sin 2 α + cos2 α = 1 - основное тригонометрическое тождество sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
2 sin α sin β = cos (α − β ) − cos (α + β ) 2 cos α cos β = cos (α − β ) + cos (α + β ) 2 sin α cos β = sin (α − β ) + sin (α + β ) sin α + sin β = 2 sin sin α − sin β = 2 cos
α +β 2
cos
α +β
cos α + cos β = 2 cos
2
α +β
sin
α −β
tg x ± tg y =
2
α −β
cos
ctg x ± ctg y =
2
α −β
π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ sin x − cos x = 2 ⋅ sin ⎜ x − ⎟ = 2 ⋅ cos ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
cos 2α = cos2 α − sin2 α
2 cos2 α = 1 + cos 2α
sin 3α = 3 sin α − 4 sin 3 α
2 sin 2 α = 1 − cos 2α
cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α cos α =
1 − tg2 1 + tg
tg (α + β ) =
tg α + tg β 1 − tg α tg β
ctg (α + β ) = tg 2α =
ctg α ctg β − 1 ctg α + ctg β
2 tg α 1 − tg2 α ctg2 α − 1 2 ctg α 1 sec α = cos α 1 cosec α = sin α
α 2
sin α =
2α
2 tg 1 + tg
2 tg α tg β =
sin ( y ± x ) sin x sin y
tg x ± ctg y = ±
2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2 sin sin 2 2 π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ sin x + cos x = 2 ⋅ sin ⎜ x + ⎟ = 2 ⋅ cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
sin 2α = 2 sin α cos α
sin ( x ± y ) cos x cos y
2
2α
tg α + ctg β ctg α + tg β
ctg α ctg β =
ctg α + ctg β tg α + tg β
ctg 2α =
ctg x − tg x = 2 ctg 2 x
α
tg α + tg β ctg α + ctg β
tg α ctg β =
cos ( x ∓ y ) cos x sin y
tg2
α
=
2
2 tg α ± tg β =
1 − cos α 1 + cos α
sin (α ± β ) cos α cos β
ctg α ± ctg β =
sin ( β ± α ) sin α sin β
tg α + ctg β =
cos (α − β ) cos α sin β
ctg α − tg β =
cos (α + β ) sin α cos β
sec2 x = 1 + tg2 x cosec2 x = 1 + ctg2 x
sin x = a x = ( −1) k arcsin a + π k cos x = a x = ± arccos a + 2π k - решения простейших тригонометрических уравнений tg x = a x = arctg a + π k ctg x = a x = arcctg a + π k 1
arcsin x =
arccos ( − x ) = π − arccos x arcctg ( − x ) = π − arcctg x
arctg x =
π 2
π
2
1 x 1 arctg x = arctg − π x 1 arcctg x = arcctg + π x arctg x = arcctg
− arccos x
− arcctg x
Решение уравнения a sin x + b cos x = c :
x 2 , и сделаем замену переменной tg x = t , в и cos x = 1) Применим формулы sin x = x x 2 1 + tg 2 1 + tg 2 2 2 результате чего получим квадратное уравнение относительно переменной t . 2 tg
x 2
1 − tg 2
2) Используем способ введения дополнительного угла; делим уравнение на
a 2 + b 2 и т.д.
log b
a a = b - основное логарифмическое тождество log a bc = log a b + log a c
log a
b = log a b − log a c c
log a b r = r ⋅ log a b log a b =
log c b log c a
1 log a r b = ⋅ log a b r 1 log a b = log b a Конус
Шар
Усечённый конус
1 S бок = π r l , V = π r 2 h 3
(
1 S бок = π ( r + r1 ) l , V = π h r 2 + r r1 + r12 3
)
4 S = 4π R 2 , V = π R 3 3 2-й замечательный предел x
1⎞ ⎛ lim ⎜ 1 + ⎟ = e x →∞ ⎝ x⎠
1
lim (1 + x ) x = e
x →0
x
a⎞ ⎛ lim ⎜ 1 + ⎟ = e a ( a ∈ R ) x→±∞ ⎝ x⎠
Экстремум функции двух переменных M 2 < 0 - экстремума нет,
M 2 > 0 , M 1 > 0 - min, M 2 > 0 , M 1 < 0 - max.
2
3
Касательная к графику функции
y = f ( x ) в точке x = a
y = f ′ ( a )( x − a ) + f ( a )
( arcsin x )′ =
⎛ u ⎞′ u′v − uv′ ⎜ ⎟ = ⎝v⎠ v2
( arccos x )′ = −
( x a )′ = a ⋅ x a −1
( arctg x )′ =
1 1− x2
1
( sin x )′ = cos x ( cos x )′ = − sin x
( ch x )′ = sh x
1
( log a x )′ = x ⋅ ln a
( tg x )′ =
1
( th x )′ =
2
dx = ln x x ax ln a
1
ch 2 x ( cth x )′ = − 1 sh 2 x
cos x 1 ( ctg x )′ = − 2 sin x
x ∫ a dx =
1− x2
1+ x2 1 ( arcctg x )′ = − 1+ x2 ( ln x )′ = 1 x ( sh x )′ = ch x
( a x )′ = a x ⋅ ln a
∫
1
( uv )′ = u′v + uv′
∫ tg x dx = − ln
cos x
∫ ctg x dx = ln
sin x
dx
∫ sin x dx = − cos x
∫ sin x = ln
∫ cos x dx = sin x
∫ cos x = ln
tg
x 2
⎛x π⎞ tg ⎜ + ⎟ ⎝2 4 ⎠ dx x x = arcsin = − arccos 2 2 a a a −x dx = ln x + x 2 ± a 2 x2 ± a2
dx
dx
∫
dx
∫
∫ cos 2 x = tg x ∫ sin 2 x = − ctg x dx
1
x
dx
1
a+x a−x
( −a < x < a )
∫ a 2 + x 2 = a arctg a ∫ a 2 − x 2 = 2a ln
4
Тригонометрические подстановки:
t = tg x
t = tg
x = arctg t dx =
dt 1+t2 t2
sin 2 x = cos 2 x =
1+t 2 1 1+t2
dx =
x 2 2dt
1+t 2 2t sin x = 1+t2 cos x = (у.т.п.)
1−t 2 1+t2
Разложение правильной алгебраической рациональной дроби на сумму простейших дробей:
A B C + + x − 1 x − 2 ( x − 2) 2 ( x − 1)( x − 2 ) A B Cx + D ... = + 2+ 2 x +1 x 2 ( x 2 + 1) x x Ax + B Cx + D ... = 2 + 2 ( x 2 + x + 1) x + x + 1 ( x 2 + x + 1) 2 ...
2
Разное.
=
tg x + tg y + tg z = tg x ⋅ tg y ⋅ tg z при x + y + z = π
5