Effect of an Inclined Magnetic Field on Peristaltic Flow of Williamson Fluid in an Inclined Channel

Quest Journals Journal of Research in Applied Mathematics Volume 3 ~ Issue 6 (2017) pp: 17-27 ISSN(Online) : 2394-0743 ISSN (Print): 2394-0735

www.questjournals.org Research Paper

Effect of an Inclined Magnetic Field on Peristaltic Flow of Williamson Fluid in an Inclined Channel Khalid Al-Qaissy*Ahmed M. Abdulhadi, Department Of Mathematics, College Of Science, University Of Baghdad, Baghdad, Iraq *E-mail : alqaissy.khalid@yahoo.com

Received 23Feb, 2017; Accepted 28Mar, 2017 Š The author(s) 2017. Published with open access at www.questjournals.org ABSTRACT: This paper deals with the influence ofinclined magnetic field on peristaltic flow of an incompressible Williamson fluid in an inclined channel with heat and mass transfer. Viscous dissipation and Joule heating are taken into consideration.Channel walls have compliant properties. Analysis has been carried out through long wavelength and low Reynolds number approach. Resulting problems are solved for small Weissenberg number. Impacts of variables reflecting the salient features of wall properties, concentration and heat transfer coefficient are pointed out. Trapping phenomenon is also analyzed.

Keywords: Williamson fluid,Reynolds number, compliant walls .

I.

INTRODUCTION

Peristalsis is an important mechanism generated by the propagation of waves along the walls of a channel or tube. Itoccurs in the gastrointestinal, urinary, reproductive tracts and many other glandular ducts in a living body.Most of the studies on the topic have been carried out for the Newtonian fluid for physiological peristalsis includingthe flow of blood in arterioles. But such a model cannot be suitable for blood flow unless the non-Newtonian natureof the fluid is included in it. The non-Newtonian peristaltic flow using a constitutive equation for a second order fluid has been investigated by Siddiqui et al. [7] for a planar channel and by Siddiqui and Schwarz [9] for anaxisymmetric tube. They have performed a perturbation analysis with a wave number, including curvature andinertia effects and have determined range of validity of their perturbation solutions. The effects of third order fluidon peristaltic transport in a planar channel were studied by Siddiqui et al. [8] and the corresponding axisymmetrictube results were obtained by Hayat et al. [2]. Haroun [1] studied peristaltic transport of third order fluid in anasymmetric channel. Subba Reddy et al. [11] have studied the peristaltic flow of a power-law fluid in an asymmetricchannel. Peristaltic motion of a Williamson fluid in an asymmetric channel was studied by Nadeem and Akram [6].It is now well known that blood behaves like a magnetohydrodynamic (MHD) fluid (Stud et al. [10]). Blood is asuspension of cells in plasma. It is a biomagnetic fluid, due to the complex integration of the intercellular protein,cell membrane and the hemoglobin, a form of iron oxide, which is present at a uniquely high concentration in themature red cells, while its magnetic property is influenced by factors such as the state of oxygenation. Theconsideration of blood as a MHD fluid helps in controlling blood pressure and has potential for therapeutic use ithe diseases of heart and blood vessels (Mekheimer [5]). Peristaltic transport to a MHD third order fluid in a circularcylindrical tube was investigated by Hayat and Ali [3]. Hayat et al. [4] have investigated peristaltic transport of athird order fluid under the effect of a magnetic field. Recently, Subba Reddy et al. [12] have studied the peristaltictransport of Williamson fluid in a channel under the effect of a magnetic field.In view of these, we modeled the MHD peristaltic flow of a Williamson fluid in an inclined planar channel, underthe assumptions of long wavelength. The flow is investigated in a wave frame of reference moving with velocity ofthe wave.

(1) Mathematical formulation Conseder an incompressible magnetohydrodynamic (MHD) flow of Williamson fluid in a symmetric channel of width 2d1 . Both the magnetic field and channel are inclined at angle đ?œ‘and đ?›ź. Here x-axis is taken along the length of channel and y-axis transvers to it (see Fig 1). The induced magnetic field is neglected by assuming a very small magnetic Reynolds number .Also the electric field is taken absent .the flow is generate by sinusoidal waves propagating along the compliant walls of channel: *Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1 Department Of Physicđ?‘ 1

17 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson‌ 2đ?œ‹

đ?‘Ś = Âąđ?œ‚ đ?‘Ľ , đ?‘Ą = Âą[đ?‘‘ + đ?‘šđ?‘Ľ + đ?‘Ž đ?‘ đ?‘–đ?‘› (đ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘Ą)] (1) đ?œ† Where đ?‘Ž is the wave amplitude ,đ?œ† the wavelength , c the wave

Figure 1 Diagrammatic of the problem In wave frame, the equations which govern the flow are given by: đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ł + = 0 (2) đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œŒ đ?‘˘

đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ

+�

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś

=−

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘˘

2đ?œ‡0 1 + Γđ?›ž

đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘˘

đ?œ‡0 1 + Γđ?›ž

đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ľ

+ đ?œ?đ??ľ0 2 cos đ?œ‘

đ?‘˘ cos đ?œ‘ −

+ đ?œ?đ??ľ0 2 sin đ?œ‘

đ?‘˘ cos đ?œ‘ −

đ?‘Łsinđ?œ‘+đ?œŒđ?‘”đ?‘ đ?‘–đ?‘›(đ?›ź)−đ?œ‡đ?‘˜đ?‘˘(3) đ?œŒ đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ

+đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś

=−

đ?œ•đ?‘? đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ł

đ?œ‡0 1 + Γđ?›ž

đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

2đ?œ‡0 1 + Γđ?›ž

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘Łsinđ?œ‘−đ?œŒđ?‘”đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?›ź)−đ?œ‡đ?‘˜đ?‘Ł(4) đ?œŒđ?‘?đ?‘?

�� ��

=đ?‘˜

đ?œ•2đ?‘‡ đ?œ•đ?‘Ľ 2

+

đ?œ•2đ?‘‡ đ?œ•đ?‘Ś 2

+ đ?œ‡0 1 + Γđ?›ž [(

đ?œ•đ?‘Ł

đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ•đ?‘˘ 2 ) đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘˘

đ?œ•đ?‘Ł 2

đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘Ś

+ 2( )2 + 2

)

+ đ?œ?đ??ľ0 2 đ?‘˘2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 đ?œ‘ + đ?‘Ł 2 đ?‘ đ?‘–đ?‘›2 đ?œ‘ −

2đ?‘˘đ?‘Łsinđ?œ‘cosâ Ą(đ?œ‘) (5) where ď ˛ is the density, B 0 is the strength of the magnetic field,

p is the pressure , (�, �) are the components

of the velocity vectorđ?‘‰ in theđ?‘Ľ and đ?‘Ś directions respectively and đ?œ? the electrical conductivity . The corresponding boundary condition are given by đ?œ•đ?‘˘ đ?‘˘ = Âąđ?›˝ đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ś = Âąđ?œ‚ (6) đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•3 đ?œ•3 đ?œ•2 đ?œ•5 đ?œ• −đ?œ? 3 + đ?‘š + đ?‘‘ đ??ľ +đ??ť đ?œ‚ 2 5 đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ =

đ?œ•

đ?œ•đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘˘

2đ?œ‡0 1 + Γđ?›ž

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ‡0 1 + Γđ?›ž

đ?œ•đ?‘Ł đ?œ•đ?‘Ľ

+

đ?œ•đ?‘˘ đ?œ•đ?‘Ś

− đ?œ?đ??ľ0 2 cos đ?œ‘

đ?‘˘ cos đ?œ‘ − đ?‘Ł sin đ?œ‘

+ đ?œŒđ?‘”đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?›ź −

đ?œŒ đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ś = Âąđ?œ‚ (6) đ?‘‘đ?‘Ą đ?‘‡ = đ?‘‡0 đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ś = Âąđ?œ‚ (7) In above equations đ?œ? is elastic tension in the membrane ,đ?‘š the mass per unit area , đ?‘‘ the coefficient of viscous damping and đ??ť the spring stiffness.

(2) Dimensionless analysis đ?‘‘

Defining velocity component � and �in terms of stream function , introduce the dimensionless variables � = ,

v u cdď ˛ đ?‘Ś = , đ?œ‚ = ,đ?œ– = , u  ,v  , Re  , đ?‘‘ đ?‘‘ đ?‘‘ cď ¤ c ď ­0 đ?‘Ś

đ?œ‚

đ?œ†

đ?‘Ž

*Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1

18 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson‌ đ?‘?=

đ?‘‘2đ?‘?

, t 

đ?‘?đ?œ† đ?œ‡ 0

ct

ď Ź

đ?œ‡ 0 đ??śđ?‘ƒ

đ??ľđ?‘&#x; = Pr đ??¸đ?‘? , đ?‘ƒđ?‘&#x; = đ?œ?đ?‘‘ 3

đ??¸ 1= −

đ?‘?3đ?œ‡ 0đ??ś

,đ??¸2 =

đ?‘?

đ?›˝

đ?‘Ž

đ?‘‘

, đ?‘Šđ?‘’ = Γ ,đ?›˝ = đ?‘˜

đ?‘šđ?‘? đ?‘‘ 3

, đ??¸3 =

đ?œ†3 đ?œ‡ 0

đ?‘?2

, đ??¸đ?‘? =

, đ??¸5 =

đ?‘‡0 đ??śđ?‘ƒ đ?‘‘3đ?‘‘

đ?œ†3 đ?œ‡ 0

đ??ľđ?‘‘ 3

, đ??¸4 =

đ?‘?đ?œ† 3 đ?œ‡ 0 đ??ťđ?‘‘ 3 đ?‘?đ?œ† đ?œ‡ 0

,đ?‘š =

đ?‘‘

đ?œ?

đ?‘?

đ?œ‡0

đ?‘‘

đ?‘‡âˆ’đ?‘‡0

,đ?œƒ=

,� = � ,� =

đ?œ†đ?‘š

�0

,

,

(8)

đ?›˝0 đ?‘‘,

And use long wave length assumption đ?›ż ≪ 1 the notion equation and temperature equation can be written as đ?œ•2

1 + ���

đ?œ•đ?‘Ś 2 đ?œ•2đ?œƒ đ?œ•đ?‘Ś 2 đ?œ•đ?œ“ đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•2đ?œ“

đ?œ•2đ?œ“ ( 2 )2 đ?œ•đ?‘Ś

+ đ??ľđ?‘&#x; 1 + đ?‘Šđ?‘’đ?›ž = Âąđ?›˝

đ?œ•2đ?œ“ đ?œ•đ?‘Ś 2

đ?‘Žđ?‘Ą đ?‘Ś = Âąđ?œ‚

3

đ??¸1

− đ?‘€2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?œ‘)

đ?œ•đ?‘Ś 2

+ đ??ľđ?‘&#x;

đ?œ•đ?œ“ đ?œ•đ?‘Ś

−

1 đ?œ•đ?œ“

= 0(9)

đ?‘˜ đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?œ“ 2 2 đ?‘€ đ?‘?đ?‘œđ?‘ (đ?œ‘)( )2 đ?œ•đ?‘Ś

= 0(10)

(11)

đ?œ• đ?œ• đ?œ•2 đ?œ•5 đ?œ• + đ??¸ + đ??¸ + đ??¸ + đ??¸5 + đ?œ‚= 2 3 4 đ?œ•đ?‘Ľ 3 đ?œ•đ?‘Ľđ?œ•đ?‘Ą 2 đ?œ•đ?‘Ľđ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ 5 đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•

3

1 + ���

đ?œ•đ?‘Ś

đ?œƒ=0

đ?œ•đ?œ“

− đ?‘€ 2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 đ?œ‘

đ?œ•đ?‘Ś 2

đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?‘…đ?‘’ sin â Ą (đ?›ź) đ??šđ?‘&#x;

đ?‘Žđ?‘Ą đ?‘Ś = Âąđ?œ‚(12)

đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ś = Âąđ?œ‚ (13)

đ?œ•2đ?œ“

�=

đ?œ•2đ?œ“

đ?œ•đ?‘Ś 2

(14)

Heređ?œ‚ = 1 + đ?œ€ sin 2đ?œ‹ đ?‘Ľ − đ?‘Ą (3)Solution procedure It seems difficult to solve Eqs. (9) to (13) in closed form . Thus we aim to find series solutions for small Weissenberg number and write đ?œ“ = đ?œ“0 + đ?‘Šđ?‘’ đ?œ“1 (15) đ?œƒ = đ?œƒ0 + đ?‘Šđ?‘’ đ?œƒ1 (16) Here we have considered the zeroth and first order systems only due to the fact that the perturbation is taken small (đ?‘Šđ?‘’ ≪ 1) so that contrubation of higher order terms are negligible due to order analysis .

Zeroth-order system with its boundary conditions Substitute (15) and (16) in to equations (9) to (14) and equating the coefficients of equal power of Weissenberg number we get zero and first order system and they are as : đ?œ•4đ?œ“0 đ?œ•đ?‘Ś 4

− đ??´2

đ?œ•2đ?œ“0 đ?œ•đ?‘Ś2

= 0 (17)

3

đ??¸1

đ?œ• đ?œ•3 đ?œ•2 đ?œ•5 đ?œ• + đ??¸ + đ??¸ + đ??¸ + đ??¸5 + đ?œ‚= 2 3 4 3 2 5 đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľđ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľđ?œ•đ?‘Ą đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•2đ?œ“0

đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?œ“ 0 đ?œ•đ?‘Ś đ?œ• 2 đ?œƒ0

đ?œ•đ?‘Ś 2

= Âąđ?›˝ +

đ?œ•đ?‘Ś 2

− đ?‘€2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 đ?œ‘ đ?œ•2đ?œ“0

đ?œ•đ?œ“ 0 đ?œ•đ?‘Ś

+

đ?‘…đ?‘’ đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?›ź đ??šđ?‘&#x;

đ?‘Žđ?‘Ą đ?‘Ś = Âąđ?œ‚(18)

đ?‘Žđ?‘Ą đ?‘Ś = Âąđ?œ‚(19)

đ?œ•đ?‘Ś 2 đ?œ•2đ?œ“0 2 đ??ľđ?‘&#x;( 2 ) + đ?œ•đ?‘Ś 2 2 2

đ??ľđ?‘&#x; đ?‘€ 2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?œ‘)(

đ?œ•đ?œ“ 0 2 ) đ?œ•đ?‘Ś

= 0(20)đ?œƒ0 = 0đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ś = Âąđ?œ‚

1

đ??ťđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’ đ??´ = đ?‘€ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?œ‘ + andđ?œ‚ = 1 + đ?œ€ sin 2đ?œ‹ đ?‘Ľ − đ?‘Ą . đ?‘˜

The first-order system with its boundary conditions đ?œ•4đ?œ“1 đ?œ•đ?‘Ś 4 đ?œ•đ?œ“ 1 đ?œ•đ?‘Ś

− đ??´2

= Âąđ?›˝ đ?œ•3đ?œ“1

0=[ 2

đ?œ•đ?‘Ś 3

đ?œ•2đ?œ“1 đ?œ•đ?‘Ś2 đ?œ•2đ?œ“1 đ?œ•đ?‘Ś 2

đ?œ•3đ?œ“0 2 ) đ?œ•đ?‘Ś3

+ 2(

đ?œ•2đ?œ“0 đ?œ•4đ?œ“0 đ?œ•đ?‘Ś 2 đ?œ•đ?‘Ś 4

=0

(21)

đ?‘Žđ?‘Ą đ?‘Ś = Âąđ?œ‚(22)

− đ?‘€2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 đ?œ‘ 2

+2

2

đ?œ•đ?œ“1 đ?œ•đ?‘Ś

+2 2

đ?œ•2đ?œ“0

đ?œ•3đ?œ“0

đ?œ•đ?‘Ś 2 2

đ?œ•đ?‘Ś 3

]đ?‘Žđ?‘Ą đ?‘Ś = Âąđ?œ‚(23)

đ?œ• đ?œƒ1 đ?œ• đ?œ“0 đ?œ• đ?œ“1 đ?œ• đ?œ“0 đ?œ•đ?œ“0 đ?œ•đ?œ“1 + đ??ľđ?‘&#x; (2 + ) + 2đ??ľđ?‘&#x; đ?‘€2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 (đ?œ‘)( )( )=0 2 2 2 2 đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś đ?œƒ1 = 0 đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ś = Âąđ?œ‚(24) 1 đ??ťđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘’ đ??´2 = đ?‘€2 đ?‘?đ?‘œđ?‘ 2 đ?œ‘ + andđ?œ‚ = 1 + đ?œ€ sin 2đ?œ‹ đ?‘Ľ − đ?‘Ą . đ?‘˜ Solve the zero and first order systems it is found them the stream function and temperature are given by â…‡đ?‘¨đ?’š đ?‘Şđ?&#x;? + ⅇ−đ?‘¨đ?’š đ?‘Şđ?&#x;? đ???= + đ?‘Şđ?&#x;‘ + đ?’šđ?‘Şđ?&#x;’ + đ?‘¨đ?&#x;? ⅇ−đ?&#x;?đ?‘¨đ?’š (đ?‘Şđ?&#x;? đ?&#x;? + đ?‘Şđ?&#x;? đ?&#x;? â…‡đ?&#x;’đ?‘¨đ?’š − đ?&#x;‘â…‡đ?‘¨đ?’š (â…‡đ?&#x;?đ?‘¨đ?’š đ?‘Şđ?&#x;“ + đ?‘Şđ?&#x;” )) đ?‘žđ?’†(đ?‘Şđ?&#x;• − + đ?’šđ?‘Şđ?&#x;– )(đ?&#x;?đ?&#x;“) đ?&#x;‘đ?‘¨đ?&#x;? *Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1 19 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson…

𝜽 = 𝒃𝟏 + 𝒚𝒃𝟐 −

𝟏 𝐁𝐫ⅇ−𝟐𝑨𝒚 𝟖𝑨𝑪𝟒 ⅇ𝑨𝒚 −𝑪𝟐 + 𝑪𝟏 ⅇ𝟐𝑨𝒚 𝑴𝟐 + 𝑪𝟐 𝟐 + 𝑪𝟏 𝟐 ⅇ𝟒𝑨𝒚 𝑴𝟐 𝟖𝑨𝟒 + 𝟐𝑨𝟒 ⅇ𝟐𝑨𝒚 𝟒𝑪𝟏 𝑪𝟐 + 𝑪𝟒 𝟐 𝑴𝟐 𝒚𝟐 + 𝟐𝑨𝟐 𝑪𝟐 𝟐 + 𝑪𝟏 𝟐 ⅇ𝟒𝑨𝒚 − 𝟐𝑪𝟏 𝑪𝟐 ⅇ𝟐𝑨𝒚 𝑴𝟐 𝒚𝟐 + 𝑴𝟐 𝑪𝟐 𝟐 + ⅇ𝟐𝑨𝒚 𝟖𝑨𝑪𝟏 𝑪𝟒 ⅇ𝑨𝒚 + 𝑪𝟏 𝟐 ⅇ𝟐𝑨𝒚 + 𝟐𝑨𝟒 𝑪𝟒 𝟐 𝒚𝟐 − 𝟒𝑨𝑪𝟐 ⅇ𝑨𝒚 𝟐𝑪𝟒 + 𝑨𝑪𝟏 ⅇ𝑨𝒚 𝒚𝟐

𝐂𝐨𝐬 𝟐𝝋

𝐁𝐫ⅇ−𝟑𝑨𝒚 (𝟏𝟎𝑪𝟐 𝟑 − 𝟏𝟖𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝟐 ⅇ𝟐𝑨𝒚 +𝑪𝟏 ⅇ𝟓𝑨𝒚 −𝟐𝟕𝑪𝟓 + 𝟏𝟎𝑪𝟏 𝟐 ⅇ𝑨𝒚 + 𝑾𝒆

(𝟐𝟔) −𝟗𝑪𝟐 ⅇ𝑨𝒚 (𝟑𝑪𝟔 + 𝟐𝑪𝟏 𝟐 ⅇ𝟑𝑨𝒚 )) − 𝟐 𝟓𝟒𝑨 𝑩𝒓 𝑪𝟐 𝑪𝟓 + 𝑪𝟏 𝑪𝟔 𝒚𝟐 + 𝒃𝟑 + 𝒚𝒃𝟒

Here the constants𝑪𝟏 , 𝑪𝟐 , 𝑪𝟑 , 𝑪𝟒 , 𝑪𝟒 , 𝑪𝟔 , 𝑪𝟕 , 𝑪𝟖 , 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑 𝒂𝒏𝒅 𝒃𝟒 can be evaluated using MATHEMATICA . 𝒂 (𝒃)(𝒄)

Figure 2- Stream line for different values of 𝐸1 𝑎 𝐸1 = 0.5 , 𝑏 𝐸1 = 0.7 , 𝑐 𝐸1 = 0.8 and the other parameters 𝐸2 = 0.2 , 𝐸3 = 0.1 , 𝐸4 = 0.05 , 𝐸5 = 0.3 , 𝑊𝑒 = 0.03 , 𝜀 = 0.2 , 𝑡 = 0.02 , 𝑀 = 1 , 𝑚 = 0.01 , 𝜋 𝛽 = 0.01 , 𝐹𝑟 = 0.5 , 𝑅𝑒 = 0.5 , 𝜑 = .

3

𝑎

𝑏

(𝑐)

Figure 3- Stream line for different values of 𝐸2 𝑎 𝐸2 = 0.2 , 𝑏 𝐸2 = 0.4 , 𝑐 𝐸2 = 0.6 and the other parameters 𝐸1 = 0.5 , 𝐸3 = 0.1 , 𝐸4 = 0.05 , 𝐸5 = 0.3 , 𝑊𝑒 = 0.03 , 𝜀 = 0.2 , 𝑡 = 0.02 , 𝑀 = 1 , 𝑚 = 𝜋 0.01 , 𝛽 = 0.01 , 𝐹𝑟 = 0.5 , 𝑅𝑒 = 0.5 , 𝜑 = .

3

*Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1

20 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson‌

Figure 4- Stream line for different values of đ??¸3 đ?‘Ž đ??¸3 = 0.1 , đ?‘? đ??¸3 = 0.2 , đ?‘? đ??¸3 = 0.3 and the other parameters đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘š = đ?œ‹ 0.01 , đ?›˝ = 0.01 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = .

3

đ?‘Ž

đ?‘?

(đ?‘?)

Figure 5- Stream line for different values of đ??¸4 đ?‘Ž đ??¸4 = 0.05 , đ?‘? đ??¸4 = 0.10 , đ?‘? đ??¸4 = 0.15 and the other parameters đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘š = 0.01 , đ?œ‹ đ?›˝ = 0.01 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = .

3

đ?‘Ž

đ?‘?

(đ?‘?)

Figure 6- Stream line for different values of đ??¸5 đ?‘Ž đ??¸5 = 0.3 , đ?‘? đ??¸5 = 0.6 , đ?‘? đ??¸5 = 0.9 and the other parameters đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘š = đ?œ‹ 0.01 , đ?›˝ = 0.01 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = .

3

*Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1

21 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson‌ Figure 7- Stream line for different values of đ?‘Šđ?‘’ đ?‘Ž đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?‘? đ?‘Šđ?‘’ = 0.09 , đ?‘? đ?‘Šđ?‘’ = 0.18 and the other parametersđ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘š = 0.01 , đ?œ‹ đ?›˝ = 0.01 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = .

3

Figure 8- Stream line for different values of đ?œ€ đ?‘Ž đ?œ€ = 0.2 , đ?‘? đ?œ€ = 0.4 , đ?‘? đ?œ€ = 0.8 and the other parameters đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘š = 0.01 , đ?›˝ = đ?œ‹ 0.01 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = .

3

Figure 9- Stream line for different values of đ?‘Ą đ?‘Ž đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘? đ?‘Ą = 0.04 , đ?‘? đ?‘Ą = 0.06 and the other parametersđ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘š = đ?œ‹ 0.01 , đ?›˝ = 0.01 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = .

3

đ?‘Ž

đ?‘?

(đ?‘?)

Figure 10- Stream line for different values of đ?‘€ đ?‘Ž đ?‘€ = 1 , đ?‘? đ?‘€ = 2 , đ?‘? đ?‘€ = 3 and the other parameters đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘š = 0.01 , đ?›˝ = đ?œ‹ 0.01 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = .

3

đ?‘Ž *Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1

đ?‘?

(đ?‘?)

22 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson‌

Figure 11- Stream line for different values of đ?‘š đ?‘Ž đ?‘š = 0.01 , đ?‘? đ?‘š = 002 , đ?‘? đ?‘š = 0.03 and the other parameters đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = đ?œ‹ 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?›˝ = 0.01 .

3

đ?‘Ž

đ?‘?

(đ?‘?)

Figure 12- Stream line for different values of đ?›˝ đ?‘Ž đ?›˝ = 0.01 , đ?‘? đ?›˝ = 002 , đ?‘? đ?›˝ = 0.03 and the other parameters đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = đ?œ‹ 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.01 .

3

đ?‘Ž

đ?‘?

(đ?‘?)

Figure 13- Stream line for different values of đ??šđ?‘&#x; đ?‘Ž đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘? đ??šđ?‘&#x; = 1 , đ?‘? đ??šđ?‘&#x; = 1.5 and the other parameters đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = đ?œ‹ 1 , đ?‘š = 0.01 , đ?›˝ = 0.1 , đ?œ‘ = , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 .

3

đ?‘Ž

đ?‘?

*Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1

đ?‘?

23 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson‌ Figure 14- Stream line for different values of đ?‘…đ?‘’ đ?‘Ž đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?‘? đ?‘…đ?‘’ = 1 , đ?‘? đ?‘…đ?‘’ = 1.5 and the other parameters đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = đ?œ‹ 1 , đ?‘š = 0.01 , đ?›˝ = 0.1 , đ?œ‘ = , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 .

3

đ?‘Ž

đ?‘?

đ?œ‹

đ?œ‹

(đ?‘?)

đ?œ‹

Figure 15- Stream line for different values of đ?œ‘ đ?‘Ž đ?œ‘ = , đ?‘? đ?œ‘ = , đ?‘? đ?œ‘ = and the other parameters 4 3 2 đ??¸1 = 0.5 , đ??¸2 = 0.2 , đ??¸3 = 0.1 , đ??¸4 = 0.05 , đ??¸5 = 0.3 , đ?‘Šđ?‘’ = 0.03 , đ?œ€ = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘š = 0.01 , đ?›˝ = 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 .

*Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1

24 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson‌ Figure 16-(a) Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ??¸1 at đ??¸2 = 0.3 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , đ?œ‹ We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1, đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8.

3 (b)- Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ??¸2 at đ??¸1 = 1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ‹ đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1, đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (c)3 Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ??¸2 at đ??¸1 = 1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = đ?œ‹ 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1, đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (d)- Variation of 3 đ?‘˘ with y for different values of đ??¸4 at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = đ?œ‹ 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1, đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (e)- Variation of đ?‘˘ with y 3 for different values of đ??¸5 at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = đ?œ‹ 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1, đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (f)- Variation of đ?‘˘ with y for different 3 values of Weat đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 đ??¸5 = 0.01 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ?œ‹ đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1, đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (g)- Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ?‘Ąat 3 đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ?‘š = 0.1, đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (h)- Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ?‘€ at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = đ?œ‹ 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1, đ?›˝ = 3 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (i)- Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ?œ–at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?‘€ = 1 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = đ?œ‹ 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1, đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (j)- Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ?‘˜at 3 đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘š = 0.1 , đ?œ‹ đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (k)- Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ?‘šat đ??¸1 = 1 , 3 đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = đ?œ‹ 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?›˝ = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (l)- Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ?›˝at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 3 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = đ?œ‹ 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8. (m)- Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ?‘Ľat đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 3

đ?œ‹

0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œƒ = , 3 đ?‘š = 0.1 , đ?›˝ = 0.1. đ?‘› −Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ??šđ?‘&#x; at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = đ?œ‹ 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ?›˝ = 0.1 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1 , 3 đ?‘Ľ = 0.8.(o)- Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ?‘…đ?‘’ at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = đ?œ‹ 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?›˝ = 0.1 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8.(p)3 Variation of đ?‘˘ with y for different values of đ?œ‘ at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?›˝ = 0.1, đ?‘š = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8

*Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1

25 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson‌

Figure 17-(a) Variation of đ?œƒwith y for different values of đ??¸1 at đ??¸2 = 0.3 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , đ?œ‹ We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘š = 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 0.8. (b)3 Variation of đ?œƒwith y for different valuesofđ??¸2 atđ??¸1 = 1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = đ?œ‹ 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘š = 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 0.8. (c)- Variation of đ?œƒwith y 3 for different values of đ??¸2 at đ??¸1 = 1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = đ?œ‹ 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘š = 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 0.8. (d)- Variation of đ?œƒwith y for different values of 3 đ??¸4 at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘š = đ?œ‹ 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 0.8. (e)- Variation of đ?œƒwith y for different values of đ?‘Šđ?‘’at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 3 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘š = 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = đ?œ‹ 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 0.8. (f)- Variation of đ?œƒwith y for different values ofđ??¸5 at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 3

0.01 đ?‘¤đ?‘’ = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘š = 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ =

đ?œ‹ 3

, đ?‘Ľ = 0.8.

(g)- Variation of đ?œƒwith y for different values ofđ?œ–at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = đ?œ‹ 0.03 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘š = 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 0.8. (h)- Variation ofđ?œƒwith y 3 for different values of đ?‘€at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = đ?œ‹ 0.02 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘š = 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 0.8. (i)- Variation ofđ?œƒwith y for different values 3 of đ?‘Ąat đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘š = đ?œ‹ 0.1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 0.8. (j)- Variation of đ?œƒwith y for different values of đ??ľđ?‘&#x; atđ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 3 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘š = 0.1đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = đ?œ‹ 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 0.8. (k)- Variation of đ?œƒwith y for different values of đ?‘šat đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 3

đ?œ‹

0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ľ = 3 0.8.(l)- Variation of đ?œƒwith y for different values of đ?‘Ľ at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , đ?œ‹ We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘š = 0.1 . đ?‘š −Variation of 3 đ?œƒwith y for different values of đ?‘…đ?‘’ at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = 0.03 , đ?œ– = đ?œ‹ đ?œ‹ 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?‘˜ = 1đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?›˝ = 0.1 , đ?œƒ = , đ?‘š = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8.(n)3 3 Variation of đ?œƒwith y for different values of đ??šđ?‘&#x; at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , We = đ?œ‹ 0.03 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , đ?œ– = 0.2 , , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?œ‘ = , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ?›˝ = 0.1 , đ?‘š = 0.1 , đ?‘Ľ = 0.8.(o)3 Variation of đ?œƒwith y for different values of đ?œ‘ at đ??¸1 = 1 , đ??¸2 = 0.1 , đ??¸3 = 0.3 , đ??¸4 = 0.01 , đ??¸5 = 0.01 , đ??ľđ?‘&#x; = 2 , We = 0.03 , đ?œ– = 0.2 , đ?‘Ą = 0.02 , đ?‘€ = 1 , đ?‘˜ = 1 , đ??šđ?‘&#x; = 0.5 , đ?‘…đ?‘’ = 0.5 , đ?›˝ = 0.1, đ?‘š = 0.1 . đ?‘Ľ = 0.8.

(4)Graphical results and discussion *Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1

26 | Page

Effect Of An Inclined Magnetic Field On Peristaltic Flow Of Williamson‌ In this chapter , we have presented a set of figures to observe the behavior of sundry parameters involved in the expressions of longitudinal velocity (đ?‘˘ = đ?œ“0đ?‘Ś + đ?‘Šđ?‘’ đ?œ“1đ?‘Ś ) , temperature đ?œƒand stream functionđ?œ“.

Figs 16(a) to 16(m)display the effects of various physical parameters on the velocity profile đ?‘Ś . Figs 16(a) and 16(b) depicts that the velocity increases when đ??¸1 đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ??¸2 enhanced . It due to the fact that less resistance is offered to the flow because of the wall elastance and thus velocity increases . However reverse effect is observed for đ??¸3 , đ??¸4 and đ??¸5 . As đ??¸3 represent the damping which is resistive force so velocity decreases when đ??¸3 is increased . Similar behavior is observed for the velocity in case of rigidity and stiffness due to presence of damping force . Fig 16(h)shows that the velocity decreases by increasing Hartman number . It is due to the fact that magnetic field applied in the trasverse direction shows damping effect on the flow . Fig 16(f) illustrates that velocity profile decreases for đ?‘Šđ?‘’ in the region [-1,0] whereas it has opposite behavior in the region [0,1] . Figs 16(j),16(k) and 16(l)depicts that the velocity increases when đ?‘š , đ?‘˜ đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ?›˝ enhanced.Effects of pertinent parameters on temperature profile can be visualized throughFigs 17(a) to 17(l). The variation of compliant wall parameters is studied in Figs 16(a) to 17(e). As temperature is the average kinetic energy of the particales and kinetic energy depends upon the velocity .Therefore increase in velocity by đ??¸1 đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ??¸2 leads to temperature enhancement .Similarly decrease in velocity by đ??¸3 , đ??¸4 and đ??¸5 shows decay in temperature . Fig17(h)reveals that the temperature profile đ?œƒdecreases when Hartman number đ?‘€ is increased .Effect of đ??ľđ?‘&#x; on temperature can be observed through Fig17(j) . The Brinkman number đ??ľđ?‘&#x; is the product of the Prandtl number đ?‘ƒđ?‘&#x; and the Eckert number đ??¸đ?‘?. Here Eckert number occurs due to the viscous dissipation effects and the temperatureenhances.Fig17(k)depictthattheTemperatureincreaseswhen đ?‘š enhanced.Thefunctionof an internaly circulating bolus of fluid by closed stream lines is shown in Figs 12 . Fig 10 depict that the size of trapped bolus increases when there is an increase in the Hartman number . We have analyzed from Figs2 and 3 that the size of trapped bolus increases when đ??¸ 1 đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ??¸ 2 are enhanced . However it decreases when đ??¸ 3 is increased . Also when we decrease the values of đ??¸ 4 đ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ đ??¸ 5 the trapped bolus size increases . Fig 7 depict the stream lines pattern for different values of Weissenberg number .

References [1].

[2].

[3].

[4].

[5].

[6].

[7].

[8].

[9].

[10].

[11].

[12].

Haroun, M.A. Comm. Non linear sic. Number.Simul., 12 (2007), 1464 -1480.

Hayat, T., Wang, Y., Siddiqui, A.M., Hutter, K. and Asghar, S. Math. Models & Methods in Appl. Sci., 12(2002),1691-1706.

Hayat, T and Ali, N. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 370(2006), 225-239.

Hayat, T., Afsar, A., Khan, M. and Asghar, S. Computers and Mathematics with Applications, 53(2007), 1074-1087.

Mekheimer, KH.S. Appl. Math. Comput, 153 (2004), 763-777.

Nadeem, S. and Akram, S. Comm. Non linear sic. Numer.Simul., 15 (2010), 1705–1716 Siddiqui, A.M., Provost, A. and Schwarz, W.H. Rheol.Acta, 30(1991), 249-262.

Siddiqui, A.M., Provost, A. and Schwarz, W.H., Rheol.Acta, 32(1993), 47-56 Siddiqui, A.M. and Schwarz, W.H. J. Non-Newtonian Fluid Mech., 53(1994), 257-284.

Stud, V.K., Sekhon, G.S. and Mishra, R.K. Bull. Math. Biol. 39(1977), 385-390.

Subba Reddy, M.V., RamachandraRao, A. and Sreenadh, S. Int. J. Non-Linear Mech., 42 (2007), 1153-1161.

Subba Reddy, M. V., Jayarami Reddy, B. and Prasanth Reddy, D.

*Corresponding Author: Montasir Salman Elfadel Tyfor1

27 | Page