Титани, які творили науку («Якби те знати», серія книжок зі вступу до фізики) by K.I.S. Publishing

ali_cover_last.qxd

27.10.2005

15:15

Page 1

"Якби те знати" серія книжок зі вступу до фізики,

Анна Парізі

видана за керівництва Джорджо Парізі.

Анна Парізі народилася 1961 року в Римі, де й закінчила фізичний факультет. Вона не доводиться родичкою Джорджо Парізі (одразу повідомляємо вам, оскільки, напевне, у вас виникне це запитання). До 1996 року Анна Парізі займалася науковою діяльністю, а тепер працює над створенням науково,популярних видань для дітей.

Джорджо Парізі народився в Римі 1948 року, обіймає посаду штатного викладача квантових теорій у Римському університеті «Ла Сап’єнца». Він є членом Італійської академії «Лінчей» та іноземним членом Французької академії. У 1992 році отримав нагороду Болтцманна, а в 1999 — нагороду Дірака за досягнення в галузі теоретичної фізики.

Фабіо Маньяшутті народився в Римі 1966 року, а у 80,х роках з’явився на світ як художник,ілюстратор. Співпраціює з різними видавництвами та часописами.

КРИЛА, ЯБЛУКА ТА ПІДЗОРНІ ТРУБИ

Продовжуючи шлях, розпочатий у книжці «Магічні числа та мандрівні зірки. Перші кроки науки», книга, яку ти тримаєш у руках, розповість тобі про події найбільшої наукової революції. Ти довідаєшся про труднощі Коперніка, химерні ідеї Кеплера, проблеми Галілея, нелегку вдачу Ньютона. Якщо ти захочеш простежити за міркуваннями, спостереженнями, дослідами й доведеннями цих учених, тобі також удасться зрозуміти їхні погляди, ти зможеш разом з Галілеєм спрямувати підзорну трубу до неба, збагнути застосування могутніх математичних методів Декарта, Лейбніца та Ньютона, сформулювати закон усесвітньо, го тяжіння. Якщо це все зацікавило тебе, можеш прочитати продовження історії в книжці «Провідник, передпокій атома».

Анна Парізі

КРИЛА, ЯБЛУКА ТА ПІДЗОРНІ ТРУБИ Наукова революція Малюнки Фабіо Маньяшутті

«Якби те знати» серія книжок зі вступу до фізики

Анна Парізі. Крила, яблука та підзорні труби / Пер. з італійської. — К.: «К.І.С.», 2005. — 190 с. В усі часи людина намагалась пізнати дивовижний світ природи, споглядаючи його, вивчаючи його будову, проводячи певні досліди . часом успішні, деколи небезпечні. Кожна епоха мала своїх геніїв, які, попри труднощі, невдачі й перешкоди, наполегливо працювали в царині науки. Аристотель, Леонардо да Вінчі, Копернік, Тіхо Браге, Ньютон та багато інших в усі віки творили цю унікальну «наукову історію». Пропонована школяреві книжка, немов своєрідна машина часу, дасть змогу поспілкуватись із кожним видатним ученим, поставити йому прискіпливі, а часом і незручні запитання. А ті, своєю чергою, терпляче відповідатимуть, пояснюватимуть на цікавих прикладах, радитимуть провести досліди, що, зрештою, допоможе читачеві збагнути значення доволі складних на перший погляд понять.

ISBN 88–87546–85–1 (італ.) ISBN 966–8039–79–3 (укр.)

Анна Парізі

Крила, яблука та підзорні труби Наукова революція Переклала Олена Кругликова Підписано до друку 01.11.2005. Формат 60х90 1/16. Папір офсетний. Друк офсетний. Умов. друк. арк. 12,0. Наклад 1000 прим. Зам.

Переклад книжки здійснено за фінансової підтримки Європейського секретаріату наукових публікацій (SEPS). The translation of this book has been funded by SEPS Segretariato Europeo Per Le Pubblicazioni Scientifiche Via Val d’Aposa 7 40123 Bologna Italy seps@alma.unibo.it – www.seps.it Видавництво «К.І.С.» 04080 Київ.80, а/с 1, тел. (044) 462–5269, books.dovidka.com.ua Свідоцтво про внесення до Державного реєстру суб’єктів видавничої справи ДК, №677 від 19.11.2001 р. ВАТ «Білоцерківська книжкова фабрика» 09117, м. Біла Церква, вул. Курбаса, 4 ISBN 88–87546–85–1 (італ.) ISBN 966–8039–79–3 (укр.)

Анна Парізі

КРИЛА, ЯБЛУКА ТА ПІДЗОРНІ ТРУБИ Наукова революція Переклад з італійської

ВСТУП

Любий друже, в цій книжці такі відомі вчені, як Копернік, Браге, Гільберт, Кеплер, Галілей, Гассенді, Декарт, Торрічеллі, Паскаль, Ньютон, Лейбніц, Гюйгенс, Галлей, Бойль, ознайом. лять тебе з основними етапами однієї з найбільших наукових революцій усіх часів. Протягом кількох століть — від межі XV до завершення XVIII — цим геніям вдалося спростувати хибні переконання, які заполонили уяву людей в епоху Середньовіччя. Сьогодні дехто вважає, що це не перша велика революція в історії західної наукової думки. Справді, вже давньогрецької доби (IV – III ст. до Різдва Христового) такі видатні грецькі мислителі, як Евклід, Ератосфен, Аристарх, Архімед та інші, досягли напрочуд важливих результатів. Вони розробили точні методи наукового дослідження, і їхні теоретичні знання зас. тосовано в проектуванні механізмів високого технологічно. го ґатунку. Не випадково ця «друга» революція починається саме з вивчення трактатів та ознайомлення з результатами й мето. дами наукових досліджень давніх греків.

Як у давнину, так і протягом перших трьох століть Ново. го часу наука зробила величезний крок уперед саме завдяки обдарованості вчених та їх здатності зіставляти різні погляди й теорії. Тож, попри розбіжності цих поглядів, за Кеплером, «всі шанувальники справжньої філософії долучаються до спіль. них шляхетних роздумів», які приведуть людство до створен. ня величної наукової теорії, відомої під назвою «класична фізика».

ПОЧНІМО З ПОЧАТКУ... ... А початок цей був вельми невеселим! Греки сягнули дуже високого рівня наукових знань, та що залишилось від великих починань Фалеса після завоювання Стародавньої Греції римлянами? На жаль, небагато. Без жодного сумніву, тексти давньогрецьких філософів опинилися в Римі. Там їх прочитали, але зрозуміли лише частко. во й так само частково, з багатьма неточностями переписали в латинські енциклопедії.

Оригінали текстів поступово губилися, а їх зміст стирав. ся ще й через втрату римлянами навичок з грецької мови.

До того ж ніхто так і не подбав про повні переклади давньо. грецьких трактатів латиною. На щастя, в бібліотеках східної частини Римської імперії збереглося доволі багато давніх записів, та й люди вміли їх читати. Тому деякі вчені могли ґрунтовніше вивчати праці давньогрецьких філософів. Але навіть провідні світочі науки раннього Середньовіччя вже не вірили в змогу людини зро. зуміти закони Всесвіту. Вчених турбували такі питання: «Хто може знайти причину руху небесних тіл? Ми ж бо не знаємо навіть, як пояснити таку величезну кількість зірок, їхні різні розміри та колір. Можемо лише сказати, що Бог уміло попра. цював над створенням світу». Де ж поділися ті мужні й допитливі люди, які прагнули зро. зуміти все? Ті, хто ставив багато питань і шукав на них відповіді в природі, а не в божественному втручанні? Спробуймо роз. ширити наш світогляд і погляньмо на Схід.

Сон про Аристотеля Тут ми зустрінемось з арабами, народом розумним і допитливим, що живе поруч зі своїми мудрими східними сусідами, зокрема індійцями (мешканцями Індії, а не індіанцями Америки). Араби засвоїли важливі наукові відкриття Сходу.

У VII столітті вони захопили східне узбережжя Середзем. ного моря, Північну Африку й майже всю Іспанію. Владарю. вали на цих землях арабські халіфи, зацікавлені в розвиткові науки і знань загалом. У VIII столітті до їхньої столиці Багда. ду запросили багатьох учених і філософів із Сирії, Месопо. тамії та Ірану. Це були мусульманські, юдейські та християнські мудреці. Вони приїхали з різних країн, розмовляли різними мовами й несли з собою спадщину різноманітних культур. Багдадсь. ка зустріч збагати. ла всіх. За легендою, халіф аль.Мамун побачив уві сні ве. ликого грецького вченого й філосо. фа Аристотеля, той просив його перекласти араб. ською всі давньогрецькі книж. ки, які йому вдасться знайти. Аль.Мамун, не зволікаючи, підписав важливі угоди з сусідньою Візантією, за якими отри. мав збережені грецькі рукописи. Він закликав до роботи своїх найвидатніших співвітчизників і заснував великий науковий центр — Дім Знань, що нагадував Музей в Александрії. Завдя. ки наполегливості халіфа багато давньогрецьких праць дійшли до нас саме в арабському перекладі.

Араби не обмежились читанням і перекладом грецьких текстів. Вони їх уважно вивчали, додаючи до них щось своє, й засновували нові школи. Величезні наукові здобутки арабів збагатили культурну спадщину завойованих ними народів.

Про важливість знання іноземних мов У Західній Європі офіційною мовою науки стає латина. Грець. ку майже повністю забули, а арабської ніхто не знав. Однак в Іспанії, країні, де поширилась латинська мова, вчені дуже довго жили під владою арабів і вивчили мову своїх завойовників. Через це саме в Іспанії, а найбіль. ше — в місті Толедо, від ХІ століття поча. ли перекладати ла. тиною наукові текс. ти, записані арабсь. кою мовою. Звідси ці трактати поступо. во поширювалися всією Європою. Серед перекла. дених книг були де. які праці Евкліда, Аполлонія, Архімеда і Птоломея. Наукову цінність цих текстів

помітили одразу, і почалося справжнісіньке «полювання» на грецькі оригінали. На Сицилії, де співіснували народи, що розмовляли грець. кою, арабською й латинською мовами, вперше перекладено оригінали грецьких текстів латиною.

Арабські чи індійські? Поступово світ оз. найомлювався з грець. кою культурою та вив. чав її. У царині матема. тики особливо важли. вими виявилися внески арабських учених, передусім запро. вадження «індійських цифр». — Пане Фібоначчі, мені порадили звернутися до Вас, аби довідаT тись, що мали спільного араби з «індійськими цифрами». — Вони перейняли ці цифри від індійців, зрозумівши їх важ. ливість. Араби використовували їх у нових математичних розробках, а також «подарували» їх Європі. — Ніколи про них не чув. — Але ж ти користуєшся ними щоденно. Ось вони:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

— Я й гадки не мав, що «індійські» — це наші цифри. Все ж відкриття індійців не видається мені таким значущим. Греки й римляни теж уміли рахувати, лише записували цифри інакше, використовуючи букви. — Спробуй розв’язати цей приклад римськими цифрами: CVIII + III. — Гадаю, мені вдасться! Перекладу лише його на мої цифри: 107 + 3= 110 — Справді: CVII + III = CX — Звісно, CX і є 110! — За допомогою індійських цифр (які ми звично називаємо «арабськими», бо знаємо їх від арабів) набагато легше об. числювати. Можна робити це і «в стовпчик», саме завдяки тому, що значення кожної з цифр обумовлене її позицією. Коли я пишу CVIII + III, ти сприймаєш приклад як 107 + 3 = отже, додаєш 3 до 7, отримуєш 10 і маєш кінцевий 110 результат.

А бідні давньоримські школярі не могли так робити, бо не викорис. товували «позиційної системи об. числення». — Де Ви навчилися нового спосоT бу написання цифр? — Я народився 1180 року, моє справжнє ім’я Леонардо Пізано, але всі мене називають Фібо. наччі, себто син Боначчі. Ще змолоду я подорожував Єгип. том, Сирією й Грецією. Мій батько був купцем, а я допома. гав йому з рахунками. Східні купці вдавалися до власного способу написання цифр і робили свої обчислення блиска. вично. То ж і я вивчив цей спосіб та користувався ним. Він видався дуже зручним, тому я написав про нього книгу, щоб поширити його якомога швидше в Європі.

Університетська культура У перші століття Середньо. віччя навчання організо. вували пе. реважно при монас. тирях, де як. раз зберігали й від руки переписува. ли книги. Друку тоді ще не було.

Від ХІ століття в Європі виникають університети — спілки студентів, які платять викладачам за належне підготування з навчальних предметів. Перший європейський університет виник у місті Болоньї. Його засновано ще 1088 року. Тамтешні викладачі зосереди. лися на вивченні Корпус Юріс — збірника норм римського цивільного права, укладеного імператором Юстиніаном у VI столітті. Лекції читали латиною — мовою освічених людей усієї Європи. Студенти з різних країн приїздили в Болонью вивчати право. У наступному столітті багато університетів було відкрито й в інших містах. В Італії — у містах Салерно, Неаполі, Падуї,

Кембрідж Оксфорд

Париж

Тулуза Паленсія Саламанка Лісабон

Верчеллі Падуя Монпельє

Реджо Болонья Емілія Ареццо Неаполь Салерно

Ареццо, Реджо.Емілії, Верчеллі. У Франції — університети Парижа, Монпельє й Тулузи, в Англії — Оксфордський і Кембриджський, в Іспанії та Португалії — університети Паленсії, Саламанки та Лісабона.

Підручники Найпопулярнішим автором університетських підручників був Аристотель, хоч і написав він свої праці близько 1500 років тому. Вивчали його трактати «Фізика» (грецькою це слово означає «природа»), «Про небо і про світ», в якому розглянуто проблему руху небесних тіл, «Метеорологія», де Аристотель пояснює різні атмосферні явища земного світу, як.от вітер, дощ, грім, блискавку, появу комет.

Кінематика – це не лайливе слово У XIV столітті в університетах, особливо в Мертон.коледжі Оксфордського університету в Англії, розпалюються дискусії навколо кінематики. Слово «кінематика» походить від грецького «kinema», що означає «рух». Кінематика вивчає рух тіл і намагається пояснити, як вони рухаються, дати відповіді на такі питання: «Як скоро можна доїхати з Рима до Мілана при швидкості пересування 110 км/г?» Але її не цікавлять питання, чому тіла рухаються, що їх штовхає. Кінематика прагне знати лише швидкість, відстань та час руху.

Збори товариства А зараз познайомимося з невеличким товариством англійських учених. Ось вони: Бредвердайн, найстарший з них, а ще Хейтесбері, Свайнешед і Дамблтон.

— Мені дуже приємно з вами познайомитися, але, перепроT шую за невігластво, раніше я ніколи не чув ваших імен. — Це й не дивно: по.перше, справді видатних учених, що ста. ли загальновідомими, було зовсім небагато, по.друге, ми живемо в перехідний час. Давня Греція подарувала світові дуже важливі наукові досягнення, і ті, хто житиме за кілька століть, осягне їхні здобутки та зможе запропонувати нові цікаві теорії. А ми лише торуємо шлях.

— Чим саме ви займаєтесь? — Ми вивчаємо праці давніх учених і намагаємося зрозуміти їх спосіб мислення та перевірити достовірність їхніх результатів. — Що найбільше вас цікавить? — Вивчення властивостей. За Аристотелем, кожна річ реального світу скла. дається із субстанції та властивостей. Субстан. ція — це матерія, з якої складається предмет, вона не може змінюва. тися. А властивості можуть набувати різних значень. — Щось не дуже зрозуміло. — Достатньо навести кілька прикладів. Візьмімо трохи води. Во. да — це субстанція, якщо замінити воду на землю, матимемо іншу субстанцію, але якщо її підігріти, вона залишиться водою, тільки стане теплою. Тепло — це властивість. Якщо я підфарбую во. ду червоною фарбою, вона знов. таки лишиться водою. Колір — та. кож властивість. Якщо я воду вил. лю з вікна, вона набере певної швидкості, при цьому залишаю. чись водою. Отже, і швидкість є однією з властивостей предметів, що їх ми вивчаємо.

— Добре... а далі що? — А далі ми вдаємося до кількісного обчислення цих власти. востей. — Якась нісенітниця... — Навпаки, це наукова проблема. Щоб підігріти велику каст. рулю води, її потрібно потримати на вогні довше, ніж ма. леньку. Температура теплої води однакова, але для більшої кількості води треба використати більше тепла. Ми прагне. мо виміряти саме кількісні показники різних властивостей одного предмета. Швидкість — це теж властивість, яка має бути виміряною. — Що ви маєте на увазі, коли кажете «виT міряна»? — Нам треба знайти спосіб, щоб встанови. ти, який пред. мет рухається швидше (чи повільніше) від іншого. — Достатньо подивитися, хто виграє змагання. Зробіть так, щоб вони стартували разом, і погляньте, хто першим пеT ретне фінішну межу. — Отже, ти нам пропонуєш визнати «швидшим» те тіло, що за менший часовий проміжок пройде один і той самий відрізок простору.

— Ви й справді розмовляєте надто химерно! Так, я вам проT поную визнати «швидшим» того, хто менше витратить часу на пробіг певної дистанції (від старту до фінішу). — Можна вчинити й інакше: визнати «швидшим» того, хто за той самий час опиниться далі. — Слушно. Ви можете встановити час у дві хвилини. Коли воT ни сплинуть, усім накажіть зупинитися. Той, хто опинитьT ся далі, й буде швидшим. — Припустімо, ми зараз на змаганні. Стартують двоє хлопців. Вони біжать, але раптом один зупиняється, щоб зав’язати шнурки. Потім він наздоганяє іншого. Ось промайнули дві хвилини, ми зупиняємо бігунів. Хлопці пробігли одна. ковісіньку відстань від старту. Отже, вони пройшли рівну дистанцію за один час. Вони бігли з однаковою швидкістю. — Зовсім ні! Той, хто спинився, біг набагато швидше! — Виходить, наше означення «швидшого» не завжди спрацьовує. — Ну, інколи спрацьовує. Якщо під час змагання хтось спиT няється, хай нарікає на себе, бо виграє той, хто першим буде на фініші. Не спрацювало б тоді, коли б ми схотіли довідатися, хто розвинув більшу швидкість на дистанції.

— Ото ж бо й воно. Якщо тіло рухається, не змінюючи швид. кості, не прискорюючи її та не вповільнюючи, ми стверд. жуємо, що воно рухається зі сталою швидкістю, і її можна визначити, замірявши, скільки часу тіло витрачає на пробіган. ня певної відстані, або ж яку відстань воно долає за певний час. Проблема виникає, коли швидкість не стала, а змінна. Якби, наприклад, тіло постійно збільшувало свою швидкість, чи можна було б довідатись, якою вона є щомиті? Ми могли б назвати її «миттєвою», тобто такою швидкістю, з якою тіло рухається певної, чітко визначеної миті, ні на секунду ра. ніше, ні пізніше. — І скільки б мала тривати ця «мить»? — В цьому й полягає вся складність: ми не знаємо! Якби ми мали використовувати звичні формули, що пов’язують між собою відстань, час і швидкість, все було б набагато простішим… — Чому ж ви цього не робите? —Тут не все так легко, як ти гадаєш. Ми ще не додумалися... про це подбають наші нащадки! Однак де з чим ми таки впо. рались. Наприклад, ми визначили, що тіло, котре рухається зі сталим прискоренням, за певний часовий проміжок про. ходить таку відстань, яку воно пройшло б за стільки ж, якби

рухалося зі сталою швидкістю, рівною половині макси. мальної швидкості прискореного руху. — Повільніше, панове! Ви говорите казнаTщо і до того ж зловT живаєте умовним способом. — Насправді ми не можемо зробити більше. Однак нашими дослідженнями з кінематики зацікавилися в Італії та Франції, де їх розвинули далі. Вирушай до Парижа і знайди там Ніко. ля Оресма. Він розтлумачить тобі ліпше.

Паризька кінематика Ніколя Оресм (1323 – 1382) працював у Парижі, але віль. но ознайомився з досягненнями вчених Оксфордського Мер. тон.коледжу, оскільки всі писали латиною — мовою універси. тетів і вчених усіх європейських країн у добу Середньовіччя. Оресм також прагнув виміряти різні властивості тіла, се. ред яких була й швид. кість. Щоб ліпше зро. зуміти питання, на які він шукав відповіді, Оресм почав робити креслення. Як ти зго. дом побачиш, це йому дуже допомогло.

Оресм вирішив зобразити на горизонтальній лінії час, що збігає, а на вертикальній — швидкість об’єкта. Легше побачити це на малюнку. Припустімо, тіло має сталу швидкість, значення якої дорів. нює 20. Якщо швидкість стала, це означає, що вона не змінюється. Спочатку вона дорів. нює 20, в час 1 дорівнює 20, в час 2 — теж 20 тощо. Фігура, яку ми отримуємо, — прямокутник. У такий спосіб ми можемо зобразити також і рух об'єкта, що від початку рухається, постійно збільшуючи свою швидкість. У момент часу 1 його швидкість дорівнює 10, у момент часу 2 — 20, у момент 3 — 30, 4 — 40. Намалюймо цей рух. Фігура, яку ми от. римуємо, вже не пря. мокутник, а трикут. ник. Якщо розглянути ці два малюнки, нак.

ладені один на другий, не важко помітити, що відстань, яку проходять два об’єкти за проміжок часу від 0 до 4, однакова, бо швидкість об’єкта А (20) є половиною максимальної швид. кості об’єкта В (40). Це — саме те, що мали на увазі вчені Мертон.коледжу. Без точного оз. начення швидкості, якого довелося че. кати ще кілька сто. швидкість В літь, неможливо чіт. ко довести це тверд. ження. Але з малюн. швидкість А ка ти можеш здога. датися, що першу половину часу тіло В набирає ту швид. кість, яку вже від по. чатку має тіло А. Решту ж часу тіло В продовжує збільшувати швидкість, щоб подолати своє відставання. Воно наздоганяє тіло А, лише ко. ли подвоює свою швидкість, і ні на секунду пізніше. Дослідження руху тіл цим не завершується, і зараз ми маємо ознайомитися з теорією імпульсу вчителя Оресма Жана Бури. дана, викладача Паризького університету, що жив приблизно в 1300 – 1358 роках.

Хто мене штовхнув? — Про що йдеться в цій теорії імпульсу? — Ти пригадуєш, як Аристотель пояснював політ стріли, що продовжує рухатися, навіть коли поштовх закінчився, тобто коли вона відірвалася від лука? — Так, Аристотель стверджував, що повітря за стрілою створює щось на зразок вихору, який продовжує штовхати стрілу.

— Ця гіпотеза про повітря, що штовхає стрілу, не дуже подо. балася вченим. Її критикував уже Джованні Філіпоно (VI століття), а видатний арабський мислитель Авіцена (980 – 1037) вважав, що на момент закінчення дії поштовху здатність рухатися залишається в самому об’єкті. Спочатку це пояс. нення не сприйняли, але в ХIV столітті мій учитель Буридан знову висуває припущення Авіцени. Він твердить, що лук надає стрілі певного імпульсу, поштовху. Цей імпульс зали.

шається в стрілі й після її відокремлення від лука. Так стріла продовжує рухатися самостійно і не зупиниться доти, доки не наткнеться на якусь перешкоду. — Мене не зовсім це переконує. Ніколи не бачив нічого такоT го, щоб рухалось і рухалось, не зупиняючись. — Тому що тут, на землі, все зазнає опору повітря, яке й галь. мує рух. — Отже, ми не можемо знати, як би рухався об’єкт, коли б він на своєму шляху не наражався на опір повітря. — Це так. Адже якщо ти поглянеш на небо, то побачиш, що Сонце, Місяць, зірки й планети, які рухались ще за часів давніх єгиптян, рухаються зараз і, б’юсь об заклад, рухати. муться і в майбутньому, коли житимеш ти. — Так, вони рухатимуться і потім... — ...І ти вважаєш, що їх постійно хтось підштовхує? — Ні..., не знаю..., ніколи над цим не замислювався... — Буридан стверджує, що Бог, створивши світ, надав кожно. му небесному тілу імпульс, щоб вони продовжували ру. хатися, не потребуючи біль. ше його втручання. — Звучить логічно... Дивно було б думати, що Бог час від часу легенько підштовхує Всесвіт.

— Ми теж так гадаємо. Було б легше «підштовхнути Всесвіт», коли б Сонце й зірки стояли на місці, а оберталася лише Земля. В будь.якому разі, якби імпульс не зберігався, довело. ся б надавати нового поштовху. — Хіба ви вважаєте, що Сонце стоїть нерухомо в центрі Всесвіту, а Земля навколо нього обертається? — Якби те знати! Напевне, все відбувається навпаки, але гіпо. теза цікава. Якби оберталася лише Земля, було б простіше й економніше. У ХIV столітті вчені присвятили багато часу вивченню «можливих світів» і займалися доволі мало спостереження. ми єдиного в нашому розпорядженні Всесвіту. Саме в тако. му ключі вони розглядали можливість обертання Землі нав. коло Сонця, не тому, що вважали цю гіпотезу справедливою, а позаяк «можна було б уявити і Всесвіт із Сонцем у центрі»... чому б і ні? Ці міркування вчених Мертон.коледжу, Оресма та школи Буридана поширилися також і в Італії, де їх вивчали й поглиблювали, особливо в Падуанському університеті.

ЦЕ ЩЕ НЕ КОМП’ЮТЕР! Друга половина ХV століття стала свідком цілої низки ви находів і відкриттів, які помітно змінили хід життя в Європі: друк, порох, компас, відкриття Америки. 1456 року в німецькому місті Майнці Ганс Гутенберг впер ше надрукував книгу: це була Біблія. Книгодрукування швид ко поширювалось, і наприкінці ХVI століття друкарні відкри лися в 110 містах Європи, зокрема в 50 італійських. Доти книжки переписувалися від руки, і, щоб мати одну копію, доводилося чекати роками. У друкарні ж книжку готу вали середнім накладом 1000 примірників, і якщо вона роз ходилася, можна було зробити друге її видання. Винахід книгодруку вання сприяв поширенню наукового знання. Якщо друк полегшив обмін думками, компас зробив можливим орієн тування людини у відкри тому морі хмарними но чами, коли не було видно зірок.

Порох, своєю чергою, докорінно змінив оборонну й нас тупальну тактики. Відкриття Америки (його датують 1492 ро ком, але справжнє зна йомство з континентом відбудеться значно піз ніше) дало змогу європей цям збагнути справжню ве лич світу й різноманітність природи, з її небаченими досі представниками флори та фау ни. До Європи потрапили картопля, кукурудза, помідори (ціка во, з чого ж раніше в Неаполі робили соус до макаронів?), какао, квасоля, тютюн. Європейці вперше побачили таких тварин, як пума, канадська рись, лама, кайман та індик. 1620 року філософ Френсіс Бе кон писав, що винайдення друку, ком пасу та пороху зумовило величезні зміни: «Жодна імперія, ані група людей, ані зірка доти не впливали так сильно на життя людства».

У майстернях митців Епоха Відродження — час розквіту різних видів мистецт ва: живопису, скульптури, архітектури. У майстернях митців зазвичай працювало багато людей. Молодь тут здобувала фах, а також вивчала точні науки, займалася інженерною справою й виготовляла різні пристрої.

Молоді люди вчилися різати камінь і плавити бронзу для виготовлення статуй, опановували техніку побудови арок і куполів, поглиблювали свої знання з анатомії, щоб якомога точніше малювати й ліпити людське тіло. Для зображення на малюнках людей і предметів у перспективі треба було знати математику й геометрію. Саме тогочасні митці запровадили поняття перспективи — техніки, що дає змогу малювати на плоскому аркуші тривимірні фігури.

Згідно з чіткими геометричними правилами та пропорціями, ближчі предмети видаються більшими, а дальші — меншими.

Митець винахідник Таким був світ, у якому зростав і працював Леонардо да Вінчі. Народився він 15 квітня 1452 року в містечку Вінчі (поруч з Флоренцією). 1469 року Леонардо переїздить до Флоренції, а двадцятирічного його приймають до цеху художників. Ле онардо залишив нам багато творів і письмових праць на різні теми. — Майстре Леонардо, в яких галузях Ви спеціалізувалися? — Я все пояснив у листі до правителя Міла на, Лудовіко Моро, коли хотів отримати запрошення на роботу при його дворі. Я можу винаходити й створювати військові пристрої, проектувати архітектурні об’єк ти, плавити бронзу та вирізати скульпту ри, крім того, я ще добре малюю... — ... а готувати каву вмієте? — Каву? Але ж традицію кавування запровадять пізніше! Дай мені ска зати; а якщо хоч одна з перелічених вище речей комусь вида ватиметься неможливою чи нездійсненною, я рішуче доведу свою здатність ділом. — Пробачте, якою мовою Ви розмовляєте?

— Простонародною! Я не дуже довго навчався грамоти, тому в латині не надто вправний. — Тим краще, бо я латини зовсім не знаю, та й з простона& родною італійською маю певні труднощі. В мій час італійська стала простішою. — Як це простішою? Для мене найпростіша та мова, якою я завжди розмовляв. Однак спро бую говорити так, щоб ми порозумілися. — Майстре Леонардо, я знаю, що Ви були видатним худож& ником. Слава про Вас сягнула всіх куточків світу, а Ваші твори виставлено в найвідоміших музеях. Але наша книжка присвячена науці, і я все не второпаю, як Ви опинилися на її сторінках. — Якщо ти обізнаний зі вченням Аристотеля, то мусиш знати, що наш світ складається з чотирьох стихій: землі, повітря, води та вогню. Ці стихії з’єднуються і роз’єднуються, змішу ються та розділяються, наш світ у постійному русі. Кожен рух визначається законами, яким підкоряється природа. Ці закони можна виразити в математичній формі. Митець має їх знати, адже без них він не зможе творити. Наприклад, архітектор, будуючи дім, повинен знати, «які сили трима ють укупі будівлю й роблять її стійкою». — Згода, але все це зайве в малярстві.

— І це кажеш ти! Як же можна малювати, не знаючи правил, за якими малюнок насправді буде сприйнятним для твого ока? — Ви маєте на увазі правила перспективи?

Тривимірне бачення — Звичайно. Перше правило перспективи стосується можливості малювати на площині аркуша те, що в природі є об’ємним. Ця проблема, звісно, поставала і перед тобою. Хатинку, що видніється в далечині, ти мусиш намалювати меншою від квітки на передньому плані. Це все одно, що дивитися на предмет через плоске й прозоре скло. — Як це? — Візьми тонесенький аркуш паперу, такий, щоб аж був прозорим, і закріпи його скотчем на вікні своєї кімна ти. А тепер олівцем «наведи» на аркуші контури будинків і вулиць, які ти бачиш. Це і є перший тип перспективи. — І Ви завжди малювали так, приклеюючи аркуш до вікна? — Та ні! Коли зрозумів правила, достатньо їх застосовувати. На аркуші паперу проведи лінію горизонту, а над лінією пос тав крапку — «точку сходження». Тепер намалюй куб у перс пективі. Спочатку окресли передню грань куба, яку ти ба

чиш плоскою (розташовуй її не прямо перед точкою сход ження, а трохи збоку). Проведи прямі лінії від вершин грані до точки сходження, познач задні ребра куба. Коли ти засвоїш цю техніку, зможеш ма лювати що завгодно. Наприклад, свою кім нату з меблями. За вершуючи, не забудь стерти всі допоміжні лінії, за якими ти бу дував малюнок.

— Чудово! Він і справді здається об’ємним.

— Так, але бракує «повітряної» перспективи! — Тобто виду з літака? — Який там літак! Я так і не зміг запустити свого літального апарата! «Повітряна» в тому розумінні, що ти маєш пам’ятати про наявність повітря.

— До чого ж повітря на малюнку? — Коли ти дивишся на віддалений горизонт, то бачиш його трохи розмитим, не таким чітким і ясним, як предмети поруч. Це тому, що між тобою й горизонтом багато повітря і зір трохи затуманюється. — Справді, так. Тоді на картині треба помістити також і повітря, що є між тобою та предметом, який малюєш. — Правильно. Так роблять, щоб відтворити природу такою, якою вона постає перед нами. Я довго вивчав чотири при родні стихії, а в голові все снувала думка, як би використа ти їх так, щоб змусити працювати машини, не застосовую чи ні людської, ані тваринної сили.

— Ніколи не чув, щоб Ви займалися машинами! — Ти під машинами розумієш автомобілі, тож я задоволений, що ти ніколи цього не чув... автомобілі – це було б занадто, навіть для моєї сміливої уяви. А якщо машинами назвати всі пристрої, що виконують будь яку роботу, то багатьма з них я займався, і деякі мої машини працювали без людської сили. Як ось цей диво гриль, який ти бачиш на малюнку тут поруч. — І як же він крутиться? —Вогонь підігріває повітря, гаряче повітря піднімається й крутить про пелер. Завдяки складному механіз мові рух пропелера передається зно ву донизу, і він повертає курча. — Ти ба, винахід світового масштабу! — Нахабний хлопчиську, ти хоч розумієш, яка ідея стоїть за цим? Пристрій працює без жодного втручання людини! — Ну, звісно, вибачте. А що Ви можете сказати про свій літаль& ний апарат? — Я спроектував їх чимало... але жоден не міг відтворити того руху, що його знають птахи вже з перших днів життя. Будува ти машини, здатні відтворювати природу, дуже складно, бо ми ще не знаємо всіх законів, яким підкоряється природа.

науки в університеті, можливо, ти ніколи в житті не дізнаєшся про це дивовижне числення. — Вибачте, якщо це так складно, то я Вас більше ні про що не запитуватиму. — Дарма! Звісно, багато чого я не зможу тобі пояснити, та на сторінці 174 ти знайдеш при наймні свідчення про всю йо го могутність і користь. Ти навіть глибше зрозумієш до сягнення Галілея. Я тобі пояс ню лише дещо, бо коли ти сподіваєшся, що це зробить Ньютон...

Готфрід Вільгельм Лейбніц

— Ну, прошу Вас, не розпалюйтесь так. Ньютон уже в мину0 лому, а в наші часи всі вже знають, що Ви та Ньютон не0 залежно один від одного розробили одну систему числення і ніхто ні в кого не списував. — В минулому? Королівське товариство мене засудило за плагіат (Ньютон таки надзвичайно вплинув на англійців), я не зміг опублікувати багатьох своїх праць, а на мій похорон 1716 ро ку прийшли лише мої родичі та друзі. Ньютона ж 1727 ро ку вшанували королівським похороном, поховали його по руч з англійськими монархами у Вестмінстерському абатстві. — ... Але Ньютон займався не лише численням, він також збаг0 нув і пояснив всесвітнє тяжіння.

166

— Навіть не згадуй про це! Хіба можуть два тіла взаємно притягуватися, навіть якщо між ними пустота, а відстань дос татньо велика? І що це за абсолютний рух? Ми ніколи не можемо знати, чи стоїмо ми, чи рухаємося рівномірно й прямолінійно. А питання атомів? Якби вони існували й були не пружними, а «твердими», як стверджував Ньютон, то зіткнення між двома з них призвело б до катастрофи! На важливі зауваження Лейбніца Ньютон не відповів. По леміка між двома школами не завершилася смертю їх заснов ників. «Школа Лейбніца» зростила багатьох відомих матема тиків, а ідеї Ньютона заклали підґрунтя для розвитку фізики протягом двох наступних століть. Облишмо особисті непорозуміння вчених і погляньмо на величезні здобутки, які вони залишили в історії. Починали ми з несміливих розмірковувань Коперніка, щоб сягнути Всесвіту, вільного від твердих сфер, Всесвіту «демокра тичного», де одним законам підкоряється й Місяць, і яблуко («за кон рівний для всіх»). Всесвіту, де існує пустота, де повітря має вагу, може стискатися й розширюватися, Всесвіту, в якому навіть світло та кольори діють за математичними законами. Всесвіту, який можна дослідити з підзорною трубою, через яку він ви дається нам «більшим». Наскільки більшим? Він має межі чи є безкінечним? А матерія та світло, з чого вони складаються? У нас ще багато питань...

167

ДОДАТОК ДЛЯ ТИХ, ХТО ХОЧЕ ЗНАТИ БІЛЬШЕ Що таке еліпс Еліпс — це фігура, яку ми отримуємо, розрізаючи конус так, як ти це бачиш на малюнку поруч. Візьмемо дві точки А і В, позначимо третю точку С. Відстань між А і С позначимо а, відстань між В і С — b. Суму відста% ней від точки С до фокусів А і В (а + b) позначимо d (d = a + b). Сума відстаней від точки С до фокусів (тобто d) має бути біль% шою за відстань h від фокусу А до фокусу В. Сукупність точок площини, для яких сума відстаней до А і В дорівнюватиме d, утворює еліпс. Для точки C- буде а + b = d, для точ% ки С-- – a-- + b-- = d тощо. На ма% люнку показано те, про що ми тільки%но сказали. Саме тому можна намалювати еліпс за до% помогою двох канцелярських кнопок та нитки (див. стор. 73): дов% жина нитки не змінюється.

Три закони Кеплера 1. Кожна планета рухається еліптичною орбітою, в одному з фокусів якої розташоване Сонце. 2. Відрізок прямої, який сполучає планету з Сонцем, за рівні проміжки часу описує однакові площі.

168

(TT ) = ( dd ) 1

Ця формула означає, що квадрат відношення між періодами обертання (Т) навколо Сонця двох будь%яких планет дорівнює кубові відношення їхніх середніх відстаней до Сонця (d). Період обертання — це час, який планета витрачає на здійснення пов% ного оберту навколо Сонця.

Приклади рівномірно прискореного руху Якщо ми з даху будинку висотою 20 метрів впустимо горщик і нам відомо, що за 2 секунди він досягне землі, ми можемо вирахувати, яку відстань пролетить горщик за одну секунду по тому, як ми його впустили. s2 t 2 = 2 s1 t1

( )

Відомо, що s2 = 20 метрів і t2 = 2 секунди. Обчислимо s1, якщо t1 = 1 секунда. 20 = s1

( 12 )

20 = 4 s1

Помноживши праву й ліву частини на s1 та поділивши їх на 4, маємо: s1 20 s 20 s1 = = 5 метрів x =4x 1 4 4 s1 4 За одну секунду горщик пролетів 5 метрів. Галілей відкрив закономірність, t 2 s2 = 2 s1 t1

( )

169

вивчаючи рух на похилих площинах, а ми її застосували до вільного падіння тіла. Сам Галілей дозволив нам це. Не маю% чи змоги робити виміри за умов вертикального падіння пред% метів (їхній рух був надто швидким), Галілей використовував багато площин з різними нахилами й помітив, що зако% номірність залишається незмінною. Так само він застосував її й для руху з вертикальним нахилом, тобто вільного падіння.

Намалюймо інші прямі в Декартовій системі координат Перепишемо загальне рівняння прямої: y=aXx+b Виберемо значення а = 0 і b = 3. Наше рівняння буде таким: y=0Xx+3 Обчислимо координати точок: x=0

y=0X0+3

y=0+3

y=3

x=1

y=0X1+3

y=0+3

y=3

x=2

y=0X2+3

y=0+3

y=3

Яке б значення х ми не брали, у постійно дорівнює 3. Нане% семо наші точки на графік: x=0

y=3

x=1

y=3

x=2

y=3

y=3 3

Це пряма, паралельна осі x. 0

170

Для того щоб намалювати пряму, паралельну осі у, ско% ристаємось таким рівнянням:

x=5

3 2

x=0Xy+5

1 0

Обчислимо координати то% чок, вибираючи значення y:

y=0

x=0X0+5

x=5

y=1

x=0X1+5

x=5

y=2

x=0X2+5

x=5

Знайдемо пряму, що проходить через дві точки Нам потрібно знайти рівняння прямої, що проходить через точки. точка 1:

x = 0;

y=3

точка 2:

x = 1;

y=6

Відомо, що, як і для всіх прямих, рівняння нашої прямої буде таким: y=aXx+b Тепер, однак, нам невідомі а і b, але ми знаємо х та у. Ми можемо підставити їх у рівняння, щоб вирахувати а і b. Підставимо першу точку: 3 = a X 0 + b;

3 = 0 + b;

3=b

Ми обчислили значення b. Тепер підставимо координати другої точки та b, яке ми вже вирахували: 6 = a X 1 + 3;

6 = a + 3;

6 – 3 = a;

3=a

Ми вирахували також і а = 3. Отримуємо рівняння нашої прямої: y=3Xx+3

171

Щоб переконатися, що вона справді проходить через ці точ% ки, можеш тепер її побудувати. 1 Чому F = — r2 ? Ми зараз маємо об’єднати все, що вивчили дотепер. Третій закон Кеплера твердить T2 = r3

(a)

(квадрат періоду обертання планети пропорційний кубові її відстані до Сонця). За Декартом і Гюйгенсом, кожне тіло, що обертається (наша кулька на мотузці теж), має певну «тенденцію віддалятися від центру». Гюйгенс вирахував, що ця «тенденція віддалятися від центру» (ас) є пропорційною квадратові швидкості нашої куль% ки та обернено пропорційною її відстані від центру. v2 ac = (b) r де «r» — радіус орбіти, а отже, й відстань кульки до центру. Швидкість кульки (v) ми можемо обчислити, ділячи весь шлях, пройдений нею протягом одного оберту, на витрачений на це час, який називається періодом і позначається Т. Оскільки шлях кульки є колом, то обчислюємо ми його за формулою довжини кола (2π r). v=

2π r T

Підносячи до квадрату, отримуємо:

172

v2 =

(2π r)2

(c)

За рівнянням (а) T2 = r3 тож, підставивши цю формулу в рівнян% ня (с), спростимо й отримаємо: (2π) 2r2 (2π r)2 (2π) 2 2= ; ; v2 = v2 = v r3 r3 r Підставивши цю формулу на місце v2 у рівнянні (b), отримаємо (2π) 2 1 (2π) 2 ; X ac = ac = r r r2 Отже, значення ac, тобто «тенденції віддалятися від центру» (яка буде пропорційною силі, «що не дає їй віддалитися»), дорівнює числу ((2π )2) поділеному на r2.

Швидкість падіння монети Сила, що притягує монету до Землі, визначається формулою F =Gx

Mxm r2

(a)

де r — відстань монети до центру Землі, М — маса Землі, а m — маса монети. Ця сила, що діє на монету, спричинює прискорення a=

F m

(згідно з другим законом Ньютона), тож, підставивши на місце F формулу (а), ми отримуємо: a=Gx

Mxm r2

1 ; m

a=Gx

M r2

173

Як бачиш, маса монети зникла з рівняння. Отже, прискорен% ня залежить лише від маси Землі та від відстані монети до цент% ру Землі. Чому йдеться про відстань між монетою та центром Землі, а не поверхнею Землі? Тому що Ньютон довів (викорис% товуючи дуже складні розрахунки), що тіла притягуються так, нібито вся їхня маса розташована в їх центрі. Відстань між мо% нетою та центром Землі практично дорівнює радіусові Землі. Таким чином ми можемо визначити прискорення, якого мо% нета набуває у вільному падінні на Землю: 24 x M %11 5,97 10 x a=G = 6,67 10 = 9,8 м/с2 r2 (6,37 x 106)2 x

Це прискорення однакове для всіх тіл, яку б масу вони не ма% ли, оскільки в підрахунку ми не застосовуємо маси монети.

Нова математика Величезною заслугою Ньютона та Лейбніца було розуміння, що для розрахунків з постійно змінними величинами не% обхідно вміти обчислювати дотичні до кривих. Розгляньмо, чому це так і що це означає. Ми їдемо велосипедом з постійною швидкістю. За секунду ми проїжджаємо 10 метрів. З якою швидкістю ми їхали? Ми руха% лись зі швидкістю 10 метрів на секунду (10 м/с). Якщо швидкість стала, ми її можемо означити: s v= t Нашу швидкість ми виміряємо, ділячи відстань на час, за який ми цю відстань подолали. Погляньмо, чи це означення правильне.

174

Якщо швидкість стала й за секунду ми проїхали 10 метрів, скільки метрів ми проїдемо за 2 секунди? Очевидно, 20 (10 за першу секунду і 10 — за другу). З якою швидкістю ми рухалися? s 20 м v= = = 10 м/с t 2с З тією ж швидкістю 10 метрів на секунду. Правильно, ми сказали, що наша швидкість була сталою. А тепер зобра% зимо на графіку відстань, яку ми долаємо, залежно від ча% су, якщо наша швидкість за% лишається сталою й дорів% нює 10 м/с. t0 = 0 с ta = 1 с tb = 2 с

s0 = 0 м sa = 10 м sb = 20 м

відстань (метри)

sb 20 sd 17

sc 12 sa 10

Якщо наше означення швид% кості правильне, це означає, що вона завжди дорівнюва% час 0 1 1,2 1,7 2 тиме 10 м/с як результат ta tc td tb (секунди) ділення пройденого шляху на витрачений на його подолання час. Візьмімо відстань між точками sa і sb, позначеними на графіку. Яку відстань ми подолали? (∆ s ми позначимо відрізок пройденого шляху, тобто sкінцеве – sпочаткове) ∆ s = sb – sa = 20 – 10 = 10 Скільки часу ми витратили на цей шлях? ∆ t = tb – ta = 2 – 1 = 1

175

Якою була наша швидкість? ∆ s 10 v= = = 10 м/с ∆ t 1 Поки що все правильно, але перевірмо ще раз. Візьмемо меншу відстань і підрахуємо знову: ∆ s = sd – sc = 17 – 12 = 5 Скільки часу пішло? ∆ t = td – tc = 1,7 – 1,2 = 0,5 v=

∆ s ∆ t

5 = 10 м/с 0,5

Швидкість залишається незмінною. Ми можемо взяти поло% вину шляху, але й витрачений час зменшиться вдвічі. Коли ми візьмемо удесятеро меншу відстань, то й витрачений час бу% де в 10 разів коротшим. Ділячи відстань на час, ми постійно отримуємо 10 м/с. Отже, ми можемо взяти дуже маленьку відстань і поділити її на дуже малий витрачений час і отри% маємо той самий результат 10 м/с. Але наскільки малими мо% жуть бути ця відстань і цей час? Наскільки нам того хочеться, відношення все одно залишається 10 м/с. Але якщо ми візьмемо відстань настільки малу, що вона наб% лижається до нуля? Час теж буде таким, що наближається до нуля. Звичайно, але ж не можна написати ∆ s 0 v= = ∆ t 0 Не можна ділити число на нуль! І справді не можна, але Ньютон стверджує: якщо постійно зменшувати відстань і витрачений на її проходження час, «то

176

за якусь мить» до того, як ці величини стануть рівними нулю, їх відношення буде 10 м/с. Отож можна сказати, що це відно% шення завжди дорівнюватиме 10 м/с, навіть тоді, коли відстань і час дорівнюватимуть нулю. Якщо швидкість стала, ми знаємо, як її обчислити: ∆ s v= ∆ t Декартова система координат знадобилась нам для зображення відстані залежно від часу, витраченого на її проходження. Якщо ми починаємо рахувати час і відстань з нуля, тобто якщо tпочаткова = 0 секунд, і sпочаткова = 0 метрів, тоді ∆ s = s – sпочаткова = s – 0 = s, ∆ t = t – tпочаткова = t – 0 = t, таким чином: v=

s t

помноживши праву та ліву частини на t і спростивши, отри% маємо s vxt= xt t s=vxt

s v = 2 m/s

v = 1 m/s

Подивимось уваж% ніше, якщо v стала (отже, ми можемо записати її як незмінне число), чи не здається тобі, що ми отримуємо рівняння пря% мої? На осі х ми відклали час, а на осі у — пройдену відстань. Чим швидше їде наш велосипед, тим вертикальніше положен% ня нашої прямої.

177

Що ж відбувається, коли швидкість не стала, а зміна, наприк% лад, увесь час зростає, як у разі вільного падіння? Візьмемо формулу Галілея: s2 = s1

( tt ) 2

Ми побачили, що тіло у вільному падінні за секунду пролетіло 5 м, тож можемо записати: s2 t = 2 5м 1с

( )

;

s2 = (5м/с2) x t22

t2 — це певний відрізок часу, який ми вибираємо та за який вимірюємо відстань s2 пройдену предметом. Для зручності приберемо позначення «2». І справді, t2 може бути будь%яким відрізком часу, важливо, щоб відстань (поруч з якою ми також приберемо «2») точно відповідала цьому часові. Приберемо також м/с2 (метри на секунди в квадраті), яка нам була не% обхідною для того, аби показати, що відстань ми вимірюємо в метрах (а не в кілометрах, наприклад), а час — у секундах (а не в хвилинах чи годинах). s = 5 x t2 Скористаємось Декартовою системою координат, щоб накрес% лити відстань залежно від часу. Вирахуємо координати точок. t0 = 0 t1 = 1 t2 = 2 t3 = 3 t4 = 4

s0 = 5 x t02 = 5 x 02 = 5 x 0 = 0 s1 = 5 x t12 = 5 x 12 = 5 x 1 = 5 s2 = 5 x t22 = 5 x 22 = 5 x 4 = 20 s3 = 5 x t32 = 5 x 32 = 5 x 9 = 45 s4 = 5 x t42 = 5 x 42 = 5 x 16 = 80

Позначимо точки на нашому графіку. t0 = 0

178

s0 = 0

відстань (метри)

t1 = 1 t2 = 2 t3 = 3 t4 = 4

s1 = 5 s2 = 20 s3 = 45 s4 = 80

Одразу видно, що лінія, котру ми отримали, не пряма. Математики її на% зивають «параболою». А тепер спробуймо зас% тосувати наше означен% ня швидкості до відрізка кривої. Наприклад, до% слідимо, що відбуваєть% ся між t3 і t4.

s4 80

s3 45

s2 20 s1

5 0

1 t1

2 3 4 t2 t3 t4

час (секунди)

∆ t = t4 – t3 = 4 – 3 = 1 ∆ s = s4 – s3 = 80 – 45 = 35 v=

∆ s ∆ t

35 = 35 1

Можна було б сказати, що наша швидкість, якби вона була ста% лою, на цьому відрізку дорівнювала б 35 м/с. Ми вже досліди% ли, що за незмінної швидкості відстань залежно від часу має вигляд прямої, а швидкість вказує на нахил цієї прямої. На ма% люнку, однак, видно, що відстань, пройдена нашим об’єктом за час від t3 до t4, описується не прямою, а відрізком парабо% ли, яка перетинається з прямою тільки в точках 3 і 4 і «відхи% ляється» від неї між цими точками (див. малюнок на стор. 180).

179

Візьмемо тепер менший відрізок, половину попереднього, і знову підрахуємо: ∆ t = tb – ta = 3,75 – 3,25 = 0,5 ∆ s = sb – sa= 70,3 – 52,8 = 17,5 v=

∆ s ∆ t

17,5 = 35 0,5

Ти дивись! На меншому відрізку швидкість не змінюється. Но% ва пряма паралельна першій, отже, в неї такий же нахил, але вона «ближча» до параболи, відстань між «вигином» парабо% ли та прямою зменшилась. Візьмемо ще менший відрізок (і збільшимо зображення в місці, що нас цікавить):

sb 70,3

sd 64,8 61,25

sc 57,8 sa 52,8

45 3

180

3,25 3,4 3,5 3,6

3,75

sb 70,3 sd 64,8 61,25

sc 57,8 sa 52,8

45 3

3,25 3,4 3,5 3,6

3,75

∆ t = 3,6 – 3,4 = 0,2 ∆ s = 64,8 – 57,8 = 7 ∆ s 7 v= = = 35 ∆ t 0,2 Цього разу ми вже очікували такого результату. Зменшуючи відрізок, ми постійно отримуємо ту ж саму швидкість. Чим далі зменшується відрізок, тим ближче посувається пря% ма до параболи, чим менший відрізок, тим імовірніше, що швидкість на ньому буде сталою. Але наскільки малим має бути цей відрізок? Цього разу ми не мо% жемо сказати, «наскільки нам до вподоби», цього разу наш відрізок має бути таким малим, як точка нашої параболи, оскільки в кожній точці параболи наша швидкість змінюється, хоч і трохи.

181

Але ж точка не має розмірів, точка дорівнює нулю, ми не може% мо розділити ∆ s на ∆ t, якщо обидві ці величини дорівнювати% муть нулю! Однак Ньютон і Лейбніц стверджують, що можна розділити, коли відношення між двома відрізками, які постійно зменшуються, наближатиметься до скінченного числа. З геометричного боку все видається досить зрозумілим: тоді як наші відрізки зменшуються, пряма наближається до дотич% ної до нашої параболи в середній точці відрізків. Ти пригадуєш, що таке дотична? Це пряма, що дотикається до кривої лише в одній точці. Швидкість у кожній точці визна% чається нахилом у ній дотичної. Поглянь на зображення па% раболи з кількома її дотич% ними: нахил цих прямих визначає швидкість нашо% го об’єкта в кожній з поз% начених точок, тобто в точ% ках «дотику». За одну секунду дотична має нахил 10, а наш об’єкт набирає швидкість 10 м/с; за 2 секунди його швидкість сягне 20 м/с тощо. Але як довго це триватиме? З плином часу швидкість постійно зростає. Уявімо собі, що пройде дуже%дуже багато часу, майже до безкінечності. Тоді й швидкість нашого об’єкта зросте до безкінечності! Цю проб% лему наука розглядатиме вже після смерті Ньютона.

182

Але повернімося до нової математики. Ньютон і Лейбніц не лише зрозуміли, що для обчислення змінних величин треба вміти вираховувати дотичну до кривих, а й розвинули загаль% ний метод для обчислення дотичних.

Найдімо дотичні до параболи Спробуймо застосувати цей метод для обчислення дотичних до параболи. Мушу відразу тебе попередити, що тут потрібні певні навички з математики. Якщо деякі переходи ти не цілком розумітимеш, довірся моїм розрахункам і намагайся збагну% ти сам метод. Найпростіше рівняння параболи y = x2 x0=0

y0=02=0

x1=0,5

y1=0,52=0,25

x2=1

y2=12=1

x3=1,5

y3=1,52=2,25

x4=2

y4=22=4

x5=2,5

y5=2,52=6,25

Тепер, коли ми пересвідчилися, що y = x2 дійсно описує парабо% лу, облишмо числа і використай% мо букви. Це необхідно для віднайдення за% гального правила, яке стосувало% x

183

ся б кожної точки й кожного відрізка. Потім, коли нам буде потрібно, ми зможемо підставити значення будь%якої точки чи відрізка параболи.

∆ y

∆ x

Поглянь на малю% нок. Ми довільно вибрали коорди% нату х і знайшли відповідну орди% нату у. Потім від% клали відрізки а і b пообіч обраних координат. Від% різок а ми взяли на свій розсуд, але відрізок b має від% повідати обрано% му відрізкові а.

Ми знаємо, що для обчислення нахилу дотичної до нашої параболи в точці Т ми маємо взяти відрізок ∆ у, поділити йо% го на відрізок ∆ х і знайти результат. А потім брати все менші відрізки й дивитися, чи не змінюється результат. Нам відомо, що для всіх точок нашої кривої підходить вираз у = х2, інакше крива мала б інший вигляд. Чому тоді дорівнює координата у – b? Це буде

y – b = (x – a)2

а отже, й

y + b = (x + a)2

Обчислимо:

184

∆ y ∆ x

= =

(y+b) – (y%b) (x+a) – (x%a)

(x+a)2 – (x–a)2 (x+a) – (x–a)

x2+a2+2xa%(x2+a2%2xa) (x+a) – (x%a) x2+a2+2xa–x2–a2+2xa x+a%x+a

= 4xa = 2x 2a

Отже: ∆ y = 2x ∆ x Нахил дотичної в усіх точках х дорівнює 2х. За умови х = 1, нахил дорівнює 2x = 2 x 1 = 2 За умови х = 2, нахил дорівнює 2x = 2 x 2 = 4 За умови х = 3, нахил дорівнює 2x = 2 x 3 = 6 Щоб пересвідчитися в тому, що ми знайшли саме нахил до% тичної в точці з координатою х, перевіримо, чи не змінюєть% ся результат, якщо ми візьмемо коротший відрізок а. Це для того, щоб переконатися в правильності відношення, коли а наближається до нуля. Нам пощастило, бо вдруге вже не потрібно проводити обчислення. Справді

∆ y

= 2x , а зникає з нашого рівняння! ∆ x Яке б а ми не взяли, ∆ y/∆ x завжди дорівнюватиме 2x.

Рівномірно прискорений рух Повернімося до швидкості. Ми починали з рівняння на сто% рінці 178: s = 5 x t2

185

і хотіли визначити швидкість у кожній точці. Крім 5, на яку множиться t2, форма рівняння відповідає звичайній параболі. Коефіцієнт «5» зробить її вужчою. Отже, ми знаємо, що коли: ∆ y = 2x y = x2 тоді ∆ x тоді якщо s = 5 x t2

тоді

∆ s = 5 x (2 t) ∆ t

∆ s але ∆ t — це саме наше визначення швидкості; тоді: v=

∆ s = 5 x (2 t) = 10 x t ∆ t

Скориставшись цією формулою, ми можемо визначити швидкість нашого об’єкта будь%якої миті. Зазначимо ще одне. Швидкість у рівномірно прискореному русі є пропорційною часові. Галілей мав рацію! В нього не бу% ло ще достатньо математичних знань для доведення, та йому вдалося це збагнути: якщо пройдена відстань пропорційна до часу в квадраті (в цьому Галілей переконався завдяки своїм дослідам з похилою площиною), то швидкість пропорційна часові. Апетит з їдою прибуває: винайшовши цю залежність швид% кості, ми вже хочемо зобразити її й тут же розуміємо, що йдеть% ся про пряму. Її нахил постійний і дорівнює числу, на яке множиться час (10). Але ж зміну швидкості відносно часу ми називали «при% скоренням»?

186

Ось рівняння для вільного падіння: ∆ v a = = 10 м/с2 (постійне) ∆ t v=axt

(= 10 x t; пропорційна до часу)

1 a x t2 s= —

(= 5 x t2; пропорційна до квадрату часу)

Як же так, невже прискорення земного тяжіння не дорівнює 9,8 м/с2? Саме так, але для швидших розрахунків ми округлили її до 10 м/с2, це мало змінює суть, але істотно полегшує обчислення. На малюнках ти можеш побачити, як залежно від часу

змінюється прискорення, швидкість і відстань для тіла у вільному падінні поруч з земною поверхнею.

187

ЗМІСТ РОЗДІЛІВ І ПЕРСОНАЛІЙ

Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

Почнімо з початку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Араби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 Фібоначчі (1175–1240) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Вчені Мертон%коледжу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 Ніколя Оресм (1323–1382) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 Жан Буридан (1300–1358) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Це ще не комп’ютер! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 Леонардо да Вінчі (1452–1519) . . . . . . . . . . . . . . .30

Безлад у Всесвіті . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 Миколай Копернік (1473–1543) . . . . . . . . . . . . . . .37 Ретік (1514–1576) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

Бог трійцю любить . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59 Тіхо Браге (1546–1601) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

188

Нові орбіти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Йоганн Кеплер (1571–1630) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Вільям Гільберт (1540–1603) . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

Нові обрії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 Галілео Галілей (1564–1642) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

Механізм Всесвіту . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 Декарт (1596–1650) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 Християн Гюйгенс (1629–1695) . . . . . . . . . . . . . .127 Еванджеліста Торрічеллі (1608–1647) . . . . . . . .132 П’єр Гассенді (1592–1655) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Блез Паскаль (1623–1662) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Отто фон Герік (1602–1686) . . . . . . . . . . . . . . . . .135 Роберт Бойль (1627–1691) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

Від яблука до місяця . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 Ісаак Ньютон (1643–1727) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 Едмонд Галлей (1656–1742) . . . . . . . . . . . . . . . . . .148 Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646–1716) . . . . . .164

189

Додаток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 Що таке еліпс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 Три закони Кеплера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 Приклади рівномірно прискореного руху . . . .169 Намалюймо інші прямі в Декартовій системі координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 Знайдемо пряму, що проходить через дві точки 171 Чому F =

1 — ? r2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Швидкість падіння монети . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 Нова математика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174 Вирахуймо дотичні до параболи . . . . . . . . . . . . .183 Рівномірно прискорений рух . . . . . . . . . . . . . . . .185