9789162288150

B B-kurs

i matematik

B

är en bok för gymnasiets

B

Matematik

Matematik

Matematik

Anna Norberg Gunilla Viklund Lars Burström

Matematik B har en mycket tydlig struktur med

• • •

en modell för varje viktigt delmoment t ypexempel och övningsuppgifter till varje modell blandade övningar på tre nivåer Bonniers

Matematik B är avsedd för SP, ES och gymnasiets yrkesinriktade program. Matematik B är en fortsättning på Matematik A från Bonnier Utbildning.

Volym

M ED

G

D RA

789162 288150 (8815-0)

www.bonnierutbildning.se

Matematik B omslag.indd 1

U PP

9

M ED

ET

ISBN 978-91-622-8815-0

D RA

G

U PP

ET

Radie

x 2 – 6x + 5 = 0 första snurren

andra snurren

tredje snurren

08-06-10 13.22.17

B

Matematik Anna Norberg Gunilla Viklund Lars Burstrรถm

Bonnier Utbildning

Matte B - s i-v.indd 1

08-05-26 10.40.26

Bonnier Utbildning Postadres: Box 3159, 103 63 Stockholm Besöksadress: Sveavägen 56, Stockholm www.bonnierutbildning.se E-post: info@bonnierutbildning.se Order/ Läromedelsinformation Telefon 08 - 696 86 00 Telefax 08 - 696 86 10 Redaktör: Karolina Danström Grafisk form och grafiska bilder: Bånges Grafiska Form AB Teckningar: Magdalena Wennberg-Lavebratt Bildredaktör: Lena Nistell Matematik B ISBN: 978-91-622-8815-0 © 2002 Anna Norberg, Gunilla Viklund, Lars Burström och Bonnier Utbildning AB, Stockholm Andra upplagan Första tryckningen Bildförteckning

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt.

Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus-Presskopias avtal, är förbjuden.

Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.

Tryck Korotan, Ljubljana 2008

Matte B - s i-v.indd 2

Omslag: Anna Hult/Tiofoto 2 Magnus Fond/Pressens Bild 3 Bonnier Utbildning 20 Pictor/IBL Bildbyrå 21 Bonnier Utbildning 22 Karolina Danström 24 Frank Chmura/Tiofoto 28 Martin Skoog/Megapix/eyeQnet 30 Magnus Bergström/Pressens Bild 40 PhotoDisc 43 Magnus Fond/Pressens Bild 49 Harry Nowell/First Light/Megapix 50 Henrik Montgomery/Pressens Bild 65 Tony Norström/SCANPIX 68 SCANPIX 72 Folke Hellberg/Pressens Bild 79 Burger King 85 Adobe Image Library 87 Svenska Shell 92 Jan Rietz/Tiofoto 97 Lena Paterson/Tiofoto 112 Rob Lewine/Corbis Stock Market/SCANPIX 128 Ingvar Andersson/Pressens Bild 130 Roger Turesson/Pressens Bild 134 Jessica Gow/Pressens Bild 136 Södra 151 Mathias Rahm/Pressens Bild 162 Jeppe Wikström/Pressens Bild 169 PhotoDisc 172 Peter K-Henriczon/Pressens Bild 174 Burger King

08-05-26 10.40.27

1

Sannolikhetslära

Modell 1

3 Beräkna sannolikheter för slumpförsök i flera steg 11

4 Beräkna sannolikheter för slumpförsök i två steg 15

5 Sannolikheter som är beroende av tidigare slumpförsök 18

Blandade övningar 21

Utvärdering 27

2

Statistik

Modell 1

Hur gör man en statistisk undersökning? 33

2 Jämför lägesmått och tolka spridningsmått 36

3 Bortfallsanalys 39

4 Felmarginal 41

Blandade övningar 43

Utvärdering 47

3

Olikheter

Modell 1

Intervall på tallinjen 52

2 Linjära olikheter 56

3 Tolka diagram för olikheter och likheter 59

4 Problemlösning med olikheter 63

Blandade övningar 65

Utvärdering 70

4

Ekvationssystem

Modell 1

Matte B - s i-v.indd 4

Utfall och sannolikhet 5

2 Göra undersökningar och uppskatta sannolikheten 8

Förenkla uttryck 74

2 Lösa ekvationssystem med additionsmetoden 75

3 Lösa ekvationssystem med substitutionsmetoden 80

4 Problemlösning med ekvationssystem 82

Blandade övningar 85

Utvärdering 90

08-05-26 10.40.40

5

Geometri

Modell 1

2 Pythagoras’ sats 99

3 Rand- och medelpunktsvinklar 103 Blandade övningar 105

Utvärdering 110

6

Andragradsekvationer

Modell 1

Multiplicera med parenteser 115

2 Kvadreringsregeln och konjugatregeln 117

3 Fullständiga andragradsekvationer 120

4 Fler andragradsekvationer 122

5 Problemlösning med andragradsekvationer 125

Blandade övningar 127

Utvärdering 132

7

Funktioner

Modell 1

Bestäm k- och m-värdet för räta linjer 137

2 Räta linjens ekvation på formen y = kx + m 141

3 Rita grafen till räta linjens ekvation 143

4 Grafisk lösning av linjära ekvationssystem 146

Matte B - s i-v.indd 5

Likformiga figurer 95

Blandade övningar 149

5 Funktioner och beräkning av funktionsvärdet 154

6 Exponentialfunktioner 156

7 Andragradsfunktioner 158

Blandade övningar 163

Utvärdering 167

Uppdraget

170

Repetitionsuppgifter

194

Facit

207

Register

227

08-05-26 10.41.02

Matte B - s 2-29 - 1

08-05-26

11.42

1

Sida 2

Sannolikhetslära

Mål:

För att uppnå målet måste du kunna:

Du ska kunna beräkna och uppskatta sannolikheter, både teoretiskt och experimentellt.

• ange utfall och beräkna sannolikheter • göra undersökningar och uppskatta sannolikheten • beräkna sannolikheter för slumpförsök i flera steg • beräkna sannolikheter för slumpförsök där

Vilket är mest troligt?

sannolikheten är beroende av tidigare slumpförsök.

• Du vinner ett tärningsspel med två andra deltagare.

• Du vinner i ett lotteri med 30 % vinstchans.

• Du drar ett kort högre än nio ur en kortlek.

• Du får krona två gånger i rad när du singlar slant två gånger.

2

Tärningen har sex sidor, och det är lika lätt att få en sexa som att få en etta eller tvåa. Men tänk om det är en fusktärning? Hur många gånger måste du kasta en tärning för att bevisa att alla sidor förekommer lika ofta?

Matte B - s 2-29 - 1

08-05-26

11.42

Sida 3

Sannolikhetslära

1

Du kan göra försök och mäta resultatet och på så sätt beskriva olika fenomen. Då beskriver du hur någonting redan är.

Om du i stället vill föreslå hur något blir i framtiden, bestämmer du sannolikheten för att en viss händelse ska inträffa.

I en chokladkartong finns 60 chokladpraliner. Av dessa innehåller 16 körsbärslikör, 32 ägglikör och resten hasselnöt. Pralinerna ser likadana ut.

Linn är nötallergiker men vill gärna ta en pralin. Hur stor är risken att hon får i sig en hasselnöt?

Sannolikheten kallas risk när man inte vill att något ska inträffa.

Det är 12 av de 60 pralinerna som innehåller nötter. Risken är alltså 20 % att hon får i sig nötter, eftersom 12/60 = 0,2. Risken är för stor för att Linn ska våga ta en pralin.

Tant Augusta älskar likör, både körsbärslikör och ägglikör. Hur stor är chansen att hon får en pralin med likörsmak?

Sannolikheten kallas chans när man vill att något ska inträffa.

Chansen är 80 % att hon får en likörpralin, eftersom 48/60 = 0,8.

3

Matte B - s 2-29 - 1

1

08-05-26

11.42

Sida 4

Sannolikhetslära

Om du provsmakar en bit choklad ur chokladkartongen kan man säga att du utför ett slumpförsök. Slumpförsöket kan ge tre olika utfall: körsbärslikör, ägglikör och hasselnöt.

Vill du veta hur många praliner det finns av varje sort? Då måste du göra en undersökning för att ta reda på det. Kanske räcker det med att läsa på kartongen, eller kanske måste du smaka på chokladbitarna! Ju fler bitar du smakar på, desto säkrare blir du på hur stor andel det finns av varje sort.

Ett annat slumpförsök är att kasta en tärning. Det finns sex möjliga utfall: etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa. Om tärningen är helt symmetrisk behöver du inte göra någon undersökning, utan kan beräkna sannolikheten teoretiskt. Sannolikheten är en sjättedel för varje utfall.

När du beräknar den teoretiska sannolikheten måste du förstås veta exakt hur många gynnsamma utfall och hur många möjliga utfall det finns.

Gynnsamma utfall är sådana man vill ha, och möjliga är alla som finns.

Slumpförsök

Möjliga utfall

Kasta tärning

Etta, tvåa, trea, fyra, femma, sexa

Välja en veckodag

Måndag, tisdag, onsdag, torsdag, fredag, lördag, söndag (7 möjliga utfall)

Tappa en smörgås

Smörsidan upp, smörsidan ner

(2 möjliga utfall)

Singla slant en gång

Krona, klave

(2 möjliga utfall)

Singla slant två gånger

Krona-krona, krona-klave, klave-krona, klave-klave (4 möjliga utfall)

(6 möjliga utfall)

Gemensamt för alla slumpförsök är att man inte i förväg kan säga vad resultatet kan bli.

DAGEN S VINS T EN VA NDR GLÖDA ING PÅ NDE K OL

Vadå risk?

Chans menar du?

Hur stor är risken att man vinner på det lotteriet?

4

Får jag trehundra lotter, tack?

Det är vinst på alla lotter!

Matte B - s 2-29 - 1

08-05-26

11.42

Sida 5

Sannolikhetslära

1

MODELL

1

Utfall och sannolikhet Sannolikheten förkortas p efter det engelska ordet probability som betyder sannolikhet.

Sannolikheten kan anges i decimalform, som procent eller i bråkform.

Om man är helt säker på att något ska ske blir sannolikheten 1 (eller 100 %), om man är säker på att det inte ska ske är sannolikheten 0.

Sannolikheten blir alltså ett tal mellan noll och ett.

Sannolikheten p beräknas: p =

antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall

där gynnsamt utfall är det man vill ha, och möjliga utfall är samtliga utfall som finns.

Om du vet hur stor sannolikheten är för att något ska inträffa, kan du enkelt räkna ut komplementhändelsen, som är sannolikheten för att det inte ska inträffa.

1 – p kallas komplementhändelsen.

E X E M P E L

A

Joel slår ett slag med sin tärning. a)

LÖSNING

p=

b) LÖSNING

Hur stor är sannolikheten att han får en fyra?

1 6

p = antalet gynnsamma utfall/antalet möjliga utfall.

Tärningen har sex möjliga utfall.

Det finns bara ett gynnsamt utfall, nämligen en fyra.

Hur stor är sannolikheten att han inte får en fyra?

Sannolikhet för att få en fyra: 1 p= 6 Sannolikhet för att inte få en fyra: 1 5 1–p=1– = 6 6 c)

LÖSNING

Att han inte får en fyra är komplementhändelse till att han får en fyra.

Hur stor är sannolikheten att han får ett udda tal?

p=

3 1 = = 0,5 6 2

Svar:

a)

1 6

b)

5 6

c)

1 2

Det finns tre udda tal på tärningen, alltså tre gynnsamma utfall. Du kan svara med bråk eller decimaltal.

5

Matte B - s 2-29 - 1

1

08-05-26

11.42

Sida 6

Sannolikhetslära

E X E M P E L

B

Olivia har köpt en godispåse med skumtomtar. Det finns 24 tomtar i hennes påse: tre med vaniljsmak, åtta med banansmak och resten med jordgubbssmak. Olivia tar en skumtomte utan att titta.

Hur stor är sannolikheten att hon tar en med vaniljsmak?

3 1 p= = ≈ 0,13 Det finns 3 gynnsamma utfall av 24 möjliga.

24 8 Förkorta bråket eller använd miniräknaren. a)

LÖSNING

Hur stor är sannolikheten att hon inte tar en med banansmak?

8 16 2 1–p=1– = = ≈ 0,67 Att hon inte tar en med banansmak 24 24 3 är komplementhändelse till att hon tar en med banansmak. b)

LÖSNING

Hur stor är sannolikheten att hon varken tar en med banansmak eller en med jordgubbssmak?

c)

LÖSNING

Beräkna först sannolikheten att hon tar en tomte med banansmak eller en med jordgubbssmak. p=

8 13 21 + = 24 24 24

Beräkna sedan komplementhändelsen till det.

E X E M P E L

C

1–p=1–

21 3 1 = = ≈ 0,13 24 24 8

Svar:

1 8

6

b)

2 3

c)

1 8

I ett lotteri finns det 500 lotter. Man kan vinna visselpipor eller ficklampor. Sannolikheten att vinna en visselpipa är 0,2. Sannolikheten att vinna en ficklampa är 0,05. a)

LÖSNING

a)

Komplementhändelsen är att hon tar en tomte med vaniljsmak!

Hur många lotter med vinst i form av visselpipor finns det?

0,2 · 500 = 100

Sannolikheten är 0,2 = 20 %.

Antalet möjliga utfall är 500. Beräkna 20 % av 500.

Matte B - s 2-29 - 1

08-05-26

11.42

Sida 7

Sannolikhetslära

b) LÖSNING

Hur många vinstlotter finns det?

0,05 · 500 = 25

5 % av lotterna är ficklampsvinster och 100 var visselpipsvinster.

Antalet vinstlotter: 100 + 25 = 125 c) LÖSNING

1

Hur många nitlotter finns det?

500 – 125 = 375 Svar:

a)

100

b)

125

c)

375

101

Stefan slår ett slag med tärningen. Beräkna sannolikheten att han a) får en trea b) får en tvåa eller en fyra c) får ett jämnt tal d) inte får en sexa

102

Det finns 40 stenkulor i påsen. Annika tar en kula.

Hur stor är sannolikheten att kulan är a) röd b) blå c) gul d) röd eller vit e) röd eller grön

103

Misse tar en kula ur påsen.

Hur stor är sannolikheten att kulan a) inte är blå b) inte är grön c) varken är blå eller vit d) varken är grön eller vit

104

Stina och Farsad säljer lotter åt hockeylaget. Sannolikheten att dra en högvinst är 0,05 och sannolikheten att dra en lågvinst är 0,15.

Resten är nitlotter. Totalt finns det 1 260 lotter. a) Hur många högvinstlotter finns det? b) Hur många lågvinstlotter finns det? c) Hur stor är sannolikheten att få en vinst? d) Hur många nitlotter finns det?

105

Sannolikheten att dra ett klätt kort ur en vanlig kortlek är ungefär 0,23.

Hur många av de 52 korten är klädda kort?

UPPDRAG P1 K1

7

Matte B - s 2-29 - 1

08-05-26

11.43

Sida 11

Sannolikhetslära

3

MODELL

1

Beräkna sannolikheter för slumpförsök i flera steg Om man upprepar ett slumpförsök flera gånger så blir det svårare att hålla reda på alla kombinationer av utfall. Då kan man ta hjälp av grafiska metoder genom att rita bilder och diagram. Ett träddiagram kan ge en överskådlig bild av de olika möjliga utfallen.

E X E M P E L

A

Under ett hus springer 100 råttor i avloppssystemet. I första förgreningen springer hälften åt väster och hälften åt öster. I andra förgreningen delar råttorna upp sig på 70 och 30 %, respektive 60 och 40 %.

väster

100 råttor

50%

70 %

a) LÖSNING

50 %

60 %

40 %

Hur många kommer fram till högen med matrester?

50 % av 100 råttor: 0,5 · 100 = 50 Det är 50 råttor som sticker mot matresterna i första förgreningen.

70 % av 50 råttor: 0,7 · 50 = 35 Det är 35 råttor som slutligen når maten.

Detta kan skrivas: 0,5 · 0,7 · 100 = 35 Multiplicera andelen i varje förgrening med Svar: 35 råttor når matresterna. totala antalet råttor. b)

LÖSNING

30 %

öster

Hur många procent av råttorna hamnar i råttfällorna?

Det är 50 % av råttorna som viker av mot råttfällorna i första förgreningen, och 40 % av dessa hamnar till sist i fällorna. p = 0,5 · 0,4 = 0,2 = 20 %

Välj rätt gren och multiplicera andelarna.

Svar: 20 % av råttorna hamnar i råttfällorna.

11

Matte B - s 2-29 - 1

1

08-05-26

11.43

Sida 12

Sannolikhetslära

c) LÖSNING

Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen.

Skriv andelarna på varje förgrening. väster

öster 0,5

0,5

0,3

0,7

matrester

E X E M P E L

B

råttbo

0,4

råttbo

råttfällor

Ludvig singlar slant två gånger. Han kan få krona eller klave. a)

LÖSNING

0,6

Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen.

Han kastar myntet två gånger.

Sannolikheten är 0,5 att det blir krona och 0,5 att det blir klave.

krona

0,5

0,5

klave

0,5

0,5

A

b) LÖSNING

0,5

B

C

0,5

D

Hur stor är sannolikheten att han först får krona och sedan klave?

Gren B innebär först krona och sedan klave: p = 0,5 · 0,5 = 0,25

Välj rätt gren och multiplicera sannolikheterna.

Svar : Sannolikheten är 0,25.

Hur många gånger bör han få krona-krona om han gör 40 kastomgångar?

c)

LÖSNING

Gren A innebär krona-krona: p = 0,5 · 0,5 = 0,25 0,25 · 40 = 10

Multiplicera sannolikheten med antalet omgångar.

Svar : Han bör få krona-krona 10 omgångar.

12

Matte B - s 2-29 - 1

08-05-26

11.43

Sida 13

Sannolikhetslära

E X E M P E L

C

Robin spelar tre gånger på chokladhjulet.

Han kan få vinst eller nit.

nit

vinst

nit

Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen.

1

nit

a)

LÖSNING

nit

nit

nit

Av 10 fält är det bara ett som ger vinst.

Sannolikheten för vinst är 1/10 = 0,1, och för nit 0,9.

nit nit

nit

vinst 0,1

första snurren

andra snurren

0,1

tredje snurren

A

0,1

0,9

0,9

0,1

B

C

0,9

0,9

D

nit

0,1

0,9

0,9

0,1

0,1

E

F

G

0,9

H

De olika grenarna har olika betydelse, t.ex. betyder gren A vinst alla tre gångerna.

b) LÖSNING

Hur stor är sannolikheten att hjulet stannar på nit alla tre gångerna?

Gren H innebär nit alla tre gångerna: p = 0,9 · 0,9 · 0,9 = 0,729 ≈ 0,73

Välj rätt gren och multiplicera sannolikheterna.

Svar : Sannolikheten för nit alla tre gångerna är 0,73.

c) LÖSNING

Hur stor är sannolikheten att han får exakt en vinst?

En vinst finns det på grenarna D, F och G: Sannolikhet för gren D: 0,1 · 0,9 · 0,9 = 0,081 Sannolikhet för gren F: 0,9 · 0,1 · 0,9 = 0,081 Sannolikhet för gren G: 0,9 · 0,9 · 0,1 = 0,081 Lägg ihop sannolikheterna för de tre grenarna. p = 0,081 + 0,081 + 0,081 = 0,243 ≈ 0,24 Svar : Sannolikheten för exakt en vinst är 0,24.

13

Matte B - s 2-29 - 1

1

08-05-26

11.43

Sida 14

Sannolikhetslära

109

Råttor springer i ett rörsystem. I första förgreningen springer 25 % till öster och 75 % till väster. I de andra förgreningarna springer 10 % till öster och 90 % till väster. a) Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen. b) Hur stor är sannolikheten att en råtta springer först till öster och sen till väster? c) Av 1000 råttor, hur många springer till väster i båda korsningarna?

110

Olle har ett par svarta och ett par blå jeans. Han har en röd och tre gröna tröjor. På morgonen väljer han slumpmässigt mellan de olika kläderna.

0,5

0,25

a) b) c) d)

14

0,75

0,5

0,25

0,75

Hur stor är sannolikheten att han tar blå byxor och röd tröja?

Hur stor är sannolikheten att han tar svarta byxor och grön tröja?

April har 30 dagar. Hur många dagar i april har Olle på sig blå byxor och grön tröja?

Hur många av terminens 84 dagar har Olle svarta byxor och röd tröja?

111

Klara singlar slant två gånger. a) Hur stor är sannolikheten att hon får klave-klave? b) Hur stor är sannolikheten att hon får krona och klave, oberoende av ordningen?

112

Det är fotbollskväll och familjen har dukat med både grillchips och dillchips, och man kan välja mellan Coca Cola och Fanta. Pernilla väljer slumpmässigt mellan sorterna. Hur stor är sannolikheten att hon äter grillchips och dricker Fanta?

113

Cecilia drar tre gånger i den enarmade banditen. Vinstchans 25 % står det på maskinen. a) Hur stor är sannolikheten att Cecilia vinner exakt en gång? b) Hur stor är sannolikheten att hon vinner någon gång, alltså en, två eller tre gånger?

114

Ian satsar på hästar. Det körs tre lopp. I varje lopp deltar fem hästar.

Hur stor är sannolikheten att han slumpmässigt prickar in tre vinnare?

UPPDRAG K2

Matte B - s 2-29 - 1

1

08-05-26

11.43

Sida 20

Sannolikhetslära

118

Tim har en påse med äpplen. Det finns 5 Golden delicious (gult)och 8 Red delicious (rött). Utan att titta i påsen tar han två äpplen och ger till sina snälla lärare Anna och Gunilla. Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen. a) Hur stor är sannolikheten att både Anna och Gunilla får röda äpplen? b) Hur stor är sannolikheten att Anna först får ett gult äpple och att Gunilla sedan får ett rött?

119

Ingrid har 6 vita och 1 gul golfboll i sin golfbag. Hon tar upp en boll utan att titta, och slår i väg den. Bollen hamnar ute i vattnet. Hon måste ta en boll till.

Rita ett träddiagram som visar de möjliga utfallen.

a) b)

Hur stor är sannolikheten att hon använder två vita bollar?

Hur stor är sannolikheten att hon använder en vit och en gul boll?

120

Fares är med i ”Fångarna på fortet”. I en burk finns det tio spindlar. På fem av spindlarna finns det lösenord. Han plockar upp tre spindlar och lägger dem i en annan burk. a) Hur stor är sannolikheten att han först får en spindel med lösenord, sedan en utan, och sist en med lösenord? b) Hur stor är sannolikheten att Fares fått upp exakt en spindel med lösenord?

121

Mimmi förvarar gamla odugliga batterier ihop med nya i en låda. Hon behöver tre nya batterier till sin cd-spelare. Hur stor är chansen att hon direkt får spelaren att fungera om det finns 5 nya och 12 gamla batterier i lådan?

20

UPPDRAG K3 L2

Matte B - s 2-29 - 1

08-05-26

11.43

Sida 21

Sannolikhetslära

G 122

BL ANDADE ÖVNINGAR

Para ihop uttrycken nedan.

Risken är 0,8 Chansen är 99,9 % Risken är 99,9 % Chansen är 0,2

123

1

att bli blöt när du går i regnet. att svara fel när du gissar på en kryssfråga med 5 alternativ. att hinna med bussen när du kommer 7 minuter innan den avgår. att svara rätt när du gissar på en kryssfråga med 5 alternativ.

Para ihop sannolikheterna.

0,5

0,25

0,000 0006

1

0,0027

Sannolikheten att den väntade bebisen är en flicka b) Sannolikheten att slumpmässigt få 13 rätt på stryktipset c) Sannolikheten att det är höst d) Sannolikheten att det är din födelsedag i dag e) Sannolikheten att det blir julafton inom loppet av 12 månader a)

124

Det finns cirka 4 miljoner hushåll i Sverige. Ett av dessa hushåll ska väljas ut till ett underhållningsprogram i tv. Uppskatta sannolikheten att det blir ditt hushåll.

125

Det finns 52 kort i en kortlek, 13 av varje färg. Jack drar slumpmässigt ett kort.

Hur stor är sannolikheten att kortet a) är en ruter? b) är en trea? c) är en ruter trea? d) är ett ess eller en kung? e) inte är en klöver? f) inte är spader ess?

21

Matte B - s 2-29 - 1

1

24

08-05-26

11.43

Sida 24

Sannolikhetslära

134

Du drar tre kort ur en vanlig kortlek. Vad är sannolikheten att du får triss i ess om du a) varje gång lägger tillbaka det dragna kortet i kortleken innan du tar ett nytt? b) tar alla tre kort på en gång?

135

Zack har fyra sura och sju salta godisbitar i en påse. Han tar först en och äter upp den, och sedan en till, utan att titta. a) Hur stor är sannolikheten att han får två salta? b) Hur stor är sannolikheten att han får en sur och en salt?

136

Youseff har en kartong med ett dussin ägg, varav fyra är kokta och resten råa.

Han behöver tre ägg till pannkakssmeten. a) Hur stor är sannolikheten att han tar tre kokta ägg? b) Hur stor är sannolikheten att han får minst ett kokt?

137

Det är 1 000 personer som åker med färjan till Djurgården under en dag.

Av dessa går 400 på Gröna Lund och resten på Skansen. Av dem som gick på Gröna Lund kommer hälften att äta där. Av dem som gick på Skansen kommer 75 % att äta där. a) Hur stor är sannolikheten att en slumpmässigt utvald person på färjan går på Skansen och äter där? b) Hur stor är sannolikheten att en person äter på något av ställena? c) På Gröna Lund kostar en måltid i genomsnitt 85 kr, på Skansen kostar en måltid i genomsnitt 125 kr. Hur mycket äts det för den dagen på Gröna Lund? På Skansen?

Matte B - s 2-29 - 1

08-05-26

11.43

Sida 25

Sannolikhetslära

G

— --

BL ANDADE ÖVNINGAR

nit

vinst nit

nit

nit

138

1

ånger de fem g kladhjulet la e p s g Ja på cho Det skulle nummer g. på olika na en enda gån elat på p s in v g t ja t utan a rit bättre om er. a m v m a h nit mma nu sa

vinst

nit

nit

nit

Det spelar väl ingen roll om man spelar på samma eller olika nummer.

Det är ändå bara 20 % chans att vinna.

Det gör det väl. Om man spelar på samma nummer varje gång måste det ju dyka upp någon gång.

Vem har rätt? Hur många procents chans är det att vinna minst en gång när man spelar fem gånger på olika nummer och vinstchansen för varje spel är 20 %? Blir det någon skillnad om man spelar på samma nummer?

139

Hur stor chans är det att få alla lika (Yatzy) när du kastar fem tärningar?

Spelar det någon roll om man slår alla tärningar på en gång, eller en i taget?

140

I en klass på 22 elever varav 12 är flickor heter tre elever Emma, och två elever Tobias. En pojke och en flicka ska lottas ut till ett tävlingslag. a) Hur stor är sannolikheten att en av flickorna som väljs ut heter Emma? b) Hur stor är sannolikheten att en som heter Emma och en som heter Tobias väljs ut? c) Hur stor är sannolikheten att en som heter Tobias och en som inte heter Emma väljs ut?

141

Caroline fyller år den 25 maj. a) Caroline träffar sin kompis Peter. Hur stor är sannolikheten att Peter har samma födelsedag som Caroline? b) Caroline och Peter träffar André. Hur stor är sannolikheten att alla tre har samma födelsedag?

25

U ppdraget Människor har i alla tider försökt lösa problem och lära sig mer om det okända. Det är viktigt att kunna strategier för att lösa problem och att kunna kontrollera andras lösningar för att inte bli lurad.

I detta kapitel får du olika uppdrag att lösa. Det ska du göra ensam eller till­sammans med dina klasskamrater, teoretiskt eller praktiskt.

Du ska presentera dina lösningar så att de är lätta att följa och förstå.

Du ska också försöka använda ett så korrekt matematiskt språk som möjligt.

Problemlösning P1–P20

Begåvning är visserligen bra att ha, men det räcker inte för att bli en bra problemlösare. Alla behöver övning. Kreativitet, självför­tro­ende, tålamod och förmågan att tänka logiskt behöver utveck­las, men vikti­ gast är nog att använda de kunskaper som man redan har. Eftersom det inte finns några enkla regler för hur matematiska problem ska lösas så gäller det att tänka efter vad man känner till sedan tidigare, och då inte bara det man lärt sig på matematik­lektionerna.

Kommunikation K1–K16

Ofta finns det flera lösningar på ett problem. De olika lösningarna kan ha både för- och nackdelar. Det kan också finnas flera vägar som leder fram till lösningarna. När du arbetar tillsammans med andra och kommunicerar kring problemet finns det goda chanser att värdera olika metoder och på så sätt komma fram till den bästa lösningen. Kommunikationsuppgifterna passar väldigt bra att arbeta med i grupp. I det här avsnittet finns uppgifter som kan lösas på olika sätt, och ni behöver kanske leta fakta i andra böcker eller på inter­net för att hitta den information som krävs för att lösa uppgiften.

Laborationer L1–L11

Här ska du lösa problem praktiskt. Detta kan du göra genom att mäta, väga och konstruera men också genom att söka data, mönster och samband. Du kan dessutom ofta kontrollera ditt resultat.

I flera av uppgifterna är det dock inte resultatet utan processen som är det viktiga för din inlärning. Därför måste du vara mycket noggrann med att göra anteckningar så att de är lätta att följa när du ska redogöra för vad du har gjort. Du har stor användning av din räknare eller av en dator.

Ledning till några av uppdragen finns på sidan 193.

170

Matte B - s 170-179 - Problemlo�170 170

08-05-26 12.56.40

Problemlösning P1

Spel och dobbel

P11 Skugghastighet

P2

Tre lådor med lappar

P12 Mer om andragradsekvationer

P3

Mer om felmarginal

P13 Olsson han hade en bonnagård …

P4

Kul med kulor!

P14 Jeopardy!

P5

Vad gäller?

P15 Martas trädgård

P6

Medellängden i ES2A

P16 Stolsfabriken

P7

Näringsinnehållet i maten

P17 Kul nästan jämt!

P8

Tända ljus

P18 Utsläpp som kostar

P9

Samma triangel – olika problem

P19 Funktioner och ekvationer

P10

Mullebyn

P20 Köpa ny bil?

Kommunikation K1

Skylttrubbel

K9

Statistikskolan

K2

Tunnelbanan

K10 Break even

K3

Spela kula

K11

K4

Fruktstunden

K12 Syltfabriken

K5

Playlists

K13 Randvinkelsatsen

K6

Skyhöga bensinpriser …

K14 Andragradsekvationer

K7

Biostatistik

K15 Goda nyheter

K8

Vill du plugga vidare?

K16 Mer om funktioner

Du är värsta läraren!

Laborationer L1

Bulls eye

L7

Likformiga vikningar

L2

Trådigt värre!

L8

Trianglar och kvadrater

L3

Hur långt är lika långt till skolan?

L9

Snöret

L4

Triangelolikheten

L10 Räta linjer på grafritande räknare

L5

En skruv lös …

L11 McDonalds

L6

Tändsticksaskar

171

Matte B - s 170-179 - Problemlo�171 171

08-05-26 12.56.40

Problemlösning

P15 Kapitel 6 sidan 131

Upp draget

Martas trädgård I Martas trädgård finns ett rektangulärt område som är 4,82,4 m. Marta tänker göra en blomrabatt i mitten av området och lägga plattor runt rabatten.

• H ur stor area upptar plattorna om de är kvadratiska med sidan 0,4 m?

• Visa att plattornas area bestäms av andragradsekvationen A = − 4,0x 2 + 14,4x, där x är plattornas sida.

• H ur stora plattor ska hon i stället välja om hon vill att rabatten ska vara 4,32 m2? Hur många plattor behöver hon då?

P16

Stolfabriken

Kapitel 7 sidan 145

Vid produktion av pinnstolar i Stolbolaget AB är de fasta kostnaderna 340 000 kr och de rörliga kostnaderna 35 kr per stol.

• F örklara att kostnaden kan skrivas y = 35x + 340 000 och rita grafen till funktionen. Teckna den funktion som beskriver försäljningssumman om varje stol säljs för 103 kr och rita funktionens graf.

• Hur många stolar måste säljas för att försäljningssumman ska vara lika med kostnaderna?

• Vilket pris ska man sätta på stolarna om man vill få igen kostnaderna vid försäljning av 4 000 stolar? Hur stor blir då vinsten vid försäljning av 10 000 stolar?

P17 Kapitel 7 sidan 148

Kul nästan jämt!

Nora jobbar i leksaksbutik där man säljer glaskulor i lösvikt. Hon försöker väga en glaskula, men den rullar bara av vågen. Hon väger istället en glasburk med 5 kulor i. Den väger 695 g. Med 3 glaskulor i burken väger den 479 g.

• V ad väger en kula?

• Hur många kulor finns det i en glasburk som väger 1 343 g?

• Låt vikten y g vara en funktion av x kulor i burken. Använd värdena i uppgiften och rita upp den linjära funktionen. Ange funktionens formel.

178

Matte B - s 170-179 - Problemlo�178 178

08-05-26 12.56.57

U pp d r a get

P18 Kapitel 7 sidan 158

Problemlösning

Utsläpp som kostar En fabrik släppte år 1990 ut 60 ton koldioxid.

De fick då åläggande att minska utsläppen med 16 % per år till dess att utsläppet hade halverats. Funktionen för koldioxidutsläppet y kan skrivas som y = 60 ∙ 0,84t , där t är tiden i år efter 1990.

• Hur stort är koldioxidutsläppet år 1992? Rita funktionens graf.

• Bestäm efter hur många år koldioxidutsläppet har halverats.

• En annan fabrik som släpper ut A ton koldioxid får samma åläggande.

Hur många år dröjer det innan den fabriken har halverat utsläppet?

Redogör för hur du kom fram till ditt resultat.

P19 Kapitel 7 sidan 162

Funktioner och ekvationer • Lös ekvationerna x2 – 4x + 3 = 0 och (x – 3)(x – 1) = 0.

• Rita upp graferna y = x2 – 4x + 3 och y = (x – 3)(x – 1).

Kan du utläsa ekvationslösningarna i första punkten med hjälp av graferna?

• Vilka tre hör ihop?

Formulera en regel för hur B och C hör ihop.

P20 Kapitel 7 sidan 164

A x2 + x – 6 = 0 x2 – 1 = 0 x 2 + 5x + 6 = 0

B (x + 1)(x – 1) = 0 (x + 3)(x + 2) = 0 (x + 3)(x – 2) = 0

C x1 = –3 x2 = 2 x1 = –1 x2 = 1 x1 = –3 x2 = –2

Köpa ny bil?

I en tabell på en bilfirma kan man läsa ut att värdet på en ny bil minskar med 15 % varje år de tre första åren. Därefter är värdeminskningen 10 % varje år i 4 år. Bilens värde, y kr, efter tre år kan beräknas med formeln: y = 197 000 ∙ 0,85 3 • Vad betyder 197 000 och 0,85 i funktionen? Beräkna bilens värde efter 3 år.

• Gör en värdetabell som visar bilens värde från det den köptes till 7 år senare.

• S kriv funktionen för bilens värde mellan 3 och 7 år. Rita grafen till funktionen. Hur skulle grafens utseende ha förändrats om bilens värde i stället minskat med 10 000 kr varje år under samma tid?

179

Matte B - s 170-179 - Problemlo�179 179

08-05-26 12.56.58

Uppdraget

Kommunikation

K O MMUNIKatION MÅL Du ska utveckla din förmåga att i grupp arbeta med olika metoder

för problemlösning. Du ska kunna formulera och motivera dina val samt tolka och värdera lösningarna.

I kommunikationsavsnittet måste ni själva ta fram en del information eller göra vissa antaganden och det finns därför många olika svar som kan vara rätt. Här ska ni arbeta i grupp om två eller fler. En fördel med att arbeta i grupp är att ni tillsammans kan hitta flera infallsvinklar, och sedan diskutera vilken metod eller vilken lösning som verkar bäst. Det är viktigt att ni skriver upp de olika förslagen, och motiverar varför ni väljer att göra på ett visst sätt. När ni har hittat en lösning måste ni bedöma om den är tillräckligt bra, eller om ni bör testa en annan metod.

K1

Skylttrubbel

Kapitel 1 sidan 7

MeÅ Bokstaven ”U” från en skylt med texten ”UMEÅ” har lossnat.

• V ad är sannolikheten att ett litet barn som varken kan läsa eller skriva eller bor i Umeå sätter upp det på rätt plats igen?

• Ä r det mer sannolikt att en annan bokstav skulle hamna på rätt plats om den lossnande och barnet skulle sätta tillbaka den? Motivera.

• V ad är sannolikheten att barnet skulle sätta upp två bokstäver på rätt plats om de fallit ned?

Hur blir det för exempelvis bokstäverna E och M?

U

180

Matte B - s 180-187 - Kommunikat180 180

08-05-26 12.57.13

U p p d r a get

A^c_Zc~ih`VgiV IjccZaWVcV

K2

Kommunikation ;Â&#x17D;g`aVg^c\Vg IjccZaWVcV GÂ&#x17D;YV A^c_Zc IjccZaWVcV <gÂ&#x17D;cV A^c_Zc IjccZaWVcV 7aÂ&#x20AC; A^c_Zc

Tunnelbanan

/- 2

)-. $)& 1

*+-. )

8, 2 ).,/(

& ''

%/'-.

Kapitel 1 sidan 14

) ,2 - -%/&#/-

$-.

,"-# (,

$--)

''*) ," )

/0 *

*') ).,/(

, . )

5, .

6 &,*- )

/) 1 ,"- ).,/(

/0/ -.

)$0 ,-$. . . &)$-& #8"-&*' )

. $*)

,' +' )

. -# " )

)., ' )

," *, $' -+ ' )

6 #/- .

)-

$ )&

.

( (

)

./ '' * ,) -

#* '( $ '%

(' -. ) '/-- ) *," ,+' .- )

6' ,#8% ) , 6)"

$ -*(( ,&, )- )

/''( ,-+' )

6.,

&5,( , ,$)& '* ) ' !*)+' )

7, ,"

' 2

''&,*" )

6,,.*,+

/ 5)" )

) # " )

7& ,5)" )

8" ' )

5-. ,.*,+

%8,&# " )

&*"-&1,&*"6, )

./, 2

'6-/. ) - *,"

* & )+' ) 0 (2,

5" ,-. )-6- )

''/)

*,- *,"

(( , 2#8% )

)-& "7,

7, 2 "7,

$..%

& )-./''

&6,#*'( )

-(*

/)"- .,5 "6, )

$) , $.

) -

+/

,"

,"

' 1

4, )-

4-. ,( '(-.*,"

#

-' 1 " 6, *

# )) '/ ) 5 ''$ )" 1 6 & -.

'

&

," ' ) -. *, " 2) . " 1+ ' ) 3& -# , *0 *( ( +

' , ) # ( - . ," *,

( *)

5

' 0$ &

'0$&

4& -#*0

, $ .* ,"

5-- ' 1 -., )

, $ # ( -+

' . ) ,$& -+' ) )+ ' ) 6 ( ) -" 7 . .* ) ," .

5-., -&*" )

" ,(*-- )

,-.

7"-0

& ,+)6 &

,-. -., )

"-6.,

,/6)" )

â&#x20AC;˘ D u och dina kompisar kliver pĂĽ tunnelbanan i Farsta (grĂśn linje) i Stockholm och ska ĂĽka till Vällingby. Ni upptäcker att ni mĂĽste byta till en annan grĂśn linje fĂśr att komma till rätt plats. Vad är sannolikheten att ni väljer en linje som gĂĽr ända fram till Vällingby om ni byter till en annan grĂśn linje vid T-centralen? Vi antar att alla tunnelbanetĂĽg ĂĽker med lika stort tidsmellanrum. â&#x20AC;˘ Ni ska ĂĽka mellan Hornstull och Ă&#x2026;keshov. Hur stor är chansen att ni fĂśrst ĂĽker med linje T14 och efter byte till fĂśrsta bästa tĂĽg pĂĽ grĂśn linje kommer hela vägen till Ă&#x2026;keshov? â&#x20AC;˘ Kalle kommer ned till T-baneperrongen vid Skanstull och väntar pĂĽ fĂśrsta bästa norrgĂĽende tunnelbanetĂĽg pĂĽ grĂśna linjen. Enligt tidtabellen gĂĽr tĂĽgen var tjugonde minut enligt fĂśljande: Linje T17 Linje T18 Linje T19

00 15 10

20 35 30

40 55 50

00 15 10

20 35 30

osv. osv. osv.

Vi antar att Kalle inte känner till tidtabellen. Viken linje är det stÜrst chans att han kommer att üka med? VarfÜr dü? Motivera.

181

Matte B - s 180-187 - Kommunikat181 181

08-05-26 12.57.13

Uppdraget

Laborationer

l a borationer Mål Du ska kunna ställa upp en hypotes och praktiskt undersöka om den

stämmer. Du ska också kunna söka efter data, mönster och samband.

I laborationsavsnittet behöver du oftast lite extra material utöver papper och penna. Ibland går det bra att arbeta enskilt, ibland passar det bättre att vara flera. Läs noga igenom problemet, fundera igenom olika lösnings­metoder och vart de leder. Ofta är det bra att ställa upp en hypotes (en gissning) innan du börjar. Gör anteckningar under laborationens gång och utvärdera din hypotes (kontrollera om den stämde). Gör gärna en s.k. laborationsrapport och låt din lärare ta del av den.

Du behö ver r Du beh öve

L1 Kapitel 1 sidan 10

Bulls Eye

en pås Sto rt vitt e Ah pap lgrper ens, bilar. mynt att kasta

Ni ska kasta ett mynt på en måltavla.

Rita måltavlan med 16, 17, 23, 24, 39 och 40 poäng. Lägg tavlan på golvet och tävla! Du får kasta så många gånger du vill, och det gäller att få högst 100 poäng.

Får du mer åker du ur tävlingen.

Det gäller att sluta i tid. Om två får samma poäng vinner den som behövde minst antal kast.

Spela fem omgångar så att ni sedan kan diskutera spelstrategier.

40 39 24 23 17 16

• H ur ska man träffa för att få exakt 100 poäng? Det finns bara en kombination!

• Det finns 11 sätt att få 96 poäng. Hur många kan du hitta? Vilken kombination vinner om alla får 96 poäng?

• Om man får mer än 84 poäng så stoppar man givetvis, för att inte åka ut ur tävlingen. Hur många sätt finns det att få mer än 84 poäng med bara tre mynt?

188

Matte B - s 188-193 - Laboration188 188

08-05-26 12.56.09

U p p d r a get

L2

Laborationer Du Du beh behöve överr

Trådigt värre!

Sex gröevre en pås tråens Ahlgr darbila

r.

Kapitel 1 sidan 20

Arbeta två och två.

• E n av er får sex trådar. Håll dem så att trådändarna syns på båda sidor av handen. Den andre knyter ihop trådändarna två och två på övre sidan av handen. Sedan gör man på samma sätt på nedre sidan av handen.

Hur många i klassen fick en ring av snörena? Gör om försöket ett antal gånger och anteckna resultatet.

• Beräkna den teoretiska sannolikheten att det ska bli en ring. Jämför med det ni fick vid försöket.

• Hur förändras sannolikheten att få en ring om man ändrar antalet trådar?

L3 Kapitel 2 sidan 45

Hur långt är lika långt till skolan?

Du Du beh behöve överr

Int en ern påset, lok e Ah lgralk ensart a bila

r.

Låt alla i din klass undersöka hur lång väg de går eller åker till skolan.

Använd kartverktyg på webben för att mäta sträckan (t.ex. google karttjänst, hitta.se eller eniro.se). Låt också samtliga ange hur lång tid det tar att ta sig till skolan, från det man lämnar hemmet tills man är på plats i skolan. Räkna även med väntetid vid bussbyten och liknande. Om någon cyklar ibland, kör bil ibland eller går ibland, så ta tiden för det vanligaste färdsättet.

• M arkera på kartan var alla bor. Beräkna mediansträckan och mediantiden.

• Sammanbind med linjer den halvan av klassen som har kortast väg till skolan. Gör likadant med den hälft som har längst väg.

• Diskutera resultatet. Finns det elever som har nära till skolan fågelvägen, men måste färdas långt? Vem har längst väg och vem behöver längst tid?

Borde er skola ha legat på ett annat ställe om den fanns där enbart för er klass?

189

Matte B - s 188-193 - Laboration189 189

08-05-26 12.56.09

B B-kurs

i matematik

B

är en bok för gymnasiets

B

Matematik

Matematik

Matematik

Anna Norberg Gunilla Viklund Lars Burström

Matematik B har en mycket tydlig struktur med

• • •

en modell för varje viktigt delmoment t ypexempel och övningsuppgifter till varje modell blandade övningar på tre nivåer Bonniers

Matematik B är avsedd för SP, ES och gymnasiets yrkesinriktade program. Matematik B är en fortsättning på Matematik A från Bonnier Utbildning.

Volym

M ED

G

D RA

789162 288150 (8815-0)

www.bonnierutbildning.se

Matematik B omslag.indd 1

U PP

9

M ED

ET

ISBN 978-91-622-8815-0

D RA

G

U PP

ET

Radie

x 2 – 6x + 5 = 0 första snurren

andra snurren

tredje snurren

08-06-10 13.22.17