eBook: Matemática by PUC Goiás

e.BOOK: QUESTร ES DO ENADE COMENTADAS

Curso: Matemรกtica

Organizador: Duelci Aparecido de Freitas Vaz

SUMÁRIO

Discursiva 1 Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz Discursiva 2 Autor(a): Maria José Pereira Dantas Discursiva 3 Autor(a): José Elmo de Menezes Discursiva 4 Autor(a): Bianka Carneiro Leandro Discursiva 5 Autor(a): Vanda domingos Vieira QUESTÃO Nº 09 Autor(a): Bianka Carneiro Leandro QUESTÃO Nº 10 Autor(a): Bianka Carneiro Leandro QUESTÃO Nº 11 Autor(a): José Elmo de Menezes QUESTÃO Nº 12 Autor(a): Valdemar Pereira Lopes QUESTÃO Nº 13 Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz QUESTÃO Nº 14 Autor(a): Leonardo Antônio Souto. QUESTÃO Nº 15 Autor(a): Maria José Pereira Dantas QUESTÃO Nº 16 Autor(a): Rosimeyre Gomes da Silva Merib QUESTÃO Nº 17 Autor(a): Vanda Domingos Vieira QUESTÃO Nº 18 Autor(a): Vanda Domingos Vieira QUESTÃO Nº 19

Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz QUESTÃO Nº 20 Autor(a): José Elmo de Menezes QUESTÃO Nº 21 Autor(a): Sérgio Reis Fernandes QUESTÃO Nº 22 Autor(a): Bianka Carneiro Leandro QUESTÃO Nº 23 Autor(a): Valdemar Pereira Lopes QUESTÃO Nº 24 Autor(a): Bianka Carneiro Leandro QUESTÃO Nº 25 Autor(a): Bianka Carneiro Leandro QUESTÃO Nº 26 Autor(a): Nelson Carneiro Júnior QUESTÃO Nº 27 Autor(a): Eliane Silva QUESTÃO Nº 28 Autor(a): Maria José Pereira Dantas QUESTÃO Nº 29 Autor(a): Rose Mary Almas de Carvalho QUESTÃO Nº 30 Autor(a): Renato Barros de Almeida QUESTÃO Nº 31 Autor(a): Alaídes Inácio Stival Ferreira QUESTÃO Nº 32 Autor(a): Rose Mary Almas de Carvalho QUESTÃO Nº 33 Autor(a): Gabriella Barros Viana Marques QUESTÃO Nº 34 Autor(a): Renato Barros de Almeida QUESTÃO Nº 35 Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz

QUESTÃO Nº 36 Autor(a): Joelmir Divino Carlos Feliciano QUESTÃO Nº 37 Autor(a): Samuel Lima Picanço QUESTÃO Nº 38 Autor(a): Henrique Carvalho Rodrigues QUESTÃO Nº 39 Autor(a): Wérica Pricylla de O. Valeriano QUESTÃO Nº 40 Autor(a): Daniel Antônio Mendonça da Silva QUESTÃO Nº 41 Autor(a): Danillo Flugge QUESTÃO Nº 42 Autor(a): Maria José Pereira Dantas QUESTÃO Nº 43 Autor(a): Joelmir Divino Carlos Feliciano QUESTÃO Nº 44 Autor(a): Rayner Ferreira Barbosa da Costa QUESTÃO Nº 45 Autor(a): Brunna Brito Passarinho

DISCURSIVA 1

A Educação a Distância (EaD) é a modalidade de ensino que permite que a comunicação e a construção do conhecimento entre os usuários envolvidos possam acontecer em locais e tempos distintos. São necessárias tecnologias cada vez mais sofisticadas para essa modalidade de ensino não presencial, com vistas à crescente necessidade de uma pedagogia que se desenvolva por meio de novas relações de ensino-aprendizagem.

O Censo da Educação Superior de 2009, realizado pelo MEC/INEP, aponta para o aumento expressivo do número de matrículas nessa modalidade. Entre 2004 e 2009, a participação da EaD na Educação Superior passou de 1,4% para 14,1%, totalizando

838 mil matrículas, das quais 50% em cursos de licenciatura. Levantamentos apontam ainda que 37% dos estudantes de EaD estão na pós-graduação e que 42% estão fora do seu estado de origem.

Considerando as informações acima, enumere três vantagens de um curso a distância, justificando brevemente cada uma delas.

Gabarito: questão discursiva

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: Ensino a Distância

Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz

Comentário: A questão aborda um tema freqüente nos cursos de licenciaturas em todas as suas modalidades. A resposta esperada pelos avaliadores do MEC é que o estudante seja capaz de apontar algumas vantagens dentre as seguintes, quanto à modalidade EaD: (i) flexibilidade de horário e de local, pois o aluno estabelece o seu ritmo de estudo; (ii) valor do curso, em geral, é mais baixo que do ensino presencial; (iii) capilaridade ou possibilidade de acesso em locais não atendidos pelo ensino presencial; (iv) democratização de acesso à educação, pois atende a um público maior e mais variado que os cursos presenciais; além de contribuir para o desenvolvimento local e regional; (v) troca de experiência e conhecimento entre os participantes, sobretudo quando dificilmente de forma presencial isso seria possível (exemplo, de pontos geográficos longínquos); (vi) incentivo à educação permanente em virtude da significativa diversidade de cursos e de níveis de ensino; (vii) inclusão digital, permitindo a familiarização com as mais diversas tecnologias;

(viii) aperfeiçoamento/formação pessoal e profissional de pessoas que, por distintos motivos, não poderiam frequentar as escolas de ensino regular; (ix) formação/qualificação/habilitação de professores, suprindo demandas em vastas áreas do país; (x) inclusão de pessoas com comprometimento motor reduzindo os deslocamentos diários.

Referências: LÉVY, P. Tecnologias da inteligência. O futuro do pensamento na era da informática. Rio de janeiro: Ed. 34, 1993.

LITTO, F. M.; FORMIGA, M. Educação a distância. O estado da arte. São Paulo: Pearson, 2009.

MAIA, C. (org.). Ead.br. Experiências inovadoras em Educação a distância no Brasil. São Paulo: Anhembi Morumbi, 2000.

MARCUSE, H. Algumas implicações sociais da tecnologia moderna. In: Tecnologia, guerra e facismo. São Paulo: UNESP, 1999. p. 73-104.

MASETTO, M. Mediação Pedagógica e o uso da tecnologia. In: MORAN, J. M. et al. (orgs). Novas tecnologias e mediação pedagógica. Campinas: Papirus, 2000.

NICOLACI-DA-COSTA, A. M. (org.) Cabeças digitais. O cotidiano na era da informação. Rio de Janeiro: Ed. PUC-Rio; São Paulo: Loyola, 2006.

QUESTÃO DISCURSIVA 2.

A Síntese de Indicadores Sociais (SIS 2010) utiliza-se da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD) para apresentar sucinta análise das condições de vida no Brasil. Quanto ao analfabetismo, a SIS 2010 mostra que os maiores índices se

concentram na população idosa, em camadas de menores rendimentos e predominantemente na região Nordeste, conforme dados do texto a seguir. A taxa de analfabetismo referente a pessoas de 15 anos ou mais de idade baixou de 13,3% em 1999 para 9,7% em 2009. Em números absolutos, o contingente era de 14,1 milhões de pessoas analfabetas. Dessas, 42,6% tinham mais de 60 anos, 52,2% residiam no Nordeste e 16,4% viviam com ½ salário-mínimo de renda familiar per capita. Os maiores decréscimos no analfabetismo por grupos etários entre 1999 a 2009 ocorreram na faixa dos 15 a 24 anos. Nesse grupo, as mulheres eram mais alfabetizadas, mas a população masculina apresentou

queda um pouco mais

acentuada dos índices de analfabetismo, que passou de 13,5% para 6,3%, contra 6,9% para 3,0% para as mulheres.

SIS 2010: Mulheres mais escolarizadas são mães mais tarde e têm menos filhos. Disponível em: <www.ibge.gov.br/home/presidencia/noticias>.Acesso em: 25 ago. 2011 (adaptado).

Com base nos dados apresentados, redija um texto dissertativo acerca da importância de políticas e programas educacionais para a erradicação do analfabetismo e para a empregabilidade, considerando as disparidades sociais e as dificuldades de obtenção de emprego provocadas pelo analfabetismo. Em seu texto, apresente uma proposta para a superação do analfabetismo e para o aumento da empregabilidade. (valor: 10,0

pontos)

Gabarito: questão dissertativa.

Tipo de questão: Média.

Conteúdo avaliado: capacidade do aluno em desenvolver análise crítica das políticas e programas para erradicação do analfabetismo e empregabilidade, apontando soluções para o problema.

Autor(a): Maria José Pereira Dantas

Comentário

A teoria econômica e a evidência empírica mostram que o aumento da escolaridade eleva a probabilidade de o trabalhador estar empregado. O texto discute indicadores que evidenciam o impacto do analfabetismo nas desigualdades sociais (população de idosos, população com menor renda, população do nordeste). A resposta esperada pelos avaliadores do MEC é que o estudante deve ser abordar em seu texto: •identificação e análise das desigualdades sociais acentuadas pelo analfabetismo,

demonstrando capacidade de examinar e interpretar criticamente o quadro atual da educação com ênfase no analfabetismo; •abordagem do analfabetismo numa perspectiva crítica, participativa, apontando agentes sociais e alternativas que viabilizem a realização de esforços para s ua superação, estabelecendo relação entre o analfabetismo e a dificuldade para a obtenção de emprego; •indicação de avanços e deficiências de políticas e de programas de erradicação do analfabetismo, assinalando iniciativas realizadas ao longo do período tratado e se

os resultados, expressando que estas ações, embora importantes para a eliminação do analfabetismo, ainda se mostram insuficientes.

PNE 2011-2012. Art. 214. A lei estabelecerá o plano nacional de educação, de duração decenal, com o objetivo de articular o sistema Nacional de Educação em regime de colaboração e definir diretrizes, objetivos, metas e estratégias de implementação, para segurar a manutenção e desenvolvimento do ensino em seus diversos níveis, etapas e modalidades, por meio de ações integradas dos Poderes Públicos das diferentes esferas federativas, que conduzam à: I – erradicação do analfabetismo; II – universalização do atendimento escolar; III – melhoria da qualidade do ensino; IV – formação para o trabalho; V – promoção humanística, científica e tecnológica do País; VI – estabelecimento de meta de aplicação de recursos públicos em educação, como proporção do produto interno bruto.

Uma proposta que podemos encaminhar como exemplo diz respeito a Educação de Jovens e Adultos, mas poderia ser pensada em outras categorias da educação brasileira. Nesta categoria, podemos potencializar esta proposta se a escola se preparasse melhor para receber este tipo de aluno que na maioria das vezes chega na escola sem os pré-requisitos mínimos para recomeçar seus estudos. A escola deve, neste caso, se preparar do ponto de vista material e também do ponto de vista humano, preparando seus professores para receber e trabalhar este tipo de aluno com metodologias apropriadas e redirecioná-los para o mercado de trabalho.

Referências: BRASIL, CONSTITUIÇÃO (1988). Direito constitucional. Fundação de Assistência ao Estudante, Rio de Janeiro: 2. ed., 1989.

DI PIERRO, Maria Clara; GRACIANO, Mariângela. A educação de jovens e adultos no

Brasil.

São

Paulo:

Ação

Educativa,

2003.

BRASIL. MEC. Lei de Diretrizes e Bases da Educação. Disponível em http://portal.mec.gov.br/arquivos/pdf/ldb.pdf . Acesso em: 24 junho de 2014.

_______.

Plano

Nacional

Educação

2011-2020.

Disponível

http://fne.mec.gov.br/images/pdf/notas_tecnicas_pne_2011_2020.pdf Disponível em: . Acesso em: 24 de junho de 2014.

SOARES, Magda. Magda. Letramento: um tema em três gêneros. Belo Horizonte: CEALE/Autêntica, 1998.

QUESTÃO DISCURSIVA Nº 03

Em um prédio de 8 andares, 5 pessoas aguardam o elevador no andar térreo. Considere que elas entrarão no elevador e sairão, de maneira aleatória, nos andares de 1 a 8. Com base nessa situação, faça o que se pede nos itens a seguir, apresentando o procedimento de cálculo utilizado na sua resolução. a) Calcule a probabilidade de essas pessoas descerem em andares diferentes. (valor: 6,0 pontos). b) Calcule a probabilidade de duas ou mais pessoas descerem em um mesmo andar. (valor: 4,0 pontos).

Tipo de questão: fácil.

Conteúdo avaliado: Análise Combinatória e Probabilidade.

Autor(a): José Elmo de Menezes

Comentário:

Esta questão envolve noções básicas de análise combinatória (arranjo) e probabilidade clássica.

Para resolver esta questão é necessário conhecimento de propriedades da Análise Combinatória (arranjo e/ou principio da multiplicação), e de noções básicas do calculo de probabilidades em um espaço equiprovável. Vejamos algumas definições e conceitos básicos. Principio da Multiplicação: “Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneira e se, uma vez tomada a decisão d1, a decisão d2 puder ser tomada de y maneira então o numero de maneiras de se tomarem as decisões da e d2 é x.y”. Arranjo com repetição: O arranjo com repetição é usado quando a ordem dos elementos importa e cada elemento pode ser contado mais de uma vez. , onde

é o total de elementos e

o número de elementos escolhidos.

Arranjo simples: Arranjo simples de e

elementos tomados

é um número natural, é qualquer ordenação de

a , onde n  1 elementos dentre

elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela

ordem e natureza dos elementos. A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada por:

onde

é o total de elementos e

o número de elementos escolhidos.

Conceito de probabilidade: Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um

evento A é sempre:

Propriedades Importantes: 1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 2. A probabilidade de um evento A é sempre um número entre 0 (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo). 0  P( A)  1

(a) Seja A o evento que representa todas as possíveis configurações em que as cinco pessoas dessem em andares diferentes e o espaço amostral S é constituído pelo numero total de configurações. O número de possíveis configurações determinadas pelas escolhas em que as 5 pessoas saem em andares diferentes ( numero de elementos do evento A) : pelo Princípio Multiplicativo (8.7.6.5.4) ou,

ainda,

pode

ser

calculado

considerando

uma

arranjo

n(A)=

A58 

8!  8.7.6.5.4  6720 = possibilidades, e o número total de elemento do 3!

espaço amostral S, é obtido pelo principio multiplicativo: n(S)=85=32768 possibilidades. Neste caso a probabilidade das cinco pessoas descerem em andares diferentes é P( A) 

n( A) 6720 105 .   N (S ) 32768 512

(b) Seja B o evento que representa todas as configurações onde duas ou mais pessoas descerem em um mesmo andar. Note que o evento B é o evento complementar de A (item (a)), então segue pela propriedade 1 de probabilidade que P(B)=1-P(A) =1-105/512 =407/512.

Referências: 1) Morgado, Augusto César O., e outros, Análise Combinatória e Probabilidade, 6ª Edição, SBM, Rio de Janeiro, 2001.

QUESTÃO DISCURSIVA Nº 4

Considere a sequência numérica definida por

{ √ , para todo número natural

Use o princípio de indução finita e mostre que

√ , seguindo os passos indicados nos itens a seguir:

e para

a) Escreva a hipótese e a tese da propriedade a ser demonstrada; b) Mostre que

, para todo

c) Prove que

, para todo

d) Mostre que

√ ;

e) Suponha que

; √ ;

√ eprove que

√ ;

f) Conclua a prova por indução.

Gabarito: questão discursiva, sem gabarito.

Tipo de questão: Médio

Conteúdo avaliado: Princípio de Indução Finita, função crescente e desigualdades

Autor(a): Bianka Carneiro Leandro

Comentário:

Esta questão envolve a definição de função crescente, o trabalho com desigualdades e o Princípio de Indução Finita.

Princípio da Indução Finita: Seja inteiro ,

um número inteiro e suponhamos que a cada

, está associada uma afirmação A(n). Suponha que as condições 1 e

2 abaixo sejam verificadas: 1. A afirmação A(n) é verdadeira para 2. Para cada

, se A(k) é verdadeira, então A(k + 1) é também

verdadeira. Então a afirmação A(n) é verdadeira para cada

Definição: Uma função , real de variável real, diz-se crescente em , somente se, para todo

, tem-se:

então

, se e

Para responder à letra a) da questão basta relembrar que hipótese é a suposição de algo verosímil, fatos que são assumidos como verdade e tese é o fato que se deseja demonstrar. Nesse caso em questão, a hipótese será √ ,{

E a tese será √ , para todo

Para responder à letra b) basta observar que como e

. Logo o quociente

, consequentemente

Para responder à letra c) basta trabalhar com a hipótese

√ e lembrar-se da

definição do quadrado da diferença . Assim, . √ , tem-se

Como

. Donde obtem-se

que .

Para responder à letra d) deve-se aplicar a definição de função crescente ao fato demonstrado na letra c). Tem-se que a função (

{

obtem-se que

). Como da letra c) tem-se

√ é crescente em seu domínio , então aplicando-se

√ .

Para responder à letra e)faz-se-á a verificação da condição 2. do Princípio de Indução

√ .Da letra b) como

Finita. Tem-se que c) tem-se

, tem-se

. Da letra

. Logo da letra d)obtem-se que √ .

Para responder à letra f) faz-se-á uso do Princípio de Indução Finita. De tal forma, tem-se por hipótese que

√ , logo

√ . Provando-se assim a √ ,

veracidade da condição 1. Supondo-se, por hipótese de indução, que pela letra e) tem-se √ , para todo

Logo pelo Princípio de Indução Finita tem-se

√ , para todo

Referências: 1) Figueiredo, Djairo Guedes de. Análise 1. 2ª edição. Rio de Janeiro. LTC, 2011. 2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de Cálculo Vol. II. Ed. L.T.C. 3) Lima, Elon Lages. Um curso de análise Vol. 1.Rio de Janeiro. Projeto Euclides, 2002.

Questão Discursiva 5 O Teorema do Valor Intermediário é uma proposição muito importante da análise matemática, com inúmeras aplicações teóricas e práticas. Uma demonstração analítica deste teorema foi feita pelo matemático Bernard Bolsano

[1781 – 1848]. Neste

contexto, faça o que se pede nos itens a seguir:

a) Enuncie o teorema do valor intermediário para funções reais de uma variável real; b) Resolva a seguinte situação problema. O vencedor da corrida de São Silvestre – 2010 foi o brasileiro Mailson Gomes dos Santos, que fez o percurso de 15 km em 44min e 7 seg. Prove que, em pelo menos dois momentos distintos da corrida, a velocidade instantânea de Mailson era de 5 metros por segundo.

c) Descreva uma situação real que pode ser modelada por meio de uma função contínua f , definida em um intervalo [a, b], relacionando duas grandezas x e y , tal que existe k  (a, b) com f ( x)  f (k )

para todo

x  (a, b), x  k .

Justifique sua resposta.

Discursiva 5

Tipo de questão: média

Conteúdo avaliado: funções e limites e continuidade de uma função de uma variável

Autora: Vanda Domingos Vieira

a) Se f é uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e se k é um número real entre f(a) e f(b), então existe pelo menos c em [a, b] tal que f(c) =k. Comentário: Esse teorema diz que quando x varia entre a e b, f uma função contínua assume todos os valores entre f(a) e f(b). Isto significa que para qualquer k tomado entre f(a) e f(b), a reta horizontal com interseção (0,K) interceptará o gráfico em pelo menos um ponto P.

b) Mailson faz o percurso de 15 km em 44min e 7 seg. Veja que a velocidade instantânea é dada em metros por segundo. Convertendo Unidades:

1km = 1000m, logo 15km = 15000 m

1min = 60 seg, logo 44min e 15 seg = 44.60seg + 7 seg = 2640 seg + 7 seg = 2647 seg

A velocidade no percurso da corrida pode ser modelada por uma função contínua v(t), definida no intervalo fechado [0, 2647].

Por outro lado no inicio e final da corrida a velocidade é nula, ou seja, para t = 0 seg , v(0) = 0 e para t = 2647seg, v(2647) = 0.

Mas durante a corrida podemos calcular a velocidade média de percurso:

vm 

P Pf  Pi 15000  0 15000  = = 5,6667  2647  0 2647 t t f  ti

Como v(0)= v( 2647) = 0, existe pelo menos um

t  [a, b] para o qual a

velocidade é de 5,6667 m/seg. Se a taxa media da variação da velocidade é de 5,6667m/seg, pelo Teorema do Valor intermediário existem pelo menos dois instantes t1 e t2 , tais que, a velocidade seja igual a 5m/seg.

c) O Volume de uma caixa de papelão sem tampa pode ser modelado por uma função contínua V(x)= x3 - 2x2 + x = (x- 1).(x-1).x tomando um intervalo [0, 4]

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se a função está definida num intervalo [0, 4] existe um valor k entre V(0) e V(4) e c entre a e b tal que V(c) = k

Considerando o intervalo [0, 4] e k =2 temos , O volume da caixa é dado por V(x) = x3 – 2x2 +x que é uma função polinomial de grau 3, portanto é contínua em todos os seus pontos. Para x = c temos que V(c ) = c3 – 2c2 + c . Mas como V(c ) = 2 temos que: c3 – 2c2 + c =2, ou seja, c3 – 2c2 + c – 2 = 0. Para determinar os valores de c, vamos fatorar o polinômio c2(c -2) + (c-2) = (c – 2).(c2+1) =0.Temos no intervalo fixado apenas uma raiz real c = 2 e c = 2 pertence ao intervalo [0, 4]. V( 2) = 23- 2.22 +2 = 8 – 8 + 2 = 2, logo V(2) está entre V(0 ) e V(4 ).

Referências: 1) Fleming, Diva Marilia e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Person Prentice Hall, 2006 2) Leithold, Louis – O Cálculo Com Geometria Analítica, 3ª Edição – São Paulo Editora Harbra LTDA, 1994

3) Stewart, James. Cálculo vol. I, 5ª edição. Editora Pioneira

QUESTÃO Nº 9

Considere o sistema de equações lineares

, com

equações e

incógnitas.

Supondo que a solução do sistema homogêneo correspondente seja única, avalie as afirmações a seguir. I.

As colunas da matriz

II. III.

são linearmente dependentes.

O sistema de equações lineares

tem infinitas soluções.

linhas que são combinações lineares de

, então a matriz

tem

linhas. IV.

A quantidade de equações do sistema

é maior ou igual à quantidade de

incógnitas. São corretas apenas as afirmações

A) B) C) D) E)

Gabarito: C

Tipo de questão: média

Conteúdo avaliado: Vetores linearmente dependentes e linearmente independentes, sistemas lineares, produto de matrizes, posto e nulidade

Autor(a): Bianka Carneiro Leandro

Comentário:

Esta questão envolve teorias de sistemas lineares, com a caracterização de soluções para estes, definições de vetores linearmente dependentes e independentes, de produto de matrizes, posto e nulidade.

Para resolver esta questão é necessário conhecimento de sistemas lineares homogêneos (matriz

identicamente nula) e não homogêneos (matriz

não

identicamente nula). Necessita-se do conhecimento sobre o comportamento das soluções de tais sistemas e sobre a matriz dos coeficientes .

Para o julgamento da afirmação I é necessário relembrar a definição de vetores linearmente dependentes ou linearmente independentes.

Definição:Dados

, sendo

um espaço vetorial sobre o corpo

escalar , este são ditos vetores linearmente dependentes se ∑

onde

, é verificada para algum

. Caso contrário são ditos linearmente

independentes.

Como por hipótese o sistema homogêneo correspondente tem única solução, a trivial

, para todo

, obtem-se ∑

onde ∑ são as colunas da matriz , com matriz

, para todo

. Então as colunas da

são linearmente independentes. Mostrando assim que a afirmação I é falsa.

Para o julgamento da afirmação II basta observarmos o seguinte exemplo:

(

)

( )

Neste caso, o sistema homogêneo correspondente tem única solução, que é a trivial e o sistema

também tem única solução,

. Desta

forma observa-se que a afirmação II também é falsa.

Para o julgamento da afirmação III é necessário relembrar a definição de posto e nulidade de uma matriz e um teorema que relaciona posto e caracterização de soluções para um sistema. Que são:

Definição: Dada uma matriz

, seja

a matriz reduzida à forma escada

linha equivalente a . O posto de , denotado por , é o número de linhas não nulas de . A nulidade de

é o número

Teorema: i.

Um sistema de

equações e

incógnitas admite solução se, e somente se o

posto da matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes. ii.

Se as duas matrizes têm o mesmo posto

iii.

Se as duas matrizes têm o mesmo posto incógnitas, e as outras

, a solução será única. e

, pode-se escolher

incógnitas serão dadas em função destas.

Neste caso verifica-se a veracidade da afirmação III.

Para o julgamento da afirmação IV é necessário relembrar a definição de produtos de matrizes.

Definição: Só pode-se efetuar o produto de matrizes

se o número de

colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, isto é,

Dessa forma, observa-se a veracidade da afirmação IV, pois caso contrário, se não poder-se-ia realizar o produto

Referências: 1) Boldrini, José Luiz, Costa, Sueli I. Rodrigues, Figueiredo, Vera Lúcia

e Wetzler, Henry G..Álgebra Linear – São Paulo: Harper &Row do Brasil, 1980. 2) Lang, Serge. Álgebra Linear- Rio de Janeiro.Ed. Ciência Moderna, 2003. 3) Lima, Elon Lages. Álgebra Linear – Rio de Janeiro. 5ª edição Coleção Matemática Universitária, 2001.

QUESTÃO Nº 10

Sabe-se que, para todo número inteiro

√

, tem-se

√

Nesse caso, se √ então

A) B) C) D) E)

Gabarito: B

Tipo de questão: médio Conteúdo avaliado: Limite, função contínua, Regra de L’Hospital e Teorema do Confronto

Autor(a): Bianka Carneiro Leandro

Comentário:

Esta questão envolve o estudo de limites, utilizando-se de ferramentas como Regra de L’Hospital e Teorema do Confronto. Regra de L’Hospital: Se

tem uma forma indeterminada do tipo ⁄ ou

⁄ , então

Caso o último limite exista. Lembrando que o mesmo vale se ,

for substituído por

Para resolver esta questão é necessário trabalhar a desigualdade fornecida no enunciado, √ Como

√

, pode-se dividir tal expressão por √

√

obtendo-se √

Agora basta estudar o comportamento dos limites das funções que compõe as extremidades da expressão acima.

Para o estudo do limite √

deve-se lembrar as propriedades de limite que garantem que limite do produto é o produto do limite, se ambos existirem, e que se

é uma função contínua então

Assim, como a função exponencial é contínua, obtém-se √

⁄

Agora, via Regra de L’Hospital, tem-se o estudo do seguinte limite ⁄ Desta forma, obtém-se o estudo do limite {

⁄

√

⁄ }

Donde, obtém-se √

Teorema do Confronto:Sejam

(

)(

√ )(

√ )

sequências de números reais tais que

Então

Aplicando-se o Teorema do Confronto obtém-se que √

Donde chega-se ao resultado alternativa B. Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de Cálculo Vol. I. Ed. L.T.C. 3) Stewart, James. Cálculo vol. I 5ª edição. Editora Pioneira.

QUESTÃO Nº 11

Considere os elementos e grupo das permutações S3 .

(

) e

(

) pertencentes ao

Assinale a opção que representa A)

(

)

(

)

(

)

D) (

)

(

)

Gabarito: B

Tipo de questão: fácil.

Conteúdo avaliado: Grupos de Permutações-Permutação de um conjunto finito

Autor(a): José Elmo de Menezes

Comentário:

Esta questão envolve conceitos básicos de álgebra abstrata, aplicando a teoria de grupos de permutações e composições de funções sobre um conjunto finito. Para resolver esta questão é necessário conhecimento básico de permutação de um conjunto, cuja definição é a seguinte: Definição: Seja A um conjunto não vazio. Chama-se Permutação de A toda função bijetora f de A em A (f:A  A). Se o conjunto A é finito, toda função injetora ou sobrejetora f:A  A é bijetora e, portanto, f é uma permutação de A. Quando A={1, 2, 3,...,n}, uma permutação f de A indica-se pela notação:  1 f   f (1)

2 f (2)

3 f (3)

n   f ( n) 

e neste caso dizemos que f pertence ao grupo das permutações Sn. A operação de composição de duas permutação f e g em A={1, 2, 3,...,n} é definida e denotada por:

2 3  1 fg    f (1) f (2) f (3) 2  1   f ( g (1)) f ( g (2))

n   1 2 3   f (n)   g (1) g (2) g (3) 3 n   f ( g (3)) f ( g (n)) 

n   g ( n) 

Na questão proposta, temos que,  e  são permutações de A={1, 2, 3} e portanto pertencem ao grupo S3 , cuja composição   é dada por: 1 2 3  1 2 3  1 2 3        1 3 2   3 2 1  2 3 1

Segue-se que a alternativa correta é a B.

Referências: 1)Alencar Filho, Edgar. Elementos de Álgebra Abstrata – São Paulo: Nobel, 1978. 2) Domingues, Hygino H., Iezzi, Gelson. Álgebra Moderna- São Paulo, 4ª Edição, Editora Saraiva, 2003. 3) Garcia, Arnaldo. Álgebra:um curso de introdução, Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada,1988, Projeto Euclides.

QUESTÃO Nº 12

O matemático grego Hipócrates de Chios (470 a. C. – 410 a. C.) é conhecido como um excelente geômetra. Ele calculou a área de várias regiões do plano conhecidas como lúnulas, que são limitadas por arcos de circunferência, com centros e raios diferentes. As figuras I e II a seguir mostram, respectivamente, as lúnulas L1 e L2, limitadas por um arco de circunferência de centro O e raio r e por semicircunferências cujos diâmetros são o lado de um hexágono regular e o lado de um quadrado inscritos na circunferência de raio r e centro O.

Considerando r um número racional, avalie as asserções a seguir. A razão entre as áreas A1 e A2 das lúnulas L1 e L2 é um número racional. PORQUE

A1 e A2 podem ser respectivamente, representadas por

em que q1 e q2 são números racionais. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta. A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é

uma justificativa da primeira. C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa. D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a

segunda, uma

proposição verdadeira. E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Gabarito: E

Tipo de questão: média

Conteúdo avaliado: Geometria Plana, especificamente cálculo de áreas planas (áreas do triângulo, setor circular e segmento circular) e conhecimentos de números reais.

Autor(a): Valdemar Pereira Lopes

Comentário: Esta questão envolve cálculo de áreas planas e conhecimentos sobre números racionais e irracionais, uma vez que o raio r é considerado um número racional e as asserções: “A razão entre as áreas é um número racional” PORQUE “

lúnulas

respectivamente, representadas por

das podem ser,

em que

são

números racionais”.

Para resolver esta questão e confirmar a resposta correta, foram utilizados os seguintes procedimentos:

CÁLCULO DE

(área da Lúnula

): considere

o lado do hexágono

regular inscrito no círculo (circunferência) de raio r e seja comprimento do arco do círculo correspondente ao lado regular. Assim,

do hexágono

Portanto,

onde:

metade da área do disco de raio

e centro no ponto médio do lado

relativo à lúnula

, e

área do segmento circular formado pelo arco do círculo correspondente ao lado

e pelo próprio lado

Desta forma,

área do setor circular correspondente ao ângulo

, lados iguais a r e limitado pelo arco de comprimento igual a menos a área do triângulo eqüilátero de lado igual a r, ou seja: ( ) √

lado r.

, √

, onde

√

é a área do triângulo eqüilátero de

(

Assim, √

√

)

√

( √ ( √

Desta maneira, irracional), pois

√

)

) não é um número racional (é

é irracional, e as alternativas (A), (B) e (C) já

são descartadas, são falsas. CÁLCULO DE

(área da Lúnula

): considere

o lado do quadrado e

o comprimento do arco do círculo de raio igual a r correspondente ao √ e

lado . Assim, onde:

. Portanto,

= metade da área do disco de raio

médio do lado

e centro no ponto

do quadrado e relativo à lúnula

área do

segmento circular formado pelo arco do círculo correspondente ao lado

pelo próprio lado

Desta maneira,

área do setor circular correspondente ao ângulo

, lados iguais a r e limitado pelo arco de círculo de comprimento igual a iguais a

menos a área do triângulo retângulo de catetos

e hipotenusa igual a ( √ )

( )

ou seja,

onde é a área do triângulo retângulo acima mencionado.

Portanto, . Desta forma, o valor da área

será: representa

um número racional, mas falsa.

Logo, a alternativa (D) também é

Conclusão: a razão vez que

também não representa número racional, uma

é irracional e

racional. A primeira quanto a segunda

asserções são falsas, e a alternativa correta é (E).

Referências: 1) Barbosa, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 2) Marcondes, Oswaldo. GEOMETRIA. Editora do Brasil S/A. São Paulo, 1964.

QUESTÃO Nº 13

O conjunto dos números complexos pode ser representado geometricamente no plano cartesiano de coordenadas xOy por meio da seguinte identificação: z = x+yi P =(x,y). Nesse contexto, analise as afirmações a seguir. I. As soluções da equação z4 = 1 são vértices de um quadrado de lado 1. II. A representação geométrica dos números complexos z tais que | |

é uma

circunferência com centro na origem e raio. III. A representação geométrica dos números complexos z tais que Re(z) + Im(z) =1 é uma reta que tem coeficiente angular igual

É correto o que se afirma em A) I, apenas. B) II, apenas. C) I e III, apenas. D) II e III, apenas. E) I, II e III.

Gabarito: B.

Tipo de questão: fácil

a radianos.

Conteúdo avaliado: Números Complexos

Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz

Comentário: A questão explora a representação geométrica dos números complexos, relacionando álgebra e geometria em diversas situações básicas encontradas nos livros didáticos. Para resolvê-la o aluno precisa saber conceitos básicos de módulo de número complexos, parte real e imaginária e como calcular raízes de números complexos. Também poderá utilizar o teorema fundamental da álgebra que nos diz que um polinômio de grau n possui n raízes no conjuntos dos números complexos. O item I é sobre as soluções da equação z4 = 1 e suas representações no plano Argand-Gauss, objetivando verificar se são vértices de um quadrado de lado 1. Pelo teorema citado, teremos quatro raízes complexas que podem ser obtidas pela fórmula de De Moivre:

√

)

, k=0,1,2,...n-1.

No caso, devemos calcular as quatro raízes do número complexo 1. Assim, teremos: √

)

, k=0,1,2,3,4.

Calculando cada uma das raízes teremos:

)

= cos(0) + i sen(0) = 1

)

= cos + i sen = i.

)

= cos

+ i sen

)

=cos(

) + i sen(

= -1 ) = -i.

Representando-os no plano complexo, obtemos o polígono que é um quadrado de lado √ , uma vez que cada medida dos ângulos internos mede 900, que podem ser calculados utilizando as funções trigonométricas elementares. Também podemos utilizar o teorema de Pitágoras, do seguinte modo, constatamos que o segmento wt mede 2 unidades, cada lado mede √ , assim, pela recíproca do teorema de Pitágoras,

constatamos que em z há um ângulo de 900. Repetindo-se este argumento para os outros triângulos chegamos à mesma conclusão. Portanto este item é falso.

O item II é sobre a representação geométrica dos números complexos z tais que | |

Esse conjunto de ponto é de fato uma circunferência com centro na origem e

raio. Para ver isso, basta aplicar a definição de módulo de um número complexo | |

√

=1, elevando ao quadrado, obtemos:

, que é a

circunferência de centro na origem e raio 1. Portanto este item é verdadeiro. O item III é sobre a representação geométrica dos números complexos z tais que Re(z) + Im(z) =1. A equação equivale a x+y=1, ou y = -x +1, que é uma reta que tem coeficiente angular m = -1 e não igual

a radianos. Portanto este item é falso.

Assim, não há gabarito para esta questão.

QUESTÃO Nº 14 Em um plano de coordenadas cartesianas

, representa-se uma praça de área P,

que possui em seu interior um lago de área L, limitado por uma curva C fechada, suave, orientada no sentido contrário aos ponteiros de um relógio. Considere que, sobre o lago, atua um campo de forças representa o trabalho realizado por

⃗

⃗ . Supondo que T

para mover uma partícula uma vez ao

longo da curva C e que, comparando-se apenas os valores numéricos das grandezas, a

área não ocupada pelo lago é igual a , conclui-se que A) B) C) D) E)

Gabarito: A.

Tipo de questão: média.

Conteúdo avaliado: Campos Vetoriais, Integrais de Linhas e o Teorema de Green no Plano.

Autor(a): Leonardo Antônio Souto.

Comentário:

A questão exige do aluno conhecimento básicos de campos vetoriais e integrais de linha. Além disso, o aluno precisa conhecer o Teorema de Green e aplicá-lo na resolução da questão.

Definição 1. Seja F uma função com valores vetoriais definida numa região R em tal que

⃗

⃗. Então F associa cada ponto da região R a

um vetor, sendo F chamado de campo vetorial. Exemplo 1:

⃗

⃗ define o campo vetorial sobre

que é

tangente a circunferência de centro na origem e raio | |. Exemplo 2: O gradiente de uma função escalar é um campo vetorial. Se campo escalar e F for o campo vetorial gradiente de

, isto é,

, então F será

chamado campo vetorial gradiente e ф será chamada função potencial de F. é chamado campo vetorial conservativo de F.

for um

Definição 2: Seja C curva contida em uma bola do ⃗

⃗,

C é chamada curva suave se

contínuas no intervalo ponto de

com equação vetorial : forem

e que ambas as derivadas não sejam nulas em cada

. Se um intervalo I puder ser dividido em um número finito de

subintervalos nos quais C é suave, então C será chamada de suave por partes em I. Definição 3: Seja C uma curva suave do ⃗

com equação vetorial :

⃗. Considere o Campo de forças

⃗

⃗, onde

M e N são funções contínuas. O trabalho realizado por F para deslocar uma partícula ao longo de C de (f(a),g(a)) até (f(b),g(b)), é definido por ∫

∫

Definição 4: Seja C uma curva suave do ⃗

com equação vetorial :

⃗. Considere o Campo de forças

⃗

⃗, onde

M e N são funções contínuas. A integral de linha de F, ao longo de C, que denotamos por ∮

é definida por ∮

∫

sempre que a integral a direita existe. Para a integral de linha é comum utilizamos a notação ∮

∮

Agora iremos enunciar o Teorema que expressa uma integral de linha ao longo de uma curva fechada no plano como uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva, que é chamado Teorema de Green. Antes de enunciar o Teorema, iremos introduzir algumas definições referentes à curva plana. Definição 5: Seja C uma curva com equação vetorial :

⃗

⃗,

A curva C é fechada se o ponto inicial A (f(a), g(a)) e o ponto final B(f(b),g(b)) coincidem. Definição 6: Uma curva C é chamada simples, caso ela não se intercepte. Isto é, se ⃗

uma equação vetorial de C for

⃗ e se A for o ponto inicial (f(a),

g(a)) e B o ponto final (f(b(,g(b)), então C será simples entre A e B se não for o mesmo ponto que ( Teorema de Green.

)

distintos no intervalo (a,b).

Seja C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada no sentido anti⃗

horário, e R a região fechada delimitada por C. Se

⃗é

um campo vetorial, onde M e N são funções de duas variáveis com derivadas parciais de 1º ordem contínuas em uma bola aberta B que contém R, então ∮

∬(

)

Para resolver o exercício, temos que o trabalho realizado por F para mover uma partícula ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha ∮

∮

⃗

Como

⃗, as funções

possuem derivadas parciais de 1º ordem contínuas. Por

hipótese a curva C é suave, fechada, orientada com sentido positivo e simples.

Portanto,

∮

podemos

utilizar

Teorema

Green.

∬

Nós usamos o fato que a integral dupla ∬ Portanto

∬

é igual a área da região L.

. Como a área da praça é P e a área complementar do lago é

Logo temos:

Logo a alternativa correta é A.

Referências: 1. FLEMMING, Diva M; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A. São Paulo: Makron Book, 2006. 2. LEITHOLD, Louis, Cálculo com Geometria Analítica, vol. II. São Paulo: Harba, 2002.

QUESTÃO Nº 15 Para tentar liquidar o estoque de televisores cujo valor oferecido no crédito, após acréscimo de 20% sobre o valor da tabela, era de R$ 1 320,00, uma loja lançou uma

nova campanha de vendas que ofereceu as seguintes condições promocionais, com base no valor da tabela: I. uma entrada de 25%, e o restante em cinco parcelas iguais mensais; ou II. uma entrada de 60%, e o restante em oito parcelas iguais mensais. O cliente que comprar o televisor nessa promoção pagará em cada parcela A R$ 55,00, se escolher a opção II. B R$ 66,00, se escolher a opção I. C R$ 192,50, se escolher a opção II. D R$ 198,00, se escolher a opção II. E R$ 275,00, se escolher a opção I.

Gabarito: A

Tipo de questão: Fácil. Exige apenas a aplicação de porcentagens e operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais.

Conteúdo avaliado: matemática financeira (porcentagens).

Autor(a): Maria José Pereira Dantas

Comentário: A questão aborda um problema simples de matemática financeira. O estudo inicial do tópico “porcentagem” ocorre no ensino fundamental, dentro do tema “grandezas proporcionais”. Neste momento são introduzidas algumas ferramentas básicas utilizadas no mercado, que sem dúvida auxiliam na tomada de decisões. As porcentagens e parcelamentos aparecem com frequência em anúncios de promoções. É de suma importância que um cidadão saiba aplicar porcentagens para que possa tomar decisões e estabelecer uma melhor negociação para aquisição de bens. A solução será dada utilizando conteúdo básico. Foi dado no problema que o valor oferecido no crédito para os televisores é de R$ 1320,00, o que corresponde ao valor de tabela, que é desconhecido e será representado por x, com acréscimo de 20%. As condições das vendas para liquidar o estoque são feitas tomando como base o valor da tabela (x), que deve ser calculado. Inicialmente calcula-se o valor da tabela (x), que é uma das incógnitas do problema, através da seguinte equação x+ acréscimo de 20% =1320. Desenvolvendo o lado esquerdo da equação x+ acréscimo de 20% = x + 0,20. x = x(1+0,20). Pode-se escrever, então, que 1,20x = 1320 e tem-se que x = 1320/1,2 = 1100

Portanto, o valor da tabela é de R$ 1100,00. As condições promocionais foram dadas em função do valor de tabela (x) que é de R$ 1100,00. Avaliam-se, em seguida, as duas condições promocionais: I) 25% da entrada e 5 parcelas iguais Entrada Calcular 25% de 1100 = 0,25. 1100 = R$ 275,00. Valor das parcelas (5 parcelas iguais). (x – Entrada)/5 = (1100 – 275)/5= R$ 165,00 Pode-se, ainda, calcular 75% de 1100 (valor a ser parcelado) e, em seguida, dividir o valor por 5, para se obter o valor de cada parcela. 75% de 1100 = 825 (valor a ser parcelado) 825/5 = R$ 165 (valor de cada parcela). II) 60% da entrada e 8 parcelas iguais Entrada Calcular 60% de 1100 = 0,60. 1100 = R$ 660,00. Valor das parcelas (8 parcelas iguais). (x – Entrada)/5 = (1100 – 660)/8= R$ 55,00 Pode-se, ainda, calcular 40% de 1100 (valor a ser parcelado) e, em seguida, dividir o valor por 8, para se obter o valor de cada parcela. 40% de 1100 = 440 (valor a ser parcelado) 440/8 = R$ 55 (valor de cada parcela). Concluindo, o cliente que comprar o televisor nessa promoção pagará em cada parcela: R$ 165,00, se escolher a opção I e R$ 55,00, se escolher a opção II. A Resposta correta é A (R$ 55,00, se escolher a opção II).

Referências: Degenszajn, D.; Hazzan, S.; Iezzi, G. Fundamentos de Matemática Elementar Atual Editora. Vol. 11 - 2ª Ed. 2013. IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antônio.; Coleção Matemática e Realidade. São Paulo: Atual Editora, 2009. IEZZI, Gelson et al.; Coleção Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Saraiva, 2010.

QUESTÃO Nº 16 Suponha que um instituto de pesquisa de opinião pública realizou um trabalho de modelagem matemática para mostrar a evolução das intenções de voto nas campanhas dos candidatos Paulo e Márcia a governador de um Estado, durante 36 quinzenas. Os polinômios que representam, em porcentagem, a intenção dos votos dos eleitores de Paulo e Márcia na quinzena x são, respectivamente, P(x) = -0,006x2 + 0,8x + 14 e M(x) = 0,004x2 + 0,9x + 8, em que 0 ≤ x ≤ 36 representa a quinzena, P(x) e M(x) são dados em porcentagens. De acordo com as pesquisas realizadas, a ordem de preferência nas intenções de voto em Paulo e Márcia sofreram alterações na quinzena A) 6. B) 12. C) 20. D) 22. E) 30.

Gabarito: Resposta correta: C

Tipo de questão: fácil

Conteúdo avaliado: Função Quadrática

Autor(a): Rosimeyre Gomes da Silva Merib

Comentário: 

ensino

matemática

via

resolução

problemas

uma

estratégia

didática/metodológica importante para o desenvolvimento intelectual do estudante e para a aprendizagem da matemática, facilitando a contextualização da realidade. Neste sentido para resolução desta questão é interessante que o estudante conheça do que trata a modelagem matemática, todavia ele poderia resolvê-la mesmo sem o domínio deste conceito. Neste contexto, espera-se que o estudante saiba que muitos dos fenômenos do nosso cotidiano podem ser descritos utilizando-se das funções, em

especial, a quadrática. Consideremos então que o aluno tenha domínio sobre equações e funções do 2º grau, representação, construção e análise de gráficos das funções quadráticas como requisito básico para resolução deste item. Segundo o enunciado, dizer que a ordem de preferência nas intenções de votos sofreu alterações é dizer, por exemplo, que o segundo (ou o primeiro colocado) mudou de posição. Isto pode acontecer também com um empate.

Realizando uma leitura geométrica das funções

quadráticas, saberemos que o ponto de intersecção entre os dois gráficos (parábolas) determinará a semana em que irá acontecer o empate. Assim sendo, para as funções P(x)=-0,006x2 + 0,8x + 14 e M(x) = 0,004x2 + 0,9x + 8, é importante saber que ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, que: 

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;



se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

É importante considerar que toda função quadrática corta o eixo y no ponto de coordenada (0,y). Substituindo esta informação nas duas funções dadas notamos que P(0) = -0,006.02+0,8.0+14=14 e M(0) = 0,004.02 + 0,9.0 +8=8, isto é, P corta o eixo y em (0, 14) e M corta o eixo y em (0, 8). Outra informação que o aluno deverá usar é que P é côncava para baixo enquanto M é côncava para cima, isto indica que inicialmente, x =0, o candidato Paulo começa com vantagem contando com 14% das intenções e Maria na desvantagem com 8% das intenções de voto. Assim, existirá um momento em que elas se encontrarão e que a partir desse momento as intenções de voto se alternam. Nota-se então, a impossibilidade dos candidatos continuarem empatados nas semanas posteriores, mostrando que as posições mudarão a partir do empate. Algebricamente chegaremos à seguinte solução: P(x) = M(x), ou seja, -0,006x2 + 0,8x + 14 = 0,04x2 + 0,9x + 8. Igualando a zero e realizando as devidas operações teremos: -0,01x2 – 0,1x + 6 = 0. É interessante multiplicarmos a equação por (-100) para termos cálculos mais breves: x2 + 10x – 600 = 0. Utilizando a fórmula de Bháskara:

√

, ou seja:

√ x’ = -30 ( Não serve como solução pois

0 ≤x≤ 36). Assim: x” = 20 é a solução

procurada. Geometricamente esta questão pode ser resolvida com a construção dos gráficos das funções P(x) e M(x) no mesmo plano cartesiano:

Logo, na vigésima semana teremos a referida alteração. Resposta correta: C Esta questão é considerada fácil por se tratar de um conteúdo trabalhado tanto no ensino fundamental quanto no ensino médio.

Referências: DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Livro do aluno. São Paulo: Ática, 2004. V.1. PAIVA, Manuel Rodrigues. Matemática. São Paulo: Moderna, 1955.

Questão 17 Considere a função f : IR  IR definida por f ( x)  x 4  5 x 2  4 , para cada x  IR. A área da região limitada pelo gráfico da função y  f (x) , o eixo 0 x e as retas

x  0 e x  2 é igual a

16 unidades de área. 15

38 unidades de área. 15

44 unidades de área. 15

60 unidades de área. 15

76 unidades de área 15

Gabarito: D

Tipo de questão: média

Conteúdo avaliado: Gráficos de funções; Conceito de área e Integral de função de uma variável

Autora: Vanda Domingos Vieira A área região solicitada no exercício é limitada pela função y  f ( x)  x 4  5 x 2  4 e pelas retas x  0 e x  2

Para resolver está questão é necessário conhecer o gráfico da função para visualizar a região correspondente à área que deve ser calculada.

Para isso é importante determinar as interseções com os eixos coordenados fazendo: 1) x = 0 temos y = 4

2) y = 0

Como é um caso particular de equação do quarto grau, fazemos uma mudança de

variável z  x 2

e transformamos a x 4  5x 2  4  0 na equação de segundo grau

z 2  5z  4  0 , encontrando

x = - 2, x = -1, x = 1 e x = 2

Após encontrar as interseções temos no intervalo de [0,2] os pontos : (0, 4), (1,0) e (2, 0). Para representar o gráfico achamos necessário encontra mais um ponto entre (1, 0) e (2, 0) fazendo x 

3  3 35  .Assim encontramos o ponto  ,  2  2 16 

Para calcular a área dividimos a região, Sendo a primeira região representada pela

 x 5 5x 3  1 38 AR1   ( x  5x  4)dx =    4 x = 3 5  0 15 0 1

integral

A segunda região

representada pela integral

AR2   ( x 4  5x 2  4)dx = 1

 x 5 5x 3 2 22  4 x =    15 3 5 1 A área da região pedida será

AR  AR1  AR2 =

área mostrando que letra D é a correta

38 22 60 em unidades de   15 15 15

Questão 18 Duas grandezas x e y são ditas comensuráveis se existe um número racional q tal que a medida de x é igual a q vezes a medida de y. Com base nesse conceito, são grandezas comensuráveis A)a aresta de um cubo de volume V e a aresta de um cubo de volume 2V. B) a área e o perímetro de um círculo, quando o raio é um número racional. C) a área e o diâmetro de um círculo, quando o raio é um número racional. D)o comprimento e o diâmetro de uma circunferência . E)a diagonal de um quadrado.

Gabarito: B

Tipo de questão: fácil

Conteúdo avaliado: conceito de medida, medidas de áreas, medidas de volume, perímetro de figuras planas

e números racionais

Autora: Vanda Domingos Vieira

Vamos apresentar as soluções de dois itens, para melhor compreender a definição. A resolução será realizada usando apenas a definição. Pela definição apresentada temos que x e y são grandezas comensuráveis se x = q.y

x q y

A. Seja

x a aresta de um cubo de volume

Então

V = x3

neste caso

x3V

Seja y a aresta de um cubo de volume 2V. Então 2V= y3 neste caso y  3 2V  3 2 .3 V .

x  y

V 1 3 3 2. V 2

No entanto

e temos que x 

1 3

1 y 2

não é um número racional, por isso não são grandezas

comensuráveis. B. Considerando X = Ac a área do círculo

y = Pc o perímetro do círculo

Ac =  .r 2 Pc = 2 .r

x  .r 2 r   y 2 .r 2

e temos que x 

Como r é um número racional,

r y 2

r também é um número racional. Logo são grandezas 2

comensuráveis. E solução é a letra B.

QUESTÃO Nº 19

Sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser preparada a cultura, é dada pela função para esse número ultrapassar 6 colônias é de

A) 1 hora. B) 2 horas. C) 3 horas. D) 4 horas. E) 6 horas.

O tempo mínimo necessário

Gabarito: A

Tipo de questão: fácil

Conteúdo avaliado: função exponencial e função quadrática

Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz

Comentário: A questão é uma aplicação de funções. Para resolvê-la o aluno precisa estabelecer a desigualdade

. O que implica

resolver uma inequação do segundo grau pela transformação: e fazendo z =

, obtendo z2

. Calculando as raízes obtemos: z = 3 ou z

= -1. O gráfico abaixo indica que a solução procurada se dá a partir do momento em z , ou

, o que nos dá t ét

Assim, o menor valor para o qual

Referências: IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar – geometria analítica. São Paulo: Atual, 1993. LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol. 1 e 2, São Paulo: Harbra & Row do Brasil, 1977.

QUESTÃO Nº 20

IV. Se a|b e mdc(b,c) = 1, então mdc(a,c) = 1. É correto apenas o que se afirma em A ) I. B) II. C) I e III. D) II e IV. E) III e IV.

Gabarito: D

Tipo de questão: média. Conteúdo avaliado: Teoria dos números – Divisibilidades no conjunto dos números naturais e suas propriedades.

Autor(a): José Elmo de Menezes

Comentário: Esta questão envolve conceitos básicos de teoria dos números, aplicando a definição da divisão exata de números naturais, as propriedades dos números primos na divisão e as propriedades do máximo divisor comum (MDC). Definição 1: Diz-se que um número natural a é divisor do número natural b ou que o número natural b é divisível por a se é possível encontrar um número natural q tal que aq=b. Definição 2: Dizemos que uma número natural p( p diferente de 1) é primo, se os seus únicos divisores naturais são 1 e ele mesmo. Definição 3 : Dizemos que dois números naturais a e b são primos entre si, se o maior divisor comum de a e b é 1, ou seja, a e b são primos entre si, se e somente se o mdc(a,b)=1. Propriedade: O mdc(a,b)=1 se e somente se existem inteiros x,y tais que ax+by=1. Para verificar se uma proposição é falsa, basta dar um contra-exemplo, neste caso é fácil mostrar que as proposições I e III são falsas, pois:

7|(8+6) mas 7 não divide 8 e 7 não divide 6, portanto a proposição I é falsa;

O número 4 não é primo, pois 4=2.2 e 4|(2.6), mas 4 não divide 2 e 4 não divide 6, portanto a proposição III também é falsa.

Para demonstrarmos que as proposições II e IV são verdadeiras, usaremos a seguinte propriedade: P1: O mdc(a,b)=1 se e somente se existem inteiros x,y tais que ax+by=1.. Logo com a|bc e mdc(a,b) =1 então, existem x e y tais que ax+by=1(1). Multiplicando a equação (1) por c, obtemos, acx+bcy=c (2). Como a|bc, temos que existe um número natural q tal que aq=bc, logo (2) pode ser reescrita na forma: acx+aqy=a(cx+qy)=c, ou seja c é um múltiplo de a e portanto a|c, conseqüentemente a proposição II é verdadeira. Da mesma forma, se o mdc(b,c)=1, então existem inteiros x e y tais que, bx+cy=1 (3), além disso, se a|b então existe um inteiro q, tal que aq=b (4). Substituindo (4) em (3) obtemos, a(qx)+ cy=1 e portanto pela propriedade P1, o mdc(a,c)=1e proposição IV é verdadeira. Desta forma temos que. as proposições I e III são falsas e as proposições II e IV são verdadeiras, e portanto a alternativa correta é a D.

QUESTÃO Nº 21

Os analistas financeiros de uma empresa chegaram a um modelo matemático que permite calcular a arrecadação mensal da empresa ao longo de 24 meses, por meio da função

Em que

é o tempo, em meses, e a arrecadação

é dada em milhões

de reais. A arrecadação da empresa começou a decrescer e, depois, retomou o crescimento, respectivamente, a partir dos meses

e e e e e

Gabarito: D

Tipo de questão: fácil.

Conteúdo avaliado: Derivadas de funções de uma variável real.

Autor(a): Sérgio Reis Fernandes

Comentário: Esta questão envolve funções de grau 2 e funções de grau 3, ea análise do comportamento destas funções num intervalo real. Para resolver esta questão é necessário conhecimento de propriedades do Cálculo Integral e Diferencial I, tais como: conceito de uma função crescente e decrescente, regras de derivação de funções de uma variável real, teorema relativo ao crescimento de uma função. Uma função

definida num intervalo é crescente em , quando

, sendo intervalo

pontos desse intervalo

é decrescente em , quando

. Uma função para

para definida num , sendo

pontos desse intervalo . Para determinar os intervalos onde uma função é crescente ou decrescente, usa-se o seguinte teorema: Seja uma função contínua em um intervalo fechado aberto

e diferenciável no intervalo

para todo valor de

, então

é crescente em

II.

para todo valor de

, então

é decrescente em

Para identificar onde a arrecadação da empresa é decrescente e crescente, é necessário obter a derivada da função

, que é uma função polinomial do terceiro

grau, portanto será usada a regra de derivação de uma potência. Logo,

Como a função

está definida para

implica que

, temos que para

. Para

, daí

temos

é crescente nos intervalos

, e

decrescente no intervalo

Geometricamente, como

é uma função quadrática com o coeficiente de

positivo, sabemos que o gráfico de

é uma parábola com concavidade voltada

para cima,

Neste caso, o sinal de nos intervalos

é: Positiva nos intervalos

, e negativa

. Portanto a arrecadação da empresa começou a decrescer a

partir do mês 9 e voltou a crescer no mês 13 no período de 0 a 24 meses, conclui-se que a alternativa correta é a D.

Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de cálulo Vol. I. Ed. L.T.C.

3) Stewart, James. Cálculo vol. I 5ª edição. Editora Pioneira.

QUESTÃO Nº 22

Considere

, em que

quaisque, deriváveis até a segunda ordem, com

são funções reais

para todo

e . Nesse caso,

é igual a

A) B) C) D) E)

Gabarito: E

Tipo de questão: Fácil

Conteúdo avaliado: Derivadas Sucessivas e Regra da Cadeia

Autor(a): Bianka Carneiro Leandro

Comentário: Esta questão envolve os conceitos de derivada da composição de funções de duas variáveis com funções de uma única variável real, juntamente com a definição de derivadas sucessivas. Para resolver esta questão é necessário o conhecimento de Regra da Cadeia, para a derivação de composição de funções e também de derivação de segunda ordem.

Sendo

, dada por

, tem-se que

e , é dada por

, dada por

. Aplicando-se a Regra da Cadeia para estas composições obtém-se que ( (

)

(

)

(

)

) (

)

Agora pela teoria das derivadas sucessivas tem-se que

. Logo combinando esse fato com a Regra da Cadeia obtém-se ( (

) )

(

)

(

)

Como tem-se, por hipótese, que

( (

, para todo ( (

) )

) (

)

e , obtem-se que

( (

)

) )

O que confere resposta letra B.

Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo B – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 2)Guidorizzi, Hamilton Luis. Um Curso de Cálculo Vol. II. Ed. L.T.C. 3) Stewart, James. Cálculo vol. II 5ª edição. Editora Pioneira.

QUESTÃO Nº 23

Catedral Metropolitana de Brasília A construção da Catedral, projeto do arquiteto Oscar Niemeyer, teve início em 12 de agosto de 1958, em plena construção da nova capital. Em 1959, mesmo antes da inauguração de Brasília (1960), a sua forma estrutural (pilares de concreto armado, na forma de um hiperbolóide de revolução) já estava pronta. O fechamento lateral entre os pilares só ocorreu em 1967, pouco antes de sua consagração, em 12 de outubro do mesmo ano, ocasião em que recebeu a imagem de Nossa Senhora Aparecida. De 1969 a 1970, o complexo foi concluído com o espelho d´água ao redor da Catedral, o

batistério e o campanário.

PORTO, C. E. Um estudo comparativo da forma estrutural de dois monumentos religiosos em Brasília: A Catedral e o Estupa Tibetano. Disponível em: <www.skyscraperlife.com/arquitetura-e-discussoes-urbanas/22122-obrasde-oscarniemeyer.html>. Acesso em 30 ago. 2011.

Nesse contexto, considere na figura abaixo os elementos principais da hipérbole associada aos arcos hiperbólicos da Catedral Metropolitana de Brasília.

Supondo que o eixo real (ou eixo transverso) da hipérbole na figura II mede 30 m e que a distância focal mede 50 m, analise as seguintes asserções.

Se F1=(-c,0) é o foco da hipérbole, então a diretriz associada a ela é a reta d1: x+9=0 . PORQUE

A equação reduzida dessa hipérbole é

D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira. E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Gabarito: A

Tipo de questão: fácil

Conteúdo avaliado: Geometria Analítica, especificamente, cônica e quádricas (hipérbole e hiperbolóide)

Autor(a):Valdemar Pereira Lopes

Comentário:

a questão traz um breve histórico sobre o projeto e a construção da Catedral Metropolitana de

Brasília, projeto estampado na figura I e de autoria do arquiteto Oscar Niemeyer. A figura II mostra os principais elementos da hipérbole associada aos arcos hiperbólicos da Catedral Metropolitana de Brasília.

Para resolver esta questão e confirmar a resposta correta, foram utilizados os seguintes procedimentos: sendo o eixo transverso (ou eixo real) da hipérbole indicado por Daí,

e a distância focal por

então,

. Sabendo-se que para a hipérbole vale a relação

então,

Para a hipérbole indicada na figura II, a equação correspondente a ser utilizada é: O centro da hipérbole é o ponto

, ou seja, é a origem dos eixos coordenados cartesianos. Assim,

a equação da hipérbole toma a forma

. Desta forma, a segunda asserção

é verdadeira.

O vértice O foco

da hipérbole é o ponto correspondente é o ponto

Sendo

a reta diretriz correspondente ao foco

hipérbole, que é uma cônica, que: focos,

é um ponto da diretriz

onde: tal que

é um ponto genérico da hipérbole,

de hipérbole, temos que

coincidindo com o vértice onde

é um dos

é a distância medida do ponto P considerado à diretriz

é a excentricidade da hipérbole. No caso em estudo,

Tomando o ponto

, temos, por definição de

ou seja, fazendo é o ponto de interseção da diretriz

(ou com o eixo de simetria da hipérbole), que se acha sobre o eixo dos x (abscissas).

e usando a definição com o eixo transverso

Assim,

–

Logo, | |

| |

e | |

| |

uma vez que

| |. | |

Portanto, a diretriz correspondente ao foco

| | é a reta

e a primeira asserção é verdadeira. CONCLUSÃO: as duas asserções são verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.

Logo, (A) é a alternativa correta.

Referências: 1) Winterle, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo. Pearson Makron Books, 2000. 2) LEITHOLD, Louis. “O Cálculo com Geometria

Analítica, volumes I e II.” Editora Harbra. São Paulo. 1982.

QUESTÃO Nº 24 Um instrumento de desenho é constituído de três hastes rígidas AB, AC e BD, articuladas no ponto A, mas fixas em B. A figura a seguir é um esquema desse instrumento, em que as hastes foram substituídas por segmentos de reta.

Na extremidade C, foi colocado um grafite que permite desenhar, sobre uma folha de papel, uma curva γ ao se girar AC em torno de A, mantendo-se fixos AB e BD, que são lados do ângulo α. Nessa situação, qualquer que seja o ângulo agudo α, a curva γ interceptará a semirreta de origem B e que passa por D em A) dois pontos E e F distintos, e os triângulos BAE e BAF são congruentes. B) dois pontos E e F distintos, e os triângulos BAE e BAF são semelhantes, mas não congruentes.

C) um único ponto se, e somente se,

D) D um único ponto se, e somente se,

E) E nenhum ponto se, e somente se,

Gabarito: E

Tipo de questão: difícil

Conteúdo avaliado: Geometria Plana, Desenho Geométrico e Trigonometria

Autor: Valdemar Pereira Lopes

Comentário: A questão em pauta torna-se um tanto confusa desde que na sua resolução não se leve em conta e interprete corretamente a expressão “se, e somente se”, e também não percebendo que AB e BD são mantidos fixos, lados do ângulo

Para resolver esta questão e confirmar a resposta correta, utilizamos os seguintes procedimentos:

1). a curva y descrita ao girar a haste

, em torno de A, interceptará a semirreta de

origem B contendo D em dois pontos distintos, E e F,se, e somente se, a medida de

for maior do que a distância do ponto C à referida semirreta e, ainda,

̅̅̅̅

̅̅̅̅ Neste caso, o triângulo AEF é isósceles e os triângulos BAE e BAF

não são congruentes, uma vez que

e, portanto,

(ao

maior ângulo opõe-se o maior lado). No caso contrário, ou seja, se a medida da haste for maior do que a distância do ponto C à semirreta de origem B contendo D, então a curva y interceptará a mencionada semirreta em dois pontos distintos, E e F.

Como os triângulos BAE e BAF não são congruentes, então a alternativa (A) é falsa.

2).Usando o mesmo raciocínio utilizado em 1), conclui-se que os triângulos BAE e BAF não são congruentes e nem semelhantes, uma vez que dois triângulos são semelhantes quando tem, respectivamente: (a) os três ângulos congruentes (b) os três lados proporcionais.

Como

(ângulo comum),

̂ ,

então os triângulos BAE e BAF não são semelhantes e nem congruentes. Logo, a alternativa (B) é falsa.

3). Se a medida da haste

é igual a distância de A até a semirreta de origem B

contendo D, então a curva y tangenciará a semirreta em um único ponto C e, neste caso, o triângulo BAC, com C sobre a semirreta, é retângulo e Portanto, se

então a curva y tangencia a semirreta de origem B

contendo D em um único ponto (ponto de tangência). No entanto, se a medida da haste

for maior do que

̅̅̅̅

̅̅̅̅ , a curva y descrita pelo giro da haste

com centro em A, interceptará a semirreta de origem B contendo D em apenas um único ponto C, também. Mas, neste caso,

Assim, se a curva y descrita pelo giro da haste

em torno de A intercepta a

semirreta de origem B, contendo D, em um único ponto, nada garante que dependendo se ̅̅̅̅ = distância de A

Pode ser que à semirreta ou se ̅̅̅̅

̅̅̅̅ . Desta maneira, as alternativas (C) e (D) também são

falsas.

4). No caso da medida da haste

ser menor do que a distância do ponto A à

semirreta de origem B contendo D, então, aí, não haverá ponto de interseção da curva y com essa semirreta e, consequentemente, distância de A à semirreta de origem B contendo D A alternativa correta é (E).

. Logo,

̅̅̅̅

Situações possíveis

Referências: 1). Barbosa, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 2). Marcondes, Oswaldo. GEOMETRIA. Editora do Brasil S/A. São Paulo, 1964. 3). Penteado, José Arruda. curso de desenho. COMPANHIA EDITORA NACIONAL. São Paulo. 1970 .

QUESTÃO Nº 25

Considere

uma função diferenciável e suponha que

define

implicitamente funções não nulas e diferenciáveis

. Nessa situação, analise as afirmações abaixo. I. II.

. Se

III.

, então

É correto o que se afirma em

A)II apenas B)III apenas C)I e II apenas D)I e III apenas E)I, II e III

Gabarito: C

Tipo de questão: Médio

Conteúdo avaliado: Derivada parcial e Teorema da Função Implícita

Autor(a): Bianka Carneiro Leandro

Comentário: Esta questão envolve a definição de derivada parcial e a aplicação do Teorema da Função Implícita. Definição: Seja com respeito à variável

caso este limite exista.

uma função diferenciável, então a derivada parcial de ,

, é dada por

Teorema da Função Implícita: Seja ponto do

será denotado por e

(

, onde

, contendo

e uma vizinhança

, para uma única função )

. Um

. Suponha que

Então existe uma bola aberta que

uma função de classe

de classe

, tal

e que satisfaça

. Além disso,

Para o julgamento da afirmação I basta aplicar a definição de derivada parcial, acima mencionada, à função

. Desta forma, verifica-se a veracidade da

afirmação I. Para o julgamento da afirmação II basta aplicar o Teorema da Função Implícita, acima mencionado, à função . Desta forma, verifica-se a veracidade da afirmação II. Para o julgamento da afirmação III basta aplicar o Teorema da Função Implícita à função . Donde obtem-se Se

, então

Neste caso, obtém- se

Donde observa-se que a afirmação III é falsa. Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo B – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de Cálculo Vol. II e Vol III. Ed. L.T.C. 3) Stewart, James. Cálculo vol. II 5ª edição. Editora Pioneira.

QUESTÃO Nº 26

Na Sociologia da Educação, o currículo é considerado um mecanismo por meio do qual a escola define o plano educativo para a consecução do projeto global de educação de uma sociedade, realizando, assim, sua função social. Considerando o currículo na perspectiva crítica da Educação, avalie as afirmações a seguir.

I. O currículo é um fenômeno escolar que se desdobra em uma prática pedagógica expressa por determinações do contexto da escola. II. O currículo reflete uma proposta educacional que inclui o estabelecimento da relação entre o ensino e a pesquisa, na perspectiva do desenvolvimento profissional docente. III. O currículo é uma realidade objetiva que inviabiliza intervenções, uma vez que o conteúdo é condição lógica do ensino. IV. O currículo é a expressão da harmonia de valores dominantes inerentes ao processo educativo.

É correto apenas o que se afirma em

A) I. B) II. C) I e III. D) II e IV. E) III e IV.

Gabarito: B

Tipo de questão: múltipla escolha. Grau de dificuldade: média

Conteúdo avaliado: Organização e desenvolvimento do currículo; fatores sociais e culturais na construção do currículo.

Autor (a): Nelson Carneiro Júnior

Comentário: A questão proposta realiza uma discussão acerca da formulação dos currículos tendo como ponto de partida a perspectiva crítica da Educação. É perceptível, nesta visão crítica, o discurso de que o sistema educativo serve a interesses concretos e eles se refletem no currículo. Sacristan (2000, p. 20) indica que o currículo “deve ser visto como uma construção social que preenche a escolaridade de conteúdos e orientações que nos leva a analisar os contextos concretos que lhe vão dando forma e conteúdo, antes de passar a ter alguma realidade como experiência de aprendizagem para os alunos”.

A perspectiva crítica se contrapõe a inúmeras perspectivas que identificava no currículo apenas como um conjunto de disciplinas que transmitem conteúdos necessários para a inserção do indivíduo na sociedade. O currículo se revela como um espaço de luta e conflitos. “A sociologia critica denuncia o papel da escola como reprodução da estrutura social, sustenta a importância da ação dos sujeitos e as possibilidades de um currículo crítico centrado na cultura dos oprimidos”. (LIBÂNEO, 2013, p. 150)

A questão procura inserir o professor nessa discussão, principalmente aquele que já atua em sala de aula e apresenta uma visão superficial sobre o que é realmente a função do currículo a ser seguido em uma organização escolar. A primeira alternativa é descartada logo no início, pois reafirma a idéia de que o currículo é apenas um fenômeno escolar determinado pelo contexto da escola, não sendo a ideia compartilhada na visão crítica acerca do currículo.

Para Carvalho e Diogo (1994), o currículo reflete intenções (objetivos) e ações (conhecimentos), tornadas de realidade pelo trabalho dos professores e sob determinadas condições providas pela organização escolar, tendo em vista a melhor qualidade do processo de ensino e aprendizagem. Por isso, a alternativa III está incorreta, pois não identifica a possibilidade de transformações sociais a partir do

currículo. Outros fatores são importantes para a condição lógica do ensino, como o processo de mediação a ser construída pelos agentes envolvidos como, por exemplo, o ensino do aprender a pensar e aprender a aprender.

Sendo espaço de luta e conflito, o currículo não pode ser a expressão da harmonia de valores dominantes inerentes ao processo educativo, pois ele reafirma exatamente o contrário, ao revelar os mecanismos de dominação e sustentação ideológica que existe em um determinado contexto. Por isso, a alternativa IV está incorreta.

Desta forma, afirmativas II (com Gabarito B) é a correta. Masetto (2012) afirma que para construir um currículo é necessário observar o que está acontecendo na sociedade, às mudanças que estão se operando, as necessidades atuais da população, e as representações e os contatos com a realidade. Depois, o professor deveria reconsiderar suas especialidades, pesquisas e procurar compor com o que sentiram e perceberam na sociedade a fim de atualizar e apresentar um determinado currículo.

Referências: CARVALHO A, DIOGO F. Projecto educativo. Porto: Afrontamento, 1994. LIBÂNEO, J. C.Organização e gestão da escola. 5. ed. Revista e ampliada. Goiânia: Editora Alternativa, 2004. MASETTO, M. T. O docente do ensino superior e o currículo de seu curso. In: Competência pedagógica do professor universitário.São Paulo: Summus Editorial, 2003. p. 75-83. SACRISTÁN, J. G. O Currículo: uma reflexão sobre a prática. Porto Alegre: ArtMed, 2000.

QUESTÃO Nº 27

O fazer docente pressupõe a realização de um conjunto de operações didáticas coordenadas entre si. São o planejamento, a direção do ensino e da aprendizagem e a avaliação, cada uma delas desdobradas em tarefas ou funções didáticas, mas que convergem para a realização do ensino propriamente dito.LIBÂNEO, J. C. Didática.

São Paulo: Cortez, 2004, p. 72. Considerando que, para desenvolver cada operação didática inerente ao ato de planejar, executar e avaliar,o professor precisa dominar certos conhecimentos didáticos, avalie quais afirmações abaixo se referem a conhecimentos e domínios esperados do professor. I. Conhecimento dos conteúdos da disciplina que leciona, bem como capacidade de abordá-los de modo contextualizado. II. Domínio das técnicas de elaboração de provas objetivas, por se configurarem instrumentos quantitativos precisos e fidedignos. III. Domínio de diferentes métodos e procedimentos de ensino e capacidade de escolhê-los conforme a natureza dos temas a serem tratados e as características dos estudantes. IV. Domínio do conteúdo do livro didático adotado, que deve conter todos os conteúdos a serem trabalhados durante o ano letivo. É correto apenas o que se afirma em A I e II. B I e III. C II e III. D II e IV. E III e IV.

Gabarito: B

Tipo de questão: múltipla escolha. Grau de dificuldade: média

Conteúdo avaliado: O fazer docente: o planejamento, a direção do ensino e da aprendizagem ea avaliação.

Autor(a): Eliane Silva

Comentário: A prática pedagógica desenvolve ações docentes básicas para o processo de ensino que visa à aprendizagem, para tanto deve ser permeada por ações intencionais, quais

sejam: o planejamento, a direção do ensino e da aprendizagem e o processo de avaliação. Neste sentido, necessariamente, o professor deve ter domínio dos conteúdos a serem ensinados na disciplina para a qual ministrará aula, trabalhando-os de forma contextualizada. Em meio às atitudes intencionais planejadas pelo professor encontram-se os métodos, os procedimentos de ensino e os recursos didáticos que precisam ser selecionados de acordo com a realidade da turma e a natureza do conteúdo em estudo.Desta forma, as afirmativas I e II (com Gabarito B) estão corretas. As afirmativas II e IV não estão corretas porque o professor não deve se ater ao mero conhecimento de técnicas para assegurar a qualidade do fazer pedagógico, assim como não deve se limitar apenas ao livro didático adotado, uma vez que nem sempre ele contempla todo o conteúdo a ser desenvolvido no ano letivo.

Referências:LIBÂNEO, J. C. Didática. São Paulo: Cortez, 2013. MASETTO, Marcos Tarciso. Didática: a aula como centro. São Paulo: FTD, 2007.

QUESTÃO Nº 28.

Figura. Brasil: Pirâmide Etária Absoluta (2010-2040) Disponível <www.ibge.gov.br/home/estatistica/populacao/projecao_da_populacao/piramide/piramide.shtm>. Acesso em: 23 ago. 2011.

em:

Com base na projeção da população brasileira para o período 2010-2040 apresentada nos gráficos, avalie as seguintes asserções. Constata-se a necessidade de construção, em larga escala, em nível nacional, de escolas especializadas na Educação de Jovens e Adultos, ao longo dos próximos 30 anos. PORQUE Haverá, nos próximos 30 anos, aumento populacional na faixa etária de 20 a 60 anos e decréscimo da população com idade entre 0 e 20 anos. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta. A As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. B As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa da primeira. C A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa. D A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira. E Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Gabarito: D

Tipo de questão: Média.

Conteúdo avaliado: leitura e análise de gráficos (letramento em estatística).

Autor(a): Maria José Pereira Dantas

Comentário: O letramento estatístico é de suma importância para estudantes de qualquer área de formação. Tem sido definido como a habilidade do indivíduo interpretar e avaliar de forma crítica as informações estatísticas (GAL, 2002), considerando os argumentos relacionados aos dados ou aos fenômenos apresentados e contextualizados. O letrado estatisticamente necessita também ter habilidade para discutir ou comunicar sua compreensão diante de tais informações, podendo emitir opiniões sobre suas implicações e fazer considerações acerca da aceitação das conclusões fornecidas. A análise dos dados deve se ater ao que foi apresentado, sem subjetividades, sem ir para além dos dados expostos. Gráficos apresentados na questão.

Em uma pirâmide etária absoluta, o grupo da base, geralmente surge em maior número que o grupo seguinte, e este por sua vez, apresenta-se maior que o grupo do topo, formando o desenho de uma pirâmide (razão de seu nome). No modelo de pirâmide apresentada, o eixo vertical indica a escala de idades, e o horizontal a população masculina de um lado e a feminina no outro, representada por barras, de acordo com o número absoluto. Análise dos gráficos. No período de previsão 2010 a 2040, a pirâmide etária se encaminha para uma pirâmide adulta (a base é ainda larga, mas existe um aumento da classe dos adultos e dos idosos, significando que a taxa de natalidade está diminuindo e a esperança média de vida aumentando). Em 2040 o gráfico tende para uma pirâmide envelhecida (base mais estreita do que a classe dos adultos, significando uma diminuição da natalidade e um aumento da esperança média de vida – é o tipo de pirâmide dos países desenvolvidos). Os gráficos são a base para avaliação das duas asserções apresentadas. É possível avaliar as alterações ocorridas nos gráficos correspondentes às populações estimadas nas faixas etárias. Basta traçar alguns elementos auxiliares: linhas horizontais e verticais em pontos estratégicos, e ainda triângulos equiláteros sobre cada gráfico, para verificação das alterações mais expressivas.

Observando os gráficos, com a ajuda dos elementos auxiliares, sem detalhar homens e mulheres, tem-se: 

Período de 2010 a 2020: leve diminuição nos nascimentos; aumento da população de entre 10 e 20 anos; aumento entre 30 e 40 anos; aumento no topo da pirâmide (população envelhecendo);



Período entre 2020 e 2030: observa que a tendência para o envelhecimento da

população continua. 

Período de 2030 a 2040: diminuição na base da pirâmide (quantidade menor de nascimentos, que se evidencia pela diminuição da população jovem); aumento expressivo na faixa de 45 a 60 anos; aumento expressivo na população acima com 60 anos ou mais.

A segunda asserção está diretamente relacionada com os gráficos apresentados, pois afirma: “Haverá, nos próximos 30 anos, aumento populacional na faixa etária de 20 a 60 anos e decréscimo da população com idade entre 0 e 20 anos.” Assim a asserção é uma proposição verdadeira. Nas bases das pirâmides (entre 0 e 20 anos) observa-se, de fato, uma diminuição nas populações de homens e mulheres. Por outro lado, na faixa intermediária (20 a 60 anos) observa-se um aumento nas populações de homens e mulheres. A primeira asserção se relaciona indiretamente com os gráficos apresentados e diz: “Constata-se a necessidade de construção, em larga escala, em nível nacional, de escolas especializadas na Educação de Jovens e Adultos, ao longo dos próximos 30 anos.” A asserção é uma proposição falsa. O gráfico não é suficiente para se fazer tal constatação. Os gráficos não apresentam informações sobre outras variáveis, apenas apresentam o crescimento populacional na faixa de 20 a 60 anos. Isto não é suficiente para inferir a necessidade de altos investimentos nacionais na educação de jovens e adultos. Outras variáveis deveriam ser examinadas para tal constatação.

Referências: PIMENTEL, Carla. Pirâmides etárias. Disponível em: <http://geogeografias.blogspot.com.br/2010/01/piramides-etarias.html>. Acesso em: 24/06/14. MONTEIRO, Carlos Eduardo Ferreira. Interpretação de gráficos: atividade social e conteúdo de ensino. Disponível em: http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_22/carlos.pdf. Acesso em: 24/06/14. Wallman, K. K. (1993). 'Enhancing Statistical Literacy: Enriching Our Society', as cited in the Journal of the American Statistical Association, Vol88, No 421. GAL, I. Adult’s Statistical literacy: Meanings, Components, Responsabilities. International Statistical Review, n. 70, 2002

QUESTÃO Nº 29 Na escola em que João é professor, existe um laboratório de informática, que é utilizado para os estudantes trabalharem conteúdos em diferentes disciplinas. Considere que João quer utilizar o laboratório para favorecer o processo de ensinoaprendizagem, fazendo uso da abordagem da Pedagogia de Projetos. Nesse caso, seu planejamento deve A. ter como eixo temático uma problemática significativa para os estudantes, considerando as possibilidades tecnológicas existentes no laboratório. B. relacionar os conteúdos previamente instituídos no início do período letivo e os que estão no banco de dados disponível nos computadores do laboratório de informática. C. definir os conteúdos a serem trabalhados, utilizando a relação dos temas instituídos no Projeto Pedagógico da escola e o banco de dados disponível nos computadores do laboratório. D. listar os conteúdos que deverão ser ministrados durante o semestre, considerando a sequência apresentada no livro didático e os programas disponíveis nos computadores do laboratório. E. propor o estudo dos projetos que foram desenvolvidos pelo governo quanto ao uso de laboratórios de informática, relacionando o que consta no livro didático com as tecnologias existentes no laboratório.

Gabarito: A

Tipo de questão: fácil

Conteúdo avaliado: Processo ensino-aprendizagem, abordagem pedagógica Pedagogia de Projetos

Autor(a): Rose Mary Almas de Carvalho

Comentário:

Considerada como uma postura pedagógica, a abordagem da Pedagogia de Projetos propõe que os saberes escolares estejam integrados aos saberes sociais. Possibilita, desse modo, que o aluno estude e aprenda algo que traga sentido e tenha significado para a sua vida. Essa abordagem pressupõe uma metodologia de trabalho pedagógico com a participação ativa do aluno e do professor no processo de ensinoaprendizagem. Exige do aluno uma postura compromissada com o seu processo de construção do conhecimento que está permeado pelas práticas vivenciadas na busca de informações e da realidade investigada. Nesse processo, o professor auxilia o aluno na identificação da situação-problema e nas suas reflexões, incentivando novas buscas, descobertas, compreensões e reconstruções de conhecimento. Entre as alternativas apresentadas, a correta é a alternativa A, pois considera o desenvolvimento de um processo educacional contemplando os saberes escolares e saberes sociais, tornando a aprendizagem significativa para o aluno, relacionada ao processo de vida, pressuposto fundamental da abordagem da Pedagogia de Projeto. As demais alternativas estão incorretas por não considerar no planejamento a proposição de uma problemática que traga questões vivenciadas pelo aluno no mundo das relações sociais.

Referências:

PRADO, Maria Elisabette Brisola Brito. Pedagogia de projetos: fundamentos e implicações. IN: SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (Org.). Integração das tecnologias na educação. Brasília: Ministério da Educação/SEED/TV Escola/Salto

para

Futuro.

Disponível

http://portal.mec.gov.br/index.php?catid=111:tv-escola&id=13258:salto-para-ofuturo&option=com_content&view=article>. Acesso em: 13 de junho de 2014.

QUESTÃO Nº 30

QUINO. Toda a Mafalda. Trad. Andréa Stahel M. da Silva et al. São Paulo: Martins Fontes, 1993, p. 71. Muitas vezes, os próprios educadores, por incrível que pareça, também vítimas de uma formação alienante, nãosabem o porquê daquilo que dão, não sabem o significado daquilo que ensinam e quando interrogados dão respostasevasivas: “é prérequisito para as séries seguintes”, “cai no vestibular”, “hoje você não entende, mas daqui a dez anosvai entender”. Muitos alunos acabam acreditando que aquilo que se aprende na escola não é para entender mesmo,que só entenderão quando forem adultos, ou seja, acabam se conformando com o ensino desprovido de sentido.VASCONCELLOS, C. S. Construção do conhecimento em sala de aula. 13ª ed. São Paulo: Libertad, 2002, p. 27-8. Correlacionando a tirinha de Mafalda e o texto de Vasconcellos, avalie as afirmações a seguir. I. O processo de conhecimento deve ser refletido e encaminhado a partir da perspectiva de uma prática social. II. Saber qual conhecimento deve ser ensinado nas escolas continua sendo uma questão nuclear para o processo pedagógico. III. O processo de conhecimento deve possibilitar compreender, usufruir e transformar a realidade. IV. A escola deve ensinar os conteúdos previstos na matriz curricular, mesmo que sejam desprovidos de significado e sentido para professores e alunos. É correto apenas o que se afirma em A I e III. B I e IV. C II e IV. D I, II e III. E II, III e IV.

Gabarito: D

Tipo de questão: Múltipla escolha. Grau de dificuldade: Fácil

Conteúdo avaliado: O conhecimento a partir da realidade do sujeito.

Autor(a): Renato Barros de Almeida

Comentário: Tanto a tirinha de Quino com a personagem Mafalda quanto o texto de Vasconcelos (2002) exploram o distanciamento dos conteúdos trabalhos no contexto escolar e a realidade dos sujeitos em situação de aprendizagem. Em outras palavras, ambos os textos exploram o ensino esvaziado de significado que os professores de um modo geral têm difundido na educação básica. Ao ler as alternativas propostas como respostas para a correlação entre a tirinha de Mafalda e o texto de Vasconcelos (2002), pode-se concluir que o item de número IV destoa dos demais itens à medida que se encontra fora do contexto da questão, entendendo que a escola deve ensinar o conteúdo mesmo que este seja “desprovido de significado e sentido para professores e alunos”. Percebe-se assim no contexto da questão que a alternativa IV contempla um equívoco bem basilar. Dessa forma, as demais alternativas prevalecem corretas, o que nos leva ao entendimento de que o gabarito de letra D responde corretamente e de forma mais adequada ao que está proposto.

Referências: FREIRE, P. A pedagogia da autonomia: Saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1996. HERNÁNDEZ, Fernando; VENTURA, Montserrat. A organização do currículo por projetos de trabalho: o conhecimento é um caleidoscópio. Porto Alegre: Artmed, 1998.

QUESTÃO Nº 31 Ao trabalhar o conteúdo de análise combinatória, o professor propôs que os alunos calculassem quantos números distintos de três algarismos podem ser formados a partir de quatro algarismos escolhidos por eles. A seguir, são destacadas as escolhas dos algarismos e as respostas dadas por quatro alunos dessa turma: Ana, Luis, Paulo e Roni. I.

Ana escolheu os algarismos 0, 3, 5 e 7. Sua resposta foi 24, por levar em

consideração apenas números com algarismos diferentes entre si. II.

Luis escolheu os algarismos 2, 4, 7 e 8. Sua resposta foi 24, por levar em consideração apenas números com algarismos diferentes entre si.

III.

Paulo escolheu os algarismos 3, 4, 5 e 6. Sua resposta foi 16, por levar em consideração a possibilidade de haver algarismos repetidos nos números formados.

IV.

Roni escolheu os algarismos 1, 2, 3 e 4. Sua resposta foi 64, por levar em consideração a possibilidade de haver algarismos repetidos nos números formados.

O professor verificou que é coerente com as escolhas e a resposta somente o que se justifica em A. I. B. II. C. I e III. D. II e IV. E. III e IV.

Gabarito: D. II e IV.

Tipo de questão: fácil

Conteúdo avaliado: Análise Combinatória, problema de contagem

Autor(a): Alaídes Inácio Stival Ferreira

Comentário: O Princípio Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem diz que: "Se uma decisão D1 pode ser tomada de p1 modos e, qualquer que seja esta escolha, a decisão D2 pode ser tomada de p2 modos, então o número de maneiras de

se tomarem consecutivamente as decisões D1 e D2 é igual a p1p2." Que pode ser estendido para n decisões, resultando que o número de maneiras de tomarem consecutivamente as decisões D1, D2, ..., Dn é igual a p1p2...pn. Solução I Analisando a resposta de cada aluno, temos: I. Ana escolheu os algarismos 0, 3, 5 e 7, e considerou apenas números com algarismos diferentes entre si. Nesta escolha de algarismos devemos considerar ainda que o número formado, por exemplo, pela sequencia de algarismos 035 é o número 35, que possui 2 algarismos. Com isso, na casa das centenas não podemos considerar o algarismo 0. E números, como o 355, também não fazem parte desta lista, pois o algarismo 5 repetiu. Assim temos, na casa das centenas: 3 possibilidades (excluímos o 0); na casa das dezenas: 3 unidades (não podemos repetir o algarismo usado na casa das centenas, porém o 0 pode entrar nesta posição); na casa das unidades: 2 possibilidades (não podemos utilizar os algarismos já usados anteriormente). Portanto, 3 . 3 . 2 = 18 , resultando em 18 maneiras distintas, ou 18 números distintos. Logo a resposta de Ana é INCOERENTE. II. Luis escolheu os algarismos 2, 4, 7 e 8, e considerou apenas números com algarismos diferentes entre si. Nesta escolha, número como o 447 não poderá ser listado pois o algarismo 4 repetiu. Temos na casa das centenas: 4 possibilidades; na casa das dezenas: 3 possibilidades (não pode usar o algarismo da casa das centenas); na casa das unidades: 2 possibilidades (não pode usar os algarismos usados anteriormente). Portanto, 4 . 3 . 2 = 24, resultando em 24 maneiras distintas, ou 24 números distintos. Logo a resposta de Luís é COERENTE. III. Paulo escolheu os algarismos 3, 4, 5 e 6, e considerou a possibilidade de haver algarismos repetidos nos números formados; como, por exemplo, os números 553 e 444. Temos na casa das centenas: 4 possibilidades; na casa das dezenas: 4 possibilidades (o algarismo usado anteriormente pode ser usado novamente); na casa

das unidades: 4 possibilidades (pode-se usar os algarismos já utilizados). Portanto, 4 . 4 . 4 = 64, resultando em 64 maneiras distintas, ou 64 números distintos. Logo a resposta de Paulo é INCOERENTE. IV. Roni escolheu os algarismos 1, 2, 3 e 4, e considerou a possibilidade de haver algarismos repetidos nos números formados; como, por exemplo, os números 111 e 313. É o mesmo raciocínio da resposta de Paulo, resultado em

64 maneiras

distintas, ou 64 números distintos. Logo a resposta de Roni é COERENTE.

Solução II Podemos resolver esta questão listando as possibilidades dos números, e contando-os. Sendo importante um procedimento sistemático para listar todos os números, sem repeti-los (os números, e não algarismos!) Devemos identificar as diferentes escolhas (ou decisões em cada uma das respostas) que devem ser tomadas e distinguir as possibilidades em cada uma delas. Para cada número vamos considerar que é formado por "gavetas" onde devemos colocar os algarismos. Assim a primeira "gaveta" é a centena, a segunda "gaveta" é a dezena, e a terceira "gaveta" é a unidade do número que estamos examinando. Vamos examinar cada uma das respostas. I. Ana escolheu os algarismos 0, 3, 5 e 7, e considerou apenas números com algarismos diferentes entre si. Com estas escolhas de algarismos, não podemos escolher o 0 para a casa das centenas (pois assim estaríamos listando números como 057 que é o número 57 de 2 algarismos), restando-nos os algarismos 3, 5 e 7:

5 0

3 0

7 0

0 5

0 7

7 0

3 0

5 0

Resultando em 18 números distintos, fazendo com que a resposta de Ana seja INCOERENTE. II. Luis escolheu os algarismos 2, 4, 7 e 8, e considerou apenas números com algarismos diferentes entre si. Para cada um destes algarismos a listagem dos números é análoga aos de Ana, mas como são 4 algarismos possíveis para a casa das centenas e cada um deles nos resultam em 6 números distintos, temos 4.6 = 24 números, fazendo com que a resposta de Luis seja COERENTE. III. Paulo escolheu os algarismos 3, 4, 5 e 6, e considerou a possibilidade de números com algarismos repetidos. Podemos listá-los como o esquema abaixo, onde escolhemos o algarismo 3 para ocupar a casa das centenas.

3 4 3

5 6 3 4

5 6

3 4 5

5 6 3 4

5 6

Encontrando 16 possibilidades. E de forma análoga encontramos esta mesma quantia para números com centena igual a 4, 5 ou 6. Como são 4 algarismos possíveis para a centena temos 4.16 = 64 números, fazendo com que a resposta de Paulo seja INCOERENTE. IV. Roni escolheu os algarismos 1, 2, 3 e 4, e considerou a possibilidade de números com algarismos repetidos. Para cada um destes algarismos a listagem dos números é análoga aos de Paulo, e como são também 4 algarismos possíveis para a casa das centenas temos 4.16 = 64 números, fazendo com que a resposta de Roni seja COERENTE. Referências: Coleção Professor de Matemática: Temas e Problemas - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado - 2a edição - Rio de Janeiro: SBM, 2006. Coleção Professor de Matemática: A Matemática do Ensino Médio Vol. 2 - E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado - 5a edição - Rio de Janeiro:

SBM, 2004.

QUESTÃO Nº 32 No intuito de proporcionar uma reestruturação dos princípios norteadores da educação nacional, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei nº 9394/1996) transformou em direito do cidadão e dever do Estado antigos anseios de diversos movimentos populares, entre eles, a oferta de educação escolar regular para jovens e adultos, como se vê no trecho destacado a seguir: Art. 4º O dever do Estado com educação escolar pública será efetivado mediante a garantia de: (...) VII - oferta de educação escolar regular para jovens e adultos, com características e modalidades adequadas às suas necessidades e disponibilidades, garantindo-se aos que forem trabalhadores as condições de acesso e permanência na escola.

Considerando a modalidade de ensino de que trata esse fragmento da Lei n.º 9394/1996, e para tornar o ensino de matemática mais significativo para quem aprende, o professor deve priorizar I.

atividades que promovam um processo de negociação de significados constituídos com o conteúdo destacado e o sujeito social.

II.

atividades que padronizem os procedimentos matemáticos realizados pelos alunos, pois, dessa forma, promoverá o domínio da notação matemática.

III.

atividades que, a partir de situações cotidianas, promovam a percepção da relevância do conhecimento matemático.

IV.

a linguagem simbólica, pois, dessa forma, poderá promover a percepção das especificidades dessa área de conhecimento.

É correto apenas o que se afirma em A. I. B. II.

C. I e III. D. II e IV. E. III e IV.

Gabarito: C

Tipo de questão: médio

Conteúdo avaliado: Política educacional, educação de jovens e adultos e ensino da matemática.

Autor(a): Rose Mary Almas de Carvalho

Comentário:

A contextualização da questão traz a temática da modalidade da Educação de Jovens e Adultos (EJA), como também, do direito do cidadão à Educação e dever do Estado em ofertá-la (LDB 9.394/96). Para Paulo Freire, alfabetizar é aprender a ler o mundo em que se vive, a compreender seu contexto social. A expressão alfabetização é empregada no sentido amplo, incluindo, portanto a alfabetização na linguagem matemática e outras linguagens. Desse modo, concebe-se que o processo de aprendizagem na alfabetização de adultos está envolvida na prática de ler, de interpretar o que leem, de escrever, de contar, de aumentar os conhecimentos que já têm e de conhecer o que ainda não conhecem, para melhor interpretar o que

acontece na nossa realidade

(Freire, 2003, p. 48).

Freire ressalta que Não é possível respeito aos educandos, à sua dignidade, a seu ser formando-se, à sua identidade fazendo-se, se não

se levam em consideração às condições em que eles vêm existindo, se não se reconhece à importância dos “conhecimentos de experiências feitos” com que chegam à escola. O respeito devido à dignidade do educando não me permite subestimar, pior ainda, zombar do saber que ele traz consigo para a escola (FREIRE, 2000, p.71).

No pensamento do autor evidencia-se a importância de se considerar no processo educacional o saber do aluno, elaborado no seu processo histórico, a partir das relações estabelecidas no mundo natural e social.

Torna-se de fundamental

importância uma prática pedagógica problematizadora, de caráter reflexivo, que desvele a realidade a partir de situações cotidianas que resulte uma compreensão crítica da realidade (FREIRE, 1981, p. 80) Com base no exposto, as afirmativas corretas são a I e III, pois propõem atividades que contemplam situações cotidianas problematizadoras, permitindo ao aluno o desenvolvimento de aprendizagem a partir de significados oriundos do mundo natural e social. As afirmativas II e IV estão incorretas por propor atividades que promovam a padronização dos procedimentos matemáticos e não a compreensão desses procedimentos e a indicação da linguagem simbólica na promoção do conhecimento matemático, distanciando-se, assim, de uma concepção de aprendizagem baseada na construção de significados a partir de situações cotidianas que possam promover o conhecimento da realidade vivida.

Referências:

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 2000.

FREIRE, Paulo. Pedagogia do oprimido. Rio de Janeiro, Paz e Terra, 1981.

QUESTÃO Nº 33 Para introduzir conceitos relativos a cilindros, um professor de matemática

do ensino médio pediu a seus alunos que fizessem uma pesquisa sobre situações práticas que envolvessem essas figuras geométricas. Dois estudantes trouxeram para a sala de aula as seguintes aplicações:

Situação I

O raio hidráulico é um parâmetro importante no dimensionamento de canais, tubos, dutos e outros componentes das obras hidráulicas. Ele é definido como a razão entre a área da seção transversal molhada e o perímetro molhado. Para a seção semicircular de raio r ilustrada abaixo, qual é o valor do raio hidráulico?

Situação II

Ao analisar as duas situações como possibilidades de recursos didáticos, seria correto o professor concluir que a) a situação I é inadequada porque induz os estudantes à apreensão equivocada do conceito de cilindro. b) a situação I é adequada porque permite a discussão de que todas as interseções do cilindro com planos são semicircunferências. c) a situação II é inadequada porque induz os estudantes à apreensão equivocada do conceito de volume do cilindro. d) a situação II é adequada porque permite mostrar que o volume do cilindro é igual à quantidade de jabuticabas multiplicada pela média dos volumes das jabuticabas. e) as situações I e II são adequadas e permitem que sejam explorados os conceitos de seção transversal, área da superfície cilíndrica e volume do cilindro.

Gabarito: E Tipo de questão: Componente Específico – Licenciatura/Objetivas

Conteúdo avaliado: Cilindros: área, volume e seções transversais

Autor(a): Gabriella B. V. M. Gonçalves

Comentário: Relembremos alguns conceitos básicos sobre cilindros. Considere um plano P e seja C um círculo de raio r contido em P. Tomemos um segmento de reta AB que não seja paralelo e nem esteja contido no plano P. Chamamos de cilindro circular a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo C. Tais segmentos são chamados de geratrizes e a região circular limitada por C é dita base.

Lembremos que um cilindro é uma superfície no espaço R³. Entretanto, em várias situações consideramos o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. O eixo de um cilindro circular é o segmento de reta cujas extremidades são os centros dos círculos das bases.

Existem dois tipos de cilindros circulares. Dizemos que o cilindro circular é reto quando

sua

geratriz

for

perpendicular

sua

base.

será oblíquo quando sua geratriz não for perpendicular a sua base. Veja as imagens abaixo:

Observe que a neste caso a geratriz coincide com a altura.

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos: 1. Altura (H): A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do cilindro. 2. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do cilindro que não estejam nas bases. 3. Área da base (AB): No caso do cilindro circular, é a área do círculo C. Isto é, AB=πr². 4. Área lateral(AB): É a área da superfície lateral do cilindro. Para calcularmos a sua área lateral, basta multiplicarmos o perímetro da base pela altura do cilindro, isto é, AL=2πr⋅H. 5. Área total (AT): É a área total do cilindro. Para calcularmos sua área total devemos somar a área lateral com a área das suas duas bases (a inferior e a superior). AT= AL +2⋅AB. 6. Seção transversal: É a região determinada pela interseção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as seções transversais são congruentes.

7. Seção meridiana:É a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

8. Volume: Para calcularmos o volume devemos multiplicar a área de sua base por sua altura. V=AB⋅H Após esta revisão, voltemos ao exercício. O item a) é FALSO, pois a situação I se trata de uma seção transversal de um cilindro circular. O item b) é FALSO, pois as interseções do cilindro com planos são circunferências. O item c) é FALSO, pois podemos fazer uma analogia entre o volume do cilindro com a quantidade de jabuticabas que cabem dentro do recipiente. Assim teremos uma aproximação do volume. Esse exemplo cotidiano é interessante para introduzir a ideia de volume apesar de não retratar o volume real. O item d) é FALSO. Como justificado no item anterior, desta maneira encontramos uma aproximação do volume total real do recipiente cilíndrico. Por fim, o item e) é VERDADEIRO. Estes exemplos retratam bem vários

conceitos básicos referentes ao cilindro. Referências: L. R. Dante, Matemática volume único, Editora Ática, 2009. O. Dolce e J. N. Pompeo, Fundamentos de Matemática Elementar vol. 10 – Geometria Espacial, Editora Atual, 2011.

http://www.somatematica.com.br/ (Acessado em 19/06/2014)

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/(Acessado em 19/06/2014)

QUESTÃO Nº 34

No que se refere à organização curricular, avalie as asserções a seguir. Com relação à organização curricular na área de matemática, as ideias de linearidade e acumulação têm presenças marcantes em diversas produções didáticas da área, pois esse processo linear de trabalho pedagógico é fundamental para a apresentação da conexão e hierarquia das estruturas matemáticas.

PORQUE

Por meio da linearidade, os conteúdos matemáticos são dispostos dos mais simples para os mais complexos, obedecendo a uma estrutura lógica em que cada novo assunto pode ser assimilado pelo aluno, o que propicia o desenvolvimento pleno de sua autonomia acadêmica.

A respeito dessas asserções, assinale a resposta correta. A. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa

correta da primeira. B. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. C. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa. D. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira. E. Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Gabarito: E Tipo de questão: Asserção e Razão – Grau de dificuldade: médio

Conteúdo avaliado: Currículo e o ensino de matemática

Autor(a): Renato Barros de Almeida

Comentário: É uma questão que apresenta duas afirmativas ou asserções que sustentam proposições falsas a partir dos estudos e pesquisas ligadas às teorias curriculares e à educação matemática. Cabe ressaltar que, com base nas referências das teorias curriculares, a organização do Currículo não deve ser linear, hierarquizada, e ainda na perspectiva de acumulação em uma visão depositária de conteúdo. Desta forma, pode-se afirmar que ambas, asserção e razão, são proposições falsas, fato que confirma o gabarito na letra E.

Referências: LOPES, Alice Casimiro; MACEDO, Elizabeth. Teorias de currículo. São Paulo: Cortez, 2011. SACRISTÁN, José Gimeno. O currículo. Uma reflexão sobre a prática. Porto Alegre: ArtMed, 2000.

QUESTÃO Nº 35

Na perspectiva da matemática, de uma forma geral, o jogo é objeto de estudo no campo das probabilidades, enquanto, na perspectiva da pedagogia, é analisado como possibilidade de produção de aprendizagens. A Educação Matemática propõe análises que permeiam essas duas situações em conjunto, buscando uma interface voltada para a exploração de conceitos e procedimentos matemáticos, análise de dados e interpretação de soluções, por meio de atividades lúdicas em que o desenvolvimento da autonomia do aluno pode ser estimulado. A partir dessas observações, analise as asserções a seguir.

A interface mencionada no texto é possível, pois tanto a matemática quanto o jogo se realizam no campo da materialidade.

PORQUE

Sob a perspectiva de atividade matemática, o jogo se encontra no plano epistemológico da matemática que visa abstrair o real, proporcionando um espaço em que o aluno pode, de forma criativa, testar, validar e socializar seus esquemas de ação.

Acerca dessas asserções, assinale a resposta correta. A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. B) B As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa. D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira. E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Gabarito: D

Tipo de questão: média

Conteúdo avaliado: jogos na educação matemática.

Autor(a): Duelci Aparecido de Freitas Vaz

Comentário: a primeira afirmativa é falsa. A matemática não se realiza no campo da materialidade, ela é essencialmente abstrata com possibilidades de ser aplicadas em diversas ciências. No ensino, entretanto, é aconselhável considerar o suporte da materialidade em algumas situações. O jogo contém a possibilidade de ser útil na questão do ensino e aprendizagem da matemática e é parte integrante da Matemática. O professor de Matemática pode criar atividades pedagógicas que propiciem ao aluno situações de aprendizagem. Sob a perspectiva de atividade matemática, o jogo se encontra no plano epistemológico da matemática que visa abstrair o real, proporcionando um espaço em que o aluno pode, de forma criativa, testar, validar e socializar seus esquemas de ação.

Referências: FIORENTINI, Dário, MIORIM, Maria A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática. Boletim SBEM, São Paulo, v.4, n.7, 1996. GRANDO, R. C. O jogo na educação: aspectos didático-metodológicos do jogo na educação matemática. Unicamp, 2001. HUIZINGA, Johan. Homo Ludens – O jogo como elemento da cultura. São Paulo: Perspectiva, 1971. KAMII, Constance. Desvendando a Aritmética - Implicações da teoria de Piaget. Campinas, São Paulo: Papirus, 2001. KISHIMOTO, T. M. (org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. São Paulo: Cortez, 2001. LIBANÊO, José Carlos. Didática. São Paulo: Cortez, 1998. MACEDO, Lino de, PETTY, Ana Lúcia Sicoli, PASSOS, Norimar Christe.

Aprender com jogos e situações problema. Porto Alegre: Artmed, 2000.

QUESTÃO Nº 36 Seja A um conjunto e seja ~ uma relação entre pares de elementos de A. Diz-se que ~ é uma relação de equivalência entre pares de elementos de A, se as seguintes propriedades são verificadas, para quaisquer elementos a, a’ e a’’ de A: I. a ~ a; II. se a ~ a’, então a’ ~ a; III. se a ~ a’ e a’ ~ a’’, então a ~ a’’. Uma classe de equivalência do elemento a de A com respeito à relação ~ é o conjunto ̅

{

O conjunto quociente de A pela relação de equivalência ~ é o conjunto de todas as classes de equivalência relativamente à relação ~, definido e denotado como a seguir: {̅ A função

é chamada projeção canônica e é definida como

̅ Considerando as definições acima, analise as afirmações a seguir.

A relação de equivalência ~ no conjunto A particiona o conjunto A em subconjuntos disjuntos, as classes de equivalência.

II.

A união das classes de equivalência da relação de equivalência ~ no conjunto A resulta no conjunto das partes de A.

III.

Qualquer relação de equivalência no conjunto A é proveniente de sua projeção canônica.

IV.

As três relações seguintes: =, conjunto dos números inteiros .

É correto apenas o que se afirma em

A I. B II. C I e III. D II e IV. E III e IV.

, são relações de equivalência no

Gabarito: C

Tipo de questão: média

Conteúdo avaliado: Teoria dos conjuntos, Relação de equivalência.

Autor (a): JOELMIR DIVINO CARLOS FELICIANO

Comentário: Essa questão está relaciona com a disciplina TEORIA DOS CONJUNTOS vista por todos os alunos que fazem o curso de MATEMÁTICA Esse tema é encontrado em todos os livros de ÁLGEBRA OU ÁLGEBRA MODERNA e estudado com frequência pelos alunos. Vamos analisar por parte cada item. O item I. (VERDADEIRO). Para resolver a questão, é necessário o conhecimento do conceito de relação de equivalência descrito abaixo. Definição: (Relação de Equivalência). Uma relação recebe o nome de relação de equivalência sobre simetria e transitiva. Ou seja, i.

então

sobre um conjunto

se, e somente se,

é reflexiva,

deve cumprir as seguintes propriedades:

. REFLEXIVA, quando todo elemento de A se relaciona

consigo mesmo; ii.

então

. SIMÉTRICA, quando todo elemento de A pode

ser intercambiado entre si; iii.

com

, então

. TRANSITIVA, quanto x se

relaciona com y, e y se relaciona com z, então x se relaciona com z. Deﬁnição: Um sistema S de conjuntos não vazios é chamado de uma partição de A se: a) S e um sistema de conjuntos mutuamente disjuntos, i.e., se então C ∩ D = ∅, b) A união de S é o todo do conjunto A, i.e.,

DeďŹ niĂ§ĂŁo: Seja S uma partiĂ§ĂŁo de A. A relaĂ§ĂŁo {

existe C

S tal que a

Ceb

em A ĂŠ deďŹ nida por

C}, a e b sĂŁo relacionados por

se e

somente se eles pertencem ao mesmo conjunto da partiĂ§ĂŁo S. Teorema: Seja S uma partiĂ§ĂŁo de A, entĂŁo,

ĂŠ uma equivalĂŞncia sobre A.

Como o teorema e a definiĂ§ĂŁo satisfazem o item I, concluĂmos que ele ĂŠ verdadeiro. O item II. (FALSO). A uniĂŁo das classes de equivalĂŞncia da relaĂ§ĂŁo de equivalĂŞncia ~ no conjunto A resulta no conjunto A, ou seja â&#x2039;&#x192;

e nĂŁo como o diz o texto que diz

que resulta no conjunto das partes de A. O item III. (VERDADEIRO). Vem diretamente da teoria dos conjuntos, pois qualquer relaĂ§ĂŁo de equivalĂŞncia no conjunto A ĂŠ proveniente de sua projeĂ§ĂŁo canĂńica. DefiniĂ§ĂŁo: Dada uma relaĂ§ĂŁo de equivalĂŞncia ~ em A, o conjunto de todas as classes de equivalĂŞncia (mĂłdulo ~) ĂŠ chamado de conjunto quociente. A projeĂ§ĂŁo canĂńica leva um elemento a de A atĂŠ o elemento aâ&#x20AC;&#x2122; do conjunto quociente, uma relaĂ§ĂŁo de equivalĂŞncia ~ em A origina um Ăşnico conjunto quociente A/~, portanto a relaĂ§ĂŁo ĂŠ proveniente da projeĂ§ĂŁo canĂńica. O item IV. (FALSO). A igualdade (=) e o

satisfazem a definiĂ§ĂŁo de equivalĂŞncia, porĂŠm a

desigualdade ( ) nĂŁo satisfaz a definiĂ§ĂŁo por isso ĂŠ falsa, ou seja. A relaĂ§ĂŁo ( ) nĂŁo ĂŠ uma relaĂ§ĂŁo de equivalĂŞncia em đ?&#x201C;Ą, pois nĂŁo ĂŠ simĂŠtrica: mas 1 nĂŁo ĂŠ

ReferĂŞncias: 1.

GONĂ&#x2021;ALVES, A. IntroduĂ§ĂŁo Ă Ă lgebra. Projeto Euclides, IMPA. 1979.

HALMOS, P. R. Naive Set Theory. Princeton, NJ. Van Nostrand. 1960.

HEFEZ, A. Curso de Ă lgebra, Vol. I. ColeĂ§ĂŁo MatemĂĄtica UniversitĂĄria, IMPA. 1993.

LIMA, E. L. Curso de AnĂĄlise, Vol. I. Projeto Euclides, IMPA. 1976.

SIDKI, S. IntroduĂ§ĂŁo Ă Teoria dos NĂşmeros. 10Âş ColĂłquio Brasileiro de MatemĂĄtica, IMPA. 1975.

SIERPINSKI, W. 250 Problems in Elementary Number Theory. American Elsevier Publishing Company. 1970.

QUESTÃO Nº 37

Para resolver a equação

, utiliza-se a fórmula de Taylor da função

Considerando essa observação, analise as afirmações a seguir: I.

As raízes dessa equação, obtidas com uma aproximação de segunda ordem na fórmula de Taylor, são

II.

O erro de truncamento de uma aproximação de segunda ordem para limitado por

III.

√

Ao usar aproximações de quarta ordem em vez de aproximações de segunda ordem para

, os erros de truncamento são reduzidos em 25%.

É correto apenas o que se afirma em: A) I B) II C) III D) I e II E) II e III

Gabarito: D

Tipo de questão: médio.

Conteúdo avaliado: Polinômio de Taylor. Derivadas de funções de uma variável

Autor: Samuel Lima Picanço

Comentário: Esta questão envolve funções polinomiais e funções trigonométricas. Para resolvê-la, o estudante deverá reconhecer o gráfico de funções polinomiais e funções trigonométricas. Deverá ainda ter conhecimento de Cálculo Diferencial e Integral I, principalmente nos conceitos e definições referentes ao assunto Polinômio de Taylor. Vamos inicialmente analisar a primeira alternativa. Para tanto devemos escrever o polinômio de Taylor de segunda ordem que aproxima

Necessitamos das derivadas primeira e segunda da função e

Agora, quem será

. Este deve ser um número que torne mais conveniente a

solução de nossa equação. Para verificar isto, vamos representar no mesmo plano o gráfico de

Os valores de da interseção dos gráficos são as raízes procuradas.

Vemos que os valores procurados estão “próximos” do zero. O que nos leva a utilizar esse número como centro da aproximação do Polinômio de Taylor. Portanto, podemos escrever:

. Voltando na equação e substituindo

Cuja solução é

√

por sua aproximação, temos:

. Logo a primeira afirmação é verdadeira. Com base nisso, já

Como

é no máximo 1, o erro de truncamento será máximo quando isso

acontecer. Portanto, o erro de truncamento não será maior que

. Logo a afirmação

é verdadeira. Como as afirmações I e II são verdadeiras, a única alternativa possível é a D. Mesmo assim iremos mostrar a falsidade em III. O erro de truncamento para uma aproximação de ordem 4 é dada por: ̅

E para uma aproximação de segunda ordem é dada por: ̅

Calculando a razão entre

temos:

sendo

a razão entre os erros de ordem 4 e ordem 2. Efetuando-se as devidas

simplificações:

Esta razão não necessariamente é igual a 0,25. Portanto a afirmação está errada. Referências: 1) Fleming, Diva Marília e Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A – São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 2) Guidorizzi, Hamilton Luis. Um curso de cálulo Vol. I. Ed. L.T.C. 3) Stewart, James. Cálculo vol. I 5ª edição. Editora Pioneira.

QUESTÃO Nº 38 O conjunto

} com a operação usual de produto de

matrizes, forma um grupo, em que o elemento neutro é a matriz identidade um elemento , caso Considerando

, defini-se a ordem de

como sendo o menor inteiro positivo

exista. Se não existir, diz-se que |

|e,

|. Dado tal que

tem ordem infinita.

|avalie as asserções a seguir.

O elemento

tem ordem seis.

PORQUE tem ordem três e

tem ordem dois.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta. A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa. D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira. E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Gabarito: D

Tipo de questão: fácil

Conteúdo avaliado: Grupos, Multiplicação de Matrizes.

Autor(a): Henrique Carvalho Rodrigues

Comentário: Para resolver esta questão, são necessários os conhecimentos básicos de Grupos, Domingues (1982, p. 77) e multiplicação de matrizes, Domingues (1990, p. 20). Vamos verificar que é um grupo. De acordo com Domingues (1982, p. 77), sejam um conjunto não vazio e

uma lei de composição interna em . Dizemos que é

um grupo em relação a essa lei se, e somente se, a)

isto é, vale a propriedade associativa (a,b,c,d

números inteiros é associativo); b) existe

de maneira que

(matriz identidade);

ou seja, existe elemento neutro

c) todo elemento de

é simetrizável (toda matriz em G possui inversa, pois |ad-bc|=1) em |

relação à lei considerada: A questão trata das ordens dos elementos de um elemento do grupo

é um número

elemento , basta observar que , tem-se

. De acordo com o enunciado, a ordem tal que

. Para determinar a ordem do

, logo sua ordem é igual a 3. Já a ordem do elemento

, portanto sua ordem é igual a 2. |

A matriz |

| |

, e é importante observar que

, assim tem-se

. Podemos concluir com essas informações, que a alternativa correta

é a letra D, pois a primeira asserção é falsa, e a segunda asserção é verdadeira.

Referências: 1) Domingues, Hygino Hugueros e Iezzi, Gelson. Álgebra moderna. 2. ed. São Paulo: Atual, 1982. 2) Callioli, Carlos A., Domingues, Hygino Hugueros e Costa, Roberto C. F. Álgebra Linear e aplicações. 6. ed. rev. São Paulo: Atual, 1990.

QUESTÃO Nº 39

O gráfico abaixo representa o traço da curva parametrizada diferenciável plana ( ) para .

A respeito dessa curva, avalie as afirmações a seguir.

I. II. III. IV. V.

é injetiva no intervalo . tem curvatura constante. para todo . tem vetor tangente unitário em , com O traço de está contido em um círculo de raio É correto apenas o que se afirma em A. II B. I e II C. I e IV D. III e V E. III, IV e V

Gabarito: D

Tipo de questão: média

Conteúdo avaliado: Geometria Diferencial

Autor(a): Wérica Pricylla de Oliveira Valeriano

Comentário: Para resolver essa questão é necessário analisar cada uma das afirmações e verificar quais são verdadeiras e quais são falsas. I.

é injetiva no intervalo

Uma função é injetiva se Neste sentido vamos verificar se partimos do pressuposto que (

) No entanto, sabemos que

Logo, podemos concluir que se função não é injetiva.

II.

tem curvatura constante.

implica em

. implica em

(

. Assim,

)

teremos

. Logo a

A curvatura de uma curva em um dado ponto é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção no ponto. Podemos calcular a curvatura do seguinte modo: |

. Mas, neste caso, podemos analisar o gráfico da função para constatar que

sua curvatura não pode ser constante, pois é nítido que nos seus extremos a curvatura é mais acentuada do que em outros locais. III.

para todo

Sabemos que as funções

são periódicas, assim

Para todo . Daí, temos que (

( (

Ou seja,

IV.

))(

)

) . A afirmação é verdadeira.

tem vetor tangente unitário em

, com

〈 〉 Teorema: Se , onde 〈 〉 são diferenciáveis, então . O vetor ’ é chamado vetor tangente à curva definida por no ponto P. O vetor tangente unitário pode ser encontrado da seguinte maneira,

Assim, [(

)

]

[(

)

]

[(

)

]

[(

)

]

√(

√ Podemos concluir que o vetor tangente V.

O traço de

√

√ √ não é unitário. A afirmação é falsa.

está contido em um círculo de raio

Para verificarmos se o traço de vamos calcular o módulo de |

)

está contido em um círculo de raio

√ |

Assim, a afirmação é verdadeira.

Referências: STEWART, James. Cálculo. v.2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

QUESTÃO Nº 40 Considerando E um espaço métrico, A

E um conjunto aberto e (xn)

sequência convergente para p A, analise as afirmações abaixo. I. O complementar de A é fechado em E. II. Toda vizinhança aberta de p está contida em A. III. xn A, para todo n suficientemente grande. É correto apenas o que se afirma em (A) I. (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) I e III.

Gabarito: E

Tipo de questão: fácil

Conteúdo avaliado: Topologia

Autor(a): Daniel Antônio Mendonça da Silva.

E uma

Comentário: Para responder a questão 40 vamos definir o que é métrica, espaço métrico, limite de uma sequência, ponto interior, conjunto aberto e conjunto fechado. Definição 1: Uma métrica num conjunto E é uma função d: E x E → cada par ordenado de elementos x, y

, que associa a

E um número real d(x, y), chamado a

distância de x a y, de modo que sejam satisfeitas as quatros condições abaixo para quaisquer x, y, z

(1) d(x, x) = 0; (2) Se x ≠ y então d(x, y) > 0; (3) d(x, y) = d(y, x); (4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(x, y). Um espaço métrico é um par (E, d), onde E é um conjunto e d é uma métrica em E. Na maioria das vezes diremos simplesmente “o espaço métrico E.” Definição 2: Seja X um subconjunto de um espaço métrico E. Um ponto a

X diz-se

um ponto interior a X quando é centro de uma bola aberta contida em X, ou seja, quando existe r > 0 tal que d(x, a) < r

X. Chama-se o interior de X em E ao

conjunto int X formado pelos pontos interiores a X. Definição 3: Um subconjunto A de um espaço métrico E diz-se aberto em E quando todos os seus pontos são interiores, isto é, int(A) = A. Definição 4: Seja (xn) uma sequência num espaço métrico E. Diz-se que o ponto a E é limite da sequência (xn) quando, para todo número ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se obter n0 ℕ tal que n > n0

d(xn, a) < ε. E escreve-se então a = limxn.

Quando existe a = limxn E, diz-se que a sequência de pontos xn E é convergente em E, e converge para a. Definição 5: Diz-se que um conjunto F

E é fechado no espaço métrico E quando

seu complementar E-F é aberto em E. Definição 6: Seja G é um conjunto aberto contento um ponto p

E. G é chamado de

vizinhança aberta do ponto p. Proposição 7: Seja (xn) uma sequência no espaço métrico E. Dizer que limxn = a significa que, dada qualquer bola aberta B, de centro a, tem-se xn suficientemente grande. I.

O complementar de A é fechado em E.

Resposta:

B para todo n

Se A é um conjunto aberto em E, segue da definição 5 que o seu complementar é um conjunto fechado em E. Logo, está afirmação está correta.

II.

Toda vizinhança aberta de p está contida em A.

Resposta: Vamos mostrar que está afirmação está errada, para isso vamos dar um contraexemplo. Tomemos E = Seja B = {x

, p = (0, 0) e A = {x

; d(x, O) < 1}, onde O = (0, 0).

; d(x, O) < 2}. Temos que A é vizinhança aberta de p, B é

vizinhança aberta de p, porém B ⊄ A. III.

xn A, para todo n suficientemente grande.

Resposta: De limxn = p e da proposição 8 temos que existe uma bola B

A tal que xn B,

para todo n suficientemente grande. Logo, xn A, para todo n suficientemente grande. E a afirmação está demonstrada. Com isso a resposta certa para a questão 40 é a letra “E”.

Referências: [1] LIMA, Elon Lages. Espaços Métricos. 4.ed. Rio de Janeiro: Projeto Euclides, IMPA, 2009. [2]LIPSCHUTZ, Seymour.Theory and Problems of General Topology.New York:Schaum’s Outline, 1965.

QUESTÃO Nº 41

Um peso atado a uma mola move-se verticalmente para cima e para baixo de tal modo que a equação do movimento é dada por

em que para igual a

é a deformação da mola no tempo . Sabe-se que .

Para a função deformação

tem-se que

, quando é

Gabarito: E

Tipo de questão: Média

Conteúdo avaliado: Equações Diferenciais

Autor(a): Danillo Flugge de Souza

Comentário:

A equação

é uma equação diferencial ordinária homogênea de ordem 2, com coeficientes constantes. Ela tem a forma geral dada por

onde

são números reais fixados. Que possui solução dada por

onde satisfaz a equação característica

. Portanto, pelo Principio

da Superposição, a solução geral da equação (2) é dada por

onde

. Cada solução

é chamada de solução fundamental. Ou seja, o

determinante Wronskiano [

]

Com base nisto, temos que para a equação (1), característica é

logo

. Daí a equação que resulta em

. Agora, verificando se

. Pela equação (4), temos:

[ Ou seja,

]

são soluções fundamentais de (1). Portanto a solução geral de (1) é

dada por

Mas pela Fórmula de Euler,

reescrevemos

, que

substituindo em (5), resulta em =( Note que

)

são soluções para equação (1) e

. E

são constantes, portanto a solução geral pode ser escrita como = com

são constantes reais.

Uma vez que temos a solução geral da equação (1), iremos atacar o problema de fato. Como

, para

, temos

{ Daí

e =

. Portanto substituindo estes valores da equação (7) obtemos . Para

, temos

Gabarito: E Referências: ZILL,Dennis G. Equações Diferenciais, volume 1/ Dennis G. Zill, Michael R. Cullen.São Paulo: Pearson Makron Books,2001.

QUESTÃO Nº 42. Considere a transformação linear definida por T: R2 →R2, definida por T(x,y) =

. Com relação a esse operador, analise as asserções a

seguir. O núcleo de T é um subespaço vetorial de R 2 de dimensão 1.

PORQUE

T é um operador normal.

A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

A) As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira. B) As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira. C) A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa. D) A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira. E) Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Gabarito: D

Tipo de questão: Média

Conteúdo avaliado: operador linear, núcleo de uma transformação linear, operador normal.

Autor(a): Maria José Pereira Dantas

Comentário: Para resolver a questão, é necessário o conhecimento dos conceitos de operador linear, núcleo de uma transformação linear e operador linear.

Para avaliação da primeira asserção (O núcleo de

é um subespaço vetorial de

R 2 de dimensão 1). 1. O núcleo ou Kernel de uma transformação linear : R2 →R2 é definido por ker( )={( , );

( , )=(0,0)}.

2. O núcleo ou kernel de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio. A demonstração é simples: 

Ker( ) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker( ), já que



 Ker( ) então ( ) = ( (



Se seja,

e Ker(  Ker(

= 0, logo, pela linearidade de ,

 Ker( )

)=0 e



(0V) = 0V

temos

( ) = 0, logo

(

( ) = 0 =0, ou

O núcleo de T é um subespaço vetorial de R 2 de dimensão 1 (FALSA).

Deve-se avaliar, então, o núcleo da transformação linear dada. ( , )=

. Ou seja,

Igualando-se as coordenadas, tem-se o sistema dado por: { Cuja solução é

=0e

= 0.

A primeira asserção é falsa, pois o núcleo

encontrado é um subespaço vetorial

com dimensão zero, pois apenas o vetor nulo faz parte dele.

Para avaliação da segunda asserção: T é um operador normal (VERDADEIRA) : R2 →R2 é um caso particular importante de espaços vetoriais - é o espaço

das transformações lineares de um espaço vetorial nele mesmo (operadores lineares). 2. Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra, em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

é um operador normal se

o , em que

é o operador adjunto

de .

4. Operador adjunto: Seja V um espaço vetorial. O operador adjunto, de um determinado operador linear : R2 →R2 é definido pela igualdade: u, v>=<u, *v>, V= W = R2,  u,v  R2. Vale, também, que

< <u,

Sejam

v>= <

= (a,b) e

*u,v>

= (c,d) R2.

Obtendo o operador adjunto *:

)>=< (a,b), (c,d)> = (a,b). (2c+6d, 6c+2d) = 2ac+6ad + 6bc+2bd =

=(2a+6b).c + (6a+2b).d= <(2a+6b,6a+2b),(c,d)>=< * , > Logo, T*u = T*(a,b) = (2a+6b,6a+2b) Mostrando a comutatividade dos operadores: o *= ( *u)) = T(2a+6b,6a+2b) = = (2(2a+6b)+6(6a+2b), 6(2a+6b)+2(6a+2b)) = = <(4a+12b+36a+12b),(12a+36b+12a+4b)>=(40a+24b,24a+40b) o *=(40a+24b,24a+40b) *

o = *( u))=

(2a+6b,6a+2b)=

= (2(2a+6b)+6(6a+2b), 6(2a+6b)+2(6a+2b))= = (4a+12b+36a+12b,12a+36b+12a+4b)=(40a+24b, 24a+40b) T*oT = (40a+24b, 24a+40b) Assim, T*oT=ToT*. Isto mostra que T é um operador normal. A segunda asserção é verdadeira. Segue-se que a alternativa D é a correta, pois a primeira asserção é falsa e a segunda é verdadeira.

Referências: STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. Álgebra Linear. Editora Makron Books. 1987. ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra linear com aplicações. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear. Harbra. 1984.

QUESTÃO Nº 43

Considerando ⃗⃗

√

o campo elétrico criado por uma carga q

localizada na origem, analise as afirmações abaixo. I. II.

O campo elétrico ⃗⃗ criado pela carga q é de classe

Independe do raio da superfície esférica o fluxo do campo ⃗⃗ através de uma superfície esférica de raio r, centrada na origem, cuja normal ⃗⃗ aponta para fora da esfera.

III.

É sempre um número maior que 4 o fluxo do campo ⃗⃗ através de uma superfície esférica de raio r, centrada na origem, cuja normal ⃗⃗ aponta para fora da esfera.

É correto o que se afirma em A) II, apenas. B) III, apenas. C) I e II, apenas. D) I e III, apenas. E) I, II e III.

Gabarito: A

Tipo de questão: média

Conteúdo avaliado: Funções de várias variáveis, cálculo de áreas, volume e outros.

Autor (a): JOELMIR DIVINO CARLOS FELICIANO

Comentário: Essa questão está relacionada com a disciplina CÁLCULO DE VÁRIAS VARIÁVEIS OU CÁLCULO III, dependendo do nome que se coloca nas disciplinas vista por todos os alunos que fazem o curso de MATEMÁTICA. Apesar de ser uma aplicação á FÍSICA, este assunto é comum e fácil de ser encontrado nos livros de cálculo de várias variáveis.

É uma questão com grau de dificuldade de FÁCIL/MÉDIO, pois o aluno precisa estar bem preparado quanto à teoria (FLUXO DE UM CAMPO VETORIAL) para respondê-la, ou seja, ter um razoável conhecimento sobre a LEI DE GAUSS. A resposta correta é a letra A que contém o item II como verdadeiro. Vamos analisar a questão por partes. O item I. (FALSO). Não existem classes para campo elétrico ⃗⃗ criado pela carga q. O item II. (VERDADEIRO). Para resolver a questão é necessário o conhecimento de fluxo de campo vetorial e lei de Gauss apresentados como segue. Definição: Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície - resultado da integral (soma), em toda a superfície, do produto escalar entre o campo vetorial e o vetor normal (perpendicular) a cada elemento infinitesimal dessa superfície. Esta definição nos diz que o fluxo

de um campo vetorial qualquer ⃗⃗ (função da

posição), através de uma superfície S, é dado pela seguinte expressão: ∬

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , (I), em que; ⃗⃗⃗⃗⃗ é o chamado elemento infinitesimal da área

orientada. É uma “área vetorial”, isto é, tem uma área ⃗⃗⃗⃗⃗ (módulo), mas essa área existe e está orientada no espaço – perpendicularmente ao seu versor (vetor unitário) normal ⃗⃗ (figura 1). ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

(II).

Pela definição e pela expressão I, verificamos ser esta noção de fluxo, uma grandeza escalar, um número, portanto. No nosso caso, o que significará esse número? Qual a sua grandeza física (e consequente unidade física), quando o campo vetorial não for um campo qualquer, mas for mesmo o campo elétrico ⃗⃗ ? Estaremos então a quantificar o valor do fluxo do campo elétrico ⃗⃗ através de uma dada superfície (e que superfície?). Lei de Gauss A lei de Gauss (ou lei do fluxo do campo elétrico) é a aplicação da expressão do fluxo (I), para o campo elétrico ⃗⃗ , quando a superfície considerada é fechada e encerra as cargas elétricas no seu interior. Relaciona o fluxo (quantidade de linhas do campo elétrico) que atravessam a superfície e a quantidade de carga elétrica que origina esse mesmo fluxo. A relação entre o fluxo e a superfície nos dá também a noção de densidade de fluxo elétrico (quão próximas estão as linhas do campo

elétrico, entre si). ∬ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗, (II). À superfície fechada por onde vamos calcular o fluxo – chamamos apropriadamente – superfície gaussiana (SG na expressão II). É uma superfície imaginária (matemática) que concebemos em torno das cargas elétricas. Na prática equivalerá a um sensor que existe totalmente em torno dos fenômenos que queiramos estudar. Mas como resolvemos o problema de saber qual a orientação do versor normal à superfície infinitesimal? A direção normal à superfície tem sempre dois sentidos. Qual devemos escolher? No nosso caso particular da aplicação da lei de Gauss isso é fácil de definir. Como usamos superfícies gaussianas fechadas, consideramos sempre a normal que aponta de dentro para fora da superfície, portanto o nosso versor é positivo nessa condição. A lei de Gauss se refere a qualquer superfície fechada, logo se aplica também a uma superfície esférica na qual o nosso problema está relacionado e aponta a alternativa A como verdadeira. O item III. (FALSO). É falso pelo simples fato de dizer que é sempre um número maior que 4. Como vimos na teoria acima em momento nenhum se afirma isso, pois a teoria não define nenhum valor, logo isso vale para qualquer valor e não para um número maior que 4.

Referências:

1. Marsden, Jerrold e Tromba, Anthony: Vector Calculus, 2nd Edition, W.H. Freeman & Company, San Francisco, 1981. 2. Pinto, Diomara e Morgado, Maria Cândido Ferreira: Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1997. 3. Stewart, James: Cálculo, Volume 2, 6a edição norte-americana, Editora Cengage Learning, SP, 2010. 4. Fusaro Pinto, Márcia Maria, Introdução ao Cálculo Integral, Editora UFMG, Belo Horizonte, 2010. 5. Avritzer, Dan, Geometria Analítica e Álgebra Linear: uma visão geométrica, Tomo I, Editora UFMG, Belo Horizonte, 2009. 6. Avritzer, Dan, Geometria Analítica e Álgebra Linear: uma visão geométrica,

Tomo II, Editora UFMG, Belo Horizonte, 2009. 7. STEWART, James. Cálculo. v.2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

QUESTÃO Nº 44 Um dos problemas mais antigos da Matemática é encontrar raízes de equações polinomiais. Quando se fala de variáveis complexas, sabe-se que toda equação polinomial de grau n possui exatamente n zeros. No entanto, um problema que surge nesse ponto é que nem sempre conseguimos dizer quem são essas n raízes. Como Corolário do Princípio do Argumento, um dos principais resultados da Análise Complexa e particularmente da Teoria dos Resíduos, tem-se o Teorema de Rouché, que possibilita, em algumas situações, localizar os zeros de equações polinomiais. Segue abaixo o enunciado desse teorema. Considere f e gfunções que são meromorfas (holomorfas a menos de um conjunto discreto de polos) em um subconjunto não vazio, aberto e conexo U dos

números

complexos

uma

curva

autointerseções), cujo interior Resteja contido em U. Se nem zeros de g e |f(z)| > |g(z)|, para todo z

fechada

do conjunto simples

(sem

não contém polos de f e

, então

Z(f + g, R) – P(f + g, R) = Z(f, R) – P(f,R) Em que Z(h, A) e P(h, A) denotam, respectivamente, o número de zeros e o número de polos de uma função h em A. Considerando o teorema acima e a equação z5 -2z3 + 5 = 0, conclui-se que existem

raízes dessa equação que satisfazem à condição. A)0

|z|

B)1

|z|

C)2

|z|

D)3

|z|

E) |z|

Gabarito: B

Tipo de questão: Média.

Conteúdo avaliado:Funções de uma Variável Complexa: Funções Holomorfas, Funções Meromorfas, Singularidades e Teoria de Resíduos.

Autor:Rayner Ferreira Barbosa da Costa

Comentário: Para solucionar tal questão precisamos de alguns conceitos de Análise Complexa, tais conceitos estão a seguir. Definição 1- Uma função f:U

é analítica ou holomorfa no ponto z0 se ela é

diferenciável numa vizinhança de z0. Uma função f:U

é analítica ou holomorfa

em U, quando ela é holomorfa em todos os pontos de U. Definição 2 – Singularidade de uma função complexa é um ponto do domínio onde a função não é analítica. De forma mais precisa, tem-se que z0

e f uma função

complexa, dizemos que ftem uma singularidade isolada em z0, se existe r > 0 tal que f é analítica no conjunto (z0,r) = {z

; 0 < |z - z0|< r} mas não é analítica em z0.

Caso f tenha uma singularidade isolada em z0, f pode ser representada em (z0,r) por uma série de Laurent centrada em z0. Dizemos que z0 é uma polo de f se an 0 para apenas um número finito não nulo de índices n negativos nesta série de Laurent. A partir deste momento começaremos a resolver nossa questão. Em primeiro lugar provaremos que as raízes da equação z5 -2z3 + 5 = 0 não se encontram na bola aberta centrada na origem e raio um, denotada por B(0,1) = {z

; |z| < 1}. Com efeito, usando o Teorema de Rouché, tome as seguintes funçõesf(z)= 5 e g(z)= z5– 2z3, a curva

= C(0,1) = {z

; |z|=1}. Logo a região interior a

é a B(0,1). Evidentemente temos que as funções f e g são meromorfas, uma curva fechada simples,

não contém polos de f e nem zeros de g.Temos De fato, |f(z)| = |5| = 5 e |g(z)| = |z5-

também que |f(z)| > |g(z)|, para todo z 2z3| = |z3(z2 - 2)| = |z|3|z2 - 2| para todo z

|z|3(|z|2 + 2) = 3, pois |z|= 1. De onde |f(z)| > |g(z)|,

Portanto estamos nas condições impostas pelo Teorema de

Rouché. Logo podemos concluir que Z(f + g, R) – P(f + g, R) = Z(f, R) – P(f,R), ou equivalentemente tem-se que Z(z5 - 2z3 + 5, B(0,1)) – P(z5 - 2z3 + 5, B(0,1)) = Z(5, B(0,1)) – P(5,B(0,1)), como P(z5 - 2z3 + 5, B(0,1)) = P(5,B(0,1)) = 0, pois tais funções não possuem polos. Segue-se então que Z(z5 - 2z3 + 5, B(0,1)) = Z(5, B(0,1)). Como f(z)= 5 não possui zeros na B(0,1) segue-se que a equação z5 - 2z3 + 5 = 0 não possui raízes na B(0,1). Agora resta mostrar que as raízes pertencem a B(0,2). O processo é bem semelhante ao caso anterior. Com efeito, usando o Teorema de Rouché, tome as seguintes funções f(z) = z5 e g(z) = – 2z3 + 5, a curva região interior a meromorfas,

= C(0,2) = {z

; |z|=2}. Logo a

é a B(0,2). Evidentemente temos que as funções f e g são é uma curva fechada simples,

não contém polos de f e nem

zeros de g. Temos também que |f(z)| > |g(z)|, para todo z

De fato,

|f(z)| = | z5| = |z|5= 25 = 32, pois |z| = 2 e |g(z)| = |– 2z3 + 5|

|2z3| + 5 = 2|z|3 + 5 =

2.23 + 5 = 21, pois |z| = 2. De onde |f(z)| > |g(z)|, para todo z

Portanto estamos

nas condições impostas pelo Teorema de Rouché. Logo podemos concluir que Z(f + g, R) – P(f + g, R) = Z(f, R) – P(f,R), ou equivalentemente tem-se que + 5, B(0,2)) – P(z5 - 2z3 + 5, B(0,2)) = Z(z5, B(0,2)) – P(z5,B(0,2)), como

Z(z5 - 2z3 P(z5 -

2z3 + 5, B(0,2)) = P(z5,B(0,2)) = 0, pois tais funções não possuem polos. Segue-se então que Z(z5 - 2z3 + 5, B(0,2)) = Z(z5,B(0,2)). Observe que a função f(z) = z5 tem um zero em B(0,2) que é o número 0 de multiplicidade 5. Portanto, z5 - 2z3 + 5 = 0 tem 5 raízes na B(0,2). O resultado liquido dos dois casos acima diz que a equação z5 - 2z3 + 5 = 0 possui suas 5 raízes satisfazendo a condição 1

|z|

Referências: 1) SOUZA, C.F.;

COSTA, N.B.J. Introdução às funções de uma variável

complexa. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2006. 2) ÁVILA, G. S de S. Variáveis complexas e aplicações. 3. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 3)SHOKRANIAN, S.Variável complexa 1. Brasília: Editora UnB, 2002.

QUESTÃO Nº 45

A aplicação

ilustrada na figura abaixo é uma isometria entre a faixa plana

e o cilindro circular reto

circunferência em

. A isometria leva o segmento de reta

e o segmento de reta

em um segmento de reta de

Nessa situação, a imagem do segmento de reta A. Espiral da superfície

B. Curva plana contida em C. Geodésica da superfície D. Linha assintótica da superfície E. Linha de curvatura da superfície

Gabarito: C

Tipo de questão: Difícil

Conteúdo avaliado: Geometria diferencial

em um arco de

pela isometria

é uma

Autor(a): Brunna Brito Passarinho

Comentário:

Esta é uma questão que diz respeito à Geometria Diferencial, com foco no assunto de superfícies isométricas, geodésicas e curvaturas normal e principal.

Para conseguir responder a questão o aluno deve saber o que significa duas superfícies serem isométricas e as consequências deste fato, quando uma curva no espaço é considerada plana, quais são as geodésicas do plano e do cilindro, assim como o que são linhas de curvatura e assintóticas de uma superfície.

A seguir faremos um breve resumo sobre os tópicos mencionados acima com o intuito de justificar a validade de cada uma das alternativas propostas no enunciado da questão.

Durante o texto utilizaremos

para denotar duas superfícies regulares, não

necessariamente a faixa do plano e o cilindro citados no enunciado da questão, quando for necessário explicitaremos que estamos utilizando as superfícies citadas no enunciado.

Def.1: Uma aplicação todo 〈

é uma isometria se

e todos os pares 〉

〈

Diz-se então que as superfícies

é um difeomorfismo e para

, temos 〉

. e

são isométricas.

Como consequência desta definição temos que a isometria

entre superfícies

preserva a primeira forma fundamental de tais superfícies.

No caso da faixa do plano

e do cilindro

podemos considerar a seguinte

expressão para a isometria , e

Assim,

leva as retas horizontais ,com

, as verticais

e as diagonais

,do plano em paralelos (arcos de circunferências),

meridianos (retas) e hélices passando por

do cilindro.

Recorde que uma hélice é uma curva diferenciável parametrizada a qual os vetores tangentes em diferentes pontos formam um ângulo constante com uma direção fixa. Por exemplo, a curva

tem por traço uma hélice

(veja figura abaixo) contida num cilindro. Quando a hélice não completa o arco de cilindro, isto é,

, dizemos que o traço é um arco de hélice. Enquanto que para

os casos onde o arco de cilindro é coberto,

, caracterizamos o traço como

hélice mesmo ou, em algumas literaturas, este traço é denominado como uma espiral do cilindro.

Passemos agora à definição de geodésica de uma superfície.

Def.2: Uma curva parametrizada, não constante, chamada geodésica em tangentes

se o seu campo de vetores

é paralelo ao longo de , isto é, se

Assim

é dita geodésica parametrizada se é geodésica para

todo

Na definição acima a condição

se refere à derivada covariante de um

campo de vetores ao longo de uma dada direção do plano tangente de uma superfície, e geometricamente trata da projeção da derivada

sobre o plano tangente à

superfície num determinado ponto. A derivada covariante é um objeto que depende apenas da primeira forma fundamental da superfície, isto pode ser visto expressandoa numa parametrização da superfície. Assim esta é preservada por isometrias, consequentemente as geodésicas também serão preservadas por isometrias, ou seja, a imagem de uma geodésica de

pela isometria

será uma geodésica de

Geometricamente, uma curva regular de uma superfície é uma geodésica se e só se sua normal principal em cada ponto da curva é paralela à normal da superfície neste

ponto. Lembre-se que: a normal principal de uma curva é a reta que passa por um ponto desta curva na direção do vetor normal à curva neste ponto e que a normal da superfície num dado ponto desta é a reta que passa por este ponto e tem a direção do vetor normal à superfície neste ponto.

Com esta noção geométrica iremos caracterizar as geodésicas do plano e do cilindro. Considerando então o plano teremos que as geodésicas serão as retas. Pois ao considerarmos qualquer reta num plano o vetor normal a esta reta será paralelo ao

vetor normal ao plano por este ponto (figura).

No caso do cilindro faremos a caracterização das geodésicas através da isometria entre a faixa do plano e o cilindro, visto que isometrias preservam geodésicas. Como mencionado anteriormente as retas horizontais, verticais e diagonais do plano são levadas em circunferências, segmentos de reta e hélices no cilindro. Assim podemos afirmar que estas curvas do cilindro são as geodésicas desta superfície. Estas serão únicas pois as retas são as únicas geodésicas do plano.

Passaremos agora para os conceitos de linhas de curvatura e assintótica. Antes faz-se necessário recordar mais algumas definições.

Def.3: Seja de

uma curva regular em 〈

em , e

〉, onde

em . O número

é o vetor normal a

a curvatura

em .

, a curva resultante da interseção de

é chamada a seção normal de

curva tem vetor normal igual a

é o vetor normal a

é chamado a curvatura normal de

Def.4: Dado um vetor unitário plano contendo

passando por um ponto

com o

segundo , e esta

ou zero.

Fazendo a junção destas duas definições conseguimos uma maneira de obter a

curvatura normal de uma curva, esta será igual em valor absoluto à curvatura da seção normal de

em , segundo

Desta maneira como num plano as seções normais serão retas cuja curvatura é nula, conclui-se que todas as curvaturas normais no plano serão nulas. Já no cilindro as seções normais vão variar de retas, passando por elipses até chegar em círculos (figura), desta maneira temos que a curvatura normal varia de zero (curvatura de retas) até

(curvatura dos círculos), sendo

o raio do cilindro.

Ao ver o exemplo acima, do valor das curvaturas normais no cilindro, surge uma terminologia para o valores máximo e mínimo da curvatura normal conforme definição a seguir:

Def.5: O máximo da curvatura normal

e o mínimo da curvatura normal

, são

chamados curvaturas principais em ; as direções correspondentes a tais valores são ditas direções principais em , estas direções correspondem aos vetores que foram utilizados para a construção da seção normal que resultou no valor das curvaturas normais em questão.

Desta maneira podemos afirmar que no plano todas as direções são principais, visto que a curvatura normal é sempre constante igual a zero. Enquanto que no cilindro as direções principais serão os vetores paralelos ao plano coordenado ortogonal ao eixo do cilindro e também os vetores paralelos ao eixo do cilindro, pois correspondem aos vetores tangentes às seções normais dadas por retas (mínimo da curvatura normal) e círculos (máximo da curvatura normal) no cilindro.

Def.6: Se uma curva tangente a curvatura de

na superfície

é tal que para todo ponto

é uma direção principal em , então dizemos que .

a reta

é uma linha de

Def.7: Seja

um ponto em

. Uma direção assintótica de

é uma direção de

para a qual a curvatura normal é nula. Assim, uma curva assintótica de

uma curva conexa e regular da superfície tal que para todo ponto desta curva a reta tangente à curva neste ponto é uma direção assintótica, isto é, para todo vetor tangente à curva a seção normal neste ponto terá curvatura nula.

Análise das alternativas A. Espiral da superfície

. (ERRADA)

Como o cilindro obtido pela imagem da meridiano, temos que a imagem

é incompleto, isto é, está faltando um não completará um arco de cilindro,

constituindo apenas um arco de hélice, assim como ocorreu com a reta horizontal cuja imagem é um arco de circunferência. Logo, esta imagem não pode ser denominada uma espiral do cilindro.

B. Curva plana contida em

(ERRADA)

Por definição uma curva é dita plana quando seu traço (imagem) está contido num plano. E, por hipótese, a imagem plano. Logo

está contida num cilindro, que não é um

não é uma curva plana em

C. Geodésica da superfície

(CORRETA)

Na breve revisão teórica feita anteriormente vimos que as geodésicas do cilindro são as retas, círculos ou hélices. Enquanto que as geodésicas do plano são as retas. Por hipótese

é um isometria, e como vimos, preserva geodésicas. Assim, como

uma reta de

segue que esta é uma geodésica de

será uma geodésica de

então concluímos que

D. Linha assintótica da superfície

(ERRADA)

Conforme argumento presente no item A. temos que a imagem de hélice, e ao considerarmos a seção normal de

por qualquer ponto de

é um arco de teremos

elipses, cuja curvatura é não nula. Assim, com base na definição de linhas

assintóticas, concluímos que

não é uma linha assintótica da superfície

E. Linha de curvatura da superfície Novamente, recorde que a imagem de

. é um arco de hélice, e pelo que vimos na

resenha acima as linhas de curvatura do cilindro são as retas e as circunferências, pois os vetores tangentes a qualquer uma destas curvas por qualquer ponto serão direções principais do cilindro. Logo

não é uma linha de curvatura da superfície

Referências: 1) Carmo, Manfredo Perdigão do. Geometria diferencial de curvas e superfícies – 4. Ed. – Rio de Janeiro: SBM, 2010. 2) Tenenblat, Keti. Introdução à geometria diferencial – 1ª reimpressão – Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1990.