Triangoli

Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Stefania Pozio Nucleo: Spazio e Forme

PREREQUISITI conoscenza delle altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo

Scheda di lavoro 2 Le bisettrici nei triangoli

ATTIVITÁ

Scheda di lavoro 1 Le altezze nei triangoli

Altezze, mediane, bisettrici e assi nei triangoli Scheda di lavoro 3 Le mediane nei triangoli

Scheda di lavoro 4 Gli assi nei triangoli

VALUTAZIONE ATTIVITÁ All’interno delle schede di lavoro

Scheda per attività per le eccellenze

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Introduzione Tematica: Altezze, mediane, bisettrici e assi di un triangolo.

Finalità e obiettivi di apprendimento: l’obiettivo di questa attività è quello di far lavorare gli studenti su modelli di triangoli costruiti in carta o in cartoncino, far localizzare altezze, mediane, bisettrici e assi senza l’uso di riga e/o squadra, ma sfruttando le loro proprietà, e, infine, insegnare loro ad utilizzare il software Geogebra che permette di avere una visione dinamica delle proprietà di questi segmenti particolari.

Metodologia: si tratta sempre di attività laboratoriali da svolgersi in piccoli gruppi o singolarmente. L’unità è divisa in quattro diverse attività. Per ciascuna di esse è stata messa a punto una scheda rivolta all’insegnante in cui è spiegato come far svolgere agli studenti tale attività. Ogni attività è divisa in due fasi: nella prima fase si lavora con le mani per costruire triangoli di diversi tipi di carta o cartoncino e per individuare una volta le altezze, un’altra le bisettrici, un’altra ancora le mediane e infine, gli assi. Nella seconda parte si lavora al computer utilizzando Geogebra.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Descrizione dell’attività Condizione, problema o stimolo da cui nasce l'attività In prima media, quando si cominciano ad analizzare i triangoli e a studiarne le loro proprietà, si affronta anche l’argomento che riguarda la localizzazione e costruzione delle altezze, bisettrici, mediane e assi di un triangolo. Molto spesso questo argomento si limita a far disegnare agli studenti i tre diversi tipi di triangoli (acutangoli, rettangoli ottusangoli) e a far disegnare questi segmenti “speciali” con l’uso della riga e della squadra, ma, come sostiene la Castelnuovo: 1) il disegno non suggerisce dei problemi perché offre un numero finito di casi (…); 2) non conduce all’osservazione per il fatto che è statico; 3) non può fornire un’immagine reale di una situazione spaziale.

(Didattica della matematica pag. 85-86) Ecco dunque da che cosa è nata l’esigenza di un’attività pratica che riguardava questo argomento.

Inoltre, ormai l’era dell’informatica mette a disposizione gratuitamente dei software come Geogebra che hanno delle enormi potenzialità per far comprendere meglio determinati concetti, ma che ancora sono sotto utilizzati sia dagli insegnanti, ma soprattutto dagli studenti.

Prerequisiti richiesti ai ragazzi per svolgere l’attività Per tutte le attività è necessario che gli studenti sappiano cosa siano le altezze, le mediane, le bisettrici e gli assi di un triangolo. È sufficiente che ne conoscano la definizione, ma non è necessario che abbiano già provato a disegnarli con la riga e/o la squadra.

Strumenti forniti agli allievi Per tutte le attività proposte gli studenti devono avere con loro un righello, un paio di forbici, del cartoncino (Attività 1 e Attività 3) o dei fogli di carta di tipo A4 (Attività 2 e Attività 4). Per l’Attività 1 è necessario un filo a piombo (è sufficiente un filo ogni 2-3 studenti). Per l’Attività 3 è necessario un ago con del filo per cucire colorato, uno per ogni studente.

Inoltre, per poter realizzare la seconda fase di ciascuna attività sono necessari i computer, possibilmente uno per studente. Necessario, ma non indispensabile, un computer per l’insegnante collegato ad un videoproiettore, in modo che gli studenti possano più facilmente seguire le istruzioni.

Organizzazione della classe e metodologia Tutte le attività dovrebbero essere svolte singolarmente, o al massimo in coppia, in modo da dare a tutti la possibilità di svolgere un’attività pratica. L’insegnante deve coordinare il lavoro e dare agli studenti le istruzioni necessarie per svolgere il lavoro in modo corretto. Dovrebbe cercare di controllare che gli studenti lavorino con precisione, eventualmente invitarli a rifare il lavoro nel caso fosse stato fatto in modo troppo approssimativo. Al termine di ogni fase è necessario fermarsi per far emergere dagli studenti tutte le possibili osservazioni e anche uguaglianze e differenze rispetto a ciò che è emerso nell’attività precedente.

Alla fine si potrebbe far costruire agli studenti un quadro sinottico del seguente tipo che riassume un po’ tutte le loro osservazioni:

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Nome

Definizione

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Punto d’incontro Nome

Caratteristiche particolari

Interno (tipo di triangolo) Sì (triangolo acutangolo)

Esterno (tipo di triangolo)

Altezza

Perpendicolare dal vertice al lato opposto

Ortocentro

Bisettrice

Segmento che divide a metà ciascun angolo del triangolo

Incentro

Sempre

Mai

Mediana

Segmento che, partendo da un vertice, arriva alla metà del lato opposto.

Perpendicolare a un lato nel punto medio

Baricentro

Sempre

Mai

Circocentro

Sì (triangolo acutangolo)

Sì (triangolo ottusangolo)

Asse

Sì (triangolo ottusangolo)

Nel triangolo rettangolo l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto.

L’incentro rappresenta il centro della circonferenza inscritta nel triangolo. È equidistante dai lati del triangolo. È il punto di equilibrio del triangolo.

Divide la mediana in due parti di cui una il doppio dell’altra.

Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide con il punto medio dell’ipotenusa.

Il circocentro rappresenta il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. È equidistante dai vertici.

Per quanto riguarda la seconda fase di ciascun attività, quella relativa al lavoro al computer, ciascuna meta scheda riporta le istruzioni che è necessario seguire per le diverse costruzioni.

Sarebbe utile se il docente potesse avere a disposizione un computer collegato ad un videoproiettore su cui proiettare di volta in volta le diverse schermate riportate sulla meta scheda per facilitare gli studenti nella comprensione delle istruzioni.

Fasi e tempi L’unità comprende 4 diverse attività articolate, ciascuna, in due fasi dello stesso lavoro (l’Attività 4 è suddivisa in 3 fasi). Le attività non devono necessariamente essere svolte nell’ordine in cui sono state numerate. Tutta l’unità dovrebbe essere svolta nell’arco di quattro settimane, un’attività a settimana. È meglio mantenere questo ritmo in modo da non far passare troppo tempo tra un’attività e l’altra e, nello stesso tempo, in modo da dare il tempo agli studenti di riflettere sugli stimoli forniti. I tempi di svolgimento sono stati stimati uguali per tutte le attività, anche se, ovviamente, la fase 2, quella che riguarda il lavoro al computer, richiederà, man mano che le attività vengono svolte, sempre meno tempo nello svolgimento in quanto gli studenti dovrebbero diventare sempre più “esperti” nel lavorare con Geogebra.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Attività 1 Le altezze nei triangoli Tipologia: attività laboratoriale con costruzione di modelli in cartoncino di triangoli di diverso tipo e relativa individuazione delle altezze, mediane, bisettrici e assi.

Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di far visualizzare concretamente le altezze, mediane, bisettrici e assi perché, come afferma la Castelnuovo: “più tempo i nostri ragazzi avranno dato allo studio del concreto, quanto più tempo avranno perduto nell’osservare, tanto meglio passeranno dopo alla comprensione delle forme astratte”.

(Didattica della matematica p.75) Tempo: 3 ore (1 ora + 2 ore) Fase 1 A ogni alunno fate disegnare e ritagliare su un cartoncino (va bene il cartoncino delle scatole dei Corn Flakes) tre triangoli, uno acutangolo, uno rettangolo e uno ottusangolo (Foto 1).

Costruite un filo a piombo utilizzando del filo da cucire colorato e un dado di acciaio.

Le dimensioni sono indicative. È meglio che ciascun alunno disegni un triangolo diverso dai suoi compagni in modo da avere una maggiore quantità di esempi e poter quindi effettuare delle generalizzazioni. I triangoli devono essere abbastanza grandi, con lati maggiori di 10-12 cm.

Foto 1: i triangoli

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Dividete gli alunni a coppie. Fate prendere il triangolo acutangolo. Uno studente poggia il triangolo su un lato e fa passare il filo a piombo per il vertice opposto (vedi Foto 2), l’altro, con una matita, segna, sul triangolo, il punto in cui il filo a piombo tocca il lato. Poi, con il righello, traccia l’altezza unendo il punto trovato con il vertice opposto.

Fate ripetere lo stesso procedimento per gli altri due lati (Foto 3).

In questo modo dovrebbero aver trovato l’ortocentro.

Foto 2: la costruzione della prima altezza

Foto 3: la costruzione della seconda e terza altezza

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Ora fate ripetere lo stesso procedimento con il triangolo rettangolo. Gli studenti dovrebbero osservare subito che il filo a piombo coincide con i cateti e quindi i cateti rappresentano due delle tre altezze. L’ortocentro si trova in corrispondenza del vertice dell’angolo retto (Foto 4).

Foto 4: le altezze nel triangolo rettangolo

Foto 5: le altezze nel triangolo ottusangolo

Fate ripetere lo stesso procedimento con il triangolo ottusangolo. Gli studenti vedranno immediatamente che due delle tre altezze non cadono all’interno del triangolo e quindi l’ortocentro dovrà trovarsi necessariamente fuori dal triangolo (Foto 5). Per far visualizzare l’ortocentro in un triangolo ottusangolo, fate disegnare a ciascun alunno un triangolo ottusangolo su un foglio e, con l’aiuto di riga e squadra, fate individuare l’ortocentro.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Fase 2 In questa seconda fase, la costruzione delle altezze viene fatta utilizzando Geogebra. Questo software si può scaricare gratuitamente da Internet.

Andate all’indirizzo http://geogebra.softonic.it/ e poi cliccate su Download.

http://geogebra.softonic.it/

Quando aprite Geogebra vi appare il seguente foglio.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Se cliccate su Visualizza avete la possibilità di far apparire (o sparire) sia gli assi che la griglia.

Per costruire il triangolo, cliccate con il tasto sinistro del mouse sull’angolino in basso a destra del riquadro indicato dalla freccia rossa e poi su Poligono.

Individuate i vertici del triangolo cliccando sulla griglia con il tasto sinistro del mouse e poi nuovamente sul vertice iniziale.

Seguite sempre le istruzioni che appaiono in alto a destra (riquadro rosso).

Ora dovete tracciare le altezze.

Cliccate con il tasto sinistro del mouse sull’angolino in basso a destra del riquadro indicato dalla freccia e poi su Retta perpendicolare. Seguite le istruzioni (cliccate sul vertice e sul lato opposto e vi apparirà la perpendicolare).

Una volta tracciate le tre altezze, per trovare l’ortocentro dovete

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

cliccare sul riquadro indicato dalla freccia rossa e poi su Intersezione di due punti. A questo punto, vi posizionate sull’ortocentro e vi cliccate sopra, sempre con il tasto sinistro del mouse.

Vi si apre questa piccola finestrella. Si deve cliccare una volta su Retta d e poi su Retta e E a questo punto appare il punto D (ortocentro).

Cliccate sul primo riquadro e poi su Muovi (freccia rossa). Spostatevi con il mouse sul punto C (o sul punto A o sul punto B) e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse spostate il vertice.

Ovviamente via via che trascinate il vertice, l’ortocentro si sposta e si avvicina sempre più all’angolo la cui ampiezza è vicino a 90° per arrivare sul vertice dell’angolo retto nel triangolo rettangolo e poi uscire fuori nel triangolo ottusangolo.

Discutetene con i vostri studenti.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Attività 2 Le bisettrici nei triangoli Tipologia: attività laboratoriale con costruzione di modelli in carta di triangoli di diverso tipo e relativa individuazione delle bisettrici.

Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di far costruire e visualizzare concretamente le bisettrici perché, come afferma la Castelnuovo: “più tempo i nostri ragazzi avranno dato allo studio del concreto, quanto più tempo avranno perduto nell’osservare, tanto meglio passeranno dopo alla comprensione delle forme astratte”.

(Didattica della matematica p.75) Tempo: 3 ore (1 ora + 2 ore)

Fase 1

Fate disegnare e ritagliare a ogni alunno tre triangoli di carta, uno acutangolo, uno rettangolo e uno ottusangolo (Foto 1).

Possono anche essere uguali a quelli costruiti nell’Attività 1.

Anche in questo caso è meglio che ciascun alunno disegni un triangolo diverso dai suoi compagni in modo da avere una maggiore quantità di esempi e poter quindi effettuare delle generalizzazioni.

Foto 1: i triangoli

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Prendete il primo triangolo (nella Foto 2 è il triangolo ottusangolo) e dividete manualmente un angolo perfettamente a metà , piegando il triangolo in due parti uguali in corrispondenza del vertice, in modo che due lati combacino.

Ripetete lo stesso procedimento per gli altri due angoli (Foto 3).

Foto 2: la costruzione delle bisettrici

Bisettrice 3

Incentro

Bisettrice

2

Una volta terminata questa operazione, che cosa potete far notare agli studenti?

Anche le bisettrici si incontrano tutte in un unico punto: l’incentro (Foto 3).

Bisettrice 1

Foto 3: l’incentro nel triangolo ottusangolo

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Bisettrice 3

Incentro

Fate ripetere lo stesso procedimento sul triangolo acutangolo (Foto 4).

Bisettrice 1 Bisettrice 2

Foto 4: l’incentro nel triangolo acutangolo

Incentro

Bisettrice 3

Fate ripetere lo stesso procedimento sul triangolo rettangolo (Foto 5).

Bisettrice 2

Bisettrice 1

Foto 5: l’incentro nel triangolo rettangolo

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Mettete vicini i tre triangoli piegati.

Che cosa dovete far notare agli studenti? Che l’incentro è sempre interno ai triangoli, al contrario dell’ortocentro (Foto 6).

Foto 6: i tre triangoli piegati

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Fase 2 In questa seconda fase, la costruzione delle bisettrici viene fatta utilizzando Geogebra.

Per l’apertura del file, seguite le istruzioni fornite all’inizio della Fase 2 dell’Attività 1.

Costruite (e fate costruire ai vostri studenti) un triangolo qualsiasi oppure uguale a quello da cui siete partiti per tracciare le altezze, partendo dal riquadro Poligono.

Ora costruite le bisettrici. Cliccate con il tasto sinistro del mouse sull’angolino in basso a destra del riquadro indicato dalla freccia e poi su Bisettrici. Cliccate, con il tasto sinistro del mouse, sul vertice C, poi sul vertice A e infine sul vertice B per ottenere la bisettrice dell’angolo A. Successivamente cliccate sul vertice A, poi sul vertice B e infine sul vertice C per ottenere la bisettrice dell’angolo B e così via.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Una volta trovate le tre bisettrici, per poter individuare l’incentro dovete cliccare sul riquadro Intersezione tra due punti. Spostatevi sull’incentro e vi apparirà il solito piccolo riquadro.

Cliccate prima su Retta d e poi su Retta e e così vi apparirà il punto che rappresenta l’incentro.

Ma le rette che Geogebra ha tracciato sono veramente le bisettrici degli angoli in A, B e C? Misuriamo con Geogebra ogni metà angolo e verifichiamo se sono uguali.

Cliccate sul riquadro indicato dalla freccia rossa e poi su Angolo. Seguite le istruzioni.

Attenzione, se volete misurare l’angolo convesso, dovete cliccare sui tre punti in senso orario.

Ad esempio per misurare l’angolo DAC dovete cliccare in questo ordine: prima sul punto D, poi su A e poi su C. Se cliccate nell’ordine inverso, Geogebra restituisce la misura del corrispondente angolo concavo.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Osservate i valori delle ampiezze degli angoli riportati sia sul disegno che a sinistra: sono tutti uguali a due a due.

Una volta individuato l’incentro è possibile spostare il vertice C per ottenere triangoli di tipo diverso e per verificare che l’incentro, al contrario dell’ortocentro, in tutti i triangoli cade sempre all’interno. Per spostare il vertice C cliccate sul primo riquadro e poi su Muovi (freccia rossa). Poi spostatevi su C e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, spostate il vertice dove volete. Otterrete tutti i tipi di triangoli che volete, sempre con l’incentro all’interno.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Attività 3 Le mediane nei triangoli Tipologia: attività laboratoriale con costruzione di modelli in cartoncino di triangoli di diverso tipo e relativa individuazione delle mediane.

Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di far costruire e visualizzare concretamente le mediane perché, come afferma la Castelnuovo: “più tempo i nostri ragazzi avranno dato allo studio del concreto, quanto più tempo avranno perduto nell’osservare, tanto meglio passeranno dopo alla comprensione delle forme astratte”.

(Didattica della matematica p.75) Tempo: 3 ore (1 ora + 2 ore)

Fase 1 Fate costruire a ogni alunno tre triangoli di cartoncino, uno acutangolo, uno rettangolo e uno ottusangolo (Foto 1).

Anche in questo caso è meglio che ciascun alunno disegni un triangolo diverso dai suoi compagni in modo da avere una maggiore quantità di esempi e poter quindi effettuare delle generalizzazioni.

La misura di almeno due dei lati di ciascun triangolo dovrebbe essere un numero intero per facilitare la costruzione delle mediane.

Foto 1: i triangoli

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Triangolo acutangolo Triangolo rettangolo Con l’aiuto di un righello tracciate con una matita, su ogni triangolo, le tre mediane e trovate il baricentro (Foto 2).

Fate le vostre osservazioni.

Triangolo ottusangolo

Foto 2: le mediane e il baricentro

Prendete un ago in cui avete fatto passare del filo da cucire colorato a cui avete fatto un piccolo nodo sul fondo e bucate il triangolo in corrispondenza del baricentro (Foto 3).

Appendete il triangolo al filo. Se il baricentro è costruito con precisione, il triangolo dovrebbe restare in posizione orizzontale (Foto 4).

Foto 3: il baricentro nel triangolo acutangolo

Foto 4: il triangolo acutangolo appeso per il baricentro

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Fate ripetere lo stesso procedimento sul triangolo rettangolo (Foto 5) e sul triangolo ottusangolo (Foto 6).

Foto 5: il triangolo rettangolo appeso per il baricentro

Foto 6: il triangolo ottusangolo appeso per il baricentro

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Fase 2 In questa seconda fase, la costruzione delle mediane viene fatta utilizzando Geogebra.

Per l’apertura del file, seguite le istruzioni fornite all’inizio della Fase 2 dell’Attività 1.

Costruite (e fate costruire ai vostri studenti) un triangolo qualsiasi oppure uguale a quello da cui siete partiti per tracciare le altezze, partendo dal riquadro Poligono.

Ora dovete tracciare le mediane. Cliccate con il tasto sinistro del mouse sull’angolino in basso a destra del riquadro indicato dalla freccia e poi su Punto medio o centro.

Cliccate, con il tasto sinistro del mouse, sul segmento a, poi sul segmento b e infine sul segmento c.

Successivamente cliccate sul riquadro indicato dalla freccia e poi su Segmento tra due punti.

Cliccate su ciascun vertice e sul punto medio del lato opposto corrispondente (A con D, B con E, C con F).

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Individuate il baricentro cliccando sul riquadro indicato dalla freccia e poi su Intersezione tra due oggetti.

Una volta individuato il baricentro è possibile spostare il vertice C (o i vertici A e B) per ottenere triangoli di tipo diverso e per verificare che il baricentro, come l’incentro, in tutti i triangoli cade sempre all’interno. Per spostare il vertice C cliccate sul primo riquadro e poi su Muovi (freccia rossa). Poi spostatevi su C e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, spostate il vertice dove volete. Otterrete tutti i tipi di triangoli che volete, sempre con l’incentro all’interno.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Fate scoprire agli studenti un’altra caratteristica del baricentro, quella cioè di dividere la mediana in due parti di cui una è doppio dell’altra.

Fate misurare loro la distanza tra il baricentro e un vertice e tra il baricentro e il punto medio del lato opposto a quel vertice.

Per misurare questa distanza, cliccate sul riquadro indicato dalla freccia rossa e poi su Distanza.

Seguite le istruzioni. Vi appariranno i valori sia sul disegno che sulla sinistra. Provate anche con gli altri vertici e fate trarre le conclusioni ai vostri studenti.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Attività 4 Gli assi nei triangoli Tipologia: attività laboratoriale con costruzione di modelli in carta di triangoli di diverso tipo e relativa individuazione degli assi.

Obiettivo didattico: lo scopo di questa attività è di far costruire e visualizzare concretamente gli assi perché, come afferma la Castelnuovo: “più tempo i nostri ragazzi avranno dato allo studio del concreto, quanto più tempo avranno perduto nell’osservare, tanto meglio passeranno dopo alla comprensione delle forme astratte”.

(Didattica della matematica p.75) Tempo: 3 ore (1 ora + 2 ore) Fase 1

Su fogli A4, fate disegnare e ritagliare a ogni alunno tre triangoli di carta, uno acutangolo, uno rettangolo e uno ottusangolo (Foto 1). Possono anche essere uguali a quelli costruiti nell’Attività 2. Il triangolo ottusangolo deve essere ritagliato solo su due lati. Il terzo lato, quello più lungo non deve essere ritagliato.

Anche in questo caso è meglio che ciascun alunno disegni triangoli diversi da quelli disegnati dai suoi compagni in modo da avere una maggiore quantità di esempi e poter quindi effettuare delle generalizzazioni.

Foto 1: i triangoli

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Prendete il primo triangolo (nella Foto 2a è il triangolo acutangolo) e dividete manualmente un lato perfettamente a metà , piegando il triangolo in due parti uguali in modo che due vertici coincidano.

Foto 2a: la costruzione degli assi

Ripetete lo stesso procedimento per gli altri due lati (Foto 2b).

Foto 2b: la costruzione degli assi

Circocentro

Asse 3

Una volta terminata questa operazione, che cosa potete far notare agli studenti? Anche gli assi si incontrano tutti in un unico punto: il circocentro (Foto 3).

Asse 2 Asse 1

Foto 3: il circocentro nel triangolo acutangolo

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Stefania Pozio

Circocentro

Incentro

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Asse 3

Bisettrice 3

Asse 2 Fate ripetere lo stesso procedimento sul triangolo rettangolo (Foto 4). Dove si trova il circocentro?

Bisettrice 1 Asse 1 2 Bisettrice

Foto 4: il circocentro nel triangolo rettangolo

Asse 3 Circocentro

Asse 2

Fate ripetere lo stesso procedimento sul triangolo ottusangolo (Foto 5). Dove si trova il circocentro?

Asse 1

Foto 5: il circocentro nel triangolo ottusangolo

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Mettete piegati.

vicini

i

tre

triangoli

Discutete con gli studenti sulle differenze tra i vari tipi di triangoli.

Nel triangolo acutangolo, il circocentro è interno, in quello rettangolo coincide con la metà dell’ipotenusa, in quello ottusangolo è esterno. Quindi il circocentro si comporta come l’ortocentro (Foto 6).

Foto 6: i tre triangoli piegati

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Fase 2 In questa seconda fase, la costruzione degli assi viene fatta utilizzando Geogebra.

Per l’apertura del file, seguite le istruzioni fornite all’inizio della Fase 2 dell’Attività 1.

Costruite (e fate costruire ai vostri studenti) un triangolo qualsiasi cliccando sul riquadro Poligono.

Ora costruite gli assi. È molto semplice. Cliccate con il tasto sinistro del mouse sull’angolino in basso a destra del riquadro indicato dalla freccia e poi su Asse di un segmento. Cliccate, con il tasto sinistro del mouse, sul lato a, poi sul lato b e infine sul lato c per ottenere i tre assi.

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Una volta trovati i tre assi, per poter individuare il circocentro dovete cliccare sul riquadro Intersezione tra due punti.

Spostatevi sul circocentro e cliccate su ciascun asse. Vi apparirĂ il circocentro.

Cliccate sul primo riquadro e poi su Muovi (freccia rossa). Spostatevi con il mouse sul punto C (o sul punto A o sul punto B) e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse spostate il vertice.

Che cosa notate?

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Fate misurare con il comando Distanza, la distanza del circocentro da ciascun vertice. Che cosa notate? Se queste distanze sono tutte uguali, che cosa possiamo concludere?

Fase 3 Possiamo concludere che il punto di incontro degli assi si chiama circocentro perché rappresenta il centro della circonferenza circoscritta al triangolo, cioè la circonferenza che passa per i suoi tre vertici.

Con l’aiuto di Geogebra, troviamo questa circonferenza. È molto facile.

Cliccate sul riquadro indicato dalla freccia rossa e poi su Circonferenza per tre punti.

Cliccate sui tre vertici del triangolo.

Se, una volta trovata la circonferenza non dovreste riuscire a visualizzarla tutta, come nel caso del disegno qui a fianco, cliccate sull’ultimo riquadro e poi su Muovi la Vista Grafica. A questo punto posizionatevi sulla circonferenza e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, trascinate la circonferenza verso il basso in modo da visualizzarla tutta.

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Una volta ottenuta la circonferenza, cliccare sul primo riquadro, poi su Muovi. Poi spostatevi su C e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, spostate il vertice dove volete. Potrete osservare che la circonferenza rimane sempre all’esterno.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Attività per le eccellenze La retta di Eulero La Retta di Eulero è la retta passante per l'ortocentro, il baricentro e il circocentro di un triangolo.

Fate disegnare un triangolo qualsiasi ai vostri studenti e fate trovare loro l'ortocentro, il baricentro e il circocentro secondo le istruzioni delle AttivitĂ precedenti.

Baricentro

Circocentro

Ortocentro

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Con il comando Mostra/nascondi (illustrato a pag. 3 delle AttivitĂ per le eccellenze circonferenza inscritta) nascondete tutte le altezze, gli assi e le mediane fino ad ottenere questa figura in cui appaiono solo i punti medi e i tre punti notevoli.

Cliccate sul riquadro indicato dalla freccia e poi su Retta per due punti. Cliccate sui punti G e H. Ottenete la retta di Eulero.

Retta di Eulero

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Spostate il vertice C e osservate con gli studenti i diversi spostamenti della retta di Eulero e, ovviamente, dei tre punti notevoli.

Fate trovare agli studenti anche l’incentro e discutete con loro sui risultati ottenuti.

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Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Attività per le eccellenze Come trovare la circonferenza inscritta in un triangolo Una caratteristica dell’incentro è di essere equidistante da tutti i lati del triangolo, cioè di mantenere sempre la stessa distanza da ogni lato. Fate verificare questo ai vostri alunni.

Come?

Innanzitutto ricordate loro il concetto di distanza. Che cosa indica la distanza di un punto da un segmento? Indica la perpendicolare condotta dal punto alla retta (o al segmento). Quindi, troviamo nel nostro disegno, le tre perpendicolari che partendo dall’incentro arrivano su ciascun lato.

Cliccate con il mouse sul riquadro indicato dalla freccia rossa e poi su Retta perpendicolare. Cliccate su D e poi sul segmento a e vi apparirà la prima perpendicolare. Poi cliccate su D e poi sul segmento b e vi apparirà la seconda perpendicolare, infine su D e sul segmento c.

Individuate i punti di intersezione tra ciascuna perpendicolare e il lato corrispondente cliccando su Intersezione tra due punti. Spostatevi con il mouse sui punti di intersezione, cliccateci sopra per individuarli.

Per essere sicuri di esservi posizionati correttamente sul punto di intersezione, assicuratevi che vi appaia questo riquadro.

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Per misurare la distanza tra l’incentro e ciascun lato del triangolo, cliccate sul riquadro indicato dalla freccia rossa e poi su Distanza. Vi appariranno i valori sia sul disegno che sulla sinistra.

I valori ovviamente sono identici.

L’incentro è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo. Con l’aiuto di Geogebra, disegniamo questa circonferenza.

Innanzitutto “puliamo” il disegno, cioè nascondiamo le rette e cancelliamo i valori delle distanze.

Per cancellare i valori delle distanze sul disegno è sufficiente posizionarsi sul testo, cliccare sul tasto destro del mouse e poi su elimina.

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Per “nascondere” le rette cliccare sull’ultimo riquadro, e poi su Mostra/nascondi oggetti.

Cliccare su ogni retta (sono 6) finché non diventano tutte e sei in grassetto e poi cliccare sul primo riquadro (freccia rossa). A questo punto sia le bisettrici che le perpendicolari sono nascoste.

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Stefania Pozio

Altezze, mediane, bisettrici e assi: che cosa hanno di speciale?

Cliccare sul riquadro indicato dalla freccia e poi su Circonferenza per tre punti. Seguire le istruzioni, cioè cliccare sui punti E, F e G.

Una volta ottenuta la circonferenza, cliccare sul primo riquadro, poi su Muovi. Poi spostatevi su C e, tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, spostate il vertice dove volete. Potrete osservare che la circonferenza rimane sempre all’interno.

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