B 15
I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku strany 1 cm. Do mřížky byl vrýsován nekonvexní mnohoúhelník tak, že všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky.
B 15 1 bod
1
Vypočtěte v cm obsah S vyznačeného mnohoúhelníku. 2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 x2y – y + 2x2 – 2 Je dán výraz –– . xy + 2x – y – 2 3 body
2 2.1 Určete, pro která x a y nemá daný výraz smysl. 2.2 Určete hodnotu výrazu pro x = 5. 2.3 Určete, pro kterou hodnotu proměnné x má daný výraz hodnotu větší než 3? 1 bod
3
2
Je dán výraz x + 6x + 12. Určete minimální hodnotu výrazu d, které může výraz nabývat. 2
Maturita z matematiky • 02
B 15
II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku strany 1 cm. Do mřížky byl vrýsován nekonvexní mnohoúhelník tak, že všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky.
B 15 1 bod
1
Vypočtěte v cm obsah S vyznačeného mnohoúhelníku. 2
Rozdělíme-li si vhodně čtvercovou mřížku na pět obdélníků a jeden čtverec, jejichž obsahy označíme A, B, C, D, E a F, představuje obsah S vyznačeného obrazce polovinu součtu obsahů takto vytvořených pravoúhelníků. Jelikož strana každého čtverečku je dlouhá 1 cm, a tudíž každý čtvereček má obsah 1 cm2, mají pravoúhelníky následující obsahy v cm2: A = 2, B = 4, C = 2, D = 4, E = 12, F = 8 1 (A + B + C + D + E + F ) = Tedy S = – 2 1 (2 + 4 + 2 + 4 + 12 + 8) = – 1 ∙ 32 = 16 cm2 =– 2 2
Řešení: S = 16 cm2
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 x2y – y + 2x2 – 2 Je dán výraz –– . xy + 2x – y – 2
6
Maturita z matematiky • 02
B 15
III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Úloha
Správné řešení
Počet bodů
1
S = 16 cm2
1 bod
2 2.1 x = 1 ∨ y = –2
1 bod
2.2 6
1 bod
2.3 x > 2
1 bod
3
d=3
1 bod
4
Uveďte postup řešení.
max. 2 body
B 15
Vyjádříme objemy obou válců. Objem válce V1 = πr12v1, válce V2 = πr22v2. Zapíšeme poloměr objemu obou válců: V πr12v1 2 –1 =– =– V2 πr22v2 3 Dosadíme velikosti poloměrů r1 = 2 cm, r2 = 4 cm a vyjádříme poměr výšek. 4πv1 2 – =– 16πv2 3 v1 2 –=– /∙ 4 4v2 3 v 8 –1 = – v2 3 Poměr v1 : v2 výšek válců je 8 : 3.
5
d=4
1 bod
6 6.1 nejvýše z 25 částí
1 bod
6.2 64 cm
1 bod
7
C
2 body
8
C
2 body
Maturita z matematiky • 02
15
B 15
IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 4 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.
Úloha
Správné řešení
1
Tabulka úspěšnosti Počet bodů
Výsledná známka
20–17
výborně
16–14
chvalitebně
13–11
dobře
10–7
dostatečně
6 a méně
nedostatečně
Počet bodů 1 bod
2 2.1
1 bod
2.2
1 bod
2.3
1 bod
3
1 bod
4
max. 2 body
5
1 bod
B 15
6 6.1
1 bod
6.2
1 bod
7
2 body
8
2 body
Maturita z matematiky • 02
17
C2 max. 2 body
Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V1–V3: V1: –2x2 + 10x – 12 V2: x2 + 3x – 10 V3: 4x3 – 8x2 Kde najdete řešení? test B 1 – str. 6 – úloha 1
max. 2 body
Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256. Výsledek zapište jako číslo nebo zjednodušený výraz s proměnnou x. Kde najdete řešení? test B 2 – str. 6 – úloha 1
max. 2 body
Určete maximální hodnotu, které nabývá výraz f(x) = –2 ∙ (x + 3) + 7, jestliže za proměnnou x dosazujete libovolná reálná čísla. 2
C 2
Kde najdete řešení? test B 2 – str. 7 – úloha 4
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Z plné 100hl nádrže A přečerpáváme kapalinu do nádrže B o objemu 150 hl, která na začátku měření času obsahuje 40 hl kapaliny. Každou minutu přeteče 5 hl kapaliny.
max. 4 body
Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži A na čase t (v min). Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži B na čase t (v min). Za kolik minut bude v obou nádržích stejný objem kapaliny? Za kolik minut se vyprázdní nádrž A? Kde najdete řešení? test B 2 – str. 9 – úloha 8
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE – x2 – y2 2 2 3x y . Je dán výraz V =– – 2y – 1 + 2x 1 – –– x y
max. 3 body
Zjednodušte výraz V. Určete hodnotu výrazu V pro x = 2, y = 1. Kde najdete řešení? test B 3 – str. 8 – úloha 3
2
Maturita z matematiky • 02