Cronología de la Matemática por Gerardo Prado Bravo by Juan Carlos Prado

CRONOLOGÍA DE LA MATEMÁTICA (Registro Nacional de Derecho de Autor Libro 10, Tomo 106. Partida 085, Julio 2003)

Sinopsis de 80 siglos del desarrollo de las diversas áreas de las ciencias exactas

Ingeniero Gerardo Prado Bravo

Bogotá 2003

INDICE GENERAL

II.

MARCO DE REFERENCIA

Página 1

Cuadro Sinóptico

TABLA CRONOLÓGICA

1.0

PERIODO ANTIGUO

1.1

Época Primitiva

1.2

Época Helénica

1.3

Época Alejandrina

1.4

Época Romana

PERIODO MEDIEVAL

2.1

Época Chino-Hindú

2.2

Época Árabe

2.3

Época Europea

PERIODO MODERNO

3.1

Época Renacentista

3.2

Época Analítica

3.3

Época Geométrica

3.4

Época Reciente

2.0

3.0

CRONOLOGIA DE LA MATEMÁTICA Ing. Gerardo Prado Bravo

MARCO DE REFERENCIA “… Todos los que estudian esta ciencia caen en una especie de pasión. Lo que más placer proporciona no es el saber sino el estudiar. No la posesión como la conquista. No el estar aquí sino el llegar allá…”

Carlos Federico Gauss

Es evidente que los grandes progresos culturales y tecnológicos de la humanidad dependen en gran parte de los desarrollos sociológicos y científicos, pero es más cierto aún que todos ellos deben su constante crecimiento a la Matemática, que definida en términos sencillos es la ciencia de las cantidades, las formas y las magnitudes. Meditando un poco sobre esto no es difícil darnos cuenta de que la matemática tiene incidencia directa, con mayor o menor intensidad, en todas las actividades cotidianas ya sea que se trate de ciencias, artes o deportes, puesto que cualquier tarea -por simple y familiar que pueda parecernos- requiere de los principios elementales de la aritmética o de la geometría. Esta afirmación es más patente al tratarse de actividades complejas como la Sociología, la Medicina, el Derecho y la Economía –para nombrar solo algunas- y obviamente de las diversas ramas de la Física y de la Ingeniería, para las cuales la matemática es absolutamente indispensable. Preguntado un científico de la NASA, en 1970, sobre las razones de los éxitos de los viajes espaciales contestó textualmente: “La conquista del espacio está siendo posible gracias a un conjunto de ecuaciones diferenciales”, y sin duda puede afirmarse que todos los grandes adelantos científicos y tecnológicos que presenciamos a diario fueron ideados, calculados y diseñados muchos antes de hacerse realidad. Cuando en la segunda mitad del siglo XIX se desarrollaron las geometrías no euclídeas, posiblemente ni sus mismos gestores pensaron que podrían tener utilidad y sin embargo gracias a estos conceptos Einstein creo la teoría de la Relatividad años después, teoría cuya enorme cantidad de matices sólo se ha explorado parcialmente hasta la fecha, abriéndole nuevos senderos a la

humanidad al contribuir –entre otras cosas- al desarrollo de las eras atómica y espacial a mediados del siglo XX. Y este caso no es único ya que los desarrollos matemáticos llevan siempre ventaja de décadas a hechos como el mencionado antes, puesto que las ecuaciones y los cálculos preceden generalmente a las realizaciones. Muchos países ya han tomado conciencia de este proceso y desde hace años sus gobiernos tienen grupos de matemáticos dedicados a la investigación. Es posible que estén desarrollando teorías que aparentemente no tienen aplicación, pero es más posible que sin ellas no se cristalicen inventos o descubrimientos que seguramente serán relevantes dentro de algunos años. En consecuencia no es una casualidad que exista una estrecha correlación entre el desarrollo de la matemática y el progreso de la civilización, y de ahí la importancia y el interés de que esa ciencia sea debidamente divulgada a todos los niveles y muy especialmente a la población estudiantil, no solo como una disciplina que adiestre la mente para el auto aprendizaje, la investigación y el correcto razonamiento, sino también como un poderoso instrumento que pueda utilizarse constante y eficientemente en cualquier actividad. De la multitud de matices que ofrece la matemática, el aspecto histórico es quizá uno de los más apasionantes e instructivos ya que nos permite conocer no solo el proceso evolutivo de la capacidad de la mente humana para la abstracción y el razonamiento, sino también cómo la matemática ha contribuido en forma importante al progreso y bienestar de la humanidad, y este es el objetivo que pretendemos lograr, así sea parcialmente, con esta CRONOLOGÍA que mostrará en forma panorámica el desarrollo histórico de la ciencia de los números, las cantidades y las formas. El marco de referencia que hemos trazado consta de tres grandes períodos que, de acuerdo con la correlación ya mencionada, guarda un marcado paralelismo con los acontecimientos que han definido las corrientes históricas de la humanidad. A su vez cada PERIODO esta dividido en Épocas, definidas por hechos que por su importancia dieron al progreso de la matemática especial significación e influyeron notablemente en su desarrollo. Las fechas escogidas como divisorias son en su mayoría aproximadas y deben tomarse como ayudas nemotécnicas a fin de tener presente nuestro marco de referencia, sobre el cual está basada esta CRONOLOGÍA, y cuya sinopsis es la siguiente:

1.0 PERIODO ANTIGUO (Desde los orígenes hasta 500 DC) Comprende desde los remotos orígenes de la humanidad –hace unos 4 millones de años- con los conceptos incipientes de número y forma, hasta la decadencia de la matemática griega bajo el Imperio Romano, y se divide así: 1.1 Epoca Primitiva (Desde los orígenes hasta 600 AC) Desde las rudimentarias ideas de cantidades y formas del hombre primitivo, hasta los conocimientos logrados por las antiguas civilizaciones: numeración cuneiforme en base 60 en Mesopotamía, origen de la geometría en Egipto, aportaciones de China y la India. 1.2 Epoca Helénica (Desde 600 AC hasta 300 AC) Primeras demostraciones geométricas de Tales. Escuela pitagórica y descubrimiento del número irracional. Relación entre música y matemáticas. El teorema de Pitágoras. Paradojas de Zenón. Los tres problemas de la antigua Grecia. Platón y el método deductivo. Los poliedros regulares. Eudoxio y la teoría del continuo. Lógica bivalente de Aristóteles. 1.3 Epoca Alejandrina (Desde 300 AC hasta 30 AC) Es la época de oro de la matemática Griega. Alejandría, centro cultural del mundo antiguo. “Elementos” de Euclides: primer texto universal de matemáticas y primer sistema axiomático de la historia. Aristarco y el origen de la Trigonometría. Eratóstenes calcula la circunferencia terrestre. Arquímedes y sus célebres contribuciones a las matemáticas y a la física. Apolonio, precursor remoto de la Geometría Analítica con sus trabajos sobre las secciones cónicas. Egipto bajo el Imperio Romano. 1.4 Epoca Romana ( Desde 30 AC hasta 500 DC) Nuevos desarrollos y progresos trigonométricos; astronomía y matemáticas. Menelao y los triángulos esféricos: primeros conceptos de una geometría no euclidiana. Herón deduce el área de un triángulo en función de sus lados. Pappo y los volúmenes de los sólidos de revolución. Tablas de cuerdas de Tolomeo. Origen del Álgebra: Diofanto despoja al número de su vestidura geométrica. Diofanto y su solución de ecuaciones indeterminadas. Muerte de Hipatia, primera mujer matemática de la historia. Proclo de Alejandría. Muerte de Boecio.

2.0 PERIODO MEDIEVAL (Desde 500 hasta 1500) Cubre desde las contribuciones chinas e hindúes a principios de la Edad Media, pasando luego por las contribuciones árabes al desarrollo del álgebra y a la divulgación de otras ramas matemáticas, hasta el inicio del resurgir de la ciencia en la Europa pre-renacentista. 2.1 Epoca Chino-Hindú (Desde 500 hasta 700) Solución de ecuaciones simultáneas. Cálculos sobre polígonos regulares. Utilización del ábaco y del “triángulo de Pascal”. Numeración hindú decimalposicional. Números negativos. Los cuadrados “mágicos. Progresiones aritméticas y geométricas. Tablas trigonométricas de senos. 2.2 Epoca Arabe (desde 700 hasta 1200) Al Joarismi, el padre del álgebra. Análisis de las ecuaciones cuadráticas. Trigonometría algebraica. Los árabes y el quinto postulado de Euclides. Desarrollos algebraicos. Difusión de la numeración decimal-posicional hindú. Báskara y la solución de la ecuación de 2° grado. Los “números amigos”. 2.3 Epoca Europea (Desde 1200 hasta 1500) Matemáticas bizantinas. La numeración decimal-posicional entra a Europa. La serie de Fibonacci, precursora de las series infinitas. Solución de una ecuación cúbica. Teoría de números y geometría. Nicolás de Oresme, precursor cercano de la geometría analítica. Avances en trigonometría. Suma de series infinitas. Fracciones decimales. Exponentes fraccionarios. 3.0 PERIODO MODERNO (Desde 1500) Comprende desde la solución general de las ecuaciones de 3° y 4° grados hasta la actual estructura unificada de la Ciencia Matemática, pasando por el desarrollo de la geometría analítica, del cálculo infinitesimal, de las geometrías no euclídeas y de los muchos e importantes avances logrados a partir del siglo XVII. 3.1 Epoca Renacentista (Desde 1500 hasta 1637) Solución de las ecuaciones de 3° y 4° grados. Descubrimiento de los números complejos. Álgebra de Bombelli. Teoría de la perspectiva. Álgebra sincopada de Viéte. Relaciones entre coeficientes y raíces de una ecuación. Solución trigonométrica de ecuaciones algebraicas. Invención de los logaritmos y de la regla de cálculo. Ecuaciones trigonométricas y 4

logarítmicas. Fracciones decimales. Kepler: análisis infinitesimal y leyes del movimiento planetario. Galileo aplica las matemáticas a la física. Nacimiento de la astronomía y de la física modernas. 3.2 Epoca Analítica (Desde 1637 hasta 1800) Desarrollo de la geometría analítica por Descartes y Fermat. Clasificación y rectificación de curvas. Derivaciones e integraciones de Fermat. Teoría de Números. Pascal y el cálculo de probabilidades. Involutas y evolutas. Método de tangentes de Barrow. El teorema del Binomio. Las fluxiones de Newton. Desarrollo del cálculo infinitesimal por Newton y Leibnitz. Cálculo de determinantes. Coordenadas polares y paramétricas. Los matemáticos Bernoulli. Desarrollo de los números complejos, Teorema de De Moivre. Series de Taylor y Maclaurin. Series divergentes. Identidades de Euler. Logaritmos de números negativos y complejos. Funciones hiperbólicas. D´Alembert y el concepto de límite. Desarrollo de las ecuaciones diferenciales. Monge y la geometría diferencial. Geometría analítica tridimensional. Coordenadas tridimensionales rectangulares, cilíndricas y esféricas. Mecánica Analítica de Lagrange. Cálculo de variaciones. Lambert y el quinto postulado de Euclides. Integrales elípticas. Renace la geometría con Gaspar Monge y su “Geometría Descriptiva”. Mecánica Celeste de Laplace. El teorema fundamental del álgebra. 3.3 Epoca Geométrica (Desde 1800 hasta 1874) Geometría de Posición de Carnot. Teoría de probabilidades de Laplace. Gauss y la representación gráfica de los números complejos. Series de Fourier. Álgebra de congruencias. Teoría de los mínimos cuadrados. Conceptos de límite y continuidad de Cauchy. Funciones de variable compleja. Cuaterniones de Hamilton. Los “cortes” de Dedekind. Peacock, el “Euclides del álgebra”. Productos no conmutativos. Criterios de convergencia para series infinitas. Geometría inversiva. Poncelet y la geometría proyectiva. Notación de Plucker. Coordenadas homogéneas. Concepto de dualidad. Geometría analítica proyectiva. Geometría multidimensional de Cayley. Lógica simbólica de Boole. Algebra Booleana. Geometrías No-Euclídeas: hiperbólica, parabólica y elíptica. Desarrollo de la Topología. Klein, con base en la Teoría de grupos de Galois, sistematiza todos los conceptos geométricos en tres grandes grupos: Métrico, Proyectivo y Topológico. 3.4 Epoca Reciente (Desde 1874) Teoría de conjuntos de Cantor. Propiedades de los conjuntos infinitos. Paradojas en conjuntos infinitos. Lógicas polivalentes. Definición de número real. La “potencia” de un conjunto. Teoría de vectores. Teoría de matrices. 5

Algebra lineal. Álgebras no conmutativas. Invariantes de formas cuadráticas. Desarrollo de álgebras abstractas. Estructuras algebraicas con base en teoría de conjuntos. Espacios vectoriales y tensoriales. Peano y la axiomatización de la aritmética. Teoría de funciones de Poincaré. Relaciones entre funciones y cálculo funcional. Transformadas de Laplace y de Fourier. Poincaré: problema de los 3 cuerpos y origen de la teoría del caos. Topología y matemáticas aplicadas. Espacios abstractos. Russell-Whitehead: lógica y matemática. Hilbert y la nueva axiomatización de la geometría euclidiana. Teorema de Gödel: no es posible que un sistema axiomático sea completo y compatible. Intuicionismo, formalismo y logicismo como fundamentos de la matemática. Estadística y probabilidad. Econometría. Análisis numérico y computadores. Desarrollo de la teoría del caos. Geometría fractal. Demostración del último teorema de Fermat. Desarrollos recientes.

CUADRO SINÓPTICO DE LA HISTORIA DE LA MATEMÁTICA 1.0 PERÍODO ANTIGUO

1.1 Época Primitiva

(origen – 600 AJ)

(Orig. – 500 DJ)

1.2 Época Helénica

(600 AJ – 300 AJ)

1.3 Época Alejandrina

(300 AJ – 30 AJ)

1.4 Época Romana

(30 AJ – 500 DJ)

2.1 Época Chino – Hindú

(500 – 700)

2.2 Época Árabe

(700 – 1200)

2.3 Época Europea

(1200 – 1500)

3.1 Época Renacentista

(1500 – 1637)

3.2 Época Analítica

(1637 – 1800)

3.3 Época Geométrica

(1800 – 1874)

3.4 Época Reciente

(1874 – Act.)

2.0 PERÍODO MEDIEVAL (500 – 1500)

3.0 PERÍODO MODERNO (1500 – Act.)

II. TABLA CRONOLÓGICA (El * significa fecha aproximada) 1.0

PERIODO ANTIGUO (Desde los orígenes de la matemática hasta 500 DC).

1.1

Época Primitiva (Orígenes hasta 600 AC).

* 40000 AC Origen del hombre. 00 * 10000 AC Desarrollo del “Homo Erectus”. 00 * 40000 AC Los conceptos incipientes de número natural, magnitud y forma 0 existieron desde entonces en la mente del hombre primitivo, y posiblemente desde antes, ya que hay evidencias de que algunos animales distinguen ciertas cantidades y formas. * 10000 AC Desarrollo del hombre de Neanderthal. Sus herramientas de piedra 0 eran prácticamente iguales a las del Australopitecus que existió unos 2 millones de años antes. * 35000 AC Aparece el “Homo sapiens”, conocido también como Cro-Magnon, físicamente semejante al hombre actual. Origen del lenguaje. * 30000 AC Evidencia de conteo en un hueso hallado en Checoslovaquia. Es un hueso de cachorro de lobo con 55 incisiones profundas distribuidas en dos series, la primera de 25 y la segunda de 30, y en cada serie las incisiones están distribuidas en grupos de 5. * 25000 AC Conceptos geométricos del hombre paleolítico, en los dibujos de varias clases de animales descubiertos en las cuevas de Altamira, España, en 1868. Las pinturas son de color ocre, rojo y negro. * 20000 AC Indicios de que los signos numéricos precedieron al lenguaje numérico. * 18000 AC Origen de los sistemas de numeración en base 10 o 20 al utilizarse los dedos de las manos y los pies para el conteo. * 15000 AC Indicios de que el concepto de número ordinal precedió posiblemente al de número cardinal, supuestamente por motivos rituales y religiosos. * 10000 AC Según Herodoto, historiador griego del siglo V AC, las inundaciones del río Nilo dieron origen a la geometría en Egipto.

* 5000 AC Evidencias sobre los conceptos de congruencia y simetría del hombre Neolítico, hallados en sus dibujos en alfarería, cestería y tejidos. * 4700 AC Probable origen del calendario mesopotámico. * 4241 AC Origen hipotético del calendario egipcio. * 4000 AC En Mesopotamia se inventa la escritura cuneiforme, el sistema no alfabético más antiguo conocido hasta la fecha. Los signos, en forma de cuña, se inscribían sobre arcilla blanda que luego se endurecía con calor. * 3500 AC En Egipto se inventa la escritura jeroglífica, el segundo sistema más antiguo de representación gráfica de ideas. Para escribir se utilizaba generalmente al papiro, planta de hojas largas y estrechas. * 3000 AC Probable invención de ábaco, -primer dispositivo digital de cálculopor los chinos, japoneses e hindúes. En Mesopotamia y Egipto se inicia la utilización de la rueda. * 2800 AC Conceptos de los que hoy llamamos cotangente circular, y de triángulos rectángulos semejantes, en la construcción de la pirámide de Keops, en Egipto. * 2770 AC Probable introducción del calendario egipcio de 12 meses de 30 días cada uno, complementado con 5 días adicionales de fiestas. El calendario se basó en que las inundaciones periódicas del valle del Nilo tenían lugar poco después de que la estrella Sirio salía por el Este justo antes que el Sol, hecho que ocurría cada 365 días. * 2700 AC Origen de la notación sexagesimal (base 60) en Mesopotamia que sentó la base de la numeración posicional. El 60 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, lo que facilita mucho las operaciones con fracciones. En este sistema no había un signo específico para el cero sino que se utilizaba un espacio vacío lo que originaba ambigüedades en la numeración. El símbolo mesopotámico para el cero se inventó en el siglo IV AC pero solo para posiciones intermedias no terminales.

Origen de la numeración jeroglífica en Egipto en base 10 no posicional utilizando un esquema iterativo y con símbolos distintos para cada una de las primeras seis potencias de 10. * 2600 AC En Mesopotamia se introduce la división del circulo en 360 partes para la medición de los ángulos. Probablemente este número se adopto por ser múltiplo de la base 60 y/o por correlacionarlo con los días del año. El arquitecto y matemático Imhotep construye la primera pirámide escalonada de Sakkara para el faraón Zoser. A Imhotep se le atribuye la autoría de algunos de los problemas que aparecen en el papiro de Ahmes escrito 1500 años después. * 2500 AC Cálculo egipcio del valor de Pi como 3,1605, deducido de que el área de un círculo de 9 unidades de diámetro es igual al área de un cuadrado de 8 unidades de lado. En Egipto se conocía que el área de un círculo es a la longitud de su circunferencia como el área del respectivo cuadrado circunscrito es a su perímetro. * 2200 AC Operaciones con números fraccionaros en Egipto utilizando fracciones con numerador 1, o sea expresando el inverso de los números naturales. Por razones no conocidas las fracciones no unitarias (numerador mayor que 1) las expresaban como la suma de fracciones unitarias utilizando muchas veces complicados procedimientos. Probable conocimiento entre los egipcios e hindúes de algunos triángulos rectángulos y del hoy llamado teorema de Pitágoras, matemático griego que vivió 16 siglos después. * 2100 AC Operaciones con progresiones aritméticas tanto en Egipto como en Mesopotamia. En Egipto se resuelven problemas que involucran ecuaciones de segundo grado y se calculan las áreas del triangulo y del trapecio isósceles utilizando los conceptos de traslación y congruencia. * 2000 AC En Mesopotamia se desarrolló el cálculo con números fraccionarios utilizando la numeración posicional en base 60. Hasta la época del Renacimiento ésta ha sido una de las más grandes contribuciones de la antigüedad al cálculo numérico.

Los mesopotamios elaboran tablas de números naturales y sus inversos utilizadas para multiplicar y dividir respectivamente. Así mismo elaboraron tablas de cuadrados, raíces cuadradas, cubos y raíces cúbicas, para efectuar estas cuatro operaciones interpolando linealmente para valores intermedios. Los egipcios introducen la ciferización (símbolos para números) en su escritura hierática utilizando un signo especial para 2/3, única fracción no unitaria usada con sus cómputos. * 1890 AC Origen del documento egipcio llamado papiro de Moscú o Golenischev, cuyas dimensiones aproximadas son 6 metros por 7 centímetros. Está escrito en notación hierática y contiene varios problemas matemáticos. Entre los varios problemas resueltos en este papiro se encuentran el cálculo del volumen de un tronco de pirámide de bases cuadradas y el cálculo del área de una semiesfera. Esto último es quizá el más significativo aporte de la matemática del antiguo Egipto. En Mesopotamia, concepto incipiente de logaritmo en base 9, 16, 100 y 125 al utilizar la interpolación lineal para resolver problemas de interés compuesto. Los mesopotamios utilizan procedimientos algorítmicos con aproximaciones sucesivas para el cálculo de raíces cuadradas usando el concepto de lo que hoy llamamos Binomio de Newton con exponente fraccionario. Con este sistema calcularon la raíz cuadrada de 2 con bastante exactitud. Desarrollo en Mesopotamia de importantes tópicos matemáticos en aritmética, álgebra y geometría. En álgebra fueron muy superiores a los egipcios. Como aún no existía el alfabeto para generalizar conceptos utilizaban palabras como “longitud”, “anchura”, “área”, “volumen”. Los mesopotamios solucionaban ecuaciones lineales simultáneas y ecuaciones completas de 2° grado de raíces positivas (los números negativos no se conocían aún). Para ello utilizaban el concepto de la fórmula general moderna y los principios de transformación de ecuaciones y factorización.

Solucionaban ecuaciones cúbicas interpolando linealmente en tablas previamente calculadas. Conocían bien el hoy llamado Teorema de Pitágoras y lo aplicaban en la solución de numerosos problemas y en la elaboración de triadas pitagóricas irreductibles. Estas triadas son números enteros, primos relativos entre sí, que cumplen con el mencionado teorema. En las tablas donde enumeran las triadas, aparece el concepto de lo que hoy llamamos secante circular, hecho que puede considerarse como un incipiente origen de la trigonometría, que también se insinuó un milenio antes en la construcción de la pirámide de Keops en Egipto. Conocían el concepto de semejanza y lo aplicaron a la solución de problemas en triángulos rectángulos semejantes, y calculaban correctamente el área del trapecio isósceles. Para los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, y 7 lados, calcularon la relación entre las áreas y los cuadrados de los respectivos lados. Determinaban la diagonal de un cuadrado multiplicando el lado de éste por la raíz cuadrada de 2, y calculaban el volumen del tronco de pirámide. Posiblemente conocían que la suma de los cubos de los primeros N números naturales es igual al cuadrado de la suma de dichos números. Calcularon el valor de Pi como 3,125, y multiplicaban dos números aplicando el principio de que su producto es igual al cuadrado de su semisuma menos el cuadrado de su semidiferencia. * 1650 AC Egipto. Origen del papiro de Rhind o de Ahmes, que tiene varios problemas sobre aritmética, álgebra y geometría, y tablas de fracciones no unitarias descompuestas en fracciones unitarias. El papiro mide unos 6 metros por 30 centímetros y actualmente se encuentra en el Museo Británico.

En este papiro se solucionan algunas ecuaciones de tipo algebraico ya que se calculan cantidades desconocidas (incógnitas), utilizando lo que hoy llamamos “método de la falsa posición”. Algunos de los problemas del papiro datan de siglos anteriores y en todos los casos cada problema se trata individualmente y en ninguno se observa una generalización de los métodos utilizados, característica que es también común en la antigua Mesopotamia. * 1350 AC Invención del alfabeto fenicio del cual se supone que se desarrollaron todos los alfabetos conocidos. * 1100 AC Posible origen del CHOU PEI, el más antiguo documento chino sobre temas matemáticos. En él se revela que en China la geometría surgió de la agrimensura, y que el teorema pitagórico era tratado algebraicamente por los chinos. Algunos autores sitúan el origen de este documento mil años después. 1.2

Época Helénica (600 AC hasta 300 AC)

* 600 AC Tales de Mileto, uno de los 7 sabios de la Grecia antigua; fundó en Mileto la Escuela Jónica de matemáticas y filosofía. Aplicó las propiedades de los triángulos semejantes para calcular las alturas de las pirámides egipcias. Se le considera el precursor de la deducción en geometría y se le atribuye la demostración de las siguientes proposiciones:  El ángulo inscrito es un semicírculo es recto.  El círculo es bisectado por cualquiera de sus diámetros.  Los dos ángulos adyacentes a la base de un triángulo isósceles son iguales.  Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado del uno son respectivamente iguales a dos ángulos y un lado del otro, entonces los triángulos son iguales. * 585 AC Eclipse de Sol que según la tradición fue predicho por Tales, utilizando tablas e instrumentos mesopotámicos. * 540 AC Pitágoras de Samos. Fue discípulo de Tales y luego viajó por Egipto, Mesopotamia y posiblemente la India recopilando mucha información sobre astronomía y matemática. A su regreso se estableció en Crotona (sur de Italia) fundando una secta comunitaria, la escuela pitagórica considerada la primera organización que fomentó el estudio de las matemáticas por amor al conocimiento y no sólo por necesidades prácticas.

A Pitágoras se le atribuye la demostración del teorema que lleva su nombre: En todo triangulo rectángulo el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. Se desconoce el procedimiento que utilizó para demostrarlo. A la Escuela Pitagórica se le atribuye la invención de las palabras FILOSOFIA (amor al conocimiento) y MATEMÁTICA (aquello que se aprende). El lema de la escuela era “Todo es número” significando con ello que todas las magnitudes podían expresarse cuantitativamente con los números naturales o por relaciones entre estos (fracciones), produciéndose un escándalo en la organización cuando un siglo después se percataron de que la hipotenusa de un triangulo rectángulo isósceles de catetos iguales a uno no podía expresarse con números naturales ni con fracciones descubriendo así y guardando en secreto los números llamados después irracionales. El emblema de los pitagóricos era el pentágono regular estrellado que seguramente sabían dibujar con regla y compás debiendo conocer para ello la división de una recta en media y extrema (la relación dorada o “sección”) utilizando posiblemente métodos similares a los usados por Euclides dos siglos y medio después. Conocían los poliedros regulares de 4, 6 y 12 caras: tetraedro, hexaedro, y dodecaedro, y algunos autores creen que también conocían el octaedro y el icosaedro, de 8 y 20 caras respectivamente. A Pitágoras se atribuye la invención de las palabras Parábola, Elipse, e Hipérbola para designar que una magnitud era igual, menor o mayor que otra, y aprendió en Mesopotamia que entre dos números A y B hay Media Aritmética, Media Geométrica, Media Armónica y Proporción Dorada. * 540 AC Los pitagóricos fueron los primeros en comprender que los fenómenos de la naturaleza podían estudiarse y entenderse por medio de las matemáticas, y a ellos se debe el descubrimiento de las primeras leyes de la acústica aplicadas a la música. Pitágoras investigó sobre la teoría de las proporciones y estableció que dados dos números A y C (siendo A menor que C) hay entre ellos 10 medias, llamémoslas B, y entre estos tres números definió 10 proporciones distintas para calcular dichas medias.

La Escuela pitagórica es la fundadora de la teoría de números y a ella se debe la clasificación de los números: primos, compuestos, pares, impares, perfectos, abundantes, deficientes y amigos. También lograron procedimientos para determinar la suma de varias series. Consideraban además que el espacio y el tiempo estaban formados por puntos e instantes, respectivamente, estableciendo así conceptos “discretos” para el mundo físico y no admitiendo para éste el aspecto “continuo”, hecho que dio lugar a muchas discrepancias con sus contradictores. * 500 AC En China se inicia la utilización de la numeración con barras. Origen de un dodecaedro de piedra etrusco, descubierto cerca de Padua (Italia). El hindú Apastamba escribe el Sulvasutra, que trata de mediciones y de construcción de figuras geométricas. * 480 AC Filolao de Tarento. Después de Pitágoras fue el más eminente miembro de la secta. Postuló la primera teoría no geocéntrica del Universo afirmando que el centro de éste era un fuego central alrededor del cual giraban Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno, el Sol, la Luna y la Tierra. Como el total de cuerpos celestes era 9 -excluyendo la esfera de las estrellas fijas- Filolao supuso que existía una contra-tierra colineal con la Tierra y el fuego central para completar los 10 cuerpos, ya que este número se consideraba con propiedades místicas pues era igual a la suma de los puntos que generan las tres dimensiones geométricas: 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Filolao también estudió las proporciones y lo relativo a las medias aritmética, geométrica y armónica y llamó al hexaedro o cubo el armónico geométrico porque su número de vértices (8) es media armónica entre el número de caras (6) y el de aristas (12). Los primeros escritos sobre el pitagorismo se deben a Filolao y por ellos se enteró Platón de la Escuela Pitagórica, varias décadas después. * 460 AC Anaxágoras de Clazomene, filósofo, astrónomo y matemático jónico. Fue profesor de Pericles, el famoso estadista ateniense que gobernó durante 40 años. Por afirmar que el Sol no era una deidad sino una gigantesca piedra caliente tan grande como la península del 14

Peloponeso, estuvo prisionero en Atenas. Se considera que Anaxágoras fue el primero que estudió el problema de la cuadratura del círculo y en su época se inició la investigación de los otros 2 famosos problemas de la antigüedad: la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. * 450 AC Parménides de Elea. Fue el fundador de la escuela Eleática cuyo principio fundamental era el de la unidad y permanencia del ser, punto de vista que contrastaba profundamente con las ideas pitagóricas de multiplicidad y cambio. Parménides fue quizá el primero en considerar que la Tierra era esférica. Zenón de Elea – discípulo de Parménides – fue de los primeros en utilizar para las demostraciones el denominado método dialéctico o de reducción al absurdo basado en que si una proposición es falsa entonces conduce a contracciones. Fue adversario de la escuela pitagórica. Zenón se hizo célebre con sus dos conocidas paradojas, la de Aquiles y de la dicotomía, que pusieron en duda las teorías pitagóricas de que el espacio y el tiempo estaban constituidos por puntos e instantes “discretos”. Estas paradojas sentaron las bases de la teoría del continuo, establecida por Eudoxio un siglo después. Por estos años se intensificó la utilización del sistema deductivo de razonamiento: Plantear una serie de premisas y con base en ellas llegar a una conclusión. Hipasos de Metaponto. Fue miembro de la Escuela Pitagórica y quien posiblemente descubrió los números irracionales al tratar de hallar la diagonal de un cuadrado con el teorema de Pitágoras y/o al dividir una recta en media y extrema –relación dorada o “sección”– para construir el pentágono regular. * 440 AC Hipias de Elida. Diseñó la curva llamada Trisectriz -y posteriormente también Cuadratriz- con la cual se puede dividir un ángulo en cualquier número de partes. Después de la circunferencia, esta fue la segunda línea curva conocida en el mundo antiguo. Hipias trabajó bastante tratando de solucionar solamente con regla y compás los tres problemas clásicos del mundo antiguo: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Hoy en día está suficientemente demostrado que esto es imposible.

* 430 AC Hipócrates de Quio: matemático de influencia pitagórica y contemporáneo de Hipócrates de Cos, padre de la medicina. Escribió unos “Elementos de Geometría” siglo y medio antes de la obra de Euclides. Algunos autores atribuyen a Hipócrates el teorema de que la relación de las áreas de dos segmentos circulares semejantes es igual a la relación de los cuadrados de sus bases, y parece que fue el primero en demostrar que las áreas de dos círculos son entre sí como los cuadrados sus diámetros. Estas proporciones involucran las primeras mediciones precisas de figuras curvilíneas en el mundo antiguo. Hipócrates también demostró que las áreas de dos círculos son proporcionales a las áreas de sus cuadrados circunscritos, e hizo también investigaciones sobre la duplicación del cubo utilizando elementos distintos a la regla y al compás. * 430 AC En sus investigaciones sobre la cuadratura del círculo Hipócrates estudio la cuadratura de la lúnula, figura plana limitada por arcos circulares de distinto radio, y con los teoremas de Pitágoras y de los segmentos halló la cuadratura de algunas lúnulas, o sea cuadrados de áreas iguales a las de esas figuras. * 420 AC Demócrito de Abdera. Se considera el fundador de la teoría atómica de la materia, idea posiblemente inspirada en el atomismo pitagórico del espacio y del tiempo. Fue el precursor de las teorías infinitesimales que son la base del análisis matemático desarrollado plenamente en el siglo XVII. Demócrito demostró -aunque no rigurosamente- que el volumen de la pirámide es un tercio de la base por la altura, y se cree que supo descomponer un prisma recto de base triangular en tres pirámides de volumen equivalente. Según afirma Arquímedes –que vivió dos siglos mas tarde- Demócrito demostró que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro circunscrito. Demócrito solucionó algunas ecuaciones de 1° y 2° grado por métodos geométricos y utilizando sólo regla y compás. * 400 AC Arquitas de Tarento. De influencia pitagórica, profundizó en el estudio de las relaciones entre música y matemáticas iniciada por Pitágoras, Consideró que la matemática estaba formada de cuatro partes: aritmética (números en reposo), geometría (magnitudes en reposo), 16

música (números en movimiento) y astronomía (magnitudes en movimiento. Arquitas consideró que sólo la aritmética –no la geometría- daba demostraciones satisfactorias. Logró una solución tridimensional de la duplicación del cubo intersectando un cilindro recto, un cono y un toro, para insertar dos medias en proporción continua. En la época de Arquitas se definieron las siete artes liberales de la antigüedad: aritmética, geometría, música, astronomía, gramática, retórica y dialéctica. Durante esta Época Helénica se utilizó el llamado sistema de numeración Ática o Herodiana, basado en una escala iterativa de base 10, usando las letras mayúsculas del alfabeto griego. Las letras minúsculas se inventaron mucho después. * 380 AC Platón de Atenas. Fue uno de los más grandes filósofos del mundo antiguo. Visitó a Arquitas cuando éste vivía en Sicilia y allí tuvo noticias de los poliedros regulares, creyéndose que desde entonces se interesó por la matemática. Los descubrimientos de Zenón sobre los números irracionales, su amistad con Arquitas y lo que aprendió además con Teodoro y Teeteto, hicieron meditar a Platón sobre los resultados de la victoria de la razón sobre los resultados de la experiencia. Todo esto le produjo tanto entusiasmo que creyó firmemente que la matemática podía desarrollarse sólo con base en el pensamiento puro, llegando a afirmar que los juicios geométricos son eternos. Platón consideró que las actividades manuales y los estudios que exigían experimentación eran indignos del hombre de bien. Como su posición social se lo permitía, vivió aislado del mundo en sus jardines de Akademo a donde prohibió la entrada a todo aquel que no supiera geometría. * 380 AC La academia de Platón se convirtió en el centro matemático del mundo Helénico y aunque aquel no fue estrictamente matemático, si fue un inspirador y promotor de varios y muy notables matemáticos de entonces. Teodoro de Cirene (nor-africano) demostró la irracionalidad de las raíces cuadradas de varios números tales como: 3, 5, 7, 8, etc. La Escuela Platónica profundizó en el estudio de los 5 poliedros regulares y Empédocles asoció los 4 elementos conocidos con 4 de 17

ellos: el fuego con el tetraedro, la tierra con el exaedro, el aire con el octaedro y el agua con el icosaedro. Platón consideró el dodecaedro como el símbolo del Universo y afirmó que “Dios lo uso para todo”. Platón estableció la diferencia entre aritmética como teoría de números y logística como técnica de cálculo, e insistió mucho en que el conocimiento de la matemática era parte esencial del currículo necesario para la educación del hombre de estado. Platón añadió a las 7 artes liberales definidas en la época de Arquitas, la estereometría o geometría de los sólidos. Hizo énfasis en que los razonamientos que hacemos en geometría no se refieren a las figuras visibles que dibujamos sino a las ideas absolutas que ellas representan. Con la Escuela Platónica se inicia el concepto de “continuidad” ya que para ella el punto al desplazarse forma una línea, mientras que para la escuela pitagórica el punto era una unidad aislada dotada de posición. Platón formalizó el método analítico de demostración: Si se quiere demostrar un teorema, a veces conviene deducir primero una conclusión de aquel, que sabemos se verifica, y luego se invierte el proceso. En esta forma la secuencia de la demostración se orienta mejor y se hace mas corta. * 350 AC Teeteto -amigo de Platón y discípulo de Teodoro- profundizó en el estudio de los poliedros regulares y a él se debe la demostración de que solo hay 5. Calculó para cada poliedro la relación entre la arista y el radio de la esfera circunscrita. Aristóteles de Estagira. Discípulo de Platón y quizá el más grande filósofo del mundo antiguo. Aunque tenía conocimientos matemáticos se dedico principalmente a la biología. Fue tutor de Alejandro Magno varios años. Aristóteles desarrolló la conocida como Lógica Aristotélica, basada en los tres principios siguientes: a) Toda proposición es equivalente a sí misma. b) Cualquier proposición no puede ser verdadera y falsa. c) Toda proposición es o verdadera o falsa (Ley del medio excluido). Además de ser el fundamento de las modernas técnicas digitales, esta lógica bivalente se utiliza extensamente en matemáticas, no 18

siendo aplicable cuando las alternativas son más de dos, en cuyo caso hay que usar las lógicas polivalentes desarrolladas a principios del siglo XX. Menecmo de Misia –profesor de Alejandro Magno- tratando de resolver el problema de la duplicación del cubo cortando en varias formas un cono circular recto, descubrió las curvas elipse, parábola e hipérbola y estudio algunas de sus propiedades. * 350 AC Dinostrato de Misia, hermano de Menecmo, utilizó algunas propiedades de la trisectriz de Hipias –para trisectar un ángulo- para lograr la cuadratura del círculo. Desde entonces dicha curva se llama también cuadratriz. Eudemo escribe una historia de la geometría y Aristóteles una biografía de Pitágoras –según la tradición-, pero ambas obras se perdieron. * 340 AC Eudoxio de Cnido. Miembro de la Escuela Platónica y considerado el más grande matemático y astrónomo pre-Alejandrino. Inició formalmente la teoría de las proporciones y de los números irracionales, adelantándose en este último campo en 23 siglos. A Eudoxio se le puede considerar como el padre del cálculo integral ya que para demostrar teoremas sobre áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, utilizó con éxito el método que hoy llamamos “exhausción”. Eudoxio demostró rigurosamente que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro que tenga la misma base y la misma altura. Algunos autores creen que fue Eudoxio y no Hipócrates el que demostró -utilizando la teoría de proporciones y el método de la exhausción- que las áreas de dos círculos son entre sí como los cuadrados de sus diámetros. A Eudoxio se le considera el creador de la astronomía científica y fue el primero que midió la circunferencia terrestre. Determinó, posiblemente con base en informes egipcios, que el año tiene 365 días y 6 horas. El valor calculado en nuestros días es 365 días, 5 horas, 48 minutos y 47 segundos. * 335 AC Autólico de Pitania escribió la obra “Sobre la Esfera en movimiento” que es el tratado matemático más antiguo que ha sobrevivido. Este 19

libro contiene algunos teoremas sobre geometría esférica o sea que es el primero en mencionar conceptos sobre una geometría noeuclidea, desarrollada formalmente 22 siglos después. Su obra se aplicó mucho en astronomía. * 332 AC Alejandro Magno, de Macedonia, funda la ciudad de Alejandría en el norte de Egipto, que en pocos años se convertiría en el más importante centro científico del mundo antiguo. 1.3 Época Alejandrina (300 AC hasta 30 AC) * 300 AC Tolomeo I, sucesor de Alejandro Magno en el nororiente de Africa, decide establecer en Alejandría una escuela o instituto conocido como el Museo, que pronto se convirtió en el centro cultural y científico más importante de mundo antiguo. * 300 AC Aristeo escribe un tratado sobre “lugares sólidos”, nombre griego para las secciones cónicas, derivado probablemente de la definición estereométrica dado por Menecmo a dichas curvas. Euclides de Alejandría y Arísteo, según algunos indicios, escriben un tratado sobre cónicas, obras que se consideran infortunadamente perdidas. Entre otras obras perdidas de Euclides están las relacionadas con algunos sólidos de revolución, y se cree que el enfoque utilizado en dichas obras constituye el más antiguo concepto de función. Euclides escribe unas obras sobre “División de figuras y datos” que incluye un conjunto de 36 proposiciones relativas a la división de figuras planas. Algunas de estas proposiciones dan el equivalente geométrico de la solución de ecuaciones cuadráticas. Euclides escribe sus “Elementos“, el texto de matemáticas básicas más completo del mundo antiguo, donde recopila todos los conocimientos del tema hasta ese entonces. La obra está dividida en 13 libros o capítulos y en ella se estudia lo relacionado con geometría plana y del espacio, álgebra geométrica, teoría de las proporciones y teoría de números, entre otros temas. Las definiciones, postulados y teoremas expuestos en los “Elementos” constituyen el primer sistema axiomático de la historia.

Euclides también escribió otros tratados sobre geometría esférica para aplicaciones astronómicas y sobre óptica. * 260 AC Aristarco de Samos desarrolla su modelo heliocéntrico del universo, que pronto cayó en el olvido, siendo revivido por Copérnico unos 17 siglos más tarde. Calcula con métodos geométricos las distancias de la Tierra al Sol y a la Luna con alto margen de error. Con Aristarco se desarrollan los primeros indicios de la trigonometría. * 250 AC Arquímedes de Siracusa establece las leyes de la palanca y del principio de hidrostática que lleva su nombre. Cálculos numéricos de Arquímedes, como el “arenario”, utilizando un sistema de numeración que le permitía expresar cantidades inmensamente grandes. Este sistema condujo a la invención de los logaritmos en el siglo XVI. Determina el valor de , con bastante aproximación, utilizando perímetros de polígonos regulares inscritos y circunscritos en el circulo. Su valor fue 3.14185, mucho mejor que el de los egipcios y babilonios. También inventa la curva denominada “espiral de Arquímedes” que la utilizó para trisectar el ángulo y cuadrar el circulo. Calcula el área de la elipse y de un segmento parabólico y los volúmenes de elipsoides, paraboloides e hiperboloides. Demuestra que el área de la esfera es equivalente al área lateral del cilindro circunscrito a ella, y equivalente también al área de cuatro círculos máximos. Demuestra que si se tiene un cilindro, una esfera inscrita a este cilindro y un cono inscrito al mismo cilindro, la relación de los tres volúmenes está en la proporción 3:2:1. Estudia las principales características de los poliedros semirregulares, cuyas caras son polígonos regulares de 2 o 3 clases y cuyos ángulos poliedros son congruentes. Escribe un tratado “sobre el equilibrio de los planos” que es una obra sobre física del mismo estilo que el utilizado por Euclides en sus 21

“Elementos”. Con base en el cálculo de  demuestra que el área del circulo es equivalente a la de un triángulo rectángulo cuyos catetos son la longitud de la circunferencia y el radio, respectivamente. Demostró que el área de un segmento esférico, en una esfera de radio R, es equivalente al área lateral de un cilindro cuya base tiene el mismo radio de la esfera y cuya altura es igual a la del segmento. Demostró que el volumen de una esfera es equivalente a 4 veces el de un cono cuya base es un circulo máximo de la esfera y cuya altura es el radio de la misma. Al estudiar las características de la esfera, abordó el problema de la solución de una ecuación cúbica, análisis que revivieron algunos matemáticos italianos 18 siglos después. Según informaciones suministradas por los árabes en el siglo IX, Arquímedes conocía la fórmula del área del triángulo en función de los lados, atribuída a Herón que vivió 400 años después. * 230 AC Eratóstenes de Cirene, astrónomo y matemático, inventa un método denominado “criba” para la determinación de los números primos. Junto con Aristarco, mencionado antes, Eratóstenes es uno de los precursores de la trigonometría, aplicada a cálculos astronómicos. Inventa también el mesolabio, instrumento mecánico para lograr la duplicación del cubo. Calcula con aceptable aproximación la longitud de la circunferencia terrestre comparando las sombras producidas por el Sol en un mismo meridiano, en el solsticio de verano. * 220 AC Apolonio de Perga escribe su tratado sobre las secciones cónicas, curvas que resultan de cortar cilindros y conos circulares con diversos ángulos. Introduce los términos parábola, elipse e hipérbola. Demuestra que al hacer ciertos cortes las curvas resultantes son círculos, elipses, parábolas o hipérbolas. Estudia importantes características de dichas curvas tales como diámetros conjugados, tangentes, máximos y mínimos, focos e intersección de las cónicas. 22

Utiliza para sus estudios un original sistema de coordenadas y por esto se le considera como uno de los precursores de la Geometría Analítica, desarrollada por Descartes y Fermat 18 siglos después. Apolonio desarrolla también su teoría sobre ciclos y epiciclos en temas astronómicos. * 190 AC Matemáticos magnitudes.

chinos

utilizan

potencias

para

expresar

* 180 AC Nicomedes de Grecia inventa la curva llamada concoide y un aparato para dibujarla, curva utilizada para trisectar el ángulo y duplicar el cubo. Diocles, también de Grecia, inventa la Cisoide, curva que utilizó igualmente para trisectar el ángulo y cuadrar el círculo. * 150 AC Perseo de Grecia estudia las curvas llamadas empíricas que se obtienen cortando por un plano la superficie anular llamada Toro. Hipsicles, apoyándose posiblemente en un tratado de Apolonio que se ha perdido, escribe una obra sobre poliedros regulares inscrito en una esfera, obra que algunos autores atribuyen a Euclides como el número 14 de los “Elementos”. Escribe “Sobre la Ascención a las estrellas”, en el cual divide el Zodiaco en 360°. Zenodoro de Grecia estudia las áreas de las figuras isoperímetras. * 140 AC Hiparco de Nicea lleva a cabo importantes observaciones astronómicas, estableciendo las bases de la trigonometría. Se le considera el padre de esta rama de la matemática. Descubre la precesión de los equinoccios y calcula la duración del año con un error de 6.5 minutos. * 100 AC Posidonio intenta demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo equivale a 180°, sin el auxilio del postulado de Euclides sobre las paralelas. Matemáticos chinos son los primeros en introducir números negativos.

* 60 AC Gemino de Rodas estudia la posición de la hipérbola respecto de sus asíntotas observando que nunca se cortan aun cuando no sean paralelas, en el sentido euclidiano de dicho concepto. 1.4 * 1

Epoca Romana (30 AC – 500 DC) AC El matemático chino Liu Hsin utiliza fracciones decimales.

* 20 DC Gemino escribe “La teoría de las Matemáticas “ y otras obras sobre astronomía. * 50 DC El matemático chino Sun-Tzi presenta el primer ejemplo conocido de una ecuación indeterminada. * 60 Herón de Alejandría escribe “Métrica“, obra que contiene fórmulas para calcular áreas y volúmenes. En ella se presenta el cálculo del área del triángulo en función de sus tres lados. * 90 Los chinos inventan los “cuadrados mágicos”. Nicomaco de Gerasa escribe “Introducción a la Aritmética “ el cual es el primer tratado aritmético como un tópico independiente de la geometría. * 100 Empieza a escribirse el clásico texto matemático chino “Nueve capítulos sobre el arte de las matemáticas “. * 110 Menelao de Alejandría escribe “Esférica” el cual trata de los triángulos esféricos y de su aplicación a la astronomía. Constituye uno de los primeros conceptos conocidos de una geometría no-euclidiana. * 150 Claudio Tolomeo de Alejandría produce muchos e importantes resultados en geometría y trigonometría con aplicaciones a la astronomía. En su obra “Almagesto” presenta una tabla de ángulos y sus respectivas cuerdas, para cálculos astronómicos, Dicha tabla fue una antecesora de las actuales tablas de funciones trigonométricas, y en ella utiliza el circulo dividido en 360°. El modelo del universo geocéntrico ideado por Tolomeo fue el aceptado mundialmente durante más de un milenio, hasta la época de Copérnico. * 250 La civilización Maya en América Central utiliza un sistema de numeración posicional en base 20, con sólo 3 símbolos. Su calendario, basado en la órbita de Venus, es más exacto que el calendario gregoriano y las pirámides que construyeron se calcularon con alta precisión matemática. 24

Diofanto de Alejandría escribe su obra “Aritmética” que es una colección de problemas sobre la teoría de números en la cual solamente los números racionales se aceptan como soluciones. Con Diofanto se desprende el número de su vestidura geométrica, rompiéndose la tradición griega de más de ocho siglos. Igualmente este matemático es el primero en estudiar las ecuaciones indeterminadas utilizando lo que hoy llamamos en su honor el Análisis Diofántico. * 263 Utilizando un polígono regular de 192 lados el chino Liu Hui calcula el valor de  como 3.14159 el cual es correcto con cinco cifras decimales. * 301 Iamblico escribe sobre astrología y misticismo. Su “vida de Pitágoras” es muy interesante. * 340 Pappo de Alejandría escribe su obra “Colecciones “ la cual es una guía a la geometría griega. Pappo demuestra su teorema sobre áreas y volúmenes de los sólidos de revolución. * 390 Teón de Alejandría produce una versión de los “Elementos “ de Euclides, con algunos cambios y adiciones. Casi todas las subsecuentes ediciones están basadas en esta obra. * 400 Hipatia de Alejandría escribe comentarios sobre Apolonio y Diofanto. Se le considera la primera mujer matemática de la historia y fue notable por sus conocimientos y por su belleza. Hipatia fue la líder de la escuela Neo-platónica de Alejandría. Murió lapidada en dicha ciudad por un grupo de cristianos fanáticos. * 450 Proclo, un matemático Neo-platónico de Bizancio, fue uno de los últimos filósofos en la academia de Platón en Atenas. Intentó demostrar el postulado de las paralelas de Euclides. * 460 Tsu Chung Chi calcula  con la fracción 355/113, que da una aproximación con 6 decimales. * 490 Aryabhata, de la India, produce su obra “Aryabhatiya” que es un tratado sobre ecuaciones cuadráticas, cálculo del valor de  y otros problemas específicos. 25

2.0

PERÍODO MEDIEVAL (500 – 1500)

2.1

Época Chino – Hindú (500 – 700)

* 500 Metrodoro publica Antología Griega, con 46 problemas matemáticos. 510 Eutocio de Ascalona Arquímedes.

escribe

comentarios sobre

los trabajos

Boecio publica textos sobre aritmética y geometría que fueron utilizados ampliamente. * 530 Eutocio publica nuevos comentarios sobre los trabajos de Arquímedes y sobre las obras de Apolonio en relación con las cónicas. Aryabhata usa  con valor de 62832/20000 = 3.1416 532 Antemio de Tralles, destacado matemático de la época, es designado como arquitecto de la catedral de Santa Sofía, en Constantinopla. 534 Las matemáticas chinas se introducen al Japón. * 550 Se inventa el Astrolabio, calculadora de latitud y otros conceptos astronómicos. 575 Varahamihira publica Los cinco cánones importantes contribuciones a la trigonometría.

Astronómicos,

haciendo

594 La numeración decimal se utiliza en la India; este sistema es la base de nuestra actual notación numérica. 628 Brahmagupta escribe La apertura del Universo, que es un trabajo sobre matemáticas y astronomía. Utiliza el cero y los números negativos y da métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, suma de series y cálculo de raíces cuadradas. 650 Brahmagupta calcula  como 10  3.162 2.2

Época Árabe (700 – 1200)

* 700 Matemáticos en la civilización maya introducen un símbolo para el cero en su sistema de numeración.

729 Hsing introduce un nuevo calendario en China, corrigiendo varios errores de calendarios anteriores. 732 Qutan Zhuan acusa a Hsing de haber copiado un calendario Indio, pero el calendario de Hsing es más exacto que el Indio. 773 El califa Al-Mansur recibe de embajadores de la India el sistema de numeración decimal – posicional. * 775 Alcuin de York escribe textos elementales sobre aritmética, geometría y astronomía. * 790 Los chinos empiezan a utilizar métodos de diferencias finitas. * 810 La Casa de Wisdom se establece en Bagdad con el objeto de recopilar y traducir al árabe los trabajos matemáticos y astronómicos de Grecia y la India. * 820 Al Joarismi escribe importantes trabajos sobre aritmética, álgebra, geometría y astronomía. De su obra Hisab al-jabr wál-muqabala (cálculos completando y balanceando) hemos formado la palabra Algebra, y el término “algoritmo” viene de su nombre. Utilizó el cero en forma sistemática en la numeración decimal. * 850 Tabit-Qurra hace importantes descubrimientos matemáticos en relación con conceptos sobre números reales, cálculo integral, geometría analítica, trigonometría esférica y geometría no-euclídea. Qurra escribe Libro sobre determinación de números amigos que contiene métodos generales para obtener estos números. Conocía la pareja 17296 y 18416. Mahavira escribe una obra de nueve capítulos en la que recopila todos los conocimientos matemáticos de la India. 900 Sridhara escribe dos obras, Trisatika y Patiganita, en las cuales se resuelven ecuaciones cuadráticas, suma de series, se estudian combinaciones y se dan métodos para calcular áreas de algunos polígonos. *900 Abu Kamil escribe Libro sobre Álgebra que trata de aplicaciones del álgebra a problemas geométricos. Fibonacci, a principios del siglo XIII, utilizó esta obra para sus trabajos. 920 Al-Battani produce un extenso trabajo sobre astronomía, de 57 capítulos; contiene importantes avances en trigonometría.

950 Gerbert de Autillac, Papa Silvestre II en 999, además de reintroducir el ábaco en Europa inicia la utilización de la numeración hindú-arábica en dicho continente. * 970 Abul-Wafa inventa el cuadrante, instrumento para medir la declinación de los cuerpos celestes. Escribió importantes libros sobre aritmética y geometría. Introdujo el concepto de tangente y mejoró notablemente los métodos para calcular tablas trigonométricas. 976 En España se publicó Codex Vigilanus, que constituye la primera evidencia de la numeración decimal en Europa. * 990 Al-Karaji escribe en Bagdad el libro Al-Fakhri, que es un tratado de álgebra. Introdujo el que hoy llamamos “triángulo de Pascal”. * 1000 Ibn al Haytam, conocido como Alhazen, escribe trabajos sobre óptica incluyendo unas teorías sobre la luz y la visión. También escribió sobre astronomía y matemáticas, incluyendo geometría y teoría de números. * 1010 Al-Biruni escribe sobre muchos temas científicos. Sus trabajos matemáticos cubren aritmética, suma de series, análisis combinatorio, regla de tres, números irracionales, proporciones, solución de ecuaciones, geometría, teoremas de Arquímedes, trisección del ángulo y otros problemas que no pueden resolverse sólo con regla y compás, secciones cónicas, estereometría, proyecciones estereográficas, trigonometría, teorema de los senos en el plano y solución de triángulos esféricos. * 1020 Ibn Sina, comúnmente llamado Avicena, escribe sobre filosofía, medicina, sicología, geología, matemáticas, astronomía y lógica. Su tratado matemático El libro de las curaciones divide las matemáticas en cuatro grandes ramas: geometría, astronomía, aritmética y música. 1040 Ahmad al-Nasawi escribe sobre los diferentes sistemas de números. Explica las operaciones aritméticas en cada sistema, especialmente lo relacionado con el cálculo de raíces cuadradas y cúbicas. 1041 El chino Sheng utiliza tipos individuales para imprimir letras y números. Se le considera el precursor de la imprenta. *1050 Hermann de Reichenau escribe tratados sobre el ábaco y el astralobio. Introduce a Europa el astrolabio, un reloj de Sol portátil y un cuadrante con cursor. 1072 Omar Kayamm escribe Tratado sobre demostración de problemas de Álgebra, el cual contiene una completa clasificación de las ecuaciones 28

Cúbicas con soluciones geométricas halladas por intersección de secciones cónicas. Calculó la duración del año en 365.242198582 días, que es un resultado notablemente preciso. 1093 Shen Kua escribe un tratado sobre matemáticas, astronomía, cartografía, óptica y medicina. Dicha obra contiene la más antigua mención a la brújula. 1130 Jabir ibn Aflah escribe trabajos sobre matemáticas que aunque no son tan buenos como otros tratados árabes, son importantes pues se tradujeron al latín y fueron útiles para los matemáticos europeos. 1140 Báskara II escribe Lilavati, sobre aritmética y geometría, y Bijaganita, sobre álgebra, donde desarrolla la fórmula para solucionar la ecuación de 2° grado. 1142 Adelard de Bath traduce del árabe los Elementos de Euclides. 1144 Gerard de Cremona inicia la traducción al latín de trabajo árabes y griegos sobre matemáticas. 1149 Al-Samawal escribe Lo brillante en Álgebra. Desarrolla el álgebra con polinomios usando potencias cero y negativas. Resuelve ecuaciones cuadráticas, suma de cuadrados de los primeros n números naturales, y trata problemas de combinatoria. 1150 La numeración hindú-arábica se introduce formalmente a Europa en la traducción que Gerard de Cremona hace del Almagesto de Tolomeo. El nombre de la relación “seno” viene de esta traducción. 2.3 Época Europea (1200 – 1500) * 1200 En China se inicia la utilización de un símbolo para el cero. 1202 Leonardo de Pisa, conocido también como Fibonacci; escribe El libro del Ábaco, en el cual explica los conceptos aritméticos y algebraicos aprendidos en los países árabes. Incluye la famosa secuencia de números que hoy llamamos la “serie de Fibonacci”: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…, de la cual, entre otras cosas, se determina la relación “dorada”. 1220 Fibonacci calcula  como 3.141818… 1225 Fibonacci escribe El libro del Cuadrado que es su trabajo más importante. Es el mejor avance europeo en teoría de números desde Diofanto, mil años antes.

* 1225 Jordano Nemorario escribe sobre temas astronómicos, y en matemáticas utiliza letras, lo que constituye una forma primitiva de notación algebraica. * 1230 Juán de Sacrobosco escribe sobre aritmética, astronomía y reformas al calendario. 1247 Chin- Chiu- Shao escribe Tratado matemático en nueve secciones, que contiene temas sobre: congruencias enteras simultáneas, teorema chino del residuo, ecuaciones indeterminadas, el hoy llamado método de Horner, áreas de figuras geométricas y ecuaciones lineales simultáneas. 1248 Li Yeh escribe un libro que incluye números negativos que los indicaba colocando un trazo sobre el último dígito. * 1260 Campano de Novara, capellán del Papa Urbano IV, escribe sobre astronomía y publica una edición en Latín de los Elementos de Euclides, el cual se convierte en un texto estándar por los próximos 200 años. Diseña también un método para trisectar el ángulo. 1270 William de Moerbeke traduce las obras de Arquímedes. 1275 Yang Hui escribe Alfa y Omega de variaciones sobre multiplicación y división, en el cual utiliza fracciones decimales (en la forma moderna) y da una primera explicación del “Triángulo de Pascal”. 1303 Chu Shi Chieh escribe El Espejo precioso de los cuatro elementos en el cual incluye métodos para la solución de algunas ecuaciones hasta de grado 14. También analiza el triángulo de Pascal y obtiene la suma de algunas series. 1321 Levi ben Gerson (conocido también como Gersónides) escribe El libro de los números, que trata de operaciones aritméticas, permutaciones y combinaciones. 1328 Bradwardine escribe una obra sobre cinemática utilizando álgebra, que es uno de los más antiguos trabajos de las matemáticas aplicadas a la física. 1335 Richard de Wallingford escribe la primera obra en Latín sobre trigonometría. 1336 La Universidad de París determina que las matemáticas son requisito básico en todos sus programas académicos. 1342 Gersónides escribe Sobre senos, cuerdas y arcos, un tratado sobre trigonometría en el cual demuestra el Teorema de los Senos en el plano, dando además una tabla de senos con 5 decimales.

1343 Jean de Meurs escribe Cuádruple división de números que es un tratado sobre matemáticas, mecánica y música. Gersónides escribe Sobre la armonía de los números, el cual es un comentario sobre los primeros cinco libros de Euclides. * 1350 El Papa Clemente VI trata de reformar el calendario Juliano pero murió antes de lograrlo. Como el año civil y el año solar difieren en más de 5 horas, aunque ya se usaban los años bisiestos la fecha del equinoccio de primavera (que determina la Pascua católica) se estaba adelantando notoriamente. 1364 Nicolás de Oresme escribe La Latitud de las Formas que es un tratado sobre los fundamentos del sistema de coordenadas, que posiblemente influenció a Descartes. Se le considera precursor cercano de la Geometría Analítica. Oresme inició el uso de los exponentes fraccionarios. 1382 Oresme publica El libro del Cielo y la Tierra que es un tratado de matemáticas, mecánica y temas afines. En esta obra se opone a la teoría de Tolomeo de una tierra inmóvil. 1390 Diseñadores árabes, llamados criptógrafos, desarrollan los primeros sistemas efectivos de codificación de mensajes. 1400 Madhava de Sangamagrama demuestra importantes resultados sobre sumas infinitas utilizando lo que hoy llamamos series de Taylor de funciones trigonométricas. Con estos conceptos calculó  correctamente con 11 decimales. 1411 Al Kashi escribe Compendio de la Ciencia Astronómica, utilizando importantes conceptos trigonométricos. 1412 El egipcio Al-Kalka-Shandi crea el primer conjunto confiable de instrucciones para codificar mensajes. 1413 Filippo Brunelli inicia el desarrollo de la Perspectiva, paso inicial de la Geometría Descriptiva. 1424 Al Kashi escribe Tratado sobre la Circunferencia dando una excelente aproximación de  en formas decimal y sexagésimal. 1427 Al Kashi escribe La Clave a la Aritmética que es un trabajo de gran profundidad sobre fracciones decimales. Aplica métodos aritméticos y algebraicos a la solución de varios problemas, incluyendo geométricos, y su obra es una de las mejores del Período Medieval. 1434 León Alberti estudia la representación gráfica de objetos tridimensionales y escribe el primer tratado sobre las leyes de la Perspectiva.

1437 Ulugh Beg publica un catálogo de estrellas. Contiene tablas trigonométricas correctas con ocho decimales basadas en su cálculo del seno de un grado, que obtuvo con 16 decimales. 1450 Nicolás de Cusa trata sobre Geometría y Lógica. Contribuye al estudio del infinito y considera el círculo como el límite de polígonos regulares. 1455 Gutemberg desarrolla en Alemania la imprenta. 1465 León Alberti publica en Europa la primera tabla de frecuencias criptográficas para descifrar mensajes codificados. * 1470 Nicolás Chuquet escribe un tratado sobre La Ciencia de los Números que es el primer libro de álgebra en Francia. Juan Muller, conocido también como Regiomontano, inicia la reforma del calendario por pedido del Papa Sixto IV, pero murió en 1476 sin completar su obra. 1472 Peurbach publica Nueva Teoría de los Planetas utilizando la teoría de epiciclos de Tolomeo; en esta obra se afirma que los planetas son controlados por el Sol. 1474 Regiomontano publica Efemérides, tablas con datos astronómicos de 1475 a 1506, y propone un método para calcular longitudes utilizando observaciones de la Luna. 1475 Regiomontano publica Sobre triángulos planos y esféricos, en el cual estudia aplicaciones de la trigonometría esférica a la astronomía. 1482 La edición de Campano de Novara de los Elementos de Euclides se convierte en el primer texto matemático producido en la imprenta, sistema desarrollado tres décadas antes. 1489 Widman escribe un libro sobre aritmética en Alemán en el cual se utilizan por primera vez los signos + y -. 1492 Cristóbal Colón llega al territorio llamado posteriormente América llevando consigo los primeros conceptos matemáticos europeos al nuevo continente. Pellos introduce el uso del punto en las expresiones decimales. 1494 Luca Pacioli publica Summa de aritmética, geometría, proporciones y proporcionalidad que es una revisión de las matemáticas cubriendo aritmética, trigonometría, álgebra, tablas monetarias, pesos y medidas, juegos de azar, contabilidad por partida doble y un resumen de la geometría de Euclides. 32

3.0

PERIODO MODERNO (1500 – Actualidad)

3.1

Época Renacentista (1500 – 1637)

1500 Los Incas de Suramérica utilizaban para el conteo conjuntos de nudos formados en cordeles, llamados “quipus”. Con este sistema lograban expresar cantidades relativamente grandes. 1515 El italiano Scipio del Ferro descubre una fórmula para resolver ecuaciones cúbicas. 1522 Tunstall publica Sobre el Arte de la Computación, que es un tratado de aritmética basado en la Summa de Pacioli. 1525 Christoff Rudolff introduce un símbolo parecido a  para las raíces cuadradas en su obra Die Coss que es el primer libro de álgebra en Alemán. Entre otras cosas explica el significado de x0 = 1. Albert Dürer publica el primer texto en Alemán sobre construcciones geométricas. En él enseña a construir y representar los poliedros regulares y semirregulares y su desarrollo en un plano, así como la hélice y otras curvas alabeadas. 1533 Frisius publica un método para aplicaciones trigonométricas a los levantamientos topográficos. Es el primero en proponer el método de triangulación. 1535 Nicolo Fontana, conocido como Tartaglia, resuelve la ecuación de tercer grado independientemente de del Ferro. 1536 Hudalrichus Regius halla el quinto número perfecto (aquel que es igual a la suma de sus divisores). Dicho número es 212(213-1) = 33550336 y los cuatro anteriores son 6, 28, 496 y 8128. 1540 Ludovico Ferrari descubre una fórmula para resolver la ecuación de 4° grado. 1541 Rheticus publica sus tablas trigonométricas y la parte trigonométrica del trabajo de Copérnico. 1543 Nicolás Copérnico publica Sobre las revoluciones de las Esferas Celestes, en donde expone su teoría de que el Sol, no la Tierra, está en reposo en el centro del Universo. Tartaglia publica la traducción de Arquímedes de Moerbeke. 1544 Stifel publica Aritmética Integra la cual contiene los coeficientes binómicos y los signos +, -, . Se le considera el precursor de los conceptos logarítmicos. 33

1545 Gerolamo Cardano publica Ars Magna dando la fórmula para la solución de cualquier ecuación cúbica – basada en los trabajos de Tartaglia -, la fórmula de Ferrari para la solución de la cuártica, e iniciando formalmente el desarrollo de los números negativos y de los números complejos. 1550 Ries publica su libro sobre Aritmética en el cual enseña cómo se utiliza tanto el antiguo método del ábaco como el nuevo sistema de numeración Hindú – Arábico. 1551 Robert Recorde traduce y compendia, al idioma Inglés los Elementos de Euclides. 1555 J. Scheybl calcula el sexto número perfecto 216(217-1) = 8589869056 pero su trabajo sólo se conoció en 1977. 1557 Recorde introduce en matemáticas la utilización del signo =. 1563 Cardano escribe un libro sobre juegos de azar pero sólo lo publicó en 1663. 1571 Francois Viéte empieza la publicación del Canon de Matemáticas en el cual intenta una introducción matemática a su tratado sobre astronomía. Su obra cubre trigonometría y tablas trigonométricas y explica cómo construyó dichas tablas. 1572 Rafael Bombelli publica las primeras tres partes de su obra Álgebra; él es el primero en dar las reglas para calcular con números complejos. 1575 Maurolico publica un libro sobre Aritmética que contiene ejemplos de demostraciones utilizando el método de inducción. 1582 El Papa Gregorio XIII, basado en estudios de varios astrónomos y matemáticos, decreta la reforma del calendario que Clemente VI había intentado en el siglo XIV. Para el año 1582 la fecha del equinoccio de primavera ocurrió alrededor del 10 de marzo (en vez del 21) y la reforma gregoriana consistió en decretar que al jueves 4 de octubre siguiera el viernes 15 de octubre, y que en adelante los años de fin de siglo 1600, 1700, 1800, etc., serán bisiestos sólo si son divisibles por 400. 1585 Simón Stevin publica El Diezmo, un trabajo sobre análisis de las fracciones decimales y la conveniencia de utilizar la división decimal en los sistemas de pesas y medidas. 1586 Stevin publica una obra en la cual analiza el teorema sobre el triángulo de fuerzas. 1590 Pietro Cataldi utiliza las fracciones continuas para el cálculo de raíces cuadradas. 1591 Viéte escribe Introducción al arte analítico utilizando letras como símbolos para cantidades tanto conocidas como desconocidas; utilizó las vocales para las desconocidas o incógnitas y las consonantes para las conocidas o constantes. 34

1593 Viéte halla el primer producto infinito para calcular . Van Roomen calcula  con 16 decimales. 1595 Pitisco es el primero en emplear el término trigonometría en una publicación impresa. Clavio escribe Apología del nuevo calendario romano con el cual justifica la reforma gregoriana de 1582. 1596 Ludolph Van Ceulen calcula  con 32 decimales. *1600 La Sociedad Real de Londres propone la utilización de medidas decimales. 18 19 1603 Cataldi halla el séptimo número perfecto: 2 (2 -1) = 137438691328.

1606 Villebrad Snell hace el primer intento para medir un grado del meridiano sobre la superficie de la Tierra y así determinar el radio del planeta. Publica en latín Memorando Matemático que es una traducción del trabajo de Stevin sobre mecánica. 1609 Juan Kepler publica Nueva Astronomía que contiene sus dos primeras leyes sobre órbitas elípticas, pero verificadas sólo para el planeta Marte. La tercera ley se publica diez años después. 1610 Galileo Galilei publica Mensaje de las estrellas en el cual describe los descubrimientos astronómicos hechos con sus telescopios, en especial lo relacionado con los satélites de Júpiter. Harriot observa las lunas de Júpiter, como lo hizo Galileo, pero no publicó sus trabajos. Van Ceulen calcula  con 35 decimales. 1612 Bachet publica un trabajo sobre acertijos y trucos matemáticos el cual es la base de todos los posteriores libros sobre matemáticas recreativas. Inventa también un método para construir cuadrados mágicos. 1613 Cataldi publica un tratado en el cual calcula raíces cuadradas utilizando fracciones continuas. 1614 John Napier publica su tratado sobre logaritmos titulado Descripción de la maravillosa regla de los Logaritmos. Acuñó la palabra “logaritmo” del griego logos (relación), y aritmos (número).

1615 Gabriel Mouton propone un sistema completo de medidas decimales basado en la miliárea, nombre que aplicó a la longitud de un minuto de arco del meridiano de la Tierra. Kepler publica Geometría sólida de un barril de vino en el cual investiga sobre el volumen de toneles, áreas de superficies y secciones cónicas. Los métodos utilizados fueron los precursores del cálculo integral. 1616 Marin Mersenne estimula a los matemáticos para que investiguen las características de la cicloide. 1617 Snell publica su técnica de triangulación trigonométrica con la cual se mejora la exactitud de las mediciones cartográficas. Henry Briggs publica Logaritmos de números de 1 a 1000 en la cual introduce los logaritmos en base 10. John Napier inventa los “Huesos de Napier” que eran unas varillas numeradas usadas como un calculador mecánico. Él explica su funcionamiento en una obra publicada el año de su muerte, 1617. 1620 Jobst Bürgi publica Tabulaciones aritméticas y geométricas en la cual explica su versión de los logaritmos, que descubrió independientemente de Napier. Gunter fabrica su “Escala de Gunter”, un instrumento mecánico para multiplicar números con base en los logaritmos, utilizando una sola escala y un par de divisores. Este instrumento es el precursor de las reglas de cálculo. 1620 Paul Gundin presenta el Teorema del Centroide, el cual ya era conocido por Pappus en el siglo IV. 1621 Bachet publica su traducción en latín del texto Aritmética de Diofanto. 1623 Schickard fabrica un “reloj mecánico”, una máquina calculadora de madera que suma y resta facilitando también la multiplicación y la división. Le escribe a Kepler sugiriendo procedimientos mecánicos para calcular Efemérides. 1624 Briggs publica La aritmética de los Logaritmos en la cual introduce los términos “característica“ y “mantisa” y presenta los logaritmos de los números naturales desde 1 a 20000 y de 90000 a 100000 calculados con 14 decimales. Así mismo da tablas de Senos con 15 decimales y de Tangentes y Secantes con 10 decimales. 1626 Albert Girard publica un trabajo en el cual se utilizan por primera vez los términos Sen, Cos, Tan para expresar funciones trigonométricas. También da fórmulas para el cálculo de áreas de triángulos esféricos. 36

1629 Pierre Fermat trabaja sobre máximos y mínimos; estos estudios constituyen unos de los primeros sobre Cálculo Diferencial. 1630 William Oughtred inventa una Regla de Cálculo circular utilizando dos escalas de Gunter. Mydorge trabaja sobre óptica y geometría. Calcula con gran exactitud la latitud de París. 1631 Los trabajos de Harriot de 1610 se publican diez años después de su muerte en el libro Práctica del arte analítico. La obra introduce los signos > (mayor que) y < (menor que) que son idea de los editores. Los estudios de Harriot sobre álgebra son muy interesantes pero los editores no los presentan en forma adecuada. Oughtred publica Claves matemáticas que incluyen una descripción de la notación Hindú-Arábica y de las fracciones decimales. La obra presenta además una extensa sección sobre álgebra. 1632 Oughtred fabrica la primera Regla de Cálculo rectilínea, basada en conceptos logarítmicos y en las escalas de Gunter. 1634 Gilles Roberval calcula el área bajo la curva cicloide, que equivale al triple del área del círculo que la genera. 1635 René Descartes descubre el llamado teorema de Euler sobre poliedros: Vértices + Caras = Aristas + 2. Fermat desarrolla una fórmula para crear ciertos números primos pero un siglo después Euler demuestra que dicha fórmula no siempre es válida. Bonaventura Cavalieri presenta sus estudios sobre el método de exhausción de Arquímedes, incorporando la teoría de Kepler sobre magnitudes geométricas infinitesimales. Dichos estudios son un preludio del Cálculo Integral. Fermat descubre la pareja de números amigos 17296 y 18416 los cuales ya conocía Thabit ibn Qurra 800 años antes. Dos números son amigos cuando la suma de los divisores del uno es igual al otro y viceversa. 1636 Por estos años Fermat escribe su obra sobre Lugares Geométricos planos y sólidos que es un texto sobre Geometría Analítica con un enfoque más matemático que el dado por Descartes en su Geometría en 1637. Los trabajos de Fermat se publicaron años después.

3.2

Época Analítica (1637 – 1800)

1637 René Descartes publica La Geometría (como un anexo de su obra filosófica El Discurso del Método) en la cual describe aplicaciones del álgebra a la geometría utilizando el sistema de coordenadas. Junto con Pierre Fermat se consideran los inventores de la Geometría Analítica. Descartes inicia el uso de las últimas letras del alfabeto para designar las incógnitas en las ecuaciones. * 1638 Marin Mersenne desarrolla su fórmula 2P-1 (donde  es un primo) para calcular números primos. Posteriormente se ha demostrado que la fórmula no siempre es válida. 1638 Galileo Galilei, basado en sus descubrimientos sobre los movimientos lineales constante y acelerado, deduce que las trayectorias de los proyectiles son parábolas de 2° grado. 1639 Gerard Desargues inicia el estudio de la Geometría Proyectiva la cual analiza qué les ocurre a las figuras cuando se proyectan sobre un plano no paralelo. Él describe sus ideas en la obra Ensayo inicial sobre los resultados de cortar un cono con planos paralelos. Gerolamo Saccheri trata de demostrar el 5° Postulado de Euclides (sobre las paralelas) utilizando una prueba indirecta. Su trabajo es un preludio de las geometrías no-euclídeas desarrolladas a comienzos del siglo XIX. 1640 Blas Pascal, de 17 años, publica Ensayo sobre las Secciones Cónicas. 1641 Wilkins publica un trabajo sobre códigos y cifras 1642 Pascal construye una máquina sumadora para ayudar a su padre en el cálculo de impuestos. Este dispositivo fue el precursor de las calculadoras mecánicas. 1643 Evangelista Torricelli, con la colaboración de Galileo, inventa el barómetro, instrumento para medir la presión atmosférica. 1644 Torricelli publica Opera Geométrica la cual contiene sus trabajos sobre proyectiles. Él investiga cuál es el punto cuya suma de distancias a los vértices de un triángulo, es mínima. 1647 Fermat afirma haber demostrado el teorema de que la ecuación xn + yn = zn, si x, y, z, n son números naturales, no tiene solución para n > 2. Esta proposición conocida como “el último teorema de Fermat” sólo vino a demostrarse por Andrew Wiles en 1994. La demostración de Fermat, que 38

según él era muy extensa para escribirla al margen de una página, no ha sido encontrada. Fermat demuestra su “último teorema” para n = 4, 8, 12, 16 etc. 1647 Cavalieri publica Seis ejercicios Geométricos que contiene por primera vez en un libro impreso la integral de 0 a n de la expresión y = xn. 1648 Wilkins publica su trabajo Magia Matemática en el cual describe una serie de recursos matemáticos de la época. Abraham Bosse publica el teorema de Desargues que demuestra que cuando dos triángulos están en perspectiva las intersecciones de sus respectivos lados, o sus prolongaciones, son colineales. 1649 Van Schooten publica su primer volumen en Latín de la Geometría de Descartes. De Beaune escribe Notas Breves que contiene varios resultados sobre “geometría cartesiana“ dando las ahora familiares ecuaciones de parábolas, elipses e hipérbolas. 1650 De Witt completa su trabajo Líneas curvas elementales. Este es el primer desarrollo sistemático de Geometría Analítica sobre la línea recta y las cónicas pero no se publicó hasta 1661 cuando aparece como un anexo de la obra de Van Schooten. 1651 Nicolás Mercator publica tres trabajos sobre trigonometría y astronomía: Trigonometría Logarítmica, Cosmografía y Astronomía Esférica. Da el desarrollo de la serie para calcular ln(1+x). 1653 Pascal publica Tratado sobre el triángulo Aritmético que se conoce como el “triángulo de Pascal”, muy utilizado para el cálculo del “binomio de Newton”. Este concepto ya era conocido por matemáticos de épocas anteriores. 1654 Fermat y Pascal empiezan a trabajar sobre las leyes que gobiernan el azar y la probabilidad, en cinco cartas que intercambiaron durante el verano. Pascal publica su Tratado sobre el equilibrio de los líquidos en el cual se demuestra que la presión se transmite igualmente a través de un fluido. Este concepto es de los más importantes en hidrostática y se conoce como “El principio de Pascal”.

1655 Brouncker desarrolla una fracción continua para el cálculo de 4/ . Calcula también el área de la hipérbola, resultado que publicó tres años después. John Wallis utiliza para el infinito el signo . 1656 Wallis publica Aritmética del infinito en la cual utiliza métodos de interpolación para evaluar integrales. Menciona también la posibilidad de representar gráficamente los números complejos. Christiam Huygens patenta el primer reloj de péndulo. 1657 Huygens publica Razonamiento sobre los juegos de azar que es el primer trabajo impreso sobre la teoría de probabilidades tratando por primera vez el concepto de “esperanza matemática”, concepto basado en las ideas de Fermat y Pascal de 1654. Neile se convierte en el primero en calcular la longitud del arco de una curva algebraica al rectificar la parábola cúbica. Frenicle de Bessy publica un trabajo en el cual presenta soluciones de algunos de los problemas propuestos por Fermat sobre la teoría de números. 1658 Christopher Wren calcula la longitud de un arco de la cicloide que equivale a 8 veces el radio del circulo generador. 1659 Rahn publica un tratado de álgebra en el cual utiliza el signo ÷ para la división. 1660 De Sluze estudia conceptos relacionados con espirales, puntos de inflexión y los significados geométricos de sus trabajos. Él estudió una serie de curvas que Pascal denominó “las perlas de Sluze”. Robert Hooke descubre la ley sobre la elasticidad que lleva su nombre. Viviani determina la tangente a la curva cicloide. Mide también la velocidad del sonido. 1661 Van Schooten publica el segundo y último volumen en Latín de la Geometría de Descartes. Este trabajo establece la geometría analítica como un tópico muy importante de la matemática. El libro incluye también anexos con trabajos de sus discípulos Hudde, de Witt y Heuraet.

1662 Se funda la Real Sociedad de Londres y Brounck es nombrado como su primer Presidente. Graunt y Petty publican Observaciones Naturales y Políticas sobre Registros de Mortalidad que es uno de los primeros libros sobre estadística. Diseñan las “Tablas de Vida” que son de gran utilidad para las empresas de seguros. Boyle y Mariotte, trabajando independientemente, descubren que en los gases el volumen es inversamente proporcional a la presión. 1663 Isaac Barrow se convierte en el primer profesor Lucasiano de matemáticas de la Universidad de Cambridge. 1665 Isaac Newton descubre el teorema del binomio y comienza sus trabajos sobre Cálculo Diferencial. 1666 Se funda la Academia de Ciencias de Paris. 1667 James Gregory publica sus trabajos sobre los fundamentos exactos de la geometría infinitesimal. 1668 Gregory publica Geometría Universal que es de los primeros ensayos de un libro de Cálculo. Pell publica una tabla de los factores de todos los enteros de 1 a 100000. 1669 Wren publica su resultado de que un hiperboloide de revolución de una hoja es una superficie reglada, o sea que puede generarse por el movimiento espacial de una recta. Barrow renuncia a su posición lucasiana de matemáticas en Cambridge para permitir que su pupilo Newton sea nombrado en dicho cargo. John Wallis publica su obra Mecánica que es un detallado estudio matemático de esta parte de la física. * 1670 Gottfried Leibniz en su obra Disertación sobre el arte combinatorio plantea un sistema aritmético para tomar decisiones lógicas; este es un preludio de la Lógica Simbólica. Leibniz utilizó para estos conceptos unos gráficos similares a los hoy llamados “Diagramas de Venn” que son muy útiles en la Teoría de Conjuntos. 1670 Barrow publica Lecciones Geométricas el cual incluye su notable trabajo sobre tangentes, que Newton utilizó como punto de partida para el desarrollo del Cálculo Diferencial. 41

1671 De Witt publica Un tratado sobre Anualidades de Vida que incluye el concepto de “esperanza matemática”, ya mencionado por Huygens en 1657. James Gregory descubre el hoy llamado Teorema de Taylor sobre el desarrollo de funciones en series y le escribe a Collins informando de su hallazgo. 1672 Mengoli publica El problema de cuadrar el círculo en el cual estudia series infinitas. Con una de ellas calcula /2. Mohr escribe un trabajo en el cual demuestra que todas las construcciones euclidianas con regla y compás pueden hacerse sólo con compás. 1673 Leibniz presenta a la Real Sociedad de Londres su máquina calculadora, aún incompleta; podía multiplicar, dividir y extraer raíces. Huygens investiga sobre evolutas (lugar geométrico de los centros de curvatura de una curva) e involutas, calculando las evolutas de la cicloide y de la parábola. Publica también sus trabajos sobre el péndulo, cuya trayectoria es un ejemplo del movimiento armónico simple. 1674 Leibniz descubre la serie para desarrollar arctan(x) con la cual calcula . 1675 La Hire publica Secciones Cónicas que es un extenso trabajo sobre las características de dichas curvas. Leibniz utiliza por primera vez la conocida notación para una expresión integral:  ydx. 1676 Leibniz descubre las derivadas independientemente de Newton.

las

funciones

básicas

Ole Romer, analizando los eclipses de algunos satélites de Júpiter, deduce que la velocidad de la luz es de unos 225000 km/s, un 25% más baja que su valor de 300000 km/s. 1677 Leibniz desarrolla las reglas para derivar productos, cocientes y función de función. 1678 Giovanni Ceva publica su obra Sobre líneas rectas que incluye el llamado “teorema de Ceva” sobre algunas propiedades de los triángulos planos.

1678 La aritmética de Cocker se publica dos años después de su muerte. En los 100 años siguientes se publicaron más de 100 ediciones. 1679 Leibniz introduce el sistema de numeración en base 2 o binario. Éste es el fundamento de los modernos sistemas de computación. Sus trabajos se publicaron en 1701. 1680 Cassini estudia la denominada “curva Cassiniana” que es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuyo producto de las distancias a dos puntos fijos, es constante. 1682 Tschirnhaus estudia las curvas catacaústicas que son las envolventes de los rayos de luz emitidos desde una fuente puntual después de su reflexión desde una curva dada. 1683 Seki Kowa publica un tratado en el cual utiliza el concepto de Determinantes al considerar soluciones enteras de las ecuaciones de la forma ax + by = 1, donde a y b son enteros. 1684 Leibniz publica el primer artículo con detalles de su Cálculo Diferencial en Nuevos métodos para Máximos, Mínimos y Tangentes. Dicha obra contiene la conocida notación d para diferenciales y las reglas para calcular las derivadas de potencias, productos y cocientes. 1685 Wallis publica Tratado de Algebra el cual contiene la primera mención impresa del teorema del binomio de Newton. Kochanski da un método aproximado para hallar la longitud de la circunferencia. 1686 Leibniz es el primero en utilizar el punto (.) como signo de la multiplicación. 1687 Newton publica Principios Matemáticos de la Filosofía Natural. En este trabajo, reconocido como uno de los más importantes libros científicos jamás escritos, Newton presenta sus teorías del movimiento, gravedad y mecánica. Dichas teorías explican las características de las órbitas elípticas de los cuerpos celestes, los comportamientos de las mareas, la precesión del eje de la Tierra y el movimiento de la Luna. En esta obra utilizó sus descubrimientos sobre Cálculo. 1690 Jacobo Bernoulli usa por primera vez la palabra “integral” para referirse al área bajo una curva.

1690 Michel Rolle publica Tratado de Álgebra en el cual analiza la teoría de ecuaciones. 1691 Jacobo Bernoulli inventa las Coordenadas Polares, sistema para describir la posición de puntos utilizando distancias y ángulos. Rolle publica Métodos para resolver igualdades el cual incluye el llamado “teorema de Rolle” sobre funciones continuas, muy útil en el cálculo diferencial. Su demostración utiliza un método debido a Hudde. 1693 Halley publica sus “Tablas de Mortalidad” para la ciudad de Breslau (Polonia) en un intento de relacionar la edad de las personas con la mortalidad. Este trabajo tuvo mucha influencia en la producción de tablas actuariales utilizadas en los seguros de vida. 1694 Johann Bernoulli, hermano de Jacobo, descubre la llamada “regla de Hôpital” que utiliza el cálculo diferencial para levantar algunas expresiones indeterminadas. 1696 Johann Bernoulli plantea el problema de la Braquistócrona y desafía a otros para que lo resuelvan; los dos hermanos Bernoulli y Leibniz lo resolvieron en su época. Entre todas las líneas de unión entre dos puntos dicha curva se recorre en el menor tiempo. 1699 Abraham Sharp calcula  con 72 decimales. 1702 David Gregory publica Física astronómica y elementos de Geometría el cual es un tratado popular de las teorías de Newton. 1706 Jones introduce la letra griega  para representar la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro de un círculo en su obra Una nueva introducción a las Matemáticas. John Machin calcula  con 100 decimales. 1707 Newton publica Aritmética general que contiene una colección de sus trabajos en álgebra; entre ellos está su método para resolver la ecuación de 4° grado, distinto al de Ferrari de 1540. Abraham de Moivre utiliza funciones trigonométricas para representar números complejos en la forma z = r(Cos x + i Sen x). 1708 La Hire calcula la longitud de la curva cardiode.

1710 Arbuthnot publica un importante artículo estadístico en la Real Sociedad de Londres en el cual trata el hecho de que el número de nacimientos de niños es un poco mayor que el de niñas. Este documento es la primera aplicación de las leyes de probabilidades a la estadística social. 1711 Giovanni Ceva publica Sobre asuntos monetarios el cual es uno de los primeros trabajos sobre matemáticas aplicadas a la Economía. 1713 Se publica el libro El arte de la Conjetura de Jacobo Bernoulli (muerto en 1705) que es un tratado muy importante sobre probabilidad. Contiene los números de Bernoulli que son la base de la distribución Binómica y de algunas series exponenciales. 1714 Daniel Fahrenheit inventa la escala de temperaturas que lleva su nombre y fabrica un termómetro de mercurio para su medición. Adopta 32° para el punto de congelación del agua y 212° para el punto de ebullición. 1715 Brook Taylor publica Métodos directos e indirectos de Incrementación que es una importante contribución al cálculo. El libro trata de soluciones singulares de ecuaciones diferenciales, fórmulas para cambios de variables y un sistema para relacionar la derivada de una función con la derivada de su inversa. Se estudian también los comportamientos de las cuerdas vibrantes. 1717 Johann Bernoulli afirma que el principio de desplazamiento virtual es aplicable a todos los casos de equilibrio, concepto muy importante en Estática. 1718 Se publica el trabajo de Jacobo Bernoulli sobre el Cálculo de Variaciones que es la parte del análisis que trata de características extremas de integrales definidas. Entre otros, estos métodos se usan para determinar líneas geodésicas y problemas isoperimétricos. De Moivre publica La Doctrina del Azar. La definición de independencia estadística aparece en esta obra junto con muchos problemas sobre dados y otros juegos. También investiga sobre estadísticas de mortalidad y los fundamentos de la teoría de rentas vitalicias y pensiones. 1719 Brook Taylor presenta su obra Nuevos principios de perspectiva lineal cuya primera edición se publicó cuatro años antes. Este trabajo da el primer tratamiento general del concepto de los puntos de vista, en Perspectiva. Thomas Fantet de Lagny calcula  con 127 decimales.

1722 Se publica el trabajo, que Roger Cotes dejó inconcluso por su muerte, con el nombre de Medidas Armónicas que trata de la integración de funciones racionales; contiene además aplicaciones del cálculo a funciones circulares y logarítmicas. 1724 Jacapo Riccati estudia la “ecuación diferencial de Riccati” dando soluciones para casos especiales de la ecuación, que Jacobo Bernoulli había tratado antes. En San Petesburgo se funda la Academia de Ciencias. 1727 Leonhard Euler es vinculado a la Academia de San Petesburgo. Él introduce el símbolo e para la base de los logaritmos naturales o neperianos en un manuscrito titulado Consideraciones sobre recientes experimentos al disparar cañones. Este documento sólo se publicó en 1862. 1728 Grandi publica Flores geométricas dando una definición geométrica de curvas que recuerdan pétalos y hojas. Muchos gráficos en coordenadas polares están en esta categoría. * 1730 John Hadley y Thomas Godfrey inventan al Sextante, instrumento para medir longitudes y latitudes en alta mar. 1730 De Moivre presenta más teoremas sobre números complejos entre ellos el “teorema de De Moivre”: zn = rn (Cos nx + i Sen nx). Da también la fórmula de Stirling para el cálculo aproximado de n! para valores grandes de n. 1731 Alexis Clairaut publica Investigaciones sobre curvas con doble curvatura en relación con gráficas oblicuas que, por ejemplo, se presentan con frecuencia en teoría de probabilidades. 1732 Euler demuestra que la fórmula de Fermat para producir algunos números primos (22 ^ P + 1) no es válida para p = 5 ya que 4294967297 = 641 x 6700417. 1733 De Moivre trata la curva de Distribución Normal o ley de errores al estudiar series con el binomio de Newton. Posteriormente Gauss, en 1820, profundizó sobre el tema y hoy se le conoce también como Distribución Gaussiana. Gerolamo Saccheri intenta demostrar el postulado de las paralelas de Euclides utilizando el método de reducción al absurdo al negar el postulado y tratar de llegar a alguna contradicción. No lo logró pero sus trabajos inspiraron posteriormente a Gauss, uno de los creadores de las geometrías no-euclídeas. 46

1734 Berkeley publica El analista: Disertación dirigida a un matemático infiel en donde argumenta que aunque el cálculo conduce a resultados correctos sus fundamentos no son más seguros que los de la religión. 1735 Euler establece y amplía formalmente el concepto de función, que antes aparecía un poco difuso, definiéndolo como una correspondencia entre dos conjuntos ligados a través de una ley bien definida. Él introdujo la familiar notación y = f(x). 1736 Euler aclara el problema topográfico conocido como “el problema de los siete puentes de Königsberg” demostrando matemáticamente que su solución es imposible. Estos estudios fueron el preludio de la hoy llamada Topología. Euler publica Mecánica el cual es el primer texto sobre el tema basado en ecuaciones diferenciales. 1737 Robert Simpson presenta la obra Tratado sobre fluxiones que fue escrito para sus estudiantes. En este libro se utilizan series infinitas para calcular integrales definidas de algunas funciones. 1738 Daniel Bernoulli, hijo de Johann, publica Hidrodinámica obra en la cual se analiza por primera vez el comportamiento del agua fluyendo a través del orificio de un contenedor. También estudia lo relacionado con bombas y otras máquinas para elevar el líquido. Todos estos trabajos, conocidos como “el principio de Bernoulli”, son el fundamento de esa rama de la física. También presenta en esta obra la base de la teoría cinética de los gases. Se le considera el fundador de la física matemática. 1739 Jean le Rond d´Alembert publica Memoria sobre Calculo Integral que recopila los conceptos del tema debidamente ordenados. 1740 Simpson presenta su obra Tratado sobre la naturaleza y leyes del Azar que es un tratado sobre probabilidad basado en las investigaciones de De Moivre. Colin Maclaurin es galardonado con el Gran Premio de la Academia de Ciencias francesa por su trabajo sobre la teoría gravitacional para explicar las mareas. 1742 Maclaurin publica su Tratado sobre Fluxiones con el objeto de dar un riguroso fundamento al Cálculo apelando a los métodos de la geometría griega. Esta es la primera exposición sistemática de los métodos de Newton escrita para replicar a las criticas de Berkeley de 1734 sobre la falta de rigor en las bases del cálculo. 47

1742 Anders Celsius inventa la escala centígrada para la medición de la temperatura. Adopta 0° como punto de congelación del agua y 100° como punto de ebullición. Christian Goldbach, en una carta a Euler, plantea la proposición de que todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de 2 números primos. Ésta, conocida como la “conjetura de Goldbach” no ha sido demostrada aún. 1743 DÁlembert publica Tratado de Dinámica. En esta famosa obra formula su principio de que las acciones y reacciones internas de un sistema de cuerpos rígidos en movimiento, están en equilibrio. 1744 DÁlembert publica Tratado sobre el equilibrio y el movimiento de los Fluidos en el cual aplica sus principios de Dinámica a líquidos y gases. 1746 DÁlembert avanza en el desarrollo de la teoría de números complejos haciendo el primer intento serio para demostrar el teorema fundamental del álgebra, objetivo que logró Gauss medio siglo más tarde. 1747 DÁlembert utiliza ecuaciones diferenciales parciales para el estudio de los vientos en su obra Reflexiones sobre la causa general de los Vientos. Por este trabajo recibió un premio de la Academia Prusiana. 1748 María Agnesi escribe un texto en italiano para la enseñanza del cálculo diferencial. El libro contiene muchos ejemplos cuidadosamente seleccionados para ilustrar las ideas y investiga una curva que por una traducción defectuosa se conoce como “la bruja de Agnesi”. 1748 Euler introduce el símbolo i para la

1 .

Euler publica Análisis del infinito el cual es una introducción al análisis matemático. Define una función y afirma que el análisis matemático es el estudio de las funciones. Su trabajo fundamenta el cálculo sobre la teoría de funciones elementales y no sobre las curvas geométricas como se había hecho antes. Euler demuestra la famosa “igualdad de Euler”: eix = Cos x + i Sen x y en el mismo documento aparece por primera vez la expresión: ei = -1. Desarrolla además series para calcular  y 2. * 1750 D´Alembert estudia el “problema de los tres cuerpos” y aplica el Cálculo a la mecánica celeste. Euler y posteriormente Lagrange y Laplace investigaron también sobre los 3 cuerpos lo que condujo luego al concepto 48

de soluciones cualitativas de ecuaciones diferenciales y a la Teoría del Caos. 1750 Cramer publica Introducción al análisis de las líneas curvas algebraicas donde aparece la hoy conocida como “la regla de Cramer”, para evaluación de ecuaciones lineales simultáneas por medio de determinantes. Giulio Fagnano presenta su obra Producciones matemáticas que contiene importantes propiedades de la curva llamada Lemmiscata de Bernoulli, y la fórmula de duplicación para evaluación de integrales. Con este último resultado Euler demostró la fórmula de adición para integrales elípticas. 1751 Euler publica su teoría sobre logaritmos de los números negativos y complejos. 1752 Mientras investigaba sobre temas de hidrodinámica D´Alembert descubre las ecuaciones que hoy conocemos como de Cauchy-Riemann, matemáticos que años después profundizaron en el estudio de las funciones de variables compleja. Euler enuncia su teorema sobre poliedros: Vértices + Caras = Aristas + 2, que Descartes ya conocía en 1635. 1753 Simpson hace notar que en la serie de Fibonacci (planteada en 1202) la relación entre números adyacentes tiende hacia la “razón dorada”: ( 5  1)  2  1,618 … Euler intenta demostrar el último teorema de Fermat y lo hace para n = 3, 6, 9, 12… etc. Para esto utilizó propiedades de los números complejos. 1754 Joseph Louis de Lagrange hace notables descubrimientos sobre la Tautócrona contribuyendo sustancialmente al Cálculo de Variaciones. La Tautócrona es una curva sobre la que oscila un cuerpo con un periodo independiente de la desviación. La cicloide pertenece a esta clase. 1755 Euler publica un texto sobre Cálculo Diferencial el cual se inicia con el cálculo de diferencias finitas. 1757 Lagrange funda con otras personas una sociedad matemática en Italia que luego se convierte en la Academia de Ciencias de Turín. 1758 El cometa Halley aparece el 25 de diciembre confirmando las predicciones de Edmund Halley hechas en 1727. El periodo del cometa es de unos 75 años, continúa apareciendo regularmente y su más reciente perihelio ocurrió en 1987. 49

1759 Acepinus publica Ensayo de una teoría sobre Electricidad y Magnetismo que es el primer trabajo escrito para desarrollar unas bases matemáticas sobre dichos conceptos. 1761 Johann Lambert demuestra que  es irracional. En 1768 publicó un resultado más amplio al respecto. 1761 John Harrison fabrica un cronómetro de precisión con el objeto de calcular la longitud en alta mar ganando así un premio de 20000 libras ofrecido por el gobierno británico. El rey Jorge III se lo entregó en 1765. 1763 Gaspar Monge inicia el estudio de la Geometría Descriptiva que había tenido precursores importantes: Marco Vitrubio en el siglo I A.C., Albert Dürer en Alemania (1525) y el español Juán de Herrera en la segunda mitad del siglo XVI. 1764 Bayes publica Un ensayo sobre la solución de un problema en la Doctrina del Azar que es de las obras más importantes sobre el tema, la cual incluye el “teorema de Bayes” para evaluación de eventos con probabilidades condicionales múltiples. 1765 Euler publica Teoría del movimiento de cuerpos rígidos que establece los fundamentos de la Mecánica Analítica, desarrollada formalmente por Lagrange dos décadas después. 1766 Johann Lambert escribe Teoría del Paralelismo en la que trata el quinto postulado de Euclides. Suponiendo que éste es falso deduce varios resultados sobre geometría no euclídea. 1767 D´Alembert, refiriéndose a los continuos fracasos para demostrar el postulado de las paralelas, se refiere el hecho como “el escándalo de la geometría elemental”. 1768 Lambert publica su resultado, obtenido siete años antes, de que  es un número irracional. 1769 Euler publica el primer volumen de su obra, en tres volúmenes, de Dióptica. Euler plantea la “conjetura de Euler” que afirma que en el conjunto de los enteros es imposible descomponer una cuarta potencia en tres cuartas potencias, una quinta potencia en cuatro quintas potencias y así sucesivamente. Esta proposición es una extensión del último teorema de Fermat.

1770 Lagrange demuestra que cualquier número entero puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados. Lagrange publica Reflexiones sobre la solución algebraica de ecuaciones en la cual hace una investigación fundamental sobre la posibilidad de resolver por radicales las ecuaciones de grado superior al cuarto. Este trabajo es el primero en considerar las raíces como cantidades abstractas en vez de números y estudia además las permutaciones de las raíces. Estas investigaciones condujeron a la Teoría de Grupos desarrollada por Galois medio siglo después. Se inicia el estudio de las funciones Hiperbólicas. Así como las funciones Circulares o Trigonométricas se relacionan con el circulo unitario (R = 1), las Hiperbólicas lo hacen con la hipérbola unitaria (semiejes = 1). Euler contribuyó extensamente al desarrollo de estas funciones que actualmente tienen muchas aplicaciones especialmente en circuitos eléctricos. * 1770 Por estos años se inicia el desarrollo de la geometría analítica Tridimensional con la utilización de coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas. 1771 Lagrange demuestra el llamado teorema de Wilson que Waring habia enunciado sin demostración: n es primo sólo si (n–1)! + 1 es divisible por n. 1774 Buffon, utilizando un procedimiento matemático, calcula que la edad de la Tierra es de unos 75000 años. 1775 Euler sugiere que  es un número trascendente o sea que no puede ser solución de ecuaciones algebraicas con coeficientes racionales. 1777 Buffon hace un experimento sobre probabilidades al calcular  lanzando palillos sobre su hombro a un piso de baldosas y contando las veces que los palillos caían sobre las líneas divisorias. 1780 Lagrange gana el Gran Premio de la Academia de Ciencias de París por su trabajo sobre las perturbaciones de las órbitas de los cometas causadas por los planetas. 1781 Charles Coulomb publica Teoría de las máquinas simples que es un tratado importante sobre las fuerzas de fricción, por el cual gana el Gran Premio de la Academia francesa. 1781 William Herschell descubre el planeta Urano. Este es el séptimo planeta del sistema solar y el primero descubierto en los tiempos modernos. Los seis primeros ya se conocían en la antigüedad. 1783 Se funda la Real Sociedad de Edimburgo, en Escocia. 51

1784 Adrien Legendre en su trabajo Investigaciones sobre aspectos planetarios introduce sus “polinomios de Legendre”, estrechamente relacionados con las series de Taylor. 1785 Condorcet publica Ensayo sobre aplicaciones del Análisis a las Probabilidades, que es un tratado avanzado de las aplicaciones del tema a las ciencias sociales. Coulomb confirma experimentalmente que las fuerzas de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre ellas. Lagrange inicia el estudio de las funciones y de las integrales elípticas, conceptos que resultan del cálculo de las longitudes de arcos de la elipse. 1786 Pierre Simon Laplace, basado en las teorías de Newton sobre la gravitación, demuestra que el sistema solar es estable a largo plazo. 1788 Lagrange publica su obra cumbre Mecánica Analítica. Este trabajo cubre todos los estudios sobre mecánica desde la época de Newton y es notable por el extenso uso de la teoría de las ecuaciones diferenciales. Con esta obra Lagrange transforma la mecánica en una rama del análisis matemático. Lagrange, para solucionar algunas ecuaciones diferenciales, empleó un método muy similar al que actualmente se conoce como Transformada de Laplace. * 1790 Por estos años Gaspar Monge inicia el estudio de la denominada Geometría Diferencial que es una aplicación del cálculo diferencial a la geometría analítica. 1791 La Asamblea Nacional Francesa aprueba la utilización del sistema métrico decimal basado en unidades de longitud, masa y tiempo. 1792 De Prony empieza la enorme tarea para producir su obra Cadastre, unas tablas logarítmicas y trigonométricas de entre 14 y 29 cifras decimales. 1794 Legendre publica Elementos de Geometría, un tratado de mucho éxito que se utilizó extensamente durante el siglo XIX y reemplazó al tradicional texto de Euclides en buena parte de Europa y luego en los Estados Unidos. Dicha obra fue el prototipo de varios libros sobre el tema publicados posteriormente. Georg Vega calcula  con 140 decimales. 52

1795 Laplace presenta su famosa hipótesis nebular en Exposición del sistema del mundo en el que sugiere que el sistema solar se formó de una nube plana e incandescente de gas que rotando se contrajo y se enfrió lentamente hasta formar el Sol y los planetas. Carlos Federico Gauss hace la primera demostración correcta de la ley cuadrática inversa que rige las atracciones gravitacionales, electrostáticas y magnéticas. 1797 Lagrange publica Teoría de Funciones Analíticas que es el primer tratado sobre la teoría de funciones de variable real. En esta obra utiliza la conocida notación dy/dx para derivadas. Casper Wessel presenta un documento sobre la representación vectorial de los números complejos el cual se publicó en idioma Danés en 1799. La idea ya había aparecido en un informe que él escribió en 1787. Lorenzo Mascheroni en su obra Geometría del Compás demuestra, en forma más amplia que Mohr en 1672, que para las construcciones euclidianas no se requiere la regla sino sólo el compás. Lazare Carnot publica Reflexiones sobre la metafísica del cálculo infinitesimal en el cual trata el cero y el infinito como límites. También considera que las cantidades infinitamente pequeñas son objetos reales que pueden representarse como diferencias entre límites. 1799 Gauss demuestra el Teorema Fundamental del Algebra: toda ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n raíces que pueden ser reales y/o complejas. Observa además que intentos de demostraciones anteriores, como la de D´Alembert en 1746, podían corregirse fácilmente. Laplace publica el primer volumen de los cinco del Tratado de Mecánica Celeste. Él aplica el cálculo al estudio de las órbitas de los cuerpos celestes y examina la estabilidad del sistema solar. Se adopta, por iniciativa de Francia, el sistema de unidades C.G.S. basado en el centímetro, el gramo y el segundo. Gaspar Monge publica su importante obra Geometría Descriptiva en la cual estudia el sistema de proyecciones que permite ver en detalle y en un plano figuras tridimensionales. Sus métodos se utilizan actualmente en arquitectura y en el diseño industrial. Paolo Ruffini publica la primera demostración de que las ecuaciones algebraicas de grado superior al cuarto no pueden resolverse por radicales. Este hecho fue largamente ignorado así como adicionales demostraciones que él hizo en 1803, 1808 y 1813. 53

3.3

Época Geométrica (1800 - 1874)

1800 Sylvestre François Lacroix publica su obra en 3 volúmenes Tratado de Cálculo Diferencial e Integral. Alejandro Volta construye la pila que lleva su nombre utilizando zinc, papel empapado en salmuera y cobre. Este elemento es el prototipo de las pilas y acumuladores eléctricos y la unidad de tensión en el sistema internacional, el Voltio, se denomina así en su honor. 1801 Gauss publica Disquisiciones Aritméticas que contiene 7 secciones donde las seis primeras están dedicadas a la teoría de números y la última a la construcción con regla y compás del polígono de 17 lados. Gauss demostró que los polígonos regulares de n lados, si n es primo dado por la fórmula 2 2 P  1 ( p  0, 1, 2, 3...), pueden construirse con regla y compás. Demostró también el teorema fundamental de la Aritmética: todo número natural se puede representar como el producto de números primos en sólo una forma. Giuseppe Piazzi descubre el asteroide Ceres pero poco después se perdió; posteriormente Gauss basado en las pocas observaciones obtenidas calculó su órbita y Franz Von Zach lo redescubrió casi en la posición predicha por Gauss. Gauss demuestra la conjetura de Fermat: todo número natural puede expresarse como la suma algebraica de 3 números triangulares; el lugar késimo de un número triangular lo ocupa a k = a k-1 + k y los primeros de la sucesión son 1, 3, 6, 10, 15… 1803 Lazare Carnot publica Geometría de posición en la cual se utiliza por primera vez en forma sistemática el concepto de magnitudes orientadas. 1804 Friedrich Wilhelm Bessel publica un documento recalculando la órbita del cometa Halley utilizando datos de las observaciones hechas por Harriot 200 años antes. 1806 Robert Argand introduce el “diagrama Argand” para representar números complejos en el plano en forma geométrica. Adrien Legendre desarrolla un método de mínimos cuadrado para lograr las mejores aproximaciones de un conjunto de datos observados.

1807 Jean Baptiste Fourier descubre su método para representar funciones periódicas como la suma de series de funciones trigonométricas, presentando dicho método en su obra Propagación del calor en cuerpos sólidos, que puso en consideración de la Academia de Ciencias de París. 1808 John Dalton demuestra que los elementos químicos se combinan en proporciones constantes para formar compuestos. Christian Kramp inicia el uso del símbolo ! para la expresión factorial. Sofía Germain hace importantes contribuciones al último Teorema de Fermat demostrándolo para algunos números primos. Legendre llamó a estos trabajos el “Teorema de Germain”. 1809 Gauss profundiza sobre el método de los mínimos cuadrados el cual utiliza para calcular órbitas planetarias en su obra Teoría del movimiento de los Cuerpos Celestes. 1810 Joseph Diez Gergonne publica el primer volumen de sus Anales de matemáticas puras y aplicadas que luego se convirtió en lo conocido como Anales de Gergonne. 1811 Amadeo Avogadro propone el concepto de molécula y calcula que en un Mol de un elemento o compuesto existen unos 6,02 x 10 23 átomos o moléculas, respectivamente. Siglo y medio después el Mol se adoptó como la unidad básica de cantidad de sustancia del Sistema Internacional S.I. Simeon Denis Poisson publica Tratado de Mecánica que contiene sus trabajos sobre la aplicación de las matemáticas a temas como mecánica, electricidad y magnetismo. 1812 Laplace publica los dos volúmenes de Teoría analítica de las Probabilidades. El primer libro estudia funciones generadoras y también da explicaciones a diversas expresiones propias de la teoría probabilística. El segundo contiene la definición de Laplace de probabilidad, la regla de Bayes y el concepto de esperanza matemática. 1814 Argand da una elegante demostración del teorema fundamental del álgebra con algunas lagunas, que Gauss había demostrado ya en 1799. Barlow produce las “Tablas de Barlow” que contiene los factores primos, cuadrados, cubos, raíces cuadradas, recíprocos y logaritmos neperianos de los enteros de 1 a 10000.

1815 Peter Roget inventa las escalas log-log y las incluye en la regla de cálculo inventada por Oughtred en 1632. Poisson utiliza la llamada “Integral de Laplace” para transformar y resolver ciertas ecuaciones diferenciales. Este método es precursor del hoy llamado Transformada de Laplace. Se funda la “Sociedad Analítica” en Cambrigde. 1816 Peacock, Herschel y Babbage, líderes de la Sociedad Analítica de Cambridge, publican la traducción al idioma inglés de la obra de Lacroix publicada en 1800. 1817 Bessel descubre una clase de funciones integrales, conocidas como “Funciones Bessel”, cuando estudiaba un problema de Kepler sobre el movimiento de tres cuerpos bajo la acción mutua de atracciones gravitacionales. Estas funciones son las soluciones de una relevante ecuación diferencial lineal de segundo orden. Bernhard Bolzano publica Demostración analítica pura que contiene un intento para liberar al Cálculo de los conceptos infinitesimales. Él define las funciones continuas sin utilizar dichos conceptos y en esa obra ya aparece el llamado teorema de Bolzano – Weierstrass que demuestra que todo conjunto infinito acotado posee por lo menos un punto de acumulación. 1818 Adrain, inspirado en trabajos la Laplace, hace investigaciones sobre la forma de la tierra y sobre la gravedad en diferentes latitudes. 1819 William George Horner presenta a la Real Sociedad de Londres un documento con los detalles del hoy llamado “método de Horner” para evaluar polinomios y facilitar la solución de ecuaciones algebraicas. Dicho documento se publicó en este año en las Transacciones Filosóficas de la mencionada Sociedad. 1820 Thomas de Colmar patenta la calculadora llamada Aritmómetro que ejecutaba las cuatro operaciones fundamentales pero su desarrollo comercial sólo se inició en la década de 1850. Charles Jules Brianchon publica Investigaciones sobre la determinación de una hipérbola equilátera con cuatro condiciones dadas que contiene la demostración del teorema de los nueve puntos del círculo. 1821 Louis H. Navier presenta las conocidas “Ecuaciones de Navier-Stokes” para líquidos incomprensibles, de aplicación en hidrodinámica.

1821 Cauchy publica Curso de Análisis en el cual se dan fundamentos sólidos al análisis matemático por primera vez. Diseñado para estudiantes de la Escuela Politécnica Francesa desarrolla los teoremas básicos del Cálculo en la forma más rigurosa posible. 1822 Victor Poncelet desarrolla los principios de la Geometría Proyectiva en su obra Tratado sobre las propiedades proyectivas de las figuras. Este trabajo contiene las ideas básicas de esta rama de la geometría tales como razón doble, perspectiva, involución y puntos circulares en el infinito. 1822 Charles Babbage desarrolla la idea de un Computador Digital mecánico al cual llamó “Máquina Analítica” y cuyos cálculos podrían lograrse con 20 cifras significativas. Los trabajos galardonados de Fourier desarrollados en años anteriores se publican como Teoría analítica del Calor. Esta obra describe ampliamente los diversos análisis que tienen muchas e importantes aplicaciones en matemáticas y otras ciencias tales como las series y las transformadas de Fourier. 1822 Carlos Guillermo Feuerbach publica el “Teorema de Feuerbach” sobre sus descubrimientos de las propiedades de un círculo que pasa por los puntos medios de los lados de un triángulo y por las bases de las alturas del mismo. 1823 Janos Bolyai completa la preparación de un tratado sobre un sistema completo de una geometría no-euclídea. Cuando Bolyai se enteró de que Gauss se había anticipado en el estudio del tema pero sin publicar sus descubrimientos, aplazó su divulgación. Charles Babbage empieza la construcción de una gran “máquina diferencial” que pudiera calcular logaritmos y funciones trigonométricas, con base en la experiencia que tuvo al construir –entre 1819 y 1822- una máquina más pequeña. No logró terminarla y hoy se encuentra en el Museo de Ciencias de Londres y se le considera una precursora de las actuales computadoras. 1824 Sadi Carnot publica Consideraciones sobre la potencia motriz del fuego y sobre una máquina capaz de desarrollar dicha potencia. Se trata de un libro sobre las máquinas de vapor y ha sido de mucha importancia en termodinámica; el “ciclo de Carnot”, fundamental en la segunda ley de la termodinámica, también aparece en la obra.

1824 Niels Henrick Abel demuestra que las ecuaciones polinómicas de grado mayor al cuarto no pueden resolverse por radicales, tal como se hace con las de 2°, 3° y 4° grados, publicando su descubrimiento en un documento de seis páginas. Bessel profundiza en el desarrollo de las “funciones Bessel” mientras investigaba el comportamiento de perturbaciones planetarias. Jakob Steiner inicia el desarrollo de la Geometría Proyectiva Sintética y publicó los resultados en 1832; se le considera el mayor geómetra después de Apolonio de Perga (siglo III A.C). Gompertz presenta su “Ley de mortalidad de Gompertz” la cual muestra que la tasa de mortalidad se incrementa en progresión geométrica y por lo tanto al graficar dichas tasas con escala logarítmica resulta una recta que se conoce como “función de Gompertz”. 1825 Utilizando el método desarrollado por Germain, en 1808, Dirichlet y Legendre trabajando en forma independiente demuestran el último teorema de Fermat para n= 5, 10, 15, 20 … etc. 1826 André Marie Ampére publica Memoria sobre la teoría matemática de los fenómenos Electrodinámicos deducidos experimentalmente que contiene la deducción matemática de la ley de la fuerza electrodinámica y describe cuatro experimentos. Estos estudios son el fundamento de la teoría electromagnética y la unidad básica de intensidad de corriente eléctrica del Sistema Internacional, el Amperio, se denomina así en su honor. Augusto Leopoldo Crelle inicia la publicación del Diario de Crelle documento dedicado a la divulgación de los trabajos e investigaciones sobre matemáticas. El primer volumen contiene varias publicaciones de Abel. 1826 Poncelet, al investigar sobre polos y líneas polares asociadas con las cónicas, descubre el principio de dualidad de tanta importancia en geometría proyectiva. Joseph Diez Gergone, quien acuñó la palabra polar, independientemente de Poncelet el principio de dualidad.

descubre

1827 Carlos Gustavo Jacobi escribe una carta a Legendre detallando sus descubrimientos sobre funciones elípticas; éstas tienen su origen en el cálculo de la longitud de la elipse y al aplicarlas al campo de la variable compleja se obtienen funciones periódicas con doble período que son de gran importancia en la física teórica. 58

1827 Niels H. Abel por estos años investiga sobre funciones elípticas que en su honor se conocen también como funciones abelianas. August Ferdinand Möbius publica El cálculo baricéntrico sobre geometría analítica. Ésta obra se convirtió en un clásico y contiene muchos de sus resultados sobre geometría proyectiva y afín. Introduce también el concepto de coordenadas homogéneas y analiza transformaciones geométricas proyectivas. Georg Simon Ohm reemplaza las vagas descripciones que había sobre fenómenos eléctricos por conceptos precisos de cantidad de electricidad, fuerza electromotriz, intensidad de corriente y resistencia eléctrica, formulando la ley que lleva su nombre. La unidad S.I. de resistencia, el Ohmio, se llama así en su honor. 1827 Carlos G. Feuerbach y Julius Plücker, en forma independiente entre ellos y de Möbius, introducen el concepto de coordenadas homogéneas que son de importancia básica en geometría analítica proyectiva. Cauchy desarrolla el cálculo de residuos que tiene mucha aplicación en la evaluación de integrales de algunas funciones de variable compleja. 1828 Gauss profundiza en las investigaciones sobre Geometría Diferencial y publica Disquisiciones generales sobre superficies. Este documento tuvo su origen en intereses geodésicos y contiene la idea de “curvatura gaussiana” que es de mucho interés en la clasificación de las geometrías. George Green publica Ensayo sobre las aplicaciones del análisis matemático a la teoría de la Electricidad y del Magnetismo en el cual aplica las matemáticas a las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos. Él introduce el término Potencial, desarrolla la función potencial y la aplica a los fenómenos electromagnéticos. La fórmula potencial conecta integrales de superficie y de volumen y se conoce hoy en día como el “teorema de Green” que además se utiliza mucho en la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Abel inicia el estudio de las funciones elípticas doblemente periódicas y le envía sus resultados a Cauchy quien los pierde temporalmente y sólo se publicaron en 1841. Abel también investigó sobre convergencia de series, funciones transcendentales y el teorema del binomio que generalizó para cualquier exponente; murió de 26 años en 1829 de una afección pulmonar. 1828 Julius Plücker publica Análisis Geométrico en el cual desarrolla la “notación abreviada plückeriana”.

1829 Evariste Galois presenta su primer trabajo sobre solución algebraica de ecuaciones a la Academia de Ciencias de París. Johann Listing acuña el término Topología e investiga sobre el tema con la colaboración de Gauss quien lo estimuló y lo motivó significativamente. La Topología es la rama de la Geometría que trata de la relación y posición de las figuras geométricas sin tener en cuenta deformaciones, medidas, ángulos, proyecciones, etc. Nicolás Ivanovich Lobatschewski desarrolla el concepto de una geometría no-Euclídea, denominada hiperbólica, negando el postulado de Euclides de las paralelas y con base en el axioma de que por un punto exterior a una recta pueden trazarse infinitas paralelas a dicha recta. Él presentó su trabajo a la Academia de Ciencias de San Petesburgo pero inicialmente fue rechazado. Casi un siglo después Albert Einstein utilizó estos conceptos al formular la teoría especial de la relatividad. 1830 Babbage crea las primeras tablas actuariales exactas para su uso en cálculo sobre Seguros. Simeón Denis Poisson introduce la “relación de Poisson” en la teoría de la elasticidad la cual se relaciona con esfuerzos y fatigas en los materiales. George Peacock Publica su Tratado de Algebra con el objeto de dar al álgebra un desarrollo axiomático lógico comparable a los Elementos de Euclides. Por este motivo se le conoce como “el Euclides del álgebra”. 1831 Möbius publica una obra en la cual introduce la “función de Möbius” y la “fórmula de inversión de Möbius”. Cauchy presenta desarrollos de series de potencias de funciones analíticas de variable compleja. 1832 Steiner publica Desarrollo sistemático de la interdependencia de las formas geométricas en el cual se trata la geometría proyectiva con base en propiedades métricas. Gauss diseña un sistema de medidas lógico para los fenómenos magnéticos. La unidad de inducción magnética en el sistema C.G.S, el gauss, se denomina así en su honor. Gauss establece que una vez definidas algunas unidades fundamentales – como por ejemplo longitud, masa y tiempo- el resto de unidades puede deducirse de las antedichas. El Sistema Internacional S.I. está basado en este concepto. 60

1832 Evariste Galois crea la teoría de Grupos y confirma la imposibilidad de solución por radicales de ecuaciones de grado superior al 4°. Éstas y otras importantes contribuciones de Galois a las matemáticas sólo se publicaron años después de su muerte ocurrida en este año. Murió en un duelo por razones aún confusas que algunos atribuyen a cuestiones sentimentales y otros a problemas políticos; había nacido en 1811. Farkas Bolyai publica una obra en cuyo apéndice aparece la Ciencia absoluta del espacio de su hijo Janos que es un desarrollo de una geometría no-euclídea, hiperbólica como la de Lobachevsky de 1829, basada también en la negación del axioma euclidiano de las paralelas. Legendre hace notar las fallas en 12 “demostraciones” hechas del axioma de las paralelas en años anteriores. 1834 John Scott Rusell registra la primera visión de una onda “soliton”; esta onda conserva su forma, amplitud y cantidad de movimiento y es inmune a la interferencia de una onda vecina. Estas características hacen de la “soliton” un medio ideal para transmitir información. William Rowan Hamilton utiliza el álgebra al investigar el tema de dinámica en su obra Método general en Dinámica. Este documento da la primera proposición de la función característica aplicada a esa rama de la física. 1835 Lambert A. Quetelet publica Un Tratado sobre el Hombre y el desarrollo de sus facultades en el cual presenta su concepción del “hombre promedio” como el valor central sobre el cual se miden los rasgos humanos agrupados de acuerdo con la curva de Distribución Normal. Gaspard de Coriolis publica Sobre las ecuaciones del movimiento relativo de sistemas de cuerpos. En esta obra introduce el concepto de “fuerzas de Coriolis” y comprueba que las leyes del movimiento pueden usarse en un marco de referencia en rotación si una fuerza adicional llamada “aceleración de Coriolis” se añade a la ecuación del movimiento. Coriolis publica un trabajo sobre una teoría matemática del Billar, que es la primera obra técnica sobre dicho juego. 1836 Joseph Liouville funda el Diario de matemáticas puras y aplicadas. Este periódico contribuyó notablemente al progreso de las matemáticas en Francia durante el siglo XIX. Poncelet publica Curso de Mecánica aplicada a las máquinas en el cual se propone por primera vez el uso de las matemáticas en el diseño de máquinas. 61

1837 Poisson publica Investigaciones sobre la probabilidad de las opiniones. En este trabajo él establece las reglas de las probabilidades, da las “Leyes de Poisson de los grandes números” y describe la Distribución de Poisson para una variable aleatoria discreta, la cual es un caso límite de la Distribución Binómica o de Bernoulli. Se inicia la publicación del periódico matemático de Cambridge y Dublin. Peter Dirichlet demuestra que el número promedio de divisores de todos los números enteros de 1 a n está muy cercano al valor de la expresión ln n + 2 – 1, donde  es la llamada constante de Euler – Mascheroni (0.57721566…) que aparece en la teoría de números y no se sabe aún si es racional, algebraica o transcendente. Liouville investiga sobre algunas ecuaciones integrales y presenta la llamada “teoría Sturm – Liouville” la cual se utiliza para solucionar dichas ecuaciones. Wantzel demuestra que los clásicos problemas griegos de duplicar el cubo y trisectar un ángulo no pueden resolverse sólo con regla y compás. 1838 Bessel, utilizando el heliómetro diseñado por él mismo, logra medir el paralaje de la estrella 61 de la constelación del Cisne (descubierta por Giuseppe Piazzi una generación antes), calculando que estaría a unos 56 billones de kilómetros o sea que su luz toma unos 6 años en llegar a la Tierra. Desde entonces el término año-luz se introdujo en astronomía y dicho paralaje fue el primero calculado a una estrella. Antonio Agustin Cournot publica Investigaciones sobre los principios matemáticos de la teoría de la riqueza que trata de las diversas aplicaciones de la matemática a la economía, en especial a los conceptos de oferta y demanda. De Morgan acuña el término “inducción matemática” y hace de dicho concepto un método preciso de demostración que consiste en ir de lo particular a lo general, o sea lo contrario del método deductivo. 1839 Gabriel Lamé demuestra el último teorema de Fermat para n = 7, 14, 21, 28…etc., haciendo algunas adiciones al teorema de Sofía Germain de 1808. 1840 Liouville demuestra la existencia de los números transcendentes que son ciertos números irracionales que no son soluciones de ecuaciones algebraicas con coeficientes racionales. Los números  y e son transcendentes, como se demostró años después. 62

1840 En esta década se añadieron nuevas escalas a la regla de cálculo rectilínea inventada por Oughtred en 1632 y además se utilizaron ambos lados de la misma. Cauchy publica el primero de los cuatro volúmenes de su obra Ejercicios de análisis y de física matemática. Gauss propone utilizar símbolos geométricos sobre extensas áreas de la Tierra como medio de comunicación con posibles seres inteligentes de otros planetas. 1841 Gauss publica un tratado sobre óptica en el cual da una fórmula para calcular la posición y el tamaño de la imagen formada por un lente con una distancia focal dada. Carlos Gustavo Jacobi escribe un extenso documento titulado Determinante funcional dedicado a explicar el hoy llamado Jacobiano que es un determinante formado por derivadas parciales que tiene mucha utilidad cuando se efectúan cambios en los sistemas de coordenadas como, por ejemplo, de rectángulares a polares o esféricas. Quetelet establece la Oficina Central de Estadística de Bélgica. 1842 Ludwig Otto Hesse introduce el “determinante Hessiano” en un documento en el cual investiga curvas cuadráticas y cúbicas. Hesse fue discípulo de Jacobi y su determinante, similar al Jacobiano, está formado de las segundas derivadas parciales de funciones simultáneas de dos o más variables. George Gabriel Stokes inicia sus investigaciones sobre fluidos y publica Sobre el movimiento uniforme de fluidos incomprensibles. Las ecuaciones de Navier-Stokes publicadas en 1821 se llaman así en su honor. 1843 Arthur Cayley es el primero en investigar sobre el concepto de geometrías n-dimensionales y sobre este tema publicó un documento en el que utiliza extensamente los determinantes de matrices de nxn, (n = 2, 3, 4… etc.). William Hamilton descubre los Cuaterniones que son números hipercomplejos de cuatro dimensiones compuestos de una componente real y tres componentes imaginarias. El producto de cuaterniones no es conmutativo y los números complejos son un subconjunto de aquellos. Liouville anuncia a la Academia de Ciencias de París que ha encontrado profundos resultados en los trabajos no publicados de Galois y promete dar a conocer dichos trabajos, complementados con sus propios comentarios. 63

1843 Ernst Eduard Kummer inventa los “números complejos Ideales” al estudiar la factorización única. Estos trabajos conducen al desarrollo de la teoría de Anillos. Liouville halla los primeros números trascendentes cuya existencia había demostrado en 1840. 1844 Cauchy, mientras examinaba grupos de permutaciones, demuestra el hoy llamado “teorema de Cauchy” que es fundamental en la Teoría de Grupos. Hermann Grassmann publica Teoría de la extensión lineal, una nueva rama de la Matemática que contiene ideas parecidas a los cuaterniones de Hamilton. Se trata de un cálculo muy general con vectores de cualquier número de dimensiones y cuyo producto no es conmutativo. Schulz y Dase calculan  con 200 decimales. 1845 Cayley publica Teoría de transformaciones lineales que examina la composición de dichas transformaciones, enriqueciendo el conjunto de temas que hoy conocemos como Algebra Lineal. 1846 Liouville publica las investigaciones de Galois sobre la solución de ecuaciones algebraicas en su Diario de Liouville. James Clerk Maxwell escribe su primer documento, cuando tenía 14 años: Descripción de curvas ovales y de aquellas que tienen varios focos. 1847 En marzo Gabriel Lamé y Agustin Louis Cauchy anunciaron a la Academia Francesa, en forma independiente, que en pocas semanas darían a conocer sus respectivas demostraciones del último teorema de Fermat. Ambos estaban basados en el teorema fundamental de la aritmética: Todo número natural puede descomponerse en factores primos en sólo una forma. En mayo Joseph Liouville leyó ante la misma Academia una carta de Ernst Kummer en la cual invalidaba las demostraciones de Lamé y Cauchy al hacer notar que el principio de factorización única es válido sólo en el campo de los números reales y que no lo es en el campo de los complejos ya que, por ejemplo, el 20 puede factorizarse en 20 = 2 2. 5 = 1  i 19 1  i 19 = 3  i 11 3  i 11 , etc. El último teorema de Fermat seguía aún sin demostrarse.

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1847 George Boole publica Análisis matemático de la Lógica en el cual demuestra que las reglas de la lógica pueden tratarse matemáticamente en vez de metafísicamente. Esta obra sienta las bases de la Lógica Simbólica que explica con símbolos la lógica de Aristóteles creada a mediados del siglo IV A.C. 64

1847 Augusto de Morgan propone las dos “leyes de Morgan “ que son de mucha importancia en Teoría de Conjuntos y en Lógica Simbólica. Karl von Staudt publica Geometría de Posición en la cual independiza completamente la geometría proyectiva de toda consideración métrica. Esta obra es muy abstracta ya que fue redactada sin emplear figuras para evitar la posibilidad de fijarse en un caso particular. 1848 William Thompson (Lord Kelvin) propone una escala para medir la temperatura absoluta en la cual el punto de congelación del agua, 0° centígrados, equivale a unos 273° absolutos. La unidad básica de temperatura en el S.I., el Kelvin, se denomina así en su honor. 1849 Charles Hermite aplica el teorema de los residuos, desarrollado por Cauchy en 1827, a funciones de variable compleja doblemente periódicas. 1850 Pafnuti L. Chebyshev publica Sobre números primarios en el cual demuestra nuevos resultados en la teoría de números primos. Demuestra también la conjetura de Joseph Bertrand de que siempre hay al menos un número primo entre n y 2n para n > 1. Por estos años se inicia el desarrollo de las Tablas de Verdad para demostrar proposiciones en lógica simbólica. Este método de demostración se denomina Sistema T. James Joseph Sylvester en su documento Sobre una nueva clase de Teoremas acuña y utiliza la palabra “matriz” al referirse a arreglos rectangulares de números de m filas por n columnas. 1851 El libro Paradojas del infinito de Bernhard Bolzano se publica tres años después de su muerte. Él introduce en este libro sus ideas sobre conjuntos infinitos. Liouville publica un nuevo trabajo sobre la existencia de ciertos números transcendentes que hoy en día se conocen como “números de Liouville”. George F. Riemann presenta ideas de mucha importancia relacionadas con las propiedades de las “superficies de Riemann” y al reemplazar el postulado euclidiano de las paralelas por el axioma de que por un punto exterior a una recta no puede trazarse paralela alguna, sentó las bases de una nueva Geometría que se denomina Elíptica. La geometría esférica es un ejemplo de aquella. 1852 Sylvester establece la teoría de las Invariantes Algebraicas.

1852 Francis Guthrie propone la denominada Conjetura de los Cuatro Colores a Augusto de Morgan. Michel Chasles publica Tratado de Geometría en el cual discute temas como razón doble, haces de rectas e involuciones, todos ellos relacionados con geometría proyectiva. 1853 William Hamilton publica Disertaciones sobre Cuaterniones explicando las bases fundamentales del álgebra hipercompleja. William Shanks calcula  con 707 decimales pero noventa años después se descubrió que el cálculo estaba errado a partir del decimal 528. 1854 Riemann presenta su tesis doctoral Sobre los fundamentos que sirven de base a la Geometría. En ella estudia la representabilidad de funciones por series trigonométricas y da las condiciones para que una función sea integrable. Define además lo que es un espacio n-dimensional y formaliza el concepto de “espacio Riemanniano” utilizando tópicos tales como geodésicas y curvatura en superficies, estipulando que si la curvatura es cero se tiene la geometría parabólica o euclidiana, si es positiva se tiene la elíptica y si es negativa se tiene la hiperbólica. George Boole publica Las leyes del pensamiento en las cuales se basan las teorías matemáticas de la Lógica y de las Probabilidades. En esta obra él formaliza la creación del Algebra Booleana que es el álgebra de la lógica simbólica y de la teoría de conjuntos y además es el instrumento matemático utilizado para el diseño de los circuitos lógicos que son la base de las modernas computadoras digitales. 1854 Cayley hace un importante avance en la teoría de grupos cuando desarrolla el primer intento, no completamente exitoso, de definir un grupo abstracto. 1855 James Clerk Maxwell publica Líneas de fuerza de Faraday demostrando que unas ecuaciones matemáticas relativamente simples pueden expresar el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos y su interrelación. Ritcher calcula  con 500 decimales. 1856 Karl Weierstrass publica en el Diario de Crelle su teoría de inversión de las integrales hiperelípticas. 1857 Riemann publica Teoría de funciones Abelianas en la cual profundiza la idea sobre las “superficies de Riemann” y sus propiedades topológicas, examina funciones mono y multivaloradas sobre una superficie especial y resuelve casos de problemas de inversión que ya habían sido tratados por 66

Abel y Jacobi. 1858 Cayley da una definición abstracta de matriz, término introducido por Sylvester en 1850, y estudia sus propiedades en la obra Memoria sobre la teoría de Matrices. Möbius describe una cinta de papel que tiene un solo lado y un solo borde, conocida hoy como “cinta de Möbius”, que al cortarla por su eje presenta curiosas propiedades. Listing hizo el mismo descubrimiento en el mismo año y las mencionadas propiedades son un ejemplo de las características topológicas de las figuras geométricas. Julius Wilhelm Dedekind descubre un riguroso método para definir números irracionales conocido como “cortes de Dedekind”. La idea se le ocurrió mientras pensaba cómo enseñar cálculo diferencial e integral. 1859 Mannheim inventa la primera regla de cálculo moderna que tiene un cursor o indicador. Riemann hace una conjetura sobre la “función zeta” la cual involucra una serie infinita, números primos y variable compleja. Aún no se sabe si dicha hipótesis es válida aunque se conoce que es verdadera en millones de casos y es quizá el más famoso problema matemático no resuelto todavía hasta iniciado el siglo XXI. 1860 Carlos Delaunay publica el primer volumen de La teoría del movimiento de la Luna, que es el resultado de 20 años de trabajo, resolviendo el problema de “los tres cuerpos” al calcular la longitud, latitud y paralaje de la Luna, en coordenadas celestes eclípticas, utilizando series infinitas. 1861 Weierstrass descubre una curva continua que no es diferenciable en punto alguno. 1862 James Maxwell y Ludwing Boltzmann aplican las leyes de las probabilidades y de la mecánica al comportamiento de las moléculas individuales lo que permitió deducciones estadísticas sobre las propiedades de los gases. Maxwell afirma que la luz es un fenómeno electromagnético. 1862 Guillermo Jevons presenta ante la Asociación Británica de Cambridge un documento titulado Teoría Matemática general de la Política Económica, que es una de las primeras y más importantes aplicaciones de las matemáticas a la macroeconomía. 1863 Weierstrass demuestra que los números complejos son la única extensión algebraica conmutativa de los números reales. Los cuaterniones o números hipercomplejos, extensión de los complejos, son un cuerpo no conmutativo. 67

1864 Joseph Bertrand publica su obra Tratado sobre Cálculo Diferencial e Integral. Se funda la Sociedad Matemática de Londres. Benjamin Peirce presenta a la Academia Americana su trabajo sobre Algebras Lineales Asociativas. Él clasifica todas las álgebras complejas asociativas de dimensión menor que siete utilizando los conceptos de elementos idempotentes y nilpotentes. 1865 Plücker logra mayores avances en geometría cuando define un espacio tetradimensional en el cual los elementos básicos son las líneas rectas y no los puntos. 1866 El hijo de William Hamilton publica la obra de 800 páginas titulada Elementos de Cuaterniones, incompleta aún, en la que su padre trabajó durante siete años hasta su muerte en 1865. El carácter tetradimensional de los cuaterniones tiene aplicaciones en álgebra vectorial, teoría de la relatividad, física cuántica e ingeniería genética. Thomas Allbutt inventa el termómetro clínico para medir la temperatura de los pacientes, que prácticamente es el utilizado hoy en día. 1867 Se funda la Sociedad Matemática de Moscú. 1868 Eugenio Beltrami publica Ensayo sobre una interpretación de una Geometría no-Euclidea, en el cual da un modelo concreto para la geometría hiperbólica de Lobachevsky y Bolyai, modelo que se conoce como la “seudoesfera de Beltrami”; esta superficie se obtiene haciendo girar sobre el eje horizontal la curva llamada Tractriz y su forma es parecida a una trompeta. Así como un plano es un modelo de la geometría euclidea o parabólica y una esfera es un modelo de la geometría elíptica, la seudoesfera es un modelo de la geometría hiperbólica. 1869 Lueroth descubre una curva de 4° grado que tiene curiosas e interesantes propiedades y hoy en día se conoce como la “cuártica de Lueroth”. 1871 Enrique Betti publica un documento sobre Topología el cual contiene los denominados “números de Betti”, utilizados para generalizar a n dimensiones la fórmula poliédrica de Euler de 1752. 1872 Dedeking publica su construcción formal del cuerpo de los números reales y da una definición rigurosa del número entero.

1872 Eduard Heine publica un documento el cual contiene el teorema conocido ahora como el “teorema de Heine-Borel” sobre algunas propiedades de los intervalos que tienen importantes aplicaciones de la teoría de conjuntos a la teoría de funciones, y que Emil Borel profundizó y publicó en 1895. Se funda la Sociedad Matemática de Francia. Hugo Carlos Méray publica Nueva precisión del Análisis Infinitesimal en donde presenta la teoría de funciones de variable compleja usando series de potencias. Sylow publica Teoremas sobre los grupos de sustituciones donde presenta los tres famosos “teoremas de Sylow” sobre grupos finitos, demostrándolos para grupos de permutaciones. Feliz Klein, basado en la teoría de grupos de Galois, presenta su famoso Programa de Erlanger en el cual da una decisiva orientación al desarrollo de la Geometría definiéndola como El conjunto de las propiedades invariantes de las figuras de un espacio de cualquier número de dimensiones, respecto de todos los grupos de transformaciones que se puedan definir en dicho espacio. Como tales grupos se pueden reducir a 3 resulta que todas las Geometrías quedan clasificadas en Métricas, Proyectivas y Topológicas. 1873 James Clerk Maxwell publica su obra cumbre Electricidad y Magnetismo que incluye las cuatro ecuaciones diferenciales parciales (conocidas hoy como Ecuaciones de Maxwell) que relacionan matemáticamente los fenómenos eléctricos y magnéticos. Demostró que las ondas electromagnéticas y las luminosas son de la misma naturaleza pero de distinta frecuencia, deduciendo también que su velocidad en el vacío es de unos 300000 km/s. Charles Hermite publica Sobre la función exponencial en la cual demuestra que e es un número trascendente. Josias Willard Gibbs publica dos importantes documentos sobre termodinámica que contienen las bases de los tópicos que hoy conocemos como físico-química y energía química. Enrique Pedro Brocard produce su trabajo sobre la geometría del triángulo y sobre el conjunto de problemas que dependen de la trisección del ángulo.

3.4

Época Reciente (Desde 1874)

1874 Georg Cantor publica su primer documento sobre la Teoría de Conjuntos describiendo rigurosamente la noción del infinito. Demuestra que hay diferentes clases y tamaños de infinitos y comprueba el controversial resultado de que casi todos los números son trascendentes. William Shanks calcula  con 707 decimales. Cantor plantea la “hipótesis del continuo” que estipula que cualquier conjunto de números reales es o numerable (que se puede establecer una correspondencia biunívoca con los números naturales) o no numerable pero biunívocamente correspondiente con el intervalo 0, 1. Él no pudo demostrar la validez ni la invalidez de la hipótesis. 1875 Sonya Kovalevsky introduce mejoras y generaliza el llamado “teorema de Cauchy – Kovalevsky” demostrado por Cauchy tres décadas antes. Ella es también conocida por sus trabajos sobre los anillos de Saturno, integrales elípticas, rotación de cuerpos y comportamiento de la luz en medios cristalinos. 1876 Josias W. Gibbs publica Sobre el equilibrio de Sustancias Heterogéneas que es una extensa aplicación de las matemáticas a la química. 1877 Cantor se sorprende de su propio descubrimiento de que hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del intervalo 0, 1 y los puntos de un cuadrado. 1878 James J. Sylvester funda el Diario Americano de Matemáticas. 1879 N. Kempe publica su demostración del Teorema de los Cuatro Colores pero una década después Heawood encontró un defecto lógico que invalidó dicha demostración. James Ritty y John Patterson inventan y comercializan la Caja Registradora y desde entonces esta se utiliza para el control de las ventas. Lexis publica Sobre la teoría de la estabilidad de series estadísticas que es la obra que inicia el desarrollo de las Series de Tiempo. Se funda la Sociedad Matemática de Kharkov.

1880 Por estos años se inicia el estudio de las Formas Modulares que son ciertas figuras de un espacio tetradimensional, formando de 2 dimensiones reales y 2 imaginarias, que exhiben simetría infinita ya que se pueden desplazar, intercambiar, rotar y reflejar en un número infinito de maneras y aún así permanecen inalteradas. Henri Poincaré estudió dichas Formas y tuvo grandes dificultades para asimilar su inmensa simetría. En este año el 6° número de Fermat de la fórmula 2 2^p + 1 (que se creía producía números primos) fue factorizado tal como ocurrió con el 5° que lo factorizó Euler en 1732. Los cuatro anteriores para p = 1, 2, 3 y 4 sí son primos. Henri Poincaré desarrolla las Funciones Automorfas que son funciones de variable compleja analíticas en un dominio excepto en los polos correspondientes y además son invariantes bajo un grupo infinito numerable de transformaciones lineales. Tales funciones son una generalización de las trigonométricas así como de las elípticas y pueden utilizarse, entre otras cosas, para resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes algebraicos. Poincaré es considerado un matemático tan universal como Gauss, quien murió en 1855, ya que prácticamente dominó todas las ramas de las matemáticas tanto puras como aplicadas. Por estos años se intensifica el cálculo de las distancias de las estrellas acuñándose el término parsec que equivale a unos 3,26 años – luz o sea 31 billones de kilómetros. A la distancia de un parsec el radio de la órbita de la Tierra se vería bajo un ángulo de 1 segundo. 1881 Venn introduce los “diagramas de Venn” que son muy útiles en la teoría de conjuntos. En 1670 Leibniz había utilizado unos diagramas similares. Gibbs desarrolla el Análisis Vectorial en un documento escrito para ser utilizado por sus estudiantes. Este método resultó de mucha importancia para el análisis matemático de las ondas electromagnéticas planteadas en las Ecuaciones de Maxwell. 1882 Ferdinand Lindemann demuestra definitivamente que  es transcendente y en consecuencia es imposible construir con regla y compás un cuadrado de área equivalente a la de un círculo dado. En esta forma quedó explicado el problema de que “cuadrar el círculo”, planteado en la antigua Grecia, no es posible con dichos instrumentos. Hermann Schwatz explica porqué las burbujas son esféricas al demostrar que la forma esférica encierra el mayor volumen con el mínimo material. En el caso de las burbujas de jabón la película de éste es el material. 71

1882 Por estos años se formaliza la clasificación de las estrellas por su brillantez con base en una escala potencial inversa: si una estrella es 100 veces más brillante que otra la diferencia de sus magnitudes es 5. Por ejemplo si la magnitud de una estrella es M1= -1,3 y la otra es M2= 4,5 entonces la primera es 5 100 (4,5 – (-1.3)) = 209 veces más brillante que la segunda. Estas magnitudes se llaman aparentes.

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También se definió el concepto de magnitud absoluta que es la que tendría una estrella a 10 parsec de la Tierra. Por ejemplo la magnitud aparente del Sol es –26,7 y la absoluta 4,87. Mittag y Leffler fundan el periódico Actas de Matemáticas. 1883 Reynolds publica Investigación de las circunstancias que determinan si el movimiento del agua en canales paralelos es rectilíneo o sinuoso y de la ley de resistencia en dichos canales. El “número de Reynolds”, como se llama actualmente y utilizado en hidrodinámica, aparece en esta obra. Georg Cantor define el “conjunto de Cantor” que es un ejemplo elemental de los conjuntos llamados hoy Fractales. Dicho conjunto tiene longitud nula y dimensión no entera. Poincaré publica un documento con el cual se inicia el estudio de funciones analíticas de varias variables complejas. Se funda la Sociedad Matemática de Edinburgo. 1884 Vito Volterra inicia su estudio sobre las ecuaciones integrales. Gottlob Frege publica Los Fundamentos de la Aritmética en donde hace una definición rigurosa de número cardinal basándose en la teoría de conjuntos de Boole y de Cantor y en el concepto de conjuntos semejantes. Dos conjuntos son semejantes si puede establecerse entre ellos una correspondencia biunívoca. Hölder descubre la llamada actualmente “desigualdad de Hölder”. Mittag–Leffler publican Representación analítica de las funciones monógenas uniformes de una variable independiente, en donde se da el teorema sobre la construcción de una función meromórfica (que es racional fraccionaria) conociendo sus polos y ceros. Frobenius demuestra los teoremas de Sylow para grupos abstractos que se habìan enunciado en 1872. 72

1884 Ricci-Curbastro inicia su trabajo sobre el cálculo diferencial absoluto. Se funda el Círculo Matemático de Palermo. 1885 Weierstrass demuestra que una función real que sea continua en un intervalo finito puede ajustarse con bastante precisión a una función polinómica. Este resultado es de mucha utilidad en estudios estadísticos. William Burroughs crea la primera sumadora que registraba los cálculos en forma impresa. Edgeworth publica Métodos de Estadística en el cual presenta una exposición sobre las aplicaciones e interpretación de las pruebas de significancia para la comparación de valores medios. 1886 Reynolds formula una teoría sobre la lubricación. 1887 Giuseppe Peano describe las primeras curvas que posteriormente, en 1975, fueron llamadas “fractales” por Benoit Mandelbrot. Peano demuestra que si f(x, y) es continua entonces la ecuación diferencial de primer orden dy/dx = f(x, y) tiene una solución. Dorr E. Felt construye una calculadora, que llamó Contómetro, que era más rápida que la sumadora de Burroughs de 1885. Fracasa el experimento de Michelson y Morley quienes intentaron hallar la diferencia de las velocidades de dos rayos de luz dirigidos en direcciones opuestas, velocidades que se suponían diferentes debido al movimiento orbital de la Tierra. 1887 Tullio Levi-Civita publica un documento que inicia el desarrollo del Cálculo Tensorial. Los tensores son ciertas magnitudes, expresadas matricialmente, que relacionan vectores en espacios de dos o más dimensiones. 1888 Heinrich Rudolph Hertz confirma experimentalmente la teoría de Maxwell produciendo, detectando y midiendo ondas electromagnéticas. Demostró que éstas podían reflejarse, refractarse, polarizarse, difractarse e interferirse y que su comportamiento se asemeja a las ondas luminosas. En estos experimentos utilizó ondas comprendidas entre 300 y 3000 megaherzios que hoy denominamos banda UHF. El Herzio, unidad de frecuencia del S.I., se llama así en su honor. Dedekind publica La naturaleza y significado de los Números dándole un fundamento riguroso a la aritmética y planteando lo que posteriormente se han llamado los “axiomas de Peano”. 73

1888 Galton introduce el concepto de correlación para medir el grado de ajuste de una curva a un conjunto de datos. Se funda la Sociedad Americana de Matemáticas. Friedrich Engel y Sophus Lie publican el primero de tres volúmenes de Teoría sobre Grupos de Transformaciones que es uno de los más extensos tratados sobre el tema. 1889 Peano publica Los principios de Aritmética en donde formaliza el tratamiento axiomático de esta rama de la matemática basando todo su desarrollo en definiciones, axiomas (“axiomas de Peano”) y teoremas, tal como lo hizo Euclides con la geometría en el siglo III A.C. y Peacock con el álgebra en el 1830. Peano introduce el signo є para indicar que determinado elemento pertenece a un conjunto. Georges Francis FitzGerald sugiere que la longitud de los cuerpos se reduce con la velocidad y así se explicaría el fracaso del experimento Michelson-Morley de 1887. Poco después Hendrik A. Lorentz llegó a la misma conclusión y hoy conocemos dicho fenómeno como la “contracción FitzGerald – Lorentz”. Se reune por primera vez, en Francia, una conferencia que crea el Comité Internacional de Pesas y Medidas que desde entonces estudia todo lo relacionado con los sistemas de unidades. 1890 Peano descubre una curva que puede cubrir un espacio dado. Por estos años Sophus Lie concluye el enorme tratado en 3 volúmenes sobre los Grupos de Transformaciones. Las transformaciones de Lie establecen una correspondencia biunívoca entre las rectas y las esferas del espacio euclídeo, entre otras cosas, y han generado importantes conceptos matemáticos tales como las álgebras de Lie. Hendrik A. Lorentz plantea la hipótesis de que la corriente eléctrica está formada de partículas cargadas y que eran estas partículas, situadas en el interior del átomo, las que oscilaban y producían la luz visible. Se funda la Sociedad Matemática de San Petesburgo.

1890 Heawood publica Teoremas sobre mapas en colores en donde analiza el error de Kempe en la demostración del teorema de los cuatro colores hecha en 1879, y comprueba que para colorear un mapa son suficientes cinco colores. Herman Hallerith construye una calculadora eléctrica para tabular masivamente datos de los censos en Estados Unidos. Posteriormente fundó la International Bussines Machine, IBM. 1891 Fedorov y Schönflies, trabajando independientemente, clasifican los diferentes grupos cristalográficos demostrando que hay 230 de ellos. 1892 Henri Poincaré publica el primero de tres volúmenes de Nuevos métodos en Mecánica Celeste en donde plantea analogías entre todos los movimientos de los sistemas mecánicos y los movimientos de los fuidos. También demuestra que los desarrollos de series previamente utilizados al estudiar el problema de los tres cuerpos (como los de Carlos Delaunay sobre la Luna en 1860 para resolver ciertas ecuaciones diferenciales) eran convergentes pero en general no uniformemente convergentes. Esto ponía en duda las demostraciones sobre la estabilidad del sistema solar hechas por Lagrange y Laplace a finales del siglo XVIII. Poincaré, al investigar el problema de los tres cuerpos, inició el desarrollo de la Teoría del Caos al demostrar que no existe solución analítica para las ecuaciones diferenciales no lineales que resultan de dicho problema. Previó además el uso de órbitas periódicas para el tratamiento de estas situaciones e introdujo el concepto de solución cualitativa de ecuaciones diferenciales. 1893 Oliver Heaviside utiliza lo que él denomina “operadores” para estudiar los fenómenos transitorios de los circuitos eléctricos; estos operadores son instrumentos matemáticos que luego se perfeccionaron y ampliaron con otros conceptos y hoy se conocen como Transformada de Laplace. Karl Pearson publica el primero de una serie de 18 documentos, escritos en los siguientes 18 años, en los cuales se introduce una serie de conceptos fundamentales sobre Estadística. Dichos documentos se refieren a análisis de regresión, coeficiente de correlación e incluye la prueba chi cuadrado de significancia estadística. 1894 Poincaré inicia sus trabajos sobre Topología Algebraica. Emile Borel introduce el concepto de “medida de Borel”, que se utiliza en la teoría de conjuntos.

1894 Henri Cartan, en su tesis doctoral, clasifica todas las finitas álgebras dimensionales de Lie sobre el cuerpo de los números complejos. Poincaré publica Analysis Situs, su primer trabajo sobre Topología, que constituye el primer tratamiento sistemático del tema. Él es el precursor de la topología algebraica y publica seis documentos al respecto. Introduce también el concepto de grupos fundamentales. 1895 Cantor publica la primera de las dos relevantes investigaciones sobre aritmética transfinita. Heinrich Weber publica su famoso libro Disertaciones sobre Álgebra. 1896 Jacques Hadamard y L.J.de la Vallée-Poussin, trabajando independientemente, demuestran el teorema de que el número de números primos menores que n tiende hacia n/ln n cuando n crece indefinidamente. Cesaro publica Lecciones de Geometría Intrínseca. Frobenius introduce el concepto de grupo de caracteres que aplicado a las ondas “soliton”, detectadas en 1834, permite actualmente la trasmisión efectiva y segura de grandes paquetes de información. 1897 Carl Ferdinand Brawn inventa el tubo de rayos catódicos o “tubo de Brawn”, elemento fundamental de las pantallas de televisión, de los monitores de computadores y de los osciloscopios. Se reúne en Zurich el Primer Congreso Internacional de Matemáticas. Hensel inventa los números p-ádicos. Estos números se utilizan en la teoría de números para el desarrollo de algunas series y están relacionados con los números primos y con ciertas clases residuales. Cesare Burali-Forti es el primero en descubrir una paradoja en la teoría de conjuntos. Este hecho y otros similares posteriores fueron el germen de las lógicas polivalentes desarrolladas pocos años después. Enrique P. Brocard publica Notas Bibliográficas sobre curvas geométricas, complementado sus trabajos que dio a conocer en 1873. Burnside publica Teoría de Grupos de orden finito. 1898 Frobenius inicia el estudio de la representación de teoría de grupos, introduce el concepto de representaciones inducidas y plantea el llamado “teorema de reciprocidad de Frobenius”. 76

1898 Jacques Hadamard sienta los fundamentos de la dinámica simbólica con sus trabajos sobre geodésicas sobre superficies de curvatura negativa y produce además el primer ejemplo de un sistema abstracto con “caos”. 1899 David Hilbert publica Fundamentos de Geometría en donde hace una completa revisión del sistema axiomático de Euclides, al replantear el conjunto de definiciones y axiomas, con el fin de corregir algunos defectos lógicos encontrados en los Elementos del matemático alejandrino. Lyapunov inventa ciertos métodos con los cuales se puede determinar la estabilidad de conjuntos de ecuaciones diferenciales ordinarias. 1900 David Hilbert propone 23 problemas en el marco del Segundo Congreso Internacional de Matemáticas reunido en París como un desafío para el siglo XX. Entre otros estaban la hipótesis del continuo, el buen orden de los números reales, la conjetura de Goldbach, la trascendencia de las potencias de números algebraicos, la hipótesis de Riemann, la extensión del “principio de Dirichlet” y muchos más. Varios de ellos se resolvieron durante el siglo XX y cada vez que alguno se resolvía era motivo de regocijo en el mundo matemático. Goursat inicia la publicación de su obra Curso de Análisis Matemático en el cual introduce muchas nuevas ideas sobre el tema. Irar Fredholm desarrolla su teoría sobre ecuaciones integrales en su obra Nuevo método para la resolución del problema de Dirichlet. Fejér publica un teorema fundamental sobre integrales relacionadas con las series de Fourier. Levi–Civita y Ricci- Curbastro publican Métodos de Cálculo Diferencial Absoluto y sus aplicaciones en donde presentan la teoría de Tensores en la forma que fueron usados en la Teoría General de la Relatividad 15 años después. Por estos años John Venn formalizó y divulgó ampliamente el uso de los “diagramas de Venn” para visualizar las diversas operaciones entre conjuntos. 1901 Bertrand Russell descubre la “paradoja de Russell” con la cual ilustra ciertos defectos lógicos inherentes a la teoría de conjuntos. Por esos días Gottab Frege estaba publicando el segundo volumen de un gigantesco trabajo sobre Lógica Simbólica y Russell le preguntó cómo se podría resolver su paradoja aplicando los sistemas expuestos en dicha obra. Frege comprobó que su sistema no podía resolverlo y se vio forzado a añadir al final del libro un párrafo admitiendo que su razonamiento había fallado y por consiguiente su obra era inútil. 77

1901 Max Planck propone su Teoría Cuántica estipulando que la energía se propaga en forma discreta (fotones) y que es directamente proporcional a la frecuencia. La constante de proporcionalidad o “constante de Planck” es h  6,63 x 10-34 Julios-segundo. Se propone el método Runge-Kutta para solucionar numéricamente ecuaciones diferenciales ordinarias. Guillermo Marconi envía la primera señal radiotelegráfica a través del océano Atlántico entre Terranova e Inglaterra a una distancia de 3500 km. Sin saberse en ese entonces la onda de radio se reflejó en una capa (que luego se denominó ionósfera) que está localizada a unos 250 km de la superficie terrestre. Henri Lebesgue formula la Teoría de la medida y al año siguiente (1902) complementa este concepto con la definición de “integral de Lebesgue” que analiza intervalos infinitesimales en el rango de una función en vez de hacerlo en el dominio. L. E. Dickson publica Grupos lineales con una exposición de la teoría de cuerpos de Galois. 1902 Beppo Levi formula por primera vez el Axioma de Elección que dos años después fue utilizado por Zermelo en la teoría de conjuntos para demostrar el buen orden de los números reales. Giovani Giorgi propone el sistema de unidades M.K.S. basado en el metro, el kilogramo y el segundo. Por estos años Jules A. Richard descubre una tercera paradoja en la teoría de conjuntos que con las dos anteriores planteadas por Burali-Forti en 1897 y por Russell en 1901 demostraron que la lógica aristotélica, con su principio del medio excluido, era insuficiente para contener las nuevas verdades matemáticas y no sólo amenazaba la solidez de la teoría de conjuntos sino también la de la lógica simbólica. Josias Gibbs publica Principios elementales de Mecánica Estadística en que se dan en forma elegante y sólida los fundamentos de esta rama de la física-matemática. 1903 Frank Cole, ante la Sociedad Americana de Matemáticas, demuestra que el número 67 de Mersenne (véase 1638) 267-1, de 21 cifras, no es primo y lo descompone en dos factores. Todos los cálculo los hizo manualmente.

1903 G. Castelnuovo publica su obra más importante en geometría algebraica: Geometría analítica proyectiva. 1904 Poincaré dicta una conferencia en la cual propone una teoría relativista para explicar el fracaso del experimento Michelson-Morley de 1887. Hendrik Antoon Lorentz introduce las transformaciones de Lorentz que relacionan movimientos relativos teniendo en cuenta la velocidad de la luz. Si la velocidad de un cuerpo comparada con la de la luz es muy pequeña dichas ecuaciones se convierten en las transformaciones de Galileo, planteadas por éste a principios del siglo XVII. Poco después Einstein utilizó las transformaciones de Lorentz al formular la teoría de la relatividad. Ernst Zermelo, utilizando el axioma de elección planteado por Levi en 1902, demuestra que todo conjunto de números reales puede ser bien ordenado. Jhon Ambrose Fleming inventa la válvula termiónica de dos elementos o Diodo basado en el “efecto Edison” descubierto en 1884. Dicho efecto consiste en la emisión de electrones de un conductor caliente y ese invento marca el inicio de la era electrónica. Poincaré presenta su conjetura estipulando que cualquier coordenable (“manifold”) cerrado tridimensional que sea homotópicamente equivalente a la esfera de superficie 3D debe ser la misma esfera. Dos espacios topológicos se dice que son homotópicos si existen aplicaciones continuas de un espacio al otro y viceversa, tales que las respectivas aplicaciones compuestas coinciden en ambos espacios. La familiar esfera de superficie 2D es un ejemplo de coordenable cerrado bidimensional. 1905 Se demuestra que el séptimo número de Fermat dado por la fórmula 22P+1, que se creía producía números primos, es un número compuesto pero sólo se logró factorizar en 1971. Los quinto y sexto números se habían factorizado en 1732 y 1880 respectivamente. Emanuel Lásker demuestra el teorema sobre descomposición de Ideales en Ideales primarios sobre un anillo polinómico. Lásker fue además campeón mundial de ajedrez entre 1894 y 1921 y se le considera como uno de los más grandes ajedrecistas de la historia. Albert Einstein publica la teoría Especial de la relatividad cuya premisa básica es que la velocidad de la luz en el vacío es una constante universal independiente de la velocidad de la fuente que la produce.

1906 Maurice Fréchet, en su disertación doctoral, investiga sobre el concepto de Cálculo Funcional y formula la noción abstracta de densidad. Él mostró claramente que la teoría de funciones no podía evolucionar sin recurrir a una concepción muy general de la teoría de conjuntos y definió funcional como una relación no sólo entre conjuntos de números sino también entre conjuntos de elementos cualesquiera tales como puntos, curvas y aun funciones. Este Cálculo Funcional muestra otras de las características de la matemática del siglo XX: el rápido crecimiento de la topología conjuntista y el acelerado desarrollo de los conceptos de conjuntos y espacios abstractos. Andrei Markov estudia procesos aleatorios que se conocen como “cadenas de Markov”. En muchos fenómenos sociales, biológicos y físicos la probabilidad de un suceso depende frecuentemente de resultados anteriores y las Cadenas de Markov estudian estas probabilidades escalonadas. Lee de Forest desarrolla la válvula termiónica, que llamó audión, introduciendo en el diodo de Fleming (1904) un tercer elemento llamado rejilla que permite la amplificación, detección y producción de señales eléctricas, marcando así un nuevo hito en el desarrollo de la era electrónica. Bateman aplica el sistema conocido como transformada de Laplace para resolver ecuaciones integrales. Koch publica Un método geométrico elemental para el estudio de ciertas cuestiones sobre la teoría de curvas planas en el cual aparece la “curva de Koch”. Esta es una curva continua de longitud infinita y no tiene derivada en punto alguno. 1907 Maurice Fréchet descubre un teorema de representación integral para Funcionales (relaciones entre conjuntos formados de cualesquiera elementos) sobre el espacio de “funciones integrales cuadráticas de Lebesgue”. Un resultado similar fue descubierto independientemente por Riesz. Einstein publica su principio de equivalencia que afirma que la aceleración gravitacional es indistinguible de la aceleración causada por fuerzas mecánicas. Este principio es un ingrediente fundamental de la relatividad general. Heegaard y Dehn publican Analisis Situs el cual marca el principio de la topología combinatoria. Poincaré había publicado en 1894 una obra, con el mismo nombre, que inició formalmente el tratamiento de la Topología. 80

1907 Luitzen Brouwer, en su tesis doctoral sobre los fundamentos de las matemáticas, ataca los sistemas axiomáticos basados en definiciones axiomas y lógica, iniciando así la Escuela Intuicionista diametralmente opuesta a la Escuela Formalista preconizada, entre otros, por Peacock (1830), Peano (1889) y Hilbert (1899). Riesz demuestra el teorema ahora llamado “teorema de Riesz-Fischer relacionado con los análisis de Fourier sobre el espacio de Hilbert. 1908 Gosset introduce la prueba t de Student utilizada en el tratamiento de muestras pequeñas en estudios estadísticos. Hardy y Weinberg presentan una ley que describe cómo las proporciones de rasgos genéticos dominantes y recesivos se propagarían en una población grande. Esta ley es el fundamento de los estudios genéticosociales. Paul Wolfskehl deja en su testamento un premio de cien mil marcos a quien demuestre el último teorema de Fermat. Ernst Zermelo publica Investigaciones sobre los fundamentos de la Teoría de Conjuntos basando su teoría en siete axiomas; Axioma de extensión, Axioma de conjuntos elementales, Axioma de separación, Axioma de potencia de un conjunto, Axioma de unión, Axioma de elección y Axioma del infinito. Su objetivo era superar las dificultades encontradas por Georg Cantor al tratar dicha teoría. Poincaré publica Ciencia y Método que es quizá su más famoso trabajo de divulgación. 1909 Carmichael investiga sobre números suedoprimos. Edmund Landau da la primera presentación sistemática de la teoría analítica de números. 1910 Bertrand Russell y Alfred Whitehead publican los primeros volúmenes de Principia Mathematica. Ellos intentan darle a toda la matemática un fundamento lógico y lograron obtener detalladas deducciones de la mayor parte de los teoremas de la teoría de conjuntos, de la aritmética finita y transfinita y de la teoría elemental de la medida. El tercer volumen apareció tres años después y un cuarto sobre geometría se proyectó pero nunca fue completado. Ernst Steinitz da la primera definición abstracta de Cuerpo en su obra Teoría Algebraica. 81

1911 Sergi Bernstein introduce los “polinomios de Bernstein” dando una constructiva demostración del teorema Weierstrass de 1885. Luitzen Brouwer, ferviente defensor de la Escuela Intuicionista que pregona que los fundamentos de la matemática deben buscarse en la intuición y no en la lógica, denuncia la ilegalidad de las demostraciones por reducción al absurdo argumentando que además de las dos posibilidades clásicas de toda proposición, verdadera o falsa, existe una tercera alternativa cuya verdad o falsedad no puede establecerse con los recursos de la lógica aristotélica y su principio del medio excluido. Esta limitación de la bivalente lógica clásica explicaría la existencia de las paradojas descubiertas en años anteriores. 1912 Arnaud Denjoy introduce el concepto de “integral de Denjoy”. 1913 G. H. Hardy recibe una carta de Srinivassa Ramanujan y éste viaja luego a Cambridge donde los dos matemáticos escriben cinco importantes documentos sobre teoría de números que se publicaron en 1917. Se publica el tercer volumen de Principia Mathematica de Russell y Whitehead donde dan a conocer su Sistema Axiomático para demostraciones en lógica simbólica utilizando la notación llamada “convencional”. Hermann Weyl publica una obra sobre análisis, geometría y topología. Hans Geiger inventa el “contador Geiger” para detectar y contabilizar partículas subatómicas energéticas producidas por la radiactividad tales como los llamados rayos ,  y . 1914 Felix Hausdorff publica Principios de la Teoría de Conjuntos en donde crea una teoría sobre espacios métricos y topológicos. L. Bieberbach introduce los “polinomios de Bieberbach” que se ajustan a una función que es una aplicación conforme de un dominio simplemente conectado, sobre un disco. Harald Bohr y Edmund Landau demuestran su teorema sobre la distribución de ceros de la función zeta de Riemann. 1915 Albert Einstein presenta su Teoría General de la Relatividad cuyas ecuaciones permitieron sacar grandes e importantes conclusiones sobre el comportamiento del Universo. Además de revolucionar los conceptos clásicos de la física, sus teorías fomentaron el desarrollo de las eras atómica y espacial. 82

1916 L. Bieberbach formula la “conjetura de Bieberbach”. Macauly publica Teoría algebraica de sistemas modulares la cual estudia ideales en anillo polinómicos. La obra contiene muchas ideas que hoy se tratan en la teoría de “las bases de Grobner”. Waclaw Sierpinski da el primer ejemplo de número absolutamente normal que es un número cuyos dígitos ocurren con igual frecuencia cualquiera que sea la base en que se escriba. 1917 J.R. Carson demuestra que la llamada integral de Laplace da una primera justificación a los resultados que Oliver Heaviside obtuvo en 1893 con sus “operadores” al solucionar problemas de fenómenos transitorios en circuitos eléctricos. Kakeya propone su problema sobre minimización de áreas. Agner Erlang publica Solución de algunos problemas de la teoría de Probabilidades aplicados a la telefonía automática iniciando formalmente la Ingeniería de Tráfico Telefónico que es la base de la planeación de los sistemas de telecomunicaciones. La distribución de Erlang, de variable discreta, está muy relacionada con la de Poisson. 1919 Rusell publica Introducción a la Filosofía Matemática, obra escrita mientras estuvo en prisión debido a sus actividades en contra de la guerra. Felix Hausdorff introduce el concepto de “dimensión de Hausdorff” la cual es un número real situado entre la dimensión topológica de un objeto y 3. Dicho concepto se usa, por ejemplo, para estudiar objetos como la curva de Koch (1906). 1920 Jan Lukasiewicz inicia la creación de una lógica polivalente en la cual pierde validez el principio del medio excluido de la lógica de Aristóteles. Brouwer, en 1911, ya había dado su voz de alerta sobre la incapacidad de la lógica clásica para tratar problemas relacionados con la teoría de conjuntos. Takagi publica un documento fundamental sobre teoría de clases de Cuerpos. Siegel plantea importantes disertaciones sobre la teoría de aproximaciones diofantinas. Por estos años se descubre que en todo conductor existe “ruido eléctrico” y Harry Nyquist desarrolla una fórmula matemática para determinar cuantitativamente dicho ruido que es directamente proporcional a la temperatura absoluta del conductor. 83

1920 Sierpinski y Mazurkiewicz fundan la publicación Fundamenta Matemática. 1921 Jhon Maynard Keynes publica Tratado sobre Probabilidad en el cual argumenta que la probabilidad es una relación lógica y por lo tanto es objetiva. Una proposición que involucra relaciones probabilísticas tiene un valor de verdad, dice él, independiente de las opiniones de la gente. Estos conceptos tienen un profundo efecto tanto en estadística como en economía. Keynes es considerado como uno de los más importantes fundadores de la moderna macroeconomía. Emile Borel publica el primero de una serie de documentos sobre teoría de juegos y se convierte en el primero en definir juegos de estrategia. Emmy Noether publica una obra de fundamental importancia en el desarrollo de la moderna Álgebra Abstracta. 1922 Richardson publica Predicción del tiempo por procesos numéricos. Él es el primero en aplicar las matemáticas, en particular el método de diferencias finitas, para predecir el tiempo pero los cálculos involucrados eran prohibitivos para efectuarlos manualmente y sólo con el posterior desarrollo de los computadores sus ideas pudieron hacerse realidad. Posteriores investigaciones sobre el tema han demostrado que tales predicciones exactas a mediano y largo plazo no son posibles. La predicción del tiempo es un ejemplo típico de la hoy llamada teoría del caos. Stefan Banach inicia su trabajo sobre el desarrollo de los espacios vectoriales normados, denominados también “espacios de Banach”. Fraenkel intenta fundamentar la teoría de conjuntos en un marco axiomático. Bromwich y Wagner demuestran que una transformación inversa a la de Laplace podía obtenerse por medio de una integración en el plano complejo (plano de Gauss), utilizando la denominada integral de MellínFourier. Chebotaryov demuestra el teorema de la densidad de números primos en una progresión aritmética. Fejér y Riesz publican un importante trabajo sobre el concepto de aplicación conforme. Andrei Kolmogorov construye una función sumable la cual es divergente casi en todas sus partes.

1923 Study publica un importante trabajo sobre álgebras reales y complejas de baja dimensión. Hermann Oberth sienta las bases matemáticas de la tecnología de los cohetes. 1924 Alexander introduce la llamada actualmente “esfera cornúpeta de Alexander”. Louis de Broglie expone su teoría de que los átomos y los electrones (y en general la materia) son de naturaleza ondulatoria iniciando así el desarrollo de la Mecánica Cuántica u Ondulatoria. 1925 Fisher desarrolla métodos estadísticos para ser aplicados a las ciencias biológicas. Alfred Whitehead publica Ciencia y el mundo moderno que es el resultado de una serie de conferencias dictadas en los Estados Unidos y le sirvieron de introducción a posteriores trabajos sobe metafísica. Él considera que el crecimiento, éxito e impacto del “materialismo científico” indican que la naturaleza es meramente materia y energía. Besicovitch resuelve el problema sobre minimización de áreas de Kakeya había propuesto en 1917. Krull demuestra el “teorema de Krull-Schmidt” sobre descomposición de grupos abelianos de operadores. 1926 Paul Lévy demuestra la reciprocidad única de las integrales de Laplace y de Mellín-Fourier dando por fin una completa justificación al método denominado Transformada de Laplace. Esta Transformada y la de Fourier, entre otras, son ejemplos de Funcionales (que Fréchet había definido en 1906) en las cuales el dominio y el rango de aplicaciones son conjuntos de funciones con su respectiva ley de correspondencia. En la Transformada de Laplace, por ejemplo, el dominio lo forman funciones de variable real, el rango funciones de variable compleja y las leyes de correspondencia directa e inversa son las integrales de Laplace y Mellín-Fourier, respectivamente. Reidemeister publica un importante libro sobre la teoría de nudos: Nudos y Grupos. Artin y Schreir publican un documento sobre ordenamiento formal de cuerpos reales y de cuerpos cerrados reales.

1926 Banach y Tarski publican la “paradoja de Banach-Tarski” en Fundamenta Matemática, creada en 1920. El documento lo titularon: Sobre la descomposición de conjuntos de puntos en partes respectivamente congruentes. 1927 Edwin Hubble, quien había encontrado que más allá de nuestra Vía Láctea existen innumerables galaxias, descubre que el Universo está en expansión y que las galaxias se alejan unas de otras. Determinó que la velocidad con que se alejan de nosotros es directamente proporcional a su distancia a la Tierra y estimó que la constante de proporcionalidad (constante de Hubble) es de unos 80 km/s - Megaparsec. Emmy Noether, Helmut Hasse y Richard Brauer trabajan conjuntamente sobre álgebras no conmutativas. 1928 Von Mises publica Probabilidad, Estadística y Verdad. John Von Neumann demuestra el teorema del minimax que es fundamental en la Teoría de Juegos. Hopf desarrolla el concepto de grupos homológicos. 1929 Jan Lukasiewicz crea la “notación polaca” para la lógica simbólica y con base en dicha notación desarrolla un sistema axiomático para demostraciones que se conoce como Sistema X. La “notación polaca”, a diferencia de la “notación convencional” utilizada en el Sistema T de Tablas de verdad (1850) y en el Sistema P de Russell – Whitehead (1910), no requiere el uso de paréntesis. Aleksander Gelfond plantea su conjetura sobre la independencia lineal de los números algebraicos sobre los números racionales. 1930 Van der Waerden publica su famosa obra Algebra Moderna. Este trabajo, en dos volúmenes, presenta los diferentes conceptos algebraicos desarrollados por Noether, Hilbert, Dedekind y Artin. Se intensifica el desarrollo de las antenas parabólicas para frecuencias de radio superiores a 30 Megaherzios. Estas antenas son paraboloides de revolución en cuyo foco se instala el elemento emisor o receptor de las señales. Hurewicz demuestra su teorema sobre cómo encajan espacios métricos separables en espacios compactos. Vannevar Bush construye el primer computador analógico. 86

1930 Kuratowski demuestra su teorema sobre gráficos planares. Clyde Tombaugh descubre el noveno planeta del sistema solar, Plutón, cuyo período orbital es de unos 248 años y cuya distancia media al Sol es de 5900 millones de kilómetros. El octavo planeta, Neptuno, se había descubierto en 1846. 1931 Kurt Gödel publica Sobre las Proposiciones formalmente indecidibles en Principia Mathemática y sistemas relacionados en donde aparece el famosos “Teorema de Gödel que es de los más importantes en la historia de la matemática. En un sistema axiomático los Axiomas deben cumplir tres requisitos: ser independientes o sea que ninguno pueda ser demostrado con base en los otros, en cuyo caso sería un Teorema; ser completos o sea que con ellos puedan demostrarse todos los Teoremas del sistema y ser consistentes es decir que nunca conduzcan a resultados contradictorios. El “Teorema de Gödel” afirma que si el conjunto de Axiomas es completo no puede ser consistente y si es consistente no será completo y en este caso habrá proposiciones que no podrán demostrarse o sea serán indecidibles. Varias conjeturas pueden estar en esta situación y no hay forma de saberlo. Garrel Birkhoff demuestra el teorema ergódico general que transforma la teoría cinética de los gases en un principio riguroso a través del uso de la medida de Lebesgue. Von Mises introduce el concepto de espacio muestral en la teoría de la probabilidad, ligando a ésta con la teoría de conjuntos. Borsuk publica su teoría de la retracción en geometría diferencial métrica. 1932 Alfred Haar introduce el concepto de “medida de Haar” en la teoría de grupos. Hall publica Una contribución a la teoría de grupos de orden potencial primo. Von Neumann publica una importante obra sobre Mecánica Cuántica. 1933 Andrei Kolmogorov publica Fundamentos de la teoría de Probabilidades en donde desarrolla un tratamiento axiomático del tema.

1934 Gelfond y Schneider, independientemente, resuelven el “séptimo problema de Hilbert”, propuesto en 1900, al demostrar que ap es un número transcendente si a es algebraico ( 0 o 1) y p es un número algebraico irracional. Leray demuestra la existencia de soluciones débiles en las ecuaciones de Navier – Stokes, sobre temas de hidrodinámica, que se habían presentado en 1821. Zorn plantea el hoy conocido como “lema de Zorn” que es equivalente al axioma de elección de Levi-Zermelo. 1935 Charles Ritcher y Beno Gutemberg inventan la “Escala de Ritcher” para medir la intensidad de los movimientos sísmicos. Es una escala logarítmica y por ejemplo un terremoto que se mida con una intensidad de 8 libera 10000 veces la energía de otro de intensidad 4. Church inventa el “cálculo lambda” que hoy en día es un instrumento muy valiosos para los científicos de la computación. 1936 La Comisión Electrotécnica Internacional adopta el sistema de unidades M.K.S. propuesto por Giorgi en 1902. Alan Turing publica Sobre números computables en donde describe una máquina teórica, conocida ahora como la “máquina de Turing”, que es uno de los fundamentos más importantes en la teoría de la computación. Church publica Un problema insoluble en teoría elemental de números en donde aparece el “teorema de Church” que demuestra que en aritmética no hay procedimientos generales de decisión. El Congreso Internacional de Matemáticas otorga por primera vez el premio Fields considerado como el Nobel en matemática. 1937 Vinogradov publica Algunos teoremas concernientes a la teoría de los números primos en donde demuestra que todo entero impar suficientemente grande puede expresarse como la suma de tres primos impares. Hasta 1937 esta proposición es la mayor contribución a la solución de la conjetura de Goldbach planteada en 1742. 1938 Andrei Kolmogorov publica Métodos analíticos en teoría de Probabilidad en donde se dan las bases fundamentales de la teoría de los procesos aleatorios de Markov. 1939 Douglas da una solución completa al problema de Plateau al demostrar la existencia de una superficie de área mínima limitada por un contorno. 88

1939 Abraham Albert publica Estructura de Algebras. Se publica el primer volumen de Elementos de Matemáticas de “Nicolás Bourbaki” nombre que corresponde a un grupo de importantes matemáticos, la mayoría franceses, que decidieron producir una obra que recopilara todos los temas de la “nueva matemática”. En los siguientes años se han venido publicando más volúmenes y la obra es quizá la más completa y gigantesca de la historia de las matemáticas. 1940 Baer introduce el concepto de módulo inyectivo al iniciar el estudio de acciones de grupo en geometría. Kurt Gödel demuestra que la hipótesis del continuo, planteada por Georg Cantor en 1874, no puede ser refutada. Aleksandrov introduce el concepto de secuencias exactas. En esta década se inicia el desarrollo de la Investigación de Operaciones que es un conjunto de tópicos interdisciplinarios cuyo objetivo principal es la toma de decisiones. Los mandos militares acuciados por la necesidad de tomar numerosas y cruciales decisiones operativas descubrieron que los matemáticos y otros científicos podían servir de ayuda para resolver complicados problemas de la 2ª guerra mundial. Programaciones lineal y no lineal, teoría de colas, teoría de juegos, simulación, modelos matemáticos, control de proyectos, etc. son algunos de dichos tópicos. 1941 Linnik introduce el método de la gran criba, en la teoría de números. Abraham Albert inicia trabajos sobre álgebras no asociativas. En estas álgebras el principio de que la multiplicación es asociativa: a (bc) = (ab) c no tiene validez. 1942 Steenrod publica un documento en el cual se introducen por primera vez los “cuadrados de Steenrod”. El 2 de diciembre en la Universidad de Chicago un grupo de científicos dirigidos por Arthur Holly Compton logran la desintegración controlada del átomo en la primera pila atómica del mundo. La conocida fórmula de Einstein e = mc² iniciaba su comprobación experimental. Esta fecha marca el comienzo de la era atómica. Ito Kiyoshi planteó y demostró un teorema conocido ahora como “Lema de Ito” que da una complicada ecuación matemática que describe comportamientos aleatorios y tiene aplicaciones en procesos caóticos tales como operaciones bursátiles, variaciones de tasas de interés y otros fenómenos económicos. 89

1943 Marshall Hall hace publicaciones sobre planos proyectivos. Naimark demuestra el “teorema de Gelfand – Naimark“ sobre álgebras auto-adjuntas de operadores en el espacio de Hilbert. 1944 John von Neumann y Oskar Morgenstern publican Teoría de Juegos y Comportamiento Económico. Esta teoría tiene aplicaciones en economía, estrategias políticas y militares, competencias comerciales, juegos como el ajedrez y el póker, etc. En la Universidad de Harvard se construye la computadora MARK I, parcialmente electrónica, para fines militares. Fue diseñada por Howard Aiken y sus elementos electromecánicos la hacían relativamente lenta. Artin estudia anillos de condición mínima que hoy en día se llaman “anillos artinianos”. 1945 En la Universidad de Pensilvania se construye la primera computadora electrónica experimental llamada ENIAC. Tenía 18000 válvulas, consumía 50000 Vatios y ejecutaba en 30 segundos cálculos que requerían 20 horashombre. Se inicia en esta forma la producción de computadoras de la primera generación con tubos al vacío y su tiempo de operación era del orden de los milisegundos. Arthur C. Clarke sugiere la posibilidad de utilizar satélites artificiales geoestacionarios para reflejar las ondas de radio. Dichos satélites serían de órbita ecuatorial, circular y situados a unos 35600 kms de altura. Por estos años Martín Eichler cataloga a las Formas Modulares, cuyo estudio se inició hacia 1880, como una de las cinco operaciones fundamentales. Ferguson encuentra que los cálculos de Shank sobre , en 1874, estaban errados a partir del decimal 527. Eilemberg y MacLane introducen los términos “categoría” y “transformación natural”. 1946 Weil publica Fundamentos de geometría algebraica. Continúa el desarrollo de la Investigación de Operaciones. Hombres de estado y empresarios se dieron cuenta de que los modelos matemáticos desarrollados por varias disciplinas (programación lineal, teoría de colas, teoría de juegos, teoría de decisiones, econometría, etc.), que fueron muy útiles en la 2ª guerra mundial, también podían aplicarse a la política, la economía, la administración y la producción, continuando así una extensa aplicación de la matemática a muy diversas actividades humanas. 90

1947 George Dantzig introduce el método Simplex de optimización. Este método constituye una de las ramas más útiles de la Programación Lineal y tiene amplias aplicaciones en tópicos de producción como por ejemplo el problema del transporte. Ferguson calcula  con 808 decimales, utilizando una calculadora mecánica durante un año. 1948 Norbert Wiener publica Cibernética: Control y comunicaciones en el animal y la máquina. El libro detalla los trabajos sobre la teoría del control de la información aplicada principalmente a los computadores. El término Cibernética se debe a Wiener. John Bardeen, Walter Brattain y William Shockley inventan el Transistor, triodo formado de elementos semiconductores, por ejemplo Silicio o Germanio, que hacen las mismas funciones de la válvula electrónica pero son mucho más pequeños y consumen muy poca energía, iniciando así la tecnología electrónica del estado sólido. Claude Shannon desarrolla la Teoría de la Información que analiza matemáticamente los diversos parámetros que intervienen en los sistemas de comunicaciones, incluyendo los errores que pueden producirse en los procesos de trasmisión. Esta teoría es de vital importancia en las actuales telecomunicaciones. Laurent Schwart publica Generalización de la noción de función, de derivación, de transformación de Fourier y aplicaciones matemáticas y físicas, que es su primera publicación importante sobre la teoría de distribuciones. 1949 Mauchly y John Eckert construyen el Computador Binario Automático (BINAC) en el cual los datos se almacenan, por primera vez, en cinta magnética y no en tarjetas perforadas. Selberg y Erdös hallan una demostración elemental sobre un teorema de números primos sin utilizar la teoría de funciones complejas. Utilizando la computadora ENIAC, construida en 1945, se calcula  con 2037 decimales; la operación tomó 70 horas. 1950 Carnap publica Fundamentos lógicos de la Probabilidad. Richard Hamming publica un documento en el cual desarrolla un sistema de códigos para detectar y corregir errores en los sistemas de trasmisión. Este sistema es de gran utilidad en las modernas comunicaciones digitales.

1950 En esta década se inicia el desarrollo de los sistemas de modulación por impulsos codificados, MIC, que desde entonces vienen reemplazando a los sistemas analógicos. En los sistemas MIC, o digitales, la información se codifica en forma binaria (0 o 1) lográndose –para las señales de audio, de video y de datos- mayor seguridad, alta fidelidad, versatilidad y eficiente utilización del espectro electromagnético. Por estos años Frederic Fitch, utilizando la notación polaca de Lukasiewicz creada en 1929, desarrolla para demostraciones en lógica simbólica su Sistema de Deducción Natural denominado Sistema F. Otros métodos como los Sistemas T, P y X se habían creado en años anteriores, (véase 1929). Se construye la primera computadora electrónica comercial (UNIVAC), de primera generación, o sea con tubos al vacío y tiempo de operación en milisegundos. Hodge trabaja sobre la “conjetura de Hodge” relacionada con variedades algebraicas proyectivas. En esta década se inicia el desarrollo de los Circuitos Integrados que son dispositivos de estado sólido, miniaturizados, que hacen las funciones de varios componentes tales como transistores, diodos, resistencias, transformadores y condensadores. Se inicia así la miniaturización de los dispositivos electrónicos. 1951 Serre utiliza secuencias espectrales para el estudio de las relaciones entre la homología de grupos de fibra, espacio total y espacio base en una fibración. Esto le permite descubrir conecciones fundamentales entre homología y homotopía de grupos de un espacio y demostrar además importantes resultados sobre la homotopía de grupos de esferas. 1952 Fred Waller desarrolla el Cinerama o cine tridimensional basado en la filmación y proyección de películas utilizando 3 cámaras. La holografía, producción de imágenes tridimensionales, inició su desarrollo con Dennis Gabor en 1948. Hörmander inicia sus trabajos sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales. Diez años después recibió el premio Fields por dicho trabajo. 1953 A raíz del Proyecto Polaris del gobierno de los Estados Unidos para la construcción de submarinos nucleares se desarrollan varios sistemas, como el PERT y el CPM, para la administración y el control de proyectos que por su magnitud y costos exigían la coordinación de muchos recursos y de gran cantidad de contratistas y sub-contratistas. Estos sistemas de control de proyectos, llamados también de ruta crítica, son ejemplos típicos de la aplicación de la teoría de probabilidades a problemas de ingeniería. 92

1954 Serre es galardonado con la medalla Fields por su trabajo sobre secuencias espectrales de 1951, y por sus investigaciones sobre teoría de variable compleja en términos de haces. Kolmogorov publica su segundo documento sobre la teoría de sistemas dinámicos. Este hecho marca el principio de la teoría KAM, llamada así en honor de Kolmogorov, Arnold y Moser. 1955 Cartan y Eilenberg desarrollan el Álgebra Homológica la cual permite relacionar poderosos métodos algebraicos y topológicos. Louis Essen y Jack Parry crean un reloj que puede ganara o perder menos de un segundo en 300 años. Funciona percibiendo electricamente la vibración natural de átomos de Cesio. Novikov demuestra la insolubilidad del “problema de palabra” para grupos. La computadora NORC calcula  con 3089 decimales, en 13 minutos. Yutaka Taniyama plantea su conjetura de que entre las Formas Modulares (véase 1880) y las Ecuaciones Elípticas existe una correspondencia biunívoca perfecta o Isomorfismo, conjetura que posteriormente tuvo importancia vital en la demostración del último teorema de Fermat. Su colega Goro Shimura trabajó estrechamente con Taniyama en dicha proposición que desde entonces se conoce como la conjetura TaniyamaShimura. Las Ecuaciones Elípticas, que han sido estudiadas desde la antigüedad, son de la forma y2 = x3 + ax2 + bx + c donde a, b y c son números enteros. 1956 Milnor publica Sobre coordenables homeomórficos con la esfera 7D, obra que abre un nuevo campo en la topología diferencial. Un homeomorfismo es una biyección bicontinua entre dos espacios topológicos y la esfera de superficie 7D es la inmersa en un espacio de 8 dimensiones. 1957 La Unión Soviética lanza el 4 de octubre el primer satélite artificial de la Tierra. Su masa era de 84 kg y su órbita elíptica tenía una altura de perigeo de 211 kms y una de apogeo de 933 kms. Trasmitió información telemétrica durante 21 días y esta fecha marca el comienzo de la era espacial. Se crea el programa FORTRAN (formula translation) especialmente diseñado para cálculos matemáticos con computadoras. Kolmogorov resuelve el 13° problema de Hilbert, propuesto en 1900, sobre funciones continuas de tres variables que no pueden representarse por funciones continuas de dos variables. 93

1958 Se inicia la producción de computadores de segunda generación que utilizan transistores en vez de tubos al vacío y son más rápidos y confiables. Su tiempo de operación es del orden de los microsegundos. Thom recibe el premio Fields por su trabajo sobre topología y en especial por el estudio de clases características, el “teorema de transversalidad de Thom” y la teoría cobordista; esta teoría trata sobre las diferenciales cerradas exactas que se llaman cobordes. Estados Unidos lanza su primer satélite artificial, Explorer I, de órbita elíptica no ecuatorial y se descubre el cinturón de radiación Van Allen, formado de electrones y protones, cuya circulación interpolar rodea la Tierra. 1959 Boone demuestra que muchos problemas relacionados con la teoría de grupos son insolubles. La computadora IBM 704 calcula  con 16167 decimales, en París. El satélite soviético Lunik I pasa a 6000 kms de la Luna luego de recorrer una combinación de órbitas elípticas en forma de 8. Poco después el Lunik III toma las primeras fotografías del lado oculto del satélite natural. Marshall Hall publica su famoso libro Teoría de Grupos. 1960 Benoit Mandelbrot, trabajando en los laboratorios Bell, descubre que la distribución de errores en las comunicaciones telefónicas tiene cierta similitud con el conjunto que Cantor definió en 1883. Posteriormente se ha descubierto que muchos fenómenos presentan características semejantes y 15 años después Mandelbrot formalizó todo esto con su teoría de los Fractales, estrechamente relacionada con la teoría del Caos. Theodore Maiman construye el primer equipo Láser al producir luz polarizada monocromática de una frecuencia de 500 Teraherzios, utilizando un rubí artificial. Rudolf Kalman desarrolla un algoritmo matemático (llamado Filtro de Kalman) que continuamente actualiza información para ajustarla en el momento adecuado. Dicho algoritmo tiene aplicaciones en el control de las trayectorias de satélites y misiles, navegación de aeronaves, análisis económicos, análisis de fenómenos meteorológicos y en general de fenómenos relacionados con sistemas dinámicos no lineales. M. Suzuki descubre nuevas infinitas familias de grupos simples finitos.

1960 La NASA coloca en órbita el Echo I, primer satélite pasivo para reflejar ondas de radio. La XI Conferencia Internacional de Pesas y Medidas reunida en Sévres, Francia, adopta el Sistema Internacional de Unidades, S.I., basado en el M.K.S. de Giorgi, propuesto en 1902, con 9 unidades fundamentales: 7 dimensionales y 2 adimensionales: Unidad de longitud: Unidad de masa: Unidad de tiempo: Unidad de corriente eléctrica: Unidad de temperatura: Unidad de cantidad de sustancia: Unidad de intensidad luminosa: Unidad de ángulo plano: Unidad de ángulo espacial:

metro kilogramo segundo Amperio Kelvin mol candela (incluida en 1971) radián estereorradián

Cualquier otra unidad puede expresarse en función de algunas de las anteriores. 1961 Edward Lorenz descubre un sistema matemático simple con comportamiento “caótico” al investigar algunos fenómenos meteorológicos; este hecho condujo formalmente a la Teoría Matemática del Caos cuyos orígenes se remontan hasta mediados del siglo XVIII, con D`Alembert. El análisis matemático de muchos fenómenos dinámicos conduce a ecuaciones diferenciales no lineales cuyas soluciones cuantitativas no son posibles debido a que dichos fenómenos son extremadamente sensibles a las condiciones iniciales; cambios imperceptibles en estas condiciones conducen a resultados totalmente inesperados o “caóticos”, y la teoría del Caos es un conjunto interdisciplinario de diversas ramas científicas que trata de obtener soluciones cualitativas a estos problemas. Yuri Gagarin efectúa el primer vuelo orbital en la nave Vostok I completando una órbita elíptica en una hora y 48 minutos. Stephen Smale demuestra la Conjetura de Poincaré (1904) para n > 6. La conjetura afirma que cualquier coordenable (“manifold”) cerrado ndimensional que es homotópicamente equivalente a una esfera de superficie n, deber ser la misma esfera. Poco después John Stallings demostró la conjetura para n=6 y Christopher Zeeman lo hizo para n= 5. Shanks y Wrench con una IBM 7090, en Nueva York, calculan  con 100200 decimales en 8 horas y 43 minutos. 95

1962 Jacobson publica su clásico texto Álgebras de Lie. 1962 La NASA coloca en órbita el Telstar I, primer satélite activo de comunicaciones. Se utilizó para muchos experimentos y por primera vez se trasmitió televisión entre Estados Unidos y Europa. El meteorologista Edward Lorenz, estudiando el sistema “caótico” de predicción del tiempo, descubrió unas curiosas figuras que llamó atractores extraños que pueden representar soluciones cualitativas de ese tipo de problemas. Su publicación Puede el batir de alas de una mariposa producir un tornado en Texas? Se convirtió en un documento clásico de la Teoría del Caos y la frase efecto mariposa, muy común hoy en día, se puede aplicar a fenómenos dinámicos físicos, biológicos, económicos, sociales, etc., que son muy sensibles a pequeñas cambios en las condiciones iniciales. Sobolev publica Aplicaciones del Análisis Funcional en física-matemática. 1963 Jhon Thompson y Feit publican Solubilidad de Grupos de orden impar en donde demuestran que todos grupos simples finitos no-abelianos son de orden par. La demostración de este teorema está contenida en 250 páginas. Paul Cohen demuestra que la hipótesis del continuo, planteada por Georg Cantor en 1874, es indecidible. Según el Teorema de Gödel cualquier proposición es verdadera o falsa o indecidible. 1964 Se inicia la producción de computadores de la tercera generación con base en circuitos integrados. Son modulares, pueden procesar varios programas simultáneamente y su tiempo de operación es del orden de los nanosegundos. Hironaka soluciona un importante problema concerniente a la resolución de singularidades sobre una variedad algebraica. 1965 Se lanza el Pájaro Madrugador o INTELSAT I, primer satélite geoestacionario comercial de comunicaciones, cuya órbita circular y ecuatorial tiene un radio de unos 42100 kms, tal como lo había sugerido Arthur C. Clarke en 1945. En julio el Mariner IV de los Estados Unidos, luego de viajar más de 200 millones de kms, llega a las cercanías del planeta Marte y envía las primeras fotografías tomadas de cerca. La información enviada por la nave espacial tardó unos 12 minutos en llegar a la Tierra.

1965 Los trabajos de Sergi Novikov en topología diferencial y en particular lo relacionado con cálculos sobre grupos de homotopía estable y clasificación de coordenables uniformemente conectados, le conducen a plantear la “conjetura de Novikov”. Por estos años se desarrolla la Teoría de Cuerdas que explica que la esencia del Universo no se basa en moléculas, átomos, muones, fotones, quarks, etc., sino en Cuerdas que residen en múltiples dimensiones y que son las distintas vibraciones de dichas cuerdas las que definen las varias formas de materia. La Teoría de Cuerdas parece reconciliar la teoría general de la relatividad con la mecánica cuántica. John Holland desarrolla los Algoritmos Genéticos con los cuales los computadores aprenden y adaptan información siguiendo la regla de selección natural de Charles Darwin. Dichos algoritmos se están utilizando en diversas áreas tales como programas de producción y diseño de productos. Bombieri perfecciona el método de la gran criba (véase 1941) y demuestra el ahora llamado “teorema del valor medio de Bombieri” concerniente a la distribución de números primos en progresiones aritméticas. Tukey y Cooley publican un documento introduciendo el algoritmo llamado “Transformada rápida de Fourier”. Lotfi Zadeh aplica la lógica polivalente a la teoría de conjuntos y desarrolla el concepto de Conjunto Difuso y desde entonces el término difuso se aplica a más y más conceptos matemáticos relacionados no con la lógica bivalente de Aristóteles sino con la polivalentes, como la creada por Jan Lukasiewicz en 1920. Continúa el desarrollo del G.P.S. (Global Positioning System) para la determinación de las coordenadas geográficas de cualquier punto de la Tierra: longitud, latitud y altura. Se trata de un dispositivo que colocado en cualquier sitio envía una señal que es captada por varios satélites los cuales procesan dicha señal y calculan las coordenadas del sitio de emisión. Reinhard Selten publica un importante trabajo sobre cómo distinguir entre decisiones razonables y no razonables al predecir resultados de juegos. Por estos estudios fue galardonado con el Nobel de Economía en 1994. 1966 Lander y Parkin, utilizando un computador, hallan un contraejemplo a la “conjetura de Euler” para n=5 (véase 1769) al descubrir que 144 5 = 275 + 845 + 1105 + 1335. Hasta esta fecha se creyó que esta proposición era una extensión del último teorema de Fermat. 97

1966 Grothendiect recibe la Medalla Fields por su trabajo sobre geometría, teoría de números, topología y análisis complejo. Su teoría de esquemas condujo a la solución de ciertas conjeturas de Weil sobre teoría de números. Su teoría topoide es de mucha importancia, en lógica matemática, y además ha dado una demostración algebraica del teorema Riemann-Roch. El Surveyor I, nave espacial no tripulada de Estados Unidos, desciende a la superficie de la Luna y por primera vez se trasmiten por televisión imágenes en directo del satélite natural. Utilizando una IBM 7030 se calcula , en París, con 250000 decimales. Alan Baker demuestra la “conjetura de Gelfond” sobre la independencia lineal de los números algebraicos en relación con los números racionales. 1967 Atiyah publica Teoría K en la cual desarrolla los detalles sobre dicha teoría y sobre el teorema del índice. Por estos trabajos recibió el premio Fields. Utilizando la computadora CDC 6600 se calcula  con 500000 decimales. 1968 Novikov y Adian, conjuntamente, publican una demostración de que el grupo B (d, n) de Burnside es infinito para todo d > 1 y todo n > 4380. 1969 Las naves soviéticas no tripuladas Venus V y VI llegan a las cercanías del planeta Venus y lanzan a su superficie equipo experimental, en paracaídas. Se inicia la producción de computadores de cuarta generación cuya principal diferencia con los de la tercera consiste en que los elementos de entrada y salida son electrónicos y compatibles con los tiempos de cómputo. Conway publica detalles de su descubrimiento de nuevos grupos simples finitos. Se inicia el desarrollo de los Microprocesadores o dispositivos electrónicos superminiaturizados que son la base fundamental de los hoy llamados P.C. (computadores personales). Primera visita del Hombre a la Luna el 21 de julio a las 02-56 GMT con trasmisión por radio y televisión desde la Luna a gran parte del mundo y primera conversación vídeo-telefónica de la historia entre la Tierra y su satélite natural. 1970 Alan Baker es galardonado con la Medalla Fields por su trabajo sobre las Ecuaciones Diofantinas. 98

1970 Por estos años John Conway introduce la Teoría de Juegos Combinatoriales en cuyo proceso se descubrió cómo los números y los juegos están intrínsicamente conectados al considerar los números reales como un conjunto de juegos simples. En esta teoría los números reales se consideran como un subconjunto de los números surreales que se definen como números infinitamente grandes e infinitamente pequeños. El término surreal fue acuñado por Donald Knuth. Matiyasevich demuestra que el “décimo problema de Hilbert” (véase 1900) no puede solucionarse o sea que no hay un método general para determinar cuándo las ecuaciones polinómicas tienen solución en números enteros. 1971 Stephen Cook formula el denominado problema P versus NP, relacionado con algoritmos polinómicos de tiempo. En 1905 se había demostrado que el séptimo número de Fermat dado por la fórmula 22p + 1, que se suponía primo, es compuesto y en este año de 1971 dicho número se factorizó en dos primos de 17 y 22 dígitos respectivamente. 1972 Thom publica Estabilidad Estructural y Morfogénesis la cual explica la teoría de las catástrofes. Esta teoría examina situaciones en las cuales fuerzas gradualmente cambiantes conducen a cambios bruscos o catástrofes y tiene importantes aplicaciones en política, economía, biología y física. Se construye la primera calculadora electrónica de bolsillo, la Canon Pocketronic, iniciándose la obsolescencia de la regla de cálculo inventada en 1630. Se inicia el desarrollo de la fibra óptica o fibra de vidrio para la trasmisión del Láser (véase 1960), onda electromagnética monocromática cuya frecuencia es de unos 500 Teraherzios o sea con longitud de onda de 600 nanómetros. Su alta frecuencia permite la trasmisión de enormes volúmenes de todos los sistemas de telecomunicaciones a través de dicha fibra. Quillen formula la teoría K, de álgebra superior, nuevo instrumento que utiliza ideas y métodos geométricos y topológicos para formular y resolver grandes problemas algebraicos, particularmente sobre teoría de anillos y teoría de módulos. 1973 Deligne demuestra las tres “conjeturas de Weil”.

1973 La Hewlett Packard construye la primera calculadora programable de bolsillo, la HP-65, que es 270000 veces más pequeña que la ENIAC de 1945 y consume una potencia 100000 menor. Sus dimensiones son 15 x 8 x 3.5 cm y su sintaxis está basada en la notación polaca de Lukasiewicz creada en 1929. Chen Jingrun demuestra que todo entero par suficientemente grande es la suma de un primo y un número que no tiene más de dos factores primos. Desde 1937 esta es la mayor contribución a la solución de la conjetura de Goldbach planteada en 1742. Guilloud y Bouyer calculan en París, con una computadora CDC 7600, el valor de  con un millón de decimales en 23 horas. En diciembre la nave estadinense Pionero X llega a las proximidades de Júpiter después de recorrer 800 millones de kilómetros durante 21 meses. Trasmitió gran cantidad de información sobre el planeta, información que tardaba unos 45 minutos en llegar a la Tierra. 1974 Mumford es galardonado con el premio Fields por su trabajo sobre variedades algebraicas. Erno Rubik inventa el conocido “cubo de Rubik” que está formado de 27 minicubos los cuales rotan alrededor de 3 de sus ejes. Los minicubos deben colocarse en determinadas posiciones y de las 9x10 22 posibilidades de arreglos sólo 2048 son soluciones. * 1975 Promediando la segunda mitad del siglo XX la polémica sobre los verdaderos fundamentos de la matemática sigue vigente. Tres importantes Escuelas han pretendido resolver el problema: la Formalista encabezada por David Hilbert (1899) basada en rígidos sistemas axiomáticos; la Intuicionista preconizada por Luitzen Brouwer (1907) que fundamenta todo en la intuición y es diametralmente opuesta a la anterior y la Logicista (1910) de Rusell y Whitehead que aunque en cierta forma toma una posición intermedia pretende reducir toda la Matemática a la Lógica. Si a todo lo anterior se agrega el Teorema de Gödel (1931), puede pensarse que dicha polémica seguirá activa por varios años. Feigenbaum descubre una nueva constante ( 4.669201660910…), la cual está relacionada con bifurcaciones doblemente periódicas y juega un importante papel en la teoría del caos. Benoit Mandelbrot publica un primer trabajo sobre Geometría Fractal, relacionada con distintas formas que son comunes en la naturaleza tales como nubes, montañas, costas, etc., que ha resultado de mucha utilidad en la Teoría del Caos. 100

1975 Se inicia el proyecto para la producción de los computadores personales (P.C.) que al utilizar la tecnología de los circuitos integrados (electrónica miniaturizada) permitiría la fabricación de computadores de tamaño muy reducido o de escritorio. 1976 El trabajo de Lakatos titulado Demostraciones y Refutaciones se publica dos años después de su muerte. Este trabajo describe cómo las matemáticas se han venido desarrollando a través de la historia. Whitfield Diffie y Martin Hellman desarrollan un método para codificar información utilizando ciertas claves criptográficas que pueden ser utilizadas por cualquier pareja de personas para ejecutar sus transacciones a través de los sistemas electrónicos de telecomunicaciones. Thurston es galardonado con el Oswald Veblen Geometry Prize de la Sociedad Americana de Matemáticas por sus investigaciones sobre Foliaciones. Se construye la supercomputadora CRAY-1 que puede ejecutar 270 millones de cálculos en un segundo. Appel y Haken, utilizando 1200 horas de computador y examinando unas 1500 configuraciones, comprueban que para estos casos la Conjetura de los Cuatro Colores es verdadera. Dicha conjetura fue planteada por Francis Guthrie en 1852 y estipula que para colorear un mapa son suficientes cuatro colores. 1977 Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman crean un texto cifrado que llamaron RSA-129 oculto en los factores primos de un número de 129 dígitos y anunciaron que para descifrarlo utilizando la tecnología de computadores de ese momento se requerían unos 20000 años. El texto fue descifrado en 1994. Se da a conocer el sexto número perfecto que J. Scheybl había calculado en 1555: 8589869056. 1978 Fefferman recibe la Medalla Fields por sus trabajos sobre convergencia, divergencia, ecuaciones diferenciales parciales, análisis de Fourier, multiplicadores, integrales singulares y “espacios de Hardy”. Mori demuestra la “conjetura de Hartshorne” que estipula que los espacios proyectivos son las únicas variedades algebraicas completas suaves con haces tangentes abundantes. 1979 Connes publica un trabajo sobre teoría de integración no conmutativa. 101

1980 Por estos años matemáticos y físicos inician el desarrollo del Caos Cuántico que es una combinación de la teoría del caos y de la mecánica cuántica. Se completa la clasificación de los grupos finitos simples. 1981 La IBM presenta el computador personal, PC, de tamaño compacto para escritorio. 1982 Benoit Mandelbrot publica La Geometría fractal de la naturaleza en la cual desarrolla formalmente su teoría sobre esta geometría cuyos conceptos iniciales había publicado en 1975. Freedman demuestra la conjetura de Poincaré para n=4. Las demostraciones para n>4 fueron hechas en años anteriores (véase 1961). Shing – Tung Yau es galardonado con la Medala Fields por sus contribuciones a ecuaciones diferenciales parciales, a la “conjetura de Calabi” sobre geometría algebraica, a la conjetura de la masa positiva en la teoría general de la relatividad y a las ecuaciones reales y complejas de Monge-Ampére. 1983 A partir de estos años y utilizando la tecnología de los computadores se han venido descubriendo infinidad de superficies mínimas que los matemáticos han estudiado desde hace dos siglos. Dichas superficies tienen impacto importante tanto en química como en arquitectura y entre los más importantes investigadores del tema se encuentran David Hoffman y William Meeks. Donaldson publica Conecciones auto-duales y topología de coordenables suaves 4D, obra que conduce a ideas totalmente nuevas en geometría tetra-dimensional. Faltings demuestra la “conjetura de Mordell” y hace una importante contribución al último teorema de Fermat al probar que para todo número natural n hay un número finito de coprimos enteros x, y, z que satisfacen la ecuación xn + yn = zn. Tamura y Kanada, utilizando una HITAC M-280 H, calculan  con 16 millones de decimales en unas 30 horas. 1984 Louis de Brange resuelve la “conjetura de Bieberbach” formulada en 1916. Gerhard Frey afirma que si se demuestra la conjetura Taniyama-Shimura (1955), quedaría demostrado el último teorema de Fermat. 102

1984 Vaughan Jones descubre una nueva invariante polinómica para nudos y enlaces en espacio 3D. 1985 Celso Costa descubre la hoy llamada Superficie Costa, que es una superficie mínima (véase 1983) de topología finita y que no tiene espesor. Las superficies mínimas son las formadas por cosas tales como las películas de jabón donde la mínima cantidad de película encierra la mayor cantidad de aire. Witten publica Supersimetría y teoría de Morse donde incluye ideas que se han convertido en temas fundamentales en el estudio de la Geometría Diferencial. Se construye la super-computadora CRAY-2 que ejecuta más de mil millones de cálculos por segundo. Se desarrollan sistemas para obtener gráficos 3D por computadora, muy útiles para el diseño de programas matemáticos relacionados con geometría analítica espacial. En Houston, Texas, se descubre el mayor número primo conocido hasta la fecha; 2216091-1, de 65050 cifras. Varios científicos vaporizan grafito con un rayo láser y forman moléculas de carbono con 60 átomos estructurados como un esferoide hueco. Este compuesto, llamado Fulereno, es un icosaedro truncado formado de 20 hexágonos y 12 pentágonos regulares y es uno de los 13 poliedros semirregulares o arquimedianos. Muchos balones de fútbol son de esta misma clase. Por estos años se intensifica el estudio del llamado pequeño teorema de Fermat para utilizarlo en criptografía o codificación de mensajes. Este teorema estipula que apa (módulo p) o sea que ap-a es divisible por p, siendo a un entero y p un primo. 1986 Margulis demuestra la “conjetura de Oppenheim” relacionada con los valores de formas cuadráticas irracionales indefinidas en puntos enteros. 1987 Zelmanov demuestra una importante conjetura sobre cuándo un álgebra de Lie dimensional infinita es nilpotente. D. H. Brown afirma que el último teorema de Fermat es válido para “casi todos” los valores de n.

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1988 Langlands es el primero en recibir el Premio en Matemáticas de la Academia Nacional de Ciencias. Se lo otorgaron por su “extraordinaria visión para lograr una nueva y revolucionaria relación entre la representación de la teoría de grupos y las teorías de números y funciones automorfas”. Kanada, con una Hitachi S-820, calcula  con más de 200 millones de decimales en seis horas. Elkies halla un contraejemplo de la conjetura de Euler para n= 4: 422481 4 = 958004 + 2175194 + 4145604. (véase 1769 y 1966). 1989 Bourgain, utilizando métodos analíticos y probabilísticos, resuelve el denominado problema L(p) relacionado con la teoría de los espacios de Banach y de análisis armónico. Los hermanos Chudnovsky calculan  con mil millones de cifras. 1990 Drinfeld es galardonado con el premio Fields en el Congreso Internacional de Matemáticas reunido en Japón por sus trabajos sobre grupos cuánticos y teoría de números. 1991 Zelmanov resuelve el problema restringido de Burnside para grupos. Quidong Wang halla, con algunas excepciones, soluciones con series infinitas del problema de los n cuerpos. 1993 Andrew Wiles anuncia en junio en el Instituto Newton de Cambridge que ha demostrado el último teorema de Fermat. En una serie de conferencias tituladas Formas modulares, ecuaciones elípticas y representaciones de Galois presenta la demostración de un caso especial de la conjetura Taniyama- Shimura y la consiguiente validez del famosos teorema planetado a mediados del siglo XVII, pero pocos meses después unos matemáticos encuentran una falla en la demostración de Wiles. En este año de 1993 se formaliza INTERNET que es una red de redes de computadores que actúan interactivamente. Sus orígenes se remontan a 1969 cuando el Departamento de Defensa de Estados Unidos interconectó sus computadores con contratistas y universidades que realizaban investigaciones patrocinadas por las fuerzas armadas. Menasco y Thistlethwaite demuestran la conjetura sobre teoría de nudos conocida como “segunda conjetura de Tait” que afirma que cualquier pareja de diagramas alternos de un mismo nudo primo está relacionada por una secuencia de cruzamientos. Un nudo primo es aquel que no puede expresarse como la suma de dos más sencillos. 104

1994 Andrew Wiles, con la colaboración de su alumno Richard Taylor, anuncia en octubre que ha corregido la falla encontrada meses antes en la demostración del último teorema de Fermat y en consecuencia la legendaria proposición anunciada por el matemático francés en 1647 queda por fin demostrada luego de tres siglos y medio de múltiples esfuerzos e intentos de grandes matemáticos. Connes publica una importante obra sobre geometría no conmutativa. John Nash, John Harsanyi y Reinhard Selten reciben el Nobel de Economía por sus trabajos sobre la Teoría de Juegos aplicada a la macroeconomía, en especial a situaciones con información incompleta, como por ejemplo las que ocurren en subastas y en actividades de fuerte competencia. Lions recibe el premio Fields por su trabajo sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales. Yoccoz es galardonado con la Medalla Fields por sus investigaciones sobre sistemas dinámicos. El mensaje cifrado RSA-129 creado en 1977 y que se creía poder decodificarse en 20000 años con la tecnología de dicho año, es descifrado por un grupo de 600 personas que trabajaron sobre el tema durante ocho meses. Krystyna Kuperberg resuelve la “conjetura de Seifert” relacionada con la topología de sistemas dinámicos. 1995 Joel Hass y Roger Schlafly, utilizando métodos matemáticos de optimización y versátiles programas de computador, investigan qué formas geométricas son las posibles para encerrar eficientemente un volumen doble. Descubren que hay dos soluciones: la doble burbuja y el toro burbuja, pero la primera es la más eficiente. Un gran premio es ofrecido por el banquero Andrew Beal para quien demuestre la “conjetura de Beal”: En el conjunto de los enteros la ecuación xp + yq = zr no tiene soluciones para p, q, r > 2 y coprimos x, y, z. Kanada calcula  con seis mil millones de dígitos. 1996 Los hermanos Chudnovsky calculan  con ocho mil millones de dígitos. 1997 Andrew Wiles recibe el Premio Wolfskehl por haber demostrado el último teorema de Fermat. 105

1997 El cometa descubierto en 1995 por Alan Hale y Thomas Bopp llega a su perihelio (unos mil millones de kms). Su afelio alcanza 50 mil millones de kms y se estima que regresará a las cercanías del Sol en unos 2400 años. La excentricidad de su órbita es de 0.99. Robert Meron recibe el premio Nobel de Economía por sus contribuciones en Ingeniería Monetaria. Él adapta el “Lema de Ito” (véase 1942) para deducir una fórmula relacionada con la fluctuación de precios. Kanada y Takahashi, con una HITACHI SR 2201, calculan  con 51.5 mil millones de dígitos en 29 horas. 1998 El sistema Iridium, utilizando unos 66 satélites de órbitas de baja altura, formaliza el desarrollo de la telefonía celular de cubrimiento global. Borcherds recibe una Medalla Fields por sus trabajos en formas automórficas y física matemática; Gowers recibe otra por sus investigaciones en análisis funcional y combinaciones; Kontsevich también es galardonado por sus trabajos en geometría algebraica,, topología algebraica y física matemática y McMullen recibe otra Medalla por sus desarrollos en dinámica holomórfica y geometría en coordenables tridimensionales. Thomas Hales, tras seis años de esfuerzos, resuelve el problema de Kepler sobre el empaquetamiento de esferas: La forma más eficiente de empaquetar un conjunto de esferas es la de retícula cúbica centrada en las caras de las esferas. Peter W. Shor es galardonado con el Premio Nevanlinna por descubrir una técnica matemática, utilizando mecánica cuántica, que permite factorizar en corto tiempo grandes números en sus factores primos. El Nevanlinna se otorga a matemáticos que obtengan importantes logros en las ciencias de la computación. 1999 Bill Ditto fabrica la primera computadora realizada mediante conexión de células nerviosas vivas. El objetivo es desarrollar un dispositivo bioelectrónico que pueda “pensar” sin programación minuciosa. Este dispositivo realiza sólo operaciones sencillas y requiere de una computadara auxiliar convencional. Por estos años la Conferencia Internacional de Pesas y Medidas formaliza la definición del segundo como unidad de tiempo estipulando que es el lapso en el cual se producen 9192631770 ciclos de una señal electromagnética emitida por un átomo de Cesio 133.

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1999 Se calcula el número 37 de Mersene (véase 1638): 23021377-1, número primo de 909526 cifras. Se intensifica el desarrollo de la nanotecnología cuyo objetivo es la producción de elementos electrónicos y bioelectrónicos miles de veces más pequeños que los actuales. La tecnología del siglo XXI estará basada en dichos elementos. Conrad y Taylor demuestran en forma general la conjetura TaniyamaShimura (1955). Wiles había demostrado un caso especial en 1993 que lo condujo a la demostración del último teorema de Fermat. El Great Internet Mersenne Prime Search proyecta calcular el número 38 de Mersenne: 26972593-1, de 2098960 cifras. Divakar Viswanath descubre y demuestra la existencia de una nueva constante matemática, que es aproximadamente 1.13198824…, estrechamente relacionada con la serie de Fibonacci (1202) y con el lanzamiento aleatorio de monedas. Dicha constante tendría aplicación en procesos estadísticos. Los biólogos moleculares Titia de Lange y Jack Griffth descubren que los cromosomas normales no tienen extremos y en consecuencia existe una estrecha relación entre la micro-biología y la teoría matemática de los nudos. Los nudos, que no tienen extremos y no pueden existir en más de tres dimensiones, se han venido estudiando formalmente desde el desarrollo de la Topología. 2000 En una reunión de la Sociedad Americana de Matemáticas efectuada en Los Angeles un grupo de 30 destacados matemáticos, entre los cuales había ocho ganadores Fields, proponen los “Desafíos Matemáticos del siglo XXI”. Cien años antes David Hilbert hizo algo semejante. Un premio de siete millones de dólares se ofrece por la solución de los siete famosos problemas matemáticos llamados Millennium Prize Problems, ellos son:       

P versus NP La conjetura de Hodge La conjetura de Poincaré La hipótesis de Riemann Las ecuaciones de Yang – Mills Existencia y suavidad de ecuaciones Navier – Stokes La conjetura Birch y Swinnerton – Dyer

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2002 Después de 16 siglos de su desaparición y con el patrocinio del gobierno egipcio y de la Unesco la Biblioteca de Alejandría, en octubre, es reinagurada abriendo sus puertas artística y tecnológicamente remodelada. A este acto asistieron destacados personajes mundiales y la Biblioteca es uno de los más notables patrimonios de la humanidad. Fundada por Tolomeo I en el siglo III A.C se convirtió en el centro cultural más importante del mundo antiguo y luego de varias destrucciones parciales desapareció por un incendio en el año 391 D.C. En noviembre se inaugura en la ciudad universitaria de Giessen, Alemania, el primer Museo dedicado a las Matemáticas. Consta de 50 salas de exposición y sus elementos son de características interactivas y de diversión. 2003 En abril Grigori Perelman, del Instituto de Matemáticas de San Petesburgo, presenta la primera parte de la demostración de la conjetura de Poincaré (1904) para n=3: “cualquier coordenable (“manifold”) cerrado tridimensional que sea homotópicamente equivalente a la esfera de superficie 3D, es la misma esfera”. Las demostraciones correspondientes para n > 3 se hicieron en años anteriores (véase 1961 y 1982). Si la demostración es correcta se habrá resuelto uno de los siete problemas planteados en el 2000 que tiene un premio de un millón de dólares ofrecido por el Instituto de Matemáticas Clay. Aprovechando la cercanía de Marte y la consiguiente mayor influencia gravitacional ya que dicho planeta estará en oposición a unos 60 millones de kms en agosto de este año, la Agencia Espacial Europea, la NASA y Japón envían sendas naves no tripuladas a nuestro vecino espacial para investigar sobre posibilidades de vida y efectuar varios experimentos científicos. Las naves estarán llegando a Marte a principios del 2004 luego de seguir combinaciones de órbitas cuasi-elípticas en forma de 8. Será la primera búsqueda de señales de vida desde 1976. En la segunda mitad del año Elin Oxenhielm, matemática sueca de 22 años, resolvió parcialmente el problema 16 de David Hilbert planteado en 1900 y relacionado con los ciclos limitados por ecuaciones diferenciales polinomiales. Dicha solución tendría aplicaciones en simulaciones computarizadas de fenómenos científicos y económicos.

Gerardo Prado Bravo geprado@yahoo.com Bogotá, 2003

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BIBLIOGRAFÍA

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