Maturita z matematiky – úvod by Nakladatelství Dr. Josef Raabe

A NEŽ ZAČNEME POČÍTAT Mgr. Tomáš Kotler

A1 Úvod S přechodem od maturitních zkoušek připravovaných učiteli přímo na školách k maturitám zadávaným, vytvářeným a posléze i hodnoceným centrálně získala maturitní zkouška z matematiky jednotnou, ale pro mnohé vyučující komplikovanější tvář. Výstupní standardy probíraného učiva pro původně plánované (a v předešlých letech i realizované) maturitní zkoušky, které definují katalogy požadavků uvedené mimo jiné na příslušných webových stránkách Cermatu, jsou jediným konkrétním vodítkem pro učitele i žáky, jak se ke zkoušce připravovat, jaké úlohy či strategii výuky zvolit. Říká se, že matematika se nemění, ale systémové změny v přístupu k obsahu státní zkoušky a k hodnocení studentů, stanovené cíle, jak matematiku žákům zpřístupnit, očekávané výstupy, ke kterým by měli žáci během studia dospět, i vlastní výuku, jak těchto met dosáhnout, pedagogové ovlivnit mohou. Každá škola dnes sama stanovuje své cíle, výstupy, metody práce a kompetence, které chce u svých žáků rozvíjet, na základě svého ŠVP. V něm určitě sleduje i standardy dané katalogem požadavků ke státní zkoušce, neboť je jistě i jejím cílem své žáky k maturitní zkoušce připravit. Tato publikace přináší cvičné testy a jejich autorská řešení. Je určena vyučujícím matematiky jako možnost kontroly, zda jejich žáci plní standardy dané katalogem pro základní verzi maturity, jejich žákům zase může posloužit jako model zkoušky, na niž se mají připravit. Její hlavní předností je zejména pojetí testů, které se v nejvyšší možné míře svojí strukturou, volbou typů úloh, svým grafickým ztvárněním a v neposlední řadě obsahem přibližují koncepci, již při tvorbě didaktických testů volí Cermat.

Maturita z matematiky • ZD

A 1

Maturita z matematiky • ZD

A2 CVIČNÝ TEST Mgr. Tomáš Kotler

1 Základní dokumenty Každý cvičný test předkládaný v této publikaci se skládá ze čtyř základních dokumentů, které jsou označeny římskými číslicemi. I. Cvičný test II. Autorské řešení III. Klíč IV. Záznamový list

A 2

Didaktický test státní zkoušky z matematiky trvá 105 minut. 15 minut mají žáci na strategii a promyšlení, jakým způsobem budou test řešit (zvažují pořadí úloh, taktiku, postupy řešení a časové rozvržení). Vlastní řešení a zanesení výsledků práce do záznamového archu musí žáci stihnout během 90 minut čistého času. Didaktický test obsahuje 26 úloh, z nichž 15 je otevřených, 11 má charakter uzavřených úloh (poměr je přibližně 3 : 2). Celkový maximální bodový zisk žáka je v 50 bodů, za otevřené úlohy i uzavřené úlohy získává žák při maximální úspěšnosti vždy 25 bodů. V původní verzi tohoto díla měly cvičné testy stejný počet 35 bodů, v nové koncepci ale byly upraveny tak, aby cvičný test dodržel časovou náročnost úloh testů reálné maturitní zkoušky. Cvičné testy testem B15 počínaje obsahují 10 úloh s maximálním ziskem 20 bodů. Poměr otevřených a uzavřených úloh je 3 : 2, za otevřené i uzavřené úlohy získává žák při maximální úspěšnosti vždy 10 bodů. Každý cvičný test je vytvořen tak, aby jej žáci mohli vypracovat v jedné vyučovací hodině. Rozvržení času vyučovací hodiny, v níž si žáci vyzkouší jeden ze cvičných testů, uvádí následující tabulka: úvod hodiny, rozdání testů, pokyny k vypracování celková doba vypracování testu přípravná fáze – výběr strategie řešení testu a záznam výsledků vybrání testů, ukončení hodiny

3 minuty 40 minut 5 minut 35 minut 2 minuty

Tabulka 1: Časové rozvržení vypracování cvičného testu ve standardní vyučovací hodině. Tematické okruhy, z nichž jsou úlohy voleny, odpovídají příslušné aktualizaci Katalogu požadavků k maturitní zkoušce, kterému je věnována samostatná kapitola 3.

Maturita z matematiky • ZD

A2 Po každém cvičném testu následuje autorské řešení. To ukazuje vyučujícímu či žákovi jednak vlastní řešení úlohy, jednak i postup jeho dosažení jedním z možných způsobů. Může sloužit jako podklad vlastního hodnocení testu, které může pedagog zvolit, nebo jako studijní podklad pro žáka, který si s danou úlohou neví rady. Autorské řešení vyjadřuje pouze představu autora testu, není dáno, že ke správnému řešení úlohy ukazuje autorské řešení pouze jediný řádný postup. K efektivnímu využití v hodnocení testů slouží zbývající dva dokumenty – klíč a záznamový list. Záznamový list je koncipován tak, aby mohli žáci jednoduše a přehledně zapisovat své výsledky, klíč pak umožňuje vyučujícímu jednoduchou kontrolu toho, co žáci v záznamovém listu vyplní. Záznamový list a klíč nejsou sice vytvořeny ve formátu, který používá Cermat, jsou však v tomto ohledu mnohem čitelnější a při výuce praktičtější.

A 2

2 Typy úloh a jejich hodnocení VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10

PřiDěti volbě úloh, pyramidu které budou ve cvičném testu použity, autoři této publikace rozhodli skládají z kostek tak, jak ukazuje obrázek.seNa již postavenou řadu položí vždyplně respektovat typizaci úloh stanovenou Cermatem pro didaktický test základní úrovně tak, jak poloviční počet kostek. tomu bylo v jarním a podzimním termínu maturity 2012. Vzhledem k pozdějším změnám v typologii úloh, které Cermat v didaktických testech užívá, se ve cvičných testech budou objevovat i otevřené úlohy s širokou odpovědí. Ve cvičných testech B1–B14 je poměr otevřených a uzavřených úloh přibližně 5 : 3, počínaje testem B15 bude tento poměr vždy 3 : 2. Bodové hodnocení úloh, rovněž zvolené v souladu s podobou didaktických testů státních maturit, je vždy uvedeno ve cvičném testu a autorském řešení v záhlaví úlohy (viz obrázek 1), na záznamovém listu a v klíči v pravém sloupci (viz obrázek 2). max. 2 body

10 B4 10.1 Kolik kostiček by bylo v sedmé řadě takto stavěné pyramidy, bylo-li by v jejím prvním (nejspodnějším) patře 1 024 kostiček? Tabulka úspěšnosti 10.2 Kolik kostiček by bylo v nejspodnějším patře takto stavěné, osm pater vysoké Počet bodů Výsledná známka pyramidy, jestliže by na jejím vrcholu (v osmém patře) byly dvě kostičky? 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů.

III. KLÍČ

35–30

2) Úlohy 1–12 jsou otevřené. 29–24 3) Úlohy 13–18 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpo23–18 vědí,1:kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna Obrázek Hodnocení příslušné úlohy najdeme vždy v jejím záhlaví. VÝCHOZÍ K ÚLOHÁM 11–12 17–12 odpověďTEXT správná.

2 3 4

1 Správné bodů JeÚloha dán obdélník ABCD,řešení v němž | AB | = 3 – x a | BC | = – , kdePočet x ∈ (–3, 3). 9 – x2 1 B=2 max. 2 body 2 11 3 4 5 12 6

V=0

max. 2 body

1 bod

Určete zjednodušený výraz, který vyjadřuje obsah obdélníka max. 2ABCD. body o n cm 4

d=5

max. 2 body

1 bod

= 3 úhlopříčky BD obdélníka ABCD pro x = 2. (Výsledek 1 bod zaokrouhlete na Určetexdélku setiny.)

Obrázek 2:6.1 Hodnocení je uvedeno u každé z úloh i v pravém sloupci1záznamového listu. 7 gymnastů bod 2

VÝCHOZÍ A OBRÁZEK K ÚLOZE 13 6.2 TEXT p = 0,5

1 bod

Maturita z matematiky • ZD

body 7 válce o objemu 146 cmdm jsou vepsány tři stejné koule o poloměru max. Do 10 cm2 tak, jak ukazuje ob2

2.1 Uzavřené úlohy Nyní uvedeme jednotlivé typy úloh včetně ukázek ze cvičných testů této publikace. U každého typu rovněž uvádíme formu jejich ohodnocení – bodový zisk i strategii hodnocení. Z uzavřených úloh byly ve cvičných testech použity tyto typy úloh: I. Multiple choice (s výběrem odpovědi) B7 2 body

4 6 Řešte rovnici – – – = 1. x–2 x+2 Z možností A–E vyberte číslo, které je rovno součtu všech kořenů dané rovnice. A) B) C) D) E)

0 2 –2 24 –24

A 2 B4

max. 2 body VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 13, 14 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (13.1–13.4), zda jeUzavřené pravdivéúlohy (ANO),s výŽák13si vybírá z pěti nabízených možností jedinou správnou odpověď. Z přístavu vypluly současně v 12:00 h dvě lodi. Loď Anna plula směrem na sever rychlostí či nikoli (NE): běrem odpovědí se hodnotí následovně: v případě správného výběru 2 body, je-li vybrána 30 km/h, loď Marie na jihovýchod rychlostí 40 km/h. Po 30 minutách plavbyANO požádala NE Anna špatná možnost 0 bodů. o pomoc v nouzovém stavu. Marie 13.1 Poloměr koule je třetinou výškyihned válce.změnila kurs a plula rychlostí 50 km/h směrem k Anně, kteráválce bez je pohybu očekávala pomoc.jeho podstavy. 13.2 Výška trojnásobkem průměru 13.3 Povrch válce je stejný jako povrch všech koulí dohromady. II. Svazek čtyř dichotomických úloh 2 body 13.4 Koule zabírají dvě třetiny objemu válce. 13 Jaká byla největší vzdálenost obou lodí? A) 20,6 km max. 2 body B) dána 23,4 km 14 Je přímka p : 3x – y – 5 = 0. C)každé 28,6 km U z následujících přímek q1–q4 (14.1–14.4) určete, zda je s přímkou p různoD) 30,8 km běžná (ANO), či nikoliv (NE): E) 32,4 km ANO NE

q1 = ↔ AB, kde A [5, –2]; B [4; –5] 2 body q2 = {[2 – 2t; 4 – 6t]; t ∈ R} V kolik q = {[3 +hodin 3s; 5 –doplula s]; s ∈ R}Marie k Anně? 3 A) v 12:55 q4 : 6x – 2y – 19 = 0 B) v 13:09 C) v 13:23 D) v TEXT 13:35 A OBRÁZEK K ÚLOZE 15 VÝCHOZÍ E) v 13:49 ŽákJsou posuzuje každou , f a f4. zvlášť a rozhoduje o pravdivosti daného tvrzení. Volí možnost dány funkce f1, fz otázek 2 3 14.1 14.2 14 14.3 14.4

ANO, je-li tvrzení pravdivé, možnost NE, je-li nepravdivé. Hodnocení svazku úlohmax. se posuzuje 4 body hromadně, má-li správně pravdivost u všech 15.1–15.4 čtyř tvrzení, 2 body, 15 První čtyřižák členy každé zurčenu následujících posloupností jsouzískává utvořeny podle pokud jisu tří tvrzení, bod. V případě,žeže žák pravidlem určí pravdivost správně jen nejvýše úloh, tého získává pravidla.1Předpokládejte, tímto je určen každý člen počínajedvou pátým. Podle něho z možností A–F vyberte vzorec pro n-tý člen. žádné body nezíská. 15.1 32; –32; 32; –32; … 15.2 32; 16; 8; 4; … 15.3 32; 16; 0; –16; …

Maturita z matematiky • ZD

B) 4b C) 4a

4b D) –2 (a + b) 2a + 2b E) – 2 III. Přiřazovací (a + b)úloha max. 4 body

15 15.1 15.2 15.3 15.4

A 2

Rozhodněte, kolik os souměrnosti a kolik středů souměrnosti mají útvary 15.1–15.4. Počty os a středů vyberte z možností A–F. úsečka polopřímka rovnostranný trojúhelník kosodélník A) počet os souměrnosti: 1, počet středů souměrnosti: 0 B) počet os souměrnosti: 1, počet středů souměrnosti: 1 C) počet os souměrnosti: 2, počet středů souměrnosti: 1 D) počet os souměrnosti: 0, počet středů souměrnosti: 1 E) počet os souměrnosti: 3, počet středů souměrnosti: 0 F) počet os souměrnosti: 3, počet středů souměrnosti: 2

KONEC TESTU

Žák přiřazuje každé ze čtyř (resp. tří) konkrétních možností právě jednu položku z šestičlenné nabídky. Dvě (resp. tři) varianty z šestičlenné nabídky tedy zůstávají nepřiděleny. HodnoMaturita z matematiky • ZD 4 cení těchto úloh se posuzuje individuálně – každá úspěšně přiřazená dvojice je hodnocena 1 bodem. V ostré verzi maturitní zkoušky jsou uzavřené úlohy hodnoceny strojově, neboť žáci vyplňují správné možnosti křížkováním.

2.2 Otevřené úlohy Otevřené úlohy, které byly do cvičných testů voleny, jsou dvojího typu – s úzkou a s širokou odpovědí. Otevřené úlohy s tzv. široku odpovědí se povahou zadání nijak neliší od otevřených úloh s úzkou odpovědí. Ověřují ale nejen výsledek řešení úlohy, ale i postup, strategii a zpracování řešení. O otevřenou úlohu s širokou odpovědí jde v případě, kdy zadání úlohy obsahuje pokyn „V záznamovém listu uveďte celý postup řešení.“ Při hodnocení úlohy pak lze přihlédnout ke správné taktice i přes nepřesný výsledek způsobený například numerickou chybou. Úlohy otevřené s širokou odpovědí jsou ve cvičných testech hodnoceny max. 2 resp. 3 body. V záznamovém archu mají žáci dostatek prostoru k uvedení postupu řešení. Bude se jednat většinou o úlohy zaměřené na úpravy výrazů, řešení slovních úloh nebo konstrukční úlohy s více výstupy. Nyní uvádíme několik příkladů otevřených úloh s úzkou odpovědí a u každé z možností uvádíme i příklad možných odpovědí.

Maturita z matematiky • ZD

p: x + 7y – 3 = 0 a q = {[8 – 2t; t], t ∈ R}. Přímka p protíná souřadnicovou osu x v bodě P, přímka q souřadnicovou osu y v bodě Q.

max. 4 body

9 I. Číslo 9.1 Určete obsah S trojúhelníka OPQ, kde O je počátek soustavy souřadnic. např. číselná hodnota, vyjádřená hodnota neznámé, číselná hodnota s jednotkou; in9.2 Jaká je vzdálenost d průsečíku M přímek p a q od přímky PQ? terval (3; x ≥ 3; S = 3 cm2; a = 4 cm ∧ b = 5 cm) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10

Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC, kde AB je jeho základna. Velikost vnitřního úhlu při vrcholu C je γ. Osa vnitřního úhlu při vrcholu A protíná stranu BC v bodě D. Platí, že |AD| = |DC| = |AB|. B3 10 Určete velikost γ.

Řešení: γ = 36 °

max. 2 body

A 2

max. 2 body

9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 11 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo končí trojkou? II. 9.1 Výraz obsahující proměnné 9.2 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené je dělitelné Čtyři koncerty metalové skupiny Kovošrot, kteréčíslo proběhly v rámcipěti? rockového festivalu, na2

např. výraz, rovnice nebo výroková forma (V(x) = x – 3; s = v ∙ t; y – 4 = 0)

vštívilo celkem 2 500 fanoušků. Na každý z prvních dvou koncertů stál lístek 200 Kč, na každý z dalších dvou o 50 Kč méně. Z každého lístku odcházelo 10 % na charitativní účely. Na první VÝCHOZÍ TEXT OBRÁZEK 10 už jen polovina. Na třetí koncert dorazilo o 300 fanoušků koncert přišlo lidíAnejvíce, na druhý více, než bylo na druhém koncertě, zatímco na čtvrtý koncert méně o 60 % proti druhému Bazén na obrázku má hloubku h, šířku a, délku b. Svislé vnitřní rohy jsou zakulacené s polokoncertu. měrem křivosti r. B 10 6 bodů

11 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 11.1 Kolik lidí dorazilo na první koncert? A) 2o000 Z krychle hraně 3,8 dm má soustružník vysoustružit válec podle obrázku. B) 1 000 C) 900 D) 800 Řešení: E) V =500 h[ab – (4r2 – πr2)] = abh – 4r2h + πr2h

max. 3 body

10 11.2 Kolik korun po odečtení částky věnované na charitativní účely získali pořadatelé max. 2 body Vyjádřete pomocí délky r, oč by se zmenšil půdorys původně obdélníkového baIII.10.1 Slovní odpověď prodejem lístků? 6 Vypočítejte, kolik procent bude činit odpad. Výsledek zaokrouhlete na desetiny zénu zakulacením jednoho svislého rohu. vyjádření míry apod. (šedý obdélník; třinapř. charakteristika, zhodnocení, stanovisko, A) 405 000 procenta. 10.2 Určete objem vody v bazénu plném po okraj pomocí délek a, b, h, r. krát větší; mohou) B) 450 000 C) 305 000 D) 350 000K ÚLOZE 7 VÝCHOZÍ VÝCHOZÍTEXT TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 E) žádná z možností Jistý spisovatel, který neumí psát na počítači, potřebuje přepsat knihu o 320 stranách. PísařFunkce je dána grafem. ka přepíšez matematiky za 8 dní. Ale • ZD 4 Alena ji sama přepíše za 6 dní. Písařka Hanka je pomalejší, sama jiMaturita spisovateli „hoří“ termín a potřebuje knihu odevzdat za 3 dny. max. 2 body

Vypočítejte, jestli obě písařky společně stihnou knihu přepsat.

Řešení: nestihnou 8 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V1–V3.

V1: 3x2 + 3x – 18 V2: x2 – 9dvojici vlastností má funkce na intervalu 〈–3; 3〉? 11 Kterou Maturita z V matematiky : x3 + 27 • ZD 3 spojitá a rostoucí A) B) nespojitá a klesající

max. 2 body

2 body

A2 IV. BZákladní konstrukce 5 např. úsečka, přímka, množina bodů daných vlastností – např. kružnice nebo osa úsečky

I. CVIČNÝ TEST

V úvodní sadě cvičných testů konstrukční úlohy nenajdete, budou předmětem až dalších aktualizací. max. 2 body

Záznamový arch nemá 1 Zjednodušte výraznafukovací (2x – 5) – (2xkolonky, – 5) ∙ (2x +je 5)třeba + 20x. žákům zdůrazňovat, že na postupy a úvahy mají v ostré verzi dostatek prostoru na volných arších a pod úloha1 bod mi. Výsledek, který se rozhodnou žáci uvést do záznamového archu, by měli zapsat 2 po Určete nejmenší trojciferné přirozené číslo, které je dělitelnéarchu číslemnelze 8 i 12.donekoaž provedené kontrole. Škrtat a přepisovat v záznamovém nečna. 2

A 2

max. 3 body

3 Kružnice opsaná pravoúhlému rovnoramennému trojúhelníku má poloměr 4 cm. 3.1 Vypočítejte obsah trojúhelníku. 3.2 Vypočítejte obvod trojúhelníku. Výsledek zapište v cm a zaokrouhlete na deseti2.3 Hodnocení otevřených úloh ny.

U otevřených úloh je třeba posoudit, zda je úzká odpověď správná a odpovídá zadané otázB5 ce či úkolu, zejména obsahuje-li všechny náležitosti (uvedení jednotek, správné zaokrouhlemax. 2 body ní čísla, srozumitelné slovní vyjádření apod.). To je vedle rozlišení obtížnosti jeden z důvodů, 4 Pro povrch kvádru bez horní podstavy platí vzorec: S = ab + 2bc + 2ac. Tabulka úspěšnosti proč jsou některé z úloh otevřených Vyjádřete neznámý rozměr b.bodovány maximálně 2 body a některé jsou pouze jedbodů Výsledná známka nobodové. Obrázek 3 uvádí otevřenou úlohu, jejíž součástí jsouPočet tři podúlohy s úzkou odpo1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 35–30 1 2) Úlohy 1 – 8 jsou otevřené. vědí. 29–24 2

III. KLÍČ

3) Úlohy 9 – 15 jsou uzavřené s nabídkou možných odpoVÝCHOZÍ ÚLOZE 23–18 3 vědí, kdeTEXT u každéKúlohy resp.5podúlohy je právě jedna odpověď správná. Celkově je úloha hodnocena maximálně 5 body. V záznamovém17–12 listu a v klíči4 (viz obrázek 4)

Z kovového pásku tvaru obdélníka o délce 3,1 dm a šířce 3 cm se zhotovují podložky. Podložky mají tvar mezikruží s vnějším průměrem 3 cm a vnitřním průměrem 1 cm. Úloha Správné řešení Počet bodů

je u všech tří podúloh uvedeno dílčí hodnocení.

max. 5 bodů 1 50 max. 2 body 5 2 120 1 bod 5.1 Určete maximální počet podložek, které lze z pásku vyrobit. 3 Určete obsah plochy jedné podložky v cm2 (zaokrouhlete dvě desetinná místa). 5.2 5.3 Kolik na jednot1 bod 3.1 procent 16 cm2 z celkové plochy pásku půjde do odpadu (zaokrouhlete ky)? 3.2 19,3 cm max. 2 body

Obrázek 3: Příklad otevřené úlohy tvořené podúlohami s úzkou odpovědí. S – 2ac 4 b =– VÝCHOZÍ TEXT Ka ÚLOZE 6 +2c

max. 2 body

Glóbus má tvar koule o průměru 40 cm. Jsou na něm vyznačeny rovník a vybrané kružnice, 5 které leží v rovinách rovnoběžných s rovinou rovníku (tzv. rovnoběžky). Přibližné zeměpisné 5.1 Prahy 10 jsou: 50 ° severní zeměpisné šířky, 14 ° východní1zeměpisné bod souřadnice délky. 5.2 6,28 cm2 6 6

max. 2 body

5.3 32 % délku rovnoběžky (na glóbu), která procházímax. 2 body Vypočítejte Prahou. 80,8 cm max. 2 body

max. 2 body

Obrázek 4: Příslušná úloha v klíči (resp. záznamovém listu). 7 7.1 2,3

1 bod

Podúloha 5.2 (obrázek 3) má mít úzkou odpověď zaokrouhlenou na dvě desetinná místa a je 7.2maximálně 5 1 bod hodnocena 2 body (obrázek 4). Je úkolem hodnotitele, aby případné nezaokrouh28 6 9

2 400 Kč

max.Maturita 2 bodyz matematiky • ZD

2 body

Maturita z matematiky • ZD

A2 lení na dvě desetinná místa považoval za chybu a ubral bod. Praxí je, že pokud žák nesplní zadání (bylo zadáno, že musí zaokrouhlit), nelze mu výsledek uznat v plné výši, získá tedy z této úlohy 1 bod. Naopak neuvedení jednotek v tomto případě zadání neodporuje, žák by tedy neměl body ztratit. Nelze ale uvést výslednou hodnotu vyjádřenou v jiných jednotkách. Pakliže tak žák učiní (vyjádří ji např. v mm2), jde již o nesplnění podmínky zadání a hodnotitel body strhne. V tomto případě by žák za úlohu s největší pravděpodobností žádný bod nezískal. V ostré verzi maturity hodnotí otevřené úlohy rateři (vyškolení hodnotitelé), každou úlohu nezávisle dva, v případě neshody je úloha předána k dalšímu posouzení. U každého ratera se navíc sleduje, jak často se „neshoduje“ s ostatními ratery, a v případě, že překročí v „neshodách“ dané %, jsou všechna jeho hodnotitelská rozhodnutí znovu prověřena.

2.4 Hodnocení celého testu Celkové hodnocení testu je dáno součtem získaných bodů za jednotlivé úlohy. Jak již bylo řečeno, pro cvičné testy B1–B14 se jedná o maximální součet 35 bodů, testem B15 počínaje je maximální bodový součet roven 20. V klíči a záznamovém listu je uvedena pomocná tabulka úspěšnosti (pro testy B1–B14 viz tabulka 2, počínaje testem B15 viz tabulka 3), kde se procentuální rozpětí jednotlivých klasifikačních stupňů blíží podobě, kterou používá v didaktických testech státní maturity Cermat. Tabulka úspěšnosti je uvedena v záhlaví Klíče i Záznamového listu. Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

35–30

29–24

23–18

17–12

Tabulka 2: Tabulka úspěšnosti pro cvičné testy B1–B14. Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

20–17

výborně

16–14

chvalitebně

13–11

dobře

10–7

dostatečně

6 a méně

nedostatečně

Tabulka 3: Tabulka úspěšnosti, která je použita ve cvičných testech počínaje testem B15.

Maturita z matematiky • ZD

A 2

3 Katalog požadavků Katalog požadavků, který zde ve zkrácené podobě uvádíme, je k dispozici všem žákům i vyučujícím na stránkách nové maturity a je závazný pro tvůrce didaktických testů jako maximální znalostní i dovednostní standard dané úrovně maturitní zkoušky. Požadavky jsou rozděleny dle jednotlivých tematických celků (viz tabulka 4). U každého tématu je dále rozvedeno, které klíčové dovednosti a znalosti musí mít žák osvojeny, chce-li státní maturitu z matematiky složit. Katalog požadavků CERMATEM pravidelně aktualizován, verze, kterou zde orientačně uvádíme, je platná od školního roku 2015/2016. Konkrétní aktualizace katalogů je možné zhlédnout na příslušných stránkách nové maturity.

A 2

Kromě jednotlivých témat a jejich výstupních standardů, které jsou po maturantech vyžadovány, uvádíme i ukázky úloh z našich cvičných testů, jež se k požadavkům z daného tématu vážou. Dle tematických okruhů uvedených v tabulce 4 jsou rovněž úlohy tříděny v Oddíle C této publikace. V tabulce 4 dále uvádíme, kolik úloh z daného celku ve cvičném testu najdete (týká se pouze nové koncepce cvičných testů, tj. testem B15 počínaje). Posílené okruhy odpovídají posíleným tematickým okruhům v ostrých testech státní maturity dle aktuálního platného katalogu požadavků. Číslo kapitoly

Tematický okruh dle katalogu požadavků

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

Číselné množiny Algebraické výrazy Rovnice a nerovnice Funkce Posloupnosti a finanční matematika Planimetrie Stereometrie Analytická geometrie Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika

Počet úloh v cvičných testech nové koncepce (testem B15 počínaje) 1 úloha 1–2 úlohy 1–2 úlohy 1–2 úlohy 1 úloha 1–2 úlohy 1 úloha 1 úloha 1 úloha

Tabulka 4: Seznam tematických okruhů s počty úloh, které se jim věnují (testem B15 počínaje).

1. ČÍSELNÉ OBORY Žák dovede: 1.1 Přirozená čísla –– provádět aritmetické operace s přirozenými čísly; –– rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit přirozené číslo na prvočinitele; 8

Maturita z matematiky • ZD

A2 –– užít pojem dělitelnost přirozených čísel a znaky dělitelnosti; –– rozlišit čísla soudělná a nesoudělná; –– určit největšího společného dělitele a nejmenší společný násobek přirozených čísel. 1.2 Celá čísla –– provádět aritmetické operace s celými čísly; –– užít pojem opačné číslo. 1.3 Racionální čísla –– pracovat s různými tvary zápisu racionálního čísla a jejich převody; –– užít dekadický zápis čísla; –– provádět operace se zlomky; –– provádět operace s desetinnými čísly včetně zaokrouhlování, určit řád čísla; –– řešit úlohy na procenta a zlomky, užívat trojčlenku a poměr; –– znázornit racionální číslo na číselné ose, porovnávat racionální čísla;

A 2

–– užívat jednotky a jejich převody. 1.4 Reálná čísla –– zařadit číslo do příslušného číselného oboru; –– provádět aritmetické operace v číselných oborech, porovnávat reálná čísla; –– užít pojmy opačné číslo a převrácené číslo; –– znázornit reálné číslo nebo jeho aproximaci na číselné ose; –– určit absolutní hodnotu reálného čísla a chápat její geometrický význam; –– provádět operace s mocninami s celočíselným a racionálním exponentem a odmocninami; –– řešit praktické úlohy s mocninami s přirozeným exponentem a odmocninami. 1.5 Číselné množiny –– užívat označení číselných oborů N, Z, Q a R; B9 –– zapisovat a znázorňovat číselné množiny a intervaly, určovat jejich průnik a sjednocení.

I. CVIČNÝ TEST

Ukázková úloha:

1 bod

Vypočítejte (7,5 ∙ 103 ∙ 2 ∙ 102)2. Výsledek zapište ve tvaru a ∙ 10n, kde a ϵ ⟨1; 10), n ϵ N.

Rozložte na součin lineárních výrazů: x2 – (y – 3)2.

Je dán pravidelný devítiúhelník KLMNOPQRS. Vypočítejte velikost úhlu SPN.

max. 2 body

Maturita z matematiky • ZD

9 max. 2 body 2

2. ALGEBRAICKÉ VÝRAZY Žák dovede: 2.1 Algebraický výraz –– určit hodnotu výrazu; –– určit nulový bod výrazu; –– určit definiční obor výrazu; K ÚLOZE 6 –VÝCHOZÍ – sestavitTEXT výraz, interpretovat výraz; –Z– krychle modelovat reálné situace užitím výrazů. o hraně 3,8 dm má soustružník vysoustružit válec podle obrázku.

A 2

B 10

2.2 Mnohočleny –– užít pojmy člen, koeficient, stupeň mnohočlenu; –– provádět operace s mnohočleny, provádět umocnění dvojčlenu pomocí vzorců; –– rozložit mnohočlen na součin vytýkáním a užitím vzorců.

max. 2 body

Vypočítejte, kolik procent bude činit odpad. Výsledek zaokrouhlete na desetiny 2.3 Lomené výrazy procenta.

–– provádět operace s lomenými výrazy; –– určit definiční obor lomeného výrazu. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7

spisovatel, který neumí apsát na počítači, potřebuje přepsat knihu o 320 stranách. Písař2.4Jistý Výrazy s mocninami odmocninami ji sama přepíše za 6 dní. Písařka Hanka je pomalejší, sama ji přepíše za 8 dní. Ale –ka – Alena provádět operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny; spisovateli „hoří“ termín a potřebuje knihu odevzdat za 3 dny. –– určit definiční obor výrazu s mocninami a odmocninami.

Ukázková úloha: jestli obě písařky společně stihnou knihu přepsat. 7 Vypočítejte,

max. 2 body

Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V1–V3. V1: 3x2 + 3x – 18 V2: x2 – 9 V3: x3 + 27

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9

3.V krabici ROVNICE A NEROVNICE je 15 výrobků, z nichž právě 6 je vadných. Žák dovede: 9

1 bod

Kolika způsoby lze vybrat 10 výrobků tak, aby právě 3 byly vadné?

3.1 Algebraické rovnice a nerovnice –– užít pojmy rovnice a nerovnice s jednou neznámou, levá a pravá strana rovnice a nerovVÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 nice, obor rovnice a nerovnice, kořen rovnice, množina všech řešení rovnice a nerovnice; Kvádr má rozměry v poměru 2 : 3 : 6. Objem tohoto kvádru se rovná 972 dm3.

max. 2 body

1010

Určete délky jeho stran v cm.

Maturita z matematiky • ZD

A2 –– užít ekvivalentní úpravy rovnice a nerovnice; –– provádět zkoušku. 3.2 Lineární rovnice a jejich soustavy –– řešit lineární rovnice o jedné neznámé; B1 –– vyjádřit neznámou ze vzorce; –– řešit rovnice v součinovém a podílovém tvaru; VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 –– řešit početně soustavy lineárních rovnic; Do krychle o hraně délky a je vepsána koule o poloměru r. –– řešit graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých; –– užít lineární rovnice a jejich soustavy při řešení slovní úlohy.

A 2

3.3 Rovnice s neznámou ve jmenovateli –– stanovit definiční obor rovnice; –– řešit rovnice o jedné neznámé s neznámou ve jmenovateli; max. 4 body –– vyjádřit neznámou ze vzorce; 10 –– užít rovnice s neznámou ve jmenovateli při řešení slovní úlohy; 10.1 Napište vztah pro výpočet poloměru r vepsané koule v závislosti na objemu V –– využít k řešení slovní úlohy nepřímé úměrnosti. krychle. 10. 2 Jaký je poměr (vyjádřený zlomkem) objemu vepsané koule k objemu krychle? (Poměr vyjádřete zlomkem v základním tvaru.) 3.4 Kvadratické rovnice –– řešit neúplné i úplné kvadratické rovnice a nerovnice; –– užít vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice; 11 Jsou dány přímky: –– užít úlohy. p :kvadratickou 4x – 3y = 0; p :rovnici 3x + 4ypři = 0;řešení p : 3x slovní + 4y – 25 = 0; p : y – 4 = 0.

max. 2 body

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikolinerovnice (NE): 3.5 Lineární s jednou neznámou a jejich soustavy ANO NE –– řešit lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy; 11.1 Přímky p1 a p3 jsou kolmé. –– řešit nerovnice v součinovém a podílovém tvaru. 11.2 Přímky p2 a p3 jsou totožné. 11.3 Přímky p1, p2 a p3 se protínají právě v jediném společném bodě. Ukázková úloha: 11.4 Přímky p1, p3 a p4 se protínají právě v jediném společném bodě. 2 body

3 x Je dána rovnice – + x = – s neznámou x ∈ R. x–3 x–3 Které z uvedených čísel (A–E) je součtem hodnot všech kořenů rovnice? A) 4 B) 3 C) –1 D) –3 E) –4 2 body

Jsou dány číslice 0, 1, 3, 4 a 9. Kolik sudých přirozených trojciferných čísel mohu z těchto číslic sestavit? A) 10 B) 20 C) 40 Maturita z matematiky • ZD D) 50 E) 125

4. FUNKCE Žák dovede:

A 2

4.1 Základní poznatky o funkcích –– užít různá zadání funkce a používat s porozuměním pojmy definiční obor, obor hodnot, argument funkce, hodnota funkce, graf funkce včetně jeho názvu; –– sestrojit graf funkce dané předpisem y = f(x) nebo část grafu pro hodnoty proměnné x z dané množiny, určit hodnoty proměnné x pro dané hodnoty funkce f; –– přiřadit předpis funkce ke grafu funkce a opačně; –– určit průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic; –– určit z grafu funkce intervaly monotonie a bod, v němž nabývá funkce extrému; –– užívat výrazy s elementárními funkcemi; –– modelovat reálné závislosti užitím elementárních funkcí. 4.2 –– –– –– –– –– –– –– ––

Lineární funkce, lineární lomená funkce užít pojem a vlastnosti přímé úměrnosti, sestrojit její graf; určit lineární funkci, sestrojit její graf; objasnit geometrický význam parametrů a, b v předpisu funkce y = ax + b; určit předpis lineární funkce z daných bodů nebo grafu funkce; užít pojem a vlastnosti nepřímé úměrnosti, sestrojit její graf; užít pojem a vlastnosti lineární lomené funkce, sestrojit její graf; určit předpis lineární lomené funkce z daných bodů nebo grafu funkce; řešit reálné problémy pomocí lineární funkce a lineární lomené funkce.

4.3 Kvadratické funkce –– určit kvadratickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf kvadratické funkce; –– vysvětlit význam parametrů v předpisu kvadratické funkce, určit intervaly monotonie a bod, v němž nabývá funkce extrému; –– řešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce. 4.4 Exponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice –– určit exponenciální funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf; –– určit logaritmickou funkci, stanovit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf, užít definici logaritmické funkce; –– vysvětlit význam základu a v předpisech obou funkcí, monotonie; –– užít logaritmu, věty o logaritmech, řešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, užít logaritmování při řešení exponenciální rovnice;

Maturita z matematiky • ZD

B 9A 2 TEXT K ÚLOZE 7 –VÝCHOZÍ – upravovat výrazy obsahující exponenciální a logaritmické funkce a stanovit jejich deStudenti finičnípřipravili obor; hru obdobnou Sportce. Sázející vybíral (zaškrtával) tři čísla z přirozených čísel od 1 do 10. Pro výhru 1. pořadí bylo nutno uhodnout správně všechna tři čísla, proprakticvý–– použít poznatky o exponenciálních a logaritmických funkcích v jednoduchých hru 2. pořadí dvě čísla ze tří. kých úlohách. max. 4 body

4.57 Goniometrické funkce –7.1 – užít pojmy orientovaný úhel,výhry velikost úhlu, stupňová oblouková míra atvaru. jejich přeJaká je pravděpodobnost 1. pořadí? Zapište míra, zlomkem v základním 7.2vody; Jaká je pravděpodobnost výhry 2. pořadí? Zapište zlomkem v základním tvaru. –– definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku; max. 2 body π π 2 –8– definovat goniometrické v intervalu resp. ––;– nebo (0, π)), resp. Trojúhelník ABC má obsahfunkce S =12 cm , a = 8 cm,(0, b =2π), 6 cm, γ > 90°. 2 2 Určete velikost největšího úhlu. v oboru reálných čísel, u každé z nich určit definiční obor a obor hodnot, sestrojit graf; –– užívat vlastností goniometrických funkcí, určit z grafu funkce intervaly monotonie 2 body a body, v nichž nabývá funkce extrému; 2 9 Plakátovací plochu tvoří plášť válce o průměru 80 cm a výšce 1 m. Za 1 m plochy za–– upravovat jednoduché obsahující goniometrické funkce a stanovit jejich defiplatí nájemce denně 20výrazy Kč. niční obor; Kolik stojí pronájem celé plochy na měsíc červenec? –– užívat a vztahů goniometrických funkcí při řešení jednoduchých goniometA) 1vlastností 244 Kč B) 1 345 Kč rických rovnic.

(

)

C) 1 498 Kč D) 1 558 Kč Ukázková úloha: E) 1 684 Kč

2 body

Kvadratická funkce je dána rovnicí y = 2x – 8x. Grafem funkce je parabola s vrcholem V. Souřadnice vrcholu paraboly vyberte z možností A–E. A) V [–2; 24] B) V [0; 0] C) V [2; –8] D) V [2; 8] E) V [4; 0] 2

max. 2 body

V rovině jsou dány přímky p: x + 3y – 4 = 0, q: –3x + y + 5 = 0. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 5. POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA ANO NE Normálovým vektorem přímky p je v = (1; 3). Žák11.1 dovede: 11.2 Směrovým vektorem přímky q je v = (1; 3). 11.3 Přímky p, q jsou na sebe kolmé. 5.1 Základní poznatky o posloupnostech 11.4 Průsečíkem přímek p, q je bod R [–1,6; 0,8].

–– aplikovat znalosti o funkcích při úvahách o posloupnostech a při řešení úloh o posloupnostech; –– určit posloupnost vzorcem pro n–tý člen, graficky, výčtem prvků. Maturita z matematiky • ZD

Maturita z matematiky • ZD

A 2

max. 2 body

Určete maximální hodnotu, které nabývá výraz f(x) = –2 ∙ (x + 3) + 7, jestliže za proměnnou x dosazujete libovolná reálná čísla. 2

max. 2 body

5.2 Aritmetická posloupnost 5 Učitel přinesl na hodinu dva dřevěné modely kuželů, které byly vyrobeny ze stejného –– určit aritmetickou posloupnost chápat význam druhu dřeva. První model vážil a800 gramů. Druhýdiference; model měl dvojnásobný poloměr –– užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost. podstavy, ale poloviční výšku. Určete hmotnost druhého kuželu v gramech.

5.3 Geometrická posloupnost –– určit geometrickou posloupnost a chápat význam kvocientu; VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 –– užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost. V kolmém trojbokém hranolu tvoří podstavu pravoúhlý trojúhelník s přeponou o délce a jednou odvěsnou o délce 6 dm. Objem je finanční 960 dm3. matematika 5.410 dm Využití posloupností pro řešení úloh zhranolu praxe,

A 2

–– využít poznatků o posloupnostech při řešení problémů v reálných situacích; max. 3 body –6– řešit úlohy finanční matematiky. 6.1 Vypočítejte obsah podstavy. 6.2 Vypočítejte Ukázková úloha: výšku hranolu.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Jirka začal o prázdninách trénovat kliky. První měřený výkon z 1. července 2012 byl 24 kliků. Naplánoval si, že se každý den zlepší o 3 kliky.

6. PLANIMETRIE 2

Žák dovede:

Maturita z matematiky • ZD

6.1 Planimetrické pojmy a poznatky –– užít pojmy bod, přímka, polopřímka, rovina, polorovina, úsečka, úhly (vedlejší, vrcholové, střídavé, souhlasné), objekty znázornit; –– užít s porozuměním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovině (rovnoběžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti bodů a přímek); –– rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat jejich vlastnosti a správně jich užívat; –– využít poznatků o množinách všech bodů dané vlastnosti v konstrukčních úlohách. 6.2 Trojúhelníky –– určit objekty v trojúhelníku, znázornit je a správně využít jejich základních vlastností, pojmy užívat s porozuměním (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, výšky, ortocentrum, těžnice, těžiště, střední příčky, kružnice opsaná a vepsaná); –– při řešení početních i konstrukčních úloh využívat věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků;

Maturita z matematiky • ZD

A2 –– užít s porozuměním poznatky o trojúhelnících (obvod, obsah, velikost výšky, Pythagorova věta, poznatky o těžnicích a těžišti) v úlohách početní geometrie; –– řešit úlohy s užitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku a obecného trojúhelníku (sinová věta, kosinová věta, obsah trojúhelníku určeného sus). 6.3 Mnohoúhelníky –– rozlišit základní druhy čtyřúhelníků (různoběžníky, rovnoběžníky, lichoběžníky), popsat jejich vlastnosti a správně jich užívat; –– pojmenovat, znázornit a správně užít základní pojmy ve čtyřúhelníku (strany, vnitřní a vnější úhly, osy stran a úhlů, kružnice opsaná a vepsaná, úhlopříčky, výšky); –– popsat, znázornit a užít vlastnosti konvexních mnohoúhelníků a pravidelných mnohoúhelníků; –– užít s porozuměním poznatky o čtyřúhelnících (obvod, obsah, vlastnosti úhlopříček a kružnice opsané nebo vepsané) v úlohách početní geometrie; –– užít s porozuměním poznatky o pravidelných mnohoúhelnících v úlohách početní geometrie. 6.4 Kružnice a kruh –– pojmenovat, znázornit a správně užít základní pojmy týkající se kružnice a kruhu (tětiB 5va, kružnicový oblouk, kruhová výseč a úseč, mezikruží), popsat a užít jejich vlastnosti; –– užít s porozuměním polohové vztahy mezi body, přímkami a kružnicemi; –– aplikovat metrické poznatky o kružnicích a kruzích (obvod, obsah) v úlohách početní geometrie.

I. CVIČNÝ TEST

max. 2 body 6.5 Geometrická zobrazení 2 1 Zjednodušte výraz (2x – 5) – (2x – 5) ∙ (2x + 5) + 20x. –– popsat a určit shodná zobrazení (souměrnosti, posunutí, otočení) a užít jejich vlastnosti. 1 bod

Ukázková úloha: 2 Určete nejmenší trojciferné přirozené číslo, které je dělitelné číslem 8 i 12. max. 3 body

Pro povrch kvádru bez horní podstavy platí vzorec: S = ab + 2bc + 2ac. Vyjádřete neznámý rozměr b.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Z kovového pásku tvaru obdélníka o délce 3,1 dm a šířce 3 cm se zhotovují podložky. Podložky mají tvar mezikruží s vnějším průměrem 3 cm a vnitřním průměrem 1 cm.

Maturita z matematiky • ZD 5

max. 5 bodů

A 2

7. STEREOMETRIE Žák dovede: 7.1 Tělesa B3 –– charakterizovat jednotlivá tělesa (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotační válec, rotační kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její části), vypočítat jejich objem a povrch; max. 2 body –9– užívat jednotky délky, obsahu a objemu, provádět převody jednotek; –9.1 – užít polohové a metrické vlastnosti v hranolu; Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo končí trojkou? Jakápoznatků je pravděpodobnost, vytvořené číslo je dělitelné pěti? –9.2 – využít o tělesech vže úlohách.

A 2

Ukázková úloha: VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK 10 Bazén na obrázku má hloubku h, šířku a, délku b. Svislé vnitřní rohy jsou zakulacené s poloměrem křivosti r.

max. 3 body

8.10.1 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Vyjádřete pomocí délky r, oč by se zmenšil půdorys původně obdélníkového bazénu zakulacením jednoho svislého rohu. Určete objem vody v bazénu plném po okraj pomocí délek a, b, h, r. Žák10.2 dovede:

8.1 Souřadnice bodu a vektoru na přímce VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 –– určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky; –Funkce – užít je pojmy dána vektor grafem.a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru; –– provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem). 8.2 Souřadnice bodu a vektoru v rovině –– užít souřadnice bodu v kartézské soustavě souřadnic; –– určit vzdálenost dvou bodů a souřadnice středu úsečky; –– užít pojmy vektor a jeho umístění, souřadnice vektoru a velikost vektoru; –– provádět operace s vektory (součet vektorů, násobek vektoru reálným číslem, skalární součin vektorů) a užít jejich grafickou interpretaci; 2 body –11 – určit velikost úhlu dvou vektorů, užít vlastnosti kolmých a kolineárních vektorů. Kterou dvojici vlastností má funkce na intervalu 〈–3; 3〉? A) spojitá a rostoucí B) nespojitá a klesající C) spojitá a klesající D) nespojitá a prostá E) nespojitá a lichá

Maturita z matematiky • ZD

A2 8.3 Přímka v rovině

–– užít parametrické vyjádření přímky, obecnou rovnici přímky a směrnicový tvar rovnice přímky v rovině; –– určit polohové a metrické vztahy bodů a přímek v rovině a aplikovat je v úlohách. Ukázková úloha: B 10 max. 2 body

11.1 11.2 11.3 11.4

Jsou dány dva body A [–3; 4] a B [5; 0]. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE Přímka AB má rovnici x + 2y – 5 = 0. Polopřímka AB je dána rovnicí: x = –3 + 8t; y = 4 – 4t, t ∊ (–∞; 1〉. Bod C [0; 2] leží na přímce AB. Opačná polopřímka k polopřímce AB je dána rovnicí: x = –3 + 8t, y = 4 – 4t, t ∊ (–∞; 0〉.

12 Je dána rovnice: 14 – 3x = – s neznámou x ∈ R. x–1 Čemu je roven součetPRAVDĚPODOBNOST všech kořenů této rovnice?A STATISTIKA 9. KOMBINATORIKA, A) Součet všech kořenů je roven 0. B) Součet všech kořenů je –5. Žák dovede: C) Součet všech kořenů je 5. D) Součet kořenů je roven 10. 9.1 Základní poznatky z kombinatoriky a pravděpodobnosti E) Součet kořenů není žádné z čísel A)–D).

A 2

2 body

–– užít základní kombinatorická pravidla; –– rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace,2 body kombi13 nace Na bez ciferníku hodinek vyznačte trojúhelník, který spojuje body odpovídající číslům opakování), určit jejich počty a užít je v reálných situacích; 10, 7, 3. –– počítat s faktoriály a kombinačními čísly; Určete velikost vnitřních úhlů takto vzniklého trojúhelníku. –– užít porozuměním pojmy náhodný pokus, výsledek náhodného pokusu, náhodný A) s60°; 70°; 50° jev,B)opačný jev, 65°; 75°; 40°nemožný jev a jistý jev; C) 60°; 75°; 45° –– určit množinu všech možných výsledků náhodného pokusu, počet všech výsledků příD) 65°; 80°; 50° znivých náhodnému jevu a vypočítat pravděpodobnost náhodného jevu. E) 60°; 85°; 35°

9.2 Základní poznatky ze statistiky max. 4 body –14 – užít pojmy ke statistický soubor, souboru, jednotka, Přiřaďte každé funkci f1–frozsah (14.1–14.4) jejístatistická definiční obor (A–F):statistický znak kva4 litativní a5xkvantitativní, hodnota znaku a pojmy vysvětlit; +2 14.1 f1: y =– –4 –– vypočítatx četnost a relativní četnost hodnoty znaku, sestavit tabulku četností, graficky 14.2 f2: y = log (2 + x) znázornit f3: y = √25 – x2 –14.3 – rozdělení četností;

x+3 14.4 f4: y = log – x–3 A) R ∖ {4} B) R ∖ {0} C) (–2; ∞) Maturita z D) matematiky (0, +∞) • ZD E) 〈–5; 5〉

součet obsahů dvou čtverců, kde jeden má stranu délky sin x a druhý stranu délky cos x? 1 A2 A) – cm2 2 √2 – B) charakteristiky cm2 –– určit polohy (aritmetický průměr, medián, modus, percentil) a variabili2

ty (rozptyl √3 a směrodatná odchylka); C) – cm2 2 a vyhodnotit statistická data v grafech a tabulkách. –– vyhledat D) 1 cm2

E) √2 cm2 Ukázková úloha: max. 4 body

A 2

Jsou dány číslice 0, 1, 2, 5, 7, 8. Z nich sestavujeme trojciferná přirozená čísla tak, že číslice se v nich neopakují. Přiřaďte ke každé situaci (13.1–13.4) číslo, které jí odpovídá (A– F):

13.1 13.2 13.3 13.4

Počet všech takto sestavených trojciferných čísel. Počet všech takto sestavených trojciferných čísel dělitelných dvěma. Počet všech takto sestavených trojciferných čísel větších než 200. Počet všech takto sestavených trojciferných čísel menších než 720. A) 50 B) 52 C) 68 D) 80 E) 100 F) 120 KONEC TESTU

Katalog požadavků je nutným minimem, při přípravě, cvičení a ve vlastní výuce je nanejvýš vhodné tyto mantinely znalostními i dovednostními cíli překračovat.

Maturita z matematiky • ZD

B4 Mladí manželé využili k nákupu bytu výhodnou hypotéku 1 500 000 Kč úročenou jen 4 % p. a. Již dva roky každý měsíc splácejí 15 000 Kč. Banka úročí dluh a připisuje splátku jednouA 3 ročně v den sjednání hypotéky.

I. CVIČNÝ TEST

A3 JAK PRACOVAT SE CVIČNÝMI TESTY

max. 3 body

max. 2 body

Mgr. Kotler 5.1Tomáš O kolik korun dluh nižší po první 1 Písmena A a Bjevyjadřují každá jednusplátce? z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jejich pomo5.2 cí Kolik korun bance dluží po dvou splácení?číslo AB. Pro jejich součet platí: vytvoříme trojciferné číslo ABAletech a dvojciferné

ABA 1 Orientace ve cvičném testu

+ AB VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6–8 – 910 má takovou architekturu, jež vizuálně i obKaždý cvičný test, který v této publikaci najdete, Společnost provozující síť mobilních telefonů nabízí dva nové programy služeb OPTIMUM sahově, skladbou a volbou úloh, náročností i časovým rozvrhem co nejvíce didaka STANDARD. Do reklamního letáku chce vložit graf znázorňující závislost výšeodpovídá měsíční platUrčete číslici B. tickým které jsou studentům předkládány ostré státní maturitní zkoušky. by natestům, počtu provolaných minut a stručný komentář,během který bude obsahovat informace o měU každého testu je na prvním jméno a stránkové rozvržení jednotlivých základsíčním paušálu, počtu volnýchlistě minut a ceněautora za jednu provolanou minutu nad rámec volných max. 2 body minut. ních částí cvičného testu pro snazší orientaci v něm. 2 Je dán výraz V = (√(250 ) – 248) ∙ (√(249) – 247) ∙ … ∙ (√(24) – 22) ∙ (√(23) – 21) ∙ (√(22) – 20). Vypočtěte hodnotu výrazu V.

Na druhém listě již začíná vlastní zadání testu (označeno v obsahu jako Cvičný test).

max. 2 body

Každá napřed vpravo uvedené svéb = bodové hodnocení, poté o řádek níže 3 úloha Je dánv testu kvádr omá podstavných hranách a = 4 cm, 2 cm a výšce c = 2 cm. 3 úlohy a dále vlastní zadání. následuje zleva cm číslo O kolik se zmenší jeho objem, zvětšíme-li hranu a o n2 centimetrů, hranu b o n centimetrů prodloužíme a hranu c naopak o n centimetrů zkrátíme?

Uveďme dva příklady zadání úlohy:

max. 2 body

4 Pro x ∈ (9;zadání + ∞) je dána funkce f : y = log3 (x – 9), jejíž graf protíná souřadnicovou osu x I. Jednoduché úlohy v bodě P. Určete vzdálenost d bodu P od bodu [6; 3].

číslo úlohy

6 5

otázka

hodnocení 1 bod 1 bod

Určete měsíční paušál programu STANDARD. Řešte rovnici 4 ∙ 3x + 3x-1 = 117 s neznámou x ∈ R.

max. 2 body

7 Určete v programu cenu jedné minuty provolané V prvním případě je úlohaOPTIMUM tvořena pouze jednoduchou otázkou,navíc. proto je toto zadání VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6

přímo za číslem úlohy.

Do závodu v přeskoku se přihlásilo 24 borců z Královéhradeckého kraje. Čtyři z max. nich2 body hájí 8 Vypočítejte maximální počet provolaných minut za je měsíc, kterém výhodtělovýchovného klubu z Jičína. Gymnastů z Jaroměře třikrátpři méně než je gymnastů II. barvy Zadání úlohy s výchozím textem nější využívat služeb programu STANDARD. z Trutnova, gymnastů z Trutnova je o dva více než gymnastů z Náchoda. Jeden gymnasta přijel z Rychnova nad Kněžnou. Po urputném klání získal jeden gymnasta zlatou, jeden stříbrnou a jeden bronzovou medaili. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 max. 2 body B3 Počítačový program náhodně vytváří přirozená trojciferná čísla. 6 číslo úlohy 6.1 Kolik atletů přijelo z Náchoda? hodnocení max. 2 body otázka podúlohy 6.2 Jaká je pravděpodobnost p, že zlato získá gymnasta z Jaroměře nebo z Trutnova? číslo podúlohy 9

Maturita z matematiky • ZD 9.1 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo končí trojkou? 9.2 Jaká je pravděpodobnost, že vytvořené číslo je dělitelné pěti? 2

Maturita z matematiky • ZD

V druhém úlohu VÝCHOZÍpřípadě TEXT A tvoří OBRÁZEK 10komplikovanější zadání. Toto zadání je představeno jako VÝCHOZÍ TEXT. Je-li součástí zadání i obrázek, potom VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK, přičemž je Bazén na obrázku má hloubku h, šířku a, délku b. Svislé vnitřní rohy jsou zakulacené s poloměrem křivosti r.

Maturita z matematiky • ZD

A 3

A3 dále uvedeno, zda se vztahuje k jedné či více úlohám, včetně čísla, resp. čísel daných úloh. Toto zadání je od otázek úloh názorně odděleno i graficky. Hodnocení se vždy vztahuje k celé úloze, hodnocení jednotlivých podúloh lze zjistit v záznamovém listu či klíči. Za poslední úlohou v testu je jasně oznámeno sdělením KONEC TESTU, že se jedná o úlohu závěrečnou.

A 3

2 Jak pracovat s autorským řešením a

3 tg α = si– = –za cíl nabídnout řešiteli nebo hodnotiteli možnost kontroly nejen Autorské řešení klade b 4 správnéhoαřešení, ale také postupu, jak jej má být dosaženo. =̇ 36,9° Pokud si nevšimneme, že trojúhelník je pravoúhlý, řešíme využitím kosinové

Uspořádání, grafická úprava i struktura věty. Nejmenší vnitřní úhel měříkopírují 36,9°. vlastní cvičný test s tím rozdílem, že za každou úlohou (či podúlohami) následuje graficky jasně oddělený autorský návrh možného postupu s uvedením správného řešení. Řešení: 36,9° max. 2 body

Určete maximální hodnotu, které nabývá výraz f(x) = –2 ∙ (x + 3) + 7, jestliže za proměnnou x dosazujete libovolná reálná čísla. 2

Výraz (x + 3)2 je nezáporný (to znamená kladný nebo rovný nule). Nule se rovná jen pro x = –3. Pro ostatní hodnoty je kladný. Proto je výraz –2 ∙ (x + 3)2 záporný nebo rovný nule. Maximální hodnota tohoto výrazu je rovna nule. K nule pak již jen přičteme číslo 7. Výraz f(x) = –2 ∙ (x + 3)2 + 7 má maximum rovné 0 + 7 = 7. Výraz nabývá maximální hodnoty 7.

autorský návrh postupu

Řešení: 7

řešení max. 2 body

Učitel přinesl na hodinu dva dřevěné modely kuželů, které byly vyrobeny ze stejného

Tento návrh žáka nebo učitele krokuDruhý postupem správného výsledku, druhuvede dřeva. První model vážilkrok 800po gramů. modeldosažení měl dvojnásobný poloměr případně nabízí i jiné alternativy řešení, jak je možné zhlédnout v následujícím příkladu. podstavy, ale poloviční výšku. Určete hmotnost druhého kuželu v gramech.

1 První kužel s poloměrem r a výškou v má objem V1 = – πr2v. 3 Druhý kužel s dvojnásobným poloměrem a poloviční výškou má objem 1 v v 1 1 V2 = – π ∙ (2r)2 ∙ – = – π ∙ 4r2 ∙ – = 2 ∙ – πr2v = 2 ∙ V1. 3 2 3 2 3 Bez využití proměnných lze vyvodit, že objem roste s druhou mocninou poloměru a s první mocninou výšky. Proto stačí vypočítat, kolikrát má druhý kužel větší 1 objem než první takto: 4 ∙ – = 2. Maturita z matematiky • ZD 2 Protože se zdvojnásobí objem, zdvojnásobí se také hmotnost.

max. 4 body

Ke grafům funkcí na obrázcích 15.1–15.4 přiřaďte zadání těchto funkcí rovnicí A–F.

15.1

15.2

A 3 15.3

15.4

A) B) C) D) E) F)

y=x+2 y=x–2 y = 2x + 2 y = –2x – 2 y = –x + 2 y = –x – 2

Maturita z matematiky • ZD

15.1 Přímka je grafem lineární funkce, kterou zapíšeme ve tvaru y = kx + q. Koeficient q udává y-ovou souřadnici průsečíku přímky s osou y. Pro tento graf q = 2. Pro určení koeficientu k dosadíme za proměnné souřadnice průsečíku přímky s osou x. To je bod o souřadnicích x = –2, y = 0. Vychází rovnice 0 = k ∙ (–2) + 2. Z toho k = 1. Výsledná rovnice k tomuto grafu je y = x + 2, což je možnost A. Pro rychlejší řešení stačí vybírat jen z nabídek, ve kterých je q = 2, což je A, E. Funkce je podle grafu rostoucí, proto musí mít koeficient k kladný. Tomu odpovídá možnost A. Řešení: A

A 3

alternativní postup

Autorské15.2 řešení by nemělo být závazné pro hodnotitele při posuzování, zda výsledek, kterychlé řešení: tomto případě q = –2. Tomurelevantním, odpovídají možnosti rého žák Uvedeme dosáhl, jejen správný. PokudV k němu řešiteljedošel jiným, jednoznačným B, F. Funkce je podle grafu klesající, proto musí mít koeficient k záporný. Tomu oda bezchybným postupem, než který je uveden v řešení, je výsledek plně akceptovatelný. povídá možnost F. ani část možných variant postupů, pouze jednu z modelových Není možné uvést všechny možností. Řešení: F

Při práci s testem lze žákům toto autorské řešení jako jednu z možných alternativ ukázat během reflexe a zhodnocení již absolvovaného testu. 15.3 Uvedeme jen rychlé řešení: V tomto případě je q = –2. Tomu odpovídají možnosti

Naopak v případě samostudia spíše doporučujeme, zprvu kzkoušel řešení sám, B, F. Funkce je podle grafu rostoucí, proto musíaby mít žák koeficient kladný.nalézt Tomu odaž poté, kdy řešení (ať jižB. správného, či chybného) dosáhne, by měl projít autorský návrh jako povídá možnost pomoc nebo kontrolu. Řešení: B

Seznámit se s postupem řešení problému dříve, než jej začnu počítat, plně nerozvíjí schopnost matematické úlohy zvládat. Cesta k úspěchu při podobných zadáních 15.4 nestojí na zapamatování si široké škály modelových situací, ale na vhodně zvoleUvedeme jen rychlé řešení: V tomto případě je q = 2. Tomu odpovídají možnosti ných nástrojích, jak podobné problémy řešit. A, E. Funkce je podle grafu klesající, proto musí mít koeficient k záporný. Tomu odpovídá možnost E. Řešení: E

KONEC TESTU

Maturita z matematiky • ZD

3 Jak pracovat se záznamovým listem Záznamový list se skládá z následujících graficky jasně oddělených částí (viz obrázek 5): úvodní informace k testu tabulka obtížnosti záznamové kolonky s počty bodů

IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–8 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 9–15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.

Úloha

Správné řešení

B9 Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

35–30

29–24

23–18

17–12

A 3

Počet bodů

1 bod

max. 2 body

5 5.1

max. 2 body

5.2

max. 2 body

Obrázek 5: Ukázka záznamového listu. 7.1

max. 2 bod

V úvodních informacích se řešitel dočte, jaký je maximální zisk bodů, které úlohy jsou otevře7.2 max. 2 body né, a pokyn, jaký záznam je od řešitele očekáván a které úlohy jsou uzavřené, pokyn k zapisování 8 výsledků a poznámka, že právě jedna odpověď je správná. max. 2 body 9

2 body

Řešení, která mají studenti určit, zapisují do řádků ve sloupci Správné řešení, a to vždy ke 10 úloze zvlášť. Je-li úloha členěna do podúloh, nepíše se řešení 2 body každé do řádku s číslem úlohy, ale do 11 řádku s čísly příslušných podúloh. 11.1 11.2 11.3

max. 2 body 4 podúlohy 3 podúlohy 2 podúlohy 1 podúloha 0 podúloh

2 b. 1 b. 0 b. 0 b. 0 b.

11.4 12

2 body

Maturita z matematiky • ZD

4 Jak pracovat s klíčem Klíč slouží hodnotiteli (potažmo i řešiteli) pro rychlou orientaci ve výsledcích testu. Má zcela totožnou strukturu jako záznamový list jen s tím rozdílem, že ve sloupci Správné řešení jsou uvedeny očekávané výsledky (viz obrázek 6). B9

III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 1–8 jsou otevřené. 3) Úlohy 9–15 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.

A 3

Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

35–30

29–24

23–18

17–12

Úloha

Správné řešení

Počet bodů

2,25 ∙1012

1 bod

(x + y – 3) ∙ (x – y + 3)

max. 2 body

80°

max. 2 body

x=3

max. 2 body

5.1

400 cm

max. 2 body

5.2

5 571 cm2

max. 2 body

Obrázek 6: Ukázka klíče. 6 x = 10

max. 2 body

Při interpretaci a hodnocení správných výsledků, které jsou v klíči uvedeny, platí stejný pří1 – s autorským řešením. I při úzkých odpovědích stup jako 7.1 při práci max.může 2 bodřešitel zvolit mírně 120 odlišný závěr, který ale není chybný. Například místo slova „zvětší“ uvede „naroste“, zamění 7 – 7.2 max. 2 body pořadí činitelů40 v součinu, uvede číslo v exponenciálním tvaru, ačkoliv v klíči (a v autorském řešení číslo v tomto tvaru uvedeno není, atd. Výslednou podobu 8 rovněž)150° max. 2 body řešení mohou ale omezit podmínky uvedené v zadání (například míra zaokrouhlení, řešení v daných jednot9 D 2 body kách apod.). Jejich nedodržení může být u vícebodových úloh důvodem k částečnému strC 2 body Na tento fakt je třeba žení10bodů, u jednobodových úloh dokonce k nulovému hodnocení. řešitele 11 upozornit. max. 2 body 4 podúlohy 2 b. V ostré maturitě se hodnotí finální výstup, který žák uvede v záznamovém 3 podúlohy 1 b. archu, 11.2 ANO 2 podúlohy 0 b.zapisováveďte, milí učitelé, žáky i prostřednictvím těchto testů k zodpovědnému 1 podúloha 0 b. 11.3 ANO ní výsledků. Je zbytečné ztratit body, má-li postup správně, a jen nevhodně 0 podúloh 0 b. odpoví na položený 11.4 NEdotaz. 11.1

ANO

2 body

Maturita z matematiky • ZD

A4 JAK VYUŽÍT SEZNAM ÚLOH Mgr. Tomáš Kotler V oddílu C najdete úlohy použité v testech roztříděné podle tematických okruhů (viz tabulka 4). Úlohy roztříděné podle tematických okruhů mohou učiteli (a případně i žákovi) pomoci –– procházet úlohy dle tématu a ověřovat znalosti a dovednosti podle kapitol ročníků, v kterém se žáci nachází a které již absolvovali; Žáci v příslušných ročnících dle aktuálních ŠVP škol nemají určité učivo probrané a komplexní testy tak nepřináší kýžený efekt ověření získaných poznatků. –– vybírat úlohy ověřující dílčí kompetence uvedené v Části A katalogu požadavků vytvářených Cermatem či dle vlastních kritérií a nároků, Vyučující mnohdy potřebuje s žáky projít úlohy zaměřené na rozvoj dílčí dovednosti např. matematického modelování, matematizace reálné situace či rozboru a diskuze řešení. Úlohy v běžných testech většinou ověřují kompetence komplexně, žádnou konkrétní nepreferují. Možnost vytvořit si vlastní test, který naopak tento záměr naplní, může být neocenitelnou výhodou. –– vytvářet vlastní varianty cvičných testů v pojetí odpovídajícímu rozsahem i obsahem testům ostré maturitní zkoušky. Cvičné testy Raabe jsou uzpůsobeny běžné 45 minutové hodině, testy ostré maturity trvají 90 minut čistého času a ještě by měli žáci 15 minut promýšlet strategii, s jakou do řešení půjdou. S jednotlivými aktualizacemi budou příslušné tematické okruhy obsahovat stále více různých úloh. Případných nově sestavených testů tak budou desítky variant. Každému tematickému okruhu je věnována samostatná kapitola oddílu. Seznam tematických okruhů a kapitol uvádí tabulka 4. Seznamy úloh mají pro každý tematický okruh stejnou grafickou podobu. Jednotlivé otázky neobsahují čísla, aby bylo možné je po výběru do testu seřadit a očíslovat dle potřeby. Po každé úloze následuje linie, podle níž je možné úlohy odstřihnout. U každé úlohy je rovněž uveden odkaz na autorské řešení v příslušném testu, kde byla úloha použita.

Maturita z matematiky • ZD

A 3

A3 Cvičné testy mohou usnadnit žákům přípravu k maturitě, rozvíjí ale i jejich schopnost se rozhodnout, zvolit strategii řešení, hospodařit s časem, o čtenářské gramotnosti nemluvě. Přípravné cvičné testy je dobré zapojit i v průběhu studia jako ověřování dílčích dovedností, ne jen do závěrečného tréninku. Testy nejsou ideálním nástrojem sumarizace poznatků, jsou nástrojem, který zvládnutí syntézy poznatků ověřuje. I taková činnost si zaslouží dlouhodobější výcvik. Možnost vytváření si vlastních testů – dle náročnosti, tématu, kompetencí, dovedností či jiné strategie, bude jistě velkým přínosem k výuce matematiky v maturitních oborech na střední škole. C2

A 3

číslo tematického okruhu

volné pole pro doplnění čísel otázky

max. 2 body

Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V1–V3: V1: –2x2 + 10x – 12 odkaz na autorské řešení úlohy V2: x2 + 3x – 10 3 2 v příslušném cvičném testu V3: 4x – 8x Kde najdete řešení? test B 1 – str. 6 – úloha 1

úlohy je možné rozstříhat a setřídit jinak

max. 2 body

Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256. Výsledek zapište jako číslo nebo zjednodušený výraz s proměnnou x. Kde najdete řešení? test B 2 – str. 6 – úloha 1

max. 2 body

Určete maximální hodnotu, které nabývá výraz f(x) = –2 ∙ (x + 3) + 7, jestliže za proměnnou x dosazujete libovolná reálná čísla. 2

Kde najdete řešení? test B 2 – str. 7 – úloha 4

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Z plné 100hl nádrže A přečerpáváme kapalinu do nádrže B o objemu 150 hl, která na začátku měření času obsahuje 40 hl kapaliny. Každou minutu přeteče 5 hl kapaliny. max. 4 body

Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži A na čase t (v min). Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži B na čase t (v min). Za kolik minut bude v obou nádržích stejný objem kapaliny? Za kolik minut se vyprázdní nádrž A? Kde najdete řešení? test B 2 – str. 9 – úloha 8

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE x2 – y2 – 3x2y2 Je dán výraz V =– . – 2y – 1 1 + 2x 8 – –– x y

Maturita z matematiky • ZD