Questões sobre Matrizes

QUESTÕES DA ATIVIDADE EM GRUPO SOBRE MATRIZES Multiplicação de Matrizes 1) A lanchonete "Natureba" oferece dois tipos de sanduíches, A e B, utilizando os ingredientes queijo, salada e atum nas quantidades (em gramas) mostradas na tabela à direita.

Durante o almoço foi necessário utilizar 208 g de queijo, 486 g de salada e 258 g de atum.

Quantos sanduíches de cada tipo foram preparados?

Faça o cálculo por meio de produto de matrizes.

A

B

queijo

18

10

salada

26

33

atum

23

12

Resposta: A = 6; B = 10

2) Dois alunos, A e B, apresentaram a seguinte pontuação em uma prova de Português (P) e em outra de Matemática (M): P

M

A

4

6

B

9

3

a) Se o peso da prova de Português é 3 e o da prova de Matemática é x, obtenha, por meio de produto de matrizes, a matriz que fornece a pontuação total dos alunos A e B. b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B apresentem a mesma pontuação final?

Respostas:

12 + 6 x  a)   27 + 3 x 

b) x = 5

3) Na primeira fase da Copa do Mundo de Futebol realizada em 2002, o Grupo C foi formado pelos países indicados na tabela abaixo, juntamente com os resultados:

Pontuação: Vitória

3

Empate

1

Derrota

0

Vitórias Empates Derrotas Brasil

3

0

0

Turquia

1

1

1

Costa Rica

1

1

1

China

0

0

3

Pelo regulamento da Copa, cada resultado tem uma pontuação correspondente:

De posse desses dados, calcule o total de pontos obtidos por cada país (por meio de multiplicação de matrizes) e represente o resultado final na forma de uma matriz 4 × 1.

Resposta:

9  4   4   0 

Brasil Turquia C. Rica China

4) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A tabela A indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região.

A tabela B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.

Tabela A

Tabela B

Cultura → Região ↓

milh o

soja

feijão

Fertilizante → Cultura ↓

X

Y

Z

P

50

20

20

milho

10

20

15

Q

40

10

30

soja

15

20

20

feijão

30

20

30

Calcule a matriz C = A · B e explique o significado de c 2 3 , o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.

1400 Resposta: C =  1450

1800 1600

c 2 3 = 1700

1750  1700 

5) Uma indústria montadora que fabrica dois tipos de caminhões, A e B, recebeu uma encomenda para os meses de janeiro e fevereiro, conforme descrição abaixo:

Significado: 1700 kg do fertilizante Z foram usados na região Q.

Para atender a essa demanda o departamento de compras adquiriu eixos e rodas em número suficiente, obedecendo a esta tabela:

Meses → Modelos ↓

Janeiro

Fevereiro

Meses → Componentes ↓

Janeiro

Fevereiro

A

30

20

eixos

135

94

B

25

18

rodas

270

188

Usando multiplicação de matrizes determine quantos eixos e quantas rodas são utilizados em cada tipo de caminhão.

Resposta: A B eixos

2

3

rodas

4

6

6) A matriz C mostra, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada em um restaurante, e a matriz P mostra o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2 e P3.

Resp.: Obtenha a matriz 7  que fornece o 8  custo de produção,   em reais, dos  6  pratos P1, P2 e P3. prato P1 1 1 1 arroz 2 P 2 1  2 1 C =   carne prato P2  =     3 2 2 0   salada   Prato P2

P1 P2 P3

7) Uma indústria fabrica um certo aparelho em dois modelos, P e Q. Na montagem desses modelos são utilizados transistores, capacitores e resistores em números variados, conforme a tabela abaixo: P

Q

Transistor

6

4

Capacitor

9

7

Resistor

11

10

Calcule por meio de multiplicação de matrizes quantos componentes de cada tipo (transistores, capacitores e resistores) serão necessárias para atender as encomendas de cada mês, apresentando os resultados na forma de tabela.

Essa indústria recebeu encomendas para os meses de janeiro e fevereiro, que podem ser dispostas em uma tabela:

Janeiro

Fevereiro

P

8

10

Q

12

6

Resposta :

→

Janeiro

Fevereiro

Transistores

96

84

Capacitores

156

132

Resistores

208

170

8) Para a construção de casas populares, um prefeito sugeriu dois tipos de casa: M e G. As casas do tipo M têm 5 portas e 6 janelas. As casas do tipo G têm 8 portas e 9 janelas (Tabela A). Numa primeira etapa deverão ser construídas 500 casas do tipo M e 200 do tipo G; numa segunda etapa, 600 do tipo M e 400 do tipo G (Tabela B).

Tabela A Tipo de casa →

Tabela B M

G

Etapas →

Material ↓

Pergunta-se:

Etapa 1

Etapa 2

Tipos de casas ↓

Portas

5

8

M

500

600

Janelas

6

9

G

200

400

a) Quantas portas serão necessárias na construção de todas as casas na primeira etapa? b) Quantas janelas serão necessárias na construção de todas as casas?

Respostas: (a) 4100; (b) 12000

9) Uma indústria fabrica três modelos diferentes de televisores: A, B e C. A tabela I mostra o número de teclas e alto-falantes usados em cada modelo e a tabela II mostra a produção que a fábrica planeja fazer para os meses de novembro e dezembro.

Tabela I

Tabela II

Modelos → Componentes ↓

A

B

C

Mês → Modelo ↓

Novembro

Dezembro

Teclas

10

12

15

A

800

2000

Alto-falantes

2

2

4

B

1000

1500

C

500

1000

Usando multiplicação de matrizes calcule quantas teclas e altofalantes serão necessários para a produção nesses dois meses, apresentando o resultado em forma de matriz.

Matriz Resposta:

27500  5600  Nov.

10) Uma indústria de calçados está pretendendo introduzir três novos modelos de sapato em sua produção. Para isso, vai utilizar dois tipos de acessórios, conforme especificado na tabela abaixo:

53000  11000  Dez.

Resposta em forma de tabela: Teclas A. F.

Novembro Dezembro Teclas

27500

53000

A. F.

5600

11000

A produção estimada para os três tipos de calçados durante os meses de teste de aceitação dos novos modelos no mercado está indicada na tabela a seguir: Mês →

Modelo → Acessório

A

B

C

Modelo ↓

1

2

3

↓

A

1000

1200

2000

X

3

5

2

B

1200

1500

2000

Y

8

10

5

C

2000

2000

2500

Quantos acessórios X e quantos acessórios Y serão utilizados nessa produção experimental?

Faça o cálculo por meio de multiplicação de matrizes e apresente o resultado na forma de matriz.

Resposta:

13000 30000  mês 1

11) Uma ONG planeja compor 3 tipos de cestas básicas para distribuir nas localidades X e Y. A quantidade de gêneros alimentícios por tipo de cesta, em unidade de quilos, está na tabela à esquerda.

O número de cestas a serem distribuídas por local está na tabela da direita.

Tipo de cesta →

A

B

C

21000   48500 

15100 34600 mês 2

Local →

Gênero ↓

mês 3

X

Y

Tipo de Cesta ↓

Arroz

2

3

2

A

15

15

Feijão

1

2

2

B

12

10

Farinha

1

2

1

C

12

12

Açúcar

1

2

2

A partir das informações acima, calcule quantos quilos de cada gênero alimentício deverão ser coletados pela ONG a fim de realizar essa distribuição.Utilize multiplicação de matrizes e apresente o resultado na forma de tabela.

(Resposta à direita.)

12) Pedro e Margarida resolveram comparar os seus respectivos gastos em energia elétrica nos meses de junho, julho e agosto. Para isso pegaram as suas contas de luz e construíram a tabela A: Tabela A: Consumo em quilowatt-hora (kWh)

X

Y

Total

Arroz

90 84

174

Feijão

63 59

122

Farinha 51 47

98

Açúcar

122

63 59

Tabela B: Preço do quilowatt-hora Mês Junho

Preço 0,23

X Y

Mês →

Junho

Julho

Agosto

Consumidor ↓ Pedro

90

92

89

Margarida

74

59

57

Em qual dos mercados a compra será mais econômica? Calcule por multiplicação de matrizes.

0,18

Agosto

0,17

Quais foram os gastos de Pedro e Margarida nesse período de três meses?

Resolva por meio de multiplicação de matrizes.

Tendo notado que o preço do quilowatt-hora havia decrescido ao longo desses meses, precisaram construir a tabela B:

13) Para um almoço de confraternização uma pessoa precisa comprar 3 kg de salsichas, 2 kg de almôndegas e 5 kg de macarrão. Fazendo uma pesquisa nos supermercados próximos ela obteve a tabela à direita, que mostra o preço do quilo para produtos de mesma marca.

Julho

Resposta: Pedro: R$ 52,39 Margarida: R$ 37,33

Mercado Estrela Dalva

Mercado da Filó

Bom Preço

salsicha

13

12

14

almôndega

14

17

16

macarrão

3

3

2

→ Gênero ↓

Matriz Resposta:

[ 82 E.D.

85

84]

M.F.

B.P.

A compra mais econômica será no Estrela Dalva.

Questões com Matrizes Transpostas 1) Obtenha a matriz transposta da seguinte matriz:

4 Resposta →  4

A = ( a i j ) 2 × 2 tal que a i j = (1 + i)2

1  2) Dadas as matrizes A = 3 5 calcule C = 2 A ─ 3 B t

0 2 2 e B =  1 4

−1 3

0 4

9 9

Resposta: − 4 9   10

− 3 − 5  − 4

3) Sabendo que a matriz A é igual à sua transposta, determine o valor de 2x + y.

A=

 y  2  x  4 − y

36 0 − 30

− 7  5x  3 

Resposta: 2x + y = ─1

4) Uma matriz quadrada A é chamada antissimétrica se e somente se A = ─ A t .

Nessas condições, obtenha x, y e z para que a matriz A seja antissimétrica. x  A= 2  − 1

y 0 3

z  − 3 0 

Resposta: x = 0; y = ─2; z = 1

5) Considere a matriz A = ( a i j ) 8 × 1 0 com a i j = transposta de A. Resposta: b 5 3 = 2 9

a 6) Dadas as matrizes A =  − 1

b 1

1 a

i 2 + 4 j . Obtenha o elemento b 5 3 da matriz

1 B=  0

−1 1

0 0

3 C=  − 2

4 1

obtenha a e b de modo que A · B t = C Resposta: a = 7; b = 4

7) Se uma matriz quadrada A é tal que A = ─ A t ela é chamada de matriz antissimétrica.

Sabe-se que M é antissimétrica, sendo

4+ x  M=  x  y Quais são os valores dos elementos a 1 2 , a 1 3

a12 y+ 2 z

a13   a23  2z − 8

e a23?

Resposta: a 1 2 = 4 ; a 1 3 = 2 ; a 2 3 = ─4

8) Uma matriz quadrada A é chamada simétrica se e somente se A = A t .

Nessas condições, obtenha x e y para que a matriz A seja simétrica:

 3  A=  y  2x + 3

1 5 2

9 2 1

Resposta: x = 3; y = 1

1 9) Sendo A =  3

2  e B= 4

2  1

0 t t t  mostre que ( A + B ) = A + B 2

Resposta: demonstre! : )

 2 10) Sendo A =  − 12

 x−y  2z − 5 

5 e B= − 1

x + y calcule x, y e z tal que A = B t − 1 

Resposta: x = ─5; y = ─7; z = 5 11) Obtenha a matriz transposta da seguinte matriz: B = ( b i j ) 2 × 3 tal que 2 se i = j ( b i j ) 2 × 3 tal que b i j = 1 + j se i ≠ j

Resposta →

2 3  4

{

Resposta →

12) Dada a matriz A = ( a i j ) 3 × 2 com a i j =

2 i −j 2

t

calcule A .

1 13) Considere as matrizes A =  0

2 3 e B=   3 − 2

Determine a matriz X tal que 2 · X ─ A t = B t

0 1

1 2   0 

3 2 1

2 2 4

5 2   2 

Resposta →

X=

2 1 

− 1 2 