / f(x)  Dom g }

Ejemplo: Hallar la composición g o f de las funciones f(x) = √ g o f.

, g(x) = x2 + 5 y el dominio de

Para que la compuesta de las funciones f y g exista debe cumplirse que Rang f  Dom g, en este caso Rang f= [0, +)  Dom g = R, se cumple Así, (g o f)(x) = g [f (x)] = g [√

] = (√

)2 + 5 = x – 3 + 5 = x + 2

Dom g o f = {x  Domf / f(x)  Dom g } = {x  [3,+)/√  R }= [3,+) Observe que g o f es una función lineal, pero esta vale únicamente en [3,+). Otros tipos de funciones Función Polinomial: Toda función de la forma

f(x) = an xn + an-1 xn-1 +. . .+ a2 x2 + a1 x + a0, an  0 donde n es un entero no negativo. Los coeficientes a1, a2, a3, . . . , an son números reales y n se llama grado de la función Polinomial.

139

Ejemplo: f(x) = 5x6 – x3 + 8 x2 – 2, Las funciones Lineal, Cuadrática y Cúbica son Polinomiales Función Racional: Toda función que pueda expresarse como el cociente de dos funciones

f ( x) 

Polinomiales, es decir en la forma

g ( x) , h( x )  0 . h( x )

Ejemplo: f(x) = x  x  5x  7 3

x 5  6x  3 Función Algebraica: Toda función que puede expresarse mediante un número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces conteniendo potencias en Xn. Ejemplo: funciones Polinomiales, Racionales, f ( x )  3x 2

x 4  2x  1

Función Transcendente: Toda función no Algebraica. 3x

Ejemplo: f(x) = Senx, g(x) = e , f(x) = Log3 x. Definición: Una función f es Par si cumple que f(– x) = f(x) y es Impar si cumple que f(– x) = – f(x). Ejemplo: f(x) = x3 es impar ya que f(–x) = (–x)3 = –x3 = – f(x) f(x) = x2 + 1 es par ya que f(-x) = (-x)2 + 1 = x2 + 1 = f(x)

Función periódica Definición: Una función f es Periódica si existe un número real positivo P tal que f(x + p) = f(x) , para todo x en el dominio de f. P se llama Periodo de f . La gráfica de una función con periodo P se repite en cada intervalo de longitud P. Ejemplo: Si f(x) = x2, f(x + 3) = f(x) se dice que la función tiene periodo P = 3.

EJERCICIOS 4 1) Para cada función hallar f

g, f  g, f/g y el dominio correspondiente.

a) f(x) = 1 + 1/x, g(x) = 1/x b) f(x) = √ c)

( )

g(x) = √ ,

( ) 140

f (x)  x 2  2, g(x)  2x 2  1

f (x) 

2x x , g( x )  x4 x 5

2) Dada f(x) = x + 3 , g(x) = x2 hallar: a) (f + g)(3)

c) (f  g)(3)

b) (f - g)(3)

3) Dada f(x) = 3x + 1, (f+g)(x) = 6 – 4) Dada f(x)

( )( )

d) (f / g)(3)

x. Hallar la función de g. ,

hallar la función g.

5) Dadas f y g determinar (f o g)(x), (g o f)(x) y sus dominios respectivos. a) f(x) = 4x2 – 3, g(x) = 3 – b) y = √

g(x) = 3x

c) f(x) = x2 + 1, g(x) = √ d) f(x) e)

√

g(x)

f ( x)  x 2  3x , g( x) 

x2

6) Dadas f(x) = 3x2 + 4, g(x) = 5x, hallar (f o g)(x), (g o f)(x), (f o g)(-2). 7) Pruebe que (f o g)(x) = (g o f)(x) = x a) f(x) = 2x – 6, g(x) = ½ x + 3 3

b) f(x) = x , g(x) =

√

8) Resolver los siguientes problemas. a) Un incendio en un campo abierto seco, se propaga en forma de círculo. Si el radio de este círculo aumenta a una velocidad de 6 pies/min. Exprese el área total incendiada A en función del tiempo en minutos t. b) Dos barcos parten de un puerto a la misma hora, uno viaja al oeste con una velocidad de 17 millas/h, y el otro hacia el sur a 12 millas/h. Si t es el tiempo en horas que ha transcurrido desde su partida, expresar la distancia d entre los barcos como una función del tiempo.

141

c) Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano. Su forma debe ser la de un cilindro recto circular de 10 pies de altura con una semiesfera unida en cada extremo. Su radio r debe determinarse, expresar el volumen V del tanque en función de r.

FUNCION BIYECTIVA Y FUNCION INVERSA Función Biyectiva Sean las funciones f: A  B que se ilustran en la figura.

a )



x 1



x 2

b )

A x



B 

f( x



f(x f(x 1) 2)

f(x 2)



B 

x



d )

f( x

x

f( x 3)

  f(x

)

En a) Elementos diferentes del dominio A tiende imágenes diferentes en el rango B. En b) Hay dos elementos de A que tienen la misma imagen en B. En c) Todo elemento de B es imagen de un elemento de A, o sea el rang f coincide con el conjunto de llegada B. En d) Existen elementos de B que no son imágenes de elementos de A.

Si sucede que elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas en el rango, entonces f se llama función Inyectiva. Si todo elemento del rango es imagen de algún elemento del dominio, la función se llama Sobreyectiva. Así la función f del inciso a) es Inyectiva y Sobreyectiva, f del inciso c) es Sobreyectiva, f del inciso b) no es Inyectiva pero es Sobreyectiva y f del inciso d) no es Sobreyectiva. Luego, una función puede cumplir con una, o las dos condiciones de Inyectividad y Sobreyectividad. Definición: Una función f: A  B es Inyectiva si y sólo sí x1 , x2 A: x1  x2  f(x1)  f(x2) o equivalentemente por el contrarrecíproco, si y sólo sí x1, x2 A: f(x1) = f(x2)  x1 = x2.

142

Definición: Una función f: A  B es Sobreyectiva si y sólo sí  y  B,  x  A  y = f(x); o sea rang f = B. Definición: Una función f que es Inyectiva y Sobreyectiva se dice que es una función Biyectiva. Existe un método gráfico para determinar si una función es Biyectiva el cual consiste en lo siguiente: Regla de la horizontal: Se traza la gráfica de la función. Si cualquier recta trazada paralela al eje x corta a la gráfica de la función en un solo punto entonces la función es Biyectiva. El hecho de que la corte en sólo punto significa que: 1) Valores diferentes del dominio tienen imágenes diferentes (Inyectividad), y 2) Todo el rango es imagen de algún elemento del dominio (Sobreyectividad). Si la gráfica es cortada en más de un punto indica que la función no es Biyectiva. Definición: Sea la función f definida en el intervalo (a, b) y sean x1, x2 cualquier par de números del Intervalo talque: a).Si x2 > x1 implica que f(x2) > f(x1), la función f es Creciente en (a, b). b) Si x2 > x1 implica que f(x2) < f(x1), la función f es Decreciente en (a, b). Las funciones crecientes y decrecientes cumplen con la biyectividad Función Inversa Sea la ecuación y = x2 + 3. En este caso, y es función de x de modo que se puede escribir y = f(x), sin embargo x no es función de y, porque obteniéndose dos valores de x para √ cada valor de y. En la ecuación de y = 3x –2, y es función de x de modo que y = f(x), además x es función de y porque x  y  2 por tanto x = g(y). En este caso se dice que f y g son funciones inversas, o sea f 3

es inversa de g, y g es inversa de f.

De las ecuaciones que definen a las funciones inversas f y g se ve que: Si el par (x,y)  f, entonces el par (y,x)  g. En otras palabras el dominio de f es el rango g y el dominio de g es el rango de f. De otro modo si f es la función f: A  B, su inversa g es la función g: B  A . Notación: Si una función f tiene inversa, esta se denota por f inversa es x = f –1 (y).

–1

, o sea que para y = f(x), su

No se debe interpretar (-1) como un exponente, por tanto es incorrecto escribir La siguiente es la definición formal de función inversa.

143

( )

Definición: Si la función f es el conjunto de pares ordenados (x,y) y si existe una función f que,

x=f

–1

(y)  y = f(x)

entonces f

–1

que es el conjunto de pares (y, x) se llama función Inversa de f.

–1

tal

Condición de Existencia de la Inversa de una Función De la definición anterior, se deduce que una función no siempre posee inversa debido a la condición si existe. Dada una función f tal que y = f (x), su inversa f –1 si existe hace corresponder a y = f(x) el elemento x. Para que esto suceda f debe ser Biyectiva ya que si f es Inyectiva garantiza que la imagen x = f –1 (y) es única, y f Sobreyectiva garantiza que f –1 esté definida para todo elemento y. En conclusión una función tiene inversa sólo si es Biyectiva (Creciente o Decreciente). Por la definición dada anteriormente si f tiene inversa f

x=f

–1

cumplen con la condición

(y)  y = f(x)

En el conjunto de las funciones, el elemento identidad es la función idéntidad y = i(x) = x. Cuando se busca la inversa f –1 de una función f lo hacemos respecto a la operación composición, de manera que si f –1 existe se verifica la condición (fof

–1

) (x) = (f

–1

o f) (x) = i (x) = x

y = f 1 (x)

(* )

La condición geométricamente significa que las gráficas * de f y f –1 son simétricas respecto a la gráfica de la función identidad y = i(x) = x.

EJERCICIO 5 1) Determinar si las funciones dadas son Biyectivas. a) b)

g(x) = 3x + 5 h(x) = x

d) y = x3 – 6

e) g(x) =

c) g(x) =2x

f ) h(x) = 5x2 –x +1

x7

2) Verificar que cada función f es Biyectiva y hallar su inversa f -1. Además comprobar que

144

y=i(x) =x

y = f(x)

–

(f o f -1) (x) = (f -1 o f) (x) = x. Trazar las gráficas de ambas funciones en un mismo sistema y compruebe la simetría respecto a la recta idéntica y = x.

a) f (x)  3x  5

e) f (x)   x 2  3 , x  0

f ) f (x)  3 x  1

b) f (x)  2x 3  5

c) f ( x ) 

3  x

d ) f ( x)  4  x 2 , 0  x  2

FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA Además de las funciones algebraicas, existen las llamadas funciones Transcendentes que incluyen las funciones Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas. Función Exponencial

y 0 < a < 1

Tiene la forma y = a , a > 0, a≠1 Dominio: R Rango: (0, +  ) Gráfica: Como se muestra en la figura, siempre pasa el punto (0, 1).

Decre



Si a = e = 2.7182... se tiene la función Exponencial Natural

a> 1

y=e

(0, 1)

Logaritmo de un número Definición: Se llama Logaritmo en base a de un número positivo x al exponente y, al que debe elevarse la base a para obtener el número x. Se denota por Log a x = y. y Se desprende que a = x, es decir Loga x = y si y solo si ay = x Ejemplo: Escribir en notación logarítmica o exponencial según el caso: 2

1) De 3 = 9 se obtiene 2 = Log3 9 3

2) De 3 = Log5 125 se obtiene 5 = 125 Particularmente si la base es a = 10 se tienen los llamados logaritmos Comunes o Vulgares y = log10 x = log x Si la base es a = e = 2.7182... se tiene los logaritmos naturales o Neperianos y = loge x = ln x Propiedades de los Logaritmos S: x > 0, y > 0 se cumple que:

145

1) Loga xy = Loga x + Loga y 3) Loga

x y

2) Loga x = p Loga x, p  R

= Loga x - Loga y

4) Loga a = 1

Cambio de Base Las calculadoras elementales solo traen integrados los logaritmos de base 10 y e. Para calcular un logaritmo en cualquier otra base se usa la regla del cambio de base. Un logaritmo de base b no conocida se puede cambiar a otro equivalente en una base a conocida ( 10 ó e) , mediante:

Log b x 

Función Logaritmo

log a x log a b

a>0 Crecient

Está dada por y = loga x, a > 0, a≠1 Dominio: (0, +  ) Rango R. Gráfica: Como se muestra en la figura, siempre pasa el punto (1, 0) Si a = e = 2.7182... se tiene Las funciones Exponencial y la función logaritmo Natural y = Ln inversas,

Logaritmo

son

•

(1, 0)

es decir

0<a<1

y = loga x  x = a .

Decrecie nte

Por la composición de inversas se tiene

y =

y = loga x

(0,  1)

Estos resultados se interpretan gráficamente, las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la función identidad y = f(x) = x.



(1, 0)

a > 1, caso creciente

EJERCICIO 6 1) Transformar de forma exponencial a logarítmica y viceversa, según el caso. 3

a) 4 = 643

y = x

b) 10

-3

= 0.001

c) Log3

2) Expresar en función de los logaritmos de x, y, z

146

=-5

d) Log7 1 = 0

x z2

log a

b) log a x yz 3

c) log a 3 x 2 / yz 5 z

3) Expresar como un solo logaritmo de x, y z. 1 a ) 2 log a x  log a ( x  2)  5 log a (2x  3) 3

x b ) log a x 3 y 2  2 log a x 3 y  3 log a y 4) La cantidad de radio puro que queda después de t años, cuando inicialmente se tenían q 0 miligramos, es -t / 1600 q = q0 (2) . Use logaritmos de base 2 para evaluar t en términos de q y de q0. 5) El número N de bacterias en un cierto cultivo en el tiempo t, está dado por N = 10 4(3)t. Use logaritmos de base 3 para determinar t en función de N. 6) Graficar las siguientes funciones.

b) g(x)  3x

a) f(x) = 4

c) h(x)  2|x|  1  x   , x  3  e) y   2   2   ( x  3) , x  3

, x  25 4 d) f ( x)   log1 / 5 x , 0  x  25

f ) g(x)  3x  3 x

g) h(x)  log1 /10 x

i) f (x)  log2 (x  2)

j) y  log 2 x  3

l) y  log 2

2 m) y    3

n) h(x)  log3

h) y  log4 x

k ) f ( x)  2x  3

1 x

ñ ) y  2  3 x

p ) h(x)  log2 | x  5 |

o) f (x)  log 5 (x  2) 2 q ) f (x)  5 ( x  1)

7) En un mismo sistema graficar cada par de funciones y sacar algunas conclusiones geométricas.

147

a) y  ax

b) y  ax

y   ax

y  ax , a  1

8) ¿Porqué fue excluido a < 0 del estudio de ax ? 9) El número de bacterias de cierto cultivo incrementó de 600 a 1800 entre las 7:00 A.M. y las 9:00 A.M. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, se puede mostrar, usando métodos de cálculo, que t horas después de las 7:00 A.M. el número f(t) de bacterias está dado por f(t) = 600(3) t / 2. a) Calcule el número de bacterias en el cultivo a las 8:00 A.M.; a las 10:00 A.M. y a las 11:00 A.M. b) Trace la gráfica de f desde t = 0 hasta t = 4 10) Si $1000 se invierten al 12% anual y se capitalizan los intereses mensualmente, ¿cuál es el monto acumulado después de 1 mes? ¿2 meses? ¿6 meses? ¿1 año? 11) Si cierta marca de automóvil se compra por C dólares, su valor comercial v(t) al final de t años está dado por v (t) = 0.78C (0.85)t-1. Si el costo original es de $10000, calcule, redondeando a unidades, el valor después de (a) 1 año; (b) 4 años; (c) 7 años. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Son aquellas ecuaciones donde la variable aparece en el argumento de una función exponencial o logarítmica. Por leyes de los exponentes y de los logarítmos se reducen a ecuaciones algebraicas que se resuelven por los métodos conocidos. Ejemplos: Las siguientes son ejemplo de ecuaciones Exponenciales

1 103x 7 x  100 2

x 2 x  3 2

 (5)2

x  x 3 2

80

Las siguientes son ejemplo de ecuaciones Logarítmicas

1 Log (x 2  2x)  log x  2  0 2

Log 2 x  log 2 (x  1)  3 log 2 4

148

Resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas: Para resolver estos tipos de ecuaciones, se utilizan las propiedades de los exponentes y de los logaritmos, mediante las cuales se reducen a ecuaciones algebraicas. Para establecer las soluciones debe considerarse los dominios respectivos. Ejemplos: resolver cada ecuación. 5x – 2

1) 10

= 348

Aplicando logaritmo de base 10 5x – 2

log 10

= log 348

x = 0.9083

(5x – 2) log 10 = log 348 5x – 2 = 2.5416 2) Log2 (x + 1) + log2 (3x – 5) = Log2 (5x – 3) + 2 Log2 (x + 1) (3x – 5) = Log2 (5x – 3) + 2 Log2 (3x2 – 2x – 5) – Log2 (5x – 3) = 2 Log2

= 22 = 4



3x2 – 2x – 5 = 4 (5x – 3) = 20x – 12



3x2 – 22x + 7 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene x = 7,

x = 1/3

para x = 1/3 el Log2 (3x – 5) y Log2 (5x – 3) no están definidos. Por tanto solo ecuación.

x = 7 resuelve la

EJERCICIO 7 Resolver las siguientes ecuaciones. 5x - 2

a) 10

= 348

x-1

b) log2 (9

x   xy 2 h)  x  ( x  y)3  279936

x-1

+ 7) = 2 log2 (3

3x  2 y   3125 5 i)  6x  7 y   14641 11

+ 1)

149

c) Log (x - 9) + log 100x = 3  x 1 x2 x 2 1

 3

k) 5

 2  5 

2 2   3x  

1 d ) 103x 7 x  100 2

x 2 x  3

l ) Log2 (3x  2)  log1 / 2 x x  x 3

e) 2  (5)2 80 m ) Log 3 (2x  3)  log 3 (5x  2)  log 3 (x  2)  2 2

1 Log (x 2  2x)  log x  2  0 2

n ) Log 2 x  log 2 (x  1)  3 log 2 4 x

2 ñ ) 2x  1  4x  1

g ) 49  50 (7 )  49  0

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Medida de ángulos En el sistema de medida Sexagesimal, la unidad de medida para ángulos es el Grado, y en el sistema Cíclico la unidad es el Radián. Definición:

Un Radián es la medida de un ángulo central en un círculo subtendido por un arco de longitud igual al radio del círculo.

Conversión de grados a radianes y viceversa

B   = Radián



A 1

Dado que la longitud de la circunferencia es 2 r, el número de arcos de longitud r que se puede trazar es 2. De modo que el ángulo central de medida 2 Rad. es equivalente al ángulo central de 3600, de donde

3600 = 2 Rad.  1800 =  Rad. Si esta expresión se divide por 180, se obtiene

10 =

Rad 

0.0175 Rad.

De igual manera, si ahora se divide por , se tiene

1 Rad. = (

)  57.29580

Ejemplo: Convertir a radianes o grados según el caso.

150

a) 295º 295º = 295 (

Rad.) =

Rad.

b) 5.42 Rad. 5.42 Rad. = 5.42(

) = 310.54º

Otra notación para la medida de un ángulo es en grados y minutos y segundos. Un minuto denotado por 1' se define como un equivalente

de grado, un segundo (1'') se define como

de minuto o

de gado.

Equivalencia: 1 vuelta en sentido positivo = 360º 1º = 60'

1' = 60''

Ejemplo: 32º 53' 20'' denota la medida de un ángulo de 32 grados, cincuenta y tres minutos y 20 segundos. Ejemplo: a)

Convertir 45º 30' 15'' en notación decimal en grados 45º 30' 15'' = 45º + 30

( ) +(

)

= 45º + 0.5º + 0.004166º = 45.5042º b) Convertir 25.328º en notación de grados, minutos y segundos 25.328 = 25º + 0.0.328º = 25º + 0.328 (60') = 25º + 19' + 0.68' = 25º + 19' + 0.68 (60'') = 25º + 19' + 40.8'' = 25º 19' 41''

Funciones Trigonometricas de un ángulo agudo 2

En la figura sea el circulo unitario x + y = 1, y sea  el ángulo agudo que se mide desde el semieje positivo x al rayo determinado por el origen y el punto móvil P(x, y). Así las coordenadas x, y del punto P están dadas por las funciones

2 2 1 x + y =1 y  P(x  , y)

x = Cos, y = Sen 151

x 1

Aquí,  es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo cuyos catetos miden x, y e hipotenusa 1. Para el caso general se tiene la siguiente definición

Definición: Si  es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo cualquiera se definen las Funciones trigonométricas de  como sigue:

Senθ 

Cateto Opuesto

Sec θ 

Hipotenuza

Cateto Adyacente Cosθ  Hipotenuza

Tan θ 

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

Hipotenuza 1  Cosθ Cateto Adyacente

Cateto Adyace nte

Hipotenuza 1 Csc θ   Senθ Cateto Opuesto

Cot θ 

 Hipotenu za

Cateto Opuesto

Cateto Adyacente 1  Tanθ Cateto Opuesto

De acuerdo a lo anterior

Ejemplo: Calcular las funciones trigonométricas restantes si Sen =

√

y cos

√

Para cada función se usa la expresión correspondiente. √ √ √

√ √

√

Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Si el ángulo  no es agudo (Ver figura) y P(x, y) está en el lado termina de θ, P no es el origen, se encuentra

152

y P(x

•, y) r x

θ o

̅̅̅̅

. Para el ángulo θ se definen las

√

funciones trigonométricas como sigue

Senθ

Cosθ

Tan =

Csc =

Sec =

Cot =

Ejemplo: Sea P(-4, 3) en el lado terminal de , calcular las seis funciones trigonométricas de θ. r=

√(

=√

)

Sen =

Cos =

Tan =

Sec =

P(-4,

•3)

Csc = 4

Cot =

r= 5

θ x

Signos de las funciones trigonométricas Cuadrante/función Sen

I +

Cos

Tan

Sec

Csc

Cot

II +

III

IV +

+ + + +

Función trigonométrica de un número real: El valor de una función trigonométrica en un número real t, es el valor para un ángulo de t radianes siempre que este valor exista. Ejemplo: Sen 23 se entiende como Sen de 23 radianes. Si se quiere referir a grados debe escribirse Sen23°. Funciones trigonométricas pares, impares y periódicas

De la figura se observa que Cos (-) = x = Cos  Cos es una función Par Sen (-) = -y = - Sen  Sen es una función Impar. Se puede verificar que Tangente es Impar, Secante es Par, Cosecante es Impar y Cotangente es Impar.

153

 

P (x, y)

x P (x, -y)

Las funciones Seno, Coseno y Secante tienen periodo 2 mientras Tangente y Cotangente tiene periodo .

Ejemplo: Calcular seis funciones trigonométricas de 7/6. Los valores de las funciones trigonométricas de 7/6 son los mismos para /6, variando el signo de acuerdo al cuadrante en que está 7/6. √

Con la calculadora encuentra que

y dado que

está en el III

cuadrante se tiene: √

√

EJERCICIO 8 1) Escriba cada ángulo en notación decimal en grados. a) 40° 10' 25'' 1° 2' 3''

b) 61° 42' 21''

c) 98° 22' 45''

2) Escriba cada ángulo en notación de grados, minutos y segundos. a) 18.255° 61.24°

b) 29.411°

c) 44.01°

3) Convertir los ángulos en grados a radianes y viceversa según el caso. a) 630°

d) 720°

-135° 4) Hallar el ángulo complementario de . a)  = 5º 17' 34''

b)  = 32.5º

c)  = 63º 4' 15''

5) Halle el ángulo suplementario de . a)  = 48º 51' 37''

b)  = 152º 12' 4''

154

d)  = 136.42º

e)  = 82.73º

6) Calcular las funciones trigonométricas restantes si Sen =

√

y cos

√

7) Si  es un ángulo agudo, hallar las seis funciones trigonométricas. a) Sen =

c) Cos =

e) Cot =

b) Sec =

d) Csc = 4

f) Tan =

8) Calcular el valor de cada expresión.

a ) Sen2

   Cos 2 6 6

b ) Sec 2

   Tan 2 3 3

9) Sea P(x, y) en el lado terminal de , calcular las seis funciones trigonométricas de θ. a) P(-6, 2)

b) P(-4, -3)

c) P(5, -2)

d) P(-1, 3/8)

10) Hallar las funciones trigonométricas de  en el cuadrante indicado y su lado terminal cumple la condición dada. a) II C, sobre la recta y = -4x b) IV C, sobre la recta 3y + 5x = 0 c) III C, paralela a la recta 2y – 7x + 2 = 0 11) Un ángulo central  intercepta un arco de 7 cm de largo en una circunferencia de radio de 4 cm. Aproxime la medida de  en (a) radianes; (b) grados. 12) Si un ángulo central  que mide 20 intercepta un arco circular de longitud 3 km.; determine el radio de la circunferencia. 13) La distancia entre dos puntos A y B en la Tierra, se mide sobre un círculo con centro C en el centro de la Tierra y radio igual a la distancia de C a la superficie. Si el diámetro terrestre es de 8000 millas aproximadamente, calcule la distancia entre A y B cuando el ángulo ACB mide (a) 60; (b) 45; (c) 30; (d) 10; (e) 1.

GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Al trazar la gráfica de una función trigonométrica el ángulo x se considera medido en radianes o como un número real. LA FUNCIÓN SENO

155

La función seno es la función definida por f(x)= Sen x. Características: 1. 2. 3. 4. 5.

Dominio: R, Rango: [-1, 1] Es una función periódica, y su período es 2. Cada intervalo de longitud 2 la gráfica se repite. La función es impar ya que Sen (-x) = -Sen x, para todo x en R. La gráfica intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas son: x =n. para todo entero n. El valor máximo es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud es 1. y f(x) = Sen x

1 



x x

2 





- 1

LA FUNCIÓN COSENO

La función coseno es la función definida por f(x)= Cos x. Características: 1. 2. 3. 4. 5.

Dominio: R, Rango: [-1, 1] Es una función periódica, y su período es 2. Cada intervalo de longitud 2 la gráfica se repite. La función par, ya que Cos (-x) = Cos x, para todo x en R. La gráfica intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas son: x =/2+ n, para todo entero n. El valor máximo es 1, y el valor mínimo es -1. La amplitud de la función es 1.

y 1

f(x) = Cos x





 -



1 LA FUNCIÓN TANGENTE La función tangente es la función definida por f(x)= Tan x. Características: 1. Dominio: IR-{/2+n , con n Є Z}, Rango: R

156







2 

2. Es una función periódica, y su período es . Cada intervalo de longitud  la gráfica se repite. 3. La función es función impar, ya que Tan (-x) = -Tan x. 4. La gráfica intercepta al eje x en los puntos cuyas abscisas son x =n, para todo entero n.

y f(x) = Tan x 1





 -







2





1 Pueden consultar las gráficas de las funciones y= Sec x, y = Csc x, y = Cot x, así como sus traslaciones generales (Dominio, rango, periodo, amplitud, defase).

EJERCICIO 9 Graficar las siguientes funciones.

1 Cos 3x 2

1) y = 4Sen x

6 ) f ( x) 

 2 ) h( x)  3Cos ( x  ) 4

7 ) y  Sen(2x  )  1

  3 ) y   2 Sen ( x  ) 2 4 1  4 ) y  Tan (2 x  ) 3 4 1 1  5 ) f ( x)   Cot ( x  ) 2 2 4

8 ) g(x)   Cos (3x  )  2 9 ) y  |Senx| 10 ) y  | Cosx |  15

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Son necesarias entre otros, para calcular los ángulos de un triángulo conociendo la longitud de sus lados, sin embargo ninguna de las funciones trigonométricas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son Biyectivas en todo su dominio, pero con restricciones adecuadas en los mismos, se puede hallar la inversa de cada una. La función Seno Inverso o Arco seno: La función y=Sen x no es Biyectiva en todo su dominio que son los números reales porque al trazar cualquier recta horizontal corta la gráfica en más de un punto. Recuerde que su rango es [-1, 1].

157

Si se restringe el dominio de la función f(x)=Sen x al intervalo

[

] resulta ser creciente y por

lo tanto Biyectiva, así en este intervalo existe su inversa. -1

Definición: La función Seno inverso, denotada por Sen x o Arcsen x se define como: y

-1

y = Sen x si y solo si x = Sen y Dom:  -1, 1 Rang: -/2, /2 

y = Sen-1 x y =y =



-1

1

La expresión y = Sen x = Arcsenx se interpreta como que y es el ángulo o arco cuyo seno es x. -1

Las gráficas las funciones y = Sen x y su inversa y = Sen x son simétricas respecto a la recta y = x.

Note que el rango de y = Sen x ahora es el dominio de y = Sen-1 x, mientras que el dominio restringido es el rango.

Sen x x



 

El numero -1 no se debe interpretar como exponente, y por lo tanto es falso que Sen -1x =

Dado que y = Senx es de período 2, luego es Biyectiva en muchos otros intervalos, sin embargo convencionalmente se considera la restricción en -/2, /2  por ser el intervalo más largo que contiene el cero. -1

De la composición de inversas se cumple: Sen (Sen x) = x,  x -1

Sen

(Sen x) = x,  x

  -1, 1   -/2, /2 

Si se hacen restricciones adecuadas en los dominios de las otras funciones trigonométricas para poder definir sus funciones inversas que a continuación detallamos con sus dominios y rangos respectivos. La inversa de la función Coseno es la función Coseno inverso. -1

y = Cos x = Arcos x

Dom:  -1, 1

Rang:  0, 

-1

Cos (Cos x) = x,  x   -1, 1 -1 Cos (Cos x) = x,  x   0,  La inversa de la función Tangente es la función Tangente inversa. y = Tan-1 x = Arctan x -1

Tan (Tan x) = x,  x -1 Tan (Tan x) = x,  x

Rang:  -/2, /2 

Dom: R

R  (-/2, /2)

La inversa de la función Secante es la función Secante inversa.

158

-1

Dom: 1, +)

y = Sec x = Arcsec x

Rang: 0, /2) U  /2, 

-1

Sec (Sec x) = x,  x  1, +) -1 Sec (Sec x) = x,  x  0, /2) U  /2,  La inversa de la función Cosecante es la función Cosecante inversa. -1

y = Csc

Dom: 1, +)

x = Arccsc x

Rang: -/2  0) U (0, /2

-1

Csc (Csc x) = x,  x  1, +) -1 Csc (Csc x) = x,  x  -/2  0) U (0, /2 La inversa de la función Cotangente es la función Cotangente inversa. y = Cot-1 x = Arcotan x -1

Cot (Cot x) = x,  x -1 Cot (Cot x) = x,  x

Dom: R

Rang: (0,)

R  (0, )

Ejemplo: Para cada expresión hallar el valor de x. a) Sen x = a) Sen x = -1

-1

c) Tanx = 5 d) Csc x = 4

b) Cos x = - 0. 354

Se usa Sen x) = x Sen

b) Cos x = - 0. 354

(Sen x) = x

( )=x=



-1

(Cos x) = x

Tan (Tan x) = x

-1

(-0.354) = x

Cos

= 30°

Cos

c) Tan x = 5

x = 110.73°= 1.93 Rad.

-1

d) Csc x = 4

-1

Csc (Csc

-1

Tan (5) = x

-1

Csc (4) = x

x =78.69°

-1.32 = 1.37 Rad. En la práctica este tipo de cálculo se puede hacer directamente con la calculadora, aquí la intención es usar la relación entre las funciones inversas.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES Una identidad es una ecuación que se hace cierta para cualquier valor o valores de las variables. Toda identidad es una ecuación pero lo contrario no es cierto. 2

Las coordenadas de cualquier punto P (x=Cos, y =Sen) sobre el círculo unitario x + y = 1 satisfacen su ecuación, por lo tanto al sustituir x = Cos, y = Sen en la misma se obtiene

1) Cos2  + Sen2  = 1, dividiendo 1) por Cos2 , se halla 2) 1 + Tan2

 = Sec2  159

Dividiendo 1) por Sen2 , resulta

3) 1 + Cot2  = Csc2  Del hecho que Coseno y Secante, Seno y Cosecante, Tangente y Cotangente son funciones recíprocas respectivamente, se tiene

4) Cos Sec = 1

5) Sen Csc = 1

6) Tan Cot = 1

Este grupo de identidades junto con

se llaman Identidades Fundamentales.

Ejemplo: Hallar las funciones trigonométricas de , si  no está en el IIC, y Sen = 2/3. De Cos2 + Sen2 = 1, se tiene Cos =

=√

√

como  no está en IIC, entonces está en IC, luego Cos =

√

y usando las identidades respectivas,

se tiene Tan =

√

√ √

√

Sec =

√

Csc = √

Cot =

√

Demostración de identidades: Dada una identidad trigonométrica, demostrarla consiste en transformarla hasta convertirla en una igualdad que sea evidentemente verdadera. Es importante los conocimientos previos sobre operaciones con expresiones algebraicas, factorización productos notables, operaciones con fracciones, radicales entre otros. El razonamiento lógico y la ejercitación es fundamental.

160

Para realizar la demostración puede haber varias formas: a) Partir del lado con la expresión más compleja hasta obtener la expresión más sencilla. b) Transformar las dos expresiones a la vez hasta obtener la misma expresión en ambos lados. Ejemplo: Demostrar la siguiente identidad a) (Cosx – Senx)2 + 2Senx Cosx = 1 Cos2x – 2Cosx Senx + Sen2x + 2Senx Cosx =

(desarrollando el binomio)

Cos2 x + Sen2 x =

(Cancelando términos semejantes)

1=1

(Identidad conocida)

b) Tan4  – Sec4  = 1 – 2 Sec2 (Tan2 )2 – Sec4  =

(Potenciación)

(Sec2  - 1)2 – Sec4  =

(Uso de identidad conocida)

Sec4 – 2Sec2  +1 – Sec4  =

(Desarrollando el binomio)

1 – 2sec2 

(Cancelando términos semejantes)

Se llega a la expresión de la derecha.

Fórmulas de cofunciones de ángulos complementarios Si  es número real, o la medida de un ángulo agudo en radianes, entonces.

Sen  = Cos (/2 –  )

Csc = Sec (/2 – )

Cos = Sen (/2 – )

Sec = Csc (/2 – )

Tan = Cot (/2 – )

Cot 

Tan (/2 – )

Se tiene fórmulas similares para el ángulo  en grados. Ejemplo: Calcular Sen Sen



= Cos (



–



y Tan 72°.

) = Cos



Tan 72° = Cot (90° - 72°) = Cot 18° Se puede verificar con una calculadora que los resultados son iguales en cada caso.

161

EJERCICIO 10 1) Hallar las funciones trigonométricas restantes de . a) Sen = 5/13, con  en el primer cuadrante. si  está en el II cuadrante.

b) c)



d) Sec

 ,  en el I Cuadrante.

e) Si  > 0 con lado terminal sobre la recta y = -4x en el II cuadrante. 2) Demostrar las siguientes identidades. b)

a) Tan4   Sec 4   1 2 Sec 2 

1  Cos  Sen  Cos   1   Sen  Cos  Sen  Cos 

Cos 2 x

 1  Tan 2 x  2  2 Tan 2 x

d ) (Sen2   Cos 2  )3  1 f)

e) Sec2   Tan2   (1 Sen4  ) Sec4 

g) ( Csc   Cot  )4 ( Csc   Cot  )4  1

Csc (x )  Sen( x )  Cot 2 x Sen (x )

Cot ( t)  Tan (  t)   Sec 2 t Cot t Cos 3 x  Sen3 x  1  Sen x Cos x Cos x  Sen x

j ) ( Cos 2   1) ( Tan 2   1  1  Sec2 

Identidades generales Identidades de adición y diferencia de ángulos si  y  son ángulos cualesquiera se tienen las siguientes identidades. 1) Cos ( –  )  Cos  Cos  + Sen  Sen  Sustituyendo en 1)  por – se logra Cos [ – (–)]  Cos  Cos (–) + Sen  Sen (–) dado que Coseno es par y Seno impar, entonces 2) Cos ( +  )  Cos  Cos  – Sen  Sen  usando las fórmulas de Reducción Sen  = Cos (/2 – ), Cos = Sen (/2 – ) y las identidades fundamentales se obtienen las siguientes indentidades

      Sen (    )  Cos       Cos        2  2  

162

     Cos      Cos  Sen      Sen 2  2 

3) Sen ( + )  Sen 

Cos  + Cos  Sen 

sustituyendo  por – en 3) 4) Sen ( – ) = Sen  Cos  – Cos  Sen  aplicando Tan   Sen Cos

Tan (    ) 

se logra

Sen (  ) Sen   Cos   Cos  Sen  Cos (  ) Cos   Cos   Sen  Sen

Dividiendo numerador y denominador de por

Cos  Cos  resulta

Sen   Cos  Cos   Sen   Cos   Cos  Cos   Cos  Tan (  )  Cos   Cos  Sen   Sen   Cos   Cos  Cos   Cos 

Tan (  ) 

Tan  Tan 1  Tan  Tan

Haciendo  = –  en 5) se obtiene

Tan (   ) 

Tan   Tan 1 Tan   Tan

Identidades generales de ángulos dobles Haciendo  =  en las identidades correspondientes a Sen ( + ) , Cos ( + ) y Tan ( + ) se obtienen: Sen ( + )  Sen  Cos  + Cos  Sen  Sen ( + )  Sen  Cos  + Cos  Sen  7)

Sen 2   2 Sen  Cos  Cos ( + ) = Cos  Cos ( + ) = Cos 

Cos  – Sen  Sen  Cos  – Sen . Sen

Cos 2  = Cos2  – Sen2  Usando Cos2  = 1 – sen2  en 8) se logra Cos 2   1 – Sen2  – Sen2 

Cos 2  1 – 2 Sen2  163

y usando Sen2  = 1 – Cos2  en 8 ), tenemos Cos 2  Cos2  – (1 – Cos2 )  Cos2  – 1 + Cos2  10)

Cos 2  2 Cos2  – 1

11)

Tan 2 

2 Tan 1 Tan2 

Identidades generales de ángulos medios De 9) se tiene Sen2  

12)

1  Cos 2 2

  2

Sen



1  Cos 2 , 2

Sen   

si  

 2

1  Cos  2

De 10) se obtiene

Cos 2  

1  cos 2   Cos    2

   2

13) Cos

1  Cos 2   ; si   2 2

1  Cos  2

Multiplicando numerador y denominador por 2 Sen Tan

14)

 en la parte derecha de 2

 Sen  / 2 se logra  2 Cos  / 2

Tan

1  Cos    2 Sen 

Tan

Sen    2 1  Cos 

Dado que Secante, Cosecante y Cotangente se pueden expresar en función de Seno, Coseno y Tangente no es necesario tener identidades análoga correspondientes para ellas. Ejemplo: si Cos  = 3/5, Cosw = 5/13 con , w en el primer cuadrante hallar Sen( + w). Sen ( + w) = Sen Cosw + Cos Senw Sen = Senw =

√

, como  está en el IC, entonces Sen = 4/5

√

, luego Senw = 12/13

164

Por lo tanto Sen ( + w)

a partir de los valores de  = /6

Ejemplo: Hallar la Tan El valor =

se puede escribir como , así

= Tan

= √

√

Ejemplo: Hallar Tan

= Tan

(

)

√

( )

√

√ √

√

Ejemplo: Demostrar la siguiente identidad. Csc 2 - Cot 2 = Tan 

Tan α

Ejemplo: Verificar que Sen ( - /6) + Cos ( - /3) = √ sen Sen ( - /6) + Cos ( - /6) = √ sen Sen Cos /6 – Cos  Sen /6 + Cos Cos /3 + Sen Sen /3 = √ Sen √

Sen

Cos +

√

Sen = 2

√

Sen = √ Sen

Ejemplo: Demostrar la identidad 2 Sen 3 Cos  Haciendo  = 3 ,  =  se logra 2 Sen Cos  = 2 Sen ( + ) + Sen ( - )  Sen 3 Cos  = 2 =2

Sen (3 + ) + Sen (3 - ) Sen 4 + Sen2

= Sen 4 + Sen2 Ejemplo: Demostrar la identidad Cos3 = 4 Cos3 - 3 Cos Cos3 = Cos (+2) = Cos Cos2 - Sen Sen2

165

= = = = = =

Cos (1 – 2Sen2 ) – Sen (2 Sen Cos) Cos - 2Cos Sen2 - 2Sen2 Cos Cos - 4Cos Sen2 Cos - 4Cos (1 – Cos2) Cos - 4Cos + 4 Cos3) 4Cos3 - 3Cos

Fórmulas de transformación de sumas en productos

1) Sen a + Sen b = 2 Sen

Cos

2) Sen a – Sen b = 2 Cos

Cos

3) Cos a + Cos b = 2 Cos

Cos

4) Cos a – Cos b = – 2 Sen

Sen

Formula de trasformación de productos en sumas 1) Sen a Cos b =

Sen (a + b) + Sen (a – b)

2) Cos a Sen b =

Sen (a + b) – Sen (a – b)

3) Cos a Cos b =

Cos (a + b) + Cos (a – b)

4) Sen a Sen b =

Cos (a – b) – Cos (a + b)

Ejemplo: Expresar como producto Cos 9x – Cos11x Usando Cos a – Cos b =

y haciendo a = 9x, b = 11x

Cos 9x – Cos 11x =

(

= Ejemplo: Calcular

) = 2 Sen10x Sen x

expresando como suma.

Aplicando Sen a Sen b =

Cos (a – b) – Cos (a + b)

Cos ( – Cos

) – Cos ( +

– Cos

166

) = Cos (

) – Cos



EJERCICIO 11 1- Hallar las funciones trigonométricas de /12 a partir de los valores de /3 y /4 2- Verificar las identidades: a) Sen (  – /6) + Cos ( – /3) = √ b) Tan (  + /4) – Tan ( – 3/4) = 0 3- Hallar Sen 2, Cos 2, Tan 2, Si Cos = 3/5 y  en el primer cuadrante. 4- Hallar Sen /2, Cos /2 y Tan /2, si Tan  = 1 y  en el tercer cuadrante. 5- Si  y  son ángulos agudos tales que Cos  = 4/5 y Tan  = 8/15 hallar: a) Sen ( + )

b) Cos ( + )

c) Cuadrante de  + 

d) Sec ( + )

6- Si Sen  = – 4/5 y Sec  = 5/3, con  en el tercer cuadrante y  en el primer cuadrante, hallar: a) Sen ( + ) c) Cuadrante de  + 

b) Tan ( + ) d) Csc ( + )

7- Exprese como función de un solo ángulo: a) Cos 48 Cos 23 + Sen 48 Sen 23 b) Cos 10 Sen 5 - Sen 10 Cos 5 c) Cos 3 Sen ( -2) - Cos 2 Sen 3 8) Demostrar las siguientes identidades. 2

a) Csc 2  Cot 2  Tan

   g )  Cos  Sen   1  Sen  2 2 

b ) Sen3   4 Sen3  3Sen

h ) 4Sen

c ) (Sen  Cos )2  1  Sen 2  e)

1  Cos 2  Tan2  1  Cos 2

i ) 2Sen2 2   Cos4   1 j)

f ) Cos 4  8 Cos4  8 Cos2   1

x x Cos  2Sen x 2 2

Sen x Sen y 1  Cot x  Cot y Sen (y  x )

l ) Cos (u  v)  Cos(u  v)  2Cosu Cos v

ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Una Ecuación Trigonométrica es aquella que tiene funciones trigonométricas de ángulos o de números reales. A diferencia de la identidad trigonométrica, la ecuación trigonométrica no se satisface para todos los valores del ángulo o del número real. Resolver una ecuación trigonométrica es hallar todos los valores angulares o reales que la hacen verdadera.

167

Si  es una solución también lo es  =   n 3600 ó  =   2 n , n = 0, 1,2, ... se considerarán soluciones para 00    3600 ó 0 =   2. Ejemplos: 1) 3 + 3Cosx = 2 – 2 Cos2 x 3 + 3Cosx – 2 + 2 Cos2 x = 0 2 Cos2 x + 3 Cosx + 1 = 0 Haciendo m = Cosx (*) se tiene 2m2 + 3m + 1 = 0 Resolviendo esta ecuación cuadrática para m se encuentra m = -1, -1/2 y sustituyendo en * Cosx = -1 Cosx = -1/2

x = Cos-1 (-1) =  x = Cos-1 (-1/2) = 2/3, 4/3

Las soluciones son x = , 2/3, 4 /3 2) 2 Tan2x – Sec2 x = 0 2 Tan2x- (1 + Tan2x) = 0 Tan2x = 1 Tanx =  1 x = Tan-1 ( 1) x = /4, 3/4, 5/4, 7/4

EJERCICIO 12 Hallar soluciones de cada ecuación en el intervalo [0, 2 ] ó 00    3600.

1) Sen   2Sen Cos   0

7 ) 3  3 Cos   2  2 Cos 2 

2 ) 2 Tan2 x  Sec 2 x  0

8 ) 3 Tan  3 Cot   4 3

3 ) Sen4   2 Sen2   1  0

9 ) Sen2t  Sen t  0

4 ) Sen

1   Cos   1 2

10 ) 2Sen3   Sen2  2 Sen 1  0

  5 ) Cos  2x    0 4 

1 11) Sen u  Cos u 1 2

6 ) Senx  Cosx  2 2 Senx Cos x  0

12 ) Tan 2x  Tan x 1  Tan 2x Tan x

RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Y OBLICUANGULOS 168

Un triángulo cualquiera tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos interiores. Resolver un triángulo consiste en calcular tres de los elementos a partir de conocer los otros tres, siempre que uno de ellos sea un lado. La resolución de un triángulo se puede realizar a partir de conocer: -

Dos ángulos y un lado. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos Los tres lados.

Resolución de un triángulo Rectángulo: Su resolución se efectúa usando la definición anterior, funciones trigonométicas de ángulos agudos y procedimientos algebraicos. Ejemplo: Resolver el triángulo rectángulo de la figura.

C 

Se debe hallar los lados b, c y el ángulo  b A

 = 42° 20' c

) √( b2 = a2 + c2  c = √ c=√ =√ c = 5.49  +  = 90°   = 90° -  = 90° – 42º 20' = 89º 60' - 42º20' = 47º 40'

Ejemplo: Un poste de teléfono está clavado perpendicular al suelo y su sujetado por alambre amarrado al poste a una altura de 5.7 m. de su base. Hallar la longitud del alambre si esta forma un ángulo de 26º 20' con el poste. Cos 26 20' 5 .

66°

x = longitud del

La longitud del alambre es de 6.3 m. Ejemplo: Desde un faro situado a 23.5m sobre el nivel del agua, el ángulo de depresión de un bote es 23º 40' ¿A qué distancia está el bote del punto situado a nivel del agua y directamente bajo el punto de observación.

169

23° 40'

23. 66° 5

a = B

Tan 66º 20'

x = 23.5 (Tan 66º 20') = 23.5 (2.28) = 53.62 Cot 66 20'

= 53.62

El bote está a una distancia de 53.62 m. Resolución de un triángulo Oblicuángulo: Estos triángulos requieren el uso de la Ley de los Senos y Ley de los Cosenos. Ley de los Senos

En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. Es decir, en cualquier  ABC.



a b c   Sen Sen Sen



Ley de los Cosenos

a 

En todo triángulo, le cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de los mismos lados por el coseno del ángulo que forman. Así, en el  ABC, se tiene

B 2

a = b + c – 2bc Cos  b2 = Cos 

c2 – 2ac





a 

c = a + b – 2ab b La Ley del Coseno se reduce Cos al famoso Teorema de Pitágoras cuando uno de los ángulos es recto. 2

Si  =  se tiene un triángulo rectángulo

 2 2 2 2 c = a + b – 2ab (0)

B c2 = a2 – 2ab Cos c

c 2 = a2 + b2 b

Teorema de Pitágoras

Ejemplo: Dos puestos de observación A y B separados 10 millas entre sí en la costa vigilan barcos que entran ilegalmente en el límite de 3 millas. El puesto A reporta un barco S en un ángulo  BAS = 37º 30'

170

y el puesto B reporta al mismo barco en un ángulo  ABS = 20º. ¿A qué distancia está el barco del

puesto A? A que distancia de la costa? Suponer que la costa entre los puntos es recta? Sea  = 179° 60' - 37º 30' - 20º =122º 30' Sea x la distancia del barco al puesto A

1 0

A 37 ° x

(



)

B 2 0

)

x = 4.05 millas Sea y la distancia del barco a la costa Sen 37º 30'

 y =4.05 (Sen 37º 30') = 4.05(0.6088) = 2.47 millas

La distancia del barco a la costa es de 2.47 millas Ejemplo: Dos aviones A y B parten del mismo aeropuerto a buscar otro avión que cayó al mar. El avión A viaja al oeste a 400 millas por hora y el avión B al sur oeste a 500 millas por hora. A la 2:00 pm, el avión A observa el avión perdido y se comunica con el avión B pidiendo ayuda. A que distancia está el avión B del A en ese momento. N

Sea la velocidad v =

d1= v1 t1 = (400) (2) = 800 d2= v2 t2 = 500 (2) = 1000

d1 = 800 

por la ley del coseno

d2 =100

d2 = ( = 8002 + 10002 – 2(800) (1000) Cos45 d=√ la distancia del avión A al avión B es de 713.18 millas

EJERCICIO 13 1) Dados los elementos indicados del triángulo ABC, con elementos restantes.

a)   45 , b  30 b) a  5 , b  5

α = 90, calcule los valores exactos de los B

c 171

γ b

c ) b  5 3 , c  10 3 d )   7151' , b  240 2)

Un silvicultor se encuentra a 200 pies de la base de un cedro, y observa que el ángulo entre el suelo y la punta del árbol es 60. Estime la altura del árbol.

Una persona echa a volar una cometa sujeta al cordel a 4 pies sobre el terreno. El hilo está tenso y forma un ángulo de 60 con la horizontal. Calcule la altura aproximada de la cometa sobre el terreno, cuando se han soltado 500 pies de cordel.

Un piloto, que vuela a una altura de 5,000 pies, desea llegar a los números en una pista formando un ángulo de 10. Calcule, aproximadamente, la distancia del avión al inicio del descenso, a los números.

Un cohete se dispara a nivel del mar y sube a un ángulo constante de 75 una distancia de 10,000 pies. Calcule la altura que alcanza con una aproximación de un pie.

El Pentágono (en Washington, Estados Unidos) es el edificio de oficinas más grande del mundo, en lo que se refiere a área de terreno. El perímetro de la construcción tiene la forma de un pentágono regular y cada lado tiene una longitud de 921 pies. Calcule el área que encierra el perímetro de ese edificio.

Un puente levadizo tiene 150 pies de longitud cuando se atraviesa sobre un río. Como se ve en la figura, se pueden hacer girar las dos secciones del puente hacia arriba, un ángulo de 35. a) Si el nivel del agua está a 15

pies por

de una

3 5

debajo del puente cerrado,

calcule la

3 5 cuando el

distancia "d" entre el extremo sección y el nivel del agua puente está completamente

abierto. b) Aproximadamente, ¿qué distancia hay entre los extremos de las dos secciones completamente

1 5 0'

cuando el puente está abierto, como se ve en la

figura?

172

10)

Desde un punto P sobre el terreno horizontal, el ángulo de elevación de la punta de una torre es 26 50'. Desde un punto a 25 m más cercano a la torre, en la misma línea que P y la base de la torre, el ángulo de elevación es 5330'. Calcule la altura aproximada de la estructura. Un avión que vuela a una altura de 10,000 pies, pasa directamente sobre un objeto fijo en el suelo. Un minuto después, el ángulo de depresión al objeto es 42. Calcule la velocidad aproximada del avión, con exactitud de 1 milla por hora. Un barco sale de un puerto a la 1:00 P.M. y viaja en dirección N34O a una velocidad de 24 mi/h. Otro barco sale a la 1:30 P.M. y viaja en dirección N56E a una velocidad de 18 mi/h. a) ¿A qué distancia se encuentran aproximadamente los barcos a las 3:00 P.M.? b) ¿Cuál es la dirección aproximada en grados desde el primer barco al segundo?

Calcule, aproximadamente, las partes restantes del triángulo ABC. 11)

 = 2740  = 81  = 60 a=2

 = 52 10' c = 11 b = 20 b=3

a = 32.4 b = 20 c = 30 c=4

β A

12) Para determinar la distancia entre dos puntos A y B que están en orillas opuestas de un río, un topógrafo determina un segmento AC de 240 yardas (yd) de longitud a lo largo de una orilla, y determina que las medidas de  BAC y  ACB son 6320' y 5 410', respectivamente (véase la figura). Calcule la distancia de A a B.

240 A

C 63 2

5 4

B 13) Como se ve en la figura, un teleférico transporta pasajeros del punto A, que se ubica a 1.2 millas de un punto B en la base de una montaña, y llega a la cumbre P de ésta. Los ángulos de elevación de P desde A y B son 21 y 65, respectivamente. a) Determine la distancia aproximada de A a P. b) Calcule la altura aproximada de la montaña.

173

2 1

B 1 .

6 5

14) Una carretera recta forma un ángulo de 22 con la horizontal. Desde cierto punto P en ella, el ángulo de elevación del avión en el punto A es 57. En el mismo instante, desde otro punto Q a 100 m adelante del primero, el ángulo de elevación es 63. Como se ve en la figura, los puntos P, Q y A quedan en el mismo plano vertical. Calcule la distancia de P al avión

2 2

15) Un guardabosque en un punto de observación A ve un incendio en la dirección N2710' E. Otro guardabosque en un punto B a 6 millas al este de A ve el mismo incendio según N5240' W. Calcule la distancia de cada uno de los puntos de observación al incendio. 16) Una catedral está sobre una colina, como se ve en la figura. Cuando la punta de la torre se ve desde la base del cerro, el ángulo de observación es 48. Cuando se ve a una distancia de 200 pies de la base de la colina, el ángulo de elevación es 41. La pendiente de la colina forma un ángulo de 32 con la horizontal. Calcule la altura aproximada de la catedral, sobre la cumbre de la loma. 17)

19)

20)

4 8

El volumen V del prisma triangular recto que se ve en la figura, es 1/3 Bh, donde B es el área de la base y h la altura del prisma. Calcule: a) h

18)

4 21 0



b) V

3 4 10 5 3 2 1

2 Dos automóviles salen al mismo tiempo de una ciudad, y viajan por carreteras rectas que forman un ángulo de 84 entre sí. Las velocidades de los vehículos son 60 mi/h y 45 mi/h, respectivamente. ¿A qué distancia aproximadamente se encuentran 20 min después? Un barco sale de puerto a la 1:00 P.M., con rumbo S35E a una velocidad de 24 mi/h. Otra nave sale del mismo puerto a la 1:30 P.M. y viaja al S20W a 18 mi/h. Aproximadamente, ¿a qué distancia se encuentran a las 3:00 P.M.? En el béisbol de primera división, las cuatro bases (que forman un cuadrado) están a 90 pies y el montículo del pitcher está a 60.5 pies del cojín de home. Calcule la distancia del montículo del lanzador a cada una de las otras tres

174

bases.

175

GEOMETRIA ANALITICA

176

V Unidad: GEOMETRIA ANALITICA PLANA Contenidos: 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8.

Distancia entre dos puntos. División de un segmento en razón dada. Punto medio de un segmento. Pendiente de una recta. Ecuación de la recta. Condiciones del paralelismo y perpendicularidad. Angulo entre dos rectas, y distancia de un punto a una recta. Estudio de las cónicas con centro en el origen: Circunferencia, Parábola, Elipse e Hipérbola.

Introducción. La geometría analítica es el estudio de la geometría por medio del método analítico del algebra. Esto nos permite descubrir cómo se relacionan estas ramas de las matemáticas. El método de la Geometría Analítica consiste en separar los elementos esenciales de cada problema y ponerlos en forma de ecuaciones y después de resolver algebraicamente las ecuaciones se interpretan geométricamente. El plano es una superficie infinita que está formado por puntos y rectas en donde podemos encontrar figuras diferentes geométricas como triángulos, rombos, cuadrados entre otros y está compuesto por infinitos puntos lo simbolizamos por la letra P. para referirnos a un plano lo podemos demostrar a lo menos con tres puntos no alineados. 5.1 Distancia entre dos puntos. )y ( ) dos puntos cualesquiera. Determinemos la distancia “d” Sean ( entre y . ( ) Y

(

)

(

)

177

Para eso tracemos una recta paralela al eje x desde y una segunda recta paralela al eje y desde . Estas rectas se cortan en un punto Q, cuyas ). coordenadas son ( Ahora: , ; Usando el teorema de Pitágoras, tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) , ) ( ) √( Ec. 1. La formula 1 es para obtener la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano real. Ejemplo 1: Encuentre la distancia entre los puntos ( Solución: ( ) ( ) Ecuación de distancia entre dos puntos: ) ( ) , ) ( √( √(

)

(

) ,

√

Ejemplo 2. Hallar la distancia entre los puntos de coordenadas (3, 4) y (5, 0).Para el desarrollo digamos que:

5.2 División de un segmento dado en una razón dada. Supongamos que conocemos las coordenadas de los extremos del segmento ̅̅̅̅ sea P un punto situado en la recta”l” que contiene a ̅̅̅̅. Los puntos A,P,B determinan dos segmentos ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ cuya razón entre sus magnitudes es “r” tal que: ̅̅̅̅

̅̅̅̅

P 178

Para ubicar P hay dos posibilidades: 1. Que P esté entre A y B, en este caso r es positivo, r > 0. 2. Que P esté sobre “L”, pero exterior al segmento ̅̅̅̅ ; entonces r es negativo, r<0.

( ) y ( ) son los extremos de un segmento ̅̅̅̅̅̅ las En . Si coordenadas (x,y) de un punto P que divide a este segmento en la razón dada , son: ( ) ( ) ( ) 1. Para x: ( ) (

)

2. Para y:

(

)

(

)

(

)

=x; con r≠-1 Ecuación a).

(

)

(

)

=y; con r≠-1 Ecuación b).

Nota: 1. Las coordenadas X e Y del punto P que divide al segmento dada r, pueden hallarse mediante: ( ) ( ) ; ( ) ( ) 2. Si r es positivo, el punto de división P es interno al ̅̅̅̅̅̅. 3. Si r es negativo, el punto de división P es externo al ̅̅̅̅̅̅.

en la razón

Si A, B, P son tres puntos colineales en el espacio cuyas coordenadas son ( ) ( ) ( ), entonces se cumple que: ( ) ( ) ( ) Ejemplo 1. Encuentre el punto P(x, y) que divide al segmento que une los puntos A (2,3) y B (17,18) en la razón r =

1 2

Solución: Aplicamos las fórmulas obtenidas anteriormente x  r x2 x 1 1 r

 1 2   (17) 21/ 2 2  7 1 3/2 1 2

y  r y2 y 1 1 r

Por tanto el punto buscado es P (7, 8) 179

 1 3   (18) 24 / 2 2  8 1 3/2 1 2

Ejemplo 2. Si el segmento AB está cortado por el punto P(5,-2) en la razón 3/ 7 y las coordenadas de A son (-5,6), determine las coordenadas de B. (

Solución:

[

)

( )] (

)

( )

(

[

)

( )] ( )

5.3 Coordenadas del punto medio: Si M es el punto medio de ̅̅̅̅, entonces ̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅ y por tanto coordenadas del punto medio M del segmento ̅̅̅̅ son: En R En En

̅̅̅̅̅

y las

Z Las ecuaciones anteriores corresponden a las coordenadas del punto medio de un ) ( ) para ) y segmento dirigido cuyo extremos son ( , R es ( ) ( ) son ( Ejemplo 1. Determine el punto medio del segmento que une los puntos P 1 (– 1, 3) y P2 (5, – 7). Solución: Aplicando las fórmulas anteriores, tenemos: x=

x1 x 2 2

y  y2 1  5  2, y  1 2 2

37 = 2

– 2 Luego

( x, y ) = (2, – 2).

Ejemplo 2. Dado el triángulo con vértices A (2, 3), B (3, – 3) y C (–1, –1), encontrar la longitud de la mediana trazada desde el vértice A. Solución: Y

Recordemos

que

las

medianas

A (2, 3)

triángulo son las líneas que unen los vértices con los puntos medios de los lados opuestos. En este caso el lado opuesto al vértice A es el lado BC.

C (– 1,– 1)

X M

B (3,–

Sea M el punto medio del lado BC.

La longitud 3 de (1)la mediana AM 3  (la 1)obtenemos al aplicar la fórmula de la distancia xM =  1 , yM =  2 entre dos puntos: 2 2 180

(2  1)2  [3  (2)]2  12  52  26

AM =

5.4 Pendiente de una recta. Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Por tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre dos rectas” es ambigua ya que tal ángulo puede ser α, o bien, su suplemento β. Para acer una distinción entre estos dos ángulos, consideremos que las rectas están dirigidas. Definición: Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al formado por los dos lados que se alejan del vértice. β α Φ

Definición: Se llama ángulo de inclinación de una recta al formado por la parte positiva del eje x y la recta cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. Para calcular el ángulo de inclinación será por: ( ) ) ( ) y estamos Según el problema se conocen las coordenadas de ( interesados en una ecuación que permita calcular la medida del ángulo de inclinación en términos de las coordenadas de A y B. y ( ) (

)

(

)

s P Q Se ve que verdadero que

por ser ángulos correspondientes entre paralelas, por lo tanto, es ( ) . Ahora bien: { ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

Definición: Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación.

181

La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra “m”. La pendiente ( ) es: . ( ) Ejemplo 1: Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (-2,3) y (5,8). Solución: Los puntos son: A (-2,3) y B (5,8). ( ) La fórmula de la pendiente es: es la pendiente. ( ) ( ) El

ángulo

inclinación

( )

es:

Ejemplo 2: Halle la pendiente de la recta que pasa por los puntos (2,6) y (3,-4) Grafique la recta. Solución: sean (-2,6) el punto p1 x1 y1 y (3,4) el punto p 2 x 2 , y 2  La pendiente de la recta a través de estos puntos es. y  y1 46 m 2  x2  x1 3  (2) 

 10  2 5

Por lo tanto, la pendiente es - 2 y la recta que pasa por p1 y p2 se muestra en la figura:

182

Incre mento en x =5

Increme nto en y = -10

5.5 ECUACIONES DE LA RECTA El concepto de pendiente permite encontrar las ecuaciones de la recta. Por un punto P1 (x1, y1) pasa solamente una recta l con una pendiente determinada m. De esta forma, la ecuación de la recta con pendiente “m” y que pasa por P1(x1, y1) está dada por: y – y1 = m (x – x1)

(Forma Punto – Pendiente)

Si escogemos el punto particular (0, b), el punto donde la recta intercepta al eje “y”, tenemos Y – b = m(x-0), o sea , y = mx + b Ejemplo1.

y= 2x - 3

(forma pendiente – ordenada) pendiente -3; se intercepta en (0,-3).

Otra forma, es la que comprende las intersecciones de la recta con los ejes x e y en los puntos (a, 0) y (0, b) respectivamente, la cual queda como:

y x  1 a b

(Forma simétrica)

183

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. La ecuación de una recta queda determinada conociendo las coordenadas de dos ) ( ) son puntos distintos de una recta entonces su de sus puntos. Si ( pendiente es: . Sustituimos en la ecuación punto pendiente nos queda: : ( ) ( ) (Ecuación) La gráfica de la ecuación Ax + By + C = 0 donde A, B y C son constantes y donde A y B no son cero a las vez es una línea recta, y se llama Ecuación General de la Recta.

Con m



A B

b

Cuando B = 0; x   C

A C x  B B,

y 

tenemos

entonces,

C B (Línea paralela al eje “y”)

Ejercicio 2. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y tiene un ángulo de inclinación de 45°. Solución: Entonces por tanto m=1. Ecuación de la recta es: ( )

(

) entonces

Esta es la ecuación de la recta. 5.6 Posición Relativa de dos rectas: Paralelismo y Perpendicularidad: Sean ecuaciones de las rectas , respectivamente. Entonces:

a) Paralelismo b) Perpendiculares c) Coincidencia d) Intersección en uno y solamente un punto

,(k≠0)

Ejemplo 1: ¿Son las rectas Solución: Sean A=4, B=3, A´= 8, B´=6 Por lo tanto concluimos que las rectas son paralelas. 184

paralelas? (4*6) - (3*8)=0

Perpendicularidad: Sean las rectas cuyas ecuaciones son y supongamos son perpendiculares. Entonces es perpendicular y son las pendientes de . }

(

)(

)

Entonces las rectas solo si Ejemplo 2: Verifique que las rectas perpendiculares. Solución: Sean A=2, B=-3, C=5, A´= 9, B´=6, ( ) ( )

son perpendiculares si y son C´=-8 Entonces: , Son perpendiculares.

5.7 Ángulo entre dos rectas. Conocidas las pendientes de dos rectas en el plano, deducir una fórmula matemática que nos permita calcular el ángulo entre ellas a partir de las pendientes. Supongamos que conocemos las pendientes de .

180° Φ α

β φ

Observemos que si conocemos las medidas de Φ entonces conocemos las medidas de: α, φ y β. Observemos que: 1. α + Φ = 180° entonces α= 180°- Φ. 2. α = β (opuesto al vértice). 3. Φ = φ (opuesto al vértice). ¿Cómo se calcula la medida de Φ? Para visualizar mejor el problema trasladamos ángulo α y ángulo β al punto P. En el plano:

β α

x´

paralelas

185

vemos que x=x´ son

Entonces vemos que:

(

por tanto: (

entonces:

)

para

Ejemplo 1. Encuentre los ángulos que forman la intersección de la recta que pasa por A(-1,3), B(3,1) con otra que pasa por C(-2,-3), D(5,3).

(

)

(

)

(

)

(

)

(

Aplicamos la fórmula: Para calcular

( )(

solamente representamos

)

= 19/8 = 2.75;

)

(

)

de 180°, entonces:

5.7.1 Distancia de un punto a una recta. ( ) a la recta de ecuación La distancia del punto está | | dada por: √ Ejemplo 1. Encontrar la distancia desde el punto P0 (5, – 3) a la recta con ecuación 12 x – 5 y – 36 = 0 SOLUCIÓN: Tenemos d (P0, L) =

Ax 0  By 0  C A 2  B2

. Introduciendo los valores dados. Resulta

186

d (P0, L) =

12 (5)  5 (3)  36 122  (5)2



| 60  15  36 | 144  25



39 3 13

5.8 CÓNICAS: Las cónicas las componen circunferencia, parábola, hipérbola y la elipse. 5.8.1Circunferencia: Definición: Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que se encuentran a una distancia dada cierto punto del plano que se llama centro de la circunferencia. Q S P

O A

OO T

a. Se llama radio de la circunferencia al segmento que une el centro de ésta con cualquiera de sus puntos. ̅̅̅̅ b. El segmento que une dos puntos de la circunferencia se llama cuerda. ̅̅̅̅

c. La cuerda que pasa por el centro, ̅̅̅̅ se llama Diámetro. d. La recta como T tiene solamente un punto común con la circunferencia y se llama tangente. Sea (

) un punto cualquiera de la circunferencia de centro (

) y radio .

Usando la fórmula de la distancia √( (

)

(

)

( Elevamos al cuadrado: Circunferencia de radio

)

(

) . y centro ( )

Si h=0 y k=0 entonces obtenemos la ecuación de la circunferencia con centro en el origen: x2 + y2 = r2 Ejemplo1. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por 187

(-5,-2). Solución. Sustituyendo el punto en la ecuación x2 + y2 = r2, obtenemos (-5)2 + (-2)2 = r2 Por lo tanto r2 = 29, entonces x2 + y2 = 29. Ejemplo2. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y tangente a la recta x=3. Solución. Como la distancia del centro (origen) al punto de tangencia es igual al radio entonces r2 = 9, por lo tanto la ecuación es x2 + y2 = 9.

5.8.2 PARABOLA. Una Parábola es el conjunto de todos los puntos P del plano que son equidistantes de una recta fija L llamada directriz. La recta L' es perpendicular a la Directriz y se llama eje de la Parábola, El punto medio V, entre el Foco F y el punto A sobre el eje se llama vértice de la Parábola.

F   P



L V: vértice F: foco L: directriz P: punto de la parábola FP : PM L'



M Si se refiere la Parábola al plano xy, se obtienen ecuaciones bien sencillas. primero Consideremos la parábola con vértice en el origen; o sea, V(0,0)

Ecuación

Eje

Foco

Directriz

La gráfica se extiende hacia

X2 = 4yp

x=0

(0, p)

y=-p

arriba si p  0 ; abajo si p  0

Y2 = 4px

y=0

(p, 0)

x=-P

derecha si P  0; izquierda si P  0

El segmento de recta que pasa por el foco, es perpendicular al eje de la Parábola y tiene sus extremos en la Parábola se llama Cuerda Focal Normal o Lado Recto de la Parábola. Su longitud es 4P. Ejemplo 1. Hallar el foco y la directriz de la parábola que tiene por ecuación y2 = - 6x. Solución: 188

y2 = 4px, con 4p = - 6, por lo tanto p = - 3/2 F (-3/2,0) y x= 3/2, respectivamente. Ejemplo 2. Hallar el foco y la directriz de la parábola x2 + 4y = 0 Solución: Escribiendo la ecuación dada de la forma indica en la tabla resulta x2 = -4y, de aquí se obtiene 4p= - 4, por lo tanto p = - 1, F(0,-1), y = 1.

5.8.3 Elipse Definición Una elipse es el conjunto de puntos Px, y   IR 2 (lugar geométrico) cuya suma de distancias a dos puntos fijos F1 y F2 del plano (llamados focos) es constante. Llamaremos centro de la elipse, al punto medio entre los focos.

x  h2   y  k 2

1 a2 b2 Si h y k son iguales a cero se obtiene la ecuación de elipse con centro en el origen.

La recta que pasa por los focos, corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une los vértices es el eje mayor de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la elipse.

Ejemplo 1. Determinar la ecuación de elipse con vértice en ( ) y focos en ( ). Solución Usando el teorema c2 = a2- b2 ,tenemos a = 4, c = 2 Luego sustituyo en b2 = a2- c2 obtenemos que : b2 = 42- 22 b2 = 16 - 4 b2 =12 189

Sustituyendo los valores en la Ecuación Ec.3x2 +4y2 = 48

se multiplica por 48 la expresión

Ejemplo 2. Hallar las ordenadas de los puntos de la elipse 4x2+25y2 -100 = 0, cuyas abscisas son iguales a -3. Solución. Sustituyendo X= -3 en la ecuación dada y despejando la ordenada “y” se obtiene 4(-3)2 + 25y2 = 100, por lo tanto y =

5.8.4 Hipérbola Una hipérbola es el conjunto de puntos Px, y   IR 2 para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es, en valor absoluto, una constante. La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.

La ecuación canónica de la hipérbola con centro en C h, k  es con eje transversal horizontal y con eje transversal vertical.

x  h2   y  k 2 a2

1

 y  k 2  x  h2 a2

horizontal

 1 vertical.

190

Ejemplo 1. Hallar las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola x2 – y2 = 9. Solución. Dividiendo por 9 ambos lados de la ecuación dada obtenemos: √

Como √

Por lo tanto

√

Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la hipérbola con eje trasversal en el eje x, asíntotas Solución. 2c = 10, c =5. Sustituyendo b en esta última ecuación y despejando Por lo tanto, la ecuación es:

191