QUESTÕES DA ATIVIDADE EM GRUPO SOBRE MATRIZES Multiplicação de Matrizes 1) A lanchonete "Natureba" oferece dois tipos de sanduíches, A e B, utilizando os ingredientes queijo, salada e atum nas quantidades (em gramas) mostradas na tabela à direita. Durante o almoço foi necessário utilizar 208 g de queijo, 486 g de salada e 258 g de atum. Quantos sanduíches de cada tipo foram preparados? Faça o cálculo por meio de produto de matrizes.
A
B
queijo
18
10
salada
26
33
atum
23
12
Resposta: A = 6; B = 10
2) Dois alunos, A e B, apresentaram a seguinte pontuação em uma prova de Português (P) e em outra de Matemática (M): P
M
A
4
6
B
9
3
a) Se o peso da prova de Português é 3 e o da prova de Matemática é x, obtenha, por meio de produto de matrizes, a matriz que fornece a pontuação total dos alunos A e B. b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B apresentem a mesma pontuação final?
Respostas:
12 + 6 x a) 27 + 3 x
b) x = 5
3) Na primeira fase da Copa do Mundo de Futebol realizada em 2002, o Grupo C foi formado pelos países indicados na tabela abaixo, juntamente com os resultados:
Pontuação: Vitória
3
Empate
1
Derrota
0
Vitórias Empates Derrotas Brasil
3
0
0
Turquia
1
1
1
Costa Rica
1
1
1
China
0
0
3
Pelo regulamento da Copa, cada resultado tem uma pontuação correspondente:
De posse desses dados, calcule o total de pontos obtidos por cada país (por meio de multiplicação de matrizes) e represente o resultado final na forma de uma matriz 4 × 1.
Resposta:
9 4 4 0
Brasil Turquia C. Rica China
4) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A tabela A indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região. A tabela B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura. Tabela A
Tabela B
Cultura → Região ↓
milh o
soja
feijão
Fertilizante → Cultura ↓
X
Y
Z
P
50
20
20
milho
10
20
15
Q
40
10
30
soja
15
20
20
feijão
30
20
30
Calcule a matriz C = A · B e explique o significado de c 2 3 , o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.
1400 Resposta: C = 1450
1800 1600
c 2 3 = 1700
1750 1700
5) Uma indústria montadora que fabrica dois tipos de caminhões, A e B, recebeu uma encomenda para os meses de janeiro e fevereiro, conforme descrição abaixo:
Significado: 1700 kg do fertilizante Z foram usados na região Q.
Para atender a essa demanda o departamento de compras adquiriu eixos e rodas em número suficiente, obedecendo a esta tabela:
Meses → Modelos ↓
Janeiro
Fevereiro
Meses → Componentes ↓
Janeiro
Fevereiro
A
30
20
eixos
135
94
B
25
18
rodas
270
188
Usando multiplicação de matrizes determine quantos eixos e quantas rodas são utilizados em cada tipo de caminhão. Resposta: A B eixos
2
3
rodas
4
6
6) A matriz C mostra, em reais, o custo das porções de arroz, carne e salada em um restaurante, e a matriz P mostra o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2 e P3. Resp.: Obtenha a matriz 7 que fornece o 8 custo de produção, em reais, dos 6 pratos P1, P2 e P3. prato P1 1 1 1 arroz 2 P 2 1 2 1 C = carne prato P2 = 3 2 2 0 salada Prato P2
P1 P2 P3
7) Uma indústria fabrica um certo aparelho em dois modelos, P e Q. Na montagem desses modelos são utilizados transistores, capacitores e resistores em números variados, conforme a tabela abaixo: P
Q
Transistor
6
4
Capacitor
9
7
Resistor
11
10
Calcule por meio de multiplicação de matrizes quantos componentes de cada tipo (transistores, capacitores e resistores) serão necessárias para atender as encomendas de cada mês, apresentando os resultados na forma de tabela.
Essa indústria recebeu encomendas para os meses de janeiro e fevereiro, que podem ser dispostas em uma tabela:
Janeiro
Fevereiro
P
8
10
Q
12
6
Resposta :
→
Janeiro
Fevereiro
Transistores
96
84
Capacitores
156
132
Resistores
208
170
8) Para a construção de casas populares, um prefeito sugeriu dois tipos de casa: M e G. As casas do tipo M têm 5 portas e 6 janelas. As casas do tipo G têm 8 portas e 9 janelas (Tabela A). Numa primeira etapa deverão ser construídas 500 casas do tipo M e 200 do tipo G; numa segunda etapa, 600 do tipo M e 400 do tipo G (Tabela B).
Tabela A Tipo de casa →
Tabela B M
G
Etapas →
Material ↓
Pergunta-se:
Etapa 1
Etapa 2
Tipos de casas ↓
Portas
5
8
M
500
600
Janelas
6
9
G
200
400
a) Quantas portas serão necessárias na construção de todas as casas na primeira etapa? b) Quantas janelas serão necessárias na construção de todas as casas? Respostas: (a) 4100; (b) 12000
9) Uma indústria fabrica três modelos diferentes de televisores: A, B e C. A tabela I mostra o número de teclas e alto-falantes usados em cada modelo e a tabela II mostra a produção que a fábrica planeja fazer para os meses de novembro e dezembro. Tabela I
Tabela II
Modelos → Componentes ↓
A
B
C
Mês → Modelo ↓
Novembro
Dezembro
Teclas
10
12
15
A
800
2000
Alto-falantes
2
2
4
B
1000
1500
C
500
1000
Usando multiplicação de matrizes calcule quantas teclas e altofalantes serão necessários para a produção nesses dois meses, apresentando o resultado em forma de matriz.
Matriz Resposta:
27500 5600 Nov.
10) Uma indústria de calçados está pretendendo introduzir três novos modelos de sapato em sua produção. Para isso, vai utilizar dois tipos de acessórios, conforme especificado na tabela abaixo:
53000 11000 Dez.
Resposta em forma de tabela: Teclas A. F.
Novembro Dezembro Teclas
27500
53000
A. F.
5600
11000
A produção estimada para os três tipos de calçados durante os meses de teste de aceitação dos novos modelos no mercado está indicada na tabela a seguir: Mês →
Modelo → Acessório
A
B
C
Modelo ↓
1
2
3
↓
A
1000
1200
2000
X
3
5
2
B
1200
1500
2000
Y
8
10
5
C
2000
2000
2500
Quantos acessórios X e quantos acessórios Y serão utilizados nessa produção experimental? Faça o cálculo por meio de multiplicação de matrizes e apresente o resultado na forma de matriz.
Resposta:
13000 30000 mês 1
11) Uma ONG planeja compor 3 tipos de cestas básicas para distribuir nas localidades X e Y. A quantidade de gêneros alimentícios por tipo de cesta, em unidade de quilos, está na tabela à esquerda. O número de cestas a serem distribuídas por local está na tabela da direita.
Tipo de cesta →
A
B
C
21000 48500
15100 34600 mês 2
Local →
Gênero ↓
mês 3
X
Y
Tipo de Cesta ↓
Arroz
2
3
2
A
15
15
Feijão
1
2
2
B
12
10
Farinha
1
2
1
C
12
12
Açúcar
1
2
2
A partir das informações acima, calcule quantos quilos de cada gênero alimentício deverão ser coletados pela ONG a fim de realizar essa distribuição.Utilize multiplicação de matrizes e apresente o resultado na forma de tabela. (Resposta à direita.)
12) Pedro e Margarida resolveram comparar os seus respectivos gastos em energia elétrica nos meses de junho, julho e agosto. Para isso pegaram as suas contas de luz e construíram a tabela A: Tabela A: Consumo em quilowatt-hora (kWh)
X
Y
Total
Arroz
90 84
174
Feijão
63 59
122
Farinha 51 47
98
Açúcar
122
63 59
Tabela B: Preço do quilowatt-hora Mês Junho
Preço 0,23
X Y
Mês →
Junho
Julho
Agosto
Consumidor ↓ Pedro
90
92
89
Margarida
74
59
57
Em qual dos mercados a compra será mais econômica? Calcule por multiplicação de matrizes.
0,18
Agosto
0,17
Quais foram os gastos de Pedro e Margarida nesse período de três meses? Resolva por meio de multiplicação de matrizes.
Tendo notado que o preço do quilowatt-hora havia decrescido ao longo desses meses, precisaram construir a tabela B:
13) Para um almoço de confraternização uma pessoa precisa comprar 3 kg de salsichas, 2 kg de almôndegas e 5 kg de macarrão. Fazendo uma pesquisa nos supermercados próximos ela obteve a tabela à direita, que mostra o preço do quilo para produtos de mesma marca.
Julho
Resposta: Pedro: R$ 52,39 Margarida: R$ 37,33
Mercado Estrela Dalva
Mercado da Filó
Bom Preço
salsicha
13
12
14
almôndega
14
17
16
macarrão
3
3
2
→ Gênero ↓
Matriz Resposta:
[ 82 E.D.
85
84]
M.F.
B.P.
A compra mais econômica será no Estrela Dalva.
Questões com Matrizes Transpostas 1) Obtenha a matriz transposta da seguinte matriz:
4 Resposta → 4
A = ( a i j ) 2 × 2 tal que a i j = (1 + i)2
1 2) Dadas as matrizes A = 3 5 calcule C = 2 A ─ 3 B t
0 2 2 e B = 1 4
−1 3
0 4
9 9
Resposta: − 4 9 10
− 3 − 5 − 4
3) Sabendo que a matriz A é igual à sua transposta, determine o valor de 2x + y.
A=
y 2 x 4 − y
36 0 − 30
− 7 5x 3
Resposta: 2x + y = ─1
4) Uma matriz quadrada A é chamada antissimétrica se e somente se A = ─ A t . Nessas condições, obtenha x, y e z para que a matriz A seja antissimétrica. x A= 2 − 1
y 0 3
z − 3 0
Resposta: x = 0; y = ─2; z = 1
5) Considere a matriz A = ( a i j ) 8 × 1 0 com a i j = transposta de A. Resposta: b 5 3 = 2 9
a 6) Dadas as matrizes A = − 1
b 1
1 a
i 2 + 4 j . Obtenha o elemento b 5 3 da matriz
1 B= 0
−1 1
0 0
3 C= − 2
4 1
obtenha a e b de modo que A · B t = C Resposta: a = 7; b = 4
7) Se uma matriz quadrada A é tal que A = ─ A t ela é chamada de matriz antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica, sendo
4+ x M= x y Quais são os valores dos elementos a 1 2 , a 1 3
a12 y+ 2 z
a13 a23 2z − 8
e a23?
Resposta: a 1 2 = 4 ; a 1 3 = 2 ; a 2 3 = ─4
8) Uma matriz quadrada A é chamada simétrica se e somente se A = A t . Nessas condições, obtenha x e y para que a matriz A seja simétrica:
3 A= y 2x + 3
1 5 2
9 2 1
Resposta: x = 3; y = 1
1 9) Sendo A = 3
2 e B= 4
2 1
0 t t t mostre que ( A + B ) = A + B 2
Resposta: demonstre! : )
2 10) Sendo A = − 12
x−y 2z − 5
5 e B= − 1
x + y calcule x, y e z tal que A = B t − 1
Resposta: x = ─5; y = ─7; z = 5 11) Obtenha a matriz transposta da seguinte matriz: B = ( b i j ) 2 × 3 tal que 2 se i = j ( b i j ) 2 × 3 tal que b i j = 1 + j se i ≠ j
Resposta →
2 3 4
{
Resposta →
12) Dada a matriz A = ( a i j ) 3 × 2 com a i j =
2 i −j 2
t
calcule A .
1 13) Considere as matrizes A = 0
2 3 e B= 3 − 2
Determine a matriz X tal que 2 · X ─ A t = B t
0 1
1 2 0
3 2 1
2 2 4
5 2 2
Resposta →
X=
2 1
− 1 2