Zadania na dowodzenie

Page 1

Zadania na dowodzenie

PUBLIKACJA DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZAKRZEW 2014

Zadania na dowodzenie Publikacja dla uczniów gimnazjum i szkoły średniej Rafał Kobza Pod redakcją pani Donaty Olędzkiej

Publiczne Gimnazjum nr 1 im. Henryka Sienkiewicza w Zakrzewie

Spis treści Część teoretyczna ....................................................................................................................................8 Algebra Część testowa ........................................................................................................................... 11 Część otwarta ........................................................................................................................... 20 Geometria Część testowa ........................................................................................................................... 31 Część otwarta ........................................................................................................................... 40

Źródła Materiały szkoleniowe dla nauczycieli matematyki GWO Podręczniki dla gimnazjum z serii „Matematyka z plusem” GWO Arkusze zadań z konkursów przedmiotowych MKO dla uczniów województwa mazowieckiego (G) Gazetka Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów „Kwadrat” Arkusze zadań z części testowych Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Arkusze zadań z egzaminów gimnazjalnych CKE Arkusze zadań z próbnych egzaminów maturalnych z „Operonem” i „Gazetą Wyborczą”

Część teoretyczna

Hipoteza i twierdzenie Hipoteza (inaczej przypuszczenie) to nieudowodnione zdanie matematyczne. Twierdzenie to udowodnione zdanie matematyczne głoszące, że jeśli zostaną spełnione pewne warunki (założenie), to zachodzi jakieś zjawisko lub zależność (teza).

Cecha podzielności liczby przez 6 Jeśli liczba jest podzielna przez 2 i przez 3, to dzieli się także przez 6.

Twierdzenie Pitagorasa Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne powstaje w wyniku zamiany założenia z tezą. Uwaga! Otrzymane zdanie nie zawsze jest prawdziwe.

Jeśli w trójkącie suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Jeśli czworokąt jest kwadratem, to jest też prostokątem. (PRAWDA) Jeśli czworokąt jest prostokątem, to jest też kwadratem. (FAŁSZ)

Pojęcia pierwotne i definicja Pojęcia pierwotne nie mają definicji. Czym w końcu jest punkt, prosta czy przestrzeń? Definicja w sposób precyzyjny wyjaśnia dane słowo. Często zawiera pojęcia pierwotne.

Odcinek – część prostej ograniczona dwoma punktami wraz z tymi punktami Liczba pierwsza – liczba mająca tylko dwa dzielniki (jeden i siebie samą)

8

Przykład i kontrprzykład Przykład słuşy przedstawieniu danego zjawiska lub zaleşności w określonej sytuacji. Kontrprzykład słuşy podwaşeniu słuszności danego przypuszczenia, wskazując zazwyczaj na jego niedoskonałość.

Sprawdź, czy dla dowolnej liczby � liczba postaci 2� jest podzielna przez 2. Przypuszczenie powyşej jest prawdziwe dla takich wartości liczby � jak 3 lub 5 (przykład), ale juş nie dla � = 1,5 (kontrprzykład). Jak widać, w dowodzeniu nie naleşy kierować się tym, şe w pewnych sytuacjach dana hipoteza jest prawdziwa, gdyş dla innych przypadków moşe okazać się fałszywa.

Metody dowodzenia

1) Dowód wprost – wykazanie, şe jeśli załoşenie jest prawdziwe, to prawdziwa jest teş teza 2) Dowód nie wprost – wykazanie, şe jeśli teza jest nieprawdziwa, to nieprawdziwe jest teş załoşenie (→ zadanie 7/46) 3) Dowód geometryczny – wykazanie słuszności danego przypuszczenia przy uşyciu praw geometrii 4) Dowód niezaleşności – wykazanie, şe słuszności danego przypuszczenia nie moşna udowodnić 5) Dowód konstruktywny – wykazanie słuszności danego przypuszczenia przy uşyciu przykładu, np. „Udowodnij, şe istnieje taki wielościan, który‌� 6) Dowód z zastosowaniem kontrprzykładu – podwaşenie słuszności danego przypuszczenia 7) Dowód z zastosowaniem komputerów – często krytykowany, gdyş umoşliwia jedynie sprawdzenie słuszności danego przypuszczenia do pewnych granic liczbowych

9

Algebra

Część testowa – treści zadań

Treść kaşdego z ponişszych zadań zawiera trzy stwierdzenia. Kaşde z nich jest prawdziwe lub fałszywe. Jeśli dane stwierdzenie jest prawdziwe, wpisz w odpowiednią kratkę literkę T, jeśli zaś stwierdzenie jest fałszywe, wpisz literkę N.

Zadanie đ?&#x;?. Suma cyfr pewnej dodatniej liczby caĹ‚kowitej wynosi 6. Wynika z tego, Ĺźe liczba ta jest podzielna przez a) 2. b) 3. c) 5.

Zadanie đ?&#x;?. Liczby đ?‘Ž, đ?‘? i đ?‘? sÄ… kolejnymi dodatnimi liczbami caĹ‚kowitymi. Wynika z tego, Ĺźe a) liczba đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? jest podzielna przez 3. b) liczba 2đ?‘Ž + đ?‘? jest podzielna przez 3. c) liczba đ?‘Ž + 2đ?‘? jest podzielna przez 3.

Zadanie đ?&#x;‘. Suma pewnych czterech dodatnich liczb caĹ‚kowitych jest liczbÄ… nieparzystÄ…. Wynika z tego, Ĺźe a) co najmniej jedna z tych liczb jest nieparzysta. b) co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta. c) dokĹ‚adnie dwie z tych liczb mogÄ… być parzyste.

Zadanie đ?&#x;’. Liczba (2 + √3) ∙ (2 − √3) jest a) niewymierna. b) caĹ‚kowita. c) rĂłwna 1.

11

Część testowa – treści zadań

Zadanie đ?&#x;“. Liczba √0,4444 ‌ a) nie istnieje. b) jest rĂłwna 0,2222 ‌ c) jest rĂłwna 0,6666 ‌

Zadanie đ?&#x;”. Sens liczbowy ma wyraĹźenie a) 3/0. b) √−4. 3

c) √2.

Zadanie đ?&#x;•. PewnÄ… liczbÄ™ podniesiono do potÄ™gi drugiej. Wynika z tego, Ĺźe otrzymana liczba jest a) wymierna. b) wiÄ™ksza lub rĂłwna zero. c) wiÄ™ksza od liczby poczÄ…tkowej.

Zadanie đ?&#x;–. RĂłwnanie đ?‘Ľ 2 − 15 = 21 a) nie ma rozwiÄ…zaĹ„. b) ma dokĹ‚adnie jedno rozwiÄ…zanie. c) ma dokĹ‚adnie dwa rozwiÄ…zania.

12

Część testowa – treści zadań

Zadanie đ?&#x;—. Pewne dodatnie liczby caĹ‚kowite dodatnie speĹ‚niajÄ… rĂłwnoĹ›ci đ?‘Ž + đ?‘? = đ?‘? i đ?‘Ž − đ?‘? = đ?‘‘. Wynika z tego, Ĺźe a) đ?‘? < đ?‘‘. b) đ?‘? + đ?‘‘ = 2đ?‘Ž. c) đ?‘? − đ?‘‘ = 2đ?‘?.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;Ž. IstniejÄ… takie liczby pierwsze đ?‘? i đ?‘ž, Ĺźe liczba a) đ?‘? + đ?‘ž jest liczbÄ… pierwszÄ…. b) đ?‘?đ?‘ž + 1 jest liczbÄ… pierwszÄ…. c) đ?‘?đ?‘ž + 1 jest liczbÄ… zĹ‚oĹźonÄ… (ma wiÄ™cej niĹź dwa dzielniki).

13

Część testowa - rozwiÄ…zania Zadanie đ?&#x;?. Suma cyfr pewnej dodatniej liczby caĹ‚kowitej wynosi 6. Wynika z tego, Ĺźe liczba ta jest podzielna przez N

a) 2.

T

b) 3.

N

c) 5.

a) Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta. W treści zadania nie ma o tym ani słowa. b) Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr takşe dzieli się przez 3 (6/3 = 2). c) Liczba jest podzielna przez 5, jeśli kończy się na 0 lub 5. W treści zadania nie ma o tym ani słowa.

Kontrprzykład do zdań a) i c) Rozpatrzmy liczbę 33. Choć suma jej cyfr jest równa 6, liczba 33 nie dzieli się ani przez 2, ani przez 5.

Zadanie đ?&#x;?. Liczby đ?‘Ž, đ?‘? i đ?‘? sÄ… kolejnymi dodatnimi liczbami caĹ‚kowitymi. Wynika z tego, Ĺźe T

a) liczba đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? jest podzielna przez 3.

N

b) liczba 2đ?‘Ž + đ?‘? jest podzielna przez 3.

N

c) liczba đ?‘Ž + 2đ?‘? jest podzielna przez 3.

ZauwaĹźmy, Ĺźe liczbÄ™ đ?‘? moĹźemy zapisać jako đ?‘Ž + 1, natomiast liczbÄ™ đ?‘? – jako đ?‘Ž + 2. WĂłwczas đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? = đ?‘Ž + đ?‘Ž + 1 + đ?‘Ž + 2 = 3đ?‘Ž + 3 = 3 ∙ (đ?‘Ž + 1) , 1 2đ?‘Ž + đ?‘? = 2đ?‘Ž + đ?‘Ž + 1 = 3đ?‘Ž + 1 = 3 ∙ (đ?‘Ž + ) , 3 2 đ?‘Ž + 2đ?‘? = đ?‘Ž + 2 ∙ (đ?‘Ž + 1) = 3đ?‘Ž + 2 = 3 ∙ (đ?‘Ž + ) . 3 1

2

Liczby � + 3 i � + 3 nie są całkowite, co świadczy o nieprawdziwości zdań b) i c).

14

Część testowa – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;‘. Suma pewnych czterech dodatnich liczb caĹ‚kowitych jest liczbÄ… nieparzystÄ…. Wynika z tego, Ĺźe T

a) co najmniej jedna z tych liczb jest nieparzysta.

T

b) co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta.

N

c) dokładnie dwie z tych liczb mogą być parzyste.

ZauwaĹźmy, Ĺźe liczbÄ™ parzystÄ… moĹźemy zapisać jako 2đ?‘›, natomiast liczbÄ™ nieparzystÄ… – jako 2đ?‘› + 1, gdzie đ?‘› to dodatnia liczba caĹ‚kowita. JeĹ›li wszystkie podane w zadaniu liczby byĹ‚yby parzyste, to moglibyĹ›my zapisać ich sumÄ™ jako 2đ?‘Ž + 2đ?‘? + 2đ?‘? + 2đ?‘‘ = 2 ∙ (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘) . Jak widać, suma tych liczb byĹ‚aby wĂłwczas liczbÄ… parzystÄ…, co stoi w sprzecznoĹ›ci z warunkami zadania. Wnioskujemy stÄ…d, Ĺźe co najmniej jedna z nich jest nieparzysta. W podobny sposĂłb dowodzimy, Ĺźe co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta. JeĹ›li dokĹ‚adnie dwie z tych czterech liczb byĹ‚yby parzyste, to 2đ?‘Ž + 2đ?‘? + 2đ?‘? + 1 + 2đ?‘‘ + 1 = 2đ?‘Ž + 2đ?‘? + 2đ?‘? + 2đ?‘‘ + 2 = 2 ∙ (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘ + 1) .

Zadanie đ?&#x;’. Liczba (2 + √3) ∙ (2 − √3) jest N

a) niewymierna.

T

b) całkowita.

T

c) rĂłwna 1.

Aby wykonać działania szybciej, zastosujemy wzór skróconego mnoşenia1. 2

(2 + √3) ∙ (2 − √3) = 22 − (√3) = 4 − 3 = 1 Liczba 1 jest caĹ‚kowita, czyli naleĹźy do zbioru liczb wymiernych. Jak widać, pozory mylÄ…. Pierwiastki nie zawsze zwiastujÄ… niewymierność wyraĹźenia.

1

(đ?‘Ž + đ?‘?) ∙ (đ?‘Ž − đ?‘?) = đ?‘Ž2 − đ?‘? 2

15

Część testowa – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;“. Liczba √0,4444 ‌ N

a) nie istnieje.

N

b) jest równa 0,2222 ‌

T

c) jest równa 0,6666 ‌

4

Oznaczmy przez đ?‘› liczbÄ™ 0,4444 ‌ WĂłwczas 10đ?‘› = 4 + đ?‘› , czyli 9đ?‘› = 4, wiÄ™c đ?‘› = 9. Wnioskujemy stÄ…d, Ĺźe 4 2 6 √0,4444 ‌ = √ = = = 0,6666 ‌ 9 3 9

Zadanie đ?&#x;”. Sens liczbowy ma wyraĹźenie N

a) 3/0.

N

b) √−4.

T

c) √2.

3

Zauwaşmy, şe sens liczbowy ma takie wyraşenie, które zachodzi. a) Nie moşemy dzielić przez zero. b) Co prawda potęgowanie i pierwiastkowanie to działania odwrotne, ale nie istnieje taka liczba, która podniesiona do kwadratu będzie liczbą ujemną. 3

c) WyraĹźenie √2 w przybliĹźeniu wynosi 1,26.

PrzykĹ‚ady do zdania b) 22 = 4 (−2)2 = 4

16

Część testowa – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;•. PewnÄ… liczbÄ™ podniesiono do potÄ™gi drugiej. Wynika z tego, Ĺźe otrzymana liczba jest N

a) wymierna.

T

b) większa lub równa zero.

N

c) większa od liczby początkowej.

a) Jeśli niewymierny pierwiastek trzeciego stopnia podniesiemy do potęgi drugiej, to dostaniemy liczbę, która wciąş będzie niewymierna. b) Kwadrat dowolnej liczby (takşe ujemnej) jest większy lub równy zero. W końcu „minus razy minus daje plus�. c) Jeśli dodatni ułamek zwykły podniesiemy do potęgi drugiej, to dostaniemy liczbę mniejszą od liczby początkowej.

Przykłady 3

3

3

3

a) (√2)2 = √2 ∙ √2 = √4 b) (−3)2 = (−3) ∙ (−3) = 9 1 2

1 1

1

c) (2) = 2 ∙ 2 = 4

Zadanie đ?&#x;–. RĂłwnanie đ?‘Ľ 2 − 15 = 21 N

a) nie ma rozwiązań.

N

b) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

T

c) ma dokładnie dwa rozwiązania.

đ?‘Ľ 2 − 15 = 21 đ?‘Ľ 2 = 36 đ?‘Ľ = 6 lub đ?‘Ľ = (−6)

17

Część testowa – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;—. Pewne dodatnie liczby caĹ‚kowite speĹ‚niajÄ… rĂłwnoĹ›ci đ?‘Ž + đ?‘? = đ?‘? i đ?‘Ž − đ?‘? = đ?‘‘. Wynika z tego, Ĺźe N

a) đ?‘? < đ?‘‘.

T

b) đ?‘? + đ?‘‘ = 2đ?‘Ž.

T

c) đ?‘? − đ?‘‘ = 2đ?‘?.

a) đ?‘Ž+đ?‘? > đ?‘Žâˆ’đ?‘? đ?‘?>đ?‘‘

b) đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘Ž − đ?‘? = 2đ?‘Ž đ?‘? + đ?‘‘ = 2đ?‘Ž

c) đ?‘Ž + đ?‘? − (đ?‘Ž − đ?‘?) = 2đ?‘? đ?‘? − đ?‘‘ = 2đ?‘?

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;Ž. IstniejÄ… takie liczby pierwsze đ?‘? i đ?‘ž, Ĺźe liczba T

a) đ?‘? + đ?‘ž jest liczbÄ… pierwszÄ….

T

b) đ?‘?đ?‘ž + 1 jest liczbÄ… pierwszÄ….

T

c) đ?‘?đ?‘ž + 1 jest liczbÄ… zĹ‚oĹźonÄ… (ma wiÄ™cej niĹź dwa dzielniki).

a) Dla đ?‘? = 2 i đ?‘ž = 3 liczba đ?‘? + đ?‘ž = 5 jest liczbÄ… pierwszÄ…. b) Dla đ?‘? = 2 i đ?‘ž = 3 liczba đ?‘?đ?‘ž + 1 = 7 jest liczbÄ… pierwszÄ…. c) Dla đ?‘? = 3 i đ?‘ž = 5 liczba đ?‘?đ?‘ž + 1 = 16 jest liczbÄ… zĹ‚oĹźonÄ… (ma wiÄ™cej niĹź dwa dzielniki).

18

Część otwarta – treści zadań

Zadanie đ?&#x;?. Udowodnij, Ĺźe iloczyn dowolnej liczby podzielnej przez 2 i dowolnej liczby podzielnej przez 3 dzieli siÄ™ przez 6.

Zadanie đ?&#x;?. Udowodnij, Ĺźe dla dowolnej liczby caĹ‚kowitej dodatniej đ?‘› liczba postaci đ?‘›2 − đ?‘› jest podzielna przez 2.

Zadanie đ?&#x;‘. Udowodnij, Ĺźe dla dowolnej liczby caĹ‚kowitej dodatniej đ?‘› liczba postaci đ?‘›3 − đ?‘› jest podzielna przez 6.

Zadanie đ?&#x;’. Udowodnij, Ĺźe kwadrat dowolnej liczby caĹ‚kowitej dodatniej đ?‘› jest podzielny przez 9 albo przy dzieleniu przez 3 daje resztÄ™ 1.

Zadanie đ?&#x;“. Udowodnij, Ĺźe suma dowolnej liczby dwucyfrowej dodatniej i liczby powstaĹ‚ej z przestawienia jej cyfr jest podzielna przez 11.

Zadanie đ?&#x;”. Udowodnij, Ĺźe liczba 252 + 253 + 254 jest podzielna przez 7.

Zadanie đ?&#x;•. Udowodnij, Ĺźe liczba 20152 + 4 ∙ 2015 + 4 jest podzielna przez 2017.

Zadanie đ?&#x;–. Udowodnij, Ĺźe suma kwadratĂłw dwĂłch dowolnych liczb caĹ‚kowitych dodatnich jest wiÄ™ksza lub rĂłwna podwojonemu iloczynowi tych liczb.

Zadanie đ?&#x;—. Udowodnij, Ĺźe kwadrat Ĺ›redniej arytmetycznej dwĂłch dowolnych liczb caĹ‚kowitych dodatnich jest wiÄ™kszy lub rĂłwny iloczynowi tych liczb.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;Ž. Udowodnij, Ĺźe jeĹ›li dowolne liczby caĹ‚kowite dodatnie speĹ‚niajÄ… nierĂłwnoĹ›ci đ?‘Ž < đ?‘? i đ?‘? < đ?‘?, to đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? < . 2 3

20

Część otwarta – treści zadań

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?. Udowodnij, Ĺźe liczba 436 jest wiÄ™ksza od 724 .

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?. Udowodnij, Ĺźe wĹ›rĂłd dowolnych jedenastu liczb naturalnych istniejÄ… dwie, ktĂłre majÄ… tÄ™ samÄ… cyfrÄ™ jednoĹ›ci.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;‘. SprawdĹş, czy istnieje liczba, ktĂłrej iloczyn cyfr jest rĂłwny 92.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;’. Wyznacz ostatniÄ… cyfrÄ™ liczby 230 .

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;“. 3đ?‘? đ?‘Ž 1 Wyznacz wartość wyraĹźenia đ?‘Ž+đ?‘?, jeĹ›li đ?‘Ž+đ?‘? = 3.

21

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;?. Udowodnij, Ĺźe iloczyn dowolnej liczby podzielnej przez 2 i dowolnej liczby podzielnej przez 3 dzieli siÄ™ przez 6.

ZauwaĹźmy, Ĺźe liczbÄ™ podzielnÄ… przez 2 moĹźemy jÄ… zapisać jako 2đ?‘š. Analogicznie, liczbÄ™ podzielnÄ… przez 3 moĹźemy zapisać jako 3đ?‘˜. PrzykĹ‚ady 20 = 2 ∙ 10 30 = 3 ∙ 10 Iloczyn liczb 2đ?‘š i 3đ?‘˜ jest rĂłwny 6đ?‘šđ?‘˜. Otrzymana liczba dzieli siÄ™ przez 2, przez 3 i przez 6.

Zadanie đ?&#x;?. Udowodnij, Ĺźe dla dowolnej liczby caĹ‚kowitej dodatniej đ?‘› liczba postaci đ?‘›2 − đ?‘› jest podzielna przez 2.

Na poczÄ…tku sprĂłbujemy sprowadzić tÄ™ liczbÄ™ do jak najprostszej postaci poprzez wyĹ‚Ä…czenie najwiÄ™kszego wspĂłlnego czynnika za nawias. đ?‘›2 − đ?‘› = (đ?‘› − 1) ∙ đ?‘› Liczby đ?‘› − 1 i đ?‘› sÄ… dwiema kolejnymi dodatnimi liczbami caĹ‚kowitymi, dlatego dokĹ‚adnie jedna z nich jest podzielna przez 2. PrzykĹ‚ady 3i4 56 i 57

Liczba 4 dzieli siÄ™ przez 2 Liczba 56 dzieli siÄ™ przez 2

Liczba đ?‘›2 − đ?‘› bÄ™dÄ…ca iloczynem tych liczb takĹźe jest podzielna przez 2.

22

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;‘. Udowodnij, Ĺźe dla dowolnej liczby caĹ‚kowitej dodatniej đ?‘› liczba postaci đ?‘›3 − đ?‘› jest podzielna przez 6.

Na poczÄ…tku sprĂłbujemy sprowadzić tÄ™ liczbÄ™ do jak najprostszej postaci poprzez wyĹ‚Ä…czenie jej najwiÄ™kszego wspĂłlnego czynnika przed nawias, a nastÄ™pnie zastosowanie wzoru skrĂłconego mnoĹźenia. đ?‘›3 − đ?‘› = đ?‘› ∙ (đ?‘›2 − 1) = đ?‘› ∙ (đ?‘› + 1) ∙ (đ?‘› − 1) = (đ?‘› − 1) ∙ đ?‘› ∙ (đ?‘› + 1) Liczby đ?‘› − 1, đ?‘› i đ?‘› + 1 sÄ… trzema kolejnymi dodatnimi liczbami caĹ‚kowitymi, dlatego co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 2 oraz dokĹ‚adnie jedna jest podzielna przez 3. PrzykĹ‚ady 15, 16 i 17 20, 21 i 22

Liczba 16 dzieli się przez 2, a liczba 15 – przez 3 Liczby 20 i 22 dzielą się przez 2, a liczba 21 – przez 3

Liczba đ?‘›3 − đ?‘› bÄ™dÄ…ca iloczynem tych liczb takĹźe jest podzielna przez 2 i przez 3. Wnioskujemy stÄ…d, Ĺźe liczba đ?‘›3 − đ?‘› dzieli siÄ™ przez 6.

Zadanie đ?&#x;’. Udowodnij, Ĺźe kwadrat dowolnej liczby caĹ‚kowitej dodatniej đ?‘› jest podzielny przez 9 albo przy dzieleniu przez 3 daje resztÄ™ 1.

Zauwaşmy, şe dowolna dodatnia liczba całkowita � jest podzielna przez 3 albo przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 czy teş 2. Przykłady 30 31 32

30 = 3 ∙ 10 31 = 3 ∙ 10 + 1 32 = 3 ∙ 10 + 2

Wnioskujemy stÄ…d, Ĺźe liczbÄ™ đ?‘› moĹźemy zapisać jako 3đ?‘š, 3đ?‘š + 1 lub 3đ?‘š + 2. MoĹźliwe sÄ… wiÄ™c trzy przypadki. 1) (3đ?‘š)2 = 9đ?‘š2 , czyli liczba ta jest podzielna przez 9. 2) (3đ?‘š + 1)2 = 9đ?‘š2 + 6đ?‘š + 1 = 3 ∙ (3đ?‘š2 + 2đ?‘š) + 1, czyli liczba ta przy dzieleniu przez 3 daje resztÄ™ 1. 3) (3đ?‘š + 2)2 = 9đ?‘š2 + 12đ?‘š + 4 = 3 ∙ (3đ?‘š2 + 4đ?‘š + 1) + 1, czyli liczba ta przy dzieleniu przez 3 daje resztÄ™ 1.

23

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;“. Udowodnij, Ĺźe suma dowolnej liczby dwucyfrowej dodatniej i liczby powstaĹ‚ej z przestawienia jej cyfr jest podzielna przez 11.

ZauwaĹźmy, Ĺźe liczbÄ™ dwucyfrowÄ… dodatniÄ… moĹźemy zapisać jako 10đ?‘š + đ?‘˜, gdzie đ?‘š i đ?‘˜ to dodatnie liczby caĹ‚kowite. WĂłwczas liczba powstaĹ‚a z przestawienia jej cyfr przybiera postać 10đ?‘˜ + đ?‘š. PrzykĹ‚ady 26 = 10 ∙ 2 + 6 35 = 10 ∙ 3 + 5

62 = 10 ∙ 6 + 2 53 = 10 ∙ 5 + 3

DowĂłd przeprowadzimy poprzez symboliczne dodanie liczb z treĹ›ci zadania, a nastÄ™pnie wyĹ‚Ä…czenie najwiÄ™kszego wspĂłlnego czynnika przed nawias. 10đ?‘š + đ?‘˜ + 10đ?‘˜ + đ?‘š = 11đ?‘˜ + 11đ?‘š = 11 ∙ (đ?‘š + đ?‘˜)

Zadanie đ?&#x;”. Udowodnij, Ĺźe liczba 252 + 253 + 254 jest podzielna przez 7.

DowĂłd przeprowadzimy poprzez wyĹ‚Ä…czenie najwiÄ™kszego wspĂłlnego czynnika przed nawias z zastosowaniem prawa wykĹ‚adnikĂłw, ktĂłre gĹ‚osi, Ĺźe đ?‘Žđ?‘›+đ?‘š = đ?‘Žđ?‘› ∙ đ?‘Žđ?‘š . 252 + 253 + 254 = 252 + 252 ∙ 21 + 252 ∙ 22 = 252 ∙ (1 + 2 + 4) = 252 ∙ 7

Zadanie đ?&#x;•. Udowodnij, Ĺźe liczba 20152 + 4 ∙ 2015 + 4 jest podzielna przez 2017.

DowĂłd przeprowadzimy poprzez zastosowanie wzoru skrĂłconego mnoĹźenia2. 20152 + 4 ∙ 2015 + 4 = (2015 + 2)2 = 20172 = 2017 ∙ 2017

2

đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 = (đ?‘Ž + đ?‘?)2

24

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;–. Udowodnij, Ĺźe suma kwadratĂłw dwĂłch dowolnych liczb caĹ‚kowitych dodatnich jest wiÄ™ksza lub rĂłwna podwojonemu iloczynowi tych liczb.

Oznaczmy przez đ?‘Ž i đ?‘? dowolne liczby caĹ‚kowite dodatnie. WĂłwczas nierĂłwność ukryta w treĹ›ci zadania przybiera postać đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 ≼ 2đ?‘Žđ?‘?. DowĂłd przeprowadzimy poprzez przeniesienie prawej strony nierĂłwnoĹ›ci na jej lewÄ… część, a nastÄ™pnie zastosowanie wzoru skrĂłconego mnoĹźenia. đ?‘Ž2 + đ?‘? 2 − 2đ?‘Žđ?‘? ≼ 0 (đ?‘Ž − đ?‘?)2 ≼ 0 Kwadrat dowolnej liczby (takĹźe ujemnej) jest wiÄ™kszy lub rĂłwny zero.

Zadanie đ?&#x;—. Udowodnij, Ĺźe kwadrat Ĺ›redniej arytmetycznej dwĂłch dowolnych liczb caĹ‚kowitych dodatnich jest wiÄ™kszy lub rĂłwny iloczynowi tych liczb.

Oznaczmy przez đ?‘Ž i đ?‘? dowolne liczby caĹ‚kowite dodatnie. WĂłwczas nierĂłwność ukryta w treĹ›ci zadađ?‘Ž+đ?‘? 2 ) 2

nia przybiera postać (

≼ đ?‘Žđ?‘?.

PostÄ…pimy podobnie jak w poprzednim zadaniu. đ?‘Ž+đ?‘? 2 ( ) ≼ đ?‘Žđ?‘? 2 đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 ≼ đ?‘Žđ?‘?/∙ 4 4 đ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 ≼ 4đ?‘Žđ?‘? đ?‘Ž2 − 2đ?‘Žđ?‘? + đ?‘? 2 ≼ 0 (đ?‘Ž − đ?‘?)2 ≼ 0 Kwadrat dowolnej liczby (takĹźe ujemnej) jest wiÄ™kszy lub rĂłwny zero.

25

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;Ž. Udowodnij, Ĺźe jeĹ›li dowolne liczby caĹ‚kowite dodatnie speĹ‚niajÄ… nierĂłwnoĹ›ci đ?‘Ž < đ?‘? i đ?‘? < đ?‘?, to đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? < . 2 3 DowĂłd przeprowadzimy poprzez zapisanie nierĂłwnoĹ›ci powyĹźej w jak najprostszej formie.

đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘Ž+đ?‘?+đ?‘? < /∙ 6 2 3 3đ?‘Ž + 3đ?‘? < 2đ?‘Ž + 2đ?‘? + 2đ?‘? đ?‘Ž + đ?‘? < 2đ?‘? Sprawdzimy teraz, czy uzyskana nierĂłwność pokrywa siÄ™ z warunkami zadania. đ?‘Ž<đ?‘? đ?‘?<đ?‘? Po dodaniu tych nierĂłwnoĹ›ci stronami dostaniemy đ?‘Ž + đ?‘? < 2đ?‘?.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?. Udowodnij, Ĺźe liczba 436 jest wiÄ™ksza od 724 . DowĂłd przeprowadzimy poprzez zastosowanie prawa wykĹ‚adnikĂłw, ktĂłre gĹ‚osi, Ĺźe đ?‘Žđ?‘›đ?‘š = (đ?‘Žđ?‘› )đ?‘š . 436 > 724 (43 )12 > (72 )12 6412 > 4912

26

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?. (→ zadanie 15/50) Udowodnij, Ĺźe wĹ›rĂłd dowolnych jedenastu liczb naturalnych istniejÄ… dwie, ktĂłre majÄ… tÄ™ samÄ… cyfrÄ™ jednoĹ›ci.

Zasada szufladkowa3 głosi, şe jeśli umieszczamy przedmioty w szufladkach i dysponujemy większą liczbą przedmiotów, niş szufladek, to w pewnej szufladce znajdą się co najmniej dwa przedmioty. Tę naturalną obserwację wykorzystamy do rozwiązania tego zadania. Mamy 10 moşliwych cyfr jedności (od 0 do 9), niech to będą nasze szufladki. Rozmieszczamy w nich 11 dowolnych liczb. Wówczas z zasady szufladkowej wnioskujemy, şe do pewnej szufladki trafią co najmniej dwie liczby.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;‘. SprawdĹş, czy istnieje liczba, ktĂłrej iloczyn cyfr jest rĂłwny 92.

Na początku rozłoşymy liczbę 92 na czynniki pierwsze. 92 46 23 1

2 2 23

Liczby 92 nie moĹźemy otrzymać w wyniku mnoĹźenia samych cyfr. Musimy uĹźyć jednej z trzech liczb dwucyfrowych (92, 46 lub 23), co stoi w sprzecznoĹ›ci z warunkami zadania. PrzykĹ‚ady 92 = 1 ∙ 92 92 = 2 ∙ 46 92 = 4 ∙ 23

3

Jej autorem jest Peter G. L. Dirichlet.

27

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;’. Wyznacz ostatniÄ… cyfrÄ™ liczby 230 .

Na początku sprawdzimy, jakie cyfry jedności mają kolejne potęgi liczby 2. 21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

Z powyşszej tabeli wnioskujemy, şe cyfry jedności kolejnych potęg liczby 2 powtarzają się w sekwencji 2486. W ciągu trzydziestu cyfr mieści się siedem takich czterocyfrowych sekwencji i jeszcze dwie cyfry (2 i 4). Wobec tego liczba 230 kończy się cyfrą 4.

W wielu zadaniach dotyczących podzielności liczb naleşy wyznaczyć ostatnią cyfrę danej liczby, aby sprawdzić, czy dzieli się ona np. przez 5. Liczba 230 nie ma tej własności, gdyş kończy się cyfrą 4.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;“. 3đ?‘? đ?‘Ž 1 Wyznacz wartość wyraĹźenia đ?‘Ž+đ?‘?, jeĹ›li đ?‘Ž+đ?‘? = 3. To zadanie wykonamy poprzez zastosowanie proporcji. đ?‘Ž 1 = đ?‘Ž+đ?‘? 3 đ?‘Ž + đ?‘? = 3đ?‘Ž đ?‘? = 2đ?‘Ž

Po podstawieniu uzyskanej zaleĹźnoĹ›ci otrzymujemy 3đ?‘? 3 ∙ 2đ?‘Ž 6đ?‘Ž = = =2. đ?‘Ž + đ?‘? đ?‘Ž + 2đ?‘Ž 3đ?‘Ž

28

Notki W kilku zadaniach pominęliśmy fakt, şe dla � = 1 „twierdzenia� są nieprawdziwe. Podobnie naleşy postąpić w takiej sytuacji na konkursie matematycznym lub na egzaminie gimnazjalnym.

Geometria

Część testowa – treści zadań

Treść kaşdego z ponişszych zadań zawiera trzy stwierdzenia. Kaşde z nich jest prawdziwe lub fałszywe. Jeśli dane stwierdzenie jest prawdziwe, wpisz w odpowiednią kratkę literkę T, jeśli zaś stwierdzenie jest fałszywe, wpisz literkę N.

Zadanie đ?&#x;?. TrĂłjkÄ…t o bokach dĹ‚ugoĹ›ci đ?‘Ž, 2đ?‘Ž i 4đ?‘Ž jest a) ostrokÄ…tny. b) prostokÄ…tny. c) rozwartokÄ…tny.

Zadanie đ?&#x;?. Punkt đ?‘† leĹźy w tej samej odlegĹ‚oĹ›ci od wierzchoĹ‚kĂłw trĂłjkÄ…ta. Wynika z tego, Ĺźe punkt đ?‘† a) nie istnieje. b) powstaĹ‚ poprzez przeciÄ™cie siÄ™ symetralnych bokĂłw tego trĂłjkÄ…ta. c) jest Ĺ›rodkiem okrÄ™gu opisanego na tym trĂłjkÄ…cie.

Zadanie đ?&#x;‘. Liczba đ?œ‹ jest rĂłwna a) 3,14. b) stosunkowi dĹ‚ugoĹ›ci okrÄ™gu do jego Ĺ›rednicy. c) stosunkowi pola koĹ‚a do kwadratu jego promienia.

Zadanie đ?&#x;’. PrzekÄ…tne prostokÄ…ta a) dzielÄ… jego kÄ…ty wewnÄ™trzne na poĹ‚owy. b) przecinajÄ… siÄ™ pod kÄ…tem prostym. c) majÄ… tÄ™ samÄ… dĹ‚ugość.

31

Część testowa – treści zadań

Zadanie đ?&#x;“. JeĹ›li wszystkie boki czworokÄ…ta majÄ… tÄ™ samÄ… dĹ‚ugość, to czworokÄ…t ten jest a) rĂłwnolegĹ‚obokiem. b) rombem. c) kwadratem.

Zadanie đ?&#x;”. JeĹ›li kaĹźdy bok kwadratu powiÄ™kszono o 20%, to pole tego kwadratu zwiÄ™kszyĹ‚o siÄ™ a) o 20%. b) o 40%. c) o 44%.

Zadanie đ?&#x;•. KaĹźdy bok i kaĹźdÄ… przekÄ…tnÄ… piÄ™ciokÄ…ta foremnego pomalowano na czerwono lub niebiesko. Wynika z tego, Ĺźe a) pewne trzy boki sÄ… tego samego koloru. b) pewne dwie przekÄ…tne sÄ… róşnych kolorĂłw. c) z pewnego wierzchoĹ‚ka wychodzÄ… trzy odcinki tego samego koloru.

Zadanie đ?&#x;–. JeĹ›li szeĹ›ciokÄ…t jest foremny, to a) ma sześć osi symetrii. b) ma Ĺ›rodek symetrii. c) jego kÄ…ty wewnÄ™trzne majÄ… miarÄ™ 120°.

32

Część testowa – treści zadań

Zadanie đ?&#x;—. Istnieje ostrosĹ‚up majÄ…cy a) 15 Ĺ›cian. b) 15 wierzchoĹ‚kĂłw. c) 15 krawÄ™dzi.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;Ž. Istnieje graniastosĹ‚up majÄ…cy a) 20 Ĺ›cian. b) 20 wierzchoĹ‚kĂłw. c) 20 krawÄ™dzi.

33

Część testowa – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;?. TrĂłjkÄ…t o bokach dĹ‚ugoĹ›ci đ?‘Ž, 2đ?‘Ž i 4đ?‘Ž jest N

a) ostrokÄ…tny.

N

b) prostokÄ…tny.

N

c) rozwartokÄ…tny.

Zanim zdecydujemy, czy jest to trójkąt ostrokątny, czy rozwartokątny, sprawdzimy, czy w ogóle da się go zbudować. Warunek istnienia trójkąta głosi, şe suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości najdłuşszego boku. � + 2� > 4� 3� > 4� Otrzymaliśmy sprzeczność, czyli trójkąt ten nie istnieje.

Zadanie đ?&#x;?. Punkt đ?‘† leĹźy w tej samej odlegĹ‚oĹ›ci od wierzchoĹ‚kĂłw trĂłjkÄ…ta. Wynika z tego, Ĺźe punkt đ?‘† N

a) nie istnieje.

T

b) powstał poprzez przecięcie się symetralnych boków tego trójkąta.

T

c) jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

34

Część testowa – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;‘. Liczba đ?œ‹ jest rĂłwna N

a) 3,14.

T

b) stosunkowi długości okręgu do jego średnicy.

T

c) stosunkowi pola koła do kwadratu jego promienia.

Liczba đ?œ‹ jest liczbÄ… niewymiernÄ…, czyli ma rozwiniÄ™cie dziesiÄ™tne nieskoĹ„czone i nieokresowe. đ?œ‹ = 3,14159265 ‌

b)

c)

đ??ż = đ?œ‹ ∙ 2đ?‘&#x;

đ?‘ƒ = đ?œ‹ ∙ đ?‘&#x;2

đ??ż =đ?œ‹âˆ™đ?‘‘

đ?‘ƒ =đ?œ‹ đ?‘&#x;2

đ??ż =đ?œ‹ đ?‘‘

Zadanie đ?&#x;’. PrzekÄ…tne prostokÄ…ta N

a) dzielą jego kąty wewnętrzne na połowy.

N

b) przecinajÄ… siÄ™ pod kÄ…tem prostym.

T

c) mają tę samą długość.

Aby ocenić prawdziwość zdaĹ„ powyĹźej, narysujmy kilka róşnych prostokÄ…tĂłw i sprawdĹşmy wĹ‚asnoĹ›ci ich przekÄ…tnych.

35

Część testowa – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;“. JeĹ›li wszystkie boki czworokÄ…ta majÄ… tÄ™ samÄ… dĹ‚ugość, to czworokÄ…t ten jest T

a) równoległobokiem.

T

b) rombem.

N

c) kwadratem.

a) Równoległobok – czworokąt mający dwie pary boków równoległych. b) Romb – czworokąt mający wszystkie boki tej samej długości. c) Kwadrat – czworokąt mający wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty proste. W treści zadania nie ma o tym drugim ani słowa. Romb jest równoległobokiem.

Zadanie đ?&#x;”. JeĹ›li kaĹźdy bok kwadratu powiÄ™kszono o 20%, to pole tego kwadratu zwiÄ™kszyĹ‚o siÄ™ N

a) o 20%.

N

b) o 40%.

T

c) o 44%.

Oznaczmy przez � początkową długość boku kwadratu. Po powiększeniu liczby � o 20% dostaniemy 20

12

12

� + 100 � = 10 �. Pole kwadratu o boku długości 10 � jest równe 12 2 144 2 ( �) = � . 10 100 Jak widać, pole tego kwadratu zwiększyło się o 44%.

36

Część testowa – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;•. KaĹźdy bok i kaĹźdÄ… przekÄ…tnÄ… piÄ™ciokÄ…ta foremnego pomalowano na czerwono lub niebiesko. Wynika z tego, Ĺźe T

a) pewne trzy boki sÄ… tego samego koloru.

N

b) pewne dwie przekÄ…tne sÄ… róşnych kolorĂłw.

N

c) z pewnego wierzchołka wychodzą trzy odcinki tego samego koloru.

Zdanie a) jest prawdziwe, co moşemy sprawdzić, rysując wszystkie moşliwe kombinacje kolorów. Gdy pokolorujemy jeden bok na niebiesko, to będziemy musieli pokolorować cztery pozostałe boki na czerwono; gdy pokolorujemy dwa boki na niebiesko, to będziemy musieli pokolorować trzy pozostałe boki na czerwono itd. Aby ocenić prawdziwość zdań b) i c), rozpatrzmy taki pięciokąt foremny, którego kaşdy bok pomalowano na czerwono, a kaşdą przekątną na niebiesko. Z kaşdego wierzchołka tego wielokąta wychodzą dokładnie dwa odcinki czerwone oraz dwa odcinki niebieskie, co widać na załączonym obrazku.

Zadanie đ?&#x;–. JeĹ›li szeĹ›ciokÄ…t jest foremny, to T

a) ma sześć osi symetrii.

T

b) ma środek symetrii.

T

c) jego kÄ…ty wewnÄ™trzne majÄ… miarÄ™ 120°.

Zauwaşmy, şe liczba osi symetrii dowolnego wielokąta foremnego jest równa liczbie jego boków. Jeśli do tego liczba tych boków dzieli się przez 2, to wielokąt ten ma takşe środek symetrii. Miarę kątów wewnętrznych �-kąta foremnego moşemy obliczyć ze wzoru � = �=

(đ?‘›âˆ’2)∙180° . đ?‘›

Wobec tego

(6 − 2) ∙ 180° = 120° . 6

37

Część testowa – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;—. Istnieje ostrosĹ‚up majÄ…cy T

a) 15 ścian.

T

b) 15 wierzchołków.

N

c) 15 krawędzi.

Oznaczmy przez � liczbę krawędzi podstawy dowolnego graniastosłupa. Wówczas � + 1 to liczba jego ścian, ale takşe liczba wierzchołków, natomiast 2� – liczba wszystkich krawędzi. Pozostaje nam napisać trzy równania i wyznaczyć liczby krawędzi podstaw. a) � + 1 = 15 � = 14

b) đ?‘› + 1 = 15 đ?‘› = 14

c) 2đ?‘› = 15 đ?‘› = 7,5

Liczba krawędzi musi być liczbą całkowitą, czyli zdanie c) jest nieprawdziwe.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;Ž. Istnieje graniastosĹ‚up majÄ…cy T

a) 20 ścian.

T

b) 20 wierzchołków.

N

c) 20 krawędzi.

Oznaczmy przez � liczbę krawędzi podstawy dowolnego graniastosłupa. Wówczas � + 2 to liczba jego ścian, 2� – liczba wierzchołków, natomiast 3� – liczba wszystkich krawędzi. Pozostaje nam napisać trzy równania i wyznaczyć liczby krawędzi podstaw. a) � + 2 = 20 � = 18

b) 2đ?‘› = 20 đ?‘› = 10

Liczba krawędzi musi być liczbą całkowitą, czyli zdanie c) jest nieprawdziwe.

38

c) 3� = 20 � = 6,6666 ‌

Część otwarta – treści zadań

Zadanie đ?&#x;?. WykaĹź, Ĺźe jeĹ›li czworokÄ…t jest opisany na okrÄ™gu, to sumy dĹ‚ugoĹ›ci jego przeciwlegĹ‚ych bokĂłw sÄ… rĂłwne. Zadanie đ?&#x;?. 1 WykaĹź, Ĺźe pole czworokÄ…ta o obwodzie đ??ż opisanego na okrÄ™gu o promieniu đ?‘&#x; jest rĂłwne 2 đ??ż ∙ đ?‘&#x;. Zadanie đ?&#x;‘. WykaĹź, Ĺźe promieĹ„ đ?‘&#x; okrÄ™gu wpisanego w trĂłjkÄ…t prostokÄ…tny o przyprostokÄ…tnych dĹ‚ugoĹ›ci đ?‘Ž i đ?‘? đ?‘Ž+đ?‘?−đ?‘? oraz przeciwprostokÄ…tnej đ?‘? dany jest wzorem đ?‘&#x; = 2 . Zadanie đ?&#x;’. Na rysunku prosta đ?‘˜ jest styczna do okrÄ™gu o Ĺ›rodku đ?‘†. WykaĹź, Ĺźe kÄ…t đ?›ź ma miarÄ™ dwukrotnie wiÄ™kszÄ… od kÄ…ta đ?›˝.

Zadanie đ?&#x;“. WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ…t đ??´đ??ľđ??ś przedstawiony na rysunku jest rĂłwnoboczny.

Zadanie đ?&#x;”. Jedno z ramion trĂłjkÄ…ta rĂłwnoramiennego đ??´đ??ľđ??ś przecina prostÄ… prostopadĹ‚Ä… do podstawy đ??´đ??ľ, ktĂłra na przedĹ‚uĹźeniu boku đ??´đ??ś wyznaczyĹ‚a punkt đ??ˇ, na ramieniu đ??ľđ??ś punkt – đ??¸, a na podstawie đ??´đ??ľ – punkt đ??š. WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ…t đ??śđ??ˇđ??¸ jest rĂłwnoramienny. Zadanie đ?&#x;•. WykaĹź, Ĺźe w dowolnym trĂłjkÄ…cie jest kÄ…t wewnÄ™trzny, ktĂłry mierzy co najmniej 60°. Zadanie đ?&#x;–. đ?‘ƒ đ??´đ??ˇ WykaĹź, Ĺźe jeĹ›li punkt đ??ˇ leĹźy na boku đ??´đ??ľ trĂłjkÄ…ta đ??´đ??ľđ??ś, to đ?‘ƒđ??´đ??ˇđ??ś = đ??ˇđ??ľ. đ??ˇđ??ľđ??ś

40

Część otwarta – treści zadań

Zadanie đ?&#x;—. 1 WykaĹź, Ĺźe pole piÄ™ciokÄ…ta przedstawionego na rysunku jest rĂłwne 2 đ?‘Ž ∙ (đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘).

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;Ž. WykaĹź, Ĺźe jeĹ›li przekÄ…tne trapezu rĂłwnoramiennego zawierajÄ… siÄ™ w dwusiecznych kÄ…tĂłw przy jego dĹ‚uĹźszej podstawie, to ramiona tego trapezu majÄ… tÄ™ samÄ… dĹ‚ugość co krĂłtsza z podstaw. Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?. WykaĹź, Ĺźe jeĹ›li przekÄ…tne czworokÄ…ta przecinajÄ… siÄ™ w poĹ‚owie, to czworokÄ…t ten jest rĂłwnolegĹ‚obokiem. Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?. WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ…ty đ??´đ??ľđ??ś i đ??žđ??żđ?‘€ przedstawione na rysunku sÄ… podobne.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;‘. ProstokÄ…t o bokach dĹ‚ugoĹ›ci đ?‘Ž, đ?‘? jest podobny do prostokÄ…ta o bokach dĹ‚ugoĹ›ci đ?‘Ž + 5, đ?‘? + 5. WykaĹź, Ĺźe prostokÄ…ty te sÄ… kwadratami. Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;’. WykaĹź, Ĺźe pole kwadratu zbudowanego na przekÄ…tnej kwadratu jest dwukrotnie wiÄ™ksze od pola tego kwadratu. Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;“. W kwadracie o boku dĹ‚ugoĹ›ci 2đ?‘Ž znajduje siÄ™ pięć punktĂłw. WykaĹź, Ĺźe wĹ›rĂłd tych punktĂłw istniejÄ… dwa, ktĂłrych odlegĹ‚ość jest mniejsza lub rĂłwna đ?‘Žâˆš2.

41

Część otwarta - rozwiązania

Zadanie 𝟏. Wykaż, że jeśli czworokąt jest opisany na okręgu, to sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Wskazówka Odcinki łączące punkt przecięcia się stycznych do okręgu z punktami styczności mają równe długości. Własność powyżej została przedstawiona na załączonym obrazku. W czworokącie przeciwległe są do siebie podstawy oraz ramiona. Suma długości podstaw 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 składa się z odcinka niebieskiego, zielonego, pomarańczowego i czerwonego. Z tych samych elementów zbudowana jest także suma długości ramion 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶. Wnioskujemy stąd, że 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶.

42

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;?. 1 WykaĹź, Ĺźe pole czworokÄ…ta o obwodzie đ??ż opisanego na okrÄ™gu o promieniu đ?‘&#x; jest rĂłwne 2 đ??ż ∙ đ?‘&#x;.

WskazĂłwka Styczna do okrÄ™gu jest prostopadĹ‚a do promienia poprowadzonego do punktu stycznoĹ›ci. CzworokÄ…t đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ skĹ‚ada siÄ™ z czterech par przystajÄ…cych trĂłjkÄ…tĂłw prostokÄ…tnych (niebieskich, zielonych, pomaraĹ„czowych i czerwonych). Ze wskazĂłwki wynika, Ĺźe promienie okrÄ™gu poprowadzone do punktĂłw stycznoĹ›ci sÄ… wysokoĹ›ciami tych trĂłjkÄ…tĂłw. 1 1 1 1 đ?‘ƒ = 2 ∙ ∙ đ?‘Žđ?‘&#x; + 2 ∙ ∙ đ?‘?đ?‘&#x; + 2 ∙ ∙ đ?‘?đ?‘&#x; + 2 ∙ ∙ đ?‘‘đ?‘&#x; = đ?‘Žđ?‘&#x; + đ?‘?đ?‘&#x; + đ?‘?đ?‘&#x; + đ?‘‘đ?‘&#x; = (đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘) ∙ đ?‘&#x; 2 2 2 2 1

ObwĂłd đ??ż tego czworokÄ…ta wynosi 2đ?‘Ž + 2đ?‘? + 2đ?‘? + 2đ?‘‘, czyli đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘ = 2 đ??ż. 1

Wnioskujemy stÄ…d, Ĺźe đ?‘ƒ = 2 đ??ż ∙ đ?‘&#x;.

43

Część otwarta - rozwiązania

Zadanie đ?&#x;‘. WykaĹź, Ĺźe promieĹ„ đ?‘&#x; okrÄ™gu wpisanego w trĂłjkÄ…t prostokÄ…tny o przyprostokÄ…tnych dĹ‚ugoĹ›ci đ?‘Ž i đ?‘? đ?‘Ž+đ?‘?−đ?‘? oraz przeciwprostokÄ…tnej đ?‘? dany jest wzorem đ?‘&#x; = . 2

WskazĂłwki Styczna do okrÄ™gu jest prostopadĹ‚a do promienia poprowadzonego do punktu stycznoĹ›ci. Odcinki Ĺ‚Ä…czÄ…ce punkt przeciÄ™cia siÄ™ stycznych do okrÄ™gu z punktami stycznoĹ›ci majÄ… rĂłwne dĹ‚ugoĹ›ci. WĹ‚asnoĹ›ci powyĹźej zostaĹ‚y przedstawione na zaĹ‚Ä…czonym obrazku. SÄ…siadujÄ…ce ze sobÄ… boki (promienie) niebieskiego prostokÄ…ta majÄ… tÄ™ samÄ… dĹ‚ugość, czyli jest on kwadratem. Suma dĹ‚ugoĹ›ci odcinka niebieskiego i pomaraĹ„czowego jest rĂłwna đ?‘Ž, wiÄ™c odcinek pomaraĹ„czowy ma dĹ‚ugość đ?‘Ž − đ?‘&#x;. W podobny sposĂłb dowodzimy, Ĺźe odcinek zielony ma dĹ‚ugość đ?‘? − đ?‘&#x;. Wnioskujemy stÄ…d, Ĺźe đ?‘? =đ?‘Žâˆ’đ?‘&#x;+đ?‘?−đ?‘&#x; đ?‘? + 2đ?‘&#x; = đ?‘Ž + đ?‘? 2đ?‘&#x; = đ?‘Ž + đ?‘? − đ?‘? đ?‘&#x;=

44

đ?‘Ž+đ?‘?−đ?‘? 2

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;’. Na rysunku prosta đ?‘˜ jest styczna do okrÄ™gu o Ĺ›rodku đ?‘†. WykaĹź, Ĺźe kÄ…t đ?›ź ma miarÄ™ dwukrotnie wiÄ™kszÄ… od kÄ…ta đ?›˝.

Wskazówki Promienie okręgu mają równe długości. Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

1) Niebieski trĂłjkÄ…t jest rĂłwnoramienny, czyli kÄ…ty leşące przy jego podstawie majÄ… tÄ™ samÄ… miarÄ™. 2) Suma miar kÄ…ta niebieskiego i kÄ…ta đ?›˝ wynosi 90°, czyli kÄ…t niebieski ma miarÄ™ 90° − đ?›˝. 3) Suma miar kÄ…tĂłw wewnÄ™trznych w dowolnym trĂłjkÄ…cie wynosi 180°.

90° − đ?›˝ + 90° − đ?›˝ + đ?›ź = 180° 180° − 2đ?›˝ + đ?›ź = 180° −2đ?›˝ + đ?›ź = 0

� – kąt środkowy � – kąt dopisany do okręgu

� = 2�

Zadanie đ?&#x;“. WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ…t đ??´đ??ľđ??ś przedstawiony na rysunku jest rĂłwnoboczny.

1) KÄ…ty đ??ľđ??´đ??ś i 120° sÄ… kÄ…tami przylegĹ‚ymi, czyli âˆĄđ??ľđ??´đ??ś = 180° − 120° = 60°. 2) KÄ…ty đ??´đ??ľđ??ś i đ?›ź sÄ… kÄ…tami wierzchoĹ‚kowymi, czyli âˆĄđ??´đ??ľđ??ś = đ?›ź. 3) Suma miar kÄ…tĂłw wewnÄ™trznych w dowolnym trĂłjkÄ…cie wynosi 180°.

60° + đ?‘Ž + đ?‘Ž = 180° 2đ?‘Ž = 120° đ?‘Ž = 60° TrĂłjkÄ…t đ??´đ??ľđ??ś ma wszystkie kÄ…ty wewnÄ™trzne tej samej miary, wiÄ™c jest rĂłwnoboczny. 45

Część otwarta - rozwiązania

Zadanie đ?&#x;”. Jedno z ramion trĂłjkÄ…ta rĂłwnoramiennego đ??´đ??ľđ??ś przecina prostÄ… prostopadĹ‚Ä… do podstawy đ??´đ??ľ, ktĂłra na przedĹ‚uĹźeniu boku đ??´đ??ś wyznaczyĹ‚a punkt đ??ˇ, na ramieniu đ??ľđ??ś punkt – đ??¸, a na podstawie đ??´đ??ľ – punkt đ??š. WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ…t đ??śđ??ˇđ??¸ jest rĂłwnoramienny.

Skoro trĂłjkÄ…t đ??´đ??ľđ??ś jest rĂłwnoramienny, to âˆĄđ??ľđ??´đ??ś = âˆĄđ??´đ??ľđ??ś = đ?›ź.

1)

âˆĄđ??´đ??śđ??ľ = 180° − 2đ?›ź, czyli âˆĄđ??ˇđ??śđ??¸ = 2đ?›ź (kÄ…ty przylegĹ‚e).

2) âˆĄđ??ľđ??¸đ??š = 180° − 90° − đ?›ź = 90° − đ?‘Ž, czyli âˆĄđ??śđ??¸đ??ˇ = 90° − đ?›ź (kÄ…ty wierzchoĹ‚kowe). 3) âˆĄđ??śđ??ˇđ??¸ = 180° − 2đ?›ź − (90° − đ?›ź) = 90° − đ?›ź

TrĂłjkÄ…t đ??śđ??ˇđ??¸ ma dwa kÄ…ty tej samej miary, wiÄ™c jest rĂłwnoramienny.

Zadanie đ?&#x;•. WykaĹź, Ĺźe w dowolnym trĂłjkÄ…cie jest kÄ…t wewnÄ™trzny, ktĂłry mierzy co najmniej 60°.

Przypuśćmy, Ĺźe w pewnym trĂłjkÄ…cie wszystkie kÄ…ty wewnÄ™trzne mierzÄ… mniej niĹź 60°. đ?›ź < 60° đ?›˝ < 60° đ?›ž < 60° Po podaniu tych nierĂłwnoĹ›ci stronami dostaniemy đ?›ź + đ?›˝ + đ?›ž < 180°. OtrzymaliĹ›my sprzeczność, gdyĹź w kaĹźdym trĂłjkÄ…cie suma miar kÄ…tĂłw wewnÄ™trznych wynosi 180°. Wnioskujemy stÄ…d, Ĺźe w kaĹźdym trĂłjkÄ…cie jest kÄ…t, ktĂłry mierzy co najmniej 60°.

46

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie đ?&#x;–. đ?‘ƒ đ??´đ??ˇ WykaĹź, Ĺźe jeĹ›li punkt đ??ˇ leĹźy na boku đ??´đ??ľ trĂłjkÄ…ta đ??´đ??ľđ??ś, to đ?‘ƒđ??´đ??ˇđ??ś = đ??ˇđ??ľ. đ??ˇđ??ľđ??ś

ZauwaĹźmy, Ĺźe trĂłjkÄ…ty đ??´đ??ˇđ??ś i đ??ˇđ??ľđ??ś majÄ… tÄ™ samÄ… wysokość. Wnioskujemy stÄ…d, Ĺźe 1 đ?‘ƒđ??´đ??ˇđ??ś 2 ∙ đ??´đ??ˇ ∙ â„Ž đ??´đ??ˇ = = . đ?‘ƒđ??ˇđ??ľđ??ś 1 ∙ đ??ˇđ??ľ ∙ â„Ž đ??ˇđ??ľ 2

Zadanie đ?&#x;—. 1 WykaĹź, Ĺźe pole piÄ™ciokÄ…ta przedstawionego na rysunku jest rĂłwne 2 đ?‘Ž ∙ (đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘).

ZauwaĹźmy, Ĺźe przedstawiony na rysunku piÄ™ciokÄ…t skĹ‚ada siÄ™ z dwĂłch wiÄ™kszych trĂłjkÄ…tĂłw rozwartokÄ…tnych (jeden jest przechylony w lewo, a drugi w prawo). Suma pĂłl tych trĂłjkÄ…tĂłw bÄ™dzie wiÄ™ksza od pola piÄ™ciokÄ…ta, gdyĹź majÄ… one jednÄ… część wspĂłlnÄ…. Wobec tego 1 1 1 1 1 đ?‘ƒ = đ?‘Ž ∙ (đ?‘? + đ?‘?) + đ?‘Ž ∙ (đ?‘? + đ?‘‘) − đ?‘Ž ∙ đ?‘? = đ?‘Ž ∙ (đ?‘? + đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘ − đ?‘?) = đ?‘Ž ∙ (đ?‘? + đ?‘? + đ?‘‘) . 2 2 2 2 2

47

Część otwarta - rozwiązania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;Ž. WykaĹź, Ĺźe jeĹ›li przekÄ…tne trapezu rĂłwnoramiennego zawierajÄ… siÄ™ w dwusiecznych kÄ…tĂłw przy jego dĹ‚uĹźszej podstawie, to ramiona tego trapezu majÄ… tÄ™ samÄ… dĹ‚ugość co krĂłtsza z podstaw.

ZauwaĹźmy, Ĺźe dwusieczna dzieli kÄ…t đ??ľđ??´đ??ˇ na dwie rĂłwne części, czyli âˆĄđ??ľđ??´đ??ś = âˆĄđ??śđ??´đ??ˇ = đ?›ź. Ponadto âˆĄđ??ľđ??´đ??ś = âˆĄđ??´đ??śđ??ˇ = đ?›ź. Z powyĹźszych rĂłwnoĹ›ci wnioskujemy, Ĺźe kÄ…ty leşące przy odcinku đ??´đ??ś majÄ… tÄ™ samÄ… miarÄ™. Wynika z tego, Ĺźe trĂłjkÄ…t đ??´đ??śđ??ˇ ma rĂłwne ramiona, wiÄ™c đ??´đ??ˇ = đ??ˇđ??ś. Trapez đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ takĹźe jest rĂłwnoramienny, zatem đ??´đ??ˇ = đ??ˇđ??ś = đ??śđ??ľ.

đ?‘˜ i đ?‘™ – proste rĂłwnolegĹ‚e KÄ…ty odpowiadajÄ…ce i naprzemianlegĹ‚e majÄ… rĂłwne miary

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?. WykaĹź, Ĺźe jeĹ›li przekÄ…tne czworokÄ…ta przecinajÄ… siÄ™ w poĹ‚owie, to czworokÄ…t ten jest rĂłwnolegĹ‚obokiem.

ZauwaĹźmy, Ĺźe đ??´đ?‘† = đ??śđ?‘† oraz đ??ľđ?‘† = đ??ˇđ?‘†. Ponadto kÄ…t zawarty miÄ™dzy odcinkami đ??´đ?‘† i đ??ľđ?‘† ma tÄ™ samÄ… miarÄ™ co kÄ…t zawarty miÄ™dzy odcinkami đ??ˇđ?‘† i đ??śđ?‘†. Wobec tego trĂłjkÄ…ty đ??´đ??ľđ?‘† i đ??ˇđ??śđ?‘† sÄ… przystajÄ…ce, czyli đ??´đ??ľ = đ??ˇđ??ś. W podobny sposĂłb dowodzimy, Ĺźe đ??´đ??ˇ = đ??ľđ??ś. CzworokÄ…t, ktĂłry ma dwie pary bokĂłw rĂłwnej dĹ‚ugoĹ›ci, jest rĂłwnolegĹ‚obokiem.

48

Część otwarta – rozwiązania

Zadanie 12. WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ…ty đ??´đ??ľđ??ś i đ??žđ??żđ?‘€ przedstawione na rysunku sÄ… podobne.

Na poczÄ…tku obliczymy dĹ‚ugość odcinka đ??´đ??ś poprzez zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

đ??´đ??ś 2 + 22 = 42 đ??´đ??ś 2 = 16 − 4 đ??´đ??ś = √12 đ??´đ??ś = 2√3

DĹ‚ugoĹ›ci bokĂłw trĂłjkÄ…ta đ??´đ??ľđ??ś moĹźemy zapisać jako đ?‘Ž, đ?‘Žâˆš3 i 2đ?‘Ž. Ze zwiÄ…zkĂłw miarowych otrzymujemy, Ĺźe kÄ…ty tego trĂłjkÄ…ta majÄ… miary 90°, 30° i 60°. KÄ…ty trĂłjkÄ…ta đ??´đ??ľđ??ś majÄ… takie same miary jak kÄ…ty trĂłjkÄ…ta đ??žđ??żđ?‘€, czyli trĂłjkÄ…ty te sÄ… podobne.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;‘. ProstokÄ…t o bokach dĹ‚ugoĹ›ci đ?‘Ž, đ?‘? jest podobny do prostokÄ…ta o bokach dĹ‚ugoĹ›ci đ?‘Ž + 5, đ?‘? + 5. WykaĹź, Ĺźe prostokÄ…ty te sÄ… kwadratami.

To zadanie wykonamy poprzez zastosowanie skali podobieĹ„stwa i proporcji. đ?‘Ž+5 đ?‘?+5 = đ?‘Ž đ?‘? đ?‘Ž(đ?‘? + 5) = đ?‘?(đ?‘Ž + 5) đ?‘Žđ?‘? + 5đ?‘Ž = đ?‘Žđ?‘? + 5đ?‘?

đ?‘Ž=đ?‘? đ?‘Ž+5=đ?‘?+5

5đ?‘Ž = 5đ?‘? đ?‘Ž=đ?‘? ProstokÄ…ty, ktĂłre majÄ… wszystkie boki tej samej dĹ‚ugoĹ›ci, sÄ… kwadratami. 49

Część otwarta - rozwiązania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;’. WykaĹź, Ĺźe pole kwadratu zbudowanego na przekÄ…tnej kwadratu jest dwukrotnie wiÄ™ksze od pola tego kwadratu.

ZauwaĹźmy, Ĺźe przekÄ…tna kwadratu jest przeciwprostokÄ…tnÄ… trĂłjkÄ…ta prostokÄ…tnego rĂłwnoramiennego. Wobec tego đ?‘Ž2 + đ?‘Ž2 = đ?‘‘ 2 đ?‘‘2 = 2đ?‘Ž2 đ?‘‘ = đ?‘Žâˆš2 Wnioskujemy stÄ…d, Ĺźe đ?‘ƒ2 (đ?‘Žâˆš2)2 2đ?‘Ž2 = = 2 =2. đ?‘ƒ1 đ?‘Ž2 đ?‘Ž

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;“. (→ zadanie 12/27) W kwadracie o boku dĹ‚ugoĹ›ci 2đ?‘Ž znajduje siÄ™ pięć punktĂłw. WykaĹź, Ĺźe wĹ›rĂłd tych punktĂłw istniejÄ… dwa, ktĂłrych odlegĹ‚ość jest mniejsza lub rĂłwna đ?‘Žâˆš2. Na poczÄ…tku podzielimy duĹźy kwadrat na cztery mniejsze o boku dĹ‚ugoĹ›ci đ?‘Ž. WĂłwczas co najmniej dwa z piÄ™ciu punktĂłw znajdÄ… siÄ™ w jednym z jednym z tych kwadratĂłw (zasada szufladkowa). NajdĹ‚uĹźszym odcinkiem w kwadracie jest przekÄ…tna liczÄ…ca đ?‘Žâˆš2.

50

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.