Vectores

CLASE 01 - VECTORES MAGNITUDES ESCALARES Es aquella magnitud que nos entrega un valor numérico y su unidad respectiva, como por ejemplo: la altura de un edificio, la edad, la cantidad de sillas en una sala, etc.

MAGNITUDES VECTORIALES Es aquella magnitud que aparte de conocer su valor numérico y su unidad respectiva, es necesario conocer también la dirección y sentido para que así dicha magnitud logre estar perfectamente determinada.

Si una persona desea disparar una flecha al blanco, ella debe conocer la fuerza (módulo) mínima que debe aplicar a la flecha para que ésta se incruste en el tablero; pero supongamos que a dicha persona después de conocer la distancia de ella al blanco, le tapan los ojos. ¿Sabrá a donde apuntar?, la respuesta es no, pues conocerá cuanto debe tirar de la cuerda pero no sabrá hacia donde. ¿Qué falta? le falta la ubicación del blanco (dirección y sentido). Queda demostrado entonces que la fuerza es una magnitud vectorial, pues aparte del valor y unidad respectiva, se necesita la dirección y sentido.

El tiempo, es considerado como magnitud escalar, pues sólo necesitamos el valor y la unidad respectiva para tener la información completa.

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VECTOR Es un segmento de línea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes vectoriales.

Ā → Se lee vector A A = |A|→ Se lee módulo del vector A ELEMENTOS DE UN VECTOR 1. Punto de aplicación: Está dado por el origen del vector.

2. Intensidad, módulo o magnitud: Es su longitud y representa el valor de la magnitud vectorial, generalmente, está dado en escala.

3. Sentido: Es la orientación del vector (punta de la flecha) 4. Dirección: Está dada por el ángulo que forma con el eje x+ ALGUNOS TIPOS DE VECTORES - Vectores colineales Son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción.

El desplazamiento es un vector Si el objetivo fuese darle a la bola amarilla con la roja, esta última tendría que recorrer la distancia d; sin embargo podría elegirse también otros caminos convenientes en cuyos casos los vectores formados serían componentes del vector d (d1 y d2 son componentes del vector d).

- Vectores concurrentes Son aquellos vectores cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto.

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- Vectores coplanares Son aquellos vectores que contenidos en un mismo plano.

están

- Vectores iguales Son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido.

- Vector opuesto (−A) Se llama vector opuesto (−A) de un vector A cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario

Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes) Los puntos cartesiano se designan (x,y) y se utiliza para describir un punto en el plano

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COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Son aquellos vectores componentes de un vector que forman entre sí un ángulo de 90°.

Ejemplo: Si el módulo del vector es 3 unidades y su dirección 30° con respecto de x+, luego sus componentes Ax y Ay valen: Ax = 3 cos 30° = 2,6 unidades Ay = 3 sen 30° = 1,5 unidades

Funciones Trigonométricas

VECTOR UNITARIO Es un vector cuyo módulo es la unidad y tiene por misión indicar la dirección y sentido de un determinado vector. A dicho vector se le llama también versor.

VERSORES ORTOGONALES O RECTANGULARES Son aquellos vectores unitarios que se encuentran en los ejes coordenados rectangulares.

Definiendo tres versores ortogonales (î, ĵ, k) en los sentidos positivos de los ejes (x; y; z) respectivamente

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Multiplicando las coordenadas del vector por sus correspondientes versores, obtenemos las componentes del vector en las direcciones de los ejes del sistema referencial como representamos.

Por lo antes dicho se cumple que: Ā = Ax î + Ay ĵ+ Az k Ejemplo: Un vector A tiene 3 unidades en el eje x+, 5 unidades en y- y 7 unidades en z-, entonces se expresa de la siguiente manera: Ā = 3î - 5ĵ - 7k El mismo vector se puede expresar a través de sus componentes cartesianas: Ā (3,-5,-7) MAGNITUD DE UN VECTOR |A| = A = Tomando el ejemplo anterior tenemos:

La fuerza es un vector La fuerza es una magnitud vectorial, por tanto se representa mediante un vector.

Ahora; sumar dos o más vectores no implica necesariamente sumar sus módulos, ello dependerá de la posición en que se encuentren.

En el presente caso, los vectores fuerzas son colineales por tal razón habrá que aplicar el método de vectores colineales para la determinación del vector resultante.

A= A = 9,11 unidades DIRECCIÓN DE UN VECTOR La dirección de un vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

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La lectura del ángulo se realiza en sentido antihorario, teniendo signo positivo, también se puede leer en sentido horario pero debemos cambiar el signo a negativo.

Se mide desde x+ con esta fórmula

tan-1 = atan = arcotangente xf La función tan-1 cuando se utiliza en la calculadora entrega el valor más cercano a cero por lo que debemos fijarnos muy bien en que cuadrante se encuentra nuestro vector y sumar los grados correspondientes como lo indica la siguiente figura.

Ejemplo: Dado el vector M(-3,8) su dirección es: pero como el vector se encuentra en el II cuadrante debo sumarle 180° por lo que θ = 110,56°

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NOTACIÓN POLAR El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. Ā (|A|; tan-1( ))

En la figura el vector P en coordenada polares P(2,65; 155°)

COSENOS DIRECTORES Cosenos de los ángulos que el vector forma con el eje x, y, z

La velocidad es un vector Para que el avión pueda desplazarse desde el punto A hasta el B, el piloto deberá conocer las coordenadas de dichos puntos ya sea vía radio o vía satélite, lo cierto es que la obtención de dichos datos no es problema.

Conocidas las coordenadas de A y B, es fácil determinar el vector desplazamiento por donde deberá recorrer el avión (d).

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SUMA DE VECTORES Sumar dos o más vectores, es representarlos por uno sólo llamado resultante. Este vector resultante simbolizado por una R, produce los mismos efectos que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la suma aritmética

SUMA DE VECTORES COLINEALES En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos.

Ejemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores:

Sabiendo que: |A| = 4; |B| = 3; |C| = 3; |D| = 1 Todos estos vectores son colineales es decir, están en la misma línea de acción Luego: R=A+B+C+D Teniendo en cuenta la regla de signo: R=4–3–3+1 R = -1 El signo negativo indica que el vector está dirigido hacia la izquierda UNIVERSIDAD SANTO TOMAS – SEDE TEMUCO – ING. PAOLA VILLAGRÁN – BIOFISICA KINÉSICA

MÉTODO DE COMPONENTES RECTANGULARES Para hallar la resultante por este método, se sigue los siguientes pasos: 1° Se descomponen los vectores en sus componentes rectangulares.

2° Se halla la resultante en el eje x e y (Rx , Ry ), por el método de vectores colineales.

3° El módulo del vector resultante se halla aplicando el Teorema de Pitágoras.

Ejemplo: En el sistema de vectores mostrado en la figura. Hallar el vector resultante y su módulo.

La diferencia o resta de vectores opera de la misma forma que la suma, el vector sustraendo sólo cambia de sentido Dado 2 vectores AyB A B

A+B A

Luego: A = 30 cos 127° i + 30 sen 127° j = -18,05 i + 23,96 j B = 15 cos 37° i + 15 sen 37° j = 11,98 i + 9,03 j C = -10 j R = -6,07 i + 22,99 j |R| = |R|= 23,78

R

B

A-B R A -B

Fíjense que la componente “x” es negativa y la componente “y” positiva por lo que el vector resultante se encuentra en el segundo cuadrante. Entonces la dirección del vector resultante debe ser mayor de 90° y menor de 180°, veamos:

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MÉTODO DEL PARALELÓGRAMO Este método es válido sólo para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la resultante se une a los vectores por el origen (deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrará en una de las diagonales, y su punto de aplicación coincidirá con el origen común de los dos vectores.

El módulo del vector resultante se halla con la ley del coseno, de la siguiente manera:

Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»

La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos:

Ejemplo: Determinar el módulo del vector resultante de vectores de módulos 5 y 8 que forman 120° entre sí.

los

Luego: |A| = 5; |B| = 8; θ = 120 =7 Busquemos la dirección del vector resultante:

Despejando , tenemos:

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MÉTODO DEL POLÍGONO Válido sólo para dos o más vectores concurrentes y coplanares. Este método consiste en colocar a los vectores uno a continuación del otro (origen – fin). El vector resultante de todos los vectores a sumar es aquel vector que se inicia en el origen del primer vector y termina en el extremo del último vector.

El vector resultante es: R=A+B+C

Resultante Máxima Dos vectores tendrán una resultante máxima cuando éstos se encuentren en la misma dirección y sentido (θ = 0°).

En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama “polígono cerrado”.

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VARIACIÓN MÉTODO DE COMPONENTES RECTANGULARES Este método es el más usado en la suma de vectores ya que permite sumar más de dos vectores.

Para ello necesitamos completar la siguiente tabla: NOMBRE VECTOR

MÓDULO

DIRECCIÓN

COMPONENTE COMPONENTE X Y

Rx =

Ry=

Una vez completada la tabla se suma la columna de las componentes “x” y la de las componente “y” obteniendo así el módulo de las resultantes del eje x y del eje y.

Ejemplo: Dado los siguientes desplazamientos, obtener el vector resultante, su módulo y su dirección. |A|= 72,4 m; ángulo de 58° |B| = 57,3 m ; ángulo de 216° |C| = 17,8 m; ángulo de 270°

Resultante Mínima Dos vectores tendrán una resultante mínima cuando éstos se encuentren en la misma dirección; pero en sentidos contrarios (θ=180°).

Completamos la tabla: NOMBRE VECTOR

MÓDULO

DIRECCIÓN

A B C

72,4 57,3 17,8

58° 216° 270°

COMPONENTE COMPONENTE X Y

38,37 -46,36 0 Rx = -7,99

61,4 -33,68 -17,8 Ry= 9,92

Luego: R = -7,99 i + 9,92 j (vector segundo cuadrante) |R| =

= 12,7 m

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PRODUCTO DE VECTORES MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UN VECTOR Cuando un vector se multiplica por un escalar, resulta otro vector en la misma dirección y de módulo igual a tantas veces el escalar por el módulo del vector dado.

Si el piloto dirige la velocidad del avión en la dirección del desplazamiento calculado, el viento se encargará de desviarlo.

Ejemplo: Sea A= 2i – 5j + 4k, luego: 2A = 4i – 10j + 8k -3A = -6i + 15j – 12k PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR Al multiplicar escalarmente dos vectores, se obtiene como resultado “un número”. Dicho número se obtiene multiplicando los módulos de los vectores y por el coseno del ángulo que forman dichos vectores.

A • B = |A| |B| cos θ

Producto punto de vectores unitarios: i∙i=1 j∙j=1 k∙k=1

i∙j=0 j∙i=0 k∙i=0

i ∙ k =0 j ∙ k =0 k ∙ j =0

Para evitar que el avión se desvíe, será necesario conocer la dirección del viento y mediante el método del paralelogramo determinar la dirección que hay que imprimir al aparato para que su velocidad resultante se dirija en la dirección del desplazamiento deseado.

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Ejemplos: 1.- Dado |A| = 10 y |B| = 3 y separados por un ángulo de 23° su producto punto es: A • B = 10 ∙ 3 cos 23 = 27,62 2.- Dado A = 3i – 5j +6k y B = -2i + 3j – k, su producto punto es: A • B = (3 ∙ -2)( + (-5 ∙ 3) + (6 ∙ -1) =-6 -15 – 6 = -27 VECTORES PERPENDICULARES Cuando dos vectores son perpendiculares entre sí, es decir el ángulo que los separa es de 90°, el producto escalar de ellos es “CERO”

A•B=0 PROYECCIÓN DEL VECTOR A SOBRE EL VECTOR B

|A| cos θ, es la proyección escalar de A en B. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES El ángulo de separación entre dos vectores se puede obtener a través del producto punto, despejando el ángulo tenemos:

El producto punto es conmutativo A•B = B•A

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PRODUCTO CRUZ O PRODUCTO VECTORIAL Al multiplicar vectorialmente dos vectores se obtiene como resultado a otro vector.

El módulo de ese vector es igual al producto de los módulos de los vectores a multiplicar y por seno del ángulo que forman entre sí.

A x B = |A| |B| sen θ

Si A y B se encuentran en el plano xz entonces AxB se encontrará en el eje z y se deberá añadir a este resultado el vector unitario j. Si se encuentra en xy se añade el vector unitario k y si se encuentra en el plano yz se debe añadir el vector unitario i.

En general, AxB se puede calcular con un determinante:

Regla de la mano derecha El pulgar de la mano derecha indica el vector perpendicular al plano que forman los vectores A y B.

Si queremos insertar un tornillo (pulgar hacia arriba) la dirección del giro que debemos hacer lo indica los demás dedos

Si queremos sacar el tornillo (pulgar hacia abajo) la dirección del giro que debemos hacer lo indica los demás dedos

C = [(Ay∙Bz)-(By∙Az)]i - [(Ax∙Bz)-(Bx∙Az)]j + [(Ax∙By)-(Bz∙Ay)]k

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Ejemplo: Si los vectores A y B son dados de la siguiente forma: A =(1,2,3) y B=(4,5,6) Su producto vectorial se determina así:

AREA DEL PARALELÓGRAMO El área que forma el paralelogramo de los vectores A y B se obtiene a través del módulo del producto cruz. |A x B| = área paralelógramo VECTORES PARALELOS Cuando dos vectores son paralelos entre sí, nunca se interceptan, el producto vectorial de ellos es “CERO”

AxB=0 Producto cruz de vectores unitarios: ixi=0 jxj=0 kxk=0

ixj=k j x i = -k kxi=j

i x k =-j j x k =i k x j =-i

El producto cruz no es conmutativo AxB ≠ BxA AxB = -BxA

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