Zadania na dowodzenie

Zadania na dowodzenie

PUBLIKACJA DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZAKRZEW 2014

Zadania na dowodzenie Publikacja dla uczniów gimnazjum i szkoły średniej Rafał Kobza Pod redakcją pani Donaty Olędzkiej

Publiczne Gimnazjum nr 1 im. Henryka Sienkiewicza w Zakrzewie

Spis treści Część teoretyczna ....................................................................................................................................8 Algebra Część testowa ........................................................................................................................... 11 Część otwarta ........................................................................................................................... 20 Geometria Część testowa ........................................................................................................................... 31 Część otwarta ........................................................................................................................... 40

Źródła Materiały szkoleniowe dla nauczycieli matematyki GWO Podręczniki dla gimnazjum z serii „Matematyka z plusem” GWO Arkusze zadań z konkursów przedmiotowych MKO dla uczniów województwa mazowieckiego (G) Gazetka Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów „Kwadrat” Arkusze zadań z części testowych Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Arkusze zadań z egzaminów gimnazjalnych CKE Arkusze zadań z próbnych egzaminów maturalnych z „Operonem” i „Gazetą Wyborczą”

Część teoretyczna

Hipoteza i twierdzenie Hipoteza (inaczej przypuszczenie) to nieudowodnione zdanie matematyczne.

Twierdzenie to udowodnione zdanie matematyczne głoszące, że jeśli zostaną spełnione pewne warunki (założenie), to zachodzi jakieś zjawisko lub zależność (teza).

Cecha podzielności liczby przez 6 Jeśli liczba jest podzielna przez 2 i przez 3, to dzieli się także przez 6.

Twierdzenie Pitagorasa Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne powstaje w wyniku zamiany założenia z tezą. Uwaga! Otrzymane zdanie nie zawsze jest prawdziwe.

Jeśli w trójkącie suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Jeśli czworokąt jest kwadratem, to jest też prostokątem. (PRAWDA) Jeśli czworokąt jest prostokątem, to jest też kwadratem. (FAŁSZ)

Pojęcia pierwotne i definicja Pojęcia pierwotne nie mają definicji. Czym w końcu jest punkt, prosta czy przestrzeń?

Definicja w sposób precyzyjny wyjaśnia dane słowo. Często zawiera pojęcia pierwotne.

Odcinek – część prostej ograniczona dwoma punktami wraz z tymi punktami Liczba pierwsza – liczba mająca tylko dwa dzielniki (jeden i siebie samą)

8

Przykład i kontrprzykład Przykład słuşy przedstawieniu danego zjawiska lub zaleşności w określonej sytuacji.

Kontrprzykład słuşy podwaşeniu słuszności danego przypuszczenia, wskazując zazwyczaj na jego niedoskonałość.

SprawdĹş, czy dla dowolnej liczby đ?‘› liczba postaci 2đ?‘› jest podzielna przez 2.

Przypuszczenie powyşej jest prawdziwe dla takich wartości liczby � jak 3 lub 5 (przykład), ale juş nie dla � = 1,5 (kontrprzykład). Jak widać, w dowodzeniu nie naleşy kierować się tym, şe w pewnych sytuacjach dana hipoteza jest prawdziwa, gdyş dla innych przypadków moşe okazać się fałszywa.

Metody dowodzenia

1) Dowód wprost – wykazanie, şe jeśli załoşenie jest prawdziwe, to prawdziwa jest teş teza 2) Dowód nie wprost – wykazanie, şe jeśli teza jest nieprawdziwa, to nieprawdziwe jest teş załoşenie (→ zadanie 7/46) 3) Dowód geometryczny – wykazanie słuszności danego przypuszczenia przy uşyciu praw geometrii 4) Dowód niezaleşności – wykazanie, şe słuszności danego przypuszczenia nie moşna udowodnić 5) Dowód konstruktywny – wykazanie słuszności danego przypuszczenia przy uşyciu przykładu, np. „Udowodnij, şe istnieje taki wielościan, który‌�

6) Dowód z zastosowaniem kontrprzykładu – podwaşenie słuszności danego przypuszczenia 7) Dowód z zastosowaniem komputerów – często krytykowany, gdyş umoşliwia jedynie sprawdzenie słuszności danego przypuszczenia do pewnych granic liczbowych

9

Algebra

Część testowa – treści zadań

Treść kaşdego z ponişszych zadań zawiera trzy stwierdzenia. Kaşde z nich jest prawdziwe lub fałszywe. Jeśli dane stwierdzenie jest prawdziwe, wpisz w odpowiednią kratkę literkę T, jeśli zaś stwierdzenie jest fałszywe, wpisz literkę N.

Zadanie đ?&#x;?.

Suma cyfr pewnej dodatniej liczby całkowitej wynosi 6. Wynika z tego, şe liczba ta jest podzielna przez a) 2. b) 3. c) 5.

Zadanie đ?&#x;?.

Liczby đ?‘Ž, đ?‘? i đ?‘? sÄ… kolejnymi dodatnimi liczbami caĹ‚kowitymi. Wynika z tego, Ĺźe a) liczba đ?‘Ž + đ?‘? + đ?‘? jest podzielna przez 3. b) liczba 2đ?‘Ž + đ?‘? jest podzielna przez 3. c) liczba đ?‘Ž + 2đ?‘? jest podzielna przez 3.

Zadanie đ?&#x;‘.

Suma pewnych czterech dodatnich liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. Wynika z tego, şe a) co najmniej jedna z tych liczb jest nieparzysta. b) co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta. c) dokładnie dwie z tych liczb mogą być parzyste.

Zadanie đ?&#x;’.

Liczba (2 + √3) ∙ (2 − √3) jest a) niewymierna. b) caĹ‚kowita. c) rĂłwna 1.

11

Część testowa – treści zadań

Zadanie đ?&#x;“.

Liczba √0,4444 ‌ a) nie istnieje. b) jest rĂłwna 0,2222 ‌ c) jest rĂłwna 0,6666 ‌

Zadanie đ?&#x;”.

Sens liczbowy ma wyraĹźenie a) 3/0. b) √−4.

3

c) √2.

Zadanie đ?&#x;•.

Pewną liczbę podniesiono do potęgi drugiej. Wynika z tego, şe otrzymana liczba jest a) wymierna. b) większa lub równa zero. c) większa od liczby początkowej.

Zadanie đ?&#x;–.

RĂłwnanie đ?‘Ľ 2 − 15 = 21 a) nie ma rozwiÄ…zaĹ„. b) ma dokĹ‚adnie jedno rozwiÄ…zanie. c) ma dokĹ‚adnie dwa rozwiÄ…zania.

12

Część testowa – treści zadań

Zadanie đ?&#x;—.

Pewne dodatnie liczby caĹ&#x201A;kowite dodatnie speĹ&#x201A;niajÄ&#x2026; rĂłwnoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? i đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x2018;. Wynika z tego, Ĺźe a) đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;&#x2018;. b) đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018; = 2đ?&#x2018;&#x17D;. c) đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018; = 2đ?&#x2018;?.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.

IstniejÄ&#x2026; takie liczby pierwsze đ?&#x2018;? i đ?&#x2018;&#x17E;, Ĺźe liczba a) đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17E; jest liczbÄ&#x2026; pierwszÄ&#x2026;. b) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; + 1 jest liczbÄ&#x2026; pierwszÄ&#x2026;. c) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; + 1 jest liczbÄ&#x2026; zĹ&#x201A;oĹźonÄ&#x2026; (ma wiÄ&#x2122;cej niĹź dwa dzielniki).

13

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa - rozwiÄ&#x2026;zania Zadanie đ?&#x;?.

Suma cyfr pewnej dodatniej liczby caĹ&#x201A;kowitej wynosi 6. Wynika z tego, Ĺźe liczba ta jest podzielna przez N

a) 2.

T

b) 3.

N

c) 5.

a) Liczba jest podzielna przez 2, jeĹ&#x203A;li jej ostatnia cyfra jest parzysta. W treĹ&#x203A;ci zadania nie ma o tym ani sĹ&#x201A;owa. b) Liczba jest podzielna przez 3, jeĹ&#x203A;li suma jej cyfr takĹźe dzieli siÄ&#x2122; przez 3 (6/3 = 2). c) Liczba jest podzielna przez 5, jeĹ&#x203A;li koĹ&#x201E;czy siÄ&#x2122; na 0 lub 5. W treĹ&#x203A;ci zadania nie ma o tym ani sĹ&#x201A;owa.

KontrprzykĹ&#x201A;ad do zdaĹ&#x201E; a) i c) Rozpatrzmy liczbÄ&#x2122; 33. ChoÄ&#x2021; suma jej cyfr jest rĂłwna 6, liczba 33 nie dzieli siÄ&#x2122; ani przez 2, ani przez 5.

Zadanie đ?&#x;?.

Liczby đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? i đ?&#x2018;? sÄ&#x2026; kolejnymi dodatnimi liczbami caĹ&#x201A;kowitymi. Wynika z tego, Ĺźe T

a) liczba đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? jest podzielna przez 3.

N

b) liczba 2đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? jest podzielna przez 3.

N

c) liczba đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;? jest podzielna przez 3.

ZauwaĹźmy, Ĺźe liczbÄ&#x2122; đ?&#x2018;? moĹźemy zapisaÄ&#x2021; jako đ?&#x2018;&#x17D; + 1, natomiast liczbÄ&#x2122; đ?&#x2018;? â&#x20AC;&#x201C; jako đ?&#x2018;&#x17D; + 2. WĂłwczas đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x17D; + 1 + đ?&#x2018;&#x17D; + 2 = 3đ?&#x2018;&#x17D; + 3 = 3 â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x17D; + 1) , 1 2đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? = 2đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x17D; + 1 = 3đ?&#x2018;&#x17D; + 1 = 3 â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x17D; + ) , 3 2 đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D; + 2 â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x17D; + 1) = 3đ?&#x2018;&#x17D; + 2 = 3 â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x17D; + ) .

3 1

2

Liczby đ?&#x2018;&#x17D; + 3 i đ?&#x2018;&#x17D; + 3 nie sÄ&#x2026; caĹ&#x201A;kowite, co Ĺ&#x203A;wiadczy o nieprawdziwoĹ&#x203A;ci zdaĹ&#x201E; b) i c).

14

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2018;.

Suma pewnych czterech dodatnich liczb caĹ&#x201A;kowitych jest liczbÄ&#x2026; nieparzystÄ&#x2026;. Wynika z tego, Ĺźe T

a) co najmniej jedna z tych liczb jest nieparzysta.

T

b) co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta.

N

c) dokĹ&#x201A;adnie dwie z tych liczb mogÄ&#x2026; byÄ&#x2021; parzyste.

ZauwaĹźmy, Ĺźe liczbÄ&#x2122; parzystÄ&#x2026; moĹźemy zapisaÄ&#x2021; jako 2đ?&#x2018;&#x203A;, natomiast liczbÄ&#x2122; nieparzystÄ&#x2026; â&#x20AC;&#x201C; jako 2đ?&#x2018;&#x203A; + 1, gdzie đ?&#x2018;&#x203A; to dodatnia liczba caĹ&#x201A;kowita.

JeĹ&#x203A;li wszystkie podane w zadaniu liczby byĹ&#x201A;yby parzyste, to moglibyĹ&#x203A;my zapisaÄ&#x2021; ich sumÄ&#x2122; jako 2đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;&#x2018; = 2 â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;) .

Jak widaÄ&#x2021;, suma tych liczb byĹ&#x201A;aby wĂłwczas liczbÄ&#x2026; parzystÄ&#x2026;, co stoi w sprzecznoĹ&#x203A;ci z warunkami zadania. Wnioskujemy stÄ&#x2026;d, Ĺźe co najmniej jedna z nich jest nieparzysta. W podobny sposĂłb dowodzimy, Ĺźe co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta.

JeĹ&#x203A;li dokĹ&#x201A;adnie dwie z tych czterech liczb byĹ&#x201A;yby parzyste, to 2đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;? + 1 + 2đ?&#x2018;&#x2018; + 1 = 2đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;&#x2018; + 2 = 2 â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018; + 1) .

Zadanie đ?&#x;&#x2019;.

Liczba (2 + â&#x2C6;&#x161;3) â&#x2C6;&#x2122; (2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;3) jest N

a) niewymierna.

T

b) caĹ&#x201A;kowita.

T

c) rĂłwna 1.

Aby wykonaÄ&#x2021; dziaĹ&#x201A;ania szybciej, zastosujemy wzĂłr skrĂłconego mnoĹźenia1.

2

(2 + â&#x2C6;&#x161;3) â&#x2C6;&#x2122; (2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161;3) = 22 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x161;3) = 4 â&#x2C6;&#x2019; 3 = 1 Liczba 1 jest caĹ&#x201A;kowita, czyli naleĹźy do zbioru liczb wymiernych. Jak widaÄ&#x2021;, pozory mylÄ&#x2026;. Pierwiastki nie zawsze zwiastujÄ&#x2026; niewymiernoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyraĹźenia.

1

(đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?) â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? 2

15

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x201C;.

Liczba â&#x2C6;&#x161;0,4444 â&#x20AC;Ś N

a) nie istnieje.

N

b) jest rĂłwna 0,2222 â&#x20AC;Ś

T

c) jest rĂłwna 0,6666 â&#x20AC;Ś

4

Oznaczmy przez đ?&#x2018;&#x203A; liczbÄ&#x2122; 0,4444 â&#x20AC;Ś WĂłwczas 10đ?&#x2018;&#x203A; = 4 + đ?&#x2018;&#x203A; , czyli 9đ?&#x2018;&#x203A; = 4, wiÄ&#x2122;c đ?&#x2018;&#x203A; = 9. Wnioskujemy stÄ&#x2026;d, Ĺźe 4 2 6 â&#x2C6;&#x161;0,4444 â&#x20AC;Ś = â&#x2C6;&#x161; = = = 0,6666 â&#x20AC;Ś 9 3 9

Zadanie đ?&#x;&#x201D;.

Sens liczbowy ma wyraĹźenie N

a) 3/0.

N

b) â&#x2C6;&#x161;â&#x2C6;&#x2019;4.

T

c) â&#x2C6;&#x161;2.

3

ZauwaĹźmy, Ĺźe sens liczbowy ma takie wyraĹźenie, ktĂłre zachodzi. a) Nie moĹźemy dzieliÄ&#x2021; przez zero. b) Co prawda potÄ&#x2122;gowanie i pierwiastkowanie to dziaĹ&#x201A;ania odwrotne, ale nie istnieje taka liczba, ktĂłra podniesiona do kwadratu bÄ&#x2122;dzie liczbÄ&#x2026; ujemnÄ&#x2026;.

3

c) WyraĹźenie â&#x2C6;&#x161;2 w przybliĹźeniu wynosi 1,26.

PrzykĹ&#x201A;ady do zdania b) 22 = 4 (â&#x2C6;&#x2019;2)2 = 4

16

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2022;.

PewnÄ&#x2026; liczbÄ&#x2122; podniesiono do potÄ&#x2122;gi drugiej. Wynika z tego, Ĺźe otrzymana liczba jest N

a) wymierna.

T

b) wiÄ&#x2122;ksza lub rĂłwna zero.

N

c) wiÄ&#x2122;ksza od liczby poczÄ&#x2026;tkowej.

a) JeĹ&#x203A;li niewymierny pierwiastek trzeciego stopnia podniesiemy do potÄ&#x2122;gi drugiej, to dostaniemy liczbÄ&#x2122;, ktĂłra wciÄ&#x2026;Ĺź bÄ&#x2122;dzie niewymierna. b) Kwadrat dowolnej liczby (takĹźe ujemnej) jest wiÄ&#x2122;kszy lub rĂłwny zero. W koĹ&#x201E;cu â&#x20AC;&#x17E;minus razy minus daje plusâ&#x20AC;?. c) JeĹ&#x203A;li dodatni uĹ&#x201A;amek zwykĹ&#x201A;y podniesiemy do potÄ&#x2122;gi drugiej, to dostaniemy liczbÄ&#x2122; mniejszÄ&#x2026; od liczby poczÄ&#x2026;tkowej.

PrzykĹ&#x201A;ady 3

3

3

3

a) (â&#x2C6;&#x161;2)2 = â&#x2C6;&#x161;2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x161;2 = â&#x2C6;&#x161;4 b) (â&#x2C6;&#x2019;3)2 = (â&#x2C6;&#x2019;3) â&#x2C6;&#x2122; (â&#x2C6;&#x2019;3) = 9 1 2

1 1

1

c) (2) = 2 â&#x2C6;&#x2122; 2 = 4

Zadanie đ?&#x;&#x2013;.

RĂłwnanie đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 15 = 21 N

a) nie ma rozwiÄ&#x2026;zaĹ&#x201E;.

N

b) ma dokĹ&#x201A;adnie jedno rozwiÄ&#x2026;zanie.

T

c) ma dokĹ&#x201A;adnie dwa rozwiÄ&#x2026;zania.

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 15 = 21 đ?&#x2018;Ľ 2 = 36 đ?&#x2018;Ľ = 6 lub đ?&#x2018;Ľ = (â&#x2C6;&#x2019;6)

17

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2014;.

Pewne dodatnie liczby caĹ&#x201A;kowite speĹ&#x201A;niajÄ&#x2026; rĂłwnoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;? i đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x2018;. Wynika z tego, Ĺźe N

a) đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;&#x2018;.

T

b) đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018; = 2đ?&#x2018;&#x17D;.

T

c) đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018; = 2đ?&#x2018;?.

a) đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? > đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?>đ?&#x2018;&#x2018;

b) đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? = 2đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018; = 2đ?&#x2018;&#x17D;

c) đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) = 2đ?&#x2018;? đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2018; = 2đ?&#x2018;?

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.

IstniejÄ&#x2026; takie liczby pierwsze đ?&#x2018;? i đ?&#x2018;&#x17E;, Ĺźe liczba T

a) đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17E; jest liczbÄ&#x2026; pierwszÄ&#x2026;.

T

b) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; + 1 jest liczbÄ&#x2026; pierwszÄ&#x2026;.

T

c) đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; + 1 jest liczbÄ&#x2026; zĹ&#x201A;oĹźonÄ&#x2026; (ma wiÄ&#x2122;cej niĹź dwa dzielniki).

a) Dla đ?&#x2018;? = 2 i đ?&#x2018;&#x17E; = 3 liczba đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x17E; = 5 jest liczbÄ&#x2026; pierwszÄ&#x2026;. b) Dla đ?&#x2018;? = 2 i đ?&#x2018;&#x17E; = 3 liczba đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; + 1 = 7 jest liczbÄ&#x2026; pierwszÄ&#x2026;. c) Dla đ?&#x2018;? = 3 i đ?&#x2018;&#x17E; = 5 liczba đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x17E; + 1 = 16 jest liczbÄ&#x2026; zĹ&#x201A;oĹźonÄ&#x2026; (ma wiÄ&#x2122;cej niĹź dwa dzielniki).

18

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; treĹ&#x203A;ci zadaĹ&#x201E;

Zadanie đ?&#x;?.

Udowodnij, Ĺźe iloczyn dowolnej liczby podzielnej przez 2 i dowolnej liczby podzielnej przez 3 dzieli siÄ&#x2122; przez 6.

Zadanie đ?&#x;?.

Udowodnij, Ĺźe dla dowolnej liczby caĹ&#x201A;kowitej dodatniej đ?&#x2018;&#x203A; liczba postaci đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; jest podzielna przez 2.

Zadanie đ?&#x;&#x2018;.

Udowodnij, Ĺźe dla dowolnej liczby caĹ&#x201A;kowitej dodatniej đ?&#x2018;&#x203A; liczba postaci đ?&#x2018;&#x203A;3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; jest podzielna przez 6.

Zadanie đ?&#x;&#x2019;.

Udowodnij, Ĺźe kwadrat dowolnej liczby caĹ&#x201A;kowitej dodatniej đ?&#x2018;&#x203A; jest podzielny przez 9 albo przy dzieleniu przez 3 daje resztÄ&#x2122; 1.

Zadanie đ?&#x;&#x201C;.

Udowodnij, Ĺźe suma dowolnej liczby dwucyfrowej dodatniej i liczby powstaĹ&#x201A;ej z przestawienia jej cyfr jest podzielna przez 11.

Zadanie đ?&#x;&#x201D;.

Udowodnij, Ĺźe liczba 252 + 253 + 254 jest podzielna przez 7.

Zadanie đ?&#x;&#x2022;.

Udowodnij, Ĺźe liczba 20152 + 4 â&#x2C6;&#x2122; 2015 + 4 jest podzielna przez 2017.

Zadanie đ?&#x;&#x2013;.

Udowodnij, Ĺźe suma kwadratĂłw dwĂłch dowolnych liczb caĹ&#x201A;kowitych dodatnich jest wiÄ&#x2122;ksza lub rĂłwna podwojonemu iloczynowi tych liczb.

Zadanie đ?&#x;&#x2014;.

Udowodnij, Ĺźe kwadrat Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej dwĂłch dowolnych liczb caĹ&#x201A;kowitych dodatnich jest wiÄ&#x2122;kszy lub rĂłwny iloczynowi tych liczb.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.

Udowodnij, Ĺźe jeĹ&#x203A;li dowolne liczby caĹ&#x201A;kowite dodatnie speĹ&#x201A;niajÄ&#x2026; nierĂłwnoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D; < đ?&#x2018;? i đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;?, to đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;? < .

2 3

20

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; treĹ&#x203A;ci zadaĹ&#x201E;

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?.

Udowodnij, Ĺźe liczba 436 jest wiÄ&#x2122;ksza od 724 .

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?.

Udowodnij, Ĺźe wĹ&#x203A;rĂłd dowolnych jedenastu liczb naturalnych istniejÄ&#x2026; dwie, ktĂłre majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; cyfrÄ&#x2122; jednoĹ&#x203A;ci.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;.

SprawdĹş, czy istnieje liczba, ktĂłrej iloczyn cyfr jest rĂłwny 92.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;.

Wyznacz ostatniÄ&#x2026; cyfrÄ&#x2122; liczby 230 .

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;.

3đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; 1 Wyznacz wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyraĹźenia đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?, jeĹ&#x203A;li đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? = 3.

21

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;?.

Udowodnij, Ĺźe iloczyn dowolnej liczby podzielnej przez 2 i dowolnej liczby podzielnej przez 3 dzieli siÄ&#x2122; przez 6.

ZauwaĹźmy, Ĺźe liczbÄ&#x2122; podzielnÄ&#x2026; przez 2 moĹźemy jÄ&#x2026; zapisaÄ&#x2021; jako 2đ?&#x2018;&#x161;. Analogicznie, liczbÄ&#x2122; podzielnÄ&#x2026; przez 3 moĹźemy zapisaÄ&#x2021; jako 3đ?&#x2018;&#x2DC;.

PrzykĹ&#x201A;ady 20 = 2 â&#x2C6;&#x2122; 10 30 = 3 â&#x2C6;&#x2122; 10 Iloczyn liczb 2đ?&#x2018;&#x161; i 3đ?&#x2018;&#x2DC; jest rĂłwny 6đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2DC;. Otrzymana liczba dzieli siÄ&#x2122; przez 2, przez 3 i przez 6.

Zadanie đ?&#x;?.

Udowodnij, Ĺźe dla dowolnej liczby caĹ&#x201A;kowitej dodatniej đ?&#x2018;&#x203A; liczba postaci đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; jest podzielna przez 2.

Na poczÄ&#x2026;tku sprĂłbujemy sprowadziÄ&#x2021; tÄ&#x2122; liczbÄ&#x2122; do jak najprostszej postaci poprzez wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;czenie najwiÄ&#x2122;kszego wspĂłlnego czynnika za nawias. đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; = (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A; Liczby đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1 i đ?&#x2018;&#x203A; sÄ&#x2026; dwiema kolejnymi dodatnimi liczbami caĹ&#x201A;kowitymi, dlatego dokĹ&#x201A;adnie jedna z nich jest podzielna przez 2.

PrzykĹ&#x201A;ady 3i4 56 i 57

Liczba 4 dzieli siÄ&#x2122; przez 2 Liczba 56 dzieli siÄ&#x2122; przez 2

Liczba đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; bÄ&#x2122;dÄ&#x2026;ca iloczynem tych liczb takĹźe jest podzielna przez 2.

22

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2018;.

Udowodnij, Ĺźe dla dowolnej liczby caĹ&#x201A;kowitej dodatniej đ?&#x2018;&#x203A; liczba postaci đ?&#x2018;&#x203A;3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; jest podzielna przez 6.

Na poczÄ&#x2026;tku sprĂłbujemy sprowadziÄ&#x2021; tÄ&#x2122; liczbÄ&#x2122; do jak najprostszej postaci poprzez wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;czenie jej najwiÄ&#x2122;kszego wspĂłlnego czynnika przed nawias, a nastÄ&#x2122;pnie zastosowanie wzoru skrĂłconego mnoĹźenia. đ?&#x2018;&#x203A;3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; = đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x203A;2 â&#x2C6;&#x2019; 1) = đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x203A; + 1) â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) = (đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x203A; + 1) Liczby đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2019; 1, đ?&#x2018;&#x203A; i đ?&#x2018;&#x203A; + 1 sÄ&#x2026; trzema kolejnymi dodatnimi liczbami caĹ&#x201A;kowitymi, dlatego co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 2 oraz dokĹ&#x201A;adnie jedna jest podzielna przez 3.

PrzykĹ&#x201A;ady 15, 16 i 17 20, 21 i 22

Liczba 16 dzieli siÄ&#x2122; przez 2, a liczba 15 â&#x20AC;&#x201C; przez 3 Liczby 20 i 22 dzielÄ&#x2026; siÄ&#x2122; przez 2, a liczba 21 â&#x20AC;&#x201C; przez 3

Liczba đ?&#x2018;&#x203A;3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; bÄ&#x2122;dÄ&#x2026;ca iloczynem tych liczb takĹźe jest podzielna przez 2 i przez 3. Wnioskujemy stÄ&#x2026;d, Ĺźe liczba đ?&#x2018;&#x203A;3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x203A; dzieli siÄ&#x2122; przez 6.

Zadanie đ?&#x;&#x2019;.

Udowodnij, Ĺźe kwadrat dowolnej liczby caĹ&#x201A;kowitej dodatniej đ?&#x2018;&#x203A; jest podzielny przez 9 albo przy dzieleniu przez 3 daje resztÄ&#x2122; 1.

ZauwaĹźmy, Ĺźe dowolna dodatnia liczba caĹ&#x201A;kowita đ?&#x2018;&#x203A; jest podzielna przez 3 albo przy dzieleniu przez 3 daje resztÄ&#x2122; 1 czy teĹź 2.

PrzykĹ&#x201A;ady 30 31 32

30 = 3 â&#x2C6;&#x2122; 10 31 = 3 â&#x2C6;&#x2122; 10 + 1 32 = 3 â&#x2C6;&#x2122; 10 + 2

Wnioskujemy stÄ&#x2026;d, Ĺźe liczbÄ&#x2122; đ?&#x2018;&#x203A; moĹźemy zapisaÄ&#x2021; jako 3đ?&#x2018;&#x161;, 3đ?&#x2018;&#x161; + 1 lub 3đ?&#x2018;&#x161; + 2. MoĹźliwe sÄ&#x2026; wiÄ&#x2122;c trzy przypadki.

1) (3đ?&#x2018;&#x161;)2 = 9đ?&#x2018;&#x161;2 , czyli liczba ta jest podzielna przez 9.

2) (3đ?&#x2018;&#x161; + 1)2 = 9đ?&#x2018;&#x161;2 + 6đ?&#x2018;&#x161; + 1 = 3 â&#x2C6;&#x2122; (3đ?&#x2018;&#x161;2 + 2đ?&#x2018;&#x161;) + 1, czyli liczba ta przy dzieleniu przez 3 daje resztÄ&#x2122; 1.

3) (3đ?&#x2018;&#x161; + 2)2 = 9đ?&#x2018;&#x161;2 + 12đ?&#x2018;&#x161; + 4 = 3 â&#x2C6;&#x2122; (3đ?&#x2018;&#x161;2 + 4đ?&#x2018;&#x161; + 1) + 1, czyli liczba ta przy dzieleniu przez 3 daje resztÄ&#x2122; 1.

23

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x201C;.

Udowodnij, Ĺźe suma dowolnej liczby dwucyfrowej dodatniej i liczby powstaĹ&#x201A;ej z przestawienia jej cyfr jest podzielna przez 11.

ZauwaĹźmy, Ĺźe liczbÄ&#x2122; dwucyfrowÄ&#x2026; dodatniÄ&#x2026; moĹźemy zapisaÄ&#x2021; jako 10đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;&#x2DC;, gdzie đ?&#x2018;&#x161; i đ?&#x2018;&#x2DC; to dodatnie liczby caĹ&#x201A;kowite. WĂłwczas liczba powstaĹ&#x201A;a z przestawienia jej cyfr przybiera postaÄ&#x2021; 10đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;&#x161;.

PrzykĹ&#x201A;ady 26 = 10 â&#x2C6;&#x2122; 2 + 6 35 = 10 â&#x2C6;&#x2122; 3 + 5

62 = 10 â&#x2C6;&#x2122; 6 + 2 53 = 10 â&#x2C6;&#x2122; 5 + 3

DowĂłd przeprowadzimy poprzez symboliczne dodanie liczb z treĹ&#x203A;ci zadania, a nastÄ&#x2122;pnie wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;czenie najwiÄ&#x2122;kszego wspĂłlnego czynnika przed nawias.

10đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;&#x2DC; + 10đ?&#x2018;&#x2DC; + đ?&#x2018;&#x161; = 11đ?&#x2018;&#x2DC; + 11đ?&#x2018;&#x161; = 11 â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;&#x161; + đ?&#x2018;&#x2DC;)

Zadanie đ?&#x;&#x201D;.

Udowodnij, Ĺźe liczba 252 + 253 + 254 jest podzielna przez 7.

DowĂłd przeprowadzimy poprzez wyĹ&#x201A;Ä&#x2026;czenie najwiÄ&#x2122;kszego wspĂłlnego czynnika przed nawias z zastosowaniem prawa wykĹ&#x201A;adnikĂłw, ktĂłre gĹ&#x201A;osi, Ĺźe đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;+đ?&#x2018;&#x161; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x161; .

252 + 253 + 254 = 252 + 252 â&#x2C6;&#x2122; 21 + 252 â&#x2C6;&#x2122; 22 = 252 â&#x2C6;&#x2122; (1 + 2 + 4) = 252 â&#x2C6;&#x2122; 7

Zadanie đ?&#x;&#x2022;.

Udowodnij, Ĺźe liczba 20152 + 4 â&#x2C6;&#x2122; 2015 + 4 jest podzielna przez 2017.

DowĂłd przeprowadzimy poprzez zastosowanie wzoru skrĂłconego mnoĹźenia2.

20152 + 4 â&#x2C6;&#x2122; 2015 + 4 = (2015 + 2)2 = 20172 = 2017 â&#x2C6;&#x2122; 2017

2

đ?&#x2018;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 = (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?)2

24

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2013;.

Udowodnij, Ĺźe suma kwadratĂłw dwĂłch dowolnych liczb caĹ&#x201A;kowitych dodatnich jest wiÄ&#x2122;ksza lub rĂłwna podwojonemu iloczynowi tych liczb.

Oznaczmy przez đ?&#x2018;&#x17D; i đ?&#x2018;? dowolne liczby caĹ&#x201A;kowite dodatnie. WĂłwczas nierĂłwnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ukryta w treĹ&#x203A;ci zadania przybiera postaÄ&#x2021; đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 â&#x2030;Ľ 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?.

DowĂłd przeprowadzimy poprzez przeniesienie prawej strony nierĂłwnoĹ&#x203A;ci na jej lewÄ&#x2026; czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021;, a nastÄ&#x2122;pnie zastosowanie wzoru skrĂłconego mnoĹźenia. đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;? 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? â&#x2030;Ľ 0 (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 â&#x2030;Ľ 0 Kwadrat dowolnej liczby (takĹźe ujemnej) jest wiÄ&#x2122;kszy lub rĂłwny zero.

Zadanie đ?&#x;&#x2014;.

Udowodnij, Ĺźe kwadrat Ĺ&#x203A;redniej arytmetycznej dwĂłch dowolnych liczb caĹ&#x201A;kowitych dodatnich jest wiÄ&#x2122;kszy lub rĂłwny iloczynowi tych liczb.

Oznaczmy przez đ?&#x2018;&#x17D; i đ?&#x2018;? dowolne liczby caĹ&#x201A;kowite dodatnie. WĂłwczas nierĂłwnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; ukryta w treĹ&#x203A;ci zadađ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? 2 ) 2

nia przybiera postaÄ&#x2021; (

â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?.

PostÄ&#x2026;pimy podobnie jak w poprzednim zadaniu. đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? 2 ( ) â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?

2 đ?&#x2018;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 â&#x2030;Ľ đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?/â&#x2C6;&#x2122; 4 4 đ?&#x2018;&#x17D;2 + 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 â&#x2030;Ľ 4đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? 2 â&#x2030;Ľ 0 (đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?)2 â&#x2030;Ľ 0 Kwadrat dowolnej liczby (takĹźe ujemnej) jest wiÄ&#x2122;kszy lub rĂłwny zero.

25

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.

Udowodnij, Ĺźe jeĹ&#x203A;li dowolne liczby caĹ&#x201A;kowite dodatnie speĹ&#x201A;niajÄ&#x2026; nierĂłwnoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D; < đ?&#x2018;? i đ?&#x2018;? < đ?&#x2018;?, to đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;? < .

2 3 DowĂłd przeprowadzimy poprzez zapisanie nierĂłwnoĹ&#x203A;ci powyĹźej w jak najprostszej formie.

đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?+đ?&#x2018;? < /â&#x2C6;&#x2122; 6 2 3 3đ?&#x2018;&#x17D; + 3đ?&#x2018;? < 2đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? < 2đ?&#x2018;?

Sprawdzimy teraz, czy uzyskana nierĂłwnoĹ&#x203A;Ä&#x2021; pokrywa siÄ&#x2122; z warunkami zadania. đ?&#x2018;&#x17D;<đ?&#x2018;? đ?&#x2018;?<đ?&#x2018;?

Po dodaniu tych nierĂłwnoĹ&#x203A;ci stronami dostaniemy đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? < 2đ?&#x2018;?.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?.

Udowodnij, Ĺźe liczba 436 jest wiÄ&#x2122;ksza od 724 .

DowĂłd przeprowadzimy poprzez zastosowanie prawa wykĹ&#x201A;adnikĂłw, ktĂłre gĹ&#x201A;osi, Ĺźe đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x161; = (đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; )đ?&#x2018;&#x161; .

436 > 724 (43 )12 > (72 )12 6412 > 4912

26

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?. (â&#x2020;&#x2019; zadanie 15/50) Udowodnij, Ĺźe wĹ&#x203A;rĂłd dowolnych jedenastu liczb naturalnych istniejÄ&#x2026; dwie, ktĂłre majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; cyfrÄ&#x2122; jednoĹ&#x203A;ci.

Zasada szufladkowa3 gĹ&#x201A;osi, Ĺźe jeĹ&#x203A;li umieszczamy przedmioty w szufladkach i dysponujemy wiÄ&#x2122;kszÄ&#x2026; liczbÄ&#x2026; przedmiotĂłw, niĹź szufladek, to w pewnej szufladce znajdÄ&#x2026; siÄ&#x2122; co najmniej dwa przedmioty. TÄ&#x2122; naturalnÄ&#x2026; obserwacjÄ&#x2122; wykorzystamy do rozwiÄ&#x2026;zania tego zadania.

Mamy 10 moĹźliwych cyfr jednoĹ&#x203A;ci (od 0 do 9), niech to bÄ&#x2122;dÄ&#x2026; nasze szufladki. Rozmieszczamy w nich 11 dowolnych liczb. WĂłwczas z zasady szufladkowej wnioskujemy, Ĺźe do pewnej szufladki trafiÄ&#x2026; co najmniej dwie liczby.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;.

SprawdĹş, czy istnieje liczba, ktĂłrej iloczyn cyfr jest rĂłwny 92.

Na poczÄ&#x2026;tku rozĹ&#x201A;oĹźymy liczbÄ&#x2122; 92 na czynniki pierwsze.

92 46 23 1

2 2 23

Liczby 92 nie moĹźemy otrzymaÄ&#x2021; w wyniku mnoĹźenia samych cyfr. Musimy uĹźyÄ&#x2021; jednej z trzech liczb dwucyfrowych (92, 46 lub 23), co stoi w sprzecznoĹ&#x203A;ci z warunkami zadania.

PrzykĹ&#x201A;ady 92 = 1 â&#x2C6;&#x2122; 92 92 = 2 â&#x2C6;&#x2122; 46 92 = 4 â&#x2C6;&#x2122; 23

3

Jej autorem jest Peter G. L. Dirichlet.

27

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;.

Wyznacz ostatniÄ&#x2026; cyfrÄ&#x2122; liczby 230 .

Na poczÄ&#x2026;tku sprawdzimy, jakie cyfry jednoĹ&#x203A;ci majÄ&#x2026; kolejne potÄ&#x2122;gi liczby 2.

21 2

22 4

23 8

24 16

25 32

26 64

27 128

28 256

Z powyĹźszej tabeli wnioskujemy, Ĺźe cyfry jednoĹ&#x203A;ci kolejnych potÄ&#x2122;g liczby 2 powtarzajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; w sekwencji 2486. W ciÄ&#x2026;gu trzydziestu cyfr mieĹ&#x203A;ci siÄ&#x2122; siedem takich czterocyfrowych sekwencji i jeszcze dwie cyfry (2 i 4). Wobec tego liczba 230 koĹ&#x201E;czy siÄ&#x2122; cyfrÄ&#x2026; 4.

W wielu zadaniach dotyczÄ&#x2026;cych podzielnoĹ&#x203A;ci liczb naleĹźy wyznaczyÄ&#x2021; ostatniÄ&#x2026; cyfrÄ&#x2122; danej liczby, aby sprawdziÄ&#x2021;, czy dzieli siÄ&#x2122; ona np. przez 5. Liczba 230 nie ma tej wĹ&#x201A;asnoĹ&#x203A;ci, gdyĹź koĹ&#x201E;czy siÄ&#x2122; cyfrÄ&#x2026; 4.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;.

3đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; 1 Wyznacz wartoĹ&#x203A;Ä&#x2021; wyraĹźenia đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?, jeĹ&#x203A;li đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? = 3.

To zadanie wykonamy poprzez zastosowanie proporcji. đ?&#x2018;&#x17D; 1 = đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;? 3 đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? = 3đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? = 2đ?&#x2018;&#x17D;

Po podstawieniu uzyskanej zaleĹźnoĹ&#x203A;ci otrzymujemy 3đ?&#x2018;?

3 â&#x2C6;&#x2122; 2đ?&#x2018;&#x17D; 6đ?&#x2018;&#x17D; = = =2. đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;&#x17D; 3đ?&#x2018;&#x17D;

28

Notki W kilku zadaniach pominÄ&#x2122;liĹ&#x203A;my fakt, Ĺźe dla đ?&#x2018;&#x203A; = 1 â&#x20AC;&#x17E;twierdzeniaâ&#x20AC;? sÄ&#x2026; nieprawdziwe. Podobnie naleĹźy postÄ&#x2026;piÄ&#x2021; w takiej sytuacji na konkursie matematycznym lub na egzaminie gimnazjalnym.

Geometria

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; treĹ&#x203A;ci zadaĹ&#x201E;

TreĹ&#x203A;Ä&#x2021; kaĹźdego z poniĹźszych zadaĹ&#x201E; zawiera trzy stwierdzenia. KaĹźde z nich jest prawdziwe lub faĹ&#x201A;szywe. JeĹ&#x203A;li dane stwierdzenie jest prawdziwe, wpisz w odpowiedniÄ&#x2026; kratkÄ&#x2122; literkÄ&#x2122; T, jeĹ&#x203A;li zaĹ&#x203A; stwierdzenie jest faĹ&#x201A;szywe, wpisz literkÄ&#x2122; N.

Zadanie đ?&#x;?.

TrĂłjkÄ&#x2026;t o bokach dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D;, 2đ?&#x2018;&#x17D; i 4đ?&#x2018;&#x17D; jest a) ostrokÄ&#x2026;tny. b) prostokÄ&#x2026;tny. c) rozwartokÄ&#x2026;tny.

Zadanie đ?&#x;?.

Punkt đ?&#x2018;&#x2020; leĹźy w tej samej odlegĹ&#x201A;oĹ&#x203A;ci od wierzchoĹ&#x201A;kĂłw trĂłjkÄ&#x2026;ta. Wynika z tego, Ĺźe punkt đ?&#x2018;&#x2020; a) nie istnieje. b) powstaĹ&#x201A; poprzez przeciÄ&#x2122;cie siÄ&#x2122; symetralnych bokĂłw tego trĂłjkÄ&#x2026;ta. c) jest Ĺ&#x203A;rodkiem okrÄ&#x2122;gu opisanego na tym trĂłjkÄ&#x2026;cie.

Zadanie đ?&#x;&#x2018;.

Liczba đ?&#x153;&#x2039; jest rĂłwna a) 3,14. b) stosunkowi dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci okrÄ&#x2122;gu do jego Ĺ&#x203A;rednicy. c) stosunkowi pola koĹ&#x201A;a do kwadratu jego promienia.

Zadanie đ?&#x;&#x2019;.

PrzekÄ&#x2026;tne prostokÄ&#x2026;ta a) dzielÄ&#x2026; jego kÄ&#x2026;ty wewnÄ&#x2122;trzne na poĹ&#x201A;owy. b) przecinajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; pod kÄ&#x2026;tem prostym. c) majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021;.

31

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; treĹ&#x203A;ci zadaĹ&#x201E;

Zadanie đ?&#x;&#x201C;.

JeĹ&#x203A;li wszystkie boki czworokÄ&#x2026;ta majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021;, to czworokÄ&#x2026;t ten jest a) rĂłwnolegĹ&#x201A;obokiem. b) rombem. c) kwadratem.

Zadanie đ?&#x;&#x201D;.

JeĹ&#x203A;li kaĹźdy bok kwadratu powiÄ&#x2122;kszono o 20%, to pole tego kwadratu zwiÄ&#x2122;kszyĹ&#x201A;o siÄ&#x2122; a) o 20%. b) o 40%. c) o 44%.

Zadanie đ?&#x;&#x2022;.

KaĹźdy bok i kaĹźdÄ&#x2026; przekÄ&#x2026;tnÄ&#x2026; piÄ&#x2122;ciokÄ&#x2026;ta foremnego pomalowano na czerwono lub niebiesko. Wynika z tego, Ĺźe a) pewne trzy boki sÄ&#x2026; tego samego koloru. b) pewne dwie przekÄ&#x2026;tne sÄ&#x2026; róşnych kolorĂłw. c) z pewnego wierzchoĹ&#x201A;ka wychodzÄ&#x2026; trzy odcinki tego samego koloru.

Zadanie đ?&#x;&#x2013;.

JeĹ&#x203A;li szeĹ&#x203A;ciokÄ&#x2026;t jest foremny, to a) ma szeĹ&#x203A;Ä&#x2021; osi symetrii. b) ma Ĺ&#x203A;rodek symetrii. c) jego kÄ&#x2026;ty wewnÄ&#x2122;trzne majÄ&#x2026; miarÄ&#x2122; 120°.

32

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; treĹ&#x203A;ci zadaĹ&#x201E;

Zadanie đ?&#x;&#x2014;.

Istnieje ostrosĹ&#x201A;up majÄ&#x2026;cy a) 15 Ĺ&#x203A;cian. b) 15 wierzchoĹ&#x201A;kĂłw. c) 15 krawÄ&#x2122;dzi.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.

Istnieje graniastosĹ&#x201A;up majÄ&#x2026;cy a) 20 Ĺ&#x203A;cian. b) 20 wierzchoĹ&#x201A;kĂłw. c) 20 krawÄ&#x2122;dzi.

33

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;?.

TrĂłjkÄ&#x2026;t o bokach dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D;, 2đ?&#x2018;&#x17D; i 4đ?&#x2018;&#x17D; jest N

a) ostrokÄ&#x2026;tny.

N

b) prostokÄ&#x2026;tny.

N

c) rozwartokÄ&#x2026;tny.

Zanim zdecydujemy, czy jest to trĂłjkÄ&#x2026;t ostrokÄ&#x2026;tny, czy rozwartokÄ&#x2026;tny, sprawdzimy, czy w ogĂłle da siÄ&#x2122; go zbudowaÄ&#x2021;. Warunek istnienia trĂłjkÄ&#x2026;ta gĹ&#x201A;osi, Ĺźe suma dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci dwĂłch krĂłtszych bokĂłw musi byÄ&#x2021; wiÄ&#x2122;ksza od dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci najdĹ&#x201A;uĹźszego boku. đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;&#x17D; > 4đ?&#x2018;&#x17D; 3đ?&#x2018;&#x17D; > 4đ?&#x2018;&#x17D; OtrzymaliĹ&#x203A;my sprzecznoĹ&#x203A;Ä&#x2021;, czyli trĂłjkÄ&#x2026;t ten nie istnieje.

Zadanie đ?&#x;?.

Punkt đ?&#x2018;&#x2020; leĹźy w tej samej odlegĹ&#x201A;oĹ&#x203A;ci od wierzchoĹ&#x201A;kĂłw trĂłjkÄ&#x2026;ta. Wynika z tego, Ĺźe punkt đ?&#x2018;&#x2020; N

a) nie istnieje.

T

b) powstaĹ&#x201A; poprzez przeciÄ&#x2122;cie siÄ&#x2122; symetralnych bokĂłw tego trĂłjkÄ&#x2026;ta.

T

c) jest Ĺ&#x203A;rodkiem okrÄ&#x2122;gu opisanego na tym trĂłjkÄ&#x2026;cie.

34

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2018;.

Liczba đ?&#x153;&#x2039; jest rĂłwna N

a) 3,14.

T

b) stosunkowi dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci okrÄ&#x2122;gu do jego Ĺ&#x203A;rednicy.

T

c) stosunkowi pola koĹ&#x201A;a do kwadratu jego promienia.

Liczba đ?&#x153;&#x2039; jest liczbÄ&#x2026; niewymiernÄ&#x2026;, czyli ma rozwiniÄ&#x2122;cie dziesiÄ&#x2122;tne nieskoĹ&#x201E;czone i nieokresowe. đ?&#x153;&#x2039; = 3,14159265 â&#x20AC;Ś

b)

c)

đ??ż = đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;&#x2122; 2đ?&#x2018;&#x;

đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x;2

đ??ż =đ?&#x153;&#x2039;â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2018;

đ?&#x2018;&#x192; =đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x;2

đ??ż =đ?&#x153;&#x2039; đ?&#x2018;&#x2018;

Zadanie đ?&#x;&#x2019;.

PrzekÄ&#x2026;tne prostokÄ&#x2026;ta N

a) dzielÄ&#x2026; jego kÄ&#x2026;ty wewnÄ&#x2122;trzne na poĹ&#x201A;owy.

N

b) przecinajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; pod kÄ&#x2026;tem prostym.

T

c) majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021;.

Aby oceniÄ&#x2021; prawdziwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; zdaĹ&#x201E; powyĹźej, narysujmy kilka róşnych prostokÄ&#x2026;tĂłw i sprawdĹşmy wĹ&#x201A;asnoĹ&#x203A;ci ich przekÄ&#x2026;tnych.

35

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x201C;.

JeĹ&#x203A;li wszystkie boki czworokÄ&#x2026;ta majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021;, to czworokÄ&#x2026;t ten jest T

a) rĂłwnolegĹ&#x201A;obokiem.

T

b) rombem.

N

c) kwadratem.

a) RĂłwnolegĹ&#x201A;obok â&#x20AC;&#x201C; czworokÄ&#x2026;t majÄ&#x2026;cy dwie pary bokĂłw rĂłwnolegĹ&#x201A;ych. b) Romb â&#x20AC;&#x201C; czworokÄ&#x2026;t majÄ&#x2026;cy wszystkie boki tej samej dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci. c) Kwadrat â&#x20AC;&#x201C; czworokÄ&#x2026;t majÄ&#x2026;cy wszystkie boki tej samej dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci i wszystkie kÄ&#x2026;ty proste. W treĹ&#x203A;ci zadania nie ma o tym drugim ani sĹ&#x201A;owa.

Romb jest rĂłwnolegĹ&#x201A;obokiem.

Zadanie đ?&#x;&#x201D;.

JeĹ&#x203A;li kaĹźdy bok kwadratu powiÄ&#x2122;kszono o 20%, to pole tego kwadratu zwiÄ&#x2122;kszyĹ&#x201A;o siÄ&#x2122; N

a) o 20%.

N

b) o 40%.

T

c) o 44%.

Oznaczmy przez đ?&#x2018;&#x17D; poczÄ&#x2026;tkowÄ&#x2026; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; boku kwadratu. Po powiÄ&#x2122;kszeniu liczby đ?&#x2018;&#x17D; o 20% dostaniemy 20

12

12

đ?&#x2018;&#x17D; + 100 đ?&#x2018;&#x17D; = 10 đ?&#x2018;&#x17D;. Pole kwadratu o boku dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci 10 đ?&#x2018;&#x17D; jest rĂłwne 12 2 144 2 ( đ?&#x2018;&#x17D;) = đ?&#x2018;&#x17D; .

10 100 Jak widaÄ&#x2021;, pole tego kwadratu zwiÄ&#x2122;kszyĹ&#x201A;o siÄ&#x2122; o 44%.

36

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2022;.

KaĹźdy bok i kaĹźdÄ&#x2026; przekÄ&#x2026;tnÄ&#x2026; piÄ&#x2122;ciokÄ&#x2026;ta foremnego pomalowano na czerwono lub niebiesko. Wynika z tego, Ĺźe T

a) pewne trzy boki sÄ&#x2026; tego samego koloru.

N

b) pewne dwie przekÄ&#x2026;tne sÄ&#x2026; róşnych kolorĂłw.

N

c) z pewnego wierzchoĹ&#x201A;ka wychodzÄ&#x2026; trzy odcinki tego samego koloru.

Zdanie a) jest prawdziwe, co moĹźemy sprawdziÄ&#x2021;, rysujÄ&#x2026;c wszystkie moĹźliwe kombinacje kolorĂłw. Gdy pokolorujemy jeden bok na niebiesko, to bÄ&#x2122;dziemy musieli pokolorowaÄ&#x2021; cztery pozostaĹ&#x201A;e boki na czerwono; gdy pokolorujemy dwa boki na niebiesko, to bÄ&#x2122;dziemy musieli pokolorowaÄ&#x2021; trzy pozostaĹ&#x201A;e boki na czerwono itd. Aby oceniÄ&#x2021; prawdziwoĹ&#x203A;Ä&#x2021; zdaĹ&#x201E; b) i c), rozpatrzmy taki piÄ&#x2122;ciokÄ&#x2026;t foremny, ktĂłrego kaĹźdy bok pomalowano na czerwono, a kaĹźdÄ&#x2026; przekÄ&#x2026;tnÄ&#x2026; na niebiesko. Z kaĹźdego wierzchoĹ&#x201A;ka tego wielokÄ&#x2026;ta wychodzÄ&#x2026; dokĹ&#x201A;adnie dwa odcinki czerwone oraz dwa odcinki niebieskie, co widaÄ&#x2021; na zaĹ&#x201A;Ä&#x2026;czonym obrazku.

Zadanie đ?&#x;&#x2013;.

JeĹ&#x203A;li szeĹ&#x203A;ciokÄ&#x2026;t jest foremny, to T

a) ma szeĹ&#x203A;Ä&#x2021; osi symetrii.

T

b) ma Ĺ&#x203A;rodek symetrii.

T

c) jego kÄ&#x2026;ty wewnÄ&#x2122;trzne majÄ&#x2026; miarÄ&#x2122; 120°.

ZauwaĹźmy, Ĺźe liczba osi symetrii dowolnego wielokÄ&#x2026;ta foremnego jest rĂłwna liczbie jego bokĂłw. JeĹ&#x203A;li do tego liczba tych bokĂłw dzieli siÄ&#x2122; przez 2, to wielokÄ&#x2026;t ten ma takĹźe Ĺ&#x203A;rodek symetrii.

MiarÄ&#x2122; kÄ&#x2026;tĂłw wewnÄ&#x2122;trznych đ?&#x2018;&#x203A;-kÄ&#x2026;ta foremnego moĹźemy obliczyÄ&#x2021; ze wzoru đ?&#x203A;ź = đ?&#x203A;ź=

(đ?&#x2018;&#x203A;â&#x2C6;&#x2019;2)â&#x2C6;&#x2122;180° . đ?&#x2018;&#x203A;

Wobec tego

(6 â&#x2C6;&#x2019; 2) â&#x2C6;&#x2122; 180° = 120° .

6

37

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; testowa â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2014;.

Istnieje ostrosĹ&#x201A;up majÄ&#x2026;cy T

a) 15 Ĺ&#x203A;cian.

T

b) 15 wierzchoĹ&#x201A;kĂłw.

N

c) 15 krawÄ&#x2122;dzi.

Oznaczmy przez đ?&#x2018;&#x203A; liczbÄ&#x2122; krawÄ&#x2122;dzi podstawy dowolnego graniastosĹ&#x201A;upa. WĂłwczas đ?&#x2018;&#x203A; + 1 to liczba jego Ĺ&#x203A;cian, ale takĹźe liczba wierzchoĹ&#x201A;kĂłw, natomiast 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x20AC;&#x201C; liczba wszystkich krawÄ&#x2122;dzi.

Pozostaje nam napisaÄ&#x2021; trzy rĂłwnania i wyznaczyÄ&#x2021; liczby krawÄ&#x2122;dzi podstaw. a) đ?&#x2018;&#x203A; + 1 = 15 đ?&#x2018;&#x203A; = 14

b) đ?&#x2018;&#x203A; + 1 = 15 đ?&#x2018;&#x203A; = 14

c) 2đ?&#x2018;&#x203A; = 15 đ?&#x2018;&#x203A; = 7,5

Liczba krawÄ&#x2122;dzi musi byÄ&#x2021; liczbÄ&#x2026; caĹ&#x201A;kowitÄ&#x2026;, czyli zdanie c) jest nieprawdziwe.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.

Istnieje graniastosĹ&#x201A;up majÄ&#x2026;cy T

a) 20 Ĺ&#x203A;cian.

T

b) 20 wierzchoĹ&#x201A;kĂłw.

N

c) 20 krawÄ&#x2122;dzi.

Oznaczmy przez đ?&#x2018;&#x203A; liczbÄ&#x2122; krawÄ&#x2122;dzi podstawy dowolnego graniastosĹ&#x201A;upa. WĂłwczas đ?&#x2018;&#x203A; + 2 to liczba jego Ĺ&#x203A;cian, 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x20AC;&#x201C; liczba wierzchoĹ&#x201A;kĂłw, natomiast 3đ?&#x2018;&#x203A; â&#x20AC;&#x201C; liczba wszystkich krawÄ&#x2122;dzi.

Pozostaje nam napisaÄ&#x2021; trzy rĂłwnania i wyznaczyÄ&#x2021; liczby krawÄ&#x2122;dzi podstaw. a) đ?&#x2018;&#x203A; + 2 = 20 đ?&#x2018;&#x203A; = 18

b) 2đ?&#x2018;&#x203A; = 20 đ?&#x2018;&#x203A; = 10

Liczba krawÄ&#x2122;dzi musi byÄ&#x2021; liczbÄ&#x2026; caĹ&#x201A;kowitÄ&#x2026;, czyli zdanie c) jest nieprawdziwe.

38

c) 3đ?&#x2018;&#x203A; = 20 đ?&#x2018;&#x203A; = 6,6666 â&#x20AC;Ś

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; treĹ&#x203A;ci zadaĹ&#x201E;

Zadanie đ?&#x;?.

WykaĹź, Ĺźe jeĹ&#x203A;li czworokÄ&#x2026;t jest opisany na okrÄ&#x2122;gu, to sumy dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci jego przeciwlegĹ&#x201A;ych bokĂłw sÄ&#x2026; rĂłwne.

Zadanie đ?&#x;?.

1 WykaĹź, Ĺźe pole czworokÄ&#x2026;ta o obwodzie đ??ż opisanego na okrÄ&#x2122;gu o promieniu đ?&#x2018;&#x; jest rĂłwne 2 đ??ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x;.

Zadanie đ?&#x;&#x2018;.

WykaĹź, Ĺźe promieĹ&#x201E; đ?&#x2018;&#x; okrÄ&#x2122;gu wpisanego w trĂłjkÄ&#x2026;t prostokÄ&#x2026;tny o przyprostokÄ&#x2026;tnych dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D; i đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? oraz przeciwprostokÄ&#x2026;tnej đ?&#x2018;? dany jest wzorem đ?&#x2018;&#x; = 2 .

Zadanie đ?&#x;&#x2019;.

Na rysunku prosta đ?&#x2018;&#x2DC; jest styczna do okrÄ&#x2122;gu o Ĺ&#x203A;rodku đ?&#x2018;&#x2020;. WykaĹź, Ĺźe kÄ&#x2026;t đ?&#x203A;ź ma miarÄ&#x2122; dwukrotnie wiÄ&#x2122;kszÄ&#x2026; od kÄ&#x2026;ta đ?&#x203A;˝.

Zadanie đ?&#x;&#x201C;.

WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ&#x2026;t đ??´đ??ľđ??ś przedstawiony na rysunku jest rĂłwnoboczny.

Zadanie đ?&#x;&#x201D;.

Jedno z ramion trĂłjkÄ&#x2026;ta rĂłwnoramiennego đ??´đ??ľđ??ś przecina prostÄ&#x2026; prostopadĹ&#x201A;Ä&#x2026; do podstawy đ??´đ??ľ, ktĂłra na przedĹ&#x201A;uĹźeniu boku đ??´đ??ś wyznaczyĹ&#x201A;a punkt đ??ˇ, na ramieniu đ??ľđ??ś punkt â&#x20AC;&#x201C; đ??¸, a na podstawie đ??´đ??ľ â&#x20AC;&#x201C; punkt đ??š. WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ&#x2026;t đ??śđ??ˇđ??¸ jest rĂłwnoramienny.

Zadanie đ?&#x;&#x2022;.

WykaĹź, Ĺźe w dowolnym trĂłjkÄ&#x2026;cie jest kÄ&#x2026;t wewnÄ&#x2122;trzny, ktĂłry mierzy co najmniej 60°.

Zadanie đ?&#x;&#x2013;. đ?&#x2018;&#x192; đ??´đ??ˇ WykaĹź, Ĺźe jeĹ&#x203A;li punkt đ??ˇ leĹźy na boku đ??´đ??ľ trĂłjkÄ&#x2026;ta đ??´đ??ľđ??ś, to đ?&#x2018;&#x192;đ??´đ??ˇđ??ś = đ??ˇđ??ľ. đ??ˇđ??ľđ??ś

40

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; treĹ&#x203A;ci zadaĹ&#x201E;

Zadanie đ?&#x;&#x2014;.

1 WykaĹź, Ĺźe pole piÄ&#x2122;ciokÄ&#x2026;ta przedstawionego na rysunku jest rĂłwne 2 đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;).

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.

WykaĹź, Ĺźe jeĹ&#x203A;li przekÄ&#x2026;tne trapezu rĂłwnoramiennego zawierajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; w dwusiecznych kÄ&#x2026;tĂłw przy jego dĹ&#x201A;uĹźszej podstawie, to ramiona tego trapezu majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; co krĂłtsza z podstaw.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?.

WykaĹź, Ĺźe jeĹ&#x203A;li przekÄ&#x2026;tne czworokÄ&#x2026;ta przecinajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; w poĹ&#x201A;owie, to czworokÄ&#x2026;t ten jest rĂłwnolegĹ&#x201A;obokiem.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?.

WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ&#x2026;ty đ??´đ??ľđ??ś i đ??žđ??żđ?&#x2018;&#x20AC; przedstawione na rysunku sÄ&#x2026; podobne.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;.

ProstokÄ&#x2026;t o bokach dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? jest podobny do prostokÄ&#x2026;ta o bokach dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D; + 5, đ?&#x2018;? + 5. WykaĹź, Ĺźe prostokÄ&#x2026;ty te sÄ&#x2026; kwadratami.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;.

WykaĹź, Ĺźe pole kwadratu zbudowanego na przekÄ&#x2026;tnej kwadratu jest dwukrotnie wiÄ&#x2122;ksze od pola tego kwadratu.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;.

W kwadracie o boku dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci 2đ?&#x2018;&#x17D; znajduje siÄ&#x2122; piÄ&#x2122;Ä&#x2021; punktĂłw. WykaĹź, Ĺźe wĹ&#x203A;rĂłd tych punktĂłw istniejÄ&#x2026; dwa, ktĂłrych odlegĹ&#x201A;oĹ&#x203A;Ä&#x2021; jest mniejsza lub rĂłwna đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x161;2.

41

Część otwarta - rozwiązania

Zadanie 𝟏.

Wykaż, że jeśli czworokąt jest opisany na okręgu, to sumy długości jego przeciwległych boków są równe.

Wskazówka Odcinki łączące punkt przecięcia się stycznych do okręgu z punktami styczności mają równe długości.

Własność powyżej została przedstawiona na załączonym obrazku. W czworokącie przeciwległe są do siebie podstawy oraz ramiona. Suma długości podstaw 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 składa się z odcinka niebieskiego, zielonego, pomarańczowego i czerwonego. Z tych samych elementów zbudowana jest także suma długości ramion 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶. Wnioskujemy stąd, że 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶.

42

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;?.

1 WykaĹź, Ĺźe pole czworokÄ&#x2026;ta o obwodzie đ??ż opisanego na okrÄ&#x2122;gu o promieniu đ?&#x2018;&#x; jest rĂłwne 2 đ??ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x;.

WskazĂłwka Styczna do okrÄ&#x2122;gu jest prostopadĹ&#x201A;a do promienia poprowadzonego do punktu stycznoĹ&#x203A;ci.

CzworokÄ&#x2026;t đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ skĹ&#x201A;ada siÄ&#x2122; z czterech par przystajÄ&#x2026;cych trĂłjkÄ&#x2026;tĂłw prostokÄ&#x2026;tnych (niebieskich, zielonych, pomaraĹ&#x201E;czowych i czerwonych). Ze wskazĂłwki wynika, Ĺźe promienie okrÄ&#x2122;gu poprowadzone do punktĂłw stycznoĹ&#x203A;ci sÄ&#x2026; wysokoĹ&#x203A;ciami tych trĂłjkÄ&#x2026;tĂłw.

1 1 1 1 đ?&#x2018;&#x192; = 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; + 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; + 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; + 2 â&#x2C6;&#x2122; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x; + đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; = (đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x; 2 2 2 2 1

ObwĂłd đ??ż tego czworokÄ&#x2026;ta wynosi 2đ?&#x2018;&#x17D; + 2đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;&#x2018;, czyli đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018; = 2 đ??ż.

1

Wnioskujemy stÄ&#x2026;d, Ĺźe đ?&#x2018;&#x192; = 2 đ??ż â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;&#x;.

43

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta - rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2018;.

WykaĹź, Ĺźe promieĹ&#x201E; đ?&#x2018;&#x; okrÄ&#x2122;gu wpisanego w trĂłjkÄ&#x2026;t prostokÄ&#x2026;tny o przyprostokÄ&#x2026;tnych dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D; i đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;? oraz przeciwprostokÄ&#x2026;tnej đ?&#x2018;? dany jest wzorem đ?&#x2018;&#x; = .

2

WskazĂłwki Styczna do okrÄ&#x2122;gu jest prostopadĹ&#x201A;a do promienia poprowadzonego do punktu stycznoĹ&#x203A;ci.

Odcinki Ĺ&#x201A;Ä&#x2026;czÄ&#x2026;ce punkt przeciÄ&#x2122;cia siÄ&#x2122; stycznych do okrÄ&#x2122;gu z punktami stycznoĹ&#x203A;ci majÄ&#x2026; rĂłwne dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci.

WĹ&#x201A;asnoĹ&#x203A;ci powyĹźej zostaĹ&#x201A;y przedstawione na zaĹ&#x201A;Ä&#x2026;czonym obrazku. SÄ&#x2026;siadujÄ&#x2026;ce ze sobÄ&#x2026; boki (promienie) niebieskiego prostokÄ&#x2026;ta majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021;, czyli jest on kwadratem. Suma dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci odcinka niebieskiego i pomaraĹ&#x201E;czowego jest rĂłwna đ?&#x2018;&#x17D;, wiÄ&#x2122;c odcinek pomaraĹ&#x201E;czowy ma dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;.

W podobny sposĂłb dowodzimy, Ĺźe odcinek zielony ma dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x;. Wnioskujemy stÄ&#x2026;d, Ĺźe đ?&#x2018;? =đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;+đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x; đ?&#x2018;? + 2đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;?

2đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x;=

44

đ?&#x2018;&#x17D;+đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;?

2

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2019;.

Na rysunku prosta đ?&#x2018;&#x2DC; jest styczna do okrÄ&#x2122;gu o Ĺ&#x203A;rodku đ?&#x2018;&#x2020;. WykaĹź, Ĺźe kÄ&#x2026;t đ?&#x203A;ź ma miarÄ&#x2122; dwukrotnie wiÄ&#x2122;kszÄ&#x2026; od kÄ&#x2026;ta đ?&#x203A;˝.

WskazĂłwki Promienie okrÄ&#x2122;gu majÄ&#x2026; rĂłwne dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci.

Styczna do okrÄ&#x2122;gu jest prostopadĹ&#x201A;a do promienia poprowadzonego do punktu stycznoĹ&#x203A;ci.

1) Niebieski trĂłjkÄ&#x2026;t jest rĂłwnoramienny, czyli kÄ&#x2026;ty leĹźÄ&#x2026;ce przy jego podstawie majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; miarÄ&#x2122;.

2) Suma miar kÄ&#x2026;ta niebieskiego i kÄ&#x2026;ta đ?&#x203A;˝ wynosi 90°, czyli kÄ&#x2026;t niebieski ma miarÄ&#x2122; 90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;˝.

3) Suma miar kÄ&#x2026;tĂłw wewnÄ&#x2122;trznych w dowolnym trĂłjkÄ&#x2026;cie wynosi 180°.

90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;˝ + 90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;˝ + đ?&#x203A;ź = 180° 180° â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x203A;˝ + đ?&#x203A;ź = 180° â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x203A;˝ + đ?&#x203A;ź = 0

đ?&#x203A;ź â&#x20AC;&#x201C; kÄ&#x2026;t Ĺ&#x203A;rodkowy đ?&#x203A;˝ â&#x20AC;&#x201C; kÄ&#x2026;t dopisany do okrÄ&#x2122;gu

đ?&#x203A;ź = 2đ?&#x203A;˝

Zadanie đ?&#x;&#x201C;.

WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ&#x2026;t đ??´đ??ľđ??ś przedstawiony na rysunku jest rĂłwnoboczny.

1) KÄ&#x2026;ty đ??ľđ??´đ??ś i 120° sÄ&#x2026; kÄ&#x2026;tami przylegĹ&#x201A;ymi, czyli â&#x2C6;Ąđ??ľđ??´đ??ś = 180° â&#x2C6;&#x2019; 120° = 60°.

2) KÄ&#x2026;ty đ??´đ??ľđ??ś i đ?&#x203A;ź sÄ&#x2026; kÄ&#x2026;tami wierzchoĹ&#x201A;kowymi, czyli â&#x2C6;Ąđ??´đ??ľđ??ś = đ?&#x203A;ź.

3) Suma miar kÄ&#x2026;tĂłw wewnÄ&#x2122;trznych w dowolnym trĂłjkÄ&#x2026;cie wynosi 180°.

60° + đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;&#x17D; = 180° 2đ?&#x2018;&#x17D; = 120° đ?&#x2018;&#x17D; = 60° TrĂłjkÄ&#x2026;t đ??´đ??ľđ??ś ma wszystkie kÄ&#x2026;ty wewnÄ&#x2122;trzne tej samej miary, wiÄ&#x2122;c jest rĂłwnoboczny.

45

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta - rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x201D;.

Jedno z ramion trĂłjkÄ&#x2026;ta rĂłwnoramiennego đ??´đ??ľđ??ś przecina prostÄ&#x2026; prostopadĹ&#x201A;Ä&#x2026; do podstawy đ??´đ??ľ, ktĂłra na przedĹ&#x201A;uĹźeniu boku đ??´đ??ś wyznaczyĹ&#x201A;a punkt đ??ˇ, na ramieniu đ??ľđ??ś punkt â&#x20AC;&#x201C; đ??¸, a na podstawie đ??´đ??ľ â&#x20AC;&#x201C; punkt đ??š. WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ&#x2026;t đ??śđ??ˇđ??¸ jest rĂłwnoramienny.

Skoro trĂłjkÄ&#x2026;t đ??´đ??ľđ??ś jest rĂłwnoramienny, to â&#x2C6;Ąđ??ľđ??´đ??ś = â&#x2C6;Ąđ??´đ??ľđ??ś = đ?&#x203A;ź.

1)

â&#x2C6;Ąđ??´đ??śđ??ľ = 180° â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x203A;ź, czyli â&#x2C6;Ąđ??ˇđ??śđ??¸ = 2đ?&#x203A;ź (kÄ&#x2026;ty przylegĹ&#x201A;e).

2) â&#x2C6;Ąđ??ľđ??¸đ??š = 180° â&#x2C6;&#x2019; 90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ź = 90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;, czyli â&#x2C6;Ąđ??śđ??¸đ??ˇ = 90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ź (kÄ&#x2026;ty wierzchoĹ&#x201A;kowe).

3) â&#x2C6;Ąđ??śđ??ˇđ??¸ = 180° â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x203A;ź â&#x2C6;&#x2019; (90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ź) = 90° â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x203A;ź

TrĂłjkÄ&#x2026;t đ??śđ??ˇđ??¸ ma dwa kÄ&#x2026;ty tej samej miary, wiÄ&#x2122;c jest rĂłwnoramienny.

Zadanie đ?&#x;&#x2022;.

WykaĹź, Ĺźe w dowolnym trĂłjkÄ&#x2026;cie jest kÄ&#x2026;t wewnÄ&#x2122;trzny, ktĂłry mierzy co najmniej 60°.

PrzypuĹ&#x203A;Ä&#x2021;my, Ĺźe w pewnym trĂłjkÄ&#x2026;cie wszystkie kÄ&#x2026;ty wewnÄ&#x2122;trzne mierzÄ&#x2026; mniej niĹź 60°. đ?&#x203A;ź < 60° đ?&#x203A;˝ < 60° đ?&#x203A;ž < 60° Po podaniu tych nierĂłwnoĹ&#x203A;ci stronami dostaniemy đ?&#x203A;ź + đ?&#x203A;˝ + đ?&#x203A;ž < 180°.

OtrzymaliĹ&#x203A;my sprzecznoĹ&#x203A;Ä&#x2021;, gdyĹź w kaĹźdym trĂłjkÄ&#x2026;cie suma miar kÄ&#x2026;tĂłw wewnÄ&#x2122;trznych wynosi 180°.

Wnioskujemy stÄ&#x2026;d, Ĺźe w kaĹźdym trĂłjkÄ&#x2026;cie jest kÄ&#x2026;t, ktĂłry mierzy co najmniej 60°.

46

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;&#x2013;. đ?&#x2018;&#x192; đ??´đ??ˇ WykaĹź, Ĺźe jeĹ&#x203A;li punkt đ??ˇ leĹźy na boku đ??´đ??ľ trĂłjkÄ&#x2026;ta đ??´đ??ľđ??ś, to đ?&#x2018;&#x192;đ??´đ??ˇđ??ś = đ??ˇđ??ľ. đ??ˇđ??ľđ??ś

ZauwaĹźmy, Ĺźe trĂłjkÄ&#x2026;ty đ??´đ??ˇđ??ś i đ??ˇđ??ľđ??ś majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; wysokoĹ&#x203A;Ä&#x2021;. Wnioskujemy stÄ&#x2026;d, Ĺźe 1 đ?&#x2018;&#x192;đ??´đ??ˇđ??ś 2 â&#x2C6;&#x2122; đ??´đ??ˇ â&#x2C6;&#x2122; â&#x201E;&#x17D; đ??´đ??ˇ = = . đ?&#x2018;&#x192;đ??ˇđ??ľđ??ś 1 â&#x2C6;&#x2122; đ??ˇđ??ľ â&#x2C6;&#x2122; â&#x201E;&#x17D; đ??ˇđ??ľ 2

Zadanie đ?&#x;&#x2014;.

1 WykaĹź, Ĺźe pole piÄ&#x2122;ciokÄ&#x2026;ta przedstawionego na rysunku jest rĂłwne 2 đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;).

ZauwaĹźmy, Ĺźe przedstawiony na rysunku piÄ&#x2122;ciokÄ&#x2026;t skĹ&#x201A;ada siÄ&#x2122; z dwĂłch wiÄ&#x2122;kszych trĂłjkÄ&#x2026;tĂłw rozwartokÄ&#x2026;tnych (jeden jest przechylony w lewo, a drugi w prawo). Suma pĂłl tych trĂłjkÄ&#x2026;tĂłw bÄ&#x2122;dzie wiÄ&#x2122;ksza od pola piÄ&#x2122;ciokÄ&#x2026;ta, gdyĹź majÄ&#x2026; one jednÄ&#x2026; czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; wspĂłlnÄ&#x2026;. Wobec tego 1 1 1 1 1 đ?&#x2018;&#x192; = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;?) + đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;) â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?) = đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2122; (đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;? + đ?&#x2018;&#x2018;) .

2 2 2 2 2

47

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta - rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x17D;.

WykaĹź, Ĺźe jeĹ&#x203A;li przekÄ&#x2026;tne trapezu rĂłwnoramiennego zawierajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; w dwusiecznych kÄ&#x2026;tĂłw przy jego dĹ&#x201A;uĹźszej podstawie, to ramiona tego trapezu majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; co krĂłtsza z podstaw.

ZauwaĹźmy, Ĺźe dwusieczna dzieli kÄ&#x2026;t đ??ľđ??´đ??ˇ na dwie rĂłwne czÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;ci, czyli â&#x2C6;Ąđ??ľđ??´đ??ś = â&#x2C6;Ąđ??śđ??´đ??ˇ = đ?&#x203A;ź. Ponadto â&#x2C6;Ąđ??ľđ??´đ??ś = â&#x2C6;Ąđ??´đ??śđ??ˇ = đ?&#x203A;ź. Z powyĹźszych rĂłwnoĹ&#x203A;ci wnioskujemy, Ĺźe kÄ&#x2026;ty leĹźÄ&#x2026;ce przy odcinku đ??´đ??ś majÄ&#x2026; tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; miarÄ&#x2122;. Wynika z tego, Ĺźe trĂłjkÄ&#x2026;t đ??´đ??śđ??ˇ ma rĂłwne ramiona, wiÄ&#x2122;c đ??´đ??ˇ = đ??ˇđ??ś. Trapez đ??´đ??ľđ??śđ??ˇ takĹźe jest rĂłwnoramienny, zatem đ??´đ??ˇ = đ??ˇđ??ś = đ??śđ??ľ.

đ?&#x2018;&#x2DC; i đ?&#x2018;&#x2122; â&#x20AC;&#x201C; proste rĂłwnolegĹ&#x201A;e KÄ&#x2026;ty odpowiadajÄ&#x2026;ce i naprzemianlegĹ&#x201A;e majÄ&#x2026; rĂłwne miary

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;?.

WykaĹź, Ĺźe jeĹ&#x203A;li przekÄ&#x2026;tne czworokÄ&#x2026;ta przecinajÄ&#x2026; siÄ&#x2122; w poĹ&#x201A;owie, to czworokÄ&#x2026;t ten jest rĂłwnolegĹ&#x201A;obokiem.

ZauwaĹźmy, Ĺźe đ??´đ?&#x2018;&#x2020; = đ??śđ?&#x2018;&#x2020; oraz đ??ľđ?&#x2018;&#x2020; = đ??ˇđ?&#x2018;&#x2020;. Ponadto kÄ&#x2026;t zawarty miÄ&#x2122;dzy odcinkami đ??´đ?&#x2018;&#x2020; i đ??ľđ?&#x2018;&#x2020; ma tÄ&#x2122; samÄ&#x2026; miarÄ&#x2122; co kÄ&#x2026;t zawarty miÄ&#x2122;dzy odcinkami đ??ˇđ?&#x2018;&#x2020; i đ??śđ?&#x2018;&#x2020;. Wobec tego trĂłjkÄ&#x2026;ty đ??´đ??ľđ?&#x2018;&#x2020; i đ??ˇđ??śđ?&#x2018;&#x2020; sÄ&#x2026; przystajÄ&#x2026;ce, czyli đ??´đ??ľ = đ??ˇđ??ś. W podobny sposĂłb dowodzimy, Ĺźe đ??´đ??ˇ = đ??ľđ??ś. CzworokÄ&#x2026;t, ktĂłry ma dwie pary bokĂłw rĂłwnej dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci, jest rĂłwnolegĹ&#x201A;obokiem.

48

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta â&#x20AC;&#x201C; rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie 12.

WykaĹź, Ĺźe trĂłjkÄ&#x2026;ty đ??´đ??ľđ??ś i đ??žđ??żđ?&#x2018;&#x20AC; przedstawione na rysunku sÄ&#x2026; podobne.

Na poczÄ&#x2026;tku obliczymy dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;Ä&#x2021; odcinka đ??´đ??ś poprzez zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

đ??´đ??ś 2 + 22 = 42 đ??´đ??ś 2 = 16 â&#x2C6;&#x2019; 4 đ??´đ??ś = â&#x2C6;&#x161;12 đ??´đ??ś = 2â&#x2C6;&#x161;3

DĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci bokĂłw trĂłjkÄ&#x2026;ta đ??´đ??ľđ??ś moĹźemy zapisaÄ&#x2021; jako đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x161;3 i 2đ?&#x2018;&#x17D;. Ze zwiÄ&#x2026;zkĂłw miarowych otrzymujemy, Ĺźe kÄ&#x2026;ty tego trĂłjkÄ&#x2026;ta majÄ&#x2026; miary 90°, 30° i 60°.

KÄ&#x2026;ty trĂłjkÄ&#x2026;ta đ??´đ??ľđ??ś majÄ&#x2026; takie same miary jak kÄ&#x2026;ty trĂłjkÄ&#x2026;ta đ??žđ??żđ?&#x2018;&#x20AC;, czyli trĂłjkÄ&#x2026;ty te sÄ&#x2026; podobne.

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x2018;.

ProstokÄ&#x2026;t o bokach dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;? jest podobny do prostokÄ&#x2026;ta o bokach dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D; + 5, đ?&#x2018;? + 5. WykaĹź, Ĺźe prostokÄ&#x2026;ty te sÄ&#x2026; kwadratami.

To zadanie wykonamy poprzez zastosowanie skali podobieĹ&#x201E;stwa i proporcji. đ?&#x2018;&#x17D;+5 đ?&#x2018;?+5 = đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;(đ?&#x2018;? + 5) = đ?&#x2018;?(đ?&#x2018;&#x17D; + 5) đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + 5đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;? + 5đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x17D;=đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;+5=đ?&#x2018;?+5

5đ?&#x2018;&#x17D; = 5đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D;=đ?&#x2018;?

ProstokÄ&#x2026;ty, ktĂłre majÄ&#x2026; wszystkie boki tej samej dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci, sÄ&#x2026; kwadratami.

49

CzÄ&#x2122;Ĺ&#x203A;Ä&#x2021; otwarta - rozwiÄ&#x2026;zania

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x2019;.

WykaĹź, Ĺźe pole kwadratu zbudowanego na przekÄ&#x2026;tnej kwadratu jest dwukrotnie wiÄ&#x2122;ksze od pola tego kwadratu.

ZauwaĹźmy, Ĺźe przekÄ&#x2026;tna kwadratu jest przeciwprostokÄ&#x2026;tnÄ&#x2026; trĂłjkÄ&#x2026;ta prostokÄ&#x2026;tnego rĂłwnoramiennego. Wobec tego đ?&#x2018;&#x17D;2 + đ?&#x2018;&#x17D;2 = đ?&#x2018;&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x2018;2 = 2đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x2018; = đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x161;2 Wnioskujemy stÄ&#x2026;d, Ĺźe đ?&#x2018;&#x192;2 (đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x161;2)2 2đ?&#x2018;&#x17D;2 = = 2 =2. đ?&#x2018;&#x192;1 đ?&#x2018;&#x17D;2 đ?&#x2018;&#x17D;

Zadanie đ?&#x;?đ?&#x;&#x201C;. (â&#x2020;&#x2019; zadanie 12/27) W kwadracie o boku dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci 2đ?&#x2018;&#x17D; znajduje siÄ&#x2122; piÄ&#x2122;Ä&#x2021; punktĂłw. WykaĹź, Ĺźe wĹ&#x203A;rĂłd tych punktĂłw istniejÄ&#x2026; dwa, ktĂłrych odlegĹ&#x201A;oĹ&#x203A;Ä&#x2021; jest mniejsza lub rĂłwna đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x161;2.

Na poczÄ&#x2026;tku podzielimy duĹźy kwadrat na cztery mniejsze o boku dĹ&#x201A;ugoĹ&#x203A;ci đ?&#x2018;&#x17D;. WĂłwczas co najmniej dwa z piÄ&#x2122;ciu punktĂłw znajdÄ&#x2026; siÄ&#x2122; w jednym z jednym z tych kwadratĂłw (zasada szufladkowa).

NajdĹ&#x201A;uĹźszym odcinkiem w kwadracie jest przekÄ&#x2026;tna liczÄ&#x2026;ca đ?&#x2018;&#x17D;â&#x2C6;&#x161;2.

50