Автор более 50 публикаций, в том числе научно-популярных статей и заметок в журналах «Наука и жизнь», «Математика в школе», «Математика для школьников».
Любимые книги глазами математика
преподаватель математики, редактор научно-теоретического и методического журнала «Математика в школе», кандидат педагогических наук.
Н. М. Карпушина
Карпушина Наталья Михайловна –
Н. М. Карпушина
Любимые книги глазами математика
Занимательные задачи и познавательные истории для взрослых и детей
Н. М. Карпушина
Любимые книги глазами математика Занимательные задачи и познавательные истории для взрослых и детей
«НАУКА И ЖИЗНЬ» Москва 2011
ББК 22.12 83.3 УДК 51-78
Ответственный редактор Е. Л. Лозовская Макет, оформление обложки, верстка З. А. Флоринская Редактор О. С. Белоконева Корректор Ж. К. Борисова Н. М. Карпушина
Любимые книги глазами математика Занимательные задачи и познавательные истории для взрослых и детей – М.: АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2011. – 168 с.
На страницах художественных книг нашли отражение многие математические идеи и понятия. Какие вопросы математики и почему затрагивали в своих произведениях известные писатели? Какие задачи приходилось решать героям Дж. Свифта, Л. Кэрролла, Ж. Верна, М. Рида, Дж. Лондона, А. Конан Дойла, А. Пушкина, Ф. Достоевского, А. Чехова? Успешно ли они справлялись с этими задачами? Насколько были правы в оценках и точны в расчетах сами авторы — люди, зачастую далекие от математики? Помимо любопытных наблюдений, зарисовок и примеров в книге содержится более ста оригинальных занимательных задач на сюжеты, заимствованные из популярных литературных произведений. Часть задач и примеров была опубликована в журнале «Наука и жизнь» в 2008—2010 годах. Книга адресована всем, кто любит математику и литературу, независимо от возраста.
ISBN 978-5-904129-09-5
Н. М. Карпушина, текст, 2011 © АНО журнала «Наука и жизнь», 2011 © З. А. Редакция Флоринская, оформление, обложка, 2011 ©
ОГЛАВЛЕНИЕ Математика и литература................................................. 10 Как устроена эта книга.................................................... 12
ГЛАВА ПЕРВАЯ Как измерить рост удава, или О математических предпочтениях писателей Чудо-рулетка.................................................................. 14 Невероятная история....................................................... 15 «А в попугаях-то я длиннее!»............................................ 15 Дельный совет................................................................ 15 Сколько ножек нужно столику?......................................... 16 Безнадежное занятие...................................................... 17 Волшебная фраза............................................................ 17 На уроке кляксописания.................................................. 17 Ошибка Андерсена.......................................................... 18 Меткое наблюдение......................................................... 18 Невыполнимая задача..................................................... 19 Хитроумная Дидона......................................................... 19 Оптимальное решение..................................................... 19 Выдумка Паганеля........................................................... 20 Одним циркулем?............................................................ 21
ГЛАВА ВТОРАЯ «Ох, уж эта арифметика!», или Такие знакомые школьные задачи Бутылка и пробка............................................................ 23 Сколько орехов?............................................................. 23 Перевозка муки.............................................................. 23 Вес кубика..................................................................... 23 Землекопы..................................................................... 23 Щедрое вознаграждение.................................................. 24 Стабильный процент........................................................ 24 Продажа будок............................................................... 24 Доход крокодила Гены..................................................... 24 Сбережения отца Федора................................................. 25 Топоры и пилы................................................................ 25 Покупка сукна................................................................ 25 Миллиард минут нашей эры.............................................. 25
«Молочное море»............................................................ 26 Из Суэца в Аден.............................................................. 26 Путешественники............................................................ 26
ГЛАВА ТРЕТЬЯ О чем поведал Гулливер, или Идея подобия в романах Джонатана Свифта Дюйм против фута........................................................... 27 Точный расчет................................................................ 28 Смышленые белошвейки.................................................. 29 Дрерр, глюмглефф и блестрег........................................... 30 Шаг исполина................................................................. 31 Протяжение города......................................................... 32 Высота башни................................................................. 32 Зрение лилипутов........................................................... 33 Как разглядеть лилипута?................................................. 34 Глазами великана........................................................... 34 Подходящее расстояние................................................... 35
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ Как выйти из затруднительного положения, или Геометрия в действии Ящик с галетами............................................................. 36 Сам себе мерка............................................................... 37 Через расщелину............................................................ 38 Метод триангуляции........................................................ 39 На воздушном шаре......................................................... 40 Находчивый сыщик......................................................... 40 Высота вяза.................................................................... 41 Задача Сайреса Смита...................................................... 41
ГЛАВА ПЯТАЯ Любителям приключений на заметку, или Расчеты и просчеты в книгах Жюля Верна Широта острова.............................................................. 43 Долгота острова.............................................................. 45 Бесценная находка.......................................................... 46 Объем зерна................................................................... 47 На вершине горы............................................................ 47 Вид на Сэдл-Пик............................................................. 48
«Земля на горизонте!»..................................................... 48 Вдоль параллели............................................................. 49
ГЛАВА ШЕСТАЯ Перечитывая «Алису», или Загадки математика Доджсона Сказки «для взрослых».................................................... 50 Книги для ученых............................................................ 52 Что толку в книжке без вопросов?..................................... 52 Вслед за Кэрроллом........................................................ 54 «Расту или уменьшаюсь?»............................................ 54 «Прощайте, ноги!»..................................................... 55 Бег по кругу............................................................. 56 С одной стороны, с другой стороны… ............................ 57 «Пойду-ка я к ней навстречу…».................................... 58 Зазеркальный пирог................................................... 58 «Задом наперед, совсем наоборот!»................................ 59 По ту сторону зеркала................................................. 60 «Ошибка» Кэрролла.................................................... 60 «Живее некуда!»............................................................ 62
ГЛАВА СЕДЬМАЯ «Ростом только в три вершка…», или Рукотворные мерки в языке и литературе Становление русской системы мер длины........................... 64 Карамель «Новые меры».................................................. 66 Древние мерки сегодня................................................... 67 Перст указующий............................................................ 68 Зверек с вершок.............................................................. 69 Братец дюйм.................................................................. 70 За пядью пядь................................................................. 72 Ноготок с локоток........................................................... 74 Заморский локоть........................................................... 74 В сочинениях классиков.................................................. 76 Что не так?............................................................... 76 Рост Горбунка........................................................... 76 Самый рослый........................................................... 77 Секрет гиперболы...................................................... 78 Дивная шевелюра...................................................... 79 Расчет Ратибора........................................................ 79 Какова погрешность?.................................................. 79 Девичья ножка.......................................................... 80
Заячий островок........................................................ 80 Полезная жилплощадь................................................ 80 «Скромница» щука..................................................... 81 Чудесная находка...................................................... 81
ГЛАВА ВОСЬМАЯ О чем мечтал Иудушка Головлев, или Проценты в русской классике Доходы и расходы........................................................... 82 Вездесущие проценты...................................................... 84 Трудности «перевода»..................................................... 86 Ростовщики и кредиторы................................................. 88 Жадный ростовщик.................................................... 89 Жизнь взаймы................................................................ 90 Несбывшиеся надежды. .............................................. 92 Выгодное дельце............................................................. 92 Расчетливая Грушенька............................................... 92 Деловые люди................................................................ 94 Компаньоны............................................................. 94 «Знакомые все лица!»...................................................... 96 Как разделить прибыль............................................... 96 Помещичьи заботы.......................................................... 97 Упущенная возможность.............................................. 98 Наследство и наследники................................................. 98 Скромный доход........................................................ 98 Удвоенный вклад....................................................... 99 Надежные вложения....................................................... 99 «Обеспеченное» будущее............................................100 «Прогресса ни на грош!».................................................100 «Высчитайте-ка!».....................................................101
Приложение Проценты простые и сложные: обоснованный выбор..........102
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ По воле случая, или О пользе теории вероятностей Неведение и просчет......................................................104 Игра в кости..................................................................105 Желанная сумма............................................................106 Германн и Чекалинский..................................................106 За игорным столом.........................................................108
Проигрыш неизбежен?...............................................108 Такие разные шансы… .............................................108
«Ставки сделаны!».........................................................109 Оценим выгоду.........................................................109 Сравним вероятности.................................................110 Подсчитаем выигрыш.................................................111
Приложение Теория вероятностей: основные понятия и факты..............112
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ «Задача» Чехова и другие истории, или Вокруг да около математики Компромиссное решение................................................115 В роли арифмометра......................................................116 Франки и сантимы..........................................................118 Метод Гарриса...............................................................119 В сетях лабиринта..........................................................120 Детская забава..............................................................122 Между делом.................................................................124 Юный возраст..........................................................124 Квадратное окно......................................................125 2 ( 2 = 5.................................................................125 Миллион поцелуев....................................................125 Еще две головоломки.................................................126
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ГЛАВА ПЕРВАЯ...............................................................127 ГЛАВА ВТОРАЯ...............................................................131 ГЛАВА ТРЕТЬЯ...............................................................132 ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ..........................................................134 ГЛАВА ПЯТАЯ................................................................139 ГЛАВА ШЕСТАЯ..............................................................144 ГЛАВА СЕДЬМАЯ.............................................................145 ГЛАВА ВОСЬМАЯ.............................................................147 ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.............................................................150 ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.............................................................154 Именной указатель.........................................................159 Указатель произведений.................................................160 Список иллюстраций......................................................162
МАТЕМАТИКА И ЛИТЕРАТУРА Человек, читающий что попало, редко может похвастаться глубиной своих знаний. Никто не станет обременять свою память мелкими подробностями, если на то нет достаточно веских причин. А. Конан Дойл. Этюд в багровых тонах
К математике можно приобщаться по-разному. Одни увлечены самой математикой. Другие изучают науки, использующие ее достижения. Третьи осваивают профессии и виды деятельности, в которых не обойтись без математических знаний. Математику не оставляют без внимания и те, чей круг интересов относится к гуманитарной сфере, кто занимается историей, философией, лингвистикой, искусством. А уж в житейских ситуациях к ее помощи прибегает каждый. Изучение математики начинается в школе, однако знакомство с ее идеями происходит гораздо раньше. Один из важных источников, доносящих их до ребенка, — детская литература. Помните, как в сказке Григория Остера «Зарядка для хвоста» попугай пытался объяснить слоненку, который раскладывал орехи на две кучки, чем «много» отличается от «мало»? Думаете, они просто играли? Нет, сравнивая число орехов в кучках, они осваивали азы арифметики. Подобных примеров имеется предостаточно, и не только в детских книжках. К тому же в истории литературы известно немало случаев, когда сочинения для взрослых со временем переходили в разряд детской и юношеской классики. Важно то, что в произведениях, созданных в разные эпохи и в разных жанрах — от литературной сказки до детектива и научной фантастики, нашли отражение математические идеи и понятия. Писатели включали их в повествование с различными целями и излагали с разной степенью доступности и узнаваемости. Взять, к примеру, Жюля Верна и Льюиса Кэрролла. Первый в своих романах популяризировал научные знания и подавал их читателю в готовом виде, стараясь не упускать подробностей, 10
вплоть до формул и вычислений. Второй в сказках о Стране чудес и Зазеркалье лишь приоткрывал дверь в удивительный мир математики и вел тонкую интеллектуальную игру, предлагая читателю изящные загадки. Пока один подробно излагал решения задач, другой пытался разъяснить суть математических идей и понятий. Конечно, не все авторы упоминали о математике ради нее самой. Так, Джонатан Свифт, описывая в «Путешествиях Гулливера» вымышленные миры лилипутов и великанов, попросту не мог обойтись без геометрии: ему то и дело приходилось сравнивать размеры, площади и объемы подобных фигур. Наконец, у некоторых авторов имеется лишь намек на какую-то математическую идею, в их сочинениях она могла появиться случайно. Об этом косвенно свидетельствуют несоответствия и ошибки, допущенные писателями, — не всегда очевидные, однако привлекающие внимание. На страницах многих произведений, рассчитанных на взрослого читателя, появление математики было закономерным. Достаточно вспомнить творения русских классиков: в них описывается повседневная жизнь героев, в которой всегда находилось место математике. Яркий пример тому — разного рода процентные расчеты, выполняемые многими персонажами. Довольно полно отражена в художественной литературе тема азартных игр, в частности карт и рулетки, весьма популярных в XIX столетии. На ее примере можно познакомиться с теорией вероятностей, или наукой о случайном. Не меньшего внимания заслуживают старые русские меры длины. Вышедшие из употребления рукотворные мерки (вершок, пядь, аршин и пр.) часто упоминаются в сочинениях классиков и фольклоре. Трудно отыскать более подходящий и доступный, проверенный временем проводник любого рода идей, чем художественная литература во всем ее многообразии. Как же пройти мимо и не воспользоваться ее потенциалом для того, чтобы с юных лет приобщить читателя к математике? Литературные примеры опровергают расхожее суждение, будто математика — сухая, малопривлекательная и оторванная от жизни наука, интересная разве только самим математикам. Они рассказывают о ее многочисленных гранях и проявлениях так просто и увлекательно, как не расскажет ни один школьный учебник.
11
Как устроена эта книга В книге десять самостоятельных глав. Они расположены по принципу двигаемся от простого к сложному, от знакомого к неизвестному или порядком подзабытому. Но это вовсе не означает, что читать их следует, продвигаясь от первой главы к последней. Тематика глав столь разнообразна, что знакомиться с ними можно в любой последовательности. В первой главе рассмотрены некоторые геометрические понятия и факты, нередко упоминающиеся в художественной литературе, во второй представлены арифметические задачи на популярные сюжеты, встречающиеся у разных авторов, а в четвертой собраны примеры применения законов математики в нестандартных ситуациях, в которых по воле писателей оказывались известные персонажи. В нескольких главах идет речь о знаменитых произведениях, где математике уделено значительное внимание. Третья глава знакомит читателя с геометрией подобия в романах Джонатана Свифта, пятая — с любопытными расчетами в книгах Жюля Верна, а шестая — со сказками Льюиса Кэрролла о приключениях Алисы и с оригинальными задачами автора. В седьмой главе рассказывается о системе древнерусских малых мер длины — многовековой истории ее становления и отражении в нашем языке и литературе. Восьмая глава посвящена теме процентов в сочинениях русских классиков, а девятая — элементам теории вероятностей применительно к азартным играм. Наконец, в десятую главу вошли головоломки, придуманные или использованные именитыми писателями. В основу большинства глав легли задачи-новеллы, зарисовки или миниатюры. Каждая из них, по сути, законченное произведение на оригинальный сюжет, с собственным названием и «биографией». Часть задач была опубликована в журнале «Наука и жизнь» в 2008—2010 годах. Давно известно: математические идеи и понятия быстрее и эффективнее всего усваиваются в процессе решения задач, и чем необычнее и привлекательнее те выглядят, тем больший интерес вызывают и живее пробуждают работу мысли. Сюжеты задач не придумывались специально, а заимствовались из книг, цитирова-
12
лись или пересказывались, анализировались с точки зрения математики, затем адаптировались в интересах читателя и превращались в самостоятельные задачи. C этой целью использовано около 70 литературных произведений — самых разных по содержанию и форме жанров. Это немало, но составляет лишь незначительную часть литературного кладезя математических сведений — источника, весьма щедрого на примеры и задачи. Всего в книге более ста задач различной тематики и разного уровня сложности — от простеньких примеров на вычисление, посильных тем, кто только приступил к изучению арифметики, до задач-исследований, требующих определенных познаний в алгебре, геометрии, тригонометрии, теории вероятностей. Однако одной математикой дело не ограничится, кое-где понадобятся сведения из других наук. Некоторые задачи носят практический характер или затрагивают житейские вопросы, демонстрируя различные применения математики в жизни. Зачастую их решение требует не только и не столько знаний, сколько простых рассуждений, проявления логики и смекалки и даже обращения к личному опыту. Внутри одной главы задачи по возможности упорядочены в соответствии с логикой повествования, а те из них, что взаимосвязаны (посвящены одному вопросу, близки по сюжету, одна идейно продолжает другую), — по уровню сложности. Решать их можно все подряд или выборочно, придерживаясь удобной последовательности. Почти ко всем задачам даны ответы или подробные решения, нередко с комментариями относительно содержания задач или возможных вариантов их решения. Однако не спешите в них заглядывать, попробуйте справиться с задачей сами. Не забывайте, что подсказки, помогающие найти ключ к решению, зачастую заложены в самой задаче. Поэтому постарайтесь, читая условие, правильно расставить акценты, обратите внимание на детали и ключевые слова и особенно на поставленные вопросы. Книга адресована самому широкому кругу читателей. Надеюсь, что каждый взявший ее в руки не только получит удовольствие от встречи с математикой и литературой, но и найдет в книге что-то полезное для себя. А быть может, захочет перечесть кэрролловскую «Алису» или откроет на досуге томик рассказов Чехова.
Автор
13
ГЛАВА ПЕРВАЯ Как измерить рост удава, или О математических предпочтениях писателей Герцогиня — Алисе: «А мораль отсюда такова: думай о смысле, а слова придут сами!» Л. Кэрролл. Алиса в Стране чудес
В литературе нашла отражение не одна математическая идея. Многочисленные примеры тому имеются и в известных всем с детства сказках и мифах, и в приключенческих романах, и в сочинениях фантастов. Примечательно, что писатели, работавшие в разных жанрах, зачастую использовали одни и те же идеи. Анализировать поведанные авторами истории с научной точки зрения, равно как и исправлять в них ошибки, — занятие не только увлекательное, но и поучительное! Попробуйте — и убедитесь в этом сами.
ЧУДО-РУЛЕТКА У главной героини сказки Памелы Трэверс «Мэри Поппинс открывает дверь» была рулетка. С ее помощью няня определяла, насколько выросли подопечные за время ее отсутствия. Однажды Мэри Поппинс измерила Майкла с головы до ног и вынесла неутешительный вердикт: «— Как и следовало ожидать! Ты делаешься все хуже и хуже! Майкл вытаращил глаза. — На рулетках не бывает слов, на них бывают только цифры, — возразил он. — С каких это пор? — высокомерно бросила Мэри Поппинс, сунув рулетку ему под нос. На ленте большими синими буквами было написано: ХУЖЕ И ХУЖЕ». Кто же прав? Что на самом деле указывают на рулетке? 14
НЕВЕРОЯТНАЯ ИСТОРИЯ В автобиографической повести «Путешествие на “Снарке”» Джек Лондон пишет: «Потом я увидел землю, — в том самом месте, где ей следовало быть, — едва вылезающий из воды клочок земли. В шесть часов я уже точно знал, что это великолепный вулканический конус Футуна. В восемь часов, когда мы поравнялись с ним, я при помощи секстана измерил расстояние до него и нашел, что оно равняется 9,3 мили». Однако сделать подобное измерение писатель никак не мог! Почему?
«А В ПОПУГАЯХ-ТО Я ДЛИННЕЕ!» Помните веселую компанию: мартышку, попугая, слоненка и удава из сказки Григория Остера «Зарядка для хвоста»? С ними произошло немало забавных историй. Вот одна из них. Однажды герои решили измерить рост удава. Оказалось, что он составляет 38 попугаев, или 5 мартышек, или 2 слоненка. «А в попугаях-то я гораздо длиннее», — заключил удав. Ну как тут не усомниться в правильности его вывода? Если рост удава постоянен, то почему попугай, мартышка и слоненок получили разные результаты? И, кстати, прав ли был попугай, когда на вопрос мартышки: «А чем еще можно измерять рост?» ответил: «Всем!»?
ДЕЛЬНЫЙ СОВЕТ Другая история о том, как мартышка учила слоненка делать зарядку. Каждый раз, когда она командовала «Ноги вместе!», слоненок падал. Этой сценой заинтересовался проползавший мимо удав.
15
«— Сначала я ставлю ноги вместе, — рассказал слоненок. — А потом падаю. Хоть мне и не хочется. — Ты ставишь их вместе все? — переспросил удав, который пока еще ничего не понял, но уже кое-что начал подозревать. — Ты ставишь вместе все четыре ноги? — Да, — сказал слоненок. — Все. — Все четыре ноги ставить вместе нельзя! — воскликнул удав. — От этого всегда падают. Это есть такой закон природы… — А сколько можно? — спросила мартышка. — Только некоторые! — охотно объяснил удав, который в глубине души считал себя большим специалистом по ногам. — Например, только задние. Или только передние. — И тогда не падают? — спросил слоненок. — Тогда стоят! — подтвердил удав». О каком таком «законе природы» говорит удав?
СКОЛЬКО НОЖЕК НУЖНО СТОЛИКУ? У тещи Ипполита Матвеевича Воробьянинова из романа И. Ильфа и Е. Петрова «Двенадцать стульев», мадам Петуховой, был мебельный гарнитур, а в нем — один примечательный предмет. О нем мы узнаем из следующего разговора героев: «— Ипполит, — повторила теща, — помните ли вы наш гостиный гарнитур? — Какой?.. — Тот… Обитый английским ситцем… — Помню, отлично помню… Диван, дюжина стульев и круглый столик о шести ножках». Согласитесь, столик с шестью ножками — вещица и в самом деле редкая! И зачем, интересно, их столько понадобилось? Разве что ради красоты?!.. Изготовить такой столик непросто да и сидеть за ним неудобно, а главное — налицо явный перерасход материала: ножек вдвое больше, чем необходимо на самом деле! Как известно, на практике мебель круглой формы часто делают опирающейся на три ножки, причем их концы располагают в вершинах равностороннего треугольника. Можете ли вы объяснить почему? 16
БЕЗНАДЕЖНОЕ ЗАНЯТИЕ Из рассказа главного героя научно-фантастической повести братьев Аркадия и Бориса Стругацких «Понедельник начинается в субботу»: «Вокруг стеклянного плафона под потолком обессилено мотались три мухи… Время от времени они вдруг принимались остервенело кидаться из стороны в сторону, и спросонок мне пришла в голову гениальная идея, что мухи, наверное, стараются выскочить из плоскости, через них проходящей, и я посочувствовал этому безнадежному занятию». Так ли уж безнадежны попытки мух? И если да, то почему?
ВОЛШЕБНАЯ ФРАЗА В сказке А. Толстого «Золотой ключик, или Приключения Буратино» Мальвина учила Буратино арифметике и чистописанию. Когда тот не решил простенькую задачку на вычитание, девочка сочла, что у него нет способностей к математике, и сказала: «— Займемся диктантом. Пишите: “А роза упала на лапу Азора”. Написали? Теперь перечтите эту волшебную фразу наоборот». Что такого волшебного в этой фразе?
НА УРОКЕ КЛЯКСОПИСАНИЯ Главный герой книги Яна Бжехвы «Академия пана Кляксы» упомянул о том, как обучался… кляксописанию. Этот предмет преподавался в академии с целью научить детей пользоваться чернилами. Но как пользоваться! «Происходило это так: на большие листы белой бумаги ставилось несколько клякс, потом лист складывался вдвое, чтобы кляксы размазались. Из этих клякс возникали изображения птиц, зверей, людей и даже целые картины».
17
Эта история служит иллюстрацией к одной известной геометрической идее. Какой?
ОШИБКА АНДЕРСЕНА Автор сказки «Снежная королева», говоря о снежинках, восторгался их красотой и правильностью формы: «Каждая снежинка казалась под стеклом куда больше, чем была на самом деле, и походила на роскошный цветок или десятиугольную звезду. Чудо что такое! — Видишь, как искусно сделано! — сказал Кай. — Это куда интереснее настоящих цветов! И какая точность! Ни единой неправильной линии!» Какую ошибку допустил в этом описании знаменитый сказочник Ганс Христиан Андерсен?
МЕТКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ Проанализируйте с точки зрения геометрии следующий эпизод из сказки Алана Милна «Винни-Пух и все-всевсе». «Иа-Иа… однажды стоял на берегу ручья и понуро смотрел в воду на свое отражение. — Душераздирающее зрелище, — сказал он наконец. — Вот как это называется — душераздирающее зрелище. Он повернулся и медленно побрел вдоль берега вниз по течению. Пройдя метров двадцать, он перешел ручей вброд и так же медленно побрел обратно по другому берегу. Напротив того места, где он стоял сначала, Иа-Иа остановился и снова посмотрел в воду. — Я так и думал, — вздохнул он. — С этой стороны ничуть не лучше». 18
НЕВЫПОЛНИМАЯ ЗАДАЧА В «Одиссее» Гомера рассказывается о том, как жена главного героя Пенелопа объявила, что выйдет замуж за того, кто победит в состязании по стрельбе из лука. Его участники должны были выпустить стрелу из старого лука Одиссея таким образом, чтобы она пролетела сквозь ушки двенадцати одинаковых железных топоров, вонзенных в землю один за другим, то есть расположенных в ряд. Как известно, это смог сделать только сам Одиссей. Но всегда ли поставленная задача выполнима? Ведь выпущенная из лука (под углом к горизонту) стрела движется по параболе! Тогда почему с заданием удалось справиться Одиссею? Иначе говоря, при каком условии возможна описанная Гомером ситуация?
ХИТРОУМНАЯ ДИДОНА С именем Дидоны, основательницы и первой царицы Карфагена, связана задача на нахождение плоской фигуры с данным периметром, которая имела бы наибольшую площадь. (Математическая формулировка задачи такова: какую форму должна иметь кривая известной длины, чтобы площадь фигуры, ограниченной этой кривой, а также заданной линией, была наибольшей?) Легенда гласит, что, вынужденная бежать из родного города, Дидона вместе со своими спутниками оказалась в Африке. Царь берберов пообещал ей дать столько земли на берегу моря, сколько она сможет охватить шкурой быка. Хитроумная Дидона разрезала шкуру на узкие полоски, связала из них длинную веревку и отмерила с ее помощью самый большой по площади участок земли, на котором впоследствии и основала Карфаген. Какую форму имел этот участок?
ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ Мужик по имени Пахом из рассказа-притчи Л. Толстого «Много ли человеку земли нужно» мечтал обзавестись собственной землей и по совету заезжего купца отправился за ней
19
к башкирам. Одарил их Пахом подарками, а башкиры в знак благодарности согласились продать ему участок земли и цену назначили — тысячу рублей за день: «Сколько обойдешь в день, то и твое». «А как же отметить, где я пройду?» — спросил Пахом. И услышал в ответ: «Мы станем на место, где ты облюбуешь, мы стоять будем, а ты иди, делай круг; а с собой скребку возьми и, где надобно, замечай, ямки рой, дернички клади, потом с ямки на ямку плугом проедем. Какой хочешь круг забирай». Захотел мужик получить за свои деньги как можно больше земли, однако к словам башкиров не прислушался и отмерил участок четырехугольной формы. Решение Пахома выглядит вполне разумным с практической точки зрения. А можно ли назвать его оптимальным с точки зрения геометрии и почему?
ВЫДУМКА ПАГАНЕЛЯ Героям романа Жюля Верна «Дети капитана Гранта» довелось посетить затерянный в Индийском океане остров Амстердам. Вот каким тот предстал перед путешественниками: «6 декабря первые лучи солнца осветили гору, как бы выходящую из недр морских. Это был остров Амстердам… В восемь часов утра неопределенные очертания острова стали напоминать общий облик Тенерифе. — Он очень похож и на Тристанда-Кунья, — заметил Гленарван. — Основательный вывод, — отозвался Паганель. — Он вытекает из геометрографической аксиомы: два острова, подобные третьему, подобны и между собой». Конечно, геометрографическая аксиома — всего лишь курьезная выдумка Жака Паганеля (вполне в его духе!), однако за ней скрывается конкретный геометрический факт, по-своему истолкованный ученым-географом. Что это за факт? 20
ОДНИМ ЦИРКУЛЕМ? В другом сочинении Жюля Верна — фантастическом романе «Гектор Сервадак» говорится, что герои сумели разделить метр на дециметры при помощи одного циркуля. Иными словами, решили известную задачу на построение — разбили отрезок на десять равных частей. Такое построение действительно можно выполнить, пользуясь только циркулем. Но персонажам романа вряд ли удалось бы это сделать. Почему?
21