Maturita z matematiky – ukázkové strany

B 15

I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku strany 1 cm. Do mřížky byl vrýsován nekonvexní mnohoúhelník tak, že všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky.

B 15 1 bod

1

Vypočtěte v cm obsah S vyznačeného mnohoúhelníku.

2

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 x2y – y + 2x2 – 2 Je dán výraz –– . xy + 2x – y – 2 3 body

2 2.1 Určete, pro která x a y nemá daný výraz smysl.

2.2 Určete hodnotu výrazu pro x = 5.

2.3 Určete, pro kterou hodnotu proměnné x má daný výraz hodnotu větší než 3?

1 bod

3

2

Je dán výraz x + 6x + 12.

Určete minimální hodnotu výrazu d, které může výraz nabývat.

2

Maturita z matematiky • 02

B 15

II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku strany 1 cm. Do mřížky byl vrýsován nekonvexní mnohoúhelník tak, že všechny jeho vrcholy jsou umístěny do vrcholů čtvercové mřížky.

B 15 1 bod

1

Vypočtěte v cm obsah S vyznačeného mnohoúhelníku.

2

Rozdělíme-li si vhodně čtvercovou mřížku na pět obdélníků a jeden čtverec, jejichž obsahy označíme A, B, C, D, E a F, představuje obsah S vyznačeného obrazce polovinu součtu obsahů takto vytvořených pravoúhelníků. Jelikož strana každého čtverečku je dlouhá 1 cm, a tudíž každý čtvereček má obsah 1 cm2, mají pravoúhelníky následující obsahy v cm2: A = 2, B = 4, C = 2, D = 4, E = 12, F = 8 1 (A + B + C + D + E + F ) = Tedy S = – 2 1 (2 + 4 + 2 + 4 + 12 + 8) = – 1 ∙ 32 = 16 cm2 =– 2 2

Řešení: S = 16 cm2

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 x2y – y + 2x2 – 2 Je dán výraz –– . xy + 2x – y – 2

6

Maturita z matematiky • 02

B 15

III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů.

2) Úlohy 1–6 jsou otevřené.

3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná.

Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

20–17

výborně

16–14

chvalitebně

13–11

dobře

10–7

dostatečně

6 a méně

nedostatečně

Úloha

Správné řešení

Počet bodů

1

S = 16 cm2

1 bod

2 2.1 x = 1 ∨ y = –2

1 bod

2.2 6

1 bod

2.3 x > 2

1 bod

3

d=3

1 bod

4

Uveďte postup řešení.

max. 2 body

B 15

Vyjádříme objemy obou válců.

Objem válce V1 = πr12v1, válce V2 = πr22v2.

Zapíšeme poloměr objemu obou válců: V πr12v1 2 –1 =– =– V2 πr22v2 3 Dosadíme velikosti poloměrů r1 = 2 cm, r2 = 4 cm a vyjádříme poměr výšek.

4πv1 2 – =– 16πv2 3 v1 2 –=– /∙ 4 4v2 3 v 8 –1 = – v2 3 Poměr v1 : v2 výšek válců je 8 : 3.

5

d=4

1 bod

6 6.1 nejvýše z 25 částí

1 bod

6.2 64 cm

1 bod

7

C

2 body

8

C

2 body

Maturita z matematiky • 02

15

B 15

IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů.

2) Úlohy 1–6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 4 uveďte i celý postup řešení.

3) Úlohy 7–10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost.

Úloha

Správné řešení

1

Tabulka úspěšnosti Počet bodů

Výsledná známka

20–17

výborně

16–14

chvalitebně

13–11

dobře

10–7

dostatečně

6 a méně

nedostatečně

Počet bodů 1 bod

2 2.1

1 bod

2.2

1 bod

2.3

1 bod

3

1 bod

4

max. 2 body

5

1 bod

B 15

6 6.1

1 bod

6.2

1 bod

7

2 body

8

2 body

Maturita z matematiky • 02

17

C2 max. 2 body

Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V1–V3: V1: –2x2 + 10x – 12 V2: x2 + 3x – 10 V3: 4x3 – 8x2 Kde najdete řešení? test B 1 – str. 6 – úloha 1

max. 2 body

Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Výsledek zapište jako číslo nebo zjednodušený výraz s proměnnou x.

Kde najdete řešení? test B 2 – str. 6 – úloha 1

max. 2 body

Určete maximální hodnotu, které nabývá výraz f(x) = –2 ∙ (x + 3) + 7, jestliže za proměnnou x dosazujete libovolná reálná čísla.

2

C 2

Kde najdete řešení? test B 2 – str. 7 – úloha 4

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Z plné 100hl nádrže A přečerpáváme kapalinu do nádrže B o objemu 150 hl, která na začátku měření času obsahuje 40 hl kapaliny. Každou minutu přeteče 5 hl kapaliny.

max. 4 body

Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži A na čase t (v min).

Vyjádřete rovnicí závislost objemu kapaliny V (v hl) v nádrži B na čase t (v min).

Za kolik minut bude v obou nádržích stejný objem kapaliny?

Za kolik minut se vyprázdní nádrž A? Kde najdete řešení? test B 2 – str. 9 – úloha 8

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE – x2 – y2 2 2 3x y .

Je dán výraz V =– – 2y – 1 + 2x 1 – –– x y

max. 3 body

Zjednodušte výraz V. Určete hodnotu výrazu V pro x = 2, y = 1.

Kde najdete řešení? test B 3 – str. 8 – úloha 3

2

Maturita z matematiky • 02