polinomios y ecuaciones

4.1 DEFINICIONES El álgebra: es la parte de las matemáticas que estudia la relación entre signos, números y letras.

El lenguaje algebraico es el lenguaje matemático en el que se utilizan signos, números y letras.

Y una expresión algebraica es la expresión formada por signos, números y letras (variables) asociados a operaciones aritméticas.

Ej: 2x

(a+b)

; 3(-x)z2

;

(a+b)·(a-b)

; -2z2t3

;

2z/(-3t)

;

2n + 5

Denominamos MONOMIO a una expresión algebraica formada por signos, número y letras. Los monomios están formados por números (que se llaman COEFICIENTES) y por letras (llamadas PARTE LITERAL)

Además cada monomio posee

un GRADO que son los exponentes de la parte literal.

COEFICIENTE PARTE LITERAL Grado del monomio Ejemplos de coeficientes y partes literales:

2x4 ;

3x2 ;

-4x2y3z4 ;

8ab2

GRADO de un MONOMIO Si está formado por una sola letra el grado es el exponente de la letra.

Ej 3x2 Monomio de grado 2 Si está formado por más letras, el grado es la suma de los exponentes de todas las letras.

Ej:

3x2y3 Monomio de grado 2 + 3 = 5

MONOMIOS SEMEJANTES son aquellos que tienen idéntica parte literal. Ej: 3x4 ; -5x4 ; 2x4 POLINOMIO es la suma o resta de dos o más monomios.

Los polinomios pueden tener nombre propio. Es común que se empiecen nombrando con las letras mayúsculas P, Q, R,... y entre paréntesis la letra o letras de la parte literal (que a partir de este momento las vamos a llamar variables (LETRAS = VARIABLES) .

P(x)

que se lee P de x

Q(a,b)

que se lee Q de a b

TÉRMINO es cada uno de los monomios que forman un polinomio.

(TÉRMINO = MONOMIO) Ej:

–

será un polinomio de tres términos.

GRADO de un polinomio: es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

Ej:

es un polinomio de grado 4

TÉRMINO INDEPENDIENTE: Es un monomio de grado 0 (aquellos monomios que no tienen variable). Ej:

P(x)=

Un polinomio de grado n (en el ejemplo de grado 5) es COMPLETO cuando tiene todos los monomios desde grado 0 hasta grado n – INCOMPLETO cuando carece de alguno de ellos. y ORDENADO cuando los monomios se ordenan en forma creciente o decreciente.

– A los polinomios de dos términos se les llama BINOMIOS y a los de tres TRINOMIOS .

4.2 SUMAS Y RESTAS DE MONOMIOS. Para sumar o restar monomios, se suman o restan los coeficientes de los monomios con idéntica parte literal, es decir los monomios SEMEJANTES. – Ejemplos – – En el caso de no tener la misma parte literal no se podrá realizar la operación. Observa: – –

–

–

–

–

– –

–

–

–

+8

4.3 PRODUCTOS DE MONOMIOS Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes entre sí y en la parte literal se aplican las leyes del producto de la potencias. (Producto de potencias con la misma base: se deja la misma base y se suman los exponentes)

Ejemplos

–

– –

– –

–

4.4 COCIENTES DE MONOMIOS Para dividir monomios se dividen los coeficientes entre sí y en la parte literal se aplican las leyes del cociente de las potencias (Cociente de potencias con la misma base: se deja la misma base y se restan los exponentes).

4.5 POTENCIAS DE MONOMIOS Para calcular las potencias de un monomio, se aplican la regla dada para las potencias.

Habrás observado que tienen la misma resolución que los ejercicios planteados en el tema anterior.

4.6 PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO Para multiplicar un polinomio por un número, se multiplican todos los coeficientes del polinomio por dicho número.

1.

2.

3.

Dados los polinomios P(x) y Q(x) realiza las operaciones que se indican

4.7 PRODUCTOS ENTRE MONOMIOS Y POLINOMIOS Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la ley distributiva y se opera siguiendo las propiedades vistas en las operaciones con monomios.

Opera los siguiente ejercicios.

–

–

4.8 PRODUCTOS DE POLINOMIOS DE FORMA DESARROLLADA Para multiplicar polinomios de forma desarrollada, se utiliza la misma mecánica que con los números enteros, pero aplicando las propiedades del producto de monomios.

Con estos ejemplos lo entenderás rápidamente.

4.

5.

Calcula los siguientes productos de forma desarrollada

6.

7.

8.

9.

Observa

lo

importante que es dejar huecos para poder sumar mejor y dejar ordenado el producto.

10.

4.9 PRODUCTO DE FORMA DIRECTA La forma más común de operar a partir de ahora es la realización de los producto de forma directa, de manera que se aplica la ley distributiva y se agrupan posteriormente los términos semejantes (idéntica parte literal) 11.

12.

13.

14.

15.

Realiza por productos que se indican

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

4.10 DIVISIONES DE POLINOMIOS Para dividir dos polinomios se divide el monomio de mayor grado del dividendo entre el monomio de mayor grado del divisor. Este cociente encontrado se multiplica por el divisor y se cambia el signo y se suma 23.

24.

25.

4

26.

27.

0

28.

29.

0 30.

31.

4.11 MÉTODO DE RUFFINI Si se quiere realizar una división entre un polinomio

y un binomio

se puede

realizar de dos maneras: a) Realizando la división normal

b) Utilizando el método de Ruffini.

a) Una división tiene la siguiente estructura: Donde

es el dividendo, y

el cociente.

b) El método de Ruffini tiene esta estructura: Y el modo de operar es el siguiente:

+

+

+

+

Mira esta división realizada de dos maneras, desarrollando y por el método de Ruffini.

NOTA: Se colocan todos los coeficientes de , es decir , éste debe ser un polinomio completo y ordenado (si no hay términos , el coeficiente es 0). es siempre un polinomio un grado menor que

En estos ejemplos, se van a realizar las divisiones que se indican por el método de Ruffini, especificando tanto el cociente como el resto de la división con la fórmula:

La prueba de la división es:

Así pues en una división cualquiera se tiene

que si se dividen ambos miembros por el divisor,

32.

Recuerda: El divisor es

por lo que en este caso será

y “a” valdrá -3

33.

34.

Nota: TODOS los coeficientes de P(x) y que éste debe ser un polinomio completo y ordenado.

35.

1 5 7 4 1 5 -1

-1 -4 -3 -1 0 1 4 3 1 0 5

36.

-1 3 -1 0 -3 2

-2 2 2 4 -1 1 1 2 1

37.

4 3 -4 -2

-8 10 -12 4 -5

38.

1

6 -11

1 3 0 0 0 5

7

1 4 4 4 4

9

1

1 4 4 4 4 9 16

39.

4

-1 2 -3 -3 -12 39 -123 4 -13 41 -126

4.12 FACTORIZACIONES Y CÁLCULO DE RAÍCES EN POLINOMIOS DE GRADO 2 Las raíces de un polinomio, son los valores de la variable que anulan (hacen 0)dicho polinomio y factorizar un polinomio es dejarlos en forma de factores.

Tanto para calcular las raíces como para factorizar, solamente se tienen que igualar el polinomio a 0 y ver si hay algún valor que lo anule: y para resolver se utiliza la fórmula :

b=0 se resuelve directamente: Y por tanto las raíces serán:

Y su factorización factorización 40.

Calcula las raíces y factoriza los siguientes polinomios.

41.

No tiene raíces y no se puede factorizar 42.

(FĂ­jate que 43.

44.

45.

)

b=0 Si

se resuelve sacando factor común a la variable

Y se resuelve aplicando que: un producto es 0 cuando alguno de los factores es 0.

La raíces serán entonces

Y su factorización puede expresarse de dos maneras:

46.

47.

48.

Calcula las raíces y factoriza los siguientes polinomios.

49.

50.

Se calculan las raíces utilizando la fórmula

Se llama discriminante al término tres casos: Caso 1: Que el discriminante

por lo que se tendrán dos raíces

y según el valor que tome pueden ocurrir por lo que se tendrán dos soluciones:

y para factorizar el polinomio

Ejemplo 1 : Calcula las raíces y factoriza el siguiente polinomio

Factorizaci贸n 51.

52.

53.

54.

Calcula las ra铆ces y factoriza los siguientes polinomios.

Caso 2: Que el discriminante

por lo que se tendrá una solución:

por lo que se tendrán una raíz y para factorizar el polinomio se utiliza la fórmula general

Ejemplo 2: Calcula las raíces y factoriza el siguiente polinomio

Por lo que sólo hay un valor que anula al polinomio x=2 y es la única raíz.

En cambio para factorizar hay que aplicar la fórmula general como si hubiese dos raíces

55.

Calcula las raíces y factoriza los siguientes polinomios.

56.

57.

58.

59.

Caso 3: Que el discriminante

que no tendrá solución porque por ahora

no se pueden resolver las raíces cuadradas de números negativos.

Ejemplo 3: Calcula las raíces y factoriza el siguiente polinomio

l y por lo tanto se dirá que no tienen raíces ni se puede factorizar.

60.

Calcula las raíces y factoriza los siguientes polinomios.

No tiene raíces y no se puede factorizar .

61.

No tiene raíces y no se puede factorizar.

NOTA: Se pueden reducir los coeficientes del polinomio para operar más cómodamente. y ahora se factoriza el polinomio.

Pero hay que tener cuidado de no olvidar l 62.

f

“a” a la hora de factorizar.

63.

64.

65.

66.

(ya te habrรกs dado cuenta de donde sale el coeficiente 24)