ГЛАВА I. Рациональные дроби Рациональные дроби и их свойства. 1. Рациональные выражения №1. 1 2 a 2 − 2ab a b; (x − y )2 − 4 xy ; . 3 12 m+3 8 2 Дробными выражениями являются: ; ; (c + 3)2 + . m − 3 x2 + y2 c
Целыми выражениями являются:
№2. a 1 2 1 2 ; m − n . 9 4 3 a b 12 Дробными выражениями являются: , ,a (a − b ) − − 8. b 3a a + 3
Целыми выражениями являются: 7 x 2 − 2 xy ;
№3.
При y = 3 :
y −1 3 −1 2 = = ; y 3 3
При y = 1 :
y −1 1−1 = = 0; y 1
При y = −5 :
y − 1 −5 − 1 1 = =1 ; y −5 5
1 −1 1 y −1 2 При y = : = = −1; 1 2 y 2 y − 1 −1,6 − 1 При y = −1,6 : = = 1,625; y − 1,6
При y = 100 :
y − 1 100 − 1 = = 0 ,99; y 100
№4. При a = −2 : При b = 3 :
−2 − 8 −10 a −8 = = = −10; 20 + 5 2(− 2 ) + 5 − 4 + 5
b 2 + 6 32 + 6 9 + 6 1 = =2 ; = 2b 2⋅3 6 2
www.5balls.ru
1 1 8⋅2 1 1 8 1 8 : x+ = + = − = − 16 = −15 ; x −1 2 1 2 2 1⋅1 2 2 −1 2 y+3 y 1,5 + 3 1,5 4 ,5 1,5 При y = 1,5 : + = + = + = 3 + 1 = 4; y y−3 1,5 1,5 − 3 3 − 1,5
При x =
№5. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (разность квадратов):
(a + b)2 − 1 = (a + b − 1)(a + b + 1) ;
a2 +1 a2 +1 (− 3 − 1 − 1)(− 3 − 1 + 1) = (− 5)(− 3) = 15 = 1,5; 9 +1 10 (− 3)2 + 1
Воспользуемся формулой сокращенного умножения с разностью квадратов:
(1,5 + 0,5 − 1)(1,5 + 0,5 + 1) = 2
1,5 + 1
1⋅ 3 3 300 = = ≈ 0 ,92. 2 ,25 + 1 3,25 325
№6. x + 5 −13 + 5 −8 1 = = = ; x − 3 − 13 − 3 − 16 2 x + 5 −5 + 5 0 при x = −5 : = = = 0; x −3 −5−3 −8 x + 5 −0 ,2 + 5 4 ,8 при x = −0,2 : = = = −1,5; x − 3 − 0,2 − 3 − 3,2 x+5 0+5 2 при x = 0 : = = −1 ; x−3 0−3 3
1) при x = −13 : 2) 3) 4)
5) при
1 +5 18 86 50 86 ⋅ 17 86 36 1 x + 5 17 x= : = =− ÷ =− =− = −1 = −1 ; 1 17 17 50 ⋅ 17 50 50 25 17 x − 3 −3 17 x + 5 1+ 5 = = −3; x − 3 1− 3 2 5 +5 32 8 32 ⋅ 3 2 x+5 при x = 5 : = 4; = 3 = ÷ = 2 3 3 3⋅8 3 x−3 5 −3 3
6) при x = 1 :
7)
www.5balls.ru
8) при x = 7 : №7.
x+5 7+5 = = 3; x−3 7−3
1 1 1 = = ≈ 1 − α = 1 − 0,01 = 0,99; 1,01 1 + 0,01 1 + α 1 1 1 б) = = ≈ 1 − α = 1 − 0,002 = 0,998; 1,002 1 + 0,002 1 + α 1 1 1 в) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,01) = 1,01; 0 ,99 1 − 0,01 1 + α 1 1 1 г) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,003) = 1,003. 0 ,997 1 − 0,003 1 + α
а)
№8. s t
Запишем формулу для средней скорости: v = ; получаем: 180 = 60 (км/ч); 3 225 = 90 (км/ч); б) t = 2 ,5; s = 225; тогда v = 2 ,5
а) t = 3; s = 180; тогда v =
№9. Исходя из условия задачи можно составить уравнения: v1t + v 2 t = s; t (v1 + v 2 ) = s; t =
s ; (v1 + v 2 )
а) s = 250 , v1 = 60, v 2 = 40; 250 250 = = 2 ,5 (ч); 60 + 40 100 б) s = 310 , v1 = 75, v 2 = 80; t=
t=
310 310 = = 2 (ч). 75 + 80 155
Ответ: а) t=2,5 часа; б) t=2 часа. №10. Соответствующими дробными выражениями будут: а)
xy ; x+ y
б)
a−b . ab
№11.
www.5balls.ru
Рациональное выражение имеет смысл, если его знаменатель отличен от нуля. а) При x − 2 ≠ 0, т.е. x ≠ 2; б) при b - любое число, т.к. b 2 + 7 > 0 всегда; в) при y ≠ 0; y ≠ 3; г) при a ≠ 0; a ≠ 1; №12. а) x - любое число; б) 6x − 3 ≠ 0; 6x ≠ 3; x ≠
3 1 ; x≠ ; 6 2
в) x - любое число; г) x ≠ 0; x ≠ −1; д) x - любое число; x 2 + 25 всегда больше; е) x ≠ −8; x ≠ 0. №13. 5y − 8 ; y - любое число 11 25 б) ; y − 9 ≠ 0, т.е. y ≠ 9; y−9
а)
в)
y2 + 1
=
y2 + 1 ; y( y − 2) ≠ 0 , т.е. y ≠ 0; y ≠ 2 ; y( y − 2)
y2 − 2y y − 10 г) 2 , y - любое число, посколько y 2 + 3 всегда больше нуля; y +3 y 15 д) + ; y − 6 ≠ 0, y + 6 ≠ 0, т.е. y ≠ −6; y ≠ 6; y−6 y+6
е)
32 y + 1 − ; y ≠ 0, y + 7 ≠ 0; т.е. y ≠ 0, y ≠ −7 y y+7
№14. 1 ; область определения: x ≠ 2; x−2 2x + 3 б) y = ; область определения: x ≠ 0; x ≠ −1; x(x + 1)
а) y =
в) y = x + №15.
1 ; область определения: x ≠ −5. x+5
www.5balls.ru
а)
x−3 x−3 = 1; 5 − 1 = 0 ⋅ 5; 5 5
5(x − 3) 5
− 5 = 0; x − 3 − 5 = 0; x = 8;
Ответ: x = 8; x−3 x − 3 = 0; 5 = 0 ⋅ 5; 5 5 x − 3 = 0; x = 3;
б)
Ответ: x = 3; x−3 x − 3 = −1; 5 = (−1) ⋅ 5; 5 5 x − 3 = −5; x = −2 ;
в)
Ответ: x = −2; x−3 x − 3 = 3; 5 = 3 ⋅ 5; 5 5 x − 3 = 15; x = 18;
г)
Ответ: x = 18; №16. y−5 = 0; y − 5 = 0; y = 5; Ответ: y = 5; 8 2y + 3 1 1 б) = 0; 2 y + 3 = 0; y = −1 ; Ответ: y = −1 ; 10 2 2 x(x − 1) в) = 0; x(x − 1) = 0; 1) x = 0; 2 ) x − 1 = 0; x = 1; x+4 при x = 0 и x = 1, x + 4 ≠ 0, получаем:
а)
Ответ: x = 0 ; x = 1. x(x + 3)
= 0; x(x + 3) = 0; 1) x = 0; 2 ) x + 3 = 0; x = −3; x−5 при x = 0 и x = −3, x − 5 ≠ 0, получаем:
г)
Ответ: x = 0 ; x = −2 №17. a > 0; b a б) < 0; b
а)
www.5balls.ru
a < 0; b a г) > 0; b
в)
№18. 3
а)
2
x +1 −5
б)
> 0, поскольку 3 > 0 и x 2 + 1 > 0 при всех x ; < 0, поскольку − < 0 и y 2 + 4 > 0 при всех y ;
y2 + 4
в)
(a − 1)2
г)
(b − 3)2
a 2 + 10 2
−b − 1
≥ 0, поскольку (a − 1) ≥ 0 и a 2 + 10 > 0 при всех a ; 2
(
)
≤ 0, поскольку (b − 3) ≥ 0 и − b 2 + 1 < 0 при всех b 2
№19. а) При
x = 2 ,47:
2 x − 3 2 ⋅ 2 ,47 − 3 4 ,94 − 3 1,94 = = = ≈ 0,20616365... ≈ 0,21; 3x + 2 3 ⋅ 2 ,47 + 2 7 ,41 + 2 9 ,41
б) При x = 318 , :
7 x + 9 7 ⋅ 318 , + 9 22 ,26 + 9 31,26 = = = ≈ 0,2790507... ≈ 0,28 8x − 1 8 ⋅ 318 , − 1 25,44 − 1 24 ,44
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №20. а) (x − 10)(x + 10) = = x 2 − 10x + 10x − 100 =
(
)
= x 2 − 100;
б) (2a + 3)(2a − 3) = = 4a 2 − 6a + 6a − 9 = 4a 2 − 9 ; в) ( y − 5b)( y + 5b) =
= y 2 + 5by − 5by − 25b 2 =
(y
2
)
− 25b 2 ;
г) ( y + 8x)( y − 8x) =
www.5balls.ru
= y 2 + 8xy − 8xy − 64 x 2 = = y 2 − 64 x 2 ;
д) (x + 7) = x 2 + 14 x + 49 ; 2
е) (b + 5) = b 2 + 10b + 25; 2
ж) (a − 2 x) = a 2 − 4ax + 4 x 2 ; 2
з) (ab − 1) = a 2 b 2 − 2ab + 1. 2
№21. а) 15ax + 20ay = 5a(3x + 4 y); б) 36by − 9cy = 9 y(4b − c); в) x 2 − xy = x(x − y); г) xy − y 2 = y(x − y); д) a 2 + 5ab = a(a + 5b); е) 15c − 10c 2 = 5c(3 − 2c) №22. а) x 2 − 25 = (x − 5)(x + 5); б) 16 − c 2 = (4 − c)(4 + c); в) a 2 − 6a + 9 = (a − 3) ; 2
г) ÷ 2 + 8 ÷ +16 = (÷ + 4) ; 2
(
) + 27 = (b + 3)(b − 3b + 9).
д) a 3 − 8 = (a − 2) a 2 + 2a + 4 ; е) b
3
№23.
2
2x 2 = ; 3x 3 15x 3x б) Общий множитель: 5; = ; 25y 5y
а) Общий множитель: x;
6a 1 = ; 24a 4 7ab a г) Общий множитель: 7b; = ; 21bc 3c
в) Общий множитель: 6a ;
www.5balls.ru
д) Общий множитель: xy;
−2 xy 2
5x y
е) Общий множитель: 8 xy;
=−
2 ; 5x
8 x 2 y 2 xy = 24 xy 3
№24. а) б)
10xz 2 x = ; 15yz 3y 6ab 2
=
2ab
; 3c 3 y3 y3 в) = =− ; 3 2ab −4a b −2ab −6 p 2 q 3 p 2 = 2 ; г) q −2 q 3
д) е)
9bc 2 2ay 3
ax − ax 2 =− ; xy y 3axy 6ay
ж) з)
3
x
=
2y2
;
24a 2 c 2 2ac = ; 36ac 3 63x 3 y 3
=
42 x 6 y 4
3 2x4 y
.
№25. а)
4a 2 b 3 4 2
2a b
б) в) г) д)
3xy 2 6x 3 y 3
= =
24 p 4 q 4 48 p 2 q 2
2b a2
;
1 2x2 y =
;
p2q 2 ; 2
36m 2 n = 2m; 18mn −32b 5 c 4 2
12b c
=
8b −8b =− ; 3c 3c
www.5balls.ru
е)
−6ax 1 = . −18ax 3
№26.
8b b = ; 24c 3c 5ay a б) = ; 15by 3b
а)
в) г)
4a 2 2a = ; 6ac 3c 7x 2 y 21xy
д) е) ж) з)
2
a 5b 3
=
3 5
a b x6 y4
=
x4 y6
35mn 5 25 p 4 q 5
100 p q
б)
a2
816 1612 8125 27 33
№28.
;
b2 x2
;
y2
56m 2 n 5
№27. а)
x ; 3y
=
8m 3 = 1 m; 5 5
=
1 . 4p
=
(2 ) = 2 = (2 ) 2 (3 )25 = 3 = (3 ) 3 3 16
4 12 4
a(b − 2)
б)
3( x + 4)
в)
ab( y + 3)
5(b − 2)
=
a ; 5
c( x + 4)
=
3 ; c
a b( y + 3) 2
48
100
3 33
а)
48
=
99
= 1;
= 31 = 3.
1 ; a
www.5balls.ru
г)
15a(a − b)
20b(a − b)
3a . 4b
=
№29.
3a + 12b 3(a + 4b) a + 4b = + ; 6ab 6ab 2ab 15b − 20c 5(3b − 4c) 3b − 4c = = ; б) 10b 10b 2b 2(a − 2) 2 2a − 4 в) = = ; 3(a − 2) (a − 2) 3
а)
г) д) е)
5x( y + 2) 6 y + 12 a − 3b
a 2 − 3ab
= =
5x( y + 2) 6( y + 2)
=
5x ; 6
a − 3b 1 = ; a(a − 3b) a
3x + 15xy 3x( x + 5y) = = 3x . x + 5y x + 5y
№30. а) б) в) г) д) е)
y 2 − 16 ( y − 4)( y + 4) y − 4 = = ; 3y + 12 3( y + 4) 3 5x − 15y
5( x − 3y)
=
=
5
;
(x − 3y)(x + 3y) x + 3y 2 (c + 2) (c + 2)2 c + 2 = = ; 7c 7c 2 + 14c 7c(c + 2) 6cd − 18c 6c(d − 3) 6c = = ; 2 2 −3 d (d − 3) (d − 3) (a + 5)2 a 2 + 10a + 25 a+5 = = ; 2 (a − 5)(a + 5) a − 5 a − 25 ( y − 3)( y + 3) y + 3 y2 − 9 = = . 2 y−3 y − 6y + 9 ( y − 3)2 2
x − 9y
2
№31. а)
a 2 − ab + b 2 3
a +b
3
=
a 2 − ab + b 2
(a + b)( a
2
− ab + b
2
)
=
1 ; a+b
www.5balls.ru
(
)
2 2 a 3 − b 3 (a − b) a + ab + b б) = = a 2 + ab + b 2 a−b a−b
№32. а) =
15a 2 − 10ab 3ab − 2b
2
=
5a(3a − 2b) b(3a − 2b)
5a 5(−2) −10 = = = 100; −0,1 −0,1 b
Ответ: 100; б)
=
9c 2 − 4d 2 2
2
=
18c d − 12cd 3c + 2d 1 1 = + = 6cd 2d 3c 1 2
(3c − 2d )(3c + 2d ) = 6cd (3c − 2d ) 1 1 2⋅ 2
+
1 1 1 1 = + =1 ; 2 1 2 2 3⋅ 3
Ответ: 1 ; в)
6x 2 + 12 xy
6x( x + 2 y)
=
5y( x + 2 y) 5xy + 10 y 2 6⋅ 6x 3 = 4 = −2 = = 5y 5(−0,4) −2 2
=
Ответ: -2; г) =
x 2 + 6xy + 9 y 2 4 x 2 + 12 xy
−0,2 + 3(−0,6) 4(−0,2)
=
=
( x + 3y) 2 = x + 3y = 4 x( x + 3y) 4x
−0,2 − 18 , −2 2 = = = 2 ,5 −0,8 −0,8 0,8
Ответ: 2,5. №33. а) б) в)
x( y − 7)
y( y − 7)
=
x ; y
10a − 15b 5(2a − 3b) 5 = = ; 16a − 24b 8(2a − 3b) 8 2m + 14 2
m − 49
=
2(m + 7) 2 = ; (m − 7)(m + 7) m − 7
www.5balls.ru
p 2 − 25q 2 ( p − 5q )( p + 5q ) p + 5q = = ; 2 p − 10q 2( p − 5q ) 2
г)
( x − 2) 2 x − 2 = ; x( x − 2) x x 2 − 2x 3y 2 + 24 y 3y( y + 8) 3y = = ; 2 2 +8 y y 16 y + 64 ( y + 8) x 2 − 4x + 4
д) е)
a2 + a + 1
ж) з)
3
a −1 b+2 b3 + 8
=
=
a2 + a + 1
(a − 1)( a
2
(b + 2)(b
2
)
+a +1
b+2
№34.
( (9 x =
=
− 2b + 4
)
=
=
1 ; a −1 1
b 2 − 2b + 4
) ) = (3x − y)(3x + y) = 3x − y;
а) 9 x 2 − y 2 : (3x + y) = 2
− y2
(3x + y) (3x + y) б) (2ab − a ): ( 4b 2 − 4b + 1) = a(2b − 1) 2ab − a a = = 2 = ; 2 2 b−1 4b − 4b + 1 (2b − 1)
(
)(
)
в) x 2 + 2 x + 4 : x 3 − 8 = =
x 2 + 2x + 4
(x − 2)( x
(
)
2
+ 2x + 4
)
=
1 ; x−2
г) 1 + a 3 : (1 + a ) =
(
)
2 1 + a 3 (1 + a ) 1 − a + a = = = 1− a + a2 . 1+ a (1 + a )
№35. а) =
2 x + bx − 2 y − by 2( x − y) + b( x − y) = = 7x − 7 y 7( x − y)
(x − y)(2 + b) = 2 + b ; 7( x − y) 7
www.5balls.ru
.
б)
8a + 4b
=
2
2ab + b − 2ad − bd
(2ab + b ) − (2ad + bd ) 2
=
4(2a + b) 4 ; = (2a + b)(b − d ) b − d 2 xy − x + y − y 2 ( xy − y ) − ( x − y) = = в) (x − y)(x + y) x2 − y2 y( x − y) − ( x − y) ( x − y)( y − 1) y − 1 = = = ; (x − y)(x + y) (x − y)(x + y) x + y (a + c)2 a 2 + 2ac + c 2 = = г) 2 a + ac − ax − cx ( a 2 + ac) − (ax + cx) =
=
4(2a + b)
4(2a + b)
b(2a + b) − d (2a + b)
=
(a + c)2 (a + c)2 a+c = = . a(a + c) − x(a + c) (a + c)(a − x) a − x
№36. а) Ответ:
−x −x ; − ; −y y
б) Ответ:
−x x ; y − y.
№37. а) б) в) г)
a−b
=−
b−a = −1; b−a
(a − b)2 = (a − b)2 (b − a )2 (a − b)2 (a − b)2 (b − a )2 =
b−a a−b
(b − a )
b−a a−b
=
= 1; = b − a; =
1 ; a−b
(a − b) 2 (−a − b) ((−1)(a + b)) (−1)2 (a + b)2 2
2
2
д) е)
a+b
=
a+b
=
a+b
(a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 = = (−a − b)2 ((−1)(a + b))2 (a + b)2
= 1.
www.5balls.ru
= a + b;
№38. а)
a ( x − 2 y)
б)
5x( x − y)
в) г) =
д) =
е)
b(2 y − x)
x ( y − x) 3
з)
=−
a ; b
=
5
5x( x − y)
=
7b − 14b 2 2
42b − 21b 7b(1 − 2b)
−21b(1 − 2b)
− x 3 ( x − y)
−x2
=−
5 x2
;
7b(1 − 2b)
=
21b(2b − 1)
=
1 1 =− ; −3 3
=
25 − a 2 (5 − a )(5 + a ) = = 3a − 15 3(a − 5)
−(a − 5)(a + 5) 3(a − 5)
3 − 3x x − 2x + 1 2
(x − 1)
=
a( x − 2 y)
−b( x − 2 y)
3(a − 12) 3a − 36 3(a − 12) 3 = = =− ; 12b − ab b(12 − a ) −b(a − 12) b
−3( x − 1)
ж)
=
2
=−
=
=−
3(1 − x)
(x − 1)2 3
(x − 1)
8b 2 − 8a 2 2
a − 2ab + b
5+ a ; 3
2
−8(a − b)(b + a )
=
;
=
(
8 b2 − a2
(a − b) 8(b + a ) 2
=−
(a − b)2 (b − 2)3 (b − 2)3 = (2 − b)2 (b − 2)2
a−b
) = 8(b − a)(b + a) = =
(a − b)2 8(b + a ) b−a
;
= b − 2.
№39. а) =
ax + bx − ay − by (ax − ay) + (bx − by) = = bx − by b( x − y)
a( x − y) + b( x − y) b( x − y)
=
(x − y)(a + b) a + b = ; b( x − y) b
www.5balls.ru
б) =
в)
ab − 3b − 2a + 6 (ab − 3b) − (2a − 6) = = 15 − 5a 5(3 − a )
b(a − 3) − 2(a − 3) 5(3 − a )
7 p − 35 7( p − 5) = = 15 − 3 p 3(5 − p)
=−
г) =
д) е)
=
7(5 − p)
=−
3(5 − p)
18a − 3a 2 8a − 48a
−3a(a − 6) 8a(a − 6)
3a(6 − a )
=
2
7 1 = −2 ; 3 3
б)
в)
г)
=
8a(a − 6)
3 =− ; 8
4 − x 2 (2 − x)(2 + x) 2 + x = = ; 10 − 5x 5(2 − x) 5
a 2 − 6a + 9 27 − a 3
(a − 3)2 = (3 − a )( 9 + 3a + a 2 )
=
(3 − a )2 3− a = . 2 (3 − a )(9 + 3a + a ) 9 + 3a + a 2
№40. а)
(a − 3)(b − 2) b − 2 2 − b = ; = 5 −5(a − 3) −5
=
x6 + x4 4
x +x
=
2
y6 − y8 4
y −y
=
2
b −b
2
c6 − c4 c3 + c2
x
2
(
)
x +1 2
)=x
(
y4 y2 1 − y2 y
2
(y
2
)
−1
2
;
) = −y
2
;
( ) = −b ; b (b − 1) c ( c − 1) =. =
b 7 − b 10 5
(
x2 x2 x2 + 1
=
b7 1 − b3 2
4
5
3
2
c 2 (c + 1)
www.5balls.ru
=
c 4 (c + 1)(c − 1) c 2 (c + 1)
№41. а)
a8 + a5 5
a +a
при a = −
( ) =a (a + 1)
a5 a3 + 1
=
2
= c 2 (c − 1) = c 3 − c 2
a
2
3;
3
1 получаем: 2 3
1 1 a3 = − = − ; 2 8 1 8
Ответ: − ; б)
b 10 − b 8 8
b −b
=
6
( b (b
) =b − 1)
b8 b 2 − 1 6
2
2
, получаем: при b = −01
b 2 = (−01 , ) = 0,01; 2
Ответ: 0,01; №42. а) =
б) =
(2a − 2b)2 (2(a − b)) =
a−b
4(a − b)
2
2
= 4(a − b);
a−b
(3c + 9d )2 (3(c + 3d )) =
c + 3d
9(c + 3d ) c + 3d
=
a−b
2
2
=
c + 3d
= 9(c + 3d );
(3x + 6 y)2 (3(x + 2 y)) в) = 5x + 10 y 5( x + 2 y) 2 9( x + 2 y ) 9( x + 2 y) = = ; 5( x + 2 y) 5
2
=
www.5balls.ru
г)
4x 2 − y 2
=
(2 x − y)(2 x + y) = (5(2 x + y))2
(10x + 5y) (2 x − y)(2 x + y) 2 x − y = . 2 25(2 x + y) 25(2 x + y) 2
№43. а)
5b 8a 3 7a
=
5b ⋅ 3b 2 8a 3 ⋅ 3b 2 7a ⋅ 8a 3
=
15b 3 24a 3b 2 56a 4
;
= = ; 3b 2 3b 2 ⋅ 8a 3 24a 3b 2 1 12a 2 b 12a 2 b в) = = ; 2ab 2ab ⋅ 12a 2 b 24a 3b 2 2 2 ⋅ 24a 48a = . г) 2 2 = 2 2 a b a b ⋅ 24a 24a 3b 2
б)
№44.
2a + b (2a + b)b = ; 1 1 2a + b (2a + b)5 б) 2a + b = = ; 1 5 2a + b (2a + b)3a в) 2a + b = = ; 1 3a 2a + b (2a + b)(2a − b) г) 2a + b = = . 1 2a − b
а) 2a + b =
№45. а)
x(a − b) x(a − b) x ; = = a − b (a − b)(a − b) (a − b) 2
б)
y( x + a ) y( x + a ) y ; = = x − a ( x − a )( x + a ) x2 − a2
в)
2y x2 + x + 1 2y x2 + x + 1 2y = = ; x − 1 ( x − 1) x 2 + x + 1 x3 − 1
г)
(
3a a + ab + b 2
2
)
(
=
(a
(
(
)
3a(a − b)
2
)
)
+ ab + b 2 (a − b)
)
=
3a(a − b) a3 − b3
www.5balls.ru
;
д)
7 7 =− ; y−b b− y
a a =− ; a − 10 10 − a p(2 + p) p(2 + p) p ж) ; =− =− p−2 (2 − p)(2 + p) 4 − p2
е)
з)
a+3 a+3 =− = 6 − 2a 2(a − 3)
=−
(a + 3)(a + 3) (a + 3)2 =− . 2(a − 3)(a + 3) 2( a 2 − 9)
№46. а)
8 3xy
б)
b
2
= =
8 ⋅ 5x 2
3xy ⋅ 5x b ⋅ 5ac 2
=
40x 15x 2 y 2 =
;
5abc 2
7a 2 c 7a 2 c ⋅ 5ac 2 35a 3 c 3 a a⋅a a2 в) ; = = 2 a − 2 a(a − 2) a − 2a
;
г)
x2 − x + 1 x2 − x + 1 1 = = ; x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1 x3 + 1
д)
12 12 =− ; y−x x−y
е)
a(4 + a ) a 4a + a 2 . =− =− a−4 (4 − a )(4 + a ) 16 − a 2
(
)
УПРАЖНЕНИЯДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №47. −16 1 = −3 ; 5 5 1 1 б) x = :2 = ; 5 10 1 в) x = 4: = 12; 3
а) x =
www.5balls.ru
−2 1 =− ; 4 2 6 10 10 д) x = 3:0,6 = 3: = 3 ⋅ = = 5; 6 2 10 7 10 50 1 е) x = 5: (−0,7) = −5 = −5 ⋅ = − = −7 . 7 7 7 10
г) x =
№48. а) 6b 2 − (2b + 5)(3b − 7) =
(
)
= 6b 2 − 6b 2 + b − 35 = 2
2
= 6b − 6b − b + 35 = −b + 35;
б) 16x 2 − (4 x + 0,5)(4 x − 0,5) =
= 16x 2 − 16x 2 + 0,25 = 0,25; , x) − 5( x + 4 y)( y − x) = в) 2 y( y − 15
(
)
= 2 y 2 − 3xy − 5 4 y 2 − x 2 − 3xy =
= 2 y 2 − 3xy + 5x 2 + 15xy − 20 y 2 = = 5x 2 − 18 y 2 + 12 xy;
г) 3(a − 2b)(2b + a ) − 0,5b(a − 24b) =
(
)
= 3 a 2 − 4b 2 − 0,5ab + 12b 2 = 2
2
= 3a − 12b − 0,5ab + 12b 2 = 3a 2 − 0,5ab.
№49. а) 5bc − 5c = 5c(b − 1); б) 10n + 15n 2 = 5n(2 + 3n);
в) 8ab + 12bc = 4b(2a + 3c); г) 5y − 5x + y 2 − xy =
( )
= (5y − 5x) + y 2 − xy = 5( y − x) + y( y − x) = = ( y − x)(5 + y);
д) pq − 4 p + 12 − 3q =
= ( pq − 4 p) + (12 − 3q ) =
www.5balls.ru
= p(q − 4) + 3(4 − q ) = = p(q − 4) − 3(q − 4) = = (q − 4)( p − 3);
е) a 2 − 9 = (a − 3)(a + 3); ж) x 2 + 10x + 25 = = ( x + 5) = ( x + 5)( x + 5); 2
з) y 2 − 2 y + 1 = = ( y − 1) = ( y − 1)( y − 1); 2
(
)
и) a 3 + 64 = (a + 4) a 2 − 4a + 16 ;
(
)
к) b 3 − 1 = (b − 1) b 2 + b + 1 . №50.
5⋅ 7 < 0; 16 5 5 6 5⋅1 5 1 2) :6 = : = = ⋅ > 0; 16 16 1 6 ⋅ 16 16 6 5 5⋅1 5 1 3) ⋅ 0,1 = = ⋅ > 0; 16 16 ⋅ 10 16 10 5⋅ 7 5⋅1 5⋅1 Ответ: − , , . 16 10 ⋅ 16 6 ⋅ 16
1) −
2. Сумма и разность дробей 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями №51. x y x+ y ; + = 3 3 3 a b a−b ; б) − = 5 5 5 a 2a 3a в) + = ; y y y
а)
г)
5b 2 13b 2 5b 2 − 13b 2 8b 2 − = =− ; a a a a
www.5balls.ru
x+ y x x+ y−x y − = = ; 9 9 9 9 2c − x x 2c − x − x е) − = = b b b 2c − 2 x 2(c − x) = . b b
д)
№52. а)
m m − p m (− m) + p − = + = p p p p
=
m−m+ p p = = 1; p p
a + b a − 2b a + b − a + 2b 3b b − = = = ; 6 6 6 6 2 x + 5 x + 2 x + 5− x − 2 3 1 − = = = ; в) 9 9 9 9 3 11x − 5 3x − 2 11x − 5 + 3x − 2 + = = г) 14 x 14 x 14 x 14 x − 7 2 x − 1 = = ; 14 x 2x 7 y − 13 2 y + 3 7 y − 13 − 2 y − 3 5y − 16 д) − = = ; 10 y 10 y 10 y 10 y
б)
8c + 25 5 − 2c 8c + 25 + 5 − 2c + = = 6c 6c 6c 6c + 30 c + 5 = = . 6c c
е)
№53. а)
2 x − 3y 11y − 2 x + = 4 xy 4 xy
=
2 x − 3y + 11y − 2 x 8 y 2 = = ; 4 xy 4 xy x
б) =
5a + b 5 5a − 7b 5 − = 8b 8b 5a + b 5 − 5a + 7b 5 8b 5 = = b4 ; 8b 8b
www.5balls.ru
в) =
3x − y 4 4y5
−
y 4 + 3x 4y5
3x − y 4 − y 4 − 3x 4y
5
=
=−
2y4 4y5
=−
1 ; 2y
a − 2 2a + 5 3 − a + − = 8a 8a 8a a − 2 + 2a + 5 − 3 + a 4a 1 = = = ; 8a 8a 2 7 y − 5 10 y − 19 10 − 15y д) − + = 12 y 12 y 12 y
г)
=
7 y − 5 − 10 y + 19 + 10 − 15y = 12 y
=
−18 y + 24 4 − 3y = ; 12 y 2y
11a − 2b 2a − 3b a − b + − = 4a 4a 4a 11a − 2b + 2a − 3b − a + b = = 4a 12a − 4b 4(3a − b) 3a − b = = . 4a 4a a
е)
№54. 17 − 12 x 10 − x + = x x 17 − 12 x + 10 − x 27 − 13x ; = = x x 12 p − 1 1 − 3 p б) − = 3p 2 3p 2 12 p − 1 − 1 + 3 p 15 p − 2 ; = = 3p 2 3p 2 6y − 3 y + 2 6y − 3 − y − 2 в) − = = 5y 5y 5y
а)
=
5y − 5 5( y − 1) y − 1 = = ; 5y 5y y
г)
b 3a − 2b b − 3a + 2b − = = 6 6 6
www.5balls.ru
3b − 3a 3(b − a ) b − a = = ; 6 6 2 3 p − q 2 p + 6q p − 4q д) − + = 5p 5p 5p 3 p − q − 2 p − 6q + p − 4q 2 p − 11q = ; 5p 5p 5c − 2d 3d d − 5c − + = 4c 4c 4c 5c − 2d − 3d + d − 5c 4d d = =− =− ; 4c 4c c 2a 1 − 6a 13 − 8a ж) − + = b b b 2a − 1 + 6a + 13 − 8a 12 = = ; b b 4b − 2 2b − 1 1 з) − + = 3b 3b 3b 4b − 2 − 2b + 1 + 1 2b 2 = = = . 3b 3b 3
е)
№55. 16 16 − x 2 x2 − = = x−4 x−4 x−4 −(4 − x)(4 + x) = = −(4 + x); 4−x
а)
25 25 − a 2 a2 − = = a+5 a+5 a+5 (5 − a )(5 + a ) = 5 − a; a+5 3a − 1 3b − 1 3a − 1 − 3b + 1 = = − 2 в) 2 2 2 a −b a −b a2 − b2 3(a − b) 3a − 3b 3 = 2 = = ; 2 (a − b)(a + b) a + b a −b
б)
г)
x−3 2
+
11 2
=
x − 3 + 11
x − 64 x − 64 x 2 − 64 x+8 1 = = ; (x − 8)(x + 8) x − 8
=
www.5balls.ru
д)
2a + b
+
2b − 5a
2a + b + 2b − 5a
=
=
(a − b) (a − b)2 3(b − a ) 3b − 3a 3 3 ; = =− =− = 2 b a b a a b b a − + − − ( )( ) (a − b)
е) =
(a − b)
2
13x + 6 y
( x + y)
2
−
2
11x + 4 y
=
( x + y) 2
13x + 6 y − 11x − 4 y
( x + y) 2( x + y) 2 = . = 2 ( x + y) x + y 2
2x + 2 y
=
( x + y) 2
=
№56. а)
(a + b)2 − (a − b)2
=
a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + 2ab − b 2 4ab = = 4; ab ab
ab
ab
=
(a + b)2 (a − b)2 (a + b)2 + (a − b)2
+ = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a 2 + 2ab + b 2 + a 2 − 2ab + b 2 = = a2 + b2
б)
=
2a 2 + 2b 2 2
a +b
2
=
(
2 a2 + b2 2
a +b
№57.
2
=
) = 2.
x2 + 1 10 x 2 + 1 − 10 − = = x−3 x−3 x−3 x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = = = x + 3, x−3 x−3 при x = 97 получаем: x + 3 = 97 + 3 = 100;
а)
Ответ: 100; б) =
y+7 2
y − 25
−
2y + 2 2
y − 25
=
y + 7 − 2y − 2 y 2 − 25
=
5− y y−5 1 =− =− ; ( y − 5)( y + 5) ( y − 5)( y + 5) y + 5
при y = −51 , получаем:
www.5balls.ru
−
1 1 1 1 =− =− = = 10; y+5 (−51, ) + 5 −0,1 0,1`
Ответ: 10. №58. a 2 − 43 7 a 2 − 43 + 7 + = = a−6 a−6 a−6 a 2 − 36 (a − 6)(a + 6) = = = a + 6; a−6 a−6 при a = 10,25 получаем: a + 6 = 10,25 + 6 = 16,25; Ответ: 16,25; 9b − 1 6b − 10 9b − 1 − 6b + 10 = = − б) 2 b − 9 b2 − 9 b2 − 9 3(b + 3) 3b + 9 3 = = = ; b − 3 b + 3 b − 3 b + 3 b − 3 ( )( ) ( )( )
а)
при b = 3,5 получаем:
3 3 3 1 = = = 3: = 3 ⋅ 2 = 6; b − 3 3,5 − 3 0,5 2
Ответ: 6. №59. а)
x 5 x 5 x−5 + = − = ; y − 1 1− y y − 1 y − 1 y − 1
a a a+6 6 6 − = + = ; c − 3 3− c c − 3 c − 3 c − 3 2m 2n 2m 2n в) + = − = m−n n−m m−n m−n 2m − 2n 2(m − n) = = = 2; m−n m−n 5p 10 5p 10 г) + = − = 2q − p p − 2q 2q − p 2q − p
б)
=
д)
5( p − 2q ) 2q − p
=−
5(2q − p) 2q − p
= −5;
a 2 + 16 8a a 2 + 16 8a + = − = a−4 4−a a−4 a−4 a 2 − 8a + 16 (a − 4) = = a − 4; a−4 a−4 2
=
www.5balls.ru
е)
x 2 + 9 y 2 + (−6xy) x2 + 9y2 6xy + = = x − 3y 3y − x x − 3y
=
x 2 + 9 y 2 − 6xy x 2 − 6xy + 9 y 2 = = x − 3y x − 3y
=
( x − 3y ) 2 x − 3y
= x − 3y.
№60. а) =
10 p 3p 10 p 3p + = − = p−q q− p p−q p−q 10 p − 3 p 7p = ; p−q p−q
5a 5b 5a 5b + = − = a−b b−a a−b a−b 5a − 5b 5(a − b) = = = 5; a−b a−b x−3 x−3 2 2 в) − = + = x − 1 1− x x − 1 x − 1 x − 3+ 2 x −1 = = = 1; x−1 x−1 a 3a − b a 3a − b г) + = − = 2a − b b − 2a 2a − b 2a − b a − 3a + b b − 2a 2a − b = = =− = −1; 2a − b 2a − b 2a − b a a 3 3 + = 2 − 2 = д) 2 2 a −9 9−a a −9 a −9 a−3 1 ; = = (a − 3)(a + 3) a + 3
б)
е)
y2 y2 1 1 + = − = y − 1 1− y y − 1 y − 1
=
y 2 − 1 ( y − 1)( y + 1) = = y + 1. y−1 y−1
№61. а)
3x + 5 7 x + 3 3x + 5 7 x + 3 + = − = 2x − 1 1 − 2x 2x − 1 2x − 1
www.5balls.ru
3x + 5 − 7 x − 3 −4 x + 2 −2(2 x − 1) = = = −2 ; 2x − 1 2x − 1 2x − 1 не зависит от x; =
5x + 1 x + 17 5x + 1 x + 17 + = − = 5x − 20 20 − 5x 5x − 20 5x − 20 5x + 1 − x − 17 4 x − 16 4( x − 4) 4 = = = = ; 5x − 20 5( x − 4) 5( x − 4) 5
б)
не зависит от x. №62. а)
x2
25
+
10x
x2
=
−
25
−
10x
(5 − x) (x − 5) (x − 5)2 x 2 − 25 ( x − 5)( x + 5) x + 5 ; = = = (x − 5)2 (x − 5)(x − 5) x − 5
б)
(x − 5)
−
2
x 2 + 25
(x − 5)
2
=
2
x 2 + 25
(5 − x) (x − 5) (x − 5)3 2 x 2 − 10x + 25 ( x − 5) 1 = = = . 3 3 (x − 5) (x − 5) x − 5 3
№63. а) =
б) =
x2 x 2 − 16
−
3
8( x − 2) x 2 − 16
3
x 2 − 8x + 16
=
x 2 − 16
( x − 4) 2 x−4 = ; (x − 4)(x + 4) x + 4 64 − 2ab
(a − 8)2
+
2ab − a 2
(8 − a )2
64 − 2ab + 2ab − a 2
=
=
64 − 2ab
(a − 8)2
64 − a 2
(a − 8)2 (a − 8)2 (a − 8)(8 + a ) 8 + a = . (8 − a )(8 − a ) 8 − a
=
=
=
+
2ab − a 2
(a − 8)2
=
№64. а) подставим c = x: a+b a b = + ; x x x
www.5balls.ru
=
б) подставим c = x: 2a 2 + a 2a 2 a = + ; y y y
в) подставим c = x: x 2 + 6y 2 x2 6y 2 x 3y = + = + ; 2 xy 2 xy 2 xy 2 y x
г) подставим c = x: 12a + y 2 12a y 2 2 y = + = + . 6ay 6ay 6ay y 6a
№65. а)
x2 + y2 x4
=
x2
+
x4
y2 x4
=
1 x4
+
y2 x4
б)
2x − y 2x y = − ; b b b
в)
a2 + 1 a2 1 a 1 = + = + ; 2a 2a 2a 2 2a
г)
a 2 − 3ab a
3
=
a2 a
3
−
3ab a
3
=
;
1 3b − ; a a2
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
№66. а) подставим a = 2:
www.5balls.ru
3a 2 3⋅ 22 12 = = = 4; 2a − 1 2 ⋅ 2 − 1 3
Ответ: 4; 1 3
б) подставим a = − : 2
1 1 3⋅ − 3⋅ 3 3a 9 = = = 2 2a − 1 1 2 ⋅ − − 1 − − 1 3 3 2
=
1 5 1⋅ 3 1 =− ; : − = − 3 3 3⋅ 5 5 1 5
Ответ: − . №67. а) 3(5x − 4) − 8x = 4 x + 9; 15x − 12 − 8x = 4 x + 9; 3x = 21; x = 7;
Ответ: x = 7; б) 19 x − 8( x − 3) = 66 − 3x; 19 x − 8x + 24 = 66 − 3x; 11x + 3x = 66 − 24;
www.5balls.ru
14 x = 42; x = 3;
Ответ: x = 3; в) 0,2(0,7 x − 5) + 0,02 = 1,4( x − 1,6); 014 , x − 1 + 0,02 = 1,4 x − 2 ,24; 014 , x − 0,98 = 1,4 x − 2 ,24; 1,26 = 126 , x; x = 1;
Ответ: x = 1; г) 2 ,7(01 , x + 3,2) + 0,6(1,3 − x) = 16,02; 0,27 x + 8,64 + 0,78 − 0,6x = 16,02; −0,33x = 16,02 − 8,64 − 0,78; −0,33x = 6,6; x = 6,6: (−0,33); x=−
66 100 660 ⋅ = = −20; 10 33 33
Ответ: x = −20. №68. а) 8 x 2 − 16 x 3 y = 8 x 3 (x − 2 y );
(
)
б) 15xy 5 + 10 y 2 = 5 y 2 3xy 3 + 2 ;
(
в) 8a − 50 y = 2 4a − 25 y 2
2
2
= 2(2a − 5 y )(2a + 5 y );
2
)=
www.5balls.ru
(
)
г) 18b 2 − 98a 2 = 2 9b 2 − 49a 2 = = 2(3b − 7a )(3b + 7a );
(
)
д) x 3 − 125 = (x − 5) x 2 + 5 x + 25 ;
(
)
е) y + 8 = ( y + 2 ) y − 2 y + 4 ; ж) ab + 8a + 9b + 72 = a (b + 8) + 9(b + 8) = 3
2
= (b + 8)(a + 9 ); з) 6m − 12 − 2n + mn = 6(m − 2 ) + n (m − 2 ) = = (m − 2 )(6 + n ).
№69. Достаточно выяснить, когда знаменатель дроби отличен от нуля. а) 2a + 25 ≠ 0; 2a ≠ −25; a ≠ −
25 ; a ≠ −12 ,5; 2
б) y − любое число, так как 9 + y 2 > 0 при всех y ; в) 3x (x + 12 ) ≠ 0; 1 ) 3x ≠ 0; x ≠ 0; 2 ) x + 12 ≠ 0; x ≠ −12; Итак: x ≠ 0; x ≠ −12; г) (a + 1)(a − 4 ) ≠ 0; 1 ) a + 1 ≠ 0; a ≠ −1; 2 ) a − 4 ≠ 0; a ≠ 4; Итак: a ≠ −1; a ≠ 4. 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями №70. а)
x y 3x + 2 y ; + = 2 3 6
б)
c d 3c − d ; − = 4 12 12
в)
p q p2 + q2 ; + = q p qp
г)
a b2 a 2 − b3 ; − = b a ab
www.5balls.ru
д)
3 2 9−4 5 − = = ; 2 x 3x 6x 6x
е)
a 3a 4a + 15a 19a + = = ; 5c 4c 20c 20c
ж)
5x x 5x + 2 x 7 x + = = ; 8y 4 y 8y 8y
з)
17 y 25y 51y − 50 y y − = = ; 24c 36c 72c 72c
и)
5a 7a 25a − 14a 11a − = = . 18b 45b 90b 90b
№71. а)
=
б)
=
в)
=
г)
5y − 3 y + 2 + = 6y 4y 2(5y − 3) + 3( y + 2)
=
13y 13 = ; 12 y 12
=
14 x 2 = ; 105x 15
12 y 3x + 5 x − 3 + = 35x 21x 3(3x + 5) + 5( x − 3) 105x b + 2 3c − 5 − = 15b 45c 3c(b + 2) − b(3c − 5) 45bc
=
6c + 5b ; 45bc
8b + y 6 y + b − = 40b 30 y
www.5balls.ru
=
24by + 3y 2 − 24by − 4b 2 3y 2 − 4b 2 = ; 120 y 120 y
№72. а)
3x 5x 27 x − 20x 7 x − = = ; 4 9 36 36
б)
6a 3a 24a − 15a 9a − = = ; 5 4 20 20
в)
7a 2a 35a − 8a 27a 9a ; − = = = 12b 15b 60b 60b 20b
г)
9 p 7 p 54 p − 35 p 19 p ; − = = 10 12 60 60
д)
15a − b a − 4b − = 12a 9a
=
45a − 3b − 4a + 16b 41a + 13b = ; 36a 36a
е)
7 x + 4 3x − 1 − = 8y 6y
=
21x + 12 − 12 x + 4 9 x + 16 = . 24 y 24 y
№73. а)
б)
b a2
−
1− x x3
1 b−a = 2 ; a a +
1 x2
=
1− x + x x3
=
1 x3
;
www.5balls.ru
в)
=
г)
1 2a 7
2a 10 a+b
д)
2
е)
8 − 3a 3
;
2a 10
ab + b 2 + a 2 − ab a 2b 2a − 3b 2
+
a2 + b2
=
4a − 5b ab 2
a 2b
a 2b 2 x − 2y 2
−
2y − x x2 y
;
=
2ab − 3b 2 + 4a 2 − 5ab
xy =
=
a−b = ab
+
a b =
=
a 10
a 3 + 8 − 4a 3
a =
4 − 2a 3
+
=
4a 2 − 3ab − 3b 2 a 2b 2
;
=
x 2 − 2 xy − 2 y 2 + xy 2 2
x y
x 2 − 2 y 2 − xy
=
x2 y2
.
№74. а)
2 xy − 1 4x
=
б)
3
−
3y − x 6x 2
=
6xy − 3 − 6xy + 2 x 2 12 x 3
=
2x 2 − 3 12 x 3
(
;
)
2 3 1 − b 2 2b 3 − 1 2b 1 − b + 2b − 1 + = = 3ab 6ab 2 6ab 2
www.5balls.ru
=
в)
г)
2b − 2b 3 + 2b 3 − 1 6ab 1 3a 3 b2 6x 5
−
−
2
2 5a 5 b 3x 6
=
=
=
2b − 1
5a 2 − 6 15a 5
6ab 2
;
;
xb 2 − 2b 6x 6
.
№75. а)
1 1 1 c b a a+b+c + + = + + = ; ab ac bc abc abc abc abc
б)
ab − b ab − a a 2 − b 2 − − = a b ab
=
b(ab − b) − a(ab − a ) − a 2 + b 2 ab
=
=
ab 2 − b 2 − a 2 b + a 2 − a 2 + b 2 = ab
=
ab 2 − a 2 b = b − a; ab
в)
b−a c−b c−a + − = ab bc ac
=
cb − ac + ac − ab − bc + ab = 0; abc
г)
3ab + 2b 2 a + 2b a − 2b − + = ab a b
www.5balls.ru
=
3ab + b 2 b(a + 2b) a(a − 2b) − + = ab ab ab
=
3ab + 2b 2 − ab − 2b 2 + a 2 − 2ab a 2 a = = . ab ab b
№76. а)
=
б)
в)
x − y x − z zx − zy − yx + yz − = = xy xz xyz zx − yx z − y = ; xyz yz a − 2b b − 2a a 2 − 2ab − b 2 + 2ab a 2 − b 2 − = = ; 3b 3a 3ab 3ab p−q p q
=
г)
д)
=−
p 3q 3 3m − n 2
−
2n − m 2mn
2
=
q2 + p2
2
−
2c − 5b 6bc 2
=
3m 2 − 2n 2 6m 2 n 2
;
=
6bc + 4c 2 − bc + 15b 2 18b 2 c 2
;
6m 2 n 2
6m 2 n 2 3b + 2c
p 3q 3
2m(3m − n) − 3m(2n − m)
6mn − 2n 2 − 6mn + 3m 2
9b c =
=
p2q3
qp − q 2 − p 2 − pq
3m n =
p+q
−
3 2
=
4c 2 + 15b 2 18b 2 c 2
;
www.5balls.ru
=
2x − 7 y
е)
2
2x y =
−
5y − 8x 5xy 2
=
10xy − 35y 2 − 10xy + 16x 2 10x 2 y 2
=
16x 2 − 35y 2 10x 2 y 2
;
№77. 1 x 1 xy + 1 = + = ; y 1 y y
а) x +
б)
1 1 a 1− a2 −a= − = ; a a 1 a
в) 3a −
a 3a a 12a − a 11a = − = = ; 4 1 4 4 4
г) 5b −
2 5b 2 5b 2 − 2 = − = ; b 1 b b
д)
=
a2 + b a2 + b a −a= − = a a 1 a2 + b − a2 b = ; a a
е) 2 p −
=
ж)
4 p2 + 1 2 p 4 p2 + 1 = − = 2p 1 2p
(
) = 4p
4 p2 − 4 p2 + 1 2p
(a − b)2 2a
+b=
2
(a − b)2 2a
1 − 4p2 − 1 =− ; 2p 2p b = 1
www.5balls.ru
=
a 2 − 2ab + b 2 + 2ab a 2 + b 2 = ; 2a 2a
з) c −
=
(b + c)2 2b
c (b + c) − = 1 2b 2
=
(
2bc − b 2 + 2bc + c 2 2b
)=
=
2bc − b 2 − bc − c 2 = 2b
=
−b 2 − c 2 b 2 + c2 =− . 2b 2b
№78. а) 5 −
c 5 c 10 − c = − = ; 2 1 2 2
б) 5y 2 −
15y 2 − 1 15y 2 − 15y 2 + 1 1 = = ; 3 3 3
в) a + b −
=
a−3 a b a−3 = + − = 3 1 1 3
3a + 3b − (a − 3) 3
=
3a + 3b − a + 3 = 3
=
2a + 3b + 3 ; 3
г)
2b 2 − 1 2b 2 − 1 − b 2 + 5b − b + 5= = b b
www.5balls.ru
=
b 2 + 5b − 1 . b
№79. а) 1 −
a b 1 a b 20 − 4a − 5b ; − = − − = 5 4 1 5 4 20
б) 12 −
в)
=
a−2 a−3 a−2 1 a−3 − 1− = − − = 2 3 2 1 3 3a − 6 − 6 − 2a + 6 a − 6 = ; 6 6
г) 4a −
=
д)
1 1 12 1 1 12ab − b − a ; − = − − = a b 1 a b ab
a − 1 a + 2 4a a − 1 a + 2 − = − − = 4 3 1 4 3
48a − 3a + 3 − 4a − 8 41a − 5 = ; 12 12 a+b a + b a b 5b − 3a −a+b= − + = ; 4 4 1 1 4
е) a + b −
=
a2 + b2 a b a2 + b2 = + − = a a 1 1
(
a 2 + ab − a 2 + b 2 a
) = ab − b a
2
.
№80. а) x −
x− y x+ y x x− y x+ y + = − + = 2 4 1 2 4
www.5balls.ru
=
б)
=
4 x − 2 x + 2 y + x + y 3x + 3y = ; 4 4 3 5 3 2 5 −2− = − − = x x x 1 x 3 − 2x − 5 2x + 2 ; =− x x
в) 3 −
2x − y x + 4 y 3 2x − y x + 4 y + = − + = 4 12 1 4 12
=
36 − 6x + 3y + x + 4 y 36 − 5x + 7 y = ; 12 12
г)
6a − 4b b + 7a 6a − 4b b + 7a 2 − −2= − − = 5 3 5 3 1
=
18a − 12b − 5b − 35a − 30 17a + 17b + 30 . =− 15 15
№81. а)
(b + c)(b − c) + b 2 b−c b + = = b b+c b(b + c)
=
b 2 − c 2 + b 2 2b 2 − c 2 ; = b(b + c) b(b + c)
б)
=
x + 1 x + 3 x( x + 1) − ( x − 2)( x + 3) = − = x−2 x ( x − 2 )x 6 x2 + x − x2 − x + 6 ; = x( x − 2) x( x − 2)
www.5balls.ru
в)
(m + n)m − n(m − n) m n − = = m−n m+n (m − n)(m + n)
=
m 2 + mn − mn + n 2 m 2 + n 2 ; = 2 (m − n)(m + n) m − n2
г)
2a(2a + 1) − (2a − 1) 2a 1 − = = 2a − 1 2a + 1 (2a − 1)(2a + 1)
=
4 a 2 + 2 a − 2 a + 1 4a 2 + 1 ; = (2a − 1)(2a + 1) 4a 2 − 1
д)
=
е)
=
a(a − 2) − a(a + 2) a a − = = a+2 a−2 (a + 2)(a − 2) a 2 − 2a − a 2 − 2a a2 − 4
=
4a 4 − a2
;
p(3 p + 1) − p(3 p − 1) p p − = = 3p − 1 3p + 1 (3 p − 1)(3 p + 1) 3p 2 + p − 3p 2 + p 9 p2 − 1
=
2p 9 p2 − 1
.
№82. а)
3x 2y 9 x − 10 y − = ; 5( x + y) 3( x + y) 15( x + y)
б)
4a 2 − 5b 2 a2 b2 − = ; 5(a − b) 4(a − b) 20(a − b)
в)
3 2 + = ax − ay by − bx
www.5balls.ru
=
3 2 3b − 2a ; − = a( x − y) b( x − y) ab( x − y)
г)
13c 12b − = bm − bn cn − cm
=
13c 12b 13c 2 + 12b 2 + = ; b(m − n) c(m − n) bc(m − n)
д)
a a a a − = − = 2 x + 4 3x + 6 2( x + 2) 3( x + 2)
=
3a − 2a a = ; 6( x + 2) 6( x + 2)
е)
p 1 + = 7a − 14 2 − a
=
p 1 p−7 . − = 7(a − 2) a − 2 7(a − 2)
№83. а)
p(3x − 2) − p(2 x + 1) p p − = = 2 x + 1 3x − 2 (3x − 2)(2 x + 1)
=
p( x − 3) 3xp − 2 p − 2 xp − p = ; (3x − 2)(2 x + 1) (3x − 2)(2 x + 1)
б)
=
6a( x + y) + 2a( x − 2 y) 6a 2a + = = x − 2y x + y (x + y)(x − 2 y) 2a(4 x + y) 8ax + 2ay = ; (x + y)(x − 2 y) (x + y)(x − 2 y)
www.5balls.ru
в)
a a a a + = + = 5x − 10 6x − 12 5( x − 2) 6( x − 2)
=
6a + 5a 11a = ; 30( x − 2) 30( x − 2)
г)
5b b 5b b − = + = 12a − 36 48 − 16a 12(a − 3) 16(a − 3)
=
20b + 3b 23b . = 48(a − 3) 48(a − 3)
№84. а)
=
5y + 3 7 y + 4 5y + 3 7y + 4 − = − = 2 y + 2 3y + 3 2( y + 1) 3( y + 1) 15y + 9 − 14 y − 8 y+1 1 = = , 6( y + 1) 6( y + 1) 6
не зависит от y; б)
=
11y + 13 15y + 17 11y + 13 15y + 17 + = − = 3y − 3 4 − 4y 3( y − 1) 4( y − 1) −y + 1 44 y + 52 − 45y − 51 = = 12( y − 1) 12( y − 1)
=−
y −1 1 , =− 12( y − 1) 12
не зависит от y; №85.
www.5balls.ru
а)
=
б)
a2 ax − x 2
+
x a2 x = − = x − a x(a − x) a − x
a 2 − x 2 (a − x)(a + x) a + x ; = = x(a − x) x(a − x) x b 2 − 4by 2 y 2 − by
−
4y b 2 − 4by 4y = + = b − 2 y y(2 y − b) 2 y − b
2y − b b 2 − 4by + 4 y 2 (b − 2 y) ; = = y(2 y − b) y(2 y − b) y 2
=
в)
=
г)
=
b 2
2a − ab
−
4a 2ab − b
2
b 4a − = a(2a − b) b(2a − b)
=
(b − 2a )(b + 2a ) b + 2a b 2 − 4a 2 ; = =− ab(2a − b) ab(2a − b) ab 4y 2
3x + 2 xy
−
9x 3xy + 2 x
2
=
4 y(3y + 2 x) − x(3x + 2 y) x(3x + 2 y)(3y + 2 x)
=
4y 9x − = x(3x + 2 y) x(3y + 2 x) 12 y 2 − 10xy − 27 x 2 ; x(3x + 2 y)(3y + 2 x)
№86. а)
=
=
x − 25 x − 25 3x + 5 3x + 5 + = + = 5x − 25 x 2 − 5x 5( x − 5) x( x − 5) x( x − 25) + 5(3x + 5) 5x( x − 5)
=
x 2 − 10x + 25 = 5x( x − 5)
(x − 5)2 = x − 5 ; 5x( x − 5) 5x
www.5balls.ru
б)
12 − y 6 12 − y 6 − 2 = − = 6 y − 36 y − 6 y 6( y − 6) y( y − 6)
( y − 6) 12 y − y 2 − 36 =− = 6 y( y − 6) 6 y( y − 6) 2
=
=−
в)
=
г)
=
y − 6 6− y = ; 6y 6y 1 2
a + ab
+
1 ab + b
2
=
1 1 + = a(a + b) b(a + b)
2
=
1 1 − = b(b − a ) a(b − a )
b+a 1 ; = ab(a + b) ab 1 2
b − ab
−
1 ab − a
a b a−b 1 − = = . ab(b − a ) ab(b − a ) ab(b − a ) ab
№87. а) 1 −
=
б)
=
a + b 1 a + b a − b − (a + b) = − = = a−b 1 a−b a−b
a−b−a−b 2b ; = a−b b−a 2 2 a2 + b2 a 2 + b 2 a a + b − a(a − b) −a= − = = 1 a−b a−b a−b
b 2 + ab b(b + a ) ; = a−b a−b
www.5balls.ru
в) m − n +
=
n2 m n n2 = − + = m+n 1 1 m+n
m(m + n) − n(m + n) + n 2 m+n
=
m2 ; m+n
(
)
2 2 2ab a 2 + b 2 (a + b) − a + b ; г) a + b − = = a+b a+b a+b 2
д) x −
=
x 9 9 3 − 3= − − = x−3 1 x−3 1
x 2 − 3x − 9 − 3x + 9 x 2 − 6x = ; x−3 x−3
е) a 2 −
=
=
a4 + 1 a2 − 1
(
)−a
a2 a2 − 1 a2 − 1
+ 1=
4
a2 a4 + 1 1 − 2 + = 1 a −1 1
+1
a2 − 1
+
a2 − 1 a2 − 1
a4 − a2 − a4 − 1+ a2 − 1 a2 − 1
=−
=
2 a2 − 1
=
2 1− a2
.
№88. а)
=
б)
a 2 + 3a a a 2 + 3a a − = − = ab − 5b + 8a − 40 b + 8 (a − 5)(b + 8) b + 8 a 2 + 3a − a(a − 5)
(a − 5)(b + 8)
=
8a a 2 + 3a − a 2 + 5a ; = (a − 5)(b + 8) (a − 5)(b + 8)
y 3y y 3y − = − = 3x − 2 6xy + 9 x − 4 y − 6 3x − 2 (2 y + 3)(3x − 2)
www.5balls.ru
=
y(2 y + 3) − 3y
(2 y + 3)(3x − 2)
=
2 y 2 + 3y − 3y 2y2 . = (2 y + 3)(3x − 2) (2 y + 3)(3x − 2)
№89. а)
x2 x x2 x − = − = 3ax − 2 − x + 6a 3a − 1 (3a − 1)( x + 2) 3a − 1 x 2 − x( x + 2)
=
(3a − 1)(x + 2)
=
(1 − 3a )(x + 2)
б)
2x
=
2x x2 − x2 − 2 =− = (3a − 1)(x + 2) (3a − 1)(x + 2)
;
3x x 2 + 3x 3x x 2 + 3x + = + = 2 y + 3 4 xy − 3 − 2 y + 6x 2 y + 3 2 x(2 y + 3) − (2 y + 3)
=
3x(2 x − 1) + x 2 + 3x x 2 + 3x 3x + = = 2 y + 3 (2 y + 3)(2 x − 1) (2 y + 3)(2 x − 1)
=
7x 2 . (2 y + 3)(2 x − 1)
№90. а)
x 2 − 3xy + y( x + y) x 2 − 3xy y + = = (x + y)(x − y) (x − y) (x + y)(x − y)
=
( x − y) = ( x − y) ; x 2 − 2 xy + y 2 = (x + y)(x − y) (x + y)(x − y) (x + y)
б)
2 c b 2 − 3bc c(b + c) + b − 3bc = = + 2 b − c b − c2 b 2 − c2
2
www.5balls.ru
=
c(b + c) + b 2 − 3bc
(b − c)(b + c)
=
bc + c 2 + b 2 − 3bc = (b − c)(b + c)
(b − c) b 2 − 2bc + c 2 b−c ; = = (b − c)(b + c) (b − c)(b + c) b + c 2
=
(
)
2 a − 2 y y 2 − 5ay (a − y)(a − 2 y) − y − 5ay = = в) − 2 a+y (a − y)(a + y) a − y2
=
a 2 − 2ay − ay + 2 y 2 − y 2 + 5ay y 2 + 2ay + a 2 = = (a − y)(a + y) (a − y)(a + y)
=
(a + y)2 = a + y ; (a − y)(a + y) a − y
a+3 a2 − 1 =
=
−
1 a2 + a
=
a(a + 3) − (a − 1) a(a − 1)(a + 1)
a+3
(a − 1)(a + 1) =
−
1 = a(a + 1)
a 2 + 2a + 1 = a(a − 1)(a + 1)
(a + 1)2 = a + 1 . (a − 1)(a + 1) a(a − 1)
www.5balls.ru
№ 91.
а) = =
б) = =
в) = =
г)
= =
b−6 4−b
2
+
2 2b − b
2
=
b−6 2 + = (2 − b )(2 + b ) b(2 − b )
b (b − 6 ) + 2 (2 + b ) b 2 − 6b + 4 + 2b = = b (2 − b )(2 + b ) b (2 − b )(2 + b )
(2 − b )2 = 2 − b ; b (2 − b )(2 + b ) b (2 + b ) b ab − 5a
2
−
15b − 25a 2
b − 25a
2
b 15b − 25a − = a (b − 5a ) (b − 5a )(b + 5a )
=
b(b + 5a ) a (15b − 25a ) b 2 + 5ab − 15ab + 25a 2 − = = a (b − 5a )(b + 5a ) a (b − 5a )(b + 5a ) a (b − 5a )(b + 5a )
(b − 5a )2 = b − 5a ; b 2 − 10ab + 25a 2 = a (b − 5a )(b + 5a ) a (b − 5a )(b + 5a ) a (b + 5a ) x − 12a 2
x − 16a
2
−
4a 4ax − x
2
=
x − 12a 4a − = (x − 4a )(x + 4a ) x(4a − x )
x(x − 12a ) + 4a (x + 4a ) x 2 − 12ax + 4ax + 16a 2 x 2 − 8ax + 16a 2 = = = x(x − 4a )(x + 4a ) x(x − 4a )(x + 4a ) x(x − 4a )(x + 4a )
(x − 4a )2 = x − 4a ; x(x − 4a )(x + 4a ) x(x + 4a ) a − 30 y 2
a − 100 y
2
−
10 y 10ay − a
2
=
a − 30 y
(a − 10 y )(a + 10 y )
−
10 y = a(10 y − a )
a(a − 30 y ) + 10 y (a + 10 y ) a 2 − 30ay + 10ay + 100 y 2 = = a(a − 10 y )(a + 10 y ) a (a − 10 y )(a + 10 y )
(a − 10 y )2 a − 10 y . = a (a − 10 y )(a + 10 y ) a (a + 10 y )
№ 92.
www.5balls.ru
а)
a+4
−
2
a
=
2
a+4 a a 2 + 4a + 2a + 8 − a 2 − = = a (a − 2) (a − 2 )(a + 2 ) a (a − 2 )(a + 2 )
a − 2a a − 4 6a + 8 2(3a + 4 ) = = ; a (a − 2 )(a + 2 ) a (a − 2 )(a + 2 )
б)
4 − x2 16 − x 2
4 − x2 x +1 x + 1 4 − x 2 − (4 − x )( x + 1) = − = = (4 − x )(4 + x ) x + 4 (4 − x)(4 + x) x + 4
−
4 − x2 − 4 x − 4 + x2 + x 3x − 3x = = ; ( 4 − x)(4 + x) (4 − x )(4 + x ) x 2 − 16 3 3 3 b+7 b+7 b+7 + = + = + = в) 2b + 1 1 − 4b 2 2b + 1 (1 − 2b)(1 + 2b) 1 + 2b (1 − 2b)(1 + 2b) =
3(1 − 2b) + b + 7 10 − 5b 5( 2 − b) = = ; (1 − 2b)(1 + 2b) (1 − 2b)(1 + 2b) 1 − 4b 2 5b 16ab + 30b 5b 16ab + 30b + = + = г) 4a − 5 25 − 16a 2 4a − 5 (5 − 4a)(5 + 4a) =
=
5b 16ab + 30b 20ab + 25b − 16ab − 30b − = = 4a − 5 ( 4a − 5 )( 4a + 5 ) ( 4a − 5 )( 4a + 5 )
=
b( 4a − 5 ) b = ; ( 4a − 5 )( 4a + 5 ) 4a + 5
д)
( a + b) 2
+
( a − b) 2
a 2ab a 2 − ab b b = 1 + + 1 − = 2; a a
=
( a + b ) 2 ( a − b) 2 a + b a − b + = + = a ( a + b) a ( a − b) a a
е)
x2 − 4 x2 + 4x + 4 x2 − 4 x2 + 4x + 4 − = − = 5 x − 10 5 x + 10 5( x − 2) 5( x + 2)
=
( x − 2)( x + 2) ( x + 2) 2 x + 2 x + 2 − = − =0. 5( x − 2) 5( x + 2) 5 5
№ 93. а) =
x +1 x2 − x
−
x+2 x2 − 1
=
( x + 1)( x + 1) − x ) x + 2) x +1 x−2 − = = x( x − 1) ( x − 1)( x + 1) x( x − 1)( x + 1)
x2 + 2 x + 1 − x2 − 2 x 1 = ; 2 x( x − 1)( x + 1) x( x − 1)
www.5balls.ru
подставим x = -1,5:
1 x( x − 1) 2
=
[
1
]
(−1,5) (− 1,5) − 1 2
=
1 = (−1,5)1.25
8 1 1 =− =− . 3⋅5 1 1 15 − 1 ⋅1 2⋅4 2 4 8 Ответ: − . 15 1− x 1+ x x+2 x+2 − = − = б) 2 x + 3x x 2 − 9 x( x + 3) ( x − 3)( x + 3) =
=
( x − 3)( x + 2) − x (1 + x ) x 2 + 2 x − 3 x − 6 − x − x 2 = = x ( x − 3)( x + 3) x( x − 3)( x + 3)
подставим x = -1,5:
=−
2 2 2 2 = = =− = 3 9 x(3 − x) − 1,5[3 − (− 1,5)] − 1,5 ⋅ 4,5 ⋅ 2 2
8 . 27
Ответ: −
8 . 27
№ 94. а) б) =
в) =
г)
a 2 + b2 3
a +b
3
−
a 2 + b2 ab 1 1 = − = ; a + b (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) a + b a 3 + b3
1 3 pq 1 3 pq − = − = p − q p 3 − q 3 p − q ( p − q )( p 2 + pq + q 2 ) p 2 − 2 pq + q 2 2
2
( p − q )( p + pq + q ) 1− a a2 − a + 1 1 a3 + 1
+
a2 a3 + 1
=
=
( p − q )2 ( p − q )( p 2 + pq + q 2 )
1− a a2 − a + 1
+
=
p−q p 2 + pq + q 2
a2
(a + 1)(a 2 − a + 1)
=
;
(1 + a )(1 − a ) + a 2 = (a + 1)(a 2 − a + 1)
;
6a 3 + 48a a 3 + 64
−
3a 2 a 2 − 4a + 16
=
6a 3 + 48a ( a + 4)(a 2 − 4a + 16)
www.5balls.ru
−
3a 2 a 2 − 4a + 16
=
= =
6a 3 + 48a − 3a 2 (a + 4) 2
(a + 4)(a − 4a + 16)
=
6a 3 + 48a − 3a 3 − 12a 2 2
( a + 4)(a − 4a + 16)
=
3a (a 2 − 4a + 16) (a + 4)(a 2 − 4a + 16)
=
3a . a+4
№ 95. а)
y−2 4 3 12 4( y − 2) − 3( y + 2) + 12 − + 2 = = = y+2 y−2 y +4 ( y + 2)( y − 2) ( y − 2)( y + 2)
=
1 ; y+2
б)
3 3 a a2 a a2 − − = − − = a − 6 a + 6 36 − a 2 a − 6 a + 6 (a − 6)(a + 6)
=
в) =
г)
18 + 3a 3 a ( a + 6) − 3(a − 6) − a 2 a 2 + 6a − 3a + 18 − a 2 ; = = = (a − 6)(a + 6) (a − 6)(a + 6) (a − 6)(a + 6) a − 6 x2
x+ y x2 x+ y 2 x 2 − ( x + y )( x − y ) = − = = 2 x − 2 y ( x − y ) 2 2( x − y ) 2( x − y ) 2
−
( x − y )2
2 x2 − x2 + y 2 2( x − y ) b ( a − b) 2
2
−
=
x2 + y2 2( x − y ) 2
a+b b 2 − ab
=
;
b 2 − (b − a)(b + a ) b(b − a) 2
=
b2 − b2 + a 2 b(b − a )2
=
a2 b(b − a ) 2
.
№ 96. а)
2a + b 2
2a − ab
−
16a 2
4a − b
2
−
2a − b 2
2a + ab
=
2a + b 16a − − a (2a − b) (2a − b)(2a + b)
−
2a − b (2a + b) − 16a 2 − (2a − b)2 2b ⋅ 4a − 16a 2 = = = a ( 2a + b ) a (2a + b)(2a − b) a (2a + b)(2a − b)
=
8ab − 16a 2 8a ( 2 a − b ) 8 ; =− =− 2a + b a ( 2a − b)(2a + b) a (2a − b)(2a + b)
б) =
2
1 ( a − 3)
2
−
2 a −9 2
+
1 (a + 3)
2
2
=
1 ( a − 3)
2
−
a + 6a + 9 − 2(a − 3)(a + 3) + a 2 − 6a + 9 (a − 3) 2 (a + 3)2
2 1 + = ( a − 3)(a + 3) (a + 3) 2 =
2a 2 + 18 − 2a 2 + 18
www.5balls.ru
( a − 3) 2 (a + 3) 2
=
=
в) + =
г) =
36 ( a − 3) 2 ( a + 3) 2 x−2 x2 + 2 x + 4
−
; 6x
x3 − 8
1 1 x−2 = − + x − 2 x 2 + 2 x + 4 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)
+
1 ( x − 2)( x − 2) − 6 x + x 2 + 2 x + 4 2 x2 − 8x + 8 = = = x−2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) 2( x − 2) 2 ( x − 2)( x + 2 x + 4) 2
2a 2 + 7 a + 3 3
a −1
−
2( x − 2)
=
x + 2x + 4 2
1 − 2a 2
a + a +1
−
;
3 = a −1
2a 2 + 7 a + 3 − (a − 1)(1 − 2a ) − 3(a 2 + a + 1) (a − 1)(a 2 + a + 1)
=
=
2a 2 + 7 a + 3 − a + 2a 2 + 1 − 2a − 3a 2 − 3a − 3 a2 + a +1 = = 2 ( a − 1 )( a + a + 1 ) ( a − 1 )( a 2 + a + 1 )
=
1 . a −1
№ 97. а)
1 1 2a 1 1 2a − − = − + = a − 4b a + 4b 16b2 − a 2 a − 4b a + 4b ( a − 4b)(a + 4b)
=
a + 4b − a + 4b + 2a 8b + 2a 2 = = ; ( a − 4b)(a + 4b) (a − 4b)(a + 4b) a − 4b
б)
a2 a2 1 1 1 1 + + 2 = + + = 2b − 2a 2b + 2a a b − b3 2(b − a ) 2(b + a ) b(a 2 − b 2 )
=
2(b 2 − a 2 ) b(b + a ) + b(b − a ) − 2a 2 b 2 + ab + b 2 − ab − 2a 2 = = = 2b(b − a )(b + a ) 2b(b − a )(b + a ) 2b(b − a )(b + a )
=
2(b − a )(b + a ) 1 = ; 2b(b − a )(b + a ) b
в)
1 6bx 6bx 1 + = + = 2 x − b b3 − 8 x3 (b − 2 x)(b 2 + 2bx + 4 x 2 ) 2 x − b
=
b 2 + 2bx + 4 x 2 − 6bx 2
2
( 2 x − b)(b + 2bx + 4 x )
=
b 2 − 4bx + 4 x 2 (2 x − b)(b 2 + 2bx + 4 x 2 )
www.5balls.ru
=
=
г) =
( 2 x − b) 2 2
2
( 2 x − b)(b + 2bx + 4 x ) 2 y 2 + 16 3
y +8
−
=
2x − b 2
b + 2bx + 4 x 2
;
2 2 y 2 + 16 2 = − = y + 2 ( y + 2)( y 2 − 2 y + 4) y + 2
2 y 2 + 16 − 2( y 2 − 2 y + 4) 2
( y + 2)( y − 2 y + 4)
=
4y + 8 2
( y + 2)( y − 2 y + 4)
=
4 2
y − 2y + 4
.
№ 98. а)
3 2
+
3 3 + a3 a2 a2 ; = + = a − 3 a (a − 3) a − 3 a ( a − 3)
a − 3a 9a + 3 a + 3 9a + 3 a (a − 3)(a + 3) + 9a + 3 = + = = a +3+ 2 1 a (a − 3) a (a − 3) a − 3a =
б) =
a 3 − 9a + 9a + 3 a3 + 3 ; т.е. выражения тождественно равны. = a ( a − 3) a( a − 3) a3 2
a −4
−
2 a a 3 − a ( a + 2) − 2( a − 2) a3 − a 2 − 4a + 4 − = = = a−2 a+2 a2 − 4 a2 − 4
( a − 1)(a 2 − 4) a2 − 4
= a − 1. т.е. выражения тождественно равны.
№ 99. а)
x3 + 3x 3 x 2 − 14 x + 16 x3 + 3 x 3x 2 − 14 x + 16 − + 2x = − + 2x = 2 x+2 ( x − 2)( x + 2) x+2 x −4
=
( x3 + 3 x )( x − 2) − (3 x 2 − 14 x + 16) + 2 x( x 2 − 4) = ( x + 2)( x − 2)
=
x 4 − 2 x3 + 3 x 2 − 6 x − 3 x 2 + 14 x − 16 + 2 x3 − 8 x x 4 − 16 = 2 = ( x + 2)( x − 2) x −4
= x 2 + 4 f 0 при всех значениях х;
б) y + =
2 y2 + 3y + 1 y2 −1
−
y3 + 2 y y 2 y 2 + 3 y + 1 y3 + 2 y = + − = 1 ( y − 1)( y + 1) y −1 y −1
y ( y − 1)( y + 1) + 2 y 2 + 3 y + 1 − ( y + 1)( y 3 + 2 y ) = ( y − 1)( y + 1)
www.5balls.ru
=
1 − y4 y3 − y + 2 y 2 + 3 y + 1 − y 4 − 2 y 2 − y3 − 2 y = = ( y − 1)( y + 1) ( y − 1)( y + 1)
=−
(1 − y 2 )(1 + y 2 ) 1 − y2
= −(1 + y 2 ) p 0 при всех значениях у.
№ 100. Исходя из условия задачи получаем, что скорость катера по течению реки (v + 5) км/ч, против течения – (v - 5) км/ч; получаем что s s ч – время в пути от А до В; ч – время в пути от В до v+5 v −5 s s А; тогда + ч – общее время в пути от А до В и обратv + 5 v − 5
но. Получаем выражение:
s s s (v − 5) + s (v + 5) sv − 5s + sv + 5s 2 sv + = = = 2 . v+5 v−5 (v + 5)(v − 5) (v − 5)(v + 5) v − 25
Подставим s=50, v=25: а) t =
2sv 2
v − 25
=
2 ⋅ 50 ⋅ 25 2
25 − 25
=
1 2500 2500 25 = = = 4 (ч)=4 ч 10 мин; 625 − 25 600 6 6
Ответ: 4 ч 10 мин; Подставим s=105, v=40: б) t =
2 sv 2 ⋅105 ⋅ 40 8400 8400 1 = = = = 5 (ч)=5 ч 20 мин; v 2 − 25 3 402 − 25 1600 − 25 1575
Ответ: 5 ч 20 мин. № 101. s = vt ;
s t = . Для удобства представим данные задачи в виде табv
лицы:
По шоссе По проселочной дороге
Путь, км
Скорость, км/ч
s
v
2s
v-2
www.5balls.ru
Время, ч s v 2s v−2
t общ =
2s s s( v − 2 ) + 2sv sv − 2 s + 2 sv 3sv − 2 s s( 3v − 2 ) + = = = = ; v v−2 v( v − 2 ) v( v − 2 ) v( v − 2 ) v − ( v − 2 )
если s = 10, v = 6, то
s (3v − 2 ) 10(3 ⋅ 6 − 2) 10 ⋅16 10 ⋅ 2 20 2 = = = = = 6 (ч)=6 ч 40 мин. v (v − 2) 6(6 − 2) 6⋅4 3 3 3
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 102. 2x2 + x − 1
=
( 2 x 2 + 2 x ) − ( x + 1)
=
2 x( x + 1) − ( x + 1)
=
( x + 1)(2 x − 1)
; 4 x − 3x + 2 4 x − 3x + 2 4 x − 3x + 2 4 x 2 − 3x + 2 1 а) при x = числитель, а значит и вся дробь обращается в ноль; 2 б) при x = −1 числитель, а значит и вся дробь обращается в ноль. 2
2
2
Ответ: а) 0; б) 0. № 103. I. y =
2x − 5 ; 3
2 ⋅ (− 2 ) − 5 − 4 − 5 9 = = − = −3; 3 3 3 2⋅0 −5 5 2 2) при х = 0; y = = − = −1 ; 3 3 3 2 ⋅ 16 − 5 32 − 5 27 3) при х = 16; y = = = = 9; 3 3 3 2x − 5 II. 1) подставим у = 3; 3 = ; 3 ⋅ 3 = 2 x − 5; 2 x = 14; x = 7; 3 2x − 5 5 2) подставим у = 0; 0 = ;2 x − 5 = 0; x = ; x = 2,5; 3 2 2x − 5 3) подставим у = -9; − 9 = ;2 x − 5 = −27;2 x = −22; x = −11. 3
1) при х = -2; y =
№ 104.
www.5balls.ru
На рисунке – график функции y = y
1 x−4. 2
0
8
x
-4
а) При x = 6, y = -1; при x = -6, y = -7; б) при y = -2, x = 4; при y = 0, x = 8. № 105. На рисунке – график данных функций. 4
y = 2x - 3
2
0
2
4
-2 y = -4x +1 -4 Пусть А – их точка пересечения. 1) Из рисунка видно, что А ≈ (0,7; − 1,7 ) . 2) Найдем координаты точки А из уравнения: -4х+1=2х-3; 2х-3+4х-1=0; 6х-4=0; 6х=4; x = y = 2⋅
2 4 2 − 3 = − 3 = −1 . 3 3 3
www.5balls.ru
4 2 = ; 6 3
x
2 3
2 3
Окончательно: A( ;−1 ). № 106. Для удобства запишем данные задачи в виде таблицы: Ямы
Заложили, т
Взяли, т
Осталось, т
I
90
3х
90-3х
II
75
х
75-х
Исходя из того, что в первой яме осталось силоса в 2 раза меньше, чем во второй, запишем уравнение: 2(90-3х)=75-х; 75-х+6х-180=0; 5х=105; х=21, 3х=63. Ответ. Из первой ямы взяли 63 т силоса. № 107. Пусть дана формула: s t
s v
а) v = , тогда s = vt ;t = . Пусть дана формула: б) p =
m m , тогда v = . v p
§ 3. Произведение и частное дробей 5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень № 108. 5 2b 10b ; ⋅ = 3a 3 9a 5a 7 5a ⋅ 7 7a = ⋅ = б) ; 8 y 10 8 y ⋅10 16 y
а)
в)
3x 1 3x ⋅1 3 ⋅ = = ; 4 x 4x 4
www.5balls.ru
9 5a 9 ⋅ 5a 15 ⋅ = = = 7 ,5; 2a 3 2a ⋅ 3 2 b 2 5 5b 2 b ⋅ = = ; д) 10 b 10b 2 18 c 3 18c 3 3 = = е) 4 ⋅ ; c 24 24c 4 4c 12 x 5 15 12 x 5 ⋅ 15 9 x 3 ж) ⋅ = = = 0 ,9 x 3 ; 25 8 x 2 25 ⋅ 8 x 2 10 3 16a 2 3 ⋅ 16a 2 4 ⋅ = = з) . 3 3 4a 9 4a ⋅ 9 3a
г)
№ 109. 3x 10 10 ⋅ 3 x 5 2,5 ⋅ = = = ; 4 y 3 x 2 4 y ⋅ 3 x 2 2 xy xy 1 5⋅4 3 a 2 ⋅ 4a 3 a 2 ,5 4a 3 10a 3 2 2 ⋅1 б) ⋅ = = = = 2; 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2a 5b 2a ⋅ 5b 2a ⋅ 5b 10a b m 2 24 24m 2 3m 3m 1,5m ⋅ = = = = ; в) 16 mn 16mn 16mn 2n n 1 3x 3x 1 1 г) ; ⋅ = = = 9 x 3 2a 2 9 x 3 ⋅ 2a 2 3 x 2 ⋅ 2a 2 6a 2 x 2 7 a 3 ⋅ 8b 2 7 3 7a 3 д) ⋅ 8b 2 = = a b; 24b 24b ⋅ 1 3 1 14ab 2a 2 a е) 14ab ⋅ . = = = 21b 3 21b 3 3b 2 3 b 2
а)
№ 110. 12 x 3 12 x 3 x2 ⋅ = = ; 5 x 12a 5 x ⋅ 12a 5a 8c 2 1 8c 2 2 ⋅ 2 = = б) ; 15m 4c 15m ⋅ 4c 2 15m 11a 4 12b 11a 4 ⋅ 12b 22b ⋅ 5 = = в) ; 6 a 6 ⋅ a5 a 4 n 2 9m 4 n 2 ⋅ 9 m 6 n 2 г) . = ⋅ = m 3m 2 2 3m 2 ⋅ 2
а)
www.5balls.ru
№ 111. 7 15 x 2 ⋅ 7 35 17 ,5 = = = ; 6x 3 6x 3 2x x 25 ⋅ 2 y 3 25 25 ⋅ 2y3 = = б) y; 2 16 y 16 y 2 8
а) 15 x 2 ⋅
4a 6am 2 ⋅ 4a 8a 2 ; = = m 3m 3 3m 3 2b 2b ⋅ 10a 2 4b ⋅ 10a 2 = = г) . 3 5a 5a 3 a
в) 6am 2 ⋅
№ 112. а)
48 x 5 ⋅ 7 y 2 48 x 5 7 y 2 3x 2 ⋅ = = ; 49 y 4 16 x 3 49 y 4 ⋅ 16 x 3 7 y 2
18m 3 22n 4 18m 3 ⋅ 22n 4 ⋅ = = 4mn; 11n 3 9m 2 11n 3 ⋅ 9m 2 15 p 4 16q 5 15 p 4 ⋅ 16q 5 6p ⋅ = =− ; в) − 6 3 6 3 8q 25 p 8q ⋅ 25 p 5q
б)
г)
72 x 4 25 y 5
2 ,5 y 4 72 x 4 ⋅ 2,5 y 4 8 ⋅ 25 y 4 8 4 =− =− =− =− ; ⋅ − 5 5 5 5 ⋅ ⋅ 27 x 25 y 27 x 3 x 250 y 30 xy 15 xy
д) −
35ax 2 8ab 35ax 2 ⋅ 8ab 10a 2 x ⋅ = = − ; 12b 2 y 21xy 12b 2 y ⋅ 21xy 9by 2
е) −
25 x 3 y 3 14a 2 b
21ab ⋅ − 2 2 10 x y
25 x 3 y 3 ⋅ 21ab 15 xy = = . 2 2 2 4a 14a b ⋅ 10 x y
№ 113. 14a 2 b 8 x 2 14a 2 b ⋅ 8 x 2 16 ⋅ = 3 = ; 3 2 3x 21a b 3 x ⋅ 21a 2 b 9 x 9a 2 5ax 9a 2 ⋅ 5ax 3a 3 ⋅ = = б) ; 2 2 25 x y 6 y 25 x y ⋅ 6 y 10 xy 2
а)
в) −
10 x 2 y 2 27 a 3 6a 3 x 2 y 2 ⋅ =− = −6axy ; 2 9a 5 xy a 2 xy
www.5balls.ru
г)
2m 3 35a 3 b 2
д)
13 x 12mn
7a 2 b 2m 3 ⋅ 7 a 2 b 1 =− ⋅ − =− ; 3 3 2 3 ⋅ 6 m 35 a b 6 m 15 ab ⋅ 4m 2 n =
2
11x 2 3a 2 b 2
13 x ⋅ 4m 2 n 12mn 2
=
13mx ; 3n
11abx 2 11x 2 = = . 3a 2 b 2 3ab
е) − ab ⋅ − № 114. а) б)
2a 2 b 3x 2 y 6ax 2a 2b ⋅ 3 x 2 y ⋅ 6ax a 2 x 2 ⋅ ⋅ = = ; 3 xy 4ab 2 15b 2 3 xy ⋅ 4ab 2 ⋅ 15b 2 5b 3 6m 3 n 2 35 p
⋅
3
49n 4 5
m p
⋅
3
5m 4 p 2 42n
6
=
6 ⋅ 49 ⋅ 5m 3 m 4 n 2 n 4 p 2 5 6
35 ⋅ 42m n p p
№ 115. 3
x x3 = ; 8y3 2y
а)
4
81a 4 3a = 4 ; c c
б)
3
n2 = в) 10m
3 2b
n6 1000m 3
2
;
6
9a 81a г) 2 = . 4 4b
№ 116. 4
2a 24 a 4 16a 4 а) 2 3 = 8 12 = 8 12 ; p q
p q
p q
2
3a 2 b 3 9a 4 b 6 б) 4 = ; 8
s
3
s
www.5balls.ru
3
=
m2 p4
.
2
4 2 2a 2 b = 4a b ; в) − 2 6 3
3mn
9m n
3
3x 2 27 x 6 г) − 3 = − ; 9
2 y
8y
№ 117. 2
x3 x6 а) 2 = 4 ; y b
2
y
3
6
2a 8a б) 3 = 9 ; b
4
5a 3 625a 12 в) 2 = ; 8 3b
81b
5
2x 2 32 x10 г) 3 = ; 15 3y
243 y
5
10 20 x2 y4 = x y д) ; 3 15
4m
2 b c
1024m
4
8
3a 81a е) 2 = 8 4 ;
b c
n p 2
3
6
10m 1000m ж) − 2 = − 6 3 ; n p
2
6 4 b 3c 2 =b c . з) − 3 6
8a
64a
№ 118. а)
x 2 − xy y 2 x( x − y ) y 2 ⋅ = = ( x − y ) y; y x yx
www.5balls.ru
3a ab + b 2 3ab(a + b) (a + b) a ⋅ = = ; 9 3b b2 9b 2 (m − n)2mn 2 m−n 2mn в) ⋅ = =− ; m mn mn − m 2 m(n − m)mn
б)
г) д)
4ab ax + bx 4abx (a + b) 2(a + b) ⋅ = = ; cx + dx 2ab 2abx(c + d ) c+d ma − mb 3n 2
⋅
(ma − mb)2m 2m ⋅ m(a − b) 2m 2m 2 = = = − ; nb − na (nb − na )3n 2 3n 2 n(b − a ) 3n 3
ax − ay a( x − y ) 5 xy 5 xy ( ax − ay ) =− =− = ⋅− 2 2 by − bx 2 2 xyb ( y − x) 5x y 5 x y (by − bx) a( x − y) a = = . bxy ( x − y ) bxy
е)
№ 119. 8
а) (3a − 15b) ⋅
2
=
2
8 ⋅ 3(a − 5b) 24 ; = ( a − 5b)(a + 5b) a + 5b
a − 25b 2 x( x − 2)( x + 2) 2 x( x − 2) 2x ; б) ( x − 4) ⋅ = = 2 x+2 ( x + 2) ( x + 2) 2 2
в)
y
⋅ ( y 2 − 4 y + 4) =
2
3 y − 12 2ab
y ( y − 2) 2 2
=
y ( y − 2) 2 y ( y − 2) ; = 3( y − 2)( y + 2) 3( y + 2)
3( y − 4) 2ab( a − 3b)(a + 3b) 2ab(a + 3b) ( a 2 − 9b 2 ) = . г) 2 = 2 a − 3b (a − 3b) 2 a − 6ab + 9b
№ 120. а)
kx + k 2 x
б)
2
ax + ay xy 2
⋅
xk ( x + k ) k x = 2 = ; x + k x (x + k) x
⋅
x2 y ax ( x + y ) ax ; = = 3x + 3 y 3 y ( x + y ) 3 y xy (a + a 2 )
a (1 + a ) 1 ; = = a +a x y x y 2 ( a 2 + a 3 ) a 2 xy (1 + a ) axy 6a 2 x − 2 6a ⋅ (2 x − 2) 2 ⋅ 6( x − 1) 4 г) 2 ⋅ = = 2 = 2. 2 3 ax x −x 3ax ( x − x) 3 x ( x − 1) x
в)
xy
2
3
⋅
a + a2 2
2
=
2
www.5balls.ru
№ 121. а)
2 x ( x 2 − y 2 ) 2 x ( x − y )( x + y ) x − y x 2 − y 2 2x ; ⋅ = = = 2 xy 2 xy ( x + y ) 2 xy ( x + y ) x+ y y
б)
ax(3 − x ) 3a − ax 4 x 2 (3a − ax ) ax ; = = =− 2 2 4 ( 3 )( 3 ) x x − x + x +3 x −9 4 x ( x − 9)
в)
y 2 − 16 5y 5 y ( y 2 − 16) 5 y ( y − 4)( y + 4) ( y − 4)( y + 4) ⋅ = = = = 10 xy 3 y + 12 10 xy (3 y + 12) 10 xy (3 y + 12) 2 ⋅ 3 x( y + 4)
4x 2
⋅
y−4 ; 6x 3ab(b − a ) 3b b−a 3ab ⋅ 2 = =− г) . 2 a (a − b)(a + b) a+b a a −b =
№ 122.
(
)
a 2 − 1 7 a − 7b a 2 − 1 (7 a − 7b ) 7(a − b)(a 2 − 1) ⋅ = = = a − b a2 + a (a − b)(a 2 + a ) (a − b)(a 2 + a) 7(a − 1)(a + 1)(a − b) 7(a − 1) = = ; a (a + 1)(a − b) a
а)
(b 2 + 2bc)(5b + 15) 5b(b + 2c)(b + 3) b 2 + 2bc 5b + 15 ⋅ 2 = = = b+3 b − 4c 2 (b + 3)(b 2 − 4c 2 ) (b + 3)(b 2 − 4c 2 ) 5b(b + 2c)(b + 3) 5b = = ; (b − 2c )(b + 2c)(b + 3) b − 2c
б)
в)
( x + 3) 2 x 2 − 4 ( x + 3) 2 ( x − 2)( x + 2) ( x + 3)( x + 2) = = ⋅ ; 2 x − 4 3x + 9 2( x − 2) ⋅ 3( x + 3) 6
г)
( y − 5) 2 y 2 − 36 ( y − 5) 2 ( y 2 − 36) ( y − 5) 2 ( y 2 − 36) ⋅ = = = 2 y + 12 2 y − 10 ( 2 y + 12)(2 y − 10) 2( y + 6) ⋅ 2( y − 5)
(y − 5) (y − 6)(y + 6) = (y − 5)(y − 6) . 2(y + 6 )⋅ 2(y − 5) 4 2
№ 123. а)
(5mn − m)(16m 2 − n 2 ) m(5n − 1)(4m − n)(4m + n) = = m(4m − n); (4m + n)(5n − 1) (5n − 1)(4m + n)
www.5balls.ru
1 4
Найдем значение этого выражения при m = ; n = −3 : m( 4 m − n ) =
б)
1 1 1 1 ( 4 ⋅ + 3) = (1 + 3) = ⋅ 4 = 1; 4 4 4 4
( x + 2) 2 (2 x + 6)
=
(3x + 9)( x 2 − 4)
2( x + 2) 2 ( x + 3) 2( x + 2) ; = 3( x + 3)( x − 2)( x + 2) 3( x − 2)
Найдем значение этого выражения при х = 0,5: 2( x + 2) 2(0,5 + 2) 2 ⋅ 2,5 2 ⋅ 25 10 1 = = =− = − = −1 ; 3( x − 2) 3(0,5 − 2) 3 ⋅ (−1,5) 3 ⋅ 15 9 9
Найдем значение этого выражения при х = -1,5: 2( x + 2) 2( −1,5 + 2) 2 ⋅ 0,5 1 2 = = = =− . 3( x − 2) 3( −1,5 − 2) 3 ⋅ ( −3,5) − 10,5 21 1 9
Ответ: а) 1; б) − 1 ;−
2 . 21
№ 124. а)
x 2 − 1 x 2 y x 2 y ( x − 1)( x + 1) x ( x − 1) ⋅ = = . 5 xy 1 + x 5 xy (1 + x ) 5
4nm(m − 4) m 2 − 4m 8n 2 (m 2 − 4m) 8mn(m − 4) = = = = 2 2 2 − 4)(m + 4) n m 6 3 ( m − 16 6n(m − 16) 6(m − 16) 4nm = ; 3( m + 4)
б)
в)
8n 2
a2 − b2 2
⋅
⋅
2a − 6
a − 3a (a + b) 2( a − b ) = ; a ( a + b)
г)
2
=
(2a − 6)(a 2 − b 2 ) 2
( a − 3a )(a + b)
2
=
2(a − 3)(a − b)(a + b) = a (a − 3)(a + b)(a + b)
bx + 3b ( x − 5) 2 (bx + 3b)( x − 5)( x − 5) b( x + 3)( x − 5) b( x − 5) . ⋅ = = = x 2 − 25 ax + 3a ( x − 5)( x + 5)(ax + 3a ) a ( x + 5)( x + 3) a ( x + 5)
№ 125. а) mx 2 − my 2 3m + 12 (mx 2 − my 2 )(3m + 12) 3( mx 2 − my 2 )(m + 4) ⋅ = = = my + mx 2m + 8 (2m + 8)(my + mx) (2m + 8)(my + mx)
www.5balls.ru
=
3m( x 2 − y 2 )(m + 4) 3( x − y )( x + y )(m + 4) 3( x − y ) = = ; 2m(m + 4)( y + x) 2(m + 4)( x + y ) 2
( ax + ay )( x 2 − xy ) x 2 − xy = = x 2 − 2 xy + y 2 7 x + 7 y ( x 2 − 2 xy + y 2 )(7 x + 7 y ) ax( x + y )( x − y ) ax ( x − y ) ax ; = = = 7( x − y ) 2 ( x + y ) 7( x − y ) 2 7( x − y ) ax + ay
б)
в) =
г)
⋅
x3 − y3 x2 − y2 ( x 3 − y 3 )( x 2 − y 2 ) ⋅ 2 = = x + y x + xy + y 2 ( x + y )( x 2 + xy + y 2 ) ( x − y )( x 2 + xy + y 2 )( x − y )( x + y ) ( x + y )( x 2 + xy + y 2 ) a2 −1
⋅
a2 − a +1
=
= ( x − y) 2 ;
(a 2 − 1)(a 2 − a + 1)
a 3 + 1 a 2 + 2a + 1 (a + 1)(a 2 − a + 1)(a 2 + 2a + 1) ( a − 1)(a + 1) a −1 ; = = 3 (a + 1) (a = 1) 2
д) е)
b3 − 8 2
⋅
b+3 2
b − 9 b + 2b + 4
=
(b − 2)(b 2 + 2b + 4)(b + 3) 2
(b − 3)(b + 3)(b + 2b + 4)
=
=
b−2 ; b+3
(c + 3) 2 (c 2 − 3c + 9) c + 6c + 9 c − 3c + 9 1 ⋅ = = . 3 3c + 9 c + 27 3(c + 3)(c 2 − 3c + 9)(c + 3) 3 2
2
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 126. а)
x 2 − 10 x + 25 x 2 − 16 ( x − 5 ) 2 ⋅ ( x 2 − 16 ) ( x − 5 )( x − 4 )( x + 4 ) ⋅ = = = 3 x + 12 2 x − 10 ( 3 x + 12 ) ⋅ 2( x − 5 ) 6( x + 4 )
( x − 4 )( x − 5 ) ; 6 1 − a 2 a 2 + 4ab + 4b 2 ( 1 − a )( 1 + a ) ⋅ ( a + 2b ) 2 ( 1 + a )( a + 2b ) б) ; ⋅ = = 4a + 8b 3 − 3a 4 ⋅ ( a + 2b ) ⋅ ( 1 − a ) ⋅ 3 12 =
в)
y 2 − 25 3 y + 18 ( y − 5 )( y + 5 ) ⋅ 3 ⋅ ( y + 6 ) 3( y − 5 ) ⋅ = = ; y + 12 y + 36 2 y + 10 ( y + 6 )2 ⋅ 2 ⋅ ( y + 5 ) 2( y + 6 )
г)
b3 + 8 2b + 3 ( b + 2 )( b 2 − 2b + 4 ) ⋅ ( 2b + 3 ) b + 2 . ⋅ 2 = = 2 18b + 27b b − 2b + 4 9b( 2b + 3 )( b 2 − 2b + 4 ) 9b
2
www.5balls.ru
№ 127. 2c (3a + b) 2a + 3c 2b − 3a − − 2 = 2a + c 3a + b 6a + 2ab + 3ac + bc 2c(3a + b) 2a + 3c 2b − 3a = − − = 2a + c 3a + b 2a (3a + b) + c(3a + b)
а)
=
2a + 3c 2b − 3a 2c(3a + b) − − = 2a + c 3a + b (3a + b)(2a + c)
=
(3a + b)(2a + 3c) − (2a + c)(2b − 3a ) − 2c(3a + b) = (3a + b)(2a + c )
=
6a 2 + 9ac + 2ab + 3bc − 4ab + 6a 2 − 2bc + 3ac − 6ac − 2bc = (3a + b)(2a + c )
=
12a 2 + 6ac − 2ab − bc 6a( 2a + c ) − b( 2a + c ) ( 2a + c )( 6a − b ) = = = ( 3a + b )( 2a + c ) ( 3a + b )( 2a + c ) ( 3a + b )( 2a + c )
6a − b ; 3a + b a 2 − 4ac + 3bc a + 3b a + 2c = б) 2 + + a − ab + bc − ac b − a a−c a 2 − 4ac + 3bc a + 3b a + 2c = − + = a( a − b ) − c( a − b ) a − b a−c =
=
a 2 − 4ac + 3bc a + 3b a + 2c − + = ( a − b )( a − c ) a − b a−c
=
a 2 − 4ac + 3bc − ( a − c )( a + 3b ) + ( a − b )( a + 2c ) = ( a − b )( a − c )
=
a 2 − 4ac + 3bc − a 2 − 3ab + ac + 3bc + a 2 + 2ac − ab − 2bc = ( a − b)(a − c)
=
a 2 − ac + 4bc − 4ab a (a − c) − 4b(a − c) (a − c )(a − 4b) a − 4b . = = = ( a − b)(a − c) (a − b)(a − c) (a − b)(a − c ) a−b
№ 128.
www.5balls.ru
30 ч; на втором этапе пути v 17 ч. его скорость была - (v + 2) км/ч, значит он проехал его за v+2
Первые 30 км велосипедист проехал за
Тогда всего ему потребовалось:
30(v + 2) + 17v 47v + 60 30 17 + = = . v v+2 v(v + 2) v(v + 2) а) Подставим v = 15 и вычислим t: 47v + 60 47 ⋅ 15 + 60 705 + 60 765 t= = = = = 3 (ч); v (v + 2) 15(15 + 2) 15 ⋅ 17 255
б) Подставим v=18 и вычислим t: t=
47v + 60 47 ⋅ 18 + 60 846 + 60 906 = = = ( ч ) = 2ч31мин. v( v + 2 ) 18( 18 + 2 ) 18 ⋅ 20 360
№ 129. На рисунке изображены графики данных функций. Найдем координаты точки пересечения: I. А (1,5;2,6) – из рисунка. II. Найдем координаты точки пересечения графиков данных функций из уравнения: 1,2x+0,9=-1,3х+4,4; y = -1,3x + 4,4
y 10 5
-4
0
-2
y = 1,2x +0,9
A
-5
1,2х+1,3х=4,4-0,9; 2,5х=3,5; х=3,5:2,5; х=1,4. Тогда y=1,2·1,4+0,9; y=1,68+0,9; y=2,58; т.е. А(1,4; 2,58).
www.5balls.ru
2
4
x
Абсолютная погрешность приближенного значения абсциссы равна 1,4 − 1,5 = − 0,1 = 0,1 ; абсолютная погрешность приближенного значения ординаты равна 2,58 − 2,6 = − 0 ,02 = 0 ,02 . № 130. а) 3х+ b= a; 3х=a – b; x =
a−b ; 3
б) b – 7x = a – b; 7x = 2b – a; x =
2b − a ; 7
x x + 1 = b ; = b − 1 ; х = а(b – a) = ab – a; a a x г) b − = a ; 10b – x = 10a; x = 10b – 10a = 10(b – a). 10
в)
6. Деление дробей № 131. 5m 15m 2 5m ⋅ 8 40m 4m 4 ÷ = = = = ; 2 2 2 6n 8 6n ⋅ 15m 90m n 9m n 9mn 14 7 x 14 ⋅ 2 y 2 14 ⋅ 2 y 2 4 y 2 = 4 ; б) = ÷ 2 = 3 3 9x 2y 9x ⋅ 7x 7 ⋅ 9x 4 9x
а)
a 2 ab 36a 2 3a ÷ = = 2 ; 12b 36 12b ⋅ ab b 3x 1 3x ⋅ 5a 2 15 xa 2 3 x ÷ 2 = = = ; г) 3 10a 5a 10a 3 10a 3 2a 11x 22 x 2 11x ⋅ 1 1 11x ; д) ÷ (22 x 2 ) = ÷ = = 2 4y2 1 4 y 2 ⋅ 22 x 2 8 xy 2 4y
в)
18a 4 27 a 3 18a 4 27 a 3 ⋅ 7b 2 21b 2 = ÷ = = ; 7b 2 1 7b 2 18a 4 2a 18c 4 18c 4 9c 2 d 18c 4 2c 2 ; ÷ (9c 2 d ) = ÷ = = ж) 2 7d 7d 1 7 d ⋅ 9c d 7 d 2 7 x 3 35 x 5 y 7 x 3 35 x 5 y ⋅ 34 = ÷ = = 170 x 2 y . з) 35 x 5 y ÷ 34 1 34 7x3
е) 27 a 3 ÷
№ 132.
www.5balls.ru
а)
6x 2 3x 6 x 2 ⋅ 10 y 3 4 x 2 y 3 = = 4 xy 2 ; ÷ = 3 5 y 10 y 3x ⋅ 5 y xy
8c 6c 2 8c ⋅ 7 d 4 ÷ = = ; 2 21d 7d 21d 2 ⋅ 6c 2 9cd 12 p 2 6 p 3 12 p 2 ⋅ 35d 2 10 ; в) ÷ = = 2 2 7d 35d 7d 4 ⋅ 6 p 3 pd 2
б)
г) − д)
9y2 y5 9 y 2 ⋅ 16 x 36 ⋅ 4 xy 2 36 ÷ =− =− =− 2 3 ; 3 3 5 20 x 16 x 20 x y 4 ⋅ 5x 3 y 5 5x y
3ab 21a 2 b 3ab ⋅ 10 x 2 y 5x =− ; ÷ − = − 2 2 4 xy 10 x y 21a b ⋅ 4 xy 14a
е) −
18a 2 b 2 9ab 3 ÷ − 2 4 5cd 5c d
18a 2 b 2 ⋅ 5c 2 d 4 2acd 3 = . = b 5cd ⋅ 9ab 3
№ 133. а) б)
6x 2 3
x
:
m n 3mn
2
6 x 2 ⋅ 3mn 2
=
3
xm n
=
18 x 2 mn 2 xm 3 n
=
18 xn m2
;
35 x 2 y 7 xy 35 x 2 y ⋅ 8ab 2 10ab 2 x 2 y 10bx : ; = = = 2 12ab 8ab 12ab ⋅ 7 xy 3abxy 3
4ab 3 a 2 b 3 ⋅ 33mn 3a 2 b 3 mn 3a = =− =− ; :− 2 3 4n 4ab 3 mn 2 11mn 33mn 11mn ⋅ 4ab 6 xy 2 ⋅ 10ab 6 xy 2 9 x 2 y 2 4 =− =− ; г) − : 2 2 x 5ab 10ab 3 5ab ⋅ 9 x y
в)
д)
a 2b 3
2
8mx 2 3y
3
(
)
: 4m 2 x =
е) 15a 2 bx :
a 3b 2 30 x
2
=
8mx 2 4m 2 x 8mx 2 ⋅ 1 2x : ; = 3 = 3 2 1 3y 3 y ⋅4m x 3my 3 15a 2bx a 3b 2 15a 2bx ⋅ 30 x 2 450 x 3 = = : . ab 1 a 3b 2 30 x 2
№ 134. а)
3x 2 9 x 3 5 y 3x 2 ⋅ 2 y 2 ⋅ 5 y 2 : 2 ⋅ = = 3; 3 3 3 5 y 2 y 3x 5 y ⋅ 9 x ⋅ 3x 9 x
www.5balls.ru
б)
7 p4
⋅
5q
:
3p
10q 3 14 p 2 4q 4
=
7 p 4 ⋅ 5q ⋅ 4 q 4 10q 3 ⋅ 14 p 2 ⋅ 3 p
=
pq 2 ; 3
2cd 2 a 2 b 2ab ⋅ 9ab ⋅ c 3 d 3a 2 b 2 c 3 d 3b : 3 = 2 = 2 3 3 = 2; 2 2 3c d 9ab c d 3c d ⋅ 2cd ⋅ a b a bc d d 2 2 2 2 2 3 2 2 8 x y 4 xy 2 x y 8 x y ⋅ 7 a b ⋅ ab a b x y a2 : : = = = г) . 7 ab 2 7 a 2 b ab 7 ab 2 ⋅ 4 xy 2 ⋅ 2 x 2 y ab 2 x 3 y 3 xy 2 2ab
в)
2
:
№ 135. а)
11m 4 6n 2 8x 3
⋅
5m
:
11n 3
=
11m 4 ⋅ 5m ⋅ 12m 3
=
10m 8
6n 3 12m 3 6n 2 ⋅ 6n 3 ⋅ 11n 3 6n 8 4 x 4 7 x 8 x 3 ⋅ 49 y 2 ⋅ y 2 2 y б) : : = = 2; 3 7 y 49 y 2 y 2 x 7 y 3 ⋅ 4x 4 ⋅ 7 x
=
5m 8 3n 8
;
4c 3 d 2 2cd 2 2cd 4c 3 d 2 ⋅ 3a 2 x ⋅ 3a 2 x 2 ac = = : : ; d 9a 3 x 3 3a 2 x 3a 2 x 2 9a 3 x 3 ⋅ 2cd 2 ⋅ 2cd 2ax ⋅ ay ⋅ 9b 2 z 3a 2 xyb 2 z 2ax 3bx 9b 2 z 3b : . г) ⋅ 2 = = 2 2 2 = 2 yz ay 8a xy yz ⋅ 3bx ⋅ 8a xy 4a x y bz 4 xy
в)
№ 136. m 2 − 3m 3m m(m − 3) ⋅ 8 x m − 3 = = : ; 8x 3x 8x 2 3m ⋅ 8 x 2 5 ⋅ b( a − b) 5(a − b) 5a 2 a3 : ; б) = = 3 2 6b ab − b 6ab 3 6ab 2 ax 2 (1 + x ) ax 2 x 2 + x 3 4 + 4x a 3 (x 2 + x 3 ) в) : ; = = = 44 11a 2 11a 2 ( 4 + 4 x) 11 ⋅ 4(1 + x) a3
а)
г)
6ax(3m − 6) 3 ⋅ 3( m − 2) 6ax 8ax 9 = = = : ; m 2 − 2m 3m − 6 8ax( m 2 − 2m) 4m(m − 2) 4m
д)
a (a − 3b) a 2 − 3ab a = : (7 a − 21b) = ; 3b 3 ⋅ 7b(a − 3b) 21b
(
) 5x −x10 y = ( x
− 4 y 2 ) 5 x − 10 y : = 1 x ( x − 2 y )( x + 2 y ) x x ( x + 2 y ) = = ; 5( x − 2 y ) 5
е) x 2 − 4 y 2 :
2
www.5balls.ru
ж) (2a − b) 2 : =
3(2a − b) 2 4a 3 − ab 2 (2a − b) 2 4a 3 − ab 2 = : = = 3 1 3 a ( 4a 2 − b 2 )
3(2a − b) 2 3(2a − b) = ; a ( 2a − b)(2a + b) a ( 2a + b)
( 2m − 3n) 2 (10m − 15n) (2m − 3n) 2 = : = 2m 1 2m 5(2m − 3n) 2m 10m = = . ( 2m − 3n)(2m − 3n) (2m − 3n)
з) (10m − 15n) :
№ 137. x 2 − 4 y 2 x 2 − 2 xy ( x 2 − 4 y 2 )3 y 3 y ( x − 2 y )( x + 2 y ) : = 2 = = xy 3y yx 2 ( x − 2 y ) ( x − 2 xy ) xy 3( x + 2 y ) = ; x2 a ⋅ ab 2 (1 − a ) a 2 b 2 (a − 1) 5b a 2b ab 2 б) 2 : ; = = − = − 5b( a − 1)(a + 1) 5(a + 1) a − 1 a − a 2 5b( a − 1)(a + 1)
а)
в) =
a 2 − 3a 2
:
a2 − 9 2
a − 25 a + 5a
=
( a 2 − 3a )(a 2 + 5a ) (a 2 − 2)(a 2 − 9)
=
a ⋅ a ( a − 3)(a + 5) a2 = ; ( a − 5)(a + 5)(a − 3)(a + 3) ( a − 5)(a + 3)
3m 2 − 3n 2 6m − 6n (3m 2 − 3n 2 )( p + m) : = 2 = p+m m 2 + mp (m + mp)(6m − 6n) 3( m − n)(m + n)(m + p) m + n = = ; 3 ⋅ 2m(m + p )(m − n) 2m
г)
д) ( x + 3 y ) : ( x 2 − 9 y 2 ) = =
( x + 3 y) ( x 2 − 9 y 2 ) : = 1 1
x + 3y 1 = ; ( x − 3 y )( x + 3 y ) x − 3 y
е) (a 2 − 6ab + 9b 2 ) : (a 2 − 9b 2 ) = =
(a − 3b) 2 2
a − 9b
2
=
( a − 3b) 2 (a 2 − 9b 2 ) : = 1 1
a − 3b (a − 3b) 2 = . (a − 3b)(a + 3b) a + 3b
www.5balls.ru
№ 138. а)
x 2 − xy 2 x x ( x − y )3 y x − y : = = ; 3y 6y 9y2 2x ⋅ 9 y 2
б)
2a 3 − a 2 b 2a − b ( 2a 3 − a 2 b)9b 3 a 2 (2a − b)b a 2 b ; : = = = 4( 2 a − b ) 4 36b 2 9b 3 36b 2 (2a − b)
3m + 12n (m 2 − 16n 2 ) 3m + 12n = : = mn 1 mn mn(m − 4n)(m + 4n) mn(m − 4n) = = ; 3(m + 4n) 3
в) (m 2 − 16n 2 ) :
г) ( x 2 − 25 y 2 ) : ( x 2 + 10 xy + 25 y 2 ) = =
( x − 5 y )( x + 5 y ) ( x + 5 y)
2
=
x 2 − 25 y 2 x 2 + 10 xy + 25 y 2
=
x − 5y ; x + 5y
c + 4c 3c + 12 (c 2 + 4c)(c − 2) : = 2 = c2 − 4 c − 2 (c − 4)(3c + 12) c(c + 4)(c − 2) c = = ; 3(c + 4)(c − 2)(c + 2) 3(c + 2)
д)
е) =
2
9 p 2 − 1 1 − 3 p (9 p 2 − 1)(3 p − 6) 3(9 p 2 − 1)( p − 2) : = = = pq − 2q 3 p − 6 ( pq − 2q )(1 − 3 p ) q ( p − 2)(1 − 3 p ) 3(3 p − 1)(3 p + 1)( p − 2) 3(3 p + 1) =− . − q ( p − 2)(3 p − 1) q
№ 139. а)
4 x ( x − 1) 4 x 2 − 4 x ( 2 x − 2) 4x 2 − 4x 2x : ; = = = 1 (2 x − 2)( x + 3) 2( x − 1)( x + 3) x + 3 x+3
подставим х = 2,5, получим:
2x 2 ⋅ 2,5 5 50 10 = = = = ; x + 3 2,5 + 3 5,5 55 11
подставим х = -1, получим:
2 ⋅ ( −1) −2 2x = = = −1. x + 3 −1+ 3 2
б)
(3a + 6b) 2a 2 − 8b 2 (3a + 6b)(a + b) 3(a + 2b)(a + b) : = = = a+b 1 2a 2 − 8b 2 2(a 2 − 4b 2 )
www.5balls.ru
=
3(a + 2b)(a + b) 3( a + b) = ; 2(a − 2b)(a + 2b) 2( a − 2b)
подставим а = 26, получим: 3( a + b) 3(26 − 12) 3 ⋅ 14 42 42 = = = = = 0,42. 2(a − 2b) 2(26 − 2( −12)) 2(26 + 24) 2 ⋅ 50 100
Ответ: а)
10 ;−1; б) 0,42. 11
№ 140. а) =
3x + 6 y
5 x + 10 y
:
x 2 − y 2 x 2 − 2 xy + y 2
=
(3x + 6 y )( x 2 − 2 xy + y 2 ) ( x 2 − y 2 )(5 x + 10 y )
=
3( x + 2 y )( x − y ) 2 3( x − y ) ; = 5( x − y )( x + y )( x + 2 y ) 5( x + y )
(a + 2) 2 (4 + b) 2 a 2 + 4a + 4 4 − a 2 : = = 16 − b 4 4 + b 2 (4 − b 2 )(4 + b 2 )(2 − a )(2 + a ) a+2 = ; ( 4 − b 2 )(2 − a )
б)
b(a 2 + ax + x 2 )( x + 2 y ) a 2 + ax + x 2 a 3 − x 3 : = = ax + 2ay bx + 2by a ( x + 2 y )(a − x )(a 2 + ax + x 2 ) b = ; a(a − x)
в)
г) =
4m 2 − 25n 2 m3 + 8
:
2 m + 5n m 2 − 2m + 4
=
( 4m 2 − 25n 2 )(m 2 − 2m + 4)
(2m + 5n)(2m − 5n)(m 2 − 2m + 4) ( m + 2)(m 2 − 2m + 4)(2m + 5n)
(m 3 + 8)(2m + 5n) =
2 m − 5n . m+2
№ 141. а) =
m 2 + 6m + 9 am + 3a ( m 2 + 6m + 9)4 xy : = = 4 xy 2x 2 y (am + 3a ) 2 x 2 y (m + 3) 2 4 xy a (m + 3)2 x y 2
=
2(m + 3) ; ax
www.5balls.ru
=
б)
в) =
ab 3 (1 − 2 p + p 2 ) b 2 (1 − p ) 2 ab 3 a 2b 2 : = = = 7 − 7 p 1− 2p + p2 7(1 − p ) ab (7 − 7 p ) a 2 b 2 b(1 − p ) = ; 7a a 2 + ax + x 2 a 3 − x 3 (a 2 + ax + x 2 )( x 2 − 1) : 2 = = x −1 ( x − 1)(a 3 − x 3 ) x −1 ( x − 1)( x + 1)(a 2 + ax + x 2 ) 2
2
( x − 1)(a − x)(a + ax + x )
x +1 ; a−x
p + 3 ( ap 2 − 9a )(2 p − 4) a ( p 2 − 9)(2 p − 4) = = = p −8 2p − 4 ( p 3 − 8)( p + 3) ( p 3 − 8)( p + 3) 2a ( p − 3)( p + 3)( p − 2) 2a ( p − 3) = = 2 . 2 ( p − 2)( p + 2 p + 4)( p + 3) p + 2 p + 4
г)
ap 2 − 9a
=
3
:
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 142. а) =
2b 5 4b 2 + 9 2b 5 4b 2 + 9 + − 2 = − − = 2b + 3 3 − 2b 4b − 9 2b + 3 2b − 3 (2b − 3)(2b + 3) 2b(2b − 3) − 5(2b + 3) − ( 4b 2 + 9) 4b 2 − 6b − 10b − 15 − 4b 2 − 9 = = (2b − 3)(2b + 3) (2b − 3)(2b + 3)
=−
8(2b + 3) 8 8 =− =− ; ( 2b − 3)(2b + 3) 2b − 3 3 − 2b
c + 6b 2b b + − = ac + 2bc − 6ab − 3a 2 a 2 + 2ab ac − 3a 2 c + 6b 2b b = + − = c(a + 2b) − 3a (2b + a ) a (a + 2b) a (c − 3a )
б)
=
c + 6b 2b b + − = ( a + 2b )( c − 3a ) a( a + 2b ) a( c − 3a )
=
a( c + 6b ) + 2b( c − 3a ) − b( a + 2b ) = a( a + 2b )( c − 3a )
=
ac + 6ba + 2bc − 6ab − ab − 2b 2 ac + 2bc − ab − 2b 2 = = a ( a + 2b)(c − 3a ) a (a + 2b)(c − 3a)
www.5balls.ru
=
c (a + 2b) − b(a + 2b) (a + 2b)(c − b) c−b = = . a (a + 2b)(c − 3a ) a (a + 2b)(c − 3a ) a (c − 3a )
№ 143. Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда (10 – х) км/ч – скорость лодки против течения; 45 мин=
3 ч; за 4
3 ч лодка прошла 4
3 (10 − x ) км; (3 х) км – лодка прошла обратно до пристани после 4
того, как испортился мотор. Получаем уравнение: 3 30 3 30 15 30 15 (1 − x) = 3 x; − x = 3x; = x; x = : = 2. 4 4 4 4 4 4 4
Ответ: 2 км/ч. № 144. Из условия задачи: а) 2cy = ab; c =
ab ; 2y
Из условия задачи: б) 2cy = ab; a =
2cy . b
№ 145. Из условия задачи: bc + ac ab ; bc + ac = ab; = abc abc ab c(a + b) = ab; c = ; a+b
а)
Из условия задачи:
bc + ac ab ; bc + ac = ab; = abc abc bc − ab = − ac; b(c − a ) = − ac;
б)
b=−
ac ac ;b = . c−a a−c
№ 146.
www.5balls.ru
На рисунке изображены графики данных функций. y 4 1 y= x 4
2
II
-4
I
0
-2
2
-2
III
4
x
1 3
y= − x
IV
-4 При к > 0 график в I и III четвертях; При к < 0 график во II и IV четвертях. 7. Преобразование рациональных выражений № 147. x 1 1 1 x2 − y2 x + y а) 2 − : + = : = y x y x xy xy 2 =
( x + y )( x − y ) xy ( x + y ) xy
2
=
x−y ; y
a a 2 m 2 m am + a 2 m 2 + am = б) 2 + 3 : 2 + = : 3 2 m
=
в)
m a
2
2
a (am + a ) 3
2
m (m + am)
=
a
m
2
a ⋅ a (m + a) 3
m ⋅ m( m + a )
=
a
a
3
m4
;
ab + b 2 b 3 a + b 3a ( ab + b 2 ) a + b : + = + = 3 3a b b 3b 3
a + b a 2 + ab + ab + b 2 (a + b) 2 = = ; b b3 b2 b2 x − y 5 y x 2 − xy x − y 5 y ( x 2 − xy ) − 2: = − = г) 5y x x 5x 2 y x =
ab(a + b)
+
www.5balls.ru
=
x − y 5 yx( x − y ) x − y x − y − = − = 0. x x x 5x 2 y
№ 148. 1 + x (2 x + 1)( x + 1) 2 x + 1 x + 1 ⋅ = = ; x + 1 2 x − 1 ( x + 1)(2 x − 1) 2 x − 1
а) б)
1 5y 2 = 1 − : 1− y2 1− y 1− y2 5y2
=−
5 y 2 (1 − y ) 2
y (1 − y )
=−
1− y −1 = : 1− y
5 y (1 − y ) 5y ; =− ( − y )(1 + y ) 1+ y
4a a + 2 4a − a ( 2 − a ) a + 2 − a) : = в) : a −2 = 2−a 2−a a−2 =
г) =
4a − 2a + a 2 a + 2 ( a 2 + 2a )(a − 2) : = = −a; 2−a a−2 ( 2 − a )(a + 2) x−2 x x − 2 x(2 − x) + x ( x − 2)(2 x − x 2 + x ) ⋅x + ⋅ = = = 2 − x x − 3 2 − x ( x − 3)(2 − x) x−3 − ( x − 2)( x 2 − 3x) x( x − 2)( x − 3) = = x. − ( x − 3)( x − 2) ( x − 3)( x − 2)
№ 149. 4m 2 m + 1 2m − 1 − = : 2m − 1 2m + 1 10m − 5
а) =
(2m + 1) 2 − ( 2m − 1) 2 4m : = (2m − 1)(2m + 1) 10m − 5
=
( 4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 + 4m − 1)(10m − 5) = (2m − 1)(2m + 1) ⋅ 4m
=
8m(10m − 5) 10 = ; 4m( 2m − 1)(2m + 1) 2m + 1
б)
x + 3 x + 3 x − 3 x + 3 x 2 + 6 x + 9 + x 2 − 6 x + 9 + = = ( x − 3)( x + 3) x 2 + 3 x − 3 x + 3 x 2 + 3
www.5balls.ru
=
( x + 3)(2 x 2 + 18) ( x 2 + 3)( x − 3)( x + 3)
=
2( x 2 + 9) ( x − 3)( x 2 + 3)
.
№ 150. а)
a 2 − 9 6a + 1 6a − 1 : + = a+3 2a 2 + 1 a − 3
a 2 − 9 6a 2 + 18a + a + 3 + 6a 2 − 18a − a + 3 = ⋅ (a − 3)(a + 3) 2a 2 + 1 a 2 − 9 12a 2 + 6 6(a − 3)(a + 3)(2a 2 + 1) = 2 ⋅ = = 6; 2a + 1 (a − 3)(a + 3) ( 2a 2 +1)(a − 3)(a + 3)
=
5x + y 5x − y x 2 + y 2 : = + 2 2 x − 5 y x + 5 y x − 25 y
б) = = =
(5 x + y )( x + 5 y ) + ( x − 5 y )(5 x − y ) x 2 + y 2 = : 2 ( x − 5 y )( x + 5 y ) x − 25 y 2 (5 x 2 + 25 xy + xy + 5 y 2 + 5 x 2 − xy − 25 xy + 5 y 2 )( x 2 −25 y 2 ) ( x − 5 y )( x + 5 y )( x 2 + y 2 ) 10( x 2 + y 2 )( x − 5 y )( x + 5 y ) ( x − 5 y )( x + 5 y )( x 2 + y 2 )
=
= 10.
№ 151.
a
а)
2
b − ab
=
+
ab a b ab ⋅ = = + ⋅ b a b ( b a ) a ( a b ) − − − a − ab b−a b
2
(a − b)(a + b)ab ab( a − b)(a + b) a + b a2 − b2 ab ; ⋅ = = = ab(b − a ) b − a ab(b − a )(b − a ) ab( a − b)(a − b) a − b y x 2 − y 2 x − : = xy − y 2 x 2 − xy 8 xy
б)
x2 − y2 x y : = − = 8 xy y ( x − y ) x( x − y ) =
( x 2 − y 2 )8 xy 2
2
( x − y ) xy ( x − y )
=
8 ; x− y
www.5balls.ru
4p − 8 − в) 3 2
q + 2 p ⋅ = 3 2 2q − p p − 2p q + 2q 4( p − 2) 4 q + 2 p p 1 = 2 − ⋅ = − ⋅ = p ( p − 2) q 2 (q + 2) 2q − p p 2 q 2 2q − p
=
4q 2 − p 2 2 2
p q
a − 7b
г)
ab − b 2
⋅ +
p (2q − p )(2q + p ) 2q + p = = ; 2q − p pq 2 (2q − p ) pq 2 7a + b a 2 + b 2 = : a 2 − ab a − b
a − 7b 7a + b a 2 + b 2 a (a − 7b) + b(7 a + b) a 2 + b 2 : = = : = + ab( a − b) a −b b(a − b) a (a − b) a − b =
( a 2 − 7 ab + 7 ab + b 2 )(a − b) 2
2
ab(a − b)(a + b )
=
1 . ab
№ 152. (a − 5)(a + 5) 1 a 2 − 25 a+5 a+5 ⋅ − = − = a + 3 a 2 + 5a a 2 − 3a a ( a + 5)(a + 3) a ( a − 3) ( a − 3)(a − 5) − (a + 3)(a + 5) a−5 a+5 = − = = a (a + 3) a (a − 3) a ( a + 3)(a − 3)
а)
=
a 2 − 5a − 3a + 15 − a 2 − 5a − 3a − 15 16a 16 =− = ; a (a + 3)(a − 3) a (a + 3)(a − 3) 9 − a 2
1 − 2 x x 2 + 3 x 3 + x 1 − 2 x ( x 2 + 3 x)(4 x + 2) + : = + = 2 x + 1 4 x 2 − 1 4 x + 2 2 x + 1 (4 x 2 − 1)(3 + x) 2 x( x + 3)(2 x + 1) 1 − 2x 1 − 2x 2x = + = + = 2 x + 1 (2 x − 1)(2 x + 1)( x + 3) 2 x + 1 2 x − 1
б)
=
−(2 x − 1)(2 x − 1) + 2 x(2 x + 1) = (2 x + 1)(2 x − 1) − 4x 2 + 4x − 1 + 4x 2 + 2x
6x − 1 ; = 2 4x 2 − 1 4x − 1 b − c ab − b 2 a 2 − c 2 b − c b(a − b)(a − c)(a + c) − ⋅ = − = в) a + b a 2 − ac a 2 − b 2 a + b a ( a − c )(a − b)(a + b) b − c b(a + c) a (b − c) − b(a + c) = − = = a + b a ( a + b) a ( a + b) =
www.5balls.ru
=
ab − ac − ab − bc −c (a + b) c = =− ; a ( a + b) a ( a + b) a
г)
a 2 − 4 a 2 − 2a 2 − y a 2 − 4 a ( a − 2) 2 − y : + = : + = x 2 − 9 xy + 3 y x − 3 x 2 − 9 y ( x + 3) x − 3
=
y ( a 2 − 4)( x + 3) 2 − y y ( a − 2)(a + 2) 2 − y + = + = a(a − 2)( x − 3)( x + 3) x − 3 a ( a − 2)( x − 3) x − 3
=
y (a + 2) 2 − y y (a + 2) + a (2 − y ) ay + 2 y + 2a − ay + = = = a ( x − 3) x − 3 a ( x − 3) a ( x − 3)
=
2 y + 2 a 2( a + y ) = . a ( x − 3) a ( x − 3)
№ 153. 1 4 x 2 = : 2x − 1 − 2x 2 x − 1 1 2 x 4 x 2 2x + 1 = + − = : 2 x − 1 1 2 x − 1 1
а) 2 x + 1 −
=
( 2 x − 1)(2 x + 1) + 1 2 x(2 x − 1) − 4 x 2 : = 2x − 1 2x − 1
=
4x 2 − 1 + 1 4x 2 − 2x − 4x 2 : = 2x − 1 2x − 1
=
− 4 x 2 ( 2 x − 1) = −2 x; 2 x (2 x − 1)
pq q 4q 2 − p 2 + = : p−q+ 2 2 p −q p + q q − p pq q p − q 4q 2 − p 2 : + = − p+q ( p − q )( p + q ) p − q 1
б)
= =
pq − q ( p + q ) ( p + q )( p − q ) + 4q 2 − p 2 : = ( p − q )( p + q ) p+q ( pq − pq − q 2 ) ( p − q )( p 2 − q 2 + 4q 2 − p 2 )
=
www.5balls.ru
=
=
− q2 ( p − q )3q
(
2
=
1 ; 3(q − p )
) a 1+ 1 + a 1− 1 − a 1− 1 =
в) a 2 + 2a + 1 ⋅
2
1 1 1 = − − a a a a + 1 ( + 1 )( − 1 ) − 1
(a + 1)2
= (a + 1)2
(a + 1) 2 a −1+1− a −1 a +1 ; =− = (a + 1)(a − 1) ( a + 1)(a − 1) a − 1
9x 2 + 4 1 1 : − +1= г) 1 − 12 x 3 x 2 12 x − 9 x 2 − 4 2 − 3 x +1= = : 12 x 6 x =
(
)
(3x − 2)2 + 1 = − 6 9 x 2 − 12 x + 4 +1= 12 x(2 − 3 x ) 2(3x − 2 )
3x − 2 3x 3x +1= −1+1= ; 2 2 2 2 3a + 2 2 − д) 1 − ⋅a − = 4 a −2 a + 2
2(a + 2) − 2(a − 2 ) 4a − 3a − 2 ⋅ = 1 − = 4 (a − 2 )(a + 2 )
2a + 4 − 2 a + 4 a − 2 8(a − 2) ⋅ =1− = = 1 − − 2)(a + 2) ( a − 2 )( a + 2 ) 4 4 ( a 2 a+2−2 a ; =1− = = a+2 a+2 a+2 3 2 +5= е) y 2 − 4 ⋅ − y y + 2 − 2
(
)
3y − 6 − 2 y − 4 + 5 = = ( y − 2)( y + 2) ⋅ ( y + 2)( y − 2) = y − 10 + 5 = y − 5.
№ 154.
www.5balls.ru
x 2 + y 2 x − y + 2 y x( x + y ) − x 2 − y 2 ⋅ x − ⋅ = = x + y y ( x − y ) x+ y y x + y x 2 + xy − x 2 − y 2 ( xy − y 2 ) y ( x − y ) = ⋅ = = = 1; y( x − y) x+ y y( x − y) y ( x − y ) 2ab a − b b + = б) a + b − : a+b a+b a 1 2 + y x−
а)
=
( a + b) 2 − 2ab a (a − b) + b( a + b) : = a+b a ( a + b)
=
a 2 + 2ab + b 2 − 2ab a 2 − ab + ab + b 2 : = a+b a (a + b)
=
a (a 2 + b 2 )(a + b) ( a 2 + b 2 )(a + b)
(
= a;
) x 1− 1 − x 1+ 1 + 1 = (x
в) x 2 − 1 ⋅ =
)
x +1 − x +1 + x2 −1 = −1 ⋅ ( x − 1)( x + 1)
( x 2 − 1)( x 2 + 1) = x 2 + 1; ( x − 1)( x + 1)
г) m + 1 −
=
2
1 m 2 (m + 1)(1 − m ) − 1 m(m − 1) − m 2 = ÷ = ÷ m − 1− m 1− m m − 1 m −1
(− m 2 + 1 − 1)(m − 1) = − (m + 1)(m − 1) − 1 m 2 − m − m 2 ÷ =− m −1 m(m − 1) − (m − 1)
=−
m 2 (m − 1) = −m . m(m − 1)
№ 155. 4 xy 1 1 = ÷ + y 2 − x 2 y 2 − x 2 x 2 + 2 xy + y 2 4 xy 1 1 = = 2 ÷ + y − x 2 (y − x )(y + x ) (x + y )2 4 xy x+ y+ y−x 4 xy 2y = ÷ = ÷ = 2 (y − x )(y + x ) (y − x )(y + x ) (y − x )(y + x ) (y − x )(y + x )2
а)
www.5balls.ru
4 xy (y − x )(y + x ) = 2 x(y + x ) ; (y − x )(y + x )2 y 2
=
x − 2y − б) 2 x + 2 xy
x + 2y 1 ÷ 2 2 x − 4y (2 y − x )2
(x + 2 y )2 ⋅ = 4y2
x − 2y (x + 2 y )2 (2 y − x )2 ⋅ = − = 4y2 x(x + 2 y ) (x − 2 y )(x + 2 y )(x + 2 y ) x − 2y (x − 2 y ) ⋅ (x + 2 y )2 = − = 2 4y2 x (x + 2 y ) (x + 2 y ) (x + 2 y )(x − 2 y ) − x(x − 2 y ) (x + 2 y )2 ⋅ = = 2 4y2 x(x + 2 y )
x 2 − 4 y 2 − x 2 + 2 xy (x + 2 y ) − 2 y (2 y − x )(x + 2 y ) ⋅ = = 2 2 4y 2 x(x + 2 y ) 4 y 2 x(x + 2 y ) 2
=
(x − 2 y )(x + 2 y ) 2 yx(x + 2 y )
2
=
2
a2
=
2
x − 2y ; 2 xy
a3
a
a2
= − 2 − 2 в) 2 2 ÷ a + n a + n + 2an a + n a − n a2 a3 a a2 ÷ = − = − 2 ( )( ) + − + + a n a n a n a n ( ) a + n a 2 (a + n ) − a 3 a 2 − an − a 2 ÷ = = 2 (a + n ) (a + n )(a − n ) =−
a 2 n(a + n )(a − n ) a (n − a ) ; = 2 a+n an(a + n )
2a
4a 2
2a
1
: 2 − 2 + г) = 2 2 b − 2a 2a + b 4a + 4ab + b 4a − b 2a 4a 2 2a 1 = : − = − 2 − + − b 2 a + b ( 2 a + b ) ( 2 a b )( 2 a b ) 2 a 2a( 2a + b ) − 4a 2 2a − 2a − b = : = 2 ( 2a + b ) ( 2a − b )( 2a + b ) =
2ab( 2a − b )( 2a + b ) ( −b ) 4a 2 + 2ab − 4a 2 : =− = ( 2a + b ) 2 ( 2a − b )( 2a + b ) ( 2a + b ) 2 b
=−
2a( 2a − b ) 2a( b − 2a ) = . 2a + b 2a + b
www.5balls.ru
№ 156. x+2 3x − 3 3 ⋅ − = x 2 − 2x + 1 x 2 − 4 x − 2 3( x + 2 )( x − 1 ) 3 3 3 = − = − = ( x − 1 ) 2 ( x − 2 )( x + 2 ) x − 2 ( x − 1 )( x − 2 ) x − 2
а)
=
б)
3 − 3( x − 1 ) 3( 2 − x ) 3 − 3x + 3 3 3 = = =− = ; ( x − 1 )( x − 2 ) ( x − 1 )( x − 2 ) ( x − 1 )( x − 2 ) x −1 1− x a a−2 a2 + 4 2 = : − 2 − 4a + 16a + 16 2a − 4 2a − 8 a 2 + 2a 2
a a2 + 4 2 = : − − 2 ( a − 2 ) 2 ( a − 2 )( a + 2 ) a ( a + 2 ) a 2 ( a + 2 ) − a( a 2 + 4 ) − 4( a − 2 ) a−2 = : = ( 2a + 4 ) 2 2a( a − 2 )( a + 2 )
=
a−2 ( 2a + 4 ) 2
=
a−2 a 3 + 2a 2 − a 3 − 4a − 4a + 8 : = 2 ( 2a + 4 ) 2a( a − 2 )( a + 2 )
=
2( a − 2 ) 2 a−2 a−2 2 a 2 − 8a + 8 = : = : 2 2 ( 2a + 4 ) 2a( a − 2 )( a + 2 ) ( 2a + 4 ) 2a( a − 2 )( a + 2 )
=
a( a − 2 )( a − 2 )( a + 2 ) a( a + 2 ) a = = ; ( 2a + 4 ) 2 ( a − 2 ) 2 ( 2a + 4 )( 2a + 4 ) 4( a + 2 ) y 2 − 3y 3y + 9 3 ⋅ 1 − = − 2 2 y y − 6y + 9 y − 9
в)
y 2 − 3y 3y + 9 3 ⋅ 1 − = = − 2 ( y − 3 ) ( y − 3 )( y + 3 ) y y( y − 3 )( y + 3 ) − 3( y + 3 )( y − 3 ) y − 3 = ⋅ ( y − 3 )2 ( y + 3 ) y ( y + 3 )( y − 3 )( y − 3 ) y − 3 y − 3 = ⋅ = . ( y − 3 )2 ( y + 3 ) y y
=
№ 157. a −1 1 − 3a + a 2 1 a2 +1 : = − − 2 a3 −1 a − 1 1 − a 3a + ( a − 1 )
а)
www.5balls.ru
a −1 1 − 3a + a 2 1 a2 +1 : = = − − 2 2 3a + a − 2a + 1 ( a − 1 )( a + a + 1 ) a − 1 1 − a a 2 − 2a + 1 − a 2 + 3a − 1 − a 2 − a − 1 a 2 + 1 = : = ( a − 1 )( a 2 + a + 1 ) 1− a =
( − a 2 − 1 )( 1 − a ) 1 = ; ( a − 1 )( a 2 + a + 1 )( a 2 + 1 ) a 2 + a + 1 3 3 2x − 1 1 − 3 + 2 ⋅x − = x x x x x +1 + 1 + 1 − + 1
б)
x( x + 1 ) − 2 x + 1 1 3 3 ⋅ = − + 2 = 2 x +1 x + 1 ( x + 1 )( x − x + 1 ) x − x + 1 2 2 x − x + 1 − 3 + 3x + 3 x + x − 2 x + 1 = ⋅ = ( x + 1 )( x 2 − x + 1 ) x +1 =
( x + 1 )2 ( x 2 − x + 1 ) x 2 + 2x + 1 x2 − x +1 ⋅ = = 1. ( x + 1 )( x 2 − x + 1 ) x +1 ( x + 1 )( x + 1 )( x 2 − x + 1 )
№ 158. p q 2p − q p2 − q2 1 − ⋅ = ⋅ − = pq p+q qp q p 2p − q ( p − q )( p + q ) 2 p − q ( p − q )( p + q ) 1 = − ⋅ = − = pq p+q qp pq pq( p + q )
а)
=
2p − q 1 − pq p+q
2p − q p − q 2p − q − p + q p 1 − = = = ; что и требовалось докаpq pq pq pq q
зать.
б) a −
a( a + b ) − 4ab + b( a + b ) 4ab + b : (a − b ) = :( a − b ) = a+b a+b
=
a 2 + ab − 4ab + ab + b 2 a − b a 2 − 2ab + b 2 = = : a+b ( a − b )( a + b ) 1
=
( a − b )2 a−b = ; ( a − b )( a + b ) a + b
a b 2ab a b 2ab − − 2 = + − = 2 a+b b−a a −b a + b a − b ( a − b )( a + b )
www.5balls.ru
=
a 2 − ab + ab +b 2 −2ab a 2 − 2ab + b 2 a−b = = ; что и требовалось ( a − b )( a + b ) ( a − b )( a + b ) a + b
доказать. в)
1,2 x 2 − xy 100( 1,2 x 2 − xy ) 20 x 20 x ; ; = = 2 2 0 ,36 x − 0 ,25 y 6 x + 5 y 100( 0 ,36 x 2 − 0 ,25 y 2 ) 6 x + 5 y
120 x 2 − 100 xy 120 x 2 − 100 xy 20 x 20 x − = 0; − = 0; 2 2 36 x − 25 y 6x + 5 y ( 6 x − 5 y )( 6 x + 5 y ) 6 x + 5 y 120 x 2 − 100 xy − 120 x 2 + 100 xy 0 = 0; = 0; ( 6 x − 5 y )( 6 x + 5 y ) ( 6 x − 5 y )( 6 x + 5 y )
0=0, что и требовалось доказать. № 159. а)
( a + b )2 − ( a − b )2 a+b a −b − = = 2( a − b ) 2( a + b ) 2( a − b )( a + b )
=
( a + b + a − b )( a + b − a + b ) 2a ⋅ 2b = = 2( a − b )( a + b ) 2( a − b )( a + b )
=
2ab ; ( a − b )( a + b )
=
b( b − a ) b b 2 − ab b − 2 = − = 2 a−b a −b a − b ( a − b )( a + b )
=
b( a − b ) b b b + = + = a − b ( a − b )( a + b ) a − b a + b
=
ab + b 2 + ab − b 2 2ab = ; тождество доказано. ( a − b )( a + b ) ( a − b )( a + b )
б)
100( 4 ,5a + 4 x ) 4,5a + 4 x 50 50 = = , ; 0 ,81a 2 − 0 ,64 x 2 9a − 8 x 100( 0,81a 2 − 0,64 x 2 9a − 8 x
100( 4 ,5a + 4 x ) 100( 4 ,5a + 4 x ) 50 50 = − = 0; ; 81a 2 − 64 x 2 9a − 8 x ( 9a − 8 x )( 9a + 8 x ) 9a − 8 x 450a + 400 x − 450a − 400 x 0 = 0; 0 ,0 = 0; ( 9a − 8 x )( 9a + 8 x ) ( 9a − 8 x )( 9a + 8 x )
доказано. № 160.
www.5balls.ru
тождество
a − b 2a b 2ab + + = ⋅ 2 2 2a + 2b a + b b − a a −b
а)
2ab a − b 2a b ⋅ − = = + ( a − b )( a + b ) 2( a + b ) a + b a − b 4ab + a 2 − 2ab + b 2 2a b = ⋅ − = 2( a − b )( a + b ) a+b a −b =
( a + b ) 2 ⋅ 2a b a b − = − = 1; что и требовалось 2( a − b )( a + b )( a + b ) a − b a − b a − b
доказать. б)
y x 3 − xy 2 − 2 x − y x + y2
y x ⋅ − 2 2 x − y2 ( x − y)
=
y x( x 2 − y 2 ) y x = − ⋅ − 2 x− y x2 + y2 ( x − y ) ( x − y )( x + y ) 2 2 2 2 y x( x − y ) x + xy − xy + y = − ⋅ = x− y x2 + y2 ( x − y )2 ( x + y )
=
=
y x( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) − 2 = x − y ( x + y 2 )( x − y ) 2 ( x + y )
y x( x − y )( x + y ) y x y−x x− y − = − = =− = −1, что и x − y ( x − y )2 ( x + y ) x − y x − y x − y x− y
требовалось доказать. № 161. 1 c 3c 2 − 3 − 2 3 a − c a − c a + ac + c2
а)
a2 ⋅ c + = a + c
1 3c 2 c = − − 2 2 2 a − c ( a − c )( a + ac + c ) a + ac + c2 a 2 + ac + c 2 − 3c 2 − ac + c 2 ac + c 2 + a 2 = ⋅ = ( a − c )( a 2 + ac + c 2 ) a+c =
a2 ⋅ c + = a + c
( a 2 − c 2 )( a 2 + ac + c 2 ) = 1, не зависит от а и с. ( a 2 + ac + c 2 )( a − c )( a + c ) 1
c
− 3 ⋅ б) 3a 3 a−c a −c
a 2 + ac + c 2 a+c
3c 2 − 2 = 2 a −c
www.5balls.ru
1 c( a 2 + ac + c 2 ) 3c 2 − 2 = = 3a − 2 2 2 a − c ( a − c )( a + ac + c )( a + c ) a − c a+c−c 3c 2 3a ⋅ a 3c 2 − 2 = − 2 = = 3a 2 ( a − c )( a + c ) a − c 2 ( a − c )( a + c ) a − c 3a 2 − 3c 2 = 2 = 3 -не зависит от а и с. a − c2
№ 162. 2
2
n 2 + 2n 2 + 1 1 n 21 = а) n + = ; n n n2 2
2
a 4 − 2a 2 b 2 + b 4 a b a2 − b2 = б) − = ; a 2b 2 b a ab 2
2
x x в) + 1 + − 1 = y y 2 2 2(x + y 2 ) x =2 2 +2= ; y y2 2
2
2
x x x x + 2 + 1 + − 2 + 1 = y y y y
2
2
2
2
p q p q p p q q p + − − = + 2 ⋅ + − + q p p q q p q p q
г)
2
+2
p q q ⋅ − =2+2=4; q p p
x+ y x− + y x
д)
2
y x+ y x− − − y x
2
y =
x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y = ⋅ + − + = + + − y x y x y x y x 2(x + y ) 2(x − y ) 4(x 2 − y 2 ) = ⋅ = ; x y xy 2
2
2
2
a+b a−b − 1 + b 2 + 1 = е) a a b 2
a 2b 2 b 2 a 2 a+b−a 2 a − b + b 2 2 = a2 +b = 2 + 2 =b +a . a b a b
№ 163.
www.5balls.ru
1 x = x − 1 ÷ x + 1 = x(x − 1) = x − 1 ; а) 1 x x x(x + 1) x + 1 1+ x 2a − b +1 2a − b + b 2 a + b − b 2a 2 a b б) = ÷ = ÷ =1; 2a + b b b b b −1 b y x + 2 2 x 3 + y 3 x 3 − y 3 (x 3 + y 3 )x 2 y 2 x 3 + y 3 y x ; в) = 2 2 ÷ 2 2 = 3 = y x (x − y 3 )x 2 y 2 x 3 − y 3 y x x y − y2 x2 1−
1 1 1 + + bc + ac + ab c + a + b ÷ = г) a b c = 1 1 1 abc abc + + ab bc ac bc + ac + ab )abc bc + ac + ab ( = = . abc(c + a + b ) a+b+c
№ 164. a x = 2 x − a ÷ 2 x + a = x(2 x − a ) = 2 x − a ; а) a x x x(2 x + a ) 2 x + a 2+ x a−b +3 a − b + 3c a + b − c (a − b + 3c )c a − b + 3c = ÷ = = б) c ; a+b c c (a + b − c )c a + b − c −1 c 1 1 + x y y + x y − x xy (y + x ) y + x ; = ÷ = = в) 1 1 xy xy xy (y − x ) y − x − x y 2−
г)
x − y x2 − y2 xy (x − y ) xy x− y . = ÷ = = x y ( 1 xy x − y )(x + y ) x + y − y x
www.5balls.ru
№ 165. а) Подставим x =
ab и получим: a+b
ab −a x−a a+b ab − a 2 − ab ab − ab − b 2 a 2 b 2 ÷ − = = ÷ = − = ab x−b a+b a+b a+b a+b −b a+b a 2 (a + b ) a 2 = 2 = . b (a + b ) b 2
б) Подставим x =
a−b и получим: a+b
a a a −b −x − 2 2 2 2 b b a + b = a + ab − ab + b ÷ ab + b + a − ab = = b b a −b b(a + b ) a (a + b ) +x + a a a+b a 2 + b 2 a 2 + b 2 a (a 2 + b 2 )(a + b ) a = ÷ = = . b(a + b ) a(a + b ) b(a 2 + b 2 )(a + b ) b
№ 166. a4 b2 − 2 2 2 2 9 = 9a − 4b ÷ 3a + 2b = 36(9a − 4b ) = а) 4 a b 36 36 36(3a + 2b ) + 12 18 (3a − 2b )(3a + 2b ) = 3a − 2b ; = 3a + 2b 2 1 Подставим a = , b = − и получим: 3 2 2 1 3a − 2b = 3 ⋅ − 2 ⋅ − = 2 + 1 = 3 ; 3 2
Ответ: 3. 0 ,2a − b 0 ,2a − b 0 ,2a − b a 2 − 25b 2 = = ÷ = a2 a 2 − 25b 2 1 25 − b2 25 25 5 ⋅ 5(0 ,2a − b ) 5(a − 5b ) 5 = = = ; 2 2 a − 25b (a − 5b )(a + 5b ) a + 5b
б)
www.5balls.ru
Подставим а = -8, b = 0,6 и получим: 5 5 5 = = = −1 ; a + 5b − 8 + 5 ⋅ 0,6 − 8 + 3
Ответ: -1. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 167. а)
y 1 -4
-2
0
2
4
x
-1 -2 -3 1) У точки пересечения графика с осью х y = 0, т.е. 1 x − 2 = 0 ; х = 4. 2
Таким образом, точка пересечения с осью х – это (4; 0); 2) У точки пересечения графика с осью y х = 0, т.е. y=
1 ⋅ 0 − 2 ; y = -2. 2
Таким образом, точка пересечения с осью y – это (0; -2). б) 1) У точки пересечения графика с осью х y = 0, т.е. 0 = -0,4х + 2; 0,4х = 2; х = 5. Точка пересечения с осью х – это (5; 0); 2) У точки пересечения графика с осью y х = 0, т.е. y = -0,4·0 + 2; y = 2. Точка пересечения с осью y – это (0; 2).
www.5balls.ru
y 4 3 2 1
-4
0
-2
2
4
6
x
-1 № 168. а) y = kx + b – уравнение прямой. Подставим координаты точки (0; 4) в это уравнение: 4 = k·0 + b; b = 4; коэффициент k у параллельных прямых одинаковый, следовательно k = 3; получим уравнение: y = 3x + 4. б) y = kx + b – уравнение прямой. Подставим координаты точки (0; 0) в это уравнение: 0 = k·0 + b; b = 0; коэффициент k у параллельных прямых одинаковый, следовательно, k = − ние: y = −
1 x. 2
www.5balls.ru
1 ; получим уравне2
№ 169. а)
y
b x
б)
y
b
x
в) y
b x
www.5balls.ru
г)
y b
x
№ 170. Пусть х см – длина меньшей стороны, тогда (х+20) см – длина большей стороны, 2х – удвоенная длина меньшей стороны, 3(х+20) см – утроенная длина большей стороны. По условию задачи периметр нового прямоугольника равен 240 см. Составим уравнение: 2( 2 x + 3( x + 20 )) = 240;2 x + 3( x + 20 ) = 120; 2 x + 3 x + 60 = 120;5 x = 60; x = 12; x + 20 = 32.
Ответ. 12 см, 32 см. № 171. Пусть х ч – время в пути пассажирского поезда, тогда (х+1) ч – время в пути скорого поезда, 110(х+1) км – расстояние до места встречи, которое прошел скорый поезд, 90х км – расстояние до места встречи, которое прошел пассажирский поезд. Расстояние между двумя станциями равно 710 км. Составим уравнение: 110( x + 1 ) + 90 x = 710; 110 x + 110 + 90 x = 710;200 x = 600; x = 3; x + 1 = 4.
Ответ. Через 4 ч. 8.Функция y =
k и ее график x
№ 172. y=
8 x
www.5balls.ru
х у
-4 -2
-2 -4
-0,25 -32
2 4
5 1,6
16 0,5
20 0,4
8 = −2; −4 8 y = −4;−4 = ;−4 x = 8; x = −2; x 8 x = −0 ,25; y = = −32; − 0 ,25 8 x = 2; y = 4; 2 8 3 x = 5; y = 1 = 1,6; 5 5 8 1 x = 16; y = = = 0,5; 16 2 8 y = 0,4;0 ,4 = ;0 ,4 x = 8; x = 20. x
1) x = −4, y = 2) 3) 4) 5) 6) 7)
№ 173. y=
х у
120 x
-1200 -0,1
-600 -0,2
240 -0,5
-120 -1
75 1,6
120 1 = − = −0 ,1; − 1200 10 120 x = −600; y = = −0 ,2; − 600 120 y = −0,5;−0 ,5 = ;−0,5 x = 120; x = −240; x 120 y = −1;−1 = ; x = −120; x 120 x = 75; y = = 1,6; 75 120 x = 120; y = = 1; 120
1) x = −1200; y = 2) 3) 4) 5) 6)
www.5balls.ru
120 1
300 0,4
1000 0,12
120 ;0 ,4 x = 120; x = 300; x 120 8) x = 1000; y = = 0,12. 1000
7) y = 0,4;0,4 =
№ 174. s = vt = 600, отсюда получаем: 600 а) v = (км/ч); t 600 (ч). б) t = v
№ 175. 10 10 ;y= 0 ,1; x 100 10 x = 1000; y = = 0 ,01; 1000 10 x = 0 ,1; y = = 100; 0,1 10 x = 0,02; y = = 500; 0,02 x = 100; y =
10 ;−200 = −200; данная точка − 0 ,05 10 принадлежит графику функции y = ; x 10 ;100 ≠ −100; данная точка не приB( −0 ,1;100 ); проверим 100 = − 0 ,1 A( −0 ,05;−200 ); проверим − 200 = −
надлежит графику данной функции; C( 400;0 ,025 ); проверим 0 ,025 =
10 ;0 ,025 = 0 ,025; данная точка при400
надлежит графику данной функции; D( 500;−0 ,02 ); проверим − 0,02 =
10 ;−0 ,02 ≠ 0 ,02; данная точка не 500
принадлежит графику данной функции. № 176.
www.5balls.ru
Как известно, обратная пропорциональность задается формулой: k k , отсюда получаем: 12 = ; k = 24; следовательно, искомая x 2 24 функция y = . x y=
№ 177. При рассмотрении графика получаются следующие результаты: а) x = 2; y = 4; x = 4; y = 2; x = −1; y = −8; x = − 4; y = − 2 ;
x = −5; y = −1,5; б) y = −4; x = −2; y = −2; x = −4; y = 8; x = 1
№ 178. Построим график функции по точкам: х у
-8 1
-4 2
-2 4
2 -4
4 -2
8 -1
По графику найдем искомые значения х и у: x = 2 ,5; y = −3,2; x = 1,5; y = −5,3; а) x = 4; y = −2; x = −1; y = 8;
y 8 6 4 2 -8
-6
-4
-2
0
2
-4 -6 -8
x = −2 ,5; y = 3,2;
б) y = 8; x = −1;
www.5balls.ru
4
6
8
x
y = −2; x = 4.
№ 179. Построим график функции по точкам: х у
-6 -1
-3 -2
-1 -6
1 6
3 2
6 1
По графику найдем искомые значения: y 8 6 4 2 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
8
-4 -6 -8
а) x = 1,5; y = 4; x = −2 ,5; y = −2,3; x = 3,5; y = 1,6; б) y = −3; x = −2; y = −1,5; x = −4; y = 4; x = 1,5; y = 7; x = 0 ,8.
№ 180. Построим график функции по точкам: а) х
-2
у
1 − 2
www.5balls.ru
-1 -1
1 1
2 1 2
y 4
2
-4
-2
0
2
x
4
-2
-4
б) х
-2
у
1 2
-1 1
1 -1
2 −
1 2
y 4
2
-4
-2
0
2
x
4
-2
-4
в) х у
-6 -4
-2 -8
-1 -24
www.5balls.ru
1 24
3 8
6 4
y 12 10 8 6 4
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
2
4
6
x
-4 -6 -8 -10 -12 -14
г)
y 12 10 8 6 4
-6
-4
-2
0 -4 -6 -8 -10 -12 -14
www.5balls.ru
х у
-6 4
-3 8
№ 181.
-1 24
1 -24
3 -8
6 -4
y
8
6
4
2
0
2
4
6
8
x
Объем прямоугольного параллелепипеда равен V = abc = 120см 3 ; (где с – его высота). получаем: - обратная пропорциональность, так как она имеет вид y =
k , при k = 6. x
Область определения функции b =
6 - все положительные числа, a
т.е. a f 0 (поскольку длина стороны основания – положительное число). Построим график функции по точкам: a b
1 6
2 3
3 2
№ 182. k 1 ; k = 0 ,125 ⋅ 8 = 1; y = ; 8 x 2 4 4 k 4 2 9⋅2 6 1,2 б) B( ;1 ); получаем 1 = ; k = 1 ⋅ = = = 1,2; y = ; 3 5 5 2 5 3 5⋅3 5 x k 5 в) C( −25;−0,2 ) ; получаем − 0,2 = ; k = ( −0 ,2 ) ⋅ ( −25 ); k = 5; y = . − 25 x
а) A( 8;0 ,125 ); получаем 0 ,125 =
www.5balls.ru
№ 184. а) к > 0; т.к. х > 0 и у >0, либо х < 0 и у < 0 б) к < 0, т.к. х > 0 и у < 0, либо х < 0 и у >0. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 185. а)
5( x − y ) 2 5( x − y ) 2 5( x − y ) 2 5 = = = не зависит от х и у 2 3( y − x ) ⋅ 3( y − x ) 9( x − y ) 2 9 ( 3 y − 3x )
б)
( 3 x − 6 y ) 2 3( x − 2 y ) ⋅ 3( x − 2 y ) 9( x − 2 y ) 2 9 = = = не зависит от х 4( 2 y − x ) 2 4( 2 y − x ) 2 4( x − 2 y ) 2 4
и у. № 186. 1 12 x + 7 3 − − = : 2 x+2 x−2 4−x x−2 x+7 3 1 12 = − + ÷ x − 2 = ( )( ) x + 2 x − 2 x − 2 x + 2 3(x − 2 ) − (x + 2 ) + 12 x + 7 2(x + 2 ) x−2 = ÷ = ⋅ = (x − 2)(x + 2) x − 2 (x − 2 )(x + 2 ) x + 7 =
2(x + 2 )(x − 2 ) 2 . = (x − 2)(x + 2)(x + 7 ) x + 7
№ 187. yz − xz + xy 1 1 1 1 1 1 = 0 ; yz − xz + xy = 0 ; = − ; − + =0; xyz x y z x y z
а) yz − xz + xy = 0 ; yz = xz − xy ; yz = x(z − y ) ; x = б) yz − xz + xy = 0 ; yz − xz = − xy ; z (y − x ) = − xy ; z=
yz ; z−y
− xy xy . = y−x x− y
Дополнительные упражнения к главе I
www.5balls.ru
К ПАРАГРАФУ 1 № 188. а) 5 x 2 (x 2 − 2 x + 3) = 5 x 4 − 10 x 3 + 15 x 2 ; б) − 8 y 2 (y 2 − 5 y − 1) = −8 y 4 + 40 y 3 + 8 y 2 ;
в) (a 2 − 5a + 4 )(2a + 3) = 2a 3 − 10a 2 + 8a + 3a 2 − 15a + 12 = = 2a 3 − 7 a 2 − 7 a + 12 ; г) (3b − 2)(b 2 − 7b − 5) = 3b 3 − 21b 2 − 15b − 2b 2 + 14b + 10 = = 3b 3 − 23b 2 − b + 10 ; д) 3x 2 (− 5 x 2 + 4 x − 1) + 16 x 4 = −15 x 4 + 12 x 3 − 3x 2 + 16 x 4 = = x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 ; е) 8 y 6 − 2 y 3 (1 − 5 y − y 2 + 4 y 3 ) = 8 y 6 − 2 y 3 + 10 y 4 + 2 y 5 − 8 y 6 =
= 2 y 5 + 10 y 4 − 2 y 3 ;
ж) (a 2 + 7a + 3)(a 2 − 4a + 2) = a 4 + 7 a 3 + 3a 2 − 4a 3 − 28a 2 − 12a + 2a 2 + + 14a + 6 = a 4 + 3a 3 − 23a 2 + 2a + 6 ;
з) (b 2 − 3b − 5)(b 2 + 3b − 5) = (b 2 − 5) − (3b ) = b 4 − 10b 2 + 25 − 9b 2 = 2
2
= b 4 − 19b 2 + 25 .
№ 189. а) (− 4 x + 7 a )(7a + 4 x ) = (7 a − 4 x )(7 a + 4 x ) = 49a 2 − 16 x 2 ; б) (3c 2 − 8)(3c 2 + 8) = 9c 4 − 64 ; 2 в) (2 x − 5 y ) = 4 x 2 − 20 xy + 25 y 2 ; г) ( p 2 + 2) = p 4 + 4 p 2 + 4 ; 2
д) (3a − 2b )(9a 2 + 6ab + 4b 2 ) = 27 a 3 − 8b 3 ; е) (x 2 + 5 y )(x 4 − 5 x 2 y + 25 y 2 ) = x 6 + 125 y 3 ;
ж) (m − n ) − (m − n )(m 2 + mn + n 2 ) = m 3 − 3m 2 n + 3m 2 n − n 3 − (m 3 − n 3 ) = = 3mn 2 − 3m 2 n ; 3 з) (x + y ) − (x + y )(x 2 − xy + y 2 ) = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − (x 3 + y 3 ) = 3
= 3x 2 y + 3xy 2 .
№ 190.
www.5balls.ru
а) a 2 b + ab 2 = ab(a + b ) ; б) x 3 y − xy 3 = xy (x 2 − y 2 ) ;
в) 7 x 2 − 14 xy + 21ax = 7 x(x − 2 y + 3a ) ; г) 9 xy − 3by + 15ay = 3 y (3x − b + 5a ) ;
д) x 4 − x 3 + x 2 − x = x 3 (x − 1) + x(x − 1) = (x − 1)(x 3 + x ) = = x(x − 1)(x 2 + 1) ; е) c 4 − 2c 3 − c 2 + 2c = c 3 (c − 2 ) − c(c − 2 ) = (c − 2 )(c 3 − c ) = = c(c − 2)(c 2 − 1) = c(c − 2 )(c − 1)(c + 1) ; 2 ж) (a − 2 ) − 25a 2 = (a − 2 − 5a )(a − 2 + 5a ) = (− 4a − 2 )(6a − 2 ) = = −4(2a + 1)(3a − 1) = 4(2a + 1)(1 − 3a ) ; 2 з) (b + 3) − 36b 2 = (b + 3 + 6b )(b + 3 − 6b ) = = (7b + 3)(− 5b + 3) = (7b + 3)(3 − 5b ) ; и) 125 x 3 + 8 = (5 x + 2)(25 x 2 − 10 x + 4) ; к) 216 x 3 − 27 = (6 x − 3)(36 x 2 + 18 x + 9) ; 3 2 л) (a + 1) + a 3 = (a + 1 + a )(a + 1) − a(a + 1) + a 2 = = (2a + 1)(a 2 + 2a + 1 − a 2 − a + a 2 ) = (2a + 1)(a 2 + a + 1) ; 3 2 м) (b + 2 ) − 8b 3 = (b + 2 − 2b )(b + 2 ) + (b + 2 )2b + 4b 2 = = (2 − b )(b 2 + 4b + 4 + 2b 2 + 4b + 4b 2 ) = (2 − b )(7b 2 + 8b + 4 ) .
(
)
[
]
№ 191. а) (a 2 + a + 1)(a 2 − a + 1) = a 4 − a 3 + a 2 + a 3 − a 2 + a + a 2 − a + 1 = = a 4 + a 2 + 1 , что и требовалось доказать; б) (b 4 + b 2 + 1)(b 4 − b 2 + 1) = b 8 − b 6 + b 4 + b 6 − b 4 + b 2 + b 4 − b 2 + 1 = = b 8 + b 4 + 1 , что и требовалось доказать; в) (c 2 − 2c + 2)(c 2 + 2c + 2) = = c 4 + 2c 3 + 2c 2 − 2c 3 − 4c 2 − 4c + 2c 2 + 4c + 4 = c 4 + 4 , что и требова-
лось доказать. № 192. а)
51 + 17 2 17 ⋅ 3 + 17 2 17(3 + 17 ) 17 ⋅ 20 = = = = 34 ; 10 10 10 10
www.5balls.ru
б)
37 2 + 111 37 2 + 37 ⋅ 3 37(37 + 3) 37 ⋅ 40 = = = = 37 . 40 40 40 40
№ 193. Составим таблицу: Поезда 1-й 2-й
t, ч t t-3
v, км/ч 60 v
s, км 60t v(t – 3)
Запишем уравнение: 60t + v(t − 3) = 600 ; 600 − 60t = v(t − 3) ;
600 − 60t 60(10 − t ) ; v= . t −3 t −3 60(10 − 7 ) 60 ⋅ 3 = = 45 (км/ч). Подставим t = 7: v = 7−3 4 60(10 − 6 ) 60 ⋅ 4 = = 80 (км/ч). Подставим t = 6: v = 6−3 3 v=
№ 194. а) х – любое действительное число; 7 2
б) 2 y + 7 ≠ 0 ; 2 y ≠ −7 ; y ≠ − ; y ≠ −3,5 . Ответ: y ≠ −3,5 ; 9 9 = ; x(x − 7 ) ≠ 0 ; 1) x1 ≠ 0 ; 2) x − 7 ≠ 0 ; x ≠ 7 . x − 7 x x(x − 7 ) Ответ: x ≠ 0 , x ≠ 7 ;
в)
2
г) y – любое действительное число; д) x − 3 ≠ 0 ; x ≠ −3 , x ≠ 3 .
Ответ: x ≠ −3 , x ≠ 3 ; е) y – любое действительное число. № 195. а)
5 ; x−2
б)
7 − 2x ; 3x 2 − x 3
в)
4x + 1 ; 9 − x2
№ 196.
www.5balls.ru
г)
6 . 4x 2 − 1
8 − 3x , потому что 4 x 2 + 7 f 0 при всех х. 4x 2 + 7
№ 197. а) x − 2 ≠ 0 ; x ≠ 2 ; Ответ: x ≠ 2 ; б) x + 5 ≠ 0 ; x ≠ −5 ; Ответ: x ≠ −5 ; в) 2 x − 6 ≠ 0 ; 2 x ≠ 6 ; x ≠ 3 ; Ответ: x ≠ 3 . № 198. а) −
99 x 9 ⋅ 11x 9x =− =− ; 22 y 2 ⋅ 11 y 2y
216bc 36 ⋅ 6b 6b ; = = 180ac 36 ⋅ 5a 5a 405ac 45 ⋅ 9c 9c = = ; в) 45ay 45 y y
б)
18abc 18b b ; = = 180ac 18 ⋅ 10 10 35a 5 y 4 7 ⋅ 5a 5 y 4 5a = = ; д) 28a 4 y 8 7 ⋅ 4a 4 y 8 4 y 4
г)
е)
7x 4 y 4 7y4 1 = = 10 . 4 14 14 14 x y 7 ⋅ 2y 2y
№ 199. а)
17 xy + 34 17(xy + 2 ) xy + 2 = = ; 17(xy + 34 ) 17(xy + 34 ) xy + 34
(3a − 3c )
2
б) в) =
9 a − 9c 2
2
3a − 3c 3(a − c ) a − c (3a − 3c ) = = = ; (3a − 3c )(3a + 3c ) 3a + 3c 3(a + c ) a + c 2
=
2b 2 − 2a 2 2(b 2 − a 2 ) 2(b 2 − a 2 ) = = = (2a − 2b )2 (2a − 2b )(2a − 2b ) 2 ⋅ 2(a − b )(a − b )
(b − a )(b + a ) = − (a − b )(a + b ) = − a + b = a + b ; 2(a − b )(a − b ) 2(a − b )(a − b ) 2(a − b ) 2(b − a )
www.5balls.ru
(a
(a − 3) (a + 3) = (a + 3) ; − 9) = (3 − a )3 (a − 3)2 (3 − a ) 3 − a
г)
2
2
2
x 2 − 100 x − 10 (x − 10)(x + 10) = = ; 3 2 2 x + 1000 (x + 10 )(x − 10 x + 100 ) x − 10 x + 100
д)
8 y 3 − 1 (2 y − 1)(4 y 2 + 2 y + 1) 4y2 + 2y + 1 = =− ; 3 y − 4y y (1 − 2 y )(1 + 2 y ) y (1 + 2 y )
е) ж) з) =
2
2
2x − y 2x − y 2(2 x − y ) 2 = = = ; x 2 − 0 ,5 xy x(x − 0 ,5 y ) x(2 x − y ) x
5a 2 − 3ab 25a(5a − 3b ) = = a 2 − 0,36b 2 25(a − 0,6b )(a + 0 ,6b )
25a (5a − 3b ) 25a = . (5a − 3b )(5a + 3b ) 5a + 3b
№ 200. а) б) в) г)
10ab − 15b 2 5b(2a − 3b ) 5b = = ; 4a 2 − 6ab 2a (2a − 3b ) 2a 21xy − 7 y 2 7 y (3 x − y ) 7 y = = ; 6 x 2 − 2 xy 2 x(3 x − y ) 2 x
2 x 2 + 10 xy 2 x(x + 5 y ) 2x = = ; 2 2 x − 25 y (x − 5 y )(x + 5 y ) x − 5 y
6 p 2 − 8 pq 2 p (3 p − 4q ) 2p ; = = 9 p − 24 pq + 16q 2 (3 p − 4q )2 3 p − 4q 2
a 2 − 4a + 4 (a − 2) (a − 2) = a − 2 ; = = a + ab − 2a − 2b a (a + b ) − 2(a + b ) (a + b )(a − 2) a + b 2
д) е)
2
2
6 x 2 − 3xy + 4 x − 2 y 3 x(2 x − y ) + 2(2 x − y ) (2 x − y )(3 x + 2 ) 2 x − y = = = 9 x 2 + 12 x + 4 3x + 2 (3x + 2)2 (3x + 2)2 a 2 + 4ab + 4b 2 a + 2b (a + 2b ) = = ; (a + 2b )(a 2 − 2ab + 4b 2 ) a 2 − 2ab + 4b 2 a 3 + 8b 3 2
ж) з)
(3x − y )(9 x 2 + 3xy + y 2 ) = 3x − y . 27 x 3 − y 3 = 2 2 18 x + 6 xy + 2 y 2(9 x 2 + 3 xy + y 2 ) 2
№ 201.
www.5balls.ru
а) б) в) =
1 b 14 − b 7 + 1 b 14 − b 7 + 1 . = 7 = 21 (b + 1)(b14 − b 7 + 1) b 7 + 1 b +1
(x 11 − 1)(x 22 + x 11 + 1) = x 11 − 1 ; x 33 − 1 = 22 11 x +x +x x 11 (x 22 + x 11 + 1) x 11 33
x(y − z ) − y (x − z ) xy − xz − xy + yz = = 2 2 2 ( x y 2 yz − + z 2 ) − y (x 2 − 2 xz + z 2 ) x(y − z ) − y (x − z ) yz − xz = xy − 2 xyz + xz 2 − x 2 y + 2 xyz − yz 2 2
= =
z (y − x ) z (y − x ) = 2 2 (xy − x y ) + (xz − yz ) xy(y − z ) + z 2 (x − y ) = 2
2
z (y − x ) z = ; 2 (y − x )(xy − z ) xy − z 2
a (b + 1) − b(a + 1) a (b 2 + 2b + 1) − b(a 2 + 2a + 1) = = a (b + 1) − b(a + 1) ab + a − ab − b 2
г)
2
ab 2 + 2ab + a − a 2 b − 2ab − b (ab 2 − a 2 b ) + (a − b ) = = a−b a−b ab(b − a ) + (a − b ) (a − b )(1 − ab ) = = = 1 − ab . a−b a−b =
№ 202. Произведем замену:
(kx ) − 2(ky ) = k 2 x 2 − 2k 2 y 2 = k 2 (x 2 − 2 y 2 ) ; x2 − 2y2 = 3 y 2 + 5 xy 3(ky )2 + 5kx ⋅ ky 3k 2 y 2 + 5k 2 xy k 2 (3 y 2 + 5 xy ) 2
2
x2 − 2y2 x2 − 2y 2 ≡ 2 - дробь, тождественно равная первоначальной. 2 3 y + 5 xy 3 y + 5 xy
№ 203. При x =
2 3 и y = , дробь равна: 7 7 2
2
2 3 4 9 12 + 9 3⋅ + 3⋅ + 3x 2 + y 2 7 7 = 49 49 = 49 = = 2 2 4 9 12 − 9 3x 2 − y 2 2 3 3⋅ − 3⋅ − 49 49 49 7 7
www.5balls.ru
=
21 3 21 ⋅ 49 ÷ = =7 49 49 3 ⋅ 49
При х = 2 и y = 3, дробь равна: 3 x 2 + y 2 3 ⋅ 2 2 + 3 2 3 ⋅ 4 + 9 12 + 9 21 = = = = = 7 , что и требовалось 3 x 2 − y 2 3 ⋅ 2 2 − 3 2 3 ⋅ 4 − 9 12 − 9 7
доказать. № 204. а) б)
36
(a − b )
2
108
=
=
36 36 4 = = ; 9 2 81 9 108
=
108
(b − a ) (a − b ) 9 (5a − 5b ) = 5 ⋅ 5(a − b ) 2
2
2
=
108 12 4 1 = = =1 ; 81 9 3 3
25 ⋅ 9 2 = 5 ⋅ 9 = 45 ; 45 45 45 a 2 + ab + b 2 a 2 + ab + b 2 1 1 = = = г) 3 3 (a − b )(a 2 + ab + b 2 ) a − b 9 a −b 2
в)
Ответ: а)
2
=
4 1 1 ; б) 1 ; в) 45; г) . 9 3 9
К ПАРАГРАФУ 2 № 205. x 2 − 2x 4x − 9 x 2 − 2x − 4x + 9 − = = x−3 x−3 x−3 2 x 2 − 6 x + 9 (x − 3) = = = x−3; x−3 x−3 y 2 − 10 y 2 − 10 − 54 y 2 − 64 54 − = = = б) y −8 y −8 y −8 y −8
а)
=
(y − 8)(y + 8) = y + 8 ; y −8
a2 b2 a2 b2 a2 − b2 + 2 = 2 − 2 = 2 = 1; 2 2 2 2 a −b b −a a −b a −b a − b2 x 2 − 2 x 2 y − y 2 x 2 − 2 x + 2 y − y 2 (x 2 − y 2 ) − (2 x − 2 y ) − = = = г) 2 x − y2 y2 − x2 x2 − y2 x2 − y2
в)
2
www.5balls.ru
=
(x − y )(x + y ) − 2(x − y ) = (x − y )(x + y − 2) = x + y − 2 . (x − y )(x + y ) x −y x+ y 2
2
№ 206.
(y − b )
2
а)
(y − b ) + y − b = y−b = y − b +1 y − b +1 2
y − b +1
+
(y − b )(y − b + 1) = y − b ; = y − b +1
(a + x )
2a + 2 x (a + x ) − 2(a + x ) = = a+x−2 a+x−2 a+x−2 (a + x )(a + x − 2) = a + x ; = a+x−2 2 x − y2 x+ y y2 − x2 x+ y + = + = в) x − y −1 y − x +1 y − x +1 y − x +1 2
б)
=
2
−
(y − x )(y + x ) + (y + x ) = (y + x )(y − x + 1) = y + x ; y − x +1
y − x +1
2(b − 3c ) (b − 3c )(b + 3c ) 2(b − 3c ) b − 9c + = − = b + 3c − 2 2 − b − 3c b + 3c − 2 b + 3c − 2 (b − 3c )(b + 3c ) − 2(b − 3c ) = (b − 3c )(b + 3c − 2) = b − 3c . = b + 3c − 2 b + 3c − 2 2
2
г)
№ 207. a 2 − 12b 3ab − 4a a 2 − 12b − 3ab + 4a − = = a 2 − 3ab a 2 − 3ab a 2 − 3ab a (a + 4) − 3b(4 + a ) (a + 4)(a − 3b ) a + 4 = = = . Подставим а = -0,8: a(a − 3b ) a (a − 3b ) a
а)
a + 4 −0 ,8 + 4 3,2 = = = −4 . − 0 ,8 − 0 ,8 a
b = -1,75 – лишнее данное в задаче. б) =
x2 − 2y 4 − xy x 2 − 2 y − 4 + xy − = = x 2 + xy + 2 x x 2 + xy + 2 x x 2 + xy + 2 x
(x − 2)(x + 2) + y (x − 2) = (x − 2)(x + 2 + y ) = x − 2 . Подставим х = 20: x(x + y + 2 ) x(x + y + 2 ) x
www.5balls.ru
x − 2 20 − 2 18 9 . = = = x 20 20 10
y = 22,5 – лишнее данное в задаче. № 208. x+2 x 2 2 = + =1+ ; x x x x y + z2 y z2 y = + = +z; б) z z z z a 2 − 2a + 4 a 2 2a 4 4 = − + =a−2+ ; в) a a a a a b 2 + 3b − 6 b 2 3b 3 6 = + − =b+3− . г) b b b b b
а)
№ 209. а)
n+6 n 6 6 = + = 1 + ; при п = 1; 2; 3; 6. Значение выражения – цеn n n n
лое. б)
5n − 12 5n 12 12 ; при п = 3; 4; 6; 12. Значение выражения = − =5− n n n n
– целое. в)
36 − n 2 36 n 2 36 = 2 − 2 = 2 − 1 ; при п = 1; 2; 3. Значение выражения – n2 n n n
целое. № 210. а)
x+ y x y x = + = +1= 5 +1= 6 ; y y y y
б)
x− y x y x = − = −1= 5 −1= 4 ; y y y y
в)
y x 1 = = 5 −1 = ; x y 5
г)
x x + 2y y 2 2 = 1 + 2 = 1 + ⋅ 2 = 1 + (5 −1 )⋅ 2 = 1 + = 1 . x x y 5 5
−1
−1
www.5balls.ru
№ 211. а)
x+ y y x x = 3; = 3 − ; = 3 −1= 2 ; y y y y −1
x+ y y 1 = 3 −1 = ; = x + y y 3 x− y x в) = −1= 2 −1=1 ; y y
б)
−1
г)
y x 1 −1 = = (2 ) = . x y 2
№ 212. а) =
3b 2 − 5b − 1 5b − 3 3b 2 − 5b − 1 b(5b − 3) + = + = b2 y by b2 y b2 y 3b 2 − 5b − 1 + 5b 2 − 3b 8b 2 − 8b − 1 ; = b2 y b2 y
a 2 − a + 1 x 2 − 1 (a 2 − a + 1)x 2 − a 2 (x 2 − 1) − = = a3 x ax 3 a3x3 a 2 x 2 − ax 2 + x 2 − a 2 x 2 + a 2 x 2 + a 2 − ax 2 ; = = a3 x3 a3 x3 1 + с c 3 + y 4 y 4 + cy 4 − c 4 − cy 4 y 4 − c 4 = 3 8 ; в) 3 4 − 2 8 = c y c y c3 y8 c y
б)
г)
c 2 + x 2 c + x c 3 + cx 2 − cx 2 − x 3 c 3 − x 3 − 3 3 = = 3 5 . c2 x5 c x c3 x5 c x
№ 213. x − y x y x − y 4x + 4 y + x − y 5x + 3 y ; = + + = = 4 1 1 4 4 4 1 + mn m n 1 + mn mn + n 2 − 1 − mn n 2 − 1 б) m + n − ; = + − = = n 1 1 n n n ab + ac + bc a ab + ac + bc a( a + b + c ) − ab − ac − bc = − = = в) a − a+b+c 1 a+b+c a+b+c
а) x + y +
www.5balls.ru
a 2 + ab + ac − ab − ac − bc a 2 − bc = ; a+b+c a+b+c a 3 − b 3 a 2 b 2 a 3 − b 3 ( a 2 − b 2 )( a + b ) − a 3 + b 3 = − − = = г) a 2 − b 2 − a+b a+b a+b 1 1 a 3 + a 2 b − ab 2 − b 3 − a 3 + b 3 a 2 b − ab 2 ab( a − b ) = = = . a+b a+b a+b =
№ 214. а)
mn + 1 mn − 1 ( m − n )( mn + 1 ) + ( m + n )( mn − 1 ) + = = m+n m−n ( m + n )( m − n )
=
m 2 n + m − mn 2 − n + m 2 n − m + mn 2 − n 2m 2 n − 2n = = ( m + n )( m − n ) ( m + n )( m − n )
=
2n( m 2 − 1 ) 2n( m − 1 )( m + 1 ) = ; ( m + n )( m − n ) ( m + n )( m − n )
б)
a+b b a 2 + 2ab + b 2 − 2ab a2 + b2 − = = ; 2a a+b 2a( a + b ) 2a( a + b )
в)
x + 4a a − 4 x ( x + 4a )( a − x ) − ( a − 4 x )( a + x ) − = = 3a + 3 x 3a − 3x 3( a + x )( a − x )
=
ax + 4a 2 − x 2 − 4ax − a 2 + 4ax − ax + 4 x 2 3a 2 + 3 x 2 = = 3( a + x )( a − x ) 3( a + x )( a − x )
a2 + x2 a2 − x2 ; 9a − 24b 21b − 6a 9a − 24b + 21b − 6a 3a − 3b 3 + = = = ; г) a( a − b ) a( a − b ) a( a − b ) a( a − b ) a =
д)
3 x + 21 y 2 xy 3 x + 21 y 2 xy + 2 = + = 2 2 x − 49 y x − 7 xy ( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )
=
x( 3 x + 21y ) + 2 x 2 y + 14 xy 2 3x 2 + 21xy + 2 x 2 y + 14 xy 2 = = x( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )( x + 7 y )
=
3x( x + 7 y ) + 2 xy( x + 7 y ) ( x + 7 y )( 3x + 2 xy ) x( 3 + 2 y ) = = = x( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )
=
3 + 2y ; x − 7y
е)
m 2 − 2mn 2n 2 m 2 − 2mn 2n 2 + = + = 2 2 2 m − 4n mn + 2n ( m − 2n )( m + 2n ) n( m + 2n )
www.5balls.ru
=
n( m 2 − 2mn ) + 2n 2 ( m − 2n ) nm 2 − 2mn 2 + 2n 2 m − 4n 3 = = n( m + 2n )( m + 2n ) n( m + 2n )( m + 2n )
=
n( m 2 − 4n 2 ) nm 2 − 4n 3 = = 1. n( m + 2n )( m + 2n ) n( m + 2n )( m + 2n )
№ 215. а)
2b 2 − bc 2c 4( 2b 2 − bc ) 2c − = − = 2 b − 0,25c 2b + c 4( b 2 − 0 ,25c 2 ) 2b + c
=
4b( 2b − c ) 4b( 2b − c ) 2c 2c 4b 2c − = − = − = 4b 2 − c 2 2b + c ( 2b − c )( 2b + c ) 2b + c 2b + c 2b + c
2
4b − 2c 2( 2b − c ) = ; 2b + c 2b + c 2( 2 x + 1 ) 2x − 1 4x + 2 2x − 1 + 2 = + = б) 2 x − 0,5 x x + 0 ,5 x x( x − 0 ,5 ) x( x + 0 ,5 ) =
=
2( 2 x − 1 ) 4( 2 x + 1 ) 2 4 6 + = + = ; x( 2 x − 1 ) x( 2 x + 1 ) x x x 2y2 − y
2y2 + y
1 − = 1 1 1 2 2 y −y+ y + y+ y − 4 4 4 4( 2 y 2 − y ) 4( 2 y 2 + y ) 4 = − − = 1 1 1 4( y 2 − y + ) 4( y 2 + y + ) 4( y 2 − 4 4) 4
в)
−
2
=
4 y( 2 y − 1 ) 4 y( 2 y + 1 ) 4 − − = 4y2 − 4y +1 4y2 + 4y +1 4y2 −1
=
4 y( 2 y − 1 ) 4 y( 2 y + 1 ) 4 − − = ( 2 y − 1 )2 ( 2 y + 1 )2 ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 )
=
4y 4y 4 y( 2 y + 1 ) − 4 y( 2 y − 1 ) − 4 4 − − = = 2 y − 1 2 y + 1 ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 ) ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 )
=
8y 2 + 4y − 8y 2 + 4y − 4 8y − 4 4 = = ; ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 ) ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 ) 2 y + 1
г)
a 2 + 0 ,3ab ab − 0,7b 2 a( a + 0 ,3b ) b( a − 0 ,7b ) − = − = ab + 0 ,3b 2 a 2 − 0 ,7 ab b( a + 0,3b ) a( a − 0,7b )
=
a b a2 − b2 − = ; b a ab
www.5balls.ru
д)
1,8 xy + 0,81y 2 0 ,9 y( 2 x + 0 ,9 y ) 2x 2x + = + = 0,81y 2 − 4 x 2 2 x − 0 ,9 y ( 0 ,9 y − 2 x )( 0 ,9 y + 2 x ) 2 x − 0 ,9 y
=
0 ,9 y 0 ,9 y − 2 x 2x − = = 1; 0 ,9 y − 2 x 0 ,9 y − 2 x 0 ,9 − 2 x
е)
6a 8 6a 8 − = − = 2 ,25a 2 − 0,64 6a − 3,2 ( 1,5a − 0,8 )( 1,5a + 0 ,8 ) 4( 1,5a − 0 ,8 )
=
24a − 8( 1,5a + 0 ,8 ) 12a − 6,4 = = 4( 1,5a − 0 ,8 )( 1,5a + 0 ,8 ) 4( 1,5a − 0 ,8 )( 1,5a + 0 ,8 )
=
8( 1,5a − 0 ,8 ) 2 20 = = . 4( 1,5a − 0 ,8 )( 1,5a + 0 ,8 ) 1,5a + 0 ,8 15a + 8
№ 216. 1 1 1 + + = (a − b )(b − c ) (c − a )(a − b ) (b − c )(c − a ) =
c−a +b−c+a−b 0 = =0, (a − b )(c − a )(b − c ) (a − b )(c − a )(b − c )
при всех допустимых а, b, и с. № 217. а) =
б) =
5 1 4 y − 18 5 1 4 y − 18 + − = + − = y − 3 y + 3 y2 − 9 y − 3 y + 3 (y − 3)(y + 3)
5 y + 15 + y − 3 − 4 y + 18 2 y + 30 2(y + 15) = = ; (y − 3)(y + 3) (y − 3)(y + 3) (y − 3)(y + 3) 2a 5 4a 2 + 9 2a 5 4a 2 + 9 + − 2 = − − = 2a + 3 3 − 2a 4a − 9 2a + 3 2a − 3 (2a − 3)(2a + 3) 4a 2 − 6a − 10a − 15 − 4a 2 − 9 − 16a − 24 = = (2a − 3)(2a + 3) (2a − 3)(2a + 3)
=−
в) =
8(2a + 3) 8 ; = (2a − 3)(2a + 3) 3 − 2a
2b 2 + 10b b 2 − 3b 2b 2b(b + 5) b(b − 3) 2b + − = + − = 3by + 15 y by − 3 y 3 y 3 y (b + 5) y (b − 3) 3 y 2b b 2b b + − = ; 3y y 3y y
www.5balls.ru
14ax − 21x 6ax + 9 x x 7 x(2a − 3) 3 x(2a + 3) x − + = − + = 10a − 15 8a + 12 10 5(2a − 3) 4(2a + 3) 10
г)
7 x 3 x x 28 x − 15 x + 2 x 15 x 3x ; − + = = = 5 4 10 20 20 4 4m 2 m + 1 2m − 1 − + = д) 4 m 2 − 1 6 m − 3 4m + 2 4m 2m + 1 2m − 1 = − + = (2m − 1)(2m + 1) 3(2m − 1) 2(2m − 1) =
=
6 ⋅ 4m − (4m + 2 )(2m + 1) + (6m − 3)(2m − 1) = 6(2m − 1)(2m + 1)
=
24m − 8m 2 − 4m − 4m − 2 + 12m 2 − 6m − 6m + 3 = 6(2m − 1)(2m + 1)
4m + 4m 2 + 1 2m + 1 (2m + 1) ; = = 6(2m − 1)(2m + 1) 6(2m + 1)(2m − 1) 6(2m − 1) 2
=
1
е)
(x + y )
2
−
2 1 + = x 2 − y 2 (x − y )2
=
1 2 1 − + = 2 (x + y ) (x − y )(x + y ) (x − y )2
=
x 2 − 2 xy + y 2 − 2 x 2 + 2 y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 4y 2 = ; 2 2 (x − y ) (x + y ) (x − y )2 (x + y )2
ж)
4a 2 + 3a + 2 1 − 2a 4a 2 + 3a + 2 1 − 2a − = − 2 = 3 2 2 a −1 a + a + 1 (a − 1)(a + a + 1) a + a + 1
= =
4a 2 + 3a + 2 − (a − 1)(1 − 2a ) 4a 2 + 3a + 2 − a + 2a 2 + 1 − 2a = = (a − 1)(a 2 + a + 1) (a − 1)(a 2 + a + 1)
6a 2 + 3 3(2a 2 + 1) = ; (a − 1)3 (a − 1)3
з)
x− y 3 xy 1 − + = x 2 + xy + y 2 x 3 − y 3 x − y
=
x− y 3 xy 1 − + = x 2 + xy + y 2 (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) x − y
(x − y ) − 3xy + (x + xy + y ) = x (x − y )(x + xy + y ) 2
=
2
2
2
2
− 2 xy + y 2 − 3xy + x 2 + xy + y 2 = (x − y )(x 2 + xy + y 2 )
2 x + 2 y − 4 xy 2(x 2 + y 2 − 2 xy ) = = (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) 2
=
2
2
www.5balls.ru
2(x − y ) 2(x − y ) = . (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) (x 2 + xy + y 2 ) 2
=
№ 218. ax + by bx − ay (a + b )(ax + by ) − (a − b )(bx − ay ) = − = (a + b )(a − b )(x + y ) (a − b )(x + y ) (a + b )(x + y ) =
= =
a 2 x + aby + abx + b 2 y − abx + a 2 y + b 2 x − aby = (a + b )(a − b )(x + y )
a 2 x + b 2 x + b 2 y + a 2 y x (a 2 + b 2 ) + y (b 2 + a 2 ) = = (a + b )(a − b )(x + y ) (a + b )(a − b )(x + y )
(a (a
2 2
+ b 2 )(x + y ) a 2 + b 2 = , т.е. эти выражения тождественно равны. − b 2 )(x + y ) a 2 − b 2
№ 219. а) = = =
б) = =
= =
1 1 1 + + = a(a − b )(a − c ) b(b − c )(b − a ) c(c − a )(c − b )
bc(b − c ) − ac(a − c ) + ab(a − b ) b 2 c − bc 2 − a 2 c + ac 2 + a 2 b − ab 2 = = abc (a − b )(a − c )(b − c ) abc(a − b )(a − c )(b − c )
[
]
− b 2 (a − c ) + b(a 2 − c 2 ) − ac(a − c ) (a − c ) (− b 2 + ab + bc − ac ) = = abc (a − b )(a − c )(b − c ) abc(a − b )(a − c )(b − c )
(b − c )(a − b ) = 1 ; abc(a − b )(b − c ) abc
y2 x2 z2 + + = (x − y )(x − z ) (y − x )(y − z ) (z − x )(z − y ) y2 x2 z2 − + = (x − y )(x − z ) (x − y )(y − z ) (z − x )(z − y ) x 2 (y − z ) − y 2 (x − z ) + z 2 (x − y ) = (x − y )(x − z )(z − y )
x 2 y − x 2 z − xy 2 + y 2 z + xz 2 − yz 2 = (x − y )(x − z )(z − y )
xy (x − y ) − z (x − y )(x + y ) + z 2 (x − y ) (x − y )(xy − zx − zy + z 2 ) = = (x − y )(x − z )(z − y ) (x − y )(x − z )(z − y )
www.5balls.ru
=
x(y − z ) − z (y − z ) (x − z )(y − z ) = =1. (x − z )(z − y ) (x − z )(z − y )
№ 220. x 2 − 3 x + 6 x(x − 3) 6 6 ; = + =x+ x−3 x−3 x−3 x−3 y 2 + 5 y − 8 y ( y + 5) 8 8 ; = − =y− б) y+5 y+5 y+5 y+5
а)
a 2 + 7 a + 2 a 2 + 6a + a + 2 a( a + 6 ) a + 2 a+2 = = + =a+ ; a+6 a+6 a+6 a+6 a+6 3b 2 − 10b − 1 3b 2 − 9b − b − 1 3b( b − 3 ) b + 1 b +1 г) = = − = 3b − . b−3 b−3 b−3 b−3 b−3
в)
№ 221. 1)
x 2 + 7 x − 25 x 2 − 25 7x 7x = + = x+5+ ; следовательно, ответ x−5 x−5 x−5 x−5
верный;
x 2 + 7 x − 25 x 2 + 12 x − 5 x − 25 x 2 − 5 x 12 x − 25 = = + = x−5 x−5 x−5 x−5 x( x − 5 ) 12 x − 60 + 35 12 x − 60 35 = + = x+ + = x −5 x −5 x −5 x−5 12( x − 5 ) 35 35 =x+ + = x + 12 + ; следовательно, ответ верный; x−5 x−5 x−5
2)
3) ответ неверный, т.к. подстановке х = 1, 2 x − 25 19 x 2 + 7 x − 25 17 = . ,а − x + x−5 4 x−5 4
№ 222. 6x 6 x + 18 − 18 18 , то есть тождество верно. = =6− x+3 x+3 x+3 ax ax + ab − ab a( x + b ) − ab ab , то есть тождество б) = = =a− x+b x+b x+b x+b
а)
верно.
№ 223.
www.5balls.ru
2x a 2x a 2x − 2x − 6 a =2+ ; −2= ; = ; x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 6 a , a = −6 ; − = x+3 x+3 Ответ: a = −6 . x a x a x− x+5 a б) ; ; ; =1+ −1= = x−5 x−5 x−5 x−5 x−5 x−5 5 a , a=5; = x−5 x−5 Ответ: a = 5 . 2x a 2x a 2x + 6 − 2x a в) ; ; = −2; +2= = 3− x 3− x 3− x 3− x 3− x 3− x 6 a , a=6; = 3− x 3− x Ответ: a = 6 . x+2 a x+2 a x+2+5− x a г) = − 1; ; ; +1= = 5− x 5− x 5− x 5− x 5− x 5− x 7 a , a=7; = 5− x 5− x Ответ: a = 7 .
а)
№ 224. 5x 5(x + 2 ) 10 10 ; = − =5− x+2 x+2 x+2 x+2 − 2 x − 2(x − 1) 2 2 ; б) = − = −2 − x −1 x −1 x −1 x −1 2x 2(x − 5) 10 10 ; в) = + = −2 + 5− x 5− x 5− x 5− x x − 3 x − 2 −1 x − 2 1 1 . г) = = − = −1 − 2−x 2−x 2−x 2−x 2−x
а)
№ 225. а)
5n 2 + 2 n + 3 5 n 2 2 n 3 3 = + + = 5n + 2 + - целое при n = ±1;±3 . n n n n n
www.5balls.ru
(n − 3)
2
б)
=
n 2 − 6n + 9 n 2 6n 9 9 = − + = n − 6 + - целое при n n n n n
n n = ±1;±3;±9 . 3n 3(n + 2) 6 6 в) - целое при n = −8;0;±1;−3;±4;−5 . = − =3− n+2 n+2 n+2 n+2 7n 7(n − 4 ) 28 28 - целое при = + =7+ г) n−4 n−4 n−4 n−4 n = 0;2;±3;5;6;8;−10;11;18;−24;32 .
№ 226. а)
5x a b 5x a(x + 3) + b(x − 2 ) = + = ; ; (x − 2)(x + 3) x − 2 x + 3 (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x + 3)
5 x = a (x + 3) + b(x − 2 ) ; 5 x = ax + 3a + bx − 2b ; 5 x = (ax + bx ) + 3a − 2b ; 5 x = x(a + b ) + 3a − 2b ; запишем систему: a + b = 5, 3a − 2b = 0;
a = 5 − b, ( 3 5 b ) − 2b = 0; 15 − 3b − 2b = 0; b = 3; a = 2; −
Ответ: b = 3; а = 2. б)
5 x + 31
(x − 5)(x + 2)
=
a b ; 5 x + 31 = ax + 2a − bx + 5b ; − x−5 x+2
5 x + 31 = ax − bx + 2a + 5b ; 5 x + 31 = x(a − b ) + 2a + 5b ;
запишем систему:
a = b + 5, a − b = 5, ( 2 a 5 b 31 ; 2 b 5) + 5b = 31; + = + 2b + 10 + 5b = 31 ; 7b = 21 ; b = 3 ; a = 8 .
Ответ: b = 3; а = 8.
К ПАРАГРАФУ 3 № 227. а) =
x 5 + x 3 x 6 − x 3 x 3 (x 2 + 1) x 3 (x 3 − 1) ⋅ = ⋅ = x 4 − x 2 x 2 + x 4 x 2 (x 2 − 1) x 2 (x 2 + 1)
x 3 (x 2 + 1)x 3 (x 3 − 1) x 2 (x − 1)(x 2 + x + 1) x 2 (x 2 + x + 1) ; = = (x − 1)(x + 1) x 2 (x 2 − 1)x 2 (x 2 + 1) x +1
www.5balls.ru
б)
2m 5 − 3m 4 m 4 + 2m 2 m 4 (2m − 3) m 2 (m 2 + 2 ) ⋅ = ⋅ = 4 2 3 m − 4m 3m − 2m m(m 3 − 4 ) m 2 (3 − 2m )
=−
m 3 (m 2 + 2 ) m 3 (m 2 + 2) . = m3 − 4 4 − m3
№ 228. m5 + m4 + m3 m5 + m3 ⋅ = m3 + m2 m4 + m3 + m2 m 3 (m 2 + m + 1) m 3 (m 2 + 1) m 2 (m 2 + 1) ; = ⋅ 2 2 = 2 m (m + 1) m (m + m + 1) m +1
а)
б)
n2 − n4 + n6 n2 −1 n 2 (n 4 − n 2 + 1)(n − 1)(n + 1) ⋅ 5 = − = −n(n + 1) . n(n − 1)(n 4 − n 2 + 1) n − n3 + n 1− n
№ 229. a 2 + ax + ab + bx a 2 − ax − bx + ab ⋅ = a 2 − ax − ab + bx a 2 + ax − bx − ab a (a + x ) + b(a + x ) − x(a + b ) + a (a + b ) = ⋅ = x(b − a ) + a (a − b ) a (a − b ) + x(a − b )
а)
(a + x )(a + b )(a + b )(a − x ) = (a + b ) (a − b )(a − x )(a − b )(a + x ) (a − b )
2
=
2
;
x 2 + ax − 3 x − 3a x 2 + 4 x − ax − 4a ⋅ = x 2 − ax − 3 x + 3a x 2 + 4 x + ax + 4a x(x + a ) − 3(x + a ) x(x − a ) + 4(x − a ) = ⋅ = x(x − a ) − 3(x − a ) x(x + a ) + 4(x + a )
б)
=
(x + a )(x − 3)(x − a )(x + 4) = (x + a )(x − a ) = 1 . (x − a )(x − 3)(x + a )(x + 4) (x − a )(x + a )
№ 230. а) =
(a − a 8 )(a 5 + a ) = a − a8 a9 − a2 ⋅ 5 = 6 6 2 a +a a + a (a + a 2 )(a 9 − a 2 )
a (1 − a 7 )⋅ a (a 4 + 1) 1 =− 2 ; a 2 (a 4 + 1) ⋅ a 2 (a 7 − 1) a
www.5balls.ru
б) =
9 x 2 − x 6 x 4 − 3 x 2 (9 x 2 − x 6 )(x 9 + x 7 ) ÷ 9 = 5 = x5 + x7 x + x7 (x + x 7 )(x 4 − 3x 2 )
x 2 (9 − x 4 )⋅ x 7 (x 2 + 1) (3 − x 2 )(3 + x 2 )(x 2 + 1) ⋅ x 2 = = − x 2 (x 2 + 3) . x 5 (x 2 + 1)⋅ x 2 (x 2 − 3) (x 2 + 1)(x 2 − 3)
№ 231. x2 x2 (x 2 = 2 (x
а)
− bx + ax − ab x 2 + bx + ax + ab ÷ = + bx − ax − ab x 2 − bx − ax + ab − bx + ax − ab ) (x 2 − bx − ax + ab ) ⋅ = + bx − ax − ab ) (x 2 + bx + ax + ab )
[x(x − b ) + a(x − b )][x(x − b ) − a(x − b )] = [x(x + b ) − a(x + b )][x(x + b ) + a(x + b )] (x − b )(x + a )(x − b )(x − a ) = (x − b ) ; = (x + b )(x − a )(x + b )(x + a ) (x + b ) =
2
2
m 2 + m − mn − n m 2 ÷ m 2 + m + mn + n m 2 (m 2 + m − mn − n ) ⋅ (m 2 = 2 (m + m + mn + n ) (m 2
б)
− m − mn + n = − m + mn − n − m + mn − n ) = − m − mn + n )
[m(m + 1) − n(m + 1)][m(m − 1) + n(m − 1)] = [m(m + 1) + n(m + 1)][m(m − 1) − n(m − 1)] (m + 1)(m − n )(m − 1)(m + n ) = 1 . = (m + 1)(m + n )(m − 1)(m − n )
=
www.5balls.ru
№232 Учтем, что m≠n, -m≠0, n≠0: 2
2
m2 + n2 2 1 1 2 n−m m2 − n2 : − − : = − = mn m n (m − n )2 mn mn (m − n )2 = =
2m 2 n 2 mn(n − m )
2
−
m2 + n2
(n − m )
2
2mn − m 2 − n 2
(n − m )
2
=−
=
2mn
(n − m )
2
−
n 2 − 2mn + m 2
(n − m )2
m2 − n2
=
(n − m )2 (n − m )2 =− (n − m )2
= −1 ,
что не зависит от указанных переменных. №233 3 2 9 n 3 1 1 27 + n 9 − 3n + n : = 2 + : 2 − + = n 3 3 n 3n 2 3n 2 n
=
(27 + n )⋅ 3n (9 − 3n + n )⋅ 3n 3
2
2
2
=
(3 + n )(9 − 3n + n2 ) = 3 + n , натуральное при всех 9 − 3n + n 2
натуральных n. №234*
(
)
2 2 2 2 a − a + x ⋅ 2a + 4a = a (a + x ) − a − x × a + x x a − x a+x
× =
2a (a − x ) + 4ax a 2 + ax − a 2 − x 2 2a 2 − 2ax + 4ax = ⋅ = x(a − x ) a+x x(a − x )
ax − x 2 2a 2 + 2ax x(a − x )⋅ 2a (a + x ) ⋅ = = 2a , четное при всех целых (a + x )⋅ x(a − x ) a+x x(a − x )
значениях а. №235 2 4 x +1 x + 1 x − 5x + 3 − = + − 2 : x+3 2x 2x x+3
=
(x + 1)(x + 3) + 8 x − 4 x(x + 3) : x + 1 − x 2 − 5 x + 3 = 2 x(x + 3) x+3 2x
=
x 2 + 3 x + x + 3 + 8 x − 4 x 2 − 12 x x + 1 x 2 − 5 x + 3 : − = 2 x(x + 3) x+3 2x
=
− 3x 2 + 3 x + 1 x 2 − 5 x + 3 : − = 2 x(x + 3) x + 3 2x
www.5balls.ru
=
(
)
− 3 x 2 − 1 (x + 3) x 2 − 5 x + 3 − = 2 x(x + 3)(x + 1) 2x
=
− 3(x − 1)(x + 1) x 2 − 5 x + 3 − 3(x − 1) x 2 − 5 x + 3 − = − = 2 x(x + 1) 2x 2x 2x
=
− 3x + 3 − x 2 + 5 x − 3 − x 2 + 2 x x2 2x x = =− + = − +1 , 2x 2x 2x 2x 2
отрицательное число при любом х>2. №236
а) a + 2b + = = =
4b 2 2ab : a − +1 = a − 2b a + 2b
(a + 2b )(a − 2b ) + 4b2 : a(a + 2b ) − 2ab + 1 = a − 2b
2
2
a + 2b
2
2
a − 4b + 4b a + 2ab − 2ab : +1 = a − 2b a + 2b a2 a2 a 2 (a + 2b ) +1 = 2 +1 = : a − 2b a + 2b a (a − 2b )
a + 2b + a − 2b 2a ; = a − 2b a − 2b 3 3x − 3 y 2 x − 3 y − ⋅ 2 − 2 x + 3 y = б) 2 x + y 2x − 3 y x − y =
(
) (
)
=
3 3x − 3 y 2 x − 3 y − 2 x x 2 − y 2 + 3 y x 2 − y 2 − ⋅ = x + y 2x − 3y x2 − y 2
=
3 3 x − 3 y 2 x − 3 y − 2 x3 + 2 xy 2 + 3 x 2 y − 3 y 3 − ⋅ = x + y 2x − 3 y x2 − y 2
=
3 3 x − 3 y (2 x − 3 y )1 − x 2 + y 2 − ⋅ = x + y 2x − 3 y x2 − y2
=
3 3 1 − x2 + y2 3 − 3 + 3x2 − 3 y 2 3 x2 − y 2 − = = = 3(x − y ) x+ y x+ y x+ y x+ y
(
(
5 x 2 − 15 xy − в) 2 2 x − 9y
)
)
5 3 : − = x + 6 xy + 9 y y x 3 xy + 9 y 2
2
2
www.5balls.ru
(
)
5 x(x − 3 y ) 3 y (x + 3 y ) 5 x − 3 y = − : = (x − 3 y )(x + 3 y ) (x + 3 y )2 xy 5x 3 y 5x − 3 y 5x − 3 y 5x − 3 y : = = = − : xy x + 3y xy x + 3y x + 3y xy = ; x + 3y 6 a + 9c 4a 2 − 6ac 6ac + 9c 2 ⋅ − = 4a 2 − 12ac + 9c 2 4a 2 + 12ac + 9c 2 4a 2 + 9c 2
г)
2a(2a − 3c ) 3c(2a + 3c ) 6a + 9c ⋅ = − = (2a − 3c )2 (2a + 3c )2 4a 2 + 9c 2 3c 6a + 9c 2a(2a + 3c ) − 3c(2a − 3c ) 2a = − = × ⋅ 2 2 (2a − 3c )(2a + 3c ) 2a − 3c 2a + 3c 4a + 9c × =
6 a + 9c 2
4 a + 9c
(4a
2
2
=
4a 2 + 6ac − 6ac + 9c 2 6a + 9c ⋅ = (2a − 3c )(2a + 3c ) 4a 2 + 9c 2
)
+ 9c 2 3(2a + 3c )
(2a − 3c )(2a + 3c )(4a
№237 а) ab + ab +
2
+ 9c
2
)
=
3 ⋅ 2a − 3c
ab a + b ab a + b − (a + b )(a − b ) − a − b = ab + ⋅ = a +b a −b a+b a −b
ab(a + b )(1 − (a − b )) ab ⋅ (1 − a + b ) = ab + = a −b (a + b )(a − b )
ab(a − b ) + ab(1 − a + b ) a 2b − ab 2 + ab − a 2b + ab 2 ab = = ; a −b a −b a −b y 2 − xy x y − xy + y 2 ⋅ + = б) 2 x + xy x− y x+ y =
= =
(
)(
y 2 − xy − xy − y 2 x 2 + xy 2
x + xy
(
)⋅
− y (x − y ) − y (x − y ) x 2 + xy 2
x + xy
x y + = x− y x+ y
)⋅
x y + = x− y x+ y
www.5balls.ru
= =
(
)
− y (x − y )1 + x 2 + xy y − y − yx 2 − xy 2 + y + = = x(x + y )(x − y ) x+ y x+ y
(
)
− x 2 y + xy 2 xy (x + y ) =− = − xy ; x+ y x+ y
1
в)
(2a − b )
2
+
2 4a 2 − b 2
+
4a 2 + 4ab + b 2 ⋅ = 16a (2a + b )2 1
(2a + b )2 + 2(2a − b )(2a + b ) + (2a − b )2 ⋅ (2a + b )2 16a (2a − b )2 (2a + b )2 2 2 a 16a (2a + b ) = = ; 2 2 (2a + b ) (2a − b ) ⋅16a (2a − b )2
=
г)
4c 2
(c − 2)
4
1 1 2 + + 2 : 2 2 = (c + 2 ) (c − 2 ) c − 4
=
(c − 2)2 + (c + 2)2 + 2(c − 2)(c + 2) = (c − 2)2 (c + 2)2 (c − 2)
=
4c 2 c 2 − 4c + 4 + c 2 + 4c + 4 + 2c 2 − 8 : = (c − 2) (c − 2)2 (c + 2)2
=
4c 2
4
4c 2
=
:
:
4c 2
(c − 2)4 (c − 2)2 (c + 2)2
=
4c 2 (c + 2)2 (c − 2)2 4c 2 (c − 2 )4
=
(c + 2)2 . (c − 2)2
№238 4 xy 4 xy − y = + y ⋅ x + − + x y x y x(x + y ) − 4 xy + y (x + y ) x(x − y ) + 4 xy − y (x − y ) = ⋅ = x+ y x− y
а) x −
=
x 2 − 2 xy + y 2 x 2 + 2 xy + y 2 (x − y )2 (x + y )2 ⋅ = = x+ y x− y (x + y )(x − y )
= (x − y )(x + y ) = x 2 − y 2 ;
1 − 2a 2 1 + 1 : 1 − б) a − =
1− a
1− a
www.5balls.ru
(
)
=
a (1 − a ) − 1 − 2a 2 + 1 − a 1 − a − 1 a − a 2 − 1 + 2a 2 + 1 − a − a : = : = 1− a 1− a 1− a 1− a
=
a2 1− a
a a 2 (1 − a ) : − = −a . =− a (1 − a ) 1− a
№239 1 6q 2 1 6q 2 + − = + − = p − 2q 4q 2 − p 2 p + 2q p − 2q (2q − p )(2q + p ) p + 2q =
p + 2q − 6q − 2( p − 2q ) p + 2q − 6q − 2 p + 4q p ; = =− 2 ( p − 2q )( p + 2q ) ( p − 2q )( p + 2q ) p − 4q 2
−
1 p 2 + 4q 2 1 p 2 + 4q 2 + p 2 − 4q 2 ⋅ 2 + 1 = − ⋅ = 2 2 p p − 4q 2p p 2 − 4q 2
=−
1 2 p2 p ⋅ 2 =− 2 ; тождество доказано. 2 p p − 4q 2 p − 4q 2
№240*
(
) = a(a
(
)
b 2a 3 + b3 a +b + a 3 − b3 3
3
a a 3 + 2b3 a +b = a 3 − b3 3
3
)
3
+ 2b3 ; a 3 − b3 3
(
3
b 2a 3 + b3 − a 3 − b3
) ; 3
( ) − b (2a + b ) ; a +b = (a − b ) (a − b ) a (a + 2b ) − b (2a + b ) a +b = ; (a − b ) (a + b )(a − b ) = a (a + 2b ) − b (2a + b ). 3
3
3
3
3
3
3
3
3
33
3
3
3
a3 a3 + 2b3
3
3
33
3
33
3
3
33
3
3
33
3
33
33
3
3
3
Будем преобразовывать левую и правую части неравенства отдельно: 1) a3 + b3 a3 − b3 = a3 + b3 a9 − 3a 6b3 + 3a3b6 − b6 =
(
12
)(
9 3
) (
9 3
)(
6 6
)
6 6
3 9
3 9
12
= a + a b − 3a b − 3a b + 3a b + 3a b − a b − b
= a − 2a b + 2a b − b ; 12
9 3
3 9
12
www.5balls.ru
=
(
)
(
3
)
(
3
)
a3 a3 + 2b3 − b3 2a3 + b3 = a3 a9 + 6a 6b3 + 6a3b6 + 8b9 −
2)
(
)
− b 8a + 6 a b + 6 a b + b = a + 6 a b + 6 a b + 8 a b − 3
9
6 3
9 3
3 6
6 6
3 9
9
12
− 8a b − 6 a b − 6 a b − b
12
9 3
6 6
3 9
= a12 − 2a 9b3 + 2a3b9 − b12 .
№241* 3 2 2 a − 2ab + b 2 9a 2 − 12ab + 4b 2 9a 2 − 4b 2 6b 2 3 + = + : 3 1 1 2 1 2 6 36 a − b a+ b 4 2 4 9 + =
6b 3a + 2b (3a − 2b )2 ⋅ 36 4 ⋅ 6b 6(3a − 2b )2 24b : = + = + = 2 2 1 4 3a + 2b (3a − 2b )(3a + 2b ) 3a + 2b 6 9a − 4b
(
)
6(3a − 2b ) 24b 18a − 12b + 24b 6(3a + 2b ) = = 6 , что не зависит + = 3a + 2b 3a + 2b 3a + 2b 3a + 2b
от а и в. №242*
, b , b b−3 − − 0 5 1 5 2 6 : = − а) 2 0,8b3 + 21,6 0,5b − 1,5b + 4,5 1 3 + b 9 3 0,5(b − 3) ( ) b b−3 − 2 3 : = − = 0,8 b3 + 27 0,5 b 2 − 3b + 9 1 3 + b 27 3 b−3 5(b − 3) 6(b − 3) : = 2 − 2 4 b3 + 27 = − 3 + 9 3 3 9 b b b b b + − + ( ) ( b + 3)(b − 3) − 6(b − 3) 5(b − 3) = = : 4 b3 + 27 b3 + 27
(
) (
(
)
(
)
) (
( ) 4[(b − 3)(b + 3 − 6 )](b + 27 ) 4(b − 3) = = ; 5 5(b + 27 )(b − 3) 3
3
2 a a 2a 0,5a − 1 3 ⋅ = б) + + 0 ,5a + 1 2 − a 1 a 2 − 1 0 ,5a − 2 4
www.5balls.ru
)
2a a−2 2a 8a ⋅ = − + = + − − + ( ) ( )( ) a 2 3 a 2 a 2 a 2 a−4 6a (a − 2 ) − 2a (a + 2 ) + 24a a − 2 = ⋅ = 3(a − 2 )(a + 2 ) a−4 =
(4a
)
+ 8a (a − 2 ) 4a = ; 3(a − 2 )(a + 2 )(a − 4 ) 3(a − 4 ) 2
в) 3,6 xy + 2 ,1 y 2 12 x 2 − 7 xy 2x ⋅ + = 1,44 x 2 − 0 ,49 y 2 2 ,4 x − 1,4 y x + 3y
x(12 x − 7 y ) 3 y (1,2 x + 0 ,7 y ) 2x ⋅ = = + x + 3y (1,2 x − 0 ,7 y )(1,2 x + 0 ,7 y ) 2(1,2 x − 0 ,7 y ) 3 y (1,2 x + 0,7 y ) + x(1,2 x + 0 ,7 y ) x(12 x − 7 y ) = ⋅ = x + 3y (1,2 x − 0,7 y )(1,2 x + 0,7 y )
(1,2 x + 0,7 y )(3 y + x ) ⋅ x(12 x − 7 y ) = (1,2 x + 0,7 y )(1,2 x − 0,7 y ) x + 3 y (x + 3 y )⋅ x(12 x − 7 y ) = 10 x(12 x − 7 y ) = 10 x = 12 x − 7 y (x + 3 y )(1,2 x − 0,7 y ) =
г) 1 2y 0 ,5 x 1 0 ,5 x + y − 0,25 x 2 + xy + y 2 : 0 ,25 x 2 − y 2 + 2 y − x + 2 = 1 2y 0 ,5 x 1 : +2 = = − − 0 ,5(x + 2 y ) 0 ,25(x + 2 y )2 0 ,25(x − 2 y )(x + 2 y ) x − 2 y 2 8y 2x 1 : +2 = = − − x + 2 y (x + 2 y )2 (x − 2 y )(x + 2 y ) x − 2 y 2(x + 2 y ) − 8 y 2x − x − 2 y = +2= : (x + 2 y )2 (x − 2 y )(x + 2 y ) =
2(x − 2 y )
:
2(x − 2 y ) 1 x − 2y +2= +2= : 2 (x − 2 y )(x + 2 y ) (x + 2 y ) x + 2 y
(x + 2 y ) 2(x − 2 y )(x + 2 y ) 2(x − 2 y ) + 2(x + 2 y ) = +2= = x + 2y (x + 2 y )2 2
www.5balls.ru
4x x + 2y
№243* yz xy − xz − yz (xy − xz − yz )(x − z ) = x − z ; y−z y−z а) = = xy − yz − xz (xy − xz − yz )(y − z ) y − z xz y− x−z x−z (a − x )(a − x ) + ax a−x x + a (a − x ) a−x = = б) a a+x x (a + x )2 − ax − a a+x a (a + x ) x−
=
(
)
(a − ax ) (a
a a 2 − 2ax + x 2 + ax (a + x )
(
a(a − x ) a + 2ax + x 1
2
2
=
) =a + ax + x )(a − x ) a
2
− ax + x 2 (a + x )
3
+ x3
2
2
3
− x3
;
1 = = 1 x 1+ 1+ 1+ 1 x +1 x +1 1+ x x x +1 1 ; = = x + 1 + x 2x + 1 x +1 1 1 1 1 г) = = = = 1 1 x x +1− x 1− 1− 1− 1 x +1 x +1 x +1 1+ x x x +1 = = x + 1. 1
в)
1
=
1
№244 1. 2. 3. 4. 5. 6.
4 ; 1=1. −4 4 Точка B(8;0,5) не принадлежит т.к. − = −0 ,5 ≠ 0 ,5 . 8
Точка А(-4;1) принадлежит т.к. 1= −
Точка C(0;0) не принадлежит т.к. х=0 не входит в область определения функции. 4 . 0 ,01 4 1 1 Точка E(16;1/4) не принадлежит т.к. − = − ≠ . 16 4 4 4 = −0 ,1 ≠ 0 ,1 Точка F(40;0,1) не принадлежит т.к. − 40
Точка D(0,01;-400) принадлежит т.к. − 400 = −
www.5balls.ru
7.
Точка G(1000;-0,004) принадлежит т.к. − 0 ,004 = −
8.
Точка K(-0,004;-1000) не принадлежит т.к.
4 . 1000
−4 = 1000 ≠ −1000. − 0 ,004
№245 y=
k k 162 ; 18= ; k = 18 ⋅ (− 9) ; k = −162 ; y = − . x x −9
№246
1 . 40 1 ; Б) Точка B(0,03125;32) принадлежит т.к. 32 = 0 ,03125 1 1 1 = 62 ,5 ≠ 6 ,25 = 6 . в) Точка C(0,016; 6 ) не принадлежит т.к. 4 0 ,016 4 1 = 8 ≠ 0 ,8 г) Точка D(0,125;0,8) не принадлежит т.к. 0 ,125
а) Точка A(40;0,025) принадлежит т.к. 0,025 =
№247 Подставим координаты точки А(10;2,4) в уравнение функции и найдем k: k k 24 ; k=2,4 ⋅10 − 24 , т.е. y = . : 2 ,4 = x 10 x 24 ; а) Точка B(1;24) принадлежит т.к. 24 = 1 24 1 ; б) Точка C − ;−120 принадлежит т.к. − 120 = 1 5 − 5 24 в) Точка D(-2;12) не принадлежит т.к. = −12 ≠ 12 ; −2 y=
№248* а) y = =
36
(x + 1) − (x − 1) 2
2
=
36 = (x + 1 + x − 1)(x + 1 − x + 1)
36 36 9 = = . 2x ⋅ 2 4x x
Область определения: x ≠ 0 . Построим график функции по точкам:
www.5balls.ru
x y
-9 -1
-3 -3
-1 -9
1 9
3 3
9 1
y 8 4 -8 0
4
8
x
-8
б) y =
18 − 12 x 2
−
6 18 − 2 x 6 = − = 3 − x x(x − 3) 3 − x
x − 3x 18 − 12 x + 6 x 18 − 6 x 6(3 − x ) 6 = = = =− . x(x − 3) x(x − 3) x(x − 3) x Область определения: x ≠ 0 .
Построим график функции по точкам: x y
-3 2
-2 3
-1 6
1 -6
www.5balls.ru
2 -3
3 -2
y 8 4 8 0
-8
4
x
-8 в) y = =
16
(2 − x ) − (2 + x )2 2
16
=
(2 − x + 2 + x )(2 − x − 2 − x )
=
16 16 2 = =− . 4(− 2 x ) − 8 x x
Область определения: x ≠ 0 . Построим график функции по точкам: x
-2
-1
−
y
1
2
4
1 2
1 2
1
2
-4
-2
-1
www.5balls.ru
y 4
4 -4
0
-2
x
-2 -4
г) y = =
3 x(x + 1) − 3 x 2 + 15 = x(x + 5)
3 x 2 + 3 x − 3 x 2 + 15 3 x + 15 3(x + 5) 3 = = = . x(x + 5) x(x + 5) x(x + 5) x
Область определения: x ≠ 0 . Построим график функции по точкам: x y
-3 -1
-2 -1,5
-1 -3
1 3
www.5balls.ru
2 1,5
3 1
y 4 2 -4
-2 0
2
4
x
-2 -4
№249* а) y =
4 x
y 4
2
-4
-2 0
2
4
-2
www.5balls.ru
x
б) y =
2 ,4 x
y
3
2 1 -2
-1 0
1
2
x
-1 в) y =
1 x
y 4
2
-4
-2 0
2
4
-2
www.5balls.ru
x
г) y = −
1 x
y 1 -1 0
-3
1
3
x
-1 -2 -3 -4
д) y =
−6 x
y 1
-4
-2
0
2
-2 -4
-6
www.5balls.ru
4
x
е) y =
−3,6 x
y 1
-4
-2
0
2
4
x
-2 -4
-6
№250* а) Подставим координаты точки P в уравнение гиперболы и найдем k: k k ; 1 = ; k=2; затем подставим их в уравнение прямой и x 2 найдем b: y = kx + b; 1 = 2 ⋅ 2 + b; b = 1 − 4 = −3. y=
б) Подставим координаты точки Q в уравнение гиперболы и найдем k: k k ; 3= ; k= -6; затем подставим их в уравнение прямой и x −2 найдем b: y = kx + b; 3=(-6)⋅(-2)+b; 3=12+b; b=3-12=-9. y=
в) Подставим координаты точки R в уравнение гиперболы и найдем k: k k ; 1= ; k= -1; затем подставим их в уравнение прямой и x −1 найдем b: y = kx + b; 1=(-1)⋅(-1)+b; 1=1+b; b=0. y=
№251* а) Только в 1 точке –да; б) только в 2 точках – да; в) в 3 точках – нет.
www.5balls.ru
а)
y
x
б)
y
x
№252* а) В одной четверти – да; б) в I и II четвертях – нет; в) в I и III четвертях – да.
www.5balls.ru
а)
y
x
в)
y
x
ГЛАВА II. Квадратные корни §4. Действительные числа. 9. Рациональные числа. №253 а) Натуральные числа: 10; 15; б) целые числа: -100; -2; 0; 10; 15;
www.5balls.ru
в) рациональные числа: -100; -14,5;-2; −
2 1 ; 0;10;15; 20 . 3 6
№255 а) 27∈N – да; б) 2,7∉N – да; в) 0∈Z – да; г) -8∉ Z – нет. №256 а) -4∈N-нет; -4∈Z – да; -4∈Q – да; б)5,6∉N – да; 5,6∈Z – нет; 5,6∈Q – да; в) 28∈N-да; 28∈Z – да; 28∈Q – да; №257 2 7 2 14 2 21 ;1 = ; 1 = ;1 = 5 5 5 10 5 15 3 6 18 ; 0,3 = ; 0,3 = ; 0,3 = 10 10 60 1 13 1 26 1 39 ; −3 = − ; −3 = − ; −3 = − 4 4 4 8 4 12 27 54 81 ; -27 = − ; -27= − ; − 27 = − 1 2 3 0 0 0 . 0 = ; 0= ; 0 = 1 5 13
№258 36 45 1 21 ; − 45 = − ; 4 ,2 = 4 = 1 1 5 5 4 1 91 2 2 ; − =− . − 0 ,8 = − ; 15 = 5 6 6 9 9
36=
№259 1 = 0 ,(3) ; 3 5 б) = 0,8(3) ; 6 1 в) = 0 ,(142857 ) ; 7 20 = −2,(2 ) ; г) − 9
а)
www.5balls.ru
8 = −0,5(3) ; 15 е) 10,28 = 10 ,28(0) ;
д) −
ж) − 17 = −17 ,(0) ; з)
3 = 0 ,1875(0 ) ; 16
3 43 =− = −1,075(0) ; 40 40 7 29 = 2 ,6(36 ) ; к) 2 = 11 11
и) − 1
№260 5 = 1,(6 ) ; 3 7 = 0,2(3) ; б) 30 3 в) = 0,4285... ; 7 5 г) − = −0 ,625(0) ; 8 д) 1,347 = 1,347(0) ; е) − 125 = −125,(0) ;
а)
№261 а) 0,013<0,1004; б) –24<0,003; в) –3,24>-3,42; г)
3 = 0 ,375 ; 8
7 ; 40 е) 0,9(09 ) < 0,91(6) .
д) − 1,174 > −1
№262 а) 1,009<1,011; б) –2,005>-2,04; 3 4
в) − 1 = −1,75 ;
www.5balls.ru
г)
7 = 0 ,4375 > 0 ,437 . 16
Упражнения для повторения a 3a 2ab a 3a 2ab а) + − = + − = a − b a + b a 2 − b 2 a − b a + b (a − b )(a + b ) =
a(a + b ) + 3a (a − b ) − 2ab a 2 + ab + 3a 2 − 3ab − 2ab = = (a − b )(a + b ) (a − b )(a + b )
=
4a 2 − 4ab 4a(a − b ) 4a ; = = (a − b )(a + b ) (a − b )(a + b ) a + b
1 ⋅ (1 − x )⋅ x 1 x 1 1− x ⋅ 2 =− = ( )( )( ) + + − + 1 1 1 1 x x x x x x 1 − x ( 1)2 + x
б) − ⋅
№266 а)Четные числа можно представить в виде 2n и 2m; их сумма равна 2m+2n=2(n+m), - четное число. б) Четное число можно представить в виде 2n, а нечетное - в виде 2m+1; их сумма равна: 2n+(2m+1)=2n+2m+1=2(n+m)+1, - нечетное число. №267 а) (2n)2=4n2 , - четное число. б) (2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1, - нечетное число. №268 а) 10 = 10 ; |0,3|=0,3; |0|=0; |-2,7|=2,7; |-9|=9; б) |x|=6 ⇒ x=±6; |x|=3,2 ⇒ x=±3,2; |x|=0 ⇒ x=0. №269 а) при a>0: |a|=a; б) при c<0: |c|=-c; в) при b<0: |2b|=-2b; г) при c≥0: |3c|=3c; 10. Иррациональные числа №272 Рациональные числа:
1 ; 0; 0,25; -2,(3); 4,2(51); 217; 7
www.5balls.ru
иррациональные числа: 0,818118111…; π. №273 а) 7,16∈N - нет; 7,16∈Z – нет; 7,16∈Q – да; 7,16∈R - да; б)409∈ N – да; 409∈Z –да; 409∈Q – да; 409∈R - да; в) π∈N-нет; π∈Z – нет; π∈Q – нет; π∈R - да. №274 а) 7,653…>7,563…; б) 0,123…>0,114…; в) -48,075>-48,275…; г) -1,444…>-1,456… №275 а) 1,(56); б) -4,45; в) 1,6668; г) −
5 ; 22
д) π=3,14159…; е) π; №276 а) 9,835…<9,847; б) -1,(27)<1,272; 1 = 2 ,1428... > 2 ,142 ; 7 3 г) 1,(375)> 1 = 1,375 . 8
в) 2
№279 а) a = 1,0539... ≈ 1,1 ; b = 2,0610... ≈ 2,1 ; a + b ≈ 1,1 + 2,1 = 3,2; б) a = 1,0539... ≈ 1,05 ; b = 2,0610... ≈ 2,06 ; a + b ≈ 1,05 + 2,06 = 3,11 в) a = 1,0539... ≈ 1,054 ; b = 2,0610... ≈ 2,061 a + b ≈ 1,054 + 2,061 = 3,115 №280 а) a = 59,678... ≈ 59,7 ; b = 43,123... ≈ 43,1; a − b ≈ 59,7 − 43,1 = 16,6 ; б) a = 59,678... ≈ 59,68 ; b = 43,123... ≈ 43,12 ; a − b ≈ 59,68 − 43,12 = 16,56 . №281
www.5balls.ru
Пусть r - радиус окружности. Тогда ее длина C=2πr; π ≈ 3,14 ; C ≈ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 ,5 = 6 ,28 ⋅ 4 ,5 = 28,26 (см). №282 Пусть r - радиус круга. Тогда его площадь S = πr 2 ≈ 3,14 ⋅ 102 = 3,14 ⋅ 100 = 314 (м2).
Упражнения для повторения №283
a a+b b (a + b )2 − ab (a + b )2 − ab a+b = − − : = : a+b a a+b b(a + b ) a (a + b ) b =
( )= a ( a + b) − ab) b b(a + b )( a(a + b )(a + b )2 − ab 2
№284 1) x = −2,5 ; |2x-8|=|2⋅(-2,5)-8|=|-5-8|=|-13|=13; 2) x=0; |2x-8|=|2⋅0-8|=|-8|=8; 3) x=4; |2x-8|=|2⋅4-8|=|8-8|=|0|=0; 4) x=5; |2x-8|=|2⋅5-8|=|10-8|=|2|=2; 5) x=9,5; |2x-8|=|2⋅9,5-8|=|11|=11; №285 а) |ab|=ab; б) |ab|=-ab. №286 Найдем k: − 0 ,5 =
k 2 ; k = −0,5 ⋅ 4 = −2 ; y = − . 4 x
Область определения: x≠0 x y
1 -2
2 -1
4 -1/2
1/2 -4
-1 2
www.5balls.ru
-2 1
-4 1/2
y 6
1 6
-1
6
1 0
x
-6 §5 Арифметический квадратный корень 11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. №287 а) 5>0 и 52=25, следовательно, число 5- арифметический квадратный корень из 25; x -4 -2 -1 1 2 4 y 1/2 1 2 -2 -1 -1/2 б) 0,3>0 и 0,32=0,09 следовательно, число 0,1 - арифметический квадратный корень из 0,09; в) –7<0 следовательно число –7 не является арифметическим квадратным корнем из 49; г) 0,62=0,36≠36 следовательно число арифметическим квадратным корнем из 36; №288 а) 11>0 и 112=121; б) 13>0 и 132=169; в) 1,2>0 и 1,22=1,44; г) 0,7>0 и 0,72=0,49.
www.5balls.ru
0,6
не
является
№289 а) 81 = 9 ; б) 64 = 8 ; в) 36 = 6 ; г) 1600 = 40 ; д) 2500 = 50 ; е) 10000 = 100 ; ж)
0 ,04 = 0 ,2 ;
з) 0 ,25 = 0 ,5 ; и)
0 ,81 = 0 ,9 ;
к)
81 9 = ; 4 2
л) 2
1 = 4
м) 1
24 = 25
9 3 ; = 4 21 49 7 = ; 25 5
№290 а) 400 = 20 ; б)
900 = 30 ;
в)
4900 = 70 ;
г)
0 ,01 = 0 ,1 ;
д)
0 ,16 = 0 ,4 ;
е)
0 ,64 = 0 ,8 ;
ж)
36 6 = ; 49 7
з)
121 11 ; = 64 8
и) 1
7 16 4 1 = = =1 ; 9 9 3 3
www.5balls.ru
к)
6
1 = 4
25 5 1 = =2 . 4 2 2
№291 а) при а=32, b=4 получаем:
a + b = 32 + 4 = 36 = 6 ; a + b = 33 − 8 = 25 = 5 ;
при а=33, b=-8 получаем:
при а=0,65, b=0,16 получаем:
a + b = 0 ,65 + 0 ,16 = 0,81 = 0 ,9 ;
a + b = − 25 + 26 = 1 = 1
при а=-25, b=26 получаем:
3x − 5 = 3 ⋅ 7 − 5 = 21 − 5 = 16 = 4 ;
б) при х=7 получаем:
3x − 5 = 3 ⋅ 23 − 25 = 69 − 5 = 64 = 8 ;
при х=23 получаем:
3 x − 5 = 3 ⋅ 1,83 − 5 = 5.49 − 5 = 0 ,49 = 0,7 .
при х=1,83 получаем:
в) при х=0 получаем: x + x = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 ;] при х=0,01 получаем: x + x = 0 ,01 + 0 ,01 = 0,01 + 0,1 = 0,11 ; при х=0,36 получаем: x + x = 0 ,36 + 0 ,36 = 0,36 + 0,6 = 0,96 . при х=0,64 получаем: x + x = 0 ,64 + 0,64 = 0,64 + 0,8 = 1,44 ; при х=1 получаем: x + x = 1 + 1 = 1 + 1 = 2 ; при х=25 получаем: x + x = 25 + 25 = 25 + 5 = 30 ; при х=100 получаем: x + x = 100 + 100 = 100 + 10 = 110 ; при х=3600 получаем: x + x = 3600 + 3600 = 3600 + 60 = 3660 №292 а) при x=25, y=0 получаем: при x=0, y=1 получаем: при x=
x + y = 25 + 0 = 5 ;
x + y = 0 + 1 = 1;
9 , y=0,36 получаем: 25
x+ y=
9 3 + 0,36 = + 0 ,6 = 25 5
= 0,6 + 0,6 = 1,2
б) при а=0 получаем: при а=2 получаем:
4 − 2a = 4 − 2 ⋅ 0 = 4 − 0 = 2 ;
4 − 2a = 4 − 2 ⋅ 2 = 4 − 4 = 0 ;
при а=1,5 получаем: при а=-22,5 получаем:
4 − 2a = 4 − 2 ⋅ 1,5 = 4 − 3 = 1 ; 4 − 2a = 4 − 2 ⋅ (− 22 ,5) = 4 + 45 = 7 ;
www.5balls.ru
№293 а) 36 ⋅ 16 = 6 ⋅ 4 = 24 ; б) 81 : 100 = 9 : 10 = 0,9 ; в) 0 ,09 + 0 ,25 = 0 ,3 + 0 ,5 = 0 ,8 ; г) 0,04 − 0,01 = 0,2 − 0,1 = 0,1 ; д) 3 9 − 16 = 3 ⋅ 3 − 16 = 9 − 16 = −7 ; е) − 7 0,36 + 5,4 = −7 ⋅ 0,6 + 5,4 = −4 ,2 + 5,4 = 1,2 ; ж) 0,1 400 + 0,2 1600 = 0,1 ⋅ 20 + 0,2 ⋅ 40 = 2 + 8 = 10 ; з)
1 1 1 1 0 ,36 + 900 = ⋅ 0,6 + ⋅ 30 − 0 ,2 + 6 = 6,2 ; 3 5 3 5
№294 а) 0,6 36 = 0,6 ⋅ 6 = 3,6 ; б) − 2,5 25 = −2,5 ⋅ 5 = −12,5 ; в) 0 ,49 + 0 ,16 = 0 ,7 + 0 ,4 = 1,1 ; г) 0,64 − 0,04 = 0,8 − 0,2 = 0 ,6 ; д) − 0,0036 + 0,0025 = −0,06 + 0,05 = −0,01 ; е) 0,01 − 0,0001 = 0,1 − 0,01 = 0,09 ; ж)
1 1 0,81 − 1 = ⋅ 0 ,9 − 1 = 0 ,3 − 1 = −0 ,7 ; 3 3
з) 4 − 10 0,01 = 4 − 10 ⋅ 0,1 = 4 − 1 = 3 . №296 а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) да; е) нет. №297 1) 2)
( a) = 0 ; a = 0 ; a =1 ; ( a) =1 ; a =1;
a = 0;
2
2
2
2
www.5balls.ru
( a) = 3 ; a = 9 ; a = 10 ; ( a ) = 10 ; a = 100 ; a = 0,6 ; ( a ) = 0,6 ; a = 0,36 . 2
a =3;
3)
2
2
4)
2
2
5)
2
№298
( x ) = 4 ; x = 16 ; x = 0,5 ; ( x ) = 0,5 ; x = 0,25 ; 2
а) x = 4 ; б) )
2
2
в) ) 2 x = 0 ;
2
x =0; x =0;
( x ) = 14 ; x = 161 ; д) x − 8 = 0 ; x = 8 ; ( x ) = 8 ; x = 64 2 2 е) 3 x − 2 = 0 ; 3 x = 2 ; x = ; ( x ) = 3 3
г) 4 x = 1 ;
x=
1 ; 4
2
2
2
2
№299
2
; x=
4 . 9
( )
а) x = 0,1 ; x = (0,1)2 ; x = 0,01 ; б) нет; в) нет; г) x − 3 = 0 ; x = 3 ; x = 9 . 2
№300 а)
( x ) = 11 ; x = 121 ; 3 3 ; ( x) = x = 3; x = 10 10
x = 11 ;
б) 10
2
2
2
2
; x=
9 ; 100
x = 20 - такого значения х не существует; 1 1 г) 2 x − 1 = 0 ; 2 x = 1 ; x = ; x = ; 2 4
в)
д) 5 − x = 0 ; − x = −5 ; е) 2 + x = 0 ; №301 а) 3 + 5 x = 7 ;
x = 5 ; x = 25 ;
x = −2 - такого значения х не существует.
( 3 + 5x ) = 7 2
2
;
www.5balls.ru
3 + 5 x = 49 ; 5 x = 46 ; x = 9,2 ;
(
)
2
б) 10 x − 14 = 11 ; 10 x − 14 = 112 ; 10 x − 14 = 121 ; x = 13,5 ; в)
1 1 1 1 x − = 0 ; x = ; x = 1,5 . 3 2 3 2
Упражнения для повторения. №302 а) x = −2 ,5; y ≈ 6 ,25; x = −1,3; y ≈ 1,7; x = −0 ,8; y ≈ 0 ,65; x = 0 ,6; y ≈ 0 ,35; x = 1,7; y ≈ 2 ,8; x = 2 ,3; y ≈ 5,2;
y 9
1 -3
-1
0
1
3
б) y = 1; x1,2 = ±1;
www.5balls.ru
x
y = 2; x1,2 ≈ ±1,4; y = 5; x1,2 ≈ ±2,2; y = 7 ,5; x1,2 ≈ ±2,8;
в) (− 1,4)2 ≈ 2;
(− 0,8)2 ≈ 0,65; (1,2)2 ≈ 1,45; (− 2,8)2 ≈ 7 ,65;
г) 0 ,5 ≈ 0 ,7 ; 2,5 ≈ 1,6 ;
3 ≈ 1,75 ; 4 ≈2;
5 ≈ 2,2 ; 9 = 3.
№303
x(1 − x ) − 1(1 − x ) + 1 x(x − 1) 1 x2 − x = ⋅ = ⋅ x −1+ 2 1 − x (2 − x ) 1− x (2 − x )2 = =
(
)
− x 2 + 2 x x(x − 1) x − x 2 − 1 + x + 1 x(x − 1) ⋅ = − ⋅ = 1− x x −1 (2 − x )2 (2 − x )2 x(x − 2 )⋅ x(x − 1)
(x − 1)(x − 2)
2
=
x2 . x−2
Подставим x = −2 получим:
x2 (− 2)2 = 4 = −1. = x−2 −2−2 −4
№304 а) |a2|=a2; б) при a > 0 : a3 = a3 ; в) при a < 0 : a 3 = − a3 ;
www.5balls.ru
12. Уравнение x 2 = a
№305 а) x 2 = 81 ; x1,2 = ± 81 = ±9 ;
б) x 2 = 18 ; x1,2 = ± 18 = ± 9 ⋅ 2 = ±3 2 ; в) x 2 = 0 ; x = 0 ; г) x 2 = −25 ; уравнение не имеет корней. №306 а) x 2 = 36 ; x1,2 = ± 36 = ±6 ; б) x 2 = 0,49 ; x1,2 = ± 0,49 = ±0 ,7 ; в) x 2 = 121 ; x1,2 = ± 121 = ±11 ; г) x 2 = 11 ; x1,2 = ± 11 ; д) x 2 = 8 ; x1,2 = ± 4 ⋅ 2 = ±2 2 ; е) x 2 = 2,5 ; x1,2 = ± 2,5 =
5 = 2
2⋅5 10 = ; 2⋅2 2
№307 Нарисуем график и найдем приближенные значения: а) x 2 = 3 ; x1,2 = ± 3 ; x1,2 ≈ ±1,7 ; б) x 2 = 5 ; x1,2 = ± 5 ; x1,2 ≈ ±2,2 ; в) x 2 = 4,5 ; x1,2 = ± 4 ,5 ; x1,2 ≈ ±2,1 ; г) x 2 = 8,5 ; x1,2 = ± 8,5 ; x1,2 ≈ 2,9 .
www.5balls.ru
y 9
1 -3
-1
0
1
3
x
№308 Нарисуем график и найдем приближенные значения: а) x 2 = 3,6 ; x1,2 = ± 3,6 ; x1,2 ≈ ±1,85 ; б) x 2 = 2,8 ; x1,2 = ± 2,8 ; x1,2 ≈ ±1,65 ; в) x 2 = 1,4 ; x1,2 = ± 1,4 ; x1,2 ≈ ±1,2 ; г) x 2 = 6 ; x1,2 = ± 6 ; x1,2 ≈ 2,45 . №309 а) x 2 − 0,01 = 0,03 ; x 2 = 0,03 + 0,01 = 0,04 ; x1,2 = ± 0,04 = ±0,2 ;
б) 80 + y 2 = 81 ; y 2 = 81 − 80 = 1 ; y1,2 = ± 1 = ±1 ;
в) 19 + c 2 = 10 ; c 2 = 10 − 19 = −9 ; уравнение корней не имеет; г) 20 − b 2 = −5 ; b 2 = 5 + 20 = 25 ; b1,2 = ± 25 = ±5 ; д) 3x 2 = 1,47 ; x 2 = 1,47 : 3 = 0,49 ;
www.5balls.ru
x1,2 = ± 0,49 = ±0 ,7 ;
е)
1 2 1 a = 10 ; a 2 = 10 : = 40 ; 4 4
a1,2 = ± 4 ⋅ 10 = ±2 10 ; 1 2
ж) x 2 = 32 ; x 2 = 32 :
1 = 64 ; 2
x1,2 = ± 64 = ±8 ;
з) − 5 y 2 = 1,8 ; y 2 = −(1,8 : 5) = −0,36 ; уравнение корней не имеет; №310 а) 16 + x 2 = 0 ; x 2 = −16 ; уравнение корней не имеет; б) 0,3x 2 = 0,027 ; x 2 = 0,027 : 0,3 = 0,09 ; x1,2 = ± 0,09 = ±0,3 ;
в) 0,5 x 2 = 30 ; x 2 = 30 : 0,5 = 60 ; x1,2 = ± 4 ⋅ 15 = ±2 15 ;
г) − 5 x 2 =
1 1 1 ; x2 = − : 5 ; x2 = − ; уравнение корней не имеет. 20 20 100
№311 а) (x − 3)2 = 25 ; x − 3 = ± 25 = ±5 ; 1) x − 3 = 5 ; x = 5 + 3 ; x1 = 8 ; 2) x − 3 = −5 ; x = −5 + 3 ; x2 = −2 ; б) (x + 4)2 = 9 ; x + 4 = ± 9 = ±3 ; 1) x + 4 = 3; x = 3 − 4; x1 = −1; 2) x + 4 = −3; x = −3 − 4; x2 = −7; в) (x − 6) = 7 ; x − 6 = ± 7 1)
x − 6 = 7 ; x1 = 7 + 6;
2)
x − 6 = − 7 ; x2 = − 7 + 6;
г) (x + 2)2 = 6 ; x + 2 = ± 6 ; 1) x + 2 = 6 ; x1 = 6 − 2; 2) x + 2 = − 6 ; x2 = − 6 − 2;
www.5balls.ru
№312 1) При x=-3,4: 2) При x=0:
8 − 5 x = 8 − 5(− 3,4 ) = 8 + 17 = 25 = 5 ;
8 − 5x = 8 − 5 ⋅ 0 = 8 = 2 2 ;
3) При x=1,2:
8 − 5 x = 8 − 5 ⋅ 1,2 = 8 − 6 = 2 ;
4) При x=1,6:
8 − 5 x = 8 − 5 ⋅ 1,6 = 8 − 8 = 0 ;
5) При x=2,4: 8 − 5 x = 8 − 5 ⋅ 2,4 = 8 − 12 = − 4 - выражение не имеет смысла. №313 а) При a ≥ 0 ; б) при x ≥ 0 ; в) при c ≥ 0 ; г) при b ≤ 0 . №314 а) При x ≥ 0 ; б) при x ≤ 0 . №315
( 25 ) = 25 ; 2) ( 81 ) = 81 ; 3) ( 2 ) = 2 ; 4) ( 3 ) = 3 ; 5) (− 4 ) = 4 ; 6) ( 5 ) = 5 ; 7) (− 6 ) = 6 ; 2
1)
2
2
2
2
2
2
2
1 =1; 8) 2 2
9)
( 1,3 ) = 1,3 . 2
www.5balls.ru
№316
( 7) = 7 ; б) (− 26 ) = 26 ; а)
2
2
( )
2
в) − 2 14 ⋅ 14 = −2 14 = −2 ⋅ 14 = −28 ;
( ) д) 0,5(− 8 ) = 0,5 ⋅ 8 = 4 ; е) (− 2 15 ) = 4 ⋅ 15 = 60 ; 2
г) 3 5 = 9 ⋅ 5 = 45 ; 2
2
2
3 =3; ж) 2 4 2
3 =3=1. з) 6 6 2
№317
( ) = 0,49 + 2 ⋅ 0,4 = 0,49 + 0,8 = 1,29
а) 0,49 + 2 0 ,4
2
( ) в) (2 6 ) + (− 3 2 ) = 4 ⋅ 6 + 9 ⋅ 2 = 42 1 1 20 = −0 ,1 ⋅ 120 − ⋅ 20 = −12 − 5 = −17 . г) − 0,1( 120 ) − 2 4 2
б) 3 11 − 6400 = 9 ⋅ 11 − 80 = 99 − 80 = 19 2
2
2
2
№318 а) 2 6 ⋅ − 6 = −2 ⋅ 6 = −12 ;
( ) б) − (3 5 ) = −9 ⋅ 5 = −45 ; в) 1,44 − 2( 0,6 ) = 1,2 − 2 ⋅ 0 ,6 = 0 ; г) (0 ,1 70 ) + 1,69 = 0,01 ⋅ 70 + 1,3 = 0 ,7 + 1,3 = 2 . 2
2
2
Упражнения для повторения
www.5balls.ru
№319 x x
x
= 1 , при х>0;
При х=-8;-5
x x
x
= −1 , при х<0; x
= −1 ; при x=1;7;128
x
=1.
№320 1 x = x − 1 : x + 1 = x(x − 1) = x − 1 ; а) 1 x x x(x + 1) x + 1 1+ x x − 1 −0 ,5 − 1 1,5 = =− = −3 ; Если х=-0,5, то x + 1 − 0 ,5 + 1 0 ,5 1 1 1 = = = б) 1 1 x 1+ 1+ 1+ 1 x +1 x +1 1+ x x 1 1 x +1 ; = = = 2x + 1 2x + 1 x +1+ x x +1 x +1 x +1 0 ,6 0,6 −0 ,4 + 1 = = = =3. Если x=-0,4, то 2 x + 1 2 ⋅ (− 0 ,4 ) + 1 − 0 ,8 + 1 0 ,2 1−
№321 а) =
б)
8 − x3 25 x 2 + 100 − 100 x
=
(2 − x )(x + 2 x + 4) = 25(2 − x )2 2
16a 4 + 16a 2
a +1− a
=
(2 − x )(4 + 2 x + x 2 ) =
(
25 x 2 − 4 x + 4
x + 2x + 4 ; 25(2 − x )
(
) = 16a(a + 1)(a
16a a 3 + 1 2
)
2
a − a +1
2
) = 16a(a + 1) .
− a +1
2
a − a +1
№322 Графики функций y =
10 и y = 10 x имеют две общие точки. x
www.5balls.ru
y 10 5 -10
-5 0
5
10
x
-5 -10
13. Нахождение приближенных значений квадратного корня. №323 а) 5 и 6; б) 6 и 7; в) 10 и 11; г) 3 и 4; д) 0 и 1. №324 а) 3 и 4; б) 8 и 9; в) 14 и 15; г) 2 и 3. №325 Ответ: 2;4;4. №326 Ответ: 3;1. №334 а) –5,48 и 5,48;
www.5balls.ru
б) –1,20 и 1,20; в) –0,46 и 6,46; г) –3,83 и 1,83.
www.5balls.ru
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №335 а) 3 016 , − 01 , 225 = 3 ⋅ 0,4 − 01 , ⋅ 15 = 1,2 − 1,2 = −0,3; б) 0,2 900 + 1,8
1 1 = 0,2 ⋅ 30 + 1,8 ⋅ = 6 + 0,6 = 6,6 ; 9 3
в) 0,3 1,21 ⋅ 400 = 0,3 ⋅ 11 , ⋅ 20 = 6,6 ; г) 5: 0,25 ⋅ 0,81 = 5:0,5 ⋅ 0,9 = 9 ; №336 а) не пересекает; б) пересекает в точке (0; 0); в)пересекает в точках(5; 25), (-5; 25) пересекает в точках (5,9;35), (5,9; 35) №337 2
, + 2 = 1 + 2 = 3; а) 10 0,01 + − 2 = 10 ⋅ 01
б) 0,3 25 −
1 3
( 12 )
2
= 0,3 ⋅ 5 −
1 ⋅ 12 = 1,5 − 4 = −2,5. 3
№338 1) х=7; 7+ 7 = 7 + 7 = 14; х=10; 10 + 10 = 10 + 10 = 20; х=0; 0 + 0 = 0 + 0 = 0; х=-3; -3 − 3 = − 3 + 3 = 0; x = −8; − 8 + − 8 = −8 + 8 = 0;
2) а) x > 0, x + x = x + x = −2x ; б) x < 0, x + x = x − x = 0. №339. а)
4a2 − 20a + 25 25 − 4a2
=
(5 − 2a)2 = 5 − 2a ; (5 − 2a)(5 + 2a) 5 + 2a
www.5balls.ru
б)
9x 2 + 4 y 2 − 12x y 4 y 2 − 9x 2
=
(2 y − 3x )2 = 2 y − 3x . (2 y − 3x )(2 y + 3x ) 2 y + 3x . 14. Функция и ее график
№340. а) S = π r2; r2 = б) S =
S ;r = π
S ; π
4S π d2 ; 4S = π d 2; d 2 = ;d = 4 π
S 4S =2 . π π
№341 а) площадь поверхности куба S = 6a2; б) длина ребра куба a =
S . 6
№342. Радиус шара R =
1 S . 2 π
№345 1) 8 = 64 ; 8=8 – точка А принадлежит графику данной функции; 2) 100 = 10000; 100=100 - точка В принадлежит графику данной функции; 3) − 81 не имеет смысла, следовательно С не принадлежит графику данной функции; 4) − 5 ≠ 25 - точка D не принадлежит графику данной функции. №346. а) пересекает вточке (1;1); б) пересекает в точке (100; 10); в) пересекает в точке (10000; 100); г) непересекает №347 1) 11 = 121 ; 11=11 значит точка принадлежит графику данной функции; 2) 30 900; 30=30, значит точка М принадлежит графику данной функции;
www.5balls.ru
3) − 400 не имеет смысла, следовательно точка А не принадлежит графику данной функции; 4) -9 ≠ 81 - точка D не принадлежит графику данной функции. №348. Пользуясь рис.14 учебника получаем: а) 0,5 < 0,8 ; б) 4,2 <
5,7 ;
в) 7 < 8. №349. а) 11; б) 015 , ; в) 60 ; г) д)
( 60 ) ∨ 8 ; 60 < 64; 60 < 8; , ; ( 2 ) ∨1,4 ; 2 >196 , ; 2 >14 , . 2 ∨14 2
60 ∨ 8 ;
2
2
2
№350. а) 27 < 28 ; б) 13 , < 15 , ;
( 7 ) ∨ 3 ; 7 < 9; 2
2
в)
7 ∨ 3;
7 <3;
г)
6,25 ∨ 2,5;
д)
1 1 1 1 1 1 1 1 ; > ; ∨ > . ∨ ; 5 6 5 6 5 6 5 6
(2,5)2 ∨ 2,5; 2,5 = 2,5; 2
6,25 = 2,5;
2
№351. а) 2,3 < 10,4 < 19,5, значит
2,3 < 10,4 < 19,5;
б) 4 = 16 ; 12 <16 <18 , значит 12 < 4 < 18; в) 0,5 =
1 1 1 3 1 6 1 4 3 4 6 = ; = ; = ; = ; < < , значит 2 4 4 12 2 12 3 12 12 12 12
www.5balls.ru
1 1 1 1 1 < < u 0,5 < < ; 3 2 4 3 2 0,7 <1< 1,7.
г) 0,7 < 1 < 1,7, значит
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №352. а) 0,5 121 + 3 0,81 = 0,5 ⋅11 + 3 ⋅ 0,9 = 5,5 + 2,7 = 8,2; , = 36; б) 144 ⋅ 900 ⋅ 0,01 =12 ⋅ 30 ⋅ 01
в)
(
)
2
400 − 4 0,5 = 20 − 16 ⋅ 0,5 = 20 − 8 = 12; 2
1 1 г) − 3 − 10 0,64 = 9 ⋅ − 10 ⋅ 0,8 = 3 − 8 = −5. 3 3
№353. а) имеет; б) не имеет; в) имеет; г) имеет. №354. а) 1) x 2 = 11; x1,2 = ± 11; 2) x = 11;
( x)
2
= 112 ; x = 121;
1 2
б) 1) 2x 2 = ; x 2 = 0,25; x1,2 = ± 0,25 = ±0,5; 1 2
( )
2) 2 x = ; 2 x
2
2
1 1 1 = ;4 x = ; x = . 2 4 16
№355. а) a > 0 u b > 0: ab3 = ab3; ; б) a < 0 u b > 0: ab3 = (− a) ⋅ b3 = − ab3; в) a < 0 u b < 0: ab3 = ( − a)( − b)3 = ab3; г) a > 0 u b < 0: ab3 = a ⋅ ( − b)3.
www.5balls.ru
№356. −5 x
> 0; x2 + 7 x +4 x +4 =− 2 < 0. б) x>0 : x+4 >0; x2+4>0, следовательно 2 − x −4 x +4
а) x<0: -5x > 0; x2+7>0, следовательно
§6. Свойства арифметического квадратного корня 15. Квадратный корень из произведения и дроби №357 а) 100 ⋅ 49 = 100 ⋅ 49 = 10 ⋅ 7 = 70; б)
81 ⋅ 400 = 81 ⋅ 400 = 9 ⋅ 20 = 180;
в)
64 ⋅ 121 = 64 ⋅ 121 = 8 ⋅ 11 = 88;
г)
144 ⋅ 0,25 = 144 ⋅ 0,25 = 12 ⋅ 0,5 = 6;
д)
0,01 ⋅ 169 = 0,01 ⋅ 169 = 0,1 ⋅ 13 = 1,3;
е) 2,25 ⋅ 0,04 = 2,25 ⋅ 0,04 = 1,5 ⋅ 0,2 = 0,3. №358. а)
9 = 64
3 = ; 64 8
б)
36 = 25
36
в)
121 121 11 1 = = =2 ; 25 5 5 25
г)
144 144 12 = = ; 169 169 13
д) 1 е)
9 = 16
2
9
25
=
6 1 =1 ; 5 5
25 = 16
25 16
7 169 = = 81 81
5 1 =1 ; 4 4
=
169 81
=
13 4 =1 ; 9 9
ж) 5
1 81 81 9 1 = = = =2 ; 16 16 4 16 4
з)
7 = 9
2
25 = 9
25 9
=
5 2 =1 ; 3 3
www.5balls.ru
№359. а) 81 ⋅ 900 = 81 ⋅ 900 = 9 ⋅ 30 = 270; б) 0,36 ⋅ 49 = 0,36 ⋅ 49 = 0,6 ⋅ 7 = 4,2 ; в) 12
1 = 4
49 = 4
49
г) 10
9 169 169 13 1 = = = =3 ; 4 16 16 4 16
4
=
7 1 =3 ; 2 2
№360. а) 9 ⋅ 64 ⋅ 0,25 = 9 ⋅ 64 ⋅ 0,25 = 3 ⋅ 8 ⋅ 0,5 = 12; б) 0,36 ⋅ 2,25 ⋅ 144 = 0,36 ⋅ 2,25 ⋅ 144 = 0,6 ⋅ 1,5 ⋅ 12 = 10,8; в)
1,21 ⋅ 0,09 ⋅ 0,0001 = 1,12 ⋅ 0,09 ⋅ 0,0001 = 1,1 ⋅ 0,3 ⋅ 0,01 = 0,0033
г)
25 16 196 ⋅ ⋅ = 81 49 9
д) ⋅ 3 е)
5
1 14 ⋅2 = 16 15
1 34 ⋅2 = 16 81
25 16 196 5 4 14 40 13 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =1 ; 81 49 9 9 7 3 27 27 49 ⋅ 16
64 7 ⋅ 8 14 = = = 2,8; 25 4 ⋅ 5 5
81 196 ⋅ = 16 81
196 196 14 1 = = =3 . 16 4 2 16
№361. а) 0,04 ⋅ 81 ⋅ 25 = 0,04 ⋅ 81 ⋅ 25 = 0,2 ⋅ 9 ⋅ 5 = 9; б)
0,09 ⋅ 16 ⋅ 0,04 = 0,09 ⋅ 16 ⋅ 0,04 = 0,3 ⋅ 4 ⋅ 0,2 = 0,24; 7 4 = 9 25
в) 1 ⋅ г)
16 4 4 2 8 ⋅ = ⋅ = ; 9 25 3 5 15
121 1 121 9 11 3 33 3 ⋅2 = ⋅ = ⋅ = =1 ; 144 4 144 4 12 2 24 8
№362. а) 810 ⋅ 40 = 81 ⋅ 400 = 81 ⋅ 400 = 9 ⋅ 20 = 180 ; б) 10 ⋅ 250 = 2500 = 50 ; в) 72 ⋅ 32 = 36 ⋅ 2 ⋅ 16 ⋅ 4 = 36 ⋅ 16 ⋅ 4 36 ⋅ 16 ⋅ 4 = 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 48 ; г) 8 ⋅ 98 = 4 ⋅ 2 ⋅ 49 ⋅ 4 = 16 ⋅ 49 = 4 ⋅ 7 = 28 ;
www.5balls.ru
50 ⋅ 18 = 25 ⋅ 2 ⋅ 9 ⋅ 2 = 25 ⋅ 9 ⋅ 4 = 25 ⋅ 9 ⋅ 4 = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 30 ;
д) е)
2,5 ⋅ 14,4 = 0,25 ⋅ 10 ⋅ 144 ⋅ 0,1 = 0,25 ⋅ 144 = 0,5 ⋅ 12 = 6 ;
ж)
90 ⋅ 6,4 9 ⋅ 10 ⋅ 6,4 = 9 ⋅ 64 = 9 ⋅ 64 = 3 ⋅ 8 = 24 ;
з)
16,9 ⋅ 0,4 = 169 ⋅ 0,1 ⋅ 4 ⋅ 9,1 = 169 ⋅ 4 ⋅ 0,01 =
= 169 ⋅ 4 ⋅ 0,01 = 13 ⋅ 2 ⋅ 0,1 = 2,6 . №363 а) 75 ⋅ 48 = 3 ⋅ 25 ⋅ 16 ⋅ 3 = 25 ⋅ 16 ⋅ 9 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 ; б) 45 ⋅ 80 = 9 ⋅ 5 ⋅ 16 ⋅ 5 = 9 ⋅ 16 ⋅ 25 = 9 ⋅ 16 ⋅ 25 = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 ; в) 4,9 ⋅ 360 = 4,9 ⋅ 3,6 ⋅ 10 = 49 ⋅ 36 = 49 ⋅ 36 = 7 ⋅ 6 = 42 ; г)
160 ⋅ 6,4 = 16 ⋅ 10 ⋅ 6,4 = 16 ⋅ 64 = 16 ⋅ 64 = 4 ⋅ 8 = 32 ;
№364 а)
132 − 122 = (13 − 12)(13 + 12) = 1 ⋅ 25 = 25 = 1 ⋅ 5 = 5 ;
б)
82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 10 ;
в) 3132 − 3122 = ( 313 − 312)(313 + 312) = 1 ⋅ 625 = 625 = = 1 ⋅ 25 = 25 ; г)
1222 − 222 = (122 − 22)(122 + 22) = 100 ⋅ 144 =
= 100 ⋅ 144 = 10 ⋅ 12 = 120 ; д)
45,82 − 44,22 = (45,8 − 44,2)( 45,8 + 44,2) = 1,6 ⋅ 90 =
= 1,6 ⋅ 10 ⋅ 9 = 16 ⋅ 9 = 16 ⋅ 9 = 4 ⋅ 3 = 12 ; е)
21,82 − 18,22 = (21,8 − 18,2)(21,8 + 18,2) = 3,6 ⋅ 40 =
= 3,6 ⋅ 10 ⋅ 4 = 36 ⋅ 4 = 36 ⋅ 4 = 6 ⋅ 2 = 12 . №365 а)
172 − 82 = (17 − 8)(17 + 8) = 9 ⋅ 25 = 9 ⋅ 25 = 3 ⋅ 5 = 15 ;
б)
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 ;
в)
822 − 182 = (82 − 18)(82 + 18) = 64 ⋅ 100 = 64 ⋅ 100 =
8⋅10=80;
www.5balls.ru
1172 − 1082 = (117 − 108)(117 + 108) = 9 ⋅ 225 =
г)
9 ⋅ 225 = 3 ⋅ 15 = 45 ;
д)
6,82 − 3,22 = (6,8 − 3,2)(6,8 + 3,2) = 3,6 ⋅ 10 36 = 6 ;
е)
1 1 17 1 17 1 17 1 1 − = − = − ⋅ + = 16 2 16 2 16 2 16 2
2
2
2
2
17 − 8 17 + 8 9 25 9 25 3 5 15 . ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 16 16 16 16 16 16 4 4 16
№336. а) 15 = б) 21 = в) 7a = г) 3c =
3⋅ 5 ; 7⋅ 3; 7⋅ a ; 3⋅ c ;
№367. а)
2 = 7
2
б)
3 3 ; = 10 10
в)
5 = a
г)
b = 3
7
5 a b 3
;
; .
№368 n n n = 10 ⋅ = 10 ⋅ = n тождество доазано. 100 10 100 1 1 1 100 n = 100n = б) ⋅ 10 ⋅ n = n тождество доазано. 10 10 10
а) 10
№369. а) 7500 = 75 ⋅ 100 = 8,7 ⋅ 10 = 87 ;
www.5balls.ru
б)
750000 = 75 ⋅ 100 ⋅ 100 = 8,7 ⋅ 100 = 870 ;
в)
0,75 = 75 ⋅ 0,01 ≈ 8,7 ⋅ 0,1 = 0,87 ;
г)
0,0075 = 75 ⋅ 0,0001 ≈ 8,7 ⋅ 0,01 = 0,087 .
№370 а) 57600 = 576 ⋅ 100 = 576 ⋅ 10 = 24 ⋅ 10 = 240 ; б)
230400 = 2304 ⋅ 100 = 2304 ⋅ 100 = 48 ⋅ 10 = 480 ;
в)
152100 = 1521 ⋅ 100 = 1521 ⋅ 100 = 39 ⋅ 100 = 390 ;
г)
129600 = 1296 ⋅ 100 = 1296 ⋅ 100 = 36 ⋅ 10 = 360 ;
д)
20,25 =
е)
9,61 =
ж)
0,0484 =
з)
2025 = 100
2025 100
=
45 = 4,5 ; 10
961 961 31 = = = 3,1 ; 100 100 10
0,3364 =
484 = 10000 3364 = 10000
484 10000 3364 10000
= =
22 = 0,22 ; 100 58 = 0,58 . 100
№371. а) 44100 = 441 ⋅ 100 = 441 ⋅ 100 = 21 ⋅ 10 = 210 ; б) 435600 = 4356 ⋅ 100 = 4356 ⋅ 100 = 66 ⋅ 10 = 660 ; в) 0,0729 = 729 ⋅ 0,0001 = 729 ⋅ 0,0001 = 27 ⋅ 0,01 = 0,27 ; г)
15,21 = 1521 ⋅ 0,01 = 1521 ⋅ 0,01 = 39 ⋅ 0,1 = 3,9 .
№372 а) 2 ⋅ 8 = 16 = 4 ; б) 27 ⋅ 3 = 81 = 9 ; в) 28 ⋅ 7 = 196 = 14 ; г) 2 ⋅ 32 = 64 = 8 ; д) 13 ⋅ 52 = 676 = 22 ; е) 63 ⋅ 7 = 441 = 21 ;
www.5balls.ru
ж) з)
50 ⋅ 4,5 = 225 = 15 ; 1,2 ⋅ 3
1 1 1 = 1 ⋅3 = 5 3 3
6 ⋅ 10 = 4 =2. 5⋅ 3
№373 а) б) в)
2 18
2 = 18
=
23 2300 52
г)
12500
д)
7,5
500 0,3
23 1 1 = = ; 2300 100 10
=
52 = 117
=
117
=
1 1 = ; 9 3
=
4 2 = ; 9 3
12500 = 25 = 3 ; 500
7,5 = 25 = 5 ; 0,3
№374 а) 10 ⋅ 40 = 400 = 20 ; б) 12 ⋅ 3 = 36 = 6 ; в) 162 ⋅ 2 = 324 = 18 ; 2⋅3 = 3⋅8
г)
2 3 ⋅ = 3 8
д)
110 ⋅ 4,4 = 484 = 22 ;
е)
4 1 ⋅ 0,2 = 5
ж)
999 = 111
з)
15 735
=
1 1 = ; 4 2
9 9 3 ⋅ = ; 5 25 5
999 = 9 = 3; 111 15 = 735
1 1 = ; 49 7
№375 Второй способ удобнее; произведем вычисления
www.5balls.ru
6 ≈ 2,45 .
№376 а) 7 ⋅ 5 = 35 ≈ 5,92 ; б)
3,1 ⋅ 4,5 = 3,1 ⋅ 4,5 ≈ 3,73
в)
10 ⋅ 11 ⋅ 12 = 10 ⋅ 11 ⋅ 12 ≈ 36,33 ;
г)
117
д)
10,2
117 ≈ 4,42 ; 6
=
6 38,6
=
2,3 ⋅ 8,1
е)
4,5
10,2 ≈ 0,51 ; 38,6 2,3 ⋅ 8,1 ≈ 2,03 . 4,5
=
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №377 х=-4;
x 2 = ( −4) 2 = 16 = 4 ;
х=-3;
x 2 = ( −3) 2 = 9 = 3 ;
х=-0;
x 2 = 02 = 0 = 0 ;
х=9;
x 2 = 92 = 81 = 9 ; x 2 = 202 = 400 = 20 ;
х=20;
Выражение
x 2 имеет смысл при любых значениях х.
№378 а) при x > 0, x ⋅ x = x ⋅ x = x 2 ; б) при x = 0, x ⋅ x = 0 ⋅ 0 = 0 ⋅ 0 = 0 ; в) x < 0, x ⋅ x = − x ⋅ x = − x 2 . №379 1 8
а) 2a 2 ⋅ a 3 =
( )
б) 4 3a 4
2
1 5 a ; 4
= 4 ⋅ 9a 8 = 36a 8 ;
1 2
2
в) 20a 4 ⋅ a 3 =
20a 4 ⋅ 1 ⋅ a 6 = 5a10 ; 4
www.5balls.ru
№380
( )
а) a 4 = a 2
2
;
( ) = (a ) ; 2
б) a 6 = a 3 ; в) a18 г)
1 a10
9 2
2
1 = 5 ; a
( )
2
д) a 2b8 = ab4 ; е)
a6 b12
2
a3 = 6 ; b
№381 Из условия V=a2b; a 2 =
V V ; откуда a = ; b b
№382 а)
1 − 10a + 25a 2 (5a − 1) = = 5a − 1 ; 5a − 1 5a − 1
б)
1 − 6 x + 9 x 2 (3x − 1) = = 3x − 1 ; 3x − 1 3x − 1
2
2
№383 а)
x 2 x x + 18 − = 23 + ; 12 x − 5( x + 18) = 690 + x ; 5 6 30
12x-5x-90-x=690; б)
x − 1 2 x + 1 3x − 1 + = ; 20( x − 1) + 12(2 x + 1) = 15(3x − 1) ; 3 5 4
20x-20+24x+12=45x-15; 76. Квадратный корень из степени №384
www.5balls.ru
а)
(0,1)2
б)
(−0,4)2
= −0,4 = 0,4 ;
в)
(−0,8)2
= −0,8 = 0,8;
г)
(1,7)2
д)
(−19)2
е)
242 = 24 = 24;
= 0,1 = 0,1 ;
= 1,7 = 1,7; = −19 = 19;
ж) 2 (−23) = 2 ⋅ −23 = 2 ⋅ 23 = 46; 2
з) 5 522 = 5 ⋅ 52 = 5 ⋅ 52 = 260; и) 0,2 (−61) = 0,2 ⋅ −61 = 0,2 ⋅ 61 = 12,2. 2
№385 а) подставим x = 22: x 2 = 222 = 22 = 22; подставим x = −35: x 2 = ( −35) 2 = −35 = 35; 2 3
2 3
2
подставим x = −1 : x 2 = −1 = −1
2 2 =1 ; 3 3
подставим x = 0: x 2 = 02 = 0 = 0; б) подставим a = −7:2 a 2 = 2 (−7) = 2 ⋅ −7 = 2 ⋅ 7 = 14; 2
подставим a = 12:2 a 2 = 2 122 = 2 ⋅ 12 = 2 ⋅ 12 = 24; в) подставим y = −15: 0,1 y 2 = 0,1 (−15) = 0,1 ⋅ −15 = 0,1 ⋅ 15 = 1,5 ; 2
подставим y = 27: 0,1 y 2 = 0,1 272 = 0,1 ⋅ 27 = 0,1 ⋅ 27 = 2,7 . №386 а)
p2 = p ;
www.5balls.ru
б)
y2 = y ;
в) 3 b2 = 3 b ; г) −0,2 x 2 = −0,2 x ; д)
25a 2 = 5 ⋅ a 2 = 5 ⋅ a .
№387 а)
a 2 = a = a , если a>0;
б)
n2 = n = − n, если n<0;
в) 3 c2 = 3 ⋅ c = 3c, если с>0; 3 c2 = 3 ⋅ c = 3 ⋅ 0 = 0, если с=0;
г) −5 y 2 = −5 ⋅ y = −5 y, если y>0; д)
36 x 2 = 6 x = 6 ⋅ x = −6 x , если х<0;
36 x 2 = 6 x = 6 ⋅ 0 = 6 ⋅ 0 = 0;
е) − 9 y 2 = −3 ⋅ y = −3( − y ) = 3 y , если y<0; ж) −5 4 x 2 = −5 ⋅ 2 x = −5 ⋅ 2 x = −10 x, если х>0; −5 4 x 2 = − − 10 x = −10 ⋅ 0 = 0, если х=0;
з) 0,5 16a 2 = 0,5 ⋅ 4a = 0,5 ⋅ (− a ) = −2a , если а<0. №338 а) 2 m2 = 2 m = 2m, при m≥0; б) −3 a 2 = −3 a = −3a, при a>0; в)
0,64 x 2 = 0,8 ⋅ x = 0,8(− x ) = 0,8 x , при x≤0;
г) − 0,25 y 2 = − 0,5 y = −0,5 ⋅ − y = 0,5 y , при у<0. №389 а)
y 6 = y 3 = y 3 , если у≥0;
www.5balls.ru
б)
m4 = m2 = m2 ;
в)
x 6 = x 3 = − x 3 , если x<0;
г) 5 a8 = 5 a 4 = 5a 4 ; д)
1 12 1 6 1 6 c = c = c ; 3 3 3
( )
е) 1,5 t 14 = 1,5 t 7 = 1,5 ⋅ − t 7 = −1,5t 7 , если t<0. №390 а)
0,49 x18 = 0,7 x 9 = 0,7 x 9 , при x<0;
б)
0,01a 26 = 0,1a13 = 0,1a13; при а>0;
0,01a 26 == 0,1a13 = 0, при а=0;
в) 15 0,16c12 = 15 ⋅ 0,4c6 = 15 ⋅ 0,4c6 = 6c6 ; г) 0,8 100 y16 = 0,8 ⋅ 10 y8 = 8 y8 . №391 а)
p10 = p5 , при р>0;
б)
x18 = x 9 = − x 9 , при х<0;
в)
y12 = y 6 = y 6 ;
г) 15 b16 = 15 ⋅ b8 = 15b8 ; д) 1,6 x8 = 1,6 ⋅ x 4 = 1,6 x 4 ;
( )
е) 0,1 a 6 = 0,1 ⋅ a 3 = 0,1 ⋅ − a 3 = −0,1a 3 , при а<0; №392 а)
24 = 22 = 4;
б)
34 = 32 = 9;
в)
2 6 = 23 = 8 ;
www.5balls.ru
г)
108 − 104 ;
д)
(−5)4
= (−5) = 25;
е)
(−2)8
= (−2) = 16;
ж)
34 ⋅ 52 = 32 ⋅ 5 = 45;
з)
2
4
26 ⋅ 27 = 27 ⋅ 72 = 8 ⋅ 49 = 392.
№393 а)
114 = 112 = 121;
б)
46 = 43 = 64 = 64;
в)
(−3)8
= (−3) = 81 = 81;
г)
(−6)4
= (−6) = 36;
д)
28 ⋅ 32 = 24 ⋅ 3 = 48;
е)
34 ⋅ 56 = 32 ⋅ 53 = 9 ⋅ 125 = 1125;
ж)
72 ⋅ 24 7 ⋅ 24 = 7 ⋅ 24 = 112;
з)
36 ⋅ 54 = 33 ⋅ 52 = 27 ⋅ 25 = 675.
4
2
№394 а)
20736 = 28 ⋅ 34 = 24 ⋅ 32 = 24 ⋅ 32 = 16 ⋅ 9 = 144;
б)
50625 = 34 ⋅ 54 = 32 ⋅ 52 = 9 ⋅ 25 = 225;
в)
28224 = 26 ⋅ 32 ⋅ 72 = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 8 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168;
г)
680625 32 ⋅ 54 ⋅ 112 = 3 ⋅ 52 ⋅ 11 = 3 ⋅ 2511 = 825.
№395 а)
2304 = 28 ⋅ 32 = 24 ⋅ 3 = 24 ⋅ 3 = 16 ⋅ 3 = 48;
www.5balls.ru
б)
18225 = 36 ⋅ 52 = 33 ⋅ 5 = 27 ⋅ 5 = 135;
в)
254016 26 ⋅ 34 ⋅ 72 = 23 ⋅ 32 ⋅ 7 = 8 ⋅ 9 ⋅ 7 = 504.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №397 3 6 a +1 5 = − + 2 ⋅ a + 1 a − 1 a − 1 2 5 a +1 3 6 ⋅ = − + a + 1 a − 1 (a + 1)(a − 1) 2
= =
5(a − 1) − 3( a + 1) + 6 a + 1 5a − 5 − 3a − 3 + 6 a + 1 ⋅ ⋅ = = (a + 1)( a − 1) 2 (a + 1)(a − 1) 2
=
2a − 2 a + 1 2(a − 1)(a + 1) = 1, что не зависит от а. ⋅ = ( a + 1)( a − 1) 2 2(a + 1)( a − 1)
www.5balls.ru
№ 398. x x 2 − 25 x+5 − 2 = 2 ⋅ 5 x − 5 x x − 25 ( x − 5 )( x + 5 ) x+5 x ⋅ = = − x ( x − 5 ) ( x − 5 )( x + 5 ) 5 x 2 + 10 x + 25 − x 2 ( x − 5 )( x + 5 ) 5( 2 x + 5 ) 2 x + 5 = ⋅ = = . x( x − 5 )( x + 5 ) 5 5x x
№ 399. На рисунке буквами а, b и c обозначены графики функций: y 8
а
b 6 4 2
0
2
4
6
8
-4 -6 -8
а – график функции y = 2 x + 2; b – график функции y = −2 x + 2; x 4
с – график в функции y = − − 3 . № 400. Из условия задачи имеем:
www.5balls.ru
c
V = πR2H; R2 =
V ;R= πH
V . πH
§ 7. Применение свойств арифметического квадратного корня 17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня № 401. а) 12 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3 ; б) 18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2 ; в)
80 = 16 ⋅ 5 = 16 ⋅ 5 = 4 5 ;
г)
48 = 16 ⋅ 3 = 16 ⋅ 3 = 4 3 ;
д) 125 = 25 ⋅ 5 = 25 ⋅ 5 = 5 5 ; е) 108 = 27 ⋅ 4 = 27 ⋅ 4 = 3 3 ⋅ 2 = 6 3 ; ж)
363 = 3 ⋅ 121 = 121 ⋅ 3 = 11 3 ;
з)
845 = 5 ⋅ 169 = 169 ⋅ 5 = 13 5 .
№ 402. 1 1 1 1 4 ⋅ 6 = ⋅2 6 = 6 ; 4⋅6 = 24 = 2 2 2 2 2 2 2 б) 9⋅5 = ⋅3 5 = 2 5 ; 45 = 3 3 3 1 1 1 в) − 49 ⋅ 3 = − ⋅ 7 3 = − 3 ; 147 = − 7 7 7 1 1 1 1 г) − 25 ⋅ 11 = − ⋅ 5 11 = − 11 ; 25 ⋅ 11 = − 275 = − 5 5 5 5
а)
д) 0,1 20000 = 0,1 10000 ⋅ 2 = 0,1 ⋅ 100 2 = 10 2 ; е) − 0 ,05 28800 = −0,05 2 5 ⋅ 3 2 ⋅ 10 2 = −0,05 ⋅ 2 2 ⋅ 3 ⋅ 10 2 = = −0,05 ⋅ 120 2 = −6 2 .
№ 403.
www.5balls.ru
а)
20 = 4 ⋅ 5 = 2 5 ;
б)
98 = 49 ⋅ 2 = 49 ⋅ 2 = 7 2 ;
в)
200 = 100 ⋅ 2 = 10 2 ;
г) 160 = 16 ⋅ 10 = 16 ⋅ 10 = 4 10 ; д) 0,2 75 = 0,2 3 ⋅ 25 = 0,2 3 ⋅ 25 = 0,2 ⋅ 5 3 = 3 ; е) 0,7 300 = 0,7 3 ⋅ 100 = 0,7 ⋅ 10 3 = 7 3 ; ж) − 0 ,125 192 = −0,125 16 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = −0,125 16 ⋅ 2 2 ⋅ 3 = = −0,125 ⋅ 4 ⋅ 2 3 = − 3 ; 1 1 1 з) − 9 ⋅ 5 ⋅ 10 = − ⋅ 3 ⋅ 5 2 = −5 2 ; 450 = − 3 3 3
и) − 10 0 ,02 = −1 ⋅ 10 0,02 = − 100 ⋅ 0,02 = − 2 ; к) 5 л) −
a a = 125 ⋅ = 5 5
25a = 5a ; 5
1 1 1 12 x = −1 ⋅ 12 x = − ⋅ 12 x = − 3 x . 2 2 4
№ 404. а) 7 10 = 49 ⋅ 10 = 490 ; б) 5 3 = 25 ⋅ 3 = 75 ; в) 6 x = 36 ⋅ x = 36 x ; г) 10 y = 100 ⋅ y = 100 y ; д) 3 2a = 9 ⋅ 2a = 18a ; е) 5 3b = 25 ⋅ 3b = 75b . № 405. а) − 2 3 = − 4 ⋅ 3 = − 12 ; б) − 3 5 = − 9 ⋅ 5 = − 45 ; в) − 7 a = − 49 ⋅ a = − 49a ; г) − 0 ,2 b = − 0 ,04 ⋅ b = − 0 ,04b . № 406.
www.5balls.ru
а) 3
1 1 = 9⋅ = 3 3
9 = 3; 3
б) 2
3 3 = 4⋅ = 4 4
3⋅ 4 = 3; 4
в)
1 18 = 3
1 ⋅ 18 = 2 ; 9
г) − 10 0 ,02 = − 100 ⋅ 0 ,02 = − 2 ; д) 5 е) −
9 9 = 25 ⋅ = 45 ; 5 5 1 1 12 x = − ⋅ 12 x = − 3x . 2 4
№ 407. а) 2 2 = 4 ⋅ 2 = 8 ; б) 5 y = 25 ⋅ y = 25 y ; в) − 7 3 = − 49 ⋅ 3 = − 147 ; г) − 6 2a = − 36 ⋅ 2a = − 72a ; д)
1 18b = 3
1 1 ⋅ 18 b = 2b ; ⋅ 18b = 9 9 ⋅1
е) − 0,1 200с = − 0 ,1 ⋅ 200с = − 2с . № 410. а) 3 3 = 27 ; 2 6 = 24 ; 4 2 = 32 ;
24 p 27 p 32 , значит,
2 6 p3 3 p4 2 ;
б) 6 2 = 36 ⋅ 2 = 72 ; 3 7 = 63 ; 2 14 = 56 ;
56 p 58 p 63 p 72 ⇒
2 14 p 58 p 3 7 p 6 2 .
№ 411.
www.5balls.ru
а)
4 ⋅ 7 ∨ 49 ⋅ 2 ;
б)
9 ⋅ 120 ∨ 4 ⋅ 270 ;
28 p 98 ; 2 7 p 7 2 ; 1080 = 1080 ;
3 120 p 2 270 ;
в)
1 1 ; ⋅ 6 ∨ 36 ⋅ 2 4
1,5 p 18 ;
6 36 ∨ 4 2
1 1 . 6 p6 2 2
№ 412. а)
7 x 2 = 7 x = 7 x , при x ≥ 0 ;
б) 10 y 2 = 10 y = 10 y , при y p 0 ; в)
x3 = x ⋅ x = x x ;
г)
a5 = a4 ⋅ a = a a 2 = a2 a ;
д) 16 y 7 = 16 y ⋅ y 6 = 4 y y 3 = 4 y 3 y ; е)
3x 3 1 3x x 3x . = x⋅ 3⋅ x = x= 16 4 4 4
№ 413. а)
8a 3 = 2 2 ⋅ 2 a 2 ⋅ a = 2 a 2 a ;
б)
300b 5 = 3 ⋅ 100b 4 ⋅ b = 10b 2 3b ;
в)
48 x 2 = 16 ⋅ 3x 2 = 4 x 3 = −4 x 3 , при x ≤ 0 ;
г)
72a 4 = 2 ⋅ 36a 4 = 6a 2 2 ;
д)
50a 7 = 2 ⋅ 25a 6 ⋅ a = 5a 2 2a ;
е)
27c 6 = 3 2 ⋅ 3c 6 = 3 c 3 3 = −3c 3 3 , при c p 0 .
№ 414. а)
6 x 2 = 6 ⋅ x = x 6 , при x ≥ 0 ;
б)
3 y 2 = 3 ⋅ y = − 6 y , при y p 0 ;
www.5balls.ru
в)
9a 3 = 3 a ⋅ a = 3a a ;
г)
50b 4 = 2 ⋅ 25b 4 = 2 ⋅ 5b 2 = 5b 2 2 .
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 415. 2x + 1 2x − 1 x 2 − 9 2x − 1 x 2 − 9 2x + 1 ⋅ +1 = − + 1 = − 2 2 ⋅ x − 3x x + 3x 7 x x(x − 3) x(x + 3) 7 x =
(2 x + 1)(x + 3) − (x − 3)(2 x − 1) ⋅ x − 9 + 1 = x(x − 3)(x + 3) 7x
=
2x 2 + 6x + x + 3 − 2x 2 + x + 6x − 3 x 2 − 9 ⋅ +1 = x(x − 3)(x + 3) 7x
2
=
(x + 3)(x − 3) + 1 = 14 x + 1 = 2 + 1 = 2 + x . 14 x ⋅ x(x − 3)(x + 3) x ⋅ 7x x x 7x
№ 416. Обозначим за х – количество книг, переплетенных в первый день; тогда (х + 12) – количество книг, переплетенных во второй день; также (х + х +12) – количество книг, переплетенных за первые два дня;
5 (x + x + 12) - количество книг, переплетенных в третий день. 7
Всего за три дня было переплетено 144 книги. Получаем уравнение: x + (x + 12 ) +
5 (x + x + 12) = 144 ; 7
5 (2 x + 12) = 144 ; 7 (2 x + 12)1 + 5 = 144 ; 7 12 (2 x + 12) = 144 ; 7 x+6 = 6 ; x + 6 = 42 ; x = 36 ; 7 5 x + 12 = 48 ; (x + x + 12 ) = 60 . 7 2 x + 12 +
www.5balls.ru
Ответ: в первый день переплели 36 книг, во второй – 48 книг, в третий – 60 книг. № 417. 4x − 1 7 5 − x 4x − 1 7 5 − x ; 36 ⋅ + = + = ⋅ 36 ; 12 4 9 4 9 12 3(4 x − 1) + 9 ⋅ 7 = 4(5 − x ) ; 12 x − 3 + 63 = 20 − 4 x ; 16 x = −40 ; x = −2,5 ; 2 x − 9 2(5 x + 3) 1 30(2 x − 9 ) 30 ⋅ 2(5 x + 3) 1 б) − = ; − = ⋅ 30 ; 6 15 2 6 15 2
а)
5(2х – 9) – 4(5х + 3) = 15; -10х – 57 = 15; 10х = - 72; х = - 7,2. 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни № 418. а) 2 x + 3 x − y = 5 x − y ; б) − 4 a + 2 b + 3 a = 2 b − a ; в)
9a + 25a − 36a = 3 a + 5 a − 6 a = 2 a ;
г) 16n + 25n − 9n = 4 n + 5 n − 3 n = 6 n ; д)
5a − 2 20a − 3 80a = 5a − 2 4 ⋅ 5a − 3 16 ⋅ 5a =
= 5a − 4 5a − 12 5 = −15 5a ;
е)
75 + 48 − 300 = 3 ⋅ 25 + 16 ⋅ 3 − 3 ⋅ 100 =
= 5 3 + 4 3 − 10 3 = − 3 ;
ж) 3 8 − 50 + 2 18 = 3 2 ⋅ 4 − 2 ⋅ 25 + 2 2 ⋅ 9 = = 6 2 −5 2 +6 2 = 7 2 ;
з)
242 − 200 + 8 = 2 ⋅ 121 − 2 ⋅ 100 + 2 ⋅ 4 =
= 11 2 − 10 2 + 2 2 = 3 2 ;
и)
75 − 0,1 300 − 27 = 3 ⋅ 25 − 0,1 3 ⋅ 100 − 3 ⋅ 9 =
= 5 3 − 3 −3 3 = 3 ;
www.5balls.ru
98 − 72 + 0,5 8 = 2 ⋅ 49 − 2 ⋅ 36 + 0,5 4 ⋅ 2 =
к)
= 7 2 −6 2 + 2 = 2 2 . №419 а) 8 p − 25 + 18 p = 2 2 p − 5 + 3 2 p = 5 2 p − 5;
б) 16c + 2 40c − 3 90c = 4 c + 2 ⋅ 2 10c − 3 ⋅ 3 10c = 4 c + 4 10c − 9 10c
= = 4 c − 5 10c; в) 5 27 − 4 48m − 2 12m = 5 3 ⋅ 9 − 4 3 ⋅16m − 2 4 ⋅ 3m = = 15 3 − 16 3m − 4 3m = 15 3 − 20 3m; г) 54 − 24 + 150 = 6 ⋅ 9 − 6 ⋅ 4 + 25 ⋅ 6 = = 3 5 − 2 6 + 5 6 = 6 6; д) 3 2 + 32 − 200 = 3 2 + 4 2 − 10 2 = −3 2; е) 2 72 − 50 − 2 8 = 2 2 ⋅ 36 − 2 ⋅ 4 = = 2 ⋅ 6 2 − 5 2 − 2 ⋅ 2 2 = 12 2 − 5 2 − 4 2. №420
( 12 + 15 ) ⋅ 3 = б) 5 (3 5 + 5 8 ) = а)
= 15 + 10 10
(
12 ⋅ 3 + 15 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 ⋅ 3 = 6 + 3 5 ; 5 ⋅ 3 5 + 5 5 ⋅ 8 = 3 ⋅ 5 + 5 4 ⋅10 = 15 + 5 ⋅ 2 10 =
)
в) 4 3 − 2 6 ⋅ 2 3 = 4 3 ⋅ 2 3 − 2 6 ⋅ 2 3 = 24 − 4 ⋅ 3 2 = 24 − 12 2; г)
(3
)
5 − 2 3 ⋅ 5 + 60 = 3 5 ⋅ 5 − 2 3 ⋅ 5 + 4 ⋅15 = 3 ⋅ 5 − 2 15 + 2 15
=15; д)
(
)
28 − 2 3 + 7 ⋅ 7 + 84 =
= 28 ⋅ 7 − 2 3 ⋅ 7 + 7 ⋅ 7 + 21 ⋅ 4 = = 4 ⋅ 7 ⋅ 7 − 2 21 + 7 + 2 21 = 7 ⋅ 2 + 7 = 21; е)
( 12 + 2 18 ) ⋅
2 − 96 = 12 ⋅ 2 + 2 18 ⋅ 2 − 96 =
= 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + 2 9 ⋅ 2 ⋅ 2 − 2 24 ⋅ 3 ⋅ 2 = 2 6 + 12 − 4 6 = 12 − 2 6 .
www.5balls.ru
№421
(
)
3 12 − 2 27 = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 − 2 3 ⋅ 9 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 6 − 18 = −12;
а)
(
)
б) 5 2 − 7 3 ⋅ 6 = 5 2 ⋅ 6 − 7 3 ⋅ 6 = = 5 ⋅ 2 3 − 7 ⋅ 3 2 = 10 3 − 21 2; 8−
в)
( 10 − 5 ) ⋅
5 = 8 − 5⋅5⋅2 + 5 ⋅ 5 =
= 2 ⋅ 4 − 5 2 + 5 = 2 2 − 5 2 + 5 = 5 − 3 2;
(
)
48 − 2 3 ⋅ 2 − 5 12 = 16 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 3 + 2 3 ⋅ 5 4 ⋅ 3 =
г)
= 4 3 − 4 3 + 10 ⋅ 3 ⋅ 2 = 60. №422 а)
(1 + 3 2 )(1 − 2 2 ) = 1 − 2 2 + 3 2 − 3 2 ⋅ 2 2 = 1 + б) (3 + 3 )(2 + 3 ) = 3 ⋅ 2 + 3 3 + 2 3 + 3 ⋅ 3 = = 6 + 5 3 + 3 = 9 + 5 3;
(
)(
2 − 6 ⋅ 2 = 2 − 11;
)
в) 2 2 − 3 3 2 − 2 3 = = 2 2 ⋅3 2 − 2 2 ⋅2 3 − 3 3 ⋅ 2 + 2 3 ⋅ 3 = = 6 ⋅ 2 − 4 6 − 3 6 + 2 ⋅ 3 = 18 − 7 6 ; г)
(
5− 8
)(
)
5 − 3 2 = 5 ⋅ 5 − 5 ⋅3 2 − 8 ⋅ 5 + 3 2 ⋅ 8 =
= 5 − 3 10 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 + 3 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = = 5 − 3 10 − 2 10 + 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 17 − 5 10 ;
(
д) 2 5 + 12
)( 12 − 5 ) −
135 =
= 2 5 ⋅ 12 − 2 5 ⋅ 5 + 12 ⋅ 12 − 5 ⋅ 12 − 135 = = 2 ⋅ 2 15 − 10 + 12 − 2 15 − 9 ⋅ 3 ⋅ 5 = = 4 15 + 2 − 2 15 − 3 15 = 2 − 15;
www.5balls.ru
(
е) 3 2 − 27
)( 27 − 2 )−
54 =
= 3 2 ⋅ 27 − 3 2 ⋅ 2 − 27 ⋅ 27 + 2 ⋅ 27 − 54 = = 3 ⋅ 3 6 − 6 − 27 + 2 ⋅ 9 ⋅ 3 − 9 ⋅ 3 ⋅ 2 = = 9 6 − 33 + 3 6 − 3 6 = 9 6 − 33
№423 а) x + y x − y = x 2 − y ;
( )( ) б) ( a − b )( a + b ) = a ⋅ a − b ⋅ b = a − b ; в) ( 11 − 3)( 11 + 3) = 11 ⋅ 11 − 3 ⋅ 3 = 2 ; ( 10 + 7 )( 7 − 10 ) = 7 ⋅ 7 − 10 ⋅ 10 = 7 − 10 = −3 ; д) ( a + b ) = ( a ) + 2 a ⋅ b + ( b ) = 2
2
2
= a+2 a ⋅ b +b;
е)
( m − n) = ( m) −2 2
2
m⋅ n+
( n) = 2
= m−2 m ⋅ n +n ;
( 2 + 3) = ( 2 ) + 2 2 ⋅ 3 + 3 = 11 + 6 з) ( 5 − 2 ) = ( 5 ) − 2 5 ⋅ 2 + ( 2 ) = 2
ж)
2
2
2
2
2;
2
= 7 − 2 10 .
№424 а) 2 5 + 1 2 5 − 1 = 4 5 ⋅ 5 − 1 = 4 ⋅ 5 − 1 = 19 ;
( б) (5
)(
)(
)
) ( )
2
7 − 13 13 + 5 7 = 5 7 − 13 ⋅ 13 = = 25 ⋅ 7 − 13 = 175 − 13 = 162 ;
( )( ) ( ) ( ) г) (0,5 14 + 3 )( 3 − 0,5 14 ) = ( 3 ) − (0,5 14 ) = 2
2
в) 3 2 − 2к3 2 3 + 3 2 = 3 2 − 2 3 = 9 ⋅ 2 − 4 ⋅ 3 = 18 − 12 = 6 ; 2
2
= 3 − 0,25 ⋅ 14 = 3 − 3,5 = −0,5 ;
(
)
( )
2
2
д) 1 + 3 5 = 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 3 5 + 3 5 = 1 + 6 5 + 9 ⋅ 5 = = 46 + 6 5 ;
(
) ( ) 2
2
е) 2 3 − 7 = 2 3 − 2 ⋅ 7 ⋅ 2 3 + 7 2 = = 12 + 49 − 28 3 = 61 − 28 3 ;
www.5balls.ru
(
) (
)
2
2
ж) 2 10 − 2 = 2 10 − 2 ⋅ 2 10 ⋅ 2 + = 40 − 4 ⋅ 2 5 + 2 = 42 − 8 5 ;
(
) ( ) 2
( 2) = 2
( )
2
2
з) 3 6 − 2 3 = 3 6 − 2 ⋅ 3 6 ⋅ 2 3 + 2 3 = = 9 ⋅ 6 − 12 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 = 66 − 36 2 .
№425 а)
( 6 + 5) − 2
120 =
( 6) + 2 2
6⋅ 5+
( 5) − 2
= 6 + 2 30 + 5 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 11 ; 60 +
б)
( 3 − 5) = 2
15 ⋅ 4 +
( 3) − 2 2
3⋅ 5 +
12 ⋅ 10 =
( 5) = 2
= 2 15 + 3 − 2 15 + 5 = 8 ;
( 14 − 3 2 ) + 6 28 = = ( 14 ) − 2 ⋅ 14 ⋅ 3 2 + (3 2 ) + 6 2
в)
2
2
4⋅7 =
= 14 − 3 ⋅ 2 4 ⋅ 7 + 9 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 7 = 14 + 18 = 32 ;
( ) = (3 5 ) + 2 ⋅ 3 5 ⋅ 2
г) 3 5 + 15 − 10 27 = 2
( )
2
15 + 15 − 10 9 ⋅ 3 =
= 9 ⋅ 5 + 6 5 ⋅ 3 ⋅ 5 + 15 − 10 ⋅ 3 3 = 60 + 30 3 − 30 3 = 60 ; 2
д) 4 + 7 + 4 − 7 =
2
2
= 4 + 7 + 2 4 + 7 ⋅ 4 − 7 + 4 − 7 = = 4 + 7 + 2 4 + 7 4 − 7 + 4 − 7 =
(
)
= 8 + 2 42 − 7 2 = 8 + 2 16 − 7 = 8 + 2 9 = = 8 + 6 = 14; 2
е) 5 + 2 6 − 5 − 2 6 =
2
2
= 5 + 2 6 − 2 5 + 2 6 ⋅ 5 − 2 6 + 5 − 2 6 =
www.5balls.ru
= 5 + 2 6 − 2 5 + 2 6 ⋅ 5 − 2 6 + 5 − 2 6 =
(
)
= 10 − 2 25 − 4 ⋅ 6 = 10 − 2 1 = 8 . №426
( x + 1)( x − 1) = ( x ) − 1 = x − 1; б) ( x − a )( x + a ) = ( x ) − ( a ) = x − a; в) ( m + 2 ) = ( m ) + 2 m ⋅ 2 + ( 2 ) = m + 2 2m + 2; г) ( 3 − x ) = ( 3 ) − 2 3 ⋅ x + ( x ) = 3 − 2 3x + x; д) (5 7 − 13)(5 7 + 13) = (5 7 ) − 13 = 175 − 169 = 6; е) (2 2 + 3 3 )(2 2 − 3 3 ) = (2 2 ) − (3 3 ) = 4 ⋅ 2 − 9 ⋅ 3 = −19; ж) (6 − 2 ) + 3 32 = 6 − 2 ⋅ 6 2 + ( 2 ) + 3 16 ⋅ 2 = 2
а)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 36 − 12 2 + 2 + 3 ⋅ 4 2 = 38;
з)
( 2 + 18 ) − 30 = ( 2 ) + 2 2
2
( )
2
2 ⋅ 18 + 18 − 30 =
= 2 + 2 2 ⋅ 2 ⋅ 9 + 18 − 30 = 20 + 12 − 30 = 2 .
№427 а) x 2 − 7 = x − 7 x + 7 ;
(
)(
)
( 5 − c )( 5 + c); в) 4a − 3 = (2a − 3 )(2a + 3 ) ; г) 11 − 16b = ( 11 − 4b )( 11 + 4b ) ; д) y − 3 = ( y − 3 )( y + 3 ); е) x − y = ( x − y )( x + y ) . б) 5 − c 2 = 2
2
№428 а) 3 + 3 = 3 ⋅ 3 + 3 = 3 3 + 1 ;
(
) б) 10 − 2 10 = 10 ⋅ 10 − 2 10 = 10 ( 10 − 2) ; в) x + x = x + x ⋅ x = x (1 + x ) ; г) a − 5 a = a ⋅ a − 5 a = a ( a − 5) ;
www.5balls.ru
(
) m ( 3 + 5 );
д)
a − 2a = a − 2 ⋅ a = a 1 − 2 ;
е)
3m + 5m = 3 ⋅ m + 5 ⋅ m =
(
)
ж) 14 − 7 = 7 2 − 1 ; з)
№429 а) б) в) г) д) е) ж)
з) и)
b2 − 5 m+ 6 6−m
(b − 5 )(b + 5 ) = b +
=
b− 5
б)
)
m+ 6
( 6 − m)( 6 + m)
=
2
2− x = x−4
2− x
b +3
=
b+ a
6 −m 1
=−
x +2
; ;
b −3;
b +3
a −b
1
=
( x − 2)( x + 2) ( b − 3)( b + 3) = =
b−9
5;
b− 5
( a − b )( a + b ) = a+ b
a− b;
2 x −3 y 2 x −3 y 1 = = ; 4x − 9 y 2 x −3 y 2 x +3 y 2 x +3 y 7 −7
a− a 3+ x
3 x+x
x+ 2 5 −a 5 − a2
7 −1
a
=
a −1
x2 − 2
( )( ) 7 (1 − 7 ) 7 ( 7 − 1) =− =−
=
7 −1
7 −1
( a − 1) = a −1
=
№430 а)
(
33 + 22 = 3 ⋅ 11 + 2 ⋅ 11 = 11 3 + 2 .
= =
3+ x
(
x 3+ x
)=
a; 1 x
.
(x − 2 )(x + 2 ) = x −
2;
x+ 2
5 −a
7;
( 5 − a )( 5 + a ) =
1 5 +a
;
www.5balls.ru
в) г) д) е) ж) з) и)
x −5 x −5 1 = =− ; 25 − x 5− x 5+ x 5+ x
(
2 +2
)(
2+ 2⋅ 2
=
2 5 + 10
2
2 3 −3
2 3− 3⋅ 3
3 a −3 b x+ x a+ a a a +a
x =
( x + 1)
=
1
a⋅ a+ a
(
)
=
x 5 ; 5
=
3 b ; b
a a +1
2
(
( a − b)= 3( a − b )
x +1
=
5+ 2
=
5 3
2
=
) = 1+
3 2− 3
=
5 3
2a − 2b x +1
2
5⋅ 2
=
5 3
(
2 1+ 2
=
5⋅ 5+ 5⋅ 2
=
10
)
2;
;
)= 2−
5
2 ; 3
;
x =
a
(
( a + 1) = )
a a +1
a . a
№431 а)
x
б)
3
в)
2
г) д) е)
x 5
=
5 b
b b
3 b
=
7 y a
5⋅ 5 b⋅ b
= =
4 a+b 1 a −b
2 y 7 y⋅ y a b b b⋅ b = =
(
= =
2 y ; 7y a b a b = 2 ; b ⋅b b
4 a+b
)
( a + b )( a + b ) 1⋅ a − b
( a − b )( a − b )
(
)
=
4 a+b ; a+b
=
a −b ; a −b
www.5balls.ru
3
;
ж) з) и)
5
=
2 3 8
=
3 2 3 5
5 3 2 3⋅ 3 8 2 3 2⋅ 2 3 5⋅ 2
=
5 2
5 2⋅ 2
=
5 3 5 3 ; = 2⋅3 6
=
8 2 4 2 ; = 3⋅ 2 3
=
3 10 3 10 = = 0,3 10 . 5⋅2 10
№432 а)
m
б)
1
в)
3
г) д) е)
m x
=
x
x⋅ x 1⋅ 2
=
2
=
5 c a 2 3
2⋅ 2
=
3 2 3 5 4 15
=
m x ; x
=
2 ; 2
3⋅ c 5 c⋅ c a 3 2 3⋅ 3
=
3 3 2 3⋅ 3
=
=
3 c ; 5c
=
a 3 ; 6
=
3 3 3 ; = 2⋅3 2
5 15 4 15 ⋅ 15
=
5 15 15 . = 4 ⋅ 15 12
433. а) б) в) г) д)
4( 3 − 1) 4( 3 − 1) 4( 3 − 1) 4 = = = = 2( 3 − 1); 2 2 3 −1 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 − 1) ( 3 ) − 1 1 = 1 ⋅ (1 + 2 ) = 1 + 2 = 1 + 2 = − 1 + 2 = −(1 + 2 ); 1− 2 1 1 − 2 (1 − 2 )(1 + 2 ) 1 − ( 2 ) 2 1 x− y a a+ b 33 7−3 3
= = =
1⋅ ( x +
y)
( x − y )( x +
y)
a( a − b ) ( a + b )( a − b ) 33(7 + 3 3 ) (7 − 3 3 )(7 + 3 3 )
=
= =
x+ y ( x )2 − ( y )2 a( a − b ) ( a )2 − ( b )2
33(7 + 3 3 ) 7 2 − 32 ⋅ ( 3 ) 2
www.5balls.ru
=
= =
x+ y ; x− y a( a − b ) ; a−b
33(7 + 3 3 ) = 22
=
е)
3(7 + 3 3 ) ; 2 15 2 5 +5
=−
15(2 5 − 5)
=
15(2 5 − 5)
=
(2 5 + 5)(2 5 − 5)
2
(2 5 ) − 5
=
2
15(2 5 − 5) = 4 ⋅ 5 − 25
15(2 5 − 5) = −3(2 5 − 5) = 15 − 6 5 . 5
435. а) б)
x b
( x + y )( x − y ) b( a + b )
=
a− b
( a − b )(a + b )
4
в) =
x( x − y )
=
x+ y
=
10 − 2
x( x − y )
= =
x2 − ( y )2 ab + b b a 2 − ( b )2
4( 10 + 2 ) ( 10 − 2 )( 10 + 2 )
=
x( x − y )
= =
x2 − y ab + b b a2 − b
4( 10 + 2 ) 2
( 10 ) − ( 2 )
2
;
; =
4( 10 + 2 ) = 8
( 10 + 2 ) ; 2 12
г)
12( 3 − 6 )
=
3+ 6
( 3 + 6 )( 3 − 6 )
=
12( 3 − 6 ) ( 3) − ( 6 ) 2
2
=−
12( 3 − 6 ) = 3
= 4( 6 − 3 );
д)
9 3−2 2
9(3 + 2 2 )
=
(3 − 2 2 )(3 + 2 2 )
=
9(3 + 2 2 ) 32 − ( 2 2 ) 2
=
9(3 + 2 2 ) = 9 − 4⋅2
= 9(3 + 2 2 );
е) =
14
=
1+ 5 2
14 (1 − 5 2 ) (1 + 5 2 )(1 − 5 2 )
=
14 (1 − 5 2 ) 12 − ( 5 2 ) 2
=
14(1 − 5 2 ) 2 ⋅ 7(1 − 5 2 ) 2(5 2 − 1) =− = . 1 − 50 7⋅7 7
436. а)
3 = 5
3 5
б)
2 = a
a
2
= =
3⋅ 5 5⋅ 5 2⋅ a a⋅ a
=
15 = 0,2 15 , что и требовалось доказать; 5
=
2a 1 = 2a , что и требовалось доказать. a a
www.5balls.ru
437. а)
x = 3
x⋅ 3
б)
5 = a
5⋅ a
в)
2 = 3
2⋅ 3
г)
1 1⋅ 2 2 = = ; 2 2 2⋅ 2
д)
a2 = 2
3⋅ 3 a⋅ a 3⋅ 3
3x ; 3
=
5a ; a 6 ; 3
=
a2 ⋅ 2 2⋅ 2
=
a 2 ; а≥0 4
4x 2 − x 2 = 4
2
x2 −
x = 4
а)
m = 9
m
б)
a = 7
a⋅ 7
в)
c c = = 12 12
г)
8 = a
е)
=
3x 2 4
=
x 3 ; x≥0 2
438. 9
=
7⋅ 7
4⋅ 2 a
m ; 3 =
7a ; 7 c
3⋅ 4 =
=
c⋅ 3 3⋅ 4 ⋅ 3
4⋅ 2⋅ a a⋅ a
=
=
3c ; 6
2 2a . a
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 439. 9 − x2 8x (3 − x )(3 + x) ⋅ 8 x (3 − x )( x + 3) ⋅ 8 x ⋅ 2 −2= −2= −2= 2 4x 4 x( x + 3) 4 x ( x + 3) 2 x + 6x + 9 =
2(3 − x ) 2(3 − x) − 2( x + 3) 6 − 2 x − 2 x − 6 4x −2= = =− ; x+3 x+3 x+3 x=3
подставляем x=-2,5 и находим:
www.5balls.ru
−
4x −4 ⋅ (−2,5) 10 = = = 20. x+3 0,5 − 2,5 + 3
440. Обозначим за S км – расстояние от А до В, тогда время велосипедиста в пути равно
S S ч; ч – время мотоциклиста в 12 48
пути. По условию задачи мотоциклист отправился в путь на 0,5 ч позже и прибыл на 1 ч 15 мин = 1,25 ч раньше, чем велосипедист. Запишем уравнение:
S S = 0,5 + + 1,25; 12 48
S S = + 1,75; 4S = S + 84; 3S = 84; S = 28. 12 48
Ответ: АВ=28 км. 441. 3x − 1 2 − x 3x − 1 2 − x + + 1 = 0; 6( + + 1) = 0; 2 3 2 3 3(3x − 1) + 2(2 − x) + 6 = 0; 9 x − 3 + 4 − 2 x + 6 = 0; 7 x = −7; x = −1;
а)
y − 10 5 − 2 y − = 2,5; 2( y − 10) − 3(5 − 2 y ) = 2,5 ⋅ 12; 6 4 1 2 y − 20 − 15 + 6 y = 30; 8 y = 65; y = 8 ; y = 8,125. 8
б)
442. Условие задачи, S = π ( R 2 − r 2 ); S = πR 2 − πr 2 ; S + πr 2 = πR 2 , откуда R2 =
S + πr 2 ; R= π
Ответ: R =
S + πr 2 . π
S + πr 2 . π
443. 1) Для прямой b уравнение: y = −2 x + 1; 2) Для прямой a уравнение: y =
1 x − 2. 5
444.
www.5balls.ru
а) x 2 − 7 = 0; x 2 = 7; x1,2 = ± 7 ; б) x 2 + 49 = 0; x 2 = −49; уравнение не имеет корней; в) ( x + 1) 2 = 1; x + 1 = ± 1; x + 1 = ±1; 1) x + 1 = 1; x1 = 0; 2) x + 1 = −1; x2 = −2; г) ( x − 5) 2 = 2; x − 5 = ± 2 ; 1) x − 5 = 2; x1 = 5 + 2 ; 2) x − 5 = − 2 ; x2 = 5 − 2 . Дополнительные упражнения к главе II К ПАРАГРАФУ 4 445. а) Да; б) не всегда; в) да; г) не всегда. 446. а) Да; б) да; в) да; г) не всегда. 447. а) Да; б) да; в) да; г) да. 448. Считаем, что x = 2n, y = 2k , где n и k – натуральные числа. Тогда: а) x − y = 2n − 2k = 2(n − k ) = 2m - четное число; б) xy = 2n ⋅ 2k = 2(2nk ) = 2m - четное число; в) 3x + y = 6n + 2k = 2(3n + k ) = 2m - четное число. 449. Считаем, что x = 2n + 1, y = 2k + 1. Тогда: а) x + y = 2n + 1 + 2k + 1 = 2(n + k + 1) = 2m - четное число;
www.5balls.ru
б) x − y = 2n + 1 − 2k − 1 = 2n − 2k = 2( n − k ) - четное число; в) xy = (2n + 1)(2k + 1) = 4nk + 2n + 2k + 1 = 2(2nk + n + k ) + 1 - нечетное число. 451. 23 = 0,359375(0); 64 7 = −0,28(0); б) − 25 11 = 0, (846153); в) 13 1 = 0, (037); г) 27 2 = 0,0(571428); д) 35 7 = −0,3(18); е) − 22 23 = 0,7(6); ж) 30 12 = 0,2(18). з) 55
а)
452*. Пусть
a a - рациональное число; предположим, что ( ) 2 = 3, т.е. b b
a 2 = 3b 2 .
Пусть а содержит в своем разложении n простых множителей равных 3, где n – число натуральное или нуль. Тогда, число a 2 содержит в разложении 2n простых множителей, равных 3. Поскольку a 2 = 3b 2 , то b 2 содержит в разложении 2n − 1 простых множителей, но квадрат натурального числа должен быть четным, и мы приходим к противоречию. Итак, не существует рационального числа, квадрат которого равен 3. 454*. а) Иррациональное число; б) иррациональное число.
www.5balls.ru
К ПАРАГРАФУ 5 455. а) 0,3 289 = 0,3 ⋅ 17 = 5,1; б) − 4 0,81 = −4 ⋅ 0,9 = −3,6; 9 3 3−7 4 −1 = −1 = =− ; 49 7 7 7 4 1 4 1 2 −1 1 − = − = = ; 8 8 256 64 16 8
в) г)
д) 2 0,0121 + 100 = 2 ⋅ 0,11 + 10 = 10,22; е)
0,16 2 0,04
=
0,4 0,4 = = 1; 2 ⋅ 0,2 0,4
ж)
2500 − 625 = 50 − 25 = 25;
з)
64 1 8 1 8−3 5 − = − = = ; 81 9 9 3 9 9
и) − 0,03 10000 + 16 = −0,03 ⋅ 100 + 4 = −3 + 4 = 1; к)
1 361
+
1 1 1 21 = + = . 4 19 2 38
456. 4 2 + 0,25 ) = 5 − (3 ⋅ + 0,5) = 5 − (2 + 0,5) = 5 − 2 − 0,5 = 9 3 = 5 − 2,5 = 2,5;
а) 5 − (3
б) 11 : (0,15 1600 − 0,29 400 ) = 11 : (0,15 ⋅ 40 − 0,29 ⋅ 20) = 11 : 0,2 = = 110 : 2 = 55; 2 0,09 + 0,78 100 ) = 3 2 1 = (15 + 3 ⋅ 11) : ( ⋅ 0,3 + 0,78 ⋅ 10) = 48 : ( + 7,8) = 48 : (0,2 + 7,8) = 48 : 8 = 6; 3 5
в) ( 225 + 3 121 ) : (
0,16 1 342 1 18 + 0,4 + ⋅ ) : 25 = ((−6) ⋅ + ) : 5 = (−3 + 18) : 5 = 4 2 0,2 2 2 ⋅ 0,2 = 15 : 5 = 3.
г) (−6
457.
www.5balls.ru
а) Подставим x = 2 : 5 x − 10 = 5 ⋅ 2 − 10 = 0 = 0; Подставим x = 2,2 :
5 x − 10 = 5 ⋅ 2,2 − 10 = 11 − 10 = 1;
Подставим x = 5,2 :
5 x − 10 = 5 ⋅ 5,2 − 10 = 26 − 10 = 16 = 4;
Подставим x = 22 :
5 x − 10 = 5 ⋅ 22 − 10 = 110 − 10 = 100 = 10;
б) Подставим y = 1 :
6 − 2 y = 6 − 2 ⋅ 1 = 2;
Подставим y = −1,5 :
6 − 2 y = 6 − 2(−1,5) = 6 + 3 = 9 = 3;
Подставим y = −15 :
6 − 2 y = 6 − 2(−15) = 36 = 6;
Подставим y = −37,5 : в) Подставим x = 0 :
6 − 2 y = 6 − 2(−37,5) = 81 = 9;
3+ x 3− x
3+ x
Подставим x = 1 :
3− x
Подставим x = 16 :
3− x
3 − 16 =
3− x
г) Подставим a = 0, b = 0 :
4 = 1; 2 =
3+ 4 = −7; 3−4
3 + 0,25 3 − 0,25
=
3 + 0,5 3,5 35 2 = == =1 ; 3 − 0,5 2,5 25 5
2a − b = 2 ⋅ 0 − 0 = 0; 2a − b = 2 ⋅ 4 − 7 = 8 − 7 = 1;
д) Подставим m = 0, n = −1 : Подставим m = 33, n = 1 :
=
3 + 16
=
= 1;
3− 0
3− 1
3+ x
Подставим a = 4, b = 7 :
3+ 0
3+ 1
=
3+ x
Подставим x = 0,25 :
=
m − 4n = 0 − 4 ⋅ (−1) = 4 = 2;
m − 4n = 33 − 4 ⋅ 2 = 25 = 5.
458. а) 5 x = 3; (5 x ) 2 = 32 ; 25 x = 9; x =
9 ; 25
б)
1
г)
x − 5 = 4; ( x − 5 ) 2 = 4 2 ; x − 5 = 16; x = 21;
1 = 1; 1 = 3x ; 12 = ( 3 x ) 2 ; 1 = 3x; x = ; 3 3x 1 1 = 2; 1 = 8 x ; 12 = (8 x ) 2 ; 1 = 64 x; x = в) ; 64 4 x
д) 1 + 2 x = 10;
2 x = 9; ( 2 x ) 2 = 9 2 ; 2 x = 81; x = 40,5.
www.5balls.ru
459*. 1 + 2 + x = 2; ( 1 + 2 + x ) 2 = 2 2 ; 1 + 2 + x = 4; ( 2 + x ) 2 = 32 ; 2 + x = 9;
x = 7; x = 49.
460. а) Да; 3 + (− 3 ) = 0 ∈ Q б) нет. 462*. а) x ≥ 0; б) x – любое действительное число; в) x – любое действительное число; г) x – любое действительное число; д) x = 0; е) x ≤ 0. 463*. а) ab ; ab ≥ 0; 1) a ≥ 0, b ≥ 0; 2) a ≤ 0, b ≤ 0; б) 1) 2)
− ab ; ab ≤ 0; a ≤ 0, b ≥ 0; a ≥ 0, b ≤ 0;
в)
a 2b ; b ≥ 0; a – любое действительное число;
г)
a 2b 2 ; a, b – любые действительные числа;
д)
− ab 2 ; a ≤ 0, b – любое действительное число.
464*. а) При x > 0; б) при x ≥ 0; в) при x ≥ 0, x ≠ 1. 465. а) 0,16 + (2 0,1) 2 = 0,4 + 4 ⋅ 0,1 = 0,8;
www.5balls.ru
2 + x = 3;
б) (0,2 10 ) 2 + 0,5 16 = 0,04 ⋅ 10 + 0,5 ⋅ 4 = 0,4 + 2 = 2,4; в) 144 − 0,5( 12 ) 2 = 12 − 0,5 ⋅ 12 = 6; г) (3 3 ) 2 + (−3 3 ) 2 = 9 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3 = 54; д) (5 2 ) 2 − (2 5 ) 2 = 25 ⋅ 2 − 4 ⋅ 5 = 30; е) (−3 6 ) 2 − 3( 6 ) 2 = 9 ⋅ 6 − 3 ⋅ 6 = 36. К ПАРАГРАФУ 6 468. а) 196 ⋅ 0,81 ⋅ 0,36 = 14 ⋅ 0,9 ⋅ 0,6 = 14 ⋅ 0.54 = 14 ⋅ б) 1
54 = 7,56; 100
9 4 25 49 5 7 5 ⋅ 7 ⋅1 7 ⋅ 5 ⋅ 0,01 = ⋅ ⋅ 0,01 = ⋅ ⋅ 0.1 = = ; 16 9 16 9 4 3 4 ⋅ 3 ⋅ 10 24
0,87 ⋅ 49 + 0,82 ⋅ 49 = 49(0,87 + 0,82) = 49 ⋅ 1,69 = 7 ⋅ 1,3 = 9,1;
в)
г) 1,44 ⋅ 1,21 − 1,44 ⋅ 0,4 = 1,44 ⋅ 0,81 = 1,2 ⋅ 0,9 =
12 9 108 ⋅ = = 1,08. 10 10 100
469. 165 2 − 124 2 = 164 17 = = 8,5; 2
(165 − 124)(165 + 124) = 164
41 ⋅ 289 = 164
289 = 4
=
98 = (176 − 112)(176 + 112)
98 = 64 ⋅ 288
49 = 64 ⋅ 144
=
(149 − 76)(149 + 76) = (457 − 384)(457 + 384)
а)
б) =
в) г) =
98 2
176 − 112
2
7 7 = ; 8 ⋅ 12 96 149 2 − 76 2 2
457 − 384
2
145,5 2 − 96,52 193,5 − 31,5 2
2
=
73 ⋅ 225 15 ; = 73 ⋅ 841 29
(145,5 − 96,5)(145,5 + 96,5) = (193,5 − 31,5)(193,5 + 31,5)
49 ⋅ 242 = (193,5 − 31,5)(193,5 + 31,5)
49 ⋅ 121 7 ⋅ 11 77 = = . 81 ⋅ 225 9 ⋅ 15 135
www.5balls.ru
470. а) 15 20 ⋅ 0,1 45 = 1,5 20 ⋅ 45 = 1,5 900 = 1,5 ⋅ 30 = 45; б) 0,3 10 ⋅ 0,2 15 ⋅ 0,5 6 = 0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,5 10 ⋅ 15 ⋅ 6 = 0,03 900 = = 0,3 ⋅ 9 = 0,9;
в) г)
8 5
=
0,4 0,2 0,48 5 12
=
8 5 = 20 25 = 100; 0,4 0,2
1 0,48 1 1 1 = 0,04 = ⋅ 0,2 = . 5 12 5 5 25
471*. а) ab = − a ⋅ − b ; б)
a = b
−a −b
.
472. а)
(−12) 2 = 12 = 12;
б) − 10 2 = − 10 = −10; в)
− 10 2 выражение не имеет смысла;
г) − (−11) 2 = − 11 = −11; д)
− (−15) 2 выражение не имеет смысла;
е) − (−25) 2 = − 25 = −25. 473. а) 3 (−2) 6 = 3 (−2) 3 = 3 ⋅ 8 = 24; б) − 2 10 4 = −2 ⋅ 10 2 = −200; в) − 3 54 = −3 ⋅ 52 = −3 ⋅ 25 = −75; г) 0,1 210 = 0,1 ⋅ 25 = 0,1 ⋅ 32 = 3,2; д) 0,1 (−3)8 = 0,1 ⋅ (−34 ) = 0,1 ⋅ 81 = 8,1; е) 100 0,110 = 100 ⋅ (0,1) 5 = 100 ⋅ 0,00001 = 0,001;
www.5balls.ru
ж) − (−2)12 = −(−2) 6 = −64; з) 2,5 (−0,1) 4 = 2,5 ⋅ (0,1) 2 = 2,5 ⋅ 0,01 = 0,025. 474. а)
43 = 64 = 8;
б)
95 = 9 2 ⋅ 3 = 35 = 243;
в) 165 = 16 2 ⋅ 4 = 210 = 1024; г)
253 = 252 ⋅ 25 = 53 = 125;
д)
8 ⋅ 162 = 2 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 2 = 81 ⋅ 4 2 = 9 ⋅ 4 = 36;
е)
96 ⋅ 486 = 96 ⋅ 6 ⋅ 81 = 576 ⋅ 81 = 24 ⋅ 9 = 216;
ж)
750 ⋅ 270 = 75 ⋅ 27 ⋅ 100 = 9 2 ⋅ 25 ⋅ 100 = 9 ⋅ 5 ⋅ 10 = 450;
з)
853 ⋅ 776 = 2 4 ⋅ 32 ⋅ 7 2 ⋅ 112 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 84 ⋅ 11 = 924.
475*. Ответ: при x ≥ 0. 476*. а) y – любое число; б) x – любое число; в) x ≥ 0; г) c ≤ 0; д) a ≤ 0; е) b – любое число. 477*. а)
www.5balls.ru
б)
в)
www.5balls.ru
д)
478. а)
a 4b 4 = a 2b 2 ;
б)
b 6 c 8 = b 3c 4 , b ≥ 0;
в) 16 x 4 y12 = 4 x 2 y 6 ; г) д) е) ж) з)
0,25 p 2 y 6 = 0,5 p (− y 3 ) = −0,5 py 3 , p ≥ 0, y ≤ 0; p4 a8
p2
=
a4
16a12
=
b10 4x2 y
6
c6 9a
2
= =
;
4a 6 b5
, b > 0;
2(− x) −y
3
=
2x y3
, x < 0, y < 0;
( −c 3 ) c3 = − , c < 0, a > 0. 3a 3a
479. а)
(−a) 2 = a 2 = a ;
б)
(− a ) 2 ( −b) 4 = a 2b 4 = ab 2 = a b 2 = a b 2 .
www.5balls.ru
К ПАРАГРАФУ 7 480. а) 0,5 60a 2 = 0,5 15 ⋅ 4a 2 = 0,5 ⋅ 2 a 15 = a 15 ; б) 2,1 300 x 4 = 2,1 3 ⋅ 100 x 4 = 2,1 ⋅ 10 x 2 3 = 21x 2 3 ; в) 0,1 150 x 3 = 0,1 25 ⋅ 6 x 2 ⋅ x = 0,1 ⋅ 5 x 6 x = 0,5 x 6 x ; г) 0,2 225a 5 = 0,2 ⋅ 15a 2 a = 3a 2 a ; д) a 18a 2b = a 9 ⋅ 2a 2b = a ⋅ 3a 2b ; е) − m 48am 4 = −m 16 ⋅ 3am 4 = −m ⋅ 4m 2 3a = −4m 3 3a . 481*. а)
9a 2b = −3a b , a < 0;
б)
25a 2b 3 = 5ab b , a > 0;
в) 144a 3b 3 = 12(− a)(−b) ab = 12ab ab , a < 0, b < 0; г)
32a 4 x 3 = 4a 2 x 2 x ; 4a 2 x 2 x , x > 0;
д)
− 3c 3 = −c − 3c , c < 0;
е)
− 5m 7 = − m 3 − 5m , m < 0;
ж) a a 5 = a 3 a ; a > 0; з)
x 1 − x3 = x x
− x = − − x , x < 0.
482*. а) a 3 = 3a 2 , a ≥ 0; б) a 3 = − 3a 2 , a < 0; в) x
2 = x
г) x −
2x 2 = 2x ; x
2 2x 2 = − = − 2x . x x
483*.
www.5balls.ru
а) Равенство верно при б) Равенство верно при в) Равенство верно при г) Равенство верно при
x ≥ 0; y ≤ 0; c ≤ 0; a ≤ 0;
484*. а) x 2
1 = x
x4 = x3 ; x
б) − x 2 5 = − 5 x 4 ; в) − 3a
1 a = − 3a 3 ; 3
г) 3a −
a = − − 3a 3 ; 3
д) ab е) 2ab ж)
a b
з) − ab
b = ab 3 , a > 0, b > 0; a a = 2a 3b , a < 0, b < 0; 2b b = a
a , a > 0, b > 0; b
1 1 + = ab 2 + a 2b , a > 0, b < 0. a b
487. а) x ( a − b ) = a ⋅ x − b ⋅ x = ax − bx ; б) ( x + y ) x = x + xy ; в)
ab ( a + b ) = ab ⋅ a + ab ⋅ b = a b + b a ;
г) ( m − n ) mn = m ⋅ mn − n ⋅ mn = m n − n m ; д) ( x + y )(2 x − y ) = 2 x ⋅ x − x ⋅ y + 2 x ⋅ y − y ⋅ y = = 2 x + xy − y;
е) ( a − b )(3 a + 2 b ) = 3 a ⋅ a + 2 a ⋅ b − 3 a ⋅ b − 2 b ⋅ b = = 3a − ab − 2b;
ж) (2 a + b )(3 a − 2 b ) =
www.5balls.ru
= 2 a ⋅ 3 a − 2 a ⋅ 2 b + 3 a ⋅ b − 2 b ⋅ b = 6a − ab − 2b;
з) (4 x − 2 x )( x − 2 x ) = = 4 x ⋅ x − 4 x ⋅ 2x − x ⋅ 2x + 2x ⋅ 2x = 6x − 5x 2.
488. а) (1 − x )(1 + x + x) = 13 − ( x ) 3 = 1 − x x ; б) ( a + 2)(a − 2 a + 4) = ( a ) 3 + 23 = a a + 8; в) ( m − n )(m + n + mn ) = ( m ) 3 − ( n ) 3 = m m − n n ; г) ( x + y )( x 2 + y − x y ) = x 3 + ( y ) 3 = x 3 + y y . 489. a) ( 6 + 4 2 ) 2 = (2 + 2 ) 2 ;
6 + 4 2 = 4 + 2 ⋅ 2 2 + ( 2 )2 ;
6 + 4 2 = 6 + 4 2 , тождество доказано;
б) ( 8 3 + 19 ) 2 = ( 3 + 4) 2 ;
8 3 + 19 = ( 3 ) 2 + 2 ⋅ 4 3 + 16;
8 3 + 19 = 8 3 + 19, тождество доказано.
490. а) Подставим x = 1 + 5 : x 2 − 6 = (1 + 5 ) 2 − 6 = 1 + 2 5 + ( 5 ) 2 − 6 = = 2 5;
б) Подставим x = 3 − 3 : x 2 − 6 x = (3 − 3 ) 2 − 6(3 − 3 ) = = 9 − 2 ⋅ 3 3 + ( 3 ) 2 − 6 ⋅ 3 + 6 3 = −6;
в) Подставим x = 2 + 3 : x 2 − 4 x + 3 = (2 + 3 ) 2 − 4(2 + 3 ) + 3 = = 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + ( 3 ) 2 − 8 − 4 3 + 3 = 4 + 4 3 + 3 − 8 − 4 3 + 3 = 2;
г) Подставим x =
3+ 2 3+ 2 2 3+ 2 : x 2 − 3x + 5 = ( ) − 3( )+5= 2 2 2
=
9 + 3 ⋅ 2 2 + ( 2 )2 9 + 3 2 11 + 6 2 9 + 3 2 − +5= − +5= 4 2 4 2
=
11 + 6 2 − 18 − 6 2 + 20 13 = = 3,25. 4 4
491*. 1) ( 7 + 4 3 + 7 − 4 3 ) 2 =
www.5balls.ru
= ( 7 + 4 3 )2 + 2 7 + 4 3 ⋅ 7 − 4 3 + ( 7 − 4 3 )2 = = 7 + 4 3 + 2 (7 + 4 3 )(7 − 4 3 ) + 7 − 4 3 = 14 + 2 49 − 16 ⋅ 3 =
= 14 + 2 1 = 16; 7 + 4 3 ⋅ 7 − 4 3 = (7 + 4 3 )(7 − 4 3 ) = 49 − 16 ⋅ 3 =
2)
= 49 − 48 = 1 - натуральное число.
492. а) =
б) =
1 3 2 −4
−
1 3 2 +4
=
3 2 +4−3 2 +4 (3 2 − 4)(3 2 + 4)
=
8 (3 2 ) 2 − 4 2
=
8 8 = = 4; - рациональное число; 9 ⋅ 2 − 16 2 1 5+2 6
+
1
=
5−2 6
5−2 6 +5+2 6 (5 + 2 6 )(5 − 2 6 )
=
10 = 25 − 4 ⋅ 6
10 = 10 - рациональное число. 1
493. а) =
б) =
в) = =
1 11 − 2 30
−
1 11 + 2 30
=
11 + 2 30 − 11 + 2 30 (11 − 2 30 )(11 + 2 30 )
=
4 30 = 121 − 4 ⋅ 30
4 30 = 4 30 ; 1 5 3+ 2 2
+
5
=
3−2 2
5(3 − 2 2 ) − 5(3 + 2 2 )
15 − 10 2 + 15 + 10 2 2
3 − (2 2 ) 5− 3 5+ 3
+
2
5+ 3 5− 3
=
(3 + 2 2 )(3 − 2 2 ) =
=
30 = 30; 9 − 4⋅2
( 5 − 3)2 + ( 5 + 3)2 ( 5 − 3 )( 5 + 3 )
=
( 5 )2 − 2 5 ⋅ 3 + ( 3 )2 + ( 5 )2 + 2 5 ⋅ 3 + ( 3 )2 ( 5 )2 − ( 3 )2 16 − 2 15 + 2 15 16 = = 8; 5−3 2
www.5balls.ru
=
г) = =
11 + 21 11 − 21
11 − 21
+
=
11 + 21
(11 + 21 ) 2 + (11 − 21 ) 2 (11 − 21 )(11 + 21 )
=
112 + 2 ⋅ 11 ⋅ 21 + ( 21 ) 2 + 112 − 2 ⋅ 11 ⋅ 21 + ( 21 ) 2 112 − ( 21 ) 2
=
121 + 22 21 + 21 + 121 − 22 21 + 21 284 = = 2,84. 121 − 21 100
494. Подставим x = 3 + 5 , y = 3 − 5 : 1 x 2 − 3xy + y 2 [(3 + 5 ) 2 − 3(3 + 5 )(3 − 5 ) + = x+ y+2 3+ 5 +3− 5 + 2 1 + (3 − 5 ) 2 ] = [9 + 2 ⋅ 3 5 + ( 5 ) 2 − 3(9 − ( 5 ) 2 ) + 9 − 2 ⋅ 3 5 + ( 5 ) 2 ] = 8 =
9 + 6 5 + 5 − 3(9 − 5) + 9 − 6 5 + 5 28 − 3 ⋅ 4 16 = = = 2. 8 8 8
Ответ: 2. 495*. а) б) в) г)
x x−y y x− y
=
a+ b
=
a a +b b 2 2−x x
=
2 + 2x + x a − 3a + 3
=
a a +3 3
( x − y )( x + xy + y )
= x + xy + y;
x− y a+ b 3
( a) + ( b)
3
=
a+ b ( a + b )(a − ab + b)
( 2 − x )(2 + 2 x + x ) 2 + 2x + x a − 3a + 3 ( a )3 + ( 3 )3
=
=
1 a − ab + b
= 2 − x;
a − 3a + 3 ( a + 3 )(a − 3a + 3)
=
496. а) б)
70 − 30 35 − 15 15 − 5 6 − 10
=
=
2 ⋅ 35 − 2 ⋅ 15 35 − 15 3⋅ 5− 5⋅ 5 2⋅ 3− 2⋅ 5
=
=
2 ( 35 − 15 ) 35 − 15
5( 3 − 5) 2( 3 − 5)
www.5balls.ru
=
5 2
= 2; ;
1 a+ 3
.
;
в) г) д) =
е)
2 10 − 5
=
4 − 10 9−2 3
2 2⋅5 − 5 ⋅ 5 2 ⋅ 2 − 10 3⋅3 − 2 3
=
3 6 −2 2
2+ 6 − 2
2⋅ 2+ 2⋅ 3− 2
2 ( 2 + 3 − 1) 10 + 3 − 1
=
=
;
2 3
;
2
2⋅ 2⋅ 3+ 3⋅ 3⋅ 2 − 2⋅ 3
=
2 ⋅ 3 ( 2 + 3 − 1) ( 10 − 1) 2 − 3
3 (3 3 − 2) 2 (3 3 − 2)
5
=
2 (2 2 − 5 )
=
3 2⋅ 3−2 2
2 3 +3 2 − 6
5 (2 2 − 5 )
=
=
= 3;
( 10 − 1 − 3 )( 10 − 1 + 3 ) 10 + 3 − 1
= 10 − 1 − 3.
497. а) б) в) г) =
д) е) =
1+ a a
=
y+b y b y x − ax a x
(1 + a ) a a⋅ a
y ( y + b)
=
a +a ; a
=
b y
=
x( x − a)
=
a⋅ x
a b +b a
=
ab
y ( y + b) = by
=
y +b ; b
x ⋅ x( x − a) a⋅ x ⋅ x
( a b + b a ) ab ab ⋅ ab
=
x− a ; a
a b ⋅ ab + b a ⋅ ab = ab
ab a + ab b ab( a + b ) = = a + b; ab ab 2 3 −3 5 3 2−3 2 4 2
3 ⋅ 3 (2 3 − 3)
= =
5⋅ 3 ⋅ 3 (2 − 3 2 ) 2
2 2 −6 = 8
4 2⋅ 2
=
=
2− 3 ; 5
2 2 − 3 2 ⋅ 2 2 2 − 3⋅ 2 = = 4⋅2 8
2 −3 . 4
498. а)
=
x − xy + y x− y
=
( x − xy + y )( x + ( x − y )( x +
y) y)
=
www.5balls.ru
=
б) в) =
г) =
x x−x y +y x+x y −y x+y x 2
( x) − ( y) 9+3 a +a
(9 + 3 a + a )(3 − a )
=
3+ a 1 − 2 x + 4x
(3 + a )(3 − a ) (1 − 2 x )(1 + 2 x )
1 − 2 x + 4 x + 2 x − 4 x + 8x x 12 − (2 x ) 2 a 2 b + 2a b + 4 a b +2 a 3b b − 8 a 2b − 4
=
(1 − 2 x + 4 x)(1 + 2 x )
=
1− 2 x
2
=
=
=
x x+y y 2
( x) − ( y)
27 − a a 2
3 − ( a)
2
=
2
=
x x+y y ; x− y
27 − a a ; 9−a
=
1 + 8x x
=
12 − (2 x ) 2
( a 2b + 2a b + 4)(a b − 2) ( a b + 2)(a b − 2)
=
1 + 8x x ; 1 − 4x a 3b b − 8
(a b ) 2 − 4
=
.
499. а) б)
x− y x a+ b a b
в) =
г) =
=
( x − y )( x +
=
x( x +
y)
(a + b )(a − b ) a b (a − b )
7− a
=
49 − 7 a + a 72 − ( a )2 3
7 +a a
=
mn + mn + 1 ( mn ) 2 − 12
=
mn mn − 1
x− y x + xy
a 2 − ( b )2 a 2 b − ab
( 49 − 7 a + a )(7 + a )
343 + a a =
=
=
(7 − a )(7 + a ) 49 − a
mn + 1
y)
=
=
; a2 − b a 2 b − ab
;
(7 − a )(7 + a ) 73 + a a
=
;
( mn + 1)( mn − 1) ( mn + mn + 1)( mn − 1) mn − 1
mn mn − 1
=
( mn + 1)( mn − 1) mn mn − 1
=
.
500*. а) =
1 2 + 3 +1 2 − 3 −1 2−4−2 3
=
=
2 − ( 3 + 1) [ 2 + ( 3 + 1)][ 2 − ( 3 + 1)] 2 − 3 −1 −2−2 3
=
=
2 − 3 −1 ( 2 ) 2 − ( 3 + 1) 2
( 2 − 3 − 1)(1 − 3 ) − 2(1 + 3 )(1 − 3 )
www.5balls.ru
=
=
2 − 3 −1− 6 + 3 + 3 2 + 2 − 6 = ; − 2(1 − 3) 4
=
1
б) = =
5− 3+2
=
5 − (2 − 3 ) [ 5 + (2 − 3 )][ 5 − (2 − 3 )]
5 −2+ 3 5 − (4 − 4 3 + 3)
5 −2+ 3
=
−2+4 3
=
=
5 −2+ 3 ( 5 ) 2 − (2 − 3 ) 2
( 5 − 2 + 3 )(2 3 + 1) 2(2 3 − 1)(2 3 + 1)
=
=
2 15 − 4 3 + 6 + 5 − 2 + 3 4 + 2 15 + 5 − 3 3 = . 2(12 − 1) 22
501*. x− 2 x− 2 = = x−2 ( x − 2 )( x + 2 )
1 x + 2.
Дробь принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель наименьшее, значит x = 0. 502. а) 15
2 2 2⋅5 − 160 = 15 − 16 ⋅ 10 = 15 − 4 10 = 5 5 5⋅5
= 3⋅
10 ⋅ 25 − 4 10 = 3 10 − 4 10 = − 10 ; 25
б) 135 + 10 0,6 = 5 ⋅ 27 + 10 1 3
в) 6 1 − 27 = 6 =
3⋅5 = 3 15 + 2 15 = 5 15 ; 5⋅5
4 1 1⋅ 3 − 9⋅3 = 6⋅2 −3 3 = 6⋅2 −3 3 = 3 3 3⋅3
12 3 − 3 3 = 3; 2
г) 0,5 24 + 10
3 10 3 ⋅ 2 3 = 0,5 4 ⋅ 6 + 10 = 0,5 ⋅ 2 6 + = 8 2⋅4 2 2⋅2
= 6 + 2,5 6 = 3,5 6 .
503*. а) (
1 x+x y
+
1 x−x y
)⋅
y −1 x − x y + x + x y y −1 = ⋅ = 2 ( x + x y )( x − x y ) 2
www.5balls.ru
=
2x 2
x − (x y )
б) ( = =
a a− b
2
−
⋅
1 y − 1 2 x ( y − 1) y −1 = 2 =− =− ; 2 x( y − 1) x 2 x (1 − y ) a a+ b
)⋅
(b − a ) 2 = 2
2 ab (b − a ) 2 a ( a + b ) − a ( a − b ) (b − a ) 2 ⋅ = ⋅ = 2 ( a − b) 2 ( a − b )( a + b ) 2 ab ⋅ (a − b) 2 = ab (a − b). ( a − b) ⋅ 2
www.5balls.ru
ГЛАВА III. Квадратные уравнения § 8. Квадратное уравнение и его корни 19. Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения №504. Ответ: а) является; б) нет; в) является; г) нет; д) неполное квадратное уравнение; е) неполное квадратное уравнение. №505. Коэффициенты: а) а=5; b=-9; c=4; б) a=1; b=3; c=-10; в) a=-1; b=-8; c=1; г) a=-4; b=5; c=0; д) a=6; b=0; c=-30; е) a=9; b=0; c=0. №506. a) (2x-1)(2x+1)=x(2x+3); 4x2-1=2x2+3x; 2x2-3x-1=0; б) (3x+2)2=(x+2)(x-3); (3x+2) 2=x2-3x+2x-6; 9x2+12x+4=x2-3x+2x-6; 8x2+13x+10=0; в) (x+1)(x+2)=(2x-1)(x-2); x2+2x+x+2=2x2-4x+2-x; x2+3x+2-2x2+5x-2=0 -x2+8x=0; x2-8x=0; г) (x+3)(3x-2)=(4x+5)(2x-3); (x+3)(3x-2)=8x2-12x+10x-15; 3x2-2x+9x-6=8x2-12x+10x-15; 5x2-9x-9=0.
www.5balls.ru
№507. а) 4x2-2x(3x+1)=5; 4x2-6x2-2x=5; -2x2-2x=5; 2x2+2x+5=0; б) x2+(1-x)(1-3x)=x; x2+1-3x-x+3x2=x; 4x2-5x+1=0; в) –5x(x+6)=4(x-3)-10; -5x2-30x=4x-12-10; 5x2+30x+4x-12-10=0; 5x2+34x-22=0; г) (x-8)(2x+3)=(3x-5)(x+4); 2x2+3x-16x-24=3x2+12x-5x-20; -2x2-3x+16x+24+3x2+12-5x-20=0; x2+20x+4=0; №508. 1) 7x2-12x=0; 2) 2x2-4=0; 3) x2=0; №509. а) 4x2-9=0; (2x-3)(2x+3)=0; 1) 2x+3=0; 2x=-3; x=-1 2) 2x-3=0; 2x=3; x=1
1 ; 2
1 1 ; x1,2= ± 1 ; 2 2
б) –x2+3=0; x2=3; x1,2= ± 3 ; в) –0,1x2+10=0; 0,1x2=10; x2=10:0,1; x2=100; x1,2= ± 100 ; x1,2= ± 10; г) y2-
1 1 1 1 =0; y2= ; y1,2= ± ; y1,2= ; 9 9 9 3
д) 6y2+24=0; 6y2=-24; y2=-4; но квадрат числа не может быть меньше нуля, следовательно, корней нет;
www.5balls.ru
1 1 ; m1,2= ± ; 3 3
е) 3m2-1=0; 3m2=1; m2= m1,2= ±
1⋅ 3 3 ; m1,2= ± . 3⋅3 3
№510. а) 3x2-4x=0; x(3x-4)=0; x=0; 3x-4=0; 1 3 1 x1=0; x2=1 ; 3
3x=4; x=1 ;
б) –5x2+6x=0; 5x2-6x=0; x(5x-6)=0; 1 5
x=0; 5x-6=0; 5x=6; x=1 ; 1 5
x1=0; x2=1 ; в) 10x2+7x=0; x(10x+7)=0; 1) x=0; 2) 10x+7=0; 10x=-7; x=-
7 ; x=-0,7; 10
x1=0; x2=-0,7; г) 4a2-3a=0; a(4a-3)=0; 1) a=0; 2) 4a-3=0; 4a=3; a=
3 3 ; a1=0; a2= ; 4 4
д) 6z2-z=0; z(6z-1)=0; 1) z=0; 2) 6z-1=0; 1 6 1 z1=0; z2= ; 6
6z=1; z= ;
е) 2y+y2=0; y(2+y)=0; 1) y=0; 2) 2+y=0; y=-2; y1=0; y2=-2. №511. a) 2x2+3x=0; x(2x+3)=0;
www.5balls.ru
1) x=0; 2) 2x+3=0; 2x=-3; x=-1
1 1 ; x1=0; x2=-1 ; 2 2
б) 3x2-2=0; 3x2=2; x2=
2 2 2 3 6 ; x1,2= ± =± ; ⋅ =± 3 3 3 3 3
в) 5u2-4u=0; u(5u-4)=0; 1) u-0; 2) 5u-4=0; u=
4 4 ; u1=0; u2= ; 5 5
г) 7a-14a2=0; 7a(1-2a)=0; 1) a=0; 2) 1-2a=0; 2a=1; a=
1 1 ; a1=0; a2= ; 2 2
д) 1-4y2=0; (1-2y)(1+2y)=0; 1) 1+2y=0; 2y=-1; y=2) 1-2y=0; 2y=1; y= y1=
1 ; 2
1 ; 2
1 1 ; y2=- ; 2 2
е) 2x2-6=0; 2(x2-3)=0; x2=3; x1,2= ± 3 . №512. a) 4x2-3x+7=2x2+x+7; 2x2-4x=0; 2x(x-2)=0; 1)x=0; 2) x-2=0; x=2; x1=0; x2=2; б) –5y2+8y+8=8y+3; -5y2+5=0; 5(y2-1)=0; y2=1; y1,2= ± 1; в) 10-3x2=x2+10-x; 10-3x2-x2-10+x=0; -4x2+x=0; 4x2-x=0; x(4x-1)=0; 1)x=0; 2) 4x-1=0; 4x=1; x=
1 1 ; x1=0; x2= ; 4 4
г) 1-2y+3y2=y2-2y+1; 3y2-2y+1-y2+2y-1=0; 2y2=0; y=0.
www.5balls.ru
№513. a) (x+3)(x-4)=-12; x2-4x+3x-12=-12; x2-x=0; x(x-1)=0; x=0; x-1=0; x=1; x1=0; x2=1; 2 1 x+(2x+1) x −1 =0; 3 3 2 1 2 1 1 x+2 ⋅ x -2x+ x-1=0; 3 3 3 2 2 3 3 3 x -1=0; x2- =0 ⋅ ; x2= ; 3 2 2 2
б) 1
x1,2= ±
3 ; 2
в) (3x-1)2-1=0; (3x-1-1)(3x-1+1)=0; (3x-2)(3x+0)=0; 3x-2=0; 3x=2; x= x1=
2 ; 3x=0; x=0; 3
2 ; x2=0; 3
г) 3x(2x+3)=2x(x+4,5)+2; 6x2+9x=2x2+9x+2; 4x2-2=0; 2(2x2-1)=0; 2x2=1; x2=
1 1 2 ; x1,2= ± ; =± 2 2 2
д) 18-(x-5)(x-4)=-x2; 18-(x2-4x-5x+20)=-x2; 18-x2+4x+5x-20+x2=0; 9x-2=0; 9x=2; x=
2 ; 9
е) (x-1)(x+1)=2(x2-3); x2-1=2x2-6; x2-1-2x2+6=0; -x2+5=0; x2-5=0; x2=5; x1,2= ± 5 . №514. а) x2-5=(x+5)(2x-1); x2-5=2x2-x+10x-5; x2+9x=0; x(x+9)=0; x=0; x+9=0; x=-9; x1=0; x2=-9; б) (2x+3)(3x+1)=11x+30; 6x2+2x+9x+3-11x-30=0; 6x2-27=0; 3(2x2-9)=0;
www.5balls.ru
2x2-9=0; 2x2=9; x2= x1,2= ±
9 ; 2
9 3 3 2 ; =± =± 2 2 2
в) 2x-(x+1)2=3x2-6; 2x-(x2+2x+1)=3x2-6; 3x2-6-2x+x2+2x+1=0; 4x2-5=0; 4x2=5; x2=
5 5 5 ; x1,2= ± ; x1,2= ± ; 4 2 4
г) 6a2-(a+2) 2=-4(a-4); 6a2-(a2+4a+4)=-4a+16; 6a2-a2-4a-4+4a-16=0; 5a2-20=0; 5(a2-4)=0; a2-4=0; a2=4; a1,2= ± 2; д) x(7-6x)=(1-3x)(1+2x); 7x-6x2=1+2x-3x-6x2; 7x-1-2x+3x=0; 8x-1=0; 8x=1; x=
1 ; 8
е) (5y+2)(y-3)=-13(2+y); 5y2-15y+2y-6=-26-13y; 5y2-13y-6+26+13y=0; 5y2+20=0; 5(y2+4)=0; y2+4=0; y2=-4; корней нет, поскольку квадрат действительного числа не может быть меньше нуля. №515. Обозначим за n и (n+1) – два последовательных целых числа. Их произведение по условию задачи 1 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Составим уравнение: n(n+1)=1,5n2; n2+n-1,5n2=0; -0,5n2+n=0; 0,5n2-n=0; n(0,5n-1)=0; n1=0; (не подходит по условию задачи); 0,5n-1=0; 0,5n=1; n=1:0,5; n=2; n+1=3. Ответ: 2 и 3. №516. Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадь S=a2 (см2). Тогда имеем: S=Sтр+Sост части; Sкв=59+85; S=144 см2; т.е. а2=144 см2; а= ± 144 = ±12 ; а1=12; а2=-12 – не подходит, т.к. длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом. Ответ: 12 см. №517.
www.5balls.ru
Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадь Sкв=a2 (см2). По условию задачи, Sкв-Sкр=12 (см2). Составим уравнение: a2-12=36; a2=48. Откуда находим: a1,2= ± 48 ; a1,2= ± 16 ⋅ 3 ; a1=4 3 ; a2=-4 3 - не подходит, т.к. длина стороны квадрата не может быть меньше нуля. Ответ: 4 3 см. №518. Площадь круга равна πr 2 , где r – радиус круга. Из условия Sкр=1 дм2. Составляем уравнение: πr 2 =1; r2= r1,2= ±
1 ; π
1⋅ π π π π ; r1= ; r2=- не подходит, так как радиус =± π⋅π π π π
круга не может быть меньше нуля. Ответ:
π дм. π
№519. Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадь Sкв=a2, Sкр= πr 2 . По условию задачи площади круга и квадрата равны, значит, можно составить уравнение: a2= πr 2 ; откуда a1,2= ± πr 2 ; a1=r π ; a2=- r π ; - не подходит, т.к. длина стороны квадрата не может быть меньше нуля. Ответ: r π см. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №520.
(
)
а) y= 1− 2 x; y=kx; k= 1− 2 <0, следовательно, график функции
(
)
y= 1− 2 x расположен во II и IV четвертях;
www.5balls.ru
( 35 − 5,7) x; y=kx, k= 35 − 5,7 ; 37 ≈ 5,92, следовательно, график функции y= ( 35 − 5,7 ) x расположен в I и III координатных
б) y=
четвертях.
№521. 9 + 6x + x 2 ( x + 3) 2 + x = + x = x +3+ x ; x+3 x +3
Подставим x=0,36: x+3+ x =0,36+3+ 0,36 =0,36+3+0,6=3,96; Подставим x=49: x+3+ x =49+3+ 49 =52+7=59. №522. а) a2+b2>0 и a2+b2+1>0, следовательно,
a 2 + b2 a 2 + b2 + 1
б) (a+b)2>0 и (a-b)2+1>0, следовательно,
>0;
(a + b) 2 (a − b) 2 + 1
>0;
20. Решение квадратных уравнений выделением квадратного двучлена №523. a) x2+12x+36=0; (x+6)2=0; x+6=0; x=-6; 2
б) x2-x+
1 1 1 1 =0; x − =0; x- =0; x= . 4 2 2 2
№524. а) x2-8x+15=0; x2-8x+16=16-15; (x-4)2=1; x-4= ± 1; 1) x1=4+1=5; 2) x2=4-1=3; x1=5; x2=3; б) x2+12x+20=0; x2+12x+36=36-20; (x+6)2=16; x+6= ±4 ; 1) x+6=4; x=-2; 2) x+6=-4; x=-10; x1=-2; x2=-10;
www.5balls.ru
в) x2-5x-6=0; x2-2 ⋅
5 25 25 x+ = +6; 2 4 4
2
2
5 25 + 24 5 49 5 7 ; x − = ; x- = ± ; x − = 2 4 2 4 2 2 5 7 12 5 7 2 1) x= + = =6; 2) x= − = − =-1; x1=6; x2=-1; 2 2 2 2 2 2 г) x2-8x-9=0; x2-2 ⋅ 4x+16-16-9=0;
x2-8x+16=16+9; (x-4)2=25; x-4= ± 5; 1) x=4+5=9; 2) x=4-5=-1; x1=9; x2=-1. №525.
a) x2-4x+3=0; x2-4x=-3; x-2 ⋅ 2x+4=4-3; x2-4x+4=1; (x-2) 2=1; x-2= ± 1 ; 1) x-2=1; x=3; 2) x-2=-1; x=1; x1=3; x2=1; б) x2+3x-10=0; x2+2 ⋅ x + 3 x+ 2
3 9 9 x+ = +10; 2 4 4
2
3 49 3 49 ; x+ = ± ; = 2 4 2 4
=±
7 7 3 10 ; x=- − = − =-5; 2 2 2 2
x1=2; x2=-5; в) x2+9x+14=0; x2+2 ⋅
9 81 81 x+ = -14; 2 4 4
2
9 25 9 5 ; x+ =± ; x + = 2 4 2 2 9 5 5 9 1) x + = ; x= − =-2; 2 2 2 2 9 5 5 9 2) x + = − ; x= − − =-7; 2 2 2 2
x1=-2; x2=-7; г) x2-2x-1=0; x2-2x+1=1+1; (x-1) 2=2; x-1= ± 2 ; 1) x-1=- 2 ; x=- 2 +1; 2) x-1= 2 ; x= 2 +1; x1=- 2 +1; x2= 2 +1.
www.5balls.ru
№526. а) x2-6x+8=0; (x2-2 ⋅ 3x+9)-9+8=0; (x-3)2=1; x-3= ±1 ; 1) x-3=1; x=4; 2) x-3=-1; x=2; x1=4; x2=2;
б) x2+x-6=0; x 2 + 2 ⋅
x 1 1 + − -6=0; 2 4 4 2
1 1 1 25 1 5 =6+ ; x + = ; x+ = ± ; 4 4 2 4 2 2 1 5 5 1 1) x+ = ; x= − =2; 2 2 2 2 1 5 5 1 2) x+ = − ; x=- − =-3; 2 2 2 2
x2+x+
x1=2; x2=-3; в) x2+4x+3=0; x2+4x+4-4+3=0; (x+2)2=1; x+2= ±1 ; 1) x+2=1; x=-1; 2) x+2=-1; x=-3; x1=-1; x2=-3; г) x2+4x-2=0; x2+4x+4-4-2=0; (x+2)2=6; x+2= ± 6 ; 1) x=-2+ 6 ; 2) x=-2- 6 ; x1=-1+ 6 ; x2=-2- 6 . №527. a) 2x2-9x+10=0; x2-
9 10 9 10 x+ =0; x2- x=- ; 2 2 2 2 2
x2-2x ⋅
9 81 81 10 2 9 9 81 − 80 + = - ; x -2x ⋅ + = ; 4 16 16 2 4 4 16 2
9 1 9 1 ; x − = ; x- = ± 4 16 4 16 9 1 9 1 10 1) x- = ; x= + ; x= =2,5; 4 4 4 4 4
www.5balls.ru
2) x=
9 1 - =2; 4 4
x1=2,5; x2=2; 3 5
8 5
3 5
8 5
б) 5x2+3x-8=0; x2+ x- =0; x2+ x= ; 2
x2+2x ⋅
2
3 3 8 3 + = + ; 10 10 5 10 2
2
3 8 9 3 169 ; x + = ; x + = + 10 5 100 10 100 3 169 3 13 =± ; x+ = ± ; 10 100 10 10 13 3 1) x= − =1; 10 10 13 3 16 2) x=- − =- ; x=-1,6; 10 10 10
x+
x1=1; x2=-1,6. №528. 5x2+14-3=0; x2+
14 3 14 3 x- =0; x2+ = ; 5 5 5 5 2
x2+2 ⋅
2
2
14 14 3 196 14 3 14 x+ = + ; x + = + ; 10 10 5 10 10 5 100 2
2
2
14 256 14 16 14 16 ; x + = ; x+ = ± ; x + = 10 100 10 10 10 10 16 14 2 1 1) x= - = = ; 10 10 10 5 30 16 14 = −3 ; 2) x=- - = − 10 10 10 1 x1= ; x2=-3. 5
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №529. Ответ: a2+4; 5a2+2; (a-4) 2+4.
www.5balls.ru
№530. с с+2 8 с + − 1 ⋅ − = 2 с−2 с+2 2 8−с с с+2 8 с (2 − с)(4 + 2с + с 2 ) − с − 2 − 1 с + 2 − 2 = 8 − с(4 + 2с + с2 ) − (8 − с3 ) 2с − (с + 2) 2 ⋅ = 2(с + 2) ( 2 − с) ⋅ (4 + 2с + с 2 ) 8 − 4с − 2с 2 − с3 − 8 + с3 2с − с 2 − 4с − 4 ⋅ = 2(с + 2) 8 − с3 − 4(4с + 2с 2 ) − с 2 − 2с − 4 2с(2 + с) ⋅ = × 3 2(с + 2) 8−с ( 2 − с)(4 + 2с + с 2 ) ×
(с 2 + 2с + 4) 2с(с + 2)(с 2 + 2с + 4) с . = = 2 − 2(с + 2) 2 с 2( 2 − с)(с + 2с + 4)(с + 2)
№531. a) б)
(3x − 6) 2 (2 − x )
2
=
a 2 + 8a + 16 (2a + 8)
2
32 ⋅ ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 =
= 9;
( a + 4) 2 2 ⋅ 2(a + 4)
2
=
1 . 4
№532. 2
10 + 5 3 + 10 − 5 3 = 10+5 3 +2 (10 + 5 3 )(10 − 5 3 ) +
+10-5 3 =20+2 100 − 25 3 ⋅ 3 =20+2 100 − 25 ⋅ 3 =20+2 25 = =2=+2 ⋅ 5=30, 30 ∈ N, следовательно, 30 ∈ Q, что и требовалось доказать.
§ 9. Формула квадратных уравнений по формуле 21. Решение квадратных уравнений по формуле №533.
www.5balls.ru
a) 2x2+3x+1=0; D=9-4 ⋅ 2 ⋅ 1=1; D>0, уравнение имеет два корня; б) 2x2+x+2=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ 2=1-16=-15; D<0, у уравнения нет корней; в) 9x2+6x+1=0; D=62-4 ⋅ 9 ⋅ 1=36-36=0; D=0, уравнение имеет один корень; г) x2+5x-6=0; D=52-1 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25+24=49; D>0, уравнение имеет два корня. №534 a) 3x2-7x+4=0; D=(-7)2-4 ⋅ 3 ⋅ 4=49-48=1, D>0 – два корня: 7 ± 1 7 ±1 = ; 2⋅3 6 7 +1 8 1 x1= = =1 ; 6 6 3 7 −1 6 x2= = = 1; 6 6
x1,2=
б) 5x2-8x+3=0; D=(-8)2-4 ⋅ 5 ⋅ 3=64-60=4; D>0 – два корня: 8± 4 ; 10 8 + 2 10 = = 1; x1= 10 10 8−2 6 3 = = ; x2= 6 10 5
x1,2=
в) 3x2-13x+14=0; D=132-4 ⋅ 3 ⋅ 14=169-168=1; D>0, уравнение имеет два корня: 13 ± 1 13 ± 1 ; = 2⋅3 6 13 + 1 14 7 1 = = =2 ; x1= 6 6 3 3 13 − 1 12 = = 2; x2= 6 6 2 г) 2y -9y+10=0; D=92-4 ⋅ 2 ⋅ 10=81-80=1; D>0, уравнение имеет два
x1,2=
корня:
9 ± 1 9 ±1 ; = 2⋅2 4 9 + 1 10 1 = =2 ; y1= 4 4 2
y=
www.5balls.ru
y2=
9 −1 =2; 4
д) 5y2-6y+1=0; D=62-4 ⋅ 5 ⋅ 1=36-20=16; D>0, уравнение имеет два корня: 6 ± 16 6 ± 16 ; = 2⋅5 10 6+4 =1; y1= 10 6−4 2 =0,2; = y2= 10 10
y=
е) 4x2+x-33=0; D=12-4 ⋅ 4 ⋅ (-33)=1+528=529; D>0, уравнение имеет два корня: − 1 ± 529 2⋅4 −1 − 23 = x1= 8 −1 + 23 = x2= 8
x=
− 1 ± 23 ; 8 −24 =-3; 8 22 =2,75; 8 =
ж) y2-10y-24=0; D=(-10)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-24)=100+96=196; D>0, уравнение имеет два корня: 10 ± 196 10 ± 196 = ; 2 ⋅1 2 10 + 14 =12; y1= 2 10 − 14 =-2; y2= 2 з) p2+p-90=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-90)=1+360=361; D>0, уравнение имеет два
y=
корня:
− 1 ± 361 − 1 ± 19 = ; 2 2 −1 − 19 =-10; p1= 2 −1 + 19 =9. p2= 2
p=
№535.
www.5balls.ru
a) 14x2-5x-1=0; D=(-5)2-4 ⋅ 14 ⋅ (-1)=25+56=81; D>0, уравнение имеет два корня: 5 ± 81 2 ⋅14 5+9 = x1= 28 5−9 = x2= 28
x=
5 ± 81 ; 28 14 1 = ; 28 2 −4 1 =− ; 28 7
=
б) –y2+3y+5=0; y2-3y-5=0; D=(-3)-4 ⋅ 1 ⋅ (-5)=9+20=29; D>0, уравнение имеет два корня: y=
3 ± 29 ; 2
y1=
3 − 29 ; 2
y2=
3 + 29 ; 2
в) 2x2+x+67=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ 67=1-536=-535; D<0, у уравнения нет корней; г) 1-18p+81p2=0; D1=92-1 ⋅ 81=0; D1=0 – один корень: p=
9± 0 1 = ; 81 9
д) –11y+y2-152=0; D=(-11)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-152)=121+608=729; D>0, уравнение имеет два корня: 11 ± 729 11 ± 27 = ; 2 2 11 − 27 =-8; y1= 2 11 + 27 =19; y2= 2
y=
е) 18+3x2-x=0; 3x2-x+18=0; D=(-1)2-4 ⋅ 3 ⋅ 18=1-216=-215; D<0 – нет корней. №536. a) 5x2-11x+2=0; D=(-11)2-4 ⋅ 5 ⋅ 2=121-40=81; D>0, уравнение имеет два корня: x=
11 ± 81 11 ± 9 ; = 2⋅5 10
www.5balls.ru
11 + 9 =2; 10 11 − 9 2 =0,2; x2= = 10 10
x1=
б) 2p2+7p-30=0; D=72-4 ⋅ 2 ⋅ (-30)=49+240=289; D>0, уравнение имеет два корня: − 7 ± 289 − 7 ± 17 = ; 2⋅2 4 −7 + 17 10 =2,5; = p1= 4 4 −7 − 17 −24 =-6; = p2= 4 4
p=
в) 9y2-30y+25=0; D1=152-9 ⋅ 25=225-225=0; D1=0 – один корень: y=
15 ± 0 15 2 = =1 ; 9 9 3
г) 35x2+2x-1=0; D1=12-35 ⋅ (-1)=1+35=36; D1>0, уравнение имеет два корня: − 1 ± 36 ; 35 7 1 −1 − 6 x1= =− =− ; 35 35 5 5 1 −1 + 6 x2= = = ; 35 35 7
x=
д) 2y2-y-5=0; D=(-1)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-5)=1+40=41; D>0, уравнение имеет два корня: y1,2=
1 ± 41 1 ± 41 = ; 2⋅2 4
е) 16x2-8x+1=0; D1=42-16 ⋅ 1=0; D=0 – один корень: x=
4± 0 1 = . 16 4
№537. a) x2-11x+31=1; x2-11x+30=0; D=11-4 ⋅ 1 ⋅ 30=121-120=1; x=
11 ± 1 11 ± 1 ; = 2 ⋅1 2
www.5balls.ru
11 − 1 =5; 2 11 + 1 =6; x2= 2
x1=
б) x2-5x-3=2x-5; x2-7x+2=0; D=7-4 ⋅ 1 ⋅ 2=49-8=41; x=
7 ± 41 ; 2
x1=
7 − 41 ; 2
x2=
7 + 41 ; 2
в) 7x+1=3x2-2x+1; 3x2-9x=0; 3x(x-3)=0; 1) 3x=0; x=0; 2) x-3=0; x=3; г) –2x2+5x+6=4x2+5x; 6x2-6=0; 6(x2-1)=0; x2-1=0; x2=1; x1,2= ± 1. №538. a) x2-6x=5x-18; x2-11x+18=0; D=11-4 ⋅ 1 ⋅ 18=121-72=49; 11 ± 49 11 ± 7 = ; 2 2 11 − 7 =2; x1= 2 11 + 7 =9; x2= 2
x=
б) 3x2-4x+3=x2+x+1; 2x2-5x+2=0; D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 2=25-16=9; 5± 9 5±3 ; = 2⋅2 4 5+3 =2; x1= 4 5−3 1 x2= = . 4 2
x=
www.5balls.ru
№539. a) 3x2-14x+16=0; D1=72-3 ⋅ 16=1; 7 ± 1 7 ±1 ; = 3 3 7 +1 2 =2 ; x1= 3 3 7 −1 =2; x2= 3
x=
б) 5x2-16x+3=0; D1=82-5 ⋅ 3=49; 8 ± 49 8 ± 7 ; = 5 5 8+7 =3; x1= 5 8−7 1 = =0,2; x2= 5 5
x=
в) x2+2x-80=0; D1=12-1 ⋅ (-80)=81; x=
− 1 ± 81 --1 ± 9; 1
x1=-1-9=-10; x2=-1+9=8; г) x2-22x-23=0; D1=112-1 ⋅ (-23)=144; x=
11 ± 144 =11 ± 12; 1
x1=11+12=23; x2=11-12=-1; д) 4x2-36x+77=0; D1=182-4 ⋅ 77=16; 18 ± 16 18 ± 4 ; = 4 4 18 + 4 22 =5,5; = x1= 4 4 18 − 4 14 7 = = =3,5; x2= 4 4 2
x=
е) 15y2-22y-37=0; D1=112-15 ⋅ (-37)=676; y=
11 ± 676 11 ± 26 ; = 15 15
www.5balls.ru
11 + 26 7 =2 ; 15 15 11 − 26 =-1; y2= 15
y1=
ж) 7z2-20z+14=0; D1=102-7 ⋅ 14=2; z1,2=
10 ± 2 ; 7
з) y2-10y-25=0; D1=52-1 ⋅ (-25)=50; y1,2=
5 ± 50 =5 ± 2 ⋅ 25 =5 ± 5 2 . 1
№540. a) 8x2-14x+5=0; D1=72-8 ⋅ 5=9; 7± 9 7±3 ; = 8 8 7+3 1 x1= =1 ; 8 4 7−3 1 x2= = ; 8 2
x=
б) 12x2+16x-3=0; D1=82-12 ⋅ (-3)=100; − 8 ± 100 − 8 ± 10 ; = 12 12 −8 + 10 1 = ; x1= 12 6 −8 − 10 1 x2= = −1 ; 12 2 в) 4x2+4x+1=0; D1=22-4 ⋅ 1=0;
x=
−2± 0 2 1 =− =− ; 4 4 2 г) x2-8x-84=0; D1=42-1 ⋅ (-84)=100; 4 ± 100 =4 ±10 ; x= 1
x=
x1=4+10=14; x2=4-10=-6; д) x2-6x-19=0; D1=32-1 ⋅ (-19)=28;
www.5balls.ru
− 3 ± 28 =-3 ± 4 ⋅ 7 =-3 ± 2 7 ; 1 е) 5x2+26x-24=0; D1=132-5 ⋅ (-24)=289; − 13 ± 289 − 13 ± 17 = ; x= 5 5 −13 + 17 4 x1= = ; 5 5 −13 − 17 =-6; x2= 5 ж) x2-34x+289=0; D1=172-1 ⋅ 289=0; 17 ± 0 =17; x= 1 з) 3x2+32x+80=0; D1=162-3 ⋅ 80=16;
x1,2=
− 16 ± 16 − 16 ± 4 ; = 3 3 −16 + 4 =-4; x1= 3 −16 − 4 2 = −6 . x2= 3 3
x=
№541. a) 2x2-5x-3=0; D=52-4 ⋅ 2 ⋅ (-3)=49; 5 ± 49 5 ± 7 ; = 2⋅2 4 5−7 =-0,5; x1= 4 5 + 7 12 =3; = x2= 4 4
x=
б) 3x2-8x+5=0; D1=42-3 ⋅ 5=1;
4 ±1 ; 3 4 +1 2 =1 ; x1= 3 3 4 −1 =1; x2= 3
x=
в) 5x2+9x+4=0; D=92-4 ⋅ 5 ⋅ 4=1;
www.5balls.ru
−9 ± 1 ; 10 −9 + 1 =-0,8; x1= 10 −9 − 1 =-1; x2= 10
x=
г) 36y2-12y+1=0; D1=62-36 ⋅ 1=0; y=
6 1 = ; 36 6
д) 3t2-3t+1=0; D=32-4 ⋅ 3 ⋅ 1=-3 – корней нет; е) x2+9x-22=0; D=92-4 ⋅ 1 ⋅ (-22)=169; − 9 ± 169 − 9 ± 13 ; = 2 2 −9 + 13 =2; x1= 2 −9 − 13 22 =-11; =− x2= 2 2
x=
ж) y2-12y+32=0; D1=62-1 ⋅ 32=4; y=
6± 4 =6 ± 2; 1
y1=6+2=8; y2=6-2=4; з) 100x2-160x+63=0; D1=802-63 ⋅ 100=100; 80 ± 100 80 ± 10 ; = 100 100 80 − 10 70 =0,7; x1= = 100 100 80 + 10 90 =0,9. x2= = 100 100
x=
№542. a) 5x2=9x+2; 5x2=9x-2=0; D=92-4 ⋅ 5 ⋅ (-2)=121; 9 ± 121 9 ± 11 = ; 5⋅ 2 10 9 − 11 =-0,2; x1= 10
x=
www.5balls.ru
x2=
9 + 11 =2; 10
б) –x2=5x-14; x2+5x-14=0; D=52-4 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ (-14)=81; x=
− 5 ± 81 − 5 ± 9 = ; 2 2
−5 + 9 =2; 2 −5 − 9 =-7; x2= 2
x1=
в) 6x+9=x2; x2-6x-9=0; D1=32-1 ⋅ (-9)=18; x1,2=
3 ± 18 = 3± 9⋅2 = 3± 3 2 ; 1
г) z-5=z2-25; z2-z-20=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-20)=81; z=
1 ± 81 1 ± 9 ; = 2 2
1+ 9 =5; 2 1− 9 =-4; z2= 2
z1=
д) y2=52y-576; y2-52y+576=0; D1=262-1 ⋅ 576=100; y=
26 ± 100 = 26 ± 10 ; 1
y1=26+10=36; y2=26-10=16; е) 15y2-30=22y+7; 15y2-22y-37=0; D1=112-15 ⋅ (-37)=676; 11 ± 676 11 ± 26 = ; 15 15 11 − 26 =-1; y1= 15 11 + 26 7 =2 ; y2= 15 15
y=
ж) 25p2=10p-1; 25p2-10p+1=0; D1=52-1 ⋅ 25=0; p=
5 1 = ; 25 5
з) 299x2+10x=500-101x2; 400x2+100x-500=0; 4x2+x-5=0;
www.5balls.ru
D=12-4 ⋅ 4 ⋅ (-5)=81; x=
− 1 ± 81 − 1 ± 9 ; = 2⋅4 8
−1 + 9 =1; 8 −1 − 9 =-1,25. x2= 8
x1=
№543. a) 25=26x-x2; x2-26x+25=0; D1=132-1 ⋅ 25=144; x=
13 ± 144 = 13 ± 12 ; 1
x1=13+12=25; x2=13-12=1; б) 3x2=10-29x; 3x2+29x-10=0; D=292-4 ⋅ 3 ⋅ (-10)=841+120=961; − 29 ± 961 − 29 ± 31 ; = 3⋅ 2 6 −29 + 31 1 x1= = ; 6 3 −29 − 31 =-10; x2= 6
x=
в) y2=4y+96; y2-4y-96=0; D1=22-1 ⋅ (-96)=100; y=
2 ± 100 = 2 ± 10 ; 1
y1=2+10=12; y2=2-10=-8; г) 3p2+3=10p; 3p2-10p+3=0; D1=52-3 ⋅ 3=16; p=
5 ± 16 5 ± 4 = ; 3 3
5−4 1 = ; 3 3 5+ 4 =3; p2= 3
p1=
д) x2-20x=20x+100; x2-40x-100=0; D1=202-1 ⋅ (-100)=500;
www.5balls.ru
x1,2=
20 ± 500 = 20 ± 5 ⋅ 100 = 20 ± 10 5 ; 1
е) 25x2-13x=10x2-7; 15x2-13x+7=0; D=132-4 ⋅ 15 ⋅ 7=169-420=-251<0 – у уравнения нет корней. №544. a) (2x-3)(5x+1)=2x+
2 2 ; 10x2+2x-15x-3-2x- =0; 5 5
2 =0; 50x2-75x-17=0; 5 D=752-4 ⋅ 50 ⋅ (-17)=5625+3400=9025;
10x2-15x-3
75 ± 9025 75 ± 95 = ; 2 ⋅ 50 100 75 − 95 −20 =-0,2; x1= 100 10 75 + 95 170 =1,7; = x2= 100 100
x=
б) (3x-1)(x+3)=x(1+6x); 3x2+9x-x-3=x+6x2; 3x2-7x+3=0; D=72-4 ⋅ 3 ⋅ 3=13; x1,2=
7 ± 13 ; 6
1 21 ); x2-1=10x-2 ⋅ ; 2 2 2 2 2 x -1=10x-21; x -10x+20=0; D1=5 -1 ⋅ 20=5;
в) (x-1)(x+1)=2(5x-10
x1,2=5 ± 5 ; г) –x(x+7)=(x-2)(x+2); -x2-7x=x2-4; 2x2+7x-4=0; D=49-2 ⋅ (-4) ⋅ 4=81; x=
− 7 ± 81 − 7 ± 9 = ; 2⋅2 4
−7 + 9 1 = ; 4 2 −7 − 9 =-4. x2= 4
x1=
№545.
www.5balls.ru
a) (x+4) 2=x+40; x2+8x+16-3x-40=0; x2+5x-24=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ (-24)=121; − 5 ± 121 − 5 ± 11 = ; 2 ⋅1 2 −5 + 11 =3; x1= 2 −5 − 11 =-8; x2= 2
x=
б) (2x-3)2=11x-19; 4x2-12x+9-11x+19=0; 4x2-23x+28=0; D=232-4 ⋅ 4 ⋅ 28=81; 23 ± 81 23 ± 9 ; = 8 8 23 − 9 =1,75; x1= 8 23 + 9 =4; x2= 8
x=
в) (x+1)2=7918-2x; x2+2x+1+2x-7918=0; x2+4x=7917=0; D1=22-1 ⋅ (-7917)=4+7917=7921; x=
− 2 ± 7921 =-2 ± 89; 1
x1=-2+89=87; x2=-2-89=-91; г) (x+2)2=3131-2x; x2+4x+4-3131+2x=0; x2+6x-3127=0; D1=9-1 ⋅ (-3127)=9+3127=3136; x=
− 3 ± 3136 = −3 ± 56 ; 1
x1=-3+56=53; x2=-3-56=-59. №546. a) 3(x+4)2=10x+32; 3(x2+8x+16)=10x+32; 3x2+14x+16=0; D1=72-3 ⋅ 16=1; x= x1=
−7 ± 1 ; 3
−7 + 1 =-2; 3
www.5balls.ru
x2=
−7 − 2 2 = −2 ; 3 3
б) 15x2+17=15(x+1)2; 15x2+17=15(x2+2x+1); 15x2+17=15x2+30x+15; 30x-2=0; 2(15x+1)=0; 15x-1=0; x=
1 ; 15
в) (x+1)2=(2x-1)2; x2+2x+1=4x2-4x+1=0; 3x2-6x=0; 3x(x-2)=0; x1=0; x2=2; г) (x-2)2+48=(2-3x)2; x2-4x+4+48=4-12x+9x2; 8x2-8x-58=0; x2-x-6=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25; 1 ± 25 1 ± 5 ; = 1⋅ 2 2 1− 5 =-2; x1= 2 1+ 5 =3. x2= 2
x=
№547. a)
x 2 −1 -11x=11; x2-1-22x=22; 2
x2-22x-23=0; D1=112-1 ⋅ (-23)=144; x=11 ± 144 = 11 ± 12 ; x1=11+12=23; x2=11-12=-1; б)
x 2 + x 8x − 7 x 2 + x 8 x − 7 = − = 0; ; 2 3 2 3
3x2+3x-16x+14=0; 3x2-13x+14=0; D=132-4 ⋅ 3 ⋅ 14-169-168=1; 13 ± 1 ; 6 13 − 1 =2; x1= 6 13 + 1 1 =2 ; x2= 6 3
x=
www.5balls.ru
в)
4x 2 − 1 4x 2 − 1 =x(10x-9); =10x2-9x; 3 3
4x 2 − 1 =0; 30x2-27x-4x2+1=0; 3 26x2-27x+1=0; D=272-4 ⋅ 26 ⋅ 1=729-104=625=252; 27 ± 25 x= ; 52 27 + 25 =1; x1= 52 27 − 25 1 ; x2= = 52 26 3 2 4 3 3 2 4 3 г) x2- x= x2+ ; x2- x- x2- =0; 4 5 5 4 4 5 5 4
10x2-9x-
15x2-8x-16x2-15=0; x2+8x+15=0; D1=42-1 ⋅ 15=1; x=
−4 ± 1 ; 1
x1=-4+1=-3; x2=-4=1=-5. №548. a) 5x2-x-1=0; D=12-4 ⋅ 5 ⋅ (-1)=21; 1 ± 21 1 ± 21 1 ± 4б58 = ≈ ; 2⋅5 10 10 1 + 4,58 5,58 x1 ≈ = = 0,558 ≈ 0,56 ; 10 10 1 − 4,58 3,58 =− = −0,358 ≈ −0,36 ; x2 ≈ 10 10 2 б) 2x +7x+4=0; D=72-4 ⋅ 2 ⋅ 4=17;
x=
− 7 ± 17 − 7 ± 17 − 7 ± 4,12 = ≈ ; 2⋅2 4 4 11,12 −7 − 4,12 x1 ≈ =− = −2,78 ; 4 4 −7 + 4,12 −2,88 x2 ≈ = = −0,72 ; 4 4
x=
в) 3(y2-2)-y=0; 3y2-y-6=0; D=12-4 ⋅ 3 ⋅ (-6)=1+72=73;
www.5balls.ru
1 ± 73 1 ± 73 1 ± 8,54 ; = ≈ 3⋅ 2 6 6 1 + 8,54 9,54 = = 1,59 ; y1 ≈ 6 6 1 − 8,54 7,54 =− ≈ −1,26 ; y2 ≈ 6 6
y=
г) y2+8(y-1)=3; y2+8y-8-3=0; y2+8y-11=0; D1=16-1 ⋅ (-11)=27; − 4 ± 27 ≈ −4 ± 5,20 ; 1 y1 ≈ −4 − 5,20 = −9,20 ; y2 ≈ −4 + 5,20 = 1,20 .
y=
№549. a) x2-8x+9=0; D1=42-1 ⋅ 9=7; x= 4 ± 7 ≈ 4 ± 2,65 ; x1 ≈ 4 + 2,65 = 6,65 ; x2 ≈ 4 − 2,65 = 1,35 ; б) 2y2-8y+5=0; D1=42-2 ⋅ 5=6; y=
4 ± 6 4 ± 2,45 ; ≈ 2 2
4 + 2,45 6,45 = ≈ 3,22 ; 2 4 4 − 2,45 1,55 y2 ≈ = ≈ 0,78 . 2 2
y1 ≈
№550. a) 0,7x2=1,3x+2; 0,7x2-1,3x-2=0; D=1,32-4 ⋅ 0,7 ⋅ (-2)=1,69+5,6=7,29; x=
1,3 ± 7,29 1,3 ± 2,7 = ; 2 ⋅ 0,7 1,4
x1=
1,3 + 2,7 4 20 6 = = =2 ; 1,4 1,4 7 7
x2=
1,3 − 2,7 −1,4 = = −1 ; 1,4 1,4
б) 7=0,4y+0,2y2; 0,2y2+0,4y-7=0; D1=0,22-0,2 ⋅ (-7)=1,44;
www.5balls.ru
y=
− 0,2 ± 1,44 − 0,2 ± 1,2 = ; 0,2 0,2
y1=
−0,2 + 1,2 1 =5; = 0,2 0,2
y2=
−0,2 − 1,2 −1,4 =-7; = 0,2 0,2
в) x2-1,6x-0,36=0; D1=0,82-1 ⋅ (-0,36)=1; x=
0,8 ± 1 = 0,8 ± 1 1
x1=0,8+1=1,8; x2=0,8-1=-0,2; г) z2-2z+2,91=0; D1=12-1 ⋅ 2,91=-1,91; D>0 – у уравнения нет корней; д) 0,2y2-10y+125=0; D1=52-0,2 ⋅ 125=0; y=
5±0 10 =5 ⋅ =25; 0,2 2
е)
1 2 1 x +2x-9=0; D1=12- ⋅ (-9)=4; 3 3
x=
−1± 4 −1± 2 =-3 ± 6; = 1 1 3 3
x1=-3+6=3; x2=-3-6=-9. №551. a)
1 2 x =2x-7; x2-14x+49=0; D1=72-1 ⋅ 49=0; x=7; 7
б) x2+1,2=2,6x; x2-2,6x+1,2=0; D1=1,32-1 ⋅ 1,2=1,69-1,2=0,49; x=
1,3 ± 0,49 = 1,3 ± 0,7 ; 1
x1=1,3+0,7=2; x2=1,3-0,7=0,6; в) 4x2=7x+7,5; 4x2-7x-7,5=0; D=72-4 ⋅ 4 ⋅ (-7,5)=49+120=169; x=
7 ± 169 7 ± 13 = ; 4⋅2 8
www.5balls.ru
7 − 13 =-0,75; 8 7 + 13 =2,5. x2= 8
x1=
№552. a) 3a+0,6=9a2+0,36; 9a2-3a-0,24=0; D=32-4 ⋅ 9 ⋅ (-0,24)=9+8,64=17,64; 3 ± 17,64 3 ± 4,2 = ; 2⋅9 18 3 + 4,2 2 = ; a1= 18 5 3 − 4,2 −1,2 1 = =− ; a2= 18 18 15 2 1 Ответ: ; - ; 5 15
a=
б) 0,4a+1,2=0,16a2+1,44; 0,16a2-0,4a-1,2+1,44=0; 0,04a2-0,1a+0,06=0; D=0,12-4 ⋅ 0,04 ⋅ 0,06=0,01-0,0096=0,0004; a=
0,1 ± 0,0004 0,1 ± 0,02 = ; 2 ⋅ 0,04 0,08
a1=
0,1 + 0,02 0,12 =1,5; = 0,08 0,08
a2=
0,1 − 0,02 0,08 =1. = 0,08 0,08
Ответ: 1,5; 1. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №553. x +1 x −1 2 − − = 2x − 2 2x + 2 1 − x 2 x +1 x −1 2 = − + = 2( x − 1) 2( x + 1) ( x − 1)( x + 1)
a)
www.5balls.ru
=
( x + 1) 2 − ( x − 1) 2 + 4 x 2 + 2 x + 1 − ( x 2 − 2x + 1) + 4 = = 2( x − 1)( x + 1) 2( x − 1)( x + 1)
=
4x + 4 4( x + 1) 2 ; = = 2( x − 1)( x + 1) 2( x − 1)( x + 1) x − 1
Подставим х=-0,5: 1 2 2 2 20 4 = = =− = − = −1 ; x − 1 − 0,5 − 1 − 1,5 15 3 3
б)
2a − 1 2 2 2 a = a − 2a + 1 : 1 − a = (a − 2a + 1)3a = 3(1 − a ) = 3(1 − a ) ; 1− a a 3a a (1 − a ) 1− a 3a
a−
Подставим a=-1,5: 3 ⋅ (1-a)=3 ⋅ (1-(-1,5))=3 ⋅ (1+1,5)=3 ⋅ 2,5=7,5. №554.
( 21 +
a)
)
14 − 2 35 ⋅
7 + 20 = 7
21 ⋅ 7 + 7
14 ⋅ 7 2 35 ⋅ 7 7 3 7 2 2⋅7 5 − + 20 = + − +2 5 = 7 7 7 7 7
+
= 3+ 2 −2 5 = 3 + 2 ;
б)
( 5+
3 − 15
)( 5 − 3 )+
75 = 5 ⋅ 5 +
3 ⋅ 5 − 15 ⋅ 5 − 3 ⋅ 5 − 3 ⋅ 3 + 15 ⋅ 3 + 75 =
=5-5 3 -3+3 5 +5 3 =2+3 5 . №555. a) Приравняем правые части обоих уравнений: 7x-1=2x; 1 5
1 5
7x-2x-1=0; 5x-1=0; 5x=1; x= ; y=2x=2 ⋅ = y=
2 ; 5
2 1 2 ; ; - искомая точка; 5 5 5
б) Приравняем правые части обоих уравнений: 3x-11=4; 3x=4+11; 3x=15; x=5; y=4; (5;4) – искомая точка.
www.5balls.ru
22. Решение задач с помощью квадратных уравнений №556. Пусть n и (n+6) – данные натуральные числа. По условию, произведение этих чисел равно187. Составим уравнение: n(n+6)=187; n2+6n-187=0; D1=32-1 ⋅ (-187)=9+187=196; n=
− 3 ± 196 =-3 ± 14; 1
n1=-3-14=-17 (не подходит, поскольку не натуральное); n2=-3+14=11; тогда n+6=11+6=17. Ответ: 11, 17. №557. Пусть x и (x-2) – данные числа. По условию, их произведение равно120. Составим уравнение: x(x-2)=120; x2-2x=120; x2-2x-120=0; D1=12-1 ⋅ (-120)=1+120=121; x=
1 ± 121 =1 ±11 ; 1
1) x1=1+11=12, x-2=10; 2) x2=1-11=-10, x-2=-12. Обе пары чисел удовлетворяют условию задачи. Ответ: 1) 12 и 10; 2) –10 и –12. №558. Пусть x см и (x+4) см соответственно – ширина и длина прямоугольника. По условию задачи площадь S=60 см2. Составляем уравнение: x(x+4)=60; x2+4x-60=0; D1=22-1 ⋅ (-60)=64; x=
− 2 ± 64 = −2 ± 8 ; 1
x1=-2+8=6; x2=-2-8=-10 – не подходит. Значит x+4=10; периметр P=2 ⋅ (6+10)=32 (см). Ответ: 32 см. №559.
www.5balls.ru
Пусть x м и (x+10) м– ширина и длина участка. Площадь участка по условию задачи равна 1200 м2. Составляем уравнение: x(x+10)=1200; x2+10x-1200=0; D1=52-1 ⋅ (-1200)=1225; x=-5 ± 1225 =-5 ± 35; x1=-5-35=-40 – не подходит; x2==-5+35=30; Значит x+10=40, а длина изгороди, т.е. периметр участка P=2 ⋅ (30+40)=140 м. Ответ: 140 м. №560. Пусть a м и b м– длина и ширина прямоугольника. Периметр прямоугольника по условию равна 62 м, а его площадь – 120 м2. Так как P=2(a+b), S=ab, то получаем систему уравнений: 62 = 2(a + b), 210 = ab;
a = 31 − b, 210 = (31 − b)b; a = 31 − b, 2 b − 31b + 210 = 0;
31 = a + b, 210 = ab;
a = 31 − b, 31b − b 2 − 210 = 0;
Решим второе уравнение:
D=312-4 ⋅ 1 ⋅ 210=961-840=121; b=
31 ± 121 31 ± 11 ; = 2 2
31 + 11 =21; значит, a1=31-b1=10; 2 31 − 11 =10; значит a2=31-b2=21. b2= 2
b1=
Ответ: 21 м, 10 м. №561. Пусть катеты данного треугольника равны a см и b см. Сумма катетов по условию равна 23 см, т.е. a+b=23, а площадь треугольника равна 60 см2, т.е.
1 ab=60. Получаем систему 2
уравнений: a + b = 23, ab = 120;
a = 23 − b, (23 − b)b = 120;
a = 23 − b, 2 b − 23b + 120 = 0;
www.5balls.ru
Решаем второе уравнение: D=232-4 ⋅ 1 ⋅ 120=529-480=49; b=
23 ± 49 23 ± 7 = ; 2 2
b1=15; значит a1=23-b1=8; b2=8; значит a2=23-b2=15. Ответ: 8 см и 15 см. №562. Пусть n и (n+1) – данные натуральные числа. Произведение этих чисел по условию больше их суммы на 109. Составляем уравнение: n(n+1)-109=n+(n+1); n2+n-109=n+n+1; n2-n-110=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-110)=441; n=
1 ± 441 1 ± 21 = ; 2 2
1 + 21 =11; 2 1 − 21 =-10; - не подходит, т.к. не натуральное. Значит n=11, n2= 2
n1=
n+1=12. Ответ: 11, 12. №563. Пусть x см и (х+3) см – ширина и длина оставшейся части листа, тогда длина стороны квадрата будет равна (х+3) см. Площадь прямоугольной части листа по условию задачи равна 70 см2. Составляем уравнение: х(х+3)=70; х2+3х-70=0; D=32-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=289; x=
− 3 ± 289 − 3 ± 17 = ; 2 2
−3 + 17 =7; значит х+3=10. 2 −3 − 17 =-10 – не подходит, т.к. длина не может быть x2= 2
x1=
отрицательной. Ответ: 10 см. №564.
www.5balls.ru
Пусть х см и (х+120) см – сторона квадрата и длина доски прямоугольной формы.
х см
120 см
Площадь доски прямоугольной формы по условию задачи равна 4500 см2. Составляем уравнение: х(х+120)=4500; х2+120х-4500=0; D1=602-1 ⋅ (-4500)=3600+4500=8100; x=
− 60 ± 8100 =-60 ± 90; 1
x1=-60+90=30; x2=-60-90=-150 – не подходит, т.к. –150<0. Ответ: 30 см. №565. Пусть х см и (х+14) см – ширина и длина прямоугольника.
х см
34 см
(х+14) см Воспользуемся теоремой Пифагора: x2+(x+14) 2=342; x2+x2+28x+196=1156; 2x2+28x-960=0; x2+14x-480=0; D1=72-1 ⋅ (-480)=49+480=529; x=
− 7 ± 529 =-7 ± 23; 1
x1=-7-23=-30 – не подходит;
www.5balls.ru
x2=-7+23=16; значит х+14=30. Ответ: 16 см и 30 см. №566. Обозначим за х см - длину гипотенузы, тогда (х-3) см и (х-6) см – длины катетов. Составляем уравнение, исходя из теоремы Пифагора: x2=(x-3) 2+(x-6) 2; x2=x2-6x+9+x2-12x+36; x2-18x+45=0; D1=92-1 ⋅ 45=81-45=36; x=9 ± 36 = 9 ± 6 ; x1=15; x2=3 – не подходит. Ответ: 15 см. №567. Обозначим за х и (х+8) количество рядов и количество мест в ряду. По условию в кинотеатре 884 места. Составим уравнение: х(х+8)=884; x2+8x-884=0; D1=42-1 ⋅ (-884)=16+884=900=302; x=-4 ± 30; x1=-4+30=26; x2=-4-30=-34 – не подходит. Ответ: 26. №568. Пусть n, (n+1) и (n+2) – данные целые числа. Сумма их квадратов по условию задачи равна 869. Составим уравнение: n2+(n+1) 2+(n+2) 2=869; n2+n2+2n+1+n2+4n+4=869; 3n2+6n-864=0; n2+2n-288=0; D1=12-1 ⋅ (-288)=289; n=-1 ± 289 = −1 ± 17 ; n1=-1-17=-18; значит n+1=-17; n+2=-16; n2=-1+17=16; значит n+1=17, n+2=18. Ответ:-18, -1, -16; или 16, 17, 18. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №569.
www.5balls.ru
a) б)
8a 3 − 27 9 − 12a + 4a
2
=
(2a − 3)(4a 2 + 6a + 9) ( 2a − 3)
2
=
4a 2 + 6a + 9 ; 2a − 3
ax − 2 x − 4a + 8 x (a − 2) − 4(a − 2) (a − 2)( x − 4) x − 4 . = = = 3a − 6 − ax + 2 x 3(a − 2) − x (a − 2) (a − 2)(3 − x ) 3 − x
№570.
( a + b) −b = ( a + 2
a)
2 ab + 2b + 1
b+ b
)( a +
b− b
2 ab + 2b + 1
)=
( a + 2 b ) a ; подставляем a=5 и b=2 и находим: 2 ab + 2b + 1
( a + 2 b) a = ( 5 + 2 2) 5 2 ab + 2b + 1
2 5⋅ 2 + 2 ⋅ 2 +1
( )=1; 5 (2 2 + 5 ) ( x − y ) + 4 xy = x − 2 б)
=
(
5 5 +2 2
)
2 5⋅ 2 + 5⋅ 5
=
5 5+2 2
2
x + xy + 1
x + 2 xy + y x + xy + 1 x + 2 xy + y x + xy + 1
xy + y + 4 xy x + xy + 1
=
; подставляем х=4 и y=6 и находим: =
4 + 2 4⋅6 + 6 4 + 4 ⋅ 6 +1
=
10 + 2 ⋅ 2 6 5+2 6
=
(
25+2 6 5+2 6
№571. a)
х ( х − 3) х − =0; 6 2
x(x-3)-3x=0; x2-6x=0; x(x-6)=0; 1) x1=0; 2) x-6=0; x2=6; б)
х ( х + 1) 8 + х х ( х + 1) 8 + х 2 + = 2 ; 12 + = ⋅ 12 ; 3 4 3 4 1
www.5balls.ru
)= 2.
12 х ( х + 1) 12(8 + х ) + = 24 ; 3 4
4x(x+1)+3(8+x)=24; 4x2+4x+24+3x=24; 4x2+7x=0; x(4x+7)=0; x1=0; 4x2+7=0; 4x2=-7; x2=-
7 3 = −1 . 4 4
№572. Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям: 1) y=0; 13x-2,6=y; 13x=2,6; x=
2,6 =0,2; (0,2;0); 13
Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям: 2) x=0; y=13 ⋅ 0-2,6; y=-2,6; (0;-2,6). Ответ: (0,2;0); (0;-2,6).
www.5balls.ru
21. Теорема Виета №573. a) x2-37x+27=0; D=372-4 ⋅ 1 ⋅ 27=1369-108=1261; D>0, значит, уравнение имеет два корня; x1+x2=37; x1 ⋅ x2=27; б) y2+41y-371=0; D=412-4 ⋅ 1 ⋅ (-371)=1681+1484=3165; D>0, значит, уравнение имеет два корня. По теореме Виета: y1+y2=-41; y1-y2=-371; в) x2-210x=0; x1+x2=210; x1 ⋅ x2=0; г) y2-19=0; y1+y2=0; y1 ⋅ y2=-19; 2x 2 9 10 − x − =0; 2 2 2
д) 2x2-9x-10=0; 9 2
2
D= -4 ⋅ 1 ⋅ (-5)=
81 161 +20= >0, значит, уравнение имеет 2 корня. 4 4
По теореме Виета: x1+x2=
9 ; x1 ⋅ x2=-5; 2
е) 5x2+12x+7=0; x2+ 6 5
2
D1= −
12 7 x+ =0; 5 5
7 36 35 1 = − = ; 5 25 25 25
По теореме Виета: x1+x2=-
12 =-2,4; x1 ⋅ x2=1,4; 5
ж) –z2+z=0; z2-z=0; z1+z2=1; z1 ⋅ z2=0; з) 3x2-10=0; x2-
10 =0; 3
Уравнение имеет 2 корня и по теореме Виета: x1+x2=0; x1 ⋅ x2=-
10 . 3
№574. a) x2-2x-9=0; D1=12-1 ⋅ (-9)=10; x=1 ± 10 ; x1=1- 10 ; x2=1+ 10 . Произведем проверку:
www.5balls.ru
x1+x2=1- 10 +1+ 10 =2; x1 ⋅ x2=(1- 10 )(1+ 10 )=1-10=-9; 4 3
4 =0; 3
б) 3x2-4x-4=0; x2- x − 4 3
2
4 3
D= -4 ⋅ 1 ⋅ − =
16 16 16 + 48 64 ; + = = 9 3 9 9
4 64 4 8 ± ± 9 = 3 3; x= 3 2 2 4 8 + 1 12 4 x1= 3 3 = ⋅ = =2; 2 2 3 2 4 8 − 1 4 4 2 x2= 3 3 = − = − = − . 2 2 3 6 3
Произведем проверку: 2 3
x1+x2=2+ − =
4 ; 3
2 3
x1 ⋅ x2=2 ⋅ − = −
4 ; 3
в) 2x2+7x-6=0; x2+
7 x-3=0; 2
7 2
2
D= -4 ⋅ 1 ⋅ (-3)= −
x=
7 97 7 97 ± − ± 2 4 = 2 2 ; 2 2
−
7 97 + 2 2 = − 7 + 97 ; 2 4
−
7 97 − 2 2 = − 7 − 97 . 2 4
x1=
x2=
49 12 49 + 48 97 ; + = = 4 1 4 4
Произведем проверку:
www.5balls.ru
− 7 + 97 − 7 − 97 7 97 7 97 14 7 + =− + − − =− =− ; 4 4 4 4 4 4 4 2 − 7 + 97 − 7 − 97 ⋅ = − 97 + 7 ⋅ 97 − 7 = x 1 ⋅ x 2= 4 4 4 4
x1+x2=
( 97 ) − 7 − 2
97 − 49 48 =− = −3 ; 16 16 16 9 г) 2x2+9x+8=0; x2+ x+4=0; 2 9 2
2
=−
2
D= -4 ⋅ 1 ⋅ 4= −
x=
81 81 − 64 17 -16= ; = 4 4 4
9 17 ± 2 4 = − 9 ± 17 . 2 4
x1=
− 9 + 17 ; 4
x2=
− 9 − 17 . 4
Произведем проверку: − 9 + 17 − 9 − 17 + = 4 4 − 9 + 17 − 9 − 17 ⋅ x 1 ⋅ x 2= 4 4
x1+x2=
17 − 9 =− × 4
( 17 ) − 9 2
16
2
=−
− 9 + 17 − 9 − 17 18 9 =− =− ; 4 4 2 17 + 9 = − × 4 17 − 81 =4. 16
№575. a) x2-15x-16=0; D=152-4 ⋅ 1 ⋅ (-16)=225+64=289; 15 ± 289 15 ± 17 = ; 2 2 15 + 17 =16; x1= 2 15 − 17 =-1. x2= 2
x=
www.5balls.ru
Произведем проверку: x1+x2=16+(-1)=15; x1 ⋅ x2=16 ⋅ (-1)=-16; б) x2-6x-11=0; D1=32-1 ⋅ (-11)=20; x= 3 ± 20 = 3 ± 2 5 ; x1=3+2 5 ; x2=3-2 5 . Произведем проверку: x1+x2=3+2 5 +3-2 5 =6; x1 ⋅ x2=(3+2 5 )(3-2 5 )=32-(2 5 )2=9-20=-11; в) 12x2-4x-1=0; x2-
4 1 1 1 x- =0; x2- x- =0; 12 12 3 12 1 3
2
1 1 1 4 = + = ; 12 9 3 9
D= -4 ⋅ 1 ⋅ −
1 4 1 2 ± ± 3 9 x= = 3 3 ; 2 2 1 2 + 1 x1= 3 3 = ; 2 2 1 2 1 − − 1 x2= 3 3 = 3 = − . 2 2 6
Произведем проверку: x1+x2=
1 1 1 1 1 + − = − = ; 2 6 2 6 3 1 1 2 6
x 1 ⋅ x 2= ⋅ − = −
(
)(
1 ; 12
)
г) x2-6=0; x − 6 x + 6 =0; 1) x- 6 =0; x= 6 ; 2) x+ 6 =0; x=- 6 Произведем проверку: x1+x2= 6 - 6 =0; x1 ⋅ x2= 6 ⋅ (- 6 )=-6;
www.5balls.ru
д) 5x2-18x=0; x(5x-18)=0; 1) x1=0; 2) 5x-18=0; 5x=18; x2=
18 3 =3 . 5 5
Произведем проверку: 3 3 5 5 3 x1 ⋅ x2=0 ⋅ 3 =0; 5 41 е) 2x2-41=0; x2- =0; 2 x − 41 x + 41 =0; 2 2
x1+x2=0+ 3 = 3 ;
1) x-
41 41 =0; x1= ; 2 2
2) x+
41 41 =0; x2=. 2 2
Произведем проверку: x1+x2=
41 41 =0; 2 2
x 1 ⋅ x 2=
41 41 41 =- . ⋅ − 2 2 2
№576. a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-9х+20=0, тогда х1+х2=9; х1 ⋅ х2=20, откуда х1=2; х2=5. б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+11х-12=0, тогда х1+х2=-11; х1 ⋅ х2=-12, откуда подберем х1=1; х2=-12. в) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+х-56=0, тогда х1+х2=-1; х1 ⋅ х2=-56, откуда подберем х1=7; х2=-8. г) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-19х+88=0, тогда х1+х2=19; х1 ⋅ х2=88, откуда подберем х1=11; х2=8. №577.
www.5balls.ru
a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+16х+63=0, тогда х1+х2=-16; х1 ⋅ х2=63, откуда х1=-7; х2=-9. б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+2х-48=0, тогда х1+х2=-2; х1 ⋅ х2=-48, откуда подберем х1=6; х2=-8. №578. Поскольку x1=7, то (по теореме Виета): х1 ⋅ х2=-35, 7 ⋅ х2=-35; х2=-5. х1+х2=7+(-5)=2; р=-2. Ответ: х2=-5, р=-2. №579. Поскольку x1=12,5, то (по теореме Виета): х1+х2=13; х1 ⋅ х2=q; 12,5+х2=13; х2=13-12,5=0,5; q=12,5 ⋅ 0,5=6,25. Ответ: х2=0,5, q=6,25. №580. 1 5
24 =0. 5 24 24 24 8 24 3 = ; Поскольку x1=8; то х1 ⋅ х2= ; 8 ⋅ х2= ; х2= : = 5 5 5 1 40 5 3 3 3 1 43 1 =- b; откуда х1+х2=8+ =8 ; 8 =- b; 5 5 5 5 5 5 43 1 43 ⋅ 5 =-43. b=- : =5 5 5 ⋅1 3 Ответ: х2= ; b=-43. 5
5x2+bx+24=0; x2+ bx+
№581. 33 с x+ =0; x2-3,3x+0,1c=0; 10 10 поскольку x1=5,3, то x1+x2=3,3; x1 ⋅ x2=0,1c;
10x2-33x+c=0; x2-
5,3+x2=3,3; x2=3,3-5,3; x2=-2; 5,3 ⋅ (-2)=-10,6=0,1c; c=-106. Ответ: x2=-2; c=-106. №582.
www.5balls.ru
Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения. По условию задачи х1-х2=2, а по теореме Виета получим: х1+х2=12. Затем получим систему уравнений: х1 − х2 = 2, х1 + х2 = 12.
Сложим эти уравнения, получим: 2х1=14, откуда х1=7. Вычтем первое уравнение из второго, получим: 2х2=10, откуда х2=5. Значит, q=x1 ⋅ x2=7 ⋅ 5=35. Ответ: 35. №583. Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения. Тогда имеем систему: х1 − х2 = 6, х1 + х2 = −1.
Находим: 2х1=5, 2х2=-7, т.е. х1=2,5; х2=-3,5. Значит, с=x1 ⋅ x2=2,5 ⋅ -(3,5)=-8,75. Ответ: -8,75. №584. a) 3x2+113x-7=0; x2+
113 7 x- =0; 3 3
D>0, по теореме Виета: x1 ⋅ x2=-
7 <0, следовательно, у уравнения два корня, причем 3
противоположных знаков. б) 5x2-291x-16=0; x2-
291 16 x- =0; 5 5
D>0, по теореме Виета: x1 ⋅ x2=-
16 <0, следовательно, у уравнения два корня, причем 5
противоположных знаков. №585. а) имеет два корня противоположных знаков;
www.5balls.ru
б) имеет два положительных корня; в) не имеет корней; г) имеет два положительных корня; д) не имеет корней; е) имеет два корня противоположных знаков. №586. а) имеет два положительных корня; б) имеет два корня противоположных знаков; в) имеет два положительных корня; г) имеет два корня противоположных знаков; д) имеет два положительных корня; е) имеет два корня противоположных знаков. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №587. а) (3x+1)2=3x+1; 9x2+6x+1=3x+1; 9x2+3x=0; 3x(3x+1)=0; x(3x+1)=0; 1 3
x1=0; 3x2+1=0; 3x2=-1; x2=- ; б) (3x+1)2=3(x+1); 9x2+6x+1=3x+3; 9x2+3x-2=0; D=32-4 ⋅ 9 ⋅ (-2)=81; − 3 ± 81 − 3 ± 9 = ; 2⋅9 18 −3 + 9 1 = ; x1= 18 3 −3 − 9 2 =− ; x2= 18 3
x=
в) (3x+1)2=(2x-5)2; 9x2+6x+1=4x2-20x+25; 5x2+26x-24=0; D1=132-5 ⋅ (-24)=169+120=289; − 13 ± 289 − 13 ± 17 = 5 5 −13 + 17 4 x1= = ; 5 5
x=
www.5balls.ru
x2=
−13 − 17 = −6 ; 5
г) (3x+4)2=4(x+3); 9x2+24x+16=4x+12; 9x2+20x+4=0; D1=102-4 ⋅ 9=64; − 10 ± 64 − 10 ± 8 = 9 9 −10 + 8 2 x1= =− ; 9 9 −10 − 8 = −2 ; x2= 9
x=
д) 4(x+3)2=2x+6); 4(x+3)2=(2x+6)(2x+6); 4(x+3)2=2 ⋅ 2(x+3)2; 4(x+3)2=4(x+3)2 при любом х; е) (6x+3)2=(x-4)2; 36x2+36x+9=x2-8x+16; 35x2+44x-7=0; D1=222-35 ⋅ (-7)=484+245=729; − 22 ± 729 − 22 ± 27 = 35 35 −22 + 27 5 1 x1= = = ; 35 35 7 −22 − 27 49 2 =− = −1 ; x2= 35 35 5
x=
№588. Обозначим за (8х) м – первый катет треугольника, (15х) м – второй катет. По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен сумме длин квадратов катетов. Запишем уравнение: (8х)2+(15х)2=6,82; 64х2+225х2=46,24; 289х2=46,24; х2=
46,24 =0,16; х= ± 0,16 ; 289
х1= 0,16 =0,4; тогда 8х=8 ⋅ 0,4=3,2 м – длина первого катета, 15х=15 ⋅ 0,4=6 м – длина второго катета. х2=- 0,16 =-0,4 не подходит, так как длина катета не может быть меньше нуля. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов: S= Ответ: 9,6 м2.
www.5balls.ru
3,2 ⋅ 6 19,2 =9,6 (м2). = 2 2
№589. Обозначим за (12х) см – длину неизвестного катета, (13х) см – длину гипотенузы. По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен сумме длин квадратов катетов. Запишем уравнение: (13х)2=(12х)2+152; 169х2=144х2+225; 25х2=225; х2=9; х= ± 9 ; х1=3; х2=-3 – не подходит, так как длина катета не может быть меньше нуля. 13х=3 ⋅ 13=39 см – длина гипотенузы, 12х=3 ⋅ 12=36 см – длина искомого катета. Найдем периметр: Р=15+39+36=90 см. Ответ: 90 см.
§ 10. Дробные рациональные уравнения 24. Решение дробных рациональных уравнений №590. a)
y2 y ; = y+3 y+3
y2 y − =0; y+3 y+3
y2 − y = 0 ; y2-y=0; y(y-1)=0; y+3
y1=0; y2-1=0; y2=1; Оба корня не обнуляют знаменатель. б)
x2 x −4 2
=
5x − 6 x −4 2
;
x2 x −4 2
−
5x − 6 x2 − 4
=0;
x2 − 5x + 6
= 0 ; x2-5x+6=0; x2 − 4 D=52-4 ⋅ 1 ⋅ 6=25-24=1; 5 ± 1 5 ±1 ; = 2 2 5 +1 = 3; x1= 2 5 −1 =2. x2= 2
x=
www.5balls.ru
х=2 не подходит, т.к. при х=2 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень х=3. в)
2x2 − 7x + 6 ; = x−2 2− x
2x2 − 7 x + 6 − =0; x−2 2−x
2x2 7 x − 6 − = 0 ; 2x2-7x+6=0; x−2 x−2 D=72-4 ⋅ 2 ⋅ 6=49-48=1; 7 ± 1 7 ±1 = ; x= 4 4 7 +1 x1= = 2; 4 7 −1 6 3 1 x2= = = =1 . 4 4 2 2
х=2 не подходит, т.к. при х=2 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень х=1 г)
y2 − 6 y 5 ; = y −5 5− y
y2 − 6 y 5 + =0; y −5 y −5
1 . 2
y2 − 6 y 5 − =0; y −5 5− y y2 − 6 y + 5 =0; y −5
y2-6y+5=0;
D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4; y=3 ± 4 =3 ± 2; y1=3+2=5; y2=3-2=1. y=5 не подходит, т.к. при y=5 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень y=1. 2 x − 2 3x + 4 2 x − 2 3x + 4 ; − =0; = x+7 x −1 x+7 x −1 ( 2x − 1)( x − 1) − (3x + 4)( x + 7) =0; ( x + 7)( x − 1)
д)
2 x 2 − 2 x − x + 1 − (3x 2 + 21x + 4 x + 28) =0; ( x + 7)( x − 1)
2x2-3x+1-3x2-25x-28=0; -x2-28x-27=0; x2+28x+27=0; D1=142-1 ⋅ 27=196-27=169; x=-14 ± 169 =-14 ± 13; x1=-14-13=-27; x2=-14+13=-1;
www.5balls.ru
е)
2y + 3 y − 5 =0; − 2 y −1 y + 3
2y + 3 y − 5 ; = 2 y −1 y + 3
(2y+3)(y+3)-(2y-1)(y-5)=0; 2y2+6y+3y+9-(2y2-10y-y+5)=0; 2y2+9y+9-2y2+11y-5=0; 1 5
20y+4=0; 4(5y+1)=0; 5y+1=0; 5y=-1; y=- ; y=-
1 1 является корнем уравнения, т.к. при y=- общий знаменатель 5 5
дробей не обращается в ноль. ж)
5y + 1 y + 2 − = 0; y +1 y
5y + 1 y + 2 ; = y +1 y
y(5y+1)-(y+1)(y+2)=0; 5y2+y-(y2+2y+2+2)=0; 5y2+y-y2-3y-2=0; 4y2-2y-2=0; 2y2-y-1=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-1)=1+8=9; 1± 9 1± 3 = ; 2⋅2 4 1+ 3 =1; y1= 4 1− 3 2 1 y2= =− =− . 4 4 2 1 При y1=1 и y2=- общий знаменатель не обращается в ноль, 2
y=
поэтому оба числа являются корнями уравнения. 1 + 3x 5 − 3x 1 + 3x 5 − 3x ; − =0; = 1 − 2x 1 + 2x 1 − 2x 1 + 2x (1 + 2 x )(1 + 3x ) − (1 − 2 x )(5 − 3x ) = 0; 1 − 4x 2
з)
1+3x+2x+6x2-(5-3x-10x+6x2)=0; 18x-4=0; 2(9x-2)=0; 9x=2; x= x=
2 . 9
2 2 является корнем уравнения, т.к. при x= общий знаменатель 9 9
дробей не обращается в ноль. и)
x − 1 2x − 1 − =0; 2x + 3 3 − 2x
x − 1 2x − 1 + =0; 2x + 3 2x − 3
www.5balls.ru
( 2x − 3)( x − 1) + (2 x − 1)(2 x + 3) 4x 2 − 9
=0;
(2x-3)(x-1)+(2x-1)(2x+3)=0; 6x2-x=0; x(6x-1)=0; x1=0; 1 6
6x2-1=0; 6x2=1; x2= . 1 общий знаменатель дробей не обращается в ноль, 6 1 поэтому х1=0 и x2= являются корнями уравнения. 6
При х=0 и x=
№591. a)
2x − 5 −4 = 0; x+5
2 x − 5 − 4( x + 5) = 0; x +5
2x-5-4x-20=0; -2x-25=0; 2x+25=0; 2x=-25; x=x=-12
25 1 1 =-12 ; x=-12 2 2 2
1 1 является корнем уравнения, т.к. при x=-12 знаменатель 2 2
не обращается в ноль. 12 12 x =x; − = 0; 7−x 7−x 1 12 − x (7 − x ) = 0 ; 12-7x+x2=0; x2-7x+12=0; 7−x D=72-4 ⋅ 1 ⋅ 12=1;
б)
7 ± 1 7 ±1 ; = 2 2 7 −1 =3; x1= 2 7 +1 = 4; x2= 2
x=
x1=3 и х2=4 являются корнями уравнения, поскольку при этих значениях х знаменатель не обращается в ноль. в)
x 2 − 4 3 + 2x = ; 4 2
x 2 − 4 3 + 2x − =0 4 2
x2-4-6-4x=0; x2-4x-10=0;
www.5balls.ru
D1=(-2) 2-1 ⋅ (-10)=4+10=14; x1,2=2 ± 14 ; 10 10 x −1 = x −1 ; − = 0; 2x − 3 2x − 3 1 10 − ( 2x − 3)( x − 1) = 0 ; 10-(2x-3)(x-1)=0; 2x − 3
г)
10-(2x2-2x-3x+3)=0; 2x2-5x-7=0; D=52-4 ⋅ 2 ⋅ (-7)=25+56=81;
5 ± 81 5 ± 9 ; = 2⋅2 4 5+9 1 =3 ; x1= 4 2 5−9 = −1 . x2= 4 1 При x1= 3 и х2=-1 общий знаменатель не обращается в ноль, 2
x=
поэтому оба числа являются корнями уравнения. д)
8 =3x+2; x
8 − x (3x + 2) =0; x
8-x(3x+2)=0; 3x2+2x-8=0; D1=12-3 ⋅ (-8)=1+24=25; − 1 ± 25 − 1 ± 5 ; = 3 3 1 −1 + 5 x1= =1 ; 3 3 −1 − 5 x2= = −2 ; 3 1 При x1=1 и х2=-2 общий знаменатель не обращается в ноль, 3
x=
поэтому оба числа являются корнями уравнения. е)
x 2 + 4x 2x = ; x+2 3
x 2 + 4x 2x − =0; x+2 3
3( x 2 + 4 x ) − 2 x ( x + 2) = 0 ; 3(x2+4x)-2x(x+2)=0; 3( x + 2)
x2+8x=0; x(x+8)=0; x1=0;
www.5balls.ru
x2=-8; x1=0 и х2=-8 являются корнями уравнения, поскольку при этих значениях х знаменатель не обращается в ноль. 2 x 2 − 5x + 3 =0; 2x2-5x+3=0; 10 x − 5 D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 3=25-24=1
ж)
5 ± 1 5 ±1 ; = 2⋅2 4 5 +1 1 =1 ; x1= 4 2 5 −1 =1. x2= 4 1 1 x1=1 и х2=1 являются корнями уравнения, поскольку при x=1 и 2 2
x=
х=1 общий знаменатель не обращается в ноль. з)
4x 3 − 9x = 0 ; 4x3-9x=0; x + 1,5
x(4x2-9)=0; x(2x-3)(2x+3)=0; x1=0; 3 ; 2 3 x3=- ; 2 3 x=- не подходит, так как при этом значении знаменатель дроби 2
x2=
обращается в ноль; значит, уравнение имеет два корня: х1=0, х2= т.к. при х=0 и х=
3 знаменатель дроби не обращается в ноль. 2
№592. a)
x2 2
x +1
x2 − 7 x2 + 1
=
7x 2
x +1
;
x2 2
x +1
−
7x 2
x +1
=0;
= 0 ; x2-7x=0; x(x-7)=0;
x1=0;
www.5balls.ru
3 , 2
x2=7. Оба значения являются корнями уравнения, т.к. x+1>0 при всех х. б)
y2 2
y − 6y y2
2
y − 6y
+
=
4(3 − 2 y) ; y (6 − y )
y2 2
y − 6y
−
4(3 − 2 y) =0; y(6 − y)
4(3 − 2 y) = 0 ; y2+4(3-2y)=0; y ( y − 6)
y2+12-8y=0; y2-8y+12=0; D1=(-4)2-1 ⋅ 12=16-12; y=
4± 4 = 4±2; 1
y1=4+2=6; y2=4-2=2. y1=6 не подходит, т.к. при y=6 знаменатель обращается в ноль, а при y=4 знаменатель в ноль не обращается, один корень y=4. в)
x−2 x +3 ; = x+2 x−4
x−2 x +3 − =0; x+2 x−4
(x-4)(x-2)-(x+2)(x+3)=0; x2-2x-4x+8-x2-3x-3x-6=0; 11x=2; x= x=
2 . 11
2 2 является корнем уравнения, поскольку при x= общий 11 11
знаменатель дробей не обращается в ноль. 8y − 5 9y 8y − 5 9y − = 0; ; = y y+2 y y+2 (8y-5)(y+2)-y ⋅ 9y=0; 8y2+16y-5y-10-9y2=0;
г)
y2-11y+10=0; D=(-11) 2-4 ⋅ 1 ⋅ 10=81;
11 ± 81 11 ± 9 ; = 2 2 11 − 9 =1; y1= 2 11 + 9 = 10 . y2= 2
y=
При y=1 и y=10 общий знаменатель не обращается в ноль, поэтому оба числа являются корнями уравнения.
www.5balls.ru
д)
x2 + 3 x +1 2
=2;
x2 + 3 x2 + 1
−2 = 0;
x2+3-2(x2+1)=0; -x2+1=0; x2-1=0; (x-1)(x+1)=0; 1) x-1=0; x1=1; 2) x+1=0; x2=-1. Оба значения являются корнями уравнения, т.к. x>0 при всех х. е)
3 x2 + 2
=
1 ; x
3 x2 + 2
−
1 = 0 ; 3x-(x2+2)=0; x
x2-3x+2=0; D=(-3)2-4 ⋅ 1 ⋅ 2=9-8=1;
3 ±1 ; 2 3 −1 =1; x1= 2 3 +1 =2. x2= 2
x=
При х=1 и х=2 общий знаменатель дробей не обращается в ноль, поэтому оба числа являются корнями уравнения. ж) х+2=
15 ; 4x + 1
x+2 15 − = 0; 1 4x + 1
(x+2)(4x+1)-15=0; 4x2+9x-13=0; D=92-4 ⋅ 4 ⋅ (-13)=81+208=289; − 9 ± 289 − 9 ± 17 ; = 2⋅4 8 −9 − 17 26 =− = −3,25 ; x1= 8 8 −9 + 17 = 1. x2= 8
x=
Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=1 и х=3,25 общий знаменатель не обращается в ноль. з)
x 2 − 5 7 x + 10 = ; x −1 9
9(x2-5)-(x-1)(7x+10)=0; 9x2-45-(7x2+10x-7x-10)=0; 2x2-3x-35=0;
x 2 − 5 7 x + 10 − =0; x −1 9
www.5balls.ru
D=(-3)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-35)=9+280=289; 3 ± 289 3 ± 17 = ; 2⋅2 4 3 + 17 =5; x1= 4 3 + 17 14 = − = −3,5 . x2= 4 4
x=
Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=5 и х=-3,5 общий знаменатель не обращается в ноль. №593. a)
3x + 1 x − 1 − =1; x+2 x−2
3x + 1 x − 1 − −1 = 0 ; x+2 x−2
(3x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)-(x+2)(x-2)=0; 3x2-6x+x-2-x2-2x+x+2-x2+4=0; x2-6+4=0; D1=(-3)2-1 ⋅ 4=5; x1,2=3 ± 5 . Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=3 ± 5 общий знаменатель не обращается в ноль. б)
2y − 2 y + 3 + =5; y+3 y−3
2y − 2 y + 3 + −5 = 0 ; y+3 y−3
2(y-1)(y-3)+(y+3)2-5(y2-9)=0; 2(y2-y-3y+3)+y2+6y+9-5y2+45=0; -2y2-2y+60=0; y2+y-30=0; D=12-4 ⋅ (-30)=1+120=121; − 1 ± 121 − 1 ± 11 ; = 2 2 −1 − 11 = −6 ; y1= 2 −1 + 11 =5. y2= 2
y=
Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при y=-6 и y=5общий знаменатель не обращается в ноль. в)
4 9 y2 − 1
−
4 5 ; = 3 y + 1 1 − 3y
www.5balls.ru
4 4 5 − + =0; (3y − 1)(3y + 1) 3y + 1 3y − 1 4 − 4(3y − 1) + 5(3y + 1) 9y2 − 1
3y+13=0; 3y=-13; y=y=-4
= 0 ; 4-12y+4+15y+5=0; 13 1 = −4 . 3 3
1 является корнем уравнения, т.к. при этом значении у общий 3
знаменатель дробей не обращается в ноль. 4 5 1 − = −1 ; x +3 3− x x −3 4 5 1 + − +1 = 0 ; x +3 x −3 x −3
г)
4(x-3)+5(x+3)-(x+3)+x2-9=0; x2+8x-9=0; D1=42-1 ⋅ (-9)=25; x=-4 ± 25 = −4 ± 5 ; x1=-4+5=1; x2=-4-5=-9. При х1=1 и х2=-9 общий знаменатель не обращается в ноль, поэтому оба числа являются корнями уравнения. 4 5− x 4 5−x = − = 0; ; 3+ x − 1 x ( x − 1) x −1 x2 − x 3( x − 1) + 4 x − (5 − x ) = 0 ; 3x-3+4x-5+x=0; 8x=8; x=1. x ( x − 1)
д) 3+
При х=1 х-1=0, значит, данное уравнение не имеет корней. е)
3y − 2 1 3y + 4 ; − = y y − 2 y2 − 2y
3y − 2 1 3y + 4 − − =0; y y − 2 y( y − 2)
(y-2)(3y-2)-y-3y-4=0; 3y2-2y-6y+4-y-3y-4=0; 3y2-12y=0; y2-4y=0; y(y-4)=0; y1=0; y2=4. При y=0 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень y=4, т.к. при y=4 знаменатель в ноль не обращается.
www.5balls.ru
№594. 2x − 1 2x − 1 = 5; −5 = 0; x+6 x+6 2 x − 1 − 5( x + 6) = 0 ; 2x-1-5x-30=0; x+6 31 1 -3x-31=0; 3x=-31; x=- = −10 . 3 3 2x − 1 2x − 1 2) = −3 ; + 3 = 0 ; 2x-1+3x+18=0; x+6 x+6 17 2 5x=-17; x=- = −3 . 5 5 2x − 1 1 3) = 0 ; 2x-1=0; x= . x+6 2 2x − 1 2x − 1 4) =2; −2 = 0; x+6 x+6 2x-1-2(x+6)=0; 2x-1-2x-12=0; -13 ≠ 0.
a) 1)
Эта функция не равна 2 ни при каких х. б) 1)
x2 + x − 2 x2 + x − 2 = −10 ; + 10 = 0 ; x+3 x+3
x2+x-2+10x+30=0; x2+11x+28=0; D=112-4 ⋅ 1 ⋅ 28=9; − 11 ± 9 − 11 ± 3 ; = 2 2 −11 + 3 = −4 ; x1= 2 −11 − 3 = −7 . x2= 2
x=
x2 + x − 2 = 0 ; x2+x-2=0; x +3 D=1-4 ⋅ 1 ⋅ (-2)=9;
2)
−1 ± 9 −1 ± 3 ; = 2 2 −1 + 3 x1= = 1; 2
x=
www.5balls.ru
x2=
−1 − 3 = −2 . 2
x2 + x − 2 x2 + x − 2 = −5 ; +5 = 0; x+3 x+3
3)
x2+x-2+5x+15=0; x2+6x+13=0; D=32-1 ⋅ 13=9-13=-4<0. Эта функция не равна –5 ни при каких х. №595. x−4 x−6 + = 2; x−5 x+5
a)
x−4 x−6 − −2 = 0; x−5 x+5
(x+5)(x-4)+(x-5)(x-6)-2(x2-25)=0; x2-4x+5x-20+x2-6x-5x+30-2x2+50=0; -10x+60=0; x-6=0; x=6; 1 1 6−x −1 = − 2 ; x − 2 3 x − 12 2−x 1 1 6−x − −1− + =0; x−2 x − 2 3( x 2 − 4)
б)
−
2 6− x + −1 = 0 ; x − 2 3( x − 2)( x + 2)
6 − x − 2(3x + 6) − 3( x 2 − 4) 3( x 2 − 4)
=0;
6-x-6x-12-3x2+12=0; 3x2+7x-6=0; D=72-4 ⋅ 3 ⋅ (-6)=121; − 7 ± 121 − 7 ± 11 = ; 2⋅3 6 −7 + 11 2 x1= = ; 6 3 −7 − 11 x2= = −3 . 6 7y −3 1 5 ; = − в) y − y 2 y − 1 y ( y − 1)
x=
7y −3 1 5 − + =0; y (1 − y ) y − 1 y ( y − 1)
-
(7 y − 3) 1 5 − + = 0; y ( y − 1) y − 1 y ( y − 1)
www.5balls.ru
-7y+3-y+5=0; -8y+8=0; -8(y-1)=0; y-1=0; y=1. При y=1 общий знаменатель обращается в ноль, значит, данное уравнение не имеет корней. г)
3 7 10 + = ; y−2 y+2 y
3 7 10 + − = 0; y−2 y+2 y
3y(y+2)+7y(y-2)-10(y2-4)=0; 3y2+6y+7y2-14y-10y2+40=0; -8y+40=0; y-5=0; y=5. д)
x +3 x −3 1 + =3 ; x−3 x+3 3
x + 3 x − 3 10 + − = 0; x−3 x+3 3
3( x + 3) 2 + 3( x − 3) 2 − 10 x 2 + 90 3( x 2 − 9)
=0;
3x2+18x+27+3x2-18x+27-10x2+90=0; -4x2+144=0; x2-36=0; (x-6)(x+6)=0; x1=6; x2=-6. е)
5 x + 7 2 x + 21 2 − =8 ; x−2 x+2 3
5 x + 7 2 x + 21 26 − − =0; x−2 x+2 3
3(x+2)(5x+7)-3(x-2)(2x+21)-26(x2-4)=0; 15x2+21+30x+42-6x2-63x+12x+126-26x2+104=0; -17x2+272=0; x2-16=0; (x-4)(x+4)=0; x1=4; x2=-4. №596. a)
3 y + 9 2 y − 13 + =2; 3y −1 2 y + 5
(3 y + 9)(2 y + 5) + (2 y − 13)(3 y − 1) −2 = 0; (3 y − 1)(2 y + 5)
(3y+9)(2y+5)+(2y-13)(3y-1)-2(3y-1)(2y+5)=0; 6y2+18y+15y+45+6y2-39y-2y+13-12y2-30y+4y+10=0; -34y+68=0; y-2=0; y=2. б)
5 y + 13 4 − 6 y − −3; 5y + 4 3y −1
www.5balls.ru
(3 y − 1)(5 y + 13) − (5 y + 4)(4 − 6 y ) −3 = 0 ; (5 y + 4)(3 y − 1) (3 y − 1) (5y+13)-(5y+4)(4-6y)-3(3y-1)(5y+4)=0;
15y2+39y-5y-13-(20y-30y2+16-24y)-(9y-3)(5y+4)=0; 15y2+39y-5y-13-20y+30y2-16+24y-45y2-36y+15y+12=0; 17y-17=0; y-1=0; y=1. в)
10 y +1 y + 1 10 ; + = ⋅ y −5 y +5 y −5 y +5
(y+5)(y+1)+10y-50=10y+10; y2+y+5y+5+10y-50-10y-10=0; y2+6y-55=0; D1=32-1 ⋅ (-55)=9+55=64; y=-3 ± 64 = −3 ± 8 ; y1=-3+8=5; y2=-3-8=-11. Поскольку при y=5 общий знаменатель дробей обращается в ноль, то только y=-11 удовлетворяет условию задачи. г)
6 y 6 y ; − = ⋅ y−4 y+2 y−4 y+2
6( y + 2) − y ( y − 4) 6y ; = ( y − 4)( y + 2) ( y − 4)( y + 2)
6(y+2)-y(y-4)=6y; 6y+12-y2+4y=6y; y2-4y-12=0; D1=22-1 ⋅ (-12)=16; y=2 ± 16 = 2 ± 4 ; y1=2+4=6; y2=2-4=-2. Поскольку при y=-2 общий знаменатель дробей обращается в ноль, то только y=6 удовлетворяет условию задачи. №597. a)
5 4 1 − = ; y −2 y −3 y
5 4 1 − − =0; y −2 y −3 y
5 y ( y − 3) − 4 y ( y − 2) − ( y − 2)( y − 3) =0; y ( y − 2)( y − 3)
5y(y-3)-4y(y-2)-(y-2)(y-3)=0; 5y2-15y-4y2+8y-y2+3y+2y-6=0;
www.5balls.ru
-2y-6=0; y+3=0; y=-3. б)
1 1 3 + − =0; 2( x + 1) x + 2 x + 3
1 1 3 ; + = 2( x + 1) x + 2 x + 3
( x + 2)( x + 3) + 2( x + 1)( x + 3) − 3 ⋅ 2( x + 1)( x + 2) =0; 2( x + 1( x + 2)( x + 3)
(x+2)(x+3)+(2x+2)(x+3)-(6x+6)(x+2)=0; x2+3x+2x+6+2x2+6x+2x+6-6x2-12x-6x-12=0; -3x2-5x=0; x(3x+5)=0; x1=0; 5 2 = −1 . 3 3 1 1 8 ; в) + 2 = 3 x + 2 x − 2x x − 4x 1 1 8 + − = 0; x + 2 x( x − 2) x( x − 2)( x + 2)
x2=-
x( x − 2) + x + 2 − 8 = 0 ; x2-2x+x+2-8=0; x( x − 2)( x + 2)
x2-x-6=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25; 1 ± 25 1 ± 5 = ; 2 2 1+ 5 = 3; x1= 2 1− 5 = −2 . x2= 2
x=
x=-2 не подходит, т.к. при х=-2 знаменатель обращается в ноль, поэтому уравнение имеет один корень х=3. г)
10 y3 − y
+
1 y − y2
=
1 ; 1+ y
10 1 1 − − =0; y ( y − 1)( y + 1) y ( y − 1) y + 1 10 − ( y + 1) − y ( y − 1) = 0; y ( y − 1)( y + 1)
10-y-1-y2+y=0; y2-9=0; (y-3)(y+3)=0; y1=3; y2=-3.
www.5balls.ru
д) 1+
45 x − 8 x + 16 2
=
14 ; x−4
1+
45 ( x − 4)
2
−
14 =0; x−4
(x-4) 2+45-14(x-4)=0; x2-8x+16+45-14x+56=0; x2-22x+117=0; D1=112-1 ⋅ 117=121-117=4; x=11 ± 4 = 11 ± 2 ; x1=11-2=9; x2=11+2=13. е)
5 4 − = 3; x − 1 3 − 6 x + 3x 2
3 ⋅ 5( x − 1) − 4 − 9 ⋅ ( x − 1) 2 3 ⋅ ( x − 1) 2
5 4 − −3 = 0; x − 1 3(1 − 2 x + x 2 )
= 0;
15(x-1)-4-9(x2-2x+1)=0; 15x-15-4-9x2+18x-9=0; 9x2-33x+28=0; D=332-4 ⋅ 9 ⋅ 28=1089-1008=81; 33 ± 81 33 ± 9 ; = 2⋅9 18 33 + 9 42 1 x1= = =2 ; 18 18 3 33 − 9 24 1 x2= = =1 . 18 18 3
x=
№598. a)
10 x 3 ; + = ( x − 5)( x + 1) x + 1 x − 5
10 x 3 + − = 0; ( x − 5)( x + 1) x + 1 x − 5
10+x(x-5)=3(x+1); 10+x2-5x=3x+3; x2-8x+7=0; D1=(-4)2-7 ⋅ 1=16-7=9; x=4 ± 9 = 4 ± 3 ; x1=4-3=1; x2=4+3=7. б)
17 1 x ; − = ( x − 3)( x + 4) x − 3 x + 4
17-x-4-x(x-3)=0; 17-x-4-x2+3x=0;
www.5balls.ru
x2-2x-13=0; D1=(-1)2-1 ⋅ (-13)=1+13=14; x1,2=1 ± 14 . в)
4 ( x + 1) 4
( x + 1)
2
2
−
−
1 ( x − 1) 1
( x − 1)
2
2
+
+
1 2
x −1
=0;
1 =0; ( x − 1)( x + 1)
2
4( x − 1) − ( x + 1) 2 + ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) 2 ( x − 1) 2
=0;
4(x2-2x+1)-(x2+2x+1)+x2-1=0; 4x2-10x+2=0; 2x2-5x+1=0; D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 1=25-8=17; 5 ± 17 . 4 4 1 4 + = ; г) 9 x 2 − 1 3x 2 − x 9 x 2 − 6 x + 1 4 1 4 + − = 0; (3 x − 1)(3 x + 1) x(3 x − 1) (3 x − 1) 2
x1,2=
4 x (3x − 1) + (3x + 1)(3x − 1) − 4 x (3x + 1) x(3x − 1) 2 (3x + 1)
=0;
4x(3x-1)+9x2-1-12x2-4x=0; 9x2-8x-1=0; D1=(-4)2-9 ⋅ (-1)=16+9; 4 ± 25 4 ± 5 ; = 9 9 4+5 =1; x1= 9 4−5 1 x2= =− . 9 9
x=
№599. 21 16 6 21 16 6 − + =0; = − ; x +1 x − 2 x x +1 x − 2 x 21x( x − 2) − 16 x( x + 1) + 6( x + 1)( x − 2) =0; x( x + 1)( x − 2)
a)
www.5balls.ru
21x2-42x-16x2-16x+6(x2-2x+x-2)=0; 11x2-64x-12=0; D1=(-32)2-11 ⋅ (-12)=1024+132=1156; 32 ± 1156 32 ± 34 = ; 11 11 32 − 34 2 =− ; x1= 11 11 32 + 34 66 = = 6; x2= 11 11 2 1 5 ; б) 2 − = 3 y 3 − y − 3y y − 9y
x=
2 1 5 − − = 0; y ( y − 3) y − 3 y ( y − 3)( y + 3) 2( y + 3) − y ( y + 3) − 5 =0; y ( y − 3)( y + 3)
2y+6-y2-3y-5=0; y2+y-1=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-1)=5; −1± 5 . 2 18 1 6 ; в) − = 4x + 4x + 1 2x2 − x 4 x2 − 1 18 1 6 − − =0; ( 2 x + 1) 2 x ( x − 1) (2 x − 1)(2 x + 1)
y1,2=
18 x( 2 x − 1) − (2 x + 1) 2 − 6 x (2 x + 1) =0; x (2 x − 1)(2 x + 1)
36x2-18x-(4x2+4x+1)-12x2-6x=0; 20x2-28x-1=0; D=(-14)2-20 ⋅ (-1)=196+20=216; x=
14 ± 216 14 ± 6 6 = ; 20 20
x=
2(7 ± 3 6) 7 ± 3 6 . = 20 10
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №600.
www.5balls.ru
x2-2xy+y2=(x-y)2; Подставим x=3+ 5 , y=3- 5 ; получаем:
(3 +
(
5 − 3− 5
Ответ:20.
)) = (3 + 2
5 −3+ 5
) = (2 5 ) = 4 ⋅ 5 = 20 . 2
2
№601. 1) А(1,5;7,25); 7,25=(1,5)2+2 ⋅ 1,5+5; 7,25=2,25+3+5=10,25; 7,25 ≠ 10,25; следовательно, точка А не принадлежит графику данной функции. 2) В(-3,2;9); 9=(-3,2)2+2 ⋅ (-3,2)+5; 9=10,24-6,4+5=8,84; 9 ≠ 8,84; следовательно, точка В не принадлежит графику данной функции. 3) С( 3 -1;7); 7=( 3 -1)2+2( 3 -1)2+5; 7=( 3 )2-2 3 ⋅ 1+12+2 3 -2+5; 7=3+1+5-2; 7=7, следовательно, точка С принадлежит графику данной функции. №602. x− y
a)
x− y
− x=
( x − y )(
x+ y
x− y
)−
=
( x − y )( x + y )− x ( x − y ) =
=
(
x− y
x− y
)( x +
y− x
x− y
= x+ y− x=
б)
x−
=
x
=
(
x− y x+ y
y;
= x−
(
)= x− y
x+ y
)(
x− x+ y
x+ y
x− x+ y =
)(
x+ y
x+ y
( x + y )− ( x − y )( x+ y
x=
x+ y
)=
)=
)=
y.
www.5balls.ru
№603. a) a2+b2>0 при a>0, 3ab<0, т.к. a>0, b>0, следовательно, б) При a<0 и b<0, a+b<0 и 5a3b2<0, следовательно,
3ab 2
a + b2
<0;
5a 3b 2 >0. a+b
25. Решение задач с помощью рациональных уравнений №604. Обозначим за х и (х+3) – числитель и знаменатель дроби, тогда (х+7) и (х+8) – числитель и знаменатель новой дроби. Разность дробей составляет
1 . 2
Составляем уравнение: x+7 x 1 − = ; x +8 x +3 2
2(x+3)(x+7)-2x(x+8)=(x+8)(x+3); 2x2+14x+6x+42-2x2-16x-x2-3x-8x-24=0; x2+7x-18=0; D=72-4 ⋅ 1 ⋅ (-18)=49+72=121; − 7 ± 121 − 7 ± 11 ; = 2 2 −7 + 11 = 2; x1= 2 −7 − 11 = −9 . x2= 2 x −9 9 3 = = = - не подходит; 1) При х=-9: x+3 −9+3 6 2 x 2 = . 2) При х=2: x+3 5 2 Ответ: . 5
x=
№605.
www.5balls.ru
Обозначим за х и (х-5) - знаменатель и числитель дроби, тогда (х-7) и (х+16) – числитель и знаменатель новой дроби. Разность дробей составляет
1 . 3
Составляем уравнение: x −5 x −7 1 − − =0; x x + 16 3
x −5 x −7 1 − = ; x x + 16 3
3(x+16)(x-5)-3x(x-7)-x(x+16); 3x2-15x+48x-240-3x2+21x-x2-16x=0; x2-38x+240=0; D1=(-19)2-1 ⋅ 240=361-240=121; x=
19 ± 121 = 19 ± 11 ; 1
x1=19+11=30; x2=19-11=8. x − 5 30 − 5 25 5 = = = - не подходит; x 30 30 6 x −5 8−5 3 2) При х=8: = = . x 8 8 3 Ответ: . 8
1) При х=30:
№606. Обозначим за х км/ч и (х+20) км/ч – скорость первого и второго 120 ч – время, затраченное первым x
автомобилей, тогда
120 ч – время, x + 20
автомобилем на путь из города в село,
затраченное на этот путь вторым автомобилем. Так как второй автомобиль пришел к месту назначения на 1 ч раньше, чем второй, составим уравнение: 120 120 − =1; x x + 20
120(x+20)-120x=x(x+20); 120x+2400-120x-x2-20x=0; x2+20x+2400=0; D1=102-1 ⋅ (-2400)=100+2400=2500;
www.5balls.ru
x= − 10 ± 2500 = −10 ± 50 ; x1=-10-50=-60 (не подходит); x2=-10+50=40; тогда х+20=60. Ответ: 40 км/ч – скорость первого автомобиля, 60 км/ч – скорость второго автомобиля. №607. Обозначим за х км/ч и (х-32) км/ч – скорости мотоциклиста и 45 45 чи ч – время, затраченное x x − 32
велосипедиста, тогда
мотоциклистом и велосипедистом на путь из А в В. Мотоциклист 3 5
8 5
был в пути на 1 ч 36 мин меньше: 2ч 36 мин=1 ч= ч. Составляем уравнение: 45 45 8 − = ; x − 32 x 5 5 ⋅ 45х-5 ⋅ 45(х-32)=8х(х-32);
225x-225х+7200-8x2+256x=0; x2-32x-900=0; D1=162-1 ⋅ (-900)=256+900=1156; x= 16 ± 1156 = 16 ± 34 ; x1=16-34=-18 (не подходит); x2=16+34=50; отсюда х-32=18. Ответ: 18 км/ч. №608. Обозначим за х км/ч и (х+2) км/ч – скорость первого и второго 20 20 чи ч– время, затраченное первым x x+2
лыжника, тогда
автомобилем на путь из города в село, ч – время, затраченное на этот путь вторым автомобилем. Так как второй автомобиль пришел к месту назначения на 1 ч раньше, чем второй, составим уравнение: 120 120 − =1; x x + 20
120(x+20)-120x=x(x+20); 120x+2400-120x-x2-20x=0; x2+20x+2400=0;
www.5balls.ru
D1=102-1 ⋅ (-2400)=100+2400=2500; x= − 10 ± 2500 = −10 ± 50 ; x1=-10-50=-60 (не подходит); x2=-10+50=40; тогда х+20=60. Ответ: 40 км/ч – скорость первого автомобиля, 60 км/ч – скорость второго автомобиля. №609. Обозначим за х км/ч и (х+10) км/ч – скорости второго и первого 560 560 чи ч– время, затраченное x x +10
автомобилей, тогда
вторым и первым автомобилями на весь путь. По условию первый автомобиль приезжает на 1 ч раньше. Составляем уравнение: 560 560 − =1; x x + 10
560(x+10)-560x=x(x+10); 560x+5600-560x=x2+10x; x2+10x-5600=0; D1=52-1 ⋅ (-5600)=25+5600=5625; x= − 5 ± 5625 = −5 ± 75 ; x1=-5-75=-80 (не подходит); x2=-5+75=70; откуда х+10=80. Ответ: 80 км/ч – скорость первого автомобиля, 70 км/ч – скорость второго автомобиля. №610. Обозначим за х км/ч скорость поезда по расписанию, тогда (х+10) 720 ч - время на перегоне по x
км/ч – фактическая скорость поезда,
720 ч – фактическое время на перегоне. x +10
расписанию,
Составляем уравнение: 720 720 − = 1; x x + 10
720(x+10)-720x=x(x+10); 720x+7200-720x=x2+10x; x2+10x-7200=0;
www.5balls.ru
D1=52-1 ⋅ (-7200)=25+7200=7225; x= − 5 ± 7225 = −5 ± 85 ; x1=-5-85=-90 (не подходит по смыслу задачи); x2=-5+85=80. Ответ: 80 км/ч. №611. Обозначим за х км/ч собственную скорость лодки (скорость движения по озеру), тогда (х-2) км/ч –скорость лодки против 6 15 ч - время передвижения по реке, ч– x−2 x
течения реки,
время передвижения по озеру. На путь по озеру турист затратил на 1 ч больше, чем на путь по реке. Составляем уравнение: 15 6 − =1; x x−2
15(x-2)-6x=x(x-2); 15x-30-6x=x2-2x; x2-11x+30=0; D=112-4 ⋅ 1 ⋅ 30=121-120=1; 11 ± 1 11 ± 1 ; = 2 2 11 + 1 x1= =6; 2 11 − 1 x2= = 5 . Оба значения подходят. 2
x=
Ответ: 5 км/ч или 6 км/ч. №612. Обозначим за х км/ч скорость течения реки, тогда (15+х) км/ч – скорость лодки по течению реки, (15-х) км/ч - скорость лодки 35 ч - время движения лодки по течению, 15 + x
против течения,
25 ч– время движения против течения. На путь по течению 15 − x
реки лодка затратила столько же, сколько на путь против течения. Составляем уравнение:
www.5balls.ru
35 25 ; = 15 + x 15 − x
35(15-x)-25(15+х)=0; 525-35х-375-25x=0; -60x=-150; х=2,5; Ответ: 2,5 км/ч. №613. Обозначим за х км/ч скорость течения реки, тогда (20+х) км/ч – скорость катера по течению реки, (20-х) км/ч - скорость катера 22 ч - время движения по течению, 20 + x
против течения реки,
36 ч– время движения против течения. На путь было 20 − x
затрачено 3 ч. Составляем уравнение: 22 36 + = 3; 20 + x 20 − x
22(20-x)+36(20+х)=3(20-х)(20+х); 440-22х+720+36x=3(400-х2); 440+720-22x+36x-1200+3x2=0; 3x2+14x-40=0; D1=72-4 ⋅ (-40)=49+120=169; − 7 ± 169 − 7 ± 13 ; = 3 3 20 2 −7 + 13 x1= =− = −6 (не подходит); 3 3 3 −7 − 13 x2= =2. 3
x=
Ответ: 2 км/ч. №614. Примем за 1 (единицу) объем выполняемой работы. Обозначим за n1 и n2 – производительности труда штукатуров; t1 и t2 – время выполнения задания каждым штукатуром в отдельности; n1= n2=
1 . Составим систему уравнений: t2
www.5balls.ru
1 ; t1
t1 = t 2 + 5, 1 n + n = 6; 2 1
t1 = t 2 + 5, 1 = 6; 1 + 1 t1 t 2
t1 = t 2 + 5, 2 t 2 + 5t 2 = 12 t 2 + 30
t1 = t 2 + 5, t1t 2 t + t = 6; 1 2
t1 = t 2 + 5, ( t 2 + 5) t 2 2 t + 5 = 6; 2
t 22 -7t2-30=0.
Корни уравнения: 1) t2=-3 (не подходит); 2) t2=10; тогда t1=15. Ответ: 15 ч и 10 ч. №615. Примем за 1 объем выполняемой работы. Производительность труда первого и второго рабочих обозначим за n1=
1 1 и n2= , где t1 t1 t2
и t2 время выполнения работы первым и вторым рабочим соответственно. Составим систему уравнений: t1 = t 2 + 10, 1 n + n = 12; 2 1
t1 = t 2 + 10, 1 = 12; 1 + 1 t1 t 2
t1 = t 2 + 10, t1t 2 t + t = 12; 1 2
t1 = t 2 + 10, ( t 2 + 10) t 2 2 t + 10 = 12; 2
t 22 +10t2=24t2+120; t 22 -14t2-120=0.
1) t2=-6 (не подходит по смыслу задачи); 2) t2=20; тогда t1=30. Ответ: 30 дней и 20 дней. №616. Примем за 1 объем выполняемой работы. Производительность труда первой и второй бригады соответственно обозначим за n1= и n2=
1 , где t1 и t2 - время выполнения всей работы каждой t2
бригадой. Составим систему:
www.5balls.ru
1 t1
t1 = t 2 + 5, 1 = 6; 1 + 1 t1 t 2
t1 = t 2 + 5, 1 n + n = 6; 2 1
t1 = t 2 + 5, 2 t 2 + 5t 2 = 12 t 2 + 30
t1 = t 2 + 5, t1t 2 t + t = 6; 1 2
t1 = t 2 + 5, ( t 2 + 5) t 2 2 t + 5 = 6; 2
t 22 -7t2-30=0.
1) t2=-3 (не подходит по смыслу задачи); 2) t2=10; тогда t1=10+5=15. Ответ: 15 дней и 10 дней. №617. Обозначим за х км/ч – скорость первого поезда, тогда (х+4) км/ч – 360 x
скорость второго поезда. Оба поезда прошли 360 км, значит,
360 ч –время, затраченное соответственно первым и вторым x+4
чи
поездом. Так как второй поезд вышел на 1 ч позднее первого, составляем уравнение: 360 360 ; +1 = x+4 x
360x+x2+4x=360(x+4); 360x+x2+4x-360x-1440=0; x2+4x-1440=0; D1=22-1 ⋅ (-1440)=4+1440=1444; x= − 2 ± 1444 = −2 ± 38 ; x1=-2-38=-40 (не подходит по смыслу задачи); x2=-2+38=36; х+4=40. Ответ: 36 км/ч и 40 км/ч. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №618. a)
1 11 + 2 30
+
1 11 − 2 30
=
11 − 2 30 + 11 + 2 30
(11 + 2 30 )(11 − 2 30 ) =
www.5balls.ru
=
22
(
112 − 2 30
)
2
=
22 = 22 . Тождество доказано. 121 − 120
( 5 + 2) + ( 5 − 2) = ( 5 − 2)( 5 + 2) 5 −2 5+2 ( 5 ) + 2 ⋅ 2 5 + 4 + ( 5 ) − 2 ⋅ 2 5 + 4 = 18 = 18 . Тождество доказано. = 1 ( 5) − 4 5+2
б)
+
5 −2
2
2
=
2
2
2
№619. а) Подставим х=5+2 6 , y=5-2 6 :
(5 + 2 6 )(5 − 2 6 ) = 5 − (2 6 )
2
2
5+ 2 6 +5−2 6
10
=
25 − 24 1 = = 0,1 ; 10 10
а) Подставим х= 11 + 3 , y= 11 - 3 :
( 11 + 3 ) ( 11 − 3 ) ( 11 + 3 )( 11 − 3 ) 2
=
2
=;
11 + 2 11 ⋅ 3 + 3 + 11 − 2 11 ⋅ 3 + 3
( 11 ) − ( 3 ) 2
2
=
28 = 3,5 . 8
№620. Обозначим за х1 и х2 –0 корни данного уравнения. Тогда по теореме Виета х1+х2=10, а по условию х1-х2=6. Получаем систему уравнений: х1 − х 2 = 6, откуда х1=8, х2=2. По теореме Виета: q=x1x2=8 ⋅ 2=16. х1 + х 2 = 10,
Ответ: 16. №621.
а) По условию задачи: х1=
3 −1 ; 2
х2=
3 +1 ; 2
по теореме Виета: х1+х2=-b; x1 ⋅ x2=c;
www.5balls.ru
3 −1 3 −1 + 3 +1 3 + 1 =− 3; + = − 2 2 2
b=-
3 −1 3 +1 ⋅ = c= 2 2
( 3 ) −1 2
2
2 1 = ; 4 4 2 1 Искомое уравнение: х2- 3 х+ =0; 2 =
б) По условию задачи: х1=2- 3 ; х2=
1 2− 3
;
по теореме Виета:
= 2 − 3 2+ 3 = − 2 − 3 + 2 + 3 = − 2 − 3 + 2 + 3 = = − 2 − 3 + 4−3 1 2− 3 2+ 3
b=-(х1+х2)=- 2 − 3 +
(
(
)(
1
)
) 1 c= x ⋅ x = (2 − 3 )⋅ =1. 2− 3 =- 2 − 3 + 2 + 3 = −4 ; 1
2
Искомое уравнение: х2-4х+1=0.
www.5balls.ru
26. Графический способ решения уравнений №622. а) х2=х+2; строим графики: y=x2; y=x+2; x1=-1; x2=2;
y 4
В
3 2 А1 х
0 -4 -3 -2 -1
1 2 3
б) х2+1,5х-2,5=0; строим графики: y=x2; y=-1,5x+2,5; x1=-2,5; x2=1; y 8 7 А
6 5 4 3 2 1
В х
0 -4 -3 -2 -1
1 2 3
www.5balls.ru
№623. а) х2=0,5х+3; 1) строим графики: y=x2 и y=0,5x+3; находим x1=-1,5; x2=2. 2) х2-0,5х-3=0; D=(-0,5)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-3)=0,25+12=12,25=3,52 x=
0,5 ± 3,5 ; 2
x1=2; x2=-1,5; y 8 7 6 5 А
4 3 В
2 1 х
0 -4 -3 -2 -1
1 2 3
б) х2-3х+2=0; 1) строим графики: y=x2 и y=3x-2; находим x1=1; x2=2. 2) D=(-3)2-4 ⋅ 1 ⋅ 2=1 x=
3± 1 ; 2
www.5balls.ru
x1=2; x2=1; y 8 7 6 5 4 3 2 1 х
0 -4 -3 -2 -1
1 2 3
№624. 8 =-х+6; строим графики х 8 y= и y=-х+6; находим: х
а)
х1=2; х2=4; y 5 4 3 2 1 х
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-2 -3 -4 -5 -6
www.5balls.ru
8 = х2; строим графики х 8 y= х2 и y= ; находим: х х ≈ 2;
б)
y 5 4 3 2 1 х
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-2 -3 -4 -5 -6
№625. 6 =х; строим графики х 6 y= и y=х; х х1 ≈ 2,5; х2 ≈ -2,5;
а)
y 5 4 3 2 1 х
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-2 -3 -4 -5 -6
www.5balls.ru
6 =-х+6; строим графики х 6 y= и y=-х+6; находим: х х1 ≈ 1,2; х2 ≈ 4,6.
б)
y 5 4 3 2 1 х
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-2 -3 -4 -5 -6
№626. 1 =ax+b; строим графики: х 1 y= и y=ax+b. х
а)
y
II IV III I
V 1 х 1
б)
www.5balls.ru
Из рисунка определяем, что для I прямой: у уравнения два корня; для II прямой: у уравнения один корень; для III прямой: у уравнения нет корней; для IV прямой: у уравнения один корень; для V прямой: у уравнения два корня. №627. а) х3-х+1=0; строим графики y=x3 и y=x-1; находим х ≈ -1,3;
y 3 2 1 х
0 -2 -1
1
-2 -3 б) х3+2х-4=0; х3=-2х+4; строим графики y=x3 и y=-2x+4; находим х ≈ 1,2;
www.5balls.ru
2
5 4 3 2 1 0 -4
-2 -1
-3
1
2
3
4
-2 -3 -4 -5 -6
№628. а) х =x+b; строим графики: y= х и y=x+b;
y π
2
m
l
1 -2
0
-1
1
2
1
www.5balls.ru
k y= х
3
х
б) х =-x+b; строим графики: y= х и y=-x+b;
y
q 2
p
y= х
1 -2
0
-1
1
2
3
х
1
Из рисунков находим ответ: а) При b<0: у уравнения один корень – прямая k; при b ≥ 0: у уравнения два корня – прямая l; один корень – прямая m; нет корней – прямая π . б) При b<0: нет корней – прямая p; при b ≥ 0: у уравнения один корень – прямая q. №629. a) х =6-x; строим графики: y= х и y=6-x; находим х ≈ 4;
www.5balls.ru
y
1 х
0 1
4
6
4 ; строим графики: х 4 y= х и y= ; находим х ≈ 2,5; х
б)
х =
y
1 0
1
www.5balls.ru
х
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №630. Обозначим за х км/ч предполагаемую скорость туристов, тогда 18 ч– x
(х+0,5) км/ч – фактическая скорость туристов,
18 x + 0,5
предполагаемое время прохождения туристами маршрута,
ч – фактическое время прохождения туристами маршрута. Так как туристы прошли намеченный маршрут на полчаса быстрее, получаем уравнение: 18 18 1 − = ; x x + 0,5 2
36(x+0,5)-36x= x2+0,5x; 36x+18-36x=x2+0,5x; x2+0,5x-18=0; 2x2+x-36=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-36)=289; − 1 ± 289 − 1 ± 17 = ; 4 4 −1 − 17 <0 (не подходит); x1= 4 −1 + 17 =4. x2= 4
x=
Ответ: 4 км/ч. №631. Обозначим за х га/день количество гектаров, которое засевала бригада ежедневно, , тогда (х-10) га/день – количество гектаров, 120 дней – x
которые планировалось засевать ежедневно,
120 дней – x −10
фактическое время выполнения работы,
планируемой время выполнения работы. Составляем уравнение: 120 120 ; −2 = x − 10 x
www.5balls.ru
120x-2x(x-10)=120(x-10); 120x-2x2+20x=120x-1200; -2x2+20x+1200=0; x2-10x-600=0; D1=25+600=625; x=5 ± 625 = 5 ± 25 ; x1=5+25=30; x2=5-25=-20<0 (не подходит). Ответ: 30 га. №632. а)
x x+ y
y
+
x− y
=
( x − y) x + ( x + y) y = x+ y
x x− x y+ x y+ x y+ y y
x− y
x+y ; x−y
( x − y )( x + y ) x− y x + y ( x − y) +( x + y) + = б) ( x + y )( x − y ) x+ y x− y ( x) −2 x y +( y) +( x) + 2 x y +( y) = ( x − y )( x + y ) ( x ) + ( y ) + ( x ) + ( y ) = 2x + 2 y . = =
=
2
2
2
2
2
x−y
2
2
=
2
=
2
x−y
Дополнительные упражнения к главе III К ПАРАГРАФУ 8 №633. а) (x-3)(x2+3x+9)=x(x-8)(x+9); x3-27=x(x2+9x-8x-72); x3-27=x3+9x2-8x2-72x; x2-72x+27=0 – квадратное уравнение; б) (y+7)(y2-7y+49)-y(y+8)(y-7)=0; (y3-343)-y(y2-7y+8y-56)=0; y2-56y+343=0 - квадратное уравнение; в) (2x-1)(2x+1)+(x-3)2=17;
www.5balls.ru
4x2-1+x2-6x+9-17=0; 5x2-6x-9=0 - квадратное уравнение; г) (4x+1)2=2x(x-6)-1=0; 16x2+8x+1-2x2+12x-1=0; 14x2+20x=0; 7x2+10x=0 - квадратное уравнение. №634. а) y2-36=0; (y-6)(y+6)=0; y1=6; y2=-6; б)
1 2 8 8 1 8 y=0; 3 y 2 =3 ; y2= ; 3 27 9 3 27
y1,2= ±
2 2 8 =± ; 9 3
в) –0,2y2+45=0; 0,2y2=45; y2=
45 ⋅ 10 =225; 2
y1,2= ± 225 = ± 15; г) -
3 2 1 3 7 49 y +2 =0; y2= ; y2= ; 7 3 7 3 9
y1,2= ±
49 7 1 =± =2 . 9 3 3
№635. а) 8x2-3x=0; x(8x-3)=0; x1=0; 3 8
8x2=3; x2= . б) –2x2+5x=0; x(2x-5)=0; x1=0; 2x2=5; x2=
5 . 2
в) x3+x=0; x(x2+1)=0; 1) x1=0; 2) x2=x2+1=0 – решений не имеет, т.к. D=-4<0. г) 2x3-50x=0; 2x(x2-25)=0 1) x1=0; 2) x=25; x2,3= ± 5.
www.5balls.ru
№636. а) (x+2)2+(x-3)2=13; x2+4x+4+x2-6x+9-13=0; 2x2-2x=0; x(x-1)=0; x1=0; x2=1. б) (3x-5)2-(2x+1)2=24; 9x2-30x+25-4x2-4x-1-24=0; 5x2-34x=0; x(5x-34)=0; 1) x1=0; 2) 5x=34; x2=6,8. в) (x-4)(x2+4x+16)+28=x2(x-25); x3-64+28=x3-25x2; 25x2-36=0; x2x2=
36 =0; 25
36 36 6 1 ; x1,2= ± ; x1,2= ± = ±1 . 25 25 5 5
г) (2x+1)(4x2-2x+1)-1=1,6x2(5x-2); 8x3+1-1=8x3-3,2x2; 3,2x2=0; x=0. №637. a) x2=a; 1) если a ≥ 0, то x1,2= ± а ; 2) если a<0, то уравнение не имеет корней; б) x2=a2; x1,2= ± а 2 = ± а = ± а ; в) x2+4b=0; x2=-4b; 1) если b ≤ 0, то x1,2= ± − 2b ; 2) если b>0, то уравнение не имеет корней; г) x2+9b2=0; x2=-9b2. Если b ≠ 0, то уравнение не имеет корней, так как х2 ≥ 0 при всех х, a-b2<0. Если b=0, то у уравнений один корень х=0. №638. а) x2-16x+48=0; x2-2 ⋅ 8x+64-64+48=0; (x-8)2=16; x-8= ± 16 = ±4 ; 1) x-8=4; x1=12; 2) x-8=-4; x2=4; б) x2+12x+27=0; x2+2 ⋅ 6x+36=36-27;
www.5balls.ru
(x+6) 2=0; x+6= ± 9 = ±3 ; 1) x+6=3; x1=-3; 2) x+6=-3; x2=-9; в) x2+10x-39=0; x2+2 ⋅ 5x+25=25+39; (x+5)2=64; x+5= ± 64 = ±8 ; 1) x+5=8; x1=3; 2) x+5=-8; x2=-13; г) x2-6x-55=0; x2-2 ⋅ 3x+9=9+55; (x-3)2=64; x-3= ± 64 = ±8 ; 1) x-3=8; x1=11; 2) x-3=-8; x2=-5; 2
д) x2+7x-18=0; x2+2 ⋅ х +
2
7 7 7 x+ =18+ ; 2 2 2
2
7 121 7 121 11 ; x+ = ± =± ; = 2 4 2 4 2
7 −11 −11 7 = ; x 1= - ; x1=-9; 2 2 2 2 7 11 11 7 2) x+ = ; x2= - =2; 2 2 2 2
1) x+
2
е) x2-11x+28=0; x2-2 ⋅
2
11 11 11 x+ = -28; 2 2 2
2
11 9 9 3 11 =± ; х − = ; x- = ± 2 4 2 4 2 −3 11 11 −3 1) x- = ; x1= + ; x1=4; 2 2 2 2 11 3 11 3 2) x- = ; x2= + ; x2=7; 2 2 2 2 5 ж) 2x2-5x+2=0; x2- x+1=0; 2 2
x2-2 ⋅
2
5 5 5 x+ = -1; 4 4 4 2
5 9 5 9 3 =± ; х − = ; x- = ± 4 16 4 16 4 5 3 3 5 1) x- = ; x= + ; x1=2; 4 4 4 4
www.5balls.ru
5 3 3 5 1 =- ; x=- + ; x2= ; 4 4 4 4 2 70 2 2 х з) 3x -x-70=0; x - − =0; 3 3
2) x-
2
x2-2 ⋅
2
х 1 1 70 + = + ; 6 6 6 3 2
1 841 1 841 ; x- = ± ; х − = 6 36 6 36 1 −29 2 −28 1) x- = ; x1= = −4 ; 6 6 6 3 1 29 2) x- == ; x2=5. 6 6
№639*. a) a2+4a+11=(a2+4a+4)-4+11=(a+2)2+7>0 при всех значениях a; б)
(
)
х 2 − 2х + 7 х 2 − 2 х + 1 + 6 ( х − 1) 2 = = > 0 при всех значениях x; 19 19 19
в) m2-4m+51=(m2-4m+4)-4+51=(m-2)2+47>0 при всех значениях m; г)
р 2 − 6р + 18 р +1 2
=
р 2 − 6р + 9 + 9 р +1 2
=
(р − 3) 2 + 9 р2 + 1
> 0 , т.к. (p-3)2+9>0 при
всех значениях p. №640*. а) x2-8x+27=(x2-8x+16)-16+27=(x-4)2+11; (x-4)2 ≥ 0, следовательно, (x-4)2+11 ≥ 11 и (х-4)2+11=11 при х=4. б) a2-4a+20=(a2-4a+4)+16=(a-2)2+16; (a-2)2 ≥ 0, следовательно, (a-2)2+16 ≥ 16 и (a-2)2+16=16 при a=2. К ПАРАГРАФУ 9 №641. a) 4x2+7x+3=0; D=72-4 ⋅ 4 ⋅ 3=1; x=
−7 ± 1 ; 8
www.5balls.ru
−7 + 1 3 =− ; 8 4 −7 − 1 x2= = −1 ; 8
x1=
б) x2+x-56=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225; − 1 ± 225 − 1 ± 15 = ; 2 2 −1 + 15 =7; x1= 2 −1 − 15 = −8 ; x2= 2
x=
в) x2-x-56=0; D=(-1)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225; 1 ± 225 1 ± 15 ; = 2 2 1 + 15 =8; x1= 2 1 − 15 = −7 ; x2= 2
x=
г) 5x2-18x+16=0; D1=(-9)2-5 ⋅ 16=81-80=1;
9 ±1 ; 5 9 −1 3 =1 ; x1= 5 5 9 +1 =2; x2= 5
x=
д) 8x2+x-75=0; D=12-4 ⋅ 8 ⋅ (-75)=1+2400=2401; − 1 ± 2401 − 1 ± 49 ; = 2⋅8 16 −1 + 49 =3; x1= 16 −1 − 49 50 1 =− = −3 ; x2= 16 16 8
x=
е) 3x2-11x-14=0; D=(-11)2-4 ⋅ 3 ⋅ (-14)=121+168=289;
www.5balls.ru
11 ± 289 11 ± 17 ; = 2⋅3 6 11 + 17 28 2 = =4 ; x1= 6 6 3 11 − 17 = −1 ; x2= 6
x=
ж) 3x2+11x-34=0; D=112-4 ⋅ 3 ⋅ (-34)=121+408=529;
−11 ± 23 ; 6 −11 + 23 =2; x1= 6 −11 − 23 34 2 =− = −5 ; x2= 6 6 3
x=
з) x2-x-1=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-1)=5; x1,2=
1± 5 . 2
№642. a) (5x+3)2=5(x+3); 25x2+30x+9=15+5x; 25x2+25x-6=0; D=252-4 ⋅ 25 ⋅ (-6)=625+600=1225; − 25 ± 1225 − 25 ± 3 − 5 ± 7 ; = = 2 ⋅ 25 50 10 −5 + 7 1 = ; x1= 10 5 −5 − 7 1 = −1 ; x2= 10 5
x=
б) (3x+10)2=3(x+10); 9x2+60x+100=3x+30; 9x2+57x+70=0; D=572-4 ⋅ 9 ⋅ 70=3249-2520=729; − 57 ± 729 − 57 ± 27 − 19 ± 9 ; = = 2⋅9 18 6 2 −19 + 9 x1= = −1 ; 6 3
x=
www.5balls.ru
x2=
−19 − 9 2 = −4 ; 6 3
в) (3x-8)2=3x2-8x; (3x-8)2-3x+8x=0; (3x-8)2-x(3x-8)=0; (3x-8)(3x-8-x)=0; (3x-8)(2x-8)=0; 2(3x-8)(x-4)=0; 1) 3x-8=0; 3x=8; x1=2
2 ; 3
2) x-4=0; x2=4; г) (4x+5)2=5x2+4x; 16x2+40x+25-5x2-4x=0; 11x2+36x+25=0; D1=182-11 ⋅ 25=324-275=49; − 18 ± 49 − 18 ± 7 = ; 11 11 −18 − 7 −25 3 x1= = = −2 ; 11 11 11 −18 + 7 x2= = −1 ; 11
x=
д) (5x+3)2=5x+3; (5x+3)2-(5x+3)=0; (5x+3)(5x+3-1)=0; (5x+3)(5x+2)=0; 3 5 2 2) 5x+2=0; 5x=-2; x2=- ; 5
1) 5x+3=0; 5x=-3; x1=- ;
е) (5x+3)2=(3x+5)2; 25x2+30x+9=9x2+30x+25; 16x2-16=0; x2=1; x1,2= ± 1 ж) (4x+5)2=4(x+5)2; 16x2+40x+25=4(x2+10x+25); 16x2+40x+25-4x2-40x-100=0; 12x2-75=0; 4x2-25=0; (2x-5)(2x+5)=0; 5 =2,5; 2 5 2) 2x+5=0; 2x=-5; x2=- =-2,5; 2
1) 2x-5=0; 2x-5; x1=
з) (2x+10)2=4(x+5)2; 4x2+40x+100-4(x2+10x+25)=0; 4x2+40x+100-4x2-40x-100=0; 0=0; х – любое действительное число. №643. a) x2-2x-5=0;
www.5balls.ru
D=(-1)2-1 ⋅ (-5)=6; x1,2=1 ± 6 ; Произведем проверку:
(1 + 6 ) − 2(1 + 6 )− 5 = 1 + 2 (1 + 6 ) − 2(1 + 6 )− 5 = 1 − 2 2
6 +6−2−2 6 −5 = 7−7 = 0;
2
6 +6−2+2 6 −5 = 7−7 = 0;
б) x2+4x+1=0; D1=22-1 ⋅ 1=3; x1,2=-2 ± 3 ; Произведем проверку:
(− 2 + 3 ) + 4(− 2 + 3 )+ 1 = 4 − 4 (− 2 − 3 ) + 4(− 2 − 3 )+ 1 = 4 + 4 2
3 + 3 − 8 + 4 3 +1 = 8 − 8 = 0 ;
2
3 + 3 − 8 − 4 3 +1 = 0 ;
в) 3y -4y-2=0; D1=(-2)2-3 ⋅ (-2)=10; 2
y1,2=
2 ± 10 . 3
Произведем проверку: 2
2 + 10 − 4 2 + 10 − 2 = 3 4 + 4 10 + 10 − 8 + 4 10 − 2 = 3 3 9 3
3 =
14 4 10 8 4 10 + − − −2 = 0; 3 3 3 3 2
2 − 10 − 4 2 − 10 − 2 = 3 4 − 4 10 + 10 − 8 − 4 10 − 2 = 3 3 3 9 3
=
14 − 4 10 8 − 4 10 14 4 10 8 4 10 14 8 6 − −2 = − − + −2 = − − =0. 3 3 3 3 3 3 3 3 3
г) 5y2-7y+1=0; D=(-7)2-4 ⋅ 5 ⋅ 1=29; y1,2=
7 ± 29 . 10
Произведем проверку: 2
7 + 29 − 7 7 + 29 + 1 = 5 10 10 5
49 + 14 29 + 29 49 + 7 29 − +1 = 100 10
www.5balls.ru
=
78 + 14 29 49 + 7 29 39 + 7 29 49 + 7 29 10 − +1 = − +1 = − +1 = 0 ; 20 10 10 10 10 2
7 − 29 − 7 7 − 29 + 1 = 5 49 − 14 29 + 29 − 49 − 7 29 + 1 = 5 10 10 100 10
=
39 − 7 29 49 − 7 29 10 − +1 = − +1 = 0 . 10 10 10
д) 2y2+11y+10=0; D=112-4 ⋅ 2 ⋅ 10=121-80=41; y1,2=
− 11 ± 41 . 4
Произведем проверку: 2
− 11 + 41 + 11 − 11 + 41 + 10 = 2 4 4 162 − 22 41 11 41 − 121 81 − 11 41 11 41 − 121 + + 10 = + + 10 = 8 4 4 4 81 121 = − + 10 = −10 + 10 = 0 ; 4 4
=
2
− 11 − 41 + 11 − 11 − 41 + 10 = 162 + 22 41 − 121 + 11 41 + 10 = 2 4 4 8 4
=
81 + 11 41 121 + 11 41 81 11 41 11 41 121 − + 10 = + − − + 10 = 4 4 4 4 4 4
=-10+10=0; е) 4x2-9x-2=0; D=(-9)2-4 ⋅ 4 ⋅ (-2)=81+32=113; x1,2=
9 ± 113 . 8
Произведем проверку: 2
9 + 113 − 9 9 + 113 − 2 = 4 8 8
=4 =
81 + 18 113 + 113 81 + 9 113 − −2 = 64 8
97 + 9 113 81 + 9 113 97 9 113 81 9 113 − −2 = + − − −2 = 2−2 = 0; 8 8 8 8 8 8
www.5balls.ru
2
9 − 113 − 9 9 − 113 − 2 = 4 8 8
=4 =
81 − 18 113 + 113 81 − 9 113 − −2 = 64 8
97 − 9 113 81 − 9 113 97 9 113 81 9 113 − −2 = − − + −2 = 2−2 = 0. 8 8 8 8 8 8
№644. a) x2-2x-2=0; D1=(-1)2-1 ⋅ (-2)=1+2=3; x=1 ± 3 ≈ 1 ± 1,73 ; x1 ≈ 1+1,73=2,73; x2 ≈ 1-1,73=-0,73; б) x2+5x+3=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ 3=25-12=13; − 5 ± 13 − 5 ± 3,61 ; ≈ 2 2 −5 + 3,61 1,39 =− = −0,695 ≈ −0,70 ; x1 ≈ 2 2 −5 = 3,61 −8,61 = = −4,305 ≈ −4,30 ; x2 ≈ 2 2
x=
в) 3x2-7x+3=0; D=(-7)2-4 ⋅ 3v3=13; 7 ± 13 7 ± 3,61 ≈ ; 3⋅ 2 6 7 − 3,61 3,39 = ≈ 0,57 ; x1 ≈ 6 6 7 + 3,61 10,61 = ≈ 1,77 ; x2 ≈ 6 6
x1,2=
г) 5x2+31x+20=0; D=312-4 ⋅ 5 ⋅ 20=961-400=561; − 31 ± 561 − 31 ± 23,69 ≈ ; 5⋅ 2 10 7,31 −31 + 23,69 x1 ≈ =− ≈ −0,73 ; 10 10
x=
www.5balls.ru
x2 ≈
−31 − 23,69 54,69 =− ≈ −5,47 . 10 10
№645. Один из корней уравнения равен 1 по условию задачи. ax2-3x-5=0;
ax 2 3 5 3 5 − x − =0; x2- x − =0. a a a a a
Обозначим за х2 – корень уравнения, который может быть не равным 1. Тогда по теореме Виета: 5 5 1 ⋅ x = − , x 2 = − , 2 a a 1 − 5 = 3 ; 1 + x = 3 ; 2 a a a a −5 3 a −5−3 = ; = 0; a a a
a-8=0; a=8.
Ответ: 8. №646*. ax2-(a+c)x+x=0; D=(a+c)2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2; a + c ± a 2 + c 2 − 2ac a + c ± a − c a + c ± (a − c) = = ; 2a 2a 2a a +c+a −c x1= =1. 2a
x=
Таким образом, один из корней уравнения равен 1, что и требовалось доказать. №647*. cx2+bx+a=0; D=b2-4ac; x=
− b ± b 2 − 4ac ; 2c
ax2+bx+c=0; D=(-b)2-4ac=b2-4ac;
www.5balls.ru
− b ± b 2 − 4ac ; 2a − b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac = = 2c 2 − 2c b − b − 4ac
x=
b2 − (b 2 − 4ac) 4ac =− = − 2c b − b 2 − 4ac 2c b − b 2 − 4ac 2a =− , т.е. соответствующие корни первого и второго b − b 2 − 4ac
=
уравнений взаимно обратны, ч.т.д. Для Другой пары корней доказательство проводится аналогичным образом. №648. a) a2+7a+6=a+1 a2+6a+5=0; D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4; a=-3 ± 4 = −3 ± 2 ; a1=-3+2=-1; a2=-3-2=-5; б) 3x2-x+1=2x2+5x-4; x2-6x+5=0; D1=32-1 ⋅ 5=4; x=3 ± 4 = 3 ± 2 ; x1=3+2=5; x2=3-2=1. №649. Обозначим за n – первое число, (n+1) – второе число, (n+2) – третье число, (n+3) – четвертое число, (n+4) - пятое число. По условию задачи составим уравнение: n2+(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2+(n+4)2; n2+n2+2n+1+n2+4n+4=n2+6n+9+n2+8n+16; 3n2+6n+5=2n2+14n+25; 3n2+6n+5-2n2-14n-25=0; n2-8n-20=0;
www.5balls.ru
D1=42-1 ⋅ (-20)=16+20=36; n=4 ± 36 =4 ± 6; n1=10; n2=-2; 1) если n=10: n+1=11; n+2=12; n+3=13; n+4=14; 2) если n=-2; n+1=-1; n+2=0; n+3=1; n+4=2. Ответ: 10,11,12,13,14 или –2,-1,0,1,2. №650. Обозначим за 2n – первое четное число, (2n+2) – второе четное число, (2n+4) – третье четное число. По условию задачи составим уравнение: (2n)2+(2n+2)2=(2n+4)2; 4n2+4n2+8n+4-4n2-16n-16=0; 3n2-8n-12=0; n2-2n-3=0; D1=(-1)2-1 ⋅ (-3)=4; n=1 ± 4 =1 ± 2; n1=3; n2=-1; 1) если n=3: 2n=2 ⋅ 3=6; 2n+2=8; 2n+4=10; 2) если n=-1; 2n=2 ⋅ (-1)=-2; 2n+2=0; 2n+4=2. Ответ: 6,8,10 или –2,0,2. №651. Обозначим ширину прямоугольника за х м, тогда длина прямоугольника равна (х+5) м. Площадь прямоугольника S=1800м2. Составляем уравнение: x(x+5)=1800; x2+5x-1800=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ (-1800)=25+7200=7225; − 5 ± 7225 − 5 ± 85 ; = 2 2 −5 + 85 = 40 ; x1= 2 −5 − 85 = −45 не подходит по смыслу; х+5=45. x2= 2
x=
Ответ: ширина площадки 40 м, длина 45 м.
www.5balls.ru
№652. Обозначим за n – первое натуральное число, а (n+1) – второе натуральное число. Тогда составляем уравнение: (2n+1)2-112=n2+(n+1)2; 4n2+4n+1-112=n2+n2+2n+1; 4n2+4n-111-2n2-2n-1=0; 2n2+2n-112=0; 2(n2+n-56)=0; n2+n-56=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225; − 1 ± 225 − 1 ± 15 ; = 2 2 −1 + 15 1) n1= = 7 и n+1=8. 2 −1 − 15 2) n2= = −8 (не подходит по условию задачи); 2
n=
Ответ: 7 и 8. №653. Обозначим за b - ширину прямоугольника, т.е. сторону первого квадрата, тогда a - длина прямоугольника, т.е. сторона второго квадрата. По условию задачи сумма площадей квадратов равна: S1+S2=116 см2, периметр прямоугольника Р=28 см. Имеем: Р=2(a+b); S1=a2; S2=b2; 28=2(a+b); 14=a+b; a=14-b; a2+b2=116; (14-b)2+b2=116; 196-28b+b2+b2=116; 2b2-28b+80=0; b2-14b+40=0; b1=10; b2=4; a1=14-b1=4; a2=14-b2=10. Ответ: стороны прямоугольника 10 см и 4 см. №654. Обозначим за l см – искомую ширину рамки, тогда длина и ширина листа соответственно равны (12+2 l ) см и (18+2 l ) см.
www.5balls.ru
Фотокарточка вместе с рамкой по условию задачи занимает площадь 280 см2. Составляем уравнение: (12+2 l )(18+2 l )=280; 2 ⋅ 2(6+ l )(9+ l )=280; (6+ l )(9+ l )=70; 54+6 l +9 l + l 2 =70; l 2 +15 l +54-70=0; l 2 +15 l -16=0; l1 =1; l 2 =-16<0 (не подходит по смыслу задачи). Ответ: 1 см. №655*. Обозначим за n – число команд. Тогда (n-1) – количество матчей, сыгранных каждой командой, а всего сыграно откуда
n (n − 1) матчей, 2
n (n − 1) =36; n2-n-72=0. 2
По теореме Виета находим корни уравнения: n1=-8 (не подходит по смыслу задачи), n2=9. Ответ: 9 команд. №656*. Обозначим за N – число участников, каждый участник сыграл (N-1) партию, а всего сыграно
N ( N − 1) =45 партий. Значит, N(N-1)=90, 2
откуда: N1=10; N2=-9 (не подходит по смыслу задачи). Ответ: 10 шахматистов. №657*. Обозначим за a м и b м длину и ширину ящика соответственно. Площадь боковых стенок 0,5(2a+ab)=(a+b) м2; площадь дна (ab) м2. Получаем систему уравнений: ab + 1,08 = a + b, a = 2b;
2b2+1,08=3b; 2b2-3b+1,08=0; D=32-4 ⋅ 2 ⋅ 1,08=0,36; b=
3 ± 0,36 3 ± 0,6 = ; 4 4
www.5balls.ru
3 + 0,6 = 0.9 ; 4 3 − 0,6 b2= = 0,6 ; 4
b1=
b1=0,9, a1=1,8, V1=a1 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,81(м2); b2=0,6, a2=1,2, V2=a2 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,36 (м2). Ответ: 0,81 м2 или 0,36 м2. №658*. Обозначим за a и b - длина и ширину листа соответственно, где a=1,5b. Так как сторона вырезанного квадрата равна 8 см, то объем получаемой коробки равен: 8(a-16)(b-16)=8(1,5b-16)(b-16) см3. Составляем уравнение: 8(1,5b-16)(b-16)=6080; 3b2-80b-1008=0; D1=(-40)2-3 ⋅ (-1008)=1600+3024=4624; 40 ± 4624 40 ± 68 ; = 3 3 40 − 68 28 (не подходит); b1= =− 3 3 40 + 68 b2= = 36 ; 3 a=1,5 ⋅ 36=54.
b=
Ответ: 36 см – ширина листа, 54 см – длина листа.
№659. a) x2-5 2 x+12=0;
(
)
2
D= − 5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅12 =2; x=
5 2± 2 ; 2
x1=
5 2− 2 4 2 = =2 2; 2 2
x2=
5 2+ 2 6 2 = =3 2; 2 2
Произведем проверку: 1) x1+x2=5 2 ; 3 2 +2 2 =5 2 ;
www.5balls.ru
2) x1 ⋅ x2=12; 3 2 ⋅ 2 2 =6
( 2 ) =12. 2
б) x2+2 3 x-72=0; D 1=
( 3 ) -1 ⋅ (-72)-75; 2
x=- 3 ± 75 =- 3 ± 3⋅ 25 =- 3 ± 5 3 ; x1=- 3 +5 3 =4 3 ; x2=- 3 - 3 =-6 3 . Произведем проверку: 1) x1+x2=-2 3 ; -6 3 +4 3 =-2 3 ;
(
)
2) x1 ⋅ x2=-72; − 6 3 ⋅ 4 3 =-24 в) y2-6y+7=0; D1=(-3)2-1 ⋅ 7=2; y1,2=3 ± 2 . Произведем проверку: 1) y1+y2=6; 3+ 2 +3- 2 =6;
( 3 ) =-72. 2
( )
2
2) y1 ⋅ y2=7; (3+ 2 ) ⋅ (3- 2 )=9- 2 =7. г) p2-10p+7=0; D1=(-5)2-1 ⋅ 7=18; p1,2=5 ± 18 = 5 ± 9 ⋅ 2 = 5 ± 3 2 . Произведем проверку: 1) p1+p2=10; 5+3 2 +5-3 2 =10. 2) p1 ⋅ p2=7; (5+3 2 ) ⋅ (5-3 2 )=25-9
( 2 ) =25-18=7. 2
№660*. a) 2x2+ba-10=0; x1=5; x2+
b x-5=0; по теореме Виета: 2
x1 ⋅ x2=-5; x2=-1; по теореме Виета: x1+x2=4=-
b ; b=-8; 2
б) 3x2+bx+24=0; x1=3;
www.5balls.ru
x2+
b x+8=0; по теореме Виета: 3
x1 ⋅ x2=8; 8 3
x2=- ; по теореме Виета: x1+x2=-
b 8 b 17 =3+ ; - = ; b=-17; 3 3 3 3
в) (b-1)x2-(b+1)x=72; x1=3; b +1 72 =0; по теореме Виета: x− b −1 b −1 72 ; x1 ⋅ x2=b −1 24 ; по теореме Виета: x2=b −1 b +1 24 =3; x1+x2= b −1 b −1
x2-
3b-3-24=b+1; b=14; x2=-
24 ; 13
г) (b-5)x2-(b-2)x+b=0; 1 ; 2 b−2 b =0; по теореме Виета: x2+ b−5 b−5 b ; x1 ⋅ x2=b−5 2b ; по теореме Виета: x2= b−5 b−2 1 2b = +; x1+x2= b−5 2 b−5 1 b-5+4b=2b-4; b= ; 3 1 2⋅ 1 x2= 3 = − . 1 7 −5 3
x1=
www.5balls.ru
№661*. D=b2-4 ⋅ 7 ⋅ (-23)=b2+644>0 при всех b, поэтому данное уравнение имеет 2 корня при любых значениях b;и так как произведение корней равно -
23 <0 (по теореме Виета), то знаки этих корней 7
противоположны. №662*. Если x1 – корень уравнения, тогда должно выполняться равенство 12 х12 +70x1+a2+1=0, а это невозможно, поскольку при x1>0 его левая часть положительна. Следовательно, данное уравнение не имеет положительных корней. № 663. 3x2+bx+10=0; по теореме Виета: 10 b 1 13 , x1+x2=- ; по условию, x1-x2=4 = . 3 3 3 3 13 13 b x1=x2+ ; 2x2+ =- ; 3 3 3 b + 13 ; x2=6 13 b + 13 26 − b − 13 13 − b ; x1= − = = 3 6 6 6 (13 − b)(13 + b) 10 ; = 36 3
x 1 ⋅ x 2=
b2-169=120; b2=289; b2= ±17 . №664. 5x2-12x+c=0; по условию задачи: x1=3x2; по теореме Виета: x1+x2=
с 12 , x1 ⋅ x2= ; 5 5
www.5balls.ru
3 9 с с 27 27 12 ; x2= ; x1= ; =x1x2; = ; c= . 5 5 5 5 5 25 5 27 . Ответ: 5
3x2+x2=
№665*. 4x2+bx-27=0; по теореме Виета: b 27 , x1 ⋅ x2=; 4 4 х 27 ; по условию задачи: 1 =-3; x1=-3x2; -3 х 22 =х2 4
x1+x2=-
9 ; 4 3 9 1) x2= ; x1=- ; 2 2 3 9 2) x2=- ; x1= ; 2 2 х 22 =
3 2
9 2
3 9 + =-12. 2 2
b=-4(x1+x2); b1=-4 − =12; b2=-4 − Ответ: b=12 или b=-12. №666*. 5x2+13x-6=0; по теореме Виета: x1+x2=-
13 6 , x1 ⋅ x2=- ; 5 5
х12 + х 22 =(x1+x2)-2x1x2=
169 12 169 + 60 229 916 + = = = = 9,16 25 5 25 25 100
Ответ: 9,16. №667*. 2x2-5x+с=0; по теореме Виета: x1+x2=
5 с , x1 ⋅ x2= ; 2 2
х12 - х 22 =(x1+x2)(x1-x2)=
5 (x1-x2)=0,25; x1-x2=0,1; 2
2x1=2,6; x1=1,3; x2=1,2;
www.5balls.ru
c=2x1x2=2 ⋅ 1,3 ⋅ 1,2=3,12. Ответ: 3,12. №668*. 4x2+bx+с=0; по условию: х1=0,5, х2=с; по теореме Виета: x1+x2=-
b с , x1 ⋅ x2= ; 4 4
4x1x2=c; 2c=c; c=0; 4x2+bx=0; x(4x+b)=0; x1=0; x2=0,5; 4x2+b=0; 2+b=0; b=-2. Ответ: b=-2, c=0. №669*. По теореме Виета x1+x2=-b, x1 ⋅ x2=c; по условию: x1=b, x2=c, откуда: bc=c; bc-c=0; c(b-1)=0; c ≠ 0, b=1; b+c=-b; 1+c=-1; c=-2. Ответ: b=1, c=-2 №670*. Пусть х1 и х2 – корни данного уравнения. По теореме Виета получаем: х12 + х 22 =(x1+x2)2-2x1x2=p2-2q. №671*. По теореме Виета x1+x2=-
2 k , x1 ⋅ x2= ; 3 3
по условию задачи: х2=-
2 х1. 3
www.5balls.ru
2 x1 + x 2 = − 3 , 2 2 x 2 x1- =- ; 1 =- ; 2 3 3 3 3 x = − x ; 1 2 3 4 4 x1=-2; x2= ; k=3x1x2=3 ⋅ (-2) ⋅ =(-2) ⋅ 4=8. 3 3
Ответ: -8. №672*. По теореме Виета x1+x2=8, x1 ⋅ x2=k; по условию задачи: 3х1+4х2=29; 24-3x2+4x2=29; x2=5, следовательно, x1=3; k= x1 ⋅ x2=15. Ответ: 15. К ПАРАГРАФУ 10 №673. x + 1 20 x + 1 20 + = 4; + − 4 = 0; 6 x −1 6 x −1 ( x + 1)( x − 1) + 120 − 4 ⋅ 6( x − 1) = 0; 6( x − 1)
a)
(x-1)(x+1)+120-24x+24=0; x2-24x+143=0; D1=(-12)2-1 ⋅ 143=1; x=12 ± 1 =12 ± 1; x1=12-1=11; x2=12+1=13; x + 15 21 x + 15 21 − = 2; − −2 = 0; 4 x+2 4 x+2 ( x + 1)( x − 1) + 120 − 4 ⋅ 6( x − 1) = 0; 6( x − 1) (x+2)(x+15)-4 ⋅ 21-8(x+2)=0;
б)
x2+9x-70=0; D=92-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=81+280=361;
x=
− 9 ± 361 − 9 ± 19 ; = 2 2
www.5balls.ru
−9 + 19 =5; 2 −9 − 19 x2= = −14 ; 2 12 8 в) − =1; x −1 x +1
x1=
12 8 − −1 = 0 ; x −1 x +1
12(x+1)-8(x-1)-(x-1)(x+1)=0; 12x+12-8x+8-x2+1=0; x2-4x-21=0; D1=(-2)2-1 ⋅ (-21)=4+21=25; x=2 ± 25 = 2 ± 5 ; x1=2-5=-3; x2=2+5=7; г)
16 30 + = 3; x − 3 1− x
16 30 + −3 = 0; x − 3 1− x
16(1-x)+30(x-3)-3(x-3)(1-x)=0; 16+14x-90-3x+3x2+9-9x=0; 3x2+2x-65=0; D1=12-3 ⋅ (-65)=1+195=196; − 1 ± 196 − 1 ± 14 ; = 3 3 1 −1 + 14 13 x1= = =4 ; 3 3 3 −1 − 14 x2= = −5 ; 3 3 1 28 + = ; д) 1 − x 1 + x 1 − x2 3 1 28 + − = 0; 1 − x 1 + x (1 − x )(1 + x )
x=
3(1+x)+1-x-28=0; 2(x-12)=0; x=12; е)
5 3 20 5 3 20 − − =0; ; − = x − 2 x + 2 x2 − 4 x − 2 x + 2 x2 − 4
5(x+2)-3(x-2)-20=0; 2x-4=0; x-2=0; x=2 не подходит, так как при х=2 обращается в ноль знаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имеет корней;
www.5balls.ru
ж)
x +2 x+3 29 ; + = x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)
x +2 x +3 29 + − =0; x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)
(x-2)(x+2)+(x+1)(x+3)-29=0; x2-4+x2+3x+x+3-29=0; 2(x2+2x-15)=0; x2+2x-15=0; D1=12-1 ⋅ (-15)=16; x=-1 ± 16 = −1 ± 4 ; x1=-1+4=3; x2=-1-4=-5; з)
x + 2 x +1 4 ; − = x + 3 x − 1 ( x + 3)( x − 1)
x + 2 x +1 4 − − = 0; x + 3 x − 1 ( x + 3)( x − 1)
(x-1)(x+2)-(x+1)(x+3)-4=0; -3(x+3)=0; x=-3 не подходит, так как при х=-3 обращается в ноль знаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имеет корней. №674*. a) y= x=
2x − 5 = 0 ; 2x-5=0; 2x=5; x +3
5 =2,5. 2
Искомая точка – (2,5;0). б) y=
( x − 4)(3x − 15) =0; x −9
(3x-15)(x-4)=0; 1) 3(x-5)=0; x-5=0; x1=5; 2) x-4=0; x2=4. Искомые точки – (5;0) и (4;0). в) y=
x 2 − 5x + 6 = 0; x−2
x-5x+6=0; (x-2)(x-3)=0; x1=3; x2=2 не подходит, так как при х=2 обращается в ноль знаменатель дроби; искомая точка – (3;0);
www.5balls.ru
x 3 − 7 x 2 + 12 x = 0; x −3
г) y=
x-7x+12x=0; x(x-7x+12)=0; 1) x1=0; 2) x-7x+12=0; (x-4)(x-3)=0; x1=4; x2=3 не подходит, так как при х=3 обращается в ноль знаменатель дроби; искомые точки – (0;0) и (4;0). №675. a) y= 1)
5x − 7
x2 + 1 5x − 7 2
x +1
;
=-6;
5x − 7 x2 + 1
+6-0;
5x-7+6x2+6=0; 6x2+5x-1=0; D=52-4 ⋅ 6 ⋅ (-1)=25+24=49; − 5 ± 49 − 5 ± 7 = ; 2⋅6 12 −5 + 7 1 x1= = ; 12 6 −5 − 7 x2= = −1 ; 12 5x − 7
x=
2)
3)
x2 + 1 5x − 7 x2 + 1
=0; 5x-7=0; x= =0,8;
7 2 =1 ; 5 5
5x − 7 4 - =0; 5(5x-7)-4(x2+1)=0; x2 + 1 5
4x2-25x+39=0; D=(-25)2-4 ⋅ 4 ⋅ 39=625-624=1;
25 ± 1 25 ± 1 ; = 2⋅4 8 25 − 1 24 = =3; x1= 8 8 25 + 1 26 1 = =3 ; x2= 8 8 4 5x − 7 5x − 7 14 =0,56; 2 - =0; 4) 2 x +1 x + 1 25
x=
25(5x-7)-14(x2+1)=0; -14x2+125x-189=0; 14x2-125x+189=0;
www.5balls.ru
D=1252-4 ⋅ 14 ⋅ 189=12625-10584=5041; 125 ± 5041 125 ± 71 = ; 2 ⋅ 14 28 125 + 71 196 = =7; x1= 28 28 125 − 71 27 13 = =1 ; x2= 28 14 14
x=
б) y= 1)
x 2 − 2x + 6 ; x+4
x 2 − 2x + 6 x 2 − 2x + 6 3 = 1,5 ; − =0; x+4 x+4 2
2x2-4x+12-3(x+4)=0; 2x2-7x=0; x(2x-7)=0; x1=0; x2= 2)
7 1 =3 ; 2 2
x 2 − 2x + 6 x 2 − 2x + 6 = 3; −3 = 0 ; x+4 x+4
x2-2x+6-3(x+4)=0; x2-5x-6=0; (x+1)(x-6)=0; x1=-1; x2=6; 3)
x 2 − 2x + 6 x 2 − 2x + 6 =7; −7 = 0; x+4 x+4
x2-2x+6-7x-28=0; x2-9x-22=0; D=(-9)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-22)=81+88=169; 9 ± 169 9 ± 13 = ; 2 2 9 + 13 x1= = 11 ; 2 9 − 13 x2= = −2 . 2
x=
№676. a) 2x+3=
34 ; x −5
(2x+3)(x-5)-34=0;
www.5balls.ru
2x(x-5)+3(x-5)-34=0; 2x2-7x-49=0; D=(-7)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-49)=49+392=441; 7 ± 441 7 ± 21 = ; 4 4 7 + 21 = 7 ; y1=2 ⋅ 7+3=17; x1= 4 7 − 21 14 1 = − = −3 ; y2=2 ⋅ (-3,5)+3=-4. x2= 4 4 2
x=
Искомые точки пересечения: (7;17) и (-3,5;-4). б)
x 2 − 5x x 2 − 5x =2x; -2x=0; x2-5x-2x2-6x=0; x +3 x +3
x2+11x=0; x(x+11)=0; x1=0; y1=0; x2=-11; y2=2 ⋅ (-11)=-22. Искомые точки пересечения: (0;0) и (-11;-22). №677*. a)
2 x + 1 3( 2x − 1) 8 − + = 0; 2 x − 1 7(2 x + 1) 1 − 4 x 2
2 x + 1 3(2 x − 1) 8 − + =0; 2 x − 1 7(2 x + 1) (1 − 2 x )(1 + 2 x )
7(2x+1)2-3(2x-1)2-56=0; 7(4x2+4x+1)-3(2x-1)2-56=0; 7(4x2+4x+1)-3(4x2-4x+1)-56=0; 16x2+40x-52=0; 4x2+10x-13=0; D1=52-4 ⋅ (-13)=77; − 5 ± 77 ; 4 y 1 3 б) 2 − 2 + = 0; y − 9 y + 3y 6 y + 2 y 2
x1,2=
y 1 3 − + = 0; ( y − 3)( y + 3) y( y + 3) 2 y(3 + y)
2y2-2(y-3)+3(y-3)=0; 2y2+y-3=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-3)=25;
www.5balls.ru
− 1 ± 25 − 1 ± 5 ; = 4 4 −1 + 5 = 1; y1= 4 −1 − 5 6 1 = − = −1 ; y2= 4 4 2 2y − 1 8 2y + 1 ; в) + = 2 2 2 14 y + 7 y 12 y − 3 6 y − 3y
y1,2=
2y − 1 8 2y + 1 + − =0; 7 y(2 y + 1) 3(4 y 2 − 1) 3y( y − 1) 3(2 y − 1) 2 + 56 y − 7( 2 y + 1) 2 3 ⋅ 7 y( 4 y 2 − 1)
=0;
3(4y2-4y+1)+56y-7(4y2+4y+1)=0; 12y2-12y+3+56y-28y2-28y-7=0; 16y2-16y+4=0; 4y2-4y+1=0; (2y-1)2=0; 2y=1; y=
1 1 не подходит, так как при y= общий знаменатель 2 2
дробей обращается в ноль, значит, корней нет. 3 1 3 − = ; x 2 − 9 9 − 6x + x 2 2x 2 + 6x 3 1 3 − − =0; 2 ( x − 3)( x + 3) (3 − x ) 2 x ( x + 3x )
г)
3 ⋅ 2 x ( x − 3) − 2 x ( x + 3) − 3( x − 3) 2 2 x ( x − 3) 2 ( x + 3)
=0;
6x(x-3)-2x(x+3)-3(x2-6x+9)=0; 6x2-18x-2x2-6x-3x2+18x-27=0; 6x2-2x2-3x2-6x-27=0; x2-6x-27=0; D1=(-3)2-1 ⋅ (-27)=36; x= 3 ± 36 = 3 ± 6 ; x1=3+6=9; x2=3-6=-3 не подходит, так как при x=-3 общий знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень х=9; д)
9 x + 12 3
x − 64
−
1 2
x + 4 x + 16
=
1 ; x−4
www.5balls.ru
9x + 12 ( x − 4)( x + 4 x + 16) 2
−
1 x + 4 x + 16 2
−
1 =0; x−4
9x+12-x+4-x2-4x-16=0; -x2+4x+12+4-16=0; x2-4x=0; x(x-4)=0; x1=0; x2=4 не подходит, так как при x=4 общий знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень х=0; е)
3 3
8y + 1
−
1 y+3 = ; 2y + 1 4y2 − 2y + 1
3 2
( 2 y + 1)(4 y − 2 y + 1)
−
1 y+3 − 2 =0; 2y + 1 4y − 2y + 1
3-(4y2-2y+1)-(2y+1)(y+3)=0; 3-4y2+2y-1-2y2-6y-y-3=0; 6y2+5y+1=0; D=52-4 ⋅ 6 ⋅ 1=1;
−5 ± 1 −5 ± 1 ; = 2⋅6 12 4 1 −5 + 1 y1= =− =− ; 12 12 3 6 1 1 −5 − 1 y2= = − = − не подходит, так как при y=- общий 12 12 2 2
y=
знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень 1 3
y=- ; 32 1 1 ; + = x 3 − 2 x 2 − x + 2 ( x − 1)( x − 2) x + 1 32 1 1 + − = 0; ( x − 2)( x 2 − 1) ( x − 1)( x − 2) x + 1
ж)
32 1 1 + − =0; ( x − 2)( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x − 2) x + 1
32+x+1-(x-2)(x-1)=0; x2-4x-31=0; D1=(-2)2-1 ⋅ (-31)=35; x1,2=2 ± 35 ; з)
1 1 1 + + =0; 3( x − 4) 2( x 2 + 3) x 3 − 4 x 2 + 3x − 12
www.5balls.ru
1 1 1 + + 2 =0 2 3( x − 4) 2( x + 3) x ( x − 4) + 3( x − 4) 1 1 1 + + =0 3( x − 4) 2( x 2 + 3) ( x − 4)( x 2 + 3)
2(x2+3)+3(x-4)+6=0; 2x2+3x=0; x(2x+3)=0; x1=0; 2x2+3=0; x2=-
3 1 = −1 . 2 2
www.5balls.ru