ГДЗ - алгебра - 11 класс - Алимов by PRIMAT GROUP

Домашняя работа по алгебре за 11 класс к учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» к учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» Алимов Ш.А. и др., -М.: «Просвещение», 2001 г.

Содержание VIII Глава. Производная и ее геометрический смысл § 44 Производная .................................................................................... 4 § 45 Производная степенной функции.................................................. 6 § 46 Правила дифференцирования ...................................................... 10 § 47 Производные некоторых элементарных функций .................... 20 § 48 Геометрический смысл производной.......................................... 29

IX глава. Применение производной и исследованию функций § 49 Возрастание и убывание функции .............................................. 45 § 50 Экстремумы функции .................................................................. 49 § 51 Применение производной к построению графиков функции........................................................ 54 § 52 Наибольшее и наименьшее значения функции ........................... 70 § 53 Выпуклость графика функции, точки перегиба ........................ 78 Упражнения к главе IX. .................................................................... 80

X глава. § 54 Первообразная .............................................................................. 96 § 57 Вычисление интегралов ............................................................. 107 § 58 Вычисление площадей с помощью интегралов ........................ 110 § 59 Применение производной и интеграла к решению практических задач......................................................... 123 Упражнения к главе Х..................................................................... 124 Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа. ............................................................... 134

www.5balls.ru

VIII Глава. Производная и ее геометрический смысл § 44 Производная № 776. s( t + h ) − s( t ) . T.k. s(t)=1+3t, то s(t+h)–st= h 3h =1+3(t+h)– (1+3t)=1+3t+3h–1–3t=3h, поэтому vcp= =3. Проверим h

vcp=

s(t)=1+3t;

результат в случаях, приведенных в условии: 1) h=4–1=3, s(t+h)=1+3⋅4=13, s(t)=1+3⋅1=4, vcp=

13 − 4 =3; 3

2) h=1–0,8=0,2, s(t+h)=1+3⋅1=4, s(t)=1+3⋅0,8=3,4, vcp=

4 − 3,4 0,6 = =3. 0,2 0,2

№ 777. 1) s(t)=2t; vcp=

s( t + h ) − s( t ) 2( t + h ) − 2 t 2h = = =2 h h h

Проверим: h=1,2–1=0,2 s(t+h)=2⋅1,2=2,4; s(t)=2⋅1=2; 2) s(t)=t2

t=1;

vcp=

2,4 − 2 0,4 = =2 0,2 0,2

(t+h)=1,2;

s( t + h ) − s( t ) ( t + h ) 2 − t 2 t 2 + 2 th + h 2 − t 2 = = = vcp= h h h

=2t+h=2⋅1+(1,2–1)=2,2. № 778. 1) s(t)=2t+1;

а) s(t+h)–s(t)=2(t+h)+1–2t–1=2t+2h+1–2t–1=2h; б) vcp=

s ( t + h ) − s ( t ) 2h = =2; h h

в) lim vcp = lim 2 =2; h →0

h →0

2) s(t)=2–3t; а) s(t+h)–s(t)=2–3(t+h)–2+3t=2–3t–3h–2+3t= –3h; б) vcp=

s( t + h ) − s( t ) 3h = –3; =− h h

в) lim vcp = lim ( −3) = –3. h →0

h →0

№ 779. s(t)=0,25t+2 1) h=8–4=4; vcp=

s (t + h) − s (t ) 0,25 ⋅ (4 + 4 ) + 2 − 0,25 ⋅ 4 − 2 2 + 2 − 1 − 2 =0,25 = = 4 4 h

www.5balls.ru

2) v(t)= lim vcp = lim 0,25 =0,25. h →0

h →0

№ 780. 1) f(x)=3x+2; а) ∆f=f(x+h)–f(x)=3(x+h)+2–3x–2=3x+3h+2–3x–2=3h; б)

∆f 3h =3; = h h

в) lim

h →0

∆f =3, т.е. f ′(x)=3 h

2) f(x)=5x+7; а) ∆f=f(x+h)–f(x)=5(x+h)+7–5x–7=5x+5h+7–5x–7=5h; б)

∆f 5h =5; = h h

в) lim

h →0

∆f = lim 5 =5; h →0 h

3) f(x)=3x2–5x; а) ∆f= f(x+h)–f(x)=3(x+h)2–5(x+h)–3x2+5x= =3x2+6xh+3h2–5x–5h–3x2+5x2=6xh+3h2–5h; б)

6 xh + 3h 2 − 5h ∆f ∆f = 6x+3h–5; в) lim = = lim (6x+3h–5)=6x–5; h →0 h h →0 h h

4) f(x)= –3x2+2; а) ∆f= –3(x+h)2+2+3x2–2= –3x2–6xh–3h2+2+3x2–2= –6xh–3h2; б)

− 6 xh − 3h 2 ∆f = –6x–3h; = h h

в) lim

h →0

∆f = lim (–6x–3h)= –6x. h →0 h

№ 781. 1) f ′(x)=4; 2) f ′(x)= –7; 3) f ′(x)= –5. (опечатка в ответе задачника). № 782. 3 2

1) s(t)= t2; 3 2

3 2

а) s(t+h)–s(t)= (t+h)2– t2= t2+3th+ h2–

3 2 3 t =3th+ h2; 2 2

3 2 s( t + h ) − s( t ) 3th + 2 h 3 = = 3t+ h; 2 h h 3 в) v(t)= lim vcp = lim (3t+ h)=3t; h →0 h →0 2

б) vcp=

2) s(t)=5t2; а) s(t+h)–s(t)=5(t+h)2–5t2=5t2+10th+5h2–5t2=10 t h +5h2; s( t + h ) − s( t ) 10 th + 5h 2 = = 10t+5h; h h в) v(t)= lim vcp = lim (10t+5h)=10t;

б) vc p=

h →0

www.5balls.ru

№ 783. s(t)=t2+2 найдем v (t): а) s(t+h)–s(t)=(t+h)2+2–t2–2=t2+2th+h2+2–t2–2=2th+h2 s( t + h ) − s( t ) 2 th + h 2 = = 2t+h h h в) v(t)= lim vc p = lim vc p= lim 2t+h=2t

б) vc p=

h →0

1) t=5, v(5)=2⋅5=10;

h →0

2) t=10, v(10)=2⋅10=20.

№ 784. 1) на [0; 1] vc p=

s (t + h) − s (t ) 1,5 − 0 = = 1,5 ; 1 h

2) на [1; 2] vc p=

s( t + h ) − s( t ) 2,5 − 1,5 = = 1; h 1

3) на [2; 3] vc p=

s (t + h) − s (t ) 3 − 2,5 = = 0,5 . h 1

№ 785. 1) на [0; 2] vc p=

s ( t + h ) − s( t ) 1 − 2 1 = =− ; h 2−0 2

2) на [2; 3] vc p=

3 −1 =2; 3−2

3) на [3; 3,5] vc p=

4−3 =2. 3,5 − 3

№ 786. 1) lim (2x+1)=3, т.к. f(x)=2x+1, то: x →1

ε 2

|f(x)–3|=|2x–2|=2|x–1|<2δ=ε, где |x–1|<δ, δ= , т.е. для ∀ε существует δ удовлетворяющее определению, значит равенство верно.. 2) lim x2=4, т.к. f(x)=x2, то: |f(x)–4|=|x2–4|=|x–2|⋅|x+2|<δ|x+2|; |x– x →2

2|<δ; δ|x+2|=δ|(x–2)+4|≤δ(|x–2|+|4|)<δ2+4δ=ε, возьмем δ=2+ 4 + ε .

§ 45 Производная степенной функции № 787. 1) (x6)′=6x5;

2) (x7)′=7x6;

3) (x11)′=11x10; 4) (x13)′=13x12

№ 788. 1) (x –2)′= –2x–3; 2) (x –3)′= –3x–4; 3) (x –4)′= –4x–5; 4) (x –7)′= –7x–8.

www.5balls.ru

№ 789.

′  −2  2 −9   7 3)  x  = − ⋅ x 7 ; 7    

′  1  1 1 −1 1 − 1 1   2 1)  x  = ⋅ x 2 = ⋅ x 2 = ; 2 2   2 x   ′  1  1 −2   2)  x 3  = ⋅ x 3 ;   3  

4)  x 

′  = 3 ⋅ x 

(Опечатка в ответе задачника). № 790.

′ ′ −5 −9  1   1  −5 −6 = x = − 5 x = = x −9 = −9 x −10 = 10 ; ; 2 )    5 6 9 x x x  x  ′ ′  1  1 −3 1 3) 4 x =  x 4  = ⋅ x 4 = ; 4 4 x3   4

( )

1) 

( )

′  2 ′ 2 − 1 2 3 2  4)  x  =  x 3  = ⋅ x 3 = 3 ;       3 3 x  1 5)  3  x

1 1 '   − 3  1 −13 1  = x = − =− 3 ; x   3 3 x x   

 1 6)   4 x3 

' 3   − 3  −1  = x 4 =−3x 4 = − 3 .  4   4 4 x x2   

(Опечатка в ответе задачника). № 791. 1) ((4x–3)2)′=2⋅(4x–3)⋅4=8(4x–3); 2) ((5x+2)–3)′= –3(5x+2)–4⋅5= –15(5x+2)–4; 3) ((1–2x)–6)′= –6(1–2x)–7⋅(–2)=12(1–2x)–7; 4) ((2–5x)4)′=4(2–5x)3⋅(–5)= –20(2–5x)3; 5) ((2x)3)′=3⋅(2x)2⋅2=6⋅(2x)2=24x2; 6) ((–5x)4)′=4⋅(–5x)3⋅(–5)= –20⋅(–5x)3=2500x3; № 792.

′

( 2x + 7 )′ =  (2x + 7)



( 7 − 3x )′ =  (7 − 3x )

′ −3 −3  1 ;  = (7 − 3x ) 4 ⋅ (−3) = 4  4 4 (7 − 3x )3

1 3

1 4

−2 1 2 ( 2 x + 7) 3 ⋅ 2 = ; 3 3 3 ( 2 x + 7) 2

www.5balls.ru

3 −1

′   =  ′ 1 ′  4) 3 5 x =  (5 x )3  =  

( 3x )′ =  (3x) 4

1 4

( )

−3 1 3 (3 x) 4 ⋅ 3 = ; 4 4 4 27 x3 3 −2 1 5 5 (5 x) 3 ⋅ 5 = = ; 3 3 2 2 3 3 25 x 3 x

№ 793. 1 2

2) f ′(x)=(x–2)′= –2⋅x–3= –

x ′  1  1 −1 1 =  x2  = x 2 =   2 2 x   ′  1  1 −2 1 3   = x 3 = = x   3 3 2 3 x  

( x )′

4) f ′(x)=

( x )′

5) f ′(x)=

( 5 − 4 x )′ = ((5 − 4 x) 2

f ′(x0)= –

3) f ′(x)=

5 − 4 ⋅1

6 3 = 32 16

f ′(x0)=6⋅   =

1) f ′(x)=(x6)′=6x5;

1 2

f ′(x0)=

2 3

=−

3 1

2 4 1

f ′(x0)=

3 2

⋅ (−4) = −

1 4

3 8

1 − 1 (5 − 4 x ) 2

2 27

1 12

2 5 − 4x

= −2

′ ′ −3  1   1 3 −1    ( ) = 3 + 1 6) f ′(x)=  x 2  = − (3 x + 1) 2 ⋅ 3 = −   2   3x + 1   2 (3 x + 1)3

f ′(x0)= –

3 2 (3 ⋅ 1 + 1)

=−

3 . 16

№ 794. y = x4

y = 4x3

№ 795. 1) у′=(x2)′=2x, y′(0)=2⋅0=0, y′(1)=2⋅1=2, y′(–1)=2⋅(–1)= –2 — не подходит 9

www.5balls.ru

2) у′=(x3)′=3x2, y′(0)=3⋅0=0, y′(1)=3⋅1=3, y′(–1)=3⋅(–1)2=3 — подходит ′  1 1 2   3) у′=  x  =   2 x

y′(0) не существует, не подходит.

№ 796.

′  6  = ((2+3x)–2)′= –2(2+3x)–3⋅3= − 2 2 3 x ( ) + 2 + 3 x )3 (   ′   1 6  = ((3–2x)–3)′= –3⋅(3–2x)–4⋅(–2)= 2)  . 3 3 2 x ( ) − 3 − 2 x )4 (   ′ ′ 2 1 2 2 3)  3 (3 x − 2 )2  =  (3 x − 2 )3  = (3 x − 2 )− 3 ⋅ 3 = 3 . 3     3x − 2 

1) 

′

′ 5 2  2  4)  7 (3 − 14x )2  =  (3 − 14x ) 7  = (3 − 14x )− 7 ⋅ (−14) = 







′ ′ 4 1   1  =  (3x − 7 )− 3  = − (3x − 7 )− 3 ⋅ 3 =  3   3x − 7  

 1 5)  3

  1 6)  3  (1 − 2 x )2 

′    −2  =  (1 − 2x ) 3   

−4 7

(3 − 14x )5

1 3

(3x − 7 )4

′ 2 4  −5 .  = − (1 − 2x ) 3 ⋅ (− 2) = 3 3  3 (1 − 2x )5

№ 797. f ′(x)=3x2,

1) f(x)=x3,

′

2) f(x)= 3 x 2 , f ′(x)=  x 3  = 2



2 3



f ′(x)=1 ⇒ 3x2=1; x= ±

1 3

;

2 − 13 2 2 x = 3 , f ′(x)=1 ⇒ 3 =1, 3 3 x 3 x

8 . 27

№ 798.

1 ′ 1 1 s(t)= t + 1 ; v(t)=(s(t)) ′=( t + 1 ) ′=  (t + 1) 2  = (t + 1)− 2 =



v(3)=

1 2 3 +1

1 . 4

www.5balls.ru



1 2 t +1

;

№ 799. 1) f(x)=(2x–1)2; f ′(x)=2(2x–1)⋅2=4(2x–1); f(x)=f ′(x) ⇒ (2x–1)2=4(2x–1); (2x–1)(2x–1–4)=0; (2x–1)(2x–5)=0;

2) f(x)=(3x+2)3; f ′(x)=3(3x+2)2⋅3=9(3x+2)2; f(x)=f ′(x) ⇒ (3x+2)3=9(3x+2)2; (3x+2)2(3x+2–9)=0; (3x+2)2(3x–7)=0;

2 1 x=− x= 2 x − 1 = 0 3 x + 2 = 0 3; 2 ⇒ ; (2 x − 5) = 0 ⇒ 5 3 x − 7 = 0 = 0 7 x= x= 2 3 1 2 5 ⇒ x= ; 2

⇒ x= ;

либо 2x–1=0 либо (2x–5)=0

либо 3x+2=0

⇒

либо 3x–7=0⇒

x= .

x= −

2 ; 3

7 3

№ 800. а) Очевидно, что это парабола, следовательно, уравнение имеет вид a>0, т.к. ветви параболы направлены вверх. y=ax2+bx+c Вершина параболы имеет абсциссу x b = −

b , в нашем случае 2a

x b=0 ⇒ b=0 ⇒ y=ax2+c. Подставим известные точки: 1=а⋅(0)2+с ⇒ c=1 ⇒ y=ax2+1; 2=a⋅(1)2+1 ⇒ a=1 ⇒ y=x2+1; б) Очевидно, что это парабола, имеющая уравнение в общем виде y=ax2+by+c. Т. к. ветви параболы направлены вниз, то a<0. В общем виде вершина параболы имеет абсциссу x b = −

b , 2a

в нашем случае x b=0 ⇒ b=0 ⇒ y=aх2+c. Зная точки, подставим 1=а⋅(0)2+с ⇒ c=1 ⇒ y=aх2+1; 0=a⋅(1)2+1 ⇒ a= –1 ⇒ y= –x 2+1 ⇒ y=1–x2. № 801.

′

y= 3x − 7 ; y′ =  (3x − 7 )2  =

1 1 (3x − 7 )− 2 ⋅ 3 = 3 ; 2 2 3x − 7 3 17 5 = 3x − 7 ; x= ; x=2 . 2 6 6 1



3 2 3x − 7

= 3x − 7 ;



www.5balls.ru

§ 46 Правила дифференцирования № 802. 1) (x2+x)′=2x+1; 2) (x2–x)′=2x–1; 3) (3x2)′=3⋅2⋅x=6x; 4) (–17x2)′= –17⋅2⋅x= –34x;

5) (–4x3)′= –4⋅3⋅x2= –12x2; 6) (0,5x3)′=1,5x2; 7) (13x2+26)′=26x; 8) (8x2–16)′=16x.

№ 803. 1) (3x2–5x+5)′= 6x–5; 2) (5x2+6x–7)′= 10x+6; 3) (x4+2x2)′=4x3+4x; 4) (x5–3x2)′=5x4–6x;

5) (x3+5x)′=3x2+5; 6) (–2x3+18x)′= –6x2+18; 7) (2x3–3x2+6x+1)′=6x2–6x+6; 8) (–3x3+2x2–x–5)′= –9x2+4x–1.

№ 804. y=3(x–2)2+1=3x2–12x+12+1=3x2–12x+13; y′=6x–12.

№ 805.

′ ′ 1  3 2  3 1  = 2 x − x + ; 2)    = 3x 2 − 3 ; 3 4 2 x x x x     ′ 1 − 34 1 − 12 1 1 4 3) 2 x − x = 2 ⋅ ⋅ x − ⋅ x = − ; 4 3 4 2 2 x 2 x 

1)  x 2 +

( (

)

)′

1 6

4) 36 x − 714 x = 3 ⋅ ⋅ x

− 56

+ 7⋅

13 1 − 14 1 1 . ⋅x = + 6 14 14 2 x5 2 x13

№ 806. 1) f ′(x)=(x2–2x+1)′=2x–2; f ′(0)=2⋅0–2= –2; f ′(2)=2⋅2–2=2; 2) f ′(x)=(x3–2x)′=3x2–2; f ′(0)=3⋅(0)2–2= –2; f ′(2)=3⋅22–2=12–2=10; 3) f ′(x)=(–x3+x2)= –3x2+2x; f ′(0)=3⋅0+2⋅0=0; f ′(2)= –3⋅22+2⋅2=–2+4= –8; 4) f ′(x)=(x2+x+1)′=2x+1; f ′(0)=2⋅0+1=1; f ′(2)=2⋅2+1=5. 12

www.5balls.ru

№ 807. 1 x

1   1 2   = − 2 − 3  ; 2 x   x x 

1) f ′(x)=  + 

2 5 ; f ′(1)= –1–2= –3; =− 27 33  ′ 1  1 1  − ; 2) f ′(x)=  x + + 1 = x  2 x x2  1 1 1 1 − ; f ′(3)= f ′(1)= –1= – ; 2 2 2 3 9 ′  3   2    1  −3 3 6  3) f ′(x)=  + 4 − 3  =  3 ⋅  −  ⋅ x 2 − 2 ⋅ (− 3) ⋅ x − 4  =  −   2 x3 x   x x    2 9 3 2 2 3 −1 + = + ; f ′(3)= − f ′ (1) = − + 6 = ; 27 27 2 2 3⋅ 2⋅ 3 2 3 ′  3  3 1  3  −5   3 x 3 −3 ; 4) f ′(x)=  x 2 − x 2  =  x 2 −  −  x 2  =  +   2 2 x ⋅ x 2   2   2

f ′(3)=  −

3  3

f ′(3)=

−

3 3 3 3 3 27 + 1 28 14 14 3 ; f ′(1)= + =3. + = = = = 2 9 2 2 18 3 6 3 6 3 3 3

№ 808. 1) не дифференцируема, т.к. при х=1 функция у=

2 не x −1

определена 2) не дифференцируема, т.к. при х=3 функция у= определена

(

)

(

)

1 ′ 1 1 x + 1 = ⋅ (x + 1)− 2 = , 2 2 x +1 1 1 = у ′(0)= дифференцируема; 2 0 +1 2 ′ 1 −1 − 12 ′ 4) y = 5 − x = 2 ⋅ (5 − x ) ⋅ (− 1) = 5 − x

3) y′ =

у ′(4)= −

1 5−4

3x − 5

(x − 3)2

не

= –1 дифференцируема.

www.5balls.ru

№ 809. 2 ; 3

2 3

1) f′(x)=(x3–2x)′=3x2–2 f ′(x)=0; 3x2–2=0; x2= ; x= ± 2) f′(x)=(–x2+3x+1)′= –2x+3; f ′(x)=0;

–2x+3=0;

3 2

x= .

3) f′(x)=(2x3+3x2–12x–3)′=6x2+6x–12; f ′(x)=0; 6x2+6x–12=0; x2+x– 2=0; х 1=

D=1+8=9;

−1+ 3 =1, 2

−1 − 3 = –2; 2

х2=

4) f ′(x)=(x3+2x2–7x+1)′=3x2+4x–7; f ′(x)=0; D =4+21=25; 4

х 1=

−2 + 5 =1, 3

х2=

3x2+4x–7=0

−2 − 5 7 =− . 3 3

5) f ′(x)=(3x4–4x3–12x2)′=12x3–12x2–24x; f ′(x)=0; 12x3–12x2–24x=0 ⇒ x1 =0 и x2–x–2=0; D=1+8=9; х2=

1+ 3 1− 3 =2, х3= = –1; 2 2

6) f ′(x)=(x4+4x3–8x2–5)′=4x3+12x2–16x; f ′(x)=0; 4x3+12x2–16x =0 ⇒ x=0 и x2+3x–4=0; D=9+16=25; х2=

−3 + 5 =1 2

х3=

−3 − 5 = –4. 2

№ 810. 1) ((x2–x)(x3+x)′=(x2–x)′(x3+x)+(x2–x)(x3+x)′=(2x–1)(x3+x)+(x2– x)(3x2+1)= =2x4+2x2–x3–x+3x4+x2–3x3–x=5x4–4x3+3x2–2x;

(

)′

( )′

2) (x + 2)3 x = (x + 2 )′ 3 x + (x + 2 ) 3 x = 1 ⋅ 3 x + (x + 2) ⋅ ⋅ x 1 3

− 23

13 2 43 x 2 4x + 2 = + = ; x+ 3 2 3 2 3 3 3 3 x 3 x 3 x2 ′ ′ 1 −1 3) (x − 1) x = (x − 1)′ x + (x − 1) x = 1 ⋅ x + (x − 1) ⋅ x 2 = 2 =3 x+

(

= x+

)

( )

x 1 3 x 1 3x − 1 − = − = . 2 2 2 x 2 x 2 x

№ 811.

(

)′ (

)′

(

)′

1) f ′( x ) = (x − 1)8 (2 − x )7 = (x − 1)8 (2 − x )7 + (x − 1)8 (2 − x )7 = = 8(x − 1)7 ⋅ (2 − x )7 + (x − 1)8 ⋅ 7(2 − x )6 ⋅ (− 1) ; f ′(1) = (1 − 1)7 (2 − 1)7 + (1 − 1)8 ⋅ 7(2 − 1)6 (−1) = 0 .

www.5balls.ru

(

)′ (

)′

(

)′

2) f ′( x ) = (2x − 1)5 (x + 1)4 = (2x − 1)5 (x + 1)4 + (2x − 1)5 (x + 1)4 = = 5 ⋅ 2(2 x − 1)4 (1 + x )4 + (2 x − 1)5 ⋅ 4(1 + x )3 =

= (2 x − 1)4 (1 + x )3 (10 x + 10x + 8x − 4) = (2 x − 1)4 (1 + x )3 (18x + 6) ;

f ′(1)=(2–1)4(1+1)3(18+6)=1⋅8⋅24=192. 3) f ′( x ) =

(( 2 − x )(3 − 2x ) )′ = ( 2 − x )′ (3 − 2x) + 8

(

)

′ 2 − x (3 − 2 x )8 =

1 1 = ⋅ (− 1)(2 − x )− 2 (3 − 2 x )8 + 2 − x ⋅ 8 ⋅ (3 − 2 x )7 ⋅ (− 2 ) ; 2 1 1 33 f ′ = (− 1)(2 − 1)− 2 (3 − 2 ⋅1)8 + 2 − 1 ⋅ 8(3 − 2 ⋅ 1)7 (− 2 ) = − . 2 2 ′ ′ 6 6′ 4) f ′( x) = (5x − 4) 3x − 2 = (5 x − 4) 3x − 2 + (5 x − 4)6 3x − 2 =

(

) (

= 6 ⋅ 5(5 x − 4 )5 3 x − 2 + (5 x − 4 )6 ⋅ =

)

(

3 2 3x − 2

)

(5 x − 4)  = 3(5 x − 4)5 ⋅  65 x − 44  3(5 x − 4)5    10(3 x − 2 ) +  2  2  3x − 2  3x − 2  2

f ′(1) =

3(5 − 4 )5  65 44  63 . ⋅ − = 2  2 3−2  2

№ 812. 1) y′=(x3+2x2–3x+4)′=3x2+4x=3. Если пересекаются, то точки пересечения удовлетворяют уравнению: 3x2+4x–3=3x+1, 3x2+x–4=0, D=1+48=49

4 −1− 7   x2 = 6 = − 3 .   y 2 = 3 ⋅  − 4  + 1 = −3  3 

−1 + 7   x1 = 6 = 1  y = 3 ⋅1 + 1 = 4  1

Ответ: Пересекаются. № 813.

(

) (

)

(

)

′ ′ ′ y′ = (x − 3)5 (2 + 5x )6 = (x − 3)5 (2 + 5x )6 + (x − 3)5 (2 + 5x )6 = = 5(x − 3) (2 + 5x ) + (x − 3) ⋅ 6 ⋅ 5(2 + 5x ) = 4

= 5(x − 3)4 ((2 + 5x ))5 (2 + 5x + 6x − 18) = 5(x − 3)4 (2 + 5x )5 (11x − 16 )

у′=0 ⇒

5(x − 3)4 (2 + 5x )5 (11x − 16) =0

x − 3 = 0 2 + 5x = 0 ⇒ x 1 = 3, 11x − 16 = 0 

x2 = −

2 , 5

x3 =

16 . 11

www.5balls.ru

№ 814.

(

′

)′

(

)

′ 5 3 5 3  x5 + x3 + x   = x + x + x (x + 1) − x + x + x (x + 1) = 1)  2  

(5x

= =

 

x +1

)

(

)

(x + 1)

+ 3x 2 + 1 (x + 1) − x 5 + x 3 + x ⋅ 1

(x + 1)2

5x 5 + 3x 3 + x + 5x 4 + 3x 2 + 1 − x 5 − x 3 − x

(x + 1)

′  x + x2 + 1    = 2)   x −1  

4 x 5 + 5x 4 + 2 x 3 + 3x 2 + 1

(x + 1)2

( x + x + 1)′ (x − 1) − ( x + x + 1)(x − 1)′ = 2

(x − 1)2

(

)

 1 − 12  2  2 x + 2 x (x − 1) − x + x + 1 ⋅ 1   = = (x − 1)2 1 1 x 1 − 2x − x − x 2 − 1 x 2 − 2x − − −1 x + 2x 2 − 2 2 2 x 2 x = = = (x − 1)2 (x − 1)2 =

2x 2 x − 4x x − x − 2 x − 1 2 x (x − 1)2

№ 815.

(

)(

) = 2x

)(

)

′ ′ 2 ′ 2 2 2  x2 −1   = x −1 x +1 − x −1 x +1 = 2  x2 + 1    x2 + 1

1) f ′( x ) =  =

(

) ( (x + 1)

2x x + 1 − 2x x − 1 2

4 ⋅1

(

)

+ 2x − 2x + 2x 3

(x + 1)

4 =1. (1 + 1) 4 ′ ′  2x 2  2 x 2 (1 − 7 x ) − 2x 2 (1 − 7 x )′   = 2) f ′( x ) = =  1 − 7x  (1 − 7 x )2   f ′(1) =

( )

( ) = 4x − 28x

4 x (1 − 7 x ) − 7 2 x 2

f ′(1) =

(1 − 7 x )

4 − 14

(1 − 7 )2

( )

+ 14 x 2

(1 − 7 x )

4x − 14x 2

(1 − 7 x )2

5 −10 =− . 36 18

www.5balls.ru

;

№ 816. 1) f(g)= g 2 = (1 − x )2 ; № 817. 1) g=2x2–7, f(g)= g ; № 818. 3

2) f(g)= g = ln x . 2) g=(x2+1),

(

) (

f(g)=sin g.

)

′ ′  x 3 + x 2 + 16  x 3 + x 2 + 16 x − x 3 + x 2 + 16 ⋅ (x )′   1) = =   x x2   =

(3x

) (

)

+ 2 x x − x 3 + x 2 + 16 ⋅ 1 x2

3x 3 + 2 x 2 − x 3 − x 2 − 16 x2

(

)( ) (

2 x 3 + x 2 − 16

= =

43 3

3x 3 x + 6 x − 18 3

3 x4

№ 819.

− 23

x2 =

(

x 2 + 33 x − 13 x 2 − 3 x − 6 x 3

) ( x )′ =

′ ′  x3 x + 3 x + 18  x3 x + 3 x + 18 3 x − x3 x + 3 x + 18 ⋅   = 2) 3   3 2 x x   2  4 13 3 3 1 −3  3 x + 3  x − ( x x + 3› + 18) ⋅ 3 x  = =

x 3 x + 2x − 6 x3 x

)

4x 3 x + 9 x − x 3 x − 3x − 18 3

3 x4

. (Опечатка в ответе задачника).

(

) ( x )′ =

′ ′  x2 − 4  x2 − 4 x − x2 − 4 ⋅   1) = 2  x    x

(

) 2 1x

( )

2x x − x 2 − 4 ⋅ =

4x 2 − x 2 + 4 2x x

3x 2 + 4 2x x

;

′ ′   1  1 1 x +1   =  x −  . = + =    x   x 2 x 2x x 2x x

 1  1 2)   4 x + 4  4 x − 4 

x 

(Опечатка в ответе задачника). № 820.

(

( ))′ ′ ′ = ((2x − 3) ) (3x + 2x + 1) + (2 x − 3) (3x + 2 x + 1) = = 5 ⋅ 2(2 x − 3) (3x + 2 x + 1) + (2 x − 3) (6 x + 2 ) =

1) (2x − 3)5 3x 2 + 2x + 1 = 5

www.5balls.ru

(

)

(

)

= (2x − 3)4 30x 2 + 20x + 10 + 12x 2 + 4x − 18x − 6 = (2 x − 3) 42 x 2 + 6 x + 4 ; ′ ′ ′ 2) (x − 1)4 (x + 1)7 = (x − 1)4 (x + 1)7 + (x − 1)4 (x + 1)7 =

(

) (

)

(

)

= 4(x − 1) (x + 1) + 7(x − 1) (x + 1) = (x − 1) (x + 1) ( 4x + 4 + 7 x − 7) = 3

= (x − 1)3 (x + 1)6 (11x − 3) ; ′ ′ ′ 3) 4 3x + 2 (3x − 1)4 = 4 3x + 2 (3x − 1)4 + 4 3x + 2 (3x − 1)4 =

(

) (

3 ⋅ (3x − 1)

44 (3 x + 2)3

(

)

+ 4 3x + 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ (3x − 1)3 =

)

3(3x − 1) + 48(3x + 2)(3x − 1)3 4

44 (3x + 2)3

(3x − 1)3 (9x − 3 + 144x + 96) = 3(3x − 1)3 (51x + 31) ; 44 (3x + 2 )3 44 (3x + 2 )3

( 2 x + 1 ⋅ (2 x − 3) )′ = ( 2x + 1 )′ (2x − 3) + 3

2(2 x − 3)

3 (2 x + 1)

2(2 x − 3)2

33 (2 x + 1)2

(

)

′ 2 x + 1 (2 x − 3)3 =

+ 3 2 x + 1 ⋅ 2 ⋅ 3(2 x − 3)2 = 2(2 x − 3)2

(2 x − 3 + 18 x + 9) =

4(2 x − 3)2 (10 x + 3)

33 (2 x + 1)2

№ 821.

( 20 x + 6) =

(

′

33 (2 x + 1)2

)′

(

)

′ 2 2  2 x 2 − 3x + 1   = 2 x − 3x + 1 (x + 1) − 2x − 3x + 1 (x + 1) = 1)  2  

x +1

 

(x + 1)

(4x − 3)(x + 1) − (2x 2 − 3x + 1) = (x + 1)2

4 x 2 + 4 x − 3x − 3 − 2 x 2 + 3x − 1

(x + 1)

′

(

2x 2 + 4x − 4

(x + 1)2

)′

;

(

)

′ 2 2  3x 2 + 2 x − 1   = 3x + 2 x − 1 (2 x + 1) − 3x + 2 x − 1 (2x + 1) = 2)  2  

 

(2x + 1)

(6x + 2)(2x + 1) − 2(3x 2 + 2x − 1) = (2x + 1)2

= =

2x + 1

12 x 2 + 6 x + 4x + 2 − 6 x 2 − 4 x + 2

(2x + 1)2

6x 2 + 6x + 4

(2x + 1)2

www.5balls.ru

;

( )

(2 − x )2 + x = 4 − 4x + x 2 + x = x 2 − 3x + 4 x = 2−x (2 − x ) x x 2 x −x x 2 x −x x ′ ′ ′ 2 2  x 2 − 3x + 4    = = x − 3x + 4 2 x − x x − x − 3x + 4 2 x − x x = 2 2 x −x x    2 x −x x 2−x

(

(2x − 3)(2

)(

(

)

x − x x − x 2 − 3x + 4  

x −x x

)(

1 x

)

−

)(

)

x  =

3 2

4x x − 2x 2 x − 6 x + 3x x − x x + 32 x 2 x + 3 x − 92 x x −

− 12 x 2 x + 32 x x + 3 x −

x −x x

)

4 x

x −x x

)

4 x

+6 x

− x 3 + 3x 2 + 6x − 8 2x x ⋅ (2 − x )2

№ 822. f ′(x)=(2x3–3x2–12x+1)′=6x2–6x–12; f ′(0)=6x2–6x–12=0; x2–x–2=0; х1=

D=1+8=9;

1+ 3 =2, 2

х2=

1− 3 = –1. 2

№ 823.

′ ′ ′  2 x − 1  (2 x − 1) (x + 1) − (2 x − 1)(x + 1) =  = 2 (x + 1)  x +1 

f ′(x)=  =

2( x + 1) − (2 x − 1)

(x + 1)2

f ′(x)=3 ⇒

2x + 2 − 2x + 1

(x + 1)2

(х+1)2=1;

(x + 1)2

;

x2+x+1=1; x(x+2)=0;

x1=0;

x2= –2.

№ 824. f(x)=(x–1)(x–2)(x–3)=(x2–3x+2)(x–3)=x3–3x2–3x2+9x+2x–6=x3– 6x2+11x–6 f ′(x)=3x2–12x+11, f ′(x)=11 ⇒ 3x2–12x+11=11; x(3x–12)=0; x1=0, x2=4. № 825. 1) f ′(x)=4x3–8x,

f ′(x)>0, 4x3–8x>0

+ –

4x(x2–2)>0

+ 0

–

х∈(– 2 ; 0)∪( 2 ; +∞) 2) f ′(x)=12x3–12x2–24x f ′(x)>0, 12x(x2–x–2)>0 Решим уравнение: x(x2–x–2)=0, х=0, x2–x–2=0, D=1+8=9, 2

www.5balls.ru

х1=

1+ 3 =2, 2

х2=

1− 3 = –1, 2

+ –

–1

+ –

х∈(–1; 0)∪(2;+∞).

(

)′ (

)′

( )

′ x + (x + 2 )2 ⋅ x = 1 x+2 = 2(x + 2 ) x + (x + 2 )2 ⋅ = (4x + x + 2) = (x + 2)(5x + 2) 2 x 2 x 2 x

3) f ′(x)= (x + 2)2 x = (x + 2)2

f ′(x)>0

x >0 ⇒ (x+2)(5x+2)>0

x>0

+ –

–2

2 − 5

учитывая, х>0 x∈(0; +∞);

(

)′

( )′

4) f ′(x)= (x − 3) x = (x − 3)′ x + (x − 3) ⋅ x = = x + (x − 3) ⋅

2x + x − 3

2 x

3x − 3 2 x

;

2 x >0 ⇒ f ′(x)>0, если 3х–3>0 x>1. Учитывая, что x>0, получим х∈(1; +∞). № 826.

(

)′ (

)′

(

)′

1) f′(x)= (5 − 3x )4 (3x − 1)3 = (5 − 3x )4 (3x − 1)3 + (5 − 3x )4 (3x − 1)3 = = 4 ⋅ (− 3)(5 − 3x )3 (3x − 1)3 + 3 ⋅ 3(5 − 3x )4 (3x − 1)2 =

= 3(5 − 3x )3 (3x − 1)2 (− 12x + 4 + 15 − 9 x ) = 3(5 − 3x )3 (3x − 1)2 (19 − 21x )

f ′(x)<0 при 3(5 − 3x )3 (3x − 1)2 (19 − 21x ) <0. Т.к. 3>0, (3x–1)2>0, то (5 − 3x )3 (19 − 21x ) <0. +

+ –

19 21

 19 5  ; .  21 3 

5 3

Ответ: x ∈ 

(

)′ (

)′

2) f′(x)= (2x − 3)2 (3 − 2x )3 = − (2x − 3)2 (2x − 3)3 = − (2x − 3)5 = = −5 ⋅ 2(2 x − 3)4 = −10(2 x − 3)4 ,

f ′(0)<0 при –10(2х–3)4<0 ⇒ (2х–3)4>0 ⇒ x ≠ 20

www.5balls.ru

3 . 2

Ответ: x ≠

3 . 2

(

)

(

)

′ ′  3x 2 − 1  3x 2 − 1 (1 − 2x ) − 3x 2 − 1 (1 − 2 x )′   = = 3) f ′(x)=  1 − 2x  (1 − 2x )2   =

(

) = 6x − 12x

6 x (1 − 2 x ) + 2 3x 2 − 1

(1 − 2x )2

+ 6x 2 − 2

(1 − 2x )2

− 6x 2 + 6x − 2

(1 − 2x )2

f ′(x)<0 при –2(3x –3x+1)<0 , 3x –3x+1>0. Решим соответствующее уравнение. D=9–12<0 – нет решений, следовательно, f ′(x)<0 при всех х, 2

1 2

кроме . Ответ: х ≠

1 . 2

( )

′ ′ 3′ 3 2 3  3x 3   = 3x (1 − 3x ) − 3x (1 − 3x ) = 9x (1 − 3x ) + 9x = 2 2  1 − 3x  (1 − 3x ) (1 − 3x )  

4) f ′(x)=  =

9 x 2 − 27 x 3 + 9x 3

(1 − 3x )

9x 2 − 18x 3

(1 − 3x )2

f ′(x)<0 если 9x2(1–2x)<0; Ответ: x >

, (1–2x)<0 ⇒ x>

1 2

1 . 2

№ 827. v(t)=(ϕ(t))′=(0,1t2–0,5t+0,2)′=0,2t–0,5, v(20)=0,2⋅20–0,5=4–0,5=3,5. № 828. v(t)=(s(t))′=(1–t+t2)′= –1+2t, v(10)= –1+2⋅10=19(м/с), mv2 5 ⋅ (19 )2 = =902,5 Дж. 2 2

№ 829. ρ(l)=m′(l)=(2l2+3l)′=4l+3, 1) ρ(3)=4⋅3+3=15 (Г/см);

2) ρ(25)=4⋅25+3=103 (Г/см).

№ 830. При x<2 и x>3 подкоренное выражение положительно.

www.5balls.ru



(

′

) 1

f ′(x)=  x 2 − 5x + 6 2  = 



(

)

−1 1 2 2x − 5 . x − 5x + 6 2 (2x − 5) = 2 2 x 2 − 5x + 6

§ 47 Производные некоторых элементарных функций № 831. ′ 1 x



′ 1 x

( )′

1) (еx+1)′=ex;

3)  e 2 x +  = e 2 x +   = 2e 2 x −

2) (еx+x2)′=ex+2x;

4) e −3x + x = e −3x +

№ 832.

(



(

)′ ( )′ ( x )′ = −3e

)′ ( )′ ′ ′ ′ 1    x −1 = e  − ( x − 1) = e 2   

1 x2

−3x

)′ (

1) e 2 x +1 + 2x 3 = e 2 x +1 + 2x 3 = 2e 2 x +1 + 6x 2 ;  

2)  e 2

x −1

1 x −1 2

−

1 x −1 2

−

1 2 x −1

;

′ ′ ′  1  1  1  = e 0, 3 x + 2 +   = 0,3e0,3x + 2 − ;    x 2x x   x ′ ′ ′ 4) e1− x + x −3 = e1− x + x −3 = −e1− x − 3x − 4 ; 2 ′ 2 3 ′ 3 6)  e 2 x  = 6x 2 ⋅ e2 x ; 5)  e x  = 2x ⋅ e x ;     

(

) ( ) ( )

3)  e0,3x + 2 +

)

№ 833. 1) (2x+ex)′=2xln2+ex 2) (3x–x–2)′=3xln3+2x–3 (опечатка в ответе задачника) 3) (e2x–x)′=2e2x–1; 4) (e3x+2x2)′=3e3x+4x ′

′

2 2 2 2 5)  3x + 2  =  9 ⋅ 3x  = 18x ⋅ 3x ⋅ ln 3 = 2x ⋅ 3x + 2 ⋅ ln 3









(Опечатка в ответе задачника). № 834.

( 3) (e

)′ ′ x ) = −e

(

)′

1) 0,5x + e3x = 0,5x ln 0,5 + 3e3x ; 2) 3x − e 2 x = 3x ln 3 − 2e 2 x ; 2− x

2− x



1 3

3 x2

; 4)  e3− x + 

′ 1  4 = −e 3 − x − 5 .  x4  x

№ 835. 1) (2 lnx +3x)′=

2 3 +3 x ln3; 2) (3 lnx –2x)′= +2x ln2; x x

www.5balls.ru

; +

1 2 x



3)  log 2 x + 

(( 6) ((3x

′ ′ 1  1 1 1 − 2 ; 4) 3x −3 − log3 x = −9 x − 4 ;  = 2x  x ln 2 2x x ln 3

(

))′

5) ln x 2 − 2x = 2

)

x 2 − 2x

) (

)= )

2x − 2 x 2 − 2x

;

(

)

′ ′ − 2 log3 x = 3x 2 − 2 log3 x + 3x 2 − 2 (log3 x )′ =

= 6x log3 x +

(

1 ⋅ x 2 − 2x

)

3x − 2 6 x ln x 3x − 2 3x (2 ln x + 1) − 2 ⋅ + = = x ln 3 ln 3 x ln 3 x ln 3 2

3 x(2 ln x + 1) 2 . − ln 3 x ln 3

№ 836. 3) (cos x +ех)′= –sin x +ех; 1) (sin x +х2)′=cos x +2х; 2) (cos x –1)′= –sin x +0= –sin x; 4) (sin x –2х)′=cos x –2х ln 2. № 837. 1) (sin (2х–1))′=2cos (2х–1) 3) (sin (3–х))′= –cos (3–х); 2) (cos (x +2))′= –sin (х+2) 4) (cos (х3))′=3х2⋅(–sin (х3))= –3х2sin x3. № 838. x 2



1 2

x 2



1) (cos  − 1 + e3x )′ = − sin − 1 + 3e3x

  1 x x    2) (sin  + 3  + 2 x )′= cos + 3  +2 х ln 2 3 3 3  

3) (3cos 4x–

1 1 )′= –12sin4x+ 2 2x 2x

№ 839.

( )

′ ′  cos x  (cos x )′ e x − cos x ⋅ e x = =  x  e2x  e 

1)  =

− sin x ⋅ e x − cos x ⋅ e x e2x

− sin x − cos x ex

( )

;

′ ′  3x  3x sin x − 3x (sin x )′   = = 2)  sin x  sin 2 x   =

3x ⋅ ln 3 ⋅ sin x − 3x cos x sin 2 x

3x (ln 3 ⋅ sin x − cos x ) sin 2 x

3) (ln x⋅cos 3x)′=(ln x)′cos 3x+lnx⋅(cos3x)′=

; cos 3x +lnx⋅ 3(–sin 3x)= x

www.5balls.ru

cos 3x –3 ln x⋅sin 3x; x

4) (log2x⋅sin 2x)′=(log3x)′sin 2x+log3x(sin 2x)′= =

1 sin 2 x + sin 2 x + log 3 ⋅ 2 cos 2 x = + 2 log 3 x cos 2 x . x ln 3 x ln 3

№ 840.

( 2) f ′(x)= (e

)′

2 2 , f ′(2)= 2e2⋅2 − 4 + =2+1=3; 2 x ′ 3 3x−2 − ln (3 x − 1) = 3e3 x − 2 − , 3x − 1 3 3⋅ 2 − 2 2 =3–3=0; f ′( )= 3e 3 − 2 3 3 3 −1

1) f ′(x)= e2 x − 4 + 2 ln x = 2e 2 x − 4 +

)

3) f ′(x)=(2 x–log 2 x)′=2 x ln2–

1 , x ln 2

2 ln 2 2 − 1 1 1 =2 ln2– = ; 1 ⋅ ln 2 ln 2 ln 2 ′ 1 4) f ′(x)= log0,5 x − 3x = − 3x ln 3 , x ln 0,5 1 1 − 31 ln 3 = − 3 ln 3 . f ′(1)= ln 0,5 ln 0,5

f ′(1)= 21 ln2–

(

)

№ 841. 1) f ′(x)=(x–cos x)′=1+sin x, f ′(x)=0 ⇒ 1+sin x=0 ⇒ sin x= –1, π 2

x = − +2πn, n∈Z; 1 2

2) f ′(x)=( x–sin x)′= f ′(x)=0 ⇒ х= ±

1 –cos x, 2

1 1 –cos x=0, ⇒ cos x = , откуда 2 2

π +2πn, n∈Z; 3

3) f ′(x)=(2 ln(x+3)–x)′=

2 2 − x − 3 −x −1 , −1 = = x+3 x+3 x+3

f ′(x)=0 ⇒ –(x+1)=0, ⇒ х= –1; 4) f ′(x)<(ln(x+1)–2x)′= f ′(x)=0 при

1 –2, x +1

1 1 1 –2=0, т.е. х+1= ⇒ x= – ; x +1 2 2

www.5balls.ru

5) f ′(x)=(x2+2x–12lnx)′=2x+2–

12 12 , f ′(x)=0 ⇒ 2x+2– =0 x x

2x2+2x–12=0; x2+x–6=0, D=1+24=25, х1= Т.к. x>0 ⇒ x=2. 6) f ′(x)=(x2–6x–8⋅ lnx)′=2x–6–

x≠0,

−1 + 5 −1− 5 =2, х2= = –3. 2 2

8 8 , f ′(x)=0 ⇒ 2x–6– =0, x≠0, x x

2x2–6x–8=0; х2–3х–4=0; D=9+16=25, х1=

3+5 3−5 =4, х2= = –1, 2 2

x>0 ⇒ x=4. № 842. 1) f ′(x)=(e x–x)′=e x –1, f ′(x)>0 при e x –1>0, т.е. e x >1 или e x >е 0, откуда x>0; 2) f ′(x)=(x ln 2–2 x)′=ln 2–2 x ln 2, + + f ′(x)>0 при ln2(1–2 x)>0, x x – т.к. ln 2>0, то 1–2 >0 или 2 <1, –2 0 2x <20, откуда x<0; 3) f ′(x)=(e x⋅x 2)′= e x⋅x 2+2xex, f ′(x)>0 при e x(x2+2x)>0, e x>0, x(x+2)>0 Ответ: x∈(–∞; –2)∪(0;+∞).

(

)′

4) f ′(x)= e x x = e x x +

–

2 x

− 1 2 f ′(x)>0 при e x (1+ ) > 0 ), 2x 1 1 >0 ⇒ x > − f ′(x)>0 и x >0. т.к. e x x >0, то 1+ 2x 2

+ 0

Ответ: х >

0. № 843.

′

 2x − 1 2 x + 3  1)  + ln =

1⋅ 2 2⋅5 1 2 + = +  ( ) 5 2 x + 3 2 x +3 x x 3 2 2 1 6 3 ⋅ − −  ′  1− x 2 − 5x  1 (− 1) − 2 ⋅ 3 ⋅ (− 5) = − 6 + 10 . − 2 ln 2)  = ⋅  6  3  6 2 1 − x (2 − 5x ) ⋅ 3 12 1 − x 2 − 5x  ′ 1− x  1− x   1  1− x  1   1− x 3)  2e 3 + 3 cos =  = 2 ⋅  − e 3 + 3 ⋅  −  − sin 2  2    3  2  2 1− x 3 1− x . = − e 3 + sin 3 2 2  

www.5balls.ru



4)  3e

2− x 3



− 2 sin

′ 2− x 1+ x 1 1+ x  1 1+ x  1  2− x = − e 3 − cos .  = 3 ⋅  − e 3 − 2 ⋅ cos 4 4 4  2 4  3

№ 844.

′  1 x − 2   3 x−2 3 − 3 cos =  3 ⋅ (2 − x )− 3 − 3 cos =  2− x   3 3    4 x−2 x−2 1 1  1 = 3 3 ⋅  −  ⋅ (− 1) ⋅ (2 − x )− 3 − 3 ⋅  − sin . + sin = 3 3 3  (2 − x ) (2 − x ) ⋅ 9 3  3

1)  3

′ x−4   7   3 1 1 x−4    5 =  2 ⋅  − (x + 2 )− 4 − 5 ⋅ ⋅ e 5  = − 5e 2) 2 ⋅ 4 3   5 (x + 2 )      4 − 4 x 7 3 = − (x + 2 )− 4 − e 5 . 2

№ 845.

(

)′ ( )′

1) 0,5 x ⋅ cos 2 x = 0,5x cos 2 x + 0,5x (cos 2 x )′ = = 0,5 x ln 0,5 cos 2 x + 0,5 x ⋅ 2 ⋅ (− sin 2 x ) = 0,5 x (ln 0,5 cos 2 x − 2 sin 2 x ) . ′ ′ ′  2) 5 x ⋅ e− x = 5 x e− x + x e− x  =  

(

)

( )

 1 −x   1  5e− x (1 − 2 x ) e − x ⋅ e − x  = 5e − x  = 5 − x  = . 2 x 2 x  2 x 

3) (e3–2 x⋅cos(3–2x))′=(e3–2 x)′cos(3–2x)+ e3–2 x(cos(3–2x))′= = –2 e3–2 xcos (3–2x)–2 e3–2 x⋅(–sin(3–2x))= =–2e3–2 x(cos(3–2x)–sin(3–2x)) = 2e3–2 x(sin(3–2x)–cos(3–2x)). № 846.

(

)′

1) ln x − 1 =

1 1 1 . ⋅ = x − 1 2 x − 1 2( x − 1)

′ 1  = e 3+ x (опечатка в ответе задачника).    2 3+ x 1 1 ⋅ (–sin x)= –tg x. 4) (ln (sin x ))′ = ⋅ cos x =ctg x. 3) (ln (cos x ))′ = cos x sin x

2)  e

3+ x

№ 847.

( )′ ′ 3) (cos x + 2 ) = − sin

(

)′

1) 2cos x +1 = 2cos x +1 ⋅ln 2⋅(–sin x). 2) 0,51+sin x = 0,51+sin x ⋅ln0,5⋅cos x. 3

x+2⋅

3 3 1 (x + 2)− 2 = − sin x + 2 . 3 33 x + 22

(

www.5balls.ru

)

4) (sin (ln x))′=cos(ln x)⋅ № 848.

′

(2 x + 2)



2 x2 + 2 x − 1

1)  x 2 + 2 x − 1  = 

( sin x ) = ′

1 cox(ln x) . = x x

cos x 3

. 3)

( cos x ) = 4

′

x +1 x2 + 2x − 1 1 ⋅ (− sin x) 4

4 cos x 1

3 sin x

( log x )′ = 2

log 2 x ⋅ x ln 2

=−

sin x 4

4 cos x

2 x ln 2 ⋅ log 2 x

№ 849.

′ ′  1 + cos x  (1 + cos x ) sin x − (1 + cos x )(sin x)′ =  = sin 2 x  sin x 

1)  =

− sin x ⋅ sin x − (1 + cos x ) ⋅ cos x 2

sin x

=−

1 + cos x sin 2 x

− sin 2 x − cos x − cos 2 x

( 3x )(′ 3 + 1)− 3x (3 + 1)′ = (3 + 1) (3 + 1)− 3x (3 ln 3) = (3 + 1)

′  3x    2) x =  3 +1   3 2 3x

3 ⋅ 3x + 3 − 2 ⋅ 3 x ⋅ 3x ln 3

(

) ( ) 2

3x +1(1 − 2 x ln 3) + 3

(

)

2 3x 3x + 1 2 3x 3x + 1 ′ 0, 5 x ′  e 0, 5 x  (cos 2 x − 5) − e0,5 x (cos 2 x − 5)′ =  = e 3)   cos 2 x − 5  (cos 2 x − 5)2   0,5e0,5 x (cos 2 x − 5) + 2e0,5 x sin 2 x 0,5e0,5 x (cos 2 x − 5 + 4 sin 2 x ) = = . (cos 2 x − 5)2 (cos 2 x − 5)2 ′ ′ 2x ′ 2x  52 x   = 5 (sin 3 x + 7 ) − 5 (sin 3 x + 7 ) = 4)  2  sin 3x + 7  (sin 3x + 7 )   2x 2x 2 ⋅ 5 ⋅ ln 5(sin 3x + 7) − 5 ⋅ 3 ⋅ cos3x 52 x (2 ⋅ ln 5 ⋅ sin 3x + 14ln 5 − 3cos3x) = = (sin 3x + 7)2 (sin 3x + 7)2

( )

№ 850.

′

(

( )

)′ (

)

x −x  e x − e− x  x − e x − e− x (x )′  = e −e 1)  = 2

 

 

www.5balls.ru

) (

)

+ e− x ⋅ x − e x − e− x ⋅1 x

(

′

e x ⋅ x + e− x ⋅ x − e x + e− x x

)′

(

e x ( x − 1) + e x ( x + 1) x2

)

′ x x  2 x − log 2 x   = 2 − log 2 x ⋅ ln 2 ⋅ x − 2 − log 2 x (ln 2 ⋅ x ) = 2)  2 2  

ln 2 ⋅ x

ln 2 −

 

1 x ln 2

)⋅ ln 2 ⋅ x − (2

x ⋅ ln 2

)

− log 2 x ⋅ ln 2

ln 2 2 ⋅ x 2

x ⋅ 2 x ln 2 − ln12 − 2 x + log 2 x x 2 ⋅ ln 2 2

№ 851.

′ ′ ′  sin x − cos x  (sin x − cos x ) ⋅ x − (sin x − cos x ) ⋅ (x ) =  = x x2   (cos x + sin x ) ⋅ x − (sin x − cos x ) ⋅ 1 = = x2 cos x ⋅ x + sin x ⋅ x − sin x + cos x cos x( x + 1) + sin x( x − 1) = = x2 x2 ′ ′ 2  1 − sin 2 x   (sin x − cos x )  2)  = (sin x − cos x )′ = cos x + sin x .  =  sin x − cos x   sin x − cos x 

1) 

№ 852.

(

)′ 2 ⋅ 5 ⋅ (− sin 5 x ) = 5(cos x + sin x −

1) f ′( x) = 5(sin x − cos x ) + 2 cos 5 x = = 5(cos x + sin x ) +

)

2 sin 5 x =

  π  = 5 cos x + cos − x  − 2 sin 5 x  = 2          π π π  = 5 2 sin  x +  sin − 2 sin 5 x  = 5 2  sin  x +  − sin 5 x  = 4 4 4         x+

π 4

− 5x

π 4

− 5x

π  π  = 10 2 sin  − 2 x  cos + 3x  8  8  π  π  f′(x)=0 при sin − 2 x  cos + 3x  =0, 8  8  = 5 2 ⋅ 2 sin

cos

π π π   8 − 2 x = πn  x = 16 + 2 n, n ∈ Z ⇒ Откуда:   π + 3 x = π + πk  x = π + π k, k ∈ Z  8 3 2  8 2) f ′(( x) = (1 − 5 cos 2 x + 2(sin x − cos x ) − 2 x )′ =  π = 10 sin 2 x + 2(cos x + sin x ) − 2 = 10 cos − 2 x  + 2(cos x + sin x ) − 2 = 2 

www.5balls.ru

;

 π  π  = 10 cos 2  − x  − sin 2  − x   + 2(cos x + sin x ) − 2 = 4  4    π   π  = 10 2 cos 2  − x  − 1 + 2 2 cos − x  − 2 = 4 4       π  π  = 20 cos 2  − x  + 2 2 cos − x  − 12 4  4  π 4



π 4



f ′(x)=0, если 20 cos 2  − x  + 2 2 cos − x  − 12 =0   π 2 2 cos( –x)=t, 20t +2 2 t–12=0 или 10t + 2 t–6=0 4

D=2+240=242=2⋅121 t1=

− 2 + 11 2 2 = 20 2

t2=

− 2 − 11 2 3 2 =− 20 5

9⋅2 3 2 ∨ 1; 18 < 25 ⇒ <1 25 5

3 2 ∨ 1; 5

Cледовательно, – n∈Z ⇒ x1 =

π 3 2 3 2 − х1=±arccos(– >–1. )+2πn, 5 5 4

 3 2 π  + 2πn, n ∈ Z ± arccos −  4 5  

π π π − x2=± +2πk, k∈Z ⇒ x2 = 2πk , k ∈ Z , x3 = + 2πm, m ∈ Z 4 2 4

№ 853.

(

)′ ( )′

1) f ′( x) = e 2 x ln(2 x − 1) = e 2 x ⋅ ln (2 x − 1) + e 2 x (ln (2 x − 1))′ = = 2e 2 x ln (2 x − 1) +

1  2e 2 x  = 2e 2 x  ln (2 x − 1) + , x 2x − 1 2 −1 

f(x)=0 ⇒ e2xln(2x–1)=0, e 2x>0, так что ln(2x–1)=0, ln(2x–1)=ln 1; 

2x–1=1; x=1, f ′(1)= 2e 2⋅1 ln (2 ⋅ 1 − 1) +

1  2 2  =2e ⋅(0+1)=2e . 2 ⋅1 − 1 

 ′ (sin x − cos x )′ sin x − (sin x − cos x )(sin x )′ =  sin x − cos x  2) f ′( x) =   = = sin x sin 2 x   (cos x + sin x )sin x − (sin x − cos x )cos x = = sin 2 x

www.5balls.ru

cos x ⋅ sin x + sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x

sin 2 x  sin x − cos x  f(x)=0 ⇒  =0 sin x  

1 sin 2 x

Область определения функции sin x≠0 x≠πn, n∈Z 1–ctg x=0 ctg x=1 x=

1 π π +πn, n∈Z ; f ′  = 2 4  4  sin

( )= π 4

=2.

1 2

π + πn , 4

Т.к. в f ′(x) sin входит в квадрате, то f ′(x) во всех точках будет иметь одно и то же значение. № 854. f ′(x)=(x sin 2x)′=(x)′sin 2x+x(sin 2x)′=sin 2x+2x cos 2x y(x)=f ′(x)+f(x)+2=sin 2x+2x cos 2x+x sin 2x+2 y(π)=sin 2π+2π cos 2π+π sin 2π+2=0+2π+0+2=2(1+π). № 855. –

+ 0

1) f ′(x)=(x– ln x)=1–

+ х

1 , x

x>0

f ′(x)=0 при х=1; f ′(x)>0,

x −1 >0, x(x–1)>0 ⇒ х∈(1;+∞); x

f ′(x)<0 при х∈(0;1); – + +

2) f ′(x)=(x lnx)′= lnx+1, x>0 f ′(x)=0, lnx+1=0, lnx = –1, 0 х 1 lnx=lne–1, x=e–1. e f ′(x)>0, lnx+1>0; lnx>–1=ln e–1; –1 –1 x∈(e ;+∞); f ′(x)<0 при х∈(0;e–1); x>e 3) f ′(x)=(x2 lnx)′=2xlnx+x x>0 f ′(x)=0

x(2lnx+1)=0

x=0 и lnx= −

f ′(x)>0 x(2 ln x+1)>0 при x∈(

−1 1 =ln e 2 2

; +∞)

f ′(x)<0

при x∈(0;

–

+ 0

) x>0

e + 1

www.5balls.ru

1 e

4) f ′(x)=(x3–3 lnx)′=3x2– f ′(x)=0, 3x2–

3 x

3 3 =0, 3x3–3=0, x3=1, x=1; f ′(x)>0, 3x2– > 0, x x

3 x3 − 3 >0 x

3x(x3–1)>0 при х∈(1;+∞); f ′(x)<0 при х∈(0;1). – + + 0

№ 856. При x<2 и x>3 выражение под знаком логарифма положительно (ln(x2–5x+6))′=

1 x2 − 5x + 6

⋅ (2x–5).

§ 48 Геометрический смысл производной № 857. π =1, x0=2 y0= –3, т.е. –3=1⋅2+b b= –5; 4 π 2) k=tg, α=tg =1, x0= –3 y0=2, т.е. 2=1⋅(–3)+b b=5; 4  π 3) k=tg, α=tg  −  = − 3 , x0=1, y0=1, т.е. 1= – 3 ⋅1+b, b=1+ 3 ;  3

1) k=tg α=tg

4) k=tg, α=tg  − π  = − 3 , x0=–1, y0=–1, т.е. –1= − 3 ⋅(–1)+b, b= 

−

3 3

6

–1

№ 858. 1) f ′(x)=3x2;

k=tg α =f ′(x0)=3⋅12=3;

2) f ′(x)=cos x;

k=tg α =f ′(x0)=cos

3) f ′(x)=

1 ; x

4) f ′(x)=ex;

k=tg α =f ′(x0)=

π 2 ; = 4 2

1 =1; 1

k=tg α =f ′(x0)= eln 3 =3.

www.5balls.ru

№ 859. tg α =f ′(x0)=12=1 ⇒ α=

1) f ′(x)=x2; 1

2) f ′(x)= –

x2 1

3) f ′(x)=

x x

3 3 x +1 5) f ′(x)= e 2 ; 2

6) f ′(x)=

⇒ α=

tg α =f ′(x0)= −

;

= –1 ⇒ α=

12 1

tg α =f ′(x0)=

;

4) f ′(x)= −

tg α =f ′(x0)= −

;

π ; 4

9 3 3

3π ; 4

π ; 6

= – 3 ⇒ α= −

π ; 3

3 3 e ); tg α =f ′(x0)= e ⇒ α=arctg ( 2 2 2 2 2 tg α =f ′(x0)= ⇒ α=arctg . = 2 ⋅ 2 +1 5 5

2 ; 2x + 1

№ 860. 1) f(x0)=12+1+1=3, f ′(x)=2x+1, f ′(x0)=2⋅1+1=3, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=3+3(x–1), y=3+3x–3, y=3x; 2) f(x0)=2–3⋅22= –10, f ′(x)=1–6x, f ′(x0)=1–6⋅2= –11, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y= –10–11(x–2), y= –10–11x+22, y=12–11x. 1 3

3) f(x0)= , f ′(x)= − 1 3

y= −

1 (x–3) 9

4) f(x0)=

(− 2)

1 x2

, f ′(x0)= − 1 3

1 9

y= − x + =

1 3

1 = − , y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), 9 1 2 y= − x + ; 9 3

2 1 2 1 , f ′(x)= − 3 , f ′(x0)= − = , 3 4 4 (−2) x 1 4

y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y= + 5) f(x0)=sin

1 32

1 (x+2) 4

1 1 1 1 3 + x + , y= x + ; 4 4 2 4 4

π 2 π 2 , f ′(x)=cos x, f ′(x0)=cos = , = 4 2 4 2

y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=

2 2 π 2 2 2π + ; x+ −  x −  , y= 2 2  4 2 2 8

6) f(x0)=e0=1, f ′(x)=ex, f ′(x0)=e0=1, y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=1+1(x–0), y=x+1; 7) f(x0)=ln 1=0, f ′(x)=

1 1 , f ′(x0)= =1, 1 x

y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=0+1(x–1), y=x–1; 32

www.5balls.ru

8) f(x0)= 1 =1, f ′(x)=

1 2 x

, f ′(x0)=

2 1

1 y=f(x0)+ f ′(x0)(x–x0), y=1+ (x–1), 2

1 , 2 1 2

1 2

y=1+ x– , y= ( x + 1) .

№ 861. 1) f ′(x)>0 ⇒ tg α>0 ⇒ α∈[0;

π π ], f ′(x)<0 ⇒ tg α<0 ⇒ α∈[– ; 2 2

0], f ′(x)=0 ⇒ tg α=0 ⇒ α=0; рис. а; а) f ′(x)>0: A, B, E; б) f ′(x)<0: D, G; в) f ′(x)=0: C, F. рис. б; а) f ′(x)>0: C, G; б) f ′(x)<0: A, E; в) f ′(x)=0: B, D, F. № 862. 1) f(0)=0+

1 1 1 =1, f ′(x)=1– , f ′(0)=1– =0, 0 +1 ( x + 1) 2 (0 + 1) 2

y=1+0⋅(x–0), y=1. 2) f(0)=sin 0 – ln 1=0 f ′(x)=2cos 2x–

1 , x +1

y=0+1⋅(x–0),

f ′(0)= 2cos 0–

1 =1, 1

y=x.

№ 863. 1) f ′(x)=1–ex, f ′(0)=1–e0=0, tg α=f ′(x0)=0 ⇒ α=0 ⇒ β=90°–α=90°; 2) f ′(x)= –sin x, f ′(0)= – sin 0 = 0, tg α=f ′(x0) ⇒ α=0 ⇒ β=90°– α=90°; 3) f ′(x)=

1 2 x +1

+0⋅e2=

2 x +1 1 1 1 1 = ⇒ α=arctg ⇒ β=90°–α=90° –arctg . tg α=f ′(x0)= 2 2 2 + 2 x 1

№ 864. 1) а) Абсцисса точки пересечения графиков: 8–x=4 x + 4 ; 64–16x+x2=16x+64; x2–32x=0; x1=0 x2=32 – посторонний корень, т.к. 8 – х ≥ 0; х=0. б) угол наклона первой касательной в точке х = 0 tg α1=f ′(x0)=(8–x)′= –1, α1=

x(x–32)=0

3π . 4

в) угол наклона второй касательной: tg α2=f ′(x0)=

4 2 x0 + 4

2 x0 + 4

2 =1, 2

α2=

π 4

www.5balls.ru

г) β=

3π π π – = 4 4 2

2) а) Абсцисса точки пересечения графиков: 1 1 (х+1)2= (х–1)2; 2 2

1 2 (x +2x+1–x2+2x–1)=0; 2x=0, x=0; 2

б) угол наклона первой касательной при х = 0: 1 2

tg α1=f ′(x0)= ⋅2(x0+1)=(x0+1)=1

⇒ α1=

π ; 4

1 (х–1)2 при х = 0: 2 1 3π tg α2=f ′(x0)= ⋅2(x0–1)= x0–1= –1 ⇒ α2= ; 2 4 3π π π г) β= – = . 4 4 2

в) угол наклона касательной к у=

3. а) Абсцисса точек пересечения графиков: ln(1+x)=ln(1–x) ⇒ 1+x=1–x, 2x=0, x=0 б) угол наклона касательной к y=ln(1+x) при х = 0: tg α1=f ′(x0)=

1 ⋅=1 1 + x0

⇒ α1=

π 4

в) угол наклона касательной к у= ln(1–x) при х = 0: tg α2=f ′(x0)= г) β=

−1 = –1 1 − x0

⇒

α2=

3π ; 4

3π π π – = ; 4 4 2

4) а) Абсцисса точек пересечения : еx=e–x ⇒ x= –x, x=0 б) угол наклона касательной к у=ex tg α1=f ′(x0)=e =1 x

⇒

при х = 0:

π α1= 4

в) угол наклона касательной к у=e–x tg α2=f ′(x0)= – − e x0 = –1 г) β=

⇒

α2=

3π 4

3π π π – = . 4 4 2

№ 865. 1. а) Точка пересечения: x4=x6+2x2, x2(x4–x2+2)=0, x1=0, D=1–8<0 ⇒ (0; 0) — единственная общая точка б) Уравнение касательной к у=х4 в точке (0; 0): f(x0)=04=0, f ′(x)=4x3, f ′(x0)=4⋅03 =0, y=0+0(х–0)=0, y=0; 34

www.5balls.ru

в) Уравнение касательной к y= x6+2x2 в точке (0; 0): f(x0)= 0+0=0, f ′(x)= 6x5+4x, f ′(x0)=6⋅0+4⋅0=0, y=0+0(x–0)=0, y=0. Общая касательная у=0. 2) а) Точка пересечения: x4=x3–3x2, x2(x2–x+3)=0, x1=0, D=1–12<0 ⇒ (0; 0) — единственная общая точка; б) Уравнение касательной к у=х4 в точке (0; 0): f ′(x0)=0, f ′(x)=4x3, f ′(x0)= 0, y=0+0(х–0)=0, y=0; в) Уравнение касательной к y= x3–3x2 в точке (0; 0): f(x0)= 0, f ′(x)= 3x2–6x, f ′(x0)=3⋅0–6⋅0=0, y=0+0(x–0)=0, y=0. Общая касательная: у=0. 3) а) Точка пересечения: (x+2)2=2–x2, x2+4x+4–2+x2=0, 2x2+4x+2=0, x2+2x+1=0 x= –1 (–1; 1) – единственная общая точка (x+1)2=0 б) Уравнение касательной к у=(x+2)2 в точке (–1; 1): f(x0)=1, f ′(x)=2(x+2), f ′(x0)= 2⋅(–1+2)=2, y=1+2(х+1)=0, y=2x+3; в) Уравнение касательной к y= 2–x2 в точке (–1; 1): f(x0)=1, f ′(x)= –2х, f ′(x0)= –2 ⋅(–1)=2, y=1+2(x+1), y=2х+3. Общая касательная: у=2х+3 4) а) Точка пересечения: x(2+x)=x(2–x), 2x+x2–2x+x2=0, 2x2=0, x=0 (0; 0) — единственная общая точка б) Уравнение касательной к у= x(2+x) в точке (0; 0): f(x0)=0, f ′(x)=(2+х)+х=2+2х, f ′(x0)= 2, y=0+2(х–0)=0, y=2x в) Уравнение касательной к y= x(2–x) в точке (0; 0): f(x0)=0, f ′(x)=(2–x)–x=2–2x, f ′(x0)= 2, y=0+2(x–0), y=2х. Общая касательная: у=2х. № 866. 1) k=tg α =f ′(x); f ′(x)=ex–e–x, f ′(x)=

3 , 2

т.е.

3 2

ex–e–x= ,

2e2x–3ex–2=0 это квадратное уравнение относительно ex, D=9+16=25; 3+5 3−5 1 x =2 ⇒ x=ln2, ex= = − , но e >0, 4 4 2 1 1 1 f(ln 2)= eln 2 + e − ln 2 = 2 + = 2 , x=ln2 искомая точка: (ln2; 2 ); 2 2 2

ex=

2) k=tg α =f ′(x); f ′(x)=

1⋅ 3 2 3x + 1

f ′(x)=

3 3 3 = , т.е. ⇒ 4 2 3x + 1 4

3 x + 1 =2,

www.5balls.ru

3x+1=4, x=1 f (1) = 3 ⋅ 1 + 1 = 2 искомая точка (1,2). 3) k=tg α =f ′(x), f ′(x)=2cos 2x, f ′(x)=2, тогда 2cos 2x=2, cos 2x=1 ⇒ 2x=2πn, n∈Z. x=πn, n∈Z, sin(2πn)=0, искомая точка: (πn; 0), n∈Z. 4) k=tg α =f ′(x), f ′(x)=1+cos x, f ′(x)=0, т.е. 1+cos x=0, cos x= –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z; f(π+2πn)= π+2πn+sin (π+2πn)=π+2πn, n∈Z; искомая точка (π+2πn; π+2πn), n∈Z. № 867. f ′(x)=

(x + 2)′ (x − 2) − (x − 2)′ (x + 2) = x − 2 − x − 2 = − 4 ; (x − 2)2 (x − 2)2 (x − 2)2

f ′(x)=tg ( −

π )= –1, 4

тогда −

(x − 2)2

= –1, откуда (х–2)2=4,

x2–4x+4–4=0 ⇒ x(x–4)=0 x1=0, y1= –1; x2=4, y2=3; искомые точки (0,–1), (4,3). № 868. Касательные параллельны, значит их углы наклона к Ох равны, т.е. tg α=f ′(x0)=g′(x0), f ′(x)=3x2–1, g′(x)=6x–4, 3x2–1=6x–4, 3x2–6x+3=0, 3(x–1)2=0 ⇒ x=1, уравнение касательной к y(x)=x3–x–1 при х = 1: f(x0)=13–1–1= –1, f ′(x0)=3⋅12–1=2, y= –1+2(x–1), y=2x–3, уравнение касательной к g(x)=3x2-4x+1 при х = 1: g(x0)=3⋅124⋅1+1=0, g′(x)=6⋅1–4=2, y=0+2(x–1), y=2x–2, искомые точки (1, –1) и (1, 0). № 869. 1) (2x4–x3+3x+4)′=8x3–3x2+3; 2) (–x5+2x3–3x2–1)′= –5x4+6x2–6x; 

3)  63 x + 

′ 1  1 −2 = 6 ⋅ ⋅ x 3 − 2 x −3 =  2 3 x 

2 3

− 2

2 x3

;

′ 1 −3 6 2 4  − = 2 ⋅ (− 3) ⋅ x − 4 − 8 ⋅ x 4 = − 4 − 8 ; x   3 4 4 x x  x3  2

4) 

5) ((2x+3)8)′=8⋅2(2x+3)7=16(2x+3)7; 6) ((4–3x)7)′=7⋅(–3)⋅(4–3x)6=–21(4–3x)6; 7)

www.5balls.ru

( 3x − 2 )′ =

3⋅

(3x − 2)2

;

′  1 ⋅ (− 4) 2  =− = .  1 − 4 x 2 ( 1 − 4 x ) 1 − 4 x ( 1 − 4 x ) 1 − 4x   

8) 

№ 870. 1) (ex–sin x)′=ex–cos x; 2) (cos x– ln x)′= –sin x– 1

3) (sin x– 3 › )′=cos x– 5) (

1 ; x

; 4) (6x4–9ex)′=24x3–9ex;

3 ⋅ x2

′ 5 1 3 1 1 1 5  1  +4ex)′= – 2 +4ex; 6)  3 + ln x  = − 4 + . =− 4 + x 2 2x 2x 3x x x  3x 

№ 871. 1) (sin 5x+cos(2x–3))′=5cos5x–2sin(2x–3); 2) (e2x–ln3х)′= 2e2x– 3) (sin(x–3)–ln(1–2x))′=cos(x–3)+ 3x

)′=4cos

1 ; x

2 2x 1– ; 4) (6sin –e 1 − 2x 3

2x +3e1–3x. 3

№ 872. 1) (x2cosx)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x–x2sin x; 2) (x3ln x)′=3x2ln x+

x3 =3x2ln x+x2; x

3) (5x ex)′=5ex+5xex; 4) (x sin 2x)′=sin 2x+2x cos 2x; 5) (e–x sin x)′= –e–x sin x+e–xcos x =e–x(cos x–sin x); 6) (ex cos x)′=excos x –ex sin x⋅= ex(cos x–sin x); № 873. ′

(

)(

)

 x3 + 1  3x2 x2 + 1 − x3 + 1 ⋅ 2 x 3x4 + 3x2 − 2 x 4 − 2 x x4 + 3x2 − 2x 1)  2  = ; = = 2 2 2

(x + 1) ′  x   = 2 x (x + 1) − x ⋅ 3x 2)   x +1 (x + 1)    x +1   2

(x +1)

(x + 1)

2 x 4 + 2 x − 3x 4

(x + 1) 3

′  sin x  cos( x + 1) − sin x ;  = (x + 1)2  x +1 

2 x − x4

(x + 1) 3

;

3) 

′  ln x   = 1− x 

4) 

1 (1 − x

x) − ln x ⋅ (− 1)

(1 − x )2

1 − x + x ln x x(1 − x )2

www.5balls.ru

№ 874. 1) (sin3 x)′=3sin2x⋅cos x; 2) (8cos x)′=8cos x ln 8⋅(–sin x)= –8cos x ln8⋅sin x; 3) (cos4x)′=4cos 3x⋅(–sin x)= –4cos3x sin x; 4) (ln(x3))′=

1 x

⋅3x2=

3 . x

№ 875. 1 3

1) f ′(x)=(2x3–x2)′=6x2–2x, f ′(x)=0, 2x(3x–1)=0 ⇒ x1=0, x2= , 1 3

1 3

f ′(x)>0 при x<0, x> , f ′(x)<0 при 0<x< , –

1 3

2) f ′(x)=(–3x2+2x2+4)′= –9x2+4x, 4 9

f ′(x)=0,

x(–9x+4)=0 ⇒ x1=0, x2= ; 4 9

4 9

f ′(x)>0 при 0<x< , f′(x)<0 при x<0, x> ; +

–

4 9

3) f ′(x)=(x5–5x3–20x)′=5x4–15x2–20, f ′(x)=0, 5(x4–3x2–4)=0, D=9+16=25 x2=

3+5 =4, 2

x1,2=± 2, x2=

3−5 = –1<0 — не существует корней 2

f ′(x)>0 при x<–2 и x>2, f ′(x)<0 при –2<x<2 –

–2

(

4) f ′( x) = (x + 3) (x − 4 ) 3

) = 3(x + 3) (x − 4) ′

+ 2(x + 3)3 (x − 4 ) =

= (x + 3)2 (x − 4 )(3x − 12 + 2 x + 6) = (x + 3)2 ( x − 4)(5 x − 6) , 6 f ′(x)=0 ⇒ x1= –3, x2=4, x3= . 5 6 6 f ′(x)>0 при x<–3, –3<x< , x>4, f ′(x)<0 при <x<4 5 5 –

+ –3

6 5

+ 4

′ −7  3 x + 1  3( x − 2) − 3 x − 1 =  =  x−2  (x − 2)2 (x − 2)2

5) f ′(x)=  38

www.5balls.ru

x≠2

f ′(x)=0 f ′(x)<0

таких х не существует; f ′(x)>0 при всех х, кроме х=2

6) f ′(x)=(x2+ f ′(x)>0

2 2 )′=2x– 2 , x≠0, f ′(x)=0, 2x3–2=0, x3=1, x x

при x>1, f ′(x)<0 –

–

таких х не существует

при x<0 и

x=1.

0<x<1.

+ x

№ 876. 1 2

1) f (x)=cos x⋅sin x= sin 2x, f ′(x)=

1 ⋅2⋅cos 2x=cos 2x, 2

f ′(x0)=cos 2⋅

2) f(x)=ex ln x, f ′(x)= ex ln x+

ex , x

π 1 π = cos = ; 6 3 2

f ′(1)= e1 ln 1+

′ 2 2 π  2 cos x  ′  = (2ctgx ) = − 2 , f ′( )= − 4 sin x sin 2  sin x 

3) f ′(x)= 

π 4

e1 =0+e=e; 1

= –2⋅2= –4;

′ 1 + e0 − 0 ⋅ e0 2 1  1 + ex − x ⋅ ex , f ′(0)= = 2 = . =   2 x 2 0 x 2 2 1+ e  1+ e 1+ e 

4) f ′(x)= 

(

)

(

)

№ 877. 1) y(3)=32–2⋅3=9–6=3, y ′(x)=2x–2, y′(3)=6–2=4, y=3+4(x–3), y=4x– 9; 2) y(3)=27+9=36, y ′(x)=3x2+3, y′(3)=27+3=30, y=36+30(x–3), y=30x–54; 3) y( y=

1 3 π + (x − ) , 2 2 6

4) y( y=

3 π 1 π π )=sin = , y ′(x)=cos x, y′( )= , 6 6 6 2 2

3 1 3π x+ − ; 2 2 12

3 π 1 π π )=cos = , y ′(x)= –sin x, y′( )= – , 3 3 2 3 2

1 3 π 3 1 3π − ( x − ) , y= − . x+ − 2 2 3 2 2 6

№ 878. s(4)=0,5⋅42+3⋅4+2=8+12+2=22(м), v(t)=s′(t)=0,5⋅2t+3=t+3, v(4)=4+3=7 (м/с).

www.5balls.ru

№ 879. 1) y′=(cos2 3x)′=2cos 3x⋅3(–sin 3x)= –3sin 6x; 2) y=(sin x cos x +x)′=cos2x–sin2x+1=cos 2x+1; 3) y′=((x3+1)cos 2x)+1)′=3x2⋅cos 2x +(x3+1)⋅2⋅(–sin 2x)= =3x2cos 2x–2(x3+1)sin 2x; x 1

4) y′=(sin2 2 )′=2 sin 2 ⋅ 2 ⋅cos 2 = sin x; 2 ′

5) y′=  (x + 1)3 x 2  = 3 x 2 + ( x + 1) ⋅ ⋅ x 

6) y′= =

(

2 3



(

))

′ x − 1 x4 − 1 =

x − 1 + 12 x ( x − 1) 4

(

3 ⋅ 3 x − 12

)

x4 − 1 3⋅

(x − 1 ) 2

− 13

3x + 2 x + 1 3⋅3 x

5x + 1 3⋅3 x

;

+ 3 x − 1 ⋅ 4 x3 =

13 x − 12 x3 − 1 4

(

3 ⋅ 3 x − 12

)

№ 880.

′  1 − cos 2 x  − 2(− sin 2 x)(1 + cos 2 x) − (1 − cos 2 x)2(− sin 2 x ) =  = (1 + cos 2x)2  1 + cos 2 x 

1) y′=  = =

2 sin 2 x + 2 sin 2 x cos 2 x + 2 sin 2 x − 2 sin 2 x cos 2 x

(1 + cos 2x )2

4 sin 2 x

(1+ cos

2 x )2

4 sin 2 x

(2 cos x) 2

sin 2 x cos 4 x

;

1⋅ 4x ′ −4 4+ x  4+ x  4 x − 8 x − 32 2 4 x +   = = = 2) y′= 2  x  16 x 2 ⋅ 16 x 2 4 + x   −4 x − 32 −x − 8 = = 2 ; 2 2 ⋅ 16 x 4 + x 8 x 4 + x

′  x   = 3) y′=   x+2

x x+4 2 x + 2 = 2x + 4 − x = x+2 2( x + 2) x + 2 2( x + 2) x + 2

x+2 −

′  sin x + cos x   =  sin x − cos x  (cos x − sin x )(sin x − cos x ) − (cos x + sin x )(sin x + cos x )

4) y′=  = =

(sin x − cos x )2

− sin 2 x + 2 sin x cos x − cos 2 x − sin 2 x − 2 sin x cos x − cos 2 x = 1 − sin 2 x

www.5balls.ru

−2 2 . = 1 − sin 2 x sin 2 x − 1

www.5balls.ru

№ 881.

( (

))′ (x

1) log 2 x3 − x 2 − 1 =

(

2) (log 2 x )

3x3 − 2 x

)

− x 2 + 1 ln 2

x) )′ = 3 ⋅ (log x ln 2

3) (sin (log 3 x ))′ =

3 ln 2 x x ln 3 2

;

cos(log 3 x ) ; 4) (cos 3x)′= –sin 3 x⋅3 x⋅ln 3. x ln 3

№ 882. y′=(e–x)= –e–x y′=(ln(–x))′=

график г) у=ψ(x);

−1 1 = −x x

график a) y=f(x);

y′=(sin2x)=2cos 2x график в) y=ϕ(x); y′=(2cos x)′= –2sin x график б) y=g(x).

№ 883. 1) f ′(x)=(2 x+2 –x)′=2 x ln2–2 –xln 2, f ′(x)=0, ln2(2 x–2 –x)=0, ln2 ≠0, 2 x–2 –x=0, 2 x=2 –x ⇒ x= –x, f ′(x)>0 при x>0; f ′(x)<0 при x<0; – +

x=0,

0 x 2) f ′(x)=(3 2x–2xln3)′=2⋅3 2x ln3–2ln 3 f ′(x)=0, ln3(3 2x–1)=0, 2ln3 ≠0, 3 2x–1=0⇒3 2x=1⇒3 2x=30 ⇒ 2x=0, x=0. f ′(x)>0 при x>0; f ′(x)<0 при x<0;

–

+ 0

x 2 1 1 3) f ′(x)=(x+ln2x)′=1+ =1+ , x>0, f ′(x)=0, 1+ =0 ⇒ x= –1, 2x x x f ′(x)>0

при + –1

x>0; f ′(x)<0 –

не существует;

+ 0

2 , 2x+1>0 2x + 1 3 2 2x + 3 =0 ⇒ =0 ⇒ х= − f ′(x)=0, 1+ 2x + 1 2x +1 2 1 f ′(x)>0 при x> − ; f ′(x)<0 не существует 2 4) f ′(x)=(x+ln(2x+1))′=1+

www.5balls.ru

–

+ x −

3 2

−

1 2

3 x , x>0, 2

5) f ′(x)=(6x–x x )′=6– f ′(x)=0, 6– f ′(x)>0

3 x =0, 2

x =4, х=16,

0<x<16; f ′(x)<0 при

при

x<16;

–

+ 0

6) f ′(x)=((x+1) x + 1 –3x)′=

3 x + 1 –3, 2

x>–1,

f ′(x)=0, 3 x + 1 –6=0 ⇒ x + 1 =2 ⇒ х+1=4, x=3, f ′(x)>0 при x>3; f ′(x)<0 при –1<x<3. – + –1

№ 884. f ′(x)=3x2+6x+a, f ′(x)≥0, 3x2+6x+a≥0, f ′(x)≥0

при всех х, если

откуда 3а≥9.

=9–3а≤0,

Ответ: a≥3.

№ 885. f ′(x)=3ax2–12x–1,

f ′(x)≤0

при всех х, если 3ax2–12x–1≤0,

 3a < 0

т.е. при  D ⇒ = 36 + 3a ≤ 0

 4

a<0 3a ≤ −36 ⇒ 

a<0 a ≤ −12 . 

Ответ: а≤–12.

№ 886. 1) f ′(x)=2ax+

2 x3

, f ′(x)=0, x≠0, ax+

1 x3

=0, ax4=1, x4= –

1 , a

уравнение не имеет дейcтвительных корней, если а≥0; 2) f ′(x)=a–

1 x

, f ′(x)=0, x≠0, a–

1 x

=0, ax2=1, x2=

1 , a

уравнение не имеет действительных корней, если а≤0; 3) f ′(x)=3ax2+6x+6 f ′(x)=0, 3ax2+6x+6=0, ax2+2x+2=0, уравнение не имеет действительных корней, если

D 1 =1–2а<0 ⇒ a> ; 2 4

4) f ′(x)=3x2+12x+a f ′(x)=0, 3x2+12x+a=0, 39

www.5balls.ru

уравнение не имеет действительных корней, если

D =36–3а<0 ⇒ 3a>36, a>12. 4

№ 887. 1) f ′(x)=7ax6+3x2, f ′(x)<0, 7ax6+3x2<0 ⇒ x2(7ax4+3)<0, x2>0, 7ax4-3<0, 7ax4<–3, ax4<–

3 , 7

3 — не имеет решений при а≥0, 7a 3 — решения существуют. если а<0, x4> 7a

если a>0, x4<

2) f ′(x)=5x4+3ax2, f ′(x)<0, x2(5x2+3a)<0, x2≥0 ⇒ 5x2+3a<0 ⇒ 5x2<–3a,

3a – неравенство не имеет действительных корней при a≥0; 5 x + a 3x + a 3x + a 3) f ′(x)= x + , f ′(x)<0; x>0, <0, = 2 x 2 x 2 x a  x < − 2 x >0⇒3x+a<0 ⇒ x<  3 – система не имеет решения при a≥0;  x > 0 x2< −

4) f ′(x)=1–

, f ′(x)<0,

x2 − a x2

<0,

x2>0 ⇒ x2–a<0 ⇒ x2<a – неравенство не имеет решения при a≤0.

№ 888. 1) Точка пересечений графиков:

2 x = 2 6 − x ⇒ x=6–x, 2x=6, x= tg α1=f ′(x0)=

⇒

y= 2 6 − x ; y′= −

α1=

1 6−x

2 ⋅1 1 6 = =3, y′= , 2 2 x x

π , 6

; tg α2=f ′(x0)= −

1 6−3

=−

1 3

5π π 2π ; β= − = 6 6 3 2) Точка пересечения графиков:

2x + 1 =1 ⇒ 2x+1=1 ⇒ x=0, y= 2x + 1 , y′=

www.5balls.ru

1 2x + 1

⇒ α2=

5π , 6

tg α1=f ′(x0)= y=1,

1 2 ⋅ 0 +1

=1 ⇒

α1=

π , 4

tg α2=f ′(x0)= 0 ⇒ α2=0, β=

y′(x)=0,

π π −0= . 4 4

№ 889. 1) y(x0)=2⋅sin y= 2 −

3π x 2 3π 2 =2⋅ , = 2 , y′(x)=cos , y′(x0)=cos =− 2 4 2 2 4

2  3π  x -  , 2  2 

y= −

2 3π ⋅ 2 ; x+ 2+ 2 4

1 1 3 , y′(x)= –2–x ln2+2⋅2 –2x ln2, − = 4 16 16 1 1 1 y′(x0)=ln2⋅(2⋅2–4–2 –2)=ln2  −  = − ln2, 8 4 8   2) y(x0)=2–2–2–4=

3 1 1 3 1 − ln2(x–2), y= − ln2⋅x+ + ln2; 16 8 8 16 4 (3 - x ) + (x + 2) = 5 , y′(x )= 5 =5, 2+2 =4, y′(x)= 3) y(x0)= 0 3−2 (3 - x )2 (3 - x )2 (3 - 2 )2

y=4+5(x–2), y=5x–6;

1 , y′(x0)=1+e–1, x 1 (e + 1)x y=(1+ )x+1–1+e–e, y= . e e

4) y(x0)=e+lne=e+1, y′(x)=1+ y=e+1+(1+

1 )(x-e), e

№ 890.

y′(x)=x2–5x, y2′=6, x2–5x=6 ⇒ x2–5x–6=0,

5+7 5−7 =6, x2= = –1; 2 2 216 5 ⋅ 36 =72–90= –18, y′(6)=36–30=6, 1) x=6, y(6)= − 3 2

D=25+24=49,

x1=

y= –18+6(x–6), y=6x–54;

1 5 1 5 17 ⋅ (− 1) − ⋅ 1 = − − = − , 3 2 3 2 6 19 17 +6(x+1), y=6x+ . y′(–1)=1+5=6, y= − 6 6

2) x= –1, y(–1)=

www.5balls.ru

№ 891. y′= −

, y(1)=4, y′(1)= –4, y=4–4(x–1), y= –4x+8.

Касательная пересекается с осями в точках А (0,8) и В(2,0).

1 1 OB⋅OA= ⋅8⋅2=8 (кв. ед.). 2 2

S∆AOB=

№ 892. y′= −

k x

yкас= −

, y(x0)=

k x 02

k k k k , y′(x0)= − 2 , yкас= − 2 (x–x0), x x0 x0 x0 0

2k ; x0

1) Точки пересечения с осями координат: А (0, S∆AOB=

2k ), В(2х0,0), x0

1 1 2k ⋅2х0=2k – не зависит от х0; АО⋅OB= ⋅ 2 2 x0

2) Подставим точки (х0,

k ) и (2х0, 0) в уравнение касательной x0

k 2k k k =у=– 2 ⋅х0+ = – подходит, значит, принадлежит касательной x0 x x0 x0 0 0=у=–

k x 02

⋅2х0+

2k =0 – подходит, значит, эта точка принадлежит касаx0

тельной.

№ 893. y(1)=1–p y′(x)=3x2–p, y′(1)=3–p, y=1–p+(3–p)(x–1), y=(3–p)x+1–p–3+p, y=(3–p)x–2. Координаты точки М должны удовлетворять этому уравнению. 3=(3–p)=2–2 ⇒ 3–p=

5 1 ⇒ p= . 2 2

№ 894. y′=

x x +1 1 ⋅ 2 ln 4 4 x ln 4 − 2 x +1 ln 2 4 ln 4 − 2 = = 22x–2 x ln 4 ln 4

y′=2, т.е. 22x–2 x=2, 22x–2 x–2=0 — это квадратное уравнение относительно 2х D=1+8=9,

2 х=

1+ 3 1 =2 , 2

х=1; 2х=

www.5balls.ru

1− 3 –1<0 – нет корней; 2

у(1)=

41 − 2 2 =0. ln 4

Ответ: искомая точка (1,0).

№ 895. y′=ln x +1, x>0, y′=0, ln x +1=0 ⇒ ln x = –1 ⇒ x=e –1, y(e–1)=

ln 1e e

−1 1 =− . e e

Расстояние от касательной до оси абцисс:

1 1 = . e e

l=0–y=0+

№ 896. Пусть х0 – точка касания, тогда у(x0)=1+lnx0, y′(x)= y=1+lnx0+

1 1 , y′(x0)= , x x0

1 x x (x–x0), y= +1+ln x0–1, y= +lnx0. x0 x0 x0

Учитывая, что у=ах–2, получаем систему:

1  a= x0 ⇒  - 2 = lnx 0

 x 0 = e- 2 .  2  a=e

Ответ: а = е2.

№ 897. Пусть х1 – точка касания графика функции f(x), тогда f(x1)=x12–4x1+3, f ′(x)=2x–4, f ′(x1)=2x1–4, y=x12–4x1+3+(2x1–4)(x–x1), y=(2x1–4)(x)+x12–4x1+3–2x12+4x1 y=(2x1–4)x+(3–x12). Пусть х2 – точка касания графика функции g(x) g(x2)= –x22–+6x2–10, g ′(x)= –2x+6, g ′(x2)= –2x2+6, y= –x22+6x2–10+(6–2x2)(x–x2) y=(6–2x2)x–x2+6x2–10–6x2+2x22 y=(6–2x2)x+(x22–10) Т.к. это одна и та же касательная, то

 x 22 − 10 = 3 − x12  2 x1 − 4 = 6 − 2 x 2

⇒

x 2 2 − 10 = 3 − x12   x1 = 5 − x 2

 x1 = 5 − x 2  2 2 ⇒ x 2 − 10 = 3 − 25 + 10 x 2 − x 2 5 ±1 x22–5x2+6=0, D=25–24=1, x2= =3, 2

⇒

x1 = 5 − x 2  2  x 2 − 10 x 2 + 12 = 0 x2=2; x2=3,

y= –1 и y= –6+2x – две общие касательные.

www.5balls.ru

№ 898. Пусть х1 – точка касания, тогда y(x1)=x13–6, y′(x)=3x2, y′(x1)=3x12, y= x13–6+3x12(x–x1), y=3x12⋅x+(–2x13–6). Точки пересечения с осями координат: А(0, –2x13–6), В (

S∆AOB=

(

)

(

)

2 x13 + 3 , 0), 3 x12

2 2 x13 + 3 1 ⋅(–2x13–6)⋅ = – 2 (х13+3)2. 3 x 12 2 3›1

Но те же рассуждения можно провести для х2 – второй точки касания. y=3x22⋅x+(–2x23–6), SCOD= −

2 3›2 2

(х23+3)2.

Эти касательные параллельны, так что коэффициенты при х должны быть равны, т.е. 3x12=3x22, x12=x22 либо x1=x2 – тогда точки совпадают, но у нас две разные прямые либо x1= –x2 4SAOB= SCOD

2 − 4⋅2 3 3 (x1 + 3) = − (x 2 + 3) 2  2 2  3 x1 3 x2  x1 = − x2 

4(х13+3)2=(–х13+3)2, 4х16+24х13+36=9–6х13+х16 3х16+30х13+27=0, х16+10х13+9=0

D =25–9=16, х13= –5+4= –1, х1= –1, х13= –5–4= –9, х1= 3 − 9 , 4 2 SAOB= − (− 1 + 3)2 = − 8 = 8 , 3 ⋅1 3 3 SAOB= −

2 3⋅ 9 3

⋅ (− 9 + 3)2 =

2 ⋅ 36 3

9 3

8 3

www.5balls.ru

IX глава. Применение производной и исследованию функций § 49 Возрастание и убывание функции № 899. f ′(x)=2x–

2 x

, x≠0, f ′(x)>0, 2(x–

1 x2

)>0, x2>0,

x3–1>0, x3>1, x>1 – возрастает; f ′(x)<0, x<0, 0<x<1 – убывает; – – + 1

№ 900. 1) y′=2x–1, y’>0, 2x–1>0, >

1 1 – возрастает; y′<0, 2x–1<0, x< – убыва2 2

ет; 2)y′=10x–3, y′>0, 10x–3>0, x>

3 – возрастает; 10

3 – убывает; 10 3) y′=2x+2, y′>0, 2x+2>0, x>–1 – возрастает; y′<0, 2x+2<0, x<–1 – убывает; 4) y′=2x+12, y′>0, 2x+12>0, x>–6 – возрастает; y′<0, 2x+12<0, x<–6 – убывает; 5) y′=3x2–3, y′>0, 3x2–3>0, x2>1, x<–1, x>1 – возрастает; y′<0, 3x2–3<0, x2<1, –1<x<1 – убывает; 6) y′=4x3–4x, y′>0, 4x(x2–1)>0 при –1<x<0, x>1 – возрастает; y′<0, 4x(x2–1)<0 при x<–1, 0<x<1 – убывает; y′<0, 10x–3<0, x<

–

+ 1

–1

7) y′=6x2–6x–36, y′>0, x2–x–6>0. Решим уравнение x2–x–6=0: D=1+24=25, x1=

1+ 5 1− 5 =3, x2= = –2. 2 2

при x<–2, x>3 – возрастает; y′<0 при –2<x<3 – убывает; +

–

–2

+ 3

8) y′=3x2–12x, y′>0 3x(x–4)>0 при x<0, x>4 –возрастает; y′<0 при 0<x<4 – убывает;

www.5balls.ru

–

+ 4

№ 901. а)

б)

№ 902. 1) y′= –

1 (x + 2)

x≠–2, y′>0: –

1 (x + 2) 2

>0 – не выполняется ни при

каких x∈R, т.к. (x+2)2>0, 1 <0 выполняется при всех x∈R, исключая х= –2 y′<0: – (x + 2) 2 функция убывает при x<–2, x>–2 2 2) y′= – 2 , x≠0, x 2 y′>0, – 2 >0 не выполняется ни при каких x∈R, т.к. x2>0, x 2 y′<0, – 2 <0 выполняется при всех x∈R, исключая х=0, x функция убывает при x<0, x>0 1 1 , x>3, y′>0: − >0 не выполняется ни при каких 3) y′= − 2 x -3 2 x -3 x∈R, т.к.

x - 3 >0; 1 y′<0: − <0 выполняется при всех x>3, 2 x -3 функция убывает при x>3; 3 3 , x>5, y′>0: >0 выполняется при всех x>5, 4) y′= 2 x -5 2 x -5 3 y′<0: <0 не выполняется ни при каких x∈R, т.к. x - 5 >0 2 x-5 функция возрастает при x>5.

www.5balls.ru

№ 903. 1) y′=

3x 2 (x 2 + 3) − x3 ⋅ 2x

(x + 3)

y′>0:

x 4 + 9x 2

(x + 3)

y′<0:

x 4 + 9x 2

(x + 3)

x 4 + 9x 2

(x + 3)

>0 верно при всех х∈R; <0 не верно ни при каких х∈R.

Функция возрастает при всех х∈R. ′ ′  - x 2 + 10x − 16    =  − 1 + 10 − 16  = − 10 + 32 = 32 − 10x ; 2) y′=     x x2  x2 x 2 x3 x3   –

–

3 ,2

y′>0 при х3(32–10х)>0, 0<x<3,2 – возрастает; y′>0, x<0, x>3,2 – убывает. 3) y′=e3x+3e3x(x–1)=3e3x⋅x–2e3x(3x–2), 2 y′>0: e3x(3x–2)>0 ⇒ e3x >0 и 3x–2>0 ⇒ при x> функция возрастает; 3 2 3x 3x y′<0: e (3x–2)<0 ⇒ e >0 и 3x–2<0 ⇒ при x< функция убывает; 3 –3x –3x –3x 4) y′=e –3xe =e ⋅(1–3x) 1 y′>0: e–3x(1–3x)>0 ⇒ e–3x >0 и 1–3x>0⇒ при x< функция возрастает 3 1 y′<0: e–3x(1+3x)<0⇒e–3x>0 и (1–3x)<0⇒ при x> функция убывает. 3

№ 904. 1) y′=(2x+3) e x y′>0: 2x+3) e

2 + 3x

x 2 + 3x

;

>0 ⇒ e x

2 + 3x

>0 и 2x+3>0 ⇒ при x> −

возрастает; y′<0: (2x+3) e x

2 + 3x

<0 ⇒ e x

2 + 3x

>0 и 2x+3<0⇒ при x< −

убывает; 2) y′=(2x–1) 3x

2 −x

3 – функция 2 3 – функция 2

ln3;

x2 − x

⋅ln3>0 ⇒ 3x

2 −x

ln3>0 и 2x–1>0 ⇒ при x>

1 – функ2

2 −x

⋅ln3<0 ⇒ 3x

2 −x

ln3>0 и 2x–1<0 ⇒ при x>

1 – функ2

y′>0: (2x–1) 3 ция возрастает;

y′<0: (2x–1) 3x ция убывает.

www.5balls.ru

№ 905. 1) y′=1–2cos 2x, y′>0: 1–2cos 2x>0 ⇒ cos 2x<

1 , 2

π π 5π 5π +2πn<2x< +2πn ⇒ +πn<x< +πn, n∈Z – функция возрастает; 3 3 6 6 y′<0: 1–2cos 2x<0 ⇒ cos 2x>

1 , 2

π π π π +2πn<2x< +2πn ⇒ – +πn<x< +πn, n∈Z – функция убывает; 3 3 6 6 1 2) y′=3–6sin3x, y′>0: 3–6sin3x>0 ⇒ sin 3x< ; 2 5π 2πn 13π 2πn 5π 13π <x< , n∈Z – функция +2πn<3x< +2πn ⇒ + + 6 6 18 3 18 3 возрастает; 1 y′<0: 3–6sin3x<0 ⇒ sin 3x> ; 2 π 2πn 5π 2πn π 5π <x< + – функция убывает +2πn<3x< +2πn ⇒ + 6 6 18 3 18 3 –

№ 906.

№ 907. 1) y′= 3x2–a возрастает, значит у′>0 при всех x∈R a y′>0, 3x2–a>0, x2> , a<0; 3 2) y′=a–cos x, y′>0, a–cos x>0, cos x <a, a>1.

№ 908. y′=3x2–4x+a функция возрастает на R, если y′>0 при всех х 3x2–4x+a>0 неравенство выполняется при любых х, если D 4 =4–3а<0, a> . (Опечатка в ответе задачника). 3 4

№ 909. y′=3ax2+6x–2 функция убывает на R, если y′<0 при всех х 3ax2+6x–2<0 неравенство выполняется при любых х, если 48

www.5balls.ru

 3a < 0 D  = 9 + 6a < 0  4

 a < 0 a < − 3  2

отсюда а< −

3 . 2

§ 50 Экстремумы функции № 910. xmax1 = −5,

xmax 2 = 5;

xmin1 = −2,

xmin 2 = 3.

№ 911. x1= –7,

x2= –4,

x3= –3,

x4= –2,

x5= –1,

x6=1,

x7=3,

x8=4.

№ 912.

′ 1 8 8 1 x 8 1 8 ⇒ x2=16 ⇒ x1,2=±4; 1) y′=  +  = − 2 , y′= − 2 =0 ⇒ 2 = 2 2 x x 2 x 2 x 2) y′=6x2–30x+36, y′=0 ⇒ 6(x2–5x+6)=0, 5 +1 5 −1 =3, x2= =2; D=25–24=1, x1= 2 2 2x x x x x x 3) y′=2e –2e , y′=0, 2e (e –1)=0⇒2e >0 и e –1=0 ⇒ ex=1 ⇒ ex=e0 ⇒ x=0. 4) y′=cos x +sin x, y′=0 ⇒ cos x +sin x=0,

2 (cos x x–

2 2 +sin х )=0 ⇒ 2 2

2 cos (x–

π )=0, 4

π π 3π = +πn, n∈Z, x= +πn, n∈Z. 4 2 4

№ 913.

′ 2  1) y′=  + x  = − x  ′ 3  x 2) y′=  +  =  2 2x  3) y′=2x⋅ е х 4) y′= 2

х2 + х

y′=0 ⇒ 2

−1

2 x2

+1,

2 x2

=1, x2=2 ⇒ x=± 2 ;

1 3 1 3 − , y′=0 ⇒ = 2 ⇒ x2=3 ⇒ x=± 3 ; 2 2x 2 2x 2

, y′=0 ⇒ 2x⋅ е х

−1

=0 ⇒ е х

−1

>0 и 2x=0 ⇒ x=0;

⋅ln 2⋅(2x+1),

х2 + х

⋅ln 2⋅(2x+1)=0 ⇒ 2 х

+х

⋅ln 2>0 и 2x+1=0, x= −

1 . 2

№ 914. 1) y′=4x–20 y′=0 при х=5 – стационарная точка. При переходе через х=5 у′ меняет знак с ‘–’ на ‘+‘. х=5 – точка минимума

–

+ 5

x 49

www.5balls.ru

2) y′=6x+36 y′=0 при х= –6 При переходе через х= –6 у′ меняет знак с ‘–’ на ‘+‘. Следовательно х= –6 – точка минимума

–

+ –6

1 5 1 5 − , y′=0, = , x≠0, x2=25, x=±5. 5 x2 5 x2 При переходе через точку х= –5 у′ меняет знак с ‘+’ на’ ‘ , значит х= –5 – точка максимума, а через х=5 - с’–‘ на ‘+’, значит х=5 - точка минимума. 3) y′=

–

– 5

–5

1 4 1 , y′=0, = 2 , x≠0, x2=64, x=±8. 4) y′= − 2 + 16 x 16 x При переходе через точку х= –8 у′ меняет знак с ‘+’ на ’–‘ , значит х= –8 – точка максимума, а через х=8 с’–‘ на ‘+’, значит х=8 - точка минимума. + – – + 4

–8

№ 915. 1) y′=3x2–6x, y′=0, 3x(x–2)=0 ⇒ x=0, x=2, x=0 – точка максимума; x=2 – точка минимума; у(0)=03–3⋅02, у(2)=23–3⋅22=8–12= –4; + – – 2 0 x 2) y′=4x3–16x, y′=0, 4x(x2–2)=0 ⇒ x=0, x=2, х= –2, x= –2 – точка минимума; х=0 – точка максимума; x=2 – точка минимума; f(–2)=(–2)4–8⋅(–2)2+3=16–32+3= –13, f ′(2)=24–8⋅22+3=16–32+3= –13; f ′(0)=04–8⋅02+3=3 +

–

–2

–

3) y′=1+cos x, y′=0, cos x = –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z. При переходе через х=π у′ не меняет знак, значит, х=π не является точкой экстремума. +

– −π

–

3π

π 1 4) y′= –2sin x +1, y′=0, sin x = ⇒ x1= +2πn, n∈Z; 2 6

www.5balls.ru

–

5π 6

π 6

5π π +2πn, n∈Z; x= +2πn, n∈Z – точка максимума; 6 6 5π x= +2πn, n∈Z – точка минимума; 6 π π π π y( +2πn)=2cos + +2πn= 3 + +2πn, 6 6 6 6 5π 5π 5π 5π y( +2πn)=2cos ( +2πn)+ +2πn= – 3 + +2πn, n∈Z. 6 6 6 6 x2=

№ 916. 1) y′=2, 2≠0 ⇒ нет точек экстремума; 2) y′= –5, –5≠0 ⇒ нет точек экстремума; 3) y′=3x2+2, y′=0 ⇒ 3x2+2=0 x2= − 4) y′=

2 – нет точек экстремума; 3

1 1 1 1 + , y′=0 ⇒ = − 2 x2= –2 – не существует точек экстре2 х2 2 х

мума. (Опечатка в ответе задачника).

№ 917. 1)

№ 918. 1) y′=

1 ⋅ 6x 2 2 − 3x

(

, 2–3x2=0 ⇒ x2=

2 2 ⇒ x=± , y′=0 ⇒ 6x=0 ⇒ x=0; 3 3

) , x –3x=0 ⇒ х(х -3)=0 ⇒ х=0,

1 3x2 − 3

3 2 x=± 3 , 2 x − 3x y′=0 ⇒ 3x3–3x=0 ⇒ 3(x2–1)=0 ⇒ x=±1; x >1 1 3) y′=  , x=1 – точка минимума; x <1 − 1 4) y′=0,

2) y′=

www.5balls.ru

 x>0 2 x − 1  2 x=1 y′ = 0 ⇒ y′=  2 x= − 1 x +1 x<0 2    x=0 –также является критической точкой.

1 2 , 1 x2= − 2 x1=

№ 919. 1) y′=1–

1 2 3− x

=1⇒ 3 − x = x=

y′=

1 2 3− x

–

11 4

, y′=0, x<3,

1 1 11 ⇒3–x= ⇒x= , 2 4 4

11 – точка максимума; 4

6 ⋅1

, x>1 7 x −1 y′=0 – нет решений

3) y′=1–2cos 2x, y′=0, cos 2x= +

–

π 6

−π 6

π 1 ⇒ 2x=± +2πn, n∈Z; 2 3 π x= +πn, n∈Z; 6 π x= +πn – точки максимума; 6

π +πn – точки минимума; 6 4) y′= –3sin 3x–3,

x= –

y′=0 ⇒ –3(sin 3x+1)=0 ⇒ sin 3x= –1 ⇒ 3x= − +

π 6 № 920. 1) y′=

x= −

π 2πn , n∈Z; + 6 3

x= −

π 2πn – стационарная точка. + 6 3

− 3(2 − x )2 (3 − x )2 + 2(3 − x)(2 − x)3

(3 − x )4

π +2πn, n∈Z 2

(2 − x )2 (3 − x )(−9 + 3x + 4 − 2 x) = (2 − x )2 ( x − 5) (3 − x )4 (3 − x )3 (2 − x )2 ( x − 5) =0 ⇒ x=2, x=5 y′=0, (3 − x )3 =

www.5balls.ru

x=2 – стационарная точка; х=5 – точка максимума;

–

– 2

(2 − 5) (3 − 5)

y(5)= 2) y′=

(3x

27 − 27 ; =− 4 4

)

(

)

+ 4 x ( x − 1) 2 − x 3 + 2 x 2 ⋅ 2(x − 1)

(x − 1)

(x - 1)(3x3 + x 2 − 4 x − 2 x3 − 4 x 2 ) = (x − 1)4

–

+ 3

x ≠1

x3 − 3 x 2 − 4 x

(x − 1)3

y′=0 x(x2–3x–4)=0, x= –1 – точка минимума; х=0 – точка максимума; х=4 – точка минимума; 64 + 32 96 32 −1 + 2 1 0+0 = , y(0)= = 0, y(4)= = = ; y(–1)= 9 3 32 (−2) 2 4 (−1)2

–

+ 1

–1

–

3) y′=e3 x+3(x–1)e 3 x=e 3 x(1+3x–3)=e3 x(3x–2), y′=0, e3 x(3x–2)=0 ⇒ e3 x>0 и 3х – 2 = 0 ⇒ x= x=

2 , 3

1 e2 2 2 – точка минимума, y( )= − ⋅ e 2 = − ; 3 3 3 3 –

+ 2 3

4) y′=cos x +cos 2x, y′=0, cos x +cos 2x=0, cos x +cos 2x–sin2x=0, 2cos2x+cos x–1=0, π −1 + 3 1 = ⇒ x= ± +2πn, n∈Z, D=1+8=9, cos x= 4 2 3 cos x= x=

−1 − 3 = –1 ⇒ x=π+2πn, n∈Z, 4

π +2πn, 3

n∈Z – точка максиму-

– π 3

–

5 π 3

ма, x=

5π +2πn, n∈Z – точка минимума, 3

3 1 3 3 3 π π 1 2π + ⋅ = , +2πn)=sin( +2πn)+ sin( +4πn)= 3 3 2 3 2 2 2 4 53

www.5balls.ru

5π 5π 1 10π 3 1 3 3 3 +2πn)=sin ( +2πn)+ sin( +4πn)= − − ⋅ =− 3 3 2 3 2 2 2 4 x −2 x ' 3− x 2 3− x 2 e e =− ; y = 2 3 − x2 3 − x2 2 x e 3− x = 0 , поскольку y ' = 0 при − 2 3− x 2 x e 3− x > 0 , ищем − = 0 , откуда х=0; 3 − x2 При переходе через точку 0 производная у’ меняет свой знак на отрицаy(

тельный, значит, х=0 – точка минимума, y (0) = e 6). y ' =

e −1

e −1 x

2 e −x x

; y '= 0 при

2 ex − x

3− 0

;

=0;

e x − 1 = 0; e x = 1; e x = e0 ; x = 0 при переходе через точку 0 производная у’ меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит, х=0 – точка минимума, y (0) = e0 − 0 = 1 .

№ 921

№ 922 y′ = n(x + 1)n-1 ⋅ e-x – (x + 1)n ⋅ e-x = (x + 1)n-1 ⋅ e-x(n – x – 1), y′ = 0, (x + 1)n-1 ⋅ e-x(n – x – 1) = 0,

–

+ –1

– n- 1

n = 2k, x = -1 – точка минимума, х = n – 1 – точка максимума n = 2k + 1, (x + 1)n-1 = (x + 1)2k+1-1 = (x + 1)2k ≥ 0, x = n – 1 – точка максимума.

www.5balls.ru

§ 51 Применение производной к построению графиков функции № 923 1) область определения: -7 ≤ х ≤ 7, множество значений: -2 ≤ f(x) ≤ 2; 2) y(x) = 0 при х1 = -6, х2 = -4, х3 = 0, х4 = 4, х5 = 6; 3) функция возрастает при -5 < x < -2, 2 < x < 5, функция убывает при -7 < x < -5, -2 < x < 2, 5 < x < 7; 4) f(x) > 0 при –7 < x < -6, -4 < x < 0, 4 < x < 6, f(x) < 0 при –6 < x < -4, 0 < x < 4, 6 < x < 7; 5) xmax = -7, xmax = -2, xmax = 5, xmin = -5, xmin = 2.

№ 924 1)

№ 925

№ 926 1) у = х3 – 3х2 + 4; 1.область определения – множество R; 2. y′ = 3x2 – 6x; 3. y′ = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 2; 4. y′ > 0, x < 0, x > 2 – возрастает; у′ < 0, 0 < x < 2 – убывает; 5. х = 0 – точка max, т.к. при переходе через нее меняется знак y’ с «+» на «-». у(0) = 4, х = 2 – точка min, т.к. при переходе через нее меняется знак y’ с «-» на «+». у(2) = 8 – 12 + 4 = 0. x x<0 0 0<x<2 2 x<2 F’(x)

–

+ 55

www.5balls.ru

f(x)

2) у = 2 + 3х – х3 1. область определения – множество R; 2. y′ = 3 – 3x2 3. y′ = 0 3(1 – x2)=0; x2 – 1=0; x = 1, x = -1 4. y′ > 0; x2 < 1; -1 < x < 1, y′ > 0; x2 > 1; x < -1; x > 1; 5. x = -1 – точка минимума f(-1) = 2 – 3 + 1 = 0, x = 1 – точка максимума f(1) = 2 + 3 – 1 = 4; x x < -1 x = -1 -1 < x < 1 1 F’(x)

f(x)

x>1 -

3) у = -х3 + 4х2 – 4х; 1. область определения – R; 2. y′ = -3x2 + 8x – 4; 3. y′ = 0; 3x2 – 8x + 4 = 0 D = 16 – 12 = 4; 4−2 2 4+2 x1 = = 2 , x2 = = ; 3 3 3 4. y′ > 0; 3x2 – 8x + 4 < 0, y′ < 0; 3x2 – 8x + 4 > 0, x

2 3

2 <x<2, 3 2 < x < 2 x > 2. 3 2 3

2 <x<2 3

www.5balls.ru

x>2

F’(x)

–

f(x)

−

32 27

8 16 8 32 2 2 - точка min f   = − + − =− , 3 27 9 3 27 3 x = 2 – точка max f(2) = -8 + 16 – 8 = 0; 4) y = x3 + 6x2 + 9x; 1. область определения – R; 2. y′ = 3x2 + 12x + 9; 3. y′=0; x2+4x+3=0, D=4–3=1, x1 = -2 – 1 = -3, x2 = -2 + 1 = -1; 4. y′>0; x2+4x+3>0, x>-3, x>-1, y′ < 0; x2 + 4x + 3 < 0, -3 < x < -1; x x < -3 -3 -3 < x < -1 -1 x > -1 5. x =

F’(x)

f(x)

–

-4

5. x = -3 – точка max; f(-3) = -27 + 54 – 27 = 0, x = -1 – точка min; f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4.

№ 927 1) у = х4 + 8х2 – 16

1. область определения – R; 2. y′ = -4x3 + 16x; 3. y′ = 0; -4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = 2, x = -2; 4. y′ > 0; x(x – 2)(x + 2) < 0, 57

www.5balls.ru

–

-2

x < -2, 0 < x < 2, y’ < 0 x(x – 2)(x + 2) > 0 -2 < x < 0 и x > 2. X

x < -2

-2

-2<x<0

0<x<2

x>2

f’(x)

f(x)

-16

5. x = -2 – точка max; f(-2) = -16 + 32 – 16 = 0, x = 0 – точка min, f(0) = -16; x = 2 – точка max, f(2) = -16 + 32 – 16 = 0; 2) y = x4 – 2x2 + 2

1. область определения – R; 2. y′ = 4x2 – 4x; 3. y′ = 0; 4x(x2 – 1) = 0, x = 0, x = ±1; 4. y′ > 0; x(x2 – 1) > 0

–

–1

-1 < x < 0, x > 1, y′ < 0; x(x2 – 1) < 0 x < -1 0 < x < 1 X x < -1 -1 -1<x<0 0 0<x<1 1 f’(x) f(x)

0 1

0 2

0 1

x = -1 – точка min, f(-1) = 1 – 2 + 2 = 1; x = 0 – точка max, f(0) = 0 + 0 + 2 = 2; x = 1 – точка min, f(1) = 1 – 2 + 2 = 1 1 1 6 3) y = ⋅ x 4 − ⋅x 4 24

www.5balls.ru

x>1 +

1. Область определения – R; 2. y ' = x 3 −

1 5 x ; 4

 1  3. y′ = 0; x 3 1 − x 2  = 0 , x = 0, x = ±2; 4   1 3 2 4. y’ > 0; x 4− x > 0 , 4

(

)

-2

x < -2, 0 < x < 2, y′ < 0; X

x < -2

-2

f’(x)

f(x)

–

(

f (− 2 ) =

x>2

4 3

5. х = -2 – точка max;

)

1 3 x 4 − x 2 < 0 , -2 < x < 0, x > 2; 4 -2<x<0 0 0<x<2 2

4 3

1 1 8 4 ⋅16 − ⋅ 64 = 4 − = , 4 24 3 3

x = 0 - точка min; f(0) = 0 + 0 = 0, x = 2 – точка max;

f (2) =

4 ; 3

4) y = 6x4 – 4x6

1. Область определения – R 59

www.5balls.ru

2. y(-x) = 6(-x)4 – 4(-x)6 = 6x4 – 4x6 = y(x) – четная, график симметричен относительно 0у. Исследуем на (0; +∞) 3. y′ = 24x3 – 24x5 4. y’ = 0, 24x3(1 – x2) = 0, x = 0, x = ±1 5. x 0 (0, 1) 1 (1; +∞) f’(x)

f(x)

x = 0 – точка min f(0) = 0 x = ±1 – точка max f(1) = f(-1) = 6 – 4 = 2

№ 928 1) у = х3 – 3х2 + 2 1. Область определения [-1; 3] – по условию 2. y′ = 3x2 – 6x 3. y′ = 0; 3x2 – 6x = 0, 3x(x – 2) = 0, x = 0, x = 2 4. X -1 (-1; 0) 0 (0; 2) 2 y’

-2

max

min

2) y = x4 – 10x + 9 на [-3, 3]; 1. Область определения [-3, 3]; 2. y′ = 4x3 – 20x; 3. y′ = 4x(x2 – 5) = 0, x = 0, x = ± 5 ;

www.5balls.ru

(2; 3)

+ 2

-3

(-3; − 5 )

− 5

y’ y

(−

5 ;0 +

)

(0; 5 )

( 5 ;3)

-16

min

max

min

№ 929 xmax = -3, 4; xmin = -6, 1, 6.

№ 930 1) у = 2 + 5х3 – 3х5 1. Область определения – R 2. y′ = 15x2 – 15x4 y′ = 0; 15x2(1 – x2) = 0, x = 0, x = ±1 X x<-1 -1 -1<x<0 0 y’ y

0 0

0 2

min

0<x<1

x>1

4 max

www.5balls.ru

2) у = 3х5 – 5х3 1. Область определения – IR 2. y′ = 15x4 – 15x2 y′ = 0; 15x2(x2 – 1) = 0, x = 0, x = ±1 X x<-1 -1 -1<x<0 0 y’

0<x<1

x>1

0 0

-2

max

min

3) y = 4x5 – 5x4 1. Область определения – IR; 2. y' = 20x4 – 20x3 y′ = 0; 20x3(x – 1) = 0, x = 0, x = 1 x x<0 0 0<x<8 y’ y

x>1

-1

max

min

www.5balls.ru

1 5 5 3 x − x + 2x ; 10 6 1. Область определения – R;

4) y =

x 4 5x 2 − + 2 , y′ = 0; x4 – 5x2 + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9, 2 2 5+3 5−3 x2 = = 4 , x = ±2, x 2 = = 1 , x = ±1, 2 2 1 5 5 3 y (− x ) = − x + x − 2 x = − y (x ) - нечетная функция, симметричная 10 6 относительно 0. Продолжим рассуждение на (0; +∞) 2. y ' =

(0;1)

(1;2)

(2;+∞)

y’

19 15

8 15

max

min

№ 931 1 ; 3x 1. Область определения – R при х ≠ 0 1 2. y (− x ) = −3x − = − y (x ) - функция нечетная, график симметричен 3x относительно 0. Рассмотрим его на (0; +∞) 1) y = 3 x +

www.5balls.ru

3. y ' = 3 −

1 3x 2

;

4. y′ = 0; 9x2 – 1 = 0,

x=±

1 ; 3

 1  0;   3

1 3

1   ;+∞  3  

y’

2 min

4 −x; x 1. Область определения х ≠ 0; 4 2. y (− x ) = − + x = − y (x ) - функция нечетна и ее график симметричен x относительно 0. Рассмотрим его на (0; +∞); 4 − 1 ; 4. y′ = 0 4 + x2 = 0 – не существует стационарных точек; 3. y ' = − 2 x 4 5. пересечение с 0х: 0 = − x ; х2 = 4, х = ±2; x 6. если х → ∞, то у → -х, если х → 0, то у → ∞; 2) y =

7. y > 0,

4 −x>0 x

4 − x2 > 0 при 0 < x < 2; x

www.5balls.ru

3) y = x −

;

x 1

1. Область определения x > 0; 2. y ' = 1 +

;

2x x 3. y′ = 0;

= 0 2x x + 1 = 0 ,

2x x 1 — нет стационарных точек; 2 1 4. у = 0 при x − = 0 x 3 = 1 , х = 1; x 5. если х → 0, то у → -∞, если х → ∞, то у → х; 1 >0 x 3 > 1 , x > 1; 6. y > 0; x − x x3 = −

№ 932 1) у = хе-х 1. Область определения R; 2. y′ = e-x – xe-x = e-x(1 – x); 3. y′ = 0; e-x(1 – x) = 0, e-x > 0, x = 1, y′ > 0; 1 – x > 0, x < 1; X

x<1

x>1

www.5balls.ru

y’

1 e

2) y = xex 1. Область определения R; 2. y′ = ex + xex = ex(1 + x); 3. y′ = 0; ex(1 + x) = 0, x = -1; X

x < -1

-1

x > -1

y’

1 e min

x = -1 – точка минимума;

3) y = e x ; 1. Область определения R: 2

2. y ' = 2 xe x ; 3. y′ = 0; 2 xe x = 0 , x = 0; X

x<0

www.5balls.ru

x>0

y’

4) y = e− x 1. Область определения – R: 2

2. y ' = −2 x ⋅ e x

− 2x ⋅ ex = 0 ,

3. y′ = 0;

x=0

x<0

x>0

y’

1 max

№ 933 x2 x−2 1. Область определения: х ≠ 2 1) y =

2. y ' =

2 x(x − 2 ) − x 2

2x 2 − 4x − x 2

(x − 2) (x − 2 ) x(x − 4 ) 3. y′ = 0 при = 0 , х = 0, ( x − 2 )2 2

x 2 − 4x

(x − 2 )

x(x − 4 )

( x − 2 )2

х=4

www.5balls.ru

1) X

(-∞;0)

(0;2)

y’

(2;4)

(4;+∞)

max

min

1 − x 2 + 3x − 1 = −x + 3 − ; x x 1. Область определения х ≠ 0; 1 2. y ' = −1 + ; x 2) y =

− x2 +1

3. y′= 0;

= 0 , x = ±1, y = 0; x2 – 3x + 1 = 0, D = 9 – 4 = 5,

3± 5 ; 2 (-∞;-1)

-1

(-1;0)

y’

(0;1)

(1;+∞)

min

max

www.5balls.ru

3) y =

2. =

4 + x − 2x 2

; 1. Область определения х = 2;

x 2 − 4x + 4 ( x − 2 )2 (1 − 4 x )(x 2 − 4 x + 4)− 2(x − 2)(4 + x − 2 x 2 ) = y' = (x − 2 )4

x − 4 x 2 − 2 + 8x − 8 − 2x + 4 x 2

(x − 2 )

3. y′ = 0;

7 x − 10

(x − 2 )

7 x − 10

(x − 2)3

;

10 ; 7

4. y = 0; 4 + x – 2x2 = 0, 2x2 – x – 4 = 0, D = 1 + 32 = 33, x = X

10    − ∞;  7 

10 7

 10   ;2   7 

y’

1± 33 ; 4

(2;+∞) +

33 8 max

№ 934 1) Рассмотрим график функции у = х4 – 4х3 + 20. Его пересечение с у = 0 даст количество действительных корней исходного уравнения 1 Область определения R: 2. y′ = 4x3 – 12x2; 3. y′ = 0; 4x2(x – 3) = 0, x = 0, x = 3 X 0 (0;3) 3 (-∞;0) (3;+∞) y’ Y

-7 min

www.5balls.ru

Ответ: два корня. 2) у = 8х3 – 3х4 – 7 = 0 1. Область определения R: 2. y′ = 24x2 – 12x3 3. y′ = 0; 12x2(2 – x) = 0, X 0 (-∞;0) y’

x = 0, x = 2 (0;2)

-7

(2;+∞)

9 max

Ответ: два корня.

№ 935 y=

x3 − 4

;

(x − 1)3

1) Область определения х ≠ 1; 2) y ' =

(

3 x 2 (x − 1)3 − 3(x − 1)2 x 3 − 4

(x − 1)

3) y′ = 0,

(

34− x

(x − 1)

) = 3x

− 3x 2 − 3 x 3 + 12

(x − 1)

) = 0 , x = ±2;

(

3 4 − x2

(x − 1)

4) X

(-∞;-2)

-2

(-2;1)

(3;2)

(2;+∞)

y’

4 9 min

4 max

www.5balls.ru

)

x3 = 4,

5) y = 0,

x −4 3

(x − 1)

x = 3 4 , x = 0,

(x − 1)

+ 3x − 3x − 3 2

(x − 1)

x→∞ y → 1. Т.к. (0,9) > 0 а справа растет от -∞

y = 4; = 1+

3x 2 − 3x − 3

(x − 1)3

y(1,1) < 0, то слева от х = 0 у → +∞,

7) Рассмотрим график; 4 4 имеем один корень; c = два корня; c< 9 9 4 < c < 1 три корня; с = 1 два корня; 1 < c < 4 три корня; 9 с = 4 два корня; с > 4 один корень.

§ 52 Наибольшее и наименьшее значения функции № 936 а) хэкстр = -3; 0 б) хэкстр = 0 в) хэкстр = -2; 2 г) хэкстр = -2; 1

унаиб = 2 унаиб = 3 унаиб = 3 унаиб = 4

унаим = -3 унаим = -3 унаим = -3 унаим = -2

№ 937 1) у = 2х3 + 3х2 – 36х на [-4; 3]; 1. у(-4) = 2 ⋅ (-64) + 3 ⋅ 16 – 36 ⋅ (-4) = 64, y(3) = 2 ⋅ 27 + 3 ⋅ 9 – 36 ⋅ 3 = -27; 2. y′ = 6x2 + 6x – 36, y′ = 0; x2 + x – 6 = 0, D = 1 + 24 = 25, −1 + 5 −1 − 5 x1 = = 2 , x2 = = −3 ; 2 2 3. 2 ∈ [-4; 3], -3 ∈ [-4; 3], y(-3) = 2 ⋅ (-27) + 3 ⋅ 9 – 36(-3) = 81, y(2) = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 4 – 36 ⋅ 2 = -44, max y (x ) = y (− 3) = 81 , min y (x ) = y (2 ) = −44 ;

[− 4;3]

[ −4;3]

2) на [-2; 1]; а) f(-2) = 2 ⋅(-8) + 3 ⋅ 4 – 36(-2) = 68, f(1) = 2 + 3 – 36 = -31; 71

www.5balls.ru

-3 ∉ [-2; 1], значит max f (x ) = 68 ,

б) 2 ∉ [-2; 1],

[− 2;1]

min f (x ) = −31 .

[− 2;1]

№ 938 1) f(x) = x4 – 8x2 + 5 на [-3; 2]; 1. f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11; 2. f’(x) = 4x3 – 16x, f’(x) = 0; 4x(x2 – 4) = 0, x = 0, x = ±2; 3. D ∈ [-3; 2], -2 ∈ [-3; 2], 2 ∈ [-3; 2], f(0) = 5, f(-2) = -11, f(2) = -11, max f (−3) = 14 , min f (x ) = f (2 ) = f (−2) = −11 ;

[−3;2]

1 1  2) f (x ) = x + , − 2;−  ; 2 x  1. f (− 2 ) = −2 − 2. f ' (x ) = 1 −

1 5 1 5  1 = − , f −  = − − 2 = − ; 2 2 2 2  2

x2 1  3. − 1 ∈ − 2;−  2 

, f’(x) = 0, x2 – 1 = 0,

x = ±1;

1  1 ∉  − 2;−  , f(-1) = -1 – 1 = -2, 2 

max f (x ) = f (− 1) = −2 ,

1   − 2;− 2   

3) f(x) = sinx + cosx

1  1 min f (x ) = f (− 2 ) = f  −  = −2 ; 2  2

1   − 2;− 2   

 3π   π; 2  ;  

3π 3π  3π  1. f(π) = sinπ + cosπ = 0 – 1 = -1, f   = sin + cos = −1 + 0 = −1 ; 2 2 2   2. f’(x) = cosx – sinx, f’(x) = 0; cosx – sinx = 0, cosx ≠ 0, π 1 – tgx = 0, tgx = 1, x = + πn, n ∈ Z ; 4 3.

5π 5π 2 2 5π  3π   5π  ∈ π;  , f   = sin + cos =− − =− 2, 4  2  4 4 2 2  4 

 3π  max f (x ) = f (π ) = f   = −1 ,  2 

 3π   π; 2   

 5π  min f (x ) = f   = − 2 .  4 

 3π   π; 2   

№ 939 1) f (x ) = x 2 +

16 x2

, х > 0;

1. Область определения: х > 0, f ' (x ) = 2 x −

www.5balls.ru

32 x3

f’(x) = 0;

2 x 4 − 32

= 0 , 2(x4 – 16) = 0,

x = ±2;

2 ∈ (0; +∞) -2 ∉ (0;+∞), x = 2 – точка минимума, f (2) = 4 + +

–

2) f (x ) =

16 =8; 4

2 − x 2 , x < 0. Область определения x < 0; x

1. f ' ( x ) = −

(

)

2 − 2 1 + x3 , f’(x) = 0, = 0 , x3 = -1, x = -1, 2 x − x2 x2

-1 ∈ (-∞; 0) +

– х

-1

2 f (− 1) = − − 1 = −3 , x = -1 – точка максимума, 1

max f (x ) = f (−1) = −3 .

(−∞;0 )

№ 940 Пусть одно число х, тогда второе (50 – х). Надо найти наименьшее значение суммы их кубов, т.е.: f(x) = x3 + (50 – x)3, f’(x) = 3x2 – 3(50 – x)2 = 3x2 – 7500 + 300x – 3x2 = 300x – 7500, f’(x) = 0, 300x – 7500 = 0 ⇒ x = 25, –

+ х

x = 25 – точка минимума, х = 25; (50 – х) = 25, 50 = 25 + 25.

№ 941  625  Пусть одно число х, тогда второе   , но числа эти такие, что сумма  x  их квадратов наименьшая 2

 625  f (x ) = x 2 +   , x < 0,  x  f ' (x ) = 2 x −

2 ⋅ 625 2

f ' (x ) = 0; 2 x −

2 ⋅ 6252 3

= 0,

x x3 4 2 2х – 2 ⋅ 625 =0, x = ±25, x = 25 ∈ (0; + ∞), x = -25 ∉ (0; +∞), –

+ 25

www.5balls.ru

x = 25 – точка минимума, значит х = 25,

625 = 25 . x

Ответ: 625 = 25 ⋅ 25

№ 942 Пусть стороны прямоугольника равны a и b, тогда а p = 2(a + b). Положим, а = х, тогда x > 0 p p b = −a = −x. b 2 2 Площадь этого прямоугольника находим как: p  S = f (x ) = a ⋅ b = x ⋅  − x  – найдем max этой функции. 2  p p p − 4x p f ' (x ) = − x − x = − 2 x , f’(x) = 0; =0 x= , 2 2 2 4 –

p 4

p – точка max, значит, прямоугольник имеет стороны 4 p p p — это квадрат. b= − = 2 4 4

точка x = a=

p 4

№ 943

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. S = 9 = a ⋅ b. 9 9  Пусть а = х, тогда b = , p = f (x ) = 2(a + b ) = 2 x +  x x 

x > 0.

 9   , Найдем минимум этой функции f ' (x ) = 21 −  x2  f′(x) = 0;

2 –

3 ∈ (0; +∞)

−9

)=0,

x = ±3, +

3 -3 ∉ (0; +∞)

9 = 3. 3 Ответ: Это квадрат со стороной 3.

х = 3 – точка min; a = 3, b =

№ 944 1 1 1  1 1) f(x) = lnx – x,  ;3 , х > 0; 1. f   = ln − < 0 , f(3) = ln3 – 3 < 0; 2 2 2  2 74

www.5balls.ru

2. f ' (x ) =

1 1− x 1  − 1 , f′(x) = 0; = 0 , x = 1; 3. 1 ∈  ;3 , f(1) = ln1 –1=-1. x x 2 

1 2

Выясним, что больше. Допустим, f   > f (3) 5

− 1 1 1 1 5 1 1 − > ln 3 − 3 , ln − ln 3 > − , ln > ln e 2 ⇒ > 5 6 2 2 2 2 6 e 2 е5/2 > 6 – что верно Допустим f(3) < f(1), т.е. ln3 – 3 > -1, ln3 > 2, ln3 > lne2, 3 > e2 – не верно, значит f(1) > f(3).

− 1 1 1 1 Допустим f   > f (1) , т.е. ln − > −1 , ln > ln e 2 , 2 2 2 2  

1 1 > , 2 e

1 e > 2 , е > 4 – не верно, значит f (1) > f   . 2 Итак, max f (x ) = f (1) = −1 , min f (x ) = f (3) = ln 3 − 3 ; 1   2 ;3  

1   2 ;3  

2) f(x) = x + e-x,

[-1; 2];

1. f(-1) = -1 + e = e – 1 < 2, 2 < e < 3, 1 < e – 1 < 2, f (2) = 2 +

>2; e2 2. f′(x) = 1 – e-x, f′(x) = 0; 1 – e-x = 0, e-x = 1 = e0, x = 0, f(0) = 0 + e0 =

1, max f (x ) = f (2 ) = 2 +

[−1;2]

f(0 ) 1

f(-1 )

1 e2

, min f (x ) = f (0) = 1 ;

[−1;2]

f(2 ) 2

3) f(x) = 2cos x – cos2x, [0; π]; 1. f(0) = 2cos0 – cos0 = 2 – 1 = 1, f(π) = 2cosπ - cos2π = -2 – 1 = -3; 2. f′(x) = -2sin x + 2sin2x, f′(x) = 0; -2sin x(1 – 2cos x) = 0, 1 π x = ± + 2πn, n ∈ Z ; sinx = 0, x = πn, n ∈ Z, cos x = + 2 3 π 3. 0 ∈ [0; π], π ∈ [0; π], ∈ [0; π] , 3 π 2π 1 3 π f   = 2 cos − cos = +1 + = + , 3 3 2 2 3 π 3 max f (x ) = f   = , min f (x ) = f (π ) = −3 . [0;π]  3  2 [0;π]

www.5balls.ru

№ 945

1) f (x ) = 3 x − x x , x > 0; 3 3 1. f ' (x ) = − ⋅ x, 2 x 2  3  1 − x  = 0  2 x 

f′(x) = 0;

1− x

=0, x=1

–

+ 0

x = 1 – точка max, f(1) = 3 – 1 = 2;

2. f (x ) = 3 x − 2 x x , x > 0, f ' (x ) = 3 − 3 x ,

(

)

f′(x) = 0; 3 1 − x = 0 , x = 1 , x = 1, x = 1, точка max. 3. 1 ∈ (0; +∞), f(1) = 3 – 2 = 1.

– 1

№ 946 1) f(x) = e3x – 3x на (-1; 1), f′(x) = 3e3x – 3, f′(x) = 0, 3(e3x – 1) = 0, e3x = 1 – e0, x = 0, x = 0 – точка min, 0 ∈ (-1; 1), f(0) = e3⋅0 – 3 ⋅ 3 = 1; –

1 1 x −1 1 + , f′(x) = 0, =0, 2) f (x ) = + ln x на (0; 2), f ' (x ) = − 2 x x x2 x 1 x = 1, х = 1 – точка min, 1 ∈ (0;2), f (1) = + ln 1 = 1 . 1 +

– 1

№ 947

1) f (x ) = x 4 5 − x на (0; 5), x ⋅ (−1) 4(5 − x ) − x 20 − 5 x f ' (x ) = 4 5 − x + = = , 3 3 4 4 4 4 (5 − x ) 4 (5 − x ) 4 (5 − x )3

f′(x) = 0,

20 − 5 x 4 (5 − x )3

= 0 , x = 4, x = 4 – точка max, 4 ∈ (0; 5),

f (4 ) = 4 ⋅ 4 5 − 4 = 4 ;

www.5balls.ru

–

+ 4

2) f (x ) = x 4 − x , (0; 4), f ' (x ) = 3 4 − x +

x ⋅ (−1)

3 (4 − x ) 3

12 − 4 x

f′(x) = 0,

3 (4 − x )2

= 2

12 − 4 x 3 (4 − x )2

= 0 , x = 3, х = 3 – точка max, 3 ∈ (0; 4),

f (3) = 3 ⋅ 3 4 − 3 = 3 ;

– 3

3) f (x ) = 3 x 2 (1 − x ) , (0; 1), 1(2 x(1 − x ) + x 2 ⋅ (− 1)) 2 x − 3x 2 f ' (x ) = = 33 x 4 (1 − x )2 33 x 4 (1 − x )2 2 − 3x

f′(x) = 0,

3 x (1 − x ) 4

=0,

2 , 3

2 − 3x 3 x 4 (1 − x )2 3

2 2 – точка max, ∈ (0;1) , 3 3

4 1 34 2 f =3 ⋅ = ; 9 3 3 3 + – 3

4) f (x ) = x 2 − 4 x + 5 , (-1; 5),

1 ⋅ (2 x − 4 )

f ' (x ) =

(

3 x 2 − 4x + 5 f′ (x) = 0; 3

(

2x − 4

3 x − 4x + 5 2

)

=0,

)

x = 2, x = 2 – точка min., 2 ∈ (-1; 5),

f (2) = 4 − 8 + 5 = 1 . 3

–

+ 2

№ 948 Пусть мы вырежем квадраты со стороной х, тогда высота и есть х. Запишем в таком случае объем f(x) = V = (a – 2x)(a – 2x) ⋅ x = (a – 2x)2 ⋅ x = a2x – 4a2x + 4x3 f′(x) = a2 – 8ax + 12x2; f′(x) = 0: 12x2 – 8ax + a2 = 0, D = 16a2 – 12a2 = 4a2, 75

www.5balls.ru

4a + 2a a 4a − 2 a a = , x2 = = , 12 2 12 6 a a f   = (a − a )(a − a ) ⋅ = 0 , 2 2

x1 =

a  a a 4 a 2a 3 a  f   =  a −  a −  ⋅ = a 2 ⋅ = , 3  3 6 9 6 27 6   a  2a 3 max f (x ) = f   = .  6  27 Ответ: высота коробки должна быть

a . 6

№ 949 B

Пусть BK = х, тогда высота треугольника BD=a + x. Найдем основание АС. Треугольники АВС и PQB – поAC x + a x+a = , добны с коэффициентом , значит PQ x x AC =

(x + a ) ⋅ PQ = (x + a ) ⋅ a . x

Площадь:

(x + a )2 ⋅ a , 1 1 (x + a )a ⋅ (a + x ) = AC ⋅ BD = 2 2 x 2x f ' (x ) =

f′(x) = 0; f (a ) =

2  a2  2  a2  ⋅  x + 2a + ' = 1 − 2  , a  x  a  x  2  x 2 − a 2 a  x 2

  = 0 , x = ±a, x > 0, x = a,  

(a + a )2 ⋅ a = 2a 2 .

2a Ответ: наименьшая площадь при ВК = a.

№ 950 у = 3 – х2 – график этой функции симметричен относительно оу, значит, вершины прямоугольника будут иметь координаты В = (-х, у); А = (-х, 0); С = (х, у); D = (x, 0). Основание прямоугольника равно 2х (х>0) и высота у, значит, площадь: f(x) = S = 2x ⋅ y = 2x ⋅ (3 – x2), x ∈ (0; 3), f′(x) = 2(3 – x2) + 2x ⋅ (-2x) = 6 – 2x2 – 4x2 = 6(1 – x2), f′(x) = 0; 6(1 – x2) = 0, x = ±1, 1 ∈ (0; 3) -1 ∉ (0; 3), f(1) = 2 ⋅ 1(3 – 12) = 2 ⋅ 2 = 4. Ответ: наибольшая площадь прямоугольника равноа 4. 76

www.5balls.ru

№ 951 Пусть это точка В с координатами (х, х2).

(x − x A )2 + ( y − y B )2

Тогда расстояние до точки А: ρ = f (x ) =

(x − 2)2 +  x 2 − 1  

x 4 − 4x +

17 , 4

= x 2 − 4x + 4 + x 4 − x 2 +

2

(

1⋅ 4 x 3 − 4

f ' (x ) =

2 x 4 − 4x +

4x 3 − 4

f'(x) = 0;

2 x 4 − 4x +

= ρ или

)

1 = 4

17 4

=0, 17 4

– 1

x3 = 1, x = 1, х = 1 – точка минимума, у = 12 = 1. Ответ: (1; 1) — ближайшая к точке А.

№ 952 Пусть а — ширина доски, ϕ – угол, 0 ≤ ϕ <

π . 2

Тогда площадь поперечного сечения желоба:

1  S (ϕ) = 2 ⋅ a (a cos ϕ)sin ϕ  + a (a ⋅ cos ϕ) , 2  1  S (ϕ) = a 2  sin 2ϕ + cos ϕ  . 2  Найдем максимум этой функции:

1  ⋅ 2 ⋅ sin 2ϕ − cos ϕ  , 2 

S′(x) = a 2 

S′ = 0 ⇒ cos2ϕ – sinϕ = 0 ⇒ 1 – 2sin2ϕ – sinϕ = 0. Обозначим sinϕ = t;

− 1 ± 1 − 4 ⋅ 2(− 1) 1 ; t1 = –1; t2 = . 2 2⋅2 3 при t = –1: sinϕ = –1 ⇒ ϕ = π — посторонний корень. 2 2t2 + t – 1 = 0; t1,2 =

www.5balls.ru

π 1 1 : sinϕ = ⇒ϕ= , и угол наклона боковых досок к осно2 2 6 π π 2 ванию : + = π . 2 6 3 2 Ответ: π . 3 при t =

§ 53 Выпуклость графика функции, точки перегиба № 953 1) f′′(x) = (x2cosx)′′ = (2x cosx – x2sinx)′ = (2x cosx)′ – (x2sinx)′ = = 2cos x – 2x sin x – 2xsinx – x2cosx = cosx(2 – x2) – 4x sin x; 2) f′′(x) = (x3sinx)′′ = (3x2sinx + x3cosx)′ = 3(x2sinx)′ + (x3cosx)′ = = 6x sin x + 3x2cosx + 3x2cosx – x3sinx = sinx(6x – x3) + 6x2cosx; 3) f ' ' ( x ) = ( x5 + 2 x3 − x 2 + 2)' ' = (5 x 4 + 6 x 2 − 2 x )' = 20 x3 + 12 x − 2 ; 4) f ' ' ( x ) = ( x 4 − 3 x3 + 5 x + 6)' ' = (4 x3 − 9 x 2 + 5)' = 12 x 2 − 18 x .

№ 954 1) f′′(x) = ((x + 1)4)′′ = (4(x + 1)3)′ = 12(x + 1)2, f′′(x) > 0 при всех х ≠ -1, значит, функция при всех х ≠ -1 выпукла вниз 2) f′′(x) = (x4 – 6x2 + 4)′′ = (4x3 – 12x)′ = 12x2 – 12, f′′ > 0, 12(x2 – 1) > 0, (х – 1)(х + 2) > 0, – + + -1 1 x при x < -1 и x > 1, на этих промежутках функция выпукла вниз. f′′ (x) < 0 при –1 < x < 1, на этом промежутке выпукла вверх; 3) f′′(x) = ((x2 – 3x + 2)ex)′′ = ((2x – 3)ex + (x2 – 3x + 2)ex)′ = = (ex(x2 – x – 1))′ = ex(x2 – x – 1) + ex(2x – 1) = ex(x2 + x – 2) f′′(x) > 0, x2 + x – 2 > 0,

–

-2

+ 1

x −1 + 3 −1 − 3 D = 1 + 8 = 9, x1 = = 1 , x2 = = −2 , 2 2 при x < -2 x > 1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при -2 < x < 1 – функция выпукла вверх; 6  4) f′′ (x) = (x3 – 6x ln x)′′ = (3x2 – 6ln x – 6)′ =  6 x −  , x > 0, x 

(

)

6(x − 1)(x + 1) x 2 −1 1  f′′(x) > 0, 6 x −  > 0 , 6 >0, >0, x x x   78

www.5balls.ru

при x > 1 – функция выпукла вниз, f′′(x) < 0 при 0 < x < 1 – функция выпукла вверх.

№ 955

1) f′′(x) = (cos x)′′ = (-sin x)′ = -cos x, f′′(x) = 0, -π < x < π, π π π -cos x = 0, cos x = 0, x = + πn, n ∈ Z , x = − ; ; 2 2 2 2) f′′(x) = (x5 – 80x2)′′ = (5x4 – 160x)′ = 20x3 – 160, f′′(x) = 0, 20(x3 – 8) = 0, x = 2.

–

+ 2

При переходе через х = 2 f′′(x) меняет знак, значит, х = 2 – точка перегиба; 3) f′′(x) = (12x3 – 24x2 + 12x)′′ = (36x2 – 48x + 12)′ = 72x – 48 f′′(x) = 0, 24(3x – 2) = 0, x = –

2 , 3

+ x

2 3

2 знак f′′(x) меняется, значит, это точка перегиба 3 1   4) f ' ' ( x ) =  sin x − sin 2 x ' ' = (cos x − cos 2 x )' = 2   = − sin x + 2 sin 2 x = 2 sin 2 x − sin x , -π < x < π, f′′(x) = 0,

при переходе через x =

sin x(4cos x – 1) = 0, sin x = 0 x = πn, n ∈ Z, πn ∉ (-π; π),

1 1 , x = ± arccos + 2πn , 4 4 1 x = ± arccos — являются точками перегиба. 4

cos x =

Упражнения к главе IX. № 956 1) y′ = (2x3 + 3x2 – 2)′ = 6x2 + 6x, y′ > 0, 6x(x + 1) > 0,

– -1

+ 0

при x < -1, x > 0 – возрастает; y' < 0 при -1 < x < 0 – убывает;

2 3  x − x 2 − 4 x + 5 ' = 2 x 2 − 2 x − 4 , 3 

2) y ' = 

y′ > 0, 2x2 – 2x – 4 > 0, x2 – x – 2 > 0, D = 1 + 8 = 9, 79

www.5balls.ru

x1 =

1+ 3 1− 3 = 2 , x2 = = −1 , 2 2 – + + -1

при x < -1 x > 2 функция возрастает; y′ < 0 x2 – x – 2 < 0, при –1 < x < 2 – убывает;

3 3  − 1' = − 2 ; х ≠ 0 x x  

3) y ' = 

y′ < 0 при всех х, но х ≠ 0 ⇒ значит, функция убывает при x < 0 и x > 0;

−2  2  ; ' = 2 x − 3 ( x − 3)  

4) y ' = 

x ≠ 3,

y′ < 0 при x < 3 и x > 3 и убывает на этих промежутках.

№ 957 1) y′ = (x4 – 4x3 – 8x2 + 1)′ = 4x3 – 12x2 – 16x, y′ = 0, 4x(x2 – 3x – 4) = 0;

x = 0 3+5 3−5 = 4 , x2 = = −1 ,  x 2 − 3 x − 4 = 0 , D = 9 + 16 = 25, x1 = 2 2  x1 = 4, x2 = -1, x3 = 0; 2) y′(4x4 – 2x2 + 3)′ = 16x3 – 4x, y′ = 0, 4x(4x2 – 1) = 0,

x = 0 1 4 x 2 − 1 = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = , 2   x 12  1 12 + ' = − ;  3 x  3 x2

3) y ' = 

x3 = −

1 . 2

x ≠ 0, y′ = 0,

x 2 − 36 3x 2

=0,

x2 – 36 = 0, x = ±6; 4) y′ = (cos2x + 2cos x)′ = -2sin2x – 2sin x, y′ = 0, -2sin x (2cos x + 1) = 0,

 x = πn, n ∈ Z sin x = 0  . ± 2π 1 ⇒  + 2πn, n ∈ Z x = cos x = − 3 2  

№ 958 1) y′ = (x3 – 4x2)′ = 3x2 – 8x, y′ = 0, x(3x – 8) = 0, x1 = 0; x2 = –

+ 0

8 , 3

8 3

x = 0 – точка max., x =

8 - точка min.; 3

2) y′ = (3x4 – 4x3) = 12x3 – 12x2, y′ = 0, 12x2(x – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, 80

www.5balls.ru

x = 0 – стационарная точка, х = 1 – точка min.

–

– 0

№ 959 

1) y ' =  x 5 −



5 2  x + 3 ' = 5 x 4 − 5 x , y′ = 0, 5x(x3 – 1) = 0, x1 = 0; x2 = 1, 2 

x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 + 3 = 3, x = 1 – точка min.,

f (1) = 1 −

5 3 +3= ; 2 2 –

x 1 1  2) y ' =  x 5 − 4 x 2 − 3 ' = x 4 − 8 x , y′ = 0, x(x3 – 8) = 0, x1 = 0, x2 = 2, 5   0

x = 0 – точка max., f(0) = 0 – 0 – 3 = -3, x = 2 – точка min.,

f (2 ) =

32 63 − 16 − 3 = − . 5 5 + – +

№ 960 1) y =

x3 + 3x 2 . 3

Область определения – R, y′ = x2 + 6x, y′ = 0, x(x + 6) = 0, x1 = 0; x2 = -6 – стационарные точки x

x<-6

-6

-6<x<0

x>0

y′

0 max

min

www.5balls.ru

2) y = −

x4 + x2 . 4

Область определения – R, x(2 – x2) = 0, x1 = 0; x2 = ± 2

y′ = -x3 + 2x, y′ = 0,

(− ∞;− 2 ) +

y′

− 2 0

(−

2 ;0

)

(0; 2 )

x> 2

2 0

max

min

max

№ 961 1) у = 3х2 – 6х + 5 на [0; 3]. Область определения [0; 3], y′ = 6x – 6, y′ = 0, 6(x – 1) = 0, x = 1

–

1 x

y′ y

(0; 1)

(1; 3)

www.5balls.ru

2) y =

1 4 2 3 3 2 x − x − x + 2 на [-2; 4]. 4 3 2

Область определния [-2; 4], y′ = x3 – 2x2 – 3x, y′ = 0, x(x2 – 2x – 3) = 0,

x = 0  x2 − 2 x − 3 = 0 ,  D = 1 + 3 = 4, x1 = 3; x2 = -1; x3 = 0. x -2 (-2;-1) -1 0 y′ y 16 17

(-1;0) +

0 0 2

12 min

max

(0;3) -

3 0

−

(3;4) +

37 4

−

2 3

min

№ 962

1) f(x) = x3 – 6x2 + 9 на [-2; 2], f(-2) = -8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -23, f(2) = 8 – 6 ⋅ 4 + 9 = -7, f′(x) = 3x2 – 12x, f′(x) = 0, 3x(x – 4) = 0 x1 = 0; x2 = 4, 0 ∈ [-2; 2]; 4 ∉ [-2; 2], f(0) = 9, max f (x ) = f (0 ) = 9 , min f (x ) = f (−2 ) = −23 ;

[− 2;2]

2) f(x) = x + 6x + 9x [-4; 0], f(-4) = -64 + 6 ⋅ 16 + 9 ⋅ (-4) = -4, f(0) = 0, f′(x) = 3x2 + 12x + 9 f′(x) = 0, 3(x2 + 4x + 3) = 0, D/4 = 4 – 3 = 1, x1 = -3; x2 = -1, -3 ∈ [-4; 0]; -1 ∈ [-4; 0], f(-1) = -1 + 6 – 9 = -4, f(-3) = -27 + 6 ⋅ 9 – 9 ⋅ 3 = 0, min f (x ) = f (− 4 ) = f (− 1) = −4 , max f (x ) = f (− 3) = f (0 ) = 0 ; 3

[− 4;0]

3) f(x) = x4 – 2x2 + 3 [-4; 3], f(-4) = 256 – 2 ⋅ 16 + 3 = 227, f(3) = 81 – 9 + 3 = 75, f′(x) = 4x3 – 4x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 1) = 0, 83

www.5balls.ru

x1 = 0; x2,3 = ±1, -1 ∈ [-4; 3]; 1 ∈ [-4; 3]; 0 ∈ [-4; 3], f(-1) = f(1) = 1 – 2 + 3 = 2, f(0) = 0 + 0 + 3 = 3, min f (x ) = f (−1) = f (1) = 2 , max f (x ) = f (− 4 ) = 227 ;

[− 4;3]

4) f(x) = x – 8x + 5 [-3; 2], f(-3) = 81 – 8 ⋅ 9 + 5 = 14, f(2) = 16 – 8 ⋅ 4 + 5 = -11, f′(x) = 4x3 – 16x, f′(x) = 0, 4x(x2 – 4) = 0, x1 = 0; x2,3 = ±2, 0 ∈ [-3; 2]; 2 ∈ [-3; 2]; -2 ∈ [-3; 2], f(0) = 0 + 0 + 5 = 5, f(-2) = f(2) = -11, min f (x ) = f (−2 ) = f (2 ) = −11 , max f (x ) = f (− 3) = 14 . 4

[−3;2]

№ 963 Пусть сторона прямоугольника равна х, тогда другая сторона равна p   − x . 2  2

p  Тогда диагональ вычислим как: l = f (x ) = x 2 +  − x  . 2  Исследуем эту функцию на min ′ ′     p2 p2     2 2 2 − px  = f ′( x) =  x + − px + x  =  2 x + 4 4         =

1 ⋅ (4 x − p)

4x − p

= 0 , 4х – p = 0, p p2 2 2 2x + − px − px 2 2x + 4 4 p p p p p x= , вторая сторона − x = − = – значит, это квадрат со сто2 2 4 4 4 роной р/4, ч.т.д. 2

, f ′(х) = 0,

№ 964

Пусть х – одна из равных сторон, значит другая тоже х и основание (р–2х), тогда высота равна: 2

p2 p  h = x2 −  − x  = x2 − + px − x 2 = 4 2  тогда площадь вычислим как:

− p 2 + 4 px , 2

− p 2 + 4 px ( p − 2 x) − p 2 + 4 px 1 = , S ( x) ⋅ ⋅ ( p − 2 x) ⋅ 2 2 4   1 ( p − 2 x) ⋅ 4 p  S ′( x) =  − 2 − p 2 + 4 px + = 4 2 4 px − p 2  

www.5balls.ru

1 8 4 px − p 2

S ′(х) = 0,

(+ 4 p

)

− 16 px + 4 p 2 − 8 xp =

4 p ( p − 3 x) 2 4 px − p

=0, х=

4 p 2 − 12 xp 4 4 px − p 2

p p , х= – точка max., 3 3

2p p = . 3 3 Это равносторонний треугольник.

основание p − 2 x = p −

№ 965

Пусть сторона квадрата равна х и высота h, тогда площадь поверхности

равна: р = 2 (х2 + хh + хh) = 600, х2 + 2хh = 300, h =

300 − x 2 . 2x

Найдем объем: V = f (x) = x ⋅ x ⋅ h = x2 ⋅

x3 300 − x 2 = 150х – . 2x 2

Найдем максимум функции V = f(x): f ′(х) = 150 –

3 2 x , 2

3 2 x = 150, x2 = 100, x = ±10, но x > 0 (по условию), 2 300 − 100 h= = 10 , значит это куб. 20

f ′(х) = 0,

№ 966

′ 7 9  y′ =  x5 − x3 + 7 x + 12,5  = 9 x 4 − 7 x 2 + 7 , 3 5  у′ = 0, 9х4 – 7х2 + 7 = 0; D = 49 – 252 < 0, значит 9х4 – 7х2 + 7 > 0 и у′ > 0 при всех х ∈ R, следовательно функция возрастает на всей области определения, ч.т.д.

№ 967 у′ = (х + 2х x )′ = 1 + 3 x , 1 + 3 x > 0, т.к. x > 0, следовательно у′ > 0 при любых х ∈ R, и значит, функция возрастает на всей области определения, ч.т.д.

№ 968 1) у′ = (х lnx) = lnx + 1, у′ = 0, lnx + 1 = 0, lnx = –1, lnx = lnе–1, 1 х = – точка min; e 2) у′ = (хех)′ = ех + хех = ех (1 + х), у′ = 0, ех (1 + х) = 0, х = –1, х = –1 – точка min. 85

www.5balls.ru

–

+ x

–1

′ ′ ′ 9   75 − 25 x − 63 + 9 x   12 − 16 x   25  =  − 3) y′ =    =   =  7 − x 3 − x   (7 − x)(3 − x)   x 2 − 10 x + 21 

= =

− 16( x 2 − 10 x + 21) − (12 − 16 x)(2 x − 10)

)

− 10 x + 21

16 x 2 + 160 x − 336 − 24 x + 120 + 32 x 2 − 160 x

)

− 10 x + 21

(2 x 2 − 3 x − 27)

у′ = 0,

x 2 − 10 x + 21

= 0;

16 x 2 − 24 x − 216

)

− 10 x + 21

х2 – 10х + 21 ≠ 0 ⇒ (х – 3) (х –

7) = 0 ⇒ х ≠ 3, х ≠ 7, 2х2 – 3х – 27 = 0, D = 9 + 216 = 225,

x1 =

3 − 15 3 + 15 9 = , x2 = = −3 , 4 4 2

x = −3 точка max., x =

– –3

9 точка min. 2

9 2

№ 969 рис 148 а) 1) возрастает х ∈ (х3, х5) U (х7, х8); убывает х ∈ (х1, х3) U (х5, х7); 2) хmax = х1, х5; хmin = х3, х7; 3) х2, х4, х6, х8; рис 148 б) 1) возрастает х ∈ (–10, –8) U (–4, –2) U (0, 4) U (6, 7); убывает х ∈ (–8, –4) U (–2, 0) U (4, 6); 2) хmax = –8; –2; 4; хmin = –4; 0; 6; 3) –10; –6; –3; –1; 2; 5; 7.

№ 970 1) y =

2 x −4 2

а) Область определения х ≠ ± 2 ′ 2x  2  б) у′ =  2 , у′ = 0,  = − 2 ( x − 4) 2  x −4 x y′

(–∞; –2) +

–2

∃

(–2; 0) +

0 0

www.5balls.ru

−

2x ( x 2 − 4) 2

(0; 2) –

∃

= 0;

x = 0;

(2; +∞) –

2) y =

1 2 max −

∃

x +4 а) Область определения R: −2 ⋅ 2 x −4 x = ; б) y ′( x) = 2 2 2 ( x + 4) ( x + 4) 2 −4 x в) у′(х) = 0, =0, х = 0; 2 ( x + 4) 2 2

x y′

(–∞; –0) +

0 0 1 2 max

(0; +∞) –

3) у = (х – 1)2 (х + 2) а) Область определения R: б) у′ = (х) = 2 (х – 1)(х + 2) + (х – 1)2 = (х – 1)(2х + 4 + х – 1) = = (х – 1)(3х + 3) = 3 (х – 1)(х + 1); в) у′ = 0, 3 ⋅ (х – 1)(х + 1) = 0, х1 = 1, х2 = –1. x y′ у

(–∞; –1) +

–1 0 4 max

(–1; 1) –

1 0 0 min

(1; +∞) +

www.5balls.ru

4) у = х(х – 1)3 а) Область определения: R б) у′ = (х – 1)3 + 3х (х – 1)2 = (х – 1)2 (х – 1 + 3х) = (х – 1)2 (4х – 1) 1 в) у′ = 0, (х – 1)2 ⋅ (4х – 1) = 0, х1 = 1 х2 = 4 1 1 1 (–∞; – ) ( ; 1) 1 x (1; +∞) 4 4 4 – 0 + 0 + y′ 27 − у 0 256 min

№ 971 х∈[0;

1) f(x) = 2sinx + sin2x;

3π ]; 2

3π ]; б) f ′(х) = 2cosx + 2cos2x; 2 2cosx+2cos2x=0; 4cos2x+2cosx–2 = 0, 2cos2x + cosx – 1 =

а) Область определения [0; в) f ′(х)=0, 0; D = 1 + 8 = 9; cosx

−1 + 3 1 π = , x = ± + 2πn , n ∈ Z; 3 4 2

−1 − 3 = −1 , х = π + 2nπ, n ∈ Z, 4 3π  3π  f(0) = 2sin0 + sin0 = 0, f   = 2sin + sin3π = –2 + 0 = –2, 2  2  cosx

π 2π 3 3 3 π f   = 2sin + sin = 3+ = , 3 3 3 2 2   f (π) = 2sinπ + sin2π = 0 + 0 = 0,

www.5balls.ru

 3π  min ( f (x )) = f   = −2;  2 

π 3 3 ; max ( f (x )) = f   = 2 3

 3π  0 ; 2   

 3π  0; 2   

2) f(x) = 2cosx + sin2x; х∈[0; π]; а) f ′(х) = –2sinx + 2cos2x, f ′(х) = 0, –2sinx + 2(1 – 2sin2x) = 0, 2sin2x + sinx –1 = 0, D = 1 + 8 = 9,

−1+ 3 1 π 5π  n π sin x = 4 = 2 x = (− 1) 6 + πn , n ∈ Z ; 6 ∈ [0; π], 6 ∈ [0; π]  sin x = − 1 − 3 = −1 x = − π + 2πn , n ∈ Z ; − π ∉ [0; π] 4 2 2  б) f (0) = 2cos0 + sin0 = 2 + 0 = 2, f (π) = 2cosπ + sinπ = –2 + 0 = –2, π π 3 3 3 π f   = 2cos + sin = 3 + = , 6 3 2 2 6 5π 3 3 3  5π   5π  f   = 2cos  + sin , =− 3− =− 6 6 3 2 2    

3 3  5π  min ( f (x )) = f   = − ; [0; π] 2  6 

π 3 3 . max ( f (x )) = f   = [0; π] 2 6

№ 972 1) v(t) = s′(t) = (6t2 – t3)′ = 12t – 3t2 2) найдем наибольшее значение v(t) v′(t) = 12 – 6t ; v′(t) = 0, 12 – 6t = 0, t = 2, t = 2 – точка max., v(2) = 24 – 12 = 12.

№ 973

Пусть ВС = х, АС = l – x, тогда АВ =

(l − x ) 2 − x 2 =

l 2 − 2 xl ,

1 x ⋅ l 2 − 2 xl . 2 Найдем наибольшее значение SABC. 1 1 ⋅ (−2l ) x  l 2 − 2 xl − lx l 2 − 3lx = = S ′( x) =  l 2 − 2 xl +   2 2 l 2 − 2 xl  2 l 2 − 2 xl 2 l 2 − 2 xl  S ABC =

, S′(х) = 0,

АС = l –

l 2 − 3lx 2 l − 2 xl 2

= 0,

l 2l = , АВ = 3 3

х=

l l , х = – точка max., 3 3

4l 2 l 2 3l − = . 9 9 3

www.5balls.ru

№ 974 Пусть АС = х, тогда СВ = 40 – х. Тогда площадь найдем по формуле: 1 1 x2 AC ⋅ CB = x(40 − x ) = 20 x − 2 2 2 Исследуем S(х) на max. S′(х)=20–x; S′ = 0, 20–x=0, x=20, x=20 – точка max. АС = 20, СВ = 40 – 20 = 20. Это равнобедренный прямоугольный треугольник. S (x ) =

№ 975 Пусть АВ = х = СD и ВС = у = АD, тогда BD = x 2 + y 2 − 2 xycosα , и АС =

x 2 + y 2 − 2 xycos(π - α ) =

= x 2 + y 2 + 2 xycosα AC + BD = x 2 + y 2 − 2 xycosα + x 2 + y 2 + 2 xycosα = a a 2 = x 2 + y 2 − 2 xy cos α + x 2 + y 2 + 2 xy cos α − 2

)

+ y 2 − 4 x 2 y cos 2 α

a4 – 4(x2 + y2)a2 + 4(x2 + y2)2 = 4(x2 + y2)2 – 16x2y2cos2α, a4 – 4(x2 + y2)a2 + 16x2y2cos2α = 0, 4(x2 + y2) = a2 + 16

x 2 y 2 cos 2 α

Величина 2(x2 + y2) зависит от параметра α.

min 4(x2 + y2) = a2 при cos2α = 0 α = 90°. Тогда 2(x2 + y2) =

a2 . 2

№ 976 Пусть АВ = х, тогда АD = 2 R 2 − x 2 , S = AD ⋅ AB = 2 x R 2 − x 2 = 2 x R 2 x 2 − x 4 . Исследуем S на max при x∈[0; R]. S′ =

(

2 2R 2 x − 4x 3

);

S′ = 0,

x = 0 – точка min., x =

=0,

R2x2 − x4

2 R2x2 − x4 2x(R2 – 2x2) = 0;

2R 2 x − 4 x 3

x = 0 x = 0 R  2 ⇒  R , − ∉[0; R], R 2 x = x = ± 2 2 2   R

– точка max.,

2 AD = 2 R 2 −

R2 R R = 2⋅ = 2R , S = ⋅ 2R = R 2 . 2 2 2

www.5balls.ru

№ 977 1 h ⋅ S′осн.; h = 12 – постоянная, поэтому объем за3 висит только от площади основания. Найдем ее max. Объем пирамиды V =

Пусть один катет основания х, тогда другой 16 − x 2 . Тогда площадь 1 1 х ∈ [0; 4] S (x ) = x ⋅ 16 − x 2 = 16 x 2 − x 4 ; 2 2 S ′(x ) =

(

1 32 x − 4 x 3

4 16 x 2 − x 4

8 x − x3 16 x − x − 2 2 ∉ [0; 4], 2

=0,

8x − x 3

;

S′ (х) = 0,

16 x 2 − x 4 x(8 – x2) = 0,

x = 0,

( )

x = 0 – точка min., x = 2 2 – точка max., S 2 2 = V=

±2 2 ,

1 8 16 ⋅ 8 − 64 = = 4 , 2 2

1 ⋅ 12 ⋅ 4 = 16. 3

№ 978

Пусть радиус окружности в основании цилиндра r = х, тогда высота R  h =  − 2 x  . Объем равен V = h ⋅ Sосн. = h ⋅ πr2. х ∈[0; p], 2   pπx 2 − 4πx3 p  V (x ) =  − 2 x  ⋅ π ⋅ x 2 = . 2 2  1 Исследуем V(х) на max. V′(х) = (2рπх – 12πх2) = рπх – 6πх2 2 хπ(р – 6х) = 0,

V′(х) = 0,

x = 0 – точка min., x =  p V  = 6

pπ ⋅

p  xπ = 0  p − 6 x = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = 6

p – точка max., 6

p2 p3 − 4⋅π 3 36 216 = π 6 p3 − 4 p 3 = πp . 2 2 ⋅ 216 216

(

)

№ 979 AD 5 AD AB = ; = = k , AD = 5k, AB = 2k, AB 2 5 2 S пов = AD ⋅ AB + 2 S AA1B1B + 2 S AA1D1D = = 10k2 + 2AA1(5k + 2k) = 2S, AA1 =

2 S − 10k 2 , 14k 91

www.5balls.ru

(

)

2S − 10k 2 5 = 2Sk − 10k 3 . 14k 7 5 Исследуем V на max., V′ = (2S – 30k2); 7 V = 10k 2 ⋅

5 (2S – 30k2) = 0, 7

V′ = 0,

S S S 5⋅ S , k= – точка max, k= ; AD = = 15 15 15 15

k=±

S 5 . S , AB=2⋅ 3 15

№ 980 y=

x 2 − 3x + 2

x 2 + 3x + 2 а) Область определения: х2 + 3х + 2 ≠ 0; −3 + 1 −3 − 1 x≠ = −1 , x≠ = −2 ; 2 2 б) y′ = =

D = 9 – 8 = 1,

(2 x − 3)(x2 + 3x + 2)− (x2 − 3x + 2)(2 x + 3) =

+ 3x + 2

)

2 x3 + 6 x 2 + 4 x − 3 x 2 − 9 x − 6 − 2 x3 + 6 x 2 − 4 x − 3x 2 + 9 x − 6

(x + 3x + 2) 6(x − 2 ) 12 x − 6 x − 12 = =+ , (x + 3x + 2) (x + 3x + 2) 6(x − 2 ) y′ = 0, = 0 , х – 2 = 0, (x + 3x + 2) 2

х=± 2 ,

(–∞; –2)

–2

y′

∃

(–2; – 2)

– 2

(– 2 ; –1)

–1

–

∃

(–1; 2) –

∃

max

(

)

1) y = x 2 − 1 x + 1 ; а) Область определения х > 1. б) y′ = 2 x x + 1 + в) y′ = 0,

(x − 1) = 4x 2

2 x +1

5x2 + 4 x − 1 2 x +1

=0,

+ 4 x + x2 − 1 2 x +1

5x2 + 4 x − 1 2 x +1

5х2 + 4х – 1 = 0,

www.5balls.ru

( 2; +∞)

min

x = – 2 – точка min., x = 2 – точка max.

№ 981

;

−2 + 3 1 = , 5 5 1 1 (–1; ) 5 5 – 0

х=

х1 =

D/4 = 4 + 5 = 9; x

–1

y′

∃

(

−2 − 3 = −1 5

1 ; +∞) 5 +

24 30 125 min

2) y =| x | ⋅3 1 + 3 x ; х= −

а) D (у) =R; б) у = 0 при х = 0, в) y ′ = (| x |)′ 3 1 + 3 x +

| x | ⋅3 3 (1 + 3 x )2

1 ; 3

y′ = 3 1 + 3 x +

х>0

1 + 4x

y′ = 0, 3

(1 + 3x )

x= −

=0,

(1 + 3x )

y′ = 0,

1 + 4x

– 3

(–∞; −

y′

1 4 0 1

−

(1 + 3x )2

1 + 4x

=− 3

(1 + 3x )2

x= − (−

1 , но х > 0. Не подходит. 4

(1 + 3x )

1 ) 4

(− x )

y′ = − 3 1 + 3 x +

х<0

1 + 4x

1 ; 0) 4 –

4 4 max

1 – точка max. 4 0

(0; +∞)

∃

0 min

www.5balls.ru

3) y = х2е–х а) Область определения: R б) у′ = 2хе–х – х2е–х = е–х (2х – х2) в) у′ = 0, е–х (2х – х2) = 0, х = 0; x 0 (0; 2) (–∞; 0) – 0 + y′ 0 min

4) y = х3е–х а) D(y) =R б) у′ = 3х2е–х – х3е–х = е–х (3х2 – х3) в) у′ = 0, е–х ⋅ х2(3 – х) = 0, х = 0, x 0 (0; 3) (–∞; 0) + 0 + y′ у

2 0 4

Запишем II закон Ньютона для груза:

F cos α = k (mg − F ⋅ sin α ) mg ; cos α + k sin α

www.5balls.ru

(2; +∞) –

e2 max

х=3 3 0 27 e3 max

№ 982

F (α ) =

х=2

(3; +∞) –

Найдем min F(α): F ′(α ) =

− mg

(cos α + k sin α )2

⋅ (− sin α + k cos α )

F ′(α ) = 0, − sin α + k cos α = 0, k cos α = sin α, tgα = k , α = arctgk Ответ: α = arctgk .

www.5balls.ru

X глава. § 54 Первообразная № 983 1) F′(х) =

6x5 = х5 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R; 6

2) F′(х) =

5x 4 + 0 = х4 = f(х) ⇒ F(х) является первообр. f(х) на R. 5

№ 984 1) F′(х) =

2 ⋅ (−1) 2

=−

= f (x ) ; 2) F′(х) = 0 +

2 2

x x F(х) является первообр. f(х) при х > 0.

2 x

= f (x ) ;

2 x

№ 985

′  x5  x5 4   - первообр. х , т.к. 1) = x 4 , значит, все первообразные имеют  5  5  

вид F(х) =

x5 + C; 5

2) F(х) =

4x 3 x4 – первообр., т.к. F′(х) = = х3 = f(х). 4 4

Общий вид: F(х) = 3) F(х) = −

x4 + С. 4

x −2 − 2 x −3 – первообр., т.к. F′(х) = = х–3 = f(х). −2 2

Общий вид: F(х) = −

x −2 + С. 2 1

4) F(х) = 2 ⋅ x 2 – первообр., т.к. F′(х) = 2 ⋅

− 1 −2 x = x 2 = f(х). 2

Общий вид: F(х) = 2 ⋅ x 2 + С.

№ 986 1) Все первообр. функции f(х) = х находятся по формуле: x2 + С, т.к. F′(х) = f(х). 2 Найдем число С, подставив точку (–1; 3):

F(х) =

www.5balls.ru

1 + С, 2

С=

x2 5 5 + ; , F(х) = 2 2 2 3

2) Для функции f(х) = x первообр. имеют вид: F(х) =

2 2 x + С. 3

Чтобы найти С, подставим точку (9, 10): 10 =

2 ⋅ 27 + С, 3

С = –8, F(х) =

2 2 x – 8. 3

№ 987

′ x x  1 3  3  = 3 ⋅ 3 e = e = f (x ) – сущ. при х ∈ R;  2) F′(х) = (sin 2 x )′ = 2 cos 2 x = f (x ) – сущ. при х ∈ R.

 x  1) F′(х) =  3e 3  

№ 988

1) f(х) = 2х5 – 3х2. По таблице интегрирования: F(х) =

2 ⋅ x 6 3 ⋅ x3 x6 − = − x3 . 6 3 3

2) f(х) = 5х4 + 2х3, тогда F(х) = 3) f(х) = 4) f(х) =

5 ⋅ x5 2 ⋅ x 4 x4 + = x5 + . 5 4 2

2 3 3 ⋅ x −1 3 + , тогда F(х) = 2 ln x + = 2 ln x − . x x2 x −1 2 x3

−

2 ⋅ x −2 1 3 , тогда F(х) = − 3 ln x = − 2 − 3 ln x . x −2 x

5) f(х) = 6х2 – 4х + 3, тогда F(х) =

6) f(х) = 43 x − 6 x , тогда F(х) =

6 x3 4 x 2 3 x − + = 2х3 – 2х2 + 3х. 3 2 1 4 4⋅ x3

4 3

−

3 6⋅ x2

3 2

= 3x3 x − 4 x x .

№ 989

1) f(х) = 3cos х – 4sin х, тогда F(х) = 3sin х – 4(–cos х) = 3sin х + 4cos х. 2) f(х) = 5sin х + 2cos х, тогда F(х) = 5 ⋅ (–cos х) + 2 ⋅ sin х = 2sin х – 5cos х. 3) f(х) = ех – 2cos x, тогда F(х) = ех – 2sin x. 4) f(х) = 3ех – sin x, тогда F(х) = 3ех – 1 ⋅ (–cos x) = 3ех + cos x. 5) f(х) = 5–е–x +3cos x, тогда F(х) = 5x – (–1) е–x + 3sin x = 5x + е–x + 3sin x 6) f(х) = 1 + 3еx – 4cos x, тогда F(х) = x + 3еx – 4sin x. 2 7) f(х) = 63 x − + 3e x , тогда x 97

www.5balls.ru

6⋅ x3 9 F(х) = − 2 ln x + 3e x = x3 x − 2 ln x + 3e3 , x > 0. 4 2 3 4 3 8) f(х) = + − 2e− x , тогда x x

F(х) =

1 4x 2

1 2

+ 3 ln x − 2 ⋅ (− 1) ⋅ e − x = 8 x + 3 ln x + 2e − x , x > 0.

№ 990 1) f(х) = (х + 1)4, тогда F(х) = 2) f(х) = (х – 2)3, тогда

(x + 1)5 . 5

(x − 2)4 F(х) = 4

. 1

3) f(х) =

2(x − 2 )2 = 4 x−2 , , тогда F(х) = 1 x−2 2 2

х > 2.

3 ⋅ ( x + 3) 3 9 3 = 4) f(х) = , тогда F(х) = (x + 3)2 . 3 2 2 x+3 3 1 5) f(х) = + 4 cos (x + 2 ) , тогда F(х) = ln (x – 1) + 4sin (x + 2), x −1 3

> 1. 3 − 2 sin (x − 1) , тогда x−3 F(х) = 3ln (x – 3) – 2(–cos (x – 1)) = 3ln (x – 3) + 2cos (x – 1), x > 3.

6) f(х) =

№ 991

1 (− cos(2 x + 3)) + C = − cos (2 x + 3) + C . 2 2 1 2) f(х) = cos (3х + 4), тогда F(х) = + sin (3x + 4 ) + C . 3 x x 3) f(х) = cos ( – 1), тогда F(х) = 2sin ( – 1) + C. 2 2 x x 4) f(х) = sin ( + 5), тогда F(х) = –4 cos ( + 5) + C. 4 4 1) f(х) = sin (2х + 3), тогда F(х) =

5) f(х) = e

x +1 2

, тогда F(х) = 2 e

x +1 2

+ C.

www.5balls.ru

6) f(х) = e3x – 5, тогда F(х) =

1 3x – 5 e + C. 3

1 1 , тогда F(х) = ln x + C. 2x 2 1 1 , тогда F(х) = ln (3x – 1) + C. 8) f(х) = 3x − 1 3 7) f(х) =

№ 992 2x 2 + 3x + C; 2 2 б) 2 = 1 + 3 + С, С = –2, значит F(х) = х + 3х – 2;

1) f(х) = 2х + 3,

М (1; 2); а) F(х) =

2) f(х) = 4х – 1,

М (–1; 3); а) F(х) = 4 ⋅

x2 – x + C = 2х2 – х + С 2

б) 3 = 2 + 1 + С, С = 0, значит F(х) = 2х2 – х π 1 3) f(х) = sin 2x, М ( ; 5); а) F(х) = – cos 2x + C 2 2 1 1 9 9 1 б) 5 = – ⋅ cos π + С = + С, С = , значит F(х) = – cos 2x 2 2 2 2 2 1 4) f(х) = cos 3x, М (0; 0); а) F(х) = sin 3x + C 3 1 1 б) 0 = sin 0 + С = 0 + С, С = 0, значит F(х) = sin 3x. 3 3

№ 993 1) f(x) = e2x – cos 3x, тогда F(х) = x

1 2х 1 е – sin 3x; 2 3 x

2) f(x) = e 4 + sin 2x, тогда F(х) = 4 e 4 –

1 cos 2x; 2

3) f(x) = 2sin

2x+ x x 5 2x+ − 5e 3 , тогда F(х) = − 10 cos − e 3 ; 5 5 2

4) f(x) = 3 cos

3x− x x 2 3x− + 2e 2 , тогда F(х) = 21sin + e 2 ; 7 7 3

5) f(x) =

x + 4 sin (4 x + 2) , тогда 5 3

F(х) =

x2 3 5⋅ 2

4 2x x − cos(4 x + 2 ) = − cos(4 x + 2 ) ; 4 3 5

www.5balls.ru

6) f(x) =

3x + 1

−

3 , тогда 2x − 5

4 ⋅ (3x + 1)2 3 ⋅ ln (2 x − 5) 8 3 3x + 1 − ln (2 x − 5) . F(х) = − = 1 2 3 2 ⋅3 2

№ 994 1) f(x) =

2 x 4 − 4 x3 + x , тогда 3

1  2 x5 4 x 4 x 2  − + = F(х) =  3  5 4 2  2) f(x) =

1  2 5 x 2  x − x4 + ;  3 5 2 

6 x 3 − 3x + 2 , тогда 5

 1 3 1  6 x 4 3x 2 3  − + 2 x  =  x4 − x2 + 2 x  ; F(х) =    5 2 5 4 2 2   2 2 3) f(x) = x – 3 + 2x – 6x = 2x – 5x – 3, тогда 2 x3 5 x 2 2 5 − − 3x = x3 − x 2 − 3 x ; 3 2 3 2 4) f(x) = 4x + 6x2 – 6 – 9x = 6x2 – 5x – 6, тогда F(х) =

F(х) =

6 x3 5 x 2 5 − − 6 x = 2 x3 − x 2 − 6 x . 3 2 2

№ 995 5

2x 2 x 2 4 2 2 + = x x+ x x . 1) f(x) = 2 x x + x , тогда F(х) = 5 3 5 3 2 2 2) f(x) = 3x3 x − 23 x , тогда F(х) =

7 3x 3

7 3

−

9 23 3 x x − x3 x . 7 2

x 3 4x 3 3 3 2 3 + = x x + 6 x2 ; , тогда F(х) = 5 2 5 x 3 3

4) f(x) = x −

4 3

3) f(x) = x 2 +

4 2x 3

x 2 3x 2 2 − = x x −6 x . , тогда F(х) = 3 1 3 x 2 2

100

www.5balls.ru

№ 996 1) f(x) =

1 1 sin 2x, тогда F(х) = – cos 2x; 2 4

2) f(x) = sin (x –3x) = –sin 2x, тогда F(х) =

1 cos 2x. 2

№ 997 у = f(x) = 2sin 5x + 3cos

x , 2

π F  = 0 3

2 x тогда F(х) = − cos 5 x + 6 sin + C 5 2 2 5π 2 1 1 1 14 π 0 = − cos , + 6 sin + C = − ⋅ + 6 ⋅ + C = − + 3 + C , C = − 5 5 3 6 5 2 2 5 2 x 14 . F(х) = − cos 5 x + 6 sin − 5 2 5

№ 998 3 , тогда F(х) = х + 3 ln (х – 3); x−3 x −1 1 2) f(x) = , х ≠ 1, х ≠ –2; тогда F(х) = ln (х + 2); = (x + 2)(x − 1) x + 2 2 x + sin 2 x 1 + cos 2 x 1 1 3) f(x) = cos 2 x = , тогда F(х) = (х + sin 2х) = ; 2 2 2 4 1 4) f(x) = sin 3x ⋅ cos 5x = (sin 8x – sin 2x), тогда 2 1 1 1  4 cos 2 x − cos 8 x . F(х) =  − cos 8 x + cos 2 x  = 2 8 2 16 

1) f(x) = 1 +

§ 56 Площадь криволинейной трапеции и интеграл № 999 1)

101

www.5balls.ru

3) 4)

№ 1000 1)

ABCD – искомая трапеция; S ABCD = ∫ f (x )dx = F (b ) − F (a ) a 4

S ABCD = ∫ x3dx = 2

x 4

= 2

(4)

−

(2)

= 64 − 4 = 60 (кв. ед.)

102

www.5balls.ru

S ABCD = ∫ x 2 dx = 3

x3 3

= 3

(

)

1 (4)3 − (3)3 = 1 (64 − 27 ) = 37 . 3 3 3 3) ABCD – искомая трапеция

S ABCD

(

)

x3 = ∫ x + 1 dx = +x 3 −2 1

1 −2

1 8 = +1+ + 2 = 6 3 3

4) ABCD – искомая трапеция

(

)

S ABCD = ∫ x3 + 1 dx = 0

16 x4 + x = +2 = 6; 4 4 0

ABCD – искомая трапеция 2π 3

2π

π 3

S ABCD = ∫ sin xdx = − cos x π3 = − cos

2π 1 1 π + cos = + + = 1 3 3 2 2

ABCD – искомая трапеция 0

S ABCD = ∫ cos xdx = sin x −

π 6

0 −

π 6

 π  1 1 = 0 − sin  −  = − −  = .  6  2 2

103

www.5balls.ru

№ 1001 1) у = 4 – х2

ABC – искомая трапеция а) 4 – х2 = 0, х = ± 2, a = –2, b = 2 б) S ABC

(

)

x3 = ∫ 4 − x dx = 4 x − 3 −2 2

2 −2

8 8 = 8− +8− = 3 3

16 32 2 = 16 − = = 10 ; 3 3 3 2) у = 1 – х2

ABC – искомая трапеция а) 1 – х2 = 0 х = ± 1 a = –1 1

(

)

б) S ABC = ∫ 1 − x 2 dx = x − −1

x3 3

b=1

1 −1

1 1 2 1 = 1− +1− = 2 − = 1 . 3 3 3 3

3) у = – х2 + 4x – 3

ABC – искомая трапеция х2 – 4x + 3 = 0 а) – х2 + 4x – 3 = 0 x1 = 3x2 = 1 a=1 b=3 104

www.5balls.ru

D/4 = 4 – 3 = 1

(

)

б) S ABC = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − 1

x3 4 x 2 + − 3x = −9 + 18 − 9 + 3 2 1

1 1 + −2+3 =1 3 3

№ 1002 1) f(x) = 3 x , a = 1,

b=8

ABCD – искомая трапеция 3x3 x = ∫ x dx = 4 1 8

S ABCD

2) f(x) = x

a=4

3 (16 − 1) = 45 = 11 1 4 4 4

b=9

ABCD – искомая трапеция 9

S ABCD

2x x = ∫ x dx = 3 4

№ 1003 1) b = 2

= 4

2 (27 − 8) = 38 = 12 2 . 3 3 3

f(x) = 5x – x2, 2 ≤ х ≤ 5

105

www.5balls.ru

а) 5x – x2 = 0, x(5 – x) = 0, б) ABC – искомая трапеция

(

)

в) S ABC = ∫ 5 x − x 2 dx = 2

x = 0,

5 x 2 x3 − 2 3

= 2

125 16 60 27 1 = + − = = 13 6 6 6 2 2 2) b = 3 , f(x) = x2 + 2x а) x2 + 2x = 0, x = 0, б) OAB – искомая трапеция 3

(

)

в) S OAB = ∫ x 2 + 2 x dx = 0

x3 + x2 3

125 125 8 − − 10 + = 2 3 3

x = –2 3

= 9 + 9 = 18 . 0

3) b = 1, f(x) = ex – 1 а) ex – 1 = 0, ex = e0, x = 0 б) OAB – искомая трапеция

(

)

в) SOAB = ∫ e x − 1 dx = e x − x = e − 1 − 1 = e − 2 0

4) b = 2

x=5

1 f(x) = 1 – x

1 =0 x=0 x б) ABC – искомая трапеция а) 1 –

в) 2 2  1 S ABC = ∫ 1 − dx = x − ln x 1 = x  1 = 2 − ln 2 − 1 + 0 = 1 − ln 2

106

www.5balls.ru

§ 57 Вычисление интегралов № 1004 1

1) ∫ xdx = 0

x2 2

−1

3) ∫ 3 x 2dx = x3 3

5) ∫

dx = −

3 x3 1 1 − 0 = ; 2) ∫ x 2 dx = 2 2 3 0

1 x

=−

7) ∫ x dx =

1 9

8) ∫

2x x 3

= 1 9

dx = 2 x

−2

= 9−4 = 5 ;

2 1 1 1 1 1 + = ; 6) ∫ dx = − 3 3 2 6 2x 2 1 x

= 9−0 = 9 ; 0 3

= 8 + 1 = 9 ; 4) ∫ 2 xdx = x 2

2 1

1 1 3 =− + = ; 8 2 8

2 (8 − 1) = 14 = 4 2 ; 3 3 3

= 2(3 − 2 ) = 2 .

№ 1005 ln 2 ln 2 1 e = eln 2 − e0 = 2 − 1 = 1 ; dx = ln x 1 = ln e − ln 1 = 1 ; 2) ∫ e x dx = e x 0 1 x 0 e

1) ∫

2π

3) ∫ cos xdx = sin x − π = sin 2π − sin (− π ) = 0 − 0 = 0 ; 2π

−π π

4) ∫ sin xdx = − cos x − 2 π = − cos π + cos(− 2π ) = 1 + 1 = 2 ; π

−2π

5) ∫ sin 2 xdx = − −2π

1 1 = − (1 + 1) = −1 ; cos 2 x 2 2 −2π 0

0 1 1 6) ∫ cos 3xdx = + sin 3 x = (0 − 0 ) = 0 . 3 3 − 3π − 3π

№ 1006 2

−3 −1

−3

1) ∫ (2 x − 3)dx = x 2 − 3 x

−1

2) ∫ (5 − 4 x )dx = 5 x − 2 x 2 −2 2

(

)

−1 1

(

)

4) ∫ x 2 + 1 dx = −1

x3 +x 3

−2

3) ∫ 1 − 3x 2 dx = x − x3

= 4 − 6 − 9 − 9 = −20 ;

−1

= −5 − 2 + 10 + 8 = 11 ;

= 2 − 8 + 1 − 1 = −6 ;

= −1

1 1 2 +1+ +1 = 2 ; 3 3 3 107

www.5balls.ru

(

) (

5) ∫ 3x 2 − 4 x + 5 dx = x3 − 2 x 2 + 5 x

)

2 0

= 8 − 8 + 10 = 10 .

№ 1007    x 2 3x x    − 1) ∫ x − 3 x dx = 3   2 0   2   4

(

)

 x2  = − 2x x   2   

= 8 − 16 = −8 ; 0

9

9 3  2) ∫  2 x − dx = x 2 − 6 x = 81 − 18 − 1 + 6 = 68 ;   1 x 1

(

)

3 1 3x 1 = e 6 − 1 ; 4) ∫ 2e 2 x dx = e 2 x e 3 3 0 1 0 (Опечатка в ответе задачника).

3) ∫ e 3 x dx =

№ 1008

(

−2

)

= e6 − e2 .

(

)

1) ∫ x(x + 3)(2 x − 1)dx = ∫ x 2 + 3 x (2 x − 1)dx = ∫ 2 x3 + 5 x 2 − 3 x dx = =

1 4 5 x3 3x 2 x + − 2 3 2

(

−2

)

1 5 3 40 + − −8+ + 6 = −3 + 15 = 12 ; 2 3 2 3

= −2 0

(

)

2) ∫ (x + 1) x 2 − 2 dx = ∫ x3 + x 2 − 2 x − 2 dx = −1

−1

x 4 x3 0 + − x 2 − 2 x −1 = 4 3

1 1 1 11 = − + + 1 − 2 = −1 + =− ; 4 3 12 12 2

2 2 1 1  x3 1  3) ∫  x +  dx = ∫  x 2 + 2 + 2 dx = + 2 x − = x 3 x1 x     1 1 8 1 1 11 5 = + 4 − − − 2 +1 = + 3 = 4 ; 3 2 3 6 6 −1

−1  4 4  2 8   4 4  1 − dx = ∫  2 − 3 dx =  − + 2  = 4 + 4 − 2 − 1 = 5 . 2 x x x x      x x  −2 −2 −2 −1

4) ∫

№ 1009   3 2 3 2  2 3 2 dx = 5 x x − 2 x dx = ∫  5 x − 3   5 2 x x 1  3  3

2 5x − 2

1) ∫

2

3  3  =  3x x 2 − 3 x 2   

= 63 4 − 33 4 − 3 + 3 = 33 4 ; 1

108

www.5balls.ru

     

= 1

     dx = ∫  3 x − 1 dx = 3 x x − x   1   3 x  x  1   2   2

3  3x − 1 

2) ∫   1

= 2x x − 2 x

3

= 1

= 6 x −2 3 −2+2 = 4 3 ;

7 7

3) ∫

4 x+2

dx =

4⋅ x + 2 1 2

=8 x+2

7 2

= 24 − 16 = 8 .

№ 1010 3 3 ln(2 x − 1) dx = 2 1 2 x − 1 2

1) ∫

4 ln (3x + 2 ) 4 dx = 3 2 3 x + 0

1 1

2) ∫

3 ln 3 3 ln 3 ; −0 = 2 2 4 ln 5 4 ln 2 4 5 − = ln ; 3 3 3 2

π 2

π π 1   3) ∫ sin  2 x +  dx = − cos 2 x +  3 2 3    0 =−

π 2

π π π 1  1 π 1  cos π +  − cos  = −  − 2 cos  = cos = . 2  3 3 2 3 3 2

№ 1011 π

1 − cos 2 x 1 1 π π π dx = x − sin 2 x − π = − 0 + + 0 = π . 2 2 4 2 2 −π

1) ∫ sin 2 xdx = ∫ −π π 2

π 21

2) ∫ sin x cos xdx = ∫ 0 π 4

(

)

sin 2 xdx = −

1 1 1 1 cos2 x 02 = + = . 4 4 4 2

π 4

1 1 1 3) ∫ cos x − sin x dx = ∫ cos 2 xdx = sin 2 x 04 = − 0 = . 2 2 2 0 0 π

(

)

(

)

4. ∫ sin 4 x + cos 4 x dx = ∫ 1 − 2 sin 2 x cos 2 x dx = ∫ 1 − 0

π 4 − 1 + cos 4 x

=∫

3 sin 4x  3 cos 4x  = ∫ + dx = x + 4 4 4 16  0

0 π

= 0

1 sin 2 2 x = 2

3π 3π ; +0−0−0 = 4 4

109

www.5balls.ru

5) ∫ x2 x + 1dx = ∫ x5 + x4 dx =

(

)

(

2 5 4 5 4 3 2 5 4 x + x x + x 0= 3 + 3 3 3

4 x 4 − 4x + 5 1  x2  − 2 x + ln (x − 2) dx = ∫  x − 2 + dx = x−2 x−2 2 3 3 9 3 = 8 − 8 + ln 2 − + 6 − ln1 = ln 2 + . 2 2 4

6) ∫

4 3

)

3 2

= 3888

№ 1012 b

∫ (b − 4 x )dx = bx − 2 x

= −b 2 − b + 2;

b 1

= b 2 − 2b 2 − b + 2 =

− b 2 − b + 2 ≥ 6 − 5b

b – 4b + 4 ≤ 0 (b – 2)2 ≤ 0, это возможно только при b = 2. 2

§ 58 Вычисление площадей с помощью интегралов № 1013 1

(

)

(

x + 1 dx =

а) S = ∫ x 2 + 4 dx = −1 1

б) S = ∫ в) S =

0 4

)

1 1 2 x3 1 + 4 x −1 = + 4 + + 4 = 8 ; 3 3 3 3 2 2 2 1 x x + x 0 = +1 = 1 ; 3 3 3 4

∫ x dx = 2 ln x 1 = 2 ln 4 − 0 = 2 ln 4 .

№ 1014 1) АВС – искомая фигура, 0

S ABC = S ABO + SOBC = ∫ (x + 1)2 dx + ∫ (x − 1)dx = −1

x 0 x =  + x2 + x  + x −  3  −1 2   3

= 0

1 1 5 −1+1+1− = ; 3 2 6

110

www.5balls.ru

2) АВС – искомая фигура 1

−2

(

)

S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2)dx + ∫ 4 − x 2 dx = −

x3 3

= 1

x2 1 + 2 x −2 + 4 x − 2

8  1 5 16 11 37 1 1 + 2 − (2 − 4 ) + 8 − −  4 −  = + 2 + − = =6 . 2 3  3 2 3 3 6 6

3) ОАВ – искомая фигура 4х – х2 = 4 – х, х2 – 5х + 4 = 0, 1 1

(

х=

)

5 ± 25 − 16 2

х1 = 4, х2 =

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ 4 x − x 2 dx + ∫ (4 − x )dx = 1

= 2 x2 −

x3 x2 + 4x − 3 2 0

4) 3х2 = 1,5х + 4,5,

0 4

= 2− 1

1 1 1 + 16 − 8 − 4 + = 6 ; 3 2 6

2х2 – х – 3 = 0

3 1 ± 1 + 24 , x1 = , х2 = –1 4 2 АВО – искомая фигура x=

−1

0 −1 3 9 3x2 9  S ABO = S ABC + SCBO = ∫  x + dx + ∫ 3x 2dx = + x + 2 4 2 −3 −3  2 −1

111

www.5balls.ru

+ x3

0 −1

3 9 27 27 − − + + 1 = −6 + 9 + 1 = 4 4 2 4 4

№ 1015

1) x = (x − 2 )2 , х=1 ОАВ – искомая фигура 1

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ x dx + ∫ (x − 2)2 dx = =

(x − 2)3 2 x x + 3 3 0 1

2 1 +0+ =1 ; 3 3

2) ОАВ – искомая фигура; х3 = 2 х – х2 х1=0, х2 + х – 2 = 0, х2 = –2; х3 = 1 1

(

)

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ x3dx + ∫ 2 x − x 2 dx = =

1 8 1 25 11 + 4 − −1+ = 3 − = 4 3 3 12 12

112

www.5balls.ru

x4 4

+ x2 − 0

x3 3

= 1

№ 1016 1) АВO – искомая фигура; х2 + 3х = 0, х1 = 0; х2 = –3 0

(

)

S ABO = S ACO = ∫ − x 2 − 3 x dx = − −3

2) х2 – 4х + 3 = 0; 3

x3 3 x 2 − 3 2

= −9 + −3

х = 3,

D/4 = 4 – 3 = 1,

(

)

SCAB = SCDB = ∫ − x 2 + 4 x − 3 dx = − 1

27 = 4,5 2

х=1

x 3 + 2 x2 − 3x 1 = 3

1 1 = −9 + 18 − 9 + − 2 + 3 = 1 3 3

№ 1017 1) у = х2 + 1; у = 3 – х х2 + 1 = 3 – х,

х2 + х – 2 = 0,

−1 ± 1+ 8 , 2

х1 = 1,

х2 = –2 113

www.5balls.ru

ВСМ – искомая фигура S BCM = S ABCD − S ABMCD

(

)

x2 = ∫ (3 − x )dx − ∫ x + 1 dx = 3 x − 2 −2 −2 1

− −2

 x3  1 8 1 1 −  + x  = 3 − + 6 + 2 − −1− − 2 = 4  3  2 3 3 2   −2

2) у = (х + 2)2;у = х + 2 АВМ – искомая фигура

x 2 + 4 x + 4 = x + 2, x 2 + 3 x + 2 = 0 x1 = −2; x2 = −1 −1

−1

−2

S AMB = S ABC − S AMC = ∫ (x + 2 )dx − ∫ (x + 2 )2 dx = −1

x2 −1 + 2 x −2 − 2

 x3  1 1 8 1 7 1 −  + 2x2 + 4x  = − 2 − 2 + 4 + − 2 + 4 − + 8 − 8 = + 2 − =  3  2 3 3 2 3 6   −2

3) у = x ; у=х ОМА – искомая фигура

114

www.5balls.ru

x = x, x > 0 x 2 − x = 0, x1 = 0;

x2 = 1

SOMA = SOMAC − SOAC

1 2 x2 = ∫ x dx − ∫ xdx = x x − 0 3 2 0 0 1

= 0

2 1 1 − = 3 2 6

№ 1018 1) у = 6х2; у = (х – 3) (х – 4); у=0 6х2 = х2 – 7х + 12 6х2 = (х – 3) (х – 4), 5х2 + 7х – 12 = 0; D = 49 + 240 = 172 х1 = 1, х2 = –2,4 DАВ – искомая фигура 1

(

)

S AOB = S AOC + SCAB = ∫ 6 x 2dx + ∫ x 2 − 7 x + 12 dx = 2 x3 + 0

 x3 7 x 2  63 1 7 1 2 + − + 12 x  = 2 + 9 − + 36 − + − 12 = 35 − 28 − = 6  3  2 2 3 2 3 3  1

115

www.5balls.ru

2) у = 4 – х2, у = (х – 2)2, у = 0 а) 4 − x 2 = x 2 − 4 x + 4;

2 x 2 − 4 x = 0, x1 = 0, x2 = 2

б) 4 − x 2 = 0; x1 = −2, x2 = 2 АВMC – искомая фигура S ABMC = S ABO + SOBMC

(

)

x3 = ∫ 4 − x dx + ∫ (x − 2 ) dx = 4 x − 3 0 −2 0

+ −2

 x3  8 8 +  − 2 x2 + 4 x  = 0 + 8 − + − 8 + 8 − 0 = 8  3  3 3  0

№ 1019 1) Найдем уравнение прямой: общий вид: у = kx + b, подставим точки: π π  (0; 0); 0=k⋅0+b b = 0,  ; 1 ; 1 = k ⋅ , 2 2   k=

2 2 , y= x, π π SOAD = SOAB + S BAD

π 22

x2 = ∫ xdx + ∫ sin xdx = π π 0π 2

π π +1+ 0 = +1 4 4

116

www.5balls.ru

π 2 0

− cos x π = 2

2) OAB – искомая фигура π 4

π 2

π 4

SOAB = SOAD + S DAB = ∫ sin xdx + ∫ cos xdx = − cos x 04 + sin x π2 =

=−

2 2 +1+ − = 2− 2 2 2

№ 1020 1) у = 6х – х2; у = х + 4 6х – х2 = х + 4, х5 – 5х + 4 = 0, ВMD – искомая площадь 4

(

х1 = 4,

)

х2 = 1

S BMD = SCMF − SCBDF = ∫ 6 x − x 2 dx − ∫ (x + 4)dx = 1 4

(

)

(

)

= ∫ 6 x − x 2 − x − 4 dx = ∫ − x 2 + 5 x − 4 dx = − 1

x3 5 x 2 4 + − 4x 1 = 3 2

64 1 5 63 1 1 = − + 40 − 16 + − + 4 = 28 − −2 = 4 3 3 2 3 2 2

2) у = 4 – х;

у=х+2 117

www.5balls.ru

4 – х2 = х + 2,

х2 + х – 2 = 0, 1

(

)

х1 = –2,

(

−2

х2 = 1

)

S ABC = S ABCD − S ACD = ∫ 4 − x2 dx − ∫ (x + 2)dx = ∫ − x2 − x + 2 dx = −2

1 1 8 1 1 x3 x 2 1 − + 2 x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 4 3 2 3 2 3 2 2

=−

№ 1021 1) у = 2 – х2 ; у = –х 2 – х2 = –х, х = 2, х = –1 х2 – х – 2 = 0, BCD – искомая фигура Перенесем ее на вектор (0; 2), тогда функции примут вид: у = 4 – х2 и у = 2 – х 2

(

)

S B1C1D1 = S BCD = S AB1C1D1 − S AB1D1 = ∫ 4 − x 2 dx − ∫ (2 − x )dx = −1

(

)

= ∫ − x 2 + x + 2 dx = − −1

= 8−3−

−1

8 1 1 x x 2 + + 2 x −1 = − + 2 + 4 − − + 2 = 3 2 3 3 2

1 1 =4 2 2

118

www.5balls.ru

0≤ x≤

2) у = 1; х = 0; у = sin х;

π 2

ABO – искомая фигура π 2

π 2

S ABO = SOABC − SOBC = ∫1dx − ∫ sin xdx = ∫ (1 − sin x )dx = x + cosx 02 = π π = + 0 − 0 −1 = −1 2 2

№ 1022 1) Найдем прямую у = kx + b (0; –3); –3 = k ⋅ 0 + b, b = –3; (1; 0); 0 = k – 3, k =–3, y = 3x – 3 –х2 + 4х – 3 = 3х – 3, х2 – х = 0, х1 = 0, х2 = 1 ABС – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1B1С1. 1

(

)

S A1B1C = S ABC = SOA1C1 − SOA1B1C = ∫ (− 3x + 3)dx − ∫ x 2 − 4 x + 3 dx =

(

)

x3 x 2 = ∫ − x + x dx = − + 3 2 0 1

=− 0

1 1 1 + +0 = 3 2 6 119

www.5balls.ru

2) у = –х2, у = –2, –х2 = –2, х2 = 2, х = ± 2 AОB – искомая фигура Рассмотрим симметричную ей фигуру A1ОB1. 2

− 2

S AOB = S A1OB1 = SOA1BD − SCA1OB1D = ∫ 2dx − ∫ x 2dx = 2

(

)

= ∫ 2 − x 2 dx = 2 x − − 2

x3 3

=2 2− − 2

2 2 2 2 8 2 . +2 2 − = 3 3 3

3) у = 1 – х2 ; у = х2 – 1, 1 – х2 = х2 – 1, 2х2 = 2, х = ± 1 ABСD – искомая фигура, SABC = SADC

(

)

1  x3  S ABCD = S ABC + S ADC = 2 S ABC = 2 ∫ 1 − x 2 dx = 2 x −  =  3  −1  −1

1 2  1 = 21 − + 1 −  = 2 3 3  3

120

www.5balls.ru

4) у = х3; у = 1; x = –2 ABCO — искомая фигура, SABCО = SDBCO + SADO,; SDBCO = SDBKO + SKOC; SDBKO = 2 ⋅ 1; 1

S KOC = SOKCM − SOCM = 1 ⋅ 1 − ∫ x3dx = 1 − 0

x4 4

= 1− 0

1 3 = 4 4

Теперь рассмотрим фигуру, симметричную ADO – A1DO: S ADO = S A1DO

x4 = ∫ − x dx = − 4 −2 0

= 0+

−2

16 =4 4

3 3 SABCО = 2 + + 4 = 6 . 4 4

№ 1023 1) у = х2 + 10; (0; 1). Уравнение касательной у = kx + b (0; 1); 1 = k ⋅ 0 + b, b = 1, у = kх + 1 у = f (х0) + k (x – x0), где х0 – точка касания у = x 02 + 10 + kx – kх0, значит: kx + 1 = x 02 + 10 + kx – kх0 x 02 – kх0 + 9 = 0, но k = f ′(х0) = 2х0

121

www.5balls.ru

x 02 – 2 x 02 + 9 = 0

9 – x 02 = 0

Т.е. k = ± 6 y = 6x + 1 ABCD – искомая фигура.

y = –6x + 1

(

х0 = ± 3

)

3 3  S ABCD = 2S ACD = 2(SOCDN − SOADN ) = 2 ∫ x 2 + 10 dx − ∫ (6 x + 1)dx  = 0 0 

(

)

3  x3 3 = 2 ∫ x 2 − 6 x + 9 dx = 2 − 3 x 2 + 9 x 0  = 2(9 − 27 + 27 ) = 18 .  3  0  

1 ; х = 1, и касат. х0 = 2 x 1 1 1 1 1 1 у(х0) = , у′ = − 2 , у′(х0) = − , y = − (x − 2 ) , y = − x + 1 ; 2 2 4 4 4 x АВС – искомая фигура 21 2 2 1 1  1    S ABC = SMBCD − SMACD = ∫ dx − ∫  − x + 1dx = ∫  + x − 1dx = x 4 x 4   1 1 1 2) у =

= ln x +

1 1 3 5 x2 2 − x 1 = ln 2 + − 2 − 0 − + 1 = ln 2 − 1 + = ln 2 − . 8 2 8 8 8

122

www.5balls.ru

№ 1024

у = х2 +1; у = 0; х = 0; х=1 1) Уравнение касательной: у = f (х0) – f ′(х0) (х – х0), у = у0 + 2х0 (х – х0), у = 2х0 ⋅ х + x 02 – 2 x 02 + 1, у = 2х0 ⋅ х – x 02 + 1; 2) OMND – искомая трапеция 1

(

)

SOMND = ∫ 2 x0 x − x02 + 1 dx = x0 x 2 − x02 x + x 0 = x0 − x02 + 1 − 0 0

Найдем наибольшее значение функции на (0; 1). f (х) = –х2 + х + 1, f ′(х) = –2х + 1, f ′(х) = 0,

2х – 1 = 0,

1 = , 2 2

х=

1 1 1 1 – точка max., х0 = , у0 =   + 1 = 1 . 2 4 2 2  

1 5 Ответ:  ;  . 2 4

§ 59 Применение производной и интеграла к решению практических задач № 1025 v(t) = s′(t), 4

(

s – первообразная v(t)

)

1) s (t ) = ∫ 3t 2 + 1 dt = t 3 + t 0 3

(

)

2) s (t ) = ∫ 2t 2 + t dt = 1

4 0

2t 3 t 2 + 3 2

= 64 + 4 = 68 ; 3

= 18 + 1

9 2 1 2 1 − − = 18 + 4 − = 21 . 2 3 2 3 3

№ 1026 1) v(t) = 0,

4t – t2 = 0,

t = 0,

t = 4;

123

www.5balls.ru

(

)

2) s (t ) = ∫ v(t )dt = ∫ 4t − t 2 dt = 2t 2 −

t3 3

= 32 − 0

64 2 − 0 = 10 . 3 3

№ 1027 1) у = 3х – 2х2 + С; 2) у = 2х3 – 4х2 + х + С; 3) y =

3 2x e +C ; 2

1 4) y = 4 ⋅ ⋅ sin 2 x + C = 2 sin 2 x + C . 2 5) у = 3 ⋅ (–cos х) + С = –3cos х + С; 6) у = sin x + cos x + C.

№ 1028 1) у = –cos x + C; –cos 0 + C = 0, C = 1, 2) у = 2sin x + C; 2sin π + C = 1, C = 1, 3) у = x3 + 2x2 – x + C; 1 + 2 – 1 + C = –2, C = –4; 4) у = 2x + x2 – x3 + C; –2 + 1 + 1 + C = 2, C = 2; 5) у = ex + C; e + C = 1,C = 1 – e,y = ex + 1 – e –1 + C = 2 6) у = –e–x + C; = –e–x + 3.

y = –cos x + 1 y = 2sin x + 1 y = x3 + 2x2 – x – 4 у = 2x + x2 – x3 + 2 C=3

№ 1029

y′ = –С1ωsin ωx + С2ωcos ωx; y′′ = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx; y′′ + ω2у = –С1ω2cos ωx – С2ω2sin ωx + ω2 С1cos ωx + ω2 С2sin ωx = 0; 0 = 0 – верно при любых С1 и С2.

№ 1030

0,001 г =0,0001 10 л

Скорость распада m′(t) =

m′(t) = k m (t) решение m(t) = m0e–kt В нашем случае m′(t)=0,0001 и m0=1, t=10, m(t) = 0,999, 0,999=1⋅ e–10k ln 0,999 k=− , e–10k = 0,999, –10k = ln 0,999, 10 ln 0,999

⋅t

0,5 = 1 ⋅ e 10 , ln 0,999 ⋅ t = ln 0,5 , 10

10 ln 0,5 , t ≈ 6928. ln 0,999

№ 1031 F = kx; k = 0,03

F 2 = = 2 , F = 200x x 0,01

A = ∫ 200 xdx = 100 x 2 0

0,03

= 0,09 − 0 = 0,09 Дж.

№ 1032 F = kx, k =

F 3 = = 300 , x 0,01

124

www.5balls.ru

F = 300x

0,08

A = ∫ 300 xdx = 150 x 2 0

0,08 0

= 0,96 Дж.

Упражнения к главе Х № 1033

1) f (x) = cos x, тогда F(x) = sin x + C (0; –2): –2 = sin 0 + C, C = –2; F(x) = sin x – 2 2) f (x) = sin x, тогда F(x) = –cos x + C (–π; 0): 0 = –cos (–π) + C, C = –1; F(x) = –cos x – 1. 1 , тогда F(x) = 2 x + C 3) f (x) = x (4; 5): 5=2 4 +C, 4) f (x) = ex, тогда F(x) = ex + C (0; 2): 2 = 1 + C,

C = 1;

F(x) = 2 x + 1 C = 1;

5) f (x) = 3x2 + 1, тогда F(x) = x3 + x + C (1; –2): –2 = 1 + 1 + C, 6) f (x) = 2 – 2x, тогда F(x) = 2x – x2 + C (2; 3): 3 = 4 – 4 + C,

F(x) = ex +

C = –4; F(x) = x3 + x – 4 F(x) = 2x – x2 + 3.

C = 3;

№ 1034 2

1) ∫ 2dx = 2 x −1 3

(

2 −1

x2 = 4 + 2 = 6 ; 2) ∫ (3 − x )dx = 3 x − 2 −2 2

)

3) ∫ x 2 − 2 x dx = 1 1

(

)

5) ∫ x dx = 1 2

6) ∫

=−

= 6 − 2 + 6 + 2 = 12 ; −2

3 1 2 x3 − x2 = 9 − 9 − + 1 = ; 1 3 3 3

4) ∫ 2 x − 3x 2 dx = x 2 − x 3 −1 8 3

1 −1

= 1 − 1 − 1 − 1 = −2 ;

3 3 8 3 45 1 = 11 ; x x = (16 − 1) = 1 4 4 4 4 1

2x 2

8 1

π 2

π 1 1 3  π = − + = ; 7) ∫ cos xdx = sinx 2π = sin − sin −  = 2 . 2 8 2 8 −  2 π −

№ 1035 1) у = x ; х = 1; х = 4; у=0 АВСD – искомая фигура 4 4 2 2 14 2 =4 S ABCD = ∫ x dx = x x = (8 − 1) = 1 3 3 3 3 1

125

www.5balls.ru

2) у = cos x

х=0

π 3

х=

π 3

SOABC = ∫ cos xdx = sin x 03 = sin 0

у = 0; OАВС – искомая фигура;

3 π − sin 0 = ; 3 2

3) у = x2; у = 2 – х, х2 = 2 – х, х1 = –2, х2 = 1, ЕОА – искомая фигура

х2 + х – 2 = 0,

(

−2

)

S EOA = S DEAC − S EDOAC = ∫ (2 − x )dx − ∫ x 2dx = ∫ − x 2 − x + 2 dx = =−

1 1 8 1 1 x3 x 2 1 − + 2 x −2 = − − + 2 − + 2 + 4 = 8 − 3 − = 4 3 2 3 2 3 2 2

у = 2x2;

у = 0,5х + 1,5;

4х2 – х – 3 = 0; D = 1 + 48 = 49,

2х2 = 0,5х + 1,5, х1 = 1

АОВ – искомая фигура, 126

www.5balls.ru

х2 = −

3 , 4

1 x 1 3  S AOB = S DABC − S DAOBC = ∫  +  dx − ∫ 2 x 2dx = 3 2 2 3 −

−

4 3

2x 3x x 3 x  = ∫  − 2 x 2 + + dx = − + + 2 2 3 4 2 3 1

−

1 3 − 4

=−

2 1 3 + + − 3 4 2

9 3 ⋅ 3  13 45 151  2 ⋅ 27 + =1 − + − . = 192  3 ⋅ 64 16 ⋅ 4 2 ⋅ 4  12 64

№ 1036 1

(

)

1) ∫ 5 x 4 − 8 x 3 dx = x 5 − 2 x 4 0 2

(

)

1 0

= 1 − 2 = −1 ;

3 4 5 2 3 5 = 24 − 10 − + = 15 x − x 2 2 2 2 −1 −1 (опечатка в ответе задачника) 4 4 4 7 7   3) ∫ x  3 − dx = ∫  3 x − dx = 2 x x − 14 x =   1 x  x 1 1 = 16 − 28 − 2 + 14 = 0 ; 8 8 8 16   4 4) ∫ 43 x 1 −  dx = ∫  43 x − dx = 3x3 x − 483 x =   3 1 x 2   1 1 x  = 48 − 96 − 3 + 48 = −3 ; 2) ∫ 6 x3 − 5 x dx =

5) ∫ x + 1dx = 0 6

3 2 (x + 1) x + 1 = 2 ⋅ 8 = 16 = 5 1 ; 0 3 3 3 3

2 6) ∫ 2 x − 3dx = 3 2

(2 x − 3) ⋅ 1 = 22 3

(2 x − 3)3

= 9−

1 2 =8 . 3 3

127

www.5balls.ru

№ 1037 π 41

1  π π 4 1  π π  1) ∫ cos x + dx = sin  x +  =  sin − sin  = 2 4 2 4 2 2 4      0 0 =

1  2  2 − 2 ; = 1− 2  2  4 π 31

π π 3 1 1    π  2) ∫ sin  x − dx = − cos x −  = −  cos 0 − cos −   = 3 3 3 3 3    0  3   0 1 1 1 = − 1 −  = − ; 3 2 6 3

3) ∫ 3 sin (3 x − 6 )dx = −1 ⋅ cos(3x − 6 ) 1 = − cos(+ 3) + cos(− 3) = 3

= − cos 3 + cos 3 = 0 ; 3

4) ∫ 8 cos(4 x − 12 )dx = 2 sin (4 x − 12 ) 0 = 2(sin 0 − sin (− 12 )) = 3

= 2(0 + sin 12) = 2 sin 12 .

№ 1038 1 ; у = 4х; х = 1; x ОАВС – искомая фигура 1) у =

у = 0,

1 =4х, 4х2 = 1, x

1 2

11 1 SOABC = SOAD + S DABC = ∫ 4 xdx + ∫ dx = 2 x 2 2 + ln x 1 = 0 1x 0 2

1 1 1 1 + ln1 ⋅ ln = − ln ; 2 2 2 2

128

www.5balls.ru

х=±

1 . 2

2) у =

1 2

у = х; х = 2; у = 0;

;

SOABC = SOAD + S DABC = ∫ xdx + ∫

dx = 2

x2 2

= х, х3 = 1, х = 1.

x ОАВС – искомая фигура 1

− 0

1 1 1 = − +1 = 1. x1 2 2

3) у = х2 + 1; у = х + 1, х2 + 1 = х + 1, х1 = 0, х2 = 1 АМВ – искомая фигура 1

(

)

х2 – х = 0,

(

)

S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (x + 1)dx − ∫ x2 + 1 dx = ∫ x + 1 − x 2 − 1 dx =

(

)

x2 x3 = ∫ x − x dx = − 2 3 0 1

= 0

1 1 1 − = ; 2 3 6

4) у = х2 + 2; у = 2х + 2 х2 + 2 = 2х + 2, х2 – 2х = 0, х1 = 0, АМВ – искомая фигура 2

х2 = 2

(

)

S AMB = SOABC − SOAMBC = ∫ (2 x + 2)dx − ∫ x 2 + 2 dx =

(

)

x3 = ∫ 2 x − x dx = x − 3 0 2

= 4−

8 1 =1 . 3 3 129

www.5balls.ru

№ 1039 1) у = х2 – 6х + 9;

у = х2 + 4х + 4; 1 х= х2 – 6х + 9 = х2 + 4х + 4, 10х = 5, 2 АВС – искомая фигура 1 2

S ABC = S ABD + S DBC = ∫ (x + 2)2 dx + ∫ (x − 3)2 dx = −2

1 2

у=0

x3 + 2 x 2 + 4 x −22 + 3

1 1 8 1 3 9 x3 3 − 3x 2 + 9 x 1 = + + 2 + − 8 + 8 + 9 − 27 + 27 − + − = 3 24 2 3 24 4 2 2

3 8 41 5 = 11 − 4 + + = 7 + = 10 4 3 12 12

2) у = х2 + 1; у = 3 – х2 2 2 2 х + 1 = 3 – х , 2х = 2, х2 = 1, BCDN – искомая фигура 130

www.5balls.ru

х=±1

(

)

(

)

S BCDN = S ABCDM − S ABNDM = ∫ 3 − x 2 dx − ∫ x 2 + 1 dx = −1

(

)

= ∫ − 2 x 2 + 2 dx = − −1

−1

2 x3 2 2 2 1 + 2 x −1 = − + 2 − + 2 = 2 . 3 3 3 3

3) у = х2; у = 2 2 x , х2 = 2 2 x , х4 = 8х, х (х3 – 8) = 0, х1 = 2, х2 = 0, OMAN – искомая фигура 2

(

)

SOMAN = SOMAB − SONAB = ∫ 2 2 x dx − ∫ x 2dx = ∫ 2 2 x − x 2 dx = 4 1 x3 = 2x 2x ⋅ − 3 2 3

4) у = x ;

= 0

16 8 8 − = . 3 3 3

у = 4 − 3x ;

у=0

x = 4 − 3 x , х = 4 – 3х, 4х = 4, х = 1 ОАВ – искомая фигура 1

4 3

SOAB = SOAC + SCAB = ∫ x dx + ∫ 4 − 3x dx = ×

1 2 2 x x + (4 − 3x ) × 0 3 3

4 3

1 2 2 8 = −0+ = . 31 3 9 9 131

www.5balls.ru

№ 1040 1) у = х2 – 2х + 2; х = 1, точка пересечения параболы с Оу х = 0; у = 0 – 2 ⋅ 0 + 2 = 2; (0; 2) у(0) = 2; у′ = 2х – 2, у′(0) = 2 ⋅ 0 – 2 = –2, у = 2 – 2 (х – 0), у = –2х + 2, АВС – искомая фигура 1

(

)

( )

S ABC = SOABC − SOAC = ∫ x 2 − 2 x + 2 dx − ∫ (− 2 x + 2 )dx = ∫ x 2 dx = 0

x3 3

= 0

1 . 3

4 4 4 , у′(2) = – = –1, ; х0 = 2; у = 0; х = 6, у(2) = 2, у′ = – 2 x 4 x у = 2 – (х – 2) у = –х + 4, DABC – искомая фигура; 2) у =

132

www.5balls.ru

64 4 x2 6 4 − 4x 2 = S DABC = S KABC − S KAD = ∫ dx − ∫ (− x + 4 )dx = 4 ln x 2 + x 2 2 2

= 4 ln 6 − 4 ln 2 + 8 − 16 − 2 + 8 = 4 ln 3 − 2

№ 1041 1) у = х3 – 3х2 – 9х + 1; АВС – искомая фигура

х = 0;

у = 6;

(

−1

х<0

)

S ABC = S MABO − S MACO = ∫ 6dx − ∫ x3 − 3 x 2 − 9 x + 1 dx = 0

(

)

9 x2 x4 0 + x3 + + 5 x −1 = 4 2

= ∫ − x3 + 3 x 2 + 9 x + 5 dx = − −1

1 9 17 7 3 +1− + 5 = 6 − = =1 4 2 4 4 4

2) у = х4 – 2х2 + 5; у = 1; АВСD – искомая фигура 1

(

х = 0;

х=1

)

S ABCD = SOBCK − SOADK = ∫ x 4 − 2 x 2 + 5 dx − ∫1dx = 0 1

(

)

= ∫ x 4 − 2 x 2 + 4 dx = 0

0 3

2x 1 2 7 8 x 1 − + 4x 0 = − + 4 = 4 − =3 . 5 3 5 3 15 15 133

www.5balls.ru

№ 1042  p p 2  , у = х2 + рх – парабола, ветви направлены вверх. Вершина  − ; −  2 4   пересечение с осями: (-р; 0) и (0; 0). Рассмотрим два случая. а) р > 0. у = kx + 1 проходит через (0; 1) х2 + рх = kх + 1, х2 + (р – k)x – 1 = 0, D = (р – k)2 + 4 Точки пересечения: x1 =

k− p− D , 2

x2 =

(

k− p+ D 2

)

x2 x3 x2 x S = ∫ (kx + 1)dx − ∫ x + px dx = k + x x2 − −p 1 2 3 2 x1 x1 x2

= x1

x 2 x3 x 2 x3 x 2 x3 x − + x x2 = (k − p ) 2 − 2 + x 2 − (k − p ) 1 + 1 − x 2 = 1 2 3 2 3 2 3 1 k− p 2 = − x23 − x13 +   x2 − x12 + (x2 − x1 ) , но х2 – х1 = D 3  2  = (k − p )

(

)

(

) − (k − p − D )  = (k − p) D 1  x − x = (x − x )(x + x x + x ) = D  (k − p + D ) + (k − p ) − 4   1 D (2(k − p ) + 2 D + (k − p ) − D ) = − D + (k − p − D )  =  4 1 = D (3(k − p ) + D ) 4 1 1 k− p S=− ⋅ D (3(k − p ) + D ) +  (k − p ) D + D = 3 4  2  x22 − x12 = 3 2

3 1

(

)

1  k− p+ D 4 2

2 1

1 2

2 1

1 1 1  1  1  = D  − (k − p )2 − D + (k − p )2 + 1 = D  (k − p )2 − D + 1 4 12 2 4 12     т.к. D = (p – k)2 + 4, то 134

www.5balls.ru

( p − k )2 + 4 ⋅  1 (k − p )2 − 1 (k − p )2 − 1 + 1 = ( p − k )2 + 4 ×

4 2 1 1 ×  (k − p )2 +  = 6 3   6



( p − k )2 + 4 ⋅ ((k − p )2 + 4) .

Найдем наименьшее S(k) Пусть (p – k)2 + 4 = t, S (t ) =

1 t ∈ [4; +∞), S(t) – возрастаюt t , 6 щая функция, поэтому наше значение достигается при t=4, (p – k)2 = 0, p = k; б) р < 0 – этот случай симметричен а). Все выкладки те же и ответ: k = p.

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал анализа. 1 32 8 ⋅ = = 0,08 . 40 10 100

№ 1043

0,025 ⋅ 3,2 =

№ 1044

0,42 ⋅ х = 12,6,

№ 1045

1,3 13 ⋅ 100 10 1 ⋅100 = = = 3 (% ) . 39 10 ⋅ 39 3 3

№ 1046

46,6 466 ⋅100 ⋅100 2 ⋅1000 ⋅100 = = = 400(% ) . 11,65 10 ⋅1165 5

№ 1047

1,75 ⋅ х = 78,75, x =

№ 1048

x = 1,8 ⋅ 7,5 =

12,6 126 ⋅100 18 ⋅ 10 = = = 30 . 0,42 10 ⋅ 42 1⋅ 6

78,75 7875 ⋅100 = = 45 . 1,75 100 ⋅175

9 15 27 ⋅ = = 13,5 . 5 2 2

№ 1049 х – исходная цена 1) понизили на 24%; х1 = (х – 0,24х) = 0,76х 2) снизили на 50%х1 ; х2 = (х1 – 0,5х1) = 0,5х1 = 0,5 ⋅ 0,76х = 0,38х х – х2 = х – 0,38х = 0,62х Цена уменьшилась на 62%.

№ 1050 цинк х = 18 кг, олово у = 6 кг, медь z = 36 кг x 18 ⋅ 100% = ⋅ 100% = 30% % цинка = x+ y+z 18 + 6 + 36

135

www.5balls.ru

% олова =

y 6 ⋅ 100% = ⋅ 100% = 10% x+ y+z 18 + 6 + 36

z 36 ⋅ 100% = = 60% . x+ y+z 60 Ответ: цинк – 30%, олово – 10%, медь – 60%.

% меди =

№ 1051 Пусть х – стоимость товара, у – стоимость перевозки. Тогда из условий

 x + y = 3942

следует, что:  0,08 x = y

1,08 x = 3942  x = 3650 . Ответ: 3650 р. ,  ,   y = 292  y = 0,08 x

№ 1052 Пусть h = 5 см – высота, S = 4 см2 – площадь основания. 1 1 S2 = 1,1S V1 = h ⋅ S , V2 = h2 ⋅ S2 , h2 = 1,1h, 3 3 1 1 V2 = ⋅1,1h ⋅ 1,1S = 1,21 ⋅ ⋅ h ⋅ S = 1,21V1 3 3 (V2 − V1 ) ⋅100% = (1,21 − 1)V1 ⋅100% = 21% . Ответ: объем увеличится на 21%.

№ 1053 Пусть х – искомое число, тогда х = а ⋅ 72 + 68 x a ⋅ 72 68 6a ⋅ 12 5 ⋅ 12 12(6a + 5) = + = + +8 = +8 12 12 12 12 12 12 Ответ: Остаток: 8.

№ 1054 Пусть эти числа х и у. Тогда:

 x + y = 1100   x + y = 1100 0,06 x = 0,05 y  y = 5 x   6

11  6 x = 1100  y = 600   x = 500  x = 5 y  6

Ответ: Наибольшее – 600.

№ 1055

За первый год он получит прибыль 0,03 ⋅ 600 = 18 (р.). На счету будет 600 + 18 = 618 р. В конце второго года он получит: 1,03 ⋅ 618 = 636,54 (р.), а за третий – 1,03 ⋅ 636,54 = 655,64 (р.).

136

www.5balls.ru

№ 1056

За год он получил бы 0,02 ⋅ 500 = 10 р., а за месяц он получил 1 5 5 ⋅10 = р. Он снял 100 р., на счете осталось 400 р. Через год он полу12 6 6 5 чит 1,02 ⋅ 400 = 408,85 р. 6

№ 1057

1) 23,276 : 2,3 – 3,6 ⋅ (17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1) + 6,25 ⋅ 3,2 Выполним по действиям. 23276 ⋅10 1012 = = 10,12 ; а) 23,276 : 2,3 = 1000 ⋅ 23 100 172 ⋅ 1 5 ⋅ 10 43 5 440 б) 17,2 ⋅ 0,125 + 0,005 : 0,1 = + = + = = 2,2 ; 10 ⋅ 8 1000 ⋅ 1 20 100 200 625 32 2000 36 22 792 в) 3,6 ⋅ 2) = ⋅ = = 20 ; ⋅ = = 7,92 ; г) 6,25 ⋅ 3,2 = 10 10 100 100 10 100 д) 1) – 3) + 4) = 10,12 – 7,92 + 20 = 22,2. 2) 9,25 ⋅ 1,04 – (6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8) : 1,2 + 0,16 ⋅ 6,25 Выполним по действиям. 925 104 9620 а) 9,25 ⋅1,04 = ⋅ = = 9,62 ; 100 100 1000 6372 ⋅10 9 ⋅ 8 1062 9 1152 б) 6,372 : 0,6 + 1,125 ⋅ 0,8 = + = + = = 11,52 ; 1000 ⋅ 6 8 ⋅10 100 10 100 1152 ⋅10 96 16 ⋅ 625 1000 в) 2) : 1,2 = = = 9,6 ; г) 0,16 ⋅ 6,25 = = =1; 100 ⋅12 10 100 ⋅100 1000 д) 1) – 3) + 4) = 9,62 – 9,6 + 1 = 1,02.

№ 1058 3 1 2 3 1 1   28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1  ⋅ 3 4 3 3 4 2 7  . Выполним по действиям. 1) 1 3 10 − 9 2 4 3 1 2 3 1 28 ⋅ 4 22 ⋅ 1 5 ⋅ 39 а) 28 : 1 + 7 : 22 + 1 ⋅ 9 + 14 : 1 = + + + 4 3 3 4 2 7 3 ⋅ 22 3 ⋅ 4 14 ⋅ 2 1 65 28 29 65 116 + 195 311 + = 16 + + + = 16 + + = 16 + = 16 + = 3 3 4 3 3 4 12 12 11 503 ; = 41 = 12 12 1 3 21 39 3 1 503 ⋅ 22 5533 ; в) 10 − 9 = б) 1) ⋅ 3 = − = ; = 7 12 ⋅ 7 42 2 4 2 4 4

137

www.5balls.ru

г)

2) 5533 ⋅ 4 11066 = = . 3) 42 ⋅ 3 63

1  5 7  2)  − 0,375  : 0,125 +  −  : (0,358 − 0,108) 2    6 12  Выполним по действиям. 1  а)  − 0,375  : 0,125 = (0,5 − 0,375) : 0,125 = 0,125 : 0,125 = 1 ; 2   1⋅ 4 5 7   10 − 7  =1; б)  −  : (0,358 − 0,108) =   : 0,25 = 6 12 12 4 ⋅1     в) 1) + 2) = 1 + 1 = 2.

№ 1059 1 1 10 ⋅ 8 ⋅ 5 1 1 = 100 ; = x : 1 , x = 10 : ⋅ 1 = 8 4 8 4 4 1 1 1 1 3 ⋅19 ⋅ 2 57 ; 2) x : 0,75 = 9 : 14 , x = 0,75 ⋅ 9 : 14 = = 2 2 2 2 4 ⋅ 2 ⋅ 29 116 (опечатка в ответе задачника) x 1,456 15 ⋅1,456 3) = , x= = 20,8 . 15 1,05 1,05 1) 10 :

№ 1060 1   1 1 1 1   2   1 − 4  15 5 ⋅ 2 4   − 2 ⋅ 7 ⋅ 49    + 45 2  − 183 5 1   81 −     125 3     Выполним по действиям. 1

15 ⋅ 5 2 −

125 1 2) 2 ⋅ 7 2

1 3

= 15 ⋅ 5 ⋅ 3 125 = 15 ⋅ 5 5 = 75 5 ;

1 ⋅ 49 4

= 2 ⋅ 7 ⋅ 4 49 = 2 ⋅ 7 ⋅ 7 = 2 ⋅ 7 = 14 ;

1 3) 1) − 2) = 75 5 − 14 ; 4)    81 

(

)(

−

1 4

+ 45 2 = 4 81 + 9 ⋅ 5 = 3 + 3 5 ;

)

5) 3) ⋅ 4) = 75 5 − 14 3 + 3 5 = 225 5 + 1125 − 42 − 42 5 = 1083 + 183 5 6) 5) − 183 5 = 1083 + 183 5 − 183 5 = 1083 .

№ 1061 1) log 27 729 = log 27 27 2 = 2 .

138

www.5balls.ru

2) log 9 729 = log 9 27 2 = log 9 (9 ⋅ 3)2 = 3 . 3) log 1 729 = log 1 3 6 = 6 log 1 3 = 6 ⋅ (− 1) = −6 . 3

№ 1062 1) log 1

( )

64 = log2− 4 26

1 5

= log2− 4 2 5 =

6  1 3 ⋅  −  log2 2 = − = −0,3 5  4 10

2) log 8 log 4 log 2 16 = log 8 log 4 4 = log 8 1 = 0 .

№ 1063   1)  2   2)  2 

    

1 2

= 22 = 4 .

  

+ log 6 5 36 = log 3 3

⋅ 2−3 = 2

3 ⋅ 27 −3

= 29 −3 = 26 = 64 .

№ 1064 1) log 3

( )

2) 160,5 log 4 10+1 = 42

0,5 log 4 10

2−

1 5

+ log 6 6 5 =

9 2 11 1 + = =2 . 5 5 5 5

⋅ 16 = 4log 4 10 ⋅ 16 = 10 ⋅ 16 = 160 .

№ 1065 1 2,5 7

1) 2,50,5 . Основания равны, значит будем сравнивать показатели степеней. f (х) = 2,5х – функция возрастающая, т.к. 2,5 > 1. 1

х2 > х1, 2)

2 0,2 3

f (х2) > f (х1); 3 0,2 4

1 1 < ⇒ 2,5 7 < 2,5 2 ; 7 2

, f (х) = 0,2х – убывает, т.к. 0,2 < 1, х2 > х1

f (х2) < f

(х1) 2

Сравним

2 3 8 8 9 2 3 9 и , или и . < ⇒ < ⇒ 0,2 3 > 0,2 4 . 3 4 12 12 12 12 3 4

3) log3,1 10 log3,1 3 Функция log3,1x – возрастающая, т.к. 3,1 > 1. 10 > 9 = 3 ⇒ log 3,1 10 > log 3,1 3

139

www.5balls.ru

4 3 log 0,3 , f (х) = log0,3x – убывает, т.к. 0,3 < 1, 5 4 4 16 15 3 4 3 = > = ⇒ log 0,3 < log 0,3 . 5 20 20 4 5 4

4) log 0,3

№ 1066 1

1) a 5 > 1 ⇒ a > 1 ; 2) a −1,3 > 1 ⇒

a⋅

> 1 ⇒ а < 1,

10 3

∈ (0; 1); 3) а–3,1 < 1 ⇒ а3,1 > 1 ⇒ а > 1; 4) а2,7 < 1 ⇒ а ∈ (0; 1); 5) loga 0,2 > 0 ⇒ loga 0,2 > loga 1 ⇒ а < 1; 6) loga 1,3 > 0 ⇒ loga 1,3 > loga 1 ⇒ а > 1.

№ 1067 18 = 3 2 , 4

(3 2 )

( 18 )

5 11

2 log 2 3

⋅4

log 4

5 11

= 18 =

18 ,

log 2 3+ log 4

2178 2025  45  > =  , 121 121  11 

1   6

1 log 6 2 − log 2

18 > 4

( )

= 6−1

log 6 2 − log 6 5

144 125  5  = 18 = > =  , 8 8 2

1 18 >   6

= 9⋅

5 45 = 11 11

log 2 3+ log 4

, 6

− log 6

2 5

1 log 6 2 − log 2

5 11

;

2 =  5 6

−1

№ 1068

1) lg 50 = lg (5 ⋅ 10) = lg 10 + lg 5 = 1 + lg 5 0 = lg 1 < lg 5 < lg 10 = 1, значит 1 < 1 + lg 5 < 2, lg50=1+lg5; 2) log2 10 = log2 (2 ⋅ 5) = log2 2 + log2 5 = 1 + log2 5, 2 = log2 4 < log2 5 < log2 8 = 3, 3 < 1 + log2 5 < 4.

№ 1069 1) 3 ⋅ −

4⋅5 5 = 5 − 5 + 18 5 − 10 5 = 8 5 2 1

2) −

5 1 125 3 ⋅ 5 1 ⋅ 2 5 20 + 3 180 − 4 − = − + 3⋅3⋅ 2 5 − 9 2 4 3 2

(

6− 5

−

)

3 5+ 2

−

4 6− 2

(

)

6+ 5 3 5− 2 − − 6−5 5−2

4 6+ 2 = 6 + 5 − 5 + 2 − 6 − 2 = 0. 6−2

140

www.5balls.ru

5 , 2

№ 1070

( b (4b

)

a 4 9a 2 − 6a + 1 = a 2

№ 1071

3− 2

2) 3)

)

(2b + 1)

+ 4b 2 + 1 = b

10 − 7 8

= a 2 3a − 1

(

)

= b 2b 2 + 1 .

) ( ) 3( 6 − 5 ) 3 = = 3( 6 − 5 ) ; 6−5 6+ 5 12( 10 + 7 ) 12 = = 4( 10 + 7 ) ; 5

(3a − 1)2

11 + 3

(

5 3+ 2 =5 3+ 2 ; 3− 2

(

10 − 7

)

8 11 − 3 = 11 − 3 . 11 − 3

№ 1072 1)

5 1 3 6 3 = ; 2) = ; 3) 10 2 5 6 6

7− 5 7−5 = = 2 2 7+ 5

1 7+ 5

№ 1073 1) х = 0,444..., 10х = 4,4..., 10х – х = 4,4... – 0,4..., 9х = 4, х = 2) х = 2,77... 25 7 x= =2 ; 9 9 3) х = 0,2121... 21 7 x= = ; 99 33

10х = 27,77..., 9х = 25,

4) х = 1,36...

100х = 136,36..., 99х = 135, x =

4 ; 9

100х = 21,21..., 99х = 21,

135 15 4 = =1 ; 99 11 11

5) х = 0,35..., 10х = 3,5..., 100х = 35,35..., 90х = 32, 32 ; x= 90 6) х = 0,213...,100х = 21,3... 1000х = 213,3..., 192 32 16 900х = 192, x= . = = 900 150 75

№ 1074 1)

_50 6 48 0,833...

5 = 0,8 (3) 6 141

www.5balls.ru

_20 18 20 2)

1 9

_1,0 9

9 0,11... 10

1 = 0, (142857) 7

_1,0 7 7 0,1428571... _30 28 _20 14 _60 56 _40 35 _50 49 10

2 11

1 = 2, (1) 9

_20 11

11 0,181... _90 80 20

2 = 5, (18) 11

№ 1075 1) нет; 2) да, например

2 ⋅ 2 = 2 ; 3)

a+ b ab

– нет.

№ 1076 a, b ∈N a k2 k2 = = 2 , b b ⋅b b

ab – рациональное, значит, ab = k2, a = a = b

k2 b

k2 , b

k – рациональное число, ч.т.д. b

№ 1077 a – рац. b – иррац. а = а0, а1 ... аk а0, а1 ... аk – цифры; b = b0, b1 ... bk, bk+1 a ⋅ b = (а0 + а1 ⋅ 10–1 + а2 ⋅ 10–2 + ... + аk ⋅ 10–k) (b0 + b1 ⋅10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + + bk+1 ⋅ 10–k–1) = а0b0 + ... + а0bk ⋅ 10–k + а0bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац. 142

www.5balls.ru

a + b = (а0 + а1 ⋅10–1 +...+ аk ⋅ 10–k)+(b0 + b1 ⋅ 10–1 +...+ bk ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1) = = (а0 + b0) + (а1 + b1) ⋅ 10–1+ ... + (аk + bk) ⋅ 10–k + bk+1 ⋅ 10–k–1 + ... – иррац. a a0 + a1 ⋅ 10−1 + a2 ⋅ 10−2 + ... + ak ⋅ 10− k = – очевидно, что оно иррациоb b0 + b1 ⋅10−1 + b2 ⋅10− 2 + ... + bk ⋅10− k нально, а т.к.

b 1 = , то это тоже является иррац., ч.т.д. a (a / b )

№ 1078

[

]

1) 1; 3 2 + 2 7 ,

]

3 + 4; 15 , 1 < 3 3 + 4 , 15 > 3 2 + 2 7 ,

3 2 +2 7 , 3 3 +4. Возведем в квадрат. 18 + 28 + 12 14 ,

27 + 16 + 24 3 , 3 + 12 14 , 24 3 .

Сравним 12 14 и 24 3 . Возведем в квадрат. 2016 > 1728 ⇒ отрезки имеют общую точку.

(

2) 0,

) ( 48 − 1, 10) ,

27 + 6 ,

Сравним

27 + 6 ,

0 < 48 − 1 ,

27 + 6 < 6 + 3 = 9 < 10 .

48 − 1 .

Возведем в квадрат 27 + 6 + 2 162 , 48 + 1 − 2 48 , 18 2 , 16 − 8 3 > 0 . Еще раз возведем в квадрат 648, 256 + 192 − 256 3 , 200 > −256 3 . Имеют общие точки.

[

] (

)

3) 2; 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 ; 11 , 2 < 3 2 + 22 , 2 5 + 2 6 < 11 . Сравним 2 5 + 2 6 и 3 2 + 22 . Возведем в квадрат 20 + 24 + 8 30 , 18 + 22 + 6 44 , 4 + 8 30 , 12 11 . Возведем в квадрат 8 30 и 12 11 . 1920 > 1584 ⇒ имеют общие точки.  2  2 ; 4  , 1 < 4) 1; 1 + 3 и  , 1+ 3 < 4 . 3 −1  3 −1  2 Сравним 1+ 3 и . Умножим оба на 3 − 1 > 0 . 3 −1 (3 – 1) = 2 – но одно отрезок, другой – интервал. Значит, не имеют.

[

]

№ 1079 a<b 1) Пусть а имеет координаты (a, 0), a b – (b, 0). Тогда середина отрезка a+b a+b  , 0  . Точка [a, b] имеет координаты  имеет координаты 2  2  a+b 0+0 a+b  , , 0  – т.е. она совпадает с серединой.   , или  2 2   2   143

www.5balls.ru

2) Допустим, эта точка не лежит в этом отрезке, тогда либо a + bc a + bc <a, >b, a + bc > b + bc, a > b – противоречие, либо 1+ c 1+ c a+bc<a+ac, bc<ac, b<a – противоречие, значит, она лежит внутри этого отрезка.

№ 1080 1) S∆ =

1 1 а ⋅ а ⋅ sin 60° = р ⋅ r, где р = (а + а + а). 2 2

a2 ⋅ 3 ⋅ 2 a 3 6 ⋅ 3 1 2 3 3 = = = 3 , d = 2r = 2 3 ; a ⋅ = a⋅r , r = 2 2 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3a 6 6 a 9 a 9 9 9 α , sin = 2) , = = , = 2 ⋅ sin α sin  π − α  4 sin α cos α cos α 2 a ⋅ 4 16   2 2 2 2 2 47 2 ⋅ 81 94 47 cos α = −2 sin 2 α = 1 − , α ⋅ arccos = = ≈ 68,46° . 128 256 256 128

№ 1081 tg54° =

120 , l

120 ≈ 87,2 . tg54°

№ 1082 x 130 = , sin 22° sin 68° π  130 sin  − 68°  2   x= = 130ctg 68° sin 68° y 130 130 cos 46° = , y= = 130ctg 46° sin (90° − 46°) sin 46° sin 46° l = 130 (ctg 68° + ctg 46°) ≈ 178 (м).

l = x + y,

№ 1083 1) cos α = tgα =

8 , 10

 8 sin α = 1 −    10 

sin α 6 ⋅ 10 6 = = , cos α 10 ⋅ 8 8

6 10

ctgα =

1 8 = tgα 6

25 12 5 , cos α = 1 − sin 2 α = 1 − = 169 13 13 sin α 5 ⋅ 13 5 12 tgα = , ctgα = = = cos α 13 ⋅ 12 12 5

2) sin α =

144

www.5balls.ru

3) tgα = 2,4 = 1

cos α =

1 + tg α 2

12 , 5

1 + tg 2α = 1

144 1+ 25

1 cos 2 α

5 13

25 12 5 = , ctgα = 169 13 12 1 1 24 1 7 2 4) ctgα = , , 1 + ctg α = , sin α = = = 2 24 25 sin 2 α 49 1 + ctg α 1+ 576 sin α = 1 −

7 24  24  ; tgα = . cos α = 1 −   = 25 7  25 

№ 1084 cos 2α = cos2α – sin2α = 1 – sin2α – sin2α = 1 – 2sin2α = 1 – 2 ⋅

1 7 = . 9 9

№ 1085 sin

11π 19π π  + cos 690° − cos = sin  4π −  + cos(720° − 30°) − 3 3 3 

3 3 1 1 π π π  − cos 6π +  = − sin + cos 30° − cos = − + − =− . 3 3 3 2 2 2 2 

№ 1086 1) 2arctg1 − 3arcsin 2) 8 arccos

π π π π 3 = 2 ⋅ − 3⋅ = − π = − ; 2 4 3 2 2

2 π π + 6arctg 3 = 8 ⋅ + 6 ⋅ = 2π + 2π = 4π . 2 4 3

№ 1087  3  3  π = sin  2 ⋅  = 1) sin  2 arcsin   2 3 2     2) tg (2arctg3), arctg3 = x, 2 tgx 2⋅3 6 3 tg 2 x = = =− =− . 8 4 1 − tg 2 x 1 − 9

tg x = 3

№ 1088 1

1) log 4 sin

− 2 1 1  1 1 π 1 = log 2 = log 2 2 2 = ⋅  −  = − ; 4 2 2 2 2  2 4

145

www.5balls.ru

2) log10 tg

π = log10 1 = 0 ; 4

 2  1  1 3π 1  = ⋅−  = − 1 ; = log 2    4 3 6  2  3  2 π 1 4) log 2 cos = log 2 = −1 ; 3 2 π 5) log 3 1 − log 4 tg ⋅ log 5 cos 0 = 0 − log 4 1 log 5 1 = 0 . 4 3) log 8 sin

№ 1089

(

)

1) ctg arctg 3 = ctg

3 π π = ; 2) ctg(arctg1) = ctg = 1 ; 3 3 4

( ( ))

 3 1  π 1  π ; 4) sin  arctg 3) sin arctg − 3 = sin  −  = − = sin = ;   2 6 2  3 3   5) cos(arctg1) = cos

( ( ))

2 π  π 1 = ; 6) cos arctg − 3 = cos −  = . 4 2  3 2

№ 1090  2  1) cos 6 arccos .   2   По определению арккосинус числа

2 2 - это такое число α, -0 ≤ α ≤ π,

2 2 . В нашем случае α = arccos

косинус которого равен

2 π = , далее 2 4

 2  π π  π 3   cos 6 arccos = cos 6 ⋅  = cos π  = cos π +  = − cos  = 0   2 4 2 2       2   2) sin(5arccos0) По определению арккосинус числа 0 – это такое число α, 0 ≤ d ≤ π, коπ синус которого равен 0. В нашем случае α = arccos0 = , далее 2 π  π  5π   π sin (5 arccos 0) = sin  5 ⋅  = sin   = sin  2π +  = sin   = 1 2  2   2  2

№ 1091

sin α cos α 3 3 при tgα = , tgα = , т.е. |sinα| ≠ |cosα|, знамена4 4 sin 2 α − cos2 α тель данного выражения отличен от 0 и выражение имеет смысл, далее sin α cos α sin 2α 1 sin 2α 1 = =− ⋅ = − tg 2α , 2 2 2 2 2 cos 2α 2 sin α − cos α − 2 cos α − sin α 1)

(

)

146

www.5balls.ru

tg 2α =

2tgα

tgα 1 1 2tgα 3 по = 2 , tgα = , тогда − tg 2α = − ⋅ 2 2 2 4 1 − tg α 1 − tg α tg α − 1 2

tgα

4 = 3 ⋅  − 16  = − 12 , итак, вы9 7 tg α − 1 3 −1 −1 4  7  4 16 sin α cos α 3 12 ; ражение при tgα = равняется − 4 7 sin 2 α − cos2 α 1 2) sinαcosα, если sin α + cos α = . 3 1 Возведем обе части выражения sin α cos α = в квадрат, получим 3 условию, тогда

(sin α cos α )2 =  1 

( )

1 , sin 2 α + 2 sin α ⋅ cos α + cos 2 α = , 3 9   1 4 1 + 2 sin α ⋅ cos α = , откуда sin α ⋅ cos α = − , таким образом 9 9 4 sin α ⋅ cos α = − . 9

147

www.5balls.ru

№ 1092 1) =

a + 2  2a 2 − a − 3 2a − 3  a + 2  2(a + 1)(a − 3 2 ) a − 2   = : = ⋅ a − 2  a 2 + 5a + 6 a − 2  a − 2  (a + 2 )(a + 3) 2a − 3 

a + 2 2(a + 1)(a − 3 2 ) a−2 a +1 ⋅ ⋅ = a − 2 (a + 2 )(a + 3) 2(a − 3 2 ) a + 3

1  8b 2 + 8b + 2 2b + 1 2b + 1 b(b − 4) 2b + 1 (b − 4 )  2)  2 +  : ⋅ = ⋅ ⋅ = b b b b 2b b 2 − 4b  2(2b + 1)2

№ 1093 1)

= − + +

a a2 − 1

a2 + a − 1 a3 − a 2 + a − 1

a2 − a − 1 a3 + a 2 + a + 1

−

2a 3

a4 − 1

a a2 + a − 1 a2 − a − 1 + 2 + 2 − (a − 1)(a + 1) a (a − 1) + (a − 1) a (a + 1) + (a + 1) 2a 3

(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) a − a −1 2

(a + 1)(a

)

a2 − a −1

(a + 1)(a

−

(

(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1)

2a 3

−

)

(a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) a (a 2 + 1) + (a 2 + a − 1)(a + 1) + (a 2 − a − 1)(a − 1) − 2a 3 = (a − 1)(a + 1)(a 2 + 1) 2

)

a a2 + a − 1 + + (a − 1)(a + 1) (a − 1) a 2 + 1

Преобразуем числитель полученной дроби а(а2+1)+(а2+а–1)(а+1)+(а2–а–1)(а–1)–2а3=а3+а+а3+а2+а2+а–а–1+а3 – – а2 – а2 + а – а + 1 – 2а3 = а3 + а, тогда дробь примет вид

a3 + a

(a − 1)(a + 1)(a 2)

1 a + 5a + 6 2

)

) (a −1)(a + 1)

(

a a 2 +1

2a a + 4a + 3 2

a a −1 2

(a + 1) +

+ a +1

−

2 = a+3

−

(a + 2)(a + 3) (a + 1)(a + 3) (a + 1)(a + 2 ) a + 3 1 ⋅ (a + 1) + 2a (a + 2 ) + 1 ⋅ (a + 3) − 2(a + 1)(a + 2 ) = = (a + 1)(a + 2 )(a + 3) =

a + 1 + 2 a 2 + 4 a + a + 3 − 2a 2 − 6 a − 4 0 = =0 (a + 1)(a + 2)(a + 3) (a + 1)(a + 2)(a + 3)

146

www.5balls.ru

№ 1094 1 1 1 4−4 a +4+4 a 1 − + = − = 2 − 2a 4 + 4 a 2 − 2a 4 − 4 a 4+4 a 4−4 a 8 1 1 1 − = − =0 16 − 16a 2 − 2a 2 − 2a 2 − 2a

(

a 2 + a − 2 −1 a 2 − 2 − 2 + 2a

)(

)

(a − 1)( 2 + 1) = 2 (a − 1) + 2(a − 1) (a − 1)(2 + 2 ) 2 (a − 1) + (a − 1)

1 2

№ 1095  a − x  a − x  1− при а = 5, х = 4 1) 1 +  a + x  a + x   Преобразуем данное выражение:  1 +  

a−x a+x

 1 − a − x  a+x 

  = 1 − a − x = a + x − a + x = 2x  a+x a+x a+x 

при а = 5, х = 4 полученное выражение примет вид:

a + a2 − x2 a − a2 − x2

−

a − a2 − x2 a + a2 − x2

2⋅4 8 = ; 5+ 4 9

при а = 3, x = 5

Преобразуем данное выражение: 2

a+ a −x

a− a −x

= =

−

a− a −x 2

a + a2 − x2

(

) (

  2 2 2 2 a + a − x  − a − a − x    =   =  2 2  2 2  a − a − x  a + a − x    

(

a 2 + 2a a 2 − x 2 + a 2 − x 2 − a 2 + 2a a 2 − x 2 − a 2 − x 2 a2 − a2 − x2 4a a 2 − x 2 x2

4 ⋅ 3 32 −

( 5)

; при а = 3, x = 5 полученное выражение примет вид:

( 5)

)

12 9 − 5 24 = = 4,8 . 5 5

№ 1096 1

1+ x

1  12   x 1  x 2 ⋅ − =  1 1 1 1− x 2 x 2 − x  1+ x 2  

   1  2 1  x  = ⋅ − 1 1  1  2 2 1 − x 2   1− x x       147

www.5balls.ru

1+ x

⋅ 2

x −1 x −1 = = −1 1  −x  1 2 2 x 1 − x    1

1   12   12  12  1 1   m + 1  2m  m + 1 − 4m 2   2 2 2 m + 2m + 1  2m 4m     ⋅   ⋅ 1 − 2) = =  1 1 m 1 − m 1 −   m 2 −1 2   2m 2 m 2      

 12  1 1  m + 1  ⋅ 2m − 4m 2 + 2m 2 = = 1 m −1 2m 2

 12  1  m + 1   ⋅ 2m − 2m 2 = m 1 2 + 1 1 m −1 2m 2

№ 1097 m m ⋅ 2mn ⋅ 18mn = 6n ⋅ 3 = 18mn ; 2n 2n

1) 6n ⋅

 + 1  a 1 −   ⋅ a 14 = 2) 3 ⋅ ⋅ ⋅a 4 = 1 1 1 1  1  a 2 +1 a 2 +1 a 4 +a 2 a 2  a 4 + 1    1 2  1 2  1 4  1 4   a + 1 a − 1 a  a + 1   ⋅ a 14 = a 12 − 1 . ⋅  = 1 1  1  a 2 +1 a 2  a 4 + 1   1

a −1

1 4  a 4

№ 1098  a a −1  a −1 a a −1+ a − a a −1 + a: = ⋅ = 1)   a −1  a −1 a −1 a −1   a − 1 + a (a − 1) a −1

⋅

(

)

a − 1 (a − 1) a + 1 a −1 = ⋅ = a +1; a −1 a −1 − a 1

1+ b b  1+ b 1+ b b − b − b 1+ b − b ⋅ = ⋅ = 2)   1+ b  1− b 1− b 1+ b  

(

(1 − b ) −

)

b (1 − b ) 1 + b (1 − b ) 1 − b 1 + b ⋅ = 1− b . ⋅ = 1− b 1− b 1+ b 1+ b

№ 1099 a −1b − 2 − a − 2b −1 a

−5

3b2

−b

−5

3 a−2

−a

1 3b 3

a −1b − 2 − a − 2b −1 − a a

−5

148

www.5balls.ru

3b−2

−4

−b

−5

3 a−2

−5

−4

−4 −5   −  a − 2b −1 + a 3 b 3   = = − 5 −2 − 5 −2 a 3b − b 3 a 5 2 2  2  − −5   2 a 3 b − 2  a 3 + b 3  − b 3 a − 2  a 3 + b 3     = = − 5 −2 − 5 −2 3 3 a b −b a 2   −5 −5   23  a + b 3  ⋅  a 3 b − 2 − b 3 a − 2     = a23 + b23 . = − 5 −2 − 5 −2 a 3b − b 3 a

a −1b − 2 + a

−5

−4

№ 1100  ab + b 2  a + ab − 1)   a 2 + ab ab + b 

(

)

   

−2

a 3b + ab3 = 2ab

−

 a a+ b b a+b = −  a a b b a+ b + 

(

 a + b + 2 ab − a − b   =   + + a b a b  

(

)

 2 ab =  a+b a + b 

(

−2

(a + b )(a + 2

)

   

−2

ab + b

4ab

−

)−

)

   

−2

a 3b + ab3 = 2ab

−

a 3b + ab3 = 2ab

−

ab (a + b ) = 2ab a 3b + ab3 = 2ab

a 2 + 2a ab + ab + ab + 2b ab + b 2 − 2a ab − 2b ab (a + b )2 = = 4ab 4ab

( a + b) 1

( a + b)

−1   −1 2 a 2 + b 2  1 1 = ⋅ +  +  3 a b a+ b

−2

(

)

  2 1 + 1  a+b a b = ⋅ +  3 ab a+ b

a+b

ab a + b

)

(

2 a+ b ab

)

( a + b)

( a + b) b) ab( a + b )

a + b + 2 ab

(

ab a +

1 ab

149

www.5balls.ru

№ 1101 4

 9a − 25a −1 a + 7 + 10a −1   = − 1  1 −1 −1  2 2 2 2 3 a 5 a a 2 a − +   4

1   12  − 1  −1    3a − 5a 2  3a 2 + 5a 2   −1 a 7 10 a + +      − 1 = = 1 −1 −1   3a 2 − 5a 2 a 2 + 2a 2      4

   −1 −1   3a + 5 + 6 + 10a − a − 7 − 10a   2a + 4  = =   −1  = −1   a 2 (a + 2 )   2 (a + 2 ) a     4

4    1   2(a + 2)  = 1 =  2a 2  = 16a 2 .   a − 2 (a + 2 )     

№ 1102     3 b 3 1   + 3 4 9  3 − b b 9 − b   b    33 b b  =3 +  b (b − 9 ) b − 9     b−9 =  3+ b =

−2

(

)

− b 2 + 18b + 81

−2

(b + 9)

−

0, 5

(

 3+ b =  b−9 

)

−2

 

− (b + 9) =

 b 2 − 18b + 81 − 9b − 6b b − b 2 − 81 − 54 b − 9b  − (b + 9) = =  9+6 b +b 

− 54 b − 36b − 6b b 9+6 b +b

(

−6 b 9+6 b +b 9+6 b +b

) = −6

b .

№ 1103 1)

1 + tg 2α 1 + ctg α 2

cos α sin α 2

= tg 2α

2) (1+tgα)(1+ctgα) – 1/(sinαcosα) = =

cosα + sinα sinα + cosα 1 ⋅ − = cosα sinα sinα cosα

1 + 2 sin α cos α 1 − =2. cos α sin α sin α cos α

150

www.5balls.ru

№ 1104

1 − (sin α + cos α )2 = 2tg 2α . sin α cos α − ctgα

тождества:

2 sin 2 α

Преобразуем

левую

часть

данного

1 − (sin α + cos α )2 1 − 1 − 2 sin α ⋅ cos α sin 2 α cos α = = −2 = cos α sin α cos α − ctgα cos α sin 2 α − 1 sin α cos α − sin α

(

2 sin 2 α

)

= 2tg 2α , таким образом, левая и правая части

1 − sin α cos α тождества совпадают, следовательно, тождество доказано. 2

№ 1105

1) sin2(α + 8π) + cos2(α + 10π) = sin2α + cos2α = 1; 2) cos2(α+6π)+cos2(α-4π)=cos2(α+3⋅2π)+cos2(2⋅2π-α)=cos2α+cos2α=2cos2α.

№ 1106

sin 2α sin α cos(π − α ) sin α ⋅ cos α sin α cos α + = + = 2 1 − 2 cos 2 α 1 − 2 sin 2 α sin 2 α − cos 2 α sin 2 α − cos 2 α sin 2α =− = −tg 2α . cos 2α

(

)

№ 1107 cos 2 x sin 2 x − = − sin x − cos x 1 + sin x 1 − cos x Преобразуем левую часть данного тождества:

(

)

cos 2 x − cos3 x − sin 2 x − sin 3 x cos 2 x − sin 2 x − cos3 x + sin 3 x = = (1 + sin x )(1 − cos x ) (1 + sin x )(1 − cos x ) (cos x − sin x )(cos x + sin x ) − (cos x + sin x )(1 − sin x ⋅ cos x ) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) cos x + sin x )(cos x − sin x − 1 + sin x ⋅ cos x ) ( = = (1 + sin x )(1 − cos x ) (cos x + sin x )(cos x(1 + sin x ) − (1 + sin x )) = = (1 + sin x )(1 − cos x ) ( cos x + sin x )(1 + sin x )(cos x − 1) = = − sin x − cos x , (1 + sin x )(1 − cos x ) таким образом правая и левая части тождества совпадают, ч.т.д.

№ 1108 α α + 2 sin 2 = 2 2 α α α α α π = 2 cos  cos + sin  = 2 2 cos sin  +  ; 2 2 2 2  2 4

1) 1 + cos α + sin α = (1 + cos α ) + sin α = 2 cos 2

151

www.5balls.ru

α α α − 2 sin cos = 2 2 2 α α α α α α π α π = 2 sin  sin − cos  = 2 sin ⋅ 2 sin  −  = 2 2 sin sin  −  ; 2 2 2 2 2  2 4  2 4 3) 3–4sin2α=3–4(1–cos2α)=3–4+4cos2α=4cos2α–1=(2cosα - 1)(2cosα + 1); 4) 1 – 4cos2α = (1 – 2cosα)(1 + 2cosα). 2) 1 − cos α − sin α = (10 cos α ) − sin α = 2 sin 2

№ 1109

α +β + γ = π 1) sin α + sin β − sin γ = 4 sin

α β γ sin cos 2 2 2

Рассмотрим правую часть: α β γ α β  π (α + β )  4 sin sin cos = 4 sin sin cos − = 2 2 2 2 2 2  2 α β α β α β α β β α sin sin  +  = 4 sin sin  sin cos + sin cos  = 2 2  2 2 2 2 2 2 2 2 α β β α β α = 4 sin 2 sin cos + 4 sin sin 2 cos = 2 2 2 2 2 2 β β α α β 2α = 2 sin cos ⋅ 2 sin + 2 sin cos 2 sin 2 = 2 2 2 2 2 2 = sin β(1 − cos α ) + sin α(1 − cos β ) = sin β − sin β cos α + sin α − sin α cos β = = sin β + sin α − (sin β cos α + sin α cos β ) = = 4 sin

π  = sin β + sin α − sin (α + β = )sin β + sin α − cos − (α + β ) = 2   = sin α + sin β − sin γ 2) Рассмотрим левую часть: sin2α + sin2β + sin2γ = 2sin(α + β)cos(α - β) + sin2γ = = 2sin(π - γ)cos(α - β) + sin2γ = 2sinγcos(α + 2β) + 2sinγcosγ = α −β+ γ α −β− γ = 2sinγ(cos(α + β) + cosγ) = = 2 sin γ ⋅ 2 cos cos = 2 2 π − 2β π − 2β − 2γ cos = 2 sin γ ⋅ 2 cos = 2 2 π  π  = 4 sin γ cos − β  cos − β − γ  = 4 sin γ sin β sin α = 4sinα sinβ sinγ. 2  2 

№ 1110 tgα = 2 sin 2 α + sin α cos α

. cos 2 α + 3 cos α sin α Разделим числитель и знаменатель данного выражения на cos2α ≠ 0 (последнее выполняется вследствие tgα = 2), 1)

152

www.5balls.ru

sin 2 α

sin α ⋅ cos α + tg 2α + tgα cos 2 α cos 2 α , при tgα = 2 выражение примет вид: = 2 1 + 3tgα cos α 3 cos α ⋅ sin α + cos 2 α cos 2 α 2 2 +2 6 = ; 1+ 3⋅ 2 7 2)

2 − sin 2 α 3 + cos 2 α

. Разделим числитель и знаменатель данного выражения на 2

−

sin 2 α

2 2 2 cos 2 α = 2 + 2tg α − tg α = 2 + tg α ; 2 3 3 + 3tg α + 1 4 + 3tg 2α +1

2 cos2α ≠ 0, получим: cos α

cos 2 α

при tgα = 2 выражение примет вид:

2 + 22 4 + 3 ⋅ 22

6 3 = 16 8

№ 1111

tgα + ctgα = 3, tg2α + ctg2α = (tgα + ctgα)2 – 2, тогда при tgα + ctgα = 3 выражение примет вид: 32 – 2 = 7.

№ 1112 π cos α + sin α π  cos α + sin α tg 4 + tgα − tg  + α  = − = cos α − sin α 4  cos α − sin α 1 − tg π 4 tgα cos α + sin α cos α + sin α − =0; cos α − sin α cos α − sin α

1 − sin 2α cos 2 α 1 − sin 2α π  1 − sin 2α 2) tg 2  − α  − = ctg 2α − = − = 1 + sin 2α sin 2 α 1 + sin 2α 2  1 + sin 2α = =

cos 2 α + sin 2α cos 2 α − sin 2 α + sin 2α sin 2 α sin 2 α(1 + sin 2α )

sin 2α + cos2 α − sin 2 α sin α(1 + sin 2α ) 2

sin 2α + cos 2α

sin 2 α (1 + sin 2α )

№ 1113 1)

tgα + tgβ tgα + tgβ = = tgαtgβ 1 1 ctgα + ctgβ + tgα

tgβ

2) (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 = sin2α + 2sinαcosα + cos2α + + sin2α - 2sinαcosα + cos2α = 2

153

www.5balls.ru

( (

) )

( (

) )

sin π + α − cos π + α 4 4 = sin π + α + cos π + α 4 4 sin π cos α + cos π sin α − cos π cos α + sin π sin α 4 4 4 4 = = sin π cos α + cos π sin α + cos π cos α − sin π sin α 4 4 4 4 cos α + sin α − cos α + sin α = = 2tgα ; cos α + sin α + cos α − sin α sin α + 2 sin π − α sin α + 2 sin π cos α − cos π sin α 3 3 3 4) = = 2 cos π − α − 3 cos α 2 cos π ⋅ cos α + sin π sin α − 3 cos α 6 6 6 3)

(

)

(

)

(

sin α + 3 cos α − sin α

№ 1114

( (

) )

( (

) )

)

( (

) )

sin 2 π − α 4 cos 2 π − α 4 =

1 − tg π − α 4 = 1) 1 + tg 2 π − α sin 2 π − α 4 4 1+ 2

)

= 3ctgα .

3 cos α + sin α − 3 cos α

1−

(

( (

cos 2 π − α 4

( (

) )

cos 2 π − α − sin 2 π − α 4 4 = cos 2 π − α = cos π − 2α = sin 2α . 4 2 cos 2 π − α + sin 2 π − α 4 4 sin 2α 2 sin α cos α = = tgα . 2) 1 + cos 2α 2 cos 2 α =

((

(

))

)

№ 1115 1)

tg 2α 1 + ctg2α

1 + ctg α 2

ctg α 2

tg 2α 1 tg 2α

1+ 1+

tg 4α 1 + tg 2α

tg 4α 1 cos2 α

sin4 α cos2 α ⋅ = sin2α tg2α. 1 cos4 α

cos 2 α sin 2 α =

⋅

sin 2 α

sin α cos α 2

cos 2 α

1 cos 2 α

sin 2 α

sin α sin β − cosα cosβ

sinαcosβ − sinβcosα sinαsinβ tgα − tgβ ⋅ = = = cosαcosβ sinβcosα + sinαcosβ ctgα + ctgβ cos α + cosβ sin α

sin β

sin (α − β ) sin (α − β ) 1 2 (cos(α − β ) − cos(α + β )) = ⋅ tgα ⋅ tgβ = ⋅ sin (α + β) sin (α + β ) 1 (cos(α − β ) + cos(α + β )) 2

154

www.5balls.ru

sin (α − β )cos(α − β ) − sin (α − β )cos(α + β ) = sin (α + β )cos(α − β ) + sin (α + β )cos(α + β ) 1 (sin (α − β − α + β) + sin (2α − 2β) − sin (− 2β ) − sin 2α ) = 2 = 1 (sin (− 2β ) + sin 2α + sin (α + β − α − β ) + sin (2α + 2β )) 2 sin (2α − 2β) + sin 2β − sin 2α = = sin (2α + 2β ) − sin 2β + sin 2α 2 sin α ⋅ cos(α − 2β ) − 2 sin α ⋅ cos α cos(α − 2β ) − cos α = = = 2 sin α ⋅ cos(α + 2β ) + 2 sin α ⋅ cos α cos(α + 2β ) + cos α − 2 sin (α + β ) ⋅ sin (− β ) = = tg (α + β ) ⋅ tgβ 2 cos(α + β ) ⋅ cos β 4) (tgα+ctgα)2–(tgα–ctgα)2=tg2α+2tgα⋅ctgα+ctg2α–tg2α+2tgα⋅ctgα-ctg2α=2 +2=4 =

№ 1116 1 + cos 2α 2 cos 2 α = = cos α ; 2 cos α 2 cos α tgα − sin α sin α − sin α cos α 1 − cos α α 2) = = = tg 2 ; tgα + sin α sin α + sin α cos α 1 + cos α 2 sin α + sin 3α + sin 5α sin 3α + (sin α + sin 5α ) 3) = = cos α + cos 3α + cos 5α cos 3α + (cos α + cos 5α ) sin 3α + 2 sin 3α cos 2α sin 3α(1 + 2 cos 2α ) = = = tg 3α ; cos 3α + 2 cos 3α cos 2α cos 3α(1 + 2 cos 2α ) 2 sin 2α + sin 4α 2 sin 2α + 2 sin 2α ⋅ cos 2α = 4) = 2 sin 2α − sin 4α 2 sin 2α − 2 sin 2α ⋅ cos 2α 1)

2 sin 2α (1 + cos 2α ) 2 cos 2 α = = ctg 2α . 2 sin 2α (1 − cos 2α ) 2 sin 2 α

№ 1117 1)

sin 2α + cos 2α + 2 sin 2 α sin 2α + cos 2α + 1 − cos 2α = = π sin (− α ) − sin (2,5π + α ) sin (− α ) − sin  2π + + α  2  

sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α (sin α + cos α )2 = = −(sin α + cos α ) π − sin α − cos α sin (− α ) − sin  + α  2  2)

cos 2α − sin 2α − 2 cos 2 α cos 2α − sin 2α − 1 − cos 2α = = π cos(− α ) − cos(2,5π + α ) cos α − cos 2π + + α  2   − (sin α + cos α )2 = −(sin α + cos α ) . cos α + sin α 155

www.5balls.ru

№ 1118

1 − cos(2π − 2α )

=2 1 − cos 2 (α + π ) Преобразуем левую часть данного тождества:

1 − cos(2π − 2α )

1 − cos 2α

)

2 sin 2 α

=2, 1 − cos 2 (α + π ) 1 − cos 2 α sin 2 α следовательно, тождество выполняется.

(

) sin (α + 90 ) Преобразуем левую часть: =

(

sin 2 α + 90o = 1 + cos α − 90o 1 + sin (− α )

cos 2 α 1 − sin 2 α = = 1 + sin α 1 + sin (− α ) 1 − sin α 1 − sin α o o Преобразуем правую часть тождества: 1+сos(α-90 )=1+cos(90 -α)=1+sinα Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. 2

№ 1119 5 cos x − 3 sin x sin 2 x − 8 sin 2 x − = cos 2 x sin π − x + sin (− x ) 2 5 cos x − 3 sin x sin 2 x − 4(1 − cos 2 x ) = − = cos x − sin x cos 2 x

(

)

(5 cos x − 3sin x )(cos x + sin x ) − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x = cos 2 x

5 cos 2 x + 5 cos x sin x − 3 sin x cos x − 3 sin 2 x − 2 sin x cos x + 8 sin 2 x = = cos 2 x =

(

)

5 cos 2 x + sin 2 x 5 = . cos 2 x cos 2 x

№ 1120  3π  3  − x  + tg (π − x )tg  π + x  = sin (x − 2π )cos  2  2  = -sin x sin x + (-tgx)(-ctgx) = 1 – sin2x = cos2x.

№ 1121 1) cos2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1=cos2(α+2β)+(-cos2(α-2β))=cos2(α+2β) – – cos2(α - 2β) = (cos(α + 2β) – cos(α - 2β))(cos(α + 2β) + cos(α - 2β)) = = (-2sinα ⋅ sin2β) ⋅ (2cosαcos2β) = -sin2αsin4β 2) sin2(α+2β)+ sin2(α-2β)–1= sin2(α+2β)–cos2(α–2β)=(sin(α + 2β) – –cos(α-2β))(sin(α+2β)+cos(α–2β))=(sinα⋅cos2β+sin2βcosα-cosα⋅cos2β-sinαsin2β) ⋅ (sinα⋅cos2β+sin2βcosα+cosα⋅cos2β+sinαsin2β)=(sinα(cos2β - sin2β) – –cosα(cos2β - sin2β))⋅(sinα(cos2β + sin2β) + cosα(cos2β + sin2β)) = = (sinα - cosα)(cos2β - sin2β)(cos2β + sin2β)(sinα + cos2β) = = (sin2α - cos2α)(cos22β - sin22β) = -cos2α ⋅ cos4β. 156

www.5balls.ru

№ 1122 1)

cos 4α − cos 2α cos 4α − cos 2α cos 4α − cos 2α = = −2 = −2 ; 1 sin 3α sin α cos 4α − cos 2α (cos 2α − cos 4α ) 2

1 + cos 2α + 2 cos α cos 2α = = cos α + 1 + cos 2α − 1 cos α + 2 cos 2 α − 1 2 cos α(cos α + cos 2α ) = 2 cos α . cos α + cos 2α

1 + cos α + cos 2α + cos 3α

№ 1123 1) =

4 sin 2 α − sin 2 2α 4 − 4 sin α − sin 2α 2

= = =

4 sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α

(

)

4 1 − sin 2 α − 4 sin 2 α ⋅ cos 2 α

( ) = 4 sin α = tg α ; α (1 − sin α ) 4 cos α

4 sin 2 α 1 − cos 2 α 4 cos

2 2     2tgα     2tgα  2   2   = tg 1 : tg α − α − =     1 − tg 2α   tg 2α − tg 2 2α   1 − tg 2α         

tg 2 2αtg 2α − 1

(

4tg 4α − 1 1 − tg 2α

(1 − tg α)

)

⋅

(1 − tg α) = tg α (1 − tg α ) − 4tg α 2

4tg 4α − 1 + 2tg 2α − tg 4α tg α − 2tg α + tg α − 4tg α 2

(

)(

3 tg 2α + 1 tg 2α − 1

)

3tg 4α + 2tg 2α − 1 tg 6α − 2tg 4α − 3tg 2α

2 3 = 3tg α − 1 = tg 2α tg 2α + 1 tg 2α − 3 tg 2α tg 2α − 3

(

)(

)

(

)

3 sin α 2

−1 3 sin 2 α − cos 2 α cos 2 α = = 2 2  sin 2 α  sin 2 α 2  sin α −3 cos α   sin α −3    cos 2 α cos 2 α  cos 2 α   

( α (3 cos

) = ctgα ⋅ cos 3α = ctgα ⋅ ctg 3α . sin 3α α)

− cos 2 α cos 2 α − 3 sin 2 α − sin

α − sin

№ 1124

2 − cos x − sin x = sin x − cos x

 π   2 −  sin  − x  + sin x  2    = π   sin x − sin  − x  2 

157

www.5balls.ru

π π  ⋅ cos − x  4 4 = π π  2 sin  x −  ⋅ cos 4 4 

2 − 2 sin

π  π  2 − 2 cos − x  1 − cos − x  4 = 4  π π   2 sin  x −  sin  x −  4 4  

1 + cos x + sin x + tgx cos x + cos 2 x + sin x − cos x + sin x = = sin x + cos x cos x(sin x + cos x ) (cos x + sin x ) + cos x(cos x + sin x ) = 1 + cos x = 1 + 1 . = cos x(sin x + cos x ) cos x cos x

№ 1125 sin α ⋅ cos α 2 sin α cos α ctgα 3 sin α ctgα = , = . = 4 sin 2 α − cos 2 α sin 2 α cos 2 α 1 − ctg 2α − sin 2 α

sin 2 α

При ctgα = ¾ выражение примет вид:

3 4 4 = 3 ⋅ 16 = 1 5 . = 2 9 7 4 7 1 − 3 1− 16 4

( )

№ 1126 α=− = =

π 2 − 3sin2 α sin α + 2 cosα 2 − 2sin2 α − sin2 α sin α + 2 cosα , = − = − 8 cos2α sin α + cosα cos2α sin α + cosα

2 cos 2 α − sin 2 α cos 2 α − sin 2 α

−

sin α + 2 cos α = sin α + cos α

2 cos 2 α − sin 2 α − (sin α + 2 cos α )(cos α − sin α ) = cos 2α

2 cos 2 α − sin 2 α − sin α ⋅ cos α + sin 2 α + 2 cos α sin α − 2 cos 2 α = cos 2α 1 sin 2α − sin 2α − sin α ⋅ cos α + 2 cos α sin α 1 2 = = = ⋅ tg 2α . cos 2α cos 2α 2 1  π 1 π При α = − выражение примет вид: tg  −  = − . 8 2  8 2 =

№ 1127

tg (α − β ) + tgβ cos(α + β ) = . Преобразуем левую часть: tg (α + β ) − tgβ cos(α − β )   tgα + tgβ  tg (α − β ) + tgβ  tgα − tgβ = + tgβ  :  − tgβ  = tg (α + β ) − tgβ  1 + tgαtgβ 1 − tg α tg β   

158

www.5balls.ru

 tgα − tgβ + tgβ + tgαtg 2β   tgα + tgβ − tgβ + tgα ⋅ tg 2β  : = =     1 + tg α tg β 1 tg tg − α β     tgα 1 + tg 2β 1 − tgαtgβ 1 − tgα ⋅ tgβ = ⋅ = = 1 + tgαtgβ tgα 1 + tg 2β 1 + tgαtgβ cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β cos(α + β ) = = ⇒ тождество выполняется. cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β cos(α − β )

(

)

(

)

№ 1128

π α 1) 1 + sin α = 2 cos 2  −  . Преобразуем правую часть: 4 2   π α  π α π  2 cos 2  −  = 1 + cos 2 −   = 1 + cos − α  = 1 + sin α , 4 2 4 2 2        правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. π α 2) 1 − sin α = 2 sin 2  −  . Преобразуем правую часть: 4 2 π α   π α π  2 sin 2  −  = 1 − cos 2 −  = 1 − cos − α  = 1 − sin α , 4 2 4 2 2       права часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.

№ 1129 π π   1) sin  α +  − sin  α −  = 3 cos α 3 3   Преобразуем левую часть:

3 π π π   sin  α +  − sin  α −  = 2 sin ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 3 cos α , 3 3 3 2   правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. π  π  2) cos + α  + cos − α  = 3 cos α . Преобразуем левую часть: 6 6     π 3 π  π  cos + α  + cos − α  = 2 cos ⋅ cos α = 2 ⋅ ⋅ cos α = 3 cos α , 2 6 6 6     следовательно, тождество выполняется.

№ 1130 1)

2 α α tg + ctg 2 2

2 tg 2)

α α + ctg 2 2

= sin α . Преобразуем левую часть:

2tg tg 2

α 2

α +1 2

= sin α , следовательно, тождество выполняется.

ctgα − tgα = cos 2α . Преобразуем левую часть, получим: ctgα + tgα 159

www.5balls.ru

cos α sin α cos 2 α − sin 2 α − sin α cos α = sin α ⋅ cos α = cos 2α . cos α sin α cos 2 α +sin 2 α + sin α

cos α

sin α⋅cos α

№ 1131

(1 + cos α )tg α = sin α .

Преобразуем левую часть выражения: 2 (1 + cos α )tg α = 2 cos2 α ⋅ sin (α 2) = 2 cos(α 2) ⋅ sin (α 2) = sin α , 2 2 cos(α 2 ) следовательно, тождество выполняется.

№ 1132 1) 1 − tg 2α = 1 − tg 2α = 1 −

cos 2α cos 2 α sin 2 α

. Преобразуем левую часть: =

cos 2 α − sin 2 α

cos 2α

, cos α cos α cos 2 α тождество выполняется; − cos 2α . Преобразуем левую часть: 2) 1 − ctg 2α = sin 2 α 1 − ctg 2α =

sin 2 α − cos 2 α sin 2 α

=−

cos 2α sin 2 α

следовательно,

тождество

выполняется.

№ 1133 π α π α 1 + cos α + cos 2α = 4 cos α cos +  ⋅ cos −  = 6 2   6 2 1 π 1 = 4 cos α cos α + cos  = 2 cos 2 α + cos α = 1 + cos α + cos 2α , 2 2 3  следовательно, тождество выполняется.

№ 1134 1)

1 − 2 sin 2 α 1 − tgα . Преобразуем левую часть: = 1 + sin 2α 1 + tgα

sin α 1− 1 − 2 sin 2 α cos 2 α − sin 2 α cos α − sin α α = 1 − tgα cos = = = 2 sin α 1 + sin 2α cos sin α + α 1 + tgα (cos α + sin α ) 1+ 2)

1 4 sin 2 α cos 2 α

= 1+

(1 − tg α) 2

4tg 2α

cos α

160

www.5balls.ru

Преобразуем левую часть:

4 sin α cos α Преобразуем правую часть, получим: 2

1 sin 2 2α

= 1 + ctg 2 2α .

(1 − tg α) ⋅ (1 − tg α ) = 1 + 2

1 1 ⋅ = 1 + ctg 2 2α , правая часть равна 2tgα 2tgα tg 2α tg 2α левой, следовательно, тождество верно. π  1 + sin 2α . Преобразуем левую часть: 3) tg  + α  = cos 2α 4  1+

( (

) )

π sin π ⋅ cos α + cos π ⋅ sin α cos α + sin α π  sin 4 + α 4 4 tg  + α  = = . = π π π cos α − sin α cos ⋅ cos α − sin ⋅ sin α 4  cos 4 + α 4 4 Преобразуем правую часть:

(sin α + cos α )2 1 + sin 2α cos α + sin α . = = (cos α − sin α )(cos α + sin α ) cos α − sin α cos 2α Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется. 1 − sin 2α π  = ctg 2  + α  . 4) 1 + sin 2α 4  Преобразуем левую часть: Преобразим правую часть:

( (

1 − sin 2α (cos α − sin α )2 = . 1 + sin 2α (cos α + sin α )2

) ( ) (

) )

2 2π 2 +α cos π ⋅ cosα − sin α ⋅ sin π π  cos 4 4 = (cosα − sinα) = ctg2  + α  = 2 4 2 4  sin π + α (cosα + sinα)2 sin π ⋅ cosα + cos π ⋅ sin α 4 4 4 Правая часть равна левой, следовательно, тождество выполняется.

№ 1135 π  π  1) 4 sin x ⋅ sin  − x  ⋅ sin  + x  = sin 3 x . Преобразуем левую часть: 3  3  1 2π  π  π  4 sin x ⋅ sin  − x  ⋅ sin  + x  = 4 sin x ⋅  cos 2 x − cos  = 2 3  3  3  π 2  = 2 sin x ⋅ cos 2 x − 2 sin x ⋅ cos π −  = 2 sin x ⋅ cos 2 x + sin x = 3 2  = 2sinх ⋅ cos2х + sinх = sinх(2cos2 + 1) = sinх(3cos2х - sin2х) = sin3х, следовательно, тождество выполняется; sin 24 x 2) cos 3 x cos 6 x cos12 x = 8 sin 3 x Умножим обе части тождества на 8sin3x и докажем равносильное тождество 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = sin24x (1) Преобразуем левую часть: 8cos3x ⋅ sin3x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = = 4sin6x ⋅ cos6x ⋅ cos12x = 2sin12x ⋅ cos12x = sin24x, следовательно, тождество (1), как и исходное, выполняется. 161

www.5balls.ru

№ 1136 3 x − 16 x+6 x+3 , 3х–16+12=3х + 18 – 2х – 6, 2х = 16, х = 8; +1 = − 12 4 6 5 6(x − 8) 43   = − x +  , 35(х–7)–63х–18(х–8)=-21х – 301, 2) (x − 7 ) − 3 x − 3 7 3   35х – 245 – 63х – 18х + 144 = -21х – 301, -25х = -200, х = 8. 1)

№ 1137 а(х – 3) + 8 = 13(х + 2). Если х = 0, то а(0 – 3) + 8 = 13(0 + 2); -3а + 8 = 0 + 26, -3а = 18, а = -6.

№ 1138 1 – b(x + 4) = 2(x – 8). Если х = 1, то 1 – b(1 + 4) = 2(1 – 8), 1 – 5b = -14, -5b = -15, b = 3.

№ 1139 1) х(х + 1) – (х + 2)(х + 3) + 9 = х(х + 4) – (х + 5)(х + 2), х2 + х – х2 – 3х – 2х – 6 + 9 = х2 + 4х – х2 – 2х – 5х – 10, -х = -13, х = 13; 2) 2(х+3)(х+1)+8=(2х+1)(х+5), 2х2+2х+6х+6+8=2х2+10х+х+5,-3х=-9, х=3.

№ 1140 3 2 4 3 2 4 , − − =0, − = 2 x + 3 x − 3 x − 9 x + 3 x − 3 (x − 3)(x + 3) 3(x − 3) − 2(x + 3) − 4 x − 13 =0, =0. (x − 3)(x + 3) (x − 3)(x + 3) Знаменатель дроби не равен 0, следовательно, х – 13 = 0, т.е. х = 13;

3± 9−8 5 2 11 = 3 ±1, + = , х2 – 6х + 8 = 0, x1, 2 = 1 x − 2 x − 4 x2 + 6x + 8 х1 = 2, х2 = 4, следовательно х = 2, х = 4 решениями не являются, т.к. обращают в 0 знаменатели дробей. 5 2 11 5 x − 20 + 2 x − 4 − 11 + − =0, =0, (x − 2)(x − 4) x − 2 x − 4 (x − 2)(x − 4) 2)

7 x − 35

(x − 2)(x − 4)

7 x − 35 = 0 , х = 5. = 0 , что равносильно системе,  (x − 2 )(x − 4 ) ≠ 0

№ 1141 1) (a – b)x = a2 + (a + b)x, ax – bx = a2 + ax + bx, -2bx = a2, x = − 2) a2x = a + b + b2x, x(a2 – b2) = a + b, x =

a+b a 2 − b2

, x=

1 . a−b

№ 1142 1) х2 – 2х – 15 = 0, x1, 2 =

1 ± 1 + 15 = 1 ± 4 , х1 = 5, х2 = -3; 1

162

www.5balls.ru

a2 ; 2b

2) 3х2 + 4х – 4 = 0, x1, 2 =

2 − 2 ± 4 + 12 − 2 ± 4 , x1 = , х2 = -2. = 3 3 3

№ 1143 1) (х – 3)(х – 2) = 6(х – 3), (х – 3)(х – 2 – 6) = 0, (х – 3)(х – 8) = 0, х = 3, х = 8; 11x 1 2) x 2 − + = 0 , 6х2 – 11х + 3 = 0, 6 2 x1, 2 =

11 ± 121 − 72 11 ± 7 3 1 = , x1 = , x2 = . 2 12 12 3

№ 1144 1)

x(x − 1) + x(x + 1) x x = 0 , что равносильно системе: + =0, x +1 x −1 x2 − 1

 x 2 − x + x 2 + x = 0 , х =0;  2  x − 1 ≠ 0 2)

3x 2 2 x + 1 3 x 2 (3 x + 1) − 2(3x − 1)(3 x + 1) − (2 x + 1)(3 x − 1) =0, −2= , (3x − 1)(3x + 1) 3x − 1 3x + 1

9 x3 + 3x 2 − 18 x 2 + 2 − 6 x 2 + 2 x − 3 x + 1 = 0, (3x − 1)(3x + 1) 9 x3 − 21x 2 − x + 3 = 0 , что равносильно системе: (3x − 1)(3x + 1) 9 x3 − 21x 2 − x + 3 = 0 3 x 2 (3 x − 7 ) − (x + 3) = 0 ;  Решений нет.  (3 x − 1)(3 x + 1) ≠ 0 (3 x − 1)(3 x + 1) ≠ 0

№ 1145 1)

3x − 1 7 7 x 2 − 28 18 3 x − 1 − 7 7 x 2 − 28 18 , = 2 − , − = 2 + x+2 x−2 x+2 2+ x 2−x x −4 x −4

3x − 8 7 x 2 − 28 − 18(x + 2) 7 x 2 − 28 − 18 x − 36 (3 x − 8)(x − 2 ) − =0, = , x +1 x2 − 4 x2 − 4 x2 − 4 7 x 2 − 18 x − 64 − 3 x 2 + 6 x + 8 x − 16 x2 − 4

= 0 , что равносильно системе:

4 x 2 − 4 x − 80 = 0  x 2 − x − 20 = 0 ;  .  (x − 2 )(x + 2 ) ≠ 0 (x − 2 )(x + 2 ) ≠ 0 Решим первое уравнение системы: х2 – х – 20 = 0, x1, 2 =

1 ± 1 + 4 ⋅ 20 1 ± 9 , х1 = 5, х2 = -4. = 2 2 163

www.5balls.ru

12 2− x x +1 − = , x + 3 x2 − 9 3 − x

(x + 1)(x − 3) − 12 + (2 − x )(x + 3) = 0 , x2 − 9

x2 − 3x + x − 3 − 12 + 2x + 6 − x2 − 3x = 0 −3x − 9 = 0  x = −3 ,  . ,   x − 3 x + 3 ≠ 0 ( )( ) − 3 + 3 ≠ 0 x x ( )( )  (x − 3)(x + 3) ≠ 0  Ответ: решений нет

№ 1146 2

−

(

)

1 2 x − 1 2(x + 1) − x 2 − x + 1 − 2 x + 1 = 3 =0, , x +1 x +1 x3 + 1

x − x +1 − x 2 + x + 2 = 0  x = −1, x = 2 . ,   2 2 (x + 1) x − x + 1 ≠ 0 (x + 1) x − x + 1 ≠ 0 Решением системы является х = 2. 2

(

)

(

)

№ 1147 1 =0. x При х ≠ 0 умножим обе части уравнения на х: х2 – 4х + 1 = 0, 1) x − 4 +

x1, 2 = 2)

2 ± 4 −1 = 2± 3 ; 1

 2 4 x2 10 4 x 2 − 10 + 4 x + 8 − +4=0, = 0 , 4 x + 4 x − 2 = 0 x+2 x+2 x+2 x + 2 ≠ 0

2 x 2 + 2 x − 1 = 0 −1± 1+ 2 −1 ± 3 . , 2х2 + 2х – 1 = 0, x1, 2 = =  2 2  x ≠ −2

№ 1148 1) х4 – 11х2 + 30 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: у2 – 11у + 30 = 0, y1, 2 =

11 ± 121 − 120 11 ± 1 = , у1 = 6, у2 = 5, но у = х2, т.е. 2 2

х2 = 6, x = ± 6 ; х2 = 5, x = ± 5 . Ответ: x = ± 5 , x = ± 6 . 2) 2х4 – 5х2 + 2 = 0. Пусть х2 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 – 5у + 2 = 0, 5 ± 25 − 16 5 ± 3 8 1 = , y1 = = 2, y2 = , но у = х2, т.е. 4 4 4 2 1 1 1 . Ответ: x = ± 2 , x = ± х2 = 2, x = ± 2 и x 2 = , x = ± . 2 2 2 y1,2 =

№ 1149 1) 2х-2 + 4х-1 + 3 = 0. Пусть х-1 = у, тогда уравнение примет вид: 2у2 + 4у + 3 = 0, 164

www.5balls.ru

−2± 4−6 ; D < 0, корней нет; 2 2) (х2 – х)2 + 12 = 8(х2 – х) Пусть х2 – х = у, тогда уравнение примет вид: у2 +12=8у, у2 –8у+12 = 0, y1, 2 =

4 ± 16 − 12 = 4 ± 2 , у1 = 6, у2 = 2, но у = х2 – х, т.е. 1 х2 – х – 6 = 0, х1 = 3, х2 = -2 и х2 – х – 2 = 0, х1 = -1, х2 = 2. Ответ: х1 = 3, х2/3 = ±2, х4 = -1. y1, 2 =

№ 1150 a2 = 0 , x1, 2 4 −a ± 2b . = 2

1) x 2 + ax − b 2 + Ответ: x1, 2 2)

 a 2  − a ± a 2 + 4 b 2 −  4  − a ± 2b  = . = 2 2

2 x(2 x + a ) − x(2 x − a ) − 5a 2 2x x 5a 2 =0, − = 2 , 2x − a 2x + a 4x − a2 4x2 − a2

4 x 2 + 2ax − 2 x 2 + ax − 5a 2 4x2 − a2 2 x 2 + 3ax − 5a 2 4 x2 − a2

=0,

= 0 , что равносильно системе:

2 x 2 + 3ax − 5a 2 = 0 , 2х2 + 3ах – 5а2 = 0,  (2 x − a )(2 x + a ) ≠ 0 x1, 2 =

− 3a ± 9a 2 + 40a 2 − 3a ± 7 a −5 = , х1 = а, x2 = a. 2 4 4

№ 1151

ах2 +bx + c. При а ≠ 0, a > 0, b2 = 4ac трехчлен ax2 + bx + c является квадратом двучлена.

№ 1152 ax2 + bx + a = 0, a ≠ 0, x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac , 2a

− b − b 2 − 4a 2 − b + b 2 − 4a 2 b 2 − b 2 + 4a 2 ⋅ = = 1, 2a 2a 4a 2 следовательно, х1, х2 – взаимно обратные числа. x1 ⋅ x2 =

№ 1153 1) |2x – 3| = 7; а) если 2х – 3 ≥ 0, то 2х – 3 = 7, 2х = 10, х = 5; 165

www.5balls.ru

б) если 2х – 3 < 0, то 2х – 3 = -7, 2х = -4, х = -2. 2) |x + 6| = 2x; а) если х + 6 ≥ 0, то х + 6 = 2х, х = 6; б)если х + 6 < 0, то х + 6 = -2х, х = –2, но тогда х + 6 < 0 не выполняется Ответ: х = 6. 3) 2х – 7 = |x - 4|; а) если х – 4 ≥ 0, то 2х–7=х – 4, х = 3, но тогда х – 4 ≥ 0 не выполняется; 11 2 б) если х – 4 < 0, то 2х – 7 = -х + 4, 3х = 11, x = =3 . 3 3

№ 1154 1) |6 – 2x| = 3x + 1; а) если 6 – 2х ≥ 0, то 6 – 2х = 3х + 1, х = 1; б) если 6 – 2х < 0, то 2х – 6 = 3х + 1, х = -7, но тогда 6 – 2х < 0 не выполняется. 2) 2|x – 2| = |x| - 1 Рассмотрим уравнение на промежутках: 0

Ответ: х = 1.

а) x < 0, тогда 2(2 – х) = -х – 1, 4 – 2х = -х – 1, х = 5, но x < 0 ⇒ x = 5 не является решением; б) 0 ≤ х < 2, тогда 2(2 – х) = х – 1, 4 – 2х = х – 1, х =

5 ; 3

в) х ≥ 2, 2(х – 2) = х – 1, 2х – 4 = х – 1, х = 3. Ответ: х = 3, х = 1

№ 1155 |x2 – 3x – 6|=2x. Найдем корни трехчлена: х2 – 3х – 6 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 1 ⋅ (–6) = 33, x1,2 =

3 ± 33 , 2

+ 3 − 33 2

–

3 + 33 2

  3 − 33   3 + 33 ;+∞  , 1) x ∈  − ∞; U   2   2   2 тогда уравнение примет вид: х – 3х – 6 = 2х; х2 – 5х – 6 = 0,   3 − 33   33 ;+∞  ; х1 = 6, х2 = -1 ∈  − ∞;  U 3 +   2   2  

166

www.5balls.ru

2 . 3

 3 − 33 3 + 33   , -х2+3х+6=2х, -х2+х+6=0, х2–х–6=0, х1=3, ; 2) x ∈   2 2    3 − 33 3 + 33   . Наименьший корень х = 3. ; х2=-2, − 2 ∈    2 2  

№ 1156 |x2 – 8x + 5| = 2x Найдем корни трехчлена: х2 – 8х + 5 = 0. D = 64 – 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = 44 8 ± 44 = 4 ± 11 . 2 ⋅1 +

x1, 2 =

–

4−

(

11 1

] [

)

1) x ∈ − ∞;4 − 11 U 4 + 11;+∞ , х2 – 8х + 5 = 2х, х2 – 10х + 5 = 0, x1, 2 =

5 ± 25 − 5 = 5 ± 20 ∈ Q ; 1

(

)

2) x ∈ 4 − 11;4 + 11 , -х2 + 8х – 5 = 2х, -х2 + 6х – 5 = 0, х2 – 6х + 5 = 0, х1 = 5, х2 = 1. Наибольший рациональный корень х = 5.

№ 1157 2x + 7 = x + 2 ,

2 x + 7 = (x + 2 )2 2 x + 7 = x 2 + 4 x + 4  x 2 + 2 x − 3 = 0  x1 = 1, x2 = −3 ;  ; . ;    x ≥ −2  x ≥ −2  x ≥ −2 x + 2 ≥ 0 Ответ: х = 1 2) x = 2 − 2 x − 5 ,

2x − 5 = 2 − x

 x = 3 2 x − 5 = (2 − x )2 2 x − 5 = 4 − 4 x + x 2  x 2 − 6 x + 9 = 0  x ≤ 2 ;  ;  . ;    x = 3 x ≤ 2 x ≤ 2 2 − x ≥ 0   x ≤ 2 Ответ: корней нет.

№ 1158

1) 3х-7 = 81, 3х-7 = 34, х – 7 = 4, х = 11; 1

2) 2 x −5 x + 6,5 = 2 , 2 x −5 x + 6,5 = 2 2 , х2 – 5х + 6,5 = 0,5, х2 – 5х + 6 = 0, х1 + х2 = 5, х1 ⋅ х2 = 6, х1 = 2, х2 = 3; 2

(

1  3)  ⋅ 4 x  = 22 x + 6 , 4−1 ⋅ 4 x 4  4x

−x

)

( )

= 22 x + 6 , 4 x −1

= 4 x +3 ,

= 4 x + 3 , х2 – х = х + 3, х2 – 2х – 3 = 0, х1 = -1, х2 = 3. 167

www.5balls.ru

№ 1159

(

)

8 = 8 , 95х = 9, 5х = 1, х = 1/5; 9 2) 2х+4 – 2х = 120, 2х(16 – 1) = 120, 2х = 8, х = 3. 1) 95 x − 95 x −1 = 8 , 95 x 1 − 9−1 = 8 , 95 x ⋅

№ 1160

1) 52х+5 ⋅ 73х+1 = 351/2(5х+6), 52х+5 ⋅ 73х+1 = 52,5х+3 ⋅ 72,5х+3, 5 2, 5 x + 3 ⋅ 7 2, 5 x + 3 5

2 x +5

0, 5 x

0 ,5 x

⋅7

3 x +1

= 1 , 50,5х-2 ⋅ 7-0,5х+2 = 1,

25  5  ,   49  7 

0, 5 x

50 , 5 x − 0 , 5 x ⋅7 ⋅ 49 = 1 , 25

5 =   , 0,5х = 2, х = 4; 7 6

2 2 2 1 2) 0,2 x ⋅ 52 x + 2 =   , 5− x ⋅ 52 x + 2 = 5−6 , 5− x + 2 x + 2 = 5−6 , 5 -х2 + 2х + 2 = -6, -х2 + 2х + 8 = 0, х2 – 2х – 8 = 0, х1 = 4, х2 = -2.

№ 1161 1) 2,43-2х = 2,43х-2, 3 – 2х = 3х – 2, 5 = 5х, х = 1;

( 3 ) = (3 5 )

2) 5

x−2

 1 =  8  16 

, х = -х + 2, 2х = 2, х = 1;

−x

1 ,   3) 8 3 = −4 x , x = − 3 . 2 8 1

1 =  2

−4 x

1 ,   2

1 =  2

−4 x

№ 1162 x −1

2  22  , 3  32  2х + 3 – 3х = 1, -х = -2, х = 2; x

 4   27  1)   ⋅   9  8 

 33  ⋅ 3  2   

x −1

2 2 2 ,     3 3 3

3− 3 x

2 , 3

2 x ⋅ 3x = 216 , 2х/3 ⋅ 3х/3 = 63, (6)х/3 = 63, х/3 = 3, х = 9.

№ 1163  25 + 5 + 1  1) 5х+1 + 5х + 5х-1 = 155, 5х(5 + 1 + 5-1) = 155, 5 x   = 155 , 5   5х = 25, 5х = 52, х = 2; 2) 32х – 2 ⋅ 32х-1 – 2 ⋅ 32х-2 = 1, 32х(1 – 2 ⋅ 3-1 – 2 ⋅ 3-2) = 1,  32 − 2 ⋅ 3 − 2   = 1 , 32х = 9, 32х = 32, х = 1. 32 x    9   х х-1 х 3) 7 – 7 = 6, 7 (1 – 7-1) = 6, 7х = 7, х = 1; 4) 3х+2 + 3х = 10, 3х(32 + 1) = 10, 3х = 1, х = 0. 168

www.5balls.ru

№ 1164

1) 32х – 3х = 72, 32х – 3х = 34 – 32, 3х(3х – 1) = 32(32 – 1), х = 2; 2) 4х – 2х+1 = 48, 22х – 2х+1 = 48, 2х(2х – 21) = 23(23 – 21), х = 3.

№ 1165 1) (log2x)2 – 3log2x + 2 = 0. Пусть log2x = a, тогда уравнение примет вид: а2 – 3а + 2 = 0, а1 = 1, а2 = 2, т.е. log2x = 1, x = 2, log2x = 2, x = 4. Ответ: х = 2, х = 4 2) (log3x)2 + 5 = 2log3x3, (log3x)2 + 5 – 6log3x = 0, log3x = a, a2 + 5 – 6a = 0, a2 – 6a + 5 = 0, a1 = 1, a2 = 5, т.е. log3x = 1, x = 3, log3x = 5, log3x = log335, x = 35 = 243 Ответ: х = 3, х = 243.

№ 1166 2 2 = ln (x + 2 ) , ln2 – ln(x + 1) = ln(x + 2), ln − ln (x + 2 ) = 0 , x +1 x +1   2 2  = ln1 , ln = 1 , 2 = х2 + 3х + 2, х2 + 3х = 0, ( )( x + 1 x + 2) x + x + 1 2 ( )( )   х = 0, х = -3, при х = -3 ln(x + 2) не определен. Ответ: х = 0  3x + 6   = log3 3 , 3 x + 6 = 3 , 2) log3 3 x − 6 − log3 x − 3 = 1 , log3   x−3  x−3   3х – 6 = 32(х – 3), 3х – 6 = 9х – 27, 21 = 6х, х = 3,5. 1) ln

№ 1167  1 1 1 1 1     , lg  + x  2 x  = lg1 , 1) lg + x  = lg − lg x , lg + x  = lg 2 2 2 2 2 x        1 1   + x 2 x = 1 , х + 2х2 = 1, 2х2 – х – 1 = 0, х1 = -1, x 2 = , 2 2   при х = -1 lg x не определен. 1 Ответ: x = 2 1 1 2) 2 lg x = − lg =0, , lg x 2 + lg 2 6 − x2 6−x  x2 = lg1 lg 2  6 − x x > 0  2 −1 >0 6− x 

(

)

 x2 = 6 − x2  2  6 − x x > 0  2 −1 >0 6− x 

(

)

 2 2 x = 6 − x > x 0   2 −1 >0 6−x

(

)

 x = ± 3 x= 3. x > 0  2 −1 >0 6−x

(

)

169

www.5balls.ru

№ 1168

1) log2(2x – 18) + log2(x – 9) = 5, log2(2x – 18)(x – 9) = log225, (2 x − 18)(x − 9 ) = 25 , 2х2 – 18х – 18х + 162 – 32 = 0,  2 x − 18 > 0 2х2 – 36х + 130 = 0, х2 – 18х + 65 = 0,

9 ± 81 − 65  x = 13, x2 = 5 . Ответ: х = 13 = 9±4,  1 1 x > 9 2 2 2) lg(x + 19) – lg(x + 1) = 1, lg((x + 19) : (x + 1)) = lg10,  x 2 + 19  = 10  x 2 + 19 = 10 x + 10  x 2 − 10 x + 9 = 0  x1 = 1, x2 = 9   x +1   x > −1   x > −1  x > −1 x + 1 > 0  Ответ: х = 1, х = 9. x1, 2 =

№ 1169 2

1) 5log3 x − 6 ⋅ 5log3 x + 5 = 0 . Пусть log3x = a, тогда уравнение примет вид: 52а – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, (5a)2 – 6 ⋅ 5a + 5 = 0, 5a = 1, a = 0 = log3x, x = 1, 5a = 5, a = 1 = log3x, x = 3. Ответ: х = 1, х = 3.

(

2) 25log3 x − 4 ⋅ 5log3 x +1 = 125 , 5log3 x log3 x

Пусть 5 a1 =

2 log3 x

т.к. 5

) − 4⋅5⋅5 2

log3 x

= 125 .

= a , тогда уравнение примет вид: а – 20а – 125 = 0, 2

10 ± 100 + 125 = 10 ± 15 , а1 = 25, а = -5; а2 не является решением, 1 ≠ −5 < 0 , 5log3 x = 52 , log3x=2, х=9. Ответ: х = 9.

№ 1170 1) xlgx = 10. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: 1 , lg2x=1, x=0, но x>0, следовательно, решений нет. logxxlgx=logx10, lg x = lg x 2) xlog3 x = 9 x . Прологарифмируем обе части уравнения по х: log x x log3 x = log x 9 x , log3x = logxx + logx9, log3x = 1 + 2logx3, log3 x = 1 +

2 , log3 x

1 log32x–log3x–2=0, log3x=-1, x=3-1, log3x = 2, x = 9. Ответ: x = , х = 9. 3 3) xlgx – 1 = 10(1 – x-lgx), xlgx – 1 = 10 – 10x-lgx, xlgx + 10-lgx – 11 = 0. Пусть lgx = y, тогда х = 10у и уравнение примет вид: 2 10 (10у)у + 10 ⋅ (10у)-у – 11 = 0, 10 y + 2 − 11 = 0 . y 170

www.5balls.ru

Пусть 10 y = z , тогда уравнение примет вид: z +

10 − 11 = 0 , при z ≠ 0, z

z2 – 11z + 10 = 0, z1 = 10, z2 = 1, тогда 10 y = 10 , у = ± 1 и 10 y = 1 , у = 0, тогда х = 10±1, х = 100 (заметим, что x > 0). Ответ: х = 1, х = 10, х = 0,1. 4) x

= xx .

Заметим, что х = 1 – решение, далее  x 

 = x x ; x2  

= x x , пусть

( ) ( )

x = y , х = у2, и уравнение примет вид: y 2 y 2 = y 2 ; 2у = у2, 2 у – 2у = 0, у(у – 2) = 0, у = 0, у = 2, тогда х = 0, х = 4, но 00 не определен. Ответ: х = 1, х = 4.

№ 1171 2

2 2 2 2 2 2 2 1) 7 ⋅ 4 x − 9 ⋅ 14 x + 2 ⋅ 49 x = 0 , 7 ⋅  2 x  − 9 ⋅ 2 x ⋅ 7 x + 2 ⋅  7 x  = 0 ,    

 2x2 7 2  x 7

  2 x2   − 9 +2 = 0.   x2  7   

2 Пусть   7 a1 = 2

= a , тогда уравнение примет вид: 7а2 – 9а + 2 = 0

9 ± 81 − 56 9 ± 5 2 = , а1 = 1, a2 = , тогда 14 14 7 x2

2 2 2 а)   = 1 , т.е. х = 0; б)   = , т.е. х = ±1. Ответ: х = 0, х = ±1. 7 7 7 2) 5х+4 + 3 ⋅ 4х+3 = 4х+4 + 4 ⋅ 5х+3, 545х + 3 ⋅ 43⋅ 4x = 44 ⋅ 4x + 4 ⋅ 53 ⋅ 5x, 625 ⋅ 5x + 192 ⋅ 4x = 256 ⋅ 4x + 5 ⋅ 100 ⋅ 5x, x

4 4 4 4 4 625 + 192 ⋅   = 256  + 100 ⋅ 5 , 64  = 125;   =   5 5 5 5 5

№ 1172

(

)

(

−3

)

1) log 4 2 + x + 3 = 1 , log 4 2 + x + 3 = log 4 4 , 2 + x + 3 = 4  x + 3 = 4   x ≥ −3 , х = 1.  x + 3 ≥ 0 2) log 1

( )

x 2 − 2 x = − 1 , log 1 x 2 − 2 x = log 1 1 2 3 3 3

( )

 2 x − 2x = 3  2  x − 2 x > 0

−1

 x 2 − 2 x − 3 = 0  x1 = −1; x2 = 3 х = -1, х = 3.   x(x − 2 ) > 0   x(x − 2 ) > 0 171

www.5balls.ru

1 log3 (x + 1) = log3 x + 4 − 2 log3 2 , 2

log3 (x + 1)

= log3 x + 4 − log3 2 , log3 (x + 1)

 x+4  x +1 = 2  x + 1 > 0 x + 4 > 0  

= log3

x+4 , 2

x  x + 1 = 4 + 1  4 x + 4 − x − 4 = 0  x = 0  x > −1  x > −1  x > −1 х = 0    x > −4  

№ 1173 1) х1+lgx = 10x, Прологарифмируем по основанию х: logxx1+lgx = logx10x, 1 1 + lg x = 1 + logx10, 1 + lg x = 1 + , lg2x = 1; lg x = ±1, x = 10, х = 0,1. lg x 2) xlgx = 100x. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию х: logxxlgx = logx100x, lg x = logx100 + 1, lg x = 2lgx10 + 1, 2 lg x = + 1 , lg2x = 2 + lg x, lg2x – lg x – 2 = 0; lg x 1 2) lg x = 2, x = 102 = 100. = 0,1 ; 10 3) log2(17 – 2x) + log2(2x + 15) = 8, log 2 17 − 2 x 2 x + 15 = log 2 28  x , (17 – 2x)(2x + 15) = 28, 17 − 2 > 0 2 x + 15 > 0  17 ⋅ 2x + 17 ⋅ 15 – 22x – 15 ⋅ 2x = 256, 22x - 2⋅ 2x + 1 = 0. Пусть 2х = а, тогда уравнение примет вид: x = 0  2 2 х а – 2⋅а + 1 = 0, (а – 1) = 0, а = 1, т.е. 2 = 1, х = 0, 17 − 2 x > 0 х = 0. 2 x + 15 > 0  1) lg x = -1, x = 10−1 =

(

)(

)

4) log2(3 + 2x) + log2(5 – 2x) = 4, log 2 3 + 2 x 5 − 2 x = 4  x , (3 + 2x)(5 – 2x) = 16, 15 – 3 ⋅ 2x + 5 ⋅ 22x = 16, 3 + 2 > 0 5 − 2 x > 0 

(

)(

)

x = 0  -22x+2⋅2x–1=0, 22x–2⋅2x+1=0; (2x –1)2, 2x = 1; x = 0; 3 + 2 x > 0 х = 0. 5 − 2 x > 0  172

www.5balls.ru

№ 1174 Ответ: не могут m, n, k – действительные числа x2 – (m + n)x + mn – k2 = 0; D=b2 –4ac=(m+n)2–4(mn–k2)=m2+2mn+n2 – – 4mn – 4k2 = m2 + n2 – 2mn + 4k2 = (m – n)2 + 4k2 ≥ 0.

№ 1175 1) z2 + 4z + 19 = 0, z 1 = 2

2) z2 – 2z + 3 = 0, z 1 = 2

− 2 ± 4 − 19 = −2 ± i 15 ; 1

1± 1− 3 = 1± i 2 . 1

№ 1176

1) 0,5х = 2х + 1. Построим графики функций у = 0,5х и у = 2х + 1: Очевидно, графики функций пересекаются в точке (0,1), т.е. х = 0

2) 2х = 3 – х2 Построим графики функций у = 2х и у = 3 – х2:

x1 ≈

3 , 2

x2 ≈ −1,8

3) log3x = 4 – x Построим графики функций y = log3x и y = 4 – x: х = 3.

173

www.5balls.ru

4) log 1 x = 4 x 2 2

Построим графики функций у = log½x и у = 4х2

1 2

5) 2х = log0,5x Построим графики функций у = 2х, y = log½x

x≈

1 2

( 3)

6) 1

= log3 x

Построим графики функций x

1 y =   и y = log3x 3

x≈

3 2

№ 1177 1) cos x = − cos x = −

1 [-π; 3π] 2

1  1 , x = ± arccos −  + 2nπ, n ∈ Z 2  2

π  x = ± π −  + 2nπ, n ∈ Z , 3  2 x = ± π + 2nπ, n ∈ Z , 3 4π 2 8π 2 , n=0, x = π, x = − π n = 1, x = , x= 3 3 3 3 2 4 8π Ответ: x = ± π, x = π, x = 3 3 3

174

www.5balls.ru

2) sin x = −

3 [-π; 3π] 2

 3  + nπ, n ∈ Z x = (− 1)n arcsin −  2    x = (− 1)n +1 arcsin

3 + nπ, n ∈ Z 2

π π + nπ, n ∈ Z , n = 0, x = − , 3 3 4 5 π π n = -1, x = + π = π , n = 2, x = − + 2π = π , 3 3 3 3 4 5 π −2 Ответ: x = − , x = π, x = π, x = π . 3 3 3 3 x = (− 1)n +1

№ 1178 1 1 ; 2 x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , 2 2 π π nπ 2 x = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , x = (− 1)n , n∈Z ; + 6 12 2

1) sin 2 x =

2) cos 3 x =

− 2 − 2  + 2nπ, n ∈ Z , ; 3x = ± arccos  2  2  

π π 2  3x = ± π −  + 2nπ, n ∈ Z , x = ± + nπ, n ∈ Z ; 4 4 3  5 3) 2tg x + 5 = 0, tgx = − ; 2 5  5 x = arctg  −  + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + nπ, n ∈ Z 2 2  

№ 1179 1) 3cos2x – 5cos x – 12 = 0. Пусть cos x = a, тогда уравнение примет вид: 3а2 – 5а – 12 = 0, 5 ± 25 + 144 5 ± 13 8 = , а1 = 3, a2 = − , 6 6 6 а1 > 1, а2 < –1 ⇒ исходное уравнение не имеет решений, т.к. |cos x| ≤ 1; 2) 3tg2x – 4tg x + 5 = 0, tg x = a, 3a2 – 4a + 5 = 0, a1 = 2

2 ± 4 − 15 , 3 D < 0 ⇒ действительных корней нет. a1 = 2

175

www.5balls.ru

№ 1180 1) (3 – 4sinx)(3 + 4cosx) = 0, 3  n 3  sin x =  x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z 3 − 4 sin x = 0  4 ;  ; 3 + 4 cos x = 0 ;  3 cos x = − 3  x = ± arccos −  + 2lπ, l ∈ Z 4    4 3  n  x = (− 1) arcsin 4 + nπ, n ∈ Z .   x = ± (π − arcsin 3 + 2lπ, l ∈ Z 4  3 3 Ответ: x = (− 1)n arcsin + nπ, n ∈ Z , x = ± (π − arcsin + 2lπ, l ∈ Z . 4 4 2) (tg x + 3)(tg x + 1) = 0,  x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z tgx +3 = 0 tgx = −3  . ; ; tgx + 1 = 0 tgx = −1  x = − π + lπ, l ∈ Z 4  π Ответ: x = − + lπ, l ∈ Z ; х = -arctg3 + nπ, n ∈ Z. 4

№ 1181

1) sin2x=3sin x cos2x, 2sin x⋅cos x–3sin x ⋅ cos2x, sin x⋅cos x(2-3cos x) = 0,    x = nπ, n ∈ Z sin x = 0  cos x = 0 ;  x = π + lπ, l ∈ Z .   2 cos x = − 2  2    x = ± π - arccos  + 2mπ, m ∈ Z 3 3  

Ответ: x = nπ, n ∈ Z;

π + lπ, l ∈ Z ; 2

2  x = ± π − arccos  + 2mπ, m ∈ Z 3  2) sin4x = sin2x, 2sin2x ⋅ cos2x – sin2x = 0, sin2x(2cos2x – 1) = 0, nπ  sin 2 x = 0  2 x = nπ, n ∈ Z x = 2 , n ∈ Z  1 1;   π cos 2 x =  2 x = ± arccos + 2lπ, l ∈ Z  x = ± + lπ, l ∈ Z 2 2   6  nπ π Ответ: x = , n ∈ Z ; x = ± + lπ, l ∈ Z . 2 6 2 3) cos2x + cos x = 0, cos2x – sin2x + cos2x = 0, 2cos2x – 1 + cos2x = 0, 3cos2x = 1, 176

www.5balls.ru

1  + 2nπ, n ∈ Z  x = ± arccos 3 1 . cos x = ± ,  3  x = ± π − arccos 1  + 2lπ, l ∈ Z   3    Ответ: x = ± arccos

1 3

 1   + 2lπ, l ∈ Z + 2nπ, n ∈ Z , x = ± π − arccos 3  

4) sin2x = cos2x, 2sin x ⋅ cos x – cos2x = 0, cos x(2sin x – cos x) = 0, π π nπ    x = 2 + nπ, n ∈ Z x = 4 + 2 , n ∈ Z cos x = 0 ;  .  2 sin x − cos x = 0 ;   2 x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z  x = (− 1)l π + lπ , l ∈ Z 6 12 2   1 π x = arctg + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , 2 2

№ 1182

1) sin2x = 3cos x, 2sin x ⋅ cos x = 3cos x, cos x(2sin x – 3) = 0, π cos x = 0    x = 2 + nπ, n ∈ Z . 3; sin x = x ∈ φ 2  

π + nπ, n ∈ Z . 2 2) sin4x = cos4x – sin4x, 2sin2x ⋅ cos2x = (cos2x – sin2x)(sin2x + cos2x), 2sin2x ⋅ cos2x = cos2x, cos2x(2sin2x – 1) = 0, π π nπ   cos 2 x = 0  2 x = + πn, n ∈ Z x= + , n∈Z  2 4 2  ;  1;  lπ sin 2 x = l π l π + , l∈Z 2  2 x = (− 1) + lπ, l ∈ Z  x = (- 1)  6 12 2   π lπ π nπ + , l∈Z . , n∈Z , x = (− 1)l Ответ: x = + 12 2 4 2 2 2 3) 2cos x = 1 + 4sin2x, (2cos x – 1) = 4sin2x, cos2x = 4sin2x, cos 2 x = 4 ; ctg x = 4; x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z. sin 2 x Ответ: x = arcctg4 + nπ, n ∈ Z 4) 2cos x + cos2x = 2sin x, 2(cos x – sin x) + (cos2x – sin2x) = 0, 2(cos x – sin x) + (cos x – sin x)(cos x – sin x) = 0, (cos x – sin x)(2 + cos x + sin x) = 0, π cos x − sin x = 0 cos x + sin x = −2 ; x = 4 + nπ, n ∈ Z x ∈ φ π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z . 4 Ответ: x =

177

www.5balls.ru

№ 1183 3 x 1) cos x + cos2x = 0, 2 cos x ⋅ cos = 0 , 2 2 3 π  3 cos 2 x = 0  2 x = 2 + nπ, n ∈ Z  x = π + 2 nπ, n ∈ Z   x π  x = π3 + 23lπ, l ∈ Z cos x = 0  = + lπ, l ∈ Z  2   2 2 π 2 x = π + 2lπ, l ∈ Z. Ответ: x = + nπ, n ∈ Z ; 3 3 2) cos x – cos5x = 0, -2sin3x ⋅ sin(-2x) = 0, nπ  x= , n∈Z sin 3x = 0  3 . sin 2 x = 0 ;   x = lπ , l ∈ Z 2  nπ lπ Ответ: x = , x = , l∈Z . 3 2 3) sin3x + sin x = 2sin2x 2sin2x ⋅ cos x = 2sin2x, 2sin2x(cos x – 1) = 0, nπ  , n∈Z sin 2 x = 0  x = . 2 cos x = 1   x = 2mπ, m ∈ Z nπ , n∈Z . 2 4) sin x+sin2x+sin3x = 0, 2sin2x ⋅ cos x + sin2x = 0, sin2x(2cos x + 1 ) = 0, nπ  sin 2 x = 0 x = 2 , n ∈ Z  1;  cos x = −  x = ± π − π  + 2lπ, l ∈ Z 2   3  πn 2 Ответ: x = ; x = ± π + 2πn, n ∈ Z . 2 3

Ответ: x =

№ 1184

1) 2cos x + sin x = 0, 2 + tg x = 0, tg x = -2, x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z. Ответ: x = -arctg2 + nπ, n ∈ Z.

2) sin x + 3 cos x = 0 , tgx = − 3 , π x = − arctg 3 + nπ, n ∈ Z , x = − + nπ, n ∈ Z . 3 π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z . 3

178

www.5balls.ru

№ 1185

1) 4sin4x + sin22x = 2, 4sin4x+ 22sin2x ⋅ cos2x=2, 4sin2x(sin2x + cos2x) = 2, π  = (− 1)l + lπ, l ∈ Z 1 2 x 2 4 ;  . sin x = ; sin x = ± 2 2  x = (− 1)n +1 π + nπ, n ∈ Z  4 l π Ответ: x = (− 1) + lπ, l ∈ Z . 4 5 4 x 4 x 2) sin + cos = , 3 3 8 x x x x x x 5 sin 4 + cos 4 + 2 sin 2 ⋅ cos 2 − 2 sin 2 ⋅ cos 2 = , 3 3 3 3 3 3 8 2

x x x 5 1 2x 5  2x + cos 2  − 2 sin 2 ⋅ cos2 = , 1 − sin 2 = ,  sin 3 3 3 3 8 2 3 8  2x 3 2x 3 = , sin , =± 3 4 3 2 2x π π 3πn = ± + πn, n ∈ Z , x = ± + , 3 3 2 2

sin 2

№ 1186 3 sin 2 x − cos 2 x = 3 ,

n∈Z .

3 (sin 2 x − 1) − cos 2 x = 0 ,

− 3 (cos x − sin x ) − cos 2 x = 0 , 2

3 (cos x − sin x )2 + (cos x − sin x )(cos x + sin x ) = 0 ,

(cos x − sin x )( 3 (cos x − sin x ) + cos x + sin x ) = 0 ,

π  cos x − sin x = 0  x = 4 + nπ, n ∈ Z  3 cos x − 3 sin x + cos x + sin x = 0   cos x 3 + 1 − sin x 3 − 1 = 0

(

π   x = 4 + nπ, n ∈ Z , tgx =  3 + 1 − tgx 3 − 1 = 0 

(

)

(

Ответ: x = arctg

)

3 +1 3 −1

)

(

)

 3 +1 3 + 1  x = arctg 3 − 1 + nπ, n ∈ Z ,  π 3 −1   x = + nπ, n ∈ Z 4 

+ nπ, n ∈ Z , x =

π + lπ, l ∈ Z . 4

x x x x x x 2) 6sinx+5cos x = 6, 12 sin cos + 5 cos 2 − 5 sin 2 = 6 cos 2 + 6 sin 2 , 2 2 2 2 2 2 x x x x x 12tg + 5 − 5tg 2 − 6 − 6tg 2 = 0 , 11tg 2 − 12tg + 1 = 0 , 2 2 2 2 2 179

www.5balls.ru

6±5 D  x = 36 − 11 = 25 , tg   = , 4 11  2 1, 2 π  x π  x = 2 + 2πn  2 = 4 + πn ; k, n ∈ Z  x  = arctg 1 + πk  x = 2arctg 1 + 2πk   2 11 11 π 1 Ответ: x = + 2πn; x = 2arctg + 2πk ; k, n ∈ Z . 2 11  x tg 2 = 1  x 1 tg =  2 11

№ 1187

1) tg3x + tg2x – 2tg x – 2 = 0, tg2x(tg x + 1) – 2(tg x + 1) = 0, π π   tgx + 1 = 0  x = − + nπ, n ∈ Z  x = − + nπ, n ∈ Z ; . 4 4 tg 2 x = 2 ;    tgx = ± 2  x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z

Ответ: x = −

π + nπ, n ∈ Z , 4

x = ± arctg 2 + lπ, l ∈ Z .

sin x − sin x ; cos x ≠ 0, cos x 2 cos x – cos x = sin x – cos x ⋅ sin x, cos x(sin x – cos x) = sin x – cos x,  x = 2nπ, n ∈ Z cos = 1 (cos x – 1)(sin x – cos x) = 0,  ;  π sin x − cos x = 0  x = + lπ, l ∈ Z 4  π Ответ: x = 2nπ, n ∈ Z, x = + lπ, l ∈ Z . 4 2) 1 – cos x = tg x – sin x, 1 − cos x =

№ 1188

1) sin x + sin2x = cos x + 2cos2x, sin x(1 + 2cos x) = cos x(1 + 2cos x), (sin x – cos x)(1 + 2cos x) = 0, π   x = 4 + nπ, n ∈ Z   x = ± π − π  + 2lπ, l ∈ Z  3  2 π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = ± π + 2lπ, l ∈ Z . 4 3

2) 2 cos2x = 6 (cos x − sin x) , 2(cos x − sin x )(cos x + sin x ) − 6 (cos x − sin x ) = 0 ,

(cos x − sin x )(2(cos x + sin x ) −

)

6 =0,

π  cos x − sin x = 0  x = 4 + nπ, n ∈ Z cos x − sin x = 0  2(cos x + sin x ) = 6 cos x + sin x = 3  3    2 cos x + sin x = 2  180

www.5balls.ru

cos x + sin x =

3 2

π  , sin  − x  + sin x = 2 

π − 2x π − 2x 3 π 3 , cos 2 = , ⋅ cos 2 = 2 2 4 2 2 π π − x = ± + 2πl , l ∈ Z . 4 6 5π π π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + 2πl , x = + 2πl , l ∈ Z . 4 12 12 2 sin

№ 1189 cos 2 x sin 2 x ≠ 1 , = cos x + sin x ,  1 − sin 2 x cos 2 x = (cos x + sin x )(1 − sin 2 x ) sin 2 x ≠ 1  2 , cos 2 x = (cos x + sin x )(cos x − sin x ) (cos x – sin x)(cos x + sin x) – (cos x + sin x)(cos x – sin x)2 = 0, (cos x – sin x)(cos x + sin x)(1 – (cos x – sin x)) = 0, π nπ  cos 2 x = 0 x = 4 + 2 , n ∈ Z ; ; 1 − cos x + sin x = 0  cos x − sin x = 1  π nπ , n∈Z x = + 4 2  cos x = 1 ; sin x = 0  cos x = 0 sin x = −1 −π Ответ: x = + nπ, 4

 π nπ , n∈Z  x = + 4 2   x = 2lπ, l ∈ Z  x = − π + 2mπ, m ∈ Z  2  π  x ≠ + πk , k ∈ Z 4  π n ∈ Z ; x = − + 2mπ, m ∈ Z ; x = 2πk, k ∈ Z. 2

№ 1190

1) sin3x + cos3x = 0, (sin x + cos x)(sin2x + sin x ⋅ cos x + cos2x) = 0 π  sin x + cos x = 0 tgx = −1 x = − + nπ, n ∈ Z 4 sin 2 x + sin x ⋅ cos x + cos 2 x = 0 tg 2 x + tgx + 1 = 0    x = φ π Ответ: x = − + nπ, n ∈ Z . 4 2) 2sin2x + sin22x = 2, 2sin2x + 4sin2x(1 – sin2x) = 2, 2 2 sin x + 2sin x – 2sin4x – 1 = 0, 3sin2x – 2sin4x – 1 = 0, 2sin4x – 3sin2x + 1 = 0, sin2x = a, 2a2 – 3a + 1 = 0, D = 9 – 4 ⋅ 2 ⋅ 1, a1 = 1, a2 =

1 ; 2 181

www.5balls.ru

2 π lπ π , x = + , l∈Z . + 2πn, n ∈ Z ; 2) sin x = ± 2 2 4 2 π π lπ Ответ: x = ± + 2πn, n ∈ Z , x = + , l ∈ Z . 2 4 2 1) sin x = ±1, x = ±

3) 8 sin x ⋅ cos 2x cos x = 3 , 4 sin 2 x cos 2 x = 3 , 2 sin 4 x = 3 , 3 π π lπ + , l∈Z . ; 4 x = (− 1)l + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = (− 1)l 3 12 4 2 4) 4 sin x cos x cos 2 x = cos 4 x , 2 sin 2 x cos 2 x = cos 4 x , sin 4 x = cos 4 x , π π nπ π nπ 4 x = + nπ, n ∈ Z , x = + , n ∈ Z . Ответ: x = + , n∈Z . 4 16 4 16 4 sin 4 x =

№ 1191

1) sin4x–cos4x + 2cos2x = cos2x, (sin2x–cos2x)(sin2x+cos2x)+cos2x+sin2x= 0, -cos2x + 1=0, cos2x = 1, 2х = 2πn, x=πn, n∈Z. Ответ: х = 2nπ, n ∈ Z. 2) 2sin2x–cos4x=1–sin4x, cos4x–sin4x=2sin2x–1, cos2x–sin2x = sin2x – cos2x, 2cos2x – 2sin2x = 0, cos2x = 0, 2 x = Ответ: x =

π π πn + πn, n ∈ Z , x = + , n∈Z . 2 4 2

π nπ + , n∈Z . 4 2

№ 1192

1) sin3x cos x + cos3x sin x = cos2x, sin x cos x(sin2x+cos2x)=cos2x – sin2x, sin2x – cos2x + sin x ⋅ cos x = 0, sin 2 x 2

cos x a1 = 2

sin x − 1 = 0 , tg2x + tg x – 1 = 0, tg x = a, a2 + a – 1 = 0, cos x

−1± 1+ 4 −1± 5 = , 2 2

tgx =

−1+ 5 −1+ 5 + nπ, n ∈ Z ; , x = arctg 2 2

tgx =

1− 5 −1− 5 , x = − arctg + lπ, l ∈ Z . 2 2

−1+ 5 1− 5 + nπ, n ∈ Z , x = − arctg + lπ, l ∈ Z ; 2 2 2) 2 + cos2x + 3sinx ⋅ cosx = sin2x, cos2x – sin2x + 3sinx ⋅ cosx = -2, 2cos2x+2sin2x+cos2x–sin2x+3sinx⋅cosx = 0, 3cos2x+sin2x+3sinx cosx = 0, 3 + tg2x+3tgx=0, tgx=a, a2+3a+3 = 0, D < 0, следовательно, решений нет. Ответ: решений нет. Ответ: x = arctg

№ 1193

1) 4sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x = 3, 4sin2x – 3sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 10cos2x – 3cos2x = 0, sin2x – 8sinx ⋅ cosx + 7cos2x = 0, tg2x – 8tgx + 7 = 0, a2 – 8a + 7 = 0,

182

www.5balls.ru

a1 = 1, a2 = 7, tgx = 1, x =

π + nπ, n ∈ Z , tgx = 7, x = arctg7 + lπ, l ∈ Z. 4

π + nπ, n ∈ Z , x = arctg7 + lπ, l ∈ Z; 4 2) 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx = 1, 3sin2x – 2sinx ⋅ cosx – sin2x – cos2x = 0, 2sin2x – 2sinx ⋅ cosx – cos2x = 0, 2tg2x – 2tgx – 1 = 0, tgx = a, 2a2–2a–1=0, Ответ: x =

a1 = 2

1± 3 1± 1+ 2 1± 3 1± 3 = , tgx = + nπ, n ∈ Z . , x = arctg 2 2 2 2

Ответ: x = arctg

1± 3 + nπ, n ∈ Z . 2

№ 1194

1) sin5x = sin3x, sin5x – sin3x = 0, 2sinx ⋅ cos4x = 0,  x = nπ, n ∈ Z π lπ sin x = 0 ;  . Ответ: x=nπ, n∈Z, x = + , l ∈ Z ; π lπ cos 4 x = 0  x = + , l ∈ Z 8 4 8 4  2) cos6x + cos2x = 0, 2cos4x ⋅ cos2x = 0 π nπ  x = 8 + 4 , n ∈ Z cos 4 x = 0 cos 2 x = 0 ;   x = π + lπ , l ∈ Z 4 2  π nπ π lπ , n∈Z , x = + , l ∈Z ; Ответ: x = + 8 4 4 2 π  3) sin3x + cos7x = 0, sin 3 x + sin  + 7 x  = 0 , 2  π  π  2 sin  + 5 x  ⋅ cos + 2 x  = 0 , 4 4      π  sin  + 5 x  = 0   4 ;  π  cos 2 x 0 + =      4

π nπ  π  x = − 20 + 5 , n ∈ Z  4 + 5 x = nπ, n ∈ Z ;  π  + 2 x = π + lπ, l ∈ Z  x = π + lπ , l ∈ Z  4  2 8 2

π lπ + , l∈Z ; 8 2 π  4) sinx = cos5x, sinx – cos5x = 0, sin x − sin  − 5 x  = 0 , 2  Ответ: x = −

π nπ + , n∈Z , 20 5

π  π  2 sin  3x −  ⋅ cos − 2 x  = 0 4  4 

183

www.5balls.ru

  π π nπ π   x= + , n∈Z sin  3x −  = 0 3 x − = nπ, n ∈ Z  4   12 3 4  ;  ;  π π lπ  π   π cos 4 − 2 x  = 0  4 − 2 x = 2 + lπ, l ∈ Z  x = − 8 + 2 , l ∈ Z    π nπ π lπ Ответ: x = , n∈Z , x = − + , l ∈Z . + 12 3 8 2

№ 1195

1) sinx + sin5x = sin3x, 2sin3x ⋅ cos2x – sin5x = 0, sin3x(2cos2x – 1) = 0,

nπ  x = 3 , n ∈ Z nπ π lπ Ответ: x = , n∈Z , x = ± + , l∈Z ;  π π l 3 6 2 x = ± + , l ∈ Z 6 2  2) cos7x – cos3x = 3sin5x, -2sin5x⋅sin2x–3sin5x=0, sin5x(2sin2x + 3) = 0, sin 5 x = 0 nπ  , n∈Z . 3; x= sin 2 x = − 5 2  sin 3 x = 0  1 cos 2 x = 2 

№ 1196 1 (sin 8 x + sin 10 x ) = 1 (sin 4 x + sin 10 x ) , 2 2 sin8x – sin4x = 0, 2sin2x ⋅ cos6x = 0, nπ  , n∈Z x= nπ π lπ sin 2 x = 0  2 Ответ: x = ; , n∈Z , x = + , l∈Z ;  cos 6 x = 0 π l π 2 12 6 x = + , l∈Z 12 6  1 2) sinxcos5x = sin9x ⋅ cos3x, (− sin 4 x + sin 6 x ) = 1 (sin 6 x + sin 12 x ) , 2 2 sin12x + sin4x = 0, 2sin8x ⋅ cos4x = 0, 1) cosx ⋅ sin9x = cos3x ⋅ sin7x,

 x= sin 8 x = 0  cos 4 x = 0 ;  x = 

nπ , n∈Z nπ π lπ 8 Ответ: x = , n∈Z , x = + , l ∈Z . π lπ 8 8 4 + , l∈Z 8 4

№ 1197

1) 5 + sin2x = 5(sinx + cosx), 4 + (sinx + cosx)2 = 5(sinx + cosx),   π  cosx + sinx = t 2  cos x −   = t , t2 – 5t + 4 = 0, D = 25 – 16 = 9, 4   

π t 4 5+3  = 4 , cos x −  = = = 2 2 > 1 - нет решений, 2 4 2 2  π t 1 5−3  , t2 = = = 1 , cos x −  = 2 4 2 2  t1 =

184

www.5balls.ru

π π   x − 4 = 4 + 2πn  x = π + 2πn, n ∈ Z  ;  2  x − π = − π + 2πn  x = 2πn, n ∈ Z 4 4  2) 2 + 2cosx = 3sinx ⋅ cosx + 2sinx, 1 3 + cos 2 x − 2 sin x cos x + sin 2 x + 2(cos x − sin x ) = 0 , 2 2 3(cosx – sinx)2 + 4(cosx – sinx) + 1 = 0, cosx – sinx = 0,   π  2  cos x +   = t , 3t2 + 4t + 1 = 0, D = 4 – 3 = 1, 4   

(

)



3π

t 1  x + 4 = 4 + 2πn −2 − 1 π  ,  =− = −1 , cos x +  = t1 = 3 4  2 2  x + π = − 3π + 2πn  4 4 π   x = 2 + 2πn, n ∈ Z t2 = −2 + 1 = − 1 , cos x + π  = −1 ,  x = -π + 2πn, n ∈ Z 4 3 2 3 3  

 π 1 = ± arccos − 4  3 2 Ответ: x = x=−

 1   π   + 2πn, n ∈ Z , x = − + arccos   3 3  + 2πn, n ∈ Z . 4   

π + 2πn; x = π + 2πn; n ∈ Z , 2

 1  π  + 2πn, n ∈ Z . + ar cos  4 3 3 

№ 1198 5 x 5 3 x ⋅ cos + 2 sin x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 x x 5  3  5  sin x cos + cos x  = 0 , sin x 2 cos x ⋅ cos  = 0 , 2  2 2  2  2

1) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0, 2 sin

2   5  x = 5 nπ, n ∈ Z sin x 0 =  2  cos x = 0 ;  x = π + lπ, l ∈ Z   2 cos x = 0  x = π + 2mπ, m ∈ Z  2   2 π Ответ: nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z , x = π + 2mπ, m ∈ Z; 5 2 5 x 5 3 2) cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0, 2 cos x ⋅ cos + 2 cos x ⋅ cos x = 0 , 2 2 2 2 5  x 3  5 x cos x cos + cos x  = 0 , 2 cos x ⋅ cos x ⋅ cos = 0 , 2  2 2  2 2 185

www.5balls.ru

π 2   x = 5 + 5 nπ, n ∈ Z   x = π + lπ, l ∈ Z  2  x = π + 2mπ, m ∈ Z   π 2 π Ответ: x = + nπ, n ∈ Z , x = + lπ, l ∈ Z . 5 5 2 5  cos 2 x = 0 cos x = 0 ;  cos x = 0  2

№ 1199 sin 2 3x

− 4 sin 2 3x = 0 , cos3x ≠ 0, cos 2 3 x sin23x – 4sin23x ⋅ cos23x = 0, sin23x – 4sin23x(1 – sin23x) = 0, 4sin43x – 3sin23x = 0, sin23x(4sin23x – 3) = 0, nπ  sin 3 x = 0 x = 3 , n ∈ Z  ;  sin 3 x = ± 3  l π  2 3 x = (− 1)  ± 3  + lπ, l ∈ Z     π lπ π lπ nπ Ответ: x = , n ∈ Z , x = (− 1)l + , l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + , l ∈ Z 9 3 3 9 3 1) tg23x – 4sin23x = 0,

2) sinxtgx = cosx + tgx,

sin 2 x sin x sin 2 x − cos 2 x − sin x , = cos x + =0, cos x cos x cos x

sin 2 x − 1 + sin 2 x − sin x = 0  2 sin 2 x − sin x − 1 = 0 cos x ≠ 0 cos x ≠ 0    π sin x = 1  x = + 2πl , l ∈ Z 2  1  π sin x = −  ( x = − 1)m +1 + mπ, m ∈ Z   2  6    π π  x ≠ + nπ, n ∈ Z  2   x ≠ 2 + nπ, n ∈ Z π Ответ: x = (− 1)m +1 + mπ, m ∈ Z . 6 1  cos x  cos x + 1  cos 2 x + cos x  3) ctgx ctgx + =1,   = 1,  = 1, sin x  sin x  sin x  sin 2 x  cos 2 x + cos x − sin 2 x = 0  2 sin x ≠ 0  2 2 cos x + cos x − 1 = 0

cos x = −1  1 cos x = + 2 

186

www.5balls.ru

 x = π + 2nπ , n ∈ Z π   x = ± 3 + 2lπ , l ∈ Z

 x = π + 2nπ, n ∈ Z π   x = ± + 2lπ, l ∈ Z 3   x ≠ mπ, m ∈ Z 4) 4ctg 2 x = 5 −

Ответ: x = ±

π + 2lπ, l ∈ Z . 3

4 cos 2 x 5 sin x − 9 4 cos2 x − 5 sin 2 x + 9 sin x = 0 9 , = ,  sin x sin 2 x sin x sin x ≠ 0

4 − 9 sin 2 x + 9 sin x = 0 9 sin 2 x − 9 sin x − 4 = 0 , 9sin2x - 9sinx – 4 = 0,   sin x ≠ 0 sin x ≠ 0 9 ± 81 + 144 9 ± 15 4 1 = , sin x = , x ≠ φ, sin x = − , 18 18 3 3 1  1  x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z ,  3 3  x ≠ mπ, m ∈ Z 1 Ответ: x = (− 1)n +1 arcsin + nπ, n ∈ Z . 3

9a2–9a–4 = 0, a 1 = 2

№ 1200 1) tg2x = 3tgx

(

)

sin 2 x 3 sin x 2 sin x ⋅ cos 2 x − 3 sin x cos 2 x − sin 2 x = , =0, cos 2 x cos x cos 2 x − sin 2 x cos x

(

)

2 sin x ⋅ cos x − 3 sin x ⋅ cos x + 3 sin x = 0 ,  cos x cos2 x − sin 2 x ≠ 0

(

)

– sinxcos2x + 3sin3x = 0, – sinx (1 – sin2 x) + 3sin3x = 0, 4sin3 x – sinx = 0, sinx(4sin2x – 1) = 0   x = mπ, m ∈ Z    x = (− 1)l π + lπ, l ∈ Z  x = mπ, m ∈ Z  6 sin x = 0   π + l 1π l  + lπ, l ∈ Z 1  x = (− 1) + lπ, l ∈ Z  x = (− 1) 6 sin x = ±  6   2   π l +1 π   x = (- 1) 6 + lπ, l ∈ Z  x ≠ + nπ, n ∈ Z  2  π kπ  x ≠ + , k ∈ Z 4 2  Ответ: x = mπ, m ∈ Z , x = (− 1)l 2) ctg2x = 2ctgx,

π π + lπ, l ∈ Z , x = (− 1)l +1 + lπ, l ∈ Z ; 6 6

cos 2 x 4 cos 2 x cos 2 x 2 cos x = , − =0 2 sin x ⋅ cos x 2 sin x ⋅ cos x sin 2 x sin x 187

www.5balls.ru

cos 2 x − sin 2 x − 4 cos 2 x = 0  , cos2x – sin2x – 4cos2x=0, 3cos2x+sin2x = 0, sin 2 x ≠ 0 sin x ≠ 0  1 . Ответ: решений нет. 2 π tgx − tg 4 =2, + π 1 + tgx ⋅ tg 4

3cos2x + 1 – cos2x = 0, 2cos2x + 1 = 0, cos 2 x = − π tgx + tg π π   4 3) tg  x +  + tg  x −  = 2 , π 4 4   1 − tgxtg 4

tg + 1 tgx − 1 1 + 2tgx + tg 2 x + tgx − tg 2 x − 1 + tgx − 2 + 2tg 2 x + −2 = 0, =0 1 − tgx 1 + tgx 1 − tg 2 x 2tg 2 x + 4tgx 1 − tg 2 x

2tg 2 x + 4tgx = 0 = 0,  , 2tg2x + 4tgx = 0, 1 − tg 2 x ≠ 0

 x = nπ, n ∈ Z tgx = 0  x = − arctg 2 + πl , l ∈ Z tgx = −2  1 − tg 2 x ≠ 0  Ответ: x = nπ, n ∈ Z, x = -arctg2 + πl, l ∈ Z. 4) tg(2x + 1)ctg(x + 1) = 1, tg(2x + 1) = tg(x + 1), tg(2x + 1) – tg(x + 1) = 0, sin(2x + 1 − x − 1) sin x  x = πn, n ∈ Z = 0, = 0,  cos(2 x + 1)cos(x + 1) cos(2x + 1)cos(x + 1) cos(2 x + 1)cos(x + 1) ≠ 0 Ответ: х = πn, n ∈ Z.

№ 1201 1) cosx = 3x – 1 Построим графики функций у = cosx и y = 3x – 1:

x≈

1 2

2) sinx = 0,5x3

x ≈ ±1; x = 0

188

www.5balls.ru

3) cos x = x y = cosx, y = x

x≈

1 2

4) cosx = x2 y = cosx, y = x2

x ≈ ±0,8

№ 1202 1) x + 8 > 4 – 3x, 4x > -4, x > -1; 2) 3x + 1 – 2(3 + x) < 4x + 1, 3x + 1 – 6 – 2x – 4x – 1 < 0, -3x < 6, x > -2.

№ 1203 4 − 3x 5 − 2 x − < 2 , 3(4–3х)–2(5–2х)–2⋅24<0, 12–9x–10+4x–48 < 0, 8 12 -5x – 46 < 0, x > -46/5; 5x − 7 x + 2 − ≥ 2 б 7(5x – 7) – 6(x + 2) – 42 ⋅ 2 ≥ 0, 2) 6 7 35x – 49 – 6x – 12 – 84 ≥ 0, 29x ≥ 145, x ≥ 5. 1)

№ 1204 1)

5x − 4 >0 7x + 5

 x> 5 x − 4 > 0  а)   7 x + 5 > 0  x >  5 x − 4 < 0 б)  7 x + 5 < 0 Ответ:

4 5 x > 4/5 −5 7

4 4    x < 5 x > 5 x < -5/7   x < − 5 x < − 5   7 7 5 4   x ∈  − ∞;−  U  ;+∞  ; 7 5   189

www.5balls.ru

3 x + 10 >0 40 − x

10   10  3 x + 10 > 0  x > − а)   3 x ∈  − ;40  40 − x > 0  x < 40  3   10  3 x + 10 < 0  x < − б)   3 х∈φ 40 − x < 0  x > 40   10  Ответ: x ∈  − ;40  .  3  x+2 3) >0 5 − 4x  x > −2 x + 2 > 0  а)  5  5 − 4 x > 0  x < 4 

  10   x ∈  − ;40  . 3     x ∈ φ

−2< x <

 x < −2 x + 2 < 0  б)  5 х∈φ  5 − 4 x < 0  x > 4  5 Ответ: − 2 < x < . 4 8− x 4) >0 6 + 3x

5 4

5  − 2 < x < 4 x ∈ φ 

8 − x > 0  x < 8 а)  -2 < x < 8  6 + 3 x > 0  x > −2 8 − x < 0  x > 8 б)  х∈φ  6 + 3x < 0  x < −2 Ответ: -2 < x < 8.

№ 1205 1)

3 − 2x <0 3x − 2

3  x> 3 − 2 x < 0  2 ; x > 3 ; б) 3 − 2 x > 0 а)   3 x − 2 > 0 2 3 x − 2 < 0  x > 2   3 2 3   Ответ: x ∈  − ∞;  U  ;+∞  . 3 2  

190

www.5balls.ru

  x <  x < 

3 2; x< 2 2 3 3

5  x> 10 − 4 x 10 − 4 x < 0  2 ; x> 5 < 0 ; а)  2)  9x + 2 2 9 x + 2 < 0  x > − 2  9 5 5   x< x>  2 10 − 4 x > 0  2 ; x<− 2 б)    9 x < − 2 9 x + 2 > 0  x < − 2  9 9  2 5   Ответ: x ∈  − ∞;−  U  ;+∞  . 9 2   18 − 7 x 18 − 7 x 3) <0; >0 − 4 x2 − 1 4x2 + 1 18 18 (4x2 + 1 > 0 при любых значениях х). Ответ: x < . 18 – 7x > 0; x < 7 7

191

www.5balls.ru

№ 1206 1)

5x + 4 5 x + 4 − 4(x − 3) x + 16 < 4; < 0; < 0; x−3 x−3 x−3

 x + 16 > 0  x + 16 < 0  x > −16  x < −16 или  ; -16 < x < 3;  x − 3 < 0 или  x − 3 > 0 ;  x < 3    x > 3 2 2 − 1(x − 4 ) 6− x 2) <1; <0; <0; x−4 x−4 x−4 6 − x < 0 6 − x > 0  x > 6 x < 6  x − 4 > 0 или  x − 4 < 0 ;  x > 4 или  x < 4 x > 6 или x < 4;     −4 x − 10 2 2 − 4( x + 3 ) 3) ≤ 4, ≤0, ≤0, x+3 x+3 x+3

− 4 x − 10 ≤ 0 или − 4 x − 10 ≥ 0 ;  x ≥ −2,5 или  x ≤ −2,5  x > −3  x < −3 x + 3 > 0 x + 3 < 0     x ≥ -2,5 или x < -3.

№ 1207 1  1 1 1  1) 8х2 – 2х – 1 < 0,  x +  x −  < 0 , − < x < 4 2 4 2    +

+ –

1 4

−

2) 5x2 + 7x ≤ 0,

1 2

7 − ≤x≤0. 5

−

№ 1208 1)

+ –

7 5

 (x − 3)(x + 3) < 0 (x − 3)(x + 3)  , равносильно 0 <0 <  (x − 2 )(x + 2 ) 2 (x − 2)(x + 2) x −4  x ≠ ±2 x2 − 9

+ -3

–

-2

+ 2

–

x ∈ (−3;−2) U (2;3) ; 2) (2х2 + 3)(х + 4)3 > 0, 2x2 + 3 > 0 при любых х; (x + 4)3 > 0 равносильно x + 4 > 0; x > -4.

№ 1209

(

)

(3 x − 15) x 2 + 5 x − 14 ≥ 0 ≥0,  2 ,  x + 5 x − 14 ≠ 0 x 2 + 5 x − 14 (3х – 15)(х – 2)(х + 7) ≥ 0, (х – 5)(х – 2)(х + 7) ≥ 0, 1)

3 x − 15

203

www.5balls.ru

+ –

-7

x ∈ (−7;2) U [5;+∞ ) ; 2)

x −1 <0, x + 4x + 2 2

–

(

)

(x − 1) x 2 + 4 x + 2 < 0 ,  2  x + 4 x + 2 ≠ 0

(х – 1)(х2 + 4х + 2) < 0,

(x − 1)(x − (2 +

))(

)

2 x+2− 2 < 0,

+ –

−2− 2

(

+ −2+ 2

) (

)

x ∈ − ∞;−2 − 2 U − 2 + 2 ;1

(

)(

)

 x 2 + 2 x − 8 x 2 − 2 x − 3 > 0 x + 2x − 8 > 0 равносильно  2 2  x − 2 x − 3 ≠ 0 x − 2x − 3 2

–

(x – 2)(x + 4)(x + 1)(x –3) > 0 + + –

-4 -1 x ∈ (−∞;−4 ) U (−1;2) U (3;+∞ ) .

+ 2

–

№ 1210

lg(x2 + 8x + 15). Выражение не имеет смысла при x2 + 8x + 15 ≤ 0, x2 + 8x + 15 ≤ 0, (x + 3)(x + 5) ≤ 0

+ -5

–

-3

Ответ: -5 ≤ х ≤ -3.

x ∈ [-5; -3].

№ 1211 (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0. Т.к. квадратное уравнение имеет два действительных корня, когда 2 2   2 D>0 и а≠0, то (m + 1) − (m − 1)(m − 3) > 0 m + 2m + 1 − m + 4m − 3 > 0 m ≠ 1 m − 1 ≠ 0 1 6m − 2 > 0 m > , следовательно, m =2 – наименьшее целое число, при котоm ≠ 0 3  ром уравнение имеет 2 действительных корня.

№ 1212

(m – 7)x2 + 2(m – 7)x + 3 = 0, D < 0, a ≠ 0 (m − 7 )2 − 3(m − 7 ) < 0 m 2 − 14m + 49 − 3m + 21 < 0   m ≠ 7 m − 7 ≠ 0

204

www.5balls.ru

m 2 − 17 + 70 < 0 (m − 7 )(m − 10) < 0 (m – 7)(m – 10) < 0 m ≠ 7   m ≠ 7 +

+ –

m ∈ (7; 10).

Ответ: при m = 8, m = 9.

№ 1213 1 2 x +3 1  2 < 0 ,  x 2 + 3 (x 2 − 9 x + 14 ) < 0 . 2 x − 9 x + 14 2  Выражение принимает отрицательное значение, когда x2 – 9x + 14 < 0, т.к.

x2 + 3 > 0 при любых х 2

х2 – 9х + 14 < 0, (x – 7)(x – 2) < 0 + + – 2 7 x ∈ (2; 7), следовательно, наибольшее целое х = 6. Ответ: х = 6

№ 1214 x2 − x − 6

x2 − x − 6

>0,

< 0 , x2 + 7 > 0 при любых х, а x2 + 7 − 7 − x2 х2 – х – 6 < 0 при х ∈ (-2; 3), следовательно, наименьшее целое, х = -1.

№ 1215 1) |2x – 3| < x, 2x – 3 < x или 3 – 2x < x, 2x – x < 3, x < 3 или –2x –x < -3, -3x < -3; x > 1. Ответ: 1 < x < 3 2) |4 – x| > x, 4 – x > x или x – 4> x; x < –2 или x ∈ φ. Ответ: x < –2. 3) |x2 – 7x + 12| ≤ 6, x2 – 7x + 12 ≤ 6 или –x2 + 7x – 12 ≤ 6; а) x2 – 7x + 6 ≤ 0, x1 = 6 и х2 = 1, 1 ≤ x ≤ 6;

+ 1

–

б) х – 7х + 18 ≥ 0, х2 – 7х + 18 = 0, D < 0, следовательно, неравенство справедливо при всех х. Ответ: 1 ≤ х ≤ 6. 4) |x2 – 3x – 4| > 6, x2 – 3x – 4 > 6 или –x2 + 3x + 4 > 6; а) х2 – 3х – 10 > 0, x1 = 5 и x2 = -2, x < -2, x > 5; 2

+ 2

-2

–

б) -x + 3x – 2 > 0, x2 – 3x + 2 > 0, x1 = 2 и х2 = 1, 1 < x < 2; 205

www.5balls.ru

+ –

Ответ: x < -2, 1 < x < 2, x > 5; 5) |2x2 – x – 1| ≥ 5, 2x2 – x – 1 ≥ 5 или -2х2 + х + 1 ≥ 5 а) 2х2 – х – 6 ≥ 0, x1 = −

3 и х2 = 2. 2 +

+ –

3 2

−

Следовательно, x ≤ −

3 , х ≥ 2. 2

б) -2х2 + х – 4 ≥ 0, 2х2 – х + 4 ≤ 0, D < 0 – корней нет. Ответ: x ≤ −

3 ,х≥2 2

6) |3x2 – x – 4| < 2, 3x2 – x – 4 < 2 или –3x2 + x + 4 < 2, а) 3х2 – х – 6 < 0 , x1 =

1 − 73 1 + 73 ; , x= 6 6 +

+ –

1−

73 6

б) -3х2 + х + 2 < 0, 3x2 – x – 2 > 0, x1 = − +

+ −

−

2 , x2 = 1, 3

–

2 3

2 < x , x > 1, но |3x2 – x – 4| = -3x2 + x + 4 при –1 < x < 4/3 3

Ответ:

1 − 73 2 1 + 73 < x < − , 1< x < . 6 6 3

(Опечатка в ответе задачника)

№ 1216 1) 2,51-x > 2,5-3x, 1 – x > -3x, x > −

1 ; 2

2) 0,13x-4 ≥ 0,152-x, x – 4 ≤ 2 – x, 2x ≤ 6, x ≤ 3; 4 3)   3

3 ≤  4

x −1

3 ,   4

−2 x

3 ≤  4

x −1

, -2x ≥ x – 1, x ≤

206

www.5balls.ru

1 ; 3

4) 3−4 x > 3 , 3 −4 x > 3 2 , -4x > ½, x < − 1

1 . 8

№ 1217 1) 2 − x + 5 < 1 2)   3

x −2

1 -х+5 -2 , 2 < 2 , -x + 5 < -2, x > 7; 4 x−2

1 1 ,   > 27  3 

1 >   , |x – 2| < 3 ⇔ 3

 x − 2 ≥ 0  x < 5  x ∈ (-1; 5).  x − 2 < 0   x > −1

№ 1218 1) 5 x + 3 x +1,5 < 5 5 , 5 x + 3 x +1,5 < 5 x2 + 3x < 0, x(x + 3) < 0 + + 2

–

-3

2) 0,2

x −6 x + 7 2

≥ 1 , 0,2

, x2 + 3x + 1,5 < 3/2,

-3 < x < 0.

x 2 −6 x + 7

[

]

≥ 0,20 , x2–6x+7 ≤ 0, x ∈ 3 − 2 ;3 + 2 .

№ 1219 1) 3x +19

x− 1

≥ 3 3 , 3x +1 ⋅ 32 x −1 ≥ 3

, 33 x ≥ 3

2) 3x+1 + 3x-1 < 10, 3x(3 + 3-1) < 10, 3 x ⋅

, 3х ≥ 1/3, x ≥

1 ; 9

10 < 10 , 3x < 3, x < 1. 3

№ 1220 2

1) 22 x − 4 x −1 + 8 3 ⋅ 2− 4 > 52 , 22x – 22x-2 + 22x-4 > 52, 22x-4(24–22 + 1) > 52, 22x-4 ⋅ 13 > 52, 22x-4 > 4, 22x-4 > 22, 2x – 4 > 2, 2x > 6, x > 3; 2) 2x+2 – 2x+3 + 5x-2 > 5x+1 + 2x+4, 2x+2 – 2x+3 – 2x+4 > 5x+1 – 5x-2, 1 1   4 ⋅ 2x – 8 ⋅ 2x – 16 ⋅ 2x > 5 ⋅ 5x ⋅ 5x, 2 x (4 − 8 − 16 ) > 5 x  5 −  , 25  25  2 x (− 20 ) > 5 x ⋅ 4

24  2  124 ,   <− , 25 ⋅ 20 25  5 

2 2   < −0,248 — решений нет, т.к.,   > 0 для всех х. 5 5  

№ 1221 1) 3,3x

+6x

< 1 , 3,3x

+6x

< 3,30 , т.е. х2 + 6х < 0, x(x + 6) < 0 207

www.5balls.ru

– –6

x −x 2

1 1 1 > ,   2)   4 2 2   x ∈ R, т.к. D < 0;

1 , т.е. 2х – 2х2 < 1, 2x2 – 2x + 1 > 0, 2

x −3

x −3 2 8,4 x + 6 x +11

-6 < x < 0;

2 x −2 x 2

< 8,40 ,

x−3

<0, x + 6 x + 11 x + 6x + 11 > 0 при любых х, т.к. D < 0, x – 3 < 0, x < 3. Ответ: x < 3.

<1,

2 8,4 x + 6 x +11

1 2

4) 22 x +1 − 21 ⋅   2 ⋅ 22 x −

2 x +3

+ 2 ≥ 0 , 22x ⋅ 2 – 21 ⋅ 2-2x-3 + 2 ≥ 0,

21 − 2 x 1 21 +2≥0 , ⋅2 + 2 ≥ 0 , 22x = a, 2− 2 x = , a > 0, 2a − 8a 8 a

16a 2 + 16a − 21 ≥ 0 равносильно (16a2 + 16a – 21)8a ≥ 0. 8a Найдем корни трехчлена 16a2 + 16a – 21, − 8 ± 64 + 336 − 8 ± 20 3 7 , a1 = , a2 = − , = 16 16 4 4 3  7   a −  a + a ≥ 0 , 4  4  a1, 2 =

+ –

−

+ 0

7 4

–

−

3 4

 7  3  3  a ∈  − ;0 U  ;+∞  т.к. а > 0, то решением является a ∈  ; + ∞   4  4  4  3 1 3 2 2 x ≥ ; x ≥ log 2 . 4 2 4 1 5) 34 −3 x − 35   3

2−3 x

+ 6 ≥ 0 , 34 ⋅ 3-3x – 35 ⋅ 33x-2 + 6 ≥ 0, 33x = a, a > 0,

34 35 81 ⋅ 9 − 35a 2 + 54a 81 35 − ⋅a + 6 ≥ 0 , ≥ 0, − a+6≥ 0 , 9a a 9 9 a

(-35a2 + 54a + 729)a ≥ 0, (35a2 – 54a – 729)a ≤ 0, (a − 5,4) a + 27 a ≤ 0 , 7   208

www.5balls.ru

+ –

–

27 − 7

5,4

т.к. a > 0, то решением является 0 < a ≤ 5,4, 33x ≤ 5,4, 1 33 x ≤ 3log3 5, 4 , 3x ≤ log35,4, x ≤ 1 − log3 5 . 3

№ 1222 1) 3

log 2

x −1 x+2

x −1 1 1 x −1 , log 2 < log 2 < −2 , log 2 x+2 x+2 9 4

 x − 1 1  4(x − 1) − (x + 2) < 0  x + 2 < 4  4(x + 2)   x −1 x − 1  >0  >0  x + 2 x +2

 3x − 6  4(x + 2 ) < 0   x −1 > 0  x + 2

 3(x − 2)  4(x + 2 ) < 0   x −1 > 0  x + 2

–2

1 2 1 1 ( − + ) log ( x − 4 x + 3, 5 ) 2) 5 log x 4 x 3,5 > , 5 > 5 −1 , log 2 (x 2 − 4 x + 3,5) > log 2 , 5 2 2

1  2  x − 4 x + 3,5 >  x 2 − 4 x + 3 > 0 2  2   x 2 − 4 x + 3,5 > 0  x − 4 x + 3,5 > 0  (x − 1)(x − 3) > 0    x −  2 + 1  x −  2 − 1    > 0        2  2      

 x ∈ (− ∞;1) U (3;+∞ )   x ∈  − ∞;2 − 1  U  2 + 1 ;+∞     2   2   

x ∈ (-∞;1) U (3;+∞).

№ 1223 1) log6(2 – x) < log6(2x + 5)  2 − x < 2 x + 5  x > −1   ; x < 2 x ∈ (-1; 2); 2 − x > 0 2 x + 5 > 0  5 x > − 2 

(

)

(

)

2) log 1 x − 2 ≥ −1 , log 1 x − 2 ≥ log 1 3 , 3

209

www.5balls.ru

 x 2 − 2 ≤ 3 ;  2  x − 2 > 0

[

x ∈ − 5 ;−

( )( ( )( 2 )U ( 2 ; 5 ] .

) )

 x − 5 x + 5 ≤ 0   x − 2 x + 2 > 0

[ (

] ) ( 2 ;+∞)

 x ∈ − 5 ; 5   x ∈ − ∞;− 2 U

№ 1224 lg x ≥ 0  x ≥ 1  x ≥ 1 1   1   x ∈ 1;10 4  ,  1;  1 ;  1 lg x < 4  x < 10 4 2      4 lg x < lg 10  1 2) log1/2x < log1/2(2x + 6) + 2, log 1 x < log 1 (2 x + 6 ) , 2 2 4 x > 0 x > 0   2 x + 6 > 0  x > −3 x ∈ (3; +∞). 4 x > 2 x + 6  x > 3

lg x <

№ 1225 1) log0,5(1 + 2x) > -1, log0,5(1 + 2x) > log0,52 1  x>− 1 + 2 x > 0  2 x ∈  − 1 ; 1  ; 1 + 2 x < 2  1   2 2 x < 2  2) log3(1 – 2x) < -1, log3(1 – 2x) < log3 1 − 2 x > 0  1 − 2 x < 1  3

  x <  x > 

1 , 3

1 2 x ∈  1 ; 1  . 1 3 2 3

№ 1226 1) log0,5(x2 – 5x + 6) > -1  x 2 − 5 x + 6 > 0 (x − 3)(x − 2 ) > 0  x ∈ (− ∞;2 ) U (3;+∞ )  2    x − 5 x + 6 < 2 (x − 1)(x − 4 ) < 0  x ∈ (1;4 ) x ∈ (1; 2) U (3; 4); 2) log8(x2 – 4x + 3) ≤ 1  x 2 − 4 x + 3 > 0 (x − 1)(x − 3) > 0  x ∈ (− ∞;1) U (3;+∞ )  2 (x + 1)(x − 5) ≤ 0  x ∈ [− 1;5]   x − 4 x + 3 ≤ 8  x ∈ [−1;1) U (3;5] .

210

www.5balls.ru

№ 1227  3x + 1  1) log 1  log 1 ≤0  x −1  2 2 

x + 1 3 >0   x −1  3x + 1 <1   3xx−+11 1  ≤  x −1 2 

 3x + 1  x −1 > 0  3x + 1  >0 log 1 2 x −1  log 3 x + 1 ≥ 0  1 2 x − 1

(

 1    x ∈  − ∞;− 3  U (1;+∞ )     x +1 <0   x −1 x+ 3  5  x −1 ≤ 0 

( (

)

  x ∈ − ∞;− 1 3 U (1;+∞ )  3x + 1 − x + 1 <0  x −1   6x + 2 − x + 1 ≤ 0  x −1

–1 –3/5

–1/3

 3 1 ;−   5 3

Ответ: x ∈ −

))

2) log 1 log 4 x 2 − 5 > 0 3

(

)(

)

 x2 − 5 > 0  x− 5 x+ 5 >0   2 2 log 4 x − 5 > 0  x − 5 > 1 log x 2 − 5 > 1  x 2 − 5 < 4  4 

( (

) )

–3

(

−

) ( 6 ;3).

( (

) ( 5;+∞) ) ( 6 ;+∞)

 x ∈ − ∞;− 5 U   x ∈ − ∞;− 6 U  x ∈ (− 3;3) 

Ответ: x ∈ − 3;− 6 U

№ 1228 1) (x2 – 4)log0,5x > 0, x > 0 по определению логарифма (x − 2 )(x + 2) > 0 (x − 2 )(x + 2) < 0 а)  ; б)  ; log 0 x >  0, 5 log0,5 x < 0

 x ∈ (− ∞;−2 ) U (2;+∞ ) а)  x ∈ (-∞;-2); б) x < 1 Т.к. х > 0, то х ∈ (1, 2). Ответ: x ∈ (1;2) 2) (3х – 1)log2x < 0

 x ∈ (− 2;2) x ∈ (1; 2) x > 1 

211

www.5balls.ru

3x − 1 > 0  x > 1 3 а)  ⇒x>1  log 2 x > 0  x > 1 1  1 3x − 1 < 0  x < б)   3 ⇒ x< . 3 log 2 x < 0  x < 1 



1 3

Ответ: x ∈  0;  U (1;+∞ )



№ 1129 1) x1+lgx < 0,1-2, x > 0; x1+lgx < 102. Ясно, что х = 1 решение нашего неравенства а) x > 0, x < 1, logxx1+lgx > logx102, 1 + lg x > Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0,

)

2 lg x + lg 2 x − 2 >0 , lg x lg x

(a − 1)(a + 2) > 0

+a−2 >0, a

–

– -2 0 1 a ∈ (− 2;0) U (1;+∞ ) , т.е. -2 < lgx < 0 и lgx > 1, 0,01 < x < 1 и x > 10, но т.к. x > 0 и x < 1, то решением является 1 < x <1 100 2 <0. б) x > 1, logxx1+lgx < 2logx10, 1 + lg x − lg x Сделаем замену: lgx = a, 1 + a − a + a2 − 2 a2 + a − 2 <0, <0, a a

2 < 0, a ≠ 0 a

(a − 1)(a + 2) < 0 a

–

-2 0 a ∈ (− ∞;−2 ) U (0;1) , т.е.

–

lgx < -2 и 0 < lgx < 1

1 и 1 < x < 10 т.е. x > 1, то решением является 1 < x < 10 100

Ответ: x ∈ (0,001;1) U (1;10) U [1] .

2) x 4 lg x < 10 x . Ясно, что x = 1 – решение нашего неравенства

212

www.5balls.ru

а) x > 1, logxx2lgx < logx10x, 2 lg x < 1 +

1 . lg x

(a − 1) a + 1 

2a 2 − a − 1 Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0, <0, a

2

+ –

 a

1 2

–

1 1  a ∈  − ∞;−  U (0;1) , т.е. lg x < − и 0 < lgx < 1 2 2  x<

и 1 < x < 10 т.к. x > 1, то решением является 1 < x < 10;

10 б) 0 < x < 1, logxx2lgx > logx10x, 2 lg x > 1 +

1 . lg x

Сделаем замену: lgx = a, а ≠ 0 2a > 1 + т.е. −

1 , a

2a 2 − a − 1 1  > 0 , a ∈  ;0  U (1;+∞ ) , a 2 

1 < lg x < 0 и lgx > 1, 2

< x < 1 и x > 10; т.к. 0 < x < 1,

 1  < x < 1 . Ответ: x ∈  ; 10  . 10  10  3) x + 3 > log3(26 + 3x), 26 + 3x > 0 при любых х, log33x+3 > log3(26 + 3x), 3x+3 > 26 + 3x, 3x+3 – 26 – 3x > 0, 26 ⋅ 3x – 26 > 0, 3x > 1, x > 0; 4) 3 – x < log5(20 + 5x), 20 + 5x > 0 при любых х, log553-x < log5(20 + 5x), 125 53-x < 20 + 5x, − 20 − 5 x < 0 , 5x = a > 0 5x

то решением является

(a − 25)(a + 5) > 0 , 125 − 20a − a 2 a 2 + 20a − 125 <0, >0, a a a a ∈ (−5;0 ) U (25;+∞ ) , т.е. -5 < 5x < 0 и 5x > 25, x = φ и x>2, т.е. x > 2;

№ 1230 1) cos(− 3 x ) ≥

3 3 , cos(3x ) ≥ , 3x = y, cos y ≥ 2 2 π π π − + 2πn ≤ y ≤ + 2πn, n ∈ Z , − + 2πn ≤ 3 x ≤ 6 6 6 π 2 π 2 − + πn ≤ + πn, n ∈ Z ; 18 3 18 3

3 , 2 π + 2πn, n ∈ Z , 6

213

www.5balls.ru

π 1 π 1  2) cos 2 x −  < − , 2 x − = y , cos y < − ; 3 2 3 2  2 4 2 π 4 π + 2πn < y < π + 2πn, n ∈ Z , π + 2πn < 2 x − < π + 2πn, n ∈ Z 3 3 3 3 3 5 π + πn < x < π + πn, n ∈ Z 2 6

№ 1231 1 4 1 1 b = arcsin , a = − π − arcsin 4 4 1 c = 2π + a = π − arcsin 4

1) sin x <

− π − arcsin n∈Z 2) sin x > −

1 1 + 2πn < x < arcsin + 2πn, 4 4

1 4

1 1 + 2πn < x < arcsin + 4 4 + π + 2πn, n ∈ Z

− arcsin

3) tgx – 3 ≤ 0 tgx ≤ 3 π − + πn < x ≤ arctg 3 + πn, n ∈ Z 2

4) cos x >

1 1 ; a = − arccos  3  3

b = arccos

1 3

1 1 − arccos + 2πn < x < arccos + 2πn, n ∈ Z 3 3

214

www.5balls.ru

№ 1232 1) 2 cos x − 3 < 0 [-3π; π] cos x <

3 2

π -π 11 , b = , c = a − 2π = − π, 6 6 6 − 13 d = b − 2π = π 6

13   11 π π   x ∈ − 3π;− π  U  − π;−  U  ; π 6   6 6 6   2 sin x + 1 ≥ 0 [-3π; π] 1 sin x ≥ − 2 11   9π 3   π   x ∈ − 3π;− π U − ;− π U − ; π 4   4 4   4  

3 + tgx ≤ 0 , [-3π; π] π 2 π tgx ≤ − 3 , a = − , b = π − = π , 3 3 3 −π 4 4 7 c= − π = − π , d = c−π = − π−π = − π , 3 3 3 3 5 7 3 4     x ∈  − π;− π U  − π;− π U 3   2 3   2  π π π π  U  − ;−  U  ;   2 3 2 3  4) 3tgx – 2 > 0, [-3π; π] 2 tgx > 3 2 a = arctg 3 2 −5π   2 3π   x ∈  arctg − 3π;  U  arctg − 2π;−  U 3 2   3 2   3)

2 π  2 π  U  arctg − π;−  U  arctg ;  3 2  3 2 

215

www.5balls.ru

№ 1233

1) Рассмотрим очевидное неравенство (a – b)2 ≥ 0; преобразуем его:

a2 – 2ab + b2 ≥ 0, a2 + b2 ≥ 2ab, 2) Преобразуем неравенство:

a2 + b2 ≥ ab , что и требовалось доказать 2 a 3 + b3 a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 > ; 2 8

4a3 + 4b3 − a 3 − 3a 2b − 3ab 2 − b3 3a 3 + 3b3 − 3a 2b − 3ab 2 >0; > 0; 8 8

(

)

(

)

3 a 3 + b3 − 3ab(a + b ) 3 a 3 + b3 − ab(a + b ) >0; ⋅ >0; 8 8 1 3 3 2 2 a + b – ab(a + b) = (a + b)(a – 2ab + b ) = (a + b)(a – b)2, при a, b > 0 и a ≠ b (a + b)(a – b)2 > 0, следовательно, исходное неравенство верно.

№ 1234 1) (a+b)(ab+1)≥4ab. Пусть ab=x, тогда a =

(

)

x и неравенство примет вид: b

x 2 + b 2 x + x + b 2 − 4bx x + b2 (x + 1) − 4bx  4x  x x ≥0; ≥0; ⋅b ;  + b  ⋅ b + 1 ≥ b b  b  b b

) (

)

− 2bx + b 2 + x 1 − 2b + b 2 ≥ 0; b

(x − b )2 + x(1 − b )2 b

≥0.

(ab − b )2 + ab(1 − b )2

≥0. b Неравенство верно, т.к. (ab – b) > 0, ab > 0, b > 0, (1 – b)2 ≥ 0; 2) a4 + 6a2b2 + b2 > 4ab(a2 + b2), (a4 + 2a2b + b4) + 4a2b2 > 4ab(a2 + b2), (a2+b2)2+4a2b2>4ab(a2+b2), (a2+b2)2–4ab(a2+b2)+4a2b2>0, но ((a2+b2)–2ab)2 > 0 при всех a, b таких, что a2 + b2 – 2ab ≠ 0, т.е. при (a – b)2 ≠ 0, a ≠ b. Сделаем обратную подстановку: 2

№ 1235 1)

1 a b c  a b c + + ≥ 3 ,  + +  ≥1 b c a 3 b c a 

a b c , и , а справа их a b c среднее геометрическое. Т.к. среднее геометрическое всегда не превышает среднего арифметического, то неравенство верно для любых a>0, b>0, c>0 2) 2a2+b2+c2≥2a(b+c), a2+a2+b2+c2–2ab–2ac≥0, (a–b)2+(a–c)2 ≥ 0 – верно. Слева стоит среднее арифметическое чисел

216

www.5balls.ru

№ 1236 3+ 7y  x= 5 x − 7 y = 3  5 1)   6 x + 5 y = 17  6(3 + 7 y ) + 5 y = 17 5  18 + 42у + 25у = 85, 67у = 67, у = 1, x =

3+ 7y = 2 . Ответ: (2; 1). 5

2 x − y − 13 = 0  x = −2 y − 1 2)    x + 2 y + 1 = 0 2(−2 y − 1) − y − 13 = 0 -4у – 2 – у – 13 = 0, -5у = 15, у = -3, х = 5. Ответ: (5; -3).

№ 1237 x− y x+ y − = 10  2 x − 2 y − 5 x − 5 y = 100 2 1)  5 2 x + 5 y = 100   x + y = 10  5 2   100 − 5 y   − 7 y = 100 − 3 2     x = 100 − 5 y 2  -300 + 15у – 14у = 200, у = 500, х = -1200. Ответ: (-1200; 500). x + y x − y + =6  3 x + 3 y + 2 x − 2 y − 36 = 0 3 2)  2 3 x + 3 y − 4 x + 4 y = 0 + − x y x y  − =0  3  4 −3x − 7 y = 100   x = 100 − 5 y  2

5 x + y − 36 = 0 35 y + y − 36 = 0 у = 1, х = 7. Ответ: (7; 1). 7 y − x = 0 x = 7 y  

№ 1238  y = x 2 − 5  y + 5 = x 2 1)  2  2 2  x + y = 25  x 2 + x 2 − 5 = 25 х2 + х4 – 10х2 + 25 = 25, х4 – 9х2 = 0, х2(х2 – 9) = 0, х2(х – 3)(х + 3) = 0, х = 0, х = ±3, у = -5, у = 4. Ответ: (0, -5), (3, 4), (-3, 4).  xy = 16   xy = 16 4 y 2 = 16 ;  ;  2)  x , у = ±2, х = ±8. Ответ: (±8, ±2). =4 x = 4 y x = 4 y  y

(

)

2 2  2  2  2 3)  x + 2 y = 96 4 y + 2 y = 96  y = 16 , у = ±4, х = ±8. x = 2 y x = 2 y x = 2 y Ответ: (±8, ±4)

217

www.5balls.ru

№ 1239 2 2 2 2 2   2  1)  x − y = 13 (1 + y ) − y = 13 1 + 2 y + y − y = 13 , у = 6, х = 7. x − y = 1 x = y + 1 x = y + 1 Ответ: (7, 6).  x 2 − 3 y = −5  2  2 2 2)  x − 3 y = −5  23 − 7 x , х – 23 + 7х + 5 = 0, х + 7х – 18 = 0, 7 x + 3 y = 23  y = 3  2 2 Ответ: (2, 3), (-9, 28 ). х1 = 2, х2 = -9, у1 = 3, у2 = 28 . 3 3

№ 1240 x y 3 x 1 3 t 2 −1 3  − = = t , тогда t − = ; 1)  y x 2 . Пусть = ; 2t2–3t–2 = 0, t 2 2 t y  x 2 + y 2 = 20  1 x 1 x t1 = 2, t2 = − , отсюда а) = 2 и б) = − ; y 2 y 2 а) х = 2у и (2у)2 + у2 = 20, 5у2 = 20, y = ± 4 = ±2 , х = ±4; 2

1  1  y и  − y  + y 2 = 20 , у = ±4, х = ±2. 2  2  Ответ: (±4, ±2), (±2, ±4). 1  y x 10 y x  + =3  + = 3 x y 3 . 2)  x y x2 − y 2 = 8 x2 − y 2 = 8   б) x = −

Обозначим: t1 = 3, t2 =

y 1 10 , 3t2 + 3 – 10t = 0, 3t2 – 10t + 3 = 0, = t , тогда t + = 3 x t

1 ; 3

y = 3 , у = 3х, х2 – 9х2 = 8, -8х2 = 8, х2 = -1, решений нет x y 1 б) = ; х = 3у, 9у2 – у2 = 8, у = ±1, х = ±3. Ответ: (±3, ±1). x 3 а)

 x 2 = 13 x + 4 y 3)  2 , вычтем уравнения: х2 – у2 = 9(х – у),  y = 4 x + 13 y (х – у)(х + у) – 9(х – у) = 0, (х–у)(х+у–9) = 0 – либо х = у, либо х = 9 – у а) х=у, х2=13х+4х, х2–17х=0, х(х–17)=0, х1=0, х2=17, у1=0, у2 =17; б) х=9–у, у2=4(9–у)+13у, у2–9у–36=0, у1=-3, у2 =12, х1 = 12, х2 = -3. Ответ: (0, 0), (17, 17), (12, -3), (-3, 12). 218

www.5balls.ru

3x 2 + y 2 − 4 x = 40 4)  2 , вычтем уравнения: х2 – 7х = -12, 2 x + y 2 + 3 x = 52 х2–7х+12=0, х2–7х+12=0, x 1 = 2

7 ± 49 − 48 7 ± 1 = , х1 = 4, х2 = 3; 2 2

а) х = 4, 32 + у2 + 12 = 52, у2 = 8, y = ±2 2 ; б) х = 3, 18 + у2 + 9 = 52, у2 = 25, у = ±5.

Ответ: (4, ± 2 2 ), (3, ±5).

№ 1241 2 x + y = 32 2 x + y = 25  x + y = 5  x = 5 − y 1)  3 y − x ;  ;  ;  3 = 27 33 y − x = 33 3 y − x = 3 3 y − 5 + y = 3 4у = 8, у = 2, тогда х = 3. Ответ: (3, 2). x 3x − 22y = 77  . Пусть 3 2 = a, 2 y = b ; a, b>0, тогда система примет вид: 2)  x 32 − 2y = 7  a 2 − b 2 = 77 a 2 − b 2 = 77 (b + 7 )2 − b 2 = 77 b 2 + 14b − b 2 = 28     a − b = 7 a = b + 7 a = b + 7 a = b + 7 x

b = 2 у 2 a = 9 , тогда 3 2 = 3 , х = 4, 2 = 2, у = 1. Ответ: (4, 1)  3x ⋅ 2 y = 576 3)  log 2 ( y − x ) = 4 3 x ⋅ 2 y = 3 2 ⋅ 2 6  y = x + 4

3x ⋅ 2 y = 32 ⋅ 26   log 2 ( y − x ) = log

3 x ⋅ 2 y = 3 2 ⋅ 2 6  y − x = 4

3х ⋅ 2х+4 = 32 ⋅ 26, 3х ⋅ 2х = 32 ⋅ 22

Т.к. функция 3х ⋅ 2х возрастает, то решение единственное. Отсюда х = 2, у = 6. Ответ: (2, 6) lg x + lg y = 4 lg xy = lg104  xy = 104 4)  lg y   = 1000  xlg y = 1000 log x x lg y = log x 1000 x  xy = 104  lg y = log x 103

4   y = 10  x lg y = 3 log x 10 

 104 y =  x  4 10 3 lg =  x log10 x

3 104 3 = 4 − lg x = x lg x lg x Пусть lgx = a, 4a – a2 – 3 = 0, a2 – 4a + 3 = 0, a1 = 1, a2 = 3; 1) a = 1, lgx = 1, x = 10, у = 103; 2) a = 3, lgx = 3, х = 103, у = 10. Ответ: (10, 1000), (1000, 10). lg

219

www.5balls.ru

№ 1242 1 log x − log y = 0  log 2 x − log 2 y = 0 1)  2 4 2 2 2 x − 5 y + 4 = 0 x2 − 5 y2 + 4 = 0    y =  x y = 1  2   x − 5 y 2 + 4 = 0  2 − x 

log 2 x y = 0  2  x − 5 y 2 + 4 = 0

1 x х3 + 4х – 5 = 0, 5 +4=0 x

x 3 + 4 x - 5 = (x - 1) (x 2 + x + 5) = 0 ⇔ x = 1 (т.к. х2 + х + 5 > 0 при любом х ∈ R), х = 1 – единственный действительный корень; у = 1. Ответ: (1, 1). 2 4 4  x 2 + y 4 = 16  x + y = 16  2 2)  x + y = 16 8  2  2 3 log 2 x + 2 log 2 y = 3  xy = 2 y = x   2 82  x + 2 = 16 x   y2 = 8  x

 x 4 − 16 x 2 + 64 = 0   2 8 y = x 

(

)

2  2  x −8 = 0  2 8 y = x 

 x = ± 8 , но х, у > 0 по определению логарифма. Ответ:   y = 8

( 8, 8 ) . 4

№ 1243  x + y = 16 . 1)   x − y = 2 y = b, a ≥ 0, h ≥ 0 , тогда система примет вид: Пусть x = a, a + b = 16 2b = 14 b = 7 2 2 a − b = 2 a = b + 2 a = 9 , тогда x = a = 81, y = b = 49.    Ответ: (81, 49).  x − y = 1 y =b≥0 . Пусть x = a ≥ 0, 2)   x + y = 19 a − b = 1 a = b + 1 a = 10 a + b = 19 2b = 18 ; b = 9 , где a = x , b = y , тогда х=100, у=81.   

№ 1244  x + y − 1 = 1 x + y − 1 = 1 1)   2  x − y + 2 = 2 y − 2  x − y + 2 = 4 y − 2 y + 1 x = 2 − y x = 2 − y x = 2 − y    2 2 2 − y − y + 2 = 4 y − 8 y + 4 4 y − 6 y = 0 2 y (2 y − 3) = 0

(

220

www.5balls.ru

)

1  x = 2 − y x = 2, x =   2 , при этом должно выполняться:  y = 0, y = 3  3   = = y 0 , y 2  2  а) х + у – 1 ≥ 0; б) х – у + 2 ≥ 0; в) 2у – 2 ≥ 0. Для у = 0, х = 2 условие в) не выполняется, следовательно, 1 3 решение —  ,  . 2 2  3 y + x + 1 = 2 2)   2 x − y + 2 = 7 y − 6 x = 3 − 3 y  2 2(3 − 3 y ) − y + 2 = 49 y

3 y + x + 1 = 4  2 2 x − y + 2 = 49 y − 84 y + 36 x = 3 − 3 y  − 84 y + 36 6 − 6 y − y + 2 = 49 y 2 − 84 y + 36

77 ± 5929 − 5488 77 ± 21 = , 98 98 2 12 9 4 у1 = 1, у2 = , х1 = 0, х2 = 3 − = , при этом должно выполняться: 7 7 7 а) 3у + х + 1 ≥ 0; б) 2х – у + 2 ≥ 0; в) 7у – 6 ≥ 0, следовательно, решением является пара (0, 1). Ответ: (0, 1). 49y2 – 77y + 28 = 0, y 1 =

№ 1245 sin x + cos y = 1  1)  2 3 sin x + 2 sin x ⋅ cos y = 4

cos y = 1 − sin x  sin 2 x + 2 sin x(1 − sin x ) = 3  4

cos y = 1 − sin x cos y = 1 − sin x   sin 2 x + 2 sin x − 2 sin 2 x − 3 = 0 − sin 2 x + 2 sin x − 3 = 0   4 4 2 4sin x – 8sinx + 3 = 0, sinx = a, |a| ≤ 1, 4a2 – 8a + 3 = 0, 4 ± 16 − 12 4±2 1 , a1 = 1,5 > 1, a2 = , т.е. , a1 = 4 2 4 2 1 ±π 1 n π + 2lπ, l ∈ Z . sin x = ; x = (− 1) + nπ, n ∈ Z , cos y = ; y = 2 3 2 6 π π   Ответ:  (− 1)n + nπ, n ∈ Z , ± + 2lπ, l ∈ Z  6 3   a1 = 2

1  1 sin x + sin y = 2)  , sin x = − sin y , 2 2 2 2 cos x + 2 sin x sin y + 4 cos y = 4 

1  cos 2 x + 2 − sin y  sin y + 4 cos 2 y = 4 , 2  221

www.5balls.ru

1  1 −  − sin y  + 1 ⋅ sin y − 2 sin 2 y + 4 cos 2 y = 4 , 2   1 + sin y − sin 2 y + sin y − 2 sin 2 y + 4 − 4 sin 2 y − 4 = 0 , 4 3 − 7 sin 2 y + 2 sin y + = 0 , siny = a; |a| ≤ 1, 28a2 – 8a – 3 = 0, 4

1−

4 ± 16 + 84 4 ± 10 1 3 = , a1 = , a 2 = − , 28 28 2 14 1 π а) sin y = ; y = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , sinx = 0, x = πl, l ∈ Z, 2 6 3  3 б) sin y = − ; y = (− 1)n +1 arcsin  + nπ, n ∈ Z , 14  14  a1 = 2

sin x =

5 5 , x = (− 1)l arcsin  + lπ, l ∈ Z . 7 7

π   Ответ:  πl , l ∈ Z ; (− 1)n + nπ, n ∈ Z  6   5 3   l n +1  (− 1) arcsin + lπ, l ∈ Z ; (− 1) arcsin + nπ, n ∈ Z  . 7 14  

№ 1246 1  sin x cos y = − 1)  2 tgxctgy = 1

1  sin x cos y = − 2 sin x cos y ⋅ = 1 , тогда  sin x cos y  ⋅ = 1 cos x sin y  cos x sin y

1 1 1 , sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y = − + = 0 , т.е. 2 2 2 sin(x – y) = 0, x – y = πn, n ∈ Z, x = πn + y, n ∈ Z, 1 1 sin ( y + πn ) cos y = − , (sin y ⋅ cos πn + cos y sin πn ) cos y = − , 2 2 1 π а) n = 2k + 1, тогда − sin y cos y = − , sin2y = 1, 2 y = + 2πl , l ∈ Z ; 2 2 1 π б) n = 2k, тогда sin y cos y = − , sin2y = -1, 2 y = − + 2πl , l ∈ Z . 2 2 cos x ⋅ sin y = −

   π  π Ответ:  πn +  ± + πl ,± + πl  , l, n ∈ Z.  4  4  

222

www.5balls.ru

1  sin x sin y = 2)  4 3tgx = ctgy

1  sin x sin y = 3  4  sin x ⋅ sin y 1 тогда cos x cos y = , 4  =  cos x ⋅ cos y 3

cos x cos y − sin x sin y =

3 1 1 − = , 4 4 2

1 π π ; x + y = ± + 2πn, n ∈ Z , x = ± − y + 2πn, n ∈ Z , 2 3 3 1 1 1 1 =  cos(x − y ) −  , sin x ⋅ sin y = (cos(x − y ) − cos(x + y )) , 4 2 2 2 cos(x + y ) =

cos(x – y) = 1; x – y = 2πl, l ∈ Z, π  π π x = ± − y + 2πn, n ∈ Z , x = ± + π(l + n ) y = ± + π(l + n ) − 2πl ; l, n ∈ Z  3 6 6  y = x − 2πl , l ∈ Z π  π  Ответ:  ± + π(l + n );± + π(n − l ), l , n ∈ Z . 6  6 

№ 1247 x+4  2 x − 3 3x + 5 x − − < 3−  2 3 6 2 ; 3(2 x − 3) − 2(3 x + 5) − x − 3 ⋅ 6 + 3(x + 4) < 0 ;  2 x − 8 4 − 3x + 2 6 − 2(2 x − 8) + 3(4 − 3 x ) − 12 x + 2(x + 2) < 0 x 1 − + < 2x − 3 2 3  25  1   x < 2  x < 12 2 ;  .   x > 38  x > 1 15  23  23 наименьшее – это 2.

6 x − 9 − 6 x − 10 − x − 18 + 3 x + 12 < 0 2 x − 25 < 0 6 − 4 x + 16 + 12 − 9 x − 12 x + 2 x + 4 < 0 ; − 23 x + 38 < 0 ;   Ответ: наибольшее целое решение – это х = 12,

№ 1248  x +1 x + 2 x − 3 x − 4  5 − 4 < 3 + 2 12(x + 1) − 15(x + 2) − 20(x − 3) − 30(x − 4 ) < 0 x−2 5(x − 2) − 15 − 3(x − 5) > 0 x−5   > 1+  3 15 162  12 x + 12 − 15 x − 30 − 20 x + 60 − 30 x + 120 < 0 −53 x + 162 < 0  x > − 5 x − 10 − 15 − 3x + 15 > 0 2 x − 10 > 0  53    x > 5 Ответ: x > 5.

№ 1249

Примем длину эскалатора за 1, а время, за которое эскалатор поднимает 1 1 неподвижно стоящего человека, за х, тогда — скорость эскалатора, x 180 223

www.5balls.ru

— скорость пассажира, а

1 — скорость пассажира, поднимающегося по 45

движущемуся эскалатору. 1 1 1 По условию , откуда х = 60. Ответ: 60 с = + 45 x 180

№ 1250

Пусть собственная скорость теплохода х, тогда скорость движения по течению (х + 2), а против – (х – 2). Расстояние между пристанями составит (х + 2) ⋅ 7 или (х – 2) ⋅ 9, следовательно (х – 2)9 = (х + 2)⋅7, откуда х = 16, следовательно, расстояние между пристанями 126 км.

№ 1251

Пусть х км/ч – планируемая скорость парохода, тогда истинная скорость х + 2,5 км/ч. расстояние будет равно х ⋅ 54, или (х + 2,5)⋅48. Следовательно, x ⋅ 54 = (x + 2,5) ⋅ 48; 54x – 48x = 120, 6x = 120, x = 20, следовательно, скорость парохода 20 км/ч, а расстояние 20 ⋅ 54 = 1080 км.

№ 1252

Примем объем работы за 1, а время выполнения при совместной работе 1 1 за х дней. Тогда производительность I рабочего , а II , общая 24 48 1 1 1   1 + . Следовательно, получаем уравнение:  + x = 1 , 24 48  24 48 

3 x = 1 ; 3х = 48, х = 16. 48 № 1253

Ответ: за 16 дней.

Пусть было освоено х га целинных земель, тогда остальная площадь составит 174 – х га. С целинных земель собрано 30х ц, а с остальных (174-х) ⋅ 22 ц. По условию было собрано 4556 ц. Следовательно, составим уравнение: (174 – х) ⋅ 22 + 30х = 4556, откуда х = 91. Ответ: 91 га.

№ 1254

Пусть I число равно х, a II равно у. Тогда (х – у):ху = 1:24 и х+у=5(х–у). 24(x − y ) = xy Составим систему уравнений:  , получим х = 12, у = 8.  x + y = 5(x − y )

№ 1255

Пусть первая дробь равна х, а вторая дробь равна у. Тогда третья дробь равна 1 – х – у. По условию х – у = 1 – х – у и х + у = 5(1 – х – у). Составим систему: 1 1 1 1 1 x − y = 1 − x − y  x + y = 5 − 5 x − 5 y , откуда x = , y = , тогда третья дробь 1 − − = 2 3 2 3 6  Откуда:

1 1 1 , , . 2 3 6

224

www.5balls.ru

№ 1256

Пусть дневная плановая норма – х деталей, тогда новая норма х + 9 деталей. 360 378 360 деталей должны были изготовить за дней. А 378 деталей за x x+9 360 378 на 1. Составим уравнение: дней. По условию задачи больше x x+9 360 378 − = 1 , откуда х = 45. x x+9 На самом деле бригада делала 54 детали, а за весь срок 378+54=432 детали. Ответ: 432 детали.

№ 1257 Пусть скорость катера х км/ч. По условию, скорость плота 3,6 км/ч. Путь катера 50 км, а плота 10 км. Время, затраченное на путь, будет равно 30 20 10 30 20 10 . Отсюда + или + = , откуда х = 18. 3,6 x + 3,6 x − 3,6 x + 3,6 x − 3,6 3,6

№ 1258 Пусть стоимость 1 билета в I организации х копеек, тогда во II органи1800 3000 зации билет стоил х – 30 копеек. I организация закупила , а II x x − 30 1800 3000 билетов. По условию на 5. больше x x − 30 3000 1800 Составим уравнение: − = 5 , откуда х = 150 или х = 120. x x − 30 Следовательно, I организация купила 20 или 25 билетов, а II – 15 или 20.

№ 1259 Пусть скорость плота х км/ч, тогда скорость лодки х + 48 км/ч. Время 17 17 17 1 17 лодки ч, а плота ч. По условию больше на 5 ч. x + 48 x + 48 x x 3 17 17 16 Составим уравнение: − = x x + 48 3 51х + 51 ⋅ 48 – 51х = 16(х2 + 48х), 16х2 + 16 ⋅ 48х – 51 ⋅ 48 = 0, х2 + 48х – 152 = 0, откуда х = 3. Ответ: 3 км/ч.

№ 1260 Пусть со II c 1 га собирали х ц, тогда на I участке с 1 га собирали 210 210 210 га, а второго х + 1 ц. Площадь первого га. По условию x +1 x x 210 210 210 1 на 0,5. Составим уравнение: − = , откуда х = 20. больше x +1 x x +1 2 Следовательно, на II участке с 1 га собрано 20 ц, а на I участке – 21 ц.

225

www.5balls.ru

№ 1261 Пусть х шагов делает ученик, тогда его брат делает х – 400 шагов. Дли700 700 700 м. По условию на шага ученика м, а длина шага брата x x − 400 x − 400 700 больше на 0,2 м. x 700 700 Составим уравнение: − = 0,2 . x − 400 x 3500х – 3500х + 1400000 = х2 – 400х, откуда х=1400.

№ 1262 Пусть I число равно х, тогда II число xq, III – xq2, IV – xq3. По условию xq2 больше х на 9, а xq больше xq3 на 18.  xq 2 − x = 9 x = 3 Составим систему:  , откуда   xq − xq 3 = 18 q = −2 Следовательно, I число равно 3, II равно -6, III равно 12, IV равно –24.

№ 1263 1) По условию а4 = 1, т.е. а1 + 3d = 1, кроме того, 2a + d ⋅ 2 S3 = 1 ⋅ 3 = (a1 + d ) ⋅ 3 , т.е. (a1 + d) ⋅ 3 = 0 2 Составим систему уравнений: 1  d = 2 a1 + 3d = 1 2d = 1 a + d = 0 a = − d   1  1 a1 = − 1  2  1 1 2 −  + ⋅11 2a1 + d (n − 1)  2 2 2) S n = ⋅ n , тогда S12 = = 27 . 2 2

№ 1264 Пусть I число равно х, знаменатель геометрической прогрессии q. Тогда II число равно xq, a III число xq2. Разность арифметической прогрессии xq2 – xq, тогда IV число xq2 + xq2 – xq = 2xq2 – xq. По условию задачи составим систему уравнений: 1   x + 2 xq 2 − xq = 16 q = q = 3 , решая, получим: и    2  xq + xq 2 = 12 x = 1  x = 16 Следовательно, I число равно 1, II равно 3, III равно 9, IV равно 15, или числа равны 16, 8, 4, 0, соответственно. Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.

226

www.5balls.ru

№ 1265 Пусть х – первый член геометрической прогрессии, а у – ее знаменатель, тогда b5 = x ⋅ y4; b8 = x ⋅ y7, b11 = x ⋅ y10. По условию a1 = x ⋅ y4, a2 = x ⋅ y7, a10 = x ⋅ y10. Тогда d = xy7 – xy4 и а10 = а1 + 9d = xy4 + 9(xy7 – xy4). Составим уравнение: xy10 = xy4 + 9xy7 – 9xy4; x ≠ 0, y ≠ 0 Следовательно, у6 = 9у3 – 8, у6 – 9у3 + 8 = 0, 9 ± 81 − 32 3 ; у = 8, у3 = 1. 2 Следовательно, у = 2 и у = 1. По условию y3 =

S5 =

(

)

(

)

x y 5 −1 x ⋅ 25 −1 ;х=2 и S5 = 62, т.е. 62 = y −1 2 −1

При у = 1имеем х + х + х + х + х = 62, 5х = 62, x = 12

2 . 5

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 2 или 12 Ответ: 2 или 12

2 . 5

№ 1266 1) Пусть а1 – первый член арифметической прогрессии, а d – ее разность. По условию a1 > 0, d > 0. 2) a5 ⋅ a6 больше а1 ⋅ а2 в 33 раза, следовательно, можем составить уравнение: (a1 + 4d) ⋅ (a1 + 5d) = a1(a1 + d) ⋅ 33; a12 + 9da1 + 20d2 = 33a12 + 33a1d; −10d d , a1 = , но а1 > 0, d > 0, 32a12 + 24a1d – 20d2 = 0, откуда a1 = 8 2 d следовательно, a1 = . 2 3) a5 ⋅ a2 = (a1 + 4d) : (a1 + d) = 3.

№ 1267 В результате построений получается множество подобных треугольни1 ков с k = , площади которых образуют бесконечную геометрическую 2 b 12 1 прогрессию, в ней b1 = 12, q = , следовательно S = 1 = = 16 см2. 1 4 1− q 1− 4

227

www.5balls.ru

№ 1268

5 y = − x+b 2

5 (-2;3); 3 = − 2 ⋅ (− 2 ) + b b = −2

№ 1269

у = kx + 3

(-1;4); 4 = −1⋅ k + 3 k = −1

№ 1270 у = kx + b 1)

− 2 = −1 ⋅ k + b 2 = k − b

;  ; k = 1, b = −1 ; 2 = 3(b + 2) + b

А(-1;-2), В(3;2)  2 = 3k + b

1 = 2k + b 1 = 2k + 2 − k 2) A(2;1), B(1;2),  ;  ; k = −1, b = 3 ; 2 = k + b b = 2 − k 2 = 4 k + b

b = 2 − 4k

;  ; k = ,b = − ; 3) A(4;2), B(-4;-3),  8 2 − 3 = −4k + b 3 = 4k − 2 + 4k

− 2 = −2k + b b = 2k − 2

b = 2k − 2

; ;  4) A(-2;-2), B(3;-2),  − 2 = 3k + b − 2 = 3k + 2k − 2 k = 0

;

k = 0, b = −2

№ 1271 A(-3;2), B(-2;2), C(3;0) Для прямой, проходящей через В и С, справедлива система:

2 6 2 6 2 = −2k + d 0 = 3k + b ; k = − , b = k , таким образом y1 = − x + . 5 5 5 5  У прямой, проходящей через А коэффициент k равен −

2 вследствие 5

параллельности ее и первой прямой ВС.

4  2  + b, откуда b = , 5  5

Справедливо уравнение: 2 = −3 − тогда у = −

2 4 x+ . 5 5

Ответ: у = −

2 6 2 4 x+ , у = − x+ . 5 5 5 5

№ 1272 у x + =1 2 4 3 = 1 принадлежит; 2) А(0;3) 0 + ≠ 1 не принадлежит 2 2 0  3 1 3 3) А(1;0) 1 + = 1 принадлежит 4) А  ;−1 − = 1 принадлежит. 2 2  2 2 1)A(-1;4) − 1 +

228

www.5balls.ru

№ 1273 3 x + 2 ; 1) x = 0, у = 2, А(0,2 ) – точка пересечения с 0у; 4 8 8  у = 0, x = , B ,0  – точка пересечения с 0x; 3 3 

у=−



8 3

2) AB =  0 −  + (2 − 0 )2 =



10 3

3) Из ∆AOC : OC =

4 − x2

(1)

4) Из ∆BOC : OC =

64  100 20  − − x + x2  9  9 3 

(2)

Из (1) и (2): x =

36 8 6 = . = AC ; OC = 4 − 25 5 5

№ 1274 1) 3 x − 1 > 0, x <

у = 3x − 1 ;

1 ; 3

2) 3 x − 1 < 0, x <

1 . 3

№ 1275 у 2 − 2 x + 1 ; 1) − 2 x + 1 > 0, x <

1 ; 2

2) − 2 x + 1 < 0, x >

1 . 2

№ 1276 у = 2 x − 1, у = 3x − 2, 2 x − 1 < 3x − 2; x > 1. № 1277 у = 3 − 2 x − 3, у = 1+ 3 x + 2 3 3 − 2 x − 3 > 1 + 3 x + 2 3; x < − 3

(

)

(

( )

)

№ 1278

у = 2 x − 3 . Т.к. линейная функция вида у = kx + b возрастает при

k > 0 и данная функция линейная и k = 2 > 0, то она возрастает. № 1279 у = − 3x − 3 Т.к. функция у = − 3 x − 3 линейная и k = −3 < 0, то она убывает.

№ 1280 1) Графики линейных функций пересекаются, если коэффициенты k у них различны. у = 3 x − 2 и у = 3x + 1 параллельны 229

www.5balls.ru

2) y = 3 x − 2 и y = 3x + 1 пересекаются.

№ 1281 1) y = 2 − x а) y = 2 − x б) симметрия относительно Oy в) пересечений нет.

2) y = 2 − x точки пересечения

2 − x = 3, x = −1, y = 3 и x = 5, y = 3

3) y = 2 − x + x − 3

x ≥ 3

x < 2

; а)  ;  y = x − 2 + x − 3  y = 2x − 5

2 ≤ x < 3

; б)  y = x − 2 − x −3 y =1

; в)   y = 2 − x − x + 3  y = −2 x + 5 точки пересечения: y = 2 − x + x − 3 = 3 , x = 4, y = 3 и x = 1, y = 3.

№ 1282 y = x2 − 2 x − 3 1) графиком функции служит парабола, ветви которой направлены вверх, вершина в точке (+1;-4). 230

www.5balls.ru

2) Найдем у’:

y ' = 2 x − 2 = 2(x − 1) y ' > 0 при x > 1, след. на x ∈ [1;4)

функция возрастает 3) Наименьшее значение в точке x = 1, равное –4 4) x 2 − 2 x − 3 > −2 x + 1, x 2 − 4 > 0 при x ∈ (− ∞;−2 ) U (2;+∞ )

5) y = f (xo ) + f ' (xo ) x − x 

f ' (2 ) = 2, f (2 ) = −3 y = −3 + 2(x − 2 ) = −3 + 2 x − 4





y = 2 x − 7 — уравнение касательной в точке х0 = 2.

№ 1283 y = −2 x 2 + 3x + 2 1) график функции – парабола, ветви направлены вниз; вершина с координатами

x0 =

3 1 , y0 = 3 , 4 8

точки пересечения с 0у: (0;2); с 0х: (2;0), (- ½ ; 0) у(х) < 0 при x > 2 и x < - ½

3 , следовательно на [1;2] функция убывает 4 3 3) наибольшее значение функция принимает в точке x = 4 2 4) y = 3 x + 2 , − 2 x + 3x + 2 < 3x + 2 , − 2 x 2 < 0 , 2) y′ – 4x + 3 < 0 при x >

x 2 > 0 , следовательно при всех x ≠ 0 ; 5) y = 3; 3 = −2 x 2 + 3 x + 2; 2 x 2 − 3 x + 1 = 0; x = 1, x =

y ' (1) = −1, y = -x + 4 - уравнение касательной в х = 1

1 ; 2

1 1 y '   = 1; y = x + 2,5 - уравнение касательной в x = 2 2 № 1284 1) y = x2 и y = x + 6, x2 = x + 6, x2 – x – 6 = 0 D = 1 + 24 – решение есть, след. пересекаются. 2) y =

3 3 и y = 4(x + 1) , = 4 x + 1; 3 = 4 x 2 + x, 4 x 2 + x − 3 = 0 , x x 231

www.5balls.ru

D = 1 + 48 – решение есть, след. пересекаются.

1 2 1 1 1 x и y = , x 2 = , x3 = 8 , x = 2 , след. пересекаются. 8 x 8 x 1 1 4) y = 2 x − 1 и y = , 2 x − 1 = , x x 2 x 2 − x − 1 = 0 D = 1 + 8 – решение есть, след. пересекаются.

3) y =

№ 1285 1) y = 2 x + 2− x , y (− x ) = 2− x + 2 x = y (x ) – функция четная 2) y = 3x − 3− x , y (− x ) = 3− x − 3x = − y (x ) – функция нечетная 3) y = ln

3+ x 3− x 3+ x , y (− x ) = ln = − ln = − y (x ) – функция не3+ x 3− x 3− x

четная 4) y = ln

5+ x ; y(− x ) = y (x ) – функция четная 5− x

№ 1286

1) y = 2 x 2 − 1 , y (− x ) = 2(− x ) − 1 = y (x ) – функция четная 2

2) y = x − x3 , y (− x ) = − x + x3 = y (− x ) – функция нечетная 3) y = x5 − 4) y =

1 1 , y (− x ) = − x5 + = y (x ) – функция нечетная x x

− sin x sin (x ) , y (− x ) = = y (x ) – функция четная x x

№ 1287

1) y = x sin x , y (− x ) = − x(− sin x ) = y (x ) – функция четная 2) y = x 2 cos x , y (− x ) = (− x ) cos x = y (x ) – функция четная 2

3) y = x + sin x , y (− x ) = − x − sin x = − y (x ) – функция нечетная

4) y = x + cos x , y (− x ) = − x + cos x — функция не является четной и не является нечетной.

№ 1288 1) y = cos

2 π 4π 3x T= 3 = 2 3

2) y = 2 sin 0,6 x

2π 10 = π 0,6 3

№ 1289 1). y = cos 3 x; 3T = 2π; T =

x T 2π ; 2). y = sin ; = 2π; T = 10π ; 5 5 3

232

www.5balls.ru

π ; 5 sin x cos x + sin x sin x(cos x + 1) = = tgx(cos x + 1) ; 4). y = sin x + tgx; y = cos x cos x

3). y = tg 5 x; 5T = π; T =

Наименьший период для sin x 2π, для tgx 2π тоже являются периодом. Следовательно для у = sinx + 69x Т=2π.

№ 1290

1) y = − x 4 + 4 x 2 − 5 , y (− x ) = − x 4 + 4 x 2 − 5 = y (x ) – функция четная

2) y = x3 − 4 x , y (− x ) = − x3 + 4 x = − y (x ) – функция нечетная

№ 1291

y = ax 2 + bx − 4 , y (1) = 0, y (4 ) = 0 ,

0 = a + b − 4 0 = 16a + 4b − 4; 

b = 4 − a b = 4 − a b = 5 16a + 16 − 4a = 0; 12a + 12 = 0 a = −1   

y = − x 2 + 5b − 4 . Наибольшее значение функция принимает в точке x =

5 5 ; y  = 2,25 2 2

№ 1292 1  π 3  cos 2 x  = 2 sin  2 x −  sin 2 x − 2  2 3   

1) y = sin 2 x − 3 cos 2 x = 2

(

)

2) y = 2 cos 2 x + sin 2 2 x = 2 cos 2 x − sin 2 x + 4 sin 2 x cos 2 x =

( = 2(1 − 2 sin

(

)

= 2 1 − sin x − sin x + 2 sin x ⋅ 1 − sin x = 2

)

x + 2 sin x − 2 sin x = 2 − 4 sin 2 x 2

1 ≥ sin x ≥ 0 , ymax = 2 , ymin = −2 . (Опечатка в ответе задачника). 2

№ 1293 1) y = 2 x 2 − 5 x + 6 , с осью 0y: х = 0, у = 6 ⇒ (0, 6), с осью 0х пересечений нет, т.к. D < 0; 2) y = 2 x 2 − 5 x + 2 , c осью 0у: х = 0, у = 2 ⇒ (0, 2) с осью 0х: x 1 =

5 ± 25 − 16 5 ± 3 1  , (2, 0) и  ,0  . = 4 4 2 

№ 1294

233

www.5balls.ru

y = ax 2 + bx + c , y (−2 ) = 15, y (3) = 0, y (0 ) = −3 15 = 4a − 2b + c  0 = 0a + 3b + c ; − 3 = c

c = -3  ; - 3a + 1 = b 15 = 4a + 6a - 2 - 3

a = 2  b = -5 c = -3

y = 2 x 2 − 5 x − 3 — график функции — парабола с 5

вершиной в точке 

4

1 ,−6  , ветви которой направле8

ны вверх.

№ 1295 y = 25 − x 2 , 1) 25 − x 2 ≥ 0, (5 − x )(5 + x ) ≥ 0; D ( y ) = [− 5;5] ; 2) y (− x ) = 25 − x 2 = y (x ) — четная;

1 2

3) y ' = − ⋅ 2 x ⋅

1 25 − x

=−

x 25 − x 2

, у′ = 0 при х = 0;

4) т.к. функция четная, то график функции симметричен относительно 0у. Функция возрастает на [-5,0] и убывает на [0,5].

№ 1296 y=

5 x−2

1) D( y ) = (−∞;2 ) U (2;+∞ ) ; 2) Ни четная, ни нечетная, непериодическая 3) y ' =

−5

(x − 2)2

, y ' ≠ 0 , следовательно стационарных точек нет.

4) 0у: х = 0, у = -1,25, 0х: пересечений нет; 5) y′ < 0 при x ≠ 2 , следовательно функция убывает.

234

www.5balls.ru

№ 1297

1) y = 3x + 1

а) D( y ) = (− ∞;+∞ ) б) функция не является четной и нечетной в) y ' =

3x ln 3

г) 0х: у = 0 – пересечений нет, 0у: х = 0, у = 2 д) y ' > 0, y ' ≠ 0 , следовательно функция возрастает.

1

2) y =  

2

−3

а) D( y ) = (− ∞;+∞ ) б) функция не является четной и нечетной в) y ' =

(0,5)x ln (0,5)

г) 0х: у = 0 – пересечений нет 0у: х = 0, у = -3 д) y ' > 0, y ' ≠ 0 , следовательно функция возрастает 3) y = log 2 (x + 1) а) D(y): x + 1 > 0, т.е. х > - 1 б) функция не является четной и нечетной в) y ' =

1 (x + 1) ln 2

г) 0х: у = 0, х = 0; 0у: х = 0, у = 0 д) y′ > 0 при x > -1 — функция возрастает y′ < 0 при х < -1, но на данном промежутке функция не существует. 4) y = log 1 (x − 1) 3

а) D(y): x – 1 > 0, x > 1 б) функция не является четной и не является нечетной 235

www.5balls.ru

в) y ' =

(x − 1)ln 13

г) 0х: у = 0, х = 2 0у: х = 0 – пересечений нет д) y’ > 0 при x > 1, функция возрастает y’ < 0 при x < 1, но функция на данном промежутке не существует.

№ 1298 1) y = 2 x −1 − 3

а) D(y): x ∈ (−∞;+∞ ) б) функция не является четной и не является нечетной в) y ' =

2 x −1 ln 2

г) 0х: у = 0, х = log23+1 0y: x = 0, y = -2,5 д) y’ > 0 при x > -2 y’ < 0 при x < -2, но на данном интервале функция не существует 2). y = log 2 ( x + 2) + 3 ; а) Д(у) : х+2>0; х>-2; б) функция не обладает свойствами четности или нечетности; в) y ' =

1 1 15 7 ; г) Ох : у=0 при x = −2 + = − = −1 ; ( x + 2) ln 2 8 8 8

Оу : х=0 при у=4; д). у′>0 при х>-2; у'<0 при х<-2, но на этом интервале функция не существует, следовательно, данная функция возрастает на области определения.

№ 1299

1) y = 2 x + lg(6 − 3x ) , D(y): 6 – 3x > 0, x < 2;

2) 3 − x − 2 ln (2 x + 4 ) , D(y): 2x + 4 > 0, x > -2;

π nπ 1 , D( y ) : cos 2 x ≠ 0, x ≠ + , n∈Z ; 4 2 cos 2 x x x 4) y = tg , D( y ) : cos ≠ 0, x ≠ 2π + 4nπ, n ∈ Z . 4 4 № 1300 – + x −3 x −3 1) y = , ≥0 x+3 x+3 –3 3 D(y): x ∈ (−∞;−3) U [3;+∞ ) 3) y =

2) y =

log3

2x + 1 x−6

236

www.5balls.ru

2x + 1 ≥ 1; x−6 x+7 ≥0 x−6

–

2x + 1 − x + 6 ≥ 0; x−6

–7

D(y): x ∈ (−∞;−7 ]U (6;+∞ ) .

№ 1301 x 2 − 6 x − 16 , x 2 − 12 x + 11 (x − 8)(x + 2) ≥ 0; x ∈ (− ∞;−2]U (1;8]U (11;+∞ ) ; D( y ) : (x − 11)(x − 1)

1) y =

2) y = log 1 (x − 3) − 1 , 2

1  log (x − 3) − 1 ≥ 0  x − 3 ≤ D( y ) :  1 / 2 ;  2; x − 3 > 0  x − 3 > 0

1  1  x ≤ 3  2 ; x ∈  3; 3  . 2   x > 3

№ 1302 1) y =

(

)

 x 2 − 5 x + 7 > 0 ; 2 log0,8 x − 5 x + 7 ≥ 0

log0,8 x 2 − 5 x + 7 , D ( y )

(

)

x − 5 x + 7 = 0; D < 0 ⇒ x − 5 x + 7 > 0 ; 2

x 2 − 5 x + 7 ≤ 1; x 2 − 5 x + 6 ≤ 0; x1, 2 = 2) y =

(

)

5 ± 1  x ∈ (− ∞;+∞ ) x ∈ (2;3) ; ;  2  x ∈ (2;3)

log0,5 x 2 − 9 ,

[

) (

]

 x − 9 > 0 D( y ) :  ; x ∈ − 10 ;−3 ∪ 3; 10 . 2 log0,5 x − 9 ≥ 0 2

(

)

№ 1303 6 = −3, y0 = −6, след. y ≥ −6 ; 2 −8 2) y = −2 x 2 + 8 x − 1 , x0 = = 2, y0 = 7, след. y ≤ 7 ; −4 1) y = x 2 + 6 x + 3 , x0 = −

3) y = e x + 1 , ex > 0, след. y > 1; 4) y = 2 +

2 2 2 , y − 2 = ; x ≠ 0, ≠0 ⇒ y≠2. x x x

237

www.5balls.ru

№ 1304 π π   , − 1 ≤ sin  x −  ≤ 1, след. y ∈ [− 0,5;1.5] ; 4 4   0,5 ; 2) y = 0,5 cos x + sin x; y = 1,25 cos(α − x ); α = ar cos 1,25 

1) y = 0,5 + sin  x −

[

− 1,25 ≤ 1,25 cos x ≤ 1,25 ; − 1 ≤ sin x ≤ 1, след. y ∈ − 1,25 ; 1,25

№ 1305 1) f (x ) = sin x + cos x, x0 = 2) f (x ) = cos 3 x, x0 =

]

π π π , k = f ' (x ) = cos − sin = −1 ; 2 2 2

π π , k = f ' (x0 ) = −3 sin = −3 . 2 6

№ 1306 1

1 1 1 − − x , x0 = 1 , f ' (x ) = − x −3 − x 2 , 2 2 2 4x π f ' (1) = −1 = tgα, α = − ; 4 1 1  3  2) f (x ) = 2 x x , x0 = , f ' (x ) =  2 x 2 ' = 3 x 2 , 3   π 1 f '   = 3 = tgα, α = . 3 3

1) f (x ) =

№ 1307 1) f (x ) =

3 1 , x0 = , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , 4 4x x 5

9 −  3 −3  1 f ' (x ) =  x 2 ' = − x 2 , f '   = −36 , 8 4 4   1  y = 6 − 36 x − ; y = 15 − 36 x 4 

2) f (x ) = 2 x 4 − x 2 + 4, x0 = −1 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) ,

f ' (x ) = 8 x3 − 2 x , f ' (−1) = −6 , y = 5 − 6(x + 1); y = −1 − 6 x .

№ 1308 y = x3 − x + 1 = f ( x) . Точка пересечения (0,1), т.е. х0 = 0, g = f (x) + f ' (x0 )(x − x0 ) , f '(x) = 3x2 −1 , f '(0) = −1 = k, следовательно к=–1. 238

www.5balls.ru

№ 1309 y = 3 x3 − 1 = f ( x), y = 2 , 2 = 3x3 − 1, x = 1 , f ′( x) = 9 x 2 ;

f ′(1) = 9 , k = f ' (1) = 9 ⋅1 = 9 .

№ 1310 y = 4x − 3 , y = 6 − 2x + x2 . Приравняем 4 х − 3 и 6 − 2 х + х 2 , 4 x − 3 = 6 − 2 x + x 2 ,

x 2 − 6 x + 9 = 0 , (x − 3)2 = 0 , x = 3, y = 9 . Ответ: (3; 9).

№ 1311 y = 4 x3 − 9 x 2 + 6 x + 1 , y ' = 12 x 2 − 18 x + 6 .

По условию k = y (x0 ) = 0 , где х0 – точка касания;

12 x 2 − 18 x + 6 = 0 , 2 x 2 − 3x + 1 = 0 , x1 = 1, x2 = 0,5; y1 = 2, y2 = 2,25 . Ответ: (1;2), (0,5;2,25).

№ 1312

π , тогда tgα = 1 = y'(x 0 ), где х0 – точка каса4 ния; y ' = 6 x + 7 = 1, x = −1, y = −3 . Ответ: (-1;-3). y = 3x 2 + 7 x + 1, α =

№ 1313 1) f (x ) = x ln 2 x, x0 = 0,5 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , x f ' (x ) = ln 2x + ⋅ 2 = ln 2x + 1 , f ' (0,5) = 0 + 1 , 2x 1 1  y = 0 + 1 x − ; y = x − ; 2 2  

2) f (x ) = 2− x , x0 = 1 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , f ' (x ) = −2− x ln 2 ,

1 1 1 1 f ' (1) = − ln 2 , y = − ln 2(x − 1) = (1 + ln 2 − x ln 2) . 2 2 2 2 № 1314 y = x3 − x 2 − 7 x + 6, M (2;−4 ) , y ' = 3x 2 − 2 x − 7 , π y ' (2) = 12 − 4 − 7 = 1 , tgα = y ' (2) = 1 , α = . 4 № 1315 y = x 2 ⋅ e− x , x = 1 , tgα = y ' (1) , y ' = 2 x ⋅ e− x − x 2e− x , 2 1 1 1 y ' (1) = − = , tgα = . e e e e

239

www.5balls.ru

№ 1316 2  π π cos 3x − , x = , 3  6 3 π π   π y ' = −2 sin  3x − ; y'   = −1, α = − . 6 4  3 y=

№ 1317 x3 + 1 x 3 + 1 , = 0, x = −1; y = f (− 1) + f ' (− 1)(x + 1) , 3 3 f ' (x ) = x 2 ; f ' (− 1) = 1 , y = x + 1 .

f (x ) =

№ 1318 f (x ) = x3 + 1, x = 4 , y = f (4) + f ' (4)(x − 4) , 3 1 f ' (x ) = x 2 ; f ' (4) = 3 , y = 9 + 3(x − 4); y = 3x − 3 . 2 № 1319 x2 + 1 1) y = 2 ; x −1 2 x x 2 − 1 − 2 x x 2 + 1 2 x3 − 2 x − 2 x3 − 2 x − 4x y' = = = . 2 2 2 2 2 x −1 x −1 x2 − 1

(

) ( ( )

)

Функция возрастает при x < 0 2) y =

x2 − 1 ; x

y' =

(

)

2 x2 − x2 − 1 x2 + 1 = 2 . x2 x

Функция возрастает при x ≠ 0

240

www.5balls.ru

(

)

№ 1320 1) y = (x − 1)3 (x − 2 )2 ; y ' = 3(x − 1)2 (x − 2 )2 + 2(x − 2 )(x − 1)3 = = (x − 1)2 (x − 2)(3(x − 2) + 2(x − 2)) = (x − 1)2 (x − 2)(5 x − 8) +

–

8 5

8 — точка максимума; x = 2 — точка минимума; 5 2) y = 4 + (6 − x )4 , y ' = −4(6 − x )3 x=

х = 6 — точка минимума.

№ 1321 1) y =

= −

–

(

)

(

)

3x 2 + 4 x + 4 (6 x + 4) x 2 + x + 1 − (2 x + 1) 3x 2 + 4 x + 4 = ; y' = 2 2 x + x +1 x2 + x + 1

6x + 6x + 6x + 4x + 4x + 4 3

)

+ x +1

6 x3 + 8 x 2 + 8 x + 3 x 2 + 4 x + 4

)

+ x +1

(

)

− =

− x2 − 2 x

− x( x + 2)

) (x

+ x +1

)

+ x +1

+ – -2 0 х = -2 – точка минимума; х = 0 – точка максимума; (2 x + 6)(3x + 4) − 3 x 2 + 6 x + 3 x2 + 6x + 3  = 2) y = , y' = 2 –

(3x + 4)

3x + 4

6 x + 26 x + 24 − 3x − 18 x − 9 3x 2 + 8 x + 15 = > 0, (3x + 4)2 (3x + 4)2 2

следовательно,

функция возрастает на всей числовой, за исключением точки x = − торой функция не определена. Следовательно нет точек максимума и минимума.

№ 1322 1) y = 2 sin x + sin 2 x

 3π  0; 2  ,  

228

www.5balls.ru

4 , в ко3

3 x y ' = 2 cos x + 2 cos 2 x = 2 ⋅ 2 cos x ⋅ cos , 2 2 3 x cos x > 0 при x ∈ (0; π) cos > 0 при x ∈ (0; π) 2 2 , , 3x π 2πn x cos = 0 x = + cos = 0 x = π + 2πn 2 3 3 2  3π  π 3 y (0) = 0 y  = −2 y  = , y(π ) = 0 ,  2  3 2 π 3  3π  наиб.: y  = ; наим.: y  = −2 ; 3 2  2   π 2) y = 2 sin x + cos 2 x 0;  , 

2

y ' = 2 cos x − 2 sin 2 x = 2 cos x(1 − 2 sin x ) ,  π  π cos x > 0 при x ∈  0;  , 1 − 2 sin x > 0 при x ∈  0;  ,  2  6

cледовательно у = 1,5 – точка максимума, у = 1 – точка минимума.

№ 1323 1) y =

x+5

[− 1;4] ,

y' =

1 > 0 , следовательно, 2 x+5

у = 2 – минимум; у = 3 – максимум;  π 2) y = sin x + 2 2 cos x 0;  ,  2 1  2 2 y ' = cos x − 2 2 sin x = 3 cos x − sin x  = 3 cos(α + x ) = 0 , 3  3  

1 π α = arccos , cos(α + x ) = 0 α + x = + πn , 3 2

π π π π + πn ≤ ; ≤ −α ≤ π, − π ≤ α ≤ − , что невозможно 2 2 2 2 π y (0) = 2 2 ; y  = 1 ⇒ наим.: у = 1; наиб.: y = 2 2 . 2

⇒ 0 ≤ −α −

№ 1324 1) y = ln x − x

[0,5;4) ,

y' =

1 −1 = 0 , x

1 1 y  = − ln 2 − ; y (4) = ln 4 − 4 2 2 y (1) = −1 ; наим. y(4) = ln4 – 4 наиб. y(1) = -1

x = 1;

2) y = x 1 − x 2

[0;1] , 229

www.5balls.ru

x ⋅ 2x

y' = 1 − x2 ; y (0 ) = 0 ;

2 1− x

1 − 2 x2

1− x

= 0;

x2 =

1 1 , , x=± 2 2

 1  1 1 1 1 = y (1) = 0 , y ⋅ = , Наим. y = 0; Наиб. y = .  2 2 2 2  2

№ 1325

Обозначим радиус основания цилиндра через r, тогда объем цилиндра

V = πr 2 (3 − r ) = 3πr 2 − 2πr 3 , V = 6πr − 3 ⋅ 2πr 2 = 6πr (1 − r ) .

Функция V(r) возрастает, при 0 < r < 1 и убывает при r < 0 и r > 1, следовательно максимум функции Vбудет, при r = 1.

№ 1326 Площадь полной поверхности цилиндра S = 54π = 2πrh + 2πr 2 , где r – радиус основания, а h – высота, тогда объем V = πr2h , S = 54π = 2πrh + 2πr 2 ,

(

) (

)

27 − r 2 πr 2 27 − r 2 , тогда V = = π 27r 2 − r 3 , r r V ' = π 27 − 3r 2 = 3π 9 − r 2 , тогда максимум V будет в точке r = 3, h = 6, h=

(

)

(

)

тогда максимальный объем Vmax = 54π

№ 1327

Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту пирамиды, тогда по

условию х + h = 9; V =  9 3 − 2 3 4 

V ' = x

1 2 x (9 − x ), и так как объем максимальный, то 4 3



x  , V’ = 0, тогда х = 6.  

№ 1328

Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту призмы, тогда

V = x 2 ⋅ h , где х2 выражается через h и длину диагонали по формуле: x2 =

12 − h 2 3 12 − h 2 , тогда V = ⋅ h, V ' = 6 − h 2 , откуда находим, что 2 2 2

максимум достигается при h = 2.

№ 1329 2  f (x ) = x − 2 + cos x; M  0,5π;−  π 

первообразная: f1 (x ) = − x −1 + sin x + c, т.к.

2 2 2 π запишем: − + 1 + c = − , откуда с = -1, следовательно f1  = − π π π 2 первообразная имеет вид: y1 = − x −1 + sin x − 1 . 230

www.5balls.ru

№ 1330 f (x ) = x 2 (2 x − 3) − 12(3 x − 2), − 3 ≤ x ≤ 6

(

)

f ' (x ) = 2 x3 − 3x 2 − 36 x + 24 ' = 6 x 2 − 6 x − 36; Функция возрастает при x < -2 и x > 3, и убывает при –2 < x < 3 f (− 2) = 68, f (− 3) = 51, f (3) = −57, f (6) = 132 . Ответ: -57 и 132.

№ 1331

(

1) f ' (x ) = 2 ⋅ 3 ⋅ ln 2 x ⋅

1 1 1 6 − 9 ⋅ 2 ⋅ ln x ⋅ + 12 ⋅ = ln 2 x − 3 ln x + 2 x x x x 6 2 f ' (x ) = 0 при  ln x − 3 ln x + 2  = 0;  x 3± 9−8 , ln x = 2 и ln x = 1, т.е. х = е2 и х = е; ln x = 2

 3   3  2) e2 ∈ e 4 ; e3 , e ∈ e 4 ; e3  ;    

( )

 3  25 3) f e3 = 9, f  e 4  = 4 , f e2 = 4, f (e ) = 5 . 32  

)

Ответ: 4 и 9.

№ 1332 y = x2 ,

 1 A 2;  ;  2

1  1 а) d 2 = (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 ; A 2; , следовательно x1 = 2, y1 = ' 2  2

( )

X x; x 2 , следовательно x2 = x, y2 = x 2 ; 2

1  d 2 = (2 − x )2 +  − x 2  ; x > 0 2 

1  б) рассмотрим f (x ) = (2 − x )2 +  − x  и найдем ее наименьшнее 2  значение при x > 0. 1    1  f ' (x ) =  4 − 4 x + x 2 + − x 2 + x 4 ' =  4 − 4 x + x 4 ' = −4 + 4 x3; 4    4 

f ' (x ) = 0 при − 4 + 4 x3 = 0, x3 − 1, x = 1 - стационарная точка При переходе через единственную стационарную точку х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», след. функция принимает в ней наименьшее значение. Итак, расстояние будет наименьшим от А до точки (1;1).

№ 1333

AD – основание трапеции, поэтому BC(x) – отрезок, параллельный AD. 231

www.5balls.ru

S (x ) =

1 ( AD + BC (x )) ⋅ h(x ), причем AD = 1, 2 BC (x ) = 2 x, h(x ) = 1 + 1 − x 2 = 2 − x 2 , т т. 1 1 S (x ) = (1 + 2 x ) 2 − x 2 = 2 + 4 x − x 2 − 2 x3 = 2 2 1 2 3 = 1 + 2 x − x − x , где 0 < x ≤ 1 2

(

) (

)

Рассмотрим S'(x): S’(x) = 2 – x – 3x2; S’(x) = 0 при x = -1 или x = Из полученных критических точек только x =

2 3

2 лежит в промежутке 3

(0;1]; при переходе через эту точку S’(x) меняет знак с «+» на «-», т.е. это точка максимума. Найдем значения S(x) на концах рассматриваемого промежутка и в полученной критической точке. 49 1 3  2  49 S (0) = ⋅1 ⋅ 2 = 1 , S   = , S (1) = , таким образом Smax = . 27 2 2  3  27

№ 1334 1) x ∈ [− 1;1]; B x;4 x 2 ; A − x;4 x 2 ;

(

) (

)

4 x 2 + yc x + xc ; yc = 12 − 4 x 2 ; ; xc = 6 − x; 6 = 2 3 1 1 3) S ABC = AB ⋅ CD = ⋅ 2 x ⋅ 12 − 4 x 2 − 4 x 2 = 4 3 x − 2 x3 2 2 4) Рассмотрим функцию f (x ) = 4 3x − 2 x3 на [0;1] и найдем ее наи2) C (xc ; yc ), 3 =

(

( ) f ' (x ) = 0 при 4 ⋅ (3 − 6 x ) = 0; x = ±

большее значение. f ' (x ) = 4 3 − 6 x ,

)

) (

)

1 - стационарная точка. 2 1 на [-1;1] При переходе через единственную стационарную точку 2 2

производная меняет знак с «+» на «-», следовательно в этой точке функция принимает наибольшее значение. 2  1   1    =4 2. 5) S ABC = 4 ⋅ 3 2 − ⋅  2   2     

№ 1335 y = x 2 + px + q; x = 5,

ymin = 1

232

www.5balls.ru

1 = 25 + 5 p + q ;  y ' (5) = 0 

1 = 25 + 5 p + q 2 ⋅ 5 + p = 0 ; откуда p = -10, q = 26. 

№ 1336 Обозначим через r радиус основания, а через h – высоту конуса, тогда объем V =

V '=

(

)

1 2 1 400 1 πr h = π 400 − h 2 h = πh − πh3 , 3 3 3 3

 400 20  20  20 , h > 0, след. h0 = – точка h+ π − πh 2 = π h −    3 3  3 3 

максимума (при переходе через h0 V’ меняет знак с «+» на «-», таким образом h =

20 . 3

№ 1337 Обозначим через r – радиус, через h – высоту цилиндра, тогда

V 2πr ⋅V + 2πr 2 2V = + 2πr 2 , ; S= 2 r πr πr 2 V 2V 4πr 3 − 2V , а минимальная S ' = − 2 + 4πr = , точка минимума r = 3 2 π 2 r r

V = πr 2 ⋅ h, a S = 2πrh + 2πr 2 , h =

2V 3 2π V  площадь Smin = + 2π  3 V  2π 

= 2V

2πV

= 3V

2π = 33 2πV 2 .

№ 1338 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда S = 2πr ⋅ 2h = 4πrh , где h =

S ' = 4π R 2 − r 2 + =

4πR 2 − 8πr 2 R −r 2

(

2πr (− 2r ) R −r 2

)

R 2 − r 2 , тогда S = 4πr R 2 − r 2 . =

(

)

4π R 2 − r 2 − 4πr 2 R − r2 2

4π R 2 − 2r 2 , r0 = R / 2 – точка максимума, т.к. при R2 − r 2

переходе через r0 S’ меняет знак с «+» на «-», таким образом r =

R . 2

№ 1339 Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда V = πr 2 h = πr 2 R 2 − r 2

233

www.5balls.ru



V ' =  πr 2 R 2 − r 2 ' = π 2r R 2 − r 2 − 



( (



) ) = π(2rR

π 2r R 2 − r 2 − r 3

− 3r 3

)

 =  R2 − r 2 

R −r R −r 2 r0 = R – точка максимума, т.к. при переходе через r0 V’ меняет знак 3 R 2 2R с «+» на «-», тогда h = R2 − R2 = , соответственно высота 2h = 3 3 3 № 1340 2

Обозначим

через

высоту

конуса,

тогда

радиус

основания

r = R3 − (h − R )2 , а 1 1 1 V = π R 2 − (h − R )2 h = π R 2 − h 2 + 2hR − R 2 h = πh 2hR − h 2 3 3 3 4 1 1 V ' = π 2hR − h2 + h(2R − 2h) = πh(R − 3h); h0 = R – точка максимума. 3 3 3 № 1341 1 1 D Sкон = Sосн ⋅ h = πR 2 ⋅ h - задана 3 3 1 1 Sпир = Sосн ⋅ h = S ABC ⋅ h 3 3 α 1 S ABC = AB ⋅ BC ⋅ sin α 2 A C π α AC = 2 R sin α ∠BAC = ∠BCA = − 2 2 α 2 R sin α ⋅ cos AB AC 2 = 2 R cos α AB = = sin α 2  π α  sin α sin  −  2 2 α α 1 S ABC = ⋅ 4 R 2 cos2 ⋅ sin α исследуем f = cos2 sin α 2 2 2 1 1 1 + cos α  1  2 2 2 f ' =  sin α ⋅ ' = cos α + cos α − sin α = cos α + cos α − 2 2 2 2   2 f ' = 0 2 cos α + cos α − 1 = 0 D = 1 + 8 = 9 ;

( (

)

( )

(

cos α1 = −1; cos α 2 = π; α 2 = ±

)

(

)

1 , следовательно сумма всех углов треугольника 2

π π + 2πn, n ∈ Z , ⇒ α = . 3 3

234

www.5balls.ru

№ 1342 Обозначим через r – радиус основания, тогда высота h =

(

)

p − 22 , а 2

π π  p − 4r  объем V = πr 2h = πr 2   , V ' = 2rp − 12r 2 = ⋅ 2r ( p − 6r ); 2 2  2 

r0 =

p πp 2  p p  πp3 - точка максимума, тогда Vmax = .  − = 36  2 3  216 6

№ 1343 Пусть АО1 = х, тогда OO1 =

R2 − r 2 ;

V = π ⋅ x 2 ⋅ 2 R 2 − r 2 ; V = 2π R 2 x 4 − x 6 ; x > 0 и x < R Рассмотрим функцию g (x ) = 2π R 2 x 4 − x 6 при 0 < x < R и найдем ее наибольшее значение, заметим, что g(x) принимает наибольшее значение в той же точке, что и f (x ) = R 2 x 4 − x 6 . f ' (x ) = 4 R 2 x3 − 6 x5 ;

2 2R2 – точка максимума, тогда H = R . 3 3

x0 = № 1344

Пусть r – радиус основания, H – высота цилиндра, тогда

Vr + 2πr 4 , где V – объем r2 2 4πr 3 − V V S '= ; r0 = 3 - точка минимума, следовательно расход 4π r2

S = 2πrH + 4πr 2 = 2

(

)

2⋅3 жести будет наименьшим, когда

2r = H

 V  V  ⋅ π⋅3  4π  4π  

т.е. при 2D = H. (Опечатка в ответе задачника).

№ 1345 Пусть ОО1 = х, тогда AO1 =

(

R 2 − r 2 ; О2О1 = 2х; S0 =

)

(

)

2π ⋅ V 1 = , V ⋅ 4π 2

(

)

3 3 2 2 R −r ; 4

3 3 2 3 3 2 2 Vпр = R − r 2x = R x − x3 , причем x > 0 и x < R. 2 4 3 3 2 Рассмотрим f (x ) = R x − x3 на (0;R) и найдем ее наибольшее 2 R 3 3 2 значение: f ' (x ) = – точка максимума, тогда наиR − 3x 2 , x = 2 3 2R больший объем призма имеет при высоте . 3

(

)

235

www.5balls.ru

№ 1346

Пусть АО = x, тогда из подобия треугольников MOS и BO1S получим

x b x H −h H (R − x ) ; h= ; = ; = R H R H R H ⋅ (R − x ) πH V = π ⋅ x2 ⋅ Rx 2 − x3 , причем x > 0 и x < R. = R R πH Рассмотрим функцию f (x ) = Rx 2 − x3 на (0;R) и найдем ее наиR

(

)

(

большее значение.

(

)

2R πH 2 Rx − 3x 2 , x = – точка максимума, таким образом 3 R 2R H ⋅R 3 H , h= наибольший объем у цилиндра будет при r = . = 3 R 3 № 1347 f' (x ) =

1) f (x ) = x3 + 3 x 2 − 9 x + 4

(

)

f' (x ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 3 x 2 + 2 x − 3 = 3(x − 1)(x + 3)

х = -3 – точка максимума; х = 1 – точка минимума.

+ -3

–

1  4  2) f (x ) = x 4 − 2 x5 + 5 , f' (x ) = 4 x3 − 10 x 4 = x3 (4 − 10 x ) = x3  − x  ;  10  + х = 0 – точка минимума –

0,4

–

х = 0,4 – точка максимума

№ 1348 1) D(y) = IR, непрерывная, непериодическая, т.к. задана многочленом 2) y(-x) = -x3 + 3x + 2 – ни четная, ни нечетная 3) y = 0 при x3 – 3x + 2 = 0; x = 1; x = -2 4) y’ = 3x2 – 3; y = 0 при 3x2 – 3 = 0; 3(x – 1)(x + 1) = 0; x = ± 1 – стационарные точки 5) (-∞;-1) – функция возрастает (-1;1) – функция убывает (1;+∞) – функция возрастает 6) k = tgα, α = 0 при k = 0; f’(x) = 0, т.е. х = -1, х = 1, т.е. (1;0), (-1;4).

236

www.5balls.ru

№ 1349 1. D(y) = R 2. y(-x) = -x3 - 5x2 + x + 5 – ни четная, ни нечетная 3. y = 0 при х3 – 5х2 – х + 5 = 0; х = 1, х = 5, х = -1 4. y′ = 3x2 – 10x – 1 y’ = 0 при 3x2 – 10x – 1 = 0;

5± 2 7 3

5. x =

5−2 7 — точка максимума 3

5+2 7 — точка минимума 3 6. y = f(x0) + f’(x0)(x – x0); x0 = 4 f(4) = -15, f′(4) = 3x2 – 10x –1, f′ (4) = 7, y = 7x – 43 x=

№ 1350 1) f(x) = 4x3 + 6x2 а) D(y) = R б) f(-x)=-4x3+6x2 – ни четная, ни нечетная

+ –

-1

в) f(x) = 0 при 4x3 + 6x2 = 0; x2(4x+6)=0, x = 0, x = -1,5 г) f’(x) = 12x2 + 12x = 12x(x + 1) х = -1 – точка максимума х = 0 – точка минимума

2) f(x) = 3x2 – 2x3; а) D(y) = R б) f(-x) = 3x2 + 2x3 – функция ни четная, ни нечетная в) f(x) = 0 при 3x2 – 2x3 = 0,

–

3 2 г) f’(x) = 6x – 6x2 = 6x(1 – x) x = 0 – точка минимума х = 1 – точка максимума x2(3 – 2x) = 0, x = 0, x =

237

www.5balls.ru

3) f (x ) =

1 3 x −x ; 3

+ -1

1 а) D(y) = R; б) f (− x ) = − x 3 + x , 3 следовательно функция нечетная

f (x ) = 0 при в)

1 3 x − x = 0; 3

1  x x 2 − 1 = 0, x = 0, x = ± 3 3 

–

;

x = -1 – точка максимума х = 1 – точка минимума + 4) f (x ) = x 4 − 1 x 2

+ –

-½

–

а) D(y) = R

х = -½, x = ½ – точки минимума х = 0 – точка максимума

б) f (− x ) = x 4 −

1 2 x - функция четная 2

f (x ) = 0 при x 4 − в)

1 2 x = 0, 2

1 1  x 2  x 2 −  = 0, x = 0, x = ± 2 2 

(

)

г) f ' (x ) = 4 x3 − x = x 4 x 2 − 1 =

1  1  = 4 x x −  x +  2 2  

№ 1351 +

+ − 2

–

x = − 2, x = 2

1) y = −

– 2

– точки

максимума х = 0 – точка минимума

x4 + x2 4

а) D(y) = IR б) f (− x ) = −

x4 + x 2 – функция четная 4

в) f (x ) = 0 при

(

− x4 + x 2 = 0; 4

)

x2 − x 2 + 4 = 0 ; x = 0, x = ±2 4

(

)

г) f ' (x ) = − x3 + 2 x = x − x 2 + 2 =

(

)(

= −x x − 2 x + 2 238

www.5balls.ru

)

2) y = x4 – 2x2 –3 а) D(y) – R б) f(-x) = x4 – 2х2 – 3 – функция четная

х = ± 1 – точка минимума х = 0 – точка максимума

в) f (x ) = 0 при x 4 − 2 x 2 − 3 = 0,

x = ± 1 ± 2 , след. x = ± 3 г) f’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x-1)(x+1) +

+ –

-1

–

№ 1352 1 3 x − x 2 − 3x + 9 3 а) D(y) = R 1 б) f (− x ) = − x 3 − x 2 + 3x + 9 – функция 3 ни четная, ни нечетная 1 в) f (x ) = 0 при x 3 − x 2 − 3x + 9 = 0, 3 1 2 1  x (x − 3) − 3(x − 3) = 0, (x − 3) x 2 − 1 = 0, x = 3, x = ± 3 3 3   1) y =

 1 + 13  1 − 3  x− г) f ' (x ) = x 2 − x − 3 =  x −  2  2   x=

1 − 13 – точка максимума 2

1 + 13 – точка минимума 2 2) y = -x4 + 6x2 – 9 а) D(y) – R б) f(-x) = f(x) – функция четная в) f(x) = 0 при –x4 + 6x2 – 9 = 0,

1 − 13 2

x4 – 6x2 + 9 = 0, (x2 – 3)2, x = ± 3

(

+ –

1 + 13 2

)

г) f ' (x ) = −4 x 3 + 12 x = −4 x x 2 − 3 =

(

)(

= −4 x x − 3 x + 3

)

–

– +

− 3

x = ± 3 – точка максимума; х = 0 – точка минимума. 239

www.5balls.ru

x2 + 1 x а) D(y): x ≠ 0 б) f(-x) = -f(x) – функция нечетная 3) y =

в) f (x ) = 0 при

x2 + 1 = 0, т.е. пересечений с x

осью 0х нет.

г) f ' (x ) =

+ –

-1

(

)= x

2x ⋅ x − x2 + 1 2

x х = -1 – точка максимума х = 1 – точка минимума

−1

x2 + 2 2x а) D(y): x ≠ 0 б) f(-x) = -f(x) – функция нечетная в) f(x) ≠ 0 4) y =

г) f ' (x ) = +

+ − 2

(

2x ⋅ 2 x − 2 x2 + 2 4 x2

) = 2x

−4

4x2

x2 − 2 2 x2

x = − 2 – точка максимума x = 2 – точка минимума

– 2

№ 1353 1) y1 = x − 1, y 2 = 3 − x , y3 = 0 , y1=y2, x–1 = 9–6x+x2, x2–7x+10=0, x=5, x=2, но х – 1 ≥ 0 и 3 – х ≥ 0, след. х = 2 – точка пересечения y1 и y2, тогда 2

S = ∫ x − 1dx + 1

2 3 1 2 7 ⋅ 1 = (x − 1) 2 + 1 = 2 6 2 3 1

1 x2 2) y1 = − , y 2 = x 2 , y3 = x 8 1 2 y1 = y 2 ; − = x ; x = −1 - точка пересечения y1 и у2 x y 2 = y3 ; x 2 =

x2 1 x2 , x = 0 , y1 = y3 ; − = ; x = −2, тогда 8 x 8

−1 0 0 2 1 1 0 1 30 x dx + ∫ x 2dx − ∫ dx = − ln x + x3 − x = −2 x −1 −2 8 −1 3 −1 24 −2 2 1 1 = ln x + − = ln 2 1 3 3 −1

S= ∫−

240

www.5balls.ru

№ 1354 1) y1 = 4x – x2, y2 = 5, x = 0, x = 3 3 1 3  S = 5 ⋅ 3 − ∫ 4 x − x 2 = 15 −  2 x 2 − x3  = 15 − 18 + 9 = 6 ; 3 0  0

2) y = x2 – 2x + 8, y = 6, x = -1, x = 3, 3

(

)

1

3

2 3 2 ∫ x − 2 x + 8 dx − 24 =  3 x − x + 8 x  − 24 =

  −1 28  1  = 9 − 9 + 24 −  − − 1 − 8  − 24 = 3  3  −1

3) y = sin x , y = 0, x =

2π , x = π, S = 3

2π 3

∫ sin xdx = − cos

6 π π 4) y = cosx, y = 0, x = − , x = , S = ∫ cos xdx = sin x 6 6 π −

6 −π

= 1−

= 6

1 1 = 2 2

1 1 + =1. 2 2

№ 1355 x = 2, x = 4 ,

1) y = x , y = 2, x = 9 , 4

S = 2 ⋅ 4 − ∫ x dx + ∫ x − 5 ⋅ 2 = 8 − = 8−

2 32 x 3

4 0

2 32 x 3

9 4

− 10 =

16 16 16 + 18 − − 10 = 3 3 3

2) y = x2 + 3, y = x + 5, x2 + 3 = x + 5, x2 – x – 2 = 0, x1 = -1, x2 = 2, 2 2 1  1  S = ∫ (x + 5)dx − ∫ x 2 + 3 dx =  x 2 + 5x  −21 −  x 3 + 3x  2−1 = 2 3     −1 −1 8  1  = 12 + 4,5 −  + 6 −  − − 3   = 16,5 − 3 − 9 = 4,5  3  3

(

)

№ 1356 1) y = 9 – x2, y = (x – 1)2 – 4, y1 = 9 – x2, y2 = x2 – 2x – 3, 9 – x2 = x2 – 2x – 3, 2x2 – 2x – 12 = 0, x2 – x – 6 = 0, x1 = 3, x2 = -2, 3

(

)

(

)

−2

(

)

−1

(

)

S = ∫ 9 − x 2 dx + ∫ x 2 − 2 x − 3 dx − ∫ 9 − x 2 dx − ∫ x 2 − 2x − 3 dx = −3

−1

−3

−2

3   −1 x3  x 3  − 2  x3 1  3  =  9 x −  +  x3 − x 2 − 3x  −  9 x −  −  − x 2 − 3x  =       −1 3  −3  3 3  −2  3  −1   

1 8     = (27 − 9 + 27 − 9 ) +  9 − 9 − 9 + + 1 − 3  −  − 18 + + 27 − 9  − 3 3     241

www.5balls.ru

8 32 8 7 125  1  . −  − − 1 + 3 + + 4 − 6  = 36 + − − = 3 3 3 3 3  3 

(

)

2) y1 = x 2 , y 2 = 3 x , y1 = y 2 , x 2 = 3 x , x 6 = x , x x 5 − 1 = 0 , x = 0, x = 1 – точки пересечения 1

S = ∫ 3 x dx − ∫ x 2dx =

3 4 3 1 x3 x − 4 3 0

1 0

3 1 5 − = . 4 3 12

№ 1357 1) y = cos x , x =

π , y=0, 4

π 4

π − 2

S = ∫ cos xdx = sin x

2 2+ 2 +1 = = 2 2 1

2) y = 3x, x = -1, x = 1, y = 0, S = ∫ 3x dx = −1

3x ln 3

2 +1

;

2 1 −1

3− 1 ln 3

3 = 8 . 3 ln 3

№ 1358 1) f (x ) = x 3 −

x2 1 1 1 1 + x , x 0 = , f’(x) = 3x2 – x + 1, f '   = − + 1 = 1 ; 2 3 3 3 3

1 − ln x ln x , f ' (1) = 1 ; , x 0 = 1 , f ' (x ) = x x2 2 4x 3) f (x ) = x −3 − 2 + 3x , x 0 = 3 , f ' (x ) = −3x − 4 + 4 + 3 , x x 1 4 1 1 f ' (3) = − + +3= +3= 3 ; 27 27 9 9 2) f (x ) =

4) y =

1 − sin 2 x − cos 2 x cos x π π = − 2 , y'   = −2 . , x 0 = , y' = 2 sin x 4 sin x sin x 4

№ 1359 1) f(x) = sin2x – x, f’(x) = 2cos2x – 1, 2cos2x – 1 = 0, cos2x =

1 ; 2

π π + 2nπ, n ∈ Z , x = ± + nπ, n ∈ Z ; 3 6 2) f(x) = cos2x + 2x, f’(x) = -2sin2x + 2, 2 sin2x = 2, sin2x = 1, π x = + πn , n ∈ Z ; 4 3) f(x) = (2x – 1)3, f’(x) = 3(2x – 1)2 ⋅ 2, 2x – 1 = 0, x = ½; 4) f(x) = (1 – 3x)5, f’(x) = 5(1 – 3x)4 ⋅ (-3), 1 – 3x = 0, x = 1/3. 2x = ±

242

www.5balls.ru

№ 1360 f(x) = (2x – 3)(3x2 + 1), f’(x) = 2(3x2 + 1) + 6x(2x – 3), f’(1) = 8 – 6 = 2 ⇒ f’(1) = f’(0), f’(0) = 2.

№ 1361

f (x ) = x 3 − 1,5x 2 − 18x + 3 , f ' (x ) = 3x 2 − 3x − 18 , 3x 2 − 3x − 18 < 0 , x2 − x − 6 < 0 ,

x ∈ (−2;3) .

(x − 3)(x + 2) < 0 ,

№ 1362 h = V0t – 4,9t2 V0 = 360м/с, V = h’ = V0 – 9,8t, V(10) = 360 – 98 = 262 м/с, hmax при V0 – 9,8t = 0 t =

360 ≈ 37 сек. 9,8

№ 1363 ϕ = kt 3 ϕ = 2π t = 2c ⇒ k =

ϕ 3

2π π = , 8 4

t 3π 3π 2 t , ω(4 ) = ω = 3kt = ⋅ 16 = 12π . 4 4 2

№ 1364 1) y = y' = = =

x 5 − 3x 3 + 2 x 2 − x + 3

(5x

x3 4

)

(

− 9 x 2 + 4 x − 1 x 3 − 3x 2 x 5 − 3x 3 + 2 x 2 − x + 3 x3

5x 7 − 9 x 5 + 4x 4 − x 3 − 3x 7 + 9 x 5 − 6 x 4 + 3x 3 − 9 x x3 2x 7 − 2x 4 − 2x 3 − 9x 2 x3

2) y =

6x3 x

; y=

1 x 2

2x 5 − 2x 2 − 2x − 9 ; x

, y' =

1 4 1 1 3 ⋅ x 2 − 1 x− 2 ⋅ x 3 ⋅ 6

2 x

− 3x x

−1 6.

= 5x

№ 1365 1) y = y' = =

3x 2 − 2 x + 1 , x +1

(6x − 2)(x + 1) − (3x 2 − 2x + 1) = 6x 2 + 6x − 2x − 2 − 3x 2 + 2x − 1 = (x + 1)2 (x + 1)2

3x 2 + 6x − 3

(x + 1)

(

)

3 x 2 + 2x − 1

(x + 1)

243

www.5balls.ru

2) y =

(4x − 3)(2x + 1) − 2(2x 2 − 3x + 1) = 8x 2 + 4x − 6x − 3 − 4x 2 − 6x − 2 = (2x + 1)2 (2x + 1)2

y' = =

2 x 2 − 3x + 1 , 2x + 1

4x 2 + 4x − 5

(2x + 1)2

№ 1366

1) y = (2 x + 1)2 x − 1 ,

1 (x − 1)− 12 = 2 ⋅ 4(2x + 1)(x − 1) + 1 = 2 2 x −1 8 2x 2 − 2 x + x − 1 + 1 16x 2 − 8x − 7 = = 2 x −1 2 x −1 y' = 2(2 x + 1) ⋅ 2 x − 1 +

(

)

2) y = x 2 3 (x + 1)2 ; y = x 2 (x + 1)

y' = 2 x (x + 1)

8x 2 + 6 x

2 2 2 3 ⋅ 2 x (x + 1) + 2 x 2 = x (x + 1)− 3 = 3 33 x + 1 2x (4x + 3)

= 3 33 x + 1 3 x +1 3) y = sin2xcos3x,

y' = 2 cos 2 x ⋅ cos 3x − 3 sin 2 x ⋅ sin 3x = cos x + cos 5x −

3 (cos x − cos 5x ) = 2

1 5 = − cos x − cos 5x 2 2 4) y = xcos2x, y’ = cos2x – 2xsin2x.

№ 1367 f(x) = (x - 1)(x – 2)(x – 3); f(x) = (x2 – 3x + 2)(x – 3) f’(x)=(2x–3)(x–3)+x2 - 3x+2=2x2 – 6x–3x + 9 + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12x + 11 3x2 – 12x + 11 = -1, 3x2 – 12x + 12 = 0, 3(x2–4x+4)=0; 3(x – 2)2 = 0, x = 2.

№ 1368 1) f (x ) = e3− 2 x ⋅ x 2 , 2) f (x ) =

x2 e1− x

f ' ( x ) = −2e3− 2 x ⋅ x 2 + 2 x ⋅ e3− 2 x f ' ( x ) = −2e−1 ⋅ 4 + 4 ⋅ e−1 = −4e−1 < 0

, f ' (x ) =

2 x ⋅ e1− x + x 2 ⋅ e1− x e 2(1− x )

, f ' (2 ) =

№ 1369 f (x ) =

1 + sin 2 x 1 − sin 2 x

244

www.5balls.ru

4 ⋅ e−1 + 4e −1 e− 2

> 0.

f ' (x ) = f ' (0 ) =

2 cos2x(1 − sin 2x) + 2 cos2x(1 + sin 2x)

(1 − sin 2x)

4 2 8 π = 4; f '   = = 2 1 6   2− 3 2− 3    2   

(

№ 1370

f (x ) = x 3 + x 2 + x 3 ; g(x ) = x 3 + 1

2 ⋅ 2 cos2x 2

4 cos2x

(1 − sin 2x)2

)

f ' (x ) = 3x 2 + 2 x + 3 g' (x ) = 3

f ' (x ) ≤ g ' (x ) , 3x 2 + 2 x + 3 ≤ 3 , 3x 2 + 2 x ≤ 0 , x (3x + 2) ≤ 0 ,  2  x ∈ − ;0 .  3 

№ 1371  π  f(x) = cos3x, F  = −1 .  24  Первообразная F =

1  π  sin 4 x + c, с найдем из условия F  = −1 , 4  24 

1 1 π 1 1 1 ⋅ sin + c = −1; + c = −1 , c = −1 , F = sin 4 x − 1 . 4 6 4 8 8 8

№ 1372 1 1 , F = ln x + 1 − ln x − 1 + c ; − x +1 x −1 3 3 1 3 , F = ln x − + c . ; y= 2) y = 1 4 4x − 1 4  4 x −  4 

1) y =

№ 1373 9

1) ∫ 3 x − 1dx = ∫ (x − 1) 3 dx = π

(

)

3 (x − 1)4 3 4

(

)

3 4 45 2 −1 = ; 4 4

2) ∫ 2 cos2 x − 1 dx = ∫ cos 2 xdx = π

4 1 1 3  2 − 3 sin 2 x = 1 − ; = 2 2  2  4 π 6

4 7  +3  1 4 3) ∫ dx = ∫  x + 2 + dx =  x 2 + 2 x + 7 ln x − 2  = x−2 2 3 3 x−2 3 4 x2

9  11 = (8 + 8 + 7 ln 2 ) −  + 6 + 7 ln1 = + 7 ln 2 . 2  2 245

www.5balls.ru

№ 1374 π

1) ∫ sin xdx = − cos x π

(

π π

= 1 ; 2) ∫ cos xdx = sin x π

3 6

3 1 − = 2 2

3 −1 ; 2

)

1  1 3) ∫ x 2 + 2 x + 3 dx =  x 3 + x 2 + 3x  = 3   −2 −2 1

1 8 7 1 +1+ 3 − + 4 − 6 = 2 − = − ; 3 3 3 3

(

)

2 1 2 4) ∫ x 2 − 6 x + 8 dx =  x 3 − 3x 2 + 8x  = 3 1 1

1 8  1  7  − 12 + 16  −  − 3 + 8  = − 1 = 1 ; 3 3 3 3    

(

)

3 2  1 3  1  5) ∫ x − 2 + 1 dx =  − + x  =  − + 3  − (− 1 + 1) = 2 ; 3   x 1  3 1 1

1 1 2 2 2 dx = − ∫ dx = − ∫ 5 4 x 4 x 5 − −  −1 −1 −1 4 x − 

6) ∫

1 5 = − ln x − 2 4

5  4

dx =

1 1 9 1 1 1 = −  ln − ln  = − ln = − ln = ln 3 . 2 4 4 2 9 3   −1 1

№ 1375 π 1 π π  1) cos 3x −  = , 3x − = ± + 2πn , n ∈ Z , 4 3 4 2  π π 2 π π 3x = ± + + 2πn , n ∈ Z . Ответ: x = ± + πn , n ∈ Z 3 4 12 9 3 1 3 2) log2(3 – 2x) < -1, log 2 (3 − 2 x ) < log 2 , 3 − 2x > 0, т т. x < , 2 2 1 5 5 3 3 − 2x < ; x > . Ответ: <x< 2 4 4 2 3) 4 ⋅ 2

3a + 2

= 0,25

−a 2

3a + 2

− 2⋅

a2 2

;

; 3a + 2 = −a ; a + 3a + 2 = 0; a 1 = −1, a 2 = −2 . 2

Ответ: a 1 = −1, a 2 = −2 4) y = x(4 – x), x = 0, x = 4 – точки пересечения y = 4x – x2 и y = 0, тогда 4 1 4 64 2 2  S = ∫ 4x − x 2 dx =  2 x 2 − x 3  = 32 − = 10 . Ответ: 10 3 3 0 3 3  0

(

)

246

www.5balls.ru

5) y = 4 −

9 1 + x +1 x − 3

9 1  4 − x + 1 + x − 3 ≥ 0  x ≠ −1 x ≠ 3  

+ –

-1

(

)

4(x + 1)(x − 3) − 9(x − 3) + (x + 1) 4 x 2 − 2 x − 3 − 9 x + 27 + x + 1 ≥ 0, ≥0, (x + 1)(x − 3) (x + 1)(x − 3)

x ∈ (− ∞;−1) U (3;+∞ ) 4(x − 2)2  ≥ 0 ,  x ≠ −1 (x + 1)(x − 3) x ≠ −3 Ответ: x ∈ (− ∞;−1) U (3;+∞ ) . + 6) y = x3 – 3x + a; [-2;0]; ymax = 5, – y’ = 3x2 – 3, y’ = 0; 3(x - 1)(x + 1) = 0, -1 Максимальное значение на [-2;0] функция принимает в точке х = -1, у = 5 = -1 + 3 + a, откуда а = 3. 4 x 2 − 16 x + 16 ≥ 0; (x + 1)(x − 3)

+ 1

№ 1376 1) sin2x – 4sinx – 5 = 0, sinx = -1, sinx = 5, что невозможно, таким обраπ зом х = − + 2πn , n ∈ Z; 2 3 π Ответ: x = − + 2πn , n ∈ Z; x = π > 0 . + 2 2 2) f(x) = 3x2(1 – x) , [0;1] – – 0 2 f’(x) = 6x(1 – x) – 3x2 = -9x2 + 6x = 3 = -3x(3x – 2) 2 4 1 4 2 Точка максимума x = , f   = 3 ⋅ ⋅ = . 3 9 3 9 3 8 2 3) lgx = lg3 – lg(3x – 8), x > 0, x > , т.е. x > 2 , 3 3 4 ± 16 + 9 4 ± 5 3 ; 3x2 – 8x – 3 = 0, x 1 = = . 3 3 3x − 8 2 2 2 4) y1 = (x – 3) , y2 = 9, y1 = y2; (x – 3) = 9, x = 0, x = 6, x=

(

Ответ: х = 3

)

3 1 3 S = 6 ⋅ 9 − 2 ∫ x 2 − 6x + 9 dx = 54 − 2 x 3 − 3x 2 + 9 x  = 3 0 0 = 54 − 2(9 − 27 + 27 ) = 36 Ответ: 36.

247

www.5balls.ru

(x − 5) 2

1  + 0,2  x −1   ≤0 5) x+2 Данное неравенство равносильно системе: x −5  ≤ 0 x ∈ (− 2;5] . Ответ: x ∈ (− 2;1) U (1;5]. x + 2 x ≠ 1  x ≠ 1 6) y = x2 – 4x + 2, y = -2x + a, x2 – 4x + 2 = -2x + a, x2 – 2x + 2 – a =0, D = 4 – 4(2 – a) = -4 + 4a = 4(a – 1), D ≥ 0 при a ≥ 1.

№ 1377

log 0 , 7 (1+ 2 x )

> 4 , log0,7(1 + 2x) > 2, log0,7(1 + 2x) > log0,70,72, 51 49 51 1 , но 1 + 2 x > 0, т.е. x > − . 1 + 2x < , 2x < − , x<− 100 100 2 200

1) 2

Ответ: −

1 51 . <x<− 2 200

2) f(x) = x2 – x3, x0 = -1, y = f(x0) + f’(x0)(x – x0), f’(x) = 2x – 3x2, f’(x0) = -2 – 3 = -5, f(x0) = 2, y = 2 – 5(x + 1), т.е. у = -5х – 3. 3)

x 4 − 3x − 1 = x 2 − 1 ,

x 4 − 3x − 1 ≥ 0 3 ± 9 + 16 3 ± 5  2 = 2 x 2 − 3x − 2 = 0 , x1, 2 = x − 1 ≥ 0 4 4 x 4 − 3x − 1 = x 4 − 2x 2 + 1  1  x1 = 2, x 2 = − 2  4 Ответ: х = 2 x − 3x − 1 ≥ 0 x 2 − 1 ≥ 0   1 1 1 4) y1 = x , y 2 = x , y1 = y2; x = x; x = x 2 , 2 2 4 x2 – 4x = 9; x(x – 4) = 0, x1 = 0, x2 = 4 – точки пересечения y1 и у2, тогда 4 1 1 2 2 4 16 4 1 S = ∫ x 2 dx − ⋅ 4 ⋅ 2 = x 3 − 4 = −4 = =1 . 2 3 3 3 3 0 0 3 2 5) y = x – 3ax2 + 27x – 5, y’ = 3x – 6ax + 27 = 0, 3x2 – 6ax + 27 = 0, x2 – 2ax + 9 = 0, при a = 3, x2 - 2⋅ 3 ⋅ x + 9 = (x – 3)2, следовательно единственная стационарная точка при а = 3. 5π 5π x = x 2 − 4 x + 5 , sin x ≤ 1 6) sin 4 4 x 2 − 4 x + 5 ≥ 1 , т.к. (х–2)2+1≥0, следовательно, равенство возможно только в случае х=2, т.е. когда обе части уравнения принимают значение, равное 1. 248

www.5balls.ru

№ 1378 4

36log 6 5 − 5log5 9 = 62 log6 5 − 9 = 4 25 − 9 = 2 . x

2) f (x ) = e 3 т.к. касательная проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx; пусть х0 – точка касания y = f(x0) + f’(x0)(x – x0), f ' (x ) = y=e x0

x0 3

1 3 e , тогда y = e 3 1 + e 3

− x 0e

x0 3 x−

x0 e 3

= 0, e

x0 3

1 + e 3

(x − x 0 )

, откуда e

(3 − x0 ) = 0,

 π   3 cos + x  + sin  π − y  = 1   2 2    3)  x + y = − 3π  2

− sin x − sin x = 1 , sin x = − x = (− 1)n +1

x0 3

−

x0 x0 3 e = 0; 3

x0 = 3 .

Ответ: (3; е)

 3π  3 − sin x + sin  π + x +  =1  2 2     y = − x − 3π  2

1 , 2

π π 3π + nπ, n ∈ Z , y = (− 1)n + 2 − + nπ, n ∈ Z . 6 6 2

4) (3 – x)log3(x + 5) ≤ 0; а) х + 5 > 0, т.е. x > -5

б) x + 5 > 0, т.е. x > -5

3 − x ≤ 0 x ≥ 3 log (x + 5) ≥ 0;  x ≥ −4;   3 x≥3 Ответ: x ∈ (−5;−4] U [3;+∞ )

3 − x ≥ 0 x ≤ 3 log (x + 5) ≤ 0;  x ≤ −4   3 − 5 < x ≤ −4

2 ∫ 36 − x dx , заметим, что данный интеграл – это половина пло-

−6

щади круга радиуса 6, тогда

2 2 ∫ 36 − x dx = 2 π ⋅ 6 = 18π ;

−6

3 , 2 − x 2 ≥ 0, x ≤ 2 , 6) cos 2 − x = 2 2

2 − x2 = ± x2 = 2 −

π2 π π + 2πn , n ∈ Z , 2 − x 2 = ± 2 ⋅ ⋅ 2πn + 4π2 n 2 6 36 6

π2 2 2 π2 2 2 ± π n + 4π2 n 2 , ± π n + 4π 2 n 2 , x = ± 2 − 36 3 36 3

но т.к. x ≤ 2 , то x = ± 2 −

π2 . 36 249

www.5balls.ru

№ 1379 1) cosxcos3x = -0,5,

1 (cos 2x + cos 4x ) = −0,5 , cos 2 x + cos 4 x = −1 , 2

cos 2 x + cos 2 2 x − sin 2 2 x = −1 , cos 2 x + 2 cos 2 2 x = 0 , cos 2 x(1 + 2 cos 2 x ) = 0 , cos 2 x = 0 π nπ   ,n∈Z . 1 ; x = + cos 2 x = − 4 2  2  π nπ π , n ∈ Z ; x = ± + lπ, l ∈ Z . Ответ: x = + 4 2 3 1 2 2 log 2 x 2 + log 22 (− x ) > 6 , 2) log 4 x + log 2 (− x ) > 6 , 2 log 22 (− x ) + log 2 (− x ) − 6 > 0 , log 2 (− x ) = t

t 2 + t − 6 = 0;

D = 1 + 24 = 25 , t1 =

−1 + 5 −1 − 5 = 2, t2 = = −3 . 2 2

+ -3

–

log 2 (− x ) > 2 = log 2 4  1 log 2 (− x ) < −3 = log 2 8 

− x > 4  1; − x < 8 

 x < 0  x < −4  1  − 8 < x < 0 ; 1   x > −   8  x < −4  x < 0 

3 2 x + y = 3 2 2 x + y = 2 ;  ;   y − x = 1  y − x = 1  y = 2 − 2x  y = 2 − 2x ;   2 2 x x 1 − − =  2 − 2x = 1 + x  9 x ⋅ 3 y = 9 ;  y − x = 1

3) 

2 − 2 x = 1 + 2 x + x , 1 − 3x = 2 x , 1 − 6 x + 9 x 2 = 4 x , 9 x 2 − 10 x + 1 = 0 , 5 ± 25 − 9 5 ± 4 1 16 = , x1 = 1, x 2 = , y1 = 0, y 2 = . 9 9 9 9  1 16  Ответ: (1;0 ),  ; . 9 9  x1, 2 =

4) y1 = 9x – x3, x0 = 3, y = f(x0) + f’(x0)(x-x0); f(3) > 0, f’(x) = 9 – 3x2, f’(3) = -18, y = -18x + 54, 9x – x3 = -18x + 54, -x3 + 27x – 54 = 0, (-x2 + 6x2 – 9x) – 6x2 + 36x – 54 = 0, -x(x – 3)2 – 6(x – 3)2 = 0, 250

www.5balls.ru

-(x – 3)2(x + 6) = 0, x = 3, x = -6, S = S1 + S2 + S3 + S4, −3

(

)

−3

(

)

S1 = ∫ − 18x + 54 − 9 x + x3 dx = ∫ x3 − 27x + 54 dx = −6

−6

−3 x4 27x2 − + 54x = 4 2 −6

81 243 405 891 . − − 162 − 324 + 486 + 324 = 324 − = 4 2 4 4 0

−3

S 2 = ∫ (− 18 x + 54 )dx = −9 x 2 + 54 x 0

(

)

S 3 = ∫ x 3 − 9 x dx = −3 3

(

x 4 9x 2 − 4 2

)

=−

−3 3

= 81 + 162 = 243 , 81 81 81 + = , 4 2 4

(

)

S 4 = ∫ − 18 x + 54 − 9 x + x 3 dx = ∫ x 3 − 27 x + 54 dx = 0

3 x 4 27 x 2 81 243 405 243 − + 54 x = − + 162 = 162 − = 4 2 4 2 4 4 0

891 243 3 + 243 + = 546 . 4 4 4  4π 2π 

;  5) y = 2 − 3 sin x + 4 cos x на  3 3 

4 3 3  y' = −3 cos x − 4 sin x = −5 cos x + sin x  = −5 cos(x − ϕ) , где ϕ = arccos 5 5 5  π − 5 cos(x − ϕ ) = 0 x − ϕ = + πn (2 ) n ∈ Z , 2 3 π x = arccos + + πn, n ∈ Z , 5 2 3 4 3   (1) ; y = 2 − 5 sin x − cos x  = 2 − 5 sin (x − ϕ ), где ϕ = arccos 5 5 5  3 3 3 3  1  4π   2π   2π  y − + 4⋅−  = −  = 2 − 3 sin  +  + 4 cos  = 2 − 3 3 3 2 2 2         3 3  2π   4π  y  = y − , теперь подставим в (1) (2) =− 2  3   3  π y = 2 − 5 sin (x − ϕ) = 2 − 5 sin = 2 − 5 = −3 2  3π  y = 2 − 5 sin (x − ϕ) = 2 − 5 sin   = 2 + 5 = 7  2  max y = 7 min y = −3 ; 251

www.5balls.ru

log3 4 и 4 2 ,

6) 21

log3 3

2=2

что равносильно сравненнию

= log3 3

4и3

сравним,

log 3 4 и

очевидно,

4>3

следовательно log 3 4 > 2 . 4

№ 1380 1) cos4x + 3sin2x = 0,25, cos22x – sin22x + 3sin2x = 0,25, 1 – sin22x – sin22x + 3sin2x = 0,25, 1 – 2sin22x + 3sin2x = 0,25, 1 – 8sin2x(1 – sin2x) + 3sin2x = 0,25, 1 – 8sin2x + 8sin4x + 3sin2x = 0,25, 8sin4x – 5sin2x + 1 = 0,25, sin2x = a, 32a2 – 20a + 3 = 0,

10 ± 100 − 96 10 ± 2 1 3 = , a1 = , a 2 = ; 4 8 32 32 1 1 n π а) sin 2 x = ; sin x = ± , x1 = (− 1) + nπ, n ∈ Z , 6 4 2 π x 2 = (− 1)n +1 + nπ, n ∈ Z ; 6  3  3 3 l + lπ, l ∈ Z . б) sin 2 x = ; sin x = ± , x3, 4 = (− 1) arcsin ±   8 8 8   π n π + nπ, n ∈ Z , x 2 = (− 1)n +1 + nπ, n ∈ Z , Ответ: x1 = (− 1) 6 6  3  x3, 4 = (− 1)l arcsin ± + lπ, l ∈ Z .   8   ln (7 x − 4 ) , 2) y = log3x+4(7x – 4), x = 2, y = ln (3x + 4 ) a1, 2 =

7 3 ⋅ ln (3x + 4 ) − ln (7 x − 4 ) − +4 7 4 3 x x , y' = ln 2 (3 x + 4 ) 3 2  7  y ' (2 ) =  ln 10 − ln 10  ln 2 10 = ; 10 5 ln 10  10  3π 5π , x= , 3) y = 2cos3x – 5sin2x + 10, x = − 4 4 y = 2 cos 3 x − 5 sin 2 x + 10 ≥ 10 − 2 − 5 = 3 > 0 5π 4

2 5 S = ∫ (2 cos 3 x − 5 sin 2 x + 10 )dx = sin 3 x + cos 2 x + 10 x 3 2 3π −

252

www.5balls.ru

5π 4 −

3π 4

2 2 25π 2 2 15π 40π =− ⋅ +0+ + ⋅ −0+ = = 20π . 3 2 2 3 2 2 2 4) y = 6 x − 7 − 2 x , x ≥

1⋅ 6 3 − 2 6x − 7 7 −2= =0, , y' = 6 2 6x − 7 6x − 7 + 7

– 37

3 9 37 6 24 6x − 7 = 6x − 7 = x= , 2 4 24 37 x= - точка максимума ⇒ дальше у убывает в -∞. 24

37 37 3 37 19  37  y  = 6 ⋅ . − 7 − 2⋅ = − =− 24 24 24 2 24 12   x

+ 6 ⋅ 3 x ≥ 11 . 5) 9 + 6 ⋅ 3 x ≥ 11 , 3 Так как необходимо найти наименьшее натуральное число, удовлетворяющее решению, то: x ≥ 0, 32x + 6 ⋅ 3x – 11 ≥ 0, 3x = t > 0, t2 + 6t – 11 ≥ 0, D/4 = 9 + 11= 20; 1)

t1 = −3 + 2 5 3x ≥ 2 5 − 3

t 2 = −3 − 2 5 x ≥ log 3 2 5 − 3 > 0

(

)

№ 1381 1) x 2 − 6 x + 9 + 25 + 10 x + x 2 = 8 ; |x – 3| + |5 + x| = 8 а) х ≥ 3; б) –5 ≤ х < 3; в) х < –5; х – 3 + 5 + х = 8; 3 – х + 5 + х = 8; 3 – х – 5 – х = 8; х = 3; –5 ≤ х < 3; х = –5; х ∈ ∅ x = 3  x ∈ ∅ ; х ∈ [–5; 3]. − 5 ≤ x < 3  2) x 2 + 4 x + 4 − x 2 − 6 x + 9 = 6 ; |x + 2| – |x – 3| = 6 а) х ≥ 3; б) –2 ≤ х < 3; в) х < 2 х + 2 – х + 3 = 6; х + 2 – 3 + х = 6; –х–2–3+х=6 х∈∅ х = 3,5 х∈∅ Ответ: х ∈ ∅. (Опечатка в ответе задачника) 3)

(8 − x )2 − 3 (8 − x )(27 + x ) + 3 (27 + x )2

=7.

Пусть 3 8 − x = у, 3 27 + x = z, тогда исходное уравнение примет вид: 1) у2 – уz + z2 = 7, и 2) у3 + z3 = 35, поделим 2) на 1), получим: z = 5 − y y + z = 5 у + z = 5;  3 ;  3 ; 3 3 + = 35 y z   y + (5 − y ) = 35 253

www.5balls.ru

у3 + 125 – 75у + 15у2 – у3 = 35; 15у2 – 75у + 90 = 0; у2–5у+6=0, у1 = 2, у2 = 3, тогда а) 3 8 − x = 2, х = 0; б)

8 − x =3, х=–19.

4. 4 8 − x + 4 89 + x = 5 ; х≤8, х≥–89; 8 − x + 24 (8 − x)(89 + x) + (89 + x) = 25 ; 4

8 − x = y,

89 + x = z , у, z ≥ 0;

 y + 2 yz + z = 25  y + z = 5 y = 5 − z ; ;  ;  4  4 4 4 4 y z + = 97  y + z 4 = 97  (5 − z ) + z = 97 (5–z)4+z4=97; (25–10z+z2)2+z4=97; (25–10z)2+2(25–10z) z2+z4+z4 =97; 625 – 500z + 100z2 + 50z2 – 20z3 + 2z4 – 97 = 0; 2z4 –20z3 + 150z2 – 500z + 528 = 0; z4 – 10z3 + 75z2 – 250z + 264 = 0; 2

z1 = 3, z2 = 4 162 , т.к. z = 4 89 + x , то х1 = –8, х2 = 73.

№ 1382 В учебнике опечатка.Условие задачи следует читать так : 1) 16sin2x + 16cos2x = 10; 16sin2x + 16cos2x = 10(sin2x + cos2x); 32sinx ⋅ cosx + 6cos2x – 10sin2x = 0; cosx = 0 не является решением, тогда 10tg2x – 32tgx – 6 = 0; 5tg2x – 16tgx – 3 = 0;

tgx =

8 ± 64 + 15 8 ± 79 ; x = arctg + πn , n ∈ Z. 5 5

Ответ: x = arctg

8 ± 79 + πn , n ∈ Z. 5

    2)  3 + 8  +  3 − 8  = 34 ;    

(

)

(

) + ( 2 − 1) = 34 ; (1 + 2 ) − 34(1 + 2 ) + 1 = 0; (1 + 2 ) = 17 ± 288 = 17 ± 12 17 + 12 2 = 9 + 6 8 + 8 = (3 + 8 ) = (1 + 2 ) , т.е. х = 4; 17 − 12 2 = (1 − 2 ) = (1 + 2 ) , т.е. х = –4. x

1+ 2 + 1− 2

)

x   2 2  2 − 2 2 + 1  = 34 ;  1 + 2  +  1 − 2  = 34 ;         

    1+ 2 2 + 2  +    

(

= 34; 1 + 2

−4

Ответ: х = ± 4.

№ 1383 1) х3–3х2+х=3; х3–3х2–3+х=0; х2 (х–3)+(–3+х)=0; (х2+1) (х–3)=0; х = 3. 2) х3–3х2–4х+12=0; х2 (х–3)–4(х–3)=0; (х–2) (х+2) (х–3)=0; х1/2=± 2; х3=3; 3) х5 + х4 – 6х3 – 14х2 – 11х – 3 = 0;

254

www.5balls.ru

х = –1 – корень данного уравнения, тогда можно записать его в следующем виде: (х + 1) (х4 – 6х2 – 8х – 3) = 0; (х + 1) (х – 3) (х3 + 3х2 + 3х + 1) = 0; (х + 1) (х – 3) (х + 1) (х2 + 2х + 1) = 0; (х + 1)4 (х – 3) = 0; х1 = –1, х2 = 3. 4) х4 – 3х3 – 2х2 – 6х – 8 = 0; х = –1 – корень данного уравнения, тогда можно записать его в следующем виде: (х + 1) (х3 – 4х2 + 2х – 8) = 0; (х + 1) (х2(х – 4) + 2(х – 4)) = 0; (х + 1) (х – 4) (х2 + 2) = 0; х1 = –1, х2 = 4, х3,4 = ± i 2 .

№ 1384 cos 2 2 x

−1 ctg 2 x − 1 sin x cos x sin 2 2 x ; + = ; cos 2 x cos x sin x ctg 2 x sin 2 x 2

1) tgx + ctgx = 2ctg4x; tgx+ctgx =

1 cos 2 2 x − sin 2 2 x sin 2 x 1 cos 2 2 x − sin 2 2 x = ⋅ ; = ; 2 sin x cos x cos 2 x sin x cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 2 x cos 2 2 x − 1 + cos 2 2 x 1 − =0; sin 2 x ⋅ cos 2 x sin x cos x 2 cos 2 2 x − 1 − 2 cos 2 x = 0 , cos 2 x = a ;  sin 2 x ⋅ cos 2 x ≠ 0 2a2–1–2a=0; 2a2–2a–1=0; a=1– 3 ; 2x = ± arccos(1 – 3 ) + 2nπ, n ∈ Z;

(

)

  x = ± arccos 1 − 3 + πn , n ∈ Z ;  2 sin 2 x ⋅ cos 2 x ≠ 0  arccos(1 − 3 ) + nπ, n ∈ Z . 2 sin 4 x sin 4 x = 2 (sin x + cos x ) ; 2) = 2 (sin x + cos x ) ; π   2 sin  x −  ( sin x − cos x ) 4  2

Ответ: x = ±

(

)

sin 4 x − sin 2 x − cos 2 x = 0 ;  sin x − cos x ≠ 0 sin4x + cos2x = 0; 2sin2x ⋅ cos2x + cos2x = 0; cos2x(2sin2x + 1) = 0  π nπ π πn  , n∈Z  x = + = + ∈ , cos 2 x = 0 x n Z 4 2    4 2  ;  . π lπ 1;  ln x = (− 1)l +1 + , l ∈ Z sin 2 x = − l +1 π + , l ∈ Z  12 2 2  x = (− 1)  12 2  sin x − cos x ≠ 0   Ответ:

π + πn , n ∈ Z. 2

x = (− 1)l

π πl + , l ∈ Z. 24 4 255

www.5balls.ru

№ 1385 sin 3 x cos 3 x 2 sin 3 x ⋅ sin 2 x + cos 3 x ⋅ cos 2 x 2 ; ; + = = cos 2 x sin 2 x sin 3 x sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 3 x cos x 2 cos x ⋅ sin 3x − sin 4 x − =0; = 0; sin 2 x ⋅ cos 2 x sin 3 x sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ sin 3 x sin 4 x + sin 2 x − 2 sin 4 x sin 2 x − sin 4 x 2 sin x ⋅ cos 3x = 0; = 0; − =0; 2 sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ sin 3 x sin 4 x ⋅ sin 3x sin 4 x ⋅ sin 3 x

sin x = 0 cos 3 x = 0  ;  sin 4 x ≠ 0 sin 3 x ≠ 0 

π nπ  x = + , n∈Z .  6 3 sin 4 x ≠ 0

Ответ: x = ±

π + πn , n ∈ 6

Z. sin 2 x cos x + = 8 cos 2 x ; cos 2 x sin x sin 2 x ⋅ sin x + cos x ⋅ cos 2 x cos x = 8 cos 2 x ; = 8 cos 2 x ; cos 2 x ⋅ sin x cos 2 x ⋅ sin x 1 cos x   − 8 cos x  = 0 ; − 8 cos 2 x = 0 ; cos x x ⋅ x cos 2 x ⋅ sin x cos 2 sin  

2) tg2x + ctgx = 8cos2x;

cos x = 0

  1 − 8 cos 2 x ⋅ cos x ⋅ sin x  cos x  = 0 ; 1 − 8 cos 2 x ⋅ cos x ⋅ sin x = 0 cos 2 x ⋅ sin x   cos 2 x ⋅ sin x ≠ 0 

 π  π  x = + nπ, n ∈ Z x n n Z = + π , ∈ 2   2 . ;  π lπ 1 − 2 sin 4 x = 0 ( x = − 1)l + , l∈Z   24 4 cos 2 x ⋅ sin x ≠ 0 cos 2 x ⋅ sin x ≠ 0  π π lπ Ответ: x = + nπ , n ∈ Z. x = (− 1)l + , l ∈ Z. 2 24 4

№ 1386 sin 2 3 x − sin 2 x sin 3 x sin x − = 2 cos 2 x ; = 2 cos 2 x ; sin x sin 3 x sin x ⋅ sin 3x (sin3x − sin x)(sin3x + sin x) = 2 cos2x ; 2 sin x ⋅ cos 2 x ⋅ 2 sin 2 x ⋅ cos x = 2 cos 2 x ; sin x ⋅ sin 3x sin x ⋅ sin 3x 2 sin 2 2 x ⋅ cos 2 x − 2 cos 2 x ⋅ sin x ⋅ sin 3x =0; sin x ⋅ sin 3 x

256

www.5balls.ru

(

)

(

)

2 cos 2 x sin 2 2 x − sin x ⋅ sin 3x = 0 2 cos 2 x ⋅ sin x 4 sin x ⋅ cos 2 x − sin 3 x = 0 ;  ;  sin x ⋅ sin 3x ≠ 0 sin x ⋅ sin 3 x ≠ 0 2cos2x ⋅ sinx(4sinx – 4sin3x + 4sin3x – 3sinx) = 0 π nπ  2 cos 2 x ⋅ sin 2 x = 0  x = 4 + 2 , n ∈ Z π nπ . Ответ: x = + , n ∈ Z. ;   π n sin ⋅ sin 3 ≠ 0 x x 4 2   x ≠ nπ , x ≠ , n∈Z  3

№ 1387 log2(4cosx+3) log6(4cosx+3)=log2(4cosx+3)+log6(4cosx+3); 4cosx + 3 = a > 0; log2 a log6 a = log2 a + log6 a; log2 a (log6 a–1)=log6 a; log2 a log6 a/6–log6 a = 0; log6 a log6 a / 6 − log6 a = 0 ; log6 a (log6 a/6 – log6 2) = 0; log6 2 1  log6 a = 0 a = 1  4 cos x + 3 = 1 cos x = − ; ; ; 2; log6 a / 12 = 0 a = 12  4 cos x + 3 = 12     x ∈ ∅ π  x = ± π −  + 2πn , n ∈ Z. 3 

π  Ответ: x = ± π −  + 2πn , n ∈ Z. 3 

№ 1388 у=х3–6х2+11х–6; 0=х3–6х2+11х–6; х = 1; (х – 1) (х2 – 5х + 6) = 0; (х – 1) (х – 2) (х – 3) = 0; х1=1, х2=2, х3 =3 – точки пересечения с осью Ох.

№ 1389 2 + m + n + 12 = 0 2х3 + mx2 + nx + 12 = 0; х1 = 1, х2 = –2;  ; − 16 + 4m − 2n + 12 = 0 m + n = −14 m + n = −14 m = −14 − n m = −4 4m − 2n = 4 ; 2m − n = 2 ; − 28 − 3n = 2 ; n = −10 , тогда исходное     уравнение имеет вид: 2х3 – 4х2 – 10х + 12 = 0; х1 = 1, х2 = –2, х3 = 3.

№ 1390 logy x + logx y = 5 / 2 1)  ; x + y = a + a2

log y x = 2  log y x = 1 / 2 ;  2 x + y = a + a

1  logy x + log x = 5 / 2 ; y   x + y = a + a2 

 x = y 2  ;  x = y  2  x + y = a + a

( (

2 log 2y x − 5 log y x + 2 = 0 ;   x + y = a + a 2

 x = y 2  ;  x = y  2  x = a + a − y

) )

a + a 2 − y = y 2  y 2 + y − a + a 2 = 0 ;  ;  2 2  a + a − y = y  y + y − a + a = 0 257

www.5balls.ru

y1, 2 =

y3, 4

(

)

− 1 ± 1 + 4 a + a2 ; х1,2 = –у1,2 + а + а2 2

(

 − 1 ± 1 + 4 a + a2  = 2  

) 

2  ; х3,4 = –у3,4 + а + а 

Ответ: 1) если а > 0, a ≠ 1, то (а2; а), (а; а2) 2) если а < –1, a ≠ –2, то (–а – 1; (а + 1)2), ((а + 1)2; –а – 1) 3) если –1 ≤ а ≤ 0, а = 1, а = –2, то решений нет. 2 2  2 b > 0 ; x2 + y 2 = a2 ; 2)  x + y = a  logb x + logb y = 2 b ≠ 1 logb xy = 2  2  2 2 2  b  2  x 2 + y 2 = a 2  y  + y = a  b 2      + у2 = а2; b4 + у4 = а2у2; ;  ;   y  2  xy = b 2    b x = y  у4 – а2у2 + b4 = 0; у2 = t; t2 – а2t + b4 = 0; t1, 2 =

a 2 ± a 4 − 4b 4 ; 2

а4 – 4b4 ≥ 0; (а2 – 2b2) (а2 + 2b2) ≥ 0. При а2 – 2b2 ≥ 0 и a 2 − a 4 − 4b 4 ≥ 0 ; y = ±

a 2 ± a 4 − 4b 4 . 2

№ 1391 a 2 − 2 3 a y + x 2 + 2 xy − y 2 − 2 = 0 ;  2  x + y 2 − 2 y − cos(xy ) + 11 − 6a + a 2 = 0 х2 + (у – 1)2 + (а – 3)2 + (1 – cos(xy)) = 0. Все слагаемые не отрицательны, следовательно: х=0, у=1, а=3, 1–cos(xy) = 0, т.е. при а ≠ 3 решений нет. При а = 3 проверим, является ли решением системы х = 0, у = 1. 1 – cos(0 ⋅ 1) = 0 – верно; 9 – 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 0 + 0 – 1 – 2 = 0; 3 – 3 = 0 – верно, т.е. х = 0, у = 1 – решение. Ответ: а = 3, х = 0, у = 1. а ≠ 3 решений нет.

№ 1392  x y = y x 1)  3 ; х, у > 0;  x = y 2

 x y = y x ;   x = y 2 / 3

2  x y = y y 3 ;   x = y 2 / 3

258

www.5balls.ru

2   2 1/ 3   x y = y y 3 2/3 2 у – у = 0; у2/3 1 − 3 y  = 0;  3  x = y 2 / 3 2 y = 0 y = 0  3 9 2/3  1/ 3 3 ;  ; y ≠ 0; х = у ; х =   , а также (1; 1). y = 3 3 = y 2 2   2 2 1   3  9  3 3  Ответ:    ;    , (1; 1).  2   2    

 x 2)   y

y y

1  x y1 / 2 = y  y  y 4 = y  ; х, у > 0;  ;  ; 1 1 y y  x = y 4 = x4   x = y 4

1 у = 1; у = 4; х = 2, а также (1; 1). 4 1), (2; 4).  2 sin x = sin y 3)  .  2 cos x = 3 cos y Сложим уравнения системы:

Ответ: (1;

2 sinx + 2 cosx = siny + 3 cosy;

 2  1  π π 2 3   2 sin x + cos x  = 2 sin y + cos y  ; sin  x +  = sin  y +  ;  2    4 3 2 2 2        π π π + y + 2πn , n ∈ Z. x + + 2πn = y + , n ∈ Z; x = 12 4 3 Вычтем уравнения системы, получим: π 7 x− y+ x+ y− π 12 12 2 sin ⋅ cos = 0 , откуда 2 2 5 3 x = π + 2πn , n ∈ Z; y = π + πn , n ∈ Z. 6 4 5 3 Ответ: x = π + 2πn , n ∈ Z; y = π + πn , n ∈ Z. 6 4 1  1   x = y − 3  x − y = − 3 ; 4)  ;  1 1  cos 2 πx − sin 2 πy = 1 cos 2 π y −  − sin 2 πy =  3 2 2  

259

www.5balls.ru

π 1  1 3  1  − sin 2 πy = ; cos 2  πy −  − sin 2 πy = ;  cos πy ⋅ + sin πy ⋅  3 2  2 2  2  2

1   cos πy + 3 sin πy  − sin 2 πy = 1 ; 2  2 2   1 3 3 1 cos 2 πy + cos πy ⋅ sin πy + sin 2 πy − sin 2 πy = ; 4 2 4 2 cos 2 πy + 2 3 cos πy ⋅ sin πy + 3 sin 2 πy − 4 sin 2 πy = 2 ; cos 2 πy − sin 2 πy + 2 3 cos πy ⋅ sin πy = 2 ; cos 2πy + 3 sin 2πy = 2 ; 1 3 π π cos 2πy + sin 2πy = 1 ; sin cos 2πy + cos sin 2πy = 1 ; 2 2 6 6 1 1 π π π  sin  + 2πy  = 1 ; + 2πy = + 2πn , n ∈ Z; y = + n, x = − . 6 6 2 6 6  1  1  Ответ:  − + n, + n  , n ∈ Z. 6  6  1  cos x sin x = ; 5)  2 sin 2 x + sin 2 y = 0 cos x ⋅ sin y = 1 / 2  sin (x + y ) = 0 ; cos(x − y ) = 0

1  cos x sin x = ;  2 2 sin (x + y )cos(x − y ) = 0

cos x ⋅ sin y = 1 / 2   x + y = nπ, n ∈ Z ;  x − y = lπ, l ∈ Z

1 1 (sin(y – x) + sin(y + x)) = ; sin(y – x) + sin(y + x) = 1. 2 2 а) x + y = nπ, n ∈ Z; sin(nπ – 2x) = 1; π nπ π nπ – 2x = + 2kπ, n, k ∈ Z; x = − − kπ + ; 2 4 2 π nπ π nπ , n, k ∈ Z; y = + kπ + , n, k ∈ Z; y = nπ + + kπ − 4 2 4 2 nπ π nπ   π ; + kπ +  − − kπ +  , n, k ∈ Z. 2 4 2   4 б) x – y = nπ, n∈ Z; sin(y + x) = 1; sin(2y + nπ) = 1; π π 2 y + nπ = + 2πk , k, n ∈ Z; 2 y = + 2πk − nπ , k, n ∈ Z; 2 2 π nπ π nπ , n, k ∈ Z; x = + πk + , n, k ∈ Z; y = + πk − 4 2 4 2

260

www.5balls.ru

nπ π nπ   π ; + kπ ± Ответ:  ± ± kπ +  , n, k ∈ Z. 2 4 2   4

№ 1393 6 sin x ⋅ cos y + 2 cos x ⋅ sin y = −3 5 sin x ⋅ cos y − 3 cos x ⋅ sin y = 1  Обозначим sinx ⋅ cosy за u, cosx ⋅ siny за v, тогда система примет вид: −3 − 2v  6u + 2v = −3 u = ; 5(–3 – 2v) – 18v = 6; –15 – 10v – 18v = 6; 5u − 3v = 1 ;  6  5u − 3v = 1 3 −3+ 3 2 = −1 ; –28v = 21; v = – ; u = 6 4 4 1  sin x ⋅ cos y = − 4 4 sin x ⋅ cos y = −1 2(sin (x − y ) + sin (x + y )) = −1 ; ;  ;   2 sin x − y ) + sin (x + y )) = −3 cos x ⋅ sin y = − 3 4 cos x ⋅ sin y = −3  ( (  4 1 π 4sin(x – y) = 2; sin(x – y) = ; x – y = (− 1)k + kπ , k ∈ Z; 2 6 π x = y + (− 1)k + kπ , k ∈ Z; 2(sin(x – y) + sin(x + y)) = –1; 6 π   2sin(x – y) + 2sin(x + y) = –1; 1 + 2 sin  2 y + (− 1)k + kπ  = −1 ; 6   π π π   sin  2 y + (− 1)k + kπ  = −1 ; 2 y + (− 1)k + kπ = − + 2πn ; 6 6 2   π π kπ y = − + (− 1)k +1 + πn − , k, n ∈ Z; 4 12 2 π π kπ π x = − − (− 1)k + πn − + (− 1)k + kπ , k, n ∈ Z; 4 12 2 6 π kπ k π , k, n ∈ Z. x = − + (− 1) + πn + 4 12 2 π π π π kπ kπ Ответ: x = − + (− 1)k + πn + ; y = − + (− 1)k +1 + πn − , k, n ∈ Z. 4 12 2 4 12 2

№ 1394 log 5 y 3log x 2 = y log 5 y  ;  log x 2 = log 3 y log 7 x ;  log y 3 log 7 x  2 = x  log y 3 = log 2 x

261

www.5balls.ru

1   1  log x = log 5 y ⋅ log 3 y log 2 x = log y ⋅ log y 3 5 2 ;  ;  1 1   = log 7 x ⋅ log 2 x = log 7 x ⋅ log 2 x  log 3 y  log 3 y 1   x = 2 log 3 y⋅log5 y  ; 1 1   1 log3 y log 5 y log3 y log5 y log 2 log 2 ⋅ 2 7  log y =  3 1   x = 2 log3 y⋅log5 y  ;  1 log7 2  = 2 2  log3 y log3 y ⋅ log5 y 1  x = 2 log3 y⋅log5 y ;  log y log52 y ⋅ 5 = log7 2  log5 3

1   log 3 y ⋅log5 y ; x = 2 log 2 y ⋅ log y = log 2 3 7  5

1  1  2  x = 2 log3 y⋅log5 y  x = 2 (log5 3⋅log7 2 ) 3 log 3 ;  5 .  1  1  ( ) log 3 log 2 7 3 log5 y = (log5 3log7 2)3  y = 5 5

№ 1395 1) x lg

x −3 lg x +1

> 1000; x > 0, x ≠ 1; lg x x lg

lg 2 x − 3 lg x + 1 >

x −3 lg x +1

> lg x 1000 ;

1 3 ; lg 2 x − 3 lg x + 1 > . log103 x lg x

Обозначим lgx через а, тогда неравенство примет вид: а2 – 3а +1 >

3 a 3 − 3a 2 + a − 3 >0; ; a a

(

)

(a − 3) a 2 + 1 > 0 ; a 2 (a − 3) + (a − 3) > 0; a a lg x < 0  x < 1 а ∈ (–∞; 0) U (3; +∞), т.е.  ; lg x > 3  x > 1000 Ответ: х ∈ (0; 1) U (1000; +∞). 2) 3lg x + 2 < 3lg x +5 − 2 ; х > 0; 3lgx + 2 – 32 lgx + 5 + 2 < 0 3lgx + 2 – 32 (lgx + 2) ⋅ 3 + 2 < 0; 3lgx + 2 = t t > 0; –3t2 + t + 2 < 0; 3t2 – t – 2 > 0; 1+ 5 2 D = 1 + 24 = 25; t1 = =1; t2 = – ; 6 3 t > 1 3lgx + 2 > 1 + 30; lgx + 2 > 0 lgx > –2 = lg 0,01; x > 0,01. 2

262

www.5balls.ru

№ 1396 log|2x + 2| (1 – 9x) < log|2x + 2| (1 + 3x) + log|2x + 2|  5 + 3x −1  ; 9  3 1 1) |2x + 2| > 1, т.е. x < – , x > – ; 2 2

(1 − 3 )(1 + 3 ) < log x

log|2 x + 2|

5 + 3x +1 5  + 3x −1  ; 1 − 3x < ; 9 9 

|2 x + 2| 

1 + 3x 4 < 3 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3х; 9 – 3х + 2 < 5 + 3x + 1; 4 < 12 ⋅ 3х; 3х + 1 > 30; x > –1;  x > −1  2 1  x < −  3;x>– .  2  1  x > − 2  3 1 2) |2x + 2| < 1, т.е. – < x <– ; 2 2 х

log|2x + 2| (1 – 9x) < log|2x + 2| (1 – 3x) + log|2x + 2|  5 + 3x −1  ; 9   x < −1 x +1 5+3 3  ; x < –1;  3 1 – 3x > 1 ; – < x < –1. 9 2 − 2 < x < − 2 5 x–1 +3 , т.е. х < 0, 9  3   1  тогда решением исходного неравенства являются x ∈  − ; − 1 U  − ; 0  . 2    2  Заметим, что по определению логарифма 1–9х>0, 1+3x>0,

№ 1397 x3 + x 2 − 4 x − 4

> 0;

(

) (

)

(x + 1)(x + 2)(x − 2) > 0 . x x2 − 4 + x2 − 4 > 0; (x − 1)(x + 3)(x + 4) (x − 1)(x + 3)(x + 4)

x + 6 x + 5 x − 12 Ответ: х ∈ (–∞; –4) U (–3; –2) U (–1; 1) U (2; +∞). 3

№ 1398  x ≥ 3,5  13  x ≥ − . Ответ: х ≥ 3,5. 6   x ≥ −5 x ≤ 3 3 − x ≥ 0 5   ;  x ≥ . Ответ: х ∈ (2; 3]. 2) 3 − x < 3x − 5 ; 3 x − 5 ≥ 0 3 3 − x < 3 x − 5   x > 2

2 x − 7 ≥ 0  1) 2 x − 7 ≤ 6 x + 13 ; 6 x + 13 ≥ 0 ; 2 x − 7 ≤ 6 x + 13

263

www.5balls.ru

№ 1399 3 x3 − 22 x 2 + 40 x ≥ 0  3 2 2 2 3 x − 22 x + 40 x ≥ (3 x − 10 ) (x − 4) ; x − 4 ≠ 0 

3x3 − 22 x 2 + 40 x ≥ 3х – 10; x−4

  10    10  x ∈ 0; ∪ [4; + ∞) x ∈ 0;  ∪ [4; + ∞) ; ;   3  3      3 2 2 x(x − 4)(3x − 10) − (3x − 10)2 (x − 4)2 ≥ 0 2 3x − 22x + 40x ≥ (3x − 10) (x − 4)  x − 4 ≠ 0 x − 4 ≠ 0     10    10  x ∈ 0; ∪ [4; + ∞) ;   3  ; x ∈ 0;  ∪ [4; + ∞) 3      2 (x − 4)(3x − 10)(x − (3x − 10)(x − 4)) ≥ 0 (x − 4)(3x −10) x − 3x + 22x − 40 ≥ 0 x − 4 ≠ 0 x − 4 ≠ 0     10  8  x ∈ 0 ;  ∪ [4 ; + ∞ ) ; (х –4) (3х – 10) (х – 5) (х – ) ≤ 0;  3 3  2 (x − 4 )(3 x − 10) − 3 x + 23x − 40 ≥ 0 x − 4 ≠ 0    10   x ∈ 0 ;  ∪ [4 ; + ∞ )   3 ; х ≠ 4. Ответ: х   x ∈  8 ; 10  ∪ [4; 5] 3 3    

(

)

 8 10  ∈  ;  U (4; 5] . 3 3 

№ 1400

|x – 5a| ≤ 4a – 3; а) x – 5a ≥ 0, т.е. x ≥ 5a; x – 5a ≤ 4а – 3; x ≤ 9а – 3, тогда 5а ≤ х ≤ 9а – 3 3 15 3 3 при а = ; х ∈ ∅ при а < . при а > ; x = 4 4 4 4 3 б) x–5a<0, т.е. x<5a; 5a–x≤4a–3; x≥a+3, тогда а+3≤х<5a при а > ; 4 15 3 3 x= при а = ; х ∈ ∅ при а < ; х2–4х–5<0; (x+1) (x–5)<0; х ∈ (1; 5). 4 4 4 3 15 3 ; если а > , то а + 3 < х < 9а – 3; Ответ: если а = , то x = 4 4 4

264

www.5balls.ru

3 , то х ∈ ∅; решения первого неравенства являются решения4 3 8 ми второго при ≤ а < . 4 9 если а <

№1401 1) 2)

2) 3)

265

www.5balls.ru

â&#x201E;&#x2013;1402 1)

2) 3)

266

www.5balls.ru

№1403 1) 2)

3) 4)

№1404 1) 2)

3) 4) 267

www.5balls.ru

№ 1405

logba ⋅ logсb ⋅ logdc = logda Преобразуем левую часть выражения: logba ⋅ logсb⋅logdc = log d a logc a ⋅ log d c = log d a , ⋅ logc b ⋅ log d c = logc a ⋅ log d c = = logc b log d c требовалось доказать.

что

№ 1406 3 3 9 4   1) cos arcsin  = ± 1 − sin 2  arcsin  = ± 1 − =± ; 5 5 25 5     3  π π 3 4  arcsin ∈ − ;  , следовательно cos arcsin  = . 5  2 2 5 5    25 12  5   5  =± . 2) sin  arccos −   = ± 1 − cos 2  arccos −   = ± 1 − 169 13  13    13      5 arccos  ∈ [0; π], на промежутке [0; π] sinx > 0, следовательно  13    5   12 sin  arccos −   = .  13   13 

№ 1407 arcsinx + arccosx. Пусть arcsinx + arccosx = с, тогда arcsinx = с – arccosx; sin (arcsinx) = sin (с – arccosx); x = sinc ⋅ cos (arccosx) – cosc ⋅ sin (arccosx); x = x ⋅ sinc – cosc 1 − x 2 ; x (1 – sinc) = –cosc 1 − x 2 ; x (sinc – 1) = cosc 1 − x 2 ; x2 (sin2c – 2sinc + 1) = cos2c (1 – x2); x2 sin2c – 2x2 sinc + x2 – cos2c + x2cos2c = 0; 2x2 – 2x2sinc – cos2c = 0; 2x2 – 2x2sinc – 1 + sin2c = 0; 2x2 (1 – sinc) – (1 – sin2c) = 0; (1 – sinc) (2x2 – (1 + sinc)) = 0, независимо от х уравнение решается при π sinc = 1, откуда с = . 2 268

www.5balls.ru

№ 1408 f (x) = sin2x – 8 (b + 2) cosx – (4b2 + 16b + 6) x; f ′(x) = 2cosx + 8 (b + 2) sinx – (4b2 + 16b + 6) x; f ′(x) < 0; 2cos2x+8sinx(b+2)–(4b2+16b+6)x<0; 2b2–b(4sinx–8)–(cos2x+8sinx – 3) > 0;

(b − (sin x − 2 + 3 ))(b − (sin x − 2 − 3 )) > 0 ;

(

) ( 3 −1;+∞) .

Решение неравенства не зависит от х при b ∈ − ∞;−3 − 3 U

№ 1409

y1 = 3cos5x, y2 = 5cos3x + 2; y = f ′(x0) (x – x0) + f (x0); y1k = –15sin5x0 (x – x0) + 3cos5x0; y 2 k = –15sin3x0 (x – x0) + 5cos3x0; y1k =–15xsin5x0+15x0sin5x0+3cos5x0; y 2 k =–15xsin3x0+15x0sin3x0+5cos3x0. Условие параллельности: –15sin5x0 = –15sin3x0; sin5x0 – sin3x0 = 0; 2sinx0 ⋅ cos4x0 = 0;  x0 = nπ, n ∈ Z π nπ sin x0 = 0  ; cos 4 x0 = 0  x = π + nπ , n ∈ Z . Ответ: при х = nπ, x = 8 + 4 , n ∈ Z.  0 8 4 

№ 1410 12  3  A  2;−  , y = − x 2 , у = f ′(х0) (х – х0) + f (х0), 5 5  6 12 12 12 y = − ⋅ 2(x − 2 ) − ; y = − x + 5 5 5 5 у = 0, х = 1 (1, 0) – точка В 12 ;  12   0,  – точка С х = 0, у = 5  5 S , где r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр, S – p площадь.  2  12  12   1 1 + + +     5 5   12 1 6   = 5 + 12 + 13 = 3 , тогда r = 2 . S= ⋅ = , p= 2 10 5 5 2 5 r=

№ 1411 12 ; l: y = f ′(х0) (х – х0) + f (х0); x 12 12 4 4 y = 2 (x − x0 ) − ; y = (x – 3) – 4; y = x – 8. x0 3 3 x0

А (3; –4), у = –

269

www.5balls.ru

Искомая окружность является вписанной в треугольник со сторонами S 12, 36 + 64 , 36 + 64 , тогда r = , где S = 48, р = 16, т.е. r = 3 – случай, p когда окружность лежит ниже оси Ох, во втором случае (окружность лежит выше оси Ох) получаем r = 12.

№ 1412 Пусть t – переменная времени, тогда расстояние l между кораблями можно представить как функцию l(t). l (t ) =

(3t )2 + (5 − 4t )2

= 9t 2 + 25 − 40t + 16t 2 = 25t 2 − 40t + 25 ;

1 50t − 40 4 4 ⋅ ; t = – точка минимума; l   = 3 мили. 2 25t 2 − 40t + 25 5 5 Ответ: корабли не будут на расстоянии, достаточном для приема. l ' (t ) =

№ 1413 у = –х3 + ах2 + bх + с, х = 2, (0; 2), (0; 6). Пусть точки А и В лежат на расстоянии l от прямой х = 2, тогда имеют координаты А (2 – l, у1), В (2 + l, у1), т.к. А и В лежат на графике функции, то у1=–(2–l)3+а(2 – l)2 + b(2 – l) + с; у1 = –(2 + l)3 + а(2 + l)2 + b(2 + l) + с Уравнение касательной в точке А: у = у′(2 – l) (х – (2 – l)) + у(2 – l) Уравнение касательной в точке В: у = у′(2 + l) (х – (2 + l)) + у(2 + l) Т.к. касательные проходят через точки (0; 2) и (0; 6), то справедливо 0 = у′(2 – l) (2 – (2 – l)) + у(2 – l) и 0 = у′(2 + l) (6 – (2 + l)) + у(2 + l); условие параллельности касательных: у′(2 – l) = у′(2 + l) у′ = –3х2 + 2ах + b, тогда можно записать систему уравнений:  y = − (2 − l )3 + a (2 − l )2 + b (2 − l ) + c  1 3 2  y1 = − (2 + l ) + a (2 + l ) + b (2 + l ) + c  2 3 2 0 = − 3(2 − l ) + 2 a (2 − l ) + b l + − (2 − l ) + a (2 − l ) + b (2 − l ) + c 0 = − 3(2 + l )2 + 2a (2 − l ) + b (4 − l ) + ( − ( 2 + l ) 3 + a (2 + l )2 +  + b (2 + l ) + c ) − 3(2 − l )2 + 2 a (2 − l ) + b = −3(2 + l )2 + 2 a (2 + l ) + b  решая которую, найдем а = 6, b = –11, с = 6.

( (

) ( )

)

№ 1414 Пусть А = (х1; у0), В = (х2; у0), тогда по условию х1 = –2 – t, х2 =–2+t, t > 0. у′ = 3х2 + 2ах + b, т.к. касательные в А и В параллельны, то у′(х1)=у′(х2), т.е. 3(–2–t)2+2а(–2–t)+b=3(–2+t)2+2а(–2+t) + b, откуда а = 6. Уравнение касательных, проходящих через А(0; 1) и В(0; 5): 0=(3(2+t)2+12(–2 – t) + b) (1 – (–2 – t) + (–2 – t)3 + 6(2 + t)2 +b(–2 – t) + с и 0 = (3(–2 + t)2 + 12(–2 + t) + b) (5 – (–2 + t) + (–2 + t)3 + 6(–2 + t)2 +b(–2 + t) + с Т.к. А и В принадлежат графику функции у = х3 + ах2 + bх + с, то (–2 – t)3 + 6(2 + t)2 + b(–2 – t) + с = (–2 + t)3 + 6(–2 + t)2 + b(–2 + t) + с. Из полученных трех уравнений найдем b = 11, с = 5.

270

www.5balls.ru

№ 1415 у = х3 + ах2 + bх + с Пусть точка А имеет координаты (0; у0), М = (х1; 0), N = (х2; 0), тогда 1 площадь ∆AMN можно записать как |х2 – х1| ⋅ |у0| = 1. 2 Уравнение касательной в точке М, проходящей через точку А:

(

)

y0 = 3x12 + 2ax1 + b (0 − x1 ) + x13 + ax12 + bx1 + c . Т.к. у = х3 + ах2 + bх + с проходит через М и N и А, то x13 + ax12 + bx1 + c = 0, x23 + ax22 + bx2 + c = 0 и у0 = с. Запишем систему уравнений:  y0 = c , c < 0  (x − x ) y = 0  2 1 0 2 3 2  y0 = 3 x1 + 2ax1 + b (0 − x1 ) − x1 + ax1 + bx1 + c  x3 + ax 2 + bx + c = 0 1 1  13  x2 + ax22 + bx2 + c = 0

(

)

Решая полученную систему, найдем а = –4, b = 5, с = –2.

№ 1416 у = –х3 + ах2 + bх + с, с > 0 По условию D = (0, у0), А = (х1, 0), В = (х2, 0), тогда площадь ∆АВD за1 пишем как |(х2 — х1)у0| = 1. 2 Запишем уравнение касательной в точке В, проходящей через точку D

(

)

y0 = − 3 x22 + 2ax2 + bx2 (0 − x2 ) − x23 + ax22 + bx2 + c . Т.к. точки А, В, D принадлежат графику функции у = –х3 + ах2 + + bх + с, то у0 = с 0 = − x13 + ax12 + bx1 + c ; 0 = − x23 + ax22 + bx2 + c . Можем записать систему:  y0 = c , c > 0  (x − x ) y = 2  2 1 0 2 3 2  y0 = − 3x2 + 2ax2 + bx2 (− x2 ) − x2 + ax2 + bx2 + c 0 = − x3 + ax 2 + bx + c 1 1 1  0 = − x23 + ax22 + bx2 + c

(

)

Решая полученную систему, найдем а = 4, b = –5, с = 2.

№ 1417  1 у = 0,5х2 – 2х + 2, А 1;  , В(4; 2).  2 Уравнение касательной: 271

www.5balls.ru

у = (х0 – 2) (х – х0) + 0,5 x 02 – 2х0 + 2, т.к. касательная проходит через точки А и В, то справедливо

(

)(

)

(

)(

)

1 = x01 − 2 1 − x01 + 0,5021 − 2 x01 + 2 и 2

2 = x0 2 − 2 4 − x0 2 + 0,5022 − 2 x0 2 + 2 , откуда x 01 = 1 x 02 = 4

; тогда уравнения касательных:

у = –1(х – 1) + 1/2 = –х + касательных х =

3 , у = 2(х – 4) + 2 = 2х – 6 (точка пересечения 2

5 ), тогда искомая площадь 2

(

)

4 5/ 2 3 3 3/ 2 3     S = ∫ 0,5 x 2 − 2 x + 2 dx + ∫  − x  dx + ∫ (2 x − 6)dx − ∫  − x dx − 2 2     1 3/ 2 5/ 2 1 4

(

5/ 2  x3  1  3 − ∫ (2 x − 6)dx =  − x 2 + 2 x  +  x − x 2  + x2 − 6x  6  2 2   3  1 3/ 2 4

3/ 2

1  3 −  x − x2  2 1 2

(

− x2 − 6 x

)

4 3

)

3 5/ 2

−

9 . 8

№ 1418 Уравнение касательной к графику функции у = x в точке а имеет вид: a x − a + 2a x + a + a = = ; ордината точки пересечения с 2 2 a 2 a 2 a 3+ a прямой х = 3: ; абсцисса точки пересечения с осью Ох: х = –а. 2 a Тогда искомая площадь треугольника 4 2(a + 3)4 a − (3 + a )2 ⋅ 2 (a + 3) ; S ' = 8a (a + 3) − 2(3 + a )2 2 a S= = = 16a 4 a 16a a y=

−

8a 2 + 24a − 18 − 12a − 2a 2

16a a

(a + 3)2 S= 4 a

6a 2 + 12a − 18

3a 2 + 6a − 9

16a a 2

4 = 4 . Точка минимума а = 1. 4

№ 1419 π/2

Площадь фигуры S = ∫ sin xdx = 1 . 0

272

www.5balls.ru

8a a

Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением у = kх, где k = tgα, α – угол наклона к оси Ох. Тогда условие того, что данная прямая делит фигуру площади S на две фигуры равной площади, запишем 4 4 π π следующим образом: 1 = ⋅ ⋅ k , откуда k = 2 , а угол α = arctg 2 . 2 2 π π

№ 1420 1)

x + 3 − 2 x − 4 = 3x − 2

 x + 3 ≥ 0  2 x − 4 ≥ 0 3 x − 2 ≥ 0  x + 3 − 2x − 4 ≥ 0   x + 3 − 2 (x + 3 )(2 x − 4 ) + 2 x − 4 = 3 x − 2

3x + 3 – 4 – 3x + 2 = 2

(x + 3)(2 x − 4) ;

1 = 2 (x + 3)(2 x − 4 ) ; 1 = 4(2x2 + 2x – 12); 8x2 + 8x – 49 = 0; x1, 2 =

− 4 ± 16 + 392 − 4 ± 408 − 2 ± 102 ; = = 8 8 4

 x + 3 ≥ 0 2 x − 4 ≥ 0  . 3 x − 2 ≥ 0  x + 3 − 2x − 4 ≥ 0  − 2 ± 102   x = 4

1 1−

1− x

1 1+

1− x

Ответ: x =

2 2 1− x

;

− 2 ± 102 . 4

1− x = a > 0;

(

1 1 2 2 ; (1 + a + 1 − a )a − 2 1 − a + =  1− a 1+ a a (1 − a )(1 + a )a ≠ 0

2a – 2 2 + 2 2 a2 = 0; a – 2 + a1, 2 =

−1±

1− x =

2 1

) 2 = 0;

2 a2 = 0;

2 a2 + a – 2 = 0; 1 −1± 3 1+ 8 ; a > 0, следовательно, a = ; = 2 2 2 2 1 1 1 Ответ: x = . ; 1–x= ; x = . 2 2 2

273

www.5balls.ru

№ 1421 | 2 x + 1 – x| + |x – 2 x + 2| = 7; | 2 x –x+1|+|–( 2 x –x+1)+3| = 7; | 2 x – x + 1 = a; |a| + |3 – a| = 7. а) a > 3; a + a – 3 = 7; a = 5. б) 0 ≤ a ≤ 3; a + 3 – a = 7; a ∈ ∅. в) a<o;–a+3–a=7; a=–2; а) 2 x –x+1=5; 2 x =x+4; 4x=x2+8x + 16; x2 + 4 x + 16 = 0 – действ. корней нет. б) 2 x – x + 1 = –2; 2 x = x – 3; x ≥ 0; 4x = x2 – 6x + 9; x2 – 10x + 9 = 0; x1, 2 = 5 ±

25 − 9 = 5 ± 4 ; x1 = 9, x2 = 1. 1

x = 1 не является решением, т.к. |2 + 1 – 1| + |1 – 2+ 2| ≠ 7. Ответ: x=9.

№ 1422 1) 9·41/x+5·61/x=4·91/x, 32·41/x+5·21/x·31/x=4·32/x, 32·22/x+5·21/x·31/x=22·32/x 2

 2 x  2 x разделим все на (3) ≠ 0 , 9  +   − 4 = 0 ; 3 3 −5 + 13 4 = ; t2 9t2 + 5t – 4 = 0; D = 25 + 144, t1 = 18 9 2 x

 2 x   = t; t > 0 3 −5 − 13 = = −1 18

1 1  2 x 4  2  = 2; x = .   = =  ; 3 9 3 x 2     2 2) log2(x – 3) – log2(6x – 10) + 1 = 0,  2  2 x 2 − 3 1 2 x 2 − 6 − 6 x + 10 = ; = 0 ; 2x − 6x + 4 = 0 ; x − 3x + 2 = 0 ; 2(6 x − 10 ) 6 x − 10 2 x ≠ 10 / 6 x ≠ 10 / 6 2 x1 = 1, x2 = 2, т.к. x – 3 > 0 и 6x – 10 > 0, то x = 1 не является решением. Ответ: x = 2. 1 3) 2log2x – 2 log 2 = 3 log 2 x ; 2log2x + 1 = 3 log 2 x , x > 0. 2 1 log 2 x = a ≥ 0; 2a2 – 3a + 1 = 0; a1 = 1, a2 = ; log2x = 1, x = 2; 2 1 2 . Ответ: x = 2 . log2x = , x = 4 4) logx(2x2 – 3x – 4) = 2; 2x2 – 3x – 4 > 0, x > 0, x ≠ 1; logx(2x2 – 3x – 4) = logxx2; 2x2 – 3x – 4 = x2; x2 – 3x – 4 = 0; x1 = –1, x2 = 4; x1 < 0, следовательно не является решением. Ответ: x = 4.

№ 1423 1) 1 + logx(5 – x) = log74 · logx7; 1 + logx(5 – x) = log x 7log7 4 ; 272

www.5balls.ru

logxx(5 – x) = logx4; 5 – x > 0, x > 0, x ≠ 1; 5x – x2 = 4; x2 – 5x + 4 = 0; x1 = 1, x2 = 4; Ответ: x = 4. 2) (log9(7 – x) + 1) log3-x3 = 1; log99(7 – x) log3-x3 = 1; 1 1 log3 9(7 − x ) ⋅ = 1 ; log3-x9(7 – x) = 2; 2 log3 3 − x log3-x9(7 – x) = log3-x(3 – x)2; 9(7 – x) = 9 – 6x + x2; x2 + 3x – 54 = 0;

x1, 2 =

− 3 ± 9 + 54 ⋅ 4 − 3 ± 15 = ; 2 2

x1 = 6, x2 = –9; 3 – x > 0, 3 – x ≠ 1 следовательно, 7 – x > 0, x = –9. Ответ: x = –9.

№ 1424 1) cosx + cos2x + cos3x = 0; 2cos2x + cosx + cos2x = 0; π nπ  cos 2 x = 0 x = 4 + 2 , n ∈ Z  . 1 ;  cos x =  x = ± 2 π + 2lπ , l ∈ Z 2   3 2 π nπ Ответ: x = + , n ∈ Z ; x = ± π + 2lπ, l ∈ Z . 4 2 3 x π   3x π  2) cos3x – 3cos2x + cosx = 2 cos +  ⋅ sin  −  ; 2 4    2 4 π  cos3x–3cos2x+cosx=sin  x −  +sin2x; cos3x–3cos2x+cosx = –cosx + sin2x; 2  3 2 cos x – 3cos x + 2cosx – sin2x = 0; cosx(cos2x – 3cosx + 2 – 2sinx) = 0;



cos x = 0  x = 2 + nπ, n ∈ Z 1 − sin 2 x − 3 cos x + 2 − 2 sin x = 0 ;  2 

;

3 − 3 cos x − sin x − 2 sin x = 0

π   x = 2 + nπ, n ∈ Z . Ответ: x = π + nπ, n ∈ Z ; x = 2πl, l ∈ Z .  x = 2πl , l ∈ Z 2  3) sin2x + cos23x = 1; cos23x – cos2x = 0; cos 3x − cos x = 0  −2 sin 2 x ⋅ sin x = 0 cos 3x + cos x = 0 ;  2 cos 2 x ⋅ cos x = 0 ;

273

www.5balls.ru

nπ , n∈Z 2 = mπ , m ∈ Z nπ π kπ , n∈Z;x = + , k∈Z. . Ответ: x = π = + lπ, l ∈ Z 2 4 2 2 π kπ = + , k∈Z 4 2 − sin 2 x 4) ctgx + sin2x = ctg3x; ctg3x – ctgx – sin2x = 0; − sin 2 x = 0 ; sin 3x ⋅ sin x  x x  x   x 

sin 2x (1 + sin 3x ⋅ sin x ) = 0 ; sin 3x ⋅ sin x ≠ 0 

sin 2 x = 0 π  cos 2 x − cos 4 x = −2; x = + mπ, m ∈ Z . 2 sin 3x ⋅ sin x ≠ 0

№ 1425 1) sinx + cosx =

1 + tgx

 sin x + cos x ≥ 0 (cos x + sin x ) = 0;  ; (sinx + cosx)2 – 1 + tgx ≥ 0 cos x  (cos x + sin x ) 2 (sin x + cos x ) = cos x  sin x + cos x = 0 (sin x + cos x )(cos x(sin x + cos x ) − 1) = 0  ; cos x ⋅ sin x + cos2 x − 1 = 0 ; cos x ≠ 0  cos x ≠ 0 

 3  x = π + nπ , n ∈ Z 4 sin x(cos x − sin x ) = 0 ;   cos x ≠ 0

  3 π mπ , m∈Z   x = π + nπ , n ∈ Z   x = + 4 4 2    x = nπ , n ∈ Z  x = mπ , m ∈ Z ;  .  π   x = + πm , m ∈ Z cos x ≠ 0 4  sin x + cos x ≥ 0 cos x ≠ 0 1 + tgx ≥ 0

π mπ + ; x = nπ, m, n ∈ Z . 4 2 sin x − cos x ≥ 0 5 sin 2x − 2 = sinx – cosx;  2 2 ; 5 sin 2 x − 2 = sin x − 2 sin x cos x + cos x

Ответ: x = 2)

1 ; 2 π nπ  x = (− 1)n + , n∈Z π nπ   x = (− 1)n + , n ∈ Z  12 2 ;  ;  12 2 5 π   x ∈  + 2lπ ; π + 2lπ , l ∈ Z sin x − cos x ≥ 0  4 4 

5sin2x – 2 = 1 – sin2x; 6sin2x = 3; sin2x =

274

www.5balls.ru

№ 1426 2 sin x 1 π 2 sin x 1  − = 4 sin 2  x +  ; − = 4⋅ cos x − cos 3x 3 4  + 2 sin 2 x sin x 3 

π 1 − cos 2 x +  2  ; 2

3 − sin 2 x 3(2 + 2 sin 2 x )sin 2 x 1 1 − = 0 ; sin2x ≠ 0; − = 2 · (1 + sin2x); sin 2x 3 3 sin 2 x 3 sin 2 x sinx ≠ 0; 3–sin2x–6sin2x–6sin22x=0; 6sin22x+7sin2x–3=0; sin2x=t; 6t2+7t–3=0; 3 −7 + 11 1 −7 − 11 D=49+72=121; t1 = = ; t1 = = − < −1 ; 12 2 12 3 1 1 1 1  sin2x = ; 2x = (–1)narcsin + πn; x =  (− 1)n arcsin + πn , n ∈ Z . 2 3 3 3 

№ 1427

cos x + (1 + cos x )tg 2 x = 0  1  ; cosx + (1 + cosx)  −1 – 1 = 0;  2  cos x  tgx > 0

cos x +

(1 + cos x )(1 − cos2 x ) − 1 = 0 ; cosx ≠ 0; x ≠ 2

π + πn , n ∈ Z ; 2

cos x cos3x+1–cos2x+cosx–cos3x–cos2x=0; 2cos2x–cosx–1=0; cosx=t; 2t2–t – 1 = 0; 1+ 3 1− 3 1 D = 1 + 8 = 9; t = =1; t = =− ; 4 4 2 cosx = 1 ⇒ sinx = ± 1 − cos 2 x = 0; tgx = 0 – не подходит. sin x =

3 ⇒ tgx < 0 – не подходит. 2

sin x = −

3 4π ; tgx > 0; x = + 2πn, n ∈ Z . 3 2

№ 1428  4 π 4 2 25π sin x + sin  x +  = sin 4 6 ; lg(x –    lg x − 2 x + 24 > 0 

(

)

2x + 24 ) > 0 = lg1

x– 2x + 24 >0; x>–12; x–1> 2x + 24 ; x>1; x2 – 2x + 1 > 2x + 24; x2–4x–23>0; D/4=4+23 = 27; x1 = 2 + 3 3 ; x2 = 2 – 3 3 ; x > 2 + 3 3 ;

( )

 1− cos 2 x + π 2 sin x +  2   4

1 2π 4 2  = sin 6 ; 4sin x + (1 + sin2x) = 4 4 ;  2

 1 − cos 2 x  4sin4x + 1 + 2sin2x + sin2x = 1; 4   + 2sin2x + sin22x = 0; 2   275

www.5balls.ru

1 – 2cos2x + cos22x + 2sin2x + sin22x = 0; 2 + 2sin2x – 2cos2x = 0; π π 2   1 + sin2x – cos2x = 0; 1 + 2 sin  2x −  = 0 ; sin  2 x −  = − ; 4 4 2     π π   2x − 4 = − 4 + 2nπ, n ∈ Z  2 x = 2nπ, n ∈ Z ; ;  3π   2x − π = 5π + 2nπ, n ∈ Z  2 x = 2 + 2nπ, n ∈ Z  4 4  x = nπ, n ∈ Z  x = nπ, n ≥ 3  ;  . 3π 3π + nπ, n ∈ Z  x = + nπ, n ≥ 2 x = 4 4  

№ 1429 π   π π  − ;  cos 5x +  + 2sinx · cos2x = 0; –sin5x + sin3x – sinx = 0; 2  6 2  πn , n∈Z. sin3x–(2sin3x cos2x)=0; sin3x(1–2cos2x)=0; sin3x = 0; 3x = πn; x = 3 π  π π Самое большое значение x на  − ;  из этой серии x = 6 2 3   π 1 π cos2x = ; 2x = ± + 2πn , n ∈ Z ; x = ± + πn . 2 3 6 π  π π Самое большое значение x на  − ;  из этой серии x = 6  6 2 π В итоге самое большое x = . 3

№ 1430 sin8x+cos8x=a; (sin4x–cos4x)2+2sin4x cos4x=a; (cos4x–sin4x)2 +

1 sin42x = a; 8

1 1 sin42x = a; 1 – sin22x+ sin42x=a; sin42x–8sin22x + (8 – 8a) = 0; 8 8 (sin22x – 4)2 = 8 + 8a; sin22x – 4 = ± 8 + 8а ; cos42x +

sin22x=4 ± 8 + 8а ; 0≤4 ± 8 + 8а ≤ 1; 0≤4 + 8 + 8а ≤ 1 – невыполнимо; 0 ≤ 4 − 8 + 8а ≤ 1; 3 ≤

1  8 + 8а ≤ 4; а ∈  ; 1 8 

1  Итак, при а ∈  ; 1 : sin22x = 4 − 8 + 8а ; 8  sin2x= ± 4 − 2 2(1 + a ) ; x=(–1)n(±arcsin 4 − 2 2(1 + a ) + πn, n ∈ Z; 1 πn x = ± arcsin 4 − 1 2(1 + a ) + , n∈Z . 2 2 276

www.5balls.ru

№ 1431  x − 3 y = −5 ; y ≠ 0 ; x ≠ 0  x = 3 y − 5   2y 23 ; 23 1)  x 2 y ;  3y − 5 − =− − =−  3y x  3y 6 3y − 5 6

(

)

6 (3y − 5)2 − 6 y 2 + 23·3y(3y–5) = 0; 6(9y2–30y+25–6y2)+207y2 – 345y = 0; 18y2–180y+150+207y2–345y=0; 225y2 – 525y + 150 = 0; 9y2 – 21y + 6 = 0; 3y2 – 7y + 2 = 0; y1 / 2 = Ответ: (1; 2), (–4;

7 ± 49 − 24 1 ; y1 = 2, y2 = , x1 = 1, x2 = –4. 6 3

1 ). 3

 (x + y )2 + (x − y )2 10  x + y x − y 10 + = ; x ≠ ±y  =  2)  x − y x + y ;  3 3 ; x 2 − y2  2 x 2 + y 2 = 5 2 + = x y 5    2 x 2 + 2 y 2 10  10 10 = =  2 10 10  3 ; = ; 30=50–20y2; y=±1; x = ±2. 3 ;  x 2 − y2  x − y2 2 3 − 5 2 y 2 2  2 x = 5 − y 2  x + y = 5

№ 1432 6 x − 2 ⋅ 3y = 12 1)  x y ; 6 ⋅ 3 = 12

6 x = 2 + 2 ⋅ 3y ; (2+2·3y) 3y=12; 2·3y+2 · 32y = 12;  x y 6 ⋅ 3 = 12

3y + 32y = 6; 3y = a > 0; a2 + a – 6 = 0, a1 = –3, a2 = 2, тогда 3y = 2, y = log32; 6x = 2 + 2 · 2, т.е. x = 1. Ответ: (1, log32)  x 2 − 6y 7 ⋅ 2x + 6 y = 2 7 ⋅ 2 x + 6 y = 2 2 = 7 ; ; ; 2)    6(2 − 6 y ) x +1 x − 5y = 93 6 ⋅ 2 − 5y = 93  3 ⋅ 2 − 5y = 93  7 6(2–6y)–35y=651; 12–36y–35y=651; –71y=639; y=–9; 2x=8, x=3. Ответ: (3; –9).

№ 1433 27 ⋅ 32 x − y + 3x 2 = 4 3 .  lg(y − 4x ) = 2 lg(2 + 2 x − y ) − lg y y − 4x > 0 y − 4x 2 + 2x − y  ; = lg Очевидно, что 2 + 2 x − y > 0 ; lg + − 2 2 x y y  y > 0  y 2 − 4xy − (2 + 2x − y )y = 0 y − 4x 2 + 2x − y  ; = ; y ≠ 0 2 + 2x − y y 2 + 2 x − y ≠ 0  277

www.5balls.ru

y2–4xy–(4+8x+4x2–2y(2+2x)+y2)=0; y2–4xy–4 – 8x – 4x2 – 4y + 4xy – y2 = 0; – 4x2 – 8x + 4y – 4 = 0; x2 + 2x – y + 1 = 0; y = (x + 1)2, подставим в первое уравнение исходной системы: 27 · 32 x − x

− 2 x −1

32− x + 3 x 2

+ 3x = 4 3 ; 33 · 3−x −1 + 3 x = 4 3 ; 2 9 = 4 3 ; 3x = a > 0; + a = 4 3 ; 9 + a2 = 4 3 a; a

a2 – 4 3 a + 9 = 0; a1 / 2 = a1 = 3 3 , a2 =

2 3 ± 12 − 9 = 2 3± 3 ; 1

3 , тогда

1) 3x = 33/2; x1/ 2 = ± 2

2) 3x = 31/2; x = ±

3 3 3 3 ; y1 = + 6 + 1 ; y2 = − 6 + 1 ; y 2 = − 6 + 1 ; 2 2 2 2

1 1 1 ; y1 = + 2 + 1 ; y 2 = − 2 + 1 ; 2 2 2

y – 4x > 0 2 + 2x – y > 0 y>0 x=

3 5 ,y= + 6 2 2

3 5 ,y= − 6 2 2 1 3 x= ,y= + 2 2 2

x=−

,y=

3 − 2 2

 1 3  ; ± 2  . Ответ:  ± 2 2   − x−2 y  + 2y = 3 2 2) 8 ⋅ 2 ; lg(x + 4 y ) = 2 lg(2 − x − 2 y ) − lg x x + 4 y > 0  Очевидно, что 2 − x − 2 y > 0 ;  x > 0 x + 4y 2 − x − 2y = ; lg(x + 4y) = 2lg(2 – x – 2y) – lgx; 2 − x − 2y x 2

x(x+4y)=(2–x–2y)2; x2+4xy–(4–4x+x2–4y(2–x)+4y2)=0; 278

www.5balls.ru

x2+4xy–4+4x–x2+8y–4xy–4y2=0; – 4+4x+8y–4y2=0; – 1 + x + 2y – y2 = 0; x = (y – 1)2, подставим в первое уравнение исходной системы: 8 · 2−( y −1) + 2 y = 3 2 ; 8 · 23− y 2

+ 2 y −1− 2 y

+ 2y = 3 2 ;

22 · 2− y + 2 y = 3 2 ; 2 y = a > 0; 4 + a 2 = 3 2 ; 4 + a2 = 3 2 a; a2 – 3 2 a + 4 = 0; a 2

a1 / 2 =

3 2 ± 18 − 16 3 2 ± 2 . = 2 2 3 3 ; x = ± 6 +1 . 2 2 1 1 1/2 ; x = ± 2 +1 ; =2 ; y=± 2 2

1) a1 = 2 2 , тогда 2 y = 23/2; y = ± 2) a2 =

2 , тогда 2 y

x + 4 y > 0 2 − x − 2 y > 0 x > 0   3  ± 6 + 1; ±  2

3  , 2 

3 1  . . Ответ:  ± 2 ; ± 2 2   3 1   ± 2; ±  2 2  

№ 1434

log3 (y − 3) − 2 log9 x = 0 y − 3 = x ⇒ y = x + 3 ; y > 3; x > 0;  2 .  2 2 ( ) + − − = x a 2 y 5 a 0 x + 2ax + a − 2x − 6 − 5a = 0  Хотя бы одно решение D ≥ 0. x2 + (2a – 2)x + a2 – 5a – 6 = 0; D/4=(a–1)2–a2+5a+6=a2–2a+1–a2+5a+6=3a+7; 3a + 7 ≥ 0; a ≥ − D = 0, x = 1 – a = 1 +

7 > 0; D > 0, x1 = 1 – a + 3

7 ; 3

3a + 7 > 0.

См. в конце. x2 = 1 – a –

3a + 7 > 0; 1 – a =

3a + 7 , 1 – a > 0, a < 1

1 – 2a + a2 > 3a + 7, a2 – 5a – 6 > 0;  a < −1 и a > 6 7  ⇒ − < a < –1, x1=1–a + a < 1 3  7 a < − 3 

3a + 7 > 0;

3a + 7 > 1 – a

a < 1 7  1) a – 1 < 0; a < 1,  7 , − <a<1 3 a > − 3 279

www.5balls.ru

2) a – 1 ≥ 0; a ≥ 1; 3a + 7 > a2 – 2a + 1; a2 – 5a – 6 < 0; −1 < a < 6  7  7 7 − < a ≥1 ⇒ 1 ≥ a < 6;  3 ; − < a < 6, a < −  3 3  1 < a < 6 a ≥ 1  7 − < a < 6 7 ⇒ − < a < –1. одновременно x1 и x2 > 0,  3 7 3 − < a < −1  3

№ 1435 2 x − 3 1 2 x 2 − 3x − 4 + x >0; > ; x (4 − x ) 4−x x

(x + 1)(x − 2) < 0 . x2 − x − 2 2x 2 − 2x − 4 >0; < 0; x (x − 4 ) x (4 − x ) x (x − 4 ) Ответ: х ∈ (–1; 0) U (2; 4). 2x + 5 2x + 5 − x − 1 x+4 2) ≥ 0; ≥ 0 ; х ∈ (–1; +∞). ≥ 1 ; 1. х > –1; (x + 1) x +1 x +1 2x + 5 2x + 5 2x + 5 + x + 1 ≥1; ≤ −1 ; ≤ 0; − x −1 x +1 x +1 3x + 6 x+2 ≤ 0; ≤ 0 ; х ∈ [–2; -1). Ответ: х ∈ [–2; -1) U (–1; +∞). + x 1 x +1

2. х < –1;

№ 1436 8x2 − 4x + 3

4x − 2x + 1 2

≤a;

8 x 2 − 4 x + 3 − 4 x 2a + 2ax − a 4x2 − 2 x + 1

8 x 2 − 4ax3 − 4 x + 2ax + 3 − a

x 2 (8 − 4a ) − x (4 − 2a ) + (3 − a )

≤0; 4 x2 − 2x + 1 4x2 − 2 x + 1 4x2–2x+1<0 при любых х; найдем значения а, для которых х2(8–4а)–x(4–2a)+ +(3 – a) ≤ 0 при любых х: 8–4a<0, т.е. а>2 и D = (4 – 2a)2 – 4(3 – a)(8 – 4а) ≤ 0; 16 – 16a + 4a2 – 4(24 – 12a – 8a + 4a2) = –12a2 + 64a – 80; 12a2–64a+80≥0; 6a2–32a+40≥0; 3a2–16a+20≥0; a ∈ (–∞; 2] U [10/3; +∞). 10 . Таким образом х2(8 – 4а) – x(4 – 2a) + (3 – a) ≤ 0 при а ≥ 3 3x 2 − 4 x + 8

≥a;

≤0;

3 x 2 − 4 x + 8 − 9ax 2 + 12ax − 16a

≥ 0; 9 x 2 − 12 x + 16 9 x 2 − 12 x + 16 9x – 16x + 16 > 0 при любых х; найдем значения а, для которых 3х2– 9аx +12ax – 4x + 8 – 16a ≥ 0 независимо от х. х2(3–9а)+x(12a – 4) + (8 – 16a) ≥ 0: 1 3 – 9а ≥ 0, т.е. a ≤ , D = (6a – 2)2 – (8 – 16a)(3 – 9а) ≤ 0; 3 36a2 – 48a + 4 – (24 – 72a – 48a + 144a2) = –108a2 + 72a – 20; 2)

280

www.5balls.ru

–108a2 + 72a – 20 ≤ 0; 27a2 – 18a + 5 ≥ 0 (1); a1 / 2 =

9 ± 81 − 135 ; 27

D < 0 ⇒ неравенство (1) выполнено при любом а, таким образом a ≤

1 . 3

№ 1437 x 2 −5 x + 6

x 2 −5 x + 6

2 2 2 < 1;   <  1)   5 5 5 x2 – 5x + 6 > 0; (x – 2)(x – 3) > 0; x ∈ (–∞; 2) U (3; +∞). 2 3 2 7 2) 5x – 3x+1 > 2(5x – 3x+1); 5x – 3 · 3x > ⋅ 5x − ⋅ 3x ; ⋅ 5 x − 2 ⋅ 3x > 0 ; 5 5 9 9 3 x 25 x x x 3 x 3 x 3 x 3 ⋅5 − ⋅ 3 > 0 ; 27 · 5 – 125 · 3 > 0; 3 ·5 –5 ·3 > 0; 3 · 5 > 5 · 3x; x > 3. 5 9

№ 1438 1) log1/2(1 + x –

x2 − 4 ) ≤ 0

   2 log1 / 2 1 + x − x − 4  ≤ log1 / 2 1    1 + x − x 2 − 4 > 0 

(1) ( 2)

(1) 1 + x –

 2 0 ≥ −4 ; x ≥ 2. x 2 − 4 ≥ 0;  x ≥ x − 4 ; x2 ≥ x2 – 4;  2 x ≥ 2  x ≥ 0 , x − 4 ≥ 0

(2) 1 + x –

x 2 − 4 > 0; 1 + x >

x2 − 4 ;

1 + x > 0  x > −1   2 x ≥ 2 ; x ≥ 2. ;  x ∈ (− ∞ ; − 2]∪ [2 ; + ∞ ); x ≥ 2.  x − 4 ≥ 0 x ≥ 2 2 2  1 + 2 x + x > x − 4  x > −2,5  1 1 − <0; 2) log5 (3 − 2x ) 4 − log5 (3 − 2 x ) 3 − 2 x > 0  – область определения; log5(3 – 2x) = a log5 (3 − 2x ) ≠ 0 4 − log5 (3 − 2 x ) ≠ 0 1 1 4−a−a 2−a − <0; < 0; <0; a 4−a 4−a 4−a 2 2<log5(3–2x)<4; log55 <log5(3–2x)<log554; 25 < 3 – 2x < 44; 11 < –x < 311; −11x > x > −311 3 − 2 x > 0 ; log (3 − 2 x ) ≠ 0  5 4 − log5 (3 − 2 x ) ≠ 0

−311 < x < −11  3 x < ; –311 < x < –11.  2 x ≠ 1  x ≠ −311  281

www.5balls.ru

№ 1439

1) log|2x + 1|x2 ≥ 2; log|2x + 1|x2 ≥ 1) log|2x + 1||2x + 1|2 1. |2x + 1| > 1, т.е. x ∈ (–∞; –1) U (0; +∞); x2 ≥ (2x + 1)2 1 1 x2 ≥ 4x2 + 4x + 1; 3x2 + 4x + 1 ≤ 0; (x + 1)(x + ) ≤ 0. x ∈ [–1; – ]. 3 3 1 2 2. |2x + 1| < 1, т.е. x ∈ (–1; 0); x2 ≤ 4x + 4x + 1; x ∈ (–∞; –1) U (– ; +∞); 3

 x ∈ (− ∞ ; − 1) ∪ (0; + ∞ )   x ∈ − 1; − 1  3  1  . Ответ: x ∈ [– ; 0].  x ∈ (− 1; 0 ) 3   1    x ∈ (− ∞ ; − 1) ∪  − 3 ; + ∞     1 2) log x 2 3x + 1 < ; log x 2 3x + 1 < log x 2 x 2 1. x2 > 1, x ∈ (–∞; –1) U (1; +∞); |3x + 1| < |x| 1 a) x ≥ 0, 3x + 1 < x, x < – ; x ∈ ∅ 2 1 1 1 1 б) – ≤ x < 0, 3x + 1 < –x, x < – ;– ≤ x < – 4 3 4 3 1 1 1 1 1  1 в) x < – , –3x – 1 < –x, x > – ;– < x < – . x ∈  − ; − . 2 2 2 4 3 3  2. x2 < 1, x ∈ (–1; 1); |3x + 1| > |x| 1 a) x ≥ 0, 3x + 1 > x, x > – ; x ≥ 0; 2 1 1 1 б) – ≤ x < 0, 3x + 1 > –x, x > – ; – < x < 0; 4 4 3 1  1 1 1 1   в) x < – , –3x – 1 > –x, x < – ; x < – ; x ∈  − ∞; −  U − ; + ∞ . 2 4 2 2 3     Решением исходного неравенства является система:  1  1 x ∈  − ; −   2 4     x ∈ (− ∞ ; − 1)∪ (1; + ∞ ) .    x ∈  − ∞ ; − 1  ∪  − 1 ; + ∞   2  4     x ∈ (− 1;1)  

1 , тогда 3 1  1  1  1    x ∈  − 1; −  U − ; 0  U (0; 1). Ответ: x ∈  − 1; −  U − ; 0  U (0; 1). 2 4 2  4      

Кроме того по определению логарифма x ≠ 0, x ≠ –

282

www.5balls.ru

№ 1440 7 − 3x + x 2 + 3x − 4 <0; x −3

x 2 + 3x − 4 ≥ 0 – область определения;  x − 3 ≠ 0

7 − 3x + x 2 + 3x − 4 + x − 3 4 − 2x + x 2 + 3x − 4 < 0; <0; x −3 x −3  2 4 − 2 x + x + 3x − 4 < 0 x − 3 > 0  4 − 2 x + x 2 + 3x − 4 > 0 x − 3 < 0  x 2 + 3x − 4 < 2 x − 4  2 4 − 2 x + x + 3 x − 4 < 0 1)  ; 2x − 4 > 0 ; x − 3 > 0 x −3 > 0 x 2 + 3x − 4 < 4x 2 − 16x + 16  ; 3x2 – 19x + 20 > 0; x > 2 x > 3  4  x ∈  − ∞;  U(5; + ∞ ) ; 3 

 4  x ∈  − ∞ ;  ∪ (5 ; + ∞ ) ; x ∈ (5; +∞).  3  x > 3 

  2 2 2) 4 − 2 x + x + 3x − 4 > 0 ;  x + 3x − 4 > 2x − 4 ; x − 3 < 0 x < 3  4   x ∈  ; 5   3  ; x ∈ (–∞; 3);   x ∈ (− ∞ ; 2) x < 3

 x 2 + 3x − 4 ≥ 0  ; x − 3 ≠ 0  x ∈ (5 ; + ∞ )  x ∈ (− ∞ ; 3) 

x ∈ (− ∞ ; − 4] ∪ [1; + ∞ )  . x − 3 ≠ 0 x ∈ (− ∞ ; 3) ∪ [5 ; + ∞ )

Ответ: (–∞; –4] U [1; 3) U (5; +∞).

№ 1441 log1/2(x2 + ax + 1) < 1, x < 0; log1/2(x2 + ax + 1) < log1/21/2; x2 + ax + 1 > ½; x2 + ax + 1/2 > 0; 2x2 + 2ax + 1 > 0. Для любых х < 0 неравенство выполняется в двух случаях:

(

)

1) D = a2 – 2 < 0, т.е. a ∈ − 2 ; 2 . x > 0 2)  1 x 2 > 0

т.е.

 − a + a 2 − 2 > 0  − a − a 2 − 2 > 0

283

www.5balls.ru

][

(

a 2 − 2 ≥ 0  a − 2 > a, a 2 − 2 > a 2 ;  a < 0 

a ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞   a ∈ ∅  a < 0 

)

a ∈ (–∞; − 2 ] б) – a 2 − 2 > a,

][

(

a 2 − 2 < –a

)

a ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞  a ∈ (–∞; − 2 ] − a > 0 a 2 − 2 < a 2  Таким образом, ответом на вопрос задачи является система a ∈ − 2 ; 2 . Ответ: a ∈ (–∞; − 2 ].  a ∈ − ∞ ; − 2

( (

) ]

№ 1442 y=(x–1)2, 0≤x≤1; y=x2–2x+1; y=f′(x0)(x – x0)+f(x0); y=(2x0–2)(x–x0)+ x 02 –2x0+1; y = 2xx0 – 2 x 02 – 2х + 2x0 + x 02 – 2х0 + 1; y = 2xx0 – 2х – 2 x 02 + 1; y = x(2x0 – 2) + (1 – 2 x 02 ). Точки пересечения касательной с осями: x = 0, y = 1 – 2 x 02 2 x 02 − 1 , тогда площадь треугольника, 2x 0 − 2

y = 0, x =

S(x0 ) =

(

)

(

)

1 2x02 − 1 1 − 2x02 2x02 − 1 1 2x2 − 1 1 − 2x02 2x02 −1 ⋅ ⋅ = ⋅ = ; S(x0 ) = ⋅ 0 ; 2 2x 0 − 2 1 2(2 − 2x0 ) 2 2x0 − 2 1 2(2 − 2x0 )

′ 2 2  2 x 02 − 1  2 2x 02 − 1 ⋅ 4 x 0 + 4 2 x 02 − 1  S′(x 0 ) =  = =  4 − 4 x 0  ( 4 − 4 x 0 )2  

(

(4x

2 0

)

(

)

(

)

− 2 ⋅ 4 x 0 + 4 4 x 04 − 4x 02 − 1

(4 − 4x 0 )2

Минимум данной функции S′(x0) в точке х0=

1 4 1 4 , у0 = . Ответ:  ;  . 9 3 3 9

№ 1443 Уравнение касательной в точке х0 выглядит у′(х0)(х – х0) + у(х0). Она прямая. Из этого следует, что для любой касательной, проходящей через центр у(х0) – у′(х0)х0 = 0, (у′(х0)(х – х0) + у(х0) = kx + b) у(х0) = 2 x 02 − 3x 0 + 8 , у′(х0) = 4х0 – 3 ⇒ 2 x 02 – 8 = 0 ⇒ х0 = ±2 Легко проверить, что в этих точках касательная проходит через центр. 284

www.5balls.ru

№ 1444 у = x2 + 2x – 3, y = kx + 1. Ошибка в условии.

№ 1445 y = x2 + px + q, y = 2x – 3; x = 1. Найдем точки пересечения: у = 1 · 2 – 3 = –1, тогда для p и q справедливо –1 = 1 + p + q, т.е. p + q = –2 (использовали уравнение y = x2 + px + q)  p  − p 2 − p2  Вершины параболы имеют координаты  − ,  + q  , т.е.   2  2   2   2 2 2 2 2 расстояние до оси Ох равно y =  − p  − p + q = p − p + q = − p − 2 − p 0

 2 

p −p − 2 , очевидно р = –2 точка минимума, тогда q = 0, а −1 = 2 2 кратчайшее расстояние равно 1. y ′0 = −

№ 1446 5  y = 4x – x2, M ; 6  ; y = f′(x0)(x – x0) + f(x0); 2  y′=4–2x, тогда уравнение касательной имеет вид: y=(4–2x0)(x–x0)+4x0– x 02 ; y = 4x – 4x0 – 2xx0 + 2 x 02 + 4x0 – x 02 ; y = x 02 – 2xx0 + 4x. Известно, что эта касательная проходит через точку М, тогда 6 = x 02 – 5x0 + 10; x 02 – 5x0 + 4 = 0; x0 = 1, x0 = 4, т.е. получим уравнения касательных y=1 + 2x и y = 16 – 4x; 15 , тогда искомая площадь Касательные пересекаются в точке с абсциссой 6 15 / 6

S = ∫1

(

= x + x2

(1 + 2 x )dx + ∫154 / 6 (16 − 4 x )dx − ∫14 (4 x − x 2 )dx =

)

15 / 6 1

(

+ 16 x − 2 x 2

)

1   −  2 x 2 − x3  = 2,25 15 / 6  3 1 4

№ 1447 y = 6cos2x + 6sinx – 2 Перепишем данную функцию в виде y = 6(1 – sin2x) + 6sinx – 2, y = – 6sin2x + 6sinx + 4, положим y′ = –12sinxcosx + 6cosx = 0, 6cosx(1 – 2sinx) = 0 1 π π cosx = 0, x = + πn, n ∈ Z ; sinx = , x = (− 1)n + πn, n ∈ Z ; 2 6 2 5π π x = + 2πn, n ∈ Z и x = + 2πn, n ∈ Z – точки max ⇒ 6 6 π Ответ: x = (− 1)n + πn, n ∈ Z . 6 285

www.5balls.ru

№ 1448 y = x2 + (a + 4)x + 2a + 3, x ∈ [0; 2]; ymin = –4; y′ = 2x + a + 4; −a − 4 . y′ = 0, 2x + a + 4 = 0, x = 2 −a − 4 Ветви параболы направлены вверх, т.е. x = – точка минимума. 2 Рассмотрим три случая. 1) вершина параболы лежит правее x = 2, тогда минимальное на отрезке [0; 2] значение она принимает в точке x = 2, т.е.  −a − 4  ≥2 – решений нет  2 − 4 = 4 + (a + 4 ) ⋅ 2 + 2a + 3 2) вершина параболы лежит внутри отрезка [0; 2]: −a − 4  0 < 2 < 2  – решений нет 2  − 4 =  − a − 4  + (a + 4 )(− a − 4 ) + 2a + 3 2  2    −a − 4  ≤0 a = –3,5. 3) вершина параболы лежит левее х = 0;  2 − 4 = 2a + 3

№ 1449

y = 4x2 – 4ax + a2 – 2a + 2< x ∈ [0; 2]; ymin = 3. Ветви параболы направa лены вверх. y′ = 8x – 4a; y′ = 0; 8x – 4a = 0, x = 2 a   ≥2 1)  2 a = 5 + 10 3 = 16 − 8a + a 2 − 2a + 2  a  0< <2  2 2)  – решений нет 2 3 = 4 ⋅ a − 4 ⋅ a ⋅ a + a 2 − 2a + 2  4 2 a

3)  2 ≤ 0

a=1– 2

3 = a 2 − 2 a + 2 

Рассмотрели три случая: в первом – вершина лежит правее х = 2, т.е. минимальное значение на [0; 2] данная функция принимает в точке х = 2; во втором – вершина лежит внутри [0; 2], т.е. минимальное значение – в точке a х = ; в третьем случае – вершина лежит левее точки х = 0, т.е. минималь2 ное значение на отрезке [0; 2] данная функция принимает в точке х = 0. Ответ: a = 5 + 10 ; a = 1 – 2 . 286

www.5balls.ru

№ 1450

y = 4x2 + 8ax – 9, y = 4ax2 + 8x + a – 2; y = –5. Найдем ординаты вершин парабол: y1 = 4(–a)2 + 8a(–a) – 9 = –4a2 – 9; 2

4 8 4 1 1 y2 = 4a  − 8  + a − 2 = − + a − 2 = − + a − 2 . a a a a a Возможны два случая: 4a 2 < −4 a 2 < −1 − 4a 2 − 9 > −5    ;  4 ;  4 – чего не может 1)  4  − a + a − 2 > −5  − a + a + 3 > 0  − a + a + 3 > 0    быть ни при каких а − 4a 2 − 9 < −5 4a 2 > −4 a 2 > −1    2)  4 ;  4 ;  4 – это при любых а − + a − 2 < − 5 − + a + 3 < 0  a  a − a + a + 3 < 0    Рассмотрим два случая 4 1) a > 0, − + a + 3 < 0; –4 + a2 + 3a < 0; a2 + 3a – 4 < 0 a a ∈ (–4; 1) и a > 0, следовательно, 0 < a < 1; a < 0. 2) –4 + a2 + 3a > 0; a2 + 3a – 4 > 0; a < –4 и a > 1, но a < 0; a < –4. Ответ: a < –4, 0 < a < 1.

№ 1451 2 cos 4 x + sin 2 x

− =

(2 cos

2 sin 4 x + 3 cos 2 x 4

)(

x + sin 2 x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x

(− 8 cos

(2 cos −

(2 cos

; y′ =

(2 sin

x + 3 cos 2 x

)

)(

)= ′

)(

′ x + sin 2 x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x

(2 sin

x + 3 cos x 2

x ⋅ sin x + 2 sin x ⋅ cos x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x

(2 sin )(

x + 3 cos x 2

)

x + sin 2 x 8 sin 3 x cos x − 6 cos x ⋅ sin x

(2 sin

x + 3 cos x 2

)

)−

)

Знаменатель дробей не влияет на исследование функции у, т.к. не может обращаться в 0 и не может быть отрицательным. − 8 cos3 x ⋅ sin x + 2 sin x ⋅ cos x 2 sin 4 x + 3 cos 2 x –

(

)(

)

– 2 cos x + sin x 8 sin x ⋅ cos x − 6 cos x ⋅ sin x = = sinx · cosx(2 – 8cos2x)(2sin4x + 3cos2x) – cosx·sinx(8sin2x–6)(2cos4x+3sin2x) = = sin2x(1 – 4cos2x)(2sin4x + 3cos2x) – sin2x(4sin2x – 3) (2sin4x + 3cos2x) = =sin2x(2sin4x+3cos2x–8sin4x·cos2x–12cos4x–8sin2x·cos4x–4sin4x+6cos4x+3sin2x) = =sin2x(–2sin4x–6cos4x+3–8sin2x·cos4x–8sin4x·cos2x)=sin2x(–2sin4x–6cos4x+3 – – 8sin2x · cos2x(cos2x + sin2x))2 =sin2x(–2sin4x – 6cos4x + 3 – 2sin2x) 2 7 и минимальное значение . Отсюда получаем максимальное значение 15 3 4

287

www.5balls.ru

288