Exm2º0101: Vectores y Cinemática
FÍSICA 2
28.09.2006
ALUMNO: ________________________________________________ Calificación: Marianistas – Compañía de María
r 1.- La posición de un móvil, en el plano, viene dada por r (t) = 4 t 2 iˆ − 8 t jˆ en unidades del Sistema Interr r nacional. Determinar, en función del tiempo, la velocidad v (t), la rapidez v(t), las aceleraciones a (t), a(t), at(t) y an(t) y el radio de curvatura de la trayectoria R(t).- Para un instante t = 3 s, hallar la posición del punto r r móvil P(x, y) y los valores de v, a, v, an at y R. Posición: Velocidad: Aceleración: Rapidez: v(t) =
r r (t) = 4 t 2 ˆi − 8 t ˆj r v( t ) = 8 t ˆi − 8 ˆj r a( t ) = 8 ˆi
v 2x + v 2y =
Aceleración tangencial: at(t) = Aceleración normal: an(t) = Radio de curvatura: R(t) =
Para t = 3 s, Para t = 3 s, Para t = 3 s,
64 t 2 + 64 = 8 t 2 + 1
Para t = 3 s,
dv d⎡ = 8 t 2 + 1⎤ = ⎥⎦ dt dt ⎢⎣
8t
a 2 − a 2t =
64 −
64 t 2 t +1 2
t +1 2
=
v2 64( t 2 + 1) = = 8 (t2 + 1)3/2 2 an 8/ t +1
8 t +1 2
r r = 36 ˆi − 24 ˆj → P(36, –24) r v = 24 ˆi − 8 ˆj → v = 25’30 m/s r a = 8 ˆi → a = 8 m/s2 v = 8 10
Para t = 3 s, at = Para t = 3 s, an =
→ v = 25’30 m/s
24 10 8 10
= 7'59 m/s2 = 2’53 m/s2
Para t = 3 s, R = 8x(10)3/2 = 253 m
r r 2.- Dados los vectores a = (–2, 3, 1) y b = (m, –1, 0) calcular el valor de m para que el vector suma r r r r s = a + b sea perpendicular al vector b .
r r r s = a + b = (–2, 3, 1) + (m, –1, 0) = (m – 2) ˆi + 2 ˆj + kˆ r r La condición de perpendicularidad de s y b es que su producto escalar sea cero: r r sb=0 → (m – 2) m – 2 = 0 (aplicando sxbx + syby + szbz = 0) Resulta la ecuación: m2 – 2 m – 2 = 0 que resuelta da dos posibles soluciones m = 1 ±
3 →
⎧⎪m1 = 1 + 3 ≅ 2'732 ⎨ ⎪⎩m 2 = 1 − 3 ≅ − 0'732
3.- Define producto vectorial de dos vectores.- Explícalor con un dibujo.r Calcula el producto vectorial de a = − jˆ + 2 kˆ por b = 2 iˆ + 3 jˆ − kˆ y expresa su versor (o vector unitario) correspondiente uˆ . r r r Dados dos vectores, a y b , se define su producto vectorial como un vector v - cuyo módulo es v = a.b.sen ϕ siendo ϕ el ángulo formado por ambos vectores, - cuya dirección es normal al plano determinado por ambos vectores, - cuyo sentido es el de avance de un tornillo que gira del primer vector al segundo por el camino más corto. r r r Se expresa así: v = a x b y su módulo así: v = a . b . sen ϕ
Ejercicio:
r r r v = a xb=
ˆi 0 2
ˆj kˆ −1 2 3 −1
r = – 5 i + 4 ˆj + 2 kˆ
→
r v = − 5 iˆ + 4 jˆ + 2 kˆ
r r v 2 ˆ 4 ˆ 5 ˆ − 5 ˆi + 4 ˆj + 2 kˆ k j+ i + El vector unitario correspondiente a v es: uˆ = = − = v 3 5 3 5 3 5 3 5 5 ˆ 4 ˆ 2 ˆ i + j + k = − 0'745 iˆ + 0'596 jˆ + 0'298 kˆ → uˆ = − 3 5 3 5 3 5