Sadržaj Predgovor 10 UVOD 11 1. BROJEVI I ALGEBRA 19 1.1. Skupovi brojeva 20 1.1.1. Skupovi prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva 20 Pravila o redoslijedu računskih operacija 23 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 23 Zadaci višestrukog izbora 24 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 25 Rješenja 29 1.1.2. Potencije i korijeni 31 Potencije 31 Znanstveni zapis realnog broja 33 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 33 Zadaci višestrukog izbora 35 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 37 Rješenja 38 Korijeni 39 Racionalizacija nazivnika 40 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 41 Zadaci višestrukog izbora 42 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 44 Rješenja 45 1.1.3. Omjeri i postoci 46 Omjeri 46 Postoci 50 Jednostavni i složeni kamatni račun 52 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 54 Zadaci višestrukog izbora 57 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 59 Rješenja 62 1.1.4. Uređaj u skupu realnih brojeva 64 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 66 Zadaci višestrukog izbora 67 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 68 Rješenja 68 1.1.5. Mjerne jedinice 69 Mjere za duljinu, površinu i obujam (volumen) 69 Mjere za vrijeme 69 Mjere za kut 69 Veliki i mali brojevi 70 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 71 Zadaci višestrukog izbora 72 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 72 Rješenja 73 1.1.6. Apsolutna vrijednost 74 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 75 Zadaci višestrukog izbora 76 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 76 Rješenja 77 1.1.7. Skup kompleksnih brojeva 78 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 84 Zadaci višestrukog izbora 85 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 87 Rješenja 88 1.2. Algebarski izrazi i algebarski razlomci 90 1.2.1. Algebarski izrazi 90 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 91
MATURA matematika-0-0 uvod.indd 4
3.2.2011 9:50:51
Rastavljanje algebarskih izraza na faktore 92 Zadaci višestrukog izbora 94 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 95 Rješenja 97 1.2.2. Algebarski razlomci 98 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 99 Zadaci višestrukog izbora 100 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 102 Rješenja 103 1.2.3. Binomni poučak 104 Zadaci višestrukog izbora 108 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 109 Rješenja 110 1.2.4. Polinomi 111 Zadaci višestrukog izbora 114 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 115 Rješenja 116 2. FUNKCIJE, JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE 117 2.1. Pojam funkcije 118 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 123 Zadaci višestrukog izbora 125 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 128 Rješenja 131 2.2. Linearna funkcija 133 2.2.1. Linearna funkcija 133 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 138 Zadaci višestrukog izbora 142 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 144 Rješenja 147 2.2.2. Linearna jednadžba 149 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 151 Zadaci višestrukog izbora 152 Sustavi jednadžbi 154 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 156 Zadaci višestrukog izbora 157 Problemski zadaci 158 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 160 Zadaci višestrukog izbora 161 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 162 Rješenja 165 2.2.3. Linearna nejednadžba 167 Sustavi nejednadžbi 168 Nejednadžbe koje se svode na linearne 169 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 171 Zadaci višestrukog izbora 171 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 173 Rješenja 173 2.3. Funkcija apsolutne vrijednosti 174 2.3.1. Funkcija apsolutne vrijednosti 174 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 177 Zadaci višestrukog izbora 178 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 180 Rješenja 181 2.3.2. Jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnom vrijednosti 185 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 188 Zadaci višestrukog izbora 189 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 189 Rješenja 190
MATURA matematika-0-0 uvod.indd 5
3.2.2011 9:50:51
2.4. Kvadratna funkcija 191 2.4.1. Kvadratna funkcija 191 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 200 Zadaci višestrukog izbora 204 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 206 Rješenja 209 2.4.2. Kvadratna jednadžba 215 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 219 Zadaci višestrukog izbora 220 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 222 Rješenja 224 2.4.3. Kvadratna nejednadžba 225 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 228 Zadaci višestrukog izbora 229 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 230 Rješenja 231 2.4.4. Funkcija drugog korijena 232 Zadaci višestrukog izbora 235 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 236 Rješenja 237 2.4.5. Iracionalna jednadžba i nejednadžba 239 Iracionalna jednadžba 239 Iracionalna nejednadžba 240 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 241 Zadaci višestrukog izbora 241 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 242 Rješenja 243 2.5. Eksponencijalna i logaritamska funkcija 244 2.5.1. Eksponencijalna funkcija 244 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 248 Zadaci višestrukog izbora 249 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 250 Rješenja 253 2.5.2. Logaritamska funkcija 257 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 262 Zadaci višestrukog izbora 263 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 264 Rješenja 267 2.5.3. Eksponencijalna jednadžba 270 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 272 Zadaci višestrukog izbora 272 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 273 Rješenja 274 2.5.4. Logaritamska jednadžba 275 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 279 Zadaci višestrukog izbora 280 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 281 Rješenja 282 2.5.5. Eksponencijalna i logaritamska nejednadžba 283 Eksponencijalna nejednadžba 283 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 284 Zadaci višestrukog izbora 284 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 285 Rješenja 286 Logaritamska nejednadžba 287 Zadaci višestrukog izbora 289 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 290 Rješenja 291 2.6. Trigonometrijske funkcije 292 2.6.1. Trigonometrijske funkcije 292 Brojevna kružnica 292 Funkcije sinus i kosinus 294 Funkcije tangens i kotangens 306
MATURA matematika-0-0 uvod.indd 6
3.2.2011 9:50:51
Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 313 Zadaci višestrukog izbora 314 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 317 Rješenja 320 2.6.2. Trigonometrijski identiteti 326 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 330 Zadaci višestrukog izbora 331 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 332 Rješenja 333 2.6.3. Trigonometrijske jednadžbe 334 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 343 Zadaci višestrukog izbora 344 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 345 Rješenja 347 2.6.4. Trigonometrijske nejednadžbe 348 Zadaci višestrukog izbora 350 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 350 Rješenja 351 2.7. Domena i slaganje funkcija. Inverzna funkcija 352 2.7.1. Domena funkcije 352 Zadaci višestrukog izbora 354 2.7.2. Slaganje (kompozicija) funkcija 357 Zadaci višestrukog izbora 359 2.7.3. Inverzna funkcija 360 Primjeri inverznih funkcija 361 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 364 Zadaci višestrukog izbora 365 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 367 Rješenja 372 3. NIZOVI 379 3.1. Pojam niza 380 Primjeri 380 3.2. Aritmetički niz 382 3.3. Geometrijski niz 384 3.4. Beskonačni geometrijski red 386 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 387 Zadaci višestrukog izbora 388 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 390 Rješenja 394 4. GEOMETRIJA 395 4.1 Elementarna geometrija likova u ravnini 396 4.1.1. Trokut 397 Trigonometrija pravokutnog trokuta 397 Poučci o sukladnosti trokuta 400 Poučci o sličnosti trokuta 400 Raznostranični trokut 401 Kut elevacije i kut depresije 402 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 403 Zadaci višestrukog izbora 407 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 411 Rješenja 417 4.1.2. Četverokut i mnogokut 418 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 423 Zadaci višestrukog izbora 425 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 428 Rješenja 431 4.1.3. Kružnica i krug 432 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 435 Zadaci višestrukog izbora 436 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 438 Rješenja 440
MATURA matematika-0-0 uvod.indd 7
3.2.2011 9:50:51
4.2. Uvod u geometriju prostora 441 Međusobni položaj dvaju pravaca 441 Međusobni položaj dviju ravnina 441 Međusobni položaj pravca i ravnine 441 Okomitost 442 Ortogonalna projekcija 442 Udaljenost 443 Kut 443 Zadaci višestrukog izbora 444 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 448 Rješenja 449 4.3. Geometrijska tijela 451 4.3.1. Prizma 451 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 453 Zadaci višestrukog izbora 454 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 457 Rješenja 460 4.3.2. Piramida 461 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 465 Zadaci višestrukog izbora 465 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 467 Rješenja 468 4.3.3. Valjak 468 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 470 Zadaci višestrukog izbora 470 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 472 Rješenja 473 4.3.4. Stožac 474 Zadaci višestrukog izbora 476 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 477 Rješenja 478 4.3.5. Kugla 479 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 481 Zadaci višestrukog izbora 481 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 482 Rješenja 483 4.3.6. Rotacijska tijela 484 Zadaci višestrukog izbora 485 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 486 Rješenja 486 5. ANALITIČKA GEOMETRIJA 487 5.1. Koordinatni sustav na pravcu i u ravnini 488 Udaljenost točaka na brojevnom pravcu 488 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 492 Zadaci višestrukog izbora 494 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 495 Rješenja 497 5.2. Vektori 499 Pravilo paralelograma 499 Pravilo trokuta 500 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 505 Zadaci višestrukog izbora 506 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 507 Rješenja 509 5.3. Pravac 510 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 515 Zadaci višestrukog izbora 518 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 523 Rješenja 525
MATURA matematika-0-0 uvod.indd 8
3.2.2011 9:50:51
5.4. Krivulje drugog reda 528 5.4.1. Kružnica 528 5.4.2. Elipsa 540
Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 534 Zadaci višestrukog izbora 535 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 537 Rješenja 539
Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 545 Zadaci višestrukog izbora 546 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 547 Rješenja 549 5.4.3. Hiperbola 550 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 554 Zadaci višestrukog izbora 554 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 555 Rješenja 556 5.4.4. Parabola 557 Zadaci višestrukog izbora 559 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 560 Rješenja 560 5.4.5. Krivulje drugog reda – dodatak 561 Zadaci višestrukog izbora 563 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 563 Rješenja 564 6. DERIVACIJE 565 6.1. Derivacije funkcija 566
Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 572 Zadaci višestrukog izbora 572 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 574 Rješenja 575 6.2. Primjena derivacija 576 Zadaci višestrukog izbora 580 Intervali monotonosti 581 Ekstremi funkcije 582 Intervali konveksnosti i konkavnosti 584 Postupak za crtanje grafa funkcije 586 Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 594 Zadaci višestrukog izbora 594 Zadaci kratkog ili produženog odgovora 597 Rješenja 601
PRIMJERI ISPITA 605 Osnovna razina 606 Viša razina 612 Državna matura 2010. – ljetni rok 626 TABLICE FORMULA 633
MATURA matematika-0-0 uvod.indd 9
3.2.2011 9:50:51
12
Ispit iz matematike Ispit iz matematike može se polagati na dvjema razinama zahtjevnosti – na višoj i osnovnoj razini. Na višoj razini ispit traje 180 minuta, a na osnovnoj 150 minuta. Ispit sadrži zadatke zatvorenog i otvorenog tipa. Zadaci zatvorenoga tipa su zadaci višestrukog izbora. Učenik zaokružuje slovo ispred jednoga od četiriju ponuđenih odgovora. Zadaci otvorenoga tipa su zadaci kratkih odgovora i zadaci produženih odgovora. U zadacima kratkih odgovora učenik odgovara na postavljeno pitanje, dok u zadacima produženih odgovora učenik prikazuje postupak rješavanja i odgovara na postavljeno pitanje. Za polaganje ispita učenici rabe uobičajen pribor za pisanje i brisanje, geo metrijski pribor (trokut, šestar), džepno računalo (znanstveni kalkulator) i tablice (formule) koje će biti priložene uz ispit.
OBRAZOVNI ISHODI Za svako područje ispitivanja određeni su posebni ciljevi ispita, odnosno konkretni opisi onoga što pristupnik mora znati, razumjeti i moći učiniti kako bi postigao uspjeh na ispitu. Obrazovni ishodi za osnovnu i višu razinu ispita prikazani su, radi bolje preglednosti, u sljedećoj tablici. U njoj su detaljno razrađeni sadržaji koji će se ispitivati, te obrazovni ishodi vezani uz pojedine sadržaje. Obrazovni sadržaji i obrazovni ishodi koji se ne ispituju na osnovnoj razini označeni su crvenom bojom. OBRAZOVNI ISHODI ZA OSNOVNU I VIŠU RAZINU ISPITA 1. BROJEVI I ALGEBRA Sadržaji skupovi N, Z, Q, RiC
Obrazovni ishodi • razlikovati skupove N, Z, Q, R i C (poznavati termine: prirodan, cijeli, racionalan, iracionalan, realan i kompleksan broj te razlikovati navedene brojeve) • uspoređivati brojeve • prepoznati i rabiti oznake intervala: • zapisati skupove realnih brojeva intervalima i prikazivati ih na brojevnome pravcu • rabiti zapis kompleksnih brojeva u standardnome i trigonometrijskome obliku
elementarno računanje
• zbrajati, oduzimati, množiti, dijeliti, korjenovati, potencirati, određivati apsolutne vrijednosti • zaokruživati brojeve • rabiti džepno računalo
postoci i omjeri
• rabiti postotke • rabiti omjere
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 12
3.2.2011 10:16:34
13
algebarski izrazi i • provoditi operacije s potencijama i korijenima algebarski razlomci • zbrajati, oduzimati i množiti jednostavnije algebarske izraze • zbrajati, oduzimati i množiti algebarske izraze • rabiti formule za kvadrat i kub binoma, razliku kvadrata i razliku i zbroj kubova • zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti jednostavnije algebarske razlomke • zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti algebarske razlomke • iz zadane formule izraziti jednu veličinu pomoću drugih • primijeniti binomni poučak mjerne jedinice
• računati s jedinicama za duljinu, površinu, obujam, vrijeme, masu i novac • pretvarati mjerne jedinice • rabiti mjerne jedinice u geometriji i u zadacima s tekstom 2. FUNKCIJE
Sadržaji
Obrazovni ishodi
pojam funkcije, zadavanje i operacije s njima
• rabiti funkcije zadane tablično, grafički, algebarski i riječima • izvoditi operacije s funkcijama (zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, komponiranje)
linearna i kvadratna funkcija, funkcija apsolutne vrijednosti, funkcija drugoga korijena, polinomi i racionalne funkcije, eksponencijalna funkcija s bazom 10, eksponencijalna i logaritamska funkcija, trigonometrijske funkcije
• odrediti domenu funkcije • odrediti sliku funkcije • izračunati funkcijske vrijednosti • prikazati funkcije grafički • prikazati funkcije tablično • interpretirati graf funkcije • odrediti nultočke funkcije • odrediti sjecišta grafa s koordinatnim osima • iz zadanih svojstava, elemenata ili grafa odrediti funkciju • odrediti i primijeniti rast/pad funkcije • odrediti tijek funkcije • razlikovati parne i neparne funkcije • za kvadratnu funkciju: – interpretirati ulogu vodećega koeficijenta i diskriminante – odrediti minimum/maksimum funkcije, odnosno tjeme parabole • za polinome i racionalne funkcije: – crtati grafove polinoma (najviše 3. stupnja) – crtati grafove racionalnih funkcija (polinomi najviše 2. stupnja u brojniku i nazivniku)
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 13
3.2.2011 10:16:34
14
• za ekponencijalne i logaritamske funkcije: – rabiti osnovne eksponencijalne i logaritamske identitete • za trigonometrijske funkcije: – definirati trigonometrijske funkcije na brojevnoj kružnici – odrediti temeljni period i primijeniti svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija – primijeniti osnovne trigonometrijske identitete:
– primijeniti adicijske formule – primijeniti formule pretvorbe zbroja trigono metrijskih funkcija u umnožak i obrnuto – prepoznati, odnosno nacrtati grafove funkcija oblika: f (x) = A sin (Bx + C ) + D f (x) = A cos (Bx + C ) + D nizovi
• prepoznati zadani niz • prepoznati aritmetički niz • rabeći definiciju i svojstva aritmetičkoga niza odrediti opći član te zbroj prvih n-članova • prepoznati geometrijski niz • rabeći definiciju i svojstva geometrijskoga niza odrediti opći član te zbroj prvih n-članova i zbroj reda
derivacija funkcije
• derivirati konstantnu funkciju, funkciju potenciranja i trigonometrijske funkcije • derivirati zbroj, razliku, umnožak, kvocijent i kompoziciju funkcija • odrediti tangentu na graf funkcije u točki • rabiti derivaciju funkcije kod ispitivanja tijeka funkcije
3. JEDNADŽBE I NEJEDNADŽBE Sadržaji
Obrazovni ishodi
linearne jednadžbe i nejednadžbe
• rješavati linearne jednadžbe • rješavati linearne nejednadžbe
kvadratne jednadžbe i nejednadžbe
• rješavati kvadratne jednadžbe • rješavati kvadratne nejednadžbe • rabiti Vièteove formule
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 14
3.2.2011 10:16:34
15
jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima is
• rješavati jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnim vrijednostima, primjerice:
jednostavnije polinomske i racionalne jednadžbe i nejednadžbe
• rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se mogu faktorizirati • rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se supstitucijom mogu svesti na kvadratne, primjerice: bikvadratne jednadžbe
jednostavnije eksponencijalne jednadžbe, eksponencijalne i logaritamske jednadžbe i nejednadžbe
• rješavati jednadžbe/nejednadžbe s potencijama jednakih baza, primjerice: jednostavnije: ,
trigonometrijske jednadžbe
• odrediti opće rješenje trigonometrijske jednadžbe ili rješenja iz zadanog intervala rabeći definicije trigonometrijskih funkcija, primjerice:
• rješavati jednadžbe i nejednadžbe s
, primjerice:
složenije: • rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se mogu riješiti izravnom primjenom logaritmiranja, primjerice: 4x < 5 • rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se mogu riješiti izravnom primjenom definicije logaritma, primjerice: log7 x = 3 • rješavati jednadžbe/nejednadžbe u kojima se rabe osnovna svojstva računanja s eksponentima i logaritmima, primjerice: log2 (x + 3) + log2 (x + 2) – 1 = 0 • rješavati jednadžbe/nejednadžbe koje se supstitucijom mogu svesti na kvadratne, primjerice: 9x – 5 · 3x + 4 = 0
• odrediti opće rješenje trigonometrijske jednadžbe ili rješenja iz zadanog intervala rabeći trigonometrijske identitete, primjerice: 2 sin 2x = cos x • rješavati jednadžbe koje se supstitucijom mogu svesti na kvadratne, primjerice: 2 tg2 x – tg x – 1 = 0 jednostavniji • rješavati sustave algebarski i grafički sustavi linearnih • interpretirati grafički prikaz jednadžbama i/ili kvadratnih jednadžbi, sustavi navedenih jednadžbi i nejednadžbi
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 15
3.2.2011 10:16:35
16
4. GEOMETRIJA Elementarna geometrija Sadržaji
Obrazovni ishodi
elementarna geometrija likova u ravnini
• odrediti mjeru kuta • razlikovati vrste trokuta • rabiti pojmove sukladnosti i sličnosti • rabiti poučke o sukladnosti trokuta • rabiti poučke o sličnosti trokuta • rabiti koeficijent sličnosti • rabiti Pitagorin poučak i njegov obrat • rabiti osnovna svojstva paralelograma, trapeza i pravilnih mnogokuta • rabiti osnovna svojstva kružnice i kruga • odrediti elemente kružnice i kruga (središte i polumjer, kružni luk, kružni isječak, obodni i središnji kut, tetiva i tangenta) i rabiti njihova svojstva • rabiti poučak o obodnom i središnjem kutu i Talesov poučak • odrediti opseg i površinu
odnosi među geometrijskim objektima u prostoru
• prepoznati međusobni položaj dvaju pravaca i ravnina u prostoru • odrediti probodište pravca i ravnine • odrediti ortogonalnu projekciju točke i dužine • odrediti kut pravca i ravnine i kut dviju ravnina
prizma, piramida, • skicirati geometrijska tijela i prepoznati tijelo iz mreže valjak, stožac, • prepoznati elemente tijela – osnovku (bazu), vrh, visinu, pobočke (strane) i plašt kugla • odrediti oplošje i obujam Trigonometrija trigonometrija pravokutnoga trokuta, trigonometrija raznostraničnoga trokuta
• rabiti definicije sinusa, kosinusa i tangensa kuta u pravokutnome trokutu • rabiti poučak o sinusima i kosinusima • primijeniti trigonometriju u planimetriji i stereometriji
5. ANALITIČKA GEOMETRIJA koordinatni sustav • prikazati točke u koordinatnome sustavu na pravcu i u • očitati koordinate točaka u koordinatnome sustavu ravnini • izračunati udaljenost točaka • izračunati koordinate polovišta dužine
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 16
3.2.2011 10:16:35
17
vektori
• zbrajati vektore, množiti vektore skalarom i skalarno množiti vektore • rabiti koordinatni prikaz vektora • odrediti duljinu vektora • odrediti kut među vektorima
jednadžba pravca
• rabiti eksplicitni i implicitni oblik jednadžbe pravca • odrediti jednadžbu pravca zadanoga točkom i koeficijentom smjera • odrediti jednadžbu pravca zadanoga dvjema točkama • odrediti kut između dvaju pravaca • rabiti uvjet usporednosti i okomitosti pravaca • izračunati udaljenost točke od pravca
krivulje drugoga reda
• odrediti jednadžbu kružnice iz zadanih elemenata i obrnuto • odrediti jednadžbu elipse iz njezinih elemenata i obrnuto • odrediti jednadžbu hiperbole iz njezinih elemenata i obrnuto te rabiti pojam i jednadžbe asimptota • odrediti jednadžbu parabole iz njezinih elemenata i obrnuto • odrediti odnos između krivulje drugoga reda i pravca • odrediti jednadžbu tangente u točki krivulje • rabiti uvjet dodira pravca i kružnice
6. MODELIRANJE Sadržaji sva područja ispitivanja
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 17
Obrazovni ishodi • modelirati situacije rabeći: – brojeve – algebru – geometriju – funkcije – jednadžbe – nejednadžbe
3.2.2011 10:16:35
20
1.1. Skupovi brojeva
1.1.1. Skupovi prirodnih, cijelih, racionalnih i realnih brojeva Skup prirodnih brojeva obilježavamo sa N. N = {1, 2, 3, 4, ...} Ako prirodne brojeve zbrajamo ili množimo, rezultat će biti prirodan broj. To svojstvo naziva se zatvorenost skupa N na računske operacije zbrajanja i množenja. Pri tome za N vrijede ova svojstva: komutacija (zamjena) a + b = b + a, ab = ba asocijacija (grupiranje) (a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) distributivnost (a + b)c = ac + bc neutralni element za množenje a · 1 = a. Primjer 1: Izračunajmo:
.
Rješenje:
=
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 20
3.2.2011 10:16:36
21
Razlika dvaju prirodnih brojeva a – b nije nužno prirodan broj. Općenito je to cijeli broj. Skup cijelih brojeva označavamo sa Z. Z = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} Skup Z je zatvoren na računske operacije zbrajanja, množenja i oduzimanja. Sva svojstva koja vrijede u skupu N, prenose se u skup Z, no s negativnim brojevima dolaze i nova svojstva za Z: neutralni element za zbrajanje a + 0 = a, suprotni broj za zbrajanje a + (–a) = 0. Primjer 2: Izračunajmo:
.
Rješenje:
Količnik cijelih brojeva, a : b, nije uvijek cijeli broj. Općenito je to racionalan broj (razlomak). Skup racionalnih brojeva označavamo sa Q.
Skup Q je zatvoren na računske operacije zbrajanja, množenja, oduzimanja i dijeljenja. Sva dosadašnja svojstva računskih operacija vrijede i u skupu Q, ali za Q vrijedi i
inverzni (recipročni) element za množenje
.
Između svaka dva racionalna broja postoji još bar jedan racionalan broj (gustoća skupa Q). Primjer 3: Izračunajmo:
.
Rješenje:
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 21
1
3.2.2011 10:16:38
22
Korijen racionalnog broja ne možemo uvijek prikazati kao razlomak. Takve brojeve nazivamo iracionalni brojevi. U skupu iracionalnih brojeva osim nekih korijena su i transcedentni brojevi: p, e,... Skup iracionalnih brojeva nije zatvoren na računske operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Unija racionalnih i iracionalnih brojeva daje skup realnih brojeva. Ta dva skupa nemaju zajedničkih elemenata. I.
Skup realnih brojeva označavamo sa R. Vrijedi: R = Q
Skup R je zatvoren na računske operacije zbrajanja, množenja, oduzimanja, dijeljenja i korjenovanja. Sva dosadašnja svojstva prenose se u skup R.
Primjer 4: Izračunajmo:
.
=
Rješenje:
=
Kvadrat realnog broja ne može biti negativan broj, ali kvadrat kompleksnog broja može. Skup kompleksnih brojeva označavamo sa C. Za operacije zbrajanja i množenja vrijede svojstva komutativnosti, asocijativnosti i distributivnosti. Primjer 5: Prikažimo
kao kompleksan broj.
Rješenje:
Pri računanju, u bilo kojem skupu brojeva, treba voditi računa o redoslijedu računskih operacija. Mnoge od ovih zadataka možemo izračunati pomoću džepnog računala ili kalkulatora. Znanstveni kalkulatori „vode računa“ o redoslijedu računskih operacija.
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 22
3.2.2011 10:16:38
23
Pravila o redoslijedu računskih operacija 1. Najprije pojednostavimo izraze u zgradama, a ako ima više zagrada, rješavamo najprije zagrade unutar kojih više nema zagrada. 2. Potenciramo i korjenujemo, pa množimo i dijelimo redoslijedom kako je zapisano. 3. Na kraju zbrajamo i oduzimamo onim redom kako je naznačeno.
1 – 2 · 3 = – 1 · 3 = – 3
1 – 2 · 3 = 1 – 6 = – 5
Primjer 6: Zapišimo decimalne brojeve brojeve.
kao racionalne
Rješenje: a)
b)
c)
Primjer 7: Zaokružimo broj 3246.23537 na: a) deseticu b) jedinicu c) jednu decimalu (desetinku) d) na dvije decimale (stotinku) e) tri decimale (tisućinku). Rješenje: a) 3 250 b) 3 246 c) 3 246.2 d) 3 246.24 e) 3 246.235
Zadaci koji su se dosad pojavljivali na nacionalnim ispitima 1. (NI 2006.) Odredite tri racionalna broja između i . 2. (NI 2006.) Neka je n ≥ 9 prirodan broj. U ovisnosti o n odredite koji je od sljedećih brojeva najveći:
.
3. (IK 2006.) Izračunajte: 4. (IK 2007.)
.
.
5. (NI 2008.) 6. (NI 2009.) Koju vrijednost ima razlomak
a)
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 23
b)
c)
?
d)
3.2.2011 10:16:40
24
7. (NI 2009.) Koji od brojeva pripada skupu iracionalnih brojeva?
a) 4. 33
b)
c)
d)
8. (NI 2009.) Izračunajte vrijednost izraza
.
9. (NI 2009.) Koja je vrijednost razlomka
?
10. (IK 2009.) Izračunajte vrijednost izraza
.
ZADACI VIŠESTRUKOG IZBORA 1. Skup prirodnih brojeva označavamo slovom: a) N b) Z c) Q 2. Svaki iracionalan broj moguće je zapisati u obliku
a) DA
d) R. Zi
gdje je
N.
b) NE
3. Koji od sljedećih brojeva nije racionalan?
a)
b)
4. Izraz
a)
c)
d)
iznosi:
b)
c) 37
d) 11.
5. Ako je a : b = 5 : 2, i b : c = 4 : 7, onda je omjer
a)
b)
c)
jednak: d)
.
6. Na testu iz matematike Igor je točno riješio 24 od 30 mogućih zadataka, a Matea 16 od 24. Tko je bolje riješio test? a) Igor b) Matea c) Jednako dobro su riješili test. 7. Majka je ispekla kolač. Sin je pojeo 1/3 kolača, kći je pojela 1/5 kolača, a 1/4 kolača pojeo je otac. Koliki je komad kolača ostao? a) Ništa nije ostalo. b) 1/12 c) 13/60 d) 1/15
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 24
3.2.2011 10:16:43
25
8. Koliko je
?
a) 0.051
b) 5.1
c) 51
d) 0.51
9. Koji je broj racionalan?
a)
b)
c)
10. Izračunajte:
d)
.
a) 1
b) 0
c)
d) 8
ZADACI KRATKOG ILI PRODUŽENOG ODGOVORA 1. Ako je n prirodan broj, sa prirodan broj.
obilježavamo neparan
2. Zakon komutacije za množenje racionalnih brojeva glasi . 3. Svojstvo skupa racionalnih brojeva da se između svaka dva racionalna broja nalazi beskonačno mnogo racionalnih brojeva nazivamo . 4. Nakon što je objavljeno kako u igri loto premija iznosi 7 000 000 000 kuna, u ponedjeljak je prodano 201 609 listića, u utorak 123 619, u srijedu 196 918, u četvrtak 242 687, a u petak 251 009. Koliko je listića lota prodano tih pet dana? 5. Izračunajte.
a)
b)
c)
d)
e)
g)
MATURA matematika-1-1 cjelina.indd 25
f) h)
3.2.2011 10:16:45