Números binarios, decimales y hexadecimales Decimales Para entender los números binarios y hexadecimales, lo mejor es entender bien cómo funcionan los números decimales. Cada dígito de un número decimal va en una "posición", y el punto decimal nos dice qué posición es cada una. La posición justo a la izquierda del punto son las "unidades". Cada vez que nos movemos a la izquierda vale 10 veces más, y a la derecha vale 10 veces menos:
Pero esto sólo es una manera de escribir números. Hay otras maneras como los números romanos, binarios, hexadecimales, y más. ¡Incluso podrías marcar puntos en una hoja de papel!
Contar en diferentes sistemas de numeración El sistema decimal de numeración también se llama "base 10", porque se basa en el número 10. En decimal hay diez símbolos (0 a 9), pero fíjate en esto: no hay un símbolo para el "diez". "10" son en realidad dos símbolos juntos, un "1" y un "0": En decimal contamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, entonces decimos "me he quedado sin símbolos, así que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a añadir 1 a la izquierda".
En decimal contamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, entonces decimos "me he quedado sin símbolos, así que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a añadir 1 a la izquierda". Pero no es obligatorio usar 10 como "base". Podrías usar 2 ("binario"), 16 ("hexadecimal"), ¡o cualquier número que quieras! Sólo sigue la misma regla: Cuenta hasta justo antes de la "base", después vuelve al 0, pero añadiendo 1 a la izquierda. ¿Por qué no pruebas tú? Intenta contar puntos con bases 2 a 16 en esta pequeña demostración: <object classid="clsid:d27cdb6e-ae6d-11cf-96b8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#versio n=7,0,0,0" width="600" height="134" id="../images/number-odometer.swf" align="middle"> <param name="allowScriptAccess" value="sameDomain" /> <param name="movie" value="../images/number-odometer.swf" /> <param name="quality" value="high" /> <param name="bgcolor" value="#FFFFFF" />< /object>
Prueba esto: después de elegir una base y dejar que trabaje un rato, usa el botón de "Pausa" y mira si ha acertado el número de puntos, como en este ejemplo en base 2: Ejemplo: 1×16 + 1×8 + 1×1 = 16+8+1 = 25
Números binarios Los números binarios son en "base 2" en lugar de "base 10". Empiezas contando 0, después 1, ¡ya se te acabaron los dígitos! Así que vuelves al 0, pero aumentas en 1 el número de la izquierda. Funciona así: 000 001 no hay "2" en binario, así que volvemos al 0... 010 ... y sumamos 1 a la cifra de la izquierda 011 volvemos otra vez al 0, y sumamos 1 a la izquierda... 100 ... pero ese número ya es 1 así que vuelve a ser 0... ... y el 1 se suma al siguiente número a la izquierda 101 110 etc...
Números hexadecimales Los números hexadecimales son interesantes. ¡Hay 16 dígitos diferentes! Son como los decimales hasta el 9, pero después hay letras ("A',"B","C","D","E","F") para los valores de 10 a 15. Así que con una sola cifra hexadecimal se pueden dar 16 valores diferentes en lugar de los 10 de siempre:
Decimal: Hexadecimal:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Dígitos binarios Números binarios Un número binario está hecho sólo de 0s y 1s. Así que cada cifra sólo tiene dos posibilidades: 0 o 1
Bits En el mundo de los ordenadores "dígito binario" se suele abreviar con la palabra "bit"
Más de un dígito Así que si un dígito sólo tiene dos valores posibles (como "0" y "1", o "On" y "Off"), ¿cuántas combinaciones hay con 2 o más dígitos binarios? Por ejemplo, ¿de cuántas maneras se pueden poner 4 dígitos (como en el ejemplo de 4 tambores diferentes)? Vamos a escribirlas todas, empezando por 1 dígito (puedes probar tú mismo pulsando los interruptores): 0 Un interruptor tiene 2 posiciones... 1
... dos interruptores tienen 4 posiciones...
0 → 00 1 → 01 0 → 10 1 1 → 11
... tres interruptores tienen 8 posiciones...
00 0 0 0 → 0 1 → 001 0 → 010 1 1 → 011 0 → 100 0 1 → 101 1 0 → 110 1 1 → 111
0
... y cuatro interruptores tienen 16 posiciones.
00 00 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
0 0
0 →
1 0 1 01 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1
→ → → → → → → → → → → → → → →
Y de hecho hemos creado los primeros 16 números binarios: Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Binario: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Esto es algo que viene bien aprenderse. Si olvidas cómo va la secuencia de números binarios, sólo piensa en esto: "0" y "1", después "0" y "1" otra vez pero con un "1" delante ("10" y "11"), después toma esos cuatro y pon "1"s delante ("100","101","110","111") ¡y así sigue!
Doblar cifras binarias Fíjate también en que cada vez que pones una cifra binaria más, se doblan las posibilidades. ¿Por qué el doble? Porque tienes que tomar todas las posiciones anteriores y hacerlas corresponder con un "0" y un "1" como hicimos antes. Así que si tienes 5 cosas el total sería 32, con 6 cosas sería 64, etc. Usando exponentes, esto lo podemos escribir así: Número de Fórmula Posiciones dígitos 1 21 2 2 2 2 4 3 3 2 8 4 4 2 16 5 5 2 32 6 6 2 64 etc... etc... etc...
Ejemplo: si tienes 50 dígitos binarios (o 50 cosas que pueden tener cada una dos posiciones), ¿de cuántas maneras diferentes puedes hacerlo? Respuesta: 250 = 2 × 2 × 2 × 2 ... (cincuenta factores) = 1,125,899,906,842,624 Así que un número binario con 50 dígitos puede tener 1,125,899,906,842,624 valores diferentes. O por decirlo de otra manera, podría indicar un número hasta 1,125,899,906,842,623 (fíjate en que es uno menos que el número total de valores, porque uno de los valores es 0).
Tablero de ajedrez Hay una antigua leyenda india sobre un rey al que un sabio que visitaba su reino retó a jugar al ajedrez. El rey preguntó: "¿cuál es el premio si ganas?". El sabio dijo que sólo quería un poco de arroz: 1 grano en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera y así sucesivamente, cada vez el doble. El rey se sorprendió por la humilde solicitud. Pues el sabio ganó, así que ¿cuántos granos de arroz debería recibir? En la primera casilla: 1 grano. En la segunda: 2 granos (3 en total) y así sucesivamente: Casilla Granos Total 1 1 1 2 2 3 3 4 7 4 8 15 10
512
1,023
20
524,288
1,048,575
30 64
53,6870,912 1,073,741,823 ???
???
¡Cuando andes por la casilla 30 ya habrás visto que es muchísimo arroz! Mil millones de granos pesarían unas 25 toneladas (1,000 granos pesan unos 25 gramos, los he pesado). Fíjate en que el Total por cada casilla es 1 menos que los Granos de la siguiente (ejemplo: en la casilla 3 el total acumulado es 7, y la casilla 4 tiene 8 granos). Así que el total en todas las casillas sigue la fórmula 2n-1, donde n es el número de la casilla. Por ejemplo, para la casilla 3, el total es 23-1 = 8-1 = 7 Así que para rellenar las 64 casillas del tablero de ajedrez necesitaríamos 264-1 = 18,446,744,073,709,551,615 granos (460 mil millones de toneladas de arroz), muchas veces más arroz del que hay en todo el reino. Así que el poder de doblar en binario no hay que tomarlo a la ligera (¡460 mil millones de toneladas no es nada ligero!)
(Por cierto, en la leyenda el sabio se descubre para mostrar que es Krishna y le dice al rey que no tiene que pagar inmediatamente: puede pagar la deuda poco a poco, dando arroz a los peregrinos hasta que esté pagada.)
Hexadecimal Para terminar, me gustaría hablarte de la relación especial entre binario y hexadecimal. Hay 16 dígitos hexadecimales, y ya sabemos que 4 cifras binarias dan 16 valores posibles. Bien, la relación exacta entre ellos es: Binario: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 Hexadecimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Así que cuando la gente usa ordenadores (que prefieren los números binarios), es mucho más fácil usar un solo dígito hexadecimal en lugar de 4 dígitos binarios. Por ejemplo, el número binario "100110110100" es "9B4" en hexadecimal. ¡Yo sé cuál prefiero escribir!
Sistema binario de números Un número binario sólo tiene ceros y unos.
Este número es 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1 + 1×(1/2) + 0×(1/4) + 1×(1/8) (=13.625 en decimal) De la misma manera que en el sistema decimal, se pueden poner números a la izquierda o a la derecha del punto decimal, para indicar valores mayores o menores que uno. En el sistema binario: El número justo a la izquierda del punto es un número entero, lo llamamos unidades. Cuando vamos a la izquierda, cada posición vale 2 veces más.
La primera cifra a la derecha del punto significa mitades (1/2). Cuando vamos a la derecha, cada posición vale 2 veces menos (la mitad de la anterior).
Dos valores diferentes Como sólo puedes tener ceros y unos, en binario se cuenta así: Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Binario: 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 "El binario es tan fácil como 1, 10, 11." Aquí tienes más equivalencias: Decimal: 20 25 30 40 50 100 200 500 Binario: 10100 11001 11110 101000 110010 1100100 11001000 111110100
Definición de binario La palabra binario viene de "bi-" que significa dos. Tenemos "bi-" en otras palabras como "bicicleta" (dos ruedas) o "binoculares" (dos ojos). Cuando leas un número binario, pronuncia cada dígito (por ejemplo, el número binario "101" se lee "uno cero uno"). De esta manera la gente no los confunde con números decimales.
Bits Un dígito binario por sí solo (como "0" o "1") se llama un "bit". Por ejemplo 11010 tiene cinco bits de longitud. La palabra bit viene de las palabras inglesas "binary digit"
Cómo indicar que un número está en binario Para mostrar que un número es binario, ponemos un pequeño 2 detrás: 1012 De esta manera nadie pensará que es el número decimal "101" (ciento uno).
Ejemplos Ejemplo 1: ¿Cuánto es 11112 en decimal? • • • • •
El "1" de la izquierda está en la posición "2×2×2", esto es 1×2×2×2 (=8) El siguiente "1" está en la posición "2×2", esto es 1×2×2 (=4) El siguiente "1" está en la posición "2", esto es 1×2 (=2) El último "1" son las unidades, es decir 1 Respuesta: 1111 = 8+4+2+1 = 15 en decimal
Ejemplo 2: ¿Cuánto es 10012 en decimal?
• • • • •
El "1" de la izquierda está en la posición "2×2×2", así que vale 1×2×2×2 (=8) El "0" siguiente está en la posición "2×2", así que vale 0×2×2 (=0) El "0" está en la posición "2", así que vale 0×2 (=0) El último "1" son las unidades, así que vale 1 Respuesta: 1001 = 8+0+0+1 = 9 en decimal
Ejemplo 3: ¿Cuánto es 1.12 en decimal? • • •
El "1" de la izquierda está en la posición de las unidades, así que vale 1. El "1" de la derecha está en la posición de las "mitades", así que vale 1×(1/2) Por tanto, 1.1 es igual a "1 y 1 medio" = 1.5 en decimal
Ejemplo 4: ¿Cuánto es 10.112 en decimal? • • • • •
El primer "1" está en la posición "2", así que vale 1×2 (=2) El "0" está en la posición de las unidades, vale 0 El "1" a la derecha del punto está en la posición de las "mitades", así que vale 1×(1/2) El último "1" está en la posición de los "cuartos", así que vale 1×(1/4) Entonces, 10.11 es 2+0+1/2+1/4 = 2.75 en decimal "Hay 10 tipos de personas en el mundo, los que saben binario y los que no."